Основы теории меры. Том 2 - Богачев В.И.

Author: Богачев В.И.
Tags: анализ математика геометрия естественные науки теория меры точные науки
ISBN: 5-93972-196-6
Year: 2003
Similar
Гауссовские меры
Топологические векторные пространства и их приложения
Основы теории меры Т.1
Общая топология. Использование вещественных чисел. Функциональные пространства. Словарь
Text
                    В.И. Богачев
ОСНОВЫ
ТЕОРИИ МЕРЫ
Том 2
ftpumtti Москва ¦ Ижевск
2003

УДК 517.5
Интернет-магазин ,
^ • физика
http://shop.rcd.ru
• математика
• биология
• техника
Богачев В. И.
Основы теории меры. Том 2. — Москва-Ижевск: НИЦ
«Регулярная и хаотическая динамика», 2003, 576 стр.
В этой книге, являющейся непосредственным продолжением первого
тома, излагаются основы современной теории меры на топологических
пространствах, подробно обсуждается слабая сходимость мер,
рассматриваются преобразования и изоморфизмы пространств с мерами,
рассказывается об условных мерах. Представлены основные результаты о
борелевских и суслинских множествах и теоремы об измеримом выборе.
Дополнительные сведения содержат обширную справочную
информацию по перечисленным направлениям и их связям с другими
областями. Приведено много задач с решениями или указаниями (в
двухтомнике свыше 750 задач). Даны подробные историко-библиографические
комментарии. Оба тома в совокупности охватывают фундаментальные
достижения теории меры за столетний период, включая совсем
недавние результаты.
Для студентов, аспирантов, преподавателей и научных работников
физико-математических специальностей.
Библ. 1752.
ISBN 5-93972-196-6
©В.И.Богачев, 2003
© НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2003
http://rcd.ru

Оглавление
Предисловие к тому 2 7
Глава 6. Борелевские, бэровские и суслинские множества 9
6.1. Метрические и топологические пространства 9
6.2. Борелевские множества 20
6.3. Бэровские множества 23
6.4. Произведения топологических пространств 25
6.5. Счетно-порожденные гг-алгебры 28
6.6. Суслинские множества и их отделимость 32
6.7. Множества в суслинских пространствах 38
6.8. Отображения суслинских пространств 44
6.9. Теоремы об измеримом выборе 49
6.10. Дополнения и задачи 57
Борелевские и бэровские множества E7). Суслинские
множества как проекции F0). /С-аналитические и
^¦-аналитические множества F3). Пространства
Блэкуэлла F4). Отображения суслинских
пространств F5). Измеримость в нормированных
пространствах F6). Пространство Скорохода F7).
Задачи F8).
Глава 7. Меры на топологических пространствах 81
7.1. Борелевские, бэровские и радоновские меры 81
7.2. г-аддитивные меры 89
7.3. Продолжения мер 94
7.4. Меры на суслинских пространствах 102
7.5. Совершенные меры 104
7.6. Произведения мер 109
7.7. Теорема Колмогорова 114
7.8. Интеграл Даниэля 118
7.9. Меры как функционалы 129

7.10. Регулярность мер в терминах функционалов 133
7.11. Меры на локально компактных пространствах 136
7.12. Меры на линейных пространствах 140
7.13. Характеристические функционалы 145
7.14. Дополнения и задачи 153
Продолжение произведений мер A53). Измеримость на
произведениях A56). Пространства Маржика A58).
Сепарабельные меры A59). Диффузные и безатомические
меры A61). Регулярно пополнимые меры A61).
Радоновские пространства A63). Носители мер A64).
Обобщения теоремы Лузина A65). Метрические внешние
меры A66). Емкости A67). Ковариационные операторы и
средние мер A68). Представление Шоке A71).
Свертка A72). Измеримые линейные функции A75).
Выпуклые меры A75). Поточечная сходимость A77).
Бесконечные меры Радона A80). Задачи A81).
Глава 8. Слабая сходимость мер 199
8.1. Определение слабой сходимости 199
8.2. Слабая сходимость неотрицательных мер 208
8.3. Случай метрических пространств 219
8.4. Некоторые свойства слабой сходимости 222
8.5. Представление Скорохода 228
8.6. Слабая компактность и теорема Прохорова 232
8.7. Слабая секвенциальная полнота 241
8.8. Слабая сходимость и преобразование Фурье 242
8.9. Пространства мер со слабой топологией 243
8.10. Дополнения и задачи 248
Слабая компактность B48). Пространства
Прохорова B49). Слабая секвенциальная полнота
пространства мер B55). А-топология B56). Непрерывные
отображения пространств мер B57). Сепарабельность
пространств мер B60). Меры Янга B61).
Метрики на пространствах мер B63). Равномерно
распределенные последовательности B67). Сходимость
мер на множествах B71). Задачи B76)
Глава 9. Преобразования мер и изоморфизмы 291
9.1. Образы и прообразы мер 291
9.2. Изоморфизмы измеримых пространств 301
9.3. Изоморфизмы алгебр с мерами 304
9.4. Пространства Лебега-Рохлина 308
9.5. Индуцированные точечные изоморфизмы 313
9.6. Топологически эквивалентные меры 315

9.7. Непрерывные образы меры Лебега 319
9.8. Продолжение мер и отображения 322
9.9. Абсолютная непрерывность образов мер 323
9.10. Сдвиги мер вдоль интегральных кривых 330
9.11. Инвариантные меры и мера Хаара 337
9.12. Дополнения и задачи 342
Проективные системы мер C42). Экстремальные
прообразы меры C44). Существование безатомических
мер C46). Инвариантные и квазиинвариантные
меры преобразований C47). Точечные и булевы
изоморфизмы C49). Почти гомеоморфизмы C52).
Меры с заданными маргинальными проекциями C53).
Представление Стоуна C54). Задачи C56)
Глава 10. Условные меры и условные ожидания 365
10.1. Условное математическое ожидание 365
10.2. Сходимость условных ожиданий 373
10.3. Мартингалы 376
10.4. Регулярные условные меры 385
10.5. Лифтинги и условные меры 397
10.6. Дезинтегрирование мер 407
10.7. Переходные меры 413
10.8. Измеримые разбиения 418
10.9. Эргодические теоремы 421
10.10. Дополнения и задачи 427
Независимость D27). Дезинтегрирования D30). Сведения
о лифтингах D33). Законы 0 — 1 D34). Законы больших
чисел D38). Гиббсовские меры D44). Задачи D46).
Библиографические комментарии 453
Литература 479
Предметный указатель
561

Предисловие к тому 2
Вводные замечания по содержанию тома 2 сделаны в общем
предисловии, помещенном в томе 1. Поэтому здесь можно
ограничиться несколькими замечаниями более технического характера.
Глава 6 носит отчасти вспомогательный характер, хотя и здесь,
надеюсь, читатель найдет немало полезного и интересного. В ней
дано компактное изложение основных сведений о борелевских и
бэровских множествах и суслинских пространствах, включая
теоремы об измеримом выборе. В главе 7 обсуждаются меры на
топологических пространствах. Из различных рассматриваемых
здесь классов мер для приложений наиболее важны меры
Радона. Наряду со свойствами мер изучаются и свойства
соответствующих функционалов на пространствах функций (в
частности, теорема Рисса и ее обобщения). Несмотря на значительный
объем этой главы (самой длинной в двухтомнике), в
последующих главах из нее используется лишь небольшое число
результатов и конструкций. Глава 8 дает современное изложение теории
слабой сходимости мер. В частности, здесь рассматриваются
метрики и топологии на пространствах мер и слабая компактность.
В главе 9 идет речь о нелинейных преобразованиях мер и
изоморфизмах пространств с мерами, включая теорию пространств
Лебега-Рохлина. Наконец, глава 10 посвящена условным мерам
и условным математическим ожиданиям. Помимо классических
результатов и различных тонкостей, связанных с этими
объектами, здесь дано краткое введение в теорию мартингалов и
приведен ряд результатов из эргодической теории, непосредственно
относящихся к теории меры и иллюстрирующих ее идеи и
методы. Все эти главы почти не зависят друг от друга в техническом

Оглавление
отношении (так что их можно читать выборочно с
минимальным обращением к предшествующему материалу или
использовать для отдельных специальных курсов), но, как нетрудно
заметить, в идейном отношении они тесно связаны и вместе
составляют фундамент современной теории меры. Рассмотрение разного
рода преобразований мер — лейтмотив этого тома.
Нумерация глав продолжает нумерацию первого тома. При
ссылках на утверждения, замечания и задачи указываются
номер главы, номер параграфа и номер утверждения. Например,
определение 1.1.1 следует искать в §1 главы 1 (т.е. в первом томе),
причем в пределах каждого параграфа утверждения нумеруются
подряд независимо от их типа. Аналогично устроена нумерация
формул, однако номера формул заключены в круглые скобки.
Библиографические комментарии настоящего тома относятся
только к главам этого тома, но по ряду вопросов они
перекликаются с комментариями первого тома. Поэтому целесообразно
рассматривать все комментарии как единое целое, изложенное в
двух частях лишь ввиду неудобства публикации всей книги
единым томом. В конце этого тома имеется сводная библиография
обоих томов, в которой работы, цитируемые лишь в первом
томе, отмечены звездочкой (без указания страниц цитирования), а
в работах, упоминаемых в обоих томах, страницам цитирования
из первого тома предшествует указатель I, а страницам из
второго тома — указатель II (при этом отсутствие таких указателей
означает цитирование данной работы лишь в настоящем томе).
Завершается двухтомник сводным предметным указателем к
обоим томам, причем перед номерами страниц, относящимися к
первому тому, стоит метка I, а перед номерами из второго тома —
метка II.
Наконец, следует сказать, что в настоящем томе не
предполагается известным весь материал первого тома. Для чтения
большей его части достаточно знакомства с обязательной программой
из тома 1 и приводимыми по ходу дела дополнительными
сведениями. В тех случаях, когда приходится прибегать к результатам
тома 1 из дополнительного материала, даются точные ссылки.
Отзывы и замечания можно присылать по электронному
адресу автора bogachev@vbogach.mccme.ru.

Глава 6
Борелевские, бэровские и суслинские
множества
Теперь мы имеем уже не одно математическое
пространство, а бесчисленное их множество, причем
неизвестно, которое из них является наиболее точной
моделью пространства физической действительности.
Поэтому приходится конструировать образцы различных
пространств аналитическим путем.
А.Н. Колмогоров. Современные споры о природе
математики.
6.1. Метрические и топологические пространства
В этом параграфе напоминаются основные понятия,
связанные с топологическими пространствами, и доказывается ряд
необходимых для дальнейшего фактов. Кроме того, здесь приведены
некоторые примеры топологических пространств, любопытных с
точки зрения теории меры. Изложение рассчитано на читателя,
знающего, что такое метрическое пространство, но не имеющего
топологической подготовки. Приводимых здесь сведений
совершенно достаточно для понимания основной части дальнейшего
(наиболее важно знакомство с понятиями компактности и
непрерывности). Однако следует предостеречь читателя, что для
усвоения ряда специальных примеров и многих дополнительных
результатов из §6.10 необходима хотя бы небольшая
предварительная топологическая подготовка (несмотря на то, что все
формально необходимые понятия здесь определяются). Более подробные
сведения можно найти в Александров [5], Куратовский [181], Эн-
гелькинг [373]. Термин „топологическое пространство (X, т)"
обозначает множество X с набором т его подмножеств, содержащим

10 Глава 6. Борелевские, бэровские и суслинские множества
все X и пустое множество, а также замкнутым относительно
конечных пересечений и произвольных объединений. Множества из
набора т называются открытыми. Фактически используется
более короткий термин „топологическое пространство X",
подразумевающий, конечно, что система открытых множеств г
(называемая топологией в -X") задана. Явным образом топологию
приходится указывать, когда на одном и том же множестве X заданы
различные топологии. С подобным явлением мы встретимся
ниже. Базой топологии называют такое семейство открытых
множеств, что всякое непустое открытое множество является
некоторым объединением множеств этого семейства.
Окрестностью точки в топологическом пространстве
называется всякое непустое открытое множество, содержащее эту точку.
Точка х из множества А называется изолированной, если она
обладает окрестностью, не содержащей других точек из А.
Множество в топологическом пространстве называется
замкнутым, если его дополнение открыто. Замыканием множества А
в топологическом пространстве X называется пересечение всех
замкнутых множеств, содержащих А (т.е. наименьшее замкнутое
множество, содержащее А).
Всякое подмножество Хо топологического пространства X
является топологическим пространством с индуцированной
топологией, состоящей из всех множеств U П Хо, где U открыто в X.
Важный подкласс топологических пространств образуют
метрические пространства. Напомним, что метрическое
пространство X с метрикой q — это множество X вместе с функцией
q: X2 —> [0, +оо), обладающей следующими свойствами:
1) Q{x, у) = 0 в точности тогда, когда х = у; 2) д(х, у) = д(у, х)
для всех х, у € X; 3) д(х, z) < д(х, у) + д(у, z) для всех x,y,z € X.
Пусть а — точка метрического пространства, "{X, д) и г > 0.
Множество {х € X: д(х,а) < г} называется открытым шаром
с центром а и радиусом г, а множество {х Е X: д{х,а) ^ г} —
замкнутым шаром.
С помощью свойства 3) легко проверить, что открытые
множества в метрическом пространстве X (т.е. множества,
содержащие вместе с каждой своей точкой и некоторый шар
положительного радиуса с центром в этой точке) удовлетворяют
приведенным выше аксиомам-топологического пространства. Ниже
нам встретится много содержательных примеров топологических
пространств, топология которых не задается никакой метрикой.

6.1. Метрические и топологические пространства 11
Топологическое пространство (X, т) называется метризуе-
мым, если на X существует такая метрика, что совокупность всех
открытых в смысле этой метрики множеств есть в точности т.
Отметим, что может существовать много существенно
различных метрик, задающих одну и ту же топологию. Например,
обычная метрика на ГО,1 задает ту же топологию, что и
ограниченная метрика д(х,у) = \х — у|/A + \х — у\).
Отображение / из топологического пространства X в
топологическое пространство Y называется непрерывным в точке х,
если для каждого непустого открытого множества W,
содержащего f{x), найдется такое непустое открытое множество U,
содержащее ж, что f(U) С W. Непрерывным называется отображение,
которое непрерывно в каждой точке. Читателю предоставляется
проверить, что непрерывность отображения /: X —+ Y
равносильна тому, что для каждого открытого множества W C.Y
множество /_1(W) открыто в X. Последнее равносильно тому, что
для каждого замкнутого множества Z С Y множество /_1(Z)
замкнуто в X. При этом, однако, образ открытого множества не
обязан быть открытым. Отображение называется открытым,
если оно переводит все открытые множества в открытые. Класс
всех непрерывных отображений из X в У обозначается через
C(X,Y); если Y = И1, то этот класс обозначается через С(Х).
Множество всех ограниченных функций в С(Х) обозначается
через Сь{Х). Легко проверить, что Съ{Х) — банахово пространство
с нормой H/II = sup^x |/(ж)|.
При изучении топологических пространств весьма полезно
понятие направленности, обобщающее понятие
последовательности на случай несчетного множества индексов.
Будем называть непустое множество Г направленным, если
на нем введена частичная упорядоченность (см. §1.12(vi)),
удовлетворяющая следующему условию: для всяких t,s € Т
найдется иеГсК«и8^ U.
В направленном множестве могут быть несравнимые
элементы. Например, на ГО.2 можно ввести частичный порядок (х, у) ^
(и, v) посредством условий х < и, у < и. При этом не все
элементы сравнимы, но всякие два мажорируются некоторым третьим.
Направленностью в X называют набор элементов {xt}teT в X,
индексируемый направленным множеством Т. Аналогичным
образом определяется направленность множеств {Ut}teT в X.
Направленность {xt}t<=T называется поднаправленностью
направленности {ye}ses, если есть такое отображение тт: Т —> S, что

12 Глава 6. Борелевские, бэровские и суслинские множества
xt = y,r(t) и Для всякого so € 5 найдется to € Г с ir(t) ^ so при
всех t ^ to- Направленность {xt)t€T в топологическом
пространстве X сходится к элементу ж, если для всякого непустого
открытого множества U, содержащего х, найдется такой индекс ?о,
что xt € U для всех t € Т с to ^ t. Обозначение: limxt = х.
Следующий простой факт — предмет задачи 6.10.19).
6.1.1. Лемма. Пусть X и Y — топологические
пространства. Отображение /: X —> Y непрерывно в точке х в
точности тогда, когда для каждой направленности ха, сходящейся
к х, направленность f(xQ) сходится к /(ж).
Аналогичные доказательству этой леммы рассуждения
показывают, что всякая точка х, входящая в замыкание множества А
в топологическом пространстве X является либо изолированной
точкой А, либо пределом некоторой направленности точек из А.
Отображение /: X —> Y топологических пространств
называется гомеоморфизмом, если оно взаимно-однозначно
отображает X на Y, причем оба отображения / и /_1 непрерывны.
Топологические пространства, между которыми можно установить
гомеоморфизм, называются гомеоморфными.
В теории топологических пространств большую роль играют
различные аксиомы отделимости. Нам понадобятся лишь
простейшие из них, которые мы здесь и приведем.
6.1.2. Определение. Пусть X — топологическое
пространство, (i) X называется хаусдорфовым, если всякие две различные
точки в X обладают непересекающимися окрестностями.
(И) Хаусдорфово пространство X называется регулярным,
если для всякого х е X и всякого замкнутого множества Z
в X, не содержащего х, существуют такие непересекающиеся
открытые множества U uV, что х G U, Z С V.
(ш) Хаусдорфово пространство X называется вполне
регулярным, если для всякого х G X и всякого замкнутого
множества Z в X, не содержащего х, существует такая непрерывная
функция /: X —> [0,1], что /(ж) = 1 и f(z) = 0 для всех z € Z.
(iv) Хаусдорфово пространство X называется нормальным,
если для всяких непересекающихся замкнутых множеств Z\ и
Zi в X существуют такие непересекающиеся открытые
множества U uV, что Z\ С U, Z<i С V.
(v) Хаусдорфово пространство называется совершенно
нормальным, если всякое замкнутое множество Z С X имеет вид
Z = /_1@) для некоторой непрерывной функции f на X.

6.1. Метрические и топологические пространства 13
Множества указанного в (v) вида называются функционально
замкнутыми.
Ясно, что метрические пространства удовлетворяют всем
условиям регулярности (i)-(v). Например, в качестве / в (v) можно
взять /(ж) = dist(x, Z), где расстояние dist(x,Z) от точки х до
множества Z определяется как точная нижняя грань расстояний
от х до точек из Z.
6.1.3. Лемма. Для любых непустых непересекающихся
замкнутых множеств Z\ и Z2 в метрическом пространстве
найдется непрерывная функция f с Z\ = /_1@) и Z2 = /_1A).
Доказательство. Положим fi(x) = dist(a;, Zi). В качестве
/ возьмем / = /i/(/i + /г)- ?
Кроме свойств регулярности, топологические пространства
могут отличаться следующими свойствами, связанными с
покрытиями. Открытым покрытием множества называется набор
открытых множеств, объединение которых содержит данное
множество.
6.1.4. Определение, (i) Хаусдорфово пространство X
называется компактным или компактом, если из всякого
открытого покрытия X можно выделить конечное подпокрытие.
Если указанное свойство выполняется лишь для счетных
покрытий, то X называется счетно-компактным. Счетное
объединение компактов называется а-компактным пространством.
(И) Хаусдорфово пространство X называется
финально-компактным (или линделефовым), если из всякого открытого
покрытия X можно выделить не более чем счетное подпокрытие.
(ш) Хаусдорфово пространство X называется паракомпакт-
ным, если в каждое его открытое покрытие {Ua} можно
вписать локально конечное открытое покрытие {Wp}, т.е. каждая
точка имеет окрестность, пересекающуюся лишь с конечным
числом W@. Пространство X называется счетно-паракомпак-
тным, если указанное свойство выполняется для всех не более
чем счетных открытых покрытий {Ua}-
Отметим, что иногда линделефовыми называют лишь
регулярные финально компактные пространства. Линделефовость и
паракомпактность не наследуются подмножествами. Если в
пространстве X всякое подмножество обладает одним из указанных
свойств, то такое свойство называется наследственным.
Например, наследственная линделефовость X означает просто, что из

14 Глава 6. Борелевские, бэровские и суслинские множества
всякого набора открытых множеств в X можно выбрать не
более чем счетный поднабор с тем же объединением. Из всех
перечисленных классов топологических пространств для приложений
в теории меры наиболее важны компактные и вполне
регулярные. Часто встречаются также локально компактные
пространства, т.е. такие, в которых каждая точка обладает окрестностью с
компактным замыканием. В дальнейшем рассматриваются
только хаусдорфовы пространства.
6.1.5. Лемма. Пусть К — непустое компактное
множество во вполне регулярном пространстве X и пусть U —
открытое множество, содержащее К. Тогда найдется
непрерывная функция /: X —*¦ [0,1], роемая 1 ко К и 0 вне U.
Доказательство вынесено в задачу 6.10.20.
Пусть X — вполне регулярное пространство. Тогда
существует (и единственно) такое компактное пространство 0Х,
называемое компактификацией Стоуна-Чеха (или стоун-чеховской
компактификацией) пространства X, что X гомеоморфно
вкладывается в EХ в качестве плотного подмножества, причем
всякая ограниченная непрерывная функция на X продолжается до
непрерывной функции на РХ (см. Энгелькинг [373]). Вполне
регулярное пространство называется полным по Чеху, если оно
является множеством типа Gg (т.е. счетным объединением
открытых множеств) в J3X. Польские пространства и локально
компактные пространства полны по Чеху.
Пусть Xt — набор непустых топологических пространств,
параметризованный индексами t из некоторого множества Т.
Произведение X = T\teTXt пространств Xt обладает естественной
топологией (называемой топологией произведения), которая
состоит из всевозможных объединений произведений вида Utx х
... Utn х Пь^ -^*> гДе Uu ~~ открытые множества в Xti ¦
Если Xt = X для всех t € Г, то произведение пространств Xt
обозначается через ХТ. Это пространство естественно
отождествляется с пространством всех отображений х: Т —> X. При
таком отождествлении топология произведения становится
топологией поточечной сходимости. Если Г = IN, то
соответствующее произведение обозначается через Х°°. Важным примером
является пространство Ж°° всех вещественных
последовательностей х — (хп). Счетное произведение метрических пространств
Хп с метриками дп метризуемо метрикой

6.1. Метрические и топологические пространства 15
Непосредственно проверяется, что если все Хп — полные се-
парабельные метрические пространства, то таково и их
произведение с указанной выше метрикой. Например, М°° — полное
сепарабельное метрическое пространство.
Простейшим, но весьма важным для теории меры примером
бесконечного произведения является счетная степень 1№°
натурального ряда. Это пространство удобно представлять себе как
множество всех бесконечных последовательностей v = (щ)
натуральных чисел. Сходимость в 1№° — это просто покоординатная
сходимость. Как и выше, наделим 1№° метрикой
rf'.MJ-g'-'jJa^L. „ = (-,),,.-Cm,). F.1.1)
Доказательство следующей теоремы см. в Александров [5,
гл. 4, §6, предложение 2].
6.1.6. Теорема. Пространство 1№° с топологией
произведения гомеоморфно пространству TZ всех иррациональных чисел
из @,1) (или из ГО1) с его обычной топологией.
6.1.7. Следствие. В пространстве J№° имеется замкнутое
подпространство, которое можно взаимно-однозначно и
непрерывно отобразить на ГО.1.
Доказательство. Пространство 1№° гомеоморфно JN°°xIN,
причем замкнутое подпространство 1№° х {1} в 1№° х IN грме-
оморфно пространству иррациональных чисел. Теперь к этому
подпространству добавим дизъюнктное с ним замкнутое счетное
множество точек вида (п, 1,1,.. .)х{2}, которое можно
непрерывно и взаимно-однозначно отобразить на пространство
рациональных чисел Q. ?
Другой полезный в теории меры пример — счетная степень
двухточия.
6.1.8. Пример. Множество Кантора С гомеоморфно
пространству {0,1}°°.
Обоснование оставляется в качестве задачи 6.10.24.
Несчетные произведения неметризуемы, кроме того случая,
когда среди сомножителей лишь конечное или счетное число
отличны от одноточечных множеств (см. задачу 6.10.22).
Следующий важный результат называется теоремой
Тихонова; доказательство см. в Александров [5, гл. 6, §4]).

16 Глава 6. Борелевские, бэровские и суслинские множества
6.1.9. Теорема. Если пространства Xt компактны, то их
произведение также компактно.
Введем теперь важный для теории меры класс пространств.
6.1.10. Определение. Топологическое пространство, гоме-
оморфное полному сепарабельному метрическому пространству,
i польским. Считает польским также 0.
6.1.11. Пример. Всякое открытое или замкнутое
подпространство польского пространства является польским.
Доказательство. Надо доказать, что всякое множество Y,
которое либо открыто, либо замкнуто в полном сепарабельном
метрическом пространстве X, можно наделить метрикой,
задающей прежнюю топологию, но превращающей Y в полное
пространство (при этом оно останется и сепарабельным). В случае
замкнутого множества годится исходная метрика, а в случае
открытого множества Y можно взять метрику
. . , . |dist(z,X\A)-dist(y,XV4)|
»(*, v) = fay) + |dist(a;)X\A)_dist(y)X\A), + 1-
Проверка того, что получилась нужная метрика, оставляется в
качестве простого упражнения. ?
Известно следующее описание польских пространств
(доказательство можно найти в Энгелькинг [373, теорема 4.2.10,
теорема 43.24, следствие 4.3.25]).
6.1.12. Теорема, (i) Польские пространства — это
пространства, гомеоморфные замкнутым подпространствам Ш.°°.
(ii) Всякое сепарабельное метрическое пространство X го-
меоморфно подмножеству в [0,1]°°, причем если X полно, то
это подмножество имеет тип Gs-
6.1.13. Теорема. Непустое полное сепарабельное
метрическое пространство является образом 1№° при непрерывном
отображении.
Доказательство. Рассмотрим 1№° с метрикой, заданной по
формуле F.1.1). Представим заданное пространство X в виде
X = \JjLiE(j), где E(j) — замкнутые множества (возможно,
пересекающиеся) диаметра менее 2~3. По индукции для
каждого к находим замкнутые множества E(ni,...,nk) диаметра
менее 2~к~2 с E(ni, ...,пк) = (J~ 1 Е(Щ,- ¦ •, nk,j). Для каждого

6.1. Метрические и топологические пространства 17
и = (щ) G 1№° замкнутые множества Е(п1,...,щ) убывают и
имеют диаметры менее 2~к~2. Поэтому они стягиваются к
единственной точке, которую мы обозначим через f(u). Заметим, что
/(]№°) = X. Действительно, всякая точка х попадает в
некоторое множество Е{п\), затем в E(ni,n2) и так далее, что
дает элемент v с f{u) = х. Кроме того, / локально липшицево.
В самом деле, пусть дх — метрика в X. Если д(и,ц) < 1/4,
то найдется к с 2~~к~2 ^ g{v,y) < 2_fe_1. Тогда щ = /^ при
г ^ к. Следовательно, /(/i) и f(v) попадают в Е(п\,... ,njt),
откуда gx(f(v),f(tJ>)) < 2~к~2 ^ д(и, v). Итак, / непрерывно. ?
6.1.14. Следствие. Непустое польское пространство есть
образ 1№° при непрерывном отображении.
Разумеется, такое отображение может не быть инъективным.
Однако всякое польское пространство без изолированных точек
уже можно представить как образ 1№° при непрерывном инъек-
тивном отображении (см. Rogers, Jayne [1453, §2.4]). Для инъек-
тивных отображений имеются также следующие утверждения.
6.1.15. Теорема. Для всякого польского пространства X
можно найти замкнутое множество Z С 1№° и
взаимно-однозначное непрерывное отображение f множества Z на X.
Доказательство. По теореме 6.1.12, можно считать, что
X — замкнутое подпространство в ГО.00. В силу следствия 6.1.7
найдется замкнутое множество Е С J№°, которое можно
непрерывно и взаимно-однозначно отобразить на ГО1. Тогда Е°°
замкнуто в счетной степени J№° и допускает непрерывное
взаимнооднозначное отображение на ГО00. Так как счетная степень 1№°
гомеоморфна 1№°, а прообраз замкнутого множества при
непрерывном отображении замкнут, получаем доказываемое. ?
Отображение, о котором говорится в этой теореме, не обязано
быть гомеоморфизмом (т.е. обратное может оказаться
разрывным). Например, в множестве иррациональных чисел Л
(напомним, что 11 гомеоморфно ]№°) есть замкнутое множество,
которое можно взаимно-однозначно и непрерывно отобразить на
[0,1], но такое отображение не может быть непрерывным, ибо Л
не содержит отрезков.
С помощью некоторой модификации доказательства теоремы
6.1.13 проверяется следующая лемма (детали можно найти в §36
книги Куратовский [181], см. также задачу 6.10.32).

18 Глава 6. Борелевские, бэровские и суслинские множества
6.1.16. Лемма. Во всяком непустом полном метрическом
пространстве без изолированных точек есть подпространство,
гомеоморфное 1№°.
Напомним, что непустые замкнутые множества без
изолированных точек называются совершенными. Доказательство
следующего утверждения можно найти во многих книгах, например, в
Александров [5, гл. 4, §5].
6.1.17. Предложение. Всякие два ограниченных
совершенных нигде не плотных множества на прямой гомеоморфны. В
частности, всякое такое множество гомеоморфно канторов-
скому множеству и имеет мощность континуума.
В теории меры бывает полезно следующее представление мет-
ризуемых компактов (см., например, Александров [5, с. 212]).
6.1.18. Предложение. Всякий непустой метрический
компакт К является непрерывным образом некоторого компакта
Ко в [О,1]. Более того, в качестве Ко можно взять множество
Кантора С.
Приведем примеры более экзотических топологических
пространств, полезных для построения разного рода контрпримеров
в теории меры.
6.1.19. Пример. Прямая Зоргенфрея Z определяется как
вещественная прямая с топологией, база которой состоит из всех
полуинтервалов [ж, г), где х — вещественное число, г —
рациональное число и х < г. Интервал Зоргенфрея [0,1) наделяется
той же самой топологией. Аналогичным образом, плоскость
Зоргенфрея Z2 — это плоскость с топологией, порожденной
прямоугольниками [a, b)x[c, d). Обычные открытые множества прямой
(или плоскости) открыты и в топологии Зоргенфрея, ибо всякий
интервал (а, 6) является объединением множеств [а + 1/п,Ь).
Прямая Зоргенфрея обладает следующими свойствами,
обоснования которых см. в Архангельский, Пономарев [18].
1) пространство Z не метризуемо, но каждая точка имеет
счетную базу окрестностей, 2) Z линделефово, паракомпактно
и совершенно нормально; 3) каждое компактное подмножество Z
не более чем счетно.
Множество D точек вида (х, —х) в плоскости Зоргенфрея
замкнуто и в индуцированной топологии дискретно, т.е. каждая его
точка открыта в индуцированной топологии. Это следует из того,
что (х, -x) = DD [х, х + 1) х [-х, -х + 1).

6.1. Метрические и топологические пространства 19
6.1.20. Пример. Пусть X = C0\JCi С Ш.2, где
Со = {(х,0): 0<хК1} и Ci = {(z,l): 0 < ж < 1}.
Наделим X топологией, порожденной базой, состоящей из всех
множеств следующих двух типов:
{(х,г)ЕХ: х0-1/к<х<х0, г = 0,1} U {(ж0,0)},
где 0 < х0 ^ 1, к <Е IN, и
{(x,i)eX: х0<х<х0 + 1/к, i = 0,1} U {(ж0,1)},
где 0 < xq < 1, к € IN. Пространство X называется „две стрелки
П.С. Александрова" (или просто „две стрелки"). Это
пространство обладает следующими свойствами:
(i) X — компактное пространство;
(ii) X совершенно нормально и наследственно линделефово;
(Ш) X — неметризуемое сепарабельное пространство, в
котором каждая точка имеет счетную базу окрестностей. При этом
каждое метризуемое подмножество X не более чем счетно;
(iv) естественная проекция X на [0,1] (с обычной топологией)
непрерывна.
Доказательства см., например, в Архангельский, Пономарев
[18, с. 146] или Энгелькинг [373].
6.1.21. Пример. Пусть ft — порядковое число. Множество
всех порядковых чисел аса^П обозначается через [0, ft]. Оно
наделяется порядковой топологией, база которой состоит из
множеств вида {х < а}, {а < х < /?}, {х > а}, где а, /3 ^ ft.
Пространство [0,ft) с исключенной точкой ft наделяется
индуцированной топологией. Пространство [0, ft] компактно.
Действительно, если дано его открытое покрытие {Ut}teT, то рассмотрим
множество М всех таких х < ft, что отрезок [0, ж] не покрывается
конечным числом элементов данного покрытия. Поскольку [0, ft]
вполне упорядочено, то в М имеется наименьший элемент жо-
Существует to с хо € U^. Легко видеть, что найдется элемент
у 6 [0, жо) П Uto (если бы жо оказался наименьшим элементом в
Ut0, то у жо был бы непосредственный предшественник, что ведет
к противоречию). Тогда у ? М и существуют такие t\,..., tn € Г,
что [0,у] С U"=1 Uti. Поэтому [0,ж] С U"=o&и> те- х$М.

20 Глада 6. Борелевские, бэровские и суслинские множества
6.2. Борелевские множества
Одна из наиболее часто используемых <х-алгебр в
топологическом пространстве X — борелевская а-алгебра, порожденная
всеми открытыми множествами и обозначаемая символом В(Х).
Ясно, что В(Х) порождается и всеми замкнутыми множествами.
Ворелевские множества обязаны своим названием классическим
работам Э. Бореля [507], [511].
6.2.1. Определение. Пусть X uY — топологические
пространства. Отображение f: X —*¦ Y называется борелевским,
если Г1 (В) С В(Х) для всех В е B(Y).
6.2.2. Лемма. Всякое непрерывное отображение
топологических пространств является борелевским.
Доказательство. Пусть X, Y — топологические
пространства и /: X —> У — непрерывное отображение. Обозначим
через ? класс всех таких множеств В € B(Y), что f~l{B) е В{Х).
Класс ? очевидным образом является ст-алгеброй, а в силу
непрерывности / он содержит все открытые множества (напомним, что
прообраз открытого множества при непрерывном отображении
открыт). Следовательно, ? — B(Y). ?
6.2.3. Лемма. Пусть (Х,А) — измеримое пространство,
Е — сепарабельное метрическое пространство и /: X —> Е
измеримо, т.е. f~1(B) € А при В € В(Е). Тогда существует
последовательность измеримых отображений fn с не более чем
счетным множеством значений, равномерно сходящаяся к /.
Доказательство. Для всякого п покроем Е конечным или
счетным набором шаров диаметра меньше 1/п. Из этого
набора устраиваем покрытие Е дизъюнктными борелевскими
множествами Вп?, fc G IN, диаметра меньше 1/п. Выберем в каждом
Еп? по точке Cfe и положим fn{x) = с^ при х G f~l(Bn,k). Тогда
расстояние между fn(x) и /(ж) не превосходит 1/п для всех х. ?
6.2.4. Лемма. Пусть X — топологическое пространство и
Y — подмножество X, наделенное индуцированной топологией.
Тогда B(Y) = {В П У, Be В(Х)}. В частности, при У € В(Х)
имеем B(Y) = {В € В(Х), В С У}.
Доказательство. Пусть
? = {EcY: E = BnY, В е В(Х)}.

6.2. Борелевские множества 21
Легко видеть, что ? — <т-алгебра. По определению
индуцированной топологии, все открытые множества пространства Y входят
в ?, ибо представляют собой пересечения Y с открытыми
множествами из X. Следовательно, B{Y) С S. С другой стороны, класс
?о всех таких множеств В 6 В(Х), что ВЛУ € б(У), также
является сг-алгеброй и содержит все открытые множества в X.
Поэтому В(Х) С ?о, что завершает доказательство. Последнее
утверждение очевидно. ?
Обсудим некоторые простейшие свойства борелевских
отображений.
6.2.5. Лемма. Пусть (?1,А) — измеримое пространство и
Т — метрическое пространство (или, более общим образом,
совершенно нормальное пространство, т.е. пространство, в
котором всякое замкнутое множество является множеством нулей
непрерывной функции). Отображение f:Q—>T измеримо
относительно а-алгебр А и В(Т) в точности тогда, когда для
всякой непрерывной вещественной функции ф на Т функция ф о /
измерима относительно А.
Доказательство. Необходимость указанного условия
очевидна, поскольку ф~х(и) — открытое в Г множество для
всякого открытого U С ГО,1. Для доказательства обратного
утверждения проверим, что f~l(Z) € А для всякого замкнутого
множества Z С Т. Для этого заметим, что Z имеет вид Z = ф~1@)
для некоторой непрерывной функции ф (если Г совершенно
нормально, то это выполнено по определению, а в случае
метрического пространства в качестве ф можно взять ф(х) = dist(a;, Z)).
Теперь получаем /_1(Z) = (ф о /)_1@) <Е А. ?
6.2.6. Следствие. Пусть в ситуации леммы 6.2.5
отображение f: П —+ Т равно поточечному пределу
последовательности измеримых отображений fn: (П,А) —> (Т,В(Т)). Тогда f
измеримо относительно А и В(Т).
6.2.7. Следствие. Заключение предыдущего следствия
остается в силе, если О, — топологическое пространство с боре-
левской а-алгеброй и отображения fn непрерывны.
Последнее следствие может быть неверным для
произвольных вполне регулярных пространств Т. Рассмотрим следующий
пример, предложенный P.M. Дадли.

22 Глава 6. Борелевские, бэровские и суслинские множества
6.2.8. Пример. Пусть Т — пространство всех функций /
из [0,1] в [0,1], наделенное топологией поточечной сходимости.
Согласно теореме Тихонова, Г — компакт. Выберем в качестве О
отрезок [0,1] с борелевской «т-алгеброй. Определим отображения
/„: Q —> Т формулой
fn(w)(s) = max(l - п | ш -1|,0), ш € П, s е [0,1].
Отображения fn сходятся поточечно к отображению f:uj>-+ 1гшу,
т.е. f(u)(s) = 1, если s = и и f{ui){s) = 0, если s ф и. Каждое
отображение /п непрерывно и потому измеримо, если Г
снабдить борелевской <т-алгеброй, но / не является измеримым. В
самом деле, для каждого подмножества С С О множество Uc =
ишеС{ж € Т: х{ш) > 0} открыто в Г и f~l(Uc) = С. Значит,
взяв в качестве С неборелевское множество, получим множество
Uc с неизмеримым прообразом.
6.2.9. Предложение. Пусть X — метрическое
пространство и ? — некоторый класс подмножеств X, содержащий все
открытые множества и замкнутый относительно счетных
объединений попарно непересекающихся множеств и счетных
пересечений. Тогда ? содержит все борелевские множества.
Доказательство. Следует из теоремы 1.12.2. ?
6.2.10. Определение, (i) Изоморфизмом измеримых
пространств (Х,А) и (У, В) называют такое взаимно-однозначное
отображение у. X —* Y, что j(A) — В и j~x{B) = Л.
(И) Измеримое пространство (S,B) называется
стандартным, если оно изоморфно пространству (М, В{М)) для
некоторого борелевского множества М в польском пространстве.
Иногда стандартные измеримые пространства называют
стандартными борелевскими пространствами. Ниже мы увидим, что
имеются лишь два неизоморфных класса стандартных
измеримых пространств бесконечной мощности: счетные и несчетные.
Приведем без доказательства один интересный результат из
книги Куратовский [181, §35, п. VII].
6.2.11. Теорема. Пусть X и Y — польские пространства,
AcX,BcYuf: А -* В — такое борелевское
взаимнооднозначное отображение, что /-1 является борелевским при
наделении А и В индуцированными борелевскими а-алгебрами.
Тогда найдутся такие А* € В(Х) и В* € B{Y) и борелевский
изоморфизм /*: А* -*¦ В*, что А С А*, В С В* и /*Ц = /•

6.3. Бэровские множества
23
6.3. Бэровские множества
Другая важная а-алгебра порождается всеми множествами
вида
{хеХ: Дх)>0},
где / — непрерывная функция на X. Эта с-алгебра называется
бэровской и обозначается через Ва{Х). Ясно, что это —
наименьшая cr-алгебра, относительно которой все непрерывные функции
на X измеримы. Эта же <т-алгебра порождается классом всех
ограниченных непрерывных функций.
Бэровские множества обязаны своим названием
классическим работам Р. Бэра [59], [426] по теории функций.
Множества вида {х € X: f(x) > 0}, где / G С(Х),
называются функционально открытыми, а их дополнения —
функционально замкнутыми.
Так как в метрическом пространстве любое замкнутое
множество является множеством нулей непрерывной функции, то в
нем борелевская и бэровская ст-алгебры совпадают. Ниже
обсуждаются другие случаи совпадения и приводятся примеры
несовпадения. Следующая лемма очевидна из того факта, что всякое
замкнутое множество на прямой имеет вид /_1@), / € С(ГО.Х).
6.3.1. Лемма. Множество U функционально открыто
тогда и только тогда, когда оно имеет вид U — f~1(W), где tp €
С(Х) и W С Ю.1 открыто, а множество Z функционально
замкнуто в точности тогда, когда оно имеет вид Z = ^-1@), где
ф Е С(Х).
6.3.2. Лемма. Пусть Z\ и Z2 — непересекающиеся
функционально замкнутые множества в пространстве X. Тогда
найдется такая функция f е Сь(Х) со значениями в [0,1], что
zl = r1@),z2 = r\i).
Доказательство. Множества Z» имеют вид Zi = фТ'1@),
где ipi € СЪ{Х) и0<^<1. Положим / = ф]_/{фг + ф2). ?
6.3.3. Лемма. Каждое бэровское множество определяется
некоторым счетным набором функций, т.е. имеет вид
{х: (h(x),f2(x),...,fn(x),...)eB}, F.3.1)
где ft — непрерывные функции и В е В(Ш.°°).

24 Глава 6. Борелевские, бэровские и суслинские множества
Доказательство. Сначала покажем, что множества вида
F.3.1) являются бэровскими. Это верно, если В замкнуто,
поскольку оно имеет вид В = ф~г@) для некоторой непрерывной
функции ф на Ш°° и функция х н-> ^( (/п(^))^=1)
непрерывна. Как легко проверить, для фиксированной последовательности
{/„} класс Во всех таких множеств В € В(Ш,°°), что
{х: (/1(х),/2{х),...,Ш,...)ев}еВа(Х),
является ст-алгеброй. Поэтому он содержит B(JR°°), а значит, и
совпадает с ^(Ш.00). С другой стороны, класс ? всех бэровских
множеств Е, представимых в виде F.3.1), содержит множества
вида {/ > 0}, / € С{Х). Кроме того, этот класс является о-
алгеброй. В самом деле, дополнение множества Е € ? имеет вид
F.3.1) с теми же /* и множеством Ш.°°\В вместо В. Осталось
заметить, что если Ej 6 ? представлены с помощью множеств
Bj € В(Ш,°°) и функций /_,)П, то Е = П^=1 Ej также записывается
в виде F.3.1). Для этого надо представить Ш,°° как свою счетную
степень и положить В = ГШ=1 Bj ¦ ?
Следующий результат вытекает непосредственно из
определений. Тем не менее, он часто полезен в приложениях, поскольку
совершенно нормальные пространства образуют достаточно
широкий класс. Некоторые примеры даны ниже.
6.3.4. Предложение. Пусть X — совершенно нормальное
пространство. Тогда В(Х) = Ва(Х).
6.3.5. Следствие. Равенство В(Х) = Ва(Х) справедливо в
каждом из следующих случаев:
(i) X — метрическое пространство,
(ii) X — такое регулярное пространство, что для каждого
семейства его открытых подмножеств можно выбрать
счетное подсемейство с тем же объединением (т.е. X является
наследственно линделефовым).
Доказательство. Из обоих условий вытекает совершенная
нормальность X (см. Энгелькинг [373, §3.8]). ?
Следующая лемма показывает, что если в лемме 6.2.5
вместо борелевских множеств рассматривать бэровские, то никаких
ограничений на пространство не требуется.

6.4. Произведения топологических пространств 25
6.3.6. Лемма. Пусть (U,A) — измеримое пространство и
Т — топологическое пространство. Отображение /: П —> Г
измеримо относительно о-алгебр А и Ва(Т) в точности
тогда, когда для всякой непрерывной вещественной функции ф на
Т функция ф о f измерима относительно А.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Необходимость указанного условия
очевидна, а его достаточность проверяется точно так же, как и в
лемме 6.2.5: класс ? всех множеств В Е Ва(Т) с f~l(B) Е А
является G-алгеброй и содержит множества ^_1@), ф Е С(Т). О
6.3.7. Следствие. Пусть (?1,А) — измеримое
пространство, Т — топологическое пространство и пусть отображение
f:(l—+T есть поточечный предел последовательности
измеримых отображений fn: (?2, А) —* (Г, Ва(Т)). Тогда f измеримо
относительно А и Ва(Т).
6.4. Произведения топологических пространств
Пусть Г — непустое множество индексов и Xt, t Е Г, —
семейство непустых пространств, наделенных ст-алгебрами At-
Напомним, что произведением семейства {Xt}teT называется
совокупность всех семейств вида х = {xt, t Е Т}, где xt € Xt при
каждом t Е Т. Это произведение обозначается через YlteT Xt-
В гл. 3 уже обсуждалась сг-алгебра А = (%)t?T-At,
порожденная всевозможными конечными произведениями множеств из At-
Этот параграф посвящен ситуации, когда все Xt —
топологические пространства, a At — борелевские или бэровские сг-алгебры.
Пространство X = П<ег Xt наделяется топологией произведения,
т.е. открытыми считаются всевозможные объединения базисных
открытых множеств вида Utlt...,tn — {х Е X: ж(^) 6 Utf}, где
Uti — открытые множества в Х^. Основной вопрос, который при
этом возникает, — связь (&teTB(Xt) с В(Х) и связь ®t€TBa(Xt)
с Ва(Х).
6.4.1. Лемма. Пусть Вп — борелевские множества в
пространствах Хп, п Е IN. Тогда В = Yl^Li Вп — борелевское
множество в X = Пп^1 Вп с топологией произведения. Кроме того,
справедливо равенство &%Li В(Хп) С В(Х).
Доказательство. Так как В — flfcLi (-^fe х Iln^fc Хп) ¦> то Д°~
статочно проверить, что Bx]\^L2 Хп Е В(Х) для всех В Е В(Х\).

26 Глава 6- Борелевские, бэровские и суслинские множества
Это верно для открытых В. Поскольку класс ? всех В € В(Х\),
для которых BxYl^L%Xn € В(Х), является ст-алгеброй, то он
совпадает с В(Х\). Второе утверждение следует из первого. ?
6.4.2. Лемма, (i) Пусть X,Y — хаусдорфовы
пространства, причем Y имеет счетную базу (например, является сепара-
бельным метрическим пространством). Тогда справедливо
равенство B(XxY) = B(X)®B(Y).
(И) Пусть Хп, n € IN, — такие хаусдорфовы пространства,
что Пп^=1 -^п наследственно линделефово (например,
пространства со счетными базами). Тогда В{Щ=ХХП) =®~1В(ЛП).
(Ш) Если Хп компактны, то Ba(rj^=i -^n) = ®nLi Ва(Хп).
Доказательство, (i) Согласно предыдущей лемме
достаточно показать, что всякое открытое в XxY множество U
входит в B(X)ig>B(Y). Пусть {Vn} — счетная база У. Тогда U
можно представить в виде объединения множеств UaxVn, где
множества Uа открыты в X. Для фиксированного п обозначим
через Wn объединение всех множеств Ua с UaxVn С U. Тогда
U = U?iW» х Vn) € B(X)®B(Y).
(ii) Достаточно заметить, что произвольное открытое
множество в Ilnii Хп можно представить в виде счетного объединения
конечных произведений открытых множеств в сомножителях,
записав его как объединение элементов базы.
(Ш) Следует из теоремы Вейерштрасса, по которой
множество конечных сумм произведений функций из С(Хп) плотно в
с(П~=1*п). ?
Предыдущая лемма не переносится на произвольные
пространства (даже метрические).
6.4.3. Пример. Пусть X — хаусдорфово пространство более
чем континуальной мощности. Тогда В(ХхХ) ф В(Х)®В(Х).
Доказательство. Покажем, что диагональ
Д:={(х,х): хеХ},
которая замкнута вХхХ, не входит в В(Х)<8>В(Х). Для этого
обозначим через ? класс всех множеств Е С ХхХ, таких, что
Е и его дополнение представимы в виде объединения не более
чем континуального семейства прямоугольников АхВ, А, В С X.

6.4. Произведения топологических пространств 27
По определению, ? содержит все прямоугольники. Кроме того,
8 — а-алгебра. Действительно, класс ? замкнут относительно
дополнений. Кроме, он допускает счетные объединения, ибо ес-
ли Еп € ?, то дополнение к U^Li Еп можно представить в
виде не более чем континуального объединения прямоугольников.
В самом деле, если (ХхХ)\Еп = \JaEnjQ, где Еп,а —
прямоугольники и а принадлежит некоторому не более чем
континуальному множеству индексов А, то дополнение к Un=i ^п есть
fX°=i Ua Еп,а = U(Qn)eA°° %). гДе D{an) = ГЕ?=1 Еп,ап -
прямоугольники, а множество А°° не более чем континуально.
Следовательно, ? содержит <т-алгебру, порожденную прямоугольниками.
Ясно, что Д не входит в ?. ?
Напомним, что график отображения f:X—>Y есть
подмножество XxY, заданное равенством {(ж,/(ж)), ж € X}.
6.4.4. Теорема. Пусть (Х,А), {У, В) и (Z,?) — измеримые
пространства, a f: (X, А) —> (Z, ?) ид: (У, В) —> (Z, ?) —
измеримые отображения. Предположим, что
Az:={(z,z): zeZ}e?®?.
Тогда {(ж,у) € XxY: /(ж) = д(у)} € А®В. В частности, график
отображения f входит в А®?~.
Доказательство. Отображение (/,#): XxY -> ZxZ
измеримо относительно пары ст-алгебр А®В и ?®?. По условию, в
А®В входит прообраз Д^ при этом отображении, что дает
первое утверждение. Второе утверждение вытекает из первого, если
положить (Y, В) = (Z, ?) и д(у) = у. ?
6.4.5. Следствие. Пусть X и Y — такие топологические
пространства, что Ду := {(у,у): у € Y} € B(Y)<g)B(Y). Тогда
график всякого борелевского отображения f:X—*Y входит в
В{Х) <g> B(Y). В частности, так обстоит дело, если Y xY —
наследственно линделефово пространство.
Доказательство. Первое утверждение вытекает из
доказанной выше теоремы, а второе следует из того, что дополнение
к диагонали Y2 является открытым множеством, представимым
в виде объединения открытых прямоугольников U х V. Остается
выбрать из этих прямоугольников конечный или счетный набор с
тем же объединением, откуда следует, что Ay € B(Y)<g>B(Y). О

28 Глава 6. Борелевские, бэровские и суслинские множества
6.4.6. Лемма. Пусть (Х,В) — измеримое пространство, а
функция f:Xx Ш,1 —> Ш.1 удовлетворяет следующим условиям:
при каждом фиксированном t € И1 функция х ь-> /(ж, t)
измерима относительно В, а при каждом фиксированном х ? X
функция t н-> f(x,t) непрерывна справа. Тогда функция / измерима
относительно B®B(JRl). То же самое верно для непрерывности
слева, а также для отображений со значениями в сепарабель-
ном метрическом пространстве.
Доказательство. Можно считать, что 0 ^ / ^ 1. Для
каждого натурального п разделим отрезок [0,1] на 2п промежутков
равной длины точками k2~n. При t € [m+k2~n, т+(к+1J~п), где
meZ, fc = 0,...,2n-l, положим fn(x,t) = f(x,m + (к + lJ_n).
Заметим, что lim fn{x,t) = f(x,t) для всех (ж,*).
Действительно, для заданного е > 0 по условию найдется такое 6 > О, что
\f(x,t) - f(x,s)\ < е для всех s € [t,t + 6). Пусть 2_п < 8. Тогда
существует такое к, что k2~n ^ t < (к + lJ~n < t + S. Поэтому
\f(x,t) — fn(x,t)\ < е. Остается заметить, что функции /п
измеримы относительно В®В(Ш}) в силу измеримости / по ж. В случае
непрерывности слева рассуждения аналогичны. С очевидными
изменениями доказательство остается в силе и для отображений
со значениями в сепарабельном метрическом пространстве (см.
следствие 6.2.6). ?
Отметим, что функция двух переменных, являющаяся боре-
левской по каждому переменному в отдельности, может не быть
борелевской по совокупности переменных (см. задачу 6.10.41).
Дополнительную информацию можно найти в §6.10(i).
6.5. Счетно-порожденные <т-алгебры
6.5.1. Определение. Пусть ? — некоторая а-алгебра
подмножеств пространства X. (i) ? называется счетно-порож-
денной или сепарабельной, если она порождается некоторым не
более чем счетным набором множеств Еп, т.е. ? = а({Еп}).
(И) ? называется счетно-разделяющей, если существует
такой не более чем счетный набор множеств Еп € ?, что для
любых двух различных точек ж, у € Е найдется такое Еп, что
либо х е Еп и у 0 Еп, либо у € Еп и х ? Еп.

6.5. Счетно-порожденные <7-алгебры 29
6.5.2. Пример. Борелевская сг-алгебра сепарабельного
метрического пространства является сепарабельной и счетно-разде-
ляющей. Действительно, счетная база открытых множеств
порождает борелевскую сг-алгебру vl разделяет точки.
Ясно, что сг-алгебра сг({/п}), порожденная счетным набором
числовых функций fn на пространстве X, является счетно-по-
рожденной, ибо она порождается и множествами {/п < rjfc}, где
{г*;} — все рациональные числа.
При рассмотрении счетно-разделяющих <т-алгебр бывает
полезна следующая лемма.
6.5.3. Лемма. Пусть Г — некоторое семейство функций на
пространстве X. Тогда порожденная им а-алгебра <т(Г)
разделяет точки в точности в том случае, когда Г разделяет точки.
Доказательство. Если Г разделяет точки, то и множества
из сг(Г) вида /_1(а, Ь), f € Г, а, Ь € И1, разделяют точки.
Предположим теперь, что с(Г) разделяет точки, а класс Г не разделяет,
т.е. существуют две различные точки ж и у с f(x) = f(y) для
всех / € Г. Рассмотрим класс ? всех таких множеств Е С X, что
либо {х, у} е Е, либо {х, у} Е Х\Е. Непосредственно
проверяется, что ? — <7-алгебра. В силу нашего предположения ? содержит
все множества {/<с},/€Г,с€ 1R1, а значит, и порожденную
ими сг-алгебру. Это приводит к противоречию, ибо сг(Г) разделяет
точки х и у. ?
6.5.4. Предложение. Пусть Т — некоторый набор
непрерывных числовых функций, разделяющих точки
топологического пространства X, причем ХхХ наследственно линделефово.
Тогда Т имеет конечное или счетное подсемейство, также
разделяющее точки X. В частности, это выполняется, если X —
сепарабельное метрическое пространство.
Доказательство. Для каждого / € Т положим U{f) =
{(х,у) € ХхХ: f(x) Ф /(у)}- Обозначим через С дополнение
диагонали пространства ХхХ. Множества U(f) образуют
открытое покрытие С. В силу нашего условия относительно ХхХ
можно найти конечное или счетное подсемейство множеств U(fn),
покрывающих С. Ясно, что набор функций /п разделяет точки
в X. Фактически была использована линделефовость С. ?
6.5.5. Теорема. Пусть (Е,?) — измеримое пространство.
Тогда ? является счетно-порожденной в том и только том

30 Глава 6. Борелевские, бэровские и суслинские множества
случае, когда существует такая ?-измеримая функция f:E—*
[0,1], что ? = {f~HB), В € В([0,1])}.
Доказательство. Для всякой функции /: Е —» [0,1]
совокупность множеств f~l(B), В € В([0,1]), является счетно-порож-
денной ст-алгеброй. В качестве счетного набора порождающих
множеств можно взять /_1([0,гп]), где {гп} — все рациональные
числа из [0,1]. Обратно, если ? = а({Ап}), то положим
Измеримость / очевидна. Поскольку прообразы борелевских
множеств образуют <т-алгебру, то для доказательства ее совпадения
с ? достаточно проверить, что она содержит все множества Ап.
Последнее легко усмотреть из равенств А\ = /-1([1/3,2/3]), Ач =
/_1([1/9,2/9] U [1/3 + 1/9,1/3 + 2/9]) и т.д. ?
6.5.6. Следствие. Пусть (X, А, /х) — пространство с мерой,
(Е,?) — пространство со счетно-порожденной а-алгеброй ? и
F: X —* Е — ^-измеримое отображение, т.е. F-1(?) С Ац.
Тогда существует такое отображение Fo: X —> Е, что Fo(x) =
F(x) для ц-п.в. х и F-1(?) С А, т.е. Fq (А,?)-измеримо.
Доказательство. В силу доказанной выше теоремы ? =
/~1(В(Ш})) для некоторой функции / на Е. Функция / о F
измерима относительно ц и потому обладает Д-измеримой
модификацией д. Существует множество Z € А нулевой /х-меры, вне
которого д совпадает с / о F. Положим Fo(x) = F(x) при х & Z и
Fq(x) = е при х €Е Z, где е — какой-нибудь элемент Е. Ясно, что
F0 = F fj,-n.B. Пусть Е е ?. Тогда Е = /-1(#)> где В € ^(IR1).
Поскольку F0\x\z = F\x\z и Fo\z = е, то получаем
F^(E) = (FQ-\E) П Z) U (F»l(E) П (X\Z))
= (F»\E П {e}) nZ)u (g-l(B) П (X\Z)).
Остается заметить, что (Fq г(Е П {е}) П Z) либо пусто, либо
совпадает с Z. D
6.5.7. Теорема. Пусть (Е,?) — измеримое пространство.
Тогда следующие условия равносильны:
(i) ? — счетно-разделяющая а-алгебра;

'6.5. Счетно-порожденные <т-алгебры 31
--¦ (ii) существует инъективная функция /: Е —> [О,1], кото-
роя измерима относительно ?;
(ш) АЕ:={{х,х): х € Е} € ?®?;
(iv) существует такая сепарабельная а-алгебра ?q С ?, что
все одноточечные множества входят в ?q.
Доказательство. Если выполнено (i) и {Еп} с ? —
разделяющее точки счетное семейство, то функция / = X) 3~п/еп
п=1
является 5-измеримой и, как легко видеть, инъективной. Чтобы
вывести из свойства (ii) свойство (Ш), заметим, что
As = {(*,») 6 ExE: f(x) = /(у)} =g-1(A[o,i]I
где д(х,у) = (/(ж), f(y)),g: Е2 —> [О, I]2. Поскольку отображение
g измеримо относительно ?(&? и борелевской ©--алгебры
квадрата, а диагональ является борелевским множеством, то Д# €
?®?. Пусть теперь выполнено (Ш). Заметим, что всякое
множество А € ?%? содержится в ст-алгебре, порожденной
множествами An х Ak для некоторого конечного или счетного набора
множеств Ап € ? (задача 1.12.54). Найдем такой набор {Ап}
для А = Ае- Осталось заметить, что для каждого х € Е имеем
{х} = Ае П {х} х Е е сг({Ап}). Действительно, класс всех
множеств В € ?®?, для которых ВГ\{х}хЕ € o"({J4n}), является о-
алгеброй. Кроме того, он содержит все множества АпхАк, ибо для
них сечения в точке х либо пусты, либо равны Ак. Таким образом,
упомянутым свойством обладают все множества из о({АпхАк}),
а значит, и Ае- Наконец, (i) следует из (iv) очевидным образом:
согласно лемме 6.5.3 всякий счетный набор множеств,
порождающий ?q, должен разделять точки Е. О
В следующей теореме описан важный класс измеримых
пространств, обладающих обоими свойствами счетности,
рассмотренными выше.
6.5.8. Теорема. Пусть (Е,?) — измеримое пространство.
Тогда ? является счетно-порожденной и счетно-разделяющей в
том и только том случае, когда пространство (Е, ?) изоморфно
некоторому подмножеству М в [0,1] с борелевской о-алгеброй,
т.е. существует такое {?, В(М))-измеримое
взаимно-однозначное отображение /: Е —> М, что
? = {ГЧв),веВ(м)}.

32 Глава 6. Борелевские, бэровские и суслинские множества
Доказательство. Ввиду примера 6.5.2 указанное условие
достаточно. Предположим, что ? является счетно-порожденной
и счетно-разделяющей. Возьмем счетный набор множеств Ап,
разделяющих точки и порождающих ?. Тогда рассмотренная в
доказательстве теоремы 6.5.5 функция / инъективна. Положим
М = f(E). Ясно, что / — изоморфизм измеримых пространств
(Е,е)я(м,в(м)). а
Сепарабельная ст-алгебра ? может, конечно, не разделять
точки, но если она их разделяет, то по лемме 6.5.3 является счетно-
разделяющей. С другой стороны, счетно-разделяющая сг-алгебра
не обязана быть счетно-порожденной. Рассмотрим
содержательный пример такого рода.
6.5.9. Пример. Пусть ? — какая-нибудь ст-алгебра
подмножеств отрезка [0,1], содержащая все суслинские множества и
входящая в ст-алгёбру С всех измеримых по Лебегу множеству
(например, можно взять ? = С). Тогда ? не является
счетно-порожденной, хотя содержит все борелевские множества, в частности,
является счетно-разделяющей.
Доказательство. Предположим противное. По
доказанному выше найдется такая 5-измеримая функция /: Е —> [0,1], что
? = {/_1(Б), В € В([0,1])}. Поскольку ? С С, то функция /
измерима по Лебегу. По теореме Лузина найдется компакт К С [0,1]
положительной меры Лебега, сужение на который функции /
непрерывно. Тогда всякое множество Е С К, входящее в ?,
является борелевским, ибо оно имеет вид Е — f~x{B П f(K)) для
некоторого борелевского множества В С [0,1], где f{K) —
компакт. Это ведет к противоречию, поскольку ниже будет показано,
что всякий компакт положительной меры имеет неборелевские
суслинские подмножества. ?
6.6. Суслинские множества и их отделимость
В этом параграфе мы начинаем изучение суслинских
множеств в топологических пространствах. Мы обсудим ряд общих
свойств суслинских множеств, затем в следующем параграфе
остановимся на случае, когда объемлющее пространство — само су-
слинское (например, полное сепарабельное метрическое), после
чего вернемся к общим пространствам.

6.6. Сусдинские множества и их отделимость 33
6.6.1. Определение. Множество в хаусдорфовом
пространстве называется суслинским, если оно является образом
некоторого полного сепарабельного метрического пространства
при непрерывном отображении. Суслинским пространством
называется хаусдорфово пространство, которое является
суслинским множеством. Считаем суслинским также 0.
Суслинские множества называют также аналитическими
множествами. Дополнение суслинского множества в суслинском
пространстве называется косуслинским или коаналитическим
множеством.
Отметим еще, что образы польских пространств при
непрерывных взаимно-однозначных отображениях в хаусдорфовы
пространства называют лузинскими пространствами. Из
сказанного ниже будет ясно, что не всякое суслинское пространство
является лузинским.
Из теоремы 6.1.13 вытекает следующая характеризация.
6.6.2. Лемма. Непустое множество в хаусдорфовом
пространстве является суслинским в точности тогда, когда его
можно представить как образ пространства IN00 при
непрерывном отображении.
6.6.3. Предложение. Всякое непустое суслинское
множество есть образ пространства TZ иррациональных чисел
интервала при некотором непрерывном отображении, а также образ
(О,1) при некотором борелевском отображении.
Доказательство. Первое утверждение сразу вытекает из
теоремы 6.1.6, а второе является очевидным следствием первого,
поскольку V, можно представить как образ @,1) при борелевском
отображении, совпадающем с тождественным на V, и
переводящем все рациональные числа в у/Т/2. ?
6.6.4. Лемма. Всякое суслинское пространство является
наследственно линделефовым.
Доказательство. Пусть X — суслинское пространство. По
условию X является образом сепарабельного метрического
пространства М при непрерывном отображении F. Тогда для любых
открытых множеств Ua С X открытые в М множества F~1{JJ0^)
покрывают множество F~1(\JaUa) и потому из них можно
выбрать конечное или счетное подпокрытие. Итак, X —
наследственно линделефово. П

34 Глава 6. Борелевские, бэровские и суслинские множества
6.6.5. Лемма, (i) Образ суслинского множества при
непрерывном отображении в хаусдорфово пространство является су-
слинским множеством.
(ii) Всякое открытое или замкнутое подмножество
суслинского пространства является суслинским множеством.
(ш) Если Ап — суслинское множество в пространстве Хп
для каждого п € М, то П^1-^п — суслинское множество в
пространстве Y\n<L1Xn.
Доказательство. Утверждение (i) очевидно.
(ii) Пусть X = f(E), где /: Е —> X — непрерывное
отображение и Е — полное сепарабельное метрическое пространство.
Если А С X — замкнутое множество, то Eq = f~1(A) —
замкнутое подпространство в Е и потому также является полным се-
парабельным метрическим пространством. Если же А открыто,
то Eq = f~x(A) — открытое множество. Согласно примеру 6.1.11
пространство Eq гомеоморфно полному сепарабельному
метрическому пространству Е\, т.е. А является непрерывным образом Е\.
(Ш) Если Ап = fn(En), где Еп — полные сепарабельные
метрические пространства и /п: Еп —> Хп — непрерывные
отображения, то Е = Yln°=iEn — полное сепарабельное метрическое
пространство и / = (/ь/г, •••): Е ~* FKLi %п ~~ непрерывное
отображение. ?
Докажем теперь, что суслинские множества выдерживают А-
операцию, в частности, допускают счетные объединения и
счетные пересечения. Однако, как будет показано ниже, дополнение
суслинского множества даже в отрезке [0,1] может не быть
суслинским.
6.6.6. Теорема. Пусть X — хаусдорфово пространство и
Sx — класс всех суслинских множеств в X. Тогда класс Sx
замкнут относительно А-операции. В частности, если Ап —
суслинские множества, то таковы и HJJLi -^n и 1X5=1 А»-
Доказательство. 1) Сначала покажем, что счетные
объединения и счетные пересечения суслинских множеств
остаются суслинскими. Предположим, что Ап — суслинские множества
в X. Тогда существуют сепарабельные метрические пространства
Еп и непрерывные отображения fn: Еп —> X с Ап — fn{En).
Объединение Е пространств Еп становится полным сепарабель-
ным метрическим пространством, если расстояния между
точками разных пространств Еп и Ет сделать равным 1, а между

6.6. Суслинские множества и их отделимость
точками в каждом из них оставить без изменения. Зададим
отображение f:E-+X так: /\еп = fn- Тогда / непрерывно и f(E) =
\J%Li Ап. Согласно доказанному ранее, множество А = П^=1 Ап
является суслинским в пространстве Х°°. Пусть
D = {(хп) € А: хп = xi, Vn ^ l}.
Тогда D — замкнутое и потому суслинское множество в А.
Положим д((хп)) = xi при (хп) € D. Тогда д непрерывно и д(А) —
2) Пусть А = (А(пг,..., пк)) — таблица из суслинских
множеств. Обозначим через N(n\,... ,пк) множество в 1№°,
состоящее из всех таких v = (щ), что ui = п\, ..., vk = пк. Заметим,
что справедливо равенство
С:= (J pA(ni,...,nfc)xJV(ni,...,nfc)
(nOelN00 *=i
= П (J A(n1,...,nk)xN(n1,...,nk).
fc=1(m nfc)e!Nfc
Действительно, точка (х, v) входит в левую часть доказываемого
равенства в точности тогда, когда
(ж,г/) б Р| A{yx,...,vk)xN{vu...,vk).
Поэтому она входит и в правую часть. Если же она входит в
правую часть, то для каждого к имеем х € A(ui,...,vk), откуда
(z,v)€OkxLlA(vl,...,vk)xN(v1,...,vk).
По доказанному в 1), множество С является суслинским в
пространстве XxJ№°. Пусть пх- XxJ№° —» X — естественная
проекция. Осталось проверить, что
тгх(С) = 5(А)= (J р|Л(щ,...,п*).
В самом деле, достаточно проверить, что
7rx(n>1(ni'---'n*)xAr(nb---.nfc)) = Г)Л(,-..,п*).

36 Глава 6. Борелевские, бэровские и суслинские множества
Левая часть этого соотношения входит в правую очевидным
образом. Если х входит в правую часть, то для каждого к точка
х является проекцией некоторой пары (х,ик) из A(ni,...,nk)x
N(n\,..., щ). Это значит, что i/* = тц при г ^ к. Тогда х есть
проекция пары (х, и), где и = (п\, пг,...). ?
6.6.7. Следствие. Всякое борелевское подмножество сус-
линского пространства является суслинским пространством.
Доказательство. Обозначим через ? класс всех таких бо-
релевских множеств В в суслинском пространстве X, что В и
Х\В — суслинские множества. Как мы знаем, класс ?
содержит все замкнутые множества. По построению он замкнут
относительно взятия дополнения. Наконец, из доказанной выше
теоремы следует, что этот класс допускает счетные пересечения.
Следовательно, ? — сг-алгебра, содержащая все замкнутые
множества, т.е. ? = В(Х). ?
6.6.8. Теорема. Всякое суслинское множество в хаусдор-
фовом топологическом пространстве может быть получено из
замкнутых множеств с помощью А-операции.
Доказательство. Пусть множество А — образ
пространства ]N°° при непрерывном отображении /. Для каждой конечной
последовательности п\,..., щ обозначим через Fni^_nie
замыкание /(СПи...,Пк), где
Cni,...,nfc = {(mi) eJ№°: (тъ...,тк) = (щ,... ,nfc)|.
Покажем, что А = U(n<)el№° П^г-^!,...,™*- Для этого
достаточно установить, что /((щ)) = flbLi Fnx,...,nk Для всех (щ) € 1№°.
Предположим, что это не так для некоторого элемента (щ) € 1№°.
Тогда найдется точка х € Г\Т=1^п1,...,пк, отличная от /((щ)). В
силу хаусдорфовости X точки х и /((щ)) обладают
непересекающимися окрестностями. Поэтому существует такое открытое
множество U, что f((m)) cU CU п. х &.U. В силу
непрерывности / при достаточно большом к имеем /(СПь...)Пк) С U, откуда
х G /(C„b...infc) С U — противоречие. ?
Следующая теорема об отделении играет важнейшую роль в
теории суслинских множеств.

6.6. Суслинские множества и их отделимость 37
6.6.9. Теорема. Пусть Ait г G IN, — попарно
непересекающиеся суслинские множества в хаусдорфовом пространстве X.
Тогда существуют такие попарно непересекающиеся борелевс-
кие множества Bi, что А{ С В{ при всех г € IN.
Доказательство. 1) Сначала сделаем несколько общих
замечаний. Будем называть дизъюнктные множества М*
борелевски отделимыми, если найдутся дизъюнктные борелевские
множества Bi с Mi С В^ Если для каждого г € IN непересекающиеся
множества MhMj борелевски отделимы, то таковы и
множества М и UXi-ЭД- Действительно, если В^С{ е В(Х), М С Bi,
Mi С Q, dC\Bi = 0, то В := fl?i BiH С = |j?i С» являются
непересекающимися борелевскими множествами, причем М С В,
(J?^j Mi С С. Аналогичным образом проверяется, что если для
каждых i,j € IN даны непересекающиеся борелевски отделимые
множества Mi и Pj, то множества U?i % и Ujii Pj борелевски
отделимы. Кроме того, борелевски отделимы p|?i М и U?i Pi-
2) Рассмотрим теперь случай, когда имеется лишь два
непересекающихся суслинских множества. Из пункта 1) доказательства
теоремы 6.6.6 очевидно, что это сводится к следующей ситуации:
есть замкнутые множества С и D в полном сепарабельном
метрическом пространстве Е и непрерывное отображение f:E—*X
с f(C)Df(D) = 0. Предположим, что /(С) и f(D) нельзя
разделить непересекающимися борелевскими множествами.
Представим Е в виде Е = USi -^(Oi гДе ^(*) ~~ замкнутые множества
диаметра меньше 1. Из сказанного выше следует, что для
некоторых n\,mi € IN множества f(CC\E{n\)) и f(DC\E(m\)) не
являются борелевски отделимыми. По индукции для каждого к
строим замкнутые множества Е(п\,...,Пк) и E(mi,...,тк)
диаметра меньше l/k в Е, такие, что множества /(СПЕ(п\,...,Пк)) и
f{Dr\E(rrii,... ,т,к)) не являются борелевски отделимыми,
причем E(pi, ...,рк) = \J^=1 E(pi,... ,Pk,j), где для всех р{ и j
множества E(j>i,... ,Pk,j) замкнуты и имеют диаметр менее (fc-fl)-1.
В силу полноты Е существуют такие точки a,b е Е, что для
всякого е > О при всех достаточно больших к множества С П
Е{п\,..., Пк) и D П Е{т\,..., т&) принадлежат е-окрестностям
точек а и 6 соответственно, причем а е C,b € D ввиду
замкнутости С W.D. Тогда в силу непрерьшности / при достаточно больших
к множества f(Cf~)E(ni,..., щ)) и f(DnE(mi,..., Шк))
попадают в непересекающиеся открытые окрестности точек /(а) и f(b)

38 Глава 6. Борелевские, бэровские и суслинские множества
(которые различны, ибо /(С) П f(JD) = 0), т.е. оказываются бо-
релевски отделимыми. Полученное противоречие доказывает
теорему в рассмотренном частном случае.
3) Рассмотрим общий случай, когда имеется счетное
множество дизъюнктных суслинских множеств Ai. По доказанному
существуют дизъюнктные борелевские множества Bi и С\ с А\ с
В\, Ц^2-^* с ^i- Далее» существуют дизъюнктные борелевские
множества В2 и С2 с А2 С В2 и \J?l3Ai с ^2- Полагаем В2 =
В2 Г\ С\ та. С2 = С2 С\ С\. Продолжая этот процесс до индукции,
получаем нужные множества В{. ?
6.6.10. Следствие. Предположим, что суслинское
множество А в хаусдорфовом пространстве X имеет суслинское
дополнение. Тогда А — борелевское множество.
Доказательство. Пусть В,С е В(Х), В П С = 0, причем
AG В и Х\А С С. Тогда А = Въ Х\А = С. ?
6.7. Множества в суслинских пространствах
Этот параграф посвящен суслинским множествам в
суслинских пространствах. В частности, сказанное ниже относится к
полным сепарабельным метрическим пространствам и их боре-
левским подмножествам. Помимо нескольких результатов
общего характера будет построен пример неборелевского суслинского
множества.
6.7.1. Лемма. Пусть X и Y — суслинские пространства.
Тогда график всякого борелевского отображения /: X —> Y
является борелевским, а следовательно, и суслинским,
подмножеством суслинского пространства XxY.
Доказательство. Утверждение вытекает непосредственно
из следствия 6.4.5 и леммы 6.6.4. ?
6.7.2. Теорема. Пусть X — суслинское (например, полное
сепарабельное метрическое) пространство и А — его
подмножество. Тогда следующие утверждения равносильны:
(i) А — суслинское множество;
(ii) А может бить получено в результате применения А-
операции к классу замкнутых множеств в X;
(Hi) А является проекцией замкнутого множества в
пространстве X х 1№°;
(iv) А является проекцией борелевского множества в ХхГО.1.

QtT. Множества в суслинских пространствах
Доказательство. Равносильность (i) и (И) следует из
теорем 6.6.8 и 6.6.6 с учетом того, что все замкнутые множества в
еуслинском пространстве являются суслинскими. Поскольку
пространства Xх 1№° и X х ГО,1 — суслинские, то по следствию 6.6.7
борелевские множества в них — суслинские. Поэтому
утверждения (Ш) и (iv) влекут (i). Чтобы из (i) вывести (ш), заметим, что
множество А является образом 1№° при некотором непрерывном
отображении /: 1№° —> X и потому совпадает с проекцией
множества Г = I {у, f(u)) : и € 1№° | на X. При этом Г — замкнутое
множество в еуслинском пространстве 1№°хХ. Наконец,
проверим, что из утверждения (i) следует утверждение (iv). Для этого
представим А как образ ГО.1 при борелевском отображении /. Это
можно сделать с помощью предложения 6.6.3. Остается заметить,
что график / — борелевское подмножество в ГО,1 х X, а А — его
проекция на X. О
6.7.3. Теорема. Пусть X uY — суслинские пространства
в /: X —> Y — борелевское отображение. Тогда для всех
суслинских множеств А С X и С С Y множества f(A) и /-1(С) —
ёЦблинские. В частности, это верно, если f непрерывно.
:,,... Доказательство. По лемме 6.7.1 график отображения /\а
является борелевским множеством в еуслинском пространстве Ах
Y. Следовательно, этот график — суслинское множество. Таким
Образом, его проекция на Y, равная f(A), — также суслинское
Йможество. Аналогичным образом, /_1(С) является проекцией
На X множества D = Г П (XхС), где Г — график / в
пространстве X х Y. Остается заметить, что D — суслинское множество,
ибо таковы Г и X х С. О
6.7.4. Теорема. Если X — суслинское пространство, то
существуют такие суслинское подмножество S отрезка [0,1] и
взаимно-однозначное борелевское отображение h пространства
X naS, что h является изоморфизмом измеримых пространств
(X,B(X))u(S,B(S)).
Доказательство. Как мы знаем, пространство ХхХ —
суслинское. По лемме 6.6.4 оно наследственно линделефово.
Согласно следствию 6.4.5 диагональ ХхХ входит в В(Х)®В(Х), откуда
по теореме 6.5.7 следует существование инъективной борелевской
функции h: X —> [0,1]. Положим S = f{X). По теореме 6.7.3
функция h отображает суслинские множества из X в суслинские

40 Глава 6. Борелевские, бэровские и суслинские множества
подмножества отрезка. В частности, S — суслинское множество.
Функция h осуществляет взаимно-однозначное отображение X
и S, причем h~l(B) € В(Х) для всех В € B(S). Остается
заметить, что h(E) € B(S) для всех Е б В{Х). Действительно, h{E)
и S\h(E) = h(X\E) — суслинские множества. По теореме 6.6.10
множество h(E) — борелевское. ?
6.7.5. Следствие. Борелевская а-алгебра суслинского
пространства является счетно-порожденной и счетно-разделяю-
щей.
6.7.6. Следствие. Пусть (Х,А,ц) — пространство с
мерой, Y — суслинское пространство и F: X —> Y — ц-измеримое
отображение, т.е. F~1(B) € Ац для всех В € B(Y). Тогда
существует такое отображение G: X —> Y, что F = G ц-п.в. и
G'1^) (ЕАдля всех В € B(Y).
Доказательство. Применимо следствие 6.5.6. D
6.7.7. Теорема. Пусть X — вполне регулярное суслинское
пространство. Тогда
(i) X является совершенно нормальным; в частности,
борелевская и бэровская о-алгебры в X совпадают;
(ii) существует счетное семейство непрерывных функций
на X, разделяющее точки.
Доказательство. Пусть U открыто в X. В силу полной
регулярности, для каждой точки х ? U найдется такая
непрерывная функция fx': X —> [0,1], что /ж(х) = 1 и fx — 0 вне U.
Открытые множества Ux = {z: fx(z) > 0} покрывают U. По лемме 6.6.4
получаем не более чем счетное подпокрытие {UXn} множества U.
Остается заметить, что U = {/ > 0}, где / = Yl^=i^~nfxn ~
непрерывная функция. Действительно, / = 0 вне U. При этом
для всякого у € U найдется п с у € Ux„, т.е. fXn (у) > 0. Итак, X
— совершенно нормальное пространство.
Пространство X х X также является вполне регулярным су-
слинским. По доказанному, оно наследственно линделефово.
Поэтому (ш) следует из предложения 6.5.4. ?
Отметим, что даже счетное суслинское пространство может
не быть вполне регулярным (задача 6.10.78).
6.7.8. Следствие. Всякое компактное подмножество
суслинского пространства метризуемо.

6.7. Множества в суслинских пространствах 41
Доказательство. Поскольку замкнутые подмножества
суслинских пространств являются суслинскими, то достаточно
установить метризуемость всякого компактного суслинского
пространства К. В свою очередь, для этого достаточно
существования счетного семейства непрерывных функций на К,
разделяющих точки (задача 6.10.23). Остается воспользоваться
доказанным выше и тем, что компакт вполне регулярен. ?
В заключение этого параграфа покажем, что существуют и
неборелевские суслинские множества. Сначала докажем
интересный вспомогательный результат.
6.7.9. Предложение. Предположим, что дано полное сепа-
рабельное метрическое пространство X. Тогда
(i) существует такое замкнутое множество Z С XxJ№°,
что всякое замкнутое множество из X совпадает с одним из
слоев Zv := {х G X: (x,v) Е Z}, v е 1№°;
(Ц) существует такое суслинское множество А с Хх]№°,
что всякое суслинское множество из X совпадает с одним из
слоев А„:={х€Х: (х, и) € А}, и € 1№°.
Доказательство, (i) Пусть {?/„} — счетная база топологии
в X. Положим
Z={(x,v)€XxW°°: и=(щ),х$1)ищ}.
Всякое замкнутое множество в X является дополнением к
некоторому набору множеств Un и потому совпадает с одним из
сечений Zu, и е J№°. При этом Z замкнуто, ибо его дополнение
открыто. Действительно, пусть х и v = (щ) таковы, что х входит
в UVi для некоторого г. Тогда для всех (a/, nj) достаточно близких
к (ж, v) имеем щ — щ и х' G U^ = UVi.
(И) Применим утверждение (i) к пространству Хх№°° и
возьмем соответствующее замкнутое множество Z С XxlN^xIN00.
Положим
А = 1 (ж, v) € ХхШ00: (x,n,v) б Z для некоторого п е1№°\.
Множество А является суслинским, ибо его можно представить
как проекцию замкнутого множества в X х IN00 х 1№°. Всякое
суслинское множество Е из пространства X является
проекцией некоторого замкнутого множества из XxJ№°, т.е. проекцией
некоторого слоя Zu. Следовательно, Е — Av. ?

42 Глава 6. Борелевекие, бэровские и суслинские множества
6.7.10. Теорема. В пространстве 1№° имеется суслинское
множество, не являющееся борелевским.
Доказательство. Применим утверждение (ii) доказанного
выше предложения к X = 1№° и возьмем соответствующее
суслинское множество А С 1№° х!№°. Множество
5={i/€lN00: (v,v)eA)
является суслинским в 1№° как проекция пересечения А с
диагональю. Его дополнение
lN00\S={j/€l№0: v#Au}
не является суслинским, ибо в противном случае в силу выбора
множества А для некоторого v выполнялось бы равенство
1№°\5 = А,,
что давало бы одновременно v ? Аи и v € Av по построению S.
Следовательно, S не является борелевским. D
6.7.11. Следствие. Неборелевское суслинское множество
есть во всяком пространстве, в которое можно гомеоморфно
вложить пространство 1№°, в частности, во всяком непустом
полном метрическом пространстве без изолированных точек.
Доказательство. Если Хо — множество в X, гомеоморф-
ное IN00, и А — неборелевское суслинское множество в Хо, то Л
является суслинским и неборелевским и в пространстве X.
Второе утверждение вытекает из леммы 6.1.16. ?
6.7.12. Теорема. Если f — непрерывное отображение
полного сепарабельного метрического пространства X на
несчетное хаусдорфово пространство Y, то в X найдется
подмножество Е, гомеоморфное множеству Кантора С, такое, что f
гомеоморфно отображает Е на f(E).
Доказательство. В каждом множестве /-1(з/)> у EY,
выберем по точке и получим несчетное множество Хо С X, на
котором / инъективно. Будем рассматривать Хо как
самостоятельное пространство и образуем множество Х\ всех точек х € Хо,
каждая окрестность которых содержит несчетное множество
точек из Хо. Легко проверить, что метрическое пространство Х\
несчетно и не имеет изолированных точек. Можно найти такую
схему Суслина А в X, индексированную конечными наборами

6.7. Множества в суслинских пространствах 43
(щ,...,Пк) из 0 и 1, что каждое множество А{п\,...,Пк)
открыто, пересекается с Х\, имеет диаметр не более 1/А;, причем
замыкание А(п\,...,пк,Пк+i) содержится в А{п\,...,п*), а
замыкание f{A{n\,... ,Пк)) не пересекается с f(A(mi,... ,тпь)), если
набор (mi,...,тпк) не равен (щ,...,Пк)- Нужная схема
строится индуктивно. Сначала берем шары А@) и АA) радиуса
меньше 1 с центрами в ai € Х\, а% € Х\, такие, что замьпсания
их образов при / не пересекаются. Затем в А@) находим шары
А@,0) и Л@,1) радиуса меньше 1/2 так, что их замыкания лежат
в А@), а замыкания образов не пересекаются. Процесс
продолжается индуктивно. Эта схема задает гомеоморфизм д: {0,1}°° —>
X, д((щ)) = Г\ы1 A(n\,..., 7ij). Можно также задать
гомеоморфизм h: С —> X по формуле h(c) = А(с\) П А(с\,сг) П • • •, где
с = 2ci/3 + 2сг/9 -\ , Cj € {0,1}. Затем проверяется, что / инъ-
ективно на множестве Е = д{{0,1}°°) = h(C), что в силу
компактности этого множества означает, что /|# — гомеоморфизм.
Более подробно аналогичные рассуждения проведены в Куратов-
ский [181, §36.V, с. 455], Hoffmann-J0rgensen [937, §1.5.Н]. D
6.7.13. Следствие. Произвольное несчетное суслинское
пространство содержит множество, гомеоморфное
множеству Кантора и имеет мощность континуума.
Из предыдущих результатов следует, что классы суслинских
и борелевских подмножеств суслинского пространства X не более
чем континуальны, причем если X несчетно, то они в точности
континуальны.
6.7.14. Замечание. Как мы знаем, все борелевские
множества на прямой получаются с помощью А-операции, которая,
однако, дает и не борелевские множества. Хаусдорф поставил
вопрос о существовании операции, дающей в точности борелевские
множества. Точная его формулировка такова. Пусть 9ft —
некоторое семейство множеств. Обозначим через 3(9Я) наименьший
класс множеств, содержащий 9ft и замкнутый относительно
счетных объединений и счетных пересечений. Например, если 9ft —
класс всех открытых множеств на прямой, то 23(9ft) = ^(Ш.1).
Вопрос Хаусдорфа состоял в следующем: существует ли такое
множество N С 1№°, что для всякого семейства множеств 9ft
справедливо равенство 2$(9ft) = U(ni)eAf flei-^гц» где Мщ е 9Я.
Серпинский [1527] доказал, что такого множества нет.

44 Глава 6. Борелевские, бэровские и суслинские множества
6.8. Отображения суслинских пространств
Пусть X и Y — суслинские пространства и /: X —> Y —
борелевское отображение. В этом параграфе обсуждаются
дескриптивные свойства множеств тех точек у € Y, для которых
уравнение f(x) = y имеет единственное решение, имеет п
решений или имеет бесконечно много решений. Мы рассмотрим даже
несколько более общую задачу об аналогичных свойствах
сечений Ау := {х € X: (х,у) € А} множеств Ае XxY. Предыдущая
задача оказывается частным случаем этой более общей, если в
качестве А взять график /.
Символом card М будем обозначать мощность множества М,
а символом Но — мощность IN.
Сначала мы докажем следующий общий результат об образах
суслинских множеств.
6.8.1. Теорема. Пусть X uY — суслинские пространства
и /: X —> Y — борелевское отображение. Тогда для всякого су-
слинского множества А С X множество f(A) является су-
слинским в Y.
Доказательство. Можно считать, что А = X. Согласно
лемме 6.7.1 график Г отображения / является суслинским
подмножеством XxY и f(X) совпадает с образом Г при естественной
проекции 7гу: Г —> Y, т.е. f(X) — суслинское множество. ?
6.8.2. Теорема. Пусть А — суслинское множество в XxY.
Тогда множества {у € Y: card Ау ^ п} при п G IN и множество
{у € Y: сд?&Ау ^ Но} — суслинские. Кроме того, множество
{у G Y: card Ау = 1} является разностью двух суслинских
множеств.
Доказательство. Возьмем счетную алгебру ? с В(Х),
разделяющую точки X. Тогда условие card Ау 5= п, означающее, что
существуют п различных точек х\,...,хп в Ау, равносильно
существованию попарно непересекающихся множеств Е\,...,Еп в
? с Eji П Ау ф 0 при всех j < п. Обозначив через 7Гу проекцию
XxY на Y, последнее можно записать так:
Пусть ?п — совокупность всех наборов {Е\,... ,Еп} из п попарно
непересекающихся множеств Ej 6 ?. Мощность ?п не более чем

6.8. Отображения суслинских пространств 45
счетна, причем
{y€Y: caxdAy^n}= (J f| тгу((?хУ) П А).
<те?„ Ее<т
Поскольку множества 7Гу((.ЕхУ) П А) — суслинские, то суслин-
ским является и {у G У: caidAy ^ п}. Из этого вытекает, что
{у е У: card^j, > N0} = f^\{y € У: caxdAy ^ п}
есть суслинское множество. Последнее утверждение следует из
доказанного. ?
6.8.3. Следствие. Пусть X и Y — суслинские
пространства и /: X —> Y — борелевское отображение. Тогда
множества {у Е Y: card/-1(y) > п} и {у € У: card/-1(y) ^ К0}
являются суслинскими. Множество {у € У: card/-1 (у) = 1}
является разностью двуа; cj/сушнскш; множеств.
Отметим, что разность двух суслинских множеств может
быть множеством уже иной природы: оно может быть не суслин-
ским, но и не дополнительным к суслинскому. Если же множество
А замкнуто, то {у G У: card Ау = 1} оказывается дополнением к
суслинскому множеству. В частности, если / в доказанном
следствии непрерывно, то {у € У: card/-1 (у) = 1} есть дополнение
к суслинскому множеству (доказательство можно найти в
Hoffmann- J0rgensen [937], где имеются и более общие результаты).
Теперь мы обсудим свойства инъективных борелевских
отображений. Попутно мы охарактеризуем борелевские множества в
полных сепарабельных метрических пространствах как инъек-
тивные непрерывные образы замкнутых подмножеств
пространства 1№° (или, что то же самое, пространства иррациональных
чисел).
6.8.4. Лемма. Пусть X — полное сепарабелъное
метрическое пространство. Тогда всякое борелевское множество в X
является взаимно-однозначным образом некоторого замкнутого
множества в ХхШ°° при естественной проекции Хх1№° —> X.
Доказательство. Мы покажем, что класс ? всех
борелевских множеств с указанным в формулировке леммы свойством

46 Глава 6. Борелевские, бэровские и суслинские множества
содержит все открытые множества и замкнут относительно
образования счетных объединений дизъюнктных множеств и
счетных пересечений. После этого нам останется сослаться на
предложение 6.2.9. Итак, пусть G открыто в X. Тогда множество
Е= {(x,t) е Xx@,+oo): dist(x,X\G) < t-1}
замкнуто в X х (О, +оо), G совпадает с его проекцией на X,
причем проектирование инъективно на Е. Однако это еще не совсем
то, что нужно, ибо требуется множество из X х 1№°. По
следствию 6.1.7 найдутся замкнутое множество D С 1№° и
непрерывное взаимно-однозначное отображение / множества D на @, +оо).
Тогда множество Z = {(х,п) е Хх1№°: (х, /(п)) € Е} обладает
нужными свойствами.
Предположим теперь, что Aj € ? попарно не
пересекаются. Возьмем замкнутые множества Zj С X х №° х {j},
которые взаимно-однозначно проектируются на Aj. Легко видеть, что
множество Z = (J?^=i Zj замкнуто в X х IN00 х 14 и
взаимнооднозначно проектируется на U^LiA?'- Поскольку пространство
1№° х IN гомеоморфно 1№° посредством гомеоморфизма
h: (r?,fc)t-^(fc,тд,TJ2,-..), »?=(*»),
то множество С = \ (ж, г)): (х, /Г G7)) € Z > замкнуто в X х 1№°
и однозначно проектируется на Ujli Aj-
Наконец, для произвольных Aj € ? выберем замкнутые
множества Cj С Хх1№°, которые однозначно проектируются на Aj.
Рассмотрим множество
Z=|(x,7?1,772,...): хеХ, г? eJ№°, (x,r^)eCj,j€lN}.
Ясно, что Z замкнуто в Хх (IN00H0 и однозначно проектируется
на n^Li Aj. Аналогично предыдущему этапу, остается заметить,
что пространство (]№°) гомеоморфно 1№°. П
6.8.5. Следствие. Всякое борелевское множество в
польском пространстве является образом некоторого
замкнутого множества в 1№° про непрерывном и взаимно-однозначном
отображении.
Доказательство. Вытекает из леммы и теоремы 6.1.15. ?

6.8. Отображения суслинских пространств 47
6.8.6. Теорема. Пусть В — борелевское множество в
полном сепарабельном метрическом пространстве X, Y — суслин-
ское пространство и /: В —> Y — инъективное борелевское
отображение. Тогда f(B) — борелевское множество в Y.
Доказательство. По лемме 6.8.4 можно считать, что В
является замкнутым подмножеством Хх1№°, т.е. полным сепара-
бельным метрическим пространством. Как и в доказательстве
теоремы 6.6.9, каждой конечной последовательности
натуральных чисел п\,... ,пь сопоставим непустое замкнутое множество
E(ni,...,пк) С В диаметра меньше 2~к~2 таким образом, что
B=[JE(j), E(n1,...,nk)=(jE{nl,...,nk,j).
Положим A(n) = ?n\Uj=i Щ-i a nPH к > 1
A(ni,...,nk) =
= А(т,...,пк-1)ПЕ(пъ...,пк)\ (J E(ni,...,nk-i,j).
При фиксированном к € IN борелевские множества A(ni,...,пк)
дизъюнктны и в объединении по всем ni,..., пк дают В. В силу
инъективности / суслинские множества /(Л(щ,..., пк)) попарно
не пересекаются. По теореме 6.6.9 существуют такие
дизъюнктные борелевские множества В(п\,...,пк) С У, что
f(A(nu...,nk)) cB(ni,...,nfc).
Покажем, что
/(Я)=П U В(пъ...,пк), F.8.1)
откуда утверждение теоремы вытекает очевидным образом. Для
этого сначала заметим, что
f| (J В(П1,...,пк)= (J f)B(nlr..,nt).F.8.2)
h=1 (nu...,nk)eJNk (n,)elN~*=i
Действительно, правая часть F.8.2) входит в левую очевидным
образом. Если же точка у входит в левую часть F.8.2), то для

48 Глава 6. Борелевские, бэровские и суслинские множества
каждого А; эта точка содержится -ровно в одном из множеств
B(ni,... ,rik) в силу их дизъюнктности. Соответствующие
индексы обозначим через ni(fc),..., nfc(fc). При этом щ(к + 1) =
щ(к) при г ^ fc, ибо у 0 J5(mi,... ,mfc), если (mi,... ,т,к) ф
(ni,...,nfc). Таким образом, у € f|fcli -B(niAMn2B),... ,пк{к)),
и F.8.2) доказано. Множество, заданное равенством F.8.2),
обозначим через D. Тогда
f(B) С U П/(% П4))СД
(n^elN00 *=i
?»С (J П/(% nfc))c/(B),
что дает F.8.1). ?
Отметим, что образ суслинского пространства при инъектив-
ном непрерывном отображении может не быть борелевским:
достаточно взять неборелевское суслинское множество в [0,1] и
рассмотреть его тождественное вложение в [0,1]. Однако доказанная
выше теорема очевидным образом остается в силе для таких су-
слинских пространств, которые являются инъективными
образами польских пространств (т.е. для лузинских пространств).
6.8.7. Следствие. Множество в польском пространстве
является борелевским в точности тогда, когда оно
представляет собой образ замкнутого подмножества в Т№° при
непрерывном инъективном отображении.
6.8.8. Следствие. Всякие два несчетных борелевских
множества в польских пространствах борелевски изоморфны.
Доказательство. Из предыдущего следствия и
установленного выше факта, что непрерывные инъективные отображения
польских пространств переводят борелевские множества в
борелевские, следует, что достаточно доказать существование боре-
левского изоморфизма между Ш,1 и всяким несчетным
замкнутым подмножеством в 1№° или, что равносильно, в пространстве
К иррациональных чисел отрезка. Заметим, что если два
несчетных борелевских пространства А и В борелевски изоморфны, то
для всякого не более чем счетного подмножества С С А
пространства А\С и В также борелевски изоморфны. Если С бесконечно,

6.9. Теоремы об измеримом выборе
то для этого достаточно взять в В часть С", соответствующую
множеству С с добавленным к нему другим счетным
подмножеством D С А, а затем установить взаимно-однозначное
соответствие между D и С", а между оставшимися частями оставить
прежний изоморфизм. Случай конечного С сводится к
рассмотренному. Далее можно пренебрегать счетными подмножествами.
Если теперь М — замкнутое подмножество в пространстве 7с
иррациональных чисел отрезка [0,1], то оно с точностью до
счетного множества совпадает с некоторым замкнутым
подмножеством А отрезка. Так как множество изолированных точек А не
более чем счетно, то ввиду сделанного выше замечания можно
считать, что А совершенно. В силу предложения 6.1.17 остается
рассмотреть случай, когда А — множество Кантора. В этом
случае существование борелевского изоморфизма легко проверить
непосредственно (например, используя троичное разложение для
множества Кантора и двоичное — для точек отрезка). D
Из доказанного ясно, что есть лишь два класса попарно
изоморфных бесконечных стандартных измеримых пространств в
смысле определения 6.2.10: счетные и континуальные.
6.8.9. Теорема. Пусть {fn} — последовательность боре-
левских функций на суслинском пространстве X, разделяющая
точки. Тогда эта последовательность порождает борелевскую
о-алгебру X.
Доказательство. Из условия следует борелевские
множества Вп вида /^~1((гг, »"j)), где {т^} — все рациональные числа
из [0,1], разделяют точки X. При доказательстве теоремы 6.7.4
было установлено, что функция h = JZ^Li 3~п1вп
взаимно-однозначно отображает X на суслинское множество S := f(X) в [0,1],
причем для всякого В € В(Х) имеем В = h~x {h(B)}, где h(B) G
B(S). Это означает, что существует такое множество С G В(Ш}),
что h(B) = С П S и В = hr1 (С). Итак, функция h
порождает В(Х). Поэтому В{Х) = a({fn}). П
6.9. Теоремы об измеримом выборе
Пусть F: X —у Y — некоторое отображение. Для каждой
точки у е F(X) можно взять какой-нибудь элемент х = G(y) €
F~1(y). Тем самым, будет построено отображение G, для
которого FoG — тождественное на области значений F. Отображение G

50 Глава 6. Борелевские, бэровские и суслинские множества
называют сечением отображения F, а также обратной или
неявной функцией ж = G(y), определенной из уравнения у = F{x).
Однако в приложениях бывает важно иметь отображение G с
какими-нибудь дополнительными свойствами. Например, если F
было непрерывным или борелевским, то хорошо бы и для G
сохранить эти свойства. Легко привести примеры, показывающие,
что даже для взаимно-однозначного непрерывного отображения
F обратное может быть разрывным. Ниже мы увидим, что и для
борелевского отображения F не всегда можно найти борелевское
отображение G. Тем более замечательно, что в качестве G всегда
можно выбрать отображение с хорошими свойствами
измеримости (измеримое сечение). В этом состоит содержание следующей
теоремы Янкова, относящейся к так называемым теоремам об
измеримом выборе.
6.9.1. Теорема. Пусть X uY — суслинские пространства
и F: X —> Y — борелевское отображение, причем F(X) = Y.
Тогда можно найти такое отображение G U3Y в X, что
F(G(y)) = у для всех у €Y, причем G измеримо относительно
а-алгебры, порожденной суслинскими подмножествами в Y.
Доказательство. Предположим сначала, что F
непрерывно. Поскольку X является образом пространства 1№° при
непрерывном отображении р, то достаточно доказать наше
утверждение для 1№° и взять в качестве искомого композицию р с
отображением, построенным для 1№°. Итак, можно считать, что X —
1№°. На JN°° задан лексикографический порядок: (щ) < (fcj),
если либо ni < &1) либо Т»1 = fci, ..., Пт — кт и пт+\ < кт+\ для
некоторого т ^ 1. Для каждого у € У в качестве G(y) возьмем
в множестве F~l(y) (которое непусто по условию и замкнуто в
силу непрерывности F) наименьший элемент в смысле
лексикографического порядка. Заметим, что такой элемент существует.
Действительно, обозначим F~l(y) через Z и возьмем любой
элемент х1 = (ж*) е Z, для которого х\ ^ z\ для всех z = (zi) € Z.
Затем найдем такой элемент х2 = (ж?) G Z, что х\ = х\ и х\ < zi
для всех таких z — (z{) € Z, что z\ = х\. Затем находим элемент
ж3 € Z с х\ = х\, ж?> = х\ и х\ < 2з Для всех таких z = (z») € Z,
что Z{ — х2 при г = 1,2. По индукции строим элементы хк Е Z
со следующими свойствами: ж;+1 = ж* при г ^ к и хк*\ ^ Zfc+i
для всех таких z — (zi) € Z, что Zi — ж* при г ^ к. Рассмотрим
элемент ж = (ж^). Последовательность элементов ж* сходится к ж

6.9. Теоремы об измеримом выборе ¦ 51
в Т№° и потому в силу замкнутости Z получаем х € Z. При этом
х < z для всех z € Z. Действительно, в противном случае при
некотором к имеем х\ = z\, ... ,Хк = Zk, Zfc+i < Xfc+i = %k+v T°-
гда zi = x\ при г ^ к, что ведет к противоречию с выбором x^+i ¦
По построению F(G(y)) = у. Проверим, что для всякого бо-
релевского множества В С X множество G~X(B) измеримо
относительно ст-алгебры Л, порожденной всеми суслинскими
подмножествами Y. Поскольку совокупность всех борелевских множеств
В с этим свойством является а-алгеброй, то достаточно провести
проверку для замкнутых множеств вида
В = {(щ)Е1№°: (Ъ{)<(щ)},
где bi € IN фиксированы. Действительно, как легко видеть, эти
множества порождают B(J№°). Ясно, что G~1(B) = F(B), ибо
G(y) € В в точности тогда, когда в В входит наименьший элемент
из F~l(y), что для В указанного вида равносильно включению
F~1(y) С В, т.е. включению у € F(B). Поскольку F(B) является
суслинским, то G~1(B) входит в (т-алгебру Л.
Рассмотрим теперь общий случай. Тогда график
отображения F, т.е. множество Г := {(z,F(z)), х Е X} является
суслинским подмножеством пространства XxY (см. лемму 6.7.1).
Проекция 7гу: Г —*¦ Y непрерывна. По доказанному существует
измеримое отображение Ф: (У, Л) —> (Г,В(Г)) с 7Гу о Ф(у) = у
для всех у € Y. Пусть ттх- Г —> X — естественная проекция.
Положим G = жх ° Ф- Тогда
F{G(y)) = FGгx(Ф(y))) = ity(Ф(у)) =У, Vy € У,
ибо Ф(у) = (x,F(x)), где х = тгх(Ф(у)) и F{x) = тгу(Ф(у)). Из
непрерывности 7Гх и измеримости Ф относительно Л следует, что
и G обладает этим свойством. ?
Из приведенного доказательства видно, что оно применимо к
более общей задаче выделения однозначной ветви многозначного
отображения. Приведем необходимые определения.
Пусть X — некоторое пространство и (?1, В) ~ измеримое
пространство. Пусть Ф: Q —> 2х — отображение со
значениями во множестве всех непустых подмножеств X, т.е. Ф(а») С X и
Ф(о>) ф Qi для всех и € П. Графиком многозначного отображения
Ф назовем множество Гф := {(ш,и) € ?1хХ: ш € fi, «€ Ф(о;)}.

52 Глава 6- Борелевские, бэровские и суслинские множества
Селекцией Ф называется такое отображение ?: ft —> X, что
C(w) входит в Ф(о>) для всех u; €Е ft.
Типичный пример многозначного отображения — обратное к
отображению F: X —¦ ft, т.е. Ф(ш) = F~1(uj). Конечно, чтобы
Ф было всюду определено, требуется равенство F(X) — ft.
Метод доказательства предыдущей теоремы приводит к
следующему утверждению (мы не будем пояснять необходимые
изменения в рассуждениях, ибо в теореме 6.9.6 установлен более общий
факт).
6.9.2. Теорема. Пусть ft и X — суслинские пространства
и график отображения Ф из ft в множество непустых
подмножеств X является суслинским (например, борелевским)
множеством. Тогда существует отображение /: ft —* X, которое
измеримо относительно а-алгебры, a{Sci), порожденной суслин-
скими множествами в ft, причел* /(о») € Ф(а>) для всех и; G ft.
Дадим достаточные условия борелевости селекции.
6.9.3. Теорема. Пусть X и Y — польские пространства,
Г е B(XxY), причем множество Гх := {у G Y: (х,у) G Г}
непусто и а-компактно при всех х G X. Тогда Г содержит
график некоторого борелевского отображения /: X —> Y.
Доказательство можно прочитать в Kechris [1030, §35] (см.
также Арсенин, Ляпунов [17, §15]).
6.9.4. Теорема. Пусть X — полное сепарабельное
метрическое пространство и Ф принимает значения во множестве
непустых замкнутых подмножеств X. Предположим, что для
всякого открытого множества U С X имеем
ЩЦ):={ш: Ф(ш)П[/^0}€В.
Тогда Ф обладает селекцией ?, которая измерима относительно
пары а-алгебр В и В(Х).
Доказательство. Пусть {хп} — любое счетное всюду
плотное множество в X. Зададим отображение Со: ft —> X так: Со(^) =
хп, если п —- наименьший номер с Ф(ш)Г\В(хп, 1) Ф ®, где В(х,г)
есть открытый шар радиуса г с центром в х. Ясно, что Со
принимает счетное множество значений и S-измеримо, ибо
(~\хп) = Цв(хп, 1))\1С=1 *{В(хт, 1)).

6.9. Теоремы об измеримом выборе
Теперь мы по индукции построим Б-измеримые отображения ^
со счетными множествами значений, такие, что для всех ш
dist(aH,ОтИ) < 2-fe+i, списан, фи) ^ 2-fe,
где через dist обозначено расстояние в X. Предположим, что Ofc
уже построено. Пусть fij = C,^x{xi). При со е. fij имеем Ф(ш) П
J?(xj, 2-fe) ^ 0. Теперь на Г^ зададим Cfe+i так: Ofe+iH = «,
если п — наименьший номер, для которого ФИ П .B(;Cj,2~fc) П
В(хп,2~к~^) ф 0. Как и выше, отображение ?fc+i оказывается
измеримым относительно В. Кроме того, dist(?fc+iH^(o;)) ^
2~k~l и dist(Cfc+i(o;),aH) ^ 2~fc + 2~k~x < 2~k+1. В частности,
{С* И} — фундаментальная последовательность, предел которой
мы обозначим через СИ- Ясно, что ?И е Ф(о;). С учетом В-
измеримости, С ~~ искомая селекция. ?
Ясно, что в доказанной теореме вместо полноты X можно
было бы требовать лишь полноту Ф(ш). Впрочем, это сводится к
рассмотренному случаю, если перейти к пополнению X.
6.9.5. Следствие. В ситуации доказанной теоремы можно
найти последовательность В-измеримых селекции Сп, для
которых при каждом со последовательность {СиИ} плотно в Ф(и).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть {хп} — всюду плотная
последовательность в X. Для всех пар (п, г) € IN2 положим Ф^Н =
ФИ П В(а5п,2-*), если со € Ф(В(а:п,2-*)), и *ni(w) = Щш) в
противном случае. Многозначное отображение ФП1,
сопоставляющее точке со замыкание множества Ф^Н, принимает значения
в полных подмножествах X. Для всякого открытого множества
U С X имеем
= ф(в(х„,2-*) ПЕ/) и[("\фИжп,2^))) ПФA/)] € Б.
По доказанной теореме Фт имеет fi-измеримую селекцию Cm-
Проверим, что замыкание {Cm И} дает Ф(а>). Пусть х Е Ф(ш)
и е > 0. Выберем г и п так, что 21-1 < е и dist(a;n,x) < 2-i.
Тогда а; € Ф(-В(жп,2~1)) и CniH входит в замыкание В(хп,2~{).
Поэтому расстояние от со до CniH не превосходит 21~г < е. П

54 Глава 6. Борелевские, бэровские и суслинские множества
6.9.6. Теорема. Предположим, что Я и X — суслинские
пространства и cr(<Sn) — а-алгебра, порожденная всеми суслин-
скими множествами в Q. Пусть график многозначного
отображения ФизПа множество непустых подмножеств X
является суслинским множеством в ОхХ. Тогда существует
последовательность селекции С,п, которые измеримы как отображения
из @,a(«Sn)) —> {Х,В{Х)), причем для каждого ш
последовательность {Сп (<*>)} «лотка в множестве Ф(и>).
Доказательство. Обозначим через Г график Ф.
Существует непрерывное отображение h из полного сепарабельного
метрического пространства Z на Г. Обозначим через 7г проекцию
Г —> fi, (ш,х) н-> и). Рассмотрим многозначное отображение Ф —
Gto/i)-1 из О, во множество непустых замкнутых (в силу
замкнутости 7г о h) подмножеств Z. Заметим, что Ф имеет замкнутый
график Гф в VtxZ в силу непрерывности iroh. Следовательно, для
всякого открытого множества U С Z множество Ф(С/) является
суслинским в ?2, ибо совпадает с проекцией ГфП(?М7) на U.
Применим следствие 6.9.5 к В — 0"(<Sq) и Ф и Z вместо Ф и X и найдем
В-измеримые сечения г}п отображения Ф, для которых
последовательности {пп(и)} плотны в множествах Ф(ш). Для всякого ш
точка h(r]n(u!)) имеет вид (ц>,С„(ш)). Отображения ?„ являются
искомыми. Действительно, включение г}п{ш) € Gг о /г)-1 (ш) дает
равенство ш = irohoT)n(w), откуда h(r)n(uj)) € {ш}хФ(ш) и
потому Cn(a>) е $(w). Измеримость ?п относительно стEп) следует из
формулы Сп = ъх ° h о щ, где жх — проекция на X. ?
Важный частный случай, когда существует борелевская ветвь
обратного отображения — непрерьшное отображение метризуемо-
го компакта. Это вытекает как из теоремы 6.9.3, так и из
теоремы 6.9.4, но мы дадим непосредственное обоснование.
6.9.7. Теорема. Пусть X — компактное метрическое
пространство, Y — хаусдорфово топологическое пространство и
/: X —* Y — непрерывное отображение. Тогда существует
такое борелевское множество В С X, что f(B) = f{X), причем
f инъективно на В. При этом отображение /_1: f{X) —> В —
борелевское.
Доказательство. Множество f(X) является метризуемым
компактом. Поэтому далее можно считать, что Y совпадает с
метризуемым компактом f(X). Пусть сначала X С [0,1]. Положим

6.9. Теоремы об измеримом выборе
55
д(у) = inf{z: /(ж) = у}, у € /(-X"). Функция д является борелев-
ской, ибо для всякого с € Ш1 множество {у: д(у) < с} замкнуто.
Действительно, пусть д{уп) ^ с и у — предел {уп}- Найдутся
такие ж„ G X, что /(ж„) = уп и жп < с + 1/га. Переходя к
подпоследовательности, можно считать, что {жп} сходится к
некоторому ж 6 X. Тогда f{x) = у и х < с, откуда #(у) < с. Ясно,
что f{g(y)) = у, поэтому функция д инъективна, а множество
В := g(Y) оказывается борелевским и f(B) = Y. Можно было бы
и просто заметить, что В — -X"\U?Li Вп, где
Вп := {х € X: 3* € X, /(t) = /(ж), ж - i > 1/п},
причем множества Вп замкнуты в силу непрерывности / и
компактности X. Отображение / на В инъективно. В общем случае в
силу предложения 6.1.18 найдется такой компакт К С [0,1], что
X = ip(K) для некоторого непрерывного отображения tp.
Применим доказанное к отображению / о tp и найдем борелевское
множество Во С [0,1], на котором отображение / о tp инъективно
и f(ip(Bo)) = /(v?([0,1])) = f(X). Тогда <р инъективно на Во и
потому множество В := <р(Во) является борелевским в X. Ясно,
что / инъективно на В. D
В этой теореме нельзя, конечно, отказаться ни от
компактности X, ни от непрерывности /. Например, если / — такая
непрерывная функция на отрезке, что для некоторого борелевского
множества X множество f(X) не является борелевским, то f(X)
не может быть инъективным непрерывным образом какого-либо
борелевского множества В. Аналогичный пример строится
исходя из борелевской. функции / на [0,1] с неборелевским образом.
Как обнаружил П.С. Новиков [1311], борелевской селекции
может не быть даже тогда, когда /([0,1]) = [0,1], а / — борелев-
ская функция. Доказательство этого результата П.С. Новикова
(с плоскостью вместо отрезка) можно найти, например, в книге
Лузин [199, с. 262]. Приведем лишь формулировку.
6.9.8. Теорема. Существует такая борелевская функция
/: [0,1] -> [0,1], что /([0,1]) = [0,1], ко не существует
борелевской функции д: [0,1] —> [0,1], для которой f(g(y)) = у для
всех у € /([0,1]). В частности, не существует такого
борелевского множества в [0,1], которое f инъективно отображало бы
на [0,1].

56 Глава 6. Борелевские, бэровские и суслинские множества
6.9.9. Следствие. Существует непрерывное отображение
д: 1№° —» [0,1] с g(J№°) = [0,1] без борелевских селекции.
Доказательство. Действительно, пусть Г — график
функции / из примера П.С. Новикова и 7г — проекция Г на ось
ординат. Тогда Г — борелевское множество в [О, I]2 и существует
непрерывное отображение h пространства 1№° на Г.
Отображение д := 7Г о h — искомое. Действительно, если существует
борелевское множество В С IN00, которое д инъективно отображает
на [0,1], то Bq := д(В) — борелевское в Г. Проекция Во на ось
абсцисс, обозначаемая через В\, также является борелевским
множеством (в силу инъективности этой проекции) и f{B\) = [0,1].
При этом функция / оказывается инъективной на В\ из-за
инъективности 7г на Во, вытекающей из инъективности д на В. О
Отметим еще один результат об измеримом выборе,
доказательство которого можно найти в книге Castaing, Valadier [563].
6.9.10. Теорема. Пусть X — полное сепарабельное
метрическое пространство, а график отображения Ф со значениями
во множестве непустых замкнутых подмножеств X входит в
В<8>В(Х). Обозначим через В пересечение лебеговских
пополнений В по всем вероятностным мерам на В. Тогда существует
последовательность селекции Qn, которые измеримы как
отображения из (О., В) —> (X, В(Х)), причем для каждого и>
последовательность {Cn(k>)} плотна в множестве^{ш).
Следующее утверждение из работ Aumann [415], Sainte-Beuve
[1480] дает измеримые селекции на пространствах с мерами.
6.9.11. Теорема. Пусть (О., Л, ц) — полное вероятностное
пространство, X — суслинское пространство иФ -
многозначное отображение из П в множество непустых подмножеств X,
причем Гф G А®В(Х). Тогда найдется такое (А, В(X))
-измеримое отображение /: ft —> X, что f(u>) Е Ф(и;) для всех ыбО.
Доказательство. Воспользуемся тем, что существуют
такие последовательности {Ап} с Л и {Вп} С В(Х), что Гф входит
в а({АпхВп}), в частности, в Ао®В(Х), где Ао — сг-алгебра,
порожденная {Лп}. Как мы знаем, существует такая .До-измеримая
функция h: П -» [0,1], что Ао = {ft-1 E): в € #([0,1])}.
Таким образом, h осуществляет взаимно-однозначное отображение
Ао на В(Е), где Е :— h(Q). Поэтому отображение g: (w,x) н->

6. It). Дополнения и задачи 57
(ЛИ,х), ПхХ -> ЯхХ, переводит Ло®й(Х) в В(?)®В(Х). В
частности, <7(Гф) 6 В(^)(8)В(Х). Множество д(Гф) есть график
многозначного отображения Ф := Ф о h~l. Теперь достаточно
доказать наше утверждение для Ф и вероятностного пространства
(Е, В(ЕI/,и), где v := ц о h~l. В самом деле, если нашлось v-
измеримое отображение Д: Е —> X с Д(у) € Ф(у), то существует
множество В € В(Е) с i'(.B) = 1, на котором Д борелево. Тогда
h~l(B) е До, v(h~l{B)) = 1 и можно положить /(о>) := Д(/г(о;))
при о> € h~1(B), а для прочих а> можно выбрать /(а;) € Ф(а>)
произвольным образом. Наконец, утверждение для Е следует из уже
известного для суслинских пространств, ибо график Ф есть
пересечение ЕхХ с некоторым борелевским множеством D в [0,1]хХ.
Проекция S множества D на [0,1] является суслинским
множеством и содержит Е. Поэтому остается продолжить v до боре-
левской меры на 5 и взять многозначное отображение на 5 с
суслинским графиком S C\D. D
В работе Евстигнеев [128] аналогичный результат получен в
случае, когда X — компакт, а график Ф входит в S(A(g)B(X)).
Еще один результат см. в задаче 6.10.77.
6.10. Дополнения и задачи
(i) Борелевские и бэровские множества E7). (Н) Суслинские
множества как проекции F0). (iii) ^-аналитические и .^-аналитические
множества F3). (iv) Пространства Блэкуэлла F4). (v)
Отображения суслинских пространств F5). (vi) Измеримость в
нормированных пространствах F6). (vii) Пространство Скорохода F7). Зада-
чи F8).
6.10(i). Борелевские и бэровские множества
Отметим, что помимо <т-алгебры (т{Т), порожденной классом
множеств jF в пространстве X, иногда рассматривается наименьший класс
множеств, содержащий Т и замкнутый относительно счетных
объединений и счетных пересечений (но не обязательно замкнутый
относительно дополнений). Этот класс обозначим через B(Jr). Класс B(Jr)
может быть уже o{!F): например, класс всех суслинских подмножеств
отрезка замкнут относительно счетных объединений и счетных
пересечений, но не замкнут относительно дополнений; так же обстоит дело с
классом не более чем счетных подмножеств отрезка. Некоторые
условия, обеспечивающие равенство B(.F) = &{J-) можно найти в задаче
6.10.31 и работе Jayne [971].

58 Глава 6. Борелевские, бэровские и суслинские множества
Мы знаем, что борелевская ст-алгебра подпространства состоит из
пересечений этого подпространства с борелевскими множествами
объемлющего пространства. Положение с бэровской структурой иное.
6.10.1. Пример. Существуют хаусдорфово пространство X, его
замкнутое бэровское подмножество Xq и бэровское подмножество В в
Хо (с индуцированной топологией), такие, что В не является
пересечением никакого бэровского множества из X с Xq. Более того, в качестве
Xq можно взять функционально замкнутое множество в Xq.
Доказательство. Пусть Х — плоскость Зоргенфрея (см.
пример 6.1.19) и Хо — прямая в плоскости, заданная уравнением х+у = 0.
Очевидно, что Хо — функционально замкнутое подмножество X,
поскольку функция (х, у) н-> х + у непрерывна на X. Для всякого
вещественного числа х открытое множество [х, х+1)х[—х, — х+1) пересекает
Хо в точности в точке (х, —х) € Х0. Таким образом, каждая точка из Хо
открыта в индуцированной топологии, а потому таково и каждое
подмножество Хо. Поэтому все подмножества Хо — бэровские с точки
зрения этого подпространства. Остается заметить, что X сепарабельно, а
значит, имеет лишь континуум бэровских множеств (всякая
непрерывная функция однозначно определяется своими значениями на счетном
всюду плотном множестве), откуда вытекает существование
подмножества В в Хо, не являющегося бэровским в X. В задаче 6.10.81
предлагается проверить, что пересечения Хо с бэровскими подмножествами
X являются борелевскими множествами относительно евклидовой
топологии плоскости. ?
Следующий результат содержит утверждение, частично обратное
к предложению 6.3.4 (см. Халмош [334], Ross, Stromberg [1467]).
6.10.2. Теорема. Если X - компакт, то В(Х) = Ва(Х) в
точности тогда, когда X совершенно нормально.
6.10.3. Теорема, (i) Пусть X вполне регулярно и X е Ва@Х).
Тогда всякое замкнутое бэровское множество в X функционально
замкнуто, (ii) Компактное бэровское множество во вполне регулярном
пространстве функционально замкнуто, (iii) Пусть X — компакт и
В € Ба(Х). Если АсВиА€ Ва(В), тоАе Ва(Х).
Доказательства и ссылки см. в Comfort, Negrepontis [599]. В
приложениях встречаются и пространства с несовпадающими наборами
борелевских и бэровских множеств.
6.10.4. Пример. Предположим, что X — любое из следующих
пространств: (i) несчетное произведение отрезков (которое является
компактным пространством), (ii) пространство всех функций на
отрезке с топологией поточечной сходимости (другими словами,
произведение Жс континуума прямых), (Ш) подпространство Ш.с, состоящее из
всех ограниченных функций. Тогда Ва(Х) строго меньше, чем В(Х).

6.10. Дополнения и задачи 59
Для доказательства достаточно применить следующий важный
результат (восходящий к М.Ф. Бокштейну, см. книгу Энгелысинг [373,
2.7.12(c)]), описывающий структуру бэровских множеств в
произведениях пространств.
6.10.5. Теорема. Пусть Xt, t е Т, — семейство сепарабельных
пространств и пусть Y — сепарабельное метрическое
пространство. Тогда для каждого непрерывного отображения F: Y\t€T Xt —> Y
существуют конечное или счетное множество S С Г и
непрерывное отображение Fq: IX.es^* —* *""» такие> что F = Fq о its, где
its'- Пяев-^в ~* Пв€Я-^« — естественная проекция. В частности,
Ba(YlKT Xt) порождается координатными отображениями в
пространства (Xt,Ba(Xt)).
Бэровская <г-алгебра может порождаться значительно меньшим
семейством функций, чем весь класс С(Х). С этим явлением мы
встречались в предложении 6.5.4. Следующий результат (также вытекающий
из теоремы Бокштейна) получен в Edgar [698], [699]. Его
доказательство можно найти в задаче 6.10.66. Определение слабой топологии дано
в §4.7(ii).
6.10.6. Теорема. Пусть X — локально выпуклое пространство,
наделенное слабой топологией о(Х,Х*). Тогда соответствующая
бэровская а-алгебра совпадает с о-алгеброй о~(Х*), порожденной X*. В
частности, бэровская а-алгебра любого произведения прямых И1л
совпадает с о-алгеброй, порожденной координатными функциями.
Следующий результат из Kellerer [1034] дает некоторую
информацию о поведении борелевских и бэровских структур при образовании
топологических произведений.
6.10.7. Предложение. Пусть (Ха), а € А, — семейство
пространств, X = YlaXa. Равенство Ва(Х) = (g)Ba{Xa) выполняется в
каждом из следующих случаев:
(a) каждое конечное подпроизведение пространств Ха линделефо-
во (например, каждое Ха — либо компакт, либо сепарабельное
метрическое пространство);
(b) А = {1,2} и хотя бы одно из пространств Хг и Х2 является
сепарабельным метрическим;
(c) А = {1,2}, пространство Х\ локально компактно и о-компак-
тно, а Хъ сепарабельно.
При этом существуют дискретное пространство Х\ и
сепарабельное компактное пространство Х%, для которых Ва(Ху х X?) ф
Ва(Хх)®Ва(Х%).
Неизвестно, верно ли равенство Ва(Х хУ) = Ва(Х) ® Ba(Y) для
всех сепарабельных пространств.

60 Глава 6. Борелевские, бэровские и суслинские множества
Приведем теперь один результат В.В. Сазонова.
6.10.8. Предложение. Пусть X — а-компактное
топологическое пространство и пусть Г — семейство непрерывных функций,
разделяющее точки в X. Тогда Ва(Х) = о"(Г).
Доказательство. Проверим, что Ва(Х) с о-(Г). Можно считать,
что Г — алгебра функций, перейдя к порожденной семейством Г
алгебре. Пусть / G С(Х). Легко видеть, что в силу ст-компактности X
и теоремы Вейерштрасса найдется такая последовательность функций
/„ € Г, что f(x) = lim fn(x) для всякого х е X. Итак, функция /
измерима относительно <т(Г). ?
В различных задачах могут оказатьсянаелезны и другие ^-алгебры
подмножеств топологического пространства X. Упомянем некоторые
из них: о-/с(Х) — (Т-алгебра, порожденная компактными
подмножествами X, o-gs(X) — cr-алгебра, порожденная замкнутыми Gs-множествами
в X, ов{Х) — а-алгебра, порожденная шарами в метрическом
пространстве X. Простой пример метрического пространства X с
различающимися ег-алгебрами В(Х) и ав{Х) — любое несчетное дискретное
пространство, в котором шары — точки и все пространство (например,
пусть все ненулевые взаимные расстояния равны 1). Тогда ав(Х)
совпадает с ст-алгеброй всех множеств, которые либо не более чем счетны,
либо имеют не более чем счетные дополнения.
Существуют и банаховы пространства с В(Х) ^ о-в(Х) (см. Fremlin
[784]). Однако существуют также несепарабельные метрические
пространства с В(Х) = ав(Х) (см. задачу 6.10.42).
Некоторая дополнительная информация имеется в Булдыгин [52],
Hoffmann-J0rgensen [937], [941], [943], Jayne [971], Kharazishvili [338],
Mauldin [1228], [1231].
6.10(ii). Суслинские множества как проекции
Следующие теоремы показывают как определить суслинские
множества без А-операции. Напомним, что символы ?а,?ь, ?аб обозначают,
соответственно, классы счетных объединений, счетных пересечений и
счетных пересечений счетных объединений элементов класса ?.
Обозначим через Af класс всех цилиндров в 1№°, т.е. класс множеств вида
С(рх,... ,рк) = {(гц) б№°: щ = pi, • - •, пк = рк}.
Для двух классов множеств ? и Т в пространствах X и Y положим
?хТ := {ExF С XxY: Е €?,F € f}. Через S(?) обозначим класс
множеств, полученных применением А-операции к множествам из ?.
6.10.9. Теорема. Предположим, что некоторый класс ?
подмножеств непустого множества X содержит пустое множество. Тогда
следующие условия равносильны:

6.10. Дополнения и задачи 61
(i) А € 5(f);
(U) А есть проекция на X некоторого (?хЛГ)а8 -множества в
пространстве ХхТ№°;
(ш) существует пространство Y с некоторым компактным
классом подмножеств К, такое, что А есть проекция на X некоторого
{?хК)а5-множества в XxY;
(iv) существует такое пространство Y с некоторым
компактным классом подмножеств К., что А есть проекция на X некоторого
множества из XxY, входящего в S(?x)C).
(v) существует такое суслинское пространство Y, что А есть
проекция на X некоторого множества из XxY, входящего в класс
S(?xSy), где Sy — класс всех суслинских множеств в Y.
Доказательство. Пусть выполнено (i). Тогда
А= U ПА(В1 п»),
где А{п\,...,пи) G ?¦ Положим
С=П U А(п1,...,пк)хС{п1,...,пк).
k=1(ni,...,nk)eTNk
Ясно, что С € (?xN)aS. Покажем, что А есть проекция С на X.
Действительно, х входит в проекцию С в точности тогда, когда
найдется V = (Vj) € 1№° с (х, п) G С, т.е. когда для каждого к найдется
сгк = (пк) € К°° с а; € Апк,...,„* и r)j = пк при j = 1,...,к. Последнее
равносильно тому, что х € А(щ, • • •,%) для всех к, что и доказывает
наше утверждение о проекции С. Следовательно, из (i) вытекает (Н).
Напомним, что Af — компактный класс (см. лемму 3.5.3). Поэтому
(ii) влечет (Ш), откуда условие (iv) вытекает очевидным образом, так
т. (?хК)а6 с S(?x1C).
Пусть выполнено (iv). Сначала предположим, что А является
проекцией некоторого множества В с (? х K.)c,s, т.е. выведем (i) из (ш).
Имеем
в = П U 4k»*B*». А"п е ?> Bk" 6 к-
Положим А(щ,..., пк) = П*=1 Ajnj, В(щ,..., пк) = fljLi взъ ¦ Тогда,
как показывает стандартная проверка, справедливо равенство
В= (J f)i4(ni,...,nfc)xB(nb...,nfc).

62 Глава 6. Борелевские, бэровские и суслинские множества
Введем новую таблицу множеств А'{п\,...,Пк), которые совпадают с
A(ni,...,nk) в случае, если В(п\,...,пк) ф 0, и пусты в противном
случае. Это возможно, ибо пустое множество входит в ?, а класс S{?)
допускает конечные пересечения, так что А'{п\,... ,nk) 6 S(?). Для
завершения доказательства в рассматриваемом случае остается
проверить, что
А = жх(В) = 5({Л'(пь... ,п*)}). F.10.1)
Поскольку первое равенство есть определение А, то для
доказательства второго надо установить, что для всякой фиксированной
последовательности (rij) верны равенства
nx(f)A(nu...,nk)xB(ni,...,nk)) F.10.2)
= (~)пх(А(ты,...,Пк)хВ(п1,...,пк)) = f]A'(ni,...,nk).
k=i fc=i
Второе равенство в F.10.2) очевидно, причем левая часть F.10.2)
входит в правую. Предположим, что точка х входит в проекцию каждого
множества А{п\,..., rife) х В{п\,..., п*). Тогда множества
({x}xY)n(f\A(n1,...,nk)xB(n1,...,nkj)
непусты. Так как классы 1С и N компактны, то из предложения 1.12.4
следует, что ({х} хУ)п (fliLi Мпи • • •, nfc) х Я(щ,..., nfc) W 0.
Ясно, что проекция любого элемента этого множества есть х. Итак, мы
доказали F.10.2), а значит, и F.10.1).
Пусть теперь В е S(?xK). Согласно доказанному, В есть проекция
на X х Y некоторого (? х ? хЛ0<г«-множества С С X х Y х ]№°. Класс
Н := КхМ компактен по лемме 3.5.3. Таким образом, А есть проекция
{?хТ^о^-множества в пространстве Хх(Ух1№0) и по уже доказанному
имеем А € S(?).
Ясно, что (v) следует из (ii). Наконец, пусть выполнено (v).
Согласно теореме 6.7.4 пространство Y борелевски изоморфно суслинско-
му подмножеству отрезка [0,1]. При этом изоморфизме также
отождествляются классы суслинских множеств. Поэтому с самого начала
можно считать, что У — суслинское множество в [0,1]. Тогда
?xSY С ?xSl0A] С ?xS(lC) с S(?xiC),
где К. — класс всех компактов в [0,1]. Поэтому выполнено (iv). ?

6.10. Дополнения и задачи
63
6.10.10. Следствие. Пусть ? — сг-алгебра подмножеств
пространства X uY — суслинское пространство. Тогда проекция на X
всякого множества М G S(?®B(Y)) входит в S(?).
Доказательство. Заметим, что S(?<s>B(Y)) с S(?xB(Y)) в силу
задачи 6.10.68. ?
6.10(Ш). ^-аналитические и ^"-аналитические множества
Напомним, что многозначное отображение Ф из топологического
пространства X в множество непустых подмножеств топологического
пространства Y называется полунепрерывным сверху, если для
каждого х € X и каждого открытого множества V в Y, содержащего
множество Ф(х), найдется такая окрестность U точки х, что Ф(?7) С V.
6.10.11. Определение. Пусть X — хаусдорфово пространство.
(i) Множество А с X называется fC-аналитическим, если
существует такое полунепрерывное сверху отображение Ф из Т№° со
значениями в множестве компактов в X, что А = U^elN00 ^(ст)-
(И) Множество А С X называется Т-аналитическим или Т-сус-
линским, если оно получено с помощью А-операции над замкнутыми
множествами в X.
В работе Jayne [970] показано, (доказательство есть также в Rogers,
Jayne [1453, §2.8]), что для хаусдорфова пространства X следующие
условия равносильны: а) X /С-аналитично, б) X есть непрерывный
образ ^-множества из некоторого компакта, в) X есть непрерывный
образ Ко^-множества (счетное пересечение счетных объединений
компактов) из некоторого хаусдорфова пространства, г) X есть
непрерывный образ линделефова Схй-множества из некоторого компакта.
Важнейшие свойства ^-аналитических пространств перечислены в
следующей теореме. Доказательство см. в Rogers, Jayne [1453].
6.10.12. Теорема, (i) Всякое К-аналитическое множество
является ^-аналитическим и линделефовым.
(ii) Класс ^-аналитических множеств замкнут относительно
А-операции.
(Ш) Образ К-аналитического множества при полунепрерывном
сверху многозначном отображении со значениями в множестве
компактов в хаусдорфовом пространстве является К-аналитическим.
(iv) Множество А в хаусдорфовом пространстве X является К-
аналитическим в точности тогда, когда оно является проекцией
некоторого замкнутого К-аналитического множества в Хх]№°.
(v) В суслинском пространстве X классы К-аналитических
множеств, Т-аналитических множеств и суслинеких множеств
совпадают.

64 Глава 6. Борелевские, бэровские и суслинские множества
Из утверждения (iii) следует, что всякое суслинское множество
является ^-аналитическим. Однако /С-аналитических множеств больше:
например, всякий компакт К является ^-аналитическим (как образ
]№° при постоянном отображении Ф(<т) = К), а неметризуемый
компакт не является суслинским. /С-аналитические множества, образуя
несколько более широкий класс, нежели суслинские множества,
обладают, тем не менее, многими хорошими свойствами последних. В
частности, они являются радоновскими пространствами (задача 7.14.121).
6.10(iv). Пространства Влэкуэлла
6.10.13. Определение. Измеримое пространство (Х,Л)
называется пространством Блэкуэлла, если а-алгебра А является счетно
порожденной и содержит все точки, а кроме того, не имеет
собственных под-а-алгебр с этими двумя свойствами.
Этот интересный класс пространств был введен в работе Blackwell
[479] (без требования разделимости, которое теперь также
включается). Такие пространства допускают следующее описание
(доказательство вынесено в задачу 6.10.63).
6.10.14. Теорема. Пусть (X, Л) — измеримое пространство, а
Л является счетно-порожденной и содержит все точки. Следующие
условия равносильны: (i) (X, Л) — пространство Блэкуэлла;
(ii) всякое взаимно-однозначное Л-измеримое отображение f из
X на измеримое пространство (У, В) со счетно-порожденной и
содержащей все точки а-алгеброй В является изоморфизмом;
(ш) всякое инъективное Л-измеримое отображение f из X в
польское пространство Y есть изоморфизм (Х,Л) и (f(X),B(f(X))).
Некоторые авторы (см., например, Мейер [218]) используют
другую терминологию, по которой блэкуэловскими называются
пространства, изоморфные суслинским подпространствам прямой (другую ха-
рактеризацию см. в задаче 6.10.63). Из теоремы 6.8.9 ясно, что такие
пространства являются блэкуэловскими и в смысле данного выше
определения. Однако обратное неверно (см. Orkin [1321], Rao, Rao [1412]).
Таким образом, блэкуэловские пространства с точностью до
изоморфизма представляют собой некоторый класс подпространств прямой
с индуцированной борелевской ст-алгеброй, строго содержащий класс
суслинских подпространств. Отметим, что не суслинское множество,
являющееся дополнением к суслинскому, может не быть блэкуэллов-
ским (задача 6.10.64). Известно, что с обычными аксиомами
совместимо утверждение, что неборелевские коаналитические множества не
являются блэкуэлловскими пространствами (см. Orkin [1321], Rao, Rao
[1412]). О пространствах Блэкуэлла см. также Shortt, Rao [1518].

6.10. Дополнения и задачи
6.10(v). Отображения суслинских пространств
6.10.15. Лемма. Пусть X — польское пространство, Y —
метрическое пространство и /: X —> Y — борелевское отображение.
Тогда множество f(X) сепарабельно.
Доказательство. Предположим, что множество f(X) несепара-
бельно. Тогда найдется несчетное множество S С f(X), все точки
которого удалены друг от друга не меньше чем на некоторое е > 0. Если мы
покажем, что S имеет мощность континуума, то получим противоречие
с тем фактом, отмеченным в §6.8, что в В(Х) не более континуума
множеств. Действительно, множество всех подмножеств S имеет мощность
больше континуума. Тогда таково и множество всех множеств /~г(Е),
Е с S. Все такие множества входят в В(Х), ибо всякое подмножество
S замкнуто.
Теперь покажем, что S континуально (ясно, что S не более чем
континуально). Для этого рассмотрим дизъюнктные борелевские
множества /_1(s), s € S, выберем в каждом из них по произвольному
элементу zs и зададим отображение д: X —» X так: при х G /-1(s) пусть
д(х) = z8, а вне /_1(S) (если, конечно, f~1(S) ф X) пусть д равно
некоторому фиксированному элементу z & f~1(S). Тогда д — борелевское
отображение. В самом деле, д постоянно на борелевском множестве
X\f~1(S), а для всякого борелевского множества В С f~1(S) имеем
д~1(В) = /-1(Л), где А = f(B) с S. Поскольку А замкнуто (как и
всякое множество в S), то f~1(B) G В(Х). Согласно следствию 6.7.13,
несчетное множество д(Х) континуально. Тогда континуально и S. ?
6.10.16. Следствие. Пусть f — борелевское отображение су-
слинского пространства X в метрическое пространство Y. Тогда
множество f(X) сепарабельно.
Докажем следующий важный результат Н.Н. Лузина.
6.10.17. Теорема. Пусть X и Y — суслинские пространства и
А — суслинское множество в X х Y. Тогда суслинским является и
множество {у € Y: cardAy > No}. В частности, если /: X —> Y —
борелевское отображение, то множество {у G Y: card/-1(j/) > Щ}
является суслинским.
Доказательство. У нас имеются полное сепарабельное
метрическое пространство М и непрерывное отображение <р из М на А. Пусть
Ч> = (Vii <Р2)- Для каждого у €Y множество
М(у) := tfiAy) = {z?M: <p2{z) = у)
замкнуто в М и потому также является полным сепарабельным
метрическим пространством. Обозначим через D подмножество в М°°,

66 Глава 6. Борелевские, бэровские и суслинские множества
состоящее из всех последовательностей, не имеющих изолированных
точек. Согласно задаче 6.10.73 множество D имеет тип Gg в М и
потому представляет собой польское пространство. Заметим, что
множество Ау несчетно в точности тогда, когда найдется
последовательность {хк} € D со следующим свойством: tp2(xk) = у при всех к и
Vi (хк) Ф Vi^n) при всех различных кип. Действительно, если такая
последовательность существует, то ее замыкание несчетно и входит в
Ау ввиду непрерывности ipi. Обратно, если Ау несчетно, то с
помощью аксиомы выбора в М можно найти несчетное множество Р,
которое <р взаимно-однозначно отображает на Ау. Удалим из Р все
точки, каждая из которых обладает окрестностью, пересекающей Р по
не более чем счетному множеству. Получим также несчетное
множество Ра С Р, в котором можно найти счетную всюду плотную
последовательность {хк}. Ясно, что {хк} не имеет изолированных точек.
Положим
5=П U {({*ihv)?DxY: <р2(хк)=У,Мх1с)ФМхт)}.
fc=l m=fc+l
Как легко видеть, множество S является борелевским в D х Y (таковы
пересекаемые множества), а значит и суслинским. Обозначим через эту
проектирование DxY на Y. Тогда из доказанной выше характеризации
несчетности Ау вытекает равенство {у € У: cardAj, > No} = 7ГуE),
что завершает доказательство. ?
6.10(vi). Измеримость в нормированных пространствах
Много работ посвящено исследованию измеримости в банаховых
пространствах в топологии нормы и в слабой топологии. Напомним,
что слабая топология бесконечномерного банахова пространства X не
метризуема. Даже шар в сепарабельном пространстве может быть не
метризуем в слабой топологии. Например, таковы шары пространства
Iх (задача 6.10.34). Если X сепарабельно и рефлексивно, то шары со
слабой топологией являются метризуемыми компактами (причем
верно и обратное). Если X сепарабельно, то В{Х) порождается
полупространствами вида {х € X: 1{х) < с}, I G X", с € Ш1. В общем случае
это не так. Для несепарабельного X может быть не измерима операция
сложения ХхХ —» X относительно В(Х)®В(Х) и В(Х). Отметим, что
в работе Talagrand [1608] показано, что X является измеримым
векторным пространством, т.е. операция (*, х, у) i—> tx + у, JR. хХхХ —> X
измерима относительно В(Ш}) ®В(Х) <g>В(Х) и В(Х), в точности
тогда, когда выполнено равенство В(Х)®В(Х) = В(ХхХ). В этой же

6.10. Дополнения и задачи 67
работе доказано существование несепарабельного банахова
пространства X, для которого выполнено это равенство. Кроме того,
установлено, что из гипотезы континуума следует измеримость в указанном
смысле пространства 1°°. В работе Talagrand [1607] показано, что для
пространства /°° борелевские «т-алгебры, соответствующие слабой
топологии и топологии нормы, различны. Об измеримости в банаховых
пространствах см. Edgar [698], [699], Talagrand [1613].
6.10(vii). Пространство Скорохода
Рассмотрим один интересный класс пространств, введенный
Скороходом [286] и часто используемый в теории случайных процессов.
Пусть Е — метрическое пространство с метрикой д. Пространством
Скорохода D\{E) называется пространство отображений х: [0,1] —> Е,
непрерывных справа и имеющих левосторонние пределы для всех t > 0,
с метрикой
d(x, у) = inf {е > 0 | 3 А € А[0,1]: |« - X(t)\ < е, g(x(t), »(A(t))) < е},
где А[0,1] — множество гомеоморфизмов А отрезка [0,1] с А@) = 0,
АA) = 1. Аналогично определяются пространства Скорохода
отображений со значениями во вполне регулярных пространствах (см. работу
Jakubowski [963]). Если пространство Е — польское, то таково же и
Dj(E) (см., например, Pollard [1374]). В случае полного Е полной
является эквивалентная d метрика
do(*,y) = iiif{e>0| ЗАбА[0,1]:
sup|logA(^^)|<?,g(x(t),y(A(f))) <е}.
Аналогично определяются пространства отображений D(E) на
полуоси. В случае Е = Ш1 подробное обсуждение пространства Скорохода
можно найти в Биллингсли [36]. Нетрудно проверить, что для сепара-
бельного метрического пространства Е борелевская ст-алгебра Di(E)
порождается отображениями х i-* x{t), t > 0. Аналогичный вопрос для
более общих пространств рассмотрен в Jakubowski [963] и Bogachev
[499]. К этим работам, а также к Лебедев [187], Mitoma [1262] можно
обратиться за дополнительными сведениями о пространствах
Скорохода. Довольно тонким оказался вопрос о дескриптивных свойствах
пространства Скорохода. Приведем один результат А.В.
Колесникова [161].
6.10.18. Теорема. Пусть Е — каталитическое множество в
польском пространстве М. Тогда D\{E) — коаналитическое
множество в D\{M).

68 Глава 6. Борелевские, бэровские и суслинские множества
Как отмечено Колесниковым [161], пространство Di(Q) не
является суслинским. Кроме того, в этой же работе доказано, что в
предположении существования неизмеримых проекций коаналитических
множеств (совместимом с обычными аксиомами) существует такое суслин-
ское подмножество Е отрезка, что пространство D\ (Е) не является
универсально измеримым в ?>i([0,1]). На пространстве Скорохода можно
рассматривать и другие топологии, отличные от указанной выше.
Задачи
6.10.19f Доказать лемму 6.1.1.
Указание: Пусть / непрерывно в х, х = lima:a и W — окрестность f(x).
Найдем такую окрестность U точки х, что f(U) С W, а затем выберем ао с
ха е U при ао < а. Тогда f(xa) 6 W. Обратно, если выполнено указанное
условие для направленностей и W — окрестность точки f(x), то возьмем в
качестве Т множество всех окрестностей точки х со следующим порядком:
U < V, если V С U. Поскольку пересечение двух окрестностей также
является окрестностью, то получаем направленное множество. Если предположить,
что во всякой окрестности U точки х найдется точка хи с f(xu) & W, то
получим направленность {хи}иет, сходящуюся к ж, что противоречит условию,
ибо направленность f(xu) не сходится к /(ж).
6.10.20Р Доказать лемму 6.1.5.
Указание: Для каждого х € К есть непрерывная функция fx: X —^
[0,1] с fx(x) = 1, равная нулю вне U. Открытые множества {у: fx(y) > 1/2}
покрывают К, и из них можно выбрать конечное подпокрытие,
соответствующее некоторым точкам ц,... ,ж„. Функция д = (fxi + ¦¦¦ + fx„)/n: X —>
[0,1] равна нулю вне U и больше Bга)-1 на К. Теперь положим f = фод, где
ф: [0,1] -> [0,1] непрерывна, равна 1 на [1/га, 1] и ф@) = 0.
6.10.21.° Пусть К — компакт во вполне регулярном пространстве X.
(i) Доказать, что всякая непрерывная функция / на К может быть
продолжена до непрерывной функции на X без увеличения максимума модуля.
(ii) Пусть / — непрерывное отображение из Л" в метрическое
пространство Y. Показать, что / можно продолжить до непрерывного отображения
на всем пространстве X.
Указание: (i) множество Т всех непрерывных функций на К,
имеющих ограниченные непрерывные продолжения на X, является подалгеброй
в С{К). и содержит константы. Это множество разделяет точки К в силу
полной регулярности X. По теореме Стоуна-Вейерштрасса найдется
последовательность функций Л» € Т, равномерно сходящаяся к / на К. Можно
считать, что \fn(x) — /n+i(a;)| < 2~п при х € К. Теперь по индукции находим
непрерывные функции дп на X, для которых |д„(х) - gn+i(x)\ < 2~п для
всех х € X и дп\к = /п\к- Поскольку X вполне регулярно, то существует
непрерывная функция ?i: X —> [0,1], равная 1 на К и 0 вне открытого
множества Vi := {|/i - h\ < 1/2}- Полагаем ец := Ci/i, 52 := С1/2, f'n ~ Ci/n,

6.10. Дополнения и задачи
п ^ 3, и продолжаем этот процесс применительно к функциям f'n.
Последовательность {д„} равномерно сходится на X и ее предел на # есть /. Таким
образом, получаем продолжение / до ограниченной непрерывной функции д
на X. Теперь добьемся равенства тахх \д(х)\ = шахк \f(x)\, перейдя к
функции вод, где 0{t) = t при t е [-М,М], 0(t) = М при t > М, 9(t) = -М при
t < —М. (ii) Поскольку /(#) — компакт в У, то можно считать, что Y сепара-
бельно. Это сводит все к случаю Y = Ш,°°, т.е. к случаю последовательности
числовых функций.
6.10.22? Пусть Xt, t € Т, — несчетный набор метрических пространств,
содержащих более одной точки. Показать, что топологическое произведение
Xt не метризуемо.
Указание: в метризуемом пространстве каждая точка имеет счетный
базис окрестностей.
6.10.23.° Доказать, что компактное пространство X метризуемо в
точности тогда, когда на X есть счетное множество непрерывных функций /„,
разделяющих точки.
Указание: необходимость этого условия очевидна; для доказательства
достаточности вложить X в JR°° с помощью непрерывного отображения х \—>
(/п(я))> что дает компактное множество в П1°°; проверить, что на этом
множестве исходная топология совпадает с топологией, индуцированной из Ж°°.
6.10.24. Показать, что множество Кантора С гомеоморфно {0,1}°°.
Указание: см. Энгелькинг [373, 3.1.28].
в.10.25. Пусть К — непустой компакт без изолированных точек.
Доказать, что К можно непрерывно отобразить на [0,1].
Указание: предположим противное. Тогда никакой компакт в К также
нельзя непрерывно отобразить на [0,1], иначе такое отображение можно было
бы продолжить на К. На К существует непостоянная функция ip\ со
значениями в [0,1]. По предположению найдутся такие ci < сг, что #1,1 := {y>i ^ с\}
и К\,2 '¦= {<Pi ^ сг} непусты и [с1,сг] не пересекается с <pi(K). Это
позволяет построить непрерывную функцию /i с /\к1А = 0, J\k1i2 = 1/2-
Применяем это рассуждение к #i,i и #i,2 и получаем #i,i = #2,1 U #2,2,
К% — #2,з U #2,4 с дизъюнктными компактами #i,j. Берем непрерывную
функцию /г, принимающую значения 0, 1/4, 1/2, 3/4 на #2,1, #2,2, #2,з,#2,4-
По индукции продолжаем этот процесс и находим дизъюнктные компакты
Кп,т, т = 1,... ,2", такие, что #n-i,i = #„,i U #„,2, #„-i,2 = #п,з U #„,4
и т.д. Затем берем функцию /п, принимающую на 2П дизъюнктных
компактах п-го шага значения 0,2~п,1 — 2~п. Полученные непрерывные функции
сходятся равномерно к функции /, множество значений которой есть [0,1].
6.10.26. Пространство ©(И1) есть множество всех бесконечно
дифференцируемых функций с компактными носителями, наделенное локально
выпуклой топологией т, порожденной нормами вида
'' P{ak}('f) = T,'ZL-00akmax{\ip(m\x)\: x€[k,k+l],m^ak},
гфр в качестве {ok} берутся всевозможные двусторонние последовательности
«атуральных чисел. Последовательность <pj сходится к tp в этой топологии
'%0гда и только тогда, когда функции (fj равны нулю вне некоторого общего

70 Глава 6. Борелевские, бэровские и суслинские множества
отрезка и все производные tpj сходятся равномерно к производным <р. Эта
топология г является топологией локально выпуклого индуктивного
предела последовательности пространств D„, состоящих из гладких функций
с носителями в [—п,п], наделяемых последовательностью норм max|</?(m)|.
Пространство непрерывных в топологии т линейных функций на Т>(Ш})
обозначается через ТУ(Ш}) и называется пространством обобщенных функций.
Аналогично определяются ?>(]Rd) и D/(]R'').
(i) Доказать, что топология т строго слабее топологии т\ на 2?(ИХ), в
которой открытыми считаются все те множества, которые дают открытые
пересечения со всеми Т>п. Для этого показать, что квадратичная функция
F((p) = J2^=i ^(n)v(B)@) разрывна в топологии т, но непрерывна в т\.
(ii) Доказать, что топология г строго сильнее топологии гг на 1>(Ш}),
порожденной нормами pj,(<p) = sup|^(x)<p(m)(x)|, где берутся всевозможные
целые неотрицательные m и положительные локально ограниченные
функции ip. Для этого проверить, что линейная функция F((fi) = J^JILi <р^п\п)
непрерывна в топологии т, но разрывна в топологии т2.
(Ш) Доказать, что пространство Z^IR1) с топологией т индуктивного
предела пространств Т>п не является &я-пространством (X называется ки-
пространством, если для непрерывности функции на X достаточна ее
непрерывность на всех компактах).
Отметим, что в некоторых учебниках функционального анализа
топологии Ti или Т2 ошибочно вводятся как совпадающие с т. К счастью, сходимость
счетных последовательностей во всех трех топологиях одна и та же.
6.10.27. Пусть X — сепарабельное метрическое пространство и^-
некоторый набор борелевских множеств в X. Предположим, что гп > 0 —
убывающие к нулю числа, причем для каждого а; € X и каждого п € IN
найдется такое множество Е из <г-алгебры, порожденной Т, что B(x,rn+i) с
Е С В(х, г„), где В(х, г) — открытый шар радиуса г с центром в х. Показать,
что а(Г) = В(Х).
Указание: см. Hoffmann-J0rgensen [944, 1.9].
6.10.28.° Показать, что «т-алгебра ?, порожденная одноточечными
подмножествами Ш. не является счетно-порожденной. Вывести из этого, что не
всякая под-ст-алгебра В(Ш) является счетно-порожденной.
Указание: воспользоваться тем, что всякое множество из ? либо не
более чем счетно, либо таково его дополнение.
6.10.29. Пусть В — алгебра всех промежутков в [0,1]. Для п 6 IN по
индукции определим классы множеств так: Вп есть совокупность
всевозможных счетных пересечений и счетных объединений множеств из B„-i, Во = ?.
Доказать, что U^=o ^« не является «т-алгеброй, в частности, не совпадает с
борелевской (т-алгеброй.
Указание: см. Куратовский [181, §30, XIV], Rogers, Jayne [1453, §4.3].
6.10.30. Пусть ? — некоторый класс подмножества пространства X,
причем 0 6 ?. (i) Пусть П — множество всех конечных или счетных
порядковых чисел. При а € П классы ?а определяются с помощью трансфинитной

6.10. Дополнения и задачи 71
индукции следующим образом: ?а состоит из всевозможных счетных
объединений множеств из классов ?р с /3 < а или множеств, имеющих дополнения
из таких классов, где ?о = ?. Показать, что а(?) = Uaen ?<*•
(ii) Пусть ? — алгебра множеств. При абП зададим классы Ва
следующим образом: Ва состоит из всевозможных счетных объединений и счетных
пересечений множеств из Вр с /? < а, Во = ?¦ Показать, что а(?) = \JaeA &<*¦
(iii) Доказать, что если класс ? бесконечен и имеет не более чем
континуальную мощность, то <т(?) имеет мощность континуума.
6.10.31. (Sierpinski [1528]) Пусть Т — некоторое семейство подмножеств
множества X и B(F) — класс всех множеств, которые можно получить
исходя из Т с помощью образования конечных или счетных пересечений и
объединений в произвольном порядке чередования операций. Доказать, что
B{F) совпадает с а-алгеброй а(^), порожденной Т, в точности тогда, когда
Ei\Eh € B(F) для всех Ei,E2e Т.
6.10.32. Показать, что во всяком полном непустом метрическом
пространстве без изолированных точек есть борелевское множество, гомеоморф-
HoelN00.
Указание: модифицировать доказательство теоремы 6.1.13.
в.10.33? Пусть X — локально выпуклое пространство и Хо — его
линейное подпространство, наделенное индуцированной топологией. Показать, что
G-алгебра в Хо, порожденная сопряженным пространством Хо, совпадает с
пересечением Хо с сг-алгеброй в X, порожденной X*.
6.10.34° Показать, что замкнутый единичный шар в I1 не метризуем в
слабой топологии.
Указание: в I1 для счетных последовательностей слабая и сильная
сходимость равносильны, поэтому из метризуемости шара в слабой топологии
следует совпадение на нем слабой топологии с топологией нормы, что
неверно, ибо всякое непустое слабо открытое множество содержит целую прямую
и в пересечении с шаром дает точки сферы.
6.10.35. Пусть X — „две стрелки" из примера 6.1.20. Доказать, что В(Х)
есть класс всех таких множеств В, для которых найдется такое множество
Е С В[0,1], что В Д ir~1(E) не более чем счетно, где п: X —* [0,1] —
естественная проекция. В частности, В(Х) С В(К2). Кроме того, В(Х) является
счетно-порожденной.
Указание: класс В всех множеств В с указанным свойством образует
<т-алгебру. Одноточечные множества замкнуты в X и потому входят в В(Х),
т.е. В(Х) содержит все счетные множества. Ввиду непрерывности ж имеем
f^CE) € В{Х) при Е € В[0,1], откуда В С В(Х). Так как X наследственно
линделефово, каждое открытое множество есть не более чем счетное
объединение элементов базы топологии. Элементы базы лишь на одноточечные
Множества отличаются от прообразов интервалов относительно 7г, откуда
следует, что В(Х) С В. Элементы базы со рациональными концами
порождают В(Х), ибо всякая точка может быть получена как счетное пересечение
таких элементов, а всякий элемент базы есть счетное объединение элементов
с рациональными концами с возможным добавлением точки.

72 Глава 6. Борелевские, бэровские и суслинские множества
6.10.36. Построить пример счетно-порожденных ст-алгебр Bi и &2, для
которых В\ П Въ не является счетно-порожденной.
Указание: см. Rao, Rao [1412]; можно взять под-<г-алгебры В\ и Въ в
Б(Н1), состоящие из множеств, инвариантных относительно сдвигов на 1 и
7г соответственно.
6.10.37. Пусть X — пространство со счетно-порожденной (Т-алгеброй А
и Хо С X. Показать, что ст-алгебра подмножеств Хо П А, А € А, множества
Хо также является счетно-порожденной.
Указание: применить теорему 6.5.5.
6.10.38. Пусть X — нормальное пространство и Х0 замкнуто в X.
Доказать, что Ва(Х0) = {ВГ\Х0: Be Ва(Х)}.
Указание: всякая функция / е С(Хо) продолжается до непрерывной
функции на X, см. Энгелькинг [373, теорема 2.1.8].
6.10.39? Пусть (X, В) — измеримое пространство, Y и S — сепарабель-
ные метрические пространства. Пусть отображение F: XxY —* S при
каждом фиксированном х € X непрерывно по у, а при каждом фиксированном
у ? Y отображение х •—> F[x,y) измеримо относительно В и B(S). Доказать,
что F измеримо относительно B®B(Y) и B(S).
Указание: для каждого п взять счетное разбиение Y на борелевские
множества Bn,j диаметра не более 2_п, выбрать в Bnj точки Ь„,3 и
положить fn(x,y) = f(x,bn,j) при у € B„j; полученные отображения измеримы
относительно B*8>B(Y) и B(S) и поточечно сходятся к /.
6.10.40. Показать, что есть такая ограниченная борелевская функция
/ на плоскости, что функция д(х) = supv /(х, у) не является борелевской.
6.10.41.° Доказать, что на плоскости существует неборелевская (даже
неизмеримая по Лебегу) функция, которая является борелевской по каждому
переменному отдельно при фиксированном другом.
Указание: см. задачу 3.10.41.
6.10.42. (Talagrand [1606]) Показать, что есть несепарабельное
метрическое пространство, борелевская <т-алгебра которого порождается шарами.
6.10.43° Привести пример компактного пространства, борелевская ст-
алгебра которого не порождается замкнутыми С*-множествами.
Указание: Рассмотреть произведение континуума отрезков.
6.10.44. Привести пример польского пространства, борелевская ст-ал-
гебра которого не порождается компактными множествами.
Указание: рассмотреть бесконечномерное сепарабельное банахово
пространство.
6.10.45. (Бурбаки [56, гл. V, §8, п 5], Ченцов [355]) Для каждого х € К
пусть 1Х — копия [0,1] и Ux — копия @,1]. Доказать, что П^еи U* не является
борелевским множеством в компакте П^ек^-
Указание: см. более общее утверждение в задачах 7.14.152 и 7.14.153, а
также Wise, Hall [1722, пример 6.24].
6.10.46.° Пусть X — „две стрелки" из примера 6.1.20. Доказать, что
отображения /i: [0,1] -> X, Д(х) = (ж,1), /2: [0,1] — X, f2(x) = (х,0), -
борелевские, а / = (/ъ/г): [0,1] —> Хх X не является борелевским.

6.10. Дополнения и задачи
73
Указание: индуцированная топология диагонали в ХхХ дискретна.
6.10.47. Пусть множества Е{п\,... ,Пк) образуют монотонную таблицу,
причем если E(ni,...,Пк) П Е{т\,..., тр) непусто при некоторых к ^ р, то
ni = mi, — , Пк — Ttik- Доказать, что
U р|?(щ,...,пк)=П U Е(П1,...,Пк).
(nijelN00^1 *=i("iNl№0
Указание: заметить, что левая часть всегда входит в правую, а затем
проверить обратное включение, пользуясь тем, что если ж входит в
множество UfnjjglN00 ^(ni> ¦ • • > nk) ПРИ А; = 1,..., п, то найдутся такие mi,..., m„,
что ж е ?(mi,...,m„); это дает (т„) с х G flfcli Е(тп\,... ,тпк).
6.10.48. Пусть (Х,Л) — измеримое пространство, S С [0, оо) —
счетное множество и {^s}s€s С Л — покрытие X, причем Аа С At при s < t.
Положим /(ж) = inf{s ? S: х G As}. Показать, что функция / измерима
относительно Л, /(ж) ^ s при ж € As, /(ж) ^ s при х ? Аа.
6.10.49. В предположении гипотезы Мартина доказать, что существует
инъективная функция /: 1R1 —> Ю.1, которая не может быть измеримой
относительно какой-бы то ни было вероятностной меры, область определения
которой является <т-алгеброй и содержит все точки.
Указание: см. Kharazishvili [1044, теорема 6, с. 173].
6.10.50. (Rao [1408]) Пусть ft — множество мощности,
соответствующей первому несчетному порядковому числу a>i и V(Q) — множество всех
его подмножеств. Доказать, что 7>(ft)®P(ft) = 7>(ftxft). Показать, что в
предположении гипотезы континуума сг-алгебра, порожденная всеми
произведениями АхВ, А, В С [0,1] совпадает с классом всех множеств в [0,1]х[0,1].
Указание: график всякой функции на ft со значениями в [0,1] входит
в 7>(П)®В([0,1]). Поскольку можно вложить ft в [0,1], то график
всякого отображения из ft в ft входит в 'P(ft) ®7>(ft). Из этого следует, что в
"P(?l)<SV(n) входит всякое множество Е с не более чем счетными сечения-
ми Ех := {у: (ж,у) е Е}, х € ft. Это же верно для всякого Е с не более
чем счетными сечениями Еу := {х: (ж, у) е Е}, у € ft. Поскольку множества
{а: а ^ Qo} не более чем счетны при ао < и>\, то V(ii)^P{iY) содержит всякое
подмножество множества {(a, j3): а ^ /3} и всякое подмножество множества
{(а,/3): /3 ^ а}. Это доказывает утверждение, ибо объединение указанных
множеств есть ft. См. также Kharazishvili [1044, с. 201], Mauldin [1229].
6.10.51. (Sierpinski [1533]) Построить последовательность непрерывных
функций /п на [0,1], которая имеет предельные точки в топологии
поточечной сходимости, причем все эти предельные точки являются неизмеримыми
функциями.
6.10.52? Пусть / — сюръективное борелевское отображение суслинского
пространства X на польское пространство У и множество Е С Y таково, что
/-1(?) — борелевское множество в X. Доказать, что Е также борелево.
Указание: заметить, что Е = f(f~1{E)) и Y\E = f(X\f~1(E))
—дизъюнктные суслинские множества.

74 Глава 6. Борелевские, бэровские и суслинские множества
6.10.53. (i) (Purves [1390], импликацию (Ъ)=^(а) получил Лузин [199])
Доказать, что для борелевского отображения F, определенного на борелев-
ском подмножестве X польского пространства и принимающего значения в
польском пространстве Y, следующие условия равносильны:
(a) F(B) — борелевское в Y для всякого борелевского множества В С X;
(b) множество всех таких значений у, что F~1(y) несчетно, является не
более чем счетным;
(ii) (Maitra [1196]) Доказать, что равносильные условия (а) и (Ь)
равносильны также тому, что F~x (F(B)) является борелевским в X для всякого
борелевского В С X.
в.10.54. (i) Пусть (Х,В) — измеримое пространство, Y С X и By =
{Y П В, В € В}. Доказать, что всякая Ву-измеримая функция на Y является
сужением Б-измеримой функции на X.
(ii) (Shortt [1516]) Пусть В — <т-алгебра подмножеств пространства X.
Предположим, что В является счетно-порожденной и счетно-разделяющей.
Доказать, что (X, В) является стандартным измеримым пространством в
точности тогда, когда для каждого измеримого пространства (fi,.F) и каждого
множества О! с П всякое отображение f:?l'—> (Х,В), измеримое
относительно Т П ?2', продолжается до измеримого отображения (Q, Т) —* (X, В).
Указание: (i) достаточно рассмотреть ограниченные функции, перейдя
к arctg/; заметим, что если множества Bi П Y, где г = 1,..., к и Bt 6 В,
попарно не пересекаются, то можно найти попарно непересекающиеся
множества Bi 6 В с В[ П Y = Вг П Y. Считая, что 0 < / < 1,
рассмотрим множества Aiin = {(г — 1J~" < / ^ *2-"}, i = 1,...,2П. Положим
/„ = t2_n при х € Ai<n- Тогда |/ — /„| < 2~". Пользуясь сделанным выше
замечанием, можно найти такие В-измеримые функции дп, что дп\у = /п и
max|ffn — 9n-i\ = max|/n — /n-i| < 22-n. В качестве искомого продолжения
можно взять д = lim дп.
6.10.55. (i) (Содномов [298], Erdos, Stone [715], Rogers [1452])
Построить пример двух борелевских множеств А и В на прямой, для которых
множество А + В не является борелевским. Показать, что такое возможно даже,
если А компактно, а В — С^-множество. Построить также пример
борелевского множества В на прямой, для которого В — В — не борелевское.
(i) (Rao [1411]) Показать, что нет счетно-порожденной «т-алгебры ? в И1,
содержащейся в «т-алгебре измеримых по Лебегу множеств и обладающей тем
свойством, что А + В € ? для всяких борелевских множеств А; В.
6.10.56. (Sierpinski [1526]) Показать, что всякое суслинское множество
Е С [0,1] можно представить в виде Е = /([0,1)) с некоторой непрерывной
слева функцией /.
6.10.57f Показать, что существует такое счетное семейство интервалов
на прямой, что оно порождает борелевскую а-алгебру, но никакое
собственное подсемейство ее не порождает.
Указание: рассмотреть интервалы ((к — 1J~", fc2~n) с целыми п и к и
проверить, что они разделяют точки, а если удалить хотя бы один интервал,
то это свойство теряется; скажем, если удалить интервал с к = 21, то его

6.10. Дополнения и задачи
75
левый конец и середина не разделяются оставшимися интервалами; см. также
Elstrodt [711, с. 109], Rao, Shortt [1416].
6.10.58. (Jackson, Mauldin ([961]) Пусть на Rd задана некоторая норма
и пусть Со — наименьший класс множеств, содержащий все открытые шары
по этой норме н замкнутый относительно операций взятия дополнения и
счетного объединения дизъюнктных множеств. Доказать, что Со = В(Ш )
(в Keleti, Preiss [1031] показано, что аналогичное утверждение неверно для
сепарабельных банаховых пространств).
6.10.59. (Szpilrajn [1596]) Пусть N — некоторый класс подмножеств
множества X со следующими свойствами: если N\ € Л/"и ЛГ2 С N\, то N? €//,
и если Ni 6 Л/", то U^i ^« е N (такой класс иногда называют нуль-классом).
Предположим, что задан класс М подмножеств X, который удовлетворяет
следующим условиям: а) М. замкнут относительно счетных объединений и
пересечений, Ь) М содержит дополнения всех множеств из М, с) для всякого
множества S существует такое множество S € М, что S С S, причем если
М € М таково, что 5 С М С S, то S\M е .Л/. Доказать, что класс М замкнут
относительно А-операции и вывести из этого сохранение класса измеримых
множеств при А-операции.
Указание: см., например, Rogers, Jayne [1453, теорема 2.9.2]. Для
применений к измеримым множествам взять в качестве N класс множеств меры
нуль, а в качестве S измеримую оболочку S.
6.10.60. (Mazurkiewicz [1235]) Пусть Z — замкнутое подмножество в
1№° и /: 2->У- непрерывное отображение со значениями в суслинском
пространстве Y. Показать, что найдется такое коаиалитическое множество
Е С Z, что f(E) = f(Z) и / инъективно на Е. В частности, всякое суслинское
. множество является непрерывным и взаимно-однозначным образом
некоторого коаналитического множества.
Указание: см. теорему 6.9.1 или Куратовский [181, §39, с. 491].
6.10.61° Пусть X — суслинское пространство и / — борелевская
функция на X. Доказать, что на X существует более сильная топология с прежней
борелевской структурой, в которой X остается суслинским, а / оказывается
непрерывной.
Указание: заметить, что график / является суслинским пространством,
борелевски изоморфным А", причем / непрерывна в топологии на X,
перенесенной с этого графика.
6.10.62? Пусть X — борелевское множество в польском пространстве и
Л является счетнс-порожденной под-<т-алгеброй в В(А"). Доказать, что
найдутся такие суслинское множество Е е Ш1 и борелевская функция / на А" с
ДА") = Е, что А = {Г1 {В), В е В(Е)}.
6.10.63. (i) Доказать теорему 6.10.14. (ii) Пусть Л — счетно-порожден-
ная и содержащая все точки а-алгебра в пространстве X. Доказать, что
(А*, Л) изоморфно суслинскому подпространству прямой с индуцированной
борелевской tr-алгеброй в точности тогда, когда для всякой Д-измеримой
функции / множество f(X) является суслинским.

76 Глава 6. Борелевские, бэровские и суслинские множества
Указание: (i) использовать существование инъективной ^-измеримой
функции /, порождающей A. (ii) Для той же функции, что ив (i),
доказать, что все множества f(A), А ? А, являются суслинскими, а тогда ввиду
теоремы об отделимости и борелевскими в f(X).
6.10.64. (Maitra [1195]) (i) Пусть А — блэкуэлловское коаналитическое
множество в польском пространстве. Показать, что для всякого инъектив-
ного борелевского отображения /: Х-»У, где У — польское пространство,
множество f(A) — коаналитическое. (ii) Построить пример коаналитического
множества в [0,1], не являющегося блэкуэлловским.
Указание: (i) применить теорему 6.2.11; (ii) взять не борелевское су-
слинское множество Е С [0,1] и непрерывное отображение / множества 1Z
иррациональных чисел из @,1) на Е, по задаче 6.10.60 можно найти такое
множество А С И, дополнительное к суслинскому множеству, что f(A) = Е
и / инъективно на А. Множество А — искомое.
6.10.65. Пусть 1С — такой класс подмножеств множества X, что всякий
набор из К с пустым пересечением обладает конечным поднабором с пустым
пересечением. Предположим, что для всяких различных точек х и у
найдутся такие КХ,КУ 6 К, что х g Кх и у g Ку. Тогда X можно наделить
хаусдорфовой топологией, в которой X и все множества из АС компактны.
Указание: рассмотреть топологию, порожденную множествами Х\К,
где К е К.
6.10.66. Доказать теорему 6.10.6.
Указание: Ясно, что сг(Х*) входит в бэровскую сг-алгебру
пространства X со слабой топологией. Для проверки обратного включения
достаточно показать, что для всякой слабо непрерывной функции F на X
множество {х € X: F(x) > 0} входит в ст(Х*). Можно считать, что X вложено
в качестве всюду плотного линейного подпространства в Шт, взяв в
качестве Г множество X*. При этом слабая топология X совпадает с
индуцированной из 1RT. Для рациональных г положим Ur = {х € X: F(x) > г},
Vr = {х е X: F(x) < г}. Существуют открытые в Шт множества Ur,Vr с
Urr\X = Ur, VrnX = Vr. При этом UrC\VT = 0, ибо X плотно в Ит. Теперь
надо воспользоваться теоремой Бокштейна (см. [373, 2.7.12(c)]), согласно
которой найдутся такие счетное множество S и открытые в IRS множества Ur, V?,
что и'т П Vr — 0, Vr С 7rJ1(l/^), Vr С тгд1^). Открытые множества Vr, Vr в
метризуемом пространстве Rs являются бэровскими, поэтому X П 7Гд1(Gг)
иХП 7Ts1(VV) входят в <т(Х*). Остается заметить, что {х е X: F(x) > 0}
совпадает с объединением множеств X П 7rJ1(C/r) по рациональным г > 0,
что проверяется непосредственно.
6.10.67.° Пусть А и В — «т-алгебры я Е в S(A<S>B). Показать, что есть
такие последовательности {Ап} С Ал {В„} С В, что Е е S({An}х{Вп}).
Указание: всякое ,А®В-суслинское множество порождается счетной
таблицей множеств из Л®В, поэтому остается применить задачу 1.12.54.
6.10.68.° Пусть ? — <т-алгебра на множестве X, Y — суслинское
пространство и Z — суслинское множество в Y. Показать, что
S(?®B(Z))cS{?xB(Y)).

6.10. Дополнения и задачи
Указание: достаточно проверить, что ?®B{Z) С S{?xB(Y)); поскольку
? х B(Z) — полуалгебра, a S(? х B(Y)) — монотонный класс, то остается
заметить, что ЕхВе S(?xB(Y)) для всех Е е ? и В 6 B(Z) С S(B(Y)).
6.10.69. (Jayne [971]) Пусть X — топологическое пространство.
Показать, что Ва(Х) является наименьшим классом множеств, содержащим все
функционально замкнутые множества и допускающим счетные объединения
дизъюнктных множеств и любые счетные пересечения.
6.10.70? Пусть X — топологическое пространство, То — класс
функционально замкнутых множеств в X. Показать, что S(Ba(X)) = S(.Fo). В
частности, в метрическом пространстве борелевские множества ^"-аналитичны.
Указание: если F € Jo, то X\F = IJ^Li Fn, гДе *п ? -^Ь; рассмотреть
? := {В € Ва(Х): В,Х\В € S(To)}.
6.10.71. Пусть (X,A,fi) — вероятностное пространство, А — счетно-
порожденная сг-алгебра, (Т, В) — измеримое пространство и fit — семейство
ограниченных мер на А, абсолютно непрерывных относительно ц, причем
для каждого А € А функция t <—> fit (А) измерима относительно В. Доказать,
что можно найти такую А <8> В-измеримую функцию / на X х Т, что для
каждого t ? Т функция х н-» /(х, t) служит плотностью Радона-Никодима
меры fit относительно ц.
Указание: если X = [0,1] и А = В([0,1]), то по теореме 5.8.8 при каждом
t плотность Радона-Никодима fit относительно ц можно задать равенством
f(x,t) = lim fit([x — еп,х + en])/fi([x — еп,х + е„]), где е„ = га-1, причем
f(x,t) = 0, если /х([х — е„,х + е„]) = 0 при некотором п. Можно считать,
что мера ц не имеет атомов, ибо для чисто атомической части утверждение
очевидно. Легко видеть, что функция fit([x — еп,х + e„])/fi{[x — еп,х + е„])
измерима относительно В([0,1])<8>В, поскольку числитель и знаменатель
непрерывны по х ввиду отсутствия атомов и В-измеримы по t. Указанный
предел для фиксированного t существует при п.в. х, а для прочих х
положим f(x, t) = 0. В общем случае согласно теореме 6.5.5 существует такая
^-измеримая функция f: X -> [0,1], что А = |$_1(В), В € В([0,1])}.
Положим c = /io^1, vt = fit°i~x- Тогда ut •< v и по доказанному существует
В([0,1])®В-измеримая версия д плотностей Радона-Никодима мер ut
относительно v. Положим f(x,t) := p(?(x),t). Функция / измерима относительно
А®В. При фиксированном t для заданного множества A G А найдем
множество В € В({0,1]) с А = ГЧВ). Так как /в(?(х)) = 1а(х), то
1Н(А) = щ{В) = j Q(y,t)v(dy) = J IB{Z{x))f(x,t)fi{dx) = f f(x,t) fl(dx).
6.10.72. (i) (C. Doleans-Dade) Пусть (X, A, fi) — вероятностное
пространство, (T,B) — измеримое пространство, fn(x,t) — последовательность А®В-
измеримых функций на X х Т, причем для всякого фиксированного t
последовательность функций х н-> fn(x,t) фундаментальна по мере ц. Показать,
что существует такая .ДфВ-измеримая функция /, что /„( • ,t) —> /(-,*) по
мере ц для в

78 Глава 6. Борелевские, бэровские и суслинские множества
(ii) (Strieker, Yor [1581]) Пусть (X, А, ц) — вероятностное пространство
с сепарабельной мерой ц, (Т,В) — измеримое пространство, fn(x,t) —
последовательность Л®В-измеримых функций на ХхТ, причем для всякого
фиксированного t функции х i-» fn(x, i) интегрируемы по мере д и слабо
сходятся в Lx(m)- Показать, что существует такая .Д®&-измеримая функция /,
интегрируемая по х, что /„(¦ ,t) —> /(•, t) слабо в ?*(м) для всякого t.
Указание: (i) можно считать, что функции /„ равномерно ограничены,
перейдя к arctg/„. Тогда для всякого t последовательность /„(•,*)
фундаментальна в Ь2(ц). Функции gn,k(t) = / \МХ,*) — fk(x, t)\2 n(dx) измеримы
относительно В. Для всякого р € IN пусть тпр(?) — наименьшее тп, для
которого gn,k(i) ^ 8_р для всех га, к ^ го. Из доказательства теоремы Рисса легко
усмотреть, что при каждом t последовательность fmp(t)(x,t) сходится /и-п.в.
Кроме того, нетрудно проверить В-измеримость функций mp(t). Поэтому
функции fmp(t)(x>t) измеримы относительно А®В. Искомую функцию
зададим так: f(x,t) = lim fmp(t)(x,t), если этот предел существует, и f(x,t) = О
в противном случае. Утверждение (ii) вытекает из задачи 6.10.71.
в. 10.73. Пусть (М, d) — сепарабельное метрическое пространство и D С
М°° состоит из всех последовательностей, не имеющих изолированных точек.
Показать, что D — Gs-множество.
Указание: пусть {ат} — счетное всюду плотное множество в М.
Проверить, что при фиксированных к, тп и га множество всех таких
последовательностей {xj} € М°°, что d(ifc,Om) < 2_n_1 и d(xj,am) ^ 2~п для всех
j ф к, замкнуто.
6.10.74. Пусть т — несчетное порядковое число. Показать, что для
всякой непрерывной функции / на пространстве [0, т) с порядковой топологией
найдется такое то < т, что / постоянна на [то, т).
Указание: для каждого fc найдется такое а* < т, что |/(а) - /(/3) | < 1/fc
при а, /? > а*. В противном случае по индукции можно найти возрастающую
последовательность а*„ с \f(otkn+1)—/(«*„I ^ 1/fc- Это противоречит
непрерывности /, ибо такая последовательность сходится к sup <**,„. Существует
такое то <т, что а*, < то для всех А;. Ясно, что то — искомое.
в.10.75. (С. Банах) В предположении гипотезы континуума доказать
существование такой счетной последовательности множеств Ап С [0,1], что
меру Лебега нельзя продолжить до счетно-аддитивной меры на ст-алгебре,
порожденной борелевскими множествами и множествами А„.
Указание: из гипотезы континуума следует, что [0,1] можно так вполне
упорядочить, что для всякого /3 6 [0,1] множество {а: а =4 0} не более
чем счетно. В силу задач 6.10.50 и 3.10.32 множество М := {(а,/?): а Ц /?}
содержится в ст-алгебре, порожденной некоторым счетным набором
произведений AiXAj. Предположим, что меру Лебега удалось продолжить до счетно-
аддитивной меры v на ст-алгебре А, содержащей все борелевские множества
и все Ai. Тогда М измеримо относительно v®v. Это ведет к противоречию,
ибо тогда по теореме Фубини множество М и его дополнение имеют i/®i/-
меру нуль, поскольку все горизонтальные сечения М не более чем счетны и
таковы же все вертикальные сечения его дополнения.

6.10. Дополнения и задачи
79
6.10.76.° Говорят, что множество Е в топологическом пространстве X
имеет свойство Бэра, если существует такое открытое множество U, что EAU
является множеством первой категории. Показать, что класс ВР(Х) всех
множеств в X со свойством Бэра есть <х-алгебра, содержащая В(Х).
Указание: если F замкнуто, то F € BV(X), ибо в качестве U можно
взять внутренность F. Далее, если А 6 ВР(Х) яААВ имеет первую
категорию, то легко видеть, что В € &Р(Х). Из этого следует, что если Е € ВР{Х),
то Х\Е € BV[X), ибо (Х\Е) A (X\U) = Е A U, где *7 открыто. Наконец,
легко проверяется, что ВР(Х) допускает счетные объединения. Открытые
множества входят в ВР(Х) по определению.
6.10.77. Пусть X и У — компакты, причем У метризуем, ц — борелев-
ская вероятностная мера на У, /: X —* У непрерывно. Доказать, что
существует (В(У)М, Б(Х))-измеримое отображение д: У —> X с #(у) € f~l(y) для
всех у €/(*)¦
Указание: см. Graf [847].
6.10.78? Пусть X = Q, база окрестностей точки г ^ 0 состоит из
интервалов (г — 1/fc, г + 1/fc), а база окрестностей точки 0 состоит из множеств
(—1/fc, l/fe)\{l/n}. Показать, что таким образом получаем счетное хаусдор-
фово пространство (в частности, суслинское) со счетной базой, которое не
регулярно, а точка 0 не является бэровским множеством.
6.10.79.° (А.Д. Александров [3]) Пусть Z„ — дизъюнктные
функционально замкнутые множества в топологическом пространстве X.
(i) Пусть Z„ обладают попарно непересекающимися функционально
открытыми окрестностями U„, причем Z := US=i %п замкнуто. Доказать, что
Z функционально замкнуто.
(и) Пусть всякое объединение множеств Zn функционально замкнуто.
Показать, что Zn обладают попарно непересекающимися функционально
открытыми окрестностями Un.
(iii) Показать, что если пространство X нормально, то из обычной
замкнутости всевозможных объединений Zn следует их функциональная
замкнутость.
Указание: (i) Найдутся такие непрерывные функции /„: X —* [0,3~я],
что /„ = 0вне Un и Zn = {/п = З-"}. Функция / = Yln°=i /« непрерывна. При
этом Z совпадает с f~1(S), где S — замкнутое счетное множество, состоящее
¦из чисел s„ := ^2п=1 3_п и их предела 1/2. Действительно, f\z„ = sn ввиду
дазъюнктности носителей /„. Поэтому Zn С /-1E), т.е. Z С /_1(S). Если
х € /_1(S) и /(ж) = s„, то х € Zn, ибо E°°=n+i 3_i < 3"". Если бы мы имели
fix) = 1/2, то в силу сказанного точкане была бы предельной для ?гъе.-в-
силу замкнутости Z входила бы в одно из Zn, что невозможно.
(ii) Множества Un строятся по индукции. Находим дизъюнктные
функционально открытые окрестности Ui и V\ функционально замкнутых
множеств Z\ и U^La ^п- Затем в V\ находим дизъюнктные функционально
открытые окрестности множеств Z-z и U^Le %п и Т-Д-
(Ш) Для нормального X рассуждение в (ii) применимо к любым
замкнутым множествам, поэтому утверждение следует из (i).

80 Глава 6. Борелевские, бэровские и суслинские множества
6.10.80° (А.Д. Александров [3]) (i) Пусть Fn — функционально
замкнутые множества в топологическом пространстве X и F„+i С F„ для
всех п 6 IN. Доказать, что найдутся такие функционально открытые
множества G„, что Fn с G„ и Gn+i С Gn для всех п, причем fl^Li Gn = fl^Li Fn-
(ii) Пусть в (i) выполнено равенство fl^Li Fn- Положим Zn := Fn\Gn+i-
Показать, что Zn дизъюнктны и для всякой последовательности Пк
множество (Jfcli %пк функционально замкнуто.
Указание: (i) Найдутся /„ <= С(Х) с 0 < /„ ^ 1, F„ = ЛГН»). Положим
Л» := /i + • - ¦ + /« и G» := {х: hn(x) < 1/п}. Тогда Fn С G„, Gn+1 С G„.
Если ж ? fl^Li ^п> т0 найдется такое п, что fe„(a:) > 0. Поэтому существует
такое т> п, что hm(x) > 1/т, т.е. х g fl^Li ^п-
(ii) Дизъюнктность Z„ очевидна, ибо Zn П F„+i = 0. По индукции
находим две последовательности функционально открытых множеств [/„ и Vn
со следующими свойствами: Zn С Un (Z Gn, U„ Г\ Vn = 0, Fn+i с Vn,
Un+i С V'n- Для этого заключаем Z\ и Ft в дизъюнктные функционально
открытые множества Ui и Vi, лежащие в Gi. Затем берем функционально
открытое множество Gi П Vi, содержащее дизъюнктные функционально
замкнутые множества й и ft и т.д. Множества Г/„ дизъюнктны. При этом
всякое множество U)K=i Znk замкнуто. Действительно, пусть х не входит в
это множество. Найдется такое к, что х & GUk- Поскольку X\Gnk и Fnk —
дизъюнктные функционально замкнутые множества и Z, С F„fc при j ^ Пк,
то ж обладает функционально открытой окрестностью IV, не
пересекающейся с множествами Zj ,j ~?пк- Поскольку х не входит также и в Zni,..., Znk_1,
то найдется функционально открытая окрестность а:, не пересекающаяся с
UifcLi %пк- По задаче 6.10.79 множество \JkxL1 Z„k функционально замкнуто.
6.10.81. Показать, что множество D := {(х,—х) 6 Z2} в плоскости
Зоргенфрея Z2 (см. пример 6.1.19) является бэровским, причем для
всякого бэровского множества В € Z2 пересечение BHD является борелевским
относительно евклидовой топологии плоскости.
Указание: функция (ж, у) ьи + j непрерывна на Z2 потому D
функционально замкнуто. Поэтому достаточно проверить, что всякое
функционально замкнутое множество F С D входит в B(TR2). Пусть F = /_1@), где
/ € C(Z2). Пусть х = (t,s) и Вк(х) := [t,t + 1/fc)x[s,s + 1/fc),
Un := {x: |/(ж)| < BП)-1}, Un,k := {x € F: Bk(x) С Un}.
Обозначим через Wn,k замыкание Un,k в евклидовой топологии и положим
в '•= Пы=1 UT=i wn,k- Тогда В € Б(М2) и достаточно показать, что F = В.
Поскольку при каждом п € IN в силу непрерывности / имеем F = (Jfcli Un,k,
то F С В. Пусть х & F. Тогда при некотором п имеем |/(ж)| ^ 1/п. Найдется
такое к € IN, что \f(y)\ > Bп)-1 для всех у G Вк(х). Из этого видно, что х
не входит ни в какое Wn,k, ибо множества Вк(х) и В*(;г) пересекаются, если
z € D и \х - z\ < Bk)'1. Итак, х g В, т.е. В С F.

