Author: Богачев В.И.
Tags: теория вероятностей и математическая статистика теория вероятностей математическая статистика комбинаторный анализ теория графов гауссовские меры
ISBN: 5-02-015147-5
Year: 1997
Text
В. И. Богачев
ГАУССОВСКИЕ
МЕРЫ
МОСКВА
НАУКА • ФИЗМАТЛИТ
1 997
ББК 22.17 »» Издание осуществлено при поддержке
g 73 I I Российского фонда фундаментальных
УДК 519.21 JJ исследований по проекту 96-01-Ц079
БОГАЧЕВВ.И. Гауссовские меры. —М.: Наука. Физмат-
лит, 1997. — 352 с. — ISBN 5-02-015147-5
Излагается современная теория гауссовских мер. Подробно обсу-
обсуждаются линейно-топологические свойства гауссовских мер на беско-
бесконечномерных пространствах, в том числе различные свойства выпукл-
выпуклости и их применения. Значительное внимание уделено нелинейным
преобразованиям гауссовских мер и анализу на гауссовских простран-
пространствах. Представлены как функционально-аналитические, так и веро-
вероятностные аспекты теории. Рассмотрены приложения в стохастиче-
стохастическом анализе и теории случайных процессов.
Для научных работников разных специальностей, аспирантов, сту-
студентов, соприкасающихся в своей исследовательской или прикладной
деятельности с гауссовскими распределениями.
Библиогр.:
Научное издание
БОГА ЧЕВ Владимир Игоревич ГАУССОВСКИЕ МЕРЫ
Редактор Е. Ю. Звежинская
Компьютерный набор Н. А. Толмачев
ИБ N 41856
ЛР N 020297 от 27.11.91. Подписано в печать 25.01.97. Формат 60x90/16.
Бумага книжно-журн. Печать офсетная. Усл. печ. л. 22. Уч.-изд. л. 24,2.
Тираж 1000 экз. Заказ тип. N1346 С-003.
Издательская фирма „Физико-математическая литература" РАН
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
Отпечатано в Московской типографии N 2 РАН
121099 Москва Г-99, Шубинский пер., 6
°°3 Наука. II полугодие 1997 © В. И. Богачев, 1997
— 97
ISBN 5-02-015147-5
Содержание
Предисловие 5
Список обозначений 8
Глава 1. Конечномерные
гауссовские распределения 9
1.1. Гауссовские меры на прямой 9
1.2. Многомерные гауссовские распределения 12
1.3. Многочлены Эрмита 16
1.4. Полугруппа Орнштейна-Уленбека 18
1.5. Классы Соболева 21
1.6. Неравенства выпуклости 26
1.7. Дополнения и задачи 32
Глава 2. Бесконечномерные
гауссовские распределения 35
2.1. Основные определения 35
2.2. Примеры 46
2.3. Пространство Камерона-Мартина 57
2.4. Законы 0-1 62
2.5. Эквивалентность и сингулярность 68
2.6. Измеримые полунормы 72
2.7. Измеримые линейные функционалы 77
2.8. Полугруппа Орнштейна-Уленбека 83
2.9. Дополнения и задачи 85
Глава 3. Радоновские гауссовские меры 93
3.1. Меры Радона 93
3.2. Основные свойства 95
3.3. Гауссовские ковариации 101
3.4. Структура радоновских гауссовских мер 106
3.5. Носители гауссовских мер 118
3.6. Измеримые линейные операторы 121
3.7. Слабая сходимость гауссовских мер 128
3.8. Абстрактные винеровские пространства 135
3.9. Дополнения и задачи 140
Глава 4. Выпуклость гауссовских мер 149
4.1. Гауссовская симметризация 149
4.2. Неравенство Эрхарда 151
4.3. Выпуклые и липшицевы функционалы 159
4.4. Функции Онзагера-Маклупа 167
4.5. Большие уклонения 174
4.6. Дополнения и задачи 177
Глава 5. Соболевские классы
по гауссовским мерам ....... 181
5.1. Интегрирование по частям 181
5.2. Соболевские классы 188
5.3. Примеры 195
5.4. Равносильность различных определений 199
5.5. Дивергенция векторного поля 202
5.6. Логарифмические неравенства 206
5.7. Гауссовские емкости 209
5.8. Дополнения и задачи 217
Глава 6. Нелинейные
преобразования гауссовских мер 231
6.1. Вспомогательные результаты 231
6.2. Линейные преобразования 236
6.3. Нелинейные преобразования 246
6.4. Примеры 257
6.5. Конечномерные отображения 260
6.6. Метод Маллявэна 263
6.7. Поверхностные меры 267
6.8. Дополнения и задачи 271
Глава 7. Приложения 275
7.1. Траектории гауссовских процессов 275
7.2. Бесконечномерные винеровские процессы 278
7.3. Логарифмические градиенты 282
7.4. Бесконечномерные диффузии 290
7.5. Дополнения и задачи 299
Дополнение. Вспомогательные сведения 305
А.1. Локально выпуклые пространства 305
А.2. Линейные операторы 309
А.З. Меры и измеримость 314
Библиографические комментарии 323
Список литературы ;.... 331
Предметный указатель 351
Предисловие
Современная теория гауссовских мер — это интереснейшая
область на стыке теории случайных процессов, функционально-
функционального анализа и математической физики, тесно связанная с разно-
разнообразными приложениями в квантовой теории поля, статисти-
статистической физике, финансовой математике и других разделах есте-
естествознания. В этой области изящным и нетривиальным образом
взаимодействуют идеи и методы теории вероятностей, нелиней-
нелинейного анализа, геометрии, теории линейных операторов и топо-
топологических векторных пространств.
Цель книги — представить современное состояние теории
гауссовских мер. В главе 1 изложены основные сведения о гаус-
гауссовских мерах на К". Помимо стандартных вероятностных фак-
фактов здесь можно найти определения полугруппы Орнштейна-
Уленбека и Соболевских классов с гауссовским весом. Важней-
Важнейшие результаты, относящиеся к линейно-топологической теории,
обсуждаются в главах 2 и 3. Среди них: классические теоремы
об эквивалентности и сингулярности, законы нуля и единицы,
пространства Камерона-Мартина, измеримые линейные функ-
функционалы и операторы, топологические свойства носителей. В
главе 4 собраны неравенства и оценки, связанные с различны-
различными свойствами выпуклости гауссовских мер, например гауссов-
ские изопериметрические неравенства, неравенства Эрхарда и
Андерсона. Эти неравенства применяются к изучению экспо-
экспоненциальной интегрируемости, функций Онзагера-Маклупа и
больших уклонений. Нелинейные проблемы обсуждаются в гла-
главах 5 и 6, где, в частности, излагаются основные сведения о
классах Соболева по гауссовским мерам и изучаются гауссов-
ские емкости. Здесь же доказывается гиперсжимаемость по-
полугруппы Орнштейна-Уленбека, логарифмическое соболевское
неравенство и неравенство Пуанкаре. Подробно изложены важ-
важнейшие результаты, относящиеся к абсолютно непрерывным ли-
линейным и нелинейным преобразованиям гауссовских мер. Кроме
того, кратко описаны основные идеи исчисления П. Маллявэна
применительно к гауссовскому случаю. Обсуждается конструк-
конструкция поверхностных мер. Наконец, в главе 7 представлены неко-
некоторые сведения о свойствах конечномерных и бесконечномерных
гауссовских процессов и связанных с ними диффузиях. Эти ре-
результаты, помимо того, что имеют и самостоятельный интерес,
хорошо иллюстрируют идеи и методы предыдущих глав.
Предисловие
Здесь уместно отметить, что одна из фундаментальных идей
теории гауссовских мер состоит в том, что всевозможные цен-
центрированные радоновские гауссовские меры представляют собой
различные реализации одной и той же гауссовской меры — счет-
счетного произведения стандартных нормальных распределений на
прямой. Эта мера 7 определена на пространстве Ш°° всех веще-
вещественных последовательностей с его естественной топологией.
Пространство Камерона-Мартина меры 7 — это хорошо извест-
известное гильбертово пространство /2. Пространство JR°° имеет до-
довольно бедный запас непрерывных линейных функционалов (со-
(состоящий из функционалов, зависящих только от конечного числа
координат). Однако множество измеримых линейных функцио-
функционалов значительно шире: оно может быть отождествлено с I2
(точнее говоря, с сопряженным к /2). А именно, для всякого
(сп) £ / ряд J2n cnxn сходится 7-п°чти всюду, причем в таком
.виде представимы все измеримые линейные функционалы. Хо-
Хотя пространство Камерона-Мартина имеет меру нуль, всякий
непрерывный линейный функционал на нем (и даже всякий не-
непрерывный линейный оператор) допускает, причем единствен-
единственное, измеримое линейное продолжение на все пространство JR°°.
Более того, измеримые линейные автоморфизмы, сохраняющие
меру 7? — это в точности продолжения ортогональных опера-
операторов на пространстве Камерона-Мартина. Имея в виду этот
основной пример, можно лучше понять, какова интерпретация
каждого из излагаемых в книге результатов в „координатной
форме". Конечно, существуют проблемы, в которых редукция к
JR°° бесполезна. Например, так обстоит дело во многих задачах,
связанных со свойствами выборочных траекторий гауссовских
процессов. Тем не менее читатели, предпочитающие не вдавать-
вдаваться в обсуждение топологических тонкостей, связанных с беско-
бесконечномерными пространствами, в большинстве разделов могут
считать (и теорема об изоморфизме из главы 3 дает для этого
полное основание), что речь идет о гильбертовых пространствах
или о пространстве JR°°. Упомянутая выше „единственная" гаус-
совская мера часто встречается также в облике меры Винера
на пространстве непрерывных траекторий; при этом возникают
очень интересные объекты, не имеющие естественных аналогов
в других изоморфных представлениях.
Все необходимые сведения из функционального анализа и об-
общей топологии, используемые в основном тексте, приведены в
Дополнении. Известными предполагаются лишь элементарные
факты из теории меры, анализа и теории вероятностей, входя-
входящие в учебные программы первых трех курсов математических
факультетов.
Предисловие
Формулы и утверждения книги (теоремы, определения, заме-
замечания и т.п.) нумеруются последовательно (независимо от их ти-
n;i) в пределах каждого параграфа, причем номеру утверждения
или формулы предшествуют номер главы и номер параграфа.
В книге довольно много задач, цель которых, помимо про-
прочего, в том, чтобы сообщить ряд дополнительных разрознен-
разрозненных сведений (взятых из исследовательских работ) и разгрузить
основной текст от некоторых деталей доказательств. Многие
задачи снабжены указаниями, что никак не связано с их труд-
трудностью (среди задач есть как достаточно простые, так и весьма
нетривиальные).
Список литературы, приведенный в книге, разумеется, не ис-
исчерпывает всех публикаций, имеющих отношение к теории гаус-
совских мер. Однако вместе с библиографическими комментари-
комментариями он позволит читателю достаточно полно представить исто-
историю развития предмета, а также провести более подробные биб-
библиографические изыскания. В книге имеется предметный ука-
указатель с номерами страниц, на которых вводятся соответству-
соответствующие понятия, и аналогичным образом устроенный список обо-
обозначений 1.
Книга основана на лекциях автора на механико-математиче-
механико-математическом факультете Московского государственного университета
им. М. В. Ломоносова. Работа над книгой велась также во вре-
время пребывания в ряде зарубежных университетов и математи-
математических институтов, в ■частности, в Риме, Париже, Бонне, Биле-
фельде, Пизе, Ворвике, Стокгольме, Эдмонтоне, Миннеаполисе,
Хайфе. Пользуясь случаем, приношу благодарность Л. Аккар-
ди, Дж. Да Прато, Дж. Дель'Антонио, Н. Джейну, М. Закаю,
Н. В. Крылову, Э. Майер-Вольфу, П. Маллявэну, Б. Оксендалу,
М. Рёкнеру, Б. Шмуланду, Д. Элворти и другим коллегам из
этих учреждений за превосходные творческие условия. Я также
весьма признателен за полезные соображения, которые мне вы-
высказали В. Бенткус, С. Г. Бобков, X. фон Вайцзеккер, А. Ю. Зай-
Зайцев, Н. В. Крылов, М. Леду, М. А. Лифшиц, Ю. В. Прохоров,
А. В. Скороход, О. Г. Смолянов, А. М. Степин, В. Н. Судаков,
А. Н. Ширяев. Неоценимую помощь мне оказали Д. Е. Алексан-
Александрова, В. Бенткус, Е. П. Кругова, Н. Н. Недиков, Т. С. Рыбни-
Рыбникова, Н. А. Толмачев, ознакомившиеся с предварительным вари-
вариантом книги и сделавшие много критических замечаний.
1 Обозначения упорядочены по первому символу согласно латинскому ал-
алфавиту при естественном отождествлении соответствующего символа с ла-
латинской буквой. Обозначения, допускающие свободные переменные, приве-
приведены'лишь в наиболее типичных вхождениях.
Список обозначений
А + В 305 /С(#) 309
absconv A 35, 306 ЦХ, Y) 309
А 124 L 189
а 41 £(Х) 309
В{Х) 316 ОД Г) 309
/?£ 183 %)(#) 312
/?£ 283 ЬР{ц,Н) 320
conv A 35, 306 Д 39, 318
Cb°°(lRn) 21 (j«i/ 314
C0°°(M") 21 ц~и 314
Cp,r 216 /ill/ 314
det2 243 //*i^ 319
DH 191 /^o/-1 36,314
Sv 203 || ■ ||p 314
Dp,n{-y) 192 VH 200
DPin(~f,E) .192 | • |яG) 41
E, 320 || . || 188
36,316 || . ||* 190
) 36,316 Иоо '
36 IRr 305
182 д7 41
GP)nG) 193 5(]R«) 21
<3Р,„G,Я) 193 ^т(Х,Х*) 306
7Л _36, 95 ff(£,F) 306
7°/ 38 ay) 42
^ 57 trace 312
П 311 Tt 18, 83
ЩН,Е) 311 ?7Я 41,95
Пк 311 VFP'r(lRn) 22
ЯG) 41, 95 WWG) 188
W-C/oc 254 WP'r(-f,E) 188
ЯР>'-G) 189 Wfo'crG) 201
Hp'rGn) 22 K'crG,E) 201
ЯР-ГG,Я) 190 X* 305
ЯГоеЪ) 201 X; 42
^ 314 Xk 85
85 Xk{E) 85
Глава 1
Конечномерные
гауссовские распределения
Связь целей литературных с чисто научными, жела-
желание в одно и то же время занять воображение и обо-
обогатить жизнь идеями и запасом знаний — сильно за-
затрудняют распределение в книге отдельных частей и
мешают единству композиции.
Александр фон Гумбольдт. Картины природы
1.1. Гауссовские меры на прямой
Заметим, что
для всех вещественных а и <т > 0 (стандартный способ провер-
проверки этого равенства состоит в вычислении двойного интеграла
// ехр(—х — у2) dx dy в полярных координатах и использовании
теоремы Фубини).
1.1.1. Определение. Вероятностная мера 7 на прямой назы-
называется гауссовской, если она либо является дираковской мерой
5а, сосредоточенной в точке а, либо имеет плотность
р{-,а,аг): t к> —-== ехр -
ст\/27г V
относительно меры Лебега. В последнем случае мера 7 назы-
называется невырожденной.
Параметры а и о2 называются, соответственно, средним и
дисперсией 7- Величина <т называется среднеквадратическим
уклонением. Для дираковской меры полагаем а = 0. Среднее
10 Глава 1. Конечномерные распределения
и дисперсия гауссовскои меры -у имеют следующее представле-
представление:
+ ОО +0О
а= f ty(dt), a2 = f (t-a)
Мера с плотностью р{ ■, 0,1) называется стандартной.
Гауссовская мера со средним нуль называется центрирован-
центрированной или симметричной.
1.1.2. Определение. Гауссовскои случайной величиной назы-
называется случайная величина с гауссовским распределением.
Гауссовская случайная величина с центрированным распре-
распределением называется центрированной или симметричной.
Ясно, что произвольная гауссовская случайная величина мо-
может быть представлена в виде ст£+а, где £ — случайная величина
со стандартным гауссовским распределением.
Гауссовские распределения часто называют нормальными.
С помощью равенства A.1.1) легко найти преобразование Фу-
Фурье (характеристический функционал) гауссовскои меры 7 с па-
параметрами (а, с2). Имеем:
ехр(гуж) -y(dx) = exp iay - -ст2у2 .
Нормальная функция распределения Ф задается равенством
t
= J p(s,0,l)ds.
—00
Скорость убывания 1 — Ф на бесконечности оценивается сле-
следующим образом.
1.1.3. Лемма. Для всех t > 0 справедливо неравенство
1 1 _*2 /о
Доказательство. С помощью формулы интегрирования по ча-
частям получаем
s t J s2 t
t - t.
Нижняя оценка доказывается аналогично. П
Следующий классический результат играет важную роль в
теории гауссовских мер.
1,1. Меры на прямой 11
1.1.4. Теорема. Пусть £„ — последовательность независи-
независимых центрированных гауссовских случайных величин с дисперси-
дисперсиями а2. Тогда следующие условия равносильны:
оо
(i) ряд Y1 £п сходится почти всюду;
п=\
(ii) ряд в (i) сходится по вероятности;
(iii) ряд в (i) сходится в L2;
Доказательство. Ввиду теоремы об ограниченной сходимо-
сходимости и условия независимости, каждое из условий (i) — (iii) влечет
сходимость произведения
оо , оо
Д / exp(i£n) dP = Д ехр(-<г*/2),
n=l J n=l
что дает условие (iv). Обратно, последнее условие влечет условие
(iii), ибо ввиду независимости и центрированности рассматрива-
рассматриваемых случайных величин имеем
(a + ...+a+mJdP=
J
j=0
Значит, выполнено и (ii). Поэтому единственной нетривиальной
импликацией в доказываемом утверждении является (iv)=£-(i).
Для ее доказательства заметим, что условное математическое
ожидание квадратично-интегрируемой случайной величины £ =
E^Li £п относительно сг-алгебры Лт, порожденной £i,..., £то, со-
совпадает с Ег?=1 £п) поскольку случайные величины £п независи-
независимы и имеют нулевые средние. Таким образом, последователь-
последовательность частичных сумм ряда, задающего £, является мартинга-
мартингалом относительно {*4П} и потому применима теорема Дуба А.3.5
из Дополнения, дающая сходимость почти всюду. □
Еще один классический результат, относящийся к одномер-
одномерным гауссовским распределениям, — центральная предельная те-
теорема. Приведем лишь тот ее частный случай, который будет
использоваться далее.
12 Глава 1. Конечномерные распределения
1.1.5. Теорема. Пусть {£„} — последовательность незави-
независимых одинаково распределенных случайных величин с E£i = О
и о2 = IE£j < оо. Положим Sn = £i + ... + £„. Тогда при п —> оо
всех х имеем
ст^/п J
Кроме того, распределения —-=. слабо сходятся к стандарт-
стандартов п
ной гауссовской мере.
Доказательство. В силу существования E£j, функция ip(t) =
Еег'?1 дважды дифференцируема. При этом
V(t) = l-^a2t2 + o(t2), i->0.
Характеристический функционал ipn случайной величины —-р=
ступ
имеет вид tp[—j=\ . Поэтому при фиксированном t имеем
Из этого соотношения, как известно (см. [157, гл. III]), вытекают
доказываемые утверждения. П
1.2. Многомерные
гауссовские распределения
1.2.1. Определение. Вероятностная мера 7 на Ж™ называ-
называется гауссовской, если для каждого линейного функционала I
на Ж™ индуцированная мера 7 ° 1~^ — гауссовская.
1.2.2. Предложение. Мера 7 на Ж™ — гауссовская то&да и
только тогда, когда ее преобразование Фурье имеет вид
A.2.2)
где а — некоторый вектор в Шп и К — неотрицательная ма-
матрица. Мера 7 имеет плотность в том и только том случае,
1.2. Многомерные распределения 13
когда матрица К невырождена. При этом плотность меры -у
задается равенством
1 Г 1 /_,_,, . \1
х ь-)- , ехр <—- [К (х — а),х — а) > .
УBтг)" det К I 2V v h )\
Доказательство. По формуле заменных переменных преобра-
преобразование Фурье меры v = j о 1~^ вычисляется так:
v{t) = / exp(its) u{ds) = I expUtl(x)) j(dx).
Будем обозначать вектор, задающий функционал /, тем же са-
самым символом. Из равенства A.2.2) получаем
V(t) = exp(it(a,l) - l-t2{Kl,l)\
что означает гауссовость меры и. Обратно, предположим, что
все такие меры являются гауссовскими. Обозначим их средние
и дисперсии соответственно через щ и ст;. Тогда справедливы
равенства
'= J{t - aiJyor\dt) = J((l,x) - at)\(dx).
Таким образом, функция I i-» а; линейна, а функция / ь-»- сг; явля-
является неотрицательной квадратичной формой. Следовательно,
существуют такой вектор а и такой неотрицательный симме-
симметричный оператор К, что щ — A,а) и сх; = (К1,1). Это дока-
доказывает равенство A.2.2). Утверждение о плотности сводится к
одномерному случаю, поскольку можно перейти к собственному
базису матрицы К. П
1.2.3. Следствие. Пусть 7 — гауссовская мера на Жп с пре-
преобразованием Фурье A.2.2). Тогда
а= f x-y(dx), A.2.3)
(Ku,v) = f(u-a,v-a)j(dx), Vu, и е Еп. A-2.4)
14 Глава 1. Конечномерные распределения
Вектор о, заданный равенством A.2.3), называется средним
гауссовской меры у, а оператор К, определенный посредством
A.2.4), называется ее ковариационным оператором.
Ясно, что гауссовские меры на Ж™ могут быть описаны как
образы стандартной гауссовской меры на IRn (являющейся про-
произведением п экземпляров стандартной гауссовской меры на пря-
прямой) при аффинных отображениях х >-¥ \/Кх + а.
На линейном подпространстве уК(JRn) определено скаляр-
скалярное произведение
Единичный шар относительно этого скалярного произведе-
произведения (т.е. эллипсоид \fKU', где U — замкнутый единичный шар
в Шп) называется эллипсоидом рассеяния гауссовской меры 7-
Эллипсоид рассеяния может быть задан следующей формулой:
|/i|7 = sup{(*,/i): 1вШп, fl(x-aJj(dx)<l\.
Следующее наблюдение будет использоваться в дальнейшем.
1.2.4. Лемма. Пусть j — центрированная гауссовская мера
на Шп. Для любого вещественного 9 образ меры 7<8>7 на про-
пространстве Ж™ х Ж" при отображении (х,у) н> :rsin# + ycos#
совпадает с j. В вероятностных терминах: если независимые
случайные векторы £ и г\ имеют одинаковое центрированное
гауссовское распределение, то вектор £sin# + ?7cos0 имеет та-
такое же распределение.
Доказательство. Достаточно вычислить преобразование Фу-
Фурье меры /j,, являющейся образом 7<8>7 при указанном отображе-
отображении. Преобразование Фурье меры 7 имеет вид I н> ехр —^X(Z) ,
где К — квадратичная форма. Поэтому
/ ехрш(жI fj,(dx) = / / exp\il(usine+ v cos в)]'у(du)'у(dv) —
= / expli/(u)sin#l j(du) / expliZ(u) cos#|
1,2, Многомерные распределения 15
что и требовалось. П
Как мы увидим ниже, обратное к этому утверждению также
верно. Полезное свойство гауссовских случайных величин состо-
состоит в том, что ортогональные в L2 случайные величины£i,..., £п,
для которых случайный вектор (£i,.. • ,£п) имеет центрирован-
центрированное гауссовское распределение, независимы. Более того, спра-
справедлив следующий несколько более общий факт.
1.2.5. Лемма. Если случайный вектор £ = (£i, ••-,£«) имеет
центрированное гауссовское распределение, а случайная величи-
величина £i ортогональна в L2 случайным величинам £2,---,£п> "то £i
не зависит от а-алгебры, порожденной £2, • ■ • , £п-
Доказательство. Для упрощения обозначений мы рассмотрим
случай п = 2. Пусть К — ковариационная матрица £. Из усло-
условия вытекает, что К — диагональная матрица, ибо ее элементы
— числа E£i£j. Это означает, что мера на Ж2, порожденная век-
вектором £, распадается в произведение мер, порожденных £i и £г,
что равносильно независимости £i и £г- Тогда £i является неза-
независимой со всякой борелевскои функцией от £г, следовательно,
не зависит от сг-алгебры, порожденной £г- П
Отметим, что случайный вектор £ = (£1,£г)> компоненты ко-
которого £i и £г — гауссовские случайные величины, может не
быть гауссовским.
1.2.6. Пример, (i) Зададим фунцию р на плоскости следу-
следующим образом: в первом и третьем квадрантах р совпадает с
удвоенной стандартной гауссовской плотностью, а в остальных
точках равна нулю. Ясно, что р — вероятностная плотность, от-
отличная от гауссовской. Поэтому двумерный случайный вектор
£ = (х\, жг) на (Ж2, pdx) не является гауссовским. Однако обе его
компоненты — гауссовские случайные величины, поскольку по-
полуплоскости с границами, параллельными координатным осям,
имеют относительно меры pdx такие же меры, как и относи-
относительно стандартной гауссовской меры, а это и означает, что х\
и Х2 обладают стандартными гауссовскими функциями распре-
распределения, (ii) Пусть X и Y — независимые стандартные гауссов-
гауссовские случайные величины. Положим Zt = (X,tX + \J\ — t2 Y),
t G (—1,1). Обозначим через ^t меру на Ж2, индуцированную
случайным вектором Zt- Определим вероятностную меру Р на
плоскости равенством
t, ВеВ(Ш2).
-1
16 Глава 1. Конечномерные распределения
Тогда интегралы по этой мере вычисляются с помощью формулы
1
f{x)P(dx)=l-j j f{x)lt(dx)dt.
-1
Обозначим через (иг; координатные функции на плоскости, рас-
рассматриваемые как случайные величины на (IR2,P). Непосред-
Непосредственной проверкой убеждаемся, что это стандартные гауссов-
ские величины. Например, для ц имеем
1
1 г
IEexpfzs??) = - / exn(isx2) Jt{dxidx2) dt =
2 J
-l
l
Л f f r \ -i
-i
= 1 fexj_ls2
-l
l l
1 f i 1 f
При этом Щг) = - !EX(tX + VI - t2 Y) dt = - j tdt = O. Од-
Z J Z J
-1 -1
нако мера ц не является гауссовской, что можно усмотреть, на-
например, из аналогичного вычисления преобразования Фурье слу-
случайной величины £ + ц.
1.3. Многочлены Эрмита
1.3.1. Определение. Многочлены Эрмита Н^, к = 0,1,..., на
прямой определяются формулой
,_(-!)* ЛЛ dk
Для каждого мультииндекса а = (к\,... ,кп) с целыми неотри-
неотрицательными элементами многочлен Эрмита На на Жп опреде-
определяется формулой
Я„(а;1,.. .,хп) = Hkl(xi)- ■ ■ Нкп{хп),
где Нк1 — одномерные многочлены Эрмита.
1.3. Многочлены Эрмита 17
Система многочленов Эрмита на прямой получается в ре-
результате ортогонализации последовательности степеней х в L2
по стандартной гауссовской мере. Эти многочлены могут быть
введены и другими способами, например посредством разложе-
разложения
Следующая лемма проверяется непосредственно.
1.3.2. Лемма. Многочлены Эрмита на прямой обладают сле-
следующими свойствами:
(i) {Hk} — ортонормированный базис в пространстве L2(ji),
где 7i ~ стандартная гауссовская мера на прямой;
(ii) H'k(x) = y/kHk-^x) = хНк(х) -
iii) для любых чисел \у,..., Ап справедливо равенство
#Ач+ ■••+*« / га j «
/с (А,;) = —; j— ехр( У tiXi } :
•_i ' 3£j ■ ■ • З^п \~^\ ^ r-f
1.3.3. Следствие. Совокупность многочленов Эрмита
НкЛ,...,кп, ^ = 0,1,...,
на Жп является ортонормированным базисом в Ь2(-уп), где jn
есть стандартная гауссовская мера на Ш".
С помощью многочленов Эрмита строится разложение L2 (-уп)
в прямую сумму взаимно ортогональных подпространств много-
многочленов. Для каждого к = 0,1,... обозначим через Хк замкнутое
линейное подпространство в Ь2(-уп), порожденное многочленами
Эрмита На с \а\ = к\ + ... + кп = к (которые образуют орто-
ортонормированный базис в Хк). Через Ik обозначим ортогональную
проекцию в L2(jn) на Хк-
1.3.4. Предложение. Подпространства Хк взаимно ортого-
ортогональны, и L G,1) является их прямой суммой.
Доказательство. Согласно следствию 1.3.3, линейная оболоч-
оболочка пространств Хк плотна в L2(^n). Поскольку многочлены вида
HkAx\) ■'" Нкп(хп) с ki + ... + кп = к образуют базис в А'ь то
достаточно заметить, что любые два таких многочлена разной^
степени ортогональны. О
18 Глава 1. Конечномерные распределения
1.4. Полугруппа Орнштейна—Уленбека
Пусть 7 — центрированная гауссовская мера на Ж". Полу-
Полугруппа Орнштейна-Уленбека (Tt)t>o определяется на 1/рG) сле-
следующей формулой, называемой формулой Мелера:
\j(dy).
Разумеется, необходимо проверить, что эти операторы кор-
корректно определены. Это можно сделать следующим образом. Из
леммы 1.2.4 вытекает, что мера 7 является образом меры 7 ® 7
на 1R" х 1R™ при отображении
(х,у) *-* е tx + \/l — e~2t у.
Следовательно, для всех / € Lp(j) имеем
= J 1
Из этого соотношения с помощью теоремы Фубини и неравен-
неравенства Гельдера получаем включение Ttf 6 Lp(-f). Более того,
Некоторые дополнительные рассмотрения приводят к следу-
следующему результату (определения понятий, связанных с непрерыв-
непрерывными полугруппами, см. в Дополнении).
1.4.1. Теорема. Для всякого р > 1 семейство (Tt)t>o — силь-
сильно непрерывная полугруппа на Lp(j) с операторной нормой
На L G) операторы Tt неотрицательны.
Доказательство. Поскольку Ttl = 1, то, с учетом сказанного
выше, для каждого t > 0 линейный оператор Tt имеет норму 1 в
Lp(-y). Для проверки равенства Ti+S/ = TtTsf заметим, что мера
7 является образом меры 7<8>7 при отображении
_s VI - е-'
Поэтому
1,4. Полугруппа Орнштейна-Уленбека 19
Tt{Tsf){x) =
е~ае~гх + e~Wl - e~2ty + \/\ - e~2s
о
= f f (е-*-$х + \Л - e~2t~2s w) -f(dw) = Tt+tf(x).
Симметричность Tt на L2G) проверяется аналогично. Неотри-
Неотрицательность вытекает теперь из равенства Tt = Tt/2Tt/2-
Для каждой ограниченной непрерывной функции / отобра-
отображение t н» Ttf со значениями в Ьр(-у) непрерывно, что легко
усмотреть из теоремы Лебега. Если / € £рG)> то существу-
существует последовательность ограниченных непрерывных функций Д,
сходящаяся к / в LpG)- По доказанному,
sup \\Ttf - TthWbpfr) < ||/ - Д||lpG) -> 0, к -► оо,
откуда вытекает сильная непрерывность полугруппы. □
1.4.2. Следствие. Для всех f € £рG) справедливо соотноше-
соотношение
lim
Ttf-Jfdj
= 0..
Доказательство. Для ограниченных непрерывных функций /
утверждение вытекает из теоремы Лебега. В общем случае до-
достаточно взять последовательность ограниченных непрерывных
функций fj, сходящуюся к / в Ьр('у), и заметить, что
sup \\Ttf - TtfjWbP^ < ||/ - fjWvfr) -► О,
а также / / б?7 —>■ / fj d'y при j -» оо. D
Отметим еще ряд простых свойств полугруппы Орнштейна-
Уленбека.
1.4.3. Лемма. Для всех f,g€ L2^) у-почти всюду
Ttf < Tt\f\ < sup |/|, [Tt(fg)]2 < Tt(f)Tt(g2).
Доказательство. Первое неравенство очевидно, а второе вы-
вытекает из неравенства Коши-Буняковского, примененного к ин-
интегральному представлению Tt(fg). □
Следующая теорема связывает полугруппу Орнштейна-Улен-
Орнштейна-Уленбека с многочленами Эрмита. Пусть, как и выше, 7п — стан-
стандартная гауссовская мера на IR™.
20 Глава 1. Конечномерные распределения
1.4.4. Теорема. Для всех t > 0 и / £ Ь2(-уп) справедливо ра-
равенство
fc=0
Доказательство. Обозначим временно правую часть доказы-
доказываемой формулы через Stf. Ясно, что St — непрерывный линей-
линейный оператор в L2(-~yn). Поэтому для доказательства равенства
Tj = St достаточно проверить это равенство на многочленах
Эрмита. Таким образом, проверка сводится к одномерному слу-
случаю, в котором она проводится с помощью индукции. Поскольку
TtHk — многочлен степени /с, то для доказательства равенства
TtHk — cHk достаточно установить ортогональность TtHk всем
многочленам #;, I < к, в пространстве L2(j\). В силу симме-
симметричности оператора Tt, предположения индукции и соотноше-
соотношения Hk _L Hi получаем
(TtHk,m)L2M = (Hk,TtHi)L2M = 0.
Сравнивая коэффициенты при хк, заключаем, что с = e~kt. U
Полугруппа Орнштейна-Уленбека дает интегральное пред-
представление решения задачи Коши для параболического уравнения
Au(x,Vu), u@,x)=f(x).
Как мы увидим ниже, оператор Д — xV является генератором
полугруппы Орнштейна-Уленбека.
Пусть L — генератор (Tt)t>o на L2(-yn). Это означает (см.
Дополнение), что Lf = limt_>o t~l{Ttf — /) для всех таких /, что
этот предел существует в I?.
1.4.5. Предложение. Область определения L есть
D{L) = \
1 fc=i
оо
на которой Lf = — YJ klk(f)-
fc=i
Доказательство. Пусть / входит в область определения L, т.е.
отображение t н-» Ttf в £2Gп) дифференцируемо в нуле. Тогда
W = £«
(=0
1.5. Классы Соболева 21
откуда £к*2Ш/)НЬGп) = \\Lf\\2L2{in) < оо. Обратно, пусть
(функция / такова, что этот ряд сходится. Поскольку
го при t —> О получаем
2
fc=l
т.е. отображение t к-> Т{/ дифференцируемо в нуле. П
Оператор L называется оператором Орнштейна-Уленбека.
1.5. Классы Соболева
Пусть О, С Ж71 — открытое множество, р > 1, г € IN. Всю-
Всюду ниже символ Cq°(O) используется для обозначения множества
бесконечно дифференцируемых функций, имеющих компактный
носитель в Q. Через С^°(ЖП) обозначается пространство всех
бесконечно дифференцируемых функций на Ж" с ограниченны-
ограниченными производными всех порядков, а через 5(Ж") — его подпро-
подпространство, состоящее из функций, произведения которых на лю-
любые многочлены принадлежат С^°(Ж7г). Напомним, что класс
Соболева НР<Г(О.) (иное обозначение Wp'r(Q)) определяется как
совокупность всех функций / G LP(Q), обобщенные частные про-
производные которых до порядка г являются элементами LP(Q).
При этом обобщенная частная производная по переменной Х{
— это такая ..интегрируемая на Q функция dXif, что для всех
у? G Cq°(Q) справедлива формула интегрирования по частям
/ dXitp(x)f{x) dx = - tp(x)dxj{x) dx.
п п
Обозначим через H^(TRn) множество всех таких функций /
на Ж", что С/ G #Р'Г(ЖП) для всех С G С0°°(Ж"). С теорией
пространств Соболева можно познакомиться по книге [89]. Для
теории гауссовских мер естественно ввести аналогичные классы
с гауссовским весом.
22 Глава 1. Конечномерные распределения
1.5.1. Определение. Пусть р > 1 и г Е JN. Пространство
Соболева Нр'г{^п) [обозначаемое также через Wp'r[^n)) есть
пополнение пространства Cq°(IR") no норме
г
\ / || „f/1, s ||P , ,
■Х\
L-j
/7ры этом производные /^ рассматриваются как отображения
со значениями в пространствах Л/ 1-линейных функций на Ж"
с евклидовыми нормами Гильберта-Шмидта
е{\ — стандартный базис в Ж71.
Пусть / G ifp>rGn)- По определению, существует последова-
последовательность fi G Со°(Ж?г), сходящаяся к / в Lp(^n) и обладающая
фундаментальными в Vfan, Л;) последовательностями {/> }, / =
1,... , г. Положим
/W := lim /R
1-ЮО
Легко проверить, что это определение не зависит от выбора ап-
аппроксимирующей последовательности. Действительно, рассмо-
рассмотрим для простоты случай г = 1 и предположим, что последова-
последовательность {ipj} гладких финитных функций сходится к нулю в
LpGn), причем Vipj —> G в Lp(jn). Нам надо показать, что G = О
почти всюду. Для этого достаточно проверить, что (G = 0 по-
почти всюду для всякой функции £ € Cq°AR"). Таким образом,
можно считать, что функции <pj обращаются в нуль вне неко-
некоторого шара. Обозначая через рп плотность меры jn, для всех
е, к G Ж71 имеем в силу формулы интегрирования по частям
exp\i(k,x)\ (G(x),e)pn(x) dx =
= lim / exp г (А:, ж) (Vtpj(x)
= — lim i(k, e) / exp\i(k,x) \ipj(x)pn(x) dx-
j->oo J L J
1.5. Классы Соболева 23
+ lim exp\i(k,x)\ <pj(x)(x,e)pn(x)dx = 0,
откуда (С, e) = 0 почти всюду.
1.5.2. Предложение. Пусть р > 1 и г € IN. Класс Соболева
//р>гGп) совпадает с классом Соболева всех таких функций / €
ОДЖ"), wo / G Ь?Ы и ||/О|Ы G 1/G„), 1 = 1,...,г (при
.ппом совпадают и соответствующие производные).
Доказательство. Пусть / е #p-rGn), С € С£°AЕГ) и {/,} —
аппроксимирующая последовательность гладких функций. То-
Тогда последовательность {С/г} сходится к Qf в iJp>r(IRn), отку-
откуда / € Hf^c(]Rn). Ясно, что при этом производные в смысле
Hp'r(jn) служат производными и в смысле H^(TRn). Для дока-
доказательства обратного утверждения выберем последовательность
(j G C^°(IRn) со следующими свойствами: 0 < Q < 1, С;(ж) = 1
при |ж| < j, supj supT |jQ (ж)||^ < оо для всех / < г. Положим
fj = Cjf- Тогда fj —> f в Lp(jn) и последовательности {/• }
сходятся в Lp(jn,Ai) к производным / в смысле Н^(Шп). □
1.5.3. Следствие. Если f G Нр'1(^п), то |/| G #рДGп) ы
1.5.4. Предлолсение. Класс Соболева if2'rGn), r € IN, со-
состоит из всех т,аких f G L2(jn), что
оо
■ £*14(/)ИЬЫ<оо. A.5.5)
fe=i
Кроме того, линейное пространство, порожденное многочле-
многочленами Эрмита, плотно в гильбертовом пространстве Н2'г('уп).
Доказательство. Из сходимости ряда A.5.5) вытекает сходи-
сходимость ряда Ylk^k(f) B среднем квадратическом вместе с про-
производными до порядка г. Это проверяется непосредственно с
учетом тождества H'm(t) — ^/mHm-\{t). Нетрудно проверить,
что многочлены Эрмита приближаются гладкими финитными
функциями по норме || ■ ||рг. Поэтому из A.5.5) вытекает при-
принадлежность к Hp>r(jn).
Заметим, что всякая финитная гладкая функция / прибли-
приближается линейными комбинациями многочленов Эрмита по норме
Н2'г(Чп)- Это вытекает из сходимости ряда J2k-^k(f) в среднем
квадратическом с производными до порядка г, которая усма-
усматривается из явной оценки для h.(f), получаемой многократным
применением следующей формулы интегрирования по частям:
24 Глава 1. Конечномерные распределения
lHkl(xi) • ■•• ■ Hkn{xn)f{xi,...,x2)'Yn{dx) =
г
= / dXiHkl(xi)-...-Hki+i(xi)-...-Hk7i(xn)f(xi,...,x2)'yn{dx) =
г
+ / Hkl(xi) ■ ... ■ Hki+i(xi) ■ ... ■ Hkii(xn)xif(xi,... ,xn)'yn(dx).
Следовательно, всякая функция из Н2'г(^п) приближается мно-
многочленами Эрмита по норме этого пространства. Поскольку
многочлены Эрмита взаимно ортогональны в Н2<г(^п), то схо-
сходимость ряда A.5.5) для / 6 H2>r(jn) вытекает из явного вычи-
вычисления соответствующих норм многочленов Эрмита. П
1.5.5. Предложение. (i) Для всехд G Я2>1GП), / G H2'2(jn)
выполняется равенство
j{Vg(x),Vf(x))ln(dx) = - I'g{x)Lf(x)ln(dx). A.5.6)
(ii) Справедливо равенство D(L) = H2<2(jn). При этом для
всех f G 772>2Gn) имеем
= Af(x)-(x,Vf(x)). A-5.7)
Доказательство. Равенство D(L) = Н2>2(уп) уже доказано.
Заметим, что из формулы интегрирования по частям вытека-
вытекает равносильность равенств A.5.6) и A.5.7). Любое из них легко
проверяется для многочленов Эрмита, а затем переносится на
функции из соответствующих классов Соболева предельным пе-
переходом. □
Заметим, что полугруппа Орнштейна-Уленбека естествен-
естественным образом действует и на вектор-функции. Это обстоятель-
обстоятельство используется в следующем полезном коммутационном .то-
.тождестве, которое проверяется непосредственно.
1.5.6. Предложение. Для всякой функции f G H2'l(^n) спра-
справедливо равенство VTt/ = e~'T{(V/).
Следующий результат, называемый логарифмическим нера-
неравенством. Соболева и полученный Л. Гроссом [315], имеет мно-
многочисленные применения в анализе и стохастике.
1.5. Классы Соболева 25
1.5.7. Теорема. Для всякой функции / G Н2>1{^п) справедли-
справедливо неравенство
A-5.8)
Доказательство. Предположим сначала, что / е С1(Шп) и
/ > с > 0. Положим ip = /2. Тогда V/ = ^f/\fip~ и потому
доказываемое неравенство равносильно следующему:
pln\ip\d-yn - / if d-уп In( / у?d-jn ) <
^2ln. A-5.9)
Отметим, что Ttip > с2. Поскольку в силу следствия 1.4.2 имеем
TtiplnTt<p —> tpdj / Inpd'y, t —> оо,
то левая часть этого неравенства может быть представлена как
оо
— / ( — / Tttp\nTt(pd'jn ) dt, что с использованием полугруппо-
J \dt J )
о
оо
п г \
вого свойства записывается в виде — / I / LTtplnTtpd^n I dt.
J \J /
о
Применяя A.5.6), получаем
Д|, V(lnTt¥>)> d7n
о
Положим
Используя тождество VTtip = e~fT/(V(^) и лемму 1.4.3, даю-
дающую оценку
26 Глава 1. Конечномерные распределения
получаем
F(t) = e-
< e 2
что влечет A.5.9).
Для произвольной функции / логарифмическое неравенство
Соболева вытекает из доказанного ввиду теоремы Фату, ибо
существует последовательность {ifj} С C£°(]Rn) таких функций,
что inf ipi > 0 и ipi —> |/| в Д>1Gп) и почти всюду. П
Еще одно важное неравенство — неравенство Пуанкаре —
может быть выведено из логарифмического неравенства Собо-
Соболева, но мы приведем прямое доказательство.
1.5.8. Теорема. Для всякой функции / G iJ2>1Gn) справедли-
справедливо неравенство
Доказательство. Ввиду предложения 1.5.4 достаточно прове-
проверить доказываемое неравенство для многочленов Эрмита. Это
делается непосредственными вычислениями с учетом соотноше-
соотношения H'k(t) = \ZkHk-!{t). О
1.6. Неравенства выпуклости
Для любых множеств А, В С Шп и скаляров а, C положим
аА + РВ := {аа + fib \ a e A, b e В}.
Если А = —А, то множество А называется симметричным.
Множество А С Шп называется выпуклым, если \a + (l—\)b G
А для всех a, b G А и всех Л G [0,1]. Выпуклое симметричное
множество называется абсолютно выпуклым.
Для всякого множества А С Ж71 имеется наименьшее содер-
содержащее его выпуклое множество convA, которое называется его
выпуклой оболочкой. Абсолютно выпуклой оболочкой absconv A
множества А называется наименьшее содержащее его абсолютно
выпуклое множество. Непосредственно проверяются равенства
convA = {a\ai-\ \-akdk \ Щ G А,щ > 0, аН \-ак = 1,к G IN},
1.6. Неравенства выпуклости 27
ubsconv A = {cviaiH \-акак \ <ц е А, \ai\-i 4-\ак\ < 1, к е IN}.
Выпуклое множество не обязано быть борелевским (напри-
(например, к открытому кругу можно добавить неборелевское множе-
множество на окружности), однако оно измеримо по Лебегу.
1.6.1. Лемма. Пусть А — выпуклое подмножество Шп. То-
Тогда либо А содержится в некотором собственном аффинном
подпространстве, либо имеет непустую внутренность. В по-
последнем случае замыкание А совпадает с замыканием его вну-
внутренности. Кроме того, граница дА множества А имеет ле-
беговскую меру нуль и А измеримо.
Доказательство. Можно считать, что А содержит начало ко-
координат. Если в А есть п линейно независимых векторов, то
А имеет внутренние точки, ибо содержит симплекс, порожден-
порожденный этими векторами и началом координат. В противном слу-
случае А лежит в некотором собственном линейном подпростран-
подпространстве. Если А содержит открытый шар U, то всякая точка a € А
входит в замыкание внутренности множества conv (UU {а}), со-
содержащегося в А ввиду выпуклости. Поэтому замыкание А со-
совпадает с замыканием внутренности А. Отметим, что грани-
граница всякого множества замкнута и потому измерима. Последнее
утверждение леммы доказывается индукцией по п. При п = 1
оно очевидно. Пусть п > 1. Если А не имеет внутренности, то
мера его замыкания равна нулю в силу доказанного. Предполо-
Предположим, что А имеет внутренние точки. Пусть П — (п — 1)-мерная
гиперплоскость, ортогональная вектору е\ = A,0,...). Ввиду
теоремы Фубини достаточно проверить, что для почти всякой
точки t на первой координатной оси множество t + П П дА имеет
(п — 1)-мерную меру нуль. Если t + H содержит внутреннюю точ-
точку множества А, то это вытекает из предположения индукции,
ибо в этом случае А П (t + П) — выпуклое множество в t + П,
имеющее непустую внутренность с точки зрения t + П. Остает-
Остается заметить, что существует не более двух точек t, для которых
указанное пересечение непусто, но не имеет внутренности. Дей-
Действительно, согласно первому утверждению леммы, такие точ-
точки — граничные для проекции внутренности А на прямую. Но
внутренность А — выпуклое открытое множество и потому его
проекция — также выпуклое открытое множество, имеющее не
более двух граничных точек. П
Пусть / и g — борелевские функции на Жп. Зафиксируем
A G @,1) и положим
28 Глава 1. Конечномерные распределения
Заметим, что функция h измерима, ибо для борелевской функ-
функции ip на плоскости множество {х: supip(x,y) > с} есть проек-
У
ция борелевского множества {(ж, у): ip(x,y) > с}, т.е. суслинское
множество (см. Дополнение). Через \\f\\i будем обозначать нор-
норму / в Ь1(Жп).
1.6.2. Теорема. Пусть fug — неотрицательные борелев-
борелевские функции на Е", причем \\f\\i > 0, \\g\\\ > 0. Тогда справед-
справедливо' неравенство
Доказательство. Достаточно доказать A.6.10) для ограничен-
ограниченных функций. Воспользуемся индукцией по п. Пусть п — 1. По-
Поскольку / = sup |/|F, g = sup\g\G, где sup|F| = sup|G| = 1, то
A.6.10) сводится к неравенству \\h(F,G)\\i > ||^||^||С||}~~А. Ввиду
вогнутости логарифма, достаточно показать, что
||/4F,G')||1>A||F||1 + A-A)||G||1. A.6.11)
Положим A(t) = {F > t}, B(t) = {G > t}, C{t) = {h(F,G) > t}.
Заметим, что XA(t) + A - \)B(t) С C(t) при t G [0,1), причем
A(t) и B(t) непусты (для t > 1 эти множества пусты). Действи-
Действительно, если F(a) > t, G(b) > t, то h(F, G)(\a + A - X)b) > t, что
видно из формулы для h(F, G) (в которой достаточно подста-
подставить х = Ха + A — Х)Ь, у = A — Х)Ь). Поэтому лебеговская мера
т множества C(t) не меньше, чем Хт(A(t)) + A — X)m\.B(i.)\.
Эта оценка — простейший (одномерный) случай известного не-
неравенства Брунна-Минковского
т
ХА + A - А)В) > Хт{А) + A - Х)т(В),
которое без труда проверяется для конечных наборов интер-
интервалов, после чего распространяется на произвольные непустые
борелевские множества (см. [24, гл. 2]). Из задачи 1.7.5 полу-
получаем A.6.11). Предположим, что A.6.10) доказано для п -*- 1.
Положим х = (y,z), у G Ж1, z G Жп~\ F{z) = jf(z,y)dy,
G(z) = / д(у, z) dy. Нетрудно показать, что F и G — борелевские
функции. Зафиксируем w G Ж71^1. Тогда
>suP/r~~T~~wM 9[^1'х
1.0. Неравенства выпуклости 29
Применяя A.6.10) к функциям t •—>• f(t,z — w), t i-¥ g(t,w) веще-
вещественного переменного, получаем
Hf,g)(y,z)dy> yj f(y,z-w)dyj
откуда / h(f,g)(y,z)dy > h(F,G)(z), ибо в предыдущей оценке
можно взять sup по w. Интегрируя по z, пользуясь предположе-
предположением индукции и теоремой Фубини, приходим к A.6.10). LJ
Теорема 1.6.3 обобщает неравенство Брунна-Минковского
/ > \mn(U)l/n + A - X)rnn(V)l/\
для борелевских множес:тв £/, V в Ж" с мерой Лебега 77?.,,. (см.
доказательство в [24, гл. 2], [132]). Следующая теорема дает
.логарифмическую вогнутость гауссовских мер.
1.6.3. Теорема. Пусть //, — вероятностная мера на Ж" с
плотностью д, причем д(\х + A — Х)у) > Q(x)XQ(y)l~x для всех
х, у € IR", А £ [0,1]. Тогда для любых борелевских множеств А
и В и всех А € [0,1] справедливо неравенство
-\ A.6.12)
В частности, это верно для стандартной гауссовской меры.
Доказательство. Положим / = д1д, д — qIb и заметим, что
/'■(/,</) < Ich{F,F) = ICF, где С = \А + A - \)В, что вытекает
из оценки F((x-y)/\) F(y/{1 - \)Y~ <F{x). U
Следующий валяный результат называется неравенством Ан-
Андерсона для гауссовских мер.
1.6.4. Теорема. Пусть j — центрированная гауссовская ме-
мера на Ж". Тогда для всякого симметричного выпуклого множе-
множества А и всякого вектора а справедливо неравенство
A.6.13)
Доказательство. В силу задачи 1.7.9 (см. также лемму 1.6.1),
всякое выпуклое множество в Шп измеримо относительно ка-
каждой гауссовской меры. Поэтому достаточно рассмотреть бо-
релевские множества. Кроме того, доказательство достаточ-
достаточно провести для стандартной гауссовской меры -уп. Применяя
A.6.12) к А = 1/2 и множествам А — h и А + h равной 7«-меры,
получаем требуемое, ибо полусумма этих множеств есть А. П
30 Глава 1. Конечномерные распределения
1.6.5. Следствие. Пусть 7 — центрированная гауссовская
мера на Шп и f — выпуклая функция на Шп с f(x) = f(—x).
Тогда для всех а € Шп
f(x)-y(dx)<
Доказательство. Заметим, что 7({/ < О) ^ 7({/ < 0 ~ а)
для всех t, поскольку {/ < t) — выпуклое симметричное мно-
множество. Поэтому "fix: f(x) > t) < ^(х: f{x + а) > t), что дает
доказываемую оценку. D
1.6.6. Пример. Пусть 7 — центрированная гауссовская мера
на Ж". Тогда f \x\p j(dx) < f \х + а\р j(dx), УаеШп,р>1.
1.6.7. Лемма. Пусть £i,...,£n — случайные величины на ве-
вероятностном пространстве (п,Р), для которых распределение
вектора (£i,... ,£п) является центрированной гауссовской ме-
мерой с ковариационной матрицей А. Предположим, что
для всех i и г\ 6 Х%-\, где Х{ — линейная оболочка £i,...,£i>
Хо — 0. Тогда справедлива следующая оценка:
PUo: max|^:(u;)| < l\ < ( f p(x,0,d2)dx) . A.6.14)
i
Доказательство. Обозначим через v^ распределение вектора
(^ь • ■ • > %k) B K-fc- Вероятность в левой части A.6.14) совпадает с
'Лг(Кг), где Vn — единичный куб в IR". Проведем доказательство
индукцией по п. Для п = 1 утверждение очевидно. Пусть п > 1,
причем A.6.14) уже доказано для меньших п. Положим
п-1
г=1
где £° ± Хп-\. Тогда ^° — центрированная гауссовская слу-
случайная величина с дисперсией d\ > d2, причем £° и (^,..., £n-i)
независимы. По теореме Фубини
1,6. Неравенства выпуклости 31
/'(max |6| < l) = P(.max |£| < 1 П {\£ - £
Поскольку в силу неравенства Андерсона имеем
для каждого г, то интеграл в правой части предыдущей оценки
не превосходит Р(|£°| < l)i/n-i(Ki-i)- Остается заметить, что
J
p(t,O,d')dt
-l
и потому возможен следующий шаг индукции. □
1.6.8. Теорема. Пусть ц и v ■— две центрированные гауссов-
ские меры на Шп. Тогда следующие утверждения равносильны:
(i) J(y,xJfi(dx)>J(y,xJv(dx), УуеШп;
(ii) существует такая центрированная гауссовская мера а,
что \х = v * а;
(ш) для каждого выпуклого симметричного множества А вы-
выполняется неравенство /л(А) < v(A).
Доказательство. Если выполнено условие (i), то квадратич-
квадратичная форма Q(y) = J(у, хJ /j(dx) — J(y,xJ v(dx) неотрицательна.
Пусть а — гауссовская мера с v = exp(—Q/2). Тогда Д = va и
потому 1л = и*а. Предположим, что \х = v*o. Тогда для всякого
выпуклого симметричного множества А имеем
= (v{A-x)o{dx)<n{A),
поскольку и(А — х) < v(A) для любого х в силу неравенства Ан-
Андерсона. Наконец, если выполнено условие (in), то для каждого
фиксированного у выполнено неравенство
ц(х: (у,хJ <t)< v(x: (y,xJ < <), Vt > 0.
Следовательно, выполнено условие (i) (см. задачу 1.7.5). П
32 Глава 1. Конечномерные распределения
1.6.9. Следствие. Пусть С — абсолютно выпуклое множе-
множество в Нп, 7п — стандартная гауссовская мера на Rn и Т —
линейный оператор в Ш" с операторной нормой Ц^И^щ.™) — 1-
Тогда 1П(Т(С)) <1п{С).
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай, когда опе-
оператор Г обратим. В этом случае положим ц(А) = jn(T(A)),
v = 1п. Поскольку (у, у) = (ТТ-1у,ТТ-1у) < (Т^у^у), то
применима теорема 1.6.8. П
1.6.10. Следствие. Пусть С и уп — те же, что и в след-
следствии 1.6.9. Тогда для всякого линейного подпространства
L С IRn имеем
( x) A.6.15)
Доказательство. Обозначим через v образ меры *уп при ор-
ортогональном проектировании на L. Тогда правая часть A.6.15)
совпадает с v{C). Поэтому можно воспользоваться предыдущим
следствием. □
1.7. Дополнения и задачи
Имеется обширная литература, посвященная характеризациям нор-
нормального распределения (см. [82], [219]). Мы приведем лишь три ре-
результата такого рода. Первый из них получен в [252] и представляет
собой усиление теоремы С. Н. Бернштейна, доказанной при дополни-
дополнительном предположении о существовании конечного второго момента
£. Доказательство и обобщения можно найти также в [82].
1.7.1. Предложение. Случайный вектор £ в Ш71 является гауссов-
ским, если и только если для всякого случайного вектора п, который
независим с £ и имеет то же распределение, случайные векторы £ — 1]
и £ -\- г) независимы.
1.7.2. Предложение. Случайный вектор £ в Ш,п является центри-
центрированным гауссовским, если и только если для всякой пары (£1N2)
независимых копий £ и всякого вещественного числа ip случайные век-
векторы £i sin ip + £2 c°s </>> £1 cos f ~ £2 sin ip представляют собой незави-
независимые копии £.
Это утверждение легко вывести из следующей характеризации, ко-
которую недавно получили S. Kwapien, M. Pycia и W. Schachennayer [380],
доказавшие предположение С. Бобкова и С. Houdre. Приводимое ниже
доказательство заимствовано из [429].
Дополнения и падали 33
1.7.3. Предложение. Пусть i) u£ —- независимые случайные вели-
величин и (■ одн'и.м и тем же симметричным распределением,, причем,
Р
0.
Т<>,'<)п эти случайные величины — гауссовские.
Доказательство. Основной момент доказательства -■- установить,
что 1Е£2 < оо. Предположим, что это сделано. Тогда
икпду симмет])ичности и независимости £ и i]. Согласно задаче 1.7.6,
и ( 1.7.10) стоит на самом деле равенство, что означает (в силу симме-
i ричности распределений), что (£ + ■/"/)/\/2 и £ имеют равные распре-
распределения. Пусть {£,} — последовательность независимых случайных
иеличин с распределением £. По индукции легко проверяется, что слу-
случайные величины 2^"/'2(^1 +.. - + ^2") также имеют распределение £. В
силу центральной предельной теоремы £ — гауссовская случайная ве-
величина. Положим h(x) = cos.x при \х\ < ж, h{x) = —1 при |.-f| > ж.
,Для всякой случайной величины С введем функцию /<; посредством
/^ (••>■) = ]E/t(A'C). В силу теоремы Лебега эта функция непрерывна.
Нетрудно проверить, что < h(x)li,(y). Если С и в —
независимые, случайные величины с симметричными распределениями,
h(s( + зв) + hjsC - нв) ^ ,, ,Ч1, лч
то, интегрируя неравенство — — < h(sQh(sv), полу-
чаем Д-+о(а') < f^(s)fo(s). Заметим, что для некоторого д > 0 функция
■I'c/V2 СТРОГО положительна на [0,6], поскольку Е/г@) = 1. Функция 1г
не возрастает на [О.оо), поэтому из условия A.7.16) вытекает оценка
/(£ + 1()/v^(*) - hi-4)- Следовательно,
Пусть g(s) — Д(а'I/8", a1 g @,E]. Пе]>еписав предыдущее неравен-
ство в виде (j(f>)s < (j ( —7= ) , получаем g(s) < у ( —~ I. Следовательно,
!)B~kl25) > g(S) = сс, где с > 0. Таким образом, полагая г*. = 2~kl28.
имеем
Eras(j-fc^) > m,h(rkQ > gF)r>- > 1 - cr2k,
откуда Е(£/л")/|,.(.^\<п < •/■r/2Eshi2(Tfc^/2) < с/2. По теореме Фату за-
заключаем, что 1Е£2 < сю. П
Задачи
1.7.4. Пусть (А', /х) — пространство с конечной морой. Тогда //-измеримая
функция J интегрируема .относительно ^ и точности тогда, когда сходит-
сходится ряд Х/Г-о'и'(;!': 1^('тI ^ п)' ^ частности, / G П;>1 ^''(/') тогда и только
тогда, когда /t(.r: |/(.т)| > п) = о(п~к) для всех A: G IN.
2 В.И. Богачев
34 Глава 1. Конечномерные распределения,
1.7.5. Пусть (X, /u) — пространство с конечной мерой и / — /и-интегрируё!
мая функция. Тогда
f f°°
/ \f(x)\n(dx)= / MI/I > О Л-
Jx Jo
1.7.6. Пусть £ и ?7 — случайные величины с Е£2 = Е??2 < оо. Если;
P(\Z\ >t)< P(\r/\ > t) для всех t > 0, то Р(|£| > t) = Р(|?7| > t).
1.7.7. Если последовательность центрированных гауссовских случайных^
величин {^п} сходится по вероятности к случайной величине £, то £ — цен-1
трированная гауссовская случайная величина, причем Е£2 = lim E£jj.
П-4ОО
1.7.8. Линейное пространство, порожденное экспонентами линейных фун-;
кций, плотно в L2G), где 7 — стандартная гауссовская мера на IRn.
1.7.9. Всякое выпуклое множество в IRn измеримо относительно каждой
гауссовской ме!эы.
1.7.10. Пусть 7 — центрированная гауссовская мера на IRn с ковариаци-
ковариационным оператором К и А — линейный оператор в IRn. Доказать следующие
соотношения:
I
(Ах, х) f{dx) = trace AK,
(Ax,xf-y(dx) = [trace AK}2 +2 trace (AKJ.
IR"
При условии А > 0 с помощью неравенства Чебышева получить оценки
: (Ax,x) > If < trace AK,
fix: \(Ax,x)-tra.ee AK\ > r\ < 2 trace (AKJ.
1.7.11. В ситуации задачи 1.7.10 при условии 2\Гк~А\Гк < I доказать
равенство
/ е(Лх'х) 7(cfa) = [det(/ - 2у/КАу/К)] Х 2 = [det(/ - 2АК)]
IR"
1.7.12. В ситуации задачи 1.7.10 показать, что
J (х, У1) ■ ■ ■ (х, y2k) f(dx) = GBk)@)(yi ,...,у2к),
IR»
где G(x) = ехр^-^/Сж.а;)], yi G IET.
-1/2
Глава 2
Бесконечномерные
гауссовские распределения
, Лично я думаю, что число измерений пространства
вещь очень, очень тонкая. Вероятно, истинное про-
пространство — просто безмерно.
Н. Н. Лузин. Из письма В. И. Вернадскому
2.1. Основные определения
Определения используемых ниже элементарных понятий, свя-
связанных с локально выпуклыми пространствами, можно найти в
Дополнении.
Линейные комбинации множеств в линейных пространствах
определяются так же, как и в случае Ж™. Тот же самый смысл
имеют термины выпуклое множество, симметричное множе-
множество, абсолютно выпуклое множество, выпуклая оболочка, аб-
абсолютно выпуклая оболочка. В частности, для всякого множе-
множества А в линейном пространстве его выпуклая и абсолютно вы-
выпуклая оболочки задаются равенствами
conv A = {aicii H h akak,
аг€ А, щ>0, аН + ак = 1, к€ IN}, B.1.1)
absconv A = {оцпх + • • • + ^
ai € A, \ai\ + ■■■ + \ак\ < 1, к € IN}. B.1.2)
Напомним еще, что цилиндрическими (или цилиндрами) на-
называются такие множества в локально выпуклом пространстве
X с сопряженным X*, которые имеют вид
С={х€Х: (l!(x),...,ln(x)) еС0}, k£X\ B.1.3)
где Со € В(TRn) называется основанием С.
2*
.'50 Глава 2. Бесконечномерные- распределения
Указанное представление, конечно, не однозначно (например,
пространство Ш3 может быть представлено и как прообраз IR1,
и как прообраз И2). Линейное пространство L = П"=1Кег /,- име-
имеет конечную коразмерность к < п. Если в X взять какое-нибудь
/.'-мерное линейное подп])остранство Lq, алгебраически дополня-
дополняющее L, то множество С запишется в виде
где С\ — некоторое борелевское подмножество Lq.
Обозначения, (i) Обозначим через £{Х) ст-алгебру, поро-
порожденную всеми цилиндрическими подмножествами X. Иначе
говоря, £{Х) — наименьшая ст-алгебра, относительно которой
измеримы все непрерывные линейные функционалы на X.
(ii) Пусть F — некоторое семейство функций на множестве
И. Через £(il,F) будем обозначать наименьшую сг-алгебру под-
подмножеств П, относительно которой измеримы все / € F (иначе
говоря, £(Q,F) порождается множествами вида {/ < с}, / € F,
с € М1). В частности, £{Х) = £{Х,Х*).
(iii) Образ меры /t на измеримом пространстве (Х,Л4х) при
измеримом отображении /: X —> Y в измеримое пространство
(У,Л4у) обозначается через //.о/" и определяется равенством
Be Му-
Если X — локально выпуклое пространство, Y = X и Мх =
£(Х) или Л4х = ^(-^), то для всякого h € X отображение-
х 1-4- х + /i. измеримо. Образ меры ц nj)H этом отображении обо-
обозначается через f.iit и называется сдвигом, меры на вектор h. По
определению
Ясно, что £{Х) содержится в борелевской ст-алгебре В(Х), но
может с ней не совпадать (например, так обстоит дело для про-
произведения континуума прямых IRC). Однако для сепарабельных
пространств Фреше (в частности, для сепарабельных банаховых
пространств) справедливо равенство £{Х) = В{Х) (см. Допол-
Дополнение). Например, это равенство справедливо для счетного про-
произведения прямых Ш1°°.
Для всякой меры (неотрицательной счетно-аддитивной функ-
функции) // на £(Х) будем обозначать символом £(X)fl лебеговское
пополнение £(Х) относительно //,. Иначе говоря, А € £{Х)ц в
точности тогда, когда существуют такие множества В\, Вч €
£{Х). что Вг С Ac B2, n(B2\Bi) = 0.
2.1. Основные определения 37
2.1.1. Лемма. Множества вида
{л: € Ш°°: (.гь .. .,хп) € В}, В€ ВЦП"), п G IN,
порождают В(Ш°°) ~ £(Ш°°).
Доказательство. Вытекает из теоремы А.3.7 Дополнения, по-
поскольку координатные функции непрерывны и разделяют точки
пространства Ш.°°. П
2.1.2. Лемма. Множество Е принадлежит £(Х) в точно-
точность, тогда, когда оно имеет вид
Е = {.г- € X: (lt{x),... ,ln(x),...) € в}, B.1.4)
где!,; EX*, Be В(Ш°°).
Доказательство. Непосредственно проверяется, что множест-
множества вида B.1.4) образуют ст-аягебру. Поскольку эта <7-алгебра со-
содержит цилиндрические множества, то она содержит и £(Х). С
другой стороны, для любого фиксированного счетного набора
{/,:} С А'* совокупность всех множеств В € В(Ш°°), для которых
множество Е, заданное формулой B.1.4), входит в £{Х), так-
также является ст-алгеброй. Поскольку эта ст-алгебра содержит все
множества вида {х € ГО°°: (л;ь... ,х„) G Со}, Со € B(]Rn), то в
силу леммы 2.1.1 она совпадает с B^JR00). П
2.1.3. Лемма. Пусть X — локально выпуклое пространство
и /I. — мера на £{Х). Тогда, для всякого множества А € £{Х)
его линейная оболочка, выпуклая оболочка и абсолютно выпукл-
выпуклая оболочка измеримы относительно \х [т.е. входят в £(Х)ц).
Доказательство. Ввиду формул B.1.1) и B.1.2) и аналогич-
аналогичной формулы для линейной оболочки достаточно показать, что
для любого набора множеств d £ £{Х) и любого борелевского
множества Л С Шк множество
А = {Aici + ... + Хкск, Хь € Л, с,- € С\}
измеримо относительно /i. По лемме 2.1.2 существуют такие
множества В, 6 ^(Н00) и счетный набор {/_/} С А'*, что d =
f~l(Bi), где / = (fj): X —> Н°°. Поэтому достаточно доказать
наше утверждение для меры v := /to/ на IR°° и множества
в = {\lbi +... + \к.ьк, хг б л, ьг е в,} сш°°.
38 Глава 2. Бесконечномерные распределения
Действительно, если мы найдем такие Е\^Е2 С B(TR°°), что
Е^С В сЕ2и v{E2\Ex) = 0, то
и n(f~l(E2)\f~1(Ei)) = 0. Для меры v утверждение вытека-
вытекает из теоремы А.3.15 Дополнения, поскольку В\ х • • • х Вк х Л —
борелевское множество в соответствующем произведении про-
пространств, а отображение (х\,..., хп, А) н-> \\Xi + • • ■ + Хпхп не-
непрерывно. П
2.1.4. Лемма. Пусть \х — мера на £(Х). Тогда для всяко-
всякого множества А € £(ХIХ и всякого е > 0 найдется такое
множество Е вида B.1.4), что В компактно в К°°, Е С А
и ц(А\Е) < г. Кроме того, найдется такой цилиндр Се с ком-
компактным основанием, что f.i(A А Се) < е.
Доказательство. По определению существует такое 5 € £(Х),
что S С А и /j(A\S) = 0. Согласно B.1.4), множество 5 имеет
вид S = rl(So), So С S(m°°), / = (/,-): X -> И00, fj €_ X*.
По теореме А.3.11 Дополнения, примененной к мере /ло/ на
Ш°°, найдется такой компакт В С So, что д°/~ (<?о\В) < е.
Теперь можно положить Е — f~l(B). Аналогичным образом,
существует такой цилиндр D, что ц(А A D) < е/2. Пусть D =
P~i(Bo), где Р: X —> Ш.п — непрерывный линейный оператор
и Во £ В(Ш.п). Поскольку v := цоР~1 — борелевская мера на
К™, то найдется компакт К С Bq, для которого v(Bq\K) < е/2.
Полагая Се = Р~1(К), имеем ц{А А Се) < е. П
2.1.5. Определение. (i) Пусть Е—линейное пространст-
пространство и F — некоторое линейное пространство линейных
функций на Е, разделяющее точки Е. Вероятностная ме-
мера 7 на £(X,F) называется гауссовской, если для всякого
/ € F мера 7°/~1 — гауссовская.
(ii) Пусть X — локально выпуклое пространство. Вероят-
Вероятностная мера 7; определенная на а-алгебре £(Х), поро-
порожденной X*, называется гауссовской, если для всякого
/ € X* индуцированная мера 7°/~1 на прямой являет-
является гауссовской. При этом j называется центрированной
(или симметричной), если центрированы все меры jof~l,
feX*. ■ '
(iii) Случайный вектор называется гауссовским, если он инду-
индуцирует гауссовскую меру.
2,1. Основные определения 39
Заметим, что хотя в случае (i) пространство Е не предпола-
предполагается наделенным какой-либо топологией, этот случай на самом
деле сводится к (и), ибо на Е можно ввести локально выпукл-
выпуклую топологию a(E,F) (порождаемую набором полунорм pj(х) =
|/(:г:)|, / € F, как указано в Дополнении). При этом F оказы-
оказывается сопряженным к Е с этой топологией и мы приходим к
случаю (ii). Часть обсуждаемых ниже результатов никак не ис-
использует топологизацию пространства, на котором задана мера,
в то время как некоторые фундаментальные результаты явным
образом привлекают топологическую структуру. Поэтому для
единообразия изложения всюду ниже мы рассматриваем гаус-
с.овские меры на локально выпуклых пространствах.
Заметим, что в определении можно было бы и не требовать
заранее, чтобы мера была вероятностной: это очевидно для нео-
неотрицательных мер и верно даже для знакопеременных мер (см.
задачу 2.9.14).
Из определения непосредственно вытекает, что образ гаус-
совской меры при непрерывном аффинном отображении являет-
является гауссовской мерой.
2.1.6. Лемма. Пусть 7 — гауссовская мера на локально вы-
выпуклом пространстве X и Т: X —> Y — такое линейное ото-
отображение в локально выпуклое пространство, что loA £ X*
для всякого I € Y*. Тогда мера 7°Т~1 — гауссовская на Y. То
же самое верно и для аффинного отображения х н-> Тх + а, где
« € Г.
Напомним, что преобразование Фурье (характеристический
функционал) меры /л, определенной на <7-алгебре £(Х) в локально
выпуклом пространстве X, задается формулой
Д: X* -> С\ UU) = Jexp(if(x)) ц{йх).
х
2.1.7. Пример. Для всякой меры \х на £{Х) и всякого h € X
имеем
а(), V/ € X*.
Доказательство. Достаточно заметить, что по формуле заме-
замены переменных (см. Дополнение) имеем
/ [ t i
J J
для всякой £(X)-измеримой ограниченной функции /. D
40 Глава 2. Бесконечномерные распределения
Некоторые сведения о преобразованиях Фурье приведены в
Дополнении. Здесь нам понадобится лишь тот факт, что две
меры на £{Х) с равными преобразованиями Фурье совпадают.
2.1.8. Теорема. Мера 7 на локально выпуклом пространстве
X является гауссовской тогда и только тогда, когда ее пре-
преобразование Фурье имеет вид
7(Я =«Ф (*£(/)-|ВД/))> B.1.5)
где L — линейная функция на X* и В — симметричная били-
билинейная функция на X*, причем квадратичная форма / н-> B(f, /)
неотрицательна.
Доказательство. Пусть j — гауссовская мера, Из определе-
определения вытекает, что / € L2(j) для всякого / € X*. Поэтому можно
положить
j, fex;
B(f,g) = J[f{x) - L(f)] [g(x) - L(g)] 7(dx), /, g € X*.
Ясно, что L — линейная функция, а В — билинейная симме-
симметричная функция. При этом квадратичная форма / н-> B(f,f)
неотрицательна. Теперь равенство B.1.5) вытекает из элемен-
элементарных свойств одномерных гауссовских распределений.
Обратно, пусть 7 — мера на £{Х) с преобразованием Фурье
вида B.1.5). По формуле замены переменных
[exp(i-yt)'yof-1(dt) =
= |ехр(гу/(.г-)) 7(dx) = exp[iyL(/) - \y'2
откуда вытекает гауссовость 7- П
2.1.9. Следствие. Гауссовская мера 7 на локально выпуклом
пространстве X является центрированной в точности тоёда,
когда 'у(А) = 'у(-А) для всякого А € £{Х). Это равносильно
тому, что L = 0 в B.1.5).
Доказательство. Достаточно воспользоваться тем, что пре-
преобразование Фурье меры А н-> ^(—А) задается функцией, комп-
комплексно-сопряженной к 7> и тем, что меры на £(Х) с равными
преобразованиями Фурье совпадают. П
2.]. Основные определения 41
2.1.10. Следствие. Произведение 71 ® 72 гауссовских мер 7i
и 72 на локально выпуклых пространствах Х\ и Х2 является
гауссовской мерой на Х[ хА^. Если Х\ = Х2 = X, то гауссов-
гауссовской является, и мера 71 *72? определяемая как образ меры 71 ®72
при отображении ХхХ —» X, (х,у) >-> х + у (см. Дополнение).
2.1.11. Определение. Пусть X —локально выпуклое прост-
пространство и //. — такая мера на £(Х), что X* С L (fi). Эле-
Элемент, а1Л в алгебраическом сопряженном (X*)' к X*, определен-
определенный формулой
B.1.6)
называется средним \i.
Оператор B,ft: X* —> (X*I, заданный формулой
х
называется ковариационным оператором fi, а соответствую-
соответствующая квадратичная, форма — ковариацией //.
Обозначения.
Пусть 7 — гауссовская мера на локально выпуклом простран-
пространстве X. Обозначим через X* замыкание множества
{/-%(/), /еП
вложенного в Ь2(^), по норме из Ь2(-у). Полученное простран-
пространство, наделенное скалярным произведением из L G), называется
воспроизводящим гильбертовым пространством меры 7- Поло-
Положим
\h\H(y)=sxip{l(h): leX*, R
ЯG) = {h G X: \h\H(l) < сю}, UH = {h: \h\H(y) < 1}.
Пространство Н(-у) называется пространством Камерона-
Мартина или воспроизводящим ядром.
Отображение Ry определяется и на Л'*:
Ну. Лу ->■ (А ) ,
42 Глава 2. Бесконечномерные распределения
R.img)^ Jf{x)[g{x)-a1{g)]1{dx), f€X;, g&X*.
х
Разумеется, для центрированной меры это просто продолже-
продолжение R-y с X*. Однако независимо от того, центрирована мера 7
или нет, для всех / G X* функционал R1(f) совпадает с функ-
функционалом R1(f — a1(f)), порожденным элементом / — о.7(/) про-
пространства X* (хотя сам функционал / может и не входить в это
пространство, если а1 ф 0).
В случае, когда функционал R-y(j) задается элементом из X,
этот элемент обозначается тем же символом, что и функционал.
При этом
Ясно, что в соотношении B.1.5) имеем B(f, /) = R1{f)(f) для
всех / G X*.
Положим
ay(f))\(dx).
2.1.12. Лемма. Всякий элемент д G X* является центриро-
центрированной гауссовской случайной величиной с дисперсией |Ы1ь2G)'
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Утверждение вытекает из задачи 1.7.7, но
для удобства читателя приведем соответствующее рассуждение.
Пусть {fn} — последовательность элементов X*, для которой
последовательность {/„ — а7(/п)} сходится к g в L2(^). Тогда
она сходится к g по мере, откуда
/п(ж) - ita1(fn)j
x x
Следовательно, существует предел d2 = lim cr(/n) . Это озна-
п —^оо
чает, что мера ~fog~~i — гауссовская, причем d2 = cr(gJ. LJ
2.1.13. Замечание. Ниже обсуждаются примеры гауссовских
мер, показывающие, что не всегда элементы а1 и R-y(f) для
/ G X* задаются векторами пространства X. Однако в следу-
следующей главе будет показано, что такое не может случиться для
радоновских гауссовских мер. В частности, подобные примеры
невозможны для гауссовских мер на сепарабельных банаховых
пространствах.
2.1. Основные определения 43
2.1.14. Предложение. Вероятностная мера 7 на а-алгебре
£(Х) локально выпуклого пространства X является центри-
центрированной гауссовскоп в точности тогда, когда для всякого ве-
вещественного кр образ меры 7®7 на ХхХ при отображении
X х X —> X, (х, у) (->■ х sin if + у cos ip,
совпадает с 7-
Доказательство. Необходимость указанного условия проверя-
проверяется с помощью формулы B.1.5). Доказательство достаточности
сводится к одномерному случаю. Действительно, преобразова-
преобразование Фурье образа меры и ® и, где и = 7°/~1) ПРИ отображении
указанного вида из Ш2 в Ш.1 имеет вид
/ / exp\it(usimp + vcosip) \ i/(du) v{dv) =
J J
= / / exp \it(f{x) sin у + f{y) cos y?)] ^
Поэтому можно воспользоваться предложением 1.7.2. П
2.1.15. Следствие. Пусть X—локально выпуклое простран-
пространство, рассматриваемое с а-алгеброй £(Х). Измеримое отобра-
отображение £ со значениями в Е является центрированным гауссов-
ским случайным вектором в Е, если и только если для всякой
пары (£1,£г) независимых копий £ и всякого вещественного чи-
числа if отображения
£i sin ip + £2 cos ip, £1 cos if — £2 sin f
представляют собой независимые копии £.
Имеется полезная характеризация гауссовского свойства по-
посредством тройных сверток (найденная М. Талаграном [500]).
Введем следующие обозначения. Пусть X — линейное простран-
пространство. Для всякого <f G Ш.1 положим
1 2
а = - + - cos f,
44 Глава 2. Бесконечномерные распределения
7 = cos^ + s
Заметим, что а+Р+^=1и матрица
ортогональна (она задает вращение на угол tp вокруг оси с на-
направляющим вектором (l/v3, l/v3,1/v3)).
С помощью этой матрицы можно задать оператор
(ах + /Зу + jz, 7-X + с\у + j3z, /Зх + ■уу + az).
2.1.16. Теорема. Пусть X — локально выпуклое простран-
пространство а /* — гауссов екая мера на X. Тогда мера
ц3 = f_t X f.l X [I
инвариантна относительно Tv^x для всякого tp. Обрат/но, если
/;, — такая вероятностная мера на £(Х), что мера //3 инва-
инвариантна относительно TVtx для некоторого tp, отличного от
2/стг/З, то /л — гауссовская мера.
Доказательство. Первое утверждение вытекает из того, что
а + /3 + /у = 1,тл потому непосредственная проверка показывает,
что преобразование Фурье меры /и3 о Т~х совпадает с преобра-
преобразованием Фурье меры /А Для доказательства второго утвер-
утверждения зафиксируем / G X* и положим и — цо/^1. Тогда
где оператор Т щз в Ш. задан матрицей Т^. Для упрощения
последующих выкладок положим F = и и
Тогда из равенства преобразований Фурье мер г/3 и г/3 о Т~l 3
вытекает тождество
F(x)F(y)F(z) = F(xv)F(^)F(^). B.1.8)
2.1. Основные определения 45
Заметим, что F не обращается в нуль. Действительно, в против-
противном случае в силу непрерывности F существует такая точка а,
что F{a) — 0 и F не имеет нулей на [—а, а]. Однако из равенства
B.1.8) применительно к вектору (а, 0, 0) вытекает
0 = F(n) = F(aa)F@a)F(-ya),
что приводит к противоречию с выбором а ввиду того, что по
условию
ry = sup(|«|,|/3|,|7|)<l.
Выберем S > 0 так, что при всех х из отрезка / = [—5, 5} значения
F(x) попадают в односвязную область U комплексной плоскости,
замыкание которой компактно и не содержит начала координат.
В этой области U выделим ветвь логарифма и положим
G(x) = LnF(x), x€l.
Заметим, что F(xv) G U при х G /, ибо xv G /. В силу B.1.8)
имеем
G(x) + G(y) + G(z) = G(xip) + G{yip) + G(zip) Vx, у, z G /. B.1.9)
Из этого тождества вытекает бесконечная дифференцируемость
G. Действительно, проинтегрируем B.1.9) по у из / и получим
fs
2SG(x) + 2SG(z) + / G(y) dy =
J-s
5
—s
Из условия вытекает, что числа а, /3, 7 отличны от нуля. Поэто-
Поэтому первый из интегралов в правой части может быть переписан
в виде
ra:c+f)S
nx-fiS
что представляет собой дифференцируемую по х функцию. Два
других интеграла допускают аналогичные представления. Итак,
функция G дифференцируема. По индукции получаем ее беско-
бесконечную дифференцируемость. Дифференцируя три раза равен-
равенство
46 Глава 2. Бесконечномерные распределения
вытекающее из B.1.9), получаем
G'"{x) = azG>"{ax) + f3zG'"{f3x) +1zG'"{1x).
Ввиду равенства а2 + Р2 + -у2 = 1 имеет место оценка
И3 + |/з|3 + Ы3 < <? < 1.
Следовательно,
|G'"(z)|<? sup \G'"(u)\,
-q\x\<u<q\x\
откуда вытекает равенство G"' = 0 на /. Итак, на отрезке /
имеем F(x) = ехр(а + Ьх + сх2), где а, Ь и с — некоторые ком-
комплексные числа. Поскольку F@) = 1, |F(x)| < 1 и F(x) = F(—x),
получаем
F(x) = exp(imx - cr2x2), B.1.10)
где m и а вещественны. Тогда это равенство распространяется
на произвольный отрезок [—5,5], ибо, доказав его для какого-
либо отрезка /о = [—^о>^о]> мы можем распространить его и
далее, поскольку образ отрезка /о при отображении B.1.10) не
имеет самопересечений и потому содержится в связном откры-
открытом множестве, не содержащем нуля, что позволяет использо-
использовать приведенные выше рассуждения. Равенство B.1.10) озна-
означает гауссовость меры v. П
2.1.17. Лемма. Пусть -у — центрированная гауссовская мера
на локально выпуклом пространстве X. Множество функций
вида Hfaih) • • ■ Hkn(ln), где Н^ — многочлен Эрмита и Z, € X*
всюду плотно в 2
Доказательство. Функции вида <p(li,...,ln), где у? — огра-
ограниченная борелевская функция на Ж™, плотны в L2(j). Поэто-
Поэтому утверждение вытекает из соответствующего конечномерного
результата. П
2.2. Примеры
2.2.1. Теорема. Пусть 7 — гауссовская мера на сепарабелъ-
ном гильбертовом пространстве X и пусть X* отождествле-
отождествлено с X с помощью теоремы Рисса. Тогда существуют такой
вектор а € X и такой симметричный неотрицательный ядер-
ядерный оператор К, что преобразование Фурье меры 7 равняется
2,2. Примеры 47_
х
ехр( i(a, х) (Кх,х) 1. B.2.11)
Обратно, для всякой пары [а, К) указанного выше вида функция
B.2.11) является преобразованием Фурье гауссовской меры на
пространстве X. При этом а — среднее меры ^ и К — ее
ковариационный оператор.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что j — гауссовская мера.
Тогда ее преобразование Фурье задается равенством B.1.5), где
х н» L(x) — линейная функция и х н->- В(х,х) — квадратич-
квадратичная форма. По теореме Лебега функция 7 непрерывна. Это
влечет непрерывность обеих функций L и В. Следовательно,
существуют такие вектор а и ограниченный симметричный нео-
неотрицательный оператор А", что
. L(x) = (а, х), В(х, х) = (Кх, х).'
Ясно, что оператор К компактен. Действительно, если хп —» О
в слабой топологии, то 7(жп) —>■ 1 по теореме Лебега. Поэтому
||\/А^гп|| —> 0. Теперь имеются две возможности убедиться, что
К — ядерный оператор. Первая состоит в том, чтобы непосред-
непосредственно доказать, что
f(x,x)^(dx) <oo. B.2.12)
х
Это вытекает из приводимой далее общей теоремы Ферника об
экспоненциальной интегрируемости. Тогда, предполагая для уп-
упрощения формул, что а = 0, для всякого ортонормированного
базиса {еп} в X имеем
n=i n=ix
= Hx,x)r/(dx)
оо.
Вторая возможность заключается в использовании теоремы 1.1.4.
Действительно, мы можем предположить, что а = 0 (сдвигая
меру). Поскольку оператор К компактен и симметричен, мож-
можно выбрать ортонормированный базис {еп}, состоящий из соб-
собственных векторов К. Тогда ортогональные центрированные
гауссовские случайные величины (х,еп) на (Х,^) независимы и
°°
Y2 (х, еп) < оо для всякого х. Это влечет B.2.12). П
п=1
1^ Глина 2. Бесконечномерные распределения
Отметим, что в представлении B.2.11) оператор К совпадает
<■ Rj. Следовательно, замыкание X = X* в L2(~f) (в случае а = 0)
совпадает с пополнением X относительно нормы ||\/1^х||л'- По-
Поэтому если {еп} — ортонормированный базис в X, образован-
образованный собственными векторами К, соответствующими собствен-
собственным числам к„, то это пополнение отождествляется с, весовым
гильбертовым пространством последовательностей
1
<оо[.
Оператор К естественным образом продолжается на это попол-
пополнение X* и ЯG) = К(Х*). Однако если Л' рассматривается
лишь на исходном пространстве X, то
ЯG) = у/К{Х).
В естественных координатах, ассоциированных с {сп}5 формула
B.2.11) выглядит так:
-I \ Af l sr и Л
7(у) = ехр г > апуп - - > knyn I.
V „=i Z n=i У
В рассматриваемой ситуации при а = 0 для цилиндрического
множества С = Р~1(В), где Рп — ортогональный проектор на
линейную оболочку Н„ первых п векторов е; (отождествляемую
с Ш") и В е В(Нп), имеем
fa:i ■ - • dxn.
в J=1 ч
2.2.2. Следствие. Еслм dim A' = oo, то функция
ф) = ехр(-~\\42)
иг, является преобразованием Фурье никакой счетно-аддитив-
счетно-аддитивной меры на X.
2 2^ Примеры 49
2.2.3. Пример. Пусть 7п —стандартные гауссовские меры на
IR'. Тогда мера
центрированная гауесовская на IR°°. При этом
X* = 1\ Я(->) = I2-
Док.ЛЗЛ ТЕЛЬС тво. Заметим, что мера 7 определена на сг-алгеб-
ре. порожденной координатными функциями л: = (:г„) i-> .<;„,
которая совпадает с борелевской ст-алгеброй пространства Ж°°
в силу леммы 2.1.1. Известно, что каждый непрерывный линей-
линейный функционал / на Ш°° есть конечная линейная комбинация
координатных функций (ем. Дополнение). Следовательно, для
некоторого и индуцированная мера 70/ совпадает с мерой
),/;Л где /7|((.С] ,...,*„)) = /((a.-i,... , а:„, 0,0,...)) - Для
произвольных элементов / — (/„) и д = (дп) из (Ш.°°) имеем
Это означает, что замыкание (К00)* в L2(-)) отождествимо с I2,
ибо оно представляет собой совокупность функций вида £)„. спхп,
где (г„) € Г2 и ряд сходится в среднем квадратичном. Ясно, что
при этом Н(-у) = I2. □
Как показывают результаты следующей главы, пример 2.2.3,
на первый взгляд весьма специальный, на самом деле с точно-
точностью до линейного измеримого изоморфизма представляет про-
произвольную центрированную гауссовскую меру Радона.
2.2.4. Пример. Пусть 7 — счетное произведение центриро-
центрированных гауссовских мер ^п на IR1 с дисперсиями о\ > 0. Тогда
7 ■— гауесовская мера на Ш°°. Кроме того, 7 — центрированная
гауесовская мера на всяком весовом гильбертовом пространстве
ОО ч
еК00: |Н£ = 2>2a?t < оо ,
N=1 J
где
50 Глава 2. Бесконечномерные распределения
Доказательство. Достаточно заметить, что j(Ea) = 1, что
вытекает из сходимости ряда
n=l
и теоремы Беппо Леви. При этом координатные функции поро-
порождают £{Еа) = В{Еа). П
2.2.5. Пример. Мера, указанная в примере 2.2.4, сосредоточе-
сосредоточена на пространстве со стремящихся к нулю последовательностей
в точности тогда, когда
00 / £ \
]Гехр( И<°°, Ve>0. B.2.13)
Сходимость ряда B.2.13) при некотором е > 0 равносильна ра-
равенству 7^°°) = 1-
Доказательство. Пусть ряд B.2.13) сходится при некотором
£ > 0. Тогда ап —> 0. Следовательно, для всякого 5 > 0 найдет-
найдется такое г > 0, что fKLi 7n([—**, г]) > 1 — 5, ибо при больших R
стандартная гауссовская мера отрезка [-R, R] имеет асимптоти-
асимптотику const R~~le~R2l2. Это означает, что 7^°°) = 1- Обратно, если
7(/°°) = 1, то для некоторого г > 0 имеем Yl%Liln([—r,r}) > 0.
Это влечет сходимость ряда B.2.13) для достаточно больших е.
Если ряд B.2.13) сходится при всех е > 0, то можно построить
такую последовательность положительных чисел еп —>■ 0, что
По доказанному, произведение и одномерных гауссовских мер
с дисперсиями a\jen сосредоточено на Z°°. Поскольку мера 7
является образом v при линейном отображении (хп) >-> (\/ё^хп),
переводящем ^°° в со, то получаем 7(со) = !■ Если же ряд B.2.13)
расходится при каком-то е > 0, то шар U достаточно малого ра-
радиуса в пространстве со имеет 7-меру нуль. Тогда ^(U + h) = 0
для всякого вектора h с конечным числом ненулевых координат,
ибо сдвиг на такой вектор очевидным образом переводит 7 в
эквивалентную меру. Поскольку со покрывается счетным набо-
набором таких сдвинутых шаров, то 7(со) = 0-
2.2. Примеры 51
Наконец, заметим, что оба утверждения можно было бы вы-
вывести из леммы Бореля-Кантелли (см. [157, с. 272]), воспользо-
воспользовавшись независимостью координатных функций как случайных
величин на (Ж°°,7) (см. задачу 2.9.25). П
Понятие гауссовской меры тесно связано с понятием гауссов-
ского случайного процесса. Последний определяется как семей-
семейство £ = (£t)teT таких случайных величин, что все их конечные
линейные комбинации — гауссовские. Действительно, мера, ин-
индуцированная таким процессом на пространстве траекторий Ж
с топологией поточечной сходимости, является гауссовской.
2.2.6. Предложение. (i) Пусть £ = (£t)teT — гауссовский
случайный процесс на множестве Т. Это означает, что
для всяких ti,...,tn € Т случайный вектор (&!,••■,&„)
имеет гауссовское распределение. Тогда мера ^, инду-
индуцированная £ на пространстве функций Ш с топологией
поточечной сходимости, — гауссовская.
(ii) Пусть Т — непустое множество и X = ЖТ. Тогда любая
функция F вида B.1.5) является преобразованием Фурье
некоторой гауссовской меры на X.
(ш) Пусть 7 — гауссовская мера на пространстве X = ЖТ с
топологией поточечной сходимости. Тогда
а7 е X, Я,(Х*) С X.
Доказательство. Первое утверждение непосредственно выте-
вытекает из того, что всякий непрерывный линейный функционал
на ЖТ может быть записан в виде х ь-> c\x{t{) + ... + cnx(tn)
при подходящем выборе с, и U. Чтобы получить (ii), достаточно
применить теорему Колмогорова о существовании меры с согла-
согласованными конечномерными проекциями (см. Дополнение).
Последнее утверждение очевидно из описания сопряженного
к Шт как линейной оболочки 6t, t € Т, где 6t{x) = x(t). □
Функция В, фигурирующая в представлении B.1.5) для меры
7 на Ж , соответствующей гауссовскому случайному процессу £,
однозначно определяется ковариационной функцией К процесса
£, которая задается формулой
K(s,t) = cov (&,&) = Е(& - Ш&)F ~ Щ,)-
Ковариационная функция связана с формой В равенством
6t), B.2.14)
52 Глава 2. Бесконечномерные распределения
где 6s(x) = x(s). Это ясно из того, что линейные комбинации
таких функционалов исчерпывают сопряженное к JR1. Для то-
того чтобы функция Л"( ■, •) на ТхТ порождала неотрицательную
квадратичную форму В на (ГО7)* посредством B.2.14), необхо-
необходимо и достаточно, чтобы для всех конечных наборов .sj,... , ап,
t\,... , tn точек Т матрица K(si, tj)) была неотрицательно
определенной.
Сейчас мы увидим, что предыдущий пример является уни-
универсальным в том смысле, что всякую гауссовскую меру можно
считать заданной на подходящем произведении прямых.
2.2.7. Пример. Пусть 7 — гауссовская мера на локально вы-
выпуклом пространстве X. Положим Т = X* и определим вложение
X -> ГО7 формулой x(t) := t(x), t € Т. Тогда образ меры 7 при
этом вложении — гауссовская мера 7' на Ш. , причем
Доказательство. Всякий непрерывный линейный функционал
на IRT имеет вид х н-> c\x{t\) + - ■ . + cnx(tn), Ci G IR1, U € T, и ком-
композиция такого функционала с вложением X —> Ш. непрерывна
на X. Поэтому указанная композиция имеет гауссовское распре-
распределение относительно меры 7'- Последнее утверждение верно по
построению. П
2.2.8. Пример. Пусть в ситуации предложения 2.2.6 (и)
Г = [0,1], L = 0,
где 6а(х) = х(а) и В продолжается по линейности на линейные
комбинации таких функционалов. Непосредственно проверяет-
проверяется, что соответствующая квадратичная форма неотрицательна,
Тогда соответствующая мера Pw на пространстве траекторий
называется мерой Винера. Для этой меры Pw справедлива сле-
следующая оценка:
/ \x{t) - x{s)\'iPw{dx) < C\t - s\2. B.2.15)
2.2. Примеры ____
При этом (PW)*(C[0,1]) = 1 и мера, заданная формулой
= Е0П С[0,1], Ео € £(Ш
Г),
— гауссовская на С[0,1] (она также называется мерой Винера и
обозначается через Pw).
Доказательство. Из определения вытекает, что функционал
./■ I—?- x(t) — •'('(«) на (IR7 , Pw) — центрированная гауссовекая слу-
случайная величина с дисперсией \t — s\, ибо
BFt-6s,6t -Ss) = t + s-2mm{t,s) = \t - »\.
Это дает оценку B.2.15). По теореме А.3.22 Дополнения про-
пространство С[0,1] имеет полную внешнюю Р -меру. Поэтому
формула
. £ПС[0,1] ^PW(E), Ee£(JRT),
задает вероятностную меру на ст-алгебре множеств такого ви-
вида. Однако по теореме А.3.7 эта сг-алгебра совпадает с борелев-
ской ст-алгеброй С[0,1]. Ясно, что Pw — гауссовская мера и на
С[0,1], поскольку каждый элемент из С[0,1]* является пределом
последовательности линейных комбинаций дираковских функци-
функционалов ёа в *-слабой топологии (см. задачу А.3.34 в Дополнении).
п
Рассмотренный в предыдущем примере процесс называется
винеровским. Аналогично вводится винеровский процесс на лю-
любом отрезке. В качестве винеровского процесса можно взять
функцию
w,.(w) = w(t), £€[0,l],
на вероятностном пространстве (Q, В, Pw), где О, = С[0,1], В =
В(С[0,1]). Определяющие свойства этого процесса таковы:
1) приращения wtl — wt0, ■ ■ ■ , wtn — Wtn_i независимы для всех
to < t\ < ... < tn; 2) wt — ws при s < t имеет гауссовское распре-
распределение со средним 0 и дисперсией /, — s; 3) траектории t н-> wt
непрерывны.
2.2.9. Следствие. Преобразование Фурье меры Pw на С[0,1]
имеет следующее представление:
1 1
о о
где сопряженное к С[0,1] отождествлено с пространством бо-
релевских знакопеременных мер А на [0,1].
54 Глава 2. Бесконечномерные распределения
Отметим еще, что для всякого цилиндрического множества
>, В € В(Шп),
где 0 < t\ < t2 < ■ ■ ■ < tn, справедливо равенство
Р (С) = сп I ехр ( —Z(u\,..., ип) I c?ui ... dun,
J \ 2 /
в
где
v/ ч ui , ( -"О2 , , ("n-"n-iJ
Z^i,...,^) = — + — — + ..- И ,
t\ 12 — Н tn — tn-\
-1/2
Найдем собственные векторы и собственные числа операто-
оператора R\y с ядром min(£, s) на L [0,1], являющегося ковариацион-
ковариационным оператором меры Винера Pw', рассматриваемой на Х2[0,1].
Поскольку это симметричный компактный оператор, его соб-
собственные векторы образуют ортонормированный базис в Х2[0,1].
Пусть /о mm(t,s)fx(s) ds = \f\(t) п.в. Тогда
t i
sfx{s) ds + I fx(s) ds = \fx{t) п.в.
0 t
Из этого соотношения легко вывести, что /д имеет дважды
непрерывно дифференцируемую модификацию, удовлетворяю-
удовлетворяющую дифференциальному уравнению
А/а'(*) = -/а(«), Л@) = Л@) = 0.
Таким образом, получаем счетный набор
fn(t) = у/2 sin(
т=, А„ = 7г(п
An V '■
В частности, эти вычисления показывают, что вложение в
L2[0,1} пространства H(PW), совпадающего, как уже объясня-
объяснялось, с y/R\y(L2[0,1]), не является ядерным оператором (но, ра-
разумеется, является оператором Гильберта-Шмидта). В следую-
следующей главе будет показано, что пространство H(PW) не зависит
от того, рассматривается ли Pw на С[0,1] или на L2[0, l].
2.2. Примеры 55
2.2.10. Лемма. Пространство H{PW) совпадает с классом
Соболева Wo' [0,1] таких функций f на [0,1], что / абсолют-
абсолютно непрерывна, /' € L2[0,l] и /@) = 0. При этом \f\n(pw) =
Доказательство. Функция / входит в образ s/Rw в точности
тогда, когда для ее коэффициентов сп в базисе {fn} справедли-
справедливо соотношение ^ncn(n ~ 1/2J < сю. Последнее равносильно
существованию функции д € L2[0,1] с
Г
где rpn(t) = \/2 cos(tI'\f\x) (заметим, что {фп} — ортонормиро-
ванная система). Если такая функция существует, то ее пер-
первообразная есть /. Обратно, если / абсолютно непрерывна,
/@) = 0 и g = /' G Х2[0,1], то получаем
1
- 2JC« = -
о о
Поскольку система {грп} ортонормирована, то ^(д,фпJ < °°-
п
Нетрудно проверить, что \\Я^/2/\\що,1} = II/'IIl2[o,i]- О
2.2.11. Пример, (i) Дробное броуновское движение определя-
определяется как центрированный гауссовскии случайный процесс £а на
[О, Т] (где Т € @, сю]) с ковариационной функцией
*
K(s,t) = -—^ , а 6@,2].
(ii) Процесс Орнштейна-Уленбека £( на Т С К1 определяет-
определяется как центрированный гауссовскии процесс с ковариационной
функцией K(s,t) = e^ii-s'. Процесс Орнштейна-Уленбека мож-
можно выразить через винеровскии процесс посредством формулы
£г = e~t-we2t.
(iii) Броуновский мост — это процесс w® := Wt — tw\ на Т =
[0,1]. Его ковариационная функция имеет вид min(s, t) — st.
(iv) Винеровским полем называют центрированный гауссов-
гауссовскии процесс наГ= [0, l]d с ковариационной функцией
K(s,t) -
г=1
'■>(> Глава 2. Бесконечномерные распределения
Винеровское поле, введенное в [151], называют также полещ
Ченцова -Винера.
В случае, когда параметрическое множество Т случайного
процесса £ = (^t)te'r на полном вероятностном пространстве
(il.lF, Р) наделено какой-нибудь ст-алгеброй Т, можно ставить
вопрос об измеримости процесса по совокупности переменных;
Процесс £ называется измеримым, если функция (t,u>) н-> £,t(^}
измерима относительно сг-алгебры Т 0 Т. Следующий резуль-
тат покалывает, что гауссовский процесс с: траекториями из Lp
индуцирует гауешвекую меру на L1'.
2.2.12. Пример. Пусть (Т,Т,о) — пространство с мерой й|
£ ~ (ч/)/ь7 измеримый гауссовский процесс на Т. Предпо-:
ложим, что f \£(t,uj)\p o(dt) < оо для п.в. и), где р > 1. Тогда
г
формула
( ) () B.2.16)
задает гауссовскую меру на Lp(a). При этом /|£(/, -)|pCT(rii) G
т
V {Р) для всех ?• е [1, оо).
Доказательство. Пусть l/q + 1/p = 1. Напомним, что Lq(a) =
Lp(a)*. Покажем, что для всякого ф € Lq(o) функция
т
является гауссовской случайной величиной. Измеримость этой
функции проверяется с помощью теоремы Фубини. Пусть фп =
ф1,\„- А„ = {/: ф(гJ~\Е,£A,и)J < п}. Достаточно доказать утвер-
утверждение для фп вместо ф при всех п € IN. В этом случае г\ €
L2(P), ибо \\Фп^)^^)\\2121а(?)Р) < п. Обозначим через G зам-
замкнутое линейное подпространство в L'2(P), порожденное случай-
случайными величинами £(£, •), t G Т. Поскольку G состоит из гаус-
совских величин, то достаточно показать, что r\ € G. Пусть
Г1 = Щ + '12: где 7/2 .1 G. По теореме Фубини
Е77Г/2 = j\jz(t,u)rb(u)P(du)U)n(t)o<<dt) = О,
т п
откуда ?/2 = 0. Из доказанного вытекает, что правая часть
B.2.16) имеет смысл и задает гауссовскую меру на Lq(a). По-
Последнее утверждение вытекает из теоремы Ферника 2.6.4, докаг
зываемой ниже. U
l.'-\. Пространство Камерона Мартина
Тот факт, что интеграл от гауссовского процесса по параме-
параметрическому множеству дает гауссовскую случайную величину,
отмечался Т. Питчером [444] (в случае отрезка этот факт непо-
непосредственно вытекает из [63, теорема 2.8, с. 64]). Изложенное
пыше рассуждение предложил Н. Н. Вахания [29].
2.3. Пространство Камерона—Мартина
2.3.1. Лемма. Вектор li из X принадлежит пространству
Камерона-Мартина Н(р() в точности тогда, когда существу-
существует (j € X* с h = Rj(g). При этом |/t|#G) = H^Hl2^)-
Доказательство. Если |/&|яG) < °°' то по теореме Рисса най-
найдется такой элемент g € X*, что
для всех / €Е А'*, откуда h — Щ(у). Обратно, для каждого такого
//. имеем: |/г|яG) = 1Ь1к2G) < °o- □
Если /г. = R-уУ, то говорят, что элемент д ассоциирован с
вектором /(. или порожден 1г. В этом случае используется обо-
обозначение
■ h := д.
Из доказанной леммы видно, что если i?T(X*) С X, то
Я1(Х*). В этом случае Н(-у) с нормой |#7(/)|яG) = y/Ry(f)(f)
оказывается гильбертовым пространством, а отображение /?т —
изоморфизм между X* и
Если а7 = 0, то |Я
2.3.2. Предложение. Пусть 7 — гауссовская мера на локаль-
локально выпуклом пространстве X, у € X* Тогда мера и на X,
заданная, плотностью
g(x) =exp(f/(x) - 7,
относительно меры ^, — гауссовская мера, с преобразованием
Фурье
/ 1 \
B.3.17)
58 Глава 2. Бесконечномерные распределения
Доказательство. В силу гауссовости д, функция ехр \д\ ^
грируема по мере 7- Поэтому функция д задает конечную меру]
v. Пусть / € X*. Положим к — ехр га7(/) — \о{дJ . Рассмотри^
следующую функцию вещественного аргумента z:
ip(z) = к J exp[i(f(x) - а7(/) - гд[хЩ
х
х
Ввиду включения / — а7(/) — zg € X* имеем
A
[ia(/J - ±z2o(gJ + zR7(f)(g)j.
Остается заметить, что ip допускает голоморфное продолже-
продолжение в комплексную плоскость. По теореме Лебега ip(z) -> V(f)
при z —> i. С другой стороны, предел в правой части равенства,
выше совпадает с правой частью соотношения B.3.17). D
2.3.3. Следствие. Пусть -у — гауссовская мера на локально
выпуклом пространстве X. Тогда для всякого h € X, такого-
что h = FLf(g), где g G X*, меры 7 и 7ь = l{ • — h) эквивалент-
эквивалентны и соответствующая плотность Радона-Никодима дается
выражением
gh(x) = exp(g(x) - \\h\2H(l)). B.3.18)
Доказательство. Из формулы B.3.17) и равенства
f(h) = R7(g)(f), V/бГ,
вытекает, что преобразование Фурье меры v с плотностью Qh_
совпадает с преобразованием Фурье меры 7/1 ■ LJ
Отметим, что формула для плотности сдвига гауссовскои ме-
меры называется формулой Камерона-Мартина.
2.3.4. Лемма. Пусть 7 — гауссовская мера IR™. Тогда для
всякого h G i?T(IRn) имеем
2 - 2exp^--|/^/G)J < ||7 - 7/.II < 2^1 - ехр( -
где [[ • || — расстояние по вариации.
2.3. Пространство Камерона-Мартина 59
Доказательство. Ясно, что достаточно провести доказатель-
доказательство для невырожденных центрированных мер. В случае вы-
вырожденной меры следует перейти от всего пространства к ее
носителю и заметить, что для вектора h вне носителя справед-
справедливы равенства |Л.|#G) = оо и Ц7 — 7/1II = 2. Заметим, что любая
центрированная невырожденная гауссовская мера 7 на К" явля-
является образом стандартной гауссовской меры /л при некотором
обратимом линейном отображении Т и ■yTh — 7 = (м/i ~ И)°Т~1,
\Т1г\н(ч) ~ \Ь\н{ц)- Поэтому можно считать, что 7 — стандарт-
стандартная гауссовская мера на Жп. Более того, можно считать, что
вектор h пропорционален е\. Тогда все сводится к одномерно-
одномерному случаю, в котором приведенные оценки проверяются явным
образом с помощью предложения 2.9.10 (см. ниже). П
2.3.5. Теорема. Пусть 7 — гауссовская мера на локально вы-
выпуклом, пространстве X.
(i) Пусть вектор h G X таков, что
\h\H{l) = sup{/(/i): / G X*, i?7(/)(/) < l} = 00;
тогда меры 7/г и 7 взаимно сингулярны;
(ii) Если же |/i|#/7) < 00, то меры 7 и 7^ эквивалентны.
В частности,
ЯG) = {/г € X: 7/г ~ 7} =
= {/» G X: |/г|ДG) < ^} = X f| R^X;). B.3.19)
Доказательство, (i) Как легко проверить, для всякого непре-
непрерывного конечномерного линейного оператора Р и всякого h
справедливо соотношение
Из условия вытекает, что для всякого п найдется / € X* с
R1(f)(f) = 1 и /(/г) > п. Тогда мера 7 ° f~l имеет дисперсию 1.
Применяя лемму 2.3.4, получаем
откуда ||7/г — 7|| — 2, что равносильно взаимной сингулярности
(см. задачу 2.9.20). (ii) Как мы уже знаем, для всякого h с
К?1яG) < °° найдется g 6 X* с R-y(g) = h. Поэтому утверждение
(ii) вытекает из следствия 2.3.3. При этом получаем и соотно-
соотношение B.3.19). □
(it) Глава 2. Бесконечномерные распределения
2.3.6. Предложение. Пусть 7 — гауссовская мера на локаль-
локально выпуклом ■пространстве X. Тогда множество
UH ={heX: |Л.|я(т)<1}
слабо ограничено и слабо замкнуто в X. В частности, если X ■
секвенциально полно, то это множество слабо компактно, а
пространство Камерона-Мартина Н{^) с нормой | • \н(у) ■явля-
■является гильбертовым пространством, непрерывно вложенным в
•пространство X.
Доказательство. Пусть f e X*. Тогда
спи h = Tiy(g), g € А'}. Поэтому |/(/i)| < ||/ - я7(/IЬG) при
|/'i//(T) < Ь ибо в этом случае h = R7(g), где у € X* и
Пусть теперь h —- предельная точка UH в слабой топологии и
{ho} С U — направленность, слабо сходящаяся к /?, в X. То-
Тогда /(/,) - liui/(/iQ), и потому |/(/i)| < 1 при Ry(f){f) < 1.
Значит, /i € С/;/. Из доказанного вытекает непрерывность вло-
вложения Н("/) в X. В случае, когда А' секвенциально полно, H(j)
с нормой | • \н(у) также полно, а потому его слабо компактное
подмножество Uи слабо компактно в X. П
2.3.7. Теорема. Пусть 7 —■ центрированная гауссовская ме-
мера на локально выпуклом пространстве X. Тогда ее подпро-
подпространство Камерона-Мартина Н{~у) совпадает с пересечени-
пересечением, всех линейных подпространств полной j-меры (а также с
пе]>есечением всех линейных подпространств из £{Х) полной шу-
шумеры). При этом 7(ЯG)) = 0,' если X* бесконечномерно.
Доказательство. Пусть L — линейное подпространство пол-
полной меры, U. € H{^j). Тогда ^y(L — h) = 1, ибо меры 7 и 7л эквива-
эквивалентны в силу следствия 2.3.3. Следовательно, h € L. Обратно,
предположим, что h не входит в Н(^). Тогда |/t|#(T) = сю, и
потому можно выбрать элементы /?, € X* так, что ст(/п) = 1 и
./',.(/') > 7?. Поскольку
ос .. сю
/1=1 ^Л 71 = 1
'_'..'{. Пространство Камерона Мартина (Л
10 получаем линейное пространство
L = I х G X: ряд ]Р n~2fn{x) сходится >,
имеющее полную меру. По построению h не принадлежит L.
Наконец, если А* бесконечномерно, то найдется бесконечная
пронормированная последовательность {/„} С X*. .Легко ви-
видеть, что для каждого М > 0 множество
еЛ': sup|/«(.r)|<M}
имеет 7-меру нуль. Следовательно, множество
также имеет 7-мсру нуль. При этом оно содержит H(j), по-
поскольку fn(h) = (fn^у)L-ц-у) при h = R-fiy), у G А'*. □
2.3.8. Теорема. Пусть j — гауссовская мера на локально вы-
выпуклом пространстве X. Для всяких р G A,оо), г > р и всякой
функции, / G Lr(j) отображение
^"G), Л.-►/(■ +/О,
непрерывно. Если р = 1, то то же самое верно для функций
/€L°°G).
Доказательство. Этот ]эезультат следующим образом выво-
выводится из следствия 2.3.3. Для каждой цилиндрической функции /
вида /(.г) = ^(/i(.r),.. .,/п(:с)), где ^ G Сь(Шп) и /,- G X*, данное
отображение непрерывно по теореме Лебега. Пусть / G L1'(-)'),
где г > р. Существует последовательность {jj} цилиндрических
(функций указанного вида, сходящаяся к / в Lr(j). Найдутся та-
такие числа t и ,s, что / > 1, tp = r, t~l + ,ч~1 = 1. Заметим, что
соответствующий вектору h элемент h = R~4i G A'* — центри-
центрированная гауссовская случайная величина на (А', 7)- Поэтому
В силу следствия 2.3.3 и неравенства Гёльдера получаем
62 Глава 2. Бесконечномерные распределения
= I \f(z) - /,•(*) |*exp(h(z) - \\h\2H{l)) -y(dx) <
1 t{f(l2)}1 '
что стремится к нулю при j ->• оо равномерно по /г G #G) c
|'г1яG) — г ПРИ любом фиксированном г > 0. Следовательно,
отображение /г >->■/(•+ /г) непрерывно. В случае, когда р = 1
и / е L°°G), доказательство аналогично с той лишь разницей,
что последовательность {/j} надо брать сходящейся к / по мере
с sup |/jj < ll/llooi a вместо неравенства Гёльдера следует ис-
использовать теорему Лебега-Витали о равномерно интегрируе-
интегрируемых последовательностях. D
2.3.9. Следствие. Пусть 7 — гауссовская мера на локально
выпуклом пространстве и А — множество положительной 7-
меры. Тогда существует такое с > 0, что cUH С А — А, где
UH — замкнутый единичный шар в пространстве Н^)
Доказательство. Функция h \-> 'упА + h) П А] непрерывна по
теореме 2.3.8 и положительна в нуле. П
2.4. Законы 0—1
2.4.1. Теорема. Пусть 7 — гауссовская мера на локально вы-
выпуклом пространстве X, причем R~f{X*) С X. Предположим,
что множество A G £{ХI удовлетворяет условию
Тогда либо 'у(А) = 1, либо 'у(А) = 0. Кроме того, если / — та-
такая т-измеримая функция, что для каждого h € R7(X*) имеем
то f совпадает п.в. с некоторой постоянной.
2.4. Законы 0-1 63
Доказательство. Для упрощения обозначений предположим,
что а7 = 0. Пусть Ai = R-y{h),. ■ ■, hn = R7(ln), где k £ X*,
причем векторы hi ортонормированы в H(j). Ввиду условия и
формулы Камерона-Мартина, функция
F{h,..., in) = 7(А - tihi - ... - tnhn) =
A =i t=i
является константой. Значит, для всех наборов mi,...,mn не-
неотрицательных целых чисел, не равных нулю одновременно,
Ввиду ортонормированности hi, из леммы 1.3.2 (ш) получаем
j Hmi (h(x)) ■ ... ■ Нтп (ln(x)) /(x) i{dx) = 0,
X
где Л^ — fc-й полином Эрмита. Итак, функция 1а ортогональна
всем многочленам Я,П1 (h) • • • Нтп(/„), где пц не равны нулю од-
одновременно и k е X* взаимно ортогональны в X*. Это означает,
что 1л — постоянная. Такая постоянная может равняться лишь
0 или 1. Рассматривая множества {/ < с}, получаем утвержде-
утверждение для функций. □
Ясно, что достаточно потребовать выполнение условия тео-
теоремы 2.4.1 для всех векторов из Ry(Y), где линейное простран-
пространство Y плотно в X* с £2-нормой.
2.4.2. Следствие. Пусть мера 7 — гпа же, что и в теореме
2.4.1, а А — такое ^-измеримое множество, что
7
Тогда либо 7(А) = 1, либо ^{А) = 0.
Отметим, что в обоих утверждениях измеримость А + h вы-
вытекает автоматически из измеримости А, поскольку меры 7/» и
7 эквивалентны. Из доказательства легко усмотреть также сле-
следующий факт.
l>4 Г.'Тшм 2. Бесконечномерные распределения
2.4.3. Следствие. Если в теореме 2.4.1 пространство Я(/>)
сспарабельно и {с,,} — ортонормированпый базис в нем, а мно-
множество А. измеримое относительно меры 7. обладает, тем
свойством, что А + геп = А для всех рациональных у и всех
и € IN. то либо -у {А) = 0, либо "/(А) = 1.
Из теоремы 2.4.1 вытекает, что для всякого измеримого ли-
линейного- подпространства L в локально выпуклом пространстве
с гауссовской мерой 7 (удовлетворяющей условию теоремы 2.4.1)
имеет место альтернатива: либо *y(L) = 0, либо j(L) — 1. Сле-
Следующая теорема содержит ряд утверждений такого рода.
2.4.4. Теорема. Пусть ц — гауссовская мера на локально вы-
выпуклом пространстве X и R-f(X*) С X. Тогда
(i) если L — 'у-измеримое аффинное подпространство в X,
то либо ц(Ь) — 1, либо fi(L) = 0;
(и) если G — ^-измеримая аддитивная подгруппа, X, то либо
7(G) = 0, либо-fiG) = 1.
Доказательство. Утверждение (i) очевидным образом выте-
вытекает из сказанного выше, а для доказательства утверждения (ii)
достаточно проверить, что если -y(G) > 0, то G + H{^) = G. Дей-
Действительно, для всякого h € H(j), согласно доказанному выше,
существует такое п € IN, что n~lh, € G — G. Значит, h € G, т.е.
ЯG) С G. П
2.4.5. Следствие. Пусть 7 — центрированная, гауссовская,
мера на локально выпуклом пространстве X, R-f(X*) С X и
L — линейное подпространство в X. Тогда для всякого а $■ L
имеем
ъ(Ь + а.) =0,
где 7* — внутренняя мера.
Доказательство. Пусть В с L + а, В е £{Х). По лемме 2.1.3
линейная оболочка Lq множества В — о С L измерима относи-
относительно 7, а. в силу теоремы 2.4.4 множество Lq + а имеет меру
либо 0, либо 1. Последнее, однако, невозможно, ибо множество
Lq — а имеет равную с Lq + а меру (ввиду центрированности'7),
но не пересекается с Lq + а. Остается заметить, что В С Lq + a.
U
2.4.6. Теорема. Пусть 7 ~" гауссовская мера на локально вы-
выпуклом, пространстве X, имеющая среднее ау, a G аддитив-
аддитивная "/-измеримая подгруппа, X полной, меры,. Тогда, 2«7 € G и
ЯG) С G.
2.4. Законы 0-1 65
Доказательство. Пусть 70 = 7-а7- Тогда мера 7о симметрич-
симметрична,. i-РпЪтому
Следовательно, множество (—a1 + G)C\{a1 + G) непусто, что дает
первое утверждение. Для доказательства второго заметим, что
для всякого h £ ЯG) множество h — а7 + G имеет полную меру,
■л значит, множество (h — а7 + G) П (—а7 + G) непусто. U
Отметим, однако, что для линейных подпространств закон
0-1 справедлив и без предположения о том, что R* С X (см.
задачу 2.9.19).
2.4.7. Определение. Пусть (Q,B,P) — вероятностное про-
пространство и Т — метрическое пространство. Случайный про-
процесс £(t,u)), t £ Т, и) G О,, называется сепарабельным, если суще-
существуют такие не более чем счетное множество Tq С Т, назы-
называемое сепарантой процесса, и множество Qq С Q с Р(С1о) = 1?
что для всякого открытого множества U С Т и всякого за-
замкнутого множества Z С Ж1 выполняется равенство
{со е п0: £(t,u)) e z, w е и} = {и е п0-. £(t,u>) e z, vt е ипт0}.
Пусть / — функция, заданная на пространстве Т, наделен-
наделенном метрикой (или полуметрикой) d. Колебанием (осцилляцией)
функции / в точке х называется величина (возможно, равная
бесконечности)
af{x) = lim sup \f(t)-f(s)\,
°->0+ t,s£K(x,8)
где Л'(ж, 5) обозначает шар в Т радиуса 5 с центром в х.
Аналогичным образом определяется колебание функции на
множестве То С Т:
af(T)= lim [ sup \f(t)-f(s)\}.
Легко проверить, что функция на метрическом пространстве
непрерывна в точке в точности тогда, когда ее колебание в этой
точке равно нулю.
В случае, когда функция / является случайной, ее колеба-
колебание при каждом фиксированном х или То также оказывается
функцией на вероятностном пространстве, и возникает вопрос
об измеримости такой функции. Простое достаточное условие
измеримости содержится в следующей лемме.
3 В.И. Богачев
66 Глава 2. Бесконечномерные распределения
2.4.8. Лемма. Пусть Т — сепарабелъное метрическое проспи
ранство и £ — сепарабельный случайный процесс на Т. Тогдц
функции
)
измеримы для всякого х и всякого открытого множества То.
Доказательство. Пусть S с Т — счетная сепаранта процесса
£, Достаточно заметить, что по определению сепаранты
sup &И= sup £H, inf &М= inf,• &М,
teKx,6) tGKx,5)nS t&Kx,S) t£Kx,6)nS
причем функции, определяемые правыми частями этих равенств^
измеримы в силу счетности S. □
Для гауссовских процессов колебания оказываются неслучай-
неслучайными. Этот удивительный факт, открытый К. Ито и М. Ни-,
сио [334] (и в приводимом здесь более общем виде доказанный в
[338]), непосредственно связан с законом 0-1.
2.4.9. Теорема. Пусть (Т,д) — сепарабелъное метрическое
пространство и £ = (&)ter — центрированный сепарабельный
гауссовский случайный процесс с непрерывной ковариационной
функцией
Тогда существует такая неслучайная функция а на Т, что с,
вероятностью единица для всех t
a(*) = limsup{|6,M-6,(w)|, u,v€K(t,e)}.
При этом
ton sup & (w) = & + -a(i) B.4.20)
liminf &(w) = &(w) - \a(t). B.4.21)
Доказательство. Можно считать, что ковариационная функ-
функция равномерно непрерывна, перейдя к метрике go(s, t) = g(s^ t) +
i/IE|£s — £t|2, задающей ту же самую топологию. Пусть S = {sj}
— счетная сепаранта процесса. Кроме того, можно считать,
что вероятностное пространство — это ШТ, наделенное мерой
7, индуцированной процессом. Тогда сам процесс имеет вид
£t(w) = bj(t). Как отмечалось выше, сопряженное к Шт совпада-
совпадает с линейной оболочкой функционалов fjt. Поэтому А7(/) € IR-T
2.4. Законы 0-1 67
для всех / 6 (Шт)*. Кроме того, из равномерной непрерывности
ковариационной функции вытекает равномерная непрерывность
функции h = R-y(f). Действительно, в противном случае для
некоторого е > 0 найдется последовательность таких пар ап,
Ьп е Т, что h(bn) - h{an) > е и Е|£Ьп - &J2 < 2~п. Тогда функ-
функционалы х \-ь t2?=ilx{bi) — х{п{)} равномерно ограничены в X*,
но стремятся к бесконечности на элементе h, что противоречит
•включению h G Я G). Пусть F замкнуто в Т. Для равномерно
непрерывной функции h, как легко видеть, имеем
a(F,u + h) = a(F,u).
По теореме 2.4.1 функция a(F, ш) совпадает почти наверное с по-
постоянной a(F). Пусть Q — счетное семейство открытых шаров
с рациональными радиусами и центрами в точках счетного всю-
всюду плотного множества в (Т, д). Из сепарабельности процесса
вытекает, что для каждого t G Т можно найти такую последо-
последовательность шаров Vj из Q, что Vj+i cVj,t = ^JL\Vj и
a(t,u) = lim a(Vj,u),
j-¥O0
Из этого вытекает первое утверждение. Следовательно, для вся-
всякого фиксированного t G Т случайная величина
щ ■= Hmsup[£s -£t]
t
вырождена. В силу симметричности распределения процесса,
случайная величина limsup[—£s + £t] также вырождена и п.в. со-
t
впадает с щ. Остается заметить, что сумма этих случайных
величин дает a(t,u). Иное доказательство см. в [85], [133]. D
Наконец, покажем, что сепарабельность процесса может быть
достигнута за счет выбора модификации процесса с сепарабель-
ным воспроизводящим ядром.
2.4.10. Предложение. Пусть £t — центрированный гауссов-
гауссовский случайный процесс на множестве Т. Предположим, что
Т с полуметрикой d(t, s) = а/Е|^ — £s|2 сепарабельно. Тогда на
том же вероятностном пространстве существует такой се-
парабельный центрированный гауссовский случайный процесс щ
на Т, что £t = Vt п-н. для всякого t.
Доказательство. Выберем счетное множество S = {sj}, плот-
плотное в Т относительно полуметрики d. Можно считать, что d
68 Глава 2. Бесконечномерные распределения
разделяет элементы S. Для всякого п £ IN и всякого jt £ IN
положим
, n) = S(Si) 2"") П [T\ {JB(su 2~n)} ■
ij
Семейство {A(j, n)}, j £ IN, — разбиение Т. Для каждого такого
разбиения рассмотрим гауссовскии случайный процесс £"(£) =
(j,п). Поскольку величины ^/Е|£" — £t|2 не превос-
превосходят 2~п, то ряд J2^=i ^(|СГ ~ Ct| > l/n) мажорируется сходя-
сходящимся рядом с общим членом п22~2п. Поэтому.для каждого t
с вероятностью 1 последовательность £" сходится к £t. Теперь
положим r/t = limsup,,^,^ £". Ясно, что получилась модифика-
модификация ^. Поскольку d разделяет точки Sj, то г/,, = £s при s G 5.
Проверку сепарабельности построенной версии оставляем в ка-
качестве задачи 2.9.32. U
2.5. Эквивалентность и сингулярность
2.5.1. Лемма. Пусть \х — гауссовская мера на локально вы-
выпуклом пространстве X, А Е £{Х) и ц(А) > 0. Если мера
v — 1дц/ц{А) — гауссовская, то /л(А) = 1.
Доказательство. Согласно примеру 2.2.7, эта лемма сводится
к случаю X = ШТ', в котором, как мы знаем, имеет место ра-
равенство ■ Rfl(Xp) С А". Пусть h £ Н(р). Для достаточно маль{х
t, согласно теореме 2.3.8, имеем ц(А П (А + thU > 0. Поэтому
меры v и uth не являются взаимно сингулярными. Действитель-
Действительно, в противном случае нашлось бы такое подмножество В С А,
что v{B) = 1 и vth{B) = 0. По определению это означает, что
ц(В) = /л(А) H/j(in(B- tfi)) = 0. Тогда /л ((А + th) П Б)) = 0,
ибо h € Н(ц). Поэтому ц(А П (А + th)) =0 — противоречие.
Следовательно, h 6 Шу) и потому щ^ <С //. Это означает, что
l.dA\(A + th)j = 0. Применяя следствие 2.4.2, получаем доказы-
доказываемое утверждение. О
Следующая теорема Гаека и Фельдмана является одной из
центральных в теории гауссовских мер.
2.5.2. Теорема. Любые две гауссовские меры на одном и том
же .локально выпуклом пространстве либ^о эквивалентны, либо
взаимно сингулярны.
2.5. Эквивалентность и сингулярность 69
Доказательство. Пусть \xviv — две гауссовские меры. Тогда
ц = /ii + д2, где /Li2 взаимно сингулярна с v и \х\ = /л\д <С v для
некоторого A £ £(Х). Воспользуемся рассмотренными выше в
теореме 2.1.16 отображениями TVtx и введенным там обозначе-
обозначением /и3. Легко проверить, что ц\ <С v3, а мера (/и3 — /л3) взаимно
сингулярна с гА Отметим, что отображение Т^д сохраняет оба
этих свойства и
Т/ 3\ 3 n-i /3\ ,,3
*>,x(/Li ) =/Li , T^x^ ) = ^ ■
Следовательно,
Если ц{А) > 0, то по теореме 2.1.16 мера т/ц{А) — гауссов-
ская. В силу леммы 2.5.1 эта мера совпадает с ц, что влечет
соотношение ц <С v. Если /л(А) = 0, то ц и и взаимно сингу-
сингулярны. Наконец, заметим, что если ц и и не являются взаимно
сингулярными, то в силу тех же рассуждений и <С ц и потому
эти меры эквивалентны. О
Доказанная теорема не дает никакого конструктивного спо-
способа, чтобы установить, какой из двух случаев имеет место. Ко-
Количественные критерии эквивалентности гауссовских мер будут
получены в главе 6 в контексте абсолютно непрерывных линей-
линейных отображений. Здесь мы приведем лишь несколько общих
соображений в этом направлении.
2.5.3. Предложение. Пусть ц и v — гауссовские меры на ло-
локально выпуклом пространстве X.
(i) Если-у, ~ и, то Н(/л) = Н{у).
(ii) Если /j. и v — центрированные меры и /и, _1_ и, то \ia _L щ
для любых а, Ь € X.
(in) Если ц и и — центрированные меры и ц ~ и, то X* = X*.
Доказательство, (i) Пусть h € #(/и). Тогда Vh ~ цы ~ М ~ v,
откуда h G Н{у). Точно так же получаем H(v) С Н(ц).
(ii) Общий случай очевидным образом сводится к случаю, ко-
когда 6 = 0. Если a G Н(ц), то ца ~ ц, откуда ца _1_ и. Если же
а $ Н(/л), то в силу теоремы 2.3.7 существует линейное про-
пространство L Е £(Х) с /л(Ь) = 1 и a g L. Тогда /ла(Ь + а) — 1. С
другой стороны, v(L + а) = 0 в силу следствия 2.4.5.
(Hi) Эквивалентные меры обладают одинаковыми запасами
измеримых функций, а также сходящихся по мере последова-
последовательностей измеримых функций. Если последовательность {/„}
70 Глава 2. Бесконечномерные распределения
из X* сходится в L2(/j,), то она сходится по мере /л, а тогда и по
мере v, откуда вытекает сходимость в L2(u) ввиду гауссовости
мер. Поменяв ц и v местами, получаем требуемое. П
В конечномерном случае любые две гауссовские меры с пол-
полным носителем эквивалентны. В бесконечной размерности ситу-
ситуация совершенно другая.
2.5.4. Пример. Пусть 7 — центрированная гауссовская мера
на локально выпуклом пространстве X. Если dim (X*) = оо, то
для любых действительных чисел г и q с\г\ф \q\ меры Y{A) =
j(гА) и Jq(A) = j(qA) взаимно сингулярны.
Доказательство. Пусть {£„} — ортонормированная последо-
последовательность в X*. Положим Sn — п J27=i£i- В силу гауссов-
ского свойства £п независимы. Согласно лемме 2.5.5, приводимой
ниже, Sn —> г п.в. относительно 7Г, Sn —>■ q~2 п.в. относитель-
относительно 717- Таким образом, эти две меры взаимно сингулярны. П
Доказательство следующего классического результата (зако-
(закона больших чисел) можно найти в [157, теорема 1, с. 415].
2.5.5. Лемма. Пусть £„ — последовательность независимых .
центрированных гауссовских случайных величин с дисперсией
d2. Тогда
n
г=1
Отметим, что эта лемма означает, что произведение 7 стан-
стандартных одномерных гауссовских мер сосредоточено на поверх-
поверхности „эллипсоида". По этому поводу см. [325].
2.5.6. Пример. Пусть {ап} и {(Зп} — две последовательности
положительных чисел, ц — счетное произведение гауссовских
мер на прямой с плотностями р( ■, 0, о?п), v — счетное произведе-
произведение гауссовских мер на прямой с плотностями р( ■, 0, C^). Меры
/.( и v эквивалентны в точности тогда, когда сходится произве-
произведение
что равносильно условию
71=1
2.5. Эквивалентность и сингулярность 71
Доказательство. Это утверждение непосредственно вытека-
вытекает из более общей теоремы Какутани, приведенной ниже. Для
применения этой теоремы заметим, что
Положим вп = ап/'(Зп и заметим, что сходимость произведения
-■ . да равносильна сходимости ряда 2Jn=1 I l , ,
что, в свою очередь, равносильно сходимости ряда ^2<^Li(en
равносильна сходимости ряда 2Jn=1 I l ~ й2
(en — l)
□
Сохраняя обозначения примера 2.5.4, положим
1 " 1
: lim -Ytf{x) =c\, с € Ж1.
n-чоо п ~С J
Поскольку множество Е\ имеет полную меру, то j(Ec) = 0, если
\с\ ф 1. Следовательно, отображение х н-> еж переводит некото-
некоторые измеримые множества в неизмеримые. Похожий эффект на-
наблюдается в следующем удивительном примере, обнаруженном
Р. Камероном и Р. Мартином [233].
2.5.7. Пример. Пусть /: @, оо) —> @,1) — произвольная фун-
функция. Тогда существует ^-измеримое множество Е С X та-
такое, что сЕ измеримо для всякого с > 0 и
7(сЕ) = /(с), Vc>0.
Доказательство. Пусть г: Ш.1 ->■ Ш.1 — произвольная функ-
функция. Положим
At =
Ясно, что cAt = Act. Пусть Е = Utem.1 (^r(t) П-БД Заметим, что
сЕ = U ^cAp(t) П cEt J = U (^cr(t) П
Поэтому сЕ есть объединение измеримого множества Асг,с-2\ П
-Б) и подмножества множества Х\Е\, имеющего меру нуль. Та-
Таким образом, множество сЕ измеримо относительно 7 и
оо
li.cE) = 7(Асг(с-2)) = -= J exp(--s2) ds.
cr{c-2)
72 Глава 2. Бесконечномерные распределения
Остается выбрать функцию г так, чтобы 1 — ф(сг(с~2)) = /(с)
при всех с > 0. Очевидно, что это возможно. СП
2.6. Измеримые полунормы
2.6.1. Определение. Пусть 7 — гауссовская мера на локаль-
локально выпуклом пространстве X. Измеримая относительно £{ХO
функция q называется £{ХI -измеримой полунормой, если су-
существует такое £(Х)у-измеримое линейное подпространство
Хо С X, что 7(-^о) = 1 и q на Хо — полунорма в обычном
смысле.
Ясно, что £(.ХO-измеримая полунорма может быть переопре-
переопределена на множестве 7-меры нуль так, что она станет полунор-
полунормой в обычном смысле на всем пространстве. Действительно,
пусть Y — алгебраическое дополнение к Xq в X. Положим
Чо(х + У) := ч(х) ПРИ х £ -^(Ь У £ Y- Тогда до обладает тре-
требуемыми свойствами.
2.6.2. Пример. Пусть последовательность {/„} С X* такова,
что q(x) = supn |/n(^)| < °° почти всюду относительно гауссов-
ской меры 7 на локально выпуклом пространстве X. Тогда q —
^(ХO-измеримая полунорма.
Доказательство. Пусть Хо = {х: q(x) < 00}. В силу задачи
А.3.32 Дополнения множество Хо измеримо относительно £(Х).
При этом оно является линейным пространством полной меры,
на котором q — полунорма. Измеримость q очевидна. СП
2.6.3. Теорема. Пусть 7 — гауссовская мера на локально вы-
выпуклом пространстве X и q — £(XO-измеримая полунорма на
X. Тогда ограничение q на пространство Н{^) с нормой \ ■ \н(у)
непрерывно.
Доказательство. Множество Vn = {x: q(x) < n} для некото-
некоторого п € IN имеет положительную меру. Согласно следствию
2.3.9, для достаточно малого положительного числа г множество
Vn — Vn содержит шар радиуса г из Н(^). Поэтому полунорма
q ограничена на единичном шаре Н(^), что равносильно непре-
непрерывности q. □
Следующий результат об экспоненциальной интегрируемо-
интегрируемости полунорм — знаменитая теорема К. Ферника.
2.6. Измеримые полунормы 73
2.6.4. Теорема. Пусть -f — центрированная гауссовская ме-
мера на локально выпуклом пространстве X и q — £{ХI-измери-.
мая полунорма. Выберем т так, что с = 7(9 < т) > 1/2. Поло-
1 с
жим а = In , если с < 1. Тогда
24tz 1-е
I expfag2 j d~f < 1(т, с) < oo,
J
где 1(т,с) зависит лишь от т и с. Если с = 1, mo q € L00^).
Доказательство. Пусть т, t — произвольные числа. В силу
предложения 2.1.14 и формулы замены переменных (см. формулу
(А.3.2) Дополнения) имеем
7(9 < T)l{4 > t) = I / -y(dx)-y(dy) =
>q(x)<T,q{y)>t
,, t —т . . t — т fu-v\ fu + v\
ибо q(u) > -д. и g(w) > -^ при ^-^j < r, g^J > t,
поскольку g — полунорма и потому
q{u + v) - q(u -v)
q(u) > ^ ;-^ L, Vu, v.
Таким образом, справедливо следующее неравенство, играю-
играющее основную роль в доказательстве:
7(9 < rh(q > t) < 7 9 > -тН • B-6.23)
V ч v2 ' J
Поскольку q < oo почти всюду, то найдется такое неотрицатель-
неотрицательное число г, что с := 7(9 < т) > 1/2. Тогда
7(9 <
74 Глава 2. Бесконечномерные распределения
Будем предполагать, что с < 1, поскольку в случае с = 1 дока
зываемое утверждение очевидно. Положим
tn = T + in_i\/2, to = r, n€lN.
Непосредственно проверяется равенство
tn = r(l + v/2) ((\/2)n+1 - l). B.6.24)
Зададим числа рп, п € IN, с помощью соотношений
7(g > *„) = ср„. B.6.25)
Применяя оценку B.6.23) к паре (т, tn), получаем
Pn<pl-v B.6.26)
Последовательно применяя соотношения B.6.25) и B.6.26), при-
приходим к неравенству
Выберем теперь а следующим образом:
С учетом B.6.24) окончательно получаем
ехр(aq J dj <
/ ехр (ag2) d1 + ^ ^
п=о
оо
2)
< сехр(аг2) +
п=0
00 1 г\ 2"
)
1 г\ 2" г
< сехр(сгг2) + 53 с( ) ехр[4ат2A
п=0
ОО / 1 ч
= сехр(ат2) + с ]Г expf 2" [in —— + 4ат2A + \/2J] J < оо,
ибо 4A + лДJ < 24. П
В отличие от конечномерного случая измеримая полунорма
на пространстве с центрированной гауссовскои мерой может со-
совпадать почти всюду с ненулевой постоянной.
2.6. Измеримые полунормы ■ 75
2.6.5. Пример. Пусть 7 — счетное произведение стандарт-
стандартных гауссовских мер на прямой, рассматриваемое на Ш.°°. Поло-
1 Iе)
жим qn(x) — (- Ya=i xf) ■ Тогда q = Urn sup Qn — 7-измеримая
полунорма, причем q = 1 почти всюду.
Доказательство. В силу закона больших чисел имеем qn —>■ 1
почти всюду. Множество L = {х: limsupgn(x) < 00} является
п—юо
линейным подпространством, поскольку каждая из функций qn
— полунорма. При этом q — полунорма на этом пространстве.
Измеримость L и q очевидна. П
2.6.6. Лемма. Пусть С — цилиндр в локально выпуклом про-
пространстве X, имеющий компактное основание. Тогда для вся-
всякого непрерывного линейного оператора Т: X —> JRd множество
Т(С) замкнуто.
Доказательство. Пусть С = Р~1(К), где К — компакт в Ш,"
и Р: X —> Ж™ — непрерывное линейное отображение. Без ущер-
ущерба для общности можно считать, что Шп = Р(Х). В этом слу-
случае существует n-мерное линейное подпространство Y С X, ал-
алгебраически дополняющее КегР. Отображение Р осуществля-
осуществляет алгебраический, а значит, и топологический изоморфизм ко-
конечномерных пространств Y и Ш™. Поэтому множество Q =
Y П Р~ (К) компактно в X. При этом С = Q + Кег Р. Остается
заметить, чтоТ(<5) —компакт и потому Т(С) = Т'(Q)+T'(Ker P)
— замкнутое множество. П
Отметим, что конечномерная проекция цилиндрического мно-
множества не обязана быть борелевским множеством (даже для мно-
множеств на плоскости).
2.6.7. Лемма. Пусть X — локально выпуклое пространство
и \х — мера на £{Х). Тогда для всякого выпуклого ^.-измеримого
множества А и всякого е > 0 найдется такое выпуклое ци-
цилиндрическое множество Се с компактным основанием, что
/л(А Л Се) < е. Если А абсолютно выпукло, то и С6 можно
выбрать с таким свойством.
Доказательство. По определению существует такое множе-
множество В € £{Х), что В С А и ц(В) = /л(А). По лемме 2.1.4
можно считать, что В имеет вид В — UnBn, где Вп = f~l(Kn),
причем Кп — компакты в Щ°° и /: X —>■ П1°° имеет вид / = (/,•),
fj G X*.
76 Глава 2. Бесконечномерные распределения
Кроме того, найдется такое цилиндрическое множество Ае,
содержащее А, что /л(Ае) — ц(А) < е. Пусть А£ имеет вид
где Р: X —>■ IR — непрерывное линейное отображение.
В силу выпуклости А имеем conv .В С А. Согласно лемме
2.6.6, множества Р(Вп) замкнуты в Ш, . Поэтому выпуклая обо-
оболочка их объединения — борелевское множество. Это означает,
что
E:=P{convB) eBARd).
При этом Е выпукло и В С Р~1(Е) С Ае, поскольку Е С Р(А) С
Р(Ае). Таким образом, мы приблизили А выпуклым цилиндриче-
цилиндрическим множеством Р~1(Е) с точностью до е по мере ц. Осталось
заметить, что в Е найдется компакт К с [юР~1(Е\К) < е. По-
Поскольку conv К — выпуклый компакт в Е (ибо Е — выпуклое
множество в IRd), то цилиндр С£ := Р~г(convК) приближает А
с точностью до 2е. Для абсолютно выпуклых множеств рассу-
рассуждения аналогичны. LJ
2.6.8. Теорема. Пусть j — центрированная гауссовская ме-
мера на локально выпуклом пространстве X и А & £(ХI — аб-
абсолютно выпуклое множество. Тогда для всякого а & X спра-
справедливо неравенство "f(A + а) < j(A).
Доказательство. Применяя лемму 2.6.7 к мере 7 + 7-а и поль-
пользуясь конечномерным неравенством Андерсона, получаем дока-
доказываемую оценку. □
2.6.9. Следствие. Пусть j — центрированная гауссовская
мера на локально выпуклом пространстве X. Тогда для вся-
всякой ^-измеримой выпуклой симметричной функции / имеем
f f(x)j{dx) < f f(x + a)-y(dx), УаеХ.
В частности, это верно для всякой £{ХI-измеримой полунор-
полунормы /.
Доказательство. Применимы те же рассуждения, что и в ко-
конечномерном случае. □
В главе 4 будет показано, что всякая 7-измеримая полунорма
на локально выпуклом пространстве X с центрированной гаус-
совской мерой -у п.в. совпадает с функцией вида
q(x) = sup[/n(x) + an], /„ € X*, ап > 0.
2,7. Измеримые линейные функционалы 77
2.7. Измеримые
линейные функционалы
2.7.1. Определение. Пусть у — гауссовская мера на локаль-
локально выпуклом пространстве X. Функция f на X называется
измеримым линейным функционалом на (Х,у), если существу-
существуют такие линейное подпространство L полной у-меры и у-
измеримая линейная функция /о на L, что / = /о у-п.в. Поня-
Понятие у-измеримой аффинной функции определяется аналогично.
Отметим, что всегда можно переопределить 7"измеримый
линейный функционал /: X —>■ М1 таким образом, что /о ста-
станет линейным на всем пространстве X. В самом деле, исполь-
используя базис Гамеля в X, можно продолжить /о до линейной функ-
функции на X. Понятно, что все такие продолжения являются у-
эквивалентными функциями.
Ясно, что модуль измеримого линейного функционала явля-
является измеримой полунормой. Рассмотрим следующий поучитель-
поучительный пример.
2.7.2. Пример. Пусть у — счетное произведение стандарт-
стандартных гауссовских мер на прямой, X = Ш°°. Тогда для любого
(сп) € I ряд Y^n cnxn сходится 7-п.в. и потому определяет изме-
измеримый линейный функционал на X. Однако лишь для финитной
последовательности этот функционал непрерывен.
Следующий важный результат — непосредственное следствие
теоремы 2.6.3.
2.7.3. Теорема. Пусть у — гауссовская мера на локально вы-
выпуклом пространстве X и I — у-измеримая собственно линей-
линейная функция на X. Тогда ограничение I на пространство Н(у)
с нормой | • \н(у) непрерывно. .
Необходимость оговорки, что речь идет о собственно линей-
линейных функциях, видна из того факта, что в типичных (бесконеч-
(бесконечномерных) случаях Н(у) имеет 7-меру нуль и потому на этом
множестве измеримые функции можно переопределять произ-
произвольным образом. Весьма примечательно и нетривиально, что
(как мы увидим ниже) собственно линейные 7-измеримые функ-
функции однозначно определяются своими сужениями на множество
Н(у). С другой стороны, мы увидим, что в бесконечномерном
случае существуют линейные функции, не являющиеся измери-
измеримыми относительно гауссовских мер.
78 Глава 2. Бесконечномерные распределения
2.7.4. Лемма. Пусть 7 — центрированная гауссовская мера
на локально выпуклом пространстве X и / 6 X* — собственно
линейная функция, для которой Ryf € Х.щ Тогда
= I f{x)h(xO(dx), У/1€ЯG). B.7.28)
Доказательство. Второе из равенств в B.7.28) выполняется
по определению Я G). Для доказательства первого равенства
возьмем последовательность {/„} С X*, сходящуюся к / в 2
Пусть h = R^k € X*, k € X*. По определению имеем k = h и
= J fn{x)k{xI{dx).
Правая часть этой формулы стремится к правой части дока-
доказываемого равенства. Переходя к подпоследовательности, мож-
можно считать, что /п —> / почти всюду. Поскольку множество
Xq = {x: f(x) = lim fn{x)} — линейное подпространство, то по
теореме 2.3.7 оно содержит H(j). Значит, fn(h) —> f(h) для всех
h е ЯG). D
2.7.5. Следствие. Пусть 7 — центрированная гауссовская
мера на локально выпуклом пространстве X. Если последова-
последовательность 'у-измеримых собственно линейных функций fn схо-
сходится к нулю по мере 7, то непрерывные линейные функционалы
/п|яG) сходятся к нулю по норме H(j)*.
2.7.6. Теорема. Пусть 7 — гауссовская мера на локально вы-
выпуклом пространстве X, a f ug — т-измеримые линейные функ-
функционалы. Тогда они либо почти всюду различны, либо почти
всюду совпадают. Если 7 — центрированная мера с R1{X*) С
X, а / и g собственно линейны, то вторая из указанных двух
возможностей осуществляется в точности тогда, когда j — g
на ЯG).
Доказательство. Можно считать, что / и g собственно ли-
линейны. Тогда множество L = {/ = д} — измеримое линейное
пространство. В силу закона 0-1, либо y(L) = 0, либо y(L) = 1.
В последнем случае ЯG) С L согласно теореме 2.3.7. Последнее
утверждение вытекает из теоремы 2.4.4. О
2.7.7. Следствие. Пусть 7 — центрированная гауссовская
мера на локально выпуклом пространстве X, причем R-/(X*) С
X. Если 'у-измеримая линейная функция I равна нулю на некото-
некотором плотном подмножестве пространства ЯG) (наделенного
нормой | • |я(ч))> то I = 0 у-почти всюду.
2.7. Измеримые линейные функционалы 79
Доказательство. Вытекает непосредственно из теорем 2.7.3 и
2.7.6. □
2.7.8. Теорема. Пусть 7 — центрированная гауссовская ме-
мера на локально выпуклом пространстве X, причем R^(X*) С X.
Тогда следующие условия равносильны:
(i) / — ^-измеримый линейный функционал;
(и) / € X*;
(iii) существует последовательность {/„} С X*, сходящаяся
к f по мере.
Доказательство. Ясно, что условие (и) влечет (iii). Пусть
{/„} С X* сходится к / по мере. Существует подпоследователь-
подпоследовательность {/п} (обозначаемая тем же символом), которая сходится к
/ 7-п.в. Обозначим через L множество таких х € X, что суще-
существует lim fn(x). Тогда L — линейное подпространство полной
п—юо
7-меры. Определим /о на L посредством
Таким образом, из (iii) вытекает (i).
Предположим теперь, что / — измеримый линейный функ-
функционал на (X,j). Будем считать с самого начала, что / = /о,
где /о — линейный функционал из определения 2.7.1. По теоре-
теореме Ферника имеем / € L2(y). По теореме 2.7.3 функционал /
непрерывен на гильбертовом пространстве Н G). Выберем ор-
тонормированный базис {еа} в Н(у) и обозначим через {еп} ту
его не более чем счетную часть, на которой / отличен от нуля.
Пусть еп = Щкп, kn € X*. Векторы £п образуют ортонормиро-
ванную последовательность в X*, и потому определен элемент
п=1
При этом / — g на H(j), ибо для всех е € {eQ}, не входящих
в {е„}, по лемме 2.7.4 имеем кп(е) = (еп,е)н/1\ = 0. Согласно
теореме 2.7.6 / = g почти всюду по мере 7- П
Аналогичный результат справедлив для измермых аффинных
функций д, поскольку д = / + с, где / — измеримая линейная
функция и с € ГО.1.
80 Глава 2. Бесконечномерные распределения
2.7.9. Следствие. Пусть j — центрированная гауссовская
мера на X. Всякий ^-измеримый линейный функционал / на
X представляет собой центрированную гауссовскую случайную
величину с дисперсией \\/\\2ц2/ у
2.7.10. Следствие. Пусть 7 — центрированная гауссовская
мера на локально выпуклом пространстве X с сепарабельным
пространством X*. Тогда существует ортонор мир о ванный ба-
зис {£п} о X*, состоящий из элементов X*. При этом, для вся-
всякого ^-измеримого линейного функционала I имеется такая по-
последовательность (с„) € I2, что
2.7.11. Теорема. Пусть 7 — центрированная гауссовская ме-
мера на локально выпуклом пространстве X, причем R-y(X*) С X.
Тогда для всякого непрерывного линейного функционала I на
гильбертовом пространстве H(-f) существует единственный
(с точностью до эквивалентности) измеримый линейный функ-
функционал Iq на X, который совпадает с I на Н(^). При этом
Доказательство. Возьмем произвольный ортонормированный
базис {еа} в H(j) и обозначим через {еп} ту его не более чем
счетную часть, на которой I отличен от нуля. Пусть еп = R-y^n-,
где £п € X*. При этом будем считать, что в качестве £п выбраны
собственно линейные версии. Векторы £п образуют ортонорми-
рованную последовательность в гильбертовом пространстве X*.
Положим с„ = 1(еп). Тогда (с„) € I2. Следовательно, получаем
измеримый линейный функционал
п=\
Поскольку £n(efc) = 5nk, то k(en) = cn = 1{еп). Кроме того,
для всякого элемента е € {еа} с е = Щк, где к € X* имеем
к)(еа) = 0, ибо ^п(е) = (еп,к)н^ = 0 по лемме 2.7.4. □
2.7.12. Следствие. Пусть выполнены условия теоремы 2.7.11
и {/п} — последовательность "f-измеримых л'анейных функций.
Тогда следующие условия равносильны:
2.7. Измеримые линейные функционалы 81
(i) /п-ЮвГ2G);
(ii) fn —> 0 no мере;
(iii) /n|# —> 0 no норме Н*.
Кроме того, для выполнения любого из этих условий достаточ-
достаточно, чтобы fn —> 0 на множестве положительной меры.
Доказательство. Из (i) очевидным образом вытекает (ii). Ес-
Если выполнено условие (ii), то /„ € X* — центрированные гаус-
совские случайные величины. Поэтому из их сходимости к нулю
по мере вытекает сходимость в L2(-y). Из леммы 2.7.4 получаем
(iii). Эта же лемма дает импликацию (iii) =4> (i). Наконец, из
сходимости fn к нулю на множестве положительной меры в силу
закона 0-1 вытекает сходимость почти всюду, ибо множество
сходимости — измеримое линейное подпространство. LJ
Результаты этого раздела показывают, что для центрирован-
центрированной гауесовекой меры 'у. удовлетворяющей условию R-y(X*) С X,
пространство Камерона-Мартина Н(~/) естественно изоморфно
сопряженному к X* в том смысле, что непрерывные линейные
функционалы на X* имеют вид / ь-> lo(h), где h 6 Hi^y) и 1$ —
собственно линейная модификация /. При этом отождествлении
норма измеримого линейного функционала в L2{y) равна норме
сужения его собственно линейной версии на гильбертово про-
пространство H(j).
Рассмотрим теперь измеримые линейные функционалы на
винеровском пространстве (С[0,1], Pw). Напомним, что для вся-
всякой функции <р € L2[0,1] стохастический интеграл Пэли-Винера-
Зигмунда
= Г
Jo
по винеровскому процессу wt определяется следующим образом.
Если ip — ступенчатая функция вида
п
<p(t) = J2 сг1[и,и+1], h = 0<t2<...< tn+1 = 1,
то полагаем
]
= / <p(t) dwt := /J
{
82 Глава 2. Бесконечномерные распределения
Ясно, что Jtp — гауссовская случайная величина с нулевым сред-
средним и дисперсией
Следовательно, J обладает единственным продолжением до изо-
метрии из L2[0,1] в подпространство в L2(PW), образованное
центрированными гауссовскими случайными величинами. От-
Отметим, что стохастический интеграл Пэли-Винера-Зигмунда не
может быть определен как интеграл Стильтьеса, поскольку тра-
траектории wt почти наверное имеют неограниченную вариацию.
Однако если выбрать (С[0,1},PW) в качестве вероятностного
пространства для wt, то Jip будет измеримым линейным функ-
функционалом. В самом деле, функционалы
it.
1п\ Ш ь-> /,ci{wU+i ~ wti)
непрерывны на С[0,1] и Jtp может быть получен как их предел.
Обратно, пусть I является Р^-измеримым линейным функцио-
функционалом. Положим h = Rwl- Как уже было показано, h € Wo' , и
потому <р = h' входит в L2[0,1]. Чтобы доказать, что I = Jtp,
1 2
достаточно проверить совпадение обоих функционалов на Wo' .
1 О
Для всякого ф G Wq ' справедливо равенство
1 1
1{ф) = (Rwl-i Ф)н — {hi ф)н = I h Н)ф (t) dt = <рН)ф (t) dt.
J J
о о
Заметим, что правая часть последнего равенства совпадает с
1
Jo
Чтобы это доказать, заметим, что из определения J легко выво-
выводится существование измельчающейся последовательности раз-
разбиений отрезка [0,1] точками £",..., f^ , такой, что функции
5
fc=l
2.8. Полугруппа Орнштейна-Уленбека 83
сходятся к <р в L2[0,1] и
£ W) MtfJ M*)] ^ - п.в.
1 <p
Поскольку область сходимости линейна, она содержит Wo' . Яс-
Ясно, что на Wq' предел равен /0 <p(t)w'(t)dt, согласно нашему
выбору £%. Итак, получаем следующую картину. Пусть Pw
— классическая мера Винера на С[0,1]. Тогда ее пространство
Камерона-Мартина совпадает с классом Соболева
Wif'1 = {/: / абсолютно непрерывна, /@) = 0 и /' G L2[0,1]},
измеримые линейные функционалы — это в точности стохасти-
стохастические интегралы
1
J<p(t)dwt, <peL2[o,i],
о
и для всякого h G Wo' справедлива следующая классическая
формула Камерона-Мартина:
= exp(Jh'(t)dwt - |
о о
В главе про радоновские меры мы вернемся к обсуждению
измеримых линейных функционалов.
2.8. Полугруппа Орнштейна—Уленбека
Пусть 7 — центрированная гауссовская мера на локально вы-
выпуклом пространстве X. Так же, как и в конечномерном случае,
полугруппа Орнштейна-Уленбека (Tt)t>o на Ьр(^) определяется
формулой
Ttf(x) = I /(e-'x + Vl-e-2ty) j(dy). B:8.29)
х
С помощью тех же рассуждений, что использовались в конеч-
конечномерном случае, доказывается следующая теорема.
84 Глава 2. Бесконечномерные распределения
2.8.1. Теорема. Для всякого р > 1 семейство (Tt)t>o — силь-
сильно непрерывная полугруппа на Lv{^j) с операторной нормой
На L2{^) операторы Tt неотрицательны.
Обозначим через Еп замкнутое линейное подпространство в
L2(j), порожденное многочленами Эрмита вида
Hki{h)-...-Hkm(lm), li€X*,m = 0,l,...,
имеющими порядок к\ + • • • + кт < п. Пусть Xq — одномерное
пространство констант, а Хк обозначает ортогональное допол-
дополнение Ek-i в Ек, к € IN. Тогда получаем следующее разложение
L2(j) в прямую сумму ортогональных подпространств:.
L\l) = k$Xk, B.8.30)
fc=0
называемое разложением в винеровский хаос. Обозначая через
Ik{F) проекции F € L2(j) на Хк, получаем разложение
B.8.31)
В каждом подпространстве Хк можно явным образом ука-
указать ортонормированный базис. Для этого возьмем произволь-
произвольный ортонормированный базис {£,а}аеА в X* и рассмотрим мно-
многочлены Эрмита
На},...,ат-ки-,кт~Нк1(£а1)---Нкт(£ат), агеА, кг = 0,1,...
В силу леммы 2.1.17 и свойств конечномерных многочленов Эр-
Эрмита, полученные функции образуют ортонормированный базис ■
в L2G), а их подмножества, образованные многочленами степе-
степени к\ + • • • + кт — п, — базис в Хп. В отличие от конечномерного
случая, при к > 0 пространства Хк бесконечномерны.
Разумеется, если гильбертово пространство X* сепарабель-
но (что всегда имеет место для радоновских гауссовских мер,
как мы увидим ниже), то указанный базис оказывается счет-
счетным. При этом в X* можно найти ортонормированный базис,
2.9. Дополнения и задачи 85
состоящий из элементов £п € X*. Отметим, что в любом слу-
случае так можно поступить с ограничением 7 н& всякую счетно-
порожденную ст-алгебру £\ С £(Х) (напомним, что всякое мно-
множество из £{Х) определяется некоторым счетным набором не-
непрерывных линейных функционалов).
Аналогично вводятся пространства Хк{Е) отображений со
значениями в сепарабельном гильбертовом пространстве Е (при
этом Хк(Е) порождается отображениями f(x)v, / € Л"/ь, v € Е).
Из доказанной в конечномерном случае теоремы получаем
следующее утверждение.
2.8.2. Теорема. Для всех t > О и / € L2(j) справедливо ра-
равенство
k-Q
В главе 5 мы увидим, что полугруппа Орнштейна-Уленбека
обладает сильным свойством сглаживания (очевидным в конеч-
конечномерном случае). Пока ограничимся простейшим примером.
2.8.3. Пример. Пусть / € Lp(j), р > 1. Тогда при t > 0 для
7-п.в. х функция h н» Ttf(x + h) на пространстве H(j) с его
естественной евклидовой нормой непрерывна.
Доказательство. Функция у н» /(е lx + \/l — e~2ty) входит в
Lp(j) при 7~п.в. х. Поэтому достаточно показать, что для вся-
всякой функции g € Lp(^) функция ip: h \-* J g(y+h) j(dy) непрерыв-
непрерывна на H(j). Записав tp с помощью формулы Камерона^Мартина
в виде ip(h) = Jgexplh — ^Whm) ^7> замечаем, что при любом
q > 1 отображение h н» exp(h — ||^1яG)) со значениями в-Ь9(~у)
непрерывно на шарах в H("f). Это дает непрерывность ср. D
2.9. Дополнения и задачи
2.9.1. Замечание. Линейное пространство Е с <т-алгеброй £ назы-
называется измеримым линейным пространством, если операции IxI->
X, (х, у) н» ж+у, и Ш1 хХ-чХ, (<, ж) н» tx, измеримы относительно <т-
алгебры £ на £ и борелевской <т-алгебры на прямой. Например, локаль-
локально выпуклое пространство X с <т-алгеброй £(X) является измеримым
линейным пространством. Свойство, выраженное в следствии 2.1.15,
может служить определением центрированного гауссовского случай-
случайного вектора со значениями в измеримом линейном пространстве (см.
[133]), что оказывается полезным для изучения случайных элементов
со значениями в топологических векторных пространствах с тривиаль-
тривиальными сопряженными (например, в!/сО<р<1 или в пространстве
86 Глава 2. Бесконечномерные распределения
измеримых функций на [0,1], наделенном топологией сходимости по
мере). Следует отметить, что банахово пространство с борелевской
<т-алгеброй не обязано быть измеримым линейным пространством (см.
[32, с. 26, пример 1.2.5]).
Следующий любопытный пример построен М. Талаграном [500].
2.9.2. Теорема. Предположим, что справедлива гипотеза конти-
континуума {или, более общим образом, аксиома Мартина). Тогда:
(i) существуют центрированная гауссовскал мера 7 на некотором
банаховом пространстве X и функционал I € X*, для которого
(ii) существует такал гауссовская мера 7 на банаховом простран-
пространстве X, что а7 0 X.
2.9.3. Замечание. Пусть 7 — гауссовская мера на локально вы-
выпуклом пространстве X, которое непрерывно и линейно вложено в
локально выпуклое пространство Y. Тогда 7 может рассматривать-
рассматриваться и как гауссовская мера на Y. При этом, однако, может случиться,
что пространство Камерона-Мартина зависит от того, на каком про-
пространстве рассматривается 7-
Например, если упомянутую в пункте (i) теоремы 2.9.2 меру 7
продолжить на У = (X*)' (алгебраически сопряженное к X*) и на-
наделить его топологией <r(Y,X*), то Щ{1) € У входит в пространство
Камерона-Мартина меры 7 на У> хотя вообще не принадлежит X.
Таким образом, пространство Камерона-Мартина может увеличиться
при увеличении пространства (оно не может уменьшиться ввиду фор-
формулы B.3.19) теоремы 2.3.5). Это обстоятельство следует иметь в виду
при использовании конструкции примера 2.2.7, позволяющей перейти
к пространству Нт.
Однако, как будет показано в следующей главе, для гауссовских
мер на сепарабельных пространствах Фреше (и, более общим образом,
для любых радоновских гауссовских мер) множество H(j) не зависит
от того, рассматривается ли 7 на X или на Y.
Заметим еще, что для справедливости заключения теоремы 2.4.1
недостаточно (в случае, если Ry(X) <£. X), чтобы измеримое множе-
множество А удовлетворяло равенству А + h = А для всех h £
2.9.4. Пример. Пусть 7 — центрированная гауссовская мера на ба-
банаховом пространстве X, построенная согласно предложению 2.9.2 в
предположении гипотезы континуума. Для этой меры существует фун-
функционал I е X* с JLy(l) & X. В силу предложения 2.3.6, пространство
Н{-у) полно. Поэтому Е = R~l{H{-y)) — замкнутое линейное под-
подпространство в X*. Пусть 1е — ортогональная проекция / на Е в
пространстве X* vl f = I — 1е- Положим А = {х: f(x) > 0}. Тогда
j(A) = 1/2, хотя
A h A Vh
2.9. Дополнения и задачи , 87
Доказательство. Ясно, что Ry(f) /Ои потому j{A) = 1/2. При
этом А + h = А для всех h € Н(у), поскольку
для h G ЯG). ■ □
2.9.5. Замечание. Из теоремы Лебега вытекает секвенциальная не-
непрерывность преобразования Фурье меры 7 на пространстве X* со
*-слабой топологией сг(Х*,Х). Для гауссовской меры 7 это означает
секвенциальную непрерывность линейной функции L и ковариацион-
ковариационной функции / н» i?7(/)(/) на X* со *-слабой топологией. В задаче
2.9.17 предлагается показать, что за исключением случая, когда мера
7 сосредоточена на конечномерном подпространстве, ковариационная
функция не может быть непрерывна в *-слабой топологии на X*. Од-
Однако для обсуждаемых ниже радоновских гауссовских мер обе упомя-
упомянутые функции непрерывны в топологии Макки на X*.
Напомним известную теорему Какутани [346].
оо
2.9.6. Теорема. Для любых двух продакт-мер ц = 0 \хп и v =
n=l
00
• 0 vn, где /j,n ~ un — вероятностные меры, имеет место такая алъ-
71=1
тернатива: либо //, ~ v, либо ц ± v. При этом /j, ~ v в точности
тогда, когда сходится произведение
n=l
/
где дп — плотность \хп относительно i>n.
Интеграл, входящий в условие теоремы Какутани (называемый ин-
интегралом Хеллингера) можно переписать в более симметричном виде
где Хп — произвольная мера с цп -С An, vn < An, fn и gn — соответ-
соответственно плотности /.in и vn относительно Ап (см. предложение 2.9.10).
Как мы видели, для гауссовских мер имеет место та же самая аль-
альтернатива. Это не удивительно, ибо, как будет показано ниже, вся-
всякая гауссовская мера на счетно-порожденной сг-алгебре линейно изо-
изоморфна продакт-мере. Поэтому возникает вопрос о том, как связаны
гауссовские меры на Н°° с продакт-мерами. Из приводимых ниже
результатов явствует, что существование упомянутого изоморфизма
не означает, что всякая гауссовская мера на Н°° эквивалентна какой-
нибудь продакт-мере (подобно тому как в Ж,™ всякая невырожденная
гауссовская мера эквивалентна произведению п одномерных гауссов-
гауссовских мер).
88 Глава 2. Бесконечномерные распределения
2.9.7. Пример. Существует центрированная гауссовская мера ц на
JR°°, которая взаимно сингулярна со всякой продакт-мерой на Ш,°°. В
качестве /л можно взять образ счетного произведения у стандартных
гауссовских мер на прямой при отображении А: Ш°° —> Ш°°, (Ах)п =
XI +П~1Хп+1.
Доказательство. Ясно, что упомянутая мера ц является центриро-
центрированной гауссовскои. Заметим, что п~1хп —> О у-п. в. Поэтому для
//.-почти всех у существует предел Ишп-юо уп. Этот предел является
гауссовскои случайной величиной и отличен от постоянной, ибо коор-
координатные функции — гауссовские случайные величины относительно
/г, причем
f уп n{dy) = у (Ac)» -r(dx) = О,
в то время как
J yl цШ = j{Ax)l y(clx) = 1 + -^ -> 1.
Предположим теперь, что v — ®^=iVn — произведение вероятност-
вероятностных мер ип на прямой. В силу колмогоровского закона 0-1 (см. [157,
с. 407, теорема 1 и ее следствие]) для линейного пространства
L=
lim xn)
имеет место альтернатива: либо v{L) = 1, либо v{L) = 0 (заметим,
что L 6 £ (Ж,00)). При этом в первом случае функция (ни Итп^ ^ хп
совпадает с некоторой постоянной у-почти всюду. Если v{L) = 0,
то v ± (j,, так как ц(Ь) = 1. Если же v(L) = 1, то I = с и-п.ъ. для
некоторого с, и потому снова получаем v _L ц, поскольку ц{{1 = с}) — 0,
как указано выше. U
Доказательство рассмотренного примера (взятого из [241]) мож-
можно немного упростить, если воспользоваться следующим интересным
результатом К. Ферника [277] (см. также обобщение [278] на случай
произведения пространств Фреше).
2.9.8. Теорема. Пусть /л — гауссовская мера на Ш°°, a v = (££) vn
n=i
— счетное произведение вероятностных мер ип на И1, эквивалент-
эквивалентных стандартной гауссовскои. Тогда либо /л ± v, либо ц, ~ v, причем
в последнем случае мерац эквивалентна произведению (££) /лп своих
71 = 1.
одномерных проекций при координатных отображениях.
Доказательство основано на том факте, что для невырожденной
гауссовскои меры на Ж,™ максимум интеграла Хеллингера (см. ниже)
по всем продакт-мерам достигается на гауссовскои мере. Этот инте-
интересный факт установлен в [277] с помощью применения центральной
предельной теоремы.
2.9. Дополнения и задачи 89
2.9.9. Пример. Существуют такие гладкие строго положительные
оо
вероятностные плотности дп на прямой, что продакт-мера и = 0 gndx
взаимно сингулярна со всякой гауссовской мерой на Ж,00.
Доказательство. В качестве и возьмем счетное произведение мер с
такими гладкими положительными вероятностными плотностями дп,
что для некоторого / > О
+ оо 1
( ~~-dt<2I, fgn(t)dt >
J Qn{t) J
1
Нетрудно проверить, что это возможно. В силу задачи 2.9.23 имеем
Uh ~ и для всех h G I2. Пусть р. — какая-нибудь гауссовская мера
на Ш°°. Если /л не сингулярна относительно и, то I2 с Н{ц), ибо в
противном случае \хн -L М Для некоторого h £ /2, откуда видно, что и не
имеет компоненты, абсолютно непрерывной относительно ц. Заметим
еще, что у{1°°) — 1. Пусть а — среднее ц и ц0 = /_ia. Тогда цо —
центрированная гауссовская мера с Н{цо) = Н(ц). Ясно, что при этом
УоA°°) — 1 (это вытекает, например, из теоремы 2.4.6). Обозначим
через 7 счетное произведение стандартных гауссовских мер на прямой.
Как мы знаем, Л(у) = I2■ Согласно теореме 3.3.2 следующей главы,
включение Р С Я(/л0) и равенство ЦоA°°) = 1 приводят к 7^°°) = 1>
что неверно (вместо привлечения меры 7 можно было воспользоваться
предыдущей теоремой). П
С помощью следующего результата иногда удается довольно точно
оценить расстояние по вариации между эквивалентными гауссовскими
мерами, ибо для таких мер в принципе возможно вычисление интеграла
Хеллингера.
2.9.10. Предложение. Пусть ц и v — две вероятностные меры на
измеримом пространстве (П,В) и X — такая мера на Б, что ц -С А
и v <С А. Тогда число
не зависит от выбора меры А с указанным свойством и для него спра-
справедливы неравенства
- Н(ц, и)} < У - и\\ <
где \\ц-и\\ =
dA _ dX
(t t-i du
— расстояние по вариации.
Доказательство. Пусть ц = р\, и = г/А. Тогда ||/t-^|| = Цр-
Заметим, что {^/р - y/qJ <\p- q\ = | ^/р - y/q\ \ ^p + y/q\ ■ Интегрируя
90 Глава 2. Бесконечномерные распределения
это неравенство по мере А и оценивая правую часть с помощью не-
неравенства Коши-Буняковского, получаем доказываемое неравенство.
Независимость Н(ц, i>) от выбора А проверяется непосредственно. Q
Во многих заделах приходится рассматривать случайные величи-
величины вида
а@ =limsup|£n|,
п—too
где £ = (£п) — последовательность случайных величин. Если а(£)
— постоянная (возможно, +оо), то она называется осцилляционной
константой £. Доказательства следующего результата и интересное
обсуждение осцилляционных констант можно найти в [23, гл. 8].
2.9.11. Теорема. Пусть £ = (£„) — последовательность центри-
центрированных гауссовских случайных величин с дисперсиями о\, стремя-
стремящимися к нулю. Тогда она имеет осцилляционную константу а (воз-
(возможно, бесконечную). Если при этом supn|£n| < oo п.н., то для по-
почти всехи множество предельных точек последовательности {£п(и)}
совпадает с [—а,а].
Наконец, отметим, что в некоторых задачах оказываются полез-
полезными продолжения полугруппы Орнштейна-Уленбека и гауссовской
меры 7(^-1 ') в комплексную область (соответственно, по t и по А). В
первом случае получаем преобразование Фуръе-Винера, которое фор-
формально записывается в виде !F(f)(x) = f f(y/2x + iy)j(dy). Об этом
преобразовании см. [56], [109], [324]. Во втором случае аналитическое
продолжение интегралов J f(Xx) j(dx) в точку г позволяет определить
интеграл Фейнмана для некоторых классов функций / (см. [44], [56],
[108], [117].
Задачи
2.9.12. Выпуклая и абсолютно выпуклая оболочки цилиндрического мно-
множества с компактным основанием в локально выпуклом пространстве за-
замкнуты. Указание: воспользоваться тем, что выпуклая оболочка компакта
в ИГ* компактна.
2.9.13. а) Показать, что существует борелевское множество В в 1R2, для
которого множество В — В не является борелевским. б) Показать, что су-
существует замкнутое множество В С И°°, для которого В — В не является
борелевским.
2.9.14. Пусть /1 — такая счетно-аддитивная функция на £(X), что /to/
— гауссовская мера для всякого / € X*. Тогда fi — вероятностная (и потому
гауссовская) мера.
2.9.15. Пусть 7 — несчетное произведение одномерных гауссовских мер,
определенное на Ш,Т. Тогда пространство Н(у) совпадает с FL,(Xj) и равно
12(Т) как гильбертово пространство A2(Т) — пространство всех отображе-
отображений h: Т —> ГО,1, для которых не более чем счетное множество h(t) отлично
от нуля и ^2 h(tJ < оо). В частности, Н(-у) несепарабельно.
2.9. Дополнения и задачи 91
2.9.16. Одноточечные множества не входят в £(]R ),еслиГ — несчетное
множество.
2.9.17. Показать, что если ковариационная функция гауссовской меры 7
на локально выпуклом пространстве X непрерывна в *-слабой топологии на
А", то мера 7 сосредоточена на конечномерном подпространстве.
2.9.18. Пусть На[0,1] — пространство всех функций х на [0,1], удовле-
удовлетворяющих условию Гельдера с показателем а > О, т.е. \x(t) — x(s)\ <
C(x)\t-s\°. Показать, что Pw(На[0,1]) = 1 при а < 1/2 и Pw{На[0,1]) = 0
при а > 1/2. Указание: воспользоваться теоремой А.3.22 и равенством
f \x(t) - x(s)\2m Pw(dx) - Bm-l)!!|t-s|m для всякого т € Ш; кроме того,
заметить, что \x(ti) — s(si)|/y |£; — s,| — независимые стандартные гауссов-
ские случайные величины для непересекающихся отрезков [s;, ii].
2.9.19. Пусть 7 — центрированная гауссовская мера. Доказать, что для
линейных подпространств L закон 0—1 справедлив и без предположения о
том, что Ry(X') С X. Указание: с помощью предложения 2.1.14 показать,
что если -у(Ь) > 0, то y(L — х) = 0 при х 0 L; получить соотношение -у{Ь) =
l(LJ.
2.9.20. Показать, что вероятностные меры // и и на ст-алгебре В взаимно
сингулярны в точности тогда, когда ||// — у\\ = 2. Равносильное условие:
2.9.21. Мера //. на £(X) называется непрерывной по направлению векто-
вектора h (В. А. Романов), если lim \\nth — Mil = 0- Показать, что если мера /t
t—yO
непрерывна по направлению /г, то по этому направлению непрерывна и вся-
всякая мера и, абсолютно непрерывная относительно //. Указание: заметить,
что утверждение верно для мер вида 1вц, и распространить его предельным
переходом на меры вида ///,/€ L}{fi).
2.9.22. Пусть / — гладкая вероятностная плотность на И" с интегриру-
интегрируемыми частными производными. Доказать оценку J\f{x + h) — f(x)\dx <
J \д), f{x)\ dx, V h € IRn. Вывести из нее оценку
\f(x + h) - f(x)\ dx< I ldhj^2 dx, Vhem",
в случае, когда последний интеграл конечен.
2.9.23. Пусть д — гладкая вероятностная плотность на прямой с конеч-
конечным информационным количеством Фишера
J e{t)
Обозначим через v счетное произведение мер на прямой с плотностью д.
Тогда для всякого h € I2 имеем lira \\vth — И| = 0- Если же д > 0 почти всюду,
t-»o
то V], ~ v для всех h € I2 (Л. Шепп). Указание: воспользоваться задачей
2.9.22.
2.9.24. Показать, что произведение А счетного количества экземпляров
меры Лебога на [0,1], рассматриваемое на IR°°, взаимно сингулярно со вся-
всякой гауссовской мерой на IR°°.
92 Глава 2. Бесконечномерные распределения
2.9.25. Пусть {£ч} — последовательность стандартных гауссовских слу-
случайных величин (возможно, зависимых). Если ряд B.2.13) сходится для не-
некоторого е > О, то последовательность {ст^Сп} ограничена п.н., а если этот
ряд сходится для всех е > 0, то оп£,п —> О п.н. Указание: воспользоваться
леммой Бореля-Кантелли и асимптотикой больших уклонений для нормаль-
нормального распределения; см. [32, гл. V, предложение 5.6].
2.9.26. Пусть {(,„} — последовательность центрированных гауссовских
случайных величин с дисперсиями of, —> 0 (возможно, зависимых). Показать,
что осцилляционная константа а этой последовательности совпадает с
Г °°
inf < е > 0: У ст„ ехр
и построить пример, в котором а = 1.
2.9.27. Пусть 7 — счетное произведение стандартных гауссовских мер
на 1R1. Доказать, что limsupj,^^ \хь\/\пк = 1 для 7-п.в. х.
2.9.28. Пусть 7 — счетное произведение стандартных гауссовских мер
на 1R1. Доказать, что lira n~' У^Г, f{xk) = f f (t)p(t, 0,1) dt для 7-п.в. x,
если / — многочлен на IR1.
2.9.29. Доказать, что указанные в примере 2.2.11 функции действительно
являются ковариационными, т.е. соответствуют неотрицательным квадра-
квадратичным формам.
2.9.30. Центрированный гауссовский процесс на IR1 назыается стацио-
стационарным, если его ковариационная функция представима в виде
K{s,t) = Ko{t-s).
Пусть Ko(t) = f e'tx a(dx), где а — конечная неотрицательная мера на пря-
прямой (называемая спектральной мерой стационарного процесса). Доказать,
что для всякого отрезка / распределение процесса £f, t € /, естественным
образом определено на L (I) и вычислить соответствующее пространство
Камерона-Мартина. Указание: см. [68].
2.9.31. Пусть Pw — мера Винера на С[0,1]. Показать, что измеримый
линейный функционал /i, порожденный элементом h € И^о' [0,1], совпадает
п.в. с непрерывным линейным функционалом па С[0,1] в точности тогда,
когда h! — функция ограниченной вариации. Указание: заметить, что функ-
функция h € WQ' [0,1] с производной ограниченной вариации записывается в виде
t
li(t) = J i/[0,s]ds, где v — знакопеременная борелевская мера на [0, 1]; рас-
о
1
смотреть функционал х >-¥ — J x(t) v(di) + x(l)i/[0,1]; кроме того, заметить,
о
что ограничение h на №^''[0,1] имеет вид ф i-> J h'(t)ip' (t)dt, и проверить,
о
что обобщенная производная /г' — ограниченная мера.
2.9.32. Доказать сепарабельность процесса r\t из предложения 2.4.10.
Глава 3
Радоновские
гауссовские меры
Я полагаю, что внимательный читатель, сожалея,
быть может, что вещи не так просты, согласится, од-
однако, со мной, что это определение необходимо и есте-
естественно... Лишь ранее установившиеся привычки мы-
мысли могут заставить нас считать его более сложным.
А.Лебег. Интегрирование и отыскание примитив-
примитивных функций
Конечно, такие определения научны, они необходи-
необходимы, они неизбежны, они имеют рабочую ценность, но
не проглядывают ли сквозь них последние усилия без-
безнадежно стареющей мысли, за пределами которой на-
начало того, чего мы вообразить не можем и чему еще
нет имени?
Я. //. Лузин. Из письма В. И. Вернадскому
3.1. Меры Радона
Напомним, что мера /л, определенная на борелевской сг-алгеб-
ре В(Х) топологического пространства X, называется радонов-
с.коп, если для каждого В G В(Х) и каждого г > 0 существует
компакт К£ С В с /.i(B\Ke) < г. Мера /.i называется плотной,
если указанное условие выполнено для В = X. Сведения о ра-
доновских мерах можно найти в Дополнении. Отметим, что ра-
доновская мера на локально выпуклом пространстве однозначно
определяется по ее ограничению на сг-алгебру £(Х), порожден-
порожденную X* (в частности, по своему преобразованию Фурье), и что
на многих встречающихся в приложениях пространствах X все
меры на £(Х) радоновские. К таким пространствам относят-
относятся все полные сепарабельные метризуемые локально выпуклые
пространства (и, более общим образом, все суслинские локально
выпуклые пространства).
3.1.1. Определение. Радоновская мера 7 на локально выпук-
выпуклом, пространстве X называется радоновской гауссовской ме-
мерой, если, ее ограничение на £{Х) - гауссовская мера.
94 Глава 3. Радоновские меры;
Один из фундаментальных результатов, доказываемых ни-i
же, утверждает, что всякая радоновская гауссовская мера на са-,
мом деле сосредоточена на счетном объединении метризуемых,
компактов. С другой стороны, имеются естественные приме-
примеры гауссовских мер без радоновских продолжений (произведение
континуума одномерных нормальных распределений, см. пример
3.1.2). В примере 2.2.6(ii) мера // может не иметь радоновских
продолжений на Шт. Сейчас мы рассмотрим простой пример
такого рода.
3.1.2. Пример. Пусть мера 7 на Шс = Hv0'1' является произ-
произведением континуума стандартных одномерных гауссовских мер
(это соответствует независимым случайным величинам & в при-
примере 2.2.6). Тогда j*(K) — О для всякого компакта К С Ис.
Доказательство. Отметим, что непустые компактные множе-
множества в IRC не входят в £(НС), ибо в силу леммы 2.1.2 всякое непу-
непустое множество из £(Ш°°) зависит от значений функций на не-
некотором счетном множестве и потому содержит нетривиальное
линейное подпространство. Всякий компакт К С Ис содержит-
содержится в произведении некоторого набора отрезков [—Ct, Ct]. Можно
найти такое число N, что Ct < N для бесконечного числа индек-
индексов t. Поэтому К покрывается множеством Щ х Пг, где Щ —
счетное произведение копий отрезка [-N, N] и П2 — произведе-
произведение прямых, соответствующее остальным координатам. Тогда
Щ х П2 G Е{Х) и 7(П1 х П2) =0. □
3.1.3. Замечание. Отметим одну тонкость, связанную с из-
измеримостью, которая возникает при рассмотрении радоновской
меры /л на £{Х). Несмотря на то, что для каждого множества
В € В(Х) имеется множество С G £(Х) с ц(В А С) = 0, это не
означает, что В(Х) содержится в лебеговском пополнении £(Х)
относительно /л. Дело в том, что для борелевского множества /л-
меры нуль может не существовать содержащего его множества
из £{Х), имеющего /х-меру нуль. Простой пример такого рода
приведен ниже. Поэтому лебеговские пополнения £{Х) и В(Х)
относительно /л могут не совпадать даже для радоновской меры
/л. Всюду ниже, если не оговорено противное, под ^-измеримыми
множествами для радоновской гауссовской меры /л понимают-
понимаются множества из В(ХI1 (т.е. из лебеговского пополнения В(Х)).
К счастью, в большинстве пространств, встречающихся в прило-
приложениях (например, сепарабельных метрических или суслинских),
подобных проблем не возникает.
3.2. Основные свойства 95
3.1.4. Пример. Пусть Т — несчетное множество и д — ди-
раковская мера в нуле пространства 1RT, рассматриваемая на
£(МТ). Тогда эта мера очевидным образом продолжается до
меры Радона, однако точка 0 неизмерима относительно лебе-
говского пополнения £(JRT) относительно меры 6.
Доказательство. Как уже отмечалось, точка 0 не входит в
£{Х). Поэтому единственное множество из £{ШГ), содержащее
H^VOb — это все Шт, откуда <5*(М:г\{0}) = 1, и потому {0} не
входит и в лебеговское пополнение £(ШТ) относительно 6. □
3.1.5. Замечание. Две меры Радона /л и v на локально вы-
выпуклом пространстве X эквивалентны в точности тогда, когда
эквивалентны их сужения на £(Х), ибо для всякого В е В(Х) су-
существует такое С G £(Х), что (ц + и)(В АС) = 0. В частности,
если 7 — гауссовская мера Радона и h G X, то эквивалентность
7 и 7h на В(Х) равносильна их эквивалентности на £{Х). Из
этого очевидного наблюдения вытекает, что полученная в теоре-
теореме 2.3.5 характеризация пространства Камерона-Мартина H{~i)
как множества
{h G X: 7/i ~ 7}
остается в силе и при рассмотрении мер на В(Х).
Обозначения. В этой главе используются те же обозначе-
обозначения, что и в предыдущей. В частности, H(j) — пространство
Камерона-Мартина гауссовской меры Радона 7, | ■ |#G) — есте-
естественная гильбертова норма в Hfa), UH — замкнутый единич-
единичный шар в H(j). Прежний смысл имеют и символы X*, Ry, a7,
(
3.2. Основные свойства
3.2.1. Лемма. Пусть X .— полное локально выпуклое прост-
пространство и 7 — радоновская гауссовская мера на X. Тогда функ-
функции а7: / н-» ay(f) и / и-» Ry(g)(f) для всякого g G X* непрерыв-
непрерывны на X* в топологии Макки тм(Х*,Х).
Доказательство. Пусть 6 > 0. Существует такой компакт
К, что j(K) > 1 — 5. В силу предложения А. 1.6 Дополнения,
замкнутая выпуклая оболочка Q множества К компактна. Тогда
из условия |/| < 6 на Q вытекает оценка
1-е'/Ы7 + 25<35.
96 Глава 3. Радоновские меры
Положим 7(/) = геШ, где г > О, в 6 [О,тг]. Тогда |1 - r\ < U и
cos в > A + г2 — 952)Bг)~1. Поэтому для каждого г > 0 мЪжно
подобрать 5 > 0 так, что |а7(/)| < £ и ст(/J < г при supg |/| < 5.
При этом |i?7(/)(g)| < o(f)a(g) < o(g)\fi. Это по определению
и означает непрерывность в топологии тм{Х*, X). 1_1
Ниже показано, что заключение этой леммы остается спра-
справедливым для произвольного локально выпуклого пространства.
3.2.2. Лемма. Пусть 7 — радоновская гауссовская мера па
локально выпуклом пространстве X, которое непрерывно и ли-
линейно вложено в локально выпуклое пространство Y. Тогда
множество //G) не зависит от того, рассматривается ли 7
на X или на Y.
Доказательство. Обозначим через jY меру 7, рассматривае-
рассматриваемую на Y. Ясно, что это — радоновская гауссовская мера. То-
Тогда H(~f) С H(~fY) в силу равенства B.3.19). Пусть h 6 H(^Y).
Поскольку компакты из X компактны и в У, то множество X
измеримо относительно ^Y и имеет полную меру. Тогда, буду-
будучи линейным подпространством, оно содержит h (ибо jY ~ 7^)-
Следовательно, 7ft ~ 7) откуда h 6 Hiri)- О
Напомним, что для гауссовских мер, не являющихся радонов-
скими, положение иное (см. замечание 2.9.2).
3.2.3. Теорема. Пусть 7 — радоновская гауссовская мера на
локально выпуклом пространстве X. Тогда ее среднее являет-
является.элементом X и Rj(X*) С X. Кроме того,
ЯG) = Ry(X;) = {h 6 X: lh ~7} = {h£X: \h\H(l) < 00}.
При этом для всякого / 6 X* имеем
f(f{x)-a1{f))\{dx\= sup /(/гJ. C.2.1)
Доказательство. Если X полно, то, согласно лемме 3.2.1, для
всякого g G X* функции а1 и R7(g) непрерывны на X* в то-
топологии Макки тм{Х*,Х), а потому задаются элементами X
(см. теорему A.I.I в Дополнении). В общем случае это означает
справедливость доказываемых утверждений для меры 7, рассма-
рассматриваемой на пополнении X пространства X (см. Дополнение)
и являющейся мерой Радона на X. Отметим, что X* = X* и
X* = X*. Рассмотрим симметризацию 7s меры 7, определяемую
3.2. Основные свойства 97
формулой js{A) = G*7i)("/|-<4)> гДе 7iC<4) = l(—A)- Напомним,
что свертка двух мер Радона /ли/ определяется формулой
= f /л(В -x)u(dx).
При этом /л * v = fw (см. Дополнение). Преобразование Фурье
меры 7s 5 как легко проверить, имеет вид
Следовательно, 7s — радоновская гауссовская мера с нулевым
:редним. Рассматривая ее также на X, получаем, что 7 = 7о>
где « 6 X (заметим, что /£[(/) = ег1^]лA)). Из равенства 7(^0 =
у"(Х) = 1 вытекает, что а & X.
Для доказательства включения R7(f) € X для / € X* рас-
рассмотрим меру /i = expf 5 — \о{дJ I 7. Согласно предложению
2.3.2, эта мера — гауссовская со средним b = а7 + Ry(g). По до-
доказанному, b £ X, откуда вытекает требуемое. Равенство C.2.1)_
зытекает из уже доказанного и леммы 2.3.1. LJ
3.2.4. Следствие. Пусть 7 — гауссовская мера Радона на ло-
локально выпуклом пространстве X. Тогда замкнутый единич-
единичный шар UH из JjTG) компактен в X.
Доказательство. Утверждение вытекает из предложения 2.3.6,
тоскольку, в силу следствия 2.3.9, для некоторого с > 0 мно-
кество cUH содержится в компакте К — К, где К — компакт
толожительной меры. □
3.2.5. Следствие. Преобразование Фурье и ковариация радо-
човской гауссовской меры 7 непрерывно на X* с топологией
Макки тм(Х*,Х).
Доказательство. Непрерывность в топологии Макки вытека-
вытекает из C.2.1) и того, что Uн — выпуклый компакт в X. П
3.2.6. Теорема. Пусть 7 — радоновская гауссовская мера, на
гокально выпуклом, пространстве X. Тогда гильбертовы про-
пространства X* и ЯG) сепарабельны.
t В.И. Богачев
98 Глава 3. Радоновские меры
Доказательство. Можно считать, что мера 7 центрирована.
Пусть К — компактное множество положительной 7-меры. За-
Заметим, что X* = |Jn пК°, где
° = {f€X*:
хек
Поэтому достаточно доказать сепарабельность К0 в L2^). По
индукции можно найти последовательность {fn} С К0 такую,
что, полагая Хп = span(/i,..., /„), Xq = О, получим
. dist(/n,Xn_!) > ^di0
где
Поскольку конечномерные пространства Хп сепарабельны, то
сепарабельность К0 вытекает из соотношения lim dn = 0, кото-
п—юо
рое мы сейчас докажем. Предположим, что infn dn > 0 (в случае
dist(Kd,Xn_i) = 00 рассуждения те же самые). Тогда
dist(/n,Xn_i)>d>0, Vn.
Это означает, что гауссовский вектор (/i,..., /п) удовлетворяет
условию леммы 1.6.7. Поэтому справедливо неравенство
: sup|/i(x)| < l) <
правая часть которого стремится к нулю при стремлении п к
бесконечности. Таким образом,
: sup|/n(x)|<l) =0.
Это противоречит условию "у(К) > 0, ибо для всякого х из К и
любого п имеем |/„(х)| < 1, ввиду включения /„ G К0. П
3.2.7. Следствие. Пусть j — гауссовская мера Радона на ло-
локально выпуклом пространстве X. Тогда:
(i) пространство L2(^) сепарабельно;
3.2. Основные свойства 99
(ii) если 7 — центрированная мера, то в X* имеется счетный
ортонормированный базис, состоящий из непрерывных ли-
линейных функционалов /п;
(Ш) пусть {fn} — последовательность из (ii). Всякое ^-изме-
^-измеримое множество совпадает с некоторым £({f^-изме-
£({f^-измеримым множеством с точностью до множества нулевой
меры.
Доказательство. Утверждение (ii) вытекает из плотности X*
в X*. Поскольку линейная оболочка функций ехр(г/), / G X*,
плотна в комплексном пространстве L2G) по следствию А.3.13
Дополнения, мы получаем сепарабельность L2G), а также утвер-
утверждение (ш). П
Из доказанного вытекает, что, выбрав ортонормированный
базис {еп} в Hfa), мы получаем ортонормированный базис в
L2G), образованный многочленами Эрмита
Hii,...,jm;ki,...,km ■= Hkl{eix) ■ ■ ■ Hkm(ejm), j, G IN, m = 0,1,...
3.2.8. Замечание, (i) Отметим, что для несчетного произве-
произведения одномерных гауссовских мер, определенного на ШТ, про-
пространство Н(-у), совпадающее с Ry(X*), несепарабельно, ибо со-
согласно задаче 2.9.15 оно равно 12{Т).
(ii) Следует иметь в виду, что существуют центрированные
гауссовские меры, не являющиеся радоновскими, но имеющие се-
парабельное L2 и сепарабельное пространство Камерона-Марти-
Камерона-Мартина (см. пример 3.5.3 ниже).
В следующей теореме для удобства ссылок собраны некото-
некоторые результаты, вытекающие из теорем предыдущей главы (ли-
(либо доказываемые такими же рассуждениями), но формально не-
несколько более общие из-за того, что расширилось понятие изме-
измеримости (как пояснялось выше).
3.2.9. Теорема. Пусть ^ —радоновская гауссовская мера на
локально выпуклом пространстве X. Тогда:
(i) ограничение всякой ^-измеримой полунормы q на прост-
пространство H(pf) с нормой | • \н(у) непрерывно, и справедливо
заключение теоремы 2.6.4;
100 Глава 3. Радоновские меры
(И) если множество А € В(Х)у таково, что для всякого ра-
рационального г и всякого пёИ имеем
А = А + геп,
где {еп} — некоторый ортонормированный базис в Н{^),
то либо ^{А) — 0, либо j(A) = 1.5 частности, это верно
для всякого аффинного подпространства из В(Х)у.
(ш) Всякая радоновская гауссовская мера \± на X либо эквива-
эквивалентна 7; либо взаимно сингулярна с 7-
3.2.10. Следствие. Если 7-измеримая функция / такова, что
/(.х + ге„) = /(ж) -у-п.в.
для всех рациональных г и всех векторов еп некоторого орто-
нормированного базиса в Н^), то f совпадает п.в. с некото-
некоторой постоянной.
3.2.11. Следствие. Пусть мера 7 — такая оке, как и в те-
теореме выше. Тогда всякая аффинная ^-измеримая функция f
имеет вид f = I + с, где I 6 X* и с 6 ГО,1. В частности, f —
гауссовская случайная величина со средним с и дисперсией о{1J.
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай, когда 7 —
центрированная мера и с = 0. Пусть {еп} — ортонормированный
базис в ЯG). Ввиду непрерывности / на Н^), последователь-
последовательность сп — f(en) — элемент I2. Поэтому определен функционал
I = 52 спе^ 6 X*.
71=1
Поскольку функция g = f — I обладает свойством g(x + h) = д(х)
для всех h 6 #G)) то она п-в- равна некоторой константе с.
Поскольку д линейна, а 7 симметрична, то с = 0. П
3.2.12. Следствие. Пусть 7 — гауссовская мера Радона на
локально выпуклом пространстве X, a f и g — две ^-измеримые
линейные функции. Тогда они либо почти всюду различны, либо
почти всюду совпадают. Последнее равносильно тому, что / =
g на Н{^), если 7 центрирована, a f и g собственно линейны.
3.3. Гауссовские ковариации 101
3.2.13. Следствие. Пусть 7 — гауссовская радоновская ме-
мера на локально выпуклом пространстве X, a Xq — суслинское
локально выпуклое пространство, непрерывно вложенное в X
и имеющее положительную меру. Тогда ограничение меры 7 на
Xq — гауссовская радоновская мера на Xq.
Доказательство. Можно считать, что мера 7 центрирована.
Заметим, что 7(^0) = 1 в силу закона 0-1. Поскольку X —
суслинское, все борелевские подмножества Xq 7~измеРимы (см-
теорему А.3.15 Дополнения), а ограничение j на Xq — радонов-
радоновская мера. Если / € Х$, то / — измеримый линейный функцио-
функционал на X. Теперь применимо следствие 2.7.9. □
Приведенный ниже пример 3.9.7 показывает, что из непре-
непрерывности линейной функции / на Н{^) не вытекает ее измери-
измеримость.
3.3. Гауссовские ковариации
Мы видели в теореме 2.2.1, что аналог этого утверждения не
справедлив для бесконечномерных гильбертовых пространств.
Однако есть бесконечномерные локально выпуклые простран-
пространства X, для которых всякая неотрицательная непрерывная ква-
квадратичная форма на сопряженном пространстве с топологией
Макки является ковариациеи радоновской гауссовскои меры на
X, причем верно и обратное. Класс таких пространств содер-
содержит, например, сопряженные к ядерным бочечным локально вы-
выпуклым пространствам, что является специальным случаем из-
известной теоремы Р. А. Минлоса [92]; см. также [32, с. 318, те-
теорема VI.4.4] и задачу 3.9.20. Важный пример — пространство
обобщенных функций <S'(IRn). Ниже мы будем использовать сле-
следующий важный результат, дающий иное достаточное условие
существования гауссовскои меры с заданной ковариациеи.
3.3.1. Теорема. Пусть X — локально выпуклое простран-
пространство, G С X* — линейное подпространство, разделяющее точ-
точки в X, и пусть V uW — две неотрицательные квадратичные
формы на G. Предположим, что функция g н-> expf — ^V(g)) на
G совпадает с преобразованием Фурье радоновской гауссовскои
меры 'у на X и W(g) < V(g), Уд £ G. Тогда существует радо-
радоновская гауссовская мера и на X, для которой преобразование
Фурье совпадает на G с функцией g н-> expf — ^(j)J.
Доказательство. На алгебре цилиндрических множеств вида
С = {х: (</!(*),... ,3n(x)) G В), gteG, BE В{Шп), п G IN,
102 Глава 3. Радоновские меры
определим функцию и {С) = ип(В), где ип — гауссовская мера на
Ш,п с преобразованием Фурье
=i
Нетрудно проверить, что функция v корректно определена и
аддитивна. Покажем, что она удовлетворяет условию теоремы
А.3.19 Дополнения. Пусть е > 0. Найдем такой компакт К, что
.7(if) > 1 — е. Множество S = (К — К)/2 компактно. Поэтому
достаточно установить оценку
у{С) > 1 - 2е
для всякого цилиндрического множества С, содержащего 5.
Пусть gi £ G, г = 1,...,к. Покажем, что vk(T(S)) > 1 - 2е,
где Т: X -> Ш,к, Тх = (дх{х),... ,дк{х)}. Положим [х = -уоТ'1.
Тогда Д(у) = exp^-ifi(y)), где у = (уи.. .,ук)ш
к
=l
Поэтому существует симметричная гауссовская мера а на IRfc с
f/, = vk * а. При некотором а £ Шк имеем
1л(Т(К)) = vk * а(Т(К)) < ик(т{К) -а).
Теперь ввиду легко проверяемого соотношения
(Т(К) - а) П (-Т(К) + а)с\ [т(К) - Т(К)] = T(S)
получаем
vk (ТE)) > ^ { (T(ii) - а) П (-Г(ЛГ) + а) } >
> j/fc (Т(JQ - а) + j/fc (-Г(ЛГ) + а) - 1 = 2ик (Т(К) - а) - 1 >
1 > 1-2е.
3.3. Гауссовские ковариации 103
Таким образом, по теореме А.3.19 Дополнения и однозначно про-
продолжается до меры Радона. П
3.3.2. Теорема. Пусть ц, и и — две центрированные радонов-
ские гауссовские меры на локально выпуклом пространстве X.
Тогда следующие условия равносильны:
(i) H{y) С Н{ц);
(ii) u{L) = 1 для всякого v-измеримого линейного подпрост-
подпространства L полной ц-меры.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что Н{и) С H(fj,). По тео-
теореме о замкнутом графике существует такая константа С, что
для всякого h £ Н{и) выполняется оценка |/г|я(^) < СЩн(и)-
Заменяя меру /i ее гомотетичным образом, можно считать, что
С = 1. Пусть L — ^-измеримое линейное подпространство с
//(L) = 1. Будем рассматривать /j, как радоновскую меру на L
с индуцированной топологией. Преобразование Фурье меры /л в
точке / £ L* равняется expf — ^М(/J), где
=sup{/(/i): \h\HM<l}.
Рассмотрим следующую функцию на L*:
= exp(-im(/J), m(/) = sup{/(/i): \h\H{v) < l}.
Ввиду оценки m(f) < M(f) применима теорема 3.3.1, которая
утверждает, что существует радоновская гауссовская мера Л на
L с преобразованием Фурье if. Рассматриваемая как мера на X,
эта мера Л имеет то же самое преобразование Фурье, что и и.
Поэтому Л = v на X. В частности, v(L) = 1.
Обратно, пусть выполняется условие (ii). Предположим, что
существует элемент h £ H(v), не принадлежащий Н(/л). По те-
теореме 2.3.7 можно найти линейное подпространство L £ £{Х)
полной /л-меры, не содержащее h. Согласно той же теореме,
u(L) < 1 (ибо иначе Н(и) С L), что является противоречием.
□
3.3.3. Следствие. Если свертка гауссовских мер ц ии плот-
плотна, причем мера ц, симметрична, то jj, и и плотны.
104 Глава 3. Радоновские меры
3.3.4. Теорема. Пусть j — центрированная радоновская га-
уссовская мера на локально выпуклом пространстве X. Для
всякого гильбертова пространства Е, непрерывно вложенно-
вложенного в H(fj,), найдется центрированная радоновская гауссовская
мера А на X с Н(\) — Е.
Доказательство. Достаточно заметить, что те же рассужде-
рассуждения, что и в доказательстве теоремы 3.3.2, применимы к Е вме-
вместо Н{и) (с L = X). □
3.3.5. Теорема. Пусть /л и и — две центрированные радонов-
радоновские гауссовские меры на локально выпуклом пространстве X.
Тогда следующие условия равносильны:
(И) существует такая центрированная радоновская гауссов-
гауссовская мера а, что /и, = v * а;
(iii) для всякого выпуклого борелевского множества А спра-
справедливо неравенство 1л(А) < v{A).
Доказательство. Поскольку Q(f) := J f2 d/л - J f'2 dv — не-
неотрицательная квадратичная форма, не превосходящая / /2 d/j,,
то из теоремы 3.3.1 следует существование центрированной ра-
доновской гауссовской меры а с преобразованием Фурье е"^/2,
откуда /и, = и * а. Из (И) очевидным образом следует (i). Кро-
Кроме того, из (iii) вытекает (i), для чего достаточно в качестве А
взять полупространства / < t.
Наконец, если выполнено (и), то в силу неравенства Андер-
Андерсона (см. теорему 2.6.8) получаем (Hi) для выпуклых множеств
А € £{Х). Ниже неравенство Андерсона будет доказано для всех
борелевских выпуклых множеств, но сейчас для завершения до-
доказательства нам достаточно проверить его для всякого множе-
множества А, являющегося выпуклой оболочкой некоторого компакта
К. В свою очередь, для этого достаточно уметь приближать
А выпуклыми множествами из £(Х)„. Ниже будет указан про-
простой конструктивный способ построения таких приближений, но
сейчас мы проделаем это кустарно. В силу радоновости и для
заданного е > 0 существует открытое в слабой топологии мно-
множество We D К, для которого v(We\K) < e. Такое множество
является объединением набора открытых цилиндров, и потому'
в силу компактности К из этого набора можно выделить конеч-
конечное подпокрытие К, что позволяет с самого начала считать W£
3.3. Гауссовские ковариации 105
цилиндром. Поскольку выпуклая оболочка К является объеди-
объединением последовательности компактов
п
Кп = JAiAi + ■ ■ • + Xnkn, Xi > О,- Y, Хг = 1, h G A"},
i
то, выбирая цилиндры Wn D Kn с i/(Wn\/\n) < e2
строить такое множество W £ £(-Y), что А = conv К С W и
/y(W\/l) < e. Существует цилиндрическое множество С, содер-
содержащее W, для которого ^(С\1У) < е. Тогда и{С\А) < 2е. Пусть
С = Р~1(В), где Р: X -> Ж" — непрерывное линейное отобра-
отображение и i? € £?(М"). Так же, как и в главе 2, замечаем, что
-Р(Л) — выпуклый компакт и Р~1(Р(А)) — выпуклый цилиндр,
содержащий А и содержащийся в С. П
Важный открытый вопрос, связанный с предыдущими рас-
рассмотрениями, состоит в том, всегда ли в локально выпуклом про-
пространстве с радоновской гауссовскои мерой можно найти выпук-
выпуклый компакт положительной меры (что возможно, как мы знаем,
для секвенциально полных пространств). Для решения этой про-
проблемы достаточно выяснить, всякое ли линейное подпростран-
подпространство в I2 или Ш°° с гауссовскои мерой содержит выпуклый ком-
компакт положительной меры. Аналогичный вопрос открыт для
выпуклых множеств положительной меры (отметим, что для не-
гауссовских мер ответ отрицательный).
3.3.6. Замечание. Подобно тому как ковариационный опера-
оператор R гауссовскои меры j на гильбертовом пространстве запи-
записывается в виде R = \/Ry/R, в общем случае радоновской гаус-
гауссовскои меры 7 на локально выпуклом пространстве X справед-
справедливо равенство
R-y = SS , . C.3.2)
где S: Е —> X — непрерывный линейный оператор из некоторого
гильбертова пространства Е и 5*: X* -> Е — его сопряженный.
Действительно, можно положить Е — X* и Sf = i?7/. Тогда 5*
оказывается тождественным вложением X* в X*. Отметим, что
при любом выборе Е и S из C.3.2) вытекает равенство
S(E)=H(-y).
Действительно, ввиду равенства E*/, S* f)E = i?7(/)(/) опера-
оператор S* продолжается до непрерывного оператора из X* в Е, и
потому Ry(X*) С S(E) в силу C.3.2). Обратное включение выте-
вытекает из теоремы Хана-Банаха, ибо множество S*S(U) = Ry(U),
106 Глава 3. Радоновские меры
где U — замкнутый единичный шар из Х7, компактно в X. Если
бы существовал единичный вектор е £ Е с 5(е) 0 R7(U), то
нашелся бы функционал / £ X*, для которого /(S(e)j > 1,
f(sS*(g)) < 1 для всех д £ U. Тогда (S*f,e)E > 1, откуда
|5*/|Е > 1- С другой стороны, (S*f,S*g)E < 1, V# G С/.откуда
|5*/|в < 1 — противоречие. Сказанное относится и к негаус-
совским мерам, имеющим ковариационные операторы. Этот ре-
результат получил Н. Н. Вахания (см. [28], [29], [32]). Помимо
самостоятельного интереса, с его помощью иногда удобно опи-
описывать подпространство Камерона-Мартина (и его аналоги для
негауссовских мер).
3.4. Структура
радоновских гауссовских мер
Следующий фундаментальный результат получен Б. С. Ци-
рельсоном [147].
3.4.1. Теорема. Пусть ~у — гауссовская мера на локально вы-
выпуклом пространстве X. Тогда существует такая последова-
последовательность метризуемых компактов Кп, что
Доказательство. Пусть е > 0. Докажем, что существует та-
такое компактное множество К, что "у{К) > 1 — е, и исходная
топология на К метризуема. Основная идея построения состо-
состоит в следующем. Можно считать, что мера 7 имеет нулевое
среднее и X — наименьшее замкнутое линейное подпростран-
подпространство полной меры (существование наименьшего замкнутого ли-
линейного подпространства полной меры вытекает из закона 0-1
и существования топологического носителя). Мы найдем погло-
поглощающее множество Т С X* и наделим его некоторой сепара-
бельной метрикой d. Затем будет найдено такое компактное
множество К С X с ^{К) > 1 — £, что для всякого х £ К функ-
функция Fx: g н-> д(х) на (T,d) непрерывна. Предположим, что это
сделано. В таком случае исходная топология X метризуема на
К. Действительно, исходная топология на К совпадает со сла-
слабой топологией а(Х,Х*), поскольку К компактно. Пусть Q —
счетное множество, плотное в (T,d). Всякий функционал / £ Т
3.4. Структура радоновских гауссовских мер 107
является поточечным пределом на К некоторой последователь-
последовательности элементов /n € Q, поскольку, в силу выбора Т, для любого
х € К функции д н-> д{х) непрерывны на (T,d). Следовательно,
.fn{x) —> /(ж) для любого ж £ i£. Поскольку элементы Т разделя-
разделяют точки множества К, то сказанное означает, что и элементы
Q разделяют точки К. Таким образом, К — метризуемый ком-
компакт (см. Дополнение).
Теперь выберем Т. Это будет множество
где S — произвольное компактное подмножество X положитель-
положительной меры (такое множество существует, так как 7 — радонов-
ская мера). Другими словами, Т — поляра S. Зададим метрику
г на Т формулой
\\
Отметим, что г — действительно метрика, ибо в силу совпа-
совпадения X с носителем j равенство f{x) — д(х) = 0 для 7"п-в' х
означает, что f(x) — д(х) =0 (в противном случае найдется за-
замкнутая гиперплоскость полной меры). Пусть
5* = ji£l: sup|Z(x)| < l}.
Тем самым, 5* — биполяра 5 и потому совпадает с замкнутой аб-
абсолютно выпуклой оболочкой 5 (см. [155, с. 160, теорема IV. 1.5]).
Обозначим через Е линейное подпространство [J^L^nS*. По-
Поскольку Е содержит S, то в силу закона 0-1 оно имеет полную ме-
меру. Рассмотрим случайный процесс £(t,x) = t(x), t € Т, х € Е,
где Е наделено мерой 7- Ясно, что £ — гауссовский процесс, при-
причем supT\^(t,x)\ < оо для всех х £ Е. Согласно теореме 3.2.6,
пространство (Т,г) сепарабельно. В силу предложения 2.4.10,
процесс £ на Т допускает сепарабельную модификацию £°. По
теореме Ито-Нисио 2.4.9 существует такая функция а на Т, что
множество
x£E: limsup£°(<,y)-liminfC°(*,y) = a(i), Vi G
имеет 7-меру 1. Отметим, что функция а конечна ввиду соот-
соотношения supr |£(£,ж)| < оо при х £ Е. Теперь определим новую
метрику d на Т по формуле
108 ^ Глава 3. Радоновские меры
Заметим, что (Т, d) сепарабельно. В самом деле, возьмем такое
счетное подмножество пространства (Т,г), что множество пар
(q, a(q) J, q £ Q, плотно в графике функции а на (Т, г). Это воз-
возможно, поскольку пространство (Т, г) х IR сепарабельно. Ясно,
что Q плотно в (T,d). Наконец, заметим, что для всякого z (E Z
функция t н-> £°(£, z) непрерывна на (Т, d).
Остается взять такое компактное множество К С Z, что
7(К) > 1 - е и t(z) = £°(t,z) при z € Z, t € Т. Покажем, что
это возможно. На пространстве С = Сь(Т) ограниченных непре-
непрерывных функций на (Т, d) можно ввести такую метрику д, что
(С, £>) сепарабельно, причем отображения Ft : f н-> f(t), t G T,
непрерывны в метрике £>. Выбрав счетное всюду плотное мно-
множество То и счетный базис {Un} топологии в (T,d), в качестве
такой метрики можно взять функцию
e(f,g) = sup2-"[|Mn(/) - Мп(д)\ + \mn{f) - mn{g)\],
где Mn(f) = supUnnToaictgf(t), mn{f) = mfUnr\Toaictgf{t). 3a-.
метим, что функции Ft порождают борелевскую <7-алгебру (С, д).
Отображение Ф, переводящее х в £°( • ,х) 6 С, является борелев-
ским. В силу сепарабельности С и радоновости 7, существует
такой компакт КЕ С X, что 'у(Ке) > 1 — е и отображение Ф
непрерывно на К£ (это доказывается точно так же, как и клас-
классическая теорема Лузина). Вспоминая, что £° — версия £, полу-
получаем j(x: £°(£,ж) = t(x)> = 1 для всякого t £ Т. Для каждого
t € Т множество
K{t) = {xe K£: $°(t,x) = t(x), t € S}
имеет меру ~f(Ke). В силу выбора К£ и непрерывности функцио-
функционалов t, все эти множества компактны. Поскольку сужение 7 на
К£ — мера Радона, то пересечение компактов K{t) также имеет
меру ^{К£) (см. задачу А.3.33 в Дополнении). Это пересечение
мы и возьмем в качестве К. П
3.4.2. Следствие. Всякая секвенциально непрерывная функ-
функция измерима относительно радоновской гауссовской меры.
Из теоремы Цирельсона вытекает следующая теорема об изо-
изоморфизме.
3.4.3. Теорема. Пусть р, и и — центрированные радоновские
гауссовские меры на локально выпуклых пространствах X и Y
3.4. Структура радоновских гауссовских мер 109
соответственно, причем dim H(/j,) = dimi?(^) = 00. Тогда из-
измеримые пространства (X, ц) и (У, и) линейно изоморфны в сле-
следующем смысле: существуют борелевские и суслинские линей-
линейные подпространства Хо С X и Уо С У и взаимно-однозначное
борелевское линейное отображение Т: Хо —> Уо, такие, что
/.,.(Х0) = u{Y0) = I и ц о Т - v.
Доказательство. Пусть 7 — счетное произведение стандарт-
стандартных гауссовских мер на прямой. Выберем метризуемый ком-
компакт К С X положительной /t-меры. Существует последова-
последовательность {/„} С X*, разделяющая точки линейной оболочки
Х\ множества К. С помощью процесса ортогонализации мож-
можно добиться того, чтобы последовательность {/п} оказалась ор-
тонормированным базисом в X*. Отображение F: Х\ —> Ш°°,
Fx — \ fn{x)) > линейно, непрерывно и инъективно. Ясно, что
/х о F~J = 7- Пространство Х\ представляет собой счетное объ-
объединение метризуемых компактов, в частности, является суслин-
ским. Этими свойствами обладает и его образ F(X\), имеющий
полную меру относительно ■у. Для меры и находим пространство
Y\ С Y и непрерывное линейное отображение G: Y\ —> Ш°° с ана--
логичными свойствами. Пусть Z = F(Xi) П G{Y\). Тогда Z —
а-компактное линейное пространство полной 7~меры. Положим
Хо = F~l{Z), УЬ = G~1(f(X0)). Отображение Т = G^F: Хо ->
Уо линейно и взаимно-однозначно. Заметим, что ввиду теоремы
А.3.15 Дополнения оба отображения F и G переводят борелев-
борелевские множества в борелевские. Поэтому отображения Т и Т~1
— борелевские, а множества Хо и Уо — борелевские и суслин-
суслинские. Ясно, что /л(Хо) = 1. Следовательно, ry(F(Xa)) = 1, откуда
г^(У0) = 1. Поэтому fj, о Т~1 = и. О
ЗЛА. Теорема. Пусть 7 — центрированная радоновская га-
уссовская мера на локально выпуклом пространстве X, Н =
H{l)> {еп} — оргпонормир о ванный базис в Н, {£п} — последо-
последовательность независимых стандартных гауссовских случайных
величин на вероятностном пространстве (fi,P) и А £ С(Н).
Тогда ряд
£пМАеп C.4.3)
п=1
п. и. сходится в X. Распределение его суммы является гауссов-
ской мерой Радона с ковариацией
= (A*Rr(f),A*Rr(f))H.
110 Глава 3. Радоновские меры
В частности, если А = I, то
ОС =1
n=l
Доказательство. Можно свести эту теорему к случаю А = I,
однако мы рассмотрим сразу общую ситуацию. По теореме 3.3.1
существует центрированная гауссовская мера Радона Л на X с
преобразованием Фурье
Пусть 5 — случайный вектор с распределением Л, определен-
определенный на том же вероятностном пространстве, что и {£п}- Этого
всегда можно добиться. Например, если пространство Х^ беско-
бесконечномерно, то в качестве (Q, Р) можно взять (X, А), в качестве
{£„} — произвольный ортонормированный базис в Х^ и поло-
положить S(x) = х. Для всякого д 6 X* ряд J2%Li Z,ng{Aen) сходится
почти наверное к g{S). В самом деле,
n=l n=l
n=l
Заметим, что достаточно доказать сходимость ряда C.4.3) в
пополнении X, поскольку 5 с вероятностью единица попадает в
X. Таким образом, можно считать с самого начала, что X пол-
полно. Тогда существует такое абсолютно выпуклое метризуемое
компактное множество К, что \{К) = P(S € К) > 0. Поэтому
\{пК) = P{s е пК) -> 1.
Исходная топология совпадает со слабой на множестве К вви-
ввиду его компактности. Следовательно, в силу метризуемости К
найдется счетное семейство непрерывных линейных функциона-
функционалов {gi}, порождающее топологию К, а значит, и топологию ка-
каждого множества пК. К сожалению, это семейство не обязано
порождать топологию объединения пК (например, в I2 со сла-
слабой топологией координатные функции порождают топологию
каждого шара, но не всего пространства). Таким образом, нам
3,4. Структура радоновских гауссовских мер 111
предстоит вывести сходимость нашего ряда в X из того, что с
вероятностью единица gi(Sn) -> gi(S) для каждого г, где
1=1
Быстрейший способ сделать это состоит в доказательстве того,
что с вероятностью единица последовательность Sj остается в
одном из множеств пК. Обозначив через q функционал Минков-
ского К, достаточно проверить, что
sup q(Sj) < со п.н.
i
Для этой цели заметим, что последовательность конечномерных
векторов Sj образует мартингал относительно последовательно-
последовательности ст-алгебр <jj, порожденных £i,... ,£у. Тогда последователь-
последовательность q(Sj) является субмартингалом (см. йадачу А.3.35). Кова-
риации Sn даются равенствами
Rsn(g)(g) =
где Рп — ортогональная проекция в Н на линейную оболочку
е\,...,еп. Эти ковариации мажорируются ковариацией 5, по-
поскольку \Pnh\n < Щн, V/i G Н. Согласно теореме 3.3.5, для
всякого симметричного выпуклого множества С имеем
P(Sn €С)> P(S € С).
Это означает, что lEq(Sn) < lEq(S), где правая часть конечна по
теореме Ферника. В силу теоремы А.3.6 в Дополнении, получаем
нужное утверждение. П
3.4.5. Следствие. Пусть -у — центрированная радоновская
гауссовская мера на локально выпуклом пространстве X, {£„}
— ортонормированный базис в X* и еп — Й7(£п). Тогда для
всякой функции / Е Lp(-f) функция
fn{x)= Jf(Pnx + Sny)j{dy),
X
п оо
где Рпх = Yl £i(x)e-i, Sny = ^ ^г(у)еь служит условным ма-
г=1 г=гг+1
тематическим ожиданием f относительно а-алгебры, порож-
порожденной £i,.-.,£n- В частности, {/„} —>• / в Lp(j) и j-почти
112 Глава 3. Радоновские меры
всюду. Аналогичное утверждение справедливо для интегриру-
интегрируемых по Бохнеру отображений со значениями в банаховых про-
пространствах.
Доказательство. Для любой ограниченной борелевской функ-
функции g вида д(х) — д{Рпх) по теореме 3.4.4 справедливо равенство
I f(x)g(Pnx)-y(dx) =
X 1R00 п~У г~1
где /г — счетное произведение стандартных гауссовских мер
на прямой. Аналогично,
jn{x)g{Pnx)-i(dx) =
х
ю№ ю№ 7 —J
Теперь остается заметить, что /./. совпадает с произведением мер
n oo
(^)/ii И
(=1 г=п + 1
Следовательно, по теореме Фубини, интегралы в правых частях
этих двух равенств совпадают. Итак,
f(x)g{xI{dx) = I fn(x)g(xI(dx),
что показывает совпадение fn с условным математическим ожи-
ожиданием / относительно указанной а-алгебры. LJ
Отметим, что в случае сепарабельного банахова простран-
пространства теорема 3.4.4 доказывается гораздо проще. Например, она
легко выводится из теоремы о сходимости мартингалов со значе-
значениями в сепарабельном банаховом пространстве. Если X — се-
парабельное гильбертово пространство, то этот результат ста-
становится почти тривиальным. Для того чтобы получить какой-
нибудь ортонормированный базис {еп} с указанным свойством,
достаточно взять ортонормированный базис {/„} в X, обра-
образованный собственными векторами ковариационного операто-
оператора меры 7- Если {кп} — соответствующие собственные чи-
числа, то векторы еп = \fk^fn образуют ортонормированный ба-
базис в Н('у). Ясно, что х = J2n£n(x)en, где £га(ж) = хп/\/к^,
3.4. Структура радоновских гауссовских мер 113
В случае, когда X — сепарабельное банахово пространство,
РЯД Z)n£n(x)en сходится к х не только почти всюду, но и по
норме в Lp(j,X) для всех р > 1.
3.4.6. Теорема. Пусть j — центрированная гауссовская ме-
мера на сепарабельном банаховом пространстве X с нормой || • ||,
{ei} — ортюнормированный базис в Н = H(-f) и {&} — после-
последовательность независимых стандартных гауссовских случай-
случайных величин на вероятностном, пространстве ($7, Р). Тогда для
всякого А € С-(Н) при достаточно малых с > 0 справедливо со-
соотношение
/
ехр
P{duj) = 1.
п
В частности,
и
Доказательство. Действительно, неотрицательные функции
/„(cj) =exp(c "
сходятся почти всюду к 1. Поэтому для доказательства сходи-
сходимости к 1 их интегралов достаточно получить оценку
оо.
Такая оценка имеет место, если с > 0 согласно теореме Ферника
выбрано так, что
expBc||S||2) (IP < оо,
где 5 = Y^x&Ae-i- Действительно, это вытекает из теоре-
теоремы 3.3.5, применяемой к распределению гауссовского случайного
вектора
i=n+l
и мере PoS~l (эта мера — гауссовская ввиду гауссовости £;).
Поскольку для всякого / € X* имеем
оо ,.
l{YnJdP= J2 КМ? < KSfdP,
h i=n + \ -п
114 Глава 3. Радоновские меры
то упомянутая теорема дает оценку
|expBc||Fn||2) dP < I exp{2c\\Sf) dP
а а
Конечно, то же самое можно усмотреть и из теоремы о сходи-
сходимости векторных мартингалов. П
3.4.7. Следствие. Для всякого р > 1 справедливо равенство
I =0.
3.4.8. Замечание. Следует иметь в виду, что в приведенном
рассуждении нельзя заменить сепарабельную норму || • || на про-
произвольную измеримую норму. Соответствующий контрпример
можно извлечь из примера 3.5.3.
3.4.9. Теорема. Пусть 7 — центрированная гауссовская ме-
мера на сепарабелъном банаховом пространстве X с нормой || • ||.
Тогда можно найти такой ортонор мир о ванный базис {еп} в
{), что
п=1
Доказательство. Пусть {^п} — какой-нибудь ортонормиро-
ванный базис в H(j). Поскольку ряд Yl^=i фпФп сходится в про-
пространстве Ь'2('у,Х), то существует такая возрастающая последо-
последовательность натуральных чисел кп, что
/ Е ФМЩх1^х)<оо. C.4.4)
n=l J j=kn+l
Идея доказательства — заметить, что для каждого п существу-
существует такой ортогональный оператор Un в конечномерном подпро-
подпространстве Нп С ЯG), порожденном векторами ipj, j = kn +
l,...,kn+i, что
C-4.5)
У" \\и ф-
. К+1
,2 <- / II \"^ ~7~~.( \ 1
1 — /|| ' ' rj\£)yjj
j=kn+l
3.4. Структура радоновских гауссовских мер 115
Если это уже сделано, то можно положить е& := ipk при
к < fei, ek := ипфк при кп + 1 < к < kn+i, n e IN. Ясно, что
получится ортонормированный базис, причем в силу C.4.4) и
C.4.5) он обладает требуемым свойством.
Существование ортогональных операторов Un со свойством
C.4.5) устанавливается следующим образом. Обозначим через
Un группу всех ортогональных операторов на Я„, где Нп рассма-
рассматривается с евклидовой нормой из Hfa), которую для упрощения
обозначений в этом доказательстве будем обозначать через | • |.
Поскольку Ып — компактная группа, то на ней существует ин-
инвариантная вероятностная мера Хаара ц (см., например, [159,
с. 350]). Обозначим через Sn единичную сферу в евклидовом
пространстве Нп. Для всякого е Е Sn образ меры \х при отобра-
отображении U н-» Ue совпадает с нормированной лебеговской поверх-
поверхностной мерой (Т на 5П, ибо является сферически-инвариантной
вероятностной мерой (которая единственна). Поэтому
/ \\Ue3\\2 v(dU) = f ||e||2a(de), V; = kn + 1,...,kn+1.
Un JSn
Обозначим через 7П стандартную гауссовскую меру на Нп и
возьмем меру и с плотностью (dimi^n)! • |2 относительно ме-
ме()!
ры 7п- Тогда v — вероятностная мера. Используя то, что образ
меры v при отображении у н-» j/Ij/I — также мера а (в силу
сферической инвариантности этого образа), получаем по фор-
формуле замены переменных
(dim ЯО / h\\2ln{dy)= f ±\(dy)=[ \\ef a(de)
JHn Jhu \y\ Jsn
Поскольку 7„ есть образ меры 7 при отображении
кп + 1
то приходим к следующей цепочке равенств:
I
e||2 a(de) =
116 Глава 3. Радоновские меры
Из этого соотношения вытекает существование оператора Un,
удовлетворяющего C.4.5), ибо \х — вероятностная мера. D
Однако не всякий ортонормированный базис в Н(*у) имеет
указанное в предыдущей теореме свойство. Например, если X —
со и 7 — счетное произведение одномерных центрированных нор-
нормальных распределений с дисперсиями
то векторы еп = @,..., <тп, 0,...) образуют ортонормированный
базис в Н(-у) и [|е„||2 = (\п(п + 1)) • Можно построить ана-
аналогичный пример и для классического винеровского простран-
пространства. Разумеется, для всякого ортонормированного базиса в
H(-f) справедливо соотношение ||еп|| —> 0, поскольку Н{^) ком-
компактно вложено в X.
В следующей теореме речь идет об условных мерах — объек-
объекте, родственном условному математическому ожиданию.
3.4.10. Теорема. Пусть 7—центрированная радоновская га-
уссовская мера на локально выпуклом пространстве X, h €
#G) — вектор единичной длины и Y — такая замкнутая ги-
гиперплоскость, что X = УфШ,1/*. Обозначим через v образ меры
7 при естественной проекции X —> Y. Тогда для всякого у € Y
можно выбрать гауссовскую меру ^у на у + Ш,1/», для, которой
C.4.6)
При этом мера ^у имеет среднее у — h(y)h и ковариацию / н-»
f(hJ, т.е. есть образ стандартной гауссовской меры на Ш1
при отображении t ь-> th + у — h(y)h и при естественной пара-
параметризации t н-> у + th мера jy имеет плотность р( ■, —h(y), 1),
где h — собственно линейная версия.
Доказательство. Нетрудно проверить, что функция множест-
множества в правой части C.4.6) корректно определена (т.е. функция
У ^ 1У{В) ^-измерима) и является радоновской мерой. Поэто-
Поэтому для доказательства этого равенства достаточно проверить
совпадение преобразований Фурье обеих мер. Пусть / G X*.
Тогда 7(/) = exp( — 2a(f}2)- ^ ДРУг°й стороны,
=ехр[г/(у- h{y)h) - \f(hJ].
3.4. Структура радоновских гауссовских мер 117
Чтобы проинтегрировать это выражение по мере и, заметим,
что Y = д~1@) для некоторого д 6 X*. При этом можно счи-
считать, что g(h) = 1. Тогда естественная проекция X —> Y имеет
вид х i-> х — g[x)h. По формуле замены переменных с учетом
равенства h(h) = 1 получаем
ехр [г/ (х - g(x)h - h(x)h + g(x)h)}
Остается заметить, что
f(hJ + a(f - f(h)hJ = f(hJ + a{ff - G)
что равно сг(/J, ибо (f,h)L*(y) = f(h)- □
3.4.11. Следствие. Пусть Е С #G) — конечномерное ли-
линейное подпространство, Y — такое замкнутое линейное под-
подпространство в X, что X = Y ф Е, v — образ 7 при есте-
естественной проекции X —> Y. Тогда для всякого у Е Y можно
так выбрать гауссовские меры *уу на Е + у, что справедливо
равенство C.4.6). При этом меры 7У обладают плотностями
относительно естественных лебеговских мер на Е + у.
3.4.12. Замечание. Для существования условных гауссовских
мер на Е + у не обязательно, чтобы Е содержалось в Н{^) или
было конечномерным. Однако в общем случае условные меры
могут оказаться сосредоточенными в точках. Например, так
произойдет, если Е П Hfa) = 0 ввиду сингулярности сдвигов на
векторы из такого Е.
118 Глава 3. Радоновские меры
3.5. Носители гауссовских мер
3.5.1. Теорема. Пусть 7 — радоновская гауссовская мера на
локально выпуклом пространстве X. Тогда топологический
носитель 7 совпадает с аффинным подпространством
где Н{^) обозначает замыкание в X. В частности, носитель
7 сепарабелен.
Доказательство. Без потери общности можно считать, что 7
— центрированная мера. Пусть L — замыкание H(j). Ясно,
что -y(L) = 1, поскольку, ввиду теоремы 3.4.4, 7-почти всякий
элемент х есть предел линейных комбинаций еп Е H(-f). Таким
образом, топологический носитель 57 содержится в L. Пред-
Предположим, что найдется х € L, не принадлежащий 57. Тогда х
содержится в некотором открытом множестве V нулевой меры.
8 V имеется какой-то элемент h Е Н{^)-. Следовательно, откры-
открытое множество W = V — h также имеет меру нуль. Кроме того,
оно содержит нуль. Из существования топологического носите-
носителя вытекает, что объединение всех множеств W + h, h € H(j),
имеет меру нуль. Остается заметить, что это объединение по-
покрывает L, что противоречит равенству -y(L) = 1. П
3.5.2. Определение. Будем называть радоновскую гауссов-
скую меру невырожденной, если ее топологический носитель —
все пространство.
Ясно, что мера 7 является невырожденной тогда и только
тогда, когда ее пространство Камерона-Мартина всюду плотно.
Может возникнуть впечатление, что теорема 3.4.1 позволяет
свести изучение общих радоновских гауссовских мер к рассмо-
рассмотрению мер на метризуемых локально выпуклых пространствах.
Следующий пример показывает, однако, что это не так.
3.5.3. Пример. Пусть X — пространство /°°, наделенное то-
топологией cr(l°°, I ), и пусть 7 — ограничение на 1°° счетного про-
произведения одномерных центрированных гауссовских мер с дис-
дисперсиями а\ = 1п(п + 1). Тогда: (i) 7 — радоновская гауссовская
мера на X, но "у{Е) = 0 для всякого сепарабельного простран-
пространства Фреше Е, непрерывно вложенного в X;
(и) мера 7 продолжается до центрированной гауссовской ме-
меры на £A°°) (где /°° рассматривается с топологией нормы), не
являющейся м"ерой Радона, но имеющей сепарабельное I? и се-
парабельное пространство Камерона-Мартина.
3.5. Носители 119
Доказательство. Доказательство (i) основано на следующих
двух фактах, которые легко проверить непосредственно:
1/2
1—' с
" \dt>0
f ос f
I p(t, О, al) dt = O, JJ /
™=1
для достаточно больших R. По теореме Банаха-Алаоглу множе-
множества
KR = [х е Г: ЦжЦоо < Я}
компактны в ГZ°°, cr(Z°°, Z1) J. Мера 7, определенная на Ш°°, скон-
сконцентрирована на их объединении. В силу теоремы А.3.19 из
Дополнения, ограничение 7 на пространство X, наделенное а-
алгеброй, порожденной координатными функциями, однозначно
щэодолжается до радоновской меры на 1°° со *-слабой топологи-
топологией a(l°°,ll). Это продолжение — гауссовская мера. Предполо-
Предположим теперь, что Е — сепарабельное пространство Фреше, не-
непрерывно вложенное в X. В этом случае существует открытая
окрестность нуля U в Е, содержащаяся в i^i/2 и потому имеющая
7~меру нуль. Применяя теорему 3.5.1, мы видим, что 7 обраща-
обращается в нуль на Е. Утверждение (ii) вытекает из того факта,
что всякий функционал из A°°)* измерим относительно лебегов-
ского пополнения сг(/°°,1!1)-цилиндрической сг-алгебры с мерой 7
(см. следствие 3.9.4). О
3.5.4. Замечание. В связи с существованием счетно-аддитив-
счетно-аддитивного продолжения меры 7 на а-алгебру, порожденную (/°°)*, уме-
уместно отметить, что такое продолжение невозможно на ВA°°) (см.
предложение 3.9.5).
Сделаем несколько замечаний о линейных носителях гауссов-
ских мер. Терминология здесь отличается от использовавшейся
выше, где обсуждались топологические носители. Будем гово-
говорить, что мера ц на локально выпуклом пространстве X имеет
банахов (или гильбертов) носитель, если существует непрерыв-
непрерывно вложенное сепарабельное банахово (соответственно, сепара-
сепарабельное гильбертово) пространство В С X полной //-меры.
В типичных случаях носитель в этом смысле не является то-
топологическим носителем, так как В не обязано быть замкну-
замкнутым в X. Например, пространство С[0,1] является банаховым
носителем меры Винера, рассматриваемой на L2[Q, 1], а замыка-
замыкание гельдерова пространства i?2/3[0,1] в гельдеровом простран-
пространстве i?3/4[0,1] является банаховым носителем меры Винера на
120 Глава 3. Радоновские меры
С[0,1] (напомним, что сами гельдеровы пространства несепара-
бельны). Следующая теорема показывает, что на пространствах
Фреше все радоновские меры (не обязательно гауссовские) име-
имеют рефлексивные банаховы носители.
3.5.5. Теорема. Пусть ц — мера Радона на пространстве
Фреше X. Тогда существует линейное подпространство Е со
следующими свойствами:
(i) на Е определена норма || ■ \\е, относительно которой оно
является рефлексивным сепарабельным банаховым прост-
пространством, причем замкнутый единичный шар по этой нор-
норме - компакт в X;
(и) справедливо равенство \ц\(Х\Е) = 0.
Доказательство. Можно считать, что /л неотрицательна. Для
всякого п существует компактное множество Кп, удовлетворя-
удовлетворяющее условию ц(Х\Кп) < 1/п. Найдем такие числа сп > 0,
что множество спКп содержится в шаре (относительно метри-
метрики, порождающей топологию X) радиуса 1/п с центром в ну-
оо
ле. Множество (J спКп, как легко видеть, вполне ограничено
п=г
и потому имеет компактное замыкание К. Известно (см. [159,
лемма 9.6.4]), что существует такое абсолютно выпуклое ком-
компактное множество А, что К — компакт как подмножество ба-
банахова пространства ЕА (линейной оболочки А) с функционалом
Минковского рА в качестве нормы. Повторное применение этой
леммы дает еще большее абсолютно выпуклое компактное мно-
множество С D А такое, что А компактно как подмножество Ес с
нормой рс. Согласно факторизационной лемме Дэвиса-Фигеля-
Джонсона-Пелчинского (см. [59, с. 124]), существует банахово
пространство У, которое рефлексивно, непрерывно вложено в
Ес и, кроме того, единичный шар ЕА ограничен в У. Заметим,
что К — компакт в У в силу компактности К в ЕА и непре-
непрерывности вложения ЕА —> У. Пусть Е — замыкание линейной
оболочки К в Y. Тогда Е — рефлексивное сепарабельное (вви-
(ввиду компактности К в У) банахово пространство, которое имеет
полную меру. Замкнутый единичный шар UE из Е предкомпак-
тен в X, ибо С компактно, а вложение У —> Еа непрерывно.
Более того, UE — компакт в X, ибо в силу рефлексивности Е
множество UE слабо компактно в Е, значит, оно слабо компакт-
компактно и в X, откуда вытекает его замкнутость в X. П
Гильбертов носитель существует отнюдь не всегда.
3.6. Измеримые линейные операторы 121
3.5.6. Пример. Пусть 7 — радоновская гауссовская мера на
пространстве X = Lr(P), где Р — вероятностная мера. Предпо-
Предположим, что H(j) = Т(Х), где оператор Т € £(Х) — не ядерный
(что равносильно тому, что J2 лАп = оо, где кп — собственные
п=1
числа ковариационного оператора меры 7)- Тогда j(E) — 0 для
всякого гильбертова пространства Е, непрерывно вложенного в
L2(P) и содержащегося в L°°(P).
Доказательство. Будем считать, что мера 7 симметрична.
Выберем замкнутое сепарабельное подпространство Хо полной
7-меры. Достаточно доказать, что ^(Е П Xq) = 0- Заметим,
что Eq = Е П Xq — замкнутое подпространство Е. По лемме
А.2.15 пространство Eq с нормой из Е сепарабельно. Следова-
Следовательно, всякое борелевское множество в Eq (с его гильбертовой
нормой) является борелевским и в X. Тем самым, ограничение
7 на Eq является борелевской мерой на Eq. Если ^(Eq) > 0, то
^(Eq) = 1 согласно закону 0-1 и 7 на Eq является гауссовской
мерой. Пространство Камерона-Мартина H(j) не зависит от
того, рассматриваем ли мы 7 на X или на Eq. Значит, вло-
вложение Н(-у) —» Eq — оператор Гильберта-Шмидта. По лемме
А.2.12, вложение Eq —> L2(P) — также отображение Гильберта-
Шмидта. Следовательно, вложение Н(^) —> L2(P) — ядерный
оператор вопреки условию. П
3.5.7. Пример. Пусть Pw — классическая мера Винера на
пространстве С[0,1]. Тогда Pw (E) = 0 для всякого гильбертова
пространства Е, непрерывно вложенного в С[0,1].
Доказательство. Достаточно вспомнить, что ковариационный
оператор меры Винера на L2[0,1] имеет собственные значения
с{п - 1/2)-2. □
3.6. Измеримые линейные операторы
3.6.1. Определение. Пусть 7—радоновская гауссовская ме-
мера на локально выпуклом пространстве X uY — локально вы-
выпуклое пространство. Отображение F: X —> (Y,£(Y)) назы-
называется ^-измеримым линейным оператором (^у-измеримым ли-
линейным отображением), если существует такое линейное ото-
отображение Fq: X —)■ У, измеримое относительно пары а-алгебр
(B{X)()
Отображение Fo называется собственно линейным.
122 Глава 3. Радоновские меры
Простейший пример измеримого линейного оператора — не-
непрерывный линейный оператор. Следующее простое следствие
теоремы 3.4.4 позволяет несколько ослабить условие непрерыв-
непрерывности (впрочем, для большинства пространств, встречающихся
в приложениях, это не приводит к реальному ослаблению).
3.6.2. Предложение. Пусть 7 — центрированная радонов-
ская гауссовская мера на локально выпуклом пространстве X
и А: X —>■ Y — секвенциально непрерывное линейное отображе-
отображение со значениями в локально выпуклом пространстве Y. То-
Тогда отображение А — 7-измеримый линейный оператор. Кроме
гпого, мера г)оА~1 — центрированная радоновская гауссовская
мера на пространстве Y.
Доказательство. Оба утверждения вытекают из того факта,
что мера ■у сосредоточена на счетном объединении метризуемых
компактов, а секвенциально непрерывное отображение метризу-
емого компакта К в Y непрерывно и потому 7-измеримо (при
этом 7|лг°^4~1 — радоновская мера). LJ
Применим теперь теорему 3.4.4 для исследования структуры
измеримых линейных отображений в локально выпуклом про-
пространстве X с центрированной радоновской гауссовской мерой
7- Следующий результат является одним из классических в этом
круге вопросов.
3.6.3. Теорема. Пусть 7 — центрированная радоновская га-
гауссовская мера на локально выпуклом пространстве X.
(i) Пусть F: X —>■ X — ^-измеримое линейное отображение,
fj. = 7 ° F . Если II — радоновская мера на X, то, обо-
обозначая через Fq линейную версию F, получаем
При этом отображение Fq: Н(у) —>■ Н(ц) — непрерывный
оператор между этими гильбертовыми пространствами.
(И) Пусть /л — произвольная центрированная радоновская га-
гауссовская мера на X. Если пространство Н(-у) беско-
бесконечномерно, то существует такое ^-измеримое линейное
отображение F в X, что /л = 7 ° F~1. Если Н(/л) так-
также бесконечномерно, то отображение F можно выбрать
так, что его собственно линейная версия будет изомет-
рией пространств Н{у) и H(/_i).
3.6. Измеримые линейные операторы 123
Доказательство, (i) Ясно, что /л — центрированная гауссов-
ская мера. Включение Fq(h(^)\ С Н(ц) вытекает из характери-
зации Н{^) как совокупности всех векторов h с тем свойством,
что 7/г ~ 7- Поскольку по предположению /л — радоновская ме-
мера, то обратное включение можно усмотреть из того факта, что
любой вектор h = R^g вида д 6 X* равен Fqv, где v = R7f,
f = cjoFq. В самом деле, для каждого I £ X* имеем
= J l(x)g{x) (i(dx) = I l(Fo(x))
г
что совпадает с loFo(x)f(x) 'y(dx) = loFo(R7f) = I(Fqv), ибо
■У
функционал I о Fq непрерывен на Н{^). Непрерывность отобра-
отображения Fq: if G) —> Н(ц) следует из непрерывности Fo: if G) —>■ X
и теоремы о замкнутом графике, которая применима, поскольку
H(i-l) непрерывно вложено в X.
(ii) Это — непосредственное следствие теоремы 3.4.4. Дей-
Действительно, пусть {£„} — ортонормированный базис в X*, а {еп}
— ортонормированный базис в Н(ц). Тогда отображение
п=1
определено (в случае, если базис {еп} конечен, дополняем его
до счетной последовательности нулевыми векторами), является
измеримым линейным оператором и ^oF~l = \x. Если базис
{еп} бесконечен, то в него переходит ортонормированный базис
if G), соответствующий {£п}- П
3.6.4. Замечание. В связи с утверждением (i) предыдущей
теоремы следует иметь в виду, что образ радоновской гауссов-
ской меры 7 при измеримом линейном отображении Т не обязан
быть радоновской мерой.
3.6.5. Пример. Пусть 7 — построенная в примере 3.5.3 мера
и Т — тождественное отображение /°° с топологией сгA°°, I1) в /°°
с топологией аA°°,A°°)*). Как отмечалось в примере 3.5.3, это
отображение измеримо относительно ст-алгебр 6u°°,cr(/o°,/1)J и
£A°°), но мера 7°^'~1 (т.е. продолжение меры 7 на сг-алгебру,
порожденную (Iе0)*) не радонова.
124 Глава 3. Радоновские меры
3.6.6. Теорема. Пусть ■у — центрированная радоновския га-
уссовская мера на локально выпуклом пространстве X и про-
пространство Камерона-Мартина Н = Н(у) наделено его гиль-
гильбертовой нормой | • \н = | • \н(у)- Тогда всякий оператор
А 6 С(Н) продолжается до измеримого линейного отображе-
отображения А: (Х,В(Х)у) —» (X, В(Х)). Любые два таких продолже-
продолжения совпадают 7-п. в. Кроме того, образ 7 относительно этого
продолжения является мерой Радона.
Доказательство. С самого начала заменим X на линейную
оболочку какого-нибудь метризуемого компакта положительной
7-меры. Такая линейная оболочка, как мы знаем, является счет-
счетным объединением метризуемых компактов (в частности, су-
слинским пространством), что заметно упрощает разные вопро-
вопросы, связанные с измеримостью. Пусть {/„} — такой ортонор-
мированный базис в X*, что /„ 6 X*. Тогда векторы еп = R7fn
образуют ортонормированный базис в Н{у) и /„(е^) = &nk- Со-
Согласно теореме 3.4.4, ряд
fn(x)Aen
сходится 7-п.в. Обозначим его сумму, определенную на мно-
множестве Хо тех х, где ряд сходится, через Ах. Поскольку мы
имеем дело со счетным объединением метризуемых компактов,
то ясно, что Хо — борелевское линейное подпространство и А
— линейное отображение, которое измеримо относительно пары
сг-алгебр (B(X)j,B(X)). Здесь уместно пояснить, что в случае
произвольного локально выпуклого пространства X предел по-
последовательности борелевских отображений может не быть бо-
релевским. Для h 6 Н имеем
Ah= J2fn(h)Aen = ^(еп,/г)яЛеп = Ah.
Единственность А с указанными свойствами вытекает из теоре-
теоремы 2.7.6. Мера уоА~~1 автоматически оказывается гауссовской и
радоновской на рассматриваемом суслинском подпространстве.
В силу C(Х)-п £?(Х))-измеримости А, она останется таковой и
на всем исходном пространстве. Теорема доказана. LJ
3.6. Измеримые линейные операторы 125
3.6.7. Лемма. В ситуации теоремы 3.6.G пусть Т е ()
конечномерный оператор, причем Т(Н) С R7(X*). Тогда спра-
справедливо равенство
txaceT =
х
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Достаточно доказать это равенство для од-
одномерного оператора вида Th = (h,v)e, v е Н, е = R7f, f е X*.
Тогда (R~lfx,x) = f(x)v(x). Поэтому интеграл в правой части
доказываемой формулы равен (v, /)//2G) = (v, e)H, что совпадает
со следом Г. LJ
3.6.8. Предложение. Пусть j — центрированная гауссовс-
кал мера Радона на локально выпуклом пространстве X и Н
— ее пространство Камерона-Мартина.
(i) Предположим, что А: X —> Н — ^-измеримое собственно
линейное отображение. Тогда А\ц € Ti{H) и соответ-
соответствующая норма Гильберта-Шмидта равна
\Ax\'2H-y(dx).
'А
Обратно, всякий оператор А е Т-С(Н) допускает продол-
продолжение до измеримого линейного отображения А: X —> Н.
(ii) Предположим, что А: X —>• X* — линейное отображение,
которое секвенциально непрерывно при наделении X* то-
топологией а(Х*,Х). Обозначим через jH: X* —» Н отобра-
отображение, сопряженное естественному вложению Н —> X,
т.е. заданное формулой
(j-Hk,h)H={k,h), keX*,heH.
Тогда jHoA\jj: H —» Н — ядерный оператор.
Доказательство, (i) Как установлено в теореме 2.6.3, опера-
оператор С = А\л непрерывен на гильбертовом пространстве Н. По
теореме Ферника 2.6.4, функция |^4ж|н экспоненциально инте-
интегрируема. Согласно лемме A.2.9(ii), достаточно проверить, что
С* € 'Н(Н) и получить соответствующее равенство. Пусть {е„}
— ортонормированный базис в Н. Тогда
j\Ax\2nl{dx) = j
X X "=1
126 Глава 3. Радоновские меры
Остается заметить, что
/
х
Действительно, (Ах,еп)н — 7-измеРимый собственно линейный
функционал. Его ограничение на Н совпадает с функционалом
h н-> (Ch,en)H = (h,C*en)H,
Я'
норма которого равна \С*еп
Для доказательства обратного возьмем ортонормированныи
базис {еп} в Н и заметим, что функционалы
/гн-> (Ah,en)H = (h,A*en)H
допускают измеримые линейные продолжения дп на X с .^-нор-
.^-нормами |Л*е„|я. Поскольку А* является оператором Гильберта-
Шмидта, получаем
оо
Е ш\1цу) < °°-
п=1
Итак, Yl^Li 9п{%J < со 7-п.в. и можно положить
оо
Ах = ^2дп(х)еп.
п=1
(ii) Найдем компакт Qq С X положительной меры. Пусть Q
— замкнутая абсолютно выпуклая оболочка Qq, Eq — линей-
линейная оболочка Q и pq — функционал Минковского множества Q.
Заметим, что для некоторого С > 0 справедливо неравенство
\(Ax,y)\<CPQ(x)pQ(y), Vx,yeEQ. C.6.7)
Действительно, билинейная функция (х, у) н-> (Ах, у) на норми-
нормированном пространстве (Eq,pq) непрерывна по каждому аргу-
аргументу в отдельности, ибо если хп -+ 0 по норме pq, то хп —>■ 0 в
X и потому Ахп чОв *-слабой топологии X*.
По теореме 2.6.4 имеем pq G Ь2(^). Пусть К 6 С(Н) —
конечномерный оператор с ||Л"||£(я) ^ 1> имеющий следующий
вид:
Kh = /1(/г)а1 + • • • + fn(h)an, П € X*, а; G Я.
3.6. Измеримые линейные операторы 127
Иначе говоря, К является сужением на Н непрерывного конеч-
конечномерного оператора из X в Н, обозначаемого также через К.
Тогда функция
п
х н-> (AKx,x) =
интегрируема относительно меры 7, причем
\(АКх,х)\ < CpQ{Kx)pQ(x),
откуда
J \(AKx,x)\-y(dx) < С jpQ{Kx)pQ{xI{dx) <
JpQiKxy-ridxJJPQ(x)*j(dx) <
ибо
j'pq(KxJ 7(dx) < JpQ(xJ 7(rfi)
ввиду условия ||Л'||£(я) < 1 и следствия 3.3.5. Следовательно,
(AKx,xI{dx)
С другой стороны, согласно лемме 3.6.7, имеет место равенство
(АКх, х) i(dx) = tr&ceH (jH о А о К\н)-
f(
/ (
Итак, приходим к следущей оценке, справедливой для всех непре-
непрерывных линейных операторов на X с конечномерными образами,
содержащимися в Н:
H о АоК\н)\ < М\\К\\С{Н),
где М = C||pq||L2G). Поскольку сужения элементов из X* разде-
разделяют точки Н, то множество операторов указанного вида плот-
плотно в пространстве конечномерных непрерывных операторов в Н
с операторной нормой. Значит, это множество плотно в про-
пространстве компактных операторов 1С(Н) и потому, согласно те-
теореме А.2.10 из Дополнения, jhoA\h — ядерный оператор. □
128 Глава 3. Радоновские меры
3.6.9. Следствие. Пусть 7 - центрированная радоновская га-
уссовская мера на банаховом пространстве X, Н — ее про-'
странство Камерона-Мартина, А 6 С(Х) и А(Х) С jH(X*).
Тогда А\н — ядерный оператор.
Доказательство. В этом случае можно считать, что Н плотно
в X, перейдя к замыканию Y пространства Н в X (которое,
как мы знаем, имеет полную меру). При этом A(Y) С jH(Y*),
ибо X* С Y*. Остается заметить, что по теореме о замкнутом
графике отображение
AQ:=j-xoA: Y -»■ Y*
непрерывно и jH °А\н = jH °А0\н- U
Отметим, что в случае банахова пространства отображение
£(Х, Н) —» "Н(Н), А *-> Л|я, — непрерывный линейный оператор
с нормой, оцениваемой через
3.7. Слабая
сходимость гауссовских мер
3.7.1. Определение. Последовательность {//„} мер Радона
на топологическом пространстве X называется слабо сходя-
сходящейся к радоновской мере /л, если для всякой ограниченной не-
непрерывной функции j на X справедливо равенство
Слабую сходимость естественнее рассматривать для бэров-
ских мер (т.е. мер на бэровской сг-алгебре Bq{X), порожден-
порожденной всеми непрерывными функциями), нежели для борелевских
мер, которые не всегда однозначно определяются своими инте-
интегралами от непрерывных функций. Однако радоновские меры
на локально выпуклых пространствах однозначно определяются
своими сужениями на Bq(X) (и даже на £(Х)), поэтому у по-
последовательности таких мер не более одного слабого предела.
Слабая сходимость мер играет весьма существенную роль как в
общей теории, так и в приложениях.
Ясно, что слабая сходимость порождается локально выпук-
выпуклой топологией на линейном пространстве всех знакопеременных
радоновских мер на X, задаваемой полунормами
f€Cb(X).
3.7. Слабая сходимость 129
Эта топология позволяет говорить, например, о слабой ком-
компактности и относительной слабой компактности семейств мер.
В частности, семейство мер Радона называется относитель-
относительно слабо секвенциально компактным, если из всякой последова-
последовательности его элементов можно выделить слабо сходящуюся под-
подпоследовательность. Этот несколько громоздкий термин при-
призван подчеркнуть, что слабая сходимость не обязана быть ме-
тризуемой, в отличие от сходимости по вариации.
Слабую сходимость вероятностных мер можно охарактери-
охарактеризовать и не используя непрерывных функций. Доказательство
следующей теоремы А. Д. Александрова можно прочитать в [32,
гл. I].
3.7.2. Теорема. Последовательность {/лп} радоновских веро-
вероятностных мер на вполне регулярном топологическом прост-
пространстве X слабо сходится к радоновской вероятностной мере
/j, в точности тогда, когда выполнено одно (а тогда и всякое)
из следующих условий:
(i) n(U) < liminf /J.n(U) для всякого открытого U;
п—>оо
(ii) /J,(Z) > limsup//n(Z) для всякого замкнутого Z;
(ш) /л(В) = limn^oo/лп(В) для всякого борелевского множе-
множества В, граница которого имеет /л-меру нуль.
3.7.3. Определение. Семейство неотрицательных радонов-
радоновских мер Л4 на топологическом пространстве X называется
равномерно плотным, если для всякого е > О имеется такой
компакт К£, что /л(Х\К£) < е для всех /л 6 М..
Один из важнейших результатов, относящихся к слабой схо-
сходимости мер, — теорема Ю. В. Прохорова, которую мы приве-
приведем без доказательства (см. [32, гл. 1,§3]).
3.7.4. Теорема. Пусть М —семейство радоновских вероят-
вероятностных мер на вполне регулярном топологическом простран-
пространстве X.
(i) Если М. равномерно плотно, то АЛ относительно слабо
компактно.
(ii) Если X — полное сепарабельное метрическое простран-
пространство, то верно и обратное: из относительной слабой
компактности Л4 вытекает равномерная плотность. В
частности, всякая слабо сходящаяся последовательность
вероятностных борелевских мер на полном, сепарабельном
метрическом пространстве равномерно плотна.
S В.И. Богачев
130
Глава 3. Радоновские меры
Ясно, что для сходимости интегралов от неограниченных не-
непрерывных функций слабой сходимости мер может быть недо-
недостаточно. Приведем простое достаточное условие.
3.7.5. Лемма. Пусть {//„} — равномерно плотная последо-
последовательность вероятностных мер Радона на вполне регулярном
топологическом пространстве, слабо сходящаяся к мере Радо-
Радона /л. Тогда для всякой непрерывной ц,-интегрируемой функцищ
/ на X, удовлетворяющей условию
lim sup / \f\dnn = 0,
Я->оо „ J\f\>R
\f\>R
выполняется соотношение J / d\in —> j / d\i.
Доказательство. Пусть г > 0. Выберем R > 0 так, что
J\
\f)>R
Положим А = {|/| < R} и найдем такой компакт К С А, что
1л(А\К) < sR-1.
Поскольку X вполне регулярно, непрерывная функция / может
быть продолжена с К на все пространство до непрерывной функ-
функции д, для которой \д\ < R (см. Дополнение). Заметим, что
Ы < -R < |/| при |/| > R и потому
/ \д\ d/лп + / \д\ dfi < г.
J\f\>R J\f\>R
Для всех п таких, что \fgd/2n — J g d/л
I fd/Mn-f fdn <\[ fdfin-ffdfi
Jx Jx 4 a Ja
<\f fdfin- I fd»
[Jk Jk
< s, получаем
+£<
п- j fdn\+2e<
I f f
< / о du,n — / a da
\ I x I у
J Л J Л.
откуда вытекает доказываемое.
□
3.7. Слабая сходимость 131
3.7.6. Следствие. Заключение леммы 3.7.5 справедливо для
всякой последовательности вероятностных борелевских мер цп
на полном сепарабелъном метрическом пространстве X, слабо
сходящейся к борелевской мере ц, если непрерывная функция /
удовлетворяет условию этой леммы.
3.7.7. Предложение. Пусть Г = {7а} — равномерно плот-
плотное семейство гауссовских радоновских мер на локально выпук-
выпуклом пространстве X. Тогда семейство их средних {аУа} содер-
содержится в компакте. В частности, для всякой слабо сходящей-
сходящейся последовательности из {"fa} соответствующая последова-
последовательность средних сходится.
Доказательство. Из условия вытекает, что равномерно плот-
плотными являются множества мер Fi и Гг, полученные из Г при
отображениях х н-» х/^/2 и х н-» —х/\/2. Следовательно, равно-
равномерно плотно и множество
Го = {n*v, jueTi, ver2}.
Действительно, если ц(К) > 1 — е и v(S) > 1 — г, где К ш S —
компакты, то Q = К + 5 — тоже компакт, причем
ц * u(Q) > [ n(Q- x) u{dx) > A - гJ,
is
поскольку К С Q — х, если х Е S. По построению имеем 7-а7 £
Го при 7 G Г. В самом деле, центрированная мера 7-а7 совпада-
совпадает со сверткой образов меры 7 ПРИ отображениях х \-ь х/\/2 и
х н-> —х/у/2. Выберем теперь компакт К так, что 'у(К) > 1/2
и j(K — а7) > 1/2 для всех j Е: Г. Тогда а7 € К — К. Для до-
доказательства последнего утверждения заметим, что из формулы
для преобразования Фурье гауссовских мер видно, что слабая
сходимость 7п к 7 влечет слабую сходимость а1п —> а7 в X. При
этом на компактах в X слабая топология совпадает с исходной,
откуда вытекает последнее утверждение. □
3.7.8. Следствие. Семейство гауссовских мер Радона равно-
равномерно плотно в точности тогда, когда относительно ком-
компактно множество их средних и равномерно плотно семейство
соответствующих центрированных мер.
132 Глава 3. Радонежские меры
3.7.9. Теорема. Пусть уп — равномерно плотная последова-
последовательность центрированных гауссовских радоновских мер на ло-
локально выпуклом пространстве X. Тогда для всякой непрерыв-
непрерывной полунормы q на X существует такое число а > 0, что
up / exp(aq(xJ) yn(dx) < oo.
n J v '
sup
x
Если, кроме того, последовательность {jn} слабо сходится к
мере 70; тпо для всякого 6 < а имеем
lim expEq(xJ) yn(dx) = / exp(Sq(xJ) jo(dx).
x x
В частности, для всякого положительного г имеем
/г
q(x)r -fn(dx) — \ q(x)rj0(dx).
х х
Доказательство. Пусть Q — такое компактное множество,
что 7"(Q) > 3/4 для всех п. Обозначим через К замкнутую аб-
абсолютно выпуклую оболочку Q, а через дк — функционал Мин-
ковского множества К, определенный на линейной оболочке К.
Тогда ■уп(К) > 3/4 для всех п £ IN. Поскольку q — непрерывная
полунорма, получаем
sup#(a:) = S < оо.
к
Следовательно, q{x) < SgK{x) для всех х из линейной оболочки
К, которая имеет полную меру в силу закона 0-1. Согласно
теореме Ферника 2.6.4, существует такое положительное число
/с, что
sup / ехр(%к(жJ) jn{dx)
х
Это дает первое утверждение теоремы. Оставшиеся утвержде-
утверждения вытекают из леммы 3.7.5. U
Для некоторых пространств можно указать конструктивные
условия слабой компактности семейств гауссовских мер.
3.7.10. Пример. Пусть X — сепарабельное гильбертово про-
пространство, (i) Семейство Г центрированных гауссовских мер на
< оо.
3.7. Слабая сходимость ; 133
X со ^слабой топологией равномерно плотно в точности тогда,
когда
sup /
-yerJ
sup / ||z||27(<fe) <
J
(ii) Семейство Г центрированных гауссовских мер на X рав-
равномерно плотно в точности тогда, когда существует такой инъ-
ективный неотрицательный компактный оператор Т в X, что
-у(Т(Х)) = 1 для всех 7 e Г и
sup f ЦТ'1 х\\2-y(dx) < оо.
тег J
Равносильное условие: sup trace (Т K.yT J < оо, где'К^ — ко-
7ег v '
вариационный оператор меры /у.
(iii) Последовательность центрированных гауссовских мер уп
с ковариационными операторами Кп слабо сходится к центри-
центрированной гауссовской мере 7 с ковариационным оператором К
тогда и только тогда, когда \/Кп —> уК по норме Гильберта-
Шмидта.
Доказательство, (i) Существование слабо компактного мно-
множества К меры больше 3/4 для всех у G Г влечет и существова-
существование шара с таким свойством. Поэтому требуемая равномерная
оценка вытекает из теоремы Ферника. Обратное утверждение
следует из неравенства Чебышева
7(||х|| > R) < R-2 [ \\x\\2 >y(dx)
и слабой компактности замкнутых шаров в гильбертовом про-
пространстве. (И) Пусть К — такой компакт, что j(K) > 3/4 для
всех 7 из Г. Выбрав произвольный ортонормированныи базис
в X, можно считать, что мы имеем дело с I2. Заметим, что К
содержится в некотором компактном эллипсоиде Q вида
Q={(xn): JTtr2x2<l},
г=1
где t{ —>• 0, t{ > 0. Действительно, в силу компактности К имеем
оо
lim sup У^ х2 = 0.
134 Глава 3. Радоновские меры
Поэтому можно подобрать неограниченно возрастающую после-
последовательность натуральных чисел Nn так, что J2i^Nn Х1 ^ 4~~п
для всех х € К. Положим t\ = 1, tn+\ := 2~п при Nn < tn+\ <
Nn+i- Тогда К С Q, а оператор Т G С{12) с собственными числа-
числами tn компактен. В силу закона 0-1 имеем ~{\Т(Х)\ = 1 для всех
7 € Г. Равномерная ограниченность / ||Т~1ж|B7(^а:) вытекает,
как ив (i), из теоремы Ферника. Ясно, что у/К^(Х) С Т(Х),
ибо пространство Камерона-Мартина входит в каждое линейное
пространство полной меры. По теореме о замкнутом графике
операторы А7 := Т~1^/К^ непрерывны. Операторы ^К^Т,
определенные на Т(Х), имеют непрерывные продолжения А*,
ибо
~xTz, у) = (г, JK7 у) = (Tz, Ayy).
Поэтому операторы Т~1Л*7Т~1 непрерывны и неотрицательны.
Осталось заметить, что, взяв собственный базис {е,} оператора
Т, получим
= JT f(x,T-leiJ1(dx) =
i=iJ
причем след не зависит от выбора базиса, (ш) Из сходимости
по норме Гильберта-Шмидта вытекает поточечная сходимость.
Далее, поскольку операторы вида e,j: x н* (ж, ej)ej образуют ор-
тонормированный базис в ~Н(Х), то на компактных множествах
Л в Н(Х) ряд ^ ,-(etj,AJ сходится равномерно по А € А
С учетом равенства (eij,Aj = (ej,AeiJ это означает рав-
равномерную сходимость ряда J^i |1^ег||2- Поэтому, действуя как и
выше, можно подобрать числа t{ > 0 так, что ^ —>• 0 и
C-7-
Таким образом, последовательность {jn} равномерно плотна и
потому относительно компактна в слабой топологии. Посколь-
Поскольку ее слабым пределом может быть лишь мера j, то получаем
3.8. Абстрактные винеровские пространства 135
слабую сходимость. Обратно, если меры jn слабо сходятся к
7, то согласно (ii) имеет место C.7.8). Из приведенных выше
рассуждений вытекает, что последовательность \/К1п вполне
ограничена в 'Н(Х). Вместе с поточечной сходимостью Кп к
К это означает, что у/Кп —> уК в Н(Х). Действительно, если
у/К^ ->Ав ЩХ), то yTK^i ->Ав С(Х), откуда КП{ ->■ А2 в
С{Х) и потому А = \[К. D
3.7.11. Замечание. Отметим, что из сходимости ковариаци-
ковариационных операторов по равномерной операторной норме не выте-
вытекает слабая сходимость соответствующих гауссовских мер. На-
Например, достаточно рассмотреть меры -fn на г, ковариационные
операторы которых имеют вид п~1Рп, где Рп — ортогональная
проекция на линейную оболочку первых п векторов стандартно-
стандартного базиса. При этом Iln^-Pnllrr^) —>• 0, но меры 7« не сходятся
слабо к мере #о-
3.8. Абстрактные
винеровские пространства
В этом параграфе мы обсудим понятие абстрактного вине-
ровского пространства, введенное Л. Гроссом [312]. Исходным
пунктом является сепарабельное гильбертово пространство Н
с канонической цилиндрической гауссовской мерой и, имеющей
преобразование Фурье х н* expf — \{x,x)H \. Как мы уже зна-
знаем, эта мера не является счетно-аддитивной. Основная идея
метода Гросса состоит в том, чтобы найти подходящее расши-
расширение пространства Н, на котором мера и становится счетно-
аддитивной. Конечно, необходимо уточнить, в каком смысле по-
понимаются „расширения", поскольку мера, не являющаяся счет-
счетно-аддитивной на меньшем пространстве, не будет таковой и на
большем. Корректная интерпретация может быть получена в
терминах линейных образов цилиндрических мер.
Будем говорить, что v — цилиндрическая мера на локально
выпуклом пространстве X, если v — неотрицательная аддитив-
аддитивная функция на алгебре цилиндрических множеств 1Z(X), при-
причем для каждого непрерывного линейного оператора Р: X —>• Ш™
функция множества
136 Глава 3. Радоновские меры
счетно-аддитивна. Преобразование Фурье цилиндрической ме-
меры v задается формулой
= Jexp(it)uof-\dt), /GX*.
m1
Цилиндрические меры отличаются от мер в обычном смысле
не только меньшей областью определения, но и тем, что на этой
области они не обязаны быть счетно-аддитивными.
3.8.1. Пример. Пусть X — бесконечномерное сепарабельное
гильбертово пространство. Для каждого цилиндрического мно-
множества С вида С = Р-1(Со), где Р — ортогональная проекция
на конечномерное подпространство Хп С X и Со € В(Хп), поло-
положим
и{С) = 7п(С0),
где 7п — стандартная гауссовская мера на Шп. Тогда v — ци-
цилиндрическая мера, не являющаяся счетно-аддитивной. Эта ме-
мера называется канонической цилиндрической гауссовской мерой
на X. Ее преобразование Фурье имеет вид
у >->ехр{--{у,]
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Непосредственно проверяется, что функция
и корректно определена. Счетная аддитивность конечномерных
проекций и очевидна, так как они являются гауссовскими ме-
мерами. Отсутствие счетной аддитивности самой функции и уже
известно из следствия 2.2.2. П
Пусть v — цилиндрическая мера на локально выпуклом про-
пространстве Е и F: Е —> X — непрерывное линейное отображение
со значениями в локально выпуклом пространстве X. Тогда
является цилиндрической мерой на X. Пусть теперь Е непре-
непрерывно вложено ъ X ш v — цилиндрическая мера на Е. Обозна-
Обозначим через j вложение Е —> X. Будем говорить, что и счетно-
аддитивна на X, если мера voj~l счетно-аддитивна.
3.8.2. Определение. Пусть Н — сепарабелъное гильбертово
пространство и V(H) — множество всех ортогональных про-
проекторов в Н с конечномерными образами. Полунорма q на Н
называется измеримой в смысле Гросса (или по Гроссу), если
3.8. Абстрактные винеровские пространства 137
для всякого е > 0 существует такой конечномерный ортого-
ортогональный проектор Р£ G V(H), что
и(х е Н: q(Px) > е) < е, VP G V(H), Р JL Р£, C.8.9)
где v — каноническая цилиндрическая гауссовская мера на Н.
Отметим, что множество в левой части C.8.9) ^-измеримо,
так как функция q непрерывна на конечномерных подпростран-
подпространствах, будучи полунормой. Следующая лемма показывает, чтс%в
действительности полунорма q непрерывна на всем Н.
3.8.3. Лемма. Всякая полунорма, измеримая по Гроссу, не-
непрерывна.
Доказательство. Достаточно показать, что q ограничена на
единичном шаре U,, в Н. Предположим, что sup^pf/ q(h) = оо.
н
Легко видеть, что в этом случае можно найти такую ортонорми-
рованную последовательность {hn} С U, что q{hn) = Сп —>• оо.
Пусть Рпх = (x,hn)hn. Тогда
е/Сп
J
(x: q{Pnx) >е) =1- J p(t)dt,
-е/Сп
где р — стандартная гауссовская плотность на прямой. Более
того, для заданного Р£ G V{H) можно найти подобную последо-
последовательность с Рп J. Р£. Ясно, что правая часть не стремится к
НуЛЮ При П —¥ ОО. П
3.8.4. Определение. Тройка (i,H, В) называется абстракт-
абстрактным винеровским пространством, если В — сепарабелъное ба-
банахово пространство, Н — сепарабелъное гильбертово прост-
пространство, i: H —> В — непрерывное линейное вложение с плот-
плотным образом и норма В измерима на Н в смысле Гросса.
3.8.5. Теорема. Пусть (i,H,B) — абстрактное винеровское
пространство. Тогда каноническая цилиндрическая гауссовская
мера v на Н счетно-аддитивна на В.
Доказательство. По определению найдутся такая возрастаю-
возрастающая последовательность конечномерных проекторов Рп —> I и
такая последовательность сп —v 0, что
(x: q{Pm
x) > сп) < сп, Ут>п. C.8.10)
138 Глава 3. Радоновские меры
Пусть {е„} — ортонормированный базис в Н, выбранный из мно-
множества IJ^Li Pn{H). Рассмотрим гильбертово пространство Е,
полученное пополнением Н по норме
1/2
Обозначим через jE вложение Н —> Е. Применяя теорему 2.2.1,
заключаем, что мера v\ — v°j~x счетно-аддитивна на вспомо-
вспомогательном пространстве Е. При этом Н = Н{и\). Получаем
последовательность
п
Sn{x) = ^k{x,ek)Eek
к=1
Б-значных случайных векторов на {E,v\). Из C.8.10) вытека-
вытекает, что последовательность Sn фундаментальна по мере и\. По-
Поскольку В полно, эта последовательность сходится по мере к слу-
случайному вектору S в В (этот факт доказывается точно так же,
как и для вещественных случайных величин, см. задачу 3.9.21).
Теперь проверим, что распределение S, обозначаемое через и2,
совпадает с гауссовской мерой и о г на В. Действительно, для
каждого / € В* существует единственный вектор v G Н, для
которого /(/г) = (v,h)H, V/i G Н. Мера f2°f~1 совпадает с рас-
распределением случайной величины f(S) на пространстве (Е,их).
Ввиду сходимости Sn к S по мере получаем, что
f(S) ~
k-l Jfc=l
Заметим, что функционалы £к(ж) = к(х,ек)Е — независимые
стандартные гауссовские случайные величины на {Е,и\), ибо их
сужения на Н = Н{и\) задаются векторами ек ортонормиро-
ванного базиса. Следовательно, дисперсия f{S) равна \v\2 =
С другой стороны, по определению, мера vo% lof l также
является центрированной гауссовской с дисперсией а2 = \v\2H,
ибо функционал /ог на Н задается вектором v. П
3.8.6. Теорема. Пусть 7 — центрированная гауссовская ме-
мера на сепарабелъном банаховом пространстве X, причем Н =
Н(у) плотно в X, г: Н —> X — естественное вложение. Тогда
(i,H,X) — абстрактное винеровское пространство.
3.8, Абстрактные винеровские пространства 139
Доказательство. Пусть {£„} — такой ортонормированный ба-
базис в X*, что £„ £ X*. Ясно, что 7 совпадает с образом стан-
стандартной цилиндрической меры i/наЯ при естественном вложе-
вложении г: Я —> X, поскольку дисперсия каждого фунционала / G X
относительно меры 7 равна квадрату нормы ]\н. Проверим из-
измеримость нормы X в смысле Гросса. Положим
г=1
Заметим, что для всякого е > 0 справедливо равенство
G X: \\х - Рпх\\х > е) = 0.
В самом деле, по теореме 3.4.4, Рпх —¥ х в X 7-п.в. Следователь-
Следовательно, найдется такое N, что
7(ж G X: \\Рпх - Ртх\\х > е) < е, Vn, m>N.
По определению
7(а; Е X: \\Рпх - Ртх||х > е) = и{х G Я: ||Рпа: - Ртх||х > е).
Для всякой ортогональной проекции Р G V{H) cPl P/v ввиду
соотношений P/vP = 0 и Пт^-хх, Рдг+fcPa: = Ра; имеем
i/fa; G Я: ||Pz|L > гг) == lim u[x G Я: ||(P/v+fc-Pv)Pa;|L > г).
Наконец, по следствию 3.3.5 получаем
v(xeH: \\{PN+k - Pn)Px\\x >s)<
< u(x G Я: ||(Pv+fc - Pn)x\\x >e)<e,
откуда вытекает доказываемое. П
140 Глава 3. Радонежские меры
3.9. Дополнения и задачи
Заметши, что, в силу теоремы 3.4.1 и теоремы Лузина, для всяко-
всякого измеримого относительно радоновской гауссовской меры линейно-
линейного функционала / и всякого положительного е найдется метризуемый
компакт меры больше 1 — с, на котором функционал / непрерывен.
Простое наблюдение приводит к следующему результату.
3.9.1. Предложение. Пусть у — центрированная гауссовская ме-
мера Радона на локально выпуклом пространстве X и / G X*. Тогда
можно найти собственно линейную модификацию f (обозначаемую
тем же символом) со следующими свойствами:
(i) существует такое борелевское суслинское линейное подпрост-
подпространство Хо С X полной у-меры, что функционал / является
борелевским на Хо;
(и) если X секвенциально полно, то найдется такое метризуемое
абсолютно выпуклое компактное множество К, что функцио-,
нал / непрерывен на всех множествах пК и у{пК) —> 1.
Доказательство. Возьмем последовательность {/„} € X*, сходящу-
сходящуюся к / 7-п.в. 3 силу классической теоремы Егорова и теоремы 3.4Л„
существует метризуемый компакт S положительной меры, на котором j
/«.-*/ равномерно. Пусть К — замкнутая абсолютно выпуклая обо-;
лочка 5. Из теоремы Хана-Банаха следует, что для каждого I £ X*
мы имеем
sup|/(:r)| = sup \l(x)\.
к s
Поэтому последовательность {/и} сходится равномерно на К. Полагая
f*(x) = lim fn{x)
П—УОО
на множестве L, где предел существует (L линейно и имеет полную ме-
меру) , получаем измеримый линейный функционал, который совпадает с
/ на множестве положительной меры, а потому и почти всюду. Теперь
/* можно продолжить на X по линейности, используя произвольный
базис Гамеля в X. Поскольку функционалы /„ непрерывны, L являет-
является борелевским множеством (более того, L £ Во(Х)) и функционал /*
измерим по Борелю на L (и даже принадлежит первому классу Бэра).
Для доказательства утверждения (i) заметим, что линейная оболочка
Хо множества S содержится в L и совпадает с объединением множеств
Аг,т = \tlSl + . . . + tnSn \ti\ <ГП, Si € S\.
Ясно, что эти множества — метризуемые компакты как непрерывные
образы метризуемых компактных множеств [—т,т]п х Sn. Подпро-
Подпространство Хо имеет полную меру в силу закона 0-1. Для доказатель-
доказательства утверждения (и) остается заметить, что у{пК) ч1и что пК —
метризуемый компакт в силу предложения А. 1.7 Дополнения. □
3.9. Дополнения и задачи 141
3.9.2. Предложение. Пусть 7 — центрированная гауссовская ме-
мера Радона на локально выпуклом пространстве X и /: X —} IR —
такая f -измеримая функция, что
■Л
для, 7 ® у-п.в. пар (х, у) € X х X. Тогда f € X*.
Доказательство. Из условия вытекает, что / — центрированная
гауссовская случайная величина (см. главу 1). В частности, / €
Ь2(-у). Пусть / = Yln^nif) — разложение / в винеровский хаос (см.
B.8.30)). Определим t равенством е~ь = 1/\/2. Тогда из условия
и равенства J f dj = 0 вытекает, что Ttf = f/y/2 п.в. Поскольку
Ttf = Ene""tJ«(/). то МЛ = ° ПРИ " Ф L Итак' имеем / = Ji(/)'
откуда feX*. ■ П
Следующая теорема содержит ряд уточнений теоремы 2.7.8, ча-
частично полученных Б. С. Цирельсоном [147] и доказанных в приво-
приводимой нами форме М. Талаграном [500]. Напомним, что борелевская
мера fj, на топологическом пространстве X называется т-аддитивной,
если для всякой возрастающей направленности открытых множеств
Ua С X справедливо равенство
Всякая радоновская мера является т-аддитивной, но бывают и не т-
аддитивные борелевские меры (см. [32, гл. I]).
3.9.3. Теорема. Пусть X — локально выпуклое пространство и 7
— гауссовская мера на £(Х) [или т-аддитивная борелевская гауссов-
гауссовская мера). Тогда для аффинной функции f на X следующие условия
равносильны:
(i) существует такое множество положительной меры А € £{Х)
{соответственно, А € В(Х)), что f(A) не пересекается с не-
некоторым компактом положительной меры Лебега;
(ii) б утверждении (i) в качестве такого компакта можно вы-
выбрать отрезок;
(ш) / является т-измеримой функцией;
(iv) для некоторого вещественного числа г функция f — г входит в
замыкание X* в L2G).
При этом f оказывается гауссовской случайной величиной.
142 Глава 3. Радоновские меры
Доказательство. Мы рассмотрим случай, когда -/ — центрирован-
центрированная радоновская гауссовская мера и функция / ограничена на неко-
некотором множестве А положительной меры. Ясно, что в силу линей-
линейности функция / ограничена и на абсолютно выпуклой оболочке А.
Поэтому множество Mf измеримых функций </?, для которых / < <р
п.в., непусто. Согласно известному результату из теории меры (см.
[57, с. 364, теорема IV.12.6]), множество М/ имеет нижнюю грань
/i в пространстве ХоМ всех 7-измеРимых функций с естественной
упорядоченностью ip < ф «• tp(x) < ф(х) п.в., т.е. / < /i п.в.
и /i — наименьшая функция из Lo(-/) с таким свойством. Анало-
Аналогичным образом, существует наибольшая функция /о Е Lo(-f), для
которой /о < / п.в. Функции /о и /i называются соответственно
измеримой минорантой и измеримой мажорантой /. Заметим, что
для функции £ с измеримой мажорантой г\ функция r\{x) + rj(y) на
(ХхХ, 7®7) является измеримой мажорантой для £(ж) +£(у). Функция
l(x,y) = f(x) я&ХхХ имеет измеримую мажоранту h(x,y) = fi(x), a
) ()
, / ч tfx+y\ f{x) + f(y)
функция д(х, у) = / ( —у=- J = — -j=—■— имеет измеримую мажоран-
мажоран-j=—-
V2
Т: (х,у) м- \~пГ->~~к~) переводит I в д и h в д3(х,у) =g[—j=-J
й
ту д\{х,у) = -j=—-—. Сохраняющее меру 7 ® 7 преобразование
V2
) [ В
силу единственности измеримой мажоранты, получаем д\ = д% 7 ® 7
п.в. Согласно предложению 3.9.2, /j е X*. Аналогично /о S X*. По-
Поскольку /о •< / < fit то /о = /i п.в., ибо Д—/о — гауссовская случайная
величина с нулевым средним. □
3.9.4. Следствие. Всякая гауссовская мера 7 на пространстве 1°°
со *-слабой топологией а{1°°,11) продолжается до гауссовской ме-
меры на 1°° с топологией нормы, т.е. все функционалы из A°°)* у-
измеримы.
Доказательство. Достаточно заметить, что шар 1°° — элемент а-
алгебры, порожденной координатными функциями. П
В связи с этим следствием отметим такой факт (справедливый, как
показано в [23, гл. 8], и при более слабом теоретико-множественном
предположении о достижимости несчетных кардинальных чисел, не
превосходящих мощности континуума).
3.9.5. Предложение. Пусть ц — центрированная гауссовская ме-
мера на 1°°, причем а\ = Jx\/j,(dx) —*• 0. Если /i(co) = 0, то в предпо-
предположении гипотезы континуума /i не продолжается на борелевскую
а-алгебру 1°°.
Доказательство. Предположим, что /л продолжается на В{1°°). Из
нашего предположения вытекает, что мера /i сосредоточена на неко-
некотором сепарабельном замкнутом подпространстве Z С 1°° (см. [10,
Дополнение III] или [23, Дополнение 2]). Тогда всякий шар положи-
положительного радиуса в Z, а значит, и в 1°°, имеет положительную меру.
3.9. Дополнения и задачи 143
Это означает, что осцилляционная константа последовательности ко-
координатных функций равна нулю (см. теорему 2.9.11). Следовательно,
() = 1 — противоречие. □
3.9.6. Замечание. Даже если X — сепарабельное гильбертово про-
пространство, 7-измеримыи линейный функционал / может не иметь бо-
релевской линейной модификации на всем пространстве. Более того,
согласно предложению 3.9.9 ниже, если линейная функция на простран-
пространстве Фреше (или на бочечном пространстве, см. [155, гл. II]) измерима
относительно всякой гауссовской меры Радона на X, то она непрерыв-
непрерывна.
Следующий пример показывает, что из непрерывности линейной
функции I: X -*• К1 на гильбертовом пространстве ЯG) не вытекает
ее измеримость относительно -у. Этот пример построен X. фон Вайц-
зеккером в предположении гипотезы континуума; Н. Н. Недиковым
построен аналогичный пример в предположении аксиомы Мартина и
отрицания гипотезы континуума.
3.9.7. Пример. Пусть 7 — центрированная гауссовская мера на се-
парабельном банаховом пространстве X (или центрированная гауссов-
гауссовская мера Радона на локально выпуклом пространстве), причем НG)
бесконечномерно. Предположим, что справедлива гипотеза контину-
континуума. Тогда существует линейная функция I на X, равная нулю на Н(у),
но неизмеримая относительно меры ■у.
Доказательство. Пусть X — сепарабельное банахово пространство.
Поскольку измеримые линейные функционалы, равные нулю на Hfa),
равны нулю почти всюду, то достаточно продолжить нулевой функци-
функционал с Н(у) до линейной функции / на X так, что 1(ха) = 1, где {ха} —
какое-нибудь семейство векторов, линейно независимое с H(j), причем
Такое семейство строится с помощью трансфинитной индукции. Для
этого континуальное семейство /С всех компактов в X положительной
7-меры приводится во взаимно-однозначное соответствие с элемента-
элементами из промежутка ординалов / = [0,и)\), где u>i — первый несчет-
несчетный ординал, соответствующий в силу гипотезы континуума мощно-
мощности с = К.. Пусть /3 G I, причем для всех а < E векторы ха G Ка,
Ка G К, = {Кт}т€1, уже выбраны так, что семейство {хт}т<а линей-
линейно независимо с H(j). Множество ординалов, не превосходящих /3, не
более чем счетно. Поэтому алгебраическая сумма линейной оболочки
ха, а < Р, с множеством Н(у) имеет меру нуль (это вытекает из того,
что Н(у) бесконечномерно, см. задачу 3.9.15). Поэтому в компакте
Кр положительной меры найдется элемент хр, не входящий в эту ал-
алгебраическую сумму. В силу принципа трансфинитной индукции мы
получаем семейство векторов с нужными свойствами.
В общем случае аналогичное построение надо применить к линей-
линейному пространству, порожденному каким-нибудь метризуемым ком-
компактом положительной меры, а' затем продолжить функционал на все
пространство. □
144 Глава 3. Радоновские меры
Неизвестно, можно ли построить подобный пример без дополни-
дополнительных теоретико-множественных предположений.
3.9.8. Пример.'В предположении гипотезы континуума на прост-
пространстве Ш°° (или, более общим образом, на бесконечномерном сепа-
рабельном пространстве Фреше) существует линейный функционал /,
который неизмерим относительно каждой гауссовской меры на К°°,
не сосредоточенной на конечномерном пространстве.
Доказательство. Легко проверить, что семейство /С всех компак-
компактов, имеющих линейные оболочки несчетной алгебраической размер-
размерности, континуально. Согласно гипотезе континуума /С можно поста-
поставить во взаимно-однозначное соответствие с промежутком ординалов
/ = [O,wi), где u>i — первый несчетный ординал. Таким образом,
/С — \Ka}aei- В силу принципа трансфинитной индукции найдется ли-
линейно независимое множество А, которое содержит по два различных
элемента иа, va из каждого Ка. Действительно, для любого /3 < u>i
промежуток [0, C) не более чем счетен и потому К@ не покрывается ли-
линейной оболочкой векторов еа, а < /3. Положим 1(иа) = 1, l(va) = — 1,
дополним А до базиса Гамеля и на всех добавленных элементах I опре-
определим нулем. Продолжив / по линейности на все пространство, полу-
получим функционал, неизмеримый относительно всех мер, обращающихся
в нуль на конечномерных пространствах. Действительно, если множе-
множество 1~1(с—1,с+1) измеримо относительно такой меры /i и имеет поло-
положительную меру, то в нем должен найтись некоторый элемент К G /С.
Однако это невозможно, ибо на каждом Ка функционал / принимает
значения —1,1. П
Ясно, что в предыдущем примере (заимствованном из [146]) сказан-
сказанное остается в силе для всех, обращающихся в нуль на конечномерных
подпространствах.
3.9.9. Предложение. Пусть линейный функционал I на простран-
пространстве Фреше измерим относительно каждой гауссовской меры. Тогда
I непрерывен.
Доказательство. Предположим, что функционал I разрывен. Тогда
найдется такая последовательность {ап} -»• 0 в X, что 1(ап) > 2".
Пусть V — замкнутая абсолютно выпуклая оболочка последователь-
последовательности {ап}. Тогда V — ограниченное множество (см. [155, с. 39]). Яс-
Ясно, что {ап} имеет бесконечномерную линейную оболочку (на конечно-
конечномерном пространстве всякая линейная функция непрерывна). Поэтому
можно считать, что векторы ап линейно независимы. Возьмем на I2
центрированную гауссовскую меру у, равную счетному произведению
одномерных гауссовских мер с дисперсиями п~2. Отображение
F: Г -> X, (xn) М- 2^ п~гхпа.
n=l
2"n«n
корректно определено и непрерывно, ибо единичный шар I2 отобража-
отображается в V. Мера /i = ■y°F~1 — гауссовская на X. При этом после-
последовательность {п~4ап} содержится в шаре гильбертова пространства
3.9. Дополнения и задачи 145
Я(д) = F{H{y)). Действительно, ЯG) = {(Лп): ЕГ=1 «2/г™ < °°} и
единичный шар H(j) имеет вид U = < (hn): Yl^Li п2^п ^ 1J-, а еди-
единичный шар Н(ц) совпадает с F{U). Следовательно, функционал / не
может быть /i-измеримым, ибо иначе он был бы непрерывен на Н(/л) и
ограничен на последовательности {n"ian}. П
Точно так же доказывается (см. задачу 3.9.24), что всякая вы-
выпуклая функция на X, измеримая относительно всех гауссовских мер,
непрерывна. Из доказательства видно, что в случае произвольного се-
секвенциально полного локально выпуклого пространства получаем се-
секвенциальную непрерывность /. Без предположения о секвенциаль-
секвенциальной полноте это очевидным образом может быть неверно (достаточно
взять линейное подпространство всех финитных последовательностей
в I2 и заметить, что на нем всякая гауссовская мера сосредоточена
на конечномерном подпространстве). Пример разрывного секвенци-
секвенциально непрерывного линейного функционала показывает, что линей-
линейная функция, измеримая относительно всех радоновских гауссовских
мер, не обязана быть непрерывной в случае произвольного локально
выпуклого пространства.
Упомянем следующий красивый результат, высказанный в каче-
качестве гипотезы А. Тортра и доказанный М. Талаграном [499]. Предва-
Предварительно отметим, что r-аддитивность можно определять и для меры
/j, на ст-алгебре £(Х) в локально выпуклом пространстве X как та-
такое свойство, что для всякой возрастающей направленности открытых
множеств Ua E £{Х) справедливо равенство n(\JaUa) = lima/j,(Ua).
Известно (см. [32, теорема 1.3.2]), что тогда ц продолжается (причем
однозначно) до борелевской меры, т-аддитивной на В{Х) (т.е. указан-
указанное свойство сохраняется для всех открытых Ua).
3.9.10. Теорема. Всякая гауссовская мера на II т-аддитивна.
3.9.11. Замечание. Это свойство может быть полезно, поскольку
всякая гауссовская мера на £{Х) естественно продолжается до гаус-
совской меры на пространстве IRT с Г = X* (см. пример 2.2.7).
Следует иметь в виду, что существуют борелевские гауссовские
меры, не являющиеся т-аддитивными (см. [469, р. 183]).
3.9.12. Замечание. Отметим, что лемма 2.5.1, утверждающая, что
для гауссовской меры /л мера ^{А)~1 ц\д может быть гауссовской лишь
в случае /i(A) = 1, остается верной и для борелевских множеств Л,
если /j. является г-гладкой (например, если она радонова).
Напомним, что банахово пространство X называется простран-
оо
ством котипа 2, если Y1 ||ж„||2 < со для всякой такой последователь-
п=1
сю
ности {хп} С X, что ряд Yl£nXn сходится п.н., где {еп} — последова-
последовать
тельность независимых случайных величин с
Р(еп = 1) = Р(еп = -1) = 1/2.
146 Глава 3. Радоновские меры
Доказательство следующего результата можно найти в [32], [93].
3.9.13. Теорема. Пусть -у — радоновская гауссовская мера на ба-
банаховом пространстве X. Если X имеет котип 2, то у имеет гиль-
гильбертов носитель. В частности, это верно для X = 1Р, 1 < р < 2.
В заключение отметим, что абстрактные винеровские простран-
пространства очевидным образом допускают обычное умножение. Менее очеви-
очевиден следующий результат, полученный в [242] и показывающий, что их
можно перемножать и тензорно. Доказательства можно найти в [237],
[387]. Напомним, что тензорное произведение Hi <8>2 Н2 гильбертовых
пространств .Hi и Н2 определяется как пополнение алгебраического
тензорного произведения Hi <8> Н2 относительно скалярного произве-
произведения (a<3b,c®dJ — (о,с)н1 (b,d)H2- Тензорное произведение Х\ <8>£Х2
банаховых пространств Xi и Х2 как пополнение их алгебраического
тензорного произведения относительно нормы
||ж||е := sup{|
3.9.14. Предложение. Если (ii,Hi,Xi) и (i2,H2,X2) — абстракт-
абстрактные винеровские пространства, то (ii<3i2,Hi®2H2,Xi®eX2) — так-
также абстрактное винеровское пространство. Если 7t — гауссовские
меры на Xi с пространствами Камерона-Мартина Hi, то соответ-
соответствующая гауссовская мера на Х\ <8>е Х2 обозначается через 71 ®е 72-
При этом Д71®£72B/1 ® y2,zi <8>z2) = Hyl(yi,zi)R12(y2,z2).
В работах [237], [387] можно найти также связанные с этим
предложением неравенства.
Задачи
3.9.15. Пусть 7 — радоновская гауссовская мера с бесконечномерным
пространством Камерона-Мартина Н. Тогда f(H + L) = 0 для всякого
линейного подпространства L, обладающего счетным базисом Гамеля.
3.9.16. Борелевское линейное подпространство локально выпуклого про-
пространства X имеет меру нуль относительно всякой невырожденной радо-
новской гауссовской меры на X в точности тогда, когда оно не содержит
никакого непрерывно и плотно вложенного в X сепарабельного гильбертова
пространства. Привести пример полного сепарабельного локально выпукло-
выпуклого пространства, на котором нет невырожденных гауссовских радоновских
мер. Указание: рассмотреть пространство Т>($\}) финитных гладких функ-
функций с топологией индуктивного предела пространств Со°([—п, п]), п € IN.
3.9.17. Показать, что на всяком сепарабельном пространстве Фреше (в
частности, на всяком сепарабельном банаховом пространстве) существуют
невырожденные гауссовские радоновские меры.
3.9.18. Показать, что существует такое линейное подпространство Е С
С[0,1], что его мера Винера равна 1 и на Е определена такая гильбертова
норма || • \\е, что \\x\\e < Ц^Цх для всех х € Е. Указание: см. [131].
3.9.19. Доказать, что носитель классической меры Винера на С[0,1] есть
гиперплоскость, заданная равенством х@) = 0.
3.9. Дополнения и задачи 147
3.9.20. Пусть X — ядерное локально выпуклое пространство, т.е. топо-
топология X задается семейством полунорм вида ра = у^Г, где qa — неотри-
неотрицательные квадратичные формы, причем для каждой полунормы ра суще-
существует такая полунорма рр, что ра < с(а,C)рр и естественное вложение ев-
евклидовых пространств (ЛГ/Kerр$) -+ (X/Кетра,ра) — оператор Гильберта-
Шмидта. Рассмотрим на X" сильную топологию /3(Х*,Х) (т.е. топологию
равномерной сходимости на ограниченных подмножествах X). Показать,
что для всякой непрерывной неотрицательной квадратичной формы Q на
X существует такая гауссовская мера 7, радоновская в топологии /3(Х*,Х),
что у(х) = expl — ^Q(x)J для всех х € X, где X рассматривается как под-
подмножество сопряженного к I Х',/3(Х*, X) I. В частности, если X полно,
то 7 — радоновская мера в топологии Макки т(Х',Х) (см. [155, с. 184]).
Указание: см. [32, с. 316].
3.9.21. Доказать, что если последовательность измеримых отображений
Хп: (П, Р) -+ X со значениями в сепарабельном банаховом пространстве X
фундаментальна по мере Р, т.е.
lim Р(\\Хп-Хк\\ >с) = 0, Vc>0,
n, fc-+oo
то эта последовательность сходится по мере к некоторому измеримому ото-
отображению.
3.9.22. Пусть 7 — центрированная радоновская гауссовская мера на ло-
локально выпуклом пространстве X и П — множество полной 7-меры. Дока-
Доказать, что для п.в. х множество Н(у) П(^ ~ х) пл°тно в пространстве Н(у)
с его естественной гильбертовой нормой. Указание; выбрав ортонормиро-
ванный базис {е„} в Н{^), проверить, что для п.в. х сечения ^Р|(я + Нп)
плотны BI + Нп, где Нп — линейная оболочка ei,..., е„.
3.9.23. Пусть £, и г) — независимые центрированные гауссовские случай-
случайные векторы в локально выпуклом пространстве, индуцирующие радонов-
ские меры Р( и Рп. Предположим, что Р^+п <С Р$- Построить пример,
показывающий, что возможно равенство Рп(Н(Р^)) = 0. Доказать, что
следующие условия равносильны:
(
б) вектор (£ + rj, rf) в X х X индуцирует меру, абсолютно непрерывную
относительно меры, индуцированной (£,77). Указание: см. [444], где рассмо-
рассмотрен также случай, когда г] — негауссовский вектор.
3.9.24. Доказать, что если выпуклая функция / на пространстве Фреше
X измерима относительно каждой радоновской гауссовской меры, то она
непрерывна. В случае произвольного локально выпуклого пространства по-
показать, что функция / ограничена на ограниченных множествах.
3.9.25. Пусть 7 ~ центрированная гауссовская мера на гильбертовом
пространстве X с ковариационным оператором К и А € С(Х). Доказать
следующие соотношения:
(Ax,x)f(dx) = trace AK,
148 Глава 3. Радоновские меры
(Ах, xf-y(dx) = [trace AK]2 + 2trace (AKJ.
X
При условии Л >.О с помощью неравенства Чебышева получить оценки
-у< х: (Ах,х) > 1 \ < trace AK,
: \{Ах, х) - trace АК\ > r\ < 2 trace (AKJ.
Указание: воспользоваться задачей 1.7.10.
3.9.26. В ситуации задачи 3.9.25 при условии 2\[КА\ГК < I доказать
равенство
/ е(Ах'х) j(dx) = [detG - 2VKAVK)] = \det(I - 2AK)]
x
Указание: воспользоваться задачей 1.7.11.
3.9.27. В ситуации задачи 3.9.25 показать, что
-1/2
/<
■ ■ ■ (x,y2k)~/(dx) = GBk\0)(yu. . .,y2k),
где G(x) = ехр\-^(Кх,х)\, у{ G X.
3.9.28. Привести пример последовательности гауссовских радоновских
мер на локально выпуклом пространстве, слабо сходящейся к гауссовской
мере, которая не является радоновской. Указание: воспользоваться приме-
примером 3.5.3 и теоремой А.3.9 из Дополнения.
3.9.29. Пусть £ и ц — такие гауссовские случайные векторы в локально
выпуклом пространстве X, что вектор ((,,rj) имеет радоновское гауссовское
распределение в X X X. Показать, что условное среднее E(£|?j) вектора £ от-
относительно G-алгебры, порожденной ц, существует и является гауссовским
вектором. Указание: см. [23].
Глава 4
Выпуклость гауссовских мер
Сказанного вполне достаточно, чтобы уяснить глав-
главное: на территории анализа была открыта богатая зо-
золотоносная жила; сравнительно легко доступная, она
должна была иссякнуть не скоро.
Г. Вейлъ. Давид Гильберт
4.1. Гауссовская симметризация
В этом параграфе кратко описывается операция симметри-
симметризации для гауссовских мер на И". Мы не будем приводить до-
доказательства формулируемых здесь результатов, поскольку они
достаточно громоздки технически (хотя и совершенно элемен-
элементарны). Более подробное изложение можно найти в [50], [85].
Будем обозначать через 7п стандартную гауссовскую меру
в И", причем символ 7fc будет использоваться для обозначения
ее ортогональных проекций на /с-мерные линейные подпростран-
подпространства в И" (не обязательно равные Жк).
Напомним, что Ф обозначает стандартную гауссовскую фун-
функцию распределения.
Пусть 1 < к < п, L — линейное подпространство И" раз-
размерности п — к и е _L L — единичный вектор. Эти объекты
порождают отображение S(L,e), которое каждому замкнутому
множеству А С Шп ставит в соответствие множество S(L,e)(A),
определяемое следующим образом: для каждого х € L сечение
множества S(L,e)(A) аффинным подпространством x + L1- есть
{х: (х,е) > r}n(x + Lx),
где г выбрано так, что
Ik ({*: (х, е) > г} П (х + L1)) = 7fc (А П (х + L1)), D.1.1)
причем в случае, когда мера в правой части D.1.1) равна 0, по-
полагаем S(L, е)(А) П (х + L^-) — 0, а в случае, когда она равна 1,
150 Глава 4. Выпуклость
полагаем S(L, е){А) = х + L1- (это соответсвует выбору г = +оо
и г = -со в формуле для сечения).
Отображение S(L,e) называется гауссовской к-симметриза-
к-симметризацией относительно L в направлении е. Гауссовская /с-симмет-
ризация для открытых множеств определяется аналогично с за-
заменой замкнутых полупространств на открытые {х: (ж, е) > г}.
Разумеется, можно было бы определить точно также и /с-сим-
метризацию любых множеств (используя также открытые полу-
полупространства), однако нам это не понадобится.
4.1.1. Пример. Пусть к = п. Тогда L — {0} и
5({0},е)(А) = {х: (х, е) > Ф^ - 1п(А)) }
— полупространство для всякого замкнутого множества А.
Непосредственно проверяются следующие свойства гауссов-
гауссовской симметризации.
4.1.2. Лемма. Для произвольных замкнутых (или открытых)
множеств А и В имеем:
(i) если А С В, то S(L,e)(A) С S(L,e)(B);
(ii) Mn\S(L,e)(A) = S(L,e)(TRn\A);
(Hi) S(L, e)(A + v) = S(L, e)(A) + v для всех v в L;
(iv) Если {Ai} — возрастающая последовательность откры-
открытых множеств и A = \Ji Ai, то S(L, e)(A) = Ц S(L, e){Ai);
(v) если В = В + L1, то 1п(АГ\В) = ln(S{L,e){A) пв). В
частности, r)n(S(L,e){A)\ =/yn(A).
4.1.3. Лемма. Пусть L\ и hi — линейные подпространства в
]Rn, причем ортогональные дополнения L\C\L2 в Ь\ и hi взаимно
ортогональны. Тогда
S(hu e)oS(h2, e) - S(h2, e)o5(Lb e) = 5(Li П L2, e).
Следующая лемма позволяет сводить /^-симметризации высо-
высокого порядка к двумерным.
АЛЛ. Лемма. Пусть п > 3 и к > 2. Для любой к-симметриза-
ции S = S(h, е) существуют 2-симметризации Si,..., Sk-i та-
такие, что S = S\o- • -оSfc-i.
4.2. Неравенство Эрхарда 151
В свою очередь, 2-симметризации могут быть получены как
пределы последовательностей композиций 1-симметризаций, ус-
устроенных наиболее просто (мы не приводим точную формули-
формулировку, которую можно найти в [50], [85], поскольку она нуж-
нужна лишь для доказательства следующей теоремы, изложенного в
указанных работах). Из предыдущих довольно просто проверя-
проверяемых лемм выводится следующий основной результат, который
хотя и доказывается вполне элементарными методами, очевид-
очевидным отнюдь не является.
4.1.5. Теорема. Пусть U — замкнутый единичный шар в Шп
и S(L,e) — произвольная k-симметризация в Ш™. Тогда:
(i) для всякого замкнутого множества А С Ш.п имеем
S(L,e)(A)+rU cS(L,e)(A + rU), Vr > 0;
(ii) для любого выпуклого открытого или замкнутого множе-
множества А С Ш™ множество S(L,e)(A) выпукло.
4.1.6. Следствие. Для всякого замкнутого множества А в
Vr > 0. D.1.2)
Применительно к п-симметризации получаем, что среди мно-
множеств равной 'Уп-меры минимальную меру г-окрестности име-
имеет полупространство.
4.2. Неравенство Эрхарда
Первым применением гауссовской симметризации будет до-
доказательство следующего так называемого изопериметрическо-
го неравенства (которое может быть доказано и без симметри-
симметризации, но не столь коротко).
4.2.1. Теорема. Пусть ^п — стандартная гауссовская мера
в Ш,п и U — замкнутый единичный шар в Ш™ с центром в ну-
нуле. Для всякого измеримого множества А С Ж™ справедливо
неравенство
Ф-1 G„(Л + rU)) > Ф-1 (чп(А)) + г, Vr > 0. D.2.3)
152 Глава 4. Выпуклость
Доказательство. Ясно, что достаточно доказать эту оценку
для компактных множеств А. Применим к А произвольную п-
симметризацию S. Тогда множества S(A) и S(A) + rU — по-
полупространства. В силу сохранения меры при симметризации и
теоремы 4.1.5, получаем
rU) = jn(s(A + rU)) >
поскольку полупространство S(A) + rU получается из полупро-
полупространства S(A) сдвигом на вектор длины г, ортогональный гра-
границе. D
Выпуклость гауссовских мер играет важную роль в разно-
разнообразных приложениях. Количественные теоремы такого сорта
утверждают, что для некоторой функции (/?(•, •, •) неравенство
7(аА + A -А)#) > <£(а,7(Л),7(£)), va G [°.1]:
справедливо для всех Аи В из некоторого класса множеств. Тео-
Теорема 1.6.3 дает пример такого рода. Следующий фундаменталь-
фундаментальный результат — неравенство Эрхарда — выводится из свойств
гауссовской симметризации.
4.2.2. Теорема. Пусть А и В — выпуклые множества в Шп.
Тогда для всех А £ [0,1] справедливо неравенство
D.2.4)
Доказательство. Как уже отмечалось, внутренность выпукло-
выпуклого множества имеет такую же меру, как и само множество. По-
Поэтому достаточно доказать наше утверждение для открытых
выпуклых множеств А и В. Будем рассматривать Мп как ги-
гиперплоскость в М"+1. Тогда А и В оказываются выпуклыми
подмножествами Шп+ , откуда вытекает и выпуклость множе-
множества А + еп+\, где en+i = @,0,... ,0,1). Обозначим через С
выпуклую оболочку множеств А + еп+1 и б в IRn+1. Тогда для
всякого A G [0,1] имеем
Сх := ПГ П (С - Aen+i) = ХА + A - Х)В.
4.2. Неравенство Эрхарда 153
Рассмотрим функцию
/(Л) = Ф-1{7„(СА)} = ф-1{7п(АА + A - Л)В)}
на отрезке [0,1]. Эта функция выпукла. Действительно, возьмем
единичный вектор е _L en_|_i и рассмотрим n-симметризацию S
в Шп+ относительно одномерного подпространства Ш еп+\ в
направлении е. Множество S(C) — выпуклое. По определению
симметризации, jn(C\) есть то г, для которого
(Ле„+1 + ИГ) П S(C) = {х: (х, е) > г} П (Ле„+1 + И"),
откуда вытекает выпуклость /. Следовательно, /(А) > А/A) +
A — Л)/@), что и требовалось доказать. U
В [383] показано, что для справедливости неравенства Эр-
Эрхарда достаточно выпуклости одного из множеств А, В, одна-
однако неизвестно, верно ли оно для произвольных пар измеримых
множеств. Как мог заметить читатель, обе вышеприведенные
теоремы остаются в силе и для произвольной гауссовскои ме-
меры, если вместо U взять соответствующий эллипсоид рассеяния.
Однако мы приведем сразу бесконечномерные обобщения.
4.2.3. Теорема. Пусть -у — центрированная гауссовская ме-
мера Радона на локально выпуклом пространстве X. Тогда для
любых борелевских множеств А и В и всех A G [0,1] справедли-
справедливы неравенства
7* (\А + A - Л)В) > 7(А)А7EI-А. D.2.5)
Если при этом А и В выпуклы, то
- Х)В)}
D.2.6)
Доказательство. Сначала мы выясним, как получить D.2.5)
из конечномерной оценки D.2.5). Прежде всего отметим, что
оба доказываемых неравенства справедливы для всякой гауссов-
гауссовскои меры на IR", ибо всякая такая мера есть образ стандартной
гауссовскои меры при аффинном отображении и аффинные ото-
отображения переводят линейные комбинации множеств в линейные
комбинации их образов. Поскольку 7-мера всякого измеримо-
измеримого множества равна супремуму мер вписанных в него метри-
зуемых компактов, то достаточно проверить D.2.5) в случае,
154 Глава 4. Выпуклость
когда А и В являются метризуемыми компактами. При этом
С = ХА + A — \)В — также метризуемый компакт. Можно
считать, что хотя бы одно из множеств А или В имеет положи-
положительную меру. Линейная оболочка Е множеств А и В содержит
все интересующие нас множества и является суслинским про-
пространством полной меры. Как уже неоднократно отмечалось
выше, Е является объединением последовательности метризуе-
мых компактов и найдется последовательность {/„} С Е*, раз-
разделяющая точки Е. Будем теперь рассматривать меру 7 только
на Е. Применяя процесс ортогонализации, заключаем, что по-
последовательность {fn} можно считать ортонормированным ба-
базисом в X*. Если эта последовательность конечна, то все сво-
сводится к уже рассмотренному конечномерному случаю. Если же
она бесконечна, то инъективное непрерывное линейное отобра-
отображение Т: х !->• (fn(x))^=i, E —> Ш,00, переводит меру 7 в счетное
произведение стандартных гауссовских мер на прямой, что сво-
сводит доказываемое утверждение к случаю этого произведения.
Поэтому далее считаем, что Е = Ш,°° и 7 есть произведение
стандартных одномерных гауссовских распределений.
Положим Рпх = (х\,Х2, ■. ■ ,хп,0,0,...). Заметим, что для
всякого компакта К С Ш.°° справедливо равенство
K= f]p-\Pn(K)). D.2.7)
Действительно, К содержится в правой части D.2.7). Пусть
х 0 К. Тогда найдется такое п, что Рпх 0 Рп(К). В против-
противном случае для каждого п найдется точка kn G К, для которой
Рпкп = х. Поскольку К — метризуемый компакт, то из по-
последовательности {кп} можно выбрать подпоследовательность,
сходящуюся к некоторому элементу к G К. Тогда к{ = Х{ для
всех i £ IN, откуда к — х — противоречие. Итак, равенство
D.2.7) доказано.
Пусть е > 0. Применяя D.2.7) к множествам А, В и С с уче-
учетом того, что множества Р~1 (Рп(К)) убывают при возрастании
п, получаем, что для некоторого п меры цилиндрических мно-
•л-ргтп А — Р~1(р ( А\\ R — Р" (Р ( R\\ С — Р ( Р (С\\
жеств /in — гп \гпул.)\, £>п — гп \гпуг>)\, un — гп irB^ji
отличаются от мер, соответственно, А, В и С менее, чем на е.
При этом Сп = ХАп + A — \)Вп. Применяя конечномерное нера-
неравенство к мере 7п = 7 ° -f,^1, получаем
4.2. Неравенство Эрхарда 155
что приводит к D.2.5) ввиду произвольности г.
Перейдем к доказательству D.2.6). Предыдущее рассужде-
рассуждение здесь не проходит, поскольку соответствующее конечномер-
конечномерное неравенство было доказано лишь для выпуклых множеств, в
то время как D.2.7) верно, вообще говоря, лишь для компактов, а
выпуклая оболочка компакта в IR00 не всегда компактна. Чтобы
обойти это затруднение, как и выше, сведем сначала все к слу-
случаю Ш,00. Для всякого е > 0 существуют такие метризуемые ком-
компакты А\ С А и В\ С В, что j(A) < ^{А\)+е та -){В) < ^{В\) + £.
Ввиду этого обстоятельства нам достаточно доказать неравен-
неравенство D.2.6) для выпуклых оболочек А\ и В\ вместо А и В. По-
Поэтому можно считать, что А = conv A\ и В = conv B\. Положим
С = ХА + A — Х)В. Множество С\ — AAi + (l — A)J5i — также ме-
тризуемый компакт, так же, как и объединение D = А\ \JB\ UC-y.
Если j(D) — 0, то D.2.6) верно. Поэтому далее считаем, что
-y(D) > 0. Тогда линейная оболочка Е множества D содержит
все интересующие нас множества и является суслинским про-
пространством полной меры. Будем теперь рассматривать меру 7
только на Е. Снова находим последовательность {/„} С Е*, раз-
разделяющую точки Е. Как и выше, эта последовательность задает
инъективное линейное вложение Е в Ш,°°, что позволяет свести
все к случаю, когда Е = И00 и 7 — произведение стандартных
одномерных гауссовских распределений.
Положим Рпх = (х\,Х2, • • •, хп, 0,0,...) и Qnx = х — Рпх. Для
каждого борелевского множества D рассмотрим функции
In(D)(x) = JID{Pnx + Qny)j(dy) =
- Pnx),
где fin = 7 о Q~l. Из уже доказанного неравенства D.2.5) выте-
вытекает включение
AJ/n(/L) > ^} + A-А){/„(В) > ^} С
Действительно, если цп(А — Рпх) > 1/2 и f.in(B — Рпх) > \, то
оценка D.2.5), примененная к мере (гп, дает
- Рпх) + A - Х){В - Рпх)) >
156 Глава 4. Выпуклость
> А1па*„(Л - Рпх) + A - Л) 1пМп(Б - Рпх) > In -,
откуда /х„(А.А + A - \)В - Рпх\ > 1/2. Таким образом,
Заметим, что множество {/„(£>) > 1/2} выпукло, если выпукло
D. Действительно, если fj,n(D — Рпх) > 1/2 и /xn(.D — Pnz) > 1/2,
то в силу выпуклости D при A G [0,1] имеем
- ВД + A - А)(£> - Pnz) = D- XPnx - A -
откуда, как и выше, с помощью D.2.5) получаем
\Рпх - A - A)Pnz) > .
Остается заметить, что выпуклые множества {1п(А) > 1/2} и
{7П(В) > 1/2} — цилиндрические, причем, по теореме 3.4.5, для
всякого измеримого множества D последовательность {/„(£>)}
сходится к Id в L2(-y), а значит, и по мере -у. Применяя эту тео-
теорему к Аи В и пользуясь конечномерным неравенством Эрхарда,
приходим к D.2.6). П
В частности, из этой теоремы вытекает уже известное нам
бесконечномерное неравенство Андерсона. В качестве задачи
4.6.7 предлагается вывести его из неравенства Эрхарда.
4.2.4. Следствие. Для всякого симметричного выпуклого j-
измеримого множества А и всякого вектора а имеем
l{A + a) < 7(А). D.2.8)
4.2.5. Замечание. Заметим, что если А и В — элементы £(Х),
то их линейные комбинации автоматически измеримы (см. гла-
главу 2), поэтому нет необходимости привлекать внутреннюю меру.
В частности, это верно, если X — сепарабельное пространство
Фреше. Сказанное остается в силе и для тех пар борелевских
множеств, хотя бы одно из которых содержится в суслинском
линейном подпространстве полной 7-меры.
4.2. Неравенство Эрхарда 157
Для формулировки еще одного.следствия неравенства Эрхар-
Эрхарда нам понадобится следующая лемма.
4.2.6. Лемма. Пусть 7 — радоновская гауссовская мера на
локально выпуклом пространстве X, Q — борелевское множе-
множество в гильбертовом пространстве Н[р/). Тогда для всякого
борелевского множества В С X множество B + Q ^-измеримо.
Доказательство. Мы знаем, что в X существует метриэуе-
мый компакт К положительной 7-меры. Пусть Тп — куб в Ш™,
заданный условием |ж»| < п, г = 1,...,п. Обозначим через Кп
образ метризуемого компакта Тп х Кп при отображении
,... ,kn)j i-> kiti + ... + kntn.
Тогда Кп — также метризуемый компакт. Напомним, что
H(j) — сепарабельное гильбертово пространство. Следователь-
Следовательно, множество (ВПКп) +Q является суслинским подмножеством
X как непрерывный образ борелевского множества (ВГ\Кп) х Q
в полном сепарабельном метрическом пространстве Kn x H(j)
(см. Дополнение). Соответствующее непрерывное отображение
имеет вид (k, 1г) н-> к + h. Поэтому для любого п множество
(В Г) Kn) + Q 7-измеримо (см. теорему А.3.15). Объединение
L = U^Li Kn является линейным подпространством. Кроме то-
того, "f(L) > 0. В силу закона 0-1 имеем 'j(L) = 1. В частности, L
содержит H{pf). Теперь остается заметить, что, полагая
оо
с= U
тг=1
мы имеем C(ZB + Qh(B + Q)\C С X\L. Действительно, если
х G В + Q, но х 0 С, то х 0 Кп для всех п, то есть х 0 L. Итак,
' =0. □
4.2.7. Теорема. Пусть 7 — радоновская гауссовская мера на
локально выпуклом пространстве X, А — т-измеримое множе-
множество и UH — замкнутый единичный шар в гильбертовом про-
пространстве Н = H(j). Тогда
Шн)>Ф(а + Ь) Vi>0,
где а выбрано так, что Ф(а) = f(A). Если j(A) > 1/2, то
H) > Ф(г) > 1 - ^ехр(-V). D.2.9)
158 Глава 4. Выпуклость
Доказательство. Применимы те же рассуждения, что и при
доказательстве неравенства D.2.5), сводящие все к случаю про-
дакт-меры на Ш°°, а также уже доказанное конечномерное нера-
неравенство. В D.2.9) использована оценка Ф(£) > 1 — ^expf — ^t
V t > О, которую легко проверить.
4.2.8. Следствие. Для всякого положительного а найдутся
такие го (а) > 0 и вещественное с(а), что для всех г > го{а)
справедливо неравенство
(г2 \
rUH) > 1 -ехр -— + с(а)г , D.2.10)
V 2 /
при условии, что ^у(А) = а > 0.
При доказательстве теоремы 4.2.3 свойство выпуклости бы-
было использовано для построения приближений выпуклых мно-
множеств выпуклыми цилиндрами (что уже делалось для £(ХO-
измеримых множеств в главе 2). Такой способ (в отличие от
построения главы 2) прост и конструктивен, и потому соответ-
соответствующее утверждение мы сформулируем в виде отдельного ре-
результата.
4.2.9. Предложение. Пусть j— гауссовская мера Радона на
локально выпуклом пространстве X и А & В(Х)^ — выпуклое
множество. Возьмем ортонор миро ванный базис {еп} в Н^) и
положим
1А [Рпх + (I- Pn)y)
п
где Рпх = J2 ёг(х)е{. Тогда множества Ап := {/„ > 1/2} —
t=i
выпуклые цилиндры и *у(А А Ап) —V 0.
Доказательство. Можно считать, что j имеет нулевое сред-
среднее. Кроме того, можно считать, что А — борелевское выпуклое
множество (выпуклая оболочка последовательности компактов).
Поскольку /„ —>• 1А в Ь2(т) в силу следствия 3.4.5, то j(AAAn) —>•
0. Обозначим через ^п образ j при отображении I — Рп. ТогДа
fn(x) — №п{А — Рпх). Поэтому условие х, z € Ап записывается в
виде /лп(А — Рпх) > 1/2, цп(А - Pnz) > 1/2. Ввиду выпуклости
А имеем \{А - Рпх) + A - Л)(А - Pnz) = А - ХРпх - A - \)Pnz
для любого Л G [0,1]. В силу неравенства D.2.5) применительно
к мере /j,n получаем, что nn{A — \Рпх — A — \)Pnz) > 1/2, то есть
Ап — выпуклое множество. П
4.3. Выпуклые и липшицевы функционалы 159
4.3. Выпуклые
и липшицевы функционалы
В этом параграфе мы обсудим оценки распределений нели-
нелинейных функций на гауссовском пространстве. Представленный
здесь материал является связующим звеном между предыдущи-
предыдущими главами, где речь шла о линейных объектах, и главами 5 и 6,
посвященными нелинейным проблемам. Приведем сначала один
общий результат о структуре распределения выпуклого функ-
функционала. Измеримую функцию / на локально выпуклом про-
пространстве с радоновской гауссовской мерой 7 будем называть
измеримой выпуклой функцией, если она имеет модификацию
/о: X —> И1, которая выпукла в обычном смысле, то есть
у), VAG[O,1], Vx, у G X.
4.3.1. Теорема. Пусть 7 — гауссовская мера Радона на ло-
локально выпуклом пространстве X и f — измеримая выпуклая
функция на X. Положим F(t) = "f{x: f(x) < t}. Тогда функция
G: < (->■ Ф [F(t)j выпукла.
Доказательство. Пусть гь t2 £ П11, А е [0,1]. Положим £з =
Ail + A — A)t2 и А{ = {/ < ti}, г = 1, 2, 3. В силу выпуклости /
имеем XAi + A — А)Аг С Аз- Поэтому из неравенства Эрхарда
получаем
GD0)
что дает G(t3) > \G(h) + A - X)G(t2). □
4.3.2. Следствие. Пусть выполнены условия теоремы 4.3.1.
Тогда:
(i) функция F непрерывна всюду, за возможным исключением
то чки
t0 = inf{t: 7{/ <t}> О};
(ii) на луче (to,+oo) функция F абсолютно непрерывна и име-
имеет положительную непрерывную производную F' во всех
точках этого луча, за исключением не более чем счетно-
счетного множества точек, в которых F' имеет односторонние
пределы и претерпевает скачки вниз;
160 Глава 4. Выпуклость
(iii) для всякого t\ > to функция F' имеет ограниченную вари-
вариацию на [t\,+oo), в частности, F' ограничена на \t\,+oo).
Доказательство — предмет задачи 4.6.8. Имеются примеры,
показывающие, что F может иметь скачок в точке to, a F' мо-
может быть неограниченной в окрестности to и иметь скачки в
точках счетного множества (см., например, [50]). Важным при-
примером измеримого выпуклого .функционала является измеримая
полунорма.
4.3.3. Предложение. Пусть -у — центрированная гауссовс-
кая мера Радона на X. Для всякой т-измеримой полунормы q на
X существуют такие последовательность {/„} С X* и после-
последовательность чисел ап > 0, что
g(x) =sup\fn(x)+ап) -у-п.в. D.3.11)
Доказательство. Функция <p(t) = j(q < t) не убывает и пото-
потому имеет не более чем счетное множество точек разрыва. Обо-
Обозначим через М какое-нибудь счетное множество, всюду плот-
плотное в множестве точек непрерывности <р. Запишем М в виде
М = {ti}. Положим V = {q < 1}. Ясно, что tV = {q < t} для
всех t > 0. По лемме 2.6.7, для каждого k G IN найдется абсо-
абсолютно выпуклое цилиндрическое множество С^ с компактным
основанием, имеющее такое свойство:
f(UCk AttV) <2-%-k, Уг<к.
Функционал Минковского qck множества Ск — £(Х)-измеримая
полунорма, пред ставимая для некоторого счетного набора {fk,i}
элементов X* в виде
Обозначим через D счетную совокупность полученных функци-
функционалов fij. Покажем, что
( () п.в. D.3!l2)
feD
Обозначим через #о случайную величину в правой части D.3.12),
а через ф — ее функцию распределения. В силу монотонности
и непрерывности справа обеих функций достаточно проверить,
что (£>(£) = ip(t) для всех t G М. Напомним, что лемма Бореля—
Кантелли утверждает, что из условия Y^n=i Pi.^-n) < °°) гДе
4.3. Выпуклые и липшицевы функционалы 161
Ап — множества, измеримые относительно вероятностной меры
Р, вытекает, что Р-вероятность множества А всех точек, при-
принадлежащих бесконечно многим Ап, равна нулю (см., например,
[157, с. 272]). При фиксированном г £ М в силу леммы Бореля-
Кантелли почти каждая точка х из rV принадлежит всем rCk,
кроме не более чем конечного их числа (ибо -y(rV АгСк) < 2~к),
и потому входит в множество {qo < г}. Это означает, что мно-
множество rV содержится в множестве А :— {qo < г} с точностью
до множества меры нуль. Зафиксируем е > О и выберем s £ М
так, что s > г и
-у(Ав)<-у(А) + е, -y{sV) <~/{rV) + £,
где As := {qo < s}. Для каждого х £ А начиная с некоторо-
некоторого т выполняется включение х £ sCk, Vк > т. Из построения
Ck вытекает, что х £ sV для почти всякого х £ А. Следова-
Следовательно, -у(А) < -y(rV) + е. В силу произвольности е получаем
оценку -у(А) < j(rV). Осталось показать, что D.3.12) можно
представить как sup. Пусть К — замыкание D в А'*, а Ко —
множество предельных точек D в X* При этом £(f,x) := f(x),
f £ К, — гауссовский процесс на К, который по теореме Ито-
Нисио п.н. имеет неслучайную осцилляцию 6. Ввиду симме-
симметричности 7, Hmsupye/s: 1/0*01 < сю п.в. Из этого (с учетом те-
теоремы Ито-Нисио) вытекает, что функция 6 конечна. Кроме
того, К и А'о компактны в X* по задаче 4.6.9. Следовательно,
Aо(х) = sup limsup<7(:E) п.в., что по теореме Ито-Нисио дает
fei<o g->f
qo(x) = sup (f(x) + d(f)/2) п.в. Выбрав, как в доказательстве
feKo
теоремы 3.4.1, счетное (или конечное) множество {/„} С Ко,
плотное в Ко по метрике d(f,g) = ||/ - д\\ь^G) + |<Н/) - %)|,
получим qo{x) = supn[fn(x) + d(fn)/2] п.в. (заметим, что, как и в
теореме 3.4.1, существует модификация £(/,х), непрерывная на
К с метрикой d). Можно и сразу брать эту модификацию. П
Отметим, что полунорма, задаваемая равенством D.3.11) с
/„ £ X*, полунепрерывна снизу, то есть множества {q < г}
замкнуты. По теореме Хана-Банаха, всякая полунепрерывная
выпуклая функция / имеет вид f(x) = sxvpa[fa(x) + ca] с некото-
некоторыми наборами fa £ X* и са £ К1. Если X является счетным
объединением метризуемых компактов, то легко видеть, что со-
соответствующие наборы могут быть выбраны счетными. В част-
частности, полунепрерывная снизу выпуклая функция на локально
выпуклом пространстве X с радоновской гауссовской мерой 7
имеет модификацию вида D.3.11) с fn £ X*, хотя может и не
6 В.И. Богачев
162 Глава 4. Выпуклость
задаваться в таком виде поточечно. Возьмем, например, в каче-
качестве X пространство всех ограниченных функций с топологией
поточечной сходимости и наделим его мерой Винера. Пусть А
— множество всех измеримых по Лебегу функций на [0,1], не
превосходящих по модулю 1. Тогда А — абсолютно выпуклое се-
секвенциально замкнутое, но не замкнутое множество. Линейная
оболочка А — банахово пространство относительно нормы рА,
имеющее меру 1 относительно радоновского продолжения меры
Винера на X. Таким образом, рА — измеримая полунорма, не
являющаяся полунепрерывной снизу.
Вернемся на время в конечномерные пространства. Пусть
/: Шп -» Шк — локально липшицева функция. Тогда почти всю-
всюду существует ее производная /'.
4.3.4. Теорема. Пусть £ и rj - два независимы^ гауссовских
вектора в К™ с одним и тем же центрированным распределе-
распределением -f, причем отображение / 7-интегрируемо. Тогда для
всякой выпуклой функции Ф: Шк -» К1 имеем
) D.3.13)
что равносильно следующему неравенству:
J ф(/(а:) - //d7) l(dx) < J J Ф^/'ИО/)) -y{<b)-y{dy).
D.3.14)
Доказательство. Положим £@) = £ sin в+rj cos в для в е [0,2тг].
Тогда
= f cos 0-?7sin0.
По нашему предположению с вероятностью единица имеем
тг/2 тг/2
№ -/(»?)=/ def (£@)) d9 = f (/'(£@)), £'(*)) d9.
о о
В силу выпуклости Ф получаем
7Г/2
ЕФ(/(£) - /(г;)) < \ J
о
4.3. Выпуклые и липшицевы функционалы 163
Ввиду гауссовского свойства, случайный вектор (£(#)>£'(#)) име-
имеет то же распределение, что и (£, rj). В частности-, для всех в
имеем
Итак, приходим к оценке D.3.13). Неравенство D.3.14) вытекает
из D.3.13) согласно формуле замены переменных. . П
4.3.5. Следствие. Если к = 1, то при г > О справедливо не-
неравенство
Г<]Е-
~ 2'
Мг — / |£|Г£>@,1, t) dt. В частности, для стандартной
— оо
гауссовской меры -уп получаем
J\f(x) - J f dln\ ln{dx) < Mr(^j J \Vf(x)\rJn(dx).
IR71 IR"
D.3.15)
При этом интегрируемость f вытекает из существования ин-
интегралов в правых частях этих неравенств.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Сначала предположим, что функция / ин-
интегрируема, и применим оценку D.3.13) к Ф(ж) = \х\г. Тогда
остается заметить, что для всякого линейного функционала /
случайная величина l{rj) является гауссовской с дисперсией аA).
При проверке интегрируемости функции / с |V/| € Ll{~i)
можно заменить ее на |/| и считать неотрицательной. Возь-
Возьмем последовательность функций ipj на прямой, заданных сле-
следующим образом: <Pj{t) = t при |t| < j, <pj(t) — jsgnt при
\t\ > j. Положим fj = <pj(f). Тогда для функций fj имеет ме-
место оценка D.3.15) с ограниченными по j правыми частями, ибо
|V/j| < |V/|. По теореме Фату получаем liminf[fj — J fj d-y] < оо.
Поскольку /j -> / поточечно, то liminf / fj d^y < оо, откуда снова
по теореме Фату вытекает интегрируемость /. П
4.3.6. Следствие. Пусть jn — стандартная гауссовская ме-
мера, к = 1 и
\f(x)-f(y)\<C\x-y\.
6*
164 Глава 4. Выпуклость
Тогда функция / интегрируема, причем для всех а <
ведливо неравенство
IR"
exp(a\f - J f dln\2) dln < (l-f^C2) ■ D.3.16)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим сначала, что / / с?7„ = 0. При-
Применим неравенство D.3.14) к функции Ф(£) = ехр(а£2). При фик-
фиксированном х функция f'(x)(y) — гауссовская случайная вели-
величина с дисперсией не больше С. Поэтому интеграл по у оцени-
оценивается через правую часть D.3.16). В общем случае остается за-
заметить, что / интегрируема согласно предыдущему следствию^
поэтому можно применить доказанное к / — / / d-yn. LJ
4.3.7. Следствие. Пусть jn — стандартная гауссовская ме-
мера на К™ и / — локально липшицева функция. Тогда
ехр[/ - Jfd-уп] dln < I exp(^-|V/|2) dln. D.3.17)
IR" ffi."
Доказательство. Применим D.3.14) к V(t) = е1. П
Полученные выше оценки распределений для числовых лип-
шицевых функций можно несколько улучшить.
4.3.8. Теорема. Пусть 7п — стандартная гауссовская мера
на R™ и / — липшицева функция с константой С. Тогда для
всех г > 0 справедливо неравенство
ln(x: \f{x)- j fd1\>r)<2^(-~y D.3.18)
Если J f d-~fn = 0, то для всех X E К1 справедливо неравенство
exp(A/)d7n < expl^—j. D.3.19)
R"
Доказательство. Ясно, что достаточно доказать эти оценки
для гладких ограниченных функций. Установим сначала D.3.19).
Ввиду произвольности А, общий случай сводится к случаю С = 1.
Рассуждение ниже аналогично тому, которое было использова-
использовано для доказательства логарифмического неравенства Соболева
4.3. Выпуклые и липшицевы функционалы 165
(см. теорему 1.5.7). Пусть (Tt)t>o — полугруппа Орнштейна-
Уленбека с генератором L. Используя полугрупповое свойство и
формулу A.5.6) интегрирования по частям для L (см. главу 1),
получаем
оо
G{t) := fexp{\Ttf) dln = 1 - Jg'{s) ds =
t
oo
= l-\J(J exp(ATJ) LTJ djn\ ds =
oo
= 1 + A2 / ( I |VTJ|2 exp(ATJ) dln\ ds.
t
При этом VTS/ = e-*T5(V/), откуда |VTJ| < e~', ибо |V/| < 1
в силу условия. Следовательно, приходим к неравенству
оо
G(t) < 1 + А2 [ e-2sG(s)ds.
t
Обозначая натуральный логарифм правой части этого неравен-
неравенства через H(t), после дифференцирования по нижнему пределу
получаем оценку H'[t) > —\2e~2t, t>Q. Итак,
А2
In Г" ' '
< Н@) = - J H'{s)ds < y>
что и требовалось. Оценка D.3.19), примененная к функции д =
/ — / / djn, и неравенство Чебышева дают оценку
Подставляя в это неравенство А = г и й = ег ,с учетом анало^
гичного неравенства для — д приходим к D.3.19). □
4.3.9. Замечание. Все доказанные выше утверждения с по-
помощью очевидного предельного перехода распространяются на
функции / из Соболевского класса Wlo'c (IR™). Это небольшое
усиление будет использовано в главе 5 для получения бесконечно-
бесконечномерных аналогов таких оценок. Некоторые из доказанных здесь
оценок будут усилены в главе 5.
166 Глава 4. Выпуклость
Теперь займемся бесконечномерными следствиями. Пусть -f
— центрированная радоновская гауссовская мера на локально
выпуклом пространстве X и Н = Hfr) — ее пространство Ка-
Камерона-Мартина.
Иногда бывает полезно оценить степень концентрации функ-
функции не вокруг ее среднего, а вокруг медианы. Для измеримой
функции / на вероятностном пространстве (X, /л) обозначим че-
через M(f) медиану /, т. е. М(/) — это такое число, что
ф: fix) > М(/)) > 1/2, ф: /(я) < М(/)) > 1/2.
Медиана существует (хотя может и не быть единственной), ибо
можно положить M(f) — sup{t: /j,(x: f(x) < t) < 1/2}. Нуль
является медианой функции / — М(/). В задаче 4.6.11 предла-
предлагается доказать, что если /j, — гауссовская радоновская мера на
локально выпуклом пространстве X и / — такая //-измеримая
функция, что для //-п.в. х функция t н4 f(x + th) непрерывна
для всякого h из H(fj,), то медиана M(f) единственна.
4.3.10. Теорема. Предположим, что 7-измеримая функция /
удовлетворяет условию
\f{x + h)-f(x)\<C\h\H, MheH^-n.e. D.3.20)
Тогда для любого г > 0 справедлива следующая оценка:
Доказательство. Заметим, что
({/ > Mf} n {/ < Mf}) +rUH(z{\f- M(f)\ < Cr}.
Поэтому мера {|/ — М(/)| > г} оценивается через сумму мер
{/ > М/} + rC~lUH и {/ < Mf} + rC-1UH. Применяя оценку
D.2.9), получаем доказываемое неравенство. П
Из доказанной теоремы вытекает интегрируемость /. Спра-
Справедливо и аналогичное неравенство, связанное со средним.
4.3.11. Теорема. Предположим, что-у-измеримая функция f
удовлетворяет условию D.3.20). Тогда / интегрируема и для
всех г > 0 справедливо неравенство
f(x)-jfd1\>r)<2exp(-^. D.3.22)
В частности, функция ехр(а/2) интегрируема при а < 2 .
4.4. Функции Онзагера-Маклупа 167
Доказательство. Возьмем ортонормированный базис {£„} в
X* и рассмотрим условные математические ожидания /„ из след-
следствия 3.4.5. Ясно, что функции /„ также удовлетворяют условию
D.3.20) и потому остается применить конечномерную оценку. П
4.3.12. Пример. Пусть / — 7~измеРимая полунорма на X.
Тогда ее модификация /о, являющаяся полунормой в обычном
смысле, удовлетворяет условию D.3.20). Положим
*(/):= sup{/0(/0: НЯG)<1}, JE/:=|/d7.
Тогда справедливо неравенство
Доказательство. Согласно теореме 2.7.6, функция /о непре-
непрерывна на Н(^). Следовательно, |/о(ж + h) — fo(x)\ < fo{h) <
x(f)\h\HM- □
Ряд дополнительных результатов об экспоненциальной инте-
интегрируемости будет представлен в параграфе 5.6 следующей гла-
главы, посвященном логарифмическим неравенствам Соболева.
4.4. Функции Онзагера-Маклупа
Пусть // — мера на метрическом пространстве X и К(х,е)
— замкнутый шар радиуса е с центром в х. В различных прило-
приложениях приходится исследовать существование следующего пре-
предела:
lim
Если этот предел существует, то функция !F(a,b) = lnl(a,b) на-
называется функцией Онзагера-Маклупа (при этом 1п(оо) = оо,
1п@) = —оо). Здесь обсуждаются лишь гауссовские меры, по-
поскольку многие результаты о функциях Онзагера-Маклупа осно-
основываются на предварительном рассмотрении гауссовского слу-
случая.
Пусть 7 — центрированная гауссовская радоновская мера на
локально выпуклом пространстве X, Н = H(j) — ее простран-
пространство Камерона-Мартина с гильбертовой нормой | ■ \н и q — -у-
измеримая полунорма на X. Будем предполагать, что при этом
168 Глава 4. Выпуклость
выбрана версия q, являющаяся полунормой в обычном смысле.
Для векторов h 6 Н исследуем существование предела
Будем предполагать, что
(в противном случае соответствующий предел можно считать
равным 1). Как мы уже знаем, это условие действительно явля-
является некоторым ограничением на q, ибо в бесконечномерных
пространствах может случиться, что -y(V[) = 0, хотя 7(^2) > О
(см. пример 3.5.3).
Ниже будет показано, что предел D.4.23) существует. Кроме
того, во многих случаях он может быть вычислен. Заметим, что
j(V£ + h) = "y(V£ — h) в силу симметричности 7- Ввиду формулы
Камерона-Мартина B.3.18), справедливо равенство
где h — измеримый линейный функционал, порожденный h.
Введем теперь некоторые дополнительные обозначения:
МЛ = ^гу / ехр(/(х))
Ус
Eq = {/ G X*: lim J£(/) существует},
Fq = {/ € Х;-. ШпЛШ = l}- D-4.25)
Ввиду D.4.24) существование предела D.4.23) равносильно
включению h £ Eq.
Тривиальным примером элемента из Fq является функция /,
удовлетворяющая условию / < Cq 7"п-в- .Для некоторого С
(в этом случае, согласно следующей лемме, имеем 1 < Je(f) <
ехр(Сг)). Разумеется, Fq может не совпадать с Eq. Например,
так обстоит дело в случае, когда 7 — стандартная гауссовская
мера на К2 и q(x) = \х\\, х — (х\,Х2)- Соответствующий предел
для f(x) = Х2 здесь равен J^ eX2p(x2,0,1) dx-i- Как мы уви-
увидим ниже, причина несовпадения Eq и Fq аналогична и в общем
случае.
4.4. Функции Онзагера-Маклупа' 169
4.4.1. Лемма. Для всех f € X* справедливо следующее нера-
неравенство:
1 < ^щ /ехр(/(х)) -y(dx) < expQ||/|||2G)). D.4.26)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Действительно, ввиду симметричности ме-
меры имеем Jv f dj = 0. В силу неравенства Иенсена для выпук-
выпуклых функций получаем
1=ехр{ш1ПхЫ*€)) - Ж) Iexp(f(x)^{dx)-
V V
С другой стороны, согласно неравенству Андерсона,
i{VE-h)<-i{VE), У heX.
Для h G Н это дает
Поскольку всякий функционал / € X* имеет вид / = h для h =
R7(f) e Я, причем ||/||L2G) = \h\H, получаем оценку D.4.26). □
Следующая простая лемма играет далее существенную роль.
4.4.2. Лемма. Множества Fq и Eq замкнуты в X*. При этом
Fq — замкнутое линейное подпространство в X*.
Доказательство. Будем обозначать норму в L2(-y) через || ■ ||2.
Согласно оценке D.4.26), функции Je: X* -> К1 локально гель-
деровы. В самом деле, применяя последовательно неравенство
Коши-Буняковского к интегралу
— у ехр(/(ж)) [ехр
■<{v-k,
а затем оценку D.4.26), получаем
\J£{f + g) - Je(/)| <
170 Глава 4. Выпуклость
< exp(||/||22)V/J£B9)-l-2(Je(9) - 1) <
< V2exp(\\f\\22)eM\\9\\l)
поскольку Je(g) — 1 > 0 и
0 < J£Bg) - 1 < ехрB||з|||) - 1 < 2\\д\\% ехрB|Ы|2),
что вытекает из оценки D.4.26) и неравенства е1 — 1 < tel. Таким
образом, функции J£ гельдеровы с показателем 1/2 и константой
\/2е2Л на каждом шаре радиуса R в X*. Эта равномерная от-
относительно е > 0 локальная гельдеровость влечет замкнутость
Eq и Fq в X*. Действительно, пусть fn -> / в X*, /„ € Sg и
й > 0. Из доказанной выше оценки вытекает, что при доста-
достаточно большом п имеем \Js(fh) — Je{f)\ ^ 8 Для всех s > 0. По
условию, найдется такое го > 0, что \Je(fn) ~ Je{fn)\ < ^ ПРИ
£, 0 € @, го]- Поэтому
\Uf)-Mf)\<
< \J£{f) - J£{fn)\ + \Je{fn) - Mfn)\ + \MU) - Mf)\ < 35,
откуда вытекает существование предела Пт£_>оЛ(/), то есть
включение / € Eq. Аналогично проверяется замкнутость Fq.
Докажем теперь линейность Fq. Пусть / € Fq. Для всех Л €
@,1), согласно D.4.26) и неравенству Гёльдера, примененному к
вероятностной мере 7(К:)~17|к£ и показателю р — 1/А, имеем
1 < Л(А/) < J£(f)\
Поэтому А/ € Fq. Положим Te(z) = J£(zf). Функции Т£ голо-
голоморфны и удовлетворяют неравенству
Te(z) |< Je(lm(z)/) <
Поскольку limT£B;) = 1 для z £ @,1), то по классической теоре-
£->0
ме эти функции сходятся к 1 равномерно на ограниченных под-
подмножествах комплексной плоскости и их производные локально
равномерно сходятся к 0 (см. [150, гл. IV, § 11]). Таким образом,
А/ € Fq для всех А € К1.
4.4. Функции Онзагера-Маклупа
Пусть д б Fq. В силу оценки D.4.26) и неравенства Коши-
Буняковского имеем
+ 9) < ^JeBf)JeBg) -+ 1, £ -У 0.
Следовательно, f + д £ Fq. Тем самым, лемма доказана. LJ
Из доказанной оценки вытекает, что для любой последова-
последовательности еп —¥ 0 найдется такая подпоследовательность Si =
£щ, что lim Jsi(f) существует для всех /el* (достаточно най-
найти такую подпоследовательность для элементов счетного всюду
плотного множества в X*). Ниже получены более точные ре-
результаты.
Обозначим через Рч ортогональную проекцию на замкнутое
линейное подпространство Fq в X* и положим
4.4.3. Теорема. Для всех / 6 X* имеем
lim Je(/) - ехр(|||Д,/|||ЯG)). DА27)
Доказательство. Из предложения 4.3.3 вытекает, что полу-
полунорма q почти всюду совпадает с функцией supn /п(ж) + «nj, гЛе
fn — некоторые элементы X* и ап > 0. В частност^! /п(ж) ^
q(x) п.в., откуда fn{—x) < q(x) п.в. и потому |/п(ж)| ^ 9(ж) п-в-
При нашем предположении относительно q получаем схп = 0 Для
всех п, ибо из соотношений выше вытекает, что ап ^ я(х) п-в-
Как отмечалось выше, /п 6 Fq.
Для / = Pgf + Aqf, обозначая через 1уе индикаторную функ-
функцию V£, имеем
МЛ = ~^Т IIv. ехр(Р9/ + Aqf)^ = J£(Pqf)
е)х х
поскольку Aqf и exp(Pg/)/ye — независимые случайнее величи-
величины. Независимость этих случайных величин вытекает из того
факта, что полунорма q эквивалентна борелевскои функции от
{fn} С Fq и Pqf б Fq, в то время как функция Aqf и всякая
172 Глава 4. Выпуклость
последовательность элементов Fq независимы, ибо Ао/ ортого-
ортогональна всем таким элементам. Непосредственным вычислением
для гауссовской случайной величины Aqf получаем
= exp[||j А9
х х
В силу включения Pqf € Fq приходим к D.4.27). LJ
Выясним теперь условия, при которых Fq = X* (в этом слу-
случае До = 0). Введем еще ряд объектов, связанных с D.4.23). На-
Напомним, что сужение q\n непрерывно относительно естествен-
естественной нормы Н, поскольку мы условились иметь дело с версией,
являющейся обычной полунормой. Пусть
Z = {а € Н: q(a) = 0}, Z° = R~1Z±,
где Z1' — ортогональное дополнение замкнутого линейного под-
подпространства Z в Н. Заметим, что Z0 — замкнутое линейное
подпространство в гильбертовом пространстве X*.
АЛЛ. Лемма. Справедливо равенство Fq = Z°.
Доказательство. Предположим, что / € Fq, причем будем
рассматривать собственно линейную версию /. Предположим,
что о € Н и q(a) = 0. Тогда V£ — a = Ve. Поэтому
Vc-a
= -jyT у ехр(/(аг - о)) ехр^--|о|2 J ехр(а(аг)) i(dx).
Для всяких г > 1 и 5 = A — \/г)~1 правая часть этого неравенства
мажорируется следующей величиной:
ехр(/(а))
'
4.4. Функции Онзагера-Маклупа 173
что стремится к expf/(a)J ехрШг — 1)|а|„) при е -» 0. Ввиду
произвольности г > 1, это влечет оценку
l = limJe(/)<exp(/(o)).
То же самое верно для —/. Поэтому /(о) = 0 (иначе одно из
двух чисел е^а> или е~'^ было бы меньше 1). Итак,
(/>a)£,2G) =/(a) = 0,
то есть f € Z0.
Обратно, пусть / € Z0. Как указано в доказательстве те-
теоремы 4.4.3, q имеет вид q = supn fn п.в., где fn 6 X*. Тогда
очевидным образом /„ 6 f, и
Z = {h € Я: /п(/г) = 0, Vn e IN}.
Поскольку /„(/г) = (Ryfn,h)H, то Zx совпадает с замыканием
линейной оболочки {Rjfn} в if. Следовательно, Z° — R~l{Z)
совпадает с замыканием линейной оболочки {/п} в X* и потому
входит bF,. □
4.4.5. Следствие. Предположим, что q |# является нормой.
Тогда Fq = X* В частности, это верно, если {q < 1} — огра-
ограниченное множество.
Доказательство. Если q\n — норма, то Z = 0.. Из ограничен-
ограниченности множества {q < 1} вытекает, что q на Н обращается в
нуль лишь в нуле и потому является нормой. □
4.4.6. Замечание. В силу леммы 4.4.2 достаточным условием
равенства Fq = X* является наличие в Fg плотного по норме
L2G) множества непрерывных линейных функционалов.
АЛЛ. Пример. (i) Пусть -у — винеровская мера на С[0,1] с
7-измеримой полунормой q. Если
limE[expu>(«) |g<e] =1, Vi € [0,1], D.4.28)
где JE(F\A) := 7(А)~1 JA Fd7, то
1
limE[exp f(p(t)dwt q < е] = 1, Vp e L2[0,l]. D.4.29)
174 Глава 4. Выпуклость
(ii) Если ||ж||£,1 < Cq(x) для некоторого С, то выполняются
соотношения D.4.29) и D.4.28).
(iii) Если 7 — произвольная центрированная гауссовская мера
на С[0,1], удовлетворяющая D.4.28), то
ШпЕ(ехр/ | д < е) = 1, V/ € С[0,1];.
То же самое верно, если ||aj||£,i < Cq(x).
Доказательство. Заметим, что оценка \\x\\ii < Cq(x) показы-
показывает, что q — норма. Соотношение D.4.28) означает, что функ-
функционалы St, t €. [0,1], входят в Fq. Поэтому Fq содержит и за-
замыкание их линейной оболочки в L2(-y). Всякий непрерывный
линейный функционал на С[0,1] является пределом поточечно
сходящейся последовательности линейных комбинаций функци-
функционалов St- Поэтому утверждения (i) и (iii) вытекают из того, что
Fq — замкнутое линейное пространство. П
4.5. Большие уклонения
Пусть 7 — центрированная гауссовская радоновская мера на
локально выпуклом пространстве X, UH — замкнутый единич-
единичный шар в гильбертовом пространстве Н = Н(-у) и
7е (А) = 7 (е-1 А), е>0.
Для любых двух множеств А, В С X положим
АеВ = {х€А\х + В €А}.
Обозначим через ВАС класс всех борелевских подмножеств
V пространства X, для которых liminf js(V) > 0. Заметим, что
если V € ВАС, то XV €. ВАС для всякого А > 0. Любое борелев-
ское множество V, такое, что XV С V при всех А > 0 и -y(V) > 0,
принадлежит ВАС Положим
ПА) = - inf ИхJ, 1(х) = \х\„, где 1(х) = оо при х & Н.
2 хеА
Введем следующие функционалы на В(Х) :
г (А) = sup jr > 0: 3 V € ВАС, (rUH + V) П А = 0 j,
4.5. Большие уклонения 175
причем г (А) = 0, если ни для какого г такого множества V не
существует, и
s(A) = inf|s > 0: 3, V € ВАС, (А 0 V) П sUH непусто},
причем s(А) = +оо, если ни для какого 5 такого множества V
не существует.
4.5.1. Теорема. Для всякого борелевского множества А в X
имеем
Km sup £2 In 7е(А) < -\г{АJ, D.5.30)
iminf£ln7U) > ^s(A). D.5.31)
е->о 2
Доказательство. Пусть г > 0 таково, что (rUH + V)n А пусто
для некоторого F G ЙЛ£. Тогда
Поскольку V € ВАС, то найдется такое а > 0, что 7(£-1У) > а
при всех достаточно малых положительных е. Значит, в силу
оценки D.2.10), для некоторого числа с(а), зависящего лишь от
а, и всех достаточно малых положительных чисел е имеем
откуда сразу вытекает оценка D.5.30), так как в качестве г мож-
можно выбрать произвольное число, меньшее г (А).
Для доказательства оценки D.5.31) возьмем положительное
число 8, для которого (AQV) Г) sUH непусто при некотором V
из ВАС. Тем самым, существует h € sUH с V + h С А. Поэтому
для всякого е > 0 имеем 7е {А) > JS{V + h). Согласно формуле
Камерона-Мартина, получаем
Поскольку V € ВАС, то найдется такое а, что ^{е lV) > а > О
для всякого достаточно малого е. В силу неравенства Йенсена
/ ехрГ—
176 Глава 4. Выпуклость
По неравенству Коши получаем
J h(x)-y(dx)<\h\H.
Итак, для всякого достаточно малого е > 0 справедливо нера-
неравенство
zez ae
Это ведет к оценке liminf e2 In7£(А) > —|/г|2/2 > —s2l2. По-
£-40 "
скольку в качестве s можно взять произвольное число, меньшее
s(A), оценка D.5.31) доказана. U
4.5.2. Лемма. Справедливы следующие неравенства:
-г(АJ > 1(А) для всякого замкнутого А С X,
—s(A) < I(A) для всякого открытого А С X.
Доказательство. Предположим, что А замкнуто и 1(А) > 0.
Пусть г таково, что 0 < г < 1(А). Из определения 1(А) вытека-
вытекает, что \/2rUH П А = 0. Поскольку \fbrVя компактно в X и А
замкнуто, то существует такая выпуклая закругленная окрест-
окрестность нуля V, что (\Z2rUjj + V) П А все еще пусто. Ясно, что
V G ВАС. Следовательно, г (А) > \/2г- Это влечет первое не-
неравенство. Пусть теперь А открыто и 1{А) < оо. Тогда можно
выбрать какой-нибудь элемент h 6 А П Н. Существует откры-
открытое абсолютно выпуклое множество V, для которого V С А, что
означает, что множество (A Q V) Г) \h\j{UH непусто. Поэтому
s(A) < \h\ff, откуда вытекает второе неравенство. П
Из доказанной леммы вытекает классический принцип боль-
больших уклонений:
4.5.3. Следствие. Для всякого борелевского множества А из
X справедливы оценки
—I(A°) < liminf е 1п7£(^4) < limsupe 1п7£(^4) < —1(А),
£->° е->о
где А° — внутренность А С X и А — его замыкание.
4.6. Дополнения и задачи 177
4.5.4. Пример. Пусть X — сепарабелъное банахово прост-
пространство с нормой \\-\\ и а — наименьшее положительное число с
Uн С {х € X: \\x\\ < а} (это — норма естественного вложения
Н —> X). Тогда для обоих множеств А = {х: \\x\\ > 1} и А =
{х: \\x\\ > 1} имеем 1(А) = а2/2. Поэтому
Описанные выше конструкции могут быть применены к ла-
пласовским приближениям. Приведем один результат из [190].
4.5.5. Теорема. Пусть F G L°°(^). Тогда для всякого боре-
левского подмножества А в X имеем
ал \
ехр(—-F(ex)) ^(dx) 1 < — С2,
\ £г ' )
А
где
с2 = inf (t + ~s(An{F <t}J\ cx = inf f^+ir(An{F<i}JV
4.6. Дополнения и задачи
В работе [266] А. Эрхард ввел также гауссовскую симметризацию
для функций. Используя введенные выше обозначения, для гауссовской
fc-симметризации S(L, е) в Нп и борелевской функции g на Нп положим
S(f)(x):=S(L,e)(f)(x) =
^infjoelR1: Ф((х,е) < 7fe(^x П ({/< а} - а;)) }.
Следующий результат, доказательство которого можно найти в
[266], описывает основные свойства симметризации функций.
4.6.1. Теорема. Пусть fug — непрерывные функции на Ш.п. То-
Тогда:
(i) Для всех a G И1 имеем
{S(f) >а} = 5({/ > а}), 7п({5(/) < а}) = 7п({/ < а}).
178 Глава 4. Выпуклость
(ii) Если fug неотрицательны и квадратично интегрируемы по
мере in, то \ fgdfn = / S(f)S(g)dfn.
(iii) Если f на множестве {а < / < Ь} имеет модуль непрерывно-
непрерывности u>(f), то S(f) на множестве {а < S(f) < Ь} имеет модуль
непрерывности oj(S(f)) <oj. В частности, если f липшицева с
константой С, то S(f) также липшицева с этой, константой.
(iv) Если f выпукла, то S(f) также выпукла.
(v) Если f липшицева, то / |V5(/)|2c?7n < / |V/|2d7n'
Е" • IR"
С выпуклостью гауссовских мер связаны свойства равноизмери-
мых перестановок функций. Пусть 7 — центрированная радоновская
гауссовская мера на локально выпуклом пространстве X и / — 7-
измеримая функция. Рассмотрим следующую функцию на прямой со
стандартной гауссовской мерой 71:
4.6.2. Теорема. Если функция f выпукла, то /* также выпукла.
Если f удовлетворяет условию
\f(x + h)- f(x)\ <L\h\HbV VheHif) для'у-п.в.х,
то функция /* липшицева с константой L.
По поводу доказательств см. [248], [265]. В работе [193] получе-
получено следующее интересное неравенство (равносильное, как показано в
[193], изопериметрическому неравенству для гауссовских мер).
4.6.3. Теорема. Пусть ~/п —стандартная гауссовская мера наЕ",
g — гладкая функция на Ж™ со значениями в [0,1] и р — стандартная
гауссовская плотность на И1. Тогда справедливо неравенство
где
:= /
Из следствия 2.3.9 можно усмотреть, что абсолютно выпуклое мно-
множество положительной 7-меры содержит шар из Н(-у). Следующее
предложение из [122] позволяет оценить радиус этого шара.
4.6.4. Предложение. Пусть 7 — центрированная гауссовская ме-
мера Радона на локально выпуклом пространстве X и А — абсолют-
абсолютно выпуклое множество положительной f-меры. Тогда А содержит
открытый шар из H(f) радиуса г, где г определяется из уравнения
4.6. Дополнения и задачи 179
Доказательство. Пусть h e #G) — единичный вектор. Возьмем
замкнутую гиперплоскость У, дополняющую Ш1к до X, и положим
Ау = АП (у + Ж1Н), у £ Y. Прямые у + Ж1/г наделим метрикой d(y +
th,y + sh) = \t — s\. При этом длина \АУ\ выпуклого множества Ау
оказывается не больше длины Aq для всех у £ У (это вытекает из
выпуклости А и того, что центрально-симметричные множества Ау и
А-у имеют равные длины). Пусть 7У — условные гауссовские меры
на прямых у + Ж1^. Поскольку Aq — симметричный промежуток,
то в силу неравенства Андерсона получаем 7° (Аз) > *уу(Ау) для всех
у £ У. Следовательно, 2Ф(^|Ло|)-1 = 7° (А)) > 7(^)> откуда вытекает
требуемое, ибо в силу произвольности h множество А содержит всякий
вектор h G #G) с \h\HM < ||А0|. □
4.6.5. Замечание. С выпуклостью гауссовских мер связано нера-
неравенство
В)<7п(Ап£), D.6.32)
известное для некоторых пар абсолютно выпуклых множеств А, В в
Ж™ и стандартной гауссовской меры jn. Например, D.6.32) верно, если
А и В — симметричные эллипсоиды или если А — произвольное аб-
абсолютно выпуклое множество и В — полоса вида {-с < 1(х) < с}, где
/ — линейная функция. Остается открытым вопрос, верно ли D.6.32)
для любых абсолютно выпуклых множеств. Для п — 2 положительный
ответ дан в [445]. Ясно, что в упомянутых случаях D.6.32) переносится
на центрированные гауссовские меры в бесконечномерных простран-
пространствах. Доказательства частных случаев и дополнительное обсуждение
см. в [358], [470], [483], [484], [213], [253], [386], [387].
Открыт также такой вопрос: пусть А С IR — замкнутое абсолют-
абсолютно выпуклое множество и 5 — симметричная полоса с in{S) = fn{A).
Верно ли, что fn(XA) > fn(XS) для всех А > 1? Положительные ре-
результаты см. в [379].
4.6.6. Замечание. Заслуживает упоминания тот факт, что в работе
[448] построены такие центрированная гауссовская мера 7 на сепара-
бельном гильбертовом пространстве X и множество А с *у(А) > 0, что
>у(АГ\В(х,г))
lim , г—'- = 0 7'п-в->
г-° ()
где В(х,г) — замкнутый шар радиуса г с центром в я. В [449] дан
пример такой функции / G L1G)i
liminfJ7(£(z,s)) / f (у) j(dy): x G X, 0 <
f (у) j(y) , =+00.
В(Х,8)
180 Глава 4. Выпуклость
С другой стороны, в [451] получен следующий результат. Пусть -у -^~
счетное, произведение стандартных гауссовских мер на прямой, рас-
рассматриваемое как мера на весовом гильбертовом пространстве X по-
последовательностей (хп) с J2ncnxl. < °°i гДе 0 < ск+\/ск < q, q < 1-
Тогда для всякого / € L1 G) при г —» 0 имеем
/ f (у) *f(dy)-> f по мере 7-
При этом, согласно [451], имеет место и сходимость почти всюду, если
Ci+i < Cii~a, где а > 5/2. Близкие вопросы рассмотрены в [451], [507].
Задачи
4.6.7. Вывести неравенство Андерсона из неравенства Эрхарда.
4.6.8. Вывести следствие 4.3.2 из теоремы 4.3.1, используя свойства вы-
выпуклых функций и функции Ф.
4.6.9. Пусть ft, t € Т, — центрированный гауссовский процесс, причем
suptgT|£t| < 00 п.н. Показать, что множество {ft, t £ Т} предкомпактно в
L2(P). Указание: в противном случае найдутся такие d > 0 и последова-
последовательность ft,lt что E|ft,, — ц\г > d2 > 0 для всех г\ из линейной оболочки ft;,
i < п; воспользоваться леммой 1.6.7 и показать, Что P(sup |f t,,. | < М) = 0
для всех М > 0.
4.6.10. Пусть 0 < г < р < со. Доказать, что существует число К(г,р)
со следующим свойством: для всякого банахова пространства X и всякой
радоновской гауссовской меры 7 на X справедливо неравенство
Указание: воспользоваться примером 4.3.12.
4.6.11. Доказать, что если ц — гауссовская радоновская мера на локально
выпуклом пространстве X и / — такая /^-измеримая функция, что для ц-п.в.
х функция t 1-+ f(x + th) непрерывна для всякого h из H(fi), то медиана M(f)
единственна. Указание: см. предложение 6.4.4.
4.6.12. Пусть мера fj, — такая же, как в предыдущей задаче, a F —
борелевское отображение из X в нормированное пространство У, причем
\\F(x + h) — F{x)\\Y < |/»|н(м) для д-п.в. х и всех h 6 Н{ц). Показать, что
exp(a||.F( ■ )||у ) 6 Ь'См) ПРИ a **■ 1/2- Указание: показать, что функция
/(ж) — ||F(a;)||y удовлетворяет условию теоремы 4.3.11.
Глава 5
Соболевские классы
по гауссовским мерам
Я убежден, что эти доказательства существования
можно будет провести с помощью некоторого общего
основного положения, ... если в случае необходимости
самому понятию решения придать расширенное толко-
толкование.
Д. Гильберт. Общая задача о граничных условиях
5.1. Интегрирование по частям
. В этом параграфе обсуждаются формулы интегрирования по
частям для гауссовскюс мер. Начнем с дифференцируемости
функций. Различные типы дифференцируемости могут быть
описаны следующей схемой дифференцируемости относительно
класса множеств М. Пусть X, Y — локально выпуклые про-
пространства ж ЛЛ — некоторый класс непустых подмножеств X.
5.1.1. Определение. Отображение F: X —» Y называется
дифференцируемым относительно М в тючке х, если существу-
существует такое непрерывное линейное отображение из X eY, обозна-
обозначаемое через DF(x), что равномерно по h из каждого фиксиро-
фиксированного множества М € М имеем
t-ю t
Взяв в качестве М совокупность всех конечных множеств,
получаем дифференцируемость по Гато. Если М — класс всех
компактных подмножеств, приходим к дифференцируемости по
системе компактных множеств (которая для нормированных про-
пространств называется дифференцируемостью по Адамару). На-
Наконец, если X, Y — нормированные пространства и М состоит
из всех ограниченных множеств, то получаем определение диф-
дифференцируемости по Фреше. В конечномерных пространствах
182 Глава 5. Соболевские классы
определение Адамара эквивалентно определению Фреше и силь-
сильнее, чем определение Гато. Для локально липшицевых отображе-
отображений в нормированных пространствах дифференцируемое™ Гато
и Адамара совпадают (задача 5.8.19). В бесконечномерных ба-
банаховых пространствах дифференцируемость по Фреше строго
сильнее дифференцируемости по Адамару. Например, функция
1
/: Ьг[0,1] -ilR1, f(x) = fsmx(t)dt, E.1.1)
о
всюду дифференцируема по Адамару, но нигде не дифференци-
дифференцируема по Фреше. То же самое справедливо для отображения
F: L2[0,1} -»■ L2[0,1], F{x)(t) = sina;(t). E.1.2)
Если Е — линейное подпространство в X, наделенное неко-
некоторой более сильной локально выпуклой топологией, то можно
определить дифференцируемость вдоль Е (в соответствующем
смысле) в точке х как дифференцируемость в h = 0 отображения
h ь-» F(x + h) из Е в Y в соответствующем смысле. Производная
вдоль Е обозначается символом DEF. Когда Е одномерно, это
дает обычную частную производную d^F, определяемую как
(x + th)-F(x)
Обозначение. Пусть X — локально выпуклое простран-
пространство. Всюду ниже символ ^С°° обозначает совокупность всех
функций / на X вида
) <р£С£°(тп), *,-€**, п е IN.
Такие функции будем называть гладкими цилиндрическими.
Нам понадобится следующая классическая формула интегри-
интегрирования по частям.
5.1.2. Теорема. Пусть g — абсолютно непрерывная функция
на вещественной прямой, д' € L1AR1), а функция f либо локаль-
локально абсолютно непрерывна, либо всюду дифференцируема. Пред-
Предположим, что функции f'g и f g1 интегрируемы. Тогда справед-
справедливо равенство
+ ОО +ОО
f'(t)g(t)dt = - I f(t)g'(t)dt. E.1.3)
5.5. Интегрирование по частям 183
Доказательство. Достаточно доказать наше утверждение для
ограниченных функций /. В общем случае можно взять после-
последовательность непрерывно дифференцируемых функций вп, для
которых supn\e'n\ < оо, en(t) = t на [—п,п], \вп\ < п + 1 и
9n{t) = п + 1 при \t\ > п + 1. Тогда из формулы E.1.3) для
fn = &n{f) и теоремы Лебега вытекает справедливость этой
формулы и для /. В случае локально абсолютно непрерывной
ограниченной функции / утверждение следует из классической
формулы интегрирования по частям для отрезка, поскольку най-
найдутся такие последовательности чисел a,j —> —оо и bj -> +oo, что
|^(ai)l + l^(^i)l ~^ 0- Для Функций /, которые всюду дифферен-
дифференцируемы, доказательство несколько более кропотливо, посколь-
поскольку такие функции не обязаны быть локально абсолютно непре-
непрерывными. Однако его можно провести, используя формулу ин-
интегрирования по частям для абсолютно непрерывных функций
и то обстоятельство, что / абсолютно непрерывна на каждом
отрезке, на котором д не имеет нулей, ибо на таких отрезках
\ функция /' интегрируема. П
5.1.3. Определение. Радоновская (возможно, знакоперемен-
: нал) мера \х на локально выпуклом пространстве X называется
дифференцируемой вдоль вектора h E X в смысле Фомина, если
'существует такая функция /?£ Е Ll(/j,), что для всех гладких
цилиндрических функций f справедлива следующая формула ин-
щегрирования по частям:
Jdhf{x)fi{dx) = -j f{x)ft{x)ii{dx). E.1.4)
х х
Функция {3ft называется логарифмической производной меры \х
по направлению h.
Мера 0% ■ \х обозначается символом dh/л и называется произ-
производной /j, по направлению h. По индукции определяется диффе-
ренцируемость более высокого порядка.
5.1.4. Пример. Мера \х на прямой дифференцируема по на-
направлению 1 в точности тогда, когда она имеет локально абсо-
абсолютно непрерывную плотность g относительно меры Лебега и
д' € Ь1(Ш1). При этом /?f = д'/д.
Доказательство. Если плотность д с указанными свойства-
свойствами существует, то дифференцируемость в смысле Фомина вы-
вытекает из классической формулы интегрирования по частям.
Обратно, если существует /?{*, то легко проверить, что функция
#(*) = /-оо Pi (s) ^(ds) служит плотностью уи, откуда вытекает и
существование абсолютно непрерывной плотности. □
184 Глава 5. Соболевские классы
5.1.5. Замечание. Первоначально СВ. Фомин определил диф-
ференцируемость /и, по направлению h следующим образом: для
всякого борелевского множества А существует предел
^(А + Щ^А)
t-s-0 t У J
Такое определение равносильно приведенному выше. Определе-
Определение 5.1.3 непосредственно обобщается на непостоянные вектор-
векторные поля (в частности, на меры на многообразиях).
В бесконечной размерности ненулевая мера не может быть
дифференцируемой по всем направлениям. Однако гауссовские
меры обладают обширными множествами направлений диффе-
ренцируемости.
5.1.6. Предложение. Пусть 7 — гауссовскал мера Радона на
локально выпуклом пространстве X. Тогда Н{^) совпадает с
совокупностью всех векторов дифференцируемости. При этом
мера 7 бесконечно дифференцируема вдоль H(j). Если 7 цен-
центрирована и h € Н{^), то
Доказательство. Пусть / е ТС°°. По формуле Камерона*-
Мартина имеем
где r(t,x) = exp(th(x) - ^|^1яG))- Левая часть этого выраже-
выражения стремится к / <Эд/ dj при t —> 0, а правая — к / hf dj в силу
теоремы Лебега. Бесконечная дифференцируемость по напра-
направлению h вытекает из полученной формулы. Для h £ H("y) меры
■jth и 7 взаимно сингулярны при всех t > 0, откуда нетрудно
усмотреть недифференцируемость j вдоль h. D
5.1.7. Следствие. Отображение S: h ь-» 7ft из пространства
Камерона-Мартина Н{^) в банахово пространство радоновских
мер, наделенное полной вариацией в качестве нормы, вещест-
вещественно аналитично. При этом \\S^k\a)\\ < kkl2 при |а|щ7) < 1.
В частности, все функции А /-> ■у{А + Xh), h E Н(-у), продолжа-
продолжаются до целых функций на комплексной плоскост,и.
5.5. Интегрирование по частям 185
Доказательство. Аналитичность вытекает из оценки
для вариации производной порядка к по направлению h. Можно
считать, что 7 имеет среднее нуль. Тогда 7 — 7i*'' "*7ь гДе оди-
одинаковые меры т? совпадают с образом меры 7 при отображении
х ь-» к~х12х. Как легко проверить, при этом
Al = dhll *■■■* 47fc-
Остается заметить, что ||dft7jll = v&||d/>7ll ^ V^||^||l2G)> откуда
ЫЫ < кк'2\\ЩкьЧ7у □
Отметим, что дф^ = — (fc,/i)^G) Для всякого к Е H(j). По-
Поэтому меры d/ц ... dhkj задаются плотностями относительно 7,
которые несложно выразить через многочлены Эрмита от hj.
5.1.8. Теорема. Пусть j — радоновская гауссовская мера на
локально выпуклом пространстве X и h € H(j). Предположим,
что F: X —)■ 1R — т,акая ^-измеримая функция, что для ^у-п.в.
х функция t t-> F(x + th) локально абсолютно непрерывна. Если
функции dhF и Fh интегрируемы относительно 7, тпо справед-
справедлива следующая формула:
dhF{x) >y{dx) = I F(x)h(x) -y(dx). E.1.6)
x x
Доказательство. Пусть Y — замкнутая гиперплоскость, до-
дополняющая прямую IR^h (если h = 0, то утверждение тривиаль-
тривиально). Формула E.1.6) вытекает из E.1.3) и теоремы о гауссовости
условных мер 7У на прямых у + IR^h, у Е Y, поскольку сужение
h = —Pi на прямую у + Ж1/г совпадает с —$Х- □
5.1.9. Следствие. Пусть j — радоновская гауссовская мера
на локально выпуклом пространстве X и h E H(j). Предпо-
Предположим, что F: X —> Е — такое измеримое отображение со
значениями в сепарабельном банаховом пространстве Е, что
для 7-п.е. х отображение t t->- F(x + th) абсолютно непрерыв-
непрерывно, почти всюду дифференцируемо, а отображения dhF и Fh
интегрируемы относительно j. Тогда
j dhF(x) 7(dx) = I F{x)h{x) j(dx). E.1.7)
X X
186 Глава 5. Соболевские классы
Доказательство. Поскольку обе части имеют смысл, то доста-
достаточно доказать, что применение к ним непрерывных линейных
функционалов дает равенство. Последнее вытекает из теоремы
выше. LJ
5.1.10. Следствие. Пусть выполнены условия теоремы 5.1.8,
причем F Е L (■f). Тогда мера /л := F ■ 7 дифференцируема по
направлению h и /3% = —h + d^F/F.
5.1.11. Замечание. Банахово пространство Е называют про-
пространством со свойством Радона-Никодима, если всякая аб-
абсолютно непрерывная функция f: [0,1] —^ Е дифференцируема
почти всюду. Это равносильно многим другим свойствам, та-
таким, как почти всюду дифференцируемость всех липшицевых
функций со значениями в Е (см. [59], [435]). Все рефлексив-
рефлексивные банаховы пространства и все сепарабельные сопряженные
пространства обладают свойством Радона-Никодима. Напри-
Например, гильбертовы пространства имеют это свойство. Если Е
— пространство со свойством Радона-Никодима, то существо-
существование dh F почти всюду вытекает из абсолютной непрерывности
на почти всех прямых х + JRlh. В этом случае
J dhF{xI{dx) = I F{x)h{xO{dx),
X X
если F — липшицево вдоль h с постоянной, не зависящей от х.
Докажем одну специальную формулу интегрирования по ча-
частям, которая будет полезна ниже. В доказательстве понадобит-
понадобится лемма, представляющая и самостоятельный интерес.
5.1.12. Лемма. Пусть j — центрированная радоновскал гаус-
совская мера на локально выпуклом пространстве X и h €E
H(j). Предположим, что функция f € L2(-y) абсолютно непре-
непрерывна на прямых х + m^h для почти всех х. Если dhf E L2(j),
то fh E L2(^f), причем
f(xfh(xJ <y(dx) < 8 I \dhf(xJ + f(xJ\h\2H{7)]
X X
Доказательство. Достаточно доказать утверждение в случае,
когда |^|яG) = 1- Положим е\ = h и дополним е\ до ортонор-
мированного базиса {еп} в H(j). Отображение J: x (-» (еп)^_1,
5.5. Интегрирование по частям 187
X —>• М°°, переводит j в произведение д стандартных гауссов-
ских мер на прямой. Поскольку х = J2T=i £i{x)zi п.в. соглас-
согласно доказанному в главе 3, то утверждение сводится к случаю,
когда 7 — Д и ^ = е1 — AH)---)- Теперь по теореме Фуби-
ни все сводится к одномерному случаю, где h(t) = t. В силу
однородности обеих частей доказываемого неравенства, доста-
достаточно его доказать в предположении, что ||/||l2Gi) ~ 1- Имеем:
t2f(tJ < 8f(tJ\n\f(t)\ при t2 < 8\n\f{t)\ и f(tJt2 < i2e*2/4 при
t2 > 81n|/(£)|. В силу логарифмического неравенства Соболева
получаем
+ ОО +ОО
t2f(tJp(t, 0,1) dt < I [8f'(tJ + t2et2^] p(t, 0,1) dt,
что и требовалось. П
5.1.13. Теорема. Пусть j—центрированная радоновская га-
уссовская мера на локально выпуклом пространстве X, h и к
— элементы H{^f), а / и g — две функции из Ь2{^), абсолютно
непрерывные на прямых x + lR^h ux + JRlk для п.в. х. Предпо-
Предположим,, что 9/г/, <Э/г<7, dkf, dkg E L2^). Тогда hf, kg E L2(y) и
справедливо равенство
J[f(x)h(x) - dhf(x)] [g(x)k(x) - dkg(x)}
x
= (h,k)llM / f(x)g(x)>y(dx) - / dkf(x)dhg(x)j(dx). E.1.8)
X X
Доказательство. В силу условия и леммы 5.1.12 обе части ра-
равенства E.1.8) имеют смысл. Аналогично предыдущему доказа-
доказательству утверждение сводится к двумерному случаю (в каче-
качестве е\ можно взять вектор с/г, если h ф 0, затем найти вектор
е-2 -L е\ в плоскости, содержащей h и к, и дополнить эти векторы
до базиса в Н^)). Итак, можно считать, что j — стандартная
гауссовская мера 72 на ^ • Если h и к независимы, то из усло-
условия вытекает, что / и g — элементы Соболевского пространства
W^2'1^)) причем d)J, dkf, d^g, dkg совпадают с Соболевскими
производными. Тогда E.1.8) справедливо для всех /г, к €Е Ж2,
если соответствующие частные производные понимать в собо-
левском смысле. Поэтому достаточно доказать E.1.8) для ба-
базисных векторов h = е\ и к = ег- Если f,g£ Cq°(]R2), to
188 Глава 5. Соболевские классы
E.1.8) вытекает из обычной формулы интегрирования по ча-
частям для стандартной гауссовской плотности р на Ш2 с учетом
равенства дХ1дХ2д = дХ2дХ1д. В общем случае найдем последова-
последовательности {fj} и {gj} гладких финитных функций, сходящиеся в
W2'l(j2) соответственно к / и д. Пользуясь леммой 5.1.12, полу-
получаем E.1.8) предельным переходом из доказанных равенств для
fj и gj. Если векторы h и к линейно зависимы, то приходим к
одномерному случаю, который рассматривается аналогично. П
5.2. Соболевские классы
Пусть 7 — центрированная гауссовская мера Радона на X и
Н = H(j). Существует три различных способа определения про-
пространств Соболева над (X, 7) — через пополнения, посредством
обобщенных производных и с помощью интегральных предста-
представлений. В этом параграфе приведены необходимые определения,
а связи между ними обсуждаются в следующем параграфе.
Классы Wp>r(y)
Для всяких р > 1 и г 6 N соболевская норма || • ||Р)Г опреде-
определяется следующей формулой:
J2 (d4...dlkf(x)J\ 7(dx)) , E.2.9)
P,r —
k<r ч" l4i,...,ia.>1
где через di обозначена частная производная вдоль вектора е,- из
произвольного ортонормированного базиса {ег} в Н.
Обозначим через Wp>r(j) пополнение FC00 по норме || • ||рт..
Заметим, что та же самая норма может быть записана как
к<г
Аналогичным образом определяются пространства Соболева
^'G, Е), состоящие из отображений со значениями в гильбер-
гильбертовом пространстве Е. Соответствующие нормы обозначаются
через || • ||р,г,я.
Заметим, что если две последовательности {fj} и {gj} из
00 фундаментальны по норме || • ||Р]Г, где г € IN, p > 1, и
сходятся в IJ'if) к /, то последовательности {D,,kfj} и {DHkfj}
имеют равные пределы (обозначаемые через DHkf) в
5.2. Соболевские классы 189
к < г. Действительно, для фиксированного h Е H и всякого
I £ X* имеем по формуле интегрирования по частям
J
elldhf]d1 = -il(h) I e'7j<*7 + / etlfjhd'y,
J J
что стремится к —il(h) / ell[il(h) + h]f d"f. To же самое верно
для gj. В силу произвольности I это означает совпадение пре-
пределов dhfj и dh(jj в Lp(j), откуда вытекает равенство пределов
DHfj и DH9j- Для производных более высокого порядка и век-
торнозначных отображений рассуждения аналогичны.
Это замечание позволяет определить производные DHkf (на-
(называемые Соболевскими) для всех / Е Wp>r(j) (и аналогично для
/ £ Wp'r(j,E), где Е — сепарабельное гильбертово простран-
пространство).
Классы Hp'r(j)
Напомним (см. главу 2), что полугруппа Орнштейна-Уленбе-
: ка (Tt)t>o определяется формулой
Ttf (x) = Jf(e-lx+Vl- в' у) l{dy).
х
Пусть L — генератор полугруппы Орнштейна-Уленбека (на-
(называемый также оператором Орнштейна-Уленбека) на L?(j)
(см. Дополнение и главу 1). Доказательство предложения 1.4.5
не использовало конечномерность пространства, поэтому оно ос-
остается в силе и в общем случае.
5.2.1. Предложение. Оператор L имеет область определе-
определения
Г)( Т\ — J f. ST* h2 II T, ('fill2 <-- ml
^W— I/- Z^ IrfcW/IIL2G) ^ °° f'
на которой он задается равенством
Пусть г > 0. Положим
Vrf := Г(г/2)-! / f'^e-'TJdt, / £ LpG),
о
190 Глава 5. Соболевские классы
оо
где Г (а) := J Ьае~1 dt.
о
Из оценки ||Ti/||LpG) < ||/||lpG) вытекает следующая лемма.
5.2.2. Лемма. Для всякого р > 1 отображение Vr является
ограниченным линейным оператором в Lp(^f) с нормой 1.
Заметим, что отображения Vr инъективны в LpG), p > 1.
Это вытекает из того, что, в силу симметричности Tt в L2^),
сопряженный оператор к Tt в LP^) есть Tt на L9G), где 1/G +
\/р = 1. При этом образ Tt плотен в Lq(~f), ибо он содержит
пространства Х^. Поэтому пространство
полно. Положим
Я°°G) = П Я'-гG), Я'-00G) =
Пусть / = Ylm In(f) — разложение в винеровский хаос. Тогда
оо .
(f) = Г(г/2) £ / fV-
п=0
Vr(f) (/) /
п=0q n=0
откуда К = (/ -
5,г
5.2.3. Лемма. Если /„ € HP'r(f,E), где р > 1 и Е — сепа-
рабельное гильбертово пространство, причем fn —> / п.в. и
supn ||/п||яр.-G,£;) < оо, то / € HP>r(j,E).
Доказательство. По условию /„ = Vrgn, где {^п} — равно-
равномерно ограниченная последовательность в Lp(j,E). Пользуясь
равномерной выпуклостью пространств IP (см. [59, с. 47]), не-
нетрудно проверить, что пространство LP(-f,E) также равномер-
равномерно выпукло. Согласно [59, с. 64, теорема 1], такое пространство
обладает свойством Банаха-Сакса, т.е. из последовательности
{дп} можно выделить подпоследовательность {gni}i для которой
последовательность S*. = к~1(дП1 + • • • + дПк) сходится по норме
к некоторому ip € LP{~{,E). Ясно, что тогда Vrip = /. П
С помощью тех же рассуждений, что и в примере 2.8.3, до-
доказывается следующее свойство (Tt)t>o-
5.2. Соболевские классы191
5.2.4. Предложение. Пусть f € Lp(j), где р > 1. Тогда при
t > 0 для п.в. х функция h ь-» Ttf(x + h) на Н бесконечно диф-
дифференцируема по Фреше. То оке самое верно и для / € ()
5.2.5. Предложение. Всякая функция / € Н°°{^) имеет мо-
модификацию, бесконечно дифференцируемую по Фреше вдоль Н.
То оке самое верно для отображений из Н°°(^,Е), где Е — се-
парабелъное гильбертово пространство.
Доказательство. Используя представление / = Vrg, где g €
*LPG) и р достаточно велико, с помощью формулы Камерона-
Мартина получаем для f(x + h) представление
О X
оо
e-t J д(е-гх + Vl-e'^y) g(t, h, x) 7(dy) dt,
о x
где g(t, h,x) = ехр[е-гA - e~2t)-ll2h{x) - e~2t(l - e-2t)-l\h\2H/2\.
Из этой формулы нетрудно усмотреть [г/2] — 1-кратную диффе-
ренцируемость по Фреше отображения h ь-» f(x + h) для п.в. х.
D
Описание через частные производные
Пусть Е — гильбертово пространство.
5.2.6. Определение. Будем называть ^-измеримое отобра-
отображение F: X —> Е абсолютно непрерывным по лучам, если для
каждого h Е Н существует такое отображение Fk- X -ь Е,
что F = Fjx ■у-п.в. и для каждого х € X отображение t у->
{ ) абсолютно непрерывно.
5.2.7. Определение. Измеримое относительно j отображе-
отображение F: X -4 Е называется стохастически дифференцируемым
по Гато, если существует такое измеримое отображение DHF
из X e.l-L^^E), что для всякого h € Н выражение
стремится по мере -у к нулю при t —> 0. Отображение DHF
называется стохастической производной F.
192 Глава 5. Соболевские классы
Кратная производная DHnF определяется индуктивно.
5.2.8. Определение. Пусть 1 < р < оо. Обозначим через
DPti(^,E) пространство всех таких отображений / € Ьр(^у,Е),
что f абсолютно непрерывно по лучам, стохастически диффе-
дифференцируемо по Гато, причем DH f € W\7,ЩН,E)j.
Наделим Dp^(■y,E) нормой
Затем для п = 2, 3,... определим индуктивно пространства
Dp<n(E) посредством следующей формулы:
Dp>n(i,E) = U e L>p,n_iG,E): DHf e Dp<n.
Соответствующие нормы задаются равенствами
ll/llp.n.E = II/IIlpG) + ^^ 1\\ьр{1,Пт,{Н,Е))-
5.2.9. Пример, (i) Пусть / — 7"измеРимая функция, причем
существует такое число С, что для п.в. х справедливо неравен-
неравенство
lf(x + h)-f(x)\<c\h\H, vheH.
Тогда / G DP;iG) для всех р > 1. Функции такого рода будем
называть Н-липшицевыми.
(и) Пусть В е В(Х). Положим
dB{x) := inf||/i|w: x + h£ В, he я},
причем de{x) = 0, если х + НПВ = 0. Тогда ds — Я-липшицева
функция с С — I.
Доказательство, (i) Как мы уже знаем, / е Ьр(^у) для всех
р > 1. Остается заметить, что |<Э/г/| < С. (ii) Выполнение усло-
условия Липшица вдоль Я очевидно (поскольку расстояние от точки
до множества в метрическом пространстве — липшицева функ-
функция). Поэтому в проверке нуждается лишь измеримость ds- Для
фиксированного числа t > 0 множество {g?s < t} может быть за-
записано в виде (В + tV) U А, где V — открытый единичный шар
вЯиА = Х\(В + Я). В главе 3 было показано, что существует
линейное пространство Е полной меры, являющееся объединени-
объединением последовательности метризуемых компактов Кп. Поскольку
5.2. Соболевские классы193
Я С Е, то (В + tV) U Л с точностью до множества меры нуль
совпадает, с (ВЕ + tV) U АЕ, где ВЕ = В П Е, АЕ = Е\(ВЕ + Я).
Остается воспользоваться тем, что множества Be, tV, Я — су-
слинские, значит, таковы и множества АЕ и(ВЕ + tV) U АЕ.
D
Та же идея позволяет ввести более общие классы С?Р)ПG, J3),
где Е — сепарабельное банахово пространство.
5.2.10. Определение. Пусть р > 1.
(i) Будем говорить, что функция / £ Lp(j) имеет обобщен-
обобщенную частную производную g по направлению h Е Я, если
существует такая, функция g Е L'G); что для всех ip из
ТС°° выполнено равенство
j dk<p(x)f(x)-y(dx) =
х
= — Р(х) g{x) j(dx) + / tp(x) f(x)fi(x)^(dx). E.2.10)
х х
Полагаем d^f := д.
(ii) Пусть Z — нормированное пространство, на котором су-
существует счетное множество L непрерывных линейных
функционалов, разделяющих точки. Будем говорить, что
отображение F: X —^ Z имеет обобщенную частную про-
производную d^F по направлению h, если для всех I £ L функ-
функция (I, F) E Lp(^() имеет обобщенную частную производ-
производную, равную {l,dh.F).
Пусть теперь Е — сепарабельное нормированное простран-
пространство. Отображение Ф: X —> С(Н,Е) будем называть измери-
измеримым, если для каждого h Е Я отображение х (—>• ty(x)(h), X —>• Е,
измеримо в обычном смысле (т.е. при наделении Е борелевской
(j-алгеброй). Аналогичным образом, отображение Ф из X в
пространство Ck{H,E) /с-линейных непрерывных отображений
из Я в Е считается измеримым, если для каждого набора 1ц,
г — 1,... , А;, отображение х >->■ 4>(x)(h\,..., hk), X —У Е, измери-
измеримо. Отметим, что для такого отображения измерима функция
\\А\\Ск. :=sup{\\A(ai,...,ak)\\E, аг G Я, \аг\н
7 В.И. Богачев
194 Глава 5. Соболевские классы
Обозначим через Lp(-y,£k) класс всех отображений Ф: X —>
Ск(Н,Е), измеримых в указанном смысле и удовлетворяющих
условию ЦФЦ^ eLp(-y). '
С помощью понятия обобщенной производной определим со-
болевские классы Gp,nG> Щ-
5.2.11. Определение. Через GPfi{-y,E) обозначим класс всех
отображений F € LP(^,E), для которых существует такое
отображение Ф € Lp('j,C(H, Е)), что для всех h € Н отобра-
отображение Ф(-)(/г) является обобщенной производной F по напра-
направлению h. Положим DHF := Ф и будем называть DHF обобщен-
обобщенной производной F.
Аналогично определяются классы Gp^n(^,E) для п > 1 (при
этом обобщенные производные DkHF принимают значения в про-
пространстве Lp(j,Ck).
5.2.12. Предложение. Пусть F € GPti(-y,E) и h € Н. То-
Тогда F имеет модификацию, абсолютно непрерывную на прямых
x + ~Sllh, причем частная производная этой модификации вдоль
h существует ■у-п.в. и совпадает с dhF (обобщенной производ-
производной) п.в. Если Е — гильбертово, то Dp^n(^,E) С GPtn(-y,E).
Доказательство. Пусть Y — замкнутая гиперплоскость, до-
дополняющая TRlh. С помощью условных мер на прямых у + Ш1Н,
у & Y, легко проверить, что отображение
Fq(x) = F(y) + I dhF(y + sh)ds, x = у + th, у EY,
о
является модификацией F с указанными свойствами. Включение
DPin(-y,E) С GPin(~f,E), имеющее смысл, если Е — гильбертово,
вытекает из формулы интегрирования по частям. П
5.2.13. Предложение. Пусть f € Gp,n{^) u^e ^(H1). То-
Тогда <р о/ € GPtn(j). Если п = 1, то tpof € GPii(y) для всякой
липшицевой функции <р. При этом DH(tpof) = ip'(f)DHf.
Доказательство. Мы рассмотрим лишь случай п = 1, так как
общее утверждение выводится из него по индукции с помощью
изложенных ниже соображений. Согласно предложению 5.2.12,
для каждого h € Н функция / обладает локально абсолютно не-
непрерывной модификацией. Для этой модификации функция ipof
также локально абсолютно непрерывна вдоль h и имеет почти
5.3. Примеры 195
всюду производную <p'(f)dhf, где dhf — обобщенная производ-
производная /. Из формулы интегрирования по частям вытекает, что
¥>'(f)dhf является обобщенной производной для tp(f). Посколь-
Поскольку ц> — липшицева, то tp'(f)DH / можно взять в качестве DH (<pofY
5.3. Примеры
Важной особенностью соболевских классов по гауссовской
мере является их инвариантность относительно измеримых ли-
линейных изоморфизмов. По этой причине совершенно различ-
различные по своим геометрическим свойствам бесконечномерные про-
пространства обладают одинаковыми запасами функций, гладких в
смысле Соболева. Напомним, что с функциями, дифференциру-
дифференцируемыми по Фреше, положение совершенно иное. На многих бана-
банаховых пространствах не существует отличных от нуля диффе-
дифференцируемых по Фреше функций с ограниченными носителями
(а значит, и ненулевых дифференцируемых по Фреше функций,
стремящихся к нулю на бесконечности). К таким пространствам
относятся С[0,1] и I1. Известно, что для сепарабельного банахо-
банахова пространства X существование ненулевой дифференцируемой
по Фреше функции / с ограниченным носителем равносильно се-
сепарабельности X* (см. [254, гл. II, теорема 5.3]). Если же такая
функция с локально липшицевой производной есть и на X, и на
X*, то X вообще линейно гомеоморфно гильбертову простран-
пространству (см. [254, гл. V, следствие 3.6]). Наконец, совсем безнадеж-
безнадежно положение с непрерывными функциями, обладающими ком-
компактными носителями, — такие функции могут быть отличны
от нуля лишь в конечномерных локально выпуклых простран-
пространствах. В противоположность сказанному, на общих простран-
пространствах есть много функций из соболевских классов, в частности,
функций с компактными носителями.
5.3.1. Пример. Пусть / — ограниченная борелевская функ-
функция на X. Положим F(x) = J f(x + y)^{dy). Тогда F € W°°(^).
x
Доказательство. Как показано выше, функция F бесконечно
дифференцируема вдоль Н, причем .
dhF(x) = J f(x + y)h(yO(dy), heH.
X .
196 Глава 5. Соболевские классы
Пусть {hi} — ортонормированный базис в Н. Поскольку {hi} — -
ортонормированная последовательность в L2(-y), то ввиду--нера-
ввиду--неравенства Бесселя из предыдущего равенства получаем
£ J \dlHF{x)\2 -y(dx) < J J |/(:r + y)\2 7(dy) -y(dx) < sup |/|2.
n=lX XX
To же самое верно и для ограниченных отображений со значени-
значениями в гильбертовом пространстве, откуда по индукции вытекает
требуемое. LJ
5.3.2. Пример. Если / G ПР>1 Lp(j), то Ttf G #°°G) Для всех
t > 0, где (Tt)t>o — полугруппа Орнштейна-Уленбека. Ана-
Аналогичное утверждение верно для отображений со значениями в
сепарабельном гильбертовом пространстве.
Доказательство. Пусть / = J2n^n{f) — разложение в вине-
ровский хаос. Поскольку Ttf = Ylne~ntIn{f), то утверждение
вытекает из следствия 5.4.3 следующего параграфа. П
5.3.3. Предложение. Пусть К С X — компакт и U D К
— открытое множество. Тогда найдется такая функция / G
H°°{l)> что 0 < / < 1, / = 1 на К и / = 0 вне некоторого за-
замкнутого вполне ограниченного множества S С U (компакт-
(компактного, если X полно), причем sup|Z?H/| < оо.
Доказательство. Сначала мы построим такую функцию g G
Я°°G), что 0 < g < 1, g > 2/3 на К и g < 1/2 вне некоторого
замкнутого вполне ограниченного множества S С U. Для этой
цели обозначим через V замкнутую абсолютно выпуклую обо-
оболочку какого-нибудь компакта Q, имеющего меру не менее 1/2.
Далее будем иметь дело с линейной оболочкой Е множества V,
доопределяя все функции вне Е нулем (заметим, что j(E) = 1 в
силу закона 0-1). При этом можно считать, что К С Е. В силу
компактности К найдется такая абсолютно выпуклая окрест-
окрестность нуля W в X, что К + W С U. Кроме того, существует
г > 0 такое, что 2rV С W. Положим
Функция ф представляет собой расстояние до множества К по
норме pv. Поскольку множества К + cV замкнуты ввиду ком-
компактности К, то ф — борелевская функция. Пусть
где 9(t) = t при t G [0, г] и 9(t) = г при t > г. Тогда ip(x) = 1
для х G К и if(x) = 0 для х вне К + rV, причем 0 < tp < 1.
5.3. Примеры 197
Найдем т G IN, для которого ^(mV) > 8/9. Наконец, положим
д(х) — Tt<p{x), где (Tt)t>o — полугруппа Орнштейна-Уленбека и
t > 0 выбрано так, что 1-е < г/8 и \/l — eim < г/8. При та-
таком выборе для всякого х £ К имеем е~ьх € K+rV/8 и для всяко-
всякого у G mV имеем л/1 — e~~2ty G rV/8, откуда е~*ж + \/l — e~2ty G
К + rV/4 и потому >р(е~1х + \/l — e~2ty) > 3/4. Следователь-
Следовательно, из оценки ^(mV) > 8/9 получаем Ttip(x) > 2/3. Анало-
Аналогичным образом, для х G Е\(К + rV) и у € mF получаем
\( )
( + \/1 — e~2ty) < 1/4, что приводит к оценке Tttp(x) <
1/4 + 1/9 < 1/2. Для завершения доказательства остается по-
положить /(ж) = 6i(g(x)), где в\ — гладкая функция на прямой,
О < 0i < 1, 0i(s) = 0 при s < 1/2, 0i(s) = 1 при s > 2/3. Постро-
Построенная функция оказывается липшицевой вдоль Н, ибо такова
функция pv, являющаяся измеримой полунормой, а последующие
функции появляются в результате композиций с липшицевыми
функциями. П
5.3.4. Замечание. Как явствует из доказательства, если ком-
компакт К метризуем, то носитель / можно также сделать метри-
зуемым, причем для секвенциально полного пространства носи-
носитель / можно сделать метризуемым компактом. Если К — аб-
абсолютно выпуклый компакт положительной меры, то описанная
конструкция позволяет строить такие функции / G Н00^), что
О < / < 1, / = 1 на К и / = 0 вне 2К.
5.3.5. Следствие. Пусть Z с X — замкнутое множество,
W — окрестность нуля в X и U = Z + W. Тогда найдется
такая функция / G Н°°{^), что 0<f<l,f = lHaZuf = 0
вне U.
Доказательство. Можно считать X полным, перейдя к попол-
пополнению, а затем сузив построенную функцию на исходное про-
пространство. Возьмем абсолютно выпуклое компактное множество
V положительной меры. Пусть Zn = Z П {п — 1 < pv < n}. Мно-
Множества Zn компактны и для них можно взять построенные в
доказательстве теоремы 5.3.3 функции вида /n = Ttngn- Поло-
оо
жим / = Yl fn- В задаче 5.8.27 предлагается проверить, что
п=1'
указанный ряд задает функцию с нужными свойствами. □
Другой интересный пример возникает в теории стохастиче-
стохастических дифференциальных уравнений. Напомним определение сто-
т
г
хастического интеграла / f(t,Lj)dwt по винеровскому процессу
о
198 Глава 5. Соболевские классы
wt от случайного процесса /(£, w), заданного на том же веро-
вероятностном пространстве (Q,P), что и wt, и удовлетворяющего
следующим двум условиям:
1) прогрессивная измеримость: для каждого t G [0,Т] функ-
функция f(s,uj) на [0, t] х $7 измерима относительно #[0,£] x Ft,
Tt := £({ws, s < t}), 2) Е/0Г |/(i,u;)|2^ < oo..
Для ступенчатых функций вида
г=1
где to = 0 и /(£,, •) измеримы относительно ^, полагаем
т
:= f f(t,
f
о г=1
Полученная случайная величина имеет среднее нуль и дис-
дисперсию Е/0Г \f(t,Lo)\2 dt. Поэтому линейное отображение / од-
однозначно продолжается до изометрии пространства процессов с
указанными двумя свойствами в L2(P). Аналогичным образом
определяются стохастические интегралы от матричнозначных
случайных процессов по винеровскому процессу в TRd.
Определив стохастический интеграл, можно рассматривать
стохастические интегральные уравнения
fjds, E.3.11)
о о
где в случае Ш.а отображение А принимает значения в простран-
пространстве матриц, В — в TRd и(о£ П^ — постоянный вектор. Такое
уравнение представляет собой интерпретацию стохастического
дифференциального уравнения
dSt = A{£t)dwt + B{St)dt. E.3.12)
Известно, что уравнение E.3.11) однозначно разрешимо в классе
прогрессивно измеримых процессов, если А и В — липшицевы.
Более подробно о стохастических интегралах и стохастических
дифференциальных уравнениях можно прочитать в [27] и [33].
5.4. Равносильность определений 199
Пусть A: TRd -У C(SRd) hBiE^E^- отображения класса
С£° и пусть ft является решением стохастического дифференци-
дифференциального уравнения E.3.12). Обозначим через ^ меру, порожден-
порожденную & на пространстве траекторий X = С([0,1],Мс!). Известно
(см. [27, гл. IV] или [83, гл. 4]), что существует такое борелев-
ское отображение F: X —>• X, что ^ = •yoF~1, где 7 — мера
Винера на X (распределение процесса )
5.3.6. Пример. При указанных предположениях St о F, t G
[0,1], оказывается элементом класса W°°(-y). В частности, выби-
выбирая (X,7) в качестве вероятностного пространства для (wt)t>o^
получаем, что для любого фиксированного to функционал и >->■
t;tQ(to) принадлежит W°°(j).
Доказательство этого утверждения можно найти в [27]. Идея
доказательства состоит в том, чтобы получить равномерную
оценку соболевских норм для итераций
t t
г _1 г ,
£t = ^o + / ^4(£" ) dws + / B{t;s ) ds,
J J
которые сходятся к решению £.
5.3.7. Пример. Пусть F G GpA(j) и DHF = 0. Тогда F совпа-
совпадает с постоянной п.в. То же самое верно и для класса l
Доказательство. Достаточно заметить, что для п.в. х и вся-
всякого h G Н функция t t-> F(x + th) совпадает п.в. с постоянной.
□
5.3.8. Пример. Пусть А — такое множество, что 1д G GPliG)-
Тогда либо у{А) = 0, либо j(A) = 1.
Доказательство. Положим tp(t) = t2 при |t| < 2, tp(t) = 2sgnt
при \t\ > 2. Тогда ip — липшицева функция. Согласно пред-
предложению 5.2.13, получаем равенство 2IaDhIa = Вн1д, откуда
Р„1а = 0. □
5.4. Равносильность
различных определений
Следующее утверждение называется теоремой Мейера об эк-
эквивалентности или эквивалентностью Мейера. Относительно
200Глава 5. Соболевские классы
короткое доказательство (предложенное Ж. Пизье [441]) мож-
можно найти в [423] й [512]. Мы не будем воспроизводить это до-
доказательство, поскольку оно требует введения дополнительного
аналитического аппарата (преобразования Гильберта), однако
заметим, что в случае р = 2 можно доказать совпадение собо-
левских классов W2'7'^) и H2'r(j) с помощью рассуждений, ана-
аналогичных использованным в главе 1 в конечномерном случае, а
затем вывести эквивалентность норм из теоремы Банаха.
5.4.1. Теорема. Пусть р > 1 и г > 0. Существуют такие
положительные константы rnk<r и ^к,п что для всякой глад-
гладкой цилиндрической функции f имеем
Mp,r [||ZV/lbG,«r) + 11ЛЬG)] • E-4.13)
5.4.2. Теорема. Для любых р > 1 и г £ IN классы Wp>r(■у),
Hp'r(y), DPtr(-y) совпадают и их нормы эквивалентны (при этом
совпадают и соответствующие понятия производной). Ана-
Аналогичное утверждение верно для Соболевских классов отобра-
отображений со значениями в сепарабельном гильбертовом простран-
пространстве Е.
Доказательство. Из эквивалентности Мейера вытекает совпа-
совпадение классов Wp'r[^j) и Нр<г(у). Включение Wp'r(y) С Dp^r(y)
нетрудно вывести непосредственно из определений. Наконец,
если / G Z?prG), то с помощью формулы интегрирования по ча-
частям убеждаемся, что отображения DHrT£f равны e~r£TeDHrf,
где DHrf — обобщенные производные / в смысле простран-
пространства i)prG). Поскольку T£f —>■ / в Ьр(^у) при е -> 0, а нор-
нормы \\DHkT£f\\Lp^t-Hk^, k = 1,...,г, равномерно ограничены, то
/ G Hp>r(rj) ввиду леммы 5.2.3. Для .Е-значных отображений
рассуждения аналогичны. D
5.4.3. Следствие. Классы W°°(j), H°°(y), D°°(~/) совпадают.
В частности, f = ^2nIn{f) G И^°°G) в точности тогда, когда
Y;nnP\In{f)\p < оо для всех р > 1. Если Е — сепарабельное
гильбертово пространство, то совпадают классы W°°{^(,E),
(
Производная во всех определенных выше классах Соболева
обозначается через DH или через Уя. Согласно теореме 5.4.2,
5.4. Равносильность определений 201
различные рассмотренные нами определения производной при-
приводят к одному и тому же отображению с точностью до мо-
модификации (при этом производная вдоль Н оказывается опре-
определенной и для классов 1Р'ГG), для которых она изначально не
вводилась). Из равенства A.5.6) легко выводится его следующий
бесконечномерный аналог.
5.4.4. Следствие. Пусть д G H2'l{-y), / G Н2^{-у). Тогда
J{DHg,DHf)d1 = -
Аналогичным образом получаем бесконечномерное обобще-
обобщение предложения 1.5.6.
5.4.5. Следствие. Для всякой функции / € Д2>1G) справед-
справедливо равенство DHTtf = е~*7}(£)я/).
5.4.6. Лемма. Пусть / G W?'1^), р > 1. Тогда DHf = 0 п.в.
на множестве {/ = 0}. То же самое верно для отображений
из Wp>l(^,E) со значениями в сепарабельном гильбертовом про-
пространстве Е.
Доказательство. Это свойство очевидно, если воспользовать-
воспользоваться описанием соболевских классов через дифференцируемость
по направлениям. Действительно, достаточно показать, что для
всякого h G Н, выбрав версию /, абсолютно непрерывную вдоль
/г, мы имеем duf = 0 п.в. на {/ = 0}. С помощью условных мер
на прямых, параллельных /г, утверждение сводится к одномерно-
одномерному случаю, в котором оно вытекает из определения производной
и того факта, что почти все точки измеримого множества явля-
являются его предельными точками (поэтому п.в., где производная
существует, она равна нулю). Векторный случай вытекает из
скалярного. □
Так же, как и в конечномерном случае, можно определить
локальные соболевские классы на локально выпуклом простран-
пространстве X с центрированной радоновской гауссовской мерой 7-
5.4.7. Определение. Пусть W^(j), р > 1, г е К, — класс
всех функций /, для которых существуют возрастающая по-
последовательность измеримых множеств Хп {называемая лока-
локализующей) и последовательность функций ipn € W°°{^) со сле-
дующими свойствами: 1) 71 U Хп) — 1; 2) ipn\x = 1; 3) фп/ G
Чг=1 '
Wp'r("f). Аналогично определяются классы векторных отобра-
отображений Wjoc G> Щ> г$е Е — сепарабельное гильбертово прост-
пространство, а также классы Щ^Л^)-
202 Глава 5. Соболевские классы
Из леммы 5.4.6 легко вывести следующий результат.
5.4.8. Лемма. При п > т имеем DHk{xpmf) = DHk{xpnf) п.в.
для всех к = 1,...,г и DHkf := lim DHk(ipnf) не зависит (с
точностью до модификации) от выбора локализующей после-
последовательности {Хп} и последовательности {ipn} с указанными
в определении свойствами.
5.5. Дивергенция векторного поля
Пусть ц — радоновская мера на локально выпуклом про-
пространстве X w.v: X -* X — измеримое отображение, которое мы
будем называть векторным полем. Дифференцируемость вдоль
поля определяется с помощью формулы интегрирования по ча-
частям. Для функций / на X полагаем
*/<*) :•= </<<*),«(*)> = Кш
5.5.1. Определение. Мера ц называется дифференцируемой
вдоль поля v, если существует такая функция C£, что
. E.5.14)
x x
Функция {3£ называется логарифмической производной /л вдоль
поля v или дивергенцией v относительно /х. В последнем случае
она обозначается также через 6v.
5.5.2. Пример. Пусть X — бесконечномерное локально выпу-
выпуклое пространство. Тогда никакая гауссовская мера на X не
является дифференцируемой вдоль векторного поля v(x) = х.
Доказательство. Предположим, что 7 — гауссовская мера на
X, дифференцируемая вдоль v. Можно считать, что 7 центриро-
центрирована. Пусть {еп} — ортонормированный базис в Н{^). Положим
Рп{х) = Y^i=i^i{x)ei- Обозначим G-алгебру, порожденную Рп,
через <уп. Для всякой <тп-измеримой гладкой функции <р функция
Д,ф*= дрп<р <7Л-изцяврима. Значит, мера "рР^ дифференцируема
вдоль поля Рп и ее логарифмическая производная /Зп совпадает с
5.5. Дивергенция 203
условным математическим ожиданием /3J относительно ап. Та-
Таким образом, {0п} — мартингал, сходящийся в L1^). С другой
стороны, непосредственные вычисления дают
Случайные величины 1 — е;2 независимы и имеют одно и то же
распределение. Значит, ряд 52j(l — е2) не сходится. Это проти-
противоречие доказывает наше утверждение. □
5.5.3. Теорема. Предположим, что 7 — центрированная ра-
доновская гауссовская мера на локально выпуклом простран-
пространстве X. Тогда всякое поле v € W ' (j,H) имеет дивергенцию
6v € L2{^), причем для всех / € W2'l{^) справедливо равенство
= - J f{xMv{xI{dx). E.5.15)
X
Если {еп} — ортонормированный базис в Н и v =
то
() E.5.16)
n=l
где ряд сходится в Ь2(-у). Кроме того, Ц^Ц^г^ < Ц^Цгд.
Доказательство. Для всякого векторного поля v вида v(x) =
J2?=ivi{x)ei, где Vi(x) e W2'1^), получаем по формуле интегри-
интегрирования по частям
J(DHf(x),v(x))ffrtdx) =
= - [ f(x)(tiaceHDHv(x)-J24xMx))'r№)- E-5.17)
Положим
п
6v(x) — tva,ceHDHv(x) — У~^ ej(x)vj(x).
t=i
Отметим, что для любых двух таких векторных йолей v и и
согласно E.1.8) справедливо равенство
6v6ud^= / (v,и)н g?7 + / tracew (DhvDhu\ dj. E.5.18)
204 Глава 5. Соболевские классы
Действительно, достаточно проверить это равенство для v = г^е»
и и = Uj-ej, а тогда непосредственно применима формула E.1.8)
и легко проверяемое равенство
tracew
В случае и = v второй интеграл в правой части E.5.18) мажори-
мажорируется / \Dhv(x)\k -y(dx), поскольку
traceH(T2)|<||T||^ VT £ П.
Действительно, £~=1(ТеьТ*ег)я < ||T||W||T*||W = \\Т\\2п для
любого ортонормированного базиса {е,} в Н. Итак, приходим к
следующей важной оценке:
< j[\v(x)\2H + \\DHv(x)\\2n] 7(dx). E.5.19)
Формула E.5.17) может быть записана как
= -Jf(xNv(xO(dx).
Поскольку для v € VF2IG, Н) последовательность vn := Yl?=i viei
сходится к«в И'т2'1G, Н), то ввиду E.5.19) последовательность
{fon} фундаментальна в Ь2(^у) и сходится к некоторому элемен-
элементу, который мы и возьмем в качестве 6v. Ясно, что при этом
верно равенство E.5.15). П
Отметим, что две части ряда E.5.16) могут не быть сумми-
суммируемыми по отдельности.
5.5.4. Замечание. С помощью равенства
Jv(x)[DHf(x)]4(dx) = -j f{xMv{x)i{dx)
X X
определяется дивергенция и для операторнозначных полей v G
W*'1^, У.к), к е JN. При этом, естественно, Sv принимает значе-
значения в Tik-i, tio = Н. Существование дивергенции в этом случае
доказывается теми же рассуждениями, что и выше.
Как и производная, дивергенция обладает свойством локаль-
локальности.
5.5. Дивергенция 205
5.5.5. Лемма. Пусть v € VFlo'c G, Н). Тогда 8v = 0 п.в. на
множестве {v = 0}.
Доказательство. Пусть {еп} — ортонормированный базис в
Н и Рп — ортогональная проекция на линейную оболочку век-
векторов е\,..., еп. Тогда Pnv £ W2'1^, H), причем для отображе-
отображений Pnv утверждение справедливо ввиду леммы 5.4.6 и равенства
E.5.16), в котором сумма оказывается конечной. Заметим, что
Рпп = 0 на множестве {v = 0}. Поэтому 6(Pnv) — 0 п.в. на
{v = 0}. По теореме 5.5.3 имеем S(Pnv) -> 6v в L2(-y). Выби-
Выбирая подпоследовательность, сходящуюся почти всюду, получаем
доказываемое. П
Свойство локальности позволяет определить дивергенцию для
9 1
полей v € Wjo'c Gi H). Взяв локализующую последовательность
функций вп € W°°G), получаем, что последовательность 5Fnv)
стационарна п.в. Ее предел и возьмем в качестве 6v. По свойству
локальности для v G VF2>1G, H): п.в. получаем прежнее значение
функции 6v.
Дивергенция представляет собой абстрактную версию так
называемого расширенного стохастического интеграла, введен-
введенного А. В. Скороходом. Обычный стохастический интеграл от
согласованного квадратично-интегрируемого процесса и может
быть записан в виде дивергенции поля v, определяемого следу-
следующим образом. Будем считать, что в качестве вероятностного
пространства для винеровского процесса wt выбрано простран-
пространство С[0,1] с мерой Винера Р. Положим Н = Н(Р). Пусть
v(u>)(t) = / u(s,u>)ds.
Тогда v оказывается векторным полем со значениями в Н. Прав-
Правда, это поле может быть недифференцируемым, но наложенное
нами условие согласованности в силу теоремы Гирсанова вле-
влечет дифференцируемость Р вдоль v. Действительно, по теореме
Гирсанова (см. [83, гл. 7]) процесс wt + ev(t) индуцирует меру
Р£, имеющую относительно Р плотность
1 1
Г /■ 1 /" 1
Л£ = ехр / su(t, u>) dwt — - £2u(t, иJ dt .
\_J 2j J j
0 0
206Глава 5. Соболевские классы
С помощью этой формулы для гладких цилиндрических функ-
1
/г / г \
dvf dP = fl u(t, и) dwt I dP,
J \J /
о
l
откуда Sv = — / u(t, u) dwt.
о
5.6. Логарифмические неравенства
В этом параграфе мы распространим на бесконечномерный
случай логарифмическое соболевское неравенство, неравенство
Пуанкаре и другие оценки интегралов от соболевских функций
через интегралы от их производных.
5.6.1. Теорема. Предположим, что-у — центрированная ра-
доновская гауссовская мера на локально выпуклом простран-
пространстве X. Тогда для всех / € W2'1^) имеем
J
f2ln\f\d7<
X
< j \DJ\2Hd1 + ^j fd^ln^j f2d^. E.6.20)
X XX
<h<J\DHf\2Hdr E.6.21)
X
5.6.2. Теорема. Полугруппа Орнштейна-Уленбека (Tt)t>o —
гиперсжимающая: при р > 1, q > 1 имеем
тли < у\\Р
для всех таких t > 0, что e2t > (q — l)/(g — 1).
Доказательство. Достаточно доказать эту оценку для нео-
неотрицательных функций /. Далее, достаточно сделать это для
гладких неотрицательных цилиндрических функций /. Ясно
также, что можно считать, что / > с > 0, приближая такими
функциями неотрицательные. При сделанных предположениях
функция G: t f-)- ||Tt/||g(t), где q(t) = 1 + (р — 1)е , оказывается
дифференцируемой по t на [0, оо) (напомним, что Ttf > с). Заме-
Заметим, что логарифмическое неравенство, примененное к функции
frl2 вместо /, и формула интегрирования по частям для опера-
оператора Орнштейна-Уленбека A.5.6) дают оценку
5.6. Логарифмические неравенства 207
Jflrifd-,- jfrdy(J fdi)<
Используя эту оценку для г = q(t) и явным образом выписывая
производную G(t) = ||Tt/||g(t) (чего мы здесь не будем делать),
заключаем, что G'(t) < 0. Это означает, что G(t) < G@), т.е.
верна доказываемая оценка. D
5.6.3. Следствие. Пусть р > 2. Тогда оператор In: f f-K
/„(/) из L2{"i) в Lp('y) непрерывен и
\\In(f)\\P<(p-l)n/2\\fh- E.6.22)
Доказательство. Пусть р = e2t + 1. Тогда в силу гиперсжи-
маемости ||Tt/||p < ||/||2, откуда ||Tt/n(/)||p < ||/„(/)||2 < ||/|B.
Поскольку TtIn(f) = e-ntIn(f), то ||/п(/)||Р < е»*||/||2 < ent||/|L
что и требовалось. П
5.6.4. Следствие. Пусть / € Xd- Для каждого а € @, —) и
2е
d
c(a,d) = 2ехра Н справедливо неравенство
d — 2еа
х: \f(x)\ > t\\f\\2) < c(a,d
Доказательство. Можно считать, что Ц/Цг = 1. Ввиду оценки
р < (р — l)d/2, получаем
Пп/d -
n=0 '- n=d '"•
Согласно формуле Стирлинга при а < — сумма ряда в дравой
. 2е
части оценивается через 2ехр а + d(d — 2еа)~1. П
208 Глава 5. Соболевские классы
5.6.5. Следствие. Пространства Х& замкнуты относитель-
относительно сходимости по мере. При этом всякая сходящаяся по ме-
d
ре последовательность из ф Xf. сходится и в Ьр(^) для всех
fc=o
р G [1,оо). То же самое верно для пространств Хд(Е) отобра-
отображений в сепарабельное гильбертово пространство Е.
d
Доказательство. Пусть {/„} с ф Хк сходится по мере к фун-
кции /. Если мы докажем, что supn ||/п||г,2G) < °°i T0 следствие
5.6.3 даст равномерную ограниченность {/„} во всех Lp('y), что
ввиду теоремы Лебега-Витали приводит к требуемому заключе-
заключению. Предположим, что supn ||/п||^G) = оо. Переходя к под-
подпоследовательности, можно считать, что с„ := ||/n||i2G) —>• оо.
Тогда gn := fn/cn -» 0 по мере, причем ||.9n|lz,2G) = 1. Вви-
Ввиду следствия 5.6.3 имеем supn ||5п||ь3G) ^ °°' откУДа по теореме
Лебега-Витали получаем, что ||<7n||jL2G) ~* ^ — противоречие.
Это же рассуждение показывает и замкнутость Хд относитель-
относительно сходимости по мере (ср. [468]). Для векторнозначных ото-
отображений доказательство аналогично (можно и просто восполь-
воспользоваться скалярным случаем, поскольку (/п,/п)е € X<id)- О
5.6.6. Теорема. Пусть мера j — та же, что и в теореме
5.6.1, а функция / G И^'с G) такова, что J \DHf(x)\pH'y(dx) = Np
для некоторого р € IN, р > 1. Тогда / G VFPilG) и
Л/(ж) - I fd-fPj(dx) < (Tr/2)p</p~i.Np. E.6.23)
x
Если exp(f \DJ\l^ G L\-y), mo exp(|/|) G Ll(l) и
/exp[/- [fdj]dj< [exp(—\DHf\l^]d-f. E.6.24)
J L- 7 -i 7 \ 4 у
x
Если же \DHf\H < С, mo exp(a/2) G Ll(-f) для всех а < BC2).
Доказательство. Пусть fn = gn(f), где gn(t) = t при \t\ < n,
9n(t)'= tsgnt при |i| > п. Нетрудно проверить, что /„ G Wp'1('y)
и \DHfn\H < \DHf\H. Оценки E.6.23) и E.6.24) для /п вытекают
из конечномерных оценок, полученных в главе 4 с учетом замеча-
замечания 4.3.9 (см. доказательство теоремы 4.3.11). Поскольку/„->/
5.7. Гауссовские емкости 209
п.в., то из леммы Фату, E.G.23) и равномерной ограниченности
/ \DH fn\pI{ dj следует равномерная ограниченность / fndj. Это
дает ограниченность {/п} в Wp'1 {">/), откуда / € Wp'l{^y). При
этом для / получаем и соответствующие неравенства. П
5.7. Гауссовские емкости
В этом параграфе определяются гауссовские емкости и обсу-
обсуждаются их свойства. Используя емкости, .можно получить не-
некоторые классические результаты (предельные теоремы, законы
0-1 и т.п.) в более точной форме, поскольку емкости обеспечи-
обеспечивают более тонкую характеризацию малости множеств. Напри-
Например, точка имеет положительную С2д-емкость в Ш , но нулевую
в ж3.
Пусть /i — неотрицательная радоновская мера на вполне ре-
регулярном топологическом пространстве X (разумеется, нас бу-
будет интересовать специальный случай, когда /.< — гауссовская
мера). Пусть Т € Lp(ft) —■ инъективный линейный оператор, пе-
переводящий неотрицательные функции в неотрицательные. Име-
Имеется стандартная процедура, связывающая с Т функцию множе-
множества Ст на X, называемую емкостью, порожденной Т. В этом
параграфе через || ■ \\р будем обозначать норму в Ьр{ц) в том
случае, когда ясно, о какой мере идет речь. Дополнительные
сведения о емкостях можно найти в [46, глава 3], [217, глава I],
[294], [353], [357].
5.7.1. Определение. Для всякого открытого множества U
в пространстве X положим
CT{U) = inf{||/||p: / G L>», Tf > 1 fi-п.в. на Щ.
Для каждого подмножества А в X положим
СТ(А) = Ы{Ст(и): А С U, U открыто}.
Ясно, что в определении емкости открытого множества мож-
можно ограничиться рассмотрением неотрицательных функций, так
как Т|/| > Т/.
Далее мы будем иметь дело с операторами Vr. Соответству-
Соответствующие им емкости обозначаются через Ср>г. Однако почти все
результаты этого параграфа верны для общих емкостей CV-
5.7.2. Лемма. Емкость Ст субаддитивна, т.е. Ст{А U В) <
Ст(А) + С'т(В). для любых двух множеств А и В. Кроме того,
СТ(В) > /л(ВI/р, В € В{Х).
210 Глава 5. Соболевские классы
Доказательство. Достаточно рассмотреть открытые множе-
множества А и В. Для всякого е > 0 пусть / и д — такие элементы из
Х"(М), что ||Г/||Р > СТ(А) - е, \\Тд\\р > СТ(В) - е, Т/Ц > 1 и
Тд\в > 1 п.в. Положим h = max(|/|, \g\). Тогда
p —
? + \\д\\>I/р < \\f\\p + ЫР < СТ{А) + Ст{В) + 2е.
С другой стороны, Th\A > Tf\A > 1 и Th\B > Тд\в > 1 п.в.,
поскольку Th > Tf mTh > Тд п.в. по нашему предположению.
Таким образом, Ст{А U В) < \\h\\p. Докажем второе утвержде-
утверждение. Пусть В открыто, / € Ьр(/л), причем Т/\в > 1 п.в. Значит,
||/||р > ii(B)llp. Значит, эта же оценка.справедлива для инфи-
мума. О.
Если р = 1 и Т = /, то Ст(В) = /u(£), но, как правило, Ст не
является счетно-аддитивной даже на борелевскои ст-алгебре.
5.7.3. Предложение. Если компактные множества Кп убы-
вают, то lim Ст(Кп) — Ст{ П Кп)- Если множества Ап воз-
п^оо \п=1 J
, ОО ч ОО
растают, то Ст( [j Ап) < J2 Ст{Ап).
Чг=1 ' п-\
Доказательство. Действительно, для всякого открытого мно-
множества U, содержащего компактное множество H^Li Кп-, можно
найти такое п, что Кп С U. Второе утверждение достаточно до-
доказать для открытых множеств Ап. При этом можно считать,
что ряд из их емкостей сходится. Положим А = U^i An- Пусть
е > 0. Выберем /п € Ьр{ц) так, что Tfn > 1 п.в. на Ап и
\\fn\\p < Ст(Ап) + е2~п, \\и\\р < Ст{Апу + е2~п. E.7.25)
Положим / = supn/n. Ясно, что Tf > 1 на А п.в., поскольку
Tf > Tfn ввиду оценки / > /„. Поэтому СТ(А) < ||/||р. Заме-
Заметим, что |/|р < 52п°=1 \fnf- Поскольку в силу E.7.25) имеем
n—1 n=l
то / € Lp(n). Кроме того, еще раз применяя E.7.25), получаем
ii/ii, < [Е н/nii?]1/р < Е 11/»н, = Е ^(^") + г>
«==1 п=1 п=1
откуда СТ(А) < ЕГ=1 Сг(А„) + г. П
5.7. Гауссовские емкости 211
5.7.4. Определение. Функция f на X называется квазине-
квазинепрерывной относительно емкости Ст, если для всякого е > 0.
найдется такое открытое множество U с Ct(U) < е, что f
непрерывна на X\U.
Говорят, что некоторое свойство выполняется, квази-всюду,
если оно имеет место вне множества емкости нуль. Всякое от-
открытое множество U нулевой .//-меры имеет емкость нуль (так
как функция / = 0 удовлетворяет условию / > 1 п.в. на U). Од-
Однако для замкнутых множеств это неверно (см. задачу 5.8.29).
5.7.5. Лемма. Если функция f квазинепрерывна и f > 0 \i-n.e.
на открытом множестве U, то / > 0 квази-всюду на U.
Доказательство. Обозначим через 5 топологический носитель
\х (т.е. пересечение всех замкнутых множеств полной меры).
В силу радоновости меры \x(X\S) = 0. Как отмечено выше,
Ct(X\S) = 0. Пусть е > 0 и Z — замкнутое множество, на
котором / непрерывна, причем Ct(X\Z) < e. В силу субад-
субаддитивности емкости можно считать, что Z С S (заменив Z на
Z П 5). Покажем, что U П {/ < 0} С X\Z, откуда вытекает
доказываемое. Действительно, предположим, что z € U П Z и
f(z) < 0. Тогда найдется такая окрестность V С U точки z, что
f(x) < 0 на V П Z. По условию, ц(У) = 0, откуда V С X\S —
противоречие. □
5.7.6. Теорема. Пусть р > 1. Предположим, что Т перево-
переводит Сь(Х) в Сь(Х) (или, более общим образом, в Lp(pL) есть
плотное множество непрерывных функций, которые Т перево-
переводит в непрерывные функции). Тогда:
(i) всякая функция F = Tf, f G Ьр(/л) имеет такую квазине-
квазинепрерывную модификацию F*, что
СТ(х: F*(x) >R)< JT1 ||/||р; E.7.26)
(ii) для всякой последовательности {fn}, сходящейся к f в
Ьр(ц), существует подпоследовательность {(Т/„)*}, ко-
которая сходится квази-всюду к (Tf)*;
(iii) для всякого множества В существует единственный зле-
Fb — \и = Т<р: <р € Ьр(ц), р>0и*>1 квази-всюду на В\
с минимальной нормой. Кроме того, Ст(В) = \\Т~1ив\\р.
212 Глава 5. Соболевские классы
Доказательство. Пусть {/„} с Сь(Х) — последовательность,
которая сходится к / в Ьр(ц). Положим Fn — Tfn. Заметим, что
для каждого г > О и всякой функции tp 6 Сь(Х) имеем
Ст{х: Т(р(х)>г) ^г
поскольку Tip/r > 1 на открытом множестве {х: Тф(х) > г].
Значит, для каждого г > 0 получаем
Ог{\К ~Fk\>r)< 2r~l\\Fn -Ffc||o -Ю, п, к ->■ оо.
Поэтому для всякого п найдется такое кп, что
- F-\ > 2~п) < 2-", Vi,j>kn.
Проверим, что последовательность {Gn} = {F^n} сходится к F
квази-всюду. Достаточно показать, что это — фундаментальная
последовательность квази-всюду. Пусть е > 0. Выберем такое
п\, что 1/2™1 < £. Положим
Xs= f]{x: \Gj~Gj+l\<2^}.
В силу субаддитивности Ст и выбора Gn, имеем
СТ(Х\ХЕ) < ]Г 2~] < 2"ni < e.
Очевидным образом, на ХЕ имеем \Gj+\ — Gj| < 2'J для
j > п\. Таким образом, ряд J^JLiiGj+i ~~ Gj), Go = 0, схо-
сходится на ХЕ. Ясно, что Y^=i(Gj+i — Gj) = Gn, что доказывает
сходимость {Gn}. Поскольку s произвольно, получаем квази-
всюду сходимость. Более того, это же рассуждение показыва-
показывает, что для всякого £ > 0 существует замкнутое множество Хе
с Ст(Х\Х£) < е, на котором сходимость равномерна. Поэто-
Поэтому предел F* последовательности {Gn} квазинепрерывен. Более
того, из наших рассуждений вытекает, что для всяких фикси-
фиксированных г > 0 и £ € @, г) найдутся замкнутое множество Х£ с
Ст(Х\Х£) < £, на котором F* непрерывна, и функция д € Сь(Х)
такая, что ||/ — д\\р < е и \F* — Тд\ < е на ХЕ. Тогда
CT(F* >r)< СТ(ХЕ П {F* >
< CT(XZ П {Тд > г -£})+£< Ст(Тд > г - е) + е <
5.7. Гауссовские емкости 213
Поскольку е произвольно, приходим к E.7.26). Пусть теперь
{/„.} — последовательность, сходящаяся к / в Ьр{ц). Положим
Fn = Tfn. Для всякого п найдется такой номер кп, что ||F£ —
F*\\o < 4~п. Пользуясь оценкой
CT(\F£n(x)-F*(x)\>2-n)<2-n,
получаем, как и выше, квази-всюду сходимость {F£ } к F*. Итак,
утверждения (i) и (ii) доказаны. Остается доказать утвержде-
утверждение (Hi). Пусть сначала В — открытое множество. Напомним,
что пространство Ьр(/л) прир > 1 имеет свойство Банаха-Сакса:
всякая ограниченая последовательность {</?«} С Lp(fi) содержит
такую подпоследовательность {V'n}, что последовательность
п
П
сходится в Ьр(ц) ([59, глава 3, § 7]). Применим это свойство
к последовательности неотрицательных функций ipn, выбранной
так, что Т<рп > 1 /i-п.в. на В и lim ||</?n||p = Ст(В). Пусть д —
предел {5„} in Ьр(ц) и ив '■— Тд. Ясно, что д > 0, TSn > 1 /i-п.в.
на В. Значит, ив > 1 //-п.в. на 5. Кроме того,
5- 1Ы1р < lim sup H^nllp = Cx(B). ■
В общем случае пусть {Вп} — такая последовательность от-
открытых множеств, содержащих В, что Ст(Вп) > Ст{В) + 2~п.
Положим ип — usni где выбраны неотрицательные квазинепре-
квазинепрерывные модификации. Тогда последовательность {Sn} арифме-
арифметических средних Ui содержит подпоследовательность {Snic}, ко-
которая сходится в Jy(/x) к неотрицательной функции д. Полагая
опять ив ■— Тд и переходя к подпоследовательности еще раз,
можно считать, что сходимость имеет место квази-всюду. В
силу леммы 5.7.5, ип > 1 квази-всюду на Вп. Значит, ив > 1
квази-всюду на В. Очевидным образом,
Единственность квазинепрерывной функции и, для которой
и > 1 на В квази-всюду и ЦТ и||р = Ст(В), вытекает из рав-
равномерной выпуклости пространств Ьр(/л). Действительно, если
214 Глава 5. Соболевские классы
v — еще одна такая функция, тои = (и + и)/2> 1 /i-п.в. на В,
откуда
Ст(В) < WT-'wWp < \\T-lv\\p = СТ(В).
Это означает, что векторы T~lu, T~1v и их полусумма имеют
равные нормы в Lp(fi), что возможно лишь при их равенстве.
Чтобы доказать минимальность нормы ив, достаточно пока-
показать, что для каждой квазинепрерывной функции h € Т(Ьр(ц))
такой, что h > 1 квази-всюду на В, имеем ЦТ/^^ > Ст{В).
Предположим сначала, что h неотрицательна п.в. Пусть е > 0.
Можно найти такое замкнутое множество Z, на котором h не-
непрерывна, что Ct{X\Z) < с и h > 1 на В П Z. Заметим, что
множество
G = (ZD{h> l-e})U(X\Z)
открыто. По доказанному, существует такая неотрицательная
функция ho = ux\z, что ho > 1 на X\Z п.в. и ||Т~1/г0||р =
Ct{X\Z) < e. Поскольку функции h и ho неотрицательны п.в.,
получаем h + ho > 1 — е п.в. на G. Следовательно,
Ст{в) < Ct{g) <
й
Поскольку е произвольно, получаем Ст(В) < \\T~xh\\p. Если h
не предполагается неотрицательной п.в., можно взять функцию
h\ = (Т|<7|)*, где д € Ьр(ц) такова, что Тд — h. Ясно, что h\ > h
п.в., поскольку |<7| > д. Значит, h\ >h квази-всюду ввиду леммы
5.7.5. Итак, hx\B > 1 квази-всюду и HT'^iUp = ЦГ-^Цр =
Ст(В). Из результата о единственности вытекает, что h\ = h,
значит, /г > 0 квази-всюду. СИ
Функция ив из предыдущей теоремы называется равновес-
равновесным потенциалом В.
5.7.7. Следствие. Предположим, что выполнены условия те-
теоремы 5.7.6. Тогда для любой возрастающей последовательно-
последовательности множеств Вп имеем lim Ст(Вп) = CV(Un.Bn).
п>оо
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть ип — равновесный потенциал Вп. По-
Последовательность {Sn} арифметических средних Т~1щ ограни-
ограничена в Ьр(ц). Значит, она имеет подпоследовательность {Snk},
которая сходится в Lv{n) к некоторой функции д. Положим
и = Тд. Ясно, что объединение D множеств Вп П {ип < 1}
имеет емкость нуль, поскольку каждое из этих множеств име-
имеет нулевую емкость. На множестве B\D имеем Тд > 1. Таким
5.7. Гауссовские емкости 215
образом, Тд > 1 квази-всюду на В, откуда Ст{В) < \\д\\р в силу
утверждения (ш) доказанной выше теоремы. С другой стороны,
\\д\\р < limsup \\Т~1ип\\р = UmsupCT(Sn) < СТ(В),
п п
откуда вытекает доказываемое. П
Роль топологии пространства X до сих пор не была проясне-
прояснена, хотя открытые множества явным образом вовлечены в опре-
определение. Удивительно, что во многих случаях емкости инвари-
инвариантны относительно ослабления исходной топологии [169].
5.7.8. Лемма. Пусть С — неотрицательная субаддитивная
монотонная функция множества на семействе открытых под-
подмножеств хаусдорфова топологического пространства X. Для
. всякого множества А продолжим С посредством
С(А) = inf{C(C7): А С U, U открыто}.
Предположим, что существует последовательность компакт-
компактных множеств Кп, таких, что lim С(Х\Кп) = 0. Пусть т —
п—>оо
■более слабая хаусдорфова топология на X и СТ — продолже-
продолжение С с класса т-открытых множеств на все множества по
указанной формуле. Тогда С (А) = СТ(А) для любого А.
Доказательство. Достаточно проверить, что C(U) = CT(U)
для всякого множества U, открытого в исходной топологии. За-
Зафиксируем е > 0. Пусть К — такое компактное множество,
что С(Х\К) < е." Заметим, что К компактно в топологии г и
потому исходная топология совпадает с т на /(. В частности,
существует такое т-открытое множество V, что К(IV = KnU.
Значит,
CT(U) <CT(Un К) + СТ(Х\К) = CT{U Г) К) + С(Х\К) <
<CT(Un К) +е = CT{V ПК)+е = С{V С\К) + е
<C(UDK)+e<C(U) + 2e,
откуда CT(U) < C(U). Обратная оценка очевидна. □
Не всякая емкость» обладает указанным в лещме свойством,
которое называется плотностью емкости (см. задачу 5.8.28).
Однако емкости, связанные с классами Соболева, плотны.
216 Глава 5, Соболевские классы
5.7.9. Теорема. Пусть Ср^г — емкость на локально выпуклом
пространстве X с центрированной гауссовской радоновской ме-
мерой 7, порожденная оператором Vr в LpG), г > 0, р > 1. Тогда
для всякого е > 0 существует такой метризуемый компакт
К£, что
СР,.(Х\К£) < е.
Кроме того,
Cpr(B) = s\ip{Cpr(K); К С В — метризуемый компакт}
для всякого борелевского множества В (это оке верно и для
всякого суслинского множества В).
Доказательство. Сначала рассмотрим случай, когда X полно.
В этом случае, как мы знаем, существует такое метризуемое аб-
абсолютно выпуклое компактное множество К, что j(K) > 1/2.
Обозначим через g функционал Минковского множества К, до-
доопределенный нулем вне линейной оболочки Е компакта К. По-
Поскольку j(E) > О, то 'у(Е) = 1 в силу закона 0-1. По теореме
Ферника g € f)p>\ Lp{^). Положим
G(x) := Jg(x) :=ТЫ2/29(х) = J
x
где (Tt)t>o — полугруппа Орнштейна-Уленбека. Пусть Кп —
замыкание множества {G < п} П Е. Заметим, что
| V2Jg(x) -g(x) |< jg{y)~({dy) = d, x G E,
x
откуда ■
{./с/ < n} П Е С {g < V2n + d) П Е С mK, если m > 2n + d.
Следовательно, Kn — метризуемый компакт. В силу примера
5.3.2 имеем G € Нр'г(^). Поскольку n~lG > 1 п.в. на открытом
множестве Х\Кп, то CPiT(X\Kn) < n-1||G||*r, откуда вытекает
плотность Срг. Теперь пусть X — произвольное локально вы-
выпуклое пространство и Z — его пополнение. Рассмотрим меру 7
на Z. Пусть D — компактное подмножество X положительной
7-меры и Е — линейная оболочка D. Множество Е, как уже
отмечалось выше, а-компактно. Кроме того, в силу закона 0-1
оно имеет полную меру. Индикаторная функция 1м множества
5.8. Дополнения и задачи 217
М — Z\E п.в. равна нулю и Лм — 1м поточечно. Поскольку
Ли € Яр'гG), то || J/мЦр.г = 0- Следовательно,
СР,Г(М) = Ср,тAм = 1) = CPir(JIM = 1) < \\Лм\\;,г = 0.
Следовательно, для любого е > 0 найдутся такой метризуемый
компакт Q С Z т такое открытое множество U С Z, что
Met/, Cp,r(t/)<e, Cp,r(Z\Q) < е.
Тогда Z\U С Е. Положим К — QC\ (Z\U) и заметим следующее:
(i) К С Е С X; (ii) множество ii' компактно и метризуемо, буду-
будучи замкнутым подмножеством Q; (iii) СР1Г(АГ\ЛГ) < CPir(Z\A') <
е. Второе утверждение теоремы вытекает из общих свойств ем-
костейна метрических компактах (см. [91, гл. III]). U
5.7.10. Следствие. Пусть Е — ^-измеримое линейное под-
подпространство в X с 'у(Е) > 0. Тогда СРгГ(Х\Е) = 0.
5.7.11. Следствие. Пусть Т: X —> Y — инъективное непре-
непрерывное линейное отображение в локально выпуклое простран-
пространство Y. Обозначим через С?г емкости, ассоциированные с ме-
мерой v = 7°71~1- Тогда для всякого борелевского множества
В С Y имеем Cj^B) = CPtT{T-l{B)).
Отметим, что гауссовские емкости Срг удовлетворяют усло-
условию теоремы 5.7.6.
5.8. Дополнения и задачи
Измеримые многочлены
Непрерывным однородным многочленом степени п на локально вы-
выпуклом пространстве X называется функция вида F{x) = V(x,..., х), ■
где V: Хп —у К1 — непрерывная функция, линейная по каждому ар-
аргументу (многочлен степени 0 — постоянная). Непрерывным много-
многочленом называется конечная сумма однородных непрерывных много-
многочленов. Степень такого многочлена определяется как наибольшая из
степеней его однородных составляющих. Аналогично определяется не-
непрерывное полиномиальное отображение со значениями в локально вы-
выпуклом пространстве. Естественным обобщением непрерывных мно-
многочленов являются измеримые многочлены на бесконечномерном про-
пространстве с мерой. В случае гауссовской меры 7 удобнее всего опреде-
d
лять 7-измеримые многочлены как элементы пространств 0 А'*. При
fc=0
218 Глава 5. Соболевские классы
этом степенью измеримого многочлена / следует считать наименьшее
возможное d. Заметим, что для каждого / £ Xd имеем / = edT\f п.в.,
причем при п.в. х функция F :— e'lTif обладает следующим свойством:
h >-> F(x + h) — непрерывный многочлен степени не выше d на гиль-
гильбертовом пространстве Н = Н(-у). Действительно, непрерывность F
вдоль Н вытекает из общих свойств Tt. Взяв последовательность ко-
конечномерных многочленов Fn 6 А^, сходящуюся к F п.в., замечаем,
что при фиксированных h, к £ Н для п.в. х и п.в. (i, s) £ Ж2 имеем
Fn(x + th+sk) -»■ F(x+th+sk), откуда в силу непрерывности вдоль Я и
задачи 5.8.22 можно заключить, что h н-> F(x + h) — многочлен степе-
степени не выше d (непрерывная функция на плоскости, п.в. равная пределу
последовательности многочленов степени не выше d, сама есть много-
d
член степени не выше d). Следовательно, функции из 0 Л^ обладают
версиями, которые непрерывны и полиномиальны вдоль Н степени не
выше d. Доказанное свойство 7-измеримых многочленов является ха-
характеристическим.
5.8.1. Предложение. Пусть 7 — центрированная гауссовская ме-
мера на локально выпуклом пространстве X, Н = #G) u "Y — нормиро-
нормированное пространство, обладающее счетным семейством Г С К*, раз-
разделяющим точки. Предположим, что Ф: X —>■ Y — такое отображе-
отображение, что для каждого I £ Г функция £(Ф) 'у-измерима и h н-> Ф(ж + К),
Н —^ Y, — непрерывное полиномиальное отображение для п.в. х. То-
Тогда существует такое d, что степени этих отображений для п.в. х
не превосходят d, причем ||Ф||у £ )
Доказательство. Можно проверить, что множество Ма всех тех ж,
для которых степень соответствующего полиномиального отображе-
отображения не выше d, измеримо. Поскольку множества Md инвариантны
относительно сдвигов на элементы Н, то в силу закона 0—1 первое
из них, имеющее ненулевую меру, есть множество полной меры. Те-
Теперь воспользуемся индукцией по d. При d = 0 утверждение верно,
поскольку в этом случае для каждого I £ Г функция ?(Ф) постоян-
постоянна вдоль Н и потому п.в. совпадает с некоторой постоянной. То-
Тогда и Ф п.в. совпадает с некоторым элементом из Y. Пусть утвер-
утверждение верно для некоторого d > 1. Рассмотрим отображение Ф1 =
£>НФ: X —у C(H,Y). Отображение Ф1 со значениями в £(H,Y) поли-
полиномиально вдоль Н степени менее d. При этом С(Н, Y) удовлетворяет
условию предложения. Действительно, пусть {hi} — счетное всюду
плотное множество в Н. Тогда счетное семейство функционалов вида
у. А н-> l(Ahi), I £ Г, разделяет точки C(H,Y). Для каждого тако-
такого функционала функция р(Ф) = /(Э/^Ф) 7"измеРима как поточечный
предел п UЫ(х + п~1Ы))~I(ф(ж)I, ибо функции х н->
измеримы ввиду включения hi £ Й. Кроме того, и функция
измерима, так как она совпадает с sup7 lj (Ф(ж) j для некоторой после-
последовательности {lj} С Y* с \\lj\\y < 1- Аналогичным образом измери-
измерима и функция ||Ф1 \\c{H,Y)- В силу предположения индукции получаем
5.8. Дополнения и задачи . 219
) 6 !~~tp>iLp('j)- Из этого вытекает доказываемое. Действи-
Действительно, пусть (рп(х) = supj<n lj■(Ф(ж)). Заметим, что отображение
х н-> и1(Ф(ж)),'.. .,lnDf(x)) J из Z в Нп непрерывно и полиномиально
вдоль Н для п.в. х. Из этого вытекает его локальная липшицевость
вдоль Я., причем, как нетрудно проверить, \DH<pn\H < \\О„Щ\С(н,У)-
Таким образом,
sxrp J \DHipn\^ dn < J W^W^y^ <со,
откуда в силу неравенства Пуанкаре (см. теорему 5.6.1) получаем ин-
тегрируемость ipn и оценку supn/ирп - f <pndj dq < оо. Поскольку
lim <рп(х) = ||Ф(ж)||у < оо п.в., то по теореме Фату интегралы от ц>п
равномерно ограничены. Применяя теорему о монотонной сходимо-
сходимости, получаем требуемое. □
. 5.8.2. Следствие. Пусть Y в предложении 5.8.1 — сепарабелъное
d
гильбертово пространство. Тогда Ф £ 0 XkiY). В частности, Ф €
Н°°{ЪУ).
Доказательство. Стандартные приближения Ф„ отображения Ф с
помощью условных математических ожиданий являются, как легко
видеть, конечномерными отображениями, полиномиальными степени
d
d вдоль Н. Поэтому Фп £ 0 Xk(Y), что в силу замкнутости сумм
d
Xk(Y) влечет включение Ф G 0 Xk(Y). □
к=0
Если в доказанном предложении степень соответствующих много-
многочленов заранее ограничена, то условие можно несколько ослабить.
5.8.3. Пример. Пусть / — такая 7-измеримая функция, что при
некотором выборе ортонормированного базиса {еп} в Н для каждого
п и п.в. х функция t н-> f(x + ten) — многочлен степени не выше d.
Тогда/G 0 Хк.
А=0
Доказательство. Ввиду теоремы об измеримом линейном изомор-
изоморфизме можно считать, что X = Н°°, 7 — счетное произведение стан-
стандартных гауссовских мер и {еп} — стандартный базис I2. Восполь-
Воспользуемся индукцией по d. При d — 0 утверждение вытекает из закона
0-1 (позволяющего заключить, что / — постоянная п.в.). Пусть d > 0.
Для deif утверждение уже доказано и потому / = fi(x) + g\(x) п.в.,
d-\
где /i = xnpi(x)-\ + x$<pd(x), 4>j G ф4»й удовлетворяет тем же
к=0
220 Глава 5. Соболевские классы
условиям, что и /, но не зависит от х\. Повторяя это п раз, приходим
d
к представлению / = /,, + дп п.в., где }п € ф Хк, а дп удовлетворяет
к=0
исходным условиям, но при этом не зависит от первых п переменных.
Можно считать, что /,- представлены своими версиями, полиномиаль-
полиномиальными вдоль Н. При фиксированном j и п > j для п.в. х и п.в. t € И1
имеем
f(x + tej) = fn(x + te3) + gn(x + tej) = fn(x + tej) + gn{x).
Поскольку обе части — многочлены по t степени не выше d, то
fn{x + te3)-> f{x + te3)-gn{x), V^E1.
В частности, {fn(x)} имеет предел при п -> оо. Тогда существует
lim gn(x) := д(х). Из построения дп и закона 0-1 вытекает, что д
71—^ОО
п.в. совпадает с некоторой постоянной с. Тогда / оказывается п.в.
d
пределом {/п + с}, что, как мы знаем, дает включение / € 0 Хк. П
к=0
Опишем еще один употребительный способ введения измеримых
многочленов и пространств Хд. Пусть Е — сепарабельное гильбертово
пространство и ~Нп (Н, Е) — пространство n-линейных отображений
Гильберта-Шмидта из Нп в Е. Обозначим через J,1;T. отображение,
сопоставляющее каждому Ф £ Нп(Н,Е) оператор
i,..., kn-r) = Ф(/ц, ...,hT,ki,..., кп-т).
Теперь индуктивно определим отображения (Зп: ~Нп{Н^ Е) —> Хп(Е) по-
посредством соотношений
di{A){x) = А{х), /3,1
Если Е = Ж1, то функционал д на Н задан вектором Л, то /3i (g) — h.
5.8.4. Теорема. Отображения рп корректно определены и сюръек-
тивны, причем
() н,в)- E-8.27)
Кроме того, для отображений Ф, симметричных относительно пе-
перестановок аргументов, имеем /?Н[/3П(Ф)] = n/3n-i[{Jn,n-i'i^)}-
5.8. Дополнения и задачи 221
Для доказательства достаточно с помощью формул интегрирова-
интегрирования по частям проверить справедливость указанных равенств для ко-
конечномерных отображений, что позволяет распространить определе-
определение /Зп на все отображения из Цп(Н,К) с сохранением этих равенств.
Детали проверки конечномерного случая можно найти в [56, гл. II, §3].
Удостоверившись, что отображения /?„ сюръективны в конечномерном
случае, из соотношения изометричности E.8.27) получаем сюръектив-
ность и в бесконечномерном случае.
Доказанное ранее свойство интегрируемости измеримых много-
многочленов можно вывести также из следующего интересного результата
К. Борелля [212, теорема 2.2]. Для заданного d > 0 обозначим через
Sdij) класс всех 7-измеримых функций /, удовлетворяющих условию:
для некоторой функции fd на единичном шаре UH в Н п.в.
lim sup \rdf{- +th)-fd{h)\ = 0.
Можно проверить, что fd зависит лишь от класса эквивалентности
5.8.5. Теорема. Пусть / £ £^G)- Тогда функция fd непрерывна и
ограничена на UH с нормой \ ■ \н- Кроме того, при Cd := sup^ fd > 0
Н
справедливо равенство
lim t~d/2 \n-f(f > t) = -lc~'2/d. E.8.28)
t—> + oo 2
Из E.8.28) вытекает экспоненциальная интегрируемость функции
е|/|2/'' при достаточно малых е.
Кроме многочленов можно рассматривать также полилинейные из-
измеримые отображения, т.е. такие отображения Ф: Хп -> И1, измери-
измеримые относительно меры 7™ — 7 ® ''' ® 7; чт0 ПРИ 7П~1"П-В' фиксиро-
фиксированном у = (j/i,... ,!/„_!) функция х н> Ф(уь .. .,yn-i,x) — измеримый
линейный функционал, причем то же самое верно при всех перестанов-
перестановках аргументов. Такие функции можно описать как пределы в L2(yn)
конечномерных непрерывных полилинейных функций. Простейший
оо
пример: функция Q(x,y) — ^ пГ1хпуп на произведении IR^xIR00,
наделенном мерой 7 ® 7j гДе 7 — счетное произведение стандартных
гауссовских мер на прямой. При 7-п.в. у функция х н-> Q(x, у) — изме-
оо
римый линейный функционал, ибо ^ п~2Уп < °° п.в., что вытекает
71=1
из теоремы о монотонной сходимости, ибо Jy^-y(dy) = 1. В част-
частности, область сходимости ряда, задающего Q, имеет полную меру.
оо
Отметим, что Q(x,x) = J2 п~1хп = °° п-в- Неизвестно, существует
п=1
ли такая билинейная в обычном алгебраическом смысле функция Qi
на IR^xIR00, что Q\ = Q п.в. относительно 7S5 7- Этот вопрос равно-
равносилен поставленному X. фон Вайцзеккером вопросу о том, можно ли
222Глава 5. Соболевские классы
найти такую билинейную функцию Q\ на пространстве С[0,1]хС[0,1],
1
что Qx{x,w) = J x{t)dw{t) для п.в. (х,и>) относительно произведения
о
меры Винера Pw на себя (при этом интеграл понимается как стоха-
стохастический).
Свойства Я-липшицевых функций
Классическая теорема Радемахера утверждает, что липшицево ото-
отображение F: Мп -» Ш.к почти всюду имеет дифференциал Фреше.
Этот результат не распространяется прямо на бесконечномерный слу-
случай. И основная причина — не отсутствие бесконечномерных аналогов
меры Лебега, а просто существование липшицевых отображений меж-
между гильбертовыми пространствами, вообще не имеющих точек диффе-
ренцируемости по Фреше (хотя, как показано в [450], всякая липшицева
функция на гильбертовом пространстве имеет точки дифференцируе-
мости по Фреше). Однако теорема Радемахера может быть перефор-
переформулирована (в конечномерном случае) эквивалентными способами, до-
допускающими бесконечномерные обобщения. Здесь мы обсудим одну из
таких возможностей. Доказательство следующей теоремы совершенно
аналогично доказательству теоремы 5.8.7 ниже.
5.8.6. Теорема. Пусть X — сепарабельное нормированное прост-
пространство и F: X —> Y — локально липшицево отображение со значе-
значениями в банаховом пространстве Y со свойством Радона-Никодима.
Тогда F дифференцируемо по Гато (и по Адамару) всюду, кроме то-
точек некоторого борелевского множества, на котором обращаются в
нуль все невырожденные гауссовские меры на X.
В частности, это влечет дифференцируемость по Фреше вдоль лю-
любого компактно вложенного нормированного пространства Е. Однако
допуская к рассмотрению дифференцируемость вдоль меньшего под-
подпространства, вполне естественно было бы и условие Липшица накла-
накладывать лишь вдоль этого подпространства. Это приводит к следую-
следующему естественному вопросу. Пусть F — отображение из локально
выпуклого пространства X в банахово пространство Y со свойством
Радона-Никодима, измеримое относительно невырожденной гауссов-
ской меры ц на X и такое, что для д-почти всех х справедлива оценка
+ h)-F(x)\\Y<C\h\E, У/г€£,
где Е — некоторое нормированное пространство, непрерывно вложен-
вложенное в X. Дифференцируемо ли F вдоль Е /i-п.в.? Далее будет показа-
показано, что ответ на этот вопрос положителен для дифференцируемости
по Гато и отрицателен для дифференцируемости по Фреше.
5.8.7. Теорема. Пусть (J, — радоновская гауссовская мера на ло-
локально выпуклом пространстве X, Н = #(/i), Y — банахово про-
пространство со свойством Радона-Никодима uF: X -+Y — измеримое
отображение, причем ц,-п.в.
+ h)-F{x)\\<C\h\H, Vh€H. E.8.29)
5.8. Дополнения и задачи 223
Тогда: 1) существует модификация F, удовлетворяющая E.8.29) для
всех х; 2) /л-п.в. существует производная Гато DHF.
Доказательство. Поскольку множество тех х, для которых выпол-
выполнено E.8.29), имеет полную меру и инвариантно относительно сдвигов
из Я, то вне этого множества можно переопределить F нулем. Пусть
{е,г} — ортонормированный базис в Я и Нп — линейная оболочка его
первых п элементов. Пусть Хп — замкнутое подпространство в X, ал-
алгебраически дополняющее Я„. На конечномерных подпространствах
у + Нп, у € Хп, существуют условные гауссовские меры, абсолютно не-
непрерывные относительно естественных лебеговских мер на этих под-
подпространствах. Поэтому, в силу конечномерной теоремы Радемахера
(которая применима ввиду свойства Радона-Никодима у F), /i-п.в. су-
существуют производные Гато Dh,,,F. Пусть М — множество всех точек
х, в которых существуют все производные Гато DnnF(x). Покажем,
что F дифференцируемо по Гато вдоль Я в любой точке а £ М. За-
Заметим, что на линейной оболочке L всех Я„ определено линейное ото-
отображение G: h н+ d/lF(a), которое непрерывно ввиду E.8.29) и потому
однозначно продолжается до оператора G E C(H,Y). Пусть h E Я.
Выберем последовательность {hn} С L с \hn — h\H -> 0. Из оценки
thn)-F{a) F(a + th)-F{a) . ,
<C|/i-/in|tf
t t
F(a + thn) - F{a)
вытекает, что при n -> oo векторы —* —*- — dhnF(a) равно-
F(a + th)-F(a) „n. n
мерно по t стремятся к пределу -^ -^- — G(/z). Следователь-
.. F(a + th)-F(a) _.,.
но, Inn — — = G(h), что означает дифференцируемость по
Гато. Отметим, что задача 5.8.31 дает обратное утверждение. □
Из доказательства полученной теоремы ясно, что она остается в
силе, если вместо Н взять произвольное нормированное подпростран-
подпространство Е, линейно вложенное в X так, что в Е имеется счетное всюду
плотное множество элементов Н.
5.8.8. Следствие. В условиях теоремы 5.8.7 для любого нормиро-
нормированного пространства В, компактно вложенного в Н, производная
Фрёше DBF существует /л-п.в.
Последнее следствие не справедливо, вообще говоря, для самого
пространства Н.
оо
5.8.9. Пример. Пусть X = Н°°, /л = 0 fin> г^е (J-n — стандарт-
п=1
ные гауссовские меры на прямой, Н = Г2, F: X —>■ I2, F(x) = (fn(xn)),
а /п — 2х~п-периодические функции на прямой, причем fn(t) = t, если
t £ [0,2-n], fn(t) = 21-'1 - t, если t е [2~п, 21"п]. Тогда Н = Н(ц) и F
— липшицево вдоль Н, но ни в одной точке не дифференцируемо по
Фреше вдоль Н.
224 Глава 5. Соболевские классы
Этот пример легко модифицировать так, чтобы сделать F всюду
дифференцируемым по Гато вдоль Н. Конечно, можно было бы взять
какое-нибудь гильбертово пространство X вместо Ш°°. В [201] приве-
приведен пример вероятностной меры /л на Ж°°, квазиинвариантной вдоль
Н = I2 и такой, что функция f(x) = sup^a;,^ /л-п.в. конечна и лип-
шицева вдоль Н, но />п.в. не является дифференцируемой по Фреше
вдоль Н. В работе [271] было высказано предположение, что похожий
пример существует и для гауссовской меры. Хотя это предположение
кажется весьма правдоподобным, такие примеры неизвестны.
5.8.10. Замечание. Если условие E.8.29) выполнено для каждого
h £ Н п.в. на множестве, зависящем от h, то F имеет модификацию,
для которой E.8.29) выполнено п.в. сразу для всех /г. Действительно, в
этом случае, как мы знаем, ||.F|| £ L2{fj). Отображения TtF, как легко
видеть, удовлетворяют E.8.29) с тем же С, что и F. При этом TtF -> F
по мере. Выберем последовательность tn -> 0 так, что TtnF -> F п.в.
Тогда lim Ttn F дает нужную модификацию.
п—>оо
Обсудим теперь, следуя [76], интересную разновидность класси-
классической задачи продолжения липшицева отображения /, заданного на
подмножестве А нормированного (или даже метрического) простран-
пространства X и принимающего значения в нормированном пространстве Y.
Один из первых результатов в этом направлении получен Макшей-
ном в [409], где доказано, что всякая числовая липшицева функция /
на произвольном подмножестве метрического пространства X продол-
продолжается с сохранением константы Липшица на все пространство (соот-
(соответствующее продолжение задается простой явной формулой). Для
многомерных отображений положение более сложное. Например, воз-
возможны ситуации (см. [58]), когда X и Y — банаховы пространства,
но некоторое отображение /: А -> Y вообще не имеет липшицевых
продолжений (даже и без ограничений на константу Липшица). Один
из наиболее известных положительных результатов — теорема Вален-
тайна (см. [58]), согласно которой всякое липшицево отображение /,
заданное на подмножестве гильбертова пространства X и принимаю-
принимающее значения также в гильбертовом пространстве У, имеет липшицево
с той же константой продолжение на все X.
5.8.11. Теорема. Пусть X — суслинское топологическое вектор-
векторное пространство (например, сепарабельное пространство Фреше),
Е С X — линейное подпространство, наделенное такой нормой || • ||б,
что шар UE — {h £ Е: ||/г||в < 1} — суслинское множество в X,
А С X — некоторое суслинское множество, а /: А .->■ М1 — функ-
функция, которая обладает следующими свойствами: а) множества {х £
A: f(x) > с} — суслинские, б) для всех таких h £ Е и х £ А, что
х + h € А, справедливо неравенство
\f{x + h)-f{x)\<\\\h\\E. E.8.30)
Тогда функцию / можно продолжить до функции F: X —> IR , обла-
обладающей свойством а) (о частности, универсально измеримой) и удо-
удовлетворяющей неравенству E.8.30) для всех х £ X, h £ Е.
5.8. Дополнения и задачи 225
Доказательство. Положим Ах = (х+Е)Г\А. Очевидно, что функция,
задаваемая формулой F(x) = 8иру6дт \f{y) — Х\\х — у\\е , если Ах непу-
непусто, и F(x) = 0, если Ах пусто, обладает свойством E.8.30) и при х £ А
совпадает с f(x) (ибо f(x) > f(y) - Х\\х-у\\Ё при х, у £ А). Необходи-
Необходимо доказать только, что множества {х: F(x) > с} — суслинские (отку-
(откуда вытекает, что функция F универсально измерима). Отметим, что
приведенная формула является непосредственным обобщением форму-
формулы Макшейна [409]. Ясно, что в определении F при взятии sup можно
заменить Ах на Л. Таким образом, F(x) = 0, если х не входит в
множество Хо = А + Е, являющееся суслинским как образ суслинского
множества Ах Е в X х X при непрерывном отображении (а;,у) н-> х + у
(отметим, что из того, что единичный шар Е — суслинское множество
в X, вытекает, что таковы же и все шары Е, а также и само Е). Про-
Продолжим || • \\е на X, положив \\x\\e = +оо при х $. Е. Для всякого
числа г множество {х £ X: \\x\\e < г} — суслинское, поскольку оно
совпадает с шаром радиуса г в Е. В силу непрерывности отображения
X х X -» X, (х,у) н-» х — у, множество {(х,у) £ X xY: \\х — у\\е < г) —
суслинское для всякого числа г. Значит, для всех с £ И1 суслинским
является и множество {{х,у) £ Хо х A: f(y) - Х\\х - у\\в > с}, пред-
представляющее собой объединение по всем рациональным г суслинских
множеств
{(х,у) £ Хо х А: /(у) >г}р||(ж,у) еХ0 х А: г > с + Х\\х - у||в}.
Положим G(x, у) = f(y) - Х\\х - у\\Е, х £ Хо, у £ А. Очевидно, что
[х £ Хо: F(x) > с}=р({(х,у) £ Хо х A: G(x,y) > с}\
где р: X х X —> X — естественная проекция на первый сомножитель.
Таким образом, множество {х £ Хо: F(x) > с} — суслинское. □
В [519] получено близкое (но более слабое утверждение): если / —
функция, измеримая относительно гауссовской меры /л на сепарабель-
сепарабельном банаховом пространстве X, заданная на ц-измеримом множестве
А и удовлетворяющая на нем условию Липшица вдоль пространства
Камерона-Мартина Н, то существует /л-измеримая функция на всем
X, удовлетворяющая тому же условию и совпадающая с / /i-п.в.. Это
утверждение вытекает из доказанной выше теоремы, поскольку / име-
имеет борелевскую модификацию, удовлетворяющую тому же условию на
некотором борелевском множестве В С А с ц{В) — ц(А).
Упомянем здесь несколько открытых проблем, связанных с изло-
изложенными выше результатами, (i) Существует ли липшицева функция
/ на сепарабельном гильбертовом пространстве Н, у которой множе-
множество точек дифференцируемости по Фреше пренебрежимо относитель-
относительно всех невырожденных гауссовских мер? (ii) Пусть /i — центрирован-
центрированная гауссовская мера на сепарабельном гильбертовом пространстве X
и / •-- числовая борелевская функция на X, которая липшицева вдоль
8 В.И. Богачев
226 Глава 5. Соболевские классы
Н = Н{)л). Может ли случиться, что множество точек дифференци-
дифференцируемости / по Фреше вдоль Н является /л-нулевым? (ш) Пусть В —
борелевское множество в локально выпуклом (скажем, в сепарабель-
ном гильбертовом) пространстве X, наделенном гауссовской мерой 7
с ЯG) = Я. Что можно сказать о точках дифференцируемости функ-
функции dg, определенной в примере 5.2.9, по Фреше вдоль HI
Компактность в классах Соболева
Теоремы вложения для классов Соболева играют важную роль в
классическом анализе. Типичным примером теорем вложения является
тот факт, что естественное вложение пространства Соболева W1<2(D)
над ограниченной областью D С Нп в пространство L2(D) компакт-
компактно. В случае D = Жп то же самое верно для весовых классов Со-
Соболева. Другой характерный результат утверждает, что любой эле-
элемент в И/ОО(ЖП) обладает бесконечно дифференцируемой модифика-
модификацией. Оба этих утверждения перестают быть справедливыми в бес-
бесконечномерном случае. Например, если мера -у на X — Ш°° являет-
является счетным произведением стандартных гауссовских мер на IR1, то
для любой ненулевой гладкой функции ip с ограниченным носителем
на прямой последовательность функций fn(x) = <p(xn) ограничена в
W2fl(j), но не предкомпактна в L2(j), поскольку расстояния между
fn равны. Измеримый линейный функционал, не имеющий непрерыв-
непрерывной модификации, дает пример функции из W°°(y) без непрерывной
модификации. Приведем два результата об условиях компактности в
Соболевских классах; более подробные доказательства можно найти в
[250], [251].
5.8.12. Теорема. Пусть 7 — центрированная гауссовскал радонов-
скал мера на локально выпуклом пространстве X, Н = Н^), а К —
компактный линейный оператор в Н. Тогда для любого с > 0 мно-
множество Т таких / € W^2>1G)j 4<mo DHf& K(H) *у-п.в. и ||/||l2G) +
WK*1 DH/\\ь2(ущ < с, относительно компактно в L2(-y).
Доказательство. Пусть {еп} — ортонормированный базис в Н, со-
состоящий из собственных векторов К, отвечающих собственным чи-
числам кп. Положим fn = еп. Обозначим через Д множество всех ко-
конечных последовательностей (</i, q2, ■.., qn, 0,0,...) с целыми неотрица-
оо
тельными qi. Как мы знаем, функции -Н^ = П ■^д,(&)> ? £ Л, где Hqi
— многочлены Эрмита, образуют ортонормированный базис в Ь2(-у).
Пусть F = J2 cqHq удовлетворяет условию
Поскольку
q€A
5,8. Дополнения и задачи . 227
то получаем равенство
Из оценки
</€Л
нетрудно усмотреть, что Т предкомпактно в-Ь2^) (напомним, что
подмножество А гильбертова пространства Е с ортонормированным
базисом {<Рк} вполне ограничено в точности тогда, когда оно ограни-
ограничено и ряд YlkiO'^kJ сходится равномерно поаб А). П
Из этой теоремы и задачи А.3.36 Дополнения нетрудно извлечь
следующие утверждения.
5.8.13. Теорема. Пусть у — центрированная гауссовскал радонов-
ская мера на локально выпуклом пространстве X, а соболевский класс
И/2'ООG) = Пп>1 W2'n{-y) наделен его естественной топологией про-
пространства Фреше с помощью полунорм \\ ■ \\2,п- Множество Т С
И/2'°°G) относительно компактно тогда и только тогда, когда оно
ограничено в Ь2(-у) и для каждого п > 1 существует такой самосо-
самосопряженный компактный оператор Кп в Ип, что
V/e^ DHnf&Kn{Un) 7-n.e. sup ||^-Ч>нп/||ь»G,ип) < оо.
Пусть класс W°°{^j) наделен топологией пространства Фреше с по-
помощью полунорм |] • ||Р)П. Множество Т С И/ооG) относительно ком-
компактно тогда и только тогда, когда выполняются следующие два
условия:
(i) sup Ц/llp.r. < оо, Vp>l,r>l;
(ii) для всякого п > 1 существует такой самосопряженный ком-
компактный оператор Кп в Нп, что
V/e^ DHnfeKn(Hn) 7-n.e. 5ир||/С1Д„п/||^G,н„)<оо-
п
Пренебре»:имые мно»:ества
Напомним некоторые концепции „нуль-множеств" в бесконечно-
бесконечномерном случае. Поскольку здесь нет разумного заменителя меры Ле-
Лебега (так же, как и предпочтения в выборе, скажем, какой-либо выде-
выделенной невырожденной гауссовской меры среди континуума взаимно-
сингулярных мер), то приходится вводить зту концепцию, не исполь-
используя никакой фиксированной меры. Одно из определений такого ро-
рода принадлежит И. Кристенсену [246], предложившему называть боре-
левское множество А в банаховом пространстве X универсально нуле-
нулевым, если для него найдется такая ненулевая борелевская мера ц, что
fj,(A + х) = 0 для всех х.
8*
228 Глава 5. Соболевские классы
Другое определение предложил Н. Ароншайн [176], который ввел
следующий класс Ав исключительных борелевских множеств. Для ка-
каждого вектора е в локально выпуклом пространстве X обозначим че-
через Ав класс всех таких борелевских множеств А, что mes(£: х + te £
А) = 0 для каждого lEl, где mes — мера Лебега. Для всякой .по-
.последовательности {еп} в X пусть Ав{е11} есть класс множеств вида
А = UnAn, где Ап £ Авп для всех п.
5.8.14. Определение. Множество А называется исключительным
(A £ Ав), если оно входит в класс Ав{еп} для каждой последователь-
последовательности {ап} с плотной линейной оболочкой в X.
Соответствующий класс меньше, чем класс И. Кристенсена, но оба
они совпадают с классом борелевских множеств лебеговской меры нуль
в конечномерных пространствах. Затем Р. Фелпс [436] ввел класс QB
гауссовских нуль-множеств.
5.8.15. Определение. Борелевское множество А называется гаус-
совским нуль-множеством, если оно нулевое для всякой невырожден-
невырожденной (т.е. имеющей полный носитель) гауссовской меры на X.
Согласно [436], Ав С QB, но остается открытым вопрос, является
ли это включение строгим. Наконец, в [11] было предложено следующее
определение.
5.8.16. Определение. Борелевское множество А называется пре-
небрежимым, если оно нулевое для всякой меры, которая дифференци-
дифференцируема по направлениям из плотного множества. Класс борелевских
пренебрежимых множеств обозначим через VB.
Введенные классы могут быть расширены так, чтобы охватить в
конечномерном случае все лебеговские множества меры нуль (не обя-
обязательно борелевские). Для этого обозначим через С класс всех мно-
множеств в X, измеримых относительно каждой меры на X, которая диф-
дифференцируема вдоль направлений из плотного подпространства. То-
Тогда определения 5.8.14 — 5.8.16 расширяются естественным образом
на С (в частности, в определениях Ае и *4{еп} теперь допустимы мно-
множества из С). Обозначим полученные таким образом классы через А,
G, V соответственно. Тогда имеют место следующие соотношения (см.
[12], [13], [14]).
5.8.17. Теорема. Ав С бв = VB и А = Q = V.
Заметим, в частности, что QB С А, однако неизвестно, можно ли
множества Ап в соответствующем разложении выбрать в В(Х) (а не
только в С). Похожие классы Аа и Qa получатся, если рассмотреть
вместо С класс Ср всех множеств, измеримых относительно всех невы-
невырожденных гауссовских мер на X. Тогда, в силу тех же рассуждений,
что и в [13], [14], AG = QG. Мы не располагаем примерами, различаю-
различающими классы С ж Са (или классы QG и V).
5.8. Дополнения и задачи 229
Введенные выше классы множеств инвариантны относительно аф-
аффинных изоморфизмов X и обладают многими полезными свойствами
конечномерных лебеговских множеств меры нуль (см. теорему 5.8.6).
Однако они не устойчивы относительно нелинейных диффеоморфиз-
диффеоморфизмов (см. главу 6). Открыт вопрос (поставленный в [535]), является
ли Липшицев образ борелевского пренебрежимого множества множе-
множеством, нулевым по Кристенсену.
В заключение этой главы сделаем еще ряд замечаний. Отметим,
что операторы 2~i и L представляют собой примеры операторов вида
(")'»(/)■ E.8.31)
71 = 0
Доказательство следующей теоремы о мультипликаторах можно
найти в [423, теорема 1.4.2], [512, гл. 4]. /'
оо
5.8.18. Теорема. Пусть числаа^. таковы, что J2 \cik\N~k < оо для
fc=0
оо
некоторого N £ IN. Предположим, что <р@) — 0 и <р{п) = ^ a-kn~k
к=0
при п > N. Тогда оператор Ф^,, заданный равенством E.8.31), огра-
ограничен в ЬрG) пРи всех р > 1.
Кроме полугруппы Орнштейна-Уленбека в приложениях часто ис-
используется и полугруппа (Pt)t>o, определенная на банаховом простран-
пространстве Си(Х) равномерно непрерывных ограниченных функций на X
формулой
Ptf(x)= J
Полугрупповое свойство вытекает из предложения 2.1.14 и равенства
а2 + р2 = 1, где а = tll2{t + s)/2, Ц = sll2{t + s)-1/2. Легко
проверить, что (Pt)t>o — сильно непрерывная полугруппа на Си(Х).
На гладких цилиндрических функциях генератор Q этой полугруп-
полугруппы задается равенством Qf = ^AHf, где Дн := traceHDH2f. Вы-
оо
брав в Н ортонормированный базис {е„}, получаем Ан/ = J2 ®\nf ■
Лапласиан Дн, в отличие от оператора Орнштейна-Уленбека, неза-
незамкнут в L2(-y), что заметно усложняет его изучение. Изложенные вы-
выше результаты показывают, что если борелевская функция / тако-
такова, что /|/(.т + \Ду)\рy(dy) < оо для некоторого р > 1, то функция
/г н-> f f(x + h + \Ду) y(dy) бесконечно дифференцируема по Фреше,
причем ее производная порядка п является n-линейным отображением
Гильберта-Шмидта. В работе [388] найдены точные оценки гильберт-
шмидтовских норм этих производных.
230 Глава 5. Соболевские классы
Задачи
5.8.19. Пусть F — липшицево отображение шара в нормированном про-
пространстве X в нормированное пространство Y. Если F дифференцируемо в
точке х по Гато, то F дифференцируемо в этой точке и по Адамару.
5.8.20. Доказать, что отображения E.1.1) и E,1.2) всюду дифференци-
дифференцируемы по Адамару, но нигде не дифференцируемы по Фреше.
5.8.21. Построить пример отображения F £ G2,i(y,H), не принадлежа-
принадлежащего классу Ил2'1G, Н).
5.8.22. Показать, что для непрерывной функции F на банаховом про-
пространстве X следующие условия равносильны: (i) F — многочлен; (ii) для
всяких фиксированных a, b £ X функция t н+ F(a + tb) — многочлен. Ука-
Указание: применить теорему Бэра к множествам Мп тех пар (х, у) S X х X,
для которых степень многочлена t н+ F(x + ty) не больше п; см. [194].
5.8.23. Пусть 7 — центрированная радоновская гауссовская мера на ло-
локально выпуклом пространстве X и / — измеримый многочлен степени d.
Доказать, что функция g(h) = I f(x + h)y(dx) есть непрерывный много-
многочлен на Н(у) (с нормой | ■ |н(т)) степени d.
5.8.24. Пусть Н в предыдущей задаче бесконечномерно. Показать, что /
можно представить в виде / = fd + fd-i, где fd есть предел сходящейся по
мере 7 последовательности непрерывных однородных многочленов степени
d, a fd-i есть предел сходящейся по мере у последовательности непрерывных
однородных многочленов степени d — 1. Указание: воспользоваться тем, что
1 есть предел по мере последовательности квадратичных форм п~х J^n=1 l],
где {lj} С X* — ортоиормированный базис в Х^.
5.8.25. Пусть 7 — центрированная гауссовская мера на гильбертовом
пространстве X и Q(x) = V(x,...,x), где V — непрерывная fc-линейная
функция на X. Доказать, что преобразование Фурье меры v — Q ■ -у имеет
вид L(~y), где L — дифференциальный оператор порядка к. Найти явное
выражение L через V.
1 / ч
5.8.26. Пусть / G L^IR1) и F(x,u>) = / fix + wt(w)l dt, где wt — ви-
o ^ '
перовский процесс. Доказать, что для п.в. ш функция F(- ,и>) — элемент
Соболевского класса И^'^Ю,1) (в частности, локально абсолютно непрерыв-
непрерывна). Получить многомерный аналог. Указание: рассмотреть сначала случай
/ G СПК1) и оценить Е / y2\F(y,u)\2 dy.
-~ оо
5.8.27. Окончить доказательство следствия 5.3.5. Указание: см. [491].
5.8.28. Привести пример емкости на прямой, которая не плотна.
5.8.29. Доказать, что гауссовская Сгд-емкость точки в Ю,1 положитель-
положительна, а в Ю,3 равна нулю (при этом С*2,2-емкость точки положительна и в Ю,3).
5.8.30. Доказать, что гауссовские емкости пространства Камерона-Мар-
Камерона-Мартина Н равны нулю, если dim H = оо.
5.8.31. Пусть мера 7 — та же, что в задаче 5.8.23, / € W2'1^), причем
\DHf\H < С п.в. Доказать, что / имеет модификацию/о с |/о(ж + Л) — /о(ж)| <
С|/г|н для всех х £ X ш h £ Н(у). Указание: рассмотреть /„ = Xi/n/.
Глава 6
Нелинейные преобразования
гауссовских мер
И то, что претерпевает изменение, изменяется или
из одного субстрата в другой субстрат, или из того,
что не есть субстрат, в то, что не есть субстрат, или
из субстрата в то, что не есть субстрат, или из того,
что не есть субстрат, в субстрат...
Аристотель. Метафизика
6.1. Вспомогательные результаты
В этом параграфе собраны некоторые известные факты те-
теории меры на суслинских пространствах. Хотя эти факты ис-
используются ниже лишь для пространств, представляющих собой
счетные объединения метризуемых компактов, доказательства
приведены для общего случая, поскольку это не отражается на
соответствующих рассуждениях. Для упрощения обозначений
ниже речь идет о неотрицательных мерах, но ввиду существо-
существования разложения Хана-Жордана то же самое верно и для зна-
знакопеременных мер.
6Д.1. Лемма. Пусть (М,М,/л) — измеримое пространство
и Т: М —> М — такое ц-измеримое отображение, что множе-
множества T(N) и T~1(N) имеют меру нуль для всякого множества
N меры нуль. Предположим еще, что существует такое ц-
измеримое отображение S, что T{S{x)) — S(T(x)) = х для ц-
п.в. х. Тогда найдется такое множество Mq полной ц-меры,
что Т взаимно-однозначно отображает Mq на себя (причем S
служит обратным) и T(M\Mq) С M\Mq.
Доказательство. Из условия вытекает, что /л о T~l ~ ц. Обо-
Обозначим через По множество точек х, для которых T(S(x)) —
S(T(x)) = х. На по отображения Т и 5 очевидным образом инъ-
ективны. Пусть Д = М\Оо- По условию Т(Д) имеет меру нуль.
Поскольку fi ~ /лоТ, то и T~l (T(A)J имеет меру нуль. Поэто-
232 Глава 6. Нелинейные преобразования
му Т осуществляет взаимно-однозначное отображение множе-
множества полной меры fii = Оо\Т~1 (Т(Д) j и множества Т(О[). При
этом дополнение к fii отображается в дополнение к множеству
Т(пх). Поскольку ц ~ цоТ'1 и 1л(т~х{п\)) = ^оТ^), то мно-
множество T~!(Oi) имеет полную меру. Положим Zq = £1\С\Т~1{£1Х).
На множестве Zq полной меры Т инъективно, S(T(Zq)J С £1\
и 5(Т(ж)) = ж. Поэтому для всякого В С ZQ с В £ М име-
имеем Т{В) = S~~l{B) G Л^. Поскольку Т переводит множества
меры нуль в множества меры нуль, то из этого следует, что
Т переводит /i-измеримые множества в /^-измеримые. Ввиду
эквивалентности мер ц и ц о Т-1, можно заключить, что мно-
множества полной меры переходят в множества полной меры. Для
всех целых к определим индуктивно множества Z^ равенствами
Zk+l = Zo П T(Zfe), если к > 0, Zfc_! = Zo П T~l{Zk), если к < 0.
Из сказанного выше вытекает, что множества Z& имеют полную
меру. Теперь положим О = П Zk- Построенное множество имеет
к
полную меру и непосредственно проверяется, что Т отображает
его взаимно-однозначно на себя, в то время как Т(М\!Г2) С М\О.
□
В процессе доказательства было получено также следующее
утверждение.
6.1.2. Следствие. Отображение Т из леммы 6.1.1 переводит
/л-измеримые множества в ^-измеримые.
6.1.3. Лемма. Пусть Т — взаимно-однозначное отображе-
отображение пространства с мерой ц, причем отображения Т и S = Т"
измеримы и ц о T~l ~ ц. Тогда d{n о S~l)/djjL = 1/g о Т, где
1
Доказательство. Поскольку Г = S'1, то/j,°S~1(B) = ц(Т(В)),
что совпадает с
Т(В) X
откуда вытекает доказываемое, ибо Itib) °Т = Ib- П
6.1.4. Лемма. Пусть X и Y — суслинские пространства, \л
— борелевская мера на X и F: X —ъ- Y — /л-измеримое отобра-
отображение (т.е. F~l{B{Y)) С В{Х)ц). Тогда существует борелев-
ское отображение Fq: X —>• Y, совпадающее с F ц-п.в.
6.1. Вспомогательные результаты 233
Доказательство. Поскольку пространства X и Y — суслин-
ские, то меры /л и ^s>F~l сосредоточены на счетных объединениях
метризуемых компактов (см. Дополнение). Поэтому утвержде-
утверждение сводится к случаю, когда X и Y — метрические компакты.
В этом случае F равномерно приближается /i-измеримыми ото-
отображениями с конечными множествами значений, а для таких
отображений утверждение очевидно. Это дает последователь-
последовательность борелевских отображений, сходящихся к F равномерно на
борелевском множестве полной меры, откуда вытекает доказы-
доказываемое. П
6.1.5. Лемма. Пусть ц — борелевская мера на суслинском
пространстве X и F: X —¥ X — такое борелевское отобра-
отображение, что '
()() (e.i.i)
Тогда существует суслинское множество Х$ С X полной ц-
меры, которое F взаимно-однозначно отображает на себя.
Доказательство. Как и в предыдущей лемме, мера ц сосредо-
сосредоточена на счетном объединении метризуемых компактов. По-
Поэтому далее можно считать, что X и есть такое объединение
(тем самым все сводится к случаю, когда X — суслинское под-
подмножество отрезка). Известная теорема Лузина утверждает,
что множество N — {у G X: card F~l(у) > 1} — суслинское в
X (см. [87, с. 236, гл. 4] или [80, с. 504, гл. 3, §39, VII, теорема 1].
Другой классический результат Лузина дает борелевское ото-
отображение Ф: N -» F~1(N), для которого F(<3?(y)) = у, Vy G N
(см. [87, с. 227, гл. 4]). Удалив из F~1(N) множество Ф(ЛГ), по-
получим измеримое множество А, для которого F(A) = N в силу
выбора N. По условию, множества А и Ф^) имеют одинаковую
меру /i(N), ибо оба переходят в N при отображении F. Посколь-
Поскольку образ их объединения — также N, то и его мера равна fj,(N),
откуда n(N) = 0. Множество Y = X\F~l(N) имеет полную ме-
меру, и на нем отображение F инъективно. Выберем борелевское
множество Z С Y полной меры. Как и в лемме 6.1.1, положим
Zq — Z П F~1(Z) и для всякого целого к индуктивно опреде-
определим множества Z]. полной меры посредством .Zfc+i = ZqD F(Zk),
к>0, Zk_1 = Zq П F~1(Zk), k<0. Тогда пересечение Хо = f] Zk
к
— суслинское множество полной меры, F инъективно на Хо и
F(Xq) = Хо, что проверяется непосредственно. D
234 Глава 6. Нелинейные преобразования
6.1.6. Следствие. Заключение леммы 6.1.5 остается в силе
и для ц-измеримых отображений F, которые удовлетворяют
условию F.1.1), если F{B) ц-измеримо для всех В G В(Х).
Доказательство. По лемме 6.1.4 существуют борелевское мно-
множество No /л-меры нуль и борелевское отображение Fo, совпа-
совпадающее с F вне Nq. Переопределим Fo на No, положив Fo|;vo =
а, где а — произвольная точка из TVo- Поскольку по условию
/i(F(Nq)) = О, то Fo удовлетворяет условию леммы 6.1.5 и суще-
существует суслинское множество Xq С X\No полной меры, которое
Fq (а значит, и F) отображает взаимно-однозначно на себя. П
6.1.7. Замечание. Пусть (М,Л4,/л) — измеримое простран-
пространство. Говорят, что отображение F: М -¥ М удовлетворяет усло-
условию Лузина (N), если F переводит множества /л-меры нуль в
множества //-меры нуль. Из стандартного курса теории функ-
функций известно, что даже гомеоморфизм отрезка может не обла-
обладать свойством Лузина (N). С другой стороны, читатель мо-
может проверить, что всюду дифференцируемые функции на пря-
прямой обладают свойством Лузина (N). Свойством (N) обладают
также такие инъективные /i-измеримые отображения F суслин-
ских пространств, что /ioF~1 ~ ц. Это очевидно из равен-
равенства ц(В) = /UoF [F(B)j. Поясним, что если F — борелев-
борелевское, то F{B) измеримо для В G В(Х), ибо X — суслинское, а
для измеримого F то же самое верно, поскольку есть борелев-
борелевское отображение Fo, совпадающее с F вне борелевского мно-
множества С меры нуль (при этом F(C) имеет меру нуль, так как
F(C) С X\F(X\C), где F(X\C) = FQ(X\C) имеет полную меру
относительно /ioF~l, а потому и относительно ц).
Пусть \i — борелевская мера на суслинском пространстве, не
имеющая точек положительной меры. В задаче 6.8.7 предлагает-
предлагается доказать, что борелевское отображение F: X —> X обладает
свойством Лузина (N) тогда и только тогда, когда оно переводит
каждое /i-измеримое множество в /л-измеримое множество.
Свойство Лузина (N), разумеется, не обязано сохраняться
при замене отображения на эквивалентное.
6.1.8. Лемма. Пусть X — вполне регулярное топологическое
пространство, /л — вероятностная мера Радона на X, Т: X —>
X — такое измеримое отображение, что мера /лоТ радонова,
а Тп: X —> X — последовательность ц-измеримых отображе-
отображений, сходящаяся /л-п.в. к Т. Предположим, что меры ц о Т~г
абсолютно непрерывны относительно ц, причем их плотности
6.1. Вспомогательные результаты 235
Радона-Никодима дп образуют равномерно интегрируемую по-
последовательность. Тогда мера ц о Т~1 также абсолютно не-
непрерывна относительно ц. При этом ее плотность Радона-
Никодима g является пределом последовательности {дп} в сла-
слабой топологии пространства
Доказательство. Пусть К — компакт //-меры нуль и е > 0.
Равномерная интегрируемость обеспечивает существование та-
такого 8 > 0, что
i
дп(х)/j,(dx) < e, VnGlN,
А
для всякого измеримого множества А меры не более 6. Найдем
открытое множество U D К, для которого /*([/) < 6. По лемме
А-1-2 найдется непрерывная функция /: X —)■ [0,1], равная 1 на
К и 0 вне U. Тогда имеем
J f(x)fi oT~\dx) = J f{T{x)) fi(dx) =
X X
= lim [f(Tn(x))n(dx)= lim [ f{x) gn{x) ^(dx) <
п-юо J \ J n-4-oo J
X X
<sup / gn{x)ii{dx) <e,
и
откуда ^oT~l(K) < e. Следовательно, цоТ~1(К) = 0, что в силу
радоновости мер влечет цоТ <§С \х. Положив д := d([ioT~1)/dfj/,
имеем для всякой ограниченной непрерывной функции /:
[fQdn= [foTdfi= lim [fendp. F.1.2)
J J n-юо J
Согласно известному результату из функционального анализа
(см. [91, с. 31, гл. II, §2, теорема 23]), последовательность {дп}
относительно слабо секвенциально компактно в Ll(/i), т.е. вся-
всякая ее подпоследовательность содержит слабо сходящуюся под-
подпоследовательность. Однако F.1.2) показывает, что у всех та-
таких слабо сходящихся последовательностей может быть лишь
один предел д, откуда и вытекает слабая сходимость {дп} к д.
□
236 Глава 6. Нелинейные преобразования
6.2. Линейные преобразования
В конечномерном случае обратимые линейные преобразова-
преобразования переводят невырожденные гауссовские меры в невырожден-
невырожденные (и потому эквивалентные). Как уже отмечалось выше (см.
пример 2.3.9), даже простейшие линейные отображения, такие,
как х i-> 2ж, преобразуют всякую гауссовскую меру с бесконеч-
бесконечномерным носителем в неэквивалентную. В этом параграфе дан-
данный вопрос обсуждается более подробно.
До конца этого параграфа предполагается, что 7 — центри-
центрированная радоновская гауссовская мера на локальцо выпуклом
пространстве X и Н = H(j) — ее пространство Камерона-
Мартина с гильбертовой нормой | • |#. Для оператора A G
С(Н) через А будем обозначать (£>(Х),£>(ХO)-измеримое линей-
линейное продолжение А, построенное в главе 3.
6.2.1. Лемма. Пусть А, В G С(Н). Предположим, что В
преобразует меру j в эквивалентную. Тогда АВ = АВ j-n.e.
Доказательство. Прежде всего отметим, что отображение АВ
7-измеримо и с точностью до множества меры нуль не зависит
от выбора модификаций сомножителей, поскольку А измеримо
и В~1(Е) имеет меру нуль для всякого множества Е с 'у(Е) = 0.
Действительно, достаточно проверить это для борелевских мно-
множеств Е, но тогда согласно условию имеем
7
Таким образом, далее можно иметь дело с собственно линейными
версиями А ш В. Это сводит доказательство к проверке совпа-
совпадения АВ и АВ на Н. Первый из этих операторов на Н равен
АВ. Пусть {еп} — ортонормированный базис в Н. Тогда
оо
A{Bh) = A(Bh) = 53 en{Bh)Aen =
n=l
оо
J2{en,Bh)Aen = ABh, V/i e H.
n=l
Лемма доказана.
□
6.2.2. Теорема. (i) Предположим, что Т: X i-> X — та-
такое ^-измеримое линейное отображение, что -foT~l = 7-
6.2. Линейные преобразования 237
Обозначим через Tq собственно линейную модификацию Т,
а через U — сужение Tq на Н. Тогда U G С(Н) и U* —
изометрия (т.е. U* сохраняет расстояние). В частно-
частности, если отображение Tq инъективно на Н, то U —
ортогональный оператор.
(И) Обратно, для всякого оператора U: Н —> Н такого, что
U* — изометрия, существует -^-измеримое собственно
линейное отображение Т, сохраняющее меру 7 и совпада-
совпадающее с U на Н.
Доказательство, (i) Можно считать, что Г = Го. Согласно
теореме 3.9.1, Т(Н) = Н. При этом U := Т\н G £(#). По-
Поскольку Т сохраняет меру j, то для всякого / е X* справедливо
равенство a(fJ = a(foTJ, которое можно записать в виде
\Ryf\H = \Ry(foT)\H.
Заметим, что Rj(foT) = t/*i?7/, где {7* — сопряженный к U на
Н. Действительно, скалярное произведение с вектором v G Н
для обеих частей этого равенства дает (f,Tv). Итак, \U*h\n =
\h\fj для всех h G Щ(Х), что ввиду плотности X* в X* означает
изометричность U.
(ii) Обратно, оператор U G С(Н), для которого U* — изо-
изометрия, может быть продолжен до 7~измеРимого отображения
Т (см. теорему 3.4.5). Изометричность U означает, что инду-
индуцированная мера joT~l имеет ту же ковариацию, что и 7 (это
явствует из рассуждений (i)). Поэтому /уоТ~^ = j. , LJ
Отметим, что в бесконечномерных пространствах оператор
Т может сохранять меру 7, но не быть инъективным на H(-f).
Например, возьмем счетное произведение 7 стандартных гаус-
совских мер на прямой. Тогда отображение Т: Ш°° —>■ IR°°,
(Тх)п = (х2, ■ • •, хп,...), переводит 7 B 7> хотя и не инъективно
на I2. Однако, как показывает теорема 3.6.3, заданное отобра-
отображение Т всегда можно заменить отображением F, инъективным
на H{pf) и удовлетворяющим условию /yoF~^ — 1
6.2.3. Определение. Измеримым линейным автоморфизмом
называется такое ^/-измеримое линейное отображение Т, что
Т взаимно-однозначно отображает некоторое множество пол-
полной меры в себя и j о T~l = j.
6.2.4. Предложение. Пусть Т: X —ь X — -^-измеримое ли-
линейное отображение. Следующие условия равносильны:
238 Глава 6. Нелинейные преобразования
(i) отображение Т — измеримый линейный автоморфизм;
(И) линейная версия Т — ортогональный оператор на
(ш) отображение Т переводит измеримые множества в изме-
измеримые и справедливо равенство
7E) = l{T-l{B)) = 7(Г(В)), V5 е В(Х). F.2.3)
Доказательство. Пусть выполнено (i). Обозначим через То
линейную версию Т и положим U = То\н- По предыдущей тео-
теореме оператор U* — изометрия. Поэтому для доказательства
ортогональности U достаточно установить инъективность U.
Возьмем множество Xq полной меры, которое Т отображает на
себя взаимно-однозначно. Пользуясь леммой 6.1.4 и тем, что ме-
мера 7 имеет суслинский носитель, выберем в Xq суслинское под-
подмножество У полной меры, на котором То совпадает с Т и явля-
является борелевским отображением. Тогда То взаимно-однозначно
отображает У на Tq(Y) = T(Y) С Xq. Поскольку То(У) изме-
измеримо, то 7(T(F)J = 7 °T~1(T(Y)j = 1. В силу взаимной одно-
однозначности Т на Хо имеем Т(Х\Х0) С Х\Х0 и потому T(X\Y) С
X\T(Y). Следовательно, ^\T(X\Y)) = 0. Таким образом, для
каждого 5 € В{Х) имеем
7
(Т{В)) = 7(Т(В n Y)) = 7(В П У) =
ибо BC\Y = T-lT(BDY), причем T(BnY) = T0(BnY) измеримо
в силу борелевости То, ибо ВпУ.6 B(Y).
Предположим, что найдется единичный вектор h € Н, для
которого То/г = 0. Положим В = {х € Y: /г(х) > 0}. Множества
В — nh возрастают, и их объединение покрывает Y. Значит,
объединение То E — nh) содержит То (У) и потому имеет полную
меру. Однако Т0(В - nh) = Т0(В) и 7(Т0(Б)) = 7E) = 1/2, что
ведет к противоречию. Итак, (i) —»■ (И).
Из (ii) по теореме 6.2.2 вытекает (ш). Если выполнено (ш),
то, в силу теоремы 6.2.2, сужение собственно линейной версии
автоморфизма Т на Н(у) — ортогональный оператор U. Обрат-
Обратный оператор V = U~l также ортогонален и потому его 7-
измеримое продолжение V также сохраняет меру 7- Посколь-
Поскольку VU = UV = /, то VT = TV = I п.в. согласно лемме 6.2.1.
По лемме 6.1.1 существует множество полной меры, которое Т
6.2. Линейные преобразования 239
взаимно-однозначно отображает в себя и имеет V в качестве
обратного. Поскольку V измеримо и сохраняет меру, то при-
приходим к соотношению F.2.3). Заметим, что при этом Г-образ
всякого измеримого (не обязательно борелевского) множества
оказывается измеримым, поскольку борелевские множества ме-
меры нуль переходят в множества меры нуль. □
6.2.5. Следствие. Предположим, что линейная версия Т инъ-
ективна на H(j) и ^уоТ~1 = 7. Тогда Т — измеримый линейный
автоморфизм.
Доказательство. Достаточно заметить, что инъективный опе-
оператор U на Н, для которого U* — изометрия, является ортого-
ортогональным. . П
6.2.6. Следствие. Обратное к измеримому линейному авто-
автоморфизму отображение — также измеримый линейный авто-
автоморфизм.
6.2.7. Замечание. Из вышеприведенного доказательства (i)
—> (ii)) видно, что в определении автоморфизма можно было бы
требовать наличия двух таких множеств Х\ и Х^ полной меры,
что Г: Х\ —> Хч взаимно-однозначно и Т{Х\Х{) С Х\Х2.
Однако не всякое сохраняющее меру преобразование перево-
переводит множества меры нуль в множества меры нуль. Например,
можно так „исправить" на континуальном множестве Е меры
нуль тождественное отображение прямой со стандартной гаус-
совской мерой, что оно будет отображать Е на всю прямую (при
этом отображение даже останется инъективным на множестве
полной меры). То же самое можно сделать и с линейным ото-
отображением бесконечномерного сепарабельного гильбертова про-
пространства X с гауссовской мерой. Действительно, возьмем ли-
линейное подпространство Xq полной меры, обладающее алгебраи-
алгебраическим дополнением L с континуальным базисом Гамеля. Тогда
можно найти линейное отображение Т с T(L) = X и продолжить
его на X, положив Тх = х на Xq.
Напомним, что символ Н, как и ранее, обозначает простран-
пространство операторов Гильберта-Шмидта на Н.
Будем говорить, что оператор А в гильбертовом простран-
пространстве Н имеет свойство (Е) (от слова „equivalence"), если:
(i) А обратим;
(ii) АА* — I — оператор Гильберта-Шмидта в Н.
240 Глава 6. Нелинейные преобразования
6.2.8. Лемма. (i) Оператор A G £(Н) имеет свойство (Е)
в точности тогда, когда А имеет вид А = U(I + К),
где U — ортогональный оператор, К — симметричный
оператор Гильберта-Шмидта и оператор I + K обратим.
(и) Если оператор А имеет свойство (Е), то таковы же и
операторы А* и А~1. Кроме того, композиция двух опе-
операторов со свойством (Е) также имеет, это свойство.
(Hi) Пусть A G С{Н), причем А(Н) = Н. Тогда АА*-1 — опе-
оператор Гильберта-Шмидта в точности тогда, когда А —
(I + S)W, где S — симметричный оператор Гильберта-
Шмидта, оператор I + S обратим, а оператор W* — изо-
изометрия. t
Доказательство. Сначала заметим, что если А(Н) = Н, то
симметричный оператор АА* имеет тривиальное ядро, ибо ра-
равенство AA*h = 0 влечет (A*h,A*h) = 0, откуда h = 0, ибо
в противном случае образ А меньше Н. Следовательно, образ
АА* плотен в Н и потому оператор V из полярного разложения
А* = V\ZAA* — изометрия (хотя ее образ может быть собствен-
собственным подпространством).
Если АА* -7бН, то, используя указанное полярное разло-
разложение А* = V\J А А*, получаем А* = V^/I + Q, где Q е Н —
симметричный оператор. При этом у/1 + Q — I G %, поскольку
в собственном базисе оператора Q с собственными числами qi
оператор S — \JI + Q — I имеет собственные числа у/1 + qi — 1.
Итак, А = (I + S)W, где W = V* имеет изометрический сопря-
сопряженный. Отметим, что оператор/ +5 обратим. Действительно,
ввиду теоремы Гильберта-Шмидта, достаточно убедиться, что
его ядро тривиально. Это ясно из равенства А* = W*(I + 5),
поскольку А* имеет тривиальное ядро.
Если А обратим, то V — ортогональный оператор и А* =
W~l{I + 5). Поэтому А*А - I £ И, что с помощью полярного
разложения дает нужное представление А — U(I + К). Обратно,
если А = и{1 + К), где U ортогонален и К G Н симметричен,
то А*А = A + КJ = 1 + 2К + К2, где 2К + К2 € U. При этом
А оказывается обратимым, если обратим оператор I + К.
Наконец, если А — (I + S)W, где S и W имеют указанные в
(ш) свойства, то А* = W*(I + S), откуда
АА* -/ = (/ + S)WW*{I + S)-I ={I + SJ -I = 2S + S2 eU.
Как и выше, из теоремы Гильберта-Шмидта следует, что образ
АА* совпадает с Н, откуда А(Н) = Н. П
6.2. Линейные преобразования 241
6.2.9. Теорема. (i) ПустъТ: X -> X -- такоет-измеримое
линейное отображение, что мера 7°Т~1 эквивалентна ме-
мере 7- Обозначим через То собственно линейную модифика-
модификацию Т. Тогда А := Тз|я отображает Н непрерывно на Н,
причем АА* — I e T-L.
(И) Обратно, для всякого оператора A G С(Н), удовлетворя-
удовлетворяющего условиям А(Н) = Н и АА* — I £ Ti, существует
такое "у-измеримое собственно линейное отображение Т,
что Т\ц = А и мера 7°Т~' эквивалентна 7.
Доказательство. Докажем сначала утверждение (ii). По лем-
лемме 6.2.8 можно записать А = (I + S)W, где S G У. — симме-
симметричный оператор, W* — изометрия и / Ч- S обратим. В силу
теоремы 6.2.2 оператор W сохраняет меру 7- Поэтому по лем-
лемме 6.2.1 получаем А = I + SW п.в. и достаточно рассмотреть
отдельно оператор I + S, что уже было сделано в примере 2.5.6.
Для доказательства (i) заметим, что, согласно теореме 3.6.3,
оператор То отображает // на пространство /fG°T~1), совпада-
совпадающее, с //G) = И-, ВВИДУ эквивалентности этих двух мер. Будем
далее считать, что Т = Tq. Запишем полярное разложение для
А* в виде А* = Vy/AA*, где V — изометрия на замыкании обра-
образа \/АА* и нуль на его ортогональном дополнении. В нашем
случае оказывается, что замыкание образа \/АА* совпадает с Н
(т.е. V — изометрия). Для этого достаточно проверить, что
образ АА* плотен. Действительно, иначе найдется ненулевой
вектор h J_ АА*(Н), откуда A*h = 0 и потому А(Н) A. h — про-
противоречие. Итак, А = CU, где С = \/А А*, U — V*. Поскольку
U* = V — изометрия, то по теореме 6.2.2 и лемме 6.2.1 получаем
То = CU п.в., где отображение U сохраняет меру 7- Тем самым,
7 ° C~ ~ 7-
Перейдем к рассмотрению симметричного оператора С. По-
Поскольку А(Н) = Н, то и С(Н) = Н, откуда КегС = 0. Значит,
С — обратим и по теореме Банаха ЦС!!/;^) = А < оо.
Пусть е = BА)-1. Пользуясь теоремой А.2.14, найдем та-
такие диагональный оператор D и оператор Гильберта-Шмидта G,
что С = D + G и ||G||£(//) < £. Заметим, что оператор D = С — G
обратим, ибо ||G||£(#) < ll^ И/уяг Поэтому можно записать
C = D{I + S), S = D~1G,
где S € T-L. По доказанному выше, 7-измеримое линейное рас-
расширение оператора Л = / + S преобразует 7 в эквивалентную
242 Глава 6, Нелинейные преобразования
меру. По лемме 6.2.1 имеем С — DA п.в, Полагая \х := 7 ° Л",
приходим к соотношению
7 ~ 7 ° С" = fi о D~l ~7° D .
Для диагональных операторов в примере 2.5.6 мы уже выяснили
условия эквивалентности. Из этого примера вытекает, что соб-
собственные числа dn оператора D имеют вид 1 + ап или — 1 + ап,
где ££Li ап < оо и dn ф 0. Поэтому D — Uq(I+R), где R — сим-
симметричный оператор Гильберта-Шмидта, Uq — симметричный
ортогональный оператор с собственными числами, по модулю
равными 1, причем I + R обратим.
Собирая всю полученную информацию, получаем
А = CU = D(I + S)U = U0(I + R)(I + S)U =
= U0(I + S + R + RS)U = U0{I + T)U,
где Т еП. Тогда
AA* - I = U0(I + T)UU*(I + Г*)Щ -1 = U0{T + Г* + TT*)U0 eH.
Теорема доказана. П
6.2.10. Следствие. Пусть Т — ^-измеримое линейное ото-
отображение. Следущие условия равносильны:
(i) линейная версия Т отображает Н в Н и обладает свой-
свойством (Б), а кроме того, Т обладает свойством Лузина
(N), т.е. j(T(N))= 0 для всякого множества N j-меры
нуль;
(ii) существует такое множество Q, полной j-меры, что Т
отображает £1 на себя взаимно-однозначно, Т(Х\С1) С
Х\П и 7°Т~Х ~7-
При этом существует ^-измеримое линейное отображение S,
обратное к Т, т.е. TS = ST = I п.в.
Доказательство. Если выполнено условие (i), то оператор, об-
обратный к сужению линейной версии Т на Н, имеет измеримое
линейное расширение S. При этом по доказанной теореме опе-
операторы Г и S преобразуют j в эквивалентные меры и потому,
ввиду леммы 6.2.1, имеем TS — ST = / п.в. По лемме 6.1.1
существует множество ft с нужными свойствами.
6.2. Линейные преобразования 243
Если выполнено условие (И) и То — собственно линейная вер-
версия Т, то по доказанной теореме оператор А = То|# отображает
Я на Я и А А* — I еН. Чтобы проверить свойство (Е), остается
доказать обратимость А. Как и в случае ортогональных опера-
операторов, находим суслинское подмножество У С £1 полной меры,
на котором Т = То — борелевское отображение. Предполагая,
что h 6 Н и Ah ф О, получаем возрастающую к У последователь-
последовательность измеримых множеств В — nh, где В = {х: h > 0}. Тогда
множества То (В) = Tq(B — nh) возрастают к множеству То (У).
Поскольку 7 ° Т~1{ТО{В)) = 7E) = 1/2 и 7 ° Т~1'(Го(У)) =
7(У) = 1 в силу взаимной однозначности То = Т на У, то, ввиду
эквивалентности мер, получаем 7к7о(.5н < 1 и 7ГТо(Ун = 1,
что приводит к противоречию. П
Как уже отмечалось, в (i) нельзя отказаться от свойства Лу-
Лузина (N). Однако если отказаться от этого свойства, то, как
видно из доказательства, можно утверждать, что Т имеет мо-
модификацию со свойством Лузина (N) (которая тем самым удо-
удовлетворяет всем условиям следствия 6.2.10).
Из способа доказательства можно извлечь явные формулы
для плотностей Радона-Никодима эквивалентных гауссовских
мер. Чтобы получить компактные представления этих плотно-
плотностей, нам понадобится понятие регуляризованного определите-
определителя Фредгольма-Карлемана для операторов вида / + К, К 6 И.
Более подробные сведения о регуляризованных определителях
можно найти в [47]. Основную идею легко увидеть в случае,
когда оператор К диагоналей и имеет собственные числа кг.
Тогда произведение det К := flfciU + h) может расходить-
расходиться, если К не имеет следа. Однако произведение det 2 К :=
fli^i(l + ki)e~ki, как можно проверить, сходится. При этом
det 2 К = det К ехр(—trace К), если К — ядерный оператор.
6.2.11. Определение. Пусть К 6 У. — конечномерный опе-
оператор с образом К(Н). Положим
deb2A + К) := det(/ + К\к{н))exp(-trace)K\K{H).
При рассмотрении функции det 2 решающее значение имеет
следующее неравенство Карлемана:
F.2.4)
244 Глава 6. Нелинейные преобразования
Непосредственно проверяется, что для конечномерных опе-
операторов А и В и / + С = (I + А)A + В) справедливо равенство
det2(/ + A) det2(/ + В) = det2(/ + С) exp(trace AB). F.2.5)
Теперь можно продолжить функцию det 2 на все операторы
Гильберта-Шмидта. Если оператор I + К, К G T-L, необратим
(что соответствует наличию собственного значения —1 у К), то
положим det 2(/ + К) = 0.
6.2.12. Лемма. Пусть К G И, причем оператор I + К обра-
обратим. Тогда для всякой последовательности конечномерных опе-
операторов Кп, сходящейся к К по норме Гильберта-Шмидта, по-
последовательность det 2(/ + Кп) сходится к пределу, обознача-
обозначаемому через det2(/ + К) и не зависящему от выбора прибли-
приближающей последовательности. Функция К н->■ det2(/ + А') на
1-L локально равномерно непрерывна на множестве операторов,
спектр которых не содержит —1. При этом det2 удовлетво-
удовлетворяет оценкам F.2.4) и F.2.5).
В частности, если {еп} — произвольный ортонормиро ван-
ванный базис в Н, то для всякого К € У, имеем
Доказательство. Пусть А = В + С — конечномерные опера-
операторы. Поскольку оператор I+K обратим, то I + A и I+ B также
обратимы, если А и В достаточно близки к К. Тогда
det2(I + A) -det2(/ + В) = det2(/ + B)[det2((/ + В)-1с) -l].
При этом ||(/ + В) 1С\\-ц < \\\С\\-ц, где число А, зависящее от
нормы (/ + К)~1, — общее для всех В, достаточно близких к К.
Из неравенства Карлемана вытекает упомянутая локальная рав-
равномерная непрерывность det 2. Остальные утверждения следуют
из конечномерного случая ввиду непрерывности det2. П
Пусть 7 — центрированная радоновская гауссовская мера на
локально выпуклом пространстве X и К — такой оператор Гиль-
Гильберта-Шмидта в Н = H(*y), что оператор Т = I + К обратим.
Положим
. . . г 1 1
А /\ li / Т , TSI \\\ ГГ// \ \ TS I \\1 \
L J
6.2. Линейные преобразования 245
6.2.13. Теорема. Справедливо равенство
°Т > = 1——. F.2.6)
а7 &к ° -Г
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Заметим, что само существование плотно-
плотности нам уже известно. Для диагонального оператора К форму-
формула F.2.6) проверяется непосредственно. Теперь из доказатель-
доказательства предыдущей теоремы можно усмотреть и общий случай.
Можно, конечно, действовать и по-другому: проверив формулу
F.2.6) для конечномерных операторов К, взять последователь-
последовательность конечномерных операторов Кп (не имеющих собственного
числа — 1), сходящуюся к К по норме Гильберта-Шмидта. Тогда
плотности d(jo(I + Kn)~1)/d'y сходятся п.в. к выражению в пра-
правой части F.2.6), причем образуют равномерно интегрируемую
последовательность, откуда вытекает доказываемое. □
Пусть теперь /jii/ — центрированные радоновские гауссов-
ские меры на локально выпуклом пространстве X, причем fi ~ и.
Тогда Н(ц) и Н{и) совпадают как множества и существует та-
такой обратимый оператор С G С{Н), что |/i|//(i/) = \C~lh\H^
для всех h G Н := Н(ц). Тогда и совпадает с образом ц при
линейном измеримом отображении С. В силу эквивалентности
мер, С — I € И и применима формула F.2.6). Таким образом,
получаем следующее утверждение.
6.2.14. Теорема. Две центрированные радоновские гауссов-
ские меры /i и и на локально выпуклом пространстве X экви-
эквивалентны в точности тогда, когда Н([л) и Н(у) совпадают
как множества и существует такой обратимый оператор С €
C(H([i)), что К = С — I € 7i(H(fi)). При этом
du 1
dH AK о С
В случае, когда X — сепарабельное гильбертово простран-
пространство a. fin v имеют ковариационные операторы К^ и Ки, получа-
получаем H(fi) — у/Кц(Х). Предполагая, что К^ и Kv имеют плотные
образы (чего всегда можно добиться, перейдя к замыканию Н{ц)
в X), запишем С в виде С = \JKVу/Кц ~ . С другой стороны,
С — т/КцСо^/К^ , где Со = у/К^ \[KV G С{Х) — обрати-
обратимый оператор. При этом С — I 6 Ц{Н{р)\ в точности тогда,
когда Со — / е /Н(Х). Таким образом, эквивалентность мер [/, и
246 Глава 6. Нелинейные преобразования
и характеризуется непрерывностью и обратимостью оператора
\/Щх~ \fK~v и включением \[Щх~ \[Kl — I € Т-С(Х). Последнее
условие можно записать как
T'1F.2.7)
ибо включение А — / е И{Х) равносильно включению АА* — I 6
Т-С(Х). Разумеется, здесь можно поменять местами /л и и.
В рассмотренном гильбертовом случае приведем достаточ-
достаточное условие эквивалентности, не требующее вычисления корней
из ковариационных операторов. Предположим, что H(fi) — Н(и)
и, кроме того, Ку = (I + Q)Kfl, где Q е Н(Х), причем опе-
оператор / + Q обратим. Тогда /л ~. и. Действительно, пусть
D = у/ТСрГ Кил/К^~ — I. Поскольку Q = KvK~l — I, то
Q = ^/K^D^/Kp, и Q2 = ^KllD2^Klj, , откуда для собствен-
собственного базиса {еп} оператора Кц получаем
1
ОО
J2{D2en,en) = Y<{d2\IK» en, V^en) = ^(<?2е„,еп) < oo,
тг=1 ra=l n=l
т.е. выполнено F.2.7).
6.3. Нелинейные преобразования
Пусть 7 — центрированная гауссовская мера на локально вы-
выпуклом пространстве X и Н = Н{^у). Для многих теоретиче-
теоретических и прикладных проблем большое значение имеет исследова-
исследование образов меры 7 ПРИ нелинейных отображениях Т: X —>• X.
Наиболее изучена ситуация, когда Т имеет следующий специаль-
специальный вид:
T(x) = x + F(x),
где F: X —» Н — достаточно регулярное отображение.
Как показало исследование линейного случая, следует ожи-
ожидать появления каких-нибудь условий, связанных с оператора-
операторами Гильберта-Шмидта на Н. Интуитивно ясно, что гладкие
отображения указанного вида локально устроены как линейные
отображения I + DHF. Поэтому первый кандидат на примерку
условий Гильберта-Шмидта — производная DHF. Это ожида-
ожидание оказывается оправданным. Основные результаты этого па-
параграфа состоят в том, что отображение I + F преобразует 7
6.3. Нелинейные преобразования 247
в эквивалентную меру, если F G W2'l(-y, H) удовлетворяет неко-
некоторым техническим условиям и I + DHF обратимо на Н. Мы
начнем с леммы, представляющей и самостоятельный интерес.
6.3.1. Лемма. Пусть Т = / + F: X -> X, где F: X -> Я —
такое борелевское отображение, что
\F{x + h)-F(x)\H <\\h\H, Vh£H-y-n.e., F.3.8)
где А < 1. Тогда существует множество Q, полной ^у-меры,
которое Т взаимно-однозначно отображает на себя, причем
обратное отображение S имеет вид S = I+ G, где борелевское
отображение G: X —» Н удовлетворяет условию F.3.8) с кон-
константой узх вместо А. Кроме того, обратное отображение
указанного вида единственно с точностью до переопределения
на множестве меры нуль.
Доказательство. Заметим, что обратное отображение 5 мо-
может быть конструктивно задано с помощью последовательности
итераций
Fn+l(x) = -F(x + Fn(x)), FQ(x) = О,
в духе теоремы о сжимающем отображении. Действительно, для
тех х, для которых имеет место F.3.8), отображение Фж: h н->
—F(x + /?.) — сжимающее с константой Липшица А. Поэтому это
отображение имеет единственную неподвижную точку у € Н:
у = —F(x + y). Тогда, полагая G(x) = у и S(x) = x + G(x), имеем
)) = х + G(x) + F(x + G(x)) = х.
Кроме того, для таких х и всех h 6 Н, как известно, имеет место
оценка
\G{x + h)~G{x)\H<~^. F.3.9)
Эта оценка легко выводится из проверяемого по индукции нера-
неравенства
Fn+1(x + /г) - Fn{x) < A Fn(x + /г) - Fn_x(x) a < Xn\F(x)\H.
н
н
Из доказанного вытекает, что Т взаимно-однозначно отобража-
отображает множество Г2 точек, удовлетворяющих F.3.8), на себя (ибо
T(S(x)J — х). По построению G — борелевское отображение на
248 Глава 6. Нелинейные преобразования
Q,, причем Q, тоже можно с самого начала взять борелевским. На
дополнении к Q, можно доопределить G нулем. Ясно, что для ка-
каждого хб1] есть лишь одна возможность для выбора G(x) 6 Н
ввиду единственности неподвижной точки сжимающего отобра-
отображения. Поэтому и S вида / + G, G: X —)• Н, п.в. определяется
однозначно. D
6.3.2. Лемма. Пусть Тп = I + Fn, n <E IN, где Fn: X -> Я
удовлетворяют условиям предыдущей леммы с одной и той же
константой А < 1. Предположим, что Fn п.в. сходятся по
норме Н к отображению F: X —> Н.
(i) Если 7 ° Т~1 <С 7 для всех п и последовательность {дп}
их плотностей Радона-Никодима равномерно интегриру-
интегрируема, то отображение Т = I + F также переводит меру 7
в абсолютно непрерывную, причем ее плотность Радона-
Никодима q является слабым пределом в Ь1G) последова-
последовательности {дп}-
(И) Положим Т~1 - Sn = I + GnuT-1 = I + G. Если^оТ~1 ~
7 и последовательность Ап := d(j о S~l)fd^ равномерно,
интегрируема, то \Gn — G\h —> 0 по мере 7-
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Утверждение (i) вытекает из леммы 6.1.8.
По предыдущей лемме отображения Т~1 существуют и имеют
BHAl + Gn, Gn:X->H.
Докажем второе утверждение. Пусть ft — множество тех
х, для которых имеет место сходимость Fn -л F и выполняет-
выполняется F.3.8) для всех n e IN. Ясно, что отображение Fq, заданное
формулой Fq(x) = НгПп-юо Fn(x) на множестве По тех х, где пре-
предел существует, — версия F. Легко проверить, что для почти
всякого х G fio множество Н П Qq — х плотно в Н. Поэтому
для всякого х € Г2о и всякого h € Н найдется такая последова-
последовательность {hi} с Н, что \h — hi\u —¥ 0 и х + hi € Oq. В силу
равномерной липшицевости Fn получаем х + h G Г2о- Ясно, что
при этом Fq удовлетворяет условию F.3.8) для всех х 6 S7q.
Теперь можно иметь дело с пбстроенной версией Т. В силу
предыдущей леммы Т также обратимо и Т~1 — I+G, где G: X -¥
Н — липшицево вдоль Н. Положим Sn = T~l. Заметим, что
Gn = -Fn о Sn, откуда
|Gn - Gk\H < \Fn oSn-Fko Sn\H + \Fk oSn-Fko Sk\H <
< \Fn oSn~Fko Sn\H + X\Sn - Sk\H.
6.3. Нелинейные преобразования 249
Поскольку Sn — Sk = Gn — Gf~, то получаем
\Gn - Gk\H < YT\\Fn ° Sn ~ Fk ° 5"l"-
В силу равномерной интегрируемости {Лп} и фундаментально-
фундаментальности {Fj} при п, к -> оо справедливо соотношение
Л„сЬ -> 0, Vc > 0.
Значит, существует такое борелевское отображение Go: X —> Н,
что \Gn — Со|я -> 0 по мере j. Переходя к подпоследовательно-
подпоследовательности, получаем сходимость почти всюду. Положим 50 = / + Со и
заметим, что по лемме 6.1.8 получаем 7 ° So~ ^ 7-
Заметим теперь, что в силу эквивалентности мер у и 7° S~l,
п — 0,1,..., в построенном выше множестве полной меры Г20
можно найти такое множество f2i полной меры, что Sn(Q\) С Г20
для всех п = 0,1,... На множестве fii имеем
|Fno5n - F0o50|H < \FnoSn - FnoSQ\H + \FnoSQ - F0oS0\H <
< X\Gn - G0\H + \FnoS0 - F0oS0\H -+ 0.
С другой стороны, Fn о Sn = —Gn —> —Go, откуда F(Sq) = — Go-
В силу утверждения о единственности из предыдущей леммы по-
получаем G = Go п.в., т.е. \Gn — G\h -> 0 по мере. П
Для формулировки основных результатов, как и в линей-
линейном случае, нам понадобится понятие регуляризованного опре-
определителя Фредгольма-Карлемана для операторов вида / + К,
К 6 И. Введем следующее обозначение для отображений F клас-
саТУ12ос1G,Я):
-^№Iн]-
6.3.3. Теорема. Пусть F: X -> Н — такое ^-измеримое ото-
отображение, что
\F(x + h) - F(x)\H < \\h\H, VAeffrne, F.3.10)
где А < 1. Предположим, что DHF(x) — оператор Гильберта-
Шмидта для п.в. х, причему-п.в. ||L*HF(x)||^ < М < 00. Тогда:
250 Глава 6. Нелинейные преобразования
(i) существует множество полной меры Г2, которое Т взаим-
взаимно-однозначно отображает на себя, причем обратное ото-
отображение S имеет вид S = I + G, где G липшицево вдоль
Н с константой АA - А) и \\DHG\\n < МA - А);
(и) плотность меры 7 ° T относительно 7 имеет вид
d^oT )(д) = дс(д) = -А F.3.11)
dl АЕ[Т-Цх))
Аналогичным образом, '
°,S (ж) = AF(x). F.3.12)
dj
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Существование обратного отображения вы-
вытекает из леммы 6.3.1. Теперь мы проверим остальные утвер-
утверждения. При этом мы будем пользоваться теоремой 4.3.11 об экс-
экспоненциальной интегрируемости if-липшицевых отображений,
дающей, в частности, включение \F\jj G L2(-y).
Пусть {еп} — ортонормированный базис в Н, причем е^ G
X*. Как мы знаем, линейное отображение J: x i—> (di(x)j ото-
отождествляет 7 с произведением ц стандартных гауссовских мер
на пространстве Ж00. В частности, имеется ^-измеримое ли-
линейное отображение L с JL{y) = у /i-п.в. Поскольку J осуще-
осуществляет изоморфизм пространств Н{^) и H(fi), то отображение
То'- у I-» у + JF(Ly) на Ж00 обладает теми же свойствами, что и
Т. Действительно,
\F0(y + h) - F0(y)\H{fl) = \F(Ly + Lh) - F(Ly)\H <
< \\LH\h = A|/i|^(p), V/i € Н(ц).
Аналогично ||DH(^Fo(y)||w(H(/i)) = ||DHF(Ly)||w < M fx-п.в. Та-
ким образом, достаточно доказать теорему в предположении,
что *у = [х. Сначала мы рассмотрим случай, когда F имеет вид
где ifi €E C^°(]Rn). В этом случае по теореме Фубини все сводит-
сводится к конечномерному случаю и остается воспользоваться класси-
классической формулой Остроградского-Якоби для диффеоморфизма
Т = I + F на Ж", которая для стандартной гауссовской меры *уп
6.3. Нелинейные преобразования
251
с плотностью рп и произвольной гладкой ограниченной функции
ф дает
J ф(т(х))рп(х)<Ь= I ф(у)Рп(т-1(у))\йеЬТ'{т-1(у))\~1 dy.
ш."
ш."
Чтобы получить из этой формулы требуемое выражение для
плотности индуцированной меры в случае отображения F на Ип,
осталось воспользоваться леммой 6.1.3 и заметить, что \Tz\2 —
\z\ =
det 2(/ + F') = det(/ + F') exp[-trace F'].
Поэтому
\det(I + F'(x))\ [
det2(I + F'(x))\ exp [trace F'(z) - (F(x),x) - ^|
det2(I + F'(x))
Заметим, что по построению в рассматриваемом случае ото-
отображение G также имеет вид G = (д\, ■.., дп, 0,0,...), где Go =
(pi,... , дп) — гладкое отображение в Ип с константой Липшица
jzr\ ■ Поскольку отображение 5о = / + Go на И™ является обрат-
обратным к То = I + Fo, где F0 = ((pu..., <рп), то 3'0(Т0)Т^ = I на Нп,
откуда
Легко видеть, что ||(/ + -Fo)!!/:^") — (^ ""
ollrOR") < А < 1.
поскольку
Следовательно, норма Гильберта-Шмидта оператора Go(То) оце-
оценивается через МA — А). Так как То — диффеоморфизм, то
252 Глава 6. Нелинейные преобразования
Наконец, чтобы закончить обсуждение конечномерных ото-
отображений, заметим, что все приведенные выше аргументы при-
применимы и к липшицевым отображениям вместо гладких с един-
единственным отличием, что соответствующие равенства и оценки,
вовлекающие производные, имеют смысл и справедливы почти
всюду, а не всюду (см. [132, § 3.2]). Конечно, это можно по-
получить и как следствие из доказанного с помощью подходящих
гладких приближений.
Перейдем к бесконечномерному случаю. Для отображения F
рассмотрим конечномерные приближения вида
Fn{x) = / PnF(xi,x2,. ■ ■ ,xn,yn+i,yn+2,
где Pn — ортогональная проекция в Н на линейную оболочку
ei,...,en. Отображения Fn, как легко видеть, удовлетворяют
тем же условиям, что и F, т.е.
\\DHFn\\c{H)<\, \\DHFn\\n<M.
Как было показано, для них заключение теоремы справедливо.
Заметим, что \Fn — F\h 6 L2(-y) и п.в. Действительно, Fn можно
записать в виде Fn = PnEnF, где EnF — условное математиче-
математическое ожидание F относительно ст-алгебры, порожденной первы-
первыми п координатными функциями. Поскольку \F — PnF\n —> О
поточечно, то по теореме Лебега это же верно и в Ь2(-у). Со-
Согласно теореме А.3.5 получаем
\F - Fn\H = \F- PnF\H + \PnF - PnEnF\H <
<\F- PnF\H + \F- EnF\H -+ 0
в L2(~f) и п.в.
Основной технический этап доказательства — проверка рав-
равномерной интегрируемости последовательностей Л„ и Rn плот-
плотностей мер 7 ° 5^* и соответственно 7 ° Т~1 относительно меры
7, где Тп = I + Fn, Sn = T~l. Для этой цели достаточно дока-
доказать равномерную ограниченность интегралов /Лп In |Л„| afy и
/ Rn In \Rn\ dj. Мы проделаем это для Лп с использованием рав-
равномерной оценки гильберт-шмидтовских норм DHFn. Для Rn
рассуждения полностью аналогичны, ибо выше отмечалось, что
\\DHGn\\-H < МA — А)^1. Поскольку 7 ° S~l = Л„. 7, имеем
/г
Л„ In |Л„ \dj= In |ЛП о Sn\ dj.
6.3. Нелинейные преобразования 253
Таким образом, нам надо оценить интеграл от
Indet2[/ + (DHFn) о Sn}\ + \EFn) о Sn\ + \Fn o Sn\2H.
Первое слагаемое ограничено, ибо
и потому функции | Indet2(/ + DHFn)\ равномерно ограничены.
Поскольку Fn о Sn = — Gn (ибо Sn + Fn о Sn = I = Sn — Gn), то
интеграл от последнего слагаемого оценивается через 1/2-норму
|Gn|#i которая, в силу теоремы 4.3.11 об экспоненциальной ин-
интегрируемости липшицевых функций, мажорируется величиной,
зависящей лишь от МA — А) .
Остается оценить (SFn) о Sn. Заметим, что
{SFn) о Sn = ~SGn + \Gn\2H - trace [(DHFn о Sn)DHGn]. F.3.13)
Это вытекает из следующих соотношений:
DH {Fn oSn) = DH FnoSn + {DHFn о Sn)DH Gn, FnoSn = -Gn,
6{Fn о Sn){x) = -(Fn(sn(x)),x) +
+trace [DHFn(sn(x))+DHFn(sn(xj) DHGn(xj\,
дающих
FFn) о Sn = -(Fn о Sn, Sn) + trace [DHFn о Sn] =
= (Gn, Gn) + 6{Fn о Sn) - trace [{DHFn о Sn)DHGn] =
= \Gn\2H - 5Gn + trace [(DHFn о Sn) DHGn].
В главе 5 показано, что 1/2-норма 8Gn оценивается через ||Gn||2,i.
При этом
\\ОпШл = / \°п\2п d-y+J \\DHGn\\2n d7<J \G\jr dj+M2(l-\)-2.
Нормы |Gn,|// в L2G) уже оценены. Остается заметить, что
traceDHFno5'nI>wGn|<sup||I>HFn||w||I>HGn||w<C,
где С не зависит от п. Ввиду доказанного для конечномерного
случая и леммы 6.1.3, применение леммы 6.3.2 завершает дока-
доказательство. D
254 Глава 6. Нелинейные преобразования
6.3.4. Определение. Обозначим через 'Н-С\ос класс ^-измери-
^-измеримых отображений F: X —> Н, для которых существует такая
^-измеримая функция т, что т(х) > 0 п.в. и для п.в. х ото-
отображение h н» F{x + h) дифференцируемо по Фреше вдоль Я в
каждой точке шара UT^ = {h € Я: |/i|# < т(х)}, соответ-
соответствующая производная — оператор Гильберта-Шмидта, при-
причем отображение h i-> DHF(x + h), UT^X\ —>■ H, непрерывно.
6.3.5. Лемма. Для всякого р > 1 имеем ~H—C\QZ С И^'с1G, Я).
Доказательство. Положим
Хп = {х: т(х) > 4/n, sup \\F(x + h)\H + \\DHF(x + h)\\n] < n}.
Тогда возрастающая последовательность {Ап} покрывает X с
точностью до множества меры нуль. Возьмем функцию ф €
С$°(И1) так, что 0 < ф < 1, i>(t) = 1 на [-1/3,1/3], ip(t) = О
вне [—2/3,2/3]. Положим фп(х) — фЫAхп(х)). Заметим, что
функции Fn := %l)nF — ограниченные, ибо при ndxn{x) < 2/3
существует такой вектор h € Н, что x + h € Хп и \Н\н < 2Cп)~1.
Тогда \F(x)\h = \F(x + h — К)\ц < п по определению Хп. Кроме
того, |jZ?wF(a;)||ft < п. Следовательно, Fn липшицево вдоль Я
(см. пример 5.2.9). Поэтому п.в. справедливо равенство DHFn =
Ьнфп <S>F + ipnDHF, из которого ввиду ограниченности \Онфп\\н
вытекает ограниченность ||Z?HFn||^. Поскольку Fn € l
то получаем требуемое.
6.3.6. Теорема. Пусть Тх = x + F(x), где F: X ->■ Я — ото-
отображение класса 'H—C\Qti. Положим
М = [х: det 2 (/ + DH F(x)) ф о}.
Тогда существует разбиение М на такие непересекающиеся из-
измеримые множества Мп, что на Мп имеем Т = Тп = I + Fn,
где для каждого п отображение Fn € W2'1^, Я) — ограничен-
ограниченное и липшицево вдоль Н, причем Тп биективно и переводит 7
в эквивалентную меру. Кроме того, для всякой ограниченной
измеримой функции g справедливо равенство
). F.3.14)
А' X
6.3. Нелинейные преобразования 255
Далее, множество Т~1{х)С\М для п.в. х имеет не более чем
счетную мощность N(x, M) и для всякой ограниченной функции
/ выполняется равенство
J f(x)-y(dx) = I /(Т(х)) AF(x)i(dx).
Т(Хп) Хп
Наконец, >у\м оТ <5С 7 и справедливо равенство
Доказательство. Мы выведем эту теорему из предыдущей,
показав, что локально Т является композицией отображения рас-
рассмотренного там типа с линейным отображением, преобразую-
преобразующим 7 B эквивалентную меру. Сначала заметим, что, как не-
нетрудно проверить, композиция Тз = Т\ о Т2 отображений Т\, Т2
вида Т{ = / + Fi, Fi € W2IG, H), удовлетворяющих условию
7 ° Т~1 <?С 7, обладает следующими свойствами: 7 ° ^з <^ 7 и
для F3 = Тз — / имеем
I + DHF3 = (I + DHF1o T2)(I + DHF2), АТз = ATl о Т2 АТ2.
Выберем ортонормированный базис {е^}, ?г € ^*j в Н и обозна-
обозначим через {hj} счетное множество конечных линейных комбина-
комбинаций t{ с рациональными коэффициентами. Найдем счетное мно-
множество {А'„г}, состоящее из конечномерных операторов и всюду
плотное (по норме Гильберта-Шмидта) в множестве всех опера-
операторов Гильберта-Шмидта в Н, не имеющих собственного числа
— 1. При этом в качестве Кп можно выбрать операторы, явля-
являющиеся линейными комбинациями одномерных операторов вида
х i-> l{x)h, где I € X*, h € Я. При таком выборе операторы Кп
представляют собой сужения непрерывных линейных отображе-
отображений на X, которые далее обозначаются теми же символами Кп.
Положим Фт = I + Km. Пусть ат := \\A+ Кт)~1\\цНу Опреде-
Определим множества
Г 4 схт
Anjtm= \х: т{х) > -, sup \F{x + h)-Km{x + h)-hj\H < —,
I n \h\H<\/n 8"
256 Глава 6. Нелинейные преобразования
Возьмем функцию <р € Cg^lR1) такую, что 0 < ip < 1, <р = 1 на
[-1/3,1/3], <р = 0 вне [-2/3, 2/3] и \ц>'\ < 4. Запишем Т в виде
Ясно, что -Rm = / + гт, где гт: X -+ Н — отображения класса
T-L—Clos:. Пусть А — одно из множеств AnjjTrinM. Введем теперь
отображения
FA{x) :== <p(ndAD>^{x)))[rm{x) - hj).
A{X) :=(p\naAynm [X)jj[rm{X) - rij
Если Ф.^) € Д то Fa(x) = rm(x) — hj. Покажем, что справед-
справедлива оценка HV^F/iH-^ < 5/8. Для этого достаточно получить
оценку
||VH(FAo*m) <^!И. F.3.15)
II нк ' п ~ 8
Заметим, что
Rm = Ф + F о Ф = I - Кт о ф-1 + F о Ф-1,
откуда
С помощью этого равенства получаем
Уя(FA о Фт)(ж) = Уя (<p(ndA(x)) [F(x) - Ктх - hj}).
Поэтому
< /„^<2/з1^н^ - VtlKm - hjWn + 4nIndA<2/3\F - Кт -
где были использованы оценка \ip'\ < 4, липшицевость dA вдоль
Н и цепное правило для Соболевских производных. Если ndA(x) <
2/3, то существует такой вектор h, что \h\H < 2/Cn) и ж + Zi 6 А.
Поэтому ||VHF(a;) — VHKm\\% < am/S. Аналогично получаем
\F(x) — Ктх\н < ат/(8п). Это дает оценку F.3.15). Положим
теперь ТА(х) := х + FA(x) + hj. Тогда Т = ТА о Фт на А. Ото-
Отображение Тд удовлетворяет условиям теоремы 6.3.3. Занумеру-
Занумеруем построенный счетный набор множеств А и получим последо-
последовательность {А„}, покрывающую М с точностью до множества
меры нуль. В качестве Мп возьмем Ann(M\U"=] Д). Поскольку
отображения Та ° Ф^г биективны и преобразуют 7 B эквивалент-
эквивалентную меру, то получаем требуемое. LJ
0,4. Примеры 257
6.3.7. Следствие. Предположим, что отображение Т в тео-
теореме 6.3.6 биективно и М имеет полную меру. Тогда ^oT~~l ~ 7
и для S = Т имеем
1 djfoS)
F'
dj AF о Т-1' d.-y
6.3.8. Следствие. Пусть Тх = x+F(x), где F: X -» Я — та-
такое ^-измеримое отображение, что для j-п.в. х отображение
h t-> F(x + h) дифференцируемо по Фреше, причем DHF(x) G М
п.в. и отображение h »-> DHF(x + h), H -*%, непрерывно. Если
оператор DHF(x) не имеет собственного числа —1 для всех х
из измеримого множества В, то мера 7|в оТ~1 абсолютно не-
непрерывна относительно j.
6.4. Примеры
В этом параграфе мы обсудим некоторые часто встречаю-
встречающиеся отображения в бесконечномерных пространствах с точки
зрения осуществляемых ими преобразований гауссовских мер.
Уже упоминавшийся пример гомотетии х ь-> 2х дает пример
диффеоморфизма, переводящего гауссовскую меру в неэквива-
неэквивалентную. Однако при этом образ-мера — гауссовская и потому
возникает вопрос, нельзя ли для всякого диффеоморфизма F и
фиксированной гауссовской меры найти (хотя бы локально) та-
такую гауссовскую меру /i, что 7 ° F~l ~ №• Следующие примеры
показывают, что это не всегда возможно даже для диффеомор-
диффеоморфизмов весьма простого вида.
6.4.1. Пример. Возьмем два ядерных самосопряженных опе-
оператора А и В с плотными образами в сепарабельном гильбер-
гильбертовом пространстве X так, что А(Х) П В(Х) = 0 (см. задачу
А.3.30). Пусть 7 — какая-нибудь невырожденная центрирован-
центрированная гауссовская мера, сосредоточенная на В{Х). Положим
F(x) — х + (х,х)Ах.
Тогда F — диффеоморфизм в некоторой окрестности нуля V,
множество V П В(Х) имеет положительную 7-меру, в то время
как на множестве F(B(X)j обращаются в нуль все гауссовские
меры, не сосредоточенные в точке. Аналогичными свойствами
обладает отображение Ф(:с) = х + J2 ип(х, епJеп, где еп — соб-
ственные векторы А с собственными числами ап.
9 В.И. Богачев
258 Глава 6. Нелинейные преобразования
Доказательство. Оба отображения полиномиальны и имеют /
в качестве производной в нуле. Поэтому по теореме об обрат-
обратной функции они осуществляют диффеоморфизмы некоторых
■окрестностей нуля. Мера 7 положительна на всяком непустом
открытом множестве. Чтобы проверить последнее свойство, до-
достаточно убедиться, что всякая прямая пересекает множество
F(В(Х)) не более чем в трех точках, а множество ф(В(Х)) —
не более, чем в двух. Мы проведем лишь проверку последнего.
Действительно, пусть х, у € В(Х) и для некоторого Л € @,1)
точка ХФ(х) + A — Л)Ф(у) совпадает с Ф(-г), где z € В{Х). Тогда
z = \х + A — А)у, ибо вектор Y^=i (^nh\en — элемент А(Х) для
всякого h €. X, а образы А и В не пересекаются. Поэтому для
каждого п получаем \хп + A — \)уп — zn и \х^ + A — \)у% = z\ =
[\хп + A - \)Уп]2, откуда хп = уп. . □
6.4.2. Пример. Пусть д: К1 —> JR1 — такая гладкая функция
с ограничеными производными, что 0 < с\ < д' < ci < с». Ото-
Отображение G: С[0,1] -> С[0,1], G(x)(t) = g(x(t)j, — диффеомор-
диффеоморфизм. Образ меры Винера Pw при этом отображении совпадает
с мерой, индуцированной решением стохастического уравнения
где a(s) = g'(g^1(s)), b(s) = ^g"(g~1(s)Y Это вытекает из фор-
формулы Ито, примененной к процессу £j = g(wt) (см. [33, с. 296,
§12.3, теорема 1]). Как показано в [16], мера PwoG~l не имеет
направлений непрерывности, если а — не константа (т.е. д —
не линейна). В частности, эта мера не может быть эквивалентна
никакой гауссовской мере. Если при этом функция д веществен-
вещественно аналитична, то согласно [127], как и в предыдущем примере,
мера PwoG~l сосредоточена на множестве, на котором обраща-
обращаются в нуль все гауссовские меры, не сосредоточенные в точке.
Если в предыдущем примере а = const, то согласно теореме
Гирсанова-Скорохода, мера ^ эквивалентна гауссовской мере,
порожденной процессом ащ (т.е. гомотетичному образу Pw).
В частности, меры /л^ и Р эквивалентны при а = 1. Мож-
Можно проверить, что тогда мера ^ дифференцируема вдоль всех
векторов из подпространства Камерона-Мартина для Pw (см.
[443], [20]). Т. Питчер [443] высказал гипотезу, что это неверно
для непостоянного а. Эта гипотеза была доказана в [195], [16].
6.4. Примеры 259
6.4.3. Пример. Пусть 7 — центрированная гауссовская ме-
мера на сепарабельном банаховом пространстве X, Н = H(j) и
F: X —> Н — непрерывно дифференцируемое по Фреше ото-
отображение (разумеется, Н наделено сзоей естественной нормой).
Предположим, что I + F'(x) отображает Н на Н взаимно-одно-
взаимно-однозначно для каждого х. Тогда 7 ° {I + F)~l ~ 7-
Доказательство. Поскольку F'{x) e С(Х,Н), то F'(x)\h —
оператор Гильберта-Шмидта (см. теорему 3.6.8). Из условия
вытекает непрерывная дифференцируемость отображений h i->
F(x + h), H —)■ H. Как отмечено после следствия 3.6.9, отобра-
отображение A i-> А|яG) непрерывно из С(Х,Н) в 'Н(Н). Поэтому из
непрерывности отображения х н-> F'(x), X н-> С(Х, Н), вытекает
непрерывность отображения х н-> F (х)\н, X н-> T-i(H). П
В заключение этого параграфа приведем один результат о
носителях индуцированных мер.
6.4.4. Предложение. Пусть 7 — центрированная радонов-
ская гауссовская мера на локально выпуклом пространстве X,
Н = jETG) и F: X —> Е такое измеримое отображение со зна-
значениями в сепарабельном пространстве Фреше Е, что для не-
некоторого ортонормированного базиса {еп} в Н функция t н->
F(x + ten) непрерывна для -у-п.в. х при всех п € IN. Тогда носи-
носитель индуцированной меры yoF~l на Е связен. В частности,
это верно, если F € W^(j,JRn).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Допустим, что носитель индуцированной ме-
меры ц (который существует, ибо /j, — автоматически радонов-
ская мера на Е) не является связным, т.е. его можно пред-
представить в виде объединения двух непересекающихся замкнутых
множеств Z\ и Z2/ Тогда существует такая непрерывная функ-
функция (р: Е —>■ [0,1], что Z\ = tp~l(O), Z2 = </5~1A). Поэтому образ
меры 7 при отображении / := ip о F состоит из двух точек,
причем / также удовлетворяет условию предложения. Таким
образом, достаточно рассмотреть специальный случай, когда
Е = IR1 и F принимает п.н. два разных значения т и М.
В этом случае имеем
7(.F-1(m,M)) = 0, 7(^"Чт)) > О, 7(-F~4M)) > 0. F.4.16)
Тогда для каждого п при 7-п.в. x множество
Axn:={t: x + ten€F-\m,M)}
9»
2G0 Глава 6. Нелинейные преобразования
имеет лебеговскую меру нуль. Действительно, пусть Сп — мно-
множество тех х, для которых это неверно, и Хп — такая замкнутая
гиперплоскость в X, что X = Хп + Ш}еп, -к: X —> Хп — есте-
естественная линейная проекция и v = 7 ° ъ~у. Как мы знаем, на
прямых у + IR1 еп, у G Хп, существуют условные гауссовские ме-
меры 7У1 не сосредоточенные в точках. Поэтому для v-почти всех
у € Хп множество Ауп имеет лебеговскую меру нуль. Поскольку
Сп = (Сп П Хп) + Ш}еп, то по определению и это равносильно
тому, что "у(Сп) = 0. В силу непрерывности F на х + IR^n для
п.в. х, получаем, что для п.в. х имеет место альтернатива:
либо F(x + ten) <m, Vt € IR1, либо F(x + ten) >M,Vt£ IR1.
При этом для всякого такого х из осуществления одной из этих
двух возможностей для п = 1 вытекает, что для всех п осуще-
осуществляется такая же возможность, т.е. с точностью до множества
меры нуль пространство X разбивается на два множества
пг = {х: F(x + ten) < m, Vt G IR1, Vn G IN},
П2 = {x: F{x + ten)> M, Vt G IR1, Vn G IN}.
Ясно, что это измеримые множества, инвариантные относитель-
относительно сдвигов вдоль векторов {еп}. В силу закона 0-1 одно из них
имеет меру 0, а второе — меру 1. Это противоречит F.4.16). LJ
6.5. Конечномерные отображения
Пусть 7 — центрированная гауссовская радоновская мера на
локально выпуклом пространстве X и F: X —> Жп — достаточно
регулярное отображение. Что можно сказать об индуцирован-
индуцированной мере ^ = 7° F~l! Является ли она абсолютно непрерывной
относительно меры Лебега Л? Имеет ли ограниченную плот-
плотность? Возможен ли выбор гладкой версии этой плотности? Ра-
Разумеется, требуются какие-то условия невырожденности F, ибо
в противном случае мера fi может иметь атомы. Например, если
А' = К , п = 1 и F — гладкая функция, то необходимое и до-
достаточное условие абсолютной непрерывности ц заключается в
равенстве у(х: F'(x) = 0) = 0. Точный результат, доказатель-
доказательство которого можно найти в [132, § 3.2], состоит в следующем.
6.5.1. Теорема. Пусть F: Шп —>■ IR™ — Липшицев о отобра-
отображение. Тогда для всякой ограниченной борелевской функции g
G.5. Конечномерные отображения 261
на Шп и всякого измеримого множества А С Нп справедливо
равенство
Jg(F(x))\detF'(x)\dx= j g(y)N(F\A,y) dy, F.5.17)
A Un
где N(F\A,y) — число элементов в AD F~~l(y).
6.5.2. Следствие. Пусть А С IR™ — измеримое множество и
F = (Fi,..., Fn): Шп —>• Ж™ — измеримое отображение, почти
всюду на А имеющее частные производные. Предположим, что
(VFi, VF7) ^On.e. ма А. Тогда лебеговская мера на А
переводится отображением F в абсолютно непрерывную меру.
Доказательство. В случае, когда F — липшицево, утвеждение
является прямым следствием F.5.17). В общем случае восполь-
воспользуемся тем, что в силу [132, 3.1.4] отображение F аппроксима-
аппроксимативно дифференцируемо почти во всех точках Л, а в силу [132,
3.1.8] А представимо в виде счетного объединения таких изме-
измеримых множеств Aj, что F — липшицево на Aj. Поскольку F
можно продолжить с Aj до липшицева отображения Fj, причем
почти всюду на Aj частные производные Fj совпадают с част-
частными производными F, то получаем доказываемое. П
6.5.3. Теорема. Пусть {а^} — произвольная последователь-
последовательность в Н(у), F: X —> IRd — -у-измеримое отображение со сле-
следующим свойством: для -у-п.в. х существуют такие векторы
v\(x),... , V(i{x) в {fli}, что векторы
=
существуют и линейно независимы. Тогда мера у о F на IRd
абсолютно непрерывна. В частности, это верно, если F —
отображение с компонентами из соболевского класса Wl>l(y),
причем отображение DHF(x) сюръективно почти всюду.
Доказательство. Достаточно доказать абсолютную непрерыв-
непрерывность мер у\в о F , где В — множество тех х, что векторы
OniF(x), г = 1,... ,d, линейно независимы. Пусть Е — линейная
оболочка О),..., a,i, a Y — замкнутое подпространство, дополня-
дополняющее Е. На плоскостях Е + у, у € Y, есть условные гауссовские
меры 7У; заданные плотностями, а в силу следствия 6.5.2 меры
262 Глава 6. Нелинейные преобразования
1у\вп(Е+у) ° F1 абсолютно непрерывны. Поэтому для всякого
множества Z с IRd нулевой меры имеем -уу(В Г) F~~l(Z)\ = О,
откуда 7(В П F~l(Z)^ = 0. . П
В отличие от конечномерного случая условие теоремы 6.5.3 не
необходимо. Есть пример [355] такой функции F: С[0,1] —>• Ж1,
где С[0,1] наделено мерой Винера Pw, что F бесконечно диффе-
дифференцируема по Фреше, но мера Pw\{Fi-.q}oF~1 обладает гладкой
плотностью. В этом смысле нет бесконечномерного аналога те-
теоремы Сарда (см., однако, [301] и [392]).
6.5.4. Следствие. Пусть F: X —> Ш, — измеримое отобра-
отображение, причем для п.в. х отображение h t-> F(x + h) локально
липшицево на Hip/), а множество всех х, где производная Га-
то DH F{x) существует, но не является сюръективной, имеет
меру нуль. Тогда мера 7 ° F~ абсолютно непрерывна.
оо
6.5.5. Следствие. Пусть Q = ]£ Qn, где Qn — -^-измеримые
многочлены степени не выше п, а ряд сходится в L ('у). Предпо-
ложим, что YL ^n|IQnll^2f \ < оо для некоторого Л > 1. Тогда
п=о ( '
либо мера ^oQ~l абсолютно непрерывна, либо Q — const -у-п.в.
Доказательство. Пусть {еп} — ортонормированный базис в
H(pf). Для каждого п условные меры на прямых у + lfi\} еп имеют
гауссовские плотности для всех у € Y, где Y — какая-нибудь ги-
гиперплоскость, дополняющая IR еп. Значит, для п.в. х и всякого
отрезка [о, Ь] имеем Q(x + ten) = ~^^=о Qn{x + ten) и
n=0
n / Qn(x + tenf dt < 00.
Итак, функция (p(t) = Q(x + th) со степенной скоростью прибли-
приближается в среднем квадратическом многочленами степени п. Со-
Согласно [126, с. 413, гл. VI], это означает, что ц> имеет вещественно-
аналитическую модификацию. Таким образом, для фиксиро-
фиксированного п функция Q имеет модификацию, которая на прямых
х+Ж1еп аналитична и потому либо постоянна, либо имеет произ-
производную с не более чем счетным множеством нулей. Множество
тех х, для которых при всех п такая модификация постоянна,
инвариантно относительно сдвигов на векторы ten и потому его
мера есть либо 1 (и тогда Q = const п.в.), либо 0. В последнем
случае мера 7 ° Q~l абсолютно непрерывна. □
6.0. Метод Маллявэна 263
6.6. Метод Маллявэна
В этом параграфе изложены основы общего подхода к ис-
исследованию регулярности конечномерных образов гауссовских
мер, предложенного П. Маллявэном и называющегося исчисле-
исчислением Маллявэна.
6.6.1. Пример. Пусть 7п — стандартная гауссовская мера на
Шп и / — многочлен на Кп без критических точек (т.е. V/ не
обращается в нуль). Тогда мера ц = 7 ° /~г обладает гладкой
плотностью, которая вместе со всеми производными убывает на
бесконечности быстрее любой степени [or| х -
Доказательство. Рассмотрим преобразование Фурье меры ц,
которое по формуле замены переменных имеет вид
= / ex-p(itf)d'yn.
jr."
Ясно, что функция Д бесконечно дифференцируема. Покажем,
что для каждого к € IN функция tkjl(t) ограничена. Идея до-
доказательства состоит в привлечении векторного поля v = V/.
Обозначая через dv оператор дифференцирования вдоль поля v,
а через р — стандартную гауссовскую плотность на Ж™, с помо-
помощью формального интегрирования по частям получаем
Теперь заметим, что функция div \'qLiv) имеет вид A~xQp, где
Д = |V/|2 — многочлен, не имеющий нулей, и Q — некото-
некоторый многочлен. Это интегрирование по частям законно, если
функция A~*Qp интегрируема. Последнее действительно имеет
место, ибо по теореме Зайденберга-Тарского (см. [141, с. 425,
пример А.2.С]) существуют такие положительные числа Ста,
что А(х) > С\х\~а при \х\ > 1. Итак, \tjl(t)\ < WA^QW^^y
Повторяя описанную процедуру, получаем ограниченность всех
функций t Ji(t). Приведенное рассуждение применимо и к функ-
функции f'p, г € IN, вместо р, что завершает доказательство. П
Пытаясь в бесконечномерном случае действовать по тому же
плану, мы сталкиваемся сразу с той очевидной трудностью, что
последнее равенство в приведенной выше формуле интегриро-
интегрирования по частям не имеет смысла из-за отсутствия бесконечно-
бесконечномерных аналогов меры Лебега. Конечно, эта трудность может
264 Глава 6. Нелинейные преобразования
быть преодолена, если определить действие дифференциальных
операторов непосредственно на меры. Фактически, в этом и со-
состоит суть теории дифференцируемых мер С. В. Фомина и ис-
исчисления Маллявэна. Однако возникает более тонкая проблема
нахождения векторных полей, для которых возможно интегриро-
интегрирование по частям. Простейший пример: функция /(х) = (х,х) на
бесконечномерном гильбертовом пространстве X. Как показано
в главе 5, на X нет гауссовских мер, дифференцируемых вдоль
векторного поля v = V/: х н-> 2х. Поэтому для гауссовской ме-
меры 7 с ковариационным оператором К естественно взять поле
и = KVf, вдоль которого, как мы знаем, мера 7 дифференци-
дифференцируема. Таким образом, как и в конечномерном случае, остается
проверка интегрируемости функций duf(x)~1 = (iKx^x)^1.
6.6.2. Теорема. Пусть F = (Fu...,Fn): X -> Ж" — такое
отображение, что Fi € W°°(y), г = 1,... ,п, и ^ € (~)Р>1^р('у)>
где А = det((Dw/;, DHFj)H), H = Н{у). Тогда мера ц := -yoF'1
обладает плотностью из класса Шварца S(JRn).
Доказательство. Положим о-у = (DHfi,DHFj)H и обозначим
через и1! элементы матрицы, обратной к (сг^). По условию i/^ €
VF°°G)- Для гладкой функции <р на IRn через di^p обозначим
частную производную по Х{. Согласно правилу дифференциро-
дифференцирования композиции справедливо равенство
d^oF= £ vlk akj
k,j=l k-1
где Vk := DHFk- Интегрируя это равенство и пользуясь форму-
формулой замены переменных в левой части, приходим к соотношению
R" k=1X
С помощью формулы интегрирования по частям каждое слагае-
слагаемое правой части преобразуется к виду — f ip о F(x)gik{x) -y(dx),
где
Таким образом, обобщенная частная производная меры /t no xi
есть ограниченная мера (giki) ° F'1. Подставляя вместо д{<р
частные производные более высокого порядка и повторяя опи-
описанную процедуру, заключаем, что все обобщенные частные про-
производные \х являются ограниченными мерами. Это означает
6.6. Метод Маллявэна 265
существование гладкой плотности р у ц. Все эти рассужде-
рассуждения остаются в силе, если вместо меры -у взять меру д'у, где
д € W°°(-y). Из этого нетрудно усмотреть, что р € <S(IRn). П
6.6.3. Замечание. Из доказательства видно, что для получе-
получения конечной дифференцируемости плотности можно ограни-
ограничиться существованием достаточно большого конечного числа
производных F и достаточно высокой степенью интегрируемо-
интегрируемости Д.
6.6.4. Замечание. Из доказательства теоремы 6.6.2 явству-
явствует, что соболевские нормы плотности меры fi оцениваются через
нормы ||-Fi||p)r и ЦД"!!^^) для достаточно больших р и г. Кроме
того, если вместо меры j взять меру д-у, где д € W°°, то собо-
соболевские нормы гладкой плотности кв меры д'у будут оцениваться
через ||Fi||P)r, \\д\\р>г и ЦД^^ для достаточно больших р и г.
Это замечание полезно для построения обобщенных функций на
X. Кроме того, оно будет использовано ниже для изучения по-
поверхностных мер.
6.6.5. Следствие. Пусть Q — -у-измеримый многочлен сте-
степени Н > 1. Предположим, что для каждого п € IN существу-
существуют такие линейно независимые векторы hi,..., hn € Н(-у), что
X = Хо +lRlhi + ■ ■ ■ + !Rlhn, где Хо —замкнутое линейное под-
подпространство, алгебраически дополняющее линейную оболочку
Ln векторов h\,... ,hn таким образом, что
где Qj — измеримые многочлены, зависящие только от проек-
проекций х на Xq и IR'/ij, причем Qq зависит только от проекции
на Xq. Предположим, кроме того, что Qi(xo +th{) = Citd + ■ ■ •,
.го € Xq, i = 1,... , n, Ci Ф 0. Тогда плотность распределения Q
принадлежит пространству S(Rll).
Доказательство. Пусть {ei}f=i — ортогонализация {hi}f=1 в
Н{). Тогда hi = Ав{, где А — линейный оператор на Ln, и
-1
\dhq\2h > Y,{deiQJ > \\a\\
Положим G(x) = Y^{dhiQJ- Заметим, что G; := (Q/i.QJ — нео-
г= 1
трицательные многочлены, зависящие лишь от проекций х на Хо
266 Глава 6. Нелинейные преобразования
и Ж1к{, причем Gi{x,Q + thi) = cfd2t2d~2 + - ■ -.' Поскольку условные
меры на подпространствах у + Ln, у б Xq, — невырожденные
гауссовские с одной и той же ковариацией, то из нижеследующей
леммы (из [130]) вытекает оценка ^(G < е) < const enld. □
6.6.6. Лемма. Для каждого многочлена / на прямой, имею-
имеющего степень d > 1 и старший коэффициент 1, справедливо
неравенство mes It: \f(t)\ < е) < 2dexld, где mes — мера Лебе-
Лебега. Кроме того, для всякой невырожденной гауссовской меры и
на Kn+1 и всякого многочлена G на IRn+1 степени d, имеюще-
п+1
го вид G(x) = g\{x\) + Yl gj(xiixj)> гс*е gj — неотрицательные
многочлены, причем gj@,Xj) — xd при j > 2, справедлива оценка
v(x: G(x) < е) < c{v)Bd)nenld, где c(v) зависит лишь от и.
Доказательство. Первую оценку проверим индукцией по d,
пользуясь тем, что для d — 1 она очевидна. Если многочлен
/ степени d > 1 имеет нуль а, то f(t) = (t — a)g(t), где много-
многочлен g степени d — 1 по предположению индукции удовлетворяет
соответствующему неравенству. Поскольку множество {|/| < е}
содержится в объединении [а — el/d,a + е1^] и {|<7| < el~lld},
то его мера не превосходит 2elld + 2{d — I)(e1"/dI/(d-i)) что и
требовалось. Если же / не имеет нулей и, например, .является
положительным, то в случае / > е доказываемое неравенство
тривиально, а случай, когда f — е имеет корень, сводится к
рассмотренному переходом к / — е. Вторую оценку достаточ-
достаточно провести для произведения стандартных гауссовских мер на
прямых, что делается непосредственно с помощью теоремы Фу-
бини и доказанного неравенства в одномерном случае. □
6.6.7. Пример. Пусть многочлен Q на С[0,1] с мерой Вине-
1
pa Pw задан формулой Q(x) = / qlx(t)) dt, где q — отличный
о
от константы многочлен на прямой. Тогда мера Pw о Q~l име-
имеет гладкую плотность. Действительно, для фиксированного п
можно разделить [0,1] на п равных отрезков Ij и выбрать глад-
гладкие ненулевые функции hj с носителями в Ij. Взяв в качестве
Xq произвольное замкнутое линейное подпространство в С[0,1],
алгебраически дополняющее линейную оболочку hj, и записав
х = xq + c\h\ + ... + cnhn, xo € Хо, мы получим (поскольку носи-
носители hj не пересекаются) разложение Q с нужными свойствами.
6.7. Поверхностные меры 267
Будем говорить, что квадратичная форма Q на гильберто-
гильбертовом пространстве Н бесконечномерна,- если Q(x) = (Ах,х), где
А € С(Н) — симметричный оператор с dim A(H) = оо.
6.6.8. Следствие. Пусть Q — квадратичная форма на X (в
алгебраическом смысле), измеримая относительно *у, причем Q
бесконечномерна на Н(у). Тогда мера 7 ° Q~l обладает плот-
плотностью из класса Шварца S(JB}). Аналогичное утверждение
справедливо для отображения Q — (Qi,.. ■ ,Qn): X —> IRn, если
Qi — квадратичные формы, нетривиальные линейные комбина-
комбинации которых удовлетворяют указанному условию.
Доказательство можно найти в [129], [16], [20]. Неизвестно,
будет ли гладкой (или ограниченной) плотность меры 7 ° F~^-,
где 7 — невырожденная гауссовская мера на бесконечномерном
гильбертовом пространстве X и F — такой непрерывный много-
многочлен, что F' Ф 0 (или, более общим образом, множество {F' = 0}
— конечномерное многообразие). В этой связи отметим, что в
бесконечномерном случае множество нулей непрерывного много-
многочлена может быть устроено довольно сложно (см. задачу 6.8.9).
6.7. Поверхностные меры
С помощью метода Маллявэна можно определить поверхност-
поверхностные меры, порожденные мерой 7 на достаточно регулярных по-
поверхностях. Чтобы не заслонять существо дела второстепен-
второстепенными техническими деталями, предположим, что поверхность
S С X задана уравнением F(x) = 0, где F € W00^) и
F.7.18)
причем с самого начала в качестве F возьмем ее Ссо-квазинепре-
рывную версию, т.е. Срг.-квазинепрерывную для всех р, г > 1
(см. задачу 6.8.14). Что понимать под поверхностной мерой на
5? Естественный путь — взять поверхностный слой „толщины
е", поделить его меру на е и устремить е к нулю. Поскольку
метрика есть, вообще говоря, только на Н(-у), то подходящий
кандидат на роль поверхностного слоя — множество S 4- eUH.
Однако технически удобнее определять поверхностную меру ^s
следующим образом. Как показано выше, мера 7 ° F~l имеет
гладкую плотность к. Пусть
О = {у: к{у) > 0}.
268 Глава 6. Нелинейные преобразования
На множествах Sv := F(yO у € О, мы выберем специаль-
специальным образом условные меры ^у и для ограниченных борелевских
функций ip положим
JFC)\Hl»(ds). F.7.19)
Ниже будет показано, что это соотношение действительно опре-
определяет некоторую меру, которая обращается в нуль на множе-
множествах, имеющих нулевую Ср>г.-емкость для всех р, г > 1, и потому
не зависит от выбора Соо-квазинепрерывной версии F. Отметим
еще, что поскольку мера 7 имеет суслинскии носитель Е, кото-
который инъективно вкладывается в Ш°° посредством непрерывно-
непрерывного линейного отображения, то можно считать, что X — Ш°°
(можно также считать, что мы имеем дело с гильбертовым про-
пространством). Это соображение несколько упрощает технические
детали. Найдем абсолютно выпуклый компакт К такой, что
у{К) > 1/2. Зафиксируем функцию в £ W°°G), которая равна
1 на К и 0 вне 2К (существование такой функции установлено
в главе 5). Положим Oj(x) = 9(j~1x). Через д* будем обозна-
обозначать Соо-квазинепрерывную версию д € W00^). Для функции
д € VF°°G) обозначим через кд плотность меры^7°^~1 (которая
существует в силу условия F.7.18)).
Мы будем считать, что 0 € О, и проведем построение для
у = 0; для прочих у € О оно совершенно аналогично.
6.7.1. Лемма. Возьмем последовательность гладких вероят-
вероятностных плотностей <pj на прямой вида <Pj(i) = j<Po{jt), где щ
— гладкая вероятностная плотность с носителем в [—2,2] и
ipo = 1 на [—1,1]. Рассмотрим меры
Тогда при j' —> oo меры vnj слабо сходятся к некоторой мере vn,
сосредоточенной на S. При этом мера vn обращается в нуль на
множествах, имеющих нулевую Срг-емкость для всех р, г > 1,
и для всякой функции g € W°°(-y) справедливо равенство
F.7.20)
А
6.7. Поверхностные меры 269
Доказательство. При фиксированном п меры vnj равномерно
ограничены и имеют общий компактный носитель. Поэтому до-
достаточно установить сходимость интегралов / д dvnj при j —> оо
для всех непрерывных д € W°°(y). Эти интегралы записывают-
записываются в виде
При j —У оо ввиду нашего выбора <pj правая часть стремится к
кдОп(О)/к(О). Попутно доказана формула F.7.20).
Пусть теперь А — множество нулевой Срг-емкости для всех
р, г > 1 и е > 0. Найдем открытое множество U D А, для
которого C2;i{U) < е. Существует такая функция /£ € W2'2(-y),
что Д > 1 п.в. на U и ||/£||2,2 < £■ Тогда
откуда vn(U) < kfe(O)/k(O). Остается заметить, что kfe(O) стре-
стремится к нулю при е —> 0, ибо из доказательства теоремы 6.6.2
вытекает оценка |&/@)| < const ||/||2,2- i—1
6.7.2. Теорема. Последовательность {vn} равномерно плот-
плотна xi слабо сходится к некоторой вероятностной мере -у , со-
сосредоточенной на S и обращающейся в нуль на множествах,
имеющих нулевую Ср г-емкость для, всех р, г > 1. При этом для
всех g € W°°G) справедливо равенство
Доказательство. Из равенства F.7.20) видно, что последова-
последовательность неотрицательных мер ип ограничена. Кроме того, она
равномерно плотна. Действительно, последовательность дт =
1 — вт стремится к нулю по любой норме || • ||Р;Г. Более то-
того, supn ||3т^п||р,г -> 0 при т —> оо. Согласно замечанию 6.6.4,
supn kgmgn @) —> 0 при т —> оо. Поскольку дт — 1 вне компакта
2mA" и дт > 0, то из равенства F.7.20) вытекает равномерная
плотность последовательности {ип}. Поэтому для доказатель-
доказательства ее слабой сходимости достаточно проверить сходимость
интегралов / д dvn от ограниченных функций д € W°°(-y). Оста-
Остается заметить, что коп9(у) -> кд(у) для всякого у € О. Это
вытекает из замечания 6.6.4. Попутно доказано соотношение
270 Глава 6. Нелинейные преобразования
F.7.21), откуда видно, что мера 7° — вероятностная. Наконец,
тот факт, что мера 7° обращается в нуль на множествах, име-
имеющих нулевую СР)Г-емкость для всех р, г > 1, доказывается так
же, как в предыдущей лемме. П
Аналогичным образом появляются условные меры jy. Теперь
с помощью F.7.19) введем поверхностные меры ^ySy. При этом
положим S = So-
6.7.3. Следствие. Для всякой функции д € VF°°G) справед-
справедливо равенство
= \im±-£ I g(x)\VHF(x)\Hl(dx). F.7.22)
Доказательство. Для всех и € W°°G) B силу существования
гладкой плотности меры (uj) о F имеем
ku@) = lim— / u(x)')(dx).
\F\<e
Применяя это равенство к и = g\VhF\h и пользуясь равенствами
F.7.21) и F.7.19), приходим к F.7.22). □
6.7.4. Следствие. Для всякой функции g € W°°(-y) и всякой
непрерывной функции и: Ш1 —> Ж1 с ограниченным носителем
справедливо равенство
fu{F{x)) g(x) \VHF(x)\Hl(dx) = f u(y)[j>(zO5*(dx)] dy.
x m,n sv
F.7.23)
Доказательство оставляем в качестве задачи 6.8.12.
6.7.5. Пример. Пусть F € X*, \\F\\L2^ = 1, причем в каче-
качестве F выбрана собственно линейная версия F, и S = F^).
Тогда поверхностная мера 7 — гауссовская. Действительно,
выбирая в F.7.22) функцию д{х) = еш{-х\ где t € IR1 и I € X*,
сводим утверждение к очевидному двумерному случаю, ибо пра-
правая часть F.7.22), по формуле замены переменных с учетом ра-
равенства \DHF = 1|, записывается в виде
где v — образ -у при отображении Т = (F, I): X —> IR2.
6.8. Дополнения и задачи 271
Проверку следующего утверждения можно найти в [168].
6.7.6. Теорема. Поверхностная мера js не зависит от вы-
выбора задающей функции в следующем смысле: если G удовле-
удовлетворяет тем же условиям, что и F, причем S = F*~l@) =
G*~l@) с точностью до множества Ср>г-нулевой емкости для
всех р, г > 1, то G приводит к той же поверхностной мере.
Из приведенных выше результатов выводится формула Сток-
са (см. [168]).
6.7.7. Теорема. Пусть v &W°°{j,H). Тогда
8v(x)j(dx) = - / (v(z),DHF(zU , jSy(dz).
В [168] показано, что для непрерывной функции F поверх-
поверхностная мера 75 является слабым пределом поверхностных мер
на F~l{Q), построенных по гладким цилиндрическим функци-
функциям Fn из теоремы 3.4.5. Наконец, заметим, что описанные кон-
конструкции и результаты без изменений в доказательствах перено-
переносятся на случай поверхностей конечной коразмерности п, задан-
заданных уравнениями вида F = 0, где F € И^°°G,НП) удовлетворяет
условию теоремы 6.6.2 (при этом в соответствующих формулах
вместо \DhF\h следует писать |А|, а в следствии 6.7.3 надо 2е
заменить на объем п-мерного шара радиуса е).
6.8. Дополнения и задачи
Интересный класс нелинейных преобразований гауссовских мер
связан с потоками, порожденными векторными полями со значениями
в пространствах Камерона-Мартина. Приведем здесь один резуль-
результат, полученный А. Б. Крузейро [249] при некоторых дополнительных
предположениях и в приводимой форме доказанный в [202], [434].
6.8.1. Теорема. Пусть f 6 W2'l{-i,H), причем
ехр(А | 5f |) + ехр(А||Д,/||£(я)) 6 L1^), VA.
Тогда существует такое семейство преобразований Щ: X —>• X, t £
t
Ж1, что Ut(x) — х + fWs(x)) ds для всех t и п.в. х. Кроме того,
7 о [/-1 ~ 7 и dG о Url)ldrt{x) = ехр
t
- Ff(U-,{x)} ds\
272 Глава 6. Нелинейные преобразования
Другой интересный класс преобразований гауссовских мёр вве-
введен в [518]. Чтобы прояснить естественную геометрическую струк-
структуру этих преобразований, рассмотрим сначала конечномерный слу-
случай. Пусть U: Жп —> £(JRn) — такое операторно-значное отобра-
отображение, что для каждого х оператор U(x) ортогонален. Предполо-
Предположим, что это отображение достаточно регулярно, например, беско-
бесконечно дифференцируемо (или, более общим образом, локально лип-
шицево). Положим F{x) = U(x)x. Преобразование F имеет свойство
||F(:r)|| = \\x\\. Пусть /t = 7 ° F~l■, где 7 — стандартная гауссовская
мера на IRn. Когда F сохраняет меру 7? Предположим, что F инъ-
ективно, | det VF| > 0. В случае гладкого отображения это означает,
что F — локальный диффеоморфизм. Плотность меры-образа задает-
задается формулой q(x) = det VF(F~1(x)j expl — §||з-'||2 ) .Таким образом,
вопрос состоит в следующем: когда |detVF| = 1? Геометрически
равносильность нашего исходного условия этому последнему очевид-
очевидна (поскольку F сохраняет норму, оно сохраняет стандартную гаус-
совскую меру, если и только если оно сохраняет сферическую меру
Лебега). Последнее равносильно тому, что F сохраняет лебеговский
объем, что в точности есть наше условие на якобиан. Заметим, что
VF(x) = U{x)+(vU(x)Yx) = U(x)[l + U*(x)(vU(x)\(x)\. Поскольку
| det U(x)\ = 1, наше исходное условие сводится к тождеству
=1. F.8.24)
Простым достаточным условием для последнего является следующее:
для каждого h £ Шп оператор V(U*(x)h) нильпотентен. Действитель-
Действительно, дифференцируя тождество U*(x)U(x) = /, получаем U*(x)VU(x) +
\VU*(x)\U(x) = 0.Значит, оператор U*(x)VU(x)(h) нильпотентен для
всякого 1г. Полагая h = x, приходим к F.8.24).
Напомним, что оператор А £ £{Н) называется квазинильпотент-
ным, если lhriji^oo ЦЛ"!!1/™ = 0. Если такой оператор компагстен, то он
называется оператором Вольтерра. Известно, что ядерный оператор
Вольтерра имеет нулевой след (см. [47, с. 131, теорема 8.4]).
Пусть U: X —> С(Н) — такое отображение, что для каждого h £ Н
отображение х и- U{x)h входит в И/ооG, Н).
6.8.2. Теорема. Предположим, что U(x) — унитарный оператор
п.в. и для каждого h £ Н оператор DHU(x)h квазинилъпотентен
п.в. Тогда для каждого ортонор мир о ванного базиса {еп} в Н функ-
функции S(Uen) — независимые стандартные гауссовские случайные ве-
оо
личины на [X,7)- Следовательно, отображение Т(х) = £3 S(Uen)en
п—1
корректно определено и 7 ° T~l = у.
Следуюгций результат доказан в [396]. Короткое; доказательство
предложено в [196].
6.8. Дополнения и задачи . 273
6.8.3. Теорема. Пусть 7 — невырожденная гауссовская мера на.
банаховом пространстве X, M(t,x) = ^(у: \\у — х\\ < t). Тогда функ-
функция М локально липшицева на @, оо) х X и дифференцируема по Ада-
мару.
В связи с этим результатом см. также [504]. Отметим, что функ-
функция М не обязана быть дифференцируемой по Фреше, в частности, ее
производная Гато может не быть непрерывной. Таге обстоит дело, на-
например, в случае X — С[0,1], ибо, как упоминалось в главе 5, на С[0,1]
не существует нетривиальных функций, дифференцируемых по Фре-
Фреше и стремящихся к нулю на бесконечности. Напомним, что модуль
выпуклости нормы q определяется равенством
6g(e) = inf (l - q{X + V\ q(x),q(y) < 1, q(x - у) >
Приведем один результат о распределении нормы (см. доказатель-
доказательства в [50], [130], [196]).
6.8.4. Теорема. Пусть X — банахово пространство, у которого
норма q имеет к липшицевых производных Фреше на единичной сфере
и удовлетворяет условию 6q(e) > Сеа, где С,а > 0. Если dimH(y) =
оо, то функция М: t М- ylx: q(x) < t\ k раз дифференцируема и М^0)
абсолютно непрерывна. Кроме того, функция Q: х н-> y(JJ + х), где U
— шар в X, имеет к непрерывных производных Фреше. Более того,
отображение (t,x) И- у(Ш + х) принадлежит классу Ск. Указанное
условие выполняется, в частности, для пространств L2n[a,b].
Доказательство следующей теоремы см. в [20].
6.8.5. Теорема. Пусть Q — ^-измеримая квадратичная фор-
форма на X. Необходимое и достаточное условие ограниченности
плотности распределения Q состоит в существовании двумер-
двумерного подпространства L в Н(-у), на котором форма Q положи-
положительно определена или отрицательно определена (более того, в
этом случае плотность распределения Q автоматически имег
ет ограниченную вариацию).
Приведем еще следующий красивый результат из [373].
6.8.6. Теорема. Пусть 7 — центрированная гауссовская ме-
мера Радона на локально выпуклом пространстве X, fj — ^-изме-
^-измеримые многочлены и F = (f\,..., /п). Обозначим через J класс
всех таких многочленов Q на IR", что Q{F) = 0 j-n.e. Пусть
Z = {z £ W: Q(z) =0, VQ € J}. Тогда мера 7 о F абсолют-
абсолютно непрерывна относительно естественной лебвговской меры
на алгебраическом, многообразии Z. В частности, мера, 7° F~x
абсолютно непрерывна тогда и только тогда, когда J = {0}.
274 Глава 6. Нелинейные преобразования
Задачи
6.8.7. (Теорема Радемахера-Эллиса). Пусть ц — борелевская мера на су-
слинском пространстве, не имеющая точек положительной меры. Доказать,
что борелевское отображение F: X —> X обладает свойством Лузина (N) то-
тогда и только тогда, когда оно переводит каждое ^-измеримое множество в
^-измеримое множество. Указание: см. [268].
6.8.8. Пусть а, В € С£°(Ш}), <т > с > 0 и f — диффузионный процесс на
[0,1], заданный стохастическим дифференциальным уравнением
d£t = o(£t)dwt + B(£t)dt, ft = О,
где wt — винеровский процесс. Доказать, что существует такое непрерыв-
непрерывное отображение Ф: С[0,1] —> С[0,1], что £t = Ф(ш() п.в. Показать, что это
может быть неверно для диффузий в К2.
6.8.9. (С. В. Конягин) Построить пример непрерывного многочлена F
степени 4 на сепарабельном гильбертовом пространстве, для которого мно-
множество F~x@) имеет континуум компонент связности. Более того, произ-
произвольное суслинское множество А на прямой может быть получено в виде
ортогональной проекции множества такого вида. Указание: для заданного
замкнутого множества Т С I2, дополнение которого является объединением
открытых шаров с центрами о^"' и радиусами г„, рассмотреть многочлен F
на 12х12, заданный формулой
( Л
где с„ = 2~"A + rl + ||o(n)||2J . Проверить, что проекция F-1@) на
первый сомножитель совпадает с Г. Показать, что А можно получить в
виде ортогональной проекции замкнутого множества в I2.
6.8.10. . Привести пример непрерывной квадратичной формы на банахо-
банаховом пространстве, которую нельзя разложить в разность двух неотрица-
неотрицательных непрерывных квадратичных форм.
6.8.11. Пусть 7« — стандартная гауссовская мера на Жп и
F = (Fi,...,Fd):TR.n-tm.d
— такое отображение, что Fi — многочлены и матрица с компонентами
Oij = (VF;, VFj), г, j — 1,.. . , d, — невырожденная в каждой точке. Тогда
индуцированная мера ■уп oF на IR обладает гладкой плотностью из класса
Шварца S(И1*). Указание: воспользоваться тем, что | detail £ Lr(jn) для
всех г > 1 ввиду теоремы Зайденберга-Тарского.
6.8.12. Доказать следствие 6.7.4.
6.8.13. Построить пример такого измеримого отображения F: X —> Н,
что F — гладкое вдоль Я, \\DHF\\C(H) < 1/2, но мера 7°(/+-F')~1 сингулярна
относительно 7-
6.8.14. Показать, что каждая функция / 6 W°°(-y) обладает модифика-
модификацией /*, которая Ср,г-квазинепрерывна для всех р > 1, г > 0. Указание:
воспользоваться теоремой 5.7.6.
Глава 7
Приложения
По-моему, на первом месте, в начале речи, должно
быть вступление ... На втором месте — изложение и
свидетельства, иа третьем месте — доказательства, на
четвертом — правдоподобные выводы. А настоящий
Дедал речей, тот, что родом из Византия, называет
еще подтверждение и добавочное подтверждение.
Платон. Федр
Никакая философия не докажет так хорошо необхо-
необходимой для всех наук связи, как специальная разработка
одной части какой ни на есть науки. Тут на каждом
шагу прикоснешься к чему-нибудь такому, чего не пой-
поймешь, не зная еще одного или другого; а за справкой
иногда приходится идти далеко. Тут-то всего яснее и
окажется, что науки не просто граничат одна с другой,
а внедряются и проникают друг в друга. Но при специ-
специальных занятиях метод и направление — вот главное.
Н. И. Пирогов. Письма из Гейдельберга
7.1. Траектории
гауссовских процессов
Пусть £ = (£t)teT — гауссовский процесс на множестве Т.
Траектории (или выборочные функции) процесса & — это функ-
функции на Т, поэтому естественно возникает вопрос об их свой-
свойствах типа ограниченности или непрерывности (в случае, когда
Г — топологическое пространство). Поскольку распределение
процесса £ однозначно определяется его средним и ковариацией,
то можно ожидать, что существует характеризация ограничен-
ограниченности или непрерывности траекторий в терминах этих харак-
характеристик. Первый результат в этом направлении был получен
А. Н. Колмогоровым, который поставил проблему и в общем
случае. Проблема оказалась весьма трудной, и лишь недавно
многолетние усилия увенчались результатами, которые можно
считать достаточно полным решением. Для упрощения форму-
формулировок всюду ниже рассматриваются центрированные гауссов-
ские процессы. Центральная идея в этом круге вопросов — рас-
276 Глава 7. Приложения
смотрение полуметрики
d(.s,0 = yE|k-6l2> s,t£T,
и связанной с ней метрической энтропией H(T,d,e), которая
определяется как Н(Т, d, е) = In N(T, d, s), где N(T, d, г) — мини-
минимальное количество узлов е-сети в Т относительно полуметрики
d (т.е. таких точек а*, что открытые шары радиуса е с цен-
центрами в аг покрывают Т). Таким образом, содержательное рас-
рассмотрение возникает в том случае, когда Т вполне ограничено
относительно d. Отметим, что обычно d оказывается настоящей
метрикой (т.е. £t = £s п.в. при d(s,t) = 0), но мы не будем это
предполагать. Выражение
оо
J(T,tI):=JjH(T,d,e)d£
называется интегралом Дадли. Ясно, что для вполне ограничен-
ограниченного (относительно d) пространства Т сходимость этого инте-
интеграла равносильна его сходимости в нуле.
7.1.1. Пример. Пусть Wt — винеровский процесс на [0,1]. То-
Тогда d(s,t) = v^|* - s\ и N(T,d,s) = гЫ + 1, где [с] — целая часть
числа с. Поэтому подынтегральная функция имеет логарифми-
логарифмическую особенность в нуле и интеграл Дадли сходится.
С помощью метрической энтропии можно оценить супремум
гауссовского процесса £j. Положим
Sup(T) = sup{lE(sup£t), F CT, cardF < оо}.
1 KteF ' }
В случае сепарабельного процесса можно было бы не привле-
привлекать конечные подмножества Т.
7.1.2. Теорема. Существуют такие положительные числа
С\.и С'2, что для всякого центрированного гауссовского про-
процесса £t справедливы неравенства
Сг sup г у/H{T,d, г) < Sup{T) < C2J(T,d). G.1.1)
£>0
7.1. Траектории 277
Введем теперь еще одну метрическую характеристику. За-
Зафиксируем натуральное число q > 1. Пусть А = {Ап)п£^ —
измельчающаяся последовательность конечных разбиений Т на
части диаметра не более 2q~n. Для каждого t G Т обозначим
через An(t) тот единственный элемент разбиения Лп, который
содержит t. Предположим, что элементы А € Ап каждого раз-
разбиения снабжены весами а„(А), причем Y^AeA» ап(А) < 1 для
каждого 'д. Положим
~SUP^l"*«n(An(O)
n
Наконец, обозначим через в(Т) инфимум величин @л,а по всем
возможным разбиениям А = (•^n)nej\j и весам а = {а(А)}д£лп.
Соотношение в(Т) < оо называется условием мажорирую-
мажорирующей меры. Это условие действительно может быть связано с ме-
мерами на Т. Вероятностная борелевская мера ц на Т называется
мажорирующей, если
оо . ,.,
Л1 \Х12
In , . de < оо,
/u(B(t,£})J
где B(t, e) — открытый шар радиуса г с центром в t. Известно,
что существуют такие положительные константы Ki(q) и К%(д),
что
оо
Ki(q)@(T) < infsup /(in
где инфимум берется по всем вероятностным мерам /х.
Следующая теорема характеризует регулярность гауссовских
процессов в терминах мажорирующих мер.
7.1.3. Теорема. Пусть £ = (£t)ter — центрированный гаус-
совский процесс.
(i) Для всякого q > 1 существует такая положительная кон-
константа C{q), что Sup(T) < C(q)@(T). Если, кроме того,
®А,а < °° для некоторой последовательности разбиений
А с весами а и
шп8ир]Г<Г'(ш , * ) -0, G.1.2)
mo процесс £ обладает модификацией, почти все траек-
траектории которой равномерно непрерывны на (T,d).
278 Глава 7. Приложения
(ii) Существует такое число до > 2, что для всякого д > qq
найдется число C{q) > 0 (не зависящее от £), для кото-
которого справедливо неравенство в(Т) < C(q)Sup(T). Если
при этом процесс £ непрерывен п.н., то выполнено усло-
условие G.1.2) для некоторых Л и а.
Для приложений весьма полезен такой факт.
7.1.4. Следствие. Сходимость интеграла Дадли влечет на-
наличие непрерывной модификации гауссовского процесса.
7.1.5. Пример. Пусть £ = (£t)teT — центрированный гауссов-
ский процесс на множестве Т С И", причем существуют такие
1-1-5
положительные числа С и <5, что Е|£г — ^s\ < С \n\t — s\\
Тогда £ имеет модификацию с непрерывными траекториями на
Т с метрикой из Ж".
Доказательство. В этом случае функция Н(Т, d, г) оценивает-
2
ся через const £~2+? и потому сходится интеграл Дадли. П
Доказательства приведенных результатов и более подробное
их обсуждение можно найти в [85], [386], [387].
7.2. Бесконечномерные
винеровские процессы
Обсудим теперь понятие винеровского процесса в бесконеч-
бесконечномерных локально выпуклых пространствах. Отметим, что
если Wt — стандартный винеровскии процесс в IRn, то для вся-
всякого единичного вектора v 6 Ж" процесс (v, Wt) является од-
одномерным винеровским. Поэтому можно было бы попытаться
определить винеровскии процесс в сепарабельном гильбертовом
пространстве X как такой непрерывный процесс {Wt) со значе-
значениями в X, что для всякого единичного вектора v e X веще-
вещественный процесс (v,Wt)x является винеровским. Однако тако-
такого процесса не существует, если X бесконечномерно. Действи-
Действительно, пусть и ш v — два ортогональных единичных вектора в
X. Тогда
Следовательно, TE[(u,Wt)x(v,Wt)x] = 0. Пусть теперь {еп} --
ортонормированный базис в X. Тогда ортогональные гауссов-
ские случайные величины (е„, Wt)x независимы и IE (en, Wt)x —
Винеровские процессы 279
оо
(ет
t. В силу классического результата ряд (Wt, Wt)x = Yl (e
расходится п.н., что является противоречием.
Тем не менее предложенная идея может быть воплощена сле-
следующим образом. Пусть X — локально выпуклое пространство,
Н -— сепарабельное гильбертово пространство, непрерывно и
плотно вложенное в X, a jH: X* —)► Н — вложение, опреде-
определенное следующим образом. Для всякого к £ X* функционал
h i—>x, (k,h) непрерывен на Н. Значит, существует такой век-
вектор jн (к) € Н, что для всех h € Н имеем
=x,(k,h) . G.2.3)
7.2.1. Определение. Пусть X и Н — те же, что и выше.
Непрерывный случайный процесс (Wt)t>o на A7, J-, Р) со значе-
значениям/а б X называется винеровским процессом, ассоциирован-
ассоциированным с Н, если для каждого к £ X* с \jH{k)\H = 1 одномерный
процесс K4,(k,W() — винеровский.
Пусть Tt С f, f > 0, — возрастающее семейство ст-алгебр.
Винеровский процесс (Wt)t>o называется ^-винеровским про-
процессом, если для всех t, s > т случайный вектор Wt — Ws неза-
независим с Тт, а случайный вектор Wt ^-измерим.
Отметим, что в случае X = Н = Ж" мы приходим к обычно-
обычному определению. В связи с данным определением сразу возника-
возникают следующие две проблемы.
а) Пусть X — локально выпуклое пространство. Можно ли
найти такое Н, что существует ассоциированный винеровский
процесс в X?
б) Пусть Н С X фиксировано. Существует ли ассоциирован-
ассоциированный винеровский процесс в XI
Первый вопрос имеет положительный ответ для многих про- '
странств.
7.2.2. Предложение. Винеровский процесс в локально выпук-
выпуклом пространстве X существует в точности тогда, когда су-
существует сепарабельное гильбертово пространство Е, непре-
непрерывно и плотно вложенное в X. Если X секвенциально пёлно,
то это равносильно существованию ограниченной последова-
последовательности в X, у которой линейная оболочка всюду плотна.
280 Глава 7. Приложения
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Необходимость указанного условия очевид-
очевидна. Предположим, что X — сепарабельное гильбертово про-
оо
странство. Выберем числа tn > 0 так, что 5Z Ц\. < °°- Пусть
71=1
71 = 1
П=1
Тогда // — сепарабельное гильбертово пространство с нормой
\h\H и естественное вложение И —$ X — оператор Гильберта-
Шмидта. Пусть {wn(t)} — последовательность независимых ве-
оо
щественных винеровских процессов. Тогда ряд £3 4iwn{tJ cxo-
71=1
дится п.н. Положим Wt — Y^T=i^nWn(t)en. Можно проверить,
что процесс Wt непрерывен (см. доказательство следующей тео-
теоремы). Пусть v e X и vn = (v,en)x. Тогда jH{v) = Y%Li ^пеп.
ОО
Если \jn(v)\H = 1, то J2 t2nvl = !• Поэтому процесс {v,Wt)x =
71 = 1
ОО
J^ tnvnwn(t) — винеровский. Пусть X — такое локально вы-
71 = 1
пуклое пространство, что существует сепарабельное гильберто-
гильбертово пространство Е, непрерывно и плотно вложенное в X. Возь-
Возьмем произвольный винеровский процесс в Е, ассоциированный
с каким-нибудь гильбертовым пространством Н, вложенным в
Е, и будем рассматривать его как Х-значный процесс. Ясно,
что он непрерывен. Пусть вектор v е X* таков, что \j(v)|н = 1.
Обозначим через и ограничение v на Е. Тогда
E,{u,Wt)E =x,(v,Wt)x,
]jH(u)\H =sup|(j/,(«),/l)w: \h\H < l| =
,{u,h}E: \h\H <lj=sup|x.(«,/i)x: \h\H < lj =
: \h\H <lJ=|jH(«)|H = l.
Следовательно, Wt — винеровский процесс в X. Для доказатель-
доказательства последнего утверждения заметим, что если {ап} — ограни-
ограниченная последовательность в секвенциально полном локально вы-
Йуклом пространстве X, то существует сепарабельное гильбер-
гильбертово пространство, содержащее {ап} и непрерывно вложенное в
7.2. Винеровские процессы 281
X. Такое пространство можно задать с помощью отображения
I2 —> X, (hn) i-> X^=i 2~"/inan, которое корректно определено и
непрерывно ввиду ограниченности {ап} и секвенциальной полно-
полноты X (образ единичного шара при этом отображении ограничен
V \ i i
в Л]. LJ
Проблема б) более деликатна, поскольку она связана с про-
проблемой существования гауссовской меры на X с воспроизводя-
воспроизводящим гильбертовым пространством Н (таковой мерой является
распределение случайного вектора W\).
7.2.3. Предложение. Пусть X — секвенциально полное ло-
локально выпуклое пространство, на котором существует цен-
центрированная гауссовская мера Радона 7 с пространством Ка-
Камерона-Мартина Н = Н(-у), плотным в X. Тогда существует
винеровский процесс (Wt)t>o, ассоциированный с Н, для кото-
которого распределение W\ совпадает с 7-
Доказательство. Пусть К — абсолютно выпуклый метризу-
емый компакт положительной 7-меры. Существует последова-
последовательность {1п} С X*, разделяющая точки линейной оболочки Е
компакта К. Положим J: Е —>'М°°, Jx = \ln{x)\. Множество
Q = J(K) — абсолютно выпуклый компакт в М°°. В силу задачи
А.3.26 его функционал Минковского pq имеет вид pq = supj/j,
где fi G (М°°)*. Возьмем ортонормированный базис {е„} в Н и
последовательность независимых одномерных винеровских про-
процессов wn(t) на одном и том же вероятностном пространстве
(£7, Р). Положим
оо
Wt(u>) = J2 wn{t){u)en. . G.2.4)
71=1
Как мы знаем, для каждого t ряд G.2.4) сходится в X п.н. При
этом W\ индуцирует меру 7- Ясно, что для каждого г числовой
лроцесс fi(JWt) — мартингал относительно фильтрации, поро-
порожденной процессами wn(t), поскольку он пропорционален стан-
стандартному винеровскому процессу. Следовательно, процесс
Vt = PQ{JWt) — sup fi(JWt)
г
— субмартингал (см. задачу 7.5.16). Значит, по теореме Дуба
(см. Дополнение) для любого фиксированного Т имеем
IE sup i]f < Шг]т = Т2 I pq(JxJ ■y(dx) < 00
/.РГО.7'1 J
282 Глава 7. Приложения
ввиду теоремы Ферника. Таким образом, для всех из из множе-
множества По полной меры имеем
SUp PQ[JWt(iO)) < ОО,
te[o,T] v '
что означает для таких и существование п(и) G IN, для кото-
которого JWt(u)) € п(и))К при t G [0,Т]. Осталось заметить, что
для почти всех из € По функции £i(JWj), где ^ — координат-
координатные функции на Ш°°, непрерывны на [0,Т]. Тогда для таких и>
непрерывно и отображение t i-> Wt(ii>), ибо на компакте п(и>)К
исходная топология совпадает с топологией, заданной счетным
семейством функционалов ^oj, разделяющих точки. LJ
7.2.4. Замечание. Ясно, что вместо условия секвенциальной
полноты можно было просто потребовать существование вы-
выпуклого компакта К положительной меры. Действительно, то-
тогда выпуклая оболочка объединения К и —К выпукла и ком-
компактна (см. [159, предложение 9.1.9]). Кроме того, она абсо-
абсолютно выпукла. Поэтому можно взять в К метризуемый ком-
компакт положительной меры и перейти к его замкнутой абсолют-
абсолютно выпуклой оболочке. Например, пространство со со слабой
топологией не является секвенциально полным, но обладает ука-
указанным свойством (поскольку радоновские меры относительно
слабой топологии со радоновы и относительно нормы). Неиз-
Неизвестно, справедлива ли предыдущая теорема без дополнитель-
дополнительных предположений о пространстве X (в части, касающейся не-
непрерывности процесса; формула G.2.4) определяет процесс Wt
в произвольном пространстве). В случае, когда X — сепара-
бельное банахово пространство, как и в скалярном случае, при
S G @,1/2) винеровский процесс в X, в силу теоремы А.3.22
Дополнения, имеет гельдеровы порядка д траектории.
7.3. Логарифмические градиенты
Логарифмический градиент меры ц на Шп с гладкой плотно-
плотностью / — это отображение V///. Хотя в бесконечномерном
пространстве ни /, ни V/ не имеют смысла по отдельности,
оказывается возможным придать смысл их отношению. Лога-
Логарифмические градиенты мер были введены в [170]. Мы увидим,
что логарифмические градиенты гауссовских мер — это коэф-
коэффициенты сноса симметризуемых диффузий, заданных линейны-
линейными стохастическими дифференциальными уравнениями.
7.3. Логарифмические градиенты 283
Пусть X — локально выпуклое пространство, Н С X — не-
непрерывно и плотно вложенное сепарабельное гильбертово про-
пространство, jH: X* —> Н — вложение, определенное выше в G.2.3).
7.3.1. Определение. Пусть радоновская мера ц на X диффе-
дифференцируема по всем направлениям из jH(X*). Если существует
такое борелевское отображение /5^: X —>■ X, что
то это отображение /3^ называется логарифмическим гради-
градиентом {векторной логарифмической производной) меры /л, ас-
ассоциированным с Н.
7.3.2. Пример. Пусть X = Н = Шп и \л — мера на Ш™, диф-
дифференцируемая по всем направлениям. Обозначая через р плот-
ность и, получаем ву(х) = —-Ц—.
р[х)
Доказательство. Отождествляя (Шп)* с И", имеем jH (k) = к_
для всякого к. Остается заметить, что dkp(x) = (к, Ур(ж)). LJ
7.3.3. Пример, (i) Пусть /л — центрированная радоновская
гауссовская мера на локально выпуклом пространстве X, Н —
ее пространство Камерона-Мартина. Тогда /3^(х) = —х.
(ii) Пусть X — R°°, Н = I2 и ц — счетное произведение
вероятностных мер /tra, заданных гладкими плотностями рп на
прямой. Тогда (I'lf. Ш°° —> Ш.°° задается равенством
/Л _ Рп\Хп)
{ 'I' (У
Доказательство. Утверждение (i) вытекает из теоремы 5.1.6.
(ii) В этом случае X* есть пространство i?o° всех конечных'
последовательностей и jH(k) = к для всякого к G i?o°. Лога-
Логарифмическая производная /л вдоль к = (к\,..., кп, 0,0,...) есть
п
функциях и- Е kiPi(xi)/pi(xi). Следовательно, (p'n/pn)%Li — ло-
г = 1
гарифмический градиент. П
Рассмотрим пример, когда пространство Н, участвующее в
определении логарифмического градиента, отличается от про-
пространства Камерона-Мартина.
284 Глава 7. Приложения
7.3.4. Пример. Пусть 7 — центрированная радоновская гаус-
совская мера на гильбертовом пространстве X с пространством
Камерона-Мартина Н(-у) = Т(Х) и Я = Q(X) С Т(Х), где Т и Q
— инъоктивные неотрицательные операторы с Q2(X) С Т2(Х).
Тогда
рнЬ) = -Я*,
где R — оператор, удовлетворяющий уравнению Q2 = T2R.
Доказательство. Прежде всего заметим, что по условию опе-
оператор R существует алгебраически. Следовательно, по теореме
о замкнутом графике он ограничен. Имеем:
(fe, -R*x)x = (Rk, -x)x = (T~2T2Rk, -x)x =
что есть соотношение выше, поскольку jH(k) = Q2k = T2Rkji
нашем случае. LJ
В пространстве бесконечной размерности гауссовская мера
может не иметь логарифмического градиента вдоль плотно вло-
вложенного гильбертова пространства Я (даже при условии, что
(
7.3.5. Пример. Пусть Я = I2 и
\\X\\ •—
п=1
оо
2ж
Тогда j.AX*) = < (хп): "J я2ж„ < оо>. Возьмем в качестве ц,
I n=i )
счетное произведение гауссовских мер на М1 с плотностями
В этом случае пространство H(fx) = jH(X*) вложено в X по-
посредством оператора Гильберта-Шмидта, но Я не порождает
логарифмического градиента.
Доказательство. Действительно, в противном случае мы бы
получили (Р'/Лх)) = —Ti?xn, поскольку для п-го координатного
функционала /„: х .i-> xn имеем jH(ln) = en, где {еп} -— стан-
стандартный базис t2, и /3£п(х) = р'п{хп)/рп{хп) = -п2хп. Итак, ряд
Y2 11~2{(^тЛх)\ — Y1 п'2хп расходится /i-п.в., что противоречит
v J
включению
_
A". LJ
7.3. Логарифмические градиенты 285
7.3.6. Предложение. Пусть 7 — центрированная радонов-
ская гауссовская мера на локально выпуклом пространстве X
и Н — сепарабельное гильбертово пространство, которое не-
непрерывно и плотно вложено в X. Предположим, что Н С Я G).
Тогда 0]j существует. Более того, существует такой опера-
оператор Т G С(Н(-у)), что Н = Т(Н(-у)), и fijj совпадает с измери-
измеримым линейным продолжением —ТТ*.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Заметим, что по теореме о замкнутом гра-
графике естественное вложение Н —> Н(-у) непрерывно. Обозна-
Обозначим через Т композицию произвольной унитарной изометрии
Я(т) -> Я с вложением Я в ЯG). Тогда Т <Е £(ЯG)) и Я =
т(Н(-у)). Как мы знаем, каждый непрерывный линейный опе-
оператор А на Я G) допускает единственное продолжение до из-
измеримого линейного отображения А: X -> X. Применим этот
результат к оператору А = —ТТ*. Для всякого к € А'* и всяко-
всякого h G ЯG) имеем
-х,{к,тт*1г)х = -UH(k),TT*h L =
я
= -(T-ljH(k),T*h) =-(jH(k),h)
поскольку jH(k) € Я = т(Н(-у)). Как показано в главе 3, функ-
функционал h >-> —\jH(k),h) является сужением на ЯG) измери-
мого линейного функционала —v, где v = j,,(k). Это означает,
что измеримые линейные функционалы х i-> {k,TT*(x)) и v со-
совпадают 7-п-в., поскольку они совпадают на Н(-у). Поскольку
v = — /?J, то теперь молено положить [fH{x) = —ТТ*(х). LJ
В конечномерном случае вероятностная мера с линейным ло-
логарифмическим градиентом — непременно гауссовская. При-
Приводимый ниже пример показывает, что положение иное в бес-
бесконечномерном случае. Это явление тесно связано с проблемой
единственности для мер с заданной логарифмической производ-
производной. Проблема единственности, так же как и проблема суще-
существования, допускает несколько различных постановок. Различ-
Различные имеющиеся здесь возможности обсуждаются в [18]. Трудно-
Трудности возникают тогда, когда приходится сравнивать логарифми-
логарифмические градиенты взаимно-сингулярных мер. Одна из возмож-
возможностей - - зафиксировать какую-нибудь борелевскую версию /3.
Простые примеры показывают, что даже на прямой различные
286 Глава 7. Приложения
вероятностные меры с гладкими почти всюду положительными
плотностями могут иметь одну и ту же логарифмическую про-
производную. Действительно, пусть гладкая функция </? такова, что
уз(О) = 0, (/з > 0 на Е1 \ {0} и fipdx = 1. Положим
ip :=-<р на [0, оо), ф := ар на (—оо,0],
где с > 0 таково, что / ф dx = 1. Тогда меры (j, := <pdx и v := ■i/xix
различны, но имеют одну и ту же логарифмическую производ-
производную *р' /<р = ф' /ф- Скажем, можно взять <р(х) := х2р(х), х € Ж1,
где р — стандартная гауссовская плотность на Ж1.
Можно проверить (см. [205]), что вероятностные меры на Ж"
с равными непрерывными (или хотя бы локально интегрируемы-
интегрируемыми) логарифмическими градиентами совпадают. Это перестает
быть верным в бесконечномерных пространствах даже для ли-
линейных логарифмических производных.
7.3.7. Теорема. Пусть X — бесконечномерное сепарабельное
гильбертово пространство. Тогда найдутся такие сепарабель-
сепарабельное гильбертово пространство Н, плотно вложенное в X по-
посредством оператора Гильберта-Шмидта, и две различные не-
невырожденные центрированные гауссовские меры щ и [1% на X,
что в качестве j3^ и f3^j можно взять один и тот оке ограни-
ченый линейный оператор А в X.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Воспользуемся примером 7.3.4. Пусть А' =
L2[0,1] и Н = И^'2[0,1] — соболевское пространство функций с
абсолютно непрерывными третьими производными, такими что
/D) eL2[o,l], /(J)(o) = /(i)(i) = o o<j<3.
Зададим операторы (Ai, D{A{) J, i = 1, 2, в Х посредством
D(Ai) := {и € W2'2[0,1] | u@) = u(l) = 0},
D{A2) := {u € W2'2[0,1] | u(l) - u'(l) = 0 = u@) + u'{0)}.
Ai = A2 = -A.
Как известно, (Ai,D(Ai)j, i = 1, 2, — инъективные неотрица-
неотрицательные самосопряженные операторы в X, причем Г» := ^i,
являются инъективными неотрицательными самосопряженнны-
ми операторами Гильберта-Шмидта в X. Чтобы убедиться в
инъективности, заметим, что для всякого и G D{A\) имеем
7.3. Логарифмические градиенты 287
1 1
- f u"(t)u(t)dt = I' u'{tJdt + u'u\l = I u'{tJdt > fu(tJdt,
о о
а для всякого и G D(A2) имеем
l l
- / u"{t)u{t) dt= I u'(tJ dt + u'u\l =
о о
1
1 1
= f u'(tJ dt + u(lJ + u@J > X- f u{tf dt.
о о
Поскольку вложение Н С X осуществлено оператором Гильбер-
Гильберта-Шмидта, то существует инъективный неотрицательный са-
самосопряженный оператор Гильберта-Шмидта Q в X, для кото-
которого Q(X) = Н и | • \н = \Q~X ■ \х- Ясно, что
Q(X) = Н С Т1(Х) П Т$(Х) и T{2h = T?2h, V/i € Я.
Поскольку Q2{X) С Q{X) и Т?(Х) С ЩХ), г = 1,2, то утвер-
утверждение вытекает теперь из примера 7.3.4, если выбрать в каче-
качестве щ центрированные гауссовские меры на X с ковариацион-
ковариационными операторами Т2, i — 1, 2, и взять А = R* с R = Т{2 Q2 =
T^~2Q2. Теорема доказана. LJ
7.3.8. Следствие. Пусть /л = \{ц\ + №)> где /ii и /иг — цен-
центрированные гауссовские меры из предыдущей теоремы. Тогда
ц — негауссов екая вероятмостная мера, но (З^ = /З^1 = А —
ограниченный линейный оператор.
Ситуация, описанная в теореме 7.3.7, невозможна, если Н —
пространство Камерона-Мартина этих двух ме~р.
7.3.9. Предложение. Пусть /л — радоновскал вероятност-
вероятностная мера на локально выпуклом пространстве X, А — непре-
непрерывный линейный оператор в X и /3^ = А \л-п.в. Предполо-
Предположим, что каждое множество из £(Х) с точностью до множе-
множества меры нуль совпадает с элементом а-алгебры, порожден-
порожденной функционалами к о А, к G X*. Тогда /л — центрированная
гауссовская мера. В частности, это верно, если оператор А
инъекгпивен.
288 Глава 7. Приложения
Доказательство. Пусть к е X*. Положим I = ко А и h =
ju (к). Предположим, что Р'^{х) равняется Ах /i-п.в. Тогда Р£{х)
совпадает /i-п.в. с —1(х). Докажем, что I — центрированная
гауссовская случайная величина на (X, /л). Для этого заметим,
что, в силу формулы интегрирования по частям,
—ji(tl) = i I l(x)exp(itl(x)) n{dx) =
= i I dhexp(itl(x)j ^(dx) = —tl(h)ju(tl),
откуда fl(tl) = expf — ^l(h)t ). Итак, все функционалы к о А,
к Е X*, — центрированные гауссовские случайные величины
на {Х,ц). По условию, это означает, что /л — центрированная
гауссовская мера с ковариацией Q(koA) = (к, AjH {к)). Последнее
утверждение вытекает из предложения А.3.12 Дополнения. LJ
В бесконечной размерности отсутствуют какие-либо анало-
аналоги меры Лебега и сложнее определять нетривиальные симметрии
мер. Легко видеть, что мера Дирака в нуле — единственная сфе-
сферически симметричная вероятностная мера на бесконечномер-
бесконечномерном гильбертовом пространстве X. Однако можно рассмотреть
iif-сферически симметричные меры на X как меры, инвариант-
инвариантные относительно действия группы ортогональных операторов
на Н. Точное определение таково.
7.3.10. Определение. Вероятностная радоновская мера ц на
X называется Н-сферически симметричной, если ее преобразо-
преобразование Фурье записывается в виде
где ip — функция на Ш1.
Если пространство Н бесконечномерно, то мера ц на X без
атома в нуле //-сферически симметрична, если и только если
она есть смесь гауссовских мер /Д определенных посредством
/if(/?) = fil(t~lB), где /i1 — центрированная радоновская гаус-
гауссовская мера с пространством Камерона-Мартина Н (см. [32,
с. 193, теорема IV.4.2], [121]). Подобной характеризации нет
в конечномерном случае, поскольку такая смесь должна иметь
положительную плотность. Однако задача 7.5.12 позволяет опи-
описать дифференцируемые //-сферически симметричные меры как
в конечномерном, так и бесконечномерном случаях как меры,
имеющие логарифмические градиенты, ассоциированные с //,
вида /3#(х) = с(х)х, где с( ■) -— вещественная функция.
Г.З. Логарифмические градиенты 289
7.3.11. Предложение. Пусть ц — вероятностная мера Ра-
Радона на X, которая дифференцируема по всем направлениям из
jH(X*), причем
Рн(х) = с(х)х, G.3.6)
где с — измеримая вещественная функция на X. Тогда ц, явля-
является Н-сф)ерически симметричной. Если Н бесконечномерно и
7 — центрированная радоновская гауссовская мера на X с про-
пространством Камерона-Мартина Н, то существует такая ве-
вероятностная мера а на @, оо), что
= j 1{rlB)a{dt). G.3.7)
Обратно, если Н-сферически симметричная мера /л имеет
логарифмический градиент /Зн, то имеет место G.3.6).
Доказательство. Прежде всего заметим, что первое утвер-
утверждение достаточно доказать для всех конечномерных проекций
меры /х, имеющих вид Рпх = (l\(x), ■ ■. ,ln(x)j, где li & X* тако-
таковы, что векторы ei = jH(h) ортогональны в Н (более того, мож-
можно ограничиться рассмотрением двумерных проекций). Пусть
Вп — условное математическое ожидание отображения РпР^
относительно ст-алгебры, порожденной 1\,... ,1п. Тогда нетруд-
нетрудно убедиться, что Вп{х) = (Зп(Рпх), где /Зп — логарифмический
градиент меры /лоР^1 на М" (порожденный самим простран-
пространством Шп). Ясно, что это условное математическое ожидание
имеет вид х ь* сп(х)Рпх, где с„ — соответствующее условное
математическое ожидание функции с (достаточно заметить, что
РпР^(х) = с(х)Рпх)'. В частности, сп(х) = dn(Pnx), где dn —
функция на Шп. Остается воспользоваться задачей 7.5.12.
Пусть //-сферически симметричная мера ц, имеет логариф-
логарифмический градиент /Зн. В конечномерном случае справедливость
утверждения легко усмотреть из того факта, что сферически
симметричная абсолютно непрерывная мера имеет плотность,
зависящую лишь от нормы аргумента. Предположим, что Н бес-
бесконечномерно. В задаче 7.5.13 предлагается доказать, что суще-
существует центрированная гауссовская мера Радона 7, для которой
имеет место G.3.7). Из этого вытекает, что мера /л сосредо-
сосредоточена на суслинском линейном подпространстве Е и найдется
последовательность {1п} С X*, разделяющая точки Е. Можно
считать, что при этом векторы jH(ln) образуют ортонормиро-
ванный базис в Н. Рассмотренные выше проекции ц о Р~1 также
10 В.И. Богачев
290 Глава 7. Приложения
имеют логарифмические градиенты /?„. Поскольку эти проек-
проекции сферически симметричны, то /Зп(у) = dn(y)y. Зафиксируем
i G IN. Тогда, как нетрудно проверить, условные математиче-
математические ожидания дп := Еп(к,(Зн) относительно ст-алгебры, поро-
порожденной 1\,... ,1п, совпадают с (dn о Рп)Ц при п > г. С другой
стороны, {<?„} сходится по мере к (к,(Зн). Поскольку множество
Кеюк имеет /i-меру нуль, то последовательность {dn о Рп} схо-
сходится по мере к некоторой функции с, которая, тем самым, от
i не зависит. Итак, (к,/Зн(х)} = с(х)к(х) п.в., откуда вытекает
соотношение G.3.6) (указанное в работе [96]). П
7.4. Бесконечномерные диффузии
Пусть X — локально выпуклое пространство, Н — непре-
непрерывно и плотно вложенное в X сепарабельное гильбертово про-
пространство, а В: X —> X — борелевское отображение. Рассмо-
Рассмотрим следующее стохастическое дифференциальное уравнение:
d£t = dWt + -B(£t)dt, £o = х. G.4.8)
Под решением понимается такой случайный процесс £t (назы-
(называемый диффузионным) в X, что существуют фильтрация Т =
{^t}t>o, с которой согласован процесс £s, и ^"-винеровский про-
процесс {Wt)t>o в X, ассоциированный с Н, причем для всех t > О
п.н.
t
В конечномерном случае это соответствует понятию слабо-
слабого решения. Можно определить и сильное решение, а имен-
именно потребовать, чтобы указанные условия выполнялись для за-
заранее заданного винеровского процесса (Wt)t>o с фильтрацией
Tt = o{Ws: s < t). Возможны и другие интерпретации понятия
решения уравнения G.4.8). Следует отметить, что в бесконечно-
бесконечномерных пространствах (скажем, в бесконечномерных банаховых
пространствах) уравнение G.4.8) может быть неразрешимым да-
даже для ограниченного непрерывного отображения В (см. при-
примеры в [199]). Если X — банахово пространство, то липшице-
вость В достаточна для существования сильного решения G.4.8).
Отметим следующий важный частный случай уравнения G.4.8):
В{х) = —х. Решение такого уравнения существует и называется
процессом Орнштейна-Уленбека.
7.4. Бесконечномерные диффузии 291
Напомним несколько аналитических объектов, связанных с
понятием марковского процесса £ в топологическом простран-
пространстве X (само это понятие никак не используется ниже; основ-
основные сведения о марковских процессах можно найти в книге [33]).
Пусть fi —■ вероятностная мера Радона на X. Непрерывная по-
полугруппа (Tt)t>o на Ь2(ц) называется марковской полугруппой,
если ||Tf ||х,2(^) < 1, ТД = 1 и Ttf > 0 при / > 0. Если операторы
Tt симметричны, т.е. имеет место тождество
, V/, д Е L2(M), G.4.9)
то и полугруппа называется симметричной. В этом случае ме-
мера \х оказывается инвариантной мерой полугруппы (Tt)t>o, т.е.
удовлетворяет соотношению
J Ttf йц = J f dfi, V/eL2(M). G.4.10)
Понятие инвариантной меры определено и для полугрупп (Tt)t>o
на пространстве Вь(Х) ограниченных борелевских функций: ра-
доновская мера ц называется инвариантной для (Tt)t>o, если
J
Ttf d/л = I f йц, VfEBb(X). G.4.11)
Основной пример, стоящий за всей этой терминологией, — полу-
полугруппа, порожденная переходными вероятностями Р(х, t, ■) од-
однородного марковского процесса £ (точнее, марковского семей-
семейства) с. инвариантной мерой ц. Эта полугруппа задается фор-
формулой
Ttf(x) = Jf(y)P(x,t,dy),
Конечно, и без предположения о существовании инвариант-
инвариантной меры такую полугруппу можно рассматривать на простран-
пространстве Вь(Х) ограниченных борелевских функций вместо L (//).
Типичный пример марковского семейства — решение ££ уравне-
уравнения G.4.8). Тогда переходные вероятности задаются формулой
P(t,x,B) = Р[ш: £t(u>) Е В). Разумеется, мы оставляем „за
кадром" технические тонкости, связанные с вопросами измери-
измеримости, а также с тем, что не всегда решение G.4.8) оказывается
марковским. Диффузионный процесс называется симметризу-
емым, если его переходная полугруппа обладает инвариантной
мерой, относительно которой она симметрична.
10*
292 Глава 7. Приложения
t
7.4.1. Пример. Процесс £* := е~^2х + / е^~1^2 dWs удойлет-
о
воряет уравнению G.4.8) с В{х) — —х (т.е. является процессом
Орнштейна-Уленбека), порождаемая им на Вь(Х) полугруппа
совпадает с полугруппой Орнштейна-Уленбека (Tt)t>o, а мера
7 инвариантна для этой полугруппы.
Доказательство — предмет задачи 7.5.17.
Пусть X —'локально выпуклое пространство и Н С X —
непрерывно и плотно вложенное сепарабельное гильбертово про-
пространство. Со всяким отображением В: X —■> X можно связать
эллиптический оператор L, определенный на J-C°° равенством
Lf = AHf+x.(f',B)x, G.4.12)
где
с»
J22eJ(x), G.4.13)
п=\
и {еп} — ортонормированный базис в Н. Отметим, что сум-
сумма в G.4.13) не зависит от конкретного выбора ортонормиро-
ванного базиса в Н. Для функции / вида / = Ц>{1\, ■ ■ ■ Jn), где
<р 6 C£°(IRn), /,6Г, имеем
г=1
Если X — гильбертово пространство и Н = Т(Х), где Т —
неотрицательный инъективный оператор Гильберта-Шмидта с
собственными векторами hn, образующими ортонормированный
базис в X, и собственными числами tn, то векторы еп = tnhn
составляют ортонормированный базис в Н и
Вп = (В,1гп)х.
Доказательство следующей теоремы дано в [205].
7.4.2. Теорема. Пусть ц — вероятностная мера Радона на
локально выпуклом пространстве X и Н С X — непрерывно и
плотно вложенное сепарабельное гильбертово пространство.
7.4, Бесконечномерные диффузии 293
(i) Пусть
A,В)еЬ2(/л), VI еХ*. G.4.14)
Предположим, что оператор L, заданный G.4.12), симме-
симметричен на ТС°° С Ь2(ц). Тогда логарифмический гради-
градиент Рц существует и совпадает с В /л-п.в.
(ii) Если логарифмический градиент fi1^ существует и ото-
отображение В = pfj удовлетворяет условию G.4.14), то
соответствующий оператор L симметричен, причем для
всех / € ТС°° имеем (Lf,f)^2^ < 0.
7.4.3. Замечание. В силу теоремы Фридрихса из утвержде-
утверждения (ii) вытекает, что оператор L имеет неположительное само-
самосопряженное расширение, т.е. продолжатся до генератора сим-
симметричной марковской полугруппы на L2(m). Если на X име-
имеется радоновская гауссовская мера с пространством Камерона-
Мартина Н, то, как показано в [171], существует и диффузион-
диффузионный процесс с инвариантной мерой д, для которого генератор
переходной полугруппы совпадает с \h на ТС°°. Таким образом,
предыдущая теорема показывает, что логарифмические гради-
градиенты мер представляют собой удвоенные коэффициенты сноса
симметризуемых диффузий.
Как мы уже знаем из предыдущих глав, стохастические диф-
ференциачьные уравнения тесно связаны с нелинейными пре-
преобразованиями гауссовских мер. Поэтому естественно возника-
возникают вопросы об условиях абсолютной непрерывности распределе-
распределений диффузионных процессов, а также их переходных вероят-
вероятностей и инвариантных мер относительно гауссовских мер. При
широких предположениях переходные вероятности и инвариант-
инвариантные меры диффузионных процессов на К", заданных уравне-
уравнением G.4.8), абсолютно непрерывны относительно стандартной
гауссовской меры. Совершенно иная ситуация в бесконечномер-
бесконечномерном случае. Во-первых, в типичных случаях переходные вероят-
вероятности P(t, х, ■) оказываются взаимно-сингулярными при разных
t. Например, так обстоит дело в случае винеровского процес-
процесса Wt, где переходная вероятность P(t,0, ■) является образом
гауссовской меры 7 — распределения W\ — при отображении
х н-> \/tx. Во-вторых, переходные вероятности и инвариантные
меры могут вообще оказаться взаимно-сингулярными со всеми
гауссовскими мерами (см. [205]). Здесь мы обсудим интерес-
интересный и важный специальный случай, когда В(х) = —х + v(x),
где v: X —> Н — борелевское векторное поле (что соответствует
„малым" возмущениям процесса Орнштейна-Уленбека).
294 Глава 7. Приложения
Пусть, по-прежнему, Н — гильбертово пространство, ассо-
ассоциированное с Wt, 7 — распределение W\ и
В(х) = -x + v(x), v: X -»■ Я.
Будем предполагать, что выполнено условие G.4.14).
С исследованием инвариантных мер диффузии, порожденной
G.4.8), связано рассмотрение эллиптического уравнения
L> = О,
понимаемого в следующем слабом смысле:
f Lf(x)/j,(dx)=0, У/еТС°°. G.4.15)
х
При широких предположениях всякая инвариантная мера диф-
диффузии, заданной уравнением G.4.8), удовлетворяет уравнению
G.4.15) (например, это верно, если sup|u|H < оо).
Следующий результат доказан в [481].
7.4.4. Теорема. Предположим, что sup|u(x)|w < оо. Тогда
существует процесс С, = (£,t)t>o,xex > являющийся решением, ура-
уравнения G.4.8), причем этот процесс обладает инвариантной
вероятностной мерой ц, эквивалентной мере j.
Перейдем теперь к результатам о регулярности решений эл-
эллиптического уравнения G.4.15), дающим некоторую информа-
информацию об инвариантных мерах диффузионных процессов G.4.8).
Следующий результат доказан в [205].
7.4.5. Предложение. Пусть ц — такая вероятностная ме-
мера на Шп, что выполнено G.4.15), где L<p = A<p + (V<p, В) и В —
борелевское векторное поле на Шп с \ В \е L2(ijl). Тогда /i име-
имеет плотность р € VFljl(IRn); в частности, /i дифференцируема
вдоль всех векторов из TRn, и справедлива следующая оценка:
[
dx < I \B(x)\2 fi(dx). G.4.16)
При этом 'Vp/p является ортогональной проекцией В на замы-
замыкание множества градиентов функций из Со°(Шп) в простран-
пространстве L2(^i,JRn).
7.4. Бесконечномерные диффузии 295
7.4.6. Теорема. Пусть X, Н, 7 — тпе же, что и выше. Пред-
Предположим, что вероятностная мера ц на X удовлетворяет ура-
уравнению G.4.15), где
В(х) = -х + v(x), v. X -> Я, \v\H E Ь2(ц).
Тогда:
(i) мера \i абсолютно непрерывна относительно меры ^ и ее
производная Радона-Никодима q имеет вид р = F2, где
функция F — элемент Соболевского класса Н ^(j);
(ii) мера \i дифференцируема вдоль всех векторов h £ Н и
/Зц(х) = — х + и(х), где и: X —> Н является ортогональной
проекцией v на замыкание множества {VH/ | / € J-C°°} в
гильбертовом пространстве Ь2(/л,Н).
Доказательство, (i) Можно считать, что и = v, поскольку
/.I. удовлетворяет уравнению G.4.15) с В\(х) = — х + и{х). Это
вытекает из равенства
.(f',u-v)xdn =
Пусть {еп} — такой ортонормированный базис в Н, что еп =
JH(ln)i ln £ -X"*- Будем временно рассматривать обе меры j и
/i на <т-алгебре, порожденной функционалами \li\ (заменив v на
соответствующее условное математическое ожидание).
Для всякого F е Ь2(ц,Н) последовательность Fn — E^F^n]
условных математических ожиданий F относительно <т-алгебр
ап, порожденных Zi,...,Zn, сходится к F в Ь2(/л,Н) (см. [32,
гл. II, теорема 4.1]). Пусть Нп — линейная оболочка ei,...,en
и Рп: X —> Нп, Рпх = ly(x)ei + ... + ln(x)en. Пространство
Нп наделяется скалярным произведением из Н. Отметим, что
li(ej) = {ei,ej)H для всех i, j. Поэтому Рп\н — ортогональная
проекция на Нп в Н и \Pnh — h\H —> 0 при п —> оо для всех h € Н.
Следовательно, для определенных выше отображений Fn имеем
PnFn -> F в Ь2(/л,Н). Действительно,
f \F(x) - PnFn(x)\2f v(dx) =
< J \F(x) - PnF(x)\l tiidx) + J \PnF{x) - PnFn(x)\l »(dx) <
< J \F(x) - PnF(x)\2H n(dx) + I \F(x) - Fn(x)\2H n(dx) -> 0,
296 Глава 7. Приложения
поскольку первое слагаемое в правой части стремится к 0 по
теореме Лебега. Положим
vn :=
Ьп :=
Таким образом,
vn —> v в L2(/u,|ff) при п —> оо.
Заметим, что Ьп(х) = —Рпх + vn(x). Пусть цп := ц о Р^1.
Найдутся такие борелевские отображения Ьп: Нп —> Нп, что
6П = Ъп о Рп д-п.в. Легко проверить (такую проверку можно
найти в [205, предложение 3.3]), что мера /лп на Нп удовлетворя-
удовлетворяет уравнению L*/un = 0, где
Lnu = J2dlu + (VH«A)tfn, Vu б С6°°(ЯП).
г=1
Согласно предложению 7.4.5, мера /лп имеет плотность /п отно-
относительно стандартной гауссовскои меры jn на Нп. Пусть qn —
стандартная гауссовская плотность на Нп (напомним, что Нп
наделено скалярным произведением таз Н). В силу предложения
7.4.5 имеем рп := fnqn € Hl>l(Hn) и C^ = VHpn/pn, причем
п)- Следовательно,
для Мп-п.в. ^ € Яп. G.4.17)
С другой стороны, согласно предложению 7.4.5 имеем
ЬпП = P^nn(z) + dn(z) для Мп-п.в. z € Яп, G.4.18)
где dn: Hn —>• ifn таковы, что
Hn(dz) = O, У/€СЬ°°(ЯП). G.4.19)
я„
Из соотношений G.4.17) и G.4.18) получаем
vn(x) = bn(x) + Pnx = Pfrn(Pnx) + dn(Pnx) + Рпх =
VHfn(Pnx)
= -п~+*(ад "п°
7.4. Бесконечномерные диффузии
297
На основании G.4.19) имеем
jCMPnX))'dn(PnX))
G.4.20)
В самом деле, G.4.20) следующим образом вытекает из G.4.17).
По теореме 2.8 из [205] существуют такие функции qi G С^°(Нп),
г £ IN, что
Отображение 5: z i-> — z на Нп совпадает с VHQ, где Q(z) =
— \{ziz)Hn- Поэтому легко проверить, что отображение S так-
также принадлежит замыканию {VH/| / G С^°(Нп)} в Ь2(цп,Нп),
используя тот факт, что S € Ь2(/1п,Нп) (последнее вытекает
из того, что Ьп и vn квадратично-интегрируемы относитель-
относительно /i). Поскольку vn -> v в Ь2(/л,Н), то в силу G.4.20) суще-
существуют такие отображения d и G в L2(fi,H), что dnoPn —> d и
Vw/n о Pn/fn о -Pn -> G в Ь2(ц,Н). Из G.4.19) легко усмотреть,
что отображение с! ортогонально {VH/: / € •7ГС£О}, а потому и
G. Поскольку мы предположили, что и = и, то с! ортогонально
v, откуда d — 0. Итак,
в L2(/j,,H), n -> оо.
G.4.21)
Теперь воспользуемся логарифмическим неравенством Соболева.
Поскольку i/Tn" € #2ilGn) в силу преложения 7.4.5, то можно
положить <р„ := \fJn\oPn G Н2'1^) и применить логарифмическое
неравенство Соболева к <рп. Более того,
= J fn(PnX
= I fn(x)ln(dx) =
Я„
X
X
fn(PnX)
298 Глава 7. Приложения
где использование цепного правила легко обосновать путем за-
замены /п на /„+£ и устремлением е к 0. Ввиду G.4.21) нормы ото-
отображений VHfn/fn в L2(/i, H) ограничены некоторой константой
С. Следовательно,
sup /Vn(a:)f ln|¥>n(a:)|7(da0 < С2.
п J
X
Эта оценка обеспечивает равномерную интегрируемость функ-
функций fn°Pn = Ч>\ на (^)Т)- Поскольку (/„ o-Pn)n€]N — мартингал
относительно (<7n)ne]N и меры j, то этот мартингал сходится к
некоторой функции д € L (j). Положим Л := д ■ j. Тогда для
Л„ := i~p\\ и всех I = с\1\ + ... + ст1т получаем
/ ехр(г7) d\n —> / ехр(г7) d\.
х х
С другой стороны, при п > т имеем
/ exp(i/)dAn = / exp(iloPn)fnoPndj = / exp(il)fn d-yn =
x x я„
= / exp(il) d/j,n = / exp(iloPn) d/л — I exp(il) d/л.
Hn x x
Следовательно, /i = Л = gj на введенной нами <т-алгебре £({li}).
Из этого вытекает, что \i = gj на £(Х) в силу произвольности
выбранной последовательности {/;} и того обстоятельства, что
для меры 7 (а значит, и для £7) множества из £(Х) совпадают
с множествами из £({h}) с точностью до множеств меры нуль.
Так как обе меры — радоновские, то /л = gj на В(Х). Поскольку
<Ai -^ \/Q =: <Р по мере j и имеет место оценка ||VH(pn|||2G щ <
С2/4, то <р € H2>1(j) и утверждение (i) доказано.
(ii) Пусть h € Н. По лемме 5.1.12 получаем tph € L2(j).
Это дает равенство /Зд = —h + (h, <p~1VH<p)я-Подставляя век-
векторы вида h = jHk, к £ X*, получаем и равенство /3#(ж) =
—ж + 2У? VH<p(x) /.i-п.в. Равенство y)^1VH(p = и вытекает из
соотношения G.4.21) и уже доказанного. П
Дополнения и задачи 299
7.5. Дополнения и задачи
Для изучения траекторий гауссовских процессов полезны различ-
различные виды сравнения их ковариаций. С одним из таких видов мы встре-
встречались в главе 3, где ковариаций сравнивались с точки зрения обычной
подчиненности W < V для квадратичных форм. Другой вид сравне-
сравнения, предложенный Д. Слепяном [485], использует специфику именно
процесса и раскрывается в известном неравенстве Слепяна [485].
7.5.1. Теорема. Пусть £, ц — центрированные сепарабельные гаус-
совские процессы на множестве Т с ковариационными функциями К(
и Kv. Предположим, что K^(t,t) — Kv(t,t) и K^(s,t) < Kv(s,t) для
всех s, t еТ. Тогда P(sup& > М) > P(suprjt > М) для всех М.
т т
Неравенство Слепяна вытекает из следующей более общей теоремы
сравнения, доказанной в [343] (близкие результаты получены в [98],
[99]; см. также доказательство в [386, теорема 3.11]).
7.5.2. Теорема. Пусть £ = (£ь ... ,£п) и ц = G71,.. • ,г)п) ~~ центри-
центрированные гауссовские векторы в Ш,п и
Предположим, что функция f £ W^c (Hn) такова, что dXidXjf >
О при (i,j) G A, dXidx.f < 0 при (i,j) € В (более общим образом,
можно эти неравенства понимать в смысле обобщенных функций и
не требовать локальной соболевости /). Тогда Е/(£) < Е/(?7).
Еще один естественный способ сравнения ковариаций центриро-
центрированных гауссовских процессов £ и ц был использован В. Н. Судаковым,
К. Ферником, М. Маркусом и Л. Шеппом (см. [120], [133], [404], рас-
рассмотревшим такое условие: E|£s ~ &|2 < E|?7s — ?7t|2 Для всех s, t £ Т.
Как показано в [404], если при этом процесс г] на [0,1] имеет непрерыв-
непрерывные траектории, то процесс £ также имеет непрерывные траектории.
Аналогичное утверждение верно и для процессов на сепарабельных ме-
метрических пространствах. Доказательство и подробное обсуждение
можно найти в [23, § 9].
Приведем несколько дополнительных результатов о линейных ло-
логарифмических градиентах и линейных стохастических дифференци-
дифференциальных уравнениях (см. [18]). Как указано выше, вероятностная мера
fx с линейным логарифмическим градиентом А является инвариант-
инвариантной для некоторого диффузионного процесса £ со сносом А (причем
этот процесс — гауссовский). Поскольку не каждый процесс, поро-
порожденный линейным стохастическим дифференциальным уравнением,
имеет инвариантную меру, то возникает вопрос о характеризации ли-
линейных отображений, представляющих собой логарифмические гради-
градиенты мер.
300 Глава 7. Приложения
7.5.3. Предложение. Пусть 7 — центрированная невырожденная
радоновская гауссовская мера на локально выпуклом пространстве X
и А: X —ь X — ^-измеримое линейное отображение. Предположим,
что X секвенциально полно. Тогда следующие условия равносильны:
(i) найдется такое плотно/вложенное в X сепарабельное гильбер-
гильбертово пространство Н, что Jh{X*) С Н{^) и А — (Рн\
(И) функция (/,<?) ь-> — (/, А*§) на X* — скалярное произведение, где
А*: X* —»■ H(j) определено посредством [A*k,h\ = (k, Ah).
7.5.4. Предложение. Пусть 7 — гауссовская мера и /i — вероят-
вероятностная мера, дифференцируемая вдоль некоторого линейного про-
пространства D С Н{-у), причем для всех h £ D функции (Ph и 0£ до-
допускают равные модификации, которые представляют собой непре-
непрерывные линейные функционалы. Предположим, кроме того, что эти
функционалы разделяют точки X. Тогда 7 = М-
Важный для приложений класс гауссовских диффузионных процес-
процессов на бесконечномерных пространствах X связан с уравнениями вида
dXt = dWt + AXtdt, Xo = х, G.5.22)
где Wt — винеровский процесс, ассоциированный с гильбертовым про-
пространством Н С X,vl А — генератор непрерывной полугруппы (Tt)t>o
на Н. Одна из первых возникающих здесь проблем — интерпретация
G.5.22), поскольку Н имеет меру нуль относительно распределений
Wt. Эта проблема возникает даже в том случае, когда полугруппа
(Tt)t>o определена на всем X, ибо область определения генератора
может быть весьма узкой. Следующий результат из [206] позволяет
обойти эту трудность.
7.5.5. Теорема. Пусть (Tt)t>o — сильно непрерывная полугруппа
с генератором (A,D(A)) на сепарабелъном гильбертовом простран-
пространстве Н. Тогда Н можно линейно и непрерывно вложить в гильберто-
гильбертово пространство Е таким образом, что Н плотно в Е, (Tt)t>o про-
продолжается до сильно непрерывной полугруппы (Tt)t>o на Е, причем
Н оказывается вложенным в область определения D(A ) генератора
продолженной полугруппы (с гильбертовой нормой i/\\AEx\\2E + \\х\\2Е)
посредством оператора Гильберта-Шмидта.
7.5.6. Следствие. Если выполнены условия теоремы 7.5.5, то су-
существует такой непрерывный гауссовский процесс (Xf)t>0 со значе-
значениями в Е, что для всех х £ D{AE) имеем X* £ D(AE) и уравнение
G.5.22) выполняется с А — АЕ. При этом
t
X* = TtEx + Wt+ f AETtE_sWs ds, t>0.
Дополнения и задачи 301
Гауссовские меры играют важную роль в предельных теоремах.
Сделаем несколько замечаний о важнейшей из них — центральной
предельной теореме (сокращенно: ЦПТ). Пусть X — локально выпук-
выпуклое пространство и Хп — последовательность Х-значных независимых
центрированных случайных векторов с одним и тем же радоновским
распределением ц,. Положим
Отметим, что распределение Хп совпадает с мерой /i*n, определенной
равенством ц,*п(А) = (/i * ... * ц){п~~1/2А), где свертка n-кратна. Цен-
Центральная предельная теорема изучает следующие две проблемы:
1) Сходится ли последовательность случайных векторов Sn (в под-
подходящем смысле)?; 2) Если она сходится к некоторому случайному эле-
элементу Y, то какова скорость сходимости на определенном классе мно-
множеств? Более точно, пусть М — фиксированный класс подмножеств
X (скажем, некоторый класс шаров в банаховом пространстве). Тогда
возникает проблема оценивания величин
Ап(М) = sup \P(sn eM)- p(y e M)\.
мем
Типичная задача такого рода состоит в оценке
где / — функция на X (обычно норма или гладкая функция).
Будем рассматривать только такие радоновские вероятностные
меры /i, что
f l(xfn(dx) <оо, VI еГ.
X
В этом случае будем говорить, что мера /i имеет слабый второй мо-
момент. Мера /i на X имеет сильный второй момент, если
/
q(xJ fi(dx) < оо
для всякой непрерывной полунормы q на X.
7.5.7. Определение. Пусть X — локально выпуклое пространство.
(i) Вероятностная мера /i со средним т на X называется предгаус-
совской, если она имеет слабый второй момент и существует
такая гауссовская мера -у со средним т на X, что
J fgd» = Jfgdy, V/.эеГ.
х х
302 Глава 7. Приложения
(ii) Вероятностная мера ц с нулевым средним на X удовлетворяет
центральной предельной теореме (ЦПТ), если последователь-
последовательность {(л*71} равномерно плотна. Вероятностная мера \х со
средним т называется удовлетворяющей ЦПТ, если мера /i_m
с нулевым средним удовлетворяет ЦПТ.
(iii) X называется прострацством со свойством ЦПТ, если всякая
вероятностная мера ц ца X с нулевым средним и сильным вто-
вторым моментом удовлетворяет ЦПТ, X называется простран-
пространством со строгим свойством ЦПТ, если ЦПТ выполняется для
всякой вероятностной меры /л на X, имеющей нулевое среднее
и слабый второй момент.
7.5.8. Лемма. Пусть \i — вероятностная мера с нулевым средним
на локально выпуклом пространстве X. Если последовательность
{А**™} равномерно плотна, то она слабо сходится к некоторой цен-
центрированной радоновской гауссовской мере j. Кроме того, /л — пред-
гауссовская мера.
Доказательство вынесено в задачу 7.5.19. На X = Ш,п всякая ве-
вероятностная мера со слабым вторым моментом удовлетворяет ЦПТ.
Конечно, такая мера имеет и сильный второй момент. Иное положе-
положение в бесконечномерном случае. Например, пространство С[0,1] не
имеет свойства ЦПТ. Более того, существует предгауссовская мера с
компактным носителем в С[0,1], не удовлетворяющая ЦПТ. С другой
стороны, существует мера с компактным носителем в С[0,1], которая
не является предгауссовской. Наконец, существует мера на С[0,1], ко-
которая удовлетворяет ЦПТ, но не имеет сильного второго момента (по
поводу таких примеров см. [97]). Известно, что гильбертово простран-
пространство имеет свойство ЦПТ. Поскольку в гильбертовом пространстве
ковариационный оператор вероятностной меры ц является ядерным
в точности тогда, когда /л имеет сильный второй момент, то здесь
класс предгауссовских мер совпадает с классом мер, удовлетворяю-
удовлетворяющих ЦПТ (а также с классом вероятностных мер, имеющих сильный
второй момент). Как показывает пример С[0,1], эти три класса мер
могут быть различны в общих банаховых пространствах. Совпадение
этих классов характеризует гильбертовы пространства. Иначе гово-
говоря, банахово пространство линейно гомеоморфно гильбертову тогда и
только тогда, когда наличие сильного второго момента у вероятност-
вероятностной меры равносильно тому, что она удовлетворяет ЦПТ. Известно,
что всякая вероятностная мера с сильным вторым моментом на бана-
банаховом пространстве X удовлетворяет ЦПТ в точности тогда, когда
X — пространства типа 2. Таким образом, на негильбертовых про-
пространствах типа 2 обязательно есть меры, удовлетворяющие ЦПТ, но
не имеющие сильного второго момента. Если же всякая мера на X,
удовлетворяющая ЦПТ, имеет сильный второй момент, то X — про-
пространство котипа 2, причем это свойство полностью характеризует
пространства котипа 2. Наличие котипа 2 равносильно также тому,
что всякая предгауссовская мера на X удовлетворяет ЦПТ. Доказа-
Доказательства этих утверждений и соответствующие ссылки можно найти
Дополнения и задачи 303
в [64, гл. 3], [387, гл. 10]. Упомянем некоторые свойства локально вы-
выпуклых пространств со строгим свойством ЦПТ. Это свойство было
введено в [15], где можно найти доказательства.
7.5.9. Теорема. Банахово пространство X имеет строгое свой-
свойство ЦПТ в точности тогда, когда dimJC < oo. Строгое свой-
свойство ЦПТ наследуется замкнутыми подпространствами и сохраня-
сохраняется при образовании строгих индуктивных пределов возрастающих
последовательностей замкнутых подпространств, счетных произве-
произведений, произвольных прямых сумм и счетных проективных пределов.
7.5.10. Пример. Пусть X — сопряженное к полному ядерному бо-
бочечному локально выпуклому пространству Y. Тогда X с сильной то-
топологией обладает строгим свойством ЦПТ. Например, это верно, если
X — сопряженное к ядерному пространству Фреше. Следующие про-
пространства имеют свойство ЦПТ: С0°°[о,Ь], <S(IRfc), S(Mk)*, H°°.
Обстоятельный обзор результатов, связанных с проблемой оцени-
оценивания скорости сходимости в центральной предельной теореме, можно
найти в [97], [191]. Одно из значительных достижений здесь — доказа-
доказательство оценки Лп(£0 < Сп~1/2 для случая, когда U — шар гильбер-
гильбертова пространства, а вектор Х\ имеет сильный третий момент (при
наличии шестого момента эта оценка была впервые получена Ф. Гетце,
а усиление, требущее существование лишь третьего момента, принад-
принадлежит В. В. Юринскому). Как установлено В. Бенткусом, для общих
банаховых пространств ни при каких моментных ограничениях невоз-
невозможно получить оценку лучше, чем Сп~1/6. Остается открытым во-
вопрос о том, какова же может быть скорость сходимости в случае, когда
предельная гауссовская мера — это мера Винера на С[0,1].
Центральная предельная теорема —■ лишь одна из проблем в обла-
области предельных теорем для бесконечномерных случайных элементов.
Обширный и интересный материал, включающий изучение сходимости
сумм независимых случайных векторов, представлен в цитированных
выше работах. Один из близких вопросов — закон повторного лога-
логарифма (см. [85], [366], [387], [389], [487]). В простейшей формулировке
он утверждает, что если {£„} — независимые случайные векторы в
сепарабельном банаховом пространстве X с одним и тем же центри-
центрированным гауссовским распределением j, то с вероятностью 1 после-
последовательность 52™ fi/\/2nlnlnn имеет в качестве предельной точки
(в топологии X) каждый элемент единичного шара UH гильбертова
пространства Н(у), То же самое верно и для локально выпуклого про-
пространства X, если 7 — радоновская мера (см. [209], [500]).
Случайный вектор £ со значениями в локально выпуклом простран-
пространстве X называется (см. [509]) устойчивым порядка а € @,2], если для
всякого п найдется такой вектор ап € X, что для независимых копий
fi,..., fn вектора f случайный вектор п~1/а{£,\ + ■ ■ • + £п) - ап имеет
такое же распределение, как и f. Устойчивые порядка 2 случайные век-
векторы — в точности гауссовские векторы. Распределения устойчивых
векторов являются смесями гауссовских мер (см. [496]).
304 Глава 7. Приложения
Задачи
7.5.11. Показать, что в ситуации предложения 7.3.9 мера ц — единствен-
единственная вероятностность с логарифмическим градиентом А, порожденным Н.
7.5.12. Мера ц на Ж™ с логарифмическим градиентом /3м (порожденным
IRn) сферически симметрична, если и только если существует такая веще-
вещественная функция с( •) на Ш.п, что ^(х) = с(х)х /ii-п.в. Кроме того, такая
функция с допускает сферически симметричную модификацию. Указание:
показать, что для каждого ортогонального оператора S п.в. верно равен-
равенство p(Sx) = р(х), где р — плотность ц. Для этого для группы вращений 1\
на угол t в произвольной двумерной плоскости проверить, что -^p(Ttx) = 0
для п.в. tux, выбрав такую модификацию р, что функция t t-»- p(Ttx) абсо-
абсолютно непрерывна для п.в. х.\
7.5.13. Пусть радоновская/вероятностная мера /л //-сферически симме-
симметрична и не имеет атома в^нуле. Доказать, что найдется центрированная
радоновская гауссовская мера 7 с пространством Камерона-Мартина //, да-
дающая представление G.3.7).
7.5.14.- Доказать, что мера /(, заданная равенством G.3.7), имеет лога-
оо
рифмический градиент в точности тогда, когда J t~l a(dt) < оо. Указание:
о
проверка необходимости этого условия (см. [96]) сводится к одномерному
случаю, если рассмотреть меру доГ , где I G X* отличен от нуля.
7.5.15. Является ли стандартный процесс Орнштейна-Уленбека мартин-
мартингалом?
7.5.16. Пусть {£;(£)} — последовательность мартингалов на одном и том
же вероятностном пространстве с заданной фильтрацией. Показать, что
процесс sup;£i(£) — субмартингал относительно той же фильтрации.
7.5.17. Доказать утверждение примера 7.4.1.
7.5.18. Показать, что если вероятностная мера fi на локально выпуклом
пространстве X устойчива какого-либо порядка и выпукла (т.е. удовлетво-
удовлетворяет D.2.5)), то она гауссова. Указание: свести утверждение к одномерному
случаю и воспользоваться тем, что выпуклая мера имеет второй момент, а
среди устойчивых таким свойством обладают лишь гауссовские (см. [157,
с. 373]).
7.5.19. Доказать лемму 7.5.8. Указание: воспользоваться относительной
слабой компактностью последовательности мер цп и единственностью воз-
возможного слабого предела, вытекающей из центральной предельной теоремы
для одномерных проекций.
7.5.20. Пусть X — сепарабельное банахово пространство, которое со-
содержит замкнутое линейное подпространство, линейно гомеоморфное про-
пространству со- Показать, что существует такая вероятностная мера ц на X
с компактным носителем, что /л взаимно-сингулярна со всякой предгауссов-
ской мерой на X: В частности, это верно для пространства X = С[0, 1].
Указание: воспользоваться методом примера 2.9.9; см. также [20].
Дополнение
Вспомогательные сведения
Многие вещи нам непонятны не потому, что наши поня-
понятия слабы; но потому, что сии вещи не входят в круг наших
понятий.
Козьма Прутков
АЛ Локально выпуклые пространства
Основные определения
Доказательства приводимых ниже фактов и дополнительные сведения о
локально выпуклых пространствах можно найти в [155], [159]. Вещественное
линейное пространство X называется локально выпуклым пространством,
если задано семейство полунорм V = (ра)аеА на X, разделяющее точки (т.
е. для всякого ненулевого элемента х £ X существует такой индекс a G А,
что ра(х) > 0). Топология на X, порожденная семейством V, состоит из
открытых множеств, являющихся всевозможными объединениями базисных
окрестностей вида
{х: pat (х — а) < Si, i = 1,. .. , n}, a; 6 Л, а 6 X
Конечно, разные семейства полунорм могут задавать одну и ту же тополо-
топологию. Нормированное пространство является частным случаем локально вы-
выпуклого пространства. Топологическое сопряженное к локально выпуклому
пространству X (пространство всех непрерывных линейных функционалов
на X) обозначается символом X'. Всякое локально выпуклое пространство
X обладает базисом Гамеля, т.е. таким набором линейно независимых век-
векторов {va}: что каждый элемент X является конечной линейной комбина-
комбинацией векторов va. Типичным примером локально выпуклого пространства,
возникающего в теории случайных процессов, является пространство всех
вещественных функций Ш1 на непустом множестве Т, наделенное топологи-
топологией поточечной сходимости или, другими словами, топологией, определяемой
семейством полунорм
p,{x) = \x{t)\, /, ет.
Сопряженное к Ю,т совпадает с линейной оболочкой функционалов х t-»-
x(t), t £ Г (см. [155, с. 174, теорема IV.4.3]). Пространство Ю, называется
произведением Г экземпляров IR1. В частности, если Г есть множество
натуральных чисел, то соответствующее пространство обозначается через
т°°'. .
Для множеств А и В в линейном пространстве X и скаляра Л полагаем
ХА := {Ла | а G А}, А + В := {а + b | а € А, Ь G В}.
Множество Л в локально выпуклом пространстве X называется ограни-
ограниченным, если для всякой окрестности нуля V в X найдется Л > 0 с Д С XV.
306 Дополнение
Это равносильно ограниченности на А каждого непрерывного линейного
функционала.
Множество А в локально выпуклом пространстве называется симме-
симметричным, если А = —А. Выпуклое множество А называется абсолютно
выпуклым (или выпуклым и уравновешенным), если ХА С А для всякого
скаляра Л с |Л| < 1. Ясно, что это равносильно выпуклости и симметрично-
симметричности А.
Выпуклая оболочка множества А — это наименьшее выпуклое множе-
множество (обозначаемое через convA), содержащее А. Аналогично определяется
абсолютно выпуклая оболочка absconv А множества А. Замкнутая абсо-
абсолютно выпуклая оболочка множества А — это наименьшее абсолютно вы-
выпуклое замкнутое множество, содержащее А.
Пусть Е — линейное пространство и F — некоторое линейное подпро-
подпространство в пространстве всех линейных функционалов на Е, разделяющее
точки из Е (т.е. для любых двух различных элементов Е найдется функци-
функционал из F, принимающий на этих элементах разные значения). Обозначим
через а(Е, F) локально выпуклую топологиюм& Е, порожденную семейством
полунорм
Р/(*) = |/(*)|, /sf.
Это — топология поточечной сходимости на F, если элементы Е рассматри-
рассматривать как функционалы на F. Типичные примеры: слабая топология с(Х, X")
на локально выпуклом пространстве X и *-слабая топология а{Х*, X) на его
сопряженном. Важное свойство топологии cr(E, F) состоит в том, что со-
сопряженное к ( Е, о{Е, F) ) совпадает (как линейное пространство) с F, т.е.
всякий непрерывный в топологии a(E,F) линейный функционал имеет вид
х >-¥ f(x), f £ F. В частности, всякий непрерывный в топологии а(Х*,Х)
линейный функционал F на пространстве X* имеет вид F(f) = f(a) для
некоторого о £ X.
Топология Макки тм(Х*, X) на X* определяется посредством полунорм
PK(x)=sup|/(x)|, КС 1С,
хек
где A3 — семейство всех абсолютно выпуклых сг(Х, Х*)-компактных подмно-
подмножеств X. Доказательство следующей теоремы Макки можно найти в [155,
с. 167].
А.1.1. Теорема. Всякий линейный функционал F на X*, непрерывный в
топологии тм(Х*,Х), имеет вид F(f) = f(a) для некоторого а & X.
Топологическое пространство Т называется метризуемым, если тополо-
топология Т порождается метрикой. Локально выпуклое пространство метризуемо
в точности тогда, когда его топология может быть задана счетным набором
полунорм. Полное метризуемое локально выпуклое пространство называет-
называется пространством Фреше. Например, счетное произведение прямых Ш°° —
пространство Фреше.
Всякое локально выпуклое пространство X вполне регулярно, т.е. для
всякой точки х & X и всякой ее окрестности U существует такая непрерыв-
непрерывная функция /: X —>• [0,1], что f(x) = 1 и / = 0 вне U (достаточно уметь
строить такие функции для х = 0 и окрестностей вида U = {р < 1}, где р
— непрерывная полунорма; в этом случае можно положить /(г) — 1 — p(z)
при z&U, /(г) = 0 при г 0 U).
А.1.2. Лемма. Пусть К — компакт во вполне регулярном топологиче-
топологическом пространстве X и U — открытое множество, содержащее К. То-
Тогда:
A.I. Локально выпуклые пространства 307
(i) существует непрерывная функция f:X—t [0, l], равная 1 на К и 0
вне U;
(ii) всякая непрерывная функция <р на К продолжается до непрерывной
функции ф на X так, что s\ipx \ip\ = supx \tp\ и ф = 0 вне U ■
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Доказательство (i) можно найти в [159, с. 36]). Для до-
доказательства второго достаточно найти непрерывное продолжение ip на X
с сохранением максимума и умножить его на функцию из (i). Из теоремы
Стоуна-Вейерштрасса вытекает существование непрерывной ограниченной
функции g на X, равной <р на К. Теперь можно заменить g на функцию в(д),
где 6(t) — t при |t| < sup \ф\, 6(t) = sup \ifi\ при |t| > sup \ip\. U
Частично упорядоченное множество Л называется направленным., если
для всяких а и /3 из Л найдется такое 7 € Л, что а < 7 и /3 < 7- На-
Направленность элементов множества X — это подмножество {ял}лел С X,
заиндексированное направленным множеством Л. Понятие направленности
обобщает понятие последовательности.
Направленность {хл}лел в локально выпуклом пространстве X называ-
называется фундаментальной, если она фундаментальна по каждой из полунорм
q какого-либо семейства полунорм, порождающих топологию X (т.е. для
всякого е > 0 существует Ле 6 Л с q(xa — хр) < е для всех а > Xs, J3 > \s).
А.1.3. Определение. (i) Локально выпуклое пространство называют
секвенциально полным, если в нем всякая фундаментальная последо-
последовательность сходится.
(ii) Локально выпуклое пространство называется полным, если в нем
всякая фундаментальная направленность сходится.
(iii) Подмножество А локально выпуклого пространства называется се-
секвенциально замкнутым, если оно содержит предел всякой сходящей-
сходящейся последовательности своих элементов.
Аналогично определяются понятия полноты и секвенциальной полноты для
подмножеств X.
Ясно, что всякое полное локально выпуклое пространство секвенциально
полно. Бесконечномерное гильбертово пространство со слабой топологией
доставляет пример секвенциально полного, но не полного локально выпукло-
выпуклого пространства (задача А.3.25). Подобно метрическим пространствам, ло-
локально выпуклые пространства имеют пополнения.
А.1.4. Теорема. Всякое локально выпуклое пространство X обладает
пополнением X, т.е. существуют полное локально выпуклое простран-
пространство X, всюду плотное в X линейное подпространство Хо и линейный
гомеоморфизм h: X —>• Хо-
Произведение X х Y локально выпуклых пространств X и У облада-
обладает естественной структурой локально выпуклого пространства: в качестве
системы полунорм берется набор функций (х,у) >-¥ р(х) + q(y), где р и q
— представители семейств полунорм, задающих топологии X и У соответ-
соответственно.
Выпуклые множества и компакты
Опишем одну конструкцию, связанную с выпуклыми множествами и
имеющую многочисленные применения в теории меры на линейных про-
пространствах. Пусть А — абсолютно выпуклое секвенциально замкнутое огра-
ограниченное множество в локально выпуклом пространстве X. Обозначим че-
через ЕА линейную оболочку А. Положим
рА (х) = inf {г > 0: х 6 г А}, х 6 ЕА.
308 Дополнение
Функция рд на Ед называется функционалом Минковского множества А.
А.1.5. Теорема. Функция рд — норма на Ед , замкнутым единичным ша-
шаром по которой является А. При этом естественное вложение (ЕД,рА) в
X непрерывно. Если А секвенциально полно, то (ЕА,рд) — банахово про-
пространство.
Доказательство можно найти в [159, с. 609, лемма 6.5.2].
Приведем ряд используемых в основном тексте результатов о компакт-
компактных множествах в локально выпуклых пространствах.
А.1.6. Предложение. Б полном локально выпуклом пространстве за-
замкнутая абсолютно выпуклая оболочка компактного множества компакт-
компактна.
Для неполных пространств предыдущее утверждение теряет силу. Часть
(ii) следующего предложения получена в [458]. Приводимое доказательство'
взято из [204]. /
А.1.7. Предложение. (i) Метризуемость компакта К равносильна
существованию последовательности непрерывных функций, разделя-
разделяющих точки К. Компактное множество К в локально выпуклом
пространстве X метризуемо в точности тогда, когда существует
последовательность {1п} С X", разделяющая точки К.
(ii) Замкнутая абсолютно выпуклая оболочка К метризуемого компак-
компакта К в локально выпуклом пространстве X метризуема, а если X
секвенциально полно, то К — метризуемый компакт.
Доказательство, (i) Напомним сначала, что если на множестве К опреде-
определены две отделимые топологии Т\ и тг, относительно которых К компактно,
причем естественное вложение (К, т\) —> {К, тг) непрерывно, то это ото-
отображение — гомеоморфизм. Из этого простого соображения вытекает, во-
первых, что на компакте К в локально выпуклом пространстве X слабая то-
топология совпадает с исходной, а во-вторых, что слабая топология совпадает
и со всякой топологией на К, порождаемой каким-либо семейством непре-
непрерывных линейных функционалов, разделяющих точки К. Поэтому в случае,
когда имеется счетное семейство с таким свойством, соответствующая топо-
топология задается, как легко проверить, указанной выше метрикой. Обратно,
если компакт К метризуем, то слабая топология на К имеет счетную базу
вида
: Щ(х - а)\ < k~\j = 1,. . . ,n(a)}, a G А, Ц G X\ k G IN,
где А С. К — не более чем счетное множество. Поэтому существует не более
чем счетное семейство непрерывных линейных функционалов, разделяющих
точки К. Первое утверждение в (i) доказывается аналогично.
(ii) Пусть К — метризуемый компакт. Предположим сначала, что X
секвенциально полно. Согласно теореме Рисса, сопряженное к С {К) ото-
ждествимо с пространством знакопеременных борелевских мер на К. По
теореме Банаха-Алаоглу, замкнутый единичный шар U в С (К)* компак-
компактен в *-слабой топологии. Поскольку пространство С (К) сепарабельно (см.
задачу А.3.23), то, в силу доказанного в (i), U — метризуемый компакт в
слабой топологии. Рассмотрим отображение
Г
I:U-+X, I{m)= I xm(dx),
A.2. Линейные операторы 309
где интеграл понимается в смысле Петтиса (см. раздел А.З ниже), а его
существование вытекает из секвенциальной полноты X. Легко видеть, что
это отображение непрерывно, если U рассматривается с *-слабой топологи-
топологией, а X — со слабой. Поэтому абсолютно выпуклое множество /(£/) слабо
компактно в X. Более того, ввиду метризуемости U это множество ме-
тризуемо (см. [161, теорема 4.4.15]). Ясно, что I(U) содержит замкнутую
абсолютно выпуклую оболочку К, ибо К С I{U) ввиду равенства к = I{5k),
где 5k — вероятностная мера в точке к. Поэтому замыкание абсолютно вы-
выпуклой оболочки К — метризуемый компакт как замкнутое подмножество
метризуемого компакта (на самом деле, как легко проверить, I(U) совпада-
совпадает с замкнутой абсолютно выпуклой оболочкой К). Осталось заметить, что
первое утверждение из (ii) вытекает из существования пополнения X. LJ
А.2 Линейные операторы
Ограниченные операторы
Напомним несколько известных фактов из теории линейных операторов.
Ниже рассматриваются вещественные пространства.
Образ линейного оператора А на пространстве X обозначается через
А(Х). Кег А — ядро оператора А (прообраз нуля). Обозначим через С(Х, У)
пространство непрерывных линейных операторов, действующих из локально
выпуклого пространства X в локально выпуклое пространство У. Пусть
С{Х) := £(Х, X). Если X и У — нормированные пространства, то £(Х, Y)
наделяется операторной нормой || ■ ||,c(x,Y)-
Оператор А на нормированном пространстве называется компактным,
если он переводит единичный шар в предкомпактное множество. Простран-
Пространство компактных операторов, действующих из X в У, обозначим символом
ЦХ,У). Положим К.{Х) := )С(Х,Х).
Пусть Н — гильбертово пространство. В приводимых ниже определе-
определениях и утверждениях для упрощения формулировок используются обозначе-
обозначения, неявно подразумевающие бесконечномерность пространств, о которых
идет речь; естественно, в конечномерном случае имеются в виду конечные
базисы и т.п.
А.2.1. Определение. Оператор A G £(Н) называется симметричным,
{А ) ( А) д НСй А С{Н)
А.2.1. Определение. Оператор A G £(Н) называется симметричным,
если {Ах, у) = (ж, Ау) для всехх, у g Н. Симметричный оператор А € С{Н)
называется неотрицательным, если (Ах,х) > 0 для всех х £ Н.
Обратим внимание на то обстоятельство, что в вещественных простран-
пространствах (в отличие от комплексных) из неотрицательности квадратичной фор-
формы (Ах,х) не вытекает симметричность А. Для всякого неотрицательного
оператора В G £(Н) существует единственный неотрицательный оператор
С G £(Я), обозначаемый символом уВ, для которого С2 = В. Для А
полагаем
\А\ := sJTFA.
Заметим, что для любого h g H имеем
Оператор К G <£(//) компактен в точности тогда, когда компактен опе-
оператор \К\.
310 Дополнение
А.2.2. Определение. Оператор в гильбертовом пространстве, сохра-
сохраняющий скалярное произведение, называется изометрическим (или изомет-
рией). Линейный оператор называется ортогональным, если он обратим и
сохраняет скалярное произведение.
Полярным разложением оператора А называется представление
A = U\A\,
где U £ £(Н) — линейная изометрия на замыкании |^4|(//), задаваемая ра-
равенством ?7(|Л|:г) = Ах, и нуль на ортогональном дополнении |A|(i/). От-
Отметим, что корректность определения U вытекает из того факта, что если
|^4|г> = 0, то Av = 0. Оператор U называется частичной изометрией. Если
оператор А инъективен и имеет плотный образ, то U — ортогональный
оператор,
Полярное разложение можно записать и в виде
где V — оператор, сопряженный к частичной изометрии из полярного раз-
разложения для А*. Из этого представления вытекает следующий простой, но
полезный факт: для всякого оператора А .£ £(Н) с плотным образом можно
найти такой инъективный неотрицательный симметричный оператор В, что
В(Н) =■ А(Н). Действительно, факторизацией по ядру А это утверждение
сводится к случаю, когда А инъективен. Образ симметричного неотрица-
неотрицательного оператора В = \/АА* также плотен, и потому, как легко видеть,
этот оператор инъективен. Кроме того, В(Н) = А(Н), что вытекает из
вышеприведенной формулы ввиду ортогональности V.
А.2.3. Предложение. Если Е — еще одно гильбертово пространство,
то 1С(Н, Е) совпадает с замыканием класса конечномерных непрерывных
операторов по операторной норме.
А.2.4. Определение. Пусть Н и Е — гильбертовы пространства. Опе-
Оператор A g C(H, E) называется оператором Гильберта-Шмидта, если ряд
Аеа\\2Е (А.2.1)
сходится для какого-нибудь ортонормиро ванного базиса {еа} в Н.
Если пространство Н несепарабельно, то гильберт-шмидтовость А озна-
означает, что А равен нулю на ортогональном дополнении к некоторому сепа-
рабельному подпространству Но С Н и
п=1
для какого-нибудь ортонормированного базиса {еп} в Но-
А.2.5. Предложение. (i) Если ряд (А.2.1) сходится для какого-нибудь
ортонормированного базиса в Н, то он сходится для всякого орто-
ортонормированного базиса в Н и его сумма не зависит от выбора базиса.
A.2. Линейные операторы 311
(ii) Симметричный оператор А 6 £{Н) является оператором Гильбер-
Гильберта-Шмидта е точности тогда, когда существует такой ортонор-
мированный базис {еа} в Н, состоящий из собственных векторов,
отвечающих собственным числам аа, среди которых отличны от
оо
нуля не более чем счетное количество ап, причем ^ ап < оо.
(iii) Пусть А = U\A\ — полярное разложение оператора А 6 С(Н). Тогда
А — оператор Гильберта-Шмидта в точности тогда, когда таков
оператор \А\.
Класс всех операторов Гильберта-Шмидта, действующих из Н в Е, обо-
обозначается через T-L(H, E). Полагаем
П:=Н(Н) :=ЩН,Н).
А.2.6. Определение. Пусть Н и Е — сепарабелъные гильбертовы про-
пространства. Непрерывное линейное отображение А: Н —) Е называется
k-линейным отображением Гильберта-Шмидта в Н, если для некоторого
ортонормировапного базиса {е„} в Н имеем
1И(еч,-••,*„)!£ <оо.
В этом случае соответствующая сумма конечна для всякого ортонорми-
рованного базиса в Я и не зависит от выбора базиса.
Через 7ik(H,E) обозначим пространство всех fc-линейных отображений
Гильберта-Шмидта из Н в Е. Если Е = Н, то мы будем использовать
обозначение fik-
Отметим, что пространство Hk(H,E) со скалярным произведением
является сепарабельным гильбертовым. В частности, множество всех опе-
операторов Гильберта-Шмидта в Н со скалярным произведением
— сепарабельное гильбертово пространство.
А.2.7. Определение. Пусть Н — сепарабельное гильбертово простран-
пространство. Оператор А 6 £(Н) называется ядерным {или оператором со сле-
следом), если \А\ обладает ортонормированным базисом из собственных век-
оо
торов, отвечающих собственным числам ап, причем ^ а„ < оо.
А.2.8. Предложение. (i) Оператор А 6 £(Н) — ядерный в точно-
точности тогда, когда для всякого ортонормированного базиса {е„} в Н
оо
сходится ряд ^ {Ае„,еп)н-
71 = 1
312Дополнение
(ii) Для ядерного оператора А сумма ряда X]^Li(^e?" е")н ие зависит
от выбора базиса {еп}-
(iii) Симметричный оператор А 6 £(Н) является ядерным тогда и толь-
только тогда, когда существует такой ортонормированный базис {е„}
в Н, состоящий из собственных векторов А, отвечающих собствен-
собственно
ным числам ап, что ]Р \ап\ < со.
n=i
Обозггачим через С^){Н) класс всех ядерных операторов в Н. Ясно,
что £(i)(H) С Н(Н) С К,{Н). Для всякого А 6 С^(Н) не зависящая от
ортонормированного базиса {еп} сумма
оо
traced := J](Aen,en)
называется следом, оператора А. Функция
||Л||A) := trace |Л|
является нормой на £(!)(//), относительно которой это пространству оана-
хово.
А.2.9. Предложение, (i) Композиция непрерывных операторов меж-
между гильбертовыми пространствами — оператор Гильберта-Шмид-
Гильберта-Шмидта, если таковым является хотя бы один из этих операторов.
(ii) Композиция двух операторов Гильберта-Шмидта в Н, а также ком-
композиция ядерного и непрерывного операторов в Н — ядерный опера-
оператор.
(iii) Если А 6 ЩН), то А" е ЩН) и \\А\\и = \\А'\\и-
Следующая теорема описывает интересную связь между ядерными опе-
операторами и функционалами на пространствах операторов. Доказательство
можно найти в [47, с. 170, теорема 12.3].
А.2.10. Теорема. Пусть Т 6 L^)(H). Функционал К *-¥ trace (TK) па
1С(Н) непрерывен и имеет норму, равную \\T\\(i). При этом всякий непре-
непрерывный линейный функционал на К,{Н) допускает такое представление,
т.е. пространство /С(//)* естественно изоморфно {)
А.2.11. Предложение. Пусть Hi, H2, Е — гильбертовы пространства,
Ai 6 C(Hi,E), г = 1, 2, причем Ai(Hi) С Аг(#2). Если А-г — компактный
или гильберт-шмидтовский оператор, то таков оке и оператор А\. В слу-
случае, когда Н\ = //г = Е и Лг — ядерный оператор, А\ — шакэ/се ядерный.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если оператор А г инъективен, то утверждение вытекает
из предложения А.2.9. Действительно, оператор AJ1 А\ корректно определен
ввиду условия А\{Н\) С Лг(//г) и, более того, непрерывен в силу теоремы
о замкнутом графике, ибо из соотношений х„ —> х, А^1 А\хп —» у вытекает,
что А{хп —> А2У, откуда Aix = А2У, и потому А^1 А\х = у. При этом
/Ii = Л2ЛJ1 Ль Общий случай сводится к рассмотренному путем замены
Лг на оператор Лг: //г/Ker Лг —»• Е. П
A.2. .Линейные операторы 313
А.2.12. Лемма. (i) Пусть К 6 L2([0,1] x [0,1]). Тогда оператор
1
Tx(t) = f K(t, s)x(s) ds в L2[0,1] — гильберт-шмидтовский.
о
(ii) Пусть Н — гильбертово пространство и А: И —)■ С[а,Ь] — непре-
непрерывное линейное отображение. Тогда композиция этого отображе-
отображения с естественным вложением С[а,Ь] —¥ L2[a,b] является операто-
оператором Гильберта-Шмидта. То же самое верно, если С{а,Щ и L2[a,b]
заменить соответственно на L°°(fl,iu,) иЬ2(£1,ц), где (П, /и,) — про-
произвольное вероятностное пространство.
(iii) Пусть W2>1[0, 1] —пространство Соболева. Тогда его естественное
вложение в L2[0,1] — оператор Гильберта-Шмидта.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Первое утверждение — простое упражнение по функци-
функциональному анализу. Доказательство (ii) см. в [101, с. 306, теорема 19.2.6]
(более простой случай, когда П — компакт, рассмотрен в [101, с. 269, пред-
предложение 17.3.7]). Утверждение (iii) вытекает из (ii), ибо И/2'1[0,1] С С[0,1].
А.2.13. Определение. Непрерывный линейный оператор D в гильберто-
гильбертовом, пространстве Н называется диагональным, если существует орто-
нормированный базис {е„ } в Н, состоящий из собственных векторов D.
Приведем одну теорему фон Неймана (см. [138, теорема 14.13]).
А.2.14. Теорема. Для всякого симметричного ограниченного линейного
оператора оператора А в сепарабельном гильбертовом пространстве Н
и всякого £ > 0 существуют такой диагональный оператор D и такой
симметричный оператор Гильберта-Шмидта S в Н, что А = D + 5£ и
Ц5|к<
А.2.15. Лемма. Пусть Е, Н — гильбертовы пространства, А 6 £{Е, Н).
Предположим, что Н сепарабельно и оператор А инъективен. Тогда Е
также сепарабельно.
Доказательство. Множество А*(Я*) плотно в Е* в силу инъективностй
А. Поэтому пространство Е* сепарабельно, что влечет сепарабельность Е.
U
Полугруппы и неограниченные операторы
Линейное отображение А, определенное на плотном линейном подпро-
подпространстве D{A) в гильбертовом пространстве Н и принимающее значения
в Н, называется плотно определенным линейным оператором. Плотно опре-
определенный оператор называется замкнутым, если его график — замкнутое
множество в НхН. Если А — плотно определенный линейный оператор, то
область определения D(A*) оператора А* задается как множество всех та-
таких у € Н, что функционал х »-» (Ах, у) непрерывен на D(A) с нормой из Н.
По теореме Рисса существует z 6 Н с (Ах, у) = (х, z) для всех х 6 D(A). По
определению, А*у = z. Отметим, что множество D(A*) может быть равно
нулю.
Будем говорить, что А — симметричный оператор в (вещественном)
гильбертовом пространстве Н, если А — линейное отображение из плотно-
плотного линейного подпространства D(A) С Н (называемого областью А) в //,
причем (Ах,у) = (х,Ау) для всех х, у 6 Ь(А). Для симметричного опе-
оператора сопряженный определен по крайней мере на D(A) и потому также
является плотно определенным.
314 Дополнение
А.2.16. Определение. Симметричный линейный оператор называется
самосопряженным, если он совпадает со своим сопряженным (т.е. D(A*) =
D(A) и на этой области А* = А).
В отличие от случая ограниченных операторов, симметричный оператор
может не быть самосопряженным.
А.2.17. Определение. Семейство (Tt)t>o С С(Х) называется сильно не-
непрерывной полугруппой на банаховом пространстве X, если То = /, Tt+S =
TtTs для всех t, s > 0, и для каждого х € X отображение t ь-> Ttx из [О, со)
в X непрерывно.
Один из центральных результатов теории операторных полугрупп со-
состоит в том, что линейное подпространство
D(L) := < h 6 Н: lirn существует по норме Н >
I t-ю t )
плотно в Н (см. [57, с. 660, лемма 8]). Кроме того, линейный оператор L,
заданный на D(L) равенством
,, .. Tth-h
Lh = hm ,
t-¥0 t
замкнут. Этот оператор называется генератором или производящим опера-
оператором полугруппы (Tt)t>o-
А.З Меры и измеримость
Меры и интегралы
По поводу приводимых далее сведений из теории интеграла Лебега см.
[157, гл. II]. Термин „мера" означает у нас счетно-аддитивную ограничен-
ограниченную неотрицательную меру на <т-алгебре множеств М. Для двух мер ц и
v на М абсолютная непрерывность ц относительно v обозначается посред-
посредством ц <С" v. Если ц С ^ и V < ((, то |* и 1/ называются эквивалентными
(ц ~ v). Взаимная сингулярность мер обозначается посредством ц А. и. Для
всякой меры /и, на Л4 символом М^ обозначим лебеговское пополнение М
относительно ц. Множества из М^ называются /^-измеримыми. Функции,
измеримые относительно М^, называются /^-измеримыми. Отображение,
совпадающее с F /^-п.в., называется модификацией или версией F. Для р > 1
через Lp()x) обозначаются банаховы пространства /^-измеримых функций,
модули которых интегрируемы в степени р. Норма в Ьр{ц) обозначает-
обозначается через || • ||ы'(м) или через || • ||р. Интеграл функции / по множеству
А относительно меры /и, обозначается через J f(x) ц{йх) или через J / d/u,.
л л
В случае интегрирования по всему пространству пределы интегрирования
иногда опускаются. Индикаторная функция множества А обозначается че-
через 1а Aа(х) = 1 при х е А, [А(х) — 0 при х g A).
Пусть /и, — мера на измеримом пространстве (X, В), Y — пространство
с (Т-алгеброй £ и /: X —► (У, £) — /^-измеримое отображение (т.е. /-1(£) С
Вц). Тогда мера
А.З. Меры и измеримость 315
на £ называется образом меры /и, при отображении /. Функция <р на Y
интегрируема относительно fj,o f~l в точности тогда, когда /^-интегрируема
функция ipof на X. При этом справедливо следующее равенство, называемое
формулой замеиы переменных:
[
(А.з.2)
А.3.1. Определение. Семейство Т С L (fj.) называется равномерно ин-
интегрируемым, если
lim sup / \f(x)\n(dx) = 0.
c>J
Достаточным условием равномерной интегрируемости является оценка
j J f(x)ln\f(x)\ /j.(dx) < оо. Более подробно о равномерной интегри-
интегрируемости можно прочитать в §2 гл. II книги П. Мейера [91] и в гл. II книги
А. Н. Ширяева [157]. Следующий классический результат называется тео-
теоремой Витали-Лебега.
А.3.2. Теорема. Пусть последовательность {/п} С L1^) сходится по-
почти всюду (или хотя бы по мере) к функции /. Если последовательность
{/«} равномерно интегрируема, то она сходится к f по норме L1 (fj,).
Пусть (Х,М,ц) — пространство с мерой и А С М — еще одна а-
алгебра. Напомним, что для каждой интегрируемой функции / существует
такая измеримая относительно А интегрируемая функция Е /, что
J EAf(x)g(x)p(dx)= f
f{x)g(x)n(dx)
ix J
для всякой ограниченной функции д, измеримой относительно А. Функция
ЕЛ f называется условным математическим ожиданием / относительно А.
А.3.3. Определение. Пусть (X, М, /и,)—вероятностное пространство,
Г С IR и At, I 6 Т, — возрастающее семейство а-алгебр, содержащихся
в М. Семейство {ft}t£T ^-интегрируемых функций называется мартинга-
мартингалом относительно {*4t}, если Е ft = /s, Vi, s 6 Г, s < t.
Если в соотношении выше заменить знак равенства на >, то получится
определение субмартингала.
А.3.4. Пример. Пусть / 6 L1 (Р) и {At}t$T — возрастающее семейство
а-алгебр. Тогда семейство {EAt/}ter — мартингал относительно {At}ter-
Следующие два результата, принадлежащие Д. Дубу, играют большую
роль в теории вероятностей. Их доказательства можно найти в [91, гл. V,
§3] или в [157, гл. VII].
А.3.5. Теорема. Пусть {/п} —мартингал на вероятностном простран-
пространстве (Х,М,Р) относительно возрастающей последовательности а-алгебр
{An} в М. Если семейство {/п} равномерно интегрируемо, то существу-
существует функция f 6 Ll(P), измеримая относительно а-алгебры, порожденной
{An}, с ЕА" f = fn для всех п. При этом /„ —► / почти всюду и в Ll(P).
Если / £ Lr(P), где г > 1, то сходимость имеет место и в Lr(P).
316 Дополнение
А.3.6. Теорема. Пусть {/«} — субмартингал относительно некоторой
возрастающей последовательности а-алгебр, причем функции fn неотри-
неотрицательны и supn ||/,i||l2(p) < сю. Тогда supn /„ е L2(P) и
< 2 sup ||/„ |
сг-алгебры в локально выпуклых пространствах
Напомним, что для всякого семейства функций G на множестве X суще-
существует наименьшая ст-алгебра £{Х, G) (обозначаемая также через £({G})),
относительно которой все функции из G измеримы. Эта ст-алгебра поро-
порождается семейством множеств вида {х £ X: g < с}, где g 6 G, с 6 ГО.1.
Через С(Х) обозначим множество всех непрерывных вещественных фун-
функций на топологическом пространстве X, а через Сь(Х).— его подпростран-
подпространство, образованное всеми ограниченными функциями.
Введем теперь три важнейшие ст-алгебры в локально выпуклы^ про-
пространствах, возникающие в связи с гауссовскими мерами. Пусть X i— ло-
локально выпуклое пространство. Введем следующие обозначения:
£(Х) — цилиндрическая ст-алгебра, порожденная X";
Бо{Х) — бэровская ст-алгебра, порожденная С(Х);
В{Х) — борелевская <т-алгебра X, порожденная всеми открытыми мно-
множествами.
Ясно, что £{Х) С Во(Х) С В{Х). Легко проверить, что В0{Х) = В(Х)
для всякого метрического пространства X. Доказательство этого факта и
следующей теоремы можно найти в [32, гл. I].
А.3.7. Теорема. Предположим, что X — сепарабельное пространство
Фреше. Тогда для всякого семейства Г С X*, разделяющего точки X,
справедливы равенства
£(Х, Г) = £(Х) = В0(Х) = В(Х).
При этом существует счетмое семейство Г с таким же свойством.
Однако в ряде важных случаев В(Х) строго больше £(X).
А.3.8. Пример. Пусть Т — несчетное множество и X = Ш1 . Тогда
£{Х) = В0{Х) уже, чем В(Х).
Доказательство. Равенство £(ГО.Т) = Bo(JRT) вытекает из теоремы А.3.9.
Несовпадение £(HR,T) и B(TRT) — следствие леммы 2.1.2. П
Следующий глубокий результат доказан в [263].
А.3.9. Теорема. Пусть X — локально выпуклое пространство с топо-
топологией о(Х,Х*). Тогда £(Х) = В0{Х,а(Х, X')).
Меры Радона
Напомним некоторые основные понятия и результаты из теории меры
на топологических пространствах. Доказательства приведенных ниже ре-
результатов и дальнейшие ссылки можно найти в [32] и [469].
А.3.10. Определение. Пусть X — топологическое пространство.
А.З. Меры и измеримость 317
(i) Счетно-аддитивная мера на В(Х) называется борелевской мерой.
(п) Счетно-аддитивная мера на Во(Х) называется бэровской мерой.
(Hi) Борелевская мера fi на X называется радоновской (или мерой 'Радона),
если для всякого В £ ${Х) и всякого е > 0 найдется такой компакт
К С В, что ц(В\К) < е.
Мера д называется плотной, если условие (iii) выполнено для В = X.
А.3.11. Теорема. Всякая борелевская мера на полном сепарабелъном ме-
метрическом пространстве является радоновской.
Радоновская мера на локально выпуклом пространстве однозначно опре-
определяется своими значениями на £(Х).
А.3.12. Предложение. Пусть //. — радоновская мера на локально вы-
выпуклом пространстве X. Тогда для всякого ц-измеримого множества А
найдется такое множество В £ £{Х), что
Более того, если G С X* — произвольное линейное подпространство,
разделяющее точки X, то такое множество В может быть выбрано в
£(X,G).
Доказательство. Пусть е > 0. Найдем такие компакты К С А и S С X,
что ц{К) > ц(А) — е и fi(S) > /и,(Х) — е. Выберем далее бткрытое множество
U D К, для которого n{U) < fJ-(K) + £• Поскольку на компакте S исход-
пая топология совпадает со слабой, то найдется такое открытое в слабой
топологии множество V, что V Г) 5 = U Г) S. Ввиду компактности К можно
найти такое множество W, являющееся конечным объединением открытых
цилиндрических множеств, что К С W С V. Тогда имеем V 6 £{Х) и
j.t{V Л А) < 4е, откуда вытекает доказываемое. О
А.3.13. Следствие. Пусть /и, — радоновская мера на локально выпуклом
пространстве X. Тогда совокупность всех ограниченных цилиндрических
функций па X плотна в Lv(ц) для всякого р > 1. Кроме того, в комплекс-
комплексном FJ'(fi) плотно линейное пространство Т, порожденное функциями вида
cxp(if), f £ Л'*. Более того, эти утверждения остаются справедливыми,
если заменить X" любым линейным подпространством G С X", разделяю-
разделяющим, точки X.
А.3.14. Определение. Пусть jj, — борелевская мера на топологическом
пространстве X. Будем гдворить, что замкнутое множество Sfl С X
является топологическим носителем д, если \i(X\S^) = 0 и не существует
меньшего замкнутого множества с таким, свойством.
Всякая радоновская мера имеет топологический носитель (см. задачу
А.3.33).
В теории меры большое значение имеют суслинские множества, опре-
определяемые как образы полных сепарабельных метрических пространств при
непрерывных отображениях в хаусдорфовы топологические пространства.
Неборелевские множества такого вида были открыты М. Я. Суслиным. На-
Например, ортогональная проекция борелевского множества в IR2 на прямую
может не быть борелевским множеством. Известно также, что существуют
бесконечно дифференцируемая функция /: IR —>■ Ш. и борелевское множе-
множество В С IR1 такие, что /(В) не является борелевским. Н. Н. Лузиным
была установлена измеримость суслинских множеств. В следующей теореме
перечислены важнейшие свойства суслинских множеств, часто использую-
использующиеся в теории меры. Доказательства можно найти в [469, с. 124, глава II,
следствие 1; с. 95, теорема 2; с. 103, следствие 3; с. 107, лемма 16].
318 Дополнение
А.3.15. Теорема. Пусть X и Y — хаусдорфовы топологические прост-
пространства и /: X —>• Y.
(i) Всякое суслинское множество в Y измеримо относительно любой
радоновской меры на Y.
(ii) Если X — полное сепарабельное метрическое пространство и f не-
непрерывно, то f(B) — суслинское множество в Y для всякого боре-
левского множества В С X. Если же / инъективно, то f(B) —
борелевское множество в Y.
(iii) Если X и Y — суслинские пространства и f — борелевское ото-
отображение, то образы и прообразы суслинских множеств являются
суслинскими.
Известно, что всякая борелевская мера на суслинском пространстве явля-
является радоновской (см. [469, с. 122]). На всяком суслинском пространстве X
существует счетное множество непрерывных функций, разделяющих точ-
точки. Следовательно, компактные множества в суслинских пространства^ ме-
тризуемы, и потому всякая борелевская мера на суслинском пространстве
сосредоточена на счетном объединении метризуемых компактов. Отметим
еще, что борелевские подмножества суслинских пространств — суслинские
множества. Пространство, являющееся счетным объединением своих су-
суслинских подпространств, само суслинское. Однако дополнение суслинскогр
множества не обязано быть суслинским; более того, если дополнение су-
слинского множества является суслинским, то это множество — борелев-
борелевское (см. [469, следствие 1, с. 101]). Суслинское пространство может быть
неметризуемым (например, пространство I2 со слабой топологией). Однако
секвенциально замкнутые множества в суслинских пространствах являются
борелевскими (см. [469, следствие 1, с. 109]). В частности, секвенциально
непрерывные функции на суслинских пространствах — борелевские. Дока-
Доказательство следующего результата К. Ферника можно найти в [274] или в
[469, лемма 18, с. 108].
А.3.16. Предложение. Пусть X — суслинское пространство. Тогда
В(Х) порождается некоторым счетным набором множеств. Кроме того,
В(Х) — £{Х, {/п}) для всякой последовательности борелевских функций fn,
разделяющей точки X.
Весьма важным объектом, связанным с мерой на локально выпуклом
пространстве, является ее преобразование Фурье.
А.3.17. Определение. Пусть X — локально выпуклое пространство и
\х — мера на £(Х). Преобразование Фурье fi меры ц определяется формулой
Д:Л-->С, Ш) = Iexp(if(x)) p{dx). (A.3.3)
А.3.18. Предложение. Две меры на £(Х) с равными преобразованиями
Фурье совпадают.
Согласно следствию А.3.13, две радоновские меры с равными преобра-
преобразованиями Фурье равны.
Следующая теорема бывает полезна для построения мер Радона.
А.З. Меры и измеримость 319
А.3.19. Теорема. Пусть X — локально выпуклое пространство, G —
линейное подпространство в X", разделяющее точки X, а /и, — аддитив-
аддитивная неотрицательная функция на алгебре IZa цилиндрических множеств,
порожденных G. Предположим, что /л обладает следующим свойством:
для всякого е найдется такой компакт К€ С X, что /u(C) < e для всякого
цилиндрического множества С € 7?.<з, не пересекающегося с Кс. Тогда /и,
однозначно продолжается до меры Радона на X.
Пусть X — локально выпуклое пространство и /и, и и — меры на 8(X).
Тогда мера /^® v определена на £(ХхХ). Образ этой меры при отображении
X X X —> X, (х,у) н* х + у, называется сверткой мер цши и обозначается
символом ц*и. Легко проверить, что /и, * и = Jtv. С помощью теоремы А.3.19
легко доказывается, что произведение радоновских мер /л, г = 1,... ,п, на
локально выпуклых пространствах Х% однозначно продолжается до меры
Радона на Х\ X • ■ ■ х Хп. В частности, если ц и и — меры Радона, то их
свертка также однозначно продолжается до меры Радона. Под сверткой
радоновских мер понимается результат этого продолжения. При этом для
каждого В € В(Х) выполняется равенство
li*u{B)= I fx{B -x)u{dx).
Интеграл Петтиса
Пусть /: (X, В(Х)ц) —► (X, В(Х)) — измеримое отображение в локально
выпуклом пространстве X с мерой Радона /и,. Элемент о € X называется
интегралом Петтиса отображения /, если для всякого / из X* функция
l(f) интегрируема относительно /J, и ее интеграл равен /(о). Положим
f{x)n{dx) :=o.
А.З.20. Лемма. Пусть jj, — радоновская вероятностная мера на секвен-
секвенциально полном локально выпуклом пространстве X, сосредоточенная на
метриэуемом компакте К. Тогда каждое секвенциально непрерывное ли-
линейное отображение А: X —¥ X обладает интегралом Петтиса, который
является элементом замкнутой выпуклой оболочки компакта А(К).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Согласно задаче А.3.34, существует последовательность
вероятностных мер цп с конечными носителями в К, слабо сходящаяся к ме-
мере /и,. Для мер \хп интегралы Петтиса In := J Ах цп(о1х) очевидным образом
существуют и являются элементами выпуклой оболочки Q компакта А{К).
Поскольку при / € X" функция /о А непрерывна на метризуемом компакте К
(будучи секвенциально непрерывной), то по построению последовательность
1{1п) сходится к fK l(Ax) f.i[dx). Значит, последовательность {1п} фундамен-
фундаментальна в слабой топологии. Компактное множество А(К) метризуемо (как
непрерывный образ метризуемого компакта, см. [161, теорема 4.4.15]). В
силу предложения А.1.7, замыкание Q — также метризуемый компакт. По-
Поскольку на компактах слабая топология совпадает с исходной, то {In} фун-
фундаментальна и в исходной топологии и потому сходится к некоторой точке
о из замыкания Q. Ясно, что о — интеграл Петтиса от А. П
320 Дополнение
Если X — сепарабельное банахово пространство и (П, fj.) — простран-
пространство с мерой, то для измеримых отображений /: Л —» X, удовлетворяющих
условию ||/||x 6 L1 (р), определен интеграл Бохнера (определение аналогично
лобеговскому для числовых функций, см. [57, глава III]). При этом интеграл
Петтиса также существует и совпадает с интегралом Бохнера. Обозначим
через Lp(fj,, X) банахово пространство всех /^-измеримых ЛТ-значных отобра-
отображений /, для которых
Это обозначение используется и в случае, когда X — нормированное про-
пространство, но тогда дополнительно предполагается, что / имеет интеграл
Бохнера.
Случайные векторы
Пусть (il,T, P) —вероятностное пространство, X —локально выпуклое
пространство. Символ Е£ используется для обозначения математического
ожидания случайной величины £ на П (иначе говоря, 1Е£ — это Интеграл из-
измеримой функции £). Измеримое отображение £: П —¥ (X, £(Х)) называется
случайным вектором в X. Мера Р^ (С) = Р\(,~1{С)\ называется распределе-
распределением (законом) £. Ясно, что всякая вероятностная мера на £(Х) может быть
получена в такой форме (с тождественным отображением £(ж) = х). Если у
нас имеется семейство вероятностных мер цп на X, то найдется семейство
независимых случайных векторов £„ на одном и том же вероятностном про-
пространстве П, такое, что Р^, — цп (возьмем Л = jQn Хп, Хп = X, Р = ®дп,
€,п{и) — ш„). Случайный процесс £ = (£t, t £ Т) есть набор случайных
величин на вероятностном пространстве (П, Т, Р). При этом
ctl «n,B =
для каждого борелевского множества В 6 S(IR") и любых t\,..., tn 6 Г. Та-
Таким образом, мы можем"определить меру на алгебре 7?.(IR ) цилиндрических
множеств указанного вида посредством
Эта мера автоматически счетно-аддитивна и потому единственным обра-
образом продолжается до счетно-аддитивной меры на £(¥1Т), обозначаемой сим-
символом fjr и называемой распределением £ в функциональном пространстве
(или мерой, порожденной £). Обратно, всякая вероятностная мера /и на
£(Ш. ) является распределением случайного процесса £t(w) = u(t), если взять
а = шг, я = ц.
Отметим, что для любого конечного набора t\,...,tn 6 Т вышеприве-
вышеприведенная формула задает вероятностную меру Ptlt...,tn на IR", называемую
конечномерным распределением ^. Ясно, что образ Ptlt...,t,,.,t,l + ] при есте-
естественной проекции IR" + 1 —» IR" совпадает с f(,,...,t,, (т.е. проекции согла-
согласованны). Следующий результат — знаменитая теорема Колмогорова [78]
(доказательстно см. также в [33, гл. 5]) .
А.З. Меры и измеримость 321
A.3.21. Теорема. Вели для каждого (неупорядоченного) набора точек
/],..., tn 6 Т задана такая вероятностная мера Ptt,...,t,, на WV1, что вы-
выполняется указанное выше свойство согласованности, то существует ве-
вероятностная мера Р, у которой конечномерные распределения совпадают
с Pi, i,,.
Еще один результат Колмогорова позволяет строить меры на простран-
пространстве С[а,Ь] (доказательство можно найти в [33, глава 5]).
А.3.22. Теорема, Пусть ft, t € [о., Ь] — такой случайный процесс, что
для некоторых rv > 1, С > 0 и е > 0 справедливо неравенство
ЩЬ -£»Г < C\t-s\l+e, Vt, s € [a, b].
Тогда существует такой случайный процесс nt, t 6 [a.,b], с непрерывными
траекториями, что для каждого t имеем гц — ft п.в. В частности, процесс
ijt имеет такие же конечномерные распределения, как и ft (значит, fiv =
ju^). Кроме того, (ц^)"(С[а, Ь]) = 1. Более того, (//)*(#*[а, 6]) — 1 для
всякого 5 £ @,е/а), ,:'.<?е //''[и^б] — множество функций, удовлетворяющих
условию Гельдсра с показателем 5.
Отметим, что то же самое верно и для процессов со значениями в сепа-
рабельных банаховых пространствах (см. [43, гл. 3, §5]).
Задачи
А.3.23. (i) Пусть К — метризуемый компакт. Тогда пространство С (К)
с sup-нормой сепарабельно. (ii) Показать, что произведение Iе континуума
отрезков сепарабельно, а банахово пространство С(Iе) — нет.
А.3.24. Если X — сепарабелыгое нормированное пространство, то суще-
существует счетное семейство непрерывных линейных функционалов, разделяю-
разделяющих точки X, и потому X* сепарабельно в *-слабой топологии. Обратное
неверно.
А.3.25. (i) Рефлексивное банахово пространство секвенциально полно в
слабой топологии, (ii) Пусть X — бесконечномерное нормированное про-
пространство. Тогда X не является полным в слабой топологии (т.е. существует
фундаментальная в слабой топологии направленность, не имеющая предела
в слабой топологии). Кроме того, пространство X* не является полным в
*-слабой топологии.
А.3.26. Пусть К — выпуклый компакт в сепарабельном метризуемом ло-
локально выпуклом пространстве X. Тогда К является пересечением счетного
семейства замкнутых полупространств и рк имеет вид рк (х) = suptli(x),
где {Ii} — некоторое счетное множество в X*.
А.3.27. Пусть X — банахово пространство. Если линейное отображение
А: X —> А' непрерывно из топологии нормы в слабую топологию, то образ А
конечномерен.
А.3.28. На пространстве 1R°° с его естественной топологией не существу-
существует непрерывной нормы.
А.3.29. (i) Если L G C(X, Y) непрерывный линейный оператор, при-
причем .V гильбертово пространство, то L переводит замкнутый единичный
шар в замкнутое множество, (ii) Если К 6 K'(X.Y) и X — гильбертово
пространство, то Л" переводит замкнутый единичный шар в компактное
множество.
11 В.И. Богачев
322 Дополнение
А.3.30. (i) Привести пример двух неотрицательных ядерных операторов
в гильбертовом пространстве, имеющих плотные образы, пересекающиеся
лишь по нулю, (ii) Пусть К — компактный оператор в бесконечномерном
гильбертовом пространстве Я. Тогда существует компактный оператор 5,
образ которого плотен в Я, но пересекается с образом К лишь по нулю. (Hi)
Пусть X — банахово пространство и А £ £{Х). Если множество А(Х) плот-
плотно и отлично от X, то существует такой оператор В £ £-(.Х), что множество
В(Х) плотно и пересекается с В(X) лишь по нулю. Указание: см. [154].
А.3.31. Пусть X — несепарабельное банахово пространство. Тогда £(X)
строго меньше, чем Во{Х) = В(Х).
А.3.32. Пусть (П, В) — измеримое пространство и {fn} — последователь-
последовательность В-измеримых функций. Тогда В-измеримы множества
= (ш £ П: 3 lim /n(w)|, H = \ш € П: sup/n(w) < ool.
I n-tao ) I „ J
Л
A.3.33. Показать, что всякая мера Радона имеет топологический носи-
носитель.
А.3.34. Пусть К — метрический компакт и Q С К — какое-нибудь счет-
счетное всюду плотное множество в К. Тогда для всякой борелевской меры /J, на
К найдется последовательность линейных комбинаций дираковских мер 6Я,
q £ Q, слабо сходящаяся к ц.
А.3.35. Пусть {£п} — мартингал со значениями в сепарабельном нор-
нормированном пространстве Е и q — непрерывная норма на Е. Доказать,
что {g(fn)} — субмартингал. Указание: с помощью теоремы Хана-Банаха
представить q в виде супремума последовательности непрерывных линейных
функционалов.
А.3.36. Пусть Е — сепарабельное гильбертово пространство, (П, Р) —
вероятностное пространство и 5 С L2(P,E) — компактное множество. То-
Тогда существует такой компактный неотрицательный оператор К в Е, име-
имеющий плотный образ, что F(w) £ К(Е) п.в. для каждого F £ S и
I WK'^Fiw)
sup /ц/Г1 F{u)\\2E P(du) < оо.
Fes J
Библиографические
комментарии
О, пожелтевшие листы
В стенах вечерних библиотек,
Когда раздумья так чисты,
А пыль пьянее, чем наркотик!
Н. Гумилев. В библиотеке
Вы увидите там многое из того, что я вам рассказы-
рассказываю (хотя порой это там высказано в косвенной форме,
как альтернатива и т.д.), потому что авторы — это
профессионалы и большую часть реально существую-
существующей информации они ввели в свои тексты.
Д. В. Деопик. Библейская археология
К главе 1
Нормальная плотность использовалась впервые А.Муавром [415] в цен-
центральной предельной теореме, а затем рассматривалась П.Лапласом. Дву-
Двумерные нормальные распределения впервые появились в работах Р.Адрэй-
на [164] A808г.), П.Лапласа [382] A810г.), Г.Плана [446] A813г.), Ф.Гаусса
[297] A823г.). Исторические сведения можно найти в [88]. Термин „нормаль-
„нормальное распределение" был предложен во второй половине XIX в. (F. Galton,
С.S.Pierce, K.Pearson). Длительное время нормальные распределения име-
именовались также лапласовскими, но за последние сорок лет такое название вы-
вышло из употребления (см. полемические замечания в [289]). Теперь общепри-
общепринятыми являются термины „нормальная случайная величина", „нормальное
распределение", „гауссовская случайная величина", „гауссовское распреде-
распределение", „гауссовская мера". Дополнительные сведения о гауссовских мерах
в конечномерных пространствах можно найти в книгах [2], [75], [413], [433],
[508]. Многочлены Hk называют также многочленами Чебышёва-Эрмита
(см. [124]), поскольку они были независимо открыты П.Л.Чебышёвым и
Ш.Эрмитом. В книге употреблено укороченное название, чтобы не путать
эти многочлены с другими многочленами Чебышёва, чаще встречающимися
в теории приближений.
К главе 2
Л.Башелье [177] первым рассмотрел броуновское движение с матема-
математической точки зрения (в рамках аналитического аппарата того времени).
С современной точки зрения Л.Башелье использовал процесс броуновско-
броуновского движения для описания стоимостей акций при анализе некоторых оп-
опционов, существовавших тогда во Франции. Первое строгое построение
интеграла по мере Винера (в форме интеграла Даниэля на пространстве
непрерывных функций) было осуществлено Н.Винером [528], [529], [530], ис-
использовавшим цилиндрические множества. Имеется несколько различных
способов доказательства существования меры Винера. Одно из них осно-
основано на рядах Фурье со случайными коэффициентами (см., например, [73]).
При этом можно использовать и функции Хаара (см. [247]). Второе дока-
доказательство (изложенное в примере 2.2.8) основано на двух теоремах Колмо-
11*
324 Библиографические комментарии
горова. Третья возможность предоставляется теорией Гросса абстрактных
виперовских пространств. Имеются доказательства (см. [101]), использую-
использующие понятие радонифицирующего оператора. Существуют и модификации
этих подходов (см., например, [32]). Вместо теоремы Колмогорова можно
использовать приближение броуновской траектории случайными ломаными
(см., например, [10]), а затем соображения слабой компактности. Разуме-
Разумеется, здесь перечислены не все возможности доказать существование меры
Винера. Большой цикл исследований по классической мере Винера был вы-
нолнен Р.Камероном, В.Мартином и их сотрудниками в 40-х и 50-х годах
(см. [224] — [233] и обзор [77]). Г.Уленбек и Л. Орнштейн [511] вскоре по-
после работ Н.Винера предложили иную модель диффузии, соответствующую
гауссовскому случайному процессу, носящему теперь их имена. Первое об-
общее определение гауссовскои меры на бесконечномерном пространстве при-
принадлежит А.Н.Колмогорову [359]. Интенсивное исследование гауссовских
мер па банаховых пространствах и распределений гауссовских процессов в
функциональных пространствах началось в 50-х годах (см., в частности,
[102], [288], [289], [309], [292], [418]). В 60-х годах общая теория гауссовских
мер на линейных пространствах развивалась в работах [35], [36], [37], [156],
[106], [274], [310] — [313], [335], [363], [460], [477]. Большинство излагаемых в
книге результатов линейной теории были известны уж>е в те годы (правда,
не всегда в общем виде, известном теперь). В последующие годы был до-
достигнут заметный прогресс в унификации теории, выяснены связи между
гауссовскими распределениями в функциональных пространствах и гауссов-
скими мерами на банаховых и локально выпуклых пространствах. Соответ-
Соответствующие замечания см. в комментариях к главе 3. Наконец, отметим, что
обширные разделы теории гауссовских мер изложены в книгах [156], [106],
[421], [68], [43], [533], [45], [56], [323], [51], [85], [536].
Формула Камерона-Мартина была первоначально доказана в [228] в слу-
случае классического винеровского пространства для абсолютно непрерывных
функций h € С"[0,1], имеющих производную ограниченной вариации. Позже
в работах [405], [227] и [495] было независимо замечено, что вместо ограни-
ограниченности вариации производной достаточно наложить условие Ы € L2[0, 1]
(необходимость этого условия отмечена н [472]). Условия абсолютной непре-
непрерывности и формулы для плотности сдвига общей гауссовскои меры полу-
получены » [309]. Пространство Камерона-Мартина называют также воспроиз-
воспроизводящим гильбертовым пространством гауссовскои меры; этим термином
называют также гильбертово пространство измеримых линейных функци-
функционалов (но аналогии с гильбертовым пространством, полученным в виде
пополнения предгильбертова пространства функций на множестве Т отно-
относительно скалярного произведения, заданного ядром Л ( • , ■ ) на Т (такая
конструкция рассмотрена Н.Ароншайном [175]).
Закон 0-1 для гауссовских мер вытекает из классического закона 0-1
Колмогорова [78] (и в этом смысле может считаться результатом А.Н.Кол-
А.Н.Колмогорова); Р.Камерон и Р.Грейвс [227] доказали закон 0- 1 для меры Ви-
Випера. Несколько более общие формулировки были найдены в [348]. Закон
0-1 для подгрупп доказывался в [340], [348], [330], [182], [390]. Важным со-
событием в теории гауссовских мер стало открытие И.Гаеком [38], [318] и
Я.Фельдманом [273] альтернативы ,,эквивалентность или сингулярность".
Близкие результаты получены в работах по математической физике [472],
[475]. Дальнейший прогресс был достигнут в работах Ю.А.Розанова [103]
-■• [106]. В 60-х и 70-х годах этот результат обобщился и конкретизиро-
нался для различных специальных классов гауссовских процессов разными
авторами (см. [42], [532], [106], [326], [350], '[432], [476], [477], [523], [522],
[524]). В [391] было замечено, что альтернатива „эквивалентность или сип-
Библиографические комментарии 325
гулярность" может быть выведена из закона 0-1. Приведенное в тексте
доказательство предложено М.Талаграном [500]. По поводу законов 0-1 и
эквивалентности/сингулярности см. также [223], [262], [276], [329], [462].
Близкие к теореме Ферника результаты были получены в [112], [381].
Измеримые линейные функционалы на классическом винеровском простран-
пространстве описаны в. [227], [308]. Более общие ситуации рассмотрены в [35], [156].
Бесконечномерные гауссовские распределения активно применяются в
финансовой математике (см. [158]).
К главе 3
Многие результаты теории радоновских гауссовских мер были перво-
первоначально получены в более специальных частных случаях (например, для
меры Винера или для продакт-мер), поэтому часто бывает затруднительно
указать приоритет. Одним из первых изложений теории гауссовских мер
Радона на произвольных локально выпуклых пространствах была статья
[209]. Основным инструментом перенесения классических результатов на
общий случай являются теоремы 3.4.1, 3.4.3, 3.4.4 Б.С.Цирельсона [147]. Не-
Небольшие модификации оригинального доказательства Б.С.Цирельсона были
предложены в [461], [499]. Помимо уже упоминавшихся работ, гауссовские
меры на локально выпуклых пространствах изучались также в [221], [222],
[255], [274], [420], [454], [510]. Первое корректное доказательство сепарабель-
сепарабельности пространства L2(^j) для радоиовских гауссовских мер опубликовано в
[465] (независимо, но несколько позже этот факт был доказан в [147], [209]);
изложенное доказательство следует [465] (использованная в нем лемма 1.6.7
отмечена в [465], а так лее в [84]).
Сходимость рядов и последовательностей гауссовских векторов рассма-
рассматривалась в [21], [28], [32], [147], [210], [222], [236], [238], [335], [337], [524].
Обстоятельное изложение этих вопросов дано в монографии В.В.Юринско-
го [536]. Разложение гауссовского процесса в ряд по собственным функци-
функциям интегрального оператора восходит к работе Карунена [354]. Особенно
большую роль в этом направлении сыграли работы К.Ито и М.Нисио [335]
и Б.С.Цирельсона [147]. О гауссовских функциональных рядах см. [21],
[7.3]. [147]. Теорема 3.4.6 получена в [236], а теорема 3.4.9, дающая ответ на
вопрос из [45], доказана в [378].
Носители гауссовских мер изучались в [332], [453]. Теорема 3.5.5 для
банаховых пространств получена в [22], а для пространств Фреше с приве-
приведенным в тексте доказательством она установлена в [15]. Первый пример
гауссовс.кой меры на сепарабельном банаховом пространстве без гильберто-
гильбертова носителя был построен Р.Дадли [259]. В [116] и [317] было показано, что
классическая мера Винера на С[0,1] не имеет гильбертова носителя (в [317]
упомянуто также более раннее неопубликованное доказательство С.Квапе-
пя). Приведенное в тексте короткое доказательство этого факта заимство-
заимствовано из [20].
Измеримые линейные функционалы и операторы изучались (помимо ра-
работ, упомянутых в комментариях к главе 2) в [209], [285], [427], [463]. Тео-
Теорема 3.6.6 и предложение 3.6.8(i) восходят к работам Л.Гросса [310], [312], а
предложение 3.6.8(п) усиливает теорему из [45].
По поводу слабой сходимости гауссовских мер см. также [5], [238], [243],
[244], [245], [279], [306].
Абстрактные винеровские пространства были введены Л.Гроссом [312]
и изучались многими авторами в 60-х и 70-х годах (см. [45], [178], [180],
[IвI]', [184], [260], [261], [314], [349], [363] — [366], [460]). Тот факт, что всякая
невырожденная гауссовская мера на сепарабельном банаховом пространстве
может быть представлена как абстрактная винеровская мера, был доказан
Х.Сато [460] и Дж.Квэлбсом [364].
326 Библиографические комментарии
Ряд весьма тонких примеров различных теоретико-множественных па-
патологий, возможных для нерадоновских гауссовских мер на банаховых про-
пространствах (типа пространства 1°°} построен в [290], [500].
Имеется два направлений, связывающих материал главы 3 с теорией ло-
локально выпуклых и банаховых пространств, но не обсуждаемых в этой кни-
книге. Первое из них касается различных понятий радонифицирующего опера-
оператора. Пусть X и У — два локально выпуклых пространства. Непрерывный
линейный оператор Т : X —> Y называется 7-РаДонифицирующим, если для
всякой гауссовской цилиндрической меры V на X с непрерывным преобра-
преобразованием Фурье мера v о Т~1 плотна. В случае, когда X и Y — гильберто-
гильбертовы пространства, это — в точности класс операторов Гильберта-Шмидта.
Дополнительную информацию см. в [32], [93], [101]. Второе направление
имеет дело с характеризацией квадратичных форм на X*, которые являют-
являются гауссовскими ковариациями. В случае гильбертова пространства этот
класс совпадает с семейством неотрицательных форм, порожденных ядер-
ядерными операторами, а значит, совпадает с классом ковариаций всех мер fi с
J \\x\\2 fi(dx) < со. Иное положение в общих банаховых пространствах (см.
замечания в 7.5). Дальнейшие ссылки см. в [28], [31], [32], [93], [497].
Различные оценки, связанные с гауссовскими мерами, можно найти в [4],
[302], [305], [307], [430], [505], [537]. О функциях, разделяющих гауссовские
меры, см. [393], [395].
Существуют аналоги гауссовских мер и на более об|1цих пространствах
(например, на группах, на пространствах над р-адичецкими полями, в не-
некоммутативном анализе); см. [143], [144], [319]. О вычислении гауссовских
функциональных интегралов см. [64]. Применения гауссовских мер в кван-
квантовой теории поля можно найти в [9], [44], [90], [108]. По1поводу приложе-
приложений в статистике см., например, [25], [68], [71], [72], [83], '[149], [403], [442].
Различные вопросы, связанные с гауссовскими мерами в функциональных
пространствах, обсуждаются в [339], [347].
К главе 4
Неравенство Андерсона получено в [172] для значительно более широ-
широкого класса мер (см. [23]). Логарифмическая выпуклость широкого класса
мер, включающего гауссовские, доказана в [452] (для выпуклых множеств) и
в [207]. Неравенство A.6.10) получено в [452] и усилено в [218], откуда взято
приведенное доказательство. В [65] рассуждения, основанные на неравен-
неравенстве Брунна-Минковского, применялись для доказательства частных случа-
случаев логарифмического неравенства и логарифмической выпуклости функции
х >—>• 7h(j4+:e) для абсолютно выпуклых множеств А С Ип. Изопериметриче-
ское неравенство для гауссовских мер на бесконечномерных пространствах
доказано В.Н. Судаковым и Б.С.Цирельсоном [123] и К.Бореллем [208]. Экс-
Экспоненциальная интегрируемость Я-липшицевых функций впервые отмечена
в [248]. Заметное продвижение это направление получило в работах А.Эр-
харда [264] — [267], которым следует наше изложение. Дополнительные ре-
результаты, связанные с изопериметрическими неравенствами и неравенства-
неравенствами типа Брунна-Минковского, см.' в [183], [214], [386], [387]. Следствие 4.3.2
получено (иным способом) в [148]; дополнительную информацию о распре-
распределении максимума гауссовского процесса можно найти в [51], [52],, [60], [85],
[394], [501], [503]. Предложение 4.3.3 взято из [248].
В работе Л. Онзагера и С. Маклупа [428] изучалось поведение на шарах
меры /j, порожденной диффузионным процессом £t (с постоянным коэффи-
коэффициентом диффузии). Эта работа положила начало интенсивным исследова-
исследованиям (см. [27], [239]). Первые общие результаты о существовании функции
Онзагера-Маклупа были получены в работах [428], [125], [34] для винеров-
Библиографические комментарии 327
ской меры 7 на С[0,1] с sup-нормой q и для гауссовских мер на гильбертовом
пространстве с обычной нормой. Более сильный результат — существова-
существование предела D.4.24) для ограниченного абсолютно выпуклого множества V
в локально выпуклом пространстве и Vt = sV — был получен К.Бореллем
в [211]. Позднее Р.Дадли, Й.Хоффман-Йоргенсен и Л.Шепп [327] доказали,
что функция Онзагера-Маклупа существует для гауссовская продакт-меры
7, если 7"Измеримая норма q имеет вид q(x) = supq(xi,. .. , жп,0, 0,. . .). В
[478] рассмотрен случай, когда 7 — винеровская мера на С[0,1] и q — нор-
норма, удовлетворяющая некоторым специальным условиям, и доказано, что
предел D.4.24) существует для всех h 6 Н(-у). В [17] все эти результаты бы-
были усилены. Различные результаты о функциях Онзагера-Маклупа имеются
в [211], [305] — [307], [368], [396], [398].
Принцип больших уклонений для гауссовских мер появился с теоремой
М.Шильдера [467] для меры Винера. Распространение на общие сепара-
бельпые банаховы пространства было осуществлено М.Донскером и С.Ва-
раданом (см. [257]). К.Борелль [209] рассмотрел случай общего локально
выпуклого пространства. Ж.Бен Арус и М.Леду [190] дали формулировки
в нетопологических терминах. Наше изложение следует работе [190] (хотя
пространство X предполагалось в [190] сепарабельным банаховым, те же
самые доказательства применимы к общим локально выпуклым простран-
пространствам). Тесно связанный с большими уклонениями метод Лапласа оценки
гауссовских интегралов подробно освещен в [100], [189], [457]. В связи с
материалом этого параграфа см. также [34], [94], [352].
К главе 5
Дифференцируемость мер в бесконечномерных пространствах впервые
рассмотрена Т.Питчером [443] и позже в ряде работ С;В.Фомина (см. [134]
и обзоры [1], [20]). В настоящее время теория дифференцируемых мер —
обширная область бесконечномерного анализа, имеющая интересные приме-
применения в стохастическом анализе и математической физике (см. [18], [20],
[56]). Более общие формулы интегрирования по частям получены в [139]
(см. также [20], [197]). Для гауссовских мер различные полезные формулы
интегрирования по частям получены в [54], [55]. Логарифмические произ-
производные мер по направлениям введены С.В.Фоминым, рассмотревшим так-
также дифференцируемость гауссовских мер. Аналитичность гауссовских мер
установлена в [7] и [170].
Классы Соболева над бесконечномерными пространствами впервые опре-
определены Н.Н.Фроловым (см. [135] — [137]). Позже они рассматривались мно-
многими другими авторами; см. [27], [179], [282], [360] — [362], [384], [410] — [412],
[434], [482], [489], [490], [525], [527]. Основные результаты об эквивалентности
различных определений принадлежат П.Мейеру и Х.Сугите. Более корот-
короткое по сравнению с оригинальным доказательство эквивалентности Мейера
предложено Ж.Пизье [441]. Негауссовские соболевские классы обсуждаются
в [8], [18], [19], [201]. Несколько иное изложение теории соболевских классов
по гауссовским мерам дано в книге [423]. Гауссовский анализ в терминах
пространств Фока {Хи в наших обозначениях) изложен в [341].
Дивергенция векторного поля и производная меры вдоль поля рассма-
рассматривались в [54], [55], [455], [360] — [362], [114], [52], [300], [95] и во многих
работах, связанных с исчислением Маллявэна (см. обзор [20]). В общем слу-
случае (для негауссовских мер на многообразиях) это понятие введено в [53].
Гиперсжимаемость полугруппы Орнштеина-Уленбека доказана Э.Нель-
Э.Нельсоном [419]. Более подробную информацию можно найти в [316]. Помимо
уже отмеченных работ, полугруппы Орнштеина-Уленбека обсуждались в
[437], [388]. В нашем изложении использованы работы [385], [386].
Интерес к гауссовским емкостям возник после появления исчисления
328 Библиографические комментарии
Маллявэна. Основные результаты получены в [294], [295], [353], [371], [400],
[491], [498] (см. также [235]). Плотность гауссовских емкостей, означающая,
в частности, их топологическую инвариантность, установлена в [371], [491],
[169] для банаховых пространств и в [283], [203], [204] для локально выпукл-
выпуклых пространств. Наиболее общий результат, изложенный в тексте, взят из
[204]. Вопрос о топологической инвариантности гауссовских емкостей был
поставлен К.Ито и П.Маллявэном. Более общие гауссовские емкости, ассо-
ассоциированные с полугруппой операторов (Tt)t>o, обсуждаются в [18], [353],
[357]. Многие классические результаты, в которых идет речь о „свойствах
почти всюду", могут быть получены в более точной форме как „свойства
квази-всюду" (см. [348], [402]). Оценки больших уклонений в терминах ем-
емкостей и родственные результаты см. в [214], [534].
Об экспоненциальной интегрируемости функций из соболевских клас-
классов, логарифмическом соболевском неравенстве и неравенстве Пуанкаре см.
[166], [167], [186] (в [293] имеются негауссовские обобщения).
Обсуждение нелинейных винеровских функционалов, определяемых сво-
своими сужениями на подпространство Камерона-Мартина, см. в [239], [425],
[492], [493], [494], [538]. Различные вопросы, связанные с построением функ-
функций из соболевских классов и приближениями такими функциями обсужда-
обсуждаются в [39], [62], [196], [303], [324], [438]. В [512], [513] исследован вопрос
о том, как охарактеризовать независимость случайных величин из W°°(-y)
посредством их производных.
Измеримые многочлены (в форме кратных стохастических интегралов
или в абстрактной форме) появились в работах Н.Винера [531], Р.Камерона
и В.Мартина [232], К.Ито [331], И.Сигала [471] и изучались в [35], [115], [43],
[113], [61], [72], [145], [56], [48], [62]. Про виковские произведения гауссовских
величин и полиномы от гауссовских случайных функций см. в [61], [90], [108],
[341].
В [313] и [342] в качестве универсально нулевых рассматривались мно-
множества, нулевые относительно всех гомотетичных образов фиксированной
гауссовской меры. Ясно, что таких множеств больше, чем гауссовских нуль-
нульмножеств.
К главе 6
Приводимые здесь результаты о линейных преобразованиях гауссовских
мер являются, по-существу, классическими и в несколько менее общей фор-
форме, но с весьма близкими доказательствами известны давно; см., например,
[472], [310], [473], [474], [35], [36], [156], [106], [422].
Имеется много работ, посвященных выяснению условий эквивалентно-
эквивалентности мер, порожденных разными специальными классами гауссовских про-
процессов и полей (ясно, что непосредственное применение общей теоремы в
конкретных ситуациях может наталкиваться на непреодолимые вычисли-
вычислительные трудности). По этому поводу см. [26], [43], [68], [106], [145], [118],
[162], [240], [323], [326], [344], [345], [351] и имеющиеся там ссылки.
Результаты, изложенные в 6.3, восходят к пионерским работам [228],
[230], [234], [226], где последовательно сдвиги, линейные отображения и за-
затем более общие нелинейные преобразования Тш = и> + F{lo) были исследо-
исследованы в случае классического винеровского пространства. Одно из основных
предположений в данном круге проблем состоит в том, что F принимает зна-
значения в пространстве Камерона-Мартина. Последующий прогресс стал воз-
возможен благодаря Г.Маруяме, И. В. Гирсанову и А. В. Скороходу. Основной
результат в [406] — доказательство существования переходной плотности
невырожденной одномерной диффузии. Чтобы получить это утверждение,
в [406] было показано, что распределение одномерной диффузии с единич-
единичным коэффициентом диффузии и сносом /. эквивалентно мере Винера и его
Библиографические комментарии 329
производная Радона-Никодима есть функция Л, определяемая равенством
A(V),»i= expf JQ f(w3) dws — 5 /0 f(ws}2 ds). Однако довольно продолжитель-
продолжительное время работа Маруямы оставалась неизвестной большинству исследова-
исследователей в этой области. В статьях [41] и [ПО] было независимо доказано, что
распределения двух многомерных ' диффузионных процессов с одним и тем
же коэффициентом диффузии А эквивалентны (в частности, если А = I, они
эквивалентны мере Винера). Кроме того, работа И.В.Гирсанова содержит
более общее утверждение, которое в случае А = I утверждает, что процесс
t
£, = wt — J f(s,&)ds является винеровским относительно меры Q = Л Р при
о
условии, что f(t,u) — согласованный процесс, квадратично-интегрируемый
по каждому аргументу и ЖЛ = 1, Как показано в [41], условие ЖЛ = 1
выполняется во многих важных случаях. В рамках теории абстрактных ви-
неровских пространств (или гильбертовых пространств с гауссовскими ме-
мерами) близкие результаты были получены в [310], [3], [111] и других работах.
В такой постановке условие согласованности заменяется некоторой гладко-
гладкостью F. Результат Р.Рэймера [455] стал решающим шагом в этом направле-
направлении. Дальнейшее усовершенствование проделано С.Кусуокой [370], метод
которого использован в нашем изложении. Теорема 6.3.6, усиливающая ре-
результат Кусуоки, получена в [516] с помощью модификации рассуждений из
[370]. Работы Р.Букдана (см. [220]) дали импульс активным исследованиям
преобразований гирсановского типа без условий неупреждаемости. Инте-
Интересные дополнительные результаты можно найти в [270], [301], [374], [375],
[423], [514], [515], [516], [517], [518], [539]. Сохраняющие гауссовскую меру
аналитические преобразования 1R" рассмотрены в [160]. Интересные прило-
приложения обсуждавшихся результатов к построению квазиинвариантных мер и
диффузий на бесконечномерных многообразиях описаны в [269], [185], [152],
[140], [258], [420].
Исчисление Маллявэна [400] возникло как новый метод доказательства
гладкости переходных вероятностей многомерных диффузионных процессов
с возможно вырожденными коэффициентами диффузии (одним из первых
применений было вероятностное доказательство известной теоремы Хер-
мандера о гипоэллиптических дифференциальных операторах второго по-
порядка). Вскоре выяснилось, что метод Маллявэна — красивое и эффектив-
эффективное средство исследования нелинейных преобразований мер (не обязательно
гауссовских) на бесконечномерных пространствах. Исчисление Маллявэна
имеет много точек соприкосновения с функциональным анализом, стохасти-
стохастическим анализом и топологией многообразий. Изложенное в книге введение
в это исчисление имело цель лишь, обрисовать основные идеи применительно
к гауссовскому случаю. Различные интерпретации метода Маллявэна мож-
можно найти в последующих работах многочисленных авторов; см., например,
[18], [20], [27], [51], [52], [188], [192], [423], [424] [480], [488] и обширную библио-
библиографию в [18], [20], [423]. Впрочем, во всех этих модификациях суть метода
остается неизменной и различаются они скорее терминологией (например,
производные вдоль векторных полей называются „дифференциальными опе-
операторами", „операторами саггё du champ" и т.п.). При этом, однако, кон-
конкретные ситуации, в которых применяется общий метод, отличаются боль-
большим разнообразием. Дополнительные результаты о гладкости распределе-
распределений различных функционалов можно найти в цитированных выше работах и
в [16], [298], [401], [417], [447]. Применение исчисления Маллявэна к нахожде-
' Многомерный случай значительно сложнее одномерного.
330 Библиографические комментарии
нию различных асимптотик см. в [376], [526]. Первые общие результаты об
абсолютной непрерывности распределений винеровских функционалов по-
получил И.Шигекава [479], [480] с помощью методов исчисления Маллявэна.
Однако во многих случаях для этой цели более эффективно использование
конечномерных результатов применительно к условными мерам на конечно-
конечномерных подпространствах. Различные результаты такого рода получены в
[49], [216], [20], [195], [217]. Абсолютная непрерывность конечномерных обра-
образов гауссовских мер исследовалась также в работах [48], [153] (где следствие
6.5.5 доказано для разложений по многочленам Эрмита), [372], [373], [408].
Описанное построение поверхностных мер следует работе Э.Эро и П. Мал-
Маллявэна [168]. Другие подходы можно найти в [45], [113], [128] — [130], [196],
[284], [320], [321], [322]. В качестве принципиального отличия (ср. [128]) от-
отметим, что в случае, когда объемлющее пространство банахово, при задании
поверхностного слоя вместо нормы пространства Камерона-Мартина можно
использовать норму самого пространства (например, в случае гильбертова
пространства X использовать единичную нормаль к поверхности по норме
из X). Естественно, это приводит к иной, хотя и близкой, теории. Однако,
как показано в [196], и на этом пути оказывается эффективным метод Мал-
Маллявэна. Различные формулы классического векторного анализа (типа Грина
и Стокса) обсуждались в [486], [304] и в указанных выше работах.
Носители мер, индуцированных достаточно регулярными отображени-
отображениями, обсуждаются в [165]; в частности, интересен вопрос, когда носитель
меры 7 ° F~l совпадает с замыканием F(H(f)). Связность носителя меры
7 о F~^ для F 6 И/о°G,Ю.а) показана в [272] с помощью теоремы о гладко-
гладкости соответствующей плотности (для функций из И/2'1G) этот результат
приведен в [62]).
Ограниченность плотности и гладкость распределения нормы гауссов-
ского вектора изучалась многими авторами; см. [51], [85], [97], [130], [367],
[368], [369], [397] и имеющиеся там ссылки. Особенно хорошо изучен случай
гильбертова пространства; см. [67], [66], [328], [398], [407], [431], [456].
К главе 7
Многие результаты и конструкции абстрактной теории гауссовских мер
возникли при изучении траекторий гауссовских случайных процессов. Раз-
Разнообразные геометрические характеристики, порождаемые ковариационны-
ковариационными функциями гауссовских процессов (такие, как метрическая энтропия),
имеют глубокие связи с носителями гауссовских мер. Выдающийся вклад в
эту область внесли Р.Дадли [51], [259], В. Н. Судаков [119] — [Ш], К.Фер-
ник [133] и М.Талагран [502], [506]. Различные аспеты траектс/рной теории
изложены в книгах [68], [81], [85], [99], [162], [163], [387]. См/ также [98],
[187], [256], [386]. Интересные свойства траектории винеровскюго процесса
обсуждаются в [70], [73], [81]. Бесконечномерным винеровским^процессам и
более общим диффузиям посвящена обширная литература; по поводу затро-
затронутых в этой главе вопросов и дальнейших ссылок см. [45], [56]{ [173], [170],
[171], [199], [204], [206], [251], [280], [2811, [286], [287], [330], [333], [414].
Изложение в 7.4 следует работам [198], [205]. Аналогичные результаты
для переменных коэффициентов диффузии получены в [200]. Дифференци-
руемость переходных вероятностей бесконечномерных диффузий обсужда-
обсуждается в [6], [45], [251], [299], [416], [439]. О краевых задачах в абстрактных
винеровских пространствах см. [45], [56], [86], [142].
По поводу предельных теоремы для бесконечномерных случайных эле-
элементов см. [21], [32], [79], [97], [174], [191], [387], [466].
Список литературы
[1] Авербух В.И., Смоляное О.Г., Фомин СВ. Обобщенные функции и диффе-
дифференциальные уравнения в линейных пространствах// Тр. Моск. мат. об-ва.
1971. Т. 24. С. 133-174.
[2] Андерсон Т. Введение в многомерный статистический анализ. — М.:
ГИФМЛ, 1963.
[3] Баклан В.В., Шаташвили А.Д. Преобразования гауссовских мер при нели-
нелинейных отображениях в гильбертовом пространстве// Допов1д1 АН УССР.
1965. N 9. С. 1115-1117.
[4] Барсов С.С, Ульянов В.В. Оценки близости гауссовских мер// Докл. АН
СССР. 1986. Т. 291, N 2. С. 273-277.
[5] Баушев А.Н. О слабой сходимости гауссовских мер// Теория вероятн. и ее
примен. 1987. Т. 32, N 4. С. 734-742.
[6] Белопольская Я.И., Далецкий Ю.Л. Стохастические уравнения и диффе-
дифференциальная геометрия. — Киев: Вища школа, 1989.
[7] Бенткус В.Ю. Аналитичность гауссовских мер// Теория вероятн. и ее при-
примен. 1982. Т. 27, N 1. С. 147-154.
[8] Березанский Ю.М., Кондратьев Ю.Г. Спектральные методы в бесконечно-
бесконечномерном анализе. — Киев: Наукова думка, 1988.
[9] Березин Ф.А. Метод вторичного квантования. 2-ое изд. — М.: Наука, 1986.
[10] Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. — М.: Наука, 1977.
[11] Богачев В.И. Пренебрежимые множества и диференцируемые меры в бана-
банаховых пространствах// Вестн. МГУ. Мат., мех. 1982. N 3. С. 47-52.
[12] Богачев В.И. О трех задачах Ароншайна из теории меры// Функц. анал. и
его прил. 1984. Т. 18. С. 75-76.
[13] Богачев В.И. Пренебрежимые множества в локально выпуклых простран-
пространствах// Мат. заметки. 1984. Т. 36, N 1. С. 51-64.
[14] Богачев В. И. Несколько результатов о дифференцируемых мерах// Мат.
сб. 1985. Т. 127, N 3. С. 336-351.
[15] Богачев В.И. Локально выпуклые пространства со свойством ЦПТ и носи-
носители мер// Вестн. МГУ. Мат., мех. 1986. N 6. С. 16-20.
[16] Богачев В. И. Функционалы от случайных процессов и связанные с ними бес-
бесконечномерные осциллирующие интегралы// Известия РАН. 1992. Т. 156,
N 2. С. 243-278.
[17] Богачев В.И. Функции Онзагера-Маклупа для гауссовских мер// Докл.
РАН. 1995. Т. 344, N 4. С. 439-441.
[18] Богачев В. И. Дифференцируемые меры и исчисление Маллявэна// Итоги
науки и техн. ВИНИТИ. Соврем, мат. и ее прилож. Теория вероятн. 1995.
Т.'27. С. 2-150.
[19] Богачев В.И., Майер-Волъф Э. Потоки, порожденные векторными поля-
полями Соболевского типа, и соответствующие преобразования вероятностных
мер// Докл. РАН. 1997 (в печати).
[20] Богачев В.И., Смоляное О.Г. Аналитические свойства бесконечномерных
распределений// Успехи мат. наук. 1990. Т. 45, N 3. С. 3-83.
[21] Булдыгин В.В. Сходимость случайных элементов в топологических про-
пространствах. — Киев: Наукова думка, 1980.
[22] Булдыгин В.В. Носители вероятностных мер в сепарабельйых банаховых
пространствах// Теория вероятн. и ее примен. 1984. Т. 29, N 3. С. 528-532.
[23] Булдыгин В.В., Харазишвили А.Б. Неравенство Брунна-Минковского и его
приложения. — Киев: Наукова думка, 1985.
[24] Бураго Д.М., Залгаллер В.А. Геометрические неравенства. — Л.: Наука,
1980.
[25] Бурпашев М.В. О различении гипотез для гауссовских мер и одна геометри-
геометрическая характеризация гауссовского распределения// Мат. заметки. 1982.
Т. 32, N 4. С. 549-556.
[26] Бутов А.А. Об эквивалентности мер, отвечающих гауссовским канониче-
каноническим процессам// Успехи мат. наук. 1982. Т. 37, N 5. С. 169-170.
[27] Ватанабэ С, Икэда Н. Стохастические дифференциальные уравнения и
диффузионные процессы. — М.: Мир, 1986.
332 Список литературы
[28] Вахания Н.Н. Вероятностные распределения в линейных пространствах. —
Тбилиси: Мецниереба, 1971.
[29] Вахания Н.Н. О соответствии между понятиями гауссовской меры и гаус-
совского процесса// Матем. заметки. 1979. Т. 26, N 2. С. 293-297.
[30] Вахания НИ. Каноническая факторизация гауссовских ковариационных
операторов и некоторые ее приложения// Теория вероятн. и ее примен. 1993.
Т. 38, N 3. С. 481-490.
[31] Вахания Н.Н., Тариеладзе В.И. Ковариационные операторы вероятностных
мер в локально выпуклых пространствах// Теория вероятн. и ее примен,
1978. Т. 23, N 1. С. 3-26.
[32] Вахания Н.Н., Тариеладзе В.И., Чобанян С.А. Вероятностные распределе-
распределения в банаховых пространствах. — М.: Наука, 1984.
[33] Вентцелъ А.Д. Курс теории случайных процессов. 2-е изд. — М.: Наука,
1996.
[34] Вентцелъ А.Д., Фрейдлин М.И. Флуктуации в динамических системах под
воздействием малых случайных возмущений. — М.: Наука, 1979.
[35] Bepw.uK A.M. Общая теория гауссовских мер в линейных пространствах//
Успехи мат. наук. 1964. Т. 19, N 1. С. 210-212.
[36] Bepw.uK A.M. Двойственность в теории меры в линейных пространствах//
Докл. АН СССР. 1966. Т. 170, N 3. С. 497-500.
[37] Bepw.uK A.M., Судаков В.Н. Вероятностные меры в бесконечномерных про-
пространствах// Зап. научн. семин. Л(АШ. 1969. Т. 12. С. 7-67.
[38] Гаек И. Об одном свойстве нормальных распределений произвольного сто-
стохастического процесса// Чехосл. мат. ж. 1958. Т. 8. С. 610-618.
[39] Галламов М.М. Винеровские меры и некоторые проблемы приближения в
банаховых пространствах// Anal. Math. 1992. Т. 18, N 1. С. 25-36.
[40] Гельфанд И.М., Виленкин Н.Я. Обобщенные функции. Т. 4. Приложения
гармонического анализа. — М.: Наука, 1961.
[41] Гирсанов И.В. О преобразовании одного класса случайных процессов с по-
помощью абсолютно непрерывной замены меры// Теория вероятн. и ее при-
примен. 1960. Т. 5, N 3. С. 314-330.
[42] Гихман И.И., Скороход А.В. О плотностях вероятностных мер в функцио-
функциональных пространствах// Успехи мат. наук. 1966. Т. 21, N 6. С. 83-152.
[43] Гихман И.И., Скороход А.В. Теория случайных процессов. Т. 1. — М.: На-
Наука, 1971.
[44] Глимм А., Джаффе А. Математические методы квантовой физики. Подход
с использованием функциональных интегралов. — М.: Мир, 1984.
[45] Го X. Гауссовские меры в банаховых пространствах. — М.: Мир, 1979.
[46] Голъдштейн В.М., Решетняк Ю.Г. Введение в теорию функций с обоб-
обобщенными производными и квазиконформные отображения. — М.: Наука,
1983.
[47] Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных
операторов. — М.: Наука, 1965.
[48] Давыдов Ю.А. О распределениях кратных интегралов Винера-Ито// Тео-
Теория вероятн. и ее примен. 1990. Т. 35. С. 51-62.
[49] Давыдов Ю.А., Лифт,иц М.А. Метод расслоений в некоторых вероятност-
вероятностных задачах// Итоги науки и техн. Теор. вероятн., мат. статист. Теор. ки-
берн. ВИНИТИ. 1984. Т. 22. С. 61-157.
[50] Давыдов Ю.А., Лифи1иц М.А., Смородина Н.В. Локальные свойства рас-
распределений стохастических функционалов. — М.: Физматлит, 1995.
[51] Дадли Р. Выборочные функции гауссовского процесса// Случайн. процес-
процессы. М.: Мир, 1978. С. 7-62.
[52] Далецкий Ю.Л. Стохастическая дифференциальная геометрия// Успехи
мат. наук. 1983. Т. 38. С. 87-111.
[53] Далецкий.Ю.Л., Марянин Б.Д. Гладкие меры на бесконечномерных много-
многообразиях// ДАН СССР. 1985. Т. 285, N 6. С. 1297-1300.
Список литературы 333
[54] Далецкий Ю.Л., Парамонова С.II. Стохастические интегралы по нормально
распределенной аддитивной функции множеств// Докл. АН СССР. 1973.
Т. 208, N 3. С. 512-515.
[55] Далецкий Ю.Л., Парамонова СИ. Об одной формуле теории гауссовских
мер и оценке стохастических интегралов// Теория вероятн. и ее примен.
J975. Т. 19, N 4. С. 844-849.
[56] Далецкий Ю.Л., Фомин СВ. Меры и дифференциальные уравнения в бес-
бесконечномерных пространствах. — М.: Наука, 1983.
[57] Данфорд П., Шварц Дж. Линейные операторы, т. 1. — М.: ИЛ, 1962.
[58] Даицер Л.. Грюнбаум Б.. Кли В. Теорема Хелли. — М.: Мир, 1968.
[59] Дистслъ Дж. Геометрия банаховых пространств. — Киев: Вища школа,
1990.
[60] Дмитровский В. А. Условие ограниченности и оценки распределения мак-
максимума, случайных полей на произвольных множествах// ДАН СССР. 1980.
Т. 253, N 2. С. 271-274.
[61] Добрушин Р.Л., Минлос Р.А. Полиномы от линейных случайных функций//
Успехи мат. паук. 1977. Т. 32, N 2. С. 67-122.
[62] Дороговцев А.А. Стохастический анализ и случайные отображения в гиль-
гильбертовом пространстве. — Киев: Наукова думка, 1982.
[63] Дуб Док.Л. Вероятностные процессы. — М.: ИЛ, 1956.
[64] Егоров А.Д., Соболевский П.И., Янович Л.А. Приближенные методы вычи-
вычисления континуальных интегралов. — Минск: Наука и техн., 1985.
[65] Залгаллер В.А. Смешанные объемы и вероятность попадания в выпуклые
области при многомерном нормальном распределении// Мат. заметки. 1967.
Т. 2, N 1. С. 97-104.
[66] Золотлрев В.М. Об одной асимптотике гауссовской меры в /г// Проблемы
устойч. стохаст. моделей. М.: ВНИИСИ, 1984. С. 54-58.
[67] Ибрагимов И.А. О вероятности попадания гауссова вектора со значениями
в гильбертовом пространстве в сферу малого радиуса// Зап. научн. семин.
ЛОМИ. 1979. Т. 85. С. 75-93.
[08] Ибрагимов И.А., Розанов Ю.А. Гауссовские случайные процессы. — М.:
Наука, 1970.
[69] Ибрамхалилов И.Ш., Скороход А.В. Состоятельные оценки случайных про-
процессов. — Киев: Наукова думка, 1980.
[70] Ито К., Маккин Г. Диффузионные процессы и их траектории. — М.: Мир,
1968.
[71] Каган A.M., Линник Ю.В., Рао СР. Характеризационные задачи матема-
математической статистики. — М.: Наука, 1972.
[72] Каллианпур Г. Стохастическая теория фильтрации. Нелинейная фильтра-
фильтрация и смежные вопросы. — М.: Наука, 1987.
[73] Кахан Ж.-П. Случайные функциональные ряды. — М.: Мир, 1973.
[74] Кац М.П. Непрерывность универсально измеримых линейных отображе-
отображений// Сиб. мат. журн. 1982. Т. 23, N 3. С. 83-90; Исправление: там же.
1983. Т. 24, N 3. С. 217.
[75] Кендалл М., Стюарт А. Теория распределений. — М.: Наука, 1966.
[76] Кобаненко К.И. О продолжении обобщенно-липшицевых отображений//
Мат. заметки. 1997 (в печати).
[77] Ковалъчик И.М. Интеграл Винера// Успехи мат. наук. 1963. Т. 19, N 1.
С. 97-134.
[78] Колмогоров А.Н. Основы теории вероятностей. — М.: Наука, 1964.
[79] Круглое В.М. Дополнительные главы теории вероятностей. — М.: Высшая
школа, 1984.
[80] Куратовский К. Топология. Т. 1, 2. — М.: Мир, 1966.
[81] Леей П. Стохастические процессы и броуновское движение. — М.: Наука,
1972.
[82] Линник Ю.В. Разложения вероятностных законов. — Л.: Изд-во ЛГУ, 1960.
[83] | Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Статистика случайных процессов. — М.: Наука,
1974.
334 Список литературы
[84] Лифшиц М.А. Распределение максимума гауссовского процесса// Теория
вероятн. и ее примен. 1986. Т. 31, N 1. С. 134-142.
[85] Лифшиц М.А. Гауссовские распределения. — Киев: ТВиМС, 1995.
[86] Лобузов А.А. О первой краевой задаче для параболического уравнения в
абстрактном винеровском пространстве// Мат. заметки. 1981. Т. 30, N 2.
С. 221-233.
[87] Лузин Н.Н. Лекции об аналитических множествах и их приложениях. — М.:
ГИТТЛ, 1953.
[88] Математика XIX века/ Под ред. А.Н. Колмогорова и А.П. Юшкевича. —
М.: Наука, 1978.
[89] Мазъя В.Г. Пространства С.Л. Соболева. — Л.: Изд-во ЛГУ, 1985.
[90] Малышев В.А., Минлос Р.А. Гиббсовские случайные поля. — М.: Наука,
1985.
[91] Мейер П.-А. Вероятность и потенциалы. — М.: Мир, 1973.
[92] Минлос Р.А. Обобщенные случайные процессы и их продолжение до меры//
Тр. Моск. мат. об-ва. 1959. Т. 8. С. 497-518.
[93] Муштари Д. X. Вероятности и топологии в банаховых пространствах. —
Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1989.
[94] Нагаев СВ. О вероятностях больших уклонений для гауссовского распре-
распределения в банаховом пространстве// Изв. АН Уз.ССР. Сер. физ.-мат. наук.
1981. N 5. С. 18-21.
[95] Норин Н.В. Стохастические интегралы и дифференцируемые меры// Тео-
Теория вероятн. и ее примен. 1987. Т. 32, N 1. С. 114-124.
[96] Норин Н.В., Смоляное О.Г. Несколько результатов о логарифмических про-
производных мер на локально выпуклых пространствах// Мат. заметки. 1993.
Т. 54, N 6. С. 135-138.
[97] Паулаускас В.И., Рачкаускас А.Ю. Точность аппроксимации в централь-
центральной предельной теореме в банаховых пространствах. — Вильнюс: Мокслас,
1987.
[98] Питербарг В.И. Гауссовские случайные процессы// Итоги науки и техн.
Сер. Теория вероятн. Мат. стат. Теор. кибернет./ ВИНИТИ. 1982. Т. 19.
С. 155-199.
[99] Питербарг В. И. Асимптотические методы в теории гауссовских процессов
и полей. — М.: Изд-во МГУ, 1988.
[100] Питербарг В.И., Фаталое В.Р. Метод Лапласа для вероятностных мер в
банаховых пространствах// Успехи мат. наук. 1995. Т. 50, N 6. С. 57-150.
[101] Пич А. Операторные идеалы. — М.: Мир, 1982.
[102] Прохоров Ю.В. Сходимость случайных процессов и предельные теоремы
теории вероятностей// Теория вероятн. и ее примен. 1956. Т. 1, N 2. С. 177-
238.
[103] Розанов Ю.А. О плотности одной гауссовской меры относительно другой//
Теория вероятн. и ее примен. 1962. Т. 7, N 1. С. 84-89.
[104] Розанов Ю.А. О вероятностных мерах в функциональных пространствах,
отвечающих гауссовским случайным процессам// Теория вероятн. и ее при-
примен. 1964. Т. 9, N 4. С. 448-465.
[105] Розанов Ю.А. О плотности гауссовских распределений и интегральных
уравнениях Винера-Хопфа// Теория вероятн. и ее примен. 1966. Т. 11, N 2.
С. 170-179.
[106] Розанов Ю.А. Гауссовские бесконечномерные распределения// Тр. Мат. ин-
та АН СССР. 1968. Т. 108. С. 1-136.
[107] Сазонов В.В. Замечание о характеристических функционалах// Теория ве-
вероятн. и ее примен. 1958. Т. 3, N 2. С. 201-205.
[108] Саймон Б. Модель Р(фJ эвклидовой квантовой теории поля. — М.: Мир,
1979.
[109] Сигал И. Математические проблемы релятивистской физики. — М.: Мир,
1968.
[110] Скороход А.В. О дифференцируемости мер, соответствующих случайным
процессам// Теория вероятн. и ее примен. 1960. Т. 5, N 1. С. 45-53.
Список литературы 335
[111] Скороход А.В. Нелинейные преобразования вероятностных мер в функцио-
функциональных пространствах// Докл. АН СССР. 1966. Т. 168, N 6. С. 1269-1271.
[112] Скороход А.В. Замечание о гауссовских мерах в банаховых пространствах//
Теория вероятн. и ее примен. 1970. Т. 15, N 3. С. 519-520.
[113] Скороход А.В. Интегрирование в гильбертовом пространстве. — М.: Наука,
1975.
[114] Скороход А.В. Об одном обобщении стохастического интеграла// Теория
вероятн. и ее примен. 1975. Т. 20, N 5. С. 219-223.
[115] Смоляное О.Г. Об измеримых полилинейных и степенных функционалах в
некоторых линейных пространствах с мерой// Докл. АН СССР. 1966. Т. 170,
N 3. С. 526-529.
[116] Смоляное О.Г., Угланов А.В. Всякое гильбертово подпространство вине-
ровского пространства имеет меру нуль// Мат. заметки. 1973. Т. 14, N 3.
С. 369-374.
[117] Смоляное О.Г., Шавгулидэе Е.Т. Континуальные интегралы. —М.: Изд-во
МГУ, 1990.
[118] Соколова С.Д. Об эквивалентности гауссовских мер, отвечающих решени-
решениям стохастических дифференциальных уравнений// Теория вероятн. и ее
примен. 1983. Т. 28, N 2. С. 429-433.
[119] Судаков В.Н. Меры Гаусса, Коши и £-энтропия// Докл. АН СССР. 1969.
Т. 185, N 1. С. 51-53.|
[120] Судаков В.Н. Гауссовские случайные процессы и меры телесных углов в
гильбертовых пространствах// Докл. АН СССР. 1971. Т. 197, N 1. С. 43-45.
[121] Судаков В.Н. Геометрические проблемы теории бесконечномерных вероят-
вероятностных распределений// Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1976. Т. 140. С. 1-190.
[122] Судаков В.Н. Замечания о модификациях случайных процессов// Зап. на-
учн. семин. С.-Петербург, отд. Мат. ин-та РАН. 1992. Т. 194. С. 150-169.
[123] Судаков В.Н., Цирелъсон Б.С. Экстремальные свойства полупространств
для сферически инвариантных мер// Зап. науч. семин. ЛОМИ. 1974. Т. 41.
С. 14-24.
[124] Суэтин П.К. Классические ортогональные многочлены. — М.: Наука, 1976.
[125] Сытая Г. И. Об асимптотике винеровской меры малых сфер// Теория ве-
вероятн. и мат. стат. 1977. Т. 16. С. 121-135.
[126] Тиман А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного.
— М.: ГИФМЛ, 1959.
[127] Толмачев Н.А. Одно свойство распределений диффузионных процессов//
Мат. заметки. 1993. Т. 54, N 3. С. 106-113.
[128] Угланов А.В. Поверхностные интегралы в банаховом пространстве// Мат.
сб. 1979. Т. 110, N 2. С. 189-217.
[129] Угланов А.В. О делении обобщенных функций бесконечного числа перемен-
переменных на многочлены// Докл. АН СССР. 1982. Т. 264, N 5. С. 1096-1099.
[130] Угланов А.В. О гладкости распределений функционалов от случайных про-
процессов// Теория вероятн. и ее примен. 1988. Т. 33, N 3. С. 535-544.
[131] Угланов А.В. О гильбертовых носителях винеровской меры// Мат. заметки.
1992. Т. 51, N 6. С. 91-96.
[132] Федерер Г. Геометрическая теория меры. - М.: Наука, 1987.
[133] Ферник К. Регулярность траекторий гауссовских случайных функций//
Случайные процессы. М.: Мир, 1978. С. 63-132.
[134] Фомин СВ. Дифференцируемые меры в линейных пространствах// Успехи
мат. наук. 1968. Т. 23, N 1. С. 221-222.
[135] Фролов Н.Н. Теоремы вложения для пространств функций счетного числа
переменных I// Тр. Ин-та математики Воронеж, ун-та, Изд-во Воронеж,
ун-та. 1970. Вып. 1. С. 205-218.
[136] Фролов Н.Н. Теоремы вложения для пространств функций счетного числа
переменных и их приложения к задаче Дирихле// Докл. АН СССР. 1972.
Т. 203, N 1. С. 39-42.
386 Список литературы
[137] Фролов Н.Н. О неравенстве коэрцитивное™ для эллиптического оператора
с бесконечным числом независимых переменных// Мат. сб. 1973. Т. 90, N 3.
С. 402-413.
[138] Халмош П., Сандер В. Ограниченные интегральные операторы в простран-
пространствах L2. - М.: Наука, 1985.
[139] Хафизов М.У. Несколько новых результатов о дифференцируемых мерах//
Вестн. МГУ. Мат., мех. 1990. N 4. С. 79-83.
[140] Хафизов М.У. Одна квазиинвариантная гладкая мера на группе диффео-
диффеоморфизмов области// Мат. заметки. 1990. Т. 48, N 2. С. 3—1.4.
[HI] Хёрмандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными
производными, т. 2. - М.: Мир, 1986.
[142] Хренников А.Ю. Задача Дирихле в банаховом пространстве// Маг. замет-
заметки. 1983. Т. 34, N 4. С. 629-636.
[143] Хренников А.Ю. Функциональный суперанализ// Успехи мат. наук. 1988.
Т. 43, N 2. С. 87-114.
[144] Хренникои А.Ю. Математические методы иеархимедовой физики// Успехи
мат. паук. Т. 1990. Т. 45, N 4. С. 87- 125.
[145] Хида Т. Броуновское движение. - М.: Мир, 1987.
[146] Чупрунов АЛ. Об измеримости линейных функционалов// Мат. заметки.
1983. Т. 33, N 6. С. 943-948.
[1 17] Цирельсон Б.С. Естественная модификация случайных процессов и ее при-
применения к рядам из независимых функций и к гауссовским мерам// Зап.
научн. семин. Ленингр. отд. Мат. ин-та. 1977. Т. 55. С. 35-63; Дополнение:
там же. 1977. Т. 72. С. 202-211.
[148] Цирельсои Б.С. Плотность распределения максимума гауссовского процес-
процесса// Теория вероятп. и ее примен. 1975. Т. 20, N 4. С. 865-873.
[149] Цирельсрн B.C. Геометрический подход к оценке максимального правдопо-
правдоподобия для бесконечномерного гауссовского сдвига I, II, III// Теория веро-
ятн. и ее примен, 1982. Т. 27, N 2. С. 388-395; 1985. Т. 30, N 4. С. 772-773;
1986. Т. 31, N 3. С. 537-549.
[150] Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. - М.: Наука, 1969.
[151] Ченцов Н.Н. Винеровские случайные поля от нескольких параметров//
Докл. АН СССР. 1956. Т. 106, N 4. С. 607-609.
[152] Шавгулидзе Е. Т. Об одной мере, квазиинвариантпой относительно действия
группы диффеоморфизмов конечномерного многообразия// Докл. АН СС-
СССР. 1988. Т. 303, N 4. С. 811-814.
[153] Шевляков А.Ю. О распределениях квадратично-интегрируемых функцио-
функционалов от гауссовских мер// Теория случ, процессов. N 13. Киев: Наукова
думка, 1985'. О. 104-110.
[154] Шевчик В.В. О подпространствах банахова пространства, совпадающих с
областями значений линейных непрерывных операторов // Докл. АН СССР.
1982. Т. 263, N 4. С. 817-819.
[155] Шефер X. Топологические векторные пространства. М.: Мир, 1975.
[156] Шилов Г.Е., Фан Дык Тынъ Интеграл, мера и производная па линейных
пространствах. - М.: Наука, 1967.
[157] Ширяев А.Н. Вероятность. 2-ое изд. - М.: Наука, 1989.
[158] Ширяев А.П., Кабанов Ю.М., Крамков Д.А., Мельников А.В. К теории
расчетов опционов европейского и американского типов// Теория вероятн.
и ее примен. 1994. Т. 39, N 1. С. 23-129.
[159] Эдварде Р. Функциональный анализ. Теория и приложения. - М.: Мир, 1969.
[160] Эйдлин В.Л. О некоторых классах преобразований, сохраняющих гауссов-
скую меру// Вестн. Ленингр. ун-та. 1971. N 7. С. 153 154.
[161] Энгелькинг Р. Общая топология. - М.: Мир, 1986
[162] Ядренко М.И. Спектральная теория случайных нолей. Киев: Вшца школа.
1980.
[163] Adler R.J. An introduction to continuity, cxtreina, and related topics lor general
Gaussian processes. Insl. of Math. Stat. beet. Notes, Monograph Her., 12. lust
oi Math. Stat., Hay ward, CA, 1990.
Список литературы 337
[НИ] Adrain Я. Research concerning the probabilities of the errors which happen in
making observations// The Analyst, or Math. Museum, Philadelphia. 1808. V. 1,
N 4. P. 93-109.
[165] Aida S., Kusuoka S., Stroock D. On the support of Wiener functional// Pitman
Research Notes in Math. Sci. Vol. 284. P. 3-34; eds. D. Elworthy and N. Ikeda,
Longman, 1993.
[166] Aida S., Masuda Т., Shigekawa 1. Logarithmic Sobolev inequalities and expo-
exponential integrability// J. Funct. Anal. 1994. V. 126, N 1. P. 83-101.
[167] Aida S., Stroock D. Moment estimates derived from Poincare and logarithmic
Soboli-v inequalities// Math. Research Letters. 1994. V. 1, N 1. P. 75-86.
[168] Airau.lt II., Matliavm P. Integration geometrique sur l'espaces de Wiener// Bull.
sci. niatli. B). 1988. V. 112, N 1. P. 3-52.
[169] Alhe.vf.rio S., Fukushima M., Ilansen W., Ma Z.M., Rockner M. An invariance
result for capacities on Wiener space// j. Funct. Anal. 1992. V. 106. P. 35-49.
[170] Alhc.vcrio S., lloajh-Krohn R. Dirichlet forms and diffusion processes on rigged
llilbert spaces// Z. Wahrscheiulichkeitstheorie und vcrw. Geb. 1977. V. 40. N 1.
P. 1 57.
[171] Albeuerio S., R.ockne.r M. Stochastic differential equations in infinite dimensions:
solutions via Dirichlet forms// Probab. Theory and R.elat. Fields, 1991. V. 89.
P. 347-386.
[172] Anderson T. W. The integral of.a symmetric unimodal function over a symmetric
convex set and some probability inequalities// Proc, Amer. Math. Soc. 1955. V. 6,
N 2. P. 170-175.
[173] Antoniadin A.. (Jarmona R. Eigenfunction expansions for infinite dimensional
Ornstein Uhlenbeck processes// Probab. Theory and Relat. Fields. 1987. V. 74.
P. 31-54.
[174] Araujo A., (line E. The central limit theorem for real and Banach valued random
variables. - New York: John Wiley and Sons, 1980.
[175] Aronszajn N. Theory of reproducing kernels// Trans. Amer. Math. Soc. 1950.
V. 68. P. 337-404.
[176] Aronszajn N. Differentiability of Lipchitzian mappings between Banach spaces//
Studia Math. 1976. V. 57, N 2. P. 147 490.
[177] Bache.lier L. Theorie dc la speculation// Ann. sci. Ecole Norm. Sup. 1900. V. 3.
P. 21-86.
[178] Iladrikian A. Scminaire sur les fonctions aleatoire lineaires et les mesures cylin-
driques// Led. Notes Math. 1970. V. 139. P. 1-221.
[179] Badrikian A. Oalcul stochastique anticipatif par rapport a une mesure gaussi-
enne// Seinin. d'Anal. Moderne, 21, Univ. de Sherbrooke, Dep. de Math. Sher-
brooke, PQ, 1988.
[180] Badrikian A., Chr.vct S. Mesures cylindriques, espaces de Wiener et fonctions
aleatoires gaus.siennes// Lect. Notes Math. 1974. V. 379. P. 1-383.
[181] Badrikian Л., Chevel, S. Questions liees a la theorie des espaces de Wiener//
Ann. lust. Fourier. 1974. V. 24, N 2. P. 1-25.
[182] Baker C.R.. Zero-one laws for Gaussian measures on Banach spaces// Trans.
Amer. Math. Soc. 1973. V. 186. P. 291-308.
[183] Ball K. The reverse isoperimetric problem for Gaussian measure// Discrete Com-
pul. Geom. 1993. V. 10, N 4. P. 411-420.
[184] Baxendalc. !'. Gaussian measures on function spaces// Amer. .1. Math. 1976.
V. 98, N 4. P. 89.1-902.
[185] Вaxendalt; P. Wiener processes on manifolds of maps// Proc. Roy. Soc. Edin-
Edinburgh. Ser. A. 1980. V, 87, N 12. P. 127 152.
[186] Heckncr W. A generalized Poincare inequality for Gaussian measures// Proc.
Лшсг. Math. Soc. 198!). V. 105, N 2. P. 397-400.
|187j Bela.yev Yn.h. Continuity and Holder's conditions for sample functions of sta-
stationary Gaussian processes// Proc. 1th Berkeley Symp. Math. Statist, and
Probab., 1960. Vol. 2. 19(il. Berkeley. Univ. California Press. P. 23-33
1188] Bell D. The Malliavin calculus. - New York: Wiley and Sons, 1987.
338, Список литературы
[189] Ben Arous G. Methodes de Laplace et de la phase stationaire sur l'espace de
Wiener// Stochastics. 1988. V. 25. P. 125-153.
[190] Ben Arous G., Ledoux M. Schilder's large deviation principle without topology//
Pitman Research Notes in Math. V. 284. 1993. P. 107-121.
[191] Bentkus V., Go'tze F., Paulauskas V., Rachkauskas A. The accuracy of Gaussian
approximations in Banach spaces. - Encyclopedia of Math. Sci. Springer, 1994.
[192] Bismut J.M. Large deviations and the Malliavin calculus. - Progress in Math.
Vol. 45. Birkhauser, 1984.
[193] Bobkov S. A functional form of the isoperimetric inequality for the Gaussian
measure// J. Funct. Anal. 1996. V. 135. P. 39-49.
[194] Bochnak J., Siciak J. Polynomials and multilinear mappings in topological vector
spaces// Stud. Math. 1971. V. 39, N 1. P. 59-76.
[195] Bogachev V.I. Differential properties of measures on infinite dimensional spaces
and the Malliavin calculus// Acta Univ. Carolinae, Math, et Phys. 1989. V. 30,
N 2. P. 9-30.
[196] Bogachev V.I. Smooth measures, the Malliavin calculus and approximation in
infinite dimensional spaces// Acta Univ. Carol. Math, et Phys. 1990. V. 31, N 2.
P. 9-23.
[197] Bogachev V.I. Infinite dimensional integration by parts and related problems//
Preprint N 235, SFB 256. Bonn Univ., 1992. 37 pp.
[198] Bogachev V.I. Remarks on invariant measures and reversibility of infinite dimen-
dimensional diffusions// Probability theory and Mathematical Statistics (Proc. Conf.
on Stochastic Anal., Euler Math. Inst., St.-Petersburg, 1993). P. 119-132. Ams-
Amsterdam: Gordon and Breach Publ., 1996.
[199] Bogachev V.I. Deterministic and stochastic differential equations in infinite di-
dimensional spaces// Acta Appl. Math. 1995. V. 40. P. 25-93.
[200] Bogachev V.I., Krylov N. V., Rockner M. Regularity of invariant measures: the
case of non-constant diffusion part// J. Funct. Anal. 1996. V. 138. P. 223-242.
[201] Bogachev V.I., Mayer-Wolf E. Some remarks on Rademacher's theorem in infi-
infinite dimensions// Potential Anal. 1996. V. 5, N 1. P. 23-30.
[202] Bogachev V.I., Mayer-Wolf Б. Absolutely continuous flows generated by Sobolev
class vector fields in finite' and infinite dimensions// Preprint SFB 343 Univ.
Bielefeld. 1996. N 3. P. 1-49.
[203] Bogachev V.I., Rockner M. Les capacites gaussieniies sont portees par des com-
compacts metrisables// С r. Acad. sci. Ser. 1. 1992. T. 315. P. 197-202.
[204] Bogachev V.I., Rockner M. Mehler formula and capacities for infinite dimen-
dimensional Ornstein-Uhlenbeck processes with general linear drift// Osaka J. Math.
1995. V. 32, N 2. P. 237-274.
[205] Bogachev V.I., Rockner M. Regularity of invariant measures in finite- and infinite
dimensional spaces and applications// J. Funct. Anal. 1995. V. 133. P. 168-223.
[206] Bogachev V.I., Rockner M., Schmuland B. Generalized Mehler semigroups and
applications// Probab. Theor. Relat. Fields. 1996. V. 105. P. 193-225.
[207] Borell C. Convex measures on locally convex spaces// Ark. Math. 1974. V. 12,
N 2. P. 239-252.
[208] Borell C. The Brunn-Minkowski inequality in Gauss space// Invent. Math. 1975.
V. 30, N 2. P. 207-216.
[209] Borell C. Gaussian Radon measures on locally convex spaces// Math. Scand.
1976. V. 38, N 2. P. 265-284.
[210] Borell C. Approximation on locally convex spaces// Invent. Math. 1976. V. 34,
'N 3. P. 215-229.
[211] Borell C. A note on Gauss measures which agree on small balls// Ann. Inst. H.
Poincare. Sec. B. 1977. V. 13, N 3. P. 231-238.
[212] Borell C. Tail probabilities in Gauss space// Lect. Notes Math. 1978. V. 644.
P. 71-82.
[213] Borell C. Gaussian correlation inequalities for certain bodies in Rn// Math. Ann.
1981. V. 256, N 4. P. 569-573.
[214] Borell C. Capacitary inequalities of the Brunn-Minkowski type// Math. Ann.
1983. V. 263, N 2. P. 179-184.
Список литературы 339
[215] Borell С. On polynomial chaos and integrability// Probab. Math. Stat. 1984.
V. 3. P. 191-203.
[21G] Bouleau N., Hirsch F. Proprietes d'absolue continuite dans Ies espaces de Dirich-
Iet et applications aux equations differentielles stochastiques// Lect. Notes Math.
1986. V. 1204. P. 131-161.
[217] Bouleau N., Hirsch F. Dirichlet forms and analysis on Wiener space. - Berlin -
New York: Walter de Gruyter, 1991.
[218] Brascamp H., Lieb E.H. On extensions of the Brunn-Minkowski and Prekopa-
Leindler theorems, including inequalities for log concave functions, and with an
application to the diffusion equation// J. Funct. Anal. 1976. V. 22. P. 366-389.
[219] Bryc W. The normal distribution. Characterizations with applications - Lecture
Notes in Statistics. V. 100. New York: Springer-Verlag, 1995.
[220] Buckdahn R., Anticipative Girsanov transformations// Probab. Theory and Re-
lat. Fields. 1991. V. 89, N 2. P. 211-238.
[221] Byczkowski T. RKHS for Gaussian measures on metric vector spaces// Bull.
Polish Acad. Sci. Math. 1987. V. 35, N 1-2. P. 93-103.
[222] Byczkowski Т., Inglot T. Gaussian random series on metric vector spaces//
Math. Z. 1987. V. 196, N 1. P. 39-50.
[223] Cambanis S., Rajput B. Some zero-one laws for Gaussian processes// Ann.
Probab. 1973. V. 1. P. 304-312.
[224] Cameron R. The translation pathology of Wiener space// Duke Math. J. 1954.
V. 21, N 4. P. 623-627.
[225] Cameron R. A family of integrals serving to connect the Wiener and Feynman
integrals// J. Math. Phys. 1960. V. 39, N 2. P. 126-140.
[226] Cameron R.H., Fagen R.E. Nonlinear transformations of Volterra type in Wiener
space// Trans. Amer. Math. Soc. 1953. V. 7, N 3. P. 552-575.
[227] Cameron R.H., Graves R.E. Additive functionals on a space of continuous func-
functions. I// Trans. Amer. Math. Soc. 1951. V. 70. P. 160-176.
[228] Cameron R.H., Martin W.T. Transformation of Wiener integral under transla-
translation// Ann. Math. 1944. V. 45. P. 386-396.
[229] Cameron R.H., Martin W.T. The Wiener measure of Hilbert neighbourhoods
in the space of real continuous functions// J. Math. Phys. 1944. V. 23, N 4.
P. 195-209.
[230] Cameron R.H., Martin W. T. Transformations of Wiener integrals under a gener-
general class of linear transformations// Trans. Amer. Math. Soc. 1945. V. 58. P. 184-
219.
[231] Cameron R.H., Martin W.T. Evaluation of various Wiener integrals by use of
certain Sturm-Liouville differential equations// Bull. Amer Math. Soc. 1945.
V. 51, N 2. P. 73-90.
[232] Cameron R.H., Martin W. T. The orthogonal development of non linear function-
functionals in series of Fourier-Hermite polynomials// Ann. Math. 1947. V. 48. P. 385-
392.
[233] Cameron R.H., Martin W. T. The behaviour of measure and measurability under
change of scale in Wiener space// Bull. Amer. Math. Soc. 1947. V. 53, N 2.
P. 130-137.
[234] Cameron R.H., Martin W.T. The transformation of Wiener integrals by nonlin-
nonlinear transformations// Trans. Amer. Math. Soc. 1949. V. 66. P. 253-283.
[235] Caraman P. Module and p-module in an abstract Wiener space// Rev. roum.
math, pures et appl. 1982. V. 26, N 5. P. 551-599.
[236] Carmona R. Measurable norms and some Banach space valued Gaussian pro-
processes// Duke Math. J. 1977. V. 44, N 1. P. 109-127.
[237] Carmona R. Tensor product of Gaussian measures// Lect. Notes Math. 1978.
V. 644. P. 96-124.
[238] Carmona R., Kono N. Convergence en loi et lois du logarithme itere pour Ies
vecteurs gaussiens// Z. Wahrscheinlichkeitstheorie und verw. Geb. 1976. B. 36.
S. 241-267.
[239] Carmona R., Nualart D. Traces of random variables on Wiener space and the
Onsager-Machlup functional// J. Funct. Anal. 1992. V. 107. P. 402-438.
340 Список литературы
[240] Chatterji S.D., Mandrekar V. Equivalence and singularity of Gaussian measures
and applications// Probab. Anal, and related topics. Academic Press, 1978. V. 1.
P. 169-199.
[241] Chatterji S.D., Ramaswamy S. Mesures gaussiennes et mesures produits// Lect.
Notes Math. 1982. V. 920. P. 570-589.
[242] Chevet S. Un resultat sur les mesures gaussiennes// C. r. Acad. Sci. Paris. 1977.
Т. А284. P. 441-443.
[243] Chevet S. Sur les suites de mesures gaussiennes etroiteinent convergentes// C. r.
Acad. sci. Ser. 1. 1983. T. 296, N 4. P. 227-230.
[244] Chevet S. Compacite dans l'espace des probabilites de Radon gaussiennes sur un
Banach// 0. r. Acad. sci. Ser. 1. 1983. T. 296. P. 275-278.
[215] Chevet S. Gaussian measures and large deviations// Lect. Notes Math. 1983.
V. 990. P. 30-46.
[246] Chrislensen J.P.R. Topology and Borel structure. - Amsterdam - London:
North-Holland, Publ. Co., 1974.
[247] Ciesielski Z. Holder condition for realization of Gaussian processes// Trans.
Amer. Math. Soc. 1961. V. 99, N 3. P. 403-413.
[248] Cirelson B.S., Ibragimov I.A., Sudakov V.N. Norms of Gaussian sample func-
functions// Lect. Notes Math. 1976. V. 550. P. 20-41.
[249] Cruzeiro A.-B. Equations difterentielles sur l'espace de Wiener et formules de
Cameron-Martin non-lineaires// J. Funct. Anal. 1983, V. 54, N 2. P. 206-227.
[250] Da Pralo G., Malliavin P., Nualart D. Compact families of Wiener functionals//
С r. Acad. sci. 1992. T. 315. P. 1287-1291.
[25]] Da Pvato G., Zahszyk J. Stochastic differential equations in infinite dimensions.
- Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1992.
[252] Darmois G. Sur une propriete carateristique de la loi de probability de Laplace//
С. г. Acad. sci. 1951. T. 232. P. 1999-2000.
[253] Das Gupta S., Eaton M.L., Olkin I., Perlman M., Savage L.J., Sobel M. In-
Inequalities on the probability content of convex regions for elliptically contoured
distributions// Proc. 6th Berkeley Symp. Math. Statist. Probab., II. Berkeley:
Univ. California Press, 1972. P. 241-267.
[254] Deville It., Godefroy G., Zizler V. Smoothness and renormings in Banach spaces.
- Longmann Scientific, 1993.
[255] Dineen S., Noverraz Ph. Gaussian measures and polar sets in locally convex
spaces// Ark. mat. 1979. V. 17, N 2. P. 217-223.
[256] Dobrushin L.R., Minlos R.A. An investigation of the properties of generalized
Gaussian random fields// Selecta Math. Sov. 1981. V. 1. P. 215-263.
[257] Donsker M.D., Varadhan S.R.S. Asymptotic evaluation of certain Markov pro-
process expectations for large time. I// Coinmun. Pure and Appl. Math. 1975. V. 28,
N 1. P. 1-47.
[258] Driver B. A Cameron-Martin type quasi-invariance theorem for the Brownian
motion on a compact manifold// J. Funct. Anal. 1092. V. 110. P. 272-376.
[259] Dudley R.M. The sizes of compact subsets of Hilbert space and continuity of
Gaussian processes// J. Funct. Anal. 1967. V. 1, N 3. P. 290-330.
[260] Dudley R.M., Feldman J., be Cam L. On the seminorins and probabilities, and
abstract Wiener spaces// Ann. Math. 1971. V. 93, N 2. P. 390-408.
[261] Duncan Т.Е. Absolute continuity for abstract Wiener spaces// Pacif. J. Math.
1974. V. 52, N 2. P. 359-367.
[262] Eagleson G.K. An extended dichotomy theorem for sequences of pairs of Gaus-
Gaussian measures// Ann. Probab. 1981. V, 9, N 3. P. 453-459.
[263] Edgar G.A. Measurability in a Banach space// Indiana Univ. Math. J. 1977.
V. 26, N 4. P. 663-680.
[264] Ehrhard A. Symetrisation dans l'espace de Gauss// Math. Scand. 1983. V. 53.
P. 281-301.
[265] Ehrhard A. Un principe de symetrisation dans les espaces de Gauss// Lect. Notes
Math. 1983. V. 990. P. 92-101.
[266] Ehrhard A. Inegalites isoperimetriques et integrates de Dirichlet gaussiennes//
Ann. sci. Ec. Norm. Super. 1984. V. 17, N 2. P. 317-322.
Список литературы 341
[267] Ehrhard А. Elements extremaux pour les inegalites de Brunn-Minkowski gaussi-
ennes// Ann. Inst. H. Poincare. 1986. V. 22, N 1. P. 149-168.
[268] Ellis H. W. Darboux properties and applications to non-convergent integrals//
Canad. J. Math. 1951. V. 3. P. 471-485.
[269] Elworthy K.D. Gaussian measures on Banach spaces and manifolds// In : Global
Anal, and Appl., Vienna, 1974.
[270] Enche.v O. Non linear transformation on the Wiener space// Ann. Probab. 1993.
V. 21, N 4. P. 2169-2188.
[271] Enchev O., Stroock D. Rademacher's theorem for Wiener functional// Ann.
Probab. 1993. V. 21, N 1. P. 25-33.
[272] Fang S. Pseudo-theoreme de Sard pour les applications reeles et connexite sur
l'espace de Wiener// Bull. sci. math. 1989. V. 113, N 4. P. 483-492.
[273] Feldmmi J. Equivalence and perpendicularity of Gaussian processes// Pacif. J.
Math. 1958. V. 8, N 4. P. 699-708; Correction: ibid. 1959. V. 9. P. 1295-1296.
[274] Fernique X. Processus lineaires, processus generalises// Ann. Inst. Fourier,
Grenoble. 1967. V. 17. P. 1-92.
[275] Fernique X. Integrabilite des vecteurs gaussiens// C. r. Acad. sci. Ser. 1. 1970.
T. 270, N 25. P. 1698-1699.
[276] Fernique X. Sur les theoremes de Hajek-Feldman et de Сащегоп-Martin// C.
r. Acad. sci. Ser. 1. 1984. T. 299, N 8. P. 355-358.
[277] Fernique X. Comparaison de mesures gaussiennes et de mesures produit// Ann.
Inst. H. Poincare. Probab. et Statist. 1984. V. 20, N 2. P. 165-175.
[278] Fernique X. Comparaison de mesures gaussiennes et de mesures produit dans les
espaces de Frechet separables// Lect. Notes Math. 1985. V. 1153. P. 179-197.
[279] Fernique X. Sur la convergence etroite des mesures gaussiennes// Z. Wahrschein-
lichkeitstheorie und verw. Geb. 1985. B. 68. S. 331-336.
[280] Fernique X. Regularite de fonctions aleatoires gaussiennes a valeurs vectorielles//
Ann. Probab. 1990. V. 18. P. 1739-1745.
[281] Fernique X. Sur la regularity de certaines fonctions aleatoires d'Ornstein-
Uhlenbeck// Ann. Inst. H. Poicare. 1990. V. 26. P. 399-417.
[282] Fey el D., de La Pradelle A. Espaces de Sobolev gaussiens// Ann. Inst. Fourier.
1989. V. 39, N 4. P. 875-908.
[283] Feyel D., de La Pradelle A. Capacites gaussiens// Ann. Inst. Fourier, 1991.
V. 41, N 1. P. 49-76.
[284] Feyel D., de La Pradelle A. Hausdorff measures on the Wiener space// Potential.
Anal. 1992. V. 1. P. 177-189.
[285] Feyel U., de La Pradelle A. Operateurs lineaires gaussiens// Potential Anal.
1994. V. 3, N 1. P. 89-105.
[286] Feyel £>., de. La Pradelle A, Brownian processes in infinite dimension// Potential
Anal. 1995. V. 4. P. 173-183.
[287] Follmer H., Wakolbinger A. Time reversal of infinite dimensional diffusions//
Stochast. Process, and Appl. 1986. V. 22, N 1. P. 59-77.
[288] Fortet R., Mourier E. Les fonctions aleatoires colnme elements aleatoires dans
les espaces de Banach// Stud. math. 1955. V. 15. P. 62-73.
[289] Frechet M. Generalization de la loi de probabilite de Laplace// Ann. Inst. H.
Poincare. 1951. V. 12. P. 1-29.
[290] Fremlin D.H., Talagrand M. A Gaussian measure on i°°// Ann. Probab. 1980.
V. 8, N 6. P. 1192-1193.
[291] Friedrichs K.O. Mathematical aspects of the quantum theory of fields. - New
York: Interscience, 1953.
[292] Friedrichs K.O., Shapiro H.N. Integration over Hilbert spaces and outer exten-
extensions// Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1957. V. 43, N 4. P. 336-338.
[293] Fukuda R. Exponential integrability of sub-Gaussian vectors// Probab. Theory
and Relat. Fields. 1990. V. 85. P. 505-521.
[294] Fukushima M. Basic properties of Brownian motion and a capacity on the Wiener
space// J. Math. Soc. Jap. 1984. V. 36, N 1. P. 161-176.
[295] Fukushima M. A note on capacities in infinite dimensions// Lect. Notes Math.
1988. V. 1299. P. 80-85.
342 Список литературы
[296] Fukushima М., Kaneko H. On (?-,p)-capacities for general Markovian semi-
semigroups// Infinite dimensional analysis and stochast. processes (Bielefeld, 1983).
P. 41-47. Boston, 1985.
[297] Gauss F. Theoria combinationis observationum erroribus minimis obnoxiae. -
G6ttingen, 1823.
[298] Gaveau В., Moulinier J.-M. Integrates oscillantes stochastiques: estimation
asymptotique de fonctionnelles characteristiques// J. Punct. Anal. 1983. V. 54,
N 2. P. 161-176.
[299] Gaveau В., Moulinier J.-M. Regularity des mesures et perturbation stochas-
stochastiques de champs des vecteurs sur des espaces de dimension infinie// Publ. Res.
Inst. Sci. Kyoto Univ. 1985. V. 21, N 3. P. 593-616.
[300] Gaveau В., Trauber P. L'integral stochastique comme operateur de divergence
dans l'espace fonnctionnel// J. Punct. Anal. 1982. V. 46, N 2. P. 230-238.
[301] Getzler E. Degree theory for Wiener maps// J. Funct. Anal. 1988. V. 68, N 3.
P. 388-403.
[302] Gnedin A. V. On mean-square epsilon dimension// Math. Jap. 1992. V. 37, N 4.
P. 623-627.
[303] Goodman V. Quasi-differentiable functions on Banach spaces// Proc. Amer.
Math. Soc. 1971. V. 30, N 2. P. 367-370.
[304] Goodman V. A divergence theorem for Hilbert space// Trans. Amer. Math. Soc.
1972. V. 164. P. 411-426.
[305] Goodman V. Some probability and entropy estimates for Gaussian measures//
Probab. in Banach spaces. Vol. 6. P. 150-156. Birkhauser, 1990.
[306] Goodman V., Kuelbs J. Rates of clustering for weakly convergent Gaussian ran-
random vectors and some applications// Probab. in Banach spaces. Vol. 8. P. 304-
324. Birkhauser, 1992.
[307] Goodman V., Kuelbs J. Cramer functional estimates for Gaussian measures//
Diffusion processes and related problems in analysis. Progress in Probab. Vol. 22.
P. 473-495. Boston: Birkhauser, 1990.
[308] Graves R. E. Additive functionals over a space of continuous functions// Ann.
Math. 1951. V. 54, N 2. P. 275-285.
[309] Grenander U. Stochastic processes and statistical inference// Ark. Math. 1950.
V. 1, N 3. P. 195-277.
[310] Gross L. Integration and nonlinear transformations in Hilbert space// Trans.
Amer. Math. Soc. 1960. V. 94, N 3. P. 404-440.
[311] Gross L. Harmonic analysis on Hilbert space// Mem. Amer. Math. Soc. 1963.
V. 46. P. 1-62.
[312] Gross L. Abstract Wiener spaces// Proc. 5th Berkeley Symp. Math. Stat.
Probab., Part 1. Univ. Calif. Press, Berkeley, 1965. P. 31-41.
[313] Gross L. Potential theory on Hilbert space// J. Funct. Anal. 1967. V. 1, N 2.
P. 123-181.
[314] Gross L. Abstract Wiener measure and infinite dimensional potential theory//
Lect. Notes Math. 1970. V. 140. P. 84-119.
[315] Gross L. Logarithmic Sobolev inequalities// Amer. J. Math. 1975. V. 97, N 4.
P. 1061-1083.
[316] Gross L. Logarithmic Sobolev inequalities and contractive properties of semi-
•groups// Lect. Notes Math. 1993. V. 1563. P. 54-82.
[317] Guerquin M. Non-hilbertian structure of the Wiener measure// Colloq. math.
1973. V. 28. P. 145-146.
[318] Hajek J. A property of J-divergences of marginal probability distributions//
Czechosl. Math. J. 1958. V. 8. P. 460-463.
[319] Hazod W. Stable probability measures on groups and on vector spaces// Lect.
Notes Math. 1986. V. 1210. P. 304-352.
[320] Ilertle A. Gaussian surface measures and the Radon transform on separable
Banach spaces// Lect. Notes Math. 1980. V. 794. P. 513-531.
[321] Hertle A. Gaussian plane and spherical means in separable Hilbert spaces// Lect.
Notes Math. 1982. V. 945. P. 314-335.
[322] Hertle A. On the asymptotic behaviour of Gaussian spherical integrals// Lect.
Notes Math. 1983. V. 990. P. 221-234.
Список литературы 343
[323] Hida Т., Hitsuda М. Gaussian processes. - Providence, Rhode Island: Amer.
Math. Soc, 1993.
[324] Hida Т., Kuo H., Potkoff J., Streit L. White noise calculus. - Dordrecht: Kluwer
Acad. Publ., 1993.
[325] Hida Г., Nomoto H. Gaussian measure on the projective limit space of mea-
measures// Proc. Japan Acad. 1964. V. 40. P. 301-304.
[326] Hitsuda M. Representation of Gaussian processes equivalent to Wiener mea-
measure// Osaka J. Math. 1968. V. 5, N 2. P. 299-312.
[327] Hoffmann-Jorgensen J., Shepp L.A., Dudley R. On the lower tail of Gaussian
seminorms// Ann. Probab. 1979. V. 7. P. 319-342.
[328] Hwang C.R. Gaussian measure of large balls in a Hilbert space// Proc. Amer.
Math. Soc. 1980. V. 78, N 1. P. 107-110; Erratum: ibid. V. 94, N 1. P. 188.
[329] Inglot T. An elementary approach to the zero-one laws for Gaussian measures//
Colloq. Math. 1979. V. 40, N 2. P. 319-325.
[330] Iscoe /., Marcus M.B., McDonald D., Talagrand M., Zinn J. Continuity of l2-
valued Ornstein-Uhlenbeck processes// Ann. Probab. 1990. V. 18. P. 68-84.
[331] /to K. Multiple Wiener integral// J. Math. Soc. Japan. 1951. V. 3. P. 157-169.
[332] Ho K. The topological support of Gaussian measures on Hilbert space// Nagoya
Math. J. 1970. V. 38. P. 181-183.
[333] Ho K. Infinite dimensional Ornstein-Uhlenbeck processes// Taniguchi Symp.
SA, Katata, 1982. P. 197-224. Amsterdam: North-Holland, 1984.
[334] Ho K., Nisio M. On the oscillation functions of Gaussian processes// Math.
Scand. 1968. V. 22, N 1. P. 209-232.
[335] Ho K., Nisio M. On the convergence of sums of independent Banach space valued
random variables// Osaka J. Math. 1968. V. 5, N 1. P. 35-48.
[336] Jain N. A zero-one law for Gaussian processes// Proc. Amer. Math. Soc. 1971.
V. 29, N 3. P. 585-587.
[337] Jain N-, Kallianpur G. Norm convergent expansions for Gaussian processes in
Banach spaces// Proc. Amer. Math. Soc. 1970. V. 25, N 4. P. 890-895.
[338] Jain N-, Kallianpur G. Oscillation function of a multiparameter Gaussian pro-
process// Nagoya Math. J. 1972. V. 47. P. 15-28.
[339] Jain N.C., Monrad D. Gaussian measures in ВРЦ Ann. Probab. 1983. V. 11,
N 1. P. 46-57.
[340] Jamison В., Orey S. Subgroups of sequences and paths// Proc. Amer. Math.
Soc. 1970. V. 24, N 4. P. 739-744.
[341] Janson S. Gaussian Hilbert spaces. - Cambridge: Cambridge University Press,
1997.
[342] Johnson G. W, Skoug D.L. Scale-invariant measurability in Wiener space// Pa-
. cine J. Math. 1979. V. 83, N 1. P. 157-176.
[343] Kahane J.-P. Une inegalite du type de Slepian et Gordon sur les processus
gaussiens// Israel J. Math. 1986. V. 55. P. 109-110.
[344] Kailatk T. The structure of Radon-Nikodym derivatives with respect to Wiener
and related measures// Ann. Math. Statist. 1971. V. 42, N 3. P. 1054-1067.
[345] Kailath Т., Zakai M. Absolute continuity and Radon-Nikodym derivatives for
certain measures relative to Wiener measure// Ann. Math. Statist. 1971. V. 42,
N 1. P. 130-140.
[346] Kakutani S. On equivalence of infinite product measures// Ann. Math. 1948.
V. 49. P. 214-224.
[347] Kallianpur G. The role of reproducing kernel Hilbert spaces in the study of
Gaussian processes// Advances in Probab. New York: Marcel Dekker, 1970.
V. 2. P. 49-83.
[348] Kallianpur G. Zero-one laws for Gaussian processes// Trans. Amer. Math. Soc.
1970. V. 149, N 1. P. 199-211.
[349] Kallianpur G. Abstract Wiener spaces and their reproducing kernel Hilbert
spaces// Z. Wahr. theor. verw. Geb. 1971. B. 17. S. 113-123.
[350] Kallianpur G., Oodaira H. The equivalence and singularity of Gaussian process-
processes// Proc. Symp. on Time Series Analysis, New York: Wiley, 1963. P. 279-291.
344 Список литературы
[351] Kallianpur G., Oodaira H. Non-anticipative representations of equivalent Gaus-
Gaussian processes// Ann. Probab. 1973. V. 1. P. 104-122.
[352] Kallianpur G., Oodaira H. Freidlin-Wentzell type estimates for abstract Wiener
spaces// Sankhya, ser. A. 1978. V. 40. P. 116-137.
[353] Kaneko H. On (r, p)-capacities for Markov processes// Osaka J. Math. 1984.
V. 23. P. 325-336.
[354] Karhunen K. Ueber lineare Methoden in der Wahrscheinlichtrechnung// Ann.
Acad. Sci. Fcnnicae, Ser. A, Math. Phys. 1947. B. 37. S. 3-79.
[355] Katznelson Y-, Malliavin P. linage des points critiques d'une application reg-
uliere// Lect. Notes Math. 1987. V. 1322. P. 85-92.
[356] Kazumi T. Refinements in terms of capacities of certain limit theorems on an
abstract Wiener space// .1. Math. Kyoto Univ. 1992. V. 32. P. 1-33.
[357] Kazumi Т., Sliigekawa I. Measures of finite (r,jt>)-energy and potentials on a
separable metric space// Lect. Notes Math. 1992. V. 1526. P. 415-444.
[358] Khatri O. On certain inequalities for normal distributions and their applications
to simultaneous confidence bounds// Ann. Math. Statist. 1967. V. 38. P. 1853—
1867.
[359] Kolmogorov A.N. La transformation de Laplace dans lcs espaces lineaires// C.
r. Acad. sci. 1935. T. 200. P. 1717-1718.
[3(iO] KYe'e M. PropriiHe de trace en dimension infiiiie, d'espaces du type Sobolev// C.
l. Acad. sri. Ser. 1. 1974. T. 279, N 5. P. 157-164.
[361] Krce M. Propriete de trace en dimension infinie, d'espaces du type Sobolev//
Bull. Soc. Math. France. 1977. T. 105, N 2. P. 141-163.
[362] Kree M., Krce P. Oontinuite <ie la divergence dans les espace de Sobolev relatifs
a l'espace de Wiener// С r. Acad. sci. Ser. 1. 1983. T. 296, N 20. P. 833-836.
[363] Kuelbs J. Abstract Winner spaces and applications to analysis// Pacif. J. Math.
1969. V. 31, N 2. P. 433-450.
[364] Kuelbs J. Gaussian measures on a Banach space// J. Funct. Anal. 1970. V. 5, N
3. P. 354-367.
[365] Kuelbs J. Expansions of vectors in a Banach space related to Gaussian mea-
measures// Proc. Amer. Math. Soc. 1971. V. 27, N 2. P. 364-370.
[366] Kuelbs J. Some results for probability measures on linear topological vector
spaces with an application to Strassen's LogLog law// J. Funct. Anal. 1973.
V. 14, N 1. P. 28-43.
[367] Kuelbs J., Li W.V. Metric entropy and the small ball problem for Gaussian
measures// J. Funct. Anal. 1993. V. 116, N 1. P. 133-157.
[368] Kuelbs ./., Li W. V. Gaussian samples approach "smooth points" slowest// J.
Funct. Anal. 1994. V. 124. P. 333-348.
[369] Kuelbs J., Li W. V., Linde W. The Gaussian measure of shifted balls// Probab.
Theory and Relat. Fields. 1994. V. 98, N 2. P. 146-162.
[370] Kusuoka S. The nonlinear transformation of Gaussian measure on Banach space
and its absolute continuity I, 11// J. Рас. Sci. Univ. Tokyo. Sec. 1A. 1982. V. 29,
N 3. P. 567-597; 1983. V. 30, N 1. P. 199-220.
[371] Kusuoka S. Dirichlet forms and diffussion processes on Banach spaces// J. Fac.
Sci. Univ. Tokyo. Sec. 1A. 1982. V. 29. N 1. P. 79-95.
[372] Kusuoka S. Analytic functionals of Wiener processes and absolute continuity//
Lect. Notes Math. 1982. V. 923. P. 1-46.
[373] Kusuoka .V. On the absolute continuity of the law of a system of multiple Wiener
integral// J. Fac. Sci. Univ. Tokyo. Sec. 1A. 1983. V. 30, N 1. N. 191 Л98.
[374] Kusuoka S. Some remarks on Getzler's degree theorem// Lect. Notes Math. 1988.
V. 1299. P. 239-249.
[375] Kusuoka S. Analysis on Wiener spaces I, nonlinear maps// .1. Funct. Anal. 1991.
V. i»8. P. J22-168; II, Differential forms// ibid. 1992. V. 103 P. 229-274.
C76] Kusuoka $., Stroock D. Precised asymptotics of certain Wiener functiouals// J.
Funct. Anal. 1991. V. 09. P 1-74.
[377] Kwopieri i>. Decoupling inequalities for polynomial chaos// Ann. Probab. 1987.
V. 15. P. 1062-1071.
Список литературы 345
[378] Kwapieri S., Szymanski B, Some remarks on Gaussian measures on Banach
spaces// Probab. and Math, Statist. 1980. V. 1. P. 59-65.
[379] Kwapien S., Sawa ./. On some conjecture concerning Gaussian measures of di-
dilatations of convex symmetric sets// Stud. Math. 1993. V. 105, N 2. P. 173-187.
[380] Kwapien S., Pycia M., Schachermayer W. A proof of a conjecture of Bobkov and
Houdre// Electronics Communications in Probability. 1995. V. 1, N 2. P. 1-5.
[381] Landau II.J., Shepp L.A. On the supremum of a Gaussian process// Sankhya
A. 1970. V. 32. P. 369-378.
[382] Laplace P.S. Memoire sur les integrales definies et leur application aux proba-
bilites, et specialement a la recherche du milieu qu'il faut choisir entre les resultats
des observations// Memoires de l'lnstitut Imperial de France. 1810. P. 279-347.
[383] Latala R. // A note on the Ehrhard inequality// Studia Math. 1996. V. 118,
N 3. P. 169-174.
[384] Lascar B. Proprietes locales d'espaces de type Sobolev en dimension infinie//
Commun. Partial Dif. Equations. 1976. V. 1. P. 561-584.
[385] Ledoux M. Semigroup proofs of the isoperimetric inequality in Euclidean and
Gauss space// Bull. Sci. math. 1994. V. 118. P. 485-510.
[386] Ledoux M. Isoperimetry and Gaussian analysis// Ec. d'Ete de Probab. de Saint-
Flour. 1994. P. 1-124.
[387] Ledoux M., Talagrand M. Probability in Banach spaces. Isoperimetry and pro-
processes. - Berlin - New York: Springer-Verlag, 1991.
[388] Lee Y.J. Sharp inequalities and regularity of heat semigroup on infinite-
dimensional spaces// J. Funct. Anal. 1987. V. 71, N 1. P. 69-87.
[389] LePage R.D. Log Log law for Gaussian processes// Z. Wahrscheinlichkeitstheorie
und verw. Geb. 1973. B. 25, N 2. S. 103-108.
[390] LePage R.D. Subgroups of paths and reproducing kernels// Ann. Probab. 1973.
V. 1, N 2. P. 345-347.
[391] LePage R.D., Mandrekar V. Equivalence-singularity dichotomies from zero-one
laws// Proc. Amer. Math. Soc. 1972. V. 31. P. 251-254.
[392] Lescot P. Sard's theorem for hyper-Gevrey functionals on the Wiener space// J.
Funct. Anal. 1995. V. 129, N 1. P. 191-220.
[393] Lewandowski M. A note on functions which separate Gaussian measures// Math.
Z. 1989. V. 201, N 1. P. 145-150.
[394] Lifshits M. Tail probabilities of Gaussian suprema and Laplace transform// Ann.
Inst. H. Poincare, Probab. et Stat. 1994. V. 30, N 2. P. 163-180.
[395] Linde W. Uniqueness theorems for Gaussian measures in lq, 1 < q < oo// Math.
Z. 1988. V. 197, N 3. P. 319-341.
[396] Linde W. Gaussian measure of translated balls in a Banach space// Теория
вероятн. и ее примен. 1989. Т. 34, N 2. С. 349-359.
[397] Linde W. Gaussian measures of large balls in V j] Ann. Probab. 1991. V. 19.
P. 1264-1279.
[398] Linde W., Rosinski J. Exact behavior of Gaussian measures of translated balls
in Hilbert spaces// J. Multivar. Anal. 1994. V. 50. P. 1-16.
[399] Malliavin P. Stochastic calculus of variation and hypoelliptic operators// Proc.
Intern. Symp. SDE Kyoto 1976. Tokyo: Wiley, 1978. P. 195-263.
[400] Malliavin P. Implicit functions in finite corank on the Wiener space// Proc.
Taniguchi Intern. Symp. on Stochast. Anal., Katata and Kyoto. Kinokuniya,
1982. P. 369-386.
[401] Malliavin P. Analyticite reelle des lois conditionelles de fonctionnelles additives//
С r. Acad. sci. S6r. 1. 1986. T. 302, N 2. P. 73-78.
[402] Malliavin P. Infinite dimensional analysis// Bull. sci. math. 1993. V. 117. P. 63-
90.
[403] Mandelbaum A. Linear estimators and measurable linear transformations on я
Hilbert space// Z. Wahrscheinlichkeitstheorie uncl verw. Geb. 1984. B. 65. S. 385 -
397.
[404] Mnrcvs M.B.. Skr.pp L. Sample behavior of Gaussian processes// Proc. 6th
Berkeley Symp. Math. Statist. Probab. Vol. 2. P. 423-442. University of Cal-
California Press, 1971.
346 Список литературы
[405] Maruyama G. Notes on Wiener integrals// Kodai Math. Semin. Rep. 1950. N 2.
P. 41-44.
[406] Maruyama G. On the transition probability functionals of the Markov process//
Natural Sci. Rep. Ochanomizu Univ. 1954. V. 5, N 1. P. 10-20.
[407] Mayer-Wolf E., Zeitouni O, The probability of small Gaussian ellipsoids and
associated conditional moments// Ann. Probab. 1993. V. 21, N 1. P. 14-24.
[408] Mazziotto G., Millet A. Absolute continuity of the law of an infinite-dimensional
Wiener functional with respect to the Wiener probability// Probab. Theory and
Relat. Fields. 1990. V. 85, N 3. P. 403-411.
[409] McShane E.J. Extension of range of functions// Bull. Amer. Math. Soc. 1934.
V. 40. P. 837-842.
[410] Meyer P.-A. Note sur les processus d'Ornstein-Uhlenbeck// Lect. Notes Math.
1982. V. 920. P. 95-133.
[411] Meyer P.-A. Quelques resultats analytiques sur semigroupe d'Ornstein-
Uhlenbeck en dimension infinie// Theor. and Appl. of Random Fields. Lect.
Notes in Contr. and Inf. Sci. 1983. V. 49. P. 201-214.
[412] Meyer P.-A. Transformation de Riesz pour les lois gaussiennes// Lect. Notes
Math. 1984. V. 1059. P. 179-193.
[413] Miller K.S. Multidimensional Gaussian distributions. - New York: John Wiley
and Sons, 1964.
[414] Millet А.у Smolenski W. On the continuity of Ornstein-Uhlenbeck processes in
infinite dimensions// Probab. Theory and Relat. Fields. 1992. V. 92. P. 529-547.
[415] de Moivre A. The Doctrine of Chances. 2d ed. - 1738.
[416] Moulinier J.-M. Absolue continuity de probabilites de transition par rapport a
une mesure gaussienne dans une espace de Hilbert// J. Funct. Anal. 1985. V. 64,
N 2. P. 257-295.
[417] Moulinier J.-M. Fonctionnelles oscillantes stochastiques et hypoellipticite// Bull.
Sci. Math. B). 1985. V. 109. P. 37-60.
[418] Mourier E. Elements aleatoires dans un espace de Banach// Ann. Inst. H.
Poincare. 1953. V. 19. P. 161-244.
[419] Nelson E. The free Markoff field// J. Funct. Anal. 1973. V. 12, N 2. P. 211-227.
[420] Neretin Ju.A. Some remarks on quasi-invariant actions of loop groups and the
group of diffeomorphisms of the circle// Commun. Math. Phys. 1994. V. 164.
P. 599-626.
[421] Neveu J. Processus aleatoires gaussiens. - Montreal: Les presses de l'universite
de Montreal, 1968.
[422] Nomoto H. On a class of metrical automorphisms on Gaussian measure space//
Nagoya Math. J. 1970. V. 38. P. 21-25.
[423] Nualart D. The Malliavin calculus and related topics. - Berlin/New York:
Springer-Verlag, 1995.
[424] Nualart D., Zakai M. Generalized stochastic integrals and the Malliavin calcu-
calculus// Probab. Theory and Relat. Fields. 1986. V. 73, N 2. P. 255-280.
[425] Nualart D., Zakai M. Multiple Wiener-Ito integrals possesing a continuous ex-
extension// Probab. Theory and Relat. Fields. 1990. V. 85, N 1. P. 131-145.
[426] Okazaki Y. Gaussian measure on topological vector space// Mem. Fac. Sci.
Kyushu Univ. Ser. A. 1980. V. 34, N 1. P. 1-21.
[427] Okazaki Y. Bochner's theorem on measurable linear functionals of a Gaussian
measure// Ann. Probab. 1981. V. 9, N 4. P. 663-664.
[428] Onsager L., Machlup S. Fluctuations and irreversible processes// Phys. Rev.
1953. V. 91. P. 1505-1515.
[429] Oleszkiewicz K., Pycia M. On certain characterization of normal distribution//
Statistics and Probab. Letters. 1997.
[430] Pap G. Dependence of Gaussian measure on covariance in Hilbert space// Lect.
Notes Math. 1984. V. 1080. P. 188-194.
[431] Pap G. Analog of heat equation for Gaussian measure of a ball in Hilbert space//
J. Theor. Probab. 1990. V. 3, N 4. P. 563-577.
[432] Parzen E. Probability density functionals and reproducing kernel Hilbert
spaces// Proc. Symp. Time Series Analysis. P. 155-169. New York: Wiley, 1963.
Список литературы 347
[433] Patel J.K., Read СВ. Handbook of the normal distribution. 2d ed. - New York:
Marcel Dekker, 1996.
[434] Peters G. Anticipating flows on the Wiener space generated by vector fields of
low regularity// J. Funct. Anal. 1996. V. 142. N 1. P. 129-192.'
[435] Pettis B.-J. On the Radon-Nikodym theorem// Lect. Notes Math. 1978. V. 644.
P. 340-355.
[436] Phelps R..R. Gaussian null sets and differentiability of Lipschitz map on Banach
spaces// Pacif. J. Math. 1978. V. 77, N 2. P. 523-531.
[437] Piech M.A. The Ornstein-Uhlenbeck semigroup in an infinite dimensional L2
setting// J. Funct. Anal. 1975. V. 18, N 3. P. 271-285.
[438] Piech M.A. Smooth functions on Banach spaces// J. Math. Anal, and Appl.
1977. V. 57, N 1. P. 56-67.
[439] Piech M.A. Differentiability of measures associated with parabolic equation on
infinite dimensional spaces// Trans. Amer. Math. Soc. 1979. V. 253. P. 191-209.
[440] Pisier J. Probability methods in the geometry of Banach spaces// Lect. Notes
Math. 1985. V. 1206. P. 167-241.
[441] Pisier G. Riesz transforms: a simpler analytic proof of P.-A. Meyer's inequality//
Lect. Notes Math. 1988. V. 1321. P. 485-501.
[442] Pitcher T.S. Likelihood ratios of Gaussian processes// Ark. Mat. 1960. V. 4.
P. 35-44.
[443] Pitcher T.S. Likelihood ratios for diffusion processes with shifted mean value//
Trans. Amer. Math. Soc. 1961. V. 101, N 1. P. 168-176.
[444] Pitcher T.S. On the sample functions of processes which can be added to a
Gaussian process// Ann. Math. Statist. 1963. V. 34, N 1. P. 329-333.
[445] Pitt L. A Gaussian correlation inequality for symmetric convex sets// Ann.
Probab. 1977. V. 5. P. 470-474.
[446] Plana G.A.A. Memoire sur divers problemes de probability// Memoires Acad.
Imperiale de Turin pour les Annees 1811-1812. 1813. T. 20. P. 355-498.
[447] Prat J.-J. Equation de Schrodinger: analyticite transverse de la densite de la loi
d'une fonctionnelle additive// Bull. sci. math. B). 1991. V. 115. P. 133-176.
[448] Preiss D. Gaussian measures and covering theorems// Comment, math. Univ.
Carol. 1979. V. 20, N 1. P. 95-99.
[449] Preiss D. Differentiation of measures in infinitely dimensional spaces// Proc.
Conf.: Topol. and Meas. Ill, Vitte/Hiddensee, Oct. 19-25, 1980. Part 2. Greif-
swald, 1982. Wissen. Beitrage d. Greifswald Univ. P. 201-207.
[450] Preiss D. Differentiability of Lipschitz functions on Banach spaces// J. Funct.
Anal. 1990. V. 91. P. 312-345.
[451] Preiss D., Tiser J. Differentiation of Gaussian measures on Hilbert space// Lect.
Notes. Math. 1981. V. 945. P. 194-207.
[452] Prekopa A. Logarithmic concave measures with applications// Acta Sci. Math.
1971. V. 32. P. 301-316.
[453] Rajput B.S. The support of Gaussian measures on Banach spaces// Probab.
Theor. Appl. 1972. V. 17. P. 728-733.
[454] Rajput B.S. On Gaussian measures in certain locally convex spaces// J. Multivar.
Anal. 1972. V. 2, N 3. P. 282-306.
[455] Ramer R. On nonlinear transformations of Gaussian measures// J. Funct. Anal.
1974. V. 15, N 3. P. 166-187.
[456] Rhee Wan Soo On the distribution of the norm for a Gaussian measure// Ann.
lust. H. Poincare, Probab. et Statist. 1984. V. 20, N 3. P. 277-286.
[457] Richter W.D. Laplace-Gauss integrals, Gaussian measure asymptotic behaviour
and probabilities of moderate deviations// Z. Anal, und Anwend. 1985. B. 4,
N 3. S. 257-267.
[458] Rieffel M.A. The Radon-Nikodym theorem for the Bochner integral// Trans.
Amer. Math. Soc. 1968. V. 131, N 2. P. 466-487.
[459] Roelhj S., Zessin H. Une caracterisation des mesures de Gibbs sur C@,l)z
par le calcul des variationes stochastiques// Ann. Inst. H. Poincare. 1993. V. 29.
P. 327-338.
348 Список литературы
[460] Sato Я. Gaussian measure on a Banach space and abstract Wiener measure//
Nagoya Math. J. 1969. V. 36. P. 65-81.
[461] Sato H. Souslin support and Fourier expansion of a Gaussian Radon measure//
Lect. Notes Math. 1981. V. 860. P. 299-313.
[4G2] Sato H. Characteristic functional of a probability measure absolute continuous
with respect to a Gaussian Radon measure// J. Funct. Anal. 1985. V. 61, N 2.
P. 222-245.
[4E3] Sato H. Gaussian measurable dual and Bochner's theorem// Ann. Probab. 1981.
V. 9, N 4. P. 656-662.
[464] Sato H. Gaussian measures on locally convex spaces and related topics// Soo-
chow J. Math. 1992. V. 18, N 4. P. 461-496.
[465] Sato H.. Okazaki Y. Separabilities of a Gaussian Radon measure// Ann. Inst.
H. Poincare, Ser. B. 1975. V. 11, N 3. P. 287-298.
[466] Sazonov V. V. Normal approximations. Some recent advances// Lect. Notes
Math. 1981. V. 879.
[467] Schilder M. Some asymptotic formulas for Wiener integrals// Trans. Amer.
Math. Soc. 1966. V. 125. P. 63-85.
[468] Schreiber M. Fermeture en probabilite des chaos de Wiener// C. r. Acad. sci.
Paris. 1967. T. 265. P. 859-862.
[469] Schwartz L. Radon measures on arbitrary topological spaces and cylindrical mea-
measures. — London: Oxford Univ. Press, 1973.
[470] Scott A. A note on conservative confidence regions for the mean of a multivariate
normal distribution// Ann. Math. Statist. 1967. V. 38. P. 278-280.
[471] Segal 1. Tensor algebras over Hilbert spaces. 1// Trans. Amer. Math. Soc. 1956.
V.'81, N 2. P. 106-134.
[472] Segal I. Distributions in Hilbert space and canonical system of operators// Trans.
Amer. Math. Soc. 1958. V. 88, N 1. P. 12-41.
[473] Seidrnan T.I. Linear transformation of a functional integral, I// Commun. Pure
and Appl. Math. 1959. V. 12. P. 611-621.
[474] Seidman T.I. Linear transformation of a functional integral, II// Commun. Pure
and Appl. Math. 1964. V. 17. P. 493-508.
[475] Shale D. Linear symmetries of the free boson fields// Trans. Airier. Math. Soc.
1962. V. 103, N 1. P. 149-167.
[476] Shcpp L.A. Radon-Nikodym derivatives of Gaussian measures// Ann. Math.
Statist, 1966. V. 37, N 2. P. 321-354.
[477] Shepp L.A. Gaussian measures in function space// Pacif. ,1. Math. 1966. V. 17,
N 1. P. 167-173.
[478] Shepp L.A., Zeilouni O. A note on conditional exponential moments and the
Onsager Machlup functional// Ann. Probab. 1992. V. 20, N 1. P. 652-654.
[479] Shigekawa I. Absolute continuity of probability laws of Wiener functionals//
Proc. Jap. Acad. Ser. A. 1978. V. 54, N 8. P. 230-233.
[480] Shigekawa I. Derivatives of Wiener functionals and absolute continuity of induced
measures// J. Math. Kyoto Univ. 1980. V. 20, N 2. P. 263-289.
[481] Shigekawa I. Existence of invariant measures of diffusions on an abstract Wiener
space// Osaka J. Math. 1987. V. 24, N 1. P. 37-59.
[482] Shigekauia I. Sobolev spaces over the Wiener space based on an Ornstein-
Uhlenbeck operator// J. Math. Kyoto Univ. 1992. V. 32, N 4. P. 731-748.
[483] Siddk Z. Rectangular confidence regions for the means of multivariate normal
distributions// J. Amer. Statist. Assoc. 1967. V. 62. P. 626-633.
[484] Siddk Z. On multivariate normal probabilities of rectangles: their dependence on
correlations// Ann. Math. Statist. 1968. V. 39, N 5. P. 1425-1434.
[485] Slcpiau D. The one-sided barier problem for Gaussian noise// Bell. Syst. Tech.
J. 19G2. V. 41. N 2. P. 463-501.
[480] Stcnglv G. A divergence theorem for Gaussian stochastic process expectations//
.1. Math. Anal, and Appl. 1968. V. 21, N 3. P. 537-546.
[487] Strassen V. An invanunce principle* for the law of the iterated logarithm// Z.
Walirscheinliclikeitstheorie mid verw. Geb. 1964. B. 3, N 3. S. 211-22A.
Список литературы 349
[488] Slroock D. The Malliavin calculus, a functional analytic approach// J. Funct.
Anal. 1981. V. 44, N 2. P. 212-257.
[489] Sui/ita II. Sobolev space of Wiener fnnctionals and Malliavin calculus// J. Math.
Kyoto Univ. 1985. V. 25, N 1. P. 31-48.
[490] Svqita H. On a characterization of the Sobolev spaces over an abstract Wiener
Space// .J. Math. Kyoto Univ. 1985. V. 25, N 4. P. 717-725.
[491] Sugita II. Positive Wiener functionals and potential theory over abstract Wiener
spaces// Osaka J. Math. 1988. V. 25, N 3. P. 665-698.
[492] Sugita II. IIu-Meyer multiple Stratonovich integrals and essential continuity of
multiple Wiener integrals// Bull. sci. math. 1989. V. 113. P. 463-474.
[493] Suqila II. Various topologies on the Wiener space and Levy's stochastic area//
Probab. Theory and Relat. Fields. 1992. V. 91. P. 286-296.
[494] Sugita II. Properties of holomorphic Wiener functions — skeleton, contraction,
and local Taylor expansion// Probab. Theory Relat. Fields. 1994. V. 100, N 1.
P. 117-130.
[495] Sunoucln G. Harmonic analysis and Wiener integrals// Tohoku Math. J. 1951.
V. 3. P. 187-196.
[4У6] Sztencel R. On the lower tail of stable seminorm// Bull. Acad. pol. sci. Ser. sci.
math. 1984. V. 32, N 11-12. P. 715-719.
[497] Takahashi Y., Okazaki Y. On some properties of Gaussian covariance operators
in Banarh spaces// Math. J. Oka,yama Univ. 1987. V. 29. P. 221-232.
[498] Takr.da M. (r, ;j)-capacity on the Wiener space and properties of Brownian mo-
motion// Z. Wahrscheinlichkeitstheorie mid verw. Geb. 1984. B. 68, N 2. P. 149-162.
[499] Talagrand M. La т-regularite des mesures gaussiennes// Z. Wahrscheinlichkeits-
thconc and verw. Geb. 1981. B. 57, N 2. S. 213-221.
[500] Talagrand M. Mesures gaussiennes sur un espace localement convexe// Z. Wahr-
Wahrscheinlichkeitstheorie und verw. Geb. 1983. B. 64. S. 181-209.
[501] Talaqrand M. Sur l'integrabilite des vecteurs gaussiens// Z. Wahrscheinlichkeits-
Wahrscheinlichkeitstheorie und verw. Geb. 1984. B. 68, N 1. S. 1-8.
[502] Talagrand M. Regularity of Gaussian processes// Acta Math. 1987. V. 159, N 1-
2. P.'99-149.
[503] Talaqrand M. Small tails for the supremum of a Gaussian process// Ann. Inst.
11. Poincare. Probab. et Statist. 1988. V. 24, N 2. P. 307-315.
[504] Talaqrand M. A note on Gaussian measure of translates of balls// Geometry
of Banach spaces (Strobl, 1989). London Math. Soc. Lect Note Ser. V. 158.
P. 253 -250. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1990.
[505] Talaqrand M. New Gaussian estimates lor enlarged balls// Geom. and Funct.
Anal. 141K. V. 3. P. 502-526.
[506] 'Talagrand M. Sharper bounds for Gaussian and empirical processes// Ann.
Probab. 1994. V. 22. P. 28-76.
[507] Tis^r J. Diitc-rentiation theorem for Gaussian measures on Hilbert space.// Trans.
Amur. Math. Soc. 1988. V. 308, N 2. P. 655-666.
[508] Tong Y. L. The multivariate normal distribution. - Berlin: Springer-Verlag, 1990.
[509] Tortra.1 A. Lois e(A) dans les espaces vectonels et. lois stables// Z. Wahrschein-
Wahrscheinlichkeitstheorie und verw. Geb. 1976. B. 37, N 2. S. 175-182.
[510] Tortrat A. Prolongements т-reguliers et applications aux probabilites gaussi-
gaussiennes// Symp. math. 1st. naz. alta mat. Vol. 21. P. 117-138. London - New
York, 1977.
[511] Uhlenbeck C.E., Ornstein L.S. On the theory of Brownian motion. 1// Phys.
Rep. 1930. V. 36. P. 823-841.
[512] Ustunel A.S. An introduction to analysis on Wiener space. - Lecture Notes
Math., V. 1610. Berlin/Heidelberg: Springer, 1995.
[513] Ustunel /1..S'.. Zakai M. On the structure of independence on Wiener space// J.
Funct. Anal. 1990. V. 90, N 1. P. 113 137.
[514] Ustunel A.S.. Zukai. M. Transformations of Wiener measure under antkipative
Hows// Probab. Theory and Relat. Fields. 1992. V. 93. P. 91 -130.
[515] Ustunel A.S., Zakai M. Applications of the degree theorem to absolute continuity
on Wiener apace// Probab. Theory and Relat. Fields. 1993. V. 95. P. 509-520.
350 Список литературы
[516] Ustunel A.S., Zakai M. Transformation of the Wiener measure under non-
invertible shifts// Probab. Theor. Rel. Fields. 1994. V. 99. P. 485-500.
[517] Ustunel A.S., Zakai M. The composition of Wiener functionals with non abso-
absolutely continuous shifts// Probab. Theor. Rel. Fields. 1994. V. 98. P. 163-184.
[518] Ustunel A.S., Zakai M. Random rotations of the Wiener path// Probab. Theor.
Relat. Fields. 1995. V. 103, N 3. P. 409-430.
[519] Ustunel A.S., Zakai M. Extension of Lipschitz functions on Wiener space// New
trends in stochastic analysis, Proc. of the Taniguchi Internat. Symp. (D. Elworthy
et als., eds.). P. 465-470. New York: World Scientific, 1996.
[520] Varadhan S.R.S. Limit theorems for sums of independent random variables with
values in a Hilbert space// Sankhya. 1962. V. A24. P. 213-238.
[521] Varberg D.E. On Gaussian measures equivalent to Wiener measure// Trans.
Amer. Math. Soc. 1964. V. 113, N 2. P. 262-273.
[522] Varberg D.E. On Gaussian measures equivalent to Wiener measure II// Math,
scand. 1966. V. 18, N 3. P. 143-160.
[523] Varberg D.E. Equivalent Gaussian measures with a particularly simple Radon-
Nikodym derivative// Ann. Math. Statist. 1967. V. 38, N 4. P, 1027-1030.
[524] Walsh J. A note on uniform convergence of stochastic processes// Proc. Amer.
Math. Soc. 1967. V. 18, N 1. P. 129-132.
[525] Watanabe S. Analysis of Wiener functionals (Malliavin calculus) and its appli-
applications to heat kernels// Ann. Probab. 1987. V. 15, N 1. P. 1-39.
[526] Watanabe S. Short time asymptotic problems in Wiener functional integration
theory. Applications to heat kernels and index theorems// Lect. Notes Math.
1990. V. 1444. P. 1-62.
[527] Watanabe S. Fractional order Sobolev spaces on Wiener space// Probab. Theory
and Relat. Fields. 1993. V. 95. P. 175-198.
[528] Wiener N. The average value of an analytic functional and the Brownian move-
movement// Proc. Nat. Acad. Sci. 1921. V. 7, N 10, P. 294-298.
[529] Wiener N. The average value of a functional// Proc. London Math. Soc. 1922,
V. 22. P. 454-467.
[530] Wiener N. Differential space// J. Math, and Phys, 1923. V. 2. P. 131-174.
[531] Wiener N. The homogeneous chaos// Amer. J. Math. 1938. V. 60. P. 879-936.
[532] Yaglom A.M. On the equivalence and perpendicularity of two Gaussian probabil-
probability measures in function space// Proc. Sympos. Time Series Analysis. P. 327-346.
New York: Wiley, 1963.
[533] Yeh J. Stochastic processes and the Wiener integral, - New York: Marcel Dekker,
1973.
[534] Yoshida N. A large deviation principle for (r, p)-capacities on the Wiener space//
Probab. Theory and Relat. Fields. 1993. V. 94. P. 473-488.
[535] Yost D. If every donut is a teacup, then every Banach space is a Hilbert space//
Sem. on Funct. Anal. V. 1. P. 127-148. Univ. de Murcia, 1987.
[536] Yurinskii V.V. Sums and Gaussian vectors, - Lecture Notes Math. V. 1617.
Berlin: Springer, 1995.
[537] Zak T. On the difference of Gaussian measure of two balls in Hilbert spaces//
Lect. Notes Math. 1989. V. 1391. P. 401-405.
[538] Zakai M. Stochastic integration, trace and the skeleton of Wiener functionals//
Stochastics and Stoch. Rep. 1985. V. 32. P. 93-108.
[539] Zakai M., Zeitouni O. When does Ramer formula look like Girsanov formula?//
Ann. Probab. 1992. V. 20, N 3. P. 1436-1440.
Предметный указатель
абсолютно выпуклая оболочка, 306
автоморфизм, 237
базис Гамеля, 305
броуновский мост, 55
вектор
- гауссовский, 38
- случайный, 320
- устойчивый,303
версия отображения, 314
выпуклая оболочка, 35, 306
гауссовская симметризация, 149
генератор полугруппы, 314
дивергенция, 202
дисперсия, 9
дифференцируемость
- Адамара, 181
- Гато, 181
- вдоль подпространства, 182
-- Фреше, 181
дробное броуновское движение, 55
емкость, 209
закон 0-1, 62
измеримый линейный
- функционал, 77
- оператор,121
изометрия, 310
интеграл
- Бохнера, 320
- Дадли, 276
Петтиса, 319
- стохастический, 81, 197
- Фейнмана, 90
- Хеллингера, 88
квазинепрерывная функция, 211
класс Соболева, 21, 188
ковариационная функция, 51
ковариация, 41
колебание функции, 65
логарифмический градиент, 283
логарифмическое неравенство Со-
Соболева, 24, 206
мартингал, 315
медиана, 166
мера
борелевская, 317
- бэровская, 317
- Випера, 52
- гауссовская, 9, 38
- дифференцируемая по напра-
направлению, 183
- инвариантная, 291
- мажорирующая, 277
- невырожденная, 118
- непрерывная по направле-
направлению, 91
- поверхностная, 267
- плотная, 93, 317
- предгауссовская, 301
- Радона, 317
- радоновская, 317
- симметричная, 38
- стандартная гауссовская, 10
- стандартная гауссовская в
ПС, 15
- т-аддитивная, 141
- условная, 116
- центрированная, 38
- цилиндрическая, 135
многочлен измеримый, 217
многочлен Эрмита, 16
множество
- абсолютно выпуклое, 306
- исключительное, 228
- гауссовское-нуль, 228
- пренебрежимое, 228
- секвенциально замкнутое, 307
- секвенциально полное, 307
- симметричное, 306
- суслинское, 317
- цилиндрическое, 35
модификация
- измеримой функции, 314
- случайного процесса, 67
момент меры
- сильный, 301
- слабый, 301
направленность, 307
неравенство
- Андерсона, 29
- изопериметрическое, 151
- Карлемана, 243
- логарифмическое, 24, 206
- Пуанкаре, 26, 206
- Слепяна, 299
- Эрхарда, 151
носитель
- банахов, 119
352
Предметный указатель
-гильбертов, 119
- топологический, 317
нормальная функция распределе-
распределения, 10
обобщенная производная, 193
оператор
- Гильберта-Шмидта, 310
- диагональный, 313
- измеримый линейный, 121
- изометрический, 310
- ковариационный, 41
- компактный, 309
- Орнштейна-Уленбека, 21
- ортогональный, 310
- симметричный, 309
- со следом, 312
- ядерный, 312
определитель Фредгольма-Карле-
мана, 243
осцилляционная константа, 90
осцилляция, 65
отображение
- Гильберта-Шмидта, 310
- измеримое, 314
-- измеримое линейное, 121
- Л-липшицево, 222
полугруппа
- гиперсжимающая, 206
- марковская, 291
- Орнштейна-Уленбека, 18, 83
- сильно непрерывная, 314
полунорма
- измеримая, 72
- измеримая по Гроссу, 136
пополнение
- пространства, 307
- ст-аигебры, 314
преобразование
- Фурье, 39, 318
- Фурье- Винера, 90
нродакт-мера, 87
производная
- Адамара, 181
- Гато, 181
- обобщенная, 193
- но направлению, 183
- Фреше, 181
пространство
воспроизводящее, 41
Камерона-Мартина, 41
- локально выпуклое, 305
- метризуемое, 30G
- полное, 307
- секвенциально полное, 307
- Соболева, 21, 188
- Фреше, 306
процесс
- винеровский, 53, 279
- гауссовский, 51
- диффузионный, 290
- измеримый, 56
- Орнштейна-Уленбека, 55, 290
- селарабельыый, 65
- симметризуемый, 291
- случайный, 320
равновесный потенциал, 214
равномерная интегрируемость, 315
равномерная плотность мер, 129
свертка мер, 319
свойство (N) Лузина, 234
свойство (Е), 239
свойство ЦПТ, 302
слабая сходимость мер, 128
след оператора, 312
среднее, 41
субмартингал, 315
теорема
- Гаека-Фельдмана, 68
- Дуба, 315
- Ито-Нисио, 66
- Какутани, 87
- Колмогорова, 321
- Мейера, 199
- о мультипликаторах, 229
- Прохорова, 129
- Ферника, 73
- Цирельсона, 106
топология Макки, 306
условное математическое ожида-
ожидание, 315
формула
-- замены переменных, 315
- интегрирования по частям,
182
- Камерона-Мартина, 58
- Мелера, 18
функция Онзагера-Маклуна, 167
функционал Минковского, 308
ядро воспроизводящее, 41