ACTUA.LITKS SCIENTIFIQUES ET INDTTSTRIELLES
N. BOURBAKI
ELEMENTS
DE MATHEMATIQUE
PREMIERE PARTIE
I.IVRE III
TOPOLOGIE GENERALE
TROlSltME eniriON HEVVE ET AVCMENTtt
HERMANN

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИКИ
Н. БУРБАКИ
ОБЩАЯ ТОПОЛОГИЯ
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ
ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ
В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ
СЛОВАРЬ
ПЕРИВОД С ФРАНЦУЗСКОГО
С. Н. КРАЧКОВСКОГО
ПОД РЕДАКЦИЕЙ
Д. А. РАЙКОВА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1975

517 3/6
Б 91
513.83
Общая топология, вып. 3, Н. Б у р б а к и,
Главная редакция физико-математической литера-
литературы изд-ва «Наука», 1975.
Группа французских математиков, объедипен-
ная под псевдопимом «Бурбаки», поставила перед
собой цель — написать полный трактат современ-
современной математической науки.
Настоящим третьим выпуском завершается
перевод на русский язык «Общей топологии».
Книга рассчитана на математиков — науч-
научных работников, аспирантов и студентов старпшх
курсов университетов и пединститутов.
Библ. 16 назв.
Н. Бурбаки
ОБЩАЯ ТОПОЛОГИЯ
Использование вещественных чисел в общей топологии.
Функциональные пространства. Сводка резулътатоп. Словарь
М., 1975 г., 408 стр. с илл.
Редактор М. М. Горячая
Техн. редантор А. Л. Колесникова. Корректор Т. С, Найсберг
Сдано в наОор 4/XII 107 4 г. Подписано к печати 12/"V 1975 г. Бумага tiOxOOVie.
Физ. печ. л. 25,5+2 вкл. Услопп. печ. л. '^«,125. Уч,-изд. л. 24,67. Тираж 1Г>()П0 экз.
Цена книги 1 р. 09 к. Заказ N 0603
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москиа, В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Трудового Красного Знамени Московская типография jsfi 7 «Искра революции»
Союзпопиграфпрома при Государственном комитете Сонета Министров СССР по долам
издательсп), полиграфин и книжной торговли
Москва К-1, Трехпрудный пер., 9
© Перевод на русский язык,
„ 20203 — 083 _« _. Главная редакция
Б ■ Ag'07«o\ -?ё— 35-75 фиаико-математическлй литерптуры
ODo(U^)-70 издательства «Наука», 1U75.

ОГЛАВЛЕНИЕ
От издательства 9
Глава IX. Использование вещественных чисел в общей топологии 11
§ 1, Порождение равномерной структуры семейством отклонений. Рав-
номеривуемые пространства И
1. Отклонения 11
2. Определение равномерной структуры посредством семейства
отклопспий 12
3. Свойства равномерных структур, определяемых семействами
отклонений 15
4. Построение семейства отклонений, определяющего равномер-
равномерную структуру 17
5. Равномериауемыо пространства 19
6. Полунепрерывные функции на равноморивуемом пространстве 21
Упражнения 23
§ 2. Метрические пространства; метризуемые пространства 31
1. Расстояния и метрические пространства 31
2.' Структура метрического пространства 33
3. Колебание функции 36
4. Мотрииуемые равномерные пространства 37
5. Метризуемые топологические пространства 38
6. Роль счетных последовательностей 39
7. Полунепрерывные фупкции на метривуемом пространстве 41
8. Метризуемые пространства счетного типа 42
9. Компактные метрические пространства; компактные мотри-
вуемые пространства 44
10. Факторпространства метризуемых пространств 47
Упражнения 49
§ 3. Метризуемые группы; нормированные тела; нормированные про-
пространства и алгебры 59
1. Метриауемьте топологические группы 59
2. Нормированные тела 65
3. Нормированные пространства над нормированным телом . , 70
4. Факторпространства и произведении нормированных про-
пространств 73

6 ОГЛАВЛЕНИЕ
5. Непрерывные полилинейные функции 75
6. Абсолютно суммируемые семейства в нормированном про-
пространстве 76
7. Нормированные алгебры над нормированным телом .... 77
Упражнения 82
§ 4. Нормальные пространства , 86
1. Определение нормальных пространств 86
2. Продолжение непрерывной числовой, функции 90
3. Локально конечные открытые покрытия замкпутого множе-
множества в нормальном пространстве 92
4. Пар а компактные пространства 96
5. Паракомпактность метризуомых пространств 99
Упражнения , 102
§ 5. Бэронские пространства 113
1. Разрежонпые множества ИЗ
2. Тощие множества 115
3. Баронские пространства 116
4. Полунепрерывные функции на баронском пространство . . . 118
Упражнения 119
§ 6. Польские пространства; суслинские пространства; борелевскне
множества 128
1. Польские пространства 128
2. Суслинские пространство 132
3. Борелевскне множества 134
4. Раздробленные и путинские пространства 136
5. Решето 138
6. Отделение суслинских множеств 140
7. Лузипские пространства и борелевскно множества . . . .' . 142
8. Борелевские сечения 144
9. Емкостность суслинских .множеств 146
Упражнении 149
П р и л о ж е н и е к главе IX. Бесконечные произведения в норми-
нормированных алгебрах 160
1. Перемножаемые последовательности в нормированной алгебре 160
2. Критерии перемножаемое™ 101
3. Бесконечные произведения 165
Упражнения 167
Исторический очерк к глаие IX ' 170
Библиография 172
Глава X. Функциональные пространств» 173
Предисловие ко второму ивданиго , 173
§ 1. Равномерпии структура ©-сходимости 173
1. Структура равномерной сходимости 173
2. ©-сходимость 174

ОГЛАВЛЕНИЕ /
;!. Примеры ©-сходимости 177
4. Свойства пространств 2Fq(X', У) 179
5. Полныо множества D &q(X; У) 180
(>. S-сходимость в пространствах непрерывных отображении 181
Упражнения 186
§ 2. Равностепенно непрерывные множества 190
1. Определение и общие признаки 190
2. Специальные признаки равностепенной непрерывности . . . 195
3. Замыкание равностепенно непрерывного множества .... 197
4. Простая сходимость и компактная сходимость в равностепенно
непрерывных множествах 198
5. Компактные множества непрерывных отображений 199
Упражнения 202
§ 3. Специальные функциональные пространства 208
1. Пространства отображений в метрическое пространство . . 208
2. Пространства отображений в нормированное пространство . 211
3. Свойства счетности пространств непрерывных функций . . 215
4. Топология компактной сходимости 217
5. Топологии в группах гомеоморфизмов 223
Упражнения 227
§ 4. Аппроксимация непрерывных числовых функций 238
1. Аппроксимация непрерывных функций функциями из некото-
некоторой решетки 238
2. Аппроксимация непрерывных функций полиномами .... 241
3. Приложение:' аппроксимация непрерывных числовых функ-
функций, определенных на произведении компактных пространств 244
4. Аппроксимация непрерывных отображений компактного
пространства в нормированное пространство 245
Упражиония . . . • 248
Исторический очерк к главе X 259
Библиография 201
Сводка результатов Книги III 262
Введение 262
5 1. Топологические структуры; открытые множества, окрестпости,
замкнутые множества 263
§ 2. Фильтры и пределы 209
§ 3. Равномерные пространства; метрические пространства .... 278
§ 4. Сравнение топологий и равномерных структур 285
§ 5. Аксиомы отделимости 288
§ Н. Непрерывные функции равномерно непрерывные функции,
полунепрерывные функции 292
§ 7. Подпространства; произведения пространств; факторпростраи-
ства 300

8 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 8. Компактно пространства и локально компактные пространства 310
S 9. Связность ' 317
§ 10. Топологическая алгебра 320
§ 11. Бесконечные суммы и произведения 334
§ 12. Аддитивные группы в Rn 340
§ 13. Функциональные пространства 345
Словарь 357
Указатель обозначений 392
Указатель терминов 394
Диаграмма основных типов топологических пространств .... вклейка
Определения и аксиомы главы IX вклейка

ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА
Настоящим выпуском, содержащим IX—X главы я сводку
результатов «Общей топологии» II. Бурбаки, заканчивается е»
перевод на русский язык. Одиннадцатая глава, обещанная авто-
автором в последнем французском издании глав I—II, не появилась
из-за его безвременной кончины. Главы I—VIII «Общей тополо-
топологии» выходили на русском языке дважды — в переводах со второго-
и третьего французских изданий. Настоящий перевод глав IX—X
и сводки результатов выполнен с последних (вторых) французских
изданий.
15 последнем (французском) издании главы IX были даны ссыл-
ссылки только на второе французское издание глав I—VIII, а в гла-
главе X — лишь на третье. Для удобства читателя, имеющего только
первое или второе русское издание предыдущих глав, в предла-
предлагаемом переводе IX—X глав и «Сводки результатов», там, где это
оказалось возможным, даны ссылки на оба издания. Отсутствие
ссылки на номер издания овначает, что она одна и та нее для
обоих изданий.

ГЛАВА IX
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ
В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ
§ 1. Порождение равномерной структуры
семейством отклонений. Равномеризуемые
пространства
t. Отклонения
Определение 1. Отклонением на данном множестве Е называют
всякое отображение f произведения Е X Е в интервал [О, +ool
расширенной прямой R, удовлетворяющее следующим условиям:
(ЕСУ / (х, х) — 0 при любом х 6 Е-
(ЕСц) / (х, у) — f (у, х) при любых х £ Е, у £ Е (симметрия).
(ЕСШ) / (х, у) < / (a;, z) + f (z, у) при любых х£Е, у б Е,
z £ Е (неравенство треугольника).
Примеры. 1) Евклидово расстояние на числовом пространство
Rn (гл. VI, § 2, п° 1) есть отклонение.
2) Пусть Е — произвольное множество; функция /, определенная
па Е X Е условиями / (х, х) = 0 для каждого х £Е и / (х, у) = -\- оо
при х Ф у, ость отклонение на Е.
3) Пусть g — коночная числовая' функция, определенная на
произвольном множестве Е\ функция /, определенная на Е X Е
равенством / (х, у) = | g (х) — g (у) |, есть отклонение ла Е.
°4) Пусть Е — мноя!ество всех непрорывных отображений интер-
1
вала [0, 1] с: R в R. Положив / (х, у) — \ \ х (t) — у (t) [ dt для
о
исех пар элементов х, у из Е, получим отклонение / на Е.о
Замечания. 1) Приведенный выто пример 2 показывает, что
для некоторых пар элементов из Е отклонение может принимать
значение Ц-оо.

12 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 1
2) Как показывает вышеприпеденный пример 3, равенство/ (х, у)=
~ 0 для отклоневия / на Е может, вообще говоря, выполняться и при
хфу.
Из неравенства треугольника следует, что если / (х, z) и / (у, z)
конечны, то и / (х, у) конечно; кроме того, в этом случае имеем
/ (х, z)< / (у, г) +} (х, у) sif (у, z) < / (х, z) -\- f (x, у), откуда
| / (х, z) - / (у, z) | < / (х, у). A)
Если / — отклонение на Е, то А./ тожо отклонение, каково бы
ни было конечное число Я > 0. Если (ДIех—какое-либо семейство
отклонений на Я, то сумма 2 Л (а% У) определена для всех пар
(х, у) £ Е X Е; пусть / (х, у) — ее значение; тогда / — отклонение
на Е. Точно так же верхняя огибающая g семейства (Д) (гл. IV,
§ 5, п° 5) является отклонением на Е, ибо из отношений Д (х, у) ^
< Д (х, z) + Д (z, у) следует, что
sup А (ж, у) <sup (/t (ж, z) -i- А («, У)) <«ир Д (х, z) 4- sup Д (г, ?у)
(гл. IV, § 5, формула A7)).
2. Определение равномерной структуры
посредством, семейства отклонений
Пусть Ua для каждого числа а > 0 есть множество всех пар
(х, у) точек из Нп, евклидовы расстояния между которыми ^<г,
как мы видели (гл. VI, § 2, п° 3), множества Ua, где а пробегает
все числа >0, образуют фундаментальную систему окружений
равномерной структуры пространства R".
Более общим образом пусть / — отклонение на множестве Е;
для каждого а > 0 положим Ua — f ([0, а]); покажем, что когда а
пробегает все числа >0, множества Ua образуют фундаментальную
систему окружений некоторой равномерной структуры в Е.
В самом доле, аксиома (Ui) выполнена в силу (ECi); если а < 6,
то UaczUb, так что множества Ua образуют базис фильтра;
в силу (ЕСц) имеем Ua = Ua и, следовательно, выполнена аксио-
ма (Uix); наконец, в силу (ЕСШ) имеем па cz C/2a, так что выпол-
выполнена аксиома (Um). Таким образом, можно сформулировать
следующее определение:

£ ОТКЛОНЕНИЯ. РАВНОМЕРИЗУЕМЫЕ ПРОСТРАНСТВА 13
Определение 2. Пусть на множестве Е задано отклонение /;
равномерной структурой^ определяемой /, называется равномерная
структура в Е, имеющая в качестве фундаментальной системы
окружений семейство множеств f ([О, а]), где а пробегает все
числа >0.
Два отклонения на Е называются эквивалентными, если они
определяют одну и ту же равномерную структуру.
Замечания. 1) Для любой последовательности (ап) чисел >0,
стремящейся к 0, множестиа Uan образуют фундаментальную систему
окружений равномерной структуры, определяемой отклонением /.
2) Определение равномерной структуры посредством отклоне-
отклонения / сводится к тому, что за фундаментальную систему окружений
ятой структуры принимается прообраз относительно / фильтра окрест-
окрестностей нуля'в подпространстве [О, -Ь°°] пространства R. Отметим, что
этот способ вполне аналогичен применен вому нами для определения
равномерных структур п топологической группе (гл. III, § ■'', п° 1).
Пусть / и g — отклонения на Е; по определению 2, для того
чтобы равномерная структура, определяемая отклонением /, мажо-
мажорировалась равномерной структурой, определяемой отклонением g,
необходимо и достаточно, чтобы для каждого а > 0 существовало
b > 0 такое, что g (х, у) s*T b влечет / (х, у) s*T а. Для того чтобы
отклонения / и g были эквивалентны, необходимо и достаточно,
чтобы для каждого а > 0 существовало b > 0 такое, что g (х, у) ^
<: b влечет / (х, у) ^ a, a / (ж, у) ^ Ъ влечет g (х, у) ^ а.
В частности, если существует постоянная к > 0 такая, что / ^ kg,
то равномерная структура, определяемая отклонением /, мажори-
мажорируется равномерной структурой, определяемой отклонением g.
Пусть <р — отображение интервала [0, +оо] в себя, удовлетво-
удовлетворяющее следующим условиям: 1° ср @) = 0 и ф непрерывно в точко 0;
2° ф возрастает на интервале) [0, -4-°° ] и строго возрастает на некоторой
окрестности точки 0; 3° ф (и -\- v) <; <р (и) + ф (и) для всех и ^ 0
и v ^ 0. Согласно определениям 1 и 2 для любого отклонения / на
каком-либо множестве Е сложная функция g — <ро/ является откло-
отклонением, вквивалентпым /.
Читатель легко проверит, что за <р можно принять, например,
любую из функций Vu> log A-f- u), 7-т— , inf(u, i).
Два последних примера показывают, что всегда существуют
ограниченные отклонения, экгапалентные заданному (конечному или
нет).

14 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § f
Определение 3. Пусть (ДХс/ — семейство отклонений на мно-
множестве Е; равномерной структурой в Е, определяемой этим
семейством, называется верхняя грань множества равномерных
структур, определяемых в Е каждым из отклонений /t.
Два семейства отклонений на Е называются эквивалентными,
если они определяют одну и ту же равномерную структуру.
Согласно определению верхней грани мпожества равномерных
структур (гл. И, 2-е изд., § 1, п° 2; 3-е изд., § 2, п° 5) фильтр окру-
жепий равномерной структуры °И, определяемой в Е семейством
отклопений (АХе/, есть фильтр, порожденный (гл. I, 2-е изд.,
§ 5, п° 3; 3-е изд., § 6, п° 2) семейством множеств /t ([0, а\), где i
пробегает /, а а —множество всех чисол >0. Другими словами,
фундаментальную систему окружений для 41 можно получить
следующим образом: берем произвольное конечное число индексов
4, i2, • . ., in и для каждого и — любое число ah > 0; образуем
множество всех пар (х, у) £ Е X Е таких, что flfi (х, у) ^ ah
A ^ k ^ п); эти множества (при всевозможных п, ц и ял) обра-
образуют фундаментальную систему окружений равномерной струк-
структуры 41, Впрочем, можно ограничиться случаем, когда все а^
равны одному и тому же числу а > 0, ибо окружение, состоящее
из тех (ж, у), для которых sup (ft. (x, у)) ^ inf ah, очевидно,
содержится в предыдущем.
Пусть gH для каждого конечного подмножества // множества /
означает верхнюю огибающую семейства (Д^н! мы видим, что
когда // пробегает всевозможные конечные подмножества мно-
множества /, а а — всевозможные числа > 0, то мпожества gn ([0, а\)
образуют фундаментальную систему окружений равномерной
структуры 41. По £я — отклонения на Е (п° 1), причем верхняя
огибающая коночпого числа функций из семейства (gH) по опреде-
лепию снова принадлежит этому семейству; это свойство выража-
выражают, говоря, что семейство отклонений (#н) насыщенно. Таким
образом, семейство отклонений (gH) эквивалентно семейству (/,.);
будем говорить, что оно получено насыщением семейства (/t);
ив предыдущего видно, что всегда можно ограничиться рассмотре-
рассмотрением равномерных структур, определяемых насыщенными семей-
семействами отклонений.

3 ОТКЛОНЕНИЯ. РАВНОМЕРИЗУЕМЫЕ ПРОСТРАНСТВА 15
П топ пастном случае, когда / •— конечное множество, это рас-
сцждопио показывает, что равномерная структура, определяемая
семейством отклонений (/i)wgj> определяется также одним отклонением
В = sup Д.
Пусть 11 и 41' — равномерные структуры в Е, определяемые
соответственно насыщенными семействами отклонений (A)isi,
(ёк)к£к1 для того чтобы 41' мажорировала 41, необходимо и доста-
достаточно, чтобы для каждого индекса if/ я каждого числа а > О
существовали индекс х £ К и число Ъ > 0 такие, что gK (ж, у) ^ b
влечет А (ж, у) ^ а.
Пример равномерной структуры, опре-
определяемой семейством отклонений. Пусть
(A)te/ — какое-либо семейство конечных числовых функций, опре-
определенных на множестве Е, и 41 — слабейшая из равномерных
структур в Z?, при которых все /t равномерно непрерывны (гл. II,
2-е изд., § 5, п° 1; 3-е изд., § 2, п° 3); иэ определения окружений
структуры 11 (гл. II, 2-е изд., § 5, п° 1; З-о изд., § 2, п° 3) следует,
что ?/ совпадает с равномерной структурой, определяемой в Е
отклонениями gt (х, у) — \ А (х) — А (г/) |.
.7. Свойства равномерных структур,
определяемых семействами отклонений
Пусть 41 — равномерная структура, определяемая в мно-
множестве Е семейством конечных отклонений (А); если наделить
Е х Е произведением равномерной структуры ■?/. на себя, то
каждая из числовых функций А будет равномерно непрерывна на
Е х Е; в самом деле, в силу A)
IА (х, у) - А (*', у') I < А {х, х') -|- А (г/, г/')-
и, следовательно, отношения А (ж» я') ^ е/2, А (гл #') ^ е/2 вле-
влекут
I А (*, У) ~ А (ж', у') | < е.
Для того чтобы 41 была отделимой, необходимо и достаточно,
согласно определению ее окружений, чтобы для каждой пары
различных точек х, у из Е существовал индекс i такой, что
U (х, у)*£0.

16 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § t
В частности, если 11 определена одним отклонением /, то для
отделимости 11 необходимо и достаточно, чтобы / (х, у) — О влекло
х=у (см. § 2).
Если 11 неотделима, пересечением всех ее окружений служит
подмножество произведения Е X Е, образованное всеми такими
парами Or, у), что Д (х, у) = 0 для всех г, это подмножество есть
график некоторого отношения эквивалентности R на Е, и отделимая
. равномерпая структура, ассоциированная с 11, определена в ElR
(см. гл. II, 2-е изд., § 1, п° 4; З-о изд., § 3, п° 8). Легко видеть тогда,
что функции Д согласуются (по х и у) с отношением R (Теор. множ.,
Сводка результ., § 5, п° 7) и что функции Д, получаемые из Д факто-
факторизацией (по х и у), являются отклонениями на ElR, определяющими
отделимую равномерную структуру, ассоциированную с 11 (см. § 2,
и" I).
Пусть А — непустое подмножество множества Е; очевидно,
сужение на А X А отклонения, заданного на Е, ость отклонение
на А; ясно, что 41. индуцирует в А равномерную структуру, опре-
определяемую сужениями на А X А отклонений Д.
Рассмотрим теперь пополнение отделимого равномерного про-
пространства.
Предложение 1. Пусть Е — отделимое равномерное про-
пространство, равпомерная структура которого / определена семей-
семейством конечных отклонений (Д), u E — пополнение пространства
Е. Функции Д продолжаются по непрерывности на Е X Е; про-
продолженные функции Д являются конечными отклонениями на Е,
и равномерная структура в Е совпадает с равномерной структу-
структурой, определяемой семейством (Д).
Прежде всего, функции Д допускают продолжение по непре-
непрерывности на Ё X Ё, ибо они равномерно непрерывны на Е X Е,
и продолженные функции Д равномерно непрерывны на Е х Ё
(гл. II, 2-е И8Д., § 3, теорема 1; 3-е изд., § 3, теорема 2);
кроме того, Д являются отклонениями на Ё в силу принципа
продолжения неравенств (гл. IV, § 5, теорема 1). Обозначим через
4lt равномерную структуру в Ё как пополнении Е, а через 41г —
равномерную структуру, определяемую семейством отклонений
(Д). Ч1.х мажорирует С!/Л; в самом деле, при наделении Ё структурой
Il-y, каждая из функций Д равномерно непрерывна на Е X Ё;

^ ОТКЛОНЕНИЯ. Т'АВНОМКРИЗУИМЫЕ ПРОСТРАНСТВА 17
следовательно, для каждого я: > 0 существует окружение V
структуры 11 х такое, что | Д (х, у) — Д (а:, ж) | ^ а для любой
_ -I
uapi.i (а:, у) 6 V, т. е. (поскольку Д (х, х) = 0) Гс/, ([0, а));
таким образом, всякое окружение структуры ?/2 является вместе
с том окружением структуры 11 v С другой стороны, ?/j и 9/j
индуцируют n E одну и ту же равпомерную структуру ■//. Посколь-
Поскольку И в 41 х полно п отделимо, заключаем (гл. II, 2-е изд., § 3, след-
стнпе предложения У; !5-е изд., § 3, предложение 14), что <:1/1 и //«
совпадают.
4. Построение семейства отклонений,
определяющего равномерную струитf/py
Способ определения равномерной структуры семейством откло-
отклонений важен тем, что он позволяет получить все равномерные
структуры. Точнее говоря:
ТиопшА 1. Для каждой .заданной в множества Е равно-
равномерной структуры 'U существует на Е такое семейство отклоне-
отклонений, что определяемая им равномерная структура, совпадает с 11.
Для каждого окружения V равномерной структуры II опреде-
определим по индукции последовательность симметричных окружений
(</„) такую, что U1 с: V и Un+l a Un при всех п > 1; последова-
последовательность (Un) является фундаментальной системой окружений
некоторой равномерной структуры ?/у, мажорируемой структу-
структурой 11; при этом ясно, что ?/. есть верхняя грань множества струк-
структур '//у, получаемых так, когда V пробегает фильтр окружений
структуры "?/. Поэтому теорема 1 вытекает из следующего предло-
предложения:
Предложение 2. Если равномерная структура ' ?/ в Е
обладает счетной фундаментальной системой окружений, т.о на Е
существует отклонение f такое, что °11 совпадает с определяемой
им равномерной структурой.
Пусть (Vn) — счетная фундаментальная система окружений
структуры 9/; определим по индукции последовательность (Un)
симметричных окружений структуры 11 такую, что Ux cz Vx и
Un+1 cz Un П Vn для всех п > 1.
-! H. Бурбаки

18 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 1
Ясно, что (Un) тоже является фундаментальной системой окруже-
ний для ■?/, причем (Jn+1 a Un для п > 1. Определим следующим
образом числовую функцию g на Е X Е: g (х, у) = 0, если
(х, у) 6 Ь'п для всех n; g (х, у) = 2~\ если (х, у) 6 £/п, когда 1 <
< п < к, но (а:, ^) $ G/i+1; g (х, у) = 1, если (а:, у) $ Uz. Функция g
симметрична, положительна и g (х, х) = 0 для всех х £ /?. Поло-
Положим
р-1
/(ж, (/)---inf ^ g(zi, zi+I),
где ниишяя грань берется но множеству всевозможных конечных
последовательностей (z;)o<;i<р (р произвольно) таких, что z0 — х,
a zJ( — у. Покажем, что / есть отклонение, удовлетворяющее
неравенствам
B
В самом деле, из определения функции / тотчас вытекает, что
она удовлетворяет неравенству треугольника, симметрична и поло-
положительна; очевидно, второе из неравенств B) показывает, что
/ (а:, х) = 0 для всех х £ Е\ таким обравом, / — отклонение. Для
доказательства первого ив неравенств B) покажем индукцией по р,
что для каждой конечной последовательности ив р -(- 1 точек
(zi)o^i~v множества Е, в которой z0 — х и z}) = у, имеет место
неравенство
2 £(*'• z<+i)>-2-ir(a-. »)• C)
i-0
p-t
Для р = 1 это очевидно. Пусть а — У] ? (zi. z(+i); если
i-.vO
а ^ 1/2, то неравенство C) справедливо, поскольку g (х, у) ^ 1.
Предположим поэтому, что а < 1/2, и пусть /г — наибольший
из индексов д, для которых
2 g (zt,
таким образом, 2?B» «wXj и S ^(z'-z;.,,) >yf откуда
i<h i<A+t
2 «'(г,-, Zi+iXy*
i > h

rt ОТКЛОНЕНИЯ. ГЛВНОМЕРИЗУЕМЫЕ ПРОСТРАНСТВА 19
По предположению индукции, g (х, zh) < a, g (zft+1, у) < а;
с ДРУг°й стороны, очевидно, g (z/,, xh+1) ^ а. Пусть к — наимень-
наименьшее целое число >■ 0, для которого 2~ft ^ я; тогда к ^ 2, (ж, zh) £
6 #/<• (z/м W 6^»и (zh+1, у) 6 С/л по определению функции g;
следовательно, (x, j/) £ £/,,, cr (/ft_t, откуда g (з-, г/) < г1"*1 < 2a.
Итак, неравенства B) установлены; они показывают, что
при каждом а > 0 множество / ([0, aj) содержит С/^ для всех
индексов к таких, что 2~h < а, и что, обратно, всякое £7^ содер-
-1 -г
жит множество / (|0, 2 Ч); таким образом, мно?кества / ([0, а\)
образуют фундаментальную систему окружений структуры ■?/,
что ц требовалось доказать.
Замечание. Равномерная структура 41 ъ Е определяется
семейством^Ф всех отклонений на Е, равномерно непрерывных на ЕХЕ.
В самом деле, ясно, что равномерная структура, определенная в Е
семейством Ф, мажорируется структурой 41; с другой сторопы, тео-
теорема 1 показывает, что существует подсемойствоТсемейства Ф, опре-
определяющее равномерную структуру 11, так что ривноморная структура,
определяемая Ф, мажорирует %', апачит, она совпадает с 41.
,~>. 1'авномерииуемые пространства
В главе II, § 4, п° 1 мы поставили проблему характеризации
рапиомеризуемых топологических пространств; ее решение дает
следующая теорема.
Теорема 2. Для того чтобы топологическое пространство
А' было равпомеризуемо, необходимо и достаточно, чтобы оно
удовлетворяло следующей аксиоме:
(Orv) Каковы бы, ни были точка хо£Е и ее окрестность V,
существует непрерывная функция на Е со значениями в [0, 1|,
равная 0 в тоЧке х0 и 1 на С V.
Условие необходимо. В самом деле, если в пространстве Е
существует равномерная структура, согласующаяся с его топо-
топологией, то по теореме 1 эта структура может быть эадана семейст-
ством (Д) отклонений на Е, причем всегда можно считать, что это
семейство насыщенно (п° 2). По определению окружений равномер-
равномерном структуры, определяемой таким семейством отклонений,
существуют отклонение /а из семейства (/() и число а > 0 такие,
что /а (х0, х) ^ а для всох х £ CF; а отсюда следует, что функция
2*

20 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § I
g (х) — inf f I, '—fa, {хо< х)) удовлетворяет всем требованиям
аксиомы.
Условие достаточно. В самом деле, пусть Ф — множество
всех непрерывных отображений Е в [0, 1]. Аксиома (Oiv) устанавли-
устанавливает, что слабейшая из равномерных структур в Е, для которых
функции из Ф равномерно непрерывны, согласуется с топологией
пространства Е (гл. II, 2-е изд., § 5, и° 1; 3-е изд., § 2, п° 3).
Определение А. Топологическое пространство называет-
называется вполне регулярным, если оно равномеризуемо и отделимо.
По теореме 2 то же самое можно выразить, сказав, что про-
пространство вполне регулярно, если оно удовлетворяет аксиомам
(Н) и (OIV).
3 а м е ч а н и е. Аксиома (О\у) илечет (Оцг) (см. гл. I, 2-е изд.,
§ 6, и" 7; 3-е изд., § 8, п" 4), ибо если V — окрестность точшг хп v j —
непрерывная числовая: функция на А' со значениями в [О, Г] такая,
что / (.го) --= Он/ (х) = 1 для всех х Q CV, то множество / ( I 0, — 1 I
есть замкнутая окрестность точяи х0, содержащаяся в V. 11 част-
частности, всякое вполне регулярное пространство регулярно (что и. оправ-
оправдывает терминологию). Напротив, можно привести примеры регуляр-
регулярных пространств, но являющихся вполне регулярными *), откуда
видно, что (Ощ) не илечет (Oiv)-
Как известно (гл. II, § 4, теорема i), всякоо компактное про-
пространство, а эначит и всякое подпространство компактного про-
пространства, вполне регулярно. Мы сейчас дополним это предложе-
предложение доказательством его обращения; иными словами, справедливо
Предложение 3. Для того чтобы топологическое про-
пространство Е было вполне регулярно, необходимо и достаточно,
чтобы оно было гомеоморфно подпространству компактного про-
пространства.
В самом деле, рассмотрим слабейшую и;> равномерных струк-
структур в Е, при которых всо непрерывные отображения Е в [0, 1|
равномерно непрерывны; мы исполыювали эту структуру при
доказательстве теоромы 2 п видели, что она согласуется с тополо-
топологией пространства Е, если Е равномеризуемо. Если Е, кроме того,
*) См. А. Т yell on off, Math. Лип. 52 A930), стр. 553.

(. ОТКЛОНЕНИЯ. РАВНОМЕРИЗУЕМЫЕ ПРОСТРАНСТВА 21
отделимо, то в силу компактности интервала [0, 1| и в силу пред-
предложения 5 § 5 глав!.т II C-е изд., гл. II, § 4, предложение 3) эта
равномерная структура будет структурой предкомпактпого про-
пространства. Следовательно, пополнение Е, наделенного этой
структурой, будет компактно, чем предложение доказано.
Можно еще сказать, что вполне регулярное пространство
можно погрузить в компактное пространство; часто оказывается
удобным придать :>тому результату следующий вид.
1>удем вообще называть кубом произведение К семейства
топологических пространств, солпадакщнх с компактным интер-
интервалом К cz R, с произвольным, множеством индексов / (если /
конечно и состоит из п элементов, мы приходим слова к понятию
замкнутого п-мерного куба, введенному в п° 1 § 1 гл. VI); куб есть
компактное пространство (гл. I, 2-е изд., § 10, теорема 3; 3-е изд.,
§ !), теорема 3).
Предложении 4. Вполне регулярное топологическое простран-
пространство Е гомеоморфно подпространству некоторого куба.
В самом деле, пусть (/,)i£r — семейство всех непрерывных
отображений Е в К — [0, 1]. Рассмотрим отображение х>-* (Д {%))
пространства Е в К ; будем обозначать его g. Согласно аксиомам
(JI) и (Oiv) Для каждой пары различных точек х, у из Ё существует
индекс i такой, что Д {х) Ф Д (у); следовательно, g есть взаимно
однозначное отображение Е в К1. С другой стороны, ясно, что g
есть изоморфиам слабейшей из равномерных структур, при кото-
которых псе Д равномерно непрерывны, на равномерную структуру,
индуцированную Bg{E) равномерной структурой произведения К ;
значит, и подавно g есть гомеоморфиим Е на g (E).
И. Полунепрерывные функции
ни. равно.меринуемом пространстве
В главе IV (§ E, следствие теоремы 4) мы видели, что верхняя
огибающая семейства непрерывных числовых функций на топо-
топологическом пространство есть полунепрерывная снизу функция.
В равпомерызуемом пространстве имеет место, кроме того, сле-
следующее обратное предложение:

22 вещественный числа в общки топологии гл. эх, § 1
Предложение 5. Для того чтобы всякая полунепрерывная
снизу числовая (конечная или нет) функция f на топологическом
пространстве Е была верхней огибающей непрерывных числовых
(конечных или нет) функций на /?, необходимо и достаточно,
чтобы Е было равномеризусмо.
Условие необходимо. В самом деле, пусть х0 — произвольная
точка из Е и У— ее произвольная открытая окрестность; ха-
характеристическая функция ц>у множества V полунепрерывна
снизу (гл. IV, § 6, следствие предложения 1); следователь-
следовательно, но предположению, существует непрерывная числовая функ-
функция g на Е такая, что g ^ <pv и g (х0) — а > 0; непрерыв-
непрерывная функция inf (l,— g*) принимает значения в [0, 1], равна
0 па CV и 1 в точке х0; следовательно (теорема 2), Е равноме-
ризуемо.
Условие достаточно. Рассмотрим сначала случай, когда / при-
принимает значения в [—1, +1|. Требуотся показать, что для каждой
точки х0 6 Е и каждого числа а <; / (х0) существует непрерывная
числовая функция g на Е такая, что g ^ / и g (х0) ^ а. Если
а ^ —1, то в качестве g достаточно взять постоянную —1. Если
—1 <я</ (х0), то существует окрестпость У точки х0 такая, что
/ (х) ^ а для всех х £ У. Поскольку Е равномеризуемо, существу-
существует непрерывная числовая функция h на Е со вначениями в @, 1]
такан, что h (х0) = 0 и h (х) — 1 для всех х £ СУ. Положив тогда
g (х) = а — (а -'г 1) h (x), получим непрерывную функцию, удо-
удовлетворяющую поставленным требованиям. Отметим, что эта
функция принимает значения в интерпале [ — J, -f-1J.
Общий случай получается ив рассмотренпого переносом струк-
структуры: в самом деле, существует строго возрастающий гомеомор-
фивм интервала [—1, -flj па К (гл. IV, § 4, предложение 2),
а определение полунепрерывной функции связано только со
структурой порядка и топологией в R.
Замечание. Ив проведенного доказательства пидно, что
функция я но принимает значения -|-1. Посредством переноса струк-
структуры заключаем отсюда, что всякая полунепрерывная сняэу числовая
функция / на равномериауемом пространстве Е есть верхняя огибаю-
огибающая непрерывных числовых функций я <; / на Е, не принимающих
значения +оо.

УПРАЖНЕНИЯ 23
Упражнения
1) Для того чтобы положительная числовая функция /, опреде-
определенная на Е X Е, была отклонением на Е, необходимо и достаточно,
чтобы / (х, х) = 0 для всех х £ Е и / (х, у) < / (х, г) + / (.у, z) для
исех я, у, г из /J.
2) Пустг. /—отображение EX E в [0, -р-оо]; для того чтобы
семейство множеств / ([0, а]), где а пробегает все числа >0, еостаи-
ляло фундаментальную систему окружений некоторой равномерной
структуры в Е, необходимо и достаточно, чтобы / удовлетворяло
следующим условиям: а) / (х, х) = 0 для всех х £ Е; б) для каждого
а > 0 существует Ь > 0 такое, что / (х, у) < Ъ влечет / (у, х) < а;
в) для каждого а > 0 существует с > 0 такое, что соотношения
/ (х, 2) < с II / (г, у) < с влекут / (х, у) < о.
В частности, условия б) и в) выполнены, если'сущестнуют отобра-
жепис ф интервала / = [0, -j-°°] на себя, непрерывное и равное нулю
и точке 0, и отображение i|> произведения / X / в /, пппреринное
и равпос нулю в точке @, 0), такие, что / {у, х) ^ ф (/ (х, у)) и / (х, у) ^
^ i|> (/ (*! г), / (z> !/)) Для всех х, у, ъ из Е.
3) Пусть Я — топологическое пространство, .'7~ — его топология,
(li) — насыщенное (н° 2) семейство отклонений на Е и Ж — определен-
определенная им равномерная структура
а) Для того чтобы топология, порожденная равномерной струк-
структурой 11, мажорировалась топологией ,'Т, необходимо и достаточно,
чтобы все Д были непрерывны на Е X Е (п прошшоденпи топологии :Т
на себя),
б) Для того чтобы топология, порожденная равномориоп струк-
структурой 11, мажорировала топологию ,Т, необходимо и достаточно, чтобы
для каждой точки х0 £ Е и каждой ее окрестности V (в топологии 3")
существовали индекс i и число а > 0 такие, что /,, (х0, х) > а для
исех х £ CF.
4) Пусть Ej~- неотделимое равиомеризуемоо пространство и R —
отношение у £ {х} между двумя общими точками х, у из Е.
в) Показать, что II ость отношение эквивалентности и Е, что
всякое непрерывное отображение Е в отделимое пространство согла-
согласуется с отношением R (Теор. множ., Сводка результ., § 5, п° 7) и что
факторнрострапство F.IR вполне регулярно.
б) Для всякой равномерной структуры 41 в Е, согласующейся
с его топологией, отделимая равномерная структура, ассоциированная
с % (гл. II, § 1, п° 4), определена в факторпространство E/R и согла-
согласуется с топологией атого пространства; топологическое пространство
ElR называется вполно регулярным пространством, ассоциированным
с равномеризуемым пространством Е.
5) Пусть Е-~ равпомеризуемое пространство; показать, что семей-
семейстпо есех отклонений на Е, непрерывных на Е X Е, определяет в Е равно-

ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § J
мерную структуру,, согласующуюся с его топологией. Эта равномерная
структура Шй (называемая универсальной равномерной структурой в Е)
является сильнейшем из всех равномерных структур в /'', согласую-
согласующихся с. его топологией. Каково бы ни было равномерное простран-
пространство F, исякое непрерывное отображение К в /' равномерно непре-
непрерывно при наделении Е его yj in нереальной структурой, причем это
предложении неверно для всякой другой равномерной структуры,
согласующейся с топологией пространстпа Е. Покапать, что если в Е
существует равномерная структура 9/, согласующаисн с, его тополо-
топологией, такая, что Е, наделенное :>топ структурой, полно, то К, наде-
наделенное равномерной структурой 11'', мажорирующей 11 и мажорируе-
мажорируемой 110, тоже полно. [Заметить, что структуры 11' и ?/0 порождают
одни и те же фильтры Коши.]
*6) а) Пусть Е — вполне регулярное пространство, 11 — равно-
равномерная структура, согласующаяся с его топологией, и 11* - - слабей-
слабейшая из равномерных структур в Е, при которых остаются равномерно
непрерывными все отображения Е в [0, 1], равномерно непрерывные
при наделении Е структурой 11. Показать, что равномерная струк-
структура 11* отделима, согласуется с топологией пространства R и тто Е,
наделенное лтой рагтомерной структурой, предкомпакгпно.
б) Пусть К — произвольное компактное пространство. Показать,
что всякое отображение / пространства Е в К, равномерно непрерыв-
непрерывное при наделении Е структурой Ш, остается равномерно непрерыв-
непрерывным и при наделении Е структурой 41*. [Заметить, что единственная
равномерная структура и К, согласующаяся с его топологией, совпа-
совпадает со слабейшей ин равномерных структур, при которых нее непро-
непрорывные отображения К в [0, 1] равномерно непрерывны.| Вывести
отсюда, что 41* есть сильнейшая иа мажорируемых 41 равномерных
структур в Е, при которых Е продкомпактно.
*7) Пусть Л' — вполне регулярное пространство н 1/а --■ универ-
универсальная равномерная структура в Е (упражнение 5); равномерная
структура 41* (унряжненне 0) еслъ по. что иное как слабейшая иа рав-
равномерных структур в Е, при которых псе непрерывные отображения Е
в [0, 1] равномерно непрерывны. Обозначим через "Е компактное про-
пространство, получаемое пополнением пространства Е, наделенного
структурой 1№*\ Е называют компакты фикаци ей Стоуна — Чеха
пространства Е.
а) Показать, что всякое непрерывное отображение пространств Е
и компактное пространство К допускает продолжении до непрерывного
отображения £ в К. (см. Теор. множ., гл. IV, § 'Л).
б) Пусть / — гомеоморфизм пространства Е на всюду плотное
подпространство Е' компактного пространства /Си/ — непрерывное,
отображение Е в К, продолжающее /; показать, что
А;?— е) = к — е'.

УПРАЖНЕНИЯ 2!>
^Предположим, что существует п^ Е — Е, для которого / (а) ■■-= / (ft),
где b G Е\ рассмотреть непрерывное отображение g пространстна Е
в |", 1] такое, что g- (Ь) = 0, g (а) = I, я множество Р тех х £Е, для
которых % (х) ;> 1/2; существует непрерывное отображение h про-
пространства Л' в [О, 1J такое, что h (/ (?>)) =-- 0 и h (/ (л:)) = 1 для всех
г (: /•*; показать, что равенство h (/ (а)) — (I противоречит тому, что а
есть точка прикосновения для Р в А'.|
*й) Пусть Е —■ вполне регулярное пространство и Е — его ком-
нактпфикация Стоуна — Чеха.
и) Фильтр ft в А" насыпается вполне регулярным, если он обладает
базисом 39, состоящим ин открытых множеств, таким, что для каж-
каждого множества А С *8 существуют .множество /J £ 39, содержащееся
и Л, и непрерывное отображение / пространства К в [0, 1], рапное О
на В и 1 да СЛ- Вполне регулярный фильтр называется максималь-
максимальным, если не существует более1 сильного вполне регулярного фильтра.
Показать, что для каждого вполне регулярного фильтра Яг существует
максимальный вполне .рогулярпы» фильтр, мажорирующий ' Яг.
[Исполг.аовать теорему Цоргга.]
б) Для того чтобы пполне регулярный фильтр % был максималь-
максимальным, необходимо и достаточно, чтобы для каждой нары открытых
множеств А, В n E такой, что В с:. А и существует непрерывное ото-
отображение / пространства Е в [0,1 ], равное 0 на В и 1 на СЛ, выполня-
выполнялось следующее условие: либо А £ ?■) либо A (J % и в Я; существует
множество, не пересекающееся с В. [Если все множества из Я пере-
пересекаются с В, рассмотреть фильтр, порожденный всеми множествами
ив ?f и множествами / ([0, а(), где а пробегает открытый интервал
10, Ч-]
в) Покааать, что всякий максимальный вполне регулярный фильтр
$ есть фильтр Коти относительно равномерной структуры в Е, инду-
индуцированной иа Л. [Рассуждая от противного и испольяуя б), показать,,
что каждое непрерьпшое'отображоние / пространства Е a fO, 1] имеет
предел по Я--1
г) Два риаличиых максимальных вполне регулярных фильтра Я,
ft' не могут сходиться к одной и той же точке в Е. [Заметить, что,
согласно б), существуют непересекающиеся открытые множества
А С ft it А' С: Я'; далее рассуждать от противного, испольяуя (Oiv)-l
д) След Ж па Е фильтра окрестностей произвольной точки хй f E
есть максимальный вполне регулярный фильтр. I Рассуждать от нро-
типпого, используя оиределенпн пполне регулярного-фильтра и филь-
фильтра окрестностей точки в Е.\
'.)) а) Пусть Е — топологическое пространство, .7" — его топо-
топология и (/i)tgj — некоторое семейство отображений ^ п К = [0, 1],
непрерывных в топологии ,Т. Пусть ,Т0 — слабойтая из топологий в Е>

ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX. § 1
при которых псе Д ионрерътны. Покапать, что для того, чтобы 3~й = 3',
достаточно, чтобы семейство множеств /t ([0, а[), где а пробегает
открытый интервал ]0, 1[, a i пробегает /, было системой образующих
топологии 3" (гл. I, § 2, is° 3). Пространство Е тогда равпомеризуемо
и в случае отделимости гомеоморфпо некоторому подпространству
куба К".
б) Предположим, что (Д) есть семейство всех иепрершших (в ЗГ)
отображений Е в К. Показать, что для каждого компактного прост-
пространства /' всякое отображение Е в F, пепрерыппое п топологии 2Г,
неирерыпно и в топологии 3~0. [Погрузить F в куб.] Для того чтобы
топология 3~ была рапномеризуемой, необходимо н достаточно, что-
чтобы 3~й~ ST.
10) Пусть Е — вполне регулярное пространство, К — его ком-
компактное подмножество и V — окрестность К и Е.
а) Показать, что существует непрерывное отображение Е и [0, 1],
равное 1 на К и 0 па CF. [Использовать (Oiv), покрывая К конечным
числом надлежащих окрестностей.]
б) Пусть Е' — факторпрострлнстпо, получаемое отождествлением
в Е всех точек из if. Показать, что Е' нполпо регулярно.
*И) Пусть Е — вполне регулярное пространство. Замкнутые
множества А, В и Е называются нормально отделимыми, если сущест-
нует непрерывное отображение / пространства Е в [0. 1] такое, что
/ (х) — 0 на Л и / (х) — 1 на Л.
а) Пусть 1С — компнктификация Стоуна — Чеха пространства Е.
Покапать, что для того, чтобы замкнутые подмножества А, В прост-
пространства Е обладали непересекающимися замыканиями в Е, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы А и В были нормально отделимы. [Исполь-
[Использовать упражнения 7а) и 10а).]
б) Пусть h — гомеоморфизм пространства Е на всюду плотное
подпространство Е' компактного пространства К и h — непрорывное
отображение Е в К, продолжающее h. Предположим, что для каждой
пары нормально отделимых замкнутых множеств А, В is E аамыкаиия
множеств h (А) и h (В) и А' не пересекаются. Показать, что h есть
гомеоморфизм Е иа К. [Доказать, что h инъективпо: предполагая,
что о, Ь — две различные точки в Е, для которых h (a) = h (b), рас-
рассмотреть множества Е |"| / ([0,1/3]) и £ f)/A2/3, 1]), где / —
непрерывное отображение Е в [0, 1] такое, что / (а) = 0, / F) = 1.]
*12) Пусть Е — компактификация Стоуна — Чеха нполне регу-
регулярного пространств Е.
а) Пусть / — непрерывная конечная числовая функция на Е
такая, что / (х) > 0 на Е и множество А = / @) с: "Ё — Е не пусто;
тогда в Е существует последовательность точек (ап), для которой

УПРАЖНЕНИЯ 27
последовательность чисел Я„ = / (я„) > 0 строго убывает it liin >.n = 0.
п~* оо
Сопоставим каждому целому п > 0 открытый интервал /, л В* с цент-
центром Х„ так, чтобы замкнутые интервалы /п попарно но пересекались,
и пусть Мп = / (/„) П Е. Пусть Мл для каждого множества Яс N
есть объединение всех множеств Мп, у которых п 6 //; для каждого
фпльтра % в N, мажорирующего фильтр Фрошо, обозначим через Jv'
фильтр в А' базис которого образуют множества Мц, где Я пробега-
пробегает $. Показать, что g' — пполпс регулярный фильтр (упражнение 8)
и что еслп Ej, $2 — два различных ультрафильтра в N, мажорирую-
мажорирующих фильтр Фреше, то в Е не существует фильтра, мажорирующего
л, и За- Иыпести отсюда, что Card (Л) > 22Card ^N\ [Ислоль;юпать
упражнении 8 п 14п) § 8 гл. I.]
б) Предположим, что К бесконечно и дискретно. Показать, что
равномерной структурой, индуцируемой в Е из В, служит равно-
равномерная структура конечных раабиепий (гл. II, 2-е изд., § 3, упраж-
упражнение 4 и § 4, упражнение 13; 3-е. изд., § 4, упражнения 12 и 126)).
[Использоватьупражнение И б)]. Вывести отсюда, чтоCard(A')=22Ca ^
(см. гл. I, § 8, упражнение 14в)*)). Показать, что па Ё существует
непрерывная числовая функция / > 0, для которой / @) не пусто
н содержится и Е — Е.
и) При тох же предпосылках, что и в б), показать, что если А —
пескопочпоо замкнутое множество в Е, то Card (И) > 2aCard^.
[Показать сначала, что в А существует бесконечная последователь-
последовательность точек (о„), обладающих попарно непересекающимися окрест-
окрестностями Vn в Ё; вывести отсюда, что всякая ограниченная числовая
функция /, определенная па множестве D точек ап, продолжается до
непрерывной функции на Е: рассмотреть для этого числовую функ-
функцию g, определенную на Е н равную / (оп) для всех точек из E(]Vn.
Заключить, что D с: А гомеоморфно компактификации Стоуна —-
Чеха множества D (см. § 4, упражнение 17).]
13) Пусть G — некомпактная локально компактная топологиче-
топологическая группа. Покааать, что равномерная структура, индуцируемая
и произведении II — С X G равномерной структурой его компакти-
компактификации Стоуна — Чеха II, сильнее равномерной структуры, инду-
индуцируемой из G X G. [Применяя упражнение 7а) к отображению
{х, у) t—*-xij~l пространства Н в G, показать, что в противном случае
*) В 3-м изд. воспроизведены только пункты а) и б) атого упражнения
(гл. I, § 4, упражнение 5). Пункт в): Вывести из а) и б), что в А множество
иесх ультрафильтров и множество всех фильтров равномощны
Peb.

ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § f
группа G была бы изоморфна подгруппе компактной группы, п затем
использовать предложение 4 § 3 главы Ш.]
14) Показать, что если киждая точка топологического простран-
пространств» Е обладает замкнутой окрестностью, являющейся рашюмеризуе-
мьгм подпространством пространства Е, то Е равномеризуемо.
*1Т)) а) Пусть Е — локально компактно!1 пространство, Ф — мно-
множество шех его непрерывных отображений % в [О, 1], равных нулю
на дополнении некоторого компактного множества (манисящого от g),
и Ч1Л — еллбейшая из равномерных структур в Е, при которых псе
функции g £ Ф равномерно иеирерыпмы. Покапать, что 9/{ соглаеует-
ся с топологией пространства К, что пополнение; К ирострлнетва Е,
наделенного атой структурой, компактно л что дополнение к Е в Е либо
пусто, либо сводится к одной точке. | Показать, что если Е не ком-
компактно, то фильтр дополнений относнтолыго компактных множеств
в Е есть фильтр Коши относительно структуры 11Л.\
б) Показать, что равномерная структура 9/л является слабейшей
иа равномерных структур, согласующихся с топологией простран-
пространства Е.
в) Обратно, пусть Е — такое вполне регулярное пространство,
что в множестве равномерных структур, согласующихся с его топо-
топологией, существует структура ?/т, мажорируемая всеми остальными.
Покапать, что Е локально компактно. [Используя упражнение 6,
показать, что Е, наделенное структурой 41 \, предкомпактпо; убедить-
убедиться затем, что дополнение к Е относительно его пополнения в струк-
структуре Vli не может содержать более одной точки.]
г) Предположим, что Е локально компактно и счетно в бесконеч-
бесконечности, так что (гл. I, 2-е изд., § 10, пс 11; 3-е изд., § 9, п° 9) К предста-
вимо в виде объединения возрастающей последовательности {Un) от-
относительно компактных открытых множеств таких, что Un с: Un+i.
Показать, что иа Е существует шчтрершшал числовая функция /
токая, что / (х) < п для всех х £ Un и / (л) > н для всех х 6 СТ/п.
[См. упражнение 10а).] Пусть 41\ -- слабейшая из равномерных
структур в Е, при которых ьсе функции g€<& и функция / равно-
равномерно непрерывны; показать, что эта структура согласуется с тополо-
топологией пространства Е и обладает окружением V таким, что V (х) относи-
относительно компактно » Е для киждого х g Е. [См. гл. [I, 2-е нлд., § 4,
упражнение 10; 3-е над., § 4. упражнение it.]
*1i>) Пусть Е — полное отделимое равномерное пространство
и 9/ — его равномерная структура.
а) Пусть А — объединение последовательности (/>„) замкнутых
подмножеств пространства Е к х <£ А. Покпзпть, что на Е существует
непрерывная коночная числовая функция / > 0 такая, что / (х) = 0
и / (у) > 0 для всех // £ А. [Рассмотреть функцию / (х) = V й(| (х)/2п,

УПРАЖНЕНИЯ 29
еде gn — непрерывные отображения Е в [0, 1 ] такие, что gn (х) ~ О
и /?л (»)=-! Для всех u£Fn.)
б) Пусть h — непрерывная числовая функция >0 на Ем V —
—1
открытой множество /* (]0, foot). Рассмотрим в V равномерную струк-
структуру li'y являющуюся нерхней гранью структуры, которую индуци-
индуцирует 11, н равномерной структуры, определенной отклонением
1 1
Г (.V, //) :=
h (х) h (у)
Показать, что V полип н 1t'.\
«) Пусть Б — иоре(ч"юниA ссмомстпа миожостп (A)J, каждое
из которых есп. объединение спетпого coMeiicrna замкнутых иод-
множеств пространства Г.. Показать, что в В существует такая рав-
равномерная структура, согласующаяся с топологией, индуцируемой
it:i Е, что В в !>той структуре полно. [Исполыюпать б).]
17) Пусть Е — топологическое пространство, в котором открыто-
замкнутые окрестности каждой точки образуют фундаментальную
систему ее окрестностей. Показать, что Е равяомеризуемо.
18) Пусть Е — счетное вполне регулярное пространство. Пока-
Покапать, что открыто-замкнутые окрестности каждой точки х 6 Е обра-
образуют фундаментальную систему окрестностей этой точки. [См. § 6,
20) Пусть Е — локально компактное пространство. Показать,
что всякая полунепрерывная спину функция / ^ 0 на £ есть верхняя
■огибающая семейства непрерывных функций ^0, каждая из которых
равна нулю па дополнении никоторого компактного множества.
21) а) Пусть Е — вполне регулярное пространство и а — его
точка; для того чтобю на /? существовал» непрерывная функция / J& 0
такая, что / (а) — 0 it j (т) > 0 для ucex x Ф а, необходимо и доста-
достаточно, чтобы точка а обладала последовательностью (Vn) окрестностей
такой, что {й}т~||^п.. 1СМ> упражнение 16а).]
б) Пусть Е -■ нполне регулярное пространство, каждая точка
которого обладает счетной фундаментальной системой окрестностей.
Показать, что в его компнктифнкацми Стоуна — Чеха Е множество Е
совпадает с множеством точек, обладающих счетной фундаментальной
системой окрестностей в Е. [Использовать п) и упражнение 12.] Пусть
также Е' — вполне регулярное пространство, каждая точка которого
обладает счетной фундаментальной системой окрестностей; показать,
что если компактификацгш Стоун;» — Чеха Е и Е' гомеоморфны,
то также Е и А" гомеоморфны.
*22) а) Пусть Е — топологическое пространство. Доказать рав-
равносильность следующих двух свойств: а) всякня непрерывная конеч-
конечная числовая функция на Е ограниченна: р1) всякая непрерывная и огра-
ограниченная1 чистовая функция на Е обладает наименьшим и наибольшим

ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 1
значениями. Пространство Е, обладающее этими свойствами, назы-
называется вейерштрассовым. Для каждого непрерывного отображения /
«плерштрассовп пространства Е в топологическое пространство Е'
подпространство / (Е) пространства Е' вейерштрассопо.
б) 1'посмотрим следующие два свойства топологического прост-
рапстпа Е: 7) Для каждого счетного открытого покрытия (Un) прост-
пространства Е последнее является объединением конечного числа мно-
жгети Un; 6) пгякий счетиый базис фильтра п Е, состоящий из открытых
множеств, имеет но крайней мере одну точку прикосновения. Пока-
Показать, что свойства 7) и 6) равносильны и влекут вейерттраесовость
пространства Е. В частности, всякое абсолютно замкнутое простран-
пространство (гл. I, 2-е изд., § 10, упражнение 10; 3-е изд., § 9, упражнение 19)
нойерштрассово. Если Е обладает свойствами 7) и б), то ими обладает
и псякоо ого подпространство вида Л, где А — открытое множество.
[См. § 4, упражнение 266).]
в) Рассмотрим следующее свойство топологического простран-
пространства Е: £) всякое локально коночное открытое покрытие ирострапст-
ва Е конечно. Покапать^ что £) влечет 7). [Пусть (£/„) — возрастаю-
возрастающая последовательность открытых подмножеств пространства Е,
образующая его покрытие и такая, что t/n+i (Jl Un; рассмотреть
покрытие, состоящее из множеств £/п+1 П С£/п и дополнения после-
последовательности (ап) такой, что <zn+i £ Un+i £ Ct/ .] Доказать, что если
К регулярно, то 7) влечет £). [Пустг. (Va) — бесконечное локальн»
копечпое открытое покрытие пространства Е. Определить по индук-
индукции последовательность (а„) индексов, последовательность (хп) точек
из Е и для каждой точки хп две ее открытые окрестности Vn, Wn,
такие, что: 1° Vn с: Wn, Wn a Ua и Wn пересекается лишь с конеч-
конечным числом множеств Ua; 2° Uan iro пересекает пи одного Wh с ип-
доксом к < п. Рассмотреть затем покрытие прострлпстна Е, образо-
образованное множествами Wn и дополнением к объединению множеств Vn.]
г) Во вполне регулярном пространстве Е свойства а), р), 7)>
6), £) равносильны друг другу и следующему свойству: 0) Е предком-
пактпо во всякой рашюмерной структуре, согласующейся с его топо-
топологией. [Чтобы убедиться в том, что а) влечет £), заметить, опираясь
на (Ojv), что если (Un)~ счетпо-бесконечпоо локально конечное откры-
открытое покрытие пространства Е и ап £ Un, то на Е существует пепро-
рывная чибловая функция / такая, что / (а„) = п для всех п. Для
доказательства того, что 0) влечет а), использовать упражнение* 5
и заметить, что на предкомпактиом пространстве всякая равномерно
непрерывная числовая функция ограпичоппп. Чтобы доказать, что 7)
влечет 0), заметить, что если Е по предкомпактно в равномерной
структуре 11, то существуют симметричное окружение V втон струк-
структуры и последовательность (хп) точен пз Е такие, что множества V (хп)
попарно не пересекаются.]

I МЕТРИЧЕСКИЕ Я МЕТРИЗУЕМЫВ ПРОСТРАНСТВА 31
д) Вполне регулярное вейерштрассово пространство, полное
в пекоторой равномерной структуре, согласующейся с его тополо-
гиейи компактно.
е) Во вполне регулярном войерштрассовом пространстпе Е упн-
версальная равномерная структура (упражнение 5) индуцируется
равномерпой структурой его комнактификацин Стоуна — Чеха и яв-
является единственной равномерной структурой, согласующейся с топо-
топологией пространства Е, при которой все непрерывные отображения Е
в [0, 1) равномерно пепрерыпиы.
*23) Пусть Е — отделимое равномерное пространство, F — его
замкнутое подмножество и / — ограниченная равномерно непрерып
пая числовая функция на /•'. Показать, что / обладает ограниченным
равномерно непрерывным продолжением J па Е [Можно считать,
что / (/'') сг [О, 1]. Каждой дпоичиой дроби г= к/2п £ [0, 1) отнесем
множество А (г) тех точек х £ Г', для которых / (х) < г, и пусть В (г) =.
= А (г) Ц (£ TZ ^)* Определить по индукции "(как при докаяатоль-
стпо теоремы 1 § 4H для каждой двоичной дроби г £ [0, 1) открытое
множество U (г) так, чтобы для каждой пары двоичных дробей г, г',
ГДС г < г'» выполнялось следующее условие: существует окружении V
равномерной структуры пространства Е такое, что
V (А (г)) с U (г'), V (U (г)) с: U (г'), V (V (г)) с В (г').
Припять тогда 8а? (х) нижнюю грань двоичных дробей г, для которых
* 6 U (г).]
§ 2. Метрические пространства; метризуемые пространства
7. 1'асстояния и метрические пространства
Определение 1. Расстоянием на множестве Е называют
конечное отклонение d на Е, для которого отношение d (x, у) = О
влечет х = у. Метрическим пространством называют множество
Е, наделенное структурой, определяемой заданием на Е рассто*
яния.
Метрическое пространство Е будет всегда считаться паделен-
ным равномерной структурой и топологией, определяемыми задан-
заданным на Е расстоянием.
Примеры. 1) Евклидово расстояние d (x, у) (гл. VI, § 2, п° 1)
есть расстояние па числовом пространство Нп; то же можно скатить
и
о фупкдиях sup | Х[ — iji | и V. | Х[ — i/i |. Все яти расстояния якви-
валентны (§ i, n" 2).

32 ВЕЩЕСТВЕННЫЙ ЧИСЛА В ОБЩИЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX., §'%2
2) Отклонение d, определенное на произвольном множестве Е
соотношениями d (х, х) =- 0, d (х, у) ■=■• 1 при х =yv у, есть расстояние;
равномерная структура, определяемая им и Е, дискретна.
Определение, равносильное определению 1, получится, если
сказать, что расстояние есть такое конечное отклонение, которое
определяет отделимую равномерную структуру; следовательно,
конечное отклонение, эквивалентное некоторому расстоянию,
является расстоянием.
С равномерным пространством, определенным заданием одного
отклонения (которое можно считать конечным), не являющегося
расстоянием, можно связать метрическое пространство. Пусть / —
такое отклонение на множестве Е и *?/ — определяемая им равно-
равномерная структура; ата структура неотделима, и пересечение ее
окружений есть множество в Е X Е, определяемое отношением
эквивалентности / (х, у) --■ 0; обозначим это отпошоние через В.
Если х зе х' (mod В), то по неравенству треугольника / (х, у) ^
< / (х, х') + / Or', у) = / (х1, у), и так же / (х', у) < / (ж, у), так
что / (х, у) — f (x', у); иначе говоря, / есть функций, согласующаяся
(по х и у) с отношением эквивалентности В (loop, мгаож., Сводка
результ., § 5, п" 7). Пусть / — функция, полученная из / фактори-
а •
задней (по х и у); она определена на (EiВ) х {ElВ), и если х, у —
классы (mod В) точек х, у из Е, то / (ж, у) == / (я, у). Отсюда
сразу следует, что / —расстояние па Е/В; ого называют расстоя-
расстоянием, ассоциированным с отклонением /; лри этом равномерная
структура, определяемая им в Е/В, есть не что иное, как отдели-
отделимая равномерная структура, ассоциированная с 11 (гл. II, 2-е изд.,
§ 1, п° 4; 3-е изд., § 3, п° 8). Таким образом, переходом к надлежа-
надлежащему факториространству равномерная структура, определяемая
одним отклоненном, сводится к структуре метрического про-
пространства.
Предложение 1 § 1 определяет структуру пополнения метри-
метрического пространства.
Предложения 1. Пусть Е — метрическое пространство,
(J — расстояние на Е и Ё — пополнение Е (по равномерной струк-
структуре, определяемой расстоянием d); функция d продолжается по
непрерывности на Е, ее продолжение d является расстоянием на Е

2 МЕТРИТ1ЕСКИЕ Л МЕТРИЗУЕМЫЕ ПРОСТРАНСТВА 33
и равномерная структура в Е совпадает с равномерной структурой,
определяемой расстоянием й.
В^самом деле, предложение 1 § 1 показывает, что d — конечное
отклонение на Е и определяет в Е равномерную структуру, полу-
получаемую при пополнении; поскольку последняя отделима, d есть
расстояние. Рассматривая пополнение Е метрического простран-
пространства Е как метрическое пространство, всегда подразумевают, что
расстояние на Е получено продолжением по непрерывности рас-
расстояния на Е.
Я. Структура метрического пространства
Лусть Е и Е' — метрические пространства, d — расстояние
на Е и d' — на £". В соответствии с общими определениями
(Тоор. множ., Сводка результ., § 8, п° 5), взаимно однозначное
отображение / пространства Е на Е' есть изоморфизм структуры
метрического пространства в Е на структуру метрического про-
пространства в £", если
d (х, у) = d' (/ (*), / (у)) A)
для всех х и у из Е.
Отмстим, что отображение / пространства Е на Е\ удовлетво-
удовлетворяющее тождеству A), необходимо биективно и, следовательно,
является изоморфизмом Е на Е'\ этот изоморфизм называют еще
изометрией (или изометрическим отображением) Е на Е'.
Изометрия Е на Е', разумеется, является изоморфизмом ранномер-
imii структуры (соотвотстиенно топологии) пространства Е на равно-
равномерную структуру (соотнетстимгао топологию) пространства Е'\ как
покапывает существование различных эквивалентных расстояний (§ 1,
п° 2), обратное неверно.
Пусть Е — метрическое пространство и d — определяющее его
расстояние. Для каждого числа а >• 0 обозначим через Va мно-
множество тех точек (х, у) £ Е х Е, для которых d (x, у) < а,
и через Wa — множество тех точек (х, у), для которых d (х, у) ^
^ а; когда а пробегает множество всех чисел > 0 (или только
их последовательность, стремящуюся к 0), множества Va (соотв.
Wa) образуют в силу непрерывности d (§ 1, п° 3) фундаментальную
систему открытых (соотв. замкнутых) окружений равномерной
•i Н. Бурбаки

34 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. ТХ, § 2
структуры пространства Е; при этом Va с: Wa, по эти два множе-
множества но обязательно совпадают.
По аналогии со случаем евклидова расстояния на R™, мно-
жестпо Va (x) (соотв. Wa (x)) называется открытым (соотв.
аамкнутым) шаром с центром х и радиусом а; это открытое
(соотв. замкнутое) множество в Е. Точно так же сферой с центром
х и радиусом а называют множество тех точек у, для которых
d {х, у) — а; это — замкнутое множество. Согласно предыдущему
открытые (соотв. замкпутые) шары с центром х и радиусом а
образуют фундаментальную систему окрестностей х, когда, а про-
пробегает множество всех чисел >0 или последовательность чисел
>0, стремящуюся к 0.
Не следует обманываться введенной терминологией и думать,
что в произвольном метрическом пространстве тпры и сферы обла-
обладают теми же свойствами, что и евклидовы шарм п сферы, изученные
в § 2 главы VI. Так, например, иамыкание открытого тара может
отличаться от замкнутого шара с темп нее центром и радиусом, гра-
граница замкнутого шара может отличаться от сферы с теми жо центром
и радиусом, открытый (или замкнутый) тар может не быть спя.чгшм,
а сфера может быть пустым множеством (см. упражнение 4).
Пусть А ж В — произвольные непустые множества в метри-
метрическом пространстве Е. Расстоянием между множествами А
и В назыпают число
й(А, 7?)= inf d(x, у).
В частности, через d (x, А) обозначают расстояние между одно-
одноточечным множеством {х} и множеством А; его называют расстоя-
расстоянием от точки х до множества А; таким образом,
d(x, Л)=- inf d(x, у),
1/£А
откуда
d (А, В) = inf d {x, В)
(гл. IV, § 5, предложение 9)..
Замечание. При d (ж, А) — а может случиться, что в А пот
ни одной точки, расстояние которой от х равно а. Однако это не может
иметь места, если А -компактно, ибо тогда в силу тгоремы'Вейерштрас-
■ ■ са (гл. IV, § б, теорема 1) существует у 6 А, для которого й (х, А) =

2 МЕТРИЧЕСКИЕ И МЕТРИЗУЕМЫЕ ПРОСТРАНСТВА 35
Предложение 2. Свойства d (х, А) = 0 и х £ А равно-
равносильны.
В самом деле, свойство d (х, А) = 0 выражает, что шар Var[x)
пересекается с А при каждом а > 0, а это равносильно тому, что
х£А.
Предложение 3. Функция d (x, А) равномерно непрерывна
на Е.
В самом деле, пусть х, у — произвольные точки из Е; для
каждого е > 0 существует z £ А такое, что d (у, г) ^ d (у, А) + г,
откуда в силу неравенства треугольника
d (x, z) < d (x, y)+ d (у, z)^d {х, у) + d (у, А) + е.
Тогда, тем более, d(x, A) ^ d (х, у) + d (у, А) + &, и так как е
произвольно, то d (ж, А) ^ d (х, у) + d (у, А). Тем же способом
получаем, что d (у, А) ^ d (x, y) + d (x, А), так что
\d(x,A)-d(y,A)\^d(x,y), B)
откуда и вытекает справедливость предложения.
Замечание. Если ни одно иа множеств А, Л не одноточечно,
то может оказаться, что d (А, В) = 0 и при А Л В = 0- Например,
целые числп > 0 и точки последовательности ( п + я- ) образуют
ип числовой прямой R непересекающиеся замкнутые множества,
расстояние между которыми равно нулю.
Однако если А компактно и В замкнуто, соотношение d (А , В) =
— О влечет А Г\В Ф 0, ибо в силу соотношения d (А, В) = inf d (x, В),
*6А
предложения 3 п теоремы Вейергатрасса существует х0 6 А такое, что
d (ж0, В) = d (А, В) — 0, откуда (предложение 2) ж0 6 В.
Диаметром непустого множества А в Е называют (конечное
или равное + со) число б (А). = sup d (x, у). Понятие множества
*£А, MIA
«малого порядка Wat> (гл. II, § 3, п° \) совпадает с понятием мно-
множества диаметра ^а. Для того чтобы непустое множество А было
одноточечным, необходимо и достаточно, чтобы б (А) — 0.
Множество A cz E называют ограниченным (относительно рас-
расстояния d), если его диаметр конечен. То же самое можно выразить,
сказав, что, какова бы ни была точка х0 £ Е, А содержится в неко-
некотором шаре с центром в х0. Всякое подмножество ограниченного
3*

3fi ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 2
множества есть ограниченное множество; объединение конечного
семейства ограниченных множеств есть ограниченное множество.
Отметим, что множество к Е может Г>ыть ограниченным относи-
относительно расстояния d и неограниченным относительно некоторого
расстояния, окшмлентгюго d (см. § 1, и" 2).
.?. Колебание функции
С понятием диаметра связано понятие колебания функции /,
определенной на произвольном мпожестве Е и принимающей
значение в метрическом пространстве Е'; колебанием функции f
на произвольном непустом множестве А а Е называют диаметр
б (/ (А)).
Если, кроме того, Е есть подмножество топологического про-
пространства F, то колебанием функции f в точке х £ Е называют
число со (х; /) = inf б (/ (V П Е)), где V пробегаот фильтр окре-
окрестностей точки х в F.
Предложение 4- Колебание со (х; /) произвольной функции
/, определенной на подмножестве Е типологического пространства F
и принимающей значения в метрическом пространстве Е', есть
полунепрерывная сверху функция на Е.
В самом деле, пусть а — произвольная точка из Е; для каждо-
каждого А; > со (а; /) существует открытая окрестность V точки а такая,
что б (/(V П Е)) <. к; но V есть окрестность любой точки х£
£ V Г) Е, так что
о (х; /)< 6 (/ (V П Е)) < /с,
чем доказано, что функция со полунепрерывна сверху в точке а.
Для того чтобы со {х\ /) = 0 в точке # £ /?, необходимо и доста-
достаточно, чтобы для каждого 8 > 0 существовала окрестность V
точки х такая, что / (Vf\E) содержится в таре радиуса е; если
х £ Е, это условие выражает непрерывность функции / в точке х
относительно Е; если х £ Е П С#, то оно выражает, что образ
относительно / следа на Е фильтра окрестностей точки х в F ость
базис фильтра Ноши в Е'; в частности:
Предложение 5. Пусть f — функция, определенная на
подмножестве Е топологического пространства F и принимающая

^ МКТРИЧКСКИЕ И МКТРИЗУЕМЫК ПРОСТРАНСТВА 37
.шачсния в полном метрическом пространстве Е'\ для того чтобы f
имела в точке х £ Е предел относительно Е, необходимо и доста-
достаточно, чтобы ее колебание в этой точке было равно нулю.
4. Мстризуемые равномерные пространства
Определение 2. Говорят, что расстояние на множестве
Е согласуется с равномерной структурой 41 в Е, если равномерная
структура, определяемая этим расстоянием, совпадает с "II..
Равномерную структуру в множестве Е называют метри-
зцемои, если на Е существует расстояние, согласующееся с этой
равномерной структурой. Равномерное пространство называют
мстризуемым, если метризуема его равномерная структура.
С одной и той же равномерной структурой могут согласоваться
различные расстояния; они называются тогда эквивалентными
(§ 1, п° 2, определение 2).
Тгсоремл 1. Для того чтобы равномерная структура была
мет ризу емой, необходимо и достаточно, чтобы она была отдели-
отделимой и. филът-р ее окружений обладал счетным базисом.
Условие необходимо, ибо (в обозначениях из п° 2) окружения
V\:n(n^l) образуют базис фильтра окружений равномерной
структуры метрического пространства.
Условие достаточно, ибо если оно выполнено, то, согласно
предложению 2 § 1,"рассматриваемая равномерная структура опре-
определяется одним отклонением, которое в силу отделимости структу-
структуры является расстоянием.
Следствие 1. Отделимая равномерная структура, опре-
определяемая счетным семейством отклонений, метризуема.
I? самом деле, если (/„) — последовательность отклонений,
определяющих такую структуру, то фильтр окружений порождает-
порождается счетным семейством множеств /п A0, 1//я|), где т и п пробе-
пробега сот все целые числа >0.
Следствие 2. Произведение всякого счетного семейства
литризуемых равномерных пространств метриауамо.
И самом деле, такое пространство отделимо и ого равномерная
структура обладает счетной фундаментальной системой окруже-
окружении (гл. II, 2-е изд., § 5, п° 2; 3-е изд., § 2, и0 6).

38 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 2
5.■ Метриауемьсе топологические пространства
■Определение 3. Говорят, что расстояние на множестве
Е согласуется с топологией & в Е, если топология, определенная
втим расстоянием, совпадает с &". Топологическое пространство Е
называют метризуемым, если на Е существует расстояние, согла-
согласующееся с его топологией.
Два расстояния на множестве Е, согласующиеся с одной и
той же тоггологпой ,Т, могут быть не эквивалентны.
Пример доставляет подпространство R? пространства R, обра-
образованное псомп вещественными чвелпмл >0; равномерная структура,
индуцируемая аддитивной равномерной структурой из R, л равно-
равномерная структура, индуцируемая мультишгикатшшой равномерной
структурой из II*, обе метризуемы и согласуются с топологией под-
подпространства R*, но не сравнимы.
Заметим также, что могут существовать пеметрьзуемые равномер-
равномерные структуры, согласующиеся с топологией метризуемого тополо-
топологического пространства (упражнение 7).
Мы ограничимся здесь приведением необходимого условия
метризуемости топологического пространства (необходимое и до-
достаточное условие см. в упражнении 22 § 4). Прежде всего, топо-
топологическое пространство может быть мотрпзуемым, только если
оно вполне регулярно (мы увидим даже — см. § 4, п° 1, предложе-
предложение 2,— что метризуемое пространство необходимо «нормально»,
что является более сильным условием). С другой стороны, по теоре-
теореме 1 имеем
Предложение 6. Всякая точка метризуемого простран-
пространства обладает счетной фундаментальной системой окрестностей.
Более общим обраэом:
Предложение 7. В метригуемом пространстве всякое
замкнутое множество есть пересечение счетного семейства откры-
открытых множеств и всякое открытое множество есть объединение
счетного семейства замкнутых множеств.
В самом деле, пусть d — расстояние, согласующееся с топо-
топологией метризуемого пространства Е. Если А замкнуто в Е, то
оно является пересечением открытых множеств Уцп {А) (где
V{/n (А) — множество тех х, для которых d {х, А) <С 1/и; см.

С МЕТРИЧЕСКИЕ И МЕТРИЗУИМЫЕ ПРОСТРАНСТВА 39
предложение 2). Вторая часть предложения получается из первой
переходом к дополнениям.
Замочи и и я. 1) Приводешшо m.ime необходимые условия
по являются достаточными (см. упражнение 43).
2) Можно уклаать примеры пространств, в которых всякая точ-
точка имеет счетную фундаментальную систему окрестностей, но не
всякое замкнутое множество является пересечением счетного семей-
семейства открытых множеств (упражнение 15); такие пространства не
мотризуемы.
Следствие 2 теоремы 1 показывает, что произведение счетного
семейства метризуемых топологических пространств метризуемо.
Кроме того, сумма Е (гл. I, 2-е изд., § 8, п° 10; 3-е изд., § 2, п° 4)
произвольного семейства (jFt)tgj метрпзуемых пространств метри-
яуома: в самом деле, пусть c?t для каждого i £ / ость расстояние,
согласующееся с топологией в Ft', можно считать, что все d,, огра-
ограниченны и диаметры пространств/'\ не превышают 1; расстояние d,
согласующееся с топологией суммы Е, можно тогда определить,
положив d (х, у) = dt (x, у), если х, у принадлежат одному п
и тому же пространству F,,, и d(x, у) = 1 в противном случае.
(>. Роль счетных последовательностей
Предложение б лежит в основе той роли, которую играют
счетные последовательности точек в метрическом пространстве;
«о многих вопросах оказывается возможным использовать их
нместо фильтров. Это связано с тем, что фильтры окрестностей
точен пространства (а потому и все сходящиеся фильтры) опреде-
определяются заданием сходящихся последовательностей точек этого
пространства; в самом деле, поскольку фильтр окрестностей какой-
либо точки обладает счетным базисом, он является пересечением
мажорирующих его элементарных фильтров (гл. I, 2-е изд., § 5,
предложение 10; 3-е изд., § 6, предложение И), т. е. элементарных
фильтров, ассоциированных с последовательностями, сходящимися
к рассматриваемой точке.
Напротив, понятие сходящейся последовательности совершенно
не приспособлено к изучению топологических пространств, содер-
содержащих точки, фильтр окрестностей которых не обладает счетным
базисом. В частности, можно построить недискретныо отделимые
топологические пространства, в которых пересечение счетного семей-

40 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX. § 2
ствя окрестностей каждой точки нес еще является окрестностью этой
точки *); в таком пространстве сходятся только те последователь-
последовательности, у которых все члены, начиная с некоторого, равны между
собой.
В качестве примеров применения счетных последователь-
последовательностей отметим следующие предложения.
Предложение 8. Для того чтобы точка х метризуемого
пространства Е была точкой прикосновения непустого множества
A cz Е, необходимо и достаточно, чтобы существовала последова-
последовательность точек из А, сходящаяся к х.
Мы уже знаем, что это условие достаточно (гл. I, 2-е изд., § 6,
п° 3; 3-е изд., § 7, п° 2). Чтобы убедиться в его необходимости,
рассмотрим счетную фундаментальную систему (У„) окрестностей
точки х такую, что Vn+1 cz Vn для всех п. Если х — точка при-
прикосновения множества А, то каждое множество VH f] А не пусто;
боря по точке хп £ Vn f) А для каждого п, получим последователь-
последовательность (хп), сходящуюся к х **).
Предложение 8 влечет следующее
Предложение 9. Для того чтобы метрическое простран-
пространство Е било полным, необходимо и достаточно, чтобы всякая
последовательность Ноши в Е сходилась.
В самом деле, пусть Е — пополнение пространства Е; если
существует точка х £ Е, не принадлежащая Е, то существует
последовательность (хп) точек из Е, сходящаяся к х; это и будет
не сходящейся последовательностью Коти в Е.
Предложение 10. Пусть Е — метрииуемое пространство
и / — его отображение в топологическое пространство Е'. Для
того чтобы f было непрерывно в точке а £ Е, необходимо и ооста-
*) (.Ж, например, .Т. D i о и A о и и (', Note* de Тёги/о/ю/ици (I),
Revue scienHJiifun (Revun ruse), 1<Ш, стр. 30.
**) Это предложение может оставаться еще и осп? ;i.im некоторых про-
пространств, в которых по крайний меро одна точка не обладает счетной фунда-
фундаментальной системой окрестностей, например для цространстня, получен-
полученного комиактификянией несчетного дискретного пространства носред' тном
присоединения бесконечно удаленной точки (гл. I, --е изд., § 1A, теорема 4;
3-е инд., § !', теорема 4).

~ метрический и метризуемые пространства 41
точно, чтобы для каждой последовательности (хп) точек из Ег
сходящейся к а, последовательность (/ (хп)) сходилась к f (а) в Е'.
Необходимость условия уже известна (гл. I, 2-е изд., § 6, след-
стиие 1 предложения 9; З-о изд., § 7, следствие 1 предложения У).
Чтобы убедиться в его достаточности, рассмотрим фильтр 23'
- i
окрестностей точки / (а) в £"; из условия вытекает, что / (Ш')
мажорируется всяким элементарным фильтром, ассоциированным
с некоторой последовательностью, сходящейся к а, т. е. всяким
элементарным фильтром, сходящимся к а; но пересечение этих
последних есть фильтр окрестностей точки а (гл. I, 2-е изд., § 5,
предложение 10; 3-е изд., § G, предложение 11), и предложение-
доказано.
Отметим, что предложения 8 и 10 спрнведливы также для всякого
топологического пространства Е, кпждпя точка которого об.чадоег
счетной фундаментальной системой окрестностей.
7. Полунепрерывные функции на метрику емом
пространстве
Предложение 11. Пусть Е — метризуемое пространство,
/ — полунепрерывная снизу функция на Е со значениями в замкну-
замкнутом интервале [a, b\ rz R; тогда f есть, верхняя огибающая воз-
возрастающей последовательности непрерывных функций на Е со зна-
значениями в [а, Ь\.
Примешш перенос структуры, можно считать, что а =- 0,.
Ь =-- 1.
1° Предположим сначала, что / = фд, где А — открытое мно-
множество в Е, а фл — его характеристическая функция.
Тогда функция #п, определенная равенством: gn (x) ==
= (п — 1) inf (г/ (х, Е — А), Мп), непрерывна и ^0 на Е. При
этом #п (ж) = / [х) == 0 при х £ Е — А и gn (х) -^ fn {х) =-
п—\
--- , иогда d (х, Е — А) ^ 1/и. Отсюда сразу следует, что-
/ -• sup gn; при этом gn (х) < (п — 1)/п<. 1. для всех х ъп.
п
2° В общем случае рассмотрим для каждого целого п ~^>- {
убывающую конечную последовательность открытых множеств

42 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 2
Ак — f ( —» + оо J @ ^ к ^ п — 1). При каждом п функция
п-1
^i ~ — 2 Ч>-Ак полунепрорывна снизу и 0 < / (а;) — gn (x) <
^ \1п; следовательно, / является ворхной огибающей последова-
последовательности {gn). С другой стороны, но 1°, gn, будучи лпиейпой ком-
комбинацией с коэффициентами ^0 копочного числа характерпсти-
чоских функций открытых миожестц, ость верхняя огибающая
«четного множества {hmn)m-^0 непрерывных функций ^0; отсюда
f =■- sup hmn. Полагая /n -- sup hp,,, видим, что (jn) есть воз-
m, n J»:S;'n, 9$n
растающая последовательность непрерывных функций ^0, имею-
имеющая своей верхней огибающей функцию /; при этом функции /„
не принимают значения 1, поскольку gn ^ (п — \Iп.
S. Метриауемые npocmpaticmea счетного типа
Определение 4. Метризуемое пространство, топология
которого обладает счетным базисом, называют метризуемым
пространством счетного типа.
Ясно, что всякое подпространство метризуемого пространства
счетного типа также есть пространство счетного типа. Из определе-
определения базиса топологии произведения пространств (гл. I, 2-е изд.,
§ 8, п° 1; 3-е изд., § 4, п° 1) и следствия 2 теоремы 1 вытекает, что
всякое производение счетного семейства метризуемых пространств
счетного типа есть метризуемое пространство счетного типа.
Также всякая сумма счетного семейства метризуемых пространств
счетного типа есть метризуемое пространство счетного типа (п° 5).
Предложение 12. Для метризуемого топологического про~
странства Е следующие утверждения равносильны:
а) Е — счетного типа;
б) в Е существует всюду плотное счетное множество;
в) Е гомеоморфно подпространству куба I , где I — интервал
(О, 11 в R.
Из предыдущих замечаний ясно, что в) влечет а); а) влечет б),
ибо если (Un) — счетный базис топологии пространства Е и ап —
точка из Un, то множество точек ап всюду плотно в Е. Покажем,
наконец, что б) влечет в). Пусть (ап) — всюду плотная иоследова-

<s МЕТРИЧЕСКИЕ И МЕТРИЗУКМЫЕ ПРОСТРАНСТВА ■ 43
тс.чьность точек в Е и ф (х) для каждого х £ Е — точка
(d (x, an))ngN из /N (где d — расстояние, согласующееся с тополо-
топологией пространства Е, при котором диаметр последнего ^1); пока-
покажем, что ф есть гомеоморфизм Е на подпространство пространства
/N. В самом деле, ф непрерывно, поскольку непрерывна каждая
из функций х у-*- d (х, ап); кромо того, ф инъективио, ибо каждая
точка из Е есть предел некоторой подпоследовательности после-
последовательности (а„) (предложение 8). Пусть В —■ шар в Е с центром
хп и радиусом г, а п — целое число, для которого d (x0, а„) <
< г/3. Образ относительно ф множества W тех точек х £ Е, для
которых
| d (х0, ап) — d (х, ап) | < г/3,
ость по определению, окрестность точки ф (х0) в ф (£). Но для
каждого х 6 W имеем d (х, ап) < d (х0, ап) + — < -^ , откуда
d (х, х0) < d (х0, ап) + d (х, а„) < г.
Ото показывает, что W есть окрестность точки х0, содержащаяся
и В; тем самым ф есть гомеоморфизм Е на
Заметим, что для произвольного топологического пространства Е
свойство б) не обязательно влечот сущееттюванио счетного бааиса,
даже если Е компактно и всякая его точка обладает счетной фунда-
фундаментальной системой окрестностей (упражнение 13; см. гл. I, 2-е изд.,
§ 2, упражнение 7; 3-е изд., § 1, упражнение 7).
Предложение 13. Пусть Е — топологическое простран-
пространство, обладающее счетным базисом (Un); для каждого открытого
покрытия (Ft)igi пространства Е существует счетное множество
J cz I такое, что (Ft)tgj является покрытием Е.
В самом деле, пусть И — подмножество множества N, состоя-
состоящее из тех индексов п, для которых Un содержится по крайней мере
и одном из Ft; последовательность {Un)nin образует покрытие
пространства Е, ибо всякая точка х £ Е принадлежит какому-либо
Vu а поскольку Vt открыто, существует индекс п такой, что х £
6 Un с Ft. Таким образом, существует отображение \р множе-
множества II ъ I такое, что Un a V^n) для каждого п 6 Я; полагая
J = ip (//), получим требуемое счетное подмножество.

44 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 2
9. Компактные метрические пространства:
компактные метрику емые пространства
Криторий предкомпяктности равномерных пространств (гл. II,
2-е изд., § 4, теорема 4; 3-е изд., § 4, теорема 3) дает для метриче-
метрических пространств следующее предложение:
Предложении 14. Для того чтобы метрическое простран-
пространство Е было предкомпактно, необходимо и достаточно, чтобы для
любого в > О существовало конечное покрытие пространства Е
множествами, диаметры которых ^в.
Присоединив предположение, что Е полно, получим критерий
компактности метрических пространств.
Из предложения 14 пытокает топологический критерий ком-
компактности, применимый к метризуемнм пространствам:
Предложение 15. Для того чтобы метризуемое тополо-
топологическое пространство Е было компактно, необходимо и доста-
достаточно, чтобы всякая бесконечная последовательность его точек
имела в Е предельную точку.
В силу аксиомы (С) (гл. I, 2-е изд., § 10, п° 1; 3-е изд., § 9, п° 1)
условие необходимо. Чтобы убедиться к ого достаточности, рас-
рассмотрим на Е расстояние d, согласующееся с его топологией. Пока-
Покажем сначала, что так определенное метричоскоо пространство
полно; в самом деле, всякая последовательность Коши d Е имеет
тогда продельную точку и потому сходится (гл. II, 2-е изд., § 3,
предложение 4; 3-е изд., § 3, следствие 2 предложения 5); предло-
предложение 9 показывает поэтому, что К полно. Покажем, что Е, кроме
того, предкомпактно; действительно, и противном случае в силу
предложения \\ сущестиоиало бы число а > 0 такое, что Е не
обладало бы конечным, покрытием, диаметры всех множеств кото-
которого ^а. Тогда индукцией по п можно было бы получить беско-
бесконечную последовательность (х„) точек из Е такую, что d {х,„ х„) >
> а для всех п и р < п; но такал, последовательность не может
обладать предельной точкой, поскольку каждый шар радиуса
<а/2 содержит не более одной ее точки.
Следствии. Для того чтобы .множество А в метризуемом
топологическом пространстве Е было относительно компактно.

,, МЕТРИЧЕСКИЕ И МЕТРИЗУЕМЫК ПРОСТРАНСТВА • 45
необходимо и достаточно, чтобы всякая бесконечная последователь-
последовательность точек этого множества имела в Е предельную точку.
В самом деле, пусть d — расстояние, согласующееся с тополо-
топологией пространства Е. Применяя критерий предложения 15, пока-
покажем, что пространство А компактно: пусть (х„)—последователь-
(х„)—последовательность точек из А; для каждого индекса п существует уп £ А такое,
что d (хп, уп) < 1/п; в силу предположения последовательность
(г/,,) имеет предельную точку а £ Е, и а будет также предельной
точкой для последовательности (хп), ибо если ут принадлежит
шару с центром а и радиусом 1/п для некоторого т > п, то хт при-
принадлежит тару с центром а и радиусом 21 п.
Следует заметить, что предложение 15 не является следствием
существования счетной фундаментальной систем и окрестностей у каж-
каждой точки из IS', можно привести примеры неметрнвуемых и некомпакт-
некомпактных пространств, в которых всякая точка облпдмет счетной фунда-
фундаментальной системой окрестностей и всякая последовательность точек
имеет предельную точку, (упражнение 15).
Предложение 16. Для того чтобы компактное простран-
пространство Е было метризуемо, необходимо и достаточно, чтобы его
топология обладала счетным базисом.
Условие необходимо. В самом деле, согласно предложению 14
для каждого целого п ^ 1 существует конечное мпожесткоЛп cr E,
расстояние до которого от любой точки из Е не превышает 1/и;
следовательно, счетпоо множество А —- \\ Ап всюду плотно в Е,
п
откуда и вытекает наше утверждение (предложение 12).
Условие достаточно. В самом деле, пусть (£/„) — счетный
базис топологии пространства Е. Тогда всякая окрестность точки
диагонали А произведения Е X Е содержит окрестность вида
Un X Un; применяя аксиому Бореля — Лебега к компактному
множеству А в Е X Е, заключаем, что всякая окрестность диаго-
диагонали А содержит окрестность А, являющуюся объединением
конечного числа мпожестп видя Un X Un. Таким обрааом, окрест-
окрестности диагонали А, являющиеся объединениями конечного числа
множеств вида Un X Vn, образуют фундаментальную систему
окружений равномерпой структуры пространства Е (гл. II, § 4,
теорема 1); следовательно, паше утверждение вытекает из теоре-
теоремы 1.

46 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 2
Следствие. Пусть Е — локально компактное пространство
и Е' — компактное пространство, полученное присоединением к Е
бесконечно удаленной точки о> (гл. I, 2-е изд., § 10, п° 8; 3-е изд.,
§ 9, п° 8). Следующие предложения равносильны:
а) топология пространства Е обладает счетным базисом;
б) Е' метризуемо;
в) Е метригуемо и счетно в бесконечности.
Покажем сначала, что а) влечет б). Пусть (Un) — счетный
базис топологии пространства Е; всякая окрестпость точки х в Е
содержит компактную окрестность, которая в свою очередь содер-
содержит в качестве окрестности точки х одно из множоств Un; следова-
следовательно, эти Un, являющиеся относительно компактными, тоже
образуют базис топологии пространства Е, так что можно считать
все Un относительно компактными. Таким образом, пространство Е
является объединением счетного семейства компактпых множеств
Un, т. е. счетно в бесконечности; это влечет, что точка а> в Е'
обладает счетной фундаментальной системой (Fn) открытых окрест-
окрестностей (гл. I, 2-е изд., § 10, следствие предложения 19; 3-е изд.,
§ 9, следствие 2 предложения 15); тогда ясно, что всякая окрест-
окрестность точки у ££" содержит либо одно из Un, либо одно из 7П,
являющееся окрестностью у, другими словами, Un и Vn образуют
счетный базис топологии пространства Е\ и наше утверждение
вытекает из предложения 16. Очевидно, б) влечет в), ибо б) вклю-
включает, что to обладает счетной фундаментальной системой окрест-
окрестностей, (гл. I, 2-е изд., § 10, следствие предложения 19; 3-е изд.,
§ 9, следствие 2 предложения 15).
Докажем, наконец, что в) влечет а). По предположению,
существует возрастающая последовательность (Vn) относительно
компактных открытых множеств, образующих открытое покрытие
пространства Е и таких, что Vn cz Vn+1 (гл. I, 2-е изд., § 10, пред-
предложение 19; 3-е изд., § 9, предложение 15). Подпространство Vn,
будучи компактным и метризуемым, обладает счетным базисом
(предложение 16), а следовательно, то же верно для Vn; пусть
{Umn)min — базис топологии пространства Vn. Для каждой точки
х £ Е и каждой ее окрестности W существует п такое, что x£Vn,
и, значит, т такое, что х 6 Umn cz Vn (] W; значит Umn (m ^ 1,
n ^ 1) образуют базис топологии пространства Е.

Iff МЕТРИЧЕСКИЕ И МЕТРИЗУЕМЫЕ ПРОСТРАНСТВА 47
jo. Факторпространства метргмуемых
пространств
Факториространство EIR метризуемого пространства Е по
отношению эквивалентности R в £ не обязательно мотризуемо
(даже если, кроме того, Е локально компактно °и EIR нормпльно0).
Однако:
Предложение 17. Всякое отделимое факториространство
метрияуемого компактного пространства есть метризуемое ком-
компактное пространство.
Это жо можно выразить, сказав, что если / — непрерывное
отображение метризуемого компактного пространства Е в отдели-
отделимое пространство Е', то / (Е) есть метриауемое подпространство
пространства Е' (гл. I, 2-е изд., § 10, следствие 1 предложения 8;
3-е изд., § 9, следствие 4 теоремы 2).
Пусть Е — метризуемое компактное пространство и Л — отно-
отношение эквивалентности в Е такое, что EIR отделимо. Тогда, как
известно (гл. I, § 10, предложение 8), EIR компактно; по предло-
я;еишо 16 остается доказать, что топология пространства EIR
обладает счотным базисом. Для этого мы воспользуемся замкну-
замкнутостью R (гл. I, § 10, предложение 8) и компактностью классов
mod Ц. Пусть ср — каноническое отображение Е на EIR и (Un) —
счетный базис топологии пространства Е. Пусть далее z — произ-
произвольная точка из EIR и V — ее окростпость в E/R; тогда q; (V)
-х
будет окростпостыо компактного множества <р (z) в Е. Поскольку
-1
для каждого а; £ <р (z) существует Un, содержащее ж и содержащее-
содержащееся в ф (V), из аксиомы Бореля — Лобега вытекает существова-
существование конечного открытого покрытия (Un.)i^k^r множества <р (г)
такого, что W — ^J Un является окрестностью этого множества,
h
содержащейся в <р (V). Так как R замкнуто, то <р (W) будет
тогда окрестностью точки z в EIR, содержащейся в V (гл. I, 2-е изд.,
§ П, предложение 7; 3-е изд., § 5* предложение 10). Обозначим
через 5В множество внутренностей множеств вида <р (W), где W

48 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 2
пробегает множество $ объедипений всевозможных конечных
семейств множеств Un; из сказанного выше следует, что 93 есть
базис топологии пространства EIR, а так как % счетно, то 93 —
«четный базис.
Предложение 18. Пусть Е — полное метрическое про-
пространство, R — открытое отношение эквивалентности в Е такое,
что EIR отделимо, и <р — каноническое отображение Е на E/R.
Для каждого компактного множества К в EIR существует ком-
компактное множество К' в Е такое, что ц> (К') = К.
Пусть 5УХ — множество всех открытых шаров радиуса 1/2 в Е.
Множества ф (В), где/? пробегает 9^, образуют открытое покрытие
мпожества К, так что в Е существует конечное число точек хх, ...
. . ., хт таких, что образы относительно ср открытых шаров радиу-
радиуса 1/2 с центрами xt A ^ г'^ т) образуют открытое покрытие
мпожества К.
Положим Нг ~{xv . . ., хПь} и предположим, что для каждого
целого i, удовлетворяющего неравенствам 1 < г ^ п, определено
конечное множество Ht так, что:
1° Ht a Hi+1 и каждая точка из Я<+1 находится от Пг на рас-
расстоянии < 1/2* A < i < и — 1);
2° образы относительно ф открытых шаров радиуса 1/2*,
центры которых пробегают Ht (I ^ I ^ п), образуют открытое
покрытие множества К.
Обозначим тогда через $Уп+1 множество всех открытых гааров
радиуса l/2n+1 с центром х таким, что d (х, //п) < 1/2"; из свойств
множества //„ вытекает, что множества ф (В), где В пробегает
~*п+и образуют открытое покрытие множества К; следовательно,
существует конечное множество Ьп+Х cz E такое, что образы
относительно ф открытых шаров радиуса 1/2"+1, центры которых
хгробегают Ln+V образуют открытое покрытие множества К; пола-
полагая ДпП = //„ U Ln+l1 видим, что по индукции можно определить
бесконечную последовательность (Нп) множеств из Е, обладающих
приведенными выше свойствами \° и 2°. Положим Н = JJ Нп
п
и покажем, что Н предкомпактно; в самом деле, для каждого
р > 0 и каждой точки zn+p 6 Нп+р существует такая последователь-

УПРАЖНЕНИЯ 49
„ость точек znH 6 Hn+t (О < i < p — 1), что d(zn+t, zn.,.M)<
^•m+i (^■C''-^Р—'); отсюда вытекает, что с? (zn, zn+p) -^
■^ ^'i п--^-~£z--nzn 1 и потому d (и, //„) ^ 1/2п~х для каждого у £ 7/,
i =■ О
чем и доказано нате утверждение. Так как Е полно, то II
компактно и, следовательно, ф (Н) компактно. Покажем, что
К а ф (II); пусть z £ К; по определению d (Hn, q) (z)) ^ 1/2"
для каждого п, откуда d (II, ср (z)) — 0; поскольку ф (z)
задпшуто, а Я компактно, отсюда следует, чтс // П ф (z) # 0
(п° 2, замечание после предложения 3), чем нате утверждение
и доказано. Пусть теперь К' = 7/ П ф (К)'< тогда К' замкну-
замкнуто is //, следовательно, компактно, и ф (К1) = К.
Упражнения
1) Пусть Е — отделимое равномерное пространство, (Д) — семей-
семейство отклонений на J?, определяющее его равномерную структуру,
и Ei — метрическое пространство, ассоциированное с равномерным
пространством, получаемым при наделении F, равномерной струк-
структурой, определяемой одним отклонением /,, (п° 1). Показать, что Е
изоморфно подпространству равномерного пространства П i't.
2) Показать, что в связном метрическом пространстве Е, у кото-
которого расстояние не ограниченно на Е X Е, ни одна сфера не пуста.
*3) а) Пусть Е — компактное метрическое пространство; если
в Е замыканием всякого открытого шара служит замкнутый шар того
зке радиуса с тем же центром, то всякий шар в Е есть связное мно-
зкество. [Показать, что если х, у — точки из Е и S — замкнутый шар
с центром х и радиусом d (х, у), то для каждого е > 0 множество Л и, е
точек из S, соединимых с у 7е-цспью, содержащейся в S (гл. II, § 4,
н° 4), содержит все точки г, для которых d (x, z) < d (x, у). Рассуждая
от противного и исггольэуя теорему Вейергптрасса (гл. IV, § 6, тео-
теорема 1), вывести отсюда, что х 6 Av, e для всех е > 0.1
П) Пусть Е — комлпктное подпространство пространства F = R2,
наделенного расстоянием d (х, у) — шах (| х\ —уг |, | хг — ;/2 |),
образованное всеми точками (хх, xt), у которых хх = 0, 0 ^ хг <; 1
или 0 ^ хх ^ 1, х$ — 0. Показать, что всякий тар в Е связен, но »а-
мьшанием открытого шара по обязательно служит замкнутый тар
с тем же центром н тем же радиусом.
4 и.

50 ВИЩЕСТВЕННЫИ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 2
4) Метрическое пространство Е напивают улътрамстрическия,
если расстояние n нем удовлетворяет для всех .г, у, z неравенству
d (х, у) < яир (d (х, г), d (г/, г))
влекущему неравенство треугольники) (см. § G, упражнение 2).
а) Покапать, что рслп d(x, z)=/ d (//, г), то
г? (ж, #) —sup (с/ (г, г), я1 (у, z)).
б) Пусть Vr (г) — открытии шар с центром х и радиусом г; пока-
покапать, что Уг (.у) есть открыто-яампнутое множество и Е (так что Е —
вполне несвязно) и что Уг (;/) = VT (.г) для пеех г/ £ Vr (x).
и) Покапать, что замкнутый шар Wr (х) с центром х и радиусом г
ииляотся открыто-замкнутым множеством ii К и что Wr (?/) — Wr (ж)
для всех // С И7,, (л-). Различные открытые шары радиуса г, содержа-
содержащиеся в Wr (x), образуют его разбиение, причем расстояние между
любыми дпумя из них равно г.
г) Если два (открытых или замкнутых) тара в Е имеют общую
точку, то одпи из них содержится » другом.
д) Для того чтобы последовательность (тп) точек из Е была после-
последовательностью Коши, необходимо и достаточпо, чтобы й (хп, ж„.ц)
стремилось к 0 при неограниченном, возрастании п.
е) Показать, что если Е компактно, то для любого ха С: Е значе-
значения d (ж0, х) на Е обраауют конечное или счетно бесконечное подмно-
подмножество множества [0, +оо ], все точки которого, за исключением, может
быть, точки 0, изолированные. [Для каждого значотш г, принимаемого
расстоянием d (хс, а), рассмотреть верхнюю грань значений d (ж0) х)
на множество точек а1, дли которых d (г0, х) < г, п нижнюю грань
на множестве точек х, для которых d (х0, х) > г.1
5) Пусть Е — метрическое пространство иг?— его расстояние.
Для каждой пары (,г, ;/) точек и:) Е обозначим через du (.r, ;/) нижнюю
грань чисел а > 0 таких, что х и у соединимы У^-цепг.ю (ел. П, § 4,
н° А). ПокаиатЕ!, что с/с —■ откло1гсшге па Е и что .метрическое прост-
ранстно, ассоциированное с равномерным пространпчюм, определяе-
определяемым :)тим оччслош'ннем (ни 1), --■ ультраметрическоо (yiqiiuKHCBiie A).
*6) Пусть /•,' — метрнчес][ое пространство; для каждых двух
непустых его нодмно/кесги /1 и Л положим:
р (Л, В) г-, sup d (х, В) и а (А, В) -.--- янр (р (А, В), р (В, Л));
£Л
положим, кроме того, а @, 0) = (I и it @, А) =- п (А, 0) == -|-оо
для каждого непустого миожестиа А с- Е. Покакать, что а есть откло-
отклонение на множестве ^>(Е) всех подмножеств множества Е н что опре-
определяемая им равномерная структура совпадает с получаемой из рав-
равномерной структуры пространства Е способом, описанным в упраж-
упражнении 7 § 2 главы 11 (У-е изд., гл. II, § \, упражнение 5).
Предположим, что Е ограниченно. Па мцожестне %(Е) всех непус-
непустых алмкцутых подмножеств пространства Е а является расстоянием.

УПРАЖНЕНИЯ 51
Покапать, что если, кромо того, Е полно, то %{Е) — полное метрнче-
гкое пространство. [Пусть Ф — фильтр Кошп в %{Е) и S (X) для
каждого множества Ж £ Ф есть объединение нсох множеств X, при-
принадлежащих X; показать, что множества 5 (Ж) образуют базис филь-
T]ia и Е, что этот бааис фильтра имеет непустое множество Л точек
прикосновения и что Ф сходится к А.]
*7) Пусть Е — бос/коночное дискретное прост])анство. Покапать,
что равномерная структура конечных разбиений (гл. II, 2-е нзд.,
§ 1, н° 2; 3-е ивд., § 2, п° 2) и Е, согласующаяся с топологией про-
пространства Е, не метризуема. [В противном случае существовала бы
ноелодопателыюсть E,() коночных разбиений пространства Е такая,
что всякое его конечное разбиение состояло бы из множеств, каждое
из которых было бы объединенном множеств одного из разбиений $п;
нынести отсюда, что тогда множество всех коночных разбиений прост-
пространства Е было бы счетно.]
8) Пусть (#v) — несчетное семейство отделимых топологических
пространств, каждое из которых содержит более одной точки. Пока-
яить, что пи одна точка пространства JJ#V не обладает счетпой фунда-
i
ментальной системой окрестностей.
9) Пусть Е — топологическое пространство, каждая точка кото-
которого обладает счотной фундаментальной системой окрестностей.
а) Для того чтобы Е было отделимо, достаточно, чтобы всякая
сходящаяся последовательность n E имела единственный предел.
б) Если а — предельная точка бесконечной последовательности
(х„) точек из Е, то существует подпоследовательность последователь-
последовательности (хп), сходящаяся к а.
в) Пусть Л '—■ пепустое множество в Е, х0 £ А и / — отображе-
отображение А н отделимое топологическое пространство Е'. Для того ятобы
а £ Е' было проделом / п топке х0 относительно А, достаточно, чтобы
для каждой последовательности (хп) точек и» А, сходящейся к а-0>
последовательность (/ (хп)) сходилась к п.
г) J.( обозначениях пункта и), предположим дополнительно, что
BCUKiin точка из Е' имеет счетную фундаментальную систему окрест-
окрестностей. Тогда дли всякой предельной точки а £ Е' функции / п точно
х0 относительно миожестип А существует последоиателтлгость (хп)
точек из А, сходящияоя к х0 и такая, что (/ (хп)) сходится к п.
*10) Пусть Е — компактное пространство. Если существует
числовая функция /, определенная и непрерывная па Е X Е и обла-
обладающая тем свойством, что отношение / (х, у) — 0 эквивалентно отно-
отношению х = у, то Е мстриауемо. [Показать, что когда V пробегает
-1
фундаментальную систему окростпостей нуля в К, множества / (V)
образуют фундаментальную систему окрестностей диагонали Л
в Е X ЕЛ
4*

52 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 2
*Н) Пусть Е — метрическое компактное пространство it d — его
расстояние. Покавать, что отображение / пространства Е в себя
такое, что d (/ (ж), / {у)) > d (x, у) для каждой лары х, у точек из Е,
является ияометрией Е на Е. [Пусть а и Ъ — произвольные дни точки
из £; положим /п = /п~1 о/, ап — fn (а), Ъп — /" (ft); выделяя из (а„)
и (Ьп) надлежащие подпоследовательности, поканать, что для каждого
е > 0 существует индекс к такой, что d (a, ац) ^ 8 и d (Ъ, Ьд) < e;
вывести отсюда, что d (ах, bt) ~ d (а, Ь) н что / (Е) всюду плотно ъ Е.]
*12) Пусть Е — метризуемоо компактное простраистно.
а) Показать, что существует непрерывное отображение каиторова
множества К (гл. IV, § 2, п° 5) на Е (см. гл. IV, § 8, упражнение 11).
б) Если, кроме того, Е вполне несвязно и но имеет мелированных
точек, то оно гомеоморфно К. [Рассуждать, как в упражнении 12
§ 8 главы IV, используя то, что всякая окрестность точки х £ Е
содержит открыто-замкнутую окрогтиость этой точки (гл. II, 2-е изд.,
§ 4, следствие предложения 3; 3-е ияд., § 4, следствие предложения С).]
*13) а) Рассмотрим на множестве R всех веществеипых чисол
топологию 3"., определенную следующим обраяом: пусть Uv (x) для
каждого у > 0 означает объодинепие интервалов [х, х ~\- у\ и
J—х — у, —х[; сТ есть топология, в которой фундаментальную систему
окрестностей каждой точки х образуют множества U(l {x), где у про-
пробегает все числа >0. Пусть Е — пространство, полученное наделением
интервала [—1, 1) топологией, индуцированной топологией 3".
Показать, что Е компактно. [Если х £ Е ость точка прикоснове-
прикосновения для фильтра $ в Е в топологии числовой прямой, то х или —х
есть точка прикосновения для 5 в топологии ST.]
б) Всякая точка в Е обладает счетной фундаментальной системой
окрестностей, и в Е существует счетное всюду плотное множество,
однако Е не метрнзуемо. [Показать, что его топология не обладает
•счетным базисом.]
в) Пусть А — открытое множество и Е; показать, что А есть
объединение счетного семейства (/„) открытых интервалом, содержа-
содержащихся в [О, 1J, интервалов —/п и некоторого подмножества множе-
множества левых концов интервалов 1п п —/„ и, может бить, точки +1. выве-
вывести отсюда, что А ость объединение счетного семейства замкнутых
множеств в Е.
г) Пусть F — множество / X A, 2), где / — иптервал [0, 1] с: R;
положим Et — I X {i} (i = l,2) w обозначим чероп / биекцию (х, 1) i—»■
у-*- (х, 2) множества Е^ на Ev Пусть 9$ {(х, 2)) для каждого х £ /
означает множество подмножеств, сводящееся к {{х, 2)}, а $ ((х, 1.))—
множество подмножеств вида Vx U (/ (V,) — {(.г., 2)}), где Vt =
= V X {1}, а V пробегает фундаментальную систему окрестностей х
в /, Показать, что SJ (у) для каждого у £ F есть фундаментальная
система окрестностей у для некоторой топологии в F. Наделенное
этой топологией пространство F компактно, и всякая его точна обла-

УПРАЖНЕНИЯ 53
диет счетной фундаментальной системой окрестностей, однако счет-
счетного всюду плотпого множества в F не существует. Всякое замкнутое
множество в F, содержащееся в Ег, конечно; вывести отсюда, что в F
компактное множество Ех не обладает счетной фундаментальной систе-
системой окрестностей. Отношение пквивалентности R n F, классами кото-
которого служат множество Ех н точки множоства F — Ех, замкнуто
и всякий класс эккиналогатности по В компактен, однако в F/R имеет-
имеется точка, не обладающая счетной фундаментальной системой окрест-
окрестностей. 1См. § 4, упражнение 24а).]
14) а) Пусть К — достижимое топологическое пространство *)
C-е И8д., гл. I, § 8, упражнение 1). Докапать равносильность следую-
следующих свойств:
а) всякая последовательность точек в Е имеет предельную точку;
Р) всякое бесконечное дискретное подпространство пространстпа Е
не замкнуто;
у) всякое счетное открытое покрытие пространства содержит^его
копочноо покрытие;
б) для всякого бесконечного открытого покрытия 31 пространст-
пространства Е существует открытое покрытие €> с: Я? пространства Е, отлич-
отличное от 'Ш.
Отделимое топологическое пространство Е, обладающее указан-
указанными свойствами, наливается полукомпактным.
б) Для того чтобы последовательность точок полукомпактного
пространства была сходящейся, необходимо и достаточно, ятобы она
имела единственную предельную точку.
в) Всякое замкнутое подпространство полукомпактного прост-
пространства полукомпактно. Обратно, если Е отделимо и всякая его точка
обладает счетной фундаментальной системой окрестностей, то всякое
нолукомпактное подпространство в Е замкнуто.
г) Пусть / — непрерывное отображение полукомпактного прост-
пространства Е в отделимое пространство Е'; тогда образ f (E) является
нолукомпактным подпространством пространства Е'.
д) Пусть Е — нолукомпактное пространство, каждая точка7кото-
рого обладает счетной фундаментальной системой окрестностей; тогда
каждая последовательность точек в Е обладает сходящейся подпосле-
подпоследовательностью.
о) Пусть (Еп) — конечная или счетно бесконечная последователь-
последовательность топологических пространств, в каждом из которых всякая
точка обладает счетной фундаментальной системой окрестностей.
Для того чтобы пространство JJ#n было полукомнактно, необходимо
п
и достаточно, чтобы каждое ив пространств Еп было полукомпактно.
*) То есть каждое одноточечное множество n F. апмкпуто Ред.

54 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 2
[Использовать д) и упражнение 17 § 5 главы I 2-го пзд. (З-о изд.,
гл. I, § 6, упражнение 1G).]
ж) Полукомпактпое пространство, в котором всякая точка обла-
обладает счетной фундаментальной системой окрестностей, регулярно.
з) Если нолукомпактноо пространство имеет счетный базис, то оно
компактно и, следовательно, мотризуомо.
и) На полукомпактпом пространство всякая полунепрерывная
снизу числовая функция достигает споен нижней грани; и частности,
всякое полукомпактпое прострппстно вейерштрассово (§ 1, упражне-
пио 22). [См. § 4, упражнение 266).]
к) Показать, что свойство б) пункта а) влечет свойстио:
£,) псякоо точечно конечное (§ 4, п° 3) открытой покрытие про-
пространства Е содержит конечное покрытие.
[Рассуждать от протпшюго.] Обратно, регулярное пространство,
обладающее свойством Q, иолукомнактпо. [Показать, что I) влечет
тогда Р).]
*15) Пусть Е = [а, Ь[ — локально компактное пространство,
определенное и упражнении 22 § 10 главы I 2-го изд. C-е изд., гл. I,
§ 9, упражнение 12).
а) J(j)i\ того чтобы мвожостпо в Е было относительно компактным,
необходимо и достаточно, чтобы оно было ограниченным. Вывести
отсюда, что Е нолукомпактпо и, следовательно (упражнение 15),
не метризуемо, [Заметить, что всякое счетное множоетио в Е ограни-
ограниченно.)
б) Показать, что всякая точка в Е имеет мстризуомую окре-
окрестность. [Использовать предложение- 10.]
л) Всякие два некомпактных ппмкпутых мпожостла А и Л в Е
вмеют непустое пересечение. [Образоиать возрастающую последова-
последовательность точек, члены которой с четными номерами принадлежат А,
а с иечетпымн принадлежат IS.\ Ныкости отсюда, что всякая окре-
окрестность некомпактного замкнутого множества яилястсн дополненном
относительно компактного .множества. Показать, что множество А
всех неизолированных точек пространства Е замкнуто и не является
пересечением никакого счетного семейства открытых множеств.
г) Обозначим через А" интервал [а, Ъ\, наделенный следующей
топологией: фундаментальную систему окрестностей каждого х g E
образуют интерпалы ]у, х], где у пробегает псе элементы <а-; фунда-
фундаментальную систему окрестностей точки Ъ образуют' множества
Vx (x f Л'), где Vx означает объединение /) с множеством тех точек
из [х, Ь], которыо имеют нредпи'стнующую точку (другими словами,
являются изолированными л Е). Показать, что Л" иолукомнактпо, по
не регулярно [см. упражнение 1/1Ж)|; Е, как подпространство прост-
пространства Е', полукомпактпо, по не замкнуто. [См. упражнение 14в).]
10) Пусть Е и />' — полукомнактние нрострапстна. Доказать
нолукомпактность произиедения Е X F в каждом из следующих двух

УПРАЖШШИЯ 0«)
случаев: 1° одно из пространств Е, F компактно; 2° п одном из про-
пространств Е, F каждая точна обладает счетной, фундаментально!"! системой
окрестностей. [В первом случае, считая компактным, па пример, /'',
рассмотреть возрастающую последовательность (Сп) открытых мно-
множеств, объединением которых служит Е X /'\ и для каждого п —
множество 1/п тох точек х £ Е, для которых {х} X F cr Оп; подн-
поднял ть, что множестпа Нп открыты и Л'^117/,,.]
п
*\1) Пуст:. Е — компактпфикацин Стоуна — Чоха дискретного
пространства N (§ 1, упражнение 7).
а) Показать, что и Е существуют нолукомплктныо подиростран-
2Card (N)
(iTiiii Л, Я.такир. что Л A И — N и Л [] II ■■ -Е. [Пусть ка~2 ;
н силу упражнения 126) § 1 сущегшует бпокцпя * v-*-S% ()]>;^aiajibii()ro
чиста соа (Тоор. М1ЮЖ., гл. Ш, § 0, унрнжнйпио 10) па множество
счемю-босконочных подмножеств множестпа Е. Определить с помощью
тр:>п(финитной индукции дна ипъектипних отображения | н->■ xt,
Ъ, v—»■ ;yg ординального числа и)ге » Е — N так, чтоби arj G .s'g, yj f ^^
для ь'аждого | и /' П Q — 0■* ^ U (? — Л' — ^i '"Де -^ (гоотвотетвон-
по О) — множрстпо «сох Ж| (соотвотстнешю i/t); «оснолг.понаться для
этого упражпошшми 126) и 12н) § 1. Показать аатгм, что А — Р [} N,
/у =.- (> U N отвечают лоставлотшым требованиям.]
5) Показать, что произведение А X Л не иолукомггактпо. [Замс-
tiitti. что иеросочение А X В с диагональю пропанедояпи Е X Е есть
бесконечное дискретиоо замкнутое подпространство нуюстранства
Л X Л.]
*18) Пустт, Е — метричоскоо пр остра потно, в котором для каж-
каждого х G Е существует открытый тир с центром х, обладающий, как
подпространство пространства Е, счетным базисом; пусть гх — верх-
верхняя грань радиусов тех шаров с центром х, котормо обладают этим
а) Показать (с, помощью теоремы Дорпа), что существует мака/'
малъиое еоменстно (Яа) попарно непересекающихся открытых шаров
и /',' таких, что если :са — центр тара На, радиус итого нгпра <г .
Поь'авать, что объединение шаров йа всюду плотно в Е\ нмппсти
отсюда, что п Е существует всюду плотное мшктегтно М такие, что
всякий открытий шар с пршпшольпым центром .г f Е и радиусом <rx
соде[)жпт не более чем счетн-о-бсскоиечиос миожестно точек из М,
[Заметить, что такой тир может пересекать только счетное множество
попарно непересекающихся открытых множеств, н использовать
предложении 12.]
б) Для каждой точки х Q М обоаначим через Sx открытый шар
с, центром и !)топ точке и радиусом гк/'Л\ нокааать, что шары Sx обра-
ауют пок[)ыти(! iipoCTjiancTBa /■' и что каждая точки n;i E может при-

56 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 2
надлежать но болео чем счетному мпожеству этих шароп. [Заметить,
что если у 6 Sx, то d (х, у) <. г„/2.]
в) Определим в Е следующее) отношение эквивалентности R меж-
между точкпми х, у: существует последовательность (z,-)i^{^n точек из М
такая, что х 6 Sx , ;/ С: Sz и Sz_ П Яг -/- 0 A < Г<Г » — 1). Пока-
Покапать, что классы аквтмлечггности no R являются открыто-замкнутыми
подп])острпнствам11 в Е, обладающими счетным базисом; другими сло-
словами, Е ость топологическая сумма метрических пространств, обладаю-
обладающих счетным базисом (гл. I, 2-о изд., § 8, п° 10, 3-е изд., § 2, п° 4).
*19) Ii метричреком пространство всякое относительно компакт-
компактное множество ограниченно. Покапать, что для того, чтобы метризуемое
пространство Е допускало расстояние, согласующееся с его тополо-
гшш, при котором всякое ограниченное мпожостпо относительно ком-
компактно, необходимо и достаточно, чтобы Е было локально компактно
н обладало счетным базисом. [Чтобы убедиться и необходимости усло-
условия, показать, что если всякое ограниченное множество относитель-
относительно компактно, то Е локально компактно и счетно и бесконечности;
для доказательства достаточности заметить, что Е в силу следствия
предложения 12 метривуемо; рассмотреть в Е равномерную структуру,
определенную отклонениями d (г, ;/) и 1 / (а-) — / (у) |, где d — рас-
расстояние, согласующееся с топологией пространства Е, и / — функ-
функция, определенная в упражнении 15г) § 1.]
*20) а) Дать пример замкнутого отношения эквивалентности Я
в метризуомом локально компактном пространство со счетным бази-
базисом так, чтобы E/R было паракомиактно, но содержало точку, не
обладающую счетной фундаментальной системой окрестностей. [См.
гл. I, 2-е изд., § 10, упражнение 14в); 3-е изд., § 10, упражнение 17.]
(См. § 4, упражнение 24а).)
б) Пусть Е — метризусмоо пространство и R — замкнутое отно-
отношение эквивалентности в Е. Показать, что если всякая точка из E/R
обладает счетной фундаментальной системой окрестностей, то гра-
граница в Е всякого класса эквивалентности по R компактна. [Предпо-
[Предположив противное, показать, что тогда в Е существовала бы последо-
последовательность, но имеющая предельных точек, члены которой попарно
различны, а образ в ElR является последовательностью, сходящейся
к проделу, отличному от всех ее членов.1 Пусть Сг для каждой точки
г £ ElR — ее прообраз в Е, Fz — граница Cz, если эта граница
но пуста, или какое-нибудь одноточечное нодмножрстпо множества Сг,
если Сг открт.гто-замкнуто, и F — подпространство пространства Е,
лолучеипоо объединением всех Рг (г £ ElR); покапать, что FlR-g, гомео-
морфно EIR.
*21) а) Пусть Е — метризуемоо пространство, d — согласующее-
согласующееся с его топологией ограниченное расстояние, а — соответствующее d
расстояний на множестве !?(/?) всех непустых замкнутых подмножеств
множества Е (упражнение 6) и R — открыто-замкнутое отношение

УПРАЖНЕНИЯ 57
эквивалентности в Е; показать, что сужение а на ElR есть расстояние,
согласующееся с фактортопологией. [Восполыюватьси упражнением
206) для доказательства того, что всякий класс но R является откры-
открытии или компактным. Доказать затем, что если последовательность (гп)
точек из ElR стремится к точке а, а ф — каноническое отображение Е
-1 -1
на ElR, то а (<р (а), <р (zn)) стремится к 0; рассуждать от противного,
используя то, что R открыто.]
б) Пусть R — отношение эквивалентности в компактном интер-
интерпало / = @, 1]сг R, классами которого служат точки канторова
мпожества К (гл. IV, § 2, п° Г>), отличные- от концов смежных иптер-
валоп, и замыкания этих иптерналов. Показать, что факторпростран-
ство IIR гомеоморфно / [гл. IV, § 8, упражнение 166)], но что на
IIR расстояние а но согласуется с топологией.
*22) Пусть Е — отделимое топологическое пространство, обладаю-
обладающее счетным базисом (Un), и Я — отношение эквивалентности в Е
такое, что ElR отделимо и каждая точка из ElR обладает счетной
фундаментальной системой окрестностей. Показать, что топология
пространства ElR обладает счетным базисом. [Пусть ф — канони-
каноническое отображение Е на ElR. Доказать, что впутрсниости объедине-
объединений конечных семейств мпожеств ф (Un) образуют базис топологии
пространства ElR. Для этого показать, что если V — окрестность
точки z g ElR, a (Wk) — последоиптельность множеств из (Un), содер-
-1 -1
жащихся в ф (V) и образующих покрытие прообраза ф (z) точки г,
то существует конечное число ипдексов к таких, что объединение
множеств ф (Wk) служит окрестностью точки z. Предположив про-
противное, обраяовать последовательность (уп) попарно различных точек
и:» ElR, стремящуюся к z и такую, что уп не принадлежит объединению
множеств ф (Wk) для к ^ ге; покапать, что тогди объединения множеств
-1
Ф (уп) было бы вамкпутым в Е.]
Показать, что то же заключение справедливо, если предположить,
что R замкнуто и всо классы по R компактны (метод аналогичен).
*23) Топологическое пространство Е называют субметризуемым,
если его топология мажорирует топологию метрилуемого простран-
пространства. Субметрипуемое пространство отделимо, но не обязательно
регулярно. [Гл. I, 2-е иад., § 6, упражнение 10; З-о изд., § 8, упраж-
упражнение 20.]
а) Для того чтобы влолпо регулярное простраистно Е было суб-
метризуемо, необходимо и достаточно, чтобы в Е существовала равно-
равномерная структура, согласующаяся с его топологией, определяемая
семейстном отклонений Ф, содержащим но крайней мере одно расстоя-
расстояние d (см. § \, упражнение 3). Обозначим тогда через Е пополнение про-
пространства Е по этой равномерной структуре; пусть й — отклонение

58 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 2
ни Е, получаемое» продолжением d; показать, что для каждого х £ Е
(■упорствует не более одной точки у € Е такой, что d (т., у) = 0.
б) Показать, что если Е — субметрияуемос вполне регулярное
пространство, то в Е существует равномерная структура, согласую-
согласующаяся с его топологией, такая, что Е в пен но.чно. [Использовать а)
и упражнение Kin) § ].] Вынести отсюда, что если, кроме того, В —
вейорштраесово (§ 1, унражпекпо 22), то оно компактно.
п) Покакать, что наракомпактноо и еубметризуемоо локально
компактное пространство метризуемо. [Испольауя тоорему 5 § 10
главы 12-го над. C-е изд., гл. I, § 0, теорема Г>), снести к случаю, когда Е
счетно л бесконечности; вогпол.зопаться затем следствием предло-
предложения 10. См. также § 5, упражнение 15.]
*2Л) а) Пусть Е — полное метрическое пространство и А ~ нере-
п"чепие счетного семейства его открытых множеств. Покапать, что
па А существует расстояние, при котором А янлястся полным метри-
метрическим пространством и которое определяет в А топологию, индуци-
индуцируемую на Е, и равномерную структуру, мажорирующую равномер-
равномерную структуру, индуцируемую пи Е. [См. § 1, упражнения 106) и в).]
б) Обратно, пусть 1С — метрнзуемоо пространство и А ~ его
подмножество, irn котором существует расстояние d, согласующееся
с топологией, индуцируемой из Е, и превращающее А в полное мет-
метрическое пространство. Покапать, что А есть пересечепис счетиого
семейства открытых множеств ив Е. [Рассмотреть для каждого нату-
натурального числа п множество Gn точек х 6 А, обладающих открытой
окрестностью U такой, что диаметр множества А [\ U относительно d
не превышает 1/л.]
*25) Пусть Е — метринуемое пространство, Е — его компактифи-
ьация Стоуна — Чеха (§ 1, упражнение 7) и А— ограниченное рас-
расстояние, согласующееся с. топологией пространства Е. Обозначим
для каждого х С Е через /х (;/) числовую функцию, получаемую про-
продолжением функции у \—> d (х, у) по непрерывности на Е.
а) Показать, что jx (z) -\- }y (z) > d (х, у) для всех х £ Е, у С Е,
г £ Е. Показать, что fx (у) > 0 для всех точик у Q, Е, отличных от
:с G Е.
б) Поь'азать, что еслп Е полно по расстоянию d, то Е есть пере-
пересечение последовательности открытых множеств и:) Л'. [Рассмотреть
и Ь' множество Aп точек у таких, что ]х (у) < 1/п хотя бы для одного
х С Е, п показать, используя а), что Е есть пересечение множеств Grr]
и) Показать, что и обратно, еслп Е ость пересечение, последова-
последовательности F'„) открытых множеств из Е, то на Е существует согласую-
согласующееся с топологией расстояние d', при котором Е полно. [Рассматри-
[Рассматривая только тот случай, когда Е ■=£■■ Е, наметить, что Е— Е является

НОРМИРОВАННЫЕ ТЕЛА, ПРОСТРАНСТВА И АЛГЕЫ'Ы 59
объединением семейства компактных множеств Fn — Е— Gn; пусть
g (х) — inf fx (у) дли каждого и; испольпуя а), покапать, что gn (x) > О
v€Fn
на Е и что £п нотфорыппо Ffa Е. Закончить рассуждение, как в упрнж-
иошт 165) § 1.]
§ 3. Метрпзуемыо группы; нормированные тела;
нормированные пространства и алгебры
/. Мг.трияуе.ные топологические группы
Предложение 1. Для того чтобы правая и левая равно-
равномерные структуры топологической группы G были метризуемы,
необходимо и достаточно, чтобы G была отделима и ее нейтраль-
нейтральный элемент е обладал счетной фундаментальной системой окре-
окрестностей.
Необходимость условия очевидна. Обратно, предполагая его
выполненным, обозначим через (Vn) фундаментальную систему
окрестностей е; пусть Un — мпожество тех пар (х, у) из G X С,
для которых х~1у 6 Vn; множества Un образуют счетную фунда-
фундаментальную систему окружений левой равномерпой структуры
в С; будучи, кроме того, отделимой, эта структура метризуема
(§ 2, теорема 1). Для правой равномерной структуры в G доказа-
доказательство такое же.
Топологическая группа G называется метризуемой, если ее
топология метризуема; предложение 1 показывает тогда, что обе
ее равномерные структуры метризуемы.
Этот результат может быть уточнен с помощью следующего
понятия:
Определение 1. Расстояние d на мультипликативной
группе G называют инвариантным слева (соотв. инвариантным
справа), если d (zx, zy) — d (x, у) (соотв. d (xz, yz) -= d (x, у)) для
всех х, у, z из G.
Предложения 2. Левая (соотв. правая) равномерная струк-
структура метризуемой группы G может быть определена посредством
расстояния, инвариантного слева (соотв. справа).
В самом деле, предположим, что фундаментальная система (Vn)
окрестностей е состоит из симметричных окрестпостсп таких, что
V^+1 cr Vn для всех п; соответствующие окружения Un левой рав-

ПО ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX,' § 3
номерной структуры будут тогда симметричными окружениями
3
такими, что £/„+, cr Un. Прием, использованный при доказатель-
доказательстве предложения 2 § 1, приводит, отправляясь от последователь-
последовательности (£/п), к расстоянию d на G, согласующемуся с левой равно^
мерной структурой группы G; кроме того, поскольку при любом
z £ G отображение (х, у) >-»■ (zx, zy) оставляет неизменным каждое
Un, то же определение d показывает, что d есть расстояние, инва-
инвариантное слева. Для правой равпомерной структуры рассуждение
аналогично.
Отмстим, что, если правил и лгтмя равномерные структуры в G
различны, то d по инвариантно справа, л, следовательно, я общгм
случае d (зг\ у-1) Ф d (.г, //).
В частности, если G — метризуемая коммутативная группа,
то ее равномерная структура определяется одним инвариантным
расстоянием d; в аддитивной записи будем иметь d (х, у) =-
= d @, у — х) = d @, х — у); часто полагают d (О, х) = | х | (или
d (О, х) =■ || х ||), так что d (х, у) — \ х — у \. Функция | х \ удов-
удовлетворяет следующим трем условиям:
а) | —х | = | х | для всех х £ G;
б) |a: + yK|:r|-f-|y| для всех х, у 6 G;
в) Отношение | х | == 0 равносильно х = 0.
Обратно:
Предложепие 3. Пусть G — коммутативная группа в ад-
аддитивной записи и х *-*■ | х | — отображение G в R+, удовлетворяю-
удовлетворяющее предыдущим условиям а), б), в). Тогда функция d (х, у) ~
= | х — у \ является инвариантным расстоянием на G; опреде-
определяемая ею в G топология £Г согласуется со структурой группы,
а определяемая ею равномерная структура совпадает с равномер-
равномерной структурой топологической группы, получаемой- при наделе-
наделении G топологией &".
Функция d (ж, у) действительно является расстоянием, на G,
ибо d (х, у) =■■■{) равносильно х — у в силу и), d (у, х) — d (x, у)
в силу а) и d (х, у) = | (х — z) + (z — у) | ^ | х — z | +
т■ J z — у \ — (I (x, z) -!- d (z, у) в силу б). Кроме того, d —
инвариантное расстояние, поскольку (х + z) — (у -+• z) =•- х — у.
Пусть Va для каждого а > 0 — множество тех х ^ G, для которых

/ НОРМИРОВАННЫЕ ТЕЛА, ПРОСТРАНСТВА И АЛГЕБРЫ 61
| х | < а; множества Va образуют фундаментальную систему @
окрестностей нуля в топологии У, а так как d инвариантно, то
а -I- <В для каждого о £ G является фундаментальной системой
окрестностей а в топологии У. В силу а) множества Va симметрич-
симметричны, а в силу б) Va + Va cz Via. Таким образом, топология У
согласуется с заданной в G структурой группы (гл. III, § 1, п° 2).
Последняя часть предложения очевидна.
Условия й), б), в) равносильны соединегаю условия и) с усло-
условием
б') \х~у |< \х | + |.у |.
В самом доле, очевидно, а) и б) влекут б'). Обратно, полагая
в б') х = 0 и принимая во внимание в), получаем | — у | ^ | у |,
откуда, заменяя у на — у, имеем 1 — у | = | у |, т. е. п); заменяя в б')
у яа —у, получаем тогда б).
Предложение 4. Всякая отделимая факторгруппа G/H
метрищемой группы G метризуема; если, кроме того, G полна,
то и GIH полна *).
Первая часть предложения вытекает из того, что в GIH
нейтральный элемент обладает счетной фундамептальной системой
окрестностей: в самом деле, если (Vn) — фундаментальная система
окрестностей е в G, то канонические образы Vn множеств Vn
в GIH образуют фундаментальную систему окрестностей нейтраль-
нейтрального элемента в GIH (гл. III, 2-е изд., § 2, следствие теоремы 1;
'Л-о изд., § 2, предложение 17).
Чтобы показать, что если G полна, то и GIH полна, достаточно
(§ 2, предложение 9) показать, что всякая последовательность
Коши (хп) относительно левой равномерной структуры в GIH
сходится; при этом всегда можно считать (выделяя, если потре-
буотся, подпоследовательность последовательности (хп)), что
x^Xq £ Vn, каковы бы ни были индексы р, q такие, что р ^ га,
q ^з га; это означает, что для любой пары точек у £ хр, z £ xq имеем
y~lz £ HVn = VnH, так что для любого у £ хр пересечение xq
*) Существуют нометризуемыо полные группы G, содержащие замкну-
замкнутую подгруппу Н, факторгруппа Gill по которой но полна. (Топ. пскт. нростр.,
гл. IV, § 4, упражнение 10в).)

fJ ВЕЩЕСТВЕННЫ!! ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 3
с окрестпостыо yVu точки у по пусто. Предположим теперь, что
последовательность (Vn) выбрана так, что V^+iCZ Vn, и определим
по индукции последовательность (хп) точок из G так, чтобы хп £
£ хп и хп+1 с. xnVn, что но предыдущему возможно; по индукции
заключаем тогда, что яп+р £ zriFnFn+1 . . . Vni.p^ с: xnVn.x для
всех р > 0. Таким образом, (ж„) есть иоследовательность Коти
в G и, значит, сходится к некоторой точке а; отсюда сразу следует,
что канонический образ а точки а в GIH есть предел последова-
последовательности (х„).
Следствии 1. Пусть G — полная метризуемая группа,
Go — ее всюду плотная подгруппа, II„ — замкнутый нормальный
делитель последней и II — его замыкание в G; тогда пополнение
факторгруппы Go/Ho изоморфно GIH.
Как известно, II есть нормальный делитель группы G (гл. III,
2-е изд., § 2, предложение 7; 3-е изд., § 2, предложение 8), а предло-
предложение 4 показывает, что факторгрунпа GIH полна; с другой сто-
стороны, ясно, что ф (Go), где <р — каноническое отображопие G
на GIH, всюду плотно в GIH. Поэтому справедливость следствия
вытекает из следующей леммы:
Лемма 1. Пусть G — топологическая группа, Go — ее всю-
всюду плотная подгруппа, По — замкнутый нормальный делитель
последней, Н — его замыкание вС иц> — канонический гомоморфизм
G на GUI; тогда каноническое отображение G,JH0 на ср (Go) есть
ияоморфиим структур топологической группы.
Поскольку По — II П Gn, все сводится к доказательству того,
что открытое множество Uo в Go, насыщенное ио отношению
х~ху £ Яо, является следом на Gn некоторого открытого множе-
множества ms G, насыщенного по отношению х~гу £ // (гл. I, 2-е изд.,
§ 9, предложение 4; 3-е изд., § 3, предложений 10). Пусть U —
открытое множество в G такое, что UQ = U П ^Y> поскольку VQ -
— UQH0, сразу видно, что Uo — UH0 f] Go; а так как UHQ открыто
в G, то можно предполагать, что U = UH0. Тогда множество UH
будет открыто лCи насыщено но отношению х~гу £ II; покажем,
что UИ fl Go — U(), чом доказательство и завершится. Пусть
и 6 U и h 6 Я таковы, что uh 6 Go; существует симметричная
окрестпость V нейтрального элемента е в G такая, что uV cz U;

/ НОРМИРОВАННЫК ТКЛА, ПРОСТРАНСТВА II АЛГЕБРЫ 63
поскольку Vh есть окрестность h в G, существует z £ V, для кото-
которою zh £ //„; ио тогда uz~x £ £/, и так как uh — (mz) (zfe), то
можно предполагать, что h £ //„; поскольку UII0 — U, тогда
Пусть G и С — отделимые коммутативные топологические
1]>уппы, a G и 6" — их пополнения. Напомним (гл. III, § 3), что
всякое непрерывное представление и группы G в G" равномерно
мспрерывпо и нродолзкается единственным образом до непрерыв-
непрерывного представления G в G', которое мы будем далее в этом п° обо-
обозначать через и. Диаграмма
Г -Л Г'
1 Г'
v v
Si
G
1до i и V — канонические инъекции G в G и G' в С", коммута-
коммутативна. Ясно, что если v — непрерывное представление группы б*
в отделимую коммутативную топологическую группу G" и м> ==
■ Уоц, ТО Ш = Уоц,
Пусть Н — замкнутая подгруппа группы G, Е — GUI, а / и р—
канонические отображения
Пусть далее II — замыкание II в С; Я — полная группа и потому
отозкдествляется с пополнением 17 группы //. Непрорывное про-
должение jf отобрагкония / на // есть, очевидно, каноническая
инъекция II в G.
Будем предполагать, начиная отсюда, что группа G метри-
лцема. Тогда каноническое отображение факторгруппы Е — GIH
n G/II есть ее топологический изоморфизм на всюду плотную под-
подгруппу полной группы GUI (следствие 1), так что можно отожде-
отождествить Gill с Ё та. непрерывное продолжение р отображения р
па G с каноническим отображением G на GIH.
Следствие 2. Пусть G и G' — метризуемые коммутатив-
коммутативные топологические группы, и — гомоморфизм G в G', N — его

64 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩИЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 3
ядро, а Р — его образ. Тогда и есть гомоморфизм, G в G' с ядром N
и образом Р.
Пусть u — j°v°p — каноническое разложение гомоморфизма и,
где v — изоморфизм топологической группы GIN на топологи-
топологическую группу и (G) = Р. Имеем и — j°v°p и, как мы видели,
р есть каноническое отображение G на GIN, а / — каноническое
отображение Р в G'. С другой стороны, v ость изоморфизм GIN
на /' (гл. III, 2-е изд., § 3, предложение G; 3-е изд., § 3, пред-
предложение 5), и следствие доказано.
Следствие 3. Пусть G, G', G" — метризуемые коммутатив-
коммутативные топологические группы, и: G->- G' и V. G" -+• G" — гомомор-
U V
физмы такие, что последовательность G—>G' —>G" точна (т. е.
и (G) = v @)). Тогда и последовательность G—^G'—>G" точна.
-1
В самом деле, пусть N — и (G) = v @); из следствия 2 выте-
вытекает, что N есть одновременно образ и и ядро v.
Замечания. 1) Пусть G — неотделимая топологическая
группа такая, что ассоциированная с ной отделимая группа метри-
зуема; то же можно выразить, сказав, что нейтральный элемент в G
имеет счетную фундаментальную систему окрестностей. Доказатель-
Доказательство предложения 4 переносится тогда без изменений на этот случай,
с произвольным нормальным делителем группы G в качестве Я; оно
показывает, что отделимая группа, ассоцииропанная с G/JFT, ыстризуома
и что G/N — полная группа (вообще говоря, неотделимая), коль
скоро G полна.
2) Пусть d — инвариантное слева расстояние, определяющее
топологию метризуемой группы G, и Н — замкнутый нормальный
делитель группы G. Для произвольных точек х, у из GUI рас-
рассмотрим расстояние d (x, у) между замкнутыми множествами х, у
в G (§ 2, п° 2); покажем, что d (x, у) является инвариантным слева
расстоянием па G/H, определяющим топологию этой факторгруп-
пы. Заметим сначала, что если х £ х, у £ у, то d (х, у) = d (x, Ну);
в самом деле, d (х, Ну) = inf d (x, hy), откуда в силу инвариант-
ности слева расстояния d сразу следует, что d (h'x, Ну) =

2 НОРМИРОВАННЫЕ ТЕЛА, ПРОСТРАНСТВА И АЛГЕБРЫ 05
г-, d (ж, Ну) для всех h' £ H, чем наше утверждение и доказано
(§ 2, п° 2); таким образом, для любой точки z 6 GIH имеем (§ 2,
и" 2, формула B))
\d(x,z) — d(y,z) | = |d (ж, z) — d (у, z) |< d (ж, у),
и так как это неравенство справедливо при любых х £ ж и у £ у,
то | d (ж, г) — d (у, г) | =С d (ж, #), чем доказано, что d (ж, у) —
Расстояние на GUI. При этом, согласно предыдущему, для каждо-
каждого z £ z имеем d (zx, zy) = inf d (zx, hzy); но так как hzy =•=--
-■- z(z~1hz)y, a z~}hz пробе1лает //, когда h пробегает // (ибо // —
нормальный делитель), то из инвариантности слева расстояния
d {х, у) вытекает, что d (zx, Hzy) = d (ж, Ну) = d (x, у). Наконец,
ос.'ш V — окрестность евС, определяемая неравенством d (e, ж) <
< а, то ее образом V в G/H служит множество', определяемое
неравенством d (e, х) < а, чем и завершается доказательство.
'i. IIормиронаипые тела
Определение 2. Абсолютным значением на теле К назы-
называют отображение ж >-*■ | ж | тела К в R+, удовлетворяющее сле-
оующим условиям:
| ж | = 0 равносильно х == 0;
I жт/ | = | ж | | iy| 5ля есеж ж, у из К;
\х-\-у\^]х\л-\у\ для всех ж, у из К.
Согласно (VMh), | ж | =•■ | 1 | | ж |, и так как в силу (VMi)
существует по крайней мере одно ж, для которого | ж | Ф 0, то
| 1 | = 1; в силу (УМл) тогда 1 — | —1 |2, откуда также | — 1 | =
= 1 и, следовательно,
| -ж | - | -1 | | ж | = | ж (;
отсюда заключаем, что |ж — у|^|ж|Ц-1.г/| для всех ж, у.
Можно также сказать, что d (ж, у) — | ж — у | есть инвариантное
расстояние на аддитивной группе тела Ж, а отображение ж (-+•
►-*• ] ж ] —- представление мультипликативной группы К* ненуле-
ных элементов из К в мультипликативную группу R* веществен-
вещественных чисел > 0.
■г> И. БурОаки

60 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОВЩКЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 3
Инвариантное расстояние | х — у \ определяет в К топологию
метрического пространства, согласующуюся со структурой адди-
аддитивной грунпы в К (предложение 3); кроме того, эта топология
согласуется со структурой тела в К. В самом деле, непрерывность
ху на К X К вытекает из соотношения
ху — х0у0 = (х — х0) {у — у0) + {х — х0) у0 -!- х0 (у — jf0),
которое дает
! ху — хоу0 | < | х — х0 [ | у — у0 | -|- | х — х0 | | у0 | -f
--:-1 *o 11 у — //о !•
Точно так же непрерывность х'1 в каждой точке х0 =£ 0 вытекает
из тождества ж — аг^1 = х~1 (х0 — х) х~1, котороо па основании
(VMn) дает
Если 8 > 0 взято <С | х0 |, то отношение | х — х0 | ^ е влечет
I ж | > | z0 |— е, откуда | х~г — х;1 \ < |Jo| (|д-0|-е) ' чт0 и уста"
навливает непрерывность а:" в точке х0.
Опредкленик 3. Нормированным телом называют тело К,
наделенное структурой, определяемой заданием на К абсолютного
значения.
■Мы будем всегда считать нормированное тело наделенным топо-
топологией, определяемой его абсолютным значением, и том самым —
топологическим телом. Если Ао — подтело нормированного те-
тела А, то сужение на Ао абсолютного значении, заданного на К,
является абсолютным значением на А'о и определяет в Ки топо-
топологию, совпадающую с индуцированной из К.
И р и м о j) т.т. 1) Пусть К — проиаколыюо тело; для каждого
х С К положим | х | = 1, если х Ф 0, и | х ! — 0, если х = 0; так
определенное отображение х у—*- | х \ япляртся абсолютным значением
нп К, называемым несобственным абсолютным значением. Для того
чтобы топология, определенная в К абсолютным значением | х |,
была дискретной, необходимо к достаточно, чтобы | х | было несоб-
несобственным абсолютным значением. Достаточность этого условия оче-
очевидна. Обратно, если топология тела К дискретна, то | х \ не может
принимать никаких значении а > 0, отличных от 1; в самом деле,
если бы | х0 | = а < 1 дли некоторого х0 Ф 0, то последователь-

U НОРМИРОВАННЫЕ ТЕЛА, ПРОСТРАНСТВА И АЛГЕБРЫ 0O
иость (а?"), члены которой фО, сходилась Gu к 0; случаи а > 1 сво-
сводится к предыдущему переходом к хп1-
2) Абсолютное значение вещественного числа (гл. IV, § \, п° С)
удовлетворяет аксиомам (VMi), (VMu), (VMin) и определяет на поло R
топологию числовой пряной. Па поло С комплексных чисел (отож-
(отождествляемом с R2) и пи теле К кваторпиопов (отождествляемом с R")
евклидова норма является вместе с тем абсолютным значением, опре-
определяющим топологию каждого из этих тел (гл. VIII, § 1, п°п° 2 и 4).
3) Вещественным, нормированием на теле К называется функ-
функция v иа К* со значениями и R, удовлетворяющая следующим усло-
условиям: a) v (ху) = v (х) -}- v (у) для всех х, у £ А'*; б) v {х + у) ^з
^ inf (у (х), и ((/)), пели при этом х -\- у -/ 0. Пуст], а — какое-либо
вещественное число >1; тогда положив | х | = а-»<*> для всех х =^- О
и | 0 | = 0, получим на К абсолютное значение. 15 самом дел с, из
соотношения v (ху) = v (x) -f- у (?/) при i' т4-' 0, г/ t/~ 0 получаем для
этих х, у соотношение | ху \ — \ х || у |, и ото соотношение, тривиаль-
тривиальным образом нерио, если один из элементов х, у ранен нулю; точно
так же неравенство v (х + у) ^ inf (у (х), v (у)) для х ф 0, j/ =^= 0,
х + J/ ¥: 0 влечет неравенства | х -р- у \ < sup (| х |, | j/ |) <; | х \ -|-
+ I У I» и непосредственно проверяется, что эти неравенства остаются
п силе, если какой-либо из элементов х, у, х -\- у равен нулю. В част-
частности, если vp (х) есть р-адичоское нормирование на поле Q рацио-
рациональных чисел (показатель степени, в которой р входит в разложение
числа х на простые множители), то соответствующее абсолютное зна-
значение | х \p — p~Vp(x' называется р-адическим абсолютным аначением
на поло Q.
Замечание. Если элемент х нормированного тела есть кореш,
из единицы, то | х \ ~ 1, ибо если хп — 1 дли целого п > 0, то | х ]" =
= 1 и, следовательно, | х \ — 1. В частности, единственное абсолют-
абсолютное значение на конечном тело есть несобственное абсолютное зна-
значение, поскольку всякий ненулевой йлемепт тела есть корень из еди-
единицы.
Определение 4. Два абсолютных значения на теле К
называются эквивалентными, если они определяют в К одну и ту
же топологию.
Предложение 5. Для того чтобы не несобственные абсо-
абсолютные значения | х |t и \ х |2 на теле К были эквивалентны,
необходимо и достаточно, чтобы отношение \ х \1 < 1 влекло
|ж|г<1. Тогда существует число р > 0 такое, что \ х \г =
=- | х |р для всех х £ К.
Условие необходимо, ибо множество элементов х £ К, для
которых | х \i <C 1, совпадает с множеством тех х, для которых
5*

68 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩКЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 3
limin~0 в топологии, определенной абсолютным значени-
П-1-ОО
ем | ж |,.
Обратно, предположим, что | х \t <С I влечет | х |2 < 1. Тогда
| a; |i > 1 влечет | х |2 > 1., ибо | х'1 |t <C 1 и, следовательно,
Iх'1 1г<1- Так как' по предположепию, абсолютное значение
| х d но являотся несобственным, то существует х0 £ К, для кото-
которого | х0 lt > 1; положим а — | х0 |], /> - | ж0 |3, р -- log b/\oga >
> 0. Пусть ж g /С* и | ж |, — | х0 \)\ Если тип — целью числа
такие, что п > 0 и mln > у, то | х |L < | ж0 |f/n, откуда
| ж"/ж;|' [, < 1. и, следовательно, [ хп/х'(;> |2 < 1, | а: |2 < | я0 |.™/п.
Так же покажем, что если т,1п <С у, то | х |„ >■ | ж0 |™/". Следова-
Следовательно, | ж |а -- | x,t |У; иначе говоря., log | з: |2 -~ у log 6 =
= 7Р lf>f? я ::= р 1"? I ж |,. или | х |2 == | a: |f; отсюда явствует тогда,
что окрестности нуля в топологиях, определенных в К абсолют-
абсолютными значениями \ х |t и | х |2, совпадают.
Обратно, для любого абсолютного 31гптгония | х \ на К функция
] х |р яиляется абсолютным нипчинием на К (эквивалентным | х ()
при всяком; р, удоплктворнющом норапенстпам 0 <рг^ 1. В самом
дело, достаточно проворить нерапенстио | х -J- j/.|p ^ | х |р + | ;/ \р',
но | х -|- .'/ I*1 =^ (I х | -- | у |)р> так что остается пока.штт., что если
п. > 0, 1>0 и 0<р<1, ю (»+ hf < ар + /'р. Полоятв с =
= я/(а -г ?j), d ~ bl(a ~\- ft), будем имкть с + rf = 1 п требуомоо
тгеравоистпо перепишется и ниде 1 < с° + .<?р! последнее жр неиосред-
етлекно следует ил соотношений ср > с, dp > d, очрппдиых, поскольку
О < с < 1, О < d < 1 и 0 < р < 1.
Отсюда питекает, что множество трх яначснин г > 0, для кото-
которых | х \Т •— абсолютное значпнле, есть конечны!! или бесконечный
интервал в R с началом 0; если он конечен, тп, очевидно, coflopvKHT
<-nofi пришли itoiron, ибо если для проилвольнмх двух Элементов х, у
из К имеем | х ~\- у \г < | х \г | -\- | у |г, когда 0 < г < г0,
то по непрерывности неравенство остается в силе и при г = го. В слу-
случае, когда | х \г есть абсолютное значение при каждом г > 0, имеем
|я + V К (U !г+ 12/ 1ГI/Г'
каковы бы ни били я, у £ if и г > 0. Ио если а ^ 0 и 5 ^ 0, то
liin. (or •■)•- br)^r = sup (a, 6), ибо, предполагая, например, Ъ < а, имеем
. о < (а'+ Ь»-I/г < 21/ra, •
откуда, неограниченно увеличивая г, и получаем требуемую формулу.

2 НОРМИРОВАННЫЕ ТЕЛА, ПРОСТРАНСТВА И АЛГЕБРЫ 69
Таким образом, видим, что если | х \г есть абсолютное значение
при каждом г > 0, то | х -\- у | < sup (| х |, 1 у |); то же можко ныра-
:шть еще, сказлв, что v {г) = —log | х \ (х. Ф 0) является нормиро-
нормированием на К.
Замечали е. Доказательство предложения 5 показывает, что
ослп абсолютное значение | х \i ire является несобственным и топо-
топология, определяемая к Л? абсолютным значением | х |2, мажорируется
топологией, которую определяет | х |,, то | х \х тт \ х%\ эквивалентны,
поскольку "неравенство | х \г ■< 1 влечет тогдн \ х |а «< 1. Иначе
1'оворя, топологпп, определяемые « К двумя ие иее.обстпекнымм иСко-
лютнымп значениями, могут быть сравнимы только когда они совпа-
совпадают.
Ш'кдложеиие 0. Кольцо К, получаемое пополнением тела К,
нормированного посредством абсолютного значения | х |, являет-
является телом, а функция \ х \ продолжается по непрерывности до аб-
абсолютного значения на. К, определяющего топологию последнего.
Пусть % — фильтр Коти в К (относительно аддитивной ратшо-
морной структуры тела А"), для которого 0 не является точкой
прикосновения; чтобы убедиться в том, что К — тело, достаточно
установить, что образ Й1 при отображении х>-+-х~х есть базис
фильтра Когаи (гл. III, 2-е изд., § 5, предложение 3; 3-е изд., § 6,
предложение 7). Но, по предположению, существуют число а > О
и множество А £ % такие, что | х | ^ а для всех х £ А; с другой
стороны, для каждого е > 0 существует множество В 6 % такое,
что В а А и | х — у |^е для всякой пары элементов х, у из В;
отсюда.
чем доказана первая часть предложения. Инвариантное расстоя-
расстояние \х — у | — d (х, у) продолжается на К X К по непрерывности
и дает расстояние на К (§ 2, предложение 1), определяющее
топологию последнего и инвариантное в силу принципа продолже-
продолжения тождеств; мы будем обозначать его по-прежнему d (x, у). Если
положить | х | = d @, х) для всех х 6 К, то ясно, что | х \ есть
продолжение по непрерывности функции | х | на К, и значит,
по принципу продолжения тождеств является абсолютным зна-
значением на К.

70 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩИЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 3
3. Нормированные пространства
над нормированным телом
Определение 5. Пусть Е —векторное пространство (скажем,
левое) над недискретным нормированным телом К; нормой
на Е называют его отображение х^р (х) в R+, удовлетво-
удовлетворяющее следующим аксиомам:
р (ас) = 0 равносильно х =- 0;
Р 0*; +1/) ^ Р 0*0 + Р (.'/) для всех х, у ия Е;
(NOrn) р Aл) =- \ t \ р (т) для всех t £ К и х £ Е.
Чаще псого ш.тречатотен нормнропапида пространства, лмскт^ю
в качестис тела (>K>i.:iMpoi< поле К иди С (наделенное обычным абсолют-
абсолютным шир-шинсм.). Ii Kiiiii'ii V будут WH.viim.cii сиецмплып.н^ ciioiicrna
этих пормирошшпых нрострапсти.
Из (NOhi) вытекает, в частности, что р(—х)=-р (х)\ отсюда,
положив d (ас, у) --р (х — у/), получаем инвариантное расстоя-
расстояние d на аддитивной: группе векторного пространства В; оно опре-
определяет в последнем топологию метрического пространства, согла-
согласующуюся с его структурой аддитивной группы (предложение 3).
Кроме того, отобрангение (t, х) *-*■ tx непрерывно на К X Е; в самом
дело, 7 108
IX 'о'^'О == '* *0/ V""' •"'О/ " V* ~" '()) ■"'О Л~ *о V*"' ~~ ■"'о)
и, следователыго,
р (tx — toxo) ^\t — to\p (x-~.r,0) -b
-I- \t — t0 \ p (x0) -I- \to\p (x — x0),
так что ловая часть можот быть сделана сколь угодно малой, если
взять достаточно малыми \ t—10 | и р (х — х0).
Описделгенпе (к Нормированным пространством над не-
недискретным нормированным телом К навивают, векторное про-
пространство Е над К, наделенное структурой, определяемой задани-
заданием на Е нормы.
Пормировапноо пространство всегда будет считаться наделен-
наделенным топологией и равномерной структурой, определяемыми его
нормой.
II р и м о р iii. 1) И а нодискротиом нормированном тело К, рас-
сматрипаомом как (левое или привое) векторное пространство отно-
относительно самого себя, абсолютное значение ] х ! являются нормой.

НОРМИРОВАННЫЕ ТЕЛА, ПРОСТРАНСТВА И АЛГЕБРЫ 71
2) Выражение || х || = у "У\ х\ , которое мы лазг.тнли ечкли-
довой нормой па лростраистис Rn (гл. VI, § 2) , очевидно, остт> норма
п смысле опредолпиия Г). То >ко верно для функций sup | ,г; '
1<
H 2Lj 1 ^i I'
3) Пусть ${Е) — множество всех функций / на Е со значениями
и ледискретиом нормированном теле К, для которых числовая функ-
функция х у-* | / (з-I ограниченна на Е. Очевидно, ато множество естг. иек-
торлое подпространство (лопого или правого) вокториого простран-
пространства К1'' всох отображений Е и К. Положив р (/) = sup | / (х) \, полу-
получим норма р нп векторном црострапстве ,$(/■) (см. гл. X, § 1).
°4) Мл вокторлом прострапство V{I) всех пепрерьггпгых кгше'гамх
числовых функций, определенных па интервале / = [0, 1], функции
1
Р (х) - j | ,r (t)
о
dt является
Замкнутый шар В с центром 0 и радиусом 1 в нормированном
пространстве Е, т. о. множество тех scf£, для которых р (ж) ^ 1,
называют единичным шаром пространства Е. Покажем, что гомо-
гомотетии x*-*-tx единичного шара, где t пробегает множество всех
лснулепых элементов из К, образуют фундаментальную систему
окрестностей нуля в Е. В самом доле, образом тара В при такой
гомотетии служит замкнутый шар с центром 0 и радиусом | t |;
таким образом, достаточно показать, что для каждого веществен-
вещественного числа г > 0 существует t £ К такое, что 0 •< | t | < г. Но
поскольку К наделено абсолютным значением, не являющимся
несобственным, существует t0 £ К, для которого 0 < \tu \ < 1;
следовательно, взяв t = £" с достаточно большим целым п, будем
иметь | t | = | t0 Г < г.
Олркделшше 7. Две нормы на векторном пространстве Е
(над недискретным нормированным телом К) называют эквивалент-
эквивалентными, если они определяют на Е одну и ту же топологию.
Предложение 7. Для того чтобы нормы р и q на вектор-
ком пространстве Е были эквивалентны, необходимо и достаточно,

72 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 3
чтобы существовали числа а > О, Ь >• 0 такие, что
ар (х) ^q(x)^ bp (х) A)
для всех х £ Е.
В самом деле, эти неравенства достаточны, ибо из отношения
ар (х) ^ q (х) вытекает, что для любого г > О замкнутый тар
с центром 0 и радиусом аг в смысле нормы g содержится в замкну-
замкнутом шаре с центром 0 и радиусом г в смысле нормы р; таким обра-
8ом, топология, определяемая нормой д, мажорирует топологию,
которую определяет р; совершенно так же неравенство д (ас) ^
^ Ьр (ас) показывает, что топология, определяемая нормой р,
мажорирует определяемую нормой q; следовательно, эти две топо-
топологии совпадают.
Покажем теперь, что неравенства A) необходимы. Если топо-
топология, определяемая нормой д, мажорирует определяемую нор-
нормой р, то единичный шар п смысле нормы р. содержит некоторый
замкнутый тар с центром 0 и радиусом а > 0 в смысле нормы д;
иначе говоря, q(x)^. а влечет р (х) ^ 1. Если tn £ К таково, что
О < I *0 I < 1' то Для каждого хф 0 из Е существует, и притом
единственное, целое рациональное к такое, что а ] t0 \ ■<. q {t\x) =S^
<: а; тогда р {Щх) ^ 1, откуда
полагая а —а \ t0 |, получим, что ар (х)^.д (х) для всех х Ф (),
и это неравенство сохраняет силу также для х = 0. Таким же
образом убеждаемся, что если топология, определяемая нормой р,
мажорирует определяемую нормой д, то существует b > 0 такое,
что д (х) ^ Ьр (х).
Пример. В пространстве R" нормы
эквивалентны, ибо
Предложение 8. Пусть Е — нормированное пространство над
недискретным нормированным телом К, р — его норма и Ё —
аддитивная топологическая группа, полученная пополнением адди-

4 НОРМИРОВАННЫЕ ТЕЛА, ПРОСТРАНСТВА И АЛГЕБРЫ 73
пшвпой группы пространства Е. Функция (t, x)*->-tx продолжает-
продолжается по непрерывности на К X Ей определяет в Ё структуру вектор-
векторного пространства над К; норма р продолжается по непрерывно'
сти на Е до нормы р, определяющей топологию пространства Е.
Продолжение по непрерывности функции tx есть частный
случай теоремы о продолжении непрерывного билинейного отобра-
отображения произведения Е х F двух коммутативных групп в третью G
(гл. III, 2-е изд., § 5, теорема 1; ?>-о изд., § 6, теорема i); по прин-
принципу продолжения тождеств имеем 1 •:»•, — х и t (их) ----- (tu) x
для все! t £ К, и £ К и х £ Е; следовательно, внешний закон
(/, х) -*■ tx действительно определяет в Е структуру векторного
пространства над К. С другой стороны, инвариантное расстояние
d (х, у) — р (х—у) продолжается на Е X Е до инвариантного),
расстояния dim Ё (§ 2, предложение 1), определяющего топологик>
пространства Е\ положив р (х)--~ d @, х), получим продолжение
по непрерывности р нормы р на Е, удовлетворяющее аксиомам
(NOi) и (NOri); в силу непрерывности tx на К X Ё, оно удовлетво-
удовлетворяет также условию (NOm) (принцип продолжения тождеств)
и является, таким образом, нормой на Е.
Рассматривая в векторном пространство Е определенную,
структуру нормированного пространства, чаще всего (если это-
не порождает путаницы) обозначают норму вектора х через || х ||.
4. Факторпрострамства и произведении
нормированных пространств
Предложение 9. Пусть Е — нормированное пространства
над недискретным нормированным телом К и II — его замкнутое
векторное подпространство. Если для каждого класса х £ Е/Н
положить || х || = inf || x ||, то функция \\ х \\ будет нормой на
векторном пространстве Е/Н, и топология, определяемая этой
нормой, будет совпадать с фактортопологией топологии про-
пространства Е по Н.
В самом дело (п° 1, замечание 2), d (х, ?/)= || х — у \\ есть
инвариантное расстояние па Е/Н, определяющее фактортопологшо

74 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ' ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, §3
топологии пространства Е по //. Остается только убедиться в том,
что |! tx || =: | t | |[ х ||, а это непосредственно следует из определе-
определения || х || (гл. IV, § 5, формула B3)).
Норма || х || может быть истолкована еще следующим обра-
образом: это естг> расстояние (в Е) от произвольной точки х ^ х до
подпространства If, ибо множество точек из х совпадает с .мно-
.множеством точек х — е, где г: пробегает II.
Предложение 10. Пусть {Ei)\fii „ — конечное семейство
нормированных пространств над недискретным нормированным
телом /у; если для калсдой точки ж ----- (эс;) векторного пространства
п
Е — \\ Et положить || х || -■• sup || xt ||, то функция || х \\
; ~\ 1.- in
будет нормой на Е, а определяемая ею топология в Е будет совпа-
совпадать с произведением топологий пространств Е{.
В самом деле, если х - ■ (х{) и у ■■- (//,-), то х-\-у ~ (х( Ч- ?/;).
и, следовательно,
|| х -г у || = sup || xi + Vi ||<sup (|| xi || +1| yt || )<
<snp || ж, ||-|-аир || у, || .--=|| as |Ц-И у |f..
i i
С другой стороны, ясно, что || tx || = | t I || x || и что || x || = 0
влечет || xt || = 0 и, значит, xt = 0 A ^ i ^ и), т. е. х -~ 0;
таким образом, || х || действительно ость норма на Е. При этом
отношение || х || < а равносильно п отношениям ||г«г || < а, так
что норма || ж || действительно определяет в Е топологию произве-
произведения.
п Г п
Можно доказать, что функции ]>] ||ccj|| и V/ V, ||а5(||г тоже
i—1 ' i—-1
ялляютск ио])м»ми на Е; в сил5г неравенств B), укааанныо три ш>р-
MI.1 эквивалентна.
ft частности, если для точки x — (xt)U:\fn (левого или тошного)
векторного проотрапстпа Кп над К положить
= вир f JCf
Г П
=1/ ^ \
то функции pt, p2, )>3 будут эквиналонтпыми нормами, определяю-
определяющими к А'" нроизведонно топологий сомножителей К.

г, НОРМИРОВАННЫЕ ТЕЛА, ПРОСТРАНСТВА II АЛГВБРЫ 75
~>. Непрерывные полилинейные функции
Теорема 1. Пусть Et (I ^ i ^ п) и F — нормированные
пространства над недискретным нормированным телом К, a f —
п
полилинейное отображение произведения JJ Е{ в F. Для того что-
71
бы / было непрерывно на JJ Ei, необходимо и достаточно, чтобы
существовало число а > 0 такое, что
Hi (лп /w» /у» \ 11 *£**" ij 11 /у» 1 II /у» 1| |[ /и» 11 / ч\
J 4*^1 Т t^J 91 ' ' ' 1 *^Т1 / 1 ^-^ 11 *^ I II II ' 4 | ■ • • | '"^7( lit \*~ J
каковы бы ни были точки xt ^ Ej A ^ г ^ п).
Условие необходимо. В самом деле, если / непрерывно в точке
(О, 0, . . ., 0), то существует число Ъ > 0 такое, что условия
!l-«i КЬA<г< п) влекут ||/ (х1( . . ., хп) ||<1- Пусть ta £ /С
гиково, что 0 < | t0 ! < 1; для каждой точки (ж;) g j]b'f, в
которой все осг- отличны от нуля, существует п целых рациональ-
рациональных чисел hi таких, что Ь \ t0 \ <; || t^lxt || ^ b; следовательно,
\ 1
так как, с другой стороны, . ;g , , r || xt ||, то получаем
\to\hl 6|£o1
неравенство C) с а — ■ t ■■; очевидно, оно остается в сило также,
если какое-либо ив х,- равно нулю.
Условно достаточно. В самом доле, покажем, что если оно
иынолиено, то /^непрерывно в каждой точке («^пространства
\\ Et. Имеем
' — i
^ / (
4=1
Но в силу C) условия || хг — аг || < r (I ^ i ^ п) влекут
ll ..., *„) ||<огП (II «ft Il + r
/(«1, ..., а„) =
^ 1-. • ■ •> л*-ь aci —«г, xt+i, ..., хп).
h.fci

76 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБ ЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 3
Обозначая через с верхнюю грань чисел || af\\ A ^ г ^ /г), полу-
получаем отсюда
II / (авг xn)—f {о л «п) -II < ™г (с + г)"-1.
Поскольку правая часть ость полином относительно г без свобод-
свободного члена, она стремится к 0 при г -> 0, чом непрерывность /
и доказана.
Заме >т а н и г. '.)т& теорема влетот дип доказанных иыгпо пред-
предложения: с одной стороны, нонрермпность билшгошюи функции l.r
н силу соотношения ||/х || == | I | |1х-|| ir, с другой стороны, првдло-
№D1ио 7, которое получается приыошшием тсоромы 1 к тождостнси-
ному отобрая;еииго Е на Е, рлесматринаемому теу.к линейное отобра-
отображении прогтранстпп Е, падплетшого нормой р, на пространство /■-',
наделовное nopuoii ц (и обратно).
6, Абсолютно суммируемые семейства
в нормированном пространстве
Определение 8. Семейство (xt) точек нормированного
пространства Е называют абсолютно суммируемым, если семейство
(|| Xi ||) норм точек жь суммируемо в 11.
Это понятие только по виду зависит от выбранной на Е нормы;
в силу предложения 7 и принципа сравнения суммируемых се-
семейств вещественных чисел, семейство, абсолютно суммируемое
по норме р на Е, абсолютно суммируемо по всякой норме, эквива-
эквивалентной р.
Если (*ч)|.е/ — суммируемое и абсолютно суммируемое селтей-
ство точек из Е, то
II V' /у. ||<г V II v II 1'А
II X-J *Ч П5**- | -*1 II' К У)
16/ i£/
В самом доле, для каждого конечного множества J а I имеем
IIS #1II ^2 II 3Ci ||, и неравенство D) получается отсюда иере-
16.' i£j
ходом к пределу по фильтрующемуся упорядоченному множе-
множеству конечных подмножеств множества /.
Предложение 11. В полном нормированном простран-
пространстве Е всякое абсолютно суммируемое семейство суммируемо.
В самом деле, если (xt) — абсолютно суммируемое семейстно
в Е, то для каждого е >> 0 существует конечное подмножество /

7 НОРМИРОВАННЫЕ ТВЛЛ, ПРОСТРАНСТВА И АЛГИБРЫ 77
множества индексов / такое, что 2 Цзе,, || ^ е, какопо бы ни
было конечное множество Н с I, не пересекающееся с /. Следова-
Следовательно, тем более || 23 #i II ^ в. чем; в силу полноты Е нредложо-
пие н доказано (критерий Кошп, гл. III, 2-е изд., § 4, теорема 1;
Л-е изд., § 5, теорема 1).
Ряд с общим членом хп называют абсолютно сходящимся в /?,
если ряд с общим; членом || хп \\ сходится в R; то жо можно выра-
выразить, сказав, что семейство (х„) абсолютно суммируемо; отсюда
(гл. III, 2-е изд.,§ 4, предложении 9; 3-е изд., § 5, предложение 9):
Следствие. В полном нормированном пространстве Е
всякий абсолютно сходящийся ряд является коммутативно сходя-
сходящимся.
Обращение предложения 11, вообще говоря неверно.
Рассмотрим, например, пространство J?(N) лгох ограниченных
последопатолыгостон ж = (»n)ngN иещчг.твенных чисел с нормой
Ц ,'»|| = SUJI | хп \. Ilyf-TIi Хт — ПОСЛОДОППТРЛЬНОСТЬ (.TmiOngN' Ъ КОТО-
п
рой хтп = 0 при п Ф т, .г00 = 0и хтт ~ \/т для всех т > 1. Легко
проверить, что последовательность (asm)mgN в ^Й(\т) гуммирупма
и имеет споой суммой нлемсот J/ = (i/n), « котором уЛ == 0 и цп = 1/п.
при ге>1; но поскольку Цжт||=1/т, послодователъность норм
элементов жт не гуммируема в R.
Одпако мы видели (гл. VII, § 3, п° 1), что в Rn всякое суммируе-
суммируемое семейство абсолютно суммируемо.
Т. Нормированные алгебры
над нормированным телом
Определение 9. Пусть А —■ алгебра над недискретным
коммутативным нормированным телом К; говорят, что норма
р (х) на А (рассматриваемом как векторное пространство над К)
согласуется с заданной в А структурой алгебры, если топология,
определяемая ею в А, согласуется со структурой кольца алгебры А.
Алгебра над К, наделенная структурой, определяемой нормой,
согласующейся с ее структурой алгебры, называется нормирован-
нормированной алгеброй.

78 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОЪЩЕЙ^ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 3
Еслп А — нормированная алгебра над К и р (ас) — ее норма,
то билинейное отображение (ос, у) и-*- ху произведения Л X А в А ,
по предположению, непрерывно; следовательно (теорема 1), суще-
существует число а> О такое, что р (ху) < ар (ас) р (у). Заменяя р (х)
эквивалентной нормой ар (х), можно, таким образом, всегда пред-
предполагать, что норма || х || на нормированной алгебре А удовлетво-
удовлетворяет условию
II «У II < II ж II II?/ II- E)
По индукции отсюда следует, что
II хп || < || х И" F)
для всех целых п > 0.
Пример и. 1) Пустг. К — нормиронаниое тело и А" — подтгло
по центра такое, что след на*К' абсолютного значения | х |, заданного
на К, не является несобственным абсолютным зпачепием па А"; А,
наделенное- нормой | х |, является тогда пормиропапной алгеброй
над К'.
2) Пусть К — недискротноо коммутативное нормированное тело
и М„ (К) — кольцо кипдрлтнмх матриц порядка п над К; изиестно,
что, как нркторпоо пространство над К, М„ (А') изоморфно Кп2. Поло-
Положим || X !! = sup | хп | для каждой кпадратпой матрицы X — (г,)
порядка п над А', получим на Мп (К) норму, и топология, определяе-
определяемая сю, будет совпадать с топологией произведения в Кп (предло-
(предложении 10); отсюда вытекает (в силу непрерывности полипомов несколь-
нескольких переменных над А'), что указанная норма действительно согла-
согласуется со структурой алгебры (над К) в Мп (К).
;i) Миожестш) £В{Е) нсех функций / на множестве К со значениям it
в педпекретном коммутативном пормнропапном теле К таких, что
а; ь->- | / (х) | ограниченно на Л', есть алгебра пад К; норма || / || --
= япр | / (х) | согласуется со структурой кольца алгебры £в(Е), ибо
II/* \\< II/II \\g II (см. гл. X, § 1).
Пусть а — замкнутый двусторонний идеал в нормированной
алгебре А; формула || х \\ = inf || х || задает в факторалгебре
at£<»
Ala норму, определяющую в Ala фактортопологию топологии
алгебры А по а (предложение 9); так как эта фактортопология
согласуется со структурой факторкольца факторалгебры Ala
(гл. III, 2-е изд., § 5, п° 1; 3-е изд., § 6, п° 3), то факторалгебра
Ala, наделенная нормой || х ||, есть нормированная алгебра.

7 НОРМИРОВАННЫЕ ТЕЛА, ПРОСТРАНСТВА И АЛГЕБРЫ 79
Аналогично пусть (Ai)iri:cn — семейство п нормированных
алгебр над нормированным телом К и А ~ J£ A% их произведение;
полагая ||х|| = sup || ас,- || для ас = (Х;), получим на Л норму;
i
определяемая его топология совладает с произведением топологий,
заданных в алгебрах Л< (предложение 10); поскольку последняя
согласуется со структурой кольца в Л:(гл. III, 2-е изд., § 5, п° 3;
3-е изд., § 6, п° 4), алгебра А, наделенная нормой || ас ||, ость нор-
нормированная алгебра.
Пусть А — нормированная алгебра над нормированным телом
А". Кольцо А, получающееся пополнением А (гл. III, 2-е над.,
§ 5, предложение 2; 3-е пуд., § (>, предложение G), наделено также
структурой векторного пространства над К (предложение 8) и,
очевидно, по принципу продолжения тождеств t (ху) -■■■ (tx) у —
- -х (ty) для всех t £ К, х £А, у 6 А; таким образом, А ость алгебра
ипд К; так как, с другой стороны (предложение 8), заданная
на А норма продолжается по непрерывности до нормы, опреде-
определяющей топологию кольца А, то мы видим, что.Л, наделенное этой
нормой, ость нормированная алгебра над К.
Если (асх)хе/, и (?/ц)цем — абсолютно суммируемые семейства
в нормированной алгебре А, то семейство (жх?/ц)ц, п)$ьхм абсо-
абсолютно суммируемо, поскольку || х^Им 11^ II*х II Н?/ц II (гл- IV,
2-е изд., § 7, предложение 2; 3-е изд., § 7, предложение 1);
если, кроме того, А полна, то оти три семейства суммируемы
и ^ ХхУи. — (^ ■*>.) ( ^] ?/ц) п0 ассоциативности суммы,
a, h)£lxm ' \чь нем
стояний в левой части равенства (гл. III, 2-е изд., § 4, формула B);
3-е изд., § 5, формула B)).
Если нормированная алгебра А обладает единичным элемен-
элементом ефО,то отображение t ■-»• tc ость изоморфизм структуры тола
в К на структуру тела в подтеле Кс алгебры А; этот изоморфизм
является вместо с тем изоморфизмом структуры топологического
тела в К на аналогичную структуру в Ке (надолепное топологией,
индуцированной из А), ибо сужение || te \\ нормы из А на К есть
норма, эквивалентная абсолютному значению \ t \ — -гртм II te II-
Если || е ||= 1, то || te || = | t |, и тогда нормированное тело К
можно отождествить с нормированным подтелом Ке алгебры А,
и, в частности, обозначать единичный элемент алгебры А через 1.

80 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 3
В дальнейшем будет идти речь только о нормированных ал-
алгебрах А с единичным элементом е, в которых норма удовлетворяет
неравенству E); положив в нем х — у -■-?, получим, что ||
Предложение 12. Если в А ряд с общим членом я" сходится,
то элемент е — * обратим и
(е-*)-§ *". G)
Обратно, если || а || < 1 и е — и обратим, то ряд с общим членом zn
•сходится и имеет место формула G).
В^ самом доле, для каждого р > 0
(в —«) V «n = e —«I)+1. (8)
Если ряд с общим членом хп сходится и // — его сумма, то гп стре-
стремится к 0 при неограниченном возрастании п; следовательно,
переходя к пределу в (8), будем иметь (е — z) у — е; и так же дока-
*жем, что у (е —«) ~е и том самым что у ~ (е — ,«)"х (заметим,
что эта часть рассуждения сохраняет силу в произвольном топо-
топологическом кольцо с единичным элементом).
Обратно, если ||«||<1, то, поскольку ||«р+1 || ^ \\а ||р+1,
заключаем, что ,^р+1 стремится к 0; умпожая обе части равенства (8)
слова на (е — z)~l и устремляя р к бесконечности, видим, что ряд
с общим членом хп сходится и имеет своей суммой (с.—х).
Следствие. Пусть А — полная нормированная алгебра;
тогда е —* обратимо в А для каждого а 6 А такого, что || * || < 1.
В самом деле, ряд с общим членом хп абсолютно сходится, ибо
II •"" II ^ II ~ \\п для всех п > 0; следовательно, в силу полноты А
этот ряд сходится (предложение 11).
Предложение 13. Пусть G — группа обратимых элемен-
.тов полной нормированной алгебры А. Тогда G — открытое мно-
множество в А; топология, индуцируемая в G из А, согласуется с ее
структурой группы,; наделенная этой топологией, G является
полной группой (по каждой из двух ее равномерных структур).
Следствие предложения 12 показывает, что G содержит неко-
некоторую окрестность V элемента е в А; тогда для каждого xo£G

7 нормированный тела, пространства и алгебры Si
элементы из XOVобратимы, a X()V— окрестность х(] в А, поскольку
.»•*-*■ хйх есть гомеоморфизм А на себя; следовательно, G открыто
л Л.
Чтобы убедиться в том, что топологии, индуцируемая в груп-
группе G мз*А, согласуется с ее структурой группы, достаточно пока-
показать, что функция х'1 непрерывна на G. Пусть х0 £ С; для каждого
х 6 G положим х — х0 {е -\-п), т. о. ■//, -■ х'1 (х — х0); тогда \\ и ||^
< ||х„1 || || х — х0 ||; следовательно, если ||ас —х„ || < 1/Цяс^1 ||,
то || и ||< 1, элемент с А-и = я;;* обратим, ряд с общим членом
(—\)п пп сходится абсолютно и
E (-1)ямп)жйх, (9)
п—1
откуда
Когда ж стремится к х0, \\х— х0 || стремится к 0, и так как
12
я=0
остается ограниченным, то ас1 стремится к ж.
Наконец, чтобы установить, что левая равномерная структура
группы G есть структура полного пространства, покажем, что вся-
всякий фильтр Коши % относительно этой структуры является
фильтром Коши относительно аддитивной равномерной структуры
алгебры А и сходится к некоторой точке из G. В самом дело, для
каждого е такого, что 0 < е < 1, существует множество М (•%
такое, что \\х'1у — е \\ г£С ъ для всех х£М и у £М, откуда
||?/ —х || ^ е || х ||. Пусть « — точка из М\ для каждого xf_ M
имеем || ж — а ||< в ||« ||, откуда ||as ||< (I -J- е) || » ||. С другой
сторопы, существует множество N cz M, принадлежащее f$ и
такое, что ||х~г.у — е \\^- ё)|'|"»'|Г для всох * С-^ и-?/€Лг-
Тогда || у/ — ж || ^ -■ ' ; '. .. ^ е, так что % есть фильтр Копт
относительно аддитивной равномерной структуры в А и, значит,
7i сходится к некоторой точке х0, поскольку А — полная алгебра.
Так кал ае0 — продел фильтра fjf» то по принципу продолжения
•> II. ПурПаки

82 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 3
неравенств llx^x,,—е \\^г для всех ас'6 М; поскольку е< 1,
заключаем, что х~1х0 обратимо; следовательно, обратимо п х0.
т. е. х0 6 G.
Предложение 14. В полном нормированном теле мульти-
мультипликативная группа элементов ФО есть полная группа.
Достаточно рассуждать, как при доказательстве предложе-
предложений 13, ваменяя заданную в А норму абсолютным значением,
заданным в рассматриваемом теле.
Отметим, что непосредственно применить предложение 13 пель-
зя, ибо некоммутативное нормированное тело не обязательно являет-
является алгеброй над недискретным, коммутативным нормиронанньш телом
(сужение абсолютного значения на цоптр тела может быть несобствен-
несобственным).
Замечание. Предложение 13 неверно для неполной норми-
нормированной алгебры. Например, в алгобре %{1) конечных непрерывных
числовых функций на 7= [0, 1] (с нормой || х || = sup | х (t) |) под-
подалгебра Р, образованная полиномами от * (суженными на /), не полна:
пусть х (t) — произвольный полипом, отличный от постоянной; поли-
полином 1 + ех при достаточно малом е сколь угодно близок к единич-
единичному элементу 1 подалгебры Р, однако 1 + е.т не обратим в Р. Тем
по менее, если А — неполная нормированная алгебра, G — группа
ее обратимых элементов н А — нормироваттая алгебрп, получопная
пополнением А, то G — подгруппа группы обратимых элементов
алгебры А и, следовательно, топология, индуцируемая в G из А,
согласуется с ее структурой группы.
Упражнения
1) Отклонение / на группе G с мультипликативной ааписыо назы-
называют инвариантным слева (соотв. инвариантным справа), если
/ (zx, zy) = / (z, у) (соотв. / (аи, yz) = / {х, у)) для всох х, у, я ил G.
а) Если / — отклонение, инвариантное слова, то числовая фупк-
ция £ (х) = f (е, х) на G удовлетворяет следующим условиям: 1° g (x) >
> 0 для всех х е G и g (е) = 0; 2° g (х-1) = g (х); 3° Ц {ху) < g (*) +
+ а (!/)• Обратно, для всякой числовой функции g, удовлетворяющей
атим условиям, / (х, ц) = g (x~hi) ость отклонение на G, инвариант-
инвариантное слева.
б) Для того чтобы топология ST, определениия в группо G насы-
насыщенным семейством (§ 1, п° 2) инвариантных слева отклонений (Д),
согласовалась с ее структурой группы, необходимо и достаточно,
чтобы для каждого а £ G, каждого индекса i и каждого а > 0 суще-
существовали индекс и и число р > 0 такие, что Д, (в, аха'1) < а для

УПРАЖНЕНИЯ 83
нсех х £ G таких, что fK (e, х) < Р. Если это условие выполнено,
то равномерная структура, определенная в G семейством A<,), совпа-
совпадает с леиой рашгомерной структурой топологической группы полу-
получаемое при паделепни G топологией .9*
в) На каждой топологической группе G сущестпуат семейство
инппрпаитпых слева отклонений такое, что определяемая им рвшго-
мерная структура совпадает с левой равномерной структурой груп-
пы G.
2) Пусть G — топологическая группа, левая - правая равно-
равномерные структуры которой совпадают. Показать, что эта общая ранно-
мериая структура может быть определена семейством отклонений
на G, инвариантных одновременно слева и справа. [Используя упраж-
упражнение 3 § 3 главы III, показать, что, какова бы ни была окрест-
окрестность V нейтрального элемента е группы G, также Vo — || rxVx~1
есть окрестность е.]
3) Пусть G — топологическая группа и (Д) — насыщенное семей-
семейство инпариаитных слепа отклонений, определяющее ео левую ранпо-
мерную структуру; положим g\, (х) — Д (е, х). Пусть Я — замкнутый
нормальный делитель группы G; для каждого класса х £ G/H поло-
положим ftt (х) == inf (?t (x)\ показать, что функции Д, заданные формулой
— • • • •
h (Zi !l) — hi (x~ly), образуют семейство инвариантных слева откло-
отклонений, определяющее левую равномерыуюГструктуру факторгруппы
G/H. [Рассуждать, как в замечании 2 из п" 1.]
4) Показать, что топология нормированного тела удовлетворяет
условию (КТа) упражнения 13 § 5 главы ПЦ2-го изд.*).
°*5) Пусть со — абсолютное значение на теле Q рациональных
чисел.
а) Показать, что со полностью определяется своими значениями
иа простых числах.
б) Показать, что если существует простое число р такое, что
со (р) < 1, то и для любого другого простого числа g имеем со (д) < 1.
[Оценить сверху со (дп), записывая дп в системе счисления с базисом р,,
и устремить п к бесконечности.]
в) Показать, что если существует простое число р такое, что4
со (р) < 1, то для любого другого простого числа q имеенГм (д) = 1.
[Покапать невозможность неравенства со (д) < 1, используя тот факт,
что для каждого целого п > 0 существуют целые рациональные г и *
такие, что 1. = rpn -\- sqn.] Вывести отсюда, что со есть тогда абсолют-
абсолютное значение, получаемое из р-адического нормирования Ha^Q.
*) А именно, каковы бы ни были окрестности U и V нуля, существует
'естность W нуля такая, что W (С7)-1 с: U и (CV)-XW cr U.
С*

84 вещественный числа в овщгся топологии гл. IX, § з
г) Показать, что если со (/<) > 1 для каждого простого числа р,
то, каковы бы ни были простые числа р и д,
Iogm(p)
log я " 1«й?
|Тот жо мотод, что и в нункто б).) Выпусти отсюда, что тогда со (х) =
= |*lp W р<1.„
G) Пусть Ь' — левоо векторное пространство над толом К, обла.
дающее ctdthmm базисам (<in), и (г„) — убып;иощая ноглодонатель-
пость чисел >0, стремящаяся к 0; положим || 0 || = 0, и для каждого
элемента ж=яУ] tkah Ф 0 из Е положим ]| но || = г/,, где h — наимсчгь-
h
пшй из индексов к, при которых i/, r^= 0. Показать, что || х — у \\
есть инвариантное расстояние на аддитлмгюй грушге прострн(гстма Е
и что топология, опредпляомая им к Е, по зависит от избранной после-
допатольности (г„) (убивающей л стремящейся к 0). Вимесш отсюда-
что если распространить определения пормц и нормированного прост-
пространства (определения 5 и С) иа случай, когда рассматриваемое абсо-
абсолютное значение на тело скаляров — несобственное, то продложопио 7
и теорема 1 пе будут больше-справедливы.
7) Пусть Е — нормированное пространство над нормированным
толом. Показать, что осли всякое абсолютно суммируемое семейство
в Е суммируемо в Е, то Е гголно. [Рассмотреть такую подпоследова-
подпоследовательность (■%.) последовательности Коти (хп) в Е, чтобы ряд с общим
членом хп — хп был абсолютпо сходящимся. 1
8) Дать пример суммируемого, но не абсолютно суммируемого
семейства в толе Qp р-адичоских чисел. [Использовать упражнению 28
§ 5 главы III 2-го изд. *).)
9) Отображение w кольца А в R+ называется полу абсолютным,
яначением на А, если оно удовлетворяет следующим условиям:
1° w @) = 0; 2° w {х — !/)< w (х) + w (.;/); 3° w (ху) < w (x) w (у). Полу-
абсолютпое зпачепио w назынается отделимым, если w (х) = 0 влечет
х = 0. Если и> — отделимое полуабсолготпоо значение на А, то
w (х — у) есть инвариантное расстояние на аддитивной группе коль-
кольца А и, следовательно, определяет топологию, согласующуюся с его
структурой аддитивной группы; покапать, что !>та топология согла-
согласуется с ого структурой кольца. Обобщить на кольца, наделенные
полупбг.олютиым значением, оскошшо спойстпа нормированных алгебр,
в частности предложение 13.
Если w — неотделимое нолуабсолтотпос значение на А, то .мно-
жество w @) является двусторонним идеалом а и А. Топология в А,
определяемая отклонением w {х — у), согласуется с япдянной струк-
") 1! :.!-м издании но военролшюдеио.

УПРАЖНЕНИЯ 85
турой кольца в Л, и отделимое пространство, ассоциированное с Л,
есть по что иное, как факторкольцо А/а, па котором функция w (х),
равная для каждого класса х mod а общему зпачевию функции w (х)
во псех х 6 х, япляетгя отделимым полуабсолютлым значением, назы-
называемым ассоциированным с ш, определяющим фактортопологию топо-
топологии кольца А но а,
*10) а) Полуабсолютвые зппчевия w\ и w2 па кольце А пазывяют-
ся оквивалоптиыми, если эквивалентны отклонения и>\ (х — у)
н и>2 (х — у). Показать, что если w — полувбеолютпое зиачевие ва А,
то aw и ш1'" — иолуабеолютлые значения, эквипалентпыо w, для всех
б) Пусть v>i (I ^ i < п) — полуабсолютвые значения ва коль»
цс А; тогда функции «' = 2' ш и ш' ~ SUP wi ~~ экнивалептные полу-
i *
абсолютные значения на А. Если oj = ц;; @), то а = и; @) = ||п;.
Обозначая через At пополпонио факторкольца Л/а;, паделепного
отделимым полуабсолютлым значением, ассоцииронанвым с ш(, вокм-
зать, что Л /а, наделенное отделимым полуабсолютиым значением,
ассоциированным с ш, изоморфно подкольцу кольца JJ Л j; для того
i
чтобы это подкольцо было всюду плотпо в ДЛ{, необходимо и доста-
i
точно (и предположении, что Л обладает единичным элементом 1),
чтобы полуабсолютные в. чения Ш( удовлетворяли следующему усло-
условию: для каждого е > 0 и каждого индекса i существует элемент
х £ А такой, что wt A — х) < е и wh (x) ^ e для всех индексов
/с Ф U
11) Пусть Л — кольцо, паделенпоо отделимым полуабсолютиым
звачонием, полное п топологии, определяемой этим полуабсолютным
значением, и обладающее единичным плементом. Показать, что всякий
максимальный идеал и Л замкнут. [Использовать предложение 13.]
*12) Пусть К— отделимое недпекротиое топологическое тело
и ф — отображение К в IU такое, что ср @) — 0, ф (ху) --■■- ср {х) cf (у)
п множества Vn тех х £ К, для которых ф (г) <: Мп, образуют фунда-
фундаментальную систему окрестностей 0 в К.
а) Покапать, что существует число а > 0, для которого ф A + *)<
■^ а A + ф (х)). [В иротпмгом случае существовала бы последова-
последовательность- (хп) точек из К такая, что A + * )-1 и гпA Ч- Гп) стре-
стремились бы к 0.] Вынести отсюда, что функция *|) {х) — Up (x))a для
достаточно малых а удовлетворяет неравенству
t(* + V) < 2 янГ (ф (ж), ф(у)) A)

86 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 4
п
б) Показать, что воли га = 2Р, то ty ( У}'*;) < я sup Щв|)); выво-
I" 1
сти отсюда, что тр {т.) ^ 2т для каждого целого т > 0. ;
в) Вывести из б), что для всех п = 2Р и псох .г £ /С выполняется
неравенство \|) ((\ -+• x)n~l) ^.2n{\-\-"ф (,ж))п~1; заключить отсюда,
что ф ость абсолютное значение на ЛГ, опредоляющпе ого топологию.
*13) Пусть JT — отделимой] нодискретпов топологическое тело,
R — множество тих х £ К, для которых li in xn = 0, и N — доиол-
п-*оо
ненне множества R (J Л- Покапать, что для того, чтобы на К суще-
существовало абсолютное значение, определяющее его топологию, пеоб-
ходтаго и достаточно, чтобы: 1° R было открыто в К; 2° для каждой
окростпости V пуля в К существовала окрестность Г/ пуля и К так я,
что RU с V; 3° отношения х £ R и ;/ G 7? (J ^V влекли yx£.R.
Для доказательства! достаточности ятих условий установить
последовательно, что:
а) N есть нормальный делитель мультипликативной группы К*
непуловых элементов из К.
б) Если в факторгруппе K*lN положить х < у, когда существуют
х £ х и у С У. для которых j/i-1 £ Л U iV, то это отношение будет отно-
отношением порядка, согласующимся с ее структурой группы определен-
определенная так упорядочониая группа K*lN изоморфна подгруппе аддитивной
группы R. [Использовать упражнение 1 § 3 глапы V.]
в) В заключенно носпользоваться упражнением 12.
В частности, топология' недискретного локально компактного
коммутативного тела может быть] задана абсолютным значением.
Cmi Гл. III, 2-е изд. § 5, упражнения 19 и 20*).]
§ 4. Нормальные пространства
1, Определение нормальных пространств
Аксиома ^Otv) равномеризуемых пространств (§1, л° 5) может
быть сформулирована следующим образом: каковы бы ни были
замкнутое множество А и точка х £ С А, существует непрерывное
отображение пространства Е в [0, 1], равное 0 в точке х и \ во всех
точках из А; это свойство выражают еще, говоря, что в равноме-
ри8уемом пространство точка и замкнутое множество (ие содер-
содержащее эту точку) отделимы непрерывной числовой функцией.
Мы перейдем сейчас к изучению пространств, в которых можно
подобным же образом ^отделить непрерывной числовой функцией
всякие два непересекающихся замкнутых множества; точно говоря:
*) В 3-м издаиии но воспроизведены.

/ НОРМАЛЬНЫЙ ПРОСТРАНСТВА 87
Определение 1. Топологическое пространство Е назы-
называют нормальным, если оно отделимо и удовлетворяет следующей
аксиоме:
(Оу) Каковы бы ни были непересекающиеся замкнутые мно-
множества А и В в Е, существует непрерывное отображение Е в (О, I],
]>авное 0 во всех точках из А и 1 во всех точках из В.
Ясно, что всякое нормальное пространство ниолне регулярно;
но существуют вполне регулярные пространства, но яшгяющиеся
нормальными (см. упражнения 9, 10, 13, 20 и § "i, упражнения 15
и 16).
В формулировку аксиомы (Ov), как и аксиомы (Oiv)i входит
как вспомогательное множество числовая прямая R. Однако
можно дать формулировку, равносильную (Ov)> в которую не
входит уже никакое вспомогательное множество:
Теорема 1 (Урысон). Аксиома (Оу) равносильна следующей:
(Оу) Каковы бы ни были непересекающиеся замкнутые мно-
множества А и В в Е, существуют непересекающиеся открытые мно-
множества U и V в Е такие, что A cz U и В cz V.
Ясно, что (Ov) влечет (OV), ибо если / — непрерывное отобра-
отображение Е в [0, 1], равное 0 на А и 1 на В, то открытые множества
7 (|0, 1/2]) и / (]1/2, 1]) содержат соответственно А и 5 и не имеют
общих точек.
Чтобы доказать обратное, заметим сначала, что аксиома (Ov)
равносильна следующей аксиоме:
(Оу) Каковы бы ни были замкнутое множество А и его откры-
открытая окрестность V, существует открытая окрестность W мно-
множества А такая, что Wcz V.
Если существует непрерывное отображение / пространства Е
в {—1, -|-1], равное —1 на А и 1 на В, то, полагая U (t) =
— / (I—1» Ф Для каждого t 6 JO, 1], получим в Е семейство
открытых множеств, имеющее [0, 1J своим множеством индексов,
такое, что A a U @), В с CU A) и
U(t)czU (О A)
для каждой пары вещественных чисел t, t' такой, что 0 ^ t <
<С t ' ^ 1, поскольку U {t) содержится в замкнутом множестве

88 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 4
-1
/ (|—i,t)). Обратпо, предположил:, что определено семейство
открытых множеств U (t) @ ^ t ^ 1), обладающее этими тремя
свойствами; для каждого х £ Е положим g (x)\ равным 1, если
x£CU A), и равным нижней грани тех t, для которых я"£ U (I),
в противном случае. Очевидно, тогда 0 ^ g (х) ^ 1 для всех
х £ Е, g (х) — 0 на Л, g (х) = 1 на В; наконец, g непрерывно на £:
в самом деле, положив g (х) = а, будем иметь | g (у) — g (x) [ < е
для каждого г/, принадлежащего множеству £/ (а -)- е) П CU(a—е),
являющемуся окрестностью х в силу A) (если еще условиться
считать U (a -f- е) = Е при a-|-s>l, и U (а — е) = 0 при
а — е < 0).
Таким образом, все сводится к определению семейства откры-
открытых множеств U (t) указанного тина, опираясь на аксиому (Ov).
Примем U A) = СВ; так как A a U A), то, согласно (O'v), суще-
существует открытое множество U @) такое, что А с: £/ь@) и V @) сг
cr U A). Предположим затем, что для каждого двоично-рациональ-
двоично-рационального числа к/2п (к — 0, 1, . . ., 2") уже определено открытое
множество U (к/2п) так, что ТЩЩ cz U ((к + 1)/2п) @ < к <
^ 2П — 1). Для каждого двоично-рационального числа
BА + 1)/2"+1 @ < к < 2" — 1), согласно (О^), существует откры-
открытое множество U (B/c -f- l)/2n+l) такое, что
U (к/211) с: U (BA+ l)/2n+1) n £/ (Bft + l)/2"+I) cz U ((к + l)/2n).
Таким образом, для каждого двоично-рационального числа г
такого, что 0 ^ /• ^ 1, можно определить открытое мпожоство
U (г) так, чтобы Л с: U @), i? с: CU A) и
Й1г) с: У (г') B)
для всякой пары двоично-рациональных чисел г, г' таких, что
0 ^ г < г' < 1.
Положим теперь для каждого вещественного числа t 6 [0 1]
U @ = U С (г) (г — двоично-рациональные числа);
г "t
в силу B) это определение совпадает с предыдущим в случае,
когда t — двоцчио-рациоиалыюи число; с другой стороны, если
0 ^ t < /' ^; 1, то существуют7'двоично-рациональные числа г, г'
Такие, что ?<: г < г' < f; в силу B) тогда U (I) с: С (г) и, елс-

НОРМАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 89
дователыго, U (t) cz U (г) с: U (г') с: U (f), чем устанавливается
отношение A) и завершается доказательство.
Теорема 1 позволит нам доказать нормальность двух важных
категорий топологических пространств. Прежде всего:
Предложение 1. Компактное пространство нормально.
В самом доле, такое пространство удовлетворяет аксиоме (Оу)
в силу предложения. 2 § 10 главы I 2-го изд. C-е изд., гл. I, § 9,
предложение 2).
Что касается локально компактных простроим is, то всякая точка
такого пространства обладает компактной окрестностью, которая
яиляотся нормальным нодпрострапством; однако можно укапать
примеры локально компактных пространств, не являющихся нормаль-
нормальными (см. упражнения 9 и 26 и § 5, упражнение 15).
Предложение 2. Метризуемое пространство нормально.
Пусть Е — метризуемое пространство, d — расстояние, согла-
согласующееся с его топологией, а А и В — непересекающиеся замкну-
замкнутые множества в Е; так как функции d (х, А) и d (x, В) непрерыв-
непрерывны, то множество U (соотв. V) тех точек х, для которых d {x, А) <
< d (х, В) (соотв. d (х, В) < d (x, А)), открыто; ясно, что A cz.U,
Вс7и17и7не пересекаются; таким обраэом, аксиома (Оу)
выполнена.
Замечания. 1) Предложение 2 дает новое необходимое
условие метризуемости топологического нрострпнетва, но это условие,
даже в соединении со всеми необходимыми условиями, данными в § 2,
пи диет системы условий, достаточной для метризуемости топологиче-
топологического пространства (см. упражнение 0 и § 5, упражнение 10).
2)-,Можтю указать примеры нормальных пространств, йо являю-
являющихся ни метризуемыми, ни локально компактными (см. § 5, упрнж-
ненио 16).
В силу (Оу), всякоо замкнутое множество в нормальном про-
пространстве является нормальным подпространством; но это свой-
свойство пе всегда верно для произвольного подмножества нормальпого
пространства.
Например, вполне регулярное, но ие нормальное пространство,
гомеоморфпо подпространству компактного пространства (§ 1, пред-
предложение 'Л), а последнее нормально.
Отметим, наконец, что произведение двух нормальных про-
пространств не обязательно нормально (см. упражнение 9 и § 5,
упражнение 16).

90 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩИЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 4
2. Продолжение непрерывной числовой функции
Пусть Е и F — топологические пространства п Л — замкнутое
множество в Е (отличное от Е); не всегда возможно продолжить
непрерывное отображение А в F до непрерывного отображения
всего Е. в F. При F — Н условие возможности такого продолжения
дается следующей теоремой:
Теорема 2 (Урысои). Аксиома (Оу) равносильна следующему
свойству:
(O'v) Каковы бы ни были замкнутое множество А в Е и непрерыв-
непрерывная числовая функция (конечная или нет) /, определенная на А,
существует продолжение g функции / на все пространство Е,
являющееся непрерывным отображением Е в R.
Ясно, что (Оу) влечет (Оу). В самом деле, если В я С непере-
непересекающиеся замкнутые множества в Е, то функция, равная 0 па В
и 1 на С, определена и непрерывна на замкнутом множестве В (J С.
Если / — непрерывное продолжение этой функции на Е, то функ-
функция g = inf (/+, 1) будет непрерывна на Е, принимать значения
в @, 1] и равна 0 на В и 1 на С.
Покажем, обратно, что (Оу) влечет (Ov); поскольку R и интер-
интервал [—1, +1] гомеоморфны, можно ограничиться случаем, когда/
есть непрерывное отображение А в R, принимающее значения
в [—1, +!]• Мы определим продолжение g функции /, образуя
последовательность (gn) непрерывных функций па Е, для которой
последовательность {gn (х)) будет сходиться в каждой точке
к некоторому числу из иптервала [—1, -\-^]', этот предел будет но
определению значением g (ж), и из выбора функций gn будет сле-
следовать, что функция g удовлетворяет требуемым условиям.
Определение функций gn основывается на следующей лемме:
Лемма 1. Пустьи—непрерывное отображение замкнутого мно-
множества А с Е в [—1, 4-1]; существует, непрерывное отображение v
пространства Е в [—i/3, 1/3] такое, что \ и (х) — и (х) | ^ 2/3
для всех х g A.
В самом деле, пусть И — множество тех х 6 А, для которых
.—1 ^ и (х) ^ —1/3, и К — множество тех х 6 А, для которых
1/3 ^ и (х) ^ 1; // и К замкнуты в Л, а значит ив £, и но пере-
пересекаются; по (Оу) существует непрерывное отображение v про-

Ч НОРМАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 91
странства Е в [—1/3, 1/3], равное —1/3 на 77 и 1/3 на К; оно
н удовлетворяет условиям леммы.
Определим теперь gn по индукции. Применив лемму к и — /,
определим g0 как непрерывное отображение Е в [—1/3, 1/3], для
которого | / (х) — g0 (х) | ^ 2/3 на А. Предположим затем опре-
определенным непрерывное отображение gn пространства Е в интервал
|_1 + B/3)п+\ 1 — B/3)n+1] такое, что \ f (х) — gn (х) \ < B/3)n+1
на А. Применяя лемму к функции и(х) — C/2)n+J (/(х) — gn (x)),
убедимся в существовании непрерывного отображения hn+l про-
пространства Е в интервал [—2"+1/3"+а, 2'1+1/Зп+2] такого, что
| / (х) - gn (x) - hn+1 (х) |
на А, и продолжим индукцию, положив gn+1 = gn -(-An+l; эта
функция в силу определения hn+i действительно будет удовлетво-
удовлетворять на Е неравенству j gn+1 (х) | ^ 1 — B/3)п+2.
Из этого определения следует, что
2 \P+1
h---0
для всех m ^ p, n ^ p ж х ^ E; отсюда прежде всего вытекает,
что (gn (x)) есть последовательность Коши и^ следовательно, схо-
сходится к некоторой точке g (х) интервала [—1, +1]; а так как
/ (х) — gn (x) стремится к 0 во всех точках из А при неограничен-
неограниченном возрастании п, то g действительно является продолжением /
на Е. Остается убедиться в непрерывности функции g на Е.
Итак, пусть х — произвольная точка из Е; каково бы ни было
е > 0, существует п0 такое, что | gm (у) — gn (у) | < е для всех
т ^ п0, п ^ но и у £ Е, и значит также, устремляя т к 4-оо,
что | g (?/) — gn (.у) | ^ е; пусть V — окрестность точки х такая,
что | gn (у) — gn (х) К е для всех у £ V; тогда для всех у £ V
будем также иметь
\gW — g(x)\<\g (У) ~gn(y)\+\ gn (У) - gn (*) I +
+ I * (*) — gn (*) I < 38,
что доказывает непрерывность g в точке х и завершает доказатель-
доказательство (эта последняя часть рассуждения использует для частного
случая понятие равномерной сходимости, которое будет определе-
определено в общем виде в § 1 главы X).

92 ВЕЩЕСТВЕННЫЙ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ. ГЛ. IX, § 4
Следствии. Если / — конечная числовая функция, опре-
определенная и непрерывная на замкнутом множестве A cz E, то
существует конечная числовая функция g, определенная и непре-
непрерывная на Е, продолжающая /.
Проведем сначала доказательство для случая, когда / (х) ^ 0;
тогда существует непрорывное продолжение gt функции / на Е,
-1
принимающее значения в [0, +оо]. Множество В ■--- gt (+ оо)
замкнуто и в силу предположения не пересекается с А; поэтому
функция h, равная / на А и 0 на 2?, есть непрерывная функция
на замкнутом множестве А [}Б. Пусть g2 — ее непрерывное
продолжение на Е, снова со значениями в [0, + оо]; тогда функции
g — inf (gi, g2) будет непрерывным продолжением / на Е с конеч-
конечными значениями ^0 во всех точках из Е.
Чтобы перейти отсюда к общему случаю, достаточно заметить,
что если / конечна и непрерывна на А, то то же справедливо для
функций /+ и /~; пусть gx и g2 — непрерывные конечные функции,
продолжающие соответственно /+ и /~ на Е; тогда gt — g2 будет
конечной непрерывной функцией, продолжающей / на Е.
Замечание. Если Е — нормальное пространство п А — его
замкнутое подмножество, то существует также иепрерыпное продол-
продолжение на Е всякого непрерывного отображения / подпростраистна А
в куб К1 (§ 1, п° 5); в самом деле, тогда / = (/L)lg/» где Д — непре-
непрерывное отображение А в компактный интерлал К. с; Н; и так как
существует непрерывное отображение gt пространства Е в К, про-
.должающее Д, то отображение # = (gi) будет непрерывным продол-
продолжением / на Е.
3. Локально конечные открытые покрытии
замкнутого множества в нормальном
пространстве
В главе I, § 10, п° 12 2-го изд. C-е изд., гл. 1, § 1, п° Г>) было
определено понятие локально конечного покрытия топологическо-
топологического пространства Е. Болое общим, образом, семейство (At)l£; под-
мпожеств множества Е называют локально конечным, если каждая
точка х £ Е обладает окрестностью V такой, что У[}А1Ф0
лишь для конечного числа индексов i 6 1- Множество @ подмно-
подмножеств множества Е называют локально конечным, если семейство

;i НОРМАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВ Л Я,1.!
множеств, определенное тождественным отображением <& на себя,
локально конечно.
Лкммл 2. Объединение локально конечного семейства замкну-
замкнутых подмножеств топологического пространства замкнуто о Е.
В самом деле, пусть (/\)iej — локально конечное семейство
замкнутых множеств в Е и х £ Е — точка прикосновения мно-
множества ll^1' 0Iia обладает окрестностью V, пересекающейся только
с множествами Fh, соответствующими индексам, принадлежащим
некоторому коночному множеству ТУ с: /; отсюда следует, что х
есть точка прикосповепия замкнутого множества М/\, чем лемма
и доказана.
Теорлма 3. Пусть {А^иц — локально конечное открытое
покрытие замкнутого множества F в нормальном пространстве Е.
Существует открытое покрытие (Bh)icj множества F такое, что
1^ с: Ау, для всех i 6 7.
Наделим. 7 структурой вполне упорядоченного множества (Теор.
множ., гл. III, § 2, теорема 1) и определим с помощью трансфи-
трансфинитной индукции семейство (BJ^i открытых множеств в Е так,
чтобы: 1° Bh cz Аь для всех i £ /; 2° для каждого i 6 / семейство,
обравованное всеми В^, у которых J,^i, и всеми А%, у которых
К > I, было открытым покрытием множества F. Предположим,
что множества Bt определены для i < у так, что указанные два
свойства имеют место для всех i < у, и покажем, что BY можно
определить так, чтобы эти свойства имели место и для i -~ у.
Покажем сначала, что множества Вк, у которых i <; у, вместе
с множествами Аи у которых i^y, образуют покрытие мно-
множества F. По предположению, для каждого х £ F имеется лишь
конечпое число индексов Я £ I таких, что х £ А%\ пусть это будут
Aj < л2 < . . . < Ап, и пусть Aft — наибольшее из тех- л£, которые
<Z.y\ если h <i п, го х £ А хп ж kn ^ у; если h — п, то предпосыл]са
индукции показывает, что х прпнпд;геж"ит некоторому В %,, у кото-
которого X ^. kn <z у; этим и доказана справедливость утверждения.
Положим далее С — (С/'') U (M^O U (U-^t); (■■ открт.|то и, по
сказанному выше, СЛУ с: С; поэтому в силу аксиомы (Ov)

94 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩКЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 4
нормальных пространств, существует открытое множество V та-
такое, что САу а V а V а С. Положив Ву - CV, будем иметь
ByCZ CV cr Ау и By\JC — E, так что множества Ви у кото-
которых i ^ у, вместе с множествами Аь, у которьсх i >■ у, обра-
образуют покрытие множества F.
3 а м е ч а н и е. Отметим, что мы исполт.вовмли только то, что
покрытие (At) точечно конечно, т. е. что каждая точка на F принядле-
яагт только коночному числу mhohjoctb Ai-
Определение 2. Пусть Е — типологическое простран-
пространство и f — определенная на нем числовая функция. Наименьшее
замкнутое множество S в Е такое, что f (х) = 0 на CS, называют
носителем f и обозначают supp (/).
Другими словами, supp (/) есть замыкание в Е множества тех
х 6 Е, для которых / (х) Ф 0; можно еще сказать, что это — мно-
множество тех точек ж £ Е, в каждой окрестности которых существует
точка у, для которой / (у) Ф 0.
Пусть (/()tg/ — семейство конечных числовых функций, носи-
носители которых образуют локально конечное семейство; тогда сумма
2 Д (ж) определена для каждого х £ Е (поскольку содержит
лишь конечное число ненулевых членов); конечную числовую
функцию х ь-*- ^ А (ж) называют суммой семейства (Д) и обозна-
чают 2 А- Если каждая из функций А непрерывна, то непрерывна
■и функция / = 2 А; в самом деле, каждая точка х £ /? обладает
окрестностью F, пересекающейся лишь с конечным числом носи-
носителей функций Д, и, следовательно, имеется конечное множество
Яс/ такое, что / (у) = 2 А (#) Для всох У € ^>
1£7Г
Определение 3.' Пусть (АI£/ — семейство подмножеств
топологического пространства Е\ говорят, что семейство (A)i£7
числовых функций, определенных на Е, подчинено семейству (A,)^j,
если supp (А) с i4t для каждого i £ 7.

;t НОРМАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 95
Непрерывным разложением единицы на Е называется всякое
семейство (/t)i,cj непрерывных числовых функций ^ 0 на Е таких,
что их носители образуют, локально конечное семейство и
V д (я) _ 1 ддл всех х £Е.
Предложение 3. Для каждого локально конечного откры-
открытого покрытия (At)ici нормального пространства существует
подчиненное этому покрытию непрерывное разложение единицы
(/Oigjr па Е.
Применяя, теорему 3, рассмотрим открытое покрытие (#t)i£/
цространствд Е такое, что Bt cr Л,, для всех i £ 7; очевидно, это
покрытие локально конечно. По аксиоме (О'у) для каждого i £ I
существует открытое множество Ct такое, что BL cr Ct cr Cl cr AL.
Но аксиоме (Оу) для каждого i £ I существует непрерывное
отображение gh пространства йв[0, 1J такое, что gt (x) — 1 на/?,,,
а носитель g,, содержится в 6\ и, следовательно, в А,,. Так как
(BL) — покрытие пространства Е, то 2j Si (x) > О ДЛЯ каждого
ж 6 ^; положим Д (ж) = gt (х)/B gi (а:)) для каждого i 6 /
и каждого х £ Е; тогда функции Д образуют непрерывное разло-
разложение единицы, подчиненное покрытию (AJ.
Следствие. Для каждого локально конечного открытого
покрытия (^4t)igi замкнутого множества F в нормальном про-
пространстве Е существует семейство (fi\^i числовых функций
определенных и непрерывных на Е, подчиненное покрытию (/4
и такое, что 2 А (х) — 1 для всех х £ F и 2 А (я) ^ 1 для
В самом деле, семейство множеств, состоящее из всех At и
является локально конечным открытым покрытием про-
пространства Е. Поэтому существует подчиненное ему непрерывное
разложение единицы, образованное семейством (А)^/ таким, что
supp' (/t) cr Аь для всех i 6/, и функцией g с носителем, содержа-
содержащимся в CF; ясно, что семейство (/,,) и обладает требуемыми свой-
свойствами.

f:lfi ВЕЩЕСТВКИНМЕ ЧИСЛА В ОБЩГСЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 4
</. Пара компактные пространства
Напомним (гл. I, 2-е изд., § 10, п° 42; 3-е П8Д., § 9, п° 10), что
топологическое пространство Е называется паракомпакпгпым, если
оно отделимо и для каждого открытого покрытия Е существует
мажорирующее его локально конечное открытое покрытие.
Предложении 4. Всякое параколтактное пространство
нормально.
Это предложение вытекает из следующей леммы:
Лемма ?>. Пусть А и В — непересекающиеся замкнутые мно-
множества в паракомпактном пространстве Е. Если для каждого
х £ А существуют непересекающиеся открытая окрестность Vx
точки х и открытая окрестность Wx множества В, то суще-
существуют непересекающиеся открытые окрестности, Т и U мно-
множеств А и В'
В самом деле, предположим, что лемма доказана; так как Е
отделимо,, то она применима к случаю, когда В одноточечно,
и показывает тогда, что Е регулярно. Снова применяя затем лем-
лемму 3 ужо к произвольным двум непересекающимся замкнутым
множествам в Е, убедимся в справедливости аксиомы (Оу).
Для доказательства леммы рассмотрим открытое покрытие
пространства Е, состоящее из С-4 и указанных в лемме окрестно-
окрестностей Vx, где х пробегает А; пусть G\)ig/— мажорирующее его
локально конечное открытое покрытие; по определению, если
А Г) 7( Ф 0, то существует xt £ А такое, что 7\ с: Vx . Пусть
Т — объединение всех 7\,, для которых А [\ 7\ •-■£ 0» и, значит ■—
открытое множество; покажем, что существует открытая
окрестность 11 множества /?, но пересекающая Т. В самом деле,
каждая точка у 6 В обладает открытой окрестностью Sy, пере-
пересекающейся лить с конечным числом множеств Tt; пусть / -
конечное подмножество множества /, образованное томи индекса-
индексами I, для которых Ту, пересекает одновременно Sv и А; тогда мно-
множество Uy : ■■ SU[\£\WX будет открытой окрестностью точки у,
не пересекающей пи одного 7\, для которого А (] 7\ Ф 0,
и, значит, UV[\T — 0. Для завершения доказательства остается
положить V — М U,r
В

4 НОРМАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 97
Можно принести примеры нормилышх нростраястн, но являю-
являющихся паракомпактньши (упражнение 10).
Следствия. Для каждого открытого покрытия (A,)^i пара-
компактного пространства Е существует подчиненное ему непре-
непрерывное разложение единицы (/t)iej на Е.
В самом деле, пусть (U■к)%ы, — локально конечное открытое
покрытие, мажорирующее (At)l£i; тогда существует отображе-
отображение ф множества L в 7 такое, что UK с -4фа) для всех X £ L.
Согласно предложениям 3 и 4 существует непрерывное разложе-
разложение единицы (gx)i£L, подчиненное (Ux)\ для каждого i £ 7 поло-
положим Д — 2]. gx, где сумма имеет смысл и непрерывна, поскольку
носители функций g\ образуют локально конечное семейство;
кроме того, объединение Вк носителей тех gx, для которых <р (К) =
= I, замкнуто (лемма 2) и содержится в А,,; поскольку Д (х) — 0
при х g СВи носитель функции Д содерл{ится в Ви а значит
и в АК. С другой стороны, семейство {ВС) локально конечно, ибо
для каждой точки х £ Е имеются ее окрестность V и конечное
множество II с L такие, что V {] Ux ~ 0 для всех X (JII, отку-
откуда следует, что V(]B,, — 0 для всех i ^ ф G7). Наконец, для
всех х £ Е имеем
чем доказательство следствия и завершается.
Предложение 5. Всякое замкнутое подпространство F
паракомпактного пространства Е паракомпактно.
В самом деле, F отделимо. С другой стороны, пусть (Ft) —
открытое покрытие пространства F; каждое Ft имеет вид Vt =
= Uif\F, где U\, — открытое множество в Е. Рассмотрим откры-
открытое покрытие 5R пространства Е, образованное множеством CF
и всеми Uи существует локально конечное отгфытое покрытие 9J'
пространства Е, мажорирующее 5R, и следы па F множеств из 3J'
образуют локально конечное открытое покрытие пространства 7*1,
мажорирующее данное покрытие (Ft).
Напротив, открытое подпространство компактного пространства
моанчг по быть наракомнактным, и даже нормальным (упражнении 206)
и § 5, упражнение 1Г>).
7 Н. Бурбаки

98 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX. § 4
Следствие. Всякая окрестность замкнутого множества F
в паракомпактном пространстве Е содержит замкнутую (и, сле-
следовательно, паракомпактную) окрестность этого множества.
Это вытекает из предложений 4 и 5 и аксиомы (Оу).
Предложение 6.. Произведение паракомпактного простран-
пространства и компактного пространства паракомпактно.
Пусть Е — паракомпактное пространство, К — компактное
пространство и Ш — открытое покрытие их произведспия. Для
каждой точки (ж, у) £ Е X К существуют открытая окрестность
Vx,y точки ж в Е и открытая окрестность WXiV точки у в К,
произведение которых VXi у X WXi у содержится в некотором мно-
множестве из 9?. Для каждого х £ Е множества Wx>y, где у пробе-
пробегает К, образуют открытое покрытие пространства К; следователь-
следовательно, в К существует конечное число точек yt (I ^ i ^ п) таких,
что уже множества Wx< у образуют открытое покрытие простран-
пространства К.
п
Положим Ux = f\ Vx, у', каждое ив открытых множеств
Ux X Wx, у A ^ i ^ п) содержится в некотором множестве из Ш.
Пусть тогда G\)i£/ — локально конечное открытое покрытие
пространства Е, мажорирующее покрытие, образованное мно-
множествами Ux (ж 6 Е), и жь для каждого i 6 / есть точка ив Е, для
которой Ть с: US[\ обозначим через Slih множества Wx^ Уц
A ^ /с ^ raj, отвечающие этой точке. Ясно, что множества 7\ х
X Slt n (i 6 I> 1 ^ ft ^ Щ для каждого i £ /) образуют открытое
покрытие произведения Е X К, мажорирующее Ж; покажем, что
это покрытие локально конечно. В самом деле, для каждой точки
{я, у) 6 Е X К существует окрестность Р точки ж, пересекающаяся
лишь с конечным числом множеств 7\; окрестность Р х К точки
(ж, у) будет тем более пересекаться лишь с конечным числом мно-
множеств вида Z\ X.iS^ft.
Напротив, проппводонпо двух паракомпактных пространств
может не бытг. паракомпактным, и даже нормальным (§ 5, упраж-
упражнение 16).

г, . НОРМАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 99
~>. Паракомпактность
метризуемых пространств
Следующая теорема уточняет предложение 2:
Теорема 4. Всякое метризуемое пространство параком-
пактно.
Эта теорема вытекает из следующих четырех лемм.
Лемма 4. Пусть] 9t = (Ua)a^ — открытое покрытие мет-
риауемого пространства Е. Существует последовательность (@п),
обладающая следующими свойствами: 1° каждое <&п есть локально
конечное семейство открытых множеств ив Е; 2° @ = М @„
п
является открытым покрытием пространства Е, мажорирую'
щим 9?.
В самом деле, пусть d — расстояние, согласующееся с тополо-
топологией пространства Е. Для каждого а £ А и каждого целого п
обозначим через Fna множество тех точек х 6 Ua, для которых
d(x, Е—J7a)>2"n; так как Е—Ua замкнуто, то £/„ = ^^10'
п
Наделим А структурой вполне упорядоченного множества; пусть
Gna для каждого а £ А и каждого целого п означает множество
всех точек х £ Fna таких, что x$Fn+1,& для каждого {$ < а;
наконец, пусть Vna есть множество тех точек у £ Е, для которых
d (у, Gna) < 21"8. Очевидно, Vna открыто. С другой стороны,
так как для каждого у £ Vna существует х £ Gna такое, что
d (х, у) < 2"", то Vna cz'Ua; поскольку ж £ Fna, имеем
d (у, Е - Ua) > d (х, Е — J7«) - d (ж, у) > 2-"-1,
откуда у (: Ua. Обозначим далее для каждого х £ Е через а
наименьший индекс ив Л, при котором ж £ £/«; тогда существует
целое га, для которого х 6 ^*nai и из определения а вытекает, чтс
вместе с тем х.6 ^Па» так что я € Fna. Это показывает, что если
положить <2>n = (Fna)a£A» то © = \J @n будет открытым покры-
п
тием пространства J&, мажорирующим 9{. Остается доказать, что-
каждое семейство @п локально конечно. Для этого покажем сначала,
что d {Gna, Gnp) ^ 2"" при а ^ Р- В самом деле, предположим,
7*

100 ВЕЩКСТВКННЫК ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 4
что Р < а; пусть я £ Спа и у £ f'nP; по определению ж $ Fn+1,&;
следовательно, d (х, Е — t/p) < 2"" и d (z/, £ — f/p) > 2"n,
откуда d (ж, у) ^ 2""; поскольку Gn$ cr FnP, заключаем, что
d(Gna, CnP)>2-"-1.
Из определения множеств Fna и Fnp сразу видно теперь, что
d (^n«i ^np) ^ 2"n~2. Из этого последнего неравенства вытекает,
что открытый шар радиуса 2"п с центром в любой точке z £ Е
может пересекаться не более чем с одним из множеств семейства
<©„, и тем самым — что это семейство локально конечно.
Лемма 5. Пусть (Qn) — последовательность локально конеч-
конечных семейств открытых подмножеств топологического простран-
пространства Е и @ = М <&п — покрытие пространства Е. Тогда суще-
п
ствует локально конечное {не обязательно открытое) покрытие 93
пространства Е, мажорирующее Q.
В самом деле, пусть Еп — открытое множество в Е, являющееся
п
объединением всех множеств из @,м положим Un — М Ek и Ап =
= Un— £/n-i (Uo — 0). Покажем, что множества Vf]An, где.
л — произвольные целые, а V 6 €>m образуют требуемое покры-
покрытие 93. Поскольку множества Ап образуют покрытие простран-
пространства Е, для каждого х £ Е существует целое п такоо, что х 6 Ап;
тогда х £ Еп и существует V £ <&п такое, что х £ V; таким обра-
образом. x(zVf\An и совокупность S8 всех множеств Vf)An является
покрытием пространства Е. Очевидно, оно маневрирует ©. С дру-
другой стороны, для каждого х 6 Е существует целое п такое, что
х 6 Un', так как Un открыто, а Qm — локально конечные семей-
семейства, то для каждого т существует окрестность Wm точки х,
содержащаяся в Un п пересекающаяся лишь с конечным числом
п
•множеств из Qm; тогда окрестность W = f^ Wm точтеи х будет
пересекаться лигаь с конечным числом множеств из 98, поскольку
W П Ар — 0 для р~> п. Это показывает, что 23 локально конеч-
конечно, и завершает доказательство леммы.
Лкмма 6. Пусть Е— регулярное пространство, обладающее
тем свойством, что для каждого его открытого покрытия sJt суще-

.; . , ■ НОРМАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 101
ствует локально конечное (не обязательно открытое) покрытие,
.мажорирующее SJ{. Тогда Оля каждого открытого покрытия "Si
пространства Е существует локально конечное замкнутое покры-
покрытие %, мажорирующее Ж.
I) самом деле, пусть % — открытое покрытие Е. Для каж-
каждого х £ Е существует открытое множество U (Е 9J, содержа-
содержащее, х, а значит, поскольку Е регулярно,— открытая окрестность
V.v точки х такая, что Vx cz U. Множество 33 всех Vx является
открытым покрытием пространства Е и, следовательно, по пред-
предположению, существует локально конечное покрытие ИЗ, мажори-
мажорирующее 93; пусть % — совокупность замыкапий множеств из 93.
Так как покрытие 93', образованное множествами Vx, мажориру-
мажорирует ЭД, а % мажорирует 93', то $ есть замкнутое покрытие, мажори-
мажорирующее 9{. С другой стороны, % локально конечно, ибо если
некоторое открытое множество но пересекается с множеством
В £ 95, то оно не пересекается также с его замыканием В.
Лкмма 7. Пусть Е — отделимое пространство, обладающее
шел свойством, что для каждого его открытого покрытия Ш суще-
существует локально конечное замкнутое покрытие %, мажорирующее^.
Тогда Е паракомпактно.
Пусть Ш — открытое покрытие пространства Е; требуется
доказать существование локально конечного открытого покрытия
пространства Е, мажорирующего Ж. Пусть ЭД — локально конеч-
конечное покрытие пространства Е (замкпутое или нет), мажорирую-
мажорирующее 9?, и Wx для каждой точки х £ Е ее открытая окрестность,
пересекающаяся лишь с конечным числом множеств из ЭД. Множе-
Множество ЗВ всех Wx является открытым покрытием пространства Е;
пусть % — локально конечное замкнутое покрытие простран-
пространства Е, мажорирующее ЗВ, далее UA для каждого А 6 ?1 —
множество из 5R, содержащее А, и С а — объединение всех мно-
множеств F 6 Ъ-i Для которых А П F — 0. Поскольку $ локально
конечно, СА замкнуто в Е (лемма 2) и, следовательно, А' =
- U а П (Е—СА) открыто. Так как А (]СА — 0 и A cr UA,
то А а А', и множество ?Г всех А' при А, пробегающем 21,
яиляется открытым покрытием пространства Е; при этом, посколь-
поскольку А' с: UA 6 9?, 5Г мажорирует 5К\ Остается показать, что 31'
локально конечно. Каждая точка х £ Е обладает окрестностью Тг

102 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩИЙ ТОПОЛОГИИ РЛ. IX, § 4
пересекающейся лишь с конечным числом множеств из %; пусть F%
A ^ i ^ п) — эти множества. Поскольку Ft содержится в некото-
некотором множестве вида WUi, оно, по определению, пересекается лишь
с конечным числом множеств иэ Я; пусть А ;у — эти последние
A ^J / ^J si). Если А — множество из ЭД, отличное от всех Aif
A г^ i г^ п, 1^/^s,), то, как следует из определений, А1
не пересекается ни с одним из_ Ft и потому не пересекается с
п
Т cz M Ft. Этим доказательство завершается.
Упражнения
1) а) Топологическое пространство, удоилетворяющсо аксиомам
{Q) (гл. I, 2-о и.чд., § 6, упражнение 5; 3-е изд., § 8, упражнение) 1)
и (Оу), нормально.
б) Построить топологическое пространство, состоящее из четырех
точек, удовлетворяющее аксиоме (Оу), но не удовлетворяющее аксио-
аксиоме (Ощ).
в) Для того чтобы топологическое пространство Е, удовлетворяю-
удовлетворяющее аксиоме (Ov). удовлетворяло также аксиоме (Ощ)» необходимо
и достаточно, чтобы оно обладало следующим свойством: всякое замк-
замкнутое множество в Е является пересечением своих окрестностей.
Тогда Е равномеризуемо, а вполне регулярное пространство, ассоции-
ассоциированное с Е (§ 1, упражнение 4), нормально.
г) Если топологическое пространство удовлетворяет аксиомам (С)
и (Ощ), то оно удовлетворяет и аксиоме (Оу). п ассоциированное
вполне регулярное пространство компактно.
2) Пусть Е — топологическое пространство, удовлетворяющее
аксиоме (Оу).
а) Показать, что отношение R: {х} П (И Ф & между точками х, у
из Е равносильно отношению Я': «/ (х) = / (//) для каждой непрерыв-
непрерывной числовой функции / на Е», и вывести отсюда, что R есть отношение
эквивалентности в Е.
б) Показать, что факторпространство F = ElR пормалыго и что
всякая непрерывная числовая функция / на Е может быть записана
в пяди / — g о ф, где g — непрерывная числовая функция на /•', а <р —
каноническое отображение Е на F.
3) 13 топологическом пространстве Е следующие свойства равно-
равносильны:
а) всякоо подпространство пространства Е удовлетворяет аксиоме
б) всякое открытое подпространство пространства Е удовлетво-
удовлетворяет аксиоме (Ov);

УПРАЖНЕНИЯ 103
в) для всякой пары множеств А, В из Е таких, что
А П В = ВГ\А=0,
существуют непересекающиеся открытые мпожостпа U, V такио, что
А <=. U ж В a:V.
Топологическое! пространство Е называется вполне нормальным,
если опо отделимо и обладает указанными свойствами. Всякое мотри-
зуемое пространство вполне нормально. Компактное пространство
не обязательно вполне нормально.
4) Всякое совершонпо упорядоченное множество Е, наделенное
какой-либо из топологий &~+(Е), 3"- (Е) (гл. I, 2-е изд., § 1, упралше-
ние 3; З-о изд., § 2, упражнение 5), вполне нормально. [Пусть А
и В — такие множества из Е, что А Г\ В — В {\ А — 0\ определить
для каждой точки х (; А ее окрестность Vx и для каждой точки у £ В
ее окрестность Wy так, чтобы Vx П Wv — 0, каковы бы ни были
* 6 А и // £ В.]
*5) Всякое совершенно упорядоченное множестпо Е, шделепнов
топологией 3~й{Е) (гл. I, 2-е пзд., § 1, упражнение 3; 3-е и:»д., § 2,
упражнение 5), вполне нормально. [Рассмотреть прежде всего случай,
когда Е компактно; с помощью упражнения 6 § 2 гл. IV показать
сначала, что всякое открытое множество в Е есть объединении- неко-
некоторого множества попарно непересекающихся открытых интервалов;
использовать этот результат для доказательства высказанного пред-
предложения, рассматривая (в обозначениях упражнения 3) дополнение
замкнутого множества А A В, а затем дополнение множества В; для
перехода к общему случаю с произвольным Е использовать упраж-
упражнение 7 § 4 гл.- IV.]
♦6) Показать, что в нормальном пространство Е всякое подпро-
подпространство F, являющееся счетным объединением замкнутых множеств,
нормально. [Пусть А я В — непересекающиеся замкнутым множества
в F, a F — объедипение возрастающей последовательности (Fn)
замкнутых множеств в Е. Определить по индукции последователь-
последовательности (Un) и (Vn) открытых множеств в Е так, чтобы: 1) Un fl Fn
и Vn П Fn но пересекались; 2) U П Fn содержало А A Fn и "со мно"
яшетва IIi fl Fi (I ^ t ^ n), a Vn fl Fn содержало В {] Fn и все
множества Vt {] F( (I < i < п).]
7) Топологическое пространство Е навивается совершенно нор-
нормальным, если оно нормально и всякое его замкнутое подмножество
есть пересечение счетного семейства открытых множеств (или, что
то же, всякое открытое множество в Е есть объединение счетвого
семейства замкнутых множеств).
а) Для того чтобы отделимое пространство Е было совершенно
нормально, необходимо и достаточно, чтобы для каждого его замкну-

104 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, §4
того множества А существовала непрерывная числовая функция /
-1
па К, для которой / @) = Л. [Метод упражнения 10а) § 1.]
б) Показать, что псякос совершенно нормальное пространство
вполне нормально и что всякое его подпространство совершенно нор-
нормально. [Использовать упражнения 36) и 6.]
в) Исякая полунепрерывная снизу чпелопая функция па совер-
совершенно нормальном пространстве является верхней огибающей неко-
некоторой последовательности пепрерынпых функций. [Метод, исполь-
использованный it доказательство предложения 11 § 2.]
г) Компактное пространство Е, получаемое присоединением бес-
бесконечно удаленной точки к несчетному дискретному пространству,
нполыо нормально, но но совершенно нормально; всякое ею подпро-
подпространство параномпактно.
*8) Показать, что неметризуемое компактное, пространство Е,
определенное в упражнении 13а) § 2, совершенно нормально, а немет-
ри:)уемое компактное пространство F, определенное! и упражнении 13г)
§ 2, ниолно нормально, но но совершенно нормально.
*9) а) Пусть Е — иармкомнактпое пространство, каждая точка
которого обладает счетной фундаментальной системой окрестностей,
и /' — полукомпактпоо нормальное пространство (§ 2, упражнение 14).
Покапать, что произведение Е X F нормально. [Пусть А и В — непе-
непересекающиеся множества, замкнуты» в Е X /''. Рассуждая от про-
противного, поковать, что для каждой точки х £ Е существуют ее окрест-
окрестность Uх в Е и два открытых множества Vx, Wx в F такие, что
Ух П ~WX = 0 и А (г) с: Vx, Л (г) cr Wx для каждого г 6 Ux. Пусть
(T^^i, — локально конечное открытое покрытие пространства Е,
ма?корирующсе (UX)X^E, и ф) — 1)аяложение единицы, подчиненное
G\); пусть далее х (к) для каждого Я £ Л такопо, что 7\ с Uxd)y
и ц^ — Henpejibiiinoo отображение /•' в [0, 1 ], равное 0 на VX(^) н 1 на
"W*<x,>; рассмотреть на Е X F функцию ^ h W ^Я (у)-]
х
б) Пусть F = [а, Ь[ — локально компактное пространство, опре-
определенное в упражнении 22 § 10 гл. I 2-го ипд. C-е иэд., гл. I, § 9,
упражнение 12), и Е = [а, Ь\— компактное пространство, полученное
присоединением к F бесконечно удаленной точки; F нормально
(упражнение 4) и полукомтшктно (§ 2, упражнение 15), но произ-
произведение Е X F но нормально. [Использовать упражнение 12 § 4 гл. II
2-го имд. C-е над., гл. II, § 4, упражнение 4).]
*10) Пусть L — несчетное множество; рассмотрим вполне регу-
регулярное пространство Е = NL (где N иаделоно дискретной топологией).
Пусть А (соотв. В) — множество, образованное исеми х = (х C^))\cj^
иа Е такими, что для каждого полого к Ф 0 (соотп. к Ф 1) мпожество
тех К 6 L, j\nn которых х (к) = к, содержит хотя бы один элемент.

УПРАЖНЕНИЯ . 105
а) Показать, что А и В замкнуты и Е и не пересекаются.
б) Пусть U и V — открытые множестна и Е такие, что A a U,
В с V. Обозначим череп Ф сопокуппогть всех элементарных мно-
множеств в Е (гл. I, 2-е инд., § 8, п° 1; 3-е изд., § 4, п° 1), проекции
которых, отличные от N, одноточечны, и И (W) дли каждого W £ Ф
означает множество тех % £ L, для которых рг^ (TV) одноточечно.
Показать, что существуют последовательность (х„) точек пз Л, после-
последовательность (Un) множостн из Ф, последовательность (кп) попарно
различных элементен из L и строго нозрастающая последовательность
(т («))n£N Делых чисел, обладающие следующими спош-тиами: I) Un cz
cz U есть окрестность точки j-,,; 2) II (Un) есть множестно тех ^г
для которых к <; т (п); 3) а-0 (к) = 0 дли каждого % £ L и каждого п > 0,
хп O^h) — h Для ft ^ m (и — 1) и жп (Я) = 0 для остальных "к £,"i.
и) Пусть j/ — точка из В такая, что у (Х^) = к для каждого цело-
целого к и у (X) = 1 для nci'x Я, £ /,, отличных от ^ь. Пусть Vo с V —
множестло из Ф, содержащее у, и п — целое число такое, что Х^ £ L
— Я (Vo) Для каждого к > т. (п). Погашать, что [/„.^ П Vo Ф 0,
и лынести отсюда, что Е не нормально.
11) Вывести зга упражнения 10, что:
а) Если произведение 1Т Е^, отделимых простринстн нормально,
то Ei полуколгпактяы (§ 2, упрнжненис 14) для всех индексон, кроме-
не более чем счетного их множества.
б) Дли того чтобы произведение JJ £\ метризувмых пространств
tejr
было нормально, необходимо и достаточно, чтобы Еу били компактны
для всех пндепсол, кроме но более чем счетного их множества; и тогда
произведение паракомпактпо.
12) Пусть Е и F — отделимые нрострпнетла.
а) Предположим, что л Е существует замкнутое множество А,
не япллющеепя пересеченном никакого счетного семейства открытых
множеств, а в F существует счетно-бесконечное незамкнутое множество
В. Пусть Ь б В —В. Рассмотрим и Е X /•' множества С — А X В и D =
= (Е — А) X {Ь}. Покапать, что С П Т) — ~С П D = 0, но в Е X F
не существует никакой лары (Г/, V) открытых множеств, для кото-
которой бы С с: U, D cz V и U [\ V — 0.
б) Для того чтобы Е X F било вполне нормально, необходимо,
чтобы одно из пространств /:, /' было совершенно нормально или
чтобы п одном нп нрострапс.тв Е, F всякое счетно-бесконечное множе-
множество было замкнуто (см. § 5, упражнение 16).
в) Пусть Е = [а, Ь\ — несчетное вполло упорядоченное множество-
такое, что [а, ж[ счетно при всяком х < Ь. Наделим Е топологией,
и которой {х} открыто для каждого х < Ь, а интерналы ]х, Ь] (где-

106 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩВЙ^ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 4
* < Ъ) образуют фундаментальную систему окрестностей точки 6.
Показать, что Е X Е вполне нормально, по Е не совершенно нор-
нормально.
г) Показать, что всякое компактное пространство Е, для кото-
которого Е X Е X Е вполне нормально, метризуомо. [Использовать тео-
теорему 1 § 2.]
*13) Пусть (Е\)l£I — несчетное семейство отделимых топологи-
топологических пространств, каждое из которых имеет по крайней моро две
различные точки. Пусть такими точками в Et для каждого i из /
■будут at, ftt, и F — подпространство пространства JS" = U -^i» образо-
ванное теми точками*^)^/) у которых xt = ot для всех индексов,
кроме не более чем очетного их множества; пусть 6 — точка (bt) из Е.
Рассмотрим r произведении Е X F дпагопаль А множества F X F
« множество В = {Ь} X F. Показать, что А ж В замкнуты и в Е X F
не существует никакой пары открытых множеств U, V, для которой
А с: U, BczVinU(\V=0, [Пусть V и V — открытые мно-
множества такие, что А с: U и В а V', показать, что существует возрас-
возрастающая последовательность {Нп) не более чем счетных подмножеств
множества / такая, что если хп есть точка из F, у которой каждая
координата с индексами i £ Нп равна ftt) а каждая координата с индек-
индексами i (J Нп равна at, то точка (жп+1, хп) принадлежит V для каждого
целого п.; доказать, что послодоватолыгость (жпц, хп) стремится к неко-
некоторой точке из А, и вывести отсюда, что U A Уф 0Л
Получить с помощью этого результата пример связного тополо-
топологического кольца, которое не являлось бы нормальным.
Вывести также, что произведение несчетного семейства отделимых
топологических пространств, каждое из которых имеет по крайней
мере две различные точки, не может быть вполне нормально. [Исполь-
[Использовать предыдущий результат для случая, когда все Е\, совпадают
•с дискретным двухточечным пространством.]
14) Пусть Е — отделимое не нормальное пространство, А и В —
■непересекающиеся замкнутые множества из Е, для которых не сущо-
■ствуот непересекающихся открытых множеств U, V, удовлетворяющих
-отношениям Л cz U, В с: V, и R — отношение эквивалентности в Е,
классами эквивалонтпости которого служат множество А, множество В
и множества {х}, где гг пробегает С (A U В). Показать, что график
■отношения R в Е X Е замкнут и отношение R замкнуто, но фактор-
пространство EIR неотделимо (см. гл. I, 2-е изд., § 9, теорема 2;
3-е изд., § 8, предложение 8).
15) а) Пусть Е — нормальное пространство и Л — замкнутое
отношение эквивалентпости в Е. Показать, что факторпрострапство
EIR нормально. [Использовать предложение7 § 9 гл. 1,2-гоизд. C-еизд.,
гл. I, § 5, предложение 10).]

УПРАЖНЕНИЯ 107
б) Пусть Е — локально компактное пространство, счетное в бес-
бесконечности, и Л — отношение эквивалентности в Е, график которого
аамкнут в Е X Е. Показать, что ElR нормально. [См. гл. I, 2-е изд.,
§ 10, упражнение 15 C-е изд., § 10, упражнение 19).]
в) Пусть Е — дополнение в R множества точек вида' 1/ге, где п
пробегает все целые числа, отличные от 0 и ±1. Рассмотрим в мотри-
зуемом пространство Е отношение эквивалентности R, класс которого
для каждого не целого х £ Е состоит из тонок х и Их, а класс каждого
целого х — только из х. Показать, что R открыто и нмоит замкнутый
график в Е X Е, но ElR ио регулярно.
16) Для каждого покрытия Ж топологического пространства Е
обозначим порез V^ объодиноние множостп U X U, где U пробегает 9J.
Открытое покрытие Ш пространства Е называется однообразным,
если в произведении Е X Е существует окрестность W диагонали Д
такая, что покрытие, образованное множостиами W (х), где х пробе-
пробегает Е, мажорирует iK. 9t называется делимым, если в Е X Е суще-
2
ствует окрестность W диагонали А такая, что W с: V^.
а) Показать, что всякое однообразное открытое покрытие прост-
пространства Е делимо (см. упражнение 196)).
б) Пусть 91 — открытое покрытие пространства Е, мажорируемое
некоторым замкнутым локально копечпым покрытиом © этого прост-
пространства. Показать, что 91 однообразно. [Пусть На для каждого А 6 @
есть некоторое множество из 8t, содержащее А, и Va — объединение
открытых подмножеств UA X Ua и (Е — А) X (Е — А) простран-
пространства Е X Е; рассмотреть множество W= М Гд.]
*17) а) Для того чтобы всякое конечноо открытое покрытие топо-
топологического пространства Е было делимо (упражнение 16), необхо-
необходимо, чтобы Е удовлетворяло аксиоме (Оу). [Рассмотреть бинарное
<т. е. состоящее из двух множеств) открытое покрытие пространства Е.]
Обратно, если Е удонлетпорнот аксиоме (Оу), то всякое его конечное
открытое покрытие однообразно. [Использовать теорему 3 (которая
применима, поскольку Е удовлетворяет (Оу)) для сведения к случаю
бинарного покрытия и затем для исследования этого случая.] Когда
1R пробегает всепозможные конечные открытые покрытия простран-
пространства Е, мпожества V<^ образуют фундаментальную систему окружений
некоторой равномерной структуры в Е, согласующейся с его тополо-
гиой и называемой «равномерной структурой конечных открытых
покрытий».
б) Пусть Е нормально; показать, что равномерная структура V-
конечпых открытых покрытий совпадает со слабейшей равномерной
структурой 11', для которой равномерно непрерывны непрерывные

108 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОВЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 4
отображения Е в [0, 1 ] (т. о. с равномерной структурой, индуцируе-
индуцируемой и Е из его компактификации Стоуна — Чеха (§ 1, упражнение 7).
[Чтобы убедиться в том, что 11' мажорирует Щ, образовать о помощью
теоремы 3 и аксиомы (Оу) конечное семейство отклонений на Е вида
(х, у) у-*. | / (х) — / (у) | так, чтобы всякое окружение равномерной
структуры, определенной этими отклонениями, содержалось в неко-
некотором окружении равномерной структуры Я1.\
в) Пусть Е — нормальное пространство, Е — его комтжтифика-
цпя Стоуна— Чохп и F для каждого замкнутого множества /'" из Е —
его замыкание в Е. Показать, что непрерывное отображение компакти-
фпкапии Стоуна — Чеха F пространства /'' и /'', продолжающее тож-
тождественное отображение F в себя, является гомеоморфизмом. (Исполь-
(Использовать б) или непосредственно теорему 2 и универсальное свойство
пространства F.] Показать, что, каковы бы пи были замкнутые мно-
множества /•', С в Е, F(]G=F[\Gn Е. [Предполагая, что х0 (J /•' П G
и г,5 F, рассмотреть замкнутую окрестность V точки х0 в Е, для
которой V П F и G — непересекающиеся аамкнутые множества в Е.\
*18) Семейство (Аа) подмножеств топологического пространства Е
называется дискретным, если каждая точка х £ Е облпдаст окрест-
окрестностью, поресекнющейся не бс)лее чем с одним n.i мпожеоти Ла. Отде-
Отделимое пространство Е называется коллективно нормальным, если для
каждого дискретного семейства (Аа) замкнутых мпожеств н Е сущест-
существует семейство (Ua) попарно непересекающихся открытых мпожеств
таких, что Ла с Ua для всех а. Всякое коллективно нормальное
пространство нормально.
а) Для того чтобы каждое открытое покрытие вполне регулярного
пространства Е было делимо (упражнение 16), необходимо и доста-
достаточно, чтобы множество всех окрестностей диагонали Д в Е X Е было
фильтром окружепий универсальной равномерной структуры в Е
(§ 1, упражнение 5). Показать, что если это услопио выполнено, то Е
коллективно нормально. [Пусть Dа) — дискретное семейство замкну-
замкнутых множеств в Е; рассмотреть открытое покрытие (Va), где Va =
— Е — II Лр для каждого а.]
б) Пусть F — fa, Ъ[ — локально компактное пространство, опре-
определенное is упражнении 22 § 10 гл. I 2-го изд. C-е изд., гл. I, § !),
упражнение 12), /'0 — мпожество F, паделепное дискретной топологией,
и G — множество Fo [} {b}, паделепное топологией, в которой каж-
каждая точка из Fo обракует открытое множество, а множества ]х, Ь],
где х пробегает f0, образуют фундаментальную систему окрестностей
точки 6. Показать, что пространство Е = F X G коллективно нор-
нормально. [Заметить, что в F нет бесконечных дискретных семейств
нодмпожеств, и использовать упражнение 4.] Пусть Ш — открытое

УПРАЖШШИЯ 109
покрытие пространства Е, состоящее ия /' X Fo и произведений
\а, .г] X ] х, Ь] (х < 6); показать, что Ш но делимо и, следовательно,
множество всех окрестностей диагонали Д в Е X Е не является филь-
фильтром окружений никакой равномерной структуры и Е. [Использовать
.упражнение 22а) § 10 гл. I 2-го изд. C-е изд., § 9, упражнение 126)).]
*19) а) Для того чтобы регулярное пространство К было иариком-
ттяктно, необходимо и достаточно, чтобы всякое его открытое покрытие
было одпообравным (упражнение 16). [Для доказательства необходи-
необходимости использовать лемму 6 и упражнение 106). Для доказательства
достаточности исполг.вовнть упражнение 10я) § 4, предложение 2
•§ 1 it теорему 4 § 4.1
б) Дать пример делимого но однообразного покрытия коллективно
нормального, по не нарпкомпиктпого пространства. [Исгголг>ловать а)
и упражнение 12 § 4 гл. II 2-го изд. C-е изд., § 4, упражнение 4).]
в) Покапать, что паракомпактноо пространство Е полно л своей
универсальной равномерной структуре (§ 1, упражнение fi). [Если
«фильтр Коти $ относительно этой структуры не имеет точки прикос-
прикосновении, то всякая точка х £ Е имеет открытую окрестность Vx,
не пересекающуюся хотя бы с одним множеством ип 5- Использовать
затем a) ir упражнение 18а).]
20) а) Для того чтобы регулярное пространство Е было параком-
пактпо, достаточно, чтобы для каждого его открытого покрытия Я?
•существовала последовательность (<Sn) локально конечных семейств,
.для которой <5 = II <Вп являлось бы открытым покрытием простран-
п
•ства Е, мажорирующим 31. [См. леммы 5, С и 7.1
б) Вывести из а), что в паракомпактнои пространстве объединение
всякого счетного семейства зимкнутых множеств есть наракомпактное
подпространство (см. § Г>, упражнение 15).
и) Пусть Е — регулярное пространство и % — локально конечпое
■семейство замкнутых множеств, являющихся паракомнактными нод-
■ пространствам и пространства Е. Показать, что объединение исех
■множеств из § есть парпкомтгактмоо подпространство пространства Е.
'(Использовать лемму 7. См. § 5, упражнение 15.]
г) Доказать, что произведение наракомняктного пространстна Е
и регулярного пространства F, являющегося объединением счетного
■семейства своих компактных подмножеств, паракомиактно. [Погру-
[Погрузить F в его комиактификацию Стоуна — Чеха и испольаолать б).
■См. § 5, упражнение 1С]
•21) а) Пусть Е — паракомпактноо пространство и Я — зам-
замкнутое отношение ятшивалентности в Е такое, что всякий класс экви-
эквивалентности но R компактен. Показать, что ElR наракомпактно.
4Использовать упражнение 1Г>я), теорему 3 и лемму 7. См. упраж-
.нение 15в).]

110 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОВЩВЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 4
б) Пусть Е — отделимое пространство и R — замкнутое отноше-
отношение эквивалептпости в Е такое, что всякий класс эквивалентности
по Л компактен. Показать, что если E/R паракомпактно, то Е пара-
компактно. [Рассуждать, как в доказательстве предложения 6.1
в) Пусть F — не паракомпактное локально компактное простран-
пространство (см. гл. I, 2-е илд.,§ 10, упражнение 22; 3-е изд., §9, упражнение 12),
Ft, — компактное пространство, полученное присоединением к F бес-
бесконечно удаленной точки, Е — топологическая сумма пространств F
и Fo, R — отношение эквивалентности, отождествляющее всякую
точку из F с ее каноническим образом в Fo. Покапать, что отношение R
открыто, всякий класс эквивалентности по R содержит не более двух
точек, a E/R гомеоморфно Fo и, следовательно, компактно.
*22) Для того чтобы регулярное пространство Е было метризуемо,
необходимо и достаточно, чтобы в нем существовала последователь-
последовательность (Я9П) локально конечных семейств открытых множеств такая»
что S? = II S3ra — базис его топологии. (Для доказательства необ-
п
ходимости условия воспользоваться леммой 4. Для доказательства
достаточности показать сначала с помощью лемм 5, 6 и 7, что Е пара-
компактио. Для каждой пары т, п целых чисел и каждого U 6 ®п»
обозначим через U' объединение множеств V £ ЯЭ„ таких, что Fc 17;
показать, что U' с U. Пусть fa — непрерывное отображение Е
в [0, 1], равное 0 на Е — U и 1 на U', и
показать, что отклонения dmn определяют топологию в Е.] {«Теорема
Нагата — Смирнова»). В частности, всякое регулярное пространство
со счетным базисом метризуемо.
23) Топологическое пространство Е называют линделефовским,
если всякое его открытоо покрытие содержит счотное подпокрытие.
Всякое пространство, обладающее счетным базисом, линделефовское;
всякое квазикомиактное пространство (гл. I, 2-е изд., § 10, упраж-
упражнение 23; 3-е изд., § 9, п° 1) линделефовское.
а) Всякое замкнутое подпространство линделефовского простран-
пространства есть линделефопское пространство. Для каждого непрерывного
отображения / лиидолефовского пространства Е в топологическое
пространство Е' подпространство / (Е) последнего — липделефовское.
б) Всякое отделимое пространство, являющееся объединением
счетного семейства компактных множеств,— линделефовское.
в) Всякое регулярное линделефовское пространство паракомпакт-
паракомпактно. [Использовать упрпжнепие 20а).]
г) Произведение линделефовского пространства и компактного
пространства есть линделефовское пространство. [Рассуждать, как
при доказательстве предложения 6; см. § 5, упражнение 16.]

УПРАЖНЕНИЯ 111
*24) а) Пусть Е — метризуемое пространство, R — замкнутое
отношение эквивалентности в Е такое, что всякий класс эквивалент-
эквивалентности по R компактен. Показать, что E/R метризуемо. [С помощью
теоремы Нагата — Смирнова (упражнение 22) доказать аналог лем-
леммы 4 для открытых покрытий пространства Е, состоящих ия насыщен-
насыщенных по R множеств; принять за Fna наибольшее насыщенное открытое
множество, содержащееся в множестве тех х £ Е, для которых
d (х, Е — Ua) > 2"п, за F'na — насыщенные множества тех х^Е,
для которых d (х, Е — Ua) > 2~п, и за Gna — множество тех х 6 Fna,
для которых х (£ F'n+it р при всех Р < а.]
б) Распространить результат пункта а) па случай, когда R зам-
замкнуто, а каждая точка пространства E/R обладает счетной фундамен-
фундаментальной системой окрестностей. [Использовать упражнонио 206) § 2.]
в) Пусть Е — топологическое пространство и (Fa) — его замкну-
замкнутое локально конечвое покрытие. Показать, что если каждое из под-
подпространств Fa мотризуемо, то Е метризуемо. [Рассмотреть Е как
факторпространство топологической суммы всех Fa.]
г) Паракомиактное пространство, всякая точка которого обладает
метризуемой окрестностью, мотризуемо. [Применить в); см. гл. I,
2-е изд., § 10, упражнение 226) C-е изд., § 9, упражнение 12в)). См.
упражнение 25г) и § 2, упражнение 15, а также § 5, упражнение 15.J
25) Отделимое пространство Е называется мета компактным,
если для всякого его открытого покрытия SR существует мажорирую-
мажорирующее SR точечно конечное открытое покрытие.
а) Показать, что всякое замкнутое подпространство метакомпакт-
ного пространства метакомпактно; если всякое открытое подпростран-
подпространство метакомпактного пространства метакомпактно, то и все вообще
подпространства метакомпактны.
б) Пусть К — отделимое пространство и Л — замкнутое отно-
отношение эквивалентности в Е такое, что всякий класс эквивалентности
по R компактен. Показать, что если E/R метакомпактно, то Е мета-
метакомпактно. [Рассуждать, как в упражнении 216).]
вI Показать, что пространство, одновременно мотакомпактное
и полукомпактное (§ 2, упражнение 14), компактно. [Заметить с по-
помощью теоремы Цорна, что «сякое точечно конечное открытое покры-
покрытие содержит минимальное открытое покрытие, и использовать упраж-
упражнение 14а) § 2.]
г) Вполне нормальное локально компактное пространство Е =
= [а, Ь[, определенное в упражнении 22 § 10 гл. I 2-го изд. C-е изд.,
гл. I, § 9, упражпенио 12), не метакомпактво •).
*) Существуют совершенно нормальные коллективно нормальные прост-
пространства, не являющиеся метакомпактпымн, л совершенно нормальные мета-
компактные пространства, не являющиеся коллективно нормальными (а сле-
следовательно, но паракомпактные). См. Е. М i с h а о 1, Can. Journ. of Math.,
VII A955), стр. 275—279.

112 ВКЩКСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 4
д) Пусть F — метризуемое пространство, А — его подмножество,
которое, как и его дополнение, всюду нлотпо в F, и Е — не регуляр-
регулярное пространство, получаемое путем наделения F топологией, порож-
порождаемой яг.рмп открытыми множествами нз F и множеством А. Пока-
Покапать, что Е мотакомпактно. [Рассмотреть для каждой точки х £ Е
со окрестность Vx, содержащуюся в каком-либо множестве заданного
открытого покрытия 91 пространства Е и удовлетворяющую слодую-
щ]ш условиям; Vxcz А, гели х£А, и Vx есть окрестность х в F,
если х (J А. Заметить, что подпространство Л пространства Е нара-
компактпо, так же как подпространство пространства F, получаемое
объединением всех Vx для х § А.]
20) а) Показать, что всякое вейерштрассово (§ 1, упражнение 22)
нормальное пространство полукомцактно (§ 2, упражнение 14). [Пока-
[Показать, что если последовательность] (х„) ironapiro различных точек из Е
не имеет предельных точек, то на Е существует непрерывная конечная
числовая функция / такая, что / (г,,) = п для всех п.]
б) Пусть F = [а, Ь\ — локально компактное пространство, опре-
определенной н упражнении 22 § 10 гл. I 2-го изд. C-е изд., § 0, упражнение
12), и Fo — компактное пространство, получаемое присоединением
к F бесконечно удалешгой топки,— ее можно отождествить с Ь,
Пусть далее с — наименьший элемент в F, для которого [а, с[ беско-
бесконечно, и G — компактное подпространство [а, с] пространства F,
Пусть, наконец, Е — дополнение к точно F, с) л компактном прост-
пространстве Fo X G» Показать, что Е — по нормальное локально компакт-
компактное пространство (см. упражнение 12а)) я что оно вейерштрассово,
но не полукомпактно. Дать пример замкнутого подпространства в Е,
которое не было бьт пейергатрассопым. Дать пример полунепрерывной
снизу функции на Е, но достигающей своей нижней грани. [См. § 2,
упражнение 14и).]
27) Топологическое пространство Е называется локально пара'
компактным, если всякая его точка обладает ва.чкиутпй окрест-
окрестностью, являющийся параномппктинм подпространством.
а) Показать, что локально варакомпактноо пространство вполне
регулярно.
б) Пусть в компактном пространство Л) X G, определенном в уп-
упражнении 206), II означает дополнение к миожгстну тех точек (Ь, у),
у которых у < г. Показать, что II гге локально иаракомаактпое нор-
нормальное пространство. [См. гл. Т, 2-е плд., § 10, упражнение 226);
3-е изд., § 9, упражнение 12в).]
в) Пусть Е — топологическое пространство и Ф — его покрытие,
образованное замкнутыми паракомпактными подпространствами и та-
такое, что всякое А б Ф обладает в К окрестностью, принадлежащей Ф.
Пусть Е' — множество, полученное присоединением к Е точки ш;
определим в Е' топологию, приняв за фундаментальную систему окрест-
окрестностей точки х £ Е в Е' множество всех ее окрестностей в Е, а за фу и-

БЭРОВСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 113
даментальную систему окрестностей точки о> — базис фильтра, порож-
порожденный дополнениями в Е' множеств из Ф (см. упражнение 20в)).
Показать, что Е' — ларакомпактноо пространство.
*28) Пусть Е—метрическое пространство, d—ото расстояние,
А — замкнутое множество и Е и / — непрерывная числопая функция,
определенная на Л, со значениями в интервале [1, 2]. Показать, что
числопая функции ц, определенная на Е условиями g (х) = / (.т)
на А и
па О А, непрерывна на Е. Получить отсюда доказательство теоремы 2
для метрических пространстн.
29) Для того чтобы отделимое топологическое пространство Е
было нормально, необходимо и достаточно, чтобы для каждого ого
замкнутого подмножества А н каждой числовой функции / на А,
непрорывпой в индуцированной топологии, существовало непрерывное
отклонение d на Е, относительно которого / была бы равномерно
непрерывна. [Для- доказательства достаточности, следует показать,
что всякая числопая функция / на замкнутом множестве А, непрерыв-
непрерывная в индуцированной топологии, может быть продолжена до непре-
непрерывной функции на Е\ рассмотреть для этого отделимое простран-
пространство Е, ассоциированное с равномерной структурой, определяемой
в Е отклонением d.)
30) Пусть Е — нормальное пространство и g — полунепрерывная
сверху, а / — полунепрерывная снизу функции на Е такие, что g < /.
Показать, что на Е существует непрерывная числовая функция h
такая, что g < А < /. [Ограничиться случаем, когда / и g принимают
значения в [0, 1]. Для каждой двоичной дроби г £ [0, 1] обозначим
через F (г) множество тох х £ Е, для которых / (х) ^ г, и черен С (г) —
множество тех х £ Е, для которых g (х) < г. Действуя, как при дока-
доказательство теоремы 1, определить по индукции семейство открытых
множеств U (г) (где г пробегает множество всех двоичных дробей из
интервала [0, 1]) так, чтобы при г <г' выполнялись условия F (г) с:
с U (r'), U {г) ст. U (г1) и U (г) с: G (г'); завершить затем доказа-
доказательство, как в случае теоремы 1.]
§ 5. Бэровскис пространства
1. Разреженные множества
Определение 1. Подмножество А топологического про-
пространства Е называется разреженным, если его замыкание не имеет
внутренних точек *).
*) Л русской математической литературе такие множества называют
нигде не плотными Ред.
8 Н. Бурбаки

114 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 5
То же самое можно выразить, сказал, что внешность множе-
множества А всюду плотна в Е.
Для того чтобы замкнутое множество А было разреженным,
необходимо и достаточно, чтобы оно не имело внутренних точек,
или, что то же, чтобы оно совпадало со своей границей. Для того
чтобы произвольное множество было разреженным, необходимо
и достаточно, чтобы его замыкание было разреженным. Всякое
подмножество разреженного множества является разреженным
множеством.
Примеры. 1) Пустоо множество в Е — раврежешше. Для
того чтобы одноточечное мпожеотно в отделимом пространство было
разреженным, необходимо ц достаточно, чтобы образующая его точка
пе была изолированной в Е. В непустом пространство никакое всюду
плотное множество не является рплрежешшм.
2) Граница вамкнутого пли открытого множества исегда есть
разрежошгоо множество.
3) В числовом пространство Jln всякое аффинное линейноо много-
многообразие размерности р < п есть разреженное множество (см. гл. VI,
§ 1, предложение 2).
Замечание. Граница произвольного множества не облаяна
быть разреженным множеством; например, если А и СА оба всюду
плотны, то граница множества А совпадает со всем пространством Е.
Предложение 1. Объединение конечного числа разрежен-
разреженных множеств есть разреженное множество.
Достаточно доказать, что объединение двух разреженных
множеств А, В есть разреженное множество, причем можно огра-
ограничиться случаем, когда А и В замкнуты. Утверждение равно-
равносильно тогда тому, что пересечение всюду плотных открытых
множеств СА, СВ всюду плотно. Но если U — непустое открытое
множество, то U |~) СА открыто и не пусто, а следовательно,
' и U П (СМ П СВ) ~ (U П СМ) П СВ есть непустое открытое
множество.
Пусть F — подпространство топологического пространства Е.
Множество Л с F называется разреженным относительно F,
если А, как множество в топологическом пространстве F, разре-
разреженное.
Предложение 2. Пусть F — подпространство простран-
пространства Е и А с F; если А разреженно относительно F, то А разре-

2 БЭРОВСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 115
жепно относительно Е. Обратно, если F открыто в Е и А разре-
разреженно относительно Е, то А разреженно относительно F.
Пусть А разреженно относительно F; если бы замыкание А
множества А относительно Е содержало непустое открытое мно-
множество U, то (по определению замыкания) U П Л било бы не пусто
и, значит, G П F — непустым открытым относительно F множе-
множеством, содержащимся, в зимыкании А (") F множества А относи-
относительно F, что противоречит предположению.
Пусть теперь F открыто в Е и A cz F разреженпо отпоситоль-
но Е\ если U — непустое мпожество, открытое относительно F,
то U открыто относительно Е и, следовательно, содержит непустое
множество У, открытое относительно Е (и тем более относитель-
относительно F) и не пересекающееся с А; это показывает, что А нигде не
плотно относительно F.
Вторая часть предложения 2, очевидно, неверна, если F не яв-
является открытым в Е: чтобы в этом убедиться, достаточно рассмотреть
случай, когда F Ф 0 разреженно относительно Е, а А = F.
',i. Тощие множества
Определение 2. Множество А в топологическом про-
пространстве Е называется тощим, если оно является объединением
счетного семейства разреженных множеств *).
То же самое можно выразить, сказав, что А содержится в объе-
объединении счетного семейства замкнутых множеств, не имеющих
ипутреппих точек.
Тощее множество вполне может быть всюду плотным в Е\ даже
все пространство Е может быть тощим множеством.
Примером последнего случая может служить всякое счетное
отделимое пространство без изолированных точек; пространством
такого тина яплиется рациональная прямая Q. Впрочем, топологи-
топологическое простринство Е, являющееся в Е тощим множеством, не обя-
зптельно счетно (см. упражнение 9).
Всякое подмножество тощего множества в пространстве Е
есть тощее множество; объединение счетного семейства тощих
множеств есть тощее множество.
*) В русской математической литературе такие множества паныпают
множествами I категории.— Ред.
8*

116 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 5
Пусть F — подпространство пространства Е\ говорят, что
множество А с F тощее относительно F, если при рассмотре-
рассмотрении А в топологическом пространстве F оно является тощим мно-
множеством. Из предложения 2 (п° 1) вытекает, что еслп A cz F есть
тощее множество относительно F, то А является тощим относи-
относительно Е; кроме того, если F открыто в Е и A cz F — тощее
множество относительно Е, то А является тощим множеством
относительно F.
3, Бэровские пространства
Определение 3. Топологическое пространство Е назы-
называется бэровским, если выполняется одно us следующих двух (равно-
(равносильных) условий:
(ЕВ) Пересечение всякого счетного семейства всюду плотных
открытых множеств в Е всюду плотно в Е.
(ЕВ') Объединение всякого счетного семейства замкнутых мно-
множеств в Е, не имеющих внутренних точек, не имеет внутренних
точек.
Аксиома (ЕВ) может быть высказана еще в двух других равно-
равносильных формах:
(ЕВ") Всякое непустое открытое множество в Е — не тощее.
В самом деле, для того чтобы множество было тощим, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы оно содержалось в объединении счетного
семейства замкнутых множеств без внутренних точек.
(ЕВ"') Дополнение тощего множества в Е всюду плотно.
В самом деле, это означает, что ни одно тощее множество
не может содержать непустое открытое множество, и, таким обра-
образом, равносильно аксиоме (ЕВ").
Предложение 3. Всякое непустое открытое подпростран-
подпространство F бэровского пространства Е есть бэровское пространство.
Это вытекает из (ЕВ"), поскольку всякое открытое (соответ-
(соответственно тощее) множество в F открыто (соответственно тощее) в Е.
В силу этого предложения всякая точка бэровского простран-
пространства обладает фундаментальной системой окрестностей, каждая
из которых является бэровским пространством. Обратно:

,-} БЭРОВСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 117
Предложение 4. Если всякая точка топологического про-
пространства Е обладает окрестностью, являющейся бэроеским про-
пространством, то Е — воровское пространство.
В самом деле, пусть А — непустое открытое множество в Е,
х — точка из А и У — ее открытая окрестность, являющаяся
бэровским пространством; если бы А было тощим в Е, то V (") А
было бы одновременно тощим и открытым в V, что противоречит
предположению.
Предложение 5. В бэровском пространстве Е дополне-
дополнение к тощему множеству является бэроеским пространством.
В самом деле, пусть А — тощее множество в Е; его дополнение
F = СА относительно Е всюду плотно в Е. Пусть В — тощее
относительно F множество; оно тощее также относительно Е,
и, значит, A U В тощее относительно Е. Следовательно, дополпе-
пие к A U В относительно Е, являющееся также дополнением к В
относительно F, всюду плотно в Е и, тем более, в F, чем предло-
предложение и доказано.
Теорема 1 (Бзр). 1° Всякое локально компактное про-
пространство Е — бэровское.
2° Всякое топологическое пространство Е, на котором суще-
существует расстояние, согласующееся с его топологией и определяющее
с Е структуру полного метрического пространства, есть бэровское
пространство.
Покажем, что в каждом из двух случаев выполнена аксиома
(ЕВ). Пусть (Ап) — последовательность всюду плотных открытых
множеств в Е и G — произвольное непустое открытое множество.
I lo индукции можно определить последовательность (Gn) непустых
открытых множеств таких, что Gt = G и Gn+1 cz Gn (] Ап; в самом
деле, так как, по предположению, Gn не пусто, то Сп П Ап —
непустое открытое множество; так как в обоих рассматриваемых
случаях Е регулярно, то существует непустое открытое множество
ею
6'п+1 такое, что Gn+1 cz Gn П Л„. Тогда множество G П f\ A-n
содержит пересечение всех Gn, а это последнее совпадает с пересе-
пересечением всех Gn', остается доказать, что множества Gn имеют
непустое пересечение. Но если Е локально компактно, то можно

118 ШЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 5
предположить, что G2 компактно; тогда О„. (п > 2) образуют
в компактном пространстве G2 убивающую последовательность
непустых замкнутых множеств, и потому в силу аксиомы (С")
имеют хотя бы одну общую точку. Если жо Е — полное метри-
метрическое пространство (при наделении некоторым расстоянием,
согласующимся с его топологией), то множества Gn можно выбрать
так, чтобы их диаметры (относительно этого расстояния) стреми-
стремились к 0 при неограниченном возрастании п; эти множества обра-
образуют тогда базис фильтра Коши, который сходится к точке, необ-
необходимо принадлежащей пересечению всех Gn.
Замечание. Имеются бэровскно пространства, которые не
подпадают ип под одну из указанных днух категорий, и маетности
бэровские пространства, который ни митривуемы, тш локально ком-
компактны (упрнжиогпш 1С); имеются также метрпзуимыо баронский прост-
пространства, с, топологией которых не согласуется никакан структура
полного метрического пространства (унрпзкноннп 14).
4. Полунепрерывные функцгт
на воровском пространстве
Теорема 2. Пусть Е — бэроеское пространство и (/а) —
семейство полунепрерывных снизу числовых функций на Е, верхняя
огибающая sup /а (х) которого в каждой точке х £ Е конечна. При
а
этих условиях всякое непустое открытое множество содержит
непустое открытое подмножество, на котором семейство (/а)
равномерно ограниченно.
Эту тоорсму можно ощв сформулировать, скапав, что точки,
л окрестности которых семейство (/а) равномерно orpamrwniro, обра-
образуют плотное открытое множество.
Пусть / — верхняя огибающая sup fa семейства (/а); функция /
а
полунепрерывна сштзу (гл. IV, § 6, теорома 4) и конечна в каждой
точке из Е. Таким образом, достаточно провести доказательство
для случая, когда семейство (Ja) состоит из одной функции /.
Пусть Лп — множество тех точек х 6 Е, для которых / (х) ^ п;
Ап замкнуто (гл. IV, § 6, предложение 1), и из условия теоремы
вытекает, что Е ость объединение всех А„; поэтому хотя бы одно
из множеств Ап имеет внутреннюю точку и, значит, существует
непустое открытое множество, на котором:/ ограничена (некоторым
целым п). Применение этого результата к произвольному непусто-

УПРАЖНЕНИЯ 119
му открытому подпространству пространства Е (являющемуся,
согласно предложению 3, бэровским пространством) завершает
доказательство теоремы.
Наиболее часто встречающийся приложения этой теоремы отно-
относятся к случаю, когда лсо /а непрерывны на Е-
3 а м с ч a н и с. Теорема может оказаться неверной, если не
предположить, что Е — бэропскоо пространство. Например, поло-
положив / (р/<7) = д для каждой: несократимой дроби p/q, мы получим
на рациональной прямой Q функцию, полунепрерывную снизу и ко-
конечную в каждой точке (см. гл. IV, § 0, п° 2); но n Q по существует
ни одного непустого открытого множества, на котором бы / Пыла
ограниченной.
Упражнения
1) а) Покапать, что следующие свойства множества X в топологи-
топологическом пространстве Е равносильны: а) граница X рязрежмгна; E) X
есть объединение открытого множества и разреженного множества;
у) X есть разность замкнутого множества и разреженного множества»
б) Показать, что если каждая точка множества X и Е обладает
окрестностью V, для которой V ("| X рапрежешго n E, то X — разре-
разреженное множество в Е.
2) Множество X в топологическом пространстве Е наяываотся ред-
редким, если его пересечение Р A X с каждым совершенным мпожест-
вом Р CZ Е разреженно относительно Р.
а) Показать, что объединение всякого копечного семейства редких
множеств есть редкое множество.
б) Показать, что граница редкого множества есть разреженное
множество.
в) В Е существует наибольшее совершенное множество с редким
дополнением.
*3) Пусть X — множество в топологическом пространстве Е;
обозначим через D (X) множество тех точек из Е, для любой окрест-
окрестности V которых множество V П X не тощее. D (X) С X.
а) Показать, что если D (У) = 0, то D (X U У) = D (X) для
каждого X с: Е.
б) Для того чтобы D (X) = 0, необходимо и достаточно, чтобы X
было тощим множеством. [Начать с доказательства того, что если
(Л 0 — семейство попарно непересекающихся открытых множеств в Е,
а /Д для каждого i — разреженное относительно Е множество,
содержащееся в А\, то М /?,, — раареженное множество. Рассмотреть
i
затем максимальное множество Ш попарно непересекающихся откры-
открытых множеств : Е таких,. что X Л А для каждого А <• ЗК — тощее
мпожестно; существование такого максимального множества устанав-
устанавливается с помощью теоремы Цорпа. Покачать, наконец, что если

120 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 5
D (X) ~ 0, to X П CG, где G — объединение1 всех множеств из SW,
разреженно, и заключить отсюда, что X тогда — тощео множество. 1
в) Покапать, что множество D (X) замкнутое, а множество
X П CD (X) — тощее. [Установить с помощью б), что X П CD (X)
тощее относительно открытого подпространств» CD (X).]
г) Показать, что D (X) совпадает с замыканием своей пиутрен-
ности. [Показать, что X П CD' (X), где D' (X) — замыкание ннутрен-
ности множества D (X),— тощее множество, заметив, что оно является
объединением множеств X П CD (X) и X fl D (X) П CD' (XJ).
4) Пусть Е и F — топологические пространства, а А (соотв. В) —
множество в Е (соотв. в У).
а) Дли того чтобы А X В было разреженным (соотв. совершенным)
в Е X F, необходимо и достаточно, чтобы одно из множеств А, В
было разреженным (сооти., чтобы А и В были замкнуты и одно h:i них
совершенно).
б) Для того чтобы А X В было редким множеством n E X F
(упр. 2), необходимо и достаточно, чтобы А я В оба были редкими.
*5) а) Пусть Е и F — топологические пространства и А — разре-
разреженное подмножество произведения Е X F. Показать, что если топо-
топология пространства F обладает счетным базисом, то множество тох
точек х б Е, для которых срез А П ({*} X F) множества А по х раз-
разрежен относительно {х} X F, есть тощее множество и Е. [Для каж-
каждого непустого открытого множества U в F показать, что множество
тех х£Е, для которых (i}x !/ содержится в замыкании среза А
по х, разреженно в Е.] .
б) Показать на примере, что результат пункта а) может оказать-
оказаться неверным, если топология пространства F не имеет счетного базиса.
[Принять за Е отделимое пространство без изолированных точек,
за F — дискретное пространство с тем же носителем, что и Е, а за А —
диагональ произведения Е X F.]
в) Если В cz Е, С с F и одно иа множеств В, С тощее (соотв. в Е
или F), то В X С есть тощее множество в Е X F. Обратно, если
В X С — тощее множество в £ X F и топология пространства: Я
или f обладает счетным базисом, то одно из множеств В, С тощее.
г) Вывести из в), что если топология одного из пространств Е, F
обладает счетным базисом, то (в обозначениях упражнения 3)
D (В X С) = D (В) X D (С).
(i) Множество X в топологическом пространстве Е называется
приближаемым, если существует открытое множество V такое, что
каждое из множеств U [} СХ, X {] Си тощее.
а) Показать, что дополнение приближаемого множества прибли-
приближаемо.
б) Показать, что объединение всякого счетного семейства прибли-
приближаемых множеств приближаемо.
в) Показать, что следующие свойства равносильны:

УПРАЖНЕНИЯ 12£
а) X приближаемо;
Р) в Е существует тощео множество М такое, что в подпростран-
подпространстве Е — М множество X П ОМ открыто-замкнуто;
у) в Е существует множество G cz X, являющееся пересечением-
счетного семейства открытых множеств, такое, что X — G — тощее-
множество в Е;
б) в Е существует множество F zd X, являющееся объединением-
счетного семейства замкнутых множеств, такое, что F — X — тощее1
множество в Е;
{,) D (X) П D (Е — X) (обозначения упражнения 3) — рааре-
женное множество и Е\
0) D (X) П СХ — тощее множество в Е-
[Для доказательства равносильности свойств а), £) и 0) исполь-
использовать упражнения За) и 36) и показать, что а) влечет £), £) влечет
0) и 0) влечет а).]
г) Пусть Е и F — топологические пространства, топология одного-
из которых обладает счетным базисом. Для того чтобы множество-
в Е X F вида А X В было приближаемым, необходимо и достаточно,
чтобы одно иа множеств А, В было тощим или чтобы оба били прибли-
приближаемыми. [Использовать свойство Q из пупкта в).]
7) Топологическое пространств Е называется неистощимым*
если оно не тощео относительно самого себя *).
а) Для того чтобы Е было неистощимо, необходимо и достаточно,,
чтобы всякое счетное семейство всюду плотных открытых множеств в Е
имело непустое пересечение.
б) В неистощимом пространстве дополнение ко всякому тощему
множеству является неистощимым подпространством.
8) Пусть Е — топологическое пространство, в котором существует
непустое открытое множество А, являющееся неистощимым подпрост-
подпространством. Показать, что Е — неистощимое пространство и что А
не тощее относительно Е.
9) Пусть Е — подпространство в Ra, являющееся объединением
подпространства Q2 и прямой у = 0; показать, что Е тощее относи-
относительно самого себя. Вывести отсюда, что топологическое пространство
может обладать неистощимым подпространством, не будучи само
неистощимым.
10) Показать, что всякое вейерштрассово (§ 1, упражнение 22}
вполне регулярное пространство — бэровскоо. [Рассуждать, как при
доказательстве теоремы 1].
11) Пусть Е — топологическое пространство п А •— его непустое1
подмножество. Точка а £ Е называется точкой конденсации множе-
множества А, если в каждой ее окрестности содержится несчетное множест-
множество точок из А.
*) В русской: математической литературе такие пространства называют
пространствами II категории в себе.— Ред.

122 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩИЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 5
а) Показать, что если Е — бэровское пространство без изолиро-
изолированных точек, то всякая его точка есть точка конденсации множе-
множества Е.
б) Пусть Е — пространство, обладающее счетным базисом. Пока-
Показать, что, каково бы ни было множество А с: Е, множество Б всех
его точек конденсации совершенно, а множество А П С# счетно.
*12) Топологическое пространство Е ппяынастси совершенно
неистощимым, если всякое его непустое замкнутое подпространство
неистощимо. Локально компактное пространство соаершенпо неисто-
неистощимо; полное метрическое пространство совершенно неистощимо.
а) Показать, что совершенно неистощимое регулярное простран-
пространство — бэровское.
б) Счетное замкнутое множестпо в достижимом *) (гл. I, 3-е пнд.,
§ 8, упражнепио 1) совершенно неистощимом пространстве— родное
(упражнение 2) и потому имеет по крайней мере одну изолированную
точку.
н) В совершенно неистощимом пространство Е всякое подпрост-
подпространство А, являющееся пересечением счетно-бесконечного множества
открытых мпожеств, совершенно веистощпмо. [Покапать, что если
F с; А замкнуто в А, a F — памыкание F и Е, то /'' Г| CF — тощее
относительно F.)
г) Если всякпя точка топологического пространства Е обладает
окрестностью, являющейся совершенно пенстощпмьтм подпространст-
подпространством, то Е совершенно неистощимо.
*13) Пусть К — спяпное и локплг.но связное совершенно неисто-
неистощимое топологическое пространство. Показать, что Е но может быть
объединением бесконечной поелодопательиоетп (Fn) попарно непере-
непересекающихся непустых заыкпутых мложостп. [Пусть Н — объединение
границ Нп множеств Fn п Е\ покалатг., что Н замкнуто в Е, а каждое
из множеств Нп разреженно относительно И; чтобы установить по-
последнее, рассмотреть фундаментальную систему связных окрестностей
точки ия Нп и рассузкдать от противного, лепольпуя предложение) 3
§ 11 главы I.]
14) Пусть Е — подпространство в R2, состоящее ия точек (г, 0),
где г пробегает множество Q всех рациональных чисел, и точек (kin,
1/п), где п пробегает множество всех целых чисел >1, а к — множество
Ticex целых рациональных чисел. Доказать, что Е — бэрокекое прост-
пространство, но по янляется совершенно пенстощпмшг.
•15) Пусть Е — множество па плоскости К2, состоящее из прямой
Т) = {0} X К п точек A/п, к/п~), где п пробегает множестпо всех целых
чисел >0, а. к — мпожестпо Z всех це.чых рациональных чисел.
а) Для каждой тонки @, ;у) из D и каждого целого п > 0 обозна-
обозначим через Тп (у) множество тех точек (и, v) из Е, для которых и < Мп
То есть в котором каждоо одноточечное множество аамкпуто.—Ред.

УПРАЖНЕНИЯ 123
и I v — у \ С ч- Показать, что, приняв за фундаментальную систому
■окрестностей каждой точки @, у) множество всех Тп (у), а за фунда-
фундаментальную спетому окрестностей каждой другой точки ян Е мно-
множество, образованной этой точкой, мы получим топологию 3" в Е,
мажорирующую топологию, индуцируемую и» Ra, it превращающую Е
в локально компактной пространство.
С>) Показать, что Е есть объединение счетного семеистпа метри-
зуемых замкнутых лоднрострапств и всякая точка в Е обладает метри-
зуемои компактной окрестностью, no E не является нормальным.
[Пусть А — множество тех точен @, ;/), у которых у рационально,
и В = D —А; понизать, что u E всякая окрестность U множества А
пересекается со всякой окрестностью V лгножества Н\ для .'«того рас-
рассмотреть для каждого п множество Вп тех у g В, дли которых Тп (у) cz
с- V, п заметит!., что в It множество В — не тощее.]
*16) Обозначим через И_ топологическое пространство, получае-
получаемое наделением совершенно упорядоченного множества К всех вещест-
вещественных чисел топологией 3"_ (R) (глава I, 2-е иид., S 1, ynjiajui-iemie .'!;
3-е пщ., § 2, упражнение 5).
а) Показать, что всякое открытое множество в Н_ яиляотен объеди-
невием счетного семейства попарно непересекающихся открытых слева
пли открытых интервалом. Вывести отсюда, что пространство R_
соперппшно нормально (§ 4, упражнение 8) п сопершеппо неистощимо
<ущ)ажненио 12).
б) Показать; что пространство R_ X U- не является нормальным
и что, следовательно, R_ не метризуемо, хотя в R_ и существует всюду
плотное счетное множество. [Рассматривая в R_ X R- множество
точек (х, у), для которых х + у = 1, показать, что в R_ X R_ суще-
существует вамкнут.ое подпространство, гомеоморфное пространству Е,
•определенному в упражнении 15.1
в) Покапать, что R_ есть линделефово пространство (§ 4, упраж-
упражнение 23) и, следовательно, наракомлактно (там же). [Пусть Us для
каждого х С R_ — полуоткрытый интервал ]?/ (х), х] с правым кон-
концом х. Показать, что мпожество тех z £ R_, которые по принадлежат
никакому открытому интервалу ];/ (х), х[, счетно; можно воспользо-
воспользоваться упражнением 1 § 2 гл. IV.1
г) Показать, что всякое компактное множество в R_ счетно.
{Если А — компактпое множество в R., то топологии, индуцируемые
в А топологиями 3". (Н) и &"п (R), совпадают; вывести отсюда, что
всякая точка из А является началом интервала, смежного с А.]
17) а) Показать, что всякое произведение Е — JJ Ft полных
■метрических пространств есть б:>ровское пространство. [Рассуждать,
как при доказательстве теоремы 1, принимая за Оп элементарное
мпожество (гл. I, 2-е над., § 8, п° 1; 3-е изд., § 4, н° 1), проекции
которого, отлпчпые от пространств Fl, имеют диаметр ^1/п; заметить

124 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, §5
далее, что существует счетпое множество J cz I такой, что каждое Gn
имеет вид Нп хД?(, где Я„с Ц>1'
б) Показать на примере, что если / несчетно, то Е не обязательно
совершенно неистощимо (упражнение 12). [Использовать упражне-
упражнения 1 и 236) § 2.]
*18) а) Покапать, что в полном метрическом пространстве всякое
совершенное множество содержит подмножество, гомюоморфцое кан-
торояу множеству (гл. IV, § 2, п° 5). [Использовать упражнение 11
§ 8, гл. IV.]
б) Вывести отсюда, что в полном метрическом пространстве со
счетным базисом всякое совершенное множество имеет мощность
континуума; всякое замкнутою множество ню болюю чем счетно пли
имеет мощность континуум». (Использовать уприяшеиио 116); всякое
открытое множество не более чем счетно или имеет мощность конти-
континуума.]
в) Показать, что в несчетном полном метрическом пространстве,
обладающем счетным базисом, множество всех совершенных множеств
имеет мощность континуума. [Доказать это сначала для компактного
пространства {О, 1}N, затем использовать а) и упражнение 126) § 2.]
г) Пусть Е — несчетное полное метрическое пространство со счет-
счетным базисом. Показать, что существует множество Z cz. E такое, что
Z п Е — Z имеют мощность континуума, но ни одно из них не содер-
содержит непустого совершенного множества. [Использовать б) и в) и ме-
метод, описанный в Теор. множ., гл. III, § 6, упражнении 24а).] Пока-
Показать, что если, кроме того, в Е нет изолированных точек, то пи Z
ни Е — Z не тощее. [Используя в) л упражнение 24 § 2, показать,
что поресечопио А счетного семейства всюду плотных открытых мно-
множеств в Е содержит непустые совершенные мтгожестин.] Вывести
отсюда, что в этом случав Z но является приближаемым множеством
в Е (упражнении fi). [Заметить, что предыдущее рассуждение показы-
показывает, что U П Z для каждого непустого открытого множества
U в Е не тощее.]
19) Пусть А — всюду нлотпое подпространство топологического
пространства Е и / — ненрерыиноо отображение А в полное метриче-
метрическое пространство F; показать, что то точки из Е, в которых / но имеет
предела (относительно А), образуют в Е тощее множество. [Рассмотреть
для каждого п > 0 множество тех точек х £ Е, в которых колеба-
колебание со (х; /) функции / меньше 1/п.]
*20) Пусть / — гомеоморфизм подпространства А полного метри-
метрического пространства Е на подпространство А' полного метрического
пространства Е'; показать, что / допускает продолжение / на пересе-
пересечение Л некоторого счетного семейство открытых множеств из Е,
причем / является гомеоморфизмом В на пересечение В' счетного

УПРАЖНЕНИЯ 125
семейства открытых множеств из Е'. [Применить к / и к обратному
гомеоморфизму g упражнение 19.].
•21) а) Пусть (/„) — последовательность непрерывных отображе-
отображений топологического пространства Е и совершенно нормальное прост-
пространство F (§ 4, упражнение 8) такая, что последонательность (fn (,r))
-1
для каждого х £ Е имеет предел / (х) в F. Покааать, что А ~ f (S)
для каждого замкнутого множества S cz F является пересечением
счетного семейства открытых множеств. [В F существует убивающая
последовательность (Г7П) открытых множеств такая, что S = || Un;
п
заметит),, что для того, чтобы / (х) £ S, необходимо и достаточно, что-
чтобы для каждого целого п > О существовало целое ft ;> 0 такое, что
/n+fe (х) ё ^п-] Вывести отсюда, что А — А — тощее множество в Е.
б) Вывести из а), что если, кроме того, F мптризуемо и счетного
типа, то точки х £ Е, в которых / терпит разрыв, образуют тощее мно-
множество. [Показать, что если (Fn) — базис топологии пространства F,
— 1
S = F — Vn и_ Ап = / EП), то х необходимо принадлежит одному
из множеств Ап — Ап.\
22) а) Пусть Е — бэровское прострцнгтво, F — метрическое
пространство и (/п) -■ последовательность непрерывных отображе-
отображений Е в F такая, что последовательность (fn (x)) имеют предел / (х)
в F для каждого х б Е. Показать, что точки х £ Е, в которых / терпит
разрыв, образуют тощее множество. [Доказать, что для каждого
целого п > 0 множество точек х 6 Е, в которых колебание со (х, f)
функции / не превышает 1/п, содержит всюду плотное открытое мно-
множество; обозначить для этого через Gp множество тех х £ Е, для кото-
которых расстояние между/р (х) и /q (х) но превышает 1/2 п. при всех pug
таких, что q > р; показать, что объединение тшутренностел всех
множеств Gp есть всюду плотное открытое множество.]
б) Пусть К — компактный интервал [0, 1] в R; привести пример
последовательности ого непрерывных отображений fn в компактное
пространство К , для которой Инг /„ (х) = / (х) существует при
тг-*-оо
всех х £ К, но функция / разрывна в каждой точке из К.
•23) Пусть Е — топологическое пространство, F я G — метриче-
метрические пространства с расстояниями соотнетственпо d и d' и / — отобра-
отображение Е X F в G такое, что у у-* f (х0, у) непрершшо на F для
каждого х0 6 Е и а: к-* / (.г, ,у0) непрерывно на Е для каждого //0 6 F.
а) Пусть # (ж; Ь, к) для каждого е > 0, каждой точки b £ F
и каждой точки х £ Я— верхняя грань чисел а > 0, для которых
d (&> !/) < а влечет <f (/ (ж, Ь), / (х, у)) < е. Показать, что функция
х i-> £ (х\ Ь, г) полунепрерывна сверху.
б) Пусть Е — бэровское пространство; вывести из пункта а)
и теоремы 2, что для каждого Ь б К существует множество Sb a E

126 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩИЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 5
с тощим дополненном такое, что функция / непрерывна и точке (а, Ь)
для каждого а £ .S'&.
24) Пусть Е и /'' — топологические пространства. Отображение /
_ j
пространства Е в F на.чыпаотоя приближаемым, если прообраз / (S)
каждого пашптутого множества S с: F является приближаемым
множеством (упражнение 6).
а) Пусть g — отображение Е в F, дли которого существует тощее
множество М в Е такое, что сужение g на С Л/ непрерывно; нокалпть,
что g приближаемо. И обратно, если топология пространства F обла-
обладает счетным базисом.
б) Предположим, что F совершенно нормально (§ 4, упражне-
упражнение 8). Пусть (/„) — последовательность приближаемых отображений Е
в F, для которой lim fn {х) = / (х) сущестиует при каждом х С Е.
Показать, что / приближаемо. [Рассуждать, как п упражнении 21а).)
25) Пусть В — открытое отпошмшо шннтплснтности в топологи-
топологическом пространстве Е. Показать, что если Е неистощимое простран-
пространство (упражнение 7) (соотв., баронское пространство, совершенно
неистощимое пространство (упражнение 12)), то Elli — неистощимое1
(соотв. бэровское, совершенно неистощимое) пространство.
*2G) Пусть Е — метрипуемое локально компактное пространство,
d — расстояние, согласующееся с его топологией, и Л — замкнутое-
отношение эквивалентности в Е такое, что всякий класс аквивалент-
ности по R компактен. Как известно, тогда E/R локально компактно
(гл. I, 2-е изд., § 10, упражнение 19, и предложение 17; 3-е и.!д-1 § W,
теорема 1 л предложение 9) и метризуемо (§ 4, упражнение 24).
а) Для каждой пары элементов u, v из E/R положим
р(и, w)= sup d(x, qj(i>)),
гдо ф _ капоплческое отображениеЕна/?//?, и для каждого и g Elli
пусть
) = lim sup р(и, v).
Показать, что X полунепрерывно сверху на EIR н что для каждого
а > 0 множество тох и £ EIR, для которых X (и) > а, разрежении.
[Показать, что в протпшюм случае существовало бы компактное мно-
множество К в Е, содержащее бесконечную последовательность (хп)
точек, для которой d (хт, хп) > а/2 при т =/■■ п.)
б) Вывести из а), что в EIR существует всюду плотное множест-
множество М, являющееся пересечением счетного семейства открытых мно-
-1
жеств и такое, что для каждого х £ ф (М) образ относительно <р всякой
окрестности точки х в Е является окрестностью точки ф (х) в Elli.
[Использовать теорему 1.]

УПРАЖНЕНИЯ 127
*27) а) Пусть G — топологическая группа и А — ег приближаемое-
подмножество (упражнение 6). Показать, что гели Л но тощре, то
Л А'1 — окрестность нейтрального элемента в G. [Заметить сначала,,
что в силу упражнения 3 С— бэровгкоп пространство. Пусть А* —
объединение открытых множеств V с G, для которых U {] СА — то-
щее мвожестно. Показать, что А* но пусто и что если х Q G тпково,.
что хА* П А* Ф 0, то хА [\ А Ф 0. Заключить, что А А'1 :=>•
zdA* U*)-1.]
б) Нывссти из а), что доступная подгруппа топологической груп-
группы G либо тощая, либо открыта (и замкнута). В частности, счетная
топологическая группа, являющаяся отделимым бзропсклм простран-
пространством, дискретна.
в) Показать, что и топологической, группе II существуют под-
подгруппы 11 тикпе, • что В/7/ счетно-бесконечно. I Использовать базис
Хамсля-] Всякая такая подгруппа всюду плотная, не тощая и не-
приближаемая.]
г) Пусть G — метрнзуемая топологическая группа, припая и левая,
равномерные структуры которой совпадают. Показать, что если на С
существует согласующееся с топологией расстояние, превращающее G
в полное метрическое пространство, то G — полная аюгрииуемая
группа. [Использовать б), упражнение 2 § 3 и упражнение 24 § 2.],
*28) Пусть G и G' — топологические группы. Показать, что вся-
всякое непрерывное представление / группы G на G' является гомеомор-
гомеоморфизмом в каждом из следующих двух случаев:
а) G локально компактна и счетна в бесконечности, a G' неисто-
неистощима. [Показать, что в G существует относительно компактное откры-
открытое множество U, для которого внутренность множества f (U) не-
непуста; вывести отсюда, что для каждой компактной окрестности V
нейтрального элемента внутренность множества / (V) не пуста, и при-
применить затем упражнение 16 § 2, гл. III 2-го изд._ (З-о изд., § 2, уп-
упражнение 18).]
б) G полна и ее топология обладает счетным базисом *), а С неис-
неистощима. [Используя то, что G есть объединение последооателыгоста
множеств вида snU для венкой окрестности U нейтрального алемен-
та е, показать, что для каждого открытого множества А с G сущест-
существует открытое множество А'а С, содержащее / {А) и такое, что»
/ {А) плотно в Л'. Рассмотреть ватем фундаментальную систему (Un)
симметричных окрестностей момента е в С таких, что Ufm cz Vn%
и показать, что / (Up) содержит открытое множество t/p+1; для этого,
взять точку а' б Up+l и построить по индукции последовательность.
♦) Если G не обладает счетным базисом, то предложение неверно, как-
мокаш.гоает пример, в котором С есть группа R, наделенная топологией
числоиой прямой, G — группа 11, наделенная дискретной топологией, и / —
тождественное отображение G на С.

28 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 6
(Ьп) точек из G такую, что Ьп £ Up+n и / F46г . . .Ъп) стремится к а';
заметить, что если х 6 U^, го существует у £ ^а такое, что / (у) 6
29) Пусть G — локально компактная группа, счетная в бесконеч-
бесконечности, или полнпя метризуемая группа, топология которой обладает
счетным базисом. Пусть Я — ламкиутшЧ яормалыши делитель и А —
замкнутая подгруппа группы G. Для того чтобы факторгруппа
А/{А A И) была изоморфна АIIIII, необходимо и достаточно, чтобы
АН было замкпутои подгруппой группы С. [Чтобы убедиться в необ-
необходимости условия, заметить, что в силу упражпсвия 13 § 2 гл. III
2-го изд. C-е изд., § 4, предложение 13) и предложения 4 § 3
гл. IX, группа А /(А (] II) полна; чтобы убедиться п достаточности
уел опия, воспользоваться упражнением 28.]
*30) Пусть G — группа и d — расстояние па G такое, что при
•определяемой им в G топологии 3" отображения у t-*- x$i и у >-* ухп
группы G в себя непрерывны для каисдого ха £ G.
а) Показать, что если G полна в топологии 3", то отображение
ix, у) >-* хц непрерывно на G X G. [Использовать упражнение 23.]
б) Пусть, кроме того, ЗГ обладает счетным базисом. Показать,
что тогда отображение и-> х~х непрерывно на G, т. с, иначе говоря,
что топология .9" согласуется с заданной н G структурой группы.
"(Рассмотреть в группе G X G, наделенной произведением топологии 3"
на себя, множество F точек (х, ж), где х пробегает G; F замкнуто
в б X С и закон композиции (х, х'1) (у, у~х) — (ху, ;/~1а:) определяет
в F структуру группы; используя а), показать, что топология, инду-
индуцируемая в F из G X G, согласуется с этой структурой группы. Рас-
Рассуждая, как в упражнепии 286), доказать затем, что проекция F
на G взаимно непрерывна.]
§ 6. Польские пространства: суслинские пространства;
борелевские множества
1. Польские пространства
Определение 1. Топологическое пространство Е назы-
называется польским, если оно метризуемо, счетного типа (§ 2, п° 8)
и на Е существует расстояние, согласующееся с его топологией,
при котором Е полно.
Предложение 1. а) Всякое замкнутое подпространство
польского пространства есть польское пространство.
б) Произведение счетного семейства польских пространств есть
польское пространство.

/ СУСЛИНСКИЕ llPOCTPAHCTBAl БОРГСЛКВСЮШ МНОЖЕСТВА 129
в) Сумма счетного семейства польских пространств есть
польское пространство.
В самом деле, всякое подпространство метризуемого про-
пространства счетного типа есть метризуемоо пространство счетного
типа и каждое замкнутоо подпространство полного пространства
полно (гл. II, 2-е изд., § 3, предложение 0; 3-е изд., § 3, предло-
предложение 8). Произведение всякого счетного семейства метризуемых
пространств счетного тина есть метризуомое пространство счетного
типа (§ 2, п° 8) и произведение всякого счетного семейства полных
метрических пространств есть полное метрическое пространство
относительно некоторого расстояния, согласующегося с его топо-
топологией (гл. II, 2-е изд., § 5, предложение 4 C-е изд., § 3, предло-
предложение 10) и гл. IX, § 2, следствие 2 теоромы i). Пусть, наконец,
(Еп) — последовательность непустых польских пространств; рас-
рассмотрим пространство F = N х Ц#п> где N наделено дискрот-
п
ной топологией; согласно предыдущему F — польское простран-
пространство. С другой стороны, сопоставим каждому п точку ап из Еп,
и пусть /„ — отображение Еп в F такое, что для каждого х £ Еп
fn (х) = (я, (цр)), где yv = ар при р Ф п и уп — х. Ясно, что
отображение / суммы Е пространств Еп в F, совпадающее с /„
па Еп для каждого п, ость гомеоморфизм Е па / (Е); кроме того,
/„ (Еп) замкнуто в F при любом п, а семейство (/п (Еп)) локально
конечно, поскольку" N дискретно; отсюда вытекает, что / (Е) =-
— М /п (Еп) замкнуто в F (§ 4, лемма 2) и, следовательно, / (Е)
и
а силу а) есть польское пространство.
Предложение 2. Всякое открытое подпространство польского
пространства есть польское пространство.
Пусть Е — польское пространство, d — расстояние, согла-
согласующееся с его топологией, и U — открытое множество в Е,
отличное от Е. Пусть V — множество в R X Е, состоящее из тех
точек (t, х), для которых id (х, Е— U) = 1; подпространство V про-
пространства R X Е замкнуто (§ 2, предложение 3) и, следовательно,
польское (предложение 1). Поскольку сужение на V проекции рг2
произведения R X Е на Е есть гомеоморфизм V на U (§ 2, предло-
предложение 3), U ость польское подпространство.
'•' Н. БурПвки

130 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 6
Следствие. Всякое локально компактное метризусмое и счет-
счетное в бесконечности пространство является польским.
В самом деле, пусть Е', — компактное пространство, получае-
получаемое присоединением к Е бесконечно удаленной точки; как извест-
известно, £" метрнзуемо и счетного типа (§ 2, слодствио предложе-
предложения 16), а с другой стороны, Е' полно в своей единственной
равномерной структуре (гл. II, § 4, теорема 1); таким образом,
Е' — польское пространство, и то же верно для Е, как открыто-
открытого подпространства пространства Е'.
Предложение 3. Пусть Е — отделимое топологическое
пространство; пересечение последовательности (Ап) его польских
подпространств есть польское пространство.
Пусть / — диагональное отображение Е в Fs (Teop. множ.,
гл. II, § 5, г»0 3; напомним, что / (х) = (уп), где уп = х для всех п);
мы воспользуемся следующей леммой:
Лемма 1. Пусть (Ап) — последовательность подмножеств
отделимого топологического пространства Е; сужение диагональ-
диагонального отображения /: Е —*■ Ё"* на подпространство {\ Ап про-
странства Е есть гомеоморфизм пространства f] Апна замкнутое
п
подпространство произведения Jj4n.
п
В самом деле, отот образ есть пересечение Ц-4„ с диагональю
п
Д s= / (Е), которая замкнута в EN, поскольку Е отделимо (гл. I,
2-е изд., § 8, следствие 1 предложения 6; 3-е изд., § 8, предложе-
предложение 2), а с другой стороны, / есть гомеоморфизм Е на А.
В условиях предложения 3 Ц-^п есть польское пространство
(предложение 1), и потому f^ An, в силу леммы 1 и предложе-
п
ния 1,— его польское подпространство.
Следствие. Пространство всех иррациональных чисел, на-
наделенное топологией, индуцированной топологией числовой пря-
прямой R, является польским.

I СУСЛИНСКИЕ ПРОСТРАНСТВА; БОРЕЛЕВГКИК МНОЖКСТВА 131
В самом деле, оно является пересечением счетного семейства
открытых множеств в R, а именно дополнений множеств, сводя-
сводящихся к одной рациональной точке.
Теорема \. Для того чтобы подпространство F польского
пространства Е было польским, необходимо и достаточно, чтобы F
шло пересечением счетного семейства открытых мпожестп в Е*
Достаточность условия сразу следует из предложений 2 и 3.
Докажем его необходимость. Пусть d — расстояние, согласующее-
согласующееся с топологией пространства F и превращающее его в полное
метрическое пространство, и /' — замыкание F в Е. Пусть Fn для
каждого целого п — множество точек х £ F, обладающих открытой
окрестностью U, пересечение U П /'' которой с F имеет диаметр
(относительно расстояния d) ^1/гс. Ясно, что Fn открыто в F
и содержит F. Пусть х — точка, принадлежащая пересечению
вс-ех Fn; x есть точка прикосновения множества F и след на F
фильтра ее окрестностей в Е есть фильтр Копти (относительно
расстояния d); значит, этот фильтр сходится к некоторой точке
на F и, следовательно, х 6 F; другими словами, F = {] Fn.
п
Пусть Нп для каждого п есть открытое множество в Е такое, что
Нц П F = Fn; с другой стороны, пусть (Um) — последователь-
последовательность открытых множеств в Е такая, что F = f] Um (§ 2, предло-
т
желие 7); тогда F есть пересечение счетного семейства (Нп f| Um)
открытых множеств.
Следствии 1. Для того чтобы пространство Е было поль-
польским, необходимо и достаточно, чтобы Е было гомеоморфно пере-
пересечению счетного семейства открытых подмножеств куба Is
(гдо / — интервал [0, 1] из R).
Достаточность условия очевидна; оно необходимо, ибо всякое
мотризуомое пространство счетного типа гомеоморфно подпро-
подпространству куба /N (§ 2, предложение 12).
Следствие 2. Пусть Е и F — польские пространства
•- i
it / — непрерывное отображение Е в F. Прообраз f (G) всякого

132 ВЕЩЕСТВЕННЫЙ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § f,
польского подпространства G пространства F есть польское под-
подпространство в Е.
В самом дело, G — ["| Gn, где Gn — открытые множества в F;
п
-1 -*-t ~t
отсюда / (G) — I I / F'„), где / (Gn) — открытые множества n E.
#. Суслиискис пространства
Определение 2. Топологическое пространство Е назы-
называется суслинским, если оно мепгризуемо и существуют полжкое
пространство Р и непрерывное отображение Р па Е. Множество А
в топологическом пространстве Е называется суслинским, если
подпространство А суслинское.
Яспо, что всякое польское пространство — суслипское и что
образ суслинского пространства Е относительно непрерывного
отображения Е в метризуемое пространство F есть суслинское
пространство.
Предложение А. Всякое суслинское пространство Е есть
пространство счетного типа.
В самом доле, пусть Р — польское пространство и / — непре-
непрерывное отображение Р на Е; образ всюду плотного счетного мно-
множества из Р относительно / есть всюду плотное счетпое множе-
множество в Е.
Предложение 5. Всякое замкнутое (соответственно от-
открытое) подпространство суслинского пространства Е есть суслин-
суслинское пространство.
В самом деле, пусть / — непрерывное отображение польского
пространства Р на Е\ тогда прообраз относительно / .замкнутого
(соответственно открытого) множества из Е ость замкнутое (соот-
(соответственно открытое) множество в Р, и потому польское подпро-
подпространство (предложения 1 и 2).
Предложение 6. Пусть Е — суслинское пространство
и f — его непрерывное отображение в отделимое пространство F.
Прообраз относительно f всякого суслинского подпространства А
пространства F есть суслипское подпространство пространства Е;

■> СУСЛИНСКИЕ ПРОСТРАНСТВА; ВОРЕЛЕВСКИЕ МНОЖЕСТВА 133
В самом доле, пусть Р и Q — польские пространства, g —
непрерывное отображение Р на Е и h — непрерывное* отображе-
отображение Q на А. Пусть R — множество тех точек (х, у) £ Р X Q, для
которых / (g (х)) —-• h (у); R замкнуто в Р X Q и иотому является
польским подпространством (предложение- 1). Пусть <р — суже-
-1
иие на R проекции ргь тогда подпространство / (Л) простран-
пространства Е есть образ R относительно непрерывного отображения go ф
н, следовательно,— суслинское пространство.
Предложение 7. Произведение и сумма счетного семей-
семейства суслииских пространств являются суслинскими прострап-
етоами.
В самом деле, пусть для каждого целого п Еп — мотризуемое
пространство, Рп — польское пространство и /„ — непрерывное
отображение Рп на Еп. Произведение (соотв. сумма) пространств
/'„ есть польское пространство (предложение 1), а образ этого
пространства относительно произведения отображений /„ (соотв.
отображения, совпадающего с /„ на каждом Рп) есть произведение
(соотв. сумма) пространств Ёп и, значит, будучи метризуемьш, —
суслинское пространство.
Предложение 8. Объединение и пересечение всякой после-
последовательности (Ап) суслинских подпространств метризуемого про-
пространства Е являются суслинскими подпространствами.
В самом деле, эти подпространства метрпзуемы. Существование
канонического отображения суммы пространств Ап на подпро-
подпространство М Ап пространства Е показывает, что это последнее —
п
суслинское (предложение 7); с другой стороны, ["| Ап — суслин-
п
скос в силу предложений 5 и 7 и леммы 1.
В общем случае дпже в польском прострмистпо дополнение к сус-
линскому подпространству может не быть суслппекцм (см. упраж-
упражнение G); см., одипко, в па 0 следстние теоремы 2.
IIpi-щложкник 9. Для каждого относительно компактно'
го суслинского подпространства А метризуемого пространства Е
существуют компактное метризцемое пространсто К, убывающая
последовательность (Вп) его подмножеств, каждое из который

134 ВВЩВСТВЕННЫВ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 6
есть объединение счетного семейства компактных множеств,
и непрерывное отображение f пространства К в Е такие, что
Заменяя Е на А, можем считать, что Е компактно и А всюду
плотно в Е. Поскольку А — суслинское, существуют польское
пространство Р и ого непрерывное отображение g в Е такие, что
g (/') = А. По следствию 1 теоремы 1 можно предполагать, что Р
есть пересечение убывающей последовательности (£/„) открытых
подмножеств куба /N. Возьмем в качестве К пространство /N X Е;
оно компактно и метризуемо (§ 2, следствие 2 теоремы 1). Пусть
G cz Р X Е — график отображения g и G — его замыкание в К;
обозначим через / каноническую проекцию пространства К —
= /N X Е на Е. Очевидно, / (G) — А. Так как g непрерывно,
то G замкнуто в Р X Е (гл. I, 2-е изд., § 8, следствие 2 предложе-
предложения 6; 3-е изд., § 8, следствие 2 предложения 8), так что G =
= G П (Р X Е) (гл. I, § 3, предложение 1) и, следовательно,
G = f) Вп, где Бп = G■ fl {Un X Е}. Так как каждое Un есть
п
объединение счетного семейства замкнутых подмножеств куба /N
(§ 2, предложение 7), то каждое Вп есть объединение счетного
семейства компактных множеств, и предложение доказано.
3. Борелевекие множества
Определение 3. Множество £ подмножеств множества
А называется телом на А, если выполняются следующие условия:
а) дополнение всякого множества из £ принадлежит £;
б) пересечение всякого счетного семейства множеств из £ при-
принадлежит £.
Если £ — тело, то объединение всякого счетного семейства
множеств из £ принадлежит £ (ибо дополнение этого объединения
есть пересечение множеств из £).
Множество s$ (А) всех подмножеств множества А, очевидно,
есть тело. Всякое пересечение тел на А есть тело на А. Следова-
Следовательно, для каждого подмножества % множества ty (А) существует
наименьшее тело, содержащее %; его называют телом, порожден-
порожденным множеством %.

;; СУСЛИЫСКИВ ПРОСТРАНСТВА; БОРЕЛЕВСКИБ МНОЖЕСТВА 135
Определение 4. Борелевскими множествами в топологи-
топологическим пространстве Е называют элементы тела, порожденного
мпижеством всех замкнутых подмножеств пространства Е.
Предложение 10. Пусть / — непрерывное отображение
топологического пространства Е в топологическое пространство F.
Прообраз относительно f всякого борелевского множества из F
сеть борелевское множество в Е.
В самом деле, пусть % — множество всех подмножеств У
-1
пространства F, для которых / (У) — борглевское множество в Е.
Ною, что % есть тело, содержащее все замкнутые множества из F;
следовательно, Z содержит все борелевские множества из F.
Предложение 11. Всякое борелевское подмножество суслин-
ского пространства Е является суслинским.
В самом деле, пусть £ — множество всех подмножеств X
пространства Е, являющихся суслинскими вмосте со своим допол-
дополнением СХ; предложение 8 показывает, что £ — тело. Всякое
замкнутое множество А в Е принадлежит £, ибо и А и СМ —
суслинские множества (предложение 5); следовательно, % содер-
содержит все борелевские множества в Е (см. следствие теоремы 2).
Следствие. Пусть / — непрерывное отображение суслин-
ского пространства Е в метриауемое пространство F. Для каждого
борелевского множества В из Е множество f (В) — суслинское.
В самом деле, В — суслипское множество, а тогда, по замеча-
замечанию, следующему за определением 2, и / (В) — суслипское мно-
множество.
Замечания. 1) Даже если Е в F — польские пространства,
' вообще говоря, неверно, что образ борелевского множества ип Е при
непрерывном отображении Е в F есть борелевское множество и F
(см. упражнение 0 и п° 7, следствие теоремы 3).
2) Пусть R — топологическое пространство и F — ого борелесское
подмножество. Тогда борелевские подмножества пространства F —
не что иное, как те борелевские множестш) и:) Е, которые содержится
в F. В самом деле: 1° Сюрелевекне множества из Е, содержащиеся и F,
образуют и /" тело, содержащее все его замкнутые, а потому и все.
борелрвекие подмножества; 2° множества X с. Е, для которых X П F
боролеиекое множество в />', образуют тело, л Е, содержащее псе замк-
замкнутые, а потому и нее борелпвскис множества ил Е.

13G ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩВЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 6
4. Талдроблвниыв и луяипские пространства
Определение 5. Топологическое пространство называет-
называется раздробленным, если оно отделимо и каждая его точка обладает
фундаментальной системой открыто-замкнутых окрестностей.
Всякое раздробленное пространство вполне несвязно, ибо связ-
связная компонента точки х содержится во всех открыто-замкнутых
множествах, содержащих х (гл. I, § 11, п° 5), а пересечение всех
этих мпожеств сводится к точко х, если Е — раздробленное про-
пространство.
Обратно, локально компактное вполне истяланое пространство
является раздробленным (гл. II, 2-е изд., § h, слодствмо предложения 3;
З-о изд., § 4, слодстпио пррдложонля 6); одиоко существуют мстрнзуо-
мъгр пполнй ярсш1:шмр пространства, не ямлыющиеся раздробленными
(упразккошю Зи)).
Всякое подпространство раздробленного пространства есть
раздроблошюе пространство; всякое произведение (соответственно
сумма) раздробленных, пространств есть раздробленное простран-
пространство.
Определение 6. . Топологическое пространство Е назы-
называется лузинским, если оно метризуемо и является биективным
непрерывным образом некоторого раздробленного польского про-
пространства Р.
Ясно, что всякое лузинское пространство является суслинским.
Предложкние 12. Для того чтобы метрику емое про-
пространство было лузинским, необходимо и достаточно, чтобы оно
было биективным непрерывным образом некоторого польского
пространства.
Необходимость условия очевидна, и остается доказать его
достаточности. Если / — биективное непрерывное отображение
лу.'шпекого пространства Е на мотризуемоо пространство F, то,
как следует из определения О, F — лузипскоо пространство. Таким
образом, всо сводится к доказательству того, что всякое польское
пространство является лузинским.
Заметим прежде всего, что всякое замкнутое (соотв. открытой)
подпространство А лузпнекого пространства Е есть лузинское

4 . СУСЛИНСКИЕ ПРОСТРАНСТВА; БОРКЛИВС.КИК МНОЖЕСТВА 137
пространство (см. теорему 3); в самом долю, если / — биективное
непрерывное отображение раздробленного польского простран-
-1
стпа Г на Е, то / {А) замкнуто (соотв. открыто) в Р п, значит
(предложения 1 и 2), является раздробленным польским подпро-
подпространством, чом наше утверждение и доказано.
Произведение всякого счетного семейства лузинских про-
пространств есть лузштекое пространство; это вытекает из предложе-
предложения 1 и того, что всякоо произведение раздробленных пространств
есть раздробленное пространство. Пересечение всякого счетного
семейства лузинских подпространств отделимого топологического
пространства есть лузинское подпространство; это сразу следует
из предыдущих замечаний и леммы 1. Кроме того:
Лемма 2. Если метризуемое пространство Е допускает
счетное разбиение (Ап), состоящее т лузинских подпространств,
то Е — лузинское пространство.
В самом доле, пусть для каждого целого п Рп есть раздроблен-
раздробленное польское пространство, а /„ — непрерывная биекдия Рп
па Ап; сумма Р пространств Рп есть польское (предложение 1)
раздробленное пространство, а его отображение/ в Е, совпадающее
с /п на каждом Рп, является непрерывной биокцией Р на Е, чом
лемма и доказана.'
Установив это, покажем прежде всего, что интервал 7= [0, 1],
из R есть лузипское пространство. Пусть / — его подпространство,
образованное всоми иррациональными точками; / — польское
пространство (следствие предложения 3); с другой стороны, J —
раздробленное пространство, ибо для каждой точки х из .7 следы
и а / интервалов из R вида ]r, s\, гдо г us рациональны nr<i< я,
образуют фундаментальную систему открыто-замкнутых окрестно-
окрестностей точки х в / (поскольку следы на / интервалов ]r, ,s| п [г, я]
совпадают). По J и множества, сводящиеся к одной рациональной
точке, образуют счетное разбиение интервала 7, и потому шиле
утверждение вытекает из леммы 2.
Пусть, наконец, Р — произвольное польское пространство;
по следствию 1 теоремы 1 оно гомеоморфно подпространству ку-

138 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 6
ба /N, являющемуся пересечением счетпого семейства егооткры
тых подмножеств; справедливость предложения вытекаот теперь
из того, что / — лузинское пространство, и замечаний, сделанных
в начале доказательства.
5. Решето
Определение 7. Решет.ом называют последовательность
С = (Сп, рп)П;о, где Сп при любом п есть не более чем счет-
счетное множество, а рп — сюръективное отображение Сп+г на Сп
Для каждой пары т, п целых чисел таких, что 0 ^ т ^ п
обозначим через ртП тождественное отображение Ст на себя,
если т = п, и сюръективное отображение pm°pm+i° • • • °рп-\
множества Сп на Ст, ослит<м. Ясно, что если m^ln^. q, то
pmq=pmn°pnq, и потому можно рассматривать множество L(C),
являющееся проективным пределом семейства (С„) относительно се-
семейства отображений (ртп)- (Теор. множ., гл. III, § 1, п° 12); тополо-
гизируем это множество следующим образом. Каждое Сп наделим
дискретной топологией, а ДСП — топологией произведения; L (С)
п
есть подмножество множества JJ С„, образованное теми последова-
п
тельностями (с„), в которых. сп = рп (сп+]) для каждого п,
и мы наделим его топологией, индуцированной из ЦСП. Ясно,
п
что L (С) замкнуто в пространстве JJ Сп; отсюда сразу вытекает,
■ п
что L (С) — раздробленное польское пространство (п° 4); мы будом
называть L (С) топологическим пространством, ассоциированным
с решетом С.
Просеиванием метрического пространства Е называют задание
решета С = (С„, рп) и для каждого целого п ^ 0 отображе-
отображения ф„ множества Сп в множество всех непустых замкнутых
множеств диаметра ^2"" из Е, удовлетворяющее следующим
условиям:
а) Е является объединением всех ср0 (с), когда с пробегает Со;

Г, СУСЛИНСКИВ ПРОСТРАНСТВА; БОРЕЛЕВСКИЕ МНОЖЕСТВА 139
б) ф„ (с) при каждом п и каждом с £Сп есть объединение всех
-1
Фл-ri (О, где с' пробегает рп (с).
Просеивание называется строгим, если, кроме того, для каждо-
каждого п множества фп (с), где с пробегает Сп, попарно не пересекаются.
Лвмма 3. Всякое метрическое пространство Е счетного
типа допускает просеивание. Если, кроме того, Е раздробленно,
то оно допускает строгое просеивание.
Заметим сначала, что если F — метрическое пространство
счетного типа и е — число >0, то существует счетное покрытие
пространства F множествами диаметра ^е (§ 2, предложение 13).
Если, кроме того, F раздробленно, то существует покрытие (Vn)
указанного типа, состоящее из открыто-замкнутых множеств;
обозначив через Wn пересечение Vn с {} (F — Vh), видим, что
Wn замкнуты, имеют диаметр ^е, попарно не пересекаются
и покрывают Е. Во всех случаях замыкания непустых множеств
рассматриваемого покрытия образуют счетное покрытие про-
пространства F, элементами которого являются непустые замкнутые
множества диаметра ^е.
Пусть теперь Е — метрическое пространство счетного типа.
Пусть Со — множество индексов счетного покрытия простран-
пространства Е, состоящего из непустых замкнутых множеств диаметра
^1, попарно непересекающихся, если Е раздробленно, и ф0 —
отображение, сопоставляющее каждому ипдексу с £ Со соответ-
соответствующее множество покрытия. Предположим, чтоСг, ф; и сюръек-
тивные отображения pt: Ct -*■ Cf_! уже определены для всех
i < п так, что для зтих индексов выполнено условие б). Если
с £ С„, то пространство ф„ (с) обладает счетным покрытием не-
непустыми замкнутыми множествами диаметра ^2""~1, попарно
непересекающимися, если Е (а значит, и фп (с)) раздробленное;
пусть / (с) — множество индексов ятого покрытия; примем за Сп+1
сумму множеств / (с), где с пробегает Сп; для каждого с' £ Сп+1
обозначим через рн (с1) элемент с £ Сп, для которого с' £ I (с),
а через фп+1 (с') — множество с индексом с/ рассматриваемого
покрытия пространства ф„ (с). Яспо, что таким путем по индукции
определится просеивание пространства Е, строгое, если Е раз-
раздробленное, и лемма доказана.

140 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 6
Предположим теперь, что Е — полное метрическое простран-
пространство счетного типа, и рассмотрим просоивание Е посредством
решета С и отображений сри. Если у — (с„) — точка пространстиа
L (с), ассоциированного с С, то (срп (с„)) — убывающая последова-
последовательность замкнутых множеств в Е, диаметр которых стремится
к 0; пересечение этой последовательности множеств сводитат,
следовательно, к одной точно, которую мы обозначим / (у). Тем
самым мы определили отображение / пространства L (С) в Е;
ясно, что если точки у и у' из L (С) имеют одни и те же координа-
координаты с ипдексом I для всех i ^ п, то расстояние между / (у) и / (у')
не превосходит 2~п; аначит, в силу определения топологии в L (С),
/ непрерывно. Из определения просеивания вытекает, что для каж-
каждого х £ Е индукцией но п можно опредолить последовательность
у — (сп) так, чтобы х 6 ср„ (с„) для всех в>0ис„ = р„ {сп+1);
следовательно, х — / (у), т. о. / сюръективпо. Кроме того, если
просоивание строгое, то последовательность у — (с„), для кото-
которой х = f (у), единственна, так что / биективно. Мы будем назы-
называть / отображением, порожденным рассматриваемым просеива-
просеиванием.
Предложение 13. Для каждого лушнекого (соотв. суслим-
ского) пространства Е существуют решето С и непрерывное биек-
биективное (соотв. сюръективное) отображение L (С) на Е.
В силу определения 6 лузинского (соотв. определения 2 суслин-
ского) пространства вопрос сводится к случаю, когда Е является
раздроблонпмм польским (соотв. польским) пространством, и пре-
предыдущее рассужденио приводит тогда к предложению 13.
6'. Отделение cyciuncuux множеств
Теорема 2. Для' каокдой последовательности (Е„) попарно
непересекающихся суслинских подпространств метризуемого про-
пространства Е существует последовательность (Вп) его попарно
непересекающихся борелевских множеств, такая, что Еп а Вп
для каждого п.
Установим предварительно две леммы.
Лемма 4. Пусть (Ап) и (А'т) — последовательности под-
подмножеств топологического пространства Е. Предположим, что
для каждой пары (Ап, А'т) существует борелевское множество Впт

С, СУСЛИНСКИЕ ПРОСТРАНСТВА; БОРЕЛЕВСКИК МНОЖЕСТВА 141
в Е такое, что Впт zd АпиВпт П А'т = 0 • Тогда в Е существует
борелевское множество В, содержащее \\Ап и не пересекающееся
п
с \jA-m.
т
В самом доле, требуемым свойством обладает множество
Лемма 5. Пусть Е — отделимое пространство и А, А' —
его суслинские подпространства, не имеющие общих точек. Тогда
в Е существует борелевское множество В такое, что В zd A
и В П А' -0.
В самом деле, и силу предложения 13 существуют два решета С,
С, непрерывное отображение / пространства L (С) на А и непре-
непрерывное отображение /' пространства L (С) на А', определенные
способом, описанным в п° 5. Пусть оп (с) для каждого п^ О
и каждого с 6 Сп означает подпространство пространства L (С),
образованное всеми последовательностями (£&)й>о> у которых
с„ — с. Это — замкнутое подпространство в L (С). Для каждого
У -- (сп) 6 L (С) последовательность замкнутых множеств qn (cn)
убывает и образует базис фильтра, имеющего своим пределом у.
Кроме того, для каждого с £Сп множества qn+i (d), где d пробегает
-1
множество рп (с) в. Сп+1, образуют разбиение пространства qn (с).
Аналогичные обозначения введем для решета С".
Будем теперь рассуждать от противного, предполагая, что
всякое борелевское множество, содержащее А, пересекается с А'.
Прежде всего, из леммы 4 и определения просеивания вытекает
существование таких с0 £ Со и с'о £ С'о, что всякое борелевское
множество, содержащее / (q0 (с0)), поресекается с /' (q', (с'„)). При-
Применив тогда индукцию но п, определим.элементы у ~ (с„) £ L (С)
и у' ~ (с'п) £ L (С) следующим образом: пусть с( и с\ уже опреде-
определены для всех i < п так, что для каждого i<Cn всякое борелевское
множество, содержащее / (qt (ct)), пересекается с /' (q\ {c\))\ при-
применяя лемму 4 и определение просеивания к множествам
/ (<7n-i (cn-i)) и f {q'n-\ (c'n-i)), видим, что существуют сп 6 С\
и с'„ 6 С'п такие, что рп_у (сп) = сп_1, рп„ц {с'п) --=-■ с'п„{ и каждое
борелевское множество, содержащее / (г/„ (с,,)), пересекается

142 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОВЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 6
с /' (q'n (с'»)). Но последовательность / (qn (с„)) сходится к точке
а == / (у) £ А 1 а последовательность /' {q'n (с'п)) — к точке а' =
— /' (y') 6 -4'- Поскольку Л О А' — 0 vt E отделимо, существует
замкпутая окрестность V точки а, не содержащая а'; для достаточ-
достаточно большого п она содержит / (qn (сп)) и не пересекается с /' (q'n (c'n)),
в противоречие с тем, что F — бороловское множество.
Итак, леммы доказаны. Обозначим теперь через Fn для каждого
целого п объединение всех множеств Et с индексом i ^= n; Fn —
суслинское пространство (предложение 8). В силу леммы 5 для
каждого индекса п существует борелевское множество В'п, содер-
содержащее Еп и не пересекающееся с Fn. Пусть Вп — пересечение В'п
и ^\{Е — В\). Множества Вп борелевские, попарно непоресека-
гощиеся и Вп zd Еп для каждого п; теорема 2 тем самым доказана.
Следствие. Если конечное или счетное разбиение метри-
зуемого пространства образовано суслинскими множествами, то
эти множества являются борелевскими. В частности, в метризуе-
мом пространстве всякое суслинское множество, имеющее суслин-
суслинское дополнение, есть борелевское множество.
7. Лузинскив njjoempaucmea и борелевские
множества
Теорема 3. Пусть Е — лузинское пространство. Для то-
того чтобы его подпространство было лузинским, необходимо и доста-
достаточно, чтобы оно было борелевским в Е.
Это вытекает из следующих двух лемм:
Лемма 6. В лузинском пространстве Е всякое борелевское
множество есть лузинское подпространство.
Пусть % — множество всех подмножеств А пространства Е,
которые вместе со своим дополнением СМ являются лузинскими
подпространствами.
Поскольку все замкнутые и все открытые множества в Е
являются лузипскими подпространствами (п° 4), £ содержит все
вамкнутые множества из Е. Следовательно, лемма будет докавана,
если мы установим, что £ — тело. Для этого достаточно показать,
что для каждой последовательности {Ап) множеств из £ подпро-

7 СУСЛИНСКИЕ ПРОСТРАНСТВА; ВОРЕЛЕВСКИК МНОЖЕСТВА 143
странства f\An и ^^„пространства Е — лузинские. Но мы
71 И
видели в п°4, что пересечение всякого счетного семейства луэин-
ских подпространств есть лузинское подпространство. С другой
стороны, из предположения и предыдущего замечания вытекает,
что пересечение Вп множеств Ап и f^C^l;—лузинское подпро-
странство; а так как Min — М5„, то подпространство М^4П —
П П !1
лузинское в силу леммы 2.
Лемма 7. 'Всякое лузинское подпространство А метри-
зуемого- пространства Е есть борелевское множество в Е.
По предложению 13 существуют решето С и непрерывное биек-
биективное отображение/ пространства L (С) на А. Пусть в обозначе-
обозначениях леммы 5 gn(c) для каждого целого п и каждого с £ Сп означа-
означает подпространство / (qn (с)) пространства Е; это есть лузинское
и, следовательно, суслинское подпространство пространства Е.
Поскольку / биективно, множества gn (с), где с пробегает Сп,
попарно не пересекаются; поэтому в силу теоремы 2 существует
семейство с *-*■ g'n (с) (с £ Сп) попарно непересекающихся боре-
левских множеств в Е таких, что g'n (с) зэ gn (с) для каждого с 6 Сп.
Заменяя g'n (с) его пересечением с замыкапием gn (с) мпожества
gn (с) в Е, можем предполагать, что g'n (с) a gn (с). Обозначим
через £„_!, сп_2, . . ., с0 образы элемента с соответственно
и Сп_ц Сп_2, . . ., Со при сюръективных отображениях
Рп-1,п = Рп-1, Рп-2,п = Рп-г°Рп-п •••> Ро.п ==Po°Pl°- ■ -оРп-и
пусть пп (с) — пересечение множеств
gn (с), g-,',_i (cn_!), . . ., g'o (c(t).
Так как qt (ct) zd qn (c) @ < i < n — 1), то hn (с) содержит gn (c);
кроме того, ясно, что hn (с) — борелевское множество, содержа-
содержащееся в gn (с), причем когда с пробегает Сп, множества hn (с)
попарно не пересекаются; наконец, по построению hn+1 (с1) с
с hn (рп (с')) для каждого с' б Сп+1. Пусть теперь Вп — объеди-
объединение всех hn (с) (с б Сп)\ Вп — бореловское множество и Вп+Х а
с Вп; кроме того, Вп содержит объединение всех gn (с) (с g Cn),

144 . ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА D ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 6
т. е. множество А. Пусть В — пересечение убывающей последова-
последовательности мпожеств Вп\ это — боролевское множество, содержа-
содержащее А. Покажем, что В — А, чем и завершится доказательство.
Пусть х — точка из В; для каждого целого п существует,
и притом единственное, с £ Сп такое, что х £ hn (с); обозначим его
через сп (х); тогда последовательность (сп {х))пг-о принадлежит
L (С). Убывающая последовательность (gn (cn (х))) по определению
сходится к некоторой точке а £ А; последовательность замыканий
этих множеств также сходится к а в Е, и то жо тем более имеет
место для последовательности (hn (с„ (ж))). Но х принадлежит всем
К (сп (х)), следовательно, х == а £ А, и теорема доказана.
Следствие. Образ лузииского (в частности, польского) про-
пространства Е относительно его инъективного отображения
в метризуемое пространство F есть борелевское множество в F.
8. Лорелевские сечения
Теорема 4. Пусть Е — польское пространство и R —
отношение эквивалентности в Е такое, что классы по R замкнуты
в Е, а насыщение по R всякого замкнутого множества есть борелев'
ское множество. Тогда в Е существует борелевское множество,
пересекающее каждый класс эквивалентности по R в одной и только
одной точке.
Рассмотрим на Е расстояние, согласующееся с его топологией
и превращающее Е в полное метрическое пространство. По лемме 3
существует просеивание пространства Е, определенное решетом
С — (Сп, рп) и последовательностью отображений (<рп). Пусть
gn (с) для каждого с £Сп означает насыщение замкнутого множе-
множества ср„ (с) по R; в силу предположения gn (с) — борелонское
множество в Е.
Поскольку каждое множество Сп по Солге чем счетно, мы
можем наделить его отношением совершенного порядка, при ко-
котором для каждого задаппого элемента множество всех элементов,
меньших, чем он, конечно. Индукцией по п определим для каждо-
каждого с £ Сп множество hn (с) следующим образом. Прежде всего,
для с £ 6'0 пусть /г„ (с) есть пересечение <р0 (с) и всех множеств
Е — So (О, ГД° <•' 6 Со и с' < с. Если с 6 Сп+и то hn+1 (с)

,4 СУСЛИНСКИВ ПРОСТРАНСТВА; БОРЕЛЕВСКИЕ МНОЖЕСТВА 145
пусть будет пересечением ф„+1 (с), hn (pn (с)) и всех множеств
Е — gn+1 (с'), где с' g Сп+1, рп (с') = рп (с) и с' < с. Ясно, что
«се hn (с) — борелевские множества.
Докажем следующее утверждение: для каждого целого п ^ О
и каждого класса эквивалентности Н по R существует, и притом
единственный, элемент с £ Сп такой, что hn (с) пересекается с //,
и тогда
К (с) П Н = Ф„ (с) П Я,
что является, таким образом, замкнутым множеством. Для п — О
рассмотрим наименьший элемент с £ Со такой, что ср0 (с) пересе-
иается с //; тогда ф0 (с) П II не пересекается ни с одним из g0 (с'),
соответствующих тем с' £ Со, которые <.с, и потому содержится
в h0 (с) П Я, а следовательно, совпадает с ним; кроме того, Н cz
cz g0 (с), так что множество h0 (с') (~| II для всех с' £ Со, больших
чем с, пусто, и утверждение доказано для п = 0. Далее применяем
индукцию по п; если существует с £ Сп+1, для которого hn+1 (с)
пересекается с Н. то из включения /гп+1 (с) cz hn (pn (с)) и предпо-
предположения индукции вытекает, что рп (с) есть единственный элемент
d б Сп, для которого hn (d) пересекается с Н. Заметим, что hn (d),
содержащееся в ц>п (d), по определению просеивания содержится
-1
в объединении всех фп+1 (с), у которых с £ рп (d); поэтому имеется
-I
наименьший элемент, с £ рп (d), для которого фп+1 (с) пересекается
с //. В силу предположения индукции имеем тогда
Фп+1 (с)ПЯс Фп (d) П Н = A» (d) П Я.
Следовательно,
Ф„+1 (с)ПЯс фп+1 (с) П A» (d).
и так как, согласно определению, фп+1 {с) П Я не пересекается
— 1
ни с одним из множеств gyj+i (с'), у которых с' £ р п (d) и с' < с,
то из определения /г„+1 (с) вытекает, что ф„+1 (с) f| Я = hn+i (с) П
-1
П Я. Кроме того, Я с gn+1 (с) и, следовательно, если с' б р„ (d)
и с' > с, то /г„+1 (с') П Я пусто. Таким образом, наше утверждение
доказано для всех п.
Пусть теперь Sn для каждого целого п есть объединепие мно-
жеств hn (с), где с пробегает С„; 5„ — борелевское множество
Юн. Бурбаки

146 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 6
и Sn+1 cz Sn. Пересечение S множеств Sn является борелевским
множеством в Е; покажем, что S пересекается с каждым классом
эквивалентности // по R в одной и только одной точке. В самом
деле, пусть с„ (//) для каждого п — тот единственный элемент
с £ Сп, при котором hn (с) пересекается с //; тогда Sn (] Н =
— Фп icn {Н)) П Н и S П Н есть пересечение всех ср„ (сп (//)) |~| Н.
Так как последовательность (сп (//)) принадлежит L (С), то убы-
убывающая последовательность замкнутых множеств ср„ (сп(Н)),
диаметр которых стремится к 0, сходится в силу полноты Е
к некоторой точке х £ Е. Пересечение замкнутых множеств
(рп (сп (#)) Г) Н поэтому сводится к точке х, что и завершает дока-
доказательство теоремы 4.
Замечание. В частности, отношение эквивалентности R
удовлетворяет предположениям теоремы 4, если оно замкнуто.
Таким образом, если Е — метризуемое компактное пространство,
то теорема 4 применима ко всякому отношению эквивалентности Rt
при котором EIR отделимо, поскольку такое R замкнуто (гл. I,
§ 10, предложение 8).
9. Емкостностъ суслинских множеств
Определение 8. Пусть Е — отделимое топологическое
пространство. Емкостью на Е называют отображение / мно-
множества ^ {Е) всех его подмножеств в расширенную числовую пря-
прямую R, удовлетворяющее следующим условиям:
(CAi) А <=. В влечет j (А) < / (В).
(САц) / (ЦЫм) — SUP / (An) для каждой возрастающей после-
дователъности (Ап) множеств из Е.
(САш) / (|П Кп) = 1П* / (Кп) ®ля каждой убывающей ?к>сле-
п п
дователъности (Кп) компактных множеств из Е.
Пример ы. "Пусть |л — положительная мора на локально
компактном пространство Е\ соответствующая внешняя мера \\,* явля-
является тогда емкостью на Е. (См. Интегрирование, гл. IV: определение
внешней меры дано в определении 4 § 1; (CAj) вытекает из предло-
предложения 16 § 1; (СЛц) — из предложения 17 § 1; (САщ) — из следствия
предложения 7 § 4, если принять во внимание, что в силу следствия
предложения 10 § 4 всякое компактное множество интегрируемо.

;/ СУСЛИНСКИЕ ПРОСТРАНСТВА; БОРЕЛЕВСКИЕ МНОЖЕСТВА 147
Можно показать, что в пространство Rn, где п > 3, «ньютонов-
«ньютоновская внешняя емкость» является емкостью в смысле определения 8.0
Определение 9. Пусть f — емкость на Е; множество А
в Е называется емкостным (относительно /), если f (A) = sup / (К),
к
где К пробегает множество всех компактных подмножеств мно-
множества А.
"Например, если / есть внешняя мера ц*, то всякое открытое
множество емкостно; емкостные множества А, для которых \i* (А) <
< Н-оо,—не что иное, как ц-интегрируемыо множества (см. Интег-
Интегрирование, гл. IV, § 4, следствия 1 и 4 теоремы 4).о
Предложение 14. Пусть К — компактное пространство
и / — емкость на К. Пересечение А убывающей последовательности
{Лп) множеств из К, каждое из которых является объединением
счетного семейства замкнутых множеств, есть емкостное мно-
множество.
Достаточно показать, что для каждого а < / (А) существует
компактное множество С а А такое, что / (С) ^ а. Докажем сна-
сначала существование последовательности (Bn)n-^i замкнутых мно-
множеств Вп с Ап таких, что, определяя по индукции последователь-
последовательность (Сп) условиями Со = А, Сп = Cn_i |~| Вп для п ^ 1, будем
иметь / (Сп) > а для каждого п ^ 0. Пусть Bt определены для
нсех i < п\ согласно предположению Cn_ic: А а Ап и / (Cn_i) >
> а; так как Ап есть объединение возрастающей последователь-
последовательности (Dj) замкнутых множеств, то из (САц) вытекает, что
)
Поэтому существует индекс ;', для которого / (Сп_х П Dj) > а,
и достаточно взять Вп = Dj.
Пусть теперь С = {\ Сп; так как А = f^ An и Вп cz An,
п п
то имеем также С = f^J5n; значит, множество С компактно
п
и содержится в А. Пусть В'п = £\ Ви так что (В'п) — убывающая
i.<n
последовательность компактных множеств. Так как Сп а Сг с:
с Bt для Кп, то имеем также С„ с: В'п. Поэтому, в силу (САга),
/ (С) = inf f(B'n), а так как С а Сп а В'п, то также / (С) =
п
— inf / (Cn) ^ а, и предложение доказано.
п
10*

148 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 6
Теорема 5. Относительно компактное суслинское подпро-
подпространство F метризуемого пространства Е елкостно относи-
относительно любой емкости f на Е.
В самом деле, как мы видели (предложение 9), существуют
компактное пространство К, убывающая последовательность (Ап)
множеств из К, каждое из которых является объединением счетно-
счетного семейства компактных множеств, и непрерывное отображение ср
пространства if в £, такие, что/1 = ф(^| А п). По предложению 14
п
f^ Ап емкостно относительно каждой емкости на К. Поэтому
71
теорема 5 вытекает из следующего предложения:
Предложение 15. Пусть ф — непрерывное отображение отде-
отделимого пространства К в отделимое пространство Е и f —
емкость на Е. Положим g (А) = / (ф (А)) для каждого множества А
из К. Тогда g— емкость на К,.и если, кроме того, А емкостно
относительно g, то ф (А) емкостно относительно /.
Ясно, что g удовлетворяет аксиомам (CAj) и (САп). С другой
стороны, пусть (С„) — убывающая последовательность компакт-
компактных множеств из К и С = f^Cn; множества ф (Сп) компактны
и их пересечением служит ф (С): в самом деле, оно содержит ф (С),
-1
и если х £ ф (С„.) для всех п, то множества ф (х) П Сп образуют
убывающую последовательность непустых компактных множеств
в К и тем самым имеют непустое поресечение. Поэтому / (ф (С)) =
= inf / (ф (С„)), т. е. g (С) = inf g (Cn) и, следовательно, g удов-
п п
летворяет аксиоме (САШ), чем доказано, что g— емкость на К.
Пусть теперь А — множество в К, емкостное относительно g;
если а < / (ф (А)) = g (А), то существует компактное множество
С а А, для которого g (С) ^ а; тогда ф (С) есть компактное
множество, содержащееся в ф (А), и / (ф (С)) ^ а. Это доказывает,
что ф (А) емкостно относительно /, и завершает доказательство
предложения 15 и теоремы 5.
Замечание. "Если ц — положительная мера на метризуемом
локально компактном пространстве Е, то всякое суслинское множе-
множество А с: Е ц-измеримо. В самом деле, К[\А для каждого компактного

УПРАЖНЕНИЯ 149
множества К из Е есть относительно, комцактпое суслинское множе-
множество, следовательно, емкостное относительно (i* и, 8начит, ц-интег-
рируемое. Отметим, что дополнение в Е к суслинскому множеству,
не будучи вообще суслинским, ц-интегрируемо.о
Упражнения
1) а) Всякое раздробленное отделимое пространство вполне регу-
регулярно. Локально компактные не нормальные пространства, определен-
определенные в упражнении 266) § 4 и упражнении 15 § 5, являются раздроб-
раздробленными пространствами.
б) Топологическое пространство Е называется сильно раздроб-
раздробленным, если для каждого замкнутого множества А в Е и каждой его
окрестности V существует открыто-замкнутая окрестность множе-
множества А, содержащаяся в V. Всякое сильно раздробленное отделимое
пространство нормально. Всякое вполне несвязное компактное прост-
пространство является сильно раздробленным. Для того чтобы нормальное
пространство Е было сильно раздробленным, необходимо и достаточ-
достаточно, чтобы его компактификация Стоуна — Чеха Е (§ 1, упражнение 7)
была вполне несвязна. [Использовать упражнение 17в) § 4.]
в) Пусть Е — сильно раздробленное отделимое пространство
и (Un) — возрастающая последовательность непустых открытых мно
жеств из Е. Показать, что в Е существует последовательность (Gn)
попарно непересекающихся открыто-замкнутых множеств таких, что
Gn cz Un для всех и и II <?„ = II Vn. [Определить Gn по индукции.]
Бели, кроме того, Е совершенно нормально (§ 4, упражнение 8), то
всякое открытое множество в Е является объединением счетного
семейства попарно непересекающихся открыто-замкнутых множеств.
г) Пусть Е — нормальное пространство, являющееся объедине-
объединением последовательности (Ап) своих сильно раздробленных подпрост-
подпространств. Показать, что Е — сильно раздробленное пространство.
[Пусть В и С — непересекающиеся замкнутые множества в Е. Опре-
Определить по индукции возрастающие последовательности (Gn) и (Нп)
открытых множеств в Е таких, что <?„ П Чп — 0i An cz @п U Hn
я В П Ап a Gn, C[\ Ana Я„.]
*2) а) Пусть Е — метризуемое пространство. Показать равно
сильность следующих свойств:
ос) существует расстояние, согласующееся с топологией прост-
пространства Е и превращающее Е в ультраметрическое пространство
(§ 2, упражнение 4);
Р) Е — сильно раздробленное пространство (упражнение 1);

150 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 6
у) в Е существует последовательность (Я>„) локально конечных
семейств открыто-замкнутых множеств такая, что 83=11 й„ ость
п
базис его топологии в Е.
[Чтобы убедиться в том, что а) влечет -Р), заметить, что если F —
замкнутое множество в ультраметрическом пространстве Е, то мно-
множество тех х £ Е, для которых d (х, F) — р > 0, открыто-замкнуто.
Чтобы покапать, что (J) влечет у), использовать лемму 4 § 4 и упраж-
упражнение 1в) § 6. Наконец, установление того, что у) влечет а), свести
к случаю, когда Wn = (Un, jj^gr, и, обозначив через /n, ^ характеристи-
характеристическую функцию множества ?7п,х> рассмотреть отображение ж*-*-
•-*■/(*)= (/п.х, (ж)) пространства Е в группу G = IINxL, где # =
= Z/B) (отождествленное с множеством @, I}); пусть 6^ для каждого
п £ N — подгруппа группы G, состоящая из всех элементов,
проекции которых с индексом (к, X) равны нулю для всех X 6 L и всех
к < п; показать, что' / — гомеоморфизм пространства Е на подпрост-
подпространство группы G, наделенной групповой топологией, для которой
(Gn) слунсит фундаментальной системой окрестпостой 0; в заключение
заметить, что топология группы G может быть задана инвариантным
расстоянием, превращающим G в ультраметрическое пространство.]
б) Вывести из а), что всякое раздробленное отделимое простран-
пространство Е, обладающее счетным базисом, есть сильно раздробленное
метрнзуемое пространство. [Используя предложение 13 § 2, показать,
что существует счетный базис, состоящий из открыто-замкнутых
множеств.] Кроме того, Е гомеоморфно тогда подпространству кан-
торового множества К (см. § 2, упражнение 12) *).
3) а) Показать, что всякое вполне несвязное подпространство
пространства R — раздробленное.
б) Пусть К — канторово множество; каждое х 6 К записывается
2
единственным образом в виде х= /j—jf— , где (пь))^\ — строго возрас-
h 3 *
тающая (конечная или бесконечная) последовательность целых чисел
>0 (гл. IV, § 8, упражнение 9); положим /(ж) = 2 (—1) /2ft. Пусть
h
G — график функции / в К X R; показать, что метризуемое простран-
пространство G вполне несвя-зно, но не является раздробленным. [Заметить,
что пересечение G с прямой {0} X R содержит открытый интервал,
содержащий точку @, 0).]
4) Пусть Е — метризуемое пространство.
а) Показать, что множество всех борелевских подмножеств прост-
пространства Е есть наименьшее подмножество % множества ЩЕ), содер-
*) Неизвестно, всякое ли раздробленное' метризуемое пространство
является сильно раздробленным.

УПРАЖНЕНИЯ 151
жащее все замкнутые множества из Е и обладающее тем свойством,
что объединение и пересечение всякого счетного множества из 5
принадлежит %. [Рассмотреть подмножество © множества 5, обра-
образованное теми X^S, для которых Е — X £ 5-1
б) Показать, что множество всех борелевских подмножеств прост-
пространства Е есть наименьшее подмножество % множества $ (Е), содер-
содержащее все открытые множества из Е и обладающее тем свойством,
что пересечение всякого счетного семейства множеств из f?, а также
объединение всякой последовательности попарно непересекающихся
множеств из % принадлежат ?f. [Тот же метод.]
в) Всякое ординальное число а может быть записано, и притом
■единственным образом, в виде а = <вР ~f- п, где п < со (Теор. мно?км
гл. III § 2, упражнение 14); а называют четным (соотн. нечетным),
осли п четно (соотв. нечетно). Определим с помощью трансфинитной
индукции для каждого счетного ординального числа а множества под-
подмножеств За (Е) ©а (Е) (или просто 5а> ©а) следующим образом:
5о (соотв. ($0) есть множество всех замкнутых (соотв. открытых)
множеств из Е\ если а четно и > 0, то ga (соотв. ©а) есть множество
тех мпожеств из Е, которые являются пересечениями (соотв. объеди-
объединениями) счетного семейства множеств, принадлежащих II %% (соотв.
£<«
II ©|); если а нечетно, то За (соотв. ©а) есть множество тех множеств
из Е, которые являются объединениями (соотв. пересечениями) счетного
семейства мпожеств, принадлежащих М $| (соотв. М Щ).Показать,
что объединение всех S}a (соотв. всех @а) есть множество всех борелев-
борелевских подмножеств пространства Е. [Использовать а).] Вывести отсю-
отсюда, что если Е — счетного типа, то мощность множества всех его
борелевских подмножеств не препышает мощности континуума.
г) X 6 5а тогда и только тогда, когда СХ 6 ©а- Объединение
(соотв. пересечение) всякого кинечного семейства множеств из 3fa
(соотв. из &а) принадлежит г$а (соотв. 0а). Справедливы включения
Шрименить трансфинитную индукцию.]
д) Пусть / — непрерывное отображение пространства Е в мет-
рнзуемое пространство F. Показать, что
. 7 (Лв (Г)) с ?fe (Е) и / (&а (F)) с ©a (E).
с) Если Е \i F — метризуемые пространства, то всякое произве-
произведение А X В, где А £ ??„ (Е), В е Эа (Л, (соотв. Л 6 ®а (Я), Д 6
<; ®а (^г)). принадлежит <?a (E X F) (соотв. ©a {E X Л)-

152 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 6
ж) Пусть (Еп) — последовательность мотризуемых пространств.
Показать, что если Ап для каждого п — борелевское множество из
Еп, то Длп — борелевское множество в Д#п.
п п
з) Пусть а > 0 — четное (соотв. нечетное) счетное ординальное
число и (Ап) — счетное покрытие пространства Е, состоящее из мно-
множеств, принадлежащих &а (соотв. %а). Показать, что существует раа-
бионие (Вп) пространства Е такое, что Вп а Ап для всех п, причем Вп
принадлежат ga f| ®a. [Использовать г).]
*5) а) Пусть У — польское пространство NN (где N наделепо
дискретной топологией) и Е — мотризуемое пространство счетного
типа. Показать, что для каждого счетного ординального числа a
существует множество Ga а У X Е такое, что: 1° Ga cz ©a (У X Е)
(упражнение 4); 2° для каждого множества U £ &а (Е) существует
такое z £ J, что Ga (г) = U. {Рассуждопне можно вести с помощью
траисфииитной индукции следующим образом. Пространства У п У1*1
гомеоморфны; пусть /— гомеоморфизм У на yN, fn = рг„о/для каж-
каждого целого п и (Ап) — счетный базис пространства Е, содержащий
пустое множество. Выбираем б„ так, чтобы Go (z) = II Af ^длякаж-
n
дого z £ У. Для каждого счетного ординального числа а берем Ga+1
так, чтобы Ga+1 (z) = Q Ga (/„ (г)), если a — четное, и Ga+1 (г) =
п
= U **а ^п ^' если a ~~ нечетное- Наконец, если а не имеет пред-
п
шествующего числа и (А,„) ^- возрастающая последовательность орди-
ординальных чисел такая, что a = sup Хп. то берем Ga так, чтобы Ga (z) =
п
= I IG» (/п (г)). Используем непрерывность /„ на У.]
П
б) Примем, в частности, Е = У. Показать, что множество
Pri (Ga П А). гДе Д — диагональ произведения J X J, принадлежит
©а (У), но не принадлежит Sa (У). [Рассуждать от противного, исполь-
используя а).]
6) а) Пусть У — польское пространство NN; показать, что для
каждого суслинского пространства Е существует сюръектипиос непре-
непрерывное отображение У на Е. [Свести к случаю, когда Е — польское,
и рассмотреть просеивание пространства Е решетом (Сп), где все Сп
бесконечны. J
б) Пусть Е — метризуемоо пространство; показать, что для каж-
каждого его суслинского подпространства А существует замкнутое мпо-
жество F в У X Е такое, что А = рг2 (F). (Использовать а).]
в) Пусть Е — метризуемое пространство счетного типа, L —
пространство УХ Е и F — замкнутое множество в У X L такое, что

УПРАЖНЕНИЯ 153
для каждого замкнутого множества М из L существует z £ /, для
которого F (г) = М (упражнение 5а). Показать, что для каждого
суслипского подпространства S пространства Е существует z £ / такое,
что рг2 (F (z)) = S. Вывести отсюда, что если Е = /, то множество Т
тех «£У, для которых z £ рг2 (F\(z)),— суслинское, но J — Г-не
суслинское. [Такое же рассуждение, что и в упражнении 56).] •)
7) а) Показать, что всякое раздробленное польское пространство Е
гомеоморфно замкнутому подпространству пространства J = N.
[Рассмотреть строгое просеивание пространства Е открыто-замкнуты-
открыто-замкнутыми множествами.]
б) Пусть Е — раздробленное польское пространство и F — всюду
плотпое сто подпространство, не содержащее ппутренних точек и яв-
являющееся пересечением счетного семейства открытых множестп в Е.
Показать, что F гомеоморфио J. [Заметить, что в раздробленном
метризуемом пространстве незамкнутое открытое множество есть
объединение счетно-бесконечной последовательности попарно непере-
непересекающихся открыто-замкнутых множеств; использовать теорему 1.1
Вывести отсюда, что в R всякое всюду плотное подпространство
не имеющее внутренних точок и являющееся пересечением счетного
семейства открытых множеств, гомеоморфно J. [Заметить, что такое
множество содержится в дополнении всюду плотного счетного мно-
множества D из R и что CD — раздробленное.]
в) Всякое несчетное раздробленное польское пространство Е
допускает разбиение на счетное множество и подпространство, гомео
морфное J. [Использовать б) и упражнение 11 § 5.]
8) Пусть Е — суслинское пространство и / — непрерывное отоб-
отображение его в отделимое пространство F. Показать, что если / (£)'
несчетно, то существует-подпространство А пространства Е, гомео -
морфное канторову множеству К (гл. IV, § 2, п° 5), такое, что суже-
сужение / на А инъективно. [Свести к случаю, когда Е — полное метри-
метрическое пространство. Показать, что существуют решето С — (Сп, рп),
где множество Сп для каждого п состоит из 2™ элементов, и для каж-
каждого и — отображение ф„ множества Сп в множество всех непустых
замкнутых множеств диаметра s^2~n из Е такие, что: 1° фп+1 (с) с
а фп (рп (с)) для каждого с 6 Сп+1; 2° для различных элементов с,
с' из Сп множества / (фп (с)) и / (ф„ (с')) не пересекаются. Использо-
Использовать упражнение И § 5.] В частности, всякое несчетное суслинское-
пространство содержит подпространство, гомеоморфное К, и, сле-
следовательно, имеет мощность континуума.
•) "Можно, показать, что в пространстве $ (/) всех непрерывных число-
числовых функций на компактном интервале / с: R, наделенном топологией рав-
равномерной сходимости (являющемся польским пространством), множества
всех дифференцируемых функций не является суслинским, но имеет суслин-
суслинское дополнение (см. S. Mazurkiewicz, Fund. Math., т. XXVII A936), стр. 244).,»

154 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 6
*9) а) Пусть Е — польское пространство и Л — отношение экви-
эквивалентности в Е. Показать, что в Е существует множество, являющееся
пересечением счетного семейства открытых множеств и пересекаю-
пересекающееся с каждым классом эквивалентности по Л в одной, и только
одной, точке, коль скоро выполняется одно из следующих двух пред-
предположений:
а) R замкнуто. [Следовать методу доказательства теоремы 4,
используя следующее замечание: если (Gn) — последовательность
множеств, каждое из которых есть пересечение счетного семейства
открытых множеств, и если для каждого п существует окрестность Vn
множества Gn, такая, что семейство (Fn) локально конечно, Tol|Gn
п
есть пересечение счетного семейстиа открытых множеств.]
Р) Е локально компактно и график отношения R замкнут в Е X Е.
[Тот же метод с учетом того, что насыщение компактного множества
тогда замкнуто; см. гл. I, 2-е изд., § 10, упражнение 14а); 3-е изд.,
§ 10, упражнение 16.]
б) Пусть Е — польское пространство, R — открыто-замкнутое
отношение эквивалентности в Е и ф — каноническое отображение Е
на ElR. Показать, что в Е существует мпожество А, являющееся
пересечением счетного семейства открытых множеств и такое, что
сужение ср на А есть гомеоморфизм А па ф (Л), причем ф (А) всюду
плотно в ElR и является пересечением счетного семейства открытых
мпожеств. [В обозначениях доказательства теоремы 4 показать, что
для всякого п можно предполагать ф„ (с) определенным так, чтобы
объединение внутренностей множеств hn (с) (с £ Сп) имело всюду
плотный образ в ElR; использовать а) и теорему 1.]
в) Показать, что заключение пункта б) остается в силе, если Е —
локально компактное пространство со счетным базисом, a R — зам-
замкнутое отношение эквивалентности в Е, всякий класс по которому -
компактен. [Свести к случаю б), используя упражнение 26 § 5.]
•10) а) Пусть Е— метризуемое пространство и S — его суслинское
подпространство. Показать, что множество S приближаемо в Е (§ 5,
упражнение 6). [Пусть Р — польское пространство, g — непрерывное
отображение Р на S, (Сп, рп, фп)— просеивание пространства Р и / —
соответствующее непрерывное отображение L (С) па Р (в обозначе-
обозначениях п° 5); положим h = gof и для каждого с £Сп обозначим через
<7„ (с) подпространство пространства L (С), образованное всеми после-
последовательностями? (cji), у которых с„ = с. Пусть Fn (с) = h (qn (с)),
Хп (с) = g (фп (с)) гэ Fn (с) для каждого с 6 Сп; обозначим через Zn (с)
такое объединение множества D (Fn (с)) (§ 5, упражнение 3) н неко-
некоторого тощего множества в Е, что Fn (с) cz Zn (с) а Хп (с), так что
Zn (с) приближаемо в Е. Показать, что
г,(«)ПС( U Zn+1(c')) = Yn[(e)
Рп(с')="

УПРАЖНЕНИЯ 155
— тощее множество в Е, заметив, что^„ (с) = II Fn+! (с'); с дру-
рп(С)=с
гой стороны, доказать, что множество Zn (с) — Fn (с) содержится в объе-
объединении множеств Ym (d), где т пробегает все целые числа >ге, a d для
каждого т — множество всех элементов из Ст таких, что рпт (d) = с.
Заключить, что Fn (с) — приближаемое множество.]
б) Дать пример непрерывного отображения / интервала / =
= [0, 1) в себя и приближаемого множества В а I, для которого / (В)
не было бы приближаемым. [Использовать упражнение 166) § 8 гл. IV
и показать, что в качестве В можно взятт. подмножество канторова
множества К, для которого f (В) — Z обладает свойством," описанным
в упражнении 18г) § 5.]
*11) Пусть Е = R™ и М — замкнутое множество в Е. Точка
х £ М называется линейно достижимой, если в Е — М существует
точка у такая, что открытый отрезок с концами х и у содержится
в Е — М. Показать, что множество L а М линейно достижимых
точек множества М — суслинское. [Пусть d (х, у) — евклидово рас-
расстояние на Е и /2 (х, у) = d (х, z) -\- d (z, у) — d (x, у) для каждой
точки z 6 Е. Заметить, что в Е X Е X Е множество точек (х, у, z)
таких, что х <с М, у £ Е — М, z 6 М, z Ф х и fz (x, у) = 0, есть объеди-
объединение счетного семейства компактных множеств и что, следовательно,
то же справедливо для его проекции на произведение первых двух
сомножителей. 1
12) Пусть Е — метризуемое пространство и / — отображение
множества ffi (Е) всех компактных множеств из Е в R, удовлетворяю-
удовлетворяющее условиям (CAi) (для двух компактных множеств из Е) и (САш).
Для каждого множества А с Е обозначим через fm {А) верхнюю грань
значений / (X) для всевозможных компактных подмножеств X мно-
множества А и через /• (А) нижнюю грань значений /„ (U) для всевозмож-
всевозможных открытых множеств U, содержащих А. Будем говорить, что А
допустимо для /, если /» (А) — /* (А).
а) Показать, что для каждого компактного множества К из Е
w каждого е > 0 существует открытое множество U :э К, обладаю-
обладающее тем свойством, что для всех компактных множеств X из £ таких,
что К а X a U, имеет место неравенство
/ (X) < / (К) + е.
[Рассуждать от противного.] Вывести отсюда, что всякое компактное
и всякое открытое множество в Е допустимо для /.
б) Предположим, что / удовлетворяет следующему условию:
(AL) Для всякой пары компактных множеств К, К' из Е имеет
место неравенство
/ (К U К') + f (К П К') < / (К) + / (К').

156 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 6
Показать, что если (К^ —• конечное семейство компактных мно-
множеств такое, что / (II К $ < +°°, и (К [) — второе копечаое семей -
г
ство компактных множеств с тем же множеством ипдексов, такое, что
К\ a Ki и / (К\) > — оо для каждого t, то
Пусть (А^ и (Bi) — конечные семейства множеств из Е с одним и тем
же множеством индексов такио, что В( a Ai для всех i, /* (II A j) <
i
< +00 и /* (Bj) > — оо для каждого i. Показать, что если / удов-
удовлетворяет условию (AL), то
'*(Ai)-f(Bi)).
[Свести к случаю, когда множество индексов состоит из двух элемен-
элементов. Рассмотреть сначала случай, когда А{ и Bi открыты, и исполь-
использовать следующую лемму: если t/j и U2 — открытые множества и К —
компактное множество такое, что К cz t/j U Uit то существуют ком-
компактные множества Кг cz U^ и Кга U2 такие, что К а Кг (J Kt.\
в) Предположим, что / удовлетворяет условию (AL). Показать,
что /* (II Ап) = sup /• (Ап) для всякой возрастающей последова-
п п
тельности (Ап) множеств из Е таких, что /* (Ап) > —ор. [Исполь-
[Использовать б).] Вывести отсюда, что если / не принимает на ffi (E) значе-
значения — оо, то /♦ есть емкость на Е.
г) Предположим, что / удовлетворяет условию (AL). Показать,
что объединение всякой последовательности (Ап) допустимых мно-
множеств таких, что /• (Ап) > —оо, есть допустимое множество. [Исполь-
[Использовать б) и в).]
°13) Пусть К — компактное множество в R2. Для каждого вещест-
вещественного числа у обозначим через 6х {К, у) и 62 [К, у) диаметры
пересечений К соответственно с @, -foo [ X {;/}и1 —оо,01х {у}
Показать, что функции у ^-*■ Ьх (К, у) и у t—»■ 62 {К, у) полунепре-
полунепрерывны сверху. Пусть ф — непрерывное возрастающее отображение
интервала [0, +оо) в себя такое, что ф @) = 1 и ф (+оо) = 2;
положим
, и)Ь№, у)) и /(Я)- j
РЫК)
Показать, что / удовлетворяет условиям (CAi) и (САш) и что
/ (К U К') <! / (К) + / (К1) для всякой пары компактных мпожеств

УПРАЖНЕНИЯ 157
К, К' из R2. Но для замкнутого множества А, определяемого неравен-
неравенствами х > 0 и 0 < у < 1, /, (А) — 1, а /♦ (А) = 2.0
14) Пусть Е — метризуемое пространство и / — емкость на Е
такая, что
f(A U В) < / (А) + f (В).
а) D обозначениях упражнения 12 показать, что для произволь-
произвольных множеств А, В из Е имеют место неравенства
/* (A U В) < /• U) + /* (В),
U (A U В) < /„ (X) + /* (Я)-
[Рассматривая компактные множества К а А [} В и открытые мно
жества U ■=> В, представить К в виде К — (К С] U) [} (К П CU).\
б) Пусть К — компактное множество в Е, имеющее мощность
континуума, и (А, В) — разбиение Я на два множества, любое ком-
компактное подмножество каждого из которых не более чем счетно (см.
§ 5, упражнение 18г)). Показать, что если / ({х}) = 0 для всякого
одноточечного множества и / (К) > 0, то ни А ни В не емкостны отно
сительпо /.
°15) Пусть ц — лебегова мера па R; определим емкость / па R-.
удовлетворяющую условию (AL) упражнения 12, положив f (А) =
= ц* (prj А) (предложение 15).
а) Пусть А — не емкостное (упражнение 14) ограниченное мно-
множество в R2, Во — окружность || х || = г такая, что А содержится
в открытом круге || х || < г, и Вх — окружность || х || = г' радиуса
г' > г. Показать, что A U Во и A U В\ емкостны, тогда как их пере-
пересечение А не емкостно.
б) Пусть Сп для каждого п означает множество тех х £ R2, для
которых
Показать, что каждое из множеств A U Сп емкостно, а их пересече-
пересечение но емкостно, и что inf / (Сп) Ф f (f\ Сп).о
п
*16) Пусть Е и Е' — метризуемые пространства. Отображение /
-1
пространства Е в Е' называется борелееским, если прообраз / (/")
каждого замкнутого множества F' из Е' есть борелевское множество
в Е. Пусть а — четное (соотв. нечетное) счетное ординальное число;
-1
/ называется отображением класса а, если прообраз / (/") каждого
замкнутого множества F' из Е' принадлежит 5а (Е) (соотв. ©а (Е))
-1
(упражнение 4); тогда / (С) для каждого открытого множества G' из Е'
принадлежит ©а {Е) (соотв. За (Е)). Борелевские функции клас-
класса 0 — непрерывные функции.

158 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 6
а) Для того чтобы характеристическая функция фд множества
Дс£ была фупкцией класса а, необходимо и достаточно, чтобы А
принадлежало $а П &а-
б) Пусть /— отображение класса а пространства Е в Е'\ пока-
-1
зать, что прообраз / (В1) каждого множества В' £ Яр (£') (соотв.
В' G ©р (Е1)) принадлежит 2га+р (Е) (соотв. ©а+р {Е)). [Применить
трансфинитпую индукцию по р.]
в) Пусть / — отображение класса а пространства Е в Е' и g —
отображение класса Р пространства /?' в метризуемое пространство Е";
показать, что g°j есть отображение класса а + Р-
г) Пусть а — произвольное четное (соответственно нечетное)
счетное ординальное число и (Ап) — последовательность множеств
из Е, принадлежащих ©а (соотв. <?а), покрывающая Е\ если отобра-
отображение / пространства Е ъ Е' таково, что его сужение на каждое Ап
принадлежит классу а, то / — класса а. Аналогичный результат для
конечной последовательности множеств из Е, принадлежащих За
(соотв. ©а), образующих покрытие Е.
17) а) Пусть Е — метризуемое пространство, Е' — метризуемое
пространство счетного типа со счетным базисом топологии (U^) и а —
чотпоо (соотв. нечетное) счетное ординальное число; если отображе-
_. |
ние / пространства Е в Е' таково, что все / (U'n) принадлежат ©а (Е)
(соотв. ga (E)), то / — класса а.
б) Пусть (Е'„) — последовательность метризуемых пространств
счетного типа. Для того чтобы отображение / = (/„) пространства Е
л Y[ E'n принадлежало классу а, необходимо и достаточно, чтобы
п
каждое/,, принадлежало классу а. [Использовать о).] Вывести отсюда,
что если Е счетного типа, то конечные числовые функции класса а
Не А.' образуют кольцо.
и) Пусть Е и Е' — метризуемыо пространства счетного тппа и а —
четное (соотв. нечетное) счетное ординальное число. Показать, что
если отображение / пространства Е в Е' принадлежит классу а, то его
график принадлежит З'а (Я X Е') (соотв. ®а (Е X Е')). [Использо-
[Использовать б) и упражнение 166).]
18) Пусть Е — суслинское пространство, Е' — метризуемое прост-
пространство счетного типа и / — отображение Е в Е'.
а) Показать, что если график G отображения / есть суслинское
множество в Е X Е', то /— борелевская функция (и, следовательно
(упражнение 17в)), G — борелевскоо множество). [Использовать след-
следствие теоремы 2.]
б) Показать, что если / ипъоктивно и борелевское, а Е' суслин-
суслинское, то / (А) — суслинское множество в Е' для всякого суслинского

УПРАЖНЕНИЯ 150
подпространства А пространства Е. [Использовать упражнение 17в).}
Если / биективно, то обратное отображение — борелевское.
19) Пусть Е и Е' — метризуемые пространства и /— приближаемое
-1
(§5, упражненио 24) отображение Е в Е'. Показать, что/(/?') —при-
—приближаемое множество в Е для всякого борелевского множеств В'а Е'.
[См. § 5, упражнение 6.] Вывести отсюда, что если g — борелевское
отображение пространства Е' в метризуемое пространство Е", то
gof — приближаемое» отображение. Дать пример непрерывного отобра-
отображения / и приближаемого отображения g, для которых отображение
gof не было бы приближаемым. [См. упражнение 106).]

ПРИЛОЖЕНИЕ К ГЛАВЕ IX
БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
В НОРМИРОВАННЫХ АЛГЕБРАХ
1. Перемножаемые последовательности
в нормированной алгебре
Пусть А — нормированная алгебра над недискретным комму-
коммутативным нормированным телом К (§ 3, определение 9); обозначим
через || ас || норму элемента х 6-4 и будем предполагать, что она
удовлетворяет неравенству ||ас?/ || ^ ||ас || \\у ||; кроме того, пред
положим, что А обладает единицей е.
Пусть (xn)n£N — бесконечная последовательность точек из А;
всякое конечное множество / cz N, совершенно упорядоченное
порядком из N, определяет серию (Алгебра, гл. I, § 1, п° 2) (acn)n£j
точек из А; в Алгебре (там же) было определено произведение
Pj— Ц хп этой серии; мы будем называть его конечным частич-
ным произведением последовательности (эсп)п£х, соответствующим
конечному множеству / с N (напомним, что для / == 0 полагают
Определение 1. Последовательность (acn)n£N в норми-
нормированной алгебре А называется перемножаемой, если отображение
J *-*• Pj имеет предел по фильтру сечений множества ^ (N) всех
конечных подмножеств множества N, упорядоченному отношени-
отношением с; этот предел называется произведением последовательности
(acn)n£N и обозначается Д хп (или просто Д хи); элементы хп
n£N n
называются сомножителями этого произведения.

•> ПРОИЗВЕДЕНИЯ В НОРМИРОВАННЫХ АЛГЕБРАХ 161
Определение 1 равносильно следующему: последовательность
(хп) перемножаема и имеет произведениер, если для каждого е>0
существует конечное множество /0 с: N такое, что \\pj — р || ^ е -
для всех конечных множеств J гз /0 из N.
Замечания. 1) Если А — коммутативная алгебра, то опре-
определенно 1 совпадает с определением, данным в пс 1 § 4 гл. Ш 2-го изд.
C-е изд., § 5) (замечание 3); но если алгебра А не коммутативна, то
структур.ч порядка в множестве индексов N играет л определении 1 су-
существенную роль; беря какую-либо перестпноику су множестна N, мы
отнюдь не можем тогда утверждать пообщо, что последовательность
(я<т(п>) перемножаема, коль скоро тшремиожаемп поглодопателыгость
(хп); кроме того, если эти две последовательности и перемножаемы,
их произведения вообще различны.
2) Определение 1 непосредстлепно обобщается на случай семей-
семейства (a?n)n£j, множество / индексов которого есть подмножество мно-
множества Z (совершенно упорядоченное порядком, индуцируемый из Z);
предоставляем читателю распространить па этот случай, излагаемые
ниже свойства (см. упражнения 1 и 2).
:1. Критерии перемножаемое ти
В дальнейшем мы ограничимся случаем, когда нормированная
алгебра А полна.
Теорема 1. Пусть (хп)п^ — последовательность точек
полной нормированной алгебры А.
а) Если (хп) перемножаема и имеет своим произведением обра-
обратимый элемент из А, то для каждого е > 0 существует конечное
множество Jo с N такое, что || е — рь II ^ в для каждого конеч-
конечного множества Ac N, не пересекающегося с Jo.
б) Обратно, если последовательность (хп) удовлетворяет этому
условию, то она перемножаема. При этом, если каждое хп обра-
обратимо, то и XI ^п. обратимо.
а) Пусть р — произведение перемножаемой последовательно-
последовательности (хп), причем jp обратимо в А; тогда (§ 3, предложение 13)
существуют а > 0 и а >0 такие, что всякий элемент у £ А, для
которого || у — р\\ ^ а, обратим и Ц?/ || ^ а. По предположе-
предположению, для каждого е, удовлетворяющего неравенствам 0 < е < а,
существует конечное множество Яос N такое, что || рн — р || ^ е
И Н. Бурбаки

162 ПРИЛОЖЕНИЕ К ГЛАВЕ ГХ
для всякого конечного множества Н cz N, содержащего Яо.
Пусть /0 == [0, т\ — интервал из N, содержащий Но; для каждо-
каждого конечного множества L cz N, не пересекающегося с /0, лтобое
целое число, принадлежащее L, превосходит все целые числа, при-
принадлежащие Но; следовательно, положив Н — Но [} L, будем
иметь рн = PboPl- Но так как || рНо — р ||< в < о, то рТ1о
обратимо и || в — Р~ь1пР II ^ е |( р$0 (| ^ ае; из неравенства
II PhoPl -J»ll<e следует, что || ph — ри\р || < г || pl}a || < ае
и, наконец, \\е — pL || ^ 2ае.
б) Предположим, что для каждого е > 0 существует конечное
множество /0 с: N такое, что || е\— pL || ^ e для всякого не
пересекающегося с /0 конечного множества L cz N. Пусть //„ =
— [О, jo] — интервал из N, содержащий /0; всякое конечное
множество // из N, содержащее //„, может быть записано в виде
Но U L, где каждое целое число, содержащееся в L, превосходит
все целые числа, принадлежащие //„; поэтому рн = рн„Рь, и так
как L не пересекается с /0, то || рв—Рн0 II ^ е || Рн0 Hi откуда
II 1>н II ^ A + 8) II Рщ ||. Если £>Яо = 0, то последовательность
(ас„), очевидно, перемножаема и имеет произведением 0; если отбро-
отбросить этот тривиальный случай, существует интервал Н\ = [0, д].
содержащий Но и такой, что || е — pi, \\ ^ e || рц„ II для всякого
конечного множества icN непересекающегося с /ft. Как
и выше, отсюда следует, что
II РН - PBi II < (II РЩ II) II JOH! || 8 < 8 A + 8) ,
для каждого конечного множества И из N, содержащего Нг.
Критерий Коши показывает тогда, что J *-*■ Pj имеет предел в А
по фильтрующемуся множеству g (N).
Если все хп обратимы, то то же верно и для всех конечных час-
частичных произведений ру, поэтому для всякого конечного множе-
множества Hcz N, содержащего Яо, будем иметь \\е — Рт/„Рн || ^ г; это
показывает, что в мультипликативной группе G всох обратимых
элементов из А образ фильтра сечений множества ^ (N) при отобра-
отображении J >-*■ Pj является базисом фильтра Коши относительно
левой равномерной структуры группы G; а так как G полна
(гл. IX, § 3, предложение 13), то предел отображения / i-»- jt>/
принадлежит G.

g ПРОИЗВЕДЕНИЯ В НОРМИРОВАННЫХ АЛГЕБРАХ 163
Замечание. Если (хп) перемножаемо и его произведение
не допускает обращения, то теорема 1 может не льгполияться. Напри-
Например, если все хп равны одному и тому же элементу ж такому, что
|| да И < 1, то последовательность (хп) перемножаема и имеет произ-
произведением 0, а для любого непустого конечного множества Н из N
имеем || рн || < || ж ||< 1 < || е \\.
Следствие 1. Если (хп) — перемножаемая последователь-
последовательность, произведение которой обратимо в А, то Нтп. хп =-- е.
П~>00
Следствие 2. Если (хп) — перемножаемая последователь-
последовательность, произведение которой обратимо в Л, то всякая ее подпосле-
подпоследовательность (aenft)ftcN (где (nh) — строго возрастающая последо-
последовательность целых чисел) перемножаема.
Это сразу следует из критерия теоремы 1.
Теорема 2. Пусть А — полная нормированная алгебра;
если (ип) •— абсолютно сходящийся ряд точек из А, то последова-
последовательность (е -(- мл) перемножаема в А; если, кроме того, все эле-
элементы е + ип обратимы в А, то обратимо и JJ (в -\-ип).
Применим критерий теоремы 1; для каждого конечного мно-
множества L а N имеем pL — е — Ц(е +ип)— е = 2 (IIwn) »
где М пробегает множество всех непустых подмножеств множества
L (совершенно упорядоченное в смысле индуцированного порядка).
Поскольку jjj мп-<; JJ || «„ ||, будем иметь
м
По так как ряд с общим членом || ип ||, по предположению, схо-
сходится, то последовательность A -f- II wn II) перемножаема в R*
(гл. IV, § 7, теорема 4); поэтому для каждого е > 0 существует
конечное множество /0 q: N такое, что
^ е для всех не пересекающихся с ним множеств La N, и теоре-
теорема доказана.
И*

164 ПРИЛОЖЕНИЕ К ГЛАВЕ IX
Следствие. Если ряд с общим членом ип абсолютно схо-
сходится и ни один из элементов е -|- ип не является в А делителем
нуля, то и произведение Ц (е -\- ип) не является в А делителем
нуля.
В самом деле, имеется только конечное число значений п,
для которых || ип || 2s 1. Пусть / = [0, т] — интервал в N,
содержащий все эти значения. Произведение последовательности
(е-\-ип) равно произведению р3 на элемент Ц (е -\-ип), все
п>т
сомножители которого обратимы (гл. IX, § 3, следствие предло-
предложения 12) и который, следовательно, сам обратим; будучи про-
произведением конечного числа элементов, пе являющихся делителя-
делителями нуля, Pj тоже не является делителем нуля, а тогда то же верно
для
Достаточное условие перемножаемости, сформулированное
в теореме 2, не является вообще необходимым (см. упражнение 6).
Однако оно необходимо в том важном случае, когда А есть алгебра
конечного ранга над R (в частности, когда А есть тело кватернио-
кватернионов К или алгебра матриц М„. (R)):
Предложение 1. Пусть А — нормированная алгебра ко-
конечного ранга над R. Если (е -|- ип) — перемножаемая последова-
последовательность в А, произведение которой обратимо, то ряд с общим
членом ип абсолютно сходится.
Как известно (гл. VII, § 3, предложение 2), существует число
с > О такое, что
~3**|| A)
для всякого конечного семейства (xt)i^i точек из А.
Пусть (an)n£N — произвольная последовательность элементов
из А. Для каждого коночного множества / из N положим
«/ = ]►>*' °i =" 2IIЯ| II-

:t произведения в нормированных алгебрах 165
Лемма 1. Пусть I — любое конечное множество иа N и
Ф (/) = sup \\pj — e ||. Тогда
\\pj-e~sj\\<<p(l)<y.r B)
для всех J cz I.
Лемма очевидна, если / пусто; докажем ее индукцией по числу
элементов множества /. Пусть / = К {J {/}, где / строго больше
каждого элемента из К; тогда pj — рк (е -\- aj) и ftj — як + &],
откуда
Pj — е — Sj = (Рк — е ~ sK) + (рк — <•) а}
н, в силу предположения индукции и определения ср (/),
\\р} — е — в, I! < ф (/) ак + ф СО II а, || = Ф (/) в„
чем лемма и доказана.
Лемма 2. Если I — конечное множество из N такое, что
Ф(/)<т, то g,< tZ\P\l) •
В самом деле, если Ja /, то а^ ^ <7/, и потому, согласно B),
II «Л1 < ф (I) О/ + II Р/ — е IK A 4- <Jj) Ф (-0; так как в силу A)
а7 ^ с sup || «j- ||, то заключаем, что аг ^ сф (/)A + ff/)> и лвм-
JcJ
ма доказана.
Пусть теперь (е 4- мп) — перемнон<аемая последовательность
в А, произведение которой обратимо; по теореме 1 существует
конечное множество /0 cz N такое, что
^ 1/2с для всякого мнон?ества Н из N, не пересекающегося с /0.
По лемме 2 отсюда вытекает, что У \\ vt ||^ 1 для всякого мно-
жества Н из N, но пересекающегося с /0, а это влечет суммируе-
суммируемость семейства (|| ип ||) в R (гл. IV, § 7, теорема 1).
3. Бесконечные произведения
Сопоставим каждой последовательности (хп) точек нормиро-
нормированной алгебры А последовательность частичных произведений
п
рп — TJ aCft*, бесконечным произведением с общим сомножителем хп

166 ПРИЛОЖЕНИЕ К ГЛАВЕ IX
называют пару последовательностей (хп), (рп)- Бесконечное про-
произведение с общим сомножителем хп называется сходящимся,
если последовательность (рп) сходится в Л; предел этой последо-
последовательности называется тогда произведением последовательности
(хп) и обозначается Р хп.
Предложение 2. Пусть (хп) — последовательность точек
полной нормированной алгебры А.
а) Если бесконечное произведение с общим. сомножителем хп
00
сходится и Р хп обратимо, то для каждого е>0 существует п0
п=0
п
такое, что Ц хь —е ^ е, если п0 ^. т^. п.
б) Обратно, если последовательность (хп) удовлетворяет этому
условию, то бесконечное произведение с общим сомножителем хп
сходится; при этом, если каждое хп обратимо, то обратимо
00
и р хп.
Предоставляем читателю провести доказательство этого предло-
предложения, копирующее во всех пунктах доказательство теоремы 1
(лишь с заменой конечных множеств L из N, фигурирующих в этом
последнем доказательстве, интервалами).
Следствии 1. Если бесконечное произведение с общим сомпо-
жителем хп сходится и Р хп обратимо, то lim xn = е.
п =0 п-юо
Следствие 2. Если бесконечное произведение с общим сомно-
00
жителем хп сходится и Р хп обратимо, то бесконечное произве-
дение с общим сомножителем у п —- xn+k (n ^ 0) сходится.
сю
Произведение последовательности (уп) обозначается Р хп и
n~h
и называется еще h-м остатком бесконечного произведения с
общим сомножителем хп.

УПРАЖНЕНИЯ 167
Предполагая по-прежнему обратимость Р хп, заключаем еще
п=0
на основании предложения 2, что если (zn) — последовательность,
в которой яп — хп для всех, кроме конечного числа, индексов,
то произведение с общим сомножителем %п сходится.
Предложение 3. Пусть (кп) — строго возрастающая по-
последовательность целых чисел^О, причем к0 — 0; если бесконечное
произведение с общим сомножителем хп сходится'то и бесконечное
"п-И

произедение с общим сомножителем ип— JJ хр сходится, при-
чем Р мп = Р хп.
В самом деле, последовательность частичных произведенпй
для (ип) является подпоследовательностью последовательности
частичных произведений для (хп).
Наконец, то же рассуждение, что и для коммутативных групп
(гл. III, 2-е изд., § 4, п° 7; 3-е изд., § 5, п° 7), показывает, что если
последовательность (ас„) перемножаема в нормированной алгебре Л,
[ос
то произведение с общим сомножителем ха сходится, и Рэсп =
71=0
00
~ Пл'п (оно записывается также в виде JJ хп); [разумеется,
n£N n=0
обратное неверно (см. упражнение 7).
Упражнения
1) Пусть Е — отделимое топологическое пространство, в котором
определен мультипликативно записываемый ассоциативный закон.
Обобщить определение 1 на случаи ссмепстна {xx)^j элементов из Е
с совершенно упорядоченным, множеством индексов /. Пусть pj, для
каждого конечного множества Jcl, означает произведенио JJ xj
последователг.пости
Если Е — полная топологическая группа, то для того, чтобы
семейство (*i)l£j точек из Е было перемножаемо, необходимо и доста-
достаточно, чтобы для каждой окрестности V нейтрального племента е

168 ПРИЛОЯСЕНИЕ К ГЛАВЕ IX
группы Е существовало конечное множество Jo с I такое, что
Pj (Pj,)'1 6 V (пли (PjJ'1 PJ £ *0 Для всякого коночного множества
J с I, содерясащего Jo.
*2) Нопустое подмножество J совершенно упорядоченного мно-
множества / наливается обрубком, еслп имеете со всякими двумя своими
элементами а, р такими, что а < Р, оно содержит и весь отрезок [а, fl].
а) Пусть (xi)lCj — перемножаемое семейстло п полной группе G.
Показать, что для всякого обрубка J множества / семейство (.ri)tgj
перемножаемо. [Рассмотрел, сначала частпый случай, когда множе-
множество минорант обрубка J, не принадлежащих J, пусто.]
б) Разбиение (J^^^ совершенно упорядоченного множества /
называется упорядоченным, если L — совершенно упорядоченное
множество и отношения К < jj,, а, £ J\i Р 6 Jti влекут а < р1; под-
подмножества J^ являются тогда обрубками множества /. Показать,
что если (*i)tgj — перемножаемое семейство в полной группе G, то
семейство (pjjj^jr,. где р^ — Д
ги перемножаемо и имеет тожопроиз-
ведение, что и M^j-
в) Обратно, если {J%)\£t, — конечное упорядоченное ралбпение
множества / и (*i)tgx таково, что каждое из семейств (х\.)^ перемно-
перемножаемо, то семейство (*i)tgj перемножаемо.
*3) Пусть G — отделимая топологическая группа, обладающая
окрестностью Fo нейтрального элемента е, на которой х I—*• а-1 рав-
иолтерно непрерывно (как отображение Gd в G^', см. гл. III, 2-е изд.,
§ 3, упражнения 7 и 14; 3-е изд., § 3, упражнения 7 и 8). Пусть
{xi)vci — перемножаемое семейство точек из G. Показать, что для
всякой окрестности U элемента е существует конечное множество
/ос/ такое, что для каждого конечного множества К cz /, содер-
содержащегося в обрубко множества /, не пересекающемся с JB, рц, (Е U.
[Показать сначала существование конечного множества Но с I
и конечного числа точек ах, а2, . . ., ач из G таких, что для каждого
конечного множества L сг /, содержащегося л обрубко, но пореа-кшо-
щемся с #0, pl 6 аь^цй^1 по крайней мере для одного индекса к,
где V9 — некоторая окрестность элемента е такая, что V'aY'o cz Vo.
Ограничиться патем рассмотрением конечных подмножеств, содержа-
содержащихся в одном из открытых интервалов, концами которых служат два
последовательных индекса из Но', использовать рассуждение упраж-
упражнения 2я) и равномерную непрерывность х~1 на каждой из окрестно-
окрестностей ahVoa-^.]
Вывести отсюда, что при тех же условиях lim t\, = e по фильтру
дополнений конечных подмножеств множества / (если / бесконечно).

УПРАЖНЕНИЯ 169
4) Пусть G — локально компактная группа. Показать, что мно-
множество конечных частичных произведений pj перемножаемого семей-
семейства (xt) точек из G относительно компактно.
5) а) Пусть G — полная группа, всякая окрестность нейтрального
элемента е которой содержит открытую подгруппу. /1^ля того чтобы
последовательность (хп) точек из G была перемножаема, необходимо
и достаточно, чтобы Ига хп = е.
6) Пусть G — полная группа, всякая окрестность нейтрального
элемента е которой содержит открытьп"| нормальный делитель груп-
группы G. Для того чтобы семойстпо (л)|,е/ точок па 6' омло перемножаемо,
необходимо и достаточно, чтобы Пти з\ -- е iro фильтру дополнений
конечных подмножеств множества 7. [Использовать упражнение 3.]
. 6) Пусть А — алгебра (над R) пс.ох ограпичеппых чнелопих функ-
функций, определенных на Интерполе /' = 11, -г°° I cr R, наделенных
нормой ||/ || = sup | / (х) |, и и„ для каждого целого п > 0 означает
функцию, равную 1/л, когда п< i<B-f 1,иО но всех других точ-
точках из Е. Показать, что семейство A ~\- ип) перемножаемо в А, но ряд
с общим членом мп не является абсолютно сходящимся в А.
7) Пусть (хп) — последовательность ючек нормированной алгеб-
алгебры А такая, что для пенкой перестановки а множества N бесконечное
оо
произведение с общим сомножителем ха(п> сходится и р 07О(П)обра-
п=0
тимо. Показать, что каждая последовательность (Ха(.п)) перемножаема.
[То же рассуждение, что и в предложении 9 § 4 ivi. Ill 2-го изд.
C-е изд., предложение 9 § 5).]
*8) Пусть А — полная нормированная алгебра; показать, что
если (хп) — последовательность точек из А такая, что для всякой пере-
перестановки а множества N последовательность («Го(п)) перемножаема
и имеет обратимое произведение, то каждое хп обратимо. [/Докапать
сначала следующую алгебраическую лемму: если в кольце с единицей
элементы х, у таковы, что а-;/ обратимо, а ух но есть целитель нуля,
то каждый из элементов х, у обратим; см. Алгебра, гл. I, § 8, упраж-
упражнение 4.]

ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
К ГЛАВЕ IX
(Римские цифры относятся к библиография, помещенной
в конце настоящего очерка.)
Как мы уже говорили (Исторический очерк к главе II), понятие метри-
метрического пространства было лиедеяо в 1906 г. М. Фреше и развито нескольки-
несколькими годами позже Ф. Хаусдорфом в его «Теории множеств». Оно приобретает
особую важность после 1920 г., с одной стороны, благодаря фундаменталь-
фундаментальным работам С. Банаха и его школы по нормированным пространствам
и их приложениям к функциональному анализу (см. книгу V), а с другой —
в силу того интереса, который представляет понятие абсолютного значения
для арифметики и алгебраической геометрии (где оказалось весьма плодо-
плодотворным пополнение относительно абсолютного значения).
С периода 1920—1930 годов начинается целый ряд предпринятых москов-
московской школой исследований, посвященных свойствам топологии метрического
пространства, направленных, в частности, на получение необходимых и до-
достаточных условий для того чтобы заданная топология была метризуемой
Именно это развитие идей привлекло интерес к понятию нормального прост-
пространства, которое было сформулиропатго Тптцо в 1923 г., но важная роль
■которого выявилась только благодаря ряду работ Урысона (VI) о продол-
продолжении непрерывных числовых функций. Не считая тривиального случая
-функции одной вещественной переменной, проблема продолжения на все
пространство непрерывной числовой функции, определенной па замкнутом
множестве, была впервые рассмотрена (для случая плоскости) Л. Лебе-
Лебегом (III); до получения Урьтсоном окончательного результата она была реше-
решена для метрических пространств Титце (IV).
Распространение этой проблемы на случай функций со значениями
в произвольном топологическом пространстве приобрело в последние годы
большое значение в алгебраической топологии. Иеданние работы пыявпли
при этом, что понятие нормального пространства недогтаточво приспособ-
приспособлено к этому кругу вопросов, ибо оставляет еще много возможностей для
«патологии»; чаще всего его приходится заменять более узким понятием
паракомпактного пространства, введенным в 1944 г. Дьедонпе (IX); наиболее

ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВЕ IX 171
замечательным результатом этой теории является теорема А. Стоуна (X),
по которой всякое метризуемоо пространство паракомнактно *).
Мы ужо отмечали (Исторический очерк к главе IV) важные работы кон-
конца XJX и начала XX веков (У. Борель, Бар, Лебег, Осгуд, Юнг) по классифи-
классификации точечиых множеств в простравстпах Ttn и по классификации и харак-
тернзащш числовых функции, получаемых исходя из непрерывных функ-
функции итерацией предельного перехода (для последовательностей функций).
Кскоре было подмечено, что метрические пространства представляют
естественную область для исследований подобного рода, развертываемых
после 1910 г. главным образом русском и польской школами. Именно эти
школы выяснили, наряду с другими вопросам», фундаментальную роль,
которую играют л современном анализе понятие тощего множества и теорема
<> пересечении счетного семейства нсюду плотных открытых мпожести в пол-
полном метрическом пространство (§ 5, теорема 1), ранее доказанная (независимо)
Осгудом (I) дли числовой прямой и Баром (II) для пространств Rn.
С другой стороны, и 1917 г. Суслпн (V), исправляя одну ошибку Лебега,
показал, что непрерывный образ борелевского множества не обяаатольно
«иляется борелевским, что привело его к определению и изучению более
широкого класса множеств, назынаемых с тех нор «аналитическими» или
«суслинскими»; после ранней смерти Суслина это изучение! было продолжено
глгтньгм образом Н. Лузиным (идеи которого вдохновляли Суслина) н поль-
польскими математиками (см. (VII) и (VIII)). Актуальное значение этих множеств
заключается главным образом в их применениях к теории интегрирования
(где благодаря своим специальным свойствам опн допускают построения,
которые были бы невозможны для произвольных измеримых множеств)
н к современной теории потенциала, где фундаментальная теорема о емкост-
иости суслинских множеств, совсем недавно доказанная Г. Шоке (XI), уже
обнаружила свою плодотиорность в различных приложениях.
*) Эта теорема позволила дать более удовлетворительное решение проб-
проблемы метризуемости, чем критерии, полученные русско-польской школой
(см. «Критерий Нагата — Смирнова» в упражнении 22 § 4). Но следует отме-
отметить, что эти критерии до отх нор не получили применений; как это часто
случалось в истории математики, решение проблемы метризации, по-види-
по-видимому, пмоло меньше значения, чем то новые понятия, к развитию которых
она привела.

БИБЛИОГРАФИЯ
(I) W. О s g о о d, Non uniform convergence and the integration of series
term by term, Amer. Journ. of Math. XIX A897), стр. 155—100.
(II) R. В a i r o, Sur Irs fonctions di> variables replies, Ann. di Mat. C),
III A8П9), стр. 1.
(III) H. L о b с я g u e, Sur le problem о dft Dirichlet, Bond. С ire. mat. di
Palermo, XXIV A907), стр. :i71—402.
(IV) H. T i e t z o, Uber Fimktiotion die auf einer abgcschlossfinen Menge
stetig sind, J. de Crelle, CXLV A015), стр. 9—14.
(V) M. S о u s 1 i n, Sur une definition des ensembles mesurable? В sans
nombres traiisfinis, С. П. Acad. Sci., CLXIV A917), стр. 88—01.
(VI) P. U г у s о h n, Ueber dip Machtigkeit dor zusammeiihangenden Mentjen,
Math. Ann. XCIV A925), стр. 262 [П. С. У р ыоон, Труды по топологии
и другим областям математики, I, стр. 208.]
(VII) N. L u sin, Lecons ?ur los ensembles analytiquew et leurs ;ipplications,
Paris (Gauthier-Villnrs), 1930. [H. H. Лузин, Лекпип об аналитиче-
аналитических множествах и их приложениях, Москва, Гостехиздат, 1953.]
(VIII) К. Kuratowski, Topologie I, 2е ed., Warszawa-Vroctaw, 1948.
[Русский перевод: К. К у р а тов скпй, Топология, т. I, перевод
с 5-го нзд., Москва, Мир, 1966.1
(IX) 3. Dieudonne, Une generalisation des espaces compacts, lourn.
de Math. (9), XXIII A044), стр. G5-76.
(X) A. H. Stone, Paracnmpuctness and product spaces, Bull. Amer.
Math. Soc, LIV A948), стр. 977—982. [Русский перевод: Стоун А.,
Паракомпактность л произведения пространств, Математика, 5 : 5
A9G6), стр. 3-11.1
(XI) G. Choquet, Theory of capacities, Ann. Inst. Fourier V A953—
1954), стр. 131-295.

ГЛАВАХ
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Это изданио отличается от предыдущего главным образом своим
новым планом, позволившим сгруппировать более четко основные
результаты главы, устрапяя второстепенные предложения; един-
единственное существенное добавление касается свойств счетности
пространств непрерывных функций (§ 3, п° 3).
Нанкаго, осень 1060 Я. В.
§ 1. Равномерная структура ©-сходимости
ОбознАЧЕния. Пусть даны множества X, У; напомним,
что jF (X; У) означает множество всех отображений X в У, отож-
отождествляемое с. произведением Yx (Teop. множ., гл. II, § 5, п° 2).
Для каждого множества На jF (X; Y) и каждого х £ X мы будем
обозначать через // (х) множество всох и (х) £ У, где и пробе-
пробегает Я. Если Ф — базис фильтра в JF (X; У), мы будем обозна-
обозначать через Ф (х) базис фильтра в Y, образованный множествами
II (х), где // пробегает Ф. Наконец, напомним, что для каждого
и 6 2F (X; Y) и каждого множества А а X через и\А обозна-
обозначается отображение А в У, являющееся сужением и на А; II\ А,
где Н—подмножество множества д? (X; У), озпачает множество
всех сужений и\А (и£Н).
1. Структура равномерной сходимости
Пусть X — множество, У — равномерное пространство. Для
каждого окружения V из равномерной структуры пространства У
обозначим через W{V) множество тех пар (и, v) отображений X
в У, для которых (и (х), v (х)) £ V при всех х 6 X. Множества

174 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. X, § 1
W (V), где V пробегает множество всех окружений для Y, обра-
образуют фундаментальную систему окружений некоторой равно-
равномерной структуры в JF (X; У). В самом деле, они очевидным обра-
образом удовлетворяют аксиоме (UJ) (гл. II, § 1, п° 1). Далее, если V,
V — окружения для Y такие, что Fez V, то IV(V) cz W (V), так
что множества W(V) удовлетворяют аксиоме (В4) (гл. I, 2-е изд.,
§ 5, п° 4; 3-е изд., § 6, п° 3); а так как W~(V) = 1F(V), то выпол-
выполнена аксиома (U'n). Наконец, отношения «(и (х), и (х)) £ V, каково
бы ни было х £ X» и «(и (х), w (х)) 6 V, каково бы ни было х £ Хь
2
влекут отношение «(ц (х), w(x)) £ V, каково бы ни было х £ X»;
иными словами, W (V) cz W (V), что доказывает (Uju).
Определение 1. Равномерная структура в fp (X; Y), имею-
имеющая в качестве фундаментальной системы окружений множество
всех W (V), где V — окружения для Y, называется структурой
равномерной сходимости; топология, порожденная этой равно-
равномерной структурой, называется топологией равномерной сходи-
сходимости. Если фильтр Ф в jF (X; У) сходится к элементу и0 в эт.ой
топологии, то говорят, что Ф равномерно сходится к и0.
Отмстим, что топология равномерной сходимости в &'(X; У)
зависит от равномерной структуры пространства У, а не только от его
топологии (упражнение 4).
Равномерное пространство, получаемое наделением £Р (X; Y)
структурой равномерной сходимости, обозначается Jfu (X; Y).
2. ^-сходимость
Определение 2. Пусть X — множество, Y — равномерное
пространство и Q — некоторое множество подмножеств из X.
Равномерной структурой равномерной сходимости на множе-
множествах из <3, или просто равномерной структурой <£-сходимости,
называют слабейшую из равномерных структур в множестве
jF (X; Y), при которых его отображения-сужения и >-*■ и \ А
в равномерные пространства Jfu(A; Y) равномерно непрерывна
для всех А £ @. Равномерное пространство, полученное наделением

Ч РАВНОМЕРНАЯ СТРУКТУРА ^-СХОДИМОСТИ 175
,Т (X; У) равномерной структурой <В-сходимости, обозначается
.Ге (X; Y).
Топология, порожденная равномерной структурой B-сходимо-
сти, называется топологией ^-сходимости; это слабейшая из топо-
топологий в множестве $р (X; У), при которых непрерывны ого отобра-
отображения и (-»- и\А в пространства ,fu (A; У) для всех А £ <3 (гл. II,
2-о изд., § 1, предложение 1; 3-е изд., § 2, следствие предложе-
предложения 4).
Для того чтобга фильтр Ф в JT (X; Y) сходился к ип я тополо-
топологии ©-сходимости, необходимо и достаточно, чтобы и|Л для: каж-
каждого А £ © равномерно сходилось к ио\А по фильтру Ф (гл. I,
2-е изд., § 8, теорема 1; 3-е изд., § 7, предложение 10); говорят
также, что Ф равномерно сходится к и0 на множествах из S.
Точно так же, для того чтобы базис фильтра Ф в .5Г@(Х; У)
был базисом фильтра Коши, необходимо и достаточно, чтобы образ
0) при отображении и *-*■ и | А был базисом фильтра Коши
« Jfu(A; У) для каждого А £ <2> (гл. II, 3-е изд., § 3, предложе-
предложение 4).
Пусть / — отображение топологического (соотв. равномерного)
пространства Z в jF^ (X; У). Для того чтобы / было непрерывно
(соотв. равномерно непрерывно), необходимо и достаточно, чтобы
отображение z у-* / (z) | А пространства Z в jF"u (A; У) было непре-
непрерывно (соотв. равномерно непрерывно) для каждого А £(а (гл. I,
§ 2, предложение 4 и гл. II, .3-е изд., § 2, предложение 4).
Пусть, наконец, М— множество в jFg (X; У); для того чтобы
М было прёдкомпактно, необходимо и достаточно, чтобы для каж-
каждого А 6 <2> множество сужений и | А (и £ М) было прёдкомпактно
в ^и (A; Y) (гл. II, 3-е изд., § 4, предложение 3).
Замечания. 1) Общее определение окружений инициаль-
инициальной равномерной структуры (гл. II, 3-е изд., § 2, предложение
4) показывает, что фундаментальную систему окружений для
..F® (X; У) можно получить следующим образом: пусть W(А, V)
для каждого Л £ <3 п каждого V из фундаментальной системы 93
окружений для У есть множество тех пар (и, v) отображений X в
У, для которых (и (ж), v (х)) £ V при всех х £ А; тогди пересечения

176 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. X, § 1
всевозможных конечных семейств множеств W(А, V) образуют
фундаментальную систему окружений для Jf^, (X; У).
Из этого описания сразу видпо, что если ©, ©' —множества
подмножеств из X и ©cr ©', то равномерная структура ©'-схо-
©'-сходимости мажорирует равномерную структуру ©-сходимости.
2) Однако равномерная структура ©-сходимости пе изменяется
при замене © множеством ©' всох подмножеств из X, содержащихся
каждое в объединении конечного числа множеств из ©. Таким образом,
при изучении в-сходимости монсно всегда ограничиваться случаем,
когда множество S удовлетворяет следующим днум условиям:
(Fj) Всякое подмножество множества из © принадлежит ©.
(Fjj) Объединение всякого конечного семейства множеств из ©
принадлежат ©.
Если (Fjj) выполнено, то фундяментальную систему окружений
для ЗР(~{Х; У) образуют множества W (А, V), где А пробегает ©,
а V — какую-либо фундаментальную систему окружений для У.
3) Равномерная структура ©-сходимости есть прообраз равно-
равномерной структуры произведения JJ J>FU (A; Y) относительно
отображения и >-* (и \А)а$® множества <f (X; Y) в JJ <FU (A; Y)
(гл. II, 3-е изд., § 2, предложение 8). Если © покрывает X, то
это отображение инъективно, и, следовательно, jF@(X; Y) изоморф-
изоморфно равномерному подпространству произведения JX.l/ru(-^; Y) —
образу яр (X; Y) при этом отображении.
Предложение \. Если Y отделимо и © покрывает X, то
пространство jF@ (X; Y) отделимо.
В самом деле, пусть элементы и, v множества & (X; Y) тако-
таковы, что (и, г;) £ W (А, V) для каждого окружения V из Y и каж-
каждого А £ ©; поскольку У отделимо, отсюда вытекает прежде всего,
что и и v совпадают на каждом множестве А £ ©, а так как ©
покрывает X, то и — v.
Замечания. 4) Пусть II—подмножество множества № (X; У);
допуская вольность речи, равномерной структурой (соотв. топологией)
©-сходимости на // называют равномерную структуру (соотв. тополо-

3 РАВНОМЕРНАЯ СТРУКТУРА ©-СХОДИМОСТИ 177
гню), индуцированную в 77 равномерной структурой (соотв. тополо-
топологией) ©-сходимости из 2F (X; У).
5) Пусть % *—*■ иу, ость отображение п .^(Х; У) множества L,
фильтрующегося по фильтру ©, причем это отображение имегт предел
по П; тогда гопорят, что по фильтру & отображения м?- множества X
в У равномерно сходятся к v (пли что семейство (и^ равномерно сходит-
сходится к v) на каждом множестве из €>; «ели L = N и © — фильтр Фреше,
то упоминании об этом фильтре опуекпют.
В частности, предположим, что в У задай коммутативный п ассо-
ассоциативный аакон композиции в аддитивной записи. Пусть (ы„) —
произвольная последовательность отображоггий X и У и чп — отобранк1-
п
ния х \-+- 2j Uft (х) (п £ N); говорят, что ряд с общим членом ип равио-
ft=0
мерно сходится на каждом множестве иа ©, осля лослрдоиптмьиость
(vn) равномерно сходится на каждом множестве из ©. Аналогично
определяют равномерно суммируемое семейство («x)\cl отображений X
в У, рассматривая отображения х (—*■ У) и^ (х) для всевозможных
конечных множеств J С L и их предел в 8Fq (X; У) но фильтрующему-
фильтрующемуся упорядоченному множеству конечных лодмножестн множества L
(гл. П1, 2-е изд., § 4, п° 1; 3-е изд., § 5, п° 1).
6) Из определений 1 и 2 непосредственно следует, что для
всякого х 6 LJ^ отображение и*-*-и (х) пространства .«^(Х; Y)
в Y равномерно непрерывно. Отсюда, в частности, вытекает, что
если обозначить через И замыкание множества //с jFg(X\ Y)
(X; Y), то II (х) с: II (х) для всякого х £ yj А (гл. I, 2-е
изд., § 4, теорема 1; 3-е изд., § 2, теорема 1).
3. примеры <3-сходимости
I. Равномерная сходимость на подмножестве множества X.
Пусть А а X, <3 — {А}. Равномерная структура (соотв. тополо-
топология) (^-сходимости называется тогда также равномерной структу-
структурой (соотв. топологией) равномерной сходимости на А; если фильтр
Ф в JTq (X; Y) сходится к и0, то говорят, что он сходится к и0
равномерно на А. При А — X мы вновь приходим к структуре
равномерной сходимости, определенной в п° 1.
12 Н. Бурбаки

178 ФУНКЦИОНАЛЬНЫМ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. X, § 1
II. Простая сходимость на подмножестве множества X.
Пусть Л с: X; примем за © множество всех одноточечных подмно-
подмножеств множества Л (или, что в силу замечания 2 из п° 2 равно-
равносильно это if у,— множество всех коночных подмножеств мпожоства
А). Тогда равномерная структура (соотв. топология) g-сходнмости
называется равномерной структурой (соотв. топологией) простой
сходимости на А; если фильтр Ф в ,'fg (X; У) сходится к и0, то
говорят, что он просто сходится к и0 на А; то же самое можно
выразить, сказав, что ио(х) для каждого х £ А есть предел и (х)
но фильтру ф.
В частности, при А — X равномерная структура (соотв. топо-
топология) простой сходимости на X называется также равномерной
структурой (соотв. топологией) простой сходимости, а равно-
равномерное пространство, получаемое наделением ,<f {X; У) этой
структурой, обозначается ,Г« (X; У). Заметим, что топология про-
простой сходимости есть не что иное, как топология произведения в Yx;
она зависит, таким образом, только от топологии пространства,
а не от его равномерной структуры, в противоположность тому,
что имеет место в общем случае.
III. Компактная сходимость. Предположим, что X — тополо-
топологическое пространство, и примем за © множество всех его ком-
компактных подмножеств. Равномерная структура (соотв. топология)
©-сходимости называется тогда равномерной структурой (соотв.
топологией) компактной сходимости; равномерное пространство,
получаемое наделением jf (X; У) этой структурой, обозна-
обозначается jFc(X; У). Структура компактной сходимости мажорируется
структурой равномерной сходимости, совпадая с ней, если X
комнактпо; она мажорирует структуру простой сходимости, сов-
совпадая с ней, если X дискретно.
Если X — равномерное пространство, то аналогично, взяв
в качестве (£ множество всех его предкомпактных подмножеств,
определим в <р (X; У) равномерную структуру предкомпактной
сходимости. Точно так же, если X — метрическое пространство,
можем принять за @ множество всех его ограниченных подмно-
подмножеств; структуру (£-сходимости называют тогда равномерной
структурой ограниченной сходимости.

4 РАНИОМКРИАЯ СТРУКТУРА (g-C ХОДИМ ОСТИ 170
/. Свойства пространств JFq(X; У)
Предложение 2. Пусть Хх, Х2 — множества, Y — равно-
равномерное пространство, @,- — некоторое множество подмножеств
множества Х-, (i ■--■- 1, 2) и <Si X <®2 — множество подмножеств
вида Аг X А* произведения Xi X Х2, где At £ ©г, i — 1, 2. Тогда
каноническая биекция ,*р (Хх X Х2; У) -> jF (Xi; .F (Х2; У))
(Теор. множ., Сводка результ., § 4, п° 14) является изоморфиз-
изоморфизмом равномерного пространства ,у"g х@. (-^i X Х2; У) на равно-
равномерное пространство .(Fq1 {Хй .^s., (Хг\ У))-
В самом деле, пусть V — окружение для У и Л г 6 ©г (' = 1,2);
из он редел опий непосредственно следует, что канонически я
биекция отождествляет ГГ (Ai X Лг, F) с llr(Ai, It' (A.,, V)),
II предложение доказано.
Предложение 3. а) Пусть X—множество, © —-некото-
—-некоторое множество его подмножеств, У и У — равномерные простран-
пространства и /— равномерно непрерыв}юе отображение У в У. Тогда
отображение и >-*■ f ° и пространства ,f^ (X; У) в .«Fg (X; У)
равномерно непрерывно.
б) Пусть X и X' — множества, © (соотв. ©') — некоторое
множество подмножеств множества X (соотв. X')-, У — равно-
равномерное пространство и отображение g: X' —*■ X таково, что
К (А1) для каждого А' £ @' содержится в объединении конечного
числа множеств из ©• Тогда отображение и*-*-и° g пространства
;F<s,(X; У) в ,"/~~q'(X'; У) равномерно непрерывно.
Предложение 4. Пусть X и У — множества, (ХАе/ —
семейство множеств и (У-^)„ем — семейство равномерных про-
пространств. Для каждого X£L пусть @^ — некоторое множество
подмножеств множества Х^ и g%~— отображение Х^ в X; пусть
<В — множество подмножеств множества X, образованное путем
объединения всех #х (@х)- Наконец, пусть /^ для каждого ц £ М —
отображение Y в Y^, и Y наделено слабейшей из равномерных
структур, при которых все f{i равномерно непрерывны. Тогда рав-
равномерная структура ^-сходимости в jF (X; У) является слабейшей
из тех, при которых все его отображения и н-* /^ о и о g^
с .'^®, (-^гй Уц) равномерно непрерывны.
12*

180 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. X, § 1
Эти предложения пепосредствонно вытекают из описания фун-
фундаментальной системы окружений равномерной структуры ©-схо-
©-сходимости, данного в замечании 1 п° 2; детали доказательств мы
оставляем читателю. Предложение 4 влечет, в частпости,
Следствие. Пусть X — множество, (Yi)^i — семейство
равномерных пространств и <В — некоторое множество подмно-
подмножеств множества X. Если наделить ДУ\ равномерной структу-
рой произведения, то каноническая биекция равномерного простран-
пространства £?($ (X; JJУ,,) на равномерное пространство у[ jjFq (X; Уь)
i6i ' i6/
(Теор. множ., Сводка результ., § 4, п° 13) есть изоморфизм.
5. Полные множества в jF© (X.; Y)
Предложение 5. Пусть X — множество, Y — равномерное
пространство, <& — некоторое множество подмножеств множе-
множества X. Для того чтобы фильтр Ф в .^rg(X; У) сходился к и0,
необходимо и достаточно, чтобы Ф был фильтром Коши для
равномерной структуры ^-сходимости, просто сходящимся к и0
па В = U А.
Поскольку структура простой сходимости на В мажорируется
структурой ©-сходимости, все сводится к доказательству того,
что для каждого А £ © и каждого замкнутого окружения V рав-
равномерной структуры пространства Y множество W{A, V) замкну-
замкнуто в топологии простой сходимости на В (гл. II, 2-е изд., § 3,
упражнения 1а) и 16); 3-е изд., § 3, предложение 7). Но W{A, V)
есть пересечение прообразов V относительно отображений (и, v)^-*■
>-*-(и{х), v (х)), где х пробегает А, а эти последние непрерывны
в топологии простой сходимости (п° 2, замечание 6).
Следствие 1. Для того чтобы подпространство Я про-
пространства jF<g (X; Y) было полно, необходимо и достаточно, что-
чтобы для каждого фильтра Коши Ф в Н существовало и0 £ //, к кото-
которому Ф просто сходится на В = ^J A.

С . РАВНОМЕРНАЯ СТРУКТУРА g-СХОДИМОСТИ 181
Это непосредственно следует из предложения 5.
Следствие 2. Пусть (st и @8 — множества подмножеств
множества X такие, что их' объединения совпадают и <2>i с: <32;
и пусть Нс: JF (X; У). Тогда полнота II по ^-сходимости влечет
его полноту по <&^-сходимости.
В самом деле, всякий фильтр Копш по @2-сходимости является
фильтром Коти и по (Si-сходимости, и можно применить след-
следствие i.
Следствие 3. Пусть Н — подмножество множества Jf (X; У)
такое, что для всякого х £ В — [J А замыкание мно-
жества Н (х) в У есть полное подпространство. Тогда замыкание
И множества II в jF@ (X; Y) есть полное подпространство.
Пусть Ф — фильтр Коши в //; определим отображение v мно-
множества X в У следующим образом. Если х £ В, то Ф (х) есть фильтр
Коши в II (х) (п° 2, замечание 6) и, следовательно, в силу пред-
предположения имеет по крайней мере одну предельную точку, за
i; (х) принимаем одну из них; если же х (* В, то принимаем за v (x)
произвольную точку из Y. При таком определении ясно, что
Ф просто сходится к v на В, так что v является пределом Ф в
; Y) по предложению 5.
В частности, если Y полно, то предположение следствия 3
предложения 5 выполняется для каждого II cz JF (X; У), откуда
Ткоремл 1. Пусть X — множество, @ — некоторое мно-
множество его подмножеств uY — полное равномерное пространство;
тогда равномерное пространство \Fq (X; У) полно.
О, ^'сходимость в пространствах
непрерывных отображений
Пусть X и У — топологические пространства; обозначим через
% (X; У) множество всех непрерывных отображений X в У. Если
<В — какое-либо множество подмножеств пространства X и У —
равномерное пространство, то через г<% (X; У) будем обозначать
множество V> (X; У), наделенное равномерной структурой @-схо-

182 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. X, § 1
димости. В частности, ^s (X; У), <€>с (X; У), ^и (X; У) означают
множество %{Х; У), паделеппое соответственно равномерной струк-
структурой простой сходимости, компактной сходимости и равномерной
сходимости.
Предложение 6. Пусть X — топологическое пространство,
Y — равномерное пространство, (g — некоторое множество под-
подмножеств из X. Для'^каждого А £ (g и каждого замкнутого окру-
окружения V для Y следы на % (X; У) X % (X; Y) множеств И' (А, V)
и W (Л, V) совпадают.
В^самом деле, пусть и и у — непрерывные отображения X в У;
тогда х *-*■ (и (х), v (х)) есть непрерывное отображение X в У х У,
и потому предположение, что (и (х), v (х)) 6 V для всех х £ А
влечет, что (и (х), v (х)) £ V для всех х 6 А (гл. I, 2-е изд., § 4,
теорема 2; 3-е изд., § 2, теорема \).
Обозначая через @f множество замьтканий в X множеств из (g.
заключаем из предложения 6, что в % {X; У) структуры ©-схо-
©-сходимости и (g-сходимостн совпадают.
Следствие. Пусть В—плотное подмножество в X;
в % (X; У) структура равномерной сходимости совпадает со струк-
структурой равномерной сходимости на Б.
Предложение 7. Пусть X — топологическое пространство,
(g — некоторое множество его подмножеств и У — равномерное
пространство. Если Y отделимо и объединение В всех множеств
из <g плотно в X, то Vq (X; У) отделимо.
В самом деле, если и и и принадлежат всом W (А, V) (А £ (g,
V — окружение для У), то предположение отделимости У влечет,
что и (х) - v (х) для всех х 6 В\ если и и у непрерывны, то по прин-
принципу продолжения тождеств (гл. I, 2-е изд., § 8, следствие 1 пред-
предложения 6; З-о изд., § 8, следствие 1 предложения 2) заключаем
отсюда, что и = и.
В частности, в 'G (X; У) топология простой сходимости на мно-
множестве, плотном в X, отделима.
Иредложвник 8. Пусть X — множество, ^ — фильтр в X
и Y — равномерное пространство. Множество II всех отображе-

С, РАИНОМКРНЛЯ СТРУКТУРА ©-СХОДИМОСТИ 1815
кий и: X -*■ У, для которых и (%) есть базис фильтра Коши
в У, замкнуто в ,fu (X; У).
13 самом дело, пусть отображение и0 множества X ъ Y есть
точка прикосновения для // в jFu (X; Y). Для всякого симметрич-
симметричного окружения V равномерной структуры пространства У суще-
стиует такое отображение и £ //, что (и0 (х), и (х)) £ V, каково бы
ни было х£Х; с другой стороны, по предположению, существует
множество М £ % такое, что {и (х), и (х1)) £ V для каждой пары
.элементов х, х' из М. Поскольку (и0 (х), и (х)) £ V и (и0 (х'),
з
и (х')) £ V, заключаем, что (и0 (х), u0 (x1)) £ V для каждой пары
элементов х, х из М, и нредложоние доказано.
Слкдстпик 1. Пусть X — топологическое пространство
и Y — равномерное пространство. Множество всех отображений
X в У, непрерывных в некоторой точке х0 6 X, замкнуто в
:ги(Х; У).
В самом деле, если 33 — фильтр окрестностей точки х0 в X, то
и (х0) ость предельная точка для и B5); следовательно, для того
чтобы и было непрерывно в х0, необходимо и достаточно, чтобы
и B5) являлось базисом фильтра Коши в У (гл. II, 2-е изд.,
§ 3, предложение 4; 3-е изд., § 3, следствие 2 предложения 5).
Слкдстпие 2. Пусть X и L — множества, фильтрую-
фильтрующиеся соответственно по фильтрам ^ и @3, а У — полное равно-
равномерное пространство. Пусть далее и^ для каждого К 6 !■> есть
отображение X в У. Предположим, что: 1° семейство (ик)^ь схо-
сходится по фильтру @ равномерно на X к отображению v множества
X в У; 2° ц?„ для каждого л- £ L сходится по фильтру % к пределу
j/j,. ///ж этих условиях и имеет предел по фильтру ^ и всякий такой
предел является пределом семейства (yi)^L no @.
В самом деле, г; есть точка прикосновения множества отображе-
отображений и% v. .if-'и (X; У), а значит, но предложению 8 и (^) есть базис
фильтра Кошп в У, чем в силу полноты У доказано, что и обладает
некоторым продолом у но $у. Пусть X' -= X [} {со} — топологи-
топологическое пространство, ассоциированное с фильтром $у (гл. I,
2-е изд., § 5, Т1° 8; .'3-е изд., § G, п° Г)); продолжим их (соотв. с)
до отображения мх (соотв. г;) пространств X' в У, полагая

184 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. X, § 1
uh (о)) = у% (соотв. а (со) = у). Тогда все и% и v будут непрерыв-
непрерывны bI'muj будет сходиться равномерно на X к v по @; посколь-
поскольку X плотно в X', следствие предложения G показывает, что ик
будет сходиться равномерно на X' к v и, в частности, что у =
Теорема 2. Пусть X — топологическое пространство и
У — равномерное пространство. Тогда множество # (X; У) всех
непрерывных отображений X в Y замкнуто в $р (X; У)» наделен-
наделенном топологией равномерной сходимости.
В самом деле, для каждого х £ X множество всех отображений
X в У, непрерывных в точке х, замкнуто в jFu (X; Y) (следствие 1
предложения 8); поэтому и пересечение % (X; Y) этих множеств
замкнуто.
Этот результат выражают още, говоря, что всякий равномерный
предел непрерывных функций непрерывен.
Следствие 1. Если Y— полное равномерное пространство, то
Ч$и(Х; Y) полно.
Действительно, по теореме 2 "<?„ {X; Y) есть замкнутое равно-
равномерное подпространство равномерного пространства jFu (X; Y),
полного в силу теоремы 1.
Следствие 2. Пусть X — топологическое пространство,
<& — некоторое множество его подмножеств и Y — равномерное
пространство; обозначим через %^(Х; Y) множество всех отобра-
отображений X в Y, сужение которых на каждое множество из <& непре-
непрерывно. Тогда frg (X; Y). замкнуто в равномерном пространстве
Ж& (X; Y) и является полным равномерным подпространством,
если Y полно.
Действительно, предположим, что и есть точка прикосновения
для f© (X; У) в ,Fs № У)' Т0ГДа (п° 2) и\А при всяком А 6 <3
есть точка прикосновения для % (А; У) в ,fu (А; У) и потому
в силу теоремы 2 непрерывно.
Следствие 3. Пусть X — метризуемое или локально ком-
компактное топологическое пространство и У — равномерное про-

в РАВНОМЕРНАЯ СТРУКТУРА С-СХОДИМОСТИ 185
странство. Тогда гб (X; Y) замкнуто в равномерном простран-
пространстве у?с (X; У); если, кроме того, Y полно, то равномерное про-
пространство 'ёс (X; Y) полно.
В силу следствия 2 достаточно показать, что если Q — мно-
множество всех компактных подмножеств из X, то #3 № Y) —
--^{Х; Y) в обоих рассматриваемых случаях. Если X локально
компактно, то это очевидно; если же X метринуемо, то предполо-
предположение непрерывности сужения отображения м: X-*• Y па вся-
всякое компактное множество в X влечет, в частности, что для каж-
каждого х £ X и каждой последовательности (zn) точек из X, сходя-
сходящейся к х, и (х) -■ lim и (zn); следовательно, и непрерывно в х
Пч-оо
(гл. IX, § 2, предложение 10).
Отметим, что последнее рассуждение применимо в том более
общем случае, когда всякая точка в X обладает счетной фунда-
фундаментальной системой окрестностей.
Замечания. 1) Вообще говоря, множество "& (X; Y)
не замкнуто в <>р (X; Y), наделенном топологией простой сходи-
сходимости; другими словами, простой предел непрерывных функций
но обязательно непрерывен (упражнение 5а)).
2) Фильтр в % (X; Y) может просто сходиться к непрерывной
функции, не сходясь к ней равномерно.
Например, пусть ип — числовая функции на интервале I =
= [0, 1), равная 0, еепп х — 0 или — ^ х < 1, равная 1 при х — \1п
и линейная'на каждом из интервалов [0, Мп\ и [\'п, 2/п]; тогда после-
последовательность {ип) просто сходится к 0, но не сходится к 0 рминомерпо
на I (см. упражнение 6).
3) Если X — равномерное пространство, то рассуждение, со-
совершенно аналогичное проведенному при доказательство пред-
предложения 8, показывает, что множество всех равномерно непрерыв-
непрерывных отображений X в Y замкнуто в jf"a (X; У).
4) Предположим, что равномерное пространство Y наделено
аддитивно записываемым ассоциативным и коммутативным зако-
законом композиции таким, что отображение (у, у') у-*- у -f- у' не-
непрерывно на У X 5'. Пусть (ип) — такая последовательность
непрерывных отображений X в Y, что ряд с общим членом щ

180 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. X, § 1
равномерно сходится на X; тогда сумма] этого ряда непрерывна
па X.
Мы оставляем читателю формулировку соответствующего ре-
результата для равномерно суммируемых семейств (и0 1, замечание 5)
непрерывных отображений.
Предложении 9. Пусть X — топологическое пространстве
и У — равномерное пространство. Тогда отображение (/, х) н->
*-*■ / (х) пространства 'fu (X; У) X X в Y непрерывно.
В самом деле, пусть /0 — непрерывное отображение X в Y,
х0 — точка из X и V — симметричное окружение для У. Множе-
Множество Т непрерывных отображений /: X -*- Y таких, что (/ (х),
/о (х)) £ У для всех х £ X, есть окрестность /0 в ?„ (X; У). С дру-
другой стороны, так как /0 непрерывно, то существует такая окрест-
окрестность U точки х0 в X, что (/0 (х), /0 (£„)) 6 У для всех х £ U- Сле-
2
довательно, (/ (z), /0 (z0)) £ У для всех (/, х) £ 71 х С/, и предло-
предложение доказано.
Упражнения
1) Пусть Z — множество, У — непустой и по аюдящоеся к одной
точке рпиномерноо простринстно, 2 — непустое множество непустых
подмпожостп множопна X п У с: S~ (X; Y) — множестко лсех постоян-
постоянных отображении X и У. Обозначим через с?/ дли каждого // £ У постоян-
постоянное отображение X в У, ршшоо ;/.
а) Покияать, что ;/ t—*■ c,t есп. ино.морфилм пространства У rta
раниоморпое нодпростр.'игство У" пространства S-q (X; У).
б) Для того чтобы .^g (X; У) было отделимо, необходимо (и доста-
достаточно), чтобы У было отделимо, a S покринало X.
и) Для того чтобы У было ^«минуто и !Fq{X;Y), необходимо
и достаточно, чтобы ?Р~ (X; У) было отдел пио.
2) Пусть X — множество, У— непустое и не сводящееся к одной
точко отделимое равномерное нространстно, a ©i и 32 — множестна
подмножеств множества X, удовлетворяющие уеюниям (Fj) и (Kj[)
п° 2; пока.-штг., что если 6,cS, и 6, у «„, то paniioMujiiiaii струк-
структура S^-еходимостн слабее pfiiiiiOMejinoii структуры <£а-сходимости.
И частности:
1° Если X — отделимое но компактное топологическое- простран-
пространство, то равномерная структура компактной сходимости слабее равно-
равномерной структуры равномерной сходимости.
2е Если X — отделимое топологическое нространетио, в котором
сущестнушт бесконечные компактный множества см. гл. I, И-е изд.,

УПРАЖНЕНИЯ 187
§ !), упражнение 4), то ратшомерппя структура простои сходимости
слабее равномерной структуры компактно!"! сходимости.
'Л) Пуст1> X — множество, 3 — его покрытие, У — неотделимое
равномерное нроетранетно п Уо — ассоциированное с. У отделимое
ривномерноо проетранетно (гл. II, 2-е изд., § 1, н° 4; .Ч-е и;|д., § 'Л, n° 8).
Показать, что отделимое равномерное пространство, ассоциированное,
с 5^ (X; У), изоморфно &% (X; Уо).
4) Покапать, что и множестве % (В, 1$) леех непрерывных конеч-
конечных числовых функций, определенных на В, топологии равномерной
сходимости получается pa;iJMi4iioii, смотри по тому, наделим ли мы
1? аддитппной равномерной структурой или ])aniioMepiioii е.т]>уктурой,
которую индуцирует (едннстпемпал) равномерная структура расши-
расширенной прямой It (хотя топологии, определяемые и R лтнми двумя
pun померим мл структурами, с.опнадпют).
.")) Пусть X — топологическое проетранетно; множество © его
подмножеств на:п.пш1от насыщенным, если © удоилетпо]1яет условиям
(Fj) и (Fjj) и° 2 и замыкание всякого множества из © принадле-
принадлежит ©.
а) Показать, что если X — нормальное проетранетно (гл. IX,
§ 4) и 6 — пасыщепмор множество его подмножеств, покрывающее X,
то мпожегтно ¥{Х; II) плотно л пространство cff~ (X; R) (следствие 2
теоремы 2), наделенном топологией ©-сходимости; и частности,
<ё(Х; It) плотно н SF3(X; П); f (X; It) замкнуто н :F,H(X; It) только
когда X дискретно.
б) Пусть X — вполне регулярное пространство (гл. IX, § 1,
и" Г)), а ©, п ©2 — насыщенные миожестна его нодмпожестп; пред-
предположим, что ©I с: ©2 и ©1 -/ ©2- Показать, что и %' (X; И) топо-
топология ©[-сходимости слабее топологии ©„-сходимости.
(!) а) Пусть X -- топологическое нроетранетно, У — раниомерное
пространство и Ф — фильтр в множестве 1С (X; У), просто сходящийся
к некоторой функции ;/„. Для того чтобы //.„ бьгла пеирерыипм в точ-
точке хй G А', необходимо н достаточно, чтобы для каждого окружения V
равномерной структуры пространства У и каждого множества М £ Ф
существовали окрестность V точки т0 и и С М такие, что (и„ (г), и (.г)) £
С V при. всех х £ U.
б) Пусть X — кназнкомпактнос пространство, У ■• рмнпомерное
проетранетно н Ф — фильтр и Г('(Х; У), просто сходящийся к некото-
некоторой функции »0. Для того чтобы и0 была пенре|!ывиа на X, необходимо
и достаточно, чтобы для каждого окружения V для У н каждого множе-
множества М С: Ф существовало конечное! число функции iii 6 М A < I < п),
для которых при любом х (■ X имелся хотя бы один индекс / таком, что
(t/0 (x), ui {x)) £ V. [Использовать а).]
*7) Пусть X и У — отделимые равномерные пространства. График
G (/) С X У, Y любого непрерывного отображении /: X -»- У есть

188 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. X, § 1
замкнутое множество вХХУ (гл. I, 2-е. изд., § 8, следствие 2 пред-
предложения 0; 3-е изд., § 8, следствие 2 предложения 2), так что / н-»■ G (/)
ость ивъектшшоо отображение f (Х;У) в множество 5' (X X У) всех
непустых замкнутых подмножеств нространстпа X X У.
а) Показать, что отображопие / I—♦ С (/) пространства Ч^и (X; У)
и $• (Л" X У) равномерно непрерывно, рели нпдолить SF (X', У) равно-
равномерной структурой, определенной в упражнение 7 § 2 гл. II 2-го изд.
C-е нмд., § 1, упражнение 5).
б) Пусть Г — обрив множества % (X; У) в й (X X У) при ото-
отображении/ н-*С(/) иф — отображопио Г и ¥и(Х; У), обратное к f >-*■
н-*1 G (/). Показать, что если X компактно, тоф непрерывно на Г. [Рас-
[Рассуждать от противного.]
в) Пусть X и У совпадают с компактным интервалом [0, 1| в R.
Покапать, что ф не равномерно непрерывно на Г.
♦8) Пусть X и У — метрические пространства и (/„) — после-
последовательность боррлевских отображений класса а пространства X
в У (гл. IX, § 6, упражиепио 16).
а) Предположим, что последовательность (/„) просто сходится
к некоторому отображении! /: X -+■ У. Показать, что / принадлежит
классу а -\- 1. [Заметитт., что если V — открытое множество в У,
то / (U) = \j (|| fn+h (t/))> и испольлопать упражнение 4 § 6
гл. IX.]
б) Предположим, что последовательность (/„) равноморно сходит-
сходится к /. Показать, что / принадлежит классу а. [Пусти F — замкнутое
множество в У и Vn для каждого п > 0 означает множество тех точек
Из У, расстояние которых до F не превышает 1/п. Показать, что суще-
существует возрастающая последовательность п ►-*• т (и) номеров такая,
п
в) Предположим, что У — счетного тшге. Показать, что если
/: X -»■ У — борелевская функция класса а > 0, то существует после-
последовательность (g-n) боррлевских функций. ^п: X -*• У класса < а,
просто сходящаяся к /. [Показать, что в качество #„ можно ваять
функции, принимающие только конечное число аиачешш; иснользо-
впть упражнения 4з) и 16п) § 6 гл. IX. 1
*9) Пусть X — бэровское пространство, У -- метрическое про-
пространство и (/„) — последовательность непрерывных отображений X
в У, просто сходящаяся к /. Точка х £ X называется точкой равно-
равномерной сходимости, последовательности (/„), если для каждого е > О
существуют окрестность V точки х и целое /; такие, что d (}m {у),
fn ('/)) *£г в для всех m > j, » >-р и у f V (где d — расстояние в У).
Показать, что дополнение 5 к множеству точек равпомерлой сходимо-

УПРАЖНЕНИЯ 189
сти есть тощее множество и X. [См. упражнение 22а) § 5 гл. IX.]
Привести пример, в котором 5 плотно в X. [Взять X = Y — R; пусть
п н-*■ г„ —бигкция N itn Q; с другой стороны, пусть (gn) — последо-
последовательность непрерывных отображений Н в [0, 1], сходящаяся к функ-
функции, равной 0 для х -/• 0, и рашюй 1 в точно 0, причем сходимость
равномерна иа всяком открытом интервале из U, we содержащем 0.
Рассмотреть последовательность функций
со
/п М = ]>] ЯрКп {х — гр),
0
где последовательность (а;)) надлежащим образом стремится к 0.]
10) Показать, что в группе Г всех гомеоморфизмов числовой
.прямой II па себя топология простом сходимости совпадает с тополо-
топологией компактной сходимости. [См. упражнение 14 § 3.]
11) Пусть X — топологическое пространство и С- топологиче-
топологическая группа; множество 4$(X',G) всех непрерывных отображений X
в G есть подгруппа группы Gx. Пусть © — некоторое множество
подмножеств из X.
п) Предположим, что для каждого А 6 0, каждой окрестности V
нейтрального момента е в G и каждого и £ $ (X; С) существует окре-
окрестность W элемента е в G такая, что sWs'1 С V для всох s £ и (А).
Показать, что тогда топология ^-сходимости согласуется со структу-
структурой группы в Ч£ (X; С); кроме того, правая (соотв. левая) рашюмерная
■структура так определенной топологической группы fg (X; 6'), где
€ наделена правой (соотв. левой) равномерной структурой, совпадает
с равномерной структурой 8-сходимости. Случай простой сходимости;
•случай компактной сходимости, когда G локально компактна. Случай,
«огда G коммутативна.
б) Показать, что если G — группа SL B, И), наделенная тополо-
топологией, индуцированной из tt*, то топология равномерно]"! сходимости
но согласуется со структурой группы и % (И; С).
12) Пусть X — топологическое пространство и А — топологи-
топологическое кольцо (гл. Ill, 2-е изд., § Г>, п° 1; 3-е изд., § 6, п° 3); мно-
множество <g(X; А) всех непрерывных отображений X в Л является
подкольцом кольца А . Пусть б> — некоторое множество подмпо-
экеств из X.
а) Предположим, что множества и (М) для всох М £ © и и g
6 $(Х; А) ограниченны (гл. III, 3-й изд., § 6, упражнение 12). Пока-
Показать, что топология ©-сходимости согласуется со структурой кольца
в % (X; Л). Случаи простои и компактной сходимости.
б) Пусть X — локально компактное, но не компактное простран-
стно, счетное в бесконечности (гл. I, 2-е и.чд., § 10, и° 11; 3-е изд.,
5 0, п° 9). Показать, что топология равномерной сходимости не согла-
согласуется со структурой кольца в С (X; И).

4Я0 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. X. §2
§ 2. Равностепенно непрерывные множества
1. О71 ре)f\ieiiue и опщие признаки
Определение 1. Пусть X — топологическое простран-
пространство и У — равномерное пространство. Говорят, что множество
IIс *Г (X; У) равностепенно непрерывно в точке х0 £ X, если для
каждого окружения V равномерной структуры пространства Y
существует окрестность U точки х0 в X такая, что (/ (xti), f (x)) £
6 V для всех точек х £ U и всех функций / £ //. Говорят, что II
равностепенно непрерывно, если оно равностепенно непрерывно
в каждой точке из X.
Определение 2. Пусть X и Y — равномерные простран-
пространства. Говорят,, что множество IIcz $■ (X; Y) равномерно равно-
равностепенно непрерывно, если для каждого окружения V равномерной
структуры пространства Y существует окружение U для X
такое, что отношения (х, х') (• U и f £ Н влекут (/ (х), / (х')) 6 V.
Гопорят, что семейство (/t)tgj отображений X в Y равностепен-
равностепенно непрерывно в точке х0 (соотв. равностоненно непрерывно,
равномерно равностепенно непрерывно), если множество всех
/t равностепенно непрерывно в х0 (соотв. равностепенно непре-
непрерывно, равномерно равностепенно непрерывно).
Ясно, что если II cz jF (X; Y) равностепенно непрерывно в х0,
то каждая функция f € Н непрерывна в ж0; если Л равностепенно
непрерывно, то все f £ II будут тем самым непрерывны па X, т. в.
Н cz% (X; У). Точно так нее, если // равномерно равностепенно
непрерывно (так что X — равномерное пространство), то каждая
функция f £ II равпомерио непрерывна на X. Ясно, что если Н
равномерно равностепенно непрерывно, то оно равностепенно
непрерывно; однако множество равномерно непрерывных отобра-
отображений может быть равностепенно непрерывным, но будучи равно-
равномерно равностепенно непрерывным (см. упражнение 1, следствие 2
предложения 1 и предложение А).
Пример и. 1) Пусть X — топологическое (соотв. равномерпое)
пространство и Y — рашгомермос пространство. Всякое конечное
множество непрерывных (соотв. равпомерио непрерывных) отображе-
отображении Х{ъ Y равностепенно непрерывно (соотв. равномерно равностс-
непрерывно').

J РАВНОСТЕПЕННО НЕПРЕРЫВНЫЕ МНОЖЕСТВА 191
2) Пусть X и У — метрические пространства, d (соотв. d') —
расстоявие I! X (соотв. и У), л к и а — числа >0. Множество пегх
отображений /: X -*■ У таких, что
el' (fix), 1 (х')) К к (d (х, x')f ,.
для каждой пары (х, х') точек из X, равномерно равностепенно неире-
рыипо. Например, множество всех изометрий (гл. IX, § 2, п° 2) про-
пространства X ва некоторую часть пространства У равномерно равно-
равностепенно иепрерыимо.
0 Пусть // — какое-либо множество дифференцируемых числовых
функции на Интерполе / d К таких, что | /' (л-) | < к дли всех х £ /
и нсех / £ П. Тогда // равномерно равностепенно непрерывно, ибо по
теореме о конечных приращениях (Функции действ, перем., гл. I,
§ 2, теорема 1) | / (хл) — / {хг) | ^ к | xv -- хг \ для нсех xlt хг иа /
и нсех / £ II.о
Щ Пусть С — топологическая группа, У — раиномеркос про-
пространство к / — равномерно непрерывное отображение группы G,
наделенной своей леиой равномерной структурой (гл. III, § 3, п° 1),
и У. Пусть /., для каждого я G G означает отображение х I—••/ (sx) груп-
in.i G и У. Тогда мпожестио отобряя«'НиГ| /л (s £ С) равномерно ранио-
стенепно непрерывно, поскольку соотношотге х~хх' С. V ранпосилыю
(sx)-1 (.«') G V.
Предложение 1. Пусть Т — множество, <& — некоторое
множество его подмножеств, Y — равномерное пространство,
К — топологическое (соотв. равномерное) пространство и } —
отображение Т X X в Y. Пусть далее 11 a cz ;f (X; Y) для каж-
каждого А 6 <£ есть множество всех отображений вида х у~* / (t, x),
где t £ Л. Для того чтобы отображение х ►-*■/(•, х) пространства
X в .^"s (^; Y) было непрерывно в точке хо£Х (соотв. равномерно
непрерывно), необходимо и достаточно, чтобы множество ПА
Оля каждого Л £ <& было равностепенно непрерывно в х0 (соотв.
равномерно равностепенно непрерывно).
Рассмотрим сначала тот частный случай, когда <3 -- {Т}, т. с.
.Fs G1; Y) ■"= .'fu (T; У). Каково бы ни было окружение V для У,
условие (/(•, х), /(•, х')) 6 W (V) означает, что (/ (t, x),
I (t, х')) £ V для всех t £ Т. Поэтому непрерывность отображения
х ь-> / (., х) в х0 (соотв. равномерная непрерывность) означает, что
каково бы ни было окружение V для У, существует окрестность U
точки х0 в X (соотн. окружепиоМ для X) такая, что отношение
х £ U (соотв. (х, х') £ М) влечет (/ (t, x), / (t, x0)) £ V (соотв.

192 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. X, § 2
(/ (t, x), f (t, х')) £ V) для всех t £ Т; а тогда справедливость пред-
предложения вытекает из определений 1 и 2. В общем случае, согласно
сказанному в п° 2 § :1, следует сказать, что отображение х*~+-
»-*■/(., х) \ А пространства X в ,<fu (А; У) для каждого А £ @
непрерывно в точке аг0 (соотв. равномерно непрерывно); в силу
предыдущего это равносильно условию, что ВА для каждого
А £ © равностепенно непрерывно в точке а?0 (соотв. равномерно
равностепенно непрерывно).
Предложение 1 позволяет дать подчас удобную перефразировку
определений 1 и 2 применительно к случаю, когда Т — II, а / —
отображение (h, x) t-+ h (х) произведения // X X в Y; поскольку
/ (•, х) есть тогда отображение h *-+■ h (х) множества // » У, получаем
Следствие 1. Пусть X — топологическое (соотв. равно-
равномерное) пространство, Y — равномерное пространство и Н cz
d^F (X; Y). Для каждого х £ X обозначим через х отображение
h*-+ h (x) множества II в Y. Для того чтобы II было равностепенно
непрерывно в точке х0 (соотв. равномерно равностепенно непре-
непрерывно), необходимо и достаточно, чтобы отображение х >-* х про-
пространства X в равномерное пространство ,f\x, (H\ Y) было непре-
непрерывно в точке х0 (соотв. равномерно непрерывно).
В частности, так как, когда X компактно, всякое непрерыв-
непрерывное отображение X в ,^FU(#; У) равномерно непрерывно (гл. II,
§ 4, теорема 2), имеем:
Следствие 2. Пусть X — компактное пространство и У —
равномерное пространство. Всякое равностепенно непрерывное
множество в JF" (X; Y) равномерно равностепенно непрерывно.
Рассмотрим теперь множество Т, топологическое пространство
X, равномерное пространство У и отображение /: Т X X -+■ У.
Обозпачим через J отображение ««•/(■, х) пространства X
в &а (Т; У), и пусть 0: (t, g) <-*■ g (t) — каноническое отображе-
отображение Т х jF« {T; Y) в У; ясно, что диаграмма
У
л /
Г*сГи(Т;У)

/ РЛВНОСТКПЕННО НЕПРЙРЫВНЫК МНОЖЕСТВА 15K
(где i;r — тождественное отображение) коммутативна. Предпо-
Предположим: теперь, что Т наделено топологией и отображение
/ (•, х): t>-+f {t, х) для каждого х £ X непрерывно; тогда в пре-
предыдущей диаграмме .можно заменить ,fa (Г; У) на Г6и (Т; У).
Но, как mtj знаем, 6 непрерывно (§ 1, предложение 9), и потому,
сечи отображение / непрерывно, то непрерывно и /. Поскольку
непрерывность / характеризуется предложонием 1, получаем сле-
следующий результат:
Следствии 3. Пусть Т и X — топологические пространства,
У — равномерное пространство и / — отображение Т X X в У.
Для непрерывности f достаточно, чтобы выполнялись следующие
условия:
1 ° частичное отображение t*-*-f(t, x) непрерывно для каждого
■г 6 X;
2° частичные отобраясения х *■+■ / (t, x), где t пробегает Т, обра-
образуют равностепенно непрерывное подмножество в jF(X; Y).
Возьмем, в частности, в качестве Т множество На jf (X; У),
п в качестве / — каноническое отображение (h, x)*-*-h (x) произ-
произведения Я х X в 7; условие 1° следствия 3 будет означать, что
If наделено топологией, мажорирующей толологию простой сходи-
сходимости, а условие 2° — что // равностепенно непрерывно. Таким
образом:
Следствие 4. Пусть X — топологическое пространство,
У — равномерное пространство и Н — равностепенно непрерыв~
пое множество отображений X в У. Если И наделено топологией
простой сходимости, то отображение (h, х) *■+■ h (x) произведе-
произведения В X X в У непрерывно.
Говоря образно, это означает, что если h Cz II просто сходится
к Л о 6 Hi а х £ X сходится к х0, то h (х) сходится к А„ (я0).
Следствие 5. Пусть X — топологическое пространство, У
и Z — равномерные пространства и И — равностепенно непре-
непрерывное множество отображений У в Z. Если, Н, % (X; У) и
'£ (X; Z) наделены топологией простой сходимости, то отобра-
отображение {и„ v) *-*■ и о v произведения Н X То (X; У) в % (X; Z)
непрерывно.
13 Н. Бурбаки

194 функциональный пространства гл. х, § 2
В самом деле, требуется доказать непрсрывиость отображения
(u, v) у-*- и (у (х)) произведения Н X ¥ (X', У) в Z для любого
х£Х. Но v >-*■ v (х) непрерывно на И (§ 1, п° 2, замечание 0), и
из следствия 4 вытекает, что {и, у)*-*и (у) есть непрерывное ото-
отображение // X У n Z; поскольку (и, v) у-*- и (v (х)) есть композиция
отображений (и, у)*-*и {у) и (u, v) *-*■ (и, v (x)), предложение дока-
доказано.
Следующее предложение и ого следствие — аналоги следствий 3
и 4 предложении 1 для равномерно непрерывных отображений.
Предложение 2. Пусть Т, X, Y — равномерные простран-
пространства и / — отображение Т X X в У. Для того чтобы / было равно-
равномерно непрерывно, необходимо и достаточно, чтобы были выпол-
выполнены следующие условия:
1° отображения x*-*-f (t, x), где t пробегает Т, образуют рав-
равномерно равностепенно непрерывное множество в ,f (X; У);
2° отображения t\~*f (t, х), где х пробегает X, образуют рав-
равномерно равностепенно непрерывное множество в вр (Г: У).
Непосредственно ясно, что эти условия необходимы.
Обратно, предположим, что они выполнены, и пусть W — окру-,
жение для У; тогда существуют окружение U для Т и окруже-
окружение V для X такие, что: 1е (?, t") £ U влечет (/ (f, х), / (*", х)) 6
е W для всех х 6 X; 2° (х', х") € V влечет (/ (t, х'), / (t, х)) 6 W
для всех t £ Т. Ясно, что тогда отношение «B\ t") £ U и (х', х") £
£ Vi> влечет (/ (f, x'), / (t", x")) £ W, и предложение доказано.
Пусть, в частности, Т есть множество IIcz JF-(X', У), наделен-
наделенное равномерной структурой равномерной сходимости, а / —
каноническое отображение (h, x)^~*-h{x); тогда условие 2° пред-
предложения 2 автоматически выполнено, ибо, каково бы ни было
окружение W для У, множество тех иар (h', h"), для которых
(ti (ж), h" (х)) 6 W при всех х £ X, является но определению окру-
окружением равномерной структуры в Я. Достаточно поэтому выра-
выразить только условие 1°; таким образом имеем
Следствие. Пусть X, У— равномерные пространства и
На $Р (X; У). Для того чтобы Н было равномерно равностепенно

2 РАВНОСТЕПЕННО НЕПРЕРЫВНЫЕ МПОЖКСТВА 195
непрерывно, необходимо и достаточно, чтобы отображение (h, х)>-+
►-»• h (х) произведения Н X X в Y было равномерно непрерывно при
паделе}ши Н равномерной структурой равномерной сходимости.
V?. Специальные признаки равностепенной
непрерывности
Ясно, что всякое подмножество равностепенно непрерывного
(соотв. равномерно равностепенно непрерывного) множества рав-
равностепенно непрерывно (соотв. равномерно равностепенно непре-
непрерывно). Кроме того, если X — топологическое (соотв. равномер-
равномерное) пространство и У — равномерное пространство, то объедине-
объединение всякого конечного семейства равностепенно непрерывных
(соотв. равномерно равностепенно непрерывных) множеств из
.F(X; У) равностепенно непрерывно (соотв. равномерно равно-
равностепенно непрерывно).
Пусть X и X' — топологические (соотв. равномерные) про-
пространства, У и У — равномерные пространства, /: X' -+■ X —
непрерывное (соотв. равномерпо непрерывное) отображение и
g: Y—у У — равномерно непрерывное отображение. Из опреде-
определений непосредственно следует, что отображение и *-*■ g о и о /
множества jF(X; Y) в ^F (X'; Y') переводит равностепенно непре-
непрерывные (соотв. равномерно равностепенно непрерывные) множе-
множества в равностепенно непрерывные (соотв. равномерно равносте-
пеппо непрерывные) множества.
Предложение 3. Пусть X — топологическое (соотв. рав-
равномерное) пространство, (Fi)tgr — семейство равномерных про-
пространств, Y — множество и Д для каждого i — отображение Y
в Yb. Наделим Y слабейшей из равномерных структур, при кото-
которых все /t равномерно непрерывны. Для того чтобы множество II cz
с: jF(X; У) было равностепенно непрерывно (соотв. равномерно
равностепенно непрерывно), необходимо и достаточно, чтобы его
образ при отображении и ь-» Д о и был равностепенно непрерыв-
непрерывным (соотв. равномерно равностепенно непрерывным) множеством
в & (X; Yi) для каждого i £ /.
Это непосредственно следует из определений 1 и 2 п° 1 и опре-
определения окружений для У.
13*

196 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. X, § 2
Предложение А. Пусть X и Y — равномерные простран-
пространства, II — некоторое множество равномерно непрерывных отобра-
отображений X в У, X uY — отделимые пополнения пространств X uY
и Я — множество отображений и: X -*- Y где и пробегает Н
(гл. II, 3-е изд., § 3, предложение 15). Для того чтобы Н было
равномерно равностепенно непрерывным., необходимо и достаточно,
чтобы таким было II.
Напомним, что имеет место коммутативная диаграмма
хЛу
*1 1*. A)
X -? Y
и
где i и / — канонические отображения; кроме того, равномерная
структура в X (соотв. Y) есть прообраз относительно отображения
i (соотв./) равномерной структуры в X (соотв. У). Таким образом,
для того чтобы II было равномерно равностепенно непрерывно,
необходимо и достаточно, чтобы этим свойством обладал его образ
при отображении ш->/«и (предложение 3), причем можно даже
ограничиться случаем, когда Y отделимо и полно; кроаге того,
если II равномерно равностепенно непрерывно, то то же верно
и для II—его образа при отображении и -+■ и о i; поэтому все
сводится к установлению обратного в случае, когда У — Y.
Итак, пусть V — замкнутое окружение для У; по предположе-
предположению, существует такое окружение U для X, что отношения (х, х') £
6 U и и■ £ Н влекут (и (х), и (х')) £ V. Во если V есть образ окру-
окружения U при отображепии I x i, то его замыкание СУ'.в X X X
'является окружением в X (гл. II, 2-е изд., § 3, предложение 10;
3-е изд, § 3, предложение 12); из предположения следует, что
для (z, z') £ U' и и £ Я имеем (и (г), и {%')) £ V, а так как V зам-
замкнуто и и непрерывно, то тогда также (и (/), и (/')) £ V, каковы
бы ни были (if, t') £ U' и и £ Я, что завершает доказательство.
Предложение 5. Пусть G и G' — топологические группы,
наделенные своей левой равномерной структурой, и II — некото-
некоторое множество представлений G в G'. Следующие условия равно-
равносильны:

;t РАВНОСТЕПЕННО НЕПРЕРЫВНЫЕ МНОЖЕСТВА 197
а) Н равностепенно непрерывно в нейтральном элементе е
группы G;
б) II равностепенно непрерывно;
в) // равномерно равностепенно непрерывно.
Достаточно доказать, что а) влечет в). Пусть V — окрестность
нейтрального элемента е' группы G'; по предположению, сущест-
существует окрестность V элемента е в G такая, что и (V)cz V для всех
ч £ Л; поскольку элементы множества // — представления, отно-
отношение х~1у 6 V влечет (и (х))~ги(у) = и {х~*у) £ V. Но в силу
определения окружений левых равномерных структур в G и 6"
(гл. ill, § 3, п° 1) это и означает, что Н равномерно равностепенно
непрерывно.
.7. Замыкание равностепенно непрерывного
множества
Иредложеннв 6. Пусть X — топологическое (соотв. рав-
равномерное) пространство, Y — равномерное пространство и II а
cz ,<f (X; Y). Для того чтобы Н было равностепенно непрерывно
« точке хй £ X (соотв. равномерно равностепенно непрерывно), необ-
необходимо и достаточно, чтобы его замыкание II в пространстве
.Т'я {X; Y) было равностепенно непрерывно в точке х() (соотв. равно-
равномерно равностепенно непрерывно).
Условие тривиальным образом достаточно. Для доказательства
необходимости рассмотрим окружение V для У, замкнутое
и Y X Y; по предположению, существует окрестность U точки х0
в X (соотв. окружение М для X) такая, что отношение х £ U
(соотв. (х', х") £ М) влечет (Л (х0), h (x)) 6 V (соотв. (h (x'),
h (х")) £ V) для всех h 6 II. Так как V замкнуто, то отображения
h 6 ..!F (X; Y) такие, что (h (x0), h (x)) 6 V для всех х £ U (соотв.
{h (x'), h (х")) £ V для всех пар (х', х") £ М) образуют замкнутое
множество в ,'/"„ (X; Y) (§ 1, п° 2, замечание E); поскольку это
замкнутое множество содержит И, оно содержит If, чем предло-
предложение и доказано, поскольку окружения для Y, замкнутые вУ X
X Y, образуют фундаментальную систему окружений (гл. II,
2-е изд., стр. 162 русского перевода; 3-е изд., § 1, следствие 2
предложения 2).

198 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. X, § 2
4. Простая сходимость и ко.чпактнан сходимость
в равностепенно непрерывных, множествах
Теорема 1. Пусть X — топологическое (соотв. равномер-
равномерное) пространство, У — равномерное пространство и II — равно-
равностепенно непрерывное (соотв. равномерно равностепешю непре-
непрерывное) множество в '( (X; У). Тогда в II равномерные структуры
компактной (соотв. предкомпактной) сходимости, простой схо-
сходимости и простой сходимости на плотном подмножестве D про-
пространства X совпадают.
Достаточно показать, что последняя равномерная структура
в II мажорирует первую; другими словами, требуется доказать,
что для любых окружений V равномерной структуры простран-
пространства У и компактного (соотв. нредкомпактного) множества А в X
существуют окружение W для У и коночное множество F сг D
такие, что отношение
и е II, v£II и (и (ж), v (ж)) 6 W для всех х 6 F B)
влечет
(и (х), v (х)) £ V для всех х б А. C)
Предположим сначала, что А компактно, а И равпостепепно
непрерывно. Пусть дано симметричное окружение W для У;
каждая точка х£ X обладает такой окрестностью U (х), что отно-
отношение х' £ U (х) влечет (и (х), и (х')) 6 W для всех и £ //. Поэто-
Поэтому компактное множество А можно покрыть конечным числом
открытых множеств Ut таких, что для каждой пары точек х'', х",
принадлежащих одпому и тому же множеству Ut, (и (х'), и {х")) £
2
^ W при всех и £ //. Для каждого i возьмем по точке а; из D f] b'i,
и пусть V — множество, образованное этими точками; предполо-
предположим тогда, что B) выполнено; для каждого х £ А существует
индекс г такой, что а< и х принадлежат одпому и тому жомпожоству
2 2
Uj, так что (и(х), и (а,)) 6 W и (и (аг), v (х)) £ W, a отсюда сле-
5
дует, что B) влечет C) коль скоро W выбрано так, что We V.
Если Л предкомпактно, а // равномерно равностепенно нопре-
рывно, используем предложение 4: достаточно заметить, что i (A)
компактно в X, i (D) плотно в X и все окружения для Y являются
прообразами окружений для У относительно / X /.

Л РАВНОСТЕПЕННО НЕПРЕРЫВНЫЕ MIIO7KF.CTBA 199
Следствие. В предположениях теоремы 1 замыкание II
множества II в пространстве ,'F (X; Y), наделенном топологией
простой сходимости, совпадает с замыканием Н в Г6 (X', Y), наде-
наделенном топологией компактной (соотв. предкомпактно и) сходи-
сходимости.
В самом деле, множество Н равностепенно непрерывно (соотв.
равномерно равностепенно непрерывно) в силу предложения E
и потому содержится в % (X; Y); поэтому утверждение следствия
непосредственно вытекает из того, что по теореме 1 обе рассматри-
рассматриваемые топологии в II совпадают.
Л. Компактные множества непрерывных
отображений
Теорема 2 (Асколи). Пусть X — топологическое (соотв.
равномерное) пространство, 3 — его покрытие, Y — равномер-
равномерное пространство и Н — некоторое множество отображений X
в У; предположим, что для всякого А £ <& сужение на А каждого
отображения и £ // непрерывно (соотв. равномерно непрерывно).
Для того чтобы II было предкомпактно в равномерной структуре
(В-сходимости, необходимо во всех случаях и достаточно, если все
множества А £ © компактны (соотв. предкомпактны), чтобы
выполнялись следующие условия'.
а) Для каждого А £ <2> множество И | A cz jf (A; Y) сужений
на А всех функций и £ II равностепенно непрерывно (соотв. равно-
равномерно равностепенно непрерывно).
б) Для каждого х £ X множество II (х) с: Y всех и (х), где и
пробегает II, предкомпактно.
1° Покажем сначала необходимость условий а) и б). Как мы
знаем (§ 1, п° 2, замечание 0), отображение и*-* и, (х) простран-
пространства .f^ (X; У) в У равномерно непрерывно; если II предкомпакт-
по, то предкомпактно и II (х) (гл. II, 2-е изд., § 4, упражнение 8;
3-е изд., § 4, предложение 2); тем самым б) доказано. Для доказа-
доказательства свойства а) рассмотрим множество А £ £>, точку х0 £ А
и окружепие V для Y; поскольку // предкомпактно, оно может
Г)[,1ть покрыто конечным числом мпожеств, малых порядка
IV(А, V); другими словами, имеется конечная последопатольность

200 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. X, §
(М() элементов из // такая, что, каково бы ни было и £ II, суще-
существует по крайней мере один индекс i, для которого
(и (х), ut (x)) £ V для всох х £ А. D)
Так как тенорь каждое- ut \ А непрерывно в точке х0 (соотв.
равномерно непрерывно), то имеется окрестность Ut точки хй
в А (соотв. окружение Mt для .Л), такая, что
аг€ Ui влечет (и, (х), и, (х0)) £ V E)
(соотв., что
(х', х") е М, влечет (щ (х1), ut (х")) 6 V). (С)
Пусть U (соотв. М) — пересечение всох Ut (соотв. всех Mt);
оно снова есть окрестность точки х0 в А (соотв. окружение для
А). Для каждого и£Н существует индекс i такой, что выполняется
D); записав, условие D) для х0 и для х (соотв. для х' и х") и при-
принимая во внимание E) (соотв. F)), видим сразу, что отношение
х £ U (соотв. (х', х") £ М) влечет (и (х), и (х0)) £ V (соотв.
(и (х'), и (х")) £ V) для всех и 6 Н, чем установлено свойство а).
2° Покажем теперь, что условия а) и б) достаточны, если все
А £ <& компактны (соотв. предкомпактны). Действительно, выпол-
выполнение условия б) влечет предкошгактность//в равномерной струк-
структуре простой сходимости (гл. II, 2-е изд., § 5, предложение о;
3-е изд., § 4, предложение 3). Но из условия а) и теоремы 1.
вытекает, что в Н \ А равномерная структура простой сходимости
на А совпадает со структурой равномерной сходимости на Л '■>
следовательно, Я \А предкомнактно в ^fu{A; Y), а это влечет
предкомпактность Н в равномерной структуре ©-сходимости
(§ 1, п° 2).
Отметим, что условно б) теоремы 2 всегда выполнено, если У —
предкомпактное пространство.
Следствии 1. Пусть X — топологическое (соотв. равномер-
равномерное) пространство, У — отделимое равномерное пространство и
II — равностепенно непрерывное (соотв. равномерно равностепенно
непрерывное) множество в % (X; У). Предположим, что И (х)
относительно компактно в У для каждого х £ X. Тогда Н относи-
относительно компактно в % (X; У), наделенном топологией компактной
(соотв. предкомпактной) сходимости.

.5 РАВНОСТЕПЕННО НЕПРЕРЫВНЫЕ МНОЖЕСТВА 201
Пусть II — замыкание Н в JFs (X; Y); оно также является
равностепенно непрерывным (соотв. равномерно равностепенно
непрерывным) множеством (предложение fi). Так как, кроме того,
И (х)с II (х) (§ 1, п° 2, замечание 0), то // (х) относительно ком-
компактно; поэтому теорема 2 показывает, что II предкомпактио
относительно ©-сходимости, где @ — множество всех компактных
(соотв. иредкомиактшлх) подмножеств ив X. Кроме того, посколь-
поскольку II (х) компактно и, значит, полно, II полно в равномерной
структуре простой сходимости (гл. II, 2-е изд., § 5, предложении 4;
3-е изд., § 3, предложения 10 и 8), а потому также — в равномер-
равномерной структуре ©-сходимости (§ 1, следствие 2 предложения 5).
Поэтому, будучи предкомпактпым, полным и отделимым, // ком-
компактно (§ 1, предложение 1).
Следствие 2. Пусть X — топологическое (соотв. равномер-
равномерное) пространство, Y — полное отделимое равномерное простран-
пространство и Н — равностепенно непрерывное (соотв. равномерно равно-
равностепенно непрерывное) множество в 'ё (X; Y). Предположим, что
II (х) относительно компактно в Y для каждой точки х из всюду
плотного подмножества D пространства X. Тогда Н относи-
относительно компактно в ff (X;.Y), наделенном топологией компактной
(соотв. предкомпактной) сходимости.
Все сводится к доказательству того, что II (х) относительно
компактно для всех х £ X, ибо тогда можно применить следствие 1.
Поскольку Y полно, достаточно убедиться в том, что // (х) ирод-
компактно для всех, х £ X. Но каково бы ни было.симметричное
окружение V для Y, существует окрестность U точки х такая,
что (и (х), и {х')) 6 V для ncex x' (~ U и всех и £ II. В силу пред-
предположения существует х' 6 U {] D, а так как II (х1) относительно
компактно в У, то существует конечное число точек /уА £ У таких,
что // (х') содержится в объединении множеств V (///,); тогда
2
// (х) содержится в объединении множеств V (,«/;,), чем доказатель-
доказательство и завершается.
Следствие 3. Пусть X — локально компактное простран-
пространство, Y — отделимое равномерное пространство и 7/cr IS (X; Y).
Для того чтобы Н было относительно компактно в ¥е (X; Y),

202 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. X, § 2
необходимо и достаточно, чтобы II было равностепенно непре-
непрерывно, а II (х) относительно компактно в У Оля всех х £ X.
На основании следствия 1 достаточно показать, что если //
относительно компактно в %с (X; У), то Н равностепенно непре-
непрерывно; но всякая точка х £ X обладает компактной окрестностью
А, и из теоремы 2 вытекает, что // | А равностепенно непрерывпо;
а это влечет раиностепенную непрерывность Н в точке х, что
и требовалось.
3 а м е ч а н и е. Пусть X — топологическое пространство,
У — равномерное пространство и © — некоторое множество под-
подмножеств из X. Тогда во всяком предкомпактпом множестве
На ,<FS (X; Y) равномерная структура ©-сходимости совпадает
с равномерной структурой простой сходимости на В = М А.
Ф
Можно ограничиться случаем, когда В — X, а У отделимо и пол-
полно; действительно, равномерная структура ©-сходимости
в ,'f (X; У) является прообразом равномерной структуры ©-схо-
©-сходимости в /F (В, У) относительно отображения 0: и>—*- i°u°i,
где 7 — каноническая инъекция В -v X, а I — каноническое
отображение Y-+-Y (§ 1, предложение 4), и для иредкомпакт-
ности // необходимо и достаточно, чтобы 0 (//) было предкомпакт-
ио (гл. II, 2-е изд., § 5, предложение 5; 3-е изд., § 4, предложе-
предложение 3). Но если В ~ X, а У отделимо и полно, то JF~ (X; Y)
отделимо и полно (§ 1, предложение 1 и теорема 1), так что
замыканпо II множества // в этом пространстве компактно.
В // топология простой сходимости отделима (§ 1, предложение 1)
и мажорируется топологией ©-сходимости; поэтому обе эти топо-
топологии совпадают (гл. I, 2-е изд., § 10, п° 4; 3-е изд., § 9, след-
следствие 3 теоремы 2), и следовательно, совпадают равномерные
структуры ©-сходимости и простой сходимости (гл. II, § 4, тео-
теорема 1).
Упражнения
1) Пусть / — числовая функция, равная 0 для х ^ 0, равная х,
если 0 <; х rg: 1, и ранная 1 для х > 1. Показать, что последователь-
последовательность числовых функции /п (х) = / (па: — и") (п £ N) равностепенно
непрерывна, но не равномерно рашюстепенпо непрерывна в К, хотя
и состоит из ранпомерно непрерывных функций.

УПРАЖНЕНИЯ 203
2) Пусть X — отделимое топологическое пространство, каждая
точки которого обладает счетной фундаментальной системой ojjpi-
стноптоц, и У — рпвномерное пространство. Показать, что если множе-
множество II с: % (X; У) такопо, что для каждого компактного К с X
множистпо II | К сужений на К отображений и £ II равностепенно
непрерывно d % (К; У), то II равиостопеппо непрерывно. [Рассуждать
от противного.]
3) Пусть X, У, Z — метрические пространства и II с: % (X X У; Z).
Предположим, что для каждого х0 £ X отображения и (я0, *)t где
и E //, образуют равностепенно непрерывное множество в % (У; Z),
а для каждого уа £ У отображения и (•, ;/„), где и £ II, образуют
равностепенно непрерывное множество в ((Z (X; Z). Показать, что
селя Лг полно, то для каждого Ь £ Y существует множество 6'ь в X
с тощим дополнением в X такое, что множество II равностепенно
непрерывно в точке (а, Ь) для каждого а £ Sb- [Применить упражне-
упражнение 23 § 5 гл. IX, используя следствие 1 предложения 1 § 2 гл. X.]
4) Пусть X, Y, 1 — равномерные пространства.
а) Пусть If — равномерно равпостенепно непрерывное множество
« Т (У; Z). Показать, что если II, <$\ (X; Y) и f (X; Z) наделены равно-
равномерной структурой равномерной сходимости, то отображение (и, v) >—*■
ч—*- v о v произведения II Х% (X; Y) в % (X; Z) равномерно непре-
непрерывно.
б) Пусть К — равномерпо равностепенно непрерывное множество
в %) (X; У) и L — равпоморпо равностепенно непрерывное множество
в % (У, Z). Показать, что множество всех v о и, где и пробегает К,
a v пробегает L, равномерно равностепенно непрорывпо в Чр (X; Z).
5) Пусть X — топологическое пространство, У — нормированное
пространство над нодискретным нормированным телом К л II — множе-
множество н.ч .¥ (X; У), равностепенно непрерывное в точке х0 6 X. Пока-
Покакать, что для каждого вещественного числа к Ф 0 множество IIь всех
таких линейных комбинаций ^ ctui функций и; £#, что ^ | ct | ^ к.
% i
равностепенно ненре])ывяо в точке хй.
6) Пусть X — топологическое пространство, У — равномерное
пространство, //— рявностепеино непрерывное множество в % (X; У)
п Ф — фильтр в II. Показать, что множество тех точек х £ X, для
которых Ф 'Or) есть бавис фильтра Коши в У, замкнуто и X.
7) Пусть X — топологическое пространстпо, У — полное отдели-
отделимое равномерное пространство и ф — равномерно непрерывный гомео-
гомеоморфизм пространства У на открытое подмножестпо ф (У) отделимого
равномерного пространства У. Пусть далее II — равностепенно
непрерывное множество в % (X; У) и Я' — множество всех фон,
где к f II. Показать, что если v ость точка прпкоснопеиия для В'
-1
в ,<Fg (А'; У), то v (ф (У))- открыто-замкнуто л Л'.' В частности, если

204 ' ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. X, § 2
X связно, то г> (X) содержится и ф (У) или в связной компоненте его
дополнения С<р (У). [Заметить, что v непрерывно, и лсаользоиать
упражнение 6.]
8) Пусть И — равностепенно непрерывное множество отображе-
отображений топологического пространства X в R.
а) Показать, что множество верхних (соотв. нижних) огибающих,
коночных подмножеств из И равностепенно непрерывно.
б) Пусть г — отображении X в R, являющиеся точкой прикосно-
прикосновения для // в топологии простой сходимости. Покпнзть, что г пепре-
-1 --1
рывко ira X и что множества и (-l-oo) it г (--схз) открыто-замкнуты
г» X. [Использовать упражнение 7.1
в) Вывести из а) и б), что верхняя огибающая ш (соотн. нижняя
-1
огибающая с) множества 11 непрерывна в X и что множество «• (--|-оо)
-1
(соотв. v (—оо)) открыто-замкнуто в X.
г) Пусть X связно и существует такое х0 £ X, что множество
П (х0) ограниченно в R. Показать, что для каждого компактного мгго-
жестиа К из X множество сужений на К функций лз И рашюморио
ограниченно на К. [Использовпть в).]
9) Пусть X — множество, Y — равномерное ирострвпетно и S —
покрытие X. Для того чтобы подмножество И равномерного простран-
пространства 8F& (X; У") было нредкомпактио, необходимо и достаточно, чтобы:
1° // (х) было предкомпактио в Y для каждого х 6 X; 2° в Н равномер-
равномерные структуры ©-сходимости и простои сходимости совпади.™. |При-
|Применить теорему 2, рассматривая X как дискретное пространство и о гра-
граничив» ясь1 случаем, когда У отделимо и полно.]
10) а) Пусть X — компактное пространство и (/п) — последова-
последовательность непрерывных отображении X в себя, просто, но не равно-
равномерно сходящаяся на X к непрерглиной функции (§ 1, ri" fi, замечание 2).
Показать, что множество функций fn относительно компактно и #„ (А';Х),
но не п ??с (X; X) = Фи (X; X).
б) Пусть / — интервал [—1, +1] в R и ип (х) — Л/х -j- 4re-j?
для каждого п > (I и каждого х > 0. Показать, что миожестио II
функций ип равностепенно непрерывно в 9% (R+! /) и относительно
компактно в %Q (R.<.; /), но не в <@ц. (R+; /). [Заметить, что последоин-
тельность (ип) просто сходится к 0.1
11) Пусть X — вполне регулярное пространство и б— ишожо-
ство подмножеств ил X, внутренности которых покрывают А'. Пока-
Показать, что пространство %~ (Ж; 1?) но локально компактно.
1.2) Пусть X — топологическое пространство, У — равномерное
пространство, И —• равностепенно непрерывное множество в 1% (X; Y)
и V — симметричное окружение для У. Покидать, что для каждой
точки х £ X множество тех точек х' £ X, для которых, существует

УПРАЖНЕНИЯ 205
n
целое п (зависящее от х), такое, что // (х') ст. V {]{ (.г)), открыто-
аамкпуто. Вывести отсюда, что для каждого компактного и свяаного
множества А' в X и каждой точки х0 £ А' существует такое целое
п > 0, что Н (К) cV(H (*„)).
*13) Пусть X — топологическое пространство, У — локально
компактное равномерное пространство и // — равностепенно непре-
непрерывное множество в % (X; У").
а) Пусть А — множество тех точек х £ X, для которых Я (г)
относительно компактно rt У; показать, что А открыто и X. |См. 2-е над.,
гл. I, § 10, предложено 10 и гл. IJ, § 4, предложение 1; 3-е изд., гл. I,
§ $), предложение 10 и гл. II, § 4, предложение 4.]
б) Предположим, кроме того, что У полно в своей равномерной
структуре; тогда А также замкнуто п Х- [Заметит!., что если х0 £ Л,
то Л (х0) относительно компактно в У, рассматривая для этого ультра-
ультрафильтр и // (хи) как образ некоторого ультрафильтра из //.] В этом
случае, если X связно, то для того, чтобы If было относительно
компактно в фс (X; У), необходимо и достаточно, чтобы множество
// (х0) было относительно компактно в У для какой-нибудь точки
*„ 6 X.
в) Возьмем в качестве X компактный интервал 1Д 1] из II,
а в качестве У — интервал ]0,1[, наделенный равномерной структу-
структурой, индуцируемой ия R. Привести пример равностепенно непрерыв-
непрерывного множества Я в % (X; У), для которого бы множество А, определен-
определенное в а), было интервалом ]0, 1J.
г) Пусть X = У н Н состоит из гомеоморфизмов X на себя. Пока-
Показать, что если Н равпостетшно непрерывно, то множество А, опре-
делгатое и а), открыто-замкнуто л X.
14) Пусть Г — равностепенно непрерывная группа гомеоморфиз-
гомеоморфизмов пространства R на себя; показать, что если некоторый возрастаю-
возрастающий гомеоморфизм к £ Г имеет хотя бы одну неподвижную точку,
то и — тождественное отображение. [Покааать, что в противном слу-
случае моногенная группа, порожденная алемектом и, не была бы равно-
равностепенно непрерывна в надлежаще выбранной неподвижной точке.]
Если и убывает, то и1 — тождественное отображение.
*1Г>) Пусть X — метризуемоо компактное пространство, Г —
группа всех его гомеоморфизмов па себя и G — подгруппа группы Г,
действующая транзитияно в X. Показать, что централизатор If
группы G в Г равностепенно непрерывен. [Рассуждать от противного,
предполагая, что Н не равностепенно непрерывен в некоторой точке
а £ X; вывести отсюда существование последовательности точек
хп £ X и последовательности элементов «„ £ Н таких, что lim xn = а,
71-* ОС
lira ип (а) == 6, lim ип (хп) = с, где 6 -/= с. Заключить отсюда, что
И-+0О 71-»0о

206 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. X, g 2
нослрдопатслыюстг» (ип) просто сходится на X, но ни один точка из X
не является точкой равномерной сходимости для этой последователь-
последовательности, и противоречие с упражнением 9 § 1.]
16) Пусть X — отделимое равномерное пространство и Г —
равностепенно непрерывная группа гомеоморфизмов X на себя. Тогда
отношение оквивалевтности И, определяемое группой Г и X, открыто
(гл. I, 2-е изд., § '.), п° С, 7; З-о изд., § 5, н° 2).
а) Показать, что если псякая орбита относительно Г лпминута
в X, то пространство орбит Х/Т отделимо.
б) Показать, что если всякая орбита относительно Г компактна,
то отношение R замкнуто. [Использовать предложение 7 § 0 глины I
2-го шд. или предложение 10 § 5 глалм I 3-го изд.]
в) Принести пример, когда X компактно, но пи одна орбита
относительно Г не замкнута н X. [См. гл. Ill, 3-е ивд. § 2, упражне-
упражнение 20.]
♦17) Пусть X — компактное пространство и Г — счетная группа
гомеоморфизмов X па себя; предположим, что пространство орбит Х/Г
ощделимо (и потому компактно).
а) Покакать, что орбита Г (х) каждой точки х £ X есть конечное
множество. [Заметить, что если бы лто множество было бесконечно,
оно не имело бы ни одной изолированной точки, и применить теорему
Бэра (гл. IX, § 5, теорема 1).]
б) Пусть Л (хп) для каждой точки х„ £ X. означает нормальный
делитель группы Г, образованный гомеоморфизмами, оставляющими
неподвижными все точки орбиты Г (х0). Показать, что если Д (ж0)
имеет конечное число образующих, то группа Г равностепенно непре-
непрерывна в точке х0. (Пусть /,- A < i s^ m) — образующие нормального
делителя А (#„) и gk A ^ к ^ и) — представители каждого из классов
группы Г по модулю Л (л0), отличных от Л (.г0); взять окрестность V
точки х0 так, чтобы ни одно из множеств ft (V), fjl (V) не пересекало
ни одного из множеств gh (V); использовать затем замкнутость отноше-
отношения пквипалоитности, определяемого группой Г (гл. I, § 10, пред-
предложение 8).]
в) Не предполагая ничего о Д (х0), допустим, что х0 обладает
фундаментальной системой связных окрестностей в X; показать, что
Г раппостененпо непрерывна в точке х0. [Метод, аналогичный указан-
указанному в б).] Вывести отсюда, что если X локально связно, то Г равно-
равностепенно непрерывна.
г) Возьмем п качестве X компактное подпространство п R, состоя-
состоящее из точек 0, 1, Мп и 1 -|- Ип, где п — целые 5=2; привести пример
неравностепенно непрерывной счетной группы Г гомеоморфизмов X
на себя, для которой Х/Г отделимо.
♦18) Пусть G— отделимая топологическая группа, действующая
непрерывно в отделимом топологическом пространстве X", говорят,

УПРАЖНЕНИЯ 207
что G совершенна в точке ха £ X, если орбита Gxn замкнута в X и G
действует совершенно n Gx0 (гл. III, 3-е изд., § 4, п° 1).
а) Пусть G — локально компактная топологическая группа, дей-
действующая пепрерыпно в отделимом равномерном пространстве X.
Предположим, что множество гомиоморфипмоп х >—*■ sx пространства X
на себя, где s пробегает G, равностепенно непрерывно. Покапать, что
если G совершении и точке я-0 в. X, то существует окрестность V атой
томкн такая, что множество тех я £ G, для которых sV П V *?'- 0>
относительно компактно п G. [См. гл. III, 3-е изд., § 4, предложение 7.J
Г>ывссти отсюда, что множество D точек из X, где G совершенна,
открыто в X, и G действует совершенно n D. Если X, кроме того,
локально компактно, то 1) открыто-замкнуто в X. [Использовать
еледетпие 2 предложения 1.]
б) Пусть Е — множество на числовой плоскости И2, состоящее
нл начала @, 0) и точек (О, 2~П), где п — целые. ^=0. Для каждого
целого п £ Z, отличного от 0, обозначим через ип сужение па Е такого
аффнцного ливейного отображения плоскости IX" в себя, что ип @. 0) =
= (п, 0) и ип @, 2~'п') = @, 0"), гдо 0 — иррациональное число
такое, что 0 < 0 < 1; пусть А' — локально компактное подпростран-
подпространство « R2, являющееся объединением Е п всех ип (Е) (п (; Z, п Ф 0).
Обозначим, кроме того, через и0 тояедественноо отображение Е на себя
и определим ип (п £ Z) на всем X, полагая ип (ит (х)) = кп+т (х)
для всех х £ Е и всех т £ Z; множество G отображений ип является
группой гомеоморфизмов X на себя, которую мы наделим дискретной
топологией, так что G будит действовать непрерывно в X. Показать,
что G совершенна в каждой точке да X, но но равностепенно непрерыв-
непрерывна и не действует совершенно в X.
в) Пусть X — подпространство (не локально компактное) в Иг
(отождествленном с С), состоящее из полуплоскости ;/ > 0 и начала.
Определим гомеоморфизм 7^ пространства X на себя, положив и @, 0)==
=- @, 0) и и (ге1<в) = геы', где со' = ш/2, если 0 < со < л/2, (й' —
= 0) — эт/4, если л/2 < а> ^ Зл/4, и со' = 2м — я, ослп Зя/4 <.
< «в < я (г > 0, 0 < о) < я). Пусть G — моногенная группа гомео-
гомеоморфизмов X па себя, порожденная и и наделенная дискретной тополо-
топологией. Показать, что Gравностепенно непрерывна на X и что множеством
тех точек пз X, где G совершенна, служит полуплоскость ;/ > 0.
19) Пусть X —- отделимое равномерное пространство и G — груп-
группа гомеоморфизмов X на себя.
а) Показать, что если G равностепенно непрерывна и дискретна
в топологии простои сходимости, то она замкпута в пространстве
#"„ (X; X).
б) Показать, что если G, наделенная дискретной топологией,
совершенна хотя бы в одной точке нз X (упражнение 18), то она зам-
замкнута в Srs (X; X) и топология простой сходимости индуцирует в G
дискретную топологию.

208 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. X, §3
в) Пусть X — топологическая сумма пространств Х\, Ха, гомео-
морфных R, Tart что X отождоствлмл с произведенном R X {1,2};
наделим X равномерной структурой произведении. Для каждом пары
(т, п) целых рациональных чисел обозначим через ит„ гомеомор-
фнпм X на себя, определенный дли ис.сх х1 £ Xt v х.г £ Х2 уравнениями
"пт (*i) = rt -u >"а + »Р> vmn (*») ~ Ia* -I' '«Y -г nS- где а, р, у.
Ь —■ вещественныр числи =?ь0 такие, что а/р и y/fi иррациональны
и |)а;)личны. Покалить, что отображения ы„„, образуют группу G
гомеоморфизмов X на себя, которая равностепенно непрерывна и дис-
дискретна в топологии простой сходимости, но что G (наделеннан дискрет-
дискретной топологией) не является совершенной ни в одной точке из X.
20) Пусть G — группа гомеоморфизмов отделимого равномерного
пространства X на себя. Предположим, что G рашюстемеппо непрерыв-
непрерывна п, будучи наделенной дискретной топологией, действует совер-
совершенно в X. Предположим, кроме того, что множество всех х £ X,
не являющихся неподвижными ни для одного не тождественного гомео-
гомеоморфизма и £ G, всюду плотно в X. Показать, что при этих условиях
в X существует открытое множество F, такое, что F р, и (/•') = 0
для каждого не тождественного гомеоморфизма «• £ G и что канониче-
канонический образ множества F в пространстве орбит E/G открыт в E/G, всюду
плотен и гомеоморфен F. [Использовать упражнение 16 и теорему
Цорна.]
§ 3. Специальные функциональные пространства
1. Лространства отображений в метрическое
пространство
Пусть X — множество, Y — равномерное пространство,
(/i)iei — семойство отклонений, определяющее равномерную
структуру пространства Y (гл. IX, § 1, п° 4), и @ — некоторое
множество подмножеств из X. Для каждого i £ /, каждого множе-
множества А 6 @ и каждой пары (и, v) отображений X в Y положим
fi(u(x), v{x))\
ясно, что gt,A — отклонение на JF (X; Y) и что семейство откло-
отклонений (gitA), где i пробегает /, а А пробегает @, определяет рав-
равномерную структуру ^-сходимости в ,!f (X; Y). В. частности:
Предложение 1. Если Y — метризуемое равномерное
пространство, то равномерная структура равномерной сходимо-
сходимости в jf (X; Y) метриауема.

/ СПЕЦИАЛЬНЫЙ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 209
В самом деле, пусть d — расстояние и V, согласующееся с рав-
равномерной структурой iiToro пространств; тогда структура pauiio-
Mopimii сходимости в ,/~ (X; У) определяется одним отклоненном
и (.г), v(.r));
.\-=.V
и общем случае ;по отклонение1 но конечно; но опо эквивалентно
некоторому конечному отклонению (гл. IX, § 1, № 2), п так как
равномерная структура равномерной сходимости отделима (§ I,
предложенпе 1), то она мотрнпуема.
Слкдг.тпик. Пуст/, X — топологическое пространство и У —
метрнщемое равномерное пространство; предположим., что суще-
существует такая после<)овате.н>1шст<> (К„) компактных множеств вХ,
что всякое компактное множество из X содержится в одном,
иj А"„. Тогда равномерная структура компактной сходимости
в .Т(А'; V) метризуема.
В самом деле, так как А'„ образуют покрытие X, то /Г,- (X; У)
плиморфно равномерному подпространству процаводвнпя
Ц .^"'и (Л'»". У) (§ 1. п" 2, замечание 3), и потому утверждение
следстпия пытокает из предложения 1 (гл. JX, § 2, следствие 2
теоремы 1).
Наметим, что ото следствие применимо, в частности, когда
Л' — локально компактное пространство, счетное, в бесконечности
(гл. J. 2-е и.чд., стр. 12л русского перевода; .'i-e изд., § У, следст-
пне 1 предложения 1Г>).
Пусть теперь )' — метрическое пространство и d — его рас-
расстояние. Для каждого множества X и множества Q его подмно-
подмножеств будем обозначать через USq, (X; }') множество всех отобра-
отображений и: X -v У таких, что и (А) ограниченно дли каждого А £ ©;
если не оговорепо противное, будем наделять .Wq (X; У) равно-
равномерной структурой ©-сходимости; последняя определяется семей-
семейством отклонений
dA{u,v) -supd («(*), у (я)) (/16©)
па fiSq. (X; У), по предположению, конечных. Яри <& ■-■- {X}
иместо j&q(X; У) будем писать .49 (X; У); отображение и: X~> У
''i It.

210 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. X, § 3
называется ограниченным, если оно принадлежит .$? (X; У), т. е.
если и (X) есть ограниченное множество в У.
Предложения 2. Пусть X — множество и У — метриче-
метрическое пространство. Множество (В (X; У) всех ограниченных ото-
отображений открыто-замкнуто в пространстве yf u (X', У).
Действительно, если и ограниченно, то и всякое отображение
v: X -*• Y такое, что d (и (х), v (х)) ^ 1 для каждого ж £ А', огра-
ограниченно, ибо
d (v (x), v (х0)) < d (и (х), и (х0)) + 2;
следовательно, $ (X; У) открыто. G другой стороны, если и —
точка прикосновения для 98 (X; У) в jfu (X; У), то существует
отображение и0 £ $ (X; У) такоо, что d (и (х), и0 (х)) ^ 1 для
всех х 6 X, и, следовательно, и ограниченно.
Следствие 1. Пусть X — множество, У — метрическое про-
пространство и @ — некоторое множество подмножеств из X. Тогда
множество i?@ (X; У) всех отображений X в У, переводящих каж-
каждое А 6 © в ограниченное множество в У, замкнуто в jF@ (Ar; У).
5 частности, если У полно, то $'д (X; У) тмко е равномерной
структуре ^-сходимости.
Действительно, ЗР© (X; У) есть прообраз подмножества
UJ* (Л; У) произведения f[ ,<FU(/1; У) относительно кано-
лё©
нпческого отображения пространства ,/Fg (X; У) в [J ,^„ (А'; У);
поэтому первое утверждение вытекает из замечания 3 п° 2 § 1.
Второе вытекает ив теоремы 1 § 1.
Следствие 2. Пусть X — топологическое пространство
и У — метрическое пространство. Тогда пространство всех огра-
ограниченных непрерывных отображений X в У открыто-вамкнуто
в пространстве tf „ (X; У); око полно, если У, кроме того, полно.
В самом деле, рассматриваемое пространство является пере-
пересечением
Я(Х\ У) П «,№ У);
первое утверждение следует ив предложения 2, а второе вытекает
из следствия 1 теоремы 2 § 1.

2 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 211
И. Л ространетва отображений
в нормированное пространство
Рассмотрим, в частности, случай, когда Y есть нормированное
векторное пространство над недискретным нормированным телом К
(гл. IX, § 3, п" 3), с нормой И у || элемента у £Y; тогда множество
,F (X; Y) = Yx канонически наделяется структурой векторного
пространства над К. Для того чтобы отображение и: X -> Y было
ограниченным, необходимо и достаточно, чтобы числовая функ-
функция х *-* || и (х) || была ограниченной на X; ясно, что если и, и —
ограниченные отображения X в У", то и -\- Ь и Хи (X £ К) также
ограниченны; иначе говоря, .98 (X; Y) есть векторное подпрост-
подпространство пространства jy (X; У). Кромо того, Цы|| — sup ||г/ (х) \\
есть норма на SS (X', Y), ибо эта функция удовлетворяет нера-
неравенству треугольника, || и || — 0 влечет и — 0 и, наконец, для
всех X 6 К имеем || Хи || = sup || Хи (х) || ■= sup | X | || и (х) \\ —
-- j X | sup \\ и (х) \\ — \ X } \\ и ||. Непосредственно ясно также,
что равномерная структура в -38 (X', Y), определяемая этой нор-
нормой, есть структура равномерной сходимости. Если но оговорено
противное, то рассматривая SS (X; Y) как нормированное про-
пространство, мы всегда будем иметь в виду эту норму.
Предложение- 3.. Если нормированное пространство Y пол-
полно, то всякий ряд (ип) ограниченных отображений X в Y, абсолют-
абсолютно сходящийся в нормированном пространстве 98 {X; Y) (т. в.
ОО
такой, что 2 II ип II < + °°" см. гл. IX, § 3, п° 6), равномерно
п-=--0
сходится на X.
В самом деле, поскольку jg1 (X; У") полно (следствие 1 предло-
предложения 2), это вытекает из предложения 1.1 § 3 главы IX и опре-
определения равномерно сходящегося ряда.
00
Замечание \. Если 2 II "п II < +°°i т0 Для любого х Р. X
ОО 00
имием У^ || ип (х) II < 2 'I "п II < +°°"' другими словами, каждый
из рядов с общим членом ип {х) (х С X) абсолютпо сходится в простран-
пространстве У; но обратное прнррво. Чтобы избежать всякой поясности,
14*

212 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. X, $ 3
иногдп тот факт, что ряд с общим членил || ип || сходится, иыражают,
ГОВОрИ, ЧТО рЯД С. ОО1Ц11.М Ч.'П'НОМ ип ио/'ЫалЫМ СГоОитСЯ. РЯД МО/КРТ
равномерно гхпдип.ся на А, но будут нормально сходящимся; напри-
например, :т> имеет место для ряда (ип) в нроетранстне $ (К; К), определен-
\
]Щго следующим пбра:и>м: ип (.»■) ; - — «ч'м х и пнтерпале [ип, (и -,-■ I) я]
и ип (.г) =- 0 line птого иттркала.
]<1сли Y — нормированная алгебра (гл. IX, § 3, п° 7) над подп-
подпек ротным нормированным коммутативным телом К, то .# (X; Y)
ость алгебра над К; кроме того, норма || и \\ согласуется тогда
с этой структурой алгебры, ибо
|| uv\\ -sup И и (х) v (х) ||<si.,i (|| и (х) || || v (х) ||)<
х£Л' х£Х
Иначе говоря, .99 (X; У) является тогда нормированной алгеб-
алгеброй над толом К.
4. Пусть Xt A ^ I ^ /г) и Y — нормиро-
нормированные векторные пространства, над недискретным нормирован-
ним телом К и X-~ |[ Xt. Множество всех полилинейных ото-
i -i
Сражений X в Y замкнуто в пространстве ^р„ (X; У).
1J самом деле, это множество образовано исемк и (i,"f(X; У),
удовлетворяющими соотношениялг
и(л-\, ...,х\ \-х], ...,хп) -и (.г, х], ...,xn)~yu(xt, ...,х", ..., .г„), |
и (.г,, .. . ,Ъ-и . . .,xn):-=h.i (xi, ...,Xi, ...,xn) p
A ^ i ^ n, xh х\, х"\ — произвольные элементы из Хи К — про-
произвольное в К); обо части ка.кдого им соотношений A) — непре-
непрерывные функции от и в ,Fs (X; У) (§ 1, п° 2, замечание 6), откуда
и следует предложение (гл. I, 2-е изд., § 8, следствие 1 предложе-
предложения 6; .'3-е и.чд., § 8, предложение 2).
Предложшик Г). При условиях предложения 4 множество
X (Xi, . . ., Хп\ Y) всех непрерывных полилинейных отображе-
отображений X в Y замкнуто в ,'f (X; У), наделенном топологией ограни-
ограниченной сходимости; оно полно в равномерной структуре ограни-
ограниченной сходимости, когда У полно.

а специальный функциональные пространства 213
Действительно, осли @ — множество «сох ограниченных под-
подмножеств из X, то X (Х\, . . ., Х„; У) ость пересечение множе-
ства всех полилинейных отображений X в У с множеством
:/9^ (X; У) (гл. IX, § 'А, теорема I); справедливость предложения
лытекает потому из предложении 4 и следствия 1 предложения 2.
Всюду далее в этом п° К означает коммутативное недискрет-
недискретное нормированное тело.
Тогда X (X), . . ., Хп; У) ость векторное подпространство
и ,Т' (X; У). ]1усть Я — единичный тар произведении X, т. е.
множество тех {Xi)u~i--n, для которых sup \\x-t || ^ 1; отображе-
пио и >-*■ и | В пространства X (Хь . . ., Хп; У) в .# (В; У)
чнъективпо; кроме того, прообраз ранпо.морной структуры рав-
равномерной, сходимости н .9? (В; У) относительно этого отображе-
отображения есть равномерная структура ограниченной сходимости
в X (Х(, . . ., Хп; У). Действительно, всякое ограниченное мно-
множество в X содержится в мпожестпе вида uVJ (где ii ^ К*), и ска-
,чать, что для некоторого элемента и 6 X (Xt, . . ., Х„; У) и всех
z(zl>B выполняется неравенство || ы (.?) ||^ а, равносильно тому,
чтобы сказать, что || и (,-j) || ^ a/\ \i |" для всех х 6 В. Отсюда
непосредственно следует, что число || и \\ — sup (|| и (х) \\l\\ х ||)
~.ф О
является нормой, па X (X,, . . ., Х„; У), определяющей в этом
пространстве равномерную структуру ограниченной сходимости,
и, очевидно,
|| и{хи . . ., хп) || < || х || ||*ч || ... || хп ||. B)
Если но оговорено противное, то, рассматривая X (Xlt . . .
. . ., Хп; У) как нормированное пространство, мы всегда будем
иметь и виду эту норму.
Предложении П. Полилинейное отображение
(«, '«1 хп) •-* »■ (-«ь • • •. •«„)
нормированного пространства X (Х(, ..., Хп; У) X X, X ... X Хп
к У непрерывно.
Это — непосредственное следстште перавепства B) (гл. IX,
S 3, теорема 1).

214 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. X, § 3
Предложение 7. Пусть X, Y, Z — нормированные про-
пространства над К. Каноническое отображение нормированного
пространства X (X, Y; Z) в пространство линейных отображе-
отображений X в X (Y\ Z), относящее каждому и £ X (X, Y; Z) отобра-
отображение х *-*■ и (х, •), есть изометрия X (X, Y; Z) на X (X; X (У; Z)).
Это непосредственно следует из определений и соотношения
sup (sup || и (х, у) ||) - sup || к (ас, у)\\.
11*115=1 IMMS1 11*11^1 ||1|1
Предложение 8. Пусть X, Y, Z — нормированные про-
пространства над К. Билинейное отображение (и, v) *-*■ v ° и произ-
произведения X (X; Y) X X (Y; Z) в X (X; Z) непрерывно.
Действительно, для любых и £ X {X; Y) и v £ X (У; Z), более
точно, имеем
II V о и || < || Ц || || V ||, C)
ибо, каково бы ни было х 6 X, в силу B)
|| v (и (х)) || < || v || || и (ас) || < || v\\\\u || || х \\.
В частности, на множестве X (X) всех непрерывных эндомор-
эндоморфизмов нормированного пространства X над К норма \\ и || согла-
согласуется со структурой алгебры над К.
Замечание 2. Множество X (Rm; Rn) псох (необходимо
' непрерывных) лин'ейных отображений Rm в Rn отождестшшо с множе-
множеством Mn,m (R) всех матриц с п строками и т столбцами над К,
т. е. с Rmn; на X (]\т; R") равномерные структуры ограниченной схо-
сходимости (относительно евклидова расстояния в R), компактной
сходимости и простой сходимости отождествляются тогда с аддитивной
равномерной структурой в Rmn. В самом деле, вояьмем в R" норму
|| х || = sup | xi | для х = (х(), и пусть (ef) — канонический базис
в Rm; если и и v — такие линейные отображения R"> в Rn, что
|| и (е}) - v (су) Ке A < / < т),
то для матриц
U = (оу) и V »(р<у)
этих отображений будем иметь | atj- — Pfj I < в для всех нар (i, /);
и обратно, если эти неравенства выполпепы, то для лгобой топки х куба
с центром 0 и стороной а в Rm будом иметь
|| и (ас) — v (а?) || < таг.

.4 СПВЦИАЛЬНЫК ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 215
«7. Свойства счетпости пространств
непрерывных функций
Теорема 1. Пусть X — компактное пространство.
а) Если X метризуемо, то для каждого метризуемого равно-
мериого пространства Y счетного типа (гл. IX, § 2, п° 8) мстри-
зуемое пространство %U(X\ У) всех непрерывных отображений
X в Y, наделенное топологией равномерной сходимости, будет
счетного типа.
б) Обратно, если метризуемое пространство f'u (X; R) есть
пространство счетного типа, то X метризуемо.
а) Пусть d (соотв. d') — расстояние, согласующееся с топо-
топологией пространства X (соотв. равномерной структурой простран-
пространства У); как мы знаем, б (/, g) — sup d' (/ (х), g (x)) ость рас-
стояние, определяющее структуру равномерной сходимости
в 'С, (X; Y), состоящем из ограниченных функций, поскольку X
компактно (п° 1). Обозначим через Gmn для каждой пары целых
чисел т > О, п > 0 множество тех функций / £ гв (X; Y), для
которых d (х, х') ^ \1т влечет d' (/ (x), f (x1)) ^ 1/ге; так как
всякая функция / £ ¥? (X; Y) равномерно непрерывна (гл. II,
§ 4, теорема 2), то % (X; Y) при любом п > 0 является объедине-
объединением всех Gmn (т > 0). Пусть {at, . . ., a.JHm)} — такое конечное
множество в X, что открытые шары с центрами а; A ^ i ^ р (т))
и радиусом 1/т- образуют покрытие пространства X; пусть,
с другой стороны, (b,.)r£N — счетная всюду плотная последова-
последовательность в Y. Для каждого отображения <р множества {1, ...
. . .., р (т)} в N обозначим чорез IIа множество тех / 6 Gmn, для
которых d' (/ (ah), bwh)) ^ 1/ra A < k < p (т)). По определению
точек br, Gmn есть объединение всех На (q> £ Np<m)); пусть Стп —
множество тех ср £ NP(m\ для которых Пуф 0, и каждому ф £ Стп
поставлено в соответствие но элементу gy из IIV; обозначим, нако-
наконец, через Lmn счетное множество всех £ф (ф 6 Стп). Пусть / g
£ Gmn и ф — элемент из Стп, для которого / £ На; из определе-
определений сразу вытекает, что d' (f (x), ga (ж)) ^ 4/ге для всех х б X,
т. е. б (/, £ф) <: 4/п. Отсюда следует, что объединение всех Lmn
всюду плотно в #„ (X; У): действительно, для каждого целого
п > 0 и каждого / £ % (X; У) существует такоо т, что / £ Стп,
откуда явствует, что расстояние от / до Lmn не превышает 4/п.

21 Г» <1>УПКШЮИЛЛЫ1ЫК ПРОСТГЛИСТПЛ ГЛ. X, § :{
б) Пусть / г - [О, 1J; как равномерное подпространство про-
пространства с(?и (X; К), 'ви (X; 1) есть пространство счетного типа;
пусть (/„) — всюду плотная последовательность в этом простран-
пространство. Рассмотрим произведение К ■-■■■■. Is к отображение^: х*-> (/„ (.т))
пространства X в К, оченидио, непрерывное; \\> ипъекпшвно:
действительно, согласно определению последовательности (/„), вы-
иолнепне равенства /п (х) • ■ jn{x') для всех п влечет путем перехода
к продолу, что / (х) — f (х1) для каждой функции / £ %} (X; /);
но если х Ф- х', это невозможно в силу аксиомы (Orv), применен-
примененной к точке х и ее окрестности V, не содержащей х' (гл. JX, § 1,
теорема 2). Отсюда заключаем, что компактное пространство X
гомеоморфно п.однространстиу1|э(Х) пространства Л.' (гл. I, 2-е плд.,
§ 10, следстпне 2 теоремы 2; 3-е над., § 9, следствие 2 теоремы 2);
но так как К мотрпзуемо и счетного типа, то то же справед-
справедливо для i|" (X), а значит н для X. Теорема доказана. 38 12
Слкдствие. Пусть X — локальное компактное простран-
пространство с топологией, обладающей счетным базисом, и Y — метри-
зуемое равномерное пространство счетного типа.
а) Пространство X всех непрерывных отображений, X в Y,
имеющих предел на бесконечности, наделенное топологией равно-
равномерной сходимости на X, есть метризцемое пространство счет-
счетного типа.
б) Пространство 'Sc. (X; У) всех непрерывных отображений X
в Y, наделенное топологией компактной сходимости, есть метри-
зуемое пространство счетного типа.
а) Пусть X' — компактное пространство, получаемое при-
присоединением it X бесконечно удаленной точки (гл. I, 2-е изд..
§ 10, теорема 4; 3-е изд., § '.), теорема 4); по определению всякая
функция / из X продолжается единственным образом до непре-
непрерывного отображения /пространства X' в У, так что / >—> / есть
биекцин X па '6 {Х'\ У); кроме того, в силу предложения (J § 1 ота
бнекция есть гомеоморфизм пространства X па '6'и (X'; У). Остает-
Остается применить к X' и У теорему 1, заметив еще, что X' метризуемо
(гл. IX, § 2, следствие предложении 16).
б) Пусть (U,,) — такое покрытие пространства X относительно
компактными открытыми м.по?кестиами, что всякое компактное
множество в X содержится, и одном из Un (гл. ], 2-е изд., стр. 124

+ СПЕЦИАЛЬНЫ К ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ ПРОСТРАНСТВА 217
русского перевода; 3-е изд., § 9, следствие I предложения 15).
Топология компактной сходимости в % (X; >') совпадает с тополо-
топологией (^-сходимости, где <Z— множество всех 6',,. Следовательно
(§ 1, и' 2, замечание .">). пространство '(v (X; )") гомеоморфпо под-
подпространству произведения ]J '(■'и (£/„; >'); поскольку каждое
it
из компактных пространств U,, обладает счетным базисом:, оно
метризуемо (гл. IX, § 2, предложение Hi); значит, в силу теоремы 1
каждое из '('■ и ((./„; У) метрпзуемо п счетного тина, и потому то же
нор)со также дли '(-с (X; >").
ЯмМОПГМ, ЧТО ll|)l)('T|)illl('TRO IICI'X 1М|>;П111Ч1>1МШХ ll(>lipci)l>IHI1I.IX
чнс.'кшых функции iiii It, наделенное ionojioiuoii |>iinn<>Mt>piii>ii сходи-
сходимости, lit1 ecTii Н|)ост|>алст|11> снтииго rnim (упражнение 4).
4. Tono.io/un -ко.мпакт.пок cxoOu.vocmti
Tkoi'kma 2. Jli/cnih X -■■■ топологическое пространство и Y —
равномерное пространство. Для кажОои пары- (К, с/), где
К — компактное- множество в X и V - открытое множество в Y,
обозначим чере.1 Т (К, U) множество всех непрерывных отображе-
luiii и: X —*■ Y, ()ля которых и {K)cz U. Тогда множества вида
Т (А', £/) порождают (гл. 1, § 2, и ' 3) топологию компактной схо-
сходимости в Ч; (X, Y).
Пусть Уг' -■- отделимое равномерное проетрапстно, ассоцннро-
liamioe с У (гл. II, 2-е изд., § 1, н" 4; '5-е изд., § ;>, п' 8) п /: ) —*-
-->- У' ■■■ каноническое отобраяччмте Г па У. Топология компакт-
компактной, сходимости есть слабейшая из топологии, при которых непре-
непрерывны все отображения и к» (i о и) | А' пространства '{' (X; У)
в '( „ (А.*; У), где А" пробегает псе компактные множества из X
(S !, предлоячешге 4). Поэтому мы получим систему образующих
топологии пространства 'fc (X; Уг). беря для каждого компактного
множества К из X какую-лгтбо систему образующих топологии
пространства '(■ '„ (А'; У) ч ее прообраз в 'С (X; ) ) п рассматривая
об'ьедппенне в sJ[b (% (X; )")) все\ получаемых таким образом мно-
множеств подмножеств 'G (X; У). С другой стороны, всякое открытое
-1
множество в У имеет вид I (V), где V открыто в У (гл. II, 3-е
. i
мид., § 'Л, предложение 12); поэтому Т (К, I {()')) для любого ком-

218 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. X, § :»
пактного К' ю К является прообразом 7Т (К, U') относительно
отображения % {X; У) ->- $„ (К', У) и доказательство теоремы
сводится к случаю, когда X компактно, a Y отделимо, что мы
далее и будем предполагать.
Покажем сначала, что Т (К, U) открыто в %с (X; Y). Пусть
и0 — точка этого множества; поскольку и0 (К) компактно (гл. I,
2-е изд., § 10, следствие 1 теоремы 2; 3-е изд., § 9, следствие 1
теоремы 2) и содержится в открытом множество U, существует
симметричное окружение V для Y такое, что V (ио(К)) cr U (гл. II,
2-е пзд., § 4, следствие предложения 1; 3-е изд., § 4, следствие
предложения 4). Пусть W — окрестность точки и0 в С6'г (X; У),
образованная темл непрерывными отображениями и: X -*- Y, для
которых (и (х), и0 (х)) 6 V при всех х £ К- Для этих отображений,
очевидно, имеем и (К) с. V (и0 (К)) a U, откуда и 6 Т (К, U) и,
следовательно, We: T (К, U), чем наше утверждение доказано.
Обратно, пусть W— окрестность точки и0 (j #c (X; Y); пока-
покажем, что W содержит пересечение коночного числа окрестностей
и0 вида Т (К, U). Можно предположить, что W есть множество
тех и ^'в (X; Y), для которых (и (х), и0 (х)) 6 V при всех х £ X,
где V — заданное окружение для Y. Так как и0 непрерывно на X,
то оно равномерно непрерывно (гл. II, § 4, теорема 2); пусть
Vi — симмотрпчное окружение для Y, открытое в У х У и такое,
2
что Vt cr V. Существует покрытие пространства X конечным чис-
числом компактных множеств Kt A ^ i ^ п) таких, что и0 (Kt)
A ^ i ^ п) малы порядка Vi. Пусть Ui — открытое множество
Fi (»0 (Kt)) пи — непрерывное отображение X в У, принадлежа-
принадлежащее пересечению п множеств Т (Kt, Ui) (являющихся окрестно-
окрестностями и0). Тогда и (х) для всех х 6 А"г принадлежит Ut, и потому
2
и0 (х) и и (х) близки порядка Vif а следовательно, близки поряд-
порядка V. Так как каждое х 6 X принадлежит хотя бы одному Kt,
то и £ W, и теорема доказана.
Этот результат подсказывает введение следующего опреде-
определения:
Определение 1. Пусть X и У — топологические прост-
пространства (не обязательно раеномеризуемые). Для любой пары
(К, U), где К — компактное множество в X, a U — открытое

4 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 219
множество в У, обозначим через Т (К, U) множество всех и £
6 $ (X; У), для которых и (К) cr U. Топологией компактной сходи-
сходимости в % (X; Y) называется топология, порождаемая множеством
всех подмножеств вида Т (К; U); топологическое пространство,
получаемое наделением $ (X; У) этой топологией, обозначается
?r(X; У).
Из теоремы 2 следует, что в случае, когда Y — равномерное
пространство, это определение совпадает с данным в п° 3 § 1.
Топология,"* индуцируемая в множестве IIс: % (X; Y)
из сбс (X; Y), будет по-прежнему называться топологией компакт-
компактной сходимости.
П р и м е р. Пусть / — интервал [0, 1] n U; пространство %'с (/; У)
для любою топологического пространства Y назмиаотся простран-
пространством путей и У; для каждого у £ У ого подпространство О;/ (У),
образованное путпмц и, для которых и @) — и A) = у, намывается
пространством петель (в У) в точке у.
Замечания. 1) Говорят также, что топология, индуциро-
индуцированная в % (X; Y) топологией произведения YK — <f (X; Y),
есть топология простой сходимости (причем У не обязательно
равноморизуемо); она порождается множествами вида Т ({х}, U),
где х £ X и U открыто в У, и следовательно, мажорируется топо-
топологией компактной сходимости. Отсюда вытекает, что если У
отделимо, то пространство %с (X; Y) отделимо (гл. I, 2-е изд.,
§ С, следствие предложения 4; 3-е изд., § 8, следствие предложе-
предложения 5).
2) Пусть C — система образующих топологии пространства У
н Jil — некоторое множество компактных множеств из X, обла-
обладающее следующим свойством:
(R) Для каждого компактного множества L в X и каждой его
окрестности V существует конечное число множеств Kt £ Ш таких,
что Lcz\J KiCzV.
г
Тогда Т (К, U) (К £ №. U £ <3)— система образующих топо-
топологии компактной сходимости в IS (X; У). Действительно, доста-
достаточно доказать, что для каждого компактного мпожества L в X,
каждого открытого множества V в У и каждого и 6 Т (L, V) суще-
существует конечное число пар (Kif U{), где Kt 6 Я и Ui 6 <3, таких,

220 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. X, § ;{
что и С f\ T {Kh UJczT (L, V). Заметим сначала, что дли кал,-
i
дои конечной последовательности (о^) множеств ил о и каждого
компактного множества М в X, по определению, Т (j]f, f] SA —
it
-■-■ f] T (M, S\). Поэтому прежде всего можно заменить <£ мпо-
к
жествол! пересечений всевозможных конечных семейств множеств
из <2, другими словами предположить, что Q есть базис тополо-
топологии пространства У. По предположению, » (.//) квазпкомиактно
и содержится и V, та it что существует конечное число множеств
U \ С <£, содержащихся в V и покрывающих a (L). Множества
j
и (U,) открыты в X и покрывают L. Поэтому каждое х С L обла-
обладает компактной окрестностью Nx в L, содержащейся в одной
ил и (Ut), н L может быть покрыто конечным числом этих мно-
множеств Nx. -■■■ fj/, обозначим для каждого j через i (j) какой-либо
• j
ыз индексов I, для которьтх JjjCZ и. (Ui). Тогда для кая;дого индек-
индекса / существует, согласно (\\), конечное чис.!го ,\iHo;i;ecrn ATy/i cr
-■i
с: и {Ui^)), нрннад.чежащих i\ it покрывающих Lr Для ка;к-
дого v £ f\ T (Kjh, Ultp) будем иметь \J v (Кlh) с Ui(p, откуда
j, i' . it
v {Lj)cz Uцр и v (L) -■■-• ^J v (/jj)cz U Unj»^ ^ чем ''зше
j J
утверждение п доказано.
Tkopkma ;'». Пусть X, У, Z —■ топологические пространства,
uf -■ отображение X X У в Z. Если j непрерывно, то j: х н-> / (х,' •)
есть непрерывное отображении X. в 'Сс (Y; Z). Обратное справед-
справедливо, если У локально компактно.
Предположим, что / непрерывно, л докажем непрерывность /;
требуется доказать, что для каждого компактного множества К
из Y и каждого открытого множества G ил Z прообраз V множе-
множества Т (К, U) относительно отображения / открыт в X. Итак,
пусть х0 £ У. Для каждого // С К имеем / (ж,„ у) С U, и так кик /
непрерывно, то имеются окрестность V,, точки хп в X и окрест-
окрестность Wv точки у в У такие, что / (Vy X И7,,) с: U. Поскольку К

4 СПЕЦИАЛЬНЫ.]'! ФУНКЦИОНАЛЬНЫ К ПРОСТРАНСТВА 22!
компактно, существует конечное число точек yt 6 К (I ^ i <1 п)
таких, что множества ^F,/. покрывают А'. Пусть V" — пересечение
окрестностей У„. точки х0; V — также окрестность точки х0;
для всех х 6 У и у £ А' будем иметь / (а:, //) £ U, поскольку у
содержится в некотором \¥у., а х £ Fv. upn любом t; таким обра-
ном, V с V, так что V ость окрестность каждой своей точки и,
значит, открыто it A'.
Обратно, предположив, что / непрерывно п У локально ком-
компактно, докажем непрерывность /. Пусть ха 6 -V, у0 6 У и U —
открытая окрестность точки/ (хп, уи) и Z; докажем, что существуют
окрестность V точки хп к А" и окрестность W точки у0 к )' такие,
что / (V X W)cz LJ. Поскольку // >-* j (x0, у) непрерывно, суще-
существует компактная окрестность W точки </ft такая, что / ({хп} :<
X W) с (J. С другой стороны, так как / непрерывно, то множество
V тех х 6 X, для которых / {х, •) 6 Т (W, U) (т. е. / (х, у) 6 V
для всех у £ W), (лчерыто в X и есть, таким обра.чом, окрестность
точки хц. Но тогда / (V X W)c U, и теорема докапана.
Сл1:д(;тшп'. 1. Пусть X — локально компактное простран-
пространство, У — топологическое пространство и Л с 'й (X; У). Тогда
в II топология компактной сходимости является слабейшей из то-
топологии.! при которых отображение (и, х) ►—>- и (х) произведения
If \ X в У непрерывно.
' В самом деле, в силу теоремы 3 непрерывность этого отоб-
отображения равносильна непрерывности канонической инъекции
ll-+V,e(X;Y).
3 а м о ч л II н я. 'Л) Пусть X — лоипльпо компактное прострам-
стно и Y ■■•■ отделимое топологическое uporrpuircTiio. Kcvrir .T —
топология it ммижестпе // с; V (A'; Y), мри которой отображению
(и, .г) h-*■ " (■»") lreiipcpiirniio и.i // '.■', X, и, кроме тот, У/ компактно
и :>той тоцолоршг, то .7" совиадмет с топологией компактной сходимости.
I! самом деле, п силу слодстпия 1 .Г мажорирует :>ту иоследнкни, и так
пак TOKo.ioi-ня компактно)"! сходимости отделима, то :nirj топо.'югни
совпадают. Камети.м, что если, кроме того, Y «ткни: регулярно, то
If равностепенно непрерывно дли .'iKifioii рапмомерпой структуры,
согласующейся с топологией пространства Y (§ 2, следствие Л теоре-
теоремы 2), и для каждого компактного миожестна К п X множегтио П (К) —
— II// (.г) компактно, кпк o5pii:i нрсиг^медения If X К при пепре-
рыином отобраЖ(Ч1ПИ (и, х) н—♦■ и(х).

222 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. X, § 3
Следствие 2. Пусть X, У, Z — топологические простран-
пространства, причем X отделимо, a Y локально компактно. Тогда суже-
сужение па (& (X X Y; Z) канонической биекции jF (X X У; Z) ->
-*• & № & (У; Z)) (Теор. множ., Сводка результ., § 4, п° 14)
есть гомеоморфизм ?ос (X X У; Z) на '€>й (X; 4Se (У; '£)).
Ясно, что в силу теоремы 3 это сужение является бпекцией
р: qixF; Z) -v ff (X; %с (У; Z)).
Остается убедиться в том, что топология компактной сходимости
ъ % {X X У; Z) является прообразом относительно р топологии
компактной сходимости в % (X; $<:(У; Z)). Поскольку топология
в %с (У; Z) обладает системой образующих, состоящей из всевоз-
всевозможных Т (К, V), где К — компактное мпожество в У, a U —
открытое множество ъ/Z, из замечании 2 слодуст, что топология
в $с {X; %с (У; Z)) поролодается множествами вида Т (/, Т (К, £/)),
где К TS.U описаны выше, а/ — компактное множество в X. Но об-
]■
раз множества Т (/, Т (К, V)) при отображении р есть не что
иное, как Т (/ X A", U); следовательно, это открытое множество,
чем уже доказано, что р непрерывно. Обратно, заметим, что мно-
множества вида / X К и X X У, где / — компактное множество
ъ X, а К — компактное множество в У, удовлетворяют условию
(В) замечания 2: действительно, если L — компактное множество
в X X У и V — окрестность L в X X У, то, поскольку X и У -
отделимы, проекции М = pri (L), N — рг2 (£) компактны,
xiVf)(MxN) есть окрестность Л в компактном пространстве
М х N, так что всякая точка из L обладает в М X N. окрестно-
окрестностью вида /X К с V, где J cz M и А'с iV компактны; отсюда
вытекает паше утверждение, ибо L может быть покрыто конеч-
конечным числом этих окрестностей. Таким образом, множества вида
Т (/ X К; U), где V открыто в Z, а / (соотв. К) компактно в X
(соотв. У), порождают топологию пространства ¥с (X X У; Z);
но мы видели, что образ Т (J X К, U) при отображении р есть
открытое множество Т (/, Т (К, U)) в Тос{Х; С6С (У; Z)), чем л за-
завершается доказательство того, что р — гомеоморфизм.
Отмотим, что сели Z предположить, кроме того, равпоморяпуимым,.
то следствий2 триииилышм оиризом вытекало бы из предложения 2 § 1.
Предложение 9. Пусть X, У, Z — топологические про-
пространства, причем У локально компактно. Тогда отображение

Л СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 223
(и, v) ■-*• v о и произведения %,. (X\Y) X V>e (Y; Z) в %0 (X; Z) непре-
непрерывно.
Требуется доказать, что для каждого 'компактного множества
К из X и каждого открытого множества U па Z множество R тех
нар (и, v), для которых v (и (К)) сU, открыто в r6c (X; Y) X
X r@e{Y; Z). Пусть (и0, vQ) — элемент множества, R. Тогда
ип (К) — компактное подмножество локально выпуклого про-
-1
странства Y, содержащееся в открытом множестве v0 (U); поэтому
и0 (К) обладает компактной окрестностью L, содержащейся
в v0 (V) (гл. I, 2-е над., § 10, предложение 10; З-о изд, § 9, пред-
предложение 10). Множество V тех и g %'„ (X; Y), для которых и (К) с;
О
с L, есть окрестность и0, а множество W тех v 6 ^C.(Y; Z), для
которых v (L) с U, есть окрестность v0; при этом (и, v) f V х W
влечет у (м (Я)) с: t/, и предложению доказано.
Л. Топологии в группах гомеоморфизмов
Предложение 10. Пусть X — равномерное пространство
и N — равностепенно непрерывное множество гомеоморфизмов X
на себя. Если наделить Н и П~1 топологией простой сходимости
на- X, то отображение и у-*- и'1 пространства Л'1 на Н будет
непрерывно.
Достаточно доказать, что для каждого х0 £ X отображение
и у-*- и'1 (х0) пространства П в X непрерывно в каждой точко
и0 £ Н'1. Пусть V — симметричное окружение для X и у0 —
— и'1 (х0). По предположению, существует такое симметричное
окружение U для X, что (х, х0) g U влечет (и'1 (х), и~х (х0)) £ V
для всех и 6 Н~1. Возьмем и ^ Н~х близким порядка W ({y0}, U)
к щ; тогда будем иметь (и ((/„), и0 (//„)) 6 V, т. е. (и ((/„), ж0) 6 ^.
Отсюда (у0, и-1 (х0)) 6 F, т. е. (и~1 (х0), и-1 (ж0)) g F, и предложе-
предложение доказано.
Следствие. Пусть X — равномерное пространство и Н —
равностепенно непрерывная группа гомеоморфизмов X на себя.
Тогда в IT топология простой сходимости на X согласуется (гл. III,
§ 1, п° 1) со структурой группы.

22 1 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Г.Т. X, § \\
Это вмтокает it.! предложения 10, а также следствия Г> предло-
предложении 1 § 2.
Предложение 11. Пусть X — компактное пространство
и V —- группа всех гомеоморфизмов X на себя. Тогда в V топология
равномерной сходимости па X согласуется (гл. Ill, § 1, п° 1)
со структурой группы.
Как мы ужо ;шаом (предложение '.)), отображение (//, г) •—*■
|—*■ v ° //■ произведения Г ',< Г в Г непрерывно и :)той топологии,
так что все сводится к доказательству непрерывности отображе-
отображения и ь-*. и~1 в каждой точке н„ 6 ■£'• Поскольку u~~t' рагшоморно
непрерывно на X, каково бы ни было симметричное окружение V
дли X. существует такое окружение W для X, что (а:, х') £ 1У
ллечет (//~1 (х), и~1Л (х1)) £ К. Поэтому, если г/. £ Г таково, что
(//() (ат), » (ж)) g W для всех х £ X, то ии предыдущего следует, что
(х, u~l (/( (х))) g Удля всех х £ Х\ откуда, поскольку 't биектиыго,
(м (ж), 7/ (х)) 6 F для каждого х ^ X, и предложение доказано.
Пусть теперь X — локально компактное пространство и Г —
группа всех гомеоморфизмов X па себя; и Г топология компактной
сходимости на X не обязательно согласуется со структурой группы
(упражнение 17). Обозпачи.» черед X' компактное пространство,
получаемое присоединением к X бесконечно удаленной точки со;
всякий гомеоморфизм и пространства X на себя продолжается
единственным образом до гомеоморфизма и' пространства X'
па себя такого, что и' (<о) ■-=■- со (гл. I, 2-е изд., § 10, предложе-
предложение 1.5; •!-е изд., § 10, следствие предложения 7), так что Г отожде-
ствнма с подгруппой группы 1" всех гомеоморфизмов пространства
X', образованной гомеоморфизмами, оставляющими точку ы не-
неподвижной. Таким образом, топология, индуцируемая в I1 из
%и (X'; X'), согласуется со структурой группы (предложение II),
и Г замкнута в V (в топологии, индуцируемой из 'Си (X'; X')),
ибо Г определяется уравнением и' (го) -•■--:■ (о (§ 1, н° 2, замеча-
замечание (i). Обозначим через .7 р так определенную групповую топо-
топологию и Г; она мажорирует топологию компактной сходимости
и (в силу предложепня С> § 1) может быть также определена как
топология равномерной сходимости на X, наделенном равномер-
равномерной структурой, индуцируемой единственной равномерной струк-
структурой пространства X'.

-, СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 225
Топология 3~ $ может бить охарактерипована следующим
образом:
Предложения 12. И группе У всех гомеоморфизмов локаль-
локально компактного пространства К топология ,°7\\ есть слабейшая
из топологий, при которых непрерывны отображения и ь-*■ и
и и н-> и~г группы Г в пространство V,. (X; X).
Обо.шачим: вромогию упомянутую слабейшую топологию через
. у '. Так как и*—*- и~г непрерывно»./" р, л.у'р, мажорирует топологию
компактной сходимости, то ясно, что ,/ р мажорирует ,>"'. Чтобы
доказать обратное, наделим X' его единстпенной равномерной
структурой; пусть //,, 6 Г и V — некоторое окружение для. X';
требуется доказать существование компактного множества К в X
и симметричного окружения W для X' таких, что если и £ Г,
а (и0 (х), и (х)) £ W и (и'1 (х), и'1 (.г)) £ W для всех х £ Л', то
(»0 (х), « (ж)) g V для «сох .#£Х. Пусть T'i — такое открмтое
2
симметричное окружение для X', что Fid F; тогда Л^ -= X' —
— У( (со) компактно « X. возьмем открытое симметричное окру-
окружение W для X' так, чтобы И^сг V м W (со) П И7 («-' G^0) =
-- 0; это возможно в силу предложения 4 § 4 главы П 3-го иг»да-
пия (предложения 1 § 4 глави II 2-го издания), н множество К2 ~
А" — W (со) будет компактно п X; понажрд!, что IV п компакт-
компактное множество К = К\ [) К.г будут обладать требуолшм спойст-
iioM. Дейстпитолмю; поскольку Wcz V, достаточно доказать, что
если (и~1 (х), и~1 (х)) 6 IF для всех х 6 /ч (где и 6 Г), то (и (у), со) €
£ Fi для все.х // f TF (со); тогда будем также иметь (?/0 (у), со) £ Fi
и потому (г/.о (?/), // (,г/)) (; Ff сг V для всех // 6 W (со) == X' — К2.
По если бит // £ IF(o>) н « (?/) £ X' — Fi (со) =- /Ci, то отсюда
нмтекало бы, что у ^ »-' (А',) с: IF (//^l (/<t)), в противоречие
с выбором W7, и доказательство .чакоячено.
В общем случае группа Г, наделенная топологией ,Т$, не ло-
локально компактна (упражнение 166)); однако имеет место следую-
следующий критерий:
Творкма 4. Пусть С — подгруппа группы У всех гомеомор-
гомеоморфизмов локально компактного пространства X на- себя. Предпо-
Предположим, что в npocmjiaистее '(\. (А'; X) существует такая окрест-
!•' П. ПурОакн

226 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. X, § Я
ностъ V тождественного отображения е, что V (] G ~ И сим-
симметрично в Gu относительно компактно в #с (X; X). Тогда замы-
замыкание G подгруппы G вТ в топологии S& есть локально компактная
группа в топологии, которую индуцирует jTp, причем эта инду-
индуцированная топология в G совпадает с топологией компактной
сходимости, а замыкание 11 множества В в %с (X; X) есть окрест-
окрестность элемента е в G в этой топологии.
Покажем сначала, что II содержится в Г и что в II топология,
которую ипдуцирует S р, совпадает с топологией компактной схо-
сходимости. Пусть и„ £ //, являясь, таким . образом, пределом
в с(эс (X; X) некоторого ультрафильтра Ф в В; поскольку Ф'-1
(образ Ф при отображении и \~* и'1) есть базис ультрафильтра
вЯсЯ, он сходится в компактном подпрострапстве Н простран-
пространства ^с (X; X) к некоторому элементу v0. Отображение (и, v) *-*■
»-♦ uv сходится к uovo по Ф х Ф (предложение 9); тем более
и *-*■ ии'1 — е сходится к uovo по Ф, так что uovo — e, поскольку
^с (X; X) отделимо; так же убеждаемся в том, что !;owo = e, так
что и0 и v0 — взаимно обратные биекции пространства X, и пер-
первое утверждение доказано. Это рассуждение показывает, кроме
того, что В'1 = // и что для каждого ультрафильтра Ф в В, схо-
сходящегося к ц0, Ф сходится- в гбс (X; X) к и?\ таким образом,
отображение и *-*■ и'1 пространства //, наделенного топологией
компактной сходимости, в ??с (X; X) непрерывно (гл. I, 2-е изд.,
§ 6, следствие 1 предложения 9; 3-е изд., § 7, следствие 1 пред-
предложения 9). Предложение 12 доказывает тогда, что в /7 топология
компактной сходимости совпадает с топологией, которую инду-
индуцирует ЗГъ.
Кроме того, поскольку топология Ур в Г мажорирует тополо-
топологию компактной сходимости, // является также замыканием //
в $"$', но // есть окрестность племента е в G в топологии компакт-
компактной сходимости и тем более в топологии, которую лпдуцпрует ,5~У>
отсюда следует (гл. I, 3-е изд., § 3, предложение 2), что В есть
окрестность гвбв топологии, которую индуцирует S"b> чем дока-
доказана локальная компактность G в этой топологии. При этом,
осли W — внутренность V в топологии компактной сходимости, то
W О Г открыто для ..'Гр, и, следовательно, W ("| G содержится

УПРАЖНЕНИЯ 227
в аамыкании множества Н ~ V f\ G л топологии Ур (гл. I, 2-е
изд., § 1, предложение 3; 3-е изд., § 1, предложение 5); зтим дока-
доказано, что N являотся также окрестностью е в G в топологии ком-
компактной сходимости. Наконец, для каждого и0 £ Г взаимно обрат-
обратные биекции vt-*-uoevtt.v*-*- u~I о v пространства #■'<. (X; X) на себя
непрерывны (предложение 9); следовательно, ujl есть окрест-
окрестность элемента ц0 £ С в G в топологии компактной сходимости,
и теорема доказана.
Следствие. Пусть G — некоторая группа гомеоморфизмов
локально компактного пространства X на себя. Если ее замы-
замыкание G в %ь (X; X) компактно, то G есть группа гомеоморфизмов
пространства X и топология компактной сходимости согласуется
со структурой группы в G, так что G — компактная группа.
Группа гомеоморфизмов локально компактного пространства
X, локально компактная (но не компактная) в топологии компакт-
компактной сходимости, локально замкнута в %с (X', X) в силу предло-
предложения 12 § 9 главы I 3-го издания (предложения 12 § 10 главы I
2-го издания), но не обязательно замкнута.
Пусть, например, X (Rn) — кольцо эндоморфизмов простран-
пространства R", отождествленное с кольцом Mn (R) всех квадратных матриц
re-го порядка над R и наделенное топологией компактной сходимости
в этом кольце; ■ группа GL (n, R), отождествленная с группой всех
обратимых матриц, локально компактна, но всюду плотпа (гл. VI,
§ 1, предложение 6).
Упражнения
• 1) Пусть X — топологическое пространство и У — метрическое
пространство. Показать, что множество всех отображений X в У,
колебание которых в каждой точке из X (гл. IX, § 2, пс 3) <а (где
а — заданное число > 0), яамкнуто и пространстве ЗРи (X', Y).
2) Пусть X -- множество; показать, что отображение и н^-
н-*• яир и (х) пространства ^8 (X; l\) n R непрерывно.
3) Пусть X — метрическое пространство и d — его расстояние.
Для каждого г. f X обозначим через dT непрерывную на X числовую
функцию у t—»■ rf (x, у). Показать, что отображение x\—*-dx есть иво-
метрия пространства X на некоторое подпространство пространства
f?u (X; R) (наделенного отклонением б (и, v) = sup | и (х) — v (x) |).
зсбДГ
15*

228 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. X, § 3
4) Для того чтобы вполне регулярная пространство X обладало
тем свойстном, что мотриаусмои пространство rfu (X; Л) есть про-
пространство счетного тина, необходимо (it достаточно), чтобы X било
метрияуемым компактным ирпгтрапспюм. 11'ассма'фпван компакти-
фнкацию Стоуна -- Чеха пространства X (гл. IX, § 1, упражнение 7),
иока.чать, что X должно бить метрнауомо; далее наметить, что %'а ('/.; 11)
но em» пространство счетного тппа.1
5) Пусть X — вполне регулярное пространство.
п) Для того чтобы каждая точки пространства '(?е (X; \\) I.мола
счетную фундаментальную снетедгу окрестностей, необходимо, чтобы
л X гугцествоиала возрастающая последовательность (Л'„) компактных
множеств такай, что каждое компактное1 множество на X содержится
и некотором А'„. Тогда %С(Х; У) д.чя ноякого метрнлуемого прострнн-
стна У метрчпуеио.
Г>) Дли того чтобы Чрс (X; К) было метркзуемо и счетного типа,
необходимо и достаточно, чтобы «се компиктпме. подпространства Кп
пространства X были метрплуоми. |Исаол1.ги)мат1. уцражжчиие А.\
Тогда И',; (X; У) метризуемо нечетного типа для всякого мотриауемого
пространства У счотного типа.
*6) а) Пусть X — топологическое пространств, У — метриче-
метрическое пространство, d — расстояние в У, п — целое >0 и .!? с; Хп X
X Yn X И*. Для каждой, точки z ■--■-- ((xt), (r/(), r) £ S обозначим через
11г открытое миожбетпо в Ч?,я (X; У), обраяопаниое тття гпмгрерьгилпгми
отображениями /: X —v У, для которых d (f {rt), ijj) < г A =g: i <J re).
Показать, что если D — всюду шготпоо подмтгожоство в .V, то yj 1/г -=
и
uz.
С)) Вывести из а), что если топологии прос.транст» X и У обладают
счетным базисом, то т^якоо ноднрострапстло пространства $., (X; У)
нвлиртсн дмндолефоным (гл. IX., § 4, упражнение 2'Л) и, аиачит, пара-
компактш.гм (иам же).
7) Пусть X — пространство, содержащос плотное счетное нод-
М7южостпо, У — отделимое пространство, каждая: точка которого
обладает счетно» фундамшталыкш системой оирестиостен (соотв.
мет))нзуемоо пространство), н II с~ ГС (X; У). Иокааать, что если
■Т — топология в II, мажорирующая топологию простои сходимости
гга X, в которой И компактно, то всякая точка h:i If обладает счетной
Фупдпменталг.но^т системой окрестностей, в тшго.чогшг .7" (соотв. Я"
метризусма). lUiiMeTiiTb, что для немного всюду плотного .ушожестна D
в X топология .Г мажорирует топологию простои сходимости па /)
и что ;>та последняя отделима.]
8) а) Пусть / - непрерывное отображение (т, у) *—*■ хц ироиаве-
деннн Их И в \\. Показать, что отображение л t—•■ / (х, •) простран-
пространства К в 'Ои (R; К) но непрерывно.

упражнения 229
б) Пусть X и У ~ топологические пространства, Z — равномер-
равномерное пространство и /— отображение X X У в #; показать, что если
/ (х, •) для каждого х £ X непрерывно на У и отображение х Y-+f {x, •)
пространства X и $в (У; Я) непрерывно, то / непрерывно на X X У.
*'■)) а) Пусть А', У и Z — топологические пространства; пред-
предположим, пто X и У отделимы и всякая точка каждого из этих про-
стрвпстп обладает счетной фундаментальной системой окрестностей.
Пусть / — такое отображение X X У в /, что / (лг, •) для каждого
х £ X непрерывно на У, а отображение х t—*■ I (х, ■) пространства X
в ^"с (У; 2) непрерышш. Покивать, что / непрерывно пи X У. Y. [См.
следствие 'Л теоремы 2 § 1.|
б) Покапать, что утверждение пункта а) остается is силе, если
предположение об X памстиъ предположениями, что X локально
компактно, a Z — равномерное пространство. [Ишользоппть упраж-
упражнение 2 § 2 и теорему Асколи.] (Ср. упражнение 116).)
•10) Пусть X и У — топологические пространства и Т(А,В)
для всех А С X я В CZ X означает множество тех отображений к £
6 % (X; У), дли которых и (А) С В.
Пусть 11 = (Un) — открытое покрытие пространства Х- Обозна-
Обозначим черои 3~у, топологию в % (X; У), порождиемую миожес/гаамп
Т (F, V), где V пробегает все открытие подмножества н.ч У, a F —
всо замкнутые подмножества н:> X, содержащиеся хотя бы в одном Va.
а) Покапать, что STy. мажорирует топологию компактной сходимо-
сходимости. [Использоиать теорему 3 § 4 главы IX.1 Если X регулярно, то
отображение (и, х) н—»• и (г) произведения % (X; У) X А' и У непрерыв-
непрерывно при наделении 40, (X; У) топологией £Гу..
б) Пусть :Т—такая топология в ?Г (X; У), что отображение
(и, х) >-*■ и (х) произведения %' (X; Y) X X в У непрерывно, когда
<$ (X; Y) наделено топологией ST. Пусть un -- непрерывное отображе-
отображение X в У, а-о — точка из X и V — открытое миожестио в У тпкое,
что ип (хп) £ V. Показать, что существует открытая окрестность U
точки х0 в X такая, что Т (U, V) является окрестностью и0 » тополо-
топологии ST.
в) Предположим, что X вполне регулярно. Показать, что ее.нт
среди топологий 3" в "^ (X; R), при которых (и, х) Н^- и (х) непрерывно,
существует слабейшая .То, то STn необходимо естг. тог(олопгя ком-
компактной сходимости. (Пусть Т (U, V) — окрестность нуля и V (X; R),
наделенном топологией lT$, (Wa) — 1гролз1!олыгое отк))ытое покрытие
множества У и Ж — покрытие X, образованное всеми множествами
Wa и CU. Используя а) н рассуждая' от противного, покаяйть, что
существует конечное число множеств Wa, покрывающее. IJ-]
т) Показать, что если X вполне регулярно, но не лоткл.ио ком-
компактно, то отображение (и, х) *—*■ и (а) прошшедеття '(\. (X.; R) X X

230 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. X, g $
в R но нопрорывно ни в одной точке. [Рассмотреть точку хв, но имею-
имеющую ни одной компактной окрестности; рассуждать от противного,
исиолг.зуя б).]
*И) Пусть X и X — непустые топологические пространства,
произведение которых X X У нормально, и ST — такая топология
в множестве Ч@ (X; R), что для всякой непрерывной числовой функции /
па X X У отобраягение у *-*■ f (•, у) пространства У и ^ A; R) непре-
непрерывно.
а) Пусть !/0 — продел некоторой последовательности (гп) точек
из У, отличных от г/0, А — счетно-бесконечное зимкнутое мноясество
в X, все точки которого изолированные, и / — ограниченный откры-
открытый иптервал в R. Показать, что и топологии ЗГ множество Т (А, I)
(упражнение 10) не имеет ни одной внутренней точки. [Для точки
и0 £ Т (А, I) построить такоо непрерывное отображение /: X X У —>
—> R, что / (., ио) — ио, а / (-, zn) g T (А, /) для каждого п.]
б) Вынести отсюда, что если, кроме того, отображение (ц, х) »—*■
у-*■ и (ж) произиедония % (X; R) X X в R при наделении % (X; R)
топологией ЗГ непрерывно, X — локально паракомпактно (гл. IX,
§ 4, упражнение 27) и в X существует последовательность точек (я„),
сходящаяся к точке, отличной от всех хп, то X необходимо локально
компактно. [Использовать з'дражнопио 106), а также упражнение 25 в)
. § 4 главы IX.]
в) Заключить из б), что если X метриауомо и не локально ком-
компактно, то в <ёе (X; R) имеются точки, но обладающие счетной фунда-
фундаментальной системой окрестностей. [Ислолыювпть упражнение 9а).]
Дать прямое доказательство этого факта, используя упражнение 5а).
12) Пусть X — топологическое пространство, Y и Z — равно-
равномерные пространстиа, © — некоторое множоство подмножеств из X,
% — некоторое множество подмножеств нз У.
а) Пусть иа £ Ч? (X; У). Показать, что если 7^0 (А) для каждого
А (; © содеряттся п каком-нибудь В £ %, то отображение v t—* v о и0
пространства ^^ (У; Z) в 4?^ (X; Z) непрерывно.
б) Пусть II — подпространство в r<£g (X; У) и vQ 6 % (У; Z).
Показать, что если v0 равномерно непрерывно на Н (Л)-для каждого
А £ ©, то отображение и \—*- v0 с и пространства Н в %^ (X; Z) непре-
непрерывно.
в) Пусть и0 е % (X; У), i'o е % (У; Z). Предположим, что для
каждого 4C существуют В £ Z я окружение V для У такие, что:
1° V (н0 (A)) CZfi; 2° v0 равномерно непрерывно на В.
Тогда отображении (и, р) у—»- и о и произведения %^ (X; У) X
X <ё% (У; Z) n r<?g (X;Z) непрерывно в точке (u0, v0).
13 частности, отображение (и, v) *—+■ v о и произведении % (X; У)Х
X гви (У; Z) в Vu (X; Z) непрерывно во всякой точке (и„, vB) такой,
что [>0 равномерно непрерывно на У.

УПРАЖНЕНИЯ 231
г) Пусть v0 — гомеоморфизм х >—*■ з? пространства R на себя.
Показать, что отображение и у—*■ v0 о и пространства %?u (И; 11) в собя
не непрерывно ни л одной точке.
*13) Пусть X, У- и Z — отделимые топологические пространства.
а) ^Показать, что, каковибыни были и0 б 98 (X; У) и w0 £ Ч& (У; Z),
отображеняя v \—*'4v ° и0 пространства $с (У; £) в ?sc (X; Z) и и i—•• f0 ° и
пространства ??с (X; У) в $,. (X; £) непрерывны.
б) Предположим, что всякая точка в У (соотв. Z) обладает счетной
фундаментальной гястгмой окрестностей и что в X существует плот-
плотное счетное подлшожество. Пусть И — компактной множество в
<@с (X; У); показать, что отображении (и, е) н-•• v о и проиаведения
Я X f,c (У; Z) в Тьа (X; Z) нспрорывпо. [Доказать сначала, используя
упражнения 7 и 9а), что П (К) компактно в У для каждого компакт-
компактного множества К из X.]
в) Показать, что отображение (u, v) i—•• v о и произведения
^с (Q; Q) х *^с (Q; Q) B f;c (Q; Q) не непрерывно ни в одной точке.
14) Пусть Г — группа всех гомеоморфизмов числовой плоскости
Ra на себя, наделенная топологией простой сходимости. Показать,
что отображение (и, v) *-*• v°u произведения Г X Г и Г не непрерывно.
(С одной стороны, рассмотреть такую последовательность гомеомор-
гомеоморфизмов ((>„), что всякая точка (х, у), где у не принадлежит интервалу
[1/(п -|- 1), 1/п], является неподвижной для vn, а сужением vn на
прямую у = 2/Bге + 1) служит параллельный перенос (х, у) t—*-
ь—*■ (х-\-1, у); с другой стороны, рассмотреть последовательность (и„)
параллельных переносов (х, у) и-»- [х, у -[- ■„ . .■ | . ]
15) а) Пусть X — равномерное пространство, © — некоторое
множество его подмножеств, Г — группа всех гомеоморфизмов X
на собя и и0 — элемент группы Г. Предположим, что для каждого
АС® существуют множество В £ S и окружение V для X такие, что:
а) «о1 равномерно непрерывно на V (Л); |i) если и £ Г и (и0 (х), и (х)) 6
б V для всех i ? й, то i4 С » (Л). Показать, что при этих условиях
отображение и I—•• и (определенное на Г) непрерывно в точке и0
при наделении Г топологией ©-сходимости.
б) Показать, что условие E) можно заменить следующим:
Р') существует связное множество С d X такое, что V(A)dC,
а V (С) содержится во внутренности множества и0 (В). [Доказать,
что f>') влечет f>), рассуждая от противного.]
*16) Пусть X — равномерное пространство и Го — группа авто~
морфивмов его равномерной структуры.
а) Показать, что и Го топология равномерной сходимости согла-
согласуется со структурой группы. [Использовать упражнения 12 и 15.]
Кроме того, равномерная структура, индуцируемая в Го раиномерной

232 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. X, § З1
структурой равномерной сходимости на X, совпадает с прашт равно-
равномерной структурой топологическом группы Го.
б) Показать, что соли X — компактным, интервал [0, 1] из Ц,
то токологическая групин Г(>, определенная и а), но может бьттт. полной.
I Построить равномерно сходящуюся последовательность пшеоморфпа-
мов («„) интервала X на себя, для котором последовательность (и^1)
но была бы равномерно сходящейся.1
в) Показать, что сели X — хголное отделимое равномерное про-
страггстио, то доцсто/юнняя равномерная структура топологической
группы Го (гл. Ш, § 3, упражнение 0) есть структура полного иро-
стринстлл. [Заметить, что если Ф — фггльтр Коши ii груши* Го, наде-
наделенной птой структурой, то Ф (д) и Ф~1 (х) сходятся и X нрп любом
х а X.)
*17) а) Показать, что если X — локильгн) коминктнос локально
связное пространство, то топология, индуцируемая и группе Г всех
гомеоморфи:.1моп пространства X на себя топологией компактной
сходимости, совпадает с топологией ,7"р, определенном в п" .">. [Исполь-
зопать упражнение 156) и предложение 12.1
б) Пусть X — локально компактное подпространство и К, состоя-
состоящее иа точки 0 и всех точек 2п (п £ Z), и Г — группа мсех гомео-
гомеоморфизмов X па себя. Покапать, что н Г топология, индуцируемая
топологией компактной сходимости, но согласуется со структурой
группы.
18) Пусть X — локальво компактвое пространство, наделенное
равномерной структурой, согласующейся с его топологией, и Г —
группа исех гомеоморфизмов X яа себя. Пусть G (К, V) для каждого
окружения V равномерной структуры пространства X и каждого
компактного множестгш К л X означает .множество всех пар (к, и)
гомеоморфизмов Л' на себя таких, что (и- (г), v (г)) (-. V ir. (w1 (x),
v~x (г)) (■ V для исех х (- К.
п) Покапать, что множества G (К, V) образуют фундаментальную
систему окружении некотором раипомерион структуры V \\ Г и что
топология, порождаемая .чтогг равномерной структурой, совпадает
с топологией ..Тр, определенной я n" R.
б) Покапать, что если X полно в рассмотренной равномерной
структуре, то Г полна в равномерной структуре 11.
в) Показать, что Г полна и даустороппей равномерной структуре,
порождаемой групповой топологией ..'Гр. IИспользовать упражне-
упражнение 16н).|
г) Воаьием и кцчестне X локально компактное подпространство
ii ]{, образованное не ем и точками вида п -|- 2~т (п £ Z, м — целое ^ 1).
Показать, что в Г ни структура ?/. мн равномерная структура ком-
компактном сходимости не cpaimiiAia ни с одной n:i трех равномерных
структур,- правой, лепоп или двусторонней,— порождаемых групно-
Boii топологией .^р.

УПРАЖНЕНИЯ 233
19) Пусть If — равностепенно непрерывная группа гомеоморфиз-
гомеоморфизмов равномерного пространства X на себя; наделениеи топологией
простой сходимости, II есть топологическая группа (слодстнис пред-
предложении 10).
а) Показать, что лепил равномерная структура в II мажорирует
равномерную структуру простои сходимости и что ;>тп структуры
совпадают, если II равномерно равностепенно непрерывно.
П) Пусть и -■■ гомеоморфтм числовом прями» К на ссбн, опре-
определенный равенствами и (х) =■- .г -■■ 1 для .г s^ 0 и и (х) == г -|- ——,—т
для х y.i 0. Пусть И -- порождлнпан мм (п группе исох гомеоморфиз-
гомеоморфизмов прямой II па себя) ыоногегшая группа. Покапать, что II рашго-
степомно neirpepiiTBJia и дискретна в топологии простой сходимости,
но рашгомерпая структура простои сходимости и II отлична от дискрет-
дискретной равномерной структуры. [Зпметит!., что un+l (х) — ип {.>■) стре-
стремится к 0 при п с,тремя1цемс}Г к -h00-]
в) Возьмем в качество равномерного пространства X. дискретное
проетрапство N всех целых чисел > 0, наделенное расстоянием, рав-
гтьги 1 для любой Ttapi.t различных племоптоп, а и кпнестве Ц — группу
иоех изометрик N на себя, которая равномерно равностепенно непре-
непрерывна. Покааать, тто топологическоя группа, получаемпя наделе-
наделением Н топологией простой сходимости, не может быть полной. [Тот же
метод, что и и упражнении d66).l
г) Предположим, что X отделимо п полно, a IF равномерно равно-
равностепенно непрерывки. Покааать, что фильтры Коти » If, наделенном,
двусторонней равномерной структурой топологической группы II,
сходятся ц пространстве &я (X; X) и что множество II' их пределов
является равномерно равностепенно непрерывной группой: гомеомор-
гомеоморфизмов пространства X па себя, которая (при наделении ее топологией
простой сходимости) полна в своей двусторонней равномерной струк-
структуре и содержит П как плотную подгруппу.
20) Пусть X — локально компактное подпространство в На,.
обрапоиапноо прямыми ;/ --= 0 и ,'/ =•■ - 1/к (n 5s 1)! G — группа гомео-
морф[1:»гон и пространства .Y па себя, сужешге которых на каждую-
на прямых J/ =•-- 0, ;/ — Мп есть перепое мпда (а-, ;/) \-+ (х Ц- а!П у).
Покапать, что С удовлетворяет условиям теоремы 4, но топологии
компактной и простой сходимости л С различны.
*21) Пусть Л' — локально компактное пространство, Т — множе-
множество в <~f (X; X), состоящее на сюръгкшночых отображений, н Я" —
топология и ?', мажорирующий топологию простом сходимости и тикая г
что Г в топологии .'Г локально компактно. Рассмотрим следующее-
свойство нары G\ Я~):
(Л) Если и £ Г v v £ 7', то и п г f '/'; кроме того, для каждого
и i Г отображении г >—>■ и ° v и v н—*■ v о и множества 7', наделенного
топологией .Т, н себя непрерывны.

234 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. X, § 3
а) Предположим, что X компактно и метриауемо, что (Т, ST)
удовлетворяет условию (А.) и что существует группа G гомеоморфиз-
гомеоморфизмов X на себя, плотная в Т, наделенном топологией ST. Показать,
что множество Я всех биективных отображений и QT имеет в Т тощее
дополнение. [Заметить прежде всего, основываясь иа упражнении 7j
что каждая точка из Т обладает в У компактной и метризуемон окре-
окрестностью. Пусть (Vn) — фундаментальная система окрестностей в Т
нейтрального элемента е группы G и Яп — множество тех v £ Т, для
которых существует и £ Т такое, что v о и £ Уп; заметить, что Я
содержит пересочелие псех Нп.)
б) Показать, что л предположониях пункта а) сужении на G X X
отображения я: (и, х) н-> и (х) произведения Т X X в X непрерывно.
Шокаяать сначала, что достаточно докаянть, что для каждого х0 £ X
существует иа £ Н такое, что п непрерывно в точке (ы0, х0), установив,
что вто влочет непрерывность л в точке (е, х0). Доказать затем, исполь-
используя а) и упражнение 23 § 5 главы IX, что если V— мотризуомая
компактная окрестность элемента е в Т, то существует такое и0 £
€ Н П V, что л непрерывно в точке (м0, х0).]
*22) Пусть X — компактное пространство, Т — подгруппа груп-
группы его гомеоморфизмов на собя, наделенная локально компактной
топологией 3", для которой выполнено условие (Л) упражпеиия 21.
Пусть G — счетная подгруппа группы Т и / — непрерытгая числовая
■функция на X. Рассмотрим непрерывное отображение х \~*■ <р (а.) про-
пространства X в IG, где / = / (X) <= R и ср (х) = (/ (и Cr)))u£0; обрнз У
пространства X при отображении ср есть метризуемое компактное
подпространство в IG»
а) Показать, что множество тех v £ Т, для которых ф о v = ср,
есть подгруппа К группы Т, нормализатор которой в Т содержит G.
Пусть R — отношение эквивалентности и о v~l £ К в Т, Т' — фактор-
пространство TlR п р — каноническое отображевие Т у-*- TlR. Пока-
Показать, что Т' локально комиактпо и если положить р (и) v = р (и о у),
то Т действует справа в Т' так, что t' \-> t'v непрерывно на 7" для
каждого v £ Т.
-1
б) Пусть G' = р (G), Я' — замыканио G' в 7" и Я — р (Я').
Показать, что для и £ II отношение р (у) = /> (у') дотечет р (и о v) =
= j) (в о »'), так что Я действует елгва в 7"; кроме того, если для
и £ Н и v £ Т положить up (v) = р (и о t>), то отображение) t' >—*■ и?
непрерывно на 7". Пусть, пакопец, иг и иг — элементы: из Я, для
которых р (iti) = р (м2); тогда *']/ = it2t', что определяет посредством
факторизации отображение («', t') \~*- u't' произведения Я' X 7" в Т'
такое, что t' t~* u't' непрерывно на Т' при любом и' £ Я'. Покалить,
что если а' и v' принадлежат Я', то и'у' £ Я', и так определенный

УПРАЖНЕНИЯ 235
закон композиции в Н' индуцируот в G' структуру группы (изоморф-
(изоморфную структуре факторгруппы GK/K).
в) Если и £ Н, то отношение ср (х) = ср (у) влсчот ср (и (х)) =
— ф (и (у)), так что существует, и притом единственное, отображе-
отображение) и пространства У в себя такое, что фоц= и- о ф. Показать, что
и непрерывно и сюръективно; кроме того, для того чтобы nj = И2,
необходимо и достаточно, чтобы р (ut) = р (ut); это позволяет напи-
написать и = и', полагая р (и) = и', и определяет ниъгптивиое отображе-
отображение if: и' н->- и' пространства II' в %в (У; У). Показап., что i|) ненро-
ршшо, и ч|? (hV) = t)) (ы,') оф (у'); отождествляя Я' г. его образом
в ^s (У; У) при отображении i|) ir обозначая через 5"' топологию,
получаемую иереяосеяиом с помощью я|з топологии, индуциропанной
в Н' из 71 ' заключить отсюда, что (II', £Г') удоилетворяот условию (Л)
упражнения 21.
г) Показать, что если С наделена топологией, индуцируемой
топологией ,Т, то отображение (и, х) ь-> и (х) произведения G X X
в X непрерывно. (Доказать, используя в) и упражнение 21, что для
каждой непрерывной числопой функции / на X отобраягение (и, х) t—>
•—*■ f (и (х)) непрерывно на fix X; затем применить предложение 4
§ 1 главы IX.]
*23) Пусть X — компактное пространство, Т — множество
в % (X; X), устойчивое относительно закона (u, v) t-> и о v. Пред-
Предположим, что Т наделено локально компактной топологией 3", мажо-
мажорирующей топологию простой сходимости, причем для каждого счет-
счетного множества S а Т, устойчивого относительно и о v, сужепие
на S Х7Х отображения п: (и, х) >-*■ и (х) произведения Т X X к X
непрерывно. Показать, что при этих условиях п непрерывно на Т X X.
Шусть V — компактное множество в Т, наделенном топологией £Г\
показать, используя следствие 1 теоремы 3, что для всякого счетного
подмножества D множества V каждая точка прикосновения множе-
множества D и токологии ,'Т является также точкой прикосновения этого
множества в топологии равномерной сходимости. Заключить отсюда,
что V относительно компактно в $ц (X; X) (гл. II, 2-е изд., § 4, упраж-
упражнение 2; 2-е изд., § 4, упражнение 6) я, значит, равностепенно непре-
непрерывно.]
24) Пусть X — локально компактное пространство, Т — неко-
некоторая группа гомеоморфизмов X на себя и ,Т — локально компактная
топология в Т, мажорирующая топологию простой сходимости ц такая,
что лыполпяотсл свойство (Л) из упражнения 21. Показать, что ото-
6ражепие.(и, х) у—*■ и (ж) произведения Т X X в X непрерывно при
наделения Т топологией .'/". [Продолжить гомеоморфизмы и.ч Т до
гомеоморфизмов александровской компиктификацин X' простран-
пространства X; затом, используя упражнение 22г), показать применимость
результата "упражнения 23.]

236 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. X, § S
*2.г>) Пусть G — группа, наделенная топологией ,Т, в которой
G локально компактна, а сдниги tt-*-st и 11—»■ ts для каждого s £ (Т
непрерывны. Покапать, что :Т согласуется со структурой группы ъ G
(«теорема Р. Оллиса»). [Отождествит/! 6' с группой леных еднигеи,
наделенной топологией простой сходимости, так что G отождествится
с группой гомеоморфизмом ее шоксандропскон комлаьтификации X,
наделенной топологией простой сходтгости. Вынести отсюда с помощью
упражнения 2'i, что л С типология простой сходимости пи X сонгш-
д<чет с топологией рапомерном сходимости нн X (следствие 1 теоре-
теоремы 3), и л заключение применить предложение 11. |
*2fi) ») Пусть X — локально компактное раишшнртгоо простран-
пространство, С — некоторня группа его гомеоморфизмов и Т — ламыканио G
я $>s (-^l X). Покапать, что для того, чтобы Т было компактно ц топо-
топологии ПРОСТОЙ СХОДИМОСТИ И было ГруНПОЙ ГОМГОМОрфТ1ЯМ(I1, 11(!об\'О-
дпмо и достаточно, чтобы G была относительно компактна и 4&г (X; X).
[Испольаовать упражнения 12 и 24, а также следствие теоремы 4.1
б) Пусть G — локально компактная, но но компактная топологи-
топологическая группа и X — ее алгксаидролская компактификация; отожде-
отождествим G с некоторой группой гомеоморфизмов пространства X. Пока-
Показать, что G не равностепенно непрерывна, хотя ее ииммкание в фв (X; X)
и компактно.
27) Пусть X — отделимое равномерное пространстно и G —
равностепенно непрерывная группа его гомеоморфп.шон.
а) Точка хп £ .Y ипгшвпетея почти пернаЯпчггкпп относительно G,
если ее орбита но G относительно компактна и X. Пусть Y — (компакт-
(компактное) замыкание в X атом орбиты и и (Y) с: У для всех и £ G. Пусть
и сужение п на У, рассматриваемое как элемент Чр, (У; У); показать,
что и. есть гомеоморфизм У па себя п что замыкание Г в % „ (У; У)
образа группы G npir отображити и н-> (Г являетегг компактной груп-
iioi'r гомеоморфизмов (следствие теоремы 4), тргпшитпнмой в У.1
б) Предположим, что X полно; для того чтобы точка т0 была
почти периодическом относительно С, необходимо и достаточно, чтобы
для каждой ее окрестности У в X существовало конечное число плс-
меитоп и/ С G таких, что, каково бы ни было и 6 G, i<jl (« (т„)) (• V
хотя бы для одного /.
в) Предположим, что з-и — почти периодическая точна н С наделена
топологией, согласующейся с ее структурой группы; сохраним обозна-
обозначения пункта а). Для того чтобы отображение и ь-> » группы й и Г
(наделенное топологией pimroviepnoii сходимости) было непрерывно,
необходимо и достаточно, чтобы для каждой пары различных точек .с,
// из У существовали окрестность Г нейтрального элемента с группы G
н окрестность V точки ;/, для которых и G V нлечет и (г) ^ V. [йсшш.-
зонать то, что п Г топологии, индицируемые ин сри (У; У) и f's (У; У),
сонпадавп'.)

УПРАЖНЕНИЯ 237
28) Пусть G — топологичмкня группа it А' банахово простран-
пространство нсех ограниченных непрерывных отображении С в С, наделенное
вормой || / || ■= sup | / (s) |. Дли каждой: функции / (- X и каждого
«EG
.s £ G обозначим чсроа 6'.,/функции) г t—>■ / (л"'), также принадлежащую
X, так что ий, где s пробегает £, обрннуют группу С -наомг-тртш про-
пространства X. 'Л'грмрит / (-_ X назывнетсл почти периодическая (слова)
функцией па G, если /—почти периодический олемонт и Л' относительно
группы С. Дли :)тото необходимо и достаточно, чтобы для каждого
•в > 0 (-..ущестнова.'ю конечное число илемептои .<; С ^ таких, что, какоко
■бы ни было .ч £ Я, сущрствонн.ч хоти Г)ы один индекс I, д/iit которого
I /(«-1*)- /(.s']v0 I ^ С
при всрх t С G.
я) П[)одположим, что / — почти периодическая функфтн. Пусть
У ~ ламмклнш; в X орбггш f rro G', а Г — замыкание и '( и [У\ У)
миожостпа сужении V,v па У oTOfipawoiriiii Ия, где ■■>' нроопгаот С Пусть
/а 6 У Для каждого <т С Г означает ofipa:i / ii[>i[ отображении <т;
/о (*) = U?fa (* -1-1)
.дл;г каждого .? С С; выкости отсюда оущестповапмо ira Г такой кр.прерыв-
пой функции /, что
/ (*) = T(V»).
(Исполълоиать уп[тжненпе 27в).]
б) Используя а), покалить, что для того, чтобы функция f £ X
•была почти периодической относительно G, необходимо и достаточно,
чтобы они имел» шцц о q>, где. ф — каноническое отображение группы G
и компактную группу 0е, ассоциированную г G (Теор. миож., гл. TV,
:§ 3, п° 3, нриярр 8), a g — непрерывное отображение Сс п С.
в) 1.!o:it>mcm я качестп»! G адднтатщую i[iynny H. Показать, что
■если / — почти периодическая функции па К, то для каждого е > О
существует такое число 7' > 0, что вслшш интервал ir:i It длины Т
содержит .?, дл>[ которого 1 / (л- -| .г) - / (х) | «; в, каконо бы па было
..г ё Н (я называют «ночти-пернодом с точиосп.ю до к» функции /).
|Использовать б) н доказательство унражиепим 2 § 1 глапы V.|
20) flyi'Tii X — компактное пространство, а (! ■■ топологическая
группа, деигтлующая непрерывно r X и такал, что всякая пройти дли
G плотна в Л'. Покапать, что если дли каждой непрерывной числошш
функции / па X существует х0 £ X такое, что л■ \—*■ f (,«.!•„) ccti, почти
керподпчоскал функции и» G, то G [кннюстегичмю непрерывна. [Исполь-
[Использовать то, что .V го.мсоморфно замкнутому поднрослраиству некоторого
куба.] Докапать обратное при дополнительном предположении, что
G коммутативна.

238 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. X, § 4
§ 4. Аппроксимация непрерывных числовых функций
1. Ann роке имаг^ип непрерывных функций
функциями ии некоторой региетки
В этом параграфе мы будем изучать множество % = % (X; R)
всех непрерывных числовых функций *), определенных на неко-
некотором компактном пространстве X; это множество будет всюду
предполагаться наделенным топологией равномерной сходимости;
как мы знаем (§ 3, п° 2), эта топология определяется нормой"
|| / || = sup | / (я) |, согласующейся со структурой алгебры в %
над полем R; наделенное этой структурой алгебры и этой нормой*
% является полной нормированной алгеброй над полем R (§ 1^
следствие 1 теоремы 2).
Будем говорить, что непрерывная числовая функция / на X
равномерно аппроксимируема функциями из заданного множества
На %, если / — точка прикосновения множества И в простран-
пространстве 9?, т. е. для каждого е > 0 существует функция g 6 Н такая»
что | / (х) — g (х) |^е для всех х £ X. Утверждение, что каждая
непрерывная числовая функция на X равномерно аппроксимируе-
аппроксимируема функциями из If, означает, таким образом, что Н всюду плот-
плотно в Ч.
Как известно, в множестве *<? отношение / ^ g (равносильное
«/ (х) ^ g (х) для всех х £ X») есть отношение порядка, относитель-
относительно которого % является, решет кой. Очевидно, [| | и |— | v \ \\ Sj
^ || и — v ||, так что и I-*- | и | есть равномерно непрерывное ото-
отображение Щ в себя; отсюда следует, что и отображения
(u, v) \-+ sup (и, v) = у (и -|- v-\-\u — v\)
И
(и, v)*-*-inf{u, v) = j(u + v — \u — v\)
равномерно непрерывны на % х #.
Предложение \. Пусть X — компактное пространство.,
II — некоторое множество непрерывных числовых функций, опре-
*) Числовые функции, рассматриваемые в этом параграфе, будут псюду
предполагаться конечными.

I АППРОКСИМАЦИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ ЧИСЛОВЫХ ФУНКЦИЙ 239
деленных па X, и / — непрерывная числовая функция на X, обла-
обладающая тем свойством, что для каждого х £ X существует функ-
функция их £ Н такая, что \ГХ {x)>f (х) (соотв. их (x)<cf (ж)). Тогда
существует конечное число функций их —- ft £ Н A ^ i ^ п)
таких, что если положить v = sup (Д, /2, . . ., /„) (соотв. w —
— inf (/i, /a, . . ., /„)), mo для всех г£Х выполняется неравен-
неравенство v (х) > / (х) (соотв. w (х) <Z f (х)).
Действительно, пусть Gx, для каждого a; f I, означает откры-
открытое множество тех z £ X, для которых wx (z) >• / (z) (соотв.
и* (z) ■< / B)); тан как, по предположению, х £ Сх, то X является
объединением всех Gx (х £ X). Так как X компактно, то тогда
существует конечное число точек xt (I ^ i ^ п) таких, что мно-
множества Gjcj покрывают X; ясно, что функции /,■ = и.*, отвечают
поставленному требованию.
Теорема 1 (Дини). Пусть X — компактное пространство
и 11 — множество непрерывных числовых функций на X, филь-
фильтрующееся по отношению ^ (соотв. ^). Если верхняя (соотв.
нижняя) огибающая f множества Н конечна и непрерывна на X,
то f равномерно аппроксимируема функциями ua H (или, что то же,
фильтр сечений множества Н равномерно сходится к f на X).
Действительно, каково бы ни было е > 0, для каждого х £ X
существует функция их £ Я, такая, что их (х) > / (х) — е. На ос-
покании предложения 1 и поскольку Я фильтруется по отношению
^J, существует g 6 ff, такое, что g (х) > / (х) — е для всех х £ X',
так как с другой стороны, по определению g (х) ^ / (х), то теоре-
теорема доказана.
Следствие. Пусть (ип) — возрастающая (соотв. убываю'
щая) последовательность непрерывных числовых функций на X.
Если верхняя (соотв. нижняя) огибающая f последовательности
(ип) конечна, и непрерывна на X, то последовательность (ип) рав-
равномерно сходится к { на. X.
Ясно, что утверждение теоремм 1 уже не обязательно верно, если
не предполагать X компактным, как это показывает пример убывающей
последовательности Функций xl(n -|- х) на R+.
Предложение 2. Пусть X — компактное пространство
и II — множество непрерывных числовых функций на X такое, что

240 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. X, § 4
вместе с каждыми, двумя функциями и £ Н и и £ II также функ-
функции sup [и, v) и inf (a, z>) принадлежат Н. Для того чтобы непре-
непрерывная числовая функция f на X была равномерно аппроксимируема
функциями из If, необходимо и достаточно, чтобы для каждого
в > 0 и каждой пари (ж, у) точек из X существовала функция
«*, |/6Я такая, что | / (х) — их, и (х) \ < е м | / (?/) — ?/л., „ (у) | <
< е.
Необходимость условия очевидна. Докажем, что оно достаточно.
Мг>т покажем, что, каково бт>т ни было в > 0, существует такая
функция g £ Л, что | / (г) — g (z) \ < s для всех л £ X. Пусть
х — произвольная точка из X и Их — множество всех функций
и£П, для которых и (х) < / (ж) -|- в. ]То продположению, для
каждого .V 6 X функция ?/--V) v принадлежит /У*, причем мх. ;/ (у) >
> / (г/) — в; по:)то\гу, согласно предложению 1, существует конеч-
конечное число функций из //ж, верхняя огибающая которых рх таковп,
что vx (z) > / (z) — р. для всех z £ X; с другой стороны, по опре-
определению множества Нх, vx (х) <. f {x) -\- в; наконец, гх принад-
принадлежит И в силу предположения. Предложение 1 иоказмнает
тогда, что существует конечное число функций vx , нижняя оги-
огибающая которых g такова, что g (z) < / B) -\- в для всех z £ X;
с другой стороны, поскольку vx. (z) >■ / (z) — е для Ficex г £ X
и каждого индекса i, то также g (z) > / (z) — е для всех s g X;
так как в силу предположения g 6 Я, то ггредложопие доказано.
3 а м о ч а и и е. Множество //. удоилотворяютсо указа fthijm yf-ло-
пилм, fiiiJrjroTCH решеткой по отношению порядка / s^ к. Заметим,
однако, что множество It ст. с$ хгоя^т бить ропюткоп по атому отшште-
ппю тюрядка и Сип того, чтоПт.т иерхняи (соотв. нижняя) грань о Н
дпух функций и, i> из 7А совпадала с их цпрхнсй (соотп. нияок'Н) гранью
в ctf, т. е. с функцией
ту—*■ sup (и (г), v (./■)) (соотв. .г |—»■ j'nf (м (.с), i; (.r)))-
° Прпмор достанляН)Т выпуклые отображритг компактного игатср-
иала HiTCjionoi'i примой II и К (си. Функции действ, пер., r.i. I, § 4,
ие 20).,,
Следствие. Предположим, что 11 таково, что вместе
со всякими двумя его функциями и и v также функции нпр (и, /?)
и inf (//, v) принадлежат II и, кроме того, для каждой пары раз-
различных точек х, у из X и каждой пары вещественных чисел ос,, C

•4 АППРОКСИМАЦИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ ЧИСЛОВЫХ ФУНКЦИЙ 241
существует такая функция g £ И, что g (х) -— а и g (у) — р.
7'огда всякая непрерывная числовая функция на X равномерно аппро-
аппроксимируема функциями ия И.
Определение 1ч Говорят, что множество II отображе-
отображении множества X в множество Y отделяет элементы множества
Л с: X (или является отделяющим множеством для элементов
множества А), если для всяких двух различных элементов х, у us A
существует функция f £ II, для которой / (х) Ф / (//).
Например, егдгт X — вполне регулярное проотрппетио (гл. ТХ,
§ 1, п° Г>), то множество всех неприрыпыиу отображении А' « |.О, 1 |
отделяот точки этого пространсти.
2. (Стоун). Пусть X — компактное пространство
и II — такое векторное подпространство в ГС {X;. R), что:
I ° постоянные функции принадлежат II; 2° и £ Н влечет \ и \ g II;
'Л" II отделяет точки пространства X. При этих условиях всякая
непрерывная числовая функция на X равномерно аппроксимируема
функциями из И.
Достаточно показать, что II удовлетворяет условиям следствия
предложения 2. По предположению, если и £ II nv £ II, то также
*\\V(u,v)~-Tj-(u-{-v + \u — v]y и inf(u, v)--=--,r(u-\~v-~\u — v\)
принадлежат И. С другой стороны, пусть х, у — произвольные
дне различные точки из X и а, р— любые два вещественных числа;
по предположению, существует функция h £ Н, для которой
h (х) Ф h {у); положим h (х) — у, h (у) = fi; поскольку постоян-
постоянные принадлежат //, функция g (z) — а -|- (Р — «) *^_~'" принад-
принадлежит И, а для нее g (х) — а и g (у) — р.
'-. Аппроксимация непрерывных функций
полиномами
Пусть дано множество И числовых функций, определенных
на некотором множестве X; будем говорить, что числовая функция
пи X есть полином (соотв. полином без постоянного члена) с веще-
вещественными коэффициентами относительно функций из II, осли
oira имеет вид
XV— g(ft(x), f2 (x), ...,/„ (а;)),
Hi II. Пурбани

242 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. X, § 4
где g — полином (соотв. полином без постоянного члена) с веще-
вещественными коэффициентами относительно п неизвестных (где п
произвольно), а функции ft (I ^ i ^ п) принадлежат //.
Теорема 3 (Вейерштрасс — Стоун). Пусть X — компакт-
компактное пространство и Н — множество непрерывных числовых функ-
функций на X, отделяющее его точки. Тогда всякая непрерывная число-
числовая функция на X равномерно аппроксимируема полиномами
(с вещественными коэффициентами) относительно функций us II.
Другими словами, подалгебра алгебры % (X; R), содержащая
постоянные функции и отделяющая точки пространства X, всюду
плотна в ¥> (X; R).
Пусть Яо — множество всех полиномов относительно функций
из Н и Но его замыкание в $; для всякого полинома g от п пере-
переменных с вещественными кооффициентами (ии щ, . . ., ип) у~*
>-*• g (щ, иг, . . ., ип) есть непрерывное отображение "ёп в <6, пере-
переводящее Щ в Но; тем самым оно отображает Щ в На (гл. I, 2-е
изд., § 4, теорема 2; 3-е изд., § 2, теорема 1). В частности, Но
является векторным подпространством в^и, очевидно, удовлетво-
удовлетворяет первому и третьему условиям теоремы 2; покажем, что оно
удовлетворяет и второму условию, откуда будет следовать, то
Но — %. Поскольку всякая функция и 6 #0 ограниченна на X,
достаточно доказать следующую лемму:
Лемма 1. Для каждого числа е>0 в каждого компактного
интервала /с: Rсуществует полином р (t) без постоянного члена
такой, что \ р (t) — \t | | ^ е для всех t £ I.
Достаточно установить справедливость леммы для интервала
вида 1=[ — а,. -\-а], а следовательно, заменяя t на at, для интер-
интервала [—1, +!]• Поскольку |f| = V^t лемма 1 является след-
следствием следующего результата:
Лемма 2. Пусть (рп) — последовательность полшшмов без
постоянного члена, определенная индукцией по п условиям р0 (t) —
= 0 и
Pn+i(t)~Pn(t)+{(t~(Pn(i))Z) A)
для п 5* 0; на интервале [0, 1] последовательность (рп) возрастает
и равномерно сходится к ^/1.

% АППРОКСИМАЦИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ ЧИСЛОВЫХ ФУНКЦИЙ 243
Достаточно доказать, что для каждого t £\0, 1J выполняются
неравенства
поскольку B) влечет 0 ^ ~\ft — pn (t) ^ 21 п.
Неравенство B) справедливо при п — 0; применим индукцию
но п; из предположения индукции B) вытекает, что 0 < ]/Т—
— Рп @ < V"*» откуда 0 < р„ @ <[ У *. На основании A) полу-
получаем тогда:
) = {Vi-Pn @)
откуда Yt — pn+t(t)>0 и в силу B)
_2Т/Г
t \ 2
2+ni/F \ ' 2 + (и + 1)У* / 2 + («
что и требовалось доказать.
Без предположения, что X компактно, утверждение теоремы 3 уже
не обязательно верно. Например, ограниченная непрерывная числопая
функция на R, отличная от постоянной, не может быть равномерна
аппроксимирована на R полиномами (см. упражнение 6).
Предложение 3. Пусть (iSTJigj — семейство компактных
интервалов в R, К = Ц К^ — их произведение и X — компакт-
кое подпространство пространства К. Всякая непрерывная число-
числовая функция на X может быть равномерно аппроксимирована
полиномами относительно координат хи = ргсх.
В самом деле, для любых двух различных точек х = (xt) и у —
— (г/() из X существует такой индекс i, что х( Ф уи; это показы-
показывает, что семейство непрерывных функций prt удовлетворяет услот
ниям теоремы 3.
Предложение 4. Пусть X — компактное пространство^
А — замкнутое множество в X и II — множество непрерывных
числовых функций на X, отделяющее точки множества ОА и такое,
-1
что А есть пересечение множеств и @), где и пробегает II. При
этих условиях всякая непрерывная числовая функция на X, равная
16»

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. X, § 4
нулю на А, равномерно аппроксимируема полиномами без постоян-
постоянного члена относительно функций из Н.
Рассмотрим сначала тот частный случай, когда А сподится
к одной точке ж0. Из предположения следует тогда, что // отде-
отделяет точки множества X, ибо если ж Ф- ж0, то по условию суще-
существует функция и £ В~, для которой и (х) Ф 0 = и (ж„); поэтому
(теорема 3) для каждого г > 0 и каждой непрерывной числовой
функции / на X такой, что / (ж0) — 0, существует полином g отно-
относительно функций из Н такой, что | / (ж) — g (х) | ^ е для всех
ж £ X; в частности, | g (xQ) | < е, откуда | / (ж) — (g (ж) —
— ? (жо)) I ^ 2е для всех i£I; поскольку # (ж) — g (x0) есть
полином без постоянного члена относительно функций из //,
предложение для этого частного случая доказано.
В общем случае рассмотрим в X отношение эквивалентности^
R, классами которого служат множество А и множества {ж}, где ж
пробегает СМ; факторпространство X' -= XIR отделимо (гл. I,
2-е изд., § 9, предложение 11; 3-е изд., § 8, предложение 15) и, сле-
следовательно, компактно. Пусть ip — каноническое отображение
X на Х/В; всякая непрерывная числовая функция на X, равная
нулю на всем А, может быть записана в виде / = /, » ф, где /х —
числовая функция, определенная и непрерывная на X' и равная
нулю в точке х'и =•= ф (А); применяя предложение к пространству
X' и точке х'о, получаем требуемый результат для общего случая.
ii. Приложение: аппроксимация непрерывных
числовых функций, определенных
на произведении компактных прост ранете
Теорема 4. Пусть (-X\)igr — семейство компактных про-
пространств, X = П Xi — его произведение. Всякая непрерывная
числовая функция на X равномерно аппроксимируема суммами
конечного числа функций вида (ж^ н* ]] иа (ж ), где J — (про-
извольные) конечные пдмножества множества I, а иа — непре-
непрерывные числовые функции на Ха (а 6 •/)•
Действительно, рассмотрим множество И всех непрерывных
«функций одной переменной» (a;t) *-*■ иа (жа) (а £ /) на Х\ это мно-
множество отделяет точки пространства X, ибо для любых двух раз-

4 АППРОКСИМАЦИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ ЧИСЛОВЫХ ФУНКЦИЙ 2ч5
личных точек х — (arj и у — (/л) из X существуют of/ такое,
что хаФ уа, и непрерывная числовая функция ha на Хл, для кото-
которой hu (ха) Ф ha (г/а); тогда функция х ь-> ha (pi'a:r) принадлежит
// и принимает различные значения в точках х и ;/. Поскольку
всякий полином относительно функций пз Я имеет вид, указан-
указанный в условии теоремы, последняя вытекаот иэ теоремы 3.
Ее:) предположения компактности вгрх Xt утлерждептк' теоремы 4
уже но обялательпо верно (см. упражнение '.)).
4. Аппроксимация непрерывных отображений
■компактного пространства « нормированное
пространство
Пусть X — компактное пространство и Y — нормированное
векторное пространство над полом R (гл. IX, § 3); пространство
V; (X; Y) всегда будет предполагаться наделенным топологией
равномерной сходимости, определяемой нормой || и || = sup || и (х) 1|
хех
(§ 3, п° 2).
Пусть II — некоторое множество непрерывных числовых функ-
функций, определенных на X, (M,)i^.^n—конечное семейство функций
иэ Я и (aji.-ci-sn— конечное семейство точек иэ Y. Тогда отобра-
жение х >-*■ 2 а%иь (х) пространства X в Y нопрерывпо; мы будем
п •
обозначать его V atui и называть линейной комбинацией функций
из /7 с коэффициентами из Y. Мы будем говорить также, что непре-
непрерывное отображение / пространства X в У равномерно аппрокси-
аппроксимируемо линейными комбинациями функций из Я (с коэффициен-
коэффициентами иэ Y), если / есть точка прикосновения векторного подпро-
подпространства в V (X; Y), образованного всеми этими линейными ком-
комбинациями.
Предложение 5. Пусть X — компактное пространство^
Y — нормированное пространство над R и II а % (X; К). Если
всякая непрерывная числовая фрикция на X равномерно аппрокси-
аппроксимируема функциями ил II, то всякое непрерывное отображение f
пространства X в Y равномерно аппроксимируемо линейными ком-
комбинациями (с коэффициентами из У) функций из Я.

246 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. X. § 4
Каково бы ни было е > 0, каждая точка х £ X обладает откры-
открытой окрестностью, в которой колебание /" пе превосходит е. Сле-
Следовательно, существует копечное открытое покрытие (^Oi^ten
пространства X такое, что колебание / в каждом из Л., не про-
восходит е. Пусть at — любое зпачсиие / в At (I ^ i ^ п)
и (utli^i^n — непрерывное разбиение единицы, подчиненное
покрытию (Л.,-) (гл. IX, § 4, следствие предложения 4). Возьмем
произвольную точку х £ Х\ тогда ut (х) — О для всякого i такого,
что х §Ai, и || /(#) — at || ^ е для всякого i такого, что а; £ Ai\
следовательно,
\\f{x)-%alUi (x) [| = || Д (f(x)-at)щ(x)||<f,Д щ (x) = e.
С другой стороны, согласно предположению, существует функция
п
Vt 6 II такая, что | ut (х) — vt (x) | ^ e/TJ || а/ \\ для всех х £ X
п
A ^ г.^ п); следовательно, ||/ (х) — ^ atvt (х) \\ ^ 2е для всех
х £ X, м предложение доказано.
Таким образом, на основании предложения 5 каждому из дока-
ванных выше предложений, в которых устанавливается, что неко-
некоторое множество // всюду плотно в % (X; R), соответствует анало-
аналогичное предложение для непрерывных отображений X в произ-
произвольное нормированное пространство Y. Мы ограничимся формули-
формулировкой предложения, отвечающего указанным образом теореме 3.
Пусть // — некоторое множество числовых функций, определенных
на X; назовем полиномом относительно функций из II с коэффи-
коэффициентами из Y всякую линейную комбинацию с коэффициентами
из Y произведений конечных (возможно пустых) семейств функ-
функций из //. Тогда
Предложение 6. Пусть X — компактное пространство
и II— множество непрерывных числовых функций на X, отделяю-
отделяющее его точки. При этих условиях щькое непрерывное отображение
пространства X в нормированное пространство Y над 11 равно-
равномерно аппроксимируемо полиномами с коэффициентами из Y
относительно, функций из П.

4 . АППРОКСИМАЦИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ ЧИСЛОВЫХ ФУНКЦИЙ 247
Отсюда вытекает также следующее предложение:
Предложение 7. Пусть X— компактное пространство
и Н — множество его непрерывных отображений в поле комплекс-
комплексных чисел С, отделяющее точки пространства X. Всякое непре-
непрерывное отображение пространства X в нормированное простран-
пространство Y над С равномерно аппроксимируемо полиномами с коэффи-
коэффициентами из Y относительно функций / £ /7 и сопряженных функ-
функций /.
Достаточно заметить, что У есть также нормированное про-
пространство над R, и применить предложение 6 к множеству, обра-
образованному вещественными и мнимыми частями функций / £ Н,
приняв во внимание, что Mf ~-^-(f + J) и Jf ~-%r-(/'—/)•
Следствие 1. Если X — компактное множество в про-
пространстве С", то всякое непрерывное отображение (zt, za, ...
. . ., zn) y-*-f (zu z2, . . ., zn) множества Х в нормированное про-
пространство Y над полем С равномерно аппроксимируемо полино-
полиномами относительно z^ и Z\ с коэффициентами из Y.
Мы увидим позже, что, вообще говоря, невояможво равномерно
аппроксимировать / полиномами (с коэффициентами из Y) относитель-
относительно одних только переменных z^, дажо если У ='С.
Следствие 2. Пусть X — локально компактное простран-
пространство и Ч80 (X) — нормированная алгебра над С всех непрерывных
отображенией X в С, стремящихся к 0 на бесконечности. Пусть
А — подалгебра алгебры ¥>!п (X), отделяющая точки пространства
X и такая, что f ^А влечет [ £ А и для каждого х £ X существует,
/ £ А, для которой f {х) Ф 0. Тогда А плотна в %й (X).
Пусть X' — компактное пространство, получаемое присоеди-
присоединением к X бесконечно удаленпой точки со; тогда 'в0 (X) отожде-
ствимо с подпространством в$ (X1; С), образованным всеми непре-
непрерывными отображениями, равными нулю в точке ш, а норма
на $0 (X) определяется равенствами || / || = sup \f(x\ =
-= sup I / (x) |. В силу предложения 7 всякая функция / £ r<f0 (X)
равномерно аппроксимируема полиномами с комплексными коэф-
коэффициентами относительно функций из А; при этом, поскольку

248 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. X, § 4
/ (<в) = 0, рассуждение, проведенное при доказательство предло-
предложения 4, показывает, что эти полипомы можно предполагать без
постоянного члена, и тогда они принадлежат А.
В качестве, другого примера примепогатя предложения 7 отме-
отметим следующий результат:
Предложение 8. Пусть Р — множество всех непрерыв-
непрерывных периодических отображений IV" в С, группа периодов которых
содержит 71". Всякая функция, принадлежащая Р, равномерно
аппроксимируема на IV1 линейными комбинациями с комплексны'
ми коэффициентами функций вида
(xi, хг, . . ., хт) у-* е (}цхх -|-fe8a;8 -f . . . +hmxm),
где все ht — целые рациональные числа (эти комбинации назы-"
ваются тригонометрическими полиномами от т переменных).
Достаточно заметить, что Р (наделеппоо топологией равномер-
равномерной сходимости) канонически изоморфно пространству всех непре-
непрерывных отображений компактного пространства Тт в С (гл. VIII,
§ 1, п° 6), и применить предложение 7 к множеству отображений
Тт в С, соответствующих т отображениям
(хи х„, . . ., хт) >-*• е (xt) A < i < m)
пространства Rm в С.
Упражнения
1) Пусть X — линделофово пространство (гл. I, 2-е изд., § 10,
упражнения 19; 3-е изд., § 9, упражнение 15) и Н — некоторое множе-
множество непрерывных числовых функций на X, фильтрующееся по отно-
отношению 5=. Предположим, что нижняя огибающая g всех функций nrt
// иепрерытшп. Показать, что существует убмиающая последователь-
последовательность (fn) функций из Н, просто сходящаяся к g.
2) Пусть / — 1{ОМ1тактнн.й интервал в R и (/„) — поеледо па то.и.-
ностг. монотонных функций на /, просто сходящаяся на 1 к некоторой
непрерывной функции g. Показать, что g моЕктмша и последователь-
последовательность (/„) схидтч-я к и равномерно па /.
*3) Пусть Г — просто транзитивная группа гомеоморфизмов про-
пространства R, наделении» топологией простой сходимости. Для каждого
х 6 R обозначим через sx тот ллсмоепг группы Г, для которого ях @) =^
= х. Показать, что отображение х н-> sx есть гомеоморфизм 11 на Г.
[Воспользоваться тем, что если s £ Г таково, что х <я (.г) для некоторо-
некоторого х 6 К, то у < я (у) для пс:ех у G R.] Вывести остюда, что Г есть

УПРАЖНЕНИЯ 249
топологическая группа, изоморфная R. [Воспользоваться упражне-
упражнением 10 § 1, упражнением 17а) § 3 и теоремой 1 § 3 главы V.|
4) Пусть X — компактное пространство и Я — такое векторное-
подпространство в ф. (X; R), что и £ Н влечет I и I £ 17. Для того чтобы
непрерывная числовая функция / на // была равномерно аппроксими-
аппроксимируема функциями из Я, необходимо и достаточно, чтобы для каждой
пары (х, у) точек из А' функция / удовлетворяла каждому линейному
соотношению а/ (х) = |3/ (;/) такому, что ар ^ 0 п ад (х) — р# (г/У
для всех функции g £ .//. [Применить предложение 2, заметив, что-
образ Я при отображении и \~* (к (х), и (;/)) ость либо лея плоскость 11а,
либо прямая аХ — PF, где afi > 0, либо, наконец, сводится к одной
точке @, 0).]
Г>) Пусть X — компактное пространство, 11 — некоторое множе-
множество непрерывных числовых функций на X п В — отношение экви-
эквивалентности «и (х) = и (у) для всех и 6 Н». Для того чтобы непрерыв-
непрерывная числовая функция / на X была равномерно аппроксимируема
полиномами (соотв. полиномами боа постоянного члена) относительно-
функций из //, необходимо и достаточно, чтобы / была постоянной
на каждом классе эквивалентности no R (соотв. чтобы / была постоян-
постоянной па каждом классе гжвиналентпости по Н и равна нулю на множе-
множестве тех точек, в которых все функции и 6 11 обращаются в нуль).
*0) Пусть X — вполне регулярное пространство и $°° (X; R) —
нормированная подалгебра алгебры ^9 (X; R), образолаинан всеми
ограниченными непрерывными числовыми функциями на X. Для того*
чтобы всякая подалгебра алгебры ¥'°° (X; R), отделяющая точки про-
пространства X и содержащая нее постоянные функции, была плотна
в 9S00 (X; R), необходимо и достаточно, чтобы X было компактным.
[Пусть рХ — компактификация Стоуна — Чеха пространства X
(гл. IX, § 1, упражнение 7). Замгпгв, что %°° (X; R) отождествимо-
с Ч?, (РХ; It), показатг,, что если РХ — X но пусто, то в %°° (X; К}
имеются не плотные подалгебры, отделяющие точки пространства X
tj содержащие псе постоянные функции.]
*7) Пусть X — не компактное вполне регулярное пространство-
а) Показать равносильность следующих свойств:
а) Подалгебра алгобры $?°°(Х; R), состоящая из функции вида-
с ~п /> 1'Дв с — постоянная, а / имеет компактный носитель (гл. IX,
§ 4, п° 3), плотва п $°° (X; R).
Р) рХ — X, гдо РХ — компактификация Стоуна — Чеха про-
пространства X, сводится к единственной точке.
у) Существует только одна равпомерная структура предкомпакт-
ного пространства, согласующаяся с топологией пространства X.
fi) Если замкнутые множества Л и В в пространстве X нормально»
отделимы (гл. IX, § 1, упражнепио 11), то одно из пих компактно,.

250 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. X, § 4
£) Для каждой равномерной структуры <?/ в пространств X,
согласующейся с его топологией, и каждого ей окружения V суще-
существует множество L, дополнительное к некоторому компактному множе-
множеству в X и такое, что L X L а V.
0) Существует только одеш равномерная структура, согласующая-
согласующаяся с топологией пространства X.
[Наметив, что а) влочет локальную компактность X н, значит,
открытость X в РХ, вывести отсюда, что а) влечет 0); чтобы убедиться
в том, что Р) влочет а), нспользоинть теорему Нейорштрасса — Стоуна.
Для вывода у) из р") иопгользоватьск том, что равномерная структура,
индуцируемая в X ил РХ, есть сильнейшая из равномерных структур
предкомпактного пространства п X, согласующихся с ого топологией.
Для выводи ft) из у) использовать упражнение 11 § 1 главы IX. Для
вывода 0 из 8) показать сначала, что для каждого окружения V равно-
равномерной структуры 11 существует точка z £ X, для которой V (г) не
компактно; в противном случае X было бы полно в ?/ и паракомпактно
(гл. II, 2-е изд., § 4, упражнение 10; 3-е изд., § 4, упражнение 9),
а значит, нормально; показать тогда с помощью 5), что X было бы
полукомнактно (гл. IX, § 2, упражнение 14), и воспользоваться
•упражнением 2 § 4 главы II 2-го изд. C-е изд., § 4, упражнение 6). При-
Применить затем этот результат к окружению V, отгредолонному нера-
вонстяом / (я, х) < 1 для некоторого непрерывного отклонения /
на X, и вывести из fi), что существует множество L, дополнительное, к
компактному множеству и X и такое, что L X Ь cz V. Наконец,
чтобы установить, что £,) влочет 6), заметить, что всякий ультра-
ультрафильтр в X либо сходится, либо мажорирует фильтр донолпоыий к отно-
относительно компактным множествам в X.]
б) Показать, что пространство X, обладающее равносильными
свойствами пункта а), венергатрассоно (гл. IX, § 1, упражнение 22)
[Использовать упражнение 12 § 1 главы IX или заметить, что если
X не вопергатрассово, то в X существуют последовательность точек
(хп), не имеющая предельной точки, и непрерывное отображение
f. X -* [0, 1] такио, что / (х2п) = 0 и / (хап+1) = 1.]
в) Пусть Y — но компактное вполне регулярное пространство.
Показать, что подпространство X пространства f>Y, дополнительное
it точко из РУ — Y, удоплотворяет условиям пункта а).
8) Пусть (X,-) i^j<n — конечное семейство комгга ктпых пространств,
п
X = JJ Xj — его произведение и A i для каждого индекса i —
i=l
замкнутой множоство в Х(. Показать, что всякая непрерывная число-
числовая функция на X, равная нулю на объединении множеств А,- X JJ X]

УПРАЖНЕНИЯ 251
A ^ I ^ п), равномерно аппроксимируема суммами конечного числа
функций вида (*!, . . ., хп) h-*-ut (х{) . . . vn (.rn), где щ для каждого
индекса i — непрерывна}! числовая функция на X;, ранная нулю на А4.
°9) Пусть ('"п)п5!.| — последовательность всех рациональных чисел
из интервала / — [О, I] п R, расположенных Go;» попторештй в каком-
либо порядке. Определим по индукции последовательность замкнутых
интервалов In cz I следующим обра.чом: 1п имеет своим центром точ-
точку jy с наименьшим номером, не содержащуюся п объединении иптер-
71
валов /р с иомернми ;> < п; он имеет длину ^1/4п и не пересекается
ни с одним /р г, помором р < п; таким образом, 1п образуют последова-
последовательность яамкнутых попарно непересекающихся интервалов. Опре-
Определим на пространство / X К непрерывную числовую функцию и
«лсдукщим образом: для каждого целого п > 1 функция х у-*- и (ж, п)
равна 1 в некоторой внутренней точке интерпала 1п, рапна 0 всюду
вне 1п и псе ео иначенин содержатся в [0, 1]; с другой стороны, дли
каждого х £ / функция ;/ *-*• и (.г, у) аффипио пииеГша ti каждом и:>
яптервалоп [п, п -|- 1]. Цокизат|>, что и но мон!ет быть равномерно
аппроксимирована па / X R линейными комбинациями функций вида
v (x) w (;/), где v — непрерывная функция на /, a w — ограниченная
непрерывная функция на It. [В пространстве ¥?°° (R; R) всех ограни-
ограниченных иепрорыкних функций на R рассмотреть множество всех частич-
лшх функций у *-*■ и (х, у), где х пробегает /; показать, что существует
такая бесконечная последовательность (ип) этих функций, что || ип || =
= 1 и |] ит — ип || = 1 при те Ф п. Вывести отсюда, что в $°° (R; R) не
может сущестнопать конечномерное векторное подпространство Е, от
которого кпждяя-мп находилась бы та расстоянии ^1/4: иначе в Е суще-
существовала бы последовательность точек (ип) такая, что || vn || = 2
и || vn — vm || > 1/2 при т Ф п, в противоречие с, тем, что всякое
.конечномерное подпространство в ^j0° (R; R) локально компактно.]о
10) Вывести ип теоремы Вейерштрасса — Стоуяа новое доказа-
доказательство теоремы Урьгсона (гл. IX, § 'i, теорема 2) для яамкнутых
подпространств комапктного пространства X. [Для замкнутого множе-
множества F я X рассмотреть множостпо И сужений на F всех итгрпрывпых
отображений X я R и заметить, что если / 6 И и | / (г) | sg а на F,
то существует функция g £ //, совпадающая с / на F и такая, что
\К (ж) I «$ а на X.]
*М) а) Пусть X — вполне регулярное пространство и Y — его
замкнутое подпространство; отображение <р: и V-*- и | Y пространства
^°° (X; R) в %°° (Y; R) линейно, непрерывно и имеет норму <1. Если
X нормально, то ф — сюръективиый строгий мпрфизм; кроме того,
<*оли Ху — факторпрогтранстио пространства X, полученное отожде-
отождествлением всех точек и:> Y (и нормальное согласно упражнению 15

252 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. X, § 4
§ 4 главы IX), то ядро отображения ср отождествимо (вместе с нормой)
с подпространством пространства 'fi?00 (Ху\ R), образованным всеми
функциями, равными нулю в м, каноническом образе, У и Ху.
б) Предположим, что X метризуемо и граница подпространства У
в X — счетного туггга. Показать, что <р: и у-> и \ У есть строгий морфи;шг
обратимый справа (г.7. III, 3-е изд., § О, предложении Я). [Пусть-
d — расстояние, согласующееся с топо:юпкм"| прострипствп X, (ап) —
последовательность точек из Ft (У), плотная n Fr (У), и Vn, m —
множество тех х £ X, для которых с/ (х, а„) < 4/т н d (x, У) > 4/2т-
Построить семейство непрерывных отображений fn,m пространства X
в [0, 1] так, чтобы носитель функции fn,m содержался в Vn,m
и У] /П| m (г) = t на СУ, причем семейство (/„, т) было равмомп]1но>
n, m
суммируемо в надлежащей окрестности каждой точки из СУ« Пока-
Показать, что тогда для всякой функции v £ $°° (У; It) функция и, рамная v
на У и 2 " (ап) !п,т. (х) в каждой точке х £ СУ, принадлежит^°° (X; II)
n, m
и такова, что ф (и) = у.] *)
12) а) Пусть !Х — компактное прострппстно, /: X -*• У — его»
сюръективное непрерыппоеотображегше па компактное пространство У.
Показать, что отображение <•/: и \~* и о / алгебры ?Г (У; R) в % (X; R)
есть изоморфизм (сохраняющий норму) алгебры $ (У; II) на замкнутую-
подалгебру алгебры % (X; К), содержащую единичный элемент.
б) Обратно, пусть А — замкнутая подалгебра алгебры % (X; R),
содержащая единичный алемевт. Показать, что существует такое
сюръоктипное непрерывное, отображении / пространства X на некото-
некоторое компактное пространство У, что "/есть изоморфизм % (У; R) на А.
Шусть ("jjjtgk— леюду плотное семейство в Л; рассмотреть непрерыв-
непрерывном отображение х *-*• (м^ (ж)) пространства X в R и использовать
теорему Вейерпттрасса — Стоуна.1
в) Вывести из б), что для каждой последовательности («„) элемен-
элементов ил $ЧХ; R) существуют метризуемое компактное пространство У
и сгоръектшгаоо непрерывное отображение /: X -*■ У такие, что все ип
принадлежат образу % (У; Я) при отображении %
*13) Пусть X — компактное пространство и А — нормнроипшшя
алгебра Ч? (X; R). Дли каждого М с А обоапачим чирга V (М) множе-
множество тех х £ „Y, для которых и (ж) = 0 при исех и С М, и дли кнждогск
Y а X обозначим черен ^ (У) множество тех к• (• А, для которых
и (х) = 0 на У.
*) Этот результат по распространяется на случай, когда X есть не метри-
зуомое компактное пространство PN, а У — замкнутое множество PN — N
(Тон. вект. пространства, гл. IV, § 5, упражнение 5в). ,

УПРАЖНЕНИЯ 253
а) V (М) есть замкнутое подпространство пространства X, $ (У)—
замкнутый идеал алгебры А- Если а — пдопл алгебры А, порожденный
множеством М а А, то V (Л/) = V (а); Гк 3- убывающие ото-
отображения по отношению включения и V ({0}) = А", V (А) — 0,
V ({и}) — 0 для каждого обратимого алемента и алгебры А,
v(\J Mb) ~ V (S ЛМ = П V ^^ ДЛЯ кажЯ0Г0 семейства {Mx)xzV
.подмножеств алгебры" А, V {ММ') — V (М) U V (М1), 3 00 = {0},.
x) = Р| 3 (Ух) Для каждого семейстна
множеств п X.
б) Показать, что $ (F (а)) = ~г цля каждого идояля п .члгобры Л
и 7 О (Y)) = У для каждого множества УсХ. [При докаяатольство
первою равенства учесть, что V (а) = F (а), так что п можно .пред-
.предполагать замкнутым; заметить, что если х и // — различные точки
Э1з X — V (а), то существует и 6 а такое, что к (ж) «/;: к (.'/), и исполь-
аопать предложение 4. Для доказательства второго равопства исполь-
использовать теорому Урмсоиа.]
в) Вымости из б), что л-» $({3'}) сст1> биокция пространства X
на множество всех максимальных тгдеалов алгебры А, которые, таким
■образом, аамкиуты. Для того чтобы идеал алгебры А был замкнутым,
необходимо и достаточно, чтобы он был пересечением максимальных
идеалов. Кольцо А не обладает радикалом (Алгебра, гл. VIII, § fi,
п° 3).
г) Показать, что отображение eh-+V({e}) есть биекция множе-
множества всех идемпотонтов алгебры А на множество всех открыто-замкну-
открыто-замкнутых подмножеств пространства X. Для того чтовк точка х 6 X была
изолированной, необходимо и достаточно, чтобы максимальный идеал
$ ({х}) был главным.
14) Пусть X — топологическое пространство. Для каждой функ-
функции и 6 % (X; Щ такой, что и (х) > 0 во всех точках х £ X, обозначим
через Vu множество всех функций / 6 cf(X; R), для которых | / | < и.
а) Показать, что множества Vu являются окрестностями нуля
в некоторой отделимой топологии 3" в /1=-^(Х; R), согласующейся
со структурой кольца А.
б) Топология, которую 3" индуцирует в Ч?,°° (X; Т1), мажорирует
топологию равномерной сходимости на X; для того чтобы эти токологии
■совпадали, необходимо и достаточно, чтобы X было ненерштрассовым
(гл. IX, § 1, упражнение 22). Если X не вейерштрассово, то 3" инду-
индуцирует п множестве всех постоянных функций дискретную топологию,
так что ^пе согласуется со структурой векторного пространства (над
R) в А.
в) Показать, что А, наделенное топологией 3", есть гельфандово
кольцо (гл. III, 3-е изд., § 6, упражнение 11).

254 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. X, § 4
♦15) Пусть X — вполне регулярное пространство и РХ — его»
компактификация Стоуна — Чеха; наделим кольцо А — % (X; R)
топологией &", определенной п упражнении 14. Пусть V (/) для каждого-
/ С А означает замыкаппо и РХ множества / @) с: X, V (М) для каждо-
каждого М а А — пересечение всех' V (/) (/ £ М) и ft (У) для каждого У с:
• с: рХ -- множество тох / £ А, для которых У cz V (/); вместо ft (W)
будем писать ft (r). Для того чтобы V (f) = 0, необходимо н достаточ-
достаточно, чтобы / было обратимо в Л.
л) Показать, что если fug — функции из А, для которых / @) Л
f] g- @) = 0, то также V (/) П V (g) — &• (Рассмотреть ограничен-
ограниченную непрерывную функцию | / |/(| f \ + \ g \)-] Вывести отсюда, что,
каково бы ли было М с: А, V (М) = V (а), "где а — идеал в Лг
порожденный множеством М.
б) Показать, что ft (У) есть идеал в А для каждого множества
У с: рХ [использовать п)], причем V (ft (У)) = У (замыканию У в РХ).
в) Пусть и — такая функция из А, что и (ж) > 0 во всех точках
х 6 X, и g — функция из А. Покааать, что существует функция f 6 А
такая, что | / — g \ ^ и, а V (/) есть окрестность множества У (g).
[Показать, что функция /, равняя g -\- и там, где g (ж) + и (х) < 0г
равная g — и там, где # (г) — и (х) > 0, и рапная 0 и остальных точ-
точках, обладает требуемыми свойствами; рассмотреть функцию /' =
= inf ((и + g)+, (и— е)') и использовать а).]
г) Пусть а — идеал в А; показать, что если функция / (; А тако-
такова, что V (/) есть окрестность множества V (а), то /6 а. [Заметить
прежде всего, что существует g £ а, для которого V (#) содержится
во внутренности V (/), и затем рассмотреть функцию ft на X, равную-
/ (r)/g (а?) там, где / (х) ф 0, и равную 0 там, где / (ж) = 0.]
д) Вывести из и) и г), что ft (V (л)) = а для всякого идеала а
в А. [Показать сначала, рассуждай от противного, что V (М) = V. (М)
для каждого М а А.) Вывести отсюда, что ft (У) есть замкнутый
идеал в А для каждого У cz $Х. [Заметить, что ft (У) = ft (V (ft (У))).]
е) Заключить пт> д), что х *-*■ ft (х) есть биекция flX на мпожостпо
всех максимальных идеалов (необходимо замкнутых) кольца А. Для
того чтобы идеал в А был замкнутым, необходимо и достаточно, чтобы
он был пересечением максимальных идеалов. А — кольцо б«з ради-
радикала.
■Мб) Предположения и обозначения тоже, что и упражнении 15.
а) Пусть а — замкнутый идеал кольца Л . Поканатъ, что к фактор-
кольце А/а мион5ество Р канонических образов всех функций / 5* О
яз А есть множество всех элементов >0 и некоторой структуре порядка,
превращающей А/о. в решеточнп упорядоченное кольцо. [Заметить,
используя упражнение 15д), что если / я # принадлежат а, то то же
верно для | / | + I В I, как и для всякой функции h £ А такой, что

УПРАЖНЕНИЯ 255
I h I •< I / I-] Канонический образ в A /<* множества всех постоянных
функций изоморфен R с его структурой уиорндоченното поля.]
б) В частности, для каждого х £ fix, А/^(х) канонически наде-
наделяется структурой упорядоченного поля. Максимальный идеал 3 (ж)
называют вещественным, если А/3 (х) изоморфно R, и гипервеществен-
ным — в противном случае. Для того чтобы ft (х) был гипервеществен-
ным, необходимо и достаточно, чтобы х £ |ЗХ — X и существовала
обратимая функция f £ А такая, что lim / (у) — 0. Вывести
отсюда, что для того, чтобы все максимальные идеалы в А были веще-
вещественными, необходимо и достаточно, чтобы X было вейерштрассовым
(гл. IX, § 1, упражнение 22).
в) Пусть Ф* для каждого х £ fiX — канонический гомоморфивм
-4 у-*- Al% (х). Для того чтобы срх (/) > 0 па Л/ft (.г), пеобходимо
и достаточно, чтобы существовала функция g £ ft (г) такая, что / {у) >
> 0 на g @). [Заметить, что отношение <рх (/) ^ 0 эквивалентно срав-
сравнению / з |./ | (mod $ (ж)).] Для того чтобы фж (/) > 0, необходимо
и достаточно, чтобы существовала функция g g 3 (ж) такая, что
f (у) > 0 на gf @). [Заметить, испольауя упражнение 15, что если
/ $ 3 (г), то существует функция g £ g (г), для которой / @) П ? @) =
— 0Л
г) Показать, что если 3 (г) гшгервещественный, то степень транс-
трансцендентности (Алг., гл. V, § 5, упражнение 1) поля AlR (x) над R
не меньше чем С = Card (R). [Пусть / > 0 — обратимый элемент из А,
для которого <рж (/) = и бесконечно большое относительно R (Алг.,
гл. VI, § 2, упражнение 1). Показать, что если г пробогает элементы
какого-либо базиса для R над Q (состоящего из чисел >0), то элемен-
элементы фж (/г) факторкольца А/% (х) алгебраически независимы.]
°д) Пусть fa (X) для каждой точки а = (аи . . ., ап) 6 Un оэначает
полином Хп -I- а^Х*1-1 + . . . + а„; далее v (?) для каждого пещеетвен-
ного числа 5 есть сумма кратностей нулей я полипома fa в С, у которых
91 (г) = I, и Pft (а) для каждого целого А такого, что i ^ к ё^. п, озна-
означает наименьшое вещественное число £, для' которого ]>] v (ri) ^* fr.
Показать, что функции р;( непрерывны irn R71. [Использовать теорему
Руше.]
е) Доказать, что упорядоченное поле 4/ft (г) для иансдого х £ |ЗХ
лвксилально (Ллг., гл. VI, § 2, п° 5). [Пусть F (X) = Xr:+ hX"-* -\
• • • + in — полином нечетной степени ^коэффициентами из А', функ-
функции gk (у) ~ Pfe ('i ('^< • • •• fn (У))< гДе Pft — Функции, определенные
в д), непрерывны па X, и для каждого у £ X имеется индекс к такой,
что /■' (gh (у)) = (|'< вывести отсюда, что произведение F (^) . . . F (#„)
принадлежит ft (x).]0

256 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. X, § 4
ж) Пусть .Y — беекоиочное дискретное пространство, у>—♦■ Fa —
биркция X на множество всох его конечных подмножеств и Мг для
каждого z 6 X — множество тех у £ л", для которых z £ Ff/; dth .множе-
.множества образуют базис некоторого фильтра 7i в А'; пусть х — точка
из р"Х такая, что соответствующий ei'i ультрафильтр и А' (гл. I, 3-е изд.,
§ 9, упражнение 27) мажорирует Tv. Пусть У? ■— подмножество w А,
для которого Card (/?) s^Card (X), и // >—*■ gv — глоръектпвиоп отображе-
отображение X -*■ В. Для каждого z £ X положим / (z) =- 1 -■- sup g,. (г). Пока-
зать, что / (z) > gy (г) для всох г £ Му, и т!Ь[В0СТ1т отсюда, что ц:х (/) >
> (Рх (ву) Для всех // 6 Y. [Использовать в).] Заключить, что
Card (Al$ (x)) > Card (X).
*17) Предположения и обозначения те же, что в упражнении 15.
а) Для того чтобы максимальный идеал 3 (з1) был вещественным,
необходил1о и достаточно, чтобы для каждой бесконечной последова-
последовательности (яп) элементов из Q (х) множества gn @) имели непустое
пересечение. [Использовать упражнение 1A6); чтобы убедиться в необ-
необходимости условия, показать, что если пересечение всех #71.@) пусто,
то функция / (у) = 2 'п^ tin (у)' 2~п) непреривна, обратима в А
п=-0
и стремится к 0, когда у стромнтся к х, оставаясь в X; заметить, что
/ (у) < 2*т на пересечении всех gh @) с It gC m, и испольяовать упраж-
упражнение 15а), а такнге то, что множества V (?) (g P. Qj (x)) образуют фунда-
фундаментальную систему окрестностей точки х в рх.]
б) X называют вещественно полным, если единственные, веществен-
вещественные максимальные идеалы ft (х) — те, для которых х 6 X. Показать,
что всякое пполне регулярное лнндолефово пространство (гл. Т, 3-е изд.,
$ 9, упражнение \Ъ) вещественно полно. [Использовать а).] Вейер-
ттрасеово вполне регулярное пространство вещественно полно, только
когда оно компактно.
в) Пусть vX — множество тех з- £ РХ, для которых $ (х) —
вещественный максимальный идеал; показать, что всякая числовая
функция / 6 А может быть непрерывно продолжена п.ч t1X, так что
<fi (X; R) и $(«Х; R) канонически отождестпимы. Доказать, что под-
подпространство vX пространства РХ вещественно полно. [Заметить, что
если / обратима в %(Х.\ R), то ее непрерывное продолжение на vX.
обратимо в ffCuX; К), и что [3 (vX) = fLY.] vX называют пещестпен-
ным пополнением пространства X.
г) Показать, что vX является пополнением X, наделенного сла-
<>еиптей из равномерных структур, при которых псе функндш f £ А
равномерно непрерывны. [Заметить, что всякий фильтр Копт 5»
в X сходится относительно этой равномерной структуры к некоторой
точке х £ РХ; если бы х не принадлежала i)X, то существовала Пы
функция / 6 А, неограниченная на некотором множестве из $.]

УПРАЖНЕНИЯ 257
д) Вынести из г), что всякое непрерывное отображение и: X -*■ У
пполне регулярного пространства А' и вещественно полное простраи-
стпо У продолжается но непрерывности до отображения vX в У. Таким
образом, пространство vX является решением проблемы уннверсалг.-
ного отображения, где 2 — структура вещественно полного простран-
пространства, а а-отображения и морфиамы — все непрерывные отображения
' (Теор. миож., гл. IV, § 3, п° 1).
е) Показать, что всякое замкнутое подпространство вещественно
полного пространства вощественпо полно; произведение всякого семей-
семейства вещестненпо полных пространств вещественно полно; и отделимом
пространстве пересеченно всякого семейства пещестпепно полных под-
подпространств вещественно полно. [Чтобы докапать, например, что замк-
замкнутое подпространство X вещественно полного нростраистпа У веще-
вещественно полно, рассмотреть продолжение / на vX канонической инъек-
инъекции ]: Х-+Ун заметить, что j~l (X) = X; вывести отсюда, что X
замкнуто и vX. В остальных двух случаях рассуждения аналогичны.]
ж) Вывести ив б), г) и е), что для того, чтобы вполне регулярное
пространство было вещественно полно, необходимо и достаточно,
чтобы оно было гомеоморфно замкнутому подпространству никоторого
произведения R*.
18) Пусть X — вещественно полное цространстио.
а) Показать, что для всякого гомоморфизма и алгебры % (X; R)
в R, пе равного тождественно нулю, существует, и притом единствен-
единственная, точка х £ X такая, что и (/)=/ (ж) для всех / £ V. (X; К).
б) Пусть У — второе вещественно полное пространство. Пока-
Показать, что для каждого гомоморфизма R-алгебр г: % (У\ Щ -*■ Ч> (X; R),
переводящего единичный элемент в единичны», сущег.тиует, и притом
единственное, непрерывное отображение w: X -*■ Y такое, что » (g) t=
-= ц о in. [Исполь::юнать а).1 В частности, для того чтобы с(? (Х\ R)
и ^ (У; R) были изоморфны, необходимо и достаточно, чтобы X и У
были гомеоморфиы.
♦19) Пусть X — компактное пространство и А — нормированная
алгебра #(X; С) над С. Покапать, что для всякого замкнутого идеала а
в А отношение / (Е ° влотет /6 а. [Заметить, что / — равномерпый
предел функций вида gf.] Распространить тогда на алгебру А резуль-
результаты упражнения 13.
*20) а) Пусть X — компактное пространство, А — алгебра копея-
ного ранга над полем R, обладающая единичным элементом и наде-
наделенная топологией, определенной в п° 5 § 1 главы VI, и В — под-
подалгебра R-алгебры %'(Х; А). Предположим, что для каждого е > О,
каждой нары различных точек х, у из А' и каждой пары эломонтоп и, v
из А существует функция / 6 В такая, что || / (я) — и || ^ ?,
и п / (//) — v !| < е. (где \\ z \\ — какая-либо норма, определяющая
топологию алгебры А); предположим, кроме того, что если и и v при-
П. БурСаки

258 ■ функциональный пространства гл. х, $ 4
надлгжат R, то имеется функция / £• В, удовлетворяющая предыдущим
условиям и принимающая впачсчгия в R. Показать, что при этпх
условиях U плотва п 48 (Х\ А) в топологии равномерной сходимости.
[Доказптъ сначала, что каждая функция из %(Х\ 11) равномерно
аппроксимируема функциями из Я, а затем, используя сделанное
предположение и некоторое разбиение единицы,—- что то жо порно для
любой постоянной а£А.)
б) Возьмем в качестве А толо. кватернионов Н над R. Пусть
И — подалгебра R-алгебры ^(Х; Н) такая, что: 1° вместо с каждой
функцией j <с В также сопряженная / к пой (определенная для всех
т. £ X равенством / (*) = / (х)) принадлежит В; 2° для каждого е > О,
каждой пары различных точек х, у ш X и каждой пари элемоптов и, v
из II существует функция f d Ч такая, что || / (ж) — и || < 8
и II / (у) ~ '; II ^ е- Показать, что В всюду плотна в $ (X; Н). [Исполь-
зоиать а).]
п) Распространить ня алгебру % (X; II) результаты упражне-
упражнения 13 и покапать, и частности, что всякий аамкпутудй идеал :>той
алгебры— двусторонний. [Рассуждать, как н упражнении 19, исполь-
используя б).]
*21) а) Пусть X — вполне ивг.вяпвое компактное пространство
л А — топологическое кольцо. Наделим кольцо f (X; А) топологией
равномерной сходимости (согласующейся со структурой кольца). Пусть
п -- литшй идеал и %\{Х; А) и 3 (х), для каждого х £ X, замыкание
в А множества всех / (,т), где / пробегает п, которое япляется замкну-
замкнутым левым идеалом и А. Показать, что а совпадает с множеством тех
/ 6 9$(Х; А), для которых / (х) £ 3 (ж) при всех х С X. [Заметить, что
открыто-замкнутые окрестности каждой точки х £ X образуют фунда-
фундаментальную систему ео окрестностей.]
б) Предположим, кроме того, что и А существует фундаменталь
пая система окрестностей пуля, образованная двусторонними идеала-
идеалами. Пусть В — подкольцо кольца % (X; А), содержащее постоянные
и отделяющее точки пространства. X; показать, что II плотно в % (X; Л).
[Покачать, что, каковы бы шг были замкнутое множество /■' п X, точка
х ({ F и окрестность U нуля в А, существует / £ В такое, что / (.с) — 1,
а 1 (?/) 6 U для всех ;/ £ F.\

ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
К ГЛАВЕ X
(Римские цифры относятся к библиографии, помещенной
в конце пастоящсго очерка)
Кик известно, понятие произиольной функции оформилось лишь и начало
XIX века. Том более идея общего изучения множеств функций и иядоления
их топологической структурой но появлялась до Римана (см. Исторический
очерк к глало 1) и начала Л])оиикать п печатные труды только к концу
XIX пеки.
Одни ко понятием сходимости последовательности числовых функций
стали более или менеп сознательпо пользоваться ужо с первых тагов исчисле-
исчислении бесконечно милых. Но при этом речь шла только о простой сходимости,
и иначе бить но могло до того, как попятия сходящегося ряда и попрерынной
функции ие были точно определены Больцано и Копти. Но последний вначале
не наметил ранлипии между простой и равномерной сходимостью и полагал,
что можно доказать непрерывность суммы всякого сходящегося ряда непре-
непрерывных функций (I, B1, том III, стр. 20). Ошибка была почти тотчас же
обнаружила Абелем, который доказал в то ж о время, что сумма всякого
степенного ряда непрерывна внутри его интервала сходимости, применив
ставшей классическим рассуждение, существенно использующее примени-
применительно к этому частному случаю и дою равномерной сходимости (II, стр. 223—
224). Оставалось лини, выделить :>ту последнюю в общем виде, что было сдела-
сделано независимо Стоксом п Зейделем в 1847—1848 гг. и самим Копти в 1853 г.
(I, A), том XII, стр. 30) *).
Под влиянием Бейерштрасса и Римана систематическое изучение поня-
понятия равномерной сходимости и связанных с ним вопросов ря.чнертыпалось
и последвей трети XIX века немецкой школой (Хашссль, ДюСуа-Реймон)
и особенно итальянской: Дини и Ар чел а уточнили условия, необходимые
для непрерывности предела последовательности непрерывных функций,
тогда как Асколи ввел фундаментальное понятие равностепенной пепрерыв-
*) li одной работе, датированпой 1841 г., ио онубликопанной только
п 18!И г. (IVa, стр. 67), Вейерштрасс с полной отчетливостью пользуется
понятием раиноморпой сходимости (которому он первый дал это имя) для
рядов но степеням одной или нескольких комплексных переменных.
17*

260 ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛЛВР, X
ности и доказал теорему, характеризующую компактные множестпа непре-
непрерывных функций (III) (теорему, популяризованную позжо Монтолем в его
теории «нормпльных семейств», представляюпщх собой не что иное, как
относительно компактные множества аналитических функций).
С другой стороны, сам Вейерштрасс (IV6) открыл возможность ранно-
мерно аппроксимиропать полиномами непрерывную числовую функцию
одно!! или нескольких вещественных переменных пи ограниченном множе-
множестве — результат, который сразу иоябудил живой интерес и прицел it много-
многочисленным «количественным» исследовнниям, выходящим, однако, :ia римкп
интересующего нас, круга вопросов *).
Современный нклад п эти вопросы заключался главным образом в при-
придании им всей свойственной им значимости путем распространения пх на
функции, области определения и зпачевпй которых не ограничены про-
пространством R или конечномерными пространствами, тем. самым очертив с по-
помощью общих топологических понятий их естественные рпмкн. II частности,
теорема Бейертптрасеа, ужо проявившая себя как орудие, первостепенной
важности в классическом анализе, была в последние годи распространена
на гораздо более общий случай Стоуном: развивая одну идею Лебеги (при-
(примененную последним в его доказательстве теоремы Вейергатрасса), Стоун
выявил важную роль, которую играют в аппроксимации непрерывных число-
числовых функций решеточные множества (аппроксимация «решеточными полино-
полиномами», см. § 4, предложение 2 и теорему 2) и, с другой стороны, показал, как
обобщенная теорема Вейерштрасса ерпяу влечет целый ряд аналогичных
аппроксимационных теорем, которые таким образом группируются более
связным образом; мы довольно близко придерживались его изложения (V).
*) См., например, С. D e La V а 11 6 е Ponssin, Lefons sur V'appro-
V'approximation ties fonctions el'une variable rkelle (Paris, Gaiithter-Villai's, 1919).

БИБЛИОГРАФИЯ
(I) A.-L. С a u о h у, Oeuvres, Paris (Gauthier-Villnra), 1882—1932.
(II) N. A. Abel, Oeuvres, т. I, od. Sylow ot Lio, Christianin, 1881.
(III) G. A s с о 1 i, Sulle curve limiti di una varieta data di curvo, Mom. Accad.
Lincni (III), т. XVIII A883), стр. 521—586.
(IV) К. Weierstrass, Mathemntische Werke, Rerlin (Mayer and Miiller),
1894—1903: a) Zur Theorio der Potmzroihen, Bd. I, стр. 67—74; 6) Ober
dio analytische Darstollbarknit sogonaiintor willkiirlirlier Funktionen
rceller Argumoatc, Bd. Ill, стр. 1—37.
(V) M. H. Stone, The generalized VVeierstrass approximntion theorem,
Mathematirs Magazine, т. XXI A948), стр. 167—183 и 237—254.

СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ
КНИГИ III
ВВЕДЕНИЕ
Настоящая сводка задумана, прежде всего, как некоторый
справочник: для каждого из основных понятий топологии мм ста-
старались сгруппировать и возможно более кратком виде все суще-
существенные результаты, в которых опо участвует, так, чтобы при
необходимости ого использования оно было сразу под рукой.
В частности, собраны вместе признаки, позволяющие утверждать,
что некоторое мнозкество или отображение обладает тем или дру-
другим свойством, например быть компактным или непрерывным.
Этот способ изложения, с одной стороны, порождает повторения:
например, теорема, утверждающая, что образ компактного мно-
множества при непрерывном отображении (в отделимое пространство)
компактен, находится и в параграфе, посвященном непрерывным
функциям, и в параграфе, посвященном компактным простран-
пространствам. С другой стороны, очень часто понятие упоминается в пара-
параграфе, предшествующем тому, в котором оно определено; указа-
указатель терминов, помещенный в конце книги, отсылает тогда к тому
месту, где дано определение. Разумеется, знакомство с понятиями
и результатами книг I и II, используемыми в кпиге III, предпо-
предполагается; кроме того, предполагается, что читатель знаком с тео-
теорией вещественных чисел.
В соответствии с характером сводки она не содержит доказа-
доказательств формулируемых результатов; для наиболее трудных тео-
теорем даны ссылки на то место книги III, где доказательство изло-
изложено.
Наконец, в виде исключения было сочтено полезным привести
в этой сводке некоторые результаты, доказательства которых
в книге III отсутствуют; эти результаты всегда окаймлены зна-
знаками ° .....

ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ 263
§ 1. Топологические структуры;
открытые множества, окрестности, замкнутые мпожества
1. Говорят, что множество JD подмножеств множества Е опре-
определяет и Е топологическую структуру (или топологию), если опо
обладает следугощилш свойствами:
(d) Объединение всякого семейства множеств из О есть мно-
множество из £).
(Oil,,) Пересечение всяких двух множеств из О есть множе-
множество из С.
(One) Множество Е принадлежит С
Множества из О называют открытыми множествами тополо-
топологии, определяемой множеством О. Множество Е, наделенное топо-
топологической структурой, называют топологическим простран-
пространством, а его элементы — точками.
В топологическом пространстве пустое .множество открыто;
пересечение любого коночного числа открытых множеств открыто.
Каково бы пи било множество Е, множество ty (E) всевозмож-
всевозможных его подмножеств обладает свойствами (О]), (Оця) и (Ош);
оиределяемую им топологию называют дискретной топологией
в Е, а Е, наделенное этой топологией, —дискретным простран-
пространством. Для того чтобы топологическое пространство било ди-
дискретно, необходимо и достаточно, чтобы всякое одноточечное
множество в нем было открыто.
Покрытие множества в топологическом пространстве называют
открытым, если оно состоит из открытых множеств.
UycTb Е и Е' — топологические пространства; биективное
отображение /: Е ■-»- Е' называют гомеоморфизмом Е на Е', если /
есть изоморфизм топологии прострапстиа Е на топологию про-
пространства Е', другими словами, если образом множества всех
открытых множеств пространства Е при отображении / служит
множество всех открытых множеств пространства Е'. То же самое
можно выразить, сказав, что / и ого обращение непрерывно.
2. Пусть / — непрерывное отображение топологического про-
пространства Е в топологическое пространство F; тогда прообраз
i
/ (Л) каждого открытого множества А из F ость открытое множе-
множество в Е.

26-4 СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ § 1
В частности, в метрическом пространстве всякий открытый
шар есть открытое множество.
Если g —полунепрерывная снизу (соотв. сверху) числовая
функция на топологическом пространстве Е, то множество тех
х £ Е, для которых g (х) > к (соотв. g (х) < к), открыто. Для
того чтобы множество А было открытым в Е, необходимо и доста-
достаточно, чтобы его характеристическая функция ц:А была полуне-
полунепрерывна снизу.
3. Окрестностью множества А в топологическом пространстве
Е называют всякое множество, обладающие открытым подмноже-
подмножеством, содержащим А. Окрестности одноточечного множества {х}
называют также окрестностями точки х.
Всякая окрестность множества A cr E является также окрест-
окрестностью любого множества В с: А. Для того чтобы множество было
окрестностью каждой своей точки, необходимо и достаточно, чтобы
оно было открытым.
4. Окрестности непустого множества А в топологическом про-
пространстве Е образуют фильтр. Всякий базис этого фильтра назы-
называют фундаментальной системой окрестностей множества А; для
того чтобы множество <э окрестностей множества А было фунда-
фундаментальной системой окрестностей этого множества, нообходимо
и достаточно, чтобы каждая окрестность множества А содержала
множество из (©.
5. Пусть Е — равномерное пространство, (& — фундаменталь-
фундаментальная система его окружений; для каждой точки х0 £ Е множества
V (хп), где V пробегает <2>, образуют фундаментальную систему
окрестностей этой точки в Е. Для произвольного множества А а Е
множества V (А) являются его окрестностями, но вообще не обра-
образуют фундаментальной системы его окрестностей; однако они
образуют такую систему, если Е отделимо, а множество А ком-
компактно. Если V открытое множество в Е X Е, то V (А) — откры-
открытое множество в Е.
В том более частном случае, когда Е — метрическое простран-
пространство, все открытые (соотв. замкнутые) тары с центром хп* обра-
образуют фундаментальную систему окрестностей точки х0; то же
верно и для открытых (соотв. замкнутых) шаров с центром х0
и* радиусами е„, где (е„) — убывающая последовательность веще-

ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ 265
ственных чисел, стремящаяся к нулю. Для произвольного множе-
множества А с: Е и произвольного числа г > О множество точек из Е,
удаленных от А на расстояние < г (соотв. ^>), есть открытая
(соотв. замкнутая) окрестность этого множества А.
В регулярном пространстве всякая точка обладает фундамен-
фундаментальной системой замкнутых окрестностей. В нормальном про-
пространстве всякое замкнутое множество обладает фундаментальной
системой замкнутых окрестностей. В локально компактном про-
пространстве всякое компактное множестно обладает фундаментальной
системой компактных окрестностей.
6. Пусть Е — произвольное множество и 58 (х) для каждой
точки х £ Е — фильтр в Е. Для существования в Е топологии JF
такой, чтобы при .любом х £ Е фильтр Ш (х) был фильтром окрест-
окрестностей точки х, необходимо и достаточно, чтобы фильтры 58 (х)
удовлетворяли следующим условиям:
(Viu) Каждая точка х £ Е принадлежит всем множествам филь-
rnjia 58 (х).
(Viv) Для каждой питии х £ Е и каждого множества. У £ S3 (ж)
существует множество W £ 25 (х) такое, что V £ 58 {у), каково бы
ни было у g W.
Топология 3" тогда единственна: для того чтобы множество А
было открытым в топологии 3" 1 необходимо и достаточно, чтобы
А £ 58 (х) для каждой точки х ^ А.
7. В топологическом пространстве множество называют зам-
замкнутым, если, его дополнение — открытое. Все пространство и
пустое множество открыто-замкнуты, т. е. одновременно открыты
и замкнуты. Пересечение всякого семейства замкнутых множеств
замкнуто. Объеднпепие любого конечного числа замкнутых мно-
множеств замкнуто. Покрытие множества в топологическом простран-
пространстве называют замкнутым, если оно состоит из замкнутых мно-
множеств.
В отделимом пространстве всякое компактное множество
(и, п частности, всякое конечное множество) замкнуто.
В отделимом равномерном пространстве всякое полное под-
подпространство замкнуто.
В локально компактном пространстве всякое множество, имею-
имеющее замкнутое пересечение с каждым компактным множеством,
замкнуто.

26E СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ § 1
В мотризуемом пространстве всякое замкнутое множество есть
пересечение счетного семейства открытых множеств, а всякое
открытое множество — объединение счетного семейства замкну-
замкнутых.
8. Пусть / — непрерывное отображение топологического про-
-1
странства Е в топологическое пространство F. Прообраз / (Л)
каждого замкнутого множества А из F есть замкнутое множество
в Е. В частности, в метрическом пространстве всякий замкнутый
шар, как и всякая сфера, есть замкнутое множество.
Если / и g — непрерывные отображения пространства Е
в отделимое пространство /', то множество тех х £/?, для которых
/ (х) ■-■ g (х), замкнуто.
Если g — полунепрерывная снизу (соотв. сверху) числовая
функция на Е, то при любом вещественном Л- множество тех х £ Е,
для которых g (х) <; к (соотв. g (x) >/.■), замкнуто. Для того чтобы
множество А было замкнутым в Е, необходимо и достаточно, чтобы
его характеристическая функция фЛбыла полунепрерывна сверху.
9. Говорят, что точка я топологического пространства Е есть
внутренняя точка множества A cz E, если А является окрестно-
окрестностью этой точки; совокупность всех внутренних точек множества А
называется внутренностью А и обозначается А; это — наиболь-
наибольшее открытое множество, содержащееся в А. Оно может быть
пусто и при непустом А (п° 15). Для того чтобы А было открытым,
необходимо и достаточно, чтобы оно совпадало со своей внутрен-
внутренностью.
В cz А влечет В с: А; внутренность пересечении любых двух
множеств А и В есть пересечение внутренностей этих множеств.
10. Говорят, что точка х топологического пространства Е есть
точка прикосновения множества A cz E, если каждая окрестность
точки х пересекается с А; совокупность всех точек прикосновения
множества А называется замыканием А и обозначается А; это —
наименьшее замкнутое множество, содержащее А. Для того чтобы
множество было замкнутым, необходимо и достаточно, чтобы оно
совпадало со своим замыканием.
В cz А влечет В cz А; замыкапие объединения любых двух
множеств Л и В есть объединение замыканий этих множеств. Замы-

ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ 267
кание множества Л f) ^'содержится в А Л Б, но может быть отлич-
отлично от А П В»
Если V пробегает фундаментальную систему окружений рав-
равномерного пространства Е, то пересечение множеств У (.4) совпа-
совпадает с А. В частности, в метрическом пространстве, для того чтобьт
некоторая точка была точкой прикосновения множества А, необ-
необходимо и достаточно, чтобы ее расстояпие от А было равно нулю,
В метризуемом топологическом пространстве, для того чтобы
точка х0 была точкой прикосновения множества А, необходимо
и достаточно, чтобы в А существовала последовательность точек,
сходящаяся к х0.
11. Точку х £ Е называют внешней для множества А, если
она — внутренняя точка ого дополнения СЛ; совокупность точек,
внешних для А, называют внешностью А: ото — дополнение
замыкания А. В метрическом пространстве, для того чтобы неко-
некоторая точка была внешней для множества А, необходимо и доста-
достаточно, чтобы ее расстояние от А было >0.
12. Точку х называют граничной точкой множества А, если она
является точкой прикосновепия одновременно для А и СЛ. Сово-
Совокупность всех граничных точек множества А называют границей А:
это — замкнутое множество, являющееся пересечением замыка-
замыканий А и QA. Если внутренность Л, внешность А и граница А
не пусты, то они образуют разбиение всого пространства Е. Для
того чтобы: граница множества А была пуста, необходимо и доста-
достаточно, чтобы А было открыто-замкнутым. В связном пространстве
Е граница непустого множества, отличного от Е, никогда пе пу-
пуста. Если в прошиюльном пространстве Е связное множество С
пересекается с множеством А и ого дополнением СЛ, то оно пере-
пересекается с границей А.
13. Если х есть точка прикосновепия множества Л, не принад-
принадлежащая Л, то всякая ее окрестность содержит точку из Л, отлич-
отличную от х. Если точка х0 £ А имеет окрестность, не содержащую
ни одной точки ]1Э Л, отличной от х0, то говорят, что х0 есть изо-
изолированная точка множества Л. Для того чтобы все точки множе-
множества Л были изолированными, необходимо, чтобы подпростран-
подпространство А было дискретно.

268 СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ § 1
Множество A cz E называют совершенным, если оно замкнуто
и не имеет изолированных точек.
14. Говорят, что множество А в топологическом пространстве
Е плотно относительно множества В cz E, если всякая точка
из В есть точка прикосновении множества А, т. е. если 5с А.
Если А плотно относительно В, а В плотно относительно С, то А
плотпо относительно С. Говорят, что Л всюду плотно, если око
плотно относительно Е, т. е. А — Е.
В метризуемом пространстве, для того чтобы множество А было
плотно относительно. В, необходимо и достаточно, чтобы всякая
точка из В была пределом последовательности точек из Л.
Для того чтобы в метризуемом пространство Е существовало
счетное всюду плотное множество, необходимо и достаточно, чтобы
топология пространства Е имела счетами балис. Тогда говорят,
что Е — мотризуемое пространство счетного типа.
15. Множество А в топологическом пространстве Е называется
разреженным, если его замыкание не имеет внутренних точек или,
что равносильно этому, если его внешность всюду плотна. Для
того чтобы множество было разреженным, необходимо и достаточ-
достаточно, чтобы его замыкание было разрежепньш. Для того чтобы замк-
замкнутое множество было разроженным, необходимо и достаточно,
чтобы оно совпадало со своей границей.
Для того чтобы одноточечное множество {х} в отделимом про-
пространстве Е было разроженным, необходимо и достаточно, чтобы х
не было в Е изолированной точкой. Граница открытого (или зам-
замкнутого) множества есть разреженное множество; однако граница
■произвольного множества — не обязательно разреженная. Всюду
плотное множество не может быть разреженным. В числовом про-
пространстве R" всякое линейное многообразие размерности </г раз-
разреженное.
Всякое подлгпожестпо разреженного множества есть разрежен-
разреженное множество. °Об'ьедииение локалыго конечного семейства разре-
разреженных множеств есть разреженное множество.,,
16. Множество А в топологическом пространстве Е называют
тощим, если оно является объединением счетного семейства раз-
разреженных множеств или, ипаче, если содержится в объединении

ФИЛЬТРЫ И ПРЕДЕЛЫ 269
счетного семейства замкнутых множеств, не имеющих внутренних
точек. Пространство само может быть тощим, например когда оно
счетно и не имеет изолированных точек, как рациональная пря-
прямая Q.
Всякое подмножество тощего множества есть тощее множество;
объединение всякого счетного семейства тощих множеств есть
тощее множество.
17. Топологическое пространство Е называется бэровским про-
пространством, если оно удовлетворяет любому наследующих четырех
(равносильных) условий:
(ЕВ) Пересечение всякого счетного семейства всюду плотных
открытых множеств всюду плотно.
(ЕВ') Для каждого счетного семейства (Fn) замкнутых мно-
множеств в Е, объединение которого имеет внутреннюю точку,
по крайней мере одно из Fn имеет внутреннюю точку.
(ЕВ") Никакое непустое открытое множество не является
тощим.
(EBW) Дополнение всякого тощего множества всюду плотно.
Всякое локально компактное пространство — бэровское. Вея-
Веяное пространство Е, в котором существует метрика, согласующая-
согласующаяся с его топологией и такая, что Е в этой метрике полно, есть
буровское пространство (теорема Бэра) (гл. IX, § 5, теорема 1).
В бэровском пространстве всякое открытое подпространство,
а также дополпещге всякого тощего множества есть боровское
пространство. Если всякая точка топологического пространства Е
обладает окрестностью, являющейся бировскям пространством, то
/',' ■— бэровское пространство.
§ 2. Фильтры и пределы
1. Фильтром в множестве Е пазывают множество % подмно-
подмножеств из Е, обладающее следующими свойствами:
(Fi) Всякое множество, содержащее множество из %, принад-
принадлежит %.
(Fjta) Пересечение всяких двух множеств ив % принадлежит ??.
(Fno) Множество Е принадлежит ft.
(Fjn) Пустое подмножество множества Е не принадлежит %.
Множество Е, наделенное структурой, определяемой заданием
в ном фильтра, называется фильтрующимся множеством.

270 СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ § 2
2. Если Е — бесконечпое множество, то дополнения его конеч-
конечных подмножеств образуют фильтр в Е. Когда Е — множество N
неотрицательных целых чисел, этот фильтр называют фильтром
Фреше.
В топологическом пространстве Е множество всех окрестностей
непустого множества есть фильтр.
Если Е — непустое равномерное пространство, то множество "
его окружений есть фильтр в Е X Е.
*
3. Если % и %' — фильтры в одном и том же множестве Е, то
говорят, что ?У мажорирует ^, или что % мажорируется %',
если ^сг^'; если, кроме того, %' Ф $, то говорят, что %'
сильнее, чем %, или что % слабее, чем ^'. Два фильтра, один
из которых мажорирует другой, называются сравнимыми.
Пересечение произвольного семейства (^ft) фильтров в Е
есть фильтр; он служит нижней гранью семейства (§t) в упоря-
упорядоченном множестве всех фильтров в Е.
4. Пусть @ — некоторое множество подмножеств множества
Е; для того чтобы существовал фильтр, содержащий @, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы пересечение всякого конечного семейства
множестп из ® было не иусто. Если <8' — множество всех этих
пересечений, то наименьшим фильтром, содержащим @, будет
множество @" всех множеств в Е, содержащих хотя бы одно мно-
множество из @'; @" называется фильтром, порождаемым множе-
множеством ®.
Для того чтобы множество Ф фильтров в Е обладало верхней
гранью (в упорядоченном множестве псех фильтров в Е), необхо-
необходимо и достаточно, чтобы для каждой конечной иоследовательно-
п
сти Efe)i:-h-« фильтров, принадлежащих Ф, пересечение {] Ak
не было пусто ни для какого набора множеств Ah £ %k (I
5. Множество 9S подмножеств множества Е называется базисом
фильтра в Е, если множество всех подмножеств из Е, содержащих
хотя бы одно множество из 9Й, есть фильтр (он называется филь-
фильтром с базисом Ш); для того чтобы й было базисом фильтра,
необходимо и достаточно, чтобы 25 обладало следующими свой-
свойствами:

ФИЛЬТРЫ И ПРЕДЕЛЫ 271
(В г) Пересечение всяких двух множеств из 23 содержит мно-
множество из 23.
(Вц) 93 не пусто и пустое подмножество множества Е не при-
принадлежит 23.
Два базиса фильтра в Е, порождающие один и тот жо фильтр,
называются эквивалентными.
Для того чтобы подмножество 23 фильтра $ было базисом
этого фильтра, необходимо и достаточно, чтобы всякое множество
из % содержало множество из S3.
Для того чтобы фильтр с базисом 93' в Е мажорировал фильтр
с базисом 23, необходимо и достаточно, чтобы всякое множество
из 23 содоржало множество из 23'.
6. Пусть Е — множество, упорядочеппоо некоторым отноше-
отношением порядна х (о) у и фильтрующееся (вправо) по этому отноше-
отношению; сопоставим каждому х £ Е множество Sx тех у £ Е, для кото-
которых х (о) у (сечение Е относительно х). Множества Sx образуют
базис фильтра в Е; порождаемый им фильтр называется фильтром
сечений в Е. Фильтр Фрошо ость фильтр сечений N (по отноше-
отношению ^).
7. Фильтр в множестве Е называется ультрафильтром, если
в Е нот более сильного фильтра.
Каков бы ни был фильтр ft в E, существует мажорирующий
его ультрафильтр (гл. I, 2-е изд., § 5, тоорома 2; 3-е изд., § 6,
теорема 1).
Множество всех подмножеств множества Е, содержащих
фиксированный элемент а £ Е, ость ультрафильтр.
Если j)f — ультрафильтр в А1 и объединение коночпой после-
последовательности (A{)i- % п подмножеств множества Е принадлежит
%, то хотя бы одно из А( принадлежит $.
8. Пусть А — непустое подмножество множества Е. Для того
чтобы след %Л па А фильтра ^ из Е был фильтром п А, необходи-
необходимо и достаточно, чтобы всякое множество из % пересекалось с А.
Фильтр $л называется тогда фильтром, индуцируемым в Л филь-
фильтром $.
Для того чтобы ультрафильтр f$ в Е индуцировал фильтр
в множество A cz E, необходимо и достаточно, чтобы А £ %;
тогда ^А является ультрафильтром в А.

272 СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ ■ ■ § 2
Пусть Е — топологическое пространство; для того чтобы след
фильтра окрестностей точки х0 £ Е на непустом множество Л cz E
был фильтром, необходимо и достаточно, чтобы х0 было точкой
прикосновения множества А.
9. Пусть / — отображение множества Е в множество F. Для
каждого базиса фильтра 9Sв Е / (93) есть базис фильтра в F.
Если 95 — базис ультрафильтра в Е, то / C3) — базис ультра-
ультрафильтра в F.
Пусть 35' — базис фильтра в| F\ для того чтобы / (93') было
базисом фильтра в Е, необходимо и достаточно, чтобы всякое мно-
множество из 33' пересекалось с / (Е). Это условие, в частности,
-1
выполняется, если 93' = / (93); тогда / (/ B3)) порождает фильтр,
мажорируемый фильтром с базисом 93.
10. Пусть (£n)ncN — бесконечная последовательность элемен-
элементов множества Е. Его подмножества, содержащие все члены после-
последовательности, за исключением коночного их числа, образуют
фильтр в Е, называемый элементарным фильтром, ассоциирован-
ассоциированным с последовательностью (хп); это — фильтр, имеющий базисом
образ фильтра Фреше при отображении п>-+- хп множества N в Е.
Элементарный фильтр, ассоциированный с подпоследователь-
подпоследовательностью последовательности {хп), мажорирует элементарный
фильтр, ассоциированный с (хп).
Всякий элементарный фильтр обладает счетным базисом.
Фильтр, обладающий счетным базисом, является пересечением
мажорирующих его элементарных фильтров.
И. Говорят, что точка х0 в топологическом пространство Е
есть предел базиса фильтра ИЗ (или что 93 сходится к х0), если
фильтр с базисом 93 мажорирует фильтр окрестностей точки ха,
т. е. если всякая ее окрестность содержит некоторое множество
из 23.
Говорят, что а есть точка прикосновения базиса фильтра 9$,
если а является точкой прикосновения каждого множества из 93,
т. е., другими словами, если всякая окрестность точки а Пересе-,
кается со всоми множествами из ЙЗ.
Базис фильтра 93 в равномерном пространстве Е называется
базисом фильтра Коши, если для каждого окружения V для Е

фильтры и пркдр.лы 273
существует множество М £ 9R малое порядка V, т. е. такое мно-
множество М, что (х, у) 6 V для всякой пары точек х, у из М.
Если £ — метрическое пространство, то для того, чтобы базис
фильтра ЭЗ в Л' был базисом фильтра Кошл, необходимо л до-
достаточно, чтобы для каждого е>1) вй существовало множество
с диаметром ^е.
12. В топологическом пространстве Е всякий фильтр, мажори-
мажорирующий фильтр, сходящийся к хп, также сходится к хй\ пересече-
пересечение любого семейства фильтров, сходящихся к х0, сходится к х0-
13 отделимом пространство фильтр не может иметь более одного
предела.
Предел фильтра является точкой прикосновения итого фильтра.
В отделимом пространстве фильтр, сходящийся к точке х0, имеет
единственную точку прикосновения, а именно ха. Обратно, в ком-
компактном пространстве фильтр, имеющий только одну точку при-
прикосновения, сходится к этой точке (гл. 1, 2-<> над., § 10, следствие
теоремы 1; 3-е изд., § 9, следствие теоремы 1).
В компактном пространстве всякий ультрафильтр сходится.
13. Для того чтобы фильтр ft и произведет! и Е ~Ц^1
i
топологических пространств сходился к точке а -■■- (я^), необходи-
необходимо и достаточно, чтобы проекция p>\ft сходилась к «L при вся-
всяком I.
Пусть R — открытое отношение эквивалентности в топологи-
топологическом пространстве Е и <[> — каноническое отображение Е на EIB.
Для того чтобы базис фильтра %' в факторпрострапстпе EIR
сходился к точке а, ire-обходимо и достаточно, чтобы в Е существо-
существовал базис фильтра 9S, сходящийся к какой-либо точке х, канони-
каноническим образом гр (х) которой служит а, и такой, что бамис фильтра
«1> (Э5) эквивалентен Ъ'.
i/i. Для того чтобы точка а топологического пространства Е
была точкой прикосновения фильтра ft, необходимо и достаточно,
чтобы существовал фильтр, „мажорирующий % и сходящийся к а.
Точка прикосновения фильтра ft является точкой прикосновения
«сякого фильтра, мажорируемого ft. Множество всех точек при-
прикосновения фильтра ft замкнуто.
В компактном пространстве всякий фильтр имеет но крайней
мере одну точку прикосновения. При этом всякая окрестность
1й TI. Бурбаки

274 СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ S 2
множества А всех точек прикосновения фильтра % принадлежит
% (гл I, 2-е изд., § 10, теорема i; 3-е изд., § 9, георема 1).
15. В равномерном пространстве всякий сходящийся фильтр
есть фильтр Коти. Всякий фильтр Коти, имеющий точку прикос-
прикосновения, сходится к этой точке. В полном равномерном простран-
пространстве всякий фильтр Коши сходится.
Для того чтобы фильтр в произведении равномерных про-
пространств был фильтром Коши, необходимо и достаточню, чтобы
каждая из его проекций была фильтром Коши.
16. Пусть Е — множество, фильтрующееся* но фильтру %,
F— топологическое пространство и / — отображение Е в F.
Точка у0 £ F называется пределом (соотв. предельной точкой) функ-
функции / по фильтру %, если у0 есть предел (соотв. точка прикоснове-
прикосновения) базиса фильтра / ($). Это означает еще, что для каждой
окрестности V точки у0 существует множество М 6 Ъ такое, что
/ (М) с: V (соотв. что для каждой окрестности V точки у0 и каж-
каждого М 6 Ъ множества / (М) и V пересекаются). Если у0 есть
предел / по фильтру %, то пишут:
у0 = limcj / или г/0 == limj / (ж).
17. Если^г/0 — предел / по 5, то у0 есть предел / и но любому
фильтру, мажорирующему %. Если F отделимо, то / не может
иметь более одного предела по %.
Если F компактно, то всякая функция / имеет по крайней мере
одну предельную точку по %; при этом, если эта предельная точка
единственная, то она является пределом / по %- Если F ком-
компактно, то / имеет предел по каждому ультрафильтру %.
Если F — полное равномерное пространство, то для того,
чтобы функция / имела предел по %, необходимо и достаточно,
чтобы / (%) было базисом фильтра Копти.
18. Точка а называется пределом (соотв, предельной точкой)
последовательности {х„) точек топологического пространства Е,
если а есть продел (соотв. предельная точка) отображения nt-*-xn
по фильтру Фреше (или элементарного фильтра, ассоциированного
с данной последовательностью); это означает, что для каждой
окрестности V' точки а существует п0 такое, что хп 6 V для всех
п ^ п0 (соотв. что для каждой окрестности V точки а и каждого

ФИЛЬТРЫ И. ПРЕДЕЛЫ 275
п0 существует п ^ п0 такое, что хп £ V). Если а есть предел после-
последовательности (хп), то пишут а = \im хп и говорят, что после-
довательность (хп) сходится к а.
Последовательность (хп) в равномерном пространстве Е назы-
называют последовательностью В'оши, если ассоциированный с ною
элементарный фильтр есть фильтр Коши; это означает, что, како-
каково бы ни было окружение U для Е, существует п0 такое, что
(хт, хп) £ Z/для всех т ^п0 и п ^ п0. Для того чтобы последова-
последовательность (хп) точек метрического пространства Е (с расстоянием
A) была последовательностью Коши, необходимо и достаточно,
чтобы для каждого е > 0 существовало п0 такое, что d (xm, xn) ^
<>, каковы бы ни были т ^ п0 и п ^ п0. Для того чтобы после-
последовательность (хп) сходилась к точке а, необходимо и достаточно,
чтобы для каждого е > 0 существовало п0 такое, что d (a, xn) ^
^ е, каково бы ни было п ^ п0 (т. о. чтобы последовательность
d (а, хп) в R сходилась к нулю). Для того чтобы точка Ь была точ-
точной прикосновения множества A cz E, необходимо и достаточно,
чтобы существовала последовательность (хп) точек из А, сходя-
сходящаяся к Ь.
19. Пусть А — фильтрующееся множество, % — ого фильтр
сечений и / — отображение А в топологическое пространство Е\
если / имеет предел а по %, то вместо а = Нтд. / {х) часто пишут
а — lim / (х), и говорят, что а есть предел f (x) по фильтрующе-
.муся множеству А.
20. Пусть Е vi F — топологические пространства, а — точка
прикосновения множества А с Е, и / — отображение А в F.
Говорят, что точка Ъ £ F есть предел f (x), когда х стремится к а,
оставаясь в .4 (или предел / в а относительно А), если Ь ость пре-
предел / но фильтру, индуцируемому в А фильтром окрестностей
точки а; пишут: Ь -~ lim / (x). Если такой предел Ь существует,
то он является также пределом / в точке а относительно любого
множества В cz А такого, что а£В; обратно, если V — окрест-
окрестность точки аи/ имеет предел в а относительно V П А, то этот
предел будет также пределом / в а относительно А.
18*

27() СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ § 2
Если А — окрестность точки а, то вместо lira / (а;) пи тут
х * а, jc£ A
lim / (х) (существование предела относительно некоторой окрост-
X-+U
ногти точки а влочот его существование относительно всякой
другой окрестности, а также совпадение этих пределов, когда
F отделимо). Непрерывность / в точке а означает, что / (а) —
= lim/ (х).
.V -+ а
Пусть G — множество, фильтрующееся по фильтру @, и /—
отображение G n топологическое пространство Е; если / имеет
продел а по @ и g — отображение £ в топологическое пространство
/'\ непрерывное в точке а, то # о / имеет предел g (a) no @.
Пусть Л' и F — равномерные пространства и / — равномерно
непрерывное отображение Е в F; обраа вен кого базиса фильтра
Копш на Е при отображении / есть баиис фильтра Копт в F.
Пусть А — нрои.чвольноо множество, Е' — метрическое про-
пространство и / — отображение А в Е'\ колебанием f на А называют
диаметр б (/ (Л)) множества / (Л). Если А — множество и тополо-
топологическом пространстве Е и х0 — его точка прикосновении, то
колебанием / в точке х0 называют число о (хп; /) == inf ft (/ (A (] V)),
где V пробегает фильтр окрестностей точки хп в Е. Для того чтобы
/ имело предел в хп относительно А, необходимо, чтобы его коле-
колебание в точке х0 было равно нулю; если Е' полно, то :>то условие
также достаточно.
21. Пусть / и g — числовые функции (конечные или нет),
опредолеппые на множество Е, фильтрующемся по фильтру $.
Если lim«y / и Нга^. g существуют и / ^ g, то также lim^/;^
. ^ lim^. g (принцип продолжения перааепств).
Пусть А — фильтрующееся упорядоченное множество и (?) —
его фильтр сечений. Всякая возрастающая: числовая функция
на А (кодепная или нет) имеет продол но &, равный ее верхней
грани па А (теорема о пределе монотонной функции).
22. Пусть /—числовая функция (конечная шит нет), опреде-
определенная на множестве Е, фильтрующемся по фильтру %. Отобра-
Отображение X >-> sup / (х) (соотв. X i-*- urff(x)) фильтра ^ в R —
убывающее] (соотв. возрастающее) в %, упорядоченном по вклю-

фильтры и предклы 277
чению. Обозначим через lim snp^/ или lim supjij / (ж) (соотв.
lini iiif-^/ или lim ini'^./(x)) предел отображения X и-»- sup/ (z)
(соотв. X I—•• inf / (х)) но фильтру сечений фильтра % (рассматри-
х£Х
ваедтого как множество, фильтрующееся по отношению zd); это
чисто нааывают верхиим (соотп. нижним) пределом функции /
по %. Имеем
inf/ (j-Xliin inf г /<liit
и
lim ini'^/ -■ — (limsup^ (-/)).
23. Верхний предел числопой функции / по фильтру $ есть
нерхпяя грань множества предельных точек / по %. Для того
чтобы lim sup^ / =- lim infj. /, необходимо и достаточно, чтобы
функция / имела предел по ^i п тогда Нш^ / -= lim sup^. / --
-■ lira infj^, /. Если фильтр (?) мажорирует ^, то
lim inf^ / ^ lim infE) / ^ lira sup^ / < lim sup^ /.
24. Если / и g — числовые функции, определенные на множе-
множестве Е, фильтрующемся но фильтру %, то f-^,g влечет lim sup^ /~<
^ lim sup:^ g и Hm inf^. / ^ lim inf^ g. Для любых двух число-
числовых функций fug справедливы неравенства
lim supft (/ + g) < Hm supj / + lim supj g,
lim supj / +lim inf^ g < lim siipj (/ + g),
в предположении, что обе части неравенства имеют смысл.
25. Смысл обозначений lim snpxn, lim sup f (x), lim sup/(a:)
определяется так же, как в асн0 18 и 20, и аналогично для нижних
пределов. Если А и В — множества в топологическом простран-
пространстве Е такие, что В с= А, и а £ В, то для каждой числовой функ-
функции /, определенной на А, выполняются неравенства
lira inf / (zX^lirn iaf / (z)<;lim sup / (a:) js^Ihh sup / (x).
x-»a, ar£A x-*a, x£ll x-*a, x£Ii x-*a, х£Л
£ А и V — окрестность точки a в Е, то
lim sup /(x) = lim sup /(x).
z-u, x£Vf)A *-«., x£A

278 СТЮДКА РЕЗУЛЬТАТОВ § 3
Если / определена в некоторой окрестности точки а, то
lim inf /(г)</ (а)<Нш sup / (х).
Для того чтобы числовая функция /, определенная на Е, была
полунепрерывна снизу (соотв. сверху) в точке а, необходимо
и достаточно, чтобы lim inf/ (x)"^f(a) (соотв. lim sup/ {x) ^ / (a)).
Для того чтобы функция / была непрерывна в точке а, необ-
необходимо и достаточно, чтобы lim inf / (х) = lim sup / (х).
х—а х-* а
26. Пусть Ei и Ег — множества, фильтрующиеся соответствен-
соответственно по фильтрам j^i и %v Обозначим через %t X %2 фильтр
в Ei х Е2, имеющий базисом множество всех произведений
At X Аа, где Ai(z$i и At^%2 (произведение фильтров f$'i
Пусть / — функция, определенная на Ех х Е2, со значениями
в регулярном пространстве F и fxi для каждого хх — отображе-
отображение хг *-*■ f (xu хг) множества Ег в F. Предположим, что выполне-
выполнены следующие условия: а) существует liin^.jX^a/ (xu z2); б) для
каждого х1^Е1 существует \im^fXi ~ g (х^. Тогда limSl^(a:1)
существует и равен lim^ х^ / (жи xz) (теорема о двойном пределе)
(гл. I, 2-е изд., § 8, предложение 8; 3-е изд., § 8, следствие тео-
теоремы 1).
§ 3. Равномерные пространства; метрические пространства
1. Пусть дано множество Е; говорят, что фильтр И в Е X Е
определяет равномерную структуру в Е, если он обладает сле-
следующими свойствами:
(Ui) Всякое множество из И содержит диагональ А.
<Un) V б U влечет V 6 U.
(Uiu) Для каждого V б Ч существует W £ U такое, что
WoWczV.
Множества U 6 U называются окружениями равномерной
структуры, определяемой фильтром П.
Если Е — непустое множество, то подмножества произведения
Е х Е, содержащие диагональ А, образуют фильтр окружений

РАВНОМЕРНЫЕ И МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 279
равномерной структуры в Е, которая называется дискретной рав-
равномерной структурой.
Пусть °11 и 41' — равномерные структуры в множествах Е
и Е'. Для того чтобы биективное отображение /: Е -*■ Е' было
изоморфизмом 41 па *?/.', необходимо и достаточно, чтобы образом
фильтра окружений для °11 относительно распространения /
на Е х Е служил фильтр окружений для ?/', или, что то же,
чтобы отображения / и f~l были равномерно непрерывны.
, 2. Фундаментальной системой окружений равномерной струк-
структуры называют любой базис фильтра окружений птой структуры.
Для того чтобы базис фильтра Q в Е х Е был фундаментальной
системой окружений равномерной структуры: в Е, необходимо
и достаточно, чтобы он удовлетворял следующим аксиомам:
(Ui) Всякое мпоз/сество из <& содержит диагональ А.
(U£i) Для каждого У 6£> существует V 6 S такое, что V а V.
(Uirr) Для каждого V £ 3 существует W £E такое, что
IV о We У.
Окружение V равномерной структуры называют симметрич-
-1
ним, если V = V. Симметричные окружения образуют фундамен-
фундаментальную систему окружений.
Для каждого целого п > 0 и каждого множества У с= Е X Е
п п ■ п-1
определим V, полагая У =. У о V ; когда У пробегает фундамен-
п
тальную систему окрун?ений, также множества Упри любом целом
п образуют фундаментальную систему окружений.
3. Отклонением на множестве Е называют всякое отображение
/ произведения Е X Е n R+ — [0, + co]i удовлетворяющее сле-
следующим условиям:
(ECi) / {х, х) = 0 для всякого х 6 Е.
(ЕСп) / (я, у) = / {у, х) для всех х £ Е и у £ Е.
Каковы бы ни были x(^E,y£Euz£E,
/Or, l/X/Or, z) -I-/(г, у)
{неравенство треугольника).
Отклонение d называют расстоянием, если все его значения
конечны и d (х, у) = 0 влечет х = у.

280 СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ § 3
Для всякой коночной числовой функции g, определенной на Е,
функция / (х, у) ----- \g (x)—g(y) | есть отклонение на Е. Функции
d (х, у), равная 1 при х Фу и равпая 0 при х -■ у, является рас-
-
стоянием. На пространстве R" функция d (х, у) ■■■-■■ \/ V (хк — у),J
есть расстояние (евклидово расстояние).
4. Пусть (/(.)Lег — произвольное семейство отклонений на мно-
множестве Е. Для каждого целого п > 0, каждого семейства п индек-
индексов (ifc)is.h:tn из I " каждого семейства п положительных чисел
{ak)\<rk<n обозначим через К((ц), (а,,)) множество всех пар (х, у)
элементов из Е таких, что Д (х, у) •< alt A. ^ к ^ п). Множество
& подмножеств V ((ц), (%)) произведения Е X Е являетс>1 фун-
фундаментальной системой окружений некоторой равномерной струк-
структуры в Е; она называется равномерной структурой, определяемой
семейством отклонений (A)iSf
Всякая равномерная структура может быть определена семей-
семейством отклонений (гл. IX, § 1, теорема 1); два семейства откло-
отклонений в одном и том же множество Е называются эквивалентными,
если они определяют одну я ту же равномерную структуру.
5. Пусть Е — множество, наделенное равномерной структурой
411 и 33 (я), для каждой точки х £ Е — множество всех V (х) cz E,
где V пробегает фильтр окружений структуры 1/.; существует,
и притом единственная, топология ЗГ, в которой 95 (х) является
фильтром окрестностей х для каждой точки х £ Е. Говорят, что
топология ,Т порождена равномерной структурой *?/, а множество
Е, падолеиное топологией ,.Г и равномерной структурой '?/, назы-
называют равномерным пространством.
При наделении множества Е X Е произведопиом топологии
S" на себя всякое окружение структуры 41 является окрестностью
диагонали Д; внутренности и замыкания (в Е X Е) всевозможных
окружений структуры 41. образуют фундаментальную систему
окружений для ?/. V {А) для любого множества Л с= Е и любого
окружения V структуры 41 ость окрестность множества Л; она
открыта в Е, если V открыто в Е X Е. Для каждого множества
Ad E пересечение всех V (А), где V пробегает фундаментальную
систему окружений структуры 41, совпадает с его замыканием
А в Е.

РАВНОМЕРНЫЕ И МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 281
Дли того чтобы топологии °1/ была отделима, необходимо
и достаточно, чтобы равномерная структура HI удовлетворяла
следующей аксиоме:
(Lrxn) Пересечение всех окружений структуры 'Н совпадает
с диагональю А.
В этом случае говорят, что равномерная структура 7/ отде-
отделима.
6. Говорят, что топология кТ и равномерная структура //
в множестве Е согласуются, если j совпадает с топологией, кото-
которую порождает °И■ Топологическое пространство называют раыыу-
меризуемым, если существует хотя бы одна равномерная струк-
структура, согласующаяся с его топологией (может существовать
не только одна).
Для того чтобы топологическое пространство Е было рашкше-
ризуемым, необходимо и достаточно, чтобы выполнялась следую-
следующая аксиома:
(Oiv) Каковы бы ни были точка х0 £ Е и ее окрестность V,
на Е существует непрерывная числовая функция со значениями
в интервале [О, 1], равная 1 в точке х0 и 0 7га множестве CV
(гл. IX, § 1, теорема 2).
Всякое компактное пространство равномеризуемо, прячем
в этом случае существует только одна равномерная структура,
согласующаяся с его топологией (гл. II, § 4, теорема 1). Эта
структура имеет окружениями все окрестности диагонали в Е У. Е,
цричем фундаментальную систему окружений можно получить
следующим образом: для каждого конечного открытого покрытия
9i = (Ai) пространства Е образуем в Е X Е объединение Fvr
всех множеств At X At; тогда множества V^ образуют фундамен-
фундаментальную систему окружений равномерной структуры простран-
пространства Е.
Всякое локально компактное пространство равномеризуемо; но
вообще существуют различные равномерные структуры, согла-
согласующиеся с его топологией; так, например, обстоит дело для чис-
числовых пространств R".
Всякое подпространство равномеризуемого пространства рав-
равномеризуемо; проиуиедение всякого семейства равномернзуемьгх
пространств равномеризуомо.

282 СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ . . § 3
7. Метрическим пространством называют множество Е, наде-
наделенное структурой, оцределяемой заданием на Е некоторого рас-
расстояния; метрическое пространство Е всегда считается наделен-
наделенным также равномерной структурой и топологией, определяемыми
заданным на Е расстоянием d. Пусть Е и Е' — метрические про-
пространства, a d (соотв. d') — расстояние на Е (соотв. на Е'). Отобра-
Отображение / пространства Е на Е' называют иаометрией, если
d' (/ (х), / (г/)) = d (х, у), каковы бы пи были точки х 6 Е и у 6 Е,
Расстоянием между множествами А и В в Е называют число
d{A, В) — inf d (х, у); когда В сводится к одной точке х,
вместо d ({х}, А) пишут d (x, А) и это число называют расстоянием
точки х до множества А; функция х *-*■ d (x, А) равномерно нопре-
рывна на Е. Для каждого а > 0 множество Va (А) (соотв. Wa (A))
тех точек х, для которых d(x, А) ■< а (соотв. d (х, А) <| а), есть
открытая (соотв. замкнутая) окрестность множества А; замыка-
замыканием множества А служит множество всех точек х 6 Е, для кото-
которых d (х, А) — 0.
В частности, для каждой точки х 6 Е множество Va (x) (соотв.
Wa (x)) называют открытым (соотв. замкнутым) шаром'с центром
х и радиусом а; это — открытое (соотв. замкнутое) множество.
Множество всех точек у £ Е, для которых d (x, у) — а, называется
сферой с центром х и радиусом а; это — замкнутое множество
(которое может быть и пустым).
Диаметром множества 4с Е называют число]
б(Л).= ,sup сЦх, у).
ж£А, VGA
Для того чтобы непустое мпожество А сводплось ктодной точке,
.необходимо и достаточно, чтобы б (А) = 0. Множество* называется
ограниченным (по расстоянию d), осли его диаметр конечен.
8. Равномерную структуру в множестве Е называют мстри.-
зуемой, если она может быть определена посредством расстояния.
Для того чтобы равномерная структура была лготризуомой, необ-
необходимо и достаточно, чтобы она была отделимой .и фильтр ео
окружений обладал счетным базисом (гл. IX, § 2, теорема 1).
Отделимая равномерная структура, определяемая счетным семей-
семейством отклонений, метризуема; в частности, произведение счет-
счетного семейства метризуемых равномерных структур метризуемо.

РАВНОМЕРНЫЕ И МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 283
Дискретная равномерная структура в любом множестве Е
метризуема: она определяется расстоянием d0 таким, что d0 (х, у) =
= 1 при х Ф у и d0 (х, х) = 0. Топология, порождаемая равномер"
ыой структурой, дискретна.
9. Топологическое пространство Е называют метризуемым,
если его топологию можно задать расстоянием. Метризуемое про-
пространство равномеризуемо, но могут существовать различные
метризуемые равномерные структуры, согласующиеся с его топо-
топологией (иными словами, неэквивалентное расстояния, определяю-
определяющие топологию пространства Е), а также номотризусмые равно-
равномерные структуры, согласующиеся с ого топологией.
Всякое метризуемое пространство паракомпактно (гл. IX, § 4,
теорема 4). В метризуемом пространство всякая точка обладает
счетной фундаментальной системой окрестностей и каждое зам-
замкнутое множество есть пересечение счетного семейства открытых
множеств. Эти необходимые условия метризуемости топологиче-
топологического пространства не являются достаточными.
10. Равномерное пространство Е называют полным, если вся-
всякий фильтр Коши в Е сходится.
Всякое замкнутое подпространство полного пространства
полно. Всякое полное подпространство отделимого равномерного
пространства (полного или пот) замкнуто.
Пусть А — всюду плотное подпространство равномерного про-
пространства Е. Если всякий базис фильтра Коши в А сходится в Е,
то Е полно.
Для того чтобы произведение равномерных пространств было
полно, необходимо и достаточно, чтобы каждое из этих пространств
было полно.
Для того чтобы метрическое пространство Е было полно,
необходимо и достаточно, чтобы всякая последовательность Коши
в Е сходилась. Всякое полное метрическое пространство ость
бэровскоо пространство (гл. IX, § 5, теорема 1).
Всякое компактное пространство полно (в своей единственной
равномерной структуре).
11. Для каждого равномерного пространства Е существуют
полное отделимое равномерное пространство Ё и равномерно
непрерывное отображение U Е -*- Е такие, что для всякого равно-

284 сподкл результатов § :i
мерно непрерывного отображения / пространства Е в полное
отделимое равномерное пространство F существует, и притом
единственное, равномерно непрерывное отображение g: E -*■ F
такое, что / -= g ° г; при этом Е и i определены с точностью до
изоморфизма однозначно (гл. II, 3-е над., § 3, теорема 3); Е назы-
называете» отделимым .пополнением пространства Е; подпространство
i (Е) плотно в Е и образы при отображении i У. i окружений для
Е являются окружениями для i (E), а замыкания последних
в Е X Е образуют фундаментальную систему окружений для Е-
Когда Е отделимо, i ииъоктивно, что позволяет отождествить Е
с i (Е); тогда Е называется пополнением пространства Е. Если
равномерная структура пространства Е задана семейством откло-
отклонений (Д), то на Е существует, и притом единственное, семейство
отклонений (Д) такое, что Д --■ /, » (i X г) для каждого i и рав-
равномерная структура пространства Е определяется селгойством
отклонений (Д).
Отделимое пополнение подпространства А равномерного про-
пространства Е\ изоморфно замыканию i (Л) в Ё.
Отделимое пополнение произведения равномерных пространств
изоморфно произведению отделимых, пополнений пространств
сомножителей.
12. Равномерное пространство Е называется предкомпактным,
если его | отделимое пополнение компактно. Множество А а Е
называется предкомпактным, если А, рассматриваемое как рав-
равномерное подпространство пространства Е, предкомпактно.
Для того чтобы равномерное пространство Е было нредком-
. пактным, необходимо и достаточно, чтобы для каждого окружения
V существовало конечное покрытие пространства] Е множест-
множествами малыми порядка V (гл. II, 2-е изд., § 4, теорема А; 3-е изд.,
§ 4, теорема 3).
Для того чтобы метрическое пространство Е было предком-
предкомпактным, необходимо и достаточно, чтобы в Е для каждого г > О
существовало конечное число точек а, таких, чтобы каждая точка
из Е отстояла от одной из точек at на расстоянии О;. Всякое
предкомпактное метрическое пространство Е обладает счетным
базисом и счетным всюду плотным подмножеством.

СРЛВНИНИЕ ТОПОЛОГИЙ И РАВНОМЕРНЫХ СТРУКТУР 285
Для того чтобы: метрнзуемое пространство Е было компактно,
необходимо и достаточно, чтобы всякан последовательность (хп)
его точек имела в Е пределыгуто точку а; тогда из этой последова-
последовательности можно выделить подпоследовательность,1 сходящу-
сходящуюся к а.
§ 4. Сравнение) топологий и равномерных структур
1. Пусть в одном п том же множестве Е заданы топологические
структуры ЗГ\ и ,Г 2. Говорят, что .Уi мажорируется .7 2 или что
. Г2 мажорирует S и если выполнено следующее условие:
а) Всякое множество, открытое в J7 \, открыто в ,Тv
Если при атом ,f iitj, различим, то говорят, что ,Тг слабее
:Т 2 или что Тг сильнее ,.Г\. Дне топологии, из которых какая-
нибудь одна мажорирует другую, называют сравнимыми.
Условие а) равносильно каждому пи следующих условий:
б) Всктсое множество, замкнутое в ,7 и замкнуто в J7~ 2.
в) Окрестность каждой точки хп £ Е в топологии &', является
ее окрестностью в топологии),'Г2 (другими словами, фильтр окрест-
окрестностей точки х0 в топологии J\ мажорируется фильтром ее окрест-
окрестностей d топологии ..'Г2).
г) Тождественное отображение множества Е, наделенного
топологией .5".2, на ,£, наделенное топологией Ни непрерывно.
2. Пусть S\ и ..:Г2 — топологии в Е такие, что ,Т2 мажори-
мажорирует \Т\, и А —нроизволыюо множество из Е. Внутренность Л
и топологии & L содержится во внутренности А в топологии $~г,
замыкание А в тотюлопнг S \ содержит замыкание А в топологии
.F2. В частности, если А всюду плотно при ,5%, то оно всюду
плотно при >¥'Л.
Я. Г[устт> g — фильтр в топологическом пространство Е и.'Г —
топология итого irpocTpimcTim. Если а — предел (соотв. точка
прикосновения) фильтра % при топологии .Г, то а есть продел
(соотв. точка прикосновения) % при всякой топологии, мажори-
мажорируемой JT.
Пусть / — отображение пространства Е в топологическое про-
пространство Е' и .Г' — топология последнего. Если / непрерывно
при топологиях ,'Г и..Г', то оно остается непрерывным при замене

286 СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ § 4
3 топологией, мажорирующей 3', a 3' — топологией, мажори-
мажорируемой 3'.
4. Всякая топология, мажорирующий отделимую топологию,
отделима. Напротив, топология 'может мажорировать метризуе-
мую топологию, не будучи дажо регулярной.
Если Е—компактное пространство и 3— его топология,
то всякая отделимая топология в Е, мажорируемая 3, необходи-
необходимо совпадает с 3 ■
Если Е связно в топологии 3, то оно связно и во всякой топо-
топологии, мажорируемой 3 •
5. Множество Q всевозможных топологий в множество Е
упорядочено отношением «3 мажорируется З'ь. Всякое мпоже-
ство Фей обладает нижней гранью — пересечением ,7 всех
топологий 3 £ ф; для того чтобы множество было открыто в топо-
топологии J, необходимо и достаточно по определению чтобы оно
было открыто в каждой топологии из Ф.
6. Пусть ® — произвольное множество подмножеств множе-
множества Е. Пересечение всех топологий в Е, при которых все множе-
множества из @ открыты, называется топологией, порожденной множе-
множеством @. Если @' — множество пересечений всевозможных конеч-
конечных семейств множеств из @, а @" — множество всевозможных
объединений множеств из @\ то множество открыто в топологии,
порождаемой @, тогда и только тогда, когда оно принадлежит @".
Для того чтобы топология 3 в Е порождалась множеством @
подмножеств множества Е, необходимо и достаточно, чтобы всякое
мноя;оство из @ было открыто в 3" и всякая окрестпость V (в 3)
произвольной точки х0 6 Е содержала пересечение конечного
числа множеств из <$. Каждое множество 23 открытых в 3 мно-
множеств, обладающее тем свойством, что всякое открытое в 3" мно-
множество является объединением множеств из 95, называется
башеом топологии 3. Для того чтобы 95 было базисом тополо-
топологии 3, необходимо и достаточно, чтобы всякая окрестность V
произвольной точки х0 6 Е содержала множество из 95, содержа-
содержащее х0.
7. Всякое множество Ф топологий в Е обладает верхней гра-
гранью cf: ато топология, порождаемая множеством @ всех подмно-
подмножеств множества Е, открытых хотя бы в одной топологии 3 6 Ф«

СРАВНЕНИЕ ТОПОЛОГИЙ И РАВНОМЕРНЫХ СТРУКТУР 287
Наибольший элемент в Q — дискретная топология; наимень-
наименьший — топология, в которой единственными открытыми множест-
множествами являются Е и 0.
8. Пусть 41Х и <?/2 — равномерные структуры в одном и том же
множество Е; говорят, что 41Л мажорируется 7/2 или что ?/а
мажорирует 4Jt, если всякое окруже1. л для 4/г есть окружение
для 41.г (или, другими словами, если фильтр окружений структуры
41Л мажорируется фильтром окружений структуры 41 г). Если при
этом 41.х и 41г различны, то говорят, что '7/, слабее 41г пли что
41г сильнее 41г- Дие равномерные структуры называются срав-
сравнимыми, если одна какая-нибудь из них мажорирует другую.
Если 41Л и 41 % — равномерные структуры в одном и том же
множестве Е, то для того, чтобы 41\ мажорировалась ?/2, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы тождественное отображение Е, наде-
наделенного 41 г, на Е, наделенное 4i\, было равномерно непрерывно.
9. Пусть 41Л и 41 г — равномерные структуры в одном и том же
множестве Е, а £Г х и ЗГг — определенные ими топологии в Е.
Если 4li мажорируется 41г, то S" х мажорируется &"„; но Уг и &"ъ
могут совпадать даже в случае, когда 41 х слабее 41г.
Если ЩЛ мажорируется 412, то всякий фильтр Коши в Ч2
есть фильтр Коши в 41Л\ при этом, если Е, наделенное 41Л, полно
и существует фундаментальная система окружений для 41г,
замкнутых в Е X Е, naflejreintoM произведением топологии 3~ х
на себя, то Е, наделенное 4i'2, полно. Если Е, наделенное 4/.2,
нолно, и А — множество, всюду плотное в Е (наделенном тополо-
топологией ,Тг), такое, что 41\ и 7/2 индуцируют в нем одну и ту же
равномерную структуру, то 41Л = 4/2.
10. Пусть Е и Е' — равномерные пространства, а V, и 41' —г
их равномерные структуры. Равномерно непрерывное отображение
Е п Е' остается равномерно непрерывным, если заменить 41 равно-
равномерной структурой, мажорирующей 41, а 41! — равномерной
структурой, мажорируемой 41.'.
11. Множество 2 всевозможных равномерных структур в мно-
множестве Е упорядочено отношением 0-41 малсорируется *?/.'». Всякое
множество Фс S обладает верхней гранью 41.0: это — равномер-
равномерная структура, фильтр окружений которой порождается объеди-
пепием фильтров окружепии всех равномерных структур 41 6 Ф«

288 СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ § 5
Топология, которую порождает 9/„, ость верхняя грань топологий,
порожденных раниомертшми структурами 'II £ Ф. Если ('?/t)t£i —
семейство равномерргых структур в Е и (/а)хе*. Д-Т[я каждого
i 6 J — семейство отклонений, определяющих равномерную струк-
структуру '7/t, то верхней гранью семейства (//,) служит равномерная
структура, определяемая объединением всех семейств отклоне-
отклонений (/а).
Наибольшим элементом семейства S является дискретная рав-
равномерная структура, наименьшим — равномерная структура,
фильтр окружений которой состоит из одного множества Е X Е.
§ 5. Аксиомы отделимости
1. Топологическое пространство Е называется отделимым
или хаусдорфовым, если выполняется следующая аксиома:
(И.) Для всяких двух различных точек х и у из Е существуют
окрестность точки х и окрестность точки у, не имеющие общих
точек.
Эта аксиома равносильна следующей:
(Н') Пересечение всех замкнутых окрестностей каждой точки
из Е состоит из одной этой точки.
В частности, в отделимом пространстве всякое одноточечное
множество замкнуто.
Другое условие, равносильное (IJ), таково:
AГ) Каково бы ни было множество /, диагональ произведения
Е1 является замкнутым множеством.
2. В отделимом пространстве фильтр не может иметь более
одного предела. Если фильтр <5 сходится к а, то а — единственная
его точка прикосновения. Всякая функция, отображающая мно-
множество А, фильтрующееся по фильтру <8, в отделимое простран-
пространство, может иметь не более одггого предела по @5.
3. Всякое подпространство отделимого пространства отдели-
отделимо. Обратно, если всякая точка топологического пространства Е
обладает замкнутой окрестностью, являющейся его отделимым
подпространством, то Е отделимо. Произведение любого семейства
отделимых пространств отделимо.
Для того чтобы факторпространство топологического простран-
пространства Е по отношению эквивалентности Я было отделимо, пеобхо-

АКСИОМЫ ОТДЕЛИМОСТИ 289
димо, чтобы всякий класс эквивалентности по В был замкнут в Е
и множество С, определяемое в Е X Е отношением В, было замк-
замкнуто. Эти необходимые условия не являются достаточными; однако
если отношение R открыто, а множество С замкнуто в Е X Е, то
пространство EIR отделимо.
Если для каждой пары различных точек а и b топологического
пространства Е существует такое непрерывное отображение /
открытого множества А, содержащего а и b, в отделимое простран-
пространство Е', что / (а) Ф f (h), то Е отделимо. В частности, всякая
топология, мажорирующая отделимую топологию, отделима.
4. Топологическое пространство Е называется регулярным,
если оно отделимо и удовлетворяет следующей аксиоме:
(Оцг) Замкнутые окрестности каждой точки, из Е образуют
фундаментальную систему окрестностей этой, точки.
Эта аксиома равносильна следующей:
(Ощ) Для каждой точки и £ Е и каждого замкнутого множе-
множества А а Е, не содержащего а, существуют окрестность точки а
и окрестность множества А, не имеющие общих точек.
Всякое подпространство регулярного пространства регулярно.
Обратно, если всякая точка топологического пространства Е
обладает замкнутой окрестностью, являющейся его регулярным
подпространством, то Е регулярно.
Пусть Е — регулярное пространство, А — замкнутое множе-
множество в Е и Я — отношение эквивалентности, получаемое путем
отождествления всех точек из А (иными словами — отношение
эквивалентности, классами которого служат А и множества {х}
для всех х 6 СМ). Тогда факторпространство EIR отделимо.
5. Топологическое пространство Е называется вполне регу-
регулярным., если оно отделимо и равномеризуемо, т. е. если опо отде-
отделимо и удовлетворяет следующей аксиоме:
(Otv) Каковы бы ни были точка х0 £ Е и се окрестность V,
па Е существует )щпрерывпая числовая функция со значениями
в интервале [О, 1J, равная 1 в точке х0 и 0 на CV.
Всякое вполпе регулярное пространство регулярно. Обратное
неверно. Всякое подлрострапство вполне регулярного пространства
вполне регулярно. Произведение всякого семейства вполне регу-
регулярных пространств вполне регулярно.
19 И. Вурбаки

290 СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ § 5
Всякое вполне регулярное пространство Е гомеоморфно под-
подпространству некоторого «куба» К1, т. е. компактного простран-
пространства, являющегося произведением семейства (мощпости, завися-
зависящей от Е) пространств, совпадающих с компактным интервалом
Kcz R.
°Всякое вполне регулярное пространство Е, обладающее счет-
счетным базисом, гомеоморфно подпространству «куба» вида Xs, т. е.
произведения счетного семейства пространств, совпадающих с ком-
компактным интервалом К с R; в частности, такое пространство Е
метриауемо.о
6. Пусть Е — равномеризуомое не обязательно отделимое
пространство, 41 — (не обязательно отделимая) равномерная
структура, согласующаяся с его топологией, и С — пересечение
всех окружений структуры 41. Отношение (х, у) £ С есть отноше-
отношение эквивалентности в Е; обозначим его R. Пусть Е' — фактор-
пространство EIR; тогда образы в Е' X £" окружений равномер-
равномерной структуры 41 относительно расширения на Е х Е канониче-
канонического отображения Е на Е' образуют фильтр окружений отделимой
равномерной структуры в Е'\ она называется отделимой равно-
равномерной структурой, ассоциированной с 41. Порождаемая ею топо-
топология совпадает с (вполне регулярной) топологией факторпростран-
ства EIR; при этом R эквивалентно отношению х £ {у}, и всякое
открытое (соотв. замкнутое) множество в Е насыщено по R. Если
F — второе равномерное пространство, F' — FIS — ассоцииро-
ассоциированное с ним отделимое равномерное пространство и / — непре-
непрерывное отображение Е в F, то / согласуется с отношениями R, S
и дает при факторизации непрерывное отображение Е' в F'. Равно-
■ мерное пространство EIR изоморфно образу i (Е) пространства Е
в его отделимом пополнении Е.
В случае, когда равпомерная структура 41 определена семей-
семейством отклонений (/t), каждая из функций /t (x, у) согласуется
(по х и у) с отношением R и дает при факторизации отклонение
/[ на Е' такое, что семейство (J[) определяет отделимую равно-
равномерную структуру, ассоциированную с 41. В частности, если 41
определена счетным семейством отклонений, то ассоциированная
равномерная структура мотризуема.

АКСИОМЫ ОТДЕЛИМОСТИ 291
7. Топологическое пространство Е называется нормальным,
если оно удовлетворяет одной иэ следующих четырех равносиль-
равносильных аксиом (теоремы Урысона, гл. IX, § 4, теоремы 1 и 2).
(Оу) Каковы бы ни были непересекающиеся замкнутые множе-
множества Л и В в Е, существует непрерывное отображение Ев @, 1],
равное 0 на А и I на В.
(Оу) Каковы бы ни были непересекающиеся замкнутые множе-
множества А иВ в Ei, существуют непересекающиеся открытые множе-
множества U и V такие, что A a U и В а V.
(Оу) Каковы, бы ни были замкнутое множество А в Е и его
окрестность V, существует окрестность W множества А такая,
что Wd V.
(Оу') Каковы бы ни были замкнутое множество А в Е и непре-
непрерывная числовая функция f на А, существует непрерывная число-
пая функция g па Е, продолжающая /.
Отметим, что если функция / в условии (Оу.!) конечна, то па Е
существует конечная непрерывная числовая функция, продол-
продолжающая /.
8. Всякое нормальное пространство вполне регулярно (и тем
более регулярно). Обратное неверно. Однако если Е вполне ре-
регулярно, а А и В соответственно компактное и замкнутое множе-
множества в Е, не имеющие общих точек, то существуют непересекаю-
непересекающиеся открытые множества U и V такие, что А с: U и В сг V.
Всякое замкнутое подпространство нормального пространства
нормально; произвольное подпространство нормального простран-
пространства не обязательно нормально. Произведение двух нормальных
пространств но обязательно нормально.
9. Всякое мотризуемое пространство нормально, но произве-
произведение несчетного семейства метризуемых пространств не обяза-
обязательно нормально. Кроме того, факторпространство, даже отде-
отделимое, метризуемого пространства но обязательно регулярно.
Всякое компактное пространство нормально. Локально ком-
компактное пространство не обязательно нормально. Однако всякое
паракомпактное пространство нормально.
10. Пусть Е — нормальное пространство и {At)\^i<;n — конеч-
конечное открытое покрытие замкнутого множества Fa E. Тогда суще-
19*

292 СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ § 6
ствует конечное открытое покрытие (i?«)i<i^n мпожества F такое,
что Btc: At для всех i.
Семейство (A^i подмножеств топологического пространства
Е называют локально конечным, если каждая точка х £ Е обладает
окрестностью V такой, что V (] AL пусто для всех индексов ц
за исключением конечного их числа.
Пусть (>l,)lgj — локальпо конечное открытое покрытие нор-
нормального пространства Е* Существует локально конечное откры-
открытое покрытие (Z?t),,ci пространства Е с тем же множеством индек-
индексов, такое, что ^с Аь для всех i £ /.
11. Семейство (/Jigj копечньтх числовых фупкций, определен-
определенных на топологическом пространстве ЕЛ называют локально конеч-
конечным, если каждая точка х £ Е обладает окрестностью V такой,
что фупкций А на V равпы нулю для всех индексов i £ /, за
исключением конечного их числа. Тогда сумма 2 А (х) опроде-
лена в каждой точке х £ Е; она непрерывна на Е, если все функ-
функции /t непрерывны на Е.
Непрерывным разбиением единицы, определенным на Е, назы-
называют всякое локально конечное семейство (/L)tgj неотрицательных
числовых функций, определенных и непрерывных на Е, такое,
что 2 А (х) = 1 в каждой точке х £ Е. Пусть 64t),,ej — локаль-
16/
но конечное открытое покрытие пространства Е; говорят, что
непрерывное разбиение единицм (/i)lgj подчинено покрытию (Л,),
если А {х) — 0 для всех х (J Ли каково бы ни было i.
Для всякого локально конечного открытого покрытия нор-
нормального пространства Е ■ существует подчиненное ему непрерыв-
непрерывное раэбиение единицы.
§ 6. Непрерывные функции, равномерпо непрерывные функции,
полунепрерывные функции
1. Пусть Е и Е' — топологические пространства; говорят, что
отображение /: Е -*- Е' непрерывно в точке а € Е, если для всякой
окрестности V точки/ (а) существует окрестпость Vточки а такая,
— t
что / (У)сг V, или, что то же, если / (V) — окрестпость точки а
для всякой окрестности V точки / (а). Условие непрерывности /

НЕПРЕРЫВНЫЕ И РАВНОМЕРНО НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 293
в точке а записывается еще так: lim / (х) — / (а); это означаот
х—а
также, что для всякого базиса фильтра 58, сходящегося к а,
/ B>) есть базис фильтра, сходящийся к / (а).
2. Пусть Е и Е' — метрические пространства, a d и d' — их
расстояния; для того чтобы отображение /: Е -> Е' было непре-
непрерывно в точке а £ Е, необходимо и достаточно, чтобы
Hm d! (f (a), f (x)) — 0 или также чтобы для каждого е > 0 суще-
существовало 6> 0 такое, что d (х, а) ^ б влечет d' (/ (a), f (x)) ^ е.
Если Е и Е' — метризуемые пространства, то для того, чтобы /
было непрерывно в точке а, необходимо и достаточно, чтобы для
каждой последовательности (хп) в Е, сходящейся к а, последова-
последовательность (/ (хп)) сходилась к / (а).
3. Пусть Е и Z?' — топологические пространства. Говорят, что
отображение /: Е -> Е' непрерывно на Е (или просто непрерывно),
если оно непрерывно в каждой точке из Е.
Это условие равносильно каждому из следующих:
а) / (A) a f (А) для каждого Ас: Е.
б) Прообраз относительно / всякого открытого множества из Е'1
есть открытое множество в Е.
в) Прообраз относительно / всякого замкнутого множества
из Е' есть замкнутое множество в Е.
4. Пусть / — непрерывное отображение топологического про-
пространства Е в топологическое пространство Е'. Образ открытого
(соотв. замкнутого) множества из Е при отображении / не обяза-
обязательно является открытым (соотв. замкнутым) множеством в Е'.
Однако образ компактного (соотв. относительно компактного)
множества из Е при отображении / компактен (соотв.относительно
компактен) в Е', если Е' отделимо.
Образ связного множества из Е при отображении / есть связ-
пое множество в Е'. Напротив, прообраз относительно / связного
множества из Е' не обязательно связен.
Если Е — связное пространство, / — непрерывная числовая
функция на Е, атиЪ — произвольные точки из £ и а — веществен-
вещественное число, принадлежащее замкнутому интервалу с концами
/ (а) и / (Ь), то существует хотя бы одна точка х £ Е, для которой
/ (х) = а.

294 СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ § 6
5. Пусть Е и Е' — равномерные пространства. Говорят, что
отображение /: Е -*■ Е' равномерно непрерывно, если для каждого
окружения V равномерной структуры пространства Е' сущест-
существует окружение V равномерной структуры пространства Е такое,
что (х, y)eV влечет (/ (х), f (у)) £ V.
Пусть Е и Е' — метрические пространства, a d и d' — их рас-
расстояния; для того чтобы отображение /: Е -> Е' было равномерно
непрерывно, необходимо и достаточно, чтобы для каждого е > О
существовало б > О такое, что d (х, у) ^ б влечет d' (f (x), f (у)) ^
< е.
Если равномерная структура равномерного пространства Е
определена семейством (Д) отклонений, то каждая числовая функ-
функция /(, (ж, ,у) равномерно непрерывна на Е X Е. В метрическом
пространстве Е расстояние d (x, А) точки х от множества А равно-
равномерно непрерывно.
Если / — равномерно непрерывное отображение равномерного
пространства Е в равномерпое пространство £", то обраэ при /
всякого базиса фильтра Коти из Е есть баэис фильтра Коши в Е';
образ при / каждого предкомпактного множества из Е есть пред-
компактное множество в £". ■
Всякое равномерно непрерывное отображение непрерывно.
Обратное неверно. Однако если Е — компактпоо пространство, то
всякое его непрерывное отображение в равномерное пространство
Е' равномерно непрерывно (гл. II, § 4, теорема 2).
6. Пусть Е, Е' и Е" — топологические пространства, / —
отображение Е в Е' и g — отображение Е' в Е". Если / непрерыв-
непрерывно в точке а (соотв. непрерывно на Е), a g непрерывно в точке
•/ (а) (соотв. непрерывно на Е'), то композиция g«/ непрерывна
в точке а (соотв. на Е). ч
Непрерывное отображение /: Е -*■ Е' остается непрерывным
при замене топологии пространства Е мажорирующей ее тополо-
топологией, а топологии пространства Е' — мажорируемой ею тополо-
топологией.
Для того чтобы биоктивпоо отображение / топологического про-
пространства Е на топологическое пространство Е' было 'гомеомор-
'гомеоморфизмом, необходимо и достаточно, чтобы / и f~l были непрерывны;
в этом случае / называют взаимно непрерывным.

НЕПРЕРЫВНЫЕ И РАВНОМЕРНО НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 295
Всякое биективное непрерывное отображение компактного
пространства Е па отделимое пространство Е' есть гомеомор-
гомеоморфизм Е на Е'.
7. Пусть Е, Е' и Е" — равномерные пространства. Если / —
равномерно непрерывное отображение Е в Е', a g — равномерно
непрерывное отображение Е' в Е", то g о / есть равномерно непре-
непрерывное отображение Е в Е".
Равномерно непрерывное отображение /: Е -> £" остается
равномерно непрерывным при замене равномерной структуры
пространства Е мажорирующей ее равномерной структурой,
а равномерной структуры пространства Е' — мажорируемой ого
равномерной структурой.
Для того чтобы биективное отображение / равномерного про-
пространства Е на равномерное пространство Е' было изоморфизмом,
необходимо и достаточно, чтобы / и f~l были равномерно пепро-
рывны.
8. Пусть Е — топологическое (соотв. равномерное) простран-
пространство, F — полное равномерное пространство, Н — некоторое мно-
множество непрерывных (соотв. равномерно непрерывных) отображе-
отображений Е в F и А — всюду плотное множество в Е. Если фильтр %
в // равномерно сходится на А, то он сходится в каждой точке
а- £ Е к некоторому пределу /0 (х), причем функция /0 непрерывна
(соотв. равномерно непрерывна) на Е (гл. X, § 1, теорема 2).
Если Е локально ко мпактно и фильтр g в Я равномерно
сходится на всяком компактном множестве из Е, то его предел
непрерывен на Е.
Пусть Е — топологическое (соотв. равномерное) простран-
пространство, F — полное равномерное пространство и // равностепенно
непрерывное (соотв. равномерно равностепенно непрерывное) мно-
множество отображений Е в /'; достаточно, чтобы фильтр % в //' про-
просто сходился на А, для того, чтобы он сходился во всех точках
х £ Е к пределу /„ (х) такому, что /0 непрерывно (соотв. равномер-
равномерно непрерывно) на Е (гл. X, § 2, следствие теоремы 1).
СВ частности, верхняя огибающая и и нижняя огибающая v
равностепенно непрерывного мпожества // конечных числовых
функций на Е — непрерывные функции на Е, а множества
- 1 ~ ~1
и (-}- оо) ft v (— оо) открыто-замкнуты.о

296 СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ § 6
9. Пусть А — подмножество топологического (соотв. равно-
равномерного) пространства Е; отображение / пространства Е в тополо-
топологическое (соотв. равномерное) пространство Е' называется непре-
непрерывным относительно А в точке х0 £ А, если его сужение на
А непрерывно в точке хп; оно называется непрерывным относи-
относительно А (соотв. равномерно непрерывным относительно А),
если его сужение на А непрерывно (соотв. равномерно непре-
непрерывно).
Если функция / непрерывна (относительно Е) в точке х0 £ А
(соотв. непрерывна на Е, равномерно непрерывна на Е), то она
непрерывна относительно А в точке х0 (соотв. вепрерывна относи-
относительно А, равномерно непрерывна относительно А). Но функция,
определенная на Е, может быть не непрерывной во всех точках
из Е и тем не менее быть непрерывной относительно всюду плот-
плотного множества А а Е.
Однако если А — окрестность точки а £ Е, то всякая функция,
непрерывная в а относительно А, будет вместе с тем непрерывной
в а относительно Е.
10. Пусть А — всюду плотное множество в топологическом
пространстве Е, а / и g — такие непрерывные отображения Е в
отделимое пространство Е', что / (х) = g (х) для всех х £ А; тогда
/ (х) = g (х) для всех х £ Е {принцип продолжения тождеств).
Если / и g — числовые функции (конечные или нет), непре-
непрерывные найи такие, что / (х) ^С g (х) для всех х £ А, то / (х) ^
^ 8 (х) Для всех х £ Е (принцип продолжения неравенств).
Пусть h — отображение A и топологическое пространство Е'\
для того чтобы существовало непрерывное отображение Е в Е',
продолжающее h, необходимо, чтобы в каждой точке х £ Е функ-
функция h (у) стремилась к некоторому пределу, когда у стремится
к х, оставаясь в А. Если пространство Е' регулярно, то это усло-
условие достаточно, и тогда непрерывное отображение Е и Е', про-
продолжающее h, единственно (гл. I, 2-е изд., § 6, теорема 1; 3-е
иэд., § 8, теорема 1); говорят, что оно получено продолжением h
по непрерывности на Е.
Если Е' — полпое отделимое равномерное пространство, то
для того, чтобы h можно было продолжить по непрерывности на Е,
необходимо и достаточно, чтобы для каждого х £ Е образ при h

НЕПРЕРЫВНЫЕ И РАВНОМЕРНО НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 297
следа на А фильтра окрестностей точки х был базисом фильтра
Коти.
Пусть Е — равномерное пространство, а Е' — полное отдели-
отделимое равпомерное пространство; если А — всюду плотное множе-
отво в Е, то всякое его равномерно непрерывное отображение в Е'
может быть продолжено по непрерывности на Е, причем продол-
продолженное отображение равномерно непрерывно на Е (гл. II, 2-е
изд., § 3, теорема 1; 3-е изд., § 3, теорема 2).
11. Пусть А — замкнутое множество в нормальном простран-
пространстве Е. Для каждой числовой (соотв. копечпой числовой) функции
/, определенной и непрерывной на А, существует числовая (соотв.
конечная числовая) функция /, определенная и непрерывная на Е
и продолжающая / (гл. IX, § 4, теорема 2); при этом, если А Ф Е„
то таких функций / бесконечное множество.
12. Пусть (/\) — семейство топологических (соотв. равномер-
равномерных) пространств и ^=11^1— их произведение; проекция
i
prt пространства F на /\ для каждого i непрерывна (соотв. равно-
равномерно непрерывна). Для того чтобы отображение х >-*• (/,, (х)) топо-
топологического (соотв. равномерного) пространства Е в F было непре-
непрерывно (соотв. равномерно непрерыппо), необходимо и достаточно,
чтобы каждая из функций /t была непрерывна (соотв. равномерно
непрерывна).
13. Пусть Е, Е' и F — топологические (соотв. равномерные)
пространства, а / — непрерывное (соотв. равномерно непрерыв-
непрерывное) отображение Е х Е' в F; тогда для каждого у 6 Е' частичное
отображение х у-*- f (х, у) (обозначаемое fv) Е в F пеирерыпно
(соотв. равномерно непрерывно). Обратное; неверно: может слу-
случиться, что отображение х *-*■ f (x, у) равномерно непрерывно для
каждого y.£JZ и отображение у >-*■ J (х, у) равномерно непрерывно
для каждого х £ Е, а отображение (х, у) *-* { (х, у) не непрерывно
ни в одной точке из Е х Е'.
Пусть Е — локально компактное пространство; для того чтобы
/ было непрерывно на Е X £", необходимо и достаточно, чтобы:
a) fy было непрерывно на Е при всяком у £ Е'; б) каково бы ни

98 СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ ' § 6
■было у0 £ £", fy рпвномерио сходилось к /Уо на всяком компактном
множестве из Е при стремлении у к у0 в Е' (гл. X. § 3, теорема 3).
°Пусть £" — бэровское пространство, £" и F — метризуемые
пространства и / — отображение Е X Е' л F такое, что для вся-
всякого у £ Е' отображение х*-+ f (х, у) непрерывно на Е и дли вся-
всякого х£Е отображение у *-*■ f (х, у) непрерывно на Е'. Тогда
для каждого b £ Е' в пространстве Е существует множество Sb
с тощим дополнением такое, что функция / непрерывна в точке
(а, ft) при всяком а £ Sb-0
14. Пусть Е — топологическое пространство и й — отнопге-
ние эквивалентности в Е. Каноническое отображение <р простран-
пространства Е на факторпространстве EIR непрерывно. Для того чтобы
отображение / пространства EIR в топологическое пространство Е'
■было непрерывно, необходимо и достаточно, чтобы / о ф было непре-
непрерывно на Е; иначе говоря, имеется взаимно однозначное соответ-
соответствие между множеством всех непрерывных отображений EIR
в Е' и множеством всех непрерывных отображений Е в Е', постоян-
постоянных на каждом классе по R.
Пусть Е и F — топологические пространства, R — отношение
эквивалентности в Е, S — отношение эквивалентности в F и / —
непрерывное отображение Е в F, согласованное с отношениями
эквивалентности R и S; тогда отображение g: EIR -> F/S, полу-
получаемое из / факторизацией, непрерывно.
15. Пусть / — непрерывное отображение топологического про-
пространства Е в топологическое пространство F и R — отношение
эквивалентности f (х) — f (у) в Е. Пусть /= тр о д о <р — каио-
дическое разложение /, где <р — каноническое отображение Е
на E/R, g — биективное отображение EIR на / (Е) и \\> — канони-
каноническое отображение / (Е) в F. Биективное отображение g непре-
непрерывно, но не обязательно является гомеоморфизмом; для того
■чтобы g было гомеоморфизмом, необходимо и достаточно, чтобы
образ при / всякого насыщенного по R открытого множества был
следом на / (Е) открытого множества из F. Это последнее условие
зеегда выполнено, если существует непрерывное отображение
h: F-+-E такое, что/o/i есть тождественное отображение F на себя,
а также в том случае, когда Е компактно, a F отделимо.

НЕПРЕРЫВНЫЕ И РАВНОМЕРНО НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 299
16. Числовую функцию (конечную или нет), определенную
на топологическом пространстве Е, называют полунепрерывной
снизу (соотв. сверху) в точке а £ Е, если для каждого h <С / (а)
(соотв. к > / (а)) существует окрестность V точки а такая, что
h<Z f (х) (соотв. к > / (х)) при всех х £ V. Функцию / называют
полунепрерывной снизу (соотв. сверху) на Е, если она полунепре-
полунепрерывна снизу (соотв. сворху) во всех точках из Е.
Для того чтобы числовая функция / была непрерывна в точке,
необходимо и достаточно,1, чтобы она была одновременно полуне-
полунепрерывна сниэу и сворху к этой точке.
17. Для того чтобы числовая функция /, определенная на топо-
топологическом пространстве Е, была полунепрерывна снизу (соотв.
сверху) в точке а £ Е, необходимо и достаточно, чтобы
lim inf f (x) = f (а) (соотв. lim sup / (х) = / (а)).
x-t-a к-о
Какова бы ни была числовая функция /, определенная на всюду
плотном множестве А из Е, функция g (соотв. /г), определенная
для всех х £ Е формулой g (х) = lim inf / (у) (соотв. h (x) —
=--- lim sup / (у)) полунепрерывна снизу (соотв. сверху) на Е;
V—X, !/£А
g (соотв. h) называется полунепрерывной снизу (соотв. сверху) регу-
регуляризацией функции /; она является продолжением /, если /
полунепрерт.1вна снизу (соотв. сверху) на А.
Пусть / — произвольное отображение топологического про-
пространства Е в метрическое пространство F; колебание со (х; /)
функции / в точке х полунепрерывно сверху на Е.
18. Для того чтобы числовая функция /, определенная на топо-
топологическом пространстве Е, была полунепрерывна снизу (соотв.
сворху) на Е, необходимо и достаточно, чтобы для всякого конеч-
конечного числа к множество тех х £ Е, для которых /(#)> к (соотв.
/ (х) < к), было открыто, или, что то же, множество тех х £ Е.
для которых f(x) ^ к (соотв. f(x)^.k), замкнуто. В частности,
для того чтобы множество было открыто (соотв. замкнуто), необ-
необходимо и достаточно, чтобы ого характеристическая функция ц>А
была полунепрерывна снизу (соотв. сверху).
Если / — полунепрерывная снизу (соотв. сверху) функция
на компактном пространстве Е, то существует хотя бы одна точка

300 СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ § 7
а £ Е, для которой / (а) = inf / (х) (соотв. / (а) = sup f(x))
(теорема Вейериипрасса) (гл. IV, § 6, теорема 3).
Пусть Е — бэровское пространство и (/Oiei — семейство полу-
полунепрерывных снизу функций на Е, верхняя огибающая которых
конечна во всех точках из Е. Тогда всякое непустое открытое мно-
множество содержит непустое открытое подмножество, на котором
семейство (Д) равномерно ограниченно (гл. IX, § 5, теорема 2).
19. Если функция / полунепрерывна снизу в точке а, то — /
полунепрерывна сверху в точке а, и обратно. Если / и g полунепре-
полунепрерывны снизу в точке а, то это же верно для inf (/, g) и sup (/, g),
а также для f -\- g (если эта функция определена в точке а) и fg
(если / и g неотрицательны и их произведение fg определено в точ-
точке а). Если, кроме того, /^3*0, то 1// полунепрерывна сверху
в точке а.
Верхняя огибающая семейства функций (/t), полунепрерывных
снизу в точке а, полунепрерывна снизу в этой точке. В частности,
верхняя огибающая всякого семейства непрерывных функций
на Е полунепрерывна снизу на Е. Обратно, если Е — равномери-
зуемое пространство, то всякая полунепрерывная снизу функция
на Е является верхней огибающей семейства непрерывных функ-
функций; если при этом Е метризуемо, то всякая полунепрерывная
снизу функция на Е есть верхняя огибающая возрастающей после-
последовательности непрерывных функций.
§ 7. Подпространства; произведения пространств;
факторпроетраист» а
1. Пусть Е — топологическое пространство и А — его непу-
непустое подмножество. Следы на А всевозможных открытых множеств
•из Е образуют совокупность открытых множеств в топологии,
которую называют топологией, индуцируемой в А топологией
пространства Е. Множество А, наделенное зтой топологией, назы-
называют подпространством пространства Е.
Если Вcz А, то подпространство В подпространства А совпа-
совпадает с подпространством В пространства Е (транзитивность инду-
индуцированной топологии).
Если % — система образующих топологии пространства Е,
то следы на А множеств из @ составляют систему образующих
топологии подпространства А.

ПОДПРОСТРАНСТВА; ПРОИЗВЕДЕНИЯ; ФАКТОРПРОСТРАНСТВА 301
Каноническое отображение А в Е непрерывно.
2. Множество, открытое в А, но обязательно открыто в Е\
для того чтобы всякое открытое множество из А было открытым
n E, необходимо и достаточно, чтобы А было открыто в Е.
Замкнутые множества в А — не что иноо, как следы на А
замкнутых множеств из Е; для того чтобы всякое замкнутое мно-
множество в А было замкнутым в Е, пообходимо и достаточно, чтобы
А было замкнуто в Е.
Окрестности точки х £ А относительно А — это следы па А
окрестностей х относительно Е; для того чтобы всякая окрестность
точки х относительно А была ее окрестностью относительно Е,
необходимо и достаточно, чтобы А было окрестностью х в Е.
Если В с: А, то замыкание В в А есть след на А замыкания
В ь Е.
Сужение на А непрерывного отображения / пространства Е
в пространство Е' является непрерывным отображением А в £";
но оно может быть непрерывно и в том случае, когда / не непре-
непрерывно ни в одной точке из Е. Кроме того, непрерывное отобра-
отображение А в Е' пе всегда можно продолжить до непрерывного отоб-
отображения Е в Е'; однако такое продолжение возможно, если А —
замкнутое подпространство нормального пространства Е, а Е' =
= R (гл. IX, § 4, теорема 2).
3. Пусть Е — равномерное пространство и А — его непустое
подмножество. Слоды па А X А окружений равномерной струк-
структуры пространства Е образуют фильтр окружений равномерной
структуры в А, которая называется равномерной структурой,
индуцируемой в А равномерной структурой пространства Е; топо-
топология, порождаемая этой структурой, совпадает с топологией,
индуцируемой п А из Е. Множество А, наделенное этой равномер-
равномерной структурой и порожденной ею топологией, называется равно-
равномерным подпространством пространства Е. Если равномерная
структура пространства Е определена семейством отклонений
(Д), то сужения А на А X А определяют в А индуцированную
равномерную структуру.
Если 79 с: А, то равномерпое подпространство В равномерного
подпространства А совпадает с равномерным подпространством В
равномерного пространства Е (транзитивность индуцированных
равноморпых структур).

302 СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ § 7
Каноническое отображение А в Е равномерно непрерывно.
Сужение на А равномерно непрерывного отображения Е
в равномерное пространство Е' рапномерпо непрерывно. Обратно,
если А всюду плотно в Е, а Е' полно и отделимо, то всякое равпо-
мерно непрорывное отображение А в Е' продолжается, и притом
единственным образом, до равномерно непрерывного отображе-
отображения Е в Е'.
4. Всякое подпространство отделимого (соотв. регулярного,
равномеризуемого, метризуемого) топологического пространства
отделимо (соотв. регулярно, равномеризуемо, метризуемо). Под-
Подпространство нормального пространства но обязательно пормаль-
но; однако замкнутое подпространство нормального пространства
нормально.
Всякое замкнутое подпространство компактного пространства
компактно. Для того чтобы подпространство локально компакт-
компактного пространства Е было локально компактно, необходимо
и достаточно, чтобы оно было пересечопием открытого и замкну-
замкнутого множеств из Е.
Всякое замкнутое равномерное подпространство полного рав-
равномерного пространства полно. Всякое полноо равномерное под-
подпространство отделимого равномерного пространства Е замкну-
замкнуто в Е.
5. Пусть (FJni — семейство топологических пространств и
Е =JJLFl — произведение множеств Fh. Элементарным мно-
жеством в Е называют всякое множество вида Д^и где At откры-
то в /'\ для всех индексов i и А,, = Fb для всех, кроме конечпого
числа, индексов i £ /. Произведением топологий пространств Ft
называют топологию в Е, порождаемую совокупностью всех эле-
элементарных множеств; множество Е, надоленное зтой топологией,
называют произведением пространств /\ (a Fh — пространствами-
сомножителями пространства Е).
Пусть $t для каждого i £ / — система образующих топологии
пространства F^ тогда элементарные множества JJ-^-n B которых

ПОДПРОСТРАНСТВА; ПРОИЗВЕДЕНИЯ; ФАКТОРПРОСТРАНСТВА ЗОЯ
А-ь 6 $i для всех i таких, что At Ф Fh, составляют систему обра-
образующих топологии пространства Е.
Для каждой точки х £ Е элементарные множества, содержащие
х, образуют фундаментальную систому ее окрестностей.
6. Для каждого непустого подмножества / множества индек-
индексов / проекция рг,; произведения Е — JJ /\ иа частичное про-
изведение Z?j = JJ.Fi непрерывна. Если (JK)x£K —разбиение
l£.l
множества /, то каноническое отображение Е на произведение
JJ Ej есть гомеоморфизм.
к£К.
Пусть Аь для каждого i £ I — непустое множество из /\.
Топология, индуцируемая в множестве Л = JJ .At с:/? проив-
ведением топологий пространств Fv ;овпадает с произведением
топологий подпространств А^.
7. Пусть А — открытое (соотв. замкнутое) множество в про-
произведении Ех х Ег топологических пространств Е± и Ег. Для
каждого х £ Е срез А (х) множества Л по я есть открытое (соотв.
замкнутое) множество в Ег.
Проекции открытого множества из Ек х Ez на пространства-
сомножители являются открытыми множествами. Напротив, проек-
проекция замкнутого множества вообще не замкнута; однако если Ех
отделимо, а Е% компактно, то проекция на Et каждого замкнутого
множества из Et x Ег замкнута.
В произведении К ~ JJ Ft замыкание произведения JJ A u
множеств Al<zi Fi совпадает с произведонием JJ Аь их замыканий.
13 частности, для того чтобы JJ^t было замкнуто в Е, необходимо
и достаточно, чтобы каждое At было замкнуто в Fv.
8. Для того чтобы базис фильтра ^ в произведении Е = JJ Fk
сходился к точке х ■■- (аг,), необходимо и достаточно, чтобы его
п роекция prt {%) сходилась к хь для каждого i 6 /•

304 СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ § 7
Пусть / = (Д) — отображение множества А в произведение Е;
для того чтобы / имело предел х — (х,) по фильтру ^ из А, необ-
необходимо и достаточно, чтобы Д имело предел xt по фильтру g пРи
каждом| i £ /. В частности, если J. — топологическое пространство,
то для того, чтобы / было непрерывно в точке а £ А, пообходи -
мо и достаточно, чтобы каждое Д было непрерывно в а.
Пусть (#i)t£/ и (F^ici — семейства топологических про-
пространств с одним и тем же множеством индексов и Д для каждого
i 6 / — отображение Е1 в Fb. Для того чтобы отображение (a;t) i-*
*-*■ (Д0*а)) произведения JX-Et в произведение JJ-Ft было непре-
.
рывно в точке а — (ct-i)a необходимо и достаточно, чтобы Д было
непрерывно в точке at для каждого i £ /.
В случае, когда все пространства Et семейства (Z?t)tgj совпа-
совпадают с одним и том же пространством Е, произведение Е1 мно-
множеств Еу, есть не что иное, как множество всевозможных отобра-
отображений / в Е; топология произведения в этом множестве есть топо-
топология простой сходимости.
Пусть / — отображение произведения Ех х Ег топологиче-
топологических пространств i?x и Егъ топологическое пространство Е'. Если
/ непрерывно в точке («i, а2), то отображоште xt >-*■ f {xu a2) (соотв.
х2 >-+■ f (йь хг)) непрерывно в точке at (соотв. а«). Может случиться,
что каждое из отображенийхх >-*■ f (xu а2), хг i-» / (au хг) непре-
непрерывно (для любой точки («1, а2)), а функция / не непрерывна ни
в одной точке из Ег х Ег (см. § 6, пс 13).
9. Для того чтобы произведение непустых топологических
пространств Ei было отделимо (соотв. равномеривуемо), необхо-
необходимо и достаточно, чтобы каждое из Et было отделимо (соотв.
• равномеризуемо). Произведение всякого счетного семейства мотри-
зуемых пространств мотризуемо. Произведение двух нормальных
пространств не обязательно нормально; произведогпге несчетного
семейства метризуемЕлх пространств не обязательно нормально.
Для того чтобы произведение пространств Е1 было компактно,
необходимо и достаточно, чтобы каждое Еь было компактно (тео-
(теорема Тихонова, гл. I, 2-е изд., § 10, теорема 3; 3-е изд., § 9, тео-
теорема 3); для того чтобы оно было локально компактно, необходимо
и достаточно, чтобы псо Еь били локально компактны и, за исклю-
исключением конечного числа индексов, компактны.

ПОДПРОСТРАНСТВА; ПРОИЗВЕДЕНИЯ; ФАКТОРПРОСТРАНСТВА 305
Для того чтобы произведение пространств Et было связно
(соотв. локально связно), необходимо и достаточно, чтобы каждое
Еу, было связно (соотв. чтобы все Е1 были локально связны и,
за исключением конечного числа индексов, связиы).
10
. Топология произведения Е — JJ Et семейства (#t)tgi топо-
логических пространств является слабейшей из топологий в Е,
при которых все проекции prt непрерывны.
Вообще, пусть (Fb)^i — семейство топологических про-
пространств, Е — множество, Д для каждого i £ / — отображение Е
в /\, У — слабейшая из топологий в Е, при которых все функции
Д непрерывны, и Ot — совокупность всех открытых мнозкеств в /\.
Топология 3~ порождается объединением множоств подмпожеств
Д (Ot). Для того чтобы базис фильтра 23 в Е сходился к точке а
в топологии ЗГ, необходимо и достаточно, чтобы для казкдого i 61
базис фильтра Д B3) сходился к Д (а) в Ft. Для того чтобы отобра-
отображение g топологического пространства G в Е было непрерывно,
необходимо и достаточно, чтобы каждое из отображений Д о g
было непрерывно.
Если все Ft отделимы, то для того, чтобы топология S была
отделима, необходимо и достаточно, чтобы для каждой пары раз-
различных точек х, у из Е существовало i £ / такое, что Д (х) Ф Д (у).
11. Пусть (Ft)iei — семейство равномерных пространств и
./? — произведение JJ /\ множеств /\. Рассмотрим на множе-
стпе Е X Е, канонически отождествленном с произведением
i X Fi), множества вида Ц^и где Ft — окружение для
Z1, при всех i и \\ — Ft X Ft при всех i, кроме конечного их
числа. Эти множества образуют фундаментальную систему окру-
окружений равномерной структуры в Е, называемой произведением
равномерных структур пространств Ft. Топология, порождаемая
:>той равномерной структурой, совпадает с произведением тополо-
топологий пространств /\; множество Е, наделенное этой равномерной
структурой и порожденной ею топологией, называется произведе-
произведено П. Бурбаки

306 СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ § 7
нием равномерных пространств Fv (a Fv — пространствами-со-ико-
жителями пространства Е).
12. Пусть (/^Хе/ — семейство равномерных пространств. Для
каждого непустого подмножества / множества индексов / проек-
проекция prj произведения Е = ]П[ F,. на произведение ^/ = 11^1 Р**в-
номерно непрерывна. Если (/и)йек — разбиение множества /,
то каноническое отображение Е на равноморное пространство
JJ E.1 есть изоморфизм.
Пусть Ау, для каждого i £ / — непустое подмножество про-
пространства Ft. Равномерная структура, индуцируемая в множестве
A =Y[Alc E равномерпой структурой произведения равно-
мерных структур пространств Ft, совпадает с произведением
равномерных структур подпространств А^.
13. Для того чтобы базис фильтра % в произведении Е =
= JJ.Ft равномерных пространств был базисом фильтра Коти,
необходимо и достаточно, чтобы для каждого i £ / его проекция
prt (%) была базисом фильтра Коши в Fb. Для того чтобы Е было
полно, необходимо и достаточно, чтобы каждое Ft было полно.
Отделимое пополнение Ё пространства Е изоморфно произведению
JJ Fv отделимых пополнений пространств Fv. Для того чтобы Е
tei
было предкомпактно, необходимо и достаточно, чтобы каждое Ft
было предкомпактно.
14. Пусть А — равномерное пространство и / = (/,) — его
отображение в произведение E = JJLFl равномерных пространств;
для того чтобы / было равномерпо непрерывно, необходимо и доста-
достаточно, чтобы каждое Д было равномерно непрерывно.
В случае, когда все равномерные пространства Et семейства
№t)t£j совпадают с одним и тем же пространством*Z?, равномерная
структура произведения Е1 есть равномерная структура простой
сходимости.

ПОДПРОСТРАНСТВА; ПРОИЗВЕДЕНИЯ; ФАКТОРПРОСТРАНСТВА 307
Пусть / — отображение произведения Et X E2 двух равномер-
равномерных пространств в равномерное пространство Е'; если / равномер-
равномерно непрерывно, то каждое частичное отображение х^\~* j (хи а2)
(соотв. хг *-*■ / («!, xj) равномерно непрерывно; обратное неверно.
15. Равномерная структура произведения E — JJ^E^ семей-
iei
ства (Ei) равномерных пространств является слабейшей из равно-
равномерных структур в Е, при которых все проекции prt равномерно
непрерывны.
Вообще, пусть (F^i — семейство равномерных пространств,
Е — множество,, Д для каждого i £ / — отображение Е в F%
и °11 — слабейшая из равномерных структур в Е, при которых
все Д равномерно непрерывны; топология $~, индуцируемая равно-
равномерной структурой 11, есть слабейшая из топологий, при которых
все Д непрерывны. Для того чтобы отображение g равномерного
пространства G в Е было равномерно непрерывно, необходимо
и достаточно, чтобы каждое отображение Д ° g было равномерно
непрерывно. «
Для того чтобы Е было предкомпактно, необходимо и доста-
достаточно, чтобы для каждой пары различных точек х, у из Е суще-
существовало i 6 / такое, что Д (х) Ф Д (у), и каждое подпространство
Д (Е) было предкомпактно.
16. Пусть (jFi)iy — семейство топологических пространств и
Е — сумма множеств Fu так что каждое Ft отождествимо с под-
подмножеством множества Е и множества Ft образуют его разбиение.
Пусть Са —множество всех открытых множеств из Fu a @ —
объединение (в $ (Е)) множеств £\; топологию, порождаемую
в Е множеством @, называют суммой топологий пространств /\,
а множество Е, наделенное этой топологией,— топологической
суммой пространств Fy,.
Для того чтобы множество А было открыто (соотв. замкнуто)
в Е, необходимо и достаточно, чтобы при всяком i множество
А П Fb было открыто (соотв. замкнуто) в Ft. Каждое множество
h\ открыто-замкнуто в Е. Обратно, если (Z?t) — разбиение тополо-
топологического пространства Е, состоящее из открыто-замкнутых мно-
множеств, то Е — топологическая сумма подпространств /?,,.
20*

308 СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ § 7
17. Пусть Е — топологическое пространство, R — отношение
эквивалентности в Е и ф — каноническое отображение Е па фак-
фактормножество EIR. Фактортопологией топологии пространства Е
по отношению R называют топологию в EIR, открытыми (соотв.
замкнутыми) множествами которой являются те множества А,
-I
для которых ф (А) открыто (соотв. замкнуто) в Е; таким образом,
это — канонические образы тех множеств из Е, насыщение ко-
которых по R открыто (соотв. замкнуто) в Е. Множество EIR, на-
наделенное этой топологией, называется факторпространством
Е по R.
Отношение эквивалентности R в Е называется открытым
(соотв. замкнутым), если насыщение по R всякого открытого
(соотв. замкнутого) множества из Е открыто (соотв. замкнуто) в Е,
или, что то же, если образ при ф всякого открытого (соотв. замк-
замкнутого) множества из Е есть открытое (соотв. замкнутое) мно-
множество в EIR.
Для того чтобы R было открыто, необходимо и достаточно, что-
чтобы для каждой точки х £ Е фшгьтр окрестностей точки ф (х) в фак-
торпространстве E/R совпадал с образом при ф фильтра окрестно-
окрестностей точки х в Е.
Для того чтобы R было замкнуто, необходимо и достаточно,
чтобы всякий класс эквивалентности по R обладал фундаменталь-
фундаментальной системой окрестностей, насыщенных по R.
18. Для того чтобы факторпрострапство EIR было отделимо,
необходимо, чтобы всякий класс эквивалентности по R был замк-
замкнут и множество С, определяемое в произведении Е х Е отноше-
•нием R, было замкнуто. Если R открыто, это последнее условие
также достаточно.
Если Е компактно, то следующие три условия равносильны:
a) E/R отделимо; б) отношение R замкнуто; в) мпожсство С замк-
замкнуто в Е х Е. Если одно из этих условий выполнено, то EIR
компактно (гл. I, § 10, предложение 8).
Если Е локально компактно, то EIR может быть отделимо,
не будучи локально компактным. Однако, если насыщение по R
всякого компактного множества из Е компактно, то отношение R
замкнуто и пространство EIR локально компактно.

ПОДПРОСТРАНСТВА; ПРОИЗВЕДЕНИЯ; ФАКТОРПРОСТРАНСТВА 309
Если Е метризуемо, то факторпрострапство EIR может быть
отделимо и не регулярно; однако, если Е компактно и метризуемо,
a EIR отделимо, то EIR компактно и метризуемо.
Пусть Е — регулярное пространство, А — замкнутое множе-
множество в Е и R — отношение эквивалентности, классами которого
служат А и все точки из СМ; тогда EIR (т. е. пространство, полу-
полученное «отождествлением всех точек из .Д») отделимо.
Всякое факториространство связного (соотв. локально связ-
связного) пространства связно (соотв. локально связно).
19. Каноническое отображепие ср топологического простран-
пространства Е па факторпространство EIR попрерывно. Для того чтобы
отображепио / пространства EIR в топологическое пространство
Е' было непрерывно, необходимо и достаточно, чтобы / о ф было
непрерывно на Е; другими словами, имеется взаимно однозначное
соответствие между множеством всех непрорывных отображений
EIR в Е' и множеством всех непрерывных отображений Е в Е'в
постоянных на каждом классе эквивалентности по R.
Пусть Е и F — топологические пространства и R (соотв. S) —
отношение эквивалентности в Е (соотв. F). Если / — непрерывное
отображение Е в F, согласующееся с отношениями эквивалентно-
эквивалентности R и S, то отображение EIR в F/S, полученное из / факториза-
факторизацией, непрерывно.
20. Пусть / — непрерывное отображение топологического про-
пространства Е в топологическое пространство Е', R — отношение
эквивалентности / (х) — / (у) в Е, ф — каноническое отображение
Е на EIR и / = g о ф, так что g — биективное отображение EIR
на некоторое множество из Е'. Отображение g непрерывно, но
вообще не является гомеоморфизмом факторпространства E/R
на подпространство / (Е) пространства £"; для того чтобы оно
было гомеоморфизмом, необходимо и достаточно, чтобы образ
цри / всякого открытого множества из Е, насыщенного по R,
был следом на / (Е) открытого множества язЕ'. Это условие'всегда
выполнено, если Е компактно, а Е' отделимо. Оно также выпол-
выполнено, если существует непрерывное отображение h пространства
G = f (Е) в Е такое, что / о h — тождественное отображение Q
па себя (непрерывное сечение).

310 СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ § 8
21. Пусть Йи5- отношения эквивалентности в топологиче-
топологическом пространстве Е такие, что R влечет 5, и SIR — факторотио
шение отношения эквивалентности S по R в факторпространстве
EIR; тогда каноническое отображение E/S на (E/R)/(S/R) есть
гомеоморфизм.
22. Пусть Е — топологическое пространство, R — отношение
эквивалентности в Е, Ac E, RA — отношение эквивалентности,
индуцированное в А отношением R, и <р — каноническое отобра-
отображение Е на EIR. Биективное каноническое отображение h про-
пространства AIRA на (р (А) непрерывно, но вообще не является
гомеоморфизмом; для того чтобы h было гомеоморфизмом, необ-
необходимо и достаточно, чтобы всякое насыщенное по RA открытое
множество в А было следом на А насыщенного по R открытого
множества из Е.
Это последнее условие выполняется в каждом из следующих
случаев:
а) А насыщено по R и открыто (или замкнуто) в Е;
б) отношение R открыто, А открыто в Е или насыщено по Л;
в) отношение R замкнуто, А замкнуто в Е или насыщено по R;
г) существует непрерывное отображение / пространства Е
в А такое, что / (х) сравнимо с ж по модулю R для каждого х £ R.
В этом случае h есть гомеоморфизм A/RA на E/R.
23. Пусть Е и F — топологические пространства, a R (соотв
5) — отношение эквивалентности в Е (соотв. F). Биективное кано-
каноническое отображение (Е X F)I{R х S) на (E/R) x (F/S) непре-
непрерывно; при этом, если R и S открыты, то оно является.гомеомор-
является.гомеоморфизмом, a R X S открыто.
§ 8. Компактные пространства и локально
компактные пространства
1. Топологическое пространство Е называется компактным,
если оно отделимо и удовлетворяет, кроме того, одной из следую-
следующих четырех равносильных аксиом.
(С) Всякий фильтр в Е обладает хотя бы одной точкой при-
прикосновения.
(С) Всякий ультрафильтр в Е сходится.

КОМПАКТНЫЕ И ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 311
(С") Всякое семейство замкнутых множествеЕ, имеющее пустое
пересечение, содержит, конечное подсемейство с пустым пересе-
пересечением.
(С) (аксиома Бореля — Лебега). Всякое открытое покрытие
пространства Е содержит конечное покрытие этого пространства.
Множество А в топологическом пространство Е называется
компактным, если подпространство А пространства Е компактно.
В отделимом пространстве всякое компактное множество замкну-
замкнуто. Множество А в топологическом пространство Е называется
относительно компактным (относительно Е), если А содержится
в компактном множестве.
2. В компактном пространстве Е существует, и притом един-
единственная, равномерная структура, согласующаяся с его тополо-
топологией (гл. II, § 4, теорема 1); окружениями этой структуры служат
все окрестности диагонали А в произведении Е X Е. Пусть V^
для каждого конечного открытого покрытия SR — (Af) простран-
пространства Е — объединение множеств At х At в Е X Е; когда 9t про-
пробегает все конечные открытые покрытия пространства Е, множе-
множества Fgf образуют фундаментальную систему окружений равно-
равномерной структуры пространства Е. В этой равномерной структуре
Е отделимо и полно.
Равномерное пространство называется предкомпактным, если,
его отделимое пополнение компактно. Множество А в равномер-
равномерном пространстве Е называется предкомпактным, если равномер-
равномерное подпространство А пространства Е предкомпактио. В отде-
отделимом равномерном пространстве Е всякое относительно компакт-
компактное множество предкомпактно; обратпое вообще неверно; но оно
верно, если Е полно.
3. Пусть Е равномерное пространство. Для того чтобы множе-
множество А с Е было предкомпактно, необходимо и достаточно, чтобы
для каждого окружения V равномерной структуры пространства
Е существовало конечное покрытие множества А, все множества
которого малы порядка У (гл. II, 2-е изд., § 4, теорема 4; 3-е
изд., § 4, теорема 3). Если Е — метрическое пространство, то
для того, чтобы множество А а Е было предкомпактно, необхо-
необходимо и достаточно, чтобьг для каждого е > 0 существовало конеч-
конечное число точек а{ £ А таких, что всякая точка из А удалена хотя
бы от одной из точек at на расстояние

312 СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ § 8
Топология метризуемого компактного пространства обладает
счетным базисом; обратно, всякое компактное пространство,
топология которого обладает счетным базисом, метризуемо.
Пусть Е — метризуемое пространство. Для того чтобы множе-
множество A cz E было относительно компактно в Е, необходимо и доста-
достаточно, чтобы всякая последовательность точек из А имела в Е
хотя бы одну предельную точку.
4. Для того чтобы множество Л в отделимом топологическом
пространстве Е было компактно, необходимо и достаточно, чтобы
всякое открытое покрытие множества А в Е содержало его конеч-
конечное покрытие.
Всякое подмножество относительно компактного множества
относительно компактно. В компактпом пространстве всякое
замкнутое множество компактно.
В отделимом пространстве объединение двух компактных (соотв.
относительно компактных) множеств компактно (соотв. относи-
относительно компактно); всякое конечное множество компактно. Обрат-
Обратно, всякое дискротпоо компактное пространство конечно.
5. Пусть Е и Е' — отделимые пространства. Если/ — непре-
непрерывное отображение Е в Е', то образ при / всякого компактного
(соотв. относительно компактного) множества иэ Е есть компакт-
компактное (соотв. относительно компактное) множество в Е'. Всякое
биективное непрерывное отображение компактного пространства
Е на отделимое пространство Е' есть гомеоморфизм. Если про-
пространство Е компактно, то всякая отделимая топология в Ея
мажорируемая его топологией, необходимо совпадает с ней.
Пусть Е и Е' — равномерные пространства и / — равномерно
непрерывное отображение Е в Е'\ образ при / всякого продком-
пактного множества иа Е есть предкомпактное множество в Е'.
6. Пусть Е — компактное пространство и R — отношение
эквивалентности в Е. Следующие свойства равносильны: a) EIR
отделимо; б) отношение R замкнуто; в) множество С, определяемое
в Е X Е отношением R, замкнуто. При этих условиях факторпро-
странство E/R компактно (гл. I, § 10, предложение 8); если, кроме
того, Е метризуемо, то и EIR метриэуемо.
7. Произведение всякого семейства компактных пространств
компактно (гл. I, 2-е изд., § 10, теорема 3; 3-е ивд., § 9, теорема 1)

КОМПАКТНЫЕ И ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 313
Для того чтобы множество А в произведения JJ Е,, отделимых
пространств било относительно компактно, необходимо и доста-
достаточно, чтобы каждая ого" проекция prt,4 была относительно ком-
пактна в Е\.
Для того чтобы множество А в произведении JJ Z?t отделимых
равномерных пространств было продкомнактно, необходимо и
достаточно, чтобы каждая его проекции была нредкомнактиа.
8. Пусть Е — локально компактное пространство, /' — отде-
отделимое равномерное пространство и 11 — некоторое множество-
непрерывных отображений Е в F. Для того чтобы II было отно-
относительно компактно в пространств С (Е; F) всех непрерывных
отображений Е в F, наделенном топологией компактной сходимо-
сходимости, необходимо и достаточно, чтобы // было рапностепенно непре-
непрерывно и для каждого х £ Е множество Н {х) (образоиашюе точ-
точками / (х), где / пробогаот //) было относительно компактно в F
{теорема А сколи) (гл. X, § 2, следствие 3 теоремы 2).
9. Пусть Е — компактное пространство, % — фильтр в Е
и А —множество всех его точек прикосновения (оно непусто). Каж-
Каждая окрестность V множества А содержит некоторое множество
иэ % (гл. I, 2-е изд., § 10, теорема 1; 3-е изд., § 9, теорема 1).
В частности, если фильтр % в Е имеет только одну точку прикос-
прикосновения, то он сходится к этой точке.
Для того чтобы бавис фильтра ЭД, образованный всеми эамк-
гсутыми окрестностями точки х в компактном пространстве Е,
был фундаментальной системой ее окрестностей, необходимо и
достаточно, чтобы поресечепие всех множеств из й состояло
из одной точки х.
Если А — относительно компактное множество в топологиче-
топологическом пространстве Е, то всякий базпс фильтра в А обладает хотя
бы одной точкой прикосновения в Е.
10. Всякое компактное пространство нормально. Более общим
образом, если Е — отделимое равномерное пространство, а А
и В — непересекающиеся компактное и замкнутое множества
и Е, то существует окружение V для Е такое, что V{A) и V(B}
не пересекаются. Если А компактное множество в Е, то множества

314 СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ § 8
V (А) образуют фундаментальную систему его окрестностей, когда
V пробегает фильтр окружений для Е.
В локально компактном пространстве всякое компактное мно-
множество обладает фундаментальной системой компактных окрест-
окрестностей.
11. Пусть Е — компактное, а Е' — равномерное пространства.
Всякое непрерывное отображение Е в Е' равномерно непрерывна
(гл. II, § 4, теорема 2). Всякое равностепенно непрерывное множе-
множество отображений Е в Е' равномерно равностепенно непрерывно.
Пусть Е' — полное отделимое равномерное пространство и
А — всюду плотное подмножество компактного пространства Е;
для того чтобы непрерывное отображение /: А -> Е' можно было
продолжить по непрерывности на Е, необходимо и достаточно,
чтобы / было равномерно непрерывно.
12. Всякая полунепрерывная сниву числовая функция /
на компактном пространстве Е достигает своей нижней грани, т. е.
существует точка а £ Е такая, что / (а) — tnf / (х) (гл. IV, § 6,
теорема 3). В частности, всякая полунепрерывная спизу функция
на Е, не принимающая значения — оо, ограниченна снизу.
13. Пусть Е'— компактное пространство и И — некоторое
множество непрерывных конечных числовых функций на Е,
фильтрующееся по отношению ^!. Если верхняя огибающая /
множества Н конечна и непрерывна на Е, то фильтр сечений мно-
множества Н равномерно сходится к / на Е (гл. X, § 4, теорема 1).
В частности, если возрастающая последовательность непрерывных
функций на Е имеет конечную и непрерывную верхнюю огибаю-
огибающую /, то она равномерно сходится к /.
Пусть Н— равностепенно непрерывное множество отображе-
отображений компактного пространства Е в отделимое равномерное про-
пространство Е'. В Н топология простой сходимости совпадает
с топологией равномерной сходимости (гл. X, § 2, теорема 1).
14. Пусть Е — компактное пространство и // — множество
непрерывных конечных числовых функций на Е, отделяющее точ-
точки пространства Е. Тогда всякая непрерывная числовая функция
на Е равномерно аппроксимируема полиномами (с вещественными
коэффициентами) относительно функций ив Н (гл. X, § 4, теоре-
теорема 3).

КОМПАКТНЫЕ И ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 315
15. Топологическое пространство Е называют локально ком-
компактным, если оно отделимо и каждая его точка обладает ком-
компактной окрестностью. Всякое дискретное пространство локально
компактно. В локально компактном пространстве всякая точка
и, более общим образом, всякое компактное множество обладает
фундаментальной системой компактных окрестностей.
Для того чтобы множество А в локально компактном простран-
пространстве Е было замкнуто, необходимо и достаточно, чтобы А (] К
было компактно для каждого компактного множества К из Е.
16. В отделимом пространство Е всякое локально компактное
подпространство А является пересечением открытого и замкнутого
множеств. Обратно, в локально компактном пространстве Е вся-
всякое подпространство, являющееся пересечением открытого и зам-
замкнутого множеств, локально компактно.
Для всякого локальпо компактного, но пе компактного про-
пространства Е существует компактное пространство Е' такое, что Е
юмеоморфно его открытому подпространству, дополнение кото-
которого сводится к одной точке («бесконечно удаленной точке»); это
компактное пространство Е' с точностью до гомеоморфизма един-
единственно (теорема Александрова) (гл. I, 2-е изд., § 10, теорема 4;
3-е изд., § 9, теорема 4).
Для того чтобы произведение непустых топологических про-
пространств Е± было локально компактно, необходимо и достаточно,
чтобы все Е,, были локально компактны и, за исключением конеч-
конечного их числа, компактны.
Факторпространство локально компактного пространства Е
по отношению эквивалентности R не обязательно локально ком-
компактно, даже если одо отделимо. Однако если насыщение по R
всякого компактного множества из Е компактно, то отношение R
замкнуто и факторпространство EIR локально компактно.
17. Всякое локально компактное пространство вполне регу-
регулярно, но, вообще говоря, существуют различные равномерные
структуры, согласующиеся с его топологией. Локально компакт-
компактное пространство не обязательно нормально.
Всякое локально компактное пространство—бэровское (гл. IX,
§ 5, теорема 1).

316 СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ § g
18. Пусть Е и Е' — локально компактные пространства.
Непрерывное отображение /: Е -> Е' называется совершенным,
если прообраз относительно / всякого компактного множества
ив Е' есть компактное множество в Е.
Пусть Е и Е' — локально компактные, но не компактные про-
пространства, a F и F' — компактные пространства, полученные
путем присоединения к Е и Е' бесконечно удаленных точек о>
и со' соответственно. Для того чтобы непрерывное отображение
/: Е -> Е' было совершенным, необходимо и достаточно, чтобы
оно могло быть продолжено до непрерывного отображения F
в F', переводящего со в со'.
Если / — совершенное отображение локально кодшактяого
пространства Е в локально компактное пространство Е', то образ
при / всякого замкнутого множества иэ Е есть замкнутое множе-
множество в Е'.
Если R — отношение эквивалентности в локально компактном
пространстве Е такое, что насыщение по R всякого компактного
множества компактно, то каноническое отображение Е на EIR
совершенно. Обратно, пусть / — совершенное отображение Е
в локально компактное пространство Е' и R — отношение экви-
эквивалентности / (х) — f (у); тогда насыщение по R всякого компакт-
компактного множества иэ Е компактно. При этом, если ср — канониче-
каноническое отображение Е на E/R, то биективное отображение g: EIR ->-
-> / (Е), для которого / = g о ср, есть гомеоморфизм.
19. Говорят, что локально компактное пространство Е счетно
в бесконечности, если оно является объединением счетного семей-
семейства компактных множеств. Тогда существует возрастающая после-
• довательность (£/„) относительно компактных открытых множеств,
образующая покрытие Е и такая, что Uncz Un+i для всех п.
Пусть Е — локально компактное, но не компактное простран-
пространство, а Е' — компактное пространство, полученное путем присоедя-
нопия к Е бесконечно удаленной точки со. Для того чтобы Е было
счетно в бесконечности, необходимо и достаточно, чтобы точка а>
обладала в Е' счетной фундаментальной системой окрестностей.
Всякое локально компактное пространство, обладающее счет-
счетным базисом, счетно в бесконечности, а соответствующее компакт-
компактное пространство Е' тогда метриэуемо.

связность ■ 317
20. Пусть 9ft = (Ua)a.£A и Щ' = Gр)р6л — покрытия тополо-
топологического пространства Е; говорят, что Ш' мажорирует Щ, если
для каждого индекса Р 6 В существует индекс а £ А такой, что
Урс Ua. Если Ш' мажорирует Ш, а 91" мажорирует 9?', то 91"
мажорирует 9J. Всякое покрытие, содержащееся в покрытии 91,
мажорирует 9?.
Покрытие 91 пространства Е называется покрытием конечного
типа, если каждое множество ив ЧЯ пересекается лишь с конечным
числом множеств иэ Ш.
Всякое конечное покрытие локально конечно и конечного типа.
Всякое открытое покрытие конечного типа локально конечно;
обращения этих двух предложений неверны. Локально конечное
покрытие компактного пространства конечно.
Топологическое пространство Е называется паракомпактным,
если оно отделимо и для каждого его открытого покрытия 1Я
существует локально конечное открытое покрытие 5К', мажорирую-
мажорирующее Ш. Всякое замкпутое подпространство паракомпактпого
пространства паракомпактно. Всякое паракомпактное простран-
пространство нормально, но существуют нормальные пространства, не яв-
являющиеся паракомпактными. Произведение паракомпактного
и компактного пространств паракомпактно, но произведение двух
паракомпактных пространств может не быть паракомпактным.
Для того чтобы локально компактное пространство Е было
паракомпактно, необходимо и достаточно, чтобы оно было топо-
топологической суммой семейства локально компактных пространств,
счетных в бесконечности (гл. I, 2-е изд., § 10, теорема 5; 3-е изд.,
§ 9, теорема 5). Тогда для каждого открытого покрытия 9? про-
пространства Е существует мажорирующее его открытое покрытие 9J'
конечного типа, состоящее из относительно компактных множеств.
Если Е счетно в бесконечности, то можно, кроме того, добиться,
чтобы 9t' было счетным.
§ 9. Связность
1. Топологическое пространство Е называют связным, если
не существует разбиения Е на два открытых (непустых по опре-
определению разбиения) множества. То же можно выразить, сказав,
что не существует разбиения Е на два замкнутых множества или

318 СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ § 9
также что в Е не существует открыто-замкнутых множеств, кроме
самого Е и пустого множества. Множество А в топологическом
пространстве Е называют связным, если подпространство А про-
пространства Е связно.
Числовая прямая R есть связное пространство; связные множе-
множества в R — интервалы.
Если А — какое-либо множество в пространстве Е, то всякое
связное множество в Е, пересекающееся и с А и с ОА, пересекается
с границей А. В частности, в связном пространстве Е всякое непу-
непустое множество, отличное от Е, имеет по крайней мере одну гра-
граничную точку.
2. Если множество А в топологическом пространстве Е связно?
то связно и всякое множество В с= Е такое, что А с= В с: А.
Объединение семейства свявных множеств, имеющих непустое
пересечение, связно. Отсюда следует, что если (^4;)o^i«m— после-
последовательность связных множеств такая, что каждое Ah где 0 ^
^ i ^ т — 1, пересекается с Ai+i, то объединение всех At свявно.
3. Образ связного множества иэ Е при непрерывном отобра-
отображении Е в Е' есть связное множество в Е'. Для того чтобы про-
пространство Е не было связным, необходимо и достаточно, чтобы
существовало непрерывное отображение его на дискретное про-
пространство, содержащее более одной точки.
Для того чтобы произведение непустых топологических про-
пространств Ei было связным, необходимо и достаточно, чтобы каждое
Ei было связным.
Всякое факторпространство связного пространства связно.
Если R — отношение эквивалентности в топологическом про-
•странстве Е такое, что пространство EIR связно и каждый иэ клас-
классов эквивалентности по R связен, то Е связно.
4. Связной компонентой точки х топологического пространства
Е называют наибольшее связное множество в Е, содержащее х.
Связными компонентами множества А с= Е называют связные
компоненты точек из А относительно подпространства А про-
пространства Е.
Для того чтобы пространство было связно, необходимо и доста-
достаточно, чтобы оно совпадало со связной компонентой каждой своей

связность 319
точки или, иначе, чтобы для каждой пары точек х, у пространства
существовало связное множество, содержащее и х в у.
Топологическое пространство Ё называют вполне несвязным,
если связная компонента каждой его точки состоит иэ одной этой
точки. Множество А в пространстве Е навивают вполне несвязным,
если подпространство А пространства i?вполне несвязно. Дискрет-
Дискретное пространство вполне несвязно, но вполне несвязное простран-
пространство может не иметь ни одной изолированной точки.
5. Всякое открыто-замкнутое множество в пространстве Е
содержит связную компоненту каждой своей точки; но пересече-
пересечение открыто-вамкнутых окрестностей точки х £ Е может отличать-
отличаться от связной компоненты этой точки (см. п° 6).
В топологическом пространстве Е связная компонента всякой
его точки замкнута. Связные компоненты пространства Е обра-
образуют его разбиение; если R — отношение эквивалентности, клас-
классами которого служат этп компоненты, то факторпространство
EIR вполне несвязно.
В произведении Ц^ связная компонента точки х = (xt) есть
произведение связных компонент точек хь в соответствующих про-
пространствах Fv.
6. Пусть V — какое-нибудь симметричное окружение для
равномерного пространства Е; конечная последовательность
(^i)i^i^n точек иэ Е называется V-цепъю, если для каждого i
такого, что 1 ^ i ^ п — 1, точки' xt и xi+1 близки порядка V;
точки х\ и хп называются концами этой F-цепи и говорят, что
они соединены ею. (Если Е — метрическое пространство, струк-
структура которого определепа расстоянием d, то е-цепью для каждого
е > 0 называют Fg-цепь, где Ve — окружение, определяемое
отношением d (х, у) ^ е.)
Отношение «существует F-цепь, соединяющая х и у» есть отно-
отношение эквивалентности в Е; класс эквивалентности AXt v точки х
по этому отношению — открыто-замкнутое мноа^ество. Пересече-
Пересечение Ах множеств Ах, v, где V пробегает все симметричные окру-
окружения для Е, есть замкнутое множество; Ах содержит связную
компоненту точки х, но может не совпадать с ней. Однако если Е
компактно, то Ах совпадает со связной компонентой точки х

320 СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ § Ю
и с пересеченном открыто-замкнутых окрестностей этой точки
(гл. II, 2-е изд., § 4, предложение 3; 3-е изд., § 4, предложение 6).
Если Е — компактное пространство и Л — отношение экви-
эквивалентности в Е, классами которого служат связные компоненты
этого пространства, то факторпространство E/R компактно и впол-
вполне несвязно.
Если Е — вполне несвязное локально компактное простран-
пространство, то множество всех открыто-замкнутых окрестностей каждой
точки х g E образует фундаментальную систему окрестностей
этой точки.'
7. Топологическое пространство Е называют локально связ-
связным, если всякая точка в Е обладает фундаментальной системой
связных окрестностей. Всякое открытое подпространство локаль-
локально связного прострайства локально свявно. Для того чтобы про-
пространство Е было локально связно, необходимо и достаточно,
чтобы всякая связная компонента непустого открытого множе-
множества в Е была открытым множеством; тогда Е является топологи-
топологической суммой своих связных компонент. Числовая прямая R
локально связна. Пространство может быть связным, ис будучи
локально связным, и обратно. Для того чтобы непустое простран-
пространство JJ Et было локально связно, необходимо и достаточно, чтобы
i
все Et были локально связны и, за исключением конечного их
числа, связны. Всякое факторпространство локально связного
пространства локально связно (гл. I, 2-е изд., § И, предложе-
предложение 13; 3-е изд., §11, предложение 12).
§ 10. Топологическая алгебра
1. Топологической группой называется множество, наделенное
структурой группы и топологией, удовлетворяющей следующей
аксиоме (в мультипликативных обозначениях): '
(GT) Отображение {х, у) \-+ ху~1 произведения G X G в G
непрерывно.
То же можно выразить, потребовав непрерывности двух отобра-
отображений: (х, у)>-+ ху произведения GxGbGwx-*- x~l простран-
пространства G в себя. Симметрия х*-*х~1 будет при этом гомеоморфизмом

ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА 321.
G на себя; каковы бы пи были а и Ь из G, отображение x*-*-axb
ость гомооморфизм G на себя.
Говорят, что структура группы и топология в множестве G
согласуются, если они удовлетворяют аксиоме (GT'). Дискретная
топология в произвольной группе G согласуется с ее структурой
группы. Топология и структура аддитивпой группы числовой
прямой R согласуются.
Если А — открытое (соотв. замкнутое) множество в G и х —
произвольная точка из G, то множества хА, Ах и А~1 открыты
(соотв. замкнуты) в G. Если А — открытое множество в С, а В —
произвольное множество в G, то АВ и В А открыты. Если V ■—
окрестность нейтрального элемента е группы G, а А — произ-
произвольное множество в G, то AV и VA — окрестности А. Отметим,
что если А и'В — замкнутые