Глава 7
Меры на топологических
пространствах
Как только будет установлено, что именно от
корабельного инженера требуется по его специальности,
так сейчас же устанавливается и соответствующий
объем знаний из анализа и механики. Но здесь надо
тщательно заботиться о том, чтобы не вводить лишних
требований; ведь от того, что верхняя палуба
покрывается деревянным настилом, нельзя же требовать
изучения ботаники, или от того, что в кают-компании диван
обит кожей, нельзя требовать изучения зоологии; так и
здесь, если при рассмотрении какого-то частного
вопроса встречается некоторая формула, то гораздо лучше
привести ее без доказательства, а не вводить в курс
целый отдел математики, чтобы дать полный вывод этой
единичной формулы.
А.Н. Крылов. Мои воспоминания.
7.1. Борелевские, бэровские и радоновские меры
В классической теории меры обычно фиксируют
какую-нибудь область определения меры (скажем, сг-алгебру всех
измеримых множеств). Эта область либо дана заранее, либо
получается в результате какой-либо процедуры продолжения (например,
продолжения Лебега-Каратеодори). Однако во многих
приложениях, как мы увидим ниже, выбор области определения меры
оказывается весьма деликатным вопросом, а проблема
продолжения на более широкую область отнюдь не всегда решается
простым взятием пополнения. Типичные примеры такой
ситуации связаны с мерами на топологических пространствах или на
пространствах, снабженных фильтрациями. Подобные проблемы

82 Глава 7. Меры на топологических пространствах
возникают при исследовании распределений случайных
процессов в сложных функциональных пространствах. Настоящая
глава посвящена широкому кругу вопросов, связанных с
областями определения и регулярностью мер. Мы обсудим борелевские
и бэровские меры и их свойства регулярности, такие, как
плотность, т-аддитивность и т.д. Мы увидим, что всякая бэровская
мера регулярна. С другой стороны, мы встретим примеры борелев-
ских мер, которые не являются ни регулярными, ни плотными,
и примеры борелевских мер на компактных пространствах,
которые не радоновы (хотя и плотны). Выяснится, что существуют
бэровские меры, которые не имеют никаких счетно-аддитивных
продолжений на борелевскую <т-алгебру. Эта картина будет
дополнена утверждением о том, что каждая плотная бэровская мера
может быть продолжена до борелевской меры, причем она имеет
единственное продолжение до меры Радона. В частности, всякая
бэровская мера на компактном пространстве X может быть
(однозначно) продолжена до меры Радона на X (хотя могут
существовать и другие, не радоновские, продолжения на В(Х)). Ра-
доновские меры наиболее часто встречаются в реальных
задачах, поэтому им уделено особое внимание. Всюду ниже
рассматриваются меры ограниченной вариации, если особо не оговорено
противное (о бесконечных мерах говорится в §7.11 и §7.14(xviii)).
Кроме того, рассматриваются только хаусдорфовы пространства
(хотя в некоторых утверждениях это не существенно).
7.1.1. Определение. Пусть X — топологическое
пространство.
(i) Счетно-аддитивная мера на борелевской а-алгебре В(Х)
называется борелевской мерой на X.
(ii) Счетно-аддитивная мера на бэровской а-алгебре Ва{Х)
называется бэровской мерой на X.
(ш) Борелевская мера /i на X называется радоновской мерой
или мерой Радона, если для всяких В € В(Х) и е > 0 существует
такое компактное множество Ке С В, что \ц\(В\Ке) < е.
Множество в топологическом пространстве X называют
универсально измеримым, если оно входит в лебеговское пополнение
В(Х) относительно всякой борелевской меры на X. Множество,
измеримое относительно всякой радоновской меры на X,
называется универсально радоновски измеримым. Отображение F из
X в топологическое пространство У называется универсально
измеримым, если таковы множества F~l(B) для всех В € B{Y).

7.1. Борелевские, бэровские и радоновские меры 83
Следующая лемма показывает, что борелевские меры
однозначно определяются по значениям на открытых множествах.
7.1.2. Лемма. Если две борелевские меры на
топологическом пространстве совпадают на всех открытых множествах,
то они совпадают и на всех борелевских множествах.
Доказательство. Достаточно проверить, что борелевская
мера \i, равная нулю на открытых множествах, является
нулевой. Меры fj,+ и ii~ неотрицательны и совпадают на открытых
множествах. Тогда ц+ = р~ по лемме 1.9.4, ибо класс открытых
множеств допускает конечные пересечения. Поскольку р,+ J. рГ,
то /х+ = рГ = 0. ?
Заметим, что по определению мера р. радонова, если и только
если мера \р\ радонова. Это равносильно также тому, что обе
меры р+ и рГ являются радоновскими.
Радоновские меры — важнейший для приложений класс мер.
Как мы увидим позже, на многих пространствах (включая
полные сепарабельные метрические пространства) все борелевские
меры радоновы. Однако сначала рассмотрим пример Ж. Дье-
донне [657], который показывает, что даже на компактном
пространстве борелевская мера может не быть радоновской.
7.1.3. Пример. Существует такое компактное
топологическое пространство X с борелевской мерой ц, что ^ принимает
лишь два значения 1 и 0, но не является радоновской.
Доказательство. Возьмем в качестве X множество всех
ординалов, не превосходящих первого несчетного ординала ш\.
Тогда X — несчетное вполне упорядоченное множество с
максимальным элементом ш\, причем для а ф ьо\ множество {х: х ^ а}
не более чем счетно. Наделим X порядковой топологией (§6.1);
в этой топологии X компактно. Пусть Xq = X\{u>i}.
Обозначим через То класс всех несчетных замкнутых подмножеств
пространства Хо, наделенного индуцированной топологией.
Определим меру /I на В(Х) посредством р(В) = 1, если В содержит
подмножество из То, и р(В) = 0 в противном случае. Проверим ее
счетную аддитивность. Для этой цели введем класс ? множеств
Е С X таких, что либо Е, либо Х\Е содержит элемент из То.
Класс ? есть ст-алгебра. В самом деле, он сохраняется при
дополнениях и счетных пересечениях, поскольку fl^=i Fn G То, если
Fn € То- Кроме того, класс ? содержит В(Х). Действительно,

84 Глава 7. Меры на топологических пространствах
если А замкнуто и несчетно, то AV\Xq замкнуто в Xq и несчетно.
Если А не более чем счетно, то его дополнение содержит
некоторый элемент из Fo, поскольку для каждого счетного множества
{an} существует элемент а < ш\ с ап < а для всех п. Пусть
теперь {Вп} — последовательность дизъюнктных борелевских
множеств в X. Тогда не более чем одно из них может содержать
элемент из Fq, поскольку дополнение всякой окрестности ш\ не более
чем счетно в силу выбора ш\ и топологии в X. Следовательно, /i
счетно-аддитивна. Заметим, что /x({o>i}) = 0, в то время как ш\
входит в каждое замкнутое множество полной меры. С другой
стороны, каждая точка х, отличная от ш\, имеет окрестность
меры нуль. Таким образом, // — не радоновская (более того, она
даже не имеет носителя, т.е. наименьшего замкнутого множества
полной меры; см. ниже про носители мер). ?
Построенную в этом примере меру /х называют мерой Дье-
донне.
Таким образом, для наличия радоновского свойства меры
недостаточно уметь приближать ее значение на всем пространстве
значениями на компактах. Последнее свойство имеет специальное
название.
7.1.4. Определение. Неотрицательная функция
множества и, определенная на некоторой системе А подмножеств
топологического пространства X называется плотной на А,
если для каждого е > О существует такое компактное
множество Ке в X, что р,(А) < е для каждого элемента А в Л,
который не пересекается с К?. Знакопеременная мера р,
называется плотной, если плотна мера \р,\.
Ясно, что всякая мера на компакте плотна. Что не хватает
для того, чтобы плотная борелевская мера была радоновской ?
7.1.5. Определение. Неотрицательная функция
множества ц, определенная на некоторой системе А подмножеств
топологического пространства, называется регулярной, если для
каждого А в Л и каждого е > 0 существует такое замкнутое
множество F?, что Fs С A, A\Fe € А и fi(A\F?) < е.
Знакопеременная мера р, называется регулярной, если регулярна мера \и\.
По определению, всякая радоновская мера на хаусдорфовом
пространстве регулярна и плотна. Ясно, что если борелевская
мера регулярна и плотна, то она радонова, ибо пересечение
компакта и замкнутого множества компактно. Однако регулярная
борелевская мера не обязана быть плотной. Рассмотрим пример.

7.1. Борелевские, бэровские и радоновские меры 85
7.1.6. Пример. Пусть М — неизмеримое подмножество
отрезка [0,1] с нулевой внутренней мерой и единичной внешней
мерой (см. гл. 1). Будем рассматривать М с обычной метрикой как
самостоятельное метрическое пространство. Тогда всякое
борелевское подмножество этого пространства имеет вид М П В, где
В — борелевское подмножество в [0,1]. Определим меру на М
формулой ц(М П В) = Х(В), где Л — мера Лебега, т.е. /х есть
сужение А на М в смысле определения 1.12.11. Поскольку лебе-
говская мера регулярна (см., например, теорему 1.4.8), мера р,
также регулярна. Однако она не плотна, поскольку каждый
компакт К в пространстве М компактен и в [0,1], следовательно, по
построению имеет лебеговскую меру нуль, откуда ц(К) = 0.
Построенный выше пример не плотной меры на сепарабель-
ном метрическом пространстве может показаться искусственным
из-за выбора довольно экзотического пространства М, и может
возникнуть искушение выбрать в качестве М какое-нибудь
более конструктивное пространство. В последующих разделах мы
увидим, что экзотические пространства неизбежны в таких
примерах, причем это обстоятельство имеет глубокие
теоретико-множественные причины. Следующая теорема показывает, что
нельзя взять в качестве М борелевское множество в [0,1]. Эта теорема
является одной из важнейших в теории меры.
7.1.7. Теорема. Пусть X — метрическое пространство.
Тогда каждая борелевская мера ц на X регулярна. Если же X
полно и сепарабельно, то мера ц радонова.
Доказательство. Можно считать, что ц ^ 0. Регулярность
у, фактически уже была доказана в теореме 1.4.8 (специфика Шп
при этом не использовалась). Предположим, что X полно и
сепарабельно и покажем, что мера р, плотна. Пусть е > 0. В силу
сепарабельности X для всякого натурального п можно покрыть
X конечным или счетным набором открытых шаров Un радиуса
е2~п. Пользуясь счетной аддитивностью ц можно найти
конечное объединение Wn = (J^Ti Un, для которого p,(X\Wn) < е2~п.
Множество W = (X?=i Wn вполне ограничено, ибо при каждом
S > 0 может быть покрыто конечным числом шаров радиуса S.
Кроме того, fi(X\W) ^ Yln°=i M^AWn) < е. Остается заметить,
что замыкание К множества W компактно в силу полноты X. Из
плотности и регулярности следует радоновость. ?

Глава 7. Меры на топологических пространствах
7.1.8. Следствие. Всякая бэровская мера (л на
топологическом пространстве X регулярна. Более того, для каждого бэров-
ского множества Е и всякого е > 0 существует такая
непрерывная функция f на X, что /-1@) С Е и |/х|(?\/_1@)) < е.
Более общим образом, для всякого семейства Г непрерывных
функций на топологическом пространстве X каждая мера р, на
порожденной Г а-алгебре <т(Г) регулярна.
Доказательство. Достаточно рассмотреть
неотрицательные меры. Напомним, что множество Е имеет вид
Е={х: (/!(*),...,/„(*),...)€*},
где В 6 В(ГО.°°) и /„ € С(Х) (во втором случае /„ G Г). Пусть р,0
есть образ меры р, при отображении х »-» (/i(x),... ,/„(ж),...)
из X в ГО.00. Это отображение непрерывно. Поскольку ГО°° —
метрическое пространство, то по доказанной выше теореме
существует такая непрерывная функция g на ГО°°, что д~1@) С В
и /хо(-В\<7-1@)) < е. Остается заметить, что функция /(ж) =
g(f\{x),..., fn{x)i • • •) непрерывна на X и по определению образа
меры имеем р{Е\Г\Ъ)) = /хо(В\5-1@))• ?
Напомним, что топологическое пространство X называется
совершенно нормальным, если в нем всякое замкнутое
множество имеет вид /_1@), где / € С(Х). Ясно, что в этом случае бо-
релевская ст-алгебра совпадает с бэровской. Поэтому следующее
утверждение вытекает из определения и предыдущего следствия.
7.1.9. Следствие. Всякая борелевская мера на совершенно
нормальном пространстве регулярна.
7.1.10. Лемма. Пусть ц — бэровская мера на
топологическом пространстве X. Тогда для всяких В € Ва(Х) и е > О
существует такая непрерывная функция ф: X —> [0,1], что
•фdp, - рь{В)\ < е.
Кроме того, существует непрерывная функция ?: X —> [—1,1],
такая, что
\[ Cdu-H(B)\<s.
\Jx I
/

7.1. Борелевские, бэровские и радоновские меры 87
Доказательство. Как и в следствии 7.1.8, оба утверждения
сводятся к случаю, когда X = 1R00. В этом специальном случае
можно найти замкнутое множество Z С В и открытое множество
U D В с |^|(?7\Z) < е/2. Остается взять непрерывную функцию
ф: X —» [0,1], равную 1 на Z и 0 вне U (это, разумеется,
возможно, поскольку Et°° — метризуемое пространство). Легко видеть,
что ф — искомая функция.
Для доказательства второго утверждения воспользуемся
разложением Хана р, = ц+ — уГ и найдем такие непересекающиеся
замкнутые множества Z\ и 2г, что Z\ U Z2 С В, yT(Z\) = О,
ц+(г2) = 0 и n+{B\Zx) + n~{B\Z2) < е/4. Кроме того, можно
найти непересекающиеся открытые множества U\ D Z\ и U2 D Z2
с |/u|(t/i\Zi) + \p\(U2\Z2) < е/4. Наконец, возьмем непрерывную
функцию ?, равную 1 на Z\, — 1 на Z2 и 0 вне f/i U ?/3- Тогда
<Ф-И(В)| ^ H(f/i\Zi) + |/*|(C/2\^2) + H(S\(ZiUZ2)) <е.
Лемма доказана. П
7.1.11. Лемма. Если борелевская или бэровская мера ц
плотна или радонова, то такова и всякая мера, абсолютно
непрерывная относительно р,.
Доказательство. Пусть р — плотная борелевская или
бэровская мера и v = / • /х, где / € L^-fji). Тогда мера v плотна в
силу свойства абсолютной непрерывности интеграла Лебега.
Аналогично доказывается радоновость и, если мера р радонова. ?
Для дальнейшего нам понадобится следующая модификация
теоремы Егорова.
7.1.12. Теорема. Пусть Y — полное сепарабельное
метрическое пространство, (X, Л, р) — пространство с конечной
мерой и /„: X —* Y — последовательность отображений,
измеримых относительно а-алгебр Л и B(Y) и сходящихся р-п.в. к
отображению f. Тогда для всякого е > 0 существует такое
множество Хе 6 Л, что \р\(Х\Хе) < е и на Хе отображения fn
сходятся к f равномерно.
Доказательство. Рассуждения, использованные при
доказательстве теоремы Егорова для числовых функций, остаются в
силе, если заметить, что {ж: gY(fn(x), fk(x)) < г} € .4 для всех
г ^ 0, п, к € IN, где gY — метрика в Y. Это вытекает из того, что
/

88 Глава 7. Меры на топологических пространствах
отображение х ь+ (fn(x),fk{x)), (Х,А) -* (Y xY,B(Y)®B(Y)),
измеримо, а функция (ж, у) ¦-»¦ gY (х, у) непрерывна,
следовательно, измерима относительно а-алгебры B(Y хУ), совпадающей с
В(У)®В(У) в силу сепарабельности Y. ?
Приведем теперь обобщение классической теоремы Лузина.
7.1.13. Теорема. Пусть X — вполне регулярное
топологическое пространство с радоновской мерой fi,Y — полное сепара-
бельное метрическое пространство и /': X —> У — ц-измеримое
отображение {т.е. /_1(В) G В^{Х) для всех В € B(Y)). Тогда
для каждого е > 0 найдется такое непрерывное отображение
fe:X-+Y, что |М|(х: /(*) ф f?(x)) < е.
Доказательство. Используем рассуждения из §2.2. Так как
всякое отображение д, определенное и непрерывное на компакте
К С X и принимающее значения в У, можно продолжить до
непрерывного отображения на всем X (задача 6.10.21), то
достаточно показать, что для всякого е > 0 найдется такой компакт Ке,
что сужение / на Ке непрерывно и \/л\(Х\Ке) < е.
Поскольку У гомеоморфно замкнутому подмножеству пространства Ш,°°
(см. теорему 6.1.12), то можно считать, что У и является таким
множеством. Тогда / = (/nM?=i, где /„ — /х-измеримые
функции. Достаточно для каждой функции /„ найти компакт Sn с
|^|(X\iS'Tl) < s2~n, на котором fn непрерывна. Тогда можно взять
Ке := D^Li Sn. Итак, все сводится к случаю У = IR1 и далее к
случаю У = [0,1]. Для каждого п разделим [0,1] на
непересекающиеся промежутки Ij длины 1/га и положим Xj¦= /_1(/j), j —
1,..., п. В каждом множестве Ynlj выберем точку yj, а в каждом
множестве Xj найдем компакт Kj с \fi\(Xj\Kj) < п~2.
Согласно задаче 6.10.21 (здесь достаточно применить это утверждение
для числовых функций), существует такое непрерывное
отображение /„: X —» У, что fn(Kj) = yj, j — 1) • • • >п- По построению
|/п(а:) - f(x)\ < 1/п при х Е Sn := ЦЦ ^ и \»\(X\Sn) < n.
Значит, последовательность {/п} сходится к / по мере. По
теореме Рисса она содержит подпоследовательность, сходящуюся
к / /х-п.в. Остается воспользоваться теоремой Егорова 7.1.12 и
радоновостью ц. На самом деле можно было бы и не сводить
утверждение к скалярному случаю (см. задачу 7.14.69). ?
Нетривиальное усиление доказанной теоремы см. в §7.14(ix).

7.2. т-аддитивные меры 89
7.2. т-аддитивные меры
Существует еще одно важное свойство регулярности,
занимающее промежуточное положение между обычной регулярностью
и радоновостью.
7.2.1. Определение. Борелевская мера ц на
топологическом пространстве X называется г-аддитивной (или
г-регулярной, или т-гладкой), если для каждой возрастающей
направленности открытых множеств (?/л)леЛ справедливо равенство
\n\(\JUx)=lim\(,\(Ux). G.2.1)
Чел ' А
Если G.2.1) выполнено для всех направленностей с \JX U\ = X,
то \i называется то-аддитивной (или слабо т-аддитивной).
Из приведенного определения видно, что мера /л является т-
аддитивной в точности тогда, когда т-аддитивна ее полная
вариация |^| (то же самое верно и для то-аддитивности).
Можно проверить, что всякая регулярная то-аддитивная
борелевская мера т-аддитивна (см. задачу 7.14.62). С другой
стороны, имеются то-аддитивные меры, которые не т-аддитивны.
7.2.2. Предложение, (i) Всякая мера Радона т-аддитивна.
(и) Всякая т-аддитивная мера на регулярном пространстве
регулярна. В частности, всякая т-аддитивная мера на
компакте радонова.
(iii) Всякая плотная т-аддитивная мера радонова.
(iv) Всякая борелевская мера на сепарабельном метрическом
пространстве X т-аддитивна. Более того, это верно, если X
наследственно линделефово.
Доказательство, (i) Пусть даны возрастающая
направленность открытых множеств U\, мера Радона ц и е > 0 и найдем
такой компакт К С (J U\, что |^| (Uasa U\\K) < е. Остается вы-
АеА
брать конечное подпокрытие К множествами U\. (ii) Пусть дана
т-аддитивная мера ц на регулярном пространстве X. Обозначим
через Е класс всех таких борелевских множеств .Е из X, что
Ы(Е) = sup||/x|(Z): Z С Е замкнуто!
= va.il\n\(U): U -DE открыто}.

90 Глава 7. Меры на топологических пространствах
Мы знаем, что Е — <т-алгебра (см. доказательство теоремы 1.4.8).
Поэтому достаточно установить, что всякое открытое множество
U входит в Е. В силу регулярности X множество U можно
представить в виде объединения семейства таких открытых множеств
V, что V С U. Следовательно, направленное семейство открытых
подмножеств U, состоящее из конечных объединений множеств
V указанного вида и частично упорядоченное по включению,
покрывает U. Пусть е > 0. Тогда ввиду т-аддитивности ц
найдется такое конечное семейство открытых множеств Vi С Vi С U,
г = 1,^.,п, что для W = [?=1Ц имеем \/i\(U\W) < е. Тогда
|/i|A7\W) < е. Если X компактно, то из регулярности \i
следует радоновость. (ш) Сужения т-аддитивной меры на компакты
радоновы, что вместе с плотностью дает радоновость. (iv)
Достаточно воспользоваться счетной аддитивностью меры и тем
свойством, что из всякого открытого покрытия X можно выбрать не
более чем счетное подпокрытие. ?
7.2.3. Следствие. Пусть две т-аддитивные меры /х и и на
пространстве X совпадают на всех множествах из некоторого
класса U, содержащего базу топологии X и замкнутого
относительно конечных пересечений. Тогда fi = и.
Доказательство. Всякое открытое множество U в X
можно представить в виде объединения направленности
возрастающих открытых множеств UQ, являющихся конечными
объединениями множеств из Ы. Легко видеть, что ii(Ua) = v{Ua). В силу
т-аддитивности получаем n(U) = v(U). По лемме 7.1.2 обе меры
совпадают на всех борелевских множествах. ?
Заметим, что пример 7.1.6 дает т-аддитивную, но не радонов-
скую меру. Рассмотрим еще один интересный пример.
7.2.4. Пример. Пусть X = [0,1) — интервал Зоргенфрея с
топологией, порожденной интервалами [а,Ь) С X. Тогда X
наследственно линделефово и борелевские множества в X — те же
самые, что и в обычной топологии интервала (ибо всякое
открытое в топологии Зоргенфрея множество является не более чем
счетным объединением интервалов [а, 6)). Обычная мера Лебега
на этом пространстве регулярна и т-аддитивна, но не радонова,
поскольку компактные подмножества в X не более чем счетны.
7.2.5. Предложение. Пусть ц — регулярная борелевская
мера. Тогда следующие условия равносильны:

7.2. т-аддитивные меры 91
(i) мера ц т-аддитивна;
(И) для каждой возрастающей направленности {Ua}
открытых множеств с объединением U справедливо равенство
p(U) = \imp(Ua); G.2.2)
(iii) для каждой убывающей направленности {Za}
замкнутых множеств с пересечением Z справедливо равенство
H(Z) = Bm/i(Ze); G.2.3)
(iv) для каждой убывающей направленности {Za}
замкнутых множеств с f]a Za = Z = 0 справедливо равенство G.2.3).
Доказательство. Соотношения G.2.2) и G.2.3)
равносильны для всякой меры и выполняются для т-аддитивной меры.
Из G.2.3) и регулярности ц следует, что для мер /х+ и рГ
также выполнено G.2.3), а значит и G.2.2). Поэтому
выполняется G.2.1), т.е. \i т-аддитивна. Наконец, пусть выполнено
условие (iv) и пусть {Za} — убывающая направленность замкнутых
множеств. Зафиксируем е > 0 и выберем такое открытое
множество U, что Z = C\aZa С U и \ii\(U\Z) < е. Тогда
замкнутые множества Za\U убывают к пустому множеству и потому
lim fi(Za\U) = 0. Остается заметить, что n(Za) = fi(Za\Z) + fi(Z)
*HZa\Z) - n{Za\U)\ < \n\(U\Z) <e. П
Напомним, что функция / на топологическом пространстве X
называется полунепрерывной снизу, если для всех с € R1
множества {х: /(ж) > с} открыты (см. Энгелькинг [373, 1.7.14]). Ясно,
что такие функции являются борелевскими. Заметим, что
поточечный предел возрастающей направленности полунепрерывных
снизу функций также полунепрерывен снизу. Функция /
называется полунепрерывной сверху, если открыты множества {/ < с},
т.е. функция — / полунепрерывна снизу.
7.2.6. Лемма. Пусть \i — регулярная т-аддитивная
(например, радоновская) мера на топологическом пространстве X и
Пусть {fa} — возрастающая направленность полунепрерывных
снизу неотрицательных функций, причем функция f = lim/a
ограничена. Тогда lim / fa(x)n(dx) = J f(x)fi(dx).
a Jx Jx

Глава 7. Меры на топологических пространствах
Доказательство. Можно считать, что fi неотрицательна;
общий случай получается из разложения Жордана-Хана. Кроме
того, можно считать, что / < 1. Положим
f">* ~ ~ Е J{/a>(fc-i)/n}> fn = ~ Yl !\
{/>(fc-l)/n}-
В силу полунепрерывности снизу функций fa функция / также
полунепрерывна снизу. Итак, множества {/Q > (к — 1)/п}
открыты и при фиксированных п и к образуют направленность,
возрастающую к открытому множеству {/ > (А; — 1)/п}. В силу
т-аддитивности lim//(/Q > (к — 1)/п) = /х(/ > (к — 1)/п).
Значит, при каждом п имеем lim / fandfJ, = / fn d/л. Ввиду оценок
а Jx Jx
\fa,n — fa\ ^ 1/п> \fn — f\ ^ 1/п это завершает доказательство. ?
7.2.7. Следствие. Если ц — регулярная т-аддитивная мера
на топологическом пространстве X и {fa} С Сь{Х) —
убывающая к нулю направленность, то lim / fa(x)/j,(dx) = 0.
а Jx
Доказательство. Пусть «о ~~ любой фиксированный
элемент. Заметим, что направленность /^ — /а, а ^ с*о, возрастает
к /ао и состоит из неотрицательных функций. Остается
воспользоваться доказанной леммой и аддитивностью интеграла. ?
Лемма 10.5.5 в гл. 10 содержит близкий результат для не
обязательно полунепрерывных снизу функций, содержащихся в
образе лифтинга произвольной меры fi.
7.2.8. Лемма. Пусть X — вполне регулярное пространство
и ц — т-аддитивная мера на X. Тогда для всяких В & В(Х) и
е > 0 существует такая непрерывная функция ф: X —> [0,1],
что I фйц — д(В) < е.
Кроме того, существует непрерывная функция /: X —> [—1,1],
такая, что \ I /rf/x— И(-В) < е. В частности, это верно для
\Jx I
радоновских мер.
Доказательство. По лемме 7.1.10 достаточно показать, что
для всякого 5 > 0 существует такое множество В$ 6 Ва(Х), что

7.2. т-аддитивные меры 93
|/х|(Д$ Л В) < 6. Поскольку мера ц регулярна из-за полной
регулярности X и т-аддитивности, то можно найти открытое
множество G Э В с \n\(G\B) < 5/2. Ввиду полной регулярности X
множество G является объединением возрастающей
направленности функционально открытых множеств. Еще раз используя
т-аддитивность ц, находим функционально открытое множество
BgCGc \n\(G\Bs) < 6/2. ?
Введем следующие обозначения.
Обозначения. Будем использовать следующие символы для
обозначения классов мер на топологическом пространстве X:
Ма(Х) — множество всех бэровских мер,
Мв(Х) — множество всех борелевских мер,
МГ(Х) — множество всех радоновских мер,
Mt{X) — множество всех плотных бэровских мер,
МТ{Х) — множество всех т-аддитивных борелевских мер.
Символы М+(Х), М%{Х), М+(Х), Mt(X), М+(Х)
используются для соответствующих классов неотрицательных мер.
Наконец, символ V будет использоваться для обозначения
вероятностных мер соответствующих классов.
Важное применение свойства т-регулярности связано с
понятием носителя борелевской меры. Для каждой борелевской меры
fj, можно образовать замкнутое множество S^, которое является
пересечением всех замкнутых множеств полной /х-меры. Если это
множество также имеет полную меру, то оно называется
носителем ц (в этом случае говорят, что мера /х имеет носитель). Мера
/х на компакте, построенная в примере 7.1.3, не имеет носителя
(для этой меры Sfj, = {^i}).
7.2-9. Предложение. Каждая т-аддитивная мера
обладает носителем. В частности, каждая радоновская мера имеет
носитель и каждая борелевская мера на сепарабелъном
метрическом пространстве имеет носитель.
Доказательство. В силу т-аддитивности объединение
семейства открытых множеств меры нуль имеет меру нуль. ?
7.2.10. Предложение. Мощность полного метрического
пространства X неизмерима в смысле §1.12(х) в точности
тогда, когда всякая борелевская мера на X т-аддитивна (а тогда и
радонова). Равносильное условие: всякая борелевская мера на X
имеет носитель.

94 Глава 7. Меры на топологических пространствах
Доказательство. Пусть мощность X измерима. В X есть
дискретное множество S, равномощное X, а на классе всех
подмножеств S есть вероятностная мера, равная нулю на точках. Ее
продолжение на В(Х) не имеет носителя, ибо множества 5\{ж}
замкнуты и имеют меру 1. Обратно, пусть на X есть не т-ад-
дитивная вероятностная борелевская мера ц. Тогда /л не имеет
носителя, ибо носитель должен быть сепарабельным (в несепара-
бельном метрическом пространстве есть несчетный набор
дизъюнктных шаров). Это дает семейство Г открытых шаров /х-меры
нуль с объединением положительной //-меры. На множестве всех
подмножеств Г получаем ненулевую меру и, положив v(E) —
fi{\JK€EK), Е с Г. Одноэлементные подмножества Г имеют v-
меру нуль. Это показывает измеримость мощности X. Наконец,
если борелевская мера fi на. X имеет носитель, то, как отмечено
выше, он сепарабелен и потому \i радонова. ?
7.3. Продолжения мер
В этом параграфе мы обсудим важный вопрос о возможности
продолжения мер на более широкие «т-алгебры и установим, что,
в частности, всякую плотную бэровскую меру можно продолжить
до радоновской меры. Подобные построения бывают полезны при
рассмотрении мер в таких обширных функциональных
пространствах как пространство всех функций на отрезке. Прежде чем
доказывать теоремы о продолжениях плотных мер, рассмотрим
следующий простой пример плотной бэровской меры, для которой
радоновское продолжение на борелевскую ст-алгебру существует,
но его нельзя получить лебеговским пополнением Ва(Х).
7.3.1. Пример. Пусть X = Шт, где Т — несчетное
множество (например, отрезок прямой), и пусть xq — любой элемент
X (например, тождественно нулевая функция), ъ, v — мера на
<т-алгебре Ва(Х), определенная формулой и(В) = 1, если xq € В,
и и(В) = 0 в противном случае (т.е. и — дираковская мера в xq).
Ясно, что эта мера плотна и той же самой формулой может быть
продолжена на В(Х). Однако одноточечное множество то
неизмеримо относительно лебеговского пополнения меры и на Ва(Х).
В самом деле, в противном случае это множество было бы
объединением множества из Ва(Х) и некоторого множества внешней
меры нуль относительно v на Ва(Х), что невозможно, поскольку
никакое одноточечное множество не является бэровским в нашем
пространстве, в то время как точка жо имеет внешнюю меру 1.

7.3. Продолжения мер 95
Следующая теорема и ее следствия весьма полезны в
приложениях.
7.3.2. Теорема. Пусть Л — некоторая алгебра
подмножеств хаусдорфова пространства X, содержащая базу
топологии, и пусть /i — аддитивная функция множества ограниченной
вариации на Л.
(i) Предположим, что ц регулярна и плотна. Тогда она
допускает единственное продолжение до радоновской меры на X.
(ii) Предположим, что X регулярно и что для всякой
возрастающей направленности {Ua} открытых множеств из Л с
X = \JaUa имеем Н(Х) = lima |^|(С7с). Тогда ц допускает
единственное продолжение до т-аддитивной меры на В(Х).
Если ц неотрицательна, то в обоих случаях
соответствующие продолжения для всех В € В(Х) даются формулой
Д(В) = infU*(U): U открыто в X и В С и\. G.3.1)
Доказательство. Достаточно доказать теорему для
неотрицательных мер, поскольку положительная и отрицательная
части функции множества /х со свойствами из (i) или (ii) также
обладают этими свойствами. Сначала мы проверим несколько более
сложное утверждение (ii), а затем укажем, какие изменения
требуются для доказательства (i). Покажем, что
lim/*(#«) = М* (С) G.3.2)
для всякой направленности возрастающих открытых множеств
Ua € Л с (J Ua = U. Действительно, в противном случае
H*(U)-]imu(Ua)^e>0.
По условию существует замкнутое множество Z С U из Л с
H{Z) > n*(U) - е/2. Положим W = X\Z. Тогда
lim//(C7Q U W) ^ \imn(Ua) + ц(Х) - ц{Х)
^ lim/z(?/a) + ii{X) - fi*(U) + е/2 ^ ц(Х) - е/2 < ц{Х),
что противоречит равенству ц{Х) = limfi(UaUW) вытекающему
из равенства X — \J(Ua U W) в силу то-аддитивности fi.

96 Глава 7. Меры на топологических пространствах
Покажем теперь, что
lim^(Ua) = ^(U) G.3.3)
для всякой направленности любых открытых множеств Ua,
возрастающих к U. Проверим сначала, что
timp*(Ua)>lt(V) G.3.4)
для всякого открытого V С U из Л. Для этого обозначим через W
класс всех таких открытых множеств W из А, что W С Ua для
какого-нибудь а. Ясно, что W — направленное по возрастанию
семейство множеств с объединением U. Согласно G.3.2) имеем
H*(U) = sup{n(W), W € W}. Поскольку V = \J {V П W), то
wew
аналогично получаем
H{V) = /i,(V) = sup{/x(V П W), We W}. G.3.5)
По определению W имеем ITlW С Ua для некоторого a,
откуда n(V П W) < /i(W) < (t*(Ua). Следовательно, p(V П1У)<
lim/z*({/a). Ввиду G.3.5) получаем G.3.4). Переходя к точной
верхней грани по открытым V С U из А, в силу G.3.2) имеем
lim/i* ^ (Е/а)/х*(Е7). Поскольку ц*(иа) ^ №*(U), то приходим к
равенству G.3.3).
Проверим еще два свойства /х„: если U\,Uz — открыты, то
li*(Ux U С/2) ^ /i*(?/i) + М*№), G.3.6)
а если E/i П {/г = 05 то
M»(^i U U2) = n*(U,) + м*(Е/2). G.3.7)
Действительно, из условия теоремы следует, что существуют
направленности возрастающих открытых множеств W^,Wj € Л,
такие, что U\ = limVF^ и U2 = Urn Wi. Тогда
n(wl и w|) < /i(w-i) + /i(w|) < m*(c/i) + M^).
Пользуясь G.3.2), получаем /x*(W^ U U2) ^ a**(C/i) + /^([/2) для
каждого фиксированного а. Теперь G.3.6) следует из G.3.3).
Аналогично проверяется G.3.7).
Теперь рассмотрим функцию множества
v(A) = inf lfb(U): U открыто и А С u\, АсХ.

7.3. Продолжения мер
97
Из G.3.3) и G.3.6) следует, что v — внешняя мера Каратеодори
(см. гл. 1). Следовательно,
Ли = [A: v{A ПВ) + v((X\A) ПВ)= v(B), У В С Л'}
есть <7-алгебра, на которой функция множества v
счетно-аддитивна. Покажем, что В{Х) С Аи. Достаточно показать, что
всякое открытое множество U входит в Av. Для этого достаточно
установить, что
v(UПВ) + v{[X\U) ПВ)< и{В) G.3.8)
для всякого В С X (обратное неравенство вытекает из G.3.6)).
Предположим, что В открыто. Тогда G.3.8) записывается в виде
H*(UПВ) + v{(X\U) ПВ)< /и{В). G.3.9)
В силу регулярности X существует направленность возрастаю-
щих открытых множеств Ua с U = (J Ua и Za := Ua С U при
всех а, где Ua обозначает замыкание Ua. Тогда
В = (ВПUa) U {ВП (X\Ua)) Э {В nl/a) и(вп (X\ZQ)).
Поскольку множество ??n(X\.ZQ) открыто, то из G.3.7) получаем
/х.(В) ^ //*(? П *7а) + М*(В П (X\Z0)).
Заметим, что /х*(В П (X\ZQ)) > i/(B П (X\U)), ибо В П (Х\17)
входит вВП (X\Za) и последнее множество открыто. Итак,
р#{В) > Ц*(В П tfe) + i/(B П (X\U)).
Пользуясь G.3.2), получаем G.3.9). Пусть теперь В произвольно
nW Э В открыто. Тогда /u(W) ^ и(В П11) + и(ВГ\ (X\U)). В
силу произвольности W получаем G.3.8). Итак, U € Av и потому
В(Х) С Av. Остается в качестве искомого продолжения р взять
сужение v на В(Х). Мера Д является т-аддитивной в силу G.3.3),
ибо u(U) = n*(U) для каждого открытого U. Единственность
продолжения вытекает из следствия 7.2.3.
Обратимся к утверждению (i). В случае регулярного
пространства оно вытекает из уже доказанного. В общем случае
изложенные выше рассуждения надо несколько модифицировать.
Заметим, что в доказательстве существования регулярность X
была использована лишь при проверке того, что В(Х) С Аи.

98 Глава 7. Меры на топологических пространствах
Поэтому, учитывая, что плотная мера удовлетворяет
указанному в (ii) условию, предшествовавшие этой проверке рассуждения
остаются в силе. Чтобы показать, что и включение В(Х) С А„
остается в силе, заметим, что в Av входят такие открытые U, что
X\U компактно. Действительно, в этом случае U — \Ja Ua для
некоторой направленности возрастающих открытых множеств Ua
с Za = Ua С U. Это вытекает из того, что всякая точка из
U и компактное дополнение к U обладают непересекающимися
окрестностями. Таким образом, и дальнейшие рассуждения
предыдущего этапа остаются в силе и U Е Av. Следовательно, все
компакты входят в Av. Осталось показать, что каждое
замкнутое множество Z содержится в Av. Возьмем последовательность
компактов Кп, для которых ц*{Кп) > ц{Х) — 1/п. Положим
К = \J^-\Kn. Заметим, что и(Кп) = fi*(Kn). Действительно,
во всякое открытое множество V, содержащее Кп, можно
вписать открытое множество W € А, содержащее Кп, ибо каждая
точка х е Кп обладает окрестностью Wx С U из А, а из
полученного покрытия можно выделить конечное подпокрытие.
Значит, ц*{Кп) < fi(W) ^ n*(V), откуда ц*{Кп) ^ и(Кп). С другой
стороны, в силу регулярности ц, ц*{К) = inf /i(W), где inf
берется по открытым W Э Кп из А. Поскольку fi(W) ^ v(Kn),
это дает оценку (i*(Kn) ^ и(Кп). Из доказанного с учетом
полноты ст-алгебры Av вытекает, что и(Х\К) = 0. Остается
заметить, что Z отличается на множество 1/-меры нуль от множества
\J?Li(Z П Кп), которое входит в Av по доказанному выше, ибо
множества Z П Кп компактны. Единственность продолжения
следует из того, что всякие два продолжения совпадают на
конечных объединениях элементов базы из А, а потому совпадают и на
всех компактах, так как во всякую открытую окрестность
компакта можно вписать окрестность, равную конечному
объединению элементов базы. ?
7.3.3. Следствие. Пусть X — вполне регулярное
пространство. Тогда
(i) всякая плотная бэровская мера у, на X допускает
единственное продолжение до радоновской меры;
(ii) всякая бэровская мера ц на X, то-аддитивная на Ва(Х)
в том смысле, что \ц\(Х) = sup|/x|(t7Q) для всех возрастающих
направленностей функционально открытых множеств Ua,
таких, что X = \JaUQ, допускает единственное продолжение до
т-аддитивной борелевской меры.

7.3. Продолжения мер
Доказательство. Согласно следствию 7.1.8 всякая бэров-
ская мера регулярна, а функционально открытые множества
образуют базу топологии, ибо X вполне регулярно. П
7.3.4. Следствие. Пусть X — а-компактное вполне
регулярное пространство. Тогда каждая бэровская мера на X
допускает единственное продолжение до радоновской меры.
Доказательство. Достаточно заметить, что на сг-компакт-
ном пространстве всякая бэровская мера плотна. ?
Теперь мы можем усилить следствие 7.3.3.
7.3.5. Следствие. Пусть X — вполне регулярное
пространство «Г — семейство непрерывных функций на X,
разделяющее точки X. Тогда всякая плотная мера /х на о-алгебре <т(Г),
порожденной Г, допускает единственное продолжение до
радоновской меры на X. Более того, то же самое верно, если /х —
регулярная и плотная аддитивная функция множества
ограниченной вариации на алгебре 21(Г), порожденной Г.
Доказательство. Как и выше, можно ограничиться
неотрицательными мерами, перейдя к разложению Жордана (в
случае алгебры 21(Г) это возможно благодаря предположению об
ограниченности вариации). Отличие этого следствия от
основной теоремы заключается в том, что 21(Г) может не содержать
базу топологии (например, так обстоит дело, если X = I2 с
обычной гильбертовой нормой и Г = (Z2)*). Ясно, что основная
теорема применима к пространству X с топологией т,
порожденной Г (т.е. слабейшей топологией, относительно которой
непрерывны все функции из Г). Отметим, что множества,
компактные в исходной топологии, компактны и в топологии т.
Обозначим через \iT единственное радоновское продолжение /х на
(Х,т). Возьмем компактные в исходной топологии множества Кп
с /х*(-Кп) > Р-{Х) — 1/п. По доказанной выше теореме получаем
{1т(Кп) — Р-*(Кп) > ц(Х) — 1/п. Поэтому мера цт сосредоточена
на множестве Xq = U^Li %п- Будем рассматривать Хо с
исходной топологией, б которой оно <т-компактно. Согласно
предложению 6.10.8 всякое бэровское множество В в пространстве Хо
имеет вид В = Хо Г) Е, Е € о(Г). Поэтому корректно определено
сужение fiQ меры /хг на Ва(Хо). Пользуясь предыдущим следствием
продолжим /хо до радоновской меры /2 на Xq, которую можно
считать и радоновской на всем X, полагая fi(X\Xo) = 0. Ясно, что /х

100 Глава 7. Меры на топологических пространствах
является искомым продолжением. Проверим его единственность.
Пусть /xi и fj.2 — радоновские меры, совпадающие на алгебре Ло,
порожденной Г. Тогда эти меры совпадают на всех компактах в
топологии т, а значит, и на всех компактах в исходной топологии,
откуда /xi = ц2. ?
7.3.6. Следствие. Пусть X — локально выпуклое
пространство с а-алгеброй о-(Х*) и пусть р — плотная мера на а(Х*).
Тогда р имеет единственное продолжение до радоновской меры
на X. Это же верно для всякой плотной аддитивной функции
множества ограниченной вариации на алгебре, порожденной X*
(или разделяющим точки подпространством X*).
Доказательство. Множество X* разделяет точки X. ?
7.3.7. Пример. Пусть X — нормированное пространство и
пусть р — мера на ст-алгебре ? пространства X*, порожденной
элементами X. Тогда р обладает единственным продолжением
до радоновской меры на X* с *-слабой топологией.
Доказательство. По теореме Банаха-Алаоглу шары в X*
компактны в *-слабой топологии. Поэтому мера р плотна. ?
Полученные выше результаты позволяют отождествить
плотные бэровские меры на вполне регулярном пространстве X с их
(единственными) радоновскими продолжениями.
Следует иметь в виду, что лебеговского продолжения может
быть недостаточно для получения продолжения, которое
гарантируется теоремой 7.3.2 (см. пример 7.3.1).
Наконец, существуют бэровские меры, вообще не имеющие
борелевских продолжений.
7.3.8. Пример. Пусть / = [0,1) — интервал Зоргенфрея с
топологией из примера 6.1.19 и X — I2 с топологией произведения
(т.е. X есть подмножество [0,1J плоскости Зоргенфрея).
Согласно задаче 6.10.81 множество Т :— {(t,s) € X: t + s = 1} является
бэровским и для всякого В € Ва(Х) пересечение В Г\Т
является борелевским относительно стандартной евклидовой топологии
плоскости. Поэтому формула
ji(B):=A(i€[0,l): (t.l-t)eB),
где А — мера Лебега на [0,1), корректно задает вероятностную
бэровскую меру на X. Всякая точка х = (и, 1 — и) € Т
измерима относительно р и имеет меру нуль, ибо х входит в бэровское

7.3. Продолжения мер
101
множество Е{х) := 1П[и,и+1)х[1-и,2-и), для которого
имеем fx(E) — 0, ибо если t € [0,1) и (t, 1 - t) е Е, то t = и. Если
бы меру /х можно было продолжить до счетно-аддитивной меры
на В(Х), то все подмножества Т были бы измеримы относительно
продолжения, что вместе с равенством /л({ж}) = 0, х G Т, дало
бы вероятностную меру на множестве всех подмножеств [0,1),
равную нулю на одноточечных множествах. Согласно следствию
1.12.41 это невозможно в предположении гипотезы континуума. В
задаче 7.14.65 предлагается построить аналогичные примеры без
привлечения гипотезы континуума, причем в качестве X можно
взять даже локально компактное пространство.
О продолжении бэровских мер см. также §7.14(iii).
Для построения радоновских продолжений имеется еще один
способ, предложенный Ж.-П. Анри в работе Henry [918].
7.3.9. Теорема. Пусть X — хаусдорфово пространство, А —
некоторая подалгебра в В(Х) и fj, — неотрицательная
аддитивная функция на А, удовлетворяющая следующему условию: для
всякого А € Л и всякого е > 0 найдется такой компакт Ке С А,
что /л*(А\К?) < е. Тогда ц продолжается до меры Радона на X.
Доказательство. Рассмотрим множество всех пар (?,rf),
где ? — подалгебра в В(Х), содержащая А, а г/ —
неотрицательная аддитивная функция на ?, продолжающая \i и обладающая
на ? тем же свойством внутренней компактной регулярности, что
и [L на А. Такие пары частично упорядочены следующим
отношением: (?\,щ) ^ (?2, щ), если ?\ С ?2 и щ\е\ — Щ- Ясно, что всякая
цепь (?а,т}а) в этом множестве имеет мажоранту.
Действительно, объединение ? алгебр ?а является алгеброй (из-за того, что
из всяких двух таких алгебр одна содержится в другой), причем
А С ?. Функция т] на ?, заданная равенством г}{Е) — т]а(Е) при
Е € ?а, по этой же причине корректно определена, аддитивна и
продолжает ц. Наконец, ясно, что Т7 обладает нужным свойством
приближения. По лемме Цорна имеется максимальный элемент
(В, и). Покажем, что В = В{Х) и v — мера Радона. Заметим, что
v счетно-аддитивна на В ввиду наличия компактного
приближающего класса. Следовательно, можно продолжить v на сг-алгебру
а(В), причем продолжение будет также внутренне компактно
регулярным, т.е. ввиду максимальности В есть сг-алгебра, a v есть
мера. Предположим, что имеется замкнутое множество Z, не
входящее в В. Мы придем к противоречию, если докажем
существование меры и, продолжающей v на Во := а{В U {Z}) и внутренне

102 Глава 7. Меры на топологических пространствах
компактно регулярной в том же смысле, что и /х. Положим
и{С) = и*(С П Z) + мс П (X\Z)).
Согласно доказательству теоремы 1.12.14, Во есть класс всех
множеств вида С = (AnZ)U(Bn(X\Z)), А, В € В, причем и является
мерой на Во, продолжающей и. Проверим внутреннюю
компактную регулярность v. Для данного А € Bq и всякого е найдется
компакт Ке С А с v*{A\Ke) < е. Тогда
u* ((A n Z)\Cffe Л Z)) ^ 1?*(Л\Я-е) ^ v*{A\Ke) < е.
Пусть Z еВ — измеримая оболочка Z относительно меры v (см.
§1.12(iv)). Тогда V(Z) = v{Z), ибо v*{Z\Z) = 0 согласно
определению измеримой оболочки. Поскольку В П {X\Z) Е В, то
существует компакт 5ЕСВП (X\Z) cv*((BD (X\Z))\S?) < е. Так
как Z С Z,to Se С ВП (X\Z). С учетом равенства u(Z) = P(Z)
получаем
u(B П (Jf\Z)) = ЦВ П (X\Z)) = i/(B П (X\Z))
= и((В П (X\Z))\Se) + MSe) < v*(S?) + e.
Следовательно, (и)*((ВП (X\Z))\Se) < е. Наконец, Ke П Z -
компакт, (KEnZ)U5'e — также компакт, причем (KeC\Z)USe С С
и (?0* (с\((iire r\Z)USej) < 2е, что и требовалось. ?
Разница между доказанной теоремой и предыдущими
результатами состоит в том, что алгебра А может быть весьма
мала, однако вместо плотности меры накладывается более сильное
условие. Аналогичная теорема имеется и для бесконечных мер
(см. [918]). Продолжения мер обсуждаются также в §9.8.
7.4. Меры на суслинских пространствах
7.4.1. Теорема. Пусть ц — борелевскоя мера на хаусдорфо-
вом пространстве X. Тогда всякое суслинское множество в X
измеримо относительно \i, т.е. входит в В(Х)ц.
Доказательство. Нам известно, что суслинские множества
представимы как результат А-операции над замкнутыми
множествами в X. Остается воспользоваться тем, что А-операция
сохраняет измеримость по теореме 1.10.5. D

7.4. Меры на суслинских пространствах
103
7.4.2. Пример. Пусть X и Y — суслинские пространства и
/ — ограниченная снизу борелевская функция на XxY. Положим
Тогда функция д измерима относительно каждой борелевской
меры на X. Если же функция / ограничена сверху, то измерима
функция h(x) = sup/(ж, у).
уег
Доказательство. Заметим, что множество {х: д(х) < с}
для всякого с является проекцией на X борелевского множества
{(ж, у) € XxY: f(x, у) < с}, т.е. является суслинским. Для
функции h следует рассмотреть множества {х: h(x) > с}. ?
7.4.3. Теорема. Если X — суслинское пространство, то
всякая борелевская мера р, на X является радоновской. В
частности, мера ц сосредоточена на счетном объединении метризу-
емых компактов.
Доказательство. Нам достаточно показать, что для
всякого е > 0 найдется такой компакт К?, что \ц\(Х\Ке) < е. Тогда
радоновость ц вытекает из того, что компактные подмножества
суслинских пространств метризуемы по следствию 6.7.8, а на мет-
ризуемом компакте всякая борелевская мера радонова.
Проверку указанного свойства можно провести двумя способами.
Первый состоит в том, что можно взять непрерывное отображение
/ из 1№° на X, а затем по теореме 6.9.1 найти такое
отображение д: X —> 1№°, что f(g(x)) = х для всех х € X, причем
для всякого В € В(]№°) множество g_1(B) входит в <г-алгебру,
порожденную всеми суслинскими множествами. По
доказанному выше, д измеримо относительно ц. Остается заметить, что
р = (/i о д~х) о /-1, причем р о д~х — борелевская, а значит и
радоновская мера на 1№°. В силу непрерывности / мера р. —
тоже радоновская. Второй способ состоит в использовании
теоремы 7.14.31. Для этого надо проверить, что функция множества
В *~* |/х| (/(?)) задает емкость Шоке. Этот способ мы оставляем
в качестве задачи 7.14.85. ?
7.4.4. Следствие. В ситуации доказанной теоремы для
любых В € В(Х) и е > 0 существует такой метризуемый
компакт Ке С В, что \р\(В\К?) < е.

104 Глава 7. Меры на топологических пространствах
7.5. Совершенные меры
В этом параграфе обсуждается важный для приложений и
интересный класс мер — совершенные меры. Для упрощения
обозначений будем рассматривать конечные неотрицательные меры.
7.5.1. Определение. Пусть (X,S) — измеримое
пространство. Неотрицательная мера р на S называется совершенной,
если для каждой S-измеримой вещественной функции f и
каждого множества Е С IR с f~x(E) Е «S существует такое боре-
левское множество В, что В С Е и //(/_1(.В)) = /i(/_1(??)).
Из определения ясно, что совершенная мера ft совершенна и
на всякой <т-алгебре «Si С «S.
7.5.2. Предложение. Мера ц на (X, «S) совершенна, если и
только если для каждой S-измеримой вещественной функции f
существует такое борелевское множество В с ГО,, что
Bcf(X) и »(Г\В)) = ц(Х).
Доказательство. Указанное выше условие очевидным
образом выполнено для всякой совершенной меры. Пусть теперь
оно выполнено для некоторой меры ц на «S, / — «S-измеримая
функция, Е С ГО1 и f~x{E) Е S. Возьмем произвольную точку
с € Е и рассмотрим функцию /о(ж) = f(x) при х Е f~x(E),
f(x) = с при х $ f~x(E). Ясно, что /о — «S-измеримая функция
и fo(X) = Е. Поэтому имеется борелевское множество В С Е
с n(fo\B)) = fi(X). Если с ? В, то fc\B) = f~l(B), откуда
//(/_1(Б)) = ц{Х). Значит, n(f~x{E)) = ц{Х). Если с € В, то
fo\B) = f-\B) U {Х\Г\Е))г откуда
ц{Г\В))+ц{Х\Г\Е))=и{Х).
Следовательно, ^(/^(S)) - /*(/-1(Я)) =0. ?
7.5.3. Пример. Пусть X С [0,1], \*{Х) = 1, А*(Х) = 0, где
А — мера Лебега, ц — сужение А на В(Х), т.е. ц(В П X) — \(В),
В Е В([0,1]). Тогда ц не является совершенной (достаточно взять
функцию f(x) = х).
Приведем ряд элементарных свойств совершенных мер. Эти
простые свойства часто бывают полезны в приложениях.

7.5. Совершенные меры
105
7.5.4. Предложение, (i) Мера // на а-алгебре S совершенна
тогда и только тогда, когда ее пополнение совершенно на S^.
(ii) Если мера /х на а-алгебре S совершенна, то ее сужение
на любое множество Е С S^, наделенное следом любой под-о-
алгебры в S^, является совершенной мерой.
(Ш) Если мера /х на (X,S) совершенна, (Y,A) — измеримое
пространство и F: X —> Y — (S, А)-измеримое отображение,
то индуцированная мера /л о F~x на А совершенна.
Доказательство, (i) Пусть мера /г на S совершенна и / —
6^-измеримая функция. Будем считать, что f(X) несчетно,
иначе его и возьмем в качестве искомого борелевского множества.
Выберем точку с € f{X) с А*(/-1(с)) = 0. Существуют такие
соизмеримая функция /о и множество Xq € S, что fi(Xo) = р(Х)
и /о = / на Хо- При этом функцию /о можно переопределить
так, что /о (х) = с при х € Х\Хо- Возьмем борелевское
множество В С /о(Х) с /х(/0_1(В)) = ц{Х). Ясно, что В С f(X) и
/х(/_1(В)) = fJ,(X). Утверждение (ii) вытекает из (i).
(iii) Если функция / измерима относительно А, то функция
foF измерима относительно «S. Поэтому существует борелевское
множество В С f(F(X)) clt^F-1(f-1(B))) = ц(Х) = fioF-1(Y).
В силу предложения 7.5.2 мера /i о F-1 совершенна. П
Отметим, что образ пространства с полной совершенной
мерой при измеримом отображении в пространство с полной
совершенной мерой не обязан быть измеримым.
7.5.5. Пример. Пусть X — {0} с мерой Дирака 6 и Y —
произведение континуума отрезков и мерой Дирака 5 в нуле,
рассматриваемой на 5-пополнении Ва(Х). Тогда в обоих случаях
мера 5 совершенна, естественное вложение X —> Y измеримо, но
точка нуль не является элементом Ва(Х)ц.
Предыдущий пример показывает также, что ограничение
совершенной меры на неизмеримое множество полной внешней
меры может оказаться совершенной мерой.
Как видно из приводимой ниже теоремы, класс совершенных
мер весьма обширен. Большинство реально встречающихся мер
совершенны. Эта же теорема описывает тесную связь между
совершенными и компактными мерами.

106
Глава 7. Меры на топологических пространствах
7.5.6. Теорема, (i) Каждая мера, обладающая компактным
приближающим классом, совершенна.
(ii) Мера ц совершенна, если и только если она обладает
компактным приближающим классом на каждой счетно-поро-
жденной под-а-алгебре S\ С S.
(ш) Мера (j, на (X, S) совершенна, если и только если она ква-
зикомпактна в следующем смысле: для каждой
последовательности {Ai} С S и всякого е > 0 существует такое множество
А € S, что ц{А) > ц{Х) —ей последовательность {А П Ai}
является компактным классом.
Доказательство, (i) Покажем, что мера ц с компактным
приближающим классом К квазикомпактна. Как мы знаем из
§1.14, можно считать, что класс К входит в А и допускает
конечные объединения и счетные пересечения. Для данного е > 0 и
множеств An € S найдем такие Сп С Ап и Вп с Х\Ап, что
Сп,Вп € /С, /х(Лп\С„) < е2~п-\ ц((Х\Ап)\Вп) < е2~п-х.
Пусть А = n^=i(C« и &п)- Тогда Сп П А е К. Легко видеть, что
Ап П А = Сп П А, что доказывает компактность класса {Ап П А}.
При этом ц{А) > fi(X) — е.
Теперь мы докажем, что квазикомпактная мера совершенна.
Пусть / — «S-измеримая функция. Имеется счетное множество
интервалов 1п с рациональными концами. Пусть Ап = /_1(/п). Для
каждого в* = 2~k возьмем множество Е* с fi(Ek) > fi(X) — 2~k,
для которого класс {ЕкГ\Ап} компактен. Положим Е = (JJE=iEk-
Ясно, что fi(E) = р(Х). Остается заметить, что множества /(?*)
замкнуты. В самом деле, пусть А; фиксировано и t — предельная
точка f(Ek). Тогда найдутся такие числа nj, что интервалы 1п,
убывают и стягиваются к t. Ясно, что все они пересекают f(Ek),
t = П^=1 In* и множества ?* П Anj непусты. По определению
компактного класса существует точка х в их пересечении. Тогда
/(z) = t, ибо /(ж) € f(Ek П Ani) С Inj, что доказывает
замкнутость f(Ek)- В силу предложения 7.5.2 мера fi совершенна.
(ii) Пусть мера ц совершенна и сг-алгебра S\ порождается
счетным набором множеств А± Е S. Рассмотрим функцию / =
^^_13-п/д„. В силу нашего предположения множество f{X) —
борелевское. Поэтому класс ? его компактных подмножеств
является приближающим для меры ц о /-1. Тогда класс множеств
f~l(E), Е Е ?, оказывается компактным и приближающим для ц.

7.5. Совершенные меры
107
Если же /х имеет компактный приближающий класс на всякой
счетно-порожденной сг-алгебре в S, то из рассуждений в (i) ясно,
что ц является квазикомпактной на S и в силу уже доказанного
совершенной. Утверждение (iii) следует из уясе доказанного. ?
В работах Винокуров, Махкамов [76] и Musial [1284] есть
примеры пространства с совершенной, но не компактной мерой.
Разумеется, может случиться, что на данной а-алгебре
имеются совершенные и не совершенные меры. Следующий
результат имеет дело с ситуациями, когда все меры на данной ст-алгебре
совершенны.
7.5.7. Теорема, (i) Пусть X с ГО.. Каждая борелевская мера
на В(Х) совершенна, если и только если X универсально
измеримо, т.е. измеримо относительно пополнения каждой борелев-
ской меры на ГО.
(ii) Пусть (X, S) — измеримое пространство. Если для
всякой S-измеримой функции / множество f(X) С ГО.
универсально измеримо, то каждая мера на всякой о-алгебре S\dS
совершенна. Обратно, если всякая мера на всякой
счетно-порожденной о-алгебре Si С S совершенна, то для всякой S-измеримой
функции f множество f{X) С ГО универсально измеримо.
Доказательство, (i) Если X измеримо относительно боре-
левской меры /х, то /х радонова на X и потому совершенна.
Обратное следует из предложения 7.5.2.
(ii) Если даны мера /х на <S и 5-измеримая функция /, то
измеримость f(X) относительно /хо/-1 дает борелевское множество
В С f(X) полной меры относительно /х о /-1. В силу
предложения 7.5.2 мера /х совершенна на S. Это же верно и для всякой
под-ег-алгебры в S.
Пусть каждая мера /х на всякой счетно-порожденной под-ст-
алгебре совершенна. Если даны 5-измеримая функция / и
мера v на #(/(Х)), то на счетно-порожденной сг-алгебре множеств
/~г(Е), Е € B(f(X)) можно задать меру ^(/^(Е)) := и(Е).
Поскольку по условию мера хх совершенна, то совершенна и мера и —
ее образ. В силу (i) множество f(X) универсально измеримо. ?
Отметим, что если X — суслинское пространство (например,
борелевское множество в польском пространстве), то всякая
мера /х на всякой а-алгебре S С В(Х) совершенна. Это ясно из
(ii) и того, что образ суслинского пространства при борелевской

108 Глава 7. Меры на топологических пространствах
функции универсально измерим. При этом /i может не
продолжаться на В(Х) и не приближаться изнутри компактами (см.
пример 9.8.1).
7.5.8. Пример. (Сазонов [277]) В предположении
гипотезы континуума существует такое измеримое пространство (X, S),
что каждая мера на S совершенна, но имеется ст-алгебра S\ С S,
на которой не каждая мера совершенна. Действительно, в
качестве X возьмем [0,1] с сг-алгеброй <S всех подмножеств. Как мы
знаем (см. §1.12(х)), при выполнении гипотезы континуума
всякая мера на <S сосредоточена на счетном множестве и потому
совершенна. С другой стороны, на [0,1] есть и не совершенные
меры, как мы видели в примере 7.5.3.
До сих пор при обсуждении совершенных мер мы не
привлекали топологические понятия. Теперь пора это сделать.
7.5.9. Теорема, (i) Всякая радоновская мера на
топологическом пространстве совершенна. Значит, совершенна и всякая
плотная бэровская мера.
(ii) Ворелевская мера на сепарабелъном метрическом
пространстве совершенна, если и только если она радонова.
(ш) Ворелевская мера в метрическом пространстве
радонова, если и только если она совершенна и т-аддитивна.
Доказательство. Первое утверждение в (i)
непосредственно вытекает из теоремы 7.5.6, а второе — из первого и
предложения 7.5.4. Для доказательства утверждения (И) предположим,
что мера ц на сепарабельном метрическом пространстве X
совершенна и возьмем счетное множество открытых шаров Un с
всевозможными рациональными радиусами и центрами в точках
счетного всюду плотного множества. Тогда функция
отображает X взаимно-однозначно на множество ?(Х) С ГО1.
При наделении этого множества обычной топологией функция
?-1: ?(Х) —> X оказывается непрерывной. Действительно, пусть
t е ?{Х) и е > 0. В е-окрестности точки х = ?~l(t) найдем
содержащий эту точку шар U^. Пусть s € ?(Х) и \t — s\ < 3_n°-1.
Тогда точка у = ?_1(s) принадлежит С^,, ибо в противном случае
^п0B/) = ° и l*-sl = 1С(ж)-?(у)| > 3_П0/2. По условию,
существует такое борелевское множество В С ?(Х), что fJ,(X) = /х(?-1(.В)).

7.6. Произведения мер
109
Поскольку мера ц о? х на прямой радонова, то для всякого е> 0
в В есть компактное подмножество С? с ^(?_1(Се)) > ^(Х) — е.
Остается заметить, что КЕ = ?-1(Се) — компакт в силу
непрерывности ?-1. Утверждение (Ш) вытекает из (ii) поскольку т-
аддитивная мера на метрическом пространстве имеет сепарабель-
ный носитель. П
7.5.10. Пример, (i) Существует т-аддитивная борелевская
мера на сепарабельном метрическом пространстве, которая не
является совершенной.
(ii) Существует совершенная мера на локально компактном
пространстве, обладающая компактным приближающим
классом, но не являющаяся т-аддитивной.
(iii) Существует совершенная г-аддитивная борелевская мера
(которая даже имеет компактный приближающий класс), не
являющаяся плотной.
Доказательство. Для доказательства (i) достаточно взять
меру из примера 7.5.3. Чтобы построить пример в (ii), возьмем
в качестве X пространство Xq из примера 7.1.3 (пространство
счетных ординалов), и положим меру /г равной 0 на счетных
множествах и 1 на их дополнениях (такие множества исчерпывают
все борелевские множества в X). Можно проверить, что \i не т-
аддитивна, но обладает компактным приближающим классом (а
именно, состоящим из пустого множества и всех множеств меры
единица). Наконец, лебеговская мера на интервале Зоргенфрея
из примера 7.2.4 может быть взята в (iii). Эта мера совершенна,
ибо борелевская «т-алгебра, соответствующая топологии
Зоргенфрея, есть обычная борелевская сг-алгебра интервала. По теореме
7.5.6(h) она имеет компактный приближающий класс. ?
7.6. Произведения мер
В этом параграфе мы обсудим свойства регулярности
произведений мер на топологических пространствах. Прежде всего
следует пояснить, почему здесь вообще могут возникнуть какие-
либо проблемы. Дело в том, что произведения бэровских или
борелевских «т-алгебр могут оказаться строго меньше бэровских и
борелевских «т-алгебр в произведении. Никаких проблем нет,
если мы рассматриваем счетное произведение борелевских
вероятностных мер на сепарабельных метрических пространствах (или
на суслинских пространствах).

110 Глава 7. Меры на топологических пространствах
7.6.1. Пример. Пусть Цп — борелевские вероятностные
меры на сепарабельных метрических пространствах Хп. Тогда ц =
®п°=1 А*»» ~~ борелевская вероятностная мера на сепарабельном
метрическом пространстве X — Yln°=i Хп-
Доказательство. Мера ц задана на <т-алгебре ?,
порожденной конечными произведениями борелевских множеств из Хп.
Однако ? = В(Х) в силу того, что всякое открытое множество из
X входит в ?, ибо его можно представить в виде счетного
объединения конечных произведений открытых множеств из Хп. ?
Как мы убедимся ниже, не так просто обстоит дело для
несчетных произведений и для счетных произведений более
сложных пространств. Второй простой, но важный результат
относится к счетным произведениям радоновских мер.
7.6.2. Теорема, (i) Пусть fin — последовательность
вероятностных мер Радона на хаусдорфовых пространствах Хп.
Тогда их произведение ц = Q^i А*п однозначно продолжается до
радоновской меры на X = Yln°=i ^п-
(ii) Пусть цп — последовательность плотных
вероятностных бэровских мер на вполне регулярных пространствах Хп.
Тогда их произведение /i является плотной мерой на пространстве
<3>J?Li Ва(Хп) и однозначно продолжается до радоновской меры
маХ = П~1Х„.
Доказательство, (i) Пусть е > 0. Мера /х определена на
G-алгебре ? = 0^х В(Хп), которая содержит конечные
произведения открытых множеств и потому содержит базу топологии X.
В каждом Хп найдем компакт Кп с Цп(Кп) > 1 — е2~п. Остается
заметить, что К = П^=1 %п ~~ компакт и ц(К) > 1 — е. Итак,
мера \i плотна. Для того, чтобы применить теорему 7.3.2,
необходимо проверить еще и регулярность \i на ?, причем, как следует
из цитированной теоремы, достаточно проверить регулярность /х
на алгебре Л, порожденной конечными произведениями
борелевских множеств из пространств Хп (заметим, что ? есть ег-алгебра,
порожденная 7Z). Алгебра TL состоит из конечных объединений
конечных произведений множеств из В(Хп) и потому требуемая
регулярность следует из регулярности каждой из мер цп.
В случае (й) рассуждения аналогичны: берем такие
компактные множества Кп, что iin{A) < е2~п для всякого бэровского
множества А, которое не пересекается с Кп. Множество К =

7.6. Произведения мер 111
Il^Li Кп компактно. Легко проверить, что если множество А €
(gl^Lj Ва(Хп) не пересекается с К, то ц(А) < е. Наконец, полная
регулярность Хп нужна для того, чтобы в Ва(Хп) содержалась
база топологии. ?
Для несчетных произведений доказанная теорема неверна.
7.6.3. Пример. Пусть ца, а € А, — несчетное семейство
вероятностных бэровских мер на пространствах Ха, не имеющих
компактных множеств внешней меры 1. Тогда <8>аЦа(К) — 0 для
всякого компакта К С Па -*¦<*• В частности, мера <8»а/и не плотна.
Доказательство. В силу компактности К найдутся такие
компакты Ка С Ха, что К С Х[аКа. Поскольку А несчетно,
то согласно условию для некоторого q < 1 имеется бесконечное
семейство индексов C с fJ.*p(Kp) ^ q. Выбрав из этого семейства
какое-нибудь счетное подсемейство В = {/Зп}, получим
множество С = IlnLi К@п х Yla&B Ка меры нуль, содержащее К. ?
Из доказанной выше теоремы вытекает, разумеется, что
конечные произведения радоновских мер имеют радоновские
продолжения. Однако при работе с произведениями очень часто
желательно не только знать сам факт существования произведения
мер, но и иметь возможность применить теорему Фубини.
Конечно, теорему Фубини можно применять к множествам из а-
алгебры, порожденной прямоугольниками (в этом нет никакой
топологической специфики). Однако, как уже отмечалось, в
случае общих топологических пространств бывают борелевские
множества, не входящие в эту <т-алгебру. Как мы сейчас увидим,
теорему Фубини можно применять и к таким множествам.
Пусть Xi и Х2 — два пространства. Для всякого множества
А С Х\ х Х2 положим
АХ1 = {х2 € Х2: (xi,x2) € А}, АХ2 = {хг € Хг: (xlf х2) € А}.
7.6.4. Лемма. Пусть Х\ и Х2 — топологические
пространства и и — т-аддитивная мера на Xi. Тогда
(i) для всякого В € В(Х\хХ2) функция х2 i-> v{BX2) является
борелевской на Х2; значит, для всякой ограниченной борелевской
функции f на XxY является борелевской на Х2 функция
х2>-* f(x!,x2)v(dxi).

112 Глава 7. Меры на топологических пространствах
(и) если v ^ 0 и множество U С Х1ХХ2 открыто, то
функция Х2 ¦-> v(UX2) полунепрерывна снизу на Х^-
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Сначала проверим утверждение (ii).
Если U = U\xU2, то iy(UX2) = v{U\)Iu2 и остается заметить, что
индикатор открытого множества полунепрерывен снизу.
Доказанное остается в силе и для множеств U, являющихся
конечными объединениями рассмотренных произведений. Наконец,
произвольное открытое множество U С Х\ х Х2 можно
представить в виде U = [JaUa, где {Ua} — направленность
возрастающих открытых множеств, являющихся конечными
объединениями открытых прямоугольников. В силу т-аддитивности получаем
u(UX2) = sopi/((Ua)X2), откуда следует доказываемое.
Достаточно доказать утверждение (i) для неотрицательных
мер. Обозначим через В' класс всех множеств В € B(XixX2),
для которых функция Х2 |—у v{BX2) является борелевской. По
доказанному, В' содержит класс ? всех открытых множеств. Ясно,
что счетное объединение попарно непересекающихся множеств из
В' также входит в В' (ибо сумма ряда из борелевских функций
является борелевской функцией). Кроме того, Bi\B2 € В' для
таких В\,В2 € В', что В2 С В\. Согласно теореме 1.9.3 получаем,
что о--алгебра, порожденная ?, содержится в В'. Следовательно,
класс В' совпадает с В{Х\ ХХ2). ?
7.6.5. Теорема. Предположим, что /ii и Ц2 — т-аддитив-
ные меры. Тогда мера /х = Д1<2>/^2 допускает единственное
продолжение до т-аддитивной меры ц на В{Х\хХ2) и для каждого
В е В{Х\ х Х2) имеем
ц(В)= I »i(BX2) »2(dx2) = [ ibiBxJinidxi), G.6.1)
JX2 JXy
где функции Х2 >-»• Ц\{ВХ2) «iih» ц2(ВХ1) — борелевские. Если
обе меры Hi и № — радоновские, то продолжение по формуле
G.6.1) также радоново и совпадает с продолжением из
теоремы 7.6.2.
Доказательство. Согласно предыдущей лемме
подынтегральные функции в G.6.1) являются борелевскими. Поэтому оба
интеграла корректно определены и задают борелевские меры на
Х\хХ2- При обосновании равенства G.6.1) можно ограничиться

7.6. Произведения мер
ИЗ
неотрицательными мерами. Обозначим через ? класс всех
множеств В € B(Xi х Х2), на которых эти меры равны. Как и в
доказательстве леммы выше, класс ? является ег-аддитивным.
Поэтому для доказательства равенства ? = В(Х\ х Х2)
достаточно показать, что всякое открытое множество U входит в ?.
Представим U в виде U — \JaUa, где {Ua} — направленность
возрастающих открытых множеств, являющихся конечными
объединениями открытых прямоугольников. Очевидно, что Ua € ?.
В силу г-аддитивности /xi, полунепрерывности снизу функций
х2 t-> fii((Ua)X2) и леммы 7.2.6 получаем
/ Hi{UX2) ii2{dx2) = / lim^i((C/a)X2) n2{dx2)
J X2 J X.2
= lim / m((Ua)X2) fJ,2(dx2) = lim/i(C/a).
a Jx2 a
Те же самые соображения применимы и ко второму интегралу,
откуда получаем, что U € ?. Доказательство т-аддитивности
полученной меры /i совершенно аналогично. Единственность т-
аддитивного продолжения вытекает из того, что если т-аддитив-
ная мера равна нулю на всех открытых прямоугольниках, то она
равна нулю на всех открытых множествах, а значит, и на всех
борелевских множествах (это вытекает из леммы 1.9.4). Наконец,
если меры ц\ и р2 радоновы, то такова и построенная мера /х, ибо
она т-аддитивна и очевидным образом плотна. ?
7.6.6. Лемма. Пусть X и Y — топологические
пространства и пусть [I — вероятностная мера на B(X)®B(Y).
Предположим, что проекции ц на X и Y плотны. Тогда \х. также
плотна. Если обе проекции сосредоточены на счетных
объединениях метризуемых компактных множеств, то /л также имеет
это свойство.
Доказательство. Для заданного е > 0 найдем компактные
множества К с X и S С Y такие, что р(К х Y) > 1 — е/2 и
fi(XxS) > 1-е 12. Тогда KxS компактно в XxY и n(KxS) > 1-е.
Последнее утверждение очевидно из доказательства. ?
Дополнительная информация о конечных и бесконечных
произведениях мер приведена в §7.14(i) и в задачах 7.14.96, 7.14.112,
7.14.152, 7.14.153.

114 Глава 7. Меры на топологических пространствах
7.7. Теорема Колмогорова
Во многих задачах теории меры, теории вероятностей, а
также в их приложениях, на произведениях измеримых пространств
приходится строить меры, устроенные сложнее, чем
произведения мер. В этом параграфе мы докажем основной результат в
этом направлении: теорему Колмогорова о согласованных
распределениях вероятностей. Классический результат
Колмогорова относился к мерам на произведениях прямых, а приводимая
более абстрактная формулировка восходит к Э. Марчевскому.
Пусть Т — непустое множество. Предположим, что заданы
непустые измеримые пространства {flt,Bt), t € Т. Для
каждого непустого множества Л С Г обозначим через С1\
произведение пространств flt, t Е Л. Пространство Пд наделяется а-
алгеброй В\, равной произведению а-алгебр Bt, t 6 Л (см.
определения в §3.5 в гл. 3).
7.7.1. Теорема. Пусть для каждого конечного множества
Л С Г задана вероятностная мера /л\ на (Qa,Ba), причем
выполнено следующее условие согласованности: если Лх С Лг, то
образ меры /хл2 пРи естественной проекции из 0,\2 в Q^
совпадает с ЦАг. Предположим, что для всякого t G Т мера щ на Bt
обладает компактным аппроксимирующим классом KZt С Bt.
Тогда на измеримом пространстве Ш = YlteT fit,В = ®teT &t)
существует такая вероятностная мера ц, что образ \i при
естественной проекции Q на Пд есть fi\ для всех конечных Л С Г.
Доказательство. Каждое множество В а е В а можно
отождествить с цилиндрическим множеством С л = В а х П*ег\л ^*-
Ясно, что совокупность таких множеств образует алгебру Л. Эта
алгебра порождается полуалгеброй конечных произведений
Пв«х П ъ-
i=l t*{ti,..,M
На алгебре V, определена функция множества д(Сд) = ца{В).
Из условия согласованности вытекает корректность определения,
т.е. независимость /х(Сд) от представления С а в виде
произведения с В или с каким-нибудь другим множеством В' € Ва>-
Действительно, если Л С Л', то В есть образ В' при проектировании
0.а> на На и потому ца{В) = ца'(В').

7.7. Теорема Колмогорова 115
Остается проверить счетную аддитивность функции
множества /л. на алгебре "R. Как мы знаем, класс К конечных
объединений конечных произведений П?=1 К-и x^r\{ti,...,t„}> Кц € /С^,
является компактным (см. лемму 3.5.3). Докажем, что этот класс
приближает /х. Достаточно показать, что для каждого
произведения В = Y\7=i Вц х Ylt&it tn> ^' и ка-жА°то е > 0 найдутся
множества Кц € Ktt, для которых множество К = П?=1 &и х
Wtast t_>^t приближает В относительно ц с точностью до е.
Возьмем Кц € Кц так, что /г(В^\К^) < его-1 и заметим, что
В\Кс\)((Ви\Ки)хЦПг),
откуда
/х(В\*0 ^ J2ц(Ви\Ки) = f^lHi((Bti\Kti)x П Sk) < е,
i=l t=l Ьф-Ц
что и требовалось. ?
Ясно, что теорема Колмогорова применима, если /хд —
согласованные радоновские меры.
7.7.2. Следствие. Пусть Xt — суслинские пространства,
Bt = B(Xt) и пусть для каждого конечного множества Л С Г
задана вероятностная мера /хд на (Пд,#д), причем
выполнено указанное в теореме 7.7.1 условие согласованности. Тогда на
пространстве Ш = YlteT^t,B = <8>ter^*) существует такая
вероятностная мера ц, что образ /х при естественной проекции
Q на Пд есть ц\ для всех конечных Л С Г.
Доказательство. Достаточно воспользоваться тем, что бо-
релевские меры на суслинских пространствах радоновы. П
Отметим, что частным случаем доказанной теоремы является
существование произведения мер /Х(. Действительно, в этом
случае в качестве /хд для конечного множества А следует взять
конечное произведение <8)*ед A*t на ®<еЛ^*- Однако в этом частном
случае, как мы знаем, не требуется существования
приближающего компактного класса (см. §3.5). Покажем, что в теореме 7.7.1
без этого дополнительного условия нельзя обойтись.

116
Глава 7. Меры на топологических пространствах
7.7.3. Пример. Возьмем такие множества Хп С [0,1], что
все Хп имеют внешнюю лебеговскую меру 1, причем Xn+i С Хп
и П^=1 Хп — 0. Пусть Вп — борелевская ст-алгебра Хп и пусть
fin — след меры Лебега на Вп (см. гл. 1, определение 1.12.11).
Для каждого п положим 7ГП: Хп —> niLi^ti кп(х) = (х,...,х).
На <3>2=i &% задана мера /л^...^) = fin ° я"п *• Тогда семейство
вероятностных мер {M(i,...,n))n ^ 1} является согласованным, но на
произведении dl?i ^и ®?i ^t) не существует меры, образы
которой при проекциях на IliLi-^i совпадали бы с мерами /х^...^)
при всех п.
Доказательство. Поскольку Хп — сепарабельные
метрические пространства, то <S)iLi^j = ^(П?=1 -^i), в частности,
диагональ Дп := {х = {х\,..., хп): х\ = ... = хп} входит в <?)™=1 Ъ%-
Из построения ясно, что /^ )П)(ДП) = 1 при всех п. Если бы
существовала мера /л на X с проекциями /^(i,...^), то для множеств
Qn = АпхП^=п+1 Хк мы бы имели /х(Пп) = 1. Однако это
невозможно для счетно-аддитивной меры, ибо D^Li ^n = 0 в силу
условия П^=1 Хп = 0. ?
В книгах по теории вероятностей и случайных процессов
теорема Колмогорова появляется в контексте распределений
случайных процессов. Напомним соответствующую терминологию.
Случайный процесс ? = {?t)teT на непустом множестве Т — это
просто семейство измеримых функций ?t, индексированных точками
t € Г, на вероятностном пространстве (О,, Л, Р). Для каждого
упорядоченного конечного набора различных точек t\,..., tn € Т
на К" возникает вероятностная борелевская мера
Ptl,...,tn(B) :=Р(и;: (&»,... ,&») G в),
называемая конечномерным распределением процесса ?.
Конечномерные распределения согласованы в следующем смысле: 1)
образ меры Р*!,...,*,,^!,...^* при проекции Шп+к на Ш," совпадает с
Pti,...,t„! 2) если дана перестановка а множества {1,..., п}, то
Pt.V,...Mn)=Ptl,..;tn<>T-1,
где Т: Шп —> Ж", T(xi,...,xn) = (a?o-(i) > • - • > ха(п)) • Последнее
свойство позволяет задать меру /хд для подмножеств Л в Г из
неупорядоченных наборов tj, i = 1,...,п (в теореме 7.7.1 речь

1.7. Теорема Колмогорова 117
идет о просто о подмножествах Г). А именно, если выбрана
произвольная нумерация этих точек t\,..., tn, то всякое множество В €
В(ША) отождествляется с некоторым множеством В' € В(Шп).
Поэтому можно положить
РА(х ЕША: ХЕ В) := Ptl,...U{B'),
что приводит к корректному определению ввиду указанного
выше условия согласования. Конечно, можно рассматривать
распределения Pti,...,t« и с повторяющимися ti, но для применения
теоремы 7.7.1 это не требуется.
Теорема Колмогорова утверждает обратное: если заданы
непустое множество Т и семейство согласованных мер Pti,...,t„ при
всевозможных различных U € Г, на пространствах ГО,", то
существуют вероятностное пространство и случайный процесс ? на
нем, для которого конечномерные распределения равны Ptly...,tn-
В качестве П можно взять пространство Шт, а в качестве Р —
меру ц из теоремы Колмогорова, в которой при Л = {t\,..., tn}
полагаем ца '•= Pti t„- Точки ш € ?1 — это просто функции на Г
и мы полагаем &(о>) := ui(t). Ясно, что получен процесс с
нужными свойствами. Построенная мера \i на ГО,Т называется
распределением процесса ? в пространстве траекторий и обозначается
символом ц^. Теорему Колмогорова можно было бы
сформулировать и так: аддитивная функция множества на цилиндрической
алгебре в JRT со счетно-аддитивными конечномерными
проекциями сама счетно-аддитивна.
При использовании теоремы 7.7.1 часто возникает следующая
проблема. Обычно бывает ясно, что случайный процесс ?,
распределение которого строится в этой теореме, обладает
траекториями с какими-то дополнительными свойствами (например,
непрерывными) и хотелось бы, чтобы соответствующая мера /х^ была
сосредоточена на множестве Xq таких траекторий. Однако
непосредственное применение теоремы Колмогорова этого в
большинстве случаев не дает, ибо множество Xq оказывается
неизмеримым относительно ц%. Простейший пример: процесс
тождественно равен 0 и Хо — точка (см. пример 7.3.1). При изучении
случайных процессов это приводит к тому, что задание распределения
процесса не определяет сам процесс однозначно (в частности, не
определяет однозначно свойства его траекторий как функций t).
Например, может случиться, что два процесса ? и г) имеют
равные распределения, однако &(о;) = 0 для всех * и ш, в то время

118 Глава 7. Меры на топологических пространствах
как для всякого ш найдется t с щ{ш) = 1. Для этого достаточно
взять Я = [0,1] с мерой Лебега и положить %(а;) = 0 при ш ф t и
rft(t) = 1. Имеется несколько стандартных приемов, чтобы обойти
возникшее препятствие. Наиболее естественный и эффективный
способ (восходящий к Колмогорову) состоит в проверке
равенства fiUXo) = 1, после чего \i можно сузить на множество Xq
полной внешней меры. Приведем важную теорему Колмогорова,
дающую конструктивное достаточное условие указанного
равенства (доказательство не приводится, поскольку оно имеется во
многих учебниках, см., например, Вентцель [69, §5.2]).
7.7.4. Теорема. Предположим, что случайный процесс ? на
множестве ГсЕ1 удовлетворяет следующему условию:
E|&-6|a<L|t-s|1HA
где L,a,fi — положительные числа и Е — математическое
ожидание (т.е. интеграл). Тогда /х|(С(Т)) = 1.
С помощью теоремы Колмогорова легко обосновать
существование меры Винера на С[0,1], т.е. такой меры fiw, что всякий
функционал х ь-*• x(t) — x(s) является гауссовской случайной
величиной, у которой среднее равно 0 и интеграл от квадрата
равен \t — s\, причем при любых t\ < ti < ... < tn функционалы
х(и+г) — xfa) независимы и х@) = О для /iw-ii.b. х. По этому
вопросу см. книги Богачев [42], [500].
В литературе можно найти достаточные условия для
различных множеств Х0 (например, функций без разрывов второго
рода); см. Гихман, Скороход [88]. Отметим, что некоторые
дополнительные проблемы возникают в том случае, когда в качестве
Xq нужно взять пространство, элементами которого являются не
индивидуальные-функции, а классы эквивалентности (например,
L2). Еще один способ борьбы с возникающими неизмеримостями
восходит к Дубу и введенному им понятию сепарабельного
случайного процесса (см. Дуб [115], Неве [229]).
7.8. Интеграл Даниэля
Изложенное в этой книге построение интеграла основано на
предварительном определении меры. Можно, однако,
действовать и наоборот: меры определять с помощью интегралов. В
основе этого лежит следующий результат Даниэля. В
формулировке используется понятие векторной решетки функций, т.е.
такого линейного пространства вещественных функций на непустом

7.8 Интеграл Даниэля 119
множестве ft, что тах(/, д) € Т для всех /, д € Т. Заметим, что
тогда min(/,<7) = — max(—/, — д) 6 Т, а также |/| G Т для всех
/ е Т. Поскольку тах(/, д) — (|/ — д\ + f + д)/2, то можно также
требовать лишь замкнутость F относительно взятия абсолютной
величины. Рассматриваемые нами векторные решетки функций
являются частным случаем абстрактных векторных решеток, т.е.
линейных пространств со структурой решетки, которая
согласована с линейной структурой в том смысле, что ах < /Зх при х^О,
а, C € [0, оо), х + z ^ у + z при х ^ у. В качестве примера
укажем U> [0,1].
7.8.1. Теорема. Пусть Т — векторная решетка функций
на множестве ft, содержащая 1. Предположим, что на Т задан
линейный функционал L со следующими свойствами: L(f) ^ 0
при / ^ О, L(l) = 1 « L(fn) —>• 0 для всякой монотонно
убывающей к нулю последовательности функций fn из Т. Тогда на
о-алгебре Л = о~(Р), порожденной Г, существует единственная
вероятностная мера ц, для которой Т С Ьх(ц) и
L(f)= [ fdfx, V/6JF. G.8.1)
Доказательство, (i) Обозначим через С+ множество всех
ограниченных функций / вида /(ж) = lim fn(x), где /„ € Т
неотрицательны и последовательность {/п} не убывает. Положим
?(/) = lim L(fn). Покажем, что полученный функционал
корректно определен, совпадает на ограниченных неотрицательных
функциях из Т с исходным функционалом и обладает
следующими свойствами:
1) L(f) ^ L{g) при всех f,g е С+ и / < д;
2) L(f + д) = L(f) + L{g), L{cf) = cL(f) при всех /,</€?+ и
всех с€ [0, +схэ);
3) min(/,<7),max(/,<7) ? ?+ при всех f,g € С+ и
L{f) + L(g) = i(min(/,s)) + L(max(/,5));
4) lim fn € C+ для всякой равномерно ограниченной
неубывающей последовательности функций /п € С+, причем
Ц lim fn) = lim L(fn).
Прежде всего, заметим, что если {/„} и {д^} — две
неубывающие последовательности неотрицательных функций из Т с

120 Глава 7. Меры на топологических пространствах
lim /„ < lim д^, то lim L(fn) ^ lim Ь{д^). Действительно, из
условия теоремы следует, что Ь{фт) —> Ь(ф), если
неотрицательные функции фт из Т убывают к ф € Т. Заметим, что функции
minC/ruSfe) ? ? возрастают к fn при к —> оо, ибо /n ^ lim </?.
Поэтому
Ь(/„) = Hm^(min(/„,0fc)) ^ ]hn^L(gk).
Остается перейти к пределу при п —> оо. Из доказанного
вытекает корректность определения L на С+, т.е. независимость
от выбора возрастающей последовательности, сходящейся к
элементу из ?+. В частности, получаем, что на Т П С+
построенный функционал совпадает с исходным. Свойства 1) и 2)
теперь сразу следуют из того, что они имеют место для функций
из Т. Заметим, что max(/,g) = lim max.( fn,gn) и min(/,g) =
lim min(/n, дп) для возрастающих к f ид неотрицательных
функций fni9n € J7, причем указанные пределы также монотонны.
Поэтому свойство 3) вытекает из определения и очевидного
равенства max(/, д) + min(/, д) = f + g. Проверим 4). Пусть
неотрицательные функции fk,n 6 F возрастают к /п € С+ при к —> оо.
Положим дш = max /m_n. Тогда gm €?,дт^ gm+i и /т,п ^ дт ^
/т при п ^ т. Значит, L(gm) < L(gm+1) и L(/TO,n) ^ L(gm) ^
L{fm) при п < т. Следовательно, lim /m = lim дт € ?+ и
lim L(/m) = lim L(gm) = L( lim gm) = L( lim /m).
(ii) Обозначим через Q класс всех множеств G с Iq е С+.
Положим n(G) = L(Iq) для всех G € Q. Заметим, что IgiHGz =
min(/Gi)^G2)) IgiUG2 = niax(/Gi)^G2)- Поэтому в силу свойства 3),
доказанного в (i), класс Q замкнут относительно конечных
пересечений и конечных объединений, а по свойству 4) и относительно
счетных объединений. Кроме того, \i — неотрицательная
монотонная аддитивная функция на С/, причем
Ai(Gi П G2) + M(Gi U G2) = m(Gi) + /*(G2)
для всех 6?i, G2 € G и /x(G) = lim [i(Gn), если множества Gn E Q
возрастают к G. Отметим еще, что /г@.) = 1. Согласно теореме

1.11.4 (применимой ввиду примера 1.11.5 и замкнутости Q
относительно счетных объединений), функция
ц*{А) = inf{/i(G): G € Q, А С G}
является счетно-аддитивной мерой на классе
B={Bcfi: ц*(В) + ц*@\В) = 1}.
Далее через ц будем обозначать сужение ц* на В.
(Ш) Проверим, что Л С В. Если / € ?+, то {/ > с} €
? для всех с, ибо /{/>с} = um min(l,nmax(/ — с,0)). Значит,
все функции из С+ измеримы относительно ст-алгебры cr(Q). С
другой стороны, все такие функции измеримы относительно а-
алгебры Л, порожденной классом Т. Поскольку Q с &{С+) —
cr(!F), то получаем равенство Л = a(Q). Таким образом,
достаточно показать, что Q С В. Пусть G G Q. Выберем
возрастающую последовательность неотрицательных функций /n Е Т
с Ig = lim /„. Тогда ^*(G) = /x(G) = lim L(fn). Поскольку
H*{G) + /x*(fi\G) ^ 1, то для включения G € В достаточно
показать, что p*{G) + n*($l\G) < 1, что равносильно неравенству
fi*{fl\G) ^ Ш L{\ - fn). G.8.2)
Заметим, что функции 1 — /п убывают к Iq\g- Для всякого п и
всякого с € @,1) множество Uc = {1 — fn > с} содержит fl\G и
согласно доказанному выше входит в Q. Поэтому из определений
и очевидного неравенства 1цс < с_1A — /п) получаем
/x*(«\G) ^ n(Uc) = LG%) ^ с-^A - /„).
Переходя к пределу при с —> 1, а затем при п —» оо,
получаем G.8.2).
(iv) Осталось доказать, что Т С ?х(/х) и выполнено G.8.1).
Как уже показано, все функции из ?+ являются Л-измеримыми.
Если / = Iq-, где G € Q, то нужное равенство выполнено по
определению \1. Разумеется, это равенство остается в силе и для
конечных линейных комбинаций индикаторов множеств из Q. Пусть
/ е С+ и / < 1. Тогда / является пределом возрастающей
последовательности функций
2"-1 2п-1
fn ¦= ^2 J2_n/{j2-«</^0+lJ-™} = 2_П }Г 1{f>j2~n}-
3=1 3=1

122 Глава 7. Меры на топологических пространствах
По доказанному L(fn) = I /„ dfi. В силу установленного на эта-
не (i) свойства 4) и свойств интеграла, при п —> оо правая и
левая части этого равенства сходятся к L(f) и / / d\i соответ-
Jn
ственно. Более того, с помощью этого же обоснования G.8.1)
распространяется на все неотрицательные функции / € Т, ибо
/ = lim min(/, п) и min(/,n) € С+. Наконец, для всякой
функции / е Т имеем / = max(/,0) — тах(—/,0), откуда вытекает
доказываемое.
Единственность меры ц следует из того, что она однозначно
определена на классе Q, который замкнут относительно конечных
пересечений и порождает Л. ?
Функционал L со свойствами из доказанной теоремы и
называют интегралом Даниэля (см. ниже случай 1 ? F).
7.8.2. Следствие. Предположим, что в теореме 7.8.1 класс
Т замкнут относительно равномерной сходимости. Пусть Q?
есть класс всех множеств вида {/ > 0}, / € Т, / ^ 0. Тогда Q?
порождает а-алгебру А — о{Т), причем
/x(A) = inf|^(G): AcG.Gefo}, VА е Л, G.8.3)
/x(G) = sup{L(/): /e^,0^/^/G}, VGeGr. G.8.4)
Доказательство. Достаточно проверить, что класс Q?
совпадает с классом Q, введенным в доказательстве теоремы. В этом
доказательстве было показано, что {/ > 0} € Я для всех
неотрицательных / е Т. С другой стороны, если G € 9, то по
определению существует возрастающая последовательность
неотрицательных функций fn € Т, сходящаяся к Iq- Положим / =
Yl^=i 2_n/n- В силу равномерной сходимости ряда имеем / € J7.
Ясно, что / > 0 и G = {/ > 0}. ?
Функционалы, рассматривавшиеся в доказанной выше
теореме, называются положительными. Таким образом, запись L ^ 0
означает, что L(f) ^ 0 при / ^ 0. Однако эта теорема
распространяется и на не обязательно положительные функционалы.
7.8.3. Теорема. Пусть Т — векторная решетка
ограниченных функций на множестве П, содержащая 1. Предположим,

7.8 Интеграл Даниэля
123
что на Т задан линейный функционал L, непрерывный
относительно нормы II/H = sup|/(x)|. Тогда L можно представить в
о.
виде L = L+ — L~, где L+ > О, L~ ^ О и для всех
неотрицательных f G Т справедливы равенства
L+(f) = sup L(g), ir(f) = - inf L(g). G.8.5)
Кроме того, полагая \L\ ~ L+ + L~~, имеем при / ^ О
\L\(f) = sup \L(g)\, ||L|| = L+A) + L-A).
Доказательство. Для неотрицательных функций f,g е Т
и всякой функции he Т такой, что 0 ^ h ^ f+g, можно записать
h = h\+ h2, где hi, h2 € Т, 0 < hi ^ /, 0 ^ h2 < g- В самом деле,
положим hi = min(/, h), h2 = h — hi. Тогда hi, hi € J7, 0 < hi ^ /
и h2 ^ 0. Наконец, h2 ^ g- Действительно, если hi(x) = h(x), то
h2(x) = О, если hi(x) = f(x), то h2{x) — h(x) — /(x) ^ g(x),
поскольку h ^ g + f.
Пусть L+ определяется равенством G.8.5). Заметим, что
величина L+(f) конечна, поскольку \L(h)\ < ||L|| \\h\\ ^ ||L|| ||/||.
Ясно, что L+(tf) — tL+(f) для всех неотрицательных чисел t и
/ ^ 0. Пусть / ^ 0 и g ^ 0 входят в Т. Используя обозначения
выше, получаем
L+(f + g) = sup{L(h): 0 ^ h ^ f + g}
= sup{L(hi) + L(h2): O^hi^f, 0^h2^g} = L+(f) + L+(g).
Теперь для всех / € T положим L+(f) = L+(/+) — L+(/_),
где /+ = max(/, 0), /~ = — min(/,0). Отметим, что если / =
/l - /2, где /i, /2 ^ 0, то L+(f) = L+(fi) - L+(/2).
Действительно, fi+Г = f2+f+ и потому L+(fi)+L+(f-) = L+(/2)+L+(/+).
Ясно, что L+(tf) = tL+(f) для всех t € Ж1 и / € Т.
Аддитивность функционала L+ вытекает из его аддитивности на
неотрицательных функциях. Действительно, для заданных /яд имеем
/ = /+-Г,9 = 9+-д', откуда f + g = (/+ + д+) - (/- + д~)
и согласно сказанному выше получаем
L+(f + д) = L+(f+ + д+) - L+(/" + д~) = L+f + L+g.

124 Глава 7. Меры на топологических пространствах
По определению, L+(f) > L(f) для неотрицательных /, поэтому
функционал L~ := L+ — L неотрицателен. Легко видеть, что L~
задается анонсированной формулой.
Наконец, ||L|| ^ ||L+|| + \\Ь~\\ = L+(l) + L~(l). С другой
стороны,
L+(l) + L"(l) = 2L+A) - L(l) = sup{LB<p - 1): 0 ^ ц> ^ 1}
^ sup{L(h) : -1 ^ h ^ 1} ^ ||Z||.
Теорема доказана. ?
7.8.4. Следствие. Предположим, что в ситуации
предыдущей теоремы функционал L обладает следующим свойством:
L(fn) —* 0 для всякой монотонно убывающей к нулю
последовательности функций fn из Т. Тогда функционалы L+ и L~
также обладают этим свойством. В частности, L+ и L~
задаются неотрицательными счетно-аддитивными мерами на o-(F), а
L задается в виде G.8.1) некоторой знакопеременной счетно-
аддитивной мерой /х на и(^г).
Доказательство. Пусть {/„} — монотонно убывающая к
нулю последовательность в Т и е > 0. По определению можно
найти (рп е Т с 0 ^ ipn ^ fn с L((pn) ^ L+(/n) — е2~п. Положим
gn = min(yi,..., <рп). Проверим по индукции, что
1+(/п)аЫ + е^2-*. G.8.6)
«=1
Для п = 1 это выполнено. Допустим, что G.8.6) верно для п =
1,..., т. Справедливы равенства
9m+i = min(pm,</?m+i),
max@m, <pm+i) + min(jm, <pm+\) =9m + <Pm+i,
откуда
L(max(gm, <pm+i)) + L{gm+i) = L(gm) + L(tpm+1)
> L{gm) + L+(fm+i) - e2-m-\
С другой стороны, из оценок дт ^ <рт ^ fm, <pm+i ^ fm+i ^ fm
и предположения индукции имеем
Ь{тах(дт,<рт+1)) ^ L+(fm) ^ L{gm) + е^2~\

7.8 Интеграл Даниэля 125
Следовательно,
L(gm) + L+(fm+i) - ?2-m - L(gm+1) ^ L(gm) + e |V\
откуда получаем G.8.6) для п = т + 1. Итак, оценка G.8.6)
доказана для всех п. Поскольку дп ^ /п, то последовательность
{дп} убывает к нулю. Следовательно, Ь(дп) —> 0 и G.8.6) дает
limsupL+(/n) ^ е. В силу произвольности е > О и
неотрицательности L+(fn) получаем, что L+(fn) —> 0. Утверждение для L~
вытекает из доказанного. ?
7.8.5. Замечание. В доказанном следствии функционалы
L+ и L~ задаются мерами /х+ и /х~, где /л, задает L. Это легко
увидеть из равенств G.8.5) и свойств интеграла.
7.8.6. Теорема. Пусть J- — некоторая решетка функций на
множестве ?1, содержащая 1. Предположим, что на J- задан
линейный функционал L со следующими свойствами: L(f) ^ 0
при / ^ 0, 1,A) = I и L(fa) —у 0 для всякой монотонно
убывающей к нулю направленности функций fn из Т. Тогда на а-алгебре
А = о-{Т), порожденной Т, существует единственная
вероятностная мера /х, для которой J7 С Ь1{ц) и выполнено G.8.1).
При этом ft(Ga) —> A*(Uq ^о ) для всякой возрастающей
направленности множеств Ga, таких, что Iq € С+, где С+ — класс
всех ограниченных функций, являющихся пределами
возрастающих направленностей неотрицательных функций из Т.
Доказательство. С незначительными изменениями
применимы рассуждения из доказательства теоремы 7.8.1, где речь шла
о (т-аддитивных функционалах. В качестве С+ берем класс всех
ограниченных функций /, пред ставимых в виде пределов
возрастающих направленностей неотрицательных функций fa из Т.
Продолжение L на С+ осуществляется так же, как и в
теореме 7.8.1, но с заменой последовательностей на направленности.
При этом все рассуждения остаются в силе и показывают, что
продолжение обладает следующим свойством: если возрастающая
направленность функций fa е ?+ сходится к функции / € С+, то
L(fa) —> L(f). Как и в упомянутой теореме, на а-алгебре а(?+),
порожденной С+, равенства fi(G) — L(Ig),
G€Q:= {G: IG € ?+}, ц(В) = inf{/i(G): Geg,BcGl

126 Глава 7. Меры на топологических пространствах
задают счетно-аддитивную меру, причем I fdfj, = L(f) для всех
Ju
f € С+. Кроме того, Т С Ll(fi) и для всех / е Т остается
справедливым предыдущее равенство. Отметим, что в рассматриваемой
ситуации <7-алгебра Л = о~{Т) может быть строго меньше а(С+).
Из построения ясно, что если возрастающая направленность
множеств Ga дает в объединении множество G, то (i(Ga) = L(Ica) —>
L(JG) = /x(G). ?
В установленных выше результатах предполагалось, что
решетка Т содержит 1. Поэтому пока они неприменимы для
построения бесконечных мер. Оказывается, что если 1 ? J7, то
наложенных выше условий уже не достаточно для существования
представляющей меры. Можно построить пример множества ?2,
векторной решетки Т функций на Q и положительного г-гладкого
линейного функционала на F, не представимого в виде
интеграла, см. Fremlin, Talagrand [798], Fremlin [795, §439Н]. Ниже
приведен аналогичный пример (заимствованный из Fremlin [779]) с
а-гладким функционалом. Однако положение можно исправить,
если дополнительно наложить условие Стоуна: min(/, 1) Е Т для
всех / € Т. Содержательным примером решетки с условием
Стоуна, не содержащей 1, является пространство непрерывных
функций с компактными носителями на ГО.П. Доказательство
следующей теоремы вынесено в задачу 7.14.122 (ее можно вывести также
и из предыдущих результатов).
7.8.7. Теорема. Пусть Т — векторная решетка функций
на множестве О,, удовлетворяющая условию Стоуна.
Предположим, что на Т задан неотрицательный линейный фгункци-
онал L, причем L(fn) —* 0 для всякой поточечно убывающей к
нулю последовательности функций /n е Т. Тогда на a(.F)
существует такая счетно-аддитивная мера ц со значениями в
[О, +оо], что Т С i1(/*) и выполнено G.8.1).
В качестве простого следствия результатов этого параграфа
можно получить существование интеграла Лебега на Шп или на
кубе. Для этого берем в качестве Т класс непрерывных функций
с ограниченными носителями, в качестве L берем интеграл Рима-
на и пользуемся тем, что убывающая к нулю последовательность
таких функций сходится равномерно. Эта же конструкция
работает и для построения интеграла Лебега на достаточно
регулярном многообразии (надо, конечно, чтобы на нем был определен
интеграл Римана от непрерывных функций).

7.8 Интеграл Даниэля
127
Перейдем к упомянутому выше примеру отсутствия
представляющей меры.
7.8.8. Пример. Пусть F — множество всех вещественных
функций / на [0,1] со следующим свойством: для некоторого
числа а = a(f) множество {t: f(t) ф a(l + t)} имеет первую
категорию. Положим L(f) := а. Тогда Т — векторная решетка функций
с естественным отношением порядка из IRJ0'1^, L —
неотрицательный линейный функционал на Т, причем L(fn) —> 0 для
всякой поточечно убывающей к нулю последовательности функций
fn € .F, однако L нельзя задать в виде интеграла по счетно-
аддитивной мере.
Доказательство. Заметим, что для любой функции / е Т
имеется лишь одно число а с указанным свойством, ибо отрезок
не является множеством первой категории. Поэтому функция L
корректно задана. При / 6 Т положим Ef := {t: f(t) ф a(l + t)}
для соответствующего / числа а. Если /, д G Т и а = а(/),
/3 = а(д) — соответствующие числа, то множество Ef U Ед
имеет первую категорию и вне его /(?) + g(t) = (а + /?)A +1). Для
всякого скаляра с имеем cf(t) = са{\ + t) вне множества Ef.
Итак, Т — линейное пространство. Легко видеть, что |/| G F
при / € Т. Из сказанного ясно также, что функция L линейна.
При / $= 0 имеем L(f) ^ 0. Если функции /n G Т поточечно
убывают к нулю, то объединение множеств Efn является
множеством первой категории. Поэтому найдется такая точка t, что
L{fn) = /п(*)/A + *) сразу для всех га, откуда lim L(fn) = 0.
Предположим теперь, что существует мера ц на ст(^г),
принимающая значения в [0, -Изо], такая, что Т с ?:(м) и L(f) совпадает
с интегралом / по мере [л. Функция ф: t н-> 1-К входит в Т,
откуда вытекает, что все открытые множества из [0,1] входят в о{Т).
Ввиду оценки ф ^ 1 получаем /х([0,1]) ^ Ь{ф) = 1. Таким
образом, ограничение /х на В([0,1]) является конечной мерой. Поэтому
найдется такое борелевское множество Е первой категории, что
/х([0,1}\Е) = 0. Рассмотрим следующую функцию /: f(t) = 0 при
t G Е, f(t) = 1-Й при t <? Е. Ясно, что / G Т и ?,(/) = 1. С другой
стороны, интеграл / по мере ц равен нулю — противоречие. ?
Рассмотренный пример показывает, что не всегда L
задается в виде интеграла, однако анализ доказательства теоремы 7.8.1

128 Глава 7. Меры на топологических пространствах
позволяет и без условия Стоуна получить для L основные
свойства интеграла (чем и объясняется термин „интеграл Даниэля").
Пусть Т — некоторая векторная решетка функций на
множестве U и на Т задан неотрицательный линейный функционал L,
причем L(fn) —> 0 для всякой поточечно убывающей к нулю
последовательности {/п} С Т. Будем называть L-нулевыми такие
множества S С Q, что для всякого е > О найдется неубывающая
последовательность функций /n е Т с L(fn) < е и sup/n(z) ^ 1
на S. Обозначим через С+ класс всех таких функций /
(принимающих также и значение +оо), что f(x) = lim fn(x), где /„ € Т,
fn ^ /n+ii причем последовательность L(fn) ограничена.
Нетрудно проверить, что такая функция / конечна вне некоторого L-
нулевого множества. Положим L(f) := lim L(fn). Рассуждение
из доказательства теоремы 7.8.1 показывает корректность
определения L на С+. Через ? обозначим множество функций / с
/+, /~ € ?+. Для таких функций положим L(/) := L(f+)—L(f~).
На С можно ввести отношение эквивалентности, объявив
эквивалентными функции, которые не совпадают на L-нулевом
множестве. Тогда множество классов эквивалентности становится
метрическим пространством с метрикой d.L(f,g) '•= L(\f — д\). Из
построения ясно, что Т всюду плотно в С.
7.8.9. Предложение. Функционал L на множестве С
линеен и для него справедливы утверждения теорем Беппо Леей,
Лебега и Фату, причем С с указанным отношением
эквивалентности полно относительно метрики йь-
Доказательство совершенно аналогично обоснованию свойств
интеграла Лебега в гл. 2, надо лить начать с теоремы Беппо Леви
и выводить ее непосредственно из определений, а не из теоремы
Лебега, как мы делали. Простые детали можно найти в Шилов,
Гуревич [366, §2]. Рассмотрим теперь класс Hl всех таких
множеств Е, что существует последовательность функций /n € J7,
сходящаяся к 1е вне некоторого L-нулевого множества. Такие
множества будем называть измеримыми (хотя никакой меры при
этом не подразумевается). При Е е Ль положим и(Е) := L(Ie),
если 1е € С, v{E) = +оо в противном случае. Нетрудно
проверить, что TZl — сг-кольцо и функция и — счетно-аддитивная
мера со значениями в [0, +оо]. Можно также рассматривать v на
5-кольце 72.? всех множеств, на которых и конечна. Однако в
общем случае (без условия Стоуна) интеграл по мере v не совпадает

7.9. Меры как функционалы
129
с L. Скажем, в примере 7.8.8 мера и тождественно равна нулю.
В самом деле, в этом примере L-нулевые множества — это
множества первой категории, ибо если a(fn) ^ 1/3, то fn(t) ^ 2/3
вне множества первой категории. Класс С отличается от Т лишь
тем, что теперь функция на множестве первой категории может
принимать значения +оо или —оо. Если функции /n е Т имеют
конечный предел вне некоторого множества первой категории,
то этот предел совпадает с функцией аA + <) вне множества
первой категории, поэтому индикатор множества может получиться
лишь при а = 0, т.е. измеримы лить множества первой категории
и они являются .L-нулевыми.
Отметим, что в теоремах этого параграфа не появлялась
топология. Топологические концепции будут задействованы в
следующих двух параграфах.
7.9. Меры как функционалы
Каждая бэровская мера ц на топологическом пространстве X
задает непрерывный линейный функционал на банаховом
пространстве Сь(Х) с нормой II/H = sup|/(a;)| по формуле
х
/~ [ f(x)ix(dx). G.9.1)
Jx
В этом и следующем параграфах мы обсудим, какие
функционалы могут быть получены таким образом и что можно сказать о
свойствах мер (типа регулярности) в терминах соответствующих
функционалов.
Хотя мы не обсуждаем не счетно-аддитивные меры, для
материала этого параграфа представляется полезным напомнить
некоторые основные понятия, относящиеся к аддитивным
функциям множества. Следует заметить, что в большей части
литературы аддитивные функции множества также называются
мерами. Однако, следуя нашему ранее установленному соглашению,
мы сохраним термин „мера" лишь для счетно-аддитивных
функций множества. Пусть теперь X — топологическое пространство
с алгеброй ЩХ), порожденной всеми функционально
замкнутыми множествами. Функцию т: ЩХ) —> И называют аддитивной
регулярной функцией множества, если она (i) аддитивна, (ii)
равномерно ограничена и (Ш) для всяких A G ЩХ) и е > 0
существует такое функционально замкнутое множество F, что F с А и
|m(f?)| < е для всех В С A\F, В € ЩХ). Непосредственно
проверяется (задача 7.14.82), что всякая такая функция т представима

130 Глава 7. Меры на топологических пространствах
в виде разности двух неотрицательных аддитивных регулярных
функций множества т+ и тГ, где
т+(А) = sup{m(B): В G ЩХ), В С А},
тГ(А) = - inf{т(В): В G ЩХ), В С А}.
Положим ||т|| = т+(Х) + тГ(Х).
Аналогично римановскому интегрированию, можно определить
интеграл / f(x)m(dx) от ограниченной непрерывной функции
/ на X относительно аддитивной регулярной функции
множества т (см. §4.7(viii)). Значение аддитивных функций множества
можно усмотреть из следующего фундаментального результата
А.Д. Александрова [3].
7.9.1. Теорема. Если т — аддитивная регулярная функция
множества на ЩХ), то интеграл
/-> f f(x)m(dx)
Jx
является ограниченным линейным функционалом на Сь(Х),
норма которого равна \\т\\. Обратно, для всякого ограниченного
линейного функционала L на Сь(Х) существует такая аддитивная
регулярная функция множества т на ЩХ) с \\т\\ = ||?||, что
L{f) = Jxf(x)m(dx)
для всех f G Сь(Х). Кроме того, т неотрицательна в точности
тогда, когда таков функционал L.
Доказательство. Прямое утверждение легко проверяется.
Докажем обратное. В силу сказанного выше, можно считать, что
L — неотрицательный функционал на Съ(Х). Обозначим через Z
класс всех функционально замкнутых множеств. Положим
m(Z) = inf{L(/): / G Cb(X), Iz^f^l}, Z<eZ.
Мы покажем, что искомой функцией множества является т*.
Ясно, что m(Z) = m*(Z) для всякого Z € Z, поскольку класс
Z допускает конечные объединения. Пусть Z\, Zi G Z и Z\ С Z%.
Покажем, что m(Z2) — rn(Z\) = m*(Z2\Z\). Заметим, что m{Z<^) —
m(Zi) ^ m»(Z2\Zi), ибо Z\ U Z G Z при Z G Z и Z С Z2\Z\.
Пусть e > 0, / G Cb(X) и / ^ /Zl. Положим Y = {x: f(x) ^ 1-е}

7.9. Меры как функционалы
131
и отметим, что У П Z\ = 0. Зафиксируем функцию д € Сь(Х)
с д > Iz2oy- Тогда при х € Z2 имеем /(ж) + д(х) > 1 — е, ибо
если х € У, то g(x) ^ 1, а если х ? У, то /(х) > 1 — е. Поскольку
f+g ^ 0, то получаем (l-e)_1(/+g) ^ Iz2, откуда L(/)+L(ff) >
A - e)m(Z2). Переходя к inf по д, получаем L(f) + m(Z2 П У) ^
A — e)m(Z2). Пользуясь тем, что Z2 Л У С Z2\Zi, приходим к
оценке L(f) + m*(Z2\Zi) ^ A — e)m(Z2). Теперь получаем
ro(Zi) + m*{Z2\Zx) > A - e)m(^),
что в силу произвольности е дает m(Z\) + m*(Z2\Zi) ^ т(^г).
Итак, m(Z2) - m(Zi) = ro*Bfe\Zi).
Пусть теперь Z € -Z и 2? — произвольное множество.
Проверим равенство т*(Е) = mm(EnZ) + m*(E\Z), означающее
измеримость Z по Каратеодори относительно т*. Поскольку всегда
т*(Е) ^ т*(Е П Z) + m*(?J\Z), то надо проверить лишь
обратное неравенство. Пусть Z0 С Е, Zq € 2. По доказанному имеем
m(Z0) = m(Zo П Z) + m*(Zo\(Zo П Z)). Правая часть не
превосходит mm(EC\Z) + m*(E\ZI что приводит к нужному неравенству.
Согласно теореме 1.11.4 можно сделать вывод, что класс Шт.
является алгеброй, содержит Z, а функция т„ аддитивна на Шт..
Поэтому сужение т* на ЩХ) — искомая функция. П
Ясно, что в общем случае функция множества т не обязана
быть счетно-аддитивной. В этом и следующем параграфах мы
выясним, какие функционалы соответствуют счетно-аддитивным
мерам, а также радоновским и т-аддитивным мерам.
7.9.2. Определение. Пусть L е Сь(Х)*.
(i) Функционал L называется а-гладким, если для всякой
последовательности {/п} С Сь{Х) с fn I 0 имеем L(fn) —> 0;
(ii) Функционал L называется т-гладким, если для всякой
направленности {fa} С Сь(Х) с fa 10 имеем L(fa) —> 0;
(iii) Функционал L называется плотным, если для всякой
направленности {fa} С Сь(Х) такой, что \\fa\\ < 1 и /а -» 0
равномерно на компактных подмножествах X, имеем L(fa) —> 0.
Через МС(Х), МТ(Х), Mt{X) обозначим пространства а-
гладких, т-гладких и плотных функционалов, соответственно.
7.9.3. Теорема. Следующие свойства равносильны:
(i) L е М*(Х); (и) L+,L~ € Ма(Х); (ш) \Ц € М*{Х).

132 Глава 7. Меры на топологических пространствах
Доказательство. Из (И) следуют (i) и (iii), а (Ш) влечет (i).
Покажем, что (i) дает (ii). Проверим, что L+ G Ма{Х). Если это
не так, то найдется убывающая к нулю последовательность
функций fn € Сь{Х) с L(fn) > с > 0. По определению L+ можно найти
д\ € Сь(Х) с 0 <; д\ ^ Д и L(g{) > с/2. Заметим, что функции
max(/n,<;i) убывают к д\. Поэтому L(max(/n,<7i)) —> L{g\) и
найдется п\ с L(max(fni,gi)) > с/2. Положим hi := max(fni,gi).
Тогда 0 ^ /щ ^ /ii ^ /i и L(/ii) > с/2. Повторим это рассуждение
и найдем п2 € IN и h2 <Е С6(Х) с 0 ^ /П2 ^ /i2 ^ /П1 и L(h2) > с/2.
По индукции строим индексы щ и функции hk € Сь(Х) со
следующими свойствами: rik+i > n*, fnk+1 К hk ^ fnk и L(/ifc) > с/2.
Тогда {hk} убывает к нулю, что ведет к противоречию. Случай
L~ аналогичен. ?
7.9.4. Теорема. Следующие свойства равносильны:
(i) L е Мт(Х); (ii) L+,L~ е МТ(Х); (iii) \L\ Е МТ(Х).
Доказательство. Как и в теореме 7.9.3, основная часть —
проверка того, что L+ е МТ(Х) при L е МТ(Х) методом от
противного. Пусть найдется убывающая к нулю направленность
функций /а е Сь(Х) с L+(fa) > с > 0. Без потери общности
можно считать, что |/Q| ^ 1. На множестве Т всех пар (а,/?) с
/3 > а введем частичный порядок, положив (ai,/3i) > @12, Р2),
если ai > а2. Как и в случае последовательностей, для каждого
а находим ha € Съ(Х) с 0 ^ jQ ^ /а и L(ga) > с/2. Используя
Т в качестве нового множества индексов, замечаем, что
направленность (patp :— max(ga,fp), (а,/3) е Г, убывает к нулю. Значит,
^(Va„a) —> 0. Возьмем такой индекс (ао,Д)), что \L(ipatp)\ < с/2
при (а,/3) > (а0,Ро). Тогда при /? > /% получаем |?(у/зь,^I > с/2-
Заметим, что направленность <рро,р убывает к д^. По условию
имеем L(?>i30i/3) —> Цзд,) > с/2. Тогда при некотором /3 > 0о
имеем |Ь(у/зь,/?)| > с/2 — противоречие. ?
7.9.5. Теорема. Следующие свойства равносильны:
(i) L G Mt(X); (ii) L+,L~ € MW; (ш) |L| € -Mt(X).
Доказательство. Как и в двух предыдущих теоремах, все
сводится к проверке включения L+ G Mt(X) при L € Mt(X).
Пусть дана направленность функций fa е Сь(Х), которая
сходится к нулю равномерно на компактах и |/а| < 1. Из
определения L+ ясно, что найдутся такие да € Сь(Х), что 0 ^ да < /Q и

7.10. Регулярность мер в терминах функционалов 133
0 ^ L+(\fa\) ^2L(ga). Тогда направленность {да} также
сходится к нулю равномерно на компактах и \да\ ^ 1. Поэтому получаем
L(ga) —> 0, откуда вытекает доказываемое. ?
7.10. Регулярность мер в терминах функционалов
Теперь мы установим, что функционалы из классов,
упомянутых в трех последних теоремах, находятся во
взаимно-однозначном соответствии с бэровскими, т-аддитивными и радоновскими
мерами.
7.10.1. Теорема. Пусть X — топологическое
пространство. Формула
L(f) = J f{x)ti{dx) G.10.1)
устанавливает взаимно-однозначное соответствие между
бэровскими мерами ц на X и непрерывными линейными
функционалами L на Сь(Х) со следующим свойством:
JimoL(/n) = 0
для всякой последовательности /„, монотонно убывающей к
нулю в каждой точке.
Доказательство. Ясно, что всякая мера ц € Ва(Х) задает
непрерывный линейный функционал на Съ(Х). Обратное
утверждение вытекает из теоремы 7.8.1 и следствия 7.8.4. ?
7.10.2. Замечание. Ясно, что всякий неотрицательный
линейный функционал L на Сь(Х) (т.е., неотрицательный на
неотрицательных функциях) автоматически непрерывен, поскольку
удовлетворяет оценке |L(/)| ^ L(l)sup|/|.
Конечно, не каждый непрерывный линейный функционал
удовлетворяет условию теоремы 7.10.1.
7.10.3. Пример. Пусть X = IN с обычной дискретной
топологией. Положим
LIM(f) = Urn /(n)
на пространстве Со (IN) всех функций / на IN, для которых
указанный предел существует и конечен. Функционал ЫМ
непрерывен на Co(IN), поскольку \LIM(f)\ ^ sup |/|. В силу теоремы
Хана-Банаха, ЫМ можно продолжить до непрерывного
линейного функционала на пространстве Cb(lN). Ясно, что даже на

134 Глава 7. Меры на топологических пространствах
подпространстве Со (IN) функционал ЫМ не задается как
интеграл по счетно-аддитивной мере на пространстве IN.
Подобная ситуация невозможна для компактного
пространства. Следующее утверждение называется теоремой Рисса.
7.10.4. Теорема. Пусть К — компакт. Тогда для каждого
непрерывного линейного функционала L на банаховом
пространстве С(К) существует, причем единственная, мера Радона \i
такая, что
L(f)= I f{x)n{dx).
Jx
Доказательство. Согласно теореме Дини,
последовательность непрерывных функций, убывающая к нулю монотонно на
компактном множестве, сходится к нулю равномерно (см. Энгель-
кинг [373]). Значит, в нашем случае каждый непрерывный
линейный функционал удовлетворяет условию теоремы 7.10.1.
Остается заметить, что каждая бэровская мера на компакте однозначно
продолжается до меры Радона (теорема 7.3.2). ?
Теорема Рисса сразу дает радоновское продолжение
произведения мер Радона /х и v на компактах X жУ: интеграл по ц<8>и
задает непрерывный функционал на С(Х х. Y) (напомним, что
Ba(XxY) - Ba(X)®Ba(Y) для компактов).
7.10.5. Следствие. Пусть X — компакт. Формула G.10.1)
устанавливает взаимно-однозначное соответствие между
неотрицательными линейными функционалами на пространстве
С(Х) и неотрицательными радоновскими мерами на X.
Следующие две теоремы описывают функционалы,
порожденные т-аддитивными и радоновскими мерами.
7.10.6. Теорема. Пусть пространство X вполне
регулярно. Формула G.10.1) устанавливает взаимно-однозначное
соответствие между радоновскими мерами fi на X и
непрерывными линейными функционалами L на Сь{Х), удовлетворяющими
условию: для каждого е > 0 существует такое компактное
множество К?, что при f € Сь(Х) и f \кЕ— 0 имеем
|L(/)K?sup|/|.
Доказательство. Если ц — радоновская мера, то это
условие выполнено. Докажем обратное. Пусть {/„} —
последовательность ограниченных непрерывных функций, которая убывает
монотонно к нулю. Проверим выполнение условий теоремы 7.10.1.

7.10. Регулярность мер в терминах функционалов 135
Можно считать, что |/п| ^ 1. Зафиксируем е е @,1) и выберем
соответствующий компакт Ке. По теореме Дини существует
такое число по, что sapKe |/„| < е для всех п > щ. Для каждого
п ^ по найдем функцию дп € Cj,(X), такую, что дп = fn на К? и
\дп\ ^ е. Тогда \L(gn)\ < е. По условию, \L(fn - pn)| ^ 2е, откуда
|L(/n)| ^ Зе. Следовательно, L порождается бэровской мерой и.
Проверим, что /х плотна. Достаточно рассматривать
положительные функционалы L, что соответствует неотрицательной мере ц,
ибо функционал \Ц, соответствующий мере \ц\, также обладает
свойством, указанным в условии теоремы. Действительно, если
компакт Ке выбран для е и L, а функция / € Сь(Х) равна нулю
на Ке, то в силу теоремы 7.8.3 имеем \L(f)\ ^ |I»|(I/I) < esup|/|,
ибо |/| = 0 на Ке. Пусть бэровское множество В не пересекается
с компактом Ке. В силу регулярности /л можно найти
функционально замкнутое множество Z С В, для которого fi(B\Z) < е,
а затем окрестность U компакта К?, не пересекающуюся с Z. В
силу полной регулярности X существует непрерывная функция
/: X -* [0,1] с / = 0 на Ке и / = 1 вне U, в частности, / = 1
на Z. Тогда n(Z) < / fdn<e, откуда ц(В) <2е. О
7.10.7. Теорема. Пусть пространство X вполне
регулярно. Формула G.10.1) устанавливает взаимно-однозначное
соответствие между т -аддитивными мерами ц на X и
непрерывными линейными функционалами L на Съ(Х), удовлетворяющими
следующему условию: если направленность {fa} ограниченных
непрерывных функций убывает к нулю поточечно, то L(fa) —* 0.
Доказательство. Согласно следствию 7.2.7, функционалы,
задаваемые т-аддитивными мерами, удовлетворяют указанному
условию. По теореме 7.9.4, при доказательстве обратного
утверждения можно считать, что функционал L неотрицателен.
Остается сослаться на теорему 7.8.6. ?
Итак, классы функционалов М„(Х), МТ(Х) и Mt{X) могут
быть отождествлены с соответствующими классами мер.
Если аддитивная функция m > 0 на Ва(Х) такова, что нет
отличной от нуля счетно-аддитивной меры т\ ^ 0 с т\ ^т,тот
называется чисто конечно-аддитивной. Если m счетно-аддитивна,
но нет ненулевых г-аддитивных т\ ^ 0 с mi ^ т, то т
называется чисто счетно-аддитивной. Если же m является т-аддитивной,
но не существует ненулевой плотной меры mi ^ 0 с mi ^ т, то

136 Глава 7. Меры на топологических пространствах
т называется чисто т-аддитивной. Упомянем следующую
теорему о разложении, полученную в Knowles [1061] (существование
компактно регулярной и т-аддитивной компонент доказал
Александров [3], поставивший вопрос о чисто счетно-аддитивной
компоненте).
7.10.8. Теорема. Любая неотрицательная аддитивная
функция множества т на бэровской а-алгебре вполне регулярного
пространства X однозначно представляется в виде
т = тс + тТ + та + та,
где тс ^ 0 — плотная мера, тТ ^ 0 — чисто т-аддитивная
мера, та ^ 0 — чисто счетно-аддитивная мера, а та ^ 0 — чисто
конечно-аддитивная мера на Ва(Х). Аналогичный результат
верен для знакопеременных аддитивных функций множества на
Ва(Х), имеющих ограниченную вариацию.
Этот результат, исключая, возможно, наличие тг-компонен-
ты, верен также для борелевских мер.
В связи с теоремой Рисса о представлении отметим
следующее полезное условие слабой компактности в пространстве С{К)
(в Данфорд, Шварц [104, IV.6.14] можно найти доказательство и
ссылки).
7.10.9. Теорема. Пусть К — компактное пространство и
F С С (К). Тогда следующие условия равносильны:
(i) F имеет компактное замыкание в слабой топологии,
(и) всякая последовательность из F имеет слабо
сходящуюся подпоследовательность,
(iii) F ограничено по норме и содержится в некотором
множестве из С (К), которое компактно в топологии поточечной
сходимости.
7.11. Меры на локально компактных пространствах
Рассмотрение локально компактных пространств привносит
некоторую специфику в теорию интегрирования. Напомним, что
хаусдорфово топологическое пространство X называется
локально компактным, если всякая точка в X обладает открытой
окрестностью с компактным замыканием. Локально компактное
пространство вполне регулярно (см. Энгелькинг [373, теорема 3.3.1]).
По лемме 6.1.5 для всякого компакта К в локально компактном
пространстве X и всякого открытого множества U D К можно
найти такую непрерывную функцию /: X —> [0,1], что /\к = 1

7.11. Меры на локально компактных пространствах 137
и / обращается в нуль вне некоторого компакта, содержащегося
в U. Множество всех непрерывных функций на X с
компактными носителями обозначим через Со(Х). На типичных не локально
компактных пространствах, например, бесконечномерных
нормированных пространствах, класс Cq(X) состоит лишь из нуля. В
локально компактном случае этот класс разделяет точки, что
оказывается весьма важным для теории интегрирования.
Помимо компактных пространств, основные используемые в
приложениях локально компактные пространства — это конечномерные
многообразия и локально компактные группы. Обозначим через
К(Х) класс всех компактов в X.
7.11.1. Теорема. Пусть X — локально компактное
пространство ит: )С(Х) —> [0, +оо) — такая функция, что при всех
КЪК2 € К{Х) имеем t(KxUK2) < т{К{) + т(К2), т(К11)К2) =
т(Кг) + т{К2), если КхПК2 = 0, т(К{) ^ т{К2), если Кх С К2.
Тогда существует единственная мера /х на В(Х) со значениями
в [О, +оо], которая внешне регулярна в том смысле, что мера
всякого борелевского множества является точной нижней
гранью мер содержащих его открытых множеств, а ее значение
на каждом открытом множестве U являются точной верхней
гранью значений на вписанных в U компактах, причем
/x(C/) = sup{r(X): KcU,Ke?(X)}. G.11.1)
Кроме того,
ц(К°) ^ т{К) ^ im{K), \/К Е К(Х), G.11.2)
где К0 ~ внутренность К.
Если же т{К) = inf{rE): S <Е К{Х), К С S0} для всех
множеств К 6 К.(Х), то ц совпадает с т на К(Х).
Наконец, сужения /i на борелевские множества конечной
меры радоновы, а формула
fi'(B)=mp{it(K): КсЕ,Ке1С(Х)}, В € В(Х). G.11.3)
задает борелевскую меру ц' со значениями в [О, +оо], которая
совпадает с р, на компактах, в частности, функции из Cq(X)
имеют равные интегралы по обеим мерам р, и р! (мера р!
является бесконечной радоновской в смысле §7.14(xviii)).
Доказательство. Для каждого открытого U зададим u(U)
формулой G.11.1). На классе U открытых множеств получилась
монотонная и аддитивная функция ц со значениями в [0, +оо].

138 Глава 7. Меры на топологических пространствах
Действительно, если U,V EU дизъюнктны, то для всякого
компакта К с U U V множества U П К и V П К компактны. Это
дает (j,(U U V) ^ fi(U) + fi(V) ввиду аддитивности т. Обратное
неравенство также легко проверяется. Далее,
fi(U) = sup{M(V0: V <= U, V С U, V € К(Х)}.
Это вытекает из того, что для всякого компакта К С U
можно найти такое_множество V € Ы с компактным замыканием F,
что if С V С V С С/. Наконец, функция ц счетно-субаддитивна.
Действительно, если U = Ui^i Це, f^j € W, то для заданного е > О
найдется такое множество V EU с компактным замыканием, что
H(V) > fi(U) -euV CV С U. Тогда V С U?=i Ui для
некоторого п, откуда fi(V) ^ /^(UiLi^i)- Поэтому достаточно
установить конечную субаддитивность ц на Ы. Можно теперь
рассматривать лишь два множества U\ и и%. Для всякого компакта
К С U\ UU2 в силу задачи 7.14.67 можно найти такие
непрерывные неотрицательные функции Д и /г с компактными носителя-
ми К\ С E/i и #2 С СТг соответственно, что Д + /г = 1 на X.
Множества Q» = {/, ^ 1/2} при г = 1,2 — компакты в С/"* и
К = (К n Qi) U (JC П Q2)- Значит,
т(#) < т(# П Qi) + т(* П Q2) < /*ТО + /№)>
откуда fj,(U) ^ /x(i7i) +/хA72). Согласно теореме 1.11.8 все
открытые множества измеримы относительно ц*. Сужение ц* на ЭДТ^*
будем обозначать также через ц. Тем самым, получена внешне
регулярная мера. Для всякого К € К,{Х) ввиду G.11.1) имеем
fi(K°) ^ т{К). Поэтому fi(K°) < т(К) ^ м(-К")- Утверждение о
единственности следует из построения.
Если же для всех множеств К € К.{Х) выполнено условие
т{К) = inf{t(S) : 5 € К(Х), К С 5°}, то
/*(ЛГ) = iid{}i(U): Ue U,Ka Щ ^ m?{ti(S°): Se K{X),Kd S°}
^ inf{rE): 5e tC(X),Kc S°} = т(К).
Отметим, что при указанном условии можно было бы применить
и теорему 1.12.33, что дало бы нам меру //.
Если В € В(Х) и fi(B) < 00, то сужение ц на В
является радоновской мерой. Действительно, из внешней регулярности
fi следует, что сужения ц на компактные множества радоновы.
Теперь для данного е > 0 берем открытое множество U D В с
fi(U\B) < в/4, затем находим компакт К\ C.U с fi(U\Ki) < e/i.

7.11. Меры на локально компактных пространствах
В силу радоновости ц на Кi найдется компакт Кг С К\ Г) В с
li{(Kx П ?)УЙГ2) < е/3- Поэтому К2 С В и ц{В\К2) < е.
Наконец, для всякого борелевского множества В с компактным
замыканием имеем ц'{В) = fi(B), ибо по доказанному это верно
для множеств конечной меры. Счетная аддитивность // следует
из аддитивности, проверяемой следующим образом. Если А и В
дизъюнктны и имеют конечные меры, то /*' совпадает с \i на А,
В и A U В, а если А или В имеет бесконечную меру, то таково
aAUB. ?
7.11.2. Замечание, (i) Построенная в теореме мера ц не
обязана быть внутренне компактно регулярной, а мера ц' может не
быть внешне регулярной, т.е. не всегда можно совместить оба
свойства регулярности (такое случается для некоторых мер Хаа-
ра, см. также задачу 7.14.155). Разумеется, для конечных мер эта
проблема не возникает. Свойство внутренней компактной
регулярности полезнее внешней регулярности, поэтому при
обсуждении меры Хаара в гл. 9 мы будем пользоваться мерой //.
(ii) Утверждения теоремы остаются в силе, если К.{Х) —
какой-нибудь класс компактов в X, замкнутый относительно
конечных объединений и пересечений и содержащий все компактные
Gi-множества. Это нетрудно усмотреть из доказательства.
7.11.3. Теорема. Пусть X — локально компактное
пространство и L — линейная функция на Со(Х), причем L(f) ^ О
при / ^ 0. Тогда существует такая борелевская мера ц на X со
значениями в [0, +оо], что
Д/)= f fdft, V/€C0(X). G.11.4)
Jx
При этом /х можно выбрать радоновской на множествах
конечной меры (и даже внутренне компактно регулярной на В(Х),
причем имеется лишь одна мера с этим свойством).
Доказательство. Здесь применима теорема 7.8.7, ибо если
/п € Со(Х) и / I 0, то сходимость равномерна. Эта теорема дает
меру на а(Со(Х)), которую можно продолжить на В(Х) с
помощью предыдущих теоремы и замечания. Дадим и другое
обоснование. Для всякого открытого множества V с компактным
замыканием V пусть Co(V) — множество непрерывных функций на X
с компактным носителем в V. Поскольку V открыто, то Co(V)
рожно отождествить с множеством всех непрерывных функций

140 Глава 7. Меры на топологических пространствах
на V с компактным носителем в V, продолженных нулем на X вне
носителя. Тем самым, Cq{V) можно рассматривать как линейное
подпространство в пространстве C(V). Функционал L на Cq{V)
удовлетворяет условию L(f) ^ Мтпаху |/| при некотором М > 0.
Действительно, найдем в е Cq(X) сООи в\у — 1 и положим
М = L{9). Тогда L(f) < L(9), если / € Cb(V) и |/| < 1. По
теореме Хана-Банаха^ продолжается до непрерывного линейного
функционала на C(V), что по теореме Рисса дает радоновскую
меру v на V, для которой L(f) = I /dv, V/ ? Cq(V). Пусть
Jv
\iy = v\y- Тогда
L(f)= [ fd»v, V/GC0(V). G.11.5)
Jv
Ясно, что //у ^ 0 и что если V,W — два открытых множества с
компактными замыканиями, то /xy|ynw = (*w\vnw- Это следует
из G.11.5) ввиду того, что любая радоновская мера г на U П V
однозначно определяется по значениям на компактах S С U П V,
причем если т > 0, то t(S) есть точная нижняя грань интегралов
по т от функций / € C0(U П V) с 0 *% / ^ 1 и /|s = 1. Итак,
искомая мера /х построена на й-кольце борелевских множеств с
компактными замыканиями. Для всякого такого множества В
находим его окрестность V с компактным замыканием и полагаем
д(В) := /iy(.B). Из сказанного выше следует корректность
определения /л. Остается продолжить \х на все борелевские множества.
Это можно сделать с помощью предыдущих теоремы и
замечания (можно и непосредственно использовать формулу G.11.3)).
Утверждение о единственности ясно из доказательства. ?
Если L — неотрицательный линейный функционал на С(Х),
то может не быть борелевской меры /х, для которой G.11.4) верно
для всех / е С(Х), но если X локально компактно и сг-компактно,
то такая мера есть (задача 7.14.156).
7.12. Меры на линейных пространствах
В этом параграфе ряд полученных выше-общих результатов
конкретизируется для мер на линейных пространствах. Если X —
линейное пространство и G — некоторое линейное пространство
линейных функций на X, то множества вида
С(Л A,B) = {i6X: (М4-,Ш)е4

7.12 Меры на линейных пространствах
141
где /i,..., fn е G и В Е В(Шп), называются G-цилиндрическими.
Совокупность всех G-цилиндрических множеств обозначим в X
через Cyl(X,G). Ясно, что наименьшая сг-алгебра, содержащая
Cyl(X,G), есть <t(G), т.е. cr-алгебра, порожденная G.
Цилиндрические множества представимы в следующем виде.
Предположим, что функционалы /j линейно независимы. Тогда
можно найти линейно независимые векторы е\,..., еп с fi(ej) = О
при г ф j и fi(ei) = 1. При изоморфизме (х\,..., хп) <—> Y^Z=i xie%
множеству В соответствует множество В' в X. При этом
множество C(fi,... ,fn,B) представляет собой цилиндр В' + L, где L —
пересечение ядер функционалов /j, т.е. L = ПГ=1 /ГЧ^)-
Наиболее интересен для приложений случай, когда X —
локально выпуклое пространство, X* — пространство всех
непрерывных линейных функций на X и G С X* — линейное
подпространство. Если G = X*, то множества из Су1(Х,Х*)
называются цилиндрическими. В качестве задачи 7.14.128
предлагается проверить, что класс Cyl(X, G) является алгеброй,
порожденной G. База топологии а(Х, G) (см. §4.7(ii)) состоит из
цилиндров. Применяя общие результаты из §7.3 к мерам на <т(Х*), где
X — локально выпуклое пространство с сопряженным X*,
видим, что каждая мера р, на <т(Х*) регулярна: для всяких А €
сг{Х*) и е > О существует замкнутое множество F Е <т(Х*) с
F с An \p\(A\F) < е. Напомним, что в силу следствия 7.3.6
каждая плотная неотрицательная аддитивная функция множества
на Су1(Х, X*) допускает единственное продолжение до
неотрицательной радоновской меры на X. Из этого ясно, что всякая
радоновская мера на локально выпуклом пространстве
определяется своими значениями на Су1(Х,Х*). Однако этот полезный
факт мы докажем непосредственно в иной формулировке.
7.12.1. Предложение. Пусть ц — радоновская мера на
локально выпуклом пространстве X. Тогда для всякого ц-измери-
мого множества А существует такое множество В Е а(Х*),
что
\ц\(ААВ) = 0.
Более того, если G С X* — произвольное линейное
подпространство, разделяющее точки X, то такое множество В может
быть выбрано в a(G).
Доказательство. Проверим, что для всякого е > 0
найдется такое множество С Е Cyl{X,G), что \р.\(А А С) < е. В

142 Глава 7. Меры на топологических пространствах
силу радоновости pt, достаточно сделать это для компактных
множеств А. Найдем открытое множество U Э А с |/г|(С/\Л) < е/4
и компактное множество S с \n\(X\S) < е/4. Теперь
воспользуемся тем, что на компакте S исходная топология X совпадает
с топологией о~(Х, G) (в частности, если G = X*, то со слабой
топологией). В силу компактности А П S найдется такое
конечное число открытых G-цилиндрических множеств С±,..., Ск, что
А П S С (Ci U • • • U Ск) П S С U П S. Положим С = Сх U • • • U Ск.
Тогд& С <ECyl(X,G) и
\ti\(AAC)^\n\((AnS)A(CnS))+e/4
< И ((С/ П S)\(A П S)) + е/4 < е,
что и требовалось. ?
Поясним, почему это предложение не тождественно
следствию 7.3.6. Дело в том, что лебеговское пополнение а{Х*) может
не охватывать В(Х). Например, мы уже видели, что если /х — ди-
раковская мера в точке 0 на произведении континуума прямых, то
точка 0 не входит в о-((ГО,с)*). Поэтому заключение предложения
нельзя получить, пользуясь лишь внешней мерой, порожденной
значениями и на Су1(Х,Х*) или на а{Х*).
7.12.2. Следствие. Пусть р, — радоновская мера на
локально выпуклом пространстве X. Тогда класс всех ограниченных
цилиндрических функций на X плотен в U'(fi) для всякого р > 0.
То же самое верно для линейного пространства Т,
порожденного функциями ехр(г/), / G X*. Более того, это утверждение
справедливо, если заменить X* любым линейным
подпространством G С X*, разделяющим точки X.
Пусть \i — функция множества на алгебре Cyl(X,G), где
X — локально выпуклое пространство и G С X*. Для
всякого непрерывного линейного оператора Р: X —> IRn вида Рх =
(/i(z),..., fn(x)), где fi 6 G, определена функция множества
р о Р-\В) := »(Р-\В)) = /i(C(/x, ...,fn,B)), BE В(Шп),
называемая проекцией /х, порожденной Р.
7.12.3. Определение. Аддитивная вещественная функция
р. на Cyl(X,G), для которой конечномерные проекции р. о Р-1
ограничены и счетно-аддитивны, называется G-цилиндрической
квазимерой. Если же G = X*, то такая функция множества
называется цилиндрической квазимерой.

7.12 Меры на линейных пространствах
143
Вероятностной квазимерой будем называть неотрицательную
квазимеру, равную 1 на всем X.
Ясно, что всякая счетно-аддитивная мера на Cyl(X,G) есть
G-цилиндрическая квазимера, но обратное неверно. Рассмотрим
следующий простой пример. Пусть X = I2, G = X* — I2 и 7 —
квазимера, определенная так: если С = Р~1(В), где Р —
ортогональная проекция на некоторое линейное подпространство
L С X размерности п и В — борелевское множество в L, то
7(C) = 7п(В), где 7п - стандартная гауссовская мера на L (с
плотностью B7г)~эт/2е—'ж' I2 относительно меры Лебега на L,
порожденной скалярным произведением из X). Ясно, что всякий
цилиндр можно представить в таком виде. Если бы мера 7
была счетно-аддитивна на алгебре цилиндров, то она допускала
бы единственное продолжение до счетно-аддитивной меры на ег-
алгебре, порожденной цилиндрами (которая совпадает с борелев-
ской ст-алгеброй X). Однако непосредственные вычисления
показывают, что в этом случае каждый шар имеет меру нуль, ибо если
Un,R — шар радиуса R с центром в нуле в Шп, то lim 7п(#п,я) = О
для всех R. Получено противоречие. Следствие 7.3.6 говорит, что
достаточным (а в случае полного сепарабельного метрического
пространства и необходимым) условием счетной аддитивности
неотрицательной цилиндрической квазимеры является ее
плотность. В следующем параграфе будут указаны достаточные
условия в терминах характеристических функционалов.
В приложениях обычно имеют дело с мерами на сепарабель-
ных банаховых пространствах, а также некоторых специальных
ненормируемых пространствах типа пространств S' и V
обобщенных функций. Меры на пространствах Фреше (т.е. полных
метризуемых локально выпуклых пространствах) оказываются
сосредоточенными на сепарабельных банаховых пространствах.
В доказательстве используется следующий прием, который
бывает полезен в разных вопросах бесконечномерного анализа. Пусть
X — локально выпуклое пространство и К — выпуклое и
симметричное компактное множество (симметричность означает, что
—х Е К при х € К). Обозначим через Ек линейное
подпространство в X, порожденное К, т.е. Ек есть объединение
множеств пК. Оказьшается, что Ек можно превратить в банахово
пространство, объявив К единичным шаром. Точнее говоря, Ек
полно относительно нормы рк(х) = inf{A > 0: х/Х € К},
называемой функционалом Минковского множества К. Более того,

144 Глава 7. Меры на топологических пространствах
вместо компактности К можно требовать лишь, чтобы К было
ограниченным выпуклым симметричным и секвенциально
полным множеством. Доказательство можно найти в Эдварде [371,
лемма 6.5.2, с. 609].
7.12.4. Теорема. Пусть ц — вероятностная мера Радона
на пространстве Фреше X. Тогда найдется такое линейное
подпространство Е С X, что ц{Е) = 1 и Е с некоторой нормой
II • \\е является сепарабелънъш рефлексивным банаховым
пространством, замкнутые шары которого компактны в X.
Доказательство. Топология X задается метрикой д. Для
каждого п возьмем компакт Кп с ц(Х\Кп) < 1/га. Тогда
получаем /i(U?li -Кп) = 1- Выберем числа с„ > 0 так, что СпКп
входит в шар радиуса 1/п с центром в нуле. Легко проверить, что
замыкание S множества UJS=i °п^п компактно. Найдется
выпуклое симметричное компактное множество Ко, содержащее S (см.
Шефер [362, следствие на с. 68, §4, гл. II]). Это множество
может не подойти, ибо Ек0 не обязано быть даже сепарабельным.
Однако согласно Эдварде [371, лемма 9.6.4, с. 922], можно взять
большее выпуклое симметричное компактное множество К\ так,
что Ко будет компактно и как подмножество EKl. Замыкание Ео
линейной оболочки Ко в Екх — уже сепарабельное банахово
пространство полной ^-меры. Однако оно не обязано быть
рефлексивным, хотя его замкнутый единичный шар компактен в X (ибо
К\ — единичный шар в Е^)- Меру fi теперь можно ограничить
на Ео, ибо борелевские множества из Ео являются борелевски-
миив! (см. гл. 6). Проделав эту процедуру еще раз, получаем
сепарабельное банахово пространство Е?, С Ео полной //-меры,
замкнутый единичный шар которого компактен в Ео- Согласно
известному результату из теории банаховых пространств (см. Ди-
стель [655, с. 124]), существует рефлексивное банахово
пространство Е, такое, что Е% с Е с Ео, причем замкнутые шары из Е
ограничены в Ео- При этом Е автоматически сепарабельно
(задача 7.14.130), хотя можно и просто перейти к замыканию Еч в Е.
Замкнутые шары из Е компактны в X. Это следует из того, что
они замкнуты в X, будучи выпуклыми и слабо замкнутыми из-за
их слабой компактности в Е (см. [362, гл. IV]). ?
В работе Fonf, Johnson, Pisier, Preiss [756] показано, что в
качестве Е не всегда можно найти пространство с базисом Ша-
удера или со свойством аппроксимации. Гильбертово Е можно

7.13 Характеристические функционалы 145
найти еще реже. Более того, если в банаховом пространстве X
всякая радоновская мера сосредоточена на непрерывно
вложенном гильбертовом пространстве, то само X линейно гомеоморфно
гильбертову пространству (см. Mouchtari [1276] и Sato [1488]).
На пространства Фреше это утверждение не распространяется:
например, как легко видеть, на Ш°° всякая радоновская мера
сосредоточена на непрерывно вложенном гильбертовом
пространстве {(х„): X^iCn^n < °°}> гДе числа с„ > 0 достаточно
быстро убывают к нулю (возможность такого выбора очевидна
ввиду того, что шар пространства Е из предыдущей теоремы вполне
ограничен в IR00 и потому содержится в некотором гильбертовом
пространстве указанного вида). В статье Мацак, Пличко [211]
получено следующее обобщение теоремы 7.12.4: в качестве Е можно
взять пространство, являющееся /2-суммой конечномерных
банаховых пространств. В работах Негег [924] и Okazaki [1317]
рассмотрены так называемые стохастические базисы в сепарабель-
ном пространстве Фреше X с борелевской вероятностной мерой /х,
т.е. такие системы векторов ipn Е X, что найдутся /п € X* с
fnifk) = $пк, причем для Рпх := Ya=i fiWfi имеем Рпх —> х
/х-п.в. В [1317] показано, что такой базис существует, если
непрерывные полунормы входят в L2(/x), элементы X* имеют нулевые
средние, причем есть последовательность {/„} С -X"*, элементы
которой — независимые случайные величины относительно у. с
плотной по метрике из Ь2(ц) линейной оболочкой в X*. Согласно
этой же работе, наличие стохастического базиса дает банахово
пространство полной меры с базисом Шаудера. Поэтому такие
базисы существуют не всегда.
7.13. Характеристические функционалы
В этом параграфе речь идет об условиях счетной
аддитивности аддитивных функций множества на некоторых алгебрах
подмножеств линейных пространств. Основным инструментом
будет введенное А.Н. Колмогоровым понятие характеристического
функционала такой функции множества. Однако мы начнем
наше обсуждение со следующей теоремы Бохнера, дающей описание
характеристических функционалов вероятностных мер на Ш.п.
Мы уже знаем, что характеристические функционалы
вероятностных мер положительно определены, непрерывны и равны 1
в нуле. Оказывается, эти условия полностью характеризуют
характеристические функционалы вероятностных мер.

146 Глава 7. Меры на топологических пространствах
7.13.1. Теорема. Функция цз: Шп —> С совпадает с
характеристическим функционалом вероятностной меры на Шп в
точности тогда, когда она непрерывна, положительно определена
и <р@) = 1. Тем самым, класс всех характеристических
функционалов неотрицательных мер на Ш,п совпадает с классом всех
непрерывных положительно определенных функций.
Доказательство. Необходимость указанных условий уже
установлена. При доказательстве достаточности сначала
предположим, что функция <р интегрируема. При доказательстве
теоремы 3.10.18 было показано, что (р совпадает с характеристическим
функционалом вероятностной меры, обладающей плотностью
относительно меры Лебега. В общем случае рассмотрим
интегрируемые функции (рк(х) = (р(х)ехр[—к~1\х\2/2], которые
положительно определены, ибо таковы функции ехр[—&_1|ж|2/2],
являющиеся преобразованиями Фурье гауссовских плотностей. Кроме
того, y'fc(O) = 1- По доказанному, существуют вероятностные
меры Цк с /xjk = <Рк- Проверим, что для каждого S > 0 существует
такое R > О, что
цк(х: \x\^R)<5, VfeelN. G.13.1)
Поскольку <р(х) = lim (рк(х), то для стандартной гауссовской
к—юо
меры 7т» на Н^п и всякого * > 0 имеем
lim / [l-My/t)hn(dy)= [ [l-<p(y/t)}ln(dy).
В силу оценки C.8.6) получаем
limsuPWfe(x: \x\>R)^z[ [1 - <p(y/R)]ln(dy).
fc-юо JVC1
Остается заметить, что при R —> оо правая часть стремится к
нулю в силу теоремы Лебега и непрерывности <р. Из G.13.1) следует,
что для всякой ограниченной непрерывной функции / на Ип
интегралы / / d/ifc имеют предел. Действительно, такие интегралы
!Л Д
[бо (
/ fdpk= I W^hkdx,
имеют предел для каждой гладкой функции / с ограниченным
носителем, ибо согласно равенству Парсеваля

7.13 Характеристические функционалы
147
где / € Lx(IRn). Из этого легко усмотреть, что такие интегралы
сходятся для всякой непрерывной функции / с ограниченным
носителем, а тогда G.13.1) влечет существование предела и для
всех ограниченных непрерывных функций. Более того, из G.13.1)
и теоремы 7.11.3 следует существование вероятностной меры /z,
интеграл по которой от функции / будет равен пределу
упомянутых интегралов (это вытекает и общей теоремы о секвенциальной
полноте в §8.7). Легко проверить, что fi — искомая мера. D
Отметим, что в силу теоремы 3.10.18 и теоремы Бохнера
всякая измеримая положительно определенная функция ip почти
всюду равна характеристическому функционалу
неотрицательной меры (однако даже при условии ip@) = 1 нельзя утверждать,
что эта мера вероятностная, ибо непрерывная модификация <р не
обязана быть равной 1 в нуле). Как уже отмечалось, отказаться
от измеримости tp нельзя.
Теперь мы займемся бесконечномерными аналогами теоремы
Бохнера.
7.13.2. Определение. Характеристическим функционалом
(преобразованием Фурье) квазимеры и на Cyl(X,G) называется
функция Д: G —* С, заданная равенством
/*(/) = / e^uof-^dt).
Отметим, что функцию elt можно проинтегрировать по
ограниченной мере ц о /_1 на прямой.
Наиболее важный для приложений случай: X — локально
выпуклое пространство и G = X* — его сопряженное.
7.13.3. Определение. Пусть G — линейное пространство.
Функция tp: G —> С называется положительно определенной,
к _
если J2 CiCj(p(yi — yj) ^ 0 для всех yi € G, Cj € С, г = 1,..., к.
Из теоремы Бохнера получаем следующее утверждение.
7.13.4. Предложение. Функция (р: G —> С является
характеристическим функционалом вероятностной квазимеры в
точности тогда, когда она положительно определена,
непрерывна на конечномерных линейных подпространствах
пространства G и <р@) = 1.

148
Глава 7. Меры на топологических пространствах
Отметим, что если квазимера ц симметрична, т.е., ti(A) —
/х(—А) для каждого A G Cyl(X,G), то /I вещественна.
7.13.5. Лемма. Если \i и и — меры на о-(Х*) и р, = и, то
H = v. Это же верно для радоновских мер.
Доказательство. Равенство характеристических
функционалов влечет равенство мер на цилиндрах, а потому и на а(Х*),
что для радоновских мер дает равенство на В(Х). П
Ясно, что в силу теоремы Лебега о мажорированной
сходимости характеристический функционал всякой меры на а{Х*)
секвенциально непрерывен. Поэтому, если /л — мера на
нормированном пространстве X, то функция Д непрерывна
относительно нормы на X*. В общем случае, характеристический
функционал радоновской меры не является непрерывным в *-слабой
топологии сг(Х*,Х). Например, если X — бесконечномерное
локально выпуклое пространство, то функция д является а(Х*,Х)-
непрерывной только в случае, когда ц сосредоточена на
объединении конечномерных подпространств (задача 7.14.129).
Отметим следующее достаточное условие непрерывности
преобразования Фурье. Напомним, что локально выпуклое
пространство X называется бочечным, если всякое замкнутое
симметричное выпуклое множество, кратные которого покрывают X,
содержит окрестность нуля. Топологией Макки т(Х*,Х) на
сопряженном X* к локально выпуклому пространству X называется
топология равномерной сходимости на выпуклых симметричных
слабо компактных множествах из X. Рассматривая X как
сопряженное к (Х*,а(Х*,Х)), получаем на X топологию Макки
т(Х, X*). Если пространство X бочечно, то его топология и есть
топология Макки. Локально выпуклое пространство квазиполно,
если в нем замкнутые ограниченные множества полны, т.е.
фундаментальные направленности в них сходятся.
7.13.6. Предложение. Пусть ц — радоновская мера на
локально выпуклом пространстве X. Тогда функция ц равномерно
непрерывна в топологии равномерной сходимости на компактах
из X, а если X квазиполно, то и в топологии Макки т(Х*,Х).
Если мера ц задана на сопряженном X* к бочечному
пространству X и радонова в *-слабой топологии, то функция Ji
равномерно непрерывна на X. Более того, характеристические
функционалы равномерно плотного ограниченного семейства
радоновских мер равномерно равностепенно непрерывны в упомянутых
случаях.

7.13 Характеристические функционалы
Доказательство. Пусть ||/х|| < 1 и е > 0. Найдем такой
компакт К, что \ц\(Х\К) < е. Затем найдем такую окрестность
нуля U в X*, что supx6Ar \у(х)\ < ? для всех у Е U. Тогда при
у Е U с учетом оценки | ехр(гу) — 1| ^ \у\ имеем
/ | ехр(гу) - 1| d\n\ < 2р(Х\К) + [ | ехр(гу) - 1| <%| < 2е + е.
Jx JK
Остается воспользоваться оценкой
\КУ\) - ЖУ2)\ < / Iехр(%) - ехр(г</2)| d\p\
^ / |exp[t(yi-ifc)]-l|d|/i|.
Jx
Если X квазиполно, то замкнутая выпуклая оболочка компакта
компактна, поэтому К можно взять выпуклым. Так обстоит дело,
если X — сопряженное к бочечному пространству (см. Шефер
[362]). Последнее утверждение ясно из рассуждений выше. ?
Для общих пространств Д не обязана быть непрерывной в
топологии Макки (см. Kwapien, Tarieladze [1101]).
Отметим следующую простую оценку, полезную при
рассмотрении характеристических функционалов: если ц —
вероятностная квазимера на Cyl(X, G), то для всех I е G имеем
W) - 1| < jf \l(x)\rtdx) < (j?l(s)V(*0) • G-13.2)
Можно спросить, при каких условиях функция ip: X* —> С
является характеристическим функционалом (радоновской)
меры на X. В случае неотрицательной меры на Жп теорема Бохнера
утверждает, что это имеет место, если и только если <р
непрерывна и положительно определена. В общем случае это неверно в
бесконечной размерности. Например, функция е~^х,х^ на
бесконечномерном гильбертовом пространстве X — I2 не является
характеристическим функционалом никакой борелевской меры. Это
вытекает из того, что указанная функция является
характеристическим функционалом рассмотренной выше гауссовской
квазимеры 7- Важные бесконечномерные обобщения теоремы
Бохнера даются теоремами Минлоса и Сазонова. Теорема Сазонова
[276] утверждает, что функция <р на гильбертовом пространстве
X является характеристическим функционалом неотрицательной
радоновской меры на X, если и только если она положительно

150 Глава 7. Меры на топологических пространствах
определена и непрерывна в топологии, порожденной всеми
полунормами вида х н-> \Тх\, где Т — оператор Гильберта-Шмидта
на X. Согласно теореме Минлоса [223], если X — сопряженное к
бочечному ядерному пространству Y, то это же верно для
топологии Макки на X. Роль операторов Гильберта-Шмидта в обеих
теоремах была прояснена Колмогоровым [167].
Напомним, что непрерывный линейный оператор на
гильбертовом пространстве X называется оператором
Гильберта-Шмидта, если для некоторого ортонормированного базиса {еа} конечна
сумма 5Za |jrea|2 (тогда эта сумма не зависит от базиса).
Обозначим через CS(X*,X) класс всех операторов R: X* —> X вида
R = ASA*, где S — симметричный неотрицательный ядерный
оператор в некотором сепарабельном гильбертовом пространстве
Н и А: Н —» X — непрерывный линейный оператор. Напомним,
что неотрицательным ядерным называется такой симметричный
оператор 5 на Н, что (Sx, х) > 0 и X^i(<5e„, еп) < оо для
некоторого (а тогда и для всякого) ортонормированного базиса {е„}.
Пусть Т(Х*,Х) — локально выпуклая топология на X*,
порожденная полунормами у *-*¦ у/{у, Ry), R € CS(X*,X). Эта
топология называется топологией Сазонова. Аналогичным образом
задается топология Т(Х, X*) на X.
Если X — локально выпуклое пространство, то множество
М с X* называется <т(Х*, JQ-ограниченным, если на каждом
элементе х € X значения функционалов из М равномерно
ограничены. Сильная топология Р(Х, X*) в X — это топология
равномерной сходимости на <т(Х*, -Х")-ограниченных множествах из X*.
7.13.7. Теорема. Пусть X — локально выпуклое
пространство и (р — положительно-определенная функция на X*,
непрерывная в топологии Т(Х*,Х) с <р@) = 1. Тогда ср является
характеристическим функционалом вероятностной меры на X,
которая радонова в сильной топологии Р(Х, X*).
Доказательство. В силу конечномерной теоремы Бохне-
ра функция <р является характеристическим функционалом
цилиндрической квазимеры ц. Надо проверить, что мера ц
плотна при наделении X сильной топологией. Основная идея
состоит в применении следующей оценки. Пусть ц — вероятностная
мера на lRn, А и В — симметричные неотрицательные
операторы на Щ.п, причем В обратим. Совершенно аналогично
следствию 3.8.16 доказывается, что если 1 — Re/Z(y) ^ е при (Ау, у) ^ 1,
то для всех С > 0 имеет место неравенство

7.13 Характеристические функционалы 151
/*(х: (Вх,х) ^ С) < j?-[(e + 2C-hiaceAB).
Теперь можно проверить, что для всякого е > 0 найдется такой
компактный эллипсоид Ке в X, что ц*(К?) > 1 — е. Этот
эллипсоид выбирается следующим образом. Для заданного 8 > О
существует полунорма qg € Т(Х*, X) с тем свойством, что 1—Rep,(y) ^
8 при qs(y) < 1. Пусть S := {у е X*: qs(y) < С} и
#е:={хеХ: suP!/eS|y(x)Kl}.
С помощью указанного неравенства можно так выбрать 8 и С,
что множество Ке будет искомым. Посколько соответствующие
рассуждения подробно изложены в Бурбаки [56, гл. IX, §6],
Бахания, Тариеладзе, Чобанян [67, гл. VI, §4] Далецкий, Фомин
[103, гл. III, §1] и Смоляное, Фомин [294, §4], то мы не будем их
воспроизводить. ?
7.13.8. Следствие. Функция <р на гильбертовом
пространстве X является характеристическим функционалом
вероятностной радоновской меры на X, если и только если она
положительно определена и непрерывна в топологии Сазонова,
порожденной всеми полунормами вида х •-> \Тх\, где Т — оператор
Гильберта-Шмидта на X.
Доказательство. Достаточность непрерывности в
топологии Сазонова ясна из теоремы, поскольку R = y/S — оператор
Гильберта-Шмидта для всякого неотрицательного ядерного
оператора S на X. Пусть теперь ц — вероятностная мера Радона
на X. Непрерывность в топологии Сазонова достаточно
проверить в случае, когда /х сосредоточена в шаре радиуса М с
центром в нуле, ибо меры 1и„№, где Un — шар с центром в нуле и
радиусом п, сходятся по вариации к /л, а их характеристические
функционалы сходятся равномерно к Ji. Неотрицательный
оператор 5, заданный равенством (Su,v) = I (u,x)(v,x)/i(dx), явля-
Jx
ется ядерным, ибо для всякого ортонормированного базиса {е^}
оо -
получаем /JEej,ej) = / \х^ n(dx) ^ М2. Остается применить
G.13.2), что дает |Д(у) - 1| < \y/Sy\. О
В общих банаховых пространствах условие теоремы 7.13.7 не
является необходимым (см. Бахания, Тариеладзе, Чобанян [67],

152 Глава 7. Меры на топологических пространствах
Муштари [224]). Более того, радоновские меры на банаховом
пространстве X с Т(Х*,Х)-непрерывными
характеристическими функционалами — это меры, сосредоточенные на непрерывно
вложенных сепарабельных гильбертовых пространствах. Чтобы
получить теорему Минлоса, следует рассмотреть случай, когда
X — сопряженное к ядерному пространству. А именно, с
помощью теоремы 7.13.7 доказывается следующее утверждение.
7.13.9. Теорема. Пусть Е — ядерное локально выпуклое
пространство.
(i) Пусть (р — положительно-определенная функция на Е с
ip@) = 1, непрерывная в топологии Т(Е,Е*). Тогда (р
является преобразованием Фурье вероятностной меры на Е*, которая
радонова в сильной топологии E(Е*,Е).
(И) Если Е* метризуемо или бочечно, то преобразование
Фурье всякой вероятностной меры на Е*, которая является
радоновой в *-слабой топологии о(Е*,Е) (например, радоновой в
сильной топологии 0(Е*,Е)), удовлетворяет условиям в (i).
Отметим, что в приведенной теореме недостаточно
требовать лишь секвенциальную непрерывность
характеристического функционала. Например, характеристический функционал
ехр(—\х\2) не счетно-аддитивной гауссовской цилиндрической
квазимеры на I2 секвенциально непрерывен даже в слабой
топологии (которая слабее топологии Сазонова).
Анализ доказательств предыдущих теорем сразу приводит к
следующему заключению (детали см. в работах Далецкий, Фомин
[103, гл. III], Смолянов, Фомин [294, §4]).
7.13.10. Следствие, (i) Пусть семейство М
вероятностных мер на о-алгебре о-(Х*) в локально выпуклом пространстве
X таково, что их характеристические функционалы
равностепенно непрерывны в нуле в топологии Т(Х*,Х). Тогда
семейство М равномерно плотно в сильной топологии C(Х, X*).
(ii) Если локально выпуклое пространство X бочечно и
ядерно, то характеристические функционалы всякого равномерно
плотного семейства радоновских (в топологии а(Х*,Х))
вероятностных мер на X* равностепенно непрерывны в нуле в
топологии пространства X.
Для приложений важно, что приведенные аналоги теоремы
Бохнера справедливы для таких пространств, как JR°°, «SOR"),
S'(]Rn), ?>AЕГ), Т?^).

7.14. Дополнения и задачи
153
7.14. Дополнения и задачи
(i) Продолжение произведений мер A53). (ii) Измеримость на
произведениях A56). (Ш) Пространства Маржика A58). (iv) Сепара-
бельные меры A59). (v) Диффузные и безатомические меры A61).
(vi) Регулярно пополнимые меры A61). (vii) Радоновские
пространства A63). (viii) Носители мер A64). (ix) Обобщения
теоремы Лузина A65). (х) Метрические внешние меры A66). (xi)
Емкости A67). (xii) Ковариационные операторы и средние мер A68).
(xiii) Представление Шоке A71). (xiv) Свертка A72). (xv)
Измеримые линейные функции A75). (xvi) Выпуклые меры A75).
(xvii) Поточечная сходимость A77). (xviii) Бесконечные меры
Радона A80). Задачи A81).
7.14(i). Продолжение произведений мер
Пусть Xi и Х2 — топологические пространства с одной из наших
стандартных ст-алгебр (скажем, борелевской или бэровской),
пространство X = Х\ х Х2 также является топологическим пространством и
может быть наделено соответствующей ст-алгеброй. Если включения
В(ХХ)®В(Х2) С В(Х), Ba(Xi)®Ba{X2) С Ва{Х), являются
строгими, то возникает вопрос о продолжениях /х на эти более широкие <т-
алгебры (см. §7.6). Имеются тривиальные случаи, когда р, определена
на В(Х) или Ва(Х). Например, если пространства Xi имеют счетные
базы, то В(Х) = B(Xi)®B(X2), а если оба Х\ и Х2 компактны, то
Ва(Х) = Ва(Х1)^Ва(Х2) (см. лемму 6.4.2).
Согласно Fremlin [782], B(XixX2) может не входить в лебеговское
пополнение В(Х\)®В(Х2) относительно меры ц\®ц2, даже если обе
меры hi и Ц2 являются регулярно пополнимыми (см. определение 7.14.17)
радоновскими мерами на компактных пространствах. Однако, как мы
знаем, продакт-мера допускает радоновское продолжение. Остается
открытой проблема, всегда ли произведение двух борелевских мер на
топологических пространствах может быть продолжено до борелевской
меры (эта проблема не решена даже для чисто атомических мер на
компактных пространствах). Неизвестно, существуют ли не
радоновские борелевские продолжения произведения двух радоновских мер на
компактном пространстве: Следующий результат показывает, что
условия теоремы 7.6.5 можно ослабить в части, касающейся существования
продолжения.
7.14.1. Теорема. Пусть ц± и \i2 — борелевские меры на
топологических пространствах Xi иХ2, соответственно. Тогда продакт-мера
И = /zi®M2 продолжается до борелевской мери на X = XixX2 в любом
из следующих случаев:
(i) хотя бы одна из мер ц\ и fi2 т-аддитивна (например, радонова);
(И) либо Х\, либо Х2 удовлетворяет первой аксиоме счетности.

154 Глава 7. Меры на топологических пространствах
Утверждение (i) очевидно из леммы 7.6.4 (оно имеется в работах
Godfrey, Sion [837], Ressel [1428], Johnson [991]), a (ii) можно найти в
Johnson [987]. Как замечено Р.А. Джонсоном (см. Gardner [812,
секция 26]), в случае (i) могут существовать два различных борелевских
продолжения /xi®/i2- В (i) используется следующая естественная
возможность определить произведение двух вероятностных борелевских
мер /1И|/ва топологических прс<;транбгвах"Х~й" Y. А именно, для
всякого множества В € B{XxY) множества Вх := {у: (х,у) € В}
являются борелевскими в Y. Поэтому определена функция х i-+ v(Bx).
Если эта функция //-измерима (как обстоит дело, если v т-аддитивна),
то будем говорить, что определена мера vpi, положив
иц{В):= I v(Bs)n{dz).
Jx
Ясно, что такая мера является борелевским продолжением i&u. Однако
в работе Johnson [988] построены примеры, когда мера иц не
определена. Кроме того, там же показано, что может случиться, что мера иц
определена, а мера uv — нет. Наконец, можно построить пример
(задача 7.14.107), в котором X = Y, обе меры и/л и /я/ определены, но не
равны.
Приведем еще два интересных результата о бесконечных
произведениях мер.
7.14.2. Теорема. Пусть ц„ — т-аддитивные вероятностные
меры на топологических пространствах Хп, п € IN. Тогда мера \i =
<8?li Мп мо а-алгебре ®^i ЩХп) пространства X = П^=1 хп
также т-аддитивна и продолжается до т-аддитивной меры на В(Х).
Доказательство вынесено в задачу 7.14.66.
В примере 7.3.1 мы видели, что лебеговское пополнение несчетного
произведения мер Дирака не охватывает всех борелевских множеств.
Следующая теорема показывает, что этот эффект вызван наличием
открытых множеств нулевой меры в сомножителях.
7.14.3. Теорема. Пусть Т — непустое множество uXt,teT, —
сепарабельные метрические {или суслинские) пространства с
вероятностными радоновскими мерами fit, причем для каждого t мера fit не
обращается в нуль на непустых открытых множествах. Положим
X := f[t€TXt иц = <g>ter/xt- Тогда В\Х) входит в лебеговское
пополнение (B)t?T &(Xt) относительно /х, причем fi является т-аддитивной.
В частности, в случае сепарабельных метрических пространств или
вполне регулярных суслинских пространств ц регулярно пополнима в
смысле определения 7.14.17 ниже.
Доказательство. 1) Пусть Ua — непустые открытые множества
вида VaxYa, где Va — открытое множество в произведении конечного

7.14. Дополнения и задачи
155
числа пространств Xt, a Ya — произведение остальных Xt. Положим
U := Ц» Ua. Покажем, что найдется такое конечное или счетное
множество индексов ап, что fJ,[U\U^Li Ua„ 1=0.
В силу следствия 4.7.3 есть такое счетное множество индексов ап,
что р(иа\[??=1иа„) = 0 для всех а. Покажем, что это множество
— искомое. Так как любое из Ua„ зависит лишь от конечного числа
координат, то найдется конечное или счетное множество S С Т с тем
свойством, что каждое Ua„ имеет вид Uan = WnxY, где Wn — открытое
множество в IXjes-^» и ^ := ГЬет\5-^*- 0б°значим через 7г проекцию
на счетное произведение Ylszs -^* и положим V := U^li Ua„ •
Множество 7г([/) открыто в Пве5-^»- Так как U' С U С 7г_1GгA7)), где
открытые множества U' и 7г_1GгA7)) входят в (g)t€TB(Xt), то
достаточно показать, что fi(U') — /хGг_1Gг(С7)). Предположим, что fJ,(U') <
/фг_1Gг(?/)), т.е. iioir~1(w{U')) < /хо7г_1Gг(С/)). В случае сепарабель-
ных метризуемых пространств Yl3€S Х„ также является сепарабельным
метризуемым, а множество n(U) является объединением открытых в
этом пространстве множеств n(Ua). Поэтому n(U) равно некоторому
конечному или счетному объединению этих множеств. Это же верно и
в случае суслинских пространств. Значит, существует такое а, что
ц о 7Г-1 (тгA/а)\7г(?/')) > 0. G.14.1)
Множество Uа можно записать в виде Ua = W\ Л W%, где
Wi = Gx Д Х8х Д XuW2 = Y[X8xWx Д Хи
s?S\F t€T\S s€S t€T\(SuN)
FcShJVc T\S — конечные множества, G открыто в Y\aeF Xs, W
открыто в Y\t€NXt. Ясно, что (л(иа\и') = /x(W)/i(Wi\E/') по
определению произведения мер (в данном случае все сводится к счетному
произведению по индексам из SUN). Из нашего условия вытекает, что
/и(И^) > 0, ибо это число равно мере непустого открытого множества W
в конечном произведении пространств Xt, t € N. По построению V мы
имеем fi(Ua\U') = 0. Поэтому fi(Wi\U') = 0. Это противоречит G.14.1),
ибож(иа) = GxUs€S\fxo = 7r(W1)nii(Wi\U') = Moir-^TrCWiJVrftf'))-
2) По доказанному, все открытые множества входят в пополнение
®t6TB(Xt), поэтому в него входит и В(Х). Кроме того, получаем и
r-аддитивность ц. П

156 Глава 7. Меры на топологических пространствах
7.14.4. Замечание. Из доказательства ясно, что эту теорему
можно распространить на более общие пространства, например,
наследственно линделефовы. Можно было бы просто потребовать
справедливость ее заключения для всевозможных конечных произведений т-
аддитивных мер щ, положительных на непустых открытых
множествах.
7.14(H). Измеримость на произведениях
При рассмотрении функций на произведении XxY топологических
пространств часто возникают следующие два вопроса: а) измеримость
функции f(x,y), если функции х t-> f(x,y) и у н-> f{x,y) обладают
некоторыми хорошими свойствами, б) измеримость или непрерывность
функции
х~ J f{x,y)v(dy), G.14.2)
где v — мера на У, в) измеримость функции f(x,ip(x)) для некоторых
функций <р: X —> Y.
В лемме 6.4.6 и задаче 6.10.41 мы уже встречались с вопросом а), в
следствии 3.4.6 и в лемме 7.6.4 речь шла о вопросе б). В этом разделе
приведен еще ряд фактов в связи с указанными вопросами. В задачах
7.14.98 — 7.14.102 собрана информация по вопросу а). В частности,
оказывается, что если на X и Y заданы меры Радона /х и i/, причем в Y
компакты метризуемы (например, Y — суслинское пространство), то
из непрерывности / по у и ^-измеримости по х следует ее измеримость
относительно ц®у. Однако отказаться от метризуемости компактов в
Y нельзя. В предположении гипотезы континуума в Fremlin [781]
построен контрпример (см. задачу 7.14.102). Приведем один интересный
результат из Johnson [985], Могап [1268], распространенный в Fremlin
[781] на любые конечные произведения.
7.14.5. Теорема. Пусть \iuv — вероятностные меры Радона на
X uY и функция f: XxY —> Ю.1 непрерывна по каждому переменному
раздельно. Тогда / измерима относительно меры Радона на XxY,
являющейся продолжением ц®и.
Доказательство и более общее утверждение можно найти в
задаче 7.14.101. Отметим, что сформулированная теорема сразу
вытекает из недавнего результата Р. Поля (R. Pol), показавшего, что всякая
раздельно непрерывная функция на произведении компактов является
борелевской по совокупности переменных.
Во вопросу б) отметим, что если функция / ограничена и
непрерывна по каждому переменному раздельно, то в случае метризуемого
пространства X функция G.14.2) непрерывна на X по теореме
Лебега. Если X — суслинское (или в X метризуемы компакты), то такая

7.14. Дополнения и задачи 157
функция //-измерима в силу секвенциальной непрерывности. В общем
случае / не обязана быть непрерывной.
7.14.6. Пример. Пусть X = [О,1] наделяется мерой Лебега, У —
пространство всех непрерывных функций из [0,1] в [0,1] с
топологией поточечной сходимости. Положим F(x,y) = у(х), х е X, у е У.
Функция F непрерывна по каждому аргументу раздельно, но функция
<f>(v)= / F(x,y)dx= / y(x)dx
Jo Jo
разрывна на У с указанной топологией (хотя и является секвенциально
непрерывной).
Приведем один положительный результат из Glicksberg [835].
7.14.7. Теорема. Пусть X — компактное пространство, У —
хаусдорфово пространство и /: XxY —> Dt1 — ограниченная функция,
непрерывная по каждому переменному раздельно. Тогда для всякой
меры Радона и naY функция G.14.2) непрерывна.
Доказательство. Ясно, что достаточно рассмотреть случай,
когда У также компактно и совпадает с носителем /х, причем ц —
вероятностная мера. Заметим, что множество Ф всех функций /х: у н-> f(x, у),
х 6 X, на У компактно в топологии поточечной сходимости.
Действительно, если дана направленность fXa элементов Ф, то в {ха} есть
сходящаяся поднаправленность к некоторому х ? X. Тогда
соответствующая поднаправленность функций сходится поточечно к функции fx
в силу непрерывности / по первому аргументу. При этом Ф С C{Y) в
силу непрерывности / по второму аргументу. По теореме 7.10.9
множество Ф компактно в слабой топологии C(Y). Предположим теперь,
что направленность ха сходится к х в X, но интегралы от f(xa,y) не
сходятся к интегралу от f(x, у) при интегрировании по у
относительно меры ц. Тогда найдутся такие S > 0 и счетное множество ха„, что
разность между интегралами от f{xan,y) и f(x,y) не менее 5. В
силу теоремы Эберлейна-Шмульяна из последовательности {ап} можно
выделить такую подпоследовательность, что соответствующая
подпоследовательность в fXan будет слабо сходиться к /х. Тогда получаем и
сходимость интегралов, что приводит к противоречию. ?
В задаче 7.14.103 указано некоторое усиление доказанной теоремы.
Для функций, непрерывных по совокупности переменных, ситуация
упрощается (доказательство — задача 7.14.104).
7.14.8. Предложение. Пусть X uY — хаусдорфовы
пространства, f: XxY —>¦ Ш.1 — ограниченная непрерывная функция и ц —
т-аддитивная мера на У. Тогда функция G.14.2) непрерывна.

158 Глава 7. Меры на топологических пространствах
По вопросу в) см. задачу 7.14.109. Измеримость раздельно
непрерывных функций исследовалась также в Janssen [967].
7.14(iii). Пространства Маржика
В работе МаНк [1224] был получен следующий результат.
7.14.9. Теорема. Если пространство X нормально и счетно-па-
ракомпактно, то всякая бэровская мера р. на X имеет регулярное бо-
релевское продолжение и, удовлетворяющее условию
MA0=buP{H(jF): FcI7,F = r1@),/€Cb(X)}
для каждого открытого множества U С X.
Этот красивый результат породил проблему характеризации
топологических пространств со свойством Маржика.
7.14.10. Определение. Пусть X — вполне регулярное
пространство, (i) X называется пространством Маржика, если каждая
бэровская мера на X продолжается до регулярной борелевской меры.
(ii) X называется квазимаржиковским пространством, если
каждая бэровская мера на X допускает продолжение до борелевской
меры (не обязательно регулярной).
(in) X называется меро-компактным (или почти линделефовым),
если на X каждая бэровская мера т-аддитивна.
Итак, каждое нормальное счетно-паракомпактное пространство —
пространство Маржика. Уже отмечалось (см. пример 7.3.8 и
задачу 7.14.65), что не все вполне регулярные пространства маржиковы.
В Ohta, Tamano [1314] доказан общий результат, который дает
множество примеров с дополнительными интересными свойствами. В
частности, согласно [1314, пример 3.5], существует счетно-паракомпактное
пространство X с бэровской мерой /х без борелевских продолжений.
При дополнительных теоретико-множественных предположениях
существует нормальное пространство X с бэровской мерой без
борелевских продолжений (см. Fremlin [795, §439N]). Таким образом, оба
условия в теореме Маржика существенны. Тривиальные примеры
пространств Маржика — компакты и совершенно нормальные
пространства. Ясно, что по теореме 7.3.2(ii) меро-компактные пространства —
маржиковы. Как показано в Fremlin [783], в предположении аксиомы
Мартина и отрицания гипотезы континуума пространство IN"
является меро-компактным (следовательно, маржиковым), но не
является ни нормальным, ни счетно-паракомпактным. Как показали Могап
[1267] и Kemperman, Maharam [1039], меро-компактными не
являются такие стандартные пространства теории меры как Ш° и 1NC, где
с — мощность континуума. При некоторой дополнительной теоретико-
множественной аксиоме в работе Aldaz [389] доказано существование

7.14. Дополнения и задачи
159
нормального квазимаржиковского не маржиковского пространства. С
другой стороны, в [389] показано, что квазимаржиковское
пространство X является маржиковским, если каждое счетное открытое
покрытие X имеет точечно-конечное измельчение. Известно, что
произведение любого семейства метрических пространств является квазимаржи-
ковским пространством (Ohta, Tamano [1314]). Неизвестно, всегда ли
такие произведения являются пространствами Маржика (в частности,
неизвестно, всякая ли степень IN — пространство Маржика). Согласно
[1314, пример 3.16], объединение двух пространств Маржика может не
быть квазимаржиковым пространством, даже если одно из них —
функционально открытое множество, а другое — функционально замкнутое
множество. Существует локально компактное пространство X с первой
аксиомой счетности, обладающее бэровской вероятностной мерой р, не
имеющей борелевских продолжений (см. Fremlin [795, §439L]). В Aldaz
[389] показано, что объединение X = YUK и произведение X = YxK,
где Y — пространство Маржика и К — компакт, являются
пространствами Маржика. В Gale [806] доказано, что меро-компактным
является объединение компактного и меро-компактного пространств.
Отметим, что в меро-компактном пространстве всякое ^"-аналитическое
множество (а значит, и всякое бэровское множество) меро-компактно,
см. Fremlin [795, 436G]. Дополнительную информацию можно найти в
работах Adamski [382], Aldaz [389], Bachman, Sultan [423], Gale [806],
Gardner, Gruenhage [813], Kirk [1052], Koumoullis [1078], Ohta, Tamano
[1314], Wheeler [1709], [1710].
7.14(iv). Сепарабельные меры
В приложениях часто желательно иметь дело с сепарабельными
мерами. По определению (см. §1.12(ш)), ограниченная мера ц на (Х,В)
сепарабельна, если существует такое не более чем счетное семейство
С С В, что для каждого В € В и каждого е > 0 можно найти
элемент С € С с \ц\ (ВАС) < е (другими словами, счетное множество С
плотно в алгебре с мерой, соответствующей \fi\). Легко проверить, что ц
сепарабельна, если и только если все пространства I^ifi), р S @, оо), се-
парабельны (фактически, достаточна сепарабельность любого из этих
пространств, см. задачу 4.7.47). Сепарабельность меры не очень
сильно связана с ее свойствами топологической регулярности. Например,
произведение ц континуума копий лебеговской меры на J = [0,1] —
несепарабельная радоновская мера на сепарабельном компактном
пространстве Iе (заметим, что взаимные расстояния в Ь2(ц) между
координатными функциями — равные положительные числа). С другой
стороны, рассмотрим пример радоновской меры /л на компактном
пространстве X, которая обращается в нуль на каждом метризуемом
компакте, следовательно, на каждом суслинском множестве в X (согласно

160 Глава 7. Меры на топологических пространствах
задаче 7.14.151 таково и упомянутое произведение), но обладает сепа-
рабельным ?*(/х).
7.14.11. Пример. Пусть X — „две стрелки П.С. Александрова"
(см. пример 6.1.20). Пространство X компактно, сепарабельно,
совершенно нормально, наследственно финально компактно и удовлетворяет
первой аксиоме счетности, но каждое метризуемое подпространство X
не более чем счетно. При этом
(i) борелевская <г-алгебра X является счетно-порожденной, и
каждая борелевская мера на X сепарабельна;
(ii) на X существует такая радоновская вероятностная мера ц (в
качестве ц можно взять естественную нормированную линейную лебе-
говскую меру на X), что ее образ при естественной проекции совпадает
с мерой Лебега на [0,1], причем \х обращается в нуль на всех метризу-
емых подпространствах в X (и на всех суслинских подмножествах X).
Доказательство. Топологические свойства X были
перечислены в примере 6.1.20. Напомним, что В(Х) содержится в борелевской
<т-алгебре, порожденной евклидовой топологией Ж. , ибо в силу
наследственной линделефовости X, каждое открытое множество является не
более чем счетным объединением элементов базы. Точное описание
В(Х) дано в задаче 6.10.35, согласно которой В(Х) является также
счетно-порожденной (что влечет сепарабельность всех мер на В{Х)).
Согласно этому описанию, В(Х) состоит из таких множеств В, что для
некоторого борелевского множества Е С [0,1] множество ВАп~1(Е) не
более чем счетно, где 7Г: X —> [0,1] — естественная проекция. Мера ц
задается формулой ц(В) = \{Е). Радоновость ц очевидна из того, что
множество S := ir(B А тг~1(Е)) не более чем счетно, поэтому для
всякого е > 0 в E\S найдется компакт К с \{К) > \(Е) — е, а множество
я--1 (.К") компактно в X. По построению, ц обращается в нуль на всех
счетных множествах, значит, ввиду свойства (i), на всех метризуемых
подмножествах (что означает ее равенство нулю, на всех суслинских
подмножествах X). ?
Следующий результат (задача 7.14.143) дает некоторые
достаточные условия сепарабельности.
7.14.12. Предложение. Любое из следующих условий
достаточно для сепарабельности борелевской меры /х на пространстве X:
(i) X наследственно линделефово и существует счетное
семейство измеримых множеств, которое приближает по мере ц, каждый
элемент некоторой базы топологии;
(ii) для каждого е > 0 существует такой метризуемый
компакт К?, что \ц\{Х\Ке) < е.

7.14. Дополнения и задачи
161
7.14.13. Пример. Предположим, что компактные подмножества
X метризуемы. Тогда каждая радоновская мера на X сепарабельна.
Напомним, что простым необходимым и достаточным условием
метризуемости компактного пространства К является существование
счетного семейства непрерывных функций, разделяющих точки К.
7.14(v). Диффузные и безатомические меры
7.14.14. Определение. Борелевская мера на хаусдорфовом
пространстве называется диффузной или непрерывной, если она
обращается в нуль на всех одноточечных множествах.
7.14.15. Определение. Пусть (М,М,ц) — пространство с
неотрицательной мерой. Элемент А С М называется атомом меры ц,
если ц(А) > 0 и каждый элемент В из М, который содержится
в А, имеет меру либо нуль, либо ц(А). Мера без атомов называется
безатомической.
Ясно, что безатомическая борелевская мера диффузна. Следующее
утверждение очевидно (см. задачу 7.14.144).
7.14.16. Лемма. Всякая диффузная т-регулярная (например,
радоновская) мера является безатомической.
Существуют диффузные борелевские меры с атомами. Пример —
мера Дьедонне (см. пример 7.1.3), для которой все пространство есть
атом (поскольку эта мера имеет лишь два значения).
В Grzegorek [875] показано, что существуют две такие счетно-по-
рожденные <т-алгебры ©i и ©2, что на каждой из них есть
безатомические вероятностные меры, а на <x(©i U 62) их нет.
7.14(vi). Регулярно пополнимые меры
7.14.17. Определение, (i) Бэровская мера называется регулярно
пополнимой, если ее лебеговское продолжение содержит борелевскую
а-алгебру. Борелевская мера называется регулярно пополнимой, если
ее ограничение на бэровскую а-алгебру регулярно пополнимо; другими
словами, для каждого В G В{Х) существуют Вх, В-г е Ва(Х) с
Bi<zBdB2 и \n\(Bi\B2) = 0.
(ii) Бэровская мера называется моногенной, если она имеет
единственное регулярное борелевское продолжение. Борелевская мера
называется моногенной, если таково ее бэровское сужение.
Ясно, что всякая регулярно пополнимая мера моногенна, но
обратное неверно (например, для меры Дьедонне). Существует радоновская
мера на радоновском пространстве (т.е., на пространстве, на котором
каждая борелевская мера радонова), не являющаяся регулярно
пополнимой. См. ссылки и дополнения в Gardner [812, §21].

162 Глава 7. Меры на топологических пространствах
Согласно теореме 7.14.3, произведение радоновских вероятностных
мер на сепарабельных метрических (или суслинских) пространствах,
положительных на непустых открытых множествах, регулярно попол-
нимо. Важный пример регулярно пополнимой меры — мера Хаара на
локально компактной группе (см. теорему 9.11.6).
Пространство X называется диадическим, если оно есть
непрерывный образ пространства {О, I}7 для некоторого множества I.
Следующие пространства — диадические: (i) метрические
компакты, (ii) конечные объединения и произвольные произведения диади-
ческих пространств, (ш) функционально замкнутые множества в диа-
дических пространствах, (iv) компактные топологические группы. В
Fremlin, Grekas [797] введен более широкий класс квазидиадических
пространств: так называются непрерывные образы произвольных
произведений сепарабельных метрических пространств. Согласно [797],
непрерывные образы, произвольные произведения и счетные
объединения квазидиадических пространств также являются квазидиадически-
ми. Кроме того, бэровские подмножества квазидиадического
пространства — квазидиадические. Следующие результаты получены в [797].
7.14.18. Теорема. Пусть X — квазидиадическое пространство
с регулярной по пополнению борелевской вероятностной мерой \i.
Тогда ц т-аддитивна. Если, кроме того, v — т-аддитивная борелевская
вероятностная мера на пространстве Y, то каждое открытое
подмножество XxY измеримо относительно меры pi®v.
7.14.19. Следствие. Пусть Ха, а € А, — семейство
квазидиадических пространств, наделенных регулярно пополнимыми борелевски-
ми вероятностными мерами ца. Предположим, что все, за
исключением не более чем счетного множества, меры ца положительны на
непустых открытых множествах. Тогда мера§&,ца на пространстве
Поел Ха определена на борелевской а-алгебре и также регулярно по-
полнима.
В этой связи стоит заметить, что согласно Gryllakis, Koumoullis
[874], если \ia — r-аддитивные вероятностные борелевские меры, такие,
что все т-аддитивные конечные подпроизведения регулярно пополни-
мы и все, за исключением не более чем счетного числа, меры ца
положительны на непустых открытых множествах, то т-аддитивное
продолжение меры /х на ЦХа также регулярно пополнимо и, тем самым,
обычное произведение оказывается определенным и т-аддитивным на
борелевской ст-алгебре.
Неизвестно, существует ли в ZFC пример регулярно пополнимой
меры на вполне регулярном пространстве, которая не т-аддитивна. В
Могап [1267] имеется пример бэровской меры на Кс, которая не
т-аддитивна, но эта мера не является регулярно пополнимой.

7.14. Дополнения и задачи 163
7.14(vii). Радоновские пространства
7.14.20. Определение, (i) Пространство X называется радо-
новским (или пространством Радона), если каждая борелевская
мера на X радонова. (ii) Пространство X называется борелевски меро-
полным, если каждая борелевская мера на X т-аддитивна.
Радоновское пространство является борелевски меро-полным, но
обратное неверно (пример: неизмеримое подмножество отрезка). В
задаче 7.14.124 собраны некоторые свойства радоновских пространств.
Не все компакты радоновы (пример: мера Дьедонне). Существует
компакт с первой аксиомой счетности, не являющийся радоновским (см.
Fremlin [795, §439J]). Класс радоновских пространств не замкнут
относительно ослабления топологии, непрерывных (даже инъективных)
образов и, в предположении гипотезы континуума, произведение двух
компактных радоновских пространств может не быть радоновским
пространством (см. Wage [60]). Неизвестно, всегда ли непрерывный хаус-
дорфов образ радоновского компакта является радоновским.
Неизвестны примеры радоновских компактов, которые не были бы
секвенциально компактными. Радоновость некоторых специальных классов
пространств (например, компактов Эберлейна или компактов Корсона)
выводится из дополнительных теоретико-множественных аксиом (см.
Fremlin [795], Gardner [812], Schachermayer [1490]).
7.14.21. Замечание. При рассмотрении меры /х на вполне
регулярном пространстве X бывает полезно продолжить ее на
стоун-чеховскую компактификацию /ЗХ. Это возможно для борелевских или бэ-
ровских мер, однако X может оказаться неизмеримым относительно
продолжения цр меры ц. Тогда полезно одно из следующих
дополнительных предположений: 1) X е ВаЦЗХ), 2) X € В(/ЗХ), 3) X измеримо
относительно всех мер Радона на /ЗХ, 4) X измеримо относительно всех
борелевских мер на X.
Например, если X локально компактно, то оно очевидным образом
открыто в /ЗХ, в частности, X е В(/ЗХ).
7.14.22. Пример, (см. Александров [3], Knowles [1061]) Пусть
X вполне регулярно. Каждая т-аддитивная мера на X радонова, если
и только если X измеримо относительно всякой радоновской меры на
/ЗХ (т.е. универсально радоновски измеримо в /ЗХ).
Доказательство. Если X универсально радоновски измеримо в
/ЗХ и /х — т-аддитивная мера на X, то ее продолжение /х/з на /ЗХ радоно-
во, что дает радоновость д. Чтобы получить другую импликацию,
достаточно рассмотреть случай, когда и — такая мера Радона на /ЗХ, что
X — множество полной внешней 1/-меры. Тогда мера \х на X,
определенная посредством р,(В П X) = v(B), В G В(/ЗХ), г-аддитивна. По
предположению, она радонова на X, откуда вытекает ^-измеримость X. О

164 Глава 7. Меры на топологических пространствах
7.14(viii). Носители мер
В связи с носителями мер возникают следующие вопросы:
(a) существование нетривиальной безатомической (в смысле,
определенном в §7.14(v)) борелевской меры ц, на данном пространстве X,
(b) существование ц с дополнительным свойством supp/i = X,
(c) свойства носителя данной меры (например, метризуемость).
Напомним, что для радоновских мер отсутствие атомов
равносильно отсутствию точек положительной меры, а в общем случае первое
сильнее. В §9.12(ш) дано простое доказательство того, что на всяком
непустом компакте без изолированных точек есть безатомическая
вероятностная мера Радона (но ее носитель может быть не все
пространство). Следующий более общий результат получен в Knowles [1060].
7.14.23. Теорема, (i) Если X полно по Чеху и не имеет
изолированных точек, то существует нетривиальная регулярная
безатомическая борелевская мера на X.
(ii) Если каждое подмножество X содержит изолированную
точку и X борелевски меро-полно, (см. определение 7.14.20), то на X не
существует нетривиальной регулярной безатомической борелевской
меры.
В Babiker [417] построен пример (в предположении гипотезы
континуума) вполне регулярного пространства без изолированных точек,
на котором нет нетривиальных безатомических борелевских мер. В
Hebert, Lacey [914] получены необходимые и достаточные условия для
существования радоновской меры /х с полным носителем в компактном
пространстве. Однако такая мера может быть атомической. Как
показано в [914], если X компактно и удовлетворяет первой аксиоме счет-
ности, причем не имеет изолированных точек, то существование
радоновской меры ц с носителем X влечет существование безатомической
радоновской меры v с этим же свойством. В частности, такая мера v
существует, если X — сепарабельное компактное пространство с первой
аксиомой счетности, не имеющее изолированных точек. Для подобных
вопросов могут оказаться существенными различные дополнительные
теоретико-множественные предположения. Например, в
предположении гипотезы континуума в Kunen [1093] построено компактное,
наследственно линделефово пространство X с первой аксиомой
счетности, которое несепарабельно, но является носителем радоновской меры
/i (см. также Haydon [911]). С другой стороны, в предположении
гипотезы Мартина и отрицания гипотезы континуума таких пространств не
существует (см. Juhasz [1001], Fremlin [787]). В некоторых
пространствах радоновские меры сосредоточены на подпространствах с
хорошими свойствами. Например, согласно теореме Филлипса-Гротендика,
всякая радоновская мера на слабо компактном множестве в банаховом
пространстве имеет метризуемый по норме носитель. Несколько более

7.14. Дополнения и задачи
165
общее утверждение см. в §7.14(xvii). Приведем один простой результат
в этом направлении (см. его применение в задаче 7.14.127).
7.14.24. Предложение. Пусть д — радоновская мера на
топологическом пространстве X, причем существует последовательность
^-измеримых функций /„, разделяющая точки X. Тогда для всякого
е > О найдется метризуемый компакт К? с \ц\(Х\Ке) < е.
Доказательство. Из условия следует существование инъектив-
ной ^-измеримой функции д. В силу радоновости /х для всякого е > О
есть такой компакт Ке, что \ц\(Х\Ке) < е и д непрерывна на Ке. Ввиду
инъективности д компакты Ке метризуемы. ?
7.14(ix). Обобщения теоремы Лузина
Классическая теорема Лузина говорит, что измеримая функция /
на X = [О,1] почти непрерывна в том смысле, что для заданного е > О
можно найти такое компактное множество Ке, что А([0,1]\А'е) < е и
/ непрерывна на Ке. Существует ряд обобщений этой теоремы: на
более общие пространства X или на более общие пространства
значений Y (или на те и другие). Можно построить пример борелевского
отображения из X = [0,1] в компактное пространство Y, не
имеющего указанного свойства относительно меры Лебега (задача 7.14.71).
Стандартное обобщение (теорема 7.1.13) охватывает случай, когда X —
пространство с радоновской мерой /х и У — сепарабельное метрическое
пространство. Если при этом X вполне регулярно, то, как и в
классической теореме Лузина, для каждого е > 0 найдется непрерывное
отображение /?: X —> Y с \ц\(/ ф f?) < е. Дальнейшие обобщения
получены в Fremlin [785] и Koumoullis, Prikry [1081], где показано, что
для всякой меры Радона /х на пространстве X и всякого //-измеримого
отображения / из X в метрическое пространство Y существует такое
сепарабельное подпространство У0 в У, что f(x) € Y0 для д-п.в. х (в
[1081] рассмотрены многозначные отображения). В частности, в [785]
получено следующее обобщение теоремы Лузина, которое мы для
упрощения сформулируем для конечных мер.
7.14.25. Теорема. Пусть ц — мера Радона на топологическом
пространстве X uY — метрическое пространство. Тогда
отображение /: X —>У измеримо относительно ц в том и только том случае,
когда оно почти непрерывно.
В случае меры Лебега доказательство упрощается (задача 7.14.70).
В работе Burke, Fremlin [540] показано, что при некоторых
дополнительных теоретико-множественных предположениях существует
измеримая функция /: [0,1] —> [0,u>i], не являющаяся почти непрерывной,
но при некоторых других теоретико-множественных предположениях
такое невозможно согласно Fremlin [785]; см. также Fremlin [788].

166 Глава 7. Меры на топологических пространствах
7.14(х). Метрические внешние меры
Здесь мы обсудим одно применение конструкции Каратеодори к
построению так называемых метрических внешних мер на
метрическом пространстве X, включая некоторые обобщения мер Хаусдорфа.
Метрической внешней мерой на метрическом пространстве (X,d)
называется такая внешняя мера Каратеодори т, что
т(А UB)= т(А) + т(В) при dist (А, В) > О, G.14.3)
где <iist(A,B) := \п?аеА,ьево1(а,Ь), dist(^,0) := +оо. Это условие нам
уже встречалось в гл. 1, где фактически был доказан такой результат
(теорема 1.11.9).
7.14.26. Теорема. Внешняя мера Каратеодори на метрическом
пространстве X является метрической внешней мерой в точности
тогда, когда все борелевские множества т-измеримы.
Мы знаем, что меры Хаусдорфа Н" удовлетворяют этому условию.
Меры Н3 получаются в качестве частного случая мер Hh,
порождаемых функцией множества h: F —> [0, +оо], заданной на некотором
классе Т подмножеств X и удовлетворяющей условию h@) = 0. С
помощью этой функции задают внешние меры Каратеодори
Hh-E(A) = inf{ ? h(Fj), Fj € JF,diamFj ^ e, А С U?i Fj}, ? > 0.
Если таких Fj нет, то полагаем Hh'e{A) = оо. Согласно терминологии
гл. 1, Нh'E есть внешняя мера Каратеодори, порожденная функцией h с
областью определения, состоящей из всех множеств класса Т диаметра
не больше е. Теперь положим
Hh(A) := KmHh'?{A) = sup Hh<E{A).
е—О ?_0
Взяв h{F) = a(sJ-a(diamF)a, где a(s) = ГA + s/2)-1, и Т = 2х,
получаем меры Хаусдорфа Нв. Можно брать и более общие функции
h(F) = V'(diamF). Конечно, выбор класса Т также влияет на Hh.
Доказательство следующей теоремы — предмет задачи 7.14.79.
7.14.27. Теорема. Определенная выше внешняя мера
Каратеодори Hh является метрической внешней мерой.
В работе Howroyd [949] установлен следующий важный факт.
7.14.28. Теорема. Пусть X — суслинское метрическое
пространство иНТ — г-мерная мера Хаусдорфа на X. Тогда для всякого борелев-
ского множества В С X и всякого а < НГ{В) найдется компактное
множество К с В с а < НГ(К) < оо.
Согласно теореме Дэвиса (см. Davies [632], Rogers [1451]), в случае
суслинских подпространств Ш,™ аналогичное утверждение верно и для

7.14. Дополнения и задачи 167
мер Hh при всякой строго возрастающей непрерьшной функции h с
h@) = 0. Однако для общих компактных метрических пространств это
уже неверно, как показывает пример в Davies, Rogers [638].
В Chavel [574, IV.2] можно прочитать простые доказательства
следующих утверждений.
7.14.29. Предложение. Пусть X — сепарабелъное метрическое
пространство, Т — содержащее В(Х) семейство подмножеств X,
h: Т —* [0,+оо] — монотонная счетно-субаддитивная функция.
Тогда для всякого Hh-измеримого множества А выполняется равенство
Hh{A) = supn 13в€П h(B)> г^е П пробегает совокупность всех
разбиений X на борелевские множества.
7.14.30. Теорема, (i) Пусть X — сепарабелъное метрическое
пространство, (У, А, ц.) — пространство с мерой и отображение f из X
в Y переводит В{Х) в А. Положим 7 := В{Х) и h(B) = д (/(#)),
В € В(Х). Тогда для всякого Hh-измеримого множества А
Hh(A) = J Card (А Л Г\у)) n{dy).
(ii) Если X — полное сепарабелъное метрическое пространство,
Y — метрическое пространство и /: X —> Y — липшицево с
константой L отображение, то для всех В € В(Х) имеем
Я" (/(В)) ^ f Caxd (В П /_1Ы) Hn(dy) < LnHn(B), п € IN.
7.14(xi). Емкости
Сделаем несколько замечаний о емкостях. Емкостью Шоке
называется такая функция С, определенная на множестве всех подмножеств
топологического пространства X и принимающая значения в [0,+оо],
что С (А) < С (В) при А с В, lim С(Ап) = С (А), если множества Ап
возрастают к А, и lim С(Кп) = С{К), если компактные множества
Кп убывают к К. Если /х — неотрицательная борелевская мера на X,
то fi* есть емкость Шоке. Аналогично теореме 1.10.5 доказывается
следующая теорема Шоке.
7.14.31. Теорема. Пусть С — емкость Шоке на суслинском
пространстве X, причем С{Х) < оо. Тогда для всякого е > 0 существует
такой компакт Ке, что С(Ке) > С(Х) — е.
В отличие от мер указанное свойство емкостей не означает, что
существуют компакты S? с C(X\Se) < е. О емкостях см. Богачев
[42], [500], Гольдштейн, Решетняк [95], Деллашери [105], Мейер [218],
Choquet [584], Dellacherie [644], Sion [1542].

168 Глава 7. Меры на топологических пространствах
7.14(xii). Ковариационные операторы и средние мер
На протяжении этого параграфа X предполагается локально
выпуклым пространством, а все рассматриваемые меры считаются
неотрицательными. Через X* будем обозначать сопряженное к X
пространство (пространство всех непрерывных линейных функций на X).
7.14.32. Определение, (i) Мера ц на о(Х*) называется мерой со
слабым моментом порядка г > 0 (или слабого порядка г), если X* С
Lr(u). (ii) Борелевская (или бэровская) мера ц наХ называется мерой
с сильным моментом порядка г > 0 (или сильного порядка г), если
ф 6 ЬТ(ц) для каждой непрерывной полунормы ф на X.
Атомическая мера fi на I2 с ц(пе„) = п~2, где {еп} — стандартный
базис, имеет слабый первый момент, ибо ? n-1|j/n| < оо при (уп) е /2,
п=1
но не имеет сильного первого момента, ибо X) n_1 = °°-
7.14.33. Определение. Пусть ц — мера на X слабого порядка 1.
Будем говорить, что р имеет среднее (или барицент) mM G X, если
для каждого I е X* справедливо равенство 1(т^) = I l(x) /j.(dx).
Jx
В общем случае, существование слабых моментов не гарантирует
существование средних. Например, пусть мера ц определена на cq
посредством /uBnen) = 2~п, где е„ — элементы стандартного базиса в cq.
Тогда fi имеет слабый первый момент, но не имеет среднего (иначе все
координаты среднего были бы равны 1). Интересно отметить, что такой
пример невозможен в пространствах, не содержащих со-
7.14.34. Предложение. Если полное метризуемое локально
выпуклое пространство X не имеет подпространств, линейно гомео-
морфных cq, то каждая радоновская мера ц на X, имеющая слабый
порядок 1, имеет среднее тм.
Доказательство можно найти в Вахания, Тариеладзе [66].
Для всякой меры /х слабого порядка р получаем оператор Тд: X* —>
1Р(р) естественного вложения.
7.14.35. Лемма. Пусть мера д на нормированном пространстве
X имеет слабый момент порядка р. Тогда оператор Тм: X* —> Lp(fi)
имеет замкнутый график и потому непрерывен.
Доказательство. Если /я, / е X* и fn(x) -> f(x) поточечно и
/» —> 9 в 1^(ц), то последовательность {|/п|р} равномерно
интегрируема, откуда /„ —> / в U'(n) и / = g п.в. Второе утверждение следует из
теоремы о замкнутом графике и полноты X*. ?

7.14. Дополнения и задачи
7.14.36. Определение. Пусть \х — мера слабого порядка 2. Ее
ковариация С^: Х*хХ* —> Ш, определяется формулой
ОД,Ы= [ h(x)h(x)fi{dx) - f l1(x)fi(dx) I l2(x)ti(dx).
Jx Jx Jx
Ковариационный оператор йд из X* в алгебраически сопряженное к
X* определяется равенством R^: X* —» (X*)', R^(f)(g) = С^(/,д).
Ясно, что всякий ковариационный оператор R имеет следующие
свойства: 1) линейность, 2) неотрицательность, т.е., (f,R(f)) ^ 0 для
всех / € X*, 3) симметричность, т.е. (R{f),g) = (R(g),f) для всех
/,яех*.
При широких предположениях ковариационные операторы
принимают значения в таких подпространствах алгебраически сопряженного
к X* как X** или X и оказываются непрерывными в разумных
топологиях. Этот вопрос детально исследован в Вахания, Тариеладзе [66].
Приведем лишь несколько результатов.
7.14.37. Теорема. Пусть ц — вероятностная мера Радона на
полном (или квазиполном) локально выпуклом пространстве X,
имеющая слабый второй момент. Тогда R^X*) С X.
7.14.38. Теорема. Класс ковариационных операторов мер слабого
второго порядка на сепарабельном пространстве Фреше X совпадает
с классом всех симметричных неотрицательных операторов из X*
вХ.
Обычно класс ковариационных операторов мер сильного второго
порядка меньше.
7.14.39. Предложение. Пусть Н — сепарабельное гильбертово
пространство и /х — мера слабого порядка 2. Тогда /х имеет сильный
второй момент, если и только если ее ковариационный оператор i?M
является ядерным.
В негильбертовых пространствах ковариационные операторы не
характеризуют существование сильных моментов.
7.14.40. Теорема. Пусть X — банахово пространство.
Следующие два условия равносильны: (i) X линейно гомеоморфно гильбертову
пространству, (и) для всяких двух радоновских вероятностных мер ц
и и с Rfi = Rv существование сильного второго момента у fj, влечет
существование сильного второго момента у v.
Имеется обширная литература о ковариационных операторах гаус-
совских мер (см. ссылки в Богачев [42], [500], Вахания, Тариеладзе
[66], Вахания, Тариеладзе, Чобанян [67]). Рассмотрение сильных
моментов особенно полезно для мер на банаховых пространствах. Если

170 Глава 7. Меры на топологических пространствах
/л — борелевская вероятностная мера на сепарабельном банаховом
пространстве, имеющая сильный первый момент, то в приложениях бывает
нужно уметь приближать в среднем тождественный оператор
"конечномерными отображениями", т.е. находить такие отображения Fn, что
[ \\x-Fn(x)\\rtdx)^0, G.14.4)
Jx
причем Fn в каком-либо смысле конечномерно, например, имеет
конечномерный образ или зависит от конечного числа линейных
функционалов (т.е. имеет вид Fn = Gn(h,...,Ik), где U е X* и Gn: IR* —> X).
7.14.41. Предложение. Пусть X — сепарабельное банахово
пространство, ц, — вероятностная борелевская мера наХ uF: X —> X —
измеримое отображение с I \\F(x)\\p fi(dx) < со, гдер € [1,оо). Тогда
Jx
для всякого ? > 0 существуют такие непрерывные линейные функции
li,...,ln наХ и непрерывное отображениеtp: Жп —» X с компактным
носителем и значениями в конечномерном подпространстве, что
F(x)-<p(h(x),...Mx))(»(<**)< е-
Доказательство отнесено в задачу 7.14.141.
Полученное приближение является функцией от конечного числа
функционалов и принимает конечномерные значения, но не линейно
даже для линейного непрерьшного F. Если X обладает базисом Ша-
удера {ej} и F. — непрерывный линейный оператор, то можно очень
просто построить конечномерные линейные приближения F, положив
Fn(x) = 5Z"=1 h(F(x))ei, где k — коэффициенты разложения по
базису {е*}. В приводимом ниже следствии 7.14.43 от X требуется
меньше, а именно свойство аппроксимации. Это свойство означает, что для
всякого компакта К с X и всякого е > 0 существует такой
непрерывный линейный оператор Т: X —> X с конечномерным образом, что
||х — Тх\\ < е для всех х € К. Известно, что не всякое банахово
пространство обладает таким свойством.
7.14.42. Теорема. Пусть \i — вероятностная борелевская мера
на сепарабельном банаховом пространстве X с сильным моментом
некоторого порядка г > 0. Тогда существует линейное
подпространство Е С X со следующими свойствами:
(i) Е с некоторой нормой || • ||в является сепарабельным
рефлексивным банаховым пространством, замкнутые шары которого
компактны в X; (ii) ц{Е) = 1 и I \\z\\rE fi(dz) < со.
Je
Если fi на X имеет все сильные моменты, то и Е можно
выбрать с таким свойством. Наконец, эти утверждения верны и для
сепарабельных пространств Фреше.

7.14. Дополнения и задачи
Доказательство см. в задаче 7.14.142 (см. также задачу 8.10.118).
7.14.43. Следствие. Пусть /х — вероятностная мера на сепара-
бельном банаховом пространстве X, имеющая конечный момент
порядка г. Предположим, что X обладает свойством аппроксимации.
Тогда для всякого е > 0 найдется такой непрерывный линейный опс-
[ \\х - Tx\\r fi(dx) <е.
Jx
pamop Т с конечномерным образом, что
Доказательство. Пусть Е — пространство из доказанной
теоремы и К — его единичный шар. Найдем такое ?о > 0, что интеграл от
функции || 21|g на Е меньше e/eq. Возьмем конечномерный оператор 7'
с sup ||z - Tz\\ < ?о- Тогда имеем ||z - Tz\\ < ?oIN|e при z € Е. Итак,
к
[ \\z-Tz\\rn(dz)^e0 I \\z\\rEn(dz)<?.
Je Je
Следствие доказано. I I
Это следствие не переносится на произвольные банаховы
пространства (см. Fonf, Johnson, Pisier, Preiss [756]).
7.14(xiii). Представление Шоке
Пусть К — компактное множество в локально выпуклом
пространстве X. Тогда для всякого элемента Ь из замкнутой выпуклой оболочки
К существует вероятностная мера Радона /х на К, для которой Ь
является барицентром, т.е.1 (Ь) = / Idp для всех I е X* (задача 7.14.140). В
Jk
этом случае /х называется представляющей мерой для Ь. Для выпуклых
компактов бывает полезно иметь представляющую меру,
сосредоточенную на множестве крайних точек. Существование таких мер
обеспечивается следующей теоремой Шоке - Бишопа - де Лю. Шоке доказал эту
теорему для метризуемых К. В этом случае множество extA" крайних
точек К является Gs-множеством, в частности, входит в В(К). В
общем случае это не так, что приводит к необходимости модифицировать
формулировку.
7.14.44. Теорема. Пусть К — выпуклое компактное множество
в локально выпуклом пространстве X. Тогда для всякого к ? К
существует вероятностная мера Радона ц на К, представляющая к и
равная нулю на всех бэровских множествах из K\extK. Если К мгт-
ризуемо, то /x(extK') = 1.
Пусть К — выпуклый метризуемый компакт в локально и и пук-
лом пространстве X. Обозначим через Е множество его крайних
точек. Рассмотрим отображение /3: Vr{E) —> К, сопоставляющее t
радоновской вероятностной мере /х на Е ее барицентр /?(/х). По т

172 Глава 7. Меры на топологических пространствах
Шоке это отображение сюръективно. Ясно, что /3 линейно и
непрерывно при наделении Vr{E) слабой топологией, с которой Vr(E) является
суслинским пространством. Поэтому найдется такое универсально
измеримое отображение гр: К —> ТГ(Е), что к есть барицентр меры ф(к)
для всех к € К.
Теоремам о представлении типа Шоке посвящена обширная
литература, см., например, Мейер [218], Фелпс [323], Эдварде [371], Alfeen
[393], von Weizsacker [1700], von Weizsacker, Winkler [1703].
7.14(xiv). Свертка
Заметим, что если /z и v — две меры, определенные на ст-алгебре
о~(Х*) в локально выпуклом пространстве X, то их произведение n®v
есть мера на <т((Х х!)*). Как вытекает из теоремы 7.6.2, если ц и v
радоновские (или т-аддитивные) меры, то их произведение \i®v
допускает однозначное продолжение до радоновской (соответственно, т-
аддитивной) меры на ХхХ. То же самое верно, если X — отделимое
топологическое векторное пространство. Под произведением радонов-
ских мер мы всегда будем подразумевать это продолжение.
7.14.45. Определение. Пусть ц и v — радоновские (или т-адди-
тпивные) меры на локально выпуклом (или хаусдорфовом
топологическом векторном) пространстве X. Их свертка /z*f определяется как
образ (радоновского продолжения) меры ц®и на пространстве ХхХ
при отображении X х X —* X, (х, у) *-* х + у.
7.14.46. Теорема. Пусть /л uv — радоновские меры на локально
выпуклом пространстве X. Тогда для всякого борелевского
множества В С X функция х н-> ц(В — х) v-измерима и
H*V{B)= f n(B-x)v(dx).
Jx
Кроме того, ц*и = i/*ц, и /Г*1/ = /пл
Доказательство вынесено в задачу 7.14.147.
Ясно, что аналогично можно определить свертку и двух
цилиндрических квазимер.
7.14.47. Предложение. Пусть ц и А - радоновские
вероятностные меры на локально выпуклом пространстве X. Предположим, что
существует положительно-определенная функция <р: X* —> С,
такая, что А = tpfi. Тогда существует радоновская вероятностная мера
v на X с v = if. Кроме того, А = и * ц.
Доказательство. Из условия вытекает, что сужения функции <р
на конечномерные подпространства непрерывны в нуле, а значит, и в
любой другой точке. Следовательно, </? является характеристическим

7.14. Дополнения и задачи 173
функционалом неотрицательной квазимеры v на алгебре
цилиндрических множеств. Осталось показать, что функция множества v плотна,
ибо тогда из равенства X = vji будет следовать равенство А = v * ц.
Пусть ? > 0 и 5 — такой компакт, что fi(X\S) + X(X\S) < s/2. Можно
считать, что 0 € S. Множество К := S — S компактно и S С К. Пусть
С — цилиндрическое множество с С П К = 0. Множество С имеет вид
С = Р~1{В), где В € В(Ш.") и Р: X —> Ш,п — непрерывное линейное
отображение. Заметим, что В П Р(К) = 0, ибо если х€С, то x + heC
для всех h е КегР. В частности, BnP(S) = 0, откуда СПР_1E) = 0.
Для цилиндрического множества Со := P~1(S) имеем 5 С Со и
1 - е/2 < A(S) < А(Со) = / i/(C0 - х) ц{&с) ^ \ и(С0 - х) fi{dx) + е/2,
Jx Js
откуда следует существование такого хо € S, что v(Cq - хо) > 1 — е.
При этом (Со - хо) ПС = 0, ибо Р(С0 - х0) С P(S - 5), так как х0 € S.
Итак, v(С) ^ е, т.е. квазимера и плотна. ?
Доказательства следующего предложения можно прочитать в
Вахания, Тариеладзе, Чобанян [67, §VI.3[.
7.14.48. Предложение. Пусть /ii и /хг — неотрицательные
цилиндрические квазимеры на алгебре цилиндрических множеств в
локально выпуклом пространстве X, причем /xi симметрична, т.е.
ц(А) = ц{—А). Если /х = fii * Ц2 допускает радоновское продолжение,
то обе меры ц\ и ххг допускают радоновские продолжения.
От предположения, что /xi симметрична, отказаться нельзя. В
самом деле, пусть I - разрывный линейный функционал на X* (который
существует, например, если X — бесконечномерное банахово
пространство). Тогда функционалы exp(il) и ехр(—U) являются
преобразованиями Фурье двух цилиндрических квазимер на Су1(Х,Х*) без радонов-
ских продолжений, но их свертка есть мера Дирака 5. Этот пример
типичен: согласно Rosinski [1466], если /х и v — такие неотрицательные
цилиндрические квазимеры на Су1(Х,Х*), что /х * v плотна, то
существует элемент I из алгебраического сопряженного X* с тем свойством,
что цилиндрические квазимеры fi*5i и v*5-i (где Si и S-i —
цилиндрические квазимеры с преобразованиями Фурье exp(iZ) и ехр(-г/),
соответственно) плотны на X (и потому имеют радоновские продолжения).
Эти результаты могут быть обобщены на семейства мер следующим
образом (см. Вахания, Тариеладзе, Чобанян [67, предложение 1.4.8]).
7.14.49. Предложение. Пусть {ц\} и {i/д} — два семейства
т-аддитивных вероятностных мер на хаусдорфовом топологическом
векторном пространстве X. Предположим, что семейство {ц\ * 1/\}
равномерно плотно, т.е. для каждого е > О есть такой компакт Ке,
чтоn\*v\{X\Ke) < е для всехX. Тогда существует такое семейство

174 Глава 7. Меры на топологических пространствах
{х\} точек в X, что {ц\ *6Х}^} — равномерно плотное семейство.
Если, кроме того, меры ц\ симметричны, то оба семейства {ц\} и {и\}
равномерно плотны.
Аналогичным образом определяются свертки мер на
топологических группах. А именно, пусть (G, В) — измеримая группа (т.е.
отображения 1н-1иA,!/)|-»1 + |/ измеримы относительно В и В® В,
соответственно). Пусть fin и — меры на В. Образ меры (*&/ на GxG при
отображении д : (х, у) i-> х+у называется сверткой fj.ni/n обозначается
через [л * и.
Можно проверить, что для каждого В ? В
ц * и{В) = [ ц(В- х) v{dx) = [ v(-x + В) n(dx). G.14.5)
Jg Jg
Если G коммутативна, то такова и свертка.
Пусть G — топологическая группа. Тогда, как мы видели выше в
случае локально выпуклого пространства, G не обязана быть
измеримой группой с В = B(G). Однако если /х и v т-аддитивны или радоновы,
то u®v допускает т-аддитивное (соответственно, радоновское)
продолжение на GxG. Следовательно, в этом случае свертка может быть
определена как образ этого продолжения при отображении д, которое
непрерывно. Тогда G.14.5) остается справедливым для В ? B(G).
С операцией свертки пространство радоновских (или т-аддитив-
ных) вероятностных мер на топологической группе G становится
топологической полугруппой; ее нейтральный элемент — мера Дирака в
нейтральном элементе G.
В [67, следствие леммы 1.4.3] обобщены приведенные выше
результаты и показано, что если {fi\} и {i^} — такие семейства т-аддитивных
вероятностных мер на топологической группе G, что семейство {n\*v\}
равномерно плотно, то существует семейство хл элементов G, для
которого семейство {ц\ * 6Хх } равномерно плотно.
Согласно [67, предложение 1.4.6], если \i и v — т-аддитивные
вероятностные меры на топологической группе G, то носитель ц * v
совпадает с замыканием множества SM + 5„. Это означает, что дираковские
меры Sx,x?G, — единственные обратимые элементы в топологической
полугруппе VT(G).
Наконец, сделаем замечание о случайных векторах. Пусть X —
локально выпуклое пространство, (?1,Р,Р) — вероятностное
пространство. Измеримое отображение ?: il —> (Х,<т(Х)) называется
случайным вектором в X. Мера Р^{С) = .Р(?-1(С)) называется
распределением (законом) ?. Ясно, что каждая вероятностная мера на сг(Х*)
получается в таком виде (с тождественным отображением ?(х) = х).
Если имеется семейство вероятностных мер цп на X, то существует
такое семейство независимых случайных векторов ?„ на одном и том же

7.14. Дополнения и задачи
175
вероятностном пространстве Q, что Р$„ = Цп (возьмем П = IlnLi Хп,
Хп = Х,Р = <g)~=1 /хп, 6.И = <*>»)-
Два случайных вектора ? и jj со значениями в X называются
независимыми, если
Р(? € А, г? € В) = Р(? € А)Р(т? € В), V А, В € <т(Х*).
Ряд интересных классов мер на бесконечномерных пространствах
вводится с помощью независимых случайных векторов или сверток.
Например, случайный вектор ? со значениями в локально выпуклом
пространстве X называется (см. Tortrat [1651]) устойчивым
порядка а € @,2], если для всякого п найдется такой вектор о„€Х, что
для независимых случайных векторов ?i,..., ?„ с тем же
распределением ц, что и вектор ?, случайный вектор n~1/,or(fi-| l-?n) —о,„ имеет
так же распределение ц. Устойчивые порядка 2 случайные векторы —
в точности гауссовские векторы. Распределения устойчивых векторов
являются смесями гауссовских мер (см. Sztencel [1602]). Одномерные
устойчивые распределения подробно изучены в книге Золотарев [134].
7.14(xv). Измеримые линейные функции
Пусть ц — вероятностная мера Радона на локально выпуклом
пространстве X с топологически сопряженным X*. Будем называть
функцию I: X —> И1 собственно линейной /i-измеримой, если она линейна
на всем X в обычном смысле и /х-измерима. Совокупность всех
таких функций обозначим через A(/i). Через Л(/х) обозначим класс всех
функций, имеющих модификацию из класса Л(/х). Однако есть и
другой естественный способ определять измеримые линейные функции. А
именно, обозначим через Ло(^) замыкание X* в Ь°(ц), т.е. I € Ао(ц),
если существует последовательность функций 1п € X*, сходящаяся к I
по мере. Поскольку из {1п} можно выделить почти всюду сходящуюся
подпоследовательность, то можно считать, что 1п —* I п.в.
7.14.50. Лемма. Справедливо включение Ao(/i) С A(/i).
Доказательство вынесено в задачу 7.14.148. Известны примеры,
когда Л(/х) Ф Ао(м) даже для симметричной меры ц, см. Kanter [1020],
[1021], Urbanik [1661]. Один из примеров — распределение устойчивого
порядка а < 2 процесса с независимыми приращениями.
7.14(xvi). Выпуклые меры
, Выпуклость радоновской вероятностной меры ц на локально
выпуклом пространстве X определяется точно также, как и в И". А
именно, требуется, чтобы ц*(аА + A -а)В) ^ /x(j4)a/i(BI_Q для всех
борелевских множеств А и В и всех а € [0,1].

176 Глава 7. Меры на топологических пространствах
7.14.51. Лемма. Радоновская вероятностная мера fi выпукла в
точности тогда, когда выпуклы все ее конечномерные проекции.
Доказательство. Если в качестве А и В брать цилиндрические
множества, то получаем выпуклость конечномерных проекций.
Обратно, пусть все такие проекции выпуклы и пусть А и В — борелевские
множества. Ввиду радоновости // достаточно рассмотреть случай,
когда An В компактны. В этом случае для заданного е > 0 можно найти
такое открытое цилиндрическое множество С, что аА + A - а)В С С
и /х(С) < /л(аА + A — а)В) + е. Еще раз используя компактность А
и В, найдем такую выпуклую цилиндрическую окрестность нуля V,
что а(А + V) + A — а)(В + V) с С. Поскольку доказываемая оценка
верна для цилиндров, то
/i(C7) > ц(а{А + V) + A- а)(В + V)) > р(а{А + V))n((l - а)(В + V))
>/i(aA)/i((l-a)B),
что ввиду произвольности е дает нужную оценку. ?
7.14.52. Следствие, (i) Если д — выпуклая радоновская мера на
локально выпуклом пространстве X иТ: X —» У — непрерывное
линейное отображение в локально выпуклое пространство У, то мера
fi о Т~г выпукла, (ii) Если ц — выпуклая радоновская мера на локально
выпуклом пространстве X и v — выпуклая радоновская мера на
локально выпуклом пространстве У, то n®v — выпуклая мера на XxY.
(iii) Если X = У, то fi*i/ — выпуклая мера.
7.14.53. Теорема. {BoreU [513]) Пусть ц — выпуклая мера
Радона на локально выпуклом пространстве X и р — полунорма на X,
измеримая относительно \i. Тогда существует такое с > 0, что
ехр(ср) € L}{n). В частности, р е ЬТ(ц) для всех г € @, со).
7.14.54. Теорема. (BoreU [514]) Пусть /х — выпуклая мера
Радона на локально выпуклом пространстве X, h € X — ненулевой вектор
и У — замкнутая гиперплоскость, для которой X = У ф Ш h. Тогда
на прямых у + JR}h, у Е У, можно выбрать такие выпуклые
вероятностные меры цу, что
ц{В) = J vP{B)v{dy), ВеВ(Х),
где v — образ ц при естественной проекции X —у У.
В работе Bobkov [492] показано, что для выпуклой меры /х, как и
в хорошо известном гауссовском случае, сходимость по мере на
пространстве многочленов степени не выше d от непрерывных линейных
функционалов равносильна сходимости во всех Lp(/x), р 6 [1,+оо). О
выпуклых мерах см. также задачу 8.10.106.

7.14. Дополнения и задачи 177
7.14(xvii). Поточечная сходимость
Мы знаем, что из поточечной сходимости последовательности
измеримых функций вытекает сходимость по мере, однако для направ-
ленностей это уже не так. Неверна в общем случае и обратная
импликация. Здесь мы рассмотрим условия, при которых топология сходимости
по мере на заданном классе функций совпадает с топологией
поточечной сходимости. Основные результаты получены в lonescu Tulcea [954],
[955] и усилены в Edgar [700], FremUn [781], Talagrand [1611].
Подробное изложение этих результатов дано в книге Fremlin [795, т. 4].
7.14.55. Предложение. Пусть {X,!F,ii) — полное
вероятностное пространство и М € ?°°(до) — такое множество, что если какие-
либо две функции из М равны п.в., то они равны всюду.
(i) Если М счетно-компактно в топологии тр поточечной
сходимости, то для каждого х е X функция f н-> f(x) непрерывна на М с
топологией т^ сходимости по мере, т.е. тождественное
отображение {М,Тц) -+ (М,тр) непрерывно. Кроме того, М замкнуто в L°(/i).
(ii) Если М секвенциально компактно в топологии тр, то
тождественное отображение {М,тр) —» {М,Ту) непрерывно и является
гомеоморфизмом, а М — метризуемый компакт в этих топологиях.
(ш) Если множество М счетно-компактно в топологии тр,
выпукло и равномерно интегрируемо, то на М совпадают следующие
топологии: тр, тм, слабая топология cr(L1, L°°) и топология нормы L1.
(iv) Если М компактно в топологии тр и выпукло, то на М
топология тр совпадает с метризуемой топологией тм.
Доказательство, (i) Пусть х е X и /„ -> / по мере, /„, / е М.
Если fn(x) fa f(x), то найдется такая подпоследовательность f'n, что
f'n{x) сходится, но не к f(x). Возьмем п.в. сходящуюся
подпоследовательность {/?} в {f'n}. В силу счетной компактности {/%} имеет
предельную точку g G М в топологии тр. Тогда g — f п.в. (во всех точках,
где {/^'} сходится), однако д(х) — lim /%{х) Ф f(x), вопреки условию
на М. Замкнутость М в L°(fi) легко проверяется.
(ii) Множество М компактно в метризуемой топологии тм, так как
из всякой последовательности {/„} в М можно выбрать
подпоследовательность, сходящуюся к функции из М поточечно, а потому и по мере.
Теперь можно применить (i), ибо М счетно-компактно в силу
секвенциальной компактности, а непрерывный образ компакта компактен.
(Ш) Заметим, что М замкнуто в Ь1(ц) в силу (i). Ввиду
выпуклости М замкнуто и в слабой топологии. С учетом равномерной
интегрируемости это дает слабую компактность в L1. Покажем, что
отображение (М,^!,1,.^00)) —> (М,Тр) непрерывно, т.е. для всякого
фиксированного х € X функция / н-> f(x) непрерывна на (M,<j{L},L°°)).

178 Глава 7. Меры на топологических пространствах
Для этого достаточно проверить, что для всякого числа с множества
{/ € М: f(x) < с} и {/ G М: f(x) ^ с} замкнуты в топологии
о-(Ьг, L°°). Поскольку эти множества замкнуты в топологии поточечной
сходимости, то ввиду (i) они замкнуты и в топологии Ту,, а потому и в
топологии нормы на М. Так как М замкнуто в Ьг(ц), то оба множества
являются замкнутыми подмножествами Ьх{ц), что в силу
выпуклости дает их слабую замкнутость. Итак, отображение (M,a(Lx,L°°)) —>
(М, тр) непрерывно, поэтому в силу слабой компактности М оно
является гомеоморфизмом. Ввиду равномерной интегрируемости М
топология нормы совпадает на М с тм. Уже доказанная слабая
компактность М по теореме Эберлейна-Шмульяна дает слабую
секвенциальную компактность, означающую (из-за совпадения тр и ^(.L1,!*00) на
множестве М) секвенциальную компактность в тр. Согласно (и) все
указанные топологии совпадают на М.
(iv) В силу утверждения (i) тождественное отображение (М,Тц) —>
(М,тр) непрерывно и М замкнуто в Ь°(ц). Поэтому достаточно
доказать компактность М в метризуемой тополгии тд. Пусть дана
последовательность {/„} с М. Покажем, что из нее можно выбрать
сходящуюся подпоследовательность. Функция д{х) := 1 + sup |/п(ж)| конечна и
измерима, ибо последовательность {/п(х)} ограничена для каждого х
ввиду компактности в топологии тр. Мера и := д, ¦ ц конечна и
эквивалентна мере /х. Поэтому для нее также выполнено основное условие
на М. Пусть Мо — замкнутая выпуклая оболочка М в топологии тр.
Тогда Мо — выпуклый компакт в этой топологии. При этом для
всякой функции / € Мо имеем |/(х)| ^ д{х), х € X, ибо это неравенство
выполнено для всех /п и сохраняется при переходе к выпуклым
комбинациям и поточечным пределам. Следовательно, интеграл от |/|2 по
мере v не превосходит 1 для всех / € Мо. Таким образом, множество М
равномерно интегрируемо относительно меры v. В силу утверждения
(Ш) на М топология тр совпадает с ти, причем М компактно в этих
топологиях. Поэтому в {/„} имеется сходящаяся по мере /и
подпоследовательность /Пк, что и завершает доказательство. ?
Характерным примером, в котором выполнено условие (ii),
является случай, когда М — секвенциально компактное в топологии
поточечной сходимости множество непрерывных функций на топологическом
пространстве X, являющемся носителем радоновской меры ц.
7.14.56. Следствие. Пусть X — нормированное пространство и
\х — такая вероятностная мера на о{Х*), что для всякого
ненулевого I € X* имеем ц(х: 1{х) = 0) < 1. Тогда X сепарабельно, причем
на замкнутом единичном шаре сопряженного пространства *-слабая
топология совпадает с топологией сходимости по мере /z.

7.14. Дополнения и задачи 179
Доказательство. Множество М := {/ € X*-. ||/|| < 1}
компактно в *-слабой топологии по теореме Банаха-Алаоглу и выпукло. Из
метризуемости М в *-слабой топологии следует сепарабельность X. ?
7.14.57. Пример, (i) Пусть X — нормированное пространство,
ц — вероятностная мера на а(Х*), V^ — пересечение всех замкнутых
линейных подпространств внешней меры 1. Пусть /x*(V^) = 1. Тогда
ц имеет т-аддитивное продолжение в топологии нормы (радоновское,
если X банахово).
(ii) Всякая т-аддитивная в слабой топологии (в частности, всякая
радоновская в слабой топологии) вероятностная мера на банаховом
пространстве допускает радоновское продолжение в топологии нормы.
(ш) Если X — рефлексивное банахово пространство, то каждая
мера на <т(Х*) допускает радоновское по норме продолжение.
Доказательство, (i) Рассмотрим сужение /х на V^ (в смысле
определения 1.12.11). Пусть / — ненулевой элемент V*. Продолжим / до
функционала /о G X*. Если /х(/ = 0) = 1, то /j.(fo = 0) = 1, вопреки
выбору V^, ибо V^ П /о@) — собственное замкнутое подпространство V^.
Тогда V^ сепарабельно согласно следствию выше, откуда вытекает
доказываемое, (ii) В силу т-аддитивности в слабой топологии мера ц
имеет топологический носитель 5 в слабой топологии, откуда /z(V^) = 1,
ибо ScVM. (iii) В силу слабой компактности шаров в рефлексивном
пространстве /х плотна в слабой топологии и потому т-аддитивна. ?
На локально выпуклые пространства этот пример не
распространяется (задача 7.14.145): там существуют радоновские в слабой топологии
меры, не являющиеся плотными в исходной топологии.
В Fremlin [781], [795, §463] можно найти доказательства
следующих интересных и глубоких фактов.
7.14.58. Теорема. Пусть (Х,А,ц) ~ полное вероятностное
пространство, где мера ц совершенна, и пусть множество М С С°{ц)
счетно-компактно в топологии поточечной сходимости. Тогда
всякая последовательность в М имеет подпоследовательность,
сходящуюся п. в. и М компактно в топологии сходимости по мере.
Если же всякие две различные (т.е. не равные поточечно) функции из
М отличаются на множестве положительной меры, то топологии
поточечной сходимости и сходимости по мере совпадают на
множестве М, которое тем самым оказывается метризуемым компактом.
Неясно, насколько существенна здесь совершенность меры. В
работе Talagrand [1613] показано, что если множество М компактно в
топологии тр и п.в. равные функции из М равны поточечно, то в
предположении аксиомы Мартина топологии тр и тц совпадают на М.

180 Глава 7. Меры на топологических пространствах
7.14.59. Теорема. Пусть (Х,А,ц) — полное вероятностное
пространство и пусть бесконечное множество М С С°(ц) компактно
в топологии поточечной сходимости, причем всякие две различные
функции из М отличаются на множестве положительной меры.
Тогда в М существует поточечно сходящаяся последовательность.
Упомянем еще следующую альтернативу Фремлина (см. Fremlin
[781], [795, §463Н], а также Talagrand [1613]).
7.14.60. Теорема. Пусть (Х,А,ц) — полное вероятностное
пространство с совершенной мерой ц и /„, п € IN, — ^-измеримые
функции. Тогда либо в {/„} есть п.в. сходящаяся подпоследовательность,
либо в {/„} есть подпоследовательность, у которой нет предельных
точек в топологии поточечной сходимости, являющихся
^-измеримыми функциями.
В Talagrand [1612] получены достаточные условия (среди которых
гипотеза континуума или аксиома Мартина), для того, чтобы выпуклая
оболочка множества измеримых функций имела замыкание в
топологии поточечной сходимости, состоящее только из измеримых функций.
7.14(xviii). Бесконечные меры Радона
Рассматриваемые в этой книге радоновские меры по определению
конечны. Однако в некоторых приложениях полезно расширить это
понятие (что уже встречалось в §7.11). Очевидные примеры — мера
Лебега на 1R", меры Хаусдорфа или мера Хаара на некомпактной группе.
Правда, первая из них <т-конечна и потому не обязательно было бы
развивать какую-либо специальную терминологию, чтобы ее охватить
(хотя в классической работе Радона как раз и рассматривались
вообще говоря бесконечные меры на Etn). Однако меры Хаусдорфа и Хаара
уже не всегда <т-конечны. Итак, что понимать под мерой Радона со
значениями в [0, +оо]? Возможны различные определения, приводящие к
одному и тому же объекту в случае конечной меры. Представляется
разумным следующее определение (см. Fremlin [779], [795]).
7.14.61. Определение. Пусть X — хаусдорфово пространство.
Мера /i со значениями в [0, +оо], определенная на о-алгебре 6
подмножеств X, называется мерой Радона со значениями в [0,-t-oo], если
ц полна и локально определима (см. задачу 1.12.122), все открытые
множества входят в &, всякая точка имеет окрестность
конечной меры, причем для всех Е € & справедливо следующее равенства
ц(Е) — sup{fi(K): К С Е, К компактно}.
В случае конечной меры это определение соответствует просто
переходу к пополнению радоновской меры на борелевской ст-алгебре.
Согласно другому часто встречающемуся в литературе определению мера
Радона со значениями в [0, +оо] определена на борелевской «т-алгебре,

7.14. Дополнения и задачи 181
каждая точка имеет окрестность конечной меры и выполнено условие
внутренней компактной регулярности из определения выше. Такая
мера однозначно продолжается до меры Радона в смысле определения
выше (см. [779]). Если X локально компактно, то всякий
положительный линейный функционал на Со(Х) задается интегралом по мере
Радона со значениями в [0,+оо] (теорема 7.11.3). Бесконечная мера
Радона не обязана быть внешне регулярной (т.е. удовлетворять условию
р(В) — inf fi{U), где U Э В открыты), см. задачу 7.14.155 (другой
пример: не ег-конечная внутренне компактно регулярная мера Хаара).
Произведение двух бесконечных мер Радона однозначно продолжается
до бесконечной меры Радона (см. [779]).
Система € непустых попарно непересекающихся компактных
множеств в пространстве X называется раздроблением (concassage) для
меры Радона ц со значениями в [0, +оо] на X, если открытые
множества в пересечении с множествами из С дают либо пустые множества,
либо множества положительной меры, причем для всякого множества
Е из области определения /i верно равенство ц(Е) = Х^сее А*(С П Е).
Всякая мера Радона со значениями в [0, +оо] обладает раздроблением
(это нетрудно проверить с помощью леммы Цорна, см. Gardner, Pfeffer
[814, предложение 12.10]). Полная и насыщенная (термины, связанные
с бесконечными мерами, определены в гл. 1) мера Радона со
значениями в [0,-Изо] является разложимой и потому магарамовской (легко
проверить, что раздробление такой меры /х дает ее разложение, см.
Gardner, Pfeffer [815]), однако ни от полноты, ни от насыщенности
отказаться нельзя (см. Fremlin [780]).
В Bauer [447] показано, что в ситуации теоремы 7.8.7 в подходе
Даниэля-Стоуна существует такое локально компактное пространство
Т с мерой Радона v со значениями в [0, +оо], что il вкладывается в Т
как плотное подмножество, мера v совпадает с продолжением /i, всякая
функция / € Т продолжается до непрерывной функции /' на Т,
убывающей к нулю на бесконечности, причем такие продолжения разделяют
точки из Г и не исчезают ни в одной точке из Т. Про бесконечные меры
Радона см. также Fremlin [795], Gardner, Pfeffer [814], [815].
Задачи
7.14.62.° Показать, что всякая регулярная то-адцитивная борелевская
7.14.63° Пусть А — «т-алгебра в несчетном пространстве X, состоящая
из конечных и счетных множеств и их дополнений, а мера \х равна 0 на
счетных множествах и 1 на их дополнениях. Показать, что /х совершенна.
Указание: воспользоваться тем, что всякая Д-измеримая функция
принимает конечное или счетное множество значений.

182 Глава 7. Меры на топологических пространствах
7.14.64. (Adamski [381]) Построить пример нерегулярной т-аддитивной
меры на каком-либо нерегулярном пространстве со второй аксиомой счетно-
сти (в частности, утверждение (И) предложения 7.2.2 может быть неверным
для нерегулярных пространств).
Указание: Пусть S — подмножество [0,1] с A«(S) = 0 < Л*E), где Л —
мера Лебега. Пусть X есть [0,1] с топологией, порожденной обычной
топологией [0,1] вместе с множеством S. Ясно, что пространство X удовлетворяет
второй аксиоме счетности, но не регулярно. Пусть ц — образ As (см.
определение 1.12.11) при естественном вложении S —» X (которое непрерывно).
Тогда мера ц т-аддитивна в силу предложения 7.2.2(ш). Однако она не
регулярна, поскольку fi(S) > 0, в то время как n(F) = 0 для каждого множества
F С S, замкнутого в X, ибо такое множество компактно в обычной топологии
[0,1] и потому A(F) = 0 согласно нашему выбору S.
7.14.65. (i) (Wheeler [1709], [1710]) Существуют вполне регулярное
пространство X и вероятностная бэровская мера на X, которая не имеет счетно-
аддитивных продолжений на борелевскую ег-алгебру.
(ii) (Ohta, Tamano [1314]) Существуют локально компактные
пространства и счетно-паракомпактные пространства со свойствами из (i).
Указание: для построения примера в (i) достаточно иметь
вероятностную бэровскую меру /х на X, принимающую только значения 0 и 1,
обладающую дискретным бэровским множеством Т полной меры и мощности
континуума с, но обращающуюся в нуль на всех одноточечных множествах.
Ворелевское продолжение ц дало бы меру, определенную на всех
подмножествах Т и обращающуюся в нуль на одноточечных множествах (вопреки
тому, что с не является двузначно измеримым). Конкретные примеры
обсуждаются в цитированных работах. Можно также в примере 7.3.8 вместо /
взять множество /о С / минимальной мощности среди множеств внешней
меры 1 и ограничить на него меру Лебега и топологию Зоргенфрея.
7.14.66. Доказать теорему 7.14.2.
Указание: пусть Лп — «т-алгебра цилиндрических множеств с
основаниями из В(П"=1 -^«)- Объединение всех Ап является алгеброй, на которую
можно продолжить (г, причем это продолжение счетно-аддитивно, что
проверяется аналогично доказательству теоремы о счетном произведении мер.
Из этого выводится го-аддитивность ц, для чего направленность открытых
цилиндров разделяется на части, охватывающие цилиндры с основаниями
в ПГ=1 xi- См. также Ressel [1428], Amemiya, Okada, Okazaki [399].
7.14.67.° Пусть К — компакт во вполне регулярном пространстве,
покрытый открытыми множествами Ui и {/г- Показать, что найдутся такие
непрерывные неотрицательные функции /i и /г с компактными носителями
К1 С U\ и Къ С Ич. соответственно, что /i + /2 = 1 на К.
7.14.68° Пусть fi — неотрицательная бэровская мера на нормальном
пространстве X. Доказать, что для всякого замкнутого множества С С X и
всякого ? > 0 найдется такое функционально замкнутое множество Z, что
С <zZnn(Z) ^ц*(С) + е.
Указание: найдется такое функционально открытое множество U, что
СсGи ft(U) ^ Ц*(С) + е; поскольку X нормально, то существует
функционально замкнутое множество Z с С С Z С U.

7.14. Дополнения и задачи
183
7.14.69f Пусть /„ — измеримые отображения из пространства с
конечной мерой ц в метрическое пространство (У, gY), сходящиеся по мере к
измеримому отображению /, т.е. для всех с > 0 имеем lim n(QY(fn,f) > с) = 0.
Показать, что найдется подпоследовательность fni, которая сходится п.в.
7.14.70. Пусть /: [0,1] —> Y — измеримое относительно меры Лебега
отображение со значениями в метрическом пространстве X. Доказать, что
существует такое сепарабельное подпространство УЬ С Y, что f(x) G Yq для
п.в. х и получить, что для всякого е > 0 найдется компакт Ке меры не менее
1 — е, на котором / непрерывно.
Указание: применить теорему 1.12.19.
7.14.71. (i) Пусть X = [0,1] с обычной топологией и мерой Лебега fi и
пусть Y = [0,1] с топологией, порожденной полуинтервалами [а, Ь) П [0,1],
а < Ъ (т.е. интервал Зоргенфрея с присоединенной точкой 1, см. пример
7.2.4). Показать, что тождественное отображение f:X—>Y борелево, но не
является непрерывным ни на каком несчетном множестве.
(ii) Построить пример такого борелевского отображения из отрезка [0,1]
с мерой Лебега в компактное пространство, что для него не справедлив
аналог теоремы Лузина.
(Ш) Пусть (j, есть мера на [0,1]х{0,1}, равная произведению меры Лебега
и меры на {0,1}, приписывающей 1/2 точкам О и 1. Пусть X — пространство
„две стрелки" из примера 6.1.20, наделенное его естественной нормированной
мерой Лебега Л. Рассмотрим естественное отображение / из [0,1]х{0,1} в X.
Показать, что / измеримо и ц о /_1 = Л, однако не существует компакта
положительной /i-меры, на котором / непрерывно.
(iv) Пусть X — [0,1]с — произведение континуума отрезков с мерой
Радона ц,, являющейся продолжением произведения континуума мер Лебега.
Зададим отображение f: X —* X так: f(x)(s) = x(s), если 0 < x(s) < 1,
f(x)(s) = 1 - x(s), если x(s) = 0 или x(s) = 1. Показать, что / измеримо
относительно ц, но не является почти непрерывным.
Указание: (i) проверяется непосредственно; (ii) рассмотреть компакти-
фикапию У из (i); (Ш) непрерывный образ метризуемого компакта метризу-
ем, а в X нет несчетных компактов, (iv) см. Fremlin [785, пример 3G].
7.14.72. Построить пример такой вероятностной борелевской меры v
на некотором компактном пространстве X и такой борелевской функции
/: X —> И, что для всякой непрерывной функции д: X —> Ш
справедливо неравенство и{х: f(x) ф д(х)) ^ 1/2.
Указание: рассмотреть меру ц из примера Дьедонне 7.1.3 и взять v =
(Ai + <Li)/2; см. Wise, Hall [1722, пример 4.48].
7.14.73. (i) Построить пример такой вероятностной борелевской меры
v на некотором компактном пространстве X, что С(Х) не плотно в Ьг{у).
(ii) Показать, что Сь(Х) плотно в L1^) для меры Радона ц на вполне
регулярном пространстве X.
(Ш) Построить пример такой вероятностной меры Радона fi на компакте,
что в L2(fi) нет базиса из непрерывных функций.
Указание: в (i) использовать предыдущую задачу; в (ii) применить
теорему Лузина; (ш) см. в Hart, Kunen [900].

184 Глава 7. Меры на топологических пространствах
7.14.74? Пусть (X, А, ц) — пространство с совершенной мерой, (У, В) —
измеримое пространство и /: X —¦ У — //-измеримое отображение. Доказать,
что числовая функция д на У измерима относительно меры /хо/-1 в точности
тогда, когда функция до f измерима относительно ц.
7.14.75? Привести пример вероятностной меры \i на «т-алгебре А в
пространстве X и такого отображения F: X —* У со значениями в некотором
компактном пространстве У, что F~1(B) ? Ay. для всех В € В(У), однако не
существует отображения G, которое /t-п.в. равно F и G_1(B) е А для всех
В ? В(У), т.е. F измеримо относительно пополнения /i, но не эквивалентно
никакому ^-измеримому отображению.
Указание: рассмотреть X = [0,1]с, А = Ва([0,1]с), в качестве ц на А
взять произведение континуума мер Лебега, а в качестве F взять
тождественное отображение из X в X. Измеримость F следует из теоремы 7.14.3.
Если существует (Ва(Х), В(Х))-измеримая модификация G отображения F,
то есть такое множество А € Ва(Х) полной меры, зависящее лишь от
счетного числа координат xti, что А П В € Ва(Х) для всех В € В(Х). Это ведет
к противоречию, если в качестве В взять {х: xt = 0,Vt ? {*»}}•
7.14.76. Привести пример регулярной вероятностной борелевской меры
fx на локально компактном хаусдорфовом пространстве, которая не имеет
носителя, в частности, не является т-аддитивной.
Указание: рассмотреть меру на Хо из примера 7.1.3.
7.14.77.° Пусть X = [0,1] с топологией, определяемой так: все
одноточечные множества из @,1] открыты и все множества вида [О, l]\{xi,... ,хп},
где Xi € @,1], открыты. Проверить, что порождаемая так топология хаус-
дорфова, причем X компактно в этой топологии. Показать, что X не может
быть носителем никакой меры Радона.
7.14.78. Пусть X — хаусдорфово пространство и А — некоторая алгебра
множеств в X, на которой задана неотрицательная конечная аддитивная
функция множества т, причем
т(А) = mp{m(Z): Z С A,Z е A, Z замкнуто} для всех АеА
и т(Х) = sup{inf {т(Е): Е G А, К С Е}}, где sup берется по компактам К.
Доказать, что m продолжается до меры Радона на X.
Указание: см. Fremlin [795, 4160].
7.14.79. Доказать теорему 7.14.27.
7.14.80. Доказать, что алгебра ЩХ), порожденная функционально
замкнутыми подмножествами топологического пространства X, состоит из
конечных объединений вида UJUiCft V**)> гДе ^«> ^1 функционально замкнуты
и Fi С Fi. Доказать аналогичное для алгебры, порожденной всеми
замкнутыми множествами.
Указание: см. задачу 1.12.52.
7.14.81. Пусть X — вполне регулярное пространство, 0Х — его ком-
пактификация Стоуна-Чеха и L — непрерывный линейный функционал на
пространстве Сь(Х). Пусть функционал L'(g) = L(g о j) на Сь@Х)
задается бэровской мерой v на /ЗХ. Доказать, что L задается некоторой бэровской

7.14. Дополнения и задачи
185
мерой Aна1в точности тогда, когда Н*(Х) = \v\(/3X), где внешняя
мера определяется с помощью Ва(/ЗХ); при этом v является продолжением /х
на 0Х. Аналогичное утверждение верно для т-аддитивных мер, если
внешнюю меру задавать с помощью В(Х).
Указание: если |i/|*(X) = \и\(/ЗХ) в случае бэровской «т-алгебры, то v
можно сузить на X с помощью обычной конструкции сужения на множество
полной внешней меры, причем индуцированная ст-алгебра будет совпадать
с Ва{Х). Полученная мера /х на X и будет задавать функционал L, ибо
всякая функция / 6 Съ(Х) однозначно продолжается до функции / € Сь@Х),
откуда L(f) = L'(f) = f fdv= f f d/x.
J0X Jx
7.14.82. Доказать, что всякая аддитивная регулярная функция
множества m на алгебре ЩХ), порожденной функционально замкнутыми
подмножествами вполне регулярного топологического пространства X (см.
определение в §7.9), представима в виде разности двух неотрицательных
аддитивных регулярных функций множества, определенных перед теоремой 7.9.1).
7.14.83. Пусть /п — измеримые отображения из вероятностного
пространства (X,fi) в сепарабельное метрическое пространство S, сходящиеся
по мере к отображению /. Пусть Ф: S —¦ М — непрерывное отображение со
значениями в метрическом пространстве (M,d). Показать, что отображения
Фо/„ сходятся по мере к Ф о /.
Указание: показать, что интегралы от min(l, d(* о /п, Ф о /)) сходятся
к нулю; для этого заметить, что для всякой подпоследовательности в {/п}
найдется дальнейшая подпоследовательность, сходящаяся к / почти всюду.
7.14.84. Привести пример борелевской меры со значениями в [0,4-оо]
на локально компактном метрическом пространстве, которая внутренне
компактно регулярна, но не является внешне регулярной и tr-конечной.
Указание: см. Gruenhage, Pfeffer [871], Wise, Hall [1722, пример 4.45].
7.14.85. Пусть X и Y — топологические пространства ид —
вероятностная борелевская мера на Y. Доказать, что для непрерывного отображения
f:X—>Y равенство к(А) = /х* (/(.А)) задает емкость Шоке на X.
7.14.86. (Shortt [1517]) Сепарабельное метрическое пространство будем
называть универсально измеримым, если оно измеримо относительно всякой
борелевской меры на его пополнении. Предположим, что на множестве X
заданы две метрики di и <?г, относительно которых X сепарабельно,
причем соответствующие борелевские сг-алгебры совпадают, (i) Доказать, что X
универсально измеримо с метрикой d\ в точности тогда, оно универсально
измеримо с метрикой di- (ii) Вывести из (i) и теоремы 7.5.7, что
сепарабельное метрическое пространство X универсально измеримо в точности тогда,
когда всякая борелевская вероятностная мера на X совершенна.
7.14.87. (Сазонов [277]) Доказать без использования гипотезы
континуума, что на множестве всех подмножеств [0,1] не существует совершенной
вероятностной меры, равной нулю на всех точках.
Указание: пусть такая мера /х есть и F(x) = /х([0, х)); тогда мера v =
(i о F~l задана на множестве всех подмножеств отрезка и продолжает меру

186 Глава 7. Меры на топологических пространствах
Лебега; кроме того, v совершенна как образ совершенной меры; возьмем
множество А с внешней лебеговской мерой 1 и внутренней лебеговской мерой 0;
пусть и(А) > 0 (иначе i/([0,1]\А) = 1 и можно перейти к [0,1]\А); сужение v
на А есть совершенная мера, что невозможно (достаточно взять f(x) = х).
См. обобщение в РасЫ [1329].
7.14.88. (Сазонов [277]) Пусть X — метрическое пространство, в
котором не существует системы непересекающихся непустых открытых множеств
мощности большей, чем мощность континуума. Доказать, что борелевская
мера на X совершенна в точности тогда, когда она плотна. См. обобщение в
РасЫ [1329].
7.14.89. (Zink [1751], Saks, Sierpinski [I486] для Y = R) Пусть (X, S, ц)
— измеримое пространство с вероятностной мерой р. и пусть Y — сепара-
бельное метрическое пространство. Рассмотрим произвольное отображение
/: Х-»У. Доказать, что для каждого е > 0 существует такое (B(Y),S))-
взмеримое отображение д: X —> Y, что dy{f(x),g(x)) < е для каждого х,
кроме точек множества внутренней меры нуль.
7.14.90. Пусть X — несчетное суслинское пространство. Доказать, что
на X существует континуум взаимно-сингулярных безатомических радонов-
ских вероятностных мер.
Указание: найти в X континуум дизъюнктных борелевских множеств
мощности континуума.
7.14.91. (Plebanek [1362]) Пусть К — некоторый компактный класс
подмножеств множества X и для каждого К € 1С задано число гк-
Обозначим через Ак алгебру, порожденную К. Предположим, что для всякого
конечного набора К\,..., Кп € /С имеется аддитивная функция множества
/хк,,...,*:„: Лк -* [0,1] с /*Kl к„(К<) Z rKi, i = 1,...,п. Тогда на а(К)
существует вероятностная мера ц с у.(К) ^ г к при всех К € К.
7.14.92.° Пусть ц — безатомическая мера Радона на метрическом
пространстве X. Доказать, что для всякого е > 0 существует такое S > 0, что
1л(В) < е для каждого борелевского множества В диаметра меньше S.
Указание: достаточно рассмотреть сужение /i на компакт К достаточно
большой меры; для каждой точки х € К существует такое г(ж) > 0, что
ц(К(х,2г(х))) < е/2; поэтому есть конечное покрытие К шарами K(xi,r)
некоторого радиуса г > 0 с /i(A"(x<, 2г)) < е/2; положим S = г/2.
7.14.93. (Davies, Schuss [639]) Пусть ц — мера Радона на
топологическом пространстве X, f — р-интегрируемая функция и J — ее интеграл.
Доказать, что для всякого е > 0 каждой точке х € X можно сопоставить
такое открытое множество G(x), содержащее х, что при любом выборе
измеримых множеств В%, имеющих попарные пересечения меры нуль и
покрывающих X с точностью до множества меры нуль, и при любом выборе
точек Xi € Bt, удовлетворяющих условию Bi С G(xi), выполнено неравенство
7.14.94. Пусть М — метрическое пространство, Т — некоторая <т-ал-
гебра, содержащая все точки, ц — вероятностная мера на Т. Доказать, что

7.14. Дополнения и задачи
187
следующие условия равносильны: 1) д(р) = 0 для всех р 6 М; 2) для всяких
р € М и е > 0 найдется такое г > 0, что если множество Е из Т содержится
в шаре радиуса г с центром в р, то (л(Е) < е.
Указание: см. Hahn [888, с. 409] или Sierpinski [1530].
7.14.95. (Rao, Rao [1416]) Показать, что на борелевской сг-алгебре
пространства [0,wi), где шг — первое несчетное порядковое число, не
существует безатомической счетно-аддитивной вероятностной меры (см. обобщения в
Mauldin [1229]).
7.14.96. (Marczewski, Ryll-Nardzewski [1215]) (i) Пусть ц —
счетно-аддитивная вероятностная мера на алгебре А подмножеств пространства X,
a v — счетно-аддитивная вероятностная мера на алгебре В подмножеств
пространства Y, обладающая компактным приближающим классом.
Предположим, что на алгебре ?, порожденной прямоугольниками Ах В, А € А,
В €В, задана такая неотрицательная аддитивная функция множества А, что
\(AxY) = ц(А) для всех АеАи Х(ХхВ) = v(B) для всех В е В. Доказать,
что А счетно-аддитивна.
(ii) Построить пример, показывающий, что утверждение (i) может быть
неверным, если не требовать существование компактного приближающего
класса хотя бы для одной из мер fi или v.
7.14.97. Построить пример функции / на [0,1]°°, которая постоянна
по каждому переменному при фиксированных остальных, но не измерима
относительно счетного произведения мер Лебега.
Указание: см. Marczewski, Ryll-Nardzewski [1213].
7.14.98° (Ursell [1663]) Пусть ц — конечная неотрицательная мера на
пространстве X. (i) Пусть функция /: Хх[0,1] —+ М1 такова, что при каждом
фиксированном t функция х >-* /(х, t) /i-измерима, а при д-п.в. х функция
t *-? /(х, i) возрастает. Доказать, что функция / измерима относительно меры
^® А, где А — мера Лебега.
(ii) Пусть Е С Хх[0,1] таково, что сечения Et := {(а;,*) € Е} /х-измери-
мы и Et С Es при t < s. Доказать, что Е измеримо относительно ц® А.
Указание: (i) следует из рассмотрения поточечных приближений
/»(*,*) = /(J2-",х) при t G [j2-", U + 1J-"), J = 0,..., 2".
Утверждение (ii) следует из (i).
7.14.99. (Marczewski, Ryll-Nardzewski [1213]) Пусть (X, J7) — измеримое
пространство, Т — сепарабельное метрическое пространство, Y —
метрическое пространство и отображение /: ХхТ —> Y таково, что при каждом
фиксированном t отображение х ь-> / (х, t) измеримо относительно Т при
наделении Y борелевской сг-алгеброй.
(i) Пусть Т = И1. Предположим дополнительно, что при каждом х
отображение t ь-> /(х, t) непрерывно справа. Тогда / ^г®В(Т)-измеримо.
(ii) Пусть У = И,1, v — мера на Т и А — мера на В(Т), р. = v®\ и
Q — некоторое счетное всюду плотное множество в Т. Предположим
дополнительно, что для всякого х множество точек разрыва функции t н-> /(х, t)
имеет А-меру нуль и lim infr_t>reQ f(r, х) < /(x,t) ^ limsupr_f г€<э/(г,х).
Тогда функция / измерима относительно (^®В(Г)) .

188
Глава 7. Меры на топологических пространствах
7.14.100? Пусть (г — конечная неотрицательная мера на измеримом
пространстве X. Пусть функция /: X х [0,1] —» М1 такова, что при каждом
фиксированном t функция х н-> f(x,t) /х-измерима, а при /х-п.в. х
функция 11-> f(x, t) интегрируема по Риману. Положим /о (ж, t) = — / f(x, s) ds,
причем /o(x, t) = 0, если f{x, s) не является интегрируемой по Риману или
не существует указанной производной. Доказать, что функция /о
измерима относительно меры /х®А, где А — мера Лебега, причем при п.в. х имеем
/o(t, х) = f(t,x) при п.в. t, хотя / может не быть /х®А-измеримой.
Указание: заметить, что функция / f(x, s) ds измерима по х при
фиксированном t и непрерывна по t при п.в. х.
7.14.101. (Talagrand [1613, с. 140]) Пусть Xit i = 1,... ,n, -
компакты с вероятностными радоновскими мерами щ, которые при i ^ 2
положительны на непустых открытых множествах. Предположим, что функция
/: П"=1 Xi —> Ш, непрерывна по каждому переменному отдельно. Тогда
найдутся такие метризуемые компакты Ki, непрерывные сюръекции /»*: Хг —>
Ki и функция д: П"=1 ^« —* ^ непрерывная по каждому переменному
отдельно, что /(xi,..., х„) = g(hi(xi),..., hn(xn)). В частности, / — бэровская
Указание: рассмотрим лишь более простой случай п = 2 и возьмем
отображение /ц(х) = fx, где fx{y) = f(x,y), из Х\ в пространство С(Х2)
с топологией поточечной сходимости. Это отображение непрерывно и его
образ Ki компактен. По теореме 7.10.9 всякая последовательность в К\
имеет поточечно сходящуюся подпоследовательность. Поскольку К\ состоит из
непрерывных функций и носитель ц2 совпадает с Х2, то К\ оказывается
компактом в топологии Tj,2 сходимости по мере ц2- Аналогичные соображения
показывают, что топология Тц2 на К\ сильнее топологии поточечной
сходимости и потому совпадает с последней, что означает метризуемость К\.
Пусть h2: Х2 —> C(Ki) задано формулой h2(y)(fx) = f{x,y), где С(К{)
наделено топологией поточечной сходимости. Тогда К2 := h2(X2) компактно в
этой топологии, что влечет метризуемость К2. Наконец, пусть g(u,v) = v(u),
ueKuveKaC C(Ki). Тогда f(x,y) = g(M*),Mv))-
7.14.102. (i) (Fremlin [781, предложение 4J]) Доказать, что в
предположении гипотезы континуума существуют компакт X с радоновской мерой ц
и функция / на Хх[0,1], которая непрерывна по первому аргументу,
измерима по Лебегу по второму аргументу, но не является измеримой относительно
радоновского продолжения меры /л&А, где А — мера Лебега.
(ii) Пусть \i — вероятностная мера на пространстве (Х,Л), v — радо-
новская вероятностная мера на компактном метрическом пространстве Y
и пусть функция /: X xY —» К1 непрерывна по второму аргументу и fi-
измерима по первому. Доказать измеримость / относительно A®B(Y), в
частности, измеримость относительно (i®v. Распространить это
утверждение на случай, когда Y — пространство, в котором компакты метризуемы.
Указание: (ii) пусть tpx(y) •= f(x,y). Отображение х t-> tpx, X н-» C(Y),
.4®Б(У)-измеримо, ибо по условию таковы все функции х н-+ ipx(y), у еУ,
a B(Y) порождается отображениями у t—> ip(y). Тогда А <8> В(У)-измеримо

7.14. Дополнения и задачи
отображение Ф: (х,у) ¦-» (<рх,у), XxY —> C(Y)xY, а / есть композиция Ф и
непрерывной функции (<р,у) н-> <р(у) на C(Y)xY.
7.14.103. (Nussbaum [1313]) Пусть X — компактное (или локально
компактное) пространство, Y — хаусдорфово пространство, v — мера Радона на
X и функция /: XxY —> К1 непрерывна по каждому переменному
раздельно, причем существует такая ^-интегрируемая функция д, что |/(х,у)| ^ д(у)
для всех х G X, у € У. Доказать, что функция х ь* / /(х, у) v(dy) непре-
Jy
рывна.
7.14.104? Доказать предложение 7.14.8.
Указание: можно считать, что ||i/|| ^ 1 и |/| < 1; для заданных ю€Х
и е > О найдем для каждой точки j/ € Y такие открытые множества U(y) и
Vv, что j/ ? t/(i/), ю 6 V» и |/(x,z) - /(яго,»)| < е при всех (x,z) € V„xt%).
В силу т-аддитивности найдется такой конечный набор U(yi),... ,U(yk), что
М (l)*=i иЫ)) > 1 - е- При V := VV1 П • • • П УЛ получаем для всех х е V
оценку / \f(x,y) - f(x0,y)\v(dy) ^ 2е.
7.14.105. (Babiker, Knowles [422]) (i) Пусть X — вполне регулярное
пространство и ц — вероятностная бэровская мера на X. Предположим, что для
всяких вполне регулярного пространства У и функции / € Съ(Х х У) функ-
непрерывна. Доказать, что мера ц т-аддитивна.
(ii) Пусть X и У — такие вполне регулярные пространства, что Ва(Х)®
Ba(Y) = Ва(Х х У). Доказать, что для всякой бэровской меры /х на X и
всякой функции / € Сь(ХхУ) функция д в (i) непрерывна.
7.14.106. (Johnson [985]) Пусть X и У — компактные пространства, ц —
радоновская мера на X и / — ограниченная функция на X х У, раздельно
непрерывная по каждому переменному.
(i) Доказать, что множество функций fx: у t-> f(x,y), х е supp/t, сепа-
рабельно в банаховом пространстве C(Y).
(ii) Привести пример, показывающий, что в (i) множество всех функций
fx, х 6 X, может быть несепарабельным.
(iii) Доказать, что функция / измерима относительно всякой радонов-
ской меры на X х У.
(iv) Доказать, что если X = suppp, то функция / — борелевская.
7.14.107. Построить борелевскую вероятностную меру ц на
топологическом пространстве X с таким свойством, что для всякого В 6 В(Х х X)
функции х-2 »-+ fi({xi: (xi,X2) € В}\ и xi t-+ /iMxa: (xi,x2) € В})
измеримы относительно /л, однако имеют разные интегралы для некоторого В.
Указание: см. Johnson, Wilczynski [984]; взять в качестве X множество
всех бесконечных порядковых чисел, меньших первого несчетного
порядкового числа u>i, с мерой /х, равной 1 на всех борелевских множествах,
содержащих замкнутые несчетные множества, и равной 0 на прочих борелевских
множествах. Взять В = {(xi,X2): Xi ^ хг}.
щшд(у) = / f(x,y)n(dx)
Jx

190 Глава 7. Меры на топологических пространствах
7.14.108. Построить пример вполне регулярных пространств J и У с
первой аксиомой счетности, обладающих такими вероятностными бэровски-
ми мерами /ihi/, что бэровские меры С и f' на X х У, заданные формулами
/ fd{= [ f f(x,y)fM(dx)u(dy), f fd('= f f f{x,y)v{dy)ii{dx)
Jxxy JxJy Jxxy JyJx
различны.
Указание: cm. Fremlin [795, §439Q].
7.14.109° (Caratheodory [555]) Пусть fi — конечная неотрицательная
мера на пространстве X. (i) Пусть функция /: ХхШ1 —> И1 такова, что
при каждом фиксированном t функция х t-» f(x, t) /х-измерима, а при /i-п.в.
х функция t I—> f(x, i) непрерывна. Доказать, что для всякой д-измеримой
функции <р функция х н-> /(х, <р(х)) д-измерима.
(ii) Пусть Ti,..., Tic — сепарабельные метрические пространства и
функция /: X х Ti х • • • х Тк —> К1 при д-п.в. х раздельно непрерывно по каждому
U и при всех фиксированных (ti,..., tk) /х-измерима по х. Доказать, что для
всякого д-измеримого отображения ip: X —» Ti х ¦ ¦ ¦ х Т* функция f(x, <р{х))
д-измерима.
Указание: (i) если tp принимает конечное число значений с* на
измеримых множествах Ai, то f(x,(p(x)) = f(x,Ci) при х G Ai, откуда ясна
измеримость. В общем случае есть последовательность простых функций tpn,
сходящаяся п.в. к ip, а тогда lim f(x,(pn(x)) = f(x,tp(x)) п.в. (для тех х, где
есть непрерывность / по t и где ip(x) = lim tp„(x)). (ii) При к = 1 применимо
рассуждение из (i), а общий случай следует индукцией по к, ибо при п.в. х
функция f(x,<pi(x),t2, ¦ ¦ ¦ ,tk) раздельно непрерывна по U.
7.14.110. (Grande, Lipinski [855]) В предположении гипотезы
континуума построить такую неизмеримую по Лебегу функцию F: IR2 —* 1R1, что
для всякой измеримой по Лебегу функции /: К1 —> Ш.1 функция F(x,/(x))
измерима (ср. с задачей 9.12.49).
7.14.111. Пусть (Х,А,1л) — полное вероятностное пространство, L°(fi)
наделено метрикой do сходимости по мере и (Г, Т) — измеримое
пространство. Доказать, что следующие условия на отображение F: Т —> Ь°{ц)
равносильны: (i) F(T) сепарабельно и F измеримо, (ii) существует такая функция
G на ТхХ, измеримая относительно Т®А, что для каждого { ? Т имеем
F(*)(x) = <?(*,«) ДШГП.В.Х.
Указание: Если верно (i), то найдется последовательность точек tk € Т,
для которых множество {F(tk)} плотно в F(T). Зафиксируем какие-либо
представители /* классов -F(tfe) € L°(fi). В силу измеримости F имеем Тп,к '¦=
{t в Т: do(F(t),F(tk)) < 2""} <Е Т для всех п,к € IN. Множества Dn,k :=
Tn,k\{Jl=i Tn,i при каждом фиксированном п дают измеримое разбиение Т.
Положим Gn(t, х) = /к(х) при t € Dn,k- Ясно, что получены 7~®Д-измеримые
функции. Положим G(t,x) := lim G„(t,x) для всех точек (t,x), где
существует и конечен указанный предел (это множество входит в Т(8)А), а в

7.14. Дополнения и задачи
191
остальных точках положим G(t, х) = 0. Теперь можно проверить, что G —
искомая функция. Если выполнено (ii), то достаточно проверить (i) для
ограниченных функций G, что с помощью равномерного приближения сводит
утверждение к случаю индикатора множества Е из Т® А. Сепарабельность
F(T) и измеримость F проверяются непосредственно для множеств Е из
алгебры, порожденной произведениями S х A, S € Т, А ? А. Теперь теорема о
монотонных классах дает требуемое для всех Е ? Т®А-
7.14.112? Пусть X и К — компактные пространства с вероятностными
мерами Радона //иг/, fi*{A) = v*{B) = 1. Показать, что (ji®Ri/)m(AxB) = 1,
где h®rv — радоновское продолжение ц®и на XxY.
Указание: пусть К — компакт в XxY; если (i®rv(K) > 0, то найдется
такое 1бА, что v(Kx) > 0, т.е. существует такое у ? В, что (х,у) ? К.
Поэтому К П (А х В) непусто.
7.14.113. (Talagrand [1613, с. 121]) Пусть (Х,А,ц) — вероятностное
пространство, Y — компакт с радоновской вероятностной мерой v, функция
f на. XxY непрерывна по у и измерима относительно /x®i/. Показать, что
для всякого е > 0 найдутся такие последовательности множеств Ап ? А и
Вп € B(Y), что M®i/(U^=i An х Вп) = 1 и на всяком Ап х Вп колебание / не
превосходит е.
7.14.114° (Толстое [312]) Пусть (Х,А,ц) — вероятностное
пространство, (Y,d) — полное сепарабельное метрическое пространство и j/o 6 Y —
фиксированная точка. Предположим, что функция /: X х Y —> П1 измерима
относительно A®B(Y) и lim /(х, у) = f(x, уо) для всякого х € X. Доказать,
что для каждого е > 0 существует такое множество As е А, что fi{Ae) > 1 — е
и Urn f(x,y) = f(x,y0) равномерно по х € Ае.
Указание: в решении задачи 2.12.39 вместо предложения 1.10.7
использовать теорему 6.10.9.
7.14.115.° Пусть К — компакт и ц — вероятностная мера Радона на К
с носителем К.
(i) Доказать, что следующие условия для ограниченной функции /
равносильны: (а) существует такая ограниченная функция д, что множество
точек разрыва д имеет /х-меру нуль и f(x) = д(х) /х-п.в., (Ь) существует
такое множество Z меры нуль, что сужение / на К\Z непрерывно.
(ii) Построить пример, показывающий, что в (i) не всегда можно найти
непрерывную функцию д.
Указание: (i) Если выполнено (Ь), то множество А = K\Z всюду плотно
в К и можно положить д(х) = limsupv_,I)/6j4/(j/) при х € Z.
7.14.116. Говорят, что мера Радона ц имеет носитель метризуемого
типа, если существует последовательность таких компактов Кп С X, что для
всяких открытого множества U С X и е > 0 существует п с Кп С U и
\ц\(и\Кп) < е. Показать, что это свойство строго сильнее, чем
сепарабельность ц. Показать, что существование носителя метризуемого типа
вытекает из наличия последовательности метризуемых компактов Кп с |д|(Х) =
|^|(U^Li Кп), однако оно слабее, чем это последнее условие.
Указание: см. Gardner [812, секция 24]; см. также пример 9.5.3.

192 Глава 7. Меры на топологических пространствах
7.14.117. (Лозановский [195]) Пусть К\ и К2 — компакты без
изолированных точек. Доказать, что на Кi х К2 не существует такой вероятностной
меры Радона /х, что (i(K) = 0 для всякого нигде не плотного компакта К.
7.14.118. (Fremlin [790]) Пусть ц — вероятностная мера Радона на
пространстве X, рассматриваемая на В(Х)„, ц* и д» — соответствующие
внешняя и внутренняя меры и пусть v — мера, порожденная внешней мерой Ка-
ратеодори m := (/i* + /*»)/2 (см. задачу 1.12.130). Доказать, что fi = и.
Показать, что это же верно для всякой полной совершенной безатомической
вероятностной меры.
7.14.119. (i) (Варадарайн [63]) Пусть ft — т-аддитивная борелевская
мера на паракомпактном пространстве X. Доказать, что топологический
носитель ц линделефов.
(ii) (Plebanek [1366]) Существует т-аддитивная бэровская мера, не
имеющая линделефовых подпространств полной меры.
Указание: (i) пусть S — носитель ц и Ut, t € Т, — открытое покрытие 5.
Поскольку S замкнуто, то S также паракомпактно. Поэтому в данное
покрытие можно вписать открытое покрытие V, представимое в виде V = tXLi Vn,
где каждое подсемейство Vn состоит из дизъюнктных множеств Vn,a (см. Эн-
гелькинг [373, теорема 5.1.12]). Из определения S ясно, что \fi\(V„,anS) > 0.
Поэтому при фиксированном п имеется не более чем счетное семейство
непустых множеств Vn,ak П S, что дает счетное покрытие S множествами V^,ajfc,
а потому и счетное подпокрытие в {Ut}.
7.14.120. (Aldaz, Render [390]) Пусть X — /С-аналитическое хаусдорфо-
во пространство (определение 6.10.11), Т — класс всех замкнутых множеств
в X и \i — вероятностная мера на некоторой tr-алгебре ?, причем для
всякого Е € ? имеем ц(Е) = sup{fi(F),F С E,F 6 ГГ\?}. Доказать, что ц
продолжается до меры Радона на X.
7.14.121. Пусть X — /С-аналитическое пространство в смысле
определения 6.10.11. Доказать, что всякая вероятностная борелевская мера на X
является радоновской.
Указание: пусть Ф — отображение из 1№° в множество компактных
подмножеств X, представляющее X. Положим Ф(А) = [JaeA Ф(а) и С{А) =
/г" (Ф(А)), А С 1№°. Непосредственно проверяется, что Р(К) — компакт для
всякого компакта К. Затем проверяется, что С — емкость Шоке на 1№°.
Непосредственное доказательство можно найти в Fremlin [795, 432В].
7.14.122. (i) (Kindler [1047]) Пусть Т — векторная решетка функций на
множестве П и L — неотрицательный линейный функционал на Т, причем
L(fn) —* 0 для поточечно убывающих к нулю последовательностей /„ € Т.
Для f,g € Т с / ^ д положим [/,»[:= {(x,t) € fixE1: f(x) < t < g(x)} и
i/([f, g[j := L(g—f). Доказать, что класс "R. всех таких множеств [/, д[ является
полукольцом, а функция и корректно определена и счетно-аддитивна на Л.
(ii) Доказать с помощью (i) теорему 7.8.7, положив
М({/ > 1» •= "({/ > 1}х[0,1)), / € Т.
(ш) Показать, что мера ц однозначно определена на ст-кольце,
порожденном множествами {/ > 1}, / € F, и привести пример, когда ц не единственна
на <т-алгебре, порожденной Т.

7.14. Дополнения и задачи
Указание: см. Dudley [688, §4.5].
7.14.123. Показать, что прямая Зоргенфрея меро-компактна, а ее
квадрат — нет.
Указание: см. Fremlin [795, §439Р].
7.14.124. Показать, что класс радоновских пространств допускает
следующие операции: (i) счетные топологические суммы, (ii) счетные
объединения, (iii) счетные пересечения, (iv) переход к универсально борелевски
измеримым подпространствам. Кроме того, счетное произведение радоновских
пространств, в каждом из которых все компактные множества метризуемы,
также радоново.
7.14.125. Пусть X — радоновское пространство, непрерывно вложенное
в топологическое пространство У. Доказать, что X измеримо относительно
всякой борелевской меры на У.
7.14.126? Доказать, что произведение континуума прямых не является
радоновским пространством.
7.14.127.° Пусть меры Радона ц и и на пространстве X совпадают на
счетной алгебре множеств А, которая входит в В(Х)М Г) В(Х )„ и разделяет
точки X. Доказать, что ц = v.
Указание: ввиду предложения 7.14.24 можно считать, что X есть
счетное объединение метризуемых компактов. Пусть т) = |/х| + \v\. Для каждого
А ? А найдем борелевские множества А', А" с А' С А С А", т)(А') = t)(A").
Полученный счетный набор Ло борелевских множеств образует алгебру и
разделяет точки, поэтому а(Ло) — В(Х); при этом ц = и на Ло-
7.14.128° Доказать, что Cyl(X, G) — алгебра множеств, порожденная G.
7.14.129. Пусть /I — радоновская мера на бесконечномерном локально
выпуклом пространстве X. Показать, что ее характеристический
функционал Д является непрерывным в *-слабой топологии <т(Х*,Х) только в случае,
когда ц сосредоточена на объединении конечномерных подпространств.
Указание: см. Бахания, Тариеладзе, Чобанян [67, с. 311].
7.14.130° Пусть X и У — банаховы пространства, причем У сепарабель-
но, а X рефлексивно, и пусть Т: X" —> У — непрерывное линейное
отображение с нулевым ядром. Доказать, что X сепарабельно.
7.14.131. Построить пример цилиндрической квазимеры
неограниченной вариации на I2, у которой характеристический функционал ограничен и
непрерывен в топологии Сазонова.
Указание: см. Богачев, Смоляное [45, замечание 4.2].
7.14.132. (Kwapien [1099]) Пусть ?„ — такие случайные величины на
вероятностном пространстве (П, Т, Р), что ряд 5^°=i ^«?» сходится по
вероятности для всякой последовательности чисел А„, сходящейся к нулю.
Доказать, что ?]?°=1 |fn|2 < оо п.в. Вывести из этого, что вложение I1 —> I2
является радонифицирующим операторов, т.е. переводит всякую неотрицательную
цилиндрическую квазимеру на I1 с непрерывным характеристическим
функционалом в радоновскую меру на I2.

194 Глава 7. Меры на топологических пространствах
7.14.133. (Schwartz [1503]) Пусть линейная функция I на банаховом
пространстве X измерима относительно всякой меры Радона на X. Доказать
непрерывность I.
Указание: см. Christensen [590], Кац [153], где доказаны более общие
утверждения.
7.14.134. (Talagrand [1609]) Доказать, что в предположении аксиомы
Мартина в каждом бесконечномерном сепарабельном банаховом
пространстве X существует незамкнутая гиперплоскость Хо, которая измерима
относительно всякой борелевской меры на X. Вывести из предыдущей задачи,
что Хо не может быть ядром универсально измеримой линейной функции.
7.14.135. (Talagrand [1613, с. 184]) Пусть Е — банахово пространство
всех ограниченных функций на [0,1], отличных от нуля не более чем в
счетном множестве точек, с нормой sup|/(?)|. Обозначим через w слабую
топологию пространства Е. Тогда на слабо борелевской «т-алгебре B((E,w))
существует вероятностная мера, принимающая лишь значения 0 и 1, но не
являющаяся радоновской.
7.14.136. (von Weizsacker [1701]) (i) Пусть X — пространство всех бо-
релевских мер на [0,1], наделенное слабой топологией, и К — выпуклый
компакт в X, состоящий из вероятностных мер. Пусть А — мера Лебега и ц —
образ А при непрерывном (в указанной топологии) отображении тг: t \—> St,
[0,1] —> К, где St — дираковская мера в точке t. Положим
С:=(Х?=1{т€К: А + п~\\ - т) € К}.
Доказать, что С — выпуклое множества типа Gs в К и ц(С) = 1, однако
ц{Б) = 0 для всякого выпуклого компакта S С С.
(ii) Пусть К — выпуклый компакт в локально выпуклом пространстве X,
имеющий бесконечномерную линейную оболочку. Доказать, что найдутся
такие выпуклое множество С С К—я вероятностная мераЧ^адона уна К-^гго
С является Gi-множеством в некотором метризуемом выпуклом компакте
Ко С К, ц(С) = 1, однако fi(S) = 0 для всякого выпуклого компакта 5 С С.
Указание: (i) Легко проверить, что С выпукло, представимо в виде
пересечения последовательности открытых множеств в if со слабой
топологией, причем С = К\ Ue>o{me^: H?(A-m) 6 if}. Пусть D — множество
всех дираковских мер. Тогда D — компакт в К и fi(D) = 1. Если ScC-
выпуклый компакт с ц{С) > 0, то fj,(S П D) > 0. Тогда А := ж~1(в П D) —
компакт и \{А) > 0. Так как St ? S при t 6 А, то в силу выпуклости и
замкнутости S получаем, что всякая вероятностная мера и на А входит в S.
В частности, v := \{А)~х\\а G S. Мера А + А(Л)(А — v) — вероятностная,
т.е. входит в К. Согласно указанному равенству для С получаем, что и ? С.
Это противоречит тому, что v € S С С. Утверждение (ii) выводится из (i) с
помощью подходящего отображения (см. детали в [1701]).
7.14.137. Пусть fi и v — г-аддитивные меры на локально выпуклом
пространстве X с равными преобразованиями Фурье. Доказать, что \i = v.
Указание: пусть р — непрерывная полунорма на X и Хр —
нормированное пространство, полученное факторизацией X по р_1@), а 7ГР: X —> Хр
— естественная проекция. Множества вида 7Гр 1(U), где р — непрерывная

7.14. Дополнения и задачи 195
полунорма, a U открыто в Хр, образуют базу топологии в X. Поэтому
достаточно показать совпадение ц и v на этих множествах. Меры ц о 7Гр 1 и
voiTp г на Хр имеют равные преобразования Фурье и т-аддитивны. Оба этих
свойства сохраняются для естественных продолжений обеих мер на
пополнение Хр. На банаховом пространстве т-аддитивные меры радоновы, что дает
равенство указанных продолжений на пополнении Хр, а потому и равенство
/хо7Гр х = иопр1. Значит, ц{пр 1(f/)) = "(тр 1(U)) для всех открытых U С Хр.
7.14.138. Пусть X — полное локально выпуклое пространство и р — т-
аддитивная вероятностная мера на X с ограниченным носителем. Доказать,
что ц имеет барицентр.
Указание: см. Fremlin [795, §461Е]
7.14.139.° Пусть К — выпуклый компакт в локально выпуклом
пространстве X. Предположим, что последовательность радоновских
вероятностных мер \хп на К сходится к мере ц, в слабой топологии на С (К)*.
Доказать, что барицентры мер /х„ сходятся к барицентру д.
Указание: на К слабая топология совпадает с исходной.
7.14.140° Пусть К — компакт в локально выпуклом пространстве X.
Доказать, что его замкнутая выпуклая оболочка К совпадает с множеством
барицентров радоновых вероятностных мер на К.
Указание: если д — вероятностная мера Радона на К и Ъ — ее
барицентр, то для всякого I G X* имеем 1(b) — I Idp ^ sup/(ж), откуда по
теореме Хана-Банаха получаем Ъ 6 К. Обратное проверяется сначала для
конечных компактов. Тогда выпуклая оболочка К входит в множество
барицентров вероятностных мер на К. Пусть Ь € К. Найдется сходящаяся к Ь
направленность точек Ьа из выпуклой оболочки К. Возьмем вероятностные
меры ^,ваКс барицентрами Ьа. Направленность {fia} имеет предельную
точку ц в слабой топологии на Vt(K). Тогда Ь — барицентр ц.
7.14.141? Доказать предложение 7.14.41.
Указание: из леммы 6.2.3 очевидно, что найдется такое борелевское
отображение G с конечным множеством значений, что интеграл от функции
\\F(x) — G(x)\\p меньше ер2~р. Поскольку G принимает значения в
конечномерном подпространстве, то ввиду следствия 7.12.2 найдется такое
отображение Fq вида Fq = ф о Р, где Р: X —¦ ЕГ* — непрерывное линейное
отображение и tp: Шп —» X — непрерывное отображение с компактным носителем,
что интеграл от \\F0(x) - G(x)\\p меньше ер2~р.
7.14.142. Доказать теорему 7.14.42.
Указание: модифицируем рассуждения теоремы 7.12.4 (см. Bogachev
[501]; другой способ указан в Островский [234]). Пусть <р ^ 0 —
убывающая функция на [0, оо) и YlVLi v(n) < °°. Найдутся а„ J. О с апп ->оои
?~=1 <р(апп) < оо. Пусть <p(R) = ц(х: \\х\\ > R1/r). Тогда ?~=1 <р(п) < сх>.
Возьмем а„, как и выше. Для каждого п есть компакт Кп в шаре Un радиуса
га1/г с центром в нуле, такой, что ц(а\!гКп) ^ n(al/rUn) — 2_п. Множество
К = U^Li CnKn, где с := а„ п~1'г, имеет компактное замыкание.
Замкнутая выпуклая оболочка V множества К также компактна. Пусть Ev и pv —

196 Глава 7. Меры на топологических пространствах
те же, что и в теореме. Так как {pv ^ с} = cV при с > 0, то функция pv
измерима. Далее, ап/гКп С п1/гК С {pv ^ п1/г} = n1/rV. В силу выбора
Jfn получаем pY € Ьг(ц), ибо
р(х: р^(х) > я) = 1 - |i(x: pv(x) ^ п1/г) < 1 - ptpH'KJ
< 1 + 2"" - M(«n/r^n) = 2-" + /.(яг; И > o?/rn1/r) = 2~" + v(ow»).
Ясно, что fi(Ev) = 1 и ц(апГКп) —> 1, так как шары а„ Е/„ имеют
радиусы (ацпI/1" —¦ оо, ибо ап»г —> оо. Далее рассуждаем, как в теореме 7.12.4.
Случай пространства Фреше сводится к доказанному переходом к
подпространству Хо := {q < оо}, где qr := X^Li °пЯп я qn — задающие топологию
ПОЛуНОрМЫ, Сп = 2_n(||^||ii(|l) + I)-1.
7.14.143. Доказать предложение 7.14.12.
7.14.144. Доказать лемму 7.14.16.
7.14.145. Построить пример вероятностной меры на локально
выпуклом пространстве (Х,т), которая радонова в слабой топологии а(Х,Х*), но
не является плотной в исходной топологии т.
Указание: пусть Е = С[0,1], X := Е* наделено топологией <т(Е*,Е),
fi — образ меры Лебега на [0,1] при отображении t >-> 6t. Тогда ц —
плотная бэровская мера в топологии а(Е*,Е). В качестве т возьмем топологию
Макки т(Е*,Е). Если бы ц была плотна в этой топологии, то она была бы
плотна и в топологии о(Е*,Е**) в силу задачи 8.10.115. Тогда ц имела бы
радоновское продолжение в топологии нормы, а потому и сепарабельный по
норме носитель. Это ведет к противоречию, ибо \\8t — Sa\\ = 2 при t^s.
7.14.146? Пусть К — компактное пространство и множество X С К
измеримо относительно всех мер Радона на К. Доказать, что МТ{Х) — МТ{Х).
Указание: см. пример 7.14.22.
7.14.147. Доказать теорему 7.14.46.
7.14.148? Доказать лемму 7.14.50.
Указание: Если I € Ло(/*), то есть последовательность {/„} с X*,
сходящаяся к I п.в. Множество Хо точек сходимости {1п} — борелевское линейное
подпространство в X и /х(Хо) = 1. Пусть f(x) = lim ln(x) при х е Хо- Тогда
/ — борелевская линейная функция на Х&я f ~1 п.», яаХо. Найдется такое
линейное подпространство Xi С X, что X является прямой алгебраической
суммой Хо и Х\. Поэтому / можно продолжить до линейной функции на
всем X, положив f\xx = 0. Продолжение ^-измеримо, ибо /х(Хо) = 1, т.е.
получена версия I из класса А(д).
7.14.149. Существует такая вероятностная мера ц на некотором
компактном метрическом пространстве К, что Yl^i М^«) < 1/2 для всякой
последовательности дизъюнктных замкнутых шаров радиуса не более 1.
Указание: см. Davies [634] или Wise, Hall [1722, пример 4.49].
7.14.150. Пусть (X, А,ц) — пространство с полной локально
определимой (см. задачу 1.12.122) мерой со значениями в [0, +оо] и К. — такое
семейство множеств, что ц{А) — sup{fi(K),K 6 К П А, К С А} для всех А е А.
Доказать, что следующие условия на множество Ас X равносильны:

7.14. Дополнения и задачи
197
(i) А е Л, (ii) АПК € Л при К е 1С П Л, (ш) fi*(K Г)А) + ц*(К\А) = /х*(ЛГ)
при /С Е ?, (iv) ц*{К ПА) = ц*(К П А) при К € АС П Л.
Указание: см., например, Fremlin [795, 413F].
7.14.151. (i) Пусть Т — несчетное множество, X = Шт и ц — сепара-
бельная вероятностная мера на Ва(Х) (т.е. L2(fi) сепарабельно). Доказать,
что найдутся такие счетное множество {?„} С Т и вероятностная мера v
на Ш.°°, что fi = I/ о я--1, где я- = (тт*): И°° —> X, яч — измеримые функции
на И00, причем жг„(х) = хп и для всякого t g {tn} функция xt есть предел
п.в. подпоследовательности в {xt„}-
(ii) Пусть Т — несчетное множество, X = Иг и ц — <^>teTMt, где все
меры 1м совпадают с безатомической борелевской вероятностной мерой а на
прямой. Показать, что сужение ц на всякое множество положительной меры
несепарабельно.
(ш) Пусть ix — радоновское продолжение произведения несчетного числа
копий меры Лебега на [0,1]. Доказать, что fx(S) = 0 для всякого суслинского
множества S, в частности, для всякого метризуемого компакта S.
Указание: (i) можно перейти к пространству @,1)т, тогда всякая
координатная функция xt входит в 1?{ц). В силу сепарабельности найдется
такое счетное множество {tn} С Г, что последовательность функций xt„
всюду плотна в множестве всех функций Xt, t G Т, с метрикой из L2(fj,).
Поэтому для каждого t 0 {tn} найдется такая последовательность индексов
&к € {tn}, что xt = lim xSk в Ь2(ц). Перейдя к подпоследовательности,
можно считать, что это соотношение верно /х-п.в. Его правую часть и возьмем
в качестве яч. Положим яч„(х) = хп. В качестве v возьмем проекцию fj, при
отображении (xt)teT >-* (xt„)n*U- (ii) Как и в (i) можно иметь дело с @,1)т
вместо Ж.т. Если ц{Е) > 0, то мера v := ц\е положительна. Если эта мера
сепарабельна, то согласно (i) найдутся счетное множество {tn} С Т и такой
индекс t ? {t„}, что для некоторой подпоследовательности {sk} С {tn} имеем
xt = lim xBk iz-п.в. Это приводит к противоречию, ибо по теореме Фубини
множество П := {(«о, Mi, • • ¦) е @,1)°°: uo = lim u* } имеет меру нуль
относительно произведения счетного числа копий ст, так как при фиксированных
Uk, к ^ 2, множество {и: (и, «2,Мз, ¦ • ¦) 6 О} имеет меру 0 относительно а.
Утверждение (iii) вытекает из (ii) в силу сепарабельности всякой борелевской
меры на суслинском пространстве.
7.14.152. (Бурбаки [56, гл. V, §8.5, задача 13]) Пусть Т ~ несчетное
множество и (Xt,At,Ht), t € Т, — семейство вероятностных мер Радона на
компактах, причем носитель fj,t совпадает с Xt. Обозначим через /х меру
Радона, полученную продолжением произведения мер fit- Пусть Е = liter ^*i
где Et ф Xt для каждого t. (if Доказать, что ц.(Е) = 0.
(ii) Пусть Xt компактны и fit(Et) = 1 всех t. Доказать, что Е не входит в
лебеговское пополнение B(J\teT Xt) относительно ц, в частности, не является
борелевским. Например, в случае несчетного Т множества @,1)т и @,1]т в
[0,1]т не измеримы относительно радоновского продолжения произведения
Г копий меры Лебега на [0,1].

Глава 7. Меры на топологических пространствах
Указание: (i) для всякого компакта К с Е его проекции Kt на Xt
компактны и отличны от Xt- Поэтому найдется такое п 6 IN, что
бесконечно множество тех t, для которых fit(Kt) < 1 — п~1. Взяв счетное множество
таких tj, получим содержащее К множество Щ1г Кц xll*g{t } -** нулевой /i-
меры. (ii) Если бы Е было измеримым, то согласно (i) мы бы имели fi(E) = О,
т.е. нашлось бы борелевское множество В с Е С В и p(J3) = 0. С другой
стороны, можно взять произведение мер (н на пространстве Е. Оно имеет
т-аддитивное продолжение ц' на В(Е), значит, и т-аддитивное продолжение
/и" на YlteTXt, которое совпадает с /х ввиду равенства на цилиндрах. Это
ведет к противоречию, ибо ц"(В) = 1. Иной способ: взять компакт S в
дополнении Е с fi(S) > 0, найти зависящее лишь от некоторого счетного набора
индексов tj множество А Э S с ц(А) = n{S), применить к S теорему Фубини
и использовать компактность сечений S.
7.14.153. (Ченцов [355], [357]) Пусть X = [0,1]т, Т = [0,1] и П =
[0,1] наделено мерой Лебега А. Положим fi(t,w) = t — ш + 1 при t 6 [0,о>),
&(<,u;) = t - ш при t € [ш, 1], &(*,ш) = * - ш + 1 при t € [0, w], 6(t, w) = t - w
при t € (ы,11. Пусть /!,/2: П - X, /г(ш)Ц) = fc(t|W), /a_(w)(t) = fc(t,«).
Рассмотрим вероятностные меры /л = А о /х х и /*г = А о /2 * на <г-алгебрах
.Ai и А-г, состоящих из всех множеств в X, прообразы которых относительно
/l я /г соответственно измеримы по Лебегу. Показать, что /xi и Ц2 радоновы
на В(Х) и совпадают на цилиндрах, откуда следует их совпадение на В(Х).
Однако /*i(@,l]T) = 0, М2(@,1]т) = 1.
7.14.154. Пусть X — хаусдорфово топологическое векторное
пространство и ц и v — радоновские вероятности с ц = ц * i/. Показать, что i/ — мера
Дирака в нуле.
Указание: см. Вахания, Тариеладзе, Чобанян [67, предложение 1.4.7].
7.14.155. Пусть X — объединение всех таких открытых множеств G
в /31N, что En€^(G) п~1 < °°> гДе *(Е) == S П IN для ? С /3IN. Показать,
что мера р(В) := X^t»e»(B)n_1 на ЩХ) <т-конечна и внутренне компактно
регулярна, но не является внешне регулярной.
Указание: ц(Х\Щ — 0, но нет открытого множества U э Х\ВЧ с
fi(U) < 1, ибо замыкания в /?IN любых двух дизъюнктных частей IN открыты
и дизъюнктны, см. Архангельский, Пономарев [18, гл. IV, §2].
7.14.156. (i) Пусть X = /flN\{a}, где а € /3JS\1S. Показать, что X
локально компактно, но есть неотрицательный линейный функционал на С(Х),
не задающийся никакой мерой, (ii) Показать, что если X локально
компактно и G-компактно, то для всякого неотрицательного линейного
функционала L на С(Х) есть такая мера (м на В(Х) со значениями в [0, +сх>], что
С(Х) С С1(ц) и L задается мерой р. (ш) Привести пример вероятностной
меры Радона ц на локально компактном пространстве с некомпактным
носителем и С(Х) С С1(ц).
Указание: (i) С(Х) = Съ(Х) согласно Энгелышнг [373, пример 3.10.18]
и можно взять L(f) = /(о), где / — продолжение / на C(/3IN). (ii) Показать,
рассуждая от противного, что найдется такой компакт К С X, что ?(/) = 0,
если /|* = 0. (Ш) Взять в (i) меру ц = ?~=1 2~п8п.

Глава 8
Слабая сходимость мер
Изложенное здесь сцепление общих идей возникло,
однако, не само по себе, а из исследования слабой
сходимости аддитивных функций множества.
А. Д. Александров. Additive set functions in abstract
spaces.
8.1. Определение слабой сходимости
Пусть {fia} — некоторая направленность (например, счетная
последовательность) конечных мер, определенных на бэровской
«т-алгебре Ва(Х) топологического пространства X. В этом
параграфе вводится один из важнейших видов сходимости таких на-
правленностей. Напомним, что совокупность всех бэровских мер
на X обозначается через ЛЛа{Х). Другие часто используемые в
этой главе обозначения можно найти в §§6.1, 6.2, 7.1.
8.1.1. Определение. Направленность {/xQ} С Л4а(Х)
называется слабо соседящейся к мере и € ЛЛа{Х), если для каждой
ограниченной непрерывной вещественной функции f на X
справедливо равенство
lim / /(x)/iQ(dx) = / f{x)ti{dx). (8.1.1)
Q Jx Jx
Обозначение: ца =>- ц.
Будем говорить, что последовательность бэровских мер //п на
пространстве X слабо фундаментальна, если для всякой
ограниченной непрерывной функции / на X последовательность
интегралов / fdfin фундаментальна (и потому сходится).

200 Глава 8. Слабая сходимость мер
Для борелевских мер слабая сходимость понимается как
слабая сходимость их бэровских сужений. В §8.10(iv) обсуждается
другая естественная сходимость борелевских мер (сходимость в
А-топологии), которая не эквивалентна в общем случае слабой
сходимости, но тесно с ней связана.
Слабую сходимость можно задать топологией.
8.1.2. Определение. Пусть X — топологическое
пространство. Слабая топология на пространстве Ма(Х) бэровских мер
на X — это топология а(Ма(Х),Сь(Х)), т.е. база слабой
топологии состоит из множеств
uh,.,fnM = Y: \ fidfi- fidv < е, г = 1,...,п L
(8.1.2)
где ц € Ма(Х), fi € Съ(Х), е > 0. Множество такого вида
называется окрестностью \i в слабой топологии.
Слабая топология фактически есть *-слабая топология в
терминологии функционального анализа (однако следуя традиции
мы называем ее „слабой топологией"). Сходимость в этой
топологии называется также w*-сходимостью (или, еще реже, узкой
сходимостью). Случайные элементы называются сходящимися
по распределению, если их распределения слабо сходятся.
8.1.3. Пример. Если направленность мер fj,a сходится по
вариации к мере д, то она сходится к ц и слабо. То же самое верно,
если направленность ца сходится к /х на каждом бэровском
множестве и существует такое а\, что supQ^ai \\fia\\ < оо.
Доказательство. Достаточно доказать второе, более
сильное, утверждение. Пусть \\fia\\ ^ С и \\ц\\ ^ С, / — ограниченная
непрерывная функция и е > 0. Можно считать, что |/| ^ 1.
Возьмем простую бэровскую функцию д, принимающую значения в
[—1,1] и удовлетворяющую условию sup \f(x)—g(x)\ ^ еDС+1)-1
при всех х. Начиная с некоторого индекса «о мы имеем оценку
/ gdfj.a — I дйш < —. Заметим, что
\Jx Jx I 2
\jxl*--fx'**\ + \Jxt*-jx4\ <2С4СТТ < I
при всех а. Поэтому при а ^ е*о разность интегралов от / по
мерам ц и ца не превосходит по абсолютной величине е. ?

8.1. Определение слабой сходимости 201
Однако слабая сходимость не влечет сходимость даже на
открытых бэровских множествах. Следующий простой пример
является весьма характерным.
8.1.4. Пример. Пусть р — вероятностная плотность на
прямой и пусть ип — вероятностные меры, заданные плотностями
pn(t) = np(nt). Тогда меры щ сходятся слабо к дираковской
мере 5 в нуле, хотя нет сходимости на ГО,\{0}. В самом деле, если
/ е Cb(R), то
nHm J °°f(t)Pn(t)dt = ^oJ °°f(S/n)p(S)ds = f@).
8.1.5. Пример. Направленность {ха} элементов вполне
регулярного пространства X сходится к элементу х € X, если и
только если дираковские меры SXa сходятся слабо к 6Х (напомним,
что 6Х(А) = 1, если х € А, 5Х(А) — 0, если х ? А).
Обоснование этого примера — задача 8.10.56.
8.1.6. Пример, (i) Множество всех мер вида Xlj=icj^> где
Cj € ГО.1, Xj ? X, всюду плотно в Ма(Х) в слабой топологии.
(ii) Пусть /х — борелевская мера на сепарабельном
гильбертовом пространстве X и Рп(х) = ]СГ=1(ж>ег)ег> ГДе {еп} ~ ортонор-
мированный базис. Тогда ц о Р~г =>• ц.
Доказательство, (i) Пусть дана окрестность U вида (8.1.2).
Можно считать, что ||/х|| ^ 1. Существуют простые функции &,
для которых sup |/i — <7i| < е/4 для всех г = 1,... ,п. Поэтому
для доказательства существования в U меры и требуемого вида
достаточно найти меру и нужного вида, имеющую такие же, как
и [л интегралы от gi. Таким образом, все сводится к выбору таких
точек Xj и чисел Cj, что для заданного конечного разбиения X
на непересекающиеся бэровские множества Ai,i = l,...,k,
справедливы равенства u(Ai) = ц{Аг). Остается взять в каждом Ai по
точке Х{ и положить Ci = /tx(-Aj). Утверждение (ii) очевидно из
теоремы Лебега, ибо /((Р„(ж)) —> f(x) для всех непрерывных /. ?
8.1.7. Предложение. Пусть М. С М.а(Х) — такое
семейство мер, что sup / fdfi < оо для всех / € Съ(Х). Тогда
fi€M JX
suPft?jVi 11 A111 < °°- В частности, всякая слабо сходящаяся
последовательность бэровских мер ограничена по вариации.

202
Глава 8. Слабая сходимость мер
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Воспользуемся теоремой Банаха-Штейн-
гауза и тем, что вариация бэровской меры ц равна норме
задаваемого ею функционала на Съ(Х) (см. §7.9). ?
Аналогичное утверждение верно, разумеется, и для
комплексных мер, надо лишь рассматривать модули интегралов (в
вещественном случае это дает равносильное условие, ибо вместо /
можно взять — /).
8.1.8. Предложение. Последовательность
знакопеременных мер /х„ на отрезке [а, Ъ] слабо сходится к мере ц в точности
тогда, когда sup||/i„|| < со « из всякой подпоследовательности
в последовательности функций распределения F^ мер цп
можно выделить дальнейшую подпоследовательность, сходящуюся к
Fp во всех точках, кроме точек не более чем счетного
множества. При этом в случае неотрицательных мер вся
последовательность F^ сходится к функции F^ в точках непрерывности
последней.
Равносильное условие: sup||/in|| < оо и для всякого отрезка
[с, d] и всякого е > 0 найдется такое N, что
inf \FJt) - F. (t)\ < e для всех n^N.
t€\c,d\
Доказательство. Пусть меры Цп равномерно ограничены и
удовлетворяют указанному условию с подпоследовательностями,
но не сходятся слабо к д. Поскольку всякую непрерывную
функцию / можно равномерно приблизить гладкими, то с учетом
ограниченности 11/^пЦ получаем, что существует такая гладкая
функция /, что интегралы от / по мерам цп не сходятся к интегралу
от / по мере /л. Переходя к подпоследовательности, можно
считать, что разность между указанными интегралами остается не
меньше некоторого 8 > 0. Еще один переход к
подпоследовательности позволяет считать, что lim F^t) = F^i) всюду, кроме
конечного или счетного множества. Функции Fy, и F^
постоянны на F, +оо), поэтому fj,([a,b]) = lim /Xn([o,b]). Тогда по
формуле интегрирования по частям (см. задачу 5.8.102) для гладкой
функции / получаем сходимость правой части равенства
?f(t)^(dt) = f(b)FIMt(b+)-Jj\t)Ftln(t)dt (8.1.3)

8.1. Определение слабой сходимости
что ведет к про-
к f{b)Flx(b+)- J f\t)F^t)dt = j f(t)»(dt),
тиворечию. В случае неотрицательных мер функции F^ не
убывают. Поэтому в силу задачи 5.8.61 в каждой
подпоследовательности из {F^} есть подпоследовательность, сходящаяся к F^ в
точках непрерывности F^, откуда очевидна сходимость всей
последовательности в таких точках.
Обратно, пусть меры /j,n слабо сходятся к /х. Тогда по
доказанному выше sup \\цп\\ < оо. Это дает также равномерную
ограниченность вариаций функций F^. Из данной
подпоследовательности в {FMn } можно выбрать дальнейшую подпоследовательность,
которая сходится в каждой точке. Действительно, F^ = ipn — ipn,
где функции (рп и фп — возрастающие. Поэтому применима
задача 5.8.61. Итак, можно считать, что последовательность F^
сходится поточечно к некоторой функции G. Из (8.1.3) и
равенства lira Fpn(b+) = Urn /.in([a,b]) = /x([a,6]) = -Р)ДЬ+) с учетом
слабой сходимости и теоремы Лебега получаем
? /(i) tx(dt) = f(b)Ffl(b+) - ? f'(t)G(t) dt,
откуда / f'(t)G(t)dt — / /'(t)F^(t) dt для всякого
многочлена /. Значит, G(t) = Fp(t) п.в. Следовательно, функции G и FM
совпадают во всех точках, где обе непрерывны, т.е. на дополнении
не более чем счетного множества (зависящего от G, в частности,
от исходной подпоследовательности).
Обратимся ко второму условию. Если оно нарушено, то либо
меры не ограничены в совокупности и тогда нет слабой
сходимости, либо найдутся отрезок [с, d], е > 0 и подпоследовательность
{пк} с |i^(<) — F^ (t)\ > е для всех t € [c,d], что противоречит
условию с подпоследовательностями. Пусть второе условие
выполнено. Так как С[а, Ъ] сепарабельно, то из всякой ограниченной
последовательности в С[а, Ь]* можно выбрать *-слабо
сходящуюся подпоследовательность, т.е. из всякой ограниченной
последовательности мер можно выбрать слабо сходящуюся
подпоследовательность. Значит, если нет слабой сходимости цп к /х, то в
{цп} найдется подпоследовательность, слабо сходящаяся к
некоторой мере и на [а, Ь], отличной от ц. По уже доказанному в этой

204 Глава 8. Слабая сходимость мер
подпоследовательности есть дальнейшая подпоследовательность
с индексами {п^}, для которой функции FMn сходятся к Fv на
дополнении к не более чем счетному множеству. Тогда в множестве
сходимости найдется точка т, в которой функции F^ и Fu
непрерывны и различны (иначе меры /х и v были бы равны). Ясно,
что тогда для достаточно малых е > 0 и отрезка [с, d],
содержащего т, получаем inf |i^(t) — F^ (t)\ > e для всех достаточно
больших к, что противоречит второму условию. D
Следует иметь в виду, что в случае знакопеременных мер
слабая сходимость не влечет поточечной сходимости функций
распределения на плотном множестве (задача 8.10.59).
А.Д. Александров [3, §15] дал следующий критерий слабой
сходимости. Пусть Z — класс всех функционально замкнутых
множеств, a Q — класс всех функционально открытых множеств
в данном пространстве.
8.1.9. Теорема. Последовательность бэровских мер цп
фундаментальна в слабой топологии в точности тогда, когда она
ограничена по вариации и для всяких ZeZuUeQcUdFu
всякого е > 0 найдется такое N, что для всех n,k > N имеем
inf {\iin(V) - Mfe(lO|: V € g, Z С V С U) < е.
Кроме того, слабая сходимость цп к ц равносильна тому, что
для всяких ZeZuUeGcU^F выполнено соотношение
Km^bf^finiV) - fi{V)\: VEQ,ZCVCU} = 0.
Наконец, в случае слабой сходимости неотрицательных мер
существует V EG с Z CV CU и lim цп(У) = ^i(V).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть последовательность {/%}
Фундаментальна в слабой топологии. По лемме &.3.2 найдется такая
функция / € СЬ(Х), что Z = /-1@)> X\U = /"Ч1)- в качестве
множества VeGcZcVcUn \fin{V) — ?tfc(V)| < е для всех
достаточно больших п и к можно взять какое-либо множество
{/ < t} с t G @,1). Это вытекает из второго условия в
предложении 8.1.8 и того обстоятельства, что меры //„ о /_1 на [0,1]
образуют фундаментальную последовательность и потому слабо

8.1. Определение слабой сходимости
205
сходятся (ибо сопряженное к С[0,1] отождествимо с
пространством мер). Если меры р,п неотрицательны, а функция
распределения ц о /_1 непрерывна в точке t, то также из предложения
8.1.8 получаем lim fJ,n(V) = fJ-(V).
Обратно, пусть выполнено указанное в теореме условие.
Можно считать, что ||/хта|| ^ 1. Заметим, что последовательность /х„(Х)
сходится, ибо можно взять Z = U — X. Пусть ip G Сб(Х),
0 ^ < 1 ие = 1/р, р G IN. Рассмотрим множества Uj =
{(р < ej}, Zj = {(p ^ e(j — 1)}, j = 1, ...,p. По условию
найдется такое N, что для всякого j ^ р и всяких п,к > N
существует функционально открытое множество Vj,n,k с Zj С Vjjflifc С
Uj и \fJ,n{Vj,n,k) — fJ>k(Vj,n,k)\ < ер~2- Можно также считать, что
\fj,n(X) — p,k(X)\ < ер~2 при п,к > N. При фиксированных пик
множества
WW := VhnM, W2,n,k ¦= *W\*W, • • •. Wp+i,n,k ~ X\Vp,ntk
образуют разбиение X, причем, как легко видеть, значения мер
/хп и /ife на этих множествах отличаются по абсолютной величине
не более чем на е/р (например, \р.п{У\,п,к) — ^к{У\,п,к)\ < ?Р~2,
\^n{Vi,n,k\v2,n,k) - A«fc(Vi,n,fc\^2,nffc)| < 2ер-2 и т.д.). Остается
заметить, что
I Г р+1 I
/ рйцп- Y^U - lKVn(W,>ifc) ^ ?
и I EC? - 1)P_1 (/in(WW) - МЩп,к))\<e(p + I)/p. ?
Очень важное свойство слабой сходимости описано в
следующем результате А.Д. Александрова [3, §18].
8.1.10. Предложение. Пусть последовательность бэров-
ских мер цп на топологическом пространстве X слабо сходится
к мере [I. Тогда эта последовательность не имеет
ускользающей нагрузки, т.е. lim sup\p,k\(Zn) = 0 для всякой последова-
га—оо k
тельности попарно непересекающихся функционально
замкнутых множеств Zn с тем свойством, что объединение любого
подсемейства из {Zn} функционально замкнуто.

Глава 8. Слабая сходимость мер
Доказательство. В противном случае, перейдя к
подпоследовательности, можно считать, что |^(Zn)| ^ с > 0. В силу
задачи 6.10.79 существуют попарно непересекающиеся
функционально открытые множества Un с Zn с Un. Покажем, что найдутся
такие функции /п е Сь(Х), что 0 < /п ^ 1, /„ = 0 вне Un и
|jT/„^n|>c/2, (8.1.4)
причем для всякой ограниченной последовательности {с„}
функция Yl °nfn ограничена и непрерывна. Это приведет к проти-
п=1
воречию, ибо по условию последовательность интегралов всякой
такой функции по мерам цп сходится, т.е. последовательность
/„:=¦! / /к dfMn > элементов ll слабо сходится, что
противоречит (8.1.4). Для построения искомых функций /п возьмем (по
лемме 6.3.2) такую непрерывную функцию /, что 0 < / ^ 1,
/ = 1 на U^Li 2"п и / = 0 вне U^Li Un- Положим /п = / на Un
и /п = 0 вне Un. Неотрицательная функция /п непрерывна, ибо
для всякого с ^ 0 имеем
{fn>c} = {f>c}nUn> {/»<c} = {/<c}U(U*^%)'
а множества в правых частях открыты. По этой же причине
непрерывна и всякая функция д = JZfcLi /п*> ибо для нее
{g>c} = {f> c}nil?i tf„fc) {д < с} = {/ < c}UUMnfe}^-
Пусть теперь h — YlnLi Cnfn, |cn| < 1- Для всякого т € IN
точками Oj разделим [—1,1] на 2т промежутков длины 1/т.
Обозначим через Nj множество тех п, для которых с„ € [%¦, aj+i). По
доказанному функции aj Yl fn непрерывны, а их сумма равномер-
neNj
но приближает h с точностью до 1/т ввиду дизъюнктности Un.
В силу произвольности т функция h непрерывна. D
8.1.11. Замечание. Отметим, что А.Д. Александровым [3,
§17] была введена следующая терминология. Множество М бо-
релевских мер на нормальном топологическом пространстве X
имеет ускользающую нагрузку, равную числу а ф 0, если в М
найдется такая бесконечная последовательность мер цп, что для

8.1. Определение слабой сходимости
207
некоторой последовательности попарно непересекающихся
функционально замкнутых множеств Zn с тем свойством, что
объединение любого подсемейства из {Zn} замкнуто (такие
последовательности названы А.Д. Александровым расходящимися),
имеем fin(Zn)/a ^ 1. Если для некоторого а/0в множестве М
есть ускользающая нагрузка, равная а, то говорят, что М
обладает ускользающей нагрузкой. Ясно, что отсутствие ускользающей
нагрузки равносильно тому, что lim sup |ju|(Zn) = 0 для вся-
п—оомеМ
кой расходящейся последовательности функционально
замкнутых множеств Zn. Действительно, если |/in|(Zn) ^ о > 0, то,
перейдя к подпоследовательности, можно считать, что fin(Zn) ^
а/2 (или fJini^n) =% — а/2)- Тогда найдутся такие функционально
замкнутые множества FnC Znf) Х+, где X = Х+ U Х~ —
разложение Хана для цп, что /i„(Fn) ^ а/4. Остается заметить, что
последовательность Fn также является расходящейся.
Использованное выше условие на множества Zn совпадает с условием
Александрова для нормальных пространств (см. задачу 6.10.79).
Следующий результат также получен А.Д. Александровым
[3, §18].
8.1.12. Предложение. Семейство М бэровских мер на
топологическом пространстве X не имеет ускользающей нагрузки
в точности тогда, когда для всякой последовательности
функционально замкнутых множеств Zn с Zn I 0 имеем
lim sup \n\{Zn) = 0. (8.1.5)
Доказательство. Пусть М. не имеет ускользающей
нагрузки и Zn — убывающие функционально замкнутые множества с
пустым пересечением. Если (8.1.5) не выполнено, то, перейдя к
подпоследовательности, можно считать, что даны меры fin € М.
с |/i„|(Zn) > с > 0. Еще раз переходя к подпоследовательности,
сводим все к случаю, когда n^(Zn) > с/2. Ввиду задачи 6.10.80
найдутся убывающие функционально открытые множества Gn с
пустым пересечением и Zn С Gn. Найдется щ с fj,f(Gni) < с/4.
Тогда n+(Zi\Gni) > с/4. Затем найдем п2 > щ с nt^n^ < с/4,
откуда ^(ZnjXGnjj) > с/4. По индукции получаем
возрастающие номера П? с
rtk(Znk\Gnk+1) > с/4.

Глава 8. Слабая сходимость мер
По определению /i+fc для каждого к можно найти такое
функционально замкнутое множество F^ с Znk\Gnk+l, что
»пкШ > ti+k(Znk\Gnk+1) - с/8 > с/8.
В силу утверждения (и) задачи 6.10.80 множества Znk\Gnk+1, а
потому и множества -F&, образуют расходящуюся
последовательность. Итак, в М. есть ускользающая нагрузка — противоречие.
Пусть М. обладает ускользающей нагрузкой. Тогда
найдутся расходящаяся последовательность функционально замкнутых
множеств Fn, меры /^еМи число о^Ос /x„(Fn)/a ^ 1.
Множества Zn := (JjfcLn^fc функционально замкнуты и убывают к
пустому множеству, причем |/xn|(Zn) ^ |/xn(.Fn)| ^ \а\. П
Ниже будут обсуждаться и многие другие свойства слабой
сходимости мер, однако уже сейчас уместно отметить, что за
исключением тривиальных случаев слабая топология на
пространстве знакопеременных мер на X не метризуема (например, если
X — бесконечное метрическое пространство, см. задачу 8.10.62).
Правда, может случиться, что хотя слабая топология на М.а{Х)
и не метризуема, но имеется метрика на Л4а(Х), в которой
сходимость последовательностей равносильна слабой сходимости.
Например, так обстоит дело, если X = IN с обычной метрикой
(задача 8.10.58). Далее будет показано, что для сепарабельного
метрического пространства X слабая топология метризуема на
множестве М.^{Х) неотрицательных мер.
8.2. Слабая сходимость неотрицательных мер
Базу слабой топологии на множестве вероятностных мер
можно задать и с помощью множеств, а не функций. Рассмотрим
следующие два класса множеств в пространстве Va(X)
вероятностных бэровских мер:
WFlr..tFnM ={ve Va(X): u(Fi) < »(Ъ)+е, i = 1,... ,n},
Fi = /r^O), fi € C{X), e > 0, (8.2.1)
WGl,...,GnM ={v € Va{X): v(Gi) > ii(Gi) - e, i = 1,... ,n},
d = Х\/г!@), fi € C(X), e>0. (8.2.2)

8.2. Слабая сходимость неотрицательных мер
В случае метризуемого пространства Fi — это произвольные
замкнутые, a d — произвольные открытые множества.
8.2.1. Теорема. Указанные выше базы порождают слабую
топологию на множестве вероятностных мер Р(Т(Х).
Доказательство. Совпадение баз (8.2.1) и (8.2.2) очевидно
из определяющих формул. Пусть U — окрестность вида (8.1.2).
Можно считать, что 0 < fi < 1. Зафиксируем к EJN с к~г < е/4.
Для каждого г = 1,..., п существуют такие точки Cjj € [0,1], что
О = С(,о < ••¦ < й,к = 1, cy+i - Cij < к'1 и ^(/Г1^)) = °-
Положим Ait\ = ffl[0,Ci,i), ..., Aitk = /г_1[сг,А;-1,Сг^). Покажем,
что есть такая окрестность V вида (8.2.1), что при всех г и j и
v € V имеем \n(Aitj) - v(Aij)\ < 6, где 6 = fc_1e/4. Тогда V С U
в силу неравенства /j — 5Z,=1 с^/^ J < е/4. Действительно,
\ Г Г \ к
\ fidfi- fidvl ^Yt^MAij)-"^^+?/!<?¦
\Jx Jx I ~{
В качестве искомой окрестности V возьмем пересечение
окрестности V\ вида (8.2.1), где взяты замкнутые множества Fjj =
ff1[cij-i, Cij] и вместо е берется 5, и аналогичной окрестности V2
вида (8.2.2), где взяты открытые множества Gij = f~l(cij-\, Cjj).
Ясно, что v(Aij) ^ v{Gij) > n(Gij) — S = /x(Ajj) — S при v € Vb-
Аналогично v(Aij) < fJ.(Aij) + 6 при v € Vi.
Покажем теперь, что всякая окрестность вида (8.2.1)
содержит окрестность из слабой топологии. Достаточно рассмотреть
окрестности, задаваемые одним замкнутым множеством F\. Мы
можем считать, что F\ = /f *(()), где 0 < /i < 1. Найдем такое
с > О, что д(/1_1@, с)) < г/2. Пусть С — непрерывная функция
на прямой, <(?) = 1 при t ^ О, С(<) = 0 при t ^ с и 0 < С ^ !¦
Положим / = С ° /i- Остается заметить, что ^(Fi) < /x(Fi) + г
при / fdu< / /d/x + e/2. Действительно, i/(Fi) ^ / /Л/, ибо
Jx Jx Jx
/ = 1 на Fi. С другой стороны,
fxfdii ^ ц{Г\1)) +м(Г1(о,1)) = M*i) + м(/Г1(о,с)),
что меньше //(Fi) + е/2. Теорема доказана. ?

210 Глава 8. Слабая сходимость мер
8.2.2. Замечание. Аналогично проверяется, что
окрестности вида (8.2.1) или (8.2.2) вместе с окрестностями
Ule = {u: \ti(X)-v(X)\<e},
образуют базу слабой топологии на множестве всех
неотрицательных мер ЛЛ+(Х).
Заметим, что замкнутое множество {0} в примере 8.1.4 имеет
меру нуль относительно каждой из мер i/n, но является
множеством полной меры для <5, в то время как с открытым множеством
К\{0} ситуация противоположная. Таким образом, нет
сходимости на множествах, но для всякого борелевского множества В,
у которого граница не содержит нуля, имеет место сходимость
ип(В) —> 8(B). Как мы увидим ниже, этот пример типичен. Имея
его в виду, можно легко восстановить формулировку следующей
классической теоремы А.Д. Александрова о слабой сходимости
(см. [3]), непосредственно вытекающей из теоремы 8.2.1.
Если дана направленность чисел (сс)аел, то limsupca есть
точная верхняя грань таких чисел с, что для всякого ао € Л
найдется а > ао с са ^ с; liminf са := — limsup— са. Для общих
направленностей эти числа могут отличаться от точной верхней
и точной нижней граней множества чисел Cq.
8.2.3. Теорема. Пусть даны топологическое
пространство X, направленность вероятностных бэровских мер {fia} и
вероятностная бэровская мера ц. Тогда следующие условия
равносильны:
(i) направленность {fia} сходится слабо к /х;
(ii) для каждого замкнутого множества F вида F = /_1@),
где f е С(Х), справедливо неравенство
limsup^a(F) ^ n(F); (8.2.3)
(iii) для каждого открытого множества U, имеющего вид
U = {х: f(x) > 0}, где f Е С(Х), справедливо неравенство
nmmi/ia(?/)^//(?/). (8.2.4)
В случае не обязательно вероятностных мер ца, ц ? Л4+(Х)
условие (i) равносильно любому из условий (ii) и (Ш),
дополненному соотношением ]хтца(Х) = р{Х).

8.2. Слабая сходимость неотрицательных мер
Поскольку бэровская мера не обязана иметь борелевские
продолжения (или может иметь несколько различных борелевских
продолжений), обсуждение справедливости соотношений (8.2.3),
(8.2.4) для произвольных замкнутых множеств F и открытых
множеств U требует дополнительных условий. Разумеется,
никаких дополнительных условий не требуется, если все замкнутые
множества задаются как множества нулей непрерывных функций
(т.е. если X совершенно нормально).
8.2.4. Следствие, (а) Если X метризуемо (или хотя бы
совершенно нормально), то условие (i) равносильно
справедливости условия (ii) для каждого замкнутого множества F и
справедливости условия (Ш) для каждого открытого множества U.
То же самое верно, если X вполне регулярно, меры ца —
борелевские и мера (л, т-аддитивна (например, радонова).
(Ь) Если в теореме 8.2.3 предельная мера \х То-аддитивна,
то условие (i) влечет условие (И) для всех бэровских
замкнутых множеств F (не обязательно являющихся множествами
нулей непрерывных функций) и условие (Ш) для всех открытых
бэровских множеств U. В частности, это верно, если мера р,
плотна.
Доказательство. Первое утверждение в (а) очевидно.
Второе вытекает из того, что в случае вполне регулярного
пространства X значение т-аддитивной меры р, на всяком открытом
множестве U равно верхней грани вписанных в U множеств вида
{/ > 0}, / € С(Х). Для доказательства утверждения (Ь)
достаточно применить теорему 7.3.2 о существовании т-аддитивного
продолжения меры р, и утверждение (а). ?
8.2.5. Следствие. Пусть направленность борелевских
вероятностных мер ра на вполне регулярном пространстве X
слабо сходится к борелевской вероятностной мере р, которая т-
аддитивна (например, радонова). Если f — ограниченная
полунепрерывная сверху функция, то
limsup / fdfia^ I f dp,.
a JX JX
Если f — ограниченная полунепрерывная снизу функция, то
liminf / fdpa ^ / f dp.
<* Jx Jx

212 Глава 8. Слабая сходимость мер
Доказательство. Можно считать, что 0 < / < 1. Для
фиксированного п положим Uk := {х: f(x) > к/п}, к = 1,...,та. В
случае полунепрерывной снизу функции / множества Uk
открыты. Поэтому для fn := п~~1 ?3 ^ик имеем
k=i
limsup / fndua > / fndfi,.
a Jx JX
Остается заметить, что \f(x) — fn(x)\ ^ n~l для всех x € X.
Действительно, если m/n < f(x) ^ (m + l)/n, где m ^ 1, то
1ик{х) — 1 при к < m и 1ик{х) = 0 при к > т, откуда fn(x) =
т/п. Если m = 0, то fn(x) = 0. ?
Из теоремы 8.2.1 молено усмотреть, что слабая сходимость
обеспечивает сходимость на некоторых „достаточно регулярных"
множествах. Обсудим это обстоятельство подробнее.
8.2.6. Следствие. Направленность {//«} бэровских
вероятностных мер на топологическом пространстве X слабо
сходится к вероятностной бэровской мере ц в точности тогда, когда
равенство
\тхца{Е) = ц{Е) (8.2.5)
выполняется для всякого множества Е е Ва(Х) со
следующим свойством: существуют открытое множество W,
имеющее вид W = {ip > 0}, ip е С(Х), и замкнутое множество F,
имеющее вид F = {ф = 0}, ¦ф G С(Х), такие, что W С Е С F и
H(F\U) = 0..
Доказательство. В случае слабой сходимости имеем
limsupца(Е) < limsupfia(F) ^ fi(F) = fJ,(E).
Аналогично liminf fJ,a(E) ^ fJ-(E), откуда следует (8.2.5).
Предположим теперь, что выполнено (8.2.5). Пусть U — {/ > 0},
где / Е С(Х), и пусть е > 0. Легко видеть, что найдутся такие
ci,c2 > 0, что n{U) < р,({сг < / < с2}) + е и /u({ci < / < сг}) =
А*({с1 ^ / ^ с2}). Тогда для Е = {с\ < f < с2} выполнено (8.2.5),
ибо можно взять множества W = Е и F = {cj < / < с2}, первое
из которых функционально открыто, а второе — функционально
замкнуто (см. лемму 6.3.1). Итак, liminf ца(U) ^ fJ-(U) — е, что в
силу произвольности е влечет (8.2.4). ?

8.2. Слабая сходимость неотрицательных мер 213
Ясно, что в случае, когда X — метрическое пространство,
множества Е с указанным выше свойством — это множества,
граница которых имеет //-меру нуль. Сформулируем аналогичное
утверждение в несколько большей общности. Пусть ц —
неотрицательная борелевская мера на топологическом пространстве X.
Обозначим через Гм класс борелевских множеств Е С X,
имеющих границы /t-меры нуль. Граница дЕ множества Е
определяется как замыкание Е без внутренности Е и потому является
борелевским множеством для всякого Е.
8.2.7. Предложение, (i) Гм является подалгеброй в В(Х).
(ii) Если X вполне регулярно, то Г^ содержит базу
топологии X.
Доказательство. Утверждение (i) вытекает из того факта,
что Е и Х\Е имеют одну и ту же границу, а граница
объединения двух множеств содержится в объединении их границ. Чтобы
доказать (ii), для каждой ограниченной непрерывной функции /
на X положим U(f,c) = {х: f(x) > с} и заметим, что множество
M/ = |j{celR: n(dU(f,c))>0}
не более чем счетно, поскольку dU(f,c) С /-1(с) и мера /хо/
имеет не более чем счетное множество атомов. Множества U(f, с),
с € JR\Mf, входят в класс Г^. Ввиду полной регулярности X эти
множества образуют базу топологии. В самом деле, для всякой
точки х и всякого открытого множества U, содержащего х,
существует непрерывная функция /: X —* [0,1] с f(x) = 1, которая
равна 0 вне U. Таким образом, U содержит множество U(f, с) для
некоторого с € M\Mf. ?
8.2.8. Теорема. Пусть {//<*} — направленность борелевских
вероятностных мер на топологическом пространстве X и fj, —
борелевская вероятностная мера на X. Тогда верны следующие
утверждения.
(i) Если
Итца(Е) = ц(Е) для всех Е е Гм, (8.2.6)
то направленность {ца} сходится слабо к и.
(И) Пусть X вполне регулярно. Если направленность {//Q}
сходится слабо к ц и ц т-аддитивна, то выполняется (8.2.6).

214 Глава 8. Слабая сходимость мер
Если же X метризуемо (или хотя бы совершенно нормально),
то т-аддитивность \i не требуется.
Доказательство. Для доказательства утверждения (i)
достаточно заметить, что всякое множество Е, обладающее
указанным в следствии 8.2.6 свойством, содержится в Г^. Утверждение
(ii) вытекает из следствия 8.2.4 и рассуждений, использованных
в доказательстве следствия 8.2.6. ?
Непосредственным следствием сказанного выше является
следующее утверждение.
8.2.9. Следствие. Пусть X метризуемо (или хотя бы
совершенно нормально). Тогда следующие условия равносильны:
(i) Направленность {р.а} борелевских вероятностных мер
сходится слабо к борелевской вероятностной мере fi;
(ii) limsup/ua(F) ^ n(F) для каждого замкнутого
множества F;
(ш) liminf na(U) ^ f*(U) для каждого открытого
множества U;
(iv) ]1тца(Е) = ц(Е) для всех ? € 1>
Эти условия остаются равносильными для произвольного
вполне регулярного пространства X, если мера р, т-аддитивна
(например, радонова).
8.2.10. Следствие. Направленность {рьа} вероятностных
мер на вещественной прямой сходится слабо к вероятностной
мере ц в точности тогда, когда соответствующие функции
распределения Ffj,a сходятся к функции распределения FM меры /х в
точках непрерывности F^, где F^t) = /i((—oo,i)).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Необходимость указанного условия
следует из утверждения (iv) предыдущего следствия ввиду того, что
граница луча (—оо, t), т.е. точка t, имеет //-меру нуль, если
функция Ffj, в этой точке непрерывна. Достаточность ясна из описания
(8.2.2) окрестностей меры ц. Действительно, при фиксированном
е > 0 в заданные открытые множества G\,...,Gn на прямой
можно вписать открытые множества G\,..., G'n, составленные из
конечного набора интервалов с концами в точках
непрерывности FM, таким образом, что n(G\) > n(Gi) — е/2, г = 1,... ,п.
Тогда в окрестность (8.2.2) попадут меры р,а для всех таких а, что

8.2. Слабая сходимость неотрицательных мер 215
1ла(С{) > fiiG'j) — е, т.е. для всех а, больших некоторого индекса,
поскольку на множествах GJ меры ца сходятся к [л. ?
Еще одно достаточное условие слабой сходимости в терминах
сходимости на некоторых множествах дано в следующей теореме.
8.2.11. Теорема. Пусть ? — некоторый класс бэровских
множеств во вполне регулярном пространстве X, причем ?
замкнут относительно конечных пересечений и каждое
множество вида {/ > 0}, / € Сь{Х), представимо в виде конечного
или счетного объединения множеств из ?. Предположим, что
fi и fin, где п Е IN, — такие вероятностные бэровские меры на X,
что fin(E) —> (л(Е) для всех Е Е ?. Тогда последовательность
{цп} слабо сходится к /*. Аналогичное утверждение верно для
радоновских мер и борелевских множеств.
Доказательство. Заметим, что
к к
Jfon /*„(U Ej) = m(U Ej) Для всех Ех,..., Ек € ?.
Действительно, при к — 2 по условию имеем сходимость на Е\, Е%
и Е\ П Е2, что дает сходимость на Ех\(Ех Г) Яг) и ?^\(^1 П Е2), а
потому и на EiUЕ2, равном дизъюнктному объединению ЕхПЕэ,
Е\\(Ех Г) Е2) и E2\(Ei П Е2). Индукцией по к получаем наше
утверждение. В самом деле, если оно верно для некоторого к, то
верно и для к + 1, поскольку множество (Ex U ... U Ек) П Ек+х
есть объединение к множеств Ei П ?*+i € ?, что дает сходимость
на этом множестве. Если теперь дано множество (/ = {/> 0},
/ € Сь{Х), то его можно представить в виде не более чем счетного
объединения множеств Ej € ? ¦ Поэтому
к к
H(U) = lim fi(\J Ej) = lim Hm^^U E}\ ^ liminf jun(t7),
откуда вытекает доказываемое. ?
Из доказательства легко усмотреть, что эта теорема остается
в силе, если U представимо в виде объединения множеств из ?
лишь с точностью до множества /Lt-меры нуль (задача 8.10.68).
Рассмотрим примеры классов ?, удовлетворяющих условию
доказанной теоремы.

216 Глава 8. Слабая сходимость мер
8.2.12. Следствие. Пусть ? ~ некоторый класс борелев-
ских множеств в сепарабельном метрическом пространстве X,
причем ? замкнут относительно конечных пересечений.
Предположим, что для каждой точки х ? X и каждой ее
окрестности можно найти множество Ех е ?, содержащее
некоторую окрестность точки х и содержащееся в U. Тогда из
сходимости последовательности борелевских вероятностных мер
на множествах из ? следует слабая сходимость. То же самое
верно, если X вполне регулярно и наследственно линделефово.
Доказательство. Пусть U открыто. По условию для
каждой точки х € U существует такое Ех € ?, что х 6 Ех С U,
причем х обладает окрестностью Vx С U. В силу сепарабельности
X из покрытия U множествами Vx можно выделить не более чем
счетное подпокрытие {V^n}, что означает, что U = U^=i ^in-
Второе утверждение доказывается такими же рассуждениями. ?
8.2.13. Следствие. Пусть X — сепарабельное метрическое
пространство, ц и рп, где п € IN, — борелевские вероятностные
меры на X, причем fin(E) —> ц{Е) для всякого множества Е,
являющегося множеством непрерывности для р, и представимого
в виде конечного пересечения открытых шаров. Тогда рп =>¦ р.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Совокупность множеств с указанными в
формулировке свойствами удовлетворяет условиям предыдущего
следствия. Действительно, конечное пересечение таких множеств
также является множеством непрерывности. Кроме того, для
всякой точки х и всякого е > 0 найдется такое г € @, е), что граница
шара радиуса г с центром в нуле имеет меру нуль относительно fi,
ибо при разных г эти границы не пересекаются. ?
8.2.14. Пример. Последовательность {рп} вероятностных
мер на ГО,°° слабо сходится к вероятностной мере р в точности
тогда, когда конечномерные проекции мер рп, т.е. образы меры р
при проекциях па: ГО°° —> ]Rd, (х^ н-> (х\,..., Xd), слабо сходятся
к соответствующим проекциям р.
Доказательство. Необходимость слабой сходимости
проекций очевидна, а ее достаточность вытекает из следствия 8.2.12
применительно к классу открытых цилиндров вида
С = {х: (xi,..., Xd) € U}, где U С Md открыто,
с //-нулевыми границами. Сходимость рп(С) —> ц(С) ясна из того,
что р о тг^1 (dU) = ц(дС) = 0. ?

8.2. Слабая сходимость неотрицательных мер 217
Из задачи 8.10.68, усиливающей предыдущую теорему, легко
извлечь следующий результат Колмогорова и Прохорова [1069].
Однако мы приведем простое непосредственное рассуждение.
8.2.15. Теорема. Пусть {р,а} — направленность борелев-
ских вероятностных мер на вполне регулярном пространстве X
и пусть /i — т-аддитивная вероятностная мера на X.
Предположим, что равенство lim/ia([/) = n(U) выполняется для всех
элементов U некоторой базы топологии О, которая замкнута
относительно конечных пересечений. Тогда направленность мер
ца слабо сходится к fj,.
Доказательство. Обозначим через Ы семейство всех
конечных объединений множеств из О. Из сходимости на С? и
замкнутости О относительно конечных пересечений следует, что
lim/iQ(C/) = fi(U) для всех U EU. Для всякого открытого
множества G и всякого содержащегося в нем множества U € W имеем
lt{U) = Ктца{и) ^ liminf/xQ(G),
откуда в силу т-аддитивности д получаем, что
n(G) = sup{fi(U): UcG,UeU}^ liminf fiQ(G),
ибо G есть объединение направленного семейства всех множеств
U С G из U (напомним, что О содержит базу топологии). Как
мы знаем, полученная оценка равносильна слабой сходимости ца
к/х. D
Следующая теорема Р. Рао [1422] дает эффективное
достаточное условие равномерной сходимости интегралов по слабо
сходящимся мерам.
8.2.16. Теорема. Предположим, что направленность {ца}
бэровских вероятностных мер на вполне регулярном линделефо-
вом пространстве X (например, на сепарабельном метрическом
пространстве) слабо сходится к бэровской вероятностной
мере ц. Если Г С Сь(Х) — равномерно ограниченное и поточечно
равностепенно непрерывное семейство функций (т.е. для всяких
х и е > 0 существует окрестность U точки х с \f(x) — f(y)\ < е
при всех х, у 6 U и / 6 Г), то
limsup / fdna- I fdn = 0. (8.2.7)
a fer\Jx Jx I

Глава 8. Слабая сходимость мер
Доказательство. Можно считать, что меры ца и ц
являются борелевскими и т-аддитивными, ибо в силу линделефово-
сти X они удовлетворяют условию следствия 7.3.3(ii), которое
дает существование и единственность т-аддитивных
продолжений. Можно также считать, что |/| ^ 1 при / G Г. Пусть е > 0.
Ввиду полной регулярности X и условия, каждая точка х имеет
такую функционально открытую окрестность Ux, что ц(д11х) — 0
и \fix)L~ J(v)\ < ? ПРИ всех J/ € Цг и / € Г. Так как X линделе-
фово, то некоторый счетный набор UXn покрывает X. Положим
Vn = Uxn\\SiZ\ Vi, Vi = UXl. Легко проверить, что попарно
непересекающиеся множества Vn покрывают X и ii(dVn) = 0. Пусть
v = Yl Kvk)sxk, v<* = Y. Ha(VkNXk. Заметим, что
limsup / fdva- f /di/ < ton JT \fia(Vn) -/л(уп)\ = 0. (8.2.8)
a fer\Jx Jx \ a ~^
Последнее равенство в (8.2.8) следует из равенства \\тца(уп) =
f*(Vn) для каждого фиксированного п (имеющего место согласно
теореме 8.2.8(ii)) и равенства Y1 №а{Уп) = Y1 №а(Уп) — 1- Заме-
п=1 п=1
тим, что
/ fdna- / /dJ
\Jx Jx I
С I I fdfj,a - I fdua\ + I J fdva - I /di/l
fdn\
< E / l/(*) - /(*«)l (Pb+H)(<b) + \t fdva- I /J
n^.Jvn \JX JX I
<2e + |/" /di/a- / /A/1,
поскольку |/(z) — /(жп)| ^ e при a: G Vn, ибо Уп С I7Xn. Ввиду
произвольности е равенство (8.2.7) следует из (8.2.8). D
Mxfd-L-

8.3. Случай метрических пространств
219
8.3. Случай метрических пространств
В этом параграфе X — метрическое пространство с
метрикой д. Таким образом, классы борелевских и бэровских мер
совпадают, и потому, как мы уже видели выше, формулировки
некоторых результатов упрощаются. Тем не менее, остается некоторая
разница между случаем, когда X сепарабельно, и общим
случаем (разумеется, с большей сложностью последнего). Мы увидим
ниже, что лучше всего дело обстоит для полных сепарабельных
метрических пространств.
Как уже отмечалось в §8.1, за исключением случая, когда X
конечно, слабая топология на М.а{Х) не метризуема, тем более
не нормируема. Однако на Ма{Х) можно задать такую норму,
что порождаемая ей топология совпадает со слабой топологией
на множестве неотрицательных мер (а значит, и на множестве
вероятностных мер).
Рассмотрим на пространстве М.а(Х) следующую норму
Канторовича-Рубинштейна:
llMllo = sup( I fdfije LiPl(X), sup \f(x)\ ^ ll,
I Jx x&x J
где
LiPl(X):={/: X ^Ж\\/(х) - f(y)\ ^ e(x,y),Vx,y & X}.
Ясно, что Ц/хjjo ^ 1И1- Соответствующая введенной норме
метрика называется метрикой Канторовича-Рубинштейна. Эта
метрика называется также метрикой Вассерштейна. Если в
пространстве X есть бесконечная сходящаяся последовательность, то
норма || • ||о строго слабее нормы || • || (полной вариации).
Действительно, если хп —у х, то меры SXn сходятся по норме || • ||о к
мере ёх, ибо \f{xn) — f(x)\ ^ д(хп,х) при / € Lipx(X), однако
\\5Х — Фг„|| = 2 при хп ф х. В частности, при указанном
условии пространство Л4а(Х) не может быть полным по норме || • ||о,
ибо оно полно по вариации и тогда по теореме Банаха обе нормы
были бы эквивалентны. Если же X дискретно, то нормы || • ||о
и || • || эквивалентны, поскольку в этом случае / 6 Lipx(X) при
|/| ^ 5/2, где 5 оценивает снизу взаимные расстояния между
различными точками. Полезным свойством нормы || • ||о является то,
что порожденная ей топология совпадает со слабой топологией
на множестве неотрицательных мер. Часто используется также

220
Глава 8. Слабая сходимость мер
эквивалентная норма
IHIk := supj^/ф,/ G ВЦ*), Ц/IIbl < l},
где BL(X) — пространство всех ограниченных лгашшцевых
функций на X с нормой
H/llBL^BUpl/WI+SUp'^'-y.
хеХ хфу Q{x, у)
Легко проверить, что BL(X) с этой нормой полно. Ясно, что
IHIk < INIo < 2||M||k,
ибо H/Hbl < 2 при / G LiPl(X) и sup|/(x)| < 1.
х
Для всякого В (Z X положим
Ве = {х: д(х,В)<е}.
8.3.1. Теорема. Порожденная нормой || • ||о топология
совпадает со слабой топологией на множестве M-t(X)
неотрицательных т-аддитивных мер. Кроме того, на множестве VT{X)
вероятностных т-аддитивных мер слабая топология задается
следующей метрикой Леви-Прохорова:
dP{li,v)= (8.3.1)
= inf{e>0: и(В)^ц{В?) + е,»(В)^и(Ве)+е, VBe?(X)}.
В частности, если X сепарабельно, то слабая топология на
множестве ЛА+(Х) порождается метрикой а\)(/л, и) :— ||/х — и\\о-
Доказательство. Проверим, что dp — метрика на Va{X).
Ясно, что dp(p,,i/) = dp(v,n). Если dp(n,i/) — 0, то у.{В) = v{B)
для всякого замкнутого множества В и потому /л = и. Пусть
и{В) ^ ц{Ве) + е, ц(В) < v(Be) + е, ц(В) ^ V(BS) + 6, П{В) <
fi(Bs) + 6 для всех В € В{Х). Тогда v{B) < rf(B?+s) + е + 5 и
1){В) ^ и(В?+6) + е + S, откуда dP(v,T}) < dP(v,{i) + dP(n,n)-
Покажем, что всякая окрестность W вида (8.2.1) содержит шар
положительного радиуса по метрике Леви-Прохорова. Для этого
выберем 8 € @,е/2) так, что pt(Ff) < p,{Fi) + е/2 при всех г =
1,...,п. Если dp(fi,v) < 6, то u(Fi) < n(F?) + S < /x(Fj) + e,
т.е. v входит в окрестность W. Отметим, что на этом этапе не
использовалась сепарабельность мер.

8.3. Случай метрических пространств 221
Покажем теперь, что всякий шар по метрике Леви-Прохорова
с центром fi и радиусом е содержит окрестность вида (8.2.1).
Выберем 5 > О так, что 35 < е. Покроем сепарабельный
носитель меры /х счетным множеством открытых шаров V^
диаметра меньше 5, имеющих границы /i-меры нуль (это возможно,
ибо т-адцитивность влечет сепарабельность носителя).
Построим попарно непересекающиеся множества Ап с границами //-меры
нуль, покрывающие носитель ц. В качестве таких множеств
можно взять An = U?=i Vi\An-i, где А\ = V\. Найдем такое к, что
к
»({jAi)>l-6- (8-3.2)
По следствию 8.2.9 есть такая окрестность W вида (8.2.1), что
W)-v(A)\<6 (8.3.3)
для всех v 6 W и всякого множества А, являющегося
объединением каких-либо из множеств А\,..., А^. Проверим, что dp(/i, v) < е
при v € W. Пусть В € В(Х). Рассмотрим множество А,
являющееся объединением тех из множеств Ai,...,Ak, которые
пересекаются с В. Тогда В С -^UUSfc+i-^t и А С Bs, ибо диаметр
всякого Ai меньше 6. При v € W из (8.3.2) и (8.3.3) получаем
ц(В) < ц(А) + 5< и(А) + 25^ u{Bs) + 25.
Так как из (8.3.2) и (8.3.3) вытекает, что i/(U*=i А) > 1 - 25, то
аналогично получаем v(B) < /jl(Bs) + 35. Итак, dp(fj,,i/) < 35 < е.
Если последовательность мер /х„ сходится к мере ц в
метрике do Канторовича-Рубинштейна, то имеет место сходимость
интегралов от каждой ограниченной липшицевой функции.
Тогда интегралы от каждой ограниченной равномерно
непрерывной функции / по мерам цп сходятся к интегралу / по мере ц,
поскольку / равномерно приближается ограниченными липши-
цевыми функциями (см. задачу 8.10.61). С другой стороны, если
последовательность неотрицательных т-аддитивных мер /^
слабо сходится к т-аддитивной мере ц, то существует сепарабельное
замкнутое подпространство Xq, на котором сосредоточены все
меры \хп и /л. Поэтому в силу теоремы 8.2.16 имеем
sup / /dp- / fdfin -*0.

222 Глава 8. Слабая сходимость мер
Таким образом, доказано совпадение множеств сходящихся
последовательностей в слабой топологии на М^{Х) и в метрике do-
Из уже доказанного вытекает, что на VT{X) метрики dp и do
порождают одну и ту же топологию, а именно слабую топологию.
Пусть теперь направленность {/ха} С М${Х) сходится к мере \i е
М^(Х) в слабой топологии. Если ц = О, то f.ia(X) -^Ои потому
do(fia, 0) —> 0. Если /л^0,то можно считать, что са := ца{Х) > 0.
Поскольку са —> ц(Х), то р,а/са —> р,/ц(Х) в слабой топологии.
По доказанному для вероятностных мер, /LtQ/cQ —> /i///(X) в
метрике do, откуда следует, что \\/ла — /х||о —> 0. Аналогичное
рассуждение показывает, что из сходимости ||/xQ — /x|Jo —> 0
следует слабая сходимость ца к ц (заметим, что iiQ{X) —> ц(Х) при
||А*а — м||о —>¦ 0). Теорема доказана. П
В §8.9 мы обсудим полноту пространства Л4+(Х) с
метрикой do.
8.3.2. Замечание. Пусть X — метрическое пространство. По
теореме 8.2.3, слабая сходимость направленности {//Q}
неотрицательных мер к мере /х равносильна равенству
lim / f(x)[ia(dx)= / f(x)n(dx)
а Jx Jx
для всех ограниченных равномерно непрерывных функций / на
X (это верно также для равномерных пространств, значит, для
вполне регулярных пространств, наделенных подходящими рав-
номерностями, см. Топсо [315]). Однако если X не компактно, то
обязательно найдутся такие последовательность
знакопеременных мер [1п и мера /х, что интегралы по цп от каждой
ограниченной равномерно непрерывной функции / сходятся к интегралу от
/ по мере /i, но меры /in не сходятся слабо к ц (задача 8.10.67).
8.4. Некоторые свойства слабой сходимости
В этом параграфе мы обсудим сохранение слабой сходимости
при некоторых операциях над мерами: отображение мер,
ограничение на множества, умножение на функцию и произведение
мер.
8.4.1. Теорема. Пусть направленность бэровских мер fia на
топологическом пространстве X слабо сходится к мере \i. Тогда
справедливы следующие утверждения.

8.4. Некоторые свойства слабой сходимости
(i) Для всякого непрерывного отображения F: X —> У в
топологическое пространство Y направленность мер paoF~l слабо
сходится к мере р о F~x.
(ii) Предположим, что X — вполне регулярное
пространство, меры р.а — неотрицательные борелевские, а мера р
является т-аддитивной. Пусть F — борелевское отображение из
X в топологическое пространство Y, причем F непрерывно р-
почти всюду. Тогда ца о F~l =*> р о F-1.
(Ш) Если X — сепарабельное метрическое пространство,
меры ра неотрицательны и Fa — равностепенно непрерывное
семейство отображений из X в метрическое пространство Y,
причем меры poF^1 слабо сходятся к мере poF~l, где F: X —+Y
— некоторое борелевское отображение, то меры paoF~l также
слабо сходятся к р о F~l.
Доказательство. Утверждение (i) очевидно. Проверим
утверждение (ii). Пусть Z — замкнутое множество в У. Обозначим
через Dp множество точек разрыва F. Заметим, что F~l(Z) С
F~1(Z) U Dp, где А — замыкание А. Тогда
limsup^c о F~l(Z) ^ limsup//af F~l(Z) J
^(:fW) = /z(f-i(z)),
что ввиду следствия 8.2.4 дает ра о F~l ^до F-1.
Для доказательства утверждения (Ш) зафиксируем
равномерно непрерывную ограниченную функцию у? на У. Функции ipoFa
на X равномерно ограничены и равностепенно непрерывны. По
теореме 8.2.16 для всякого е > О найдется такой индекс ао, что
при всех а ^ ао справедливо неравенство
/ <р о Fa dpa — I ip о Fa dpi
\Jx Jx I
<e/2.
Из условия следует, что найдется такой индекс а\ ^ ао, что при
всех а ^ а\
\ ipoFadp-l <poFdp\<e/2.
\Jx Jx I
Из двух полученных нами оценок вытекает доказываемое. D

224 Глава 8. Слабая сходимость мер
8.4.2. Следствие. Пусть {fia} — направленность
вероятностных борелевских мер на вполне регулярном пространстве
X и ц — вероятностная т-аддитивная мера. Тогда {ца} слабо
сходится к р в точности тогда, когда равенство
Km / fdp,a = I f dp,
a Jx Jx
справедливо для всякой ограниченной борелевской функции f,
которая р-почти всюду непрерывна.
Доказательство. Достаточность указанного выше условия
очевидна. Его необходимость вытекает из утверждения (ii)
предыдущей теоремы ввиду равенства
[ fdpa = / ММаО/),
JX Jm}
где h Е CbQR1) и h{t) = 1 при \t\ < sup |/|, а также аналогичного
равенства для \i. ?
8.4.3. Лемма. Если направленность {/ха} вероятностных
мер Радона на вполне регулярном топологическом пространстве
X слабо сходится к мере Радона р, причем для всякого е > О
существует такой компакт Ке, что ра(Х\К?) < е для всех а,
то для всякой непрерывной функции f на X, удовлетворяющей
условию
выполняется соотношение
Um sup / |/| фа =0,
lim / / dp,a = I f dp,.
a Jx Jx
Доказательство. Заметим, что / e Ll{p). Действительно,
положим fn = min(|/|,n). Тогда /n ^ |/| и потому ввиду условия
леммы получаем
М := sup / fn dpa < оо.
n,aJx
Поскольку fn G Сь(Х), то fndp^M для всех n, откуда / €
Ll{p). Пусть e > 0. Выберем R > 0 так, что
/ l/l Фа + / \f\dp<e, Va.

8.4. Некоторые свойства слабой сходимости
Положим А = {|/| ^ R} и найдем такой компакт К С А, что
рь(А\К) + ia(A\K) < BR'1, Va.
Непрерывная функция / может быть продолжена с К на все
пространство до непрерывной функции д, для которой \д\ ^ R
(задача 6.10.21). Заметим, что \д\ ^ R ^ |/| при |/| ^ R и потому
/ Ы d^Q + / \д\ dfj, ^ е.
Для всех а таких, что / <7<2/ха — / 9^Щ < ?, получаем
|/ fdfb-J fdfi\^\J fdiia-J fd^\+e
< | A fdpa- I fdii\+eBr1R + e= | A pd/x«- / /d/x|+2e
< I / gdfia- I gdfj,\+eR-1R + 2e^4e,
4x Jx '
откуда вытекает доказываемое. ?
Рассмотрим поведение слабой сходимости при ограничении
мер на подмножества. Ясно, что в общем случае нет сходимости
ограничений: в примере 8.1.4 допредельные меры обращаются в
нуль на множестве {0}, а предельная дираковская мера на нем
полностью сосредоточена.
Следующий результат вытекает из последнего утверждения
следствия 8.2.9.
8.4.4. Предложение. Предположим, что направленность
{ца} борелевских вероятностных мер на вполне регулярном
пространстве X сходится слабо к т-аддитивной борелевской
вероятностной мере ц и пусть множество Xq С X наделено
индуцированной топологией. Тогда индуцированные меры /х° на Xq
сходятся слабо к мере /л0, индуцированной fi, в любом из
следующих случаев:
(i) Хо является множеством полной внешней меры для всех
мер ца и и;
(ii) Хо либо открыто, либо замкнуто и lim/xa(Xo) = /х(Хо).
Сказанное остается в силе для не обязательно вероятностных
неотрицательных мер при условии, что lim^Q(X) = fi{X).

226 Глава 8. Слабая сходимость мер
Легко видеть, что в общем случае слабая сходимость не
сохраняется элементами разложения Жордана-Хана и не
перестановочна с взятием полной вариации. Рассмотрим примеры.
8.4.5. Пример, (i) Пусть цп — меры на отрезке [0,2п],
определенные следующим образом: fj^, = 0 при нечетном п и /^ =
sin(nx)dx при четном п. Легко видеть, что меры /хп слабо
сходятся к нулю, а меры |/*„| не имеют слабого предела.
(ii) Меры So — <5i/n на прямой слабо сходятся к нулю, а их
вариации \5q — <5i/n| = <5о + 6i/n слабо сходятся к 26о-
Следующий пример Л. Ле-Кама [191] выявляет другой
интересный аспект подобного явления.
8.4.6. Пример. Пусть X — подмножество [0,1], содержащее
двоично-рациональные числа и имеющее внутреннюю лебегов-
скую меру нуль и внешнюю меру 1. Наделим X индуцированной
топологией и мерой /i, являющейся ограничением меры Лебега А
на X (см. определение 1.12.11). Положим
ип(к2~п) = 2~п для к = 1,..., 2п, \in = vn+i ~ ^п-
Последовательность {цп} радоновских мер сходится слабо к
нулю, в то время как последовательность мер \цп\ = vn+i слабо
сходится к мере \i, которая т-аддитивна, но не радонова.
Следующий результат из Варадарайн [63, часть 2, теорема 3]
полезен для изучения слабой сходимости знакопеременных мер.
8.4.7. Теорема. Предположим, что направленность ца бэ-
ровских мер слабо сходится к бэровской мере /х. Тогда для всякого
открытого множества U вида U = {/ > 0}, / € С{Х), имеем
\хтЫ\»а\{и)>Ши).
При этом направленность мер |/ia| слабо сходится к \ц\ в
точности тогда, когда \fia\(X) —> \fi\(X).
Доказательство. Пусть е > 0. По лемме 7.1.10 можно
выбрать такую функцию g € Сь(Х), что 0^$<1, <7 = 0на X\U и
справедливо неравенство
jf^dH>|/i|(tf)-e.

8.4. Некоторые свойства слабой сходимости
IX-
Легко убедиться, что существует такая функция h € Сь(Х), что
\h\ ^ д и выполнено неравенство
/ hdJ > / gd\fi\-e.
\Jx I Ух
Ясно, что \h\ ^ 1 и h = 0 на X\U. Кроме того,
hdJ >\n(U)\-2e.
Поскольку / hdfia —> I hdfi, то
Jx Jx
liminf \(ia\{U) ^ lim f hdfia\ = f hdfi > \fx(U)\ - 2e.
a Q \Jx I |Ух I
Устремляя e к нулю, получаем первое утверждение теоремы.
Если \fia\(X) —> |//|(Х) > 0, то слабая сходимость \ца\ к \ii\ следует
из первого утверждения и доказанного ранее. Если же |/х|(Х) = О,
то имеет место даже сходимость по вариации. D
8.4.8. Следствие. Предположим, что направленность ца
бэровских мер слабо сходится к бэровской мере /х, причем
Ш\ца\(Х) = \р,\(Х).
Пусть ца = /х+ - ц~ и IX = ц+ — рГ. Тогда направленности /х+ и
ц~ слабо сходятся соответственно к ц+ и рГ.
Доказательство. Применим доказанную теорему и равен-
ства /4 = (l/iel + /ОД На = (Ы ~ Ма)/2. ?
Теперь можно исследовать вопрос о сохранении слабой
сходимости при умножении на функцию. Из определения следует,
что если меры /za слабо сходятся к мере /х, то для всякой
ограниченной непрерывной функции / меры f ¦ ца слабо сходятся к
мере / • ц. Однако имеются и несколько менее очевидные
результаты подобного рода. Например, из предложения 8.4.4 и
следствия 8.4.2 получаем такое утверждение.
8.4.9. Предложение. Пусть в ситуации предложения 8.4.4
на множестве Хо задана ограниченная функция f, которая
непрерывна в /х-почти всех точках Хо. Тогда меры f • ца слабо
сходятся к мере f • it.

228 Глава 8. Слабая сходимость мер
8.4.10. Теорема. Пусть {ца} и {иа} — две направленности
т-аддитивных вероятностных мер на вполне регулярных
пространствах X и Y, сходящиеся слабо к т-аддитивным мерам
ц и и, соответственно. Тогда т-аддитивные продолжения мер
Hc&fa сходятся слабо к т-аддитивному продолжению меры /i®i/.
Доказательство. Обозначим через Ы^ и Uv классы
открытых множеств в X и Y с границами нулевой меры относительно fj,
и v соответственно. В силу предложения 8.2.7 эти семейства
образуют базы топологии в X и Y. Поэтому семейство U = {UxV: U €
Ufj,, V G Uv} есть база топологии в XxY. При этом U замкнуто
относительно конечных пересечений, ибо этим свойством обладают,
как легко видеть, Кц и Ыи. Поскольку для всех U G 14ц, V G 14V
)hnna®va{UxV) = lim/iQ(C/)umi/Q(F) = n®i/(UxV)
то по теореме 8.2.15 получаем доказываемое. ?
8.5. Представление Скорохода
Предположим, что Р — вероятностная мера на некотором
измеримом пространстве (?2, J7) и ?п — последовательность
измеримых отображений из ft в топологическое пространство X,
наделенное бэровской ст-алгеброй Ва(Х), причем существует такое
измеримое отображение ?: Q —> X, что ?(и>) = lim ?п(а>) для
Р-п.в. weQ. Ясно, что тогда меры /хп = Р о ?~х слабо сходятся
к мере ц = Р о ?-1, ибо при <р € Сь{Х) имеем
lim [ ?>(&(<*)) Р№)= [<р(?(ш))Р(<1ш)
по теореме Лебега. А.В. Скороход [287] обнаружил, что всякая
слабо сходящаяся последовательность вероятностных мер на
полном сепарабельном метрическом пространстве X допускает
описанное выше представление, причем в качестве Р можно взять
меру Лебега на [0,1] (для мер на 1R это было показано в Hammersley
[899]). В работах Блэкуэлла, Дуббинса [482] и Ферника [736]
было установлено, что можно одновременно параметризовать все
вероятностные меры на X отображениями из [0,1] так, что слабо
сходящимся последовательностям мер будут соответствовать
почти всюду сходящиеся последовательности отображений. В этом
параграфе дан простой вывод перечисленных результатов с
помощью функционально-^гопологических соображений. При этом

8.5. Представление Скорохода
будет полезно следующее, представляющее и самостоятельный
интерес понятие, введенное в работе Богачев, Колесников [43].
8.5.1. Определение. Будем говорить, что топологическое
пространство X обладает сильным свойством Скорохода для
радоновских мер, если каждой радоновской вероятностной
мере ц на X можно сопоставить такое борелевское
отображение ?м: [0,1] —> X, что р, является образом меры Лебега при
отображении ?м, причем если меры рп слабо сходятся к р,, то
Если же такая параметризация существует для класса всех
борелевских вероятностных мер на X, то это свойство будем
называть сильным свойством Скорохода для борелевских мер.
Аналогично можно определять сильное свойство Скорохода и для
других классов мер (например, дискретных).
8.5.2. Лемма. Пусть X — пространство с сильным
свойством Скорохода для радоновских мер. Тогда
(i) этим свойством обладает и всякое его подмножество Y;
(ii) если F — непрерывное отображение X на топологическое
пространство Y и существует такое непрерывное в слабой
топологии отображение Ф: Vr{Y) —> Vr(X), что ^{v)oF~l = v для
всех v € Vr{Y), то Y обладает сильным свойством Скорохода
для радоновских мер.
Доказательство, (i) Каждая радоновская мера /х на Y
однозначно продолжается до радоновской меры на X, причем Y
измеримо относительно этого продолжения, поскольку в Y
можно найти компактные множества Кп (эти множества будут
компактны и в X), объединение которых имеет полную меру. Пусть
€р: [0,1] —» X — борелевское отображение, соответствующее р в
определении сильного свойства Скорохода. Как отмечено выше,
существует ст-компактное вХивУ множество В С Y полной
//-меры. Положим ^(i) = ?p(t) при t ? ^~1(В) и г/^(<) = z при
t <fc ?~г(.В), где z — произвольная точка в Y. Тогда A(?~x(i?)) = 1
и потому rin(t) = ?м(?) для почти всех t из [0,1], откуда А о п~х =
А о ?~1. Если вероятностные меры рп на Y слабо сходятся к
мере р, то их продолжения на X слабо сходятся к
продолжению р, откуда lim ?/*«(*) = ?/*(*) почти всюду. Следовательно,
lira п^п{Ь) = n^it) почти всюду.

230 Глава 8. Слабая сходимость мер
(ii) Для и € ТГ{У) положим rjv(t) = -F(?*(„)(*)), где ? —
параметризация мер из Vr{X) борелевскими отображениями отрезка
[0,1] в X. Тогда Л о г]'1 = (А о ?-J,}) о F = Ф(г/) о F~l = и.
Если меры vn слабо сходятся к мере v на Y, то меры Ф(ь'п) слабо
сходятся к мере Я?(и) на X и потому ?*(i/„) (t) —> ?ф(„) (*) для
почти всех t из [0,1], откуда rjVn{t) —» J7i/(?) для всех таких < ввиду
непрерывности F. П
Отображение Ф в утверждении (ii) доказанной леммы
называется непрерывным правым обратным к индуцированному
отображению F: Vr{X) -* Vr{Y), цу-+цо F~x.
Пусть F: X —*¦ Y — непрерывная сюръекция компактных
пространств X и У. Линейный оператор U: С(Х) —» С (У)
называется регулярным оператором усреднения для F, если иф ^ 0
при ф ^ 0 и U(ip о F) = ip для всех у? Е C(Y). Такой оператор
автоматически непрерывен и имеет единичную норму. Легко
видеть, что оператор V = U*: Mr(Y) = C(Y)* -* Mr(X) = С(Х)*
переводит Vr(Y) в Vr(X), причем FoV — тождественное
отображение на Air(Y), т.е. V является непрерывным правым обратным
для F. Действительно, для всех и € M.r{Y) и ip € C(Y) имеем
jf <р{у) F(V(u)) (dy) = Jx v(F(x)) V{v){dx)
= jf C%> оF)(y)u{dy) = j 9(y)u(dy).
Компактное пространство S называется пространством
Милютина, если для некоторой мощности г существует
непрерывная сюръекция F: {0,1}т —» S, где {0,1} — двухточечное
пространство, обладающая регулярным оператором усреднения.
Согласно известной лемме Милютина (см. Пелчинский [240,
теорема 5.6], Федорчук, Филиппов [322, гл. 8, §4]), отрезок
является пространством Милютина. Кроме того, известно, что
прямое произведение произвольного семейства компактных
метрических пространств является пространством Милютина. В
частности, S = [0,1]°° — пространство Милютина, причем в качестве
г можно взять IN. Поскольку пространство {0,1}°° гомеоморфно
классическому канторовскому множеству С С [0,1], состоящему

8.5. Представление Скорохода
231
из всех чисел отрезка [0,1], троичное разложение которых не
содержит 1 (см. Энгелькинг [373, пример 3.1.28]), то из сказанного
вытекает следующий результат.
8.5.3. Лемма. Пусть S — метризуемый компакт и С —
множество Кантора. Тогда найдется непрерывная сюръекция
F: С —> S, для которой отображение F обладает линейным
непрерывным правым обратным.
8.5.4. Теорема. Пусть X — универсально измеримое
множество в полном сепарабельном метрическом пространстве.
Тогда каждой вероятностной борелевской мере ц на X
можно сопоставить такое борелевское отображение ?м: [0,1] —> X,
что и, = Ао^, гдеХ — мера Лебега, причем если меры fin слабо
сходятся к мере ц, то ^(t) -+ ?M(i) для почти всех t G [0,1].
Если X — произвольное подмножество в полном сепарабельном
метрическом пространстве, то аналогичное утверждение
верно для радоновских вероятностных мер.
Доказательство. Так как всякое польское пространство го-
меоморфно G^-множеству в [0,1]°° (теорема 6.1.12), то ввиду
леммы 8.5.2A) можно считать, что X С [0,1]°°, а часть (ii) этой
леммы и лемма 8.5.3 позволяют проверять утверждение лить для
подмножеств [0,1], что сводит все к случаю X = [0,1]. В
последнем случаанужное отображение задается явной формулой
?„(i) = sup{x е [0,1]: /х([0, х)) ^ t). (8.5.1)
Действительно, легко видеть, что для всякой точки с
справедливо равенство А о ?~г ([О, с)) = ц([0, с)). Поэтому А о ?~г = ц. Если
меры fj,n слабо сходятся к мере /х, то их функции распределения
-^Mn(*) = A*n([0, t)) сходятся к функции распределения Fp меры /л
во всех точках непрерывности 2^. Пусть t € [0,1] и е > 0. Если
lim sup ^ (t) > ?^ (t) + 2е, то есть точка Xq € (^ (<) + е, ^ (*) + 2е)
с Fp(xo) — lim Ffln(xo). Для бесконечной последовательности щ
имеем ^IXnic(t) > хо, т.е. Fllnk(xo) ^ t, откуда F^xo) < t. Значит,
%n(t) ^ хо — противоречие. Аналогично рассматривается случай
lkninf Zpnit) ^ ?p(t) — 2е. Итак, lim ?^(?) = ?/*(*)- В случае
радоновских мер аналогичное рассуждение применимо к любым
подмножествам польских пространств. П

232 Глава 8. Слабая сходимость мер
Таким образом, всякое подпространство польского
пространства обладает сильным свойством Скорохода для радоновских
мер (а универсально измеримые подпространства обладают
сильным свойством Скорохода для борелевских мер). В работе Бога-
чев, Колесников [43] показано, что сильным свойством
Скорохода для радоновских мер обладают все полные метрические
пространства. Дополнительные результаты об этом свойстве можно
найти в цитированной работе и в Банах, Богачев, Колесников
[27], Banakh, Bogachev, Kolesnikov [440], где, в частности, в
качестве примера неметризуемого пространства с сильным
свойством Скорохода указано счетное подпространство X = IN U {р}
в стоун-чеховской компактификации /?IN натурального ряда, где
р € CJN\JN.
Ряд дополнительных замечаний в связи с материалом этого
параграфа см. в §8.10(v).
8.6. Слабая компактность и теорема Прохорова
Условия слабой компактности семейства мер, т.е.
компактности в слабой топологии <т(.М,Сь(.Х")), имеют огромное значение
для многих приложений. Особенно часто встречается такая
задача: можно ли из заданной последовательности мер выделить
слабо сходящуюся подпоследовательность? Оказывается, что для
разумных пространств подобные вопросы сводятся к выяснению
равномерной плотности данных семейств мер. В этом параграфе
мы обсудим центральные результаты в этом направлении.
8.6.1. Определение. Семейство радоновских мер М на
топологическом пространстве X называют равномерно плотным,
если для каждого е > 0 существует такой компакт Ке, что
Шх\ке) < е.
Основное значение для приложений имеет следующий
фундаментальный результат Ю.В. Прохорова [249] (который
рассматривал вероятностные меры).
8.6.2. Теорема. Пусть X — полное сепарабелъное
метрическое пространство и ЛА — семейство борелевских мер на X.
Тогда следующие условия равносильны:
(i) из всякой последовательности {цп} С М. можно извлечь
слабо сходящуюся подпоследовательность;
(ii) семейство М. равномерно плотно и равномерно
ограничено по вариации.

8.6. Слабая компактность и теорема Прохорова 233
Доказательство. Пусть выполнено (i). Равномерная
ограниченность мер из М следует из теоремы Банаха-Штейнгауза.
Предположим, что М. не является равномерно плотным.
Покажем, что существует е > 0 со следующим свойством: для
каждого компактного множества К С X можно найти такую меру
\iK € Л4, что
\»к\(Х\К?)>е, (8.6.1)
где К? — замкнутая е-окрестность К. В самом деле, в противном
случае для каждого е > О существует такой компакт К(е) С X,
что |/х| (Х\К(е)?) ^ е, V/x € М. Для фиксированного 5 > О
положим Кп = К(82~пN2 " и получим множество К = (Xv=i ^п,
которое компактно, причем
Ы(*\*К??=1Н(*\*п)<«, v»eM,
что является противоречием. Теперь с помощью (8.6.1) мы по
индукции найдем последовательности попарно
непересекающихся компактов Kj, возрастающих компактов Qj и мер Hj € М. со
следующими свойствами:
1) \fij\(Kj) > в и \fnKX\Qj) < 2-i при i ^ j,
2)KjCX\Q?vi\j{=lKi(zQj.
В качестве /ii берем произвольную меру с \\ц\ || > е (ее
существование вытекает из (8.6.1)), в качестве К\ = Q\ — компакт с
ImiK-^i) > ? и \ц\\{Х\К\) < 1/2, затем по К\ находим ц% с
помощью (8.6.1) . Далее берем компакт Кг С Х\К{ с |/X2|(-f^2) > ? и
находим компакт фг с Xi U К2 С <2г и |М2|(-^\<Э2) < 1/4; по нему
находим меру /хз с |дз|(^\<5|) > ? и Т-Д- Из свойства 2) следует,
что множества ?7j = К?-' попарно не пересекаются. Существуют
такие непрерывные функции /,, что fj = 0 вне Uj, \fj\ ^ 1 и
/ fj dfij > е. По условию из последовательности /z, можно из-
JUj
влечь слабо сходящуюся подпоследовательность. Для упрощения
обозначений будем считать, что вся последовательность fij слабо
сходится. Пусть агп= fi(x) fin(dx). Тогда ап = (а^, а?,...)€ Z1,
Ух
поскольку ]Г} |/i| ^ 1. Для каждого А = (Aj) € /°° функция

234 Глава 8. Слабая сходимость мер
/Л = Y^Xifi непрерывна на X и |/А| ^ sup|Aj|. Поскольку по-
следовательность чисел
{\,ап) = JxfXdfin
сходится, то получаем, что последовательность {ап}
фундаментальна в топологии аЦ1,!00). Согласно следствию 4.5.8
последовательность {an} сходится по норме в I1. Значит, Urn а™ = 0, что
противоречит выбору /п. Итак, М равномерно плотно.
Предположим, что выполнено (ii), sup ||/х|| = С и {/Хп} С М.
нем
Сначала напомним, что из всякой ограниченной по норме
последовательности линейных функционалов на сепарабельном
нормированном пространстве можно выделить поточечно
сходящуюся подпоследовательность. Поэтому из всякой равномерно
ограниченной последовательности мер на метризуемом компакте К
можно выбрать слабо сходящуюся подпоследовательность.
Возьмем теперь возрастающую последовательность компактов Kj так,
что \fin\(X\Kj) < 2~i для всех п. Из сказанного выше ясно,
что с помощью диагонального процесса можно найти
последовательность мер /хп<, ограничения которых на каждый компакт Kj
слабо сходится. Пусть / € Сь(Х). Покажем, что последователь-
¦/'
[ fdfini фундаментальна. Пусть е > 0. Можно считать,
что |/| ^ 1. Найдем j с 2~з < е. Тогда
/ fdfin, - [ fdfinj < f fdiini - f fdfj^ \+2e,
\Jx Jx I \Jkj JKj I
откуда вытекает требуемое. ?
Из доказательства теоремы Прохорова легко усмотреть
следующее утверждение.
8.6.3. Следствие. Каждая слабо фундаментальная
последовательность плотных борелевских мер Цп на полном
метрическом пространстве X равномерно плотна. Более того, если
меры ju„ неотрицательны, то их равномерная плотность
вытекает из того, что для каждой ограниченной липшицевой
функции f последовательность I f dfin сходится.
Jx

8.6. Слабая компактность и теорема Прохорова 235
Доказательство. Первое утверждение фактически и было
доказано. Отметим необходимые изменения в рассуждениях,
чтобы охватить и второе утверждение. Для этого достаточно взять
функции fj так, чтобы они были липшицевы с общей константой
и удовлетворяли условиям 0 ^ fj ^ 1, fj = 1 на Kj и //@) = 0
вне Uj. Все это возможно, поскольку Uj = К^' , причем
множества Uj попарно не пересекаются. Наконец, в качестве / берем
функцию / = X) Aj7j> где л2ш = 1 и A2m+i = 0. Для такой функ-
3=1
ции интегралы по мерам с четными и нечетными индексами не
могут иметь общего предела. ?
Для неотрицательных мер теорема Прохорова доказывается
короче. Более того, как было впервые замечено Л. Ле-Камом,
в случае, когда рассматриваются неотрицательные меры и
предельная мера также плотна, полнота X не требуется.
Неотрицательность мер существенна: напомним, что в примере 8.4.6 была
построена последовательность знакопеременных мер цп на сепа-
рабельном метрическом пространстве X (подмножестве отрезка),
которая слабо сходится к нулю, причем меры |/хп| также слабо
сходятся к мере, не являющейся плотной. Ясно, что такая
последовательность {цп} не может быть равномерно плотной.
8.6.4. Теорема. Если последовательность
неотрицательных радоновских мер цп на метрическом пространстве X слабо
сходится к радоновской мере \i, то эта последовательность
равномерно плотна.
Доказательство. Пусть е > 0. Найдется такой компакт К,
что р,(Х\К) < е/4. Положим Gk = {х: dist(x,K) < 1/k}. В
силу теоремы 8.4.7 существует такая возрастающая
последовательность Tlfe, что
lin{Gk)>ii{Gk)-e/±>l-e/2, Vn>nk. (8.6.2)
Для каждого ncn^n^ nk+i выберем компакт Кп С Gk с
Мп(СД#„) < е/4.
Положим Qk = К U (Un^ifc кп) ъК? = U?Li Qk- Заметим, что
множества Qk компактны, К С Qk С Gk и nn(Gk\Qk) < е/4
при пк < п ^ njfe+i. Из (8.6.2) следует, что pn(Qk) > 1 — ? при
Щ ^ п ^ «fc+i, откуда Цп{Ке) > 1 — е при всех п. Остается
проверить, что К? — компакт. Действительно, пусть {xj} С К?. Если

236 Глава 8. Слабая сходимость мер
какое-либо из множеств Qk содержит бесконечную часть {xj}, то
в Qk, а значит и в К?, имеется предельная точка этой
последовательности. Если такого Qk нет, то найдутся такие бесконечные
последовательности индексов jm и гт, что Xjm € Qim- Поскольку
Qim С Gim, то существуют такие точки zm € К, что расстояние
между xjm и zm не превосходит г. Последовательность {zm}
имеет предельную точку z G К, которая очевидным образом
является предельной и для {xjm}. ?
Теорема Прохорова дает условие слабой секвенциальной
компактности множества мер на полном сепарабельном метрическом
пространстве. Естественно возникают вопросы, как обстоит дело
со слабой компактностью в обычном топологическом смысле
(напомним, что в неметризуемых пространствах компактность не
дает секвенциальную компактность) и что можно сказать про
более общие топологические пространства. Однако прежде чем
двигаться дальше, рассмотрим несколько примеров, помогающих
проверять равномерную плотность мер.
8.6.5. Пример, (i) Семейство М. вероятностных мер на
полном сепарабельном метрическом пространстве X
равномерно плотно в точности тогда, когда существует такая борелевская
функция V: X —> [0,+оо], что множества {V ^ с}, с < +оо,
компактны, fj,(V = +оо) = 0 для всех ц € М и
sup / V(x) fi(dx) < оо.
H&MJX
(ii) Семейство M вероятностных борелевских мер на
сепарабельном рефлексивном банаховом пространстве X равномерно
плотно на X со слабой топологией в точности тогда, когда
существует такая функция V: X —> [0, оо), непрерывная в топологии
нормы, что
lim V(x) = оо и sup / V(x) n(dx) < оо.
IMI—оо цем Jx
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Достаточность условия в (i) вытекает из
неравенства Чебышёва: ц(У > с) ^ с-1 / V Aц. Чтобы увидеть
Jx
его необходимость, возьмем возрастающую последовательность
компактов Кп с ii{Kn) > 1 — 2~п для всех ц € М и положим

8.6. Слабая компактность и теорема Прохорова 237
V = +оо на дополнении к объединению Кп, V = 1 на К\, V = п
на Kn+i\Kn, п > 1. Тогда при ц Е М. имеем
Г Vdfj, = ц(Кг) + JT nfi(Kn+1\Kn) < 1 + ]Г п2"в.
¦^ п=1 п=1
Утверждение (ii) доказывается аналогично с учетом
компактности шаров в рефлексивном банаховом пространстве со слабой
топологией. В этом случае функцию V можно взять в виде V(x) =
f(\\x\\) для некоторой возрастающей к бесконечности
положительной непрерывной функции / на прямой. ?
8.6.6. Пример. Подмножество К метрического
пространства X относительно компактно, если и только если семейство
мер {6Х, х Е К} относительно компактно.
Теперь мы докажем следующий усиленный вариант теоремы
Прохорова.
8.6.7. Теорема. Пусть К, С M.t{X) — равномерно
ограниченное по вариации и равномерно плотное семейство радонов-
ских мер на вполне регулярном пространстве X. Тогда К.
относительно компактно в слабой топологии.
Если, более того, для всякого е > 0 найдется такой мет-
ризуемый компакт К?, что \ц\(Х\Ке) < е для всех /х Е К, то
К секвенциально компактно в слабой топологии. В частности,
это верно, если все компактные подмножества X метризуемы.
Доказательство. Рассмотрим 1С как подмножество
сопряженного к банахову пространству Сь(Х), наделенного *-слабой
топологией. По теореме Банаха-Алаоглу (которая применима в
силу ограниченности К. по норме) К. имеет предельную точку F.
Единственное, что требуется проверить ^- это представимость F
в виде интеграла по радоновской мере. Здесь и нужна
равномерная плотность. Будем считать, что ||//|| ^ 1 при ц Е К.. Пусть
е > 0 и пусть Ке — такой компакт, что \ц\{Х\КЕ) < е для всех
fj, Е М. Если / Е Сь(Х), |/| ^ 1 и / = 0 на Ке, то справедливы
неравенства
|F(/)| < limsup / fdfi^e.
и<ек Jx
По теореме 7.10.6 функционал F задается некоторой
радоновской мерой и, которая и является предельной точкой К в слабой
топологии. Второе утверждение фактически было получено при

238 Глава 8. Слабая сходимость мер
доказательстве теоремы Прохорова, ибо мы использовали лишь
метризуемость тех компактов Ке, на которых была равномерно
сосредоточена рассматриваемая последовательность мер. ?
В отличие от случая полного сепарабельного метрического
пространства, условие этой теоремы не является необходимым:
даже на счетном неметризуемом пространстве слабо сходящаяся
последовательность вероятностных мер не обязана быть
равномерно плотной.
8.6.8. Пример. Пусть X = JNlJ{°o}, причем точки IN
открыты, а окрестности оо имеют вид U U {со}, где U —
подмножество IN с плотностью 1, т.е. lim N(U,n)/n = 1, где N(U,n) —
число точек в U, не превосходящих п. Тогда последовательность
п~х Y!2=l ^* средних арифметических мер Дирака в точках г
сходится слабо к дираковской мере ?<», но не является равномерно
плотной. Доказательство вынесено в задачу 8.10.82.
Для многих пространств равномерная плотность оказывается
необходимым условием слабой компактности семейств мер. Мы
обсудим такие пространства в §8.10(ii). В приложениях бывают
полезны различные специальные дополнительные условия слабой
компактности. Например, для распределений случайных
процессов в функциональных пространствах такие условия могут быть
сформулированы в терминах ковариационных функций,
выборочных модулей непрерывности и т.д., а для мер на линейных
пространствах имеются эффективные условия в терминах
преобразования Фурье (см. §8.8).
8.6.9. Пример. Пусть X — U?Li -^п — локально выпуклое
пространство, являющееся строгим индуктивным пределом
возрастающей последовательности замкнутых подпространств Хп,
т.е. каждое Хп — собственное замкнутое подпространство в
локально выпуклом пространстве Xn+i, а выпуклые окрестности
нуля в X — это такие выпуклые множества V, что V П Хп —
окрестности нуля в Хп. Если последовательность {//$}
неотрицательных г-аддитивных (например, радоновских) мер на X слабо
сходится к т-аддитивной мере ft, то для каждого е > О существует
такое п € IN, что Hi(X\Xn) < е для всех i е IN.
Более того, для всякого семейства {ца} неотрицательных т-
аддитивных мер на X, которое относительно слабо компактно в
пространстве МТ(Х), и каждого е > 0 существует такое п € IN,
что ца(Х\Хп) < е для всех а.

8.6. Слабая компактность и теорема Прохорова 239
Доказательство. Без потери общности можно считать, что
Hi и ц — вероятностные меры (если щ{Х) —» 0, то утверждение
тривиально). Если утверждение неверно, то для каждого п € JN
найдется i(n) € IN с (л^п^(Хп) < 1 — е. Переходя к новой
последовательности мер, можно считать, что г(п) = п. Выберем
т е IN так, что fi(Xm) > 1 — е/2. Положим fci := т. Найдем
к2 > т с fim(Xk2) > 1 — е/2. Затем найдем такое выпуклое
симметричное открытое множество U\ в пространстве Х*2, что
Хт <ZU\vl Рт(и{) < 1 — е. Такое множество U\ существует. В
самом деле, по теореме Хана-Банаха подпространство Хт является
пересечением всех содержащих его замкнутых гиперплоскостей.
В силу т-аддитивности fim найдется такой конечный набор
замкнутых гиперплоскостей Li,...,Lp в Х*2, что Хт С PlfLi^ч и
/*т(ПТ=1 Li) < 1 — е. Тогда Li = ^~х@) для некоторых k е Х?з, и
множество rii'=i'r1(—^'^) можно взять в качестве Ui для
достаточно малых 6 > 0. Далее возьмем кз с Рк2(Хк3) > 1 — е/2.
Существует такая выпуклая симметричная окрестность нуля W С Х^,
что W П Хк2 = Ui (см. лемму в Шефер [362, П.6.4]). Как и
выше, найдется такое выпуклое симметричное открытое множество
V в пространстве Хк3, что Хк% с V и /Ltfc2(V) < 1 — е. Положим
Щ := Wf\ V. Продолжая описанный процесс по индукции, мы
получим возрастающую последовательность индексов кп > п таких,
что в каждом пространстве -Xfc„+1 имеется выпуклое
симметричное открытое множество Un, причем
1) ипПХкп = Un-u 2) »kn(Un) < 1 -е, ^(Xt+1) > 1 - е/2.
По определению строгого индуктивного предела, множество
U = UnLi Un является окрестностью нуля в X. По построению,
для каждого п справедлива оценка
Wfcn(tf) < Hkn(U П Хкп+1) + е/2 = ^(Un) + е/2 < 1 - е/2,
что противоречит слабой сходимости (см. следствие 8.2.9),
поскольку n{U) > 1 — е/2. В случае относительно слабо
компактного семейства {ра} рассуждения аналогичны. Выберем
последовательность {/Lta(n)}, как и выше, и обозначим через и ее слабую
предельную точку. Прежний выбор U опять приводит к
противоречию со следствием 8.2.9, поскольку существует поднаправлен-
ность {fi/з} в {/ха(„)}, сходящаяся слабо к \i. ?

Глава 8. Слабая сходимость мер
Приведем простой критерий относительной слабой
компактности в пространстве неотрицательных бэровских мер на
произвольном пространстве X. Будем называть последовательность
функционально замкнутых множеств Zn в топологическом
пространстве X регулярной, если Zn С Zn+\ и X = \Jn°=1 %п, причем
существуют такие функционально открытые множества Un, что
Zn С ип С Zn+i.
8.6.10. Теорема. Ограниченное множество М С Л4^(Х)
имеет компактное замыкание в слабой топологии в точности
тогда, когда
lim sup / /пAц = 0
n-кэо меМ Jx
для всякой последовательности функций fn Е Сь(Х), поточечно
убывающей к 0. Равносильное условие:
lim sup fin(X\Zn) = 0
n—°° fieM
для всякой регулярной последовательности функционально
замкнутых множеств Zn.
Доказательство. Пусть выполнено первое из данных
условий. Ограниченное множество М имеет компактное замыкание
М' в пространстве Сь(Х)*. При этом всякий элемент /i е М'
входит в М„(X) в силу теоремы 7.10.1. Обратно, если М
имеет компактное замыкание М' в слабой топологии, то меры в М'
неотрицательны и функции /л-» / fn дц на М' убывают к 0. По
Jx
теореме Дини они сходятся к 0 равномерно на М'.
Если {Zn} — регулярная последовательность, то найдется
поточечно убывающая к 0 последовательность функций fn € Сь{Х),
таких, что /„ = 1 на Zn. Тогда fx{X\Zn) ^ / fnd/j, для всех
\i € М. Обратно, если функции /п € Сь(Х) убывают к 0, то для
заданного е > 0 положим Un = {/п < е}. Нетрудно проверить,
что найдется регулярная последовательность функционально
замкнутых множеств Zn с Zn С Un (можно взять множества вида
Zn ¦= {fn<?- Sn})- Тогда J fndn^ ец{Х) + ft(X\Zn), что
показывает равносильность упомянутых условий. ?

8.7. Слабая секвенциальная полнота
8.7. Слабая секвенциальная полнота
В этом параграфе будет показано, что слабо
фундаментальная последовательность бэровских мер слабо сходится к
некоторой бэровской мере, т.е. пространство бэровских мер слабо
секвенциально полно.
8.7.1. Теорема. Пусть последовательность бэровских мер
цп на топологическом пространстве X слабо фундаментальна.
Тогда {/хп} слабо сходится к некоторой бэровской мере на X.
Доказательство. По теореме Банаха-Штейнгауза форму-
L(<p) = йал^ / (pdfin, <р € СЬ{Х),
задает непрерывный линейный функционал на Сь{Х). Согласно
теореме 7.10.1, этот функционал задается бэровской мерой при
выполнении следующего условия: L(<pj) —> 0 для всякой
последовательности функций <pj € Сь(Х), которые поточечно
убывают к нулю. Предположим, что это условие не выполнено, т.е.
последовательность L{<pj) не сходится к нулю. Можно считать,
что 0 < <рп ^ 1 для всех п. Положим J = [0,1]°° и
рассмотрим отображение F: X —> I, F(x) = ((Pj(x))<^=v Наделим
пространство Y = F(X) топологией, индуцированной из /
(поскольку I метризуемо, то метризуемо и Y). Ясно, что F
непрерывно как отображение изХвУи потому последовательность мер
ип := цп о F~l на Y слабо фундаментальна (для всех ф G Cb(Y)
имеем ф о F е Съ{Х)). Естественные продолжения мер vn на I
будем обозначать также через ип. Ясно, что на компактном
пространстве / меры vn слабо сходятся к некоторой мере v. При этом
/ Xju(dx) = lim / XjVn{dx) = lim / tpj{x)tMi{dx) = l{<Pj).
JI "— °°Jl n-^ooJx
Чтобы получить противоречие с тем, что L(<pj) -/* 0, достаточно
установить, что мера и сосредоточена на множестве
/0 := {х = (xj) € /: lim Xj = 0}.
Это будет сделано, если проверить, что И(.К') = 0 для всякого
компакта К с I\Iq. Пусть е > 0. Множество U = 1\К открыто.
Так как У С /о С U, то i/n(io) = 1 и меры vn на U также
образуют слабо фундаментальную последовательность. Напомним, что

242 Глава 8. Слабая сходимость мер
U является польским пространством (как открытое
подмножество польского пространство). По теореме Прохорова
последовательность {ип} равномерно плотна на U, т.е. можно найти такой
компакт Q С U, что \i/n\(U\Q) < е для всех п. Тогда \v\(K) <
|i/|(J\Q) < liminf \vn\{I\Q) ^ e в силу слабой сходимости на /
(см. теорему 8.4.7) и равенства \vn\{I\Q) = \vn\(U\Q). ?
Доказательство следующего утверждения оставляется в
качестве задачи 8.10.57.
8.7.2. Пример. Пусть {хп} — такая последовательность в
метрическом пространстве X, что последовательность мер 6Хп
слабо фундаментальна. Тогда {хп} сходится в X.
8.8. Слабая сходимость и преобразование Фурье
В этом параграфе речь идет о характеризации слабой
сходимости и слабой компактности в терминах характеристических
функционалов (преобразований Фурье). Сначала докажем
следующую теорему П. Леви.
8.8.1. Теорема, (i) Последовательность {//_,}
вероятностных мер на Ш? слабо сходится в точности тогда, когда
последовательность их характеристических функционалов \ij
сходится в каждой точке, а функция <р(х) := lim Jij(x) непрерывна в
j-»oo
муле. При этом <р является характеристическим функционалом
вероятностной меры \х, к которой слабо сходятся меры \ij.
(ii) Семейство М вероятностных мер на JRd равномерно
плотно тогда и только тогда, когда семейство функций Д,
и € М, равностепенно непрерывно на Etd.
Доказательство, (i) Из слабой сходимости мер вытекает
поточечная сходимость характеристических функционалов.
Докажем обратное. Нетрудно заметить, что из полученных в гл. 3
оценок C.8.6) и C.8.7) с учетом поточечной сходимости
характеристических функционалов и теоремы Лебега следует
равномерная плотность последовательности {fj-j}. Это дает слабую
сходимость Uj к и. Утверждение (ii) доказывается аналогично с
использованием оценок C.8.6) и C.8.7). D

8.9. Пространства мер со слабой топологией 243
8.8.2. Замечание. В утверждении (i) нельзя отказаться от
условия непрерывности ip. Действительно, при каждом п
функция (cosa;Jn является характеристическим функционалом 2п-
кратной свертки вероятностной меры г/, приписывающей
значение 1/2 точкам —1 и 1. Эти функции поточечно сходятся к
функции ср, равной 1 в точках жк и 0 в остальных точках. Ясно, что
<р не является характеристическим функционалом ввиду
разрывности. Укажем также на то, что функция tp всегда имеет
непрерывную модификацию, являющуюся характеристическим
функционалом некоторой неотрицательной меры /х, однако эта мера
может не быть вероятностной (в рассмотренном выше примере
ц = 0). Поэтому вместо непрерывности tp можно было бы
потребовать, чтобы <р почти всюду совпадала с характеристическим
функционалом вероятностной меры.
Перейдем к бесконечномерным пространствам. Из следствия
7.13.10 получаем такое утверждение.
8.8.3. Теорема. Пусть X — локально выпуклое
пространство, наделенное сильной топологией /3(Х,Х*). Пусть
семейство М радоновских вероятностных мер на X таково, что их
характеристические функционалы равностепенно непрерывны в
точке 0 в топологии Т(Х*, X). Тогда семейство М
относительно слабо компактно.
8.8.4. Следствие. Пусть X — рефлексивное ядерное
пространство и М — семейство радоновских мер на X* с
равностепенно непрерывными в нуле характеристическими
функционалами. Тогда М относительно слабо компактно.
Это следствие применимо к таким пространствам X*, как
классические пространства обобщенных функций S'(JRd) и
V(Rd) (см. определение в задаче 6.10.26).
8.9. Пространства мер со слабой топологией
В этом параграфе мы обсудим простейшие топологические
свойства пространства мер на топологическом пространстве X, в
частности, связи между свойствами X и соответствующими
свойствами пространства мер. Наиболее естественные связи с
топологическими концепциями возникают, когда пространства мер
наделяются слабыми топологиями. В приложениях особенно важны
следующие проблемы, относящиеся к пространствам мер:
1) полнота и секвенциальная полнота;

244 Глава 8. Слабая сходимость мер
2) условия компактности;
3) метризуемость и сепарабельность;
4) наличие некоторых дополнительных свойств, например,
принадлежность к классу суслинских пространств.
Поскольку мы интересуемся слабой топологией, то разумно
обсуждать вполне регулярные пространства.
8.9.1. Лемма. Пусть X вполне регулярно. Тогда X гомео-
морфно множеству всех дираковских мер на X, причем это
множество замкнуто в Л4Т(Х) и в Mt{X), а также в
соответствующих подпространствах неотрицательных и
вероятностных мер.
Доказательство. Положим j(x) = 6Х. Тогда отображение
j: X —*¦ М.(т(Х) — топологическое вложение. Действительно,
согласно примеру 8.1.5 направленность ха сходится к ж в точности
тогда, когда направленность j(xa) сходится к j(x).
Предположим теперь, что т-аддитивная мера ц является
предельной точкой множества дираковских мер в слабой топологии.
Тогда существует направленность 5Ха, слабо сходящаяся к ц, в
частности, ц — вероятностная мера. Возьмем произвольную
точку х из носителя /i (который существует в силу т-аддитивности).
Покажем, что направленность ха сходится к х. Если это не так, то
вне некоторой окрестности U точки х имеется поднаправленность
х'а исходной направленности. Существует ограниченная
неотрицательная непрерывная функция /, равная 1 в некоторой
окрестности V точки хиО вне U. Поскольку f(x'a) = 0, то / f в,ц = О,
Jx
откуда fi(V) = 0 вопреки тому, что х — точка носителя. Итак,
ха —>¦ х, откуда следует, что /х = 5Х. ?
В задаче 8.10.70 предлагается построить пример
пространства X, для которого множество дираковских мер не замкнуто в
пространстве М+(Х).
8.9.2. Теорема, (i) Пусть X — компактное пространство.
Тогда пространства Ра(Х) и VT(X) = Vt(X) компактны в
слабой топологии.
(ii) Если X вполне регулярно и Vt{X) компактно в слабой
топологии, то компактно и X.
Доказательство. Достаточно рассмотреть Vt(X), так как
всякая бэровская мера на компакте имеет единственное ра-
доновское продолжение (поэтому в случае компакта множества

8.9. Пространства мер со слабой топологией
245
Vt(X) и Va{X) отождествляются как подмножества
сопряженного к С(Х) пространства). Первое утверждение теоремы является
непосредственным следствие теоремы Банаха-Алаоглу о *-слабой
компактности шара в сопряженном пространстве и теоремы Рис-
са, отождествляющей сопряженное к С(Х) с Mt{X). Наконец,
необходимость компактности X во втором утверждении теоремы
следует из леммы 8.9.1. ?
Отметим, что в (ii) нельзя Vt{X) заменить на Ра(Х).
Можно проверить, что в качестве примера подходит пространство из
задачи 8.10.70.
8.9.3. Теорема. Пусть пространство X вполне регулярно.
(i) Пространство М+{Х) со слабой топологией метризуемо,
если и только если метризуемо Х- При этом метризуемость
М^(Х) полной метрикой необходима и достаточна для
метризуемости X полной метрикой. Аналогичные утверждения
верны для VT(X) вместо М+{Х).
(ii) Если X сепарабельно, то сепарабелъны и пространства
мер Ма(Х), МТ(Х) и Mt(X) со слабой топологией, а также
соответствующие подпространства неотрицательных и
вероятностных мер.
Доказательство, (i) Из леммы 8.9.1 вытекает, что
упомянутые в (i) свойства пространств мер влекут соответствующие
свойства X. Докажем обратные утверждения. Теорема 8.3.1
сразу дает метризуемость М^{Х) со слабой топологией. Чтобы
проверить полноту М.+{Х) в метрике do из теоремы 8.3.1 в случае
полного X предположим, что последовательность
неотрицательных радоновских мер цп фундаментальна по метрике do- Тогда
последовательность / f йцп сходится для каждой ограниченной
Jx
липшицевой функции /. Согласно следствию 8.6.3 из этого
вытекает, что меры fin равномерно плотны. Следовательно, меры цп
слабо сходятся к некоторой радоновской мере.
(ii) Если в X есть всюду плотное счетное множество точек Xj,
то счетное множество конечных линейных комбинаций мер 6Х. с
рациональными коэффициентами всюду плотно в М.а(Х), а его
подмножество, соответствующее неотрицательным
коэффициентам, всюду плотно в М+{Х). Линейные комбинации с
неотрицательными коэффициентами, дающими в сумме 1, дают счетное

246 Глава 8. Слабая сходимость мер
всюду плотное множество в Va{X). Ясно, что при этом
установлена и сепарабельность МТ(Х) и Mt{X), а также их
подпространств М+{Х), Mf(X), VT(X) и Vt(X). П
Следует иметь в виду, что из сепарабельности Vt(X) со слабой
топологией не вытекает сепарабельность X, а из сепарабельности
всего пространства M.t{X) со слабой топологией не вытекает
сепарабельность Vt{X) даже, если X — компакт (см. §8.10(vi)).
8.9.4. Теорема. Если Е — польское пространство, то
таково же и подпространство М}{Е) в М(Е) := ЛЛа(Е), состоящее
из всех мер /х с \\ц\\ = 1.
Доказательство. Напомним, что Е гомеоморфно G^-mho-
жеству в компакте Q = [0,1]°°. Поэтому можно считать, что Е и
есть Сг-множество в Q. Пусть V{E) = Va{E), M(Q) = M<j{Q).
Единичный шар
T={nEM{Q): Ц/ilKl}
в M(Q) компактен и метризуем в слабой топологии. Наше
множество M^{E) в метризуемом компакте Т является объединением
трех множеств: V(E), -V(E) и D := Ml(E)\(p(E) U (-V(E))Y
Первые два множества являются польскими пространствами и
потому имеют тип G$ (см., например, Куратовский [181, §35.111,
с. 441]). Проверим, что и D есть множество типа Gg- Тогда
объединение трех множеств типа Gs будет множеством того же типа
в метризуемом компакте, а значит, и польским пространством.
Поскольку пространство V{E) является польским, то таково
и пространство Z := V{E)y.V{E) х @,1). Рассмотрим
отображение ф: (fj,, и,а) н-> ац — A — а)и из Z в М.{Е). Это отображение
непрерывно при наделении пространств мер слабой топологией.
Положим Ur = {ц € М.(Е): ||/х|| ^ г}. Множества Ur замкнуты в
слабой топологии. Пусть
H:={(ti,v,a)€Z: \\afi - A - a)i/|| = l}.
Множество Н является пересечением последовательности
открытых множеств ф (M(E)\Ui_yn), т.е. оказывается
(^-множеством и потому польским пространством. Теперь важно
заметить, что отображение ф гомеоморфно отображает Н на
множество D. Действительно, если меры ц, и € V(E) таковы, что
\\afi— A—а)И| = 1, то легко видеть, что они взаимно-сингулярны.

8.9. Пространства мер со слабой топологией 247
Из этого ясно, что если ац — A — а)и = o/fi' + A — а')и' имеет
вариацию 1 для некоторых а, о/ G @,1) и /х, //, и, v1 € V(E), то
а = о/, ц = /л' и v = v'. Таким образом, ф взаимно-однозначно
отображает Н на D (то, что ф(Н) = D очевидно из разложения
ц = /х+ - ц-, где /х+(Я) + /х~(?) = 1 и ц+(Е) > 0, //-(Я) > 0).
Наконец, отображение ф~х: D —у Н непрерывно. Действительно,
если направленность мер [ia из D слабо сходится к мере /х из D, то
по теореме 8.4.7 получаем сходимость /хJ —> /х+ и д~ —>• /х~, что в
силу сказанного выше означает слабую сходимость мер ф~х(ца) к
мере ф~1(ц). Итак, D гомеоморфно в^-множеству Н в польском
пространстве, что и завершает доказательство. D
8.9.5. Теорема. Пусть X вполне регулярно. Если X — су-
слинское (или лузинское) пространство, то таковы же и
пространства М.а(Х), М.+(X) и Va(X) со слабой топологией (эти
пространства ввиду условия состоят из радоновских мер).
Обратно, если одно из пространств Mt(X), Mf(X) или Vt(X) —
суслинское (или лузинское), то таково лее и X.
Доказательство. Существуют польское пространство Е и
непрерывная сюръекция tp: Е —> X. Индуцированное
отображение (р: М.а(Е) —> М.а(Х) является непрерывным. В гл. 9 (см.
теорему 9.1.5) показано, что отображение ф сюръективно. Если
<р инъективно, то и ф инъективно. Поэтому остается доказать, что
пространство Ма(Е) — лузинское. Это следует из предыдущей
теоремы, ибо Ма (Е) = 0 U Мl (Е) х @, оо). ?
Если X не является вполне регулярным, то аналогичная
теорема справедлива для А-топологии, рассматриваемой в §8.10(iv).
8.9.6. Предложение. Пространство Х°° гомеоморфно
замкнутому подмножеству в М.^(Х) и подмножеству в AAf(X).
Доказательство составляет содержание задачи 8.10.87.
Таким образом, всякое топологическое свойство, которое
наследуется замкнутыми множествами, но не сохраняется
счетными произведениями, не распространяется с X на пространства
А4т(Х), Mf(X). Нормальность и линделефовость доставляют
примеры такого рода. По этой же причине М%(Х) и М.~?(Х) не
обязаны быть радоновскими пространствами для радоновского
пространства X (даже для компакта).

248 Глава 8. Слабая сходимость мер
8.10. Дополнения и задачи
(i) Слабая компактность B48). (и) Пространства Прохорова B49).
(ш) Слабая секвенциальная полнота пространства мер B55).
(iv) А-топология B56). (v) Непрерывные отображения пространств
мер B57). (vi) Сепарабельность пространств мер B60). (vii) Меры
Янга B61). (viii) Метрики на пространствах мер B63). (ix)
Равномерно распределенные последовательности B67). (х) Сходимость
мер на множествах B71). Задачи B76).
8.10(i). Слабая компактность
Полезный технический результат, характеризующий слабую
компактность для неотрицательных мер, получен в Tops0e [1637].
8.10.1. Теорема. Пусть X — вполне регулярное пространство и
М С Mf(X). Тогда М относительно компактно в слабой топологии,
если и только если (i) М равномерно ограничено,
(ii) для каждого е > 0 и каждого набора Ы открытых множеств,
таких, что каждое компактное множество содержится в
множестве из U, существуют такие U\,...,Un ?U, что
inf {/t(X\Ui): 1 < г < n} < е, V/i € М.
8.10.2. Следствие. Пусть Y С X замкнуто и пусть множество
М С М*(Х) относительно компактно в слабой топологии в М^{Х).
Тогда семейство ограничений мер из М. на Y относительно
компактно в слабой топологии в Mf(Y).
Приведенное следствие довольно неожиданно (хотя для польских
пространств оно очевидно из критерия Прохорова), так как слабая
сходимость не влечет сходимость на замкнутых множествах. В
частности, предел ограничений мер из слабо сходящейся последовательности
на замкнутое множество не обязан совпадать с ограничением предела
этой последовательности.
Предыдущее следствие неверно для знакопеременных мер.
8.10.3. Пример. Пусть X — ([0,o;i] х [0,a;o])\(u>i,u;o), где Шо —
порядковое числе, отвечающее IN, wi — первое несчетное порядковое
число, причем указанные отрезки порядковых чисел наделены
естественной порядковой топологией. Положим
Y = {(LJu2n)}%Li, М = {<К«л,2п) - 6(ш!,2п+ 1)} U {0}.
Множество М слабо компактно в Ait(X), в то время как ограничения
мер из М на Y образуют дискретное множество в Mt(Y), не имеющее
точек сгущения.

8.10. Дополнения и задачи
249
8.10.4. Замечание. В работе РаеЫ [1330] в случае, когда X —
полное метрическое пространство, изучена двойственность между
пространством Mt(X) и пространством Сьи(Х) ограниченных равномерно
непрерывных числовых функций на X. Показано что (Mt, cr(Mt,Cbu))
секвенциально полно и что ограниченное по норме подмножество Mt
является относительно cr(.Mt, С&„)-компактным (или
счетно-компактным), если и только если равностепенно непрерывно его ограничение
на класс Lipj(X) всех функций на X с константой Липшица 1,
наделенный топологией поточечной сходимости. В качестве следствий
получены обобщения на равномерные меры на равномерных пространствах.
8.10(H). Пространства Прохорова
8.10.5. Определение, (i) Вполне регулярное топологическое
пространство X называется пространством Прохорова, если всякое
множество в пространстве мер А4*(Х), компактное в слабой
топологии, равномерно плотно.
(ii) Вполне регулярное топологическое пространство X
называется секвенциально прохоровским, если каждая последовательность
неотрицательных плотных мер, слабо сходящаяся к плотной мере,
равномерно плотна.
Доказанные выше теоремы Прохорова и Ле-Кама можно
сформулировать следующим образом.
8.10.6. Теорема. Каждое полное сепарабельное метрическое
пространство является пространством Прохорова. Произвольное
метрическое пространство является секвенциально прохоровским.
Ясно, что пространства Прохорова — секвенциально прохоровские.
Ниже мы увидим, что пространство Q рациональных чисел
является секвенциально прохоровским, но не прохоровским. Заметим, что
секвенциальное прохоровское свойство слабее, чем требование, чтобы
слабо сходящиеся последовательности плотных мер были равномерно
плотны (поскольку их пределы не обязаны быть плотными мерами).
Если в определении пространства Прохорова допускать
знакопеременные меры, то будем говорить, что X — сильно прохоровское
(соответственно, сильно секвенциально прохоровское). Некоторые
замечания о различных связанных с этим возможностях сделаны в
Библиографических комментариях.
8.10.7. Теорема. Класс пространств Прохорова сохраняется при
взятии (i) счетных произведений, (ii) счетных пересечений, (ш)
замкнутых подпространств и открытых подпространств, а значит,
Gs -подмножеств.
Кроме того, пространство является пространством Прохорова
при условии, что каждая точка имеет окрестность, которая есть

250
Глава 8. Слабая сходимость мер
прохоровское пространство (например, допускает локально конечное
покрытие замкнутыми прохоровскими подпространствами).
Доказательство можно найти в Hoflmann-J0rgensen [939] (см.
также задачу 8.10-81).
Напомним, что пространство X называется хемикомпактным,
если оно обладает фундаментальной последовательностью компактов Кп
(т.е. всякий компакт в X содержится в одном из Кп). Если же для
непрерывности функции на X достаточна ее непрерывность на всех
компактах, то X называется &я-пространством. Последним свойством
обладают fe-пространства, т.е. пространства, в которых замкнуты
множества, имеющие замкнутые пересечения со всеми компактами.
8.10.8. Следствие. Всякое полное по Чеху пространство X
является прохоровским. Значит, прохоровскими являются все локально
компактные пространства и все хемикомпактные кц-пространства.
Мы видели в примере 8.6.8, что объединение двух прохоровских
подпространств, одно из которых — точка, не обязано быть
прохоровским. Этот же пример показывает, что счетное объединение замкнутых
прохоровских подпространств не всегда прохоровское.
Приведем некоторые результаты и примеры, позволяющие
строить более широкие классы прохоровских и секвенциально прохоровских
пространств с помощью операций, упомянутых в теореме 8.10.7.
8.10.9. Предложение. Пусть X — вполне регулярное
пространство, обладающее счетным набором замкнутых подпространств Хп
со следующим свойством: функция на X непрерывна, если и только
если ее ограничение на каждое Хп непрерывно.
(i) Предположим, что каждое Хп — прохоровское. Тогда таково
и X. Если, кроме того, X нормально, то каждая слабо
фундаментальная последовательность {//$} С ЛЛ^(Х) равномерно плотна (и
потому слабо сходится к плотной мере).
(ii) Предположим, что каждое Хп либо метризуемо, либо
компактно. Тогда каждая слабо фундаментальная последовательность в
Mt(X) равномерно плотна. В частности, X — сильно секвенциально
прохоровское пространство.
Доказательство. Можно считать, что Хп с Xn+i, рассматривая
новую систему Х'п = U?=i Xi. Пусть Y = U^Li Хп. Из нашего
предположения вытекает, что каждая функция на X\Y непрерывна. Значит,
X\Y — дискретное пространство и его компактные подмножества
конечны. Более того, каждое подмножество X\Y — бэровское в X. Пусть
{Mn} — слабо фундаментальная последовательность в Mt{X). Тогда
она слабо сходится к некоторой бэровской мере /i. Все меры Цп
являются чисто точечными на X\Y. Пусть А = {ап} — совокупность всех
их атомов в X\Y. Заметим, что |/i|(X\(F U А)) — 0. В самом деле, в

8.10. Дополнения и задачи
251
противном случае существует множество В С X\(Y U А), на котором
ц либо строго положительна, либо строго отрицательна. Тогда
функция 1в непрерывна на X, имеет нулевые интегралы относительно всех
мер цп, но ее интеграл относительно /х отличен от нуля, что приводит к
противоречию. Это же рассуждение показывает, что меры /х„ сходятся
к/хна каждом множестве из А. Таким образом, можно не заботиться
о сходимости на X\Y и считать, что X — Y.
В этом случае для каждого е > 0 существует такой номер п = п(е),
что \(ii\(X\Xn) < е для всех г. В самом деле, в противном случае для
каждого п найдется такая мера tH^, что \щп\{Х\Хп) > ?¦ Переходя к
подпоследовательностям, можно считать, что имеются возрастающие
последовательности индексов in и jn, для которых
lMi„l(*\*,J > е, \l*J(X\Xjn+1) < е/8.
Найдем номер т с \ц\(Х\Хт) < е/10. Для каждого п существует
компактное множество Кп С Xjn+1\Xjn, на котором Цгп либо
неотрицательна, либо неположительна, причем \(j,in(Kn)\ > Зе/8. Пусть е„ =
sign Hin(Kn)- Можно считать, что ji > т.
В случае, когда все Хп либо нормальны (например, метризуемы),
либо компактны, можно продолжить функцию /, определенную
посредством / = 0 на Хт и / = ei на К\, до непрерьшной функции на
Xjj со значениями в [—1,1]. Продолжая по индукции и используя
наше предположение, получаем такую непрерывную функцию /: X -*
[—1,1], что / = е„ на Кп для всех п. Тогда / /ф < е/10, в то вре-
Jx
мя как / / dnin > е/8. Это противоречие показывает, что существует
Jx
п = п(е) с \{ii\(X\Xn) < е для всех г.
В случае (i), когда /х» ^ 0, согласно следствию 8.10.2,
последовательность {цг}, ограниченная на Хп, является относительно слабо
компактной. Значит, ввиду прохоровского свойства для Хп, она
равномерно плотна.
В случае, когда Хп компактны, доказательство закончено. Если Хп
метризуемы, утверждение выводится с помощью очевидной
модификации доказательства следствия 8.6.3, принимая во внимание, что
каждая непрерывная функция / : Хп —+ К продолжается до непрерывной
функции на X с тем же самым супремумом (это вытекает из нашего
предположения, ибо каждое Xj замкнуто в Xj+i, значит, непрерывные
функции с Xj могут быть продолжены на .Xj+i и т.д.). ?
8.10.10. Пример. В любом из следующих случаев каждая слабо
фундаментальная последовательность плотных мер на X равномерно
плотна:
(i) пространство X хемикомпактно и является feR-пространством.

252 Глава 8. Слабая сходимость мер
(ii) X есть локально выпуклое пространство, являющееся
индуктивным пределом возрастающей последовательности таких сепарабель-
ных банаховых пространств Еп, что вложение каждого Еп в Еп+\ —
компактный оператор.
Доказательство. Утверждение (i) вытекает тривиальным
образом из предложения 8.10.9. Чтобы получить (ii), достаточно заметить,
что X есть ^-пространство, обладающее фундаментальной
последовательностью компактов (в качестве таких компактов можно взять
любую возрастающую последовательность замкнутых шаров Un в
пространствах Хп, для которых (J^°=i Un = X). ?
8.10.11. Пример. Пусть X — локально выпуклое пространство,
являющееся строгим индуктивным пределом возрастающей
последовательности своих замкнутых подпространств Хп. Тогда X —
пространство Прохорова, если все пространства Хп — прохоровские. В
частности, если Хп — сепарабельные пространства Фреше, то каждая слабо
фундаментальная последовательность неотрицательных бэровских мер
на X равномерно плотна.
Доказательство. Согласно примеру 8.6.9, для каждого е > 0
меры из всякого относительно слабо компактного семейства М
неотрицательных радоновских мер на X г-сосредоточены на некотором
подпространстве Хп. Согласно следствию 8.10.2, ограничения мер из М
на Хп образуют относительно слабо компактное семейство. Чтобы
получить последнее утверждение, достаточно напомнить, что
объединение последовательности сепарабельных пространств Фреше является
суслинским, значит, каждая бэровская мера на таком пространстве ра-
донова. ?
Очевидно, что можно умножить число таких примеров, строя
счетные произведения и переходя к замкнутым подмножествам. Заметим,
что многие классические пространства функционального анализа,
такие как P(lRd), ТУ(JRd), <S(IRd), <S'(]Rd), являются пространствами
Прохорова, поскольку могут быть получены с помощью указанных
операций.
8.10.12. Замечание. Пространство Т>(Ш}) является
пространством Прохорова, но не является ни ^-пространством (задача 6.10.26),
ни хемикомпактным пространством (кроме того, оно не ст-компактно).
Отсутствие счетного семейства компактных множеств, которое либо
фундаментально, либо является исчерпывающим, вытекает из
теоремы Бэра, примененной к подпространствам Р^Ш1), и того факта, что
каждое компактное множество в ^(К1) содержится в одном из Т>п(Ш. ).
Неизвестно никакого топологического описания пространств
Прохорова. Следующие два примера показывают, что класс пространств

8.10. Дополнения и задачи
253
Прохорова не замкнут относительно счетных объединений. Первый из
них уже описан в примере 8.6.8. Построенное там счетное
пространство X хемикомпактно, является бэровским и представляет собой Fa-
множество в пространстве Прохорова 0Х, но само — не прохоровское.
Второй пример указан Д. Прайсом [1379]. Эта глубокая и
трудная теорема является фундаментальным достижением топологической
теории меры.
8.10.13. Теорема. Пространство рациональных чисел Q с его
обычной топологией не является пространством Прохорова.
Напомним, что по теореме 8.10.6, Q — секвенциально прохоровское
пространство.
Первые примеры сепарабельньгх метрических пространств, не
являющихся пространствами Прохорова, построены в Choquet [587] и
Davies [635]. Упрощенное (но все еще в высшей степени
нетривиальное) доказательство теоремы 8.10.13 дано в Tops0e [1637].
Как заметил Ферник [733], пространство I2 с его слабой топологией
не является прохоровским.
8.10.14. Пример. Последовательность мер цп = п~3$ЗГ=1 ^«е4>
где {et} — стандартный ортонормированный базис I2, сходится слабо
к дираковской мере в нуле, если I2 наделено слабой топологией, но
очевидным образом не является плотной. Для проверки слабой
сходимости достаточно заметить, что для всякого множества вида S =
{х: \(х,v)\ < 1}, v € I2, имеет место соотношение ^n(S) —> 1, а это
очевидно из оценок
Vn(l2\S) < / \(x,v)\2„n(dx) < n~3f>42 ^ n-\v,v).
Пространство l2 со слабой топологией дает пример хемикомпакт-
ного ег-компактного пространства, которое не является прохоровским.
В работе Fremlin, Garling, Haydon [796] этот пример был обобщен
следующим образом.
8.10.15. Предложение. Если X — бесконечномерное банахово
пространство, то пространства {X,сг(Х,X*)) и (Х*,а(Х*,Х)) не
являются пространствами Прохорова.
Согласно Fernique [733], сильное сопряженное к локально
выпуклому пространству Фреше-Монтеля X — прохоровское. В частности,
для X = И°° сопряженное есть Ш?°, являющееся счетным
объединением конечномерных подпространств (при этом IR^0 наделено топологией
индуктивного предела). Таким образом, неметризуемое пространство
Прохорова не обязано быть бэровским.

254
Глава 8. Слабая сходимость мер
8.10.16. Теорема. Пусть X — либо полное метрическое
пространство, либо хемикомпактное к-пространство. Тогда каждое
относительно слабо компактное подмножество M.t{X) равномерно
плотно. В частности, X — сильно прохоровское.
Доказательство. Пусть X — полное метрическое пространство.
Рассмотрим построенные в доказательстве теоремы 8.6.2 функции /,- и
меры /хп (для их построения достаточно радоновости мер заданного
семейства и полноты X). Теперь, однако, мы имеем лишь относительную
слабую компактность {/хп}> что не означает существования
сходящейся подпоследовательности. Тем не менее в силу относительной слабой
компактности {цп}, последовательность а„ = (ап) G I1, где а%„ —
интеграл /j по fi„, относительно слабо компактна в I1, откуда следует (см.
гл. 4), что а? —> 0, т.е. опять приходим к противоречию. Случай, когда
X — хемикомпактное fc-пространство, вынесен в задачу 8.10.85. ?
Упомянем следующий важный результат Д. Прайса [1379].
8.10.17. Теорема, (i) Метрическое пространство первой
категории не может быть прохоровским (в отличие от упомянутого выше
пространства Ш^° с топологией индуктивного предела).
(ii) Пусть X — сепарабельное коаналитическое метрическое
пространство. Тогда X — пространство Прохорова, если и только если
X метризуемо полной метрикой. Равносильное условие: X не
содержит счетных Gs-множеств, плотных в себе.
(Ш) В предположении гипотезы континуума существует
сепарабельное метрическое пространство Прохорова, которое не допускает
полной метрики.
Поскольку каждое счетное пространство, плотное в себе, гомео-
морфно Q, утверждение (ii) объясняет роль Q в теореме 8.10.13.
При некоторых дополнительных теоретико-множественных
предположениях существует суслинское прохоровское подмножество [0,1],
которое не является польским (см. Сох [611], Gardner [812]). Открыт
вопрос о том, совместимо ли с ZFC утверждение, что каждое
универсально измеримое пространство Прохорова X с [0,1] топологически
полно (т.е. является польским).
В работах Bouziad [517], Choban [577] построены примеры,
показывающие, что образ Y пространства Прохорова X при непрерывном
открытом отображении может не быть прохоровским (при этом X
может быть даже счетным и компактным). Вопрос об этом ставился в
Tops0e [1637], где был доказан следующий результат (см. [1637,
следствие 6.2].
8.10.18. Предложение. Пусть ж: X —» У — совершенная сюрь-
екция. Тогда X — пространство Прохорова, если и только если
таково Y.

8.10. Дополнения и задачи
255
Интересно сопоставить свойства Прохорова и Скорохода (см. §8.5).
В работе Богачев, Колесников [43] показано, что пространство Kg0
всех конечных последовательностей (с его естественной топологией
индуктивного предела возрастающей последовательности конечномерных
пространств) не имеет свойства Скорохода, хотя является суслинским
и прохоровским. С другой стороны, в Banakh, Bogachev, Kolesnikov
[440] рассмотрен класс почти метризуемых пространств (т.е. таких
пространств X, для которых существует биективное непрерывное
собственное отображение из метрического пространства на X) и показано,
что почти метризуемое пространство является секвенциально
прохоровским в точности тогда, когда оно имеет сильное свойство Скорохода
для радоновских мер.
8.10(ш). Слабая секвенциальная полнота
пространства мер
Сделаем несколько замечаний о слабой секвенциальной полноте
пространства Mt(X). Прежде всего, два тривиальных наблюдения.
8.10.19. Пример. Пусть X вполне регулярно. Пространство мер
Mt(X) слабо секвенциально полно при условии, что либо X — сильно
меро-компактное пространство, либо каждая слабо фундаментальная
последовательность в Mt(X) равномерно плотна.
Доказательство. Достаточно воспользоваться слабой
секвенциальной полнотой М.а(Х) и теоремой 8.6.7. ?
8.10.20. Пример. Для всякого «т-компактного вполне регулярного
пространства X пространство Mt{X) слабо секвенциально полно.
Доказательство. Утверждение вытекает из слабой
секвенциальной полноты Л4<т(Х), ибо каждая бэровская мера на X плотна. ?
Из предложения 8.10.9 (ii) и примера 8.10.19 получаем еще один
интересный пример.
8.10.21. Пример. Пусть X — вполне регулярное пространство,
в котором существует последовательность таких компактных
подпространств Кп, что всякая функция на X, непрерывная на каждом Кп,
непрерывна и на всем пространстве X. Тогда пространство Ait{X)
слабо секвенциально полно.
Следующий результат получен в Могап [1270].
8.10.22. Теорема. Пусть X — нормальное и метакомпактное
пространство (т.е. в каждое открытое покрытие X можно вписать
точечно конечное открытое покрытие). Тогда пространство МТ(Х)
{а если X еще и полно по Чеху, mo Mt(X)) слабо секвенциально полно.

256 Глава 8. Слабая сходимость мер
8.10(iv). А-топология
Существует другая естественная возможность топологизиро-
вать пространство вероятностных мер, подсказываемая теоремой
А.Д. Александрова. Этот способ используется, если X не вполне
регулярно или если просто класс борелевских мер не совпадает с классом
бэровских мер. Пусть Q — класс всех открытых множеств в X.
А-топология на пространстве V(X) всех борелевских
вероятностных мер (или его подпространствах Vr(X) и VT(X)) определяется с
помощью окрестностей вида
U(n,G,e) = {и: n(G) < v(G) +е},
где и € V(X), G &Q,e > 0. Направленность {/j,a} сходится в этой
топологии к ц, если и только если liminfe /xa(G) ^ n(G) для каждого G € ?.
По лемме 7.1.2 А-топология хаусдорфова. Из §8.2 вытекает, что в
случае вполне регулярного пространства А-топология совпадает со слабой
топологией на РТ(Х). Конечно, в общем случае А-топология сильнее
слабой топологии (которая может быть тривиальной, если нет
нетривиальных непрерывных функций на X). Другое возможное достоинство
А-топологии состоит в том, что она применима к борелевским мерам,
в то время как слабая топология естественно связана с бэровскими
мерами (она может не быть хаусдорфовой на борелевских мерах). Чтобы
задать А-топологию на пространстве Ai+(X) всех неотрицательных
борелевских мер, к указанным окрестностям следует добавить
окрестности U'(n,e) = {v. \fi(X) — v(X)\ < е}. Для этой топологии
имеются результаты, аналогичные изложенным выше для слабой топологии
(см., например, Tops0e [315]). В частности, X гомеоморфно множеству
дираковских мер с А-топологией, которое замкнуто в пространствах
Vr{X) и VT(X) с А-топологией. Справедливо также следующее
утверждение.
8.10.23. Теорема. Пространство М+(Х) с А-топологией
регулярно, вполне регулярно или удовлетворяет второй аксиоме счетно-
сти, если и только если соответствующим свойством обладает X.
Отметим еще следующий результат из Holicky, Kalenda [946].
8.10.24. Теорема, (i) Пусть Y — хаусдорфово пространство и
X С Y. Предположим, что X является множеством одного из
следующих типов: Gs, борелевским, Т-суслинским, В-суслинским (т.е.
получается из борелевских множеств А-операцией). Тогда М.+ (Х) и
М+(Х) являются множествами соответствующего типа в M+(Y)
и M?(Y) с А-топологией.
(ii) Если X полно по Чеху, то таково и М$(Х) с А-топологией.
Для вполне регулярных пространств утверждения для АЛ^(Х),
разумеется, верны для слабой топологии.

8.10. Дополнения и задачи
257
8.10(v). Непрерывные отображения пространств мер
Непрерывное отображение /: X —> Y порождает отображение
/: МГ(Х) - Mr(Y), /х^/хо/-1,
которое непрерывно в слабой топологии. Ясно, что имеются также
отображения
/: Mt(X) -* Mt(Y), /: МТ{Х) -> MT{Y), f: Ma{X) -» M„(Y)
и отображения между соответствующими пространствами
неотрицательных или вероятностных мер. Легко проверить, что если / инъ-
ективно, то таково и /: МГ{Х) —* Mr{Y) (см. несколько более общее
утверждение в задаче 9.12.25). Разумеется, это верно и для классов Mt,
но не всегда для Мт.
8.10.25. Пример. Пусть S С [0,1] — множество с А*E) = 1,
А.E) = 0, где А - мера Лебега. Пусть /: (Sx{0}) U (([0,1]\5)х{1}) -¦
[0,1] — естественная проекция. Тогда / непрерывно и инъективно,
причем в меру Лебега на [0,1] переходят две различные т-аддитивные
вероятностные меры ц\ и /хг 1 которые индуцируются мерой Лебега на
S х {0} и ([0,1]\S) х {1} соответственно.
Если / — гомеоморфное вложение, то /: МТ(Х) —> MT(Y)
инъективно, а /: М+(Х) —> M+(Y) — гомеоморфное вложение. Однако,
как заметил Шоке [587], последнее может оказаться неверным для
всего пространства МТ{Х). Например, пусть У = [0,1], X = Qn[0,1], {гп}
и {з„} — две последовательности различных рациональных чисел,
причем {г„} плотна в X и lim \гп—зп\ = 0. Тогда последовательность мер
На = 8о, м« = ^г„ - 83„, компактна в У, но не компактна в X, ибо
можно найти такую функцию / € Сь(Х), что f(r„) — f(sn) не стремится к
нулю. На V„{X) отображение / не обязано быть инъективным, даже
если / — гомеоморфное вложение (см. Wheeler [1710, §14]).
Совершенные отображения между пространствами порождают
совершенные отображения пространств мер (Koumoullis [1076]):
8.10.26. Теорема. Пусть /: Х-»У — непрерывная сюръекция
вполне регулярных пространств. Тогда для топологий s = t и s = т
индуцированное отображение /: Mf(X) —> Mf(Y), ц. н-> ц о /_1,
совершенно, если и только если совершенно /.
Как замечено в [1076], это утверждение может оказаться неверным
для s — атя. для пространств знакопеременных мер.
С помощью сформулированной теоремы и результата 3. Фролика
о том, что пространство X линделефово и полно по Чеху в точности

Глава 8. Слабая сходимость мер
тогда, когда оно допускает совершенную сюръекцию на полное сепара-
бельное метрическое пространство, в [1076] получен такой результат.
8.10.27. Следствие. Пусть X вполне регулярно. Пространство
М+(Х), где s — t или s = т, линделефово и полно по Чеху, если и
только если таково X. Кроме того, Ai^(X) паракомпактно и полно
по Чеху в точности тогда, когда таково X.
В работах Ditor, Eifler [667], ЕШег [707], Schief [1496], [1497],
Банах [26], Банах, Радул [30], Богачев, Колесников [43] исследована
открытость отображений между пространствами мер. Приведем
результат из [1497]. Положим М+(Х) := М&(Х), V{X) := VB{X).
8.10.28. Теорема. Пусть X uY — хаусдорфовы пространства и
/: 1->У — борелевская сюръекция, которая открыта, т.е. образы
открытых множеств открыты. Предположим, что для каждого
открытого G С X имеем f{M+{G)) = M+(f{G)). Тогда отображение
/: М.+ (Х) —> A4+(Y) открыто в А-топологии.
8.10.29. Следствие. Пусть X uY — суслинские пространства
и f: X —+ У — борелевская сюръекция. Если f — открытое
отображение, то открыто в А-топологии индуцированное отображение
J: М+(Х) -» M+(Y), а также отображение J: V(X) -> V(Y).
В работе Богачев, Колесников [43] получен близкий результат для
пространств радоновских вероятностных мер: отображение /: ТГ(Х) —>
Vr(Y) — непрерывная открытая сюръекция, если / является
непрерывной открытой сюръекпией вполне регулярных пространств X uY,
причем f(Vr(G)) = Vr(f{G)) для всякого открытого множества G С X. В
частности, в [43] получен такой результат.
8.10.30. Предложение. Пусть /: X —> Y — открытое
непрерывное сюръективное отображение между полными метрическими
пространствами. Тогда отображение РГ(Х) —> ~Pr(Y) — открытая
сюръекция.
В работе Богачев, Колесников [43] исследована интересная связь
между представлениями Скорохода, открытыми отображениями и
теоремами о селекции. Приведем еще несколько результатов этой работы.
Напомним следующий классический результат, называемый
теоремой Майкла о селекции (Michael [1255]). Пусть X — метризуемое
пространство, М — полное метризуемое подмножество локально
выпуклого пространства Е к Ф: X —> Iм — полунепрерывное снизу
отображение со значениями во множестве непустых выпуклых замкнутых
подмножеств М. Тогда найдется непрерывное отображение /: X —> Е,
такое, что /(х) € Ф(х) для всех х. Типичное применение этой
теоремы таково: пусть Т: М —> X — непрерывное открытое аффинное

8.10. Дополнения и задачи 259
отображение полного метризуемого выпуклого множества М в
локально выпуклом пространстве Е в метризуемое множество X в локально
выпуклом пространстве Y. Тогда Ф(ж) = Т~1(х) удовлетворяет
условиям теоремы Майкла, следовательно, Т обладает непрерывным правым
обратным. Таким образом, ввиду теоремы 8.10.28 справедливо
следующее утверждение.
8.10.31. Теорема. Пусть /: X -» У — непрерывная открытая
сюръекция польских пространств. Тогда индуцированное
отображение f: V(X) —> V(Y) обладает непрерывным в слабой топологии
правым обратным. В случае произвольных полных метрических
пространств это же верно для Vr{X) и Vr(Y).
8.10.32. Следствие. Для каждого универсально измеримого
множества Y в польском пространстве Z существуют такие
универсально измеримое подмножество X пространства Т1 иррациональных
чисел в [0,1] и непрерывное сюръективное отображение /: X —> Y,
что отображение f: V{X) —> V{Y) имеет непрерывное в слабой
топологии правое обратное g: P{Y) —> V(X). Для произвольного
множества Y с Z аналогичное утверждение, но без универсальной
измеримости X, верно для пространств Vr(X) и Vr(Y).
В общем случае в сформулированной теореме может не
существовать линейного непрерывного правого обратного. Однако, как
показано в Michael [1254], если X и Y — метризуемые компакты, то всякая
непрерывная открытая сюръекция f:X—*Y обладает регулярным
оператором усреднения и потому отображение /: Л4Г(Х) —> Air(Y)
имеет линейное непрерывное в слабой топологии правое обратное.
Отметим, что ввиду сказанного в §8.5 для существования регулярного
оператора усреднения и линейного непрерывного правого обратного /
не обязательна открытость /.Например, в лемме 8.5.3 множество
Кантора нельзя отобразить на отрезок с помощью открытого отображения.
8.10.33. Предложение. Для всякого универсально измеримого
множества Y в польском пространстве существуют универсально
измеримое подмножество X канторова множества С и
непрерывное сюръективное отображение /: X —> Y, такие, что
отображение f: V{X) —> V{Y) обладает линейным непрерывным в слабой
топологии правым обратным g: V(Y) —* V{X). В случае компактного
Y множество X можно выбрать компактным. Для произвольного
Y аналогичное утверждение, но без универсальной измеримости X,
верно для пространств Vr(X) и Vr(Y).
Доказательство см. в работе Богачев, Колесников [43].

Глава 8. Слабая сходимость мер
8.10(vi). Сепарабельность пространств мер
Свойства сепарабельности пространств мер со слабой топологией
изучались в Koumoullis, Sapounakis [1083], Pol [1370], Talagrand [1610].
Напомним, что если X сепарабельно, то сепарабельно и Mt(X) со
слабой топологией (теорема 8.9.3). Обратное неверно даже для
компактных пространств (см. [1610]). Как показано в [1610] в предположении
гипотезы континуума, существует такое компактное пространство К,
что пространство Mt(K) сепарабельно в слабой топологии, но его
единичный шар — нет. Кроме того, из сепарабельности единичного шара
в Mt(K) в слабой топологии не следует метризуемость К: согласно
[1610] (также в предположении СН), может даже случиться, что не
существует никакой сепарабельной меры с носителем К.
Множество мер М С Ма{Х) называется счетно-разделимым, если
существует такая последовательность {/„} С Съ{Х), что для всяких у
и v из М равенство / fn(x) fi(dx) = I fn(x)u(dx), Vn G IN, влечет
Jx Jx
равенство \i = v.
Подмножество M С Ma(X) называется счетно-определенным в
Л4„(Х), если существует такая последовательность {/„} с Сь(Х), что
при ц. ? М и v ? Л4а(Х) равенство
[ fn(x)»{dx)= [ fn(x)v(dx),
Jx Jx
VnelN,
влечет включение v ? M. Аналогично определяется свойство быть
счетно-определенным в Л4+(Х).
Легко видеть, что для компактного пространства X множество
Л4+(Х) счетно-разделимо, если и только если X метризуемо (см.
задачу 8.10.71). Следующая простая лемма из Koumoullis [1076] полезна в
таких рассмотрениях.
8.10.34. Лемма. Пусть Н — счетное семейство ограниченных
бэровских функций на топологическом пространстве X. Тогда
существует счетное множество К С Сь{Х) со следующим свойством:
если для пары бэровских мер fj. и v на X выполняется равенство
I ф) fiidx) = [ ф) v{dx), V<p ? К,
Jx Jx
то это равенство выполняется и для всех h ? Н вместо (р.
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай, когда Н
состоит из одной функции ft. Класс Н бэровских функций ft, для
которых утверждение верно, содержит Сь(Х), является линейным
пространством и замкнут относительно поточечных пределов равномерно
ограниченных последовательностей. По теореме 2.12.9 класс Л
совпадает с классом всех ограниченных бэровских функций. ?

8.10. Дополнения и задачи 261
Из леммы ясно, что в определениях счетно-разделимых и счетно-
определенных множеств можно рассматривать ограниченные бэровс-
кие функции (или даже последовательности бэровских множеств).
Поскольку компактное пространство К метризуемо в точности
тогда, когда оно обладает счетным семейством непрерывных функций,
разделяющих точки К, то ясно, что компактное (в слабой топологии)
множество М С Ма(Х) счетно-разделимо, если и только если оно
метризуемо. Согласно [1083, предложение 2.3], компактное множество
М С Ма(Х) счетно-определено, если и только если оно есть
G&-подмножество М.а{Х) (и аналогично для множеств в ЛЛ^{Х)). Ясно, что
эти утверждения могут оказаться неверными для некомпактных
множеств (например, обычно АЛа(Х) неметризуемо в слабой топологии).
Следующий результат (см. KoumouUis, Sapounakis [1083, теорема 4.1])
описывает положение для всего пространства мер. Напомним, что
пространство У называется счетно-субметризуемым, если существует
последовательность непрерывных функций, разделяющих точки У
(другими словами, непрерывная инъекция У —> Ш°°).
8.10.35. Теорема. Пусть X — хаусдорфово пространство и s —
один из символов а, т или t. Следующие утверждения равносильны:
(i) M.S{X) счетно-разделимо;
(ii) Л4+(Х) счетно-разделимо;
(Ш) Сь(Х) сепарабельно в топологии а(Сь(Х),Л4в(Х));
(iv) MS{X) счетно-субметризуемо;
(v) каждая точка в ЛЛВ(Х) есть Gs-мноэюество.
Кроме того, для s = t условия (i)-(v) равносильны тому, что X
счетно-су бметризуемо.
8.10(vii). Меры Янга
Пусть (П, В) и (S, Л) — два измеримых пространства и пусть [л —
ограниченная положительная мера на В. Обозначим через У (О., /х, S)
множество всех положительных мер v на В®Л таких, что образ и при
естественной проекции П х S —» Q, совпадает с /х. Меры из У{?1, ц, S)
называются мерами Янга. Типичный пример меры Янга: мера v :=
fi о F~x, где F: il —> flxS, F(x) = (ж,u(x)) и и: О. —* S — измеримое
отображение. Такая мера и называется мерой Янга, порожденной
отображением и. Меры Янга полезны в вариационном исчислении; имеется
некоторая связь между сходимостью отображений и сходимостью
порожденных ими мер Янга. Простой пример этой связи указан в задаче
8.10.76; дополнительная информация приведена в Giaquinta, Modica,
Soucek [826], Valadier [1667], [1668]. С мерами Янга частично связан
также материал следующего раздела и §9.12(vii).

262 Глава 8. Слабая сходимость мер
8.10.36. Предложение. Пусть /х — вероятностная мера
Радона на хаусдорфовом пространстве П, ип — измеримые отображения
из Q в сепарабелъное метрическое пространство S и пусть vn —
соответствующие меры Янга. Пусть Ф: fix5 -» Ж - B®B(S)-
измеримая функция, такая, что для всякого фиксированного х
функции у н-» Ф(а:,у) непрерывны и последовательность Ф-(х,ип(х))
равномерно ^-интегрируема. Предположим, что меры vn сходятся слабо к
мере v. Тогда функция Ф v-интегрируема и
/ Ф<й/ = lim I V(x,u„(x))u(dx).
Jnxs n_>0° Jti
Доказательство можно найти в Valadier [1667, теорема 17].
8.10.37. Лемма. Пусть ц, — радоновская мера на топологическом
пространстве П и U С Ьг(р) — ограниченное по норме множество.
Тогда соответствующее множество мер Янга ии, и € U,
равномерно плотно на Qx]R. Если и сосредоточена на счетном объединении
метризуемых компактных множеств, то для всякого е > 0 можно
найти такое метризуемое компактное множество Ке с П х И1, что
1>и((ПхШ)\КЕ) < е для всех u€U.
Доказательство. Пусть 7г„ — проекция vu на Ш.. Заметим, что
sup / |i|7ru(ctt) = sup / \t\uu(duidt) = sup / \u\dfj,
< sup \\u\\L4lt) < oo.
Значит, проекции мер uu на ffi. образуют плотное семейство. Проекция
на П есть плотная мера ft. Теперь применима лемма 7.6.6. ?
Следующий результат показывает, что меры Янга, не порождаемые
отображениями, возникают естественным образом как пределы мер
Янга, порождаемых отображениями.
8.10.38. Предложение. Пусть вероятностная радоновская
мера ц на вполне регулярном пространстве Q сосредоточена на счетном
объединении метризуемых компактов. Предположим, что
последовательность {ип} сходится слабо в Ьх{ц) к функции и, но не
сходится по норме. Тогда последовательность порожденных мер Янга ип на
fix И1 имеет подпоследовательность, которая сходится слабо к
некоторой мере Янга v, не порождаемой никакой функцией.
Доказательство. Последовательность {ип} равномерно
интегрируема. Согласно нашему предположению, найдутся с > 0 и
подпоследовательность иПк, такие, что \\и — «пЛь»о*) ^ с для всех к. Пользуясь

8.10. Дополнения и задачи
леммой 8.10.37 и теоремой 8.6.7, можно найти дальнейшую
подпоследовательность (также обозначаемую через иПк), для которой
соответствующие меры Янга сходятся слабо к некоторой мере v. Ясно, что v — мера
Янга. Предположим, что v порождается некоторой измеримой
функцией v. В силу задачи 8.10.76, последовательность {иПк} сходится по
мере, значит, по теореме Лебега-Витали она сходится по норме. Тогда
ее предел по норме должен быть равен и — противоречие. ?
8.10(viii). Метрики на пространствах мер
Выше уже обсуждались метрики Леви-Прохорова и Канторовича-
Рубинштейна на пространстве вероятностных мер на метрическом
пространстве (X, d). Здесь приведены дополнительные результаты об этих
метриках.
8.10.39. Теорема. Для всяких двух вероятностных мер Радона
ц и и на метрическом пространстве X справедливы следующие
соотношения между метриками Леви-Прохорова и
Канторовича-Рубинштейна:
^оЩ) < И" - "«к < И/* - И1о < Мя(* и). (8.10.1)
Кроме того, \\ц - И1вь ^ 2dp(fi, v).
Доказательство. Пусть dp([i,v) > г > 0. Из определения dp
ясно, что можно считать, что найдется замкнутое множество В с ц(В) >
v(BT) + г. Существует лишпицева функция / с |/| < 1, \f{x) — f(y)\ <
^2d{x, у)/г, равная 1 на В и —1 вне Вг. Тогда
A + 2/г)||/х-И1вь^ / fd{ii-u)
Jx
* (f + 1) d(ji -v)> 2ц{В) - 2v{Br) > 2r.
¦/,<
Следовательно, ||м —HIbl ^ 2r2/(l + r), откуда следует первое из нера-
'3.10.1) ввиду произвольности г < dp(fj., v).
Пусть теперь / G Lip^X), |/| < 1 и / f d(fi - v) > Зг > 0.
Положим Фм(?) = /х(/ < *)> Ф«/(*) = "(/ < t). Тогда, применив формулу
замены переменных и проинтегрировав по частям с учетом равенств
Фй(-1-) = Ф„(-1-) = 0 и ФмA+) = Ф„A+) = 1, получаем
/ [Ф„(*)-Ф„(*)] dt = J Ы(Ф„-Ф„)(*) = f fdfjx-u) > Зг. (8.10.2)

264 Глава 8. Слабая сходимость мер
Покажем, что найдется такое т € [—1,1], что
Фи(т) > Фм(т + г) + г. (8.10.3)
Действительно, иначе Ф„(<) < ФД* + г) +г для всех t. Интегрируя по
[-1,1], имеем
Л1 ,1+Г
/ Ф„(*)<й^ / Фй(«)Л + 2г.
J-l J-1+r
Поскольку Фм(*) = 1 при t > 1, то из предыдущего неравенства
получаем
/ $„(*)<&< /" Ф„(*)<й + 3г
вопреки (8.10.2). Положим В := /"^([О.т)). Тогда Бг С /_1([0,г + г)),
ибо / € Lipx(X). Поэтому (8.10.3) дает v{B) > ц(Вг) 4- г, т.е. получаем
dp(n,v) ^ г. Доказанное приводит к последней оценке в (8.10.1)
путем выбора Зг, достаточно близких к ||/х — j/||0. Последнее утверждение
теоремы доказывается аналогично с учетом того, что при ||/||вь = 1
функция / липпшцева с константой 1 — sup |/(х)|. ?
Обозначим через Mi(X) множество всех борелевских
вероятностных мер на X, для которых функции х ¦-»¦ d(x,xo) интегрируемы при
всех хо € X (ввиду неравенства треугольника достаточно, чтобы была
интегрируемость при некотором хо)- На множестве Мх(Х) определена
следующая модифицированная метрика Канторовича-Рубинштейна:
||/x-i/|IS:=supj^MM-i/): /eLiPl(X)j.
Ясно, что \\ц - i/||o < \\й - И1о> причем \\ц - i/||J < / d(x, о) (ц + */)(<?г)
для всякого а ? X, ибо /(#) можно заменить на /(х) — /(а) в силу
равенства fi(X) = v{X) и \f{x) - /(а)| < d(x,a). Если диаметр X не
превосходит 1, то ||/д - i/||0 = ||м - HIoj поскольку \f(x) - f(a)\ ^ 1.
8.10.40. Лемма. Для всех ц, v € Mj.(.X") имеем
llM-HIS = WW)-sup{y fd» + Jgdv: (8.10.4)
/,ffeCW,/(*) + ff(y)<«l{*,ji)}.
Доказательство. С одной стороны, имеем ||/х — i/||J < W(/x, г^)т
ибо /(ж) - /(у) < d(x,y) при / € Lipx(X) и можно взять д(у) = -/(у).

8.10. Дополнения и задачи
С другой стороны, если /яд таковы, что f(x) + д(у) < d(x,y), то
положим h(x) = inf [d(x, у) - д(у)). Тогда / < h < -д и
h(x) — h{x') ^ sup[d(x, у) — d(x',у)\ < d{x, х') для всех х, х1,
v
т.е. h е Lipx(X). Кроме того, I fd(i+ / gdi/ < / hd(fj. — v). Итак,
равенство (8.10.4) доказано. ?
Следующий результат дает еще одно выражение для \\i — v\\q.
8.10.41. Теорема. Расстояние Канторовича-Рубинштейна
между двумя вероятностными меры Радона ц и v из класса М\{Х)
может быть представлено в виде
\\ц - HIS = W(p, v) := inf / d(x, у) X(dx, dy), (8.10.5)
A6Af(м,") JxxX
где M(fi, v) — множество всех таких вероятностных мер Радона А на
ХхХ, что проекции А на первый и второй сомножители есть ции.
При этом существует мера Ао € М(ц,и), на которой достигается
значение W(fi, v).
Доказательство. Заметим, что ||/х — j/||5 ^ W(ji,v), ибо для всех
А е M(fi, и) и всякой функции / G Lipx(X) имеем
I fd{p-v)= I [f{x) - /(у)] X(dx, dy) < / d(x, у) X(dx, dy).
JX JXxX JXxX
В случае конечного пространства X теорему предлагается доказать в
задаче 8.10.102. В общем случае найдем две последовательности
вероятностных мер (in и i/n с конечными носителями Хп, которые слабо
сходятся к /х и v соответственно, причем обе последовательности
равномерно плотны. Можно считать, что все Хп содержат фиксированную
точку а. Пусть А„ € М(цп, i/n) — вероятностная мера на Хп х Хп с
Последовательность мер Ап с равномерно плотными проекциями также
равномерно плотна на X. Переходя к подпоследовательности, можно
считать, что меры А„ слабо сходятся к мере А на X х X. Ясно, что
А € М(/х, v). В силу радоновости мер ц и v пространство X можно
считать сепарабельным. Для каждого п имеется такая лшпшщева с

266 Глава 8- Слабая сходимость мер
константой 1 функция /п на Хп, что /п(а) = 0 и
jx fn d(nn - vn) = ||/i„ - i/n||S = W(»n, „„)
= I d(x,y)Xn{dx,dy). (8.10.6)
JxxX
Функции fn можно продолжить на все пространство X с сохранением
лишпицевой константы (см. задачу 8.10.61). Обозначив продолжения
также через /„, выберем из {/„} подпоследовательность, сходящуюся
на счетном всюду плотном множестве. В силу равномерной липшице-
вости эта подпоследовательность, обозначаемая также через {/п},
сходится в каждой точке. Ясно, что предел / этой подпоследовательности
оказывается лишпицевой с константой 1 функцией и /(а) = 0. По
теореме 8.2.16 получаем
lim / fn d(fin - vn) = I fd(n - v). (8.10.7)
»->°° Jx Jx
Кроме того,
/ d(x, у) X(dx, dy) < lim inf / d(x, y) \n (dx, dy)
JxxX n_*°° JxxX
в силу непрерывности функции d (см. задачу 8.10.63). Следовательно,
с учетом (8.10.6) и (8.10.7) получаем
W(n, и) < ( d(x, у) X(dx, dy)< f f d(/x - и) < Ил* - hi;.
Jxxx Jx
Поскольку Wfj, — i/||q < W(n,v), то в предыдущей цепочке неравенств
стоят равенства. ?
Во многих интересных случаях меру Ао, на которой достигается
экстремум, можно получить в виде /хоф с некоторым измеримым
отображением Ф: X —> X х Y, причем при определенных условиях (но,
разумеется, не всегда) отображение Ф может быть даже записано в виде
Ф(х) = (х, F(x)) с некоторым отображением F: X —> У. Это связывает
данную задачу с изучением преобразований мер, поскольку v = /xoF-1.
Следует еще добавить, что при широких предположениях F
оказывается достаточно регулярным отображением (например, дифференциалом
или субдифференциалом выпуклой функции). К сожалению, здесь нет
возможности углубляться в это интересное направление на стыке
теории меры, вариационного исчисления и теории нелинейных
дифференциальных уравнений. Заинтересовавшийся читатель может обратиться
к работам Судаков [302], Brenier [522], Cafarelli [549], McCann [1237],
Rachev, Ruschendorf [1392].

8.10. Дополнения и задачи 267
Приведем одну интересную теорему Штрассена [1580]
(доказательство можно найти также в книге Dudley [688, §11.6]).
8.10.42. Теорема. Пусть у, и v — вероятностные меры Радона
на метрическом пространстве (X,d). Тогда найдутся такие
вероятностное пространство (П, Т, Р) и измеримые отображения f ип из
Q вХ, что/х = Ро?~1, 1/ = Рот)-1 udP(n,v) = К(ц,и), где К(ц,и) -
метрика Ки Фаня, задаваемая формулой
К(?,п):=ы{е>0: P(d(?,r,) > е) <е}.
Ряд интересных результатов о мерах с заданными проекциями на
сомножители приведен B_§9-12(vii).
8.10(ix). Равномерно распределенные последовательности
Интересным понятием, связанным со слабой сходимостью мер,
является равномерная распределенность. Приведем ряд основных
фактов, относящихся к этому понятию, отсылая читателя за
подробностями к книгам Hlawka [934], Kuipers, Niederreiter [1091], где приведена
и обширная библиография. Отметим лишь, что еще в начале XX века
П. Боль, В. Серпинский и Г. Вейль (см. [1707]) изучали равномерно
распределенные последовательности чисел, а в 50-х годах было
начато изучение их аналогов в топологических пространствах (см. работу
Hlawka [933]).
8.10.43. Определение. Последовательность точек хп в
топологическом пространстве X называется равномерно распределенной
относительно вероятностной борелевской (или бэровской) меры и наХ,
если меры FХ1 Н \- бХп )/п слабо сходятся к ц.
Таким образом, требуется, чтобы для всех / € Сь(Х)
n^oo n Jx
Важнейший пример равномерно распределенной
последовательности был указан независимо П. Болем, В. Серпинским и Г. Вейлем
(обоснование — задача 8.10.94).
8.10.44. Пример, (i) Для всякого иррационального числа в G
@,1) последовательность хп := пв — [пв] является равномерно
распределенной относительно меры Лебега на [0,1].
Из свойств слабой сходимости ясно, что для всякой равномерно
распределенной последовательности {хп} величины п-1 $3 f{xi) сходятся
к интегралу от / и для всех интегрируемых по Риману функций /.

268
Глава 8. Слабая сходимость мер
Заметим, что если {хп} — равномерно распределенная
последовательность для меры Радона /л на вполне регулярном пространстве X
и Т: X —> Y — такое борелевское отображение в пространство У, что
множество точек разрыва Г имеет /i-меру нуль, то до Г-1 — мера
Радона и последовательность {Т(хп)} равномерно распределена
относительно fj, о Г-1 (см. теорему 8.4.1). Это простое соображение вместе
с теоремой 9.12.20 позволяет строить равномерно распределенные
последовательности на многих пространствах. Сам же факт
существования таких последовательностей проще выводить из приводимой ниже
теоремы общего характера, доказанной в Niederreiter [1299] и
опирающейся на следующую комбинаторную лемму.
8.10.45. Лемма. Пусть X — непустое множество. Для каждой
вероятностной меры v с конечным носителем {z\,..., Zk} С X
существует такая последовательность {уп} с уп G {zi,...,Zk}, что для
всякого множества М С X и всякого N е IN верно неравенство
IMM.^CM (8.10.8)
где S„(M, {!,„)) := ? Ыу„) и СМ = (к - 1)*.
Доказательство. Предположим, что нашлась такая
последовательность {уп}, что
|*^i)-^)|<*^, Vi<*,Vtf>l. (8.Ю.9)
Тогда в качестве C(v) можно взять (ft — l)ft. Действительно,
поскольку Уп ? {zi,---,Zk} и ц сосредоточена на {z\,... , zjt}, то
достаточно проверять (8.10.8) для множеств М С {z\,...,Zk}, а тогда ввиду
(8.10.9) левая часть (8.10.8) оценивается через к(к - 1OV_1. Теперь
индукцией по к покажем, что можно добиться выполнения (8.10.9). Если
к = 1, то годится последовательность уп = z\. Предположим, что
наше утверждение верно для к — 1. Пусть i/(zi) = А* > 0, г = 1,..., ft.
Рассмотрим вероятностную меру и' с носителем в точках zi,..., Zk-i
и v'{zi) = Aj(l — А*;)-1. По предположению индукции найдется такая
последовательность {у'п}, что у'п ? {zi,..., zjt-i} и
\^Ш-^)\^к-^, v*o-i,Viv>i.
Теперь зададим последовательность {уп} следующим образом: если п =
[шA — А&)-1] при некотором т € JN, где [р] есть целая часть р, то
положим уп := у'т, а иначе положим уп := у'к. Отметим, что такое
т единственно. Проверим (8.10.9). Рассмотрим случай г < ft — 1. Тогда

8.10. Дополнения и задачи
Sn(zi, {уп}) равно числу таких натуральных т, что [rn(l—А&) *] ^ N и
у'т = Zi. Поэтому SN(Zi, {уп}) = SL(zit {у'п}), где L = [(iV+l)(l-Afe)]-?
и ? = 1 или 0 в зависимости от того, является ли число (N +1)A — А&)
целым или нет. Таким образом,
4|^р-^,| + ^)|^-A-л,,|
* Чг + ф^И1 - л*> - К"+чч - л«I+4
Осталось заметить, что второе слагаемое в правой части оценивается
через N'1, ибо число |ЛГA - А*,) - [(N + 1)A - A*)] + е| равно А*, если
(iV+l)(l-Afc) — целое, а в противном случае это число не превосходит 1.
Наконец, рассмотрим точку zk. Так как Sw(zk, {уп}) = N — L, где
L определено выше, то
\SN(zk,{yn}) | | L|<1
что завершает доказательство. ?
8.10.46. Теорема. Пусть ц — радоновская (или т-аддитивная)
вероятностная мера на вполне регулярном пространстве X. Тогда
существование равномерно распределенной относительно ц
последовательности равносильно существованию слабо сходящейся к ц
последовательности вероятностных мер с конечными носителями.
Доказательство. Если {хп} — равномерно распределенная
последовательность, то меры n~xEXl Н \-8хп) имеют конечные
носители и слабо сходятся к ц. Обратное утверждение не столь просто. Пусть
вероятностные меры y.j с конечными носителями слабо сходятся к /х.
По доказанной выше лемме для каждого j найдутся число С, := C(hj)
и последовательность {у^} такие, что для всех М С X и N eJN
|*??Ёй)-Л(ю|<а
Для каждого j возьмем натуральное число Tj > j(C\ Л Ь Cj+\).
Теперь следующим образом выберем нужную последовательность {хп}.
Каждое натуральное число п единственным образом записывается в
виде п = ri Н h rj-i + s, где j G IN и 0 < s ^ rj, причем полагаем
го := 0. Пусть хп := у{. Полученная последовательность — искомая.
Действительно, пусть множество М имеет границу /г-меры нуль.
Всякое натуральное число N > г\ записывается в виде N — г\ Н \-гк +г,

270 Глава 8. Слабая сходимость мер
0 < г ^ r/t+i. Тогда, как нетрудно проверить, имеем
SN(M, {*„}) = ? Sri (М, Й) + Sr(M, {у!?1}).
Следовательно,
&^_^_?а(Ьй?Ш_ЛA0)
i=i j
+ r_^sr(M,{ykn+1}) _ ^^ j^ грАМ) + ^k+l(M) - мм),
что оценивается по абсолютной величине через
1 fc+1 . к
^ л+Ь(Ег^(м)+rMit+i(M)) ~ м(мI-
При N -* сю имеем также fe —> оо. Поэтому первый член в правой части
полученной оценки стремится к нулю. Второй член также стремится к
нулю, поскольку Hj(M) —> ц(М) в силу слабой сходимости и равенства
N=J2rj + r. ?
8.10.47. Следствие. Пусть X — вполне регулярное
пространство. Следующие условия равносильны:
(i) для всякой вероятностной меры Радона на X существует
равномерно распределенная последовательность,
(и) секвенциальное замыкание множества вероятностных мер с
конечными носителями равно МГ(Х).
В частности, для всякой борелевской вероятностной меры на вполне
регулярном суслинском пространстве найдется равномерно
распределенная последовательность.
Отметим, что в этом следствии важно иметь дело именно с
секвенциальным замыканием (множеством пределов всех сходящихся
последовательностей), а не с более широким замыканием в обычном
топологическом смысле, которое, как мы знаем, всегда совпадает с МГ{Х). Не

8.10. Дополнения и задачи
271
для всякой меры Радона на произвольном компакте существует
равномерно распределенная последовательность. Рассмотрим пример из
Losert [1163].
8.10.48. Пример. Пусть X = /Ж — стоун-чеховская компакти-
фикация ]N. Тогда на X существуют вероятностные меры Радона, не
обладающие равномерно распределенными последовательностями.
Доказательство. Покажем, что если ц — безатомическая
вероятностная мера Радона на /31N, то /х не имеет равномерно распределенных
последовательностей. Существование безатомических мер на /ЗК легко
усмотреть из теоремы 9.1.9, поскольку fffl можно непрерывно
отобразить на [0,1] (для этого положим /(п) = гп, где {гп} — все
рациональные числа из [0,1], а затем продолжим / до непрерывной функции
на 0JN со значениями в [0,1]). Если бы существовала
последовательность дискретных мер, слабо сходящаяся к ц, то в силу предложения
8.10.53 ниже мера ц была бы сосредоточена на счетном множестве, что
противоречит ее безатомичности. D
В работе Losert [1164] доказано следующее утверждение.
8.10.49. Предложение. Если квмпакт X таков, что
существует непрерывное отображение пространства {0,1}**1 ма X, где Ni —
наименьшая несчетная мощность, то всякая вероятностная мера
Радона на X обладает равномерно распределенной
последовательностью. В частности, это верно для [0,1]с в предположении гипотезы
континуума.
Дополнительную информацию о равномерно распределенных
последовательностях можно найти в цитированных выше работах, а
также в Losert [1165], Mercourakis [1246], Plebanek [1368], Sun [1590],
[1591] и в задачах 8.10.95 - 8.10.100.
8.10(х). Сходимость мер на множествах
Еще в 1916 году Г.М. Фихтенгольц (см. [325, §30], [744] и
комментарии к §§4.5-4.6 т. 1) открыл замечательный факт: если
интегралы функций /„ по каждому открытому множеству в отрезке сходятся
к нулю, то сходятся к нулю и интегралы по каждому борелевскому
множеству. Через 35 лет Дьедонне [660] доказал, что если
последовательность мер на метрическом компакте сходится на каждом
открытом множестве, то она сходится на каждом борелевском множестве.
Гротендик [868] перенес теорему Дьедонне на локально компактные
пространства. Метод Фихтенгольца можно модифицировать и для мер
Радона, а из его результата легко вывести результат Дьедонне ввиду
теоремы 9.6.3. Поэтому утверждение о том, что сходящаяся на открытых

272 Глава 8. Слабая сходимость мер
множествах последовательность радоновских мер сходится на всех бо-
релевских множествах, естественно называть теоремой Фихтенгольца-
Дьедонне-Гротендика. Позже несколькими авторами этот результат
был распространен на более общие случаи. Мы приведем
доказательство полезного обобщения, полученного в работе Pfanzagl [1344], а
затем упомянем и ряд других результатов.
8.10.50. Теорема. Пусть Uq — база топологии хаусдорфова
пространства X, замкнутая относительно счетных объединений.
Предположим, что последовательность радоновских мер fin сходится на
каждом множестве из Uq. Тогда она сходится на каждом борелев-
ском множестве.
Доказательство. Утверждение сводится к случаю, когда меры
Ип сходятся к нулю на каждом множестве из Uq. Действительно, если
утверждение неверно, то найдутся такие В е В{Х) и е > О, что для
всякого п существует к(п) >пс \fin(B) — fik(n)(B)\ > ?• Тогда
последовательность мер fin - Mfc(n) сходится к нулю на множествах из Wo, но
не на В.
Далее считаем, что /х„(?7) —> 0 при U € Wo- Пусть С — компакт.
Покажем, что для всякого е > 0 найдется такое U е Wo, что
CCU, \fin\(U\C)^e, У п. (8.10.10)
В противном случае при некотором е > 0 для всякого U G Wo с С с U
получим \fin\(U\C) > е для бесконечно многих п. В самом деле, если
бы множество таких номеров п было конечно и состояло из ni,..., п*,
то ввиду того, что Uq — база топологии, замкнутая относительно
конечных объединений, можно было бы найти такое множество V е Uq,
что С С V С U и ?*Li \Hm\(V\C) < е. Проверим, что найдутся
убывающая последовательность множеств Ui € Wo с С С Щ, множества
Vi € Uq с Vi С Ui-\\Ui и возрастающая последовательность номеров
щ, такие, что |мП4(^»)| > е/4 для всех г. Построение ведется по
индукции. В качестве Uo возьмем какое-нибудь множество из Uq,
содержащее С. Пусть Ui, Vi и щ найдены для г = l,...,j — 1. Согласно
сказанному выше, найдется щ > nj-i с |/*пл.|(?/,-_!\С) > е. Возьмем
компактное множество С,- С ?/,_ДС с \fini(Cj)\ > е/2. Компакты С и
Cj не пересекаются и потому обладают дизъюнктными окрестностями.
Поэтому можно найти такие множества Uj, Vj € Wo, что Uj DVj = 0,
С С С/,- С Uj-u Cj С Vj С Uj-i и \finjKVj\Cj) < e/4. Ясно, что тогда
Vj С Uj^\Uj и \fini(Vj)\ > |A4-(Q)I - KI(^\Cj) > e/4- В построен-
ной последовательности множества V. дизъюнктны, ибо Vi С Ui-\\Ui.
Согласно задаче 8.10.103 найдется такое бесконечное множество S С М,
что inf \fini (Ujes Vi) | > 0- Поскольку Ujes V G ^o, получаем
противоречие, что доказывает (8.10.10).

8.10. Дополнения и задачи 273
Теперь покажем, что для всякого В G В(Х) и всякого е > 0
найдется такой компакт С С В, что |/j„| (.В\С) < е для всех пбЖ Вместе
с (8.10.10) это даст сходимость к нулю мер цп на В. Предположим,
что для некоторых В G В{Х) и е > 0 такого компакта не
существует. Ясно, что тогда для всякого компакта С С В для бесконечного
множества номеров п получим |/х„| B?\С) > е. Покажем, что это дает
последовательность дизъюнктных компактов d С В и
последовательность номеров щ с |/ini|(d) > е/2 для всех i. Эти последовательности
строим по индукции, полагая Со = 0. Если d и 1ц уже найдены при
г ^ j — 1, то в силу компактности Kj :— С\ U • • • U Cj_i и сказанного
выше, найдется rij > n_,_i с \ft„:i\(B\Kj) > е. Затем находим компакт
Cj С B\Kj с \^{С})\ > е/2. Соотношение (8.10.10) влечет сходимость
мер Цп к нулю на каждом компакте. Еще раз применяя задачу 8.10.103,
получаем бесконечное множество D С Ш с
*:=bfMUi€DC;)|>o.
В силу (8.10.10) для каждого j найдется Vj G Uq с Cj С 1^ и
K|(^\Ci)<<J2-^1
при всех n G IN. Тогда |Ain|(Uj€?> ^"\U,€D Cj") < <ty2 Для всех n € N.
Значит, |/tni (Uj€i> Vjf) | ^ J/2 при всех t e D — противоречие. D
Меры n„, задаются плотностями /„ относительно некоторой
ограниченной радоновской меры v (например, вида Yln°=i CnU*n|)> а из теоремы
4.5.6 вытекает, что функции /п равномерно интегрируемы и сходятся к
некоторой функции / G Lx{y) в слабой топологии Lx(y). В частности,
сходимость цп имеет место даже на более широком классе, чем В{Х).
При этом предел цп является радоновской мерой. Наконец, из теоремы
следует также и тот совсем не очевидный факт, что меры цп
равномерно ограничены. Однако последнее можно получить и при более слабом
условии.
8.10.51. Следствие. Пусть Uq — база топологии хаусдорфова
пространства X, замкнутая относительно счетных объединений, и
семейство М радоновских мер на X таково, что
sup{|/x(?/)|,/zG М} <оо для всех U^Uq.
Тогда семейство М ограничено по вариации.
Доказательство. Достаточно иметь дело с последовательностью
мер fin, ограниченной на каждом U G Uq. Если она не ограничена по
вариации, то можно считать, что ||/*„|| ^ п. Тогда последовательность
п~г12Цп сходится к нулю на Щ. По доказанной теореме она сходится
к нулю на каждом борелевском множестве, что в силу следствия 4.6.4
дает ограниченность по вариации вопреки оценке Цп-1/2/^ || > п1?2. ?

274 Глава 8. Слабая сходимость мер
8.10.52. Теорема. Пусть М — ограниченное множество радонов-
ских мер на хаусдорфовом пространстве X. Тогда М имеет
компактное замыкание в топологии сходимости на борелевских множествах
в точности тогда, когда lim 8ирд€М \ц{Кп)\ = 0 для всякой
последовательности попарно непересекающихся компактных множеств Кп.
Если X регулярно, то это равносильно также тому, что для
всякой последовательности попарно непересекающихся открытых
множеств Un справедливо равенство lim sup^gj^ \fi{Un)\ = 0.
Доказательство. Первое утверждение вытекает из леммы 4.6.5
и радоновости мер. Необходимость второго условия также ясна из этой
леммы. Для доказательства достаточности заметим, что для
всякого компакта К и всякого е > 0 найдется такое открытое множество
U Э К, что \и\(U\K) ^ е для всех fj, е М. В противном случае
положим V\ = X и возьмем меру ц\ € М с |/xi|(Vi\iir) > е. В множестве
V\\K возьмем компакт 5 с ImiK^) > е. Компакты S иК имеют
непересекающиеся окрестности U\ и Х^. Затем повторяем построение для Р->
и продолжаем его индуктивно, что дает последовательность попарно
непересекающихся открытых множеств Un и мер цп с |/хп|(#п) > ?
вопреки условию. Остается проверить, что lim sup^€M |^|(An) = 0 для
всякой дизъюнктной последовательности компактов Ап. Если это не
так, что для некоторого е > 0 найдутся меры Цк G М и индексы п* с
iMfcl(Aifc) > е. По доказанному найдется такая окрестность W\
компакта АП1, что 1/uKWiVAnJ < е/4 для всех fi е М. В силу регулярности
X найдется такая окрестность V\ компакта АП1, что V\ С W\.
Множества Ank\Wi — дизъюнктные компакты, причем \цк(АПк\\?\) > Зе/4
при к > 2. С помощью такого рассуждения по индукции строим
попарно непересекающиеся открытые множества Wk с |/Zfc|(Wfc) > е/2.
Полученное противоречие завершает доказательство. ?
Отметим, что теорема 8.10.50 теряет силу для произвольных
борелевских мер (задача 8.10.104). Однако радоновость мер можно
несколько ослабить за счет небольших ограничений на пространство.
Например, если X регулярно, а меры fin г-аддитивны, то, как показано в
Adamski, Ganssler, Kaiser [386], сходимость на каждом открытом
множестве влечет сходимость на каждом борелевском множестве (более
того, достаточно сходимости на каждом регулярном открытом
множестве, т.е. множестве, равном внутренности своего замыкания). В этом
случае говорят, что класс открытых множеств является классом
сходимости. Если X вполне регулярно, а меры /х„ т-аддитивны, то
классом сходимости является класс функционально открытых множеств,
см. [386]. Если же рассматривать бэровские меры цп, то, согласно
Landers, Rogge [1104], сходимость на функционально открытых
множествах влечет сходимость на всех бэровских множествах для всякого

8.10. Дополнения и задачи
275
топологического пространства. Более специальные результаты в этом
направлении и дополнительные ссылки можно найти в Саженков [275],
Adamski, Ganssler, Kaiser [386], Ganssler [807], [808], Landers, Rogge
[1104], Rogge [1455], Stein [1569], Tops0e [1636], Wells [1704].
Мы знаем, что сходимость на множествах влечет слабую
сходимость мер, но обратное, вообще говоря, неверно. Однако имеется класс
пространств, для которых верно и обратное. Напомним, что
компактное пространство X называется экстремально несвязным, если
замыкание всякого открытого множества открыто (см. Энгелькинг [373,
с. 540]). Это равносильно тому, что замыкания непересекающихся
открытых множеств в X не пересекаются. При этом в X имеется база
топологии, состоящая из множеств, которые одновременно открыты и
замкнуты. Следующий результат получен в Grothendieck [868].
8.10.53. Предложение. Пусть X — экстремально несвязный
компакт. Тогда всякая слабо сходящаяся последовательность мер
Радона сходится ма каждом борелевском множестве. В частности, это
верно, если X = /Ш есть компактификация Стоуна-Чеха IN.
Доказательство. Можно считать, что наша последовательность
мер /х„ слабо сходится к нулю. Предположим, что дана
последовательность попарно непересекающихся открыто-замкнутых множеств Vk- В
силу слабой сходимости мер к нулю и непрерывности Iyk для всякого к
имеем lim fin(Vk) = 0. Кроме того, для всякого подмножества S С IN
замыкание Z(S) открытого множества Ufces ^ открыто (по
определению экстремальной несвязности) и потому lim /xn(Z(S)) = 0. При
этом для дизъюнктных множеств Si и 5г множества Z{Si) и 2,Eг)
дизъюнктны и Z(Si U 5г) = Z(Si) U Z(S2)- Таким образом, на
множестве всех подмножеств IN определены аддитивные функции i>k(S) :=
Hk(Z(S)), причем lim vn(S) = 0 для всех 5 С IN. По лемме Филлипса
4.7.40 получаем lim ?~х |i/n(fc)| = 0. Значит, lim nn([JT=ivk) = 0.
Остается заметить, что для всякого открытого множества U в X
можно найти такую последовательность дизъюнктных открыто-замкнутых
множеств Vk С U, что \^n\(U\\Jk^=1Vk) = 0 для всех п. Для этого
следует взять меру v := 13^=i2_n(||Mn|| + 1)-1|Мп|, найти открыто-
замкнутое множество V\ С U с v(U\Vi) < 1/2 (что возможно ввиду ра-
доновости и и существования базы из открыто-замкнутых множеств),
затем найти открыто-замкнутое множество V^ в открытом множестве
U\ := U\Vi с v(U\\V\) < 1/4 и т.д. Из доказанного следует, что
справедливо равенство lim цп{и) =0. ?
В работе Ressel [1428] исследована измеримость отображений вида
(j, н-> [i(A). Вот некоторые из результатов этой работы.

276
Глава 8. Слабая сходимость мер
Пусть X — хаусдорфово пространство и К(Х) — множество всех его
компактных подмножеств. Пространство К.(Х) можно наделить
естественной топологией (топологией Виеториса, см. Федорчук, Филиппов
[322, гл. 4]), порожденной множествами вида {К е К.(Х): К С U} и
{К е К(Х): К Л U ф 0}, где U С X открыто. Если X — польское
пространство, то таково и К(Х) с указанной топологией.
8.10.54. Теорема. Пусть X — суслинское пространство и
пространство Л4+(Х) неотрицательных радоновских мер наделено
слабой топологией (А-топологией, если X не вполне регулярно).
(i) Если Y — польское пространство и /: Y —> X —
непрерывное отображение, то функция (ц,К) —> p(f(K)) на M+(X)x)C(Y)
полунепрерывна сверху.
(и) Если Ас X — суслинское множество, то функция ц>а : ц н->
ц(А) на М+(Х) является S-функцией, т.е. множества {ifA > t} —
суслинские для всех t € И1. Если А — множество из о-алгебры А,
порожденной суслинскими множествами, то функция фл измерима
относительно А.
8.10.55. Теорема, (i) Пусть X, Y, Z — суслинские
пространства u/: XxY —> Z — универсально измеримое отображение (т.е.
f~l(B) измеримо относительно всех борелевских мер на XхУ для
всех В 6 B(Z)). Положим fy(x) := f(x,y). Наделим пространства
мер А-топологией (в случае вполне регулярных пространств —
слабой топологией). Тогда отображение
F: M+(X)xY -» M+(Z), (/*,»)-»ДЛ,
универсально измеримо. Кроме того, если f непрерывно или борелево,
то таково и F. Наконец, если / измеримо относительно а-алгебры А,
порожденной суслинскими множествами, то этим свойством
обладает и F.
(и) Если, кроме того, Z = Ш.1 и функция f ограничена, то
функция Ф: M+(X)xY —vlR1, (/л,у) |—> / j(x,y)fi{dx), универсально из-
Jx
мерима. Если f А-измерима (или S-функция, или борелевская, или
полунепрерывна сверху, или непрерывна), то такова же и Ф.
Задачи
8.10.56? Доказать, что направленность {ха} элементов вполне
регулярного пространства X сходится к элементу х € X, если и только если меры
6Ха сходятся слабо к 5Х.
Указание: заметить, что если направленность ха не сходится кг, то
найдется ее поднаправленность х'а такая, что f(x'a) = 0 и f(x) = 1 для
некоторой функции / € Съ(Х).

8.10. Дополнения и задачи
8.10.57.° Пусть X — вполне регулярное пространство и {хп} — такая
последовательность в X, что последовательность мер 5Х„ слабо
фундаментальна. Показать, что последовательность {хп} сходится в X.
Указание: сначала заметим, что {х„} имеет предельные точки. В
противном случае можно найти такие попарно непересекающиеся окрестности
Un точек х„, что ип содержит замыкание меньшей окрестности Wn
точки хп- Для каждого п имеется функция /г, с 0 ^ /„ ^ 1, равная 1 в Х2п+\ и 0
вне Wbn+i- Функция /, равная /„ в Wbn+i и 0 вне объединения Wz-n+i,
ограничена и непрерывна, но интегралы по 5х2п+1 равны 1, а интегралы по 5Х2„
равны 0 — противоречие со слабой фундаментальностью. Легко проверить,
что не может быть двух различных предельных точек.
8.10.58.° Показать, что последовательность мер цп на пространстве IN
слабо сходится к мере ц в точности тогда, когда ||/х — M«|| —* 0.
8.10.59° Привести пример слабо сходящейся последовательности
знакопеременных мер Цп на [0,1], для которых функции распределения не
сходятся ни в одной точке некоторого меньшего отрезка.
Указание: рассмотреть меры Цп '¦= Sx„ — <5у„, где последовательность
отрезков [хп,Уп] получена следующим образом: для каждого п берем
последовательные отрезки длины 2_п с концами в точках вида к2~п и нумеруем
эти отрезки подряд. Меры /х„ слабо сходятся к нулевой мере, а функции J*),,,
не сходятся в точках @,1).
8.10.60.° Привести пример последовательности вероятностных мер /х„
на отрезке [0,1], заданных гладкими равномерно ограниченными
плотностями дп относительно меры Лебега и слабо сходящихся к мере ц с гладкой
плотностью в, для которых функции дп не сходятся по мере.
Указание: рассмотреть Qn(x) = 1+sinnx и д(х) = 1.
8.10.61° Пусть X — метрическое пространство, (i) Пусть / —
ограниченная функция на множестве А С X с \f(x) — f(y)\ ^ d(x,y) для всех х,у € А,
где d — метрика на X. Положим д(х) := sup„€A(f(y)—d(x,у)). Проверить, что
д(х) = f(x) при х е A, sup \д(у)\ = вир^д |/(х)| и \д(х) - д(у)\ ^ d(x,y) для
у€Х
всех х,у € X. (ii) Доказать, что всякая ограниченная равномерно
непрерывная функция на X равномерно приближается ограниченными липшицевыми
функциями.
8.10.62.° Пусть X — бесконечное метрическое пространство. Показать,
что слабая топология на пространстве М„{Х) знакопеременных мер не мет-
ризуема.
Указание: рассмотреть случай счетного пространства, которое либо
дискретно, либо является последовательностью Коши.
8.10.63.° Пусть бэровские вероятностные меры цп на топологическом
пространстве X слабо сходятся к мере /in/ ^ 0 — непрерывная функция.
Показать, что / /d^^liminf / fdfi„.
Jx п^°° Jx
Указание: пусть fk = min(/, к). Тогда fk € Сь(Х) и для всех к € IN
/ fkdn= lim / fkdun < liminf / /<fyi„.

278 Глава 8. Слабая сходимость мер
8.10.64.° (А.Д. Александров [3, §17]) Пусть последовательность бэров-
ских мер Цп ^ 0 слабо сходится к мере ц и пусть Z и Zn, я 6 IN, — такие
функционально замкнутые множества, что для всякого п найдется такое го,
что Zn+k С Zn при всех к ^ т, причем n(Z) = lim n(Zn). Доказать, что
limsup fin(Zn) < n(Z).
8.10.65. (Варадарайн [63]) Пусть X — паракомпактное пространство и
т-аддитивные меры ц„, п € IN, слабо сходятся к бэровской мере ц. Доказать,
что (м имеет единственное г-аддитивное борелевское продолжение.
Указание: согласно задаче 7.14.119, топологические носители Sn мер
Ип линделефовы. Пусть Z — замыкание U^=i &»• Тогда Z также линделе-
фово. Действительно, пусть {Ut} — открытое покрытие Z. Как и в задаче
7.14.119, в него можно вписать открытое покрытие V, состоящее из
последовательности семейств V* = {Vi,a}, где при фиксированном /г множества Vk,a
открыты и дизъюнктны. При каждом к имеется лишь конечное или счетное
множество индексов а, с Z П Vk,ai ф 0, поскольку это верно для каждого
Sn вместо Z, а объединение всех Sn всюду плотно в Z. Получаем счетное
покрытие Z множествами Vk,aj, что влечет существование счетного
подпокрытия в {Ut}. В силу задачи 7.14.68 имеем \fj.\t(X\Z) = 0. Поэтому мера
ц оказывается го-аддитивной. Действительно, если X является
объединением возрастающей направленности функционально открытых множеств Ga,
то находим счетную последовательность Ga„, покрывающую Z, что ввиду
доказанного дает M(X\\J^=1Gaft) = 0. Значит, /х имеет единственное т-
адцитивное борелевское продолжение, см. следствие 7.3.3).
8.10.66. (А.Д. Александров [3], Варадарайн [63]) Пусть X —
паракомпактное пространство и т-аддитивные меры ц„, п € IN, слабо сходятся к
бэровской мере ц. Доказать, что для всякой направленности открытых
множеств Uа, возрастающей к X, равномерно по п имеем lim \fi„\(X\Ua) = 0.
Указание: в силу предыдущей задачи мера р также г-аддитивна и
существует ливделефово замкнутое подпространство Z С X с \ft\(X\Z) =
\fin\(X\Z) = 0 для всех п. Ограничения мер Цп на Z слабо сходятся к
ограничению меры ц (ибо всякая непрерывная функция на Z продолжается до
непрерывной функции на X). Поэтому все сводится к линделефову
пространству, что с учетом полной регулярности X сводит утверждение к случаю
счетной возрастающей последовательности функционально открытых
множеств Uk, когда применимо предложение 8.1.12.
8.10.67. Пусть X — некомпактное метрическое пространство. Показать,
что найдутся такие последовательность знакопеременных мер Цп и мера fi,
что интегралы по мерам Цп от каждой ограниченной равномерно
непрерывной функции / сходятся к интегралу от / по мере /х, но меры /м не сходятся
слабо к ц.
Указание: рассмотреть отдельно случаи, когда в X имеется счетное
подмножество точек с отделенными от нуля взаимными расстояниями и
когда есть фундаментальная, но не сходящаяся последовательность (см. также
Варадарайн [63, часть 2, теорема 4]).

8.10. Дополнения и задачи
279
8.10.68.° Пусть ц — вероятностная мера Радона на вполне регулярном
пространстве X тл. ? — некоторый класс борелевских множеств, замкнутый
относительно взятия конечных пересечений. Предположим, что для
всякого открытого множества U и всякого е > 0 можно найти такие множества
Ei,...,Ek € ?, что \Ji=1Ei С U и n(U\\JLiEi) < е- Доказать, что если
последовательность радоновских мер /х„ такова, что lim Цп(Е) = р(Е) для
всех Е 6 ?, то меры Цп слабо сходятся к ц. Доказать аналогичное
утверждение для бэровских мер и бэровских множеств.
Указание: заметить, что в доказательстве теоремы 8.2.11 достаточно
было представить U в виде объединения последовательности множеств из ?
с точностью до множества /t-меры нуль.
8.10.69. (Wichura [1713]) Пусть X — метрическое пространство с
метрикой d, (Г2, Р) — вероятностное пространство, ?п,?: О —> X — измеримые
отображения, Г„: X -+ X — борелевские отображения, причем для каждого
к меры Po(T„offc)-1 слабо сходятся к мере Po(Tnof )-1, последовательность
d(?, Т„ о f) сходится к 0 по вероятности и для всякого е > 0 справедливо
соотношение lim HmsupP(d(?fc,Tn о ?fe) ^ е) =0. Доказать, что меры Р о ?к
слабо сходятся к мере Р о ?.
8.10.70. Построить пример вполне регулярного пространства X, для
которого множество дираковских мер не замкнуто в J*A„ (X).
Указание: пусть ил — наименьшее несчетное порядковое число и X =
[0, ил) наделено порядковой топологией. Для всякой непрерывной функции
f на. X найдется такое т < ил, что / постоянна на [т,ил) (задача 6.10.74).
Пусть мера /х равна 0 на счетных множествах и 1 на их дополнениях. Тогда
ц определена на всех бэровских множествах. Направленность дираковских
мер 8a, a < ил, слабо сходится к /х, ибо если непрерывная функция / равна 1
на [т,ол], то она имеет интеграл 1 относительно меры ц (так как множество
[О, т) счетно) и мер 6a, а ^ т.
8.10.71? Пусть X — компактное пространство. Доказать, что множество
М„(Х) счетно-разделимо, если и только если Сь(Х) сепарабельно по норме,
что, в свою очередь, равносильно метризуемости X.
8.10.72° Пусть вероятностные бэровские меры /z„ на топологическом
пространстве X заданы плотностями дп относительно фиксированной
вероятностной бэровской меры v, причем для некоторого р € [1, +оо)
последовательность {дп} ограничена в Lp(i/).
(i) Показать, что при 1 < р < схз функции дп сходятся в слабой топологии
пространства Lp(v) к функции д € L"(v) в точности тогда, когда меры цп
слабо сходятся к мере д • v.
(ii) Показать, что из слабой сходимости функций дп к функции д в Ьг(и)
следует слабая сходимость мер ц^ к мере q ¦ и, но обратное неверно.
(ш) Привести пример, показывающий, что в случае, когда v — мера
Лебега на всей прямой и д — вероятностная плотность, из слабой сходимости
д„ к д в 1Р{у), р > 1, не следует слабая сходимость мер Цп к д ¦ v.
8.10.73. Пусть ограниченные (возможно, знакопеременные) меры \хп на
прямой заданы плотностями дп и слабо сходятся к мере /л с плотностью д,

Глава 8. Слабая сходимость мер
Доказать, что \\ц — Мп|| -+ 0.
Указание: см. Решетняк [255], Giaquinta, Modica, Soucek [826, v. 2, §3.4,
предложение lj.
8.10.74? Пусть X — локально компактное пространство и {(М%} — такая
последовательность радоновских мер ограниченной вариации на X, что для
некоторой ограниченной радоновской меры /х равенство
lim / (fdfin= I <pdp
n-.oo jx jx
верно для всякой непрерывной функции <р с компактным носителем.
Предположим, что.||р»11 —> ||м||- Доказать, что последовательность {ц„} плотна и
слабо сходится к /л.
Указание: для заданного е > 0 найти такой компакт К, что \ц\(К) >
\\ц\\ -ей \\ц„\\ < ||/х|| + е при всех п ^ пе; пусть / — такая
непрерывная функция с компактным носителем S, содержащим К, что |/| < 1 и
/ fdfi^ \ц\(К) — е; найдется такое е для
Jx Jx Jx
всех п ^ N; тогда |дп|E) > ||/Хт»|| — 4е при п ^ TV; теперь легко проверить
слабую сходимость к ц.
8.10.75.° Пусть Цп — борелевские меры на Ша с sup||/in|| < оо,
причем существует такая ограниченная борелевская мера ц, что
характеристические функционалы Jin мер (in поточечно сходятся к характеристическому
функционалу Д меры д. Доказать, что lim / ipdftn = I <pd(i для всякой
непрерывной функции <р с компактным носителем.
Указание: достаточно доказать указанное равенство для всякой
функции ifi € Co'(Rd), а тогда остается заметить, что преобразование Фурье !р
функции (р интегрируемо и
/ ?*<. = Bж)л/2 Г fam{y)dy^B*)d>2 [ mmdy,
Jk." Jnd Jwid
по теореме Лебега.
8.10.76. Пусть (S, d) — сепарабельное метрическое пространство и fi —
хаусдорфово пространство с вероятностной мерой Радона /i. Пусть {«„} —
последовательность измеримых отображений из П в S и пусть «оо —
измеримое отображение из П в S. Доказать, что отображения «« сходятся к «оо по
мере, если и только если порожденные меры Янга vn слабо сходятся к иж-
Указание: сходимость по мере влечет сходимость интегралов для
каждой ограниченной непрерывной функции ф на QxS, поскольку функции
ф(х, Un(x)) сходятся по мере к ф(х, и(х)) в силу задачи 7.14.83. Обратно, если
имеется слабая сходимость мер, то пусть ф(х,у) — min(l,d(uoo(a;), у)). Тогда

8.10. Дополнения и задачи
интеграл от гр относительно гл» равен нулю и интеграл относительно ип
равен / min(l, d(un, Uoo)) dfj,. Следовательно, чтобы показать, что w„ —»ttoo по
мере, достаточно установить сходимость dux. Если заменить
Moo непрерывным отображением v, то это очевидно. Остается применить
теорему Лузина, которая для каждого е > 0 дает множество Ecflc n(Q\E) < е
и непрерывное отображение v: П —> S, такое, что v = «оо на Е. Тогда
/ min(M(w(z),y)) un{dx) = / mm(l,d(v,un)) dp
отличается от / min(l, d(un, Uoo)) d\i не более чем на 2е и то же самое верно
in
для Uoo вместо ип.
8.10.77. (Hartman, Marczewski [901]) Пусть (Х,Л,ц) — вероятностное
пространство, (Y, d) — метрическое пространство и /, /„: X —> Y —
измеримые отображения, причем /„ —> / по мере, т.е. lim fj,(d(fn(x), f{x)) > еJ = О
для всех е > 0.
(i) Предположим, что Е € B(Y) и что граница Е имеет меру нуль отно-
о ц о /-1. Доказать, что lim ^(/^(Е) Д /-1(?)) = 0.
(ii) Показать, что если Y сепарабельно, то указанное в (i) свойство
равносильно сходимости /п к / по мере.
8.10.78.° (Д. Пойя) Пусть ц — вероятностная мера и /„,/ — такие
измеримые функции, что меры ц о /~* слабо сходятся к мере до/-1, которая
не имеет атомов. Доказать, что соответствующие функции распределения
сходятся равномерно.
8.10.79? Пусть ц — вероятностная мера и /„, / — такие интегрируемые
функции, что меры до/ слабо сходятся к мере до/-1. Показать, что если
последовательность {/п} равномерно интегрируема, то / fndfj, —* / fdfi.
Указание: для е > 0 найти С > 0 с
[ \fn\dfi<e/3, [ |/Jd/x < е/3,
положить <p(t) = sign(<) min(|t|, С), взять такое N, что при п^ N интегралы
от ip о /„ и ip о / отличаются не более чем на е/3, а затем заметить, что
J /„**- j fdi* = Jt^of-^dt)- Jtfiof-^dt),
f |(|Mo/-1(^)<e/3, / \t\nof-\dt)<e/3.
J\tfeC J\t\>c
8.10.80. (Borel [510], Gateaux [819]) Пусть /x„ — вероятностная мера
на Ип, полученная нормировкой поверхностной меры на сфере радиуса у/п
с центром в нуле. Доказать, что меры /z„, рассматриваемые как меры на

282 Глава 8. Слабая сходимость мер
Л°° (после естественного вложения Шп в Н°°), слабо сходятся к гауссовской
мере 7> равной счетному произведению стандартных гауссовских мер на ГО.1.
Указание: достаточно проверить слабую сходимость проекций на все
Ша с фиксированным d. Координатные функции х„ на (JR°°,7) образуют
последовательность независимых стандартных гауссовских случайных
величин. Пусть Сп := у/х\ Н 1- хп- Можно проверить, что образ меры 7 при
отображении у/п{х\, ¦ • ¦ ,хп)/Сп есть нормированная поверхностная мера на
сфере радиуса -Jn в И". Поэтому проекция этой поверхностной меры на Hd
совпадает с образом меры 7 при отображении /„ = -Jn{xi,..., Xd)/Cn из Ш°°
в Kd. При п->оов силу закона больших чисел имеем С,п/л/п —» 1 п.в. (см.
гл. 10). Поэтому меры 7°/пг на Ша слабо сходятся к проекции меры 7 на Md.
8.10.81. (Hoftmaun-J0rgensen [940]) Пусть даны прохоровские
пространства Х„ и непрерывные отображения /„ вполне регулярного пространства X
в Хп такие, что если множества Кп компактны в Х„, то H^Li /п Ч-^п)
компактно в X. Доказать, что X — прохоровское пространство и вывести из
этого утверждения (i)-(ii) теоремы 8.10.7.
8.10.82. Обосновать пример 8.6.8.
Указание: п~х ]C"=i &(^) ~* г А11* любо* открытой окрестности U
точки оо, для прочих открытых множеств Soo(U) = 0. Компактные множества
в указанной топологии конечны, ибо в бесконечной последовательности щ,
можно найти бесконечную подпоследовательность гц^ с тем свойством, что
дополнение U к {п*4 } открыто в рассматриваемой топологии. Тогда U и
точки Tiki образуют открытое покрытие {nk}U{oo}, из которого нельзя выбрать
конечное подпокрытие.
8.10.83. (Choquet [587], Fremlin, Garling, Haydon [796]) Пусть X -
метрическое пространство. Доказать, что каждое счетное множество в Mf(X),
компактное в слабой топологии, равномерно плотно.
8.10.84. Пусть X — вполне регулярное пространство, в котором
существует последовательность таких замкнутых меро-компактных
подпространств Хп, что всякая функция на X, непрерывная на каждом Хп,
непрерывна и на всем пространстве X. Предположим, что бэровские подмножества
Хп являются бэровскими и в X. Тогда пространство Mt(X) слабо
секвенциально полно.
Указание: как и в доказательстве предложения 8.10.9, дополнение
множества Y = \JnZ.1 Хп дискретно и всякое его подмножество — бэровское в X.
Можно заменить меры цп их (единственными) радоновскими
продолжениями. Все меры /i„ — чисто точечные на X\Y, а набор их атомов в X\Y есть
не более чем счетное дискретное подмножество АвХ. Как в доказательстве
предложения 8.10.9, |д| (X\(Y U А)) = 0. В частности, предельная бэровская
мера ц плотна на X\Y. Из наших предположений вытекает, что ограничение
fj, (которое корректно определено в силу бэровского характера вложения Хт)
плотно на каждом Хт. Следовательно, мера /и плотна на У, следовательно,
инаХ.
8.10.85. Обосновать второй случай в теореме 8.10.16.
Указание: см. Fremlin, Garling, Haydon [796].

8.10. Дополнения и задачи
8.10.86° (Dembski [646]) Пусть X — сепарабельное метрическое
пространство иС- некоторый класс борелевских множеств, определяющий
слабую сходимость, т.е. из сходимости fin{D) —> n(D) для всех D € Х>
следует слабая сходимость борелевских вероятностных мер ц„ к борелевской
вероятностной мере /х на X. Доказать, что тогда для всякой борелевской
вероятностной меры v подкласс ТУ', состоящий из множеств класса Т> с
границей ь»-меры нуль, также является классом сходимости.
Указание: если меры /z„ слабо сходятся к д, то для всякого е > 0 меры
A — ё)цп + ей слабо сходятся к ve := A — е)ц + ev, причем и ¦< и?.
8.10.87. Доказать предложение 8.9.6.
Указание: рассмотреть отображение (хп) ь-> Yln=i 2_п^»> см- Gromig
[864], Koumoullis [1076].
8.10.88? Пусть X — вполне регулярное пространство. Доказать, что
множество М С VT(X) относительно компактно в слабой топологии в точности
тогда, когда для всякой возрастающей к X направленности открытых
множеств Uа выполнено равенство sup inf n(Ua) = 1. Это равносильно также
a new
тому, что для всякой направленности ограниченных непрерывных функций
fa на X, убывающей к нулю, выполнено равенство inf sup / fa d/x = 0.
a pzmJx
Указание: необходимость легко проверяется, достаточность следует из
компактности шара в Съ{Х)* в *-слабой топологии и теоремы 7.10.7.
8.10.89. (РасЫ [1330]) Пусть X — полное метрическое пространство,
Ub(X) — множество всех ограниченных равномерно непрерывных функций
на X. (i) Доказать, что пространство Mt(X) всех радоновских мер на X
секвенциально полно в топологии <x(Ait(X), 17ь(Х)).
(ii) Доказать, что для каждого ограниченного множества М С Mt(X)
следующие условия равносильны: а) М относительно компактно по норме
Канторовича-Рубинштейна ||/х||о := sup< / fdfj,,f 6 АЛ, где Лх —
множество всех лшпшщевых с константой 1 функций / с sup |/| < 1; b) М
относительно счетно-компактно в топологии <r(M.t(X), Ub(X)).
8.10.90. (Haydon [910]) Показать, что в стоун-чеховской компактифи-
кации IN существует такое множество Z, что Vt(Z) ф PT(Z), хотя всякое
слабо компактное множество мер из Vt(Z) равномерно плотно.
8.10.91. (Lange [1108[) Пусть X — польское пространство и ц € V(X).
(i) Доказать, что следующие подмножества V(X) являются борелевскими в
V(X) со слабой топологией: {и € V(X): v < ц} и {и Е V(X): и ~ м}.
(ii) Если X локально компактно, то борелевскими являются также
следующие подмножества V{X): (а) меры с компактными носителями, (Ь)
меры с компактными связными носителями, (с) меры с заданным замкнутым
носителем, (d) меры с носителями, содержащимися в заданном замкнутом
множестве, (е) меры с носителями, содержащими заданное замкнутое
множество, (f) меры с носителями без внутренних точек, (g) меры с носителями
без изолированных точек, (h) меры с носителями из не более чем к точек. При
этом для не локально компактных пространств это может быть неверным.

284 Глава 8. Слабая сходимость мер
(Ш) Бели X = К™, то борелевскими являются множество вероятностных
мер с выпуклыми носителями и множество вероятностных мер, имеющих
конечный момент фиксированного порядка р.
8.10.92. Дана последовательность измеримых пространств (Х„, Ап) и
при каждом п на Ап даны две вероятностные меры Рп и Qn.
Последовательности {Qn} и {Рп} называются контигуальными (или взаимно-контигуаль-
ными), если при всех Ап € An условие Рп(Ап) —* 0 равносильно условию
Qn(An) -> 0. Положим А„ = (Р„ + Q„)/2, /„ = dP„/dXn, 9п = dQn/d\n,
А„ = log(p„//„) при f„gn > 0 и Л„ = 0 в противном случае. Доказать, что
следующие условия равносильны: (i) {Qn} и {Рп} контигуальны, (ii)
последовательность {РпоЛ^} плотна, (ш) последовательность {QnoA^1} плотна.
Указание: см. Русас [270, гл. 1].
8.10.93. Пусть X — сепарабельное банахово пространство и р, — боре-
левская вероятностная мера на X. Для всякого компакта К С X определим
функцию концентрации CM(Jf) формулой Ср(К) — sup ia(K + х). Доказать,
что следующие условия равносильны для всякой последовательности боре-
левских вероятностных мер дп на X: (i) sup inf С^п(К) = 1, где К. — се-
К€К п
мейство всех компактов в X, (ii) во всякой подпоследовательности в {рп}
имеется своя подпоследовательность {еп}, для которой при некотором
выборе векторов хп € X последовательность мер i/„( • +хп) равномерно плотна.
Указание: см. Хенгартнер, Теодореску [346, гл. 5], где можно найти
дополнительную информацию о функциях концентрации.
8.10.94. Обосновать пример 8.10.44.
8.10.95.° (Weyl [1707]) Пусть {хп} С [0,1). Доказать, что следующие
условия равносильны:
(i) последовательность {хп} является равномерно распределенной
относительно меры Лебега на [0,1),
(ii) для всех [а,/3] С [0,1] верно равенство Hm JV_1F(iV,o;,/?) = /3 - а,
где F(N, а, /?) есть количество таких n < JV, что а < х„ < /3,
(iii) Mm swp\N-lF(N,a,P)-C-a\ = Q,
(iv) для всякого целого т ф 0 имеем lim N~x ]Cn=i expBwtmxn) = 0.
Указание: равносильность (i)-(iii) легко усмотреть из общих свойств
слабой сходимости; (iv) следует из (i); наконец, из (iv) следует (i), ибо всякая
предельная в слабой топологии мера последовательности мер N 52„=1 $х„
дает такие же интегралы всем конечным линейным комбинациям функций
exp(i2wmx), что и мера Лебега, откуда следует ее совпадение с мерой Лебега.
8.10.96. (de Bruijn, Post [531]) Пусть / — такая функция на [0,1], что
для всякой равномерно распределенной последовательности {х„} С [0,1]
существует конечный lim N~1^^=1f(xn). Доказать, что функция
/интегрируема по Риману в собственном смысле.

8.10. Дополнения и задачи 285
8.10.97. (Losert [1164]) Пусть X и У — метрические компакты.
(i) Пусть ц — вероятностная мера Радона наХхУиад: XxY —* X —
естественная проекция. Показать, что если последовательность {хп} С X
равномерно распределена относительно /х о я^1, то в У найдется такая
последовательность {уп}, что последовательность (хп,Уп) равномерно
распределена относительно /х.
(ii) Построить пример, показывающий, что (i) может быть неверным для
неметризуемых компактов, даже если ц является произведением радонов-
ских мер на X и У.
(iii) Пусть 7г: X —+ У — непрерывная сюръекция, d — метрика в У, /х —
вероятностная мера Радона на X и v = /хо7г-1. Показать, что для всякой
равномерно распределенной относительно и последовательности {уп} найдется
такая равномерно распределенная относительно /х последовательность {хп},
что lim d(-K(x„),yn) =0.
(iv) Пусть 7г: X —> У — непрерывная сюръекция, /х — вероятностная
мера Радона наХи1/ = /хотг-1. Показать, что следующие условия
равносильны: (а) для всякой равномерно распределенной относительно и
последовательности {j/n} найдется такая равномерно распределенная относительно
/х последовательность {ж„}, что у„ = ж(хп), (Ь) множество всех точек х,
обладающих окрестностями, образы которых при 7г не являются открытыми,
имеет /х-меру нуль.
8.10.98. (Losert [1164]) В предположении гипотезы континуума
показать, что на [0,1]1 существует такая вероятностная мера Радона /х, что
существуют равномерно распределенные относительно ц, последовательности, но
такую последовательность нельзя выбрать в носителе /х.
Указание: в [0,1]с имеется компакт, гомеоморфный /J1N, на 0JN есть
мера Радона /х, не имеющая равномерно распределенных последовательностей
(пример 8.10.48), которая имеет равномерно распределенные
последовательности в X согласно предложению 8.10.49.
8.10.99. (Losert [1164]) Показать, что в {0,1}с существует такое всюду
плотное множество М, что в М нельзя выбрать равномерно распределенную
последовательность относительно меры /х, равной произведению мер,
приписывающих 1/2 точкам 0 и 1.
8.10.100. (Hlawka [933]) Пусть X — такое вполне регулярное
пространство, что существует счетное семейство функций fj € Сь(Х) с тем
свойством, что если для радоновских мер itn и ц при всех j выполнено равенство
lim / fj dfin = j fj dfi, то меры /Хп слабо сходятся к ц. Доказать, что рав-
п—оо Jx Jx
номерно распределенной относительно /х является почти всякая
относительно счетной степени ц последовательность в Х°°.
Указание: пусть v — произведение счетного числа экземпляров /х; в
силу закона больших чисел (см. гл. 10) для каждого j множество тех
последовательностей (хп), для которых jV_1 5Zn=1 fj(xn) стремится к интегралу
от fj по мере /х, имеет полную «/-меру.

Глава 8. Слабая сходимость мер
8.10.101. (Kawabe [1028]) Пусть X — хаусдорфово пространство,
пространство У вполне регулярное и пространство Vt(X) наделено слабой
топологией, (i) Доказать, что отображение А: X —* VT(X), х >-* А(х, •),
непрерывно тогда и только тогда, когда для всякого открытого множества U С
X х У функция х н-> А(х, Ux) на X полунепрерывна сверху, где, как обычно,
Ux = {у € У: (х,у) € U}.
(и) Показать, что если отображение А в (i) непрерывно, то для всякого
В € В(Х х У) функция х ¦-> А(х, Вх) является борелевской на X. Поэтому
для каждой борелевской меры ц на X определена борелевская мера
/х о А(В) := У" А(х, Вх) /x(dx), ВбВ(ХхУ).
(ш) Показать, что если в (ii) мера /х является т-аддитивной, то такова
же и fi о А.
(iv) Пусть X является ^-пространством (например, локально компактно
или метризуемо), У компактно, / е Cb(XxY), А е C(X,VT(Y)). Доказать,
что функция х н+ / /(х,з/) A(x,dy) непрерывна на X.
(v) Пусть X является вполне регулярным fc-пространством (например,
локально компактно или метризуемо) и пусть дана направленность Аа: X —>
РТ(У) отображений, которая равностепенно непрерывна на каждом
компакте в X, причем для каждого х € X направленность мер Аа(х, •) равномерно
плотна и слабо сходится к А(х, •) для некоторого непрерывного отображения
А: X —» Vt(Y). Доказать, что если направленность мер ра € VT(X)
равномерно плотна и слабо сходится к мере ц, € VT(X), то направленность мер
ца о Аа слабо сходится к мере ц о А.
(vi) Пусть X и У — те же, что и в (iv), Р С VT{X) — равномерно
плотное семейство, а семейство отображений Q С C(X,VT{Y)) равностепенно
непрерывно на каждом компакте в X и для каждого х е X семейство мер
А(х, •) := Q(x) на У равномерно плотно. Доказать, что для каждой
направленности мер Ца о Аа, где ца € Р, Аа € Q, найдутся мера /х € VT(X),
отображение А е C(X,VT(Y)) и поднаправленность {ца> о Ха,} с {ца о А«}, такие,
что имеет место слабая сходимость ца> =»• ft, Ха>(х, ¦) => А(х, •) для каждого
х € X и fiai o\ai =>• /ioA. В частности, множество PoQ := {i/of: v € Р, С € Q}
относительно слабо компактно в Рт(ХхУ). Показать также, что если допол-
о известно, что У является прохоровским, то семейство мер PoQ
8.10.102. Доказать теорему 8.10.41 для мер на конечном множестве X.
Указание: покажем, что W(n,v) = W(n,u). Имеем W(fi,v) < W(ji,v).
На линейном пространстве L функций вида <р(х, у) = f(x) + д(у) на X х X
рассмотрим функционал l(ip) = / fdn+1 gdu. Легко видеть, что I задан
Jx Jx
корректно. Множество U = {<р е С(ХхХ): <f(x,y) < d(x,y)} выпукло
и открыто в пространстве С{Х х X), а I ограничен на U П L. По теореме
Хана-Банаха I продолжается до линейного функционала fo на С(Х х X) с
sup lo = sup I. При этом /o(u) ^ 0 при и ^ 0, ибо d — 1 — си G t/ для всех с > О

8.10. Дополнения и задачи 287
и supl(d — 1 — си) < оо. Поэтому найдется неотрицательная мера А на ХхХ,
оо
задающая Z0. Поскольку /0 = I на L, то / f(x) \(dx,dy) — 1(f) = / f(x) p(dx),
I g(y)X(dx,dy) = l(g)= I g(y)v(dy), т.е. Л € M((i,v). Легко видеть, что
Щц,и) = Jd(x,y)X(dx,dy).
8.10.103.° Пусть fin — ограниченные числовые меры на <т-алгебре Л и
Ек € Л — дизъюнктные множества, причем Шп Цп(Ек) = 0 для каждого к
и inf |/in(?„)| > 0. Доказать, что найдется последовательность {щ} с
-"*г*п>»(иг-^I>а
Указание: пусть inf |/х„A?„)| = 6. Достаточно найти
последовательность {щ} с Y%Zl |м»,№ч)| < <5А ?~=n. iMn^^^n)! < 5/3, что даст
|/*п>(Ц^1^*<I > &№• Полагаем по = 1 и строим п^ индуктивно. Если
m,..., п, уже построены, то находим n'i+1 ^ щ + \ с ?^=1 |/гп(?п<)| < 6/3
для всех n ^ «j+i- Затем находим n,+i > n'i+1 с X)^Ln3 Ia*»*^)! < Л/3-
8.10.104. Построить последовательность борелевских вероятностных
мер /in на хаусдорфовом пространстве X, которая сходится на каждом
открытом множестве, однако не сходится на некотором борелевском множестве.
Указание: см. Pfanzagl [1344, пример 2].
8.10.105? (i) Доказать, что всякое множество радоновских мер на
хаусдорфовом пространстве, компактное в топологии сходимости на борелевских
множествах, является равномерно плотным.
(ii) Доказать, что множество М радоновских мер на хаусдорфовом
пространстве относительно компактно в пространстве всех радоновских мер на
X в топологии сходимости на борелевских множествах в точности тогда,
когда М ограничено, является равномерно плотным и для всяких компакта К
и е > 0 найдется такое открытое множество U D К, что \fi\(U\K) < е для
всех ii € М.
(ш) Доказать, что последовательность радоновских мер на
хаусдорфовом пространстве X сходится к мере ц на каждом борелевском множестве
в точности тогда, когда она равномерно плотна и lim /in(K) = р(К) для
всякого компакта К.
Указание: (i) если множество М компактно в указанной топологии, то
согласно доказанному в §4.7(v) существует такая вероятностная радоновская
мера цо, что все меры из М равномерно абсолютно непрерывны относительно
(мо- Необходимость указанных в (ii) условий следует из (i) и доказательства
теоремы 8.10.52, а достаточность в силу равномерной плотности сводится к
случаю компакта, который также вытекает из доказательства цитированной
теоремы, (iii) Необходимость указанных условий ясна, а достаточность
следует из теоремы 8.10.50, применяемой к ограничениям рассматриваемых мер
на компакты Kj, выбранные так, что |/u|(.X\Kj) < 2-^ для всех ц € М. При

Глава 8. Слабая сходимость мер
этом для всякого компакта К С К, имеет место сходимость на множестве
Kj\K, причем всякое открытое в относительно топологии множество U С Kj
имеет такой вид.
8.10.106° Пусть /х„ — выпуклые радоновские вероятностные меры на
локально выпуклом пространстве X (см. §7.14(xvi)), слабо сходящиеся к
мере ц. Доказать, что ц также выпукла.
Указание: применить лемму 7.14.51, свести утверждение к случаю И",
рассмотреть открытые множества Л и В с границами /х-меры нуль.
8.10.107. (Y. Peres) Пространства V{[0,1]) и Р([0,1]2) всех
вероятностных борелевских мер на [0,1] и [О, I]2 наделим топологией т, сходимости на
борелевских множествах. Показать, что отображение /г i-> /*8>/х
секвенциально непрерывно, но не является непрерывным в точке А, где Л — мера Лебега
(вопрос об этом ставил Ф. Гётце).
Указание: секвенциальная непрерывность очевидна из теорем Фуби-
ни и Лебега. Чтобы проверить разрывность в А, возьмем множество А =
{(я,у) € [О, I]2: х - у е Q}. Это множество борелевское и А®А(А) = 0.
Заметим, что во всякой окрестности точки А в топологии rs найдется такая мера
v 6 V([0,1]), что v®v(A) = 1. Для этого достаточно показать, что для
всякого конечного разбиения [0,1] на борелевские части В% найдутся такие точки
xt g Bi, что Xi — Xj € Q при г ф j. Тогда в качестве и берем v := Yl b(BiNXi.
Нужные точки существуют, ибо множество В := pJiLi В* в ^™ имеет
положительную меру и потому В — В содержит окрестность, в частности, в В—В
есть точка с рациональными координатами.
8.10.108. (Schief [1497]) (i) Построить пример локально компактных
пространств X и У и такой непрерывной открытой сюръекции /: X —> У,
что отображение /: V(X) —+ V(Y) открыто, но не сюръективно.
(И) В предположении гипотезы континуума построить такие
хаусдорфово пространство X и непрерывную открытую сюръекцию /: X —* ГО.1, что
отображение /: V(X) —» 7?AR1) не является сюръективным. Показать
также, что / может быть сюръективным, но не открытым.
8.10.109. (Schief [1494], [1495]) Пусть X — хаусдорфово пространство.
Показать, что отображение (/х, v) t-+ \i — v непрерывно в А-топологии на
множестве пар неотрицательных борелевских мер (fi.i')iaXc(j-i'^O.
Доказать, что отображение (fi, и) i-tfi + i/ на множестве неотрицательных
борелевских мер открыто в А-топологии.
8.10.110. (Ressel [1429]) Пусть X и Y — хаусдорфовы пространства и
Ht,'t € Т, — такая направленность вероятностных радоновских мер на XxY,
что их проекции на X слабо сходятся к радоновской мере и, а проекции
на У слабо сходятся к дираковской мере 5а в точке а 6 У. Показать, что
направленность мер /xt слабо сходится к радоновскому продолжению меры
v®5a на B(XxY). Доказать аналогичное утверждение для т-аддитивных мер.
Указание: пусть U С XxY — открытое множество, проекция которого
на У содержит о. Для заданного е > 0 можно найти такое компактное в X
множество К, что Кха С U и v®8a(Kxa) > u®8a(U) — е. Далее найдутся

8.10. Дополнения и задачи
открытые соответственно в X и У множества V и W с Кха С VxW С U.
Ввиду слабой сходимости проекций найдется такое ti, что fit(XxW) > 1 - е
при t > h, откуда nt(Vх W) > nt(VxY)-fH(Xx (Y\W)) > /xt(VхУ) - е.
Найдется 1г > t\ с nt(V хУ) > v(V) — е при t > *2- Тогда получаем Ht(U) ^
Vt(Vx W) > u(V) -2е> v®5a{U) - Зе.
8.10.111.° (Slutsky [1548]) Пусть (il,A,P) — вероятностное
пространство, Е — сепарабельное банахово пространство, ?п, ? и rjn — (А,В(Е))-
измеримые отображения. Предположим, что меры Р о ?«' слабо сходятся
к мере Pof1 и rj„ —» 0 п.в. Показать, что меры Р о (?n + tj„)-' также
сходятся слабо к Ро^.
Указание: к {т]п} применить теорему Егорова.
8.10.112. (Dellacherie [644, гл. 4, теорема 31]) Пусть X — польское П|м>-
странство, М — суслинское подмножество пространства вероятностных мир
V(X) со слабой топологией и Л С X — такое суслинское множество, что
fj,(A) = 0 для всех ц € М. Доказать, что найдется такое борелевское
множество В С X, что Л С В и ц(В) = 0 для всех цеМ.
8.10.113. Пусть X — польское пространство, М — компактное
подмножество пространства вероятностных мер Р(Х) со слабой топологией.
(i) (Dellacherie [644]) Доказать, что функция 1(E) = sup^€M /i*(/*/') « Th
емкость Шоке и вывести из этого, что для всякого суслинского множ<ч' I пк А
и всякого е > 0 найдется компакт К? С Л с 1(Ке) > 1(E) — е.
(ii) (Choquet [587]) Пусть S — компактное или ст-компактное mikmkwtmi
в X, причем n(S) = 0 для всех ц. € М. Доказать, что для всякого е j- i
найдется такое открытое множество U Э S, что (J,(U) < е для всех р ( М.
(ш) (Choquet [587]) Показать, что в предположении гипотезы контину
ума существует такая функция /: [0,1] —» [0,1], что ее график S и:ш«рИМ
относительно всякой борелевской меры на [0,1]2, причем на S обращмгт
в нуль всякая безатомическая мера. Тогда множество М всех вероятмигт
ных борелевских мер на [О, I]2, проекция которых на первый сомножитш
совпадает с мерой Лебега, компактно, однако для М и 5 не выполняет
утверждение (ii).
(iv) (Choquet [587]) Показать, что на несчетной степени [0,1] сущегтиук*
последовательность вероятностных мер-Радона Цп, слабо сходящаяся к дирй
ковской мере цо = 6о, и множество 5 типа Gs, для которых не выполнитг|
утверждение (ii).
Указание: (i) Для всякого компакта К функция /л н-> ц(К) полумр
прерывна сверху. Это дает I(K) = lim 1(Кп) для последовательности ком
пактов Кп, убывающих к К. Бели множества Еп возрастают к Е, то ря
венства 1(E) = lim 1(Еп) легко выводится рассуждением от прогний»!-"
ввиду предложения 1.5.12. (ii) В случае компакта S утверждение легко им
водится из (i) (или прямо доказывается аналогичным рассуждением), a «mvii
S — U^Li Sn, где Sn компактны, то можно взять множества Un, соотвегсInv
ющие Sn и е2~п, и положить U = U^Li-

290 Глава 8. Слабая сходимость мер
8.10.114? Показать, что равномерно плотное множество вероятностных
радоновских мер на хаусдорфовом пространстве X имеет компактное
замыкание в А-топологии.
Указание: пусть дана равномерно плотная последовательность мер
Радона fj.j. Можно считать, что X = USLi Km гле Кп компактны, Кп С Kn+i
и м(Кп) ^ 1 — 1/п для всех n,j. Перейдя к подпоследовательности, можно
считать, что для всякого п числа щ(Кп) имеют предел. Тогда если в {/j.j}
есть поднаправленность мер, ограничения которых на некоторое К„ слабо
сходятся, то слабо сходятся и их сужения на Kn-i ¦ Поэтому существуют
такие меры Радона ип на Кп, что г'п\к„^1 = vn-\ и vn является предельной
точкой мер щ\к„ на Кп. При этом ип(Кп) ^ 1 — 1/п и меры vn сходятся по
вариации к вероятностной мере Радона и, которая является предельной для
{ftj} в Л-топологии.
8.10.115. (Grothendieck [869, с. 229]) Предположим, что К — компакт,
М := МГ(К) = С{К)* и множество М С М имеет компактное замыкание в
топологии Макки т(М,С(КУ). Показать, что М имеет компактное
замыкание и в топологии а(М,М*).
Указание: по теореме Эберлейна-Шмульяна и теоремам 8.10.52 и 4.7.24
достаточно показать, что lim /in(fn) = 0 для всякой последовательности
мер /in 6 М и всякой последовательности дизъюнктных открытых множеств
Un С К. Если это не так, то найдутся такие функции fn € С(К), что |/п| < 1,
/п = 0 вне U„ и интеграл отДпо/in не меньше некоторого е > 0.
Последовательность {/„} сходится к нулю поточечно и потому в слабой топологии
в С (К). Легко проверить, что ее замкнутая выпуклая оболочка слабо
компактна. Это дает противоречие с компактностью замыкания М в топологии
равномерной сходимости на выпуклых слабо компактных множествах.
8.10.116. (Kallenberg [1013]) Пусть (X, А) — измеримое пространство,
V(A) — множество всех вероятностных мер на А, наделенное «т-алгеброй Т,
порожденной функциями ц н-> р(А), А € А. Пусть дана последовательность
.Д&^-измеримых функций /„ на XxV(A). Обозначим через А множество всех
/л € V(A), для которых последовательность функций х к-» /п(х,ц) сходится
по мере (i. Доказать, что А е Т.
Указание: пусть сначала |/„| < 1; заметить, что при фиксированных
n,k,m множество всех /х с / \/„(х,ц) — Д(х,д)|д(<&с) < m_1 входит в Т.
Общий случай легко сводится к рассмотренному.
8.10.117. Пусть X и Y — польские пространства, А С XxY — суслин-
ское множество, Ах := {у € Y: (х,у) 6 А} и V(Y) наделено слабой
топологией. Доказать, что {(/х,х,г) € V(Y)xXx[0,1]: fi(Ax) > г} — суслинское
множество.
Указание: см. Kechris [1030, теорема 29.26]
8.10.118? Пусть М — равномерно плотное семейство радоновских мер на
пространстве Фреше X. Показать, что найдется такое непрерывно вложенное
в X рефлексивное сепарабельное банахово пространство Е, что все меры из
М сосредоточены на ? и образуют там равномерно плотное семейство.
Указание: в теореме 7.12.4 выбирать К„ общими для всех мер из М.

Глава 9
Преобразования мер и изоморфизмы
Но что же такое наука? ... Это прежде всего
некоторая классификация, способ сближать между собой
факты, которые представляются разделенными, хотя они
связаны некоторым естественным скрытым родством.
Иными словами, наука есть система отношений.
А. Пуанкаре. Ценность науки.
9.1. Образы и прообразы мер
Пусть fj, — борелевская мера на топологическом пространстве
X и пусть / — /^-измеримое отображение из X в
топологическое пространство Y. Тогда на Y определена борелевская мера
и = /х о /-I: В \-+ //(/_1(В)). Естественно возникает вопрос о
свойствах регулярности меры v и о свойствах
индуцированного отображения fi н-> ц о /-1. Подобные вопросы имеют важное
значение для теории меры и ее приложений; такие вопросы уже
затрагивались в гл. 8, в частности, в §8.5 и §8.10(v). В частности,
представляют интерес условия, при которых для заданной меры
v на Y существует мера fi с v = \i о /-1, а также условия,
позволяющие найти преобразование с какими-либо свойствами
(например, непрерывности), переводящее одну из заданных мер в
другую. К этим вопросам примыкают проблемы классификации
мер для различных классов отображений. Наконец, важная
задача — нахождение инвариантных мер измеримого преобразования
/ измеримого пространства (X, Л), т.е. таких мер /i на (X, Л), что
[1 = ц о f~l. При этом говорят, что / сохраняет меру /i. В
некотором смысле обратной является задача описания для заданной
меры ii преобразований, ее сохраняющих. В последующих
параграфах все эти вопросы подробно обсуждаются.

292 Глава 9. Преобразования мер и изоморфизмы
9.1.1. Теорема. Пусть X uY — хаусдорфовы пространства.
(i) Пусть f: X —> У — непрерывное отображение. Если мера fj,
на X — радоновская (или плотная, или т-аддитивная), то
такова же, соответственно, и \i о f~1.
(И) Пусть Y — суслинское пространство (например, полное
сепарабельное метрическое) и пусть /: X —> Y — борелевское
отображение. Тогда образ каждой борелевской меры ц на X —
радоновская мера на Y.
Доказательство. Утверждение (i) следует
непосредственно из определений. Утверждение (U) вытекает из того факта, что
каждая борелевская мера на Y радонова. ?
Следующий пример показывает, что утверждение (ii) может
быть неверным, если У — не суслинское, даже для суслинского
пространства X.
9.1.2. Пример. Существует такое взаимно-однозначное
борелевское отображение отрезка [0,1] со стандартной топологией
и лебеговской мерой на наследственно линделефово
топологическое пространство Y, что образ лебеговской меры не является
радоновской мерой.
Доказательство. Фактически такой пример мы уже
встречали: возьмем в качестве У интервал Зоргенфрея [0,1) (см.
примеры 6.1.19 и 7.2.4) с присоединенной точкой 2. Борелевская а-
алгебра пространства У совпадает с обычной борелевской ст-ал-
геброй этого множества на прямой, но образ меры Лебега на [0,1]
при отображении f(t) = t, t < 1, /A) = 2, не является
радоновской мерой на У, поскольку в У компактные подмножества не
более чем счетны. ?
При изучении преобразований мер очень важно бывает иметь
односторонние обратные к не взаимно-однозначным
отображениям. Следующая теорема, представляющая собой
непосредственное следствие теоремы 6.9.1, играет основную роль в этом круге
вопросов.
9.1.3. Теорема. Пусть X uY — суслинские пространства
и /: X —> У — борелевское отображение, причем f(X) = У.
Тогда существует такое отображение д: У —* X, что f(g(y)) = у
для всех у 6 У', причем g измеримо относительно каждой
борелевской меры на У.

9.1. Образы и прообразы мер
293
9.1.4. Следствие. Предположим, что в ситуации
предыдущей теоремы на У задана борелевская мера и. Тогда существует
такое борелевское множество Yo С Y, что \u\(Y\Yq) = 0 и д\у0
является борелевским отображением.
Доказательство. Вытекает из следствия 6.7.6. ?
Следующий важный результат также вытекает из
предыдущей теоремы.
9.1.5. Теорема. Пусть X uY — суслинские пространства
и /: X —> Y — борелевское отображение, причем f(X) = Y.
Тогда для каждой борелевской меры и на У существует такая
радоновская мера р, на X, что v = ц о /_1 и ||/х|| = ||i/||.
Доказательство. По теореме об измеримом выборе
существует такое отображение g: У —> X, измеримое относительно
(т-алгебры, порожденной суслинскими множествами в У, что
f{9(y)) = У ДДЯ всех у G У.
Тогда мера /х = vog~l — искомая. Действительно, по построению
имеем /хо/-1 = v. Остается заметить, что \\v\\ = ||/io/_1|| ^ \\р\\
и|Н1 = 1к°<г1|ки. п
Из доказательства ясно, что для взаимно-однозначного
отображения / мера ц единственна.
9.1.6. Следствие. Предположим, что в теореме 9.1.5
выполнено следующее условие: \и\ (f(W)) > О для всякого непустого
открытого множества W С X. Тогда меру /х можно выбрать
так, что ее носителем будет все пространство X.
Доказательство. Предположим сначала, что мера v —
вероятностная. Заметим, что существует такой счетный набор су-
слинских множеств Wi (Z X, что ^(/(Wj)) > 0 и во всяком
непустом открытом множестве U С X содержится хотя бы одно
из Wi. Действительно, X является образом полного сепарабель-
ного метрического пространства Е при непрерывном
отображении гр. Возьмем в Е счетную базу U. Положим Wi = rp(Ui), Ui € U,
причем будем нумеровать только такие Ui, что z/(/(Wi)) > 0.
Если U С X открыто и непусто, то ip~l(U) является счетным
объединением элементов Vj € 14, причем не все множества /(^>(Vj))

294 Глава 9. Преобразования мер и изоморфизмы
имеют f-меру нуль (иначе f(U) имело бы меру нуль),
следовательно, ф~х(и) содержит некоторое множество Ui из
выбранного нами набора и потому Wi С U. По доказанному существует
такая неотрицательная мера /х| на Wi, что ц\ о /_1 = v\f(Wiy
Затем берем неотрицательную меру /х? на X\Wi, которая
является прообразом меры Hk\/(Wj)- Положим /х» = ц\ + /xf. Тогда
щ — вероятностная мера, щ о /-1 = i/, причем Hi(W{) > 0. Пусть
ц = E?i 1~ХЩ- Ясно, что /i — вероятностная мера, причем
носитель ц совпадает с X, ибо fi(W{) > 0 для всякого г, откуда в
силу выбора Щ следует положительность р на всех открытых
множествах. Кроме того,
/* о Г1 = ? 2-Vi о г1 = ? 2-v = i/.
t=l t=l
Если i/ — знакопеременная мера, то по доказанному
существует такая неотрицательная борелевская мера цо на X, что
/io о /_1 = |i/| и Щ}(Х) = ||i/||. Пусть v = i/+ — и~ — разложение
Хана, а борелевские множества Y\ и Уг таковы, что Y\ П Уг = 0j
Yi U Уг = V и у+(Уг) = ^(Уг) = 0. Меру \v\ можно записать
в виде \и\ = ? • v, где ? — борелевская функция, равная 1 на Y\
и —1 на Yi- Положим ц = (С ° /) ¦ fM>- Тогда |/i| = tto и потому
носитель // равен X. Кроме того, ||/и|| = \\и\\. Наконец, для всякой
ограниченной борелевской функции ф на У имеем
У ф(/(х)) ti(dx) = J Ф{Ях)){{№) t«>(dx)
= J Ф(уШ M(rfy) = jf iKv) K<*v).
что означает равенство ^ о /_1 = i/. ?
Приведем еще один полезный результат, близкий к теоремам
о селекции.
9.1.7. Предложение. Пусть ц — вероятностная мера
Радона на метрическом (или суслинском) пространстве X и f —
fi-измеримая функция. Тогда существует такое ^-измеримое
множество Е С X, что f(E) = f(X) и функция f инъектив-
на на Е. То же самое верно для ^-измеримых отображений со
значениями в метрическом пространстве У.

9.1. Образы и прообразы мер
295
Доказательство. По индукции можно найти компакты Кп
с Кп С Kn+i, объединение которых имеет полную меру, причем
ограничение / на каждый из Кп непрерывно. По теореме 6.9.7 в
каждом Кп имеется борелевская часть Bnt на которой / инъек-
тивна и f(Bn) = f(Kn). Пусть К = (J~=i Кп и
B=\j(Bn\f-1(f(Kn.1))).
Множества Knnf~l(f(Kn-i)) компактны в силу непрерывности
/ на Кп. Поэтому В борелево. Ясно, что Х\К имеет меру нуль.
Пусть у € f(K) и п — наименьший номер с у € f(Kn). Тогда
У € f(Kn)\f(Kn^) с /(дДГЧД^п-г))).
Поэтому найдется х € Bn\f~l(f(Kn-i)) С В с /(ж) = у, т.е.
у € f(B). Если бы нашелся другой элемент xq € В с /(х) = f(xo),
то мы бы получили хо е Bi\f~1(f(Ki-i)) при некотором I > п.
Однако f(Kn) С f(Kt-i), т.е. х Е f~l(f(Ki-i)) — противоречие.
Итак, / взаимно-однозначно отображает В на f{K). В
множестве Х\К нулевой меры можно произвольным образом
выбрать подмножество Во? которое взаимно-однозначно
отображается на f(X\K)\f(B), если последнее не пусто. Для этого
просто берем по одному элементу из каждого множества /-1(у),
у е f(X\K)\f(B). Множество Е = В U Bq — искомое. Случай,
когда / принимает значения в сепарабельном метрическом
пространстве, вытекает из доказанного, а также и непосредственно
доказывается такими же рассуждениями. В случае несепарабель-
ного Y следует применить теорему 7.14.25 и найти множество
полной меры Хо, которое переходит в сепарабельную часть Y,
найти в Хо измеримое подмножество, отображаемое инъективно
на /(Хо), а затем в Х\Хо выбрать подмножество, отображаемое
инъективно на /(Х)\/(Хо). D
Обсудим теперь отображение между пространствами мер на
более общих пространствах X и У, порожденное отображением
/: X —* Y. Даже если / непрерывно и взаимно-однозначно,
соответствующее отображение из ЛЛ{Х) в Ai(Y), вообще говоря, не
инъективно и не сюръективно. Рассмотрим пример такого рода в
предположении гипотезы континуума.

296 Глава 9. Преобразования мер и изоморфизмы
9.1.8. Пример. В предположении гипотезы континуума
существует такое взаимно-однозначное и непрерывное
отображение / некоторого полного метрического пространства М на
отрезок [0,1], что мера Лебега не является образом никакой
борелвеской меры на М.
Доказательство. Наделим отрезок дискретной метрикой.
Тогда все подмножества этого пространства М замкнуты и
естественное отображение М на отрезок со стандартной топологией
непрерывно. Предположим, что существует мера ц на В{М) с
образом, равным мере Лебега. Это означает возможность
продолжить меру Лебега до меры на <т-алгебре всех подмножеств
отрезка, обращающейся в нуль на всех точках, что
противоречит гипотезе континуума (см. следствие 1.12.41). Фактически мы
использовали лишь то, что кардинал, соответствующий
континууму, неизмерим. ?
Из этого примера явствует, что радоновские и бэровские меры
могут не иметь прообразов при непрерывных отображениях.
Может также случиться, что радоновская мера имеет боре-
левский прообраз при непрерывном отображении, но не имеет
радоновских прообразов. Чтобы это увидеть, достаточно в
примере 9.1.2 поменять местами пространства, т.е. взять в качестве X
интервал Зоргенфрея с естественной мерой Лебега Л, а в качестве
Y — [0,1) с обычной топологией и мерой Лебега, которая
является образом Л при непрерывной естественной проекции X —> У,
но не имеет радоновских прообразов, поскольку все радоновские
меры на У — чисто атомические.
Очевидным образом, необходимым условием существования
радоновского прообраза у борелевской меры v является наличие
для каждого е > 0 такого компактного множества Ке в X, что
И*(№))>И-?-
Оказывается, что для непрерывных / это условие является и
достаточным.
9.1.9. Теорема. Пусть f — отображение из
топологического пространства X в топологическое пространство Y с ра-
доновской мерой и. Предположим, что существует
возрастающая последовательность компактных множеств Кп С X
таких, что f непрерывно на каждом Кп и
nlimH(/(^n)) = IHI-

9.1. Образы и прообразы мер 297
Тогда существуетрадоновская мера ц на X c/io/-1 — и. Кроме
того, эта мера может быть выбрана со свойством ||i/|| = ||/*||.
В частности, это верно, если X uY компактны, a f —
непрерывная сюръекция.
Доказательство. Предположим сначала, что v —
неотрицательная мера на У с i/(Y\Q) = 0, где Q = f(K) и К С X
компактно, причем /\к непрерывно. На подпространстве
пространства С (К), состоящем из функций вида <р о /, ip € Cb{Y),
определим линейный функционал L формулой
L((pof)= / <p(y)v(dy).
JQ
Поскольку / ip(y) v(dy)\ < v(Y) sup \ip\ = u(Y) sup \ip о /|, то
\JQ I Q к
этот функционал непрерывен и по теореме Хана-Банаха может
быть продолжен (без увеличения нормы) на С(К). По теореме
Рисса найдется радоновская мера ц на К с
Ь(ф)= I фо1ц, V^<EC(K).
Jk
Следовательно,
/ ?>(/(*)) /i(dx) = L{ip о f) = f <p(y) u{dy), V^ G Cb(Y).
Jk Jq
Ясно, что /x о /-1 = v, ибо все непрерывные функции ip
имеют равные интегралы по радоновским мерам до/-1 и v. При
этом ||д|| = ||i/||. Легко видеть, что наше утверждение
распространяется на знакопеременные меры на Q. Действительно, пусть
и = и+ — v~ — разложение Хана, в котором меры и+ и и~
сосредоточены на непересекающихся борелевских множествах У+ и У-
с У+ U У- = У. По доказанному существуют неотрицательные
радоновские меры /ii и ^ с i/+ = /ii о /_1, v~ = ц2о f~l. При
этом /ii(/_1(r~)) = ^+(У~) = 0 и аналогично /i2(/_1(^+)) = 0.
Таким образом, меры ц\ и /х2 взаимно сингулярны. Поэтому,
полагая ц = щ -Ц2, имеем ||/х|| = ||mi|| + IM = ||^+|| + \W~\\ = N1-
Ясно, что v — fiof 1. Из нашего построения для знакопеременной
меры очевидно, что найденная мера ц обладает следующим
свойством: если Н(С) = 0 для некоторого борелевского множества С,
то Ы(/_1(С)) = 0 (разумеется, мера v может иметь прообразы

298 Глава 9. Преобразования мер и изоморфизмы
и без этого свойства, например, нулевая мера может иметь
ненулевой знакопеременный прообраз).
Рассмотрим общий случай. Множества Qn = f(Kn)
компактны. Положим Sn = Qn\Qn-ii Qo — 0- Применяя предыдущий
случай к ограничению vn меры v на множество Sn,
рассматриваемое в компакте Qn, получаем такую радоновскую меру цп
наКп, что vn = /in0/-1- Кроме того, согласно построению выше,
меры /хп сосредоточены на дизъюнктных множествах f^1(Sn) и
WfinW = \\ип\\. Следовательно, ряд J2^=i /*п сходится и задает меру
ц с требуемыми свойствами. Отметим, что мера ц сосредоточена
на объединении множеств Кп, поэтому определение / вне этого
объединения не влияет ни на измеримость /, ни на образ ц. ?
Ясно, что построенная выше мера и не единственна. Однако
она единственна, если / инъективно (задача 9.12.25).
Установим еще один результат о существовании прообраза
меры, заданного на прообразе ст-алгебры.
9.1.10. Теорема. Пусть F — отображение множества X
в пространство с конечной мерой (Y,B,v), причем F(X) € В.
Рассмотрим о-алгебру А := F~1(B) = {F_1(B),5 € В}.
Тогда F(A) € В для всех А € А, а функция множества fJ-(A) :=
u[F(A)), А € А, счетно-аддитивна на А, причем если Y\F(X)
имеет \и\-меру нуль, то цоF~l = v.
Доказательство. Если А е А, то по определению А =
F_1(B), где В е В, откуда F(A) = В П F(X) € В. Если
множества Aj дизъюнктны, то F(Aj) также дизъюнктны.
Действительно, Aj = F~1(Bj) и потому множества F(Aj) = BjC\F(X) не
могут пересекаться. Следовательно, ц — мера на А. Если F(X)
имеет полную 1/-меру, то можно считать, что F(X) = Y. Ясно,
что тогда /i(F_1E)) = v(B), В € В. О
Помимо того, что в доказанной теореме заранее требуется
включение F(X) 6 В, существенным отличием ее от
предыдущих результатов является то, что мера \i определена на
довольно узкой (т-алгебре. Например, если F — проекция плоскости на
прямую, то А содержит лишь цилиндры В х ГО,1. При этом
даже в случае, когда ц продолжается на более широкую ст-алгебру,
продолжение может не задаваться указанной формулой, ибо эта
формула на более широкой cr-алгебре может давать не
аддитивную функцию.

9.1. Образы и прообразы мер
Теперь обсудим, когда данную вероятностную меру можно
преобразовать в меру Лебега.
9.1.11. Предложение. Пусть ц — безатомическая
вероятностная мера на измеримом пространстве {Х,Л). Тогда
существует такая Л-измеримая функция /: X —> [0,1], что ц о /_1
есть мера Лебега.
Доказательство. Приведем два различных рассуждения,
использующие довольно характерные соображения. Достаточно
показать, что найдется .А-измеримая функция /: X —> [0,1], для
которой борелевская мера /х о /_1 на [0,1] не имеет атомов, ибо
такую меру можно перевести в меру Лебега (см. пример 3.6.2).
Предположим, что это не так. Пространство F всех Д-измеримых
функций /: X -* [О,1] является замкнутым подмножеством
банахова пространства всех ограниченных на X функций с нормой
sup|/(x)|. Для каждого п рассмотрим множество Fn, состоящее
из всех / € F, для которых мера ц о /_1 имеет атом меры не
менее п-1. Заметим, что множества Fn замкнуты, ибо если функции
fj € Fn равномерно сходятся к функции /, то меры /i о /г1 слабо
сходятся к цо/_1. Атомы этих мер на отрезке — это точки
положительной меры. Если ц о f~l(cj) ^ п~1 та. с — предельная точка
{cj}, то до/-1(с) ^ п-1, ибо в противном случае нашелся бы
отрезок / = [с — 5,с + 6] с цо/_1(J) < п-1, а тогда цо fjx{l) < n_1
при всех достаточно больших j, что приводит к противоречию.
По теореме Бэра некоторое Fn содержит шар U
положительного радиуса г из пространства F. Пусть h — центр этого шара.
Мы придем к противоречию, если покажем, что в U найдется
функция g G F, для которой мера /хор-1 имеет атомы меры не
более Bп)-1. Мера fioh-1 имеет лишь конечное число различных
атомов ci,... ,Cfe меры не менее Bп)-1. Возьмем 5 < г/4 так, что
отрезки [с» — 8, Ci + S\ попарно не пересекаются. Поскольку мера ц
не имеет атомов, то в силу следствия 1.12.10 каждое из множеств
Ei := /i-1(cj) можно разбить на конечное число измеримых
дизъюнктных подмножеств Eij с fi(Eij) < Dn)_1. Так как общее
число атомов рь о ЬГ1 конечно или счетно, можно найти различные
числа Ojj € [<^ — S,Ci + 5] Г) [0,1], не являющиеся атомами этой
меры. Теперь положим д(х) = h(x) при ж ? Ui=i Ei, g{x) = щ^
при х G Eij. Для всякого с € [0,1] имеем ц о д~1(с) < Bп)-1.

300 Глава 9. Преобразования мер и изоморфизмы
Действительно, если с отлично от всех a^j, то ff-1(c) = /i_1(c) не
пересекается с Uj=i -^* и потому имеет /z-меру не более Bп)-1.
Если же с = aij, то д~1(с) отличается от Eij на множество /х-меры
нуль и также имеет д-меру не более Bп)-1. Ясно, что д EU. Это
рассуждение нередко используется и в других ситуациях (см.
следующее предложение).
Есть и более короткое рассуждение, основанное на том, что
в каждом множестве положительной меры (для безатомической
меры) есть подмножество половинной меры. С помощью этого
соображения по индукции для всякого рационального числа г
вида Югп с п,к € IN строится множество Хг с р(Хг) = г
таким образом, что Хг с Х8 при г < s. Затем можно положить
f(x) = inf{r: х е Хг}. Учитывая, что Хг С {/ ^ г}, легко
проверить, что /х({/ ^ г}) = г для всех г указанного вида, что дает
требуемое. ?
Если дана мера на топологическом пространстве, то
возникает вопрос о возможности преобразования ее в меру Лебега
непрерывным отображением.
9.1.12. Предложение. Пусть ц — безатомическая
вероятностная мера Радона на вполне регулярном пространстве X.
Тогда существует такая непрерывная функция /: X —> [0,1], что
ц о f есть мера Лебега. То же самое верно в случае бэровской
меры на произвольном пространстве.
Доказательство. Рассуждения из предыдущего
предложения остаются в силе, если в качестве F взять множество всех
непрерывных функций и проверить, что функцию g в U
можно также выбрать непрерывной (разумеется, функция h также
непрерывна). Для этого рассмотрим те же Eij и aij, что и
выше, причем точки a,ij будем брать в [ci,Ci + S\, а при i = к —
в [cfc — 5, Ск]. В каждое из множеств Eij впишем компакт Kij с
/j,(Eij\Kij) < (8nM)_1, где М — общее число множеств Eij.
Найдутся такие попарно непересекающиеся окрестности Uij
компактов Kij, что n(Uitj\Kitj) < DnM)_1 и \h(x)—aij\ < 6 при х € Uij.
В силу полной регулярности X существует такая непрерывная
функция g на X, что g = h вне объединения множеств Uij,
dlXij — o-ij и \g{x) — aij\ ^ 26 при x € Uij. Для этого
достаточно взять такие непрерывные функции Qji X —> [0, a+j — сЦ,
что Qj = aij — Cj на Kij и Qj = 0 вне Uij. Теперь положим

9.2. Изоморфизмы измеримых пространств 301
9(х) = Нх)+Ег^гАх).
Ясно, что sup\g(x) — h(x)\ ^ S. Для всякого с € [0,1]
множество <7-1(с) является дизъюнктным объединением трех множеств
д-\с) П Kid, д-1{с) П (X\\Jij Щ) и д-\с) П (OijVSj). Если с
отлично от всех aij, то с учетом выбора Kij и Uij получаем
оценку ц(д~1(с)) ^ Dп)-1 + М(8пМ)-1 < Bп)-1. Если же с = ау,
то имеем также /х(#-1(с)) < Dn)_1 + M(8nM)-1 < Bп)-1, ибо
М(^)<Dп)-1и/х(^-1(»м))=°-
В случае бэровской меры в предыдущем рассуждении
вместо компактов Kij надо брать функционально замкнутые
множества, a Uij следует выбирать функционально открытыми (тогда
найдутся и соответствующие функции Qj). Разумеется,
утверждение для радоновских мер легко вывести из утверждения для
бэровских, но следует помнить, что безатомичность последних не
сводится к равенству нулю на точках. ?
9.2. Изоморфизмы измеримых пространств
9.2.1. Определение. Пусть (X,A,fi) и (Y,B,v) — два
измеримых пространства с неотрицательными мерами.
(i) Точечный изоморфизм Т этих пространств есть такое
взаимно-однозначное отображение X на Y, что выполнены
равенства Т(А) = В и /л о Г-1 = v.
(ii) Пространства (X, А, /л) и (У, В, v) называются
изоморфными modO, если существуют множества N G Ац, N' € В„ с
H(N) = u(N') = 0 и точечный изоморфизм Т пространств X\N
и Y\N', которые рассматриваются с ограниченными на них
мерами ц и v и а-алгебрами Ац и Bv.
Обычно для краткости изоморфные modO пространства с
мерами называют изоморфными, а когда речь идет о точечных
изоморфизмах (или изоморфизмах с иными дополнительными
свойствами), то это особо оговаривается.
В случае, когда (X, А, р) = (У, В, и), изоморфизмы описанных
выше типов называются автоморфизмами.
Отметим, что из определения точечного изоморфизма
следует, что ц(А) = u(T{Aj) для всех А е А, ибо по условию мы имеем
Т(А) G В и А = Г-1 (Т(А)). Однако важно иметь в виду, что
отображение Г может не быть точечным изоморфизмом, даже если
оно взаимно-однозначно, измеримо и цоТ~х = и. Дело в том, что

302 Глава 9. Преобразования мер и изоморфизмы
при этом образ множества из Л не обязан входить в В. Например,
так обстоит дело, если меру Лебега на [0,1] рассматривать на сг-
алгебре Л измеримых по Лебегу множеств, а качестве Т взять
тождественное отображение в [0,1] с борелевской сг-алгеброй В.
Конечно, в данном примере переход к пополненным сг-алгебрам
исправляет положение, но возможны более сложные ситуации.
9.2.2. Теорема. Пусть (X, ц) — суслинское (например,
полное сепарабельное метрическое) пространство с борелевской
вероятностной мерой fi. Тогда (Х,ц) изоморфно modO
пространству ([0,1], и), где и — некоторая борелевская вероятностная
мера. Если /л — безатомическая мера, то в качестве v можно
взять меру Лебега. Оба утверждения сохраняют силу для радо-
новских мер, сосредоточенных на суслинских подмножествах.
Доказательство. По теореме 6.7.4 достаточно рассмотреть
случай, когда X — суслинское подмножество отрезка [0,1]. Тем
самым, первое утверждение уже содержится в цитированной
теореме. Единственное, что нуждается в доказательстве — это
существование изоморфизма с мерой Лебега, если мера /х на отрезке
[0,1] не имеет атомов и является вероятностной. В этом случае
ее функция распределения F(t) = /х([0,*)) = /х([0,?])
непрерывна и не убывает, причем F@) = 0 и F(l) = 1. В примере 3.6.2
было проверено, что F переводит меру /х в меру Лебега. Если бы
эта функция строго возрастала, то она была бы
гомеоморфизмом отрезка. В общем случае удобнее воспользоваться обратной
функцией к F. Положим
G(x) = inf {t € [0,1]: F(t) = x), ж € [0,1].
Функция G строго возрастает на @,1), поскольку F не убывает и
не имеет скачков. Поэтому G — борелевская функция,
взаимнооднозначно отображающая @,1) на борелевское множество У :=
G(@,1)). Проверим, что G переводит меру Лебега на @,1) в
меру /х. Для доказательства равенства /х = А о G-1 достаточно
показать, что /х(@,с]) = AoG-1(@,c]) для всех с G @,1). Это
равносильно равенству F(c) = A(G_1@,c]). Пусть со = G(F(c)).
Тогда со < с и F(co) = F(c). Остается заметить, что G_1@,c] =
@,G-1(co)) = @,F(c)). ?
9.2.3. Следствие. Пусть /х — неотрицательная мера
Радона на пространстве X. Следующие утверждения равносильны:

9.2. Изоморфизмы измеримых пространств 303
(i) существует такая неотрицательная мера Радона и на
компактном метрическом пространстве Y, что пространства
(X, ц) и (У, v) изоморфны modO;
(И) /х(В) = sup{fj,(K): К — метризуемый компакт}.
Доказательство. Если выполнено (i), то можно считать,
что Y = [о,Ь]. Заметим, что если функция f'. X —> [о, Ь\ инъек-
тивна и непрерывна на компакте К С X, то К метризуем.
Действительно, в этом случае / отображает К взаимно-однозначно
и непрерывно на компакт f(K) С [а,Ь]. Тогда, как известно, / —
гомеоморфизм. По теореме Лузина о почти непрерывности
измеримых числовых функций (теорема 7.1.13), получаем (И). Если
выполнено условие (и), то (i) вытекает из теоремы 9.2.2. ?
9.2.4. Лемма. Пусть /х — неотрицательная борелевская
мера на суслинском пространстве X и F: X —> X — такое боре-
левское отображение, что
n(B) = v(F(B))=n{F-\B)), ЧВ€В(Х). (9.2.1)
Тогда существует суслинское множество Xq С X полной ц-
меры, которое F взаимно-однозначно отображает на себя.
Доказательство. По следствию 9.1.4 найдутся такие боре-
левское множество Y полной //-меры и борелевское отображение
Ф: У —» X, что .Р(Ф(у)) = у для всех у € У. Ясно, что Ф
взаимнооднозначно отображает У на Ф(У). При этом Z := Ф(У) есть
суслинское множество полной меры, ибо F отображает его на У.
Заметим, что F инъективно на Z. Положим Zq = Z П F~X{Z) и
для всякого целого к индуктивно определим множества Zk
посредством Zk+1 = Z0 ПF(Zk), к ^ 0, Zk-i = Z0nF~r(Zk), к ^ 0.
Все эти множества имеют полную меру и являются суслинскими.
Тогда множество Xq = Hfcez ^* — суслинское множество полной
меры, F инъективно на Xq и F(Xq) = Xq. Действительно, пусть
х G Zk для всех к € Z. Тогда F(x) € -F(Zjfc-i) С Zk при к < 0
и F(x) € Zq П F{Zk) = Zk+X при к ^ 0. Далее, x = F(z), где
z G Zq. Из включения F{z) € Zk+i получаем z G Zk при к ^ 0.
Затем получаем, что z € Zk = Zq П F~1(Zk+i) при к < 0, ибо
F(z) — х € Zk+i. Таким образом, z G Xo. ?
9.2.5. Следствие. Заключение леммы 9.2.4 остается в
силе и для ^.-измеримых отображений F, которые удовлетворяют
условию (9.2.1), если F(B) ц-измеримо для всех В G В(Х).

304 Глава 9. Преобразования мер и изоморфизмы
Доказательство. По следствию 6.7.6 существуют борелев-
ское множество Щ д-меры нуль и борелевское отображение Fq,
совпадающее с F вне Nq. Переопределим Fq на No, положив
jFo|jvo = ai где а ~ произвольная точка из iVo- Так как по условию
/z(.F(JVo)) = 0, то Fq удовлетворяет условию леммы 9.2.4 и
существует суслинское множество Xq с X\Nq полной меры, которое
Fo (а значит, и F) отображает взаимно-однозначно на себя. ?
Помимо достаточно грубой классификации мер с помощью
измеримых отображений во многих задачах бывает важно
привлекать и более тонкие классификации, например, с помощью
непрерывных или гладких отображений (или отображений с
какими-либо иными специальными свойствами). Об этом кратко
говорится ниже в §9.6 и §9.12(vi) (см. также §5.8(х)).
9.3. Изоморфизмы алгебр с мерами
Пусть (X, А, ц) — измеримое пространство с конечной
неотрицательной мерой, причем ст-алгебра А полна относительно /л. В
этом случае будем называть рассмотренную в гл. 1 метрическую
булеву алгебру А/ц алгеброй с мерой и обозначать ее через Е^ с
целью указания меры. Элементы этой алгебры — классы
эквивалентности //-измеримых множеств с метрикой д(А, В) — fi(AAB).
Напомним, что Ец — полное метрическое пространство. Для
элементов Ец естественным образом определяются операции
объединения, пересечения и дополнения (как операции над
представителями классов эквивалентности).
9.3.1. Определение. Алгебры с мерами Е^х, Ет,
порожденные измеримыми пространствами (Xx,Ax,fj,i), (X2,A2,fi2),
называются изоморфными, если существует такое
взаимно-однозначное отображение J из Е^ на Ет {называемое булевым
или булевским изоморфизмом), что J сохраняет меру, т.е.
имеем H2{J(A)) = Mi (Л) для всех A ? Ецг, причем
J{A\B) = J(A)\J(B) и J(AuB) = J(A)uJ(B)
(тогда также J (А ПВ) = J (А) П J {В)).
Из определения ясно, что класс эквивалентности Х\
переходит в класс эквивалентности Хг- Можно считать, что
изоморфизм J отображает А\ в Дг, причем соответствие объединений,
пересечений и дополнений осуществляется с точностью до
множеств меры нуль.

9.3. Изоморфизмы алгебр с мерами
305
При изучении алгебр с мерами важную роль играют
счетные измеримые разбиения, т.е. разбиения измеримого
пространства (X, А, ц) на попарно непересекающиеся измеримые
множества Хп. Диаметром разбиения X — {Хп} будем называть число
<*(#) = sup/х(Х„).
Разбиение X называется измельчением разбиения У, если всякий
элемент из X содержится в одном из элементов У.
9.3.2. Лемма. Пусть Хп — последовательность разбиений
[0,1] в конечные наборы промежутков, причем lim 8{Хп) = 0.
Тогда множество всевозможных конечных объединений
элементов из разбиений Хп всюду плотно в алгебре с мерой Е\, где А —
мера Лебега на [0,1].
Доказательство. Достаточно показать, что для всякого
отрезка / = [а, Ь] С [0,1] и всякого е > 0 можно найти конечный
набор Ii,...,Ik элементов разбиений Хп с А(I A Ui=ih) < ?-
Выберем п так, что 5(Хп) < г/2. Пусть 1\ — однозначно
определенный промежуток в Хп, содержащий а. Если Ь € 1\, то 1\ дает
нужное приближение. В противном случае берем прилегающие к
друг другу справа промежутки 1\,..., 1^ из разбиения Хп таким
образом, что Ik содержит Ь. Ясно, что объединение Ij приближает
I относительно меры Лебега с точностью до г. ?
9.3.3. Лемма. Пусть (X, А, (г) — вероятностное
пространство с безатомической мерой и {Хп} — последовательность
счетных измеримых разбиений, причем Хп+\ является
измельчением Хп для всех п и множество всевозможных конечных
объединений элементов этих разбиений всюду плотно в алгебре
с мерой Ец. Тогда lim 6(Хп) = 0.
Доказательство. Предположим, что это не так. Пусть Хп
состоит из Anj. В силу вложенности разбиений величины 8(Хп)
не возрастают. Следовательно, они убывают к некоторому 8 > 0.
Тогда найдется хотя бы один индекс к\ такой, что для всех п
имеем supj fi(Aifa П Anj) ^ 8 — 8/4. Затем можно найти такое
A2,k2 С Ах^, что sup,- n{A2fa П Anj) ^ 8 — 6/4 — 8/8 для всех п.
По индукции для всех т Е IN находим Ат^т С Am-i 1кт_1 с
sup/x(ylOTjfcTO П Anj) ^ 8 — 8Y^ 2~1~г для всех п.

306 Глава 9. Преобразования мер и изоморфизмы
Положим А = Dm=i An,**,- Ясно, что (л(А) ^ 5/2 > 0. Поскольку
Ец не имеет атомов, то найдется измеримое множество В С А
с 0 < ц{В) < ц{А). Пусть е < min(/i(J3),/j(A\.B)). По условию
В приближается в Ец с точностью до е объединением некоторых
множеств В\,..., Bk из разбиений Л^. Заметим, что для всякого
элемента С из любого разбиения Хп множество В либо
содержится в С, либо не пересекается с С. Действительно, если В не
содержится в С, то и А„,*„ не содержится в С. В силу дизъюнкт-
ности элементов разбиения Х„, получаем, что С Г) А^ = 0,
откуда СП В — 0. Поскольку ^(J3) > е, то какие-то из множеств Bi
содержат В. Пусть B\,...,Bi — все такие множества. Чтобы
получить противоречие, остается показать, что (*({?-1 Bi\B) > е.
Это вытекает из включения А\В С Ui=i В{\В, которое следует
из сказанного выше. В самом деле, если В С Bi и Bi — Anj для
некоторого j, то Bi = Ап^, поскольку А С Antkn и множества
Anj дизъюнктны при фиксированном га. ?
9.3.4. Теорема. Каждая сепарабельная безатомическая
алгебра с мерой изоморфна алгебре с мерой некоторого отрезка с
мерой Лебега.
Доказательство. Пусть Ец — сепарабельная
безатомическая алгебра, порожденная вероятностной мерой рь на
пространстве X, {Еп} — счетное всюду плотное множество в Ец.
Покажем, что существует изоморфизм J: Ец —> Е\, где Л — мера
Лебега на [0,1]. Для каждого фиксированного п рассмотрим
разбиение X на измеримые попарно непересекающиеся множества
вида f)*=1Ai, где для каждого г = 1,...,тг множество Ai есть
одно из двух множеств Ei или X\Ei. Таким образом заданные
множества обозначим через Anj, j ^ 2П. Нужный изоморфизм
J будет сначала определен по индукции на множествах Anj,
которые будут отображаться в промежутки. Положим J{A\t\) =
[0,а], J(Aij2) = (а, 1], где а = ц{А^\). Если промежутки J {Anj)
уже выбраны при некотором n ^ 1, то выбор J{An+ij)
осуществляется следующим образом. Каждый элемент Anj
составлен из двух элементов An+ij> и An+ijn и ему уже сопоставлен
промежуток J{Anj) длины fi{An<j). Делим этот промежуток на
две части с длинами /x(An+ij/) и /Lt(An+itj«), а затем первый
сопоставляем элементу An+iji, а второй — элементу Лп+1^«.
Затем продолжаем индуктивно. По построению при фиксированном

9.3. Изоморфизмы алгебр с мерами
307
п промежутки J(An,j) попарно не пересекаются, имеют длины
fi(Anj) и образуют разбиение [0,1]. Теперь J очевидным образом
продолжается на конечные объединения дизъюнктных множеств
-^«i,*i» • • •' Апт,кт: такое объединение переводится в объединение
соответствующих промежутков J(An,itki). Полученное
отображение является изометрией на объединении всех An,j, п € IN, j < 2n.
Если мы покажем, что область определения всюду плотна в Ец,
а область значений всюду плотна в Е\, то останется лишь
продолжить J по непрерывности на Ер. Поскольку J на уже
имеющейся области определения удовлетворяет условиям J(X\A) =
[0,1]\J(A) и J(A ПВ) = J(A) П J(B), то эти условия
сохранятся и для всех элементов Ец при продолжении по непрерывности
(напомним, что элементы Ец — это классы эквивалентности, а не
индивидуальные множества). Конечные объединения
дизъюнктных множеств Anj дают все Еп и потому область определения
J всюду плотна в Е^. Плотность области значений вытекает из
леммы 9.3.2, ибо lim тах^^г» A*(-^nj) = 0 по лемме 9.3.3. ?
Для всякого множества А положительной меры ограничение
fj,A меры ц на А задает новую алгебру с мерой Е^а- Алгебра с
мерой Ец называется однородной, если все метрические
пространства Е^а (где (J.(A) > 0) имеют равный вес (вес метрического
пространства есть минимальная мощность баз его топологии).
Следующий фундаментальный результат о строении алгебр
с мерами принадлежит Д. Магарам [1189]. Он справедлив
даже в более общей постановке для булевых алгебр (см. Владими-
ров [77]).
9.3.5. Теорема, (i) Каждая безатомическая алгебра с мерой
является прямой суммой не более чем счетного числа
однородных алгебр с мерами.
(И) Каждая безатомическая однородная алгебра с мерой,
соответствующая вероятностной мере, изоморфна алгебре с
мерой, порожденной произведением некоторого числа единичных
отрезков с мерой Лебега.
Важно заметить, что изоморфизм алгебр с мерами не всегда
влечет существование изоморфизма самих пространств с мерами
(см. пример 9.5.3 ниже). В §9.5 обсуждаются важные случаи,
когда такая импликация все-таки имеет место. Обсуждение алгебр с
мерами и дальнейшие ссылки можно найти в Fremlin [789], [795].

308 Глава 9. Преобразования мер и изоморфизмы
9.4. Пространства Лебега-Рохлина
Важный для приложений класс измеримых пространств был
выделен В.А. Рохлиным, который назвал их пространствами
Лебега. В этом параграфе рассматриваются только конечные
неотрицательные меры.
Будем говорить, что пространство с мерой (M,Ai,fi)
обладает счетным базисом {Вп}, если множества Вп 6 М разделяют
точки М (т.е. для любых различных точек ж и у существует
такое Вп, что либо х € Вп, у & Вп, либо х g Вп, у € Вп), причем
лебеговское пополнение <т({Вп}) совпадает с пополнением М. (т.е.
«т({5п})д = M.fi). Иначе говоря, всякое /^-измеримое множество
заключено между двумя множествами из а({Вп}) равной меры.
Пространства с таким свойством будем называть сепарабель-
ными по Рохлину. Используя введенные ранее термины, можно
сказать, что сепарабельными по Рохлину являются те и только те
измеримые пространства (М,Л4,(г), для которых можно найти
счетно-порожденную и счетно-разделяющую <т-алгебру Л С М
Пусть Q = {0,1}°° — множество всех последовательностей
ш = (ш{), где uji есть 1 или 0. Для каждого ш € ?1 положим
Е» = П Вп(шп),
где Вп(шп) = Вп, если шп = 1, и Вп(ип) = M\J3n, если шп = 0.
Если множества Вп разделяют точки М, то каждое из
множеств Еш содержит не более одной точки.
Пространство М называется полным относительно своего
базиса {Вп}, если каждое Еш непусто.
Таким образом, для полного пространства множество Еш есть
некоторая точка хш € М, причем всякая точка х Е М совпадает
с некоторым Еш: в качестве w — ш(х) надо взять
последовательность, для которой шп = 1, если х G Вп, и шп = 0, если х $ Вп.
Формула ф: х *-* ш{х) задает взаимно-однозначное отображение
М на О. В частности, М имеет мощность континуума.
9.4.1. Пример. Наделим пространство О, его естественной а-
алгеброй В, порожденной цилиндрами C„ = {wefi: шп = 1} (т.е.
В = B(Q), если О, рассматривать как компактное подмножество
пространства 1№°). Тогда для всякой борелевской меры и на Г2
пространство (?1,В,и) полно относительно базиса {С„}.

9.4. Пространства Лебега-Рохлина 309
Доказательство. Единственное, что подлежит проверке, —
непустота множеств Еш. Поскольку дополнение к Сп состоит из
всех последовательностей с нулевой n-компонентой, то точка хш
указывается явным образом: ее n-ая компонента есть шп. ?
Полнота относительно базиса означает, в частности, что все
Вп пересекаются (причем если какие-то из них заменить на
дополнения, то и такие множества будут иметь общую точку).
Поэтому естественный базис меры Лебега на отрезке, составленный
из интервалов с рациональными концами, этому условию не
удовлетворяет. Вообще говоря, построение базиса, относительно
которого пространство полно, — не очень простая задача, как мы
сейчас увидим на примере меры Лебега. Поэтому ниже
обсуждается существенно более широкое понятие полноты modO.
9.4.2. Пример. Пусть М — несчетное борелевское
множество в полном сепарабельном метрическом пространстве и \i —
борелевская мера на М. Тогда пространство (М,В(М),(х)
обладает счетным базисом, относительно которого оно полно.
Доказательство. Действительно, по следствию 6.8.8
пространство М борелевски изоморфно {0,1}°°. В качестве нужного
базиса в М возьмем образ построенного выше базиса в {0,1}°°
при борелевском изоморфизме J: {0,1}°° —> М. О
В некоторых случаях можно указать базис со свойством
полноты более конструктивно.
9.4.3. Пример. Пусть М — множество всех точек из [0,1],
троичное разложение которых не содержит 2, и пусть Вп —
множество всех точек из М, у которых на n-ой позиции в
троичном разложении стоит 1. Тогда М с произвольной борелевской
мерой полно относительно базиса {Вп}. При этом отображение
ш t-+ X^i <^n3~n задает изоморфизм {0,1}°° и М.
9.4.4. Пример. Пространство ([0,1], В([0,1]), Л), где А —
мера Лебега, обладает счетным базисом, относительно которого ожг
полно.
Доказательство. Точки отрезка [0,1] будем записывать в
двоичной системе х — YL^=i шп2~п, где шп равно 1 или 0. За
исключением точек некоторого счетного множества S С [0,1]
указанное разложение единственно. Таким образом, X = [0,1]\S
находится во взаимно-однозначном соответствии с дополнением в

310 Глава 9. Преобразования мер и изоморфизмы
Q = {0,1}°° к счетному множеству 5", состоящему из
последовательностей, компоненты которых с некоторого номера равны
только 0 или только 1. Между множествами 5 и S' также
установим взаимно-однозначное соответствие. Пусть Вп — множество
в [0,1], соответствующее множеству Сп из примера 9.4.1 при
полученном борелевском изоморфизме [0,1] и ?1. Тем самым,
если пренебречь счетным множеством S, то Вп — конечный набор
двоично-рациональных промежутков в X, содержащих числа с
единицей на n-ой позиции в двоичном разложении. Согласно
примеру 9.4.1, базис {Вп} обладает свойством полноты. ?
9.4.5. Определение. Пусть (М,АА,ц) — пространство с
мерой и счетным базисом {Вп}. Будем говорить, -что оно
полно modO относительно базиса {Вп}, если найдутся измеримое
пространство (M,M,fi), полное относительно некоторого
базиса {Вп}, множество Mq G M.ji полной Jl-меры и
взаимнооднозначное измеримое отображение 7г: М —> Mq, такие, что
гс(Вп) = Вп П М0 и ЦО 7Г-1 = Д.
Фактически требование полноты modO состоит в том, что
данное пространство М может быть реализовано как подмножество
полной меры в некотором пространстве М с базисом,
относительно которого оно полно, причем пересечения элементов
базиса с М дают заданный базис М. Отметим, что из условия
ir(Bn) = ВпГ\М0 следует (сг({Вп}),(т({Вп}))-измеримость 7Г.
В следующем важном определении используется понятие
изоморфизма modO из определения 9.2.1.
9.4.6. Определение. Пространство с мерой {М,М.,ц)
будем называть пространством Лебега-Рохлина, если оно
изоморфно modO некоторому пространству с мерой (М', М!, //) со
счетным базисом, относительно которого М' полно.
В отличие от полноты, свойство полноты modO не зависит от
выбора базиса.
9.4.7. Теорема. Пусть (M,M,fi) — пространство Лебега-
Рохлина с вероятностной мерой \t. Тогда оно изоморфно modO
отрезку [0,1] с мерой и = сХ + ^ а»А/п> где с = 1 — ^ ап,
ап = Man) « W} — все атомы меры ц.

9.4. Пространства Лебега-Рохлина 311
Доказательство. Предположим, что М имеет базис {Вп},
относительно которого оно полно. Рассмотрим построенное
выше взаимно-однозначное отображение 7г: х н-> ш(х) из М на Q =
{0,1}°°. Непосредственно проверяется, что п(Вп) = Сп, где {Сп}
— базис в О, указанный в примере 9.4.1. Из этого следует, что
7г осуществляет изоморфизм (М,<т({Вп})) и (fl,B(Q)). Положим
и = ^о7г-1. Тогда ж дает изоморфизм (М,Мц,/х) и (Г2,В»,!/), ибо
0"({Ai})ji = Л4ц. Согласно теореме 9.2.2 существует изоморфизм
modO пространства (?1, B„, v) и измеримого пространства,
порожденного на [0,1] вероятностной мерой вида c^+YlnLi Cn^i/n* гДе
Сп = и(хп), а {хп} — все атомы v. Общий случай по определению
сводится к доказанному. ?
9.4.8. Теорема. Если сепарабелъное по Рохлину измеримое
пространство (M,Af,/i) полно modO относительно некоторого
базиса, то оно полно modO относительно всякого базиса.
Доказательство. В силу теоремы 9.4.7 достаточно
доказать наше утверждение для отрезка или для пространства {0,1}°°
с борелевской мерой. Пусть {Вп} — базис из борелевских
множеств. Каждой точке х € [О,1] сопоставим точку ш = 7г(ж) € Я,
для которой шп = 1 при х € Вп и шп = 0 при х ? Вп.
Поскольку {Вп} разделяет точки, то получаем инъективное отображение
в О.. Заметим, что ir(Bn) = СпП7г([0,1]), где {Сп} — базис в П из
примера 9.4.1. Поэтому для завершения доказательства остается
проверить, что 7г — борелевское отображение, ибо тогда 7г([0,1])
есть борелевское множество и1/ = /хотг~1 — борелевская мера,
сосредоточенная на этом множестве. Поскольку {Сп} — базис в Я,
то включение ж~1(В(?1)) С В([0,1]) следует из легко
проверяемого равенства ir~1{Cn) = Вп. ?
Полезно также ввести понятие базиса modO. Говорят, что
последовательность множеств Вп в пространстве с мерой (М, ЛЛ, ц)
есть базис modO, если Bn е М. и существует такое множество
Z € Мц /и-меры нуль, что множества В'п — ВПП (M\Z)
образуют базис в пространстве M\Z, наделенном индуцированной
ст-алгеброй и сужением меры \i. Если последнее пространство
оказалось полным modO относительно {В'п}, то будем говорить, что
(M,M,fi) полно modO относительно своего базиса modO. Из
сказанного явствует, что существование базиса modO, относительно

312 Глава 9. Преобразования мер и изоморфизмы
которого пространство полно modO, равносильно тому, что
данное пространство является пространством Лебега-Рохлина.
Поясним, почему приходится привлекать понятие modO как
при рассмотрении базисов, так и при обсуждении полноты.
Возьмем в качестве М множество более чем континуальной мощности
с <7-алгеброй всех подмножеств. В качестве меры fi возьмем меру
Дирака в точке т. Здесь не обойтись без удаления множества
меры нуль, чтобы оставшееся множество можно было вложить
в отрезок. Оставим лишь одну точку т: можно считать, что мы
перешли к точке 0 отрезка [0,1]. Одноточечное множество (как и
любое не более чем счетное множество) не имеет базиса со
свойством полноты, ибо дополнение единственного непустого
множества пусто. Поэтому приходится расширить пространство,
вложив его, например, в отрезок. Тогда базис одноточечного
множества 0, состоящий из одного множества 0, будет получен как
результат пересечения базиса в отрезке с точкой 0. Понятие
базиса modO оказывается существенно более гибким понятием, так
что многие естественные системы (типа рациональных
интервалов) становятся такими базисами.
9.4.9. Лемма. Предположим, что (М,М,ц) — сепарабель-
ное по Рохлину пространство и {Вп} С Мц — такая
последовательность множеств, что всякое множество из Мц
совпадает с точностью до множества меры нуль с некоторым
множеством из а({Вп}). Тогда {Вп} есть базис modO.
Доказательство. Пусть {Ап} — какой-нибудь базис в М.
Для каждого п существует Еп € <т({Вп}) с ц{Ап Д Еп) — 0.
Проверим, что в новом пространстве Мо = M\\J^=1(AnAEn)
множества В'п = Вп П Мо образуют базис. Пусть х и у — две различные
точки Мо- Найдем разделяющее их множество Ап. Можно
считать, что х е Ап, у g Ап. Тогда х € Еп, ибо Ап\Еп не пересекается
с Мо- Аналогично проверяется, что у & Еп. Итак, множества {Еп}
разделяют точки Мо. По лемме 6.5.3 множества {В'п} также
обладают этим свойством. Пусть А С Мо и А € Мц. Покажем, что
существуют множества Е, Е' из а({В'п}) равной меры с?с4с Е'.
Для этого заметим, что Ап П Мо = Еп П М0 и потому сг-алгебра,
порожденная множествами Ап ПМо, содержится в сг-алгебре,
порожденной множествами В'п. При этом по условию существует
такие множества D, D' € а{{Ап}), что D С А С D' п n{D) = /Lt(-D')-
Следовательно, множества Е := D П Мо и Е' := D' П Мо входят
в а({Ап П Мо}) С <т({В'п}), EGAcE'n ц{Е) = ц{Е'). ?

9.5. Индуцированные точечные изоморфизмы 313
9.4.10. Предложение, (i) Всякое измеримое
подмножество пространства Лебега-Рохлина с индуцированной измеримой
структурой является пространством Лебега-Рохлина.
(И) Пусть (М,М,ц) — сепарабельное по Рохлину
пространство и A <z М. Предположим, что пространство (А,М.а,№а),
где М.а = М. Г) А и ца — сужение внешней меры на М.а (см.
§1.12(iv)) также оказалось пространством Лебега-Рохлина.
Тогда имеем А € М.ц.
Доказательство. Утверждение (i) очевидно из теоремы об
изоморфизме. Докажем (ii). Согласно теореме 6.5.7 можно
считать, что М С [0,1] и М. = В(М). Кроме того, можно считать,
что fi(M) = 1 и fi*(A) = 1. По теореме об изоморфизме
найдутся множество Ао С А с ^а(Ао) = 1, множество Во С [0,1]
и взаимно-однозначное отображение /: Во —> Ао, для которого
/_1(Б) е В([0,1]) для всех В G В(Ао). Это означает, что / — боре-
левская функция. Поэтому А0 = /(-Во) — борелевское множество.
Ясно, что тогда ц{Ао) = 1 и потому множество А //-измеримо. ?
Обсуждение пространств Лебега-Рохлина будет продолжено
ниже в §10.8, где речь пойдет об измеримых разбиениях. Пока
отметим, что приведенные здесь доказательства основных
результатов о строении пространств Лебега-Рохлина короче
оригинальных доказательств (в основном за счет использования ранее
доказанного). Несмотря на это, читателю было бы весьма полезно
ознакомиться с классической работой В.А. Рохлина [263], в
которой техника доказательств вполне соответствует общей идее и
духу работы: выделить во внутренних терминах измеримой
структуры то, что присуще широкому классу весьма различных с
топологической точки зрения пространств.
9.5. Индуцированные точечные изоморфизмы
В этом параграфе рассматриваются только конечные
неотрицательные меры.
Ясно, что всякий изоморфизм modO индуцирует булевский
изоморфизм. Как показывает пример 9.5.3, обратное неверно.
Однако классический результат Дж. фон Неймана [1292]
утверждает, что всякий булевский автоморфизм алгебры с мерой,
порожденной отрезком с борелевской мерой, индуцирован некоторым
автоморфизмом modO.

314 Глава 9. Преобразования мер и изоморфизмы
9.5.1. Теорема. Пусть (Afi,Mi,(ii) и (М2,.М2, А«2) —
пространства Лебега-Рохлина с вероятностными мерами. Если
соответствующие алгебры с мерами Ет и Ет булевски
изоморфны, то существует изоморфизм modO между этими
пространствами. В частности, так обстоит дело, если обе меры без-
атомичны.
Доказательство. Предположим сначала, что обе меры не
имеют атомов. В силу теоремы об изоморфизме достаточно
рассмотреть случай, когда М\ = М% — М = {0,1}°°, М.\ = М.^ —
B(Q) и fi\ = Ц2 = (*¦ Будем обозначать В(М) через М. Пусть
J — автоморфизм алгебры с мерой Ец. Возьмем стандартный
базис С* = {(wj): шк = 1} пространства {0,1}°°. Пусть Вк —
произвольный борелевский представитель класса J(Ck). По
условию J сохраняет с точностью до множеств меры нуль конечные
теоретико-множественные операции и сохраняет меру. Поэтому
все //-измеримые множества приближаются modO множествами
из ег-алгебры, порожденной {Вп}. По лемме 9.4.9, {Вп} —
базис modO. По теореме 9.4.8 пространство М полно modO
относительно {Вп}. Это означает, что в М имеется борелевское
множество Mq полной /х-меры, которое можно вложить в некоторое
измеримое пространство (М, Л4, JT) с базисом Вп, относительно
которого М полно, таким образом, что множества ВпПМо перейдут
в множества Вп, Mq перейдет в измеримое множество полной Д-
меры, а мера ц перейдет в Д. Можно считать, что М получено
добавлением к М0 некоторого борелевского множества М\ С [0,1],
причем /х = /I и fi(Mi) = 0. Рассмотрим отображение /: М —* М,
и; !-> П!?=1 Вк{шк)- Это отображение осуществляет борелевский
изоморфизм М и М и переводит стандартный базис {С„}
пространства М в базис Вп. Заметим, что по построению
МС„) = 1л(Вп) = цШ = м(/(с„)).
В силу взаимной однозначности / получаем, что для каждого
множества С из алгебры, порожденной {Сп}, справедливо
равенство (л(С) = /х(/(С)). Тогда это равенство остается верным
и для всех С € М = а({Сп}). Следовательно, множество N =
/_1(Mi) имеет нулевую /z-меру. Остается заметить, что
отображение /: M\N —> Mo является борелевский изоморфизмом,
переводит меру /х в себя, причем индуцированное отображение Ец

9.6. Топологически эквивалентные меры 315
совпадает с J, ибо J{Cn) = f(Cn) с точностью до множества
меры нуль. В общем случае меры /xi и р.2 имеют атомы, однако, как
легко видеть, атомы а^ меры щ переводятся отображением J в
атомы а\ меры Ц2- Опять можно считать, что обе меры
реализованы на {0,1}°°. Тогда атомы — это точки положительной меры.
Ясно, что «7 осуществляет метрический изоморфизм алгебр с
мерами EVl и Еъ, где щ — сужение щ на Щ = М\{агп}. Нетрудно
проверить, что меры щ атомов не имеют. По доказанному
найдется изоморфизм modO пространств Ni и N2, порождающий
указанный метрический изоморфизм. Остается доопределить этот
изоморфизм на {а*}, сопоставив каждому атому а* атом а?. ?
9.5.2. Следствие. Пусть (X, fj.) и (У, и) — суслинские
пространства с вероятностными борелевскими мерами. Если
соответствующие алгебры с мерами Ец и Е„ булевски изоморфны,
то существует и изоморфизм modO между этими
пространствами. В частности, так обстоит дело, если обе меры без-
атомичны.
Доказанная теорема не переносится на произвольные
топологические пространства даже с мерами Радона.
9.5.3. Пример. Пусть X — определенное в примере 7.14.11
пространство „две стрелки П. С. Александрова" (которое
компактно) с его естественной нормированной лебеговской мерой и,
описанной в указанном примере. Тогда соответствующая
алгебра с мерой безатомична и сепарабельна, следовательно,
булевски изоморфна алгебре с мерой единичного интервала. Однако
не существует изоморфизма modO между этими пространствами.
Доказательство. Вытекает из следствия 9.2.3 с учетом
того, что метризуемые подмножества X не более чем счетны, а мера
А обращается на них в нуль. D
Дополнительные результаты см. в §9.11(iv).
9.6. Топологически эквивалентные меры
9.6.1. Определение. Пусть X uY — топологические
пространства, ц — борелевская мера на X, v — борелевская мера
на У.
(i) Пространства с мерами (X,A,ii) и (Y,B,v)
называются гомеоморфными, если найдется гомеоморфизм h: X —>¦ Y с
ц о /i_1 = v.

316 Глава 9. Преобразования мер и изоморфизмы
(Ц) Пространства с мерами (X, Л, д) и (У, В, v) называются
почти гомеоморфными (или топологически эквивалентными),
если существуют множества N С X, N' С Y с
H(iv) = H(iv') = o
и гомеоморфизм h: X\N —> Y\N', для которого /jo/i-1 = v.
Следующие два важных результата о гомеоморфизмах
пространств с мерами принадлежат Дж. Окстоби [1324].
9.6.2. Теорема. Пусть X — топологическое пространство
с вероятностной борелевской мерой д, которая не имеет
атомов и положительна на непустых открытых множествах. Для
того, чтобы пространство (Х,ц) было гомеоморфно G?, А), где
И — пространство всех иррациональных чисел интервала @,1),
о Л — мера Лебега, необходимо и достаточно, чтобы X было
гомеоморфно TZ.
Доказательство. Нам нужно показать, что если X и Л го-
меоморфны, то найдется и гомеоморфизм, переводящий ц в А.
Поэтому можно считать, что X = V,. На Л можно ввести
метрику d, задающую обычную топологию, но превращающую 71 в
полное пространство (см. §6.1).
Докажем следующее вспомогательное утверждение: если U и
V — такие непустые открытые множества в TZ, что n{U) = ^(V),
то для всякого е > 0 существуют разбиение {Un} множества U и
разбиение {Vn} множества V на непустые открытые множества
диаметра меньше е в метрике d, для которых /х(С/п) = X(Vn) для
всех п. Для этого возьмем разбиение V на непустые открытые
множества W%, имеющие в метрике d диаметр меньше е.
Воспользуемся тем, что V гомеоморфно И (это ясно из того, что V
есть пересечение 72. с конечным или счетным семейством
дизъюнктных интервалов). Тогда в силу задачи 9.12.28 найдется
разбиение U на непустые открытые множества Gi с A(Gj) = ^(Wi)
для всех i € IN. Каждое Gi разделим на непустые попарно
непересекающиеся открытые множества Gy- с диаметрами меньше е
по метрике d. Как и выше, каждое Wj обладает разбиением на
непустые открытые множества Wij с A(Wj,) = /i(Gy) для всех
j € IN. Семейства {Gy} и {Wij} дают нужные разбиения.
Последовательно применяя доказанное выше, получаем
разбиения Un = {U(ii, ...,in)} и Vn = {V(ii,...,in)} на непустые

9.6. Топологически эквивалентные меры 317
открытые множества диаметра меньше 1/п по метрике d со
следующими свойствами:
U(h,...,in+1) С U(h,... ,in), V(iu... ,гп+1) С V(iu.. .,гп),
n(U{i\,..., гп)) = A(V(ti,..., i„)) для всех п Е IN и всех
индексов ij. Для всякого х ЕИ существует ровно одна
последовательность {in} с х Е П^=1 U(h,..., гп). Это же верно и для семейства
множеств U(ii,...,in). Положим
f(x)=f)V(ii,...,in).
n=l
Тогда / является взаимно-однозначным отображением TZ на И.
При этом f(U(i\,...,in)) = V(»i,...,гп), что проверяется с
помощью указанного выше свойства обоих семейств множеств.
Заметим, что всякое непустое открытое множество в Л можно
представить в виде конечного или счетного объединения попарно
непересекающихся множеств из всех разбиений Vn. Таким же
свойством обладают и разбиения 1Лп. Из этого следует, что / —
гомеоморфизм, причем fj,(^f~1(W)) = X(W) для всякого открытого
множества W С Л. Значит, ц о /_1 = А. ?
9.6.3. Теорема. Пусть /х — вероятностная борелевская
мера на польском пространстве X, не имеющая точек
положительной меры. Тогда в X найдется такое Gв-множество Y,
что fj,(X\Y) — 0 и пространство (Y,fiy) гомеоморфно
пространству Ti. иррациональных чисел интервала @,1) с мерой Лебега А.
В частности, (Х,ц) и ([0,1], А) почти гомеоморфны.
Доказательство. Пусть d — метрика на X, относительно
которой X полно. Выберем в X счетное всюду плотное
множество {xi} и последовательность чисел г,- > 0 так, что lim Tj; = 0 и
ц{{х: d(x,Xi) = rj}) = 0. Это возможно, ибо для каждого г
множество таких г, что /х({х: d(x, xi) = г}) > 0, не более чем счетно.
Положим Sij = {х: d(x, Xi) — rj} и Uij = {х: d(x, х%) < rj}. Ясно,
что набор Uij образует базу топологии. Обозначим через S
объединение всех Sij, а через G — объединение всех Uij с fJ.(Uij) = 0.
Тогда /iEL)G) = 0. Рассмотрим множество Z = X\(SUG). Ясно,

318 Глава 9. Преобразования мер и изоморфизмы
что fi(Z) = 1, причем Z представимо в виде счетного
пересечения открытых множеств, т.е. является Си-множеством
(напомним, что в метрическом пространстве всякое замкнутое
множество имеет тип Gg). Выберем в Z счетное всюду плотное
множество D. Покажем, что множество У = Z\D — искомое.
Действительно, /х(У) = 1. Если U ~~ открытое множество, имеющее
непустое пересечение с У, то /х(Е7) > 0, ибо в противном случае
нашлось бы множество Uij нулевой меры, пересекающееся с Y.
Таким образом, мера цу на пространстве Y положительна на
непустых открытых подмножествах Y. При этом \iy не имеет
точек положительной меры. Чтобы воспользоваться теоремой 9.6.2,
остается проверить, что Y гомеоморфно 71. По построению, У
является всюду плотным (^-множеством в пространстве Z. По
теореме Мазуркевича (см. Куратовский [181, §36, п. II, теорема 3]),
достаточно проверить, что Z\Y всюду плотно в Z и что Z
является польским пространством, которое нульмерно, т.е. всякая
точка имеет сколь угодно малые окрестности, которые
одновременно открыты и замкнуты. Поскольку Z есть С^-множество в
польском пространстве, то оно само — польское пространство.
Множество D = Z\Y плотно в Z по построению. Наконец,
нульмерность Z следует из того, что множества Uij Г) Z не только
открыты, но и замкнуты в Z, ибо из Z удалены все Sij. П
В §9.12(vi) приведены дополнительные результаты о почти
гомеоморфизмах.
Отметим, что существует радоновская вероятностная мера [i
на компактном пространстве X, для которой пространство (X, //)
изоморфно modO отрезку [0,1] с мерой Лебега, но не является
почти гомеоморфным [0,1] (и, значит, никакому компактному
метрическому пространству); см. задачу 9.12.47.
Следующий результат, дающий критерий существования
почти гомеоморфизмов, доказан в Babiker [419].
9.6.4. Теорема. Пусть /х — такая радоновская
вероятностная мера на компактном пространстве X, что (X, ц) изоморфно
modO отрезку [0,1] с мерой Лебега. Тогда мера \i топологически
лебегова, если и только если она регулярно пополнима на своем
топологическом носителе SM, т.е. В(Б^) С Ва^ц)^.
Наконец, приведем два результата об обычных
гомеоморфизмах топологических пространств с мерами. Дальнейшую
информацию, включая ссылки и доказательства, можно найти в книге
Alpern, Prasad [396].

9.7. Непрерывные образы меры Лебега
319
9.6.5. Теорема. Борелевская вероятностная мера р, на кубе
[О,1]п гомеоморфна мере Лебега А на [О,1]п, если и только
если она удовлетворяет следующим условиям: (а) /л безатомична;
(Ь) у, положительна на всех непустых открытых множествах
в [0,1]п; (с) fi обращается в нуль на границе [0,1]п.
9.6.6. Теорема, (i) Борелевская вероятностная мера ц на
[0,1]°° гомеоморфна произведению мер Лебега на [0,1]°°, если и
только если она безатомична и положительна на всех
непустых открытых множествах в [О,1]°°.
(ii) Всякие две безатомические борелевские вероятностные
меры на I2, положительные на всех непустых открытых
множествах, гомеоморфны.
9.7. Непрерывные образы меры Лебега
В этом параграфе мы обсудим такой вопрос: когда мера ц на
топологическом пространстве X может быть представлена как
образ меры Лебега на отрезке [0,1] при непрерывном
отображении из [0,1] в XI Простой ответ на этот вопрос в терминах
носителя меры был дан А.В. Колесниковым. Чтобы
сформулировать основной результат, нам понадобятся понятия связности и
локальной связности.
Напомним, что непустое открытое множество в
топологическом пространстве называется связным, если его нельзя
представить в виде объединения двух непересекающихся непустых
открытых множеств. Топологическое пространство называется
локально связным в точке х, если всякая открытая окрестность
точки х содержит некоторую ее связную окрестность.
Топологическое пространство называется локально связным, если оно
локально связно в любой точке.
Известно, что метризуемый компакт является непрерывным
образом отрезка в точности тогда, когда он связен и локально
связен (см. Энгелькинг [373, 6.3.14]).
Если мера ц на пространстве X есть образ меры Лебега при
непрерывном отображении /: [0,1] —» X, то носитель ц (т.е.
наименьшее замкнутое множество полной меры) — это компакт
К = /([0,1]), т.е. связный и локально связный метризуемый
компакт. Оказывается, верно и обратное. Следует, однако, заметить,
что если носитель меры ц есть образ отрезка [0,1] при каком-
нибудь непрерывном отображении <р, то это еще не означает, что
/х является образом меры Лебега относительно ip. Например, если

320 Глава 9. Преобразования мер и изоморфизмы
<p(t) = 0 при t ^ 1/2 и <p(t) = 2{t - 1/2) при t ^ 1/2, то образ
меры Лебега относительно ip не совпадает с мерой Лебега, хотя
?>([0,1]) = [0,1].
9.7.1. Теорема. Пусть К — метрический компакт,
являющийся образом отрезка [0,1] при непрерывном отображении f,
ц — борелевская вероятностная мера на К, причем К — ее
носитель. Тогда существует такое непрерывное отображение
д: [0,1] —*¦ К, что fj, = А о д~1, где А — мера Лебега на [0,1].
Доказательство. 1) Сначала покажем, что у всякой
точки у 6 К существует сколь угодно малая окрестность,
являющаяся непрерывным образом отрезка. Пусть [0,1] = А\ U А^ U
... U Ап — разбиение отрезка на п равных частей. Пусть U —
Ufc- yef(Ak) f(Ak)- Ясно, что U — непрерывный образ отрезка. Это
множество — окрестность, т.е. вместе с у оно содержит открытое
множество К \ Qfe. ^/м.) /(-Afc)- В силу равномерной
непрерывности / и неравенства треугольника, окрестность U можно
сделать сколь угодно малой.
2) Основной этап доказательства состоит в проверке того, что
существует непрерывное отображение ip отрезка [0,1] на К, для
которого n{cp(V)) ф 0 для всякого непустого открытого
множества V С [0,1]. Пусть С/о — объединение всех таких открытых
множеств, которые / переводит во множества меры нуль. Тогда
Uq = U?i Ji> гДе Ji — (aiA), либо Ji = [0,bi), либо Jt = (a,, 1],
причем JiDJj = 0, если г ф j. Считаем далее, что длина Jj не
возрастает с ростом г. Пусть mi — наименьшее натуральное число,
для которого существуют промежутки J\, J2,..., Jkx с длинами
не меньше l/2mi (т.е. хотя бы один такой промежуток). Для
середины с\ промежутка J\ найдем такое N, что окрестность V\
точки /(ci), построенная для случая п = N как на предыдущем
этапе, имеет диаметр меньше чем 1/2 (в метрике дк компакта К).
Кроме того, можно считать, что {с\ — 1/N,ci + 1/N) лежит в J\.
Построим такое непрерывное сюръективное отображение /i
отрезка [с\ — 1/N, с\ + 1/N] на Vi, что
/i(Cl - 1/JV) = /(d - 1/N), Ma + 1/N) = /(d + 1/N).
Аналогично для всех 1 < г ^ fci строим отображения /j в
окрестностях точек с^, где с* — середина J{. Пусть отображение cpi
совпадает с / вне этих окрестностей, а на них совпадает с /j. Тогда
<pi непрерывно и g(f,<pi) < 1/2, где g(ip,ip) = sup QK{ip{t),ip{tj).
<е[од]

9.7. Непрерывные образы меры Лебега 321
Наибольшее открытое множество, которое (р\ переводит во
множество меры нуль, не содержит интервалов длины большей чем
l/2mi, так как fJ,(Vi) ф 0, где 1 ^ i ^ к\. Выделим теперь
промежутки Jfej+i, 4i+2v • • i Jk-zi длина каждого из которых
больше чем 1/2т2, где тг > т\ — наименьшее натуральное число
в (mi,+oo), для которого это возможно. Аналогично
предыдущему строим такое непрерывное отображение ip2, что
выполнено неравенство g(<pi,(p2) ^ 1/4. Проведя эти построения счетное
или конечное число раз, получим последовательность
непрерывных отображений ipn, причем ^(vn,Vn+i) ^ l/2n+1. В пределе
получаем непрерывное отображение (р. Пусть Хо = [О,1] \ Щ,
Xi = [0,1] \ Ui, где Ui — наибольшее открытое множество,
которое ifi переводит во множество меры нуль. Так как по
построению каждое из отображений <pj совпадает на Xi с щ при j > г,
а множество (J?i Х% ВСЮДУ плотно в [0,1], то <р переводит
открытые множества во множества положительной меры. Наконец,
<р([0,1]) = К, поскольку уже /(Хо) = К (иначе существовало бы
открытое множество в К нулевой д-меры).
3) Для завершения доказательства остается воспользоваться
следствием 9.1.6 и следующим простым фактом: любая борелев-
ская вероятностная мера v на отрезке [0,1] с носителем [0,1]
является непрерывным образом меры Лебега на [0,1] при некотором
непрерывном сюръективном отображении ?: [0,1] —> [0,1]. В
качестве такого отображения можно взять
С(*)= SUP {х: F(x) <*}>
яе[о,1]
где F(t) = v([0,t)), F@) = 0. Ясно, что С не убывает, С@) = 0
(ибо F(t) > 0 при t > 0) и СA) = 1- Из строгого возрастания F
следует, что функция ? не имеет скачков и потому непрерывна.
Тот факт, что образ меры Лебега относительно ? есть мера /х,
проверяется так же, как и в доказательстве теоремы 9.2.2. ?
9.7.2. Следствие. Непрерывные образы меры Лебега на
отрезке [0,1] — это вероятностные меры, носители которых
являются связными, локально связными метризуемыми
компактами.
9.7.3. Следствие. Пусть ц — вероятностная мера Радона,
носитель которой является связным, локально связным метри-
зуемым компактом, а и — безатомическая вероятностная мера
Радона на компакте. Тогда ц является непрерывным образом v.

322 Глава 9. Преобразования мер и изоморфизмы
Доказательство. Применяем предложение 9.1.12 и
теорему выше. ?
9.8. Продолжение мер и отображения
Ранее нам уже встречалась задача продолжения мер. В
частности, было показано, что всегда можно продолжить меру на
ег-алгебру, полученную добавлением отдельного множества или
даже семейства дизъюнктных множеств. В этом разделе будет
доказано, что меру на счетно-порожденной под-сг-алгебре в боре-
левской (г-алгебре суслинского пространства можно продолжить
на всю борелевскую сг-алгебру. Как мы увидим, эта задача
связана с нахождением прообразов мер. Однако сначала приведем
пример, когда сепарабельная мера на под-сг-алгебре в борелев-
ской <т-алгебре отрезка не имеет борелевских продолжений.
9.8.1. Пример. Пусть Л есть класс всех борелевских
множеств первой категории (т.е. счетных объединений нигде не
плотных множеств) в [0,1] и их дополнений. Положим ц(А) = 0, если
А есть борелевское множество первой категории и /х(А) = 1,
если А есть дополнение такого множества. Тогда Л — ст-алгебра и
/х — счетно-аддитивная мера (ибо среди дизъюнктных множеств
из А не более чем одно может иметь ненулевую меру). При этом
/х сепарабельна на А (всякое множество положительной /х-меры
имеет /х-меру 1 и потому с точностью до множества нулевой меры
совпадает с [0,1]). Однако не существует счетно-аддитивного
продолжения /х на борелевскую сг-алгебру отрезка. Действительно, в
силу задачи 1.12.50 всякая борелевская мера на отрезке
сосредоточена на множестве первой категории. Другой близкий пример
описан в задаче 9.12.35.
Теперь мы покажем, что усиление требований на сг-алгебру
приводит к положительному утверждению.
9.8.2. Теорема. Пусть X — суслинское пространство и А —
счетно-порожденная под-а-алгебра в В(Х). Тогда всякая мера /х
на А продолжается до меры на В(Х).
Доказательство. Как мы знаем, счетно-порожденная сг-ал-
гебра А имеет вид /_1(Б([0,1])), где /: X —» [0,1] — некоторая
функция. Поскольку А С В(Х), то / — борелевская функция.
Следовательно, f{X) — суслинское множество. По теореме 9.1.5
существует борелевская мера /хо на X с /хоо/-1 = /хо/-1.
Проверим, что /хо является искомым продолжением /х. Действительно,

9.9. Абсолютная непрерывность образов мер 323
если А = Г\В), где В € В([0,1]), то
М(А) = щ>{ГЧВ)) = W) о /^(В) = /х о Г1^) = М(^),
что и требовалось. ?
9.8.3. Следствие. Пусть X — суслинское пространство, а
мера р, задана на некоторой а-алгебре А С В(Х), причем
существует счетный набор множеств Ап € А с А С <т({Лп})м. Тогда
мера \i продолжается до меры на В(Х).
Доказательство. По доказанной теореме ц продолжается с
а{{Ап}) на В(Х). Это продолжение р, совпадает на А с исходной
мерой, ибо для всякого А-Е А по условию найдутся множества
ВиВ2€ о-({Ап}) сВ!САсВ2и |/i|(B2\Bi) = 0. ?
Обратимся теперь к проблеме единственности продолжения.
9.8.4. Предложение. В теореме 9.8.2 мера р однозначно
продолжается на В(Х) в точности тогда, когда В(Х) С А^.
Доказательство. Не очевидно лишь то, что возможны
различные продолжения в случае, когда В{Х) не охватывается ле-
беговским продолжением р. В этом случае найдется множество
В € В(Х), не входящее в Ац. Следовательно, множество В имеет
несовпадающие внутреннюю и внешнюю меры, построенные по р
на А. По теореме 1.12.14 найдутся два различных продолжения ц
на (Т-алгебру, порожденную А и множеством В. По доказанному
выше оба продолжения могут быть расширены далее до борелев-
ских мер. ?
9.9. Абсолютная непрерывность образов мер
В этом параграфе рассматриваются только ограниченные
меры. Следует отметить, что хотя всякое борелевское отображение
между суслинскими пространствами переводит любое
борелевское множество в суслинское (значит, универсально измеримое)
множество, даже для непрерывных функций на прямой может
случиться, что образ измеримого по Лебегу множества не
является измеримым по Лебегу. Например, если С — функция
Кантора, то функция h(x) = \{х + С(х)) — гомеоморфизм [0,1],
преобразующий некоторые множества лебеговской меры нуль в
неизмеримые множества. Чтобы охарактеризовать отображения,
переводящие все измеримые множества в измеримые, рассмотрим
свойство Лузина (N), уже встречавшееся в §3.6.

Глава 9. Преобразования мер и изоморфизмы
9.9.1. Определение. Пусть ц — конечная мера на
измеримом пространстве (М,М). Отображение F: Mq С М —> М
удовлетворяет условию Лузина (N) на Mq (или имеет свойство
(N) Лузина), если для каждого множества Z С Mq такого, что
ZeMu \n\(Z) = О, имеем F(Z) € М» и \n\(F(Z)) = 0.
Ясно, что если F удовлетворяет условию Лузина (N) на М, то
для всякого |/х|-нулевого множества Z из М.^ (а не только из М)
имеем \n\(F(Z)) = 0, ибо Z содержится в некотором |/х|-нулевом
множестве из М.
В отличие от многих других свойств измеримых
отображений, свойство (N) не сохраняется при изменении функции на
множестве меры нуль. Например, тождественно нулевую функцию
на [0,1] можно переопределить на каком-нибудь континуальном
множестве С меры нуль, отобразив С на [0,1].
9.9.2. Замечание. Аналогично определяется (N)-cbohctbo
Лузина для отображения F: (М\,М\,ц\) —> {М2,ЛЛ2,№)
между разными пространствами с мерами: требуется, чтобы
выполнялось равенство \(j,2\(F(Z)) — 0 при |mi|(-Z) = 0.
9.9.3. Теорема. Пусть S С Ю,1 — измеримое множество,
наделенное лебеговской мерой (J,, uF — измеримая функция на S.
Тогда следующие условия равносильны:
(i) F удовлетворяет условию Лузина (N);
(ii) F переводит каждое измеримое по Лебегу подмножество
S в измеримое множество.
Доказательство. Пусть F обладает (К)-свойством и
множество А измеримо по Лебегу. Найдется такое борелевское
множество В С А, что А\В имеет меру нуль, причем F является
борелевской функцией на В. Тогда множество F(B) — суслин-
ское и потому измеримое, а множество F(A) отличается от него
на подмножество множества F(A\B), которое согласно условию
имеет меру нуль, т.е. F(A) измеримо.
Предположим, что выполнено (ii). Пусть Z — борелевское
множество меры нуль. По условию F(Z) — измеримое
множество. Если оно имеет положительную меру, то согласно
задаче 1.12.81 в F(Z) имеется неизмеримое подмножество Е.
Множество Z(~)F~1(E) имеет меру нуль, в частности, оно измеримо.
Однако его образ есть неизмеримое множество Е —
противоречие. ?

9.9. Абсолютная непрерывность образов мер 325
9.9.4. Следствие. Пусть (M,M,fj,) — пространство с
мерой, изоморфное modO измеримому множеству S С Ш-1 с мерой
Лебега. Тогда следующие условия равносильны для ^-измеримого
отображения F: М —> М:
(i) F удовлетворяет условию Лузина (N);
(И) F переводит всякое ц-измеримое подмножество М в ц-
измеримое множество (иначе говоря, F(My) С Мц).
В частности, эта равносильность имеет место, если М — су-
слинское пространство с безатомической борелевской мерой ц и
М = В(М).
Доказательство. Пусть h: (М,М,ц) —> (S,C,X) —
изоморфизм modO, где А — мера Лебега. Мы можем считать, что
функция h определена на некотором множестве Mq полной ц-
меры и взаимно-однозначно отображает его на множество S с
сохранением мер. Положим g(s) = h~l(s) и доопределим h на
М\М0 нулем. Пусть G(s) = h(F(g(s))Y Если F обладает
свойством (N), то G — тоже, поскольку g переводит множества А-меры
нуль в множества /х-меры нуль и h переводит множества /х-меры
нуль в множества А-меры нуль. Следовательно, G переводит
измеримые по Лебегу множества в измеримые. Для всякого А € Мц
имеем F(A) = F(Z) U F(M0 П A), Z = (M\M0) П А. По условию
F(Z) имеет /х-меру нуль. Кроме того,
F(M0 П Л) П М0 = g(G(h(M0 П Л))) П М0.
Из этого равенства вытекает /х-измеримость F(Mq П А), ибо Mq
имеет полную /i-меру, а отображения h, G и g отображают
измеримые множества в измеримые (относительно соответствующих
мер). Итак, из (i) следует (ii). Обратное утверждение
доказывается также, как в теореме, поскольку для этого нужно лишь знать,
что всякое множество положительной /х-меры имеет
неизмеримое подмножество, а это вытекает из существования
изоморфизма modO с измеримым по Лебегу множеством. ?
О свойстве (N) см. также задачи 9.12.31, 9.12.32.
Доказанная выше эквивалентность может нарушиться в
случае наличия атомов: достаточно взять меру /л на множестве из
двух точек 0 и 1 с /х{0} = 0, д{1} = 1 и функцию F = 1. Эта
функция все множества переводит в измеримые, но точка
нулевой меры переходит в точку положительной меры.

326 Глава 9. Преобразования мер и изоморфизмы
9.9.5. Предложение. Пусть F: (М,М,ц) —* (М,М,ц)
обладает свойством Лузина (N) и ^.-измеримо. Тогда
ограничение /х на всякое ц-измеримое множество А С F(M) абсолютно
непрерывно относительно \ц\ о F~*. В частности, если F(M)
входит в М^р-1, то fJ,\F{M) < (\ц\ о F^p^y
Доказательство. Пусть
В с F(M), BeM, H(F_1(B)) = 0.
Тогда \/м\(В) = 0, ибо В = F(F~1(B)). Итак, ц < |/х| о F'1. П
Конечно, не всегда /х «С fioF на всем пространстве.
Например, можно взять F = 0 на [0,1] с мерой Лебега.
9.9.6. Следствие. Пусть и — конечная неотрицательная
мера на пространстве (М,М) и F: М —> М —
взаимно-однозначное ц-измеримое отображение, причем F(M) С М^0р-^
(или, более общим образом, F имеет модификацию F, для
которой F(M) С -M^^p-i). Тогда условие /х -С /хо_Р-1 равносильно
условию Лузина (N).
В частности, такая равносильность имеет место для
взаимно-однозначных борелевских отображений суслинских
пространств.
Доказательство. Пусть F — упомянутая в условии
модификация. Существует множество Mq € М полной tx-меры^на
котором F = F. Пусть М\ — M\Mq. Ясно, что /j,oF~1 = /xoF-1.
Предположим, что /х -С /х о F-1. Пусть /х(?) = 0 для
некоторого В е М. В силу биективности F имеем В = F~1(F(B)).
Если F(B) измеримо относительно меры /х о F-1, то получаем
fioF~1[F(B)) = ц(В) = 0, откуда в силу нашего предположения
получаем fi(F(B)) = 0. Если же известна /х о ^_1-измеримость
лишь F(B), то
li о F-1 (F{B)) = /x(f-x(F(B)) П Mo) = /x(? П M0) = 0,
откуда n(F(B)) = 0. По условию /х(Мх) = 0. Тогда /i(F(B)) = 0.
Действительно, в силу взаимной однозначности имеем F(M\) =

9.9. Абсолютная непрерывность образов мер 327
M\F(M0) = M\F(M0), откуда
F-^FiMj) = F-l(M\F(M0)) С Mi.
Следовательно, /х о F~1{F(Mi)) = 0 и потому /x(F(Mi)) = 0.
Остается воспользоваться тем, что по доказанному F{B П Mq) =
F(B П Mo) имеет /х-меру нуль. Обратное утверждение уже было
доказано выше. Последнее утверждение ясно из того, что боре-
левские образы борелевских множеств в суслинских
пространствах измеримы относительно всех борелевских мер. ?
9.9.7. Лемма. Пусть (М,Л4,/х) — пространство с мерой
и Т: М —> М — такое ц-измеримое отображение, что
множества T(N) и T~1(N) имеют меру нуль для всякого
множества N меры нуль. Предположим еще, что существует такое
pL-измеримое отображение S, что ГE(ж)) = S(T(x)) = х для
ц-п.в. х. Тогда найдется такое множество Mq полной ц-меры,
что Т взаимно-однозначно отображает Mq на себя (причем S
служит обратным) и Т(М\М0) с М\Мо-
Доказательство. Из условия вытекает, что /х о Г-1 ~ хх.
Обозначим через Qq множество точек х, для которых Г(S(x)) =
S(T(x)) = х. На По отображения Г и 5 очевидным образом инъ-
ективны. Пусть А = М\Яо- По условию Г(Д) имеет меру нуль.
Поскольку /х ~ /I о Т-1, то и Г_1(Г(Д)) имеет меру нуль.
Поэтому Т осуществляет взаимно-однозначное отображение множества
полной меры ?1\ = По\Г_1(Т(Д)) и множества T(fii). При этом
дополнение к fit отображается в дополнение к множеству T(fii).
Поскольку /х ~ /х о Г-1 и /x(T-1(fJi)) = до T-1(f&i), то
множество T_1(fii) имеет полную меру. Положим Z0 = fii П Т_1(Пг).
На множестве Zq полной меры Т инъективно, S(T(Zq)) С fii
и S(T(x)) = х. Поэтому для всякого В С Zq с В € М имеем
Т(В) — S~l(B) € М.ц. Поскольку Т переводит множества меры
нуль в множества меры нуль, то из этого следует, что Т переводит
/х-измеримые множества в /х-измеримые. Ввиду эквивалентности
мер хх и /х о Г-1, можно заключить, что множества полной меры
переходят в множества полной меры. Для всех целых к
определим индуктивно множества Z\. равенствами Zk+i = Zq П T(Zk),
если к ^ 0, Zk-i = Zq П T^1(Z]c), если к ^ 0. Из сказанного
выше вытекает, что множества Z^ имеют полную меру. Теперь

328 Глава 9. Преобразования мер и изоморфизмы
положим О, = C\Zk- Построенное множество имеет полную меру
к
и непосредственно проверяется, что Т отображает его
взаимнооднозначно на себя, в то время как Т(М\И) С М\Г2. ?
В процессе доказательства было получено также следующее
утверждение.
9.9.8. Следствие. Отображение Т из леммы 9.9.7
переводит ц-измеримые множества в ц-измеримые.
9.9.9. Лемма. Пусть Т — такое взаимно-однозначное
отображение пространства с мерой (М,М,ц), что отображения Т
и S = Г-1 измеримы и /х о T~l ~ /х. Тогда
d(p о ST^/dp = —, где g = d(p,oT-1)/dfi.
goT
Доказательство. Так как Т = S-1, то Т(В) = S_1(?) € М
при В Е М и /х о S~1(B) = /х(Т(.В)), что совпадает с
/ - d(ji о Г) = / 1Т{В) о Т -±- d/x,
Jt(B) Q Jm QoT
откуда вытекает доказываемое, ибо 1т(в) ° Т = 1в- П
9.9.10. Предложение. Пусть X — вполне регулярное
топологическое пространство, /х — вероятностная мера Радона
на X, Т: X —> X — такое ц-измеримое отображение, что мера
/х о Т радонова, а Тп: X —> X — последовательность
^-измеримых отображений, сходящаяся ц-п.в. к Т. Предположим,
что меры р. о Т~х абсолютно непрерывны относительно ц,
причем их плотности Радона-Никодима дп образуют равномерно
интегрируемую последовательность. Тогда мера ц о Т-1
также абсолютно непрерывна относительно ц. При этом ее
плотность Радона-Никодима g является пределом
последовательности {дп} в слабой топологии пространства Lx(p).
Доказательство. Пусть К — компакт /х-меры нуль и е > 0.
Равномерная интегрируемость обеспечивает существование
такого 6 > 0, что
J дп(х) fi(dx) ^ е, Vn € IN,

9.9. Абсолютная непрерывность образов мер
/ fgd[i = / foTdfj,— lim / /gnd\i.
Jx Jx n~-*°° Jx
для всякого измеримого множества А меры не более 6. Найдем
открытое множество U Z) К, для которого n(U) < 6. По
лемме 6.1.5 найдется непрерывная функция /: X —> [0,1], равная 1
на if и 0 вне U. Тогда имеем
/ f{x)noT-l{dx)= [ f(T(x))p(dx)= lim [ f(Tn(x))fi(dx)
Jx Jx n-,°° Jx
= lim / f(x) Qn(x) fi(dx) ^ sup / gn(x) n(dx) ^ e,
"—ооУх n Ju
откуда fioT~l(K) ^ е. Следовательно, 1лоТ~г(К) = 0, что в силу
радоновости мер влечет /хоТ-1 <С ц. Положив д := d(iJ.oT~1)/d^i,
для всякой ограниченной непрерывной функции / имеем
(9.9.1)
Согласно следствию 4.7.19 последовательность {дп}
относительно слабо секвенциально компактна в L1(/x), т.е. всякая ее
подпоследовательность содержит слабо сходящуюся
подпоследовательность. Однако (9.9.1) показывает, что у всех таких слабо
сходящихся последовательностей может быть лишь один предел д,
откуда и вытекает слабая сходимость {дп} к д. ?
9.9.11. Следствие. Предположим, что в ситуации
доказанного предложения имеется последовательность
^-измеримых функций fn, сходящаяся по мере к функции /. Тогда
функции fn о Тп сходятся по мере к / о Т.
Доказательство. Пусть е > 0. Пользуясь равномерной
интегрируемостью плотностей дп и теоремами Лузина и Егорова,
найдем такие компакт К и число N\, что функция /\к
непрерывна, /х(Г~х(К)) > 1 — е для всех га, /х(Г_1(.ЙГ)) > 1 — е и
sup \fn{x) — f{x)\ < е для всех п ^ N\. Затем, пользуясь непре-
хек
рывностью / на К и сходимостью п.в. Тп к Т, найдем такое
N2 > iVb что ц(х: |/(Гп(ж)) - /(Г(х))| > е) < Зе при п > N2.
Остается заметить, что
ц(х: |/„(Тп(х)) - f(Tn{x))\ > е) < ц(х: Тп(х) <? К) < е
при п ^ N2. Значит, ц(х: |/„(Т„(ж)) - /(Г(ж))| > 2eW 4е. П

330 Глава 9. Преобразования мер и изоморфизмы
9.10. Сдвиги мер вдоль интегральных кривых
Пусть F: ГО" —> ГО" — векторное поле, для которого
обыкновенное дифференциальное уравнение
x'(t) = F(x{t)), х@) = х,
для всякого начального условия х обладает решением, которое
мы обозначим через Щ(х), считая, что оно задано на всей
прямой. Таким образом, при фиксированном t задано отображение
х >-> Ut(x). Действие этого отображения состоит в сдвиге вдоль
интегральных кривых данного уравнения. Семейство
отображений Ut называют потоком, порожденным векторным полем F,
поскольку при широких условиях семейство {Ut} обладает
групповым свойством: UtUa = Ut+S- В теории динамических систем
часто бывает полезно знать, как данная мера преобразуется под
действием потока {Щ}. Ответ на этот вопрос позволяет, в
частности, найти меры, инвариантные относительно преобразований Ut-
В ряде задач интерес представляют меры /х, которые хоть и не
инвариантны относительно Ut, но переходят в эквивалентные меры.
В этом параграфе перечисленные задачи решены. Поскольку
полные доказательства технически трудны, мы подробно рассмотрим
лишь простейший частный случай.
Ниже мера Лебега множества D обозначается через \D\.
Норма вектора v в ГО." обозначается через |v|. Напомним, что
дивергенция векторного поля F = (F3) на ГО", где F* G Wl(^ (ГОП)
(например, F3 € С1(ГО")), определяется равенством
divF = J2dXjFj.
3=1
Согласно формуле интегрирования по частям, для каждой
гладкой функции (р с компактным носителем справедливо равенство
/ (Vtp, F)dx = - I (pdivF dx.
9.10.1. Теорема. Пусть Ф: ГО" —* ГО" — гладкое векторное
поле с компактным носителем и {Ut} — соответствующий
поток. Тогда отображения Ut — диффеоморфизмы, преобразующие
меру Лебега в меры с плотностями
0t(x) = expj- / div*(E/_,(:c)) ds\. (9.10.1)

9.10. Сдвиги мер вдоль интегральных кривых
Доказательство. Из курса теории обыкновенных
дифференциальных уравнений хорошо известно, что глобальный поток
{Ut} существует и что отображения Ut — диффеоморфизмы 1R".
Ясно, что при этом Ut(x) = х для всех t и всех х $. D, где D -
любой шар, содержащий носитель Ф. Образ лебеговской меры
относительно Щ допускает плотность Qt, которая непрерывна по
обеим переменным, ибо Щ(х) непрерывно дифференцируемо по
обоим аргументам. Для всякого tp е Cg°(]Rn) имеем
^<poUt = ^(poUtoUr\r=o={n<poUt),9).
Значит,
ip(x)gt(x)dx= ip(x)dx+ / / (V(v? о Ua){x), Ф(х)) dsdx
о
= fip(x)dx+ I f(V(<poUs)(x),V{x))dxd.4
= fip(x)dx- f f divV (x)ip(Us{x))dxds
= J tp(x)dx- J J divV(U-s(y))ip{y)L>,{u)dy.
В силу произвольности tp заключаем, что для всех t и ж
справедливо равенство
ft(x) = l- Г divV(U^s(x)Ha(x)ds,
Jo
откуда приходим к нужному соотношению. ?
Ясно, что аналогичное утверждение справедливо и для рима-
новых многообразий. Из (9.10.1) вытекает следующее
утверждение (теорема Лиувилля).
9.10.2. Следствие. В ситуации доказанной теоремы мера
Лебега инвариантна относительно семейства преобразований
Ut в точности тогда, когда выполнено равенство сНуФ = 0.
Кроме того, из выражения (9.10.1) можно извлечь ряд
полезных оценок. Для этого нам понадобятся две леммы.

Глава 9. Преобразования мер и изоморфизмы
9.10.3. Лемма. Пусть f — интегрируемая функция на
отрезке [0,*], где t ^ 0. Тогда
exp(f /(s)ds\ ^ 1 + f e(tvl)/<s>ds. (9.10.2)
Доказательство. В силу неравенства Йенсена,
expU f tf(s)ds\ ^t f etfMde.
Если t ^ 1, то это немедленно дает (9.10.2). Если t < 1, то
применим полученную оценку на интервале [0,1] к функции д, равной
/ на [0,?] и нулю на (*, 1]. Поскольку е9^ = 1 на (t, 1], опять
приходит к (9.10.2). ?
9.10.4. Лемма. Пусть и — конечная неотрицательная мера
на пространстве 17 и пусть {Щ}щ^т ~ семейство измеримых
преобразований ?1, таких, что uoUf1 = г&, где
rt(x) = ex.Py*f(U-a(x))ds}
uexp(|/|) е LP{v) для всехр е @, оо). Предположим, что оценка
J ^\\rt\\1+edt<oo (9.10.3)
где || • ||Q = || • Hlc.^), верна для некоторого е > 0. Тогда она верна
для каждого е > 0. При этом для всяких р > 1 и t € [—Г, Г]
имеем
||rt||p < B + 2i/(n))ec^r)W, (9.10.4)
где С(р, Г) = П е**™)!'**)! i/(«te)) * ti J + J = 1.
Доказательство. По лемме 9.10.3, для всякого t е [0,Г]
получаем
rt (ж]
:f ^ 1 + / exp jp(t V l)/(tf_s(x)) | ds,
откуда согласно неравенству Гёльдера с к, заданным посредством
Б + j4j = 1> получаем

9.10. Сдвиги мер вдоль интегральных кривых 333
[ rt(x)p u{dx) ^ и(П) +!! exp jp(t V l)f(U-s{x)) \ ds v{dx)
= i/@) + I j expL(t V l)f{x)\r-a(x) u{dx) da
< v{Sl) + ||exp{p(t V l)/}||fe f ||r_e||1+eda.
Jo
Аналогичным образом, для отрицательных t имеем
Г /*1
/ rt{xfv(dx) ^ v{tt) + ||exp{p(|t| V l)/}||fc / \\ra\\1+eda.
Jo. Jo
Итак, функция ||rt||p ограничена на [—T,T] и (9.10.3) выполняется
для каждого е > 0.
Пусть It обозначает интервал [0, Щ. Тогда полученная выше
оценка верна с 1 + ? = р (и fc = д), так что для всех \t\ ^ Г имеем
J^rt{xfv{dx) < и{П) + ||ехр{р(Г V 1)/}||, jf ||г_в||рЛ.
Поскольку а ^ 1 + о? для а ^ 0, получаем, что
ЫР<1 + и(П) + С(р,Т) [ \\r-s\\Pds.
Jit
Полагая ф{€) = \\rt\\P + lk-t||p, имеем
ф(?) < 2 + 2i/(ft) + С{р, Т) I ф(в) ds,
Jo
что влечет желаемую оценку ввиду неравенства Гронуолла,
которое дает оценку u(t) ^ Сехр / v(s)ds для неотрицательных
Jo
интегрируемых функций и и v, удовлетворяющих п.в.
неравенству u(t) ^С+ v(s)u(s) ds. ?
Jo
9.10.5. Следствие. В ситуации теоремы 9.10.1 для всякого
шара D, содержащего носитель Ф, « всякого р > 1 справедлива
оценка
llftllp := llftb(i» ^ MDe^)l'l,

Глава 9. Преобразования мер и изоморфизмы
где MD := 2A + |?>|), C(p,t) := ||ехр{р(|<| V l)|div*|}||Lg(D) и
l/q + 1/р = 1. Кроме того,
\\\vu,\\\Lrm.a 2мв\\<щ>№\ v i)|v*|}|U(D)e<c«>«>i«i/p,
lll^HU.^imilW^''1'1-
Несложное доказательство можно найти в работе Bogachev,
Mayer-Wolf [502].
Выясним, как преобразуются более общие меры. Как и в
случае меры Лебега, ответ будет выражен в терминах дивергенции
векторного поля относительно меры. Предположим, что р —
мера на IR™ с плотностью д, причем д непрерывно
дифференцируема (или, хотя бы, на каждом шаре отделена от нуля и входит в
класс Соболева W^.). Пусть F — векторное поле на Шп из класса
Соболева W^., причем функция | VF| локально /х-интегрируема.
Дивергенция F относительно р — это функция, которая
обозначается символом SpF и определяется формулой
^F(x):=divF(x)+(FH,^).
С помощью формулы интегрирования по частям легко
проверить, что функция S^F характеризуется тождеством
/ (y<p,F)dfi = - [ ipS^Fdn, ^еС?°(ПГ).
Jm.n Jm.n
9.10.6. Теорема. Пусть Ф: IR™ —> Ш™ — гладкое
векторное поле с компактным носителем и пусть р. —
вероятностная мера на IR™ с положительной непрерывно
дифференцируемой плотностью д. Тогда для каждого t G IR1 мера р о U^1
абсолютно непрерывна относительно р и ее плотность Радона
Никодима задается равенством
п{х)
= ехр|- J 6^{U-S{x))ds\.
Кроме того, если A(p,t) = ||exp{(|t| V 1)p|^^|}||l«(m)? | ^
то справедливы следующие оценки:
l|rt||LP(^^4exp[A(p,t)|t|],

9.10. Сдвиги мер вдоль интегральных кривых 335
11^*|||№М<4|ехр[(|«|У1)|УФ|]||^мвхр[(АB,«) + 1)|*|/р],
lll^/^lLo,)^4!!!*!!!^)^^2'*)!'!]-
Доказательство. Заметим, что поскольку Ф = 0 вне
некоторого шара, то 6МФ(U-S(x)) — 0 для всех s Е [0, t] и всех х с
достаточно большой нормой. Выражение для rt(x) можно
получить точно так же, как формулу для Qt{x) в теореме 9.10.1. Тогда
те же рассуждения, основанные на лемме 9.10.3, лемме 9.10.4 и
неравенстве Гронуолла приводят к указанным оценкам. D
Отметим, что условия на плотность меры \i можно ослабить:
достаточно, чтобы выполнялось включение д Е W^ (Нп),
функция д была локально равномерно отделена от нуля, а также,
чтобы для всех с € ГО1 функция ехр(с(Ф, Vg/g)) была локально //-
интегрируема (см. Bogachev, Mayer-Wolf [502]).
Теперь распространим полученные выше результаты на
более общие векторные поля, в частности, не обязательно гладкие
и не обязательно имеющие компактные носители. Прежде всего,
уточним, что такое поток, порожденный более общим векторным
полем. Пусть /t — мера на IRn и F — //-измеримое векторное
поле. Отображение (t,x) € ГО,1хГОп i—> Uf(x) € IRn называется
решением уравнения
Ut(x) = х + f F(Us(x)) ds, (9.10.5)
Jo
если
a) для /t-почти каждого х равенство (9.10.5) выполняется с
U = UF для всех t Е ГО,1 (в частности, правая часть имеет смысл),
b) для каждого t Е ГО1 мера ц о U^1 абсолютно непрерывна
относительно /л.
Производная Радона-Никодима d* будет обозначаться
через rt.
Семейство (Ut)telRi = (Uf)temi называется потоком, если
дополнительно fi-п.в. имеем
Ut+s(x) = Ut(Ua(xj), Vs, t€JR\ (9.10.6)
Квазиинвариантность (условие b) выше) существенна, когда
мы имеем дело с лебеговскими классами векторных полей, если

336 Глава 9. Преобразования мер и изоморфизмы
мы хотим получить решения, не зависящие от конкретного
представителя в классе эквивалентности: согласно задаче 9.12.46, если
F(x) = G(x) fi-и.в. и (Uf)teRi — решение для поля F, то оно
является решением и для поля G.
Простые примеры типа поля F(x) — х2 на прямой,
показывают, что одной лишь гладкости поля недостаточно для
существования глобального решения.
В работе Bogachev, Mayer-Wolf [502] получен следующий
результат.
9.10.7. Теорема. Пусть /х — мера на Ш,™, имеющая локально
равномерно положительную плотность д € Wl(^. (Кп), и пусть
F 6 W^ (Ш,п, Шп) — такое векторное поле, что
р>1
и либо el™1 € ПР>1^М, либо е™ € ПР>1 bfo» « \F\ €
L1+e(lRn). Тогда уравнение (9.10.5) обладает потоком.
Отметим, что эта теорема дает существование глобальных
решений обыкновенных дифференциальных уравнений для многих
быстро растущих векторных полей. Для этого нужно уметь
подобрать меру ц. так, чтобы были интегрируемы указанные в
формулировке функции. Рассмотрим специальный случай, когда /х —
стандартная гауссовская мера на Ж", т.е.
^) = Bтг)-"/2ехр(-|х|2/2).
В этом случае Vg(x)/g(x) — —х. Предположим, что поле F
локально липшицево. Тогда для существования потока,
порожденного этим полем, требуется, чтобы функции
|F(a;)|1+e и exp[c\<iivF(x)-(x,F(x))\\
были //-интегрируемы для всех с и некоторого е > 0. Эффективно
проверяемым достаточным условием для этого являются оценки
\F(x)\ < Cie^M |divF(x) - (я,F(x)) | ^ С2\х\
для некоторых С\ и Ci- Отметим, что даже для гладких
полей F, удовлетворяющих условию S^F = 0, от //-интегрируемости
F отказаться нельзя (см. [502]). Разумеется, основным условием
является все-таки экспоненциальная интегрируемость S^F. Для

9.11. Инвариантные меры и мера Хаара
337
гладкого (или локально липшицева) поля F легко подобрать
меру ц с быстро убывающей плотностью так, чтобы функция \F\2
была ^-интегрируемой. Однако не всегда можно добиться
экспоненциальной интегрируемости S^F. Выбор меры ц с нужными
свойствами является аналогом построения используемых в
теории дифференциальных уравнений функций Ляпунова.
Рассмотренные в этом параграфе задачи интенсивно
изучаются для бесконечномерных пространств; см. [502].
9.11. Инвариантные меры и мера Хаара
Пусть X — локально компактное топологическое
пространство и G — локально компактная топологическая группа (как
обычно, пространства предполагаются хаусдорфовыми).
Предположим, что задано действие группы G на X, т.е. отображение
A: Gx.X —> X, причем А(е, ¦) — тождественное отображение X
и выполнено равенство
А(9г92,х) = А(дъА(д2,х)), Vgug2 EG, Vx e X.
В частности, А(д~г, •) — обратное отображение к А(д, •). Иначе
говоря, задан гомоморфизм G в группу преобразований X.
Часто для упрощения записи А(д,х) обозначают через дх. Если в
качестве X взять G, то обычное умножение слева на д G G дает
важный пример действия. Другой пример: естественное действие
группы изометрий метрического пространства X.
В приложениях обычно встречаются действия, которые
измеримы или даже непрерывны. В этом параграфе рассматриваются
лишь непрерывные действия.
9.11.1. Определение, (i) Пусть \i — борелевскоя мера ц на
X со значениями в [0, +оо] (или мера на а-кольце, порожденном
компактными множествами), конечная на компактах и
внутренне компактно регулярная, т.е. ц(В) есть s\xp/j,(K) по всем
компактам К С В для каждого В € В(Х). Мера ц называется
Х-согласованной, где х ~ функция на G, если образ ц при
отображении х t-> A(g, х) есть х(9)р для всех g EG. В случае х = 1
мера fj, называется G-инвариантной.
(И) Если G действует на себе умножением слева, то
ненулевые 1-согласованные меры называются левыми (или левоинва-
риантными) мерами Хаара, а если G действует на себе
посредством (д,х) ь-> хд, то ненулевые 1-согласованные меры
называются правыми (или правоинвариантными) мерами Хаара.

Глава 9. Преобразования мер и изоморфизмы
Ясно, что если х = 1, то х-с°гласованность есть просто
инвариантность относительно действия, т.е. для левоинвариантной
меры Хаара \ij_, на группе G имеем
f(gx) Hb(dx) = / f(x) nL{dx)
I f(x)i
Jg
для всех / G Co(G). Если мера ц не нулевая, то \ является
характером G, т.е. гомоморфизмом в мультипликативную
группу К\{0}. Отметим еще, что отображение j: х \—> ж-1 группы
G переводит левые меры в Хаара в правые и наоборот.
Действительно, если мера //& левоинвариантна, то для всяких д е G и
/ € Со(бг) имеем
/ f{xg-1)^Loj^{dx) = [ /(x-V1)^^)
Jg Jg
= f f{{gxyl)iiL{dx)= f f(x~1)nL(dx)= f fd(»Loj-1).
Jg Jg Jg
• Часто х-инваРиантные меры называют также
квазиинвариантными. Аналогичные понятия имеют смысл и весьма
содержательны и для не локально компактных групп (таких, как группы
диффеоморфизмов), однако соответствующая теория
значительно сложнее и здесь не обсуждается. Основная причина
усложнения: отсутствие мер на этих группах, которые были бы
инвариантны или хотя бы квазиинвариантны относительно всех сдвигов.
Поэтому приходится обращаться к мерам, которые
квазиинвариантны относительно действия каких-либо подгрупп. Например,
на бесконечномерном сепарабельном гильбертовом пространстве
нет борелевской вероятностной меры, квазиинвариантной
относительно всех сдвигов, но есть меры, квазиинвариантные
относительно сдвигов из всюду плотных подпространств, а на группе
диффеоморфизмов окружности класса С1 нет борелевской
вероятностной меры, квазиинвариантной относительно всех сдвигов,
но имеются меры, квазиинвариантные относительно подгруппы
более гладких диффеоморфизмов. В последние десятилетия
изучение такого рода мер на бесконечномерных линейных
пространствах и группах активно развивается; ссылки можно найти в
Bogachev [498], Malliavin [1201].
Положим А(д, W) = {А(д, у), у € W}. Будем называть
действие G равномерным, если для каждого х € X я каждой
окрестности V точки х можно найти такую окрестность W этой точки,
что если А(д, W) П W ф 0, то А(д, W) С V.

9.11. Инвариантные меры и мера Хаара
9.11.2. Теорема. Предположим, что G равномерно
действует на X, причем для каждого х отображение g *-* А(д,х)
сюръективно и открыто. Тогда на X есть ненулевая G-инвари-
антная мера ц.
Доказательство. Пусть Я с X — компакт с непустой
внутренностью. 1) Зафиксируем точку р из внутренности Я и
обозначим через Up множество всех открытых окрестностей р с
компактными замыканиями. Для всякого множества Е с компактным
замыканием и всякого множества F с непустой внутренностью
можно покрыть Е конечным числом сдвигов F. Наименьшее
возможное число обозначим через [Е : F]. Положим [0, F] = 0. Ясно,
что [gE : F] = [Е : gF] = [Е : F] для всех д € G и [Е : F] ^ [D : F]
при Е С D. Кроме того, [Е : F] ^ [Е : А] • [А : F] для всякого
множества А с компактным замыканием и непустой
внутренностью. Для U € Up положим ?и(Е) = [Е : U]/[H : U]. Ясно, что
?и(Е) < [Е : Я], &(дЕ) = fo(S) при д € G и &/(Я) = 1. Кроме
того, &{Е UF)< ?и(Е) + tu(F) и fo(?i) < &(Е2) при Ех С Е2.
Наконец, для дизъюнктных компактов К\ и К2 можно найти
такую окрестность U € Ц,, что для всех V € Up с V С U
?v(Ki U К2) = ZV(KX) + iv{K2). (9.11.1)
Действительно, в силу равномерности действия G найдется такая
окрестность U € Up, что для всякого д 6 G либо gU П К\ = 0,
либо gU Г) К2 = 0. Поэтому всякое покрытие К\ U К2 сдвигами
U представляет собой дизъюнктное объединение покрытий К\
и K2l что дает &/(A"i U К2) ^ &{К{) + ?и(К2). То же самое
верно и для всякой меньшей окрестности. Поскольку выполнено
и противоположное неравенство, то получаем (9.11.1).
2) Следующий шаг состоит в том, чтобы задать \(К) как
предел ?и(К) ПРИ уменьшении U. Точное определение таково. Пусть
в — линейное пространство всех ограниченных функций на
множестве ир. Положим при f € в
p@=mf sup ?(П q@ = sup inf?(V).
U€UP vcv,veup U€UP vcu,veup
Отметим, что g(?) ^ p(Q, ибо если U\,U2 € Up, то получаем
U = игпи2 ?UpK inf $(y) ^ inf ?(V) ^ sup ?(V). Легко
Vcl/i Vet/ Vcf/2
видеть, что p@) = 0, p(? + 77) < p(?) + p(n) и p(a?) = ap(?) при
всех о; ^ 0 и ?, г/ € в. Кроме того, д(?) = — р(—?). По теореме
Хана-Банаха нулевой функционал на нулевом подпространстве

340 Глава 9. Преобразования мер и изоморфизмы
в продолжается до линейной функции Л на в с Л(?) ^ р(?)- При
этом -Л@ = Л(-0 < р(-0 = -q(S), откуда д($ < Л(?) ^ р(?).
Поэтому ЛA) = 1. Если ? ^ 0, то q(?) ^ 0 и потому Л(?) ^ 0.
Значит, при ? ^ т) имеем Л(?) ^ Л G7).
3) Отметим еще одно свойство Л: если функции ?, п € Э
таковы, что при некотором U € Ц, для всех V EUP cV С U имеем
?(V) = Т7(У), то Л@ = Л(?7). Для этого положим С = ? — *7 и за_
метим, что р(?) = 0, откуда Л(?) ^ 0. Заменяя С на — ? получаем
Л(С) ^ 0, т.е. Л(С) = 0.
4) Для всякого компактного множества К теперь положим
А(*0 = Л(?.(*0),
где U |-+ ?и(К) ~~ элемент в. Ясно, что \{дК) — Х(К), ибо
&(дК) = ЫЮ- кРоме того, Л(Я) = 1, ибо &/(Я) = 1 при
U €lip. Наконец, для диъюнктных компактов К\ и К2 получаем
Л(Кх U К2) = X(Ki) + Х(К2). Это вытекает из (9.11.1) и
установленного в 3) свойства.
5) В силу теоремы 7.11.1 существует такая счетно-аддитивная
мера fi (мера // из цитированной теоремы) на В(Х) со значениями
в [0, -Нею] и конечная на компактах, что для всякого борелевского
В С X имеем fi{B) = sup \(К), где sup берется по всем компактам
К С В. Тогда получаем /х(Я) = А(Я) = 1. Наконец, из равенства
Х(дК) = \{К) для всех компактов К и д € G следует равенство
1*(дВ) = ц{В) для всех борелевских В. ?
В ряде книг (см. Хьюитт, Росс [351]) строится внешне
регулярная мера Хаара (см. замечание 7.11.2), которая равна Я на
компактах, но может отличаться от Я Па некоторых множествах,
если Я не ег-конечна (если Я не имеет атомов, то H(D) — 0 для
всякого дискретного множества D, хотя H(U) = 00 для
несчетных объединений U дизъюнктных открытых множеств).
9.11.3. Пример. Условия теоремы 9.11.2 выполнены в
следующих примерах:
(i) (д, h) »-» дх — действие G на себе умножением слева;
(ii) (д, h) н-> хд~г — действие G на себе умножением справа;
(ш) (д, х) = д(х) — естественное действие GLn на Ж"\{0}.
9.11.4. Следствие. На всякой локально компактной
группе есть единственная с точностью до множителя левоинва-
риантная мера Хаара. Это же верно и для правоинвариантной
меры.

9.11. Инвариантные меры и мера Хаара
Доказательство. Пусть v — правоинвариантная мера
Хаара на G, ц — левоинвариантная мера Хаара на G, ф € Cq{G),
ф ^ 0, причем ф не равна нулю тождественно. Заметим, что ц и
v положительны на непустых открытых множествах. Положим
А(х)~ ( ф{у-1х)и{йу). (9.11.2)
JG
Легко видеть, что функция А непрерывна и строго
положительна. Умножив д и v на постоянные, можно считать, что
\ ф{хIх{йх)= [ ф{у-1)и{йу) = \.
JG JG
Пусть Г (ж) = Д(ж)-1. Для всех <р € Cq(G) в силу теоремы Фубини
и соответствующей инвариантности двух мер имеем
/ ф)/*(<1х) = [ <р(х)Г(х)А(х)»(<1х)
JG JG
= <р(хЩх)ф{у~1х)и(Aу)^{с1х)
JgJg
= / [ ф)Г(х)ф(у-1х)^х)и(с1у)
JgJg
= ч>{ух)Т(ух)ф{х) fi(dx) u(dy)
JGJG
= / / р(ухЩух)ф(х) v{dy) (j,(dx)
JGJG
= J ip(y)r(y)u(dy) J ф{х)№х).
Итак, функции из Cq(G) имеют равные интегралы по мерам ц и
Г-z/, что дает совпадение этих мер на компактах, а в силу
внутренней компактной регулярности и на B(G). При этом Г не зависит
от //, что показывает единственность v при указанной
нормализации интеграла от ф(у~х). Утверждение для /х аналогично. ?
Функция А, заданная формулой (9.11.2) с Д(е) = 1,
называется модулярной функцией группы G. Она не зависит от ф.
Действительно, если взять другую функцию ф' с Д'(е) = 1, то
для соответствующей функции Г' получим Г' = сТ для
некоторой постоянной, ибо Г = dfi/du. При этом Г(е) = Г'(е) = 1.

342 Глава 9. Преобразования мер и изоморфизмы
9.11.5. Следствие. Если ц — левоинваринтная мера Хаара,
a v — правоинваринтная мера Хаара на G, то dv = сА d/j,, где
с — постоянная. При этом А(ху) = А(х)А(у).
Если А — 1, то группа G называется унимодулярной. Это
равносильно тому, что на G есть двусторонне инвариантная
ненулевая мера Хаара. Например, все коммутативные и все компактные
группы унимодулярны. Группа обратимых матриц п х п также
унимодулярна, а группа всех верхнетреугольных матриц 2 х 2 с
числами и > 0 и 1 по диагонали не является унимодулярной.
Нетрудно проверить, что если мера Хаара конечна, то группа
компактна (см. Хьюитт, Росс [351, §15]).
Отметим следующий важный факт, открытый в Kakutani,
Kodaira [1011] (доказательство см. в книгах Халмош [334, §64],
Хьюитт, Росс [351, §19], Fremlin [795, §463]).
9.11.6. Теорема. Пусть G — локально компактная группа
и X — мера Хаара на G (лево- или правоинвариантная). Тогда
А регулярно пополнима в следующем смысле: для всякого боре-
левского множества В С G имеем ц(В) = supn(Z), где sup
берется по всем функционально замкнутым множествам Z С В.
В частности, если ц является а-конечной, то B(G) входит в
лебеговское пополнение Ba(G).
9.12. Дополнения и задачи
(i) Проективные системы мер C42). (ii) Экстремальные прообразы
меры C44). (Hi) Существование безатомических мер C46). (iv)
Инвариантные и квазиинвариантные меры преобразований C47).
(v) Точечные и булевы изоморфизмы C49). (vi) Почти
гомеоморфизмы C52). (vir) Меры с заданными маргинальными
проекциями C53). (viii) Представление Стоуна C54). Задачи C56)
9.12(i). Проективные системы мер
Выше обсуждались образы и прообразы меры в ситуации, когда
имеется одно преобразование. Теперь мы намереваемся рассмотреть
аналогичные вопросы для семейств преобразований. Особенно важный
случай связан с так называемыми проективными системами мер.
Пусть Т — направленное множество и пусть {Ха}а€т —
проективная система пространств с отображениями irap: Хр —> Ха при а < /3,
т.е. 7rQa = Id и жар о я-^ = 7rQT, если а ^ /3 ^ -у. Пусть задано
также пространство X с системой отображений жа- X —> XQ,
следующим образом согласованных с отображениями пра: жа = 7rttlg о пр

9.12. Дополнения и задачи
343
при а < /3. Такое пространство X называют обратным пределом
пространств Ха. Простой пример: убывающая счетная последовательность
пространств Хп Э Хп+\ с естественными вложениями ппк- Хк —> Хп,
X = fXv=i -^«' ""• X —> Хп — естественное вложение. Другой пример:
X = Ш°°, Хп = Ш." отождествляется с подпространством в Ш,°°,
состоящим из последовательностей, у которых равны нулю все координаты,
начиная с (п + 1)-ой. В качестве жпк и 7Г„ также берутся естественные
проекции.
Предположим, что пространства Ха наделены <т-алгебрами Ва и
мерами ца на Ва, причем отображения жар измеримы. В типичных
случаях (но не всегда) Ха — топологические пространства с их боре-
левскими (Т-алгебрами, а пар непрерывны (и, таким образом, борелев-
ски измеримы). Проблема состоит в том, существует ли такая мера ц
на X, что
М ° ^аа = Ца для всех а. (9.12.1)
Разумеется, необходимое условие таково:
ТГа/зСМа) := Ма ° т^р = ^0 ПРИ а ^ Р- (9.12.2)
Поэтому будем обсуждать задачу (9.12.1) при условии (9.12.2) (и в
предположении, что X непусто).
Важный пример такой ситуации (и исходный пункт связанных с
этим исследований) — это случай, когда X есть пространство всех
отображений х: [0,1] —> Е, где Е — топологическое пространство,
А — набор всех конечных подмножеств [0,1] с их естественным
частичным упорядочением по включению, Ха = {х: {ti,...,tn} —> Е},
где а = {?i, ...,*„}, a irap — естественная проекция при а э /?. Таким
образом, мы находимся в ситуации, обсуждавшейся в §7.7 в связи с
распределениями случайных процессов. Как там отмечалось, не всегда
можно найти меру, удовлетворяющую (9.12.1). Приведем некоторые
достаточные условия существования решения, покрывающие многие
случаи, важные в приложениях. Следует заметить, что идея
рассматривать проективные системы принадлежит А.Н. Колмогорову, С. Бох-
неру и Ю.В. Прохорову. Основная работа в этом направлении была
проделана с целью получить подходящие обобщения теоремы
Колмогорова, приведенной в §7.7. Следующий фундаментальный результат
восходит к Ю.В. Прохорову [249].
9.12.1. Теорема. Пусть X — вполне регулярное пространство,
отображения па и жар непрерывны и выполнено (9.12.2).
Предположим, что каждая ца есть радоновская вероятностная мера.
Необходимое и достаточное условие существования радоновской меры \i
на X, удовлетворяющей (9.12.1), состоит в том, что для каждого
е > 0 найдется компакт КЕ С X с Ца(яа(Ке)) > 1 — е для всех а.

344 Глава 9. Преобразования мер и изоморфизмы
В работе Fremlin, Garling, Haydon [796] этот результат был
распространен на знакопеременные меры. Приведем доказательство
(заимствованное из цитированной работы) сразу для обобщения.
9.12.2. Теорема. Пусть X — вполне регулярное пространство,
ца — радоновские меры на Ха, отображения жа и жар непрерывны и
выполнено (9.12.2). Необходимое и достаточное условие
существования радоновской меры /л на X, удовлетворяющей (9.12.1), состоит в
том, что sup ||**а|| < оо и для каждого е > 0 существует компактное
множество К? С X с \ца\(Ха\жа(Ке)) < е для всех а. Если
отображения жа разделяют точки X, то мера \i единственна.
Доказательство. Необходимость этого условия очевидна. Пусть
оно выполнено. Можно считать, что sup||/ia|| < 1. Тогда для каждого
n € IN существует такой компакт Кп с X, что \ца\(Ха\/а(Кп)) < 1/п
для всех a G Т. Положим
М := {/х 6 МГ(Х): Ы\ ^ 1, \ц\(Х\Кп) < 1/n, Vn € к}.
Ясно, что М — непустое равномерно плотное множество в МГ(Х).
Поэтому его замыкание М компактно в слабой топологии. Пусть
Ма:={д€М: мотг-1=/ха}, а € Г.
Каждое множество Ма замкнуто в М в слабой топологии и потому
компактно. В силу теоремы 9.1.9 (условия которой выполнены согласно
нашим предположениям) эти множества непусты. При а ^ 0 имеем
М/з С Ма. Действительно, пусть ц е Мр. Тогда
М ° *"а * = (Д О 7TJ1) О 7Г^ = ti/З О 7Г~^ = Ца
ввиду (9.12.2). Направленная система компактов Ма имеет непустое
пересечение. Любой элемент этого пересечения является искомой мерой.
Утверждение о единственности вынесено в задачу 9.12.62. ?
9.12(H). Экстремальные прообразы меры
Пусть (X,A,(i) — вероятностное пространство, (Y,B) —
измеримое пространство и ж: Y —> X — (8, Д)-измеримое отображение.
Обозначим через Мм множество всех вероятностных мер и на (Y,B) с
/л = i/o 7г-1. Это множество выпукло и потому возникает вопрос о его
крайних точках. Оказывается, что при широких условиях крайние
точки Мм — это образы меры /х при измеримых сечениях отображения ж.
Такое описание интересно также в связи с тем, что для сюръективного

9.12. Дополнения и задачи
345
отображения 7г суслинских пространств прообраз меры \i был
построен нами в теореме 9.1.5 именно как образ ц относительно измеримого
сечения /х, которое не единственно.
Будем говорить, что отображение /: X —> Y является (ДМ,В)-
измеримым слабым сечением 7Г, если / измеримо в указанном смысле
и для всякого А 6 А множество /_1Gг_1(Л)) совпадает с А с
точностью до множества /z-меры нуль. Короткое доказательство следующего
утверждения дано в Graf [848].
9.12.3. Теорема. Для всякой вероятностной меры и на В
следующие условия равносильны: (i) v — крайняя точка М; (ii) существует
такой а-гомоморфизм Ф: В —> А/ц, что v(B) = ц(Ф(В)) для всех
В е В и Ле Ф(ж~1(А)) для всех А € А; (ш) для всех v € Мм
отображение (р ь-> ip о 7г из L1^) в Ьх{у) сюръективно; (iv) для всякого В ? В
найдется такое A G А, что и(В Л ж~1(А)) = 0.
Из этой теоремы и теоремы 9.12.14 легко извлечь следующее
утверждение (см. Graf [848]).
9.12.4. Следствие. Пусть Y — хаусдорфово пространство с
вероятностной радоновской мерой v, В — B(Y) и к: У-»Х — (В, А)-
измеримое отображение. Следующие условия равносильны:
(i) v — крайняя точка Мм; (ii) существует такое (Ац,
В)-измеримое слабое сечение f:X—*Y отображения п, что v = fi о /_1.
Если 7г сюръективно и А является счетно-разделяющей, то
условия (i) и (ii) равносильны также условию
(ш) существует (Ац, В)-измеримое сечение f: X —> Y
отображения 7Г с v = ц о /_1.
Наконец, если при этом В является счетно-порожденной и для
некоторой а-алгебры & с А С 6 С Ац найдется какое-нибудь (&,В)-
измеримое сечение отображения ж, то указанные условия
равносильны условию
(iv) существует (в, В) -измеримое сечение f отображения ж, для
которого и = д о /-1.
9.12.5. Пример. Наиболее интересен для приложений случай,
когда X viY — суслинские пространства с их борелевскими ст-алгебрами
и 7г: Y —> X — борелевское сюръективное отображение. Тогда
выполнены все условия, сформулированные перед утверждением (iv), если в
качестве 6 взять сг-алгебру, порожденную суслинскими множествами.
Таким образом, в рассматриваемой ситуации крайние точки множества
Мй — это меры вида /и о /-1, где /; X —> Y измеримо относительно
(&,В) и 7г(/(х)) = х для всех х € X.
В Graf [848] показано также, что параметризацию измеримых
сечений отображения ж прообразами меры ц можно сделать измеримой в

Глава 9. Преобразования мер и изоморфизмы
некотором естественном смысле. Про представление прообразов в виде
образов относительно измеримых сечений см. также Hackenbroch [882].
9.12(iii). Существование безатомических мер
9.12.6. Предложение. Пусть К — непустой компакт без
изолированных точек. Тогда на К существует безатомическая
вероятностная мера Радона.
Доказательство. Приведем два различных рассуждения.
Первое основано на том, что существует непрерывное сюръективное
отображение / из К на [0,1] (см. задачу 6.10.25). В качестве искомой меры
можно взять любую вероятностную меру Радона, образ которой есть
мера Лебега (такие меры существуют согласно теореме 9.1.9).
Другое рассуждение, использованное в Knowles [1060], основано
на том, что пространство Vt{K) всех радоновских вероятностных мер
на К является компактом в слабой топологии. Поэтому его нельзя
представить в виде объединения последовательности нигде не плотных
замкнутых множеств Мп. Рассмотрим теперь множества Мп,
состоящие из всех мер ц € ~Pt(K), которые имеют атомы меры не менее
1/п. Множества Мп замкнуты в Vt{K) со слабой топологией.
Действительно, пусть v — предельная точка Мп. Найдется направленность мер
fj,a 6 Мп, сходящаяся к v. Каждая из мер ца имеет точку ха меры
не менее 1/п. Точки {ха} имеют предельную точку х, поэтому
можно считать, что направленность ха сходится к х. Если f({x}) < 1/п,
то найдется замкнутое множество Z, внутренность которого содержит
х и v(Z) < 1/п. Найдется такое оо, что ха € Z при а ^ ocq,
откуда ЦаB) ^ 1/п, что в силу слабой сходимости дает v{Z) ^ 1/п —
противоречие. Кроме того, множества М„ нигде не плотны. В самом
деле, пусть v G Pt(K). Во всякой окрестности v в слабой топологии
есть конечные линейные комбинации дираковских мер. Поскольку К
не имеет изолированных точек, то можно найти такую комбинацию
fo = 5Z,-=1 CjSaj, что Cj < Bn)_1 и точки a,j различны. По доказанному
i/q обладает окрестностью, не пересекающейся с Мп. ?
9.12.7. Предложение. На компакте К существует
безатомическая вероятностная мера Радона в точности тогда, когда
существует непрерывная функция /: К —> [0,1] с f(K) = [0,1].
Доказательство. Если такая функция существует, то применима
теорема 9.1.9. Если же на К есть безатомическая вероятностная мера
Радона fi, то носитель /х является компактом Ко без изолированных
точек. Согласно задаче 6.10.25 существует непрерывная функция / на
Ко с f(Ko) = [0,1]. Остается продолжить / до непрерывной функции
из К в [0,1]. ?

9.12. Дополнения и задачи 347
9.12(iv). Инвариантные и квазиинвариантные меры
преобразований
Пусть / — борелевское отображение топологического пространства
X в себя. Напомним, что борелевская мера ц называется
инвариантной мерой преобразования /, если до/-1 = Ц- Проблема
существования инвариантных мер преобразований возникает в теории
вероятностей, эргодической теории, нелинейном анализе, теории представлений
групп, статистической физике и многих других разделах математики и
физики. Следующий фундаментальный результат восходит к Н.Н.
Боголюбову и Н.М. Крылову [505].
9.12.8. Теорема. Пусть {Та} — семейство коммутирующих
непрерывных отображений компактного пространства X в себя. Тогда
существует радоновская вероятностная мера X на X, которая
инвариантна относительно всех Та.
Доказательство. Согласно теореме Рисса, пространство С(Х)*
можно отождествить с пространством всех радоновских мер на X.
Всякое непрерывное отображение Т: X —* X индуцирует линейное
отображение Т: С(Х)* —> С(Х)*, А |—» А о Г-1, которое непрерывно, если
С(Х)* наделено *-слабой топологией. В самом деле, прообраз всякой
окрестности нуля вида {А: —е< A(/i) < е, г = 1,..., п}, где /» е С(Х)
и А(/) обозначает интеграл / по мере А, содержит окрестность нуля
{т: - е < m(/i о Г) < е, i = 1,. ..,п}, поскольку т(/ о Т) = f(m)(f).
По теореме Банаха-Алаоглу, замкнутый единичный шар в С(Х)*
компактен в *-слабой топологии. Его подмножество Р, состоящее из таких
функционалов L, что L(l) = 1 и L(f) ^ 0 при / ^ 0 (т.е.
соответствующих вероятностным мерам), замкнуто и вьшукло, следовательно,
оно является выпуклым компактом. Непрерывные линейные
отображения Та переводят Р в Р и коммутируют. Согласно известной теореме
Маркова-Какутани (см. Эдварде [371, теорема 3.2.1]), существует
такая точка A е Р, что Та(Х) = А для всех индексов а. Итак, А — общая
инвариантная мера всех Та. ?
9.12.9. Следствие. Всякое непрерывное отображение компакта
в себя обладает инвариантной радоновской вероятностной мерой.
Непосредственное следствие теоремы 9.12.8 — существование меры
Хаара на любой абелевой компактной топологической группе, т.е.
радоновской вероятностной меры, инвариантной относительно сдвигов.
9.12.10. Пример. Пусть ограниченное множество К в
гильбертовом пространстве замкнуто в слабой топологии. Тогда всякое
непрерывное в слабой топологии отображение F: К —> К обладает
инвариантной вероятностной мерой.

348 Глава 9. Преобразования мер и изоморфизмы
В рассмотренном примере важна не только замкнутость именно в
слабой топологии, но и непрерывность в этой же топологии.
Рассмотрим следующий пример из работы Богачев, Простое [44] (аналогичное,
но не полиномиальное, отображение было использовано Какутани в его
примере гомеоморфизма шара без неподвижных точек).
9.12.11. Пример. Существует такое отображение / замкнутого
единичного шара U из I2 в себя, что / — диффеоморфизм (т.е.,
диффеоморфизм некоторых окрестностей U и гомеоморфизм U), и, кроме
того, полином второго порядка, т.е. /(х) = В(х, х) + А(х) + с, где В
билинейно, А линейно, с € U, но не имеет инвариантных мер.
Доказательство. Реализуем I2 как пространство двусторонних
последовательностей х = (xn), п € Z, возьмем его естественный базис
{еп}, обозначим через Т изометрию с Теп = e„_i и положим
/(х) = Т(х + ?A-(х,х))ео),
где е 6 @,1/2). Все сделанные утверждения проверяются
непосредственно (см. [44]), причем отсутствие инвариантных мер следует из
того, что, как можно проверить, для всякого х последовательность /п(х)
слабо сходится к 0, а дираковская мера в нуле не инвариантна. П
Интересно найти условия на гладкое отображение (отличные от
компактности), обеспечивающие существование инвариантной меры.
Для некоторых приложений оказывается полезным более слабое
свойство квазиинвариантности. Например, не существует инвариантных
мер Хаара на некомпактных топологических группах. Будем говорить,
что (J, — квазиинвариантная мера семейства преобразований {Та},
если ц о Т~* -С ц для всех а. Ясно, что для отдельного
преобразования Т всегда можно найти квазиинвариантную меру: положим
/х = J^n^i 2_п/х о (Т*1)-1, где fj, — любая вероятностная мера.
Однако в общем случае это часто оказывается трудной проблемой.
Конечно, существуют семейства, которые вообще не допускают
квазиинвариантных мер. Нетривиальный пример — аддитивная группа
бесконечномерного банахова пространства: она не допускает ненулевых
квазиинвариантных конечных борелевских мер. Понятия инвариантности
и квазиинвариантности имеют смысл для преобразований
пространства мер на X, не обязательно порожденных преобразованиями самого
пространства X. Например, инвариантные меры стохастического
процесса в топологическом пространстве X, обладающего переходной
полугруппой {Tt} на пространстве ограниченных борелевских функций,
определяются как инвариантные меры ассоциированных операторов Tt*
на М(Х). О продолжениях мер Хаара см. Хьюитт, Росс [351, §16].
При рассмотрении бесконечных мер Хаара бывает полезнее иметь
дело с инвариантным интегралом, чем с самой мерой Хаара. Это — одна
из ситуаций, где проявляются достоинства подхода Даниэля-Стоуна.

9.12. Дополнения и задачи
9.12(v). Точечные и булевы изоморфизмы
Много работ посвящено обобщениям результата фон Неймана о
том, что автоморфизмы алгебр с мерами порождаются
отображениями самих пространств при некоторых ограничениях на меры или
пространства; см. работы Choksi [580], [581], Choksi, Fremlin [582],
Maharam [1193]. В Maharam [1194] для меры Радона ц строится
изоморфизм мер /z®AT и А1", где Ат — некоторая степень меры Лебега на [0,1].
Приведем один результат из Choksi, Fremlin [582].
9.12.12. Теорема. Пусть Ха, а € А, — компактные
метрические пространства, X = П Ха и пусть ц и v — радоновские ве-
а€А
роятностные меры на X. Если алгебры с мерами Е^ и Ev булевски
изоморфны, то существует изоморфизм modO пространств с
мерами (Х,Ва(Х)„ц) и (Х,Ва(Х)и,и).
В частности, если А не более чем счетно, то существует
изоморфизм modO пространств (X, B(X)ll, fi) и {X,B{X)v,v).
Для несчетных произведений единичных интервалов последнее
утверждение неверно, как показано в работе Panzone, Segovia [1333].
Согласно работе Винокуров [75], два бесконечных произведения
(одинаковой мощности) безатомических пространств Лебега изоморфны modO
при условии, что они имеют равные метрические структуры. Кроме
того, каждая степень Е* безатомического пространства Лебега, которая
является однородной алгеброй с мерой метрического веса т, точечно
изоморфна modO пространству [0,1]т.
Отметим следующий результат (см. Fremlin [795, §3441]).
9.12.13. Теорема. Пусть (X,A,fi) и (Y,B,v) — безатомические
совершенные вероятностные меры на счетно-разделяющих о-алгеб-
рах. Тогда пространства (Х,Ар,ц) и (Y,B„,v) изоморфны.
Пусть (Х,А, ц) — полное вероятностное пространство, У — хаус-
дорфово пространство и В = B(Y). Следующий интересный
результат получен в работе Graf [848], в которой использовались важные
идеи из Edgar [701]. Если 2ti и 212 — булевы алгебры, то отображение
Ф: 2li —> Яг называется булевым <т-гомоморфизмом, если Ф сохраняет
операции пересечения, дополнения и счетного объединения.
9.12.14. Теорема. Пусть Ф: В —> А/ц — булевский а-гомомор-
физм, причем /i о Ф является радоновской мерой на Y. Тогда
существует такое (А, В)-измеримое отображение /: X —+ Y, что Ф(В)
есть класс эквивалентности множества /_1(В) для всех В € В, т.е.
f индуцирует Ф.

350 Глава 9. Преобразования мер и изоморфизмы
Доказательство. Обозначим через К класс всех компактов в Y.
Как будет показано в §10.5, существует лифтинг L: А^ —> А, т.е.
отображение L, сопоставляющее каждому классу эквивалентных множеств
представитель этого класса таким образом, что
ЦХ) = Х, L@) = 0, L(AnB) = L(A)nL(B),L{AuB) = L{A)UL(B).
Тогда Ф = L о Ф является гомоморфизмом булевых алгебр В и А.
Поскольку мера /^оФ радонова, то р(Х) = sup< д(ФB{Г)): К € К \.
Семейство множеств Ф(-ЙГ) является возрастающей (по включению)
направленностью и потому согласно лемме 10.5.5 мы получаем, что множество
Xo := UiceK. *(-Ю измеримо и ц(Х\Хо) = 0. Для каждого х € X
положим Кх ¦= {К ? 1С: х е Ф(.ЙГ)}. Заметим, что при х ? Xq класс К,х
непуст. Покажем, что Пх := П^ел;х К состоит ровно из одной точки,
которую мы обозначим через /(х). Действительно, класс Кх состоит
из непустых компактов, всякое конечное пересечение которых
непусто, ибо их образы при гомоморфизме Ф содержат х. Поэтому
непусто и пересечение всех этих компактов. Пусть в Пх есть два
различных элемента у\ и г/2- Возьмем произвольный компакт К € К.х.
Тогда з/1,г/2 € К. Рассматриваемые точки обладают непересекающимися
окрестностями U\ и Ич- Множества К\ = K\Ui и Ki = K\U2
компактны и К — К1 U Къ- Тогда х входит в Ф(К\) или в Ф(АГз). Можно
считать, что х € Щ-K-i) и_тогда К\ € /Сх. Это показывает, что U\ не
пересекается с Пх, ибо Ui не пересекается с К\ э Пх, т.е. г/i 0 Ux —
противоречие. Теперь доопределим / вне Хо каким-либо постоянным
значением уо € Y. Получилось искомое отображение. В самом деле,
для всякого открытого U С Y множество /_1(G) либо совпадает с
Е :— Хо Л f~l(U), либо отличается от Е на Х\Х0. Поэтому достаточно
показать, что Е G А. Легко видеть, что включение Пх С U
равносильно тому, что К с U для некоторого К € К,х. Кроме того, для всякого
компакта К С U имеем Х0 П Ф(АГ) С Е, ибо если х € Х0 Л Ф(-ЙГ), то
К € Кх и Пх С К с U, т.е. х € Е. Таким образом,
Е = Х0 Л и{ф(#): К С U, К компактно}.
Как и выше, получаем, что Е е А и //(Ф(С/)\Е) = 0. Поскольку
/х(/_1(?7) Д Ё) = 0, то заключаем, что Ф(?7) есть класс
эквивалентности множества /_1({7). Ввиду того, что Ф — сг-гомоморфизм, это
остается в силе для всех борелевских множеств в У. ?
Отметим, что если Y — суслинское пространство, то мера ц, о Ф
автоматически радонова. Более того, в этом случае не обязательно
предполагать полноту меры /х, ибо можно применить теорему к А^, а затем
взять (А, В)-измеримую версию найденного отображения.

9.12. Дополнения и задачи 351
Ясно, что всякое измеримое отображение Т: (Х,А,1л) —> (Y,B, и)
вероятностных пространств, для которого v — ц о Т-1, порождает
сохраняющее меру вложение Ф: Е„ —> Ем, при котором класс
эквивалентности множества В € В переходит в класс эквивалентности
множества Ф(??) = Т~г(В). Корректность определения Ф и равенство
/х(Ф(В)) = и(В) ясны из того, что v = \i о Т-1. В этой ситуации Т
и Ф не обязаны быть изоморфизмами.
Следующий результат был получен в Edgar [701], а в Fremlin [785]
указан его простой вывод из теоремы 9.12.14.
9.12.15. Теорема. Пусть (X,A,fi) — вероятностное
пространство с полной мерой и (Y,B(Y)v,v) — топологическое пространство
с вероятностной радоновской мерой v. Предположим, что
существует сохраняющее меру отображение Ф алгебры с мерой Ev вЕц. Тогда
Ф индуцируется некоторым измеримым отображением Т: X —¦ Y.
9.12.16. Следствие. Пусть (Y,B(Y)v,v) — топологическое
пространство с радоновской вероятностной мерой v. Тогда найдутся
кардинал к и такое измеримое отображение Т: {0,1}к —> X, где {0,1}к
наделено мерой /х, равной произведению стандартных бернуллиевских
вероятностных мер, что и = /х о Т-1.
Доказательство. Применимы теоремы 9.3.5 и 9.12.15. D
Всякую вероятностную меру и можно разложить в сумму чисто
атомической меры v и меры цо без атомов. Тогда Ьр(/л) будет прямой
суммой 1Р(у) и L"(iM)), причем lP{v) можно отождествить с LP{vq) для
некоторой меры vq на IN. Структура второй компоненты описывается
следующей теоремой, вытекающей из теоремы 9.3.5.
9.12.17. Теорема. Пусть ц — вероятностная мера, не
имеющая атомов, и 1 ^ р < сю. Тогда существует счетное семейство
бесконечных кардинальных чисел /?„ таких, что 1Р{ц) линейно изо-
метрично и изоморфно в смысле естественного порядка
пространству ®„LP( [0,1]^", А^") , определяемому как пространство
последовательностей (/„) с /„ € Уф, 1]^П,А"П), имеющих конечную норму
(/»),:= (ЕШ1р) •
9.12.18. Следствие. Пусть ц — сепарабельная вероятностная
мера, не имеющая атомов, и 1 < р < со. Тогда Ьр{ц) линейно изо-
метрично 1^@,1]. Если же ц имеет атомы, но не чисто атомич-
на, то LP(fi) линейно изометрично прямой сумме ?р[0, а] и 1?(у) для
некоторых а < 1 и конечной меры и на N.

352 Глава 9. Преобразования мер и изоморфизмы
9.12(vi). Почти гомеоморфизмы
Рассмотренные в §9.6 почти гомеоморфизмы пространств с мерами
могут быть весьма разрывными при доопределении на все
пространство. Возникает вопрос о существовании почти гомеоморфизмов с
более хорошими свойствами. Два таких свойства описаны в следующем
определении.
9.12.19. Определение. Пусть (X,fi) и (Y,v) — топологические
пространства с борелевскими мерами /л и v.
(i) Будем говорить, что эти пространства К-изоморфны, если
существуют такие отображения S: X —*• Y и S': Y —> X, что S
непрерывно ц-п.в., S' непрерывно и-п.в., S'E(x)) = х для ц-п.в. х,
S(S'(y)) = у для и-п.в. у и и = /LioS-1, где ц считается продолженной
наВ{Х),>.
(ii) Будем говорить, что эти пространства S-изоморфны, если
существует такое взаимно-однозначное борелевское отображение Т
из X на У, что Т непрерывно ц-п.в., Т-1 непрерывно v-п.в. и
выполняется равенство с = доГ-1.
Названия указанных типов изоморфизмов обусловлены тем, что
такие изоморфизмы были исследованы в работах Krickeberg [1085],
[1086], Boge, Krickeberg, Papangelou [506] и Sun [1590], [1591]
соответственно. В работе Sun [1590] доказана следующая теорема.
9.12.20. Теорема. Пусть /х — борелевская вероятностная мера
на польском пространстве X. Тогда справедливы следующие
утверждения.
(i) Существуют борелевское множество Y с [0,1] г* борелевская
вероятностная мера v uaY такие, что (X, ц) и (У, v) S-изоморфны.
(ii) В качестве Y можно взять [0,1] в точности тогда, когда
всякий атом меры ц является точкой сгущения в X.
(Ш) Если ц не имеет атомов, то {Х,ц) и ([0,1], Л), где А — мера
Лебега, S-изоморфны, причем для всякого заданного счетного
множества D в носителе ц изоморфизм Т можно выбрать так, что D
входит в множество точек непрерывности Т, a T(D) — в множество
точек непрерывности Г-1.
Эта теорема не переносится на произвольные борелевские
множества в польских пространствах. Как показано в Sun [1591], дело
обстоит следующим образом.
9.12.21. Теорема. Пусть X — борелевское множество в
польском пространстве и ц — вероятностная борелевская мера на X.
Тогда (i) существование борелевской вероятностной меры v на [0,1], для
которой (Х,ц) и ([0,1],!/) S-изоморфны, равносильно тому, что в X
есть множество Y меры 1, гомеоморфное польскому пространству,
причем все атомы ц являются точками сгущения X;

9.12. Дополнения и задачи 353
(ii) если ц не имеет атомов, то существование S-изоморфизма
между (Х,ц) и ([0,1], А) равносильно тому, что в X есть
множество У меры 1, гомеоморфное польскому пространству. При этом для
заданного счетного множества D в пересечении носителя /х cY
изоморфизм Т можно выбрать так, что D входит в множество точек
непрерывности Т, a T(D) — в множество точек непрерывности Т.
Конечно, не всегда можно найти польское подпространство
полной /х-меры. Например, если X = Q = {г„} — множество всех
рациональных чисел и /х = 5Z^=i 2-n5r„, то очевидным образом такого
подпространства нет, ибо Q не является польским пространством. Этот
пример легко модифицировать так, чтобы получить меру без атомов
(например, взять меру /х<8>Л на Qx [0,1]).
Ясно, что всякий 5-изоморфизм является if-изоморфизмом.
Обратное неверно хотя бы потому, что А'-изоморфизм не обязан быть
ни взаимно-однозначным, ни борелевским. Отметим, что даже если А'-
изоморфизм S является взаимно-однозначным, то не всегда в качестве
S' можно взять S'1 (см. задачу 3.10.62). В Sun [1590] построены
простые примеры, когда А~-изоморфные пространства (X, fi) и (У, v) не
являются ^-изоморфными. При этом может даже существовать
взаимнооднозначное борелевское отображение между X и У, сохраняющее
меру. Таким образом, различные изоморфизмы могут обладать
отдельными хорошими свойствами, требуемыми в определении S-изоморфизма,
но их нельзя получить одновременно у одного отображения. Возможна
и такая ситуация, когда существует А'-изоморфизм, но не существует
сохраняющего меру взаимно-однозначного борелевского отображения.
Наконец, существование борелевского изоморфизма между X и У,
переводящего fi в и, не означает А"-изоморфность (Х,ц) и (У, и).
9.12(vii). Меры с заданными маргинальными проекциями
Если даны две вероятностные меры ц и v на пространствах X и У,
то на XxY существуют меры, проекции которых на сомножители есть ц
и v (например, мера /?&/). Во многих приложениях бывает нужно иметь
такие меры с какими-либо дополнительными свойствами (скажем,
сосредоточенные на заданном множестве). Например, на квадрате [0,1]2,
помимо двумерной лебеговской меры, есть мера, сосредоточенная на
диагонали х = у и также имеющая в качестве проекций меры Лебега
на сторонах: нормированная линейная мера на диагонали. Однако на
множестве {(х,у): х < у} уже не существует борелевской меры,
проекции которой — меры Лебега на сторонах (задача 9.12.65). Приведем
несколько характерных результатов в этом направлении. Следующая
теорема о мерах с заданными проекциями на сомножители (иначе
называемыми маргинальными проекциями) была найдена Штрассеном

354
Глава 9. Преобразования мер и изоморфизмы
[1580] в случае польских пространств, а затем обобщалась различными
авторами (см. Skala [1546], откуда взята приводимая формулировка).
9.12.22. Теорема. Пусть X uY — вполне регулярные
пространства и М — выпуклое множество в Pr(XxY), замкнутое в слабой
топологии (или X uY — общие хаусдорфовы пространства, о М
замкнуто в А-топологии). Существование меры А € М с заданными
проекциями ц € РГ(Х) и v € Pr(Y) на X uY равносильно тому, что
для всех ограниченных борелевских функций f на X и g naY
справедливо неравенство
( fdfi+ j gdv^ supj f (f(x) + g(y)) <r(dx,dy): a e M
Jx Jy Uxxy
В частности, если Z — замкнутое множество в X х Y, то
существование меры A € Pr(XxY) с проекциями и е РГ(Х) и v € Pr(Y) и
X(Z) = 1 равносильно тому, что
J fdn + j gdv^ sup{/(x) + g(y): (x,y) € Z)
для всех ограниченных борелевских функций f на X и g naY.
Пусть (Х\,А\,Р\) и {X2tAi,Pi) — вероятностные пространства,
ЛЛ{Р\,Р2) — множество всех вероятностных мер на (Х\ хХ2,А\®А2),
для которых проекции на Xi и Х2 равны соответственно Pi и Р2. Пусть
h — ограниченная измеримая функция на (Xi хХ2, АгФАг) и
S(h)= sup / hdfi, 1(h) = supi / hxdPi + f h2dP2,
li€M(P1,P2)JX1xX2 UXi Jx2
Ы € Сг(Рг), h(X!,X2) < /ii(xi) + /i2(x2) j.
В работе Ramachandran, Roschendorf [1404] установлен следующий
общий факт.
9.12.23. Теорема. Если хотя бы одна из мер Р\ и Р2 совершенна,
то S(h) = 1(h).
В Ramachandran, Roschendorf [1405] показано, что от условия
совершенности одной из мер здесь нельзя отказаться.
9.12(viii). Представление Стоуна
Булевой алгеброй называется непустое множество X с двумя
бинарными операциями (А, В) н-» А Л В и (А, В) иДиВи операцией
A i-> — А, которые связаны между собой теми же соотношениями, что
и обычные теоретико-множественные операции пересечения,
объединения и дополнения (см. Сикорский [283, гл. 1]). При этом элементы

9.12. Дополнения и задачи 355
А П (—А) и Л U (—А) не зависят от Л и называются соответственно
нулем и единицей алгебры. Булевым гомоморфизмом булевых алгебр
называется отображение h со свойствами
h(AUB) = h(A)Uh(B), h(A ПВ) = h{A) nh(B), h(-A) = -h(A).
Взаимно-однозначный булев гомоморфизм называется булевым
изоморфизмом. Ранее мы уже встречались с частными случаями этих
понятий, когда имели дело с метрической булевой алгеброй пространства
с мерой (в этом случае булевы операции над классами эквивалентных
множеств — это обычные теоретико-множественные операции
пересечения, объединения и дополнения, осуществляемые над
представителями этих классов). Можно определять булевы алгебры и в терминах
частично упорядоченных множеств (см. Владимиров [77]), а также в
алгебраических терминах как ассоциативные кольца с единицами, все
элементы которых удовлетворяют условию а • а = а (для этого в
качестве операции сложения множеств надо брать симметрическую
разность, что соответствует сложению по модулю 2 индикаторов).
Следующий важный результат — теорема Стоуна — отождествляет
абстрактные булевы алгебры с алгебрами открыто-замкнутых множеств.
Доказательство теоремы Стоуна можно найти в книгах Владимиров
[77], Данфорд, Шварц [104], Сикорский [283], Lacey [1103].
9.12.24. Теорема. Всякая булева алгебра А изоморфна булевой
алгебре всех одновременно открытых и замкнутых множеств в
некотором вполне несвязном компактном пространстве S {т.е.
компакте, обладающем базой из открыто-замкнутых множеств).
Предположим, что на алгебре А подмножеств пространства X
задана неотрицательная аддитивная функция множества т с т(Х) = 1.
С помощью теоремы Стоуна реализуем А как алгебру Ао всех открыто-
замкнутых подмножеств компакта S. Функции т при этом
соответствует неотрицательная аддитивная функция множества то на Ао с
mo(S) = 1. Поскольку Ао состоит из компактных в S множеств, то
мера то оказывается счетно-аддитивной и потому допускает счетно-
аддитивное продолжение на сг(Ао). Более того, по теореме 7.3.9
существует вероятностная радоновская мера /х на S, продолжающая то-
Подчеркнем, что при этом исходная мера m могла и не быть счетно-
аддитивной (кажущееся противоречие объясняется тем, что
использованный нами изоморфизм может не сохранять счетные объединения).
В работах Looniis [1160] и Sikorski [1537] получено уточнение
теоремы Стоуна для булевой ст-алгебры А (булевой алгебры со счетными
объединениями): показано, что найдутся такие <х-алгебра Ао и ее а-
идеал А, что алгебра А изоморфна фактор-алгебре Ао/А. При этом
в качестве Ао можно взять ст-алгебру, порожденную всеми открыто-
замкнутыми множествами в пространстве Стоуна S алгебры Дав
качестве А — <т-идеал всех множеств из Ао первой категории.

356 Глава 9. Преобразования мер и изоморфизмы
Задачи
9.12.25.° Пусть Кп — возрастающие компактные множества в хаусдор-
фовом пространстве X, f: X —> У — такое инъективное отображение в хаус-
дорфово пространство У, что / непрерывно на каждом Кп. Доказать, что
всякая радоновская мера и, сосредоточенная на объединении компактных
множеств f(Kn), имеет единственный радоновский прообраз относительно /.
Указание: заметить, что если /л и дг — радоновские прообразы v, то
они сосредоточены на объединении Кп, а их ограничения на каждый из
компактов Кп совпадают; для проверки последнего воспользоваться тем, если
радоновские меры щ и дг на объединении Кп различны, то fii(S) ф /X2(S)
для некоторого компактного множества S в одном из Кп, а тогда компакт
f(S) имеет различные меры относительно их образов.
9.12.26.° (Lehn, Magerl [1137]) Пусть /: X —> У — сюръективное боре-
левское отображение суслинских пространств hi/- борелевская
вероятностная мера на У. Доказать, что v имеет единственный прообраз относительно
/ в точности тогда, когда /_1(у) состоит из одной точки для f-п.в. у е Y.
Указание: достаточность очевидна, а необходимость видна из того, что
если множество S всех у с неединственным прообразом не является нулевым,
то ввиду его измеримости с помощью теоремы об измеримом выборе можно
построить два различных прообраза и.
9.12.27? Пусть (X, Л, ц) — вероятностное пространство, (У, ?) —
измеримое пространство и 7г: X —+ (У, ?) — измеримое отображение. Предположим,
что мера и = fion на ? (или на ?„) обладает компактным приближающим
классом, причем тг(Х) € ?v. Показать, что мера ц на В = 7Г_1(?) также имеет
компактный приближающий класс.
Указание: Пусть п(Х) =Y,IC — компактный приближающий класс для
v на ?, /Со = тг_1(/С). Тогда /Со — компактный класс. В самом деле, если Сп =
7r_1(K„), Кп € /С и f|S=i С« Ф 0 ПРИ всех п> то непусты и множества ПГ=1 ^*-
Существует у е f|Si ^*- Найдется а: с 7г(х) = t/. Тогда а; ? DSi <?•• В общем
случае положим /Ci = {К € /С: К С тг(Х)}. Ясно, что К,\ — компактный
класс подмножеств тг(Х). Чтобы свести наше утверждение к случаю тг(Х) =
У, достаточно проверить, что класс /Ci приближает меру I/ на тг(Х). Пусть
Е 6 ? и е > 0. По условию существует такое множество Уо С *"(Х), что У0 € ?
и /*Gг(Х)\Уо) = 0. Также по условию найдутся такие множества Ео € ? и
KeK,4ToE0CKcEnY0H /*((У0 П Я)\ЕЬ) < е. Ясно, что /С С тг(Х), т.е.
К € JCi. Кроме того, К сЕя ц(Е\Е0) < е.
9.12.28.° Пусть ц — борелевская мера на пространстве TZ
иррациональных чисел @,1), положительная на непустых открытых множествах и не
имеющая точек положительной меры. Доказать, что для всякой
последовательности чисел ап > 0 с S^Li Q« = КЮ существуют такие дизъюнктные
открытые множества С/„, что И = U^Li ^« и К^«) = ап для всех п.
Указание: пусть a(i,j) = ctij/(j + 1), i,j € IN. Заметить, что можно
найти возрастающую к 1 последовательность рациональных чисел г к, г о = 0,
со следующим свойством: если INxlN упорядочить по правилу (г, j) < (i',f),
когда г + j < г' + j' или г + j = г' + / и j < f, и обозначить (rk-i,rk) ПК

9.12. Дополнения и задачи
357
через I(i,j), где (г, j) — элемент с номером к при указанном упорядочении,
то а(г, j) < Sl=i v(Hh п)) < a(i>3 +1)- Числа Гк находим индуктивно с
учетом того, что функция //([0,х] ПИ) строго возрастает и непрерывна на [0,1].
Множества Ui = UiLi '(*ij) дают нужное разбиение.
9.12.29f Пусть X — полное сепарабельное метрическое пространство и
ц ^ 0 — конечная борелевская мера на X без точек положительной меры.
Показать, что для всякого А € В(Х) с ц(А) > 0 и всякого е > 0 найдется
такое множество К С А, гомеоморфное множеству Кантора, что ц(А\К) < е.
Указание: можно считать, что ограничение ц на А является
вероятностной мерой; найдется такое борелевское множество В С X, что ц(А\В) = 0 и
{В, цв) гомеоморфно G?, А). Пусть h — соответствующий гомеоморфизм. В
h(AnB) найдем компактное совершенное множество С с Х(С) > 1-е. Тогда
ft-1 (С) — искомое множество (см. также Gelbaum [821], Oxtoby [1324]).
9.12.30.° Пусть U С Ш" — открытое множество, У — суслинское
пространство, (I — вероятностная борелевская мера на У и /: U —>У-
борелевское отображение. Доказать, что найдется такая последовательность
попарно непересекающихся открытых кубов Kj С U с ребрами, параллельными
координатным осям, что fi(f(U)) = A*(/(U?U Ki)Y
Указание: взять такую борелевскую меру и на U, что fi = v о /_1 и
применить задачу 1.12.60.
9.12.31. Пусть X и Y — метрические пространства с неотрицательными
радоновскими мерами /х и I/ и /: Х-»У — измеримое отображение,
обладающее свойством (N) относительно пары (и, и). Доказать, что для 1/-п.в. у 6 У
множество /-1(у) не более чем счетно.
Указание: обозначим через У класс всех таких борелевских множеств
У С Y, что /_1(у) не более чем счетно для всякого у ? У. Пусть а —
точная верхняя грань и-мер множеств из У. Найдутся множества Yn 6 У
с v{Yn) -* а. Пусть Y0 = [J^Li у»- Тогда уо Е У и v(YQ) = а. Если Х0 :=
/_1(У\Уо) непусто, то согласно предложению 9.1.7 существует такое
измеримое множество А С f~1(Y\Yo), что f(A) = /(Хо) и / инъективно на А.
Если х/(/(Л)) > 0, то приходим к противоречию, ибо f(A) П Уо = 0, так
как f{A) С У\У0. Значит, v{f{X0j) = v(f(A)) = 0. Остается заметить, что
/(Х)сУоиДХо).
9.12.32.° Пусть X, У — суслинские пространства с вероятностными бо-
релевскими мерами /ihi/ соответственно и пусть /: X -+ У — борелевское
отображение. Показать, что / имеет свойство (N) относительно (fi, v) в
точности тогда, когда i/(/(-K")) = 0 для всякого компакта К с ц(К) = 0.
Указание: пусть В е В(Х), д(В) = 0, но v{J(B)) > 0; по теореме 7.14.31
найдется компакт К С В с v(f{K)) > 0 — противоречие.
9.12.33. (i) Известно, что из так называемой аксиомы конструктивности
в теории множеств следует существование коаналитического множества X С
[0,1] и непрерывной функции ip: X —> [0,1], таких, что множество <р{Х)
имеет внутреннюю меру нуль и положительную внешнюю меру. Положим

358 Глава 9. Преобразования мер и изоморфизмы
П = X U [2,3] с обычной топологией и рассмотрим на Q меру ц, которая
равна нулю на X и совпадает с мерой Лебега на [2,3]. Пусть f(x) = tp(x) при
х G X и f(x) = х при х ? [2,3]. Показать, что f(K) имеет лебеговскую меру
нуль для всякого компакта К С П с fi(K) = 0. При этом f(X) неизмеримо,
хотя X — замкнутое подмножество ft.
(ii) В предположении аксиомы конструктивности доказать, что
существует такое коаналитическое множество X С [0,1], что на некоторой счетно-
порожденной <г-алгебре S С В(Х) есть вероятностная мера, не имеющая
счетно-аддитивных продолжений на В(Х).
Указание: (i) множества К П X и К П [2,3] компактны в Q,
X(f(K П [2,3])) = Х(К п [2,3]) = р(К П [2,3]) = 0
и \(f(K П X)) = \(<р(К П X)) = 0 в силу компактности <р(К) и равенства
А»(?>(Х))=0.
(ii) Возьмем коаналитическое множество X С [0,1] и непрерывную
функцию /: X —» [0,1], такие, что f(X) имеет внутреннюю меру нуль и
положительную внешнюю меру. Пусть S = |/_1(В),В € B(f(X))\. Тогда 5 —
счетно-порожденная сг-алгебра в В(Х). Мера fj, на S, заданная формулой
ц(/~1(В)) = А*(В), счетно-аддитивна, но не имеет счетно-аддитивных
продолжений на В(Х), ибо д(Х) = А*(/(Х)) > 0 и в то же время ц(К) = 0
для всякого компакта К ъ X, так как f(K) — компакт в f(X) и потому
X(f(K)) = 0.
9.12.34.° Пусть (Х,А,ц) и (Y,B, и) — пространства с вероятностными
мерами и / € L1(^t®i/). Показать, что образ меры / • (ii®v) при естественной
проекции X х Y на X задается относительно меры ц плотностью
e(*) = jf/(*,»Mdy).
Указание: выразить интеграл от Iaxy по мере / • (ц®и) через д.
9.12.35.° Пусть Е — суслинское подмножество [0,1], не являющееся бо-
релевским. Обозначим через S класс всех множеств вида S = В U С, где
В и С — борелевские множества с В С Е и С С [0,1]\?. Пусть ? — класс
всех множеств вида Si U ([0,1]\S2), где Si,S2 G S. Показать, что ? — а-
алгебра, причем с помощью формулы \i(S) = 0, д([0, lJXS) = 1 при S 6 S,
можно задать вероятностную меру на ?, у которой нет счетно-аддитивных
продолжений на В([0,1]).
Указание: если // — борелевское продолжение ft, то Е измеримо
относительно лебеговского пополнения ц'', причем ц'(Е) = 0, ибо для всякого
компакта К С Е имеем fi(K) = 0, так как К eS. Аналогично ^'([0,1]\Е) = 0,
откуда /i([0,1]) = 0 — противоречие.
9.12.36. (Steinhaus [1573]) Для каждой точки ? € @,1) рассмотрим
ее двоичное разложение 0,?i,$2,..- и рассмотрим отображение в: @,1) —»
@,1)°°, заданное формулой в: ? §-»• @„),
01 =0,6,6,6,60,..., 02=О,.?2,&,6,64,..., 03=0,44,6,63,69

9.12. Дополнения и задачи
359
и т.д. Иначе говоря, в точку 0 с вп = O,0ni,0n2, • ¦ ¦ переходит точка ? =
0,011,021,012,031» Показать, что образ меры Лебега А есть А°°.
9.12.37. Пусть /i — мера на X = {0,1}°°, равная произведению
одинаковых мер на {0,1}, приписывающих 1/2 обеим точкам. Доказать, что во
всяком измеримом множестве положительной /л-меры найдется пара точек,
отличающихся лишь одной координатой.
Указание: воспользоваться изоморфизмом с мерой Лебега, задаваемым
отображением (х„) н-> X^i х„2~п и тем, что во всяком множестве
положительной меры в [0,1] найдутся точки со сколь угодно малой разностью.
9.12.38° Пусть (X, A, fi) — пространство с безатомической совершенной
вероятностной мерой. Доказать, что в X имеется континуальное множество
меры нуль.
Указание: имеется такая измеримая функция f:X—> [0,1], что /*°/-1
есть мера Лебега. В f(X) найдется борелевское множество меры 1, а в этом
множестве можно найти континуальное подмножество Е меры нуль. Тогда
мощность /~1 (Е) не меньше континуума.
9.12.39. (Federer, Morse [731]) Пусть ц — вероятностная мера Радона на
метрическом (или суслинском) пространстве X и / — /л-измеримая функция.
Обозначим через F(No) множество всех у с бесконечным прообразом, а через
y(Ni) множество всех у с несчетным прообразом.
(i) Доказать, что существует такое д-измеримое множество С С X, что
/(С) = F(N0) и множество /_1(j/)\C конечно для всех у е f(X).
(ii) Доказать, что для всякого е > 0 существует такое /z-измеримое
множество L <z X с ц(Ь) < е, что f(L) = У (No) и / инъективна L.
(ш) Доказать, что существует такое множество Zclc м(^) = 0» что
f(Z) = K(Ni) и / инъективна Z.
9.12.40? Пусть /х — безатомическая вероятностная мера Радона на
компакте К. Доказать, что существует множество Е С К, не входящее в лебе-
говское пополнение В(К) относительно /х.
Указание: возьмем непрерывную функцию /: К —>• [0,1], переводящую
/i в меру Лебега, и множество А С [0,1] с А.(А) = А«([0,1]\А) = 0. Тогда хотя
бы одно из множеств В = /~г(А) и С = /-1([0,1]\А) неизмеримо
относительно ц, ибо оба имеют нулевую внутреннюю меру: например, если S С В
компактно и /x(S) > 0, то f(S) — компакт в А и A(/(S)) > 0.
9.12.41. (Herz [926]) Пусть X и Y — локально компактные пространства
и /: X —> Y — непрерывное отображение. Доказать, что для всякой радо-
новской меры v на Y можно найти такие радоновские меры /г и и' на X и Y
соответственно, что v — fiof-1 +i/, ||i/|| = ||р|| + ||i/'||, причем i/'(f(K)) = 0
для всякого компакта К С X.
9.12.42. Пусть Q — компактная группа с вероятностной мерой Хаара
Н и (Х,/х) — пространство с мерой, причем Q действует на X, т.е. дано
Н ® ^.-измеримое отображение (G,x) н-» G(x), задающее гомоморфизм Q в
группу преобразований X. Пусть / — такая //-интегрируемая функция на X,
что для всякого G eG функции / и / о G почти всюду равны. Доказать, что

360
Глава 9. Преобразования мер и изоморфизмы
существует функция /о, почти всюду равная / и инвариантная относительно
всех преобразований G ?б.
Указание: рассмотреть fo(x) = I f{G{x))H{dG).
Jg
9.12.43? Доказать, что стандартная поверхностная мера на сфере в ГО"
является единственной с точностью до множителя сферически инвариантной
конечной мерой на сфере.
Указание: унитарная группа транзитивно действует на сфере.
9.12.44. (Beck, Corson, Simon [453]) Пусть G — локально компактная
группа с мерой Хаара А, А, В С G, У (А) > 0, А* (В) > 0, причем .4 измеримо.
Доказать, что А — В := {об-1: а € А, Ъ ? В} содержит окрестность нуля.
9.12.45. (Reiter [1424]) Локально компактная группа G называется аме-
набельной, если на пространстве В всех ограниченных борелевских
функций на G существует линейный функционал Л (называемый инвариантным
средним), удовлетворяющий условиям ЛA) = 1, Л(/) ^ 0 при / > 0 и
Л(/(р * •)) = Л(/) для всех д ? G и f ? В, где f{g * •) обозначает
функцию f(gx). В случае компактной группы в качестве Л можно взять интеграл
по мере Хаара. Некомпактная группа К.1 аменабельна. Доказать, что
локально компактная группа G аменабельна в точности тогда, когда для каждой
функции / € iJ(A), где А — левоинвариантная мера Хаара, имеем
|^ f(x) A(dx)| = inf jf|? aif(Xi * х)\ X(dx),
где inf берется по всем п ? IN, Xi ? G и оч ^ 0 с а\ + • • • + ап = 1.
Указание: см. Гринлиф [100, §3.7], Reiter [1424].
9.12.46. Предположим, что отображения Uf удовлетворяют
соотношению (9.10.5) и что F(x) = G(x) /х-п.в. Показать, что {Uf)t€Vti удовлетворяет
уравнению (9.10.5) и для поля G вместо F.
9.12.47. Построить радоновскую вероятностную меру \i на компактном
пространстве X, для которой пространство (X, ц) изоморфно modO отрезку
[0,1] с мерой Лебега, но не является почти гомеоморфным [0,1].
Указание: возьмем какое-нибудь неметризуемое счетное
подпространство S = {sn} в компакте К с тем свойством, что в {s„} нет сходящихся в К
последовательностей. Например, пусть К = /ЗЕЧ (стоун-чеховская компакти-
фикация IN), S = JN U {по}, где по — некоторая точка из /?1N\]N. Положим
X = К х [0,1], v = J^^Lj 2~n5Sn и /х = i/®A. Тогда можно построить бо-
релевский изоморфизм между S х [0,1] и [0,1], переводящий ц в А, однако
не существует почти гомеоморфизма между (X, fi) и ([0,1], А). В самом деле,
если бы нашлись гомеоморфные множества А С X я В G [0,1] с единичными
мерами, то для каждого п ^ 0 нашлось бы множество Еп С [0,1] лебеговской
меры 1 с (sn,x) € А при всех х ? Еп- Зафиксируем точку хо ? Ео. Тогда
можно выбрать такие точки хп ? Е„, что хп —> хо при п —> оо. Множество
М = {(«п,а;п)} метризуемо. Можно проверить, что М гомеоморфно S, что
приводит к противоречию.

9.12. Дополнения и задачи 361
9.12.48. (Babiker, Knowles [421]) Построить вероятностную
безатомическую меру Радона fi на компактном пространстве X, непрерывное
отображение <р: X —> [0,1] и открытое множество G С X со следующими свойствами:
(i) /jo(j"' есть мера Лебега А на [0,1], (ii) <p(G) не измеримо по Лебегу,
(Ш) алгебры с мерами, порожденные fi и А, изоморфны, но меры ц и А не
являются почти гомеоморфными, (iv) существует А-измеримое отображение
ф: [0,1]-»1с <р(ф(Ь)) = t при всех t е [О,1], но нельзя найти почти
непрерывное в смысле Лузина отображение ф с указанным свойством.
9.12.49. Пусть X — полное сепарабельное метрическое пространство и
/: X —* 1R1. Доказать, что следующие условия равносильны:
(i) для всякого непрерывного отображения д: R1 —> X композиция
fog: Ж1 —»1R1 измерима по Лебегу,
(ii) функция / измерима относительно всякой борелевской меры на X.
Указание: пусть выполнено (i) и fi — борелевская мера на X;
достаточно рассмотреть случай, когда ц — вероятностная безатомическая мера. По
теореме 9.6.3 найдутся борелевские множества Y С X, В с [0,1] с fi(Y) = 1,
А(В) = 1, где А — мера Лебега, и гомеоморфизм ft: В —* Y с fi — Хо ft-1.
Для заданного е > 0 найдем компакт К С В с Х(К) > 1 — е, продолжим
к\к до непрерывного отображения д: [0,1] —> X и выберем в К компакт Q
с X(Q) > 1 — е, на котором функция ф = / о д непрерывна. Заметим, что /
непрерывна на компакте g(Q), ибо g(Q) = h(Q) сУи f(x) = ^(ft-1^)) "фи
x ? Y. При этом n(h(Q)) — X(Q) > 1-е. Если выполнено (ii) и отображение
g: [0,1] —¦ X непрерывно, то / измерима относительно меры ц = Ход-1, что
дает измеримость fog по Лебегу.
9.12.50. Пусть X = [0,1]°°. Для пбИи«е[0,1] обозначим через Xn,t
замкнутое множество в [0,1]°°, образованное всеми точками с п-й
координатой, равной t. Тогда Xt = U^Li Xn,t — борелевское множество для каждого t.
Это множество порождает <т-алгебру Xt = {0,X,Xt,X\Xt}. Зададим
вероятностную меру fit на Xt равенством /M(Xt) — 1, (n(X\Xt) = 0. Обозначим
через X <т-алгебру, порожденную всеми Xt, t € [0,1].
(i) Показать, что существует единственная мера ц на X, совпадающая
с fit на Xt при каждом t, причем мера ц принимает лишь два значения 0 и
1 и потому сепарабельна (в Е^ лишь два класса, соответствующие пустому
множеству и всему X).
(ii) Проверить, что fi не имеет счетно-аддитивных продолжений на В(Х).
Указание: (i) достаточно показать, что есть счетно-аддитивная мера д
на алгебре Ао, порожденной всеми Xt, равная 1 на Xt. Это следует из
теоремы 10.10.4, но возможна и прямая проверка. Всякое множество из Ао имеет
вид А = \J"=1Ai, где каждое Ai представляет собой пересечение П?=1*л>
где Yj — одно из Xt или его дополнение. Положим fi(A) = 1, если хотя бы
для одного из Ai среди Yj нет дополнений к множествам Xt, в противном
случае положим fi(A) = 0. Проверим счетную аддитивность fi. Если {U} —
конечное или счетное множество различных чисел и Yti € Xti непусты, то
nSi Y^ тоже непусто. Поэтому если множество В ? Ао представлено в виде
конечного или счетного объединения дизъюнктных множеств Bj 6 Ао, то не
более чем одно из них имеет ненулевую меру, (ii) Действительно, если такое

362 Глава 9. Преобразования мер и изоморфизмы
продолжение р, существует, то fJ.(Xt) = 1 для всех t € [0,1]. Для каждого t
найдется такой номер n(t), что Ji{Xn^it) = /i(Xn(t))t) > 0. Из соображений
мощности найдутся такие по и несчетное множество Т С [0,1], что n(t) — по
для всех t € Т. Это дает противоречие, ибо Xno,t П Xno,s = 0 при t ф s.
9.12.51. (Marczewski [1208]) Пусть ц — вероятностная борелевская мера
в метрическом пространстве X с метрикой d и /t, t > 0, — семейство
взаимнооднозначных измеримых преобразований, причем fi(ft(E)) = ц(Е) для всех
измеримых множеств Е и всех t. Предположим, что /о — тождественное
преобразование и для всякого е > 0 имеется такое 6 > 0, что d(ft(x),x)) < е
при t < 5 и х € X. Доказать, что для всякого измеримого множества Е
найдется такое т > 0, что Е П ft(E) непусто при всех t ^ т.
9.12.52. (Holicky, Ponomarev, Zajicek, Zeleny [947]) Пусть n € IN и пусть
X — метризуемое суслинское пространство с безатомической вероятностной
мерой Радона ц. Доказать, что существует компакт К С X с /x(/f) > 0,
который гомеоморфен канторовскому множеству и который можно отобразить
на [0,1]" с помощью непрерывного отображения гр с таким свойством, что
А„(Л) = 0 тогда и только тогда, когда ц(ф~1(А)) = 0, где А„ — мера Лебега.
9.12.53. Доказать, что на В(М°°) не существует ненулевой
счетно-аддитивной (т-конечной меры, инвариантной относительно сдвигов.
9.12.54. (Baker [427]) Доказать, что на В(М°°) существует
счетно-аддитивная мера Аоо со значениями в [0, +оо], которая инвариантна относительно
сдвигов, причем А00(Г{^:1(^,Ь^)) = ПП^11^* ~~ а>1 лля всех интервалов (сц,Ы)
со сходящимся произведением длин (Аоо не может быть а-конечной).
9.12.55. (Kwapien [1100]) Пусть / — ограниченная измеримая по Лебегу
функция на [0,1] с нулевым интегралом. Доказать, что найдутся
взаимнооднозначное преобразование Т: [0,1] —> [0,1], сохраняющее меру Лебега, и
ограниченная измеримая функция д на [0,1] с / = д о Т — д п.в.
9.12.56. (Marczewski [1210], Ryll-Nardzewski [1478]) Пусть (Х*,&,/л),
г € /, — произвольное семейство измеримых пространств с вероятностными
совершенными мерами, X = YltXi, тп: X —> Xi — естественные проекции и
Л — алгебра, порожденная множествами 7rr1(Aj), Ai Е Si. Предположим, что
v — такая конечно-аддитивная неотрицательная функция множества на Л,
что ее образ при проекции 7г* совпадает с Цг при всех i ? /. Доказать, что
тогда v счетно-аддитивна и ее счетно-аддитивное продолжение на <S = ® 4 Si
является совершенной мерой. В частности, любое произведение
совершенных вероятностных мер совершенно. Доказать аналогичное утверждение для
9.12.57. (Plebanek [1363]) (i) Пусть (X, Л, м) и (У, В, v) - вероятностные
пространства, хотя бы одно из которых совершенно. Для Е С XxY положим
т)(Е) ~suP{fj,(A) + u(B): А е Л, В е В, (АхВ) П Е = 0}.
Пусть D € Л®В nd^O. Тогда следующие условия равносильны:
(а) для всякого е > 0 найдется такая вероятностная мера <р на А®В, что
ее проекции на X и Y равны соответственно ц и v и tp{D) ^ 1 — е — d;

9.12. Дополнения и задачи
363
(Ь) для всякого ? > 0 найдется такое множество L в наименьшей
замкнутой относительно счетных пересечений решетке множеств, содержащей АхВ,
что L С D и ri(L) ^ 1 + е + d.
(ii) Пусть X и Y — хаусдорфовы пространства, ц — радоновская
вероятностная мера на X и и — борелевская вероятностная мера на Y.
Предположим, что D С X х Y — замкнутое множество и d ^ 0. Тогда существование
борелевской вероятностной меры ур на XxY с проекциями д и и и <р(?>) ^ 1—d
равносильно тому, что /u(A) + v(B) ^ 1 + d для всякого борелевского
прямоугольника А х В С (X х F)\D.
9.12.58. Пусть (X, А,ц) — вероятностное пространство.
(i) Пусть /„: X —> [а, 6] — //-измеримые функции. Доказать, что
найдется такая последовательность /i-измеримых функций Пк: X —> IN, что
lim fnk(x)(x) = limsup/п(х) для всякого ж 6 X.
(ii) Пусть Jf — метрический компакт и /„: X —> К — /(-измеримые
отображения. Доказать, что найдется такая последовательность //-измеримых
функций Пк: X —> IN, что для всякого i?l последовательность /nfc(*)(x)
сходится в К.
Указание: (i) Функция ip{x) = lim sup /п (ж) измерима, поэтому
индуктивно определяемые функции Пк(х) = min{n > rik-i(x): fn(x) ^ (р(х) — к-1}
измеримы, (ii) Существуют компакт 5 С [0,1] и непрерывное отображение ф
из S на К. Согласно теореме 6.9.7 найдется борелевское множество В С S,
которое ф инъективно отображает на К. Пусть д: К —> В — обратное к
ф\в отображение. Поскольку д борелево, то можно применить (i) к
функциям д о /п и воспользоваться тем, что если последовательность д о /Пк(х)(х)
фундаментальна в В, то последовательность fnk(x)(x) сходится в К.
9.12.59. Пусть Т — борелевский автоморфизм полного сепарабельного
метрического пространства Е и С С Е — непустой компакт.
(i) (Oxtoby, Ulam [1326]) Пусть limsupn-1 ??=1 Ic(Tkp) > 0 для
некоторого р?С. Доказать, что существует инвариантная относительно Т
борелевская вероятностная мера /хнаЕс А*(С) > 0.
(ii) (Oxtoby, Ulam [1325]) Доказать, что найдется такая точка р€С, что
существует предел lim n_1 5^?=1 ?с(Т р).
Указание: (i) см. в [1326]; (ii) если для некоторого р € С выполнено
условие (i), то утверждение следует из эргодической теоремы (см. гл. 10),
применяемой к мере ц и функции 1с; в противном случае для каждой точки
р 6 С указанный предел равен нулю, так что утверждение также верно.
9.12.60. (Adamski [384]) Пусть даны хаусдорфово пространство X и
непрерывное отображение Т: X —¦ X. Доказать, что следующие условия
равносильны: (i) существует мера Радона ц, инвариантная для Т,
(ii) существует такая вероятностная мера Радона i/, что для всякого
открытого множества U С X образы v относительно функций п~у Yl"=o ?и°Т'
слабо сходятся, (iii) найдутся такие компакт К С X и точка жо € X, что
lim sup тГ1 ?Г=о Ik о Т<(хо) > 0.

364 Глава 9. Преобразования мер и изоморфизмы
9.12.61. (Fremlin, Garling, Haydon [796]) Пусть X и Y -
топологические пространства, причем непрерывные функции разделяют их точки.
Пусть /: X -» Y непрерывно, /: Mt(X) -> Mt(Y), n^fio f'1.
(i) Предположим, что для всякого равномерно плотного множества М С
f(Mt(X)) существует такое равномерно плотное множество М' С Mt(X),
что f(M') = М. Показать, что для всякого компакта К с f(X) существует
такой компакт К' С X, что f(K') = К.
(ii) Построить пример, что обратное к (i) утверждение неверно.
Указание: (i) Пусть D = {5у,у € К}. Тогда D с f(Mt(X)) и D
равномерно плотно. Пусть С С Mt(X) равномерно плотно и /(С) = D. Возьмем
такой компакт К0 С X, что \fi\(X\Ko) ^ 1/2 для всех ц е С. Положим
К' := Ко П /_1(*0- Если У € К, то имеется ц € С с /(/х) = V Тогда
li{f~1(y)) = 1- Поэтому /_1(у) не содержится полностью в Х\Ко, т.е.
существует а; е Ко с /(ж) = у. Итак, К С /(-К"')> откуда f(K') = К. (ii) В качестве
X можно взять Ш и тождественное вложение в Y = /?IN.
9.12.62. Доказать утверждение о единственности из теоремы 9.12.2.
Указание: см. Fremlin, Garling, Haydon [796, теорема 12].
9.12.63. (i) Пусть (Х,М,ц) — пространство Лебега-Рохлина с
вероятностной мерой /ли / — конечная измеримая функция. Доказать, что
найдется измеримое взаимно-однозначное на множестве полной меры отображение
h: М —> М, такое, что функция f oh интегрируема.
(ii) Пусть в (i) измеримое пространство является кубом с мерой Лебега.
Показать, что в качестве h можно взять некоторый гомеоморфизм.
Указание: (i) Мера v := A + |/|)-1 • р. эквивалентна мере /х, причем
/ G Ll{y). Существует изоморфизм h пространств (Х,М,ц) и (X,M,v).
Остается заметить, что интеграл от |/| о h по мере р равен интегралу от |/|
по мере (I о ft-1 = и. (ii) В случае куба с мерой Лебега в качестве h можно
взять гомеоморфизм согласно теореме 9.6.5.
9.12.64. Пусть ц — мера Хаара на локально компактной группе G.
Показать, что в Ь2(ц) есть ортонормированный базис из непрерывных функций.
Указание: см. Fremlin [795, §444Х(п)].
9.12.65. Показать, что на множестве {(х,у): х < у} в квадрате [О, I]2 не
существует борелевской меры, проекции которой да стороны — меры Лебега.
Указание: для а 6 @,1) треугольник у <а,х<у должен иметь меру а
относительно такой меры, а треугольник у > а, а< х <у — меру 1 — а, что
для прямоугольника х < а, у > а оставляет только меру нуль.

Глава 10
Условные меры и условные ожидания
Оглянись же как следует, дабы
не подслушал нас кто-нибудь из
непосвященных. Есть люди,
которые согласны признать
существующим лишь то, за что они могут
цепко ухватиться руками,
действиям же или становлениям, как и
всему незримому, они не отводят доли
в бытии.
Платон. Теэтет.
10.1. Условное математическое ожидание
Пусть (fl, Л, /х) — пространство с мерой ив — некоторая под-
<т-алтебра в А.
10.1.1. Определение. Пусть f € L1^). Условным
математическим ожиданием f относительно а-алгебры В и меры и
называется такая В-измеримая ц-интегрируемая функция Е^/,
что
Г gfdft= [ gmlfdn A0.1.1)
для всякой ограниченной В-измеримой функции д.
Условным математическим ожиданием индивидуальной
интегрируемой функции / считается условное математическое
ожидание соответствующего класса в L1(/x).
Обратим внимание на то обстоятельство, что если
В-измеримая функция ф п.в. равна Е^/, то она также является условным
математическим ожиданием /, однако среди эквивалентных Е^/

366 Глава 10. Условные меры и условные вероятности
функций могут быть и не /3-измеримые. Это требует
дополнительной аккуратности при обычном отождествлении
индивидуальных функций и классов эквивалентности.
Отметим, что определяющее равенство A0.1.1) равносильно
следующему соотношению, получаемому подстановкой д = 1в-
f fdfi= f Ej/dM, VB G В. A0.1.2)
Равносильность этих двух соотношений вытекает из того факта,
что всякая ограниченная В-измеримая функция является
равномерным пределом простых Б-измеримых функций.
В тех случаях, когда задана лишь одна мера ц, для
упрощения обозначений и терминологии вместо Ев используется
символ Шв, а в соответствующем названии опускается указание на
меру: Е / называется условным математическим ожиданием /
относительно В.
10.1.2. Пример. Пусть fj, — вероятностная мера и Q.
разбито на конечное или счетное число попарно непересекающихся
измеримых множеств ??*, причем ц(Вг) > 0. Обозначим через В
порожденную множествами Bi <т-алгебру. Тогда
Доказательство. Ясно, что указанный выше ряд задает
интегрируемую В-измеримую функцию. Нетрудно заметить, что
В-измеримые функции — это функции, постоянные на
множествах Bi. Поэтому достаточно проверить, что обе части
доказываемого равенства дают одинаковые интегралы при умножении
на iBi- Интеграл от /^Ев/ по определению равен интегралу от /
по Bi, что совпадает с интегралом от правой части, умноженной
на 1в%, поскольку Bi C\Bj = 0 при j ф г. ?
10.1.3. Пример. Пусть fin — вероятностные меры на прямой,
Q = Ш°° и // = 0^=i Мп- Пусть Вп — ст-алгебра, порожденная
первыми п координатными функциями. Тогда
EB"/(xb...,zn) =
= / 1Ы,...,хп,хп+ъ...) (^) fik(d(xn+1,xn+i,...)).
Jn k=n+l

10.1. Условное математическое ожидание
Доказательство. Предположим, что д — ограниченная бо-
релевская функция от х\,..., хп. Из теоремы Фубини следует, что
интеграл от правой части доказываемого равенства, умноженной
на д, равен интегралу от fg. ?
10.1.4. Пример. Рассмотрим меру Лебега Л на [0,1) и
положим Тк(х) = (х + 2-fc)mod(l), к е IN, х € [0,1). Пусть
В, = {ВбВ([0,1)): тк(В) = в].
Тогда борелевская функция / измерима относительно Вк, если и
только если / = / о Тк. При этом
2fe-l
JEB"f = 2-kJ2foTL V/eL^Cl). A0.1.3)
Доказательство. Первое утверждение выполнено потому,
что оно верно для индикаторов множеств. Обозначим через д
функцию в правой части A0.1.3). Ясно, что д о Тк = д и потому
д измерима относительно Вк. Поскольку / ф dx = гр о Тк dx
Jo Jo
для всех ф € Lx[0,1), при В € Вк ввиду равенства 1в ° Тк = 1в
имеем
/ д{х) dx = 2~к J2 С Ых)/A*(х)) dx
J в j=0 Jo
2fc-l i i
= 2~kY, I IBD(x))fD(x))dx= I IB{x)f{x)dx,
j=Q Jo Jo
что доказывает второе утверждение. ?
Существование условного математического ожидания и его
основные свойства мы установим в следующей теореме.
10.1.5. Теорема. Пусть ц — вероятностная мера.
Каждой функции f € ?х(а0 можно сопоставить измеримую
относительно В функцию DE / таким образом, что
I) Шв является условным математическим ожиданием /
относительно В;

368 Глава 10. Условные меры и условные вероятности
2) Е / = / ц-п.в. для всякой В-измеримой ц-интегрируемой
функции /;
3) Ев/ ^ 0 ц-n.e. npuf^O fi-n.e.;
4) если последовательность ц-интегрируемых функций fn
сходится монотонно убывая или возрастая к ц-интегрируемой
функции f, то Ев/П -> Ев/ fi-n.e.;
5) Для всякого ре [1, +оо] отображение 1ЕВ задает
непрерывный линейный оператор с нормой 1 в пространстве LP {у)-
При этом Е является ортогональным проектором в Ь2(ц) на
замкнутое линейное подпространство, порожденное В-измери-
мыми функциями.
Доказательство. Ясно, что ограничение меры / • ц на В
является мерой, абсолютно непрерывной относительно
ограничения /х на В. По теореме Радона-Никодима существует такая
В-измеримая /^-интегрируемая функция Ев/, что выполнено
равенство A0.1.2). Покажем, что эта функция обладает нужными
свойствами. Ясно, что Е6/ зависит лишь от класса
эквивалентности /. Отображение Ев задает линейный оператор со
значениями в Ll{p), т.е. Ев(/ + g) = Ев/ + W?g и Ев(с/) = сЕв/
/i-п.в. для всех /,</ € С1(р) и с 6 Ю,1. Это вытекает из того, что
плотность Радона-Никодима определена однозначно с точностью
до эквивалентности. Подставляя в A0.1.1) функцию g = signEB/
(эта функция б-измерима), убеждаемся, что норма оператора Е
в Ll(fi) не превосходит 1, а на самом деле равна 1, ибо Е 1 = 1.
Свойства 2) и 3) очевидны. Если последовательность функций
/n G Сх(ц) возрастает к функции / G С1 (и), то по свойству 3)
последовательность функций дп = Ев/„ п.в. возрастает. Функция
д = lim дп измерима относительно В и /х-интегрируема по
теореме Фату. Из A0.1.2) и теоремы Лебега ясно, что д можно взять
в качеств Ев/. Свойство 5) вытекает из остальных свойств, но
его можно без труда проверить и непосредственно. Для этого
достаточно заметить, что ||Ев/||?рьл совпадает с точной верхней
гранью величин
/</>Ев/ф = fipfdu
Jn Jn
по всем В-измеримым функциям ф таким, что ||^||ьв(//) = 1> гДе
q~l + р~1 — 1. Теперь остается воспользоваться неравенством

10.1. Условное математическое ожидание
Гёльдера. Наконец, если р = 2, то / — Ж / -L h для всякой В-
измеримой функции h € C2(fi). Если функция h ограничена, это
следует из A0.1.1), а в общим случае получается предельным
переходом. ?
Ясно, что доказанная теорема остается в силе и для «т-конеч-
ных мер. При р < со она распространяется и на любые
бесконечные меры, поскольку всякая функция / € 1^(/х) сосредоточена
на множестве с cr-конечной мерой. Наконец, очевидным образом
Жв продолжается на комплексные функции.
10.1.6. Следствие. Пусть р, — неотрицательная мера со
значениями в [0, +оо]. Тогда для всякого р G [1,+оо) определен
ограниченный оператор Жв: 1Р(р,) —> 1Р{ц), который на
множестве С1{р) Г\Ср(р.) обладает свойствами 1)-4).
Как явствует из доказательства, построенное нами
отображение Ж8 не обязано обладать поточечной линейностью, т.е. не
утверждается, что Жв(/ + д)(ш) = Жв(/)(и;) + Ш,в(д)(ш) для
всех f,g € Сх(р) и ш € П. Вопрос о возможности выбора версий
с сохранением поточечных линейных соотношений обсуждается
в §10.4, где речь идет о регулярных условных мерах, с помощью
которых можно конструктивно задавать условные ожидания.
Установим еще ряд полезных свойств условных
математических ожиданий. Для упрощения формулировок мы
распространим условное математическое ожидание на те неинтегрируемые
функции /, для которых одна из функций /+ или /~
интегрируема, считая в этом случае, что Жв/ = Жв/+ — Жв/~, причем
в случае неотрицательной измеримой п.в. конечной функции <р
условное математическое ожидание JEB<p определим также с
помощью теоремы Радона-Никодима, только применять ее будем
к сг-конечной мере у ¦ \х на В. А именно, плотность этой меры
относительно /х и возьмем в качестве JBB<p.
10.1.7. Предложение. Предположим, что В — некоторая
под-о-алгебра в Л, fn € /Зх(/х), п € ИМ. Тогда
(i) Если /„->/« |/„| ^ F ц-п.в., где F € С1{р), то
m$f=limW$fn ц-п.в.;
(ii) если fn^F ц-п.в., где F Е С1 (р.), то
lim sup Жв/„ ^ Жв lim sup /п ц-п. в.;

370 Глава 10. Условные меры и условные вероятности
(iii) если /n ^ G ц-п.в., где G 6 С1(ц), то
JEBliminf fn ^ liminf JEBfn ц-п.в.
Доказательство, (i) Положим hn = вир|Д — /|. Тогда по-
следовательность hn п.в. убывает к нулю. Последовательность
JEBhn п.в. убывает и потому h := lim Es/in существует п.в. В
силу уже известных свойств условных математических ожиданий
п.в. справедливы соотношения
|ЕВД - Ев/| = |ЕВ(Д - /)| ^ №B\fn - /| ^ ШвНп.
Поэтому нам достаточно проверить, что h = 0 п.в. Остается
заметить, что интеграл от неотрицательной функции h равен нулю,
ибо для всех п имеем
/ hdn ^ / IEBhndn = / hndn,
Jn Jo. Jq
а правая часть этого соотношения стремится к нулю по теореме
Лебега, применимой в силу оценки 0 ^ hn < 2F.
(И) Положим / = lim sup Д. Функции sup Д убывают к / и
п->°° к^п к^п
оцениваются сверху через F. Если / интегрируема, то в силу (i)
имеем п.в.
Ев/ = lim Шв sup Д = lim sup Ев sup Д
п^°° к^п га->оо к^п
^ limsupEs/„.
В общем случае нам надо обосновать первое равенство в
приведенном выше соотношении, т.е. показать, что если интегрируемые
функции дп убывают к функции д и дп ^ F, то Швдп —> Ш>вд
п.в. Заметим, что Е дп+1 ^ Е\ п.в. и потому п.в. существует
С := lim Швдп. Поскольку С, ^ E8F и Швд < Швдп ^ JEBF п.в.,
то для всякого такого В € В, что (,IB G Ь1(ц), имеем
/ ^dfi= lim / gndfi= I д dfi.
J в ra->oo JB JB
Легко видеть, что это равенство остается в силе и в случае, когда
интеграл от С,1в равен — оо. Следовательно, ( = Е j п.в.
Наконец, (iii) вытекает из (ii). ?

10.1. Условное математическое ожидание 371
Отметим следующее простое свойство условных
математических ожиданий: если В\ — под-ст-алгебра в В, то
EBlEB/ = EBl/ = IEBEBl/- A0.1.4)
Действительно, для любой ограниченной йх-измеримой функции
д имеем
( 5ЕВ1Ев/ф = /ffEB/d/x = f gfd/л,
Jn Jo. Ju
ибо g измерима и относительно В. Второе равенство в A0.1.4)
следует из свойства 2) в доказанной выше теореме.
10.1.8. Предложение. Пусть (Х,А,ц) — вероятностное
пространство, В С А — nod-а-алгебра, а функция f измерима
относительно В. Пусть g € С1{ц), причем fg € С1 (/л). Тогда
имеем JEB(fg) = fJEBg п.в.
Доказательство. Если / ограничена, то указанное
равенство очевидно из определения. В общем случае следует взять
функции fl{\f\^n)i сходящиеся п.в. к / и мажорируемые |/|, и
применить утверждение (i) предыдущего предложения. ?
На условные математические ожидание переносится
неравенство Йенсена.
10.1.9. Предложение. Пусть /х — вероятностная мера,
/ — ^-интегрируемая функция, а V — выпуклая функция,
определенная на промежутке (а,Ь) (возможно, бесконечном),
причем f принимает значения в (а,Ь), а функция V of
^-интегрируема. Тогда V(W,Bf) < EB(V о /) ц-п.в.
Доказательство. Предположим сначала, что / = ^ Cilj^,
где J] iAi = 1. Тогда имеем Y1 Е6/^ = 1 п.в. Следовательно,
v(f>EB/Ai) < ][>(сч)Ев/Л4 п.в.
Левая часть этого неравенства совпадает с V(JEBf), а правая —
с WP(V о /). Перейдем к общему случаю. Если / ограничена и
принимает значения в отрезке [c,d] С (а,Ь), то / равномерно

372 Глава 10. Условные меры и условные вероятности
приближается простыми функциями со значениями в [c,d\, что
дает нужное неравенство ввиду доказанного выше и
непрерывности V на (а, 6). Для неограниченной / положим fn = f при
1/1 ^ ™, fn = п при / ^ п, /п = —п при / < —п. Можно
считать, что [—1,1] С (а,Ь), тогда функции V о fn определены.
Для fn утверждение уже доказано, причем Е /п —> Ев/
почти всюду, откуда У(ЕВ/П) —» V(EB/) почти всюду. Наконец,
EB(V о /п) -> EB(V о /) почти всюду, ибо У(/„) -» V(f) почти
всюду и в L1^). Последнее вытекает из того, что ввиду
выпуклости |V| функции V(/n) имеют общую интегрируемую мажоранту
IVofl + lVlofr. П
Если функция / € Сг{р) фиксирована, то, варьируя под-сг-
алгебры основной а-алгебры А, получим равномерно
интегрируемое семейство функций.
10.1.10. Пример. Пусть (Х,А,ц) — вероятностное
пространство и Aq С А — некоторый набор под-ст-алгебр в А, где
а € Л. Тогда {Ео,/}а€л — равномерно интегрируемое семейство.
Доказательство. Поскольку Е-4"/ < E^l/I, то можно
считать, что / ^ 0. Применим критерий Валле-Пуссена 4.5.9.
Возьмем неотрицательную выпуклую функцию G на [0, -Нэо) с
lim G(t)/t = +оо и G о |/| е L1^). Согласно доказанному выше,
/ GoE^/rf/x< / GofdfjL,
что в силу цитированной теоремы дает равномерную
интегрируемость указанного семейства. ?
В случае, когда / = 1а, где А Е А, условное математическое
ожидание Ев/ обозначается через РВ{А) или Р(А\В) и
называется условной мерой А относительно В. В том случае, когда
В есть сг-алгебра, порожденная измеримой функцией ?,
используются также обозначения Р(А\?) или Р(А|? = х). Последнее
трактуется как „мера А при условии ? = ж". Если ?
принимает конечное или счетное множество значений Xj на множествах
положительной меры, то
P(A\S = Xi)

10.2. Сходимость условных ожиданий 373
что вытекает из примера 10.1.2. В общем случае можно лишь
утверждать, что для каждого А € А существует такая борелев-
ская функция ?д, что Р(А\? = х) = Сл(?(ж))- При этом даже
не утверждается (и может быть неверным), что при
фиксированном х условная мера действительно является мерой по А. Ниже
мы вернемся к вопросу о том, когда последнего можно добиться.
Кроме того, мы выясним простой геометрический смысл
условных мер и условных математических ожиданий.
10.2. Сходимость условных ожиданий
В приложениях очень важна следующая теорема о
сходимости условных математических ожиданий относительно
возрастающего семейства ст-алгебр. Чаще всего встречаются
возрастающие счетные последовательности <т-алгебр, но иногда приходится
иметь дело и с направленностями, поэтому мы и докажем эту
теорему в большей общности.
10.2.1. Теорема. Пусть а — вероятностная мера на
измеримом пространстве (Х,А). Предположим, что задана
возрастающая направленность под-а-алгебр Ва С А. Обозначим
через Boo сг-алгебру, порожденную всеми Ва. Тогда для каждого
р € [1,+со) и всех f € LP{p) направленность JEBaf сходится в
Ц>{ц) к Ев°°/.
Доказательство. Можно считать, что А = Boo, ибо ввиду
включения Ва С Boo справедливо равенство
JEBaf = ЕйаЕв°°/.
Пусть / = 1в, В € Boo- Для данного е > 0 найдется множество С
с ц(ВАС) < е, входящее в одну из ет-алгебр Ва (ибо такое
множество есть в алгебре, порожденной всеми Ва, а каждое множество
из этой алгебры входит в одну из сг-алгебр Ва ввиду того, что
они образуют направленное семейство). Положим g = Ic- Тогда
ШВад = д для всех а, больших некоторого ао, где ао таково, что
С € Вод. Следовательно,
f-JEB°f = f-g + TEB°(g-f).
Поскольку
НЕ6"/ - VP-g\\LHll) < II/ " fllbo.) < е,
то для индикаторов наше утверждение доказано.
Следовательно, оно остается в силе для всех простых функций. Поскольку

374 Глава 10. Условные меры и условные вероятности
простые функции плотны в L?(li) при р € [1, +оо), то общий
случай следует из того, что оператор ШВа в LP{ij) имеет единичную
норму. D
В случае счетных последовательностей ст-алгебр помимо
сходимости в среднем есть и сходимость почти всюду.
Доказательство этого важного факта несколько менее элементарно и
основано на следующем неравенстве Дуба, представляющем и
значительный самостоятельный интерес.
10.2.2. Предложение. Пусть (X,A,fi) — измеримое
пространство с вероятностной мерой и пусть {Вп} —
возрастающая последовательность под-а-алгебр в А. Тогда для всех f из
Ll(p,) и с > 0 справедливо неравенство
ц(х: sup|EB*/0z)| > с) < -с I \f\dfi. A0.2.1)
Доказательство. Достаточно установить A0.2.1) для
неотрицательных /. Положим fi — EBi/, Е = < х: sup f%{x) >с[и
Ej = [х: /а(х) ^ с, /2(х) « с,..., fj-X{x) < с, /,-(я) > с},
где j Е IN. Ясно, что множества Ej измеримы, не пересекаются и
дают в объединении Е. Кроме того, Ej G Bj, ибо В\ С $2 С • • ¦ С
Bj и функции fi измеримы относительно В{. Следовательно,
Г fdii> [ fdfi = f2[ /<*/* = ?/ f^f*
J X J E 1=1 ^з 7=1 ^j
^cJ2^(Ej) = clJi(E),
что и требовалось. ?
10.2.3. Теорема. Пусть {Х,А,ц) — измеримое
пространство с вероятностной мерой, {Вп} — возрастающая
последовательность под-а-алгебр в А и f € С1 (ft). Пусть Boo ~ о-алгебра,
порожденная всеми Вп. Тогда
W,B°°f(x) = lim W,Bnf(x) для ц-п.в. х.

10.2. Сходимость условных ожиданий 375
Доказательство. Так как ЕВп/ = ЕВ"ЕВ°°/ ввиду
включения Вп С Boo, то можно считать, что Л = Boo и доказывать, что
Е8"/ -> / п.в. Положим ф{х) = limsup |EBn/(x) - f{x)\.
Покажем, что ф(х) = 0 п.в. Возьмем е > 0. При достаточно большом
п найдется такая В„-измеримая интегрируемая функция д, что
II/ — fflli,1^) < ff2- Тогда с учетом равенства ШРтд = д при m ^ п
получаем
^(x)Omsup|EB"(/-5)(x)|
+ limsup \JEBng(x) - д(х)\ + |/(х) - д{х)\ A0.2.2)
= Umsup |ЕВ«(/ - д)(х)\ + \f(x) - д(х)\.
В силу неравенства Дуба имеем
ц (х: lim sup |ES" (/ - д) (х) \ > е)
< /i(x: sup |ЕВ"(/ - 9)(х)\ > е)^||/ - g\\L4fl) < е.
Наконец, согласно неравенству Чебышёва
ц(х: |/(х) - д(х)\ > е) < _||/ - 5||^ы < ?.
Таким образом, из A0.2.2) получаем
ц(х: ф(х) > 2е) < /х(х: limsup |ЕВ"(/ - д)(х)\ > е)
+ ц(х: \f(x)-g(x)\>e) ^ 2е,
откуда в силу произвольности е заключаем, что ф = 0 п.в. ?
10.2.4. Следствие. Пусть (Хп,Ап,Цп), n е IN, —
вероятностные пространства и (X, Л, ц) — их произведение. Тогда для
всякой функции f G ?х(/х) функции
/гг(хь...,хп) =
= / /(xi,...,xn,xn+i,...) (g) /ifc(d(zn+iiXn+2f.))
JX k=n+l
сходятся к f п.в. и в Lx(/i).

376 Глава 10. Условные меры и условные вероятности
В следующем параграфе мы обсудим полученные выше
результаты в более широком контексте теории мартингалов.
10.3. Мартингалы
Теория мартингалов — одна из многих точек соприкосновения
теории меры и теории вероятностей. Здесь изложен ряд
основных результатов теории мартингалов, а иллюстрирующие
примеры весьма характерны именно для теории меры: в учебниках по
теории вероятностей эти же результаты бывают погружены в
более естественную для них среду случайных блужданий, ставок с
удвоением и опционов. По традиции через Е обозначается
математическое ожидание (интеграл) на вероятностном пространстве.
10.3.1. Определение. Пусть (fi,^, Р) — вероятностное
пространство. Последовательность функций ?п € СХ(Р)
называется мартингалом относительно последовательности а-
алгебр Тп с Тп С ?п+\ С Т, если функция ?п измерима
относительно Тп и E^^n+i = ?п п.в. при всех п ^ 1.
Более общим образом, если Т — направленное множество
и Tt, t еТ, — семейство о-алгебр в F с Fs С Ft при s < t, то
семейство функций & € ?*(Р) называется мартингалом
относительно {Ft}, если функция 4s измерима относительно Ts для
каждого s и для каждой пары t ^ s имеем E^^t = ?s п.в. (где
множество меры нуль может зависеть от ?, s).
Если функция ?s € СХ(Р) измерима относительно Ts и для
каждой пары t ^ s имеем Е-^^ ^ ?s п.в., то {?t} называется
субмартингалом относительно {Ft}, а если Е^8^ ^ ?« п.в., то
{&} называется супермартингалом относительно {Ft}-
Если Т = {0, -1, -2,...}, JF„ с Fn+i и Е^"?п+1 = ?п п.в., то
последовательность {?„} называется обратным мартингалом
относительно {!Fn}.
Обратим внимание на то, что замена функции ?„
эквивалентной может нарушить ^„-измеримость, поэтому ее приходится
постулировать отдельно.
Простейший, но очень важный пример мартингала —
семейство ШТп?, где ? € ЬХ(Р) и {Fn} — возрастающая
последовательность под-ст-алгебр в Т. Это вытекает из свойств условного
математического ожидания.
В этом разделе будут доказаны важнейшие теоремы о
сходимости мартингалов, имеющие большое значение в теории меры.

10.3. Мартингалы 377
В доказательствах используется одна оценка числа пересечений
фиксированного уровня, с которой мы и начнем (эту оценку
полезно сопоставить с аналогичным результатом из параграфа про
эргодические теоремы). Пусть {?га}, п = 0,1..., —
субмартингал относительно {Fn} и а < Ъ. Положим JVo = —1, а при к ^ 1
положим
iV2fe_i = inf {m > N2k-2: ?m ^ a}, N2k = inf{m > JV2fc-i: ?m > b).
Таким образом, между моментами AZ-jfe-i и N2k
последовательность ?т переходит через [а, Ь]. Пусть Un = sup{fe: N2k ^ п}.
Напомним, что /+ := тах(/, 0).
10.3.2. Лемма. Для всякого мартингала {?„} имеем
(Ь - а)Е?/п ^ Щ?п - о)+ - Е(& - а)+.
Доказательство. Пусть г]п = а + (?„ — а)+. Согласно
задаче 10.10.45, {щ} — субмартингал. Положим hm — 1 при N2k-i <
т ^ iV2fc при некотором fc€lNn/im = 0B противном случае.
Тогда функции hm измеримы относительно Рт-\- Для двух
последовательностей функций д = {дп} и С = {Сп} положим
Mn:=?ft»(Cm-Cm-l).
m=l
Легко проверить, что (b — a)Un < [г], h]n. Пусть дт = 1 — hm. В
силу задачи 10.10.46 последовательность [д, rj\n образует
субмартингал, откуда ТЕ[д, г]]п ^ JE\g, rj\0 = 0 и потому TE[h, rj\n < Е(т;„ - щ),
что и требовалось. П
10.3.3. Теорема. Пусть {?n}» га = 0,1,..., — субмартингал,
причем sup Е(?+) < оо. Тогда ^(ш) = lim ?п(^) существует п.в.
и Е|?| < оо.
Доказательство. Из леммы 10.3.2 при фиксированных а и
b получаем EZ7n < (Ь - а) (|а| + Е?+). Значит, Esup„ i7n < оо,
что дает Р(ш: liminf?n(u;) < а < b < lim sup ?„(u;)) = 0, ибо
в противном случае на множестве положительной меры имеется
бесконечное число переходов через [а, Ь]. Поскольку доказанное
верно для всех рациональных а и 6, то получаем существование
предела ? = lim ?п п.в. По теореме Фату f < +оо п.в. и ?+
интегрируема, ибо supnE?+ < оо. С другой стороны, Emin(?n,0) =

Глава 10. Условные меры и условные вероятности
Е?ге — Е?+ > Е?о — Е^, поскольку {?„} — субмартингал, откуда
по теореме Фату получаем интегрируемость ?~. ?
10.3.4. Следствие. Пусть функции ?п > 0 образуют
супермартингал. Тогда п.в. существует конечный предел ?(и;) =
lim fn(<d), причем Щ ^ Щ0.
Доказательство. Функции г)п = —?п образуют
субмартингал и Т]+ = 0. Поэтому утверждение вытекает из доказанной выше
теоремы. ?
Условия доказанной теоремы не гарантируют сходимость в L1
(задача 10.10.47).
Следующий пример является хорошей иллюстрацией
использования доказанной теоремы в теории меры.
10.3.5. Пример. Пусть \i и v — вероятностные меры на
измеримом пространстве (X, J-), причем J- порождается
последовательностью под-<т-алгебр Тп с Тп С Тп+\- Обозначим через \in
и ип ограничения /х и v на Тп и предположим, что ип <С цп при
всех п. Пусть gn = dun/dfin и д = lim sup дп. Тогда
и(В)= [ gdfi + v(Br\{g = oo}), VBG^. A0.3.1)
Jb
Доказательство. Рассмотрим вероятностную меру
-y:=(jt + v)/2
и обозначим через ~/п ограничение у на Тп. Ясно, что /х <С 7
Hi/<7i причем плотности Радона-Никодима ?n := d[injdyn и
g^ := dvn/djn не превосходят 2. При этом {дп} и {^} —
мартингалы относительно последовательности {Тп} на вероятностном
пространстве (Х,Р,у), ибо для всех AefnC J^n+i имеем
/ Qn+i rf7 = Mn+i(-A) = it(A) = цп{А) = / ей ^7-
Проверка для {#?} аналогична. Следовательно, 7"п-в., а ввиду
равномерной ограниченности и в L1^), существуют пределы
qP := lim д&, qv := lim g^. Функции д>^ и gw представляют
собой плотности Радона-Никодима мер у, и v относительно у.
В самом деле, из приведенных выше соотношений и сходимости
gfc к д1* в Ll(y) ясно, что для всякого А е Тп интеграл от дР по

10.3. Мартингалы 379
мере 7 равен ц(А). Поскольку объединение Тп является алгеброй,
порождающей F, то получаем сказанное.
Заметим, что 7-п.в. справедливо равенство дп = дп10п, где
мы полагаем дп(х)/д^(х) — 0 при дп(х) = 0. Это ясно из
равенства gnQn • 7n = Qn' In- Таким образом, 7-п.в. существует предел
q := lim дп, возможно, принимающий значение +оо. На самом
деле множество Y := (ж: д(х) = оо} имеет /х-меру нуль. Это
вытекает из следствия 10.3.4, поскольку та же выкладка, что и
выше, показывает, что последовательность {дп} является
неотрицательным мартингалом относительно {Тп} на вероятностном
пространстве (Х,Т,ц) и потому /х-п.в. имеет конечный предел.
Покажем, что сужение v на X\Y абсолютно непрерывно
относительно /х. Положим Sjv := {х: supngn(x) < N}. Достаточно
проверить, что u\sN <С ц для всякого фиксированного N € IN.
Пусть В Е J7, В С S/v и ц(В) = 0. Для фиксированного е > 0
найдем Вт Е Тт с -у(В Л Вт) < e/N. Поскольку
и(Вт) = / Qmdn^ Nfi(Bm) < 2е,
JBm
то v{B) < 4е, что дает i/(B) = 0. Итак, и\х\у < М-
По теореме Лебега v = f • fi + щ, где / € b1(ti) и мера ц>
взаимно-сингулярна с /х. Из доказанного ясно, что щ = и\у.
Остается установить, что f(x) = д(х) для /х-п.в. ж. Пусть В Е J7 и
В С SW- Тогда при х Е В последовательность дп(х) не
превосходит N и сходится 7-п.в. к д(х), что с учетом сходимости д& к ^
в LxG) приводит к следующей цепочке равенств:
/ f dfj, = v{B) = lim / g1^ d^
J в n_>0° J в
= lim / ^^07 = lim / gng^d^ = / ggfld-y= / pd/x.
n_>007s № n-*°°JB Jv J в
Из доказанного следует, что /|sjv = ^Isjv /*-п.в•> откуда получаем
равенство / = д /х-п.в. ?
В качестве применения докажем следующую альтернативу
Какутани [1009].

380 Глава 10. Условные меры и условные вероятности
10.3.6. Теорема. Пусть при каждом п на измеримом
пространстве (Хп,Вп) заданы вероятностные меры цп и ип,
причем vn <С рп « Qn — плотность Радона-Никодима ип
относительно fin. Положим fj, = 0^-!/%, v — (8)^=1 ип- Тогда либо
и «С /х, либо v ± ц, причем последнее равносильно тому, что
n=lJXn
Доказательство. Заметим, что / yf&Udfin < 1 в силу
/ y/Kdfin«
Jxn
неравенства Коши-Буняковского. Поэтому соответствующее
бесконечное произведение либо расходится к нулю, либо сходится
к числу из @,1]. Для каждого п рассмотрим сг-алгебру Тп,
состоящую из множеств вида В = ВпхП?п+1 %г, Вп € ®?=i&i-
Функции ?n(k>) = niLi ft(wt) на вероятностном пространстве
образуют мартингал относительно ег-алгебр Тп. Действительно,
для всякого множества В € Тп указанного выше вида имеем
г=1 1=1
ягал относительно ег-алгебр J>
жества В € Тп указанного вьш
.71+1 71 .
J U+i dfi = (g) щ(Вп х Хп+1) = ® щ{Вп) = J ?п dfi.
Согласно следствию 10.3.4 существует /х-интегрируемый предел
? = lim fn. В примере 10.3.5 обосновано равенство A0.3.1),
которое в данном случае применяется к ? вместо д. Если наше
произведение расходится к нулю, то / y/^ndfj. —* 0, откуда в силу
Jx
теоремы Фату получаем / \fidfi — 0, т.е. ? = 0 /х-п.в. и v ± \i. С
Jx
другой стороны, с учетом неравенства Коши-Буняковского,
оценки |v^n+k + V&\2 < Чп+k + 2?п, равенств

10.3. Мари
получаем соотношение
JSn+fc-&»|<*A*
h
Jx
/ л \l/2 / n+k . v|/
: 4/ IVW-V^I2^) =(8-8 П / v^d*
i=n+\ J
что в случае сходимости произведения к положительному числу
дает фундаментальность {?„} в Ьг(ц). Тогда при фиксиронаниом
т для всякого В € .Fm имеем
и{В)
= IUdn= lim /f„d/i= /^
./В "—°°Ув JB
Следовательно, ь» -С /x и f является плотностью Радона Никоди
ма меры и относительно /л. I I
Перейдем к сходимости мартингалов в LP. Пусть {И,Т, /')
вероятностное пространство, причем задана последовательность
возрастающих сг-алгебр Тп С Т. Тогда ^"-измеримая (функции f
со значениями в множестве целых неотрицательных чисел нтм-
вается моментом остановки, если {т = п} € Тп для ноех » *•
0,1,....
10.3.7. Предложение. Пусть {?„} — субмартингал и т
люл*емт остановки, причел* г ^ к п.в. Тогда Е?о ^ Е?Т ^ 0^*
Доказательство. В силу задачи 10.10.49 ?min(r,n) еуом4ф
тингал, откуда Щ0 = E^min(T>0) < E?min(T)fc) = Е^- Положим
hn = 1{Т<п} = 1{т^.п-1}- Функция hn измерима относительно
Тп-\. В силу задачи 10.10.46 последовательность [h,?]„ = ?и -
^min(Tn) образует субмартингал, откуда Е?* — Щт = TE[h,(\i, >
Е[М]о = 0. П
Непосредственным следствием доказанного является
следующее неравенство Дуба, вывод которого из предложения остнлен
в качестве задачи 10.10.51.
10.3.8. Следствие. Пусть {?„} — субмартингал и
Хп := max ft.
0^k^nk

Глава 10. Условные меры и условные вероятности
Тогда для каждого г > 0 имеем
гР({Хп > г}) ^ [ ?n dP ^ Е?+.
J{Xn>r}
10.3.9. Следствие. При условиях предыдущего следствия
для всякого р > 1 с ?+ G 1^(Р) мл<ееж
ЕХ^(р/(р-1))рЕ(^.
Если {?„} — мартингал и ?n G LP{P), то
Доказательство. Второе утверждение следует из первого
переходом к |?п|. На основании неравенства Дуба получаем
ЕХР = р f rp-1P(Xn ^ г) dr
^р Г rp-2 [ &dPdr
JO J{Xn^r}
= Р I' ? I' " rp~2 dr dP = -?— /" ^Г1 dP.
Jn Jo P-1 Jq
Положим q = p/{p — 1) и оценим правую часть этого неравенства
с помощью неравенства Гёльдера через
Это дает доказываемое. ?
Отметим, что ограниченность {?„} в Ll(P) не влечет
ограниченность {Хп} в Ьг(Р) (см. задачу 10.10.52).
10.3.10. Теорема. Пусть {?„} — такой мартингал, что
supE|?n|p < оо, где 1 < р < сю. Тогда {?„} сходится п.в. и в
пространстве LP{P).
Доказательство. Сходимость п.в. к пределу ? е L?(P)
ясна из следствия 10.3.4. Из следствия 10.3.9 следует, что supn |?„| €
LP(P). Поскольку |?й — ?|р ^ 2psupn |?п|р, то остается
воспользоваться теоремой Лебега о мажорируемой сходимости. ?
Простые примеры показывают, что доказанная теорема
неверна для р = 1 (задача 10.10.53). В случае р = 1 дело обстоит
следующим образом.

10.3. Мартингалы
10.3.11. Теорема. Пусть {?п} — субмартингал
относительно последовательности {Fn}- Тогда следующие условия равно-
(i) последовательность {?„} равномерно интегрируема;
(ii) последовательность {?„} сходится в Ьг(Р);
(Ш) последовательность {?„} сходится п.в. и в Ll(P).
Если же {?„} — мартингал, то (i)-(iii) равносильны также
тому, что существует ? € Ll(P) с ?п — Е?.
Доказательство. Равномерная интегрируемость влечет
ограниченность в Ll(P), что в силу теоремы 10.3.3 дает
существование предела ? = lim ?п п.в. Тогда получаем и сходимость в
i1(P). Это показывает, что из (i) следует (ii), а из (и) следует (Hi).
Ясно, что (iii) влечет (i). Осталось показать, что в случае
мартингала имеем ?п = Е "? (то, что такие последовательности —
мартингалы, уже отмечалось, а равномерная интегрируемость
следует из примера 10.1.10). При В <ЕТп имеем Е(?/в) = lim ЩЫв)-
Однако при к ^ п имеем Е(^7в) = Е(?п/в), откуда следует
доказываемое равенство. ?
Дадим вывод теоремы 10.2.3 о сходимости условных
математических ожиданий из теоремы о сходимости мартингалов.
10.3.12. Пример. Пусть (Х,^,ц) — пространство с
конечной неотрицательной мерой, Тп — возрастающая
последовательность под-ст-алгебр в Т и Т^а — сг-алгебра, порожденная {^>г}.
Тогда для всякой функции / G Ь1(ц) имеем Е^"/ —> Е^°°/ п.в.
и в Ь\ц). Если у?„ -+ <р в Ll{n), то Е^"^ -> Е^00^ в LX(J).
Доказательство. Можно считать, что F^ = Т. Тогда
имеем Е^°°/ = /. Последовательность /„ := Е^п/ образует
равномерно интегрируемый мартингал. Поэтому она сходится п.в. и в
Ьг(ц) к некоторой функции д. Покажем, что f — д п.в.
Достаточно показать, что / и д имеют равные интегралы по всякому
множеству B6f„. Интеграл от /1в равен интегралу от /т1в
при всех т ^ п, что совпадает с интегралом от д1в- Последнее
утверждение очевидно из того, что ||Е^П^||Ь1(А4) ^ IHIli^). ?
10.3.13. Пример. Если А е jFoo, то W?nIA -»1А п.в.
Наконец, рассмотрим обратные мартингалы.

384 Глава 10. Условные меры и условные вероятности
10.3.14. Теорема. Пусть {?„} — обратный мартингал
относительно {Fn}, п = 0, —1, Тогда ?_оо = lim ?„
существует п.в. и в LX(P). При этом ?_оо = Е^-00^, где Т-^ = f|„^0 ?п-
Доказательство. Как и в случае прямого мартингала, при
фиксированных а и b обозначим через Un число переходов через
[а, Ь] в ?_„,..., ?о- Согласно доказанному,
(Ь-а)ШТп^Щ&-а)+,
что аналогично рассуждениям в теореме 10.3.3 дает
существование ?_оо = lim ?п п.в. Однако в данном случае
последовательность {?„} сразу оказывается равномерно интегрируемой, так как
?п = Е^^о ПРИ п = 0, —1,..., что обеспечивает сходимость в
среднем. Ясно, что функция ?_оо измерима относительно .F-oo-
При А € Г-ж имеем Щ1а€о) = Щ1а?п) -» Щ1а?-оо), откуда
получаем последнее утверждение. D
10.3.15. Следствие. Пусть (X, Т, /х) — вероятностное
пространство uFn — убывающая последовательность под-о-алгебр
в Т, п = 0,-1,..., .F-oo = Г\п<о-^п- Тогда для всякой функции
/ € Lx(m) «-"eejii JE?nf -» Е^-~/ п.в. и в Ьг{ц).
Доказательство. Последовательность ?n = Wfnf образует
обратный мартингал, который по доказанному сходится п.в. и в
Lx{p) к ?-оо = Е^-°°Ея°/ = Ег—/. П
10.3.16. Пример. Пусть / — интегрируемая на [0,1)
функция, доопределенная на всю прямую с периодом 1. При каждом
п 6 IN зададим функцию Fn так:
2"-1
Fn0r)=2-"?/(j2-* + z).
3=0
Тогда для почти всех х € [0,1] имеем
lim Fn(x) = f f(t) dt.
n-H3° Jo
Доказательство. В силу примера 10.1.4 Ff. есть условное
математическое ожидание / относительно <т-алгебры Вь,
порожденной 2-А:-периодическими функциями. Ясно, что Bk+i С Bk-

10.4. Регулярные условные меры JMtft
Согласно задаче 5.8.99 лишь константы измеримы относительно
В-оо = (~)к>1 Bk- Остается применить следствие. I I
10.4. Регулярные условные меры
В §10.1 нам уже встречалось понятие условной меры. Там
обсуждалась следующая ситуация. Пусть /х — мера на
измеримом пространстве (Х,А) и пусть В — под-а-алгебра А. Можно
считать, что В порождена измеримым отображением 7г из X в
некоторое измеримое пространство (У, S). В качестве такого
пространства можно взять (Х,В), а в качестве 7г — тождественное
вложение.
Как мы знаем, в случае неотрицательной меры ц для
каждого А € Л существует такая измеримая относительно В функция
ц(А, •), что
ц{А П В) = J ц(А, х) n(dx), АеА,ВеВ.
В силу Б-измеримости ц(А, х) существует 5-измеримая функция
у ь-> fiy(A) на Y, для которой
ц{А,х)=ц«*\А).
Полагая v := ц о я--1, эту формулу можно записать следующим
образом:
ц{А П w-\E)) = / ^(А) u(dy), EeS.
Je
В частности, при Е = Y получаем
/х(А) = J цУ{А)и{<1у), АеА.
Таким образом, если ц* — мера на ir~1(y) при каждом у € У, то
предыдущее равенство представляет собой обобщенную теорему
Фубини: для нахождения меры А следует вычислить условную
меру А на множестве уровня 7г-1(у), а затем проинтегрировать
по у по мере v.
Однако, как мы увидим ниже, не всегда можно добиться
положения, когда для почти всех х функция множества fi(A, х) (ШЩ V
/J.y(A) для почти всех у) является счетно-аддитивной мерой. Tttt'
не менее, как показывают следующие результаты, это становОТСЩ
возможным при некоторых дополнительных условиях теор<таиК
множественного или топологического характера. ¦¦»*'

Глава 10. Условные меры и условные вероятности
10.4.1. Определение. Пусть даны а-алгебра А, ее под-а-
алгебра В и мера /л на А. Будем говорить, что функция
представляет собой регулярную условную меру на А
относительно В, если
1) для каждого х функция А н-> цв(А,х) — мера на А;
2) для каждого А Е Л функция х »-> ив(А, х) измерима
относительно В;
3) выполнено равенство
ц(А П В) = [ цв{А, х) \n\{dx), V А Е A, Be В. A0.4.1)
JB
В случае, когда не может возникнуть недоразумений,
употребляется сокращенное обозначение р,(А,х). Другие
обозначения этих же объектов: ив{А\х) и ц(А\х).
Термин „регулярная условная мера" используется для того,
чтобы не возникало путаницы с условными вероятностями в
смысле условных математических ожиданий (не всегда являющимися
счетно-аддитивными). Однако в тех случаях, когда не может
возникнуть недоразумений, мы будем для краткости опускать слово
„регулярная".
В случае, когда сг-алгебра В порождена измеримым
отображением 7г: (Х,Л) —> (Y,?), удобнее параметризовать условные
меры точками пространства Y.
10.4.2. Определение. Системой регулярных условных мер
fj,y, у Е Y, порожденных (А, ?) -измеримым отображением 7г
из X в Y, будем называть функцию цу(А) на А х Y, которая
при фиксированном у является мерой на А, при фиксированном
А Е А измерима относительно ? и для всех А Е А, Е € ?
удовлетворяет равенству
^(АПп-НЕ)) =J^{A)\t,\o7r-\dy). A0.4.2)
Если для почти каждой относительно меры |/z| о 7г-1 точки
у EY имеем ir~x(y) € А и мера /лу сосредоточена на к~1{у), то
будем называть иу собственными условными мерами.

10.4. Регулярные условные меры 387
Иногда бывает полезно следующее более общее определение
условных мер. А именно, пусть Ло — под-а-алгебра в А (не
обязательно содержащая В). Тогда условные меры р,^ (А, х) на Ло
относительно В определяются как и выше, но с заменой Л на Ло
в условиях 1)-3). В частности, теперь вместо A0.4.1) требуется
равенство
ц(АПВ) = [ ц%(А,х) \fi\(dx), V А е Ло, Be В. A0.4.3)
JB
Аналогично определяются регулярные условные меры цу. на
Ло в случае, когда В порождается отображением тт.
10.4.3. Теорема, (i) Предположим, что а-алгебра А
является счетно-порожденной и что ц имеет компактный
приближающий класс в А. Тогда для каждой под-а-алгебры В С Л
существует регулярная условная мера цв на Л.
(ii) Более общим образом, пусть Ло — токая под-а-алгебра
а-алгебры А, что существует счетная алгебра Ы,
порождающая Ло- Предположим, кроме того, что имеется такой
компактный класс К, что для всяких А € U и е > 0 найдутся
Ке е ? и А? € Л с Ае С Ке С А и \р,\(А\Ае) < е. Тогда для
каждой под-а-алгебры В С А существует регулярная условная
мера /^ на Ло-
Кроме того, для любой А-измеримой ^.-интегрируемой
функции f имеем
[ fd/*= [ f f(y)n%(dy,x)\»\(dx). (ЮЛА)
J X J X J X
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай
вероятностной меры. 1) Будем доказывать более общее второе
утверждение. Пусть U порождается счетным набором множеств Ап.
Для каждого п найдем такие множества Сп,к € К и Ап^ G Л, что
Ап,ксСп,ксАп и (i(An\An<k) < 1/к. A0.4.5)
Множества Ап^ вместе с множествами Лга порождают счетную
алгебру Ко С Л. По теореме Радона-Никодима для всякого
множества А е Ко существует такая неотрицательная 6-измеримая
функция х н-> ро(А, х), для которой ро(Х, х) = 1, ро@, х) = 0 для

Глава 10. Условные меры и условные вероятности
всех х и выполнено равенство
/1(АПВ)= f po(A,x)(i(dx), VBeB. A0.4.6)
JB
Заметим, что найдется такое множество No е В нулевой
меры, что для всех х € X\Nq функция А ь-» ро(А,х)
аддитивна на Uq. Действительно, из A0.4.6) следует, что ро(А U В, х) —
ро(А,х) +ро(В,х) fj,-n.B., если A,BeUo^.AC\B = 0.
Поскольку множество пар (А, В), где А, В €Uq, счетно, то объединение
всех множеств, на которых нарушается указанное равенство для
какой-либо пары множеств из Uo, имеет нулевую меру.
2) Докажем теперь, что для п.в. х справедливо равенство
MA»,х) = supд»(Л*,*, *), Vn € IN. A0.4.7)
fc
В частности, для таких х функция множества ро( •, х)
приближается на алгебре Ы классом К относительно алгебры Uq (см.
замечание 1.4.7). Обозначим правую часть A0.4.7) через qn{x).
Ясно, что функции qn измеримы относительно В. Из включения
Anje С Ап следует, что найдется такое множество Nnjt € В меры
нуль, что po{Antk, х) < Ро(Ап, х) для всех х g iV„)fc. Поэтому
Чп{х) < МЛп, х), V* ? N0 := |J~fc=1 Nn,k.
С другой стороны, из очевидного неравенства po(An,kix) < qn(x)
следует, что
м(Лц*) = / Po(An,k,x)n(dx) < J qn(x)n(dx),
откуда с учетом равенства At(Unfc=iNn,k) = 0 получаем
sup/i^jk) ^ / qn(x) n(dx) < / po(An,x)ii(dx) = fi(An).
к JX JX
Следовательно, qn(x) = Po{An, x) всюду, кроме некоторого
множества N\ € В меры нуль.
3) По доказанному на первых двух этапах для всех х jt N :=
N0 U Ni аддитивная функция множества ро(-,х) на алгебре Щ
обладает тем свойством, что компактный класс /С приближает
ро( ¦ 1 х) на меньшей алгебре U относительно самой U0. В силу
замечания 1.4.7, эта функция множества счетно-аддитивна на U
и однозначно продолжается до счетно-аддитивной меры, которую

10.4. Регулярные условные меры
мы и возьмем в качестве /л( •,х) — ^\,{•,х). Ясно, что получена
вероятностная мера. Наконец, при х Е N положим и( •, х) = ц.
4) Проверим, что получены искомые условные меры.
Действительно, при А = Ап функции х (-> ц(А, х) измеримы
относительно В. Класс всех множеств А Е о-(К), для которых это верно,
является монотонным. Значит, он совпадает с a(U). Далее, если
В Е В и А = Ап, то по построению выполнено A0.4.6). Пусть
В еВ фиксировано. Класс ? всех таких множеств А Е ст(И), для
которых выполнено A0.4.6), является монотонным: если
множества Ej Е ? возрастают к Е, то lim fi{Ej,x) = ц(Е,х), откуда
j-юо
по теореме Лебега получаем включение Е Е ?. Следовательно,
? = a(U). Поскольку а(К) = Ао по предположению, то
выполнено A0.4.3).
5) Достаточно иметь равенство A0.4.4) для индикаторов
множеств из А, но в этом случае оно верно в силу определения. ?
Приведем теперь основной для приложений частный случай.
10.4.4. Следствие. Пусть ц — борелевская мера на суслин-
ском пространстве X. Тогда для всякой под-сг-алгебры В С В(Х)
существует регулярная условная мера цв на В(Х).
Доказательство. Достаточно вспомнить, что мера ц
является радоновской, а В(Х) — счетно-порожденной. ?
10.4.5. Следствие. Пусть X — хаусдорфово пространство
и fi — радоновская мера на X. Тогда для всякой под-а-алгебры
В С В(Х) и всякой счетно-порожденной под-а-алгебры Ао С
В(Х) существует регулярная условная мера ц^ на Aq.
Доказательство. Положим А — В(Х) и в качестве К
возьмем класс всех компактов в X. О
Представим полученные результаты в терминах
порождающего В отображения 7г.
10.4.6. Теорема. Пусть (X, А, ц) — пространство с мерой
{возможно, знакопеременной), (Y,?) — измеримое
пространство и отображение я: (Х,А) —> (Y,?) измеримо
относительно (Ац,?), причем к(Х) € ?|^|оя~1» г^е Щф-*-1 ~ пополнение ?
относительно меры \ц\ о 7г~х. Предположим, что А является

390 Глава 10. Условные меры и условные вероятности
счетно-порожденной, а мера \i обладает компактным
приближающим классом. Тогда на Л существуют регулярные условные
меры fj,y, у EY.
Более общим образом, регулярные условные меры /xJL, у Е Y,
существуют на всякой счетно-порожденной о-алгебре Ло С А,
на которой /х обладает компактным приближающим классом.
Доказательство. Положим В := 7г_1E). По теореме 10.4.3
(утверждение (И) применимо с Ао = А и А = Ац) есть условные
меры fj,B(A,x) на А, причем функции /лв(А,х) измеримы
относительно В. Это означает, что для каждого А Е А имеется ?-
измеримая функция Т](А, у) с рР{А,х) = rj(A, 7г(ж)). По условию
существует Yq Е ? с Yq С тг(Х) и |/х| о ir~l(Y\Yo) = 0. Понятно,
что г](А, у) при у EYo является мерой по А, которую мы и
возьмем в качестве цу. Если у # Yq, то положим цР = /л. Для всякого
А Е А функция цу{А) измерима относительно ?, ибо F\lo Е ?.
Такое же рассуждение доказывает последнее утверждение. ?
Рассмотрение меры |/х|о-7г-1 в случае знакопеременной меры /х
совершенно естественно, поскольку мера /хо7Г-1 может быть
нулевой при отличной от нуля мере /х. Отметим, что построенные
выше меры р,у не обязательно сосредоточены на множествах тг^1(у)
(которые не обязаны быть измеримыми). Приведем достаточное
условие существования собственных условных мер.
10.4.7. Следствие. Предположим, что в теореме 10.4.6 о-
алгебра ? является счетно-порожденной и содержит все
одноточечные множества. Тогда для \ц\ о 7Г-1-п.в. у мера цу
сосредоточена на множестве тг~1(у).
Доказательство. Достаточно рассмотреть лишь
вероятностные меры. При сделанных предположениях 7г_1(у) Е А.
Существует счетная алгебра множеств ?q = {Еп}, порождающая ?.
Зафиксируем Еп e?q. Для всякого Е Е ? справедливы равенства
[ ^у(тг-1(Еп))и(ду)=^-1(Е)Птг-\Еп))=^Aг-1(ЕПЕп))
JE
= и(ЕПЕп)= f IEn(y)u(dy),
Je
откуда fiy(тт (Еп)^ = 1еп{у) v-u..b. Следовательно, существует
такое множество Yq полной 1/-меры, что цу{^к (Еп)) = 1е„(у)

10.4. Регулярные условные меры 391
для всех у € Уо и всех п. Из этого следует, что
1лу(ж-\Е)) = 1Е(у), У у EYo, Ее Е.
Действительно, при фиксированном у Е Yq обе части этого
равенства являются мерами по?и совпадают на Sq. В частности,
получаем ^у(тт~1(у)) = 1. ?
10.4.8. Пример. Пусть X и Y — суслинские пространства,
ц — мера на Л = В(Х), ? = B(Y) и 7г: X —> Y измеримо
относительно /х. Тогда на В(Х) существуют регулярные условные
меры цу, у 6 Y, причем \fiv\(X\f~1(y)) = 0 для |/х| о 7г_1-п.в. у.
Доказательство. Если 7г борелево, то применимо
доказанное выше, ибо B(Y) и B(Y) являются счетно-порожденными и
разделяют точки. В общем случае есть множество Xq €Е В(Х) с
|^!(Х) = |^|(Хо), на котором 7г борелево. Тогда Yq := 7г(Хо) есть
суслинское множество, поэтому существует борелевское Е с Yq
с \ц\ о n~1(Yo\E) = 0. При у Е Е берем меры цу, построенные
для 7г|х0) ПРИ У & Е положим цу = ц. П
В общем случае нельзя совместить требования 5-измеримости
всех функций цу{А), А € А, и равенства \цу\(Х\п~1(у)) = 0
для всех у Е п{Х). Контрпример возможен даже для
непрерывной функции на борелевском подмножестве отрезка (см. задачу
10.10.35). За счет отказа от ^-измеримости всех функций цу(А),
А Е А, но при сохранении их |/х| о 7г_1-измеримости, меры fiy
можно выбрать так, чтобы при каждом у € к{Х) мера fiv
была сосредоточена на -к {у). Для этого при у Е 7г(Х)\Уо в
качестве fiy надо взять меру, сосредоточенную в произвольной точке
из IT'1 (у).
10.4.9. Замечание. Если Aq = f~l{J:) С А, где / —
отображение из X в измеримое пространство (Z, F), то для
существования регулярных условных мер /х^ на Aq достаточно
выполнения следующих условий: J- является счетно-порожденной, а мера
|/х| о /_1 на F (или на .T^oy-i) имеет компактный
приближающий класс. Это доказывается такими же рассуждениями, как и
теорема, с учетом того, что а-алгебра /_1(Jr) является счетно-
порожденной, а мера ц на Ао имеет компактный приближающий
класс согласно задаче 9.12.27.

392 Глава 10. Условные меры и условные вероятности
Рассмотрим теперь следующий важный специальный случай:
Q = XxY, где (Х,Ах) и (Y,Ay) — два измеримых
пространства, А = Ах®Ау. Обозначим через Вх и By под-сг-алгебры А,
образованные, соответственно, множествами AxY, А Е Ах, и
множествами XхВ, В Е Ау. Обозначим через их и иу
образы и при естественных проекциях на X и У, а через \fi\x и \[м\у
обозначим проекции меры \и\.
10.4.10. Теорема. Предположим, что Ах является счет-
но-порожденнной а-алгеброй и что \ц\х на Ах имеет
компактный приближающий класс. Тогда для каждого у EY
существует такая мера и(- ,у) на А, что функция у *-> и(А,у) измерима
относительно \и\у для каждого Ае А и
и(Ап(ХхВ)) = [ u(Ay,y)\u\Y(dy), А е A, Be Ay, A0.4.8)
Jb
где Ау = {АП(Хх{у})}, причем fi(Ay,y) = ,лу(тгх(Ау)) для
некоторой меры г\у на Ах- Кроме того, для каждой А-измеримой
и-интегрируемой функции f имеем
Г f(x,y)u(d(x,y)) = [ [ f(x,y)Vy(dx) \u\y(dy). A0.4.9)
Jsi Jy Jx
Доказательство. Достаточно рассмотреть
неотрицательные меры, перейдя к разложению Жордана-Хана. Множества из
Вх имеют вид ExY, Е Е Ах- Согласно замечанию 10.4.9
применительно к 7г = 7Гу и / = 7Гх на Вх существуют такие меры ив ,
у EY, что для всех Е Е Ах, В Е Ау имеем
u((ExY)n(XxB)) = [ fiyB(ExY)uy(dy). A0.4.10)
Jb
При этом существуют меры if на Ах с иВх (ExY) = rf(E).
Положим и(А,у) = т)у(пх(Ау)), А Е А. Пользуясь тем, что тгх(Ау) =
{ж: (х,у) Е А} Е Ах, легко проверить, что и(-,у) — мера на
А при каждом у Е Y. Тогда при А = (ExY) Г\(ХхВ) ввиду
соотношения irx((ExY)y) = Е равенство A0.4.10) запишется в
виде
fi(A)= [ u(Ay,y)uy(dy), A0.4.11)

10.4. Регулярные условные меры
ибо сечение Ау пусто при у # В. Ясно, что класс всех множеств
А € Л, для которых функция у н-> fi(Ay,y) измерима
относительно By и верно A0.4.11), является монотонным. Поскольку из
доказанного следует, что этот класс содержит конечные
объединения измеримых прямоугольников, то он совпадает с А.
Формула A0.4.9) следует из доказанного. ?
Отметим, что если одноточечные множества входят в Ау, то
Ау Е А для всех А € А. В противном случае можно утверждать
лишь, что 1Гх(Ау) € Ах и потому для определения //(•, у) на Ау и
приходится прибегнуть к мере гр. Разумеется, этого можно не
делать, если с самого начала под сечением Ау понимать множество
Ау := {х: (х,у) € Л}, т.е. проекцию геометрического сечения,
как это делается в теореме Фубини. Однако часто удобнее
считать, что условные меры заданы на слоях Ау. Принципиальной
разницы здесь нет, следует лишь помнить, что это — вопрос
соглашений, в котором надо проявлять последовательность. Ясно,
что заключение доказанной теоремы верно в случае, когда вся
(т-алгебра А является счетно-порожденной, а мера /хнаЛ имеет
приближающий компактный класс. Следующий результат
демонстрирует выгоды приведенной нами более общей формулировки.
10.4.11. Следствие. Пусть П = X х У, где X — суслин-
ское пространство с его борелевской а-алгеброй Ах, (У,Ау) —
измеримое пространство, р, — мера на А = Ах®Ау. Тогда на
пространствах X х {у}, у € F, существуют такие радоновские
меры цу, что для всех множеств А 6 Ах®Ау выполняется
равенство
1г(А) = ^у(Ау)\„\у(<1у).
Для всякого другого набора мер ру с такими же свойствами
имеем \iy = цу ру-п.в.
Доказательство. Существование мер ру непосредственно
следует из теоремы 10.4.10. При доказательстве единственности
можно перейти от мер р,у и рМ на слоях к мерам гр и г/У на X.
Воспользуемся тем, что существует счетная алгебра ?,
порождающая Ах- Для всякого Е € С функции rf{E) и rjy(E) при
интегрировании по всякому В € Ау по мере ру дают одно и то же
число д((?хУ) П (ХхВ)). Поэтому эти функции равны ру-и.в.
Следовательно, найдется такое множество Yq полной \р\у-меры,

394 Глава 10. Условные меры и условные вероятности
что тр{Е) = г)У(Е) для всех Е € 6 и всех у е Y0. Это дает
равенство rf = гр) для всех у €Yo, равносильное равенству цу = /гУ
для всех у eYq. ?
10.4.12. Пример. Пусть X — суслинское пространство, У —
хаусдорфово пространство и /х — радоновская мера на ХхУ.
Тогда на пространствах X X {у}, у е У, существуют такие радонов-
ские меры цу, что для всех множеств А ? В(Х х У) выполняется
равенство
fi(A) = J (лУ(АПХх{у}) W{dy).
При этом меры цу определены однозначно с точностью до
множества |/х|у-нулевой меры. Действительно, в данном случае имеем
B{XxY) = В(Х) ® B(Y) согласно лемме 6.4.2.
Из теоремы 10.4.10 легко извлечь такое утверждение
(рассмотрев сначала индикаторы прямоугольников).
10.4.13. Следствие. Пусть (X, Л) — произведение
измеримых пространств (Xi,Ai), г = 1,...,п. Предположим, что
Л является счетно-порожденной, а вероятностная мера fi на
Л имеет компактный приближающий класс. Обозначим через
ц{х\,..., Xk, dxk+i) регулярную условную относительно <3>i=i Л*
меру на Ak+i- Тогда интеграл Л-измеримой функции f G ?*(//)
по мере ц равен
/ ••• / f(xi,...,xn)fj,(xi,...,xn-i,dxn)---ii(xi,dx2)fi(dxi).
JXi Jxn
Обсудим теперь построение условных математических
ожиданий с помощью регулярных условных мер.
10.4.14. Предложение. В теореме 10.4.3 для всех / € ?}{ц)
имеем
JEBf(x)= [ f{y)n{dy,x). A0.4.12)
Jx
В ситуации теоремы 10.4.6 имеем
ЕВ/(*)= f f{z)^x\dz).
Jx
Доказательство. Утверждение вытекает из A0.4.4). ?

10.4. Регулярные условные меры
Приведем пример, когда регулярных условных мер нет даже
для счетно-порожденных ст-алгебр. Таким образом, наличие
компактного приближающего класса является существенным
условием. Возьмем два дизъюнктных множества S\ и S2 в отрезке [0,1]
так, что оба имеют внутреннюю меру 0, а внешнюю 1, причем
S\ U S2 = [0,1] (см. пример 1.12.13). В качестве В возьмем бо-
релевскую а-алгебру отрезка, а в качестве А возьмем сг-алгебру,
порожденную В и множеством S\. Ясно, что обе <т-алгебры —
счетно-порожденные, причем всякое множество А? А имеет вид
А = (Bi П Si) U (В2 П S2), ВЪВ2 € В([0,1]).
Пусть А — мера Лебега на [0,1]. Как было показано в
теореме 1.12.14, формула /.i(A) = (\(В\) + Х(В2))/2 корректно задает
меру на А, совпадающую с А на В.
10.4.15. Пример. На А не существует регулярных условных
мер относительно В.
Доказательство. Ясно, что сг-алгебра В порождена
тождественным отображением ([0,1], А) в ([0,1],В). Образ меры \х при
этом отображении есть А. Согласно следствию 10.4.7, для А-п.в.
у регулярные условные меры должны быть дираковскими
мерами в точках: fiy(A) — 8У(А). В частности, fj.y(Si) = Sy(S\) для
всех у вне некоторого множества Z лебеговской меры нуль.
Очевидным образом это не совместимо с требованием А-измеримости
функции fj,y(S\), которая равна 1 на множестве, отличающемся
от неизмеримого множества S\ лишь на множество лебеговской
меры нуль. ?
Рассмотрим примеры вычисления условных мер.
10.4.16. Пример. Пусть ц — борелевская вероятностная
мера на квадрате [0,1]2, заданная плотностью / относительно меры
Лебега. Тогда регулярные условные меры относительно проекции
на ось координат имеют вид
»ЧВ) = ( ^j^ dy, х € [0,1], A0.4.13)
J {у: (х,у)€В} h\x)
где fi(x) = / f(x,y)dy, причем мы полагаем f(x,y)/fi(x) = 0
./о
при fi(x) — 0. Иначе говоря, мера у? сосредоточена на отрезке
{z}x[0,1] и задается плотностью у н-> f(x,y)/fi(x) относительно
естественной меры Лебега на этом отрезке.

396 Глава 10. Условные меры и условные вероятности
Доказательство. Согласно задаче 9.12.34 образ меры ц при
проекции на ось координат, который мы обозначим через v,
задается плотностью Д. По теореме Фубини функция, задаваемая
правой частью A0.4.13), конечна при почти всех х и
^-интегрируема. Кроме того, интегрируя ее по мере и, получаем интеграл
от /Ijg по мере Лебега, что с учетом зависимости этой функции
лишь от х и доказывает наше утверждение. ?
10.4.17. Пример. Пусть для вероятностной меры fi на
измеримом пространстве (X, А) известны регулярные условные меры
относительно под-ст-алгебры В С Л. Для всякой меры г\ с
плотностью д относительно меры \i регулярные условные меры даются
формулой
г/(А х) = -4-г [ д(у) fi(dy, х), A0.4.14)
вВ{Х) J А
где дв — плотность Радона-Никодима сужения т/ на В
относительно сужения \i на В, причем мы полагаем т](А,х) = 0 при
вв(х) = 0.
Доказательство. Применимы рассуждения, аналогичные
использованным в примере 10.4.16. Сначала замечаем, что
функция, задаваемая правой частью A0.4.14), конечна т^п.в. Легко
проверить, что эта функция измерима относительно В (для этого
достаточно функцию д приблизить простыми функциями).
Наконец, ее интеграл по мере и равен интегралу от 1в по мере г/. П
Аналогичным образом обосновывается следующий пример.
10.4.18. Пример, (i) Пусть (Xi,Bx,/ii) и (Х2, #2,/*г) —
пространства с вероятностными мерами. Тогда для меры fi := fj,i0fi2
на В\ <8> В2 условные меры относительно сг-алгебры, порожденной
проекцией на Х\, имеют вид
ц{В,хъх2) = Ц2(у2 € Х2: (хый) € В).
Иначе говоря, /*( •, х\, х2) = 6Xl <g> ц2. В терминах условных мер,
порожденных указанной проекцией, это можно записать в виде
цХ1 =8Х1®ц2.
(И) Пусть v — вероятностная мера на В\ <g> В%, абсолютно
непрерывная относительно меры ц = (ii ® \i2 из (i) и д = dv/йц.

10.5. Лифтинги и условные меры
397
Тогда условные меры для v относительно <т-алгебры,
порожденной проекцией на Х\, имеют такой вид: v(B,x\,X2) есть
10.5. Лифтинги и условные меры
В этом параграфе речь пойдет о другом подходе к
построению условных мер, основанном на понятии лифтинга, которое
заслуживает и самостоятельного обсуждения. Это понятие
возникает на самом деле сразу после введения классов эквивалентных
функций в смысле совпадения почти всюду. Можно ли из
каждого класса эквивалентности во множестве всех ограниченных
измеримых функций выбрать одновременно по одному
представителю так, чтобы алгебраические соотношения, выполняющиеся
для классов, перешли в поточечные для выбранных
представителей? Такой выбор и называется лифтингом. Приведем точные
определения.
10.5.1. Определение. Пусть (X,A,fi) — измеримое
пространство с неотрицательной мерой \i (возможно, со
значениями в [0, +оо]) и ?д — пространство всех ограниченных А-
измеримых функций. Лифтингом на ?д называется
отображение L: ?°? —» С°%, удовлетворяющее условиям
(i)L(f) = f M-n.e.;
(ii) L(f)(x) = L(g)(x) для всех х € X, если f = g ц-п.в.;
(Ш) L(f)(x) = 1 для всех х € X, если / = 1 fj,-n.e.;
(iv) L(af + fa){x) = aL(f)(x) + EL{g){x) для всех x e X,
f,g<EC% иа,C€Ш};
(v) L(fg)(x) = L(f)(x)L(g)(x) для всех xeX, f,geC%.
Отметим, что если L — лифтинг, то для всех А ? А имеем
L(Ia) = L(l\) — L(IaJ, т.е. функция Ц/д) принимает значения
в {0,1} и потому является индикатором некоторого множества
А ?А. Это позволяет задать отображение L: А —> А, Ь(А) := А.
По свойствам лифтинга это отображение удовлетворяет
следующим условиям:
1) ц(Ь{А) А А) = 0, Ь(Х) = X, L@) = 0,
2) L{AnB) = L(A)DL(B),
3) L(A и В) = L(A) U L(B).

398 Глава 10. Условные меры и условные вероятности
Отображение L: А —> А называется лифтингом ст-алгебры.
Ясно, что всякий лифтинг сг-алгебры А однозначно задает лиф-
тинг ?°% с помощью формулы L(Ia) := 1ца), распространяемой
по линейности на все простые функции, а затем с помощью
равномерных приближений на все пространство ?д. Таким
образом, лифтинги находятся во взаимно-однозначном соответствии
с лифтингами а-алгебры.
Для всякого лифтинга имеем
(iv') L(f) ^ 0, если / ^ 0 /х-п.в.
Действительно, L{f) = L(y/f)L(y/f).
Наиболее важен случай, когда А есть Ац. Это как раз и есть
упоминавшаяся ранее задача о выборе из каждого класса
эквивалентности в ?°°(/х) по представителю с поточечным
сохранением алгебраических операций. Ясно, что лифтинги С°°(ц) можно
отождествить с гомоморфизмами из алгебры L°°(/i) в алгебру
?°°(/х), при которых класс эквивалентности переходит в своего
представителя. Поэтому L называется также лифтингом Х°°(/х).
Более слабым, чем лифтинг, является понятие линейного
лифтинга. Так называют отображение L со свойствами (i)—(iv) и (iv').
Следующий результат позволяет свести построение лифтинга к
нахождению линейного лифтинга, что несколько проще, как мы
увидим ниже.
10.5.2. Лемма. Пусть Lq — линейный лифтинг для полной
вероятностной меры ц на пространстве (X, А). Для А Е А
положим
Е(А):={х: L0(IA)(x) = l}, Р(А) := {х: L0(IA)(x) > 0}.
Тогда найдется такой лифтинг L, что Ie(A) ^ L(Ia) < Ip(A)
для всех А € А.
Доказательство. Рассмотрим множество Л всех линейных
лифтингов I с Ie(A) ^ KIа) ^ Ip(A)j А ? А. Тогда Lq € Л, ибо
0 ^ Lq(Ia) ^ 1- Множество Л оказывается выпуклым, если его
рассматривать как подмножество произведения JRp, П = С^хХ,
используя естественное вложение I •—> (l(f)(x))(f ч fi. Ясно, что
Л содержится в произведении отрезков, ибо \l(f)(x)\ < sup \f(y)\
vex
для всех I G Л по свойству (iv') линейного лифтинга.

10.5. Лифтинги и условные меры
Множество Л замкнуто в Шр в топологии произведения. В
самом деле, пусть элемент ?: (/, х) t—>¦ ?(/, х) Е Ш. является
пределом направленности элементов 1а Е Л, т.е. ?(/,х) = ]ivala(f)(x)
для всех / Е ?д и х Е X. Положим l(f)(x) := ?(/, ж) и покажем,
что I Е Л. Выполнение условий (ii)-(iv) и (iv') из определения
линейного лифтинга и справедливость оценки 1е(А) ^ 1A а) ^ -Гр(Л)
для всех А Е А очевидны, так как все эти соотношения
поточечные, однако требует проверки равенство 1(f) = f п.в. (ведь
мы имеем дело с несчетной направленностью). Пусть / = 1а,
где А Е А. Тогда 1Е^ < 1AА) ^ 1р(Е), причем 1Е{А)(х) =
1р(А)(х) — 1а(х) п.в., что в силу полноты меры /л на А
доказывает Д-измеримость 1(f) и равенство l(f)(x) = f(x) п.в. Это
равенство переносится на конечные линейный комбинации
индикаторов множеств из А. Произвольная функция / Е С™
является равномерным пределом последовательности простых функций
fj Е ?д, для которых равенство l(fj) = fj п.в. уже доказано.
Так как функции l(fj) сходятся равномерно к /(/) ввиду
свойства (iv'), то получаем /(/) = / п.в.
Поскольку произведение отрезков компактно, то Л
оказывается выпуклым компактом. По теореме Крейна-Мильмана (см.
Данфорд, Шварц [104]) Л имеет крайние точки, т.е. точки, не
представимые в виде выпуклой комбинации W + A — t)l" с t €
@,1), I', I" Е Л. Пусть L — одна из таких точек. Покажем, что
L — искомый лифтинг. Фактически надо проверить, что L(fg) =
L(f)L(g). Предположим, что это не так, т.е. существуют такие
f,g Е ?д и а Е X, что L(fg)(a) ф L(f)(a)L(g)(a). Заметим, что
тогда молено взять д с 0 ^ д ^ 1 (из выполнения указанного
равенства для всех д с таким ограничением следует его выполнение
для всех д). Положим Li(ip) = L(ip) + L(gip) — L(g)L(tp), L2(<p) —
L(<p) - L(gip) + L(g)L(ip). Ясно, что L = (Li + L2)/2 n Ьхф L2,
ибо Li(f)(a) ф L2(f)(a). Проверим, что L\,L2 E А.
Функционалы L\ и L2 линейны и L\(l) = L2(l) = 1. При ip ^ 0 имеем
Lifo») = A - L(9))L(<P) + L(9<P) > 0, ибо L(g) < 1, Цф) > 0 и
L(gip) ^ 0. Аналогично L2(tp) ^ 0. Следовательно, 0 ^ L>i(ip) < 1,
г = 1,2, при 0 ^ ф ^ 1. Ясно, что Ь\(ф) = L2(<p) = tp п.в.
Наконец, имеем IE{A) ^ Li(/a) ^ 1Р{А) и IE{A) < L2(IA) ^ 1Р(А)>
поскольку этим неравенствам удовлетворяет L = (L\ + L2)/2 и
0 < Li(IA) < 1. ?

400 Глава 10. Условные меры и условные вероятности
Линейные лифтинги строить легче. Рассмотрим частный
случай — меру Лебега на отрезке, делающий более прозрачным
доказательство в общем случае.
10.5.3. Пример. Все функции на [0,1] будем считать
продолженными нулем вне [0,1]. Мы знаем, что для всякой
ограниченной измеримой функции / п.в. предел отношений
EnfW^n-1 j*** f{y)dy
равен /(х). На пространстве т ограниченных
последовательностей с sup-нормой существует обобщенный предел —
непрерывный линейный функционал Л, неотрицательный на
неотрицательных последовательностях и совпадающий с обычным пределом на
сходящихся последовательностях (см. задачу 2.12.85). Положим
?(/)(*) :=Л((ЯП/(Х))~=1).
Тогда L(f)(x) = fix) во всех точках х, где f(x) = lim Enf(x),
т.е. почти всюду. Линейность и неотрицательность L очевидны.
Итак, L — линейный лифтинг, причем L(f) = f для всех
непрерывных /. По лемме 10.5.2 получаем существование лифтинга на
[0,1] с мерой Лебега.
10.5.4. Теорема. Для всякой полной вероятностной меры
ц существует лифтинг на С°°{ц).
Доказательство. Рассмотрим множество М, состоящее из
пар (?, L), где ? — <т-алгебра в А, содержащая ст-алгебру Ао,
порожденную множествами меры нуль, a L — лифтинг на ?.
Множество М непусто, ибо на Aq имеется лифтинг L0, задаваемый
так: L0(Ia) = 0 при ц(А) = 0, L0(Ia) = 1 при /л(А) = 1. На М
имеется естественный порядок: (?i,Li) ^ (?,^2), если ?i с ?ъ и
^•"Авг — L\. Покажем, что в М. есть максимальный элемент. По
лемме Цорна достаточно проверить, что всякая линейно
упорядоченная часть {(?<*> ?<*)} в -М имеет верхнюю грань. Пусть ? —
сг-алгебра, порожденная всеми ?а. Построим на ? лифтинг L,
ограничение которого на ?а есть La при всех а. Тогда пара (?, L)
будет мажорантой. Согласно лемме 10.5.2 нам достаточно
установить существование линейного лифтинга. Предположим
сначала, что для всякой последовательности (Еап, Lan) из М. имеется

10.5. Лифтинги и условные меры 401
мажоранта (Ер, Lp) в М.. Тогда L можно задать следующим
образом. Легко видеть, что для всякой 5-измеримой ограниченной
функции / найдется такой счетный набор индексов ап, что /
измерима относительно сг-алгебры, порожденной всеми ?ап.
Выберем /3 с (?aniLan) ^ (?/?>Lp) для всех п и положим L(f) — Lp(f).
Легко проверить, что в силу линейной упорядоченности
рассматриваемого набора данное определение корректно. Ясно также,
что L — лифтинг. Предположим теперь, что сделанное
предположение неверно для некоторой последовательности (Ean,Lan).
Ясно, что эту последовательность можно считать возрастающей.
Поскольку для каждого а найдется п с (Ea,La) ^ (Ean,Lan),
то получаем, что ? порождается возрастающей
последовательностью сг-алгебр ?Лп. По теореме 10.2.3 для всякой ограниченной
^-измеримой функции / п.в. существует предел lim JE?nf(x),
причем этот предел п.в. равен f(x). С помощью этого предела
мы определим L. С этой целью, как и в случае отрезка, возьмем
обобщенный предел Л на пространстве т всех ограниченных
последовательностей и положим
L(/)(x):=A((?a№[E^/](x))~1).
Получено линейное отображение, 0 ^ L(f) ^ 1 при 0 < / ^ 1,
причем L(f) = Lan(f), если функция / измерима
относительно ?ап. Действительно, в этом случае при всех к ^ п имеем
Lak [E?fc/] = Lan [Efn/] = Lan(f), откуда следует указанное
равенство. Наконец, для всех ^-измеримых ограниченных функций
/ имеем L(f) = / п.в., поскольку f(x) = lim TEfnf(x) п.в. и
JE?~f(x) = Lan [Е?"/](х) п.в.
Итак, в М. есть хотя бы один максимальный элемент (?,L).
Покажем, что ? = Л, что и завершит доказательство. Как было
пояснено ранее, достаточно доказать, что если имеется множество
Ео??,то найдется лифтинг сг-алгебры ?0, порожденной ? и Eq,
продолжающий заданный лифтинг L на ?. Элементами ?q служат
множества
С = (Е0ПАI)[{Х\Е0)ПВ], А,Ве?. A0.5.1)
Для всякого множества S обозначим через Z(S) совокупность
всех таких множеств Е € ?, что ц(Е П 5) = 0. Обозначим через
fix объединение множеств L(D) по всем D G Z(Eq), а через 0,2 —

402 Глава 10. Условные меры и условные вероятности
объединение множеств L{F) по всем F € Z{X\Eq). Пусть
Е'0 := (So П (X^i)) U ((Х\Е0) ПП2).
Найдутся такие множества Еп € Z(Eq), что Еп С Еп+\ и
Ша^ц(Еп) = sup{/i(.E),.E € Z(E0)}.
Ясно, что ?оо := (J^Li #п € Z(Eo). Заметим, что L(Eoo) = fii.
В самом деле, L(?!0o) С fii. С другой стороны, для всякого
множества D € Z(E0) имеем ^(Z?\Eoo) = 0 в силу построения Е^,
откуда L(D) С Ц-Еоо)- Таким образом, Qi е Z{Eq) С €.
Аналогично устанавливается существование такого множества Д» €
Z(X\E0), что fi2 = ЦД») G Z(X\?b)- Тем самым, ?j € $>• Из
доказанного легко усмотреть равенство h(Eq Д i?0) = 0. Далее,
fiinfi2 = ЦЯоо) П?(Дх>) = ЦЯ» ПД») = 0. Теперь для
всякого А е Z(E0) получаем Е'0 П L(A) С E'Q П fii С Пг П fii = 0.
Аналогично для всех Б € 2(Х\?<)) имеем (Х\Е'0) П L(B) = 0.
Для множеств вида A0.5.1) положим
L0(C) := (Я0 П ЦЛ)) U [(Х\?0) П L(B)].
С помощью доказанных соотношений легко проверяется, что Lq
есть лифтинг на ?Ь> причем Lq\s = L и LoC-Eb) = ^о- ^
Ясно, что лифтинг существует и для всех неотрицательных
(т-конечных мер (и даже для всех разложимых мер, причем верно
и обратное, см. задачу 10.10.39).
Остается открытым вопрос о том, сколь существенна полнота
меры fi (которая была использована в лемме 10.5.2). Например,
возникает вопрос о возможности выбора в теореме о лифтинге бо-
релевских представителей классов эквивалентности в случае
меры Лебега на прямой. В работе von Neumann, Stone [1298] в
предположении гипотезы континуума доказано существование боре-
левского лифтинга на прямой с мерой Лебега. Согласно работе
Shelah [1514], с теорией множеств ZFC совместимо утверждение
о невозможности такого выбора.
На У[0,1] с 1 ^ р < оо линейных лифтингов нет
(задача 10.10.40).
Теперь с помощью лифтингов мы можем доказать еще один
результат о существовании регулярных условных мер. Начнем со
вспомогательной леммы. Пусть (X, Л, fi) — измеримое
пространство с конечной неотрицательной мерой, L — соответствующий

10.5. Лифтинги и условные меры 403
лифтинг на пространстве С°°{ц) и С — образ ?°°(м) при L.
Тогда С оказывается полной векторной решеткой (см. гл. 4, §4.7(i)).
Благодаря свойству (И) лифтинга отношение порядка в С
задается уже как поточечное неравенство f(x) ^ д(х). Пусть М —
подмножество ?, ограниченное сверху. Обозначим через V(M)
решеточную верхнюю грань М (которая существует, поскольку С
полна) и положим
sup(M)(:r) = sup{/(x), / € М}.
10.5.5. Лемма, (i) Пусть М — подмножество С,
ограниченное сверху. Тогда sup(M) — измеримая функция, sup(M) = V(M)
п.в. и sup(M) < V(M) всюду.
(ii) Пусть {fa} — ограниченная возрастающая
направленность в множестве С. Тогда
/ sup fa(x) fi(dx) = sup / fa(x)p,(dx).
JX a a Jx
В частности, если {Aa} — возрастающая направленность
измеримых множеств, то множество \JaL(Aa), где L
обозначает также лифтинг Ац, является измеримым и его мера равна
числу sup/x(A*).
Доказательство, (i) Выполняется поточечное неравенство
sup(M)(x) ^ У(М)(х), ибо /(ж) < У(М)(х) для всех х, ввиду то-
то, -что в С отношение порядка задано поточечным неравенством
(а не п.в., как в ?°°). По следствию 4.7.2 существует такая
последовательность {fn} С М, что V(M) = V{/„}. Пусть / = sup/n.
Тогда функция / измерима относительно /х и / ^ sup(M) ^ V(M)
всюду. С другой стороны, f ^ fn для каждого п, откуда по
определению лифтинга Lf ^ /п всюду. Значит, Lf > V{/n} = V(M),
откуда / ^ V(M) п.в.
(ii) Положим М — {fQ} и выберем последовательность {/п},
как и выше. Можно считать, что {/„} не убывает, поскольку в
силу возрастания {/а} можно перейти к новой последовательности
maxiLi /г- Тогда sup(M) = sup/n = lim fn п.в., откуда
/ sup(M)(x) fi(dx) = lim / fn(x)n(dx),
Jx n^°° Jx

404 Глава 10. Условные меры и условные вероятности
что мажорируется величиной sup / /a(z)//(dx). Обратное нера-
а Jx ,_,
венство тривиально. и
Отметим, что равенство в (ii) не распространяется на
произвольные возрастающие ограниченные направленности, т.е.
условие принадлежности к образу лифтинга существенно. Например,
для направленности функций на [0,1] с конечными носителями,
на которых эти функции равны 1, верхняя грань равна 1 в
каждой точке, а интегралы равны нулю.
10.5.6. Теорема. Пусть ц — радоновская мера на
топологическом пространстве X и ж — и-измеримое отображение из
X в измеримое пространство (Y,?). Тогда существуют радо-
новские условные меры на X, т.е. существует отображение
(В, у) I-+ ц(В,у), B(X)xY -* Ш,1, со следующими свойствами:
1) для каждого у € Y функция множества В i-* fi(B,y) —
радоновская мера на X;
2) для каждого В Е В{Х) функция х >-» ц(В,х) измерима
относительно меры и := \(i\ о я--1;
3) для всех В € В(Х) и Е € ? верно равенство
f n(B,y)v{dy) =»(ВПп-1(Е)). A0.5.2)
JE
Доказательство. Предположим сначала, что \i —
вероятностная мера и X — компакт. Для всякого (р € С(Х) положим
/V(?)= / (p(x)u(dx), Ее?.
Jw-HE)
Тогда мера /iv абсолютно непрерывна относительно и,
отображение <р*-* и<р линейно и имеет место оценка
Обозначим через р(<р, •) плотность Радона-Никодима /j,v
относительно v. В силу приведенной выше оценки, норма р(<р, •) в L°°{u)
мажорируется через ||у||оо- Согласно теореме 10.5.4, существует
лифтинг L пространства L°°(i/), следовательно, можно положить
r(<p,.) = L(p(<p,.)).
По определению плотности Радона-Никодима и свойствам
лифтинга получаем, что для каждого у G Y отображение ip н-f г(<р, у)

10.5. Лифтинги и условные меры
является положительным линейным функционалом на
пространстве С(Х), гA,у) = 1 и \r((p,y)\ ^ sup|v?(ar)|. Согласно теореме
Рисса, существует такая радоновская вероятностная мера ц( •. у)
на компактном пространстве X, что
/ (p(x)ii(dx,y) = r(<p,y).
Jx
Напомним, что функция r(tp, ¦) представляет класс
эквивалентности плотности меры \i^ относительно v.
Проверим, что семейство мер ц{-,у) обладает нужными
свойствами. Обозначим через Т класс всех ограниченных борелевских
функций (р на. X, для которых функция
У1-* / <p{x)p(dx,y)
Jx
на Y измерима относительно лебеговского пополнения v и для
каждого Е € € выполняется равенство
[ [ <p(x)ti(dx,y)v(dy)= [ v(x)n(dx). A0.5.3)
JeJx J-к-ЦЕ)
По построению, этот класс содержит С{Х). Кроме того, он
является линейным пространством, которое замкнуто
относительно поточечной сходимости равномерно ограниченных последоваг
тельностей, т.е. если <рп € F, \(рп\ < С, <р(х) = lim <рп{х), то
tp € Т. Проверим, что индикаторные функции открытых
множеств принадлежат Т. Пусть U открыто в X. Положим
Ф = U € С{Х): 0 < ф < /Л, Ф* = 1г{ф, •), ф Е ф}.
Подмножество Ф* в решетке С = L(L°°(i/)) ограничено сверху
единичной функцией. Заметим, что для каждого у G У ввиду
радоновского свойства /z( •, у) имеем
/*(?/,у) = sup{r(^, у), ф € Ф}. A0.5.4)
В самом деле, для заданного е > 0 существует компактное
множество К в U с ц(и\К, у) < е. Поскольку X компактно, то
существует непрерывная функция ф: X —> [0,1], равная 1 на if и
0 вне U. По определению меры ц( •, •), имеем
ЛФ, У)= Ф(х) »(dx, у) ^ ц(К, у) ^ ft(U, у) - е.
Jx

406 Глава 10. Условные меры и условные вероятности
Ввиду неравенства г(ф,у) < fi(U,y), приходим к A0.5.4). В силу
леммы 10.5.5 (или леммы 7.2.6), функция у н-> fi(U,y) измерима
относительно лебеговского пополнения v. Зафиксируем
множество Е € S и проверим справедливость формулы A0.5.3). Ввиду
радоновости меры 1п-\^е)^ имеем
n(Unir-x{E)) =sup| Г 1Е(ж(х))ф(х)fi(dx), ф € Ф1,
что равняется
supj Г 1Е(у)г(ф, у) u(dy), ф € Ф1,
ибо (ф ¦ ft) о 7г-1 = г(ф, ¦) • и. С другой стороны, применяя лемму
10.5.5 к семейству функций {г(ф, •), ф € Ф} на пространстве У
с мерой Iei/, получаем
J IE(y) KU, У) v{dy) = sup j f 1Е(у)г(ф, у) u(dy), феъ\.
Итак, A0.5.3) проверено. По теореме 2.12.9, класс Т совпадает с
совокупностью всех ограниченных борелевских функций. В
частности, для каждого В € В(Х) функции ц{В, у) измеримы
относительно v. При этом выполняется A0.5.2).
Заметим, что если fi — неотрицательная, но не вероятностная
мера, то применяя описанную выше конструкцию к
соответствующей нормированной мере, получаем желаемое разложение, где
условные меры по-прежнему вероятностные.
Теперь рассмотрим случай, когда мера ц все еще
вероятностная, но пространство X произвольно. Выберем возрастающую
последовательность компактов Кп с fi(Kn) —» 1 и положим Sn =
Kn\Kn-i, S\ = К\. Пусть fin = Isn ¦ Ц и пусть дп — плотность
Радона-Никодима меры /хгао7г-1 относительно v = fioTr.
Применим полученный выше результат к каждой мере fin,
рассматриваемой на компакте Кп- Обозначим соответствующие условные
меры посредством цп{-,у)- Заметим, что
E?Li On = 1 v-ил.
Полагая fi(B,y) = Yln°=i Qn(y)Vht(BnSn,y), получаем A0.5.2). Для
этого надо лишь заметить, что это равенство верно при В С Sn.
В самом общем случае достаточно применить описанные
рассуждения к мерам fi+ и fi~, приводящим к двум семействам
условных вероятностных мер //(•, ¦) и fi"( •, ¦), соответственно.

10.6. Дезинтегрирование мер 407
Пусть д+ и д~~ — плотности Радона-Никодима мер ц+ о 7Г-1 и
ц~ о 7г-1 относительно 1/ = \/л\о 7г-1. Полагая
»(В,у) = д+(у)ц'(В,у) - д-(у)ц"(В,у),
приходим к нужному представлению. ?
10.5.7. Следствие. Если при условиях теоремы 10.5.6
имеет место равенство {(ж,7г(ж)), х € X} Е В(Х)®?, то условная
вероятность ц{ ¦ •) имеет такое свойство: для и-почти всякого
у € Y мера //(-,у) сосредоточена на множестве 7г_1(у) (и все
такие множества — борелевские).
Доказательство. Найдутся {Вп} с В(Х) и {Еп} с ?,
такие, что график я- входит в сг-алгебру, порожденную ВпхЕп. При
этом множества 7г-1(у) входят в а({Вп}). Поэтому применимы
рассуждения из следствия 10.4.7. ?
Из этого легко получить известное нам утверждение примера
10.4.8 об условных мерах для измеримых отображений суслин-
ских пространств.
10.6. Дезинтегрирование мер
В этом параграфе обсуждаются некоторые обобщения
условных мер. Основное отличие от предыдущего состоит в том, что
теперь условные меры будут определяться на разных сг-алгебрах.
Пусть (X, #, /i) — пространство с вероятностной мерой и пусть
23 С 5? — под-сг-алгебра.
10.6.1. Определение. Предположим, что для всех х € X
заданы под-о-алгебра $х С 5 и мера ц{ • , ж) на ^х,
удовлетворяющие следующим условиям:
(i) для всякого А € Ъ существует множество Na € 23,
такое, что h(Na) = 0 и А € &г для всех х 0 Na, причем функция
iH4/i(i,i) на X\Na измерима относительно 23 П {X\Na);
(ii) для всех A G # « В € 23 верно равенство
/ ц(А,х)ц(<1х) = ц(АПВ).
JB
Тогда будем говорить, что меры ц{ •, х) задают
дезинтегрирование меры ц относительно 23 и называть эти меры условными.

408 Глава 10. Условные меры и условные вероятности
Ясно, что если существуют регулярные условные меры //(•, х)
относительно 93, то они задают и дезинтегрирование, причем в
качестве &с для всех х можно взять 5- Отличие
дезинтегрирований от регулярных условных мер состоит, во-первых, в том,
что меры (г( •, х) могут быть заданы на разных ст-алгебрах, а во-
вторых, в том, что условие 93-измеримости ц(А, х) ослабляется за
счет допущения множества Na меры нуль. Как мы увидим
ниже, эти отличия действительно приводят к более общему объекту.
Однако сначала мы покажем, что в случае счетно-порожденной
(Т-алгебры # существование дезинтегрирования равносильно
существованию условных мер относительно 93 (напомним, что
последние существуют не всегда, см. пример 10.4.15). Несколько
иные дезинтегрирования рассмотрены ниже в §10.10(ii).
10.6.2. Предложение. Предположим, что 5 — счетно-по-
рожденная а-алгебра. Тогда существование дезинтегрирования
относительно о-алгебры 93 С 5 равносильно существованию
регулярных условных мер относительно 93.
Доказательство. Если есть регулярные условные меры, то
есть и дезинтегрирование. Покажем обратное. Предположим, что
меры ц( ¦, х) на $х С У задают дезинтегрирование меры ц на 5
относительно 93 и построим новое дезинтегрирование ц\{ ¦ ,х), в
котором все условные меры определены на $. Пусть SR — счетная
алгебра, порождающая $. Для каждого Ai G У найдем множество
нулевой меры N^ С 93 со свойствами, указанными в определении
дезинтегрирования. Положим N = U?i -W-A* • Ясно, что N € 93 и
n(N) = 0. Рассмотрим класс всех множеств Е € $, для которых
Е € $х при всех х € X\N, а функция х ¦-> fi(E, х) на X\N
измерима относительно 93 П (X\N). Ясно, что этот класс содержит 94
и очевидным образом является монотонным. Следовательно, он
совпадает с #. Теперь положим ц\(А,х) = fi(A,x), если х ? N и
А € 5- Это возможно, ибо A G #х Щ>и х ? N. При х G N
положим ц(А,х) = /х(Л). Поскольку N € 93, то из сказанного выше
следует, что при каждом А € # функция х *-* ц{А,х)
измерима относительно 93. Наконец, если В € 93, то ввиду равенства
fi(N) = 0 интеграл от ц\(А, х) по В равен интегралу от [i(A,x)
по В, т.е. равен ц(А Г\В). О
10.6.3. Замечание. Имеется еще одно определение
условных мер, занимающее промежуточное положение между
регулярными условными мерами и дезинтегрированиями. Говорят,

10.6. Дезинтегрирование мер
что семейство мер /х( •, х) на $ задает для меры /х условные
меры в смысле Дуба относительно 95 С ?, если в определении
10.4.1 регулярных условных мер вместо 93-измеримости функций
х (-> ц(А,х), А € #, требовать лишь 93^-измеримость этих
функций. Связь условных мер в смысле Дуба с дезинтегрированиями
состоит в следующем: существование условных мер в смысле
Дуба относительно 05 равносильно существованию
дезинтегрирования /х( •, х) с За: = 5 при всех х € X (задача 10.10.36).
Приведем теперь пример (использующий гипотезу
континуума), показывающий, что существование дезинтегрирования не
влечет существование регулярных условных мер.
10.6.4. Пример. Пусть X = [0,1]2х[0,1], % = ?2<8>?ь где ?2
и ?i — cr-алгебры измеримых по Лебегу множеств соответственно
в [0,1]2 и [0,1]. Положим
ц{А) = А2((ж1,х2): (х1,х2,х2) € л), А е 5,
где А2 — мера Лебега на [0,1]2. Возьмем в качестве 05 а-алгебру
всех цилиндров В = [0,1]2 хВ0, В0 е ?\. Тогда множество всех
компактов в X является компактным приближающим классом
для /х на #, причем существует дезинтегрирование /х
относительно 05, однако в предположении гипотезы континуума нельзя так
выбрать условные меры //( -, ж), чтобы при /х-п.в. х мера /х( •, х)
была определена на $.
Доказательство. Заметим, что мера ц корректно
определена на 5, ибо отображение -ф: (ж1,ж2) •—> (ж1,ж2,ж2) измеримо
относительно <т-алгебр ?2 и ?2 <g> ?i, поскольку ф~1(А2 xAi) —
А2П([0, l]xAi) € ?2 для всех A2 e ?2 и A\ € ?i. По нашему
определению, /x = А2 оф~1. Из сказанного легко заключить, что мера
/х приближается классом всех компактных множеств. Как
показано ниже, это влечет существование дезинтегрирования
относительно 95. Убедимся, что при этом нельзя добиться того, чтобы
почти все условные меры были определены на #. Предположим
противное. Покажем, что существует такое множество М е 93,
что /х(М) = 0 и для всех х ? М и всех борелевских множеств
Е с [0,1]2 выполнено равенство
li(Ex[0,l],x) = \1(EX3),
х = (жьж2,ж3), Ехз = {t: (*,ж3) Е Е). A0.6.1)

410 Глава 10. Условные меры и условные вероятности
Поскольку В([0,1]2) является счетно-порожденной cr-алгеброй, а
обе части A0.6.1) представляют собой меры как функции
множества Е € В([0,1]2), то достаточно проверить, что найдется
такое множество М € 55 нулевой //-меры, что A0.6.1) верно для
всех х 0 М и всякого множества Е из некоторой счетной
совокупности, порождающей В([0,1]2). Значит, достаточно
убедиться, что для фиксированного Е равенство A0.6.1) верно /и|<в-п.в.
В свою очередь, достаточно показать, что интегралы обеих
частей A0.6.1) по каждому множеству В G 53 равны. Поскольку
В = [0,1]2 х Во, то интеграл по В от левой части равен
/*(в П (Ех [0,1])) =А2(?П ([0,1] х ЯЬ)) = J ЫЕХз) \i(dx3)
в силу определения дезинтегрирования и теоремы Фубини.
Остается заметить, что
[ \1(EXs)\1(dx3)= [ Ai(SXs)/*(<&),
JBo 7[0,1]2хВ0
ибо Xi(EX3) не зависит от (x\,X2), а образ ц при отображении
(х\,Х2,хз) |—> хз есть Ai, что легко проверяется. Итак,
получаем нужное множество М. Пусть теперь х = (х1,хг,хз) ^ М.
Заметим, что для произвольного множества С С [0,1]
множество С х {хз} х [0,1] входит в У, поскольку \2(С х {хз}) = 0.
В силу нашего предположения о том, что почти все условные
меры определены на $, найдется по крайней мере одна точка
х g М, для которой определена функция множества А(С) =
/х(С х {хз}х[0,1], х) на классе всех множеств С С [0,1]. Ясно, что
А — счетно-аддитивная мера, которая в силу A0.6.1) обращается
в нуль на всех одноточечных множествах. Согласно следствию
1.12.41 имеем А = 0 — противоречие. ?
Рассмотрим еще один близкий пример, где, однако, сг-алгебра
55 не является полной относительно //.
10.6.5. Пример. Предположим, что верна гипотеза
континуума. Пусть X = [0,1]2, 5 — <7-алгебра измеримых по Лебегу
множеств в [0,1]2, ц — мера Лебега на [0,1]2 и пусть 53 — ст-алгебра,
порожденная проекцией на первую координату, т.е. совокупность
всех множеств вида В = BqX [0,1], Во € #([0,1]). Тогда нельзя
так выбрать условные меры fi(-, х), чтобы при всех х меры ц{- ,х)
были определены на 5-

10.6. Дезинтегрирование мер 411
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что такие условные меры
существуют. Функции fi(A, х) зависят только от первой
координаты xi точки х € [0,1]2. Поэтому мы обозначим их через \(А, xi).
Аналогично следствию 10.4.7 проверяется, что для почти всех xi
справедливо равенство A({xi}x[0, l],Xi) = 1. Пусть {Вп} —
множество всех рациональных интервалов в [0,1] и А — мера Лебега
на [0,1]. Для каждого В € В([0,1]) имеем
\(ВпЩВ) = M(([0,l]xi?n) П (В х [0,1]))
= / A([0,l]xBn,xi)A(ctei),
Jb
откуда следует, что А([0,1]хВп,хх) = Х(Вп) для почти всех xi.
Это означает, что для почти всех х\ мера А( •, xi) на борелевских
множествах представляет собой меру Лебега на отрезке {xi} х
[0,1]. Пусть xi — одно из таких значений. Тогда A(-,xi) дает
счетно-аддитивное продолжение меры Лебега на все
подмножества {xi} х [0,1], ибо каждое такое подмножество имеет нулевую
меру в квадрате и потому входит в #. Таким образом, приходим
к противоречию с гипотезой континуума. ?
10.6.6. Теорема. Пусть (Х,$,ц) — вероятностное
пространство и 23 — такал под-а-алгебра в $, что мера д|<в полна.
Предположим-, что существует компактный класс /С С У,
замкнутый относительно конечных объединений и счетных
пересечений и приближающий /х. Тогда имеется такое
дезинтегрирование {Зх,/х(-,х)}жех относительно ЯЗ, что для каждого
х Е X класс К входит в $х и приближает /х( •, х) на $х.
Доказательство. Пусть L — лифтинг на (X, *8,д|«в). Для
каждого А € 5 зафиксируем какую-нибудь версию условного
математического ожидания Е 1а относительно 23. Положим
px(K) = L(JEtBIK){x), кек.
Тогда по свойствам условных математических ожиданий и лиф-
тингов получаем, что (Зх — монотонная модулярная функция с
0х(Х) = 1. Согласно лемме 1.12.38 для каждого х существует
монотонная модулярная функция Сх на К с Сх ^ Дв» Сх(Х) = 1 и
(Х(К) + (СХ)*(Х\К) = 1, VК е К. Положим
$Х = {ЕЕЗ: {CxUE) + (CxUX\E) = l}.

412 Глава 10. Условные меры и условные вероятности
Обозначим через //(-,ж) сужение (Сж)* на ^х. В силу следствия
1.12.39 $х — сг-алгебра и /г( •, х) — счетно-аддитивная мера на Зж,
причем класс К. содержится в $х и приближает меру /х( -, х).
Остается проверить, что получено дезинтегрирование. Пусть А € $.
Найдем такие возрастающие последовательности {Кп}, {Ln} в /С,
что Кп Ci,I„C Х\А, ц(Кп) -»¦ ц(А), P(Ln) -> fi(X\A). Для
каждого В € 95 имеем
/*(в пл) = J^mC-B п аг„) = 'ш^ f т*1Кп(х) n(dx)
= lim I 0x(Kn)n(dx) A0.6.2)
= f lim px(Kn)»(dx).
JBn^oo
¦/..
Аналогично проверяется, что
/i(? П Л) = д(В) - /x(B П (Х\Л))
Urn [l - /3x{Ln)] fi{dx). A0.6.3)
Заметим, что при каждом х справедливы неравенства
nlim (Зх(Кп) < {CxUA) < 1 - (СМХ\А) < 1 -jim &(?«)•
Поэтому из A0.6.2) и A0.6.3) следует, что для /Lt|«g-n.B. х
справедливо равенство (Сх)*{А) = 1 — (Cx)*(-^V4)> причем
JB
Таким образом, для до|<в-п.в. х получаем, что А € Ъх и /х(Д ж) =
(Сх)*(<А) = um Рх(Кп). В частности, функция ц(А,х) измерима
относительно меры /Lt|gj. Наконец, справедливо равенство A0.6.2).
Теорема доказана. П
10.6.7. Следствие. Пусть {Х,^,ц) — вероятностное
пространство, причем мера fj, обладает компактным
приближающим классом. Тогда для всякой под-о-алгебры 95 С 5
существует дезинтегрирование {#х, /х( •, ж)} „ относительно 95, для
которого каждая из мер ц(- ,х) обладает компактным
приближающим классом в $х.

10.7. Переходные меры 413
Доказательство. Согласно предложению 1.12.4
существует компактный класс /Сс5, приближающий [i и замкнутый
относительно конечных объединений и счетных пересечений. Класс К
является приближающим и для пополненной сг-алгебры 3^- Пусть
55м — пополнение 53 относительно /х|<в. По доказанному мера ц
на 3^ обладает дезинтегрированием {$х, Д( •,х)\ х
относительно 35^, для которого /С входит в 5г С ^ и приближает Д(х, •)
для всех х. Положим Зя = $ХГ\$ и //(-, х) = /Z( •, х)\$х. Проверим,
что получено нужное дезинтегрирование. Пусть А € #. Возьмем
такое множество N е 53й нулевой jx-меры, что при х <? N
множество А входит в Зх и функция ~Ц(А, х) на X\N измерима
относительно *&ц П (X\N). Затем найдем такое множество М € 55,
содержащее JV и также имеющее нулевую /а-меру, что функция
~р(А, ж) на Х\М измерима относительно ЪС\(Х\М). Таким
образом, при х ? М имеем А € Зал причем функция ~р(А, х) на Х\М
измерима относительно 55 П (Х\М). При этом для всех х класс
К. входит в 3i и приближает /х(-,ж) на Зх- Наконец, ясно, что
для всех В 6 55 интеграл ц(А, х) по В совпадает с интегралом от
~Ц(А, х) и равен ц(В ПА). ?
10.7. Переходные меры
Условные меры дают пример переходных мер (см.
следствие 10.2.4), которые в этом параграфе мы рассмотрим подробнее.
10.7.1. Определение. Пусть (Xi,Bi) и (Хг,^) — пара
измеримых пространств. Переходной мерой для этой пары
пространств называется функция Р( • | •): Х\хВ2 —> 1R1 со
следующими свойствами:
(i) для каждого фиксированного х € Х\ функция В *-* Р{х\В)
является мерой на Вч\
(и) для каждого фиксированного В е Вч функция х *-* Р{х\В)
измерима относительно В\.
В случае, когда переходные меры являются вероятностными
по второму аргументу, они называются переходными
вероятностями.
10.7.2. Теорема. Пусть Р( ¦ \ •) — переходная вероятность
для пространств (Xi,B\) и (.Х^Бг) и и — вероятностная
мера на В\. Тогда на (XixX2,B\ <g> В2) существует единственная

414 Глава 10. Условные меры и условные вероятности
вероятностная мера fi, удовлетворяющая тождеству
fi{B1xB2) = [ Р{х\В2) v{dx), УВг е Въ В2 € В2. A0.7.1)
При этом для всякой функции f е ?х(й) для и-п.в. х\ функция
%2 •-* f(x\,x2) измерима относительно (В2)р(Х1\.-) и Р{х\\ -)-ин-
тегрируема, функция xi н-> / f{x\,x2)P{x\\dx2) измерима от-
JXi
носителъно {B\)v и v-интегрируема, причем
I f(x1,x2)u(d{xi,x2)) = / / f(xi,X2)P(xi\dx2)v(dxi).
JXixXi JXi Jx2
A0.7.2)
Доказательство. Для проверки первого утверждения
достаточно показать, что неотрицательная функция множества /л,
заданная правой частью A0.7.1) на полуалгебре
прямоугольников, счетно-аддитивна. Пусть Ах В = \J АпхВп, где А, Ап 6 В\,
В,Вп G В2, причем АпхВп попарно не пересекаются. Это
означает, что Ia{x\)Ib{x2) = Y1 1ап{х1Iвп{х2). Пользуясь счетной
аддитивностью Р{х\\ ¦) и меняя суммирование и интегрирование,
получаем
1А{х{)Р{хх\В) = ^/^(xOPCxilB»).
Интегрируя по мере v, получаем ц(АхВ) = Y1 А*(^пх^п)? что и
п=1
требовалось.
Докажем теперь, что для всякого множества Е € В\ ® В2
функция х\ у~* P(xi\EXl), где EXl = {х2: (xi,x2) € Е}, измерима
относительно В\. Для этого заметим, что, во-первых, EXl е В2
согласно предложению 3.3.2, а во-вторых, класс ? всех множеств
Е G В\ % В2 с доказываемым свойством является алгеброй и по
определению содержит прямоугольники. Ясно, что класс ?
замкнут относительно образования объединений возрастающих
последовательностей. Следовательно, ? — ст-алгебра, совпадающая
с Вх ® В2.

10.7. Переходные меры 415
Из доказанного следует, что для всякой ограниченной Bi<S>B2-
измеримой функции / функция
/: *!¦-» / f(x1,x2)P(xl\dx2)
Jx2
измерима относительно В\ и справедливо равенство A0.7.2).
Пусть теперь / — неотрицательная В\ <%> ^-измеримая
функция, интегрируемая относительно ц. Для функций fn = min(/, n)
функции /„ измеримы относительно В\ и для них выполнено
равенство A0.7.2). По теореме Беппо Леви функция / также
^-интегрируема и для нее верно A0.7.2). Тем самым, вторая часть
теоремы верна для всех /?1<8>Й2-измеримых /^-интегрируемых
функций.
Распространим теперь доказанное на все функции / 6 С1(ц).
Как и на предыдущем этапе, достаточно сделать это для
ограниченных функций, для чего, в свою очередь, достаточно
рассмотреть индикаторы /х-измеримых множеств Е. Всякое такое
множество является объединением множества Eq ? В\ <8> В2 и
некоторого множества С с ц{С) = 0. Остается заметить, что
для 1/-п.в. х\ множество СХ1 = {х2: (xi,x2) € С} имеет P(xi\-)-
меру нуль. Это вытекает из того, что существует такое множество
D € В\ <8> В2, что С С D и /i(D) = 0. В самом деле, СХ1 С DXl для
всех х\ е Х\ и P(x\\DXl) = 0 для v-п.в. х\ согласно A0.7.2). ?
Ясно, что доказанная теорема распространяется и на
знакопеременные меры, если функция ||Р(ж| • )|| интегрируема
относительно \и\.
Докажем теперь следующую теорему Ионеску Тулчи,
полезную в теории случайных процессов.
10.7.3. Теорема. Пусть (Хп, Вп), п = 0,1,..., — измеримые
пространства, причем для каждого п — 0,1,..., задана
переходная вероятность Pn+i'n для пары пространств
(П**'®В*) u (Xn+i,Bn+1).
к=0 к=0
Тогда для каждого xq G Xq на измеримом пространстве (X, В) =
(П^=о Хп, <S*^=o &п) существует единственная вероятностная

416 Глава 10. Условные меры и условные вероятности
мера Рхо, удовлетворяющая тождеству
р*о(Т[Вк)= I ¦¦¦ I P^-n'\x0,...,xn^\dxn) A0.7.3)
¦ ¦ ¦ ^1(x0,x1\dx2) P?(xo|da?i) /во(яго).
Доказательство. Предположим сначала, что дана
конечная последовательность пространств Хк и переходных
вероятностей Рк+{' , к = 0,1,..., TV. Определим вероятности РХо,...,Хк
на IIi=o Xj с помощью рекуррентных формул (в порядке
убывания к)
РХ0 хя{Л) = 1а(хо, ¦. .,xN),
РХо,...,хк(А) = [ *fc,fc(*o, • • -,xk\dxk+l)PXo>...tXk>Xk+1(A).
Из доказанного выше нетрудно усмотреть, что PXOt...,Xk есть
вероятность на (8)_,^n Щ-> причем для каждого А е ф/^лг Щ функция
Рх0,~.,хк{А) является (??)<feR,-измеримой функцией (xq, ... ,хк),
а при фиксированных (хо, ¦ •. ,Xk-i) она является б^-измеримой
функцией хк. Ясно, что для всякой неотрицательной ®7<jv#j-
измеримой функции ? при всех к ^ TV справедливо равенство
/ CdPX0,...,Xk = / С(хо,• ¦ .,xN)P%'+{'k(x0,¦ ¦ .,xk\dxk+1)
JPj|-'JV-1(xo,...,xAr_i|dxJV).
JxN
JxN
Перейдем к бесконечному случаю. Как и выше, мы будем строить
вероятности PZo,...,xfc- Для каждого TV конструкция предыдущего
этапа дает вероятности PXoJ..,Xk на (S)j<jv^j- Из построения
видно, что эти вероятности согласованы при разных TV. Таким
образом, на алгебре 21, полученной объединением ®j<jv^J' заданы
функции множества PXo,...,xn> ограничения которых на (^jkn^j
совпадают с PXoJ..,Xk. Ясно, что эти функции аддитивны. Если мы
покажем, что они непрерывны в нуле, а значит, счетно-аддитивны
на 21, то их счетно-аддитивные продолжения на В и будут
нужными вероятностями. В частности, будут построены
вероятности РХо. Пусть Вп — убывающие к 0 множества из St. Допустим,

10.7. Переходные меры
что lim Py0,...,yN(Bn) > 0 для некоторых N и у0,..., yN. Тогда
/ „1™оР3/0,...,Ул-,ЗД+1(Вгг) Р$+1*(У0, • • • , yN\dxN+1) =
Следовательно, найдется такой уы+i, что lim Pyo,...,yN+1(Bn) > 0.
По индукции находим последовательность у = {уо,У1, ¦ ¦ ¦), для
которой
lim Руо,...,Ук(Вп) > 0 при всех к^ N.
С другой стороны, при любом фиксированном п мы имеем Вп €
®7<то ^ ПРИ всех Достаточно больших т, откуда
Руо,..,Ут(Вп)=1вЛУО,---,Ут).
Следовательно, у е Вп при всех п, что противоречит убыванию
Вп к пустому множеству. Таким образом, счетная аддитивность
мер РХо,...,а;п доказана. Остается заметить, что для всякого В б 21
функции РХо,...,хп{В) измеримы относительно ®j^nBj, что дает
измеримость функций / C(j/) Px0,...,xn{dy) ДО3 всех
неотрицательных В-измеримых функций С,. П
10.7.4. Следствие. Пусть (Хп,Вп), п — 0,1,..., —
измеримые пространства, причем для каждого п задана переходная
вероятность Pn+i'n для пространств
(П**'®В*) и (Хп+иВп+г).
fe=0 fe=0
Пусть Pq — вероятность на {Xq,Bq). Тогда на пространстве
(Х,В) := (П^=о^п>®^=о^п) существует единственная
вероятность Р, удовлетворяющая тождеству
P(f{Bk)=l I ...[ I*->n-1(xo,...,xn-l\dxn)
Vfc=0 J Во J В! JBn
• • • P^'1(x0,x1\dx2) P?(x0\dxi) P0(dx0).

418 Глава 10. Условные меры и условные вероятности
10.8. Измеримые разбиения
Разбиением пространства с мерой (М, Л4, /х) называется
представление М в виде объединения попарно непересекающихся
измеримых множеств ?а, где индекс а пробегает некоторое непустое
множество Т. Положим ? = (Са)ает- Основной пример —
разбиение на прообразы точек для измеримой функции.
Будем называть ^-множествами произвольные объединения
элементов разбиения ?. Например, если ? — разбиение квадрата
[0,1]2 на отрезки, параллельные оси ординат, то С-множества —
это множества вида Ах [0,1], где А С [0,1].
Пусть дана счетная система измеримых множеств S ~ (Sn).
Рассмотрим множества HnLi Sn(u}n), соответствующие
последовательностям ш = (шп) € {0,1}°°, где Sn(u)n) = Sn при шп = 1 и
Sn(un) — M\Sn при iiin = 0. Ясно, что полученные множества (из
них учитываются лишь непустые) образуют разбиение, которое
обозначается через (,{S). Система S называется базисом
разбиения.
10.8.1. Определение. Разбиение С, называется измеримым,
если оно имеет вид ? = С (-5) для некоторого не более чем
счетного набора S измеримых множеств.
10.8.2. Лемма. Разбиение измеримо тогда и только тогда,
когда оно имеет вид С = (/_1(с))с€[о ц для некоторой измеримой
функции /: М —> [0,1].
Доказательство. Разбиение на прообразы точек является
измеримым, поскольку оно имеет базис /_1(/п), где 1п —
всевозможные интервалы с рациональными концами. Обратно, пусть
S = (Sn) — базис измеримого разбиения ?. Отображение
«7: М^{0,1}°°, 9(x) = (lSn(x))Zv
измеримо, если {0,1}°° наделено своей стандартной борелевской
ог-алгеброй. Ясно, что ? совпадает с разбиением на прообразы
точек для отображения д. Осталось взять инъективную боратев-
скую функцию ip: {0,1}°°—+ [0,1] и положить / = tp о д. ?
Из доказанного ясно, что измеримым является и всякое
разбиение на прообразы точек при измеримом отображении в
пространство со счетно-порожденной и счетно-разделяющей сг-алгеб-
рой. Поскольку элементы разбиения имеют вид /_1(с), с G ГО.1,

10.8. Измеримые разбиения 419
то из сказанного в §10.4 ясно, что на них возникают регулярные
условные меры.
Будем говорить, что разбиения С и С тождественны modO,
если найдется такое множество Mq полной /л-меры, что разбиения
множества М0, которые индуцируют С, и ?', равны.
На множестве разбиений есть естественный порядок: С ^ d
если каждый элемент разбиения ? целиком слагается из
некоторого набора элементов разбиения С'. При этом С,' называется более
мелким (соответственно, С, более крупным).
Для всякой последовательности измеримых разбиений ?га
имеется самое крупное разбиение С,, которое мельче каждого С„. Это
разбиение обозначается через V С,п и определяется как разби-
п=1
ение на прообразы точек при отображении х »-* (/п(ж)), М —>
[0,1]°°, где fn порождают разбиения ?п согласно лемме выше, а
[0,1]°° наделяется естественной борелевской ст-алгеброй.
Два измеримых разбиения С и п называются независимыми,
если порождающие их функции fug представляют собой
независимые случайные величины на (М, М,,ц), т.е.
ц(х: f(x) < а,д(х) < Ь) = ц(х: /(ж) < а)ц{х: д(х) < Ь)
для всех а,Ь € ГО1 (см. §10.1A)). Согласно задаче 10.10.37, это
равносильно тому, что для всякого измеримого (^-множества А и
всякого измеримого ^множества В справедливо равенство
М(АПВ) = М(ЛМВ).
Два измеримых разбиения ? и г) называются
взаимно-дополнительными, если С V V тождественно modO разбиению на точки.
Таким образом, если ? порождено функцией /, а п — функцией д,
то требуется, чтобы отображение (/, д): М —> ГО2 было инъектив-
ным на множестве полной меры.
Взаимно-дополнительные независимые разбиения
называются независимыми дополнениями друг друга.
10.8.3. Теорема. Предположим, что ? — такое измеримое
разбиение пространства Лебега-Рохлина (М,Л4,ц), что почти
все условные меры на элементах разбиения не имеют атомов.
Тогда С обладает независимым дополнением.
Доказательство. В терминах случайных величин нам
надо доказать следующее. Есть измеримая функция /: М —> [0,1],
такая, что для ц о /-1-п.в. у условная мера цу на /_1(у) не имеет

420 Глава 10. Условные меры и условные вероятности
атомов. Тогда найдется такая измеримая функция д на М, что
отображение (/, д): М —» [0,1]2 инъективно на множестве полной
меры и переводит /л в меру и (8> щ, где и = ц о /_1 иуц-
некоторая мера. По теореме об изоморфизме можно считать, что /х —
борелевская мера на [0,1], а / — борелевская функция. Положим
д(х) = inf/t € [0,1]: //(*>([0,*]) = х\.
Заметим, что функция (x,t) i-> /x-^QO, t]) — борелевская. Это
вытекает из леммы 6.4.6, поскольку функция fiy([0, t]) является
борелевской по у при фиксированном t и непрерывной справа по
t при фиксированном у. Тогда д — /х-измеримая функция (см.
пример 7.4.2). Отображение (f,g) инъективно на множестве
полной меры всех таких х, что мера ц?(х) не имеет атомов.
Действительно, если xi и i2 - разные точки этого множества, то либо
/(zi) ф /(ж2), либо д(хг) ф д(х2), ибо функция
Fy(e) = inf{t€[0,l]: Mv([0,*]) = e},
строго возрастает, если цу не имеет атомов. Покажем, что мера \х
переводится отображением (/,#) в произведение меры v и меры
Лебега Л на [0,1]. Для этого достаточно показать, что для всяких
а < Ь, с < d справедливо равенство
^((ЛзГЧМхМ)) = КМЖМ)-
Левая часть этого равенства совпадает с
J[a,b] V >
, .v(r\y)ng-\[c,d]))v(dy).
Остается заметить, что на множестве /_1(у) Функция д совпадает
с обратной к функции распределения меры цу. Поскольку мера
цу сосредоточена на /_1(у), то, как было показано в теореме 9.2.2,
для всех у таких, что цу не имеет атомов, имеем
/*у(гЧ»)п<гЧМ))=А(М),
откуда вытекает требуемое. ?
J\a,b

10.9. Эргодические теоремы
421
10.9. Эргодические теоремы
В этом параграфе доказано несколько важнейших теорем эр-
годической теории — интенсивно развивающейся области
математики на стыке теории меры, теории динамических систем,
математической физики и теории вероятностей. В этих теоремах
рассматриваются семейства сохраняющих меру преобразований Tt,
где параметр t пробегает IN или [0, +оо), а проблема состоит в
изучении асимптотического поведения этих преобразований при
больших t. Разумеется, в этом вводном рассказе невозможно даже
упомянуть о всех интересных задачах теории меры, возникающих
в описанной ситуации. Заинтересовавшемуся читателю следует
обратиться к книгам Арнольд, Авец [16], Биллингслей [35], Вер-
шик, Корнфельд, Синай [72], Корнфельд, Синай, Фомин [171],
Синай [285], Халмош [335], Krengel [1084], Petersen [1341].
Одним из первых результатов эргодической теории является
следующая теорема Пуанкаре о возвращении.
10.9.1. Теорема. Пусть (Г2,В, р) — вероятностное
пространство и Т: Q, —> Q — такое ц-измеримое отображение, что
р о Г-1 = р. Если А — р-измеримое множество, то для р-
почти каждого х Е А найдется такая бесконечная
последовательность щ, что Т^ж € А. В частности, если р(А) > 0, то
существует точка х Е А, для которой Тпх Е А для бесконечно
многих п.
Доказательство. Если р(А) = 0, то утверждение верно
тривиальным образом. Далее будем считать, что р(А) > 0.
Докажем сначала более слабое утверждение, что для почти всякого
х Е А найдется такое п G IN, что Тпх € А. Точки с таким
свойством называются возвращающимися. Обозначим через Е
множество всех таких х Е А, что Тпх ? А для всех п ^ 1. Легко
видеть, что множество Е измеримо. Чтобы показать, что р(Е) = 0,
достаточно убедиться, что множества Е, Т~1(Е), Т~1{Т~1(Е))
и т.д. попарно не пересекаются, ибо по условию они имеют
равные меры. Эти множества обозначим через ?*: E^+i := T~l(Ek),
Eq := Е. Предположим, что х € Ет П Ер, где т> р. Тогда
ТРхеЕПТУЕгп = Е П Em-V.
Следовательно, для у = Т^х Е Е получаем Тт~ру Е Е С А
вопреки определению Е.

422 Глава 10. Условные меры и условные ожидания
Теперь исходное утверждение вытекает из рассмотренного
нами частного случая. Действительно, для каждого к € IN
измеримое отображение Тк переводит меру ц в ц. По доказанному,
почти все точки из А являются возвращающимися для Тк.
Следовательно, почти все точки из А являются возвращающимися
сразу для всех Тк, что и завершает доказательство. ?
Как мы сейчас увидим, теорема Пуанкаре допускает
существенное усиление. Доказываемая ниже так называемая
индивидуальная эргодическая теорема (теорема Биркгофа-Хинчина)
является одним из центральных результатов эргодической
теории. Для заданного измеримого преобразования Г
вероятностного пространства (ft, В, ц) обозначим через 7" <т-алгебру всех
множеств В € В, для которых В = Г-1 (В). Условное математическое
ожидание относительно Т обозначим через JET.
10.9.2. Лемма. Пусть Т — сохраняющее меру
преобразование вероятностного пространства (О, В,/х), / е Ь1(/х),
fk(x) = f(Tkx), Sk = /о + ••• + /*-!, M* = max@,5b...t5fc).
Тогда [ fdn^O.
J{Mk>0}
Доказательство. При j < к имеем Мк(Тх) ^ Sj(Tx),
откуда Мк(Тх) + f(x) ^ Sj(Tx) + /(ж) = Sj+i(x), т.е. получаем
неравенство f(x) ^ Sj+i(x) — Мк(Тх), j = 1,...,к. Кроме того,
имеем f(x) = 5i(x) ^ Si(x) - Мк(Тх). Итак,
/ fdfx^ [ [шахE1,...,5*)-М*оГ]ф
J{Mk>0} J{Mk>0}
= / [Mk-MkoT]dfi^ f /ф = 0,
J{Mk>0} Jx
ибо Мк о T ^ 0, а на дополнении к {Мк > 0} имеем Мк = 0. ?
10.9.3. Следствие. В ситуации доказанной леммы
справедливо неравенство
ji(max(Si, S2/2,..., Sk/k) > г) ^ г'1 j |/| d/x, Vr > 0.

10.9. Эргодические теоремы 423
Доказательство. Пусть
В = {тахEь 52/2,..., Sk/k) > г},
g = (f-r)IB, Sk = g + ---+g°Tk-\ Mk = max@,g,...,Sk).
По лемме интеграл от д по {Мк > 0} неотрицателен. Поскольку
{Мк > 0} = В и интеграл от / оценивается интегралом от |/|,
получаем доказываемое. D
Теперь мы можем доказать теорему Биркгофа-Хинчина.
10.9.4. Теорема. Пусть (fi,B,/i) — вероятностное
пространство и f — ц-интегрируемая функция. Предположим, что
Т: И —> О. — fi-измеримое отображение, причем ц о Г-1 = и.
Тогда для ц-п.в. х существует предел
fc=0
При этом f е Ь1(ц) совпадает п.в. с Ег/ и I fd/л — / fdfi.
Ju Jn
Доказательство. Заметим, что (Ег/)оГ = Ет/.
Действительно, 1в ° Г = 1в для всех В € Т, поэтому для всякой
ограниченной Т-измеримой функции ф имеем ф о Т = ф, что дает
такое же равенство для всякой Т-измеримой функции. Поэтому
можно перейти к / — Ет/ и считать далее, что Ет/ = 0. Пусть
Sk = f+foT+- ¦ -г/оТ*-1, g = limsup5„/n, е > 0 и Е := {д > е}.
Покажем, что ц(Е) = 0. Положим
Г = (f -e)IE,S*k = Г + ¦¦¦ + Г oTk-\MZ = max@,Sf,...,Sek).
Ясно, что Е € Т, ибо д о Т = д. Кроме того, функции М|
возрастают и Е = US?Li{-^jfc > 0}- Это легко усмотреть из равенства
5| = Efc — ke)lE- Следовательно, в силу леммы 10.9.2 и теоремы
о монотонной сходимости получаем
0</ fdu^ f fdn.
J{mi>o} Je

424 Глава 10. Условные меры и условные ожидания
В силу равенства IE / = 0 и включения Е € Т мы имеем по
определению условного математического ожидания
JE JE
W fdfl = 0.
Таким образом, полученная выше оценка записывается в виде
-ец{Е) ^ 0, т.е. ц(Е) = 0. Итак, Sn/n -* 0 п.в.
Докажем теперь сходимость в Ьх{ц). При фиксированном N €
IN положим xj)N = fI{\f\-^N}i <PN = f — i>N- Тогда |^>лг| ^ N и из
уже доказанного следует, что n~l ]Г ^n ° Тк —»• Ет^лг в L1^)
fe=o
при п —» оо. Заметим, что из инвариантности /х относительно Г
и оценки ЦЕ^лг||!,!(//) ^ llV'Jvlli1^) следует неравенство
Г In J2 VN о Тк - JET<pNI dfi
Jn fc=
1У2 I \*N ° r*l ^ + / IeT^I ^ <2 / l^ld^-
r^; Jn ./n ./n
fc=0
Поскольку правая часть этого неравенства стремится к нулю при
N —у оо и / = ¦г/'лг + <рм, то теорема доказана. ?
10.9.5. Пример. Пусть ft = [0,1) с мерой Лебега А и Тх =
х + #(mod 1). Тогда Т сохраняет меру. Если в иррационально, то
для всякого борелевского множества В п.в.
гГ1^1воТк ^\{В).
к=0
Это вытекает из эргодической теоремы с учетом того, что о-
алгебра Т тривиальна: всякая Т-измеримая функция п.в. равна
некоторой постоянной, ибо в силу иррациональности 9 она имеет
сколь угодно малые периоды (см. задачу 5.8.99).
В связи с эргодической теоремой возникают некоторые
интересные понятия, из которых мы упомянем здесь лишь
эргодичность и перемешивание.

10.9. Эргодические теоремы
425
10.9.6. Определение. Предположим, что (?1, В, ц) —
вероятностное пространство и Т — сохраняющее меру /л
преобразование. Тогда Т называется эргодическим, если всякое
множество из Т имеет меру 0 или 1.
Если же для всяких А, В € В имеем
Jim ц{А П Т~п(В)) = ц(А)ц(В), A0.9.1)
mo Т называется перемешивающим.
Ясно, что перемешивание влечет эргодичность, ибо при А =
В Е Т получаем ц(А) = ц(АJ. С другой стороны, эргодичность
равносильна несколько более слабому соотношению, чем A0.9.1),
а именно, следующему свойству:
.Йо ~ Е »(А n Т~к(В)) = р(АМВ), А,ВеВ. A0.9.2)
П-КХЗ П fe=Q
Действительно, по эргодической теореме для эргодического Г
имеем п.в.
1 n_1
lim -J2lB°Tk = n(B),
п^°° п fc=0
что после интегрирования по А дает A0.9.2). Если же выполнено
A0.9.2), то, учитывая соотношение n-1 J2 1в о Тк —> Шг1в п.в.,
fc=o
получаем
|Е%ф = /|(%(В).
Это означает, что ТЕт1в = ц(В) п.в., откуда получаем
тривиальность Т.
10.9.7. Пример. Преобразование Г из примера 10.9.5
является эргодическим, но не перемешивающим. Действительно, его
эргодичность была пояснена в примере 10.9.5. Чтобы
удостовериться в отсутствии перемешивания, заметим, что существует
последовательность пк с п*0(пюс11) —* 1/2. Пусть А = В = [0,1/4).
Тогда при больших к множества А и Т~Пк(В) не пересекаются,
что делает невозможным A0.9.1).
В работе Bourgain [516] показано, что если Г — эргодическое,
сохраняющее меру преобразование вероятностного пространства

426 Глава 10. Условные меры и условные ожидания
(?1,В,ц), то для всех f,g € C°°(fi) и всяких натуральных р и q
п.в. существует lim n-1 ? f(Tpnx)g(Tgnx).
n^oo fe=1
В заключение этого раздела остановимся на недавней
работе В.В. Иванова [140], в которой установлена связь ряда
предельных теорем типа эргодической с некоторыми элементарными
свойствами возрастающих функций.
Пусть S — измеримое множество конечной меры на прямой и
F — неубывающая функция на нем. Пусть зафиксированы числа
0 < а < /3. Экраном точки х е S будем называть всякий такой
интервал (у, z) С S, что х < у и
F{y + 0) - F(x) ^ 0(у - х), F(z - 0) - F(x) ^ a(z - х).
Обозначим через S* множество всех точек из S, обладающих
экранами. В.В. Иванов [139], [140] открыл следующее
удивительное неравенство.
10.9.8. Теорема. При указанных предположениях
справедливо неравенство ЛE*) ^ %\(S).
10.9.9. Следствие. Пусть I = [а,Ь] и F — неубывающая
функция на I. Для заданных 0<a</?ufcElN обозначим через
Ik множество тех точек х Е I, для которых найдется такая
цепочка х < yi < z\ < ¦ • ¦ < yk < Zk ^ Ь, что
[F(yi)-F(x)]/(yi-x)>$ и [F(*0-*"(*)]/(*-*)< а
для всех i = l,...,k. Тогда \(Ik) ^ (а//3)к\A).
Замечательное неравенство Иванова уже нашло ряд
применений, одно из которых обсуждается ниже. Для этих
применений достаточно уметь доказывать такое неравенство в
простейшем частном случае, когда S является отрезком, а функция F
кусочно-постоянна и принимает лишь конечное число значений.
Как ни странно, и в этом частном случае доказательство, хотя и
совершенно элементарное, довольно кропотливо (на самом деле в
[140] общий случай сводится к указанному частному, аккуратное
обоснование которого занимает около двух страниц).
Рассмотрим теперь вероятностное пространство (Q, В, р) и
полугруппу {T(}t^o отображений Т<: О, —> Q, сохраняющих меру р..
Будем предполагать, что отображение Tt{w) измеримо по
совокупности переменных. Тогда для всякой интегрируемой функции

10.10. Дополнения и задачи
427
/ на 1) определены интегрируемые функции
atH:=Jjf/(T.(ui))A.
В случае, когда преобразования Т„ определены лишь для п € IN,
т.е. Тп = Тп, где Г — сохраняющее меру преобразование,
полагаем (тп(и>) := п-1 ?3 f{Tk(u)). Для фиксированных 0 < а < 0 и
к € IN обозначим через Ик(а,0) множества таких точек ш € Q,
что найдется цепочка 0 < s\ < t\ < • • • < Sk < ?jt, для которой
crSi(u;) ^/?и <т(Ди>) < а при всех г = 1,..., к. Таким образом,
траектория точки и) не менее к раз пересекает „сверху вниз" полосу
между уровнями а и /3. Аналогичные множества определяются
и в случае дискретного времени. Согласно задаче 10.10.58
множества 0,k(a, C) измеримы. Из теоремы 10.9.8 в [140] выведена
следующая замечательная оценка.
10.9.10. Теорема. Пусть f^0. Тогда ц(Пк(а,/3)) < (a//?)fe.
Из данного ранее доказательства индивидуальной эргодиче-
ской теоремы ясно, что эта оценка не только влечет саму эргоди-
ческую теорему, но и дает универсальную оценку скорости
сходимости. Фактически оценка Иванова показывает существование
предела /* = lira <rt. Для ограниченной функции / с помощью
теоремы Лебега и инвариантности ц получаем, что интегралы /*
и / равны, что легко дает то же самое и для всех интегрируемых
функций.
10.10. Дополнения и задачи
(i) Независимость D27). (ii) Дезинтегрирования D30). (ш)
Сведения о лифтингах D33). (iv) Законы 0 — 1 D34). (v) Законы больших
чисел D38). (vi) Гиббсовские меры D44). Задачи D46).
10.10(i). Независимость
10.10.1. Определение. Пусть (Х,Л,1л) — вероятностное
пространство и ?, ту: X —> Е — измеримые отображения в измеримое
пространство (Е,?). Отображения ? и п называются
независимыми, если /z(? G Ei, г) € 2?г) = м(? € Е\)ц{г1 € Е2) для всех Ei, Е% € ?¦
Ясно, что если измеримое отображение г} постоянно, то всякое
измеримое отображение ? с ним независимо. Кроме того, если ? и п
независимы ягр: Е —> Е — измеримое отображение, то фо? и фот} независимы.

428 Глава 10. Условные меры и условные вероятности
Если Е = Ш.1 и ? = B(TR}), то независимость ? и г] равносильна тому,
что //(? < а,т] < Ь) = /х(? < а)/х(т/ < Ь) для всех а и Ь. Это вытекает
из того, что ц(? 6 Ei,r) € Е2) и /*(? € Е\)^{г] € ?2) являются
мерами как функции Е\ и ?2, а борелевские меры на прямой однозначно
определяются значениями на лучах.
Из определения видно, что понятие независимости связано не
только с отображениями и мерой, но и с ст-алгеброй ?. Важнейший для
приложений случай: Е = Ш.1 и ? = ЩИ1). В этом случае в качестве Е\
и Е2 достаточно рассматривать лишь интервалы. Отметим, что можно
ввести более сильное понятие независимости (независимость по
Колмогорову), если потребовать выполнение равенства
/i(? € Еи V € Е2) = д(? € Eh.Mii € Е2)
для всех таких Е\,Е2 С Е, что ?_1B5i) € Л, r)~1{E2) € -4. Даже в
случае ? = К1, ? = В(Ш}) это определение строго сильнее (задача
10:10:61). Однако если Е = Ю1, ? = ЩЖ1) и мера ц совершенна, то
оба определения очевидным образом равносильны (см. Ramachandran
[1399] о других случаях равносильности).
Множества А и В называются независимыми, если независимы их
индикаторы 1а и 1в- Это равносильно тому, что ц{А С\В) = ц(А)ц,(В).
Наконец, два семейства множеств Л и В называются независимыми,
если ц{А П В) = ц(А)ц(В) для всех А ? Л, В € В.
10.10.2. Лемма. Если функции ? и г\ независимы и
интегрируемы, то функция ??7 также интегрируема, причем
/ ?п<1ц= / ?d(i / r)d/i.
Jx Jx Jx
Доказательство. Пусть ? принимает конечное множество
значений ai на дизъюнктных множествах Xi, г = 1,... ,м, а ц — конечное
множество значений bj на дизъюнктных множествах Yj, j = 1,..., т.
Тогда интеграл от ?т) равен ^2 ciibjfi(Xi П Yj), что совпадает с произве-
дением интегралов от ? и т/, ибо fi{Xi ПYj) = fi(Xi)u(Yj) в силу
независимости. Пусть ? и г) ограничены и принимают значения в (—М, М).
Для каждого к € IN разделим [—М, М] на к дизъюнктных
промежутков Ii = (a,i,bi\ равной длины и положим ?к(х) — Ы при ?(х) е 7».
Аналогично определим функции щ. Функции ?& и щ независимы при
фиксированном к, так как Cfc = Vfc ° ?> Vk = У>к° Щ, где <рк — борелев-
ская функция, заданная равенством (pk(t) = bi при t € /*. Поскольку
доказываемое равенство верно для ?t и щ, то оно остается в силе для ?
и //. Еще один предельный переход для функций min(fc, |?|) и min(fc, \rj\)
дает это равенство для |?| и |?7|, что показывает интегрируемость ?77.
Теперь это же рассуждение завершает доказательство. CD

10.10. Дополнения и задачи
429
Упомянем интересные результаты Банаха и Марчевского,
связанные с независимостью. Класс множеств <? в пространстве X
называется независимым, если для всякой последовательности различных
множеств Ei е ? имеем f|Si А Ф 0> гДе D* ~ либ° Е*> либ° x\Ei- в
Marczewski [1206] (см. также работы этого же автора [1600], [1207])
получен следующий результат.
10.10.3. Теорема. Пусть <? — независимый класс подмножеств
пространства X и на нем задана функция v со значениями в [0,1].
Тогда на а-алгебре, порожденной классом <В, существует такая
мера у,, что fi(E) = и{Е) при Е € <? и множества из <? независимы
относительно //.
Пусть дано семейство At, t € Г, ст-алгебр в пространстве X. Это
семейство называется счетно-независимым, если для всякого счетного
набора непустых множеств Д из разных Ati имеем f]?l1 А^Ф 0. Банах
[434] доказал следующую теорему, заметно обобщающую предыдущую
(приводимое ниже доказательство дано в Sherman [1515]; оно
значительно короче оригинального).
10.10.4. Теорема. Пусть дано счетно-независимое семейство а-
алгебр At, t е Т, подмножеств множества X. Предположим, что
на каждой а-алгебре At задана вероятностная мера fit. Тогда на а-
алгебре А, порожденной всеми At, существует такая вероятностная
мера /х, что /л(А) = Ht{A) при А € At и y(f)°^=i ^<) = llSi f-uiAi) для
всех Ai G Atit если U Ф tj при i ф j, т.е. At независимы
относительно ц.
Доказательство. Обозначим через и меру ®teT А" на ^"алгебре
В := (?)t€T-At- Рассмотрим отображение <р: X —> ХТ, заданное
формулой <р(х) = (xt)teT, гДе xt = х для всех t € Т. Пусть D — образ tp.
Зададим ц равенством oJ{ip~1{B)) := v{B), В € В. Теорема будет
доказана, если мы установим, что отображение у>-1: В —* А
является «т-изоморфизмом. Ясно, что у>-1 переводит дополнение в
дополнение, а счетное объединение (или пересечение) — в счетное
объединение (соответственно, пересечение). При этом образом прямоугольника
В = {(xt)teT'- хт 6 Е € Ат}, где т € Т фиксировано, является
множество Е. Вместе со сказанным это означает, что <р~1{В) = А. Осталось
проверить инъективность tp~x. Достаточно показать, что если В € В
и В Г\ D = 0, то В = 0. Здесь будет использована счетная
независимость At-
Предположим сначала, что В имеет вид В = {(xt)teT- ^t< 6 #t},
где {ti} — конечное или счетное множество и Bi € Аи- Множества
такого вида будем называть блоками. Если В непусто, то непусты все ??*.

430 Глава 10. Условные меры и условные вероятности
По условию существует точка х € H?i Д» что дает точку ъ BC\D. Для
завершения доказательства покажем, что всякое множество из В
является объединением (возможно несчетным) семейства блоков.
Обозначим через Bq подкласс в В, состоящий из всех множеств, для которых
это верно. Поскольку Во содержит все блоки, то для доказательства
равенства Во = В достаточно показать, что Во является монотонным
классом. Очевидным образом Во допускает любые объединения. Пусть
Вп € Во и В„+1 С Вп для всех п. Для каждой точки х ? В := H^Li &п
и каждого п имеется содержащий ее блок Сп{х) С Вп. Множества
С(х) := П^=1 Сп(х) являются блоками и в объединении по х 6 В
дают В, ибо С(х) с В. Итак, Во — монотонный класс, следовательно,
Во = В. ?
Отметим, что в независимых <г-алгебрах At общими могут быть
лишь пустое множество и все X (в противном случае А П (Х\А)
было бы непусто). Поэтому меры /^ сразу дают корректно определенную
единую функцию множества на всех At (как это и предполагалось в
работе Банаха). Однако возможность дальнейшего продолжения совсем
не очевидна.
Для независимых случайных величин имеются так называемые
законы 0 — 1, обсуждаемые в §10.10(iv), и законы больших чисел,
обсуждаемые в §10.10(v).
10.10(ii). Дезинтегрирования
В этом пункте приведены дополнительные сведения о
дезинтегрированиях.
10.10.5. Лемма. Пусть (У,95,1/) — вероятностное
пространство, мера и обладает компактным приближающим классом, X с Y —
множество с v*(X) = 1, 5 = 95х и ц = v\x (см. гл. 1 про сужение
мер). Обозначим а-алгебру, порожденную 95 и X, через 95, а через v
обозначим меру на 95, заданную формулой v(A) — ц,(А Г) X), А е 95.
Предположим, что мера V на (У, 95) обладает дезинтегрированием
относительно 95. Тогда мера /к имеем компактный приближающий
класс.
Доказательство. Как мы знаем, можно найти компактный класс
? С 95, приближающий меру v и при этом замкнутый
относительно счетных пересечений. По условию, мера и имеет дезинтегрирование
{95У,Р( ¦ ,у)} еУ относительно 95. Положим
К = {кe$\3L?C: К = ЬПХ&$y,v{K,y) = 1,Vуех}.
Ясно, что класс К замкнут относительно счетных пересечений.
Покажем, что К — компактный класс. Пусть множества Кп е К. убывают и

10.10. Дополнения и задачи 431
D?Li Кп = 0- Для каждого п найдем такое Ln G С, что L„ П X = Кп,
причем Кп G 3j/ и V(Kn,y) = 1 для всех у € Ln. Можно считать,
что множества i„ убывают, перейдя к ПГ=1-^» и воспользовавшись
вложенностью Кп и замкнутостью С относительно пересечений. Тогда
П^=1 Ln = 0- Действительно, если у € fl^Li Ln, то по определению Ln
приходим к следующему противоречию:
1 = Jim ЦКп, у) = !?( f| #„, у) = i/@, У) = О-
Следовательно, существует такое т, что Lm = 0, откуда Кт = 0.
Итак, К — компактный класс.
Теперь покажем, что К. приближает fi. Пусть А G $ и е > 0. Найдем
Bi € 23 с Si Л X = А. Выберем Li € ? с Li С Bi так, что i/(Bi\ii) <
е/2. По определению имеем Li П X € Зу ЯД» Р-п.в. у G L\ и
/ P(L! П X, у) v{dy) = /i(ii П X) = Kbi)-
./Li
Значит, существует множество Вг G 95 с Вг С L\ и i/(?i\B2) = 0, для
которого L\ П X е gj, и P(Li П X, у) = 1 при всех у G Вг. Затем найдем
множество 1,2 € С с 1,2 С В2 такое, что v(B^\L2) < е/4, и множество
Вз G 35, для которого
B3CL2, v(L2\B3) = 0, L2 П X € ?„ и г/(?2 П X, у) = 1 при у G В3.
Продолжая построение по индукции, мы получим две
последовательности множеств Вп G 95, Ln G С, такие, что
Bn+i С Ln С Bn, i/(L„\Bn+i) = 0, v{Bn\Ln) < е2~п, Ln П X G ?„.
P(Ln П X, у) = 1 при всех у G Bn+i.
Положим L = p?Li i« = fl^Li В„ и А" = ?Г)Х. Тогда AT G 3 и if С A.
Для всех yel имеем К G j„ и Р(А", у) = lim t/(?„nX, y) = 1. Поэтому
К G К.. Наконец,
ц{А\К) = ^(BX\L) = ? *(Bn\Bn+1) < e.
Лемма доказана. ?
Следующий глубокий результат был получен в работе РасЫ [1328].
Вопрос о его справедливости долго оставался открытым, несмотря на
весьма элементарную формулировку.
10.10.6. Теорема. Предположим, что (Х,3, ц) — такое
вероятностное пространство, что в # имеется компактный класс,
приближающий /i. Пусть 3* — под-о-алгебра в $. Тогда в #* также имеется
компактный класс, приближающий /х|у».

432 Глава 10. Условные меры и условные вероятности
Доказательство. Обозначим через цо сужение ц, на #*. Ввиду
наличия компактного класса мера ц имеет относительно #*
дезинтегрирование {5х! М • > х)}х€х- Для каждого х G X положим
Нетрудно проверить, что {$1,ц,(-,х)}хех — дезинтегрирование ц
относительно У*. Теперь можно положить У = X, v = ц, 23 = $* и
применить доказанную выше лемму, согласно которой мера ^0 на #*
имеет компактный приближающий класс. ?
Роль условия компактности в существовании дезинтегрирований
в случае произведения пространств была исследована в работе РасЫ
[1328], где рассматривались несколько иные дезинтегрирования (см.
также Edgar [697], Valadier [1666]).
Пусть (Х,Л,ц) и (Y,B,v) — два вероятностных пространства и
пусть А — такая вероятностная мера на Л ® В, что А о ттхх = ц и
А о яу1 = и, где жх и 7Гу представляют собой, соответственно,
проекции X х У на X и У. Семейство {y4j/,%}, t/ е У, называется i/-
дезинтегрированием меры А, если
1) для каждого у € У класс Лу есть (т-алгебра в X, а /ху —
вероятностная мера на Лу;
2) для каждого А с Л существует такое множество Z С В, что
v{Z) = 0, АеЛу для всех у € У\2 и функция у н-> /^(А) на (У\?, В)
измерима;
3) для всех А € Л и В € В имеем
J ^(A)u(dy) = X(AxB).
10.10.7. Замечание. Предположим, что Y = X и В с Л. Пусть
v — сужение fj, на В. Возьмем в качестве А образ меры (j, при
отображении х •-> (х,х). Тогда дезинтегрирование {Ax,fi(-,х)}х&х меры
/х относительно В в смысле определения 10.6.1 существует в точности
тогда, когда существует ^-дезинтегрирование {2Ц,,/х(- ,у)}у^у меры А
(задача 10.10.54).
Следующий результат (см. доказательство в [1328, теорема 3.5])
усиливает теорему 10.4.10.
10.10.8. Теорема. Предположим, что в описанной выше
ситуации пространство (Y,B,u) полно и (л обладает компактным
приближающим классом К. С Л. Тогда существует ^-дезинтегрирование
{Лу,цу}, у € У, меры А, такое, что 1С С Лу для всех у. Если класс
К, замкнут относительно конечных объединений и конечных
пересечений, то такое дезинтегрирование может быть выбрано с тем
дополнительным свойством, что К. приближает цу для каждого у.

10.10. Дополнения и задачи
433
Согласно следующему важному результату из [1328],
существование компактного приближающего класса необходимо для
существования дезинтегрирований для всех возможных А.
10.10.9. Теорема. Пусть пространство с мерой (X, А,ц)
обладает следующим свойством: для каждого полного вероятностного
пространства (Y, В, v) и каждой меры А на А®В с Аотг^1 = ци Аояу1 = v
существует v -дезинтегрирование. Тогда ц имеет компактный
приближающий класс К. С А.
Из этой теоремы и результатов §10.6 следует, что класс мер ц,
допускающих ^-дезинтегрирование для всякой меры и, совпадает с
классом мер ft, которые допускают дезинтегрирование в смысле
определения 10.6.1 (ибо в обоих случаях получаем класс компактных мер).
Прямое доказательство совпадения этих двух классов дано в работе
Remy [1425].
Согласно работе Сазонов [277, теорема 7], аналогичные результаты
справедливы для совершенных мер.
10.10.10. Теорема. Пусть Р — совершенная вероятностная
мера на пространстве (X,S) и пусть Si, Si — две а-алгебры измеримых
множеств, причем <Si — счетно-порожденная. Тогда существует
такая функция р( ¦, ¦): Si х X —> [0,1], что
(i) функция х i-> р(Е, х) Sz-измерима для каждого Е € S\\
(ii) Е у-* р(Е,х) — совершенная вероятностная мера на Si для
каждого х е X;
(Ш) для всех Е eSi и В е <5г имеем
Р(ЕAВ) = [ p(E,x)P(dx).
Jb
Доказательство. Достаточно вспомнить, что совершенная мера
обладает компактным приближающим классом на всякой счетно-поро-
жденной под-<т-алгебре (см. теорему 7.5.6). D
10.10(iii). Сильные лифтинги
В более специальных случаях (например, для отрезка с мерой
Лебега) существует лифтинг с более сильными свойствами.
10.10.11. Определение. Пусть X — топологическое
пространство ufi— борелевская (или бэровская) мера на X, положительная на
непустых открытых множествах. Будем говорить, что L —
сильный лифтинг С°°(ц), если L — лифтинг со следующим свойством:
L(f) = / для всех / е СЬ(Х).
10.10.12. Теорема. Сильный лифтинг существует в случае
меры Лебега на отрезке.

434 Глава 10. Условные меры и условные вероятности
Доказательство. Вытекает из примера 10.5.3 с учетом
очевидной модификации леммы 10.5.2. П
Существование сильного лифтинга на пространстве влечет
существование измеримых селекции некоторого вида для отображений в
это пространство. Известно, что сильный лифтинг существует, если
X — компактное метрическое пространство (см. А.& С. lonescu Tulcea
[959]). Долгое время было неизвестно, можно ли опустить
предположение метризуемости. Ответ оказался отрицательным: В. Лозерт [1166]
построил свой известный контрпример.
10.10.13. Теорема. Существует радоновская вероятностная
мера на компакте вида X = {0,1}г, которая положительна на
непустых открытых множествах и не имеет сильного лифтинга.
Существуют сильные лифтинги, не являющиеся борелевскими (см.
Johnson [995]).
Следующий результат (см. А.& С. lonescu Tulcea [959, теорема 3,
с. 138] устанавливает тесную связь между сильными лифтингами и
собственными регулярными условными мерами.
10.10.14. Теорема. Пусть Т — компактное пространство и \х —
положительная радоновская мера на Т с supp/i = Т. Тогда следующие
утверждения равносильны:
(i) существует сильный лифтинг для /х;
(ii) для каждого набора {S, v, я"}, где S — компактное
пространство с положительной радоновской мерой v и 7г: S —> Т —
непрерывное отображение S наТ с fi = von-1, существует такое
отображение t ^ \t пространства Т в пространство Vr(S) радоновских
вероятностных мер, что функции t н-> Xt(E), Е € B(S), fi-измеримы
(a) v{E) = [ А4(?)/х(<Й), Е е B(S);
(b) suppAt С 7г-1(?) для каждого t G Т.
10.10(iv). Законы 0-1
Законами 0 — 1 @ или 1) называют утверждения о том, что при
определенных условиях всякое множество некоторого класса имеет
вероятность либо 0, либо 1. Рассмотрим несколько примеров. Важнейшим
из них является следующий закон 0 — 1 Колмогорова. Для этого
рассмотрим измеримые пространства (Xi,Ai), г € IN, и их произведение
X = rKi^i с ^-алгеброй Л = 0*jA- Положим Хп := ®°^п+1 А,
и X := Hnii Хп- Д1 X употребляются следующие названия:
хвостовая «т-алгебра, остаточная сг-алгебра, асимптотическая <т-алгебра.

10.10. Дополнения и задачи
435
В X входят те множества, которые не меняются при
преобразованиях пространства X, затрагивающих лишь конечное число координат.
Характерными примерами множеств из X являются множества
L:— {хеН°°: 3 lim хп}, S:={x€M°°: limsupxn < оо}.
10.10.15. Теорема. Пусть щ — вероятностные меры на (Xi,Ai)
и /i = <Е>~1 М»- Тогда для всякого Е € X имеем либо ц{Е) = 1,
либо fi(E) = 0. В частности, всякая X-измеримая функция п.в. равна
некоторой постоянной.
Доказательство. В силу следствия 10.2.4 функции
/ /я(Х1,...,Х„,Хп+1,...) (??) ^jt(d(xn+i,xn+2,...))
^ fc=n+l
сходятся к 1е п.в. и в bx(/i). При Е € X эти функции являются
постоянными, поэтому 1е п.в. совпадает с постоянной. Ясно, что такая
постоянная может быть лишь 0 или 1. ?
В качестве применения доказанной теоремы укажем, что в случае,
когда на Ш°° задана мера /х, равная счетному произведению мер на
прямых, то можно утверждать, что для заданной последовательности
чисел Сп > 0 либо предел lim с„хп существует для п.в. х, либо для
п.в. х такого предела нет. Разумеется, теорема не говорит, какой из
двух случаев имеет место, но иногда бывает полезно знать, что
никаких других случаев не может быть. В вероятностных терминах это
означает, что для последовательности независимых случайных
величин хп указанный предел либо почти наверное существует, либо почти
наверное его нет. Вообще, какие-либо асимптотические свойства
последовательностей независимых случайных величин — типичный объект
приложения законов 0 — 1.
В случае, когда все (Хп,Лп) совпадают с пространством (Xi,Ai),
еще одна интересная сг-алгебра, называемая симметричной, задается
равенством S := D^Li &п, где Sn — ст-алгебра, порожденная всеми Л-
измеримыми функциями, инвариантными относительно перестановок
xi,...,х„, т.е. такими функциями /, что
/(Xi, . . . ,Xn,Xn+i,. . .) — f(xa(i),. . .,X^n),Xn+i, ...)
для всякой перестановки а множества {1,...,п}. Ясно, что Хп с <S„
и потому X С S. Включение это является, однако, строгим.
Действительно, рассмотрим множество
Е= {хеИ00:
|>
= 0 для бесконечно многих п

436 Глава 10. Условные меры и условные вероятности
Тогда Е е S, но Е g X, ибо точка (—1,1,0,0,...) входит в Е, а
отличающаяся от нее лишь первой координатой точка @,1,0,0,...) не
входит. Оказывается, что для некоторых классов мер S и X совпадают
с точностью до множеств меры нуль.
Меру ц на Л будем называть инвариантной относительно
перестановок или симметричной, если она инвариантна относительно всех
преобразований X вида (xt) t-> (хаф), где а — перестановка IN,
перемещающая лишь конечное число элементов. Примером такой меры является
произведение одинаковых мер fin на (Хп,Ап)-
Следующее утверждение — закон 0 — 1 Хьитта и Сэвиджа.
10.10.16. Теорема. Пусть /х — вероятностная мера на Л,
инвариантная относительно перестановок координат. Тогда Е* = Е5 на
пространстве Х1(/х).
В частности, если ц является произведением одинаковых мер цп,
то для всех Е eS имеем либо ц{Е) — 1, либо ц(Е) = 0.
Доказательство. Достаточно проверить, что Es/ = Е*/ п.в.
для всякой ограниченной измеримой функции /, зависящей от
координат Xi,i < п, ибо такие функции плотны в L1 (/х), а операторы ТЕХ и Е5
непрерывны на L1^). При к > п положим Д(э;) = f(xi+k,-.-,xn+k).
Заметим, что Д(ж) = f{xa(\),- ¦ • )?<r(n))> гДе °~ ~~ перестановка
множества {1, • - -, п+к}, меняющая местами t и г + к, i = 1,..., п, и
оставляющая на месте элементы п +1,..., к. Из инвариантности ц, относительно
таких преобразований и критерия Валле-Пуссена очевидна
равномерная интегрируемость последовательности {Д}. Следовательно,
существует подпоследовательность Д^, которая сходится к некоторой
функции g ? Lx(fi) в слабой топологии L1^). Тогда E5/fej -» Е55 в слабой
топологии. Функция Д не зависит от х\,...,Хк, т.е. измерима
относительно Хк- Поэтому функция g п.в. равна некоторой .^-измеримой
функции h. Поскольку X С S, то получаем, что TEsg = h = g п.в.
С другой стороны, Е Д = Е / п.в. в силу инвариантности ц. Итак,
Е5/ = ТЕ g = g = h п.в. Из включения X с S и Л'-измеримости h
получаем Е / = Е / п.в. Последнее утверждение вытекает теперь из
колмогоровского закона 0 — 1. ?
Доказанная теорема означает, что для всякого множества Е € 5
имеется множество Е' G X с ц{Е Д Е') = 0. Действительно, 1е{х) =
Шх1е(х) п.в. и в качестве Е' можно взять Е' = {х: Шх1е(х) = l}.
Если дана последовательность независимых случайных величин ?„
на вероятностном пространстве (П, Т, Р), то ряд Yln°=i €* либо п.в.
сходится, либо п.в. не сходится. Следующая „теорема Колмогорова о трех
рядах" позволяет определить, какой именно из двух случаев имеет
место. Доказательство можно прочитать в книге Ширяев [367]. Положим

10.10. Дополнения и задачи
437
?(«) = €»И, если |СпН| < с, ?(w) = 0, если &,И| > с. Через Е?
будем обозначать математическое ожидание (интеграл) случайной
величины ?.
10.10.17. Теорема. Пусть {?„} — последовательность
независимых случайных величин на вероятностном пространстве (П, Т, Р).
Для сходимости п.в. ряда $3 ?п необходимо, чтобы для всякого с>0
сходились ряды
f]P(|€„|>C), ?jE?, f)E(?-E?J
п=1 п=1 п=1
и достаточно, чтобы эти ряды сходились при некотором с> 0.
10.10.18. Пример. Пусть случайные величины ?„ независимы.
(i) Если |?п| ^ с для некоторого с > 0, то необходимым и достаточным
условием сходимости п.в. ряда" ^ ?п является сходимость двух рядов с
общими членами Е?„ и E(f„—Е?„J- Если же еще Е?„ = 0, то остается
лишь сходимость ряда с общим членом Е?2.
(ii) Если Е?„ = 0 и сходится ряд с общим членом Е?2, то п.в.
сходится ряд ? ?»»• Действительно, при этом условии сходимость ряда
из P(|f„| ^ 1) следует из неравенства Чебышёва. Сходится также ряд
из Е|?* |2, что ввиду неравенства Коши-Буняковского дает сходимость
ряда из |Е?* |2, так что сходится и ряд из Е(?* - Ef *) . Впрочем, этот
частный случай обычно доказывается перед теоремой о трех рядах и
используется в ее доказательстве.
(Ш) Ряд 53 ?п пн- сходится в точности тогда, когда сходится ряд
J2 E(f2/A + ?2)). Действительно, из сходимости последнего ряда
следует сходимость п.в. ряда из ?2/A + f2,), которая, как легко видеть,
равносильна сходимости ряда из ?2. Если же п.в. сходится ряд из ?2,
то п.в. сходится и ряд из равномерно ограниченных величин ^/A+Сп)>
что согласно (i) дает сходимость их математических ожиданий.
Для различных специальных классов мер и множеств имеются и
другие законы 0 — 1, основанные на специфике рассматриваемых
объектов. См. Богачев [42], [500], Смолянов [291], Buczolich [534], Dudley,
Kanter [689], Femique [734], Hoflmann-J0rgensen [942], Janssen [968],
Takahashi, Okazaki [1605], Zinn [1752], а также задачу 10.10.64.

438 Глава 10. Условные меры и условные вероятности
10.10(v). Законы больших чисел
Закон больших чисел — это утверждение о сходимости
нормированных сумм (?i + • • • + ?n)/n для заданной последовательности
случайных величин. Такого рода результаты составляют обширный
раздел теории вероятностей (см. Лоэв [196], Петров [242], Ширяев [367],
Revesz [1430] и имеющиеся там ссылки). В качестве примера приведем
следующую теорему Колмогорова.
10.10.19. Теорема. Пусть случайные величины ?п независимы,
одинаково распределены и интегрируемы. Тогда последовательность
(?i Н + ?п)/п п.н. сходится к математическому ожиданию ?i.
Мы докажем закон больших чисел в другом случае, который будет
использован затем в доказательстве теоремы Комлоша,
сформулированной в гл. 4.
10.10.20. Теорема. Пусть (О, Р) — вероятностное
пространство, {?„} С L2(P), Е(?„|?ь... ,?n-i) - условное математическое
ожидание ?п относительно а-алгебры, порожденной ?i,...,?n-i- Пусть
Ci := ii - JE6, Си := & - E(?»|fc, • • •, ?»-i) при " > 2- Тогда
(i) для всех е > 0, т = 0,1,... u п € IN WAteejt*
j=l fc=m+l
(ii) если 51 Щ& _ ЩкJ < °°, то V*d ?) Cfc сходится п.в.;
fc=i fc=i
(Ш) если ? AT2lE(ffc -EffcJ < сю, mo lim n f (t=0 п.в.
fc=i n_,oc> fc=i
Доказательство, (i) Пусть e > 0, m e {0,1,...} и n € IN
фиксированы,
m+fc
^ == {*= «-^ E x0| > e}, Щ := Cn+1 + ¦ ¦ • + Cn+b
At := {x: |ih(x)| <?,•••, |»ft_i(x)| < e, |ifc(x)| ^ e}.
Тогда ^4j C\Aj = 0 при i/jhA = U*=i -^fc- Заметим, что функции Q
взаимно-ортогональны в L2(P). Более того, легко проверить, что для
г < j и всякого множества В из ст-алгебры, порожденной ?i,... ,?j_i,
имеем (JsCii 0)l2(p) = 0. В частности, для всякого k < п имеем
(CjjAkVk)mp) =0, j = к + 1,..., п.

10.10. Дополнения и задачи
Поэтому
Г vldP= [ r,2kdP+ [ (Vn-r)kJdP + 2 f (Vn-Vk)mdP
JAk JAk JAk JAk
= f nldP+ f (vn-r,k)*dP> I 4dP>e2P(Ak),
JAk JAk JAk
откуда e2P(A) < ? f rfcdP < ? *&•
Jfc=m+1JA" fc=m+l
(ii) Пусть am(x) := sup|7/m+fc(x) - »7ro(x)|, a(x) := inf am(x). Если
к m
a(x) = 0, то существует конечный предел lim щ(х). Поэтому
достаточно показать, что а(х) = 0 п.в. В силу A0.10.1) при т <п имеем
Р(х: sup |7?m+fe(x)-7b,(x)|^?)<i JT Щ1
Следовательно, для всех т получаем
р(х: а(х) > е) < р(х: а^х) > е) < 1 ? E<fc2.
Заметим, что ТЕ?% < Е(& — Е&J, ибо & является ортогональной
проекцией ?к на замкнутое линейное подпространство в L2(P),
образованное функциями, измеримыми относительно ег-алгебры, порожденной
6,...,6-1.
(iii) Если (ii) применить к функциям ffc/fc, то получим сходимость
Ylk^i fc-1Cfc пв-> что в силу известной леммы Кронекера дает нужное
заключение. П
10.10.21. Следствие. Пусть
Г ?dP <оо, lim E(?n|fi,...,?n_x) = 0 п.в.
S"X*
Тогда lim п *(?i + • • • + ?n) = 0 п. е. В частности, это верно, если
?t € L2(P) независимы и имеют нулевые средние.
Теперь мы располагаем всем необходимым для доказательства
теоремы Комлоша.
10.10.22. Теорема. Пусть (Л — вероятностная мера и {?„} —
ограниченная в Ьг{р) последовательность. Тогда найдутся такая
подпоследовательность {т)п} в {?„} и такая функция п ? ix(/u), что для

440 Глава 10. Условные меры и условные вероятности
всякой подпоследовательности {т)'п} в {пп} почти всюду выполнено
равенство lim n_1(?7i(x) Ч 1- rf'n(x)) = п(х).
Доказательство. Основная идея доказательства — добиться
выполнения условий теоремы 10.10.20. Сначала мы покажем, как выбрать
из {?„} подпоследовательность {пп} со сходящимися средними
арифметическими, а затем укажем необходимые изменения, чтобы охватить
также и все подпоследовательности в {пп}. С самого начала можно
считать (перейдя к подпоследовательности), что
f>(|*„| > п) < оо. A0.10.2)
Для каждого к последовательность ?„д := ?nI[-k,k] ° ?п ограничена в
L2(n) и потому обладает слабо сходящейся подпоследовательностью.
С помощью стандартной диагональной процедуры выберем в {?„}
такую подпоследовательность {?^}, что для каждого фиксированного к
последовательность ?'п к = ?nl[-k,k] ° ?п ПРИ п ~* °° слабо сходится в
L2((i) к некоторой функции Рк- В силу предложения 4.7.30 существует
такая функция п е -L1^), что
fclim/3fc(x)=f/(x) п.в. и fcHm ||А-1/||Ь1(д)=0. A0.10.3)
Из {?'п} можно выделить подпоследовательность {?п }, для которой
при некотором р\ G [0,1]
nUm /*@ < |&Ц | < l) = Pi, у < /i@ < |&ч1 < l) < Pi + 1, Vn G IN.
По индукции при каждом к € IN строим последовательность {?п } так,
что {&к)} С {^ife_1)} и для всех пбИ
nlim M(fc-1 < |tf>| < *) = ft, f <#*(*-1 < |tf}| < *) <ft + ?f,
где 0 < рк ^ 1. Положим ?п = ?„ . Тогда для {Сп} и всякой ее
подпоследовательности имеем
lim ц(к - 1 < |Сп| < *) = Рк, Vit G IN, A0.10.4)
^^Ai(fc-K|Cn|<*) <ft + ^, VnGJN, * = l,...,n2. A0.10.5)
Из последнего неравенства получаем
^крк < 2^fc/i(fc- 1 ^ |C„| < fc) < 2(||C„IUio.) + 1) < 2C + 2,
fe=i fc=i

10.10. Дополнения и задачи
где С := sup ||?n||i,i(/i)' откуда
Y^kpk^2C+2. A0.10.6)
Пусть теперь {г]п} — произвольная подпоследовательность в {?„} и
т}п := »;„/[_„,„.] о г)п. Покажем, что
Е n_2H^nll2 < 4С* + 8. A0.10.7)
Действительно, в силу A0.10.5) имеем
iiwnin < Е *М* -1 < hni < fc) < е к2(рк + к-%
fc=l к=1
что ввиду A0.10.6) с учетом оценки ^Г, п~2 ^ 2fc_1 дает
п=к
Х>-2ы1 <EE""?fe+r3) - Efc2(pfe + fc-3)En-2
<2Efc(pfc + fc-3)<4C + 8.
Аналогично A0.10.7) доказывается оценка
Е »~2Н &11з < 4С + 8. A0.10.8)
Действительно, пусть ?„,? := Cn^[-fe,fc] °Сп- При т>пв силу A0.10.5)
имеем
||Ст,»Щ < Efc2/i(fe - 1 < |Ст| < к) < Е *'(?* + к~%
откуда Ц/^пЩ ^ X) к2{рк + к~3) в силу слабой сходимости ?т<п —> /Зп
при m —> со. Поэтому, как и выше, приходим к A0.10.8). В силу
неравенства ц(г]п ф rjn) = /х(|т7„| > п) и A0.10.2) имеем ]Г) ц(г)п ф rjn) < со.
По лемме Бореля-Кантелли (см. задачу 1.12.77) для почти i

442 Глава 10. Условные меры и условные вероятности
получаем г)п(х) = rjn(x) при всех п > п(х). Значит, равенства
Mtejon_1 ^Z^fe=ч) =х и ^О^о sЧ*=ч) =!
равносильны. Ввиду A0.10.3) нам достаточно добиться того, чтобы для
7* := Vk — Рк выполнялось с
pQtox^ п'1 ]Г 7й = О) = 1. A0.10.9)
n~*°° fc=i
Для этого из {?„} выберем подпоследовательность {т}п} нужным
образом. При а > 0 положим
Ga{t) = ак, если ак < t < ак + а, к е Z.
Пусть т/1 = Ci, 71 = 'fc-ff-i.i] om ~ (h, Vi = <?i/2 ° 7i- Функция 7i
ограничена и потому функция r/i принимает лишь конечное множество
значений и порождаемая ей <т-алгебра конечна. Пусть A\t\,... ,Aiin1
— все множества положительной меры из этой «т-алгебры. Положим
?i = minijgk^AT! fx(Aitk)- При m —> со последовательность ?m,2 слабо
СХОДИТСЯ В L2(fi) К $2, ибо Cm,fc = ?m,fc При 7П ^ fc2 В СИЛу Выбора Г)п.
Найдется такое тг, что
/ (Ст.2-А)**|<?г, Vfc = l,...,JVi, Vm^m2.
I-Mi,k I 2
ПОЛОЖИМ 7/2 = Cm2i 72 = Щ ~ ^[-2,2] °% ~ $2 И T/2 = Gei /4 °72- ПОСКОЛЬКУ
функции 7/i и 7/2 принимают лишь конечные множества значений, то
порожденная ими и-алгебра конечна. Пусть Лгд,-. • ,A2,n2 ~~ все ее
множества положительной меры. Положим ?2 = mini^fc^.fv2 /ф4.2,*)- Как и
выше, последовательность функций Ст,з - (h слабо сходится к нулю в
L2(fi) и потому найдется тпз > тп,2 с
I/.
1С»-А)Ф<Т- Vfc = l,...,^2, Vm^m3.
Полагаем т/3 = Сш3, 7з = »7з/[-з,з] °т-/Зз,Чз= GE2/s °7з и продолжаем
построение индуктивно. Пусть
т)п := Ст„, 7п := r/„J[_n,n] о т/п - /Зп, г)'п := G?n_l/2« о 7„
и ?п — конечная <т-алгебра, порожденная функциями t/J,. .. ,t/^_i.
Таким образом, получаем такие номера тпп > mn_i, что при m ^ гап
I/ «т.»-А,)ф|<—, Vfc = l,...,JV„.
A0.10.10)

10.10. Дополнения и задачи
где An-itk — все множества положительной меры из ?п и e„-i =
minisgib^jv,,-! K-An-i,k)- Покажем, что выполнено A0.10.9). Из
определения т)'п и Ge„_!/2" следует, что 0 < 7n_ Vn ^ ?n-i2_n < 2~п. Поэтому
0 7i + ---+7n _ г,'1 + --- + у'п 1
^ n п """ га'
Итак, достаточно установить, что {rfx Л (- т^)/га -» 0 п.в. Это будет
сделано с помощью теоремы 10.10.20. В силу A0.10.7) и A0.10.8) имеем
X) п~2||7п|Ц < оо. Поэтому ?3 ra~2||»7nll2 < оо. Остается проверить,
что для условного математического ожидания относительно <т-алгебры
Лп-1, порожденной ¦/][,...,^_15 имеем lim Е-4"-1^ = 0 п.в.
Для этого с помощью A0.10.10) получаем почти всюду
|Е*~Ч1 < max niA^uJ-Af i?<d
^ e»-i I / 7n d/x| + e„-i I / К - 7n] <*J
l-M„-i,k I |JA,_i,i I
< en-in-^-ii + e-IjIK - 7n||i ^ n-1 4- 2~n.
Теперь ясно, как надо усовершенствовать рассуждения, чтобы к ц
сходились и средние арифметические любых подпоследовательностей
в {Vn}, а не только самой этой последовательности. Для этого при
индуктивном построении г)п будем находить также и положительные
числа ipn следующим образом. Пусть ц>\ = 1/2. Вместо одной
функции 77n-i будем рассматривать всевозможные наборы F„_i функций
GVl/2it о (rn,n-i — @n-i), 1 < I < п — 1. Конечная ег-алгебра,
порожденная функциями из набора F\,..., -Fn_i, обозначается через An-i,
а минимум мер множеств положительной меры из Ап-\ обозначается
через <рп. Затем найдем такие номера т,,,*, что для всякого множества
A е An-i выполнено неравенство
««.* - &)Ф < <Рпк~\ Vm > m„,fc.
Наконец, положим т„ = maxi<gfe<jn mn^ и Цп, = ?тп. Как и выше,
проверяется, что {т)„} — искомая последовательность. ?
Скажем о дальнейших усилениях теоремы Комлоша.
Последовательность чисел sn называют суммируемой к s € [0, +оо] по Чезаро,
если (si + • • • + sn)/n —> s. В работе Berkes [465] показано, что
подпоследовательность в теореме Комлоша может быть выбрана так, что
все ее перестановки также будут суммируемы по Чезаро. В работе von
I/.

444 Глава 10. Условные меры и условные вероятности
Weizsacker [1702] исследован вопрос о том, сколь существенна
интегрируемость функций ?п и равномерная ограниченность их норм. Простые
примеры показывают, что полностью отбросить это условие нельзя.
Однако некоторое продвижение в этом направлении возможно. Например,
очевидно, что достаточно выполнения условия по отношению к
некоторой мере, эквивалентной мере ц. Это простое наблюдение заметно
расширяет круг охватываемых последовательностей. Удивительно, что
для неотрицательных ?„ это дает максимальное расширение теоремы
Комлоша, если допускать лишь конечные предельные функции.
Сформулируем соответствующий результат фон Вайцзекера [1702].
10.10.23. Теорема. Пусть {?„} — последовательность
неотрицательных измеримых функций на некотором вероятностном
пространстве {0,,Т,Р). Тогда существуют такие измеримая функция ?
со значениями в [0,-t-oo] и подпоследовательность {?„fc}> что всякая
перестановка {?Пк} п.в. суммируема по Чезаро к ?, причем
последовательность {%<оо}?пЛ ограничена в L}(Q) для некоторой
вероятностной меры Q, эквивалентной Р.
В работе Talagrand [1614] рассмотрены „устойчивые классы"
функций на вероятностном пространстве (Х,А,ц). Одно из равносильных
описаний устойчивого класса S равномерно ограниченных измеримых
функций состоит в следующем:
1 k Г
limsupl-?/(*«)-/ /dJ=0
fc-»oo feS\ k ^ Jx I
для п.в. (xi) ? X°° относительно счетной степени /г.
10.10(vi). Гиббсовские меры
Фундаментальная теорема Колмогорова позволяет строить меры
на бесконечномерных пространствах по их конечномерным
распределениям. Здесь рассматривается в некотором смысле двойственная
задача построения мер по их условным распределениям на
конечномерных подпространствах. Предположим, что задано некоторое
бесконечное множество индексов 5 (обычно в приложениях S — счетное
множество типа целочисленной решетки Zd), причем для каждого s е S
задано измеримое пространство (XS,B3). В типичных приложениях Xs —
множество в Жп или в каком-нибудь многообразии. Как обычно,
через Xs будем обозначать пространство всех наборов х = (a;s)ses, где
х8 S Xa. Если все Xs совпадают с одним и тем же пространством X, то
Xs — обычная степень. Для каждого подмножества Л С S через ХЛ
обозначается класс всех наборов х = (xs)aeA с xs е Xs. Пространство

10.10. Дополнения и задачи 445
ХА наделяется ег-алгеброй В\, порожденной координатными
отображениями 7rSi: (ха)вел •-»• xSi, Si € Л, из ХА в (XSi,BSi). Через 7г# будем
обозначать естественную проекцию Xs на Xе для всякого Е С S.
10.10.24. Определение. Пусть для каждого конечного
множества Л С 5 задана переходная вероятность РА( ¦, •) на В а х Xs\a.
Будем говорить, что вероятностная мера Р на Bs является гибб-
совской с условными распределениями РА, если для каждого конечного
А С S справедливо равенство
Р{В) = / РА(В, у) Р о тг-Л^у), В € Bs. A0.10.11)
Первые вопросы, возникающие в связи с данным определением,
состоят в том, когда существуют гиббсовские меры и единственны ли они.
Разумеется, в теории гиббсовских мер есть множество более тонких
вопросов. Следует отметить, что эта теория, возникшая сравнительно
недавно и богатая нерешенными задачами, представляется весьма
многообещающим полем приложений современной теории меры.
Рассмотрим „конечномерный" случай, т.е. восстановление меры на конечном
произведении по ее условным мерам.
10.10.25. Пример. Пусть (Xi,Bi,Ai) и (Х2,В2, А2) —
вероятностные пространства и /х — мера на Х\ х Х2, заданная положительной
плотностью / относительно меры Ai<g)A2. Пусть Bi содержат все
одноточечные множества. Тогда мера (i однозначно определяется по условным
мерам /х1( •, х2) на Х\ х {х2} и условным мерам /х2( •, xi) на {х\} х Х.
Доказательство. В силу задачи 9.12.34 проекция ц на Xi
задается плотностью 0i{xi) = / /(xi, х2) А2(<х"х2) относительно Ai. Проек-
Jx3
ция /х на Х2 задается плотностью ?г(ж2) = / f(xi,х2) X\(dxi) относи-
JXt
тельно А2. Кроме того, условные меры /х*( •,х2) на Х\ х{х2} задаются
плотностями V>i(xi,x2) := /(xi,x2)/f>2(x2) относительно меры Xi®SX2.
Условные меры ц2( ¦ ,xi) на {xi} хХ2 задаются плотностями
V>2(xi,x2) := /(x1)x2)/^i(xi)
относительно SXl ®А2. Таким образом, нам надо восстановить \l по паре
положительных функций ipi и V>2. Проинтегрируем функцию
^1(Х1,Х2)/^2(Х1,Х2)
по xi по мере Ai. В результате получим l/^2(x2). Таким образом,
функция Q2 однозначно восстановлена по функциям ^Hife. Теперь
однозначно восстанавливается и сама мера /х: ведь мы нашли ее проекцию
на Х2 и знаем условные меры при фиксированных х2. ?

446 Глава 10. Условные меры и условные вероятности
Отметим, что фактически нами была использована
положительность плотностей й и й и условных плотностей. Для бесконечных
произведений, однако, и этого мало (задача 10.10.60). Положительность
условных плотностей существенна.
10.10.26. Пример. Положим Ег = [0,1/2] х [0,1/2], Е2 = A/2,1] х
A/2,1], /i(xi,x2) = 2 при (хьх2) € Ei U Е2, /i = 0 вне Ei U Е2,
/г(х1,Х2) = 3 при (xi,X2) е Ei, f2(xi,x2) = 1 при (xi,x2) € Е2.
Тогда Д и f2 — различные вероятностные плотности на [0,1]2, причем их
проекции на стороны квадрата имеют строго положительные
плотности относительно меры Лебега. Однако обе меры имеют равные
условные меры на горизонтальных и вертикальных отрезках. Например, на
отрезках с ординатами х2 € [0,1/2] соответствующая общая условная
плотность равна 2/[0ii/2](?i), а на отрезках с ординатами х е A/2,1]
она равна 2/A/2,ij(a;i).
Задачи
10.10.27° Пусть Тп — возрастающая последовательность ст-алгебр,
порождающая Т, и |?„| ^ »7, где ц интегрируема. Предположим, что ?„ —> ? п.в.
Доказать, что Е^™^ —> ? п.в.
10.10.28° (Моу [1278], Rota [1469]) Показать, что если ц —
вероятностная мера на пространстве (X,F) и Г: Ьр(ц) —¦ Lp(ju) — такой линейный
оператор при некотором р G [1,оо), что ||Г|| = 1, Т1 = 1 и T(gTf) = TgTf
для всех д е Ь°°(ц), f € Lp(fj,), то существует под-<т-алгебра ? с F, для
которой Г/ = JEef.
10.10.29? (ТТТидак [363]) Пусть \i ~ вероятностная мера на пространстве
(X, J7) и М С L2(fi) — замкнутое линейное подпространство. Показать, что
следующие условия равносильны:
(i) 1 € М и max(f,g) € М для всех /,д <Е М,
(ii) существует такая под-<т-алгебра ? <Z F, что М = 1E?(L2(fi)).
10.10.30. (Zieba [1749]) Пусть (Х,А, ц) — вероятностное пространство,
В С А — под-сг-алгебра. Последовательность {т/n} измеримых функций
называется равномерно й-интегрируемой, если для всякой В-измеримой п.в.
положительной функции а существует такая В-измеримая функция /3, что
0(х) > 0 п.в. и supIE8(|77n|/{|I,„|>^}) < а п.в.
(i) Доказать, что если последовательность {?„} интегрируемых функций
такова, что последовательность функций ?% равномерно 23-интегрируема, то
limsupEB?„ < Ев limsup?„ п.в. Если же сама последовательность {?п}
равномерно В-интегрируема и сходится п.в. к ?, то Tim Ев?п = Ев? п.в.
(ii) Построить пример, показывающий, что обычной равномерной
интегрируемости & может быть недостаточно для справедливости (i).

10.10. Дополнения и задачи
447
10.10.31. (Blackwell, Dubins [480]) Показать, что если функции /„ ^ 0
интегрируемы относительно вероятностной меры /и и сходятся п.в. к
функции / € Ьг{ц), причем функция д := sup/„ не интегрируема, то можно
найти такие вероятностное пространство (П, !F,P), функции ipn,ip е Ь*(Р)
и под-ст-алгебру ? С IF, что последовательность (<р,ф1,'Р2>- ••) имеет то же
распределение, что и (/, /i, /г, • • •) (т.е. обе последовательности индуцируют
одну и ту же меру в Ш°°), причем Р(ш: lim Ef у>п(ы) = 1Е?(р(ш)) = 0.
10.10.32.° (ср. Крылов [176]) Пусть Е — борелевское (или коаналити-
ческое) множество в полном сепарабельном метрическом пространстве М и
D(E) — пространство всех отображений х: [0, +оо) —* Е, которые
непрерывны справа и имеют пределы слева. Через А обозначим наименьшую о-
алгебру в D(E), относительно которой измеримы все отображения х t-» x(t),
t ^ 0. Доказать, что для всякой вероятностной меры ц на А и всякой
пода-алгебры В С АплА существует регулярная условная вероятность
относительно В.
Указание: использовать то, что D(E) является коаналитическим
множеством в польском пространстве D(M) (см. теорему 6.10.18).
10.10.33° Пусть (X, А) и (У, В) — измеримые пространства, для каждого
х € X дана вероятностная мера цх на В, причем функция х >-> цх(В)
измерима относительно А при всех В & В. Показать, что для всякого Е е А® В
функция х t-> цх(Ех), Ех ¦= {у € У: (х,у) € Е}, измерима относительно А-
Указание: класс ? всех множеств Е е А<ЬВ с нужным свойством
является (т-аддитивным и содержит класс произведений А х В, А € А, В 6 В,
замкнутый относительно пересечений, поэтому ? = А®В (см. §1.9).
10.10.34. (BlackweU, RyU-Nardzewski [484]) Пусть X и У - борелев-
ские множества в польских пространствах, А — счетно-порожденная под-
ег-алгебра в В(Х). Предположим, что заданы множество S € A®B(Y) и
отображение х н-» цх из X в Р(У) такие, что для всех В 6 B(Y) функция
цх(В) измерима относительно А.
(i) Показать, что для всякого в ? [0,1) найдется такое множество Е €
A<SB(Y), что Е С 5, все сечения Ех := {у: (х,у) € Е} замкнуты и цх(Ех) ^
enx{Sx) для всех хеХ.
(ii) Пусть fix{Sx) > 0 для всех х €Х. Доказать, что S содержит график
некоторого (A, B(Y)) -измеримого отображения /: X —¦ У.
Указание: (i) Класс Т всех множеств из А <8> B(Y) с нужным
свойством допускает конечные объединения, счетные объединения возрастающих
множеств и счетные пересечения убывающих множеств. Например, пусть
F = (TLi F". F" €?, Fn+1 С Fn и в € @,1). По предыдущей задаче
функция ф: х к-> fj,x(Fx) измерима относительно ?. Пусть Xk := {(к + I)-1 ^
¦ф < fc-1}. Тогда в А®В есть такие Еп С i7 с замкнутыми сечениями, что
цх(Е2\Щ) К(к+ 1)_1A - 0J~п при а: е X*. Пусть Е := f|~=i #"- Тогда
Е С F и при //'(Г*) > 0 имеем
/*•<&) > Hx(Fx)[l - Е~ i /ЛМ^У/Л^)] ? e*i"(Fx),

448 Глава 10. Условные меры и условные вероятности
ибо fj,x(Fx\ES) < »X{F?\E2) ^ (к + 1)-\1-9J-п < (l-0J-nnx(Fx). Ясно,
что Т содержит множества вида Ах В, где А е А и В С Y замкнуто. Это
же верно и для дополнений таких множеств, ибо открытое множество в Y
есть объединение последовательности возрастающих замкнутых множеств,
(ii) Можно считать, что Y — полное сепарабельное метрическое
пространство. С помощью (i) можно найти множества S„ € А® В с S„+i С Sn С S,
сечения которых замкнуты, непусты и имеют диаметры не более 1/п в
метрике Y, поэтому П^=1 Sn есть график отображения /, причем это отображение
.4-измеримо; см. Blackwell, Ryll-Nardzewski [484], другой способ см. в Kechris
[1030, следствие 18.7].
10.10.35. (Blackwell, Ryll-Nardzewski [484]) (i) Пусть /л — борелевская
вероятностная мера на борелевском множестве X в польском пространстве
и / — борелевская функция на X. Доказать, что существование регулярных
условных вероятностей /iv, у G Ш1, которые при всех у Е f(X) сосредоточены
на /-1(у) и для которых все функции у >—> цу(А), А ? В(Х), являются бо-
релевскими, равносильно тому, что найдется отображение F: X —> X,
измеримое относительно «т-алгебры, порожденной /, и удовлетворяющее условию
/(*•(*)) = Дх).
(ii) Показать, что необходимым условием существования отображения F
в (i) является борелевость множества f(X). В частности, существует
непрерывное отображение / на борелевском множестве в [0,1], для которого нет
условных мер со свойствами, упомянутыми в (i).
Указание: в случае существования указанных условных мер применим
задачу 10.10.34 к X = У, взяв в качестве S множество всех (х,у) с /(х) =
/(у). Тогда f(F(x)) = f(x). При этом найдется борелевское отображение
д: Ш1 —> X с F(x) = g(f(x)). Поэтому образ / есть борелевское множество
{t: f(g(t)) = t}. Обратно, если F с перечисленными свойствами существует,
то положим цПх)(В) = 1 при х € F_1(B), цПх){В) = 0 при х g F~l(B).
10.10.36. Показать, что существование условных мер в смысле Дуба
относительно <В (см. замечание 10.6.3) равносильно существованию
дезинтегрирования fi( •, х) с $х = 5 при всех х € X.
Указание: если есть условные меры в смысле Дуба, то для всякого
множества А € $ есть множество ЛГд е 53, нулевой меры, на дополнении к
которому Ш-измерима функция fi(A,x). Обратное очевидно.
10.10.37. Доказать, что измеримые разбиения Сиг; независимы в
точности тогда, когда для всякого измеримого С-множества А и всякого
измеримого ^множества В справедливо равенство ц(А П В) = ц(А)ц(В).
10.10.38. (Dieudonne [659]) Пусть X = [0,1]°° наделено мерой fi, равной
счетному произведению мер Лебега Ап на [0,1]. Для всякой /j-интегрируемой
функции / и всякого конечного множества J С IN положим J' := 1N\J и
Ы*)--= [ f(xj,xj,)»(dxj,),
J[0,1]J'
где xj := (xn)n?j- Если дана возрастающая последовательность Jn конечных
частей IN, в объединении дающая IN, то по теореме о сходимости мартингалов

10.10. Дополнения и задачи 449
имеем /j„ (х) ~* }{х) п.в. Показать, что эта теорема может быть неверна для
направленностей, построив измеримое множество Е положительной /j-меры,
индикатор / = 1в которого обладает следующим свойством: направленность
{/j}, индексируемая конечными множествами J С IN, не сходится к /, т.е.
неверно, что для /j-п.в. х е X и всякого е > 0 существует такое конечное
множество Jo С IN, что \f(x)—fj(x)\ < е для всякого конечного множества J,
содержащего Jo.
10.10.39. Пусть ц — мера на ст-алгебре Л со значениями в [0 + оо].
Доказать, что существование лифтинга на С°% равносильно тому, что /х
разложима.
Указание: см., например, Левин [189, гл. 3, §3].
10.10.40f Показать, что на пространствах L?[0,1], 1 < р < оо, не
существует линейного лифтинга.
Указание: если L — линейный лифтинг на Lp[0,1], 1 ^ р < с», то для
каждого t функционал h(f) = L(f)(t) на Lp[0,1] линеен и неотрицателен
на неотрицательных функциях, откуда согласно задаче 4.7.77 следует его
непрерывность. Поэтому функционал h задается функцией gt € L" [0,1].
Для каждого п разделим [0,1] на п промежутков Jn,i,..., Jn,n точками к/п.
Пусть Еп,к — {х: L(Ijnlc)(x) = 1} и Еп := Ufc=i Еп,к- Тогда Х(Еп) = 1 по
свойствам лифтинга. Существует точка t € Pl^Li Еп. Для каждого п имеется
j(n) с t € EnJ(n), т.е. L(Ijnj{n))(t) = 1. Поскольку L{Ijnk) = Ijnk п.в., то
для всех к имеем
№.,»)(*) = ? Ijn,k(s)gt(s)ds < п-^Ц^Цьр',
что ведет к противоречию. Рассуждение применимо к любой непрерывной
мере, см. А.& С. Ionescu Tulcea [959].
10.10.41? Пусть (X, Л, fi) — вероятностное пространство иГ: X —> X —
сохраняющее меру ц преобразование, которое является эргодическим.
Предположим, что / — /г-измеримая неотрицательная функция, причем /х-п.в.
существует конечный предел I(x) := lim n_1 3?k=i f(Tkx). Доказать, что
функция / интегрируема.
Указание: пусть /лг = min(f,N), тогда при фиксированном N
аналогичный предел для п.в. х существует и равен / fN йц. Тогда / /jv d/i < 1{х)
п.в. для каждого N, что дает ограниченность последовательности интегралов
от /jv, ибо достаточно найти общую для всех N точку х.
10.10.42. Пусть п € TN и /„ — преобразование отрезка [0,1] в себя,
переводящее х в дробную часть пх.
(i) Доказать, что А о /~х = Л, где А — мера Лебега.
(ii) Доказать, что для всякого множества Е С [0,1] положительной меры
почти всякая точка х € [0,1] обладает тем свойством, что fn(x) € Е для
бесконечно многих п.
Указание: см. Биллингслей [35, гл. 1, §3).

450 Глава 10. Условные меры и условные вероятности
10.10.43. Пусть Т — преобразование пространства [0,1) в себя,
переводящее х > 0 в дробную часть 1/х, Г@) = 0. Рассмотрим меру Гаусса
ц = (Ь2)_1(х + I) dx. (i) Доказать, что ц о Г-1 = /х- (и) Доказать, что Т
эргоднчно на [0,1) с мерой ц и потому для всякой интегрируемой функции
/ на [0,1) для п.в. х выполнено равенство
Указание: см. Биллингслей [35, гл. 1, §4].
10.10.44. (Хинчин [349]) Пусть / — положительная непрерывная
функция на @,+оо), причем xf(x) — невозрастающая функция. Доказать, что
если / имеет бесконечный интеграл по [0, оо), то для почти всех а
неравенство \а — p/q\ < f(q)/q имеет бесконечное число решений в целых числах
р и q (q > 0), а если этот интеграл конечен, то для почти всех а
указанное неравенство имеет конечное число решений. Применить доказанное к
/(*) = x-^logz)-1 и Дх) = ar'Clogz)-2.
Указание: см. Биллингслей [35, гл. 1, §4], Хинчин [349, §14].
10.10.45f (i) Пусть {?„} — мартингал относительно {Тп} и ф — такая
выпуклая функция, что функции t/>(?n) интегрируемы. Доказать, что {^(^п)}
является субмартингалом относительно {Fn}- В частности, {|?п|р} —
субмартингал, если функции |?„|р интегрируемы.
(ii) Доказать, что заключение в (i) остается в силе, если {?п} —
субмартингал, а ф — возрастающая выпуклая функция. В частности, функции
max(?n — с, 0) образуют субмартингал при всех с.
10.10.46° Пусть {?„}, п = 0,1,..., — субмартингал, а ограниченные
неотрицательные функции д„ измеримы относительно Fn-\ при п ^ 1.
Доказать, что [д,?\п := ?m=i ЯтЦт - fm-i) - субмартингал.
10.10.47. Построить пример, показывающий, что в ситуации теоремы
10.3.3 может не быть сходимости в L1.
Указание: см. Durrett [694, пример 2.2, §4.2].
10.10.48. (i) Построить пример мартингала {?п}, который сходится к
нулю по мере, но не п.в.
(ii) Построить пример мартингала {?п}, который сходится к +оо п.в.
10.10.49.° Пусть {?„} — супермартингал относительно {.F„} и т —
момент остановки. Доказать, что {?min(r,n)} — также супермартингал.
10.10.50. (Gilat [827]) Пусть {?п} — неотрицательный субмартингал на
вероятностном пространстве (fi,.F, Р). Доказать, что на некотором
вероятностном пространстве (Q',.F',P') найдется такой мартингал {г]п}, что образ
меры Р при отображении ? = (?„): Q —> Ш°° совпадает с образом меры Р'
при отображении т] = (\г)„\): Q' —* ГО°°, т.е. последовательности {?„} и {|гм|}
имеют общее распределение.
10.10.51. (i) Вывести следствие 10.3.8 из предложения 10.3.7.

10.10. Дополнения и задачи 451
(ii) Вывести из следствия 10.3.8 следующее неравенство Колмогорова:
если ?п — независимые квадратично интегрируемые случайные величины с
нулевыми средними, то для всех г > 0 имеем
Р( maxn |6 + • • • + Ы > г) ^ г-2Е|6 + • • • + ?„|2.
10.10.52. (i) Показать, что ограниченность {||Cn IU1(P)} не влечет
ограниченность {||-^n||i,i(p)} в ситуации следствия 10.3.9.
(ii) Доказать, что в ситуации следствия 10.3.9
ЕХ" < т=Т (* + щ" max(log &' °>) •
Указание: см. Durrett [694, §4.4, упражнения 4.2, 4.7].
10.10.53. Построить пример, показывающий, что теорема 10.3.10
неверна для р = 1.
10.10.54. Доказать утверждение из замечания 10.10.7.
10.10.55. (Гапошкин [82]) Пусть /х — вероятностная мера и
последовательность функций fn сходится к нулю в слабой топологии Lp(fj.) при
некотором р € [1, оо). Доказать, что существуют такие подпоследовательность
{/«*} и последовательность функций дь 6 Ьр{ц), что
Efeill/»*-9*IU'(i.)<00 и %bi ft-i) = o.vte».
10.10.56. (Oxtoby, Ulam [1326]) Показать, что множество всех точек
х из @,1), для которых количество единиц среди первых п коэффициентов
разложения по степеням 2, разделенное на п, стремится к 1/2, имеет первую
категорию (т.е. закон больших чисел не выполняется для категории).
10.10.57. (Вгус, Kwapien [532]) Пусть {$1,Р,Р) — вероятностное
пространство, Ti — последовательность взаимно независимых под-<т-алгебр в Т
и ?, 6 L1^!, Fi,P), причем интеграл ?< равен нулю. Доказать, что следующие
условия равносильны: (а) существует ? G L1(fi, F, Р) с & = Е^? для всех г,
(Ъ) Шп ||fc||Li(P)=0.
10.10.58° Пусть (П, Л, (J.) — вероятностное пространство и f(t, ш) —
измеримая функция на [0,1]хП, непрерывная по t. Обозначим через Пк множество
всех о), для которых найдется такая цепочка 0 < si < t\ < ¦ ¦ ¦ < Sk < tk ^ 1,
что f(si,u) >1и f(U,u)) < 0 при всех г = 1,..., к. Показать, что П* измери-
Указание: для фиксированного е > 0 рассмотреть множество fi*,e,
определяемое аналогично Qk, но с заменой на неравенства f(si,u>) > 1 — е
и У(и,ш) < е. В силу непрерывности f по t можно перейти к
рациональным S, и ti; что дает измеримость ilk,e- При этом П* = fl^li ^fc,i/j ввиду
непрерывности / по t.
10.10.59. (Bellow [458]) Пусть (П,/х) — полное вероятностное
пространство и Л — лифтинг на L°° (ц). Если К — компактное пространство и д: ?& —»
К — измеримое относительно бэровской <т-алгебры отображение, то для
всякого шей рассмотрим функцию ф н-> A(t/> о д)(и) на Сь{К). (i)
Показать, что существует единственный элемент Ак(д)(ш) € К, для которого

Глава 10. Условные меры и условные вероятности
ф(Ак(д)(ш)) = А(ф о g)(w) для всех ф € СЬ(К). (ii) Доказать, что
отображение Ак(д)'- ?1 -* К — борелевское. (ш) Доказать, что образ меры /х
относительно \к (д) является радоновской мерой на К.
10.10.60. Построить две различные центрированные гауссовские меры
на Ш.°°, которые при всех п обладают равными условными мерами на всех
прямых у + Н1е„, у 6 П„, где П„ := {х 6 В.": хп = 0}, е„ = (е?), е? = 1 и
4 = 0 при j ф п.
Указание: см. Богачев [42, теорема 7.3.7] или Bogachev, Rockner [504].
10.10.61. (Jessen [980], Doob [673]) Построить пример вероятностной
меры ii на пространстве Q и двух независимых измеримых функций ? и rj,
которые не являются независимыми но Колмогорову (см. замечание после
определения 10.10.1).
10.10.62. (Stroock [1584], Kallianpur, Ramachandran [1015]) Пусть X —
непустое множество с двумя ст-алгебрами А и В. Пусть ц — вероятностная
мера на A, v — вероятностная мера на В. Вероятностная мера г\ на ст-алгебре
<т(ЛиВ) называется сплетением (splicing) мер ц и г/, если г)(АПВ) = ц(А)и{В)
для всех А ? А, В € В. Таким образом т] = ц на А, Ц = v на В, причем А и
В независимы относительно г). Сплетение мер ц и и существует в точности
тогда, когда J2^Li t*(A„)v(Bn) ^ 1 для всяких таких последовательностей
множеств А„ 6 А и Вп € В, что X = Ц^Л, П Вп).
10.10.63. (Ottaviani [1323]) Пусть д — абсолютно непрерывная функция
на @,1), отличная от постоянной. Предположим, что измеримая функция /
на @,1) такова, что / и д являются независимыми случайными величинами
на @,1) с мерой Лебега. Доказать, что / п.в. совпадает с функцией,
принимающей лишь конечное множество значений.
10.10.64. (Borell [513]) Пусть ц — вьшуклая радоновская вероятностная
мера на локально выпуклом пространстве X и G — аддитивная подгруппа
в X. Доказать, что либо fi,(G) = 0, либо fi,(G) = 1.
10.10.65.° Пусть ц, — вероятностная мера. Доказать, что /^-измеримые
функции / и д независимы в точности тогда, когда для всех t и s верно
равенство / exp(it/ + iag) d\i = / ехр(й/) йц I exp(isfl) dfi.
Указание: если это равенство выполнено, то для функции V. равной
конечной линейной комбинации функций вида exp(itx), интеграл от ф(/)ф(д)
равен произведению интегралов от ф(/) и ф(д). Из теоремы Вейерштрасса
ясно, что это верно для всех ф 6 Со (It), а потому и для всех ограниченных
борелевских функций.
10.10.66. (Ruschendorf, Thomsen [1477]) Пусть (X, А) и (У, В) -
измеримые пространства, ц. — вероятностная мера на (X xY,A<S)B), цх — проекция
jitHaX, цу — проекция ц на У,
S := {/ е L°Qi): f{x,y) = <р(х)+ ф{у),ср € Ь\цх),ф € Ь°(цу)}.
(i) Пусть д — положительная конечная /j-измеримая функция. Доказать
замкнутость в Ь°(ц) множества {/ € S: \f(x,y)\ < д(х, у) п.в.}. (ш) Привести
пример, показывающий, что S не обязано быть замкнутым.

Библиографические комментарии
При поверхностном наблюдении математика
представляется плодом многих тысяч мало связанных
индивидуальностей, разбросанных по континентам, векам
и тысячелетиям. Но внутренняя логика ее развития
гораздо больше напоминает работу одного
интеллекта, непрерывно и систематически развивающего свою
мысль, лишь использующего как средство
многообразие человеческих личностей. Как бы в оркестре,
исполняющем кем-то написанную симфонию, тема переходит
от одного инструмента к другому, и когда один
исполнитель вынужден прервать свою партию, ее точно, как
по нотам, продолжает другой.
И. Р. Шафаревич. О некоторых тенденциях развития
К сожалению, в самой природе подобных
систематических изложений лежит то, что вновь
приобретенное сливается со старым, так что историческое развитие
оказывается неузнанным.
К. Каратеодори. Vorlesungen uber reelle Funktionen.
§§6.1 - 6.4. В этой главе наряду с некоторыми топологическими
определениями изложены основные факты так называемой
дескриптивной теории множеств, необходимые для применений в теории меры.
Эта теория возникла одновременно с теорией меры, в значительной
мере под влиянием последней (укажем на работу Лебега [1119]). В ее
создание большой вклад внесли Э. Борель, Р. Бэр, А. Лебег, Н.Н. Лузин,
Ф. Хаусдорф, М.Я. Суслин, В. Серпинский, П.С. Александров, П.С.
Новиков, A.M. Ляпунов и другие исследователи; см. комментарии к §1.10
в томе 1 в связи с историей открытия суслинских множеств и работы
Арсенин, Ляпунов [17], Кановей [?], Куратовский [181], Ляпунов [205],
Хаусдорф [342] и комментарии в [199], [201]. Первоначально суслин-
ские множества (А-множества или аналитические множества по терми-

454 Библиографические комментарии
нологии тех лет; термин „суслинские" введен Хаусдорфом в его книге)
рассматривались Лузиным, Суслиным, Серпинским и другими
исследователями в пространстве Ж™ и его подпространствах, но уже тогда
выяснилась особая роль пространства иррациональных чисел (или
пространства всех последовательностей). Поэтому естественным и
напрашивающимся был переход к изучению суслинских множеств в
метрических и топологических пространствах; см., например, цитированную
книгу Хаусдорфа и статью Шнейдер [368]. Из более поздних работ
отметим Чобан [359], Bressler, Sion [523], Frolflc [801], Hoffmann-J0rgensen
937], Jayne [970], [971], Rao, Rao [1412], Sion [1540], [1541], Tops0e
1644], Tops0e, Hoffmann-J0rgensen [1645], где можно найти много
дополнительных ссылок. Более подробно с этим направлением можно
познакомиться по книгам Dellacherie [644], Kechris [1030], Rogers, Jayne
[1453], Srivastava [1565]. В книге Деллашери [105] дескриптивная
теория множеств обсуждается в связи с теорией емкостей и различными
проблемами измеримости из теории случайных процессов. В 20-30-е
годы XX века возникло и интенсивно развивалось целое направление на
стыке теории меры, дескриптивной теории множеств, общей топологии
и отчасти математической логики, которое можно назвать теоретико-
множественной теорией меры. В это направление большой вклад
внесли Банах [435], Серпинский [1534], [1536], Шпильрайн-Марчевский
[369], [1212], Улам [1658].
§6.5. Предложение 6.5.4 получено в Hoffmann-J0rgensen [937] для
суслинских пространств (для сепарабельных банаховых пространств
оно отмечалось также в Афанасьева, Петунии [20] и Perlman [1339]).
Отметим, что для описания ст-алгебры, порожденной
последовательностью множеств Еп, а также для построения некоторых
изоморфизмов измеримых пространств, в работах Szpilrajn [1598], [1599] была
использована „характеристическая функция последовательности
множеств", т.е. функция f(x) = 2]Г^113-'1/е„(х), причем в [1598]
указано, что компактная форма записи этой функции была предложена
Куратовским.
Отсутствие счетного набора образующих в <т-алгебре S,
порожденной суслинскими множествами, установлено в Rao [1409] (откуда
заимствовано рассуждение в примере 6.5.9) и Mansfield [1205]; см.
также Rao [1410]. В работе Rao [1408] доказано, что в предположении
гипотезы континуума существует счетно-порожденная сг-алгебра
подмножеств отрезка [0,1], содержащая все суслинские множества (вопрос
об этом, как и о счетной порожденности S, ставил С. Улам, см. Fund.
Math. 1938. V. 30. P. 365). В этой же работе установлен и следующий
более общий факт: если X — множество мощности к, равной первому
несчетному кардиналу, то для всякого имеющего мощность к набора
множеств Ха С X существует счетно-порожденная ст-алгебра,
содержащая все точки из X и все множества Ха.

Библиографические комментарии 455
§§6.6 - 6.10. Простое описание борелевски изоморфных типов бо-
релевских множеств приводит к постановке аналогичной задачи для
суслинских множеств, однако здесь положение более сложное и ответ
нельзя дать без привлечения дополнительных
теоретико-множественных аксиом. С обычной аксиоматикой совместимо утверждение о том,
что всякие два неборелевских суслинских множества борелевски
изоморфны. С другой стороны, можно добавить и такую аксиому, которая
обеспечит существование неборелевского суслинского множества А,
борелевски не изоморфного А2 и А х [0,1] (например, если существует
неборелевское коаналитическое множество С С [0,1] без совершенных
подмножеств, то можно взять А = [0,1]\С). Подробности см. в Cenzer,
Mauldin [565], Maitra, Ryll-Nardzewski [1199], Mauldin [1230].
Теоремы об измеримом выборе в идейном отношении восходят к
работам Лузина (см. [199], [1176]), но первый явный результат типа
теоремы 6.9.1 был получен Янковым [375]. В отечественной
литературе эта теорема называется также теоремой Лузина-Янкова, см.
Арсении, Ляпунов [17]; в работе Лузина [1176] показано, что всякое боре-
левское множество В на плоскости униформизуется коаналитическим
множеством С, а Янков заметил, что при этом в качестве С можно
взять график измеримой функции, что и дает искомую селекцию; этот
способ детально описан в [17]. Независимо теорема об измеримом
выборе была доказана и фон Нейманом [1294] (в [1689] имеются
исторические комментарии, в частности, приводятся некоторые сведения о
получении фон Нейманом указанного результата еще до войны,
однако поскольку аналогичного исследования не проводилось в отношении
других авторов, мы будем ссылаться лишь на опубликованные работы).
Поэтому обсуждаемую теорему называют также теоремой Янкова-фон
Неймана. Теорема 6.9.4 открыта Рохлиным [264] и позже Куратовским
и Рыль-Нарджевским [1095]. В [1689] отмечен пробел в
рассуждениях из [264], но там же указан простой и достаточно очевидный способ
его устранения при сохранении основной идеи; независимо от способа
устранения этого пробела следует признать, что принципиальное
значение имел сам факт анонсирования такой важной теоремы. Об
измеримых селекциях см. также Левин [189], Castaing, Valadier [563], Graf
[849], Wagner [1689], [1690]; близкие вопросы (такие как измеримые
модификации) обсуждаются в Cohn [595], Mauldin [1231].
Идея применения компактных классов к описанию абстрактных
суслинских множеств как проекций восходит к работе Marczewski, Ryll-
Nardzewski [1214].
Ряд интересных вопросов, связанных с борелевской структурой,
изложен в книге Christensen [590]. Различные проблемы, связанные с
измеримостью в функциональных пространствах (в частности, с бо-
релевскими или суслинскими множествами), возникают в теории
случайных процессов и математической статистике, см. Деллашери [105],

456
Библиографические комментарии
Дынкин [126], Ченцов [355], [356], [357], [358], Ma, Rockner [1182],
Dellacherie, Meyer [645], Rao [1418], Thorisson [1626].
Глава 7.
§§7.1 - 7.4. Теория меры на топологических пространствах стала
развиваться в 30-е годы XX века как под влиянием дескриптивной
теории множеств и общей топологии, так и в связи с задачами
функционального анализа, теории динамических систем и ряда других
областей. В частности, заметное влияние на это развитие оказало
открытие меры Хаара на локально компактных топологических группах. Это
влияние было столь сильным, что вплоть до недавнего времени в
разделах по теории меры на топологических пространствах (в тех
продвинутых пособиях, где таковые имелись) почти исключительно речь шла
о локально компактных пространствах. Среди работ 30-50-х годов XX
века, сыгравших большую роль в развитии теории меры на
топологических пространствах, отметим следующие: Александров [3], Вейль [68],
Гнеденко, Колмогоров [92], Прохоров [248], [249], Рохлин [263], Хопф
[350], Bogoluboff, Krylov [505], Choquet [584], Нааг [880], Marczewski
[1210], Oxtoby, Ulam [1327], Stone [1577], [1578], [1579], а также книгу
Халмош [334] и первое издание Бурбаки [56]. Следует добавить, что
еще в работе Радона [1396] были развиты ключевые идеи
топологической теории меры в случае пространства 1R". Конечно, велико было
и значение работ на стыке теории меры и дескриптивной теории
множеств (Лузин, Серпинский, Шпильрайн-Марчевский и др.). Наконец,
безусловно повлияли на топологическую теорию меры исследования
Винера, Колмогорова, Дуба, Йессена по интегрированию в
бесконечномерных пространствах и распределениям случайных процессов (это
влияние стало особенно заметным в последующие десятилетия).
Первым обстоятельным и весьма общим исследованием мер на
топологических пространствах был цикл работ А.Д. Александрова, после
которого стало вполне возможным говорить о появлении новой области
теории меры. В этом фундаментальном труде при весьма общих
предположениях относительно рассматриваемых пространств (даже более
общих, чем топологические, хотя во многих формулировках речь идет
о нормальных пространствах) были изучены регулярные аддитивные
функции множества ограниченной вариации (называвшиеся
зарядами). А.Д. Александровым введено и исследовано понятие т-аддитивной
знакопеременной меры (такие меры он называл „реальными"),
рассмотрены плотные меры (меры, сосредоточенные на счетных объединениях
компактов; термин „плотные" был позже использован Ле-Камом),
установлено соответствие между зарядами и функционалами на
пространстве ограниченных непрерывных функций, в частности, соответствие
между т-аддитивными мерами и т-гладкими функционалами,
разложение т-аддитивной меры в разность неотрицательных т-аддитивных

Библиографические комментарии
457
мер и многие другие результаты, составившие вместе с последующими
обобщениями основу нашего изложения. Кроме того, в этой же работе
начато исследование слабой сходимости на топологических
пространствах, о которой идет речь в гл. 8. Варадарайн [63] дал обзор ряда
важнейших направлений топологической теории меры, основываясь
главным образом на работах А.Д. Александрова и Ю.В. Прохорова, причем
им получены некоторые обобщения и упрощения. Книги Бурбаки [56],
Parthasarathy [1336], Топсо [315], Schwartz [1504] и Вахания, Тариела-
дзе, Чобанян [67] стали стандартными источниками ссылок по теории
меры на метрических или топологических пространствах. Весьма
информативный обзор по мерам на топологических пространствах дан в
учебнике Tortrat [1650]. Книга Шварца [1504] сыграла большую роль
в развитии и популяризации теории мер Радона на общих
топологических пространствах. Недавно появился обширный трактат Fremlin
[795], в котором заметное место занимают меры на топологических
пространствах и связанные с ними теоретико-множественные
проблемы. Подробные обзоры, охватывающие многие специальные разделы,
написали Gardner [812], Gardner, Pfeffer [814], Wheeler [1710] и
автор [499]. В этих обзорах можно найти много дополнительных
результатов и ссылок. Отметим также, что в обзорах Gardner [812], Gardner,
Pfeffer [814] и книге Fremlin [795] представлен материал о
регулярности бесконечных борелевских мер, что мало обсуждается в этой книге.
С. Улам (см. [1659], [1326]) одним из первых отметил плотность
борелевских мер на полных сепарабельных метрических пространствах
(как уже отмечалось в комментариях к т. 1, для И" это сделал еще
Радон). Чуть позже это свойство независимо установил А.Д.
Александров (видимо, примерно одновременно в конце 30-х годов XX века еще
несколько математиков пришли к этому простому, но очень важному
свойству: Колмогоров, фон Нейман, Рохлин, однако в напечатанном
виде оно появилось лишь в более поздних их работах). После А.Д.
Александрова свойство т-аддитивности рассматривалось многими
авторами, см. Amemiya, Okada, Okazaki [399], Gardner [812], Gardner, Pfeffer
[814], Tortrat [1652], [1653], где есть дополнительные ссылки.
Понятие универсально измеримого множества впервые
рассматривалось, по-видимому, Марчевским (см. MarczewskL [1212, с. 168]).
Некоторые авторы называют множество 5М носителем ц, если
имеем |/х|Eм) > 0 (но не обязательно 5М имеет полную меру), а меры,
сосредоточенные на 5Й, называют сконцентрированными на носителе.
Из многочисленных исследований, посвященных продолжениям
мер на топологических пространствах, особо отметим классические
работы А.Д. Александрова [3] и Марчевского [1210], выявившие роль
компактных приближений, а также последующие идейно близкие
работы Ерохин [129], Choksi [579], Henry [918], Kisynski [1055], MaUory
[1203], Tops0e [1641], [1642], [1643]. Весьма важная для приложений

458 Библиографические комментарии
теорема 7.3.2 восходит к работе Прохорова [1387]. Данная в тексте
формулировка вместе с доказательством заимствована из книги Вахания,
Тариеладзе, Чобанян [67]. Отметим, что в (ii) существенна
регулярность пространства (контрпример см. в Fremlin [795, §419Н]). Имеется
много работ о продолжении мер со значениями в более общих
пространствах (см., например, Lipecki [1157]), но здесь речь идет
исключительно о числовых мерах.
В классической книге Халмоша [334] бэровские множества
определяются как множества из сг-алгебры, порожденной компактными Gj-
множествами, в то время как борелевские множества — это элементы
(т-кольца, порожденного компактами в локально компактном
пространстве, что отличается от принятой сейчас терминологии.
Меры на суслинских пространствах (сначала для прямой, а затем и
в абстрактном случае) стали весьма популярным объектом
исследования, начиная со старых работ Лузина и Серпинского (см. комментарии
к §1.10). Такие пространства оказались очень удобными для
приложений, поскольку они охватывают большинство реально встречающихся
пространств и при этом допускают построение многообразных нужных
объектов теории меры (условных мер, измеримых селекции и т.п.). В
этой связи отметим работу Mackey [1186]. Радоновость борелевских
мер на суслинских пространствах можно выводить также из свойств
емкостей (что было указано Шоке).
Известно, что непротиворечиво предполагать, что существует су-
слинское множество на плоскости, проекция дополнения которого
неизмерима по Лебегу (этот результат был отмечен К. Гёделем и доказан
П.С. Новиковым [?]).
§7.5. Совершенные меры были введены в классической книге Гне-
денко и Колмогорова [92], а для инъективных функций основное
определяющее их свойство выделялось Халмошем и фон Нейманом [897]
среди прочих свойств, характеризующих их „нормальные меры".
Совершенные меры были детально исследованы Рьшь-Нарджевским [1478],
охарактеризовавшим их в терминах квазикомпактности, и Сазоновым
[277]. Компактные меры, которые ввел Марчевский [1210], оказались
тесно связанными с совершенными мерами. Винокуров [75] отметил
существование пространства с совершенной, но не компактной мерой,
первый пример такого рода приведен в Винокуров и Махкамов [76],
другой пример построен в Musial [1284]. Относительная сложность
этих примеров также свидетельствует о близости обоих свойств. В
работе Dekiert [642] установлено существование совершенной
вероятностной меры, не обладающей монокомпактным в смысле теоремы 1.12.5
приближающим классом (доказано, что такова мера из Musial [1284]).
В Fremlin [794] построена вероятностная мера, обладающая
монокомпактным приближающим классом, но не имеющая компактных
приближающих классов. Наше изложение основ теории совершенных мер

Библиографические комментарии 459
следует, главным образом, статье [277] и книге Хеннекен, Тортра [347],
хотя содержит и много дополнительных результатов. Совершенные
меры и родственные объекты обсуждаются также в Adamski [383], Darst
[628], Frolfk, РасЫ [802], Koumoullis [1075], [1077], Koumoullis, Prikry
[1082], Musial [1283], [1285], Ramachandran [1401], Remy [1425]. Ряд
дополнительных замечаний о совершенных мерах приведен в главе 9 в
связи с пространствами Лебега-Рохлина.
§7.6 - 7.7. Произведения мер на топологических пространствах, в
частности, произведения радоновских мер, изучаются в Bledsoe, Morse
[486], Bledsoe, Wilks [487], Elliott [708], Godfrey, Sion [837], Grekas
[859], Grekas, GryUakis [862], [863], Gryllakis, Grekas [873], Johnson
[987], [988], [989], [990], [991], [992], Johnson, Wajch, Wilczynski [993],
Plebanek [1363]. В работе de Leeuw [643] доказана борелевость
функции / h(x, у) ц(йу) для радоновской меры fi на компакте К и
ограниченной борелевской функции h на К2. Об измеримости функций на
произведениях см. также Grande [853], [854].
Обобщение теоремы Колмогорова о согласованных
распределениях, использующее весьма эффективное понятие компактного класса,
было получено в Marczewski [1210]. В дальнейшем эта тематика
развивалась в русле проективных систем мер (см. §9.12A)).
§7.8. Конструкция Даниэля [622], [623], [626] оказалась весьма
эффективной для развития теории интегрирования на локально
компактных пространствах. Она позволила строить интеграл без
предварительного построения мер, что удобно в случае, когда
соответствующие меры не являются ст-конечными. Это особенно ярко проявилось
при изучении мер Хаара. В последнем случае вообще оказалось
полезным считать меры функционалами на пространствах непрерывных
функций. Конструкция Даниэля была существенно развита Стоуном
[1579]; упомянем также предшествовавшую циклу работ Стоуна
статью Goldstine [841], в которой рассматривалось представление
функционала в виде интеграла в духе Даниэля. Близкие к подходу
Даниэля построения развивались ранее Юнгом (см. [1737], [1740], [1742]).
Следует отметить, что и в действительном анализе Ф. Риссом была
предложена схема построения интеграла, избегающая
предварительного построения теории меры и приводящая к несколько более
экономному изложению основ теории интеграла (см. Riesz [1441], [1442] и
учебники Решетняк [256], Рисе, Секефальви-Надь [260], Шилов, Гу-
ревич [366]). В середине XX века весьма распространена была точка
зрения о целесообразности изложения теории интегрирования по схеме
Даниэля, а некоторые авторы даже объявляли традиционное
изложение „устаревшим". Помимо упомянутых удобств при рассмотрении мер
на локально компактных пространствах, преимуществом такого
подхода в учебных целях виделось то, что он значительно быстрее
приводит к цели, минуя вспомогательные построения и тонкости теории ме-

Библиографические комментарии
ры". В книге Винера и Пэли [74, с. 214] даже есть такое высказывание:
„В идеальном курсе теории интеграла Лебега все теоремы
устанавливались бы с точки зрения интеграла Даниэля". Но моды проходят, и
теперь уже совершенно ясно, что способ изложения, в котором
интеграл предшествует мере, можно считать не более чем эквивалентным
традиционному^-Это вызвано целым рядом причин. Во-первых,
отметим то обстоятельство, что экономичность схемы Даниэля проявляется
лишь при обсуждении самых элементарных свойств интеграла Лебега
(скажем, это бывает важно, если в курсе теории представлений групп
надо кратко объяснить понятие интеграла), а в сколь-нибудь
полноценном изложении теории эта первоначальная экономичность оказывается
мнимой. Во-вторых, рассмотрение собственно теории меры (а не только
интеграла) совершенно необходимо для большинства приложений (во
многих из которых меры вообще являются основным объектом),
поэтому и в подходе Даниэля приходится доказывать те же самые теоремы
о мерах, причем они отнюдь не оказываются простыми следствиями
теории интеграла. Представляется, что если и есть проблемы,
изучение которых не требует никаких званий теории меры, но привлекает
понятие интеграла Лебега, то скорее всего в большинстве из них можно
обойтись и без последнего. Впрочем, для определения интеграла
традиционным способом требуется совсем немного сведений о мерах (их все
можно изложить в одной лекции), так что опасения „тонкостей теории
меры", необходимых для обычного определения интеграла, сильно
преувеличены. С методической же точки зрения предварительное
знакомство с основными концепциями теории меры весьма полезно для
подлинного понимания роли различных условий, встречающихся в любом
определении интеграла (например, условия монотонной сходимости).
Нельзя не отметить и то, что использование понятия множества меры
нуль без определения меры вообще (что делается в ряде построений
теории интеграла) представляется в высшей степени
противоестественным независимо от возможных технических плюсов таких построений.
Наконец, следует отметить, что подход, основанный на схеме Даниэля,
оказался малоэффективным при построении и изучении мер на
бесконечномерных пространствах. С учетом всех этих обстоятельств можно
заключить, что применение схемы Даниэля в учебном курсе теории
меры и интеграла оправдывается в основном соображениями
разнообразить курс, придать ему большую функционально-аналитическую
направленность и минимизировать теоретико-множественную
составляющую. Лебег [1129, с. 320] заметил в этой связи: „S'il ne s'agit que
d'une question d'ordre de paragraphes, peu m'importe, mais je crois qu'il
serait mauvais de se passer de la theorie des ensembles". Для специалистов
же в области теории меры и функционального анализа знакомство с
методом Даниэля безусловно необходимо для расширения технического
арсенала. Из многих книг, дающих систематическое изложение подхода
Даниэля, укажем П1илов, Гуревич [366], Bichteler [472], Filter, Weber

Библиографические комментарии 461
[749], Hildebrandt [932], Janssen, van der Steen [969], Klambauer [1057],
Nielsen [1300], Pfeffer [1347], Zaanen [1746].
§§7.9 - 7.10. Рисе [1438] получил свою теорему в случае X = [а,Ь],
а Радон [1396] распространил ее на компакты в Шп. Для метризуемых
компактов этот результат был доказан Банахом и Саксом (см. Банах
[24], Saks [1485]), Марков [210] получил родственные результаты для
более общих нормальных пространств, используя конечно-аддитивные
меры, а для общих компактных пространств теорема 7.10.4 была
сформулирована явным образом и доказана в работе Какутани [1006].
Подробное изучение этих проблем было предпринято А.Д.
Александровым [3] и продолжено Варадарайном [63]. Теорема 7.10.6 имеется в
Бурбаки [56, гл. IX, §5.2]. Дополнительные комментарии см. в Дан-
форд, Шварц [104, глава IV], Batt [446].
Различные результаты, связанные с интегральными
представлениями линейных функционалов на пространствах функций и
возникающими при этом топологиями на пространствах функций и мер, в
частности, обобщения теоремы Рисса, обсуждаются в работах Захаров,
Михалев [132], Anger, Portenier [404], Collins [598], Fremlin [779], Garling
[816], Hewitt [928], Lorch [1161], Mosiman, Wheeler [1275], PoUard,
Topsoe [1376], Tops0e [1639]. Правда, нельзя не отметить, что в этом
направлении встречается много весьма искусственных постановок
задач, чрезвычайно далеких от каких-либо приложений.
§7.11. Теория меры на локально компактных пространствах
излагается во многих книгах, включая Бурбаки [56], Dinculeanu [664].
Поэтому в этой книге данному вопросу уделено минимальное внимание,
хотя в нее и включены основные результаты.
§7.12. Изучение общих вероятностных мер на банаховых и более
общих линейных пространствах начали Колмогоров [166], Фреше (см.
[775], [776], [778]), Fortet, Mourier [760], Mourier [1277], Bochner [496],
Прохоров [249]. Важным стимулом для этого было построение меры
Винера [1715], [1716]. Затем меры на линейных пространствах
изучались в работах Вахания [65], Гельфанд, Виленкин [84], Вершик,
Судаков [73], Го [93] (правильная передача фамилии — Куо), Гренандер
[99], Скороход [288], Badrikian [424], Badrikian, Chevet [425], Chevet
[575], Da Prato, Zabczyk [627], Hofimann-J0rgensen [941], Ledoux, Tala-
grand [1134], Schwartz [1506], [1508], Stowikowski [1547], Umemura
[1660], Xia [1727], Yamasaki [1728]. Наиболее полное изложение
линейной теории дано в книге Вахания, Тариеладзе, Чобанян [67],
ставшей настольной для специалистов в этой области. В.Н. Судаков [302]
разработал интересное направление в теории меры на линейных
пространствах, связанное с геометрией и теорией приближения.
Для теории случайных процессов важно изучение мер в
функциональных пространствах достаточно общего вида. В тех случаях, когда
такое пространство не является польским или суслинским (как, напри-

462
Библиографические комментарии
мер, пространство всех функций на отрезке с топологией поточечной
сходимости), возникают различные проблемы с измеримостью,
частично описанные в тексте. Такие проблемы исследовали Ambrose [398],
Дуб [115], [670], [672], Ченцов [355], [356], [357], [358], Kakutani
[1007], Nelson [1290]. Основной мотив этих работ: продолжение
меры ц на ег-алгебре, порожденной цилиндрами пространств [0,1]т или
Ш,т, до меры на более широких <т-алгебрах. Такой вопрос естественно
возник после появления теоремы Колмогорова. Одно из наблюдений
работы Kakutani [1007] (см. также Nelson [1290]) состоит в том, что
если вместо Ш рассматривать компактное пространство Ж , где Ш —
одноточечная компактификация прямой, то бэровскую меру ц на этом
компакте можно продолжить до радоновской, что делает измеримыми
значительно более широкий класс множеств, чем в обычной
конструкции Колмогорова. Правда, Бурбаки и Н.Н. Ченцов независимо
заметили, что все равно многие естественные и конструктивно описываемые
множества остаются не измеримыми (см. задачи 7.14.152, 7.14.153);
результат такого рода имеется и в книге Хьюитт, Росс [351, §16.13(f)].
В работе Kuelbs [1090] было показано, что радоновская мера на
банаховом пространстве X сосредоточена на компактно вложенном
банаховом пространстве Е, причем построенное при этом Е оказывалось
сопряженным пространством (не обязательно сепарабельным), затем
в Островский [234] было другим способом показано, что Е можно
взять сопряженным, а вскоре Булдыгин [53] показал, что Е можно
выбрать сепарабельным рефлексивным. В [41] этот факт был перенесен
на пространства Фреше с помощью короткого рассуждения,
сочетающего идеи из [1090] и [53] (оно и приведено в теореме 7.12.4).
Про проблемы, связанные с моментами мер, см. книги Вахания,
Тариеладзе, Чобанян [67], Круглов [174], Graf, Luschgy [850], Ledoux,
Talagrand [1134], Kwapieii, Woyczynski [1102].
Сходимость случайных рядов и другие предельные теоремы в
бесконечномерных пространствах рассматриваются в Булдыгин [52],
Вахания [65], Вахания, Тариеладзе, Чобанян [67], Buldygin, Solntsev [536],
Kwapien, Woyczynski [1102].
Дифференциальные свойства мер на бесконечномерных
пространствах изучаются в Богачев, Смолянов [45], Далецкий, Фомин [103],
Bogachev [498], Uglanov [1656].
§7.13. Характеристические функционалы мер на
бесконечномерных пространствах введены Колмогоровым [1068]. Позже они стали
рассматриваться многими другими авторами (см., например, Le Cam
[1132], Прохоров [249], [1387], Прохоров, Сазонов [250]). Важные идеи,
связанные с характеристическими функционалами и развитые позже
в других работах, имелись в работе Прохорова [249]. Как указал
Колмогоров [167], в [249] содержалось основное неравенство, на котором

Библиографические комментарии 463
основаны знаменитые теоремы Р.А. Минлоса и В.В. Сазонова об
описании характеристических функционалов мер на сопряженных к
ядерным и гильбертовых пространствах. Следует отметить, что несмотря
на последующие интенсивные исследования в этой области и
многочисленные усиления этих теорем, в приложениях используются именно эти
исходные результаты. Богатый материал о характеристических
функционалах мер на локально выпуклых пространствах собран в книгах
Вахания, Тариеладзе, Чобанян [67] и Муштари [224]. См. также статьи
Муштари, Чупрунов [225], Смолянов [293], Смолянов, Фомин [294],
Gross [867], Kwapien, Tarieladze [1101], Mouchtari [1276], Tarieladze
[1616]. Имеется обширная литература (см. цитированные работы),
посвященная так называемым достаточным топологиям на локально
выпуклых пространствах (т.е. таким топологиям т на X*, что
непрерывность в т преобразований Фурье неотрицательных цилиндрических
квазимер унаХ влечет плотность v) и необходимых топологий
(соответственно, топологий т на X*, в которых непрерывны
характеристические функционалы плотных неотрицательных цилиндрических
квазимер п&Х). Важный результат, принадлежащий Тариеладзе [305], [306],
утверждает, что всякая достаточная топология является достаточной и
для знакопеременных мер в следующем смысле: пусть т — достаточная
топология на X* и пусть ip — преобразование Фурье знакопеременной
цилиндрической квазимеры ц ограниченной вариации на а(Х*); тогда
/х счетно-аддитивна и плотна (вопрос об этом ставился О.Г. Смоляно-
вым в 70-х годах и в частных случаях был разрешен Е.Т. Шавгулидзе).
Однако в этом утверждении нельзя заменить ограниченность вариации
/* ограниченностью \<р\ (задача 7.14.131). Смолянов, Шавгулидзе [295]
упростили доказательство теоремы Тариеладзе.
§7.14. Интересный пример, связанный с измеримостью на
произведениях, построен в Dudley [685], [686].
В передаче термина "completion regular" как „регулярно попол-
нимая" мы следуем переводу книги Халмоша [334]. В работе Могап
[1269] введено свойство меро-компактности. Свойства типа мерс-
компактности рассматриваются также в Gardner [812], Gardner, Pfeffer
[814], Okada, Okazaki [1316].
Сепарабельность мер Радона на компактных пространствах
изучалась в Dzamonja, Kunen [696], Kunen, van Mill [1094], Plebanek [1364],
где можно найти дополнительные ссылки. В частности, было показано,
что вопрос о существовании компакта Корсона с первой аксиомой счет-
ности, являющегося носителем несепарабельной меры Радона,
неразрешим в ZFC (при одном дополнительном теоретико-множественном
предположении такое пространство построено в [1094], в то время как
результат о несуществовании доказан в [1364] при отрицании этого
дополнительного предположения).

464
Библиографические комментарии
Теорема 7.14.3 восходит к результату Какутани [1007], который
доказал, что если П7 — компактные метрические пространства, 7 € Г,
причем на S27 заданы вероятностные борелевские меры /х7,
положительные на непустых открытых множествах, то лебеговское пополнение
произведения ®7бГ fi-y совпадает с радоновской мерой /х, построенной
из меры 07бГ м7 с помощью теоремы Рисса (иначе говоря, все
борелевские множества входят в лебеговское пополнение <8>7егЩ^7))- По
поводу других результатов, связанных с регулярно пополнимыми мерами,
см. также Babiker, Graf [420], Babiker, Knowles [421], GryllaMs [872].
В Wheeler [1710] поставлен вопрос, для всякой ли конечной г-гладкой
бэровской меры ц на вполне регулярном пространстве X существует
линделефово подмножество в X полной ^-внешней меры. Если такое
множество существует, то говорят, что (X, /л) имеет свойство L. В Aldaz
[388] с точки зрения этого вопроса исследована плоскость Зоргенфрея
X с мерой Лебега А. В этой работе показано, что (i) существует модель
теории множеств ZF, в которой (X, А) не имеет свойство L, (ii) (X, А)
имеет свойство L в ZFC+CH, (ш) существование т-гладкой меры без
свойства L совместимо с ZFC. Затем в Plebanek [1366]) был построен
пример (в ZFC) т-аддитивной бэровской меры, не имеющей линделе-
фовых подпространств полной меры.
Интересные примеры компактных пространств без строго
положительных мер (т.е. положительных на непустых открытых
множествах) построены в Argyros [405]. Подробное обсуждение связей
между строго положительными мерами на компактном пространстве X,
строго выпуклыми перенормировками С(Х) и условием цепей
можно найти в Comfort, Negrepontis [600, гл. VI]. В Marczewski, Sikorski
[1216] рассматривалась связь неизмеримых кардиналов с
существованием сепарабельных носителей мер на метрических пространствах.
Дополнительную информацию о носителях мер см. в Харазишвили [338],
Adamski [381], van Casteren [564], Gardner [812], Gardner, Pfeffer [814],
Hebert, Lacey [914], Okada [1315], Plebanek [1365], Sato [1488], Seidel
[1511].
Различные обобщения теоремы Лузина рассматривались многими
авторами. Например, в работе Schaerf [1491] дано обобщение на случай
отображений из топологических пространств в пространства со второй
аксиомой счетности. Иногда измеримость определяется как С-свойство
Лузина (см. Бурбаки [56]).
Приближение аналитических множеств компактами для некоторых
внешних мер было получено также в Гливенко [91], Kelley [1036]. В
работе Mattila, Mauldin [1227] исследована измеримость функций вида
К н-> h(K) на пространстве компактов польского пространства,
наделенном расстоянием Хаусдорфа, для некоторых функций множества,
например, для мер Хаусдорфа.

Библиографические комментарии
465
Начало абстрактной теории емкостей положено работами Шоке
[584], [585], [586], но отдельные утверждения были известны и
ранее. Например, в статье Коровкин [172] для емкостей доказан аналог
теоремы Егорова.
Как показано в Александров [3], Glicksberg [834], хаусдорфово
пространство X псевдокомпактно, если и только если каждая аддитивная
регулярная функция множества на X счетно-аддитивна на Ва(Х).
В книге Вахания, Тариеладзе, Чобанян [67, §1.5] приведено
более непосредственное (хотя и несколько более длинное) доказательство
следствия 7.14.56.
Известны примеры, когда две различные борелевские
вероятностные меры на компактном метрическом пространстве совпадают на всех
шарах, см. Davies [634], [637], Darst [630]. Согласно Preiss, Tiser [1383],
две радоновские вероятностные меры на банаховом пространстве,
равные на всех шарах, равны. О том, в какой степени меры определяются
значениями на шарах, см. Е.А. Рисе [258], [259]. Ряд результатов на
эту тему получили Горин, Колдобский [96], Mejlbro, Preiss, Tiser [1243],
Preiss [1380], Preiss, Tiser [1382].
Связь меры с категорией рассматривалась уже давно, см.,
например, Sierpinski [1531], Marczewski, Sikorski [1217], а из более поздних
работ см. Окстоби [233], Ayerbe-Toledano [416], Gardner [812].
С теорией безгранично делимых и устойчивых мер можно
ознакомиться по книгам Круглов [174], Hazod, Siebert [913], Linde [1154] и
статьям Богачев [40], Acosta [376], Acosta, Samur [377], Dudley, Kanter
[689], Fernique [734], Kanter [1020], Linde [1154], Sztencel [1602], Tort-
rat [1651].
О выпуклых мерах см. Кругова [175], Bobkov [491], Borell [513],
[514]. Книга Bertin, Cuculescu, Theodorescu [467] посвящена так
называемым унимодальным (одновершинным) мерам.
Теория гауссовских мер подробно изложена в недавних книгах
Богачев [42], [500] (отметим, что [500] является не переводом, а
существенно расширенным и исправленным изданием), Лифшиц [194],
Fernique [740], где приведена обширная библиография.
Понятие измеримой линейной функции связано с понятием
линейного ядра меры (т.е. топологически сопряженного к пространству X*,
наделенному топологией сходимости по мере /х), которое здесь не
обсуждается (см. Хафизов [343], Chevet [575], [576], Kwapien, Tarieladze
[1101], Smolensk! [1551], [1552], [1553], [1554], Takahashi [1604], Tien,
Tarieladze [1627], Urbanik [1661] и имеющиеся там ссылки). Об
измеримых полилинейных функциях см. Смоляное [290].
Меры на группах и близкие понятия изучаются в Сазонов, Туту-
балин [279], Хейер [345], Хьюитт, Росс [351], Armstrong [406], Becker,
Kechris [454], Berg, Christensen, Ressel [462], Bloom, Heyer [489], Csiszar
[618], Edwards [704], Fox [761], Grekas [860], [861], Hazod, Siebert [913],

Библиографические комментарии
Hognas, Mukherjea [945], Panzone, Segovia [1333], Peterson [1342], Pier
[1353], Wijsman [1717], где можно найти более полную библиографию.
Различным свойствам регулярности мер посвящены также
работы Березанский [33], Adamski [382], [385], Anger, Portenier [404],
Babiker [418], Babiker, Graf [420], Bachman, Sultan [423], Cooper,
Schachermayer [609], Dixmier [668], Flachsmeyer, Lotz [752], Fremlin
[786], Gardner [812], [814], Gould, Mahowald [845], Katetov [1025],
KharazishviU [338], [1042], Kubokawa [1089], Lotz [1169], de Maria,
Rodriguez-Salinas [1222], Metivier [1250], Plebanek [1367], [1368], Prinz
1385], Rao [1420], Sondermann [1559], Tops0e [315], [1641], [1642],
1643].
Меры Радона рассматриваются во многих статьях и книгах, в
частности, в Богачев [42], Бурбаки [56], Вахания, Тариеладзе, Чобанян [67],
Anger, Portenier [404], Schwartz [1504], Tjur [1630]. Утверждение
задачи 7.14.127 в близких формах встречается в разных работах (например,
в Stegall [1567]).
Утверждение (i) примера 7.14.57 восходит к Ionescu Tulcea [954],
[955], а в Tortrat [1653] оно было распространено на метризуемые
локально выпуклые пространства (доказательство аналогично; этот
результат называют теоремой Тортра). Существование радоновских по
норме продолжений слабо радоновских мер восходит к работе Phillips
[1351], где результат такого рода (его называют теоремой Филлипса)
получен в форме сильной измеримости слабо измеримых отображений
(аналогичное утверждение было получено также А. Гротендиком).
Меры на банаховых пространствах со слабой топологией
обсуждаются во многих работах, см., например, Рыбаков [271], de Maria,
Rodriguez-Salinas [1223], Jayne, Rogers [972], Schachermayer [1489], Tala-
grand [1613].
Помимо цитированных в §7.14(xviii) работ, о свойствах
бесконечных борелевских мер см. Jimenez-Guerra, Rodriguez-Salinas [983], Novoa
[1312], Rodriguez-SaUnas [1450] Произведения бесконечных мер
рассматриваются в работах Elliott [708], Elliott, Morse [709], Hahn [890],
Luther [1178], где можно найти дополнительные ссылки.
Связанные с мерами специальные свойства компактов изучаются
в Dzamonja, Kunen [695], [696], Fremlin [792], Kunen, van Mill [1094].
Глава 8.
§§8.1 - 8.4. Значительное число результатов этой главы взято из
выдающихся работ А.Д. Александрова [3] и Ю.В. Прохорова [249],
заложивших основы современной теории. Как указывал сам А.Д.
Александров, источником его абстрактного труда по общей теории меры
послужили исследования [2] по геометрии выпуклых тел. Из работ
предшествующего периода следует отметить статьи Хелли [917], Радона

Библиографические комментарии
467
[1396], Брея [520] и ряд работ П. Леви, включая книгу [1150],
содержавших результаты о сходимости функций распределения (в идейном
смысле к ним близки работа Гато (Gateaux) [819] и книга П. Леви
[188] о средних на функциональных пространствах). Большое
влияние на последующее развитие этой области оказали труды Скорохода
[2Я6], [287], Ле-Кама [191], Варадарайна [63]. Еще Радоном [1396]
было показано, что из всякой ограниченной последовательности
знакопеременных мер на компакте в И™ можно выделить слабо сходящуюся
подпоследовательность (ранее в одномерном случае это доказал Хелли
[917] в терминах функций ограниченной вариации). Термин „schwach
konvergent" — слабо сходящаяся — использован Радоном в [1397].
Пространство мер и слабая сходимость применялись Радоном при
исследовании операторов, сопряженных линейным операторам в
пространствах непрерывных функций, и в теории потенциала. В работе
Боголюбова и Крылова [505] было показано, что полное сепарабельное
метрическое пространство компактно в точности тогда, когда компактно
в слабой топологии пространство вероятностных мер на нем. Кроме
того, в этой работе для метрических пространств с компактными
шарами была установлена равномерная плотность всякого слабо
компактного множества вероятностных мер. Пространство вероятностных мер
со слабой топологией изучалось также в Blau [485] (была рассмотрена
А-топология). Отметим, что теорема А.Д. Александрова о слабой
сходимости (теорема 8.2.3) во многих зарубежных работах носит
название „portmanteau theorem". В английском языке слово .portmanteau",
заимствованное из французского (французское „portemanteau"
означает вешалку), имеет архаическое значение большой складной дорожной
сумки, а также может служить для обозначения
многофункциональных объектов. Мне неизвестно, кто изобрел столь нелепое название
для теоремы А.Д. Александрова. Трудно указать другой аналогичный
пример, когда к фундаментальному результату с очевидным и
общепризнанным авторством упорно клеили бы бессмысленный ярлык,
избегая называть его именем первооткрывателя.
Множества непрерывности меры на К" рассматривались в Gunthef
[877, с. 13] и Cramer, Wold [612]. В Romanovsky [1458] рассмотрена
локально равномерная сходимость многомерных характеристических
функций. Многомерные функции распределения и их слабая
сходимость рассматривались также в Haviland [908].
С 50-х годов XX века в теории слабой сходимости мер помимо чисто
вероятностного направления, связанного с изучением
асимптотического поведения случайных величин и различных их характеристик,
стало интенсивно развиваться и заложенное упомянутыми выше работами
А.Д. Александрова и Ю.В.Прохорова направление, относящееся скорее
к теории меры и функциональному анализу, но являющееся во многих
отношениях фундаментом для первого направления. Естественно, в
нашей книге только это второе направление и рассматривается.

Библиографические комментарии
Основы теории слабой сходимости мер на метрических
пространствах изложены в книгах Биллингсли [36] и Гихман, Скороход [88].
См. также книги Вахания, Тариеладзе, Чобанян [67], Далецкий, Фомин
[103], Круглое [174], Хеннекен, Тортра [347], Ширяев [367], Bergstrom
[463], [464], Dudley [688], Ethier, Kurtz [721], Ganssler [809], Ganssler,
State \&Щ, Hoflmann-J0rgensen4943], Pollard [1374], Stroock [1585],
Stroock, Varadhaii [1587]. Слабой сходимости и слабой компактности
посвящен цикл исследований Ф. Топсё (см. [315], [1634], [1635], [1636],
[1637], [1638], [1640]).
Предложение 8.2.7 получено Колмогоровым и Прохоровым [1069].
Метрика Канторовича-Рубинштейна восходит к работе
Канторовича [148]. Позже эта метрика была использована в работе Fortet,
Mourier [759] при изучении сходимости эмпирических распределений.
Затем в связи с одной экстремальной задачей метрика Канторовича-
Рубинштейна была рассмотрена этими авторами в [150], [151] в случае
компактных метрических пространств (в несколько иной форме); см.
также Канторович, Акилов [149]. В форме (8.10.5) эта метрика
была определена в работе Вассерштейн [64]. Обширная библиография по
этому вопросу имеется в Рачев [254], [1391]. Ряд комментариев,
данных ниже в связи с метриками на пространствах вероятностных мер,
также относится к метрике Канторовича-Рубинштейна.
§8.5. Дополнительные результаты о представлении Скорохода и
параметризации слабо сходящихся последовательностей мер или
множества всех вероятностных мер см. в Банах, Богачев, Колесников
[27], Богачев, Колесников [43], Banakh, Bogachev, Kolesnikov [440],
Choban [577], Cuesta-Albertos, Matran-Bea [620], Jakubowski [964],
Letta, Pratelli [1145], Schief [1498], Wichura [1712]. Интересный подход
к параметризации мер на Ш." предложен Крыловым [1088],
получившим параметризацию с некоторыми свойствами дифференцируемости.
Этот метод связан с задачей Монжа-Канторовича и экстремальными
задачами для мер с заданными маргиналами, кратко обсуждаемыми в
§9.12(vii). Отметим, что в работе Blackwell, Dubins [482] дан весьма
короткий набросок доказательства теоремы 8.5.4, но полное
доказательство на этом пути с проверкой всех деталей занимает заметно больше
места (см. Fernique [736] и Лебедев [187, гл. 5]).
§§8.6 - 8.9. На изучение слабой компактности в пространствах мер и
условий плотности заметно повлияла уже упоминавшаяся работа
Прохорова [249], идеи, методы и конкретные результаты которой вошли в
учебники и уже полвека успешно применяются многими
исследователями. А.Д. Александровым [3] установлено „отсутствие ускользающей
нагрузки" для слабо сходящихся последовательностей мер (см.
предложение 8.1.10), что непосредственно дает частные случаи теоремы
Прохорова. Идея применить слабую сходимость в I1 к слабой сходимости
мер также принадлежит А.Д. Александрову [3]. Из результатов рабо-

Библиографические комментарии
ты Dieudonne [661] следует равномерная плотность слабо сходящейся
последовательности мер Радона на паракомпактном локально
компактном пространстве. Ле-Кам [191] доказал, что в случае локально
компактного <г-компактного пространства X семейство мер относительно
компактно в Mt(X) со слабой топологией в точности тогда, когда оно
равномерно плотно. Там же отмечено, что это утверждение вытекает
из результатов Dieudonne [660]. Пример 8.6.8 взят из Варадарайн [63].
Важная теорема 8.7.1 установлена А.Д. Александровым [3] для бо-
релевских мер на совершенно нормальных пространствах, но
аналогичное доказательство применимо к бэровским мерам на произвольных
пространствах. Приведенное доказательство дал Ле-Кам [191].
Теорема 8.9.3 получена в [63] (другое доказательство было дано в
Granirer [856]).
§§8.10 - 8.11. Работа Прохорова [249] оказала определяющая
влияние на развитие теории слабой сходимости, и возникновение понятия
„пространства Прохорова" служит этому иллюстрацией. Стоит
заметить, что в литературе можно найти несколько различных понятий
„пространства Прохорова". В самом деле, для обобщения теоремы
Прохорова имеются по меньшей мере следующие возможности: 1)
рассматривать компактные семейства плотных неотрицательных бэровских
мер (что и сделано в определении 8.10.5); 2) рассматривать
компактные семейства не обязательно плотных неотрицательных-бэровских
мер; 3) рассматривать слабо сходящиеся последовательности плотных
неотрицательных бэровских мер с плотными пределами; 4)
рассматривать счетно-компактные семейства типа 1) или 2); 5) рассматривать
в 1)-4) вполне ограниченные (т.е., предкомпактные) семейства
вместо компактных; 6) иметь дело со знакопеременными мерами вместо
неотрицательных. Разумеется, существуют и другие разумные
возможности. Положение со знакопеременными мерами изучено меньше.
Пространства Прохорова изучались также в работах Банах, Бога-
чев, Колесников [27], Смолянов [292], Banakh, Bogachev, Kolesnikov
[440], Choban [577], Сох [611], Koumoullis [1079], [1080], Mosiman,
Wheeler [1275]. В Saint-Raymond [1482] дано более простое
доказательство того, что Q не является пространством Прохорова.
Заметим, что последнее утверждение примера 8.10.11 (взятого из
Hoffmann-Jergensen [940]) было приведено в Смолянов, Фомин [294]
для знакопеременных мер (и воспроизведено в Далецкий, Смолянов
[103]), однако не ясно, остается ли оно верным для знакопеременных
мер, ибо его доказательство основывалось на ошибочной лемме 3 из
[294] (см. также [103, лемма 2.1 главы Ш] и [102]), в которой
утверждается, что для всякой дизъюнктной последовательности компактов
Кп, обладающих дизъюнктными открытыми окрестностями, и всякой
слабо сходящейся последовательности {fin} радоновских мер имеет
место равенство lim sup^ \fii\(Kn) = 0. Очевидно, последнее неверно, если

470
Библиографические комментарии
Кп — это точки 1/п в [0,1] и цп — дираковские меры в этих точках.
Пример 8.10.21 взят из Fremtoi, Garling, Haydon [796] (его
специальный случай можно найти также в [294, §5, теорема 3], но в данном
там доказательстве есть отмеченный выше пробел). По своей идеи эти
утверждения близки к результатам А.Д. Александрова из §8.1 об
отсутствии ускользающей нагрузки.
То, что пространства мер на пространстве X в слабой
топологии являются суслинскими или лузинскими при подходящих
условиях на X, доказывали Varadarajan [1671], Hoffmann-j0rgensen [937],
Schwartz [1504], Oppel [1319], [1320]. Тот факт, что польским в слабой
топологии является пространство знакопеременных мер с вариацией
1 установлен в Oppel [1320]. Дополнительные результаты и ссылки о
свойствах пространств мер и связях с общей топологией можно найти
в Банах [26], Банах, Коти [28], Банах, Радул [29], [30], Федорчук [319],
[320], [732], Флаксмайер, Терпе [328], Brow, Сох [527], Constantinescu
[601], [602], [603], [604], Frankiewicz, Plebanek, Ryll-Nardzewski [762],
Kirk [1053], [1054], Koumoullis [1076], Talagrand [1610].
В ряде работ изучались различные локально выпуклые
топологии на пространстве Сь{Х), для которых сопряженные пространства
оказываются пространствами мер; эти исследования также связаны
с рассмотрением плотных или слабо компактных семейств мер, см.
Conway [607], Hoflmann-J0rgensen [939], Mosiman, Wheeler [1275], Sen-
tilles [1512] и обзор Wheeler [1710].
В Mohapl [1265] показано, что если X — полное метрическое
пространство, то пространство МГ(Х) радоновских мер совпадает с
пространством ограниченных линейных функционалов на пространстве
Lipb(X), ограничения которых непрерьшны на единичном шаре по sup-
норме с топологией равномерной сходимости на компактах.
Про слабую сходимость мер на несепарабельных метрических
пространствах см. Dudley [681], [683], van der Vaart, Wellner [1669].
Помимо уже упомянутых работ слабой сходимости мер и слабой
топологии посвящены работы Баушев [32], Боровков [47], Пригарин
[247], Adamski [380], Conway [608], De Giorgi, Letta [640], Dudley [682],
[684], Fernique [733], [737], [738], Kallianpur [1014], Leger, Soury [1136],
Mohapl [1264], Nakanishi [1289], Pollard [1371], [1373], Wilson [1721].
О слабой компактности в пространстве мер см. также Adamski,
Ganssler, Kaiser [386], Fernique [737], [738], Gerard [824], [825], Haydon
[910], Pollard [1372]. Равномерность в слабой сходимости изучалась в
Billingsley, Tops0e [475].
Отметим, что Л. Янг (L.C. Young), в честь которого называются
меры Янга, — автор переведенной на русский язык книги по
вариационному исчислению и сын известного математика Юнга, чье имя,
конечно, также произносится „Янг", но по столетней традиции
передается у нас с искажением.

Библиографические комментарии 471
Метрики на различных подпространствах пространства мер (в
основном на пространстве вероятностных мер) изучались в работах Вал-
ландер [61], Золотарев [135], [136], Какосян, Клебанов, Рачев [145],
Dudley [684], [687], [688], Givens, Shortt [832], Rachev, Rflschendorf
[1392], где можно найти дополнительные ссылки. Доказательство
теоремы 8.10.41 было дано в Канторович, Рубинштейн [151]. Другие
доказательства были предложены рядом авторов, см. Fernique [735], Шуль-
га [370]. В Kusuoka, Nakayama [1098] рассмотрена аналогичная L?-
метрике типа Канторовича-Рубинштейна метрика на множестве пар
(/х, ?), где ц — вероятностная мера, а ? — отображение. Норма
Канторовича на пространстве знакопеременных мер рассмотрена в Садовничий
[274], Федорчук, Садовничий [321].
Классы сходимости для вероятностных мер в смысле теоремы
8.10.50 исследовались несколькими авторами. Было установлено, что
(i) класс Q всех открытых множеств есть класс сходимости для т-
аддитивных мер на регулярных пространствах; (ii) класс Go всех
функционально открытых множеств есть класс сходимости для бэровских
мер на хаусдорфовых пространствах, для т-аддитивных мер на вполне
регулярных пространствах и для регулярных борелевских мер на
нормальных пространствах; (ш) класс Qr всех регулярных открытых
множеств есть класс сходимости для т-аддитивных мер на регулярных
пространствах и для регулярных борелевских мер на нормальных
пространствах. Доказательства этих фактов и дополнительные ссылки
можно найти в работе Adamski, Ganssler, Kaiser [386].
В некоторых задачах рассматривают пространство локально
конечных мер на локально компактном пространстве М с топологией
двойственности с Со(М). Например, пространство конфигураций Тм есть
множество мер вида 7 = ? кп8Яп, где кп — целые неотрицательные
числа и {хп} с М не имеет предельных точек. Об условиях
компактности в Гм см. Bogachev, Pugachev, Rockner [503], где есть
дополнительные ссылки.
Глава 9.
§§9.1 - 9.2. Отдельные результаты о нелинейных преобразованиях
мер были известны уже давно. Например, Рисе [1439, с. 497] без
доказательства отметил, что всякое измеримое множество в Жп меры тп
можно с сохранением меры существенно взаимно-однозначно отобразить на
отрезок длины тп, а Радон [1396, с. 1342] рассмотрел изоморфизм
квадрата с плоской мерой и отрезка с линейной мерой (эти наблюдения не
были забыты и позже отмечались, например, в Bochner, von Neumann
[497]). Интенсивные исследования преобразований мер начались в 30-е
годы XX века, причем задачи, связанные с преобразованиями мер, воз-

472
Библиографические комментарии
викли не только в собственно теории меры, но и в таких областях, как
теория динамических систем, функциональный анализ и теория
вероятностей. В работе Steinhaus [1573] построено взаимно-однозначное на
множестве полной меры отображение в интервала @,1) на @,1)°°,
переводящее меру Лебега А в А°° и описанное в задаче 9.12.36. Цель этой
работы состояла в изучении случайных рядов. Такую же цель имел и
ряд работ Винера, Пэли и Зигмунда (см. ссылки и комментарии в
книге Винер, Пэли [74]). В частности, мера Винера на бесконечномерном
пространстве функций была представлена как образ меры Лебега при
яекотором измеримом отображении. Одним из главных стимулов
развития теории нелинейных преобразований мер стала теория
динамических систем. В этой связи необходимо отметить работы Биркгофа [38],
рон Неймана (см. Neumann [1293], [1292], Halmos, Neumann [897]),
Боголюбова, Крылова [505], Хопфа [350] и Окстоби и Улама [1326],
1327]. Наконец, важную роль сыграли также работы об инвариант-
злых мерах на группах.
Применение теорем об измеримом выборе к доказательству
существования прообразов мер, как в теореме 9.1.3, является
стандартным и использовалось многими авторами (см., например, Varadarajan
1671, лемма 2.2], Mackey [1186]). В Бурбаки [56, гл. IX, §2.4]
существование прообраза меры при сюръекции суслинских пространств
вызолится из теоремы 9.1.9 и свойств емкостей. Аналогичный теореме
).1.9 результат доказан в Fremlin, Garling, Haydon [796]. В работах
Lembcke [1139], [1140], [1142] борелевское отображение F: X -> Y
между топологическими пространствами называется консервативным,
зсли каждая неотрицательная радоновская мера ц на Y, такая, что
и* (С Г) f(X)) = (л(С) для каждого компакта С с У, имеет радонов-
жий прообраз в X (в этих двух работах допускаются и
неограниченные меры). Такое отображение называется сильно консервативным,
зсли прообраз существует при условии, что множество Y\f(X) /z-
тренебрежимо. Согласно [1142, теорема 3.3], непрерывное отображение
f сильно консервативно, если /_1(С) содержится в /С-аналитическом
[юдмножестве X для каждого компакта С С Y, и / консервативно,
если то же самое справедливо для всех компактов С С f(X). Прообразы
мер изучались также в Bauer [448], [449].
Предложение 9.1.7 было доказано в Federer, Morse [731] с
помощью полученного в книге Сакс [280, с. 408, лемма 7.1] аналогичного
результата для непрерывных / (который независимо был получен
также Колмогоровым [1067]).
Существование одновременных прообразов для семейства мер ца
аа Ха и заданных отображений fa: X —> Ха исследовалось в Lembcke
1139], [1140], [1142] и в цитированных там работах. Родственные про-
5лемы рассматривал М.П. Ершов в [717], [130], [718], [720], где был
развит общий подход к стохастическим уравнениям как проблема нахо-

Библиографические комментарии
473
ждения прообразов мер при измеримых отображениях. Про близкую к
этой проблематике задачу нахождения меры с заданными
маргинальными проекциями см. §9.12(vii) и Сазонов [278], Судаков [302], Dudley
[688], Jacobs [962], KeUerer [1032], [1033], [1035], Ramachandran,
Roschendorf [1404], [1405], Skala [1546], Strassen [1580].
§§9.3 - 9.5. Колмогоров [162] определил изометричность двух мер
как изометричность соответствующих алгебр с мерами и выделил се-
парабельный случай, отметив, что в этом случае имеется изометрия с
„мероопределением на отрезке". В Szpilrajn [1601] было показано, что
для вероятностной меры /х на (X, Л) пространство Л/ц изометрично
пространству ?/А, где А — мера Лебега на [0,1] и С — множество всех
измеримых множеств, в точности тогда, когда \i сепарабельна и не
имеет атомов. Более тонкую классификацию сепарабельных измеримых
пространств предложили независимо Халмош и фон Нейман [897] и
Рохлин [263]. Магарам [1189], [1190], [1191] получила
фундаментальные результаты о строении общих пространств с мерами. Отметим,
что В.А. Рохлин сделал сообщение о своих результатах еще до
войны, но их публикация сильно задержалась: Рохлин ушел добровольцем
на фронт, воевал, попал в плен, провел несколько лет в концлагерях,
а затем в проверочных лагерях для бывших военнопленных, да и
потом вынужден был преодолеть немало препятствий при возвращении
в науку (см. [268]). Пространства, которые Рохлин назвал
„пространствами Лебега", уместно называть пространствами „Лебега-Рохлина",
что и делается в этой книге. Этот класс пространств совпадает с
классом, введенным Халмошем и фон Нейманом, но аксиоматика Рохлина
оказалась удобнее, и, что самое главное, Рохлиным (см. [264], [265],
[266], [267], [268]) была развита весьма тонкая структурная теория
таких пространств, повлиявшая на последующие приложения в
теории динамических систем. Пространства Лебега-Рохлина и
родственные объекты изучаются в работах Винокуров [75], Haezendonck [883],
Ramachandran [1400], [1402], Rudolph [1475], de La Rue [1476]. В
книгах Самородницкий [281], [282] развивается теория несепарабельных
аналогов пространств Лебега-Рохлина.
Интересна задача классификации измеримых пространств с
дополнительными структурами (например, метрической, линейной или
дифференциально-геометрической) с сохранением данной структуры.
Например, можно рассматривать изометрии метрических пространств
с мерами, сохраняющие меры (см. Gromov [866], Вершик [71]).
§9.6 - 9.7. Теорема 9.6.3 для компактных метрических пространств
ранее была получена Бурбаки (см. Бурбаки [56, гл. V, §6,
упражнение 8с]). О сохраняющих меру гомеоморфизмах см. Каток, Степин
[152], Alpern, Prasad [396]. Вопрос об описании непрерывных образов
меры Лебега ставился П.В. Парамоновым как часть более общего во-

474
Библиографические комментарии
проса о характеризации образов меры Лебега (на отрезке или кубе) при
отображениях класса Ск. Этот общий вопрос открыт.
§9.8. Пример 9.8.1 заимствован из Maitra, Rao, Rao [1198], где
указано, что он был построен Э. Марчевским. Пример из задачи 9.12.50
построен Ершовым [130], а пример из задачи 9.12.35 заимствован из
Fremlin [795, §439].
§9.9. Теорема 9.9.3 восходит к теореме Лузина из [198, §47],
согласно которой непрерывная функция без свойства (N) переводит
некоторое совершенное множество меры нуль в множество положительной
меры. В части необходимости теорема 9.9.3 в явном виде получена Г. Ра-
демахером [1393, Satz УП, с. 196], который доказал также и
достаточность для непрерывных функций (см. Satz VB3 на с. 200 цитированной
работы). Аналогичные рассуждения ввиду теоремы Лузина
применимы к произвольным измеримым функциям и дают общий результат,
явным образом приведенный в Ellis [710] (доказательство для
непрерывных функций, данное в Натансон [228, §3 гл. ГХ], ввиду теоремы
Лузина применимо к измеримым функциям). Доказательства, данные
в цитированных работах, довольно просты и вытекают, по-существу,
из измеримости борелевских образов борелевских множеств в
сочетании с тем элементарным фактом, что всякое множество положительной
меры Лебега содержит неизмеримое подмножество. Более того, эти
доказательства применимы к гораздо более общему случаю (в частности,
дают результаты из Wisniewski [1723]).
Нелинейные преобразования общих мер приходится исследовать и
при рассмотрении преобразований различных специальных мер,
например, гауссовских, см. книги Богачев [42], [500], Ustiinel, Zakai [1664].
§9.10. Преобразования мер, порождаемые сдвигами вдоль
траекторий динамических систем, в частности, вдоль интегральных кривых
дифференциальных уравнений, рассматривались Лиувиллем,
Пуанкаре, Биркгофом, Колмогоровым, фон Нейманом, Боголюбовым и
Крыловым и другими классиками. Эта проблематика остается как одним из
важнейших источников новых задач в теории меры, так и полем
применения новых результатов и методов. Многообещающим представляется
здесь изучение бесконечномерных систем.
§9.11. Хаар [880] дал первое построение меры, теперь носящей
его имя. Упрощенные конструкции были предложены фон Нейманом,
А. Картаном, Вейлем и другими исследователями (см. Банах [23],
Вейль [68], Cartan [561], Johnson [986]). Мера Хаара обсуждается в
очень многих работах, см., например, Бурбаки [56], Вейль [68], Най-
марк [226], Хьюитт, Росс [351], Nachbin [1288], в частности, во
многих курсах теории меры, см., например, Федерер [317], Халмош [334],
Royden [1470]. В книге Гринлиф [100] обсуждаются средние на
группах.

Библиографические комментарии 475
§9.12. Проективные системы мер, появившиеся под влиянием
теоремы Колмогорова и введенные в более абстрактном виде Бохнером,
изучаются в Бурбаки [56], Рао, Сазонов [253], Choksi [578], Mallory
[1202]. [1203], Mallory, Sion [1204], Metivier [1249]. Есть варианты
теоремы 9.12.2 для мер с компактными приближающими классами (задача
9.12.56).
Пусть А°° — счетное произведение мер Лебега на [0,1]. На [0,1]°°
введем метрику d так: d(x,yJ = Yl™=ian(xn — УпJ, где ап > 0 и
Y^=i ап < °°. С. Улам поставил вопрос о равенстве А°°(А) = Х°°(В)
для изометричных множеств А и В в ([0, l]°°,d) (при этом не
предполагается, что соответствующая изометрия продолжается на все
пространство)). В Mycielski [1287] дан частичный ответ на этот вопрос:
показано, что изометричные открытые множества имеют равные
меры. В этой же работе указаны метрики на [0,1]°°, задающие ту же
топологию, для которых А°° инвариантна относительно всех изомет-
рий. Из результатов Mycielski [1286] следует, что на всяком непустом
метрическом компакте имеется такая вероятностная борелевская мера,
что изометричные открытые множества имеют равные меры (в работе
доказано более общее утверждение).
Помимо известной теоремы о представлении булевых алгебр,
приведенной в тексте, Стоун в работах [1577], [1578] получил и много
других результатов о строении булевых алгебр. Теорему Стоуна можно
распространить и на полуконечные меры (соответствующее
пространство будет локально компактным), см. Fremlin [795, §343В].
Глава 10.
§§10.1 - 10.3. Понятие условного математического ожидания
было введено А. Н. Колмогоровым [166] (при этом важную роль
сыграла только что открытая Никодимом абстрактная формулировка
теоремы Радона-Никодима), затем оно исследовалось Б. Йессеном, П.
Леей, Дж. Дубом и многими другими авторами (см. [978], [1150], [115]).
Конечно, следует иметь в виду, что понятие условной вероятности
существовало задолго до упомянутых работ. Здесь речь идет о строгих
построениях в рамках общей теории меры. Первыми попытками
построить достаточно общие счетно-аддитивные условные вероятности
(т.е. регулярные условные вероятности, обсуждаемые в §10.4) были
работы Doob [670] и Halmos [895], но Андерсен и Йессен (см. [401]) и
Дьедонне (см. [658]) построили опровергающие примеры; см. также
Halmos [896]. Ниже мы вернемся к этому вопросу.
Помимо характеризации условных математических ожиданий как
проекторов или иных операторов со специальными свойствами, имеется
их описание через Х1-значные меры, см. Olson [1318].

476
Библиографические комментарии
Фундаментальные теоремы о сходимости условных
математических ожиданий и более общие теоремы о мартингальной
сходимости были получены Йессеном [978], П. Леви [1150, с. 129], Дубом
[671], [115], Андерсеном и Йессеном [400], [401], [402] (этим
вопросом интересовался и Колмогоров, см., например, его доклад [165]),
а затем стали предметом интенсивных исследований многих авторов,
см. книги Hall, Heyde [894], Hayes, Раис [912], Woyczynski [1726] и
статьи Chatterji [570], [573], в которых выделены функционально-
аналитические аспекты. Весьма обширна вероятностная литература по
теории мартингалов (см., например, Ширяев [367], Durrett [694], Edgar,
Sucheston [703], Rao [1419], где можно найти дальнейшие ссылки).
Интересные результаты об эквивалентности произведений мер
имеются в Fernique [739].
Замечания в связи с примером 10.3.16 см. в комментариях к гл. 4.
§10.4 - 10.6. Регулярные условные меры в случае произведений мер
были явным образом указаны Йессеном. После того, как Дуб обратился
к вопросу об их существовании в более общих случаях и были
построены упомянутые выше примеры Андерсена, Йессена и Дьедонне,
выяснилось, что приходится привлекать дополнительные условия
топологического характера. Первые результаты достаточно абстрактного
характера о регулярных условных мерах были получены в работах Dieudonne
[658], Рохлин [263], Иржина [143], Jifina [984], Сазонов [277]. В этой
главе они представлены в современной форме, представляющей итог
работы многих авторов.
Условные меры и дезинтегрирования обсуждаются в работах
Кулакова [180], Хеннекен и Тортра [347], Blackwell, Dubins [481], Blackwell,
Maitra [483], Blackwell, Ryll-Nardzewski [484], Calbrix [550], Chatterji
[569], Csaszar [616], Dubins, Heath [679], Graf, Mauldin [851], Ma [1181],
Maitra, Ramakrishnan [1197], Metivier [1248], [1249], Musial [1283],
Pachl [1328], [1329], Pellaumail [1338], Pfanzagl [1345], Ramachandran
1400], [1401], [1402], [1403], Rao [1417], [1418], [1419], [1421], Remy
1425], Renyi [1426], [1427], Saint-Pierre [1481], Schwartz [1505], [1507],
Sokal [1556], Tjur [1629].
Рядом автором, начиная с работ A. Ionescu Tulcea, С. Ionescu Tulcea
[957], [958], условные меры строились с помощью лифтинтов; наше
изложение близко работе Hoffmann-J0rgensen [938].
Про собственные условные меры см. Blackwell, Dubins [481], Black-
well, Ryll-Nardzewski [484], Faden [724], Musial [1283], Sokal [1556].
Важную роль в понимании условий существования
дезинтегрирований и условных мер сыграла работа РасЫ [1328], одним из ярких
результатов которой было доказательство того факта, что ограничение
компактной меры на под-ст-алгебру является компактной мерой. Эта
работа, а также работа Ramachandran [1402] послужила основой из-

Библиографические комментарии
477
ложения части результатов §10.5. В работе Ramachandran [1403] было
отмечено, что пример 10.6.5, построенный в [1328], решает проблему,
поставленную В.В. Сазоновым в [277], т.е. существуют совершенное
вероятностное пространство и ег-алгебра, для которых нет регулярных
условных вероятностей в смысле Дуба.
В работах Schwartz [1505], Valadier [1666] и Edgar [697]
рассматривались дезинтегрирования на произведениях пространств. В Dieudonne
[658], а также в [697], [1505], [1507] изучение дезинтегрирований
основано на векторнозначных мерах и теоремах Радона-Никодима для
таких мер (вместо лифтингов). Дезинтегрирования для неограниченных
мер изучены в работе Saint-Pierre [1481]. В работе Adamski [383] дана
характеризация совершенных мер посредством условных мер.
Существование лифтинга для меры Лебега на отрезке доказал фон
Нейман в [1291]. Магарам [1192] нашла доказательство в общем
случае, существенно более сложном, чем случай меры Лебега (она
отмечала, что ранее фон Нейман излагал устно свое доказательство, которое
не было записано и детали которого неизвестны). Вскоре другое
доказательство дали А. и С. Ионеску-Тулчи (см. [956], [959]). Несколько
более элементарное доказательство было предложено в Traynor [1655].
Теории лифтингов посвящена книга A. Ionescu Tulcea, С. Ionescu Tulcea
[959]. Обширный материал собран также в книгах Левин [189], Fremlin
[795]. В литературе можно найти различные доказательства
существования лифтинга; в дополнение к перечисленным источникам см. также
Dinculeanu [663], Jacobs [962], Sion [1544]. О теории лифтингов, в
частности, о лифтингах с дополнительными свойствами (например,
согласованных с произведениями пространств) см. также Burke [538], [539],
Edgar, Sucheston [703], Grekas, Gryllakis [862], [863], Losert [1167],
[1168], Macheras, Strauss [1183], [1184], [1185], Sapounakis [1487],
Talagrand [1612], [1613]. Вопросы измеримости, связанные с лифтин-
гами, рассмотрены в Cohn [594], [595], Talagrand [1615].
§10.7. Теорема Ионеску Тулчи о переходных вероятностях была
получена в [960] и затем обобщалась разными авторами (см., например,
Jacobs [962], Ershov [719]). Эта теорема изложена во многих книгах,
наше изложение следует Неве [229].
§10.8. Измеримые разбиения играют важную роль в эргодической
теории, в частности, в вопросах классификации динамических систем;
см. цитированные книги по эргодической теории и работу Вершик [70].
§10.9. Теорема Пуанкаре о возвращении была открыта им в связи
с рассмотрением систем классической механики (см. [1369, ее. 67-72]
или с. 314, т. 7 собр. соч.; пер. в Пуанкаре [251, гл. XXVI]), но его
рассуждения с очевидными изменениями применимы и в общем случае, что
было понято в Caratheodory [556] (см. т. 4 в [558]). Теорема 10.9.4,
называемая теоремой Биркгофа-Хинчина или теоремой Биркгофа, была
получена в работе BirkhofT [476] (перевод этой работы есть в Бирк-

478
Библиографические комментарии
гоф [38]) в несколько менее общем виде и вскоре была обобщена (с
некоторым упрощением и прояснением доказательства при сохранении
основной идеи) в Khinchin [1046]. В последующие годы были получены
многочисленные интересные применения и обобщения этой теоремы; из
более старых работ укажем лишь Hartman, Marczewski, Ryll-Nardzewski
[902] и Riesz [1446], где рассматривались, в частности, преобразования
отрезка с мерой Лебега, а современную библиографию можно найти в
цитированных в §10.9 книгах. Обзор оценок скорости сходимости в эр-
годических теоремах дан в Качуровский [154]. Важными работами в
этом направлении являются также Иванов [139], [140] и Bishop [477].
§10.10. Понятие независимости (функций, множеств, <7-алгебр)
является одним из центральных в теории вероятностей, оно важно и в
теории меры. Связанные с этим понятием вопросы теории меры изучались
во многих работах. Из старых работ функционально-аналитического
характера укажем Banach [433], [434], Fichtenholz, Kantorovitch [748],
Кае [1002], Кае, Steinhaus [1003], Marczewski [1206], [1207], [1209],
число же вероятностных по духу работ даже трудно оценить.
В Fremlin [793] дано иное доказательство теоремы 10.10.6, также
использующее дезинтегрирование.
Приведенное доказательство теоремы 10.10.16, полученной в работе
Hewitt, Savage [929], заимствовано из Letta [1144].
Ряд близких результатов к теореме Комлоша получен в Chatterji
[568], [571], [572], Гапошкин [82]. Интересные и весьма широкие
обобщения этой теоремы получены также в работах Aldous [391], Berkes,
Peter [466], Peter [1340].
Гиббсовские меры — весьма популярный объект в литературе по
теории вероятностей и статистической физике, возникший в работах
Добрушина [109], [НО] и Ланфорда и Рюэля [1105] и исследовавшийся
многими авторами. С этим направлением можно познакомиться по
книгам Георги [85], Синай [284], [285], Preston [1384], Pram, Fort [1388].

Литература
[1]* Акилов Г.П., Макаров Б.М., Хавин В.П. Элементарное введение в
теорию интеграла. Изд-во ЛГУ, Л., 1969; 348 с. г
[2] Александров А.Д. К теории смешанных объемов .выпуклых тел. Ма-
тем. сб. 1937. Т. 2, N 5. С. 947-972. [I: 482; П: 466] 2'3
[3] Александров А.Д. Additive set Junctions in abstract spaces. Матем. сб.
1940. Т. 8E0). С. 307-348; ibid. 1941. Т. 9E1). С. 563-628; ibid. 1943.
Т. 13E5). С. 169-238. [I: 474, 480, 481; П: 79, 130, 136, 163, 204, 210,
278, 456, 457, 461, 465, 466, 468]
[4]* Александров А.Д. О мере, внутренности и границе. Сиб. матем.
журн. 1983. Т. 24, N 5. С. 12-14.
[5] Александров П.С. Введение в общую топологию и теорию множеств.
Наука, М., 1977; 368 с. [I: 89; П: 9, 15, 18]
[6]* Александров П.С, Колмогоров А.Н. Введение в теорию функций
действительного переменного. ГТТИ, М., 1932; 270 с. C-е изд.: М., 1938).
[7]* Александрова Д.Е., Богачев В.И., Пилипенко А.Ю. О сходимости
индуцированных мер по вариации. Матем. сб. 1999. Т. 190, N 9. С. 3-
20.
[8]* Алексюк В.Н. Функции множества. Ленинградский пед. ин-т им. А.И.
Герцена, Л., 1982; 78 с.
[9]* Арешкин Г.Я. Вполне аддитивные функции множества и интеграл
Лебега-Радона. Тр. Тбилисского матем. ин-таим. A.M. Размадзе. 1946.
Т. 14. С. 173-213.
[10]* Арешкин Г.Я. К вопросу о возможности перестановки знаков
предела и полной вариации в теории вполне аддитивных функций
множества. Успехи мат. наук. 1949. Т. 4, N 3. С. 134-135.
[11]* Арешкин Г.Я. К теории меры В-множеств. Сообщ. АН ГССР. 1949.
Т. 7, N 8. С. 505-506.
1 Звездочкой отмечены работы, цитируемые лишь в томе 1, где указаны
и страницы цитирования.
2Названия статей набраны курсивом в отличие от названий книг.
3В квадратных скобках курсивом указаны номера страниц, на которых
цитируется данная работа, причем для работ, цитируемых в обоих томах,
метки I и II указывают на том; для работ, цитируемых лишь в томе 2, все
указываемые страницы относятся, разумеется, к этому тому.

Список литературы
[12]* Арешкин Г.Я. О переходе к пределу под знаком интеграла Лебега-
Радона. Сообщ. АН ГССР. 1949. Т. 10, N 2. С. 69-76.
[13]* Арешкин Г.Я. О сходимости кривых по длине и о криволинейном
интеграле Лебега. ДАН СССР. 1950. Т. 72, N 5. С. 821-824.
[14]* Арешкин Г.Я. О компактности семейства вполне аддитивных
функций множества. Ученые зап. Ленинградского пед. ин-та им. А.И.
Герцена. 1962. Т. 238. С. 102-118.
[15]* Арешкин Г.Я., Алексюк В.Н., Климкин В.М. О некоторых свойствах
векторнозначных мер. Ученые зап. Ленинградского пед. ин-та им.
А.И. Герцена. 1971. Т. 404. С. 298-321.
[16] Арнольд В.И., Авец А. Эргодические проблемы классической
механики. Ижевская республ. типогр., Ижевск, 1999; 281 с. [421]
[17] Арсенин В.Я., Ляпунов А.А. Теория А-множеств. Успехи мат. наук.
1950. Т. 5. С. 45-108. [52, 453, 455]
[18] Архангельский А.В., Пономарев В.И. Основы общей топологии в
задачах и упражнениях. Наука, М., 1974; 423 с. [18, 19, 198]
[19]* Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по
математическому анализу. Высш. шк., М., 2000; 696 с.
[20] Афанасьева Л.Г., Петунии Ю.Г. а-алгебры, порожденные сравнимыми
нормированными топологиями. Тр. Ин-та матем. Воронежск. ун-та.
1971. N 1. С. 3-11. [454]
[21]* Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. ГИТТЛ, М.-Л., 1947;
324 с.
[22]* Ахиезер Н.И. Классическая проблема моментов и некоторые вопросы
анализа, связанные с нею. Физматлит, М., 1961; 310 с.
[23] Банах С. Мера Хаара. Приложение I к [280]. С. 454-462. [474]
[24] Банах С. Интеграл Лебега в абстрактном пространстве.
Приложение П к [280]. С. 463-477. [I: 475; П: 461]
[25]* Банах С. Теория линейных операций. НИЦ „Регулярная и хаотическая
динамика", Ижевск, 2001; 262 с.
[26] Банах Т.О. Топология пространств вероятностных мер. I, П. Матем.
Студии (Львов). 1995. N 5. С. 65-87, 88-106. [258, 470]
[27] Банах Т.О., Богачев В.И., Колесников А.В. О топологических
пространствах со свойствами Прохорова и Скорохода. Докл. РАН. 2001.
Т. 380, N 6. С. 727-730. [232, 468, 469]
[28] Банах Т.О., Коти Р. Топологическая классификация пространств
вероятностных мер на коаналитических множествах. Мат. заметки.
1994. Т. 55, N 1. С. 9-19. [470]
[29] Банах Т.О., Радул Т.Н. Топология пространств вероятностных мер.
Матем. сб. 1997. Т. 188, N 7. С. 23-46. [470]
[30] Банах Т.О., Радул Т.Н. Геометрия отображений пространств
вероятностных мер. Матем. Студии (Львов). 1999. Т. 11, N 1. С. 17-30.
[258, 470]
31]* Бари Н.К. Тригонометрические ряды. Физматгиз, М., 1961; 936 с.
32] Баушев А.Н. О слабой сходимости мер в банаховом пространстве.
Зап. научн. семин. С.-Петербургского отд. матем. ин-та им. В.А. Стек-
лова. 1999. Т. 260. С. 17-30. [470]

Список литературы
481
[33] Березанский И.А. Меры на равномерных пространствах и
молекулярные меры. Тр. Моск. матем. об-ва. 1968. Т. 19. С. 1-40. [466]
[34]* Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский СМ. Интегральные
представления функций и теоремы вложения. Наука, М., 1975; 480 с.
[35] Биллингслей П. Эргодическая теория и информация. Мир, М., 1969;
239 с. [421, 449]
[36] Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. Наука, М., 1977; 352 с.
[67, 468]
[37]* Биркгоф Г. Теория решеток. Мир, М., 1984; 568 с.
[38] Биркгоф Д. Динамические системы. Изд. дом „Удмуртский
университет", Ижевск, 1999; 408 с. [472, 47%
[39]* Бобынин М.Н. Об одной теореме теории вполне аддитивных
функций множества. Успехи мат. наук. 1952. Т. 7, N 3. С 113-120.
[40] Богачев В.И. Показатели асимметричности устойчивых мер. Мат.
заметки. 1986. Т. 40, N 1. С. 127-138. [465]
[41] Богачев В.И. Локально выпуклые пространства со свойством ЦПТ и
носители мер. Вестн. МГУ, мат., мех. 1986. N 6. С. 16-20. [462]
[42] Богачев В.И. Гауссовские меры. Наука, М., 1997; 352 с. [I: 236, 482; II:
118, 167, 169, 437, 452, 465, 466, 474]
[43] Богачев В.И., Колесников А.В. Открытые отображения
вероятностных мер и теорема представления Скорохода. Теория вероятн.
и ее примен. 2001. Т. 46, N 1. С. 3-27. [229, 232, 255, 258, 259, 468]
[44] Богачев В.И., Простов Ю.И. Полиномиальный диффеоморфизм шара
без инвариантных мер. Функц. анал. и его прил. 1989. Т. 23, N 4.
С. 75-76. [348]
[45] Богачев В.И., Смоляное О.Г. Аналитические свойства
бесконечномерных распределений. Успехи мат. наук. 1990. Т. 45, N 3. С. 3-83.
[193, 462]
[46]* Боголюбов А.Н. Математики. Механики. Биогр. справ. Наукова
Думка, Киев, 1983.
[47] Боровков А.А. Сходимость мер и случайных процессов. Успехи мат.
наук. 1976. Т. 31, N 2. С 1-69. [470]
48]* Боровков А.А. Теория вероятностей. Наука, М., 1986; 432 с.
49]* Бохнер С. Лекции об интегралах Фурье. ГИФМЛ, М., 1962; 360 с. A-е
нем. изд.: Leipzig, 1932).
[50]* Брезис X. Как распознать постоянные функции. Связь с
пространствами Соболева. Успехи матем. наук. 2002. Т. 54, N 4. С. 59-84.
[51]* Брудно А.Л. Теория функций действительного переменного. Наука,
М., 1971; 120 с.
[52] Буддыгин В.В. Сходимость случайных элементов в топологических
пространствах. Наукова думка, Киев, 1980; 239 с. [60, 462]
[53] Булдыгин В.В. Носители вероятностных мер в сепарабельных
банаховых пространствах. Теория вероятн. и ее примен. 1984. Т. 29, N 3.
С. 528-532. [462]
[54]* Булдыгин В.В., Харазишвили А.Б. Неравенство Брунна-Минковско-
го и его приложения. Наукова думка, Киев, 1985; 197 с.
[55]* Бураго Д.М., Залгаллер В.А. Геометрические неравенства. Наука, Л.,
1980; 288 с.

Список литературы
[56] Бурбаки Н. Интегрирование. Наука, М., 1967, 1970, 1977; 396 с, 320 с,
600 с. A-е фр. изд.: Bourbaki N. Integration. Ch. I-IV, V, VI, VH-VHI.
Hermann et Cie, Paris, 1952, 1956, 1959, 1963; ii+237+v p., ii+131 p.,
108 p., 222 p.) [I: 464; П: 72, 151, 191, 456, 457, 461, 464, 466, 472, 473,
474]
[57]* Буренков В.И. О суперпозиции абсолютно непрерывных функций и о
суперпозиции функций с ограниченной вариацией. ДАН СССР. 1969.
Т. 189, N 2. С. 234-236.
[58]* Буренков В.И. Об интегрировании по частям и возникающей в связи
с этим задаче о суперпозиции абсолютно непрерывных функций. Тр.
Матем. инст. им. В.А. Стеклова АН СССР. 1975. Т. 134. С. 38^6.
[59] Бэр Р. Теория разрывных функций. ГТТИ, М.-Л., 1932; 133 с. A-е
фр. изд.: Baire R. Lecons sur les functions discontinues, Gauthier-Villars,
Paris, 1904). [I: 182; II: 23]
[60] Ваге М.Л. Произведение пространств Радона. Успехи мат. наук. 1980.
Т. 35, N 3. С. 151-153. [163]
[61] Валландер С.С. Вычисление расстояния по Вассерштейну между
распределениями вероятностей на прямой. Теория вероятн. и ее при-
мен. 1973. Т. 18. С. 824-827. [471]
[62]* Валле-Пуссен Ш.-Ж. Курс анализа бесконечно малых. Т. 1,2. Госте-
хиздат, М.-Л., 1933; 464 с, 463 с.
[63] Варадарайн B.C. Меры на топологических пространствах. Матем. сб.
1961. Т. 55. С. 35-100. [192, 226, 278, 457, 461, 467, 469]
[64] Вассерштейн Л.Н. Марковские процессы над счетными
произведениями пространств, описывающие большие системы автоматов.
Пробл. передачи информ. 1969. Т. 5, N 3. С. 64-72. [468]
[65] Вахания Н.Н. Вероятностные распределения в линейных
пространствах. Мецниереба, Тбилиси, 1971; 156 с. [461, 462]
[66] Вахания Н.Н., Тариеладзе В.И. Ковариационные операторы
вероятностных мер в локально выпуклых пространствах. Теория вероятн.
и ее примен. 1978. Т. 23. С. 3-26. [168, 169]
[67] Вахания Н.Н., Тариеладзе В.И., Чобанян С.А. Вероятностные
распределения в банаховых пространствах. Наука, М., 1984; 368 с. [151, 151,
169, 173, 193, 198, 457, 461, 462, 465, 466, 468]
[68] Вейль А. Интегрирование в топологических группах и его применение.
ИЛ, М., 1950; 222 с. [456, 4П]
[69] Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов. Наука, М., 1975;
320 с. [118]
[70] Вершик A.M. Теория убывающих последовательностей измеримых
разбиений. Алгебра и анализ. 1994. Т. 6. N 4. С. 1-68. [477]
[71] Вершик A.M. Универсальное пространство Урысона, метрические
тройки Громова и случайные метрики на натуральном ряде. Успехи
мат. наук. 1998. Т. 53, N 5. С. 57-64. [473]
[72] Вершик A.M., Корнфельд И.П., Синай Я.Г. Общая эргодическая
теория групп преобразований с инвариантной мерой. Соврем, пробл.
математики. Фундаментальные направления. Т. 2. С. 5-111. ВИНИТИ,
М., 1985. [421]

"писок литературы
483
[73] Вершик A.M., Судаков В.Н. Вероятностные меры, в
бесконечномерных пространствах. Зап. научн. семинаров Ленингр. отд. мат. ин-та
АН СССР. 1969. Т. 12. С. 7-67. [461]
[74] Винер Н., Пэли Р. Преобразование Фурье в комплексной области.
Наука, М., 1964; 268 с. [I: 481; II: 460, 4Щ
[75] Винокуров В.Г. Компактные меры и произведения пространств
Лебега. Матем. сб. 1967. Т. 74. С. 434-472. [349, 458, 473]
[76] Винокуров В.Г., Махкамов Б.М. О пространствах с совершенной, но
не компактной мерой. Научн. зап. Ташкент, ин-та народы, хоз-ва.
1973. N 7. С. 97-103. [107, 458]
[77] Владимиров Д.А. Булевы алгебры. Наука, М., 1969; 319 с. [I: 472; II:
307, 355]
[78]* Вольберг А.Л., Конягин СВ. На любом компакте в И" существует
однородная мера. ДАН СССР. 1984. Т. 278, N 4. С. 783-786.
[79]* Вольберг А.Л., Конягин СВ. О мерах с условием удвоения. Известия
АН СССР. 1987. Т. 51, N 3. С. 666-675.
[80]* Вулих Б.З. Краткий курс теории функций вещественной переменной.
Наука, М., 1973; 352 с.
[81]* Гапошкин В.Ф. Лакунарные ряды и независимые функции. Успехи
мат. наук. 1966. Т. 21, N 6. С. 3-83.
[82] Гапошкин В.Ф. Сходимость и предельные теоремы для
подпоследовательностей случайных величин. Теория вероятн. и ее примен. 1972.
Т. 17, N 3. С. 401-423. [I: 485; II: 451, 478]
[83]* Гельбаум Б., Олмстед Дж. Контрпримеры в анализе. Мир, М., 1967;
252 с.
[84] Гельфанд И.М., Виленкин Н.Я. Обобщенные функции. Т. 4.
Приложения гармонического анализа. Наука, М., 1961; 465 с. [461]
[85] Георги Х.-О. Гиббсовские меры и фазовые переходы. Мир, М., 1992;
623 с. [478]
[86]* Гихман И.И. Введение в общую теорию меры и интеграла. Донецкий
гос. ун-т, Донецк, 1971; 171 с.
[87]* Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов.
Физматгиз, М., 1965.
[88] Гихман И.И., Скороход А.В. Теория случайных процессов. Т. 1. Наука,
М., 1971; 664 с. [118, 468]
[89]* Глазков В.Н. О внутренних и внешних мерах. Сиб. матем. журн.
1988. Т. 29, N 1. С. 197-201.
[90]* Гливенко В.И. Интеграл Стильтьеса. ОНТИ, М.-Л., 1936; 216 с.
[91] Гливенко Е.В. О мере типа Хаусдорфа. Матем. сб. 1956. Т. 39, N 4.
С 423-432. [464]
[92] Гнеденко Б.В., Колмогоров А.Н. Предельные распределения для сумм
независимых случайных величин. ГИТТЛ, М., 1949; 264 с. [I: 463; II:
456, 458]
[93] Го X. Гауссовские меры в банаховых пространствах. Мир, М., 1979;
176 с. [461]
[94]* Гогуадзе Д.Ф. Об интегралах Колмогорова и их некоторых
приложениях. Мецниереба, Тбилиси, 1979; 288 с.

484
Список литературы
[95] Гольдштейн В.М., Решетник Ю.Г. Введение в теорию функций с
обобщенными производными и квазиконформные отображения. Наука, М.,
1983; 285 с. [I: 436; II: 167]
[96] Горин Е.А., Колдобский А.Л. О потенциалах мер в банаховых
пространствах. Сиб. матем. журн. 1987. Т. 28, N 1. С. 65-80. [465]
[97]* Гохман Э.Х. Интеграл Стилтьеса и его применения. Физматгиз, М.,
1958; 192 с.
[98]* Грауэрт Г., Либ И., Фишер В. Дифференциальное и интегральное
исчисление. Мир, М., 1971. 680 с.
[99] Гренандер У. Вероятности на алгебраических структурах. Мир, М.,
1965; 276 с. [461]
[100] Гринлиф Ф.П. Инвариантные средние на топологических группах и
их приложения. Мир, М., 1969; 137 с. [360, 4Ч\
[101]* Гусман М. Дифференцирование интегралов в И". Мир, М., 1978;
200 с.
[102] Далецкий Ю.Л., Смоляное О.Г. О слабой секвенциальной полноте
пространств мер Радона. Теория вероятн. и ее примен. 1984. Т. 29,
N 1. С. 141-147. [46$
[103] Далецкий Ю.Л., Фомин СВ. Меры и дифференциальные уравнения
в бесконечномерных пространствах. Наука, М., 1983; 383 с. [151, 462,
468, 46$
[104] Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. I. Общая теория. ИЛ,
М., 1962; 896 с. [I: 329, 330, 370, 463, 466, 472, 474, 485, 486; П: 136,
355, 399, 461}
[105] Деллашери К. Емкости и случайные процессы. Мир, М., 1975; 192 с.
[167, 454, 455[
[106]* Демидов С.С., Левшин Б.В. Дело академика Николая
Николаевича Лузина. Русский Христианский Гуманитарный институт,
С.-Петербург, 1999; 312 с.
[107]* Джусти Э. Минимальные поверхности и функции ограниченной
вариации. Мир, М., 1989; 240 с.
[108]* Дистель Дж. Геометрия банаховых пространств. Вища школа, Киев,
1980; 216 с.
[109] Добрушин Р.Л. Описание случайного поля при помощи условных
вероятностей и условия его регулярности. Теория вероятн. и ее примен.
1968. Т. 13, N 2. С. 201-229. [478]
[110] Добрушин Р.Л. Задание системы случайных величин при помощи
условных распределений. Теория вероятн. и ее примен. 1970. Т. 15,
N 3. С. 469-497. [478]
[111]* Долженко Е.П. Граничные свойства произвольных функций. Изв. АН
СССР. 1967. Т. 31, N 1. С. 3-14.
[112]* Дороговцев А.Я. Математический анализ. Сборник задач. Вища
школа, Киев, 1987; 408 с.
[113]* Дороговцев А.Я. Элементы теории меры и интеграла. Вища школа,
Киев, 1989; 152 с.
[114]* Дринфельд В.Г. Конечно аддитивные меры на S2 и S3,
инвариантные относительно вращений. Функц. анал. и его прилож. 1984. Т. 18.
С. 77.

Список литературы
485
[115] Дуб Дж. Вероятностные процессы. ИЛ, М., 1956; 606 с. [118, 462, 475,
476]
[116]* Дубровский В.М. О некоторых свойствах вполне аддитивных
функций множества и переходе к пределу под знаком интеграла. Изв. АН
СССР. 1945. Т. 9, N 4. С. 311-320; Замечание, ibid. 1947. Т. 11. С. 101-
104.
[117]* Дубровский В.М. О некоторых свойствах вполне аддитивных
функций множества и их применении к обобщению одной теоремы
Н. Lebesgue'a. Матем. сб. 1947. Т. 20. С. 317-330.
[118]* Дубровский В.М. О базисе семейства вполне аддитивных функций
множества и о свойствах равномерной аддитивности и
равностепенной непрерывности. ДАН СССР. 1947. Т. 58. С. 737-740.
[119]* Дубровский В.М. О свойствах абсолютной непрерывности и
равностепенной непрерывности. ДАН СССР. 1948. Т. 63. С. 483-486.
[120]* Дубровский В.М. О некоторых условиях компактности. Изв. АН
СССР. 1948. Т. 12. С. 397-410.
[121]* Дубровский В.М. О равностепенно суммируемых функциях и о
свойствах равномерной аддитивности и равностепенной непрерывности
семейства вполне аддитивных функций множества. Изв. АН СССР.
1949. Т. 13. С. 341-356.
[122]* Дубровский В.М. О непрерывности определенных интегралов,
зависящих от параметра. ДАН СССР. 1949. Т. 66. С. 149-152.
[123]* Дубровский В.М. О свойстве равностепенной непрерывности
семейства вполне аддитивных функций множества относительно
собственного и несобственного базисов. ДАН СССР. 1951. Т. 76. С. 333-
336.
[124]* Дубровский В.М. Об одном свойстве формулы Никодима. ДАН
СССР. 1952. Т. 85. С. 693-696.
[125]* Дубровский В.М. О наилучшей мажоранте семейства вполне
аддитивных функций множества. Уч. зап. МГУ. 1952. Т. 163 F). С. 89-98.
[126] Дынкин Е.Б. Марковские процессы. ГИФМЛ, М., 1963; 860 с. [456]
[127]* Дьяченко М.И., Ульянов П.Л. Мера и интеграл. Факториал, М., 1998;
160 с.
[128] Евстигнеев И.В. Теоремы измеримого выбора и вероятностные
модели управления в общих топологических пространствах. Матем. сб.
1986. Т. 131, N 1. С. 27-39. [57]
[129] Ерохин В.Д. Заметка к теории меры. Успехи мат. наук. 1961. Т. 16,
N 3. С. 175-180. [457]
[130] Ершов М.П. Продолжения мер и стохастические уравнения. Теория
вероятн. и ее примен. 1974. Т. 19, N 3. С. 457-471. [472, 474]
[131]* Заманский М. Введение в современную алгебру и анализ. Наука, М.,
1974; 487 с.
[132] Захаров В.К., Михалев А.В. Проблема общего радоновского
представления для произвольного хаусдорфового пространства. Изв. РАН.
1999. Т. 63, N 5. С. 37-82. [461]
[133]* Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. 1,2. Мир, М., 1965; 616 с,
538 с.
[134] Золотарев В.М. Одномерные устойчивые распределения. Наука, М.,
1983; 304 с. [175]

Список литературы
[135] Золотарев В.М. Вероятностные метрики. Теория вероятн. и ее при-
мен. 1983. Т. 28, N 2. С. 264-287. [471]
[136] Золотарев В.М. Современная теория суммирования независимых
случайных величин. Наука, М., 1986; 416 с. [471]
[137]* Зорич В.А. Математический анализ. Т. 1,2. Наука, М., 1981, 1984;
544 с, 640 с.
[138]* Иванов В.В. Геометрический признак измеримости по Жордану.
Сиб. матем. журн. 1983. Т. 24, N 5. С. 48^*9.
[139] Иванов В.В. Колебания средних в эргодической теореме. Докл. РАН.
1996. Т. 347, N 6. С. 736-738. [47%
[140] Иванов В.В. Геометрические свойства монотонных функций и
вероятности случайных колебаний. Сиб. матем. журн. 1996. Т. 37, N 1.
С. 117-150. [426, 478]
[141]* Иванов Л.Д. Вариации множеств и функций. Наука, М., 1975; 352 с.
[142]* Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Ч. П.
Наука, М., 2000; 448 с.
[143] Иржина М. Условные вероятности на алгебрах со счетным базисом.
Чехосл. матем. журн. 1954. Т. 4 G9). С. 372-380. [476]
[144]* Йех Т. Теория множеств и метод форсинга. Мир, М., 1973; 150 с.
[145] Какосян А.В., Клебанов Л.В., Рачев СТ. Количественные критерии
сходимости вероятностных мер. Айастан, Ереван, 1988; 249 с. [471]
[146]* Камке Е. Интеграл Лебега-Стилтьеса. ГИФМЛ, М., 1959; 328 с.
[147]* Кановей В.Г. Аксиома выбора и аксиома детерминированности.
Наука, М., 1984; 65 с.
[148] Канторович Л.В. О перемещении масс. ДАН СССР. 1942. Т. 37, N 7-8.
С. 227-229. [468]
[149] Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. Наука, М.,
1977; 744 с. [468]
[150] Канторович Л.В., Рубинштейн Г.Ш. Об одном функциональном
пространстве и некоторых экстремальных задачах. ДАН СССР. 1957.
Т. 115, N 6. С. 1058-1061. [468]
[151] Канторович Л.В., Рубинштейн Г.Ш. Об одном пространстве вполне
аддитивных функций множества. Вестник ЛГУ. 1958. N 7, вып. 2.
С. 52-59. [468, 471]
[152] Каток А.В., Стенин A.M. Метрические свойства сохраняющих меру
гомеоморфизмов. Успехи мат. наук. 1970. Т. 25. С. 191-220. [473]
[153] Кац М.П. Непрерывность универсально измеримых ликейныа:
отображений. Сиб. матем. журн. 1982. Т. 23, N 3. С. 83-90; исправление:
ibid., 1983. Т. 24, N 3. С. 217. [194]
[154] Качуровский А.Г. Скорости сходимости в эргодических теоремах.
Успехи мат. наук. 1996. Т. 51, N 4. С. 73-124. [478]
[155]* Кашин B.C., Саакян А.А. Ортогональные ряды. Наука, М., 1984;
496 с.
[156]* Кириллов А.А., Гвшпиани А.Д. Теоремы и задачи функционального
анализа. Наука, М., 1979; 384 с.
[157]* Клементьев З.И. Курс лекций по теории функций действительного
переменного. Томск, 1968; 251 с.

Список литературы
487
[158]* Климкин В.М. Введение в теорию функций множества. Изд-во
Саратовского гос. ун-та, Куйбышев, 1989; 210 с.
[159]* Кованько А.С. Интеграл Лебега. Книжно-журн. изд-во, Львовский
гос. ун-т, Львов, 1951; 204 с.
[160]* Кованько А.С, Соколов И.Г. Теория функций действительного
переменного и основы функционального анализа. Изд. Львовского ун-та,
.Львов, 1961; 404 с.
[161] Колесников А.В. О топологических свойствах пространства
Скорохода. Теория вероятн. и ее примен. 1998. Т. 43, N 4. С. 781-786. [61\
[162] Колмогоров А.Н. Общая теория меры и исчисление вероятностей.
Тр. Коммун, акад. Разд. мат. 1929. Т. 1. С. 8-21 (см. [168]). [I: 470; П:
[163]* Колмогоров А.Н. Лекции по курсу Анализ-Ш. МГУ, М., 1946-1947.
[164]* Колмогоров А.Н. К изложению основ лебеговской теории меры.
Успехи мат. наук. 1950. Т. 5, N 1. С. 211-213.
[165] Колмогоров А.Н. Теорема о сходимости условных математических
ожиданий и некоторые ее применения. Доклад на Первом конгрессе
венгерских математиков, ее. 367-376. Akademiai Kiado, Budapest, 1950.
\т
[166] Колмогоров А.Н. Основы теории вероятностей. 2-е изд. Наука,
М., 1964; 120 с. (пер. с нем. яз. Kolmogoroff A. Gnmdbegriffe der
Wahrscheinlichkeitsreclmung. Springer, Berlin, 1933). [I: 470, 481; II:
461, 475]
[167] Колмогоров А.Н. Замечание о работах Р.А. Минлоса и В.В. Сазонова.
Теория вероятн. и ее примен. 1959. Т. 4, N 2. С. 237-239. [150, 462]
[168]* Колмогоров А.Н. Избранные труды. Математика и механика. Теория
вероятностей и математическая статистика. Наука, М., 1985, 1986.
[169]* Колмогоров А.Н., Фомин СВ. Элементы теории функций и
функционального анализа. 4-е изд. Наука, М., 1976; 544 с.
[170]* Колодий A.M. Основы общей теории меры и интеграла.
Волгоградский гос. ун-т, Волгоград, 1999; 135 с.
[171] Корнфельд И.П., Синай Я.Г., Фомин СВ. Эргодическая теория.
Наука, М., 1980; 384 с. [421]
[172] Коровкин П.П. Обобщение теоремы Д. Ф. Егорова. ДАН СССР. 1947.
Т. 58, N 7. С. 1265-1267. [465]
[173]* Красносельский М.А., Рутицкий Я.Б. Выпуклые функции и
пространства Орлича. ГИФМЛ, М., 1958; 272 с.
[174] Круглое В.М. Дополнительные главы теории вероятностей. Высш.
пж., М., 1984; 264 с. [462, 465, 468]
[175]* Кругова Е.П. О дифференцируемости выпуклых мер. Мат. заметки.
1995. Т. 57, N 6. С. 51-61.
[176] Крылов Н.В. О регулярности условных вероятностей для случайных
процессов. Теория вероятн. и ее примен. 1973. Т. 18, N 1. С 151-155.
шъ
[177]* Кудрявцев Л.Д. О р-вариации отображений и суммируемости
степеней производной Радона-Никодима. Успехи мат. наук. 1955. Т. 10,
N 2. С. 167-174.

Список литературы
[178]* Кудрявцев Л.Д., Кащенко Ю.Д. О замене переменных в интеграле
Лебега. ДАН СССР. 1952. Т. 84, N 5. С. 869-871.
[179]* Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник
задач по математическому анализу. Функции нескольких переменных.
Наука, Физматлит, М., 1995; 496 с.
[180] Кулакова В.Г. О регулярности условных вероятностей. Вестник
ЛГУ. 1976. N 1A). С. 16-20. [476]
[181] Куратовский К. Топология. Т. 1. Мир, М., 1966; 595 с. [9, 17, 22, 43,
70, 75, Ц6, 318, 453]
[182]* Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. Мир, М., 1970;
416 с.
[183]* Кусраев А.Г., Малюгин С.А. Некоторые вопросы теории векторных
мер. Ин-т матем. СО АН СССР, Новосибирск, 1988; 182 с.
[184]* Лаврентьев М.М., Савельев Л.Я. Теория операторов и некорректные
задачи. Ин-т математики СО РАН, Новосибирск, 1999; 702 с.
[185]* Ламперти Дж. Вероятность. Наука, М., 1973; 184 с.
[186]* Лебег А. Интегрирование и отыскание примитивных функций. ГТТИ,
М.-Л., 1934; 324 с.
[187] Лебедев В. А. Мартингалы, сходимость вероятностных мер и
стохастические уравнения. Изд-во МАИ, М., 1996; 348 с. [67, 468]
[188] Леви П. Конкретные проблемы функционального анализа. Наука, М.,
1967; 512 с. A-е франц. изд.: Levy P. Problemes concrete d'analyse
fonctionnelle. Paris, 1922). [467]
[189] Левин В.Л. Выпуклый анализ в пространствах измеримых функций
и его применение в математике и экономике. Наука, М., 1985; 352 с.
[449, 455, 477]
[190]* Лейхтвейс К. Выпуклые множества. Наука, М., 1985; 336 с.
[191] Ле-Кам Л. Сходимость по распределению случайных процессов.
Математика. 1960. Т. 4, N 3. С. 107-142. [226, 467, 469]
[192]* Леман Э. Проверка статистических гипотез. Наука, М., 1964; 500 с.
[193]* Леонтьева Т.А., Панферов B.C., Серов B.C. Задачи по теории
функций действительного переменного. Изд-во МГУ, М., 1997; 208 с.
[194] Лифшиц М.А. Гауссовские случайные функции. TBiMC, Киев, 1995;
246 с. [465]
[195] Лозановский Г.Я. Нормальные меры в произведении бикомпактов.
Изв. ВУЗ'ов. Матем. 1975. N 7. С. 114-116. [192]
[196] Лоэв М. Теория вероятностей. ИЛ, М., 1962; 720 с. [I: 8, 464; П: 4Щ
[197]* Лузин Н.Н. К основной теореме интегрального исчисления. Матем.
сб. 1912. Т. 28. С. 266-294.
[198] Лузин Н.Н. Интеграл и тригонометрический ряд. М., 1915 B-ое изд.
с коммент.: ГИТТЛ, М., 1951; 551 с; 1-е изд. опубл. также в Матем.
сб. 1916. Т. 30, N 1. С. 1-242). [I: 379, 442, 452, 455, 461, 488; И: 474]
[199] Лузин Н.Н. Лекции об аналитических множествах и их приложениях.
ГИТТЛ, М., 1953; 360 с. A-е изд.: Lecons sur les ensembles analytiques.
Gauthier-Villars, Paris, 1930). [55, 74, 453, 455]
[200]* Лузин Н.Н. Теория функций действительного переменного. 2-е изд.
Учпедгиз, М., 1948; 319 с.

Список литературы
[201] Лузин Н.Н. Собрание сочинений. Т. 1-3. Физматгиз, М., 1953, 1958,
1959. [I: 460; П: 453]
[202]* Лукач Е. Характеристические функции. Наука, М., 1979; 424 с. \
[203]* Лукашенко Т.П. Сходимость почти всюду рядов Фурье функций,
суммируемых с квадратом. Изд-во МГУ, М., 1978; 111 с.
[204]* Лянце В.Э. Интеграл Лебега-Стильтьеса. Львовский гос. ун-т, Львов,
1973; 120 с.
[205] Ляпунов A.M. Вопросы теории множеств и теории функций. Наука,
М., 1979; 264 с. [453]
[206]* Мазья В.Г. Пространства С.Л. Соболева. Изд-во ЛГУ, Л., 1985; 416 с.
[207]* Макаров Б.М., Флоринская Л.В. Теория меры и интеграла. Вып. 1:
Мера. Измеримые функции. Вып. 3: Несобственные интегралы и
интегралы, зависящие от параметра. Изд-во ЛГУ, Л., 1974, 1977; 138 с,
108 с.
[208]* Макаров Б.М., Голузина М.Г., Лодкин А.А., Подкорытов А.Н.
Избранные задачи по вещественному анализу. Наука, М., 1992; 432 с.
[209]* Макаров И.П. Теория функций действительного переменного.
Учпедгиз, М., 1958; 176 с.
[210] Марков А.А. On mean values and exterior densities. Матем. сб. 1938.
Т. 4 D6). С. 165-191. [461]
[211] Мацак И.К., Пличко А.Н. О носителе меры в банаховом
пространстве . Теория вероятн. и ее примен. 1991. Т. 36, N 2. С. 363-367. ]Ц5]
[212]* Медведев Ф.А. Развитие теории множеств в XIX веке. Наука, М.,
1965; 232 с.
[213]* Медведев Ф.А. Развитие понятия интеграла. Наука, М., 1974; 423 с.
[214]* Медведев Ф.А. Очерки истории теории функций действительного
переменного. Наука, М., 1975; 248 с.
[215]* Медведев Ф.А. Французская школа теории функций и множеств на
рубеже XIX-XX веков. Наука, М., 1976; 232 с.
[216]* Медведев Ф.А. Письма Д.Ф. Егорова к Н.Н. Лузину. Истор.-матем.
исслед. 1980. Т. 25. С. 335-361.
[217]* Медведев Ф.А. Ранняя история аксиомы выбора. Наука, М., 1982;
304 с.
[218] Мейер П.-А. Вероятность и потенциалы. Мир, М., 1973; 326 с. [I: 464;
И: 64, 167, 1Щ
[219]* Меленцов А.А., Байдосов В.А., Змеев Г.М. Элементы теории меры и
интеграла. Уральский гос. ун-т, 1980; 100 с.
[220]* Мельников М.С. О зависимости между объемом и диаметром
множеств в n-мерном банаховом пространстве. Успехи мат. наук. 1963.
Т. 18, N 4. С. 165-170.
[221]* Меньшов Д.Е. Воспоминания о молодых годах и о возникновении
Московской школы теории функций. Ист.-матем. исслед. 1983. N 27.
С. 312-333.
[222]* Мергелян С.Н. Равномерное приближение функций комплексного
переменного. Успехи мат. наук. 1952. Т. 7, N 2. С. 31-122.
[223] Минлос Р.А. Обобщенные случайные процессы и их продолжение до
меры. Тр. Моск. мат. об-ва. 1959. Т. 8. С. 497-518. [150]

490
Список литературы
[224] Муштари Д.Х. Вероятности и топологии в банаховых пространствах.
Изд-во Казанского ун-та, Казань, 1989; 152 с. [152, 463]
[225] Муштари Д.Х., Чупрунов А.Н. Достаточные топологии и нормы.
Теория вероятн. и ее примен. 1983. Т. 28, N 4. С. 700-714. [463]
[226] Наймарк М.А. Нормированные кольца. 2-е изд. Наука, М., 1968; 664 с.
1474]
[227]* Натансон И.П. Основы теории функций вещественной переменной.
ЛГУ, Л., 1941; 296 с.
[228] Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. ГТТИ, М.-
Л., 1950; 399 с. C-е изд.: Наука, М., 1974; 480 с). [I: 8, 89, 182, 453,
458, 463, 488; П: 4Ч\
[229] Неве Ж. Математические основы теории вероятностей. Мир, М., 1969;
310 с. [I: 8, 464; П: 118, 477]
[230]* фон Нейман Дж. Избранные труды по функциональному анализу.
Т. 1,П. Наука, М., 1987.
[231]* Некрасов В.Л. Строение и мера линейных точечных областей.
Томский Технологический ин-т, Томск, 1907; viii+254 с.
[232]* Никольский СМ. Курс математического анализа. Т. 1,2. Наука, М.,
1975; 432 с, 408 с.
[233] Окстоби Дж. Мера и категория. Мир, М., 1974; 158 с. [I: 121, 464; П:
465]
[234] Островский Е.И. О носителях вероятностных мер в банаховых
пространствах. ДАН СССР. 1980. Т. 225, N 6. С. 1319-1320. [195, 462]
[235]* Очан Ю.С. Сборник задач и теорем по теории функций
действительного переменного. Просвещение, М., 1965; 231 с.
[236]* Очан Ю.С. Интеграл. МГПИ, М., 1973; 313 с.
[237]* Очан Ю.С. Сборник задач по математическому анализу.
Просвещение, М., 1981; 271 с.
[238]* Панников Б.В. Пример расходимости римановских сумм. Сиб. матем.
журн. 1988. Т. 29. N 3. С. 208-210.
[239]* Партасарати К. Введение в теорию вероятностей и теорию меры. Мир,
М., 1983; 344 с.
[240] Пелчинский А. Линейные продолжения, линейные усреднения и их
применения к линейной топологической классификации пространств
непрерывных функций. Мир, М., 1970; 144 с. [230]
[241]* Песин И.Н. Развитие понятия интеграла. Наука, М., 1966; 207 с.
[242] Петров В.В. Предельные теоремы для сумм независимых случайных
величин. Наука, М., 1987; 320 с. [438]
[243]* Пинскер М.С. Информация и информационная устойчивость
случайных величин и процессов. Изд-во АН СССР. М., 1960; 204 с.
[244]* Полищук Е.М. Эмиль Борель A871-1956). Наука, Л., 1980; 168 с.
[245]* Пономарев СП. О свойстве N для гомеоморфизмов класса Wp. Сиб.
матем. журн. 1987. Т. 28, N 2. С. 140-148.
[246]* Порошкин А.Г. Теория меры и интеграла. Сыктыврский гос. ун-т,
Сыктывкар, 1996; 172 с.
[247] Пригарин СМ. Слабая сходимость вероятностных мер в
пространствах непрерывно дифференцируемых функций. Сиб. матем. журн.
1993. Т. 34, N 1. С. 140-144. [470]

Список литературы
[248] Прохоров Ю.В. Распределение вероятностей в функциональных
пространствах. Успехи мат. наук. 1953. Т. 8, N 3. С. 165-167. [456]
[249] Прохоров Ю.В. Сходимость случайных процессов и предельные
теоремы теории вероятностей. Теория вероятн. и ее примен. 1956. Т. 1,
N 2. С. 177-238. [232, 343, 456, 461, 462, 466, 46$
[250] Прохоров Ю.В., Сазонов В.В. Некоторые результаты, связанные с
теоремой Бохнера. Теория вероятн. и ее примен. 1961. Т. 6, N 1. С. 87-
93. [462]
[251] Пуанкаре А. Избранные труды в трех томах. Т. П. Наука, М., 1972;
1000 с. [477]
[252]* Пугачев B.C. Лекции по функциональному анализу. Изд-во МАИ, М.,
1996; 744 с.
[253] Pao М.М., Сазонов В.В. Теорема о проективном пределе
вероятностных пространств и ее приложения. Теория вероятн. и ее примен.
1992. Т. 38, N 2. С. 345-355. [475]
[254] Рачев СТ. Задача Монжа-Канторовича о перемещении масс и ее
применение в стохастике. Теория вероятн. и ее примен. 1984. Т. 29,
N 4. С. 625-653. [468]
[255] Решетняк Ю.Г. Общие теоремы о полунепрерывности и о сходимости
с функционалом. Сиб. матем. журн. 1967. Т. 8, N 5. С. 1051-1069. [280]
[256]* Решетняк Ю.Г. Введение в теорию интеграла Лебега. НГУ,
Новосибирск, 1975; 203 с.
[257]* Решетняк Ю.Г. N-свойство для пространственных отображений
класса W^loc. Сиб. матем. журн. 1987. Т. 28, N 5. С. 149-153.
[258] Рисе Е.А. Меры, совпадающие на шарах. Зап. научн. семин. ЛОМИ.
1989. Т. 177. Проблемы теории вероятностных распределений. XI.
С. 122-128. [465]
[259] Рисе Е.А. Принцип положительности для эквивалентных норм.
Алгебра и анализ. 2000. Т. 12, N 3. С. 146-172. [465]
[260] Рисе Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу.
М., 1954 B-е изд.: Мир, М., 1979; 589 с; 1-е франц. изд.: Budapest,
1952). [I: 196, 463; П: 459]
[261]* Роджерс К. Укладки и покрытия. Мир, М., 1968; 135 с.
[262]* Ротарь В.И. Теория вероятностей. Высш. шк., М., 1992; 368 с.
[263] Рохлин В.А. Об основных понятиях теории меры. Матем. сб. 1949.
Т. 25. С. 107-150. [313, 456, 473, 476]
[264] Рохлин В.А. Избранные вопросы метрической теории динамических
систем. Успехи мат. наук. 1949. Т. 4, N 2. С. 57-128. [455, 473]
[265] Рохлин В.А. Метрическая классификация измеримых функций.
Успехи мат. наук. 1957. Т. 12, N 2. С. 169-174. [473]
[266] Рохлин В.А. Точные эндоморфизмы пространств Лебега. Изв. АН
СССР. 1961. Т. 25. С. 499-530. [473]
[267] Рохлин В.А. Лекции по энтропийной теории преобразований с
инвариантной мерой. Успехи мат. наук. 1967. Т. 22, N 3. С. 3-56. [473]
[268] Рохлин В.А. Избранные работы. МЦНМО, М., 1999. [I: 460; П. 473]
[269]* Рудин У. Основы математического анализа. Мир, М., 1976; 320 с.

492
Список литературы
[270] Русас Дж. Контигуальность вероятностных мер. Мир, М., 1975; 256 с.
г [284]
[271] Рыбаков В.И. Некоторые свойства мер на нормированном
пространстве, обладающем свойством RN. Мат. заметки. 1977. Т. 21, N 1.
С. 81-92. [466]
[272]* Садовничий В.А. Теория операторов. Высш. шк., М., 1999; 368 с.
[273]* Садовничий В. А., Григорьян А. А., Конягин СВ. Задачи студенческих
математических олимпиад. Изд-во МГУ, М., 1987; 312 с.
[274] Садовничий Ю.В. О норме Канторовича для знакопеременных мер.
ДАН СССР. 1999. Т. 368, N 4. С. 459-461. [471]
[275] Саженков А.Н. Принцип равномерной ограниченности для
топологических мер. Мат. заметки. 1982. Т. 31, N 2. С. 263-267. [273]
[276] Сазонов В.В. Замечание о характеристических функционалах.
Теория вероятн. и ее примен. 1958. Т. 3, N 2. С. 201-205. [Ц9]
[277] Сазонов В.В. О совершенных мерах. Изв. АН СССР. 1962. Т. 261, N 3.
С. 391-414. [108, 185, 433, 458, 476, 477]
[278] Сазонов В.В. Ответ на один вопрос Р.Л. Добрушина. Теория вероятн.
и ее примен. 1964. Т. 9, N 1. С. 180-181. [473]
[279] Сазонов В.В., Тутубалин В.Н. Вероятностные распределения на
топологических группах. Теория вероятн. и ее примен. 1966. Т. 11, N 1.
С. 3-55. [465]
[280] Сакс С. Теория интеграла. ИЛ, М., 1949; 495 с. [I: 74, 379, 428, 463,
470, 488; II: 472]
[281] Самородницкий А.А. Теория меры. Изд-во ЛГУ, Л., 1990; 268 с. [473]
[282] Самородницкий А.А. Теория пространств Лебега-Рохлина.
Сыктывкарский гос. ун-т, Сыктывкар, 1997; 288 с. [473]
[283] Сикорский Р. Булевы алгебры. Мир, М., 1969; 376 с. [I: 472; II: 354]
[284] Синай Я.Г. Теория фазовых переходов. Наука, М., 1980; 208 с. [478]
[285] Синай Я.Г. Современные проблемы эргодической теории. Физматлит,
М., 1995; 208 с. [421, 478]
[286] Скороход А.В. Предельные теоремы для случайных процессов. Теория
вероятн. и ее примен. 1956. Т. 1. С. 261-290. [67, 467]
[287] Скороход А.В. Исследования по теории случайных процессов. Изд-во
Киевского ун-та, Киев, 1961; 216 с. [228, 467]
[288] Скороход А.В. Интегрирование в гильбертовом пространстве. Наука,
М., 1975; 232 с. [461]
[289]* Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. 5. Гостехиздат, М.-Л..
1947; 584 с. B-е изд. М., 1959).
[290] Смолянов О.Г. Измеримые полилинейные и степенные функционалы
в некоторых линейных пространствах с мерой. ДАН СССР. 1966.
Т. 170. С. 526-529. [465]
[291] Смолянов О.Г. Измеримые линейные многообразия в произведениях
линейных пространств с мерой. Мат. заметки. 1969. Т. 5, N 5. С. 623
634. [437]
[292] Смолянов О.Г. Анализ на топологических линейных пространствах и
его приложения. МГУ, М., 1979; 86 с. [469]

Список литературы
[293] Смолянов О.Г. Теорема Гросса-Сазонова для знакопеременных
цилиндрических мер. Вестн. МГУ. Мат., мех. 1983. N 4. С. 4-12. [463]
[294] Смолянов О.Г., Фомин С.В. Меры на топологических линейных
пространствах. Успехи мат. наук. 1976. Т. 31. С. 3-56. [151, 463, 469]
[295] Смолянов О.Г., Шавгулидзе Е.Т. Простое доказательство теоремы
Тариеладзе о достаточности положительно-определенных
топологий. Теория вероятн. и ее примен. 1992. Т. 37, N 2. С. 421-424. [463]
[296]* Соболев В.И. Лекции по дополнительным главам математического
анализа. Наука, М., 1968; 288 с.
[297]* Соболев С.Л. Введение в теорию кубатурных формул. Наука, М.,
1974; 808 с.
[298] Содномов B.C. Об арифметических суммах множеств. ДАН СССР.
1951. Т. 80, N 2. С. 173-175. [7^]
[299]* Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства
функций. Мир, М., 1973; 344 с.
[300]* Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых
пространствах. Мир, М., 1974; 332 с.
[301]* Судаков В.Н. К вопросу о критериях компактности в функцит
ных пространствах. Успехи матем. наук. 1957. Т. 12, N 3. С. 221-224.
[302] Судаков В.Н. Геометрические проблемы теории бесконечномерных
вероятностных распределений. Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1976. Т. 140.
С. 1190. [266, 461, 4Щ
[303]* Суэтин П.К. Классические ортогональные многочлены. Наука, М..
1976; 328 с.
[304]* Тагамлицкий Я.А. Об интегрировании последовательностей фут
ций. ДАН СССР. 1947. Т. 57, N 1. С. 17-19.
[305] Тариеладзе В.И. О топологическом описании характеристических
функционалов. ДАН СССР. 1987. Т. 295, N 6. С. 1320-1323. [463]
[306] Тариеладзе В.И. Топологическое описание характеристических
функционалов на некоторых группах. Теория вероятн. и ее примен. 1989.
Т. 34, N 4. С. 719-730. [463]
[307]* Теляковский С. А. Сборник задач по теории функций действительного
переменного. Наука, М., 1980; 112 с.
[308]* Терехин А.П. Лекции по теории функций действительного
переменного. Саратовский гос. ун-т, Саратов, 1972; 215 с.
[309]* Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье. ГИТТЛ, М.-Л.,
1948; 479 с.
[310]* Титчмарш Е. Теория функций. 2-е изд. переработ. Наука, М., 1980;
464 с. A-е изд.: М., 1951; 1-е и 2-е англ. изд.: Oxford, 1932, 1939).
[311]* Тихомиров В.М. Открытие А-множеств. Истор.-матем. исслед.
1993. N 34. С. 129-139.
[312] Толстое Г.П. Замечание к теореме Д.Ф. Егорова. ДАН СССР. 1939.
Т. 22, N 6. С. 309-311. [I: 193; II: 191]
[313]* Толстов Г.П. К замене переменных в кратном интеграле. Успехи мат.
наук. 1950. Т. 5, N 4. С. 162-169.
[314]* Толстов Г.П. Мера и интеграл. Наука, М., 1976; 392 с.
[315] Топсо Ф. Топология и мера. Математика. 1972. Т. 16, N 4. С. 90-148.
[222, 256, 457, 466, 46$

Список литературы
[316]* Тумаков И.М. Анри Леон Лебег A875-1941). Наука, М., 1975; 119 с.
[317] Федерер Г. Геометрическая теория меры. Наука, М., 1987; 760 с. [I:
107, 281, 359, 429, 436, 44, 481, 489; II: 4П\
[318]* Федоров В.М. Теория функций и функциональный анализ. Ч. 1, 2.
МГУ, М., 2000; 184 с, 192 с.
[319] Федорчук В.В. Вероятностные меры в топологии. Успехи мат. наук.
1991. Т. 46, N 1. С. 41-80. [470]
[320] Федорчук В.В. О топологической полноте пространств мер. Изв.
РАН. 1999. Т. 63, N 4. С. 207-223. [470]
[321] Федорчук В.В., Садовничий Ю.В. О некоторых топологических и
категорных свойствах знакопеременных мер. Фундам. Прикл. Мат.
1999. Т. 5, N 2. С. 597-618. [471]
[322] Федорчук В.В., Филиппов В.В. Общая топология. Основные
конструкции. Изд-во МГУ, М., 1988; 252 с. [230, 276]
[323] Фелпс P.P. Лекции о теоремах Шоке. Мир, М., 1968; 112 с. [172]
[324]* Фихтенгольц Г.М. Определенные интегралы, зависящие от
параметра. Матем. сб. 1913. Т. 29. С. 1-14.
[325] Фихтенгольц Г.М. Теория простых определенных интегралов,
зависящих от параметра. Петроград, 1918; vii+ЗЗЗ с. [I: 322, 462, 480; II:
271]
[326]* Фихтенгольц Г.М. Об абсолютно непрерывных функциях. Матем. сб.
1924. Т. 31. С. 286-296.
[327]* Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального
исчисления. Т. 1-3. 7-е изд. Наука, М., 1970.
[328] Флаксмайер Ю., Терпе Ф. О некоторых приложениях теории
расширений топологических пространств и теории меры. Успехи мат.
наук. 1977. Т. 32, N 5. С. 133-171. [470]
[329]* Флоринская Л.В., Хавин В.П. Теория меры и интеграла. Вып. 2:
Интеграл. Изд-во ЛГУ, Л., 1975; 214 с.
[330]* Фоминых М.Ю. О сходимости почти всюду сумм Римана. Вестник
МГУ. Сер. матем. 1987. N 6. С. 67-70.
[331]* Фролов Н.А. Теория функций действительного переменного. 2-е изд.
Учпедгиз, М., 1961; 172 с. A-е изд. М., 1953).
[332]* Фрумкин П.В. К теореме Д.Ф. Егорова об измеримых функциях.
ДАН СССР. 1948. Т. 60, N 6. С. 973-975.
[333]* Хадвигер Г. Лекции об объеме, площади поверхности и изоперимет-
рии. Наука, М., 1966; 416 с.
[334] Халмош П. Теория меры. ИЛ, М., 1954; 292 с. [I: 8, 463; П: 58, 342,
456, 458, 463, 474]
[335] Халмош П. Лекции по эргодической теории. ИЛ, М., 1959; 135 с. [421]
[336]* Харазишвили А.Б. Некоторые вопросы теории множеств и теории
меры. Тбил. гос. ун-т, Тбилиси, 1978; 178 с.
[337]* Харазишвили А.Б. Инвариантные продолжения меры Лебега. Тбил.
гос. ун-т, Тбилиси, 1983; 204 с.
[338] Харазишвили А.Б. Топологические аспекты теории меры. Наук,
думка, Киев, 1984; 120 с. [I: 108; П: 60, 464, 466]
[339]* Харазишвили А.Б. Теорема Витали и ее обобщения. Тбил. гос. ун-т,
Тбилиси, 1991; 108 с.

Список литературы
[340]* Харда Г.Г., Литтльвуд Д.Е., Полна Г. Неравенства. ИЛ, М., 1948;
456 с.
[341]* Харда Г.Г., Рогозинский В.В. Ряды Фурье. Физматгиз, М., 1959; 156 с.
[342] Хаусдорф Ф. Теория множеств. ГТТИ, М.-Л., 1937; 304 с. [453]
[343] Хафизов М.У. О ядре меры Радона в банаховом пространстве. Вести.
МГУ. 1993. N 1. С. 3-8. [46%
[344]* Хахубия Г.П. Обобщенный интеграл Стилтьеса-Гюнтера и его
применения к некоторым задачам математической физики. Груз, политехи,
ин-т, Тбилиси, 1965; 120 с.
[345] Хейер X. Вероятностные меры на локально компактных группах. Мир,
М., 1986; 701 с. [465]
[346] Хенгартнер В., Теодореску Р. Функции концентрации. Наука, М., 1980;
174 с. [284]
[347] Хеннекен П.Л., Тортра А. Теория вероятностей и некоторые ее
приложения. Наука, М., 1974; 472 с. [I: 464; П: 459, 468, 4Щ
[348]* Хинчин А.Я. Исследование о строении измеримых функций. Матем.
сб. 1924. Т. 31. С. 265-285, 377-^33.
[349] Хинчин А.Я. Цепные дроби. Наука, М., 1978; 112 с. [450]
[350] Хопф Э. Эргодаческая теория. Успехи мат. наук. 1949. Т. 4, N 1.
С. 113-182 A-е немецкое изд.: Hopf Е. Ergodentheorie. Springer, Berlin,
1937) [I: 4Щ П: 456, 472]
[351] Хьюитт Э., Росс К.А. Абстрактный гармонический анализ. Т. 1,2.
Мир, М., 1975; 655 с, 901 с. [340, 342, 348, 462, 465, 4Ч\
[352]* Цецохо В.А. Теория меры и интеграл Лебега. Новосибирский гос. ун-т,
Новосибирск, 1974; 112 с.
[353]* Челидзе В.Г., Джаваршейшвшш А.Г. Теория интеграла Данжуа и
некоторые ее приложения. Тбил. ун-т, Тбилиси, 1978; 363 с.
[354]* Ченцов А.Г. Конечно-аддитивные меры и релаксация экстремальных
задач. УИФ „Наука", Екатеринбург, 1993; 233 с.
[355] Ченцов Н.Н. Топологические меры и теория случайных функций. Тр.
V Всесоюзного совещания по теории вероятностей и математической
статистике (Ереван, 1958), Ереван, изд-во АН АрмССР, 1960, с. 83-87
(см. [358]). [12, 198, 456, 462]
[356] Ченцов Н.Н. Статистические решающие правила и оптимальные
выводы. Наука, М., 1972; 520 с. [456, 462]
[357] Ченцов Н.Н. Неизмеримые подмножества тихоновского куба.
Проблемы математической физики и вычислительной математики. Наука,
М., 1977, с. 316-320 (см. [358]). [198, 456, 462]
[358] Ченцов Н.Н. Избранные труды: Математика. Физматлит, М., 2001;
400 с. [456, 462]
[359] Чобан М.М. Дескриптивная теория множеств и топология.
Итоги науки и техн. Соврем, проблемы матем. Фундам. направл. Т. 51.
С. 173-237. ВИНИТИ, М., 1989. [454]
[360]* Шварц Л. Анализ. Т. 1,2. Мир, М., 1972; 824 с, 528 с.
[361]* Шерстнев А.Н. Конспект лекций по математическому анализу. Уни-
пресс & Казанское матем. об-во, Казань, 1998; 489 с.
[362] Шефер X. Топологические векторные пространства. Мир, М., 1975;
359 с. [I: 328; П: Ц4, Ц9, 239]

Список литературы
[363] Шидак 3. Об отношениях между условными математическими
ожиданиями в узком и широком смысле. Теория вероятн. и ее примен.
1957. Т. 2, N 2. С. 283-288. [446]
[364]* Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. Физматлит,
М., 1961; 436 с.
[365]* Шилов Г.Е. Математический анализ. Функции нескольких
вещественных переменных. Наука, М., 1972; 624 с.
[366] Шилов Г.Е., Гуревич Б.Л. Интеграл, мера и производная. 2-е изд.
Наука, М., 1967; 220 с. [I: 450, 464, 4S9; II: 128, 459, 460]
[367] Ширяев А.Н. Вероятность. 2-е изд. Наука, М., 1989; 640 с. [I: 8, 464:
II: 436, 438, 468, 476]
[368] Швейдер В.Е. Дескриптивная теория множеств в топологических
пространствах. Уч. записки МГУ. 1949. В. 135. С. 37-85. [454]
[369] Шпильрайн Э. К проблематике теории меры. Успехи мат. наук. 1946.
Т. 1, N 2. С. 179-188. ]454]
[370] Шульга A. On minimal metrics in the space of random variables. Теория
вероятн. и ее примен. 1982. Т. 27. С. 401-405. [471]
[371] Эдварде Р. Функциональный анализ. Теория и приложения. Мир, М.,
1969; 1071 с. [I: 474; U Щ, 172, 347]
[372]* Эдварде Р. Ряды Фурье в современном изложении. Т. 1,2. Мир, М.,
1985; 262 с, 400 с.
[373] Энгелысинг Р. Общая топология. Мир, М., 1986; 752 с. [9, 16, 19, 24,
59, 69, 72, 76, 91, 134, 136, 192, 198, 231, 275, 319]
[374]* Юяович Б.М. О дифференцировании абсолютно аддитивных
функций множеств. ДАН СССР. 1941. Т. 30, N 2. С. 112-114.
[375] Янков В. Об унификации А-множеств. ДАН СССР. 1941. Т. 30.
С. 591-592. [455]
[376] de Acosta A. Stable measures and seminorms. Ann. Probab. 1975. V. 3.
P. 865-875. [465]
[377] de Acosta A., Samur J. Infinitely divisible probability measures and the
converse Kolmogorov inequality in Banach spaces. Studia Math. 1978.
V. 66. P. 51-68. [465]
[378]* Adams M., Guillemin V. Measure theory and probability. Birkhauser,
Boston, 1996; xvi+205 p.
[379]* Adams R.A. Sobolev spaces. Academic Press, New York, 1975; 268 p.
[380] Adamski W. An abstract approach to weak topologies in spaces of
measures. Bull. Soc. Math. Grece (N.S.). 1977. V. 18, N 1. P. 28-68.
[470]
[381] Adamski W. Note on support-concentrated Borel measures. J. Austral.
Math. Soc. Ser. A. 1980. V. 29. P. 310-315. [182, 464]
[382] Adamski W. Extensions of tight set functions with applications in
topological measure theory. Trans. Amer. Math. Soc. 1984. V. 283, N 1.
P. 353-368. [159, 466]
[383] Adamski W. Factorization of measures and perfection. Proc. Amer. Math.
Soc. 1986. V. 97, N 1. P. 30-32. [459, 477]
[384] Adamski W. On the existence of invariant probability measures. Israel J.
Math. 1989. V. 65, N 1. P. 79-95. [363]

Список литературы
[385] Adamski W. On extremal extensions of regular contents and measures.
Proc. Amer. Math. Soc. 1994. V. 121, N 4. P. 1159-1164. [466]
[386] Adamski W., Ganssler P., Kaiser S. On compactness and convergence in
spaces of measures. Math. Ann. 1976. B. 220. S. 193-210. [274, 4Щ
[387]* Akcoglu M., Bellow A., Jones R.L., Losert V., Reinhold-Larsson K.,
Wierdl M. The strong sweeping out property for lacunary sequences,
Riemann sums, convolution powers, and related matters. Ergodic Theory
Dynam. Systems. 1996. V. 16, N 2. P. 207-253.
[388] Aldaz J.M. On tau-smooth measure spaces without thick Lindelof subsets.
Real Anal. Exchange. 1991-1992. V. 17, N 1. P. 379-385. [464]
[389] Aldaz J.M. Borel extensions of Baire measures. Fund. Math. 1997. V. 154.
P. 275-293. [158]
[390] Aldaz J.M., Render H. Borel measure extensions of measures defined on
sub-a-algebras. Adv. Math. 2000. V. 150. P. 233-263. [192]
[391] Aldous D.J. Limit theorems for subsequences of arbitrarily-dependent
sequences of random variables. Z. Wahr. theor. Verw. Geb. 1977. B. 40,
N 1. S. 59-82. [473\
[392]* Alexandroff P. Sur la puissance des ensembles mesurables В. С R. Acad.
Sci. Paris. 1916. T. 162. P. 323-325.
[393] Alfsen E.M. Compact convex sets and boundary integrals. Springer-
Verlag, Berlin - New York, 1971; 210 p. [172]
[394]* Aliprantis Ch.D., Burkinshaw O. Principles of real analysis. 3d ed.
Academic Press, San Diego, California, 1998; xii+415 p.
[395]* Aliprantis Ch.D., Burkinshaw O. Problems in real analysis. A workbook
with solutions. 2nd ed. Academic Press, San Diego, California, 1999;
viii+403 p.
[396] Alpem S., Prasad V.S. Typical dynamics of volume preserving
homeomorphisms. Cambridge University Press, Cambridge, 2000; 256 p.
[318, 473]
[397]* Amann H., Escher J. Analysis Ш. Birkhauser, Basel - Boston - Berlin,
2001; 480 S.
[398] Ambrose W. On measurable stochastic processes. Trans. Amer. Math. Soc.
1940. V. 47. P. 66-79. [462]
[399] Amemiya I., Okada O., Okazaki Y. Pre-Radon measures on topological
spaces. Kodai Math. J. 1978. V. 1, N 1. P. 101-132. [182, 457]
[400] Andersen E.S., Jessen B. Some limit theorems on integrals in an abstract
set. Danske Vid. Selsk. Math.-Fys. Medd. 1946. V. 22, N 14. P. 1-29. Ц76]
[401] Andersen E.S., Jessen B. On the introduction of measures in infinite
product sets. Danske Vid. Selsk. Math.-Fys. Medd. 1948. V. 25, N 4. P. 1-
7- [476]
[402] Andersen E.S., Jessen B. Some limit theorems on set-functions. Danske
Vid. Selsk. Math.-Fys. Medd. 1948. V. 25, N 5. P. 1-8. [476]
[403]* Anger В., Bauer H. Mehrdimensionale Integration. Eine Einrahrung in
die Lebesguesche Theorie. Walter de Gruyter, Berlin - New York, 1976;
188 S.
[404] Anger В., Portenier С Radon integrals. Birkhauser Boston, Boston, 1992;
332 p. [I: 466; II: 461, 466]

Список литературы
[405] Argyros S. On compact spaces without strictly positive measures. Pacif.
J. Math. 1983. V. 105, N 2. P. 257-272. [464]
[406] Armstrong T. Borel measures on compact groups are meager. Illinois J.
Math. 1981. V. 25, N 4. P. 667-672. [465]
[407]* Arnaudies J.-M. L'integrale de Lebesgue sur la droite. Vuibert, Paris,
2001; 320 p.
[408]* Artemiadis N.K. Real analysis. Southern Illinois University Press,
Carbondale; Feffer & Simons, London - Amsterdam, 1976; xii+581 p.
[409]* Ascherl A., Lehn J. Two principles for extending probability measures.
Manuscr. Math. 1977. V. 21. P. 43-50.
[410]* Ash R.B. Real analysis and probability. Academic Press, New York -
London, 1972; xv+476 p.
[411]* Ash R.B. Measure, integration, and functional analysis. Academic Press,
New York - London, 1972; xiii+284 p.
[412]* Asplund E., Bungart L. A first course in integration. Holt, Rmehart and
Winston, New York - Toronto - London, 1966; xiii+489 p.
[413]* Aumann G. Reelle Funktionen. Springer-Verlag, Berlin - Gottingen -
Heidelberg, 1954; 2e Ami., 1969; 418 S.
[414]* Aumann G., Haupt O. Emfuhrung in die reelle Analysis. Ш. 3e Aufl.
Walter de Gruyter, Berlin - New York, 1983; 297 S.
[415] Aumann R.J. Measurable utility and measurable choice theorem. Proc.
Colloque Int. CNRS "La Decision" (Aix-en-Provence, 1967), pp. 15-26.
CNRS, Paris, 1969. [5b]
[416] Ayerbe-Toledano J.-M. Category measures on Baire spaces, Publ. Mat.
1990. V. 34, N 2. P. 299-305. [465]
[417] Babiker A.G. On almost discrete spaces. Mathematika. 1971. V. 18.
P. 163-167. [164]
[418] Babiker A.G. On uniformly regular topological measure spaces. Duke
Math. J. 1976. V. 43, N 4. P. 773-789. [46b]
[419] Babiker A.G. Lebesgue measures on topological spaces. Mathematika.
1977. V. 24. P. 52-59. [318]
[420] Babiker A.G., Graf S. Homomorphism-compact spaces. Canad. J. Math.
1983. V. 35, N 3. P. 558-576. [464]
[421] Babiker A.G., Knowles J. An example concerning completion regular
measures, images of measurable sets and measurable selections.
Mathematika. 1978. V. 25. P. 120-124. [361, 464]
[422] Babiker A.G., Knowles J.D. Functions and measures on product spaces.
Mathematika. 1985. V. 32, N 1. P. 60-67. [189]
[423] Bachman G., Sultan A. On regular extensions of measures. Pacif. J. Math.
1980. V. 86, N 2. P. 389-395. [159, 466]
[424] Badrikian A. Seminaire sur les Sanctions aleatoire lineaires et les mesures
cylindriques. Lecture Notes Math. 1970. V. 139. P. 1-221. [461]
[425] Badrikian A., Chevet S. Mesures cylindriques, espaces de Wiener et
fonctions aleatoires gaussiennes. Lecture Notes Math. 1974. V. 379. P. 1-
383. [461]
[426] Baire R. (Euvres scientifiques. Gauthier-Villars, Paris, 1990. [I: 459; II:
23]

Список литературы
499
[427] Baker R. "Lebesgue measure" on Ш.°°. Proc. Amer. Math. Soc. 1991.
V. 113. P. 1023-1029. [362]
[428]* Ball J.M., Murat F. Remarks on Chacon's biting lemma. Proc. Amer.
Math. Soc. 1989. V. 107, N 3. P. 655-663.
[429]* Banach S. Sur le ргоЫёте de la mesure. Fund. Math. 1923. V. 4. P. 7-23.
[430]* Banach S. Sur une classe de fonctions continues. Fund. Math. 1926. V. 7.
P. 225-237.
[431]* Banach S. Uber additive Massfunktionen in abstrakten Mengen. Fund.
Math. 1930. V. 15. P. 97-101.
[432]* Banach S. Sur les suites d'ensembles excluant I'existence d'une mesure.
Colloq. Math. 1947-1948. V. 1. P. 103-108.
[433] Banach S. Sur la representation des fonctions independantes a I'aide des
fonctions de variables distinctes. Colloq. Math. 1947-1948. V. 1. P. 109-
121. [478]
[434] Banach S. On measures in independent fields. Studia Math. 1948. V. 10.
P. 159-177. [429, 478]
[435] Banach S. (Euvres, Vol. I, П. PWN-Editions Scientifiques de Pologne,
Warszawa, 1967, 1979. [I: 459; II: 454]
[436]* Banach S., Kuratowski K. Sur une generalisation du probleme de la
mesure. Fund. Math. 1929. V. 14. P. 127-131.
[437]* Banach S., Saks S. Sur les fonctions absolument continues des fonctions
absolument continues. Fund. Math. 1928. V. 11. P. 113-116.
[438]* Banach S., Saks S. Sur la convergence forte dans les champs IP. Studia
Math. 1930. V. 2. P. 51-57.
[439]* Banach S., Tarski A. Sur la decomposition des ensembles de points en
parties respectivement congruentes. Fund. Math. 1924. V. 6. P. 244-277.
[440] Banakh Т.О., Bogachev V.I., Kolesnikov A.V. Topological spaces with the
strong Skorokhod property. Georgian Math. J. 2001. V. 8, N 2. P. 201-220.
[232, 255, 468, 469]
[441]* Barner M., Flohr F. Analysis. П. 2e Aufl., Walter de Gruyter, Berlin,
1989; 449 S.
[442]* de Ватта G. Measure theory and integration. Ellis Horwood Ltd.,
Chichester; John Wiley & Sons, New York, 1981; 239 p.
[443]* Bartle R.G. The elements of integration and Lebesgue measure. John
Wiley & Sons, New York, 1995; xii+179 p. Ast ed.: 1966).
[444]* Bartle R.G. A modern theory of integration. Amer. Math. Soc.,
Providence, Rhode bland, 2001; xiv+458 p.
[445]* Bary N., Menchoff D. Sur I'integrale de Lebesgue-Stieltjes et les fonctions
absolument continues de fonctions absolument continues. Ann. Mat. Рига
Appl D). 1928. T. 5. P. 19-54.
[446] Batt J. Die VeraUgemeinerungen des DarsteUungssatzes von F. Riesz und
ihre Anwendungen. Jahresber. Deutsch. Math.-Verein. 1973. B. 74,'N 4.
S. 147-181. [461]
[447] Bauer H. Sur I'equivalence des theories de I'integration selon N. Bourbaki
et selon M.H. Stone. Bull. Soc. Math. France. 1957. V. 85. P. 51-75. [181]
[448] Bauer H. Konservative Abbildungen lokal-kompakter Raume. Math. Ann.
1959. B. 138. S. 398-427. [472]

500
Список литературы
[449] Bauer Н. Mesures avec ипе image donnee. Rev. Roumaine Math. Pures
Appl. 1966. V. 11. P. 747-752. [4Щ
[450]* Bauer H. Mafl- und Integrationstheorie. Walter de Gruyter, Berlin, 1992,
2e Aufl., 260 S.
[451]* Bauer H. Probability theory and elements of measure theory. Bnd ed. of
the translation from the 3d German ed.) Academic Press, London - New-
York, 1981; xui+460 p.
[452]* Bear H.S. A primer of Lebesgue integration. Academic Press, San Diego,
1995; xii+163 p.
[453] Beck A., Corson H.H., Simon A.B. The interior points of the product of
two subsets of a locally compact group. Proc. Amer. Math. Soc. 1958. V. 9.
P. 648-652. [360\
[454] Becker H., Kechris A. Borel actions of Polish groups. Bull. Amer. Math.
Soc. 1993. V. 28, N 2. P. 334-341. [465]
[455]* Behrends E. Mafi- und Integrationstheorie. Springer-Verlag, Berlin - New
York, 1987; 260 S.
[456]* Belkner H., Brehmer S. Lebesguesche Integrale. VEB Deutscher Verlag
Wiss., Berlin, 1984; 151 S.
[457]* Bellach J., Franken P., Warmuth E., Warmuth W. MaB, Integral und
bedingter Erwartungswert. Vieweg, Braunschweig, 1978; 145 S.
[458] Bellow A. Lifting compact spaces. Lecture Notes Math. 1980. V. 794.
P. 233-253. [451]
[459]* Benedetto J.J. Real variable and integration. With historical notes.
B.G. Teubner, Stuttgart, 1976; 278 p.
[460]* Berberian S.K. Measure theory and integration. Macmillan, New York,
1965.
[461]* Berberian S.K. Fundamentals of real analysis. Springer-Verlag, New York,
1999; xii+479 p.
[462] Berg C, Christensen J.P.R., Ressel P. Harmonic analysis on semigroups.
Springer, Berlin - New York, 1984; 289 p. [465]
[463] Bergstrom H. Limit theorems for convolutions. Almqvist & Wiksell,
Stockholm - Goteborg - Uppsala; John Wiley & Sons, New York -
London, 1963; 347 p. [468]
[464] Bergstrom H. Weak convergence of measures. Academic Press, New York
- London, 1982; 245 p. [468]
[465] Berkes I. An extension of t/ie Komlos subsequence theorem. Acta Math.
Hungar. 1990, V. 55. P. 103-110. [44$]
[466] Berkes I., Peter E. Exchangeable random variables and the subsequence
principle. Probab. Theory Relat. Fields. 1986. V. 73, N 3. P. 395-413.
[478]
[467] Bertin E.M.J., Cuculescu I., Theodorescu R. Unimodality of probability
measures. Kluwer Academic Publ., Dordrecht, 1997; xrv+251 p. [465]
[468]* Besicovitch A.S. On Kakeya's problem and a similar one. Math. Z. 1928.
B. 27. S. 312-320.
[469]* Besicovitch A.S. On a problem concerning Lebesgue integrals. Math. Ann.
1938. B. 115. S. 613-S18.

Список литературы
501
[470]* Besicovitch A.S. A general form of the covering principle and relative
differentiation of additive functions. Proc. Cambridge Philos. Soc. 1945.
V. 41. P. 103-110; 1946. V. 42. P. 1-10.
[471]* Bichteler K. Integration theory (with special attention to vector
measures). Lecture Notes Math. V. 315. Springer-Verlag, Berlin - New York,
1973; vi+357 p.
[472] Bichteler K. Integration - a functional approach. Birkhauser, Boston -
Berlin, 1998; viii+193 p. [I: 464; П: 460]
[473]* Bierlein D. Uber die Fortsetzung von Wahrscheinlichkeitsfeldern. Z.
Wahr. theor. verw. Geb. 1962. B. 1. S. 28-46.
[474]* Billingsley P. Probability and measure. 3d ed. Wiley, New York, 1995;
593 p.
[475] Billingsley P., Tops0e F. Uniformity in weak convergence. Z. Wahr. theor.
verw. Geb. 1967. B. 7. S. 1-16. [47Щ
[476] Birkhoff G.D. Proof of the ergodic theorem. Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A.
1931. V. 17. P. 656-660. [477]
[477] Bishop E. An upcrossing inequality with applications. Michigan Math. J.
1966. V. 13. P. 1-13. [478]
[478]* Bishop E. Foundations of constructive analysis. McGraw-Hill Book Co.,
№w York - Toronto, 1967; хш+370 p.
[479] Blackwell D.H. On a class of probability spaces. Proc. of the Third
Berkeley Sympos. on Math. Statist, and Probab. (Berkeley, 1954/55).
P. 1-6. Univ. California Press, Berkeley, 1956. [64]
[480] Blackwell D., Dubins L.E. A converse to the dominated convergence
theorem. Illinois J. Math. 1963. V. 7, N 3. P. 508-514. [447]
[481] Blackwell D., Dubins L.E. On existence and nonexistence of proper,
regular, conditional distributions. Ann. Probab. 1975. V. 3, N 5. P. 741-
752. [476, 476]
[482] Blackwell D., Dubins L.E. An extension of Skorohod's almost sure
representation theorem. Proc. Amer. Math. Soc. 1983. V. 89, N 4. P. 691-
692. [228, 468]
[483] Blackwell D., Maitra A. Factorization of probability measures and
absolutely measurable sets. Proc. Amer. Math. Soc. 1984. V. 92, N 2.
P. 251 254. [476]
[484] Blackwell D., Ryll-Nardzewski C. Non-existence of everywhere proper
conditional distributions. Ann. Math. Statist. 1963. V. 34. P. 223-225.
[447, 476, 476]
[485] Blau J.H. The space of measures on a given set. Fund. Math. 1951. V. 38.
P. 23-34. [467]
[486] Bledsoe W.W., Morse A.P. Product measures. Trans. Amer. Math. Soc.
1955. V. 79. P. 173-215. [459]
[487] Bledsoe W.W., Wilks C.E. On Borel product measures. Pacific J. Math.
1972. V. 42. P. 569-579. [459]
[488]* Bliss G.A. Integrals of Lebesgue. Bull. Amer. Math. Soc. 1917. V. 24.
P. 1-47.
[489] Bloom W.R., Heyer H. Harmonic analysis of probability measures on
hypergroups. Walter de Gruyter, Berlin, 1995; vi+601 p. [465]

502
Список литературы
[490]* Blumberg Н. The measurable boundaries of an arbitrary function. Acta
Math. 1935. V. 65. P. 263-282.
[491] Bobkov S.G. Isoperimetric and analytic inequalities for log-concave
probability measures. Ann. Probab. 1999. V. 27, N 4. P. 1903-1921. [I:
482; П: 465]
[492] Bobkov S.G. Remarks on the growth of Lp -norms of polynomials. Lecture
Notes Math. 2000. V. 1745. P. 27-35. [176]
[493]* Bobkov S.G., Gotze F. Exponential integrability and transportation cost
related to logarithmic Sobolev inequalities. J. Funct. Anal. 1999. V. 163,
N 1. P. 1-28.
[494]* Bobkov S.G., Ledoux M. From Brunn-Minkowski to Brascamp-Lieb and
to logarithmic Sobolev inequalities. Geom. Funct. Anal. 2000. V. 10, N 5.
P. 1028-1052.
[495]* Bochner S. Monotone Funktionen, Stieltjessche Integrate und harmo-
nische Analyse. Math. Ann. 1933. B. 108. S. 378-410 (пер. в [49]).
[496] Bochner S. Harmonic analysis and the theory of probability. University of
California Press, Berkeley, 1955; 176 p. [461]
[497] Bochner S., von Neumann J. On compact solutions of operational-
differential equations. I. Ann. Math. 1935. V. 36, N 1. P. 255-291. [471]
[498] Bogachev V.I. Differentiable measures and the Malliavin calculus. J. Math.
Sci., 1997. V. 87. N 5. P. 3577-3731. [338, 462]
[499] Bogachev V.I. Measures on topological spaces. J. Math. Sci. (New York).
1998. V. 91. N 4. P. 3033-3156. [67, 457]
[500] Bogachev V.I. Gaussian measures, Amer. Math. Soc., Providence, Rhode
Island, 1998; 433 p. [I: 236, 482; П: 118, 167, 169, 437, 465, 4Щ
[501] Bogachev V.I. Average approximations and moments of measures. J.
Complexity. 2000. V. 16. P. 390-410. [195]
[502] Bogachev V.I., Mayer-Wolf E. Absolutely continuous flows generated by
Sobolev class vector fields infinite and infinite dimensions. J. Funct. Anal.
1999. V. 167. N 1. P. 1-68. [334, 336]
[503] Bogachev V.I., Pugachev O.V., Rockner M. Surface measures and
tightness of (r,p)-capacities on Poisson space. J. Funct. Anal. 2002.
V. 196. P. 61-86. Ц71]
[504] Bogachev V.I., Rockner M. Regularity of invariant measures on finite and
infinite dimensional spaces and applications. J. Funct. Anal. 1995. V. 133.
P. 168-223. [452]
[505] Bogoluboff N.N., Krylov N.M. La theorie generate de la mesure dans
son application a I'etude de systemes dynamiques de la mecanique non-
lineaire. Ann. Math. 1937. B. 38. S. 65-113. [347, 456, 467, 4Щ
[506] Boge W., Krickeberg K., Papangelou F. Uber die dem Lebesgueschen Mafi
isomorphen topologischen Mafiraume. Manuscr. Math. 1969. V. 1. P. 59-
77. [352]
[507] Borel E. Lecons sur la theorie des fonctions. Gauthier-Villars, Paris, 1898.
De ed. 1950; xii+295 p.) [I: 468; П. 2Щ
[508]* Borel E. Un thioreme sur les ensembles mesurables. С R. Acad. Sci.
Paris. 1903. T. 137. P. 966-967.

Список литературы
503
[509]* Borel Е. Les probabilites denombrables et lews applications arithmetiques.
Rend. Circ. Mat. Palermo. 1909. T. 27. P. 247-271.
[510] Borel E. Introduction geometrique a quelques theories physiques.
Gauthier-Villars, Paris, 1914; vii+137 p. [281]
[511] Borel E. (Euvres de Emile Borel. T. I-IV. Editions du Centre National de
la Recherche Scientifique, Paris, 1972. [I: 459; П: 20]
[512]* Borel E., Zoretti L., Montel P., Frechet M. Recherches contemporaines
sur la theorie des fonctions. Encyclopedie des sciences mathematiques
pures et appliquees. Tome П, V. 1. P. 113-241. Gauthier-Villars, B.G.
Teubner, Paris, Leipzig, 1912.
[513] Borell C. Convex measures on locally convex spaces. Ark. Math, 1974.
V. 12, N 2. P. 239-252. [I: 266; II: 176, 452, 4Щ
[514] Borell C. A note on conditional probabilities of a convex measure. Lecture
Notes Math. 1978. V. 644. P. 68-72. [176, 465]
[515]* Bourgain J. An averaging result for I1-sequences and applications to
weakly conditionally compact sets in l}x. Israel J. Math. 1979. V. 32,
N 4. P. 289-298.
[516] Bourgain J. Double recurrence and almost sure convergence. J. Reine
Angew. Math. 1990. B. 404. S. 140-161. [425]
[517] Bouziad A. Coincidence of the upper Kuratowski topology with the co-
compact topology on compact sets, and the Prohorov property. Topology
Appl. 2002. V. 120. P. 283-299. [254]
[518]* Bouziad A., Calbrix J. Theorie de la mesure et de 1'integration. Publ. de
l'Univ. de Rouen, Mont-Saint-Aignan, 1993; 254 p.
[519]* Brascamp H., Lieb E.H. On extensions of the Brunn-Minkowski
and Ргёкора-Leindler theorems, including inequalities for log concave
functions, and with an application to the diffusion equation. J. Funct.
Anal. 1976. V. 22. P. 366-389.
[520] Bray H.E. Elementary properties of the Stieltjes integral. Ann. Math. B).
1918-1919. V. 20. P. 177-186. [467]
[521]* Brehmer S. Einfuhrung in die Mafitheorie. Akademie-Verlag, Berlin, 1975;
186 S.
[522] Brenier Y. Polar factorization and monotone rearrangement of vector-
valued functions. Comm. Pure Appl. Math. 1991. V. 44. P. 375-417. [I:
438; П: 266]
[523] Bressler D.W., Sion M. The current theory of analytic sets. Canad. J.
Math. 1964. V. 16. P. 207-230. [454]
[524]* Briane M., Pages G. Theorie de l'integration. 2e ed. Vuibert, Paris, 2000;
304 p.
[525]* Brooks J.K., Chacon R.V. Continuity and compactness of measures. Adv.
in Math. 1980. V. 37, N 1. P. 16-26.
[526]* Broughton A., Huff B.W. A comment on unions of sigma-fields. Amer.
Math. Monthly. 1977. V. 84, N 7. P. 553-554.
[527] Brow J.B., Cox G.V. Baire category in spaces of probability measures II.
Fund. Math. 1984. V. 121, N 2. P. 143-148. [470]
[528]* Brown А.В., Freilich G. A condition for existence of a smallest Borel
algebra containing a given collection of sets. Enseign. Math. B). 1967.
V. 13. P. 107-109.

Список литературы
9]* Bruckner A.M. Differentiation of real functions. Springer-Verlag, Berlin
- Heidelberg, 1978; 246 p.
0]* Bruckner A.M., Bruckner J.B., Thomson B.S. Real analysis. Prentice-
Hall, 1997; 713 p.
1] de Bruijn N.G., Post K.A. A remark on uniformly distributed sequences
and Riemann integrability. Indag. Math. 1968. V. 30. P. 149-150. [284]
2] Bryc W., Kwapien S. On the conditional expectation with respect to a
sequence of independent a-fields. Z. Wahr. verw. Geb. 1978-1979. B. 46,
N 2. S. 221-225. [451]
3]* Brzuchowski J., Cichon J., Grzegorek E., Ryll-Nardzewski C. On the
existence of nonmeasurable unions. Bull. Acad. Pol. Ser. Sci. Math.,
Astron., et Phys. 1979. V. 27, N 6. P. 447-448.
4] Buczolich Z. Birkhoff sums and zero-one law. Real Anal. Exchange.
Denton Symp. 2000. P. 13-21. [I: 205; II: 437]
5]* Bukovsky L. Any partition into Lebesgue measure zero sets produces a
nonmeasurable set Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Sci. Math. 1979. V. 27,
N 6. P. 431^35.
6] Buldygin V.V., Solntsev S.A. Asymptotic behaviour of linearly
transformed sums of random variables. Kluwer Academic Publ.,
Dordrecht, 1997; xvi+500 p. [462]
7]* Burk F. Lebesgue measure and integration. An introduction. John Wiley
& Sons, New York, 1998; xvi+292 p.
8] Burke M.R. Liftings for Lebesgue measure. Set theory of the reals (Ramat
Gan, 1991), pp. 119-150. Israel Math. Conf. Proc. 6, Bar-Пап Univ.,
Ramat Gan, 1993. [477]
] Burke M.R. Liftings and the property of Baire in locally compact groups.
Proc. Amer. Math. Soc. 1993. V. 117, N 4. P. 1075-1082. [477]
] Burke M.R., Fremlin D. A note on measurability and almost continuity.
Proc. Amer. Math. Soc. 1988. V. 102, N 3. P. 611-612. [165]
]* Burkill J.C. Functions of intervals. Proc. London Math. Soc. 1924. V. 22.
P. 275-310.
]* Burkill J.C. The Lebesgue integral. Cambridge University Press,
Cambridge, 1951; viii+87 p.
]* Burkill J.C. Charles-Joseph de la Vallee Poussin. J. London Math. Soc.
1964. V. 39. P. 165-175.
4]* Burstin C. liber eine spezielle Klasse reeller periodischer Funktionen.
Monatsh. Math. Phys. 1915. B. 26. S. 229-262.
5]* Buseman H., Feller W. Zur Differentiation des Lebesgueschen Integrale.
Fund. Math. 1934. V. 22. P. 226-256.
6]* Caccioppoli R. Sull'integrazione delle funzioni discontinue. Rend. Mat.
Palermo. 1928. T. 52. P. 1-29.
7]* Caccioppoli R. Integrali impropri di Stieltjes. Estensione del teorema di
Vitali. Rend. Ace. Sc. Fis. Mat. Napoli C). 1929. T. 35. P. 34-40.
]* Cafiero F. Misura e integrazione. Edizioni Cremonese, Roma, 1959; 451 p.
j Cafarelli L. Monotonicity properties of optimal transportations and the
FKG and related inequalities. Coram. Math. Phys. 2000. V. 214, N 3.
P. 547-563. [I: 438; II: 266]

Список литературы
[550] Calbrix J. Mesures поп a-finies: desintegration et quelques autres
proprietes. Ann. Inst. H. Poincare, Sect. B. 1981. V. 17, N 1. P. 75-95.
[476]
[551]* Calderdn A.P., Zygmund A. On the existence of certain singular integrals.
Acta Math. 1952. V. 88. P. 85-139.
[552]* Cantelli F.P. La tendenza ad un limite nel senso del calcolo delle
probability Rend. Circ. Mat. Palermo. 1916. T. 41. P. 191-201.
[553]* Capinski M., Корр E. Measure, integral and probability. Springer-Verlag
London, London, 1999; xii+227 p.
[554]* Caratheodory С Uber das lineare Mafi von Punktmengen - eine
Verallgemeinerung des Langenbegriffs. Nachr. Ges. Wiss. Gottingen
Math.-Phys. Kl. 1914. S. 404-126.
[555] Caratheodory С Vorlesungen iiber reelle Funktionen. B.G. Teubner,
Leipzig - Berlin, 1918; 704 S. Be Aufl. 1927; 718 S.) [I: 127, 461, 469,
471, 472; II: 190]
[556] Caratheodory C. Uber den Wiederkehrsatz von Poincare. Sitz. Preufi.
Akad. Wiss. Math.-phys. Kl. 1919. S. 580-584. [477]
[557]* Caratheodory C. Mafi und Integral und ihre Algebraisierung. Basel, 1956;
English transl.: Algebraic theory of measure and integration. 2nd ed.
Chelsea, New York, 1986; 378 p.
[558] Caratheodory C. Gesammelte mathematische Schriften. C.H. Beck,
Munchen, 1954. [I: 460; II: 477]
[559]* Carlson T. Extending Lebesgue measure by infinitely many sets. Pacif. J.
Math. 1984. V. 115, N 1. P. 33-45.
[560]* Carothers N.L. Real analysis. Cambridge University Press, Cambridge,
2000; xiv+401 p.
[561] Cartan H. Sur la mesure de Haar. С R. Acad. Sci. Paris. 1940. T. 211.
P. 759-762. [474]
[562]* Carter M., van Brunt B. The Lebesgue-Stieltjes integral. A practical
introduction. Springer-Verlag, New York, 2000; x+228 p.
[563] Castaing C, Valadier M. Convex analysis and measurable multifunctions.
Lecture Notes Math. 580, Springer-Verlag, Berlin - New York, 1977; 278 p.
[56, 455]
[564] Casteren J.A. van Strictly positive Radon measures. J. London Math. Soc.
B). 1994. V. 49, N 1. P. 109-123. [464]
[565] Cenzer D., Mauldin R.R Borel equivalence and isomorphism of coanalytic
sets. Dissert. Math. 1984. V. 228. 28 pp. [455]
[566]* Chae S.B. Lebesgue integration. 2nd ed. Springer-Verlag, New York, 1995;
xiv+264 p.
[567]* Chandrasekharan K. A course on integration theory. Hindustan Book
Agency, New Delhi, 1996; viii+118 p.
[568] Chatterji S.D. A general strong law. Invent. Math. 1969-1970. V. 9.
P. 235-245. [478]
[569] Chatterji S.D. Disintegration of measures and lifting. In: Vector and
operator valued measures and applications (Proc. Sympos., Snowbird
Resort, Alta, Utah, 1972), pp. 69-83. Academic Press, New York, 1973.
[476]

506
Список литературы
[570] Chatterji S.D. Les martingales et leurs applications analytiques. Lecture
Notes Math. 1973. V. 307. P. 27-164. [476]
[571] Chatterji S.D. A principle of subsequences in probability theory: the
central limit theorem. Advances in Math. 1974. V. 13. P. 31-54; correction,
ibid. 1974. V. 14. P. 266-269. \Щ
[572] Chatterji S.D. A subsequence principle in probability theory. Jahresber.
Deutsch. Math.-Verein. 1985. B. 87, N 3. S. 91-107. [478]
[573] Chatterji S.D. Martingale theory: on analytical formulation with some
applications in analysis. Lecture Notes Math. 1986. V. 1206. P. 109-166.
im
[574] Chavel I. Isoperimetric inequalities. Differential geometric and analytic
perspectives. Cambridge University Press, Cambridge, 2001; xii+268 p.
[I: 436; II: 167]
[575] Chevet S. Quelques nouveaux resultats sur les mesures cylindriques.
Lecture Notes Math. 1978. V. 644. P. 125-158. [461, 465]
[576] Chevet S. Kernel associated with a cylindrical measure. Lecture Notes
Math. 1980. V. 860. P. 51-84. [465]
[577] Choban M.M. Spaces, mappings and compact subsets. Bui. Acad. Sti. Rep.
Moldova. 2001. N 2C6). P. 3-52. [254, 468, 469]
[578] Choksi J.R. Inverse limits of measure spaces. Proc. London Math. Soc.
C). 1958. V. 8. P. 321-342. [475]
[579] Choksi J.R. On compact contents. J. London Math. Soc. 1958. V. 33.
P. 387-398. [457]
[580] Choksi J.R. Automorphisms of Baire measures on generalized cubes. II.
Z. Wahr. theor. verw. Geb. 1972. B. 23, N 2. S. 97-102. ]349]
[581] Choksi J.R. Measurable transformations on compact groups. Trans. Amer.
Math. Soc. 1973. V. 184. P. 101-124. [340]
[582] Choksi J.R., Fremlin D.H. Completion regular measures on product
spaces. Math. Ann. 1979. B. 241, N 2. S. 113-128. [349]
[583]* Chong K.M., Rice N.M. Equimeasurable rearrangements of functions.
Queen's Papers in Pure and Applied Mathematics, No. 28. Queen's
University, Kingston, Ontario, 1971; vi+177 p.
[584] Choquet G. Theory of capacities. Ann. Inst. Fourier (Grenoble). 1955.
V. 5. P. 131-295. [167, 456, 465]
[585] Choquet G. Ensembles K.-analytiques et K-sousliniens. Cas general et cos
metrique. Ann. Inst. Fourier (Grenoble). 1959. V. 9. P. 75-81. [465]
[586] Choquet G. Forme abstraite du theoreme de capacitabilite. Ann. Inst.
Fourier (Grenoble). 1959. V. 9. P. 83-89. [465]
[587] Choquet G. Sur les ensembles uniformement negligeables. Seminaire
Choquet, 9e annee. 1970. N 6. 15 pp. [253, 282, 289]
[588]* Choquet G. Lectures on analysis. V. I: Integration and topological vector
spaces. W.A. Benjamin, New York - Amsterdam, 1969; xx+360 p.+xxi.
[589]* Chow Y.S., Teicher H. Probability theory. Independence, interchangeabi-
lity, martingales. 3d ed. Springer-Verlag, New York, 1997; xxii+488 p.
[590] Christensen J.P.R. Topology and Borel structure. North-Holland,
Amsterdam - London, Amer. Elsevier, New York, 1974; 133 p. [194, 455]

Список литературы
507
[591]* Ciesielski К. IsometricaUy invariant extensions of Lebesgue measure.
Proc. Amer. Math. Soc. 1990. V. 110. P. 799-801.
[592]* Ciesielski K., Fejzic H., Freiling C. Measure zero sets with non-measurable
sum. Real Anal. Exchange. 2001-2002. V. 27, N 2. P. 783-793.
[593]* Ciesielski K., Pelc A. Extensions of invariant measures on Euclidean
spaces. Fund. Math. 1985. V. 125. P. 1-10.
[594] Cohn D.L. Measurable choice of limit points and the existence of separable
and measurable processes. Z. Wahr. theor. verw. Geb. 1972. B. 22. N 2.
S. 161-165. Ц77]
[595] Cohn D.L. Liftings and the construction of stochastic processes. Trans.
Amer. Math. Soc. 1978. V. 246. P. 429-438. Ц77]
[596]* Cohn D.L. Measure theory. Birhauser, Boston - Basel - Stuttgart, 1980;
ix+373 p.
[597]* Coifman R.R., Feffermann C. Weighted norm inequalities for maximal
functions and singular integrals. Studia Math. 1974. V. 51. P. 241-250.
[598] Collins H.S. Strict topologies in measure theory. Proc. Conf. on
Integration, Topology, and Geometry in Linear Spaces (Univ. North
Carolina, Chapel Hill, N.C., 1979), pp. 1-13, Contemp. Math., 2, Amer.
Math. Soc., Providence, Rhode Island, 1980. [461]
[599] Comfort W., Negrepontis S. Continuous pseudometrics. Marcel Dekker,
New York, 1975; 126 p. Щ
[600] Comfort W.W., Negrepontis S. Chain condition in topology. Cambridge
University Press, Cambridge, 1982; xiii+300 p. [464]
[601] Constantinescu C. Duality in measure theory. Lecture Notes Math. V. 796.
Springer, Berlin, 1980; 197 p. [470]
[602] Constantinescu C. Spaces of measures on topological spaces. Hokkaido
Math. J. 1981. V. 10. P. 89-156. Ц7СЦ
[603] Constantinescu C. Spaces of measures, de Gruyter, Berlin - New York,
1984; 444 p. [470]
[604] Constantinescu C. Some properties of spaces of measures. Suppl. V. 35
Degli Atti Del Semin. Mat. Fis. Univ. Modena. 1989. [470]
[605]* Constantinescu C, Filter W., Weber K. Advanced integration theory.
With the collaboration of Alexia Sontag. Kluwer Academic Publ.,
Dordrecht, 1998; x+861 p.
[606]* Constantinescu C, Weber K. Integration theory. V. I. Measure and
integral. In collaboration with Alexia Sontag. John Wiley & Sons, New
York, 1985; xiii+520 p.
[607] Conway J. The strict topology and compactness in the space of measures.
Trans. Amer. Math. Soc. 1967. V. 126. P. 474-486. [47%
[608] Conway J. A theorem on sequential convergence of measures and some
applications. Pacific J. Math. 1969. V. 28. P. 53-60. Ц7Щ
[609] Cooper J., Schachermayer W. Uniform measures and coSaks spaces.
Lecture Notes Math. 1981. V. 843. P. 217-246. [466]
[610]* Courrege P. Theorie de la mesure. Les cours de Sorbonne. 2e ed. Centre
de Documentation Universitaire, Paris, 1965; 233 p.
[611] Cox G.V. On Prohorov spaces. Fund. Math. 1983. V. 116, N 1. P. 67-72.
[254, 469]

Список литературы
Cramer Н., Wold Н. Some theorems on distribution functions. J. London
Math. Soc. 1936. V. 11. P. 290-294. [467]
* Craven B.D. Lebesgue measure & integral. Pitman, Boston - London,
1982; ix+221 p.
* Crittenden R.B., Swanson L.G. An elementary proof that the unit disc is
a Swiss cheese. Amer. Math. Monthly. 1976. V. 83, N 7. P. 552-554.
* Crum M.M. On positive definite functions. Proc. London Math. Soc. C).
1956. V. 6. P. 548-560.
Csaszar A. Sur la structure des espaces de probabilite conditionnelle. Acta
Math. Acad. Sci. Hung. 1955. V. 6. P. 337-361. [476]
* Csiszar I. Information-type measures of difference of probability
distributions and indirect observations. Studia Sci. Math. Hung. 1967. V. 2.
P. 299-318.
Csiszar I. On the weak* continuity of convolution in a convolution algebra
over an arbitrary topological group. Stidia Sci. Math. Hung. 1971. V. 6.
P. 27-40. [465]
* Csftrnyei M. How to make Davies' theorem visible. Bull. London Math.
Soc. 2001. V. 33, N 1. P. 59-66.
Cuesta-Albertos J.A., Matran-Bea C. Stochastic convergence through
Skorohod representation theorems and Wasserstein distances. First
International Conference on Stochastic Geometry, Convex Bodies and
Empirical Measures (Palermo, 1993). Rend. Circ. Mat. Palermo B) Suppl.
No. 35, pp. 89-113, 1994. [468]
* Dalen D. van, Monna A.F. Sets and integration: an outline of the
development. Wolters - Hoordhoff, Groningen, 1972; 162 p.
Daniell P.J. A general form of integral. Ann. Math. B). 1917-1918. V. 19.
P. 279-294. [I: 470, 475; II: 4Щ
Daniell P.J. Integrals in an infinite number of dimensions. Ann. Math.
B). 1918. V. 20. P. 281-288. [I: 470, 475, 481; П: 459]
1 Daniell P.J. Functions of limited variation in an infinite number of
dimensions. Ann. Math. B). 1919-1920. V. 21. P. 30-38.
Daniell P.J. Stieltjes derivatives. Bull. Amer. Math. 1919. V. 26. P. 444-
448.
Daniell P.J. Further properties of the general integral. Ann. Math. B).
1920. V. 21. P. 203-220. [I: 470, 475; II: 459]
Da Prato G., Zabczyk J. Stochastic equations in infinite dimensions.
Cambridge University Press, Cambridge, 1992; xviii+454 p. [461]
Darst R.B. On universal measurabtiity and perfect probability. Ann. Math.
Statist. 1971. V. 42. P. 352-354. [459]
|* Darst R.B. C°°-functions need not be bimeasurable. Proc. Amer. Math.
Soc. 1971. V. 27. P. 128-132.
Darst R.B. Two singular measures can agree on balls. Mathematika. 1973.
V. 20, N 2. P. 224-225. [465]
* David G., Semmes S. Analysis of and on uniformly rectifiable sets. Amer.
Math. Soc., Providence, Rhode Island, 1993; xii+356 p.
Davies R.O. Subsets of finite measure in analytic sets. Indag. Math. 1952.
V. 14. P. 488-489. [166]

Список литературы
* Davies R.O. On accessibility of plane sets and differentiation of functions
of two real variables. Proc. Cambridge Philos. Soc. 1952. V. 48. P. 215-
232.
Davies R.O. Measures not approximable or specifiable by means of balls.
Mathematika. 1971. V. 18. P. 157-160. [196, 465]
Davies R.O. A non-Prokhorov space. Bull. London Math. Soc. 1971. V. 3.
P. 341-342; Addendum ibid. 1972. V. 4. P. 310. [25%
* Davies R.O. Separate approximate continuity implies measurability.
Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 1973. V. 73. P. 461-465.
Davies R.O. Some counterexamples in measure theory. Proc. Conf.
Topology and Measure Ш. Part 1, 2. J. Flachsmeyer, Z. Frolflc,
Ju.M. Smirnov, F. Tops0e, and F. Terpe eds., pp. 49-55. Ernst-Moritz-
Arndt-Universit&t, Greifewald, 1982. [46b]
Davies R.O., Rogers C.A. The problem of subsets of finite positive
measure. Bull. London Math. Soc. 1969. V. 1. P. 47-54. [167]
Davies R.O., Schuss Z. A proof that Henstock's integral includes
Lebesgue's. J. London Math. Soc. B). 1970. V. 2. P. 561-562. [186]
De Giorgi E., Letta G. Une notion generate de convergence faible pour
des fonctions croissantes d'ensemble. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa CI.
Sci. D). 1977. V. 4, N 1. P. 61-99. [4Щ
* Deheuvels P. L'integrale. Presses Universitaires de France, Paris, 1980;
229 p.
Dekiert M. Two results for monocompact measures. Manuscripta Math.
1993. V. 80, N 4. P. 339-346. [458]
deLeeuw K. The Fubini theorem and convolution formula for regular
measures. Math. Scand. 1962. V. 11. P. 117-122. [459]
Dellacherie С Un cours sur les ensembles analytiques. In: Analytic sets,
pp. 184-316. Academic Press, New York, 1980. [167, 289, 454]
Dellacherie C, Meyer P.-A. Probabilites et potentiel. Chap. I-IV.
Hermann, Paris, 1975; x+291 p. [456]
Dembski W.A. Uniform probability. J. Theoret. Probab. 1990. V. 3, N 4.
P. 611-626. [28%
* Denjoy A. Une extension de l'integrale de M. Lebesgue. C. R. Acad. Sci.
Paris. 1912. T. 154. P. 859-862.
* Denjoy A. Memoire sur les nombres derivees des fonctions continues. J.
Math. Pures Appl. G). 1915. V. 1. P. 105-240.
|* Denjoy A. Sur les fonctions derivees sommables. Bull. Soc. Math. France.
1915. V. 43. P. 161-248.
* Denjoy A. Sur une propriete des fonctions derivees. Enseign. Math. 1916.
T. 18. P. 320-328.
* Denjoy A. Articles et memoires. П. Le champ reel. Notes. II. Le champ
reel. Gauthier-Villars, Paris, 1955, 1957.
* Denneberg D. Non-additive measure and integral. Kluwer Academic
Publ., Dordrecht, 1994; x+178 p.
* DePree J., Swartz С Introduction to real analysis. John Wiley &; Sons,
New York, 1988; xii+355 p.
* Descombes R. Integration. Hermann, Paris, 1972; 208 p.

510
Список литературы
[655]* Diestel J. Sequences and series in Banach spaces. Springer, Berlin - New
York, 1984; xi+261 p.
[656]* Diestel J., Uhl J.J. Vector measures. Amer. Math. Soc., Providence, 1977;
xiii+322 p.
[657] Dieudonne J. Un exemple d'un espace normal поп susceptible d'une
structure uniforme d'espace complet C. R. Acad. Sci. Paris. 1939. V. 209.
P. 145-147. [83]
[658] Dieudonne J. Sur le thioreme de Lebesgue-Nikodym. III. Ann. Inst.
Fourier (Grenoble) 1947-1948. V. 23. P. 25-53. [476, 477]
[659] Dieudonne J. Sur un theorime de Jessen. Fund. Math. 1950. V. 37. P. 242-
248. [448]
[660] Dieudonne J. Sur la convergence des suites des mesures de Radon. An.
Acad. Brasil Sci. 1951. V. 23. P. 21-38; Addition: ibid., P. 277-282. [271,
469]
[661] Dieudonne J. Sur le produit de composition. Compositio Math. 1954.
V. 12. P. 17-34. [469]
[662]* Dieudonne J. Elements d'analyse. Tome П: Chapitres ХП a XV. Gauthier-
Villars, Editeur, Paris, 1968; x+408 p.
[663] Dinculeanu N. Vector measures. Pergamon Press, Oxford - New York
- Toronto, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1967;
x+432 p. [I: 474; П: 477]
[664] Dinculeanu N. Integration on locally compact spaces. Noordhoff, Leiden,
1974; xv+626 p. [461]
[665]* Dinculeanu N. Vector integration and stochastic integration in Banach
spaces. Wiley-Interscience, New York, 2000; xvi+424 p.
[666]* Dini U. Fondamenti per la teorica delle funzioni di variabili reali.
Pisa, 1878 (нем. пер.: Grundlagen fur eine Theorie der Functionen einer
veranderlichen reellen Grosse. Teubner, Leipzig, 1892; xviii+554 S.).
[667] Ditor S., Eifler L. Some open mapping theorems for measures. Trans.
Amer. Math. Soc. 1972. V. 164. P. 287-293. [258]
[668] Dixmier J. Sur certains espaces considerees par M.H. Stone. Summa
Brasil Math. 1951. V. 2. P. 151-182. [466]
[669]* Dixmier J. L'integrale de Lebesgue. "Les cours de Sorbonne", Mathema-
tique I. Centre de Documentation Universitaire, Paris, 1964; 93 p.
[670] Doob J.L. Stochastic processes with an integral-valued parameter. Trans.
Amer. Math. Soc. 1938. V. 44, N 1. P. 87-150. [462, 4Щ
[671] Doob J.L. Regularity properties of certain families of chance variables.
Trans. Amer. Math. Soc. 1940. V. 47. P. 455-486. [476]
[672] Doob J.L. Probability in function space. Bull. Amer. Math. Soc. 1947.
V. 53. P. 15-30. [462]
[673] Doob J.L. On a problem of Marczewski. Colloq. Math. 1948. V. 1. P. 216-
217. [452]
[674]* Doob J.L. Measure theory. Springer-Verlag, New York, 1994; xii+210 p.
[675]* Douglas R.G. On extremal measures and subspace density. Michigan
Math. J. 1964. V. 11. P. 243-246.

Список литературы
[676]* Drewnowski L. Topological rings of sets, continuous set functions.
Integration I, II. Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. Sci. Math. Astron. Phys.
1972. V. 20. P. 269-286.
[677]* Drewnowski L. Equivalence of Brooks-Jewett, Vitali-Hahn-Saks, and
Nikodym theorems. Bull. Acad. Pol. Sci., Ser. Sci. Math. Astronom. Phys.
1972. V. 20. P. 725-731.
[678]* Dshalalow J.H. Real analysis. An introduction to the theory of real
functions and integration. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, Florida,
2001; xiv+567 p.
[679] Dubins L.E., Heath D. With respect to tail sigma fields, standard measures
possess measurable disintegrations. Proc. Amer. Math. Soc. 1983. V. 88,
N 3. P. 416-418. [476]
[680]* Dubins L.E., Pitman J. A pointwise ergodic theorem for the group of
rational rotations. Trans. Amer. Math. Soc. 1979. V. 251. P. 299-308.
[681] Dudley R.M. Weak convergence of probabilities on nonseparable metric
spaces and empirical measures on Euclidean spaces. Illinois J. Math. 1966.
V. 10. P. 109-126. U70[
[682] Dudley R. Convergence of Baire measures. Studia Math. 1966. V. 27.
P. 251-268; Addendum ibid. 1974. V. 51. P. 275. [470]
[683] Dudley R.M. Measures on nonseparable metric spaces. Illinois J. Math.
1967. V. 11. P. 449-453. [470]
[684] Dudley R.M. Distances of probability measures and random variables.
Ann. Math. Stat. 1968. V. 39, N 5. P. 1563-1572. [470]
[685] Dudley R.M. On measurability over product spaces. Bull. Amer. Math.
Soc. 1971. V. 77. P. 271-274. [463]
[686] Dudley R.M. A counter-example on measurable processes. Proceedings of
the sixth Berkeley symposium on mathematical statistics and probability,
V. II, (Berkeley, 1970/71), pp. 57-66, Univ. California Press, Berkeley,
1972; correction: Ann. Probab. 1973. V. 1. P. 191-192. [463]
[687] Dudley R.M. Probability and metrics. Lect. Notes Aarhus Univ., 1976.
1471]
[688] Dudley R.M. Real analysis and probability. Wadsworth & Brooks, Pacific
Grove, California, 1989; xii+436 p. [I: 267, 465, 466; П: 193, 267, 468,
471, 473]
[689] Dudley R.M., Kanter M. Zero-one laws for stable measures. Proc. Amer.
Math. Soc. 1974. V. 45, N 2. P. 245-252; Correction: ibid. 1983. V. 88,
N 4. P. 689-690. [437, 465]
[690]* Dunford N. Integration in general analysis. Trans. Amer. Math. Soc.
1935. V. 37. P. 441-453.
[691]* Dunford N. Uniformity in linear spaces. Trans. Amer. Math. Soc. 1938.
V. 44. P. 305-356.
[692]* Dunford N. A mean ergodic theorem. Duke Math. J. 1939. V. 5. P. 635-
646.
[693]* Dunford N., Pettis B.J. Linear operations on summable functions. Trans.
Amer. Math. Soc. 1940. V. 47. P. 323-392.
[694] Durrett R. Probability. Theory and Examples. 2nd ed., Duxbury Press,
Wadsworth Publ., Belmont, 1996; xiii+503 p. [I: 465; II: 450]

Список литературы
[695]
[696]
[700]
[701]
[702]
[703]
[704]
[705]
[706]
[707]
[708]
[709]
[710]
[711]
[712]
[713]
[714]
[715]
[716]
Dzamonja М., Kunen К. Measures on compact HS spaces. Fund. Math.
1993. V. 143, N 1. P. 41-54. [466]
Dzamonja M., Kunen K. Properties of the class of measure separable
compact spaces. Fund. Math. 1995. V. 147. P. 261-277. [463, 466]
Edgar G.A. Disintegration of measures and the vector-valued Radon-
Nikodym theorem. Duke Math. J. 1975. V. 42, N 3. P. 447-450. [432,
Edgar G.A. Measurability in a Banach space. I. Indiana Math. J. 1977.
V. 26, N 4. P. 663-S77. [59, 67]
Edgar G.A. Measurability in a Banach space. II. Indiana Math. J. 1979.
V. 28, N 4. P. 559-579. [59, 61\
Edgar G.A. On pointwise-compact sets of measurable functions. Lecture
Notes Math. 1982. V. 945. P. 24-28. [177]
Edgar G.A. Measurable weak sections. Illinois J. Math. 1976. V. 20, N 4.
P. 630-646. [349, 351]
* Edgar G.A. Integral, probability, and fractal measures. Springer-Verlag,
New York, 1998; 286 p.
Edgar G.A., Sucheston L. Stopping times and directed processes.
Cambridge University Press, Cambridge, 1992; 428 p. [I: 489; II: 476, 477]
Edwards R.E. Integration and harmonic analysis on compact groups.
Cambridge University Press, London - New York, 1972; vi+184 p. [465]
* Egoroff D.-Th. Sur les suites de fonctions mesurables. С R. Acad. Sci.
Paris. 1911. T. 152. P. 244-246.
* Egoroff D.-Th. Sur I'intigration des fonctions mesurables. C. R. Acad.
Sci. Paris. 1912. T, 155. P. 1474-1475.
Eifler L.Q. Open mapping theorems for probability measures on metric
spaces. Pacif. J. Math. 1976. V. 66. P. 89-97. [258]
Elliott E.O. Measures on product spaces. Trans. Amer. Math. Soc. 1967.
V. 128. P. 379-388; corr.: ibid., 1969. V. 139. P. 511. [459, 466]
Elliott E.O., Morse A.P. General product measures. Trans. Amer. Math.
Soc. 1964. V. 110. P. 245-283; corr.: ibid., 1971. V. 157. P. 505-506. [466]
Ellis H.W. Darboux properties and applications to поп-absolutely
convergent integrals. Canad. J. Math. 1951. V. 3. P. 471-485. [474]
Elstrodt J. Mass- und Integrationstheorie. Springer-Verlag, Berlin - New
York, 1996; xv+398 S. [I: 465, 466; II: 75]
* Ene V. Real functions: current topics. Lecture Notes Math. V. 1603.
Springer, Berlin - New York, 1995; xi+310 p.
* Erdos P., Kestelman H., Rogers C.A. An intersection property of sets
with positive measure. Colloq. Math. 1963. V. 11. P. 75-80.
* Erdds P., Oxtoby J.C. Partitions of the plane into sets having positive
measure in every non-null measurable product set. Trans. Amer. Math.
Soc. 1955. V. 79. P. 91-102.
Erd6s P., Stone A.H. On the sum of two Borel sets. Proc. Amer. Math.
Soc. 1970. V. 25. P. 304-306. [74]
* Erd6s P., Taylor S.J. The Hausdorff measure of the intersection of sets
of positive Lebesgue measure. Mathematika. 1963. V. 10. P. 1-9.

Список литературы
Ershov M.P. Extensions of measures. Stochastic equations. Lecture Notes
Math. 1973. V. 330. P. 516-526. [472]
Ershov M.P. The Choquet theorem and stochastic equations. Anal. Math.
1975. V. 1, N 4. P. 259-271. [472]
Ershov M.P. On a generalization of the lonescu Tulcea construction of a
measure by transition kernels. Lecture Notes Math. 1982. V. 945. P. 29-33.
\m
Ershov M.P. (Jerschow M.) Causal selections and solutions of stochastic
equations. Stochast. and Stoch. Reports. 1994. V. 50. P. 161-173. [472]
Ethier S.N., Kurtz T.G. Markov processes. Characterization and
convergence. John Wiley & Sons, New York, 1986; x+534 p. [468]
* Evans C, Gariepy R.F. Measure theory and fine properties of functions.
CRC Press, Boca Raton - London, 1992; viii+268 p.
* Faber V., Mycielski J. The vanishing of certain integrals. Houston J.
Math. 1990. V. 16, N 3. P. 313-316.
Faden A.M. The existence of regular conditional probabilities: necessary
and sufficient conditions. Ann. Probab. 1985. V. 13, N 1. P. 288-298. [476]
* Faden A.M. Economics of space and time. The measure-theoretic
foundations of social science. Iowa State University Press, Ames, Iowa,
1977; xiii+703 p.
* Falconer K.J. Sections of sets of zero Lebesgue measure. Mathematika.
1980. V. 27, N 1. P. 90-96.
* Falconer K. Fractal geometry. John Wiley & Sons, New York, 1990;
xxii+288 p.
* Farrell R.H. Dense algebras of functions in Lp. Proc. Amer. Math. Soc.
1962. V. 13. P. 324-328.
* Fatou P. Series trigonometric et series de Taylor. Acta Math. 1906. V. 30.
P. 335-400
* Federer H.Surface area. II. Trans. Amer. Math. Soc. 1944. V. 55. P. 438-
456.
Federer H., Morse A.P. Some properties of measurable functions. Bull.
Amer. Math. Soc. 1943. V. 49. P. 270-277. [359]
Fedorchuk V.V. Functors of probability measures in topological
categories. J. Math. Sci. (New York). 1998. V. 91, N 4. P. 3157-3204. [470]
Fernique X. Processus lineaires, processus generalises. Ann. Inst. Fourier
(Grenoble). 1967. V. 17. P. 1-92. [253, 470]
Fernique X. Une demonstartion simple du theorem de R.M. Dudley et
M. Kanter sur les lois zero-un pour les mesures stables. Lecture Notes
Math. 1974. V. 381. P. 78-79. [437, 465]
Fernique X. Sur le theoreme de Kantorovitch-Rubinstein dans les espaces
polonais. Lecture Notes Math. 1981. V. 850. P. 6-10. [471]
Fernique X. Un modele presque sur pour la convergence en loi. C. R.
Acad. Sci. Paris, Ser. 1. 1988. T. 306. P. 335-338. [228, 468]
Fernique X. Convergence en loi de fonctions aleatoires continues ou
cadlag, proprietes de compacite des lois. Lecture Notes Math. 1991.
V. 1485. P. 178-195. [470]

514
Список литературы
[738] Fernique X. Convergence en loi de variables aleatoires et de fonctions
aleatoires, proprietes de compacite des lots. II. Lecture Notes Math. 1993.
V. 1557, N 12. P. 216-232. ЦЩ
[739] Fernique X. Sur I'equivalence de certaines mesures produit. Probab.
Theory Relat. Fields. 1994. V. 98, N 1. P. 77-90. [476]
[740] Fernique X. Fonctions aleatoires gaussiennes, vecteurs aleatoires gaus-
siens. Universite de Montreal, Centre de Recherches Mathematiques,
Montreal, 1997; iv+217 p. [46b]
[741]* Fichtenholz G. Un theoreme sur I'integration sous le signe integrale.
Rend. Circ. Mat. Palermo. 1913. T. 36. P. 111-114.
[742]* Fichtenholz G. Notes sur les limites des fonctions representees par des
integrates definies. Rend. Circ. Mat. Palermo. 1915. T. 40. P. 153-166.
[743]* Fichtenholz G. Note sur les fonctions absolument continues. Bull. Acad.
Belgique E). 1922. V. 8. P. 430-443.
[744] Fichtenholz G. Sur les suites convergentes des integrates definies. Bulletin
International de I'Academie Polonaise des Sciences et des Lettres.
Classe des Sciences Mathematiques et Naturelles. Ser. A: Sciences
Mathematiques. Annee 1923. P. 91-117. Cracovie, 1924. [I: 322, 484; II:
271]
[745]* Fichtenholz G. Sur une fonction de deux variables sans integrale double.
Fund. Math. 1924. V. 6. P. 30-36.
[746]* Fichtenholz G. Sur un probleme de M. Banach. Fund. Math. 1927. V. 10.
P. 302-304.
[747]* Fichtenholz G. Sur I'integration des suites des fonctions sommables. C.
R. Acad. Sci. Paris. 1927. T. 184. P. 436-438.
[748] Fichtenholz G., Kantorovitch L. Sur les operations lineaires dans I'espace
de fonctions bornees. Studia Math. 1936. V. 5. P. 68-98. [I: 486; H: 478]
[749] Filter W., Weber K. Integration theory. Chapman & Hall, London, 1997;
xii+294 p. [I: 465, 473; II: 461]
[750]* Fischer E. Sur la convergence en moyenne. С R. Acad. Sci. Paris. 1907.
T. 144. P. 1022-1024.
[751]* Fischer E. Applications d'un theoreme sur la convergence en moyenne.
C. R. Acad. Sci. Paris. 1907. T. 144. P. 1148-1151.
[752] Flachsmeyer J., Lotz S. A survey on hyperdiffuse measures. Proc. Conf.
Topology and Measure, I (Zinnowitz, 1974), Part 1, pp. 87-128. Ernst-
Moritz-Arndt Univ., Greifewald, 1978. [466]
[753]* Fleming W. Functions of several variables. 2nd ed. Springer-Verlag, Berlin
- New York, 1977; xi+411 p.
[754]* Floret K. Mafi- und Integrationstheorie. B.G. Teubner, Stuttgart, 1981;
360 S.
[755]* Folland G.B. Real analysis: modern techniques and their applications.
2nd ed. Wiley, New York, 1999; xiv+386 p.
[756] Fonf V.P., Johnson W.B., Pisier G., Preiss D. Stochastic approximation
properties in Banach spaces. Preprint. 2002. [Ц4, 171]
[757]* Foran J. Fundamentals of real analysis. Marcel Dekker, New York, 1991;
xiv+473 p.
[758]* Forster O. Analysis. B. 3. Integralrechnung im 1R" mit Anwendungen.
Vieweg, Braunschweig, 1999; vii+285 S.

Список литературы
[759] Fortet R., Mourier E. Convergence de la repartition empirique vers la
repartition theorique. Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. C). 1953. V. 70. P. 267-
285. [468]
[760] Fortet R., Mourier E. Les fonctions aleatoires comme elements aleatoires
dans les espaces de Banach. Studia Math. 1955. V. 15. P. 62-73. [461]
[761] Fox G. Integration dans les groupes topologiques. Seminaire de Mathe-
matiques Supeneures, No. 12 (Ete, 1964). Les Presses de PUniversite de
Montreal, Montreal, 1966; 357 p. [465]
[762] Frankiewicz R., Plebanek G., Ryll-Nardzewski C. Between Lindelof
property and countable tightness. Proc. Amer. Math. Soc. 2001. V. 129, N 1.
P. 97-103. [4Щ
[763]* Frechet M. Sur les ensembles de fonctions et les operations lineaires. C.
R. Acad. Sci. Paris. 1907. T. 144. P. 1414-1415.
[764]* Frechet M. Definition de I'integrale sur un ensemble abstrait. C. R. Acad.
Sci. Paris. 1915. T. 161. P. 839-840.
[765]* Frechet M. Sur Vintigrale d'une fonctionneue etendue a un ensemble
abstrait. Bull. Sci. Math. France. 1915. V. 43. P. 249-265.
[766]* Frechet M. Sur divers modes de convergence d'une suite de fonctions
d'une variable. Bull. Calcutta Math. Soc. 1921. V. 11. P. 187-206.
[767]* Frechet M. Families additives et fonctions additives d'ensembles abstraits.
Enseignement Math. 1922. V. 22. P. 113-129.
[768]* Frechet M. Sur la distance de deux ensembles. C. R. Acad. Sci. Paris.
1923. T. 176. P. 1123-1124.
[769]* Frechet M. Des families et fonctions additives d'ensembles abstraits.
Fund. Math. 1923. V. 4. P. 329-365.
[770]* Frechet M. Des families et fonctions additives d'ensembles abstraits. Suite.
Fund. Math. 1924. V. 5. P. 206-251.
[771]* Frechet M. Sur la distance de deux ensembles. Bull. Calcutta Math. Soc.
1924. V. 15. P. 1-8.
[772]* Frechet M. Sur les ensembles compacts de fonctions mesurables. Fund.
Math. 1927. V. 9. P. 25-32.
[773]* Frechet M. Sur la convergence en probabilite. Metron. 1930. V. 8. P. 3-50.
[774]* Frechet M. Sur les ensembles compacts de fonctions de carres integrables.
Acta Sci. Math. (Szeged). 1937. V. 8. P. 116-126.
[775] Frechet M. Integrate abstraite d'une fonction abstraite d'une variable
abstraite et son application a la moyenne d'un element aleatoire de nature
quelconque. Revue Sci. (Rev. Rose Шив.). 1944. V. 82. P. 483-512. [461]
[776] Frechet M. Les elements aleatoires de nature quelconque dans un espace
distance. Ann. Inst. H. Poincare. 1948. V. 10. P. 215-310. [I: 477; H: 461]
[777]* Frechet M. GeneraJites sur les probabilites. Elements aleatoires. 2d ed.
Gauthier-Vfflars, Paris, 1950; xvi+355 p.
[778] Frechet M. Pages choisies d'analyse general. Gauthier-Villars, Paris, 1953;
213 p. [I: 460, 477; II: 461]
[779] Fremlin D.H. Topological Riesz spaces and measure theory. Cambridge
University Press, London, 1974; 266 p. [I: 360; П: 126, 461]
[780] Fremlin D.H. Topological measure theory: two counter-examples. Math.
Proc. Cambridge Phil. Soc. 1975. V. 78. P. 95-106. [181]

516
Список литературы
[781] Fremlin D.H. Pointwise compact sets of measurable functions. Manuscr.
Math. 1975. V. 15. P. 219-242. [156, 177, 179, 180, 188]
[782] Fremlin D.H. Products of Radon measures: a counter-example. Canad.
Math. Bull. 1976. V. 19, N 3. P. 285-289. [153]
[783] Fremlin D.H. Uncountable powers ofR. can be almost Lindelof. Manuscr.
Math. 1977. V. 22. P. 77-85. [158]
[784] Fremlin D.H. Borel sets in non-separable Banach spaces. Hokkaido Math.
J. 1980. V. 9. P. 179-183. [60]
[785] Fremlin D.H. Measurable functions and almost continuous functions.
Manuscr. Math. 1981. V. 33, N 3-4. P. 387-405. [165, 183, 351]
[786] Fremlin D.H. On the additivity and cofinality of Radon measures.
Mathematika. 1984. V. 31, N 2. P. 323-335. [466]
[787] Fremlin D.H. Consequences of Martin's Axiom. Cambridge University
Press, Cambridge, 1985; xu+325 p. [I: 107, 108; II: 164]
[788] Fremlin D.H. Measure-additive coverings and measurable selectors.
Dissertationes Math. (Rozprawy Mat.). 1987. V. 260. 116 pp. [165]
[789] Fremlin D. Measure algebras. Handbook of Boolean Algebras, J.D. Monk
ed., V. 3, pp. 877-980. North-Holland, 1989. [307]
[790] Fremlin D.H. On the average of inner and outer measures. Fund. Math.
1991. V. 139, N 1. P. 9-15. [I: 128; II: 192]
[791]* Fremlin D. Real-valued-measurable cardinals. Set theory of the reals
(Ramat Gan, 1991), pp. 151-304; Israel Math. Conf. Proc. 6, Bar Ilan
Univ., Ramat Gan, 1993.
[792] Fremlin D.H. On compact spaces carrying Radon measures of uncountable
Maharam type. Fund. Math. 1997. V. 154, N 3. P. 295-304. [466]
[793] Fremlin D.H. Compact measure spaces. Mathematika. 1999. V. 46, N 2.
P. 331-336. [478]
[794] Fremlin D.H. Weakly a-favourable measure spaces. Fund. Math. 2000.
V. 165, N 1. P. 67-94. [I: 79; II: 458]
[795] Fremlin D. Measure theory. V. 1-5. University of Essex, Colchester, 2001,
2002. [I: 103, 126, 128, 273, 275, 374, 465, 473, 485; П: 126, 158, 163,
177, 179, 192, 193, 197, 307, 342, 349, 364, 457, 458, 474, 475, 477]
[796] Fremlin D., Garling D., Haydon R. Bounded measures on topological
spaces. Proc. London Math. Soc. 1972. V. 25. P. 115-136. [253, 282, 344,
364, 470, 472]
[797] Fremlin D., Grekas S. Products of completion regular measures. Fund.
Math. 1995. V. 147, N 1. P. 27-37. [162]
[798] Fremlin D., Talagrand M. On the representation of increasing linear
Junctionals on Riesz spaces by measures. Mathematika. 1978. V. 25.
P. 213-215. [126]
[799]* Friedman H. A consistent Fubini-Tonelli theorem for nonmeasurable
functions. Illinois J. Math. 1980. V. 24. P. 390-395.
[800]* Fristedt В., Gray L. A modern approach to probability theory. Birkhauser
Boston, Boston, 1997; xx+756 p.
[801] Frohk Z. A survey of separable descriptive theory of sets and spaces.
Czech. Math. J. 1970. V. 20 (95). P. 406-467. [454]

Список литературы
Frolik Z., Pachl J. Pure measures. Comment. Math. Univ. Carol. 1973.
V. 14. P. 279-293. [459]
* Fubini G. Sugli integrali multipli. Atti Accad. Lincei Rend., CI. sci. fis.,
mat. e natur. Roma. E). 1907. V. 16, Sem. 1. P. 608-614.
* Fubini G. Sulla derivazione per serie. Atti Accad. Lincei Rend., CI. sci.
fis., mat. e natur. Roma. E). 1915. V. 24, Sem. 1, f. 3. P. 204-206.
* Galambos J. Advanced probability theory. Marcel Dekker, New York,
1988; viii+405 p.
Gale S.L. Measure-compact spaces. Topology Appl. 1992. V. 45, N 2.
P. 103-118. [159]
Ganssler P. A convergence theorem for measures in regular Hausdorff
spaces. Math. Scand. 1971. V. 29. P. 237-244. [275]
Ganssler P. Compactness and sequential compactness in spaces of
measures. Z. Wahr. theor. verw. Geb. 1971. B. 17. S. 124-146. [275]
Ganssler P. Empirical processes. Inst. Math. Statist., Hayward, California,
1983, ix+179 p. [463]
Ganssler P., Stute W. Wahrscheinlichkeitstheorie. Springer-Verlag, Berlin
- New York, 1977; xii+418 p. [I: 465; П: 468]
* Garcfa-Cuerva J., Rubio de Francia J.L. Weighted norm inequalities and
related topics. North-Holland, Amsterdam, 1985; x+604 p.
Gardner R.J. The regularity of Borel measures. Lecture Notes Math. 1982.
V. 945. P. 42-100. [Щ, 161, 163, 191, 254, 457, 463, 465, 466]
Gardner R.J., Gruenhage G. Finite Borel measures on spaces of
cardinality less than с Proc. Amer. Math. Soc. 1981. V. 81. P. 624-628.
[159]
Gardner R.J., Pfeffer W.F. Borel measures. Handbook of set-theoretic
topology, pp. 961-1043. North-Holland, Amsterdam - New York, 1984.
[181, 457, 463, 464, 466]
Gardner R.J., Pfeffer W.F. Decomposability of Radon measures. Trans.
Amer. Math. Soc. 1984. V. 283, N 1. P. 283-293. [181]
Garling D. A "short" proof of the Riesz representation theorem. Proc.
Camb. Phil. Soc. 1973. V. 73, N 3. P. 459^60. [461]
* Gamir H.G. Fonctions de variables reelles. T. 2. Louvain, Libr. Univ.,
Gauthier-Villars, 1965; 560 p.
* Garnir H.G., De Wilde M., Schmets J. Analyse fonctionnelle. Tome П.
Measure et integration dans l'espace euclidien E„. Birkhauser Verlag,
Basel - Stuttgart, 1972; 287 p.
Gateaux R. Sur la notion d'integrale dans le domaine fonctionnel et sur
la theorie du potentiel. Bull. Soc. Math. France. 1919. V. 47. P. 48-67.
[281, 467]
* Gaughan E. Introduction to analysis. Brooks/Coole, Belmont, 1968;
viii+310 p.
Gelbaum B.R. Cantor sets in metric measure spaces. Proc. Amer. Math.
Soc. 1970. V. 24. P. 341-343. [357]
* Gelbaum B. Problems in real and complex analysis. Springer, New York,
1992; x+488 p.
* George С Exercises in integration. Springer-Verlag, Berlin - New York,
1984; 550 p.

Список литературы
Gerard P. Suites de Cauchy et compacite dans les espaces de mesures.
Bull. Soc. Roy. Sci. Liege. 1973. V. 42, N 1-2. P. 41-49. [470]
Gerard P. Un critere de compacite dans I'espace M+(E). Bull. Soc. Roy.
Sci. Liege. 1973. V. 42, N 5-6. P. 179-182. [470]
Giaquinta M., Modica G., Soucek J. Cartesian currents in the calculus
of variations. V. I, П. Springer, Berlin - New York, 1998; xxiv+711 p.,
xxiv+697 p. [I: 436; II: 261, 280]
Gilat D. Every nonnegative martingale is the absolute value of a
martingale. Ann. Probab. 1977. V. 5. P. 475-481. [450]
|* Gillis J. Note on a property of measurable sets. J. London Math. Soc.
1936. V. 11. P. 139-141.
Gillis J. Some combinatorial properties of measurable sets. Quart. J.
Math. 1936. V. 7. P. 191-108.
' Girardi M. Compactness in L\, Dunford-Pettis operators, geometry of
Banach spaces. Proc. Amer. Math. Soc. 1991. V. Ill, N 3. P. 767-777.
' Girardi M. Weak vs. norm compactness in L\: the Bocce criterion. Studia
Math. 1991. V. 98. P. 95-97.
Givens C.R., Shortt R.M. A class of Wasserstein metrics for probability
distributions. Michigan Math. J. 1984. V. 31, N 2. P. 231-240. [471]
' Gleason A.M. Fundamentals of abstract analysis. Reading, Addison-
Wesley, Massachusetts, 1966; xi+404 p.
Glicksberg I. The representation of Junctionals by integrals. Duke Math.
J. 1952. V. 19. P. 253-261. [465]
Glicksberg I. Weak compactness and separate continuity. Pacif. J. Math.
1961. V. 11. P. 205-214. [157]
Gneiting T. Curiosities of characteristic functions. Exposition. Math.
2001. V. 19, N 4. P. 359-363.
Godfrey M.C., Sion M. On products of Radon measures. Canad. Math.
Bull. 1969. V. 12. P. 427-444. [154, 459]
' Goffman C. Real functions. Prindle, Weber & Schmidt, Boston, 1953;
xii+263 p.
' Goffman C, Pedrick G. First course in functional analysis. Prentice-Hall,
Englewood Cliffs, 1965; xi+282 p.
* Goldberg R.R. Methods of real analysis. 2nd ed. John Wiley &; Sons, New
York - London - Sydney, 1976; x+402 p.
Goldstine H.H. Linear junctionals and integrals in abstract spaces. Bull.
Amer. Math. Soc. 1941. V. 47. P. 615-620. [459]
Gomes R.L. Integral de Riemann. Junta de Investigao Matematica, Porto,
1949; viii+309+i p.
|* Gordon R.A. The integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron, and Henstock.
Amer. Math. Soc., Providence, Rhode Island, 1994.
Gordon R.A. Some comments on the McShane and Henstock integrals.
Real Anal. Exchange. 1997-1998. V. 23. N 1. P. 329-342.
Gould G., Mahowald M. Measures on completely regular spaces. J. London
Math. Soc. 1962. V. 37. P. 103-111. [466]
Gowurin M.K. On sequences of indefinite integrals. Bull. Amer. Math.
Soc. 1936. V. 42, N 12. P. 930-936.

Список литературы
519
[847] Graf S. A measurable selection theorem for compact-valued maps.
Manuscr. Math. 1979. V. 27. P. 341-352. [75]
[848] Graf S. Induced a-homomorphisms and a parametrization of measurable
sections via extremal preimage measures. Math. Ann. 1980. B. 247, N 1.
S. 67-80. [345, 349]
[849] Graf S. Selected results on measurable selections. Proceedings of the
10th Winter School on Abstract Analysis (Srni, 1982). Rend. Circ. Mat.
Palermo B). 1982. P. 87-122. [455]
[850] Graf S., Luschgy H. Foundations of quantization for probability
distributions. Lecture Notes Math. V. 1730. Springer-Verlag, Berlin, 2000;
x+230 p. [462]
[851] Graf S., Mauldin R.D. A classification of disintegrations of measures.
Measure and measurable dynamics (Rochester, NY, 1987), pp. 147-158.
Contemp. Math., 94, Amer. Math. Soc., Providence, Rhode Island, 1989.
\476\
[852]* Gramain A. Integration. Hermann, Paris, 1988; x+229 p.
[853] Grande Z. La mesurabilite des fonctions de deux variables et de
superposition F(x,f(x)). Dissert. Math. 1978. V. 159. P. 1-50. [459]
[854] Grande Z. On the measurability of functions defined on the product of two
topological spaces. Real Anal. Exchange. 1997-1998. V. 23 A). P. 203-210.
[459]
[855] Grande Z., Lipmski J.S. Un exemple d'une fonction sup-mesurable qui
n'est pas mesurable. Colloq. Math. 1978. V. 39, N 1. P. 77-79. [190]
[856] Granirer E.E. On Baire measures on D-topological spaces. Fund. Math.
1967. V. 60. P. 1-22. [469]
[857]* Grave D. Sur les lignes composees de parties rectilignes. C. R. Acad. Sci.
Paris. 1898. T. 127. P. 1005-1007.
[858]* Graves L.M. The theory of functions of real variables. McGraw-Hill, New
York, 1946.
[859] Grekas S. On products of completion regular measures. J. Math. Anal.
Appl. 1992. V. 171, N 1. P. 101-110. [459]
[860] Grekas S. Isomorphic measures on compact groups. Math. Proc.
Cambridge Philos. Soc. 1992. V. 112, N 2. P. 349-360; corr.: ibid. 1994.
V. 115, N 2. P. 377. [465]
[861] Grekas S. Structural properties of compact groups with with measure-
theoretic applications. Israel J. Math. 1994. V. 87, N 1-3. P. 89-95. [465]
[862] Grekas S., Gryllakis C. Completion regular measures on product spaces
with application to the existence of Baire strong liftings. Illinois J. Math.
1991. V. 35, N 2. P. 260-268. [459, 477]
[863] Grekas S., Gryllakis C. Measures on product spaces and the existence of
strong Baire liftings. Monatsh. Math. 1992. V. 114, N 1. P. 63-76. [459,
477]
[864] Gromig W. On a weakly closed subset of the space of т-smooth measures.
Proc. Amer. Math. Soc. 1974. V. 43. P. 397-401. [283]
[865]* Gromov M. Monotonicity of the volume of intersection of balls. Lecture
Notes Math. 1987. V. 1267. P. 1-4.

520
Список литературы
[866] Gromov М. Metric structures for Riemannian and non-Riemannian spaces.
Birkhauser, Boston - Berlin, 1999; xix+585 p. [473\
[867] Gross L. Harmonic analysis on Hilbert space. Mem. Amer. Math. Soc.
1963. V. 46. P. 1-62. [463]
[868] Grothendieck A. Sur les applications lineaires faiblement compactes
d'espaces du type C{K). Canad. J. Math. 1953. V. 5. P. 129-173. [271,
275\
[869] Grothendieck A. Topological vector spaces. Gordon and Breach, New
York, 1973; 245 p. [2Щ
[870]* Gruber P.M. How well can space be packed with smooth bodies? Measure-
theoretic results. J. London Math. Soc. B). 1995. V. 52, N 1. P. 1-14.
[871] Gruenhage G., Pfeffer W.F. When inner regularity of Borel measures
implies regularity. 3. London Math. Soc B). 1978. V. 17. P. 165-171.
[185]
[872] Gryllakis C. Products of completion regular measures. Proc. Amer. Math.
Soc. 1988. V. 103, N 2. P. 563-568. [464]
[873] Gryllakis C., Grekas S. On products of Radon measures. Fund. Math.
1999. V. 159, N 1. P. 71-84. [45$
[874] Gryllakis C., Koumoullis G. Completion regularity and т-additivity of
measures on product spaces. Compos. Math. 1990. V. 73. P. 329-344.
[162]
[875] Grzegorek E. Solution to a problem of Banach on a-fields without
continuous measures. Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. Sci. Math. 1980. V. 28.
P. 7-10. [161]
[876]* Giinzler H. Integration. Bibliogr. Inst., Mannheim, 1985; 392 S.
[877] Gunther N.M. Sur les integrales de Stieltjes et leur application aux
problemes de la physique mathematique. Тр. физ.-мат. ин-та им. В.A.
Стеклова. М., 1932; 494 p. Bе ed.: Chelsey, New York, 1949). [I: ^77; II:
467]
[878]* de Guzman M. Real variable methods in Fourier analysis. North-Holland,
Amsterdam, 1981; 392 p.
[879]* de Guzman M., Rubio B. Integration: teorfa у tecnicas. Editorial
Alhambra, Madrid, 1979; x+171 p. __^
[880] Haar A. Der Massbegriff in der THeorie der koniinuierlichen Gruppen.
Ann. Math. B). 1933. V. 34. P. 147-169. [456, 474]
[881]* Haaser N.B., Sullivan J.A. Real analysis. Dover Publications, New York,
1991; x+341 p.
[882] Hackenbroch W. Dilated sections and extremal preimage measures. Arch.
Math. 1984. V. 43, N 5. P. 434-439. [З46]
[883] Haezendonck J. Abstract Lebesgue-Rokhlin spaces. Bull. Soc. Math. Belg.
1973. V. 25, N 3. P. 243-258. [473]
[884]* Hahn H. Uber den Fundamentalsatz der Integralrechnung. Monatsh. fur
Math, und Phys. 1905. B. 16. S. 161-166.
[885]* Hahn H. Uber die Integrate des Herrn Hellinger und die Orthogonal-
invarianten der quadratischen Formen von unendlich vielen Verander-
lichen. Monatsh. fur Math, und Phys. 1912. B. 23. S. 161-264.

Список литературы
521
[886]* Hahn Н. Uber Annahrung an Lebesgue'sche Integrale durch Riemann'sche
Summen. Sitz. Akad. Wiss. Wien, Math.-naturwiss. Kl. Па. 1914. В. 123,
H. 4. S. 713-743.
[887]* Hahn H. Einige Anwendungen der Theorie der singularen Integrale. Sitz.
Akad. Wiss. Wien, Math.-naturwiss. Kl. Ha. 1918. B. 127, H. 9. S. 1763-
1785.
[888] Hahn H. Theorie der reellen Funktionen. B. I. Springer, Berlin, 1921;
vii+614 S. [I: 461, 469, 472, 480; II: 187]
[889]* Hahn H. Uber Folgen linearer Operationen. Monatsh. ffir Math, und
Phys. 1922. B. 32. S. 3-88.
[890] Hahn H. Uber die Multiplikation total-additiver Mengenfunktionen. Annali
Scuola Norm. Super. Pisa B). 1933. V. 2. P. 429-452. [I: 470; П: 466]
[891]* Hahn H. Gesammelte Abhandlungen/Collected works. V. 1, 2. With
biographical sketches by K. Popper, L. Schmetterer, K. Sigmund, and
commentaries on Hahn's work by H. Heuser, H. Sagan, L. Fuchs,
W. Frank, D. Preiss, and A. Kluwick. Springer-Verlag, Vienna, 1995,1996.
[892]* Hahn H., Rosenthal A. Set functions. Univ. New Mexico Press,
Albuquerque, New Mexico, 1948; 324 p.
[893]* Hajlasz P. Change of variables formula under minimal assumptions.
Colloq. Math. 1993. V. 64, N 1. P. 93-101.
[894] Hall P., Heyde C.C. Martingale limit theory and its applications.
Academic Press, New York, 1980; 308 p. [476]
[895] Halmos P. The decomposition of measures. Duke Math. J. 1941. V. 8.
P. 386-392. [475]
[896] Halmos P.R. On a theorem of Dieudonne. Proc. Nat. Acad. Sci. Usa. 1949.
V. 35, N 1. P. 38-42. [475]
[897] Halmos P.R., Neumann J. von Operator methods in classical mechanics.
II. Ann. Math. 1942. V. 43, N 2. P. 332-350. [458, 472, 47Щ
[898]* Halmos P.R., Savage L.J. Applications of the Radon-Nikodym theorem
to the theory of sufficient statistics. Ann. Math. Stat. 1949. V. 20. P. 225-
241.
[899] Hammersley J.M. An extension of the Slutzky-Frechet theorem. Acta
Math. 1952. V. 87. P. 243-257. ]228]
[900] Hart J.E., Kunen K. Orthogonal continuous functions. Real Anal.
Exchange. 1999-2000. V. 25, N 2. P. 653-659. ]Щ
[901] Hartman S., Marczewski E. On the convergence in measure. Acta Sci.
Math. Szeged. 1950. V. 12. P. 125-131. [281]
[902] Hartman S., Marczewski E., Ryll-Nardzewski C. Thioremes ergodiques et
lews applications. Colloq. Math. 1950. V. 2. P. 109-123. [478]
[903]* Hartman S., Mikusinski J. The theory of Lebesgue measure and
integration. Pergamon Press, New York, 1961; 176 p.
[904]* Haupt O., Aumann G., Pauc Ch.Y. Differential- und Integralrechnung
unter besonderer Beriicksichtigung neuerer Ergebnisse. Bd. Ш.
Integralrechnung. 2e Aufl. Walter de Gruyter, Berlin, 1955; xi+320 S.
[905]* Hausdorff F. Grundziige der Mengenhlehre. Leipzig, 1914; 476 S.
[906]* Hausdorff F. Die Machtigkeit der Borelschen Mengen. Math. Ann. 1916.
B. 77, N 3. S. 430-437.

522
Список литературы
[907]* Hausdorff F. Dimension und ausseres Mass, Math. Ann. 1919. B. 79.
S. 157-179.
[908] Haviland E.K. On the theory of absolutely additive distribution functions.
Amer. J. Math. 1934. V. 56. P. 625-658. [467\
[909]* Hawkins T. Lebesgue's theory of integration. Its origins and development.
University of Wisconsin Press, Madison - London, 1970; xv+227 p.
[910] Haydon R. On compactness in spaces of measures and measure compact
spaces. Proc. London Math. Soc. 1974. V. 29, N 1. P. 1-16. [283, 470]
[911] Haydon R. On dual L1 -spaces and injective bidual Banach spaces. Israel
J. Math. 1978. V. 31, N 2. P. 142-152. [Щ]
[912] Hayes C.A., Pauc C.Y. Derivation and martingales. Springer, Berlin -
New York, 1970; vii+203 p. [I: 489; II: 4 76]
[913] Hazod W., Siebert E. Stable probability measures on Euclidean spaces
and on locally compact groups. Structural properties and limit theorems.
Kluwer Academic Publ., Dordrecht, 2001; xviii+612 p. [465, 465[
[914] Hebert D.J., Lacey H.E. On supports of regular Borel measures. Pacif. J.
Math. 1968. V. 27. P. 101-118. [Щ, 464}
[915]* Heinonen J. Lectures on analysis on metric spaces. Springer, New York,
2001; x+140 p.
[916]* Hellinger E. Neue Begrundung der Theorie quadratischer Formen von
unendlichvielen Veranderlichen. J. Reine Angew. Math. 1909. B. 136.
S. 210-27L
[917] Helly E. Uber lineare Funktionaloperationen. Sitz. Akad. Wiss. Wien,
Math.-naturwiss. Ю. Ha. 1912. B. 12. S. 265-297. [466]
[918] Henry J.P. Prolongements de measures de Radon. Ann. Inst. Fourier
(Grenoble). 1969. V. 19, N 1. P. 237-247. [101, 102, 457]
[919]* Henstock R. Theory of integration. Butterworths, London, 1963;
ix+168 p.
[920]* Henstock R. Lectures on the theory of integration. World Sci., Singapore,
1988; xiv+206 p.
[921]* Henstock R. A short history of integration theory. Southeast Asian Bull.
Math. 1988. V. 12, N 2. P. 75-95.
[922]* Henstock R. The general theory of integration. The Clarendon Press,
Oxford University Press, New York, 1991; xii+262 p.
[923]* Henze E. Einfuhrung in die Mafitheorie. 2e Aufl. Bibliogr. Inst.,
Mannheim, 1985; 235 S.
[924] Herer W. Stochastic bases in Frechet spaces. Demonstr. Math. 1981. V. 14.
P. 719-724. [Ц5]
[925]* Herglotz G. Uber Potenzreichen mit positiven reeUen Teil im Einheits-
kreis. Leipziger Berichte. 1911. B. 63. S. 501-511.
[926] Herz C.S. The spectral theory of bounded functions. Trans. Amer. Math.
Soc. 1960. V. 94. P. 181-232. [359]
[927]* Heuser H. Lehrbuch der Analysis. B. 2. lie Aufl., Teubner, Stuttgart,
2000; 737 S.
[928] Hewitt E. Linear functional on spaces of continuous functions. Fund.
Math. 1950. V. 37. P. 161-189. [461]
[929] Hewitt E., Savage L.J. Symmetric measures on Cartesian products. Trans.
Amer. Math. Soc. 1955. V. 80. P. 470-501. [478]

Список литературы
523
[930] Hewitt Е., Stromberg К. Real and abstract analysis. Englewood Springer,
Berlin - New York, 1975; x+476 p. [I: 374; П: 465]
[931]* Hildebrandt Т.Н. On integrals related to and extensions of the Lebesgue
integrals. Bull. Amer. Math. Soc. B). 1917. V. 24. P. 113-144, 177-202.
[932] Hildebrandt Т.Н. Introduction to the theory of integration. Academic
Press, New York - London, 1963; ix+385 p. [I: 465; П: 461]
[933] fflawka E. Folgen auf kompakten Rautnen. Abh. Math. Sem. Univ.
Hamburg. 1956. B. 20. S. 223-241. [267, 285]
[934] Hlawka E. Theorie der Gleichverteilung. Bibliogr. Inst., Mannheim, 1979;
x+142 S. [261]
[935]* Hobson E.W. The theory of functions of a real variable and the theory of
Fourier's series. Cambridge, 1907; 2d, 3d ed. 1926-1927.
[936]* Hoffman K. Analysis in Euclidean space. Prentice-Hall, Englewood Cliffs,
1975; 432 p.
[937] Hoffmann-J0rgensen J. The theory of analytic spaces. Aarhus Various
Publ. Series. N 10. 1970; vi+314 p. [43, 45, 60, 454, 4Щ
[938] Hoffmann-J0rgensen J. Existence of conditional probabilities. Math.
Scand. 1971. V. 28, N 2. P. 257-264. [476]
[939] Hoffmann-J0rgensen J. A generalization of the strict topology. Math.
Scand. 1972. V. 30, N 2. P. 313-323. [250, 470]
[940] Hoffmann-J0rgensen J. Weak compactness and tightness of subsets of
M{X). Math. Scand. 1972. V. 31, N 1. P. 127-150. [282, 46%
[941] Hoffmann-J0rgensen J. Probability in Banach spaces. Lecture Notes Math.
1976. V. 598. P. 1-186. [60, 461]
[942] Hoffmann-J0rgensen J. IntegrabUity of seminorms, the 0—1 law and the
affine kernel for product measures. Studia Math. 1977. V. 61, N 2. P. 137-
159. [437]
[943] Hoffmann-J0rgensen J. Stochastic processes on Polish spaces. Aarhus
Universitet, Matematisk Institut, Aarhus, 1991; ii+278 p. [60, 468]
[944] Hoffmann-J0rgensen J. Probability with a view toward statistics. V. I, П.
Chapman & Hall, New York, 1994; 589 p., 533 p. [I: 123, 465, 473; П: 70]
[945] Hognas G., Mukherjea A. Probability measures on semigroups.
Convolution products, random walks, and random matrices. Plenum
Press, New York, 1995; xii+388 p. [466]
[946] Holicky P., Kalenda O. Descriptive properties of spaces of measures. Bull.
Polish Acad. Sci. Math. 1999. V. 47, N 1. P. 37-51. [256]
[947] Holicky P., Ponomarev S.P., ZajfCek L., Zeleny M. Structure of ike set
of continuous functions with Luzin's property (N). Real Anal. Exchange.
1998-1999. V. 24 B). P. 635-656. [362]
[948]* Hopf E. On causality, statistics and probability. J. Math. Phys. 1936.
V. 13. P. 51-102.
[949] Howroyd J.D. On dimension and on the existence of sets of finite positive
Hausdorff measure. Proc. London Math. Soc. C). 1995. V. 70. P. 581-604.
[166]
[950]* Hu S. Elements of real analysis. Holden-Day, San Francisco, 1967;
xii+365 p.

524
Список литературы
[951]* Hulanicki A. Invariant extensions of the Lebesgue measure. Fund. Math.
1962. V. 51. P. 111-115.
[952]* Humke P.D., Preiss D. Measures for which a-porous sets are null. J.
London Math. Soc. B). 1985. V. 32, N 2. P. 236-244.
[953]* Ingleton A.W. Notes on integration. Mathematical Institute, Oxford
University, Oxford, 1972; i+90 p.
[954] lonescu Tulcea A. On pointwise convergence, compactness, and
equicontinuity in the lifting topology, I. Z. Wahr. theor. verw. Geb. 1973.
B. 26. S. 197-205. [177, 466]
[955] lonescu Tulcea A. On pointwise convergence, compactness, and
equicontinuity, II. Advances in Math. 1974. V. 12. P. 171-177. [177, 466}
[956] lonescu Tulcea A., lonescu Tulcea C. On the lifting property. I. J. Math.
Anal. Appl. 1961. V. 3. P. 537-546. [477]
[957] lonescu Tulcea A., lonescu Tulcea C. On the lifting property. II.
Representation of linear operators on the spaces L^, 1 ^ г < oo. J.
Math. Mech. 1962. V. 11. P. 773-796. [476]
[958] lonescu Tulcea A., lonescu Tulcea C. On the lifting property. IV,
Disintegration of measures. Ann. Inst. Fourier (Grenoble). 1964. V. 14.
P. 445-472. [476]
[959] lonescu Tulcea A., lonescu Tulcea C. Topics in the theory of lifting.
Springer, Berlin - New York, 1969; x+188 p. [434, 449, 477]
[960] lonescu Tulcea C. Mesures dans les espaces produits. Atti Accad. Naz.
Lincei Rend. CI. sci. fis., mat. e natur. Roma. (8). 1949. V. 7. P. 208-211.
[477]
[961] Jackson S., Mauldin R.D. On the a-class generated by open balls. Proc.
Cambridge Phil. Soc. 1999. V. 127, N 1. P. 99-108. [75]
[962] Jacobs K. Measure and integral. Academic Press, New York, 1978; 575 p.
[I: 465; II: 473, 477, 477]
[963] Jakubowski A. On the Skorohod topology. Ann. Inst. H. Poincare Probab.
Statist. 1986. V. 22, N 3. P. 263-285. [67]
[964] Jakubowski A. The almost sure Skorokhod representation for subsequences
in nonmetric spaces. Теория вероятн. и ее примен. 1997. Т. 42, N 1.
C. 209-217. [468]
[965]* Jain Р.К., Gupta V.P. Lebesgue measure and integration. Wiley Eastern,
New Delhi, 1986; viii+260 p.
[966]* James R.C. Advanced calculus. Wadsworth, Belmont, 1966; x+646 p.
]967] Janssen A. Integration separat stetiger Funktionen. Math. Scand. 1981.
V. 48, N 1. P. 68-78. ]15S]
[968] Janssen A. A survey about zero-one laws for probability measures on linear
spaces and locally compact groups. Lecture Notes Math. 1984. V. 1064.
P. 551-563. [437]
[969]* Janssen A.J.E.M., van der Steen P. Integration theory. Lecture Notes
Math. V. 1078. Springer-Verlag, Berlin - New York, 1984; ii+224 p.
[970] Jayne J. Structure of analytic Hausdorff spaces. Matheniatika. 1976. V. 23,
N 2. P. 208-211. [63, 454[
[971] Jayne J. Generation of a-algebras, Baire sets, and descriptive Borel sets.
Mathematika. 1977. V. 24, N 2. P. 241-256. [I: 471; II: 57, 60, 77, 454]

Список литературы
525
[972] Jayne J., Rogers С.A. Radon measures on Banach spaces with their weak
topologies. Serdica Math. J. 1995. V. 21, N 4. P. 283-334. [466]
[973]* Jean R. Mesure et integration. Les Presses de PUniversite du Quebec,
Montreal, 1975; 305 p.
[974]* Jech T. Set theory. Academic Press, New York, 1978; xi+621 p.
[975]* Jefferies В., Ricker W.J. Integration with respect to vector valued Radon
polymeasures. J. Austral. Math. Soc. Ser. A. 1994. V. 56, N 1. P. 17-40.
[976]* Jeffery R. The theory of functions of a real variable. 2nd ed., University
of Toronto Press, 1953; xi+232 p.
[977]* Jensen J.L.W.V. Sur les fonctions convexes et les inegalites entres les
valeurs moyennes. Acta. Math. 1906. V. 30. P. 175-193.
[978] Jessen B. The theory of integration in a space of an infinite number of
dimensions. Acta Math. 1934. V. 63. P. 249-323. [I: 470, 486; II: 475,
476, 481]
[979]* Jessen B. On the approximation of Lebesgue integrals by Riemann sums.
Ann. Math. B). 1934. V. 35. P. 248-251.
[980] Jessen B. On two notions of independent functions. Colloq. Math. 1947-
1948. V. 1. P. 214-215. [45%
[981]* Jessen В., Maxcinkiewicz J., Zygmund A. Note on the differentiability of
multiple integrals. Fund. Math. 1935. V. 25. P. 217-234.
[982]* Jessen В., Wintner A. Distribution functions and the Riemann zeta
function. Trans. Amer. Math. Soc. 1935. V. 38. P. 48-88.
[983] Jimenez-Guerra P., Rodriguez-Salinas B. Strictly localizable measures.
Nagoya Math. J. 1982. V. 85. P. 81-86. Ц66]
[984] Jifina M. On regular conditional probabilities. Czech. Math. J. 1959. V. 9.
P. 445-451. [476]
[985] Johnson B.E. Separate continuity and measurability. Proc. Amer. Math.
Soc. 1969. V. 20. P. 420-422. [156, 18$
[986] Johnson D.L. A short proof of the uniqueness of Haar measure. Proc.
Amer. Math. Soc. 1976. V. 55, N 1. P. 250-251. Ц74]
[987] Johnson Roy A. On product measures and Fubini's theorem in locally
compact spaces. Trans. Amer. Math. Soc. 1966. V. 123. P. 112-129. [154,
4Щ
[988] Johnson Roy A. Measurability of cross section measure of a product Borel
set. J. Austral. Math. Soc. Ser. A. 1979. V. 28. P. 346-352. [154, 459]
[989] Johnson Roy A. Nearly Borel sets and product measures. Pacif. J. Math.
1980. V. 87, N 1. P. 97-109. [45$
[990] Johnson Roy A. Extending the product of two regular Borel measures.
Illinois J. Math. 1980. V. 24, N 4. P. 639-644. [459]
[991] Johnson Roy A. Products of two Borel measures. Trans. Amer. Math. Soc.
1982. V. 269, N 2. P. 611-625. [Щ, 459]
[992] Johnson Roy A. Absolute continuity, singularity and product measures.
Internat. J. Math. Math. Sci. 1982. V. 5, N 4. P. 793-807. [459]
[993] Johnson Roy A., Wajch E., Wilczynski W. Metric spaces and
multiplication of Borel sets. Rocky Mountain J. Math. 1992. V. 22, N 4.
P. 1341-1347. [459]

526
Список литературы
[994] Johnson Roy A., Wilczynski W. Finite products of Borel measures. In:
Measure theory (Oberwolfach, 1990), B. Pettineo and P. Vetro eds.;
Rend. Circ. Mat. Palermo B) Suppl. No. 28 A992), pp. 141-148; Circolo
Matematico di Palermo, Palermo, 1992. [18Щ
[995] Johnson Russell A. Strong liftings that are not Borel liftings. Proc. Amer.
Math. Soc. 1980. V. 80. P. 234-236. [Щ]
[996]* Jones F.B. Measure and other properties of a Hamel basis. Bull. Amer.
Math. Soc. 1942. V. 48. P. 472-181.
[997]* Jones F. Lebesgue integration on Euclidean space. Jones and Bartlett,
Boston, 1993; xvi+588 p.
[998]* J0rboe O.G., Mejlbro L. The Carleson-Hunt theorem on Fourier series.
Lecture Notes Math. V. 911. Springer-Verlag, Berlin - New York, 1982;
123 p.
[999]* Jordan С Course d'analyse de l'Ecole polytechnique. T. 1-3. 2e ed. Paris,
1893-1896; 612 p., 627 p., 542 p.
[1000]* Jost J. Postmodern analysis. Springer-Verlag, Berlin, 1998; xviii+353 p.
[1001] Juhasz I. Cardinal functions in topology. Math. Cent. Tracts N 34,
Mathematisch Centrum, Amsterdam, 1971; xiii-t-149 p. [164]
[1002] Kac M. Sur les fonctions independantes. Studia Math. 1936. V. 6. P. 46-
58. [478]
[1003] Kac M., Steinhaus H. Sur les fonctions independantes. II. Studia Math.
1936. V. 6. P. 59-66. [478]
[1004]* Kaczmarz S., Nikliborc L. Sur les suites des fonctions convergentes en
moyenne. Fund. Math. 1928. V. 11. P. 151-168.
[1005]* Kahane C.S. Evaluating Lebesgue integrals as limits of Riemann sums.
Math. Japon. 1993. V. 38. P. 1073-1076.
[1006] Kakutani S. Concrete representation of abstract (M)-spaces. (A
characterization of the space of continuous functions). Ann. Math. 1941.
V. 42. P. 994-1024. [461]
[1007] Kakutani S. Notes on infinite product measures, I, II. Proc. Imperial
Acad. Tokyo. 1943. V. 19. P. 148-151, 184-188. [I: 481; II: 462, 464]
[1008]* Kakutani S. Notes on divergent series and integrals. Proc. Imper. Acad.
Tokyo. 1944. V. 20. P. 74-76.
[1009] Kakutani S. On equivalence of infinite product measures. Ann. Math.
1948. V. 49. P. 214-224. [370]
[1010]* Kakutani S. Selected papers. V. 2. Birkhauser, Boston, 1986.
[1011] Kakutani S., Kodaira K. Uber das Haarsche Mass in der lokal bikompakten
Gruppe. Proc. Imper. Acad. Tokyo. 1944. V. 20. P. 444-450. [342]
[1012]* Kakutani S., Oxtoby J.C. Construction of a nonseparable invariant
extension of the Lebesgue measure space. Ann. Math. B). 1950. V. 52.
P. 580-590.
[1013] Kallenberg O. Foundations of modern probability. Springer-Verlag, New
York, 1997; xii+523 p. [I: 465; П: 2Щ
[1014] Kallianpur G. The topology of weak convergence of probability measures.
J. Math. Mech. 1961. V. 10, N 6. P. 947-969. [470]
[1015] Kallianpur G., Ramachandran D. On the splicing of measures. Ann.
Probab. 1983. V. 11, N 3. P. 819-822. [452]

Список литературы
527
[1016]* Kamke Е. Das Lebesguesche Integral. Eine Einfiihrung in die neuere
Theorie der reellen Funktionen. Teubner, Leipzig, 1925; 151 S.
[1017]* van Kampen E.R. Infinite product measures and infinite convolutions.
Amer. J. Math. 1940. V. 62, N 2. P. 417-448.
[1018]* Kannan R., Krueger C.K. Advanced analysis on the real line. Springer,
New York, 1996; ix+259 p.
[1019]* Kannan R., Lovasz L., Simonovits M. Isoperimetric problems for convex
bodies and a localization lemma. Discrete and Comput. Geom. 1995. V. 13.
P. 541-559.
[1020] Kanter M. Linear sample spaces and stable processes. J. Funct. Anal.
1972. V. 9, N 4. P. 441-459. [175, 465]
[1021] Kanter M. Random linear Junctionals and why we study them. Lecture
Notes Math. 1978. V. 645. P. 114-123. [175]
[1022]* Kappos D.A. Strukturtheorie der Wahrscheinlichkeitsfelder und -raume.
Springer, Berlin, 1960; 136 S.
[1023]* Kappos D.A. Probability algebras and stochastic spaces. Academic Press,
New York, 1969; x+267 p.
[1024]* Karr A.F. Probability. Springer-Verlag, New York, 1993; xxii+282 p.
[1025] Katetov M. Measures in fully normal spaces. Fund. Math. 1951. V. 38.
P. 73-84. [466]
[1026]* Kaufman R.P., Rickert N.W. An inequality concerning measures. Bull.
Amer. Math. Soc. 1966. V. 72. P. 672-676.
[1027]* Kaufman R., Wu J.-M. Two problems on doubling measures. Rev. Mat.
Iberoamer. 1995. V. 11. P. 527-545.
[1028] Kawabe J. Convergence of compound probability measures on topological
spaces. Colloq. Math. 1994. V. 67, N 2. P. 161-176. [286]
[1029]* Kawata T. Fourier analysis in probability theory. Academic Press, New
York, 1972; xii+668 p.
[1030] Kechris A.S. Classical descriptive set theory. Springer, Berlin - New York,
1995; xviii+402 p. [52, 290, 448, 4$4]
[1031] Keleti Т., Preiss D. The balls do not generate all Borel sets using
complements and countable disjoint unions. Math. Proc. Cambridge
Philos. Soc. 2000. V. 128, N 3. P. 539-547. [75]
[1032] Kellerer H.G. Masstheoretische Marginalprobleme. Math. Ann. 1964.
B. 153. S. 168-198. [473]
[1033] Kellerer H.G. Schnittmass-Funktionen in mehrfachen Produktraumen.
Math. Ann. 1964. B. 155. S. 369-391. [473]
[1034] Kellerer H.G. Baire sets in product spaces. Lecture Notes Math. 1980.
V. 794. P. 38-44. [59]
[1035] Kellerer H.G. Duality theorems for marginal problems. Z. Wahr. theor.
verw. Geb. 1984. B. 67, N 4. S. 399-432. [473]
[1036] Kelley J.D. The increasing sets lemma, and the approximation of
analytic sets from within by compact sets, for the measures generated by
method III. Proc. London Math. Soc. B). 1974. V. 2. P. 29-43. [464]
[1037]* Kelley J.L. Measures on Boolean algebras. Pacif. J. Math. 1959. V. 9,
N 4. P. 1165-1177.
[1038]* Kelley J.L., Srinivasan T.P. Measure and integral. V. 1. Springer-Verlag,
New York - Berlin, 1988; x+150 p.

528
Список литературы
[1039] Kemperman J.H.B., Maharam D. Rc is not almost Lindelof. Proc. Amer.
Math. Soc. 1970. V. 24, N 4. P. 772-773. [158]
[1040]* Kenyon H., Morse A.P. Web derivatives. Mem. Amer. Math. Soc,
No. 132. Amer. Math. Soc., Providence, Rhode Island, 1973; xiii+177 p.
[1041]* Kestelman H. Modern theories of integration. Oxford, 1937. 2nd revised
ed. Dover Publications, New York, 1960; x+309 p.
[1042] Kharazishvili A.B. Some problems in measure theory. Colloq. Math. 1991.
V. 62. P. 197-220. [466]
[1043]* Kharazishvili A.B. Transformation groups and invariant measures. Set-
theoretical aspects. World Sci., River Edge, 1998; viii+260 p.
[1044] Kharazishvili A.B. Strange functions in real analysis. Marcel Dekker, New
York, 2000; viii+297 p. [I: 108, 119; II: 75]
[1045]* Khintchine A. Sur la derivation asymptotique. C. R. Acad. Sci. Paris.
1917. T. 164. P. 142-144.
[1046] Khinchin A.Ja. Zur Birckhoffs Losung des Ergodenproblem. Math. Ann.
1933. B. 107. S. 485-188. [478]
[1047] Kindler J. A simple proof of the Daniell-Stone representation theorem.
Amer. Math. Monthly. 1983. V. 90, N 6. P. 396-397. [19Щ
[1048]* Kindler J. A Mazur-Orlicz type theorem for submodular set functions. J.
Math. Anal. Appl. 1986. V. 120, N 2. P. 533-546.
[1049]* Kindler J. Supermodular and tight set functions. Math. Nachr. 1987.
B. 134. S. 131-147.
[1050]* Kindler J. Sandwich theorems for set functions. J. Math. Anal. Appl.
1988. V. 133, N 2. P. 529-542.
[1051]* Kingman J.F.C., Taylor S.J. Introduction to measure and probability.
Cambridge University Press, London - New York - Ibadan, 1966; x+401 p.
[1052] Kirk R.B. Measures in topological spaces and B-compactness. Indag.
Math. 1969. V. 31. P. 172-183. [159]
[1053] Kirk R.B. Topologies on spaces of Baire measures. Bull. Amer. Math.
Soc. 1973. V. 79, N 3. P. 542-545. [470]
[1054] Kirk R.B. Complete topologies on spaces of Baire measures. Trans. Amer.
Math. Soc. 1973. V. 184. P. 1-21. [470]
[1055] Kisynski J. On the generation of tight measures. Studia Math. 1968. V. 30.
P. 141-151. [457]
[1056]* Kisynski J. Remark on strongly additive set functions. Fund. Math. 1968.
V. 63. P. 327-332.
[1057]* Klambatier G. Real analysis. American Elsevier, New York, 1973; 436 p.
[1058]* Klei H.-A., Miyara M. Une extension du lemme de Fatou. Bull. Sci. Math.
1991. V. 115, N 2. P. 211-221.
[1059]* Kluvanek I., Knowles G. Vector measures and control systems. North-
Holland, Amsterdam - Oxford; American Elsevier, New York, 1976;
ix+180 p.
[1060] Knowles J. On the existence of non-atomic measures. Mathematika. 1967.
V. 14. P. 62-67. [164, 346]
[1061] Knowles J. Measures on topological spaces. Proc. London Math. Soc. 1967.
V. 17. P. 139-156. [136, 163]
[1062]* Kodaira S., Kakutani S. A nonseparable translation-invariant extension
of the Lebesgue measure space. Ann. Math. B). 1950. V. 52. P. 574-579.

Список литературы
529
[1063]* Kolmogoroff A. La definition axiomatique de I'integrale. C. R. Acad. Sci.
Paris. 1925. T. 180. P. 110-111 (пер. в [168, кн. 1, с. 19-20]).
[1064]* Kolmogoroff A. Sur Its bornes de la generalisation de I'integrale.
Рукопись 1925 г., опубл. в пер. в [168, кн. 1, с. 21-38]).
[1065]* Kolmogoroff A. Untersuchungen uber den Integralbegriff. Math. Ann.
1930. В. 103. S. 654-696 (пер. в [168, кн. 1, с. 96-136]).
[1066]* Kolmogoroff A. Ueber Kompaktheit der Funktionenmengen bei der
Konvergenz im Mittel. Nachr. Ges. Wiss. Gottingen. 1931. B. 9. S. 60-
63 (пер. в [168, кн. 1, с. 139-141]).
[1067] Kolmogoroff A. Beitrage zur Mafitheorie. Math. Ann. 1933. B. 107. S. 351-
366 (пер. в [168, кн. 1, с. 150-166]). [I: 286; П: 472]
[1068] Kolmogoroff A. La transformation de Laplace dans les espaces lineaires.
C. R. Acad. Sci. Paris. 1935. T. 200. P. 1717-1718 (пер. в [168, кн. 1,
с. 178-179]). [462]
[1069] Kolmogoroff A., Prochorow Ju.W. Zufallige Funktionen und Grenzver-
texlugssatze. Bericht fiber die Tagung Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik, Berlin. 1956. S. 113-126 (пер. в [168, кн. 2,
с. 404-419]). [217, 468]
[1070]* Kolzow D. Differentiation von Mafien. Lecture Notes Math. V. 65.
Springer, Berlin - New York, 1968; 102 p.
[1071]* Komlos J. A generalization of a problem of Steinhaus. Acta Math. Acad.
Sci. Hungar. 1967. V. 18. P. 217-229.
[1072]* Konig H. Measure and integration. An advanced course in basic
procedures and applications. Springer-Verlag, Berlin, 1997; xxri+260 p.
[1073]* Konigsberger K. Analysis. Springer, Berlin, 2000; x+458 S.
[1074]* Korevaar J. Mathematical methods. V. I: linear algebra, normed spaces,
distributions, integration. Academic Press, London, 1968; x+505 p.
[1075] Koumoullis G. On perfect measures. Trans. Amer. Math. Soc. 1981.
V. 264, N 2. P. 521-537. [459]
[1076] Koumoullis G. Some topological properties of spaces of measures. Pacif.
" J. Mathn98i:^vT96, N 2Г. P. 419-433. [257Г260, 283, 471}]
[1077] Koumoullis G. Perfect, u-additive measures and strict topologies. Illinois
J. Math. 1982. V. 26, N 3. P. 466-478. [459]
[1078] Koumoullis G. On the almost Lindelof property in products of separable
metric spaces. Compos. Math. 1983. V. 48, N 1. P. 89-100. [159]
[1079] Koumoullis G. Cantorsets in Prohorov spaces. Fund. Math. 1984. V. 124,
N 2. P. 155-161. [469]
[1080] Kouxnoullis G. Topological spaces containing compact perfect sets and
Prohorov spaces. Topol. Appl. 1985. V. 21, N 1. P. 59-71. [469]
[1081] Koumoullis G., Prikry K. The Ramsey property and measurable selections.
J. London Math. Soc. B). 1983. V. 28. P. 203-210. [165]
[1082] Koumoullis G., Prikry K. Perfect measurable spaces. Ann. Pure Appl.
Logic. 1986. V. 30, N 3. P. 219-248. [459]
[1083] Koumoullis G., Sapounakis A. Two countability properties of sets of
measures. Mich. Math. J. 1984. V. 31, N 1. P. 31-47. [260, 261]
[1084] Krengel U. Ergodic theorems. Walter de Gruyter, Berlin - New York,
1985; 357 p. [421]

530 Список литературы
[1085] Krickeberg К. Mischende Transformationen auf Mannigfaltigkeiten
unendlichen Masses. Z. Wahr. theor. verw. Geb. 1967. B. 7. S. 235-247.
[352]
[1086] Krickeberg K. Ein Isomorphiesatz uber topologische Mafiraume. Math.
Nachr. 1968. B. 37. S. 59-66. [352]
[1087]* Krieger H.A. Measure-theoretic probability. University Press of America,
Lanham, 1980; xi+382 p.
[1088] Krylov N.V. On SPDEs and superdiffusions. Ann. Probab. 1997. V. 25.
P. 1789-1809. [468]
[1089] Kubokawa Y. Coverable Radon measures in topological spaces with
covering properties. Colloq. Math. 1996. V. 70, N 1. P. 13-23. [466]
[1090] Kuelbs J. Some results for probability measures on linear topological
vector spaces with an application to Strassen's LogLog Law. J. Funct.
Anal. 1973. V. 14, N 1. P. 28-43. [462]
[1091] Kuipers L., Niederreiter H. Uniform distribution of sequences. Wiley, New
York, 1974; xiv+390 p. [261]
[1092]* Kuller R.G. Topics in modern analysis. Prentice-Hall, Englewood Cliffs,
1969; vii+296 p.
[1093] Kunen K. A compact L-space under CH. Topol. Appl. 1981. V. 12. P. 283-
287. [164]
[1094] Kunen K., van Mill J. Measures on Corson compact spaces. Fund. Math.
1995. V. 147, N 1. P. 61-72. [463, 466]
[1095] Kuratowski K., Ryll-Nardzewski C. A general theorem on selectors. Bull.
Acad. Polon. Sci. 1965. T. 13. P. 397-403. [455]
[1096]* Kurzweil J. Nichtabsolut konvergente Integrate. B.G. Teubner Verlags-
gesellschaft, Leipzig, 1980; 184 S.
[1097]* Kurzweil J. Integration between the Lebesgue integral and the Henstock-
Kurzweil integral. Imperial College Press, London, 2002; 140 p.
[1098] Kusuoka S., Nakayama T. On a certain metric on the space of pairs of
a random variable and a probability measure. J. Math. Sci. Univ. Tokyo.
2001. V. 8, N 2. P. 343-356. [471]
[1099] Kwapien S. Complement au theoreme de Sazonov-Minlos. С R. Acad.
Sci. Paris Ser. A-B. 1968. T. 267. P. A698-A700. [193]
[1100] Kwapien S. Linear functionals invariant under measure preserving
transformations. Math. Nachr. 1984. B. 119. S. 175-179. [362]
[1101] Kwapien S., Tarieladze V. Mackey continuity of characteristic functionals.
Georg. Math. J. 2002. V. 9, N 1. P. 83-112. [Ц9, 463, 465]
[1102] Kwapien S., Woyczynski W.A. Random series and stochastic integrals:
single and multiple. Birkhiiser, Boston, 1992; xvi+360 p. [462]
[1103] Lacey H.E. The isometric theory of classical Banach spaces. Springer-
Verlag, Berlin - New York, 1974; x+270 p. [I: 472; II: 355]
[1104] Landers D., Rogge L. Cauchy convergent sequences of regular measures
with values in a topological group. Z. Wahr. theor. verw. Geb. 1972. B. 21.
S. 188-196. [274]
[1105] Lanford O.E., Ruelle D. Observables at infinity and states with short range
correlations in statistical mechanics. Comm. Math. Phys. 1969. V. 13.
P. 194-215. [478]

Список литературы
531
[1106]* Lang S. Real analysis. 2nd ed. Addison-Wesley, Reading, Massachusetts,
1983; xv+533 p.
[1107]* Lang S. Real and functional analysis. 3d ed. Springer, New York, 1993;
xiv+580 p.
[1108] Lange K. Borel sets of probability measures. Pacific J. Math. 1973. V. 48.
P. 141-161. [283[
[1109]* Larman D.G. On the exponent of convergence of a packing of spheres.
Mathematika. 1966. V. 13. P. 57-59.
[1110]* Larman D.G. On packings of unequal spheres in Rn. Canad. J. Math.
1968. V. 20. P. 967-969.
[1111]* La Vallee Poussin Ch.J. de. Course d'analyse infinitesimale. T. 1,2. 2e ed.
Paris, 1909, 1912; xi+423 p., xi+464 p.
[1112]* La Vallee Poussin Ch.J. de. Sur I'integrale de Lebesgue. Trans. Amer.
Math. Soc. 1915. V. 16. P. 435-501.
[1113]* La Vallee Poussin Ch.J. de. Integrales de Lebesgue, fonctions d'ensemble,
classes de Baire. Gauthier-Villars, Paris, 1916; 154 p. Be ed., 1934,193 p.).
[1114]* Lebesgue H. Sur une generalisation de I'integrale definie. C. R. Acad. Sci.
Paris. 1901. T. 132. P. 1025-1028.
[1115]* Lebesgue H. Integrate, longueur, aire. Ann. di Matem. C). 1902. T. 7.
P. 231-359.
[1116]* Lebesgue H. Sur une propriete des fonctions. С R. Acad. Sci. 1903. T. 137,
N 26. P. 1228-1230.
[1117]* Lebesgue H. Sur I'existence des derivees. С R. Acad. Sci. Paris. 1903.
T. 136. P. 659-661.
[1118]* Lebesgue H. Lecons sur I'integration et la recherche des fonctions
primitives. Paris, Gauthier-Villars, 1904; 2e ed., Paris, 1928; xii+340 p.
[1119] Lebesgue H. Sur les fonctions representables analytiquement. J. Math.
Purees Appl F). 1905. V. 1. P. 139-216. [I: 471; П: Щ
1120]* Lebesgue H-. Lecons sur les series trigonometriques. Paris, 1906; 138 p.
1121]* Lebesgue H. Sur les fonctions derivees. Atti Accad. Lincei Rend. CI. sci.
fis., mat. e natur. Roma. E). 1906. V. 15, Sem. 2, f. 1. P. 3-18.
[1122]* Lebesgue H. Encore une observation sur les fonctions derivees. Atti
Accad. Lincei Rend. CI. sci. fis., mat. e natur. Roma. E). 1907. V. 16,
Sem. 1. P. 92-100.
[1123]* Lebesgue H. Sur la recherche des fonctions primitives par I'integration.
Atti Accad. Lincei Rend. CI. sci. fis., mat. e natur. Roma. E). 1907. V. 16.
P. 283-290.
[1124]* Lebesgue H. Sur la methode de M. Goursat pour la resolution de Vequation
de Fredholm. Bull. Math. Soc. France. 1908. V. 36. P. 3-19.
[1125]* Lebesgue H. Sur les integrales singulieres. Ann. Fac. Sci. Univ. Toulouse
C). 1909. V. 1. P. 25-117.
[1126]* Lebesgue H. Sur les suites de fonctions mesurables. C. R. Acad. Sci. Paris.
1909. T. 149. P. 102-103.
[1127]* Lebesgue H. Sur I'integration des fonctions discontinues. Ann. Sci. Ecole
Norm. Sup. 1910. V. 27. P. 361-450.
[1128]* Lebesgue H. Sur I'integrale de Stieltjes et sur les operations fonctionneUes
lineaires. С R. Acad. Sci. Paris. 1910. T. 150. P. 86-88.

532
Список литературы
[1129] Lebesgue Н. Remarqu.es sur les theories de la mesure et de I'integration.
Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 1918. V. 35. P. 191-250. [I: 468, 473; II: 460]
[1130]* Lebesgue H. QBuvres scientifiques. V. 1-5, L'Enseignement Mathema-
tique, University de Geneve, Geneve, 1972.
[1131]* Lebesgue H. Lettres d'Henri Lebesgue a Emile Borel. With an afterword
by Bernard Bru and Pierre Dugac. Cahiers du Seminaire d'Histoire des
Mathematiques, 12, P. 1-511, Univ. Paris VI, Paris, 1991.
[1132] Le Cam L. Un instrument d'etude des fonctions aleatoires: la fonctionnelle
caracteristique. C. R. Acad. Sci. Paris. 1947. T. 224. P. 710. [462]
[1133]* Ledoux M. The concentration of measure phenomenon. Amer. Math. Soc,
Providence, Rhode Island, 2001. x+181 p.
[1134] Ledoux M., Talagrand M. Probability in Banach spaces. Isoperimetry and
processes. Springer-Verlag, Berlin - New York, 1991; xii+480 p. [461, 462]
[1135]* Lee P.Y., Vyborny R. Integral: an easy approach after Kurzweil and
Henstock. Cambridge University Press, Cambridge, 2000; xii+311 p.
[1136] Leger C, Soury P. Le convexe topologique des probabilites sur un espace
topologique. J. Math. Pures Appl. 1971. V. 50. P. 363-425. [470]
[1137] Lehn J., Magerl G. On the uniqueness of pre-image measures. Z. Wahr.
theor. verw. Geb. 1977. B. 38. S. 333-357. [356]
[1138]* Leinert M. Integration und Mafi. Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig,
1995; xii+208 S.
[1139] Lembcke J. Konservative Abbildungen und Fortsetzung regularer Masse.
Z. Wahr. theor. verw. Geb. 1970. B. 15. S. 57-96. [472, 472]
[1140] Lembcke J. Reguldre Masse mit einer gegebenen Familie von Bildmassen.
Sitz. Bayer. Akad. Wiss., Math.-Naturwiss. Kl. 1976. S. 61-115. Miinchen,
1977. [472, 472]
[1141]* Lembcke J. On a measure extension theorem of Bierlein. Lecture Notes
Math. 1980. V. 794. P. 45-48.
[1142] Lembcke J. On simultaneous preimage measures on Hausdorff spaces.
Lecture Notes Math. 1982. V. 945. P. 110-115. [472, 472]
[1143]* Letta G. Teoria elementare dell'integrazione. Editrice Tecnico Scientifica,
Pisa, 1973; vii+204 p.
[1144] Letta G. Sur les theoremes de Hewitt-Savage et de de Finetti. Lecture
Notes Math. 1989. V. 1372. P. 531-535. [478]
[1145] Letta G., Pratelli L. Le theoreme de Skorohod pour des lots de Radon sur
un espace metrisable. Rend. Accad. Naz. Sci. XL Mem. Mat. Appl. E).
1997. T. 21. P. 157-162. [468]
[1146]* Letac G. Exercises and solutions manual for "Integration and probability"
by Paul Malliavin. Springer-Verlag, New York, 1995; viii+142 p.
[1147]* Levi B. Sopra I'integrazione per serie. Rend. 1st. Lombardo B). 1906.
T. 39. P. 775-780.
[1148]* Levi B. Ricerche sopra le funzioni derivata. Atti Accad. Lincei Rend. CI.
sci. fis., mat. e natur. Roma. E). 1906. V. 15, Sem. 1, f. 12. P. 674-684.
[1149]* Levi B. Ancora alcune osservazioni suUe funzioni derivate. Atti Accad.
Lincei Rend. CI. sci. fis., mat. e natur. Roma. E). 1906. V. 15, Sem. 2,
f. 6. P. 358-368.
[1150] Levy P. Theorie de l'addition des variables aleatoires. Gautier-Villars,
Paris, 1937 Be ed., 1954; 385 p.). [I: 470; II: 467, 475]

Список литературы
533
[1151]* Lichtenstein L. Ueber die Integration eines bestimmten Integrals in Bezug
auf einen Parameter. Nachr. Ges. Wiss. Gottingen Math.-Phys. Kl. 1910.
S. 468-475.
[1152]* Lieb E.H., Loss M. Analysis. 2nd ed. Amer. Math. Soc., Providence,
Rhode bland, 2001; 346 p.
[1153]* Liese F., Vajda I. Convex statistical distances. BSB B.G. Teubner Verlag,
Leipzig, 1987; 224 p.
[1154] Linde W. Probability in Banach spaces - stable and infinitely divisible
distributions. Wiley, New York, 1986; 195 p. [465]
[1155]* Lindenstrauss J., Tzafriri L. Classical Banach spaces. V. 1,П. Springer,
Berlin - New York, 1977, 1979; xiii+190, x+243 p.
[1156]* Lipecki Z. On strongly additive set functions. Colloq. Math. 1971. V. 22.
P. 255-256.
[1157] Lipecki Z. Extensions of tight set functions with values in a topological
group. Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. Sci. Math. Astron. Phys. 1974. V. 22.
P. 105-113. [458]
[1158]* Lipecki Z. Unique extensions of positive set functions. Arch. Math. 1983.
B. 41. S. 71-79.
[1159]* Lomnicki Z., Ulam S. Sur la theorie de la mesure dans les espaces
combinatoires et son application au calcul des probabilites I. Variables
independentes. Fund. Math. 1934. V. 23. P. 237-278.
[1160] Loomis L.H. On the representation of a-complete Boolean algebras. Bull.
Amer. Math. Soc. 1947. V. 53. P. 757-760. [355]
[1161] Lorch E.R. Compactification, Baire functions, and DanieU integration.
Acta Sci. Math. (Szeged). 1963. V. 24. P. 204-218. [461]
[1162]* Los J., Marczewski E. Extensions of measure. Fund. Math. 1949. V. 36.
P. 267-276.
[1163] Losert V. Uniformly distributed sequences on compact, separable, non-
metrizable groups. Acta Sci. Math. (Szeged). 1978. V. 40, N 1-2. P. 107-
110. [271]
[1164] Losert V. On the existence of uniformly distributed sequences in compact
topological spaces. I. Trans. Amer. Math. Soc. 1978. V. 246. P. 463-471.
[271, 285]
[1165] Losert V. On the existence of uniformly distributed sequences in compact
topological spaces. II. Monatsh. Math. 1979. B. 87, N 3. S. 247-260. [271]
[1166] Losert V. A measure space without the strong lifting property. Math. Ann.
1979. B. 239, N 2. S. 119-128. [Щ]
[1167] Losert V. A counterexample on measurable selections and strong lifting.
Lecture Notes Math. 1980. V. 794. P. 153-159. [477]
[1168] Losert V. Strong liftings for certain classes of compact spaces. Lecture
Notes Math. 1982. V. 945. P. 170-179. [477]
[1169] Lotz S. A survey on hyperdiffuse measures. IV. In: Proceedings of the
Conference Topology and Measure Ш. Part 1,2. J. Flachsmeyer, Z. FroUk,
Yu. M. Smirnov, F. Tops0e, and F. Terpe eds., pp. 127-163. Vitte, 1980;
Hiddensee, 1980, Univ. Greifewald, 1982. [466]
[1170]* Lovasz L., Simonovits M. Random walks in a convex body and an
improved volume algorithm. Random Structures Algorithms. 1993. V. 4,
N 4. P. 359-412.

534
Список литературы
[1171]* Lubotzky A. Discrete groups, expanding graphs and invariant measures.
Birkhauser, Basel - Boston, 1994; 195 p.
[1172]* Lukacs E. Developments in characteristic function theory. Griffin,
London, 1983; viii+182 p.
[1173]* Lusin N. Sur les proprietes des fonctions mesurables. C. R. Acad. Sci.
Paris. 1912. T. 154. P. 1688-1690.
[1174]* Lusin N. Sur la classification de M. Baire. C. R. Acad. Sci. Paris. 1917.
T. 164. P. 91-94.
[1175]* Lusin N. Sur la notion de I'integrale. Ann. Mat. Рига Appl. C). 1917.
V. 26. P. 77-129.
[1176] Lusin N. Sur le ргоЫёте de J. Hadamard d'uniformisation des ensembles.
Mathematica (Cluj). 1930. V. 4. P. 54-66. Ц55[
[1177]* Lusin N., Sierpinski W. Sur quelques proprietes des ensembles (A). Bull.
Acad. Sci. Cracovie, Ser. A. 1918. N 4-5a. P. 35-48.
[1178] Luther N.Y. Unique extension and product measure. Canad. J. Math.
1967. V. 19. P. 757-763. [I: 129, 273; II: 4Щ
[1179]* Luther N.Y. A decomposition of measures. Canad. J. Math. 1968. V. 20.
P. 953-959.
[1180]* Luukkainen J., Saksman E. Every complete doubling metric space carries
a doubling measure. Proc. Amer. Math. Soc. 1998. V. 126, N 2. P. 531 534.
[1181] Ma Z. Some results on regular conditional probabilities. Acta Math. Sinica,
New Ser. 1985. V. 1, N 4. P. 302-307. [476]
[1182] Ma Z.M., Rockner M. An introduction to the theory of (non-symmetric)
Dirichlet forms. Springer, Berlin, 1992; 209 p. [456]
[1183] Macheras N.D., Strauss W. On the permanence of almost strong liftings.
J. Math. Anal. Appl. 1993. V. 174, N 2. P. 566-572. [477]
[1184] Macheras N.D., Strauss W. On strong liftings for projective limits. Fund.
Math. 1994. V. 144, N 3. P. 209-229. [477]
[1185] Macheras N.D., Strauss W. The product lifting for arbitrary products of
complete probability spaces. Atti Sem. Mat. Fis. Univ. Modena. 1996.
V. 44. P. 485-496. [477]
[1186] Mackey G.W. Borel structures in groups and their duals. Trans. Amer.
Math. Soc. 1957. V. 85. P. 134-165. [458, 472]
[1187]* MacNeille H.M. A unified theory of integration. Proc. Nat. Acad. Sci.
U.S.A. 1941. V. 27. P. 71-76.
[1188]* Magyar Z. The Lebesgue integral. Akademiai Kiadd, Budapest, 1997;
x+106 p.
[1189] Maharam D. On homogeneous measure algebras. Proc. Nat. Acad. Sci.
U.S.A. 1942. V. 28. P. 108-111. [307, 473]
[1190] Maharam D. On measure in abstract sets. Trans. Amer. Math. Soc. 1942.
V. 51. P. 413-433. [4 73]
[1191] Maharam D. Decompositions of measure algebras and spaces. Trans.
Amer. Math. Soc. 1950. V. 69. P. 142-160. [473]
[1192] Maharam D. On a theorem of von Neumann. Proc. Amer. Math. Soc.
1958. V. 9. P. 987-994. [477]
[1193] Maharam D. Automorphisms of products of measure spaces. Proc. Amer.
Math. Soc. 1958. V. 9. P. 702-707. [34°[

Список литературы
[1194] Maharam D. On smoothing compact measure spaces by multiplication.
Trans. Amer. Math. Soc. 1975. V. 204. P. 1-39. [ЗЩ
[1195] Maitra A. Coanalytic sets that are not Blackwell spaces. Fund. Math. 1970.
V. 67, N 2. P. 251-254. [76]
[1196] Maitra A. A note on bimeasurable functions. Bull. Acad. Pol. Sci., Ser.
Sci. Math., Astron. et Phys. 1975. T. 23, N 2. P. 131-134. [74]
[1197] Maitra A., Ramakrishnan S. Factorization of measures and normal
conditional distributions. Proc. Amer. Math. Soc. 1988. V. 103, N 4.
P. 1259-1267. [476]
[1198] Maitra A., Rao B.V., Bhaskaxa Rao K.P.S. A problem in the extension of
measures. Illinois J. Math. 1979. V. 23, N 2, P. 211-216. [474]
[1199] Maitra A., Ryll-Nardzewski C. On the existence of two analytic non-Borel
sets which are not isomorphic. Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Sci. Math.
Astronom. Phys. 1970. V. 18. P. 177-178. [455]
[1200]* Malliavin P., Airault H., Kay L., Letac G. Integration and probability.
Springer-Verlag, New York - Berlin, 1995; 322 p.
[1201] Malliavin P. Stochastic analysis. Springer-Verlag, New York - Berlin,
1997. [338]
[1202] Mallory D. Topological properties of limits of inverse systems of measures.
Canad. J. Math. 1974. V. 26. P. 1455-1465. [475]
[1203] Mallory D. Extension of set functions to measures and applications to
inverse limit measures. Canad. Math. Bull. 1975. V. 18, N 4. P. 547-553.
[I: 79; П: 457, 475]
[1204] Mallory D., Sion M. Limits of inverse systems of measures. Ann. Inst.
Fourier (Grenoble). 1971. V. 21. P. 25-57. [475]
[1205] Mansfield R. The solution of one of Ulam's problems concerning analytic
sets, II. Proc. Amer. Math. Soc. 1970. V. 26. P. 539-540. [454]
[1206] Marczewski E. Ensembles independants et leurs applications a la theorie
de la mesure. Fund. Math. 1948. V. 35. P. 13-28. [429, 47%
[1207] Marczewski E. Independance d'ensembles et prolongement de mesures.
Colloq. Math. 1948. V. 1. P. 122-132. [429, 4Щ
[1208] Marczewski E. Generalisations du theoreme de Steinhaus sur I'ensemble
des distances. Colloq. Math. 1948. V. 1. P. 248-249. [362]
[1209] Marczewski E. Measures in almost independent fields. Fund. Math. 1951.
V. 38. P. 217-229. [478]
[1210] Marczewski E. On compact measures. Fund. Math. 1953. V. 40. P. 113-
124. [I: 471; П: 362, 456, 457, 459]
[1211]* Marczewski E. Remarks on the convergence of measurable sets and
measurable functions. Colloq. Math. 1955. V. 3. P. 118-124.
[1212] Marczewski E. Collected mathematical papers. PAN, Warszawa, 1996. [I:
460; II: 454, 451]
[1213] Marczewski E., Ryll-Nardzewski C. Sur la mesurabuite des fonctions de
plusieurs variables. Ann. Soc. Polon. Math. 1952. V. 25. P. 145-154. [187]
[1214] Marczewski E., Ryll-Nardzewski C. Projections in abstract sets. Fund.
Math. 1953. V. 40. P. 160-164. [455]
[1215] Marczewski E., Ryll-Nardzewski C. Remarks on the compactness and поп
direct products of measures. Fund. Math. 1953. V. 40. P. 165-170. [187]

536
Список литературы
[1216] Marczewski Е., Sikorski R. Measures in non-separable metric spaces.
Colloq. Math. 1948. V. 1. P. 133-139. [464]
[1217] Marczewski E., Sikorski R. Remarks on measure and category. Colloq.
Math. 1948. V. 2. P. 13 19. [465]
[1218]* Marcinkiewicz J., Salem R. Sur les sommes riemanniennes. Compositio
Math. 1940. T. 7. P. 376-389.
[1219]* Marcinkiewicz J., Zygmund A. Mean values of trigonometrical
polynomials. Fund. Math. 1937. V. 28. P. 131-166.
[1220]* Margulis G.A. Some remarks on invariant measures. Monatsh. Math.
1980. B. 90, N 3. S. 233-235.
[1221]* Margulis G.A. Finitely additive invariant measures on Euclidean spaces.
Ergodic Theory Dynam. Syst. 1982. V. 2. P. 383-396.
[1222] Maria J.L. de, Rodriguez-Salinas B. The space (loo/со, weak) is not a
Radon space. Proc. Amer. Math. Soc. 1991. V. 112, N 4. P. 1095 1100.
[466]
[1223] Maria J.L. de, Rodriguez-Salinas B. Banach spaces which are Radon
spaces with the weak topology. Bull. London Math. Soc. 1993. V. 25, N 6.
P. 577-581. [466]
[1224] MaHk J. The Baire and Borel measure. Czech. Math. J. 1957. V. 7(82),
N 2. P. 248-253. [158]
[1225]* Marie C.-M. Mesures et probabilites. Hermann, Paris, 1974; 474 p.
[1226]* Mattila P. Geometry of sets and measures in Euclidean spaces. Cambridge
University Press, Cambridge, 1995; 343 p.
[1227] Mattila P., Mauldin R.D. Measure and dimension functions: measurability
and densities. Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 1997. V. 121, N 1.
P. 81 100. [464]
[1228] Mauldin R.D. Baire functions, Borel sets, and ordinary function systems.
Adv. Math. 1974. V. 12, N 4. P. 418-450. [60]
[1229] Mauldin R.D. Countably generated families. Proc. Amer. Math. Soc. 1976.
V. 54. P. 291-297. [I: 88; H: Щ
[1230] Mauldin R.D. On поп isomorphic analytic sets. Proc. Amer. Math. Soc.
1976. V. 58. P. 241-244. [455]
[1231] Mauldin R.D. Borel parametrizations. Trans. Amer. Math. Soc. 1979.
V. 250. P. 223-234. [60, 455]
[1232]* Maurin K. Analysis. Part II. Integration, distributions, holomorphic
functions, tensor and harmonic analysis. Reidel, Dordrecht, 1980;
xvii+829 p.
[1233]* Mawhin J. Analyse. Fondements, techniques, evolution. De Boeck
Universite, Brussels, 1992; iv+808 p.
[1234]* Mayrhofer K. Inhalt und Mafi. Wien, 1952; vii+265 S.
[1235] Mazurkiewicz S. Sur une propriete des ensembles C(A). Fund. Math. 1927.
V. 10. P. 172-174. [75]
[1236]* Mazurkiewicz S. Sur les fonctions qui satisfont a la condition (N). Fund.
Math. 1930. V. 16. P. 348-352.
[1237] McCann R. J. Existence and uniqueness of monotone measure-preserving
maps. Duke Math. J. 1995. V. 80. P. 309-323. [I: 438; II: 266]
[1238]* McDonald J.N., Weiss N.A. A course in real analysis. Biographies by
C.A. Weiss. Academic Press, San Diego, 1999; xx+745 p.

Список литературы
537
[1239]* McLeod R.M. The generalized Riemann integral. Mathematical
Association of America, Washington, D.C., 1980; xiii+275 p.
[1240]* McShane E.J. Integration. Princeton, 1944; viii+394 p.
[1241]* McShane E.J. Unified integration. Academic Press, New York - London,
1983; xiii+607 p.
[1242]* McShane E.J., Botts T.A. Real analysis. Van Nostrand, Princeton, 1959;
ix+272 p.
[1243] Mejlbro L., Preiss D., Tiser J. Positivity principles in geometrical measure
theory. In: Measure theory, Oberwolfach, 1990, B. Pettineo and P. Vetro
eds. Rend. Circ. Mat. Palermo B) Suppl. No. 28 A992), pp. 163-167.
Circolo Matematico di Palermo, Palermo, 1992. [465]
[1244]* Mejlbro L., Tops0e F. Vitali systems in Rn with irregular sets. Math.
Scand. 1996. V. 79, N 1. P. 86-100.
[1245]* Menchoff D. Sur la representation conforme des domaines plans. Math.
Ann. 1926. B. 95, N 5. S. 641-670.
[1246] Mercourakis S. Some remarks on countably determined measures and
uniform distribution of sequences. Monatsh. Math. 1996. B. 121, N 1-2.
S. 79-111. [271]
[1247]* Message d'un mathematicien: Henri Lebesgue. Pour le centenaire de sa
naissance. Introductions et extraits choisis par Lucienne Felix. Librairie
Scientifique et Technique Albert Blanchard, Paris, 1974; ix+259 p.
[1248] Metivier M. Sur la disintegration des mesures. C. R. Acad. Sci. Paris.
1963. T. 256. P. 1062-1065. [47b]
[1249] Metivier M. Limites projectives de mesures. Martingales. Applications.
Ann. Mat. Рига Appl. D). 1963. V. 63. P. 225-352. [475, 4Щ
[1250] Metivier M. Generation de mesures dans tin a-anneau pseudotopologique.
Rend. Sem. Mat. Univ. Padova. 1964. T. 34. P. 242-304. [466]
[1251]* Metivier M. Notions fondamentales de la theorie des probabilites: matt-
rises de mathematiques. 2e ed., Dunod, Paris, 1972; xi+334 p.
[1252]* Meyer M., Reisner S., Schmuckenschlager M. The volume of the
intersection of a convex body with its translates. Mathematika. 1993. V. 40, N 2.
P. 278-289.
[1253]* Miamee A.G. The inclusion Lp(/x) С Lq(i/). Amer. Math. Monthly. 1991.
V. 98, N 4. P. 342-345.
[1254] Michael E. A linear mapping between function spaces. Proc. Amer. Math.
Soc., 1964. V. 15. P. 407ЧЮ9. [25%
[1255] Michael E. A selection theorem. Proc. Amer. Math. Soc. 1966. V. 17.
P. 1404-1406. [258]
[1256]* Michel A. Constitution de la theorie moderne de l'mtegration. Mathesis.
Librairie Philosophique J. Vrin, Paris, 1992; 338 p.
[1257]* Michel H. Мав- und Integrationstheorie. I. VEB Deutscher Verlag der
Wissenschaften, Berlin, 1978; 204 S.
[1258]* Mikusinski J. Sur une definition de I'integrale de Lebesgue. Bull. Acad.
Polon. Sci. 1964. V. 12. P. 203-204.
[1259]* Mikusinski J. The Bochner integral. Birkhauser Verlag, Basel - Stuttgart,
1978; xii+233 p.
[1260]* Miller H.I. A theorem connected with results of Steinhaus and Smital. J.
Math. Anal. Appl. 1987. V. 124. P. 27-32.

Список литературы
[1261]* Misiewicz J.K., Scheffer C.L. Pseudo isotropic measures. Nieuw Arch.
Wisk. D). 1990. V. 8, N 2. P. 111-152.
[1262] Mitoma I. Tightness of probabilities on C([0,1];5') and D([0,1];S'). Ann.
Probab. 1983. V. 11, N 4. P. 989-999. [67]
[1263]* Mitrinovic D.S., Pecaric J.E., Fink A.M. Classical and new inequalities
in analysis. Khrwer Academic Publ., Dordrecht, 1993; xviii+740 p.
[1264] Mohapl J. On weakly convergent nets in spaces of nonnegative measures.
Czech. Math. J. 1990. V. 40A15), N 3. P. 408-421. [47СЦ
[1265] Mohapl J. The Radon measures as Junctionals on Lipschitz functions.
Czech. Math. J. 1991. V. 41, N 3. P. 446-453. [470]
[1266]* Moore E.H., Smith H.L. A general theory of limits. Amer. J. Math. 1922.
V. 44. P. 102-121.
[1267] Moran W. The additivity of measures on completely regular spaces. J.
London Math. Soc. 1968. V. 43. P. 633-639. [158, 16Щ
[1268] Moran W. Separate continuity and supports of measures. J. London Math.
Soc. 1969. V. 44. P. 320-324. [156
[1269] Moran W. Measures and mappings on topological spaces. Proc. London
Math. Soc. 1969. V. 19. P. 493-508. [463]
[1270] Moran W. Measures on metacompact spaces. Proc. London Math. Soc.
1970. V. 20. P. 507-524. [2551
[1271]* Morgan F. Geometric measure theory. A beginner's guide. 3d ed.
Academic Press, San Diego, 2000; 226 p.
[1272]* Morse A.P. Convergence in variation and related topics. Trans. Amer.
Math. Soc. 1937. V. 41. P. 48-83.
[1273]* Morse A.P. Perfect blankets. Trans. Amer. Math. Soc. 1947. V. 61. P. 418
442.
[1274]* Moser J. On the volume elements on a manifold. Trans. Amer. Math. Soc.
1965. V. 120. P. 286-294.
[1275] Mosiman S.E., Wheeler R.F. The strict topology in a completely regular
setting: relations to topological measure theory. Canad. J. Math. 1972.
V. 24, N 5. P. 873-890. [461, 469, 4Щ
[1276] Mouchtaxi D. La topologie du type de Sazonov pour les Banach et les
supports hilbertiens. Ann. Univ. Clermont. 1976. V. 61. P. 77-87. [Ц5,
463\
[1277] Mourier E. Elements aleatoires dans un espace de Banach. Ann. Inst. H.
Poincare. 1953. T. 19. P. 161-244. [461]
[1278] Moy S.C. Characterizations of conditional expectations as a
transformation on function spaces. Pacif. J. Math. 1954. V. 4. P. 47-64.
[446]
[1279]* Mozzochi C.J. On a Riemann sum construction of Rudin. Proc. Amer.
Math. Soc. 1969. V. 22. P. 718.
[1280]* Mukherjea A., Pothoven K. Real and functional analysis. Plenum Press,
New York, 1978; x+529 p.
[1281]* Muldowney P. A general theory of integration in function spaces,
including Wiener and Feynman integration. Longman Scientific, Wiley,
New York, 1987; viii+115 p.
[1282]* Munroe M.E. Measure and integration. 2nd ed. Addison-Wesley,
Reading, Massachusetts - London - Don Mills, 1971; xii+290 p.

Список литературы 539
[1283] Musial К. Existence of proper conditional probabilities. Z. Wahr. theor.
verw. Geb. 1972. B. 22. S. 8-12. [459, 476]
[1284] Musial К. Inheritness of compactness and perfectness of measures by thick
subsets. Lecture Notes Math. 1976. V. 541. P. 31-42. [107, 453\
[1285] Musial K. Projective limits of perfect measure spaces. Fund. Math. 1980.
V. 110, N 3. P. 163-189. Ц59]
[1286] Mycielski J. Remarks on invariant measures in metric space». Colloq.
Math. 1974. V. 32. P. 105-112. [475]
[1287] Mycielski J. A conjecture of Ulam on the invariance of measure in
Hubert's cube. Studia Math. 1977. V. 60, N 1. P. 1-10. [475]
[1288] Nachbin L. The Haar integral. Van Nostrand, Princeton, 1965; xii+156 p.
1474]
[1289] Nakanishi S. Weak convergence of measures on the union of metric spaces.
I. Math. Jap. 1986. V. 31, N 3. P. 429^47. [470]
[1290] Nelson E. Regular probability measures on function space. Ann. Math.
B). 1959. V. 69, N 3. P. 630-643. [46Щ
[1291] von Neumann J. Algebraische Reprasentaten der Funktionen "b»« auf eine
Menge vom Masse Nutt". J. Reine Ang. Math. 1931. B. 165. S. 109-115.
[477]
[1292] von Neumann J. Einige Satze uber messbare Abbildungen. Ann. Math.
1932. V. 33. P. 574-586. [313, 47%
[1293] von Neumann J. Zur Operatorenmeihode in der klassischen Mechanik.
Ann. Math. 1932. V. 33. P. 587-642. ^72]
[1294] von Neumann J. On rings of operators. Reduction theory. Ann. Math. B).
1949. V. 50. P. 401-485. [455]
[1295]* von Neumann J. Functional Operators. I. Measures and Integrals. Annals
of Mathematics Studies, no. 21. Princeton University Press, Princeton,
1950; vii+261 p.
[1296]* von Neumann J. Collected works. V. 1-4. Pergamon Press, New York,
1961.
[1297]* von Neumann J. Invariant measures. Amer. Math. Soc., Providence,
Rhode Island, 1999; xvi+134 p.
[1298] von Neumann J., Stone M.H. The determination of representative
elements in the residual classes of a Boolean algebra. Fund. Math. 1935.
V. 25. P. 353-378. [40Щ
[1299] Niederreiter H. On the existence of uniformly distributed sequences in
compact spaces. Compositio Math. 1972. V. 25. P. 93-99. [26Щ
[1300] Nielsen O.A. An introduction to integration and measure theory. John
Wiley & Sons, New York, 1997; xvi+473 p. [I: 370, 465; II: 461]
[1301]* Nikodym O.x Sur la mesure des ensembles plans dont tous les points sont
rectilineairement accessibles. Fund. Math. 1927. V. 10. P. 116-168.
[1302]* Nikodym O. Sur une propriete de la mesure generalisee des ensembles.
Prace Matem.-Fiz. 1928-1929. T. 36. P. 65-71.
[1303]* Nikodym O. Sur les fonctions d'ensemble. Comptes Rendus du I Congres
des Math, des Pays Slaves, Varsovie, 1929 A930), pp. 304-313.
1Иное возможное (более позднее) написание: Nikodym О.М.

540
Список литературы
[1304]* Nikodym О. Sur ипе generalisation des integrales de M. J. Radon. Fund.
Math. 1930. V. 15. P. 131-179.
[1305]* Nikodym O. Contribution a la theorie des fonctionnelles lineaires
en connexion avec la theorie de la mesure des ensembles abstraits.
Mathematica (Cluj). 1931. V. 5. P. 130-141.
[1306]* Nikodym O. Sur les suites de fonctions parfaitement additives d'ensembles
abstraits. C. R. Acad. Sci. Paris. 1931. T. 192. P. 727.
[1307]* Nikodym O. Sur les families bornees de fonctions parfaitement additives
d'ensemble abstrait. Monatsh. far Math, und Phys. 1933. B. 40. S. 418-
426.
[1308]* Nikodym O. Sur les suites convergentes de fonctions parfaitement
additives d'ensemble abstrait. Monatsh. fiir Math, und Phys. 1933. B. 40.
S. 427-432.
[1309]* Nikodym O. Sur la mesure vectorieUe parfaitement additive dans un corps
abstrait de Boole. Mem. Acad. Roy. Belg. 1938. T. 17. F. 7. P. 1-40.
[1310]* Nikodym O. Sur I'existence d'une mesure parfaitement additive et поп
separable. Mem. Acad. Roy. Belg. 1938. T. 17. F. 8. P. 1-29.
[1311] Novikoff P. Sur les fonctions implicites mesurables B. Fund. Math. 1931.
V. 17. P. 8-25. [55]
[1312] Novoa J.F. Coverability of Radon measures. Atti Sem. Mat. Fis. Univ.
Modena. 2000. V. 48, N 1. P. 151-162. [466]
[1313] Nussbaum A.E. On a theorem by I. Glicksberg. Proc. Amer. Math. Soc.
1962. V. 13. P. 645-646. [189]
[1314] Ohta H., Tamano K. Topological spaces whose Baire measure admits
a regular Borel extension. Trans. Amer. Math. Soc. 1990. V. 317, N 1.
P. 393-415. [158, 182]
[1315] Okada S. Supports of Borel measures. J. Austral. Math. Soc. 1979. V. 27.
P. 221-231. [464]
[1316] Okada S., Okazaki Y. On measure-compactness and Borel measure-
compactness. Osaka Math. J. 1978. V. 15. P. 183-191. [463]
[1317] Okazaki Y. Stochastic basis in Frechet space. Math. Ann. 1986. B. 274.
S. 379-383. [Ц5]
[1318] Olson M.P. A characterization of conditional probability. Pacif. J. Math.
1965. V. 15, N 3. P. 971-983. [475]
[1319] Oppel U. Zur charakterisierung Suslinscher und Lusinscher Raume. Z.
Wahr. theor. verw. Geb. 1976. B. 34, N 3. S. 183-192. [470]
[1320] Oppel U. Zur schwachen Topologie auf dem Vektorraum der Borel-Masse
polnischer und Lusinscher Raume. Math. Z. 1976. B. 147, N 1. S. 97-99.
un
[1321] Orkin M. A Blackwell space which is not analytic. Bull. Acad. Polon. Sci.
1972. V. 20. P. 437-438. [64]
[1322]* van Os C.H. Moderne integraalrekening. Noordhoff, Groningen, 1925;
204 p.
[1323] Ottaviani G. Sulla indipendenza delle funzioni misurabili. Atti Accad.
Lincei. Rend. CI. sci. fis., mat. e natur. Roma. (8). 1947. V. 2. P. 393-398.
\45A
[1324] Oxtoby J.C. Homeomorphic measures in metric spaces. Proc. Amer.
Math. Soc. 1970. V. 24, N 3. P. 419-423. [316, 357]

Список литературы 541
[1325] Oxtoby J., Ulam S. On the equivalence of any set of first category to a
set of measure zero. Fund. Math. 1938. V. 31. P. 201-206. [363]
[1326] Oxtoby J.C., Ulam S.M. On the existence of a measure invariant under a
transformation. Ann. Math. 1939. V. 40. P. 560-566. [363, 451, 457, 4Щ
[1327] Oxtoby J.C., Ulam S. Measure preserving homeomorphisms and metrical
transitivity. Ann. Math. B). 1941. V. 42. P. 874-920. [456, 472]
[1328] Pachl J.K. Disintegration and compact measures. Math. Scand. 1978.
V. 43, N 1. P. 157-168. [431, 432, 476, 4Щ
[1329] Pachl J.K. Two classes of measures. Colloq. Math. 1979. V. 42. P. 331-
340. [186, 476]
[1330] Pachl J.K. Measures as functional on uniformly continuous functions.
Pacif. J. Math. 1979. V. 82, N 2. P. 515-521. [249, 283]
[1331]* Pallu de la Barriere R. Integration. Ellipses, Paris, 1997; 208 p.
[1332]* Panchapagesan T.V. Medida e integraci6n. Parte I. Teorfa de la medida.
V. 1,П. Universidad de los Andes, Facultad de Ciencias, Departamento de
Matematicas, Merida, 1991; xviii+344 p., 345-708 p.
[1333] Panzone R., Segovia C. Measurable transformations on compact spaces
and o. n. systems on compact groups. Rev. Un. Mat. Urgentina. 1964.
V. 22. P. 83-102. [349, 466]
[1334]* Pap E. Null-additive set functions. Kluwer Academic Publ., Dordrecht,
1995; xii+315 p.
[1335]* Pap E. (ed.) Handbook of measure theory. V. 1,2. North-Holland,
Amsterdam, 2002.
[1336] Parthasarathy K.R. Probability measures on metric spaces. Academic
Press, New York, 1967; xi+276 p. [451]
[1337]* Peano G. Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale. Torino,
1887.
[1338] Pellaumail J. Application de I'existence d'un relevement a un theoreme
sur la disintegration de mesures. Ann. Inst. H. Poincare, Sect. В (N.S.).
1972. V. 8, N 3. P. 211-215. [476]
[1339] Perlman M.D. Characterizing measur ability, distribution and weak
convergence of random variables in a Banach space by total subsets of
linear Junctionals. J. Multivar. Anal. 1972. V. 2, N 3. P. 174-188. [454]
[1340] Peter E. An extension of the subsequence principle. Studia Sci. Math.
Hungar. 2000. V. 36. P. 335-345. [478]
[1341] Petersen K. Ergodic theory. Cambridge University Press, 1983; xi+329 p.
[421]
[1342] Peterson H.L. Regular and irregular measures on groups and dyadic
spaces. Pacific J. Math. 1969. V. 28. P. 173-182. [466]
[1343]* Pettis J. On the extension of measures. Ann. Math. 1951. V. 54. P. 186-
197.
[1344] Pfanzagl J. Convergent sequences of regular measures. Manuscr. Math.
1971. V. 4, N 1. P. 91-98. [272, 287\
[1345] Pfanzagl J. Conditional distributions as derivatives. Ann. Probab. 1979.
V. 7, N 6. P. 1046-1050. [476]
[1346]* Pfanzagl J., Pierlo W. Compact systems of sets. Lecture Notes Math.
1966. V. 16. Springer, Berlin; 48 p.

542
Список литературы
[1347] Pfeffer W.F. Integrals and measures. Marcel Dekker, New York, 1977;
ix+259 p. [I: 465; П: 461]
[1348]* Pfeffer W.F. The Riemann approach to integration. Local geometric
theory. Cambridge University Press, Cambridge, 1993; xvi+302 p.
[1349]* Phillips E.R. An introduction to analysis and integration theory. Dover
Publications, New York, 1984; xxviii+452 p.
[1350]* Phillips R.S. On linear transformations. Trans. Amer. Math. Soc. 1940.
V. 48. P. 516-541.
[1351] Phillips R.S. On weakly compact subsets of a Banach space. Amer. J.
Math. 1943. V. 65. P. 108-136. [466]
[1352]* Picone M., Viola T. Lezione sulla teoria moderna dell'integrazione.
Einaudi, Torino, 1952; 404 p.
[1353] Pier J.-P. Amenable locally compact groups. Wiley, New York, 1984;
418 p. [466]
[1354]* Pier J.-P. Integration et mesure 1900-1950. Development of mathematics
1900-1950. Ed. by J.-P. Pier. Birkhauser, Boston - Basel, 1994, pp. 517-
564.
[1355]* Pier J.-P. Histoire de l'integration. Vingt-cinq siecles de mathematiques.
Culture Scientifique. Masson, Paris, 1996; xii+307 p.
[1356]* Pierpont J. Lectures on the theory of functions of real variables. V. 1,2.
Ginn & Co., Boston, 1905, 1912; xvi+250 p., xiii+645 p.
[1357]* Pisier G. The volume of convex bodies and Banach space geometry.
Cambridge University Press, Cambridge, 1989; xvi+250 p.
[1358]* Pitt H.R. Integration, measure and probability. Oliver & Boyd,
Edinburgh - London, 1963; viii+110 p.
[1359]* Pitt H.R. Measure and integration for use. Oxford University Press,
London - New York, 1985; xii+143 p.
[1360]* Plancherel M. Contribution a I'etude de la representation d'une fonction
arbitraire par des integrates definies. Rend. Circ. Mat. Palermo. 1910.
T. 30. P. 289-335.
[1361]* Plancherel M. Demonstration du theoreme de Riesz-Fischer et du
theoreme de Weyl sur les suites convergentes en moyenne. Bull. Sci. Math
B). 1923. V. 47. P. 195-204.
[1362] Plebanek G. Solution to a problem of Thiemann concerning existence of
measures. Bull. Polish Acad. Sci. Math. 1986. V. 34, N 7-8. P. 401-ЮЗ.
[186]
[1363] Plebanek G. Measures on two-dimensional products. Mathematika. 1989.
V. 36, N 2. P. 253-258. [362, 459]
[1364] Plebanek G. On Radon measures on first-countable spaces. Fund. Math.
1995. V. 148. P. 159-164. [463]
[1365] Plebanek G. A note on strictly positive Radon measures. Colloq. Math.
1995. V. 69, N 2. P. 187-192. [464]
[1366] Plebanek G. A r-additive measure without thick Lindelof subset. Questions
Answers Gen. Topology. 1997. V. 15, N 2. P. 241-243. [192, 464]
[1367] Plebanek G. Nonseparable Radon measures and small compact spaces.
Fund. Math. 1997. V. 153, N 1. P. 25-40. [466]
[1368] Plebanek G. Approximating Radon measures on first-countable compact
spaces. Colloq. Math. 2000. V. 86, N 1. P. 15-23. [271, 46b]

Список литературы
Poincare Н. Sur les equations de la dynamique et le ргоЫёте des trois
corps. Acta Math. 1890. V. 13. P. 1-270 (CEuvres, V. 7. Paris, Gauthier-
Villars, 1953). [477]
Pol R. Note on the spaces P(S) of regular probability measures whose
topology is determined by countable subsets. Pacif. J. Math. 1982. V. 100,
N 1. P. 185-201. [260]
1371] Pollard D. Induced weak convergence and random measures. Z. Wahr.
theor. verw. Geb. 1977. B. 37, N 4. S. 321-328. [^70]
1372] Pollard D. Compact sets of tight measures. Studia Math. 1976. V. 56, N 1.
P. 63-67. [47Щ
1373] Pollard D. Weak convergence on nonseparable metric spaces. J. Austral.
Math. Soc. Ser. A. 1979. V. 28, N 2. P. 197-204. [^70]
1374] Pollard D. Convergence of stochastic processes. Springer, Berlin - New
York, 1984; xiv+215 p. [67, 468]
1375]* Pollard D. A user's guide to measure theoretic probability. Cambridge
University Press, Cambridge, 2002; xiv+351 p.
1376] Pollard D., Tops0e F. A unified approach to Riesz type representation
theorems. Studia Math. 1975. V. 54, N 2. P. 173-190. [461]
Possel R. de Sur la derivation abstraite des fonctions d'ensembles. J.
Math. Pures Appl. 1936. V. 15. P. 391-409.
1378]* Pratt J.W. On interchanging limits and integrals. Ann. Math. Stat. 1960.
V. 31. P. 74-77.
1379] Preiss D. Metric spaces in which Prohorov's theorem is not valid. Z. Wahr.
theor. verw. Geb. 1973. B. 27. S. 109-116. [253, 254]
[1380] Preiss D. Differentiation of measures in infinitely-dimensional spaces.
In: Proceedings of the Conference Topology and Measure Ш. Part 1,2.
J. Flachsmeyer, Z. Frolfk, Ju.M. Smirnov, F. Tops0e, and F. Terpe eds.,
pp. 201-207. Ernst-Moritz-Arndt-Universitat, Greifswald, 1982. [465]
1381]* Preiss D. Geometry of measures in Rn: distribution, rectifiability, and
densities. Ann. Math. B). 1987. V. 125, N 3. P. 537-643.
11382] Preiss D., Tiser J. Differentiation of measures on Hilbert spaces. Lecture
Notes Math. 1982. V. 945. P. 194-207. [465]
[1383] Preiss D., Tiger J. Measures in Banach spaces are determined by their
values on balls. Mathematika. 1991. V. 38. P. 391-397. [465]
1384] Preston C.J. Random fields. Lecture Notes Math. V. 534. Springer, Berlin
- New York, 1976; 200 p. [478]
1385] Prinz P. Regularity of Riesz measures. Proc. Amer. Math. Soc. 1986. V.
96, N 2. P. 330-334. [466]
[1386]* Priestley H.A. Introduction to integration. Clarendon Press, Oxford
University Press, New York, 1997; xii+306 p.
1387] Prohorov Yu.V. The method of characteristic functionals. Proc. 4th
Berkeley Symp. on Math. Statistics and Probability, V. 2, pp. 403-419.
University of California Press, Berkeley, 1960. [458, 462]
Prum В., Fort J.-C. Stochastic processses on a lattice and Gibbs measures.
Kluwer Academic Publ., Dordrecht, 1991; ix+220 p. [478]
Ptak P., Tkadlec J. A note on determinacy of measures. Casopis Pest.
Mat. 1988. V. 113, N 4. P. 435-436.

544
Список литературы
[1390] Purves R. Bimeasurable functions. Fund. Math. 1966. V. 58. P. 149-157.
14
[1391] Rachev S.T. Probability metrics and the stability of stochastic models.
Wiley, Chichester, 1991; xiv+494 p. [468]
[1392] Rachev S.T., Rflschendorf L. Mass transportation problems. V. 1.
Springer, New York, 1998; 508 p. [266, 471]
[1393] Rademacher H. Eineindeutige AbbUdungen und Mefibarkeit. Monatsh. fur
Math, und Phys. 1916. B. 27. S. 183-290. [474]
[1394]* Rademacher H. Uber eine Eigenschaft von meflbaren Mengen positiven
Mafies. Jahr. Deutsch. Math. Verein. 1921. B. 30. S. 130-132.
[1395]* Rad6 T. Length and area. Amer. Math. Soc., New York, 1948; v+572 p.
[1396] Radon J. Theorie und Anwendungen der absolut additiven Mengen-
funktionen. Sitz. Akad. Wiss. Wien, Math.-naturwiss. Kl. Па. 1913. В. 122.
S. 1295-1438. [I: 4Ж 477, 480, 482, 485, 486, 489; II: 456, 461, 467, 471]
[1397] Radon J. Uber lineare Funktionaltransformationen und Funktionalglei-
chungen. Sitz. Akad. Wiss. Wien, Math.-naturwiss. Kl. Па. 1919. В. 128,
H. 7. S. 1-39. [467]
[1398]* Radon J. Gesammelte Abhandlungen, V. 1,2. Birkhauser, Basel - Boston,
1987.
[1399] Ramachandran D. On the two definitions of independence. Colloq. Math.
1975. V. 32, N 2. P. 227-231. [428]
[1400] Ramachandran D. Existence of independent complements in regular
conditional probability spaces. Ann. Probab. 1979. V. 7, N 3. P. 433-443.
[473, 476]
[1401] Ramachandran D. Perfect mixtures of perfect measures. Ann. Probab.
1979. V. 7, N 3. P. 444-152. [459, 4Щ
[1402] Ramachandran D. Perfect measures. Parts 1,П. ISI Lecture Notes, V. 5,7.
Macmillan Co. of India, New Delhi, 1979. [473, 476, 4Щ
[1403] Ramachandran D. A note on regular conditional probabilities in Doob's
sense. Ann. Probab. 1981. V. 9, N 5. P. 907-908. [476, 477]
[1404] Ramachandran D., Roschendorf L. A general duality theorem for marginal
problems. Probab. Theory Relat. Fields. 1995. V. 101, N 3. P. 311-319.
[354, 473]
[1405] Ramachandran D., Roschendorf L. Duality and perfect probability spaces.
Proc. Amer. Math. Soc. 1996. V. 124, N 7. P. 2223-2228. ]354, 4Щ
[1406]* Rana I.K. An introduction to measure and integration. 2nd ed. Amer.
Math. Soc., Rhode Island, Providence, 2002; 459 p.
[1407]* Randolph J.F. Basic real and abstract analysis. Academic Press, New
York, 1968, 504 p.
[1408] Rao B.V. On discrete Borel spaces and projective sets. Bull. Amer. Math.
Soc. 1969. V. 75. P. 614-617. [73, 454]
[1409] Rao B.V. Remarks on analytic sets. Fund. Math. 1970. V. 66. P. 237-239.
[454]
[1410] Rao B.V. Non-existence of certain Borel structures. Fund. Math. 1970.
V. 69. P. 241-242. Ц54]
[1411] Rao B.V. Remarks on vector sums of Borel sets. Colloq. Math. 1972. V. 25.
P. 103-104. Щ

Список литературы
1412] Rao K.P.S. Bhaskara, Rao B.V. Borel spaces. Dissertationes Math.
(Rozprawy Mat.). 1981. V. 190; 63 p. [64, 72, Щ]
1413]* Rao K.P.S. Bhaskara, Rao B.V. On extensions of measures. Colloq. Math.
1987. V. 53, N 1, P. 43-47.
1414]* Rao K.P.S. Bhaskara, Rao M. Bhaskara. Theory of charges. A study of
finitely additive measures. Academic Press, New York - London, 1983;
x+315 p.
1415] Rao K.P.S. Bhaskara, Shortt R.M. Separation of points by families of
intervals. Real Anal. Exchange. 1990-1991. V. 16, N 1. P. 177-186. [75]
1416] Rao M. Bhaskara, Rao K.P.S. Bhaskara. Borel a-algebra on [0,O].
Manuscr. Math. 1971. V. 5. P. 195-198. [187]
1417] Rao M.M. Conditional measures and operators. J. Multivar. Anal. 1975.
V. 5. P. 330-413. ]476]
1418] Rao M.M. Stochastic processes theory and integration. Sijthoff &
Noordhoff, Aphen aan den Rijn, 1979; 456 p. [456, 476]
1419] Rao M.M. Probability theory with applications. Academic Press, New
York, 1984; 495 p. [I: 465; II: 476]
1420] Rao M.M. Measure theory and integration. John Wiley & Sons, New York,
1987; xiv+540 p. [I: 280, 360, 370, 450, 465, 475; II: 466]
] Rao M.M. Conditional measures and applications. Marcel Dekker, New
York, 1993; xiv+417 p. [476]
1422] Rao R.R. Relations between weak and uniform convergences of measures
with applications. Ann. Math. Statist. 1962. V. 33, N 2. P. 659-680. [217]
1423]* Ray W.O. Real analysis. Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey,
1988; xii+307 p.
] Reiter H. On some properties of locally compact groups. Indag. Math.
1965. V. 27. P. 687-701. [360]
1425] Remy M. Disintegration and perfectness of measure spaces. Manuscr.
Math. 1988. V. 62, N 3. P. 277-296. [433, 459, 4Щ
1426] Renyi A. On a new axiomatic theory of probability. Acta Math. Acad. Sci.
Hung. 1955. V. 6. P. 285-335. [476]
1427] Renyi A. On conditional probability spaces generated by a dimensionaUy
ordered set of measures. Теория вероятн. и ее примен. 1956. V. 1. Р. 61-
71. [476]
1428] Ressel P. Some continuity and measurability results on spaces of
measures. Math. Scand. 1977. V. 40, N 1. P. 69-78. [154, 182, 275]
1429] Ressel P. A topological version of Slutsky's theorem. Proc. Amer. Math.
Soc. 1982. V. 85, N 2. P. 272-274. [288]
1430] Revesz P. The laws of large numbers. Academiai Kiadd, Budapest, 1970;
176 p. [438]
J1431]* Revuz D. Mesure et integration. Hermann, Paris, 1997.
[1432]* Richter H. Wahrscheinlichkeitstheorie. Springer, Berlin, 1966; xii+462 S.
[1433]* Ridder J. Integration in abstrakten Raumen. Fund. Math. 1935. V. 24.
P. 72-117.
[1434]* Rie6an В., Neubrunn T. Integral, measure, and ordering. Kluwer
Academic Publ., Dordrecht; Ister Science, Bratislava, 1997; xiv+378 p.

546
Список литературы
[1435]* Riesz F. Sur les systemes orthogonaux de fonctions. C. R. Acad. Sci. Paris.
1907. T. 144. P. 615-^19.
[1436]* Riesz F. Sur une espece de geometrie analytique des systemes de fonctions
sommables. C. R. Acad. Sci. Paris. 1907. T. 144. P. 1409-1411.
[1437]* Riesz F. Sur les suites de fonctions mesurables. C. R. Acad. Sci. Paris.
1909. T. 148. P. 1303-1305.
[1438] Riesz F. Sur les operations fonctionneUes lineaires. C. R. Acad. Sci. Paris.
1909. T. 149. P. 974-977. [I: 476; П: 461]
[1439] Riesz F. Untersuchungen uber Systeme integrierbarer Funktionen. Math.
Ann. 1910. B. 69. S. 449-497. [I: 482; II: 471]
[1440]* Riesz F. Sur certains systemes singuliers d'equations integrates. Ann.
Ecole Norm. Sup. C). 1911. V. 28. P. 33-62.
[1441] Riesz F. Sur quelques points de la theorie des fonctions sommables. C. R.
Acad. Sci. Paris. 1912. T. 154. P. 641-643. [I: 475; II: 459]
[1442] Riesz F. Sur integrate de Lebesgue. Acta Math. 1920. V. 42. P. 191-205.
[I: 475; II: 459]
[1443]* Riesz F. Sur la convergence en moyenne, I,II. Acta Sci. Math. 1928-29.
T. 4. P. 58^64, 182-185.
[1444]* Riesz F. Uber Satze von Stone und Bochner. Acta Univ. Szeged. 1933.
V. 6. P. 184-198.
[1445]* Riesz F. Sur I'integrale de Lebesgue comme I'operation inverse de la
derivation. Ann. Scuola Norm. Super. Pisa B). 1936. V. 5. P. 191-212.
[1446] Riesz F. Sur la theorie ergodique. Comment. Math. Helv. 1944-1945. V. 17.
P. 221-239. [478]
[1447]* Riesz F. (Euvres completes, V. 1,П. Acad. Sci., Budapest, 1960.
[1448]* Riesz M. Sur les ensembles compacts de fonctions sommables. Acta Sci.
Math. Szeged. 1933. V. 6. P. 136-142. ЩЗ, 4Щ
[1449]* Riviere Т., Ye D. Resolutions of the prescribed volume from equation.
Nonlinear Diff. Eq. Appl. 1996. V. 3. P. 323-369.
[1450] Rodriguez-Salinas B. Strictly localizable measures. Rend. Circ. Mat.
Palermo B). 1992. V. 41, N 2. P. 295-301. [466]
[1451] Rogers C.A. Hausdorff measures. Cambridge University Press, London,
1970; viii+179 p. [I: 166; П: 481]
[1452] Rogers C.A. A linear Borel set whose difference set is not a Borel set.
Bull. London Math. Soc. 1970. V. 2, N 1. P. 41-42. [74]
[1453] Rogers С A., Jayne J.E. Jf-analytic sets. In: Analytic sets, pp. 1-181.
Academic Press, New York, 1980. [17, 63, 70, 75, 454]
[1454]* Rogers C.A., Sion M. On Hausdorff measures in topological spaces.
Monatsh. Math. 1963. B. 67. S. 269-278.
[1455] Rogge L. The convergence determining class of regular open sets. Proc.
Amer. Math. Soc. 1973. V. 37, N 2. P. 581-585. [275]
[1456]* Rogosinski W.W. Volume and integral. Oliver and Boyd, Edinburgh and
London; Interscience Publishers, New York, 1952; x+160 p.
[1457]* Romanovski P. Integrate de Denjoy dans les espaces abstraits. Mat.
Sbornik USSR. 1941. T. 9 E1). N 1. P. 67-120.
[1458] Romanovsky V. Sur un theoreme limite du calcul des probabilites. Матем.
сб. (Recuil Math. Soc. Math. Moscou). 1929. T. 36. С 36-64. [467]

Список литературы 547
[1459]* Romero J.L. When is Ьр(ц) contained in L«(/x)? Amer. Math. Monthly.
1983. V. 90. P. 203-206.
[1460]* van Rooij A.C.M., Schikhof W.H. A second course on real functions.
Cambridge University Press, Cambridge, 1982; xiii+200 p.
[1461]* Rosenblatt J. Uniqueness of invariant means for measure-preserving
transformations. Trans. Amer. Math. Soc. 1981. V. 265, N 2. P. 623-636.
[1462]* Rosenthal A. Beitrage zu Caratheodory's Messbarkeitstheorie. Nachr.
Ges. Wiss. Gottingen. 1916. S. 305-321.
[1463]* Rosenthal A. Neuere Untersuchungen uber Funktionen reeller Verander-
lichen. Nach den Referaten von L. Zoretti, P. Montel und M. Frechet
bearbeiten von A. Rosenthal. Encyklopadie der Mathematischen
Wissenschaften. Т. Ш, H. 2. S. 851-1187. Verlag, B.G. Teubner, Leipzig,
1923-1927.
[1464]* Rosenthal H.P. On relatively disjoint families of measures, with some
applications to Banach space theory. Studia Math. 1970. V. 37. P. 13-36.
[1465]* Rosenthal J.S. A first look at rigorous probability theory. World Sci.,
Singapore, 2000; xiv+177 p.
[1466] Rosinski J. On the convolution of cylindrical measures. Bull. Acad. Pol.
Sci., Ser. Sci. Math. 1982. V. 30, N 7-8. P. 379-383. [173]
[1467] Ross K., Stromberg K. Baire sets and Baire measures. Ark. Mat. 1965.
V. 6. P. 151-160. [58]
[1468]* Ross K.A., Stromberg K. Jessen's theorem on Riemann sums for locally
compact groups. Pacific J. Math. 1967. V. 20. P. 135-147.
[1469] Rota G.C. On the representation of averaging operators. Rend. Semin.
Nat. Padova. 1960. T. 30. P. 52-64. [446]
[1470] Royden H.L. Real analysis. 3d ed., Prentice Hall, Englewood Cliffs, New
Jersey, 1988; 444 p. Ast ed.: Macmillan, 1963). [I: 465; II: 474]
[1471]* Rubel L.A. A pathological Lebesgue-measurable function. J. London
Math. Soc. 1963. V. 38. P. 1-4.
[1472]* Ruch J.-J., Weber M. Quelques resultats dans la theorie des sommes
riemanniennes. Exposition. Math. 1997. V. 15, N 3. P. 279-288.
[1473]* Rudin W. An arithmetic property of Riemann sums. Proc. Amer. Math.
Soc. 1964. V. 15. P. 321-324.
[1474]* Rudin W. Real and complex analysis. 2nd ed., McGraw-Hill, New York,
1974; xii+452 p.
[1475] Rudolph D. Fundamentals of measurable dynamics. Ergodic theory on
Lebesgue spaces. Clarendon Press, Oxford University Press, New York,
1990; x+168 p. [473]
[1476] Rue Th. de La Espaces de Lebesgue. Lecture Notes Math. 1993. V. 1557.
P. 15-21. ЦЩ
[1477] Ruschendorf L., Thomsen W. Closedness of sum spaces and the
generalized Schrodinger problem. Theory Probab. Appl. 1997. V. 42, N 3.
P. 483-494. [452]
[1478] Ryll-Nardzewski С On quasi-compact measures. Fund. Math. 1953. V. 40.
P. 125-130. [362, 458]
[1479]* Saadoune M., Valadier M. Extraction of a "good"subsequence from a
bounded sequence of integrable functions. J. Convex Anal. 1995. V. 2,
N 1-2. P. 345-357.

548 Список литературы
[1480] Sainte-Beuve M.F. On the extension of von Neumann-Aumann's theorem.
J. Funct. Anal. 1974. V. 17. P. 112-129. [56]
[1481] Saint-Pierre J. Disintegration d'une mesure поп borne. Ann. Inst.
H. Poincare, Sect. B. 1975. V. 11, N 3. P. 275-286. [476, 477]
[1482] Saint-Raymond J. Caracterisation d'espaces polonais. Seminaire Choquet
(Initiation a l'analyse). ll-12e annees. 1971-1973. N 5. 10 pp. [46ff]
[1483]* Saks S. Theorie de l'integrale. Warszawa, 1933; vii+290 p. (англ. пер. с
испр. и доп.: Theory of the integral. Warszawa, 1937).
[1484]* Saks S. On some funcHonals. Trans. Amer. Math. Soc. 1933. V. 35, N 2.
P. 549-556; Addition: ibid., N 4. P. 965-970.
[1485] Saks S. Integration in abstract metric spaces. Duke Math. J. 1938. V. 4.
P. 408-411. [461]
[1486] Saks S., Sierpinski W. Sur ипе propriety, generate de fonctions. Fund.
Math. 1928. V. 11. P. 105-112. [186]
[1487] Sapounakis A. The existence of strong liftings for totally ordered measure
spaces. Pacif. J. Math. 1983. V. 106, N 1. P. 145-151. [477]
[1488] Sato H. Hilbertian support of a probability measure on a Banach space.
Lecture Notes Math. 1979. V. 709. P. 195-205. [Ц5, 464]
[1489J Schachermayer W. Mesures cylindriques sur les espaces de Banach, qui
ont la propriite de Radon-Nikodym. C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. A. 1976.
T. 282, N 4. P. 227-229. [466]
[1490] Schachermayer W. Eberlein-compacts et espaces de Radon. C. R. Acad.
Sci. Paris, Ser. A. 1977. T. 284. P. A405-A407. [163]
[1491] Schaerf H.M. On the continuity of measurable functions in neighborhood
spaces. Portugaliae Math. 1947. V. 6. P. 33-44; errata, P. 66. [464]
[1492]* Schechtman G., Schlumprecht Th., Zinn J. On the Gaussian measure
of the intersection of symmetric, convex sets. Ann. Probab. 1998. V. 26.
P. 346-357.
[1493]* Scheffe H. A useful convergence theorem for probability distributions.
Ann. Math. Statist. 1947. V. 18. P. 434-438.
[1494] Schief A. The continuity of subtraction and the Hausdorff property in
spaces of Borel measures. Math. Scand. 1988. V. 63, N 2. P. 215-219.
[288]
[1495] Schief A. Topological properties of the addition map in spaces of Borel
measures. Math. Ann. 1988. B. 282, N 1. S. 23-31. [288]
[1496] Schief A. On continuous image averaging of Borel measures. Topol. Appl.
1989. V. 31, N 3. P. 309-315. [258]
[1497] Schief A. An open mapping theorem for measures. Monatsh. Math. 1989.
B. 108, N 1. S. 59-70. [258, 288]
[1498] Schief A. Almost surely convergent random variables with given laws.
Probab. Theory Relat. Fields. 1989. V. 81. P. 559-567. [468]
[1499]* Schlesinger L., Plessner A. Lebesguesche Integrate und Fouriersche
Reihen. De Gruyter, Berlin - Leipzig, 1926; 229 S.
[1500]* Schmitz N., Plachky D. Vorlesungen uber Wahrscheinlichkeitstheorie. I.
Verlag Anton Hain, Meisenheim am Glan, 1976; vi+216 S.
[1501]* Schneider R. Convex bodies: the Brunn-Minkowski theory. Cambridge
University Press, 1993; xiii+490 p.

Список литературы
1502]* Schonflies A. Entwickelung der Mengenlehre und ihrer Anwendungen.
Leipzig, Berlin, 1913; 388 S.
1503] Schwartz L. Sur le theoreme du graphe ferme. C. R. Acad. Sci. Paris. 1966.
T. 263. P. 602-605. [194]
1504] Schwartz L. Radon measures on arbitrary topological spaces and
cylindrical measures. Oxford University Press, London, 1973; xii+393 p.
[457, 466, 4Щ
1505] Schwartz L. Surmartingales regulieres a valeurs mesures et
disintegrations regulieres d'une mesure. J. Anal. Math. 1973. V. 26.
P. 1-168. [476, 477]
1506] Schwartz L. Certaines proprietes des mesures sur les espaces de Banach.
Seminaire Maurey-Schwartz A975-1976), Expose 23, Centre Math., Ecole
Polytech., Palaiseau, 1976. [461]
1507] Schwartz L. Lectures on disintegration of measures. Tata Institute of
Fundamental Research, Bombay, 1975; 132 p. [476, 477]
1508] Schwartz L. Geometry and probability in Banach spaces. Lecture Notes
Math. V. 852. Springer, Berlin - New York, 1981; 101 p. [461]
1509]* Segal I.E. Equivalences of measure spaces. Amer. J. Math. 1951. V. 73.
P. 275-313.
1510]* Segal I., Kunze R.A. Integrals and operators. Springer, Berlin - New
York, 1978; xiv+371 p.
1511] Seidel W. Supports of Borel measures. Fund. Math. 1989. V. 133, N 1.
P. 67-80. [464]
1512] Sentilles F.D. Bounded continuous functions on a completely regular
space. Trans. Amer. Math. Soc. 1972. V. 168. P. 311-336. [470]
1513]* Severini C. Sopra gli sviluppi in series di funzioni ortogonali. Atti Ace.
Gioenia di Catania E). 1910. T. 3, Mem. ХШ. P. 1-7.
1514] Shelah S. Lifting of the measure algebra. Israel J. Math. 1983. V. 45.
P. 90-96. [40%
1515] Sherman S. On denumerably independent families of Borel fields. Amer.
J. Math. 1950. V. 72. P. 612-614. [429]
1516] Shortt R.M. The extension of measurable functions. Proc. Amer. Math.
Soc. 1983. V. 87, N 3. P. 444-446. [74]
1517] Shortt R.M. Universally measurable spaces: an invariance theorem and
diverse characterizations. Fund. Math. 1984. V. 121, N 2. P. 169-176.
[185]
1518] Shortt R.M., Rao K.P.S. Bhaskara. Generalized Lusin sets with the
Blackwell property. Fund. Math. 1987. V. 127, N 1. P. 9-39. [6j]
1519]* Sierpinski W. Sur une propriete generale des ensembles de points. C. R.
Acad. Sci. Paris. 1916. T. 162. P. 716-717.
1520]* Sierpinski W. Sur la question de la mesurabilite de la base de M. HameL
Fund. Math. 1920. V. 1. P. 105-111.
1521]* Sierpinski W. 5мг les fonctions convexes mesurables. Fund. Math. 1920.
V. 1. P. 125-129.
1522]* Sierpinski W. Sur «n probleme concernant les ensembles mesurables
superficiellement. Fund. Math. 1920. V. 1. P. 112-115.

550
Список литературы
[1523]* Sierpinski W. Sur les rapports entre I'existence des integrates
fcf(x,y)dx, fof(x,y)dy et ? dx J* f(x,y)dy. Fund. Math. 1920. V. 1.
P. 142-147.
[1524]* Sierpinski W. Sur les fonctions d'ensembles additives et continues. Fund.
Math. 1922. V. 3. P. 240-246.
[1525]* Sierpinski W. Sur I'ensemble de distances entre les points d'un ensemble.
Fund. Math. 1925. V. 7. P. 144-148.
[1526] Sierpinski W. Sur une propriete characteristique des ensembles
analytiques. Fund. Math. 1927. V. 10. P. 169-171. [74]
[1527] Sierpinski W. Sur un probleme de M. Hausdorff. Fund. Math. 1927. V. 10.
P. 427-430. [4$\
[1528] Sierpinski W. Sur les ensembles boreliens abstraits. Ann. Soc. Polon. Math.
1927. T. 6. P. 50-53. [I: 471; П: 71]
[1529]* Sierpinski W. Un theoreme general sur les families des ensembles. Fund.
Math. 1928. V. 12. P. 206-210.
[1530] Sierpinski W. 5кг la continuite des fonctions absolument additives
d'ensembles. Ann. Soc. Polon. Math. 1928. T. 7. P. 75-78. [187]
[1531] Sierpinski W. 5ur la dualite entre la premiere categorie et la mesure nulle.
Fund. Math. 1934. V. 22. P. 276-280. [465]
[1532]* Sierpinski W. Sur une propriete de fonctions quelconques d'une variable
rieUe. Fund. Math. 1935. V. 25. P. 1-4.
[1533] Sierpinski W. Sur une suite de fonctions continues dont toute fonction
d'accumulation est поп mesurable. Publ. Inst. Math. Beograd. 1947. V. 1.
P. 5-10. [73]
[1534] Sierpinski W. Hypothese du continu. 2nd ed. Chelsea, New York, 1956;
xvii+274 p. [I: 107, 473; П: 454]
[1535]* Sierpinski W. On the congruence of sets and their equivalence by finite
decomposition. New York, 1967; 115 p.
[1536] Sierpinski W. OBuvres choisies. Т. I-Ш. PWN-editions Scientifiques de
Pologne, Warsaw, 1974, 1975, 1976. [I: 460, 471, 473; II: 454]
[1537] Sikorski R. On the representation of Boolean algebras as fields of sets.
Fund. Math. 1948. V. 35. P. 247-258. [355]
[1538]* Sikorski R. Advanced calculus: functions of several variables. Polish Sci.
Publ., Warszawa, 1969; 460 p.
[1539]* Simonnet M. Measures and probabilities. Springer-Verlag, New York,
1996; xiv+510 p.
[1540] Sion M. On uniformization of sets in topological spaces. Trans. Amer.
Math. Soc. 1960. V. 96. P. 237-245. [454]
[1541] Sion M. Topological and measure-theoretic properties of analytic sets.
Proc. Amer. Math. Soc. 1960. V. 11. P. 769-776. [454]
[1542] Sion M. On capacitability and measurability. Ann. Inst. Fourier
(Grenoble). 1963. V. 18. P. 88-99. [167]
[1543]* Sion M. Introduction to the methods of real analysis. Holt, Rinehart and
Winston, New York - Montreal - London, 1968; x+134 p.
[1544] Sion M. A theory of semigroup valued measures. Lecture Notes Math.
V. 355. Springer-Verlag, Berlin - New York, 1973; iv+140 p. [I: 474; H:
477]

Список литературы 551
[1545]* Sion М., Willmott R.C. Hausdorff measures on abstract spaces. Trans.
Amer. Math. Soc. 1966. V. 123. P. 275-309.
[1546] Skala H.J. The existence of probability measures with given marginals.
Ann. Probab. 1993. V. 21, N 1. P. 136-142. [354, 473]
[1547] Slowikowski W. Pre-supports of linear probability measures and linear
Lusin measurable functionals. Dissert. Math. 1972. V. 93. P. 1-43. [461]
[1548] Slutsky E. Uber stochastische Asymptoten und Grenzwerte. Metron. 1925.
V. 5. P. 3-89. [I: 204, 477; II: 289]
[1549]* Smiley M.F. An extension of metric distributive lattices with an
application in general analysis. Trans. Amer. Math. Soc. 1944. V. 56, N 3.
P. 435-447.
[1550]* Smith H.J.S. On the integration of discontinuous functions. Proc. London
Math. Soc. 1875. V. 6. P. 140-153.
[1551] Smolenski W. Pre-supports and kernels of probability measures in Frechet
spaces. Demonstr. Math. 1977. V. 10, N 3-4. P. 751-762. [465]
[1552] Smolenski W. An abstract form of a counterexample of Marek Kanter.
Lecture Notes Math. 1984. V. 1080. P. 288-291. [465]
[1553] Smolenski W. On the approximation of measurable linear functionals.
Statist. Probab. Lett. 1985. V. 3, N 4. P. 205-207. [465]
[1554] Smolenski W. On the kernel of probability measures on a Banach space.
Demonstr. Math. 1988. V. 21. P. 569-572. [465]
[1555]* Sodnomov B. On a property of sets of positive measure. Fund. Math.
1967. V. 60. P. 187-190.
[1556] Sokal A.D. Existence of compatible families of proper regular conditional
probabilities. Z. Wahr. theor. verw. Geb. 1981. B. 56, N 4. S. 537-548.
[476]
[1557]* Solovay R. A model of set theory in which every set of reals is Lebesgue
measurable. Ann. Math. 1970. V. 92. P. 1-56.
[1558]* Solovay R. Real-valued measurable cardinals. In: Axiomatic Set Theory
(Proc. Sympos. Pure Math., V. ХШ, Part I), pp. 397-428. Amer. Math.
Soc., Providence, Rhode Island, 1971.
[1559] Sondermann D. Masse auf lokalbeschrankten Raumen. Ann. Inst. Fourier
(Grenoble). 1969. V. 19, N 2. P. 33-113. [466]
[1560]* Souslin M. Sur une definition des ensembles mesurables В sans nombres
transfinis. C. R. Acad. Sci. Paris. 1917. T. 164, N 2. P. 89-91.
[1561]* Spiegel M.R. Theory and problems of real variables: Lebesgue measure
and integration with applications to Fourier series. MacGraw-Hill, New
York, 1964; 194 p.
[1562]* Sprecher D.A. Elements of real analysis. 2nd ed. Dover Publications, New
York, 1987; viii+343 p.
[1563]* Srinivasan T.P. On measurable sets. J. Indian Math. Soc. (N.S.) 1954.
V. 18. P. 1-8.
[1564]* Srinivasan T.P. On extensions of measures. J. Indian Math. Soc. (N.S.)
1955. V. 19. P. 31-60.
[1565] Srivastava S.M. A course on Borel sets. Springer-Verlag, New York, 1998;
xvi+261 p. [454]

552
Список литературы
[1566]* Stampacchia G. Sulla successioni di funzioni continue rispetto ad una
variabile e misurabUi rispetto ad un'altra. Atti Accad. Lincei. Rend. CI.
sci. fis., mat. e natur. Roma. (8). 1949. V. 6. P. 198-201.
[1567] Stegall Ch. The topology of certain spaces of measures. Topology Appl.
1991. V. 41. P. 73-112. [466]
[1568]* Stein E.M. Harmonic analysis: real-variable methods, orthogonality, and
oscillatory integrals. Princeton University Press, Princeton, New Jersey,
1993; xiii+695 p.
[1569] Stein J.D. A uniform boundedness theorem for measures. Michigan Math.
J. 1972. V. 19, N 2. P. 161-165. [275]
[1570]* Steinhaus H. Additive und stetige Funktionaloperationen. Math. Z. 1919.
B. 5. S. 186-221.
[1571]* Steinhaus H. Sur les distances des points des ensembles de mesure
positive. Fund. Math. 1920. V. L P. 93-104.
[1572]* Steinhaus H. Les probabUites denombrables et leur rapport a la theorie
de la mesure. Fund. Math. 1923. V. 4. P. 286-310.
[1573] Steinhaus H. Sur la probability de la convergence de series. Studia Math.
1930. V. 2. P. 21-39. [358, 472]
[1574]* Stepanoff W. Sur une propriety caracteristique des fonctions mesurables.
Матем. сб. 1924. Т. 31. С. 487-489.
[1575]* Stieltjes T.J. Recherches sur les fractions continues. Ann. Fac. Sci.
Toulouse A). 1894. V. 8. P. J.1-J.122.
[1576]* Stone M.H. Linear transformations in Hilbert space and their applications
to analysis. Amer. Math. Soc. Colloq. Publ., V. 15, New York, 1932;
viii+622 p.
[1577] Stone M.H. The theory of representations for Boolean algebras. Trans.
Amer. Math. Soc. 1936. V. 40, N 1. P. 37-111. [456, 475]
[1578] Stone M.H. Applications of the theory of Boolean rings to general topology.
Trans. Amer. Math. Soc. 1937. V. 41, N 3. P. 375-481. [456, 475]
[1579] Stone M.H. Notes on integration. J-IV. Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 1948.
V. 34, P. 336-342; ibidV, P. 447-455; ibid,, P. 483-490; ibid., 1949. V. 35.
P. 50-58. [456, 459]
[1580] Strassen V. The existence of probability measures with given marginals.
Ann. Math. Statist. 1965. V. 36. P. 423-439. [267, 354, 473]
[1581] Strieker C, Yor M. Calcul stochasttque dependant d'un parametre. Z.
Wahr. theor. Verw. Geb. 1978. V. 45, N 2. P. 109-133. [78]
[1582]* Stromberg K. The Banach-Tarskii paradox. Amer. Math. Monthly. 1979.
V. 86 (March). P. 151-161.
[1583]* Stromberg K. An introduction to classical real analysis. Wadsworth,
Belmont, 1981; ix+575 p.
[1584] Stroock D.W. Some comments on independent a-algebras. Colloq. Math.
1976. V. 35, N 1. P. 7-13. [452]
[1585] Stroock D.W. Probability theory: an analytic view. Cambridge University
Press, 1993; xv+512 p. [468]
[1586]* Stroock D.W. A concise introduction to the theory of integration. 3d ed.
Birkhauser Boston, Boston, 1999; xiv+253 p.
[1587] Stroock D.W., Varadhan S.R.S. Multidimensional diffusion processes.
Springer, Berlin - New York, 1979; xii+338 p. [468]

Список литературы
* Subramanian В. On the inclusion Lp(n) С L4(n). Amer. Math. Monthly.
1978. V. 85, N 6. P. 479-481.
* Sullivan D. For n > 3 there is only one finitely additive rotationally
invariant measure on the n-sphere defined on all Lebesgue measurable
sets. Bull. Amer. Math. Soc. 1981. V. 4. P. 121-123.
Sun Y. Isomorphisms for convergence structures. Adv. Math. 1995. V. 116,
N 2. P. 322-355. [I: 274; П: 271, 352]
Sun Y. Isomorphisms for convergence structures. II. Borel spaces and
infinite measures. Adv. Math. 1996. V. 124, N 1. P. 77-93. [271, 352]
* Svetic R.E. Tbe Erdos similarity problem: a survey. Real Anal. Exchange.
2000-2001. V. 26 B). P. 525-539.
* Swartz Ch. Measure, integration and function spaces. World Sci., River
Edge, New Jersey, 1994; xii+277 p.
* Swartz Ch. Introduction to gauge integrals. Singapore, World Sci., 2001;
x+157 p.
* Sz.-Nagy B. Introduction to real functions and orthogonal expansions.
Oxford University Press, New York, 1965; xi+447 p.
Szpilrajn E. Sur certains invariants de I'operation (A). Fund. Math. 1933.
V. 21. P. 229-235. [I: 472; П: 75]
* Szpilrajn E. Sur I'extension de la mesure lebesguienne. Fund. Math. 1935.
V. 25. P. 551-558.
Szpilrajn E. Sur I'equivalence des suites d'ensembles et I'equivalence des
fonctions. Fund. Math. 1936. V. 26. P. 302-326. [454]
Szpilrajn E. The characteristic function of a sequence of sets and some of
its applications. Fund. Math. 1938. V. 31. P. 207-223. [454]
Szpilrajn E. Ensembles independants et mesures поп separables. C. R.
Acad. Sci. Paris. 1938. T. 207. P. 768-770. [429]
Szpilrajn E. On the space of measurable sets. Ann. Soc. Polon. Math. 1938.
V. 17. P. 120-121. [473]
Sztencel R. On the lower tail of stable seminorm. Bull. Acad. Pol. Sci. Ser.
Sci. Math. 1984. V. 32, N 11-12. P. 715-719. [175, 465]
' Szymanski W. Who was Otto Nikodym? Math, tntell. 1990. V. 12, N 2.
P. 27-31.
Takahashi Y. On the relation between Radonifying mappings and kernels
of probability measures on Banach spaces. Hokkaido Math. J. 1985. V. 14,
N 1. P. 97-106. [465]
Takahashi Y., Okazaki Y. 0-1 laws of a probability measure on a locally
convex space. Publ. Res. Inst. Math. Sci. 1986. V. 22, N 1. P. 97-102. [437]
Talagrand M. Les boules peuvent engendrer la tribu borelienne d'un espace
metrizable поп separable? Seminaire Choquet, 17e anee. 1977-1978. F. 5,
N 2, 2 pp. Paris, 1978. [72]
Talagrand M. Comparaison des boreliens d'un espace de Banach pour
les topologies fortes et faibles. Indiana Univ. Math. J. 1978. V. 27. N 6.
P. 1001-1004. [67]
Talagrand M. Est-ce que l°° est un espace mesurable? Bull. Sci. Math.
1979. T. 103. N 3. P. 255-258. [66]
Talagrand M. Hyperplans universallement meswables. C. R. Acad. Sci.
Paris, Ser. A. 1980. T. 291. P. A501-A502. [194]

Список литературы
[1610] Talagrand М. Separabilite vague dans I'espace des mesures sur un
compact. Israel J. Math. 1980. V. 37, N 1-2. P. 171-180. [260, 4Щ
[1611] Talagrand M. Compacts de fonctions mesurables et fUtres поп mesurables.
Studia Math. 1980. V. 67. P. 13-43. [177]
[1612] Talagrand M. Closed convex hull of set of measurable functions, Riemann-
measurable functions and measurability of translations. Ann. Inst. Fourier
(Grenoble). 1982. V. 32, N 1. P. 39-69. [180, 477]
[1613] Talagrand M. Pettis integral and measure theory. Mem. Amer. Math. Soc.
1984. V. 51, N 307. P. 1-224. [I: 284; H: 67, 179, 466, 477]
[1614] Talagrand M. The Glivenko-CanteUi problem. Ann. Probab. 1987. V. 15.
P. 837-870. [444]
[1615] Talagrand M. On liftings and the regularization of stochastic processes.
Probab. Theory Relat. Fields. 1988. V. 78, N 1. P. 127-134. [477]
[1616] Tarieladze V.I. Characteristic functional and cylindrical measures in DS-
groups. In: Probability theory and mathematical statistics, V. II (Vilnius,
1985), pp. 625-648. VNU Sci. Press, Utrecht, 1987. [463]
[1617]* Tarski A. Une contribution a la theorie de la mesure. Fund. Math. 1930.
V. 15. P. 42-50.
[1618]* Taylor A.E. General theory of functions and integration. 2d ed. Dover
Publ., New York, 1985; xvi+437 p. Ast ed. Blaisdell, 1965).
[1619]* Taylor A.E. A study of Maurice Frechet. I-III. Arch. Hist. Exact Sci.
1982. V. 27, N 3. P. 233-295; ibid., 1985. V. 34, N 4. P. 279-380; ibid.,
1987. V. 37, N 1. P. 25-76.
[1620]* Taylor A.E., Dugac P. Quatre lettres de Lebesgue a Frechet. Rev. ffistoire
Sci. Appl. 1981. V. 34, N 2. P. 149-169.
]* Taylor J.C. An introduction to measure and probability. Springer-Verlag,
New York, 1997; xviii+299 p.
]* Taylor S.J. Introduction to measure and integration. Cambridge
University Press, London, 1973; 266 p.
]* Temple G. The structure of Lebesgue integration theory. Clarendon Press,
Oxford, 1971; 184 p.
]* Thielman H. Theory of functions of a real variable. Prentice-Hall,
Englewood Cliffe, New Jersey, 1953; 209 p.
]* Thomson B.S. Real functions. Lecture Notes Math. V. 1170. Springer,
Berlin - New York, 1985; vii+229 p.
] Thorisson H. Coupling, stationarity, and regeneration. Springer-Verlag,
New York, 2000; 517 p. [456]
] Tien N.D., Tarieladze V. Probability measures with big kernels. Georgian
Math. J. 2001. V. 8, N 2. P. 333-346. [465]
]* Titchmarsh E.C. The convergence of certain integrals. Proc. London
Math. Soc. B). 1926. V. 24. P. 347-358.
] Tjur T. Conditional probability distributions. Lecture Notes, No. 2.
Institute of Mathematical Statistics, University of Copenhagen,
Copenhagen, 1974; iv+370 p. [476]
] Tjur T. Probability based on Radon measures. John Wiley & Sons,
Chichester, 1980; xi+232 p. [466]
]* Tkadlec J. Construction of a finite Borel measure with er-porous sets as
null sets. Real Anal. Exchange. 1986-1987. N 1. P. 349-353.

Список литературы
555
[1632]* Tonelli L. SuU'integrazione per parti. Atti Accad. Lincei Rend. CI. sci.
fis., mat. e natur. Roma. E). 1909. V. 18. P. 246-253.
[1633]* Tonelli L. Sulla nozione di integrate. Ann. Mat. Рига Appl. D). 1923.
T. 1. P. 105-145.
[1634] Topstfe F. Preservation of weak convergence under mappings. Ann. Math.
Statist. 1967. V. 38, N 6. P. 1661-1665. [468]
[1635] Tops0e F. A criterion for weak convergence of measures with an
application to convergence of measures on D[0,1]. Math. Scand. 1969.
V. 25. P. 97-104. [468]
[1636] Tops0e F. Compactness in spaces of measures. Studia Math. 1970. V. 36,
N 3. P. 195-212. [275, 468]
[1637] Tops0e F. Compactness and tightness in a space of measures with the
topology of weak convergence. Math. Scand. 1974. V. 34, N 2. P. 187-210.
[248, 253, 468]
[1638] Tops0e F. Some special results on convergent sequences of Radon
measures. Manuscr. Math. 1976. V. 19. P. 1-14. [468]
[1639] Topsoe F. Further results on integral representations. Studia Math. 1976.
V. 55, N 3. P. 239-245. [461]
[1640] Tops0e F. Uniformity in weak convergence with respect to balls in Banach
spaces. Math. Scand. 1976. V. 38, N 1. P. 148-158. [468]
[1641] Tops0e F. On construction of measures. Proc. Conf. Topology and
Measure. I (Zinnowitz, 1974), part 2, pp. 343-381, Ernst-Moritz-Arndt-
Universitat, Greifswald, 1978. [I: 473; П: 457, 466]
[1642] Topsoe F. Approximating pavings and construction of measures. Colloq.
Math. 1979. V. 42. P. 377-385. [457, 466]
[1643] Tops0e F. Radon measures, some basic constructions. Lecture Notes
Math. 1983. V. 1033. P. 303-311. [457, 466]
[1644] Tops0e F. The Souslin operation in topology and measure theory, selected
topics. In: Proceedings of the Conference Topology and Measure Ш.
Part 1,2. J. Flachsmeyer, Z. Frolfk, Ju.M. Smirnov, F. Tops0e, and
F. Terpe eds., pp. 283-312. Ernst-Moritz-Arndt-Universitat, Greifswald,
1982. [454]
[1645] Tops0e F., Hoffmann- J0rgensen J. Analytic spaces and their applications.
In: Analytic sets, pp. 317-403, Proc. Symp. London Math. Soc., Academic
Press, New York, 1980. [454]
[1646]* Toralballa L.V. Theory of functions. Charles Merill Books, Ohio, 1963;
671 p.
[1647]* Torchinsky A. Real variable methods in harmonic analysis. Academic
Press, New York, 1986; 462 p.
[1648]* Torchinsky A. Real variables. Addison-Wesley, New York, 1988; 403 p.
[1649]* Tornier E. Wahrschemlichkeitsrechnung und allgemeine Integrations-
theorie. Teubner, Leipzig, 1936; 160 S.
[1650] Tortrat A. Calcul des probability et introduction aux processus aleatoires.
Masson, Paris, 1971; xiv+303 p. [I: 465; II: 457]
[1651] Tortrat A. Lois e(A) dans les espaces vectoriels et lois stables. Z. Wahr.
theor. verw. Geb. 1976. B. 37, N 2. S. 175-182. [175, 465]

556
Список литературы
[1652] Tortrat А. т-regularite des lois, separation au sens de A. Tulcea et
propriete de Radon-Nikodym. Ann. Inst. H. Poincare Sect.. В (N.S.). 1976.
V. 12, N 2. P. 131-150; Addendum: ibid. 1977. V. 13. P. 43. [457]
[1653] Tortrat A. Prolongements т-reguliers. Applications aux probabilites
gaussiennes. Sympos. Math. Inst. Naz. Alta Mat. V. 21. P. 117-138.
London - New York, 1977. [457, 466]
[1654]* Townsend E.J. Functions of real variables. Henry Holt, New York, 1928;
ix+405 p.
[1655] Traynor T. An elementary proof of the lifting theorem. Pacif. J. Math.
1974. V. 53, N 1. P. 267-272. [477]
[1656] Uglanov A.V. Integration on infinite-dimensional surfaces and its
applications. Kluwer Academic Publ., Dordrecht, 2000; 262 p. [462]
[1657]* Ulam S. Concerning functions of sets. Fund. Math. 1929. V. 14. P. 231-
233.
[1658] Ulam S. Zur Masstheorie in der allgemeinen Mengenlehre. Fund. Math.
1930. V. 16. P. 140-150. Ц54\
[1659] Ulam S. On the distribution of a general measure in any complete metric
space. Bull. Amer. Math. Soc. 1938. V. 44. P. 786. [457]
[1660] Umemura Y. Measures on infinite dimensional vector spaces. Publ. RIMS
Kyoto Univ. 1965. V. 1, N 1. P. 1-47. [461]
[1661] Urbanik K. Random linear functionals and random integrals. Colloq.
Math. 1975. V. 38, N 2. P. 255-263. [175, 465]
[1662]* Ursell H.D. On the behaviour of a certain sequence of functions derived
from a given one. J. London Math. Soc. 1937. V. 12. P. 229-232.
[1663] Ursell H.D. Some methods of proving measurability. Fund. Math. 1939.
V. 32. P. 311-330. [187]
[1664] Ustiinel A.S., Zakai M. Transformation of measure on Wiener space.
Springer-Verlag, Berlin, 2000; xiv+296 p. [474]
[1665]* Vaisala J. Quasiconformal maps and positive boundary measure. Analysis.
1989. V. 9. P. 205-216.
[1666] Valadier M. Disintegration d'une mesure sur un produit. С R. Acad. Sci.
Paris A-B. 1973. T. 276. P. A33-A35. [432, 477]
[1667] Valadier M. Young measures. Lecture Notes Math. 1990. V. 1446. P. 152-
188. [261, 262]
[1668] Valadier M. A course on Young measures. Workshop di Teoria della
Misura e Analisi Reale (Grado, 1993). Rend. Istit. Mat. Univ. Trieste.
1994. T. 26, suppl., pp. 349-394. [261]
Vallee Poussin Ch. J. de la: см. La Vallee Poussin Ch. J. de.
[1669] van der Vaart A.W., Wellner J.A. Weak convergence and empirical
processes. With applications to statistics. Springer-Verlag, New York,
1996; xvi+508 p. [470]
[1670]* Van Vleck E.B. Haskin's momental theorem and its connection with
Stieltjes problem of moments. Trans. Amer. Math. Soc. 1917. V. 18.
P. 326-330.
[1671] Varadarajan V.S. Groups of automorphisms of Borel spaces. Trans. Amer.
Math. Soc. 1963. V. 109. P. 191-220. [470, 4Щ

Список литературы
Veress P. Uber Funktionenmengen. Acta Sri. \Litli '.<.,.>.I llWr т ¦
P. 177-192.
* Verley J.-L. Theorie elementaire de l'integration I.e. »¦¦¦¦ .*. НиННЦЯ^*
2e ed. Centre de docum. Universite Paris-V, Pans. I'Mim is •• |>
* Visintin A. Strong convergence results related In ilm ' . •<>••, ntn ItoMfB
Partial Differential Equations. 1984. V. 9, N .V Г l.l't Inn
* Vitali G. Sulle funziom integrali. Atti. R. A<<a« I mi Ь.нп.. INK |Щ>
Т. 40. P. 1021-1034.
* Vitali G. Sull'integrabilita delle funziom. Rend. 1st I Ihh.Im 141 ЦЦ
T. 37. P. 69-73.
* Vitali G. Sui gruppi di punti. Rend. Cin . M;ii I'nl НИ14 | ||,
P. 116-126.
* Vitali G. Una proprieta delle funziom\ misuratnh K.n.l II Ы I ЩмЬяИИ
B). 1905. T. 38. P. 600-603.
* Vitali G. Sul problema della misura dei gruppi ill \ t, ,h mi* f#Jfe
Bologna, Tipogr. Gamberini e Parmeggiani, litll.'i
* Vitali G. Sulle funzioni ad integrate null,. Knnl »'„. |\,н,и»м IMI,
Т. 20. P. 136 141.
Vitali G. Sull'integrazione per serie. Rend, (in \lni I '..)•( him IOOTi
T. 23. P. 137-155.
* Vitali G. Sui gruppi di punti e sulle funziom ill nnmM. ¦, .Wi \Ш, Л.
Aecad. sci. Torino. 1908. T. 43. P. 75-92.
* Vitali G. Sulle funzioni continue. Fund. Mai h I'l'.'l, \ « I' IT!» II».
* Vitali G. Opere sull'analisi reale e compless.i < u,iln |"i||«|iml
Cremonese, Bologna, 1984.
* Vitali G., Sansone G. Moderna teoria delle Гни/кип >li wtilndll»' MNll»,
Parte I.II (Parte I: G. Vitali, Parte II: G. Suns I I» . .1 /пин Mil,
Bologna. 1951, 1952; 222 p., 614 p. (la ed.: Hcl.-c MM
* Vogel \V. Wahrscheinlichkeitstheorie. Vandenlinii \> К II м|.» 11 til, (HHUll-
gen, 1970: 385 S.
* Vo-Khac Kh. Mesure, integration, convolution
Interpretation dans le langage des prokiKi
Marketing, Paris, 1984; 256 p.
* Volterra V. Sui pnncipii del calcolo integral* ¦. (I
P. 333 372.
Wagner D. Survey of measurable selection tin *
Optim. 1977. V. 15. P. 859-903. [455]
Wagner D. Survey of measurable selection tin <»
Notes Math. 1980. V. 794. P. 119-184. [455\
Wagon S. The Banach-Tarski paradox, ('anil
Cambridge, 1993; xvihV253 p.
|* Wagschal С Derivation, integration. Hermann.
* Wagschal C. Integration. Exercices et proUo
Paris, 1999; vi+130 p.
* Walter W. Analysis. Springer, Berlin, 1995, xiv
* Wang Z.Y., Klir G.J. Fuzzy i
1992; x+354 p.
Ih|.-.i
Inn
l\M
(•<
NM
1
hmrlw.
Million
T 10.
< 'tilllrol

558
Список литературы
[1696]* Wazewski Т. Sur les ensembles mesurables. С. R. Acad. Sci. Paris. 1923.
T. 176. P. 69-70.
[1697]* Weber H. Ein Fortsetzungssatz fur gruppenwertige Mafie. Arch. Math.
1980. B. 34. S. 157-159.
[1698]* Weir A.J. Lebesgue integration and measure. Cambridge University
Press, London - New York, 1973; xii+281 p.
[1699]* Weir A.J. General integration and measure. Cambridge University Press,
London - New York, 1974; xi+298 p.
[1700] von Weizsacker H. Der Satz von Choquet-Bishop-de Leeuw fur konvexe
nicht kompakte Mengen straffer Mafie uber beliebigen Grudraumen. Math.
Z. 1975. B. 142. S. 161-165. [172]
[1701] von Weizsacker H. A note on infinite dimensional convex sets. Math.
Scand. 1976. V. 38, N 2. P. 321-324. [194]
[1702] von Weizsacker H. Can one drop L1 -boundedness in Komlds' subsequence
theorem? Math. Finance (в печ.) [444]
[1703] von Weizsacker H., Winkler G. Integral representation in the set of
solutions of a generalized moment problem. Math. Ann. 1979. B. 246.
S. 23-32. [172]
[1704] Wells B.B. Jr. Weak compactness of measures. Proc. Amer. Math. Soc.
1969. V. 20, N 3. P. 124-134^{*75]
[1705]* Wesler O. An infinite packing theorem for spheres. Proc. Amer. Math.
Soc. 1960. V. 11. P. 324-326.
[1706]* Weyl H. Uber die Konvergenz von Reihen, die nach Orthogonalfunktionen
fortschreiten. Math. Ann. 1909. B. 67. S. 225-245.
[1707] Weyl H. Uber die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins. Math. Ann.
1916. B. 77. S. 313-352. [267, 284]
[1708]* Wheeden R.L., Zygmund A. Measure and integral. Marcel Dekker, New
York - Basel, 1977; 274 p.
[1709] Wheeler R. Extensions of a a-additive measure to the projective cover.
Lecture Notes Math. 1980. V. 794. P. 81-104. [159, 182]
[1710] Wheeler R.F. A survey of Baire measures and strict topologies. Expos.
Math. 1983. V. 1, N 2. P. 97-190. [159, 182, 257, 457, 464, 4Щ
[1711]* Whitney H. Totally differentiable and smooth functions. Pacif. J. Math.
1951. V. 1. P. 143-159.
[1712] Wichura M.J. On the construction of almost uniformly convergent random
variables with given weakly convergent image laws. Ann. Math. Statist.
1970. V. 41, N 1. P. 284-291. [468]
[1713] Wichura M.J. A note on the weak convergence of stochastic processes.
Ann. Math. Statist. 1971. V. 42, N 5. P. 1769-1772. [279]
[1714]* Widom H. Lectures on measure and integration. Van Nostrand Reinhold,
New York, 1969; viii+166 p.
[1715] Wiener N. Differential space. J. Math. Phys. 1923. V. 2. P. 131-174. [I:
470; II: 461]
[1716] Wiener N. CoUected works. V. 1-3, The MIT Press, Cambridge, 1976-
1981. [I: 459, 470; II: 461]
[1717] Wijsman R.A. Invariant measures on groups and their use in
statistics. Institute of Mathematical Statistics, Hayward, California, 1990;
viii+238 p. [466]

Список литературы
559
[1718]* Wilcox H.J., Myers D.L. An introduction to Lebesgue integration and
Fourier series. Dover Publications, New York, 1994; viii+159 p.
[1719]* Williams D. Probability with martingales. Cambridge, Cambridge
University Press, 1994; xv+251 p.
[1720]* Williamson J.H. Lebesgue integration. Holt, Rinehart and Winston, New
York, 1962; viii+117 p.
[1721] Wilson R.J. Weak convergence of probability measures in spaces of smooth
functions. Stoch. Proc. Appl. 1986. V. 23, N 2. P. 333-337. [470]
[1722] Wise G.L., Hall E.B. Counterexamples in probability and real analysis.
Oxford University Press, New York - Oxford, 1994; xii+211 p. [I: 110,
267, J48, 465; II: 72, 185, 196]
[1723] Wisniewski A. Theorem of Kuratowski-Suslin for measurable mappings.
Proc. Amer. Math. Soc. 1995. V. 123, N 5. P. 1475-1479. [474]
[1724]* Wolff J. Sur les series YJ -^. C. R. Acad. Sci. Paris. 1921. T. 173.
P. 1056-1057.
[1725]* Wolff T. Recent work connected with the Kakeya problem. Prospects in
Mathematics, pp. 129-162, Amer. Math. Soc., Providence, Rhode Island,
1999.
[1726] Woyczynski W. A. Geometry and Martingales in Banach spaces. Part П:
independent increaments. Probability in Banach Spaces, 4, pp. 267-507.
Dekker, New York - Basel, 1978. [476]
[1727] Xia D.X. Measure and integration theory on infinite-dimensional spaces.
Abstract harmonic analysis. Academic Press, New York - London, 1972;
x+425 p. [461]
[1728] Yamasaki Y. Measures on infinite-dimensional spaces. World Sci.,
Singapore, 1985; x+256 p. [461]
[1729]* Yeh J. Lectures on real analysis. World Sci., River Edge, New Jersey,
2000; xvi+548 p.
[1730]* Yosida K., Hewitt E. Finitely additive measures. Trans. Amer. Math.
Soc. 1952. V. 72. P. 46-66.
[1731]* Young G.C., Young W.H. Selected papers. Presses Polytechniques et
Universitaires Romandes, Lausanne, 2000; x+870 p.
[1732]* Young W.H. The general theory of integration. Proc. Royal Soc. London.
1904. V. 73. P. 445-449.
[1733]* Young W.H. Open sets and the theory of content. Proc. London Math.
Soc. B). 1905. V. 2. P. 16-51.
[1734]* Young W.H. Upper and lower integration. Proc. London Math. Soc. B).
1905. V. 2. P. 52-66.
[1735]* Young W.H. On the general theory of integration. Phil. Trans. Royal Soc.
London (A). 1905. V. 204. P. 221-252.
[1736]* Young W.H. On parametric integration. Monatsh. Math. 1910. B. 21.
S. 125-149.
[1737] Young W.H. On a new method in the theory of integration. Proc. London
Math. Soc. B). 1911. V. 9. P. 15-50. [I: 475; П: 459]
[1738]* Young W.H. On semi-integrals and oscillating successions of functions.
Proc. London Math. Soc. B). 1911. V. 9. P. 286-324.
[1739]* Young W.H. On successions of integrals and Fourier series. Proc. London
Math. Soc. 1913. V. 11. P. 43-95.

560
Список литературы
[1740] Young W.H. On the new theory of integration. Proc. Royal Soc., Ser. A.
1913. V. 88. P. 170-178. [I: 475; II: 459]
[1741]* Young W.H. On derivatives and their primitive functions. Proc. London
Math. Soc. 1913. V. 12. P. 207-217.
[1742] Young W.H. On integration with respect to a function of bounded
variation. Proc. London Math. Soc. 1914. V. 13. P. 109^150. [I: 4 77; II:
459]
[1743]* Young W.H. Note on the existence of converging sequences in certain
oscillating successions of functions. Proc. Royal Soc. (A). 1915. V. 92.
P. 353^356.
[1744]* Young W.H. On successions with subsequences converging to an integral.
Proc. London Math. Soc. B). 1926. V. 24. P. 1-20.
[1745]* Zaanen A.C. Linear analysis. Measure and integral, Banach and Hilbert
space, linear integral equations. Interscience, New York; North-Holland,
Amsterdam; P. Noordhoff N.V., Groningen, 1953; vii+601 p.
[1746] Zaanen A.C. Integration. North-Holland, Amsterdam, 1967; xiii+604 p.
[I: 358, 360, 370, 465, 489; II: 461]
[1747]* Zahn P. Ein konstruktiver Weg zur Masstheorie und Funktionalanalysis.
Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt, 1978; 350 S.
[1748]* ZajfCek L. Sets of a-porosity and sets of a-porosity (q). Casopis Pest.
Mat. 1976. V. 101. P. 350-359.
[1749] Zieba W. A note on conditional Fatou lemma. Probab. Theory Relat.
Fields. 1988. V. 78. P. 73-74. [446]
[1750]* Ziemer W. Weakly differentiable functions. Springer-Verlag, New York
Berlin, 1989; xvi+308 p.
[1751]* Zink R.E. On the structure of measure spaces. Acta Math. 1962. V. 107.
P. 53-71. [I: 127; II: 186]
[1752] Zinn J. Zero-one laws for non-Gaussian measures. Proc. Amer. Math. Soc.
1974. V. 44. N 1. P. 179-185. [437]

Предметный указатель
А + В, I 65
АС[а,Ь], 1385
Ах, I 217
Ап Т А, Л„ i А, I 16
Л», I 35
Л//*, I 80
Ai®A2, 1213
-4i®Aa, I 213
aplim, I 425
В(Х,Л), 1338
BV[o,b], 1380
В(?), I 22
В(Х), II 20
S(lRn), I 22
В{К*>), 1177
Ва{Х), II 23
ВМО(П1п), I 429, 430
С(Х), II 11
C(X,Y),U 11
C§°(IRn), I 291
СЪ(Х), II 11
convA, I 65
V(Rd), II 70
©'(H*), II 70
dist(a,B), I 73
dv/dn, I 210
E*, I 304, 327, 330
Я", I 328
Ев, П 366
E*, II 366
essinf, I 200
esssup, I 174, 200, 289
^"-аналитическое множество, II 63
^"-суслинское множество, П 63
/,1234
/, I 238
f*g,l 243, 244
/ * /х, I 248
f-(t,l 210
/ ~ 9, I 173
H(n,v), 1349
H\ I 254
Я|, I 253
tfaO*."). 1348
/д, I 131
^-аналитическое множество, II 63
/С-суслинское множество, II 63
fc-пространство, II 250
Ля-пространство, II 70, 250
Ь°{ц), I 173
L^X,^), 1150, 173
1\ц), I 150, 173
L°°(/x), I 288
LP(E), I 173, 288
L"(X,fi), 1173
Lp(/z), I 173, 288
^c(m). I 360
?°(X,(j,), 1173
?°(д), I 136, 173, 323
?V), I 148, 173
С°°(ц), I 174, 288
C(E), 1173
C(X,n), 1173
?P(M), 1173
jMr(X), Л4+(Х), П 93

Предметный указатель
Mt(X), Mt(X), II 93
M<r(X), М+{Х), II 93
MT(X), M±(X), II 93
M(X,A), 1318
art™, I 66
IV00,1 59; П 15
ад, ii 93
74*). П 93
7>CT(X), П 93
VT(X), II 93
E.00, I 177; II 14
S(?), I 59; П 60
T(Xm,X), П 150
V(/,[a,b]),I379
Vfff), I 379
vraisup, I 174
W'^il), I 434
W^flR".».*), 1436
W?1(Iln,Rfc),I436
«'-сходимость, П 200
X+, X~, I 208
x V j/, x Л у, I 323
/ЗХ, П 14
/3(X,X"), II 150
й-кольцо множеств, I 24
A„, I 32, 40, 44, 46
/^-измеримая
функция, I 136
д-измеримое
множество, I 35, 40
^-измеримость, I 35
М-П.В., I 137
д-почти всюду, I 137
ц", 134
p., I 84
/*+ /i".I208
M, I 234
Mi ® M2,1 214
fi*u,I 247
Mo/-1, 1226; П291
д ~ v, I 211
/iQ => ft, II199
Mx, П 386
Mio, П 387
/^(Дх^НЗв?
M(>1W, jiB(A|*), II 386
v-tLfi,! 211
i/ JL д, I 211
(Т-аддитивность, I 27
ст-аддитивный класс, I 56
(Т-алгебра, 119
асимптотическая, II 434
борелевская, I 22; II 20
бэровская, II 23
остаточная, II 434
полная относительно ft, I 41
порожденная множествами, I 20
порожденная функциями, I 176
сепарабельная, И 28
счетно-порожденная, 1119; II28
счетно-разделяющая, II 28
хвостовая, П 434
ет-кольцо множеств, I 24
(т-компактное пространство, II 13
ст-конечная мера, I 156
сг-полная структура, I 323
<t(E,F), 1328
<т(^), I 20, 176
т-аддитивная мера, II 89
то-аддитивная мера, II 89
w(«), I 90
wo, I 90
wx, 190
SAf(x)fi(dx), 1145, 150
fAf(x)dx, 1150
/д/ф, 1145, 150
liminf Еп, 1117
limsupJSn, 1117
Ц/ТГ, I 174, 288
ll/IU I 173
||/||ьр(м). I 173
Ы, I 209
|/x|, I 209
V^, 1323
А-операция, I 59, 471
Александрова А.Д. теорема, II210
Андерсона неравенство, I 265
абсолютная непрерывность
интеграла Лебега, I 154
мер, I 211
равномерная интегралов, I 311
абсолютно непрерывная
мера, I 211
функция, I385

Предметный указатель
56;
абстрактная внутренняя мера, 199
автоморфизм
пространства с мерой, II 301
аддитивная функция
множества, I 25, 256
аддитивное продолжение
меры, I 110
аддитивность
конечная, I 25, 352
счетная, I 26
аксиома Мартина, I 107
алгебра
булева, П 355
булева метрическая, I 80
множеств, I 18
порожденная множествами, I 20
альтернатива
Какутани, П 379
Фремлина, II 180
аналитическое множество, I 59;
ПЗЗ, 60
аппроксимативная
дифференцируемость, I 429
непрерывность, I 425
производная, I 429
аппроксимативный предел, I 425
асимптотическая ег-алгебра, П 434
атом, I 81
атомическая мера, I 81
Банаха-Алаоглу теорема, I 330
Банаха-Сакса свойство, I 332
Банаха-Тарского теорема, I 110
Банаха-Штейнгауза
теорема, I 307
Безиковича
множество, I 94
пример, I 94
теорема, I 416
Бегаю Леви теорема, I 162
Бернштейна множество, I 90
Бесселя неравенство, I 301
Биркгофа-Хинчина
теорема, II 422
Бореля-Кантелли лемма, I 117
Бохнера теорема, I 259; П 146
Брунна-Минковского
неравенство, I 264
класс, 1182
теорема, I 116, 199
база топологии, П 10
Гамеля, I 92, 129
Шаудера, I 344
ортонормированный, I 298
пространства с мерой, П 308
банахово пространство, I 287
рефлексивное, I 328
барицент, II 168
безатомическая мера, I 81; П 161
346
бесконечная мера, I 44, 125, 273
интеграл Лебега, 1155
бесконечное произведение
мер, I 222
больших чисел закон, II 438
борелевская
сг-алгебра, I 22; II 20
мера, I 27; П 82
селекция, П 55
функция, I132
борелевски меро-полное
пространство, II 163
борелевский лифтинг, II 402
борелевское
множество, I 22; II 20
отображение, 1132, 179; II 20
бочечное пространство, II 148
булева алгебра, II 355
метрическая, I 80
булевский изоморфизм, II 304
бэровская <г-алгебра, П 23
бэровская мера, II 82
бэровское множество, II 23
Валле-Пуссена критерий, I 316
Вассерштейна метрика, II 219
Винера мера, П 118
Витали, П 183
пример, I 53
система, I 450
Витали-Лебега-Хана-Сакса
теорема, I 320, 484
Витали-Шеффе теорема, I 167
вариация
меры, I 209
функции, I 379
функции множества, I 259
векторная решетка, II 118
вероятностная мера, I 27
вероятность переходная, II 413
верхняя грань, I 323
весовое неравенство, I 430
вещественно измеримый

Предметный указатель
кардинал, I 107
взаимно-сингулярные меры, I 211
внешняя мера, I 35, 66
Каратеодори, I 66
непрерывность снизу, I 43
регулярная, I 70
внутренняя мера, I 84, 99
абстрактная, I 99
вполне регулярное
пространство, II 12
вполне упорядоченное
множество, I 90
вторая теорема о среднем, I 184
выпуклая
мера, I 265, 435; II 175
оболочка множества, I 65
функция, I 187
Гёльдера неравенство, I 174
обобщенное, I 175
Гамеля базис, I 92, 129
Гапошкина теорема, I 336, 485
Гротендика теорема, П 271
гильбертово пространство, I 295
гипотеза континуума, I 107
гомеоморфизм, II 12
пространств с мерами, II 316
график отображения, II 27
измеримый, II 27
Данжуа-Юнг-Сакса
теорема, I 426
Даниэля интеграл, II 119, 122, 459
Дини условие, I 239
Дуба
неравенство, II 381
условная мера, II 409
Дьедонне
мера, II 84
пример, II 84
теорема, II 271
две стрелки, II 19
двузначно измеримый
кардинал, I 107
дезинтегрирование, II 407
диадическое пространство, II 162
диаметр множества, I 250
дифференцирование мер, I 423
дифференцируемая
функция, I 375
дифференцируемость
аппроксимативная, I 429
диффузная мера, II 161
Егорова теорема, I 138, 478; II 87
евклидово пространство, I 294
единица алгебры, I 19
емкость Шоке, II 167
Жордана
мера, I 17, 54
разложение, I 209, 259
Жордана-Хана разложение, I 209
Зоргенфрея
плоскость, II 19
прямая, II 19
закон больших чисел, II 438
закон 0 - 1, II 434
Колмогорова, П 434
Хьитта и Сэвиджа, II 436
замена переменных, I 231, 393
замкнутое множество, I 16
знакопеременная мера, I 207
значение существенное, I 200
Иванова неравенство, II 426
Ионеску-Тулчи теорема, II 415
измеримая
оболочка, I 70, 83
функция, I131
относительно <т-алгебры, 1131
измеримое
отображение, I 132
пространство, I 19
разбиение, II 418
ядро, I 84
измеримость
графика, II 27
критерий, I 42
относительно сг-алгебры, I 132
относительно меры, I 136
по Борелю, I 132
по Жордану, I 17
по Каратеодори, I 66
по Лебегу, I 18
измеримый
кардинал, I 107; II 93
прямоугольник, I 213
измеримый выбор, II 50
изоморфизм
modO, II 301
алгебр с мерами, II 304
булевский, П 304
пространств с мерами, II 301
точечный, II 301

Предметный указатель
изоморфизм измеримых
пространств, II 22
изопериметрическое
неравенство, I 435
инвариантная мера, II 291, 347
индикатор множества, I 131
индикаторная функция, I 131
индуктивный предел
строгий, II 238
индуцированная
интеграл
Даниэля, II 119, 122, 459
Колмогорова, I 486
Лебега, I 148
по бесконечной мере, I 155
простой функции, I 145
Лебега-Стилтьеса, I 186
Макшейна, I 408
Римана, I 171
несобственный, I 172
Хеллингера, I 348, 486
Хенстока-Курцвайля, I 407, 488
комплексной функции, I 158
неопределенный, I 387
отображения в It", I 158
интегрирование по частям, I 392
интегрируемость
Макшейна, I 408
Хенстока-Курцвайля, I 407
критерий, I 169
равномерная, I 333
Йенсена неравенство, I 187
Какея проблема, I 94
Какутани альтернатива, II 379
Кантора
множество, I 52
функция, I 229
Канторовича-Рубинштейна
метрика, П 219, 263
норма, II 219
Каратеодори
внешняя мера, I 66
измеримость, I 66
Карлесона теорема, I 302
Каччопполи множество, I 435
Ки Фаня метрика, I 477; II 267
Кларксона неравенство, I 374
Колмогорова
закон 0 - 1, II 434
интеграл, I 486
независимость, II 428
неравенство, II 450
пример, I 303
теорема, П 114, 118, 438
Комлоша теорема, I 337; II 439
Коши-Буняковского
неравенство, 1174, 294
Крейна-Шмульяна
теорема, I 329
канторовская лестница, I 229
кшторовское множество, I 52
кардинал
вещественно измеримый, 1107
двузначно измеримый, 1107
измеримый, I 107; П 93
недостижимый, 1108
неизмеримый, 1107
кваэидиадическое
пространство, II162
квазиинвариантная мера, II 338
к вази маржиковское
пространство, II 158
квазимера, II 142
класс
<т-аддитивный, I 56
Бэра, I 182
компактный, I 30, 77, 225
монокомпактный, I 79
монотонный, I 56, 75
приближающий, I 31, 32, 33
компактный, I 31, 33
класс Лоренца, I 370
класс множеств компактный, I 30
коаналитическое множество, П 33
кольцо множеств, I 24
порожденное полукольцом, I 24
компакт, II 13
экстремально несвязный, II 275
Стоуна-Чеха, П 14
компактное пространство, II 13
компактность
в Ь°{ц), I 370
в L", I 343, 366
слабая в L1,1 333
слабая в Lp, I 329
компактный класс, I 30, 77, 225
комплексная функция, I 158
конечно-аддитивная
функция множества, I 25, 352
контигуальность, П 284

566
косуслиыское множество, П 33
коэффициент Фурье, I 300
критерий
Валле-Пуссена, I 316
измеримости, I 42
интегрируемости, I 169
компактности
в Lp, I 343
равномерной
интегрируемости, I 316
слабой компактности, I 333
слабой сходимости, П 204
Лагерра многочлены, I 368
Ле-Кама теорема, II 235
Лебега
измеримое множество, I 35
измеримость, 118
интеграл, I 145, 148
мера, I 32, 40, 44, 46, 47
пополнение меры, I 41
продолжение меры, I 41
разложение, I 213
теорема
о классах Бэра, I 182
теорема о мажорированной
сходимости, I 161
точка, I 403, 421
Лебега-Витали теорема, I 312
Лебега-Рохлина
пространство, П 310
Лебега-Стилтьеса
интеграл, I 187
мера, I 55, 56
Леви П. теорема, П 242
Леви-Прохорова метрика, П 220,
263
Лежандра многочлены, I 301
Лозерта пример, П 434
Лоренца класс, I 370
Лузина
свойство (N), I 443, 489; П 324
теорема, 1144, 478; П 88
теорема обобщенная, II 165
лебеговское
множество, I 404
пополнение меры, I 41
продолжение меры, I 41
левоинвариантная мера, П 338
лемма
Бореля-Кантелли, I 117
Милютина, II 231
Розенталя, I 352
Предметный указатель
Фату, 1163
Филлипса, I 352
лестница канторовская, I 229
линделефово пространство, II 13
линейный лифтинг, П 398
лифтинг, П 397
борелевский, П 402
линейный, II 398
сильный, II 433
лифтинг сг-алгебры, П 397, 398
логарифмически вогнутая
мера, I 265
локализуемая мера, 1126, 360
локально измеримое
множество, 1125
локально компактное
пространство, II14, 137
локально определимая мера, I 126
лузинское пространство, II 33
Магарам теорема, П 307
Майкла теорема, П 259
Макки топология, II 148
Макшейна интеграл, I 408
Маржика пространство, II 158
Мартина аксиома, I 107
Милютина
лемма, II 231
пространство, П 231
М инковского
неравенство, I 175, 266, 269
Минлоса-Оазонова теорема, П 150
Мюнца теорема, I 368
магарамовская
мера, 1126, 360
субмера, I 104
мажоранта упорядоченного
множества, I 323
мажорированная
сходимость, I 161
максимальная функция, I 401, 429
маргинальная проекция, II 354
мартингал, П 376
обратный, II 376, 383
математическое ожидание
условное, П 366
мера, I 26
^-инвариантная, II 338
ст-конечная, 1156
т-аддитивная, II 89
то-аддитивная, II 89
Винера, II 118
Дьедонне, II 84

1редметный указатель
567
Жордана, 117, 54
Лебега, I 32, 40, 44, 46, 47
Лебега-Стилтьеса, I 56
Пеано-Жордана, 117
Радона, П 82
Хаара, П 338
Хаусдорфа, I 254
Янга, II 261
абсолютно непрерывная, I 211
абстрактная внутренняя, I 99
атомическая, I 81
безатомическая, I 81; II161, 346
бесконечная, I 44, 125, 161, 273
борелевская, I 27; II 82
бэровская, II 82
вероятностная, I 27
внешняя, I 35, 66
Каратеодори, I 66
регулярная, I 70
внутренняя, I 84, 99
абстрактная, I 99
выпуклая, I 265, 435; II 175
диффузная, II 161
знакопеременная, I 207
инвариантная, II 291, 347
квазиинвариантная, II 338
левоинвариантная, II 338
логарифмически вогнутая, I 265
локализуемая, I 126, 360
локально определимая, 1126
магарамовская, 1126, 360
моногенная, П 161
насыщенная, I 125
неограниченная, I 44, 161
непрерывная, П 161
переходная, II 413
поверхностная, I 438
стандартная на сфере, I 276
полная, I 41
полуконечная, I 125, 360
правоинвариантная, II 338
радоновская, II 82
разложимая, I 125, 273, 360
регулярная, II 84
регулярная условная, II 386
регулярно пополнимая, II 161
сатурированная, I 125
сепарабельная, I 80, 119, 353;
П 160
сингулярная, I 211
со значениями в [0, +оо], I 44,
161
со свойством удвоения, I 432
стандартная гауссовская, I 236
счетно-аддитивная
бесконечная, I 44
условная, П 386, 407
меро-компактное
пространство, П 158
меры
взаимно-сингулярные, I 211
эквивалентные, I 211
меры Лебега продолжение, 1110
метод построения мер, I 69
метризуемое пространство, II 11
метрика
Вассерштейва, II 219
Канторовича-
Рубинштейна, П 219, 263
Ки Фаня, I 477; II 267
Леви-Прохорова, II 220, 263
Фреше-Никодима, I 80, 470
Хеллингера, I 349
сходимости по мере, I 353, 477
метрическая булева алгебра, I 80
миноранта упорядоченного
множества, I 323
многозначное отображение, II 52
многочлены
Лагерра, I 368
Лежандра, I 301
Чебышёва-Эрмита, I 301
множество
^-аналитическое, I 59; II 60
?-суслинское, I 59; П 60
^¦-аналитическое, П 63
.F-суслинское, II 63
АС-аналитическое, II 63
ДС-суслинское, II 63
^измеримое, I 35, 40
Безиковича, I 94
Бернштейна, I 90
Кантора, I 52
Каччопполи, I 435
Ншсодима, I 94, 95
Серпинского, П 119
Эрдеша, П 474
аналитическое, I 59; II 33, 60
борелевское, I 22; II 20
бэровское, П 23
вполне упорядоченное, I 90
замкнутое, I 16
измеримое, I 35, 40
относительно /х, I 35

Предметный указатель
по Жордану, I 17
по Каратеодори, I 66
по Лебегу, I 18, 35
канторовское, I 52
коаналитическое, II 33
косуслинское, II 33
лебеговское, I 404
локально измеримое, I 125
направленное, II 11
неизмеримое, I 53
ограниченного периметра, I 435
открытое, I 16
симметричное, II 144
совершенное, П 18
суслинское, I 59, 64, 472; II 33,
60
универсально измеримое, II 82
радоновски, II 82
упорядоченное, I 90
функционально замкнутое, II 23
функционально открытое, II 23
цилиндрическое, I 222; II 141
частично упорядоченное, I 90
множество мер
счетно-определенное, II 260
счетно-разделимое, II 260
модификация функции, I 173
модулярная функция
множества, I 104
момент остановки, II 381
моногенная мера, II 161
монокомпактный класс, I 79
монотонная сходимость, I 162
множества, I 104
разложение Лебега, I 394
монотонный класс, I 56, 75
Никодима
множество, I 94, 95
пример, I 249
теорема, I 320
Ньютона-Лейбница
формула, I 392
направленное множество, II 11
направленность, II 11
сходящаяся, II 11
насыщенная мера, I 125
отображений, II 428
по Колмогорову, П 428
неизмеримое множество, I 53
неизмеримый кардинал, I 107
неограниченная мера, I 44
неопределенный интеграл, I 387
непрерывная мера, П 161
непрерывность
аппроксимативная, I 425
непрерывность меры в нуле, I 26
непрерывность снизу
внешней меры, I 43
неравенство
Андерсона, I 265
Бесселя, I 301
Брунна-Минковского, I 264
Гёльдера, I 174
Гёльдера обобщенное, I 175
Дуба, II 381
Иванова, II 426
Йенсена, I 187
Кларксона, I 374
Колмогорова, II 450
Коши-Буняковского, I 174, 294
Минковского, I 175, 266, 269
Пинскера-
Кульбака-Чизара, I 189
Пуанкаре, I 434
Сарда, I 234
Соболева, I 434, 435
Харди, I 356
Харди-Литтлвуда, I 281
Чебышёва, I 153, 457
Юнга, I 245
изопериметрическое, I 435
норма, I 287
Канторовича-
Рубинштейна, II 219
множеств, II 428
нормальное пространство, II 12
нормированное
пространство, I 287
равномерно выпуклое, I 330
Орлича пространство, I 370
обобщенная производная, I 433
обобщенное неравенство
Гёльдера, I 175
оболочка
выпуклая, I 65

Предметный указатель
замкнутая выпуклая, I 329
измеримая, I 70, 83
образ меры, I 226
обратное преобразование
Фурье, I 238
обратный мартингал, II 376, 383
объем смешанный, I 266
объем шара, I 276
ограничение меры, I 83
ограниченная средняя
осцилляция, I 429
оператор
радонифицирующий, II 194
усреднения регулярный, II 230
операция
Суслина, I 59
теоретико-множественная, I 16
ординал, I 90
ортонормированный базис, I 298
остаточная ег-алгебра, II 434
осцилляция
ограниченная средняя, I 429
открытое
отображение, II 11
отмеченный промежуток, I 406
отображение
борелевское, I 132, 179; II 20
измеримое, I 132
многозначное, II 52
открытое, II 11
полунепрерывное сверху, II 63
универсально измеримое, II 82
Парсеваля равенство, I 241, 301
Пеано-Жордана мера, I 17
Пинскера-Кульбака-Чизара
неравенство, I 189
Прайса теорема, П 253
Прохорова
пространство, II 249
теорема, II 232
Пуанкаре
неравенство, I 434
теорема, II 421
формула, I 113
п.в., I 137
паракомпактное
пространство, П 13
первая теорема о среднем, I 184
переходная
вероятность, П 413
мера, II 413
периметр, I 435
плоскость Зоргенфрся, II 19
плотностная топология, I 450
плотность меры, I 210
Радона-Никодима, I 210
поверхностная мера, I 438
на сфере, I 276
покрытие, I 395
<т-алгебра, I 41
мера, I 41
структура, I 323
полная вариация, I 259
полная вариация меры, I 209
полное метрическое
пространство, I 287
полное нормированное
пространство, I 287
полное по Чеху
пространство, II 14
полнота
относительно базиса, II 308
modO, II 310
положительно определенная
функция, I 235, 259
полуаддитивность, I 25
полуалгебра множеств, I 24
полукольцо множеств, I 24
полу конечная мера, I 125, 360
полунепрерывность
сверху, II 63, 91
снизу, II 91
полунорма, I 287
польское пространство, II 16
пополнение <т-алгебры, I 41
пополнение меры, I 41
порожденная сг-алгебра, I 20, 176
порожденная алгебра, I 20
порядковая топология, II 20
порядковое число, I 90
последовательность равномерно
распределенная, II 267
последовательность
фундаментальная, II 199, 241
сходящаяся, I 328; II 199
сходящаяся
в L1^), 1159
в среднем, I 159
по мере, I 139
фундаментальная
bL1^), I 145, 159

Предметный указатель
в среднем, I 145, 159
по мере, I 139
почти всюду, I 137
почти гомеоморфизм
пространств с мерами, П 316
почти линделефово
пространство, П 158
сходимость, I 139
почти слабая сходимость
в L1, I 336
правоинварнантная мера, П 338
предел аппроксимативный, I 425
предельный переход
в интеграле, I 161
представление
Скорохода, II 229
Стоуна, П 355
Шоке, II 171
преобразование Фурье, I 234
обратное, I 238
сохраняющее меру, II 291
приближающий клас
D
[94
:, I 31, 33
Витали, I 53
Дьедонне, II 84
Колмогорова, I 303
Лозерта, П 434
Никодима, I 249
Фихтенгольца, I 271
проблема Какея, I 94
продакт-мера, I 214
продолжение
меры, I 37, 41, 85; II 94, 322
лебеговское, I 41
меры Лебега, I 110
проективная система мер, II 342
проекция маргинальная, П 354
у-алгебр, I 213
мер, I 214
аппроксимативная, I 429
верхняя, I 378
меры относительно меры, 1
с, I 433
правая, I 378
производные числа, I 378
промежуток, 117
отмеченный, I 406
свободный, I 406
простая функция, I 133
пространства гомеоморфные, II12
пространства с мерами
гомеоморфные, II 316
почти гомеоморфные, II 316
пространство
BMO(Hn), I 429
I>(lRd), П 70
2y(Hd), Ы 70
kR, П 70
Lp, I 361
сг-компактное, П 13
Лебега-Рохлина, П 310
Лоренца, I 370
Маржика, П 158
Милютина, II 231
Орлича, I 370
Прохорова, II 249
Соболева, I 434
банахово, I 287
рефлексивное, I 328
борелевски меро-полное, II 163
бочечное, П 148
вполне регулярное, II 12
гильбертово, I 295
две стрелки, II 19
диадическое, П 162
евклидово, I 294
измеримое, I 19
квазидиадическое, II 162
квазимаржиковское, II 158
компактное, II13
линделефово, II 13
локально компактное, П 14, 137
лузинское, II 33
мер, I 318
меро-компактное, II158
метризуемое, ПИ
метрическое
полное, I 287
сепарабельное, I 290
нормальное, П 12

Предметный указатель
паракомпактное, II 13
полное
относительно базиса, II 308
полное modO
относительно базиса, II 310
полное по Чеху, II 14
польское, II16
почти линделефово, II 158
радоновское, II 163
регулярное, П 12
с мерой, I 27
прохоровское, П 249
сепарабельное
по Рохлину, П 308
совершенно нормальное, II12
сопряженное, I 296, 304, 328,
330, 358, 360
стандартное измеримое, II 22
суслинское, II 33
счетно-компактное, П 13
счетно-паракомпактное, П 13
финально-компактное, II 13
хаусдорфово, П 12
хемикомпактное, П 250
прямая Зоргенфрея, II 19
прямоугольник измеримый, I 213
Радона мера, II 82
Радона-Никодима
плотность, I 210
теорема, I 211, 481
Римана интеграл, I 171
несобственный, 1172
Римана-Лебега теорема, I 320
Рисе М., I 343
Рисса теорема, I 140, 296, 304;
II 134
Рисса-Фишера теорема, I 300
Розенталя лемма, I 352
равенство Парсеваля, I 241, 301
равноизмеримые
функции, I 280
абсолютная непрерывность
интегралов, I 311
интегрируемость, I 310, 333
счетная аддитивность, I 320
равномерная вьшуклость LP, I 330
равномерная интегрируемость
критерий, I 316
равномерно выпуклое
пространство, I 330
равномерно плотное
семейство мер, П 232
равномерно распределенная
последовательность, II 267
оператор, П 194
радоновская мера, П 82
радоновское пространство, П 163
!, П 418
размеченное, I 407
е меры, II 181
Жордана, I 209, 259
Жордана-Хана, I 209
Лебега, I 213
Лебега монотонной
функции, I394
Уитни, 1111
Хана, I 208
функции множества, I 256
разложимая мера, I 125, 273, 360
размерность Хаусдорфа, I 255
размеченное разбиение, I 407
свободное, I 407
расстояние до множества, I 73
регулярная
внешняя мера, I 70
мера, II 84
условная мера, II 386
регулярно
пополшвдая мера, II 161
регулярное пространство, II 12
регулярный
оператор усреднения, II 230
рефлексивное банахово
пространство, I 328
решетка, I 323
векторная, II118
множеств, I 104
Сазонова т
Сарда
неравенство, I 234
теорема, I 277
Серпинского
множество, I 119
теорема, I 75, 471
Скорохода
представление, II 229
свойство, П 229

Предметный указатель
теорема, II 229
Соболева
неравенство, I 434, 435
пространство, I 434
Стилтьес, I 55, 186
Стоуна
представление, II 355
теорема, II 355
условие, II 126
Суслина
операция, I 59
схема, I 59
сатурированная мера, I 125
свертка
интегрируемых функций, I
мер, I 247
я меры, I 248
размеченное разбиение, I 407
свободный
отмеченный промежуток, I 406
свойство
(N), I 443, 489; II 324
Банаха-Сакса, I 332
Скорохода, II 229
удвоения, I 432
секвенциально прохоровское
пространство, II 249
селекция, II 52
борелевская, II 55
сг-алгебра, II 28
мера, I 80, 119, 353; II 160
сепарабельное
по Рохлину пространство, II 308
сепарабельное метрическое
пространство, I 290
сечение множества, I 217
сечение отображения, II 50
сальная топология, II 150
сильный лифтинг, П 433
симметризация Штейнера, I 250
симметричное множество, II 144
сингулярная мера, I 211
сингулярность мер, I 211
система Витали, I 450
компактность, I 333
компактность в L1, I 333
компактность в V, I 329
я полнота, П 241
сходимость, I 328
сходимость в Lp, I 329
сходимость мер, П 199
критерий, II 204
топология, I 327; II 200
слабо сходящаяся
последовательность, I 328; П 199
слабо фундаментальная
последовательность, П 199, 241
смешанный объем, I 266
Соболевская производная, I 433
совершенно нормальное
пространство, II 12
совершенное множество, П 18
сопряженное
к L1, I 360, 482
к L", I 358, 482
сопряженное пространство, I 296,
304, 328, 330, 358, 360
среднее, II 168
стандартная гауссовская
мера, I 236
стандартное измеримое
пространство, П 22
степень отображения, I 277
стоун-чеховская
компактификация, П 14
строгий индуктивный
предел, II 238
структура, I 323
1323
субаддитивность, I 25
субаддитивность счетная, 11
сублинейная функция, I 95
субмартингал, II 376
субмера, I 104
магарамовская, I 104
субмодулярная функция
множества, I 104
сумма Фейера, I 303
сумма множеств, I 65
супераддитивная функция
супермартингал, II 376
супермодулярная функция
множества, I 104
суслинская схема, I 59
монотонная, I 60
регулярная, I 60
суслинское
множество, I 64, 472; П 33, (

Предметный указатель
573
пространство, II 33
существенно ограниченная
функция, I 174
существенное значение
функции, I 200
схема суслинская, I 59
регулярная, I 60
сходимость
в L^fi), I 159
в Lp, I 346
в среднем, I 159
мартингалов, II 382
мер слабая, П 199
мер на множествах, I 320, 338;
II 271
по мере, I 139, 353
по распределению, II 200
почти всюду, I 137
почти равномерная, I 139
почти слабая в L1, I 336
слабая, I 328
слабая в L", I 329
счетная аддитивность, I 44
равномерная, I 320
счетная субаддитивность, I 28
счетно-компактное
пространство, II 13
счетно-определенное множество
мер, II 260
счетно-паракомпактное
пространство, II 13
счетно-порожденная
(т-алгебра, I 119; II 28
счетно-разделимое множество
мер, II 260
счетно-разделяющая
сг-алгебра, II 28
Тихонова теорема, II 16
Тонелли теорема, I 220
Тортра теорема, II 466
таблица множеств, I 59
теорема
Александрова А.Д., II 210
Банаха-Алаоглу, I 330
Банаха-Тарского, I 110
Банаха-Штейнгауза, I 307
Безиковича, I 416
Беппо Леви о монотонной
сходимости, I 162
Биркгофа-Хинчина, II 422
Бохнера, I 259; II 146
Бэра, I 116, 199
Витали о покрытии, I 395
Витали-Лебега-
Хана-Сакса, I 320, 484
Витали-Шеффе, I 167
Гапошкина, I 336, 486
Гротендика, II 271
Данжуа-Юнг-Сакса, I 426
Дьедонне, II 271
Егорова, I 138, 478; II 87
Ионеску-Тулчи, II 415
Карлесона, I 302
Колмогорова, II 114, 118, 438
Комлоша, I 337; II 439
Крейна-Шмульяна, I 329
Ле-Кама, П 235
Лебега о классах Бэра, I 182
Лебега о мажорированной
сходимости, I 161
Лебега-Витали, I 312
Лузина, I 144, 478; II 88
Лузина обобщенная, П 165
Магарам, II 307
Майкла о селекции, II 259
Минлоса-Сазонова, II 150
Мюнца, I 368
Никодима, I 320
П. Леви, II 242
Прайса, II 253
Прохорова, II 232
Пуанкаре о возвращении, П 421
Радона-Никодима, I 211, 481
Римана-Лебега, I 320
Рисса, I 140, 296, 304; II 134
Рисса-Фишера, I 300
Сарда, I 277
Серпинского, I 75, 471
Скорохода, II 229
Стоуна, II 355
Тихонова, II 16
Тонелли, I 220
Тортра, II 466
Улама, I 106
Фату, I 163
Филлипса, II 466
Фихтенгольца, I 316, 484; II 271
Фубини, I 219, 249; II 112
малая, I 385
Хана-Банаха, I 95
Шеффе, I 167, 479
Шоке-Бишопа-де Лю, II 171

574
Предметный указатель
Штрассена, П 267
Эберлейна-Шмульяна, I 329
Юнга, 1166, 479
Янкова, II 50, 455
эргодическая, II 422
о дифференцирования, I 403
о монотонных классах, I 57
функциональная, 1180
о покрытии, I 416
о среднем
вторая, I 184
первая, I 184
о сходимости
мартингалов, П 378, 382
о трех рядах, П 437
об измеримом выборе, II 50
об отделении суслинских
множеств, II 36
теоретико-множественная
операция, 116
проблема, I 106
топология
<r(E,F), 1328
«-слабая, I 330
Макки, П 148
Сазонова, П 150
индуцированная, II 10
плотностяая, I 450
порожденная
двойственностью, I 328
порядковая, П 20
сильная, П 150
слабая, I 327; П 200
сходимости на множествах, 1338
точка Лебега, I 403, 421
точка плотности, I 421
Уитни разложение, 1111
Улама теорема, I 106
удвоения свойство, I 432
универсально измеримое
множество, II 82
отображение, П 82
упорядоченное множество, I 90
ускользающая нагрузка, II 206
условие
Дини, I 239
Стоуна, П 126
условная мера, П 386, 407
в смысле Дуба, П 408
условное математическое
ожидание, П 366
Фату теорема (лемма), I 163
Фейера сумма, I 303
Филлипса
лемма, I 352
теорема, П 466
Фихтенгольца
пример, I 271
теорема, I 316, 484; П 271
Фремлина альтернатива, П 180
Фреше-Никодима
метрика, I 80, 470
Фубини
малая теорема, I 385
теорема, I 219, 249; II 112
Фурье
коэффициент, I 300
преобразование, I 234
финально-компактное
пространство, П 13
формула
Йьютона-Лейбница, I 392
Пуанкаре, I 113
замены переменных, I 393
интегрирования по частям, I 392
коплощадей, I 436
обращения, I 239
площадей, I 436
фундаментальная
последовательность
в среднем, 1145, 159
в L1^), 1145, 159
фундаментальность
в Ьг(ц), I 145, 159
в среднем, I 145, 159
функции
Хаара, I 344, 368
равноизмеримые, I 280
эквивалентные, I 150, 173
функционал
характеристический, I 234; П 147
функциональная теорема о
монотонных классах, 1180
функционально
замкнутое множество, II 23
открытое множество, П 23
функция
^-измеримая, I 136
Кантора, I 229
абсолютно непрерывная, I 385
борелевская, 1132; II 20
выпуклая, I 187
дифференцируемая, I 375

Предметный указатель
измеримая, I 131
относительно /i, I 136
относительно (т-алгебры, 1131
индикаторная множества, I 131
комплексная, I 158
максимальная, I 401, 429
множества
аддитивная, I 25, 256
конечно-аддитивная, I 25
модулярная, I 104
монотонная, 1104
субаддитивная, I 25
субмодулярная, I 104
супераддитивная, I 98
супермодулярная, I 104
счетно-аддитивная, I 26
счетно-субаддитивная, I 28
чисто аддитивная, I 258
ограниченной
вариации, I 379, 435
положительно
определенная, I 235, 259
полунепрерывная
сверху, II 91
снизу, II 91
простая, I 133
распределения меры, I 55
со значениями в [0, +оо], I 134
сублинейная, I 95
существенно
ограниченная, I 174
характеристическая
меры, I 234
множества, I 131
числовая, I 25
Хаара
мера, П 338
функции, I 344, 368
Хана разложение, I 208
Хана-Банаха теорема, I 95
Харда неравенство, I 356
Харда-Литтлвуда
неравенство, I 281
Хаусдорфа
мера, I 254
размерность, I 255
Хеллингера
интеграл, I 348, 486
метрика, I 349
Хенстока-Курцвайля
интеграл, I 407, 488
интегрируемость, I 407
575
характеристическая функция
меры, I 234
множества, I 131
характеристический
функционал, I 234; II 147
хаусдорфово пространство, II12
хвостовая сг-алгебра, II 434
хемикомпактное
пространство, II 250
цилиндрическая квазимера, II 142
цилиндрическое
множество, I 222; II141
Чебышёва неравенство, I 153, 457
Чебышёва-Эрмита
многочлены, I 301
частично упорядоченное
число порядковое, I 90
числовая функция, I 25
чисто аддитивная
функция множества, I 258
Шаудера базис, I 344
Шеффе теорема, I 167, 479
Шоке
емкость, II 167
представление, II171
Шоке-Бишопа-де Лю
теорема, П 171
Штейнера симметризация, I 250
Штрассена теорема, II 267
Эберлейна-Шмульяна
теорема, I 329
Эрдеша множество, II 474
эквивалентность
мер, I 211
функций, I 173
эквивалентные
меры, I 211
функции, I 150, 173
экстремально несвязный
компакт, П 275
Юнга
неравенство, I 245
теорема, I 166, 479
Янга мера, II 261
Янкова теорема, II 50, 455
ядро измеримое, I 84
якобиан, I 231, 436

Богачев Владимир Игоревич
ОСНОВЫ ТЕОРИИ МЕРЫ
том 2
Авторская редакция
Технический редактор А. В. Широбоков
Подписано в печать 21.04.03. Формат 60 х 84У16.
Усл.печ.л. 33,48. Уч. изд. л. 33,23.
Гарнитура Computer Modern Roman. Бумага офсетная №1.
Печать офсетная. Заказ №108.
Научно-издательский центр «Регулярная и хаотическая динамика»
426034, г. Ижевск, ул. Университетская, 1.
Лицензия на издательскую деятельность ЛУ №084 от 03.04.00.
http://rcd.ru E-mail: borisov@rcd.ru

Замеченные опечатки
т., с.
1,426
1,428
1,441
II, 17
II, 54
II, 80
П, 105
II, 105
П, 105
II, 106
II, 106
П, 107
П, 173
П, 183
П, 185
II, 193
П, 210
II, 211
II, 216
II, 216
II, 216
II, 231
П, 237
II, 243
П, 244
П, 254
II, 393
П, 463
строка
16 св.
бен.
2 св.
5 сн.
13 св.
5 св.
Пен.
10 сн.
8сн.
Зсн.
1 сн.
17 сн.
20 св.
6 св.
13 св.
22 св.
19 св.
12 сн.
19 св.
13 сн.
9сн.
4 св.
16 сн.
15 сн.
7 сн.
бен.
11 сн.
21 св.
напечатано
на Сх
покрывающих В
куб А
быть непрерывным
замкнутости
fCLl*"»
и мерой
Ва(Х)
Ва(Х)„
борелевское
ДЛЯ Д
меры /4
ц(А) = /х(-Л)
пространстве X
вполне регулярного
топологического
набор Ло борелевских
множеств образует
алгебру
от точной верхней и
точной нижней граней
вписанных
множеством
непрерывности для ц
центром в нуле
образы меры \i
К секвенциально
компактно
Рт(Х) = Vt(X)
счетным и компактным
Ау
преобразование
должно быть
на Сх в х
покрывающих В П /_1(Z)
куб<?
быть гомеоморфизмом
непрерывности
lT=i^ = 0
с мерой
Ba(Y)
Ba(Y)s
ц о / * -измеримое
для A на Si
меры \i на И
(г1(А) = ц1(-А)
пространстве Y
топологического
набор борелевских
множеств порождает счетную
алгебру Ло
от верхнего и нижнего
пределов
мер вписанных
множеством
непрерывности для ц (т.е. Е € Г„)
центром в х
образы мер цп
всякая последовательность
из К. имеет сходящуюся
подпоследовательность
вероятностных мер
VT{X) = Vr(X)
счетным и отображение
компактным
Av
т-непрерывное преобразо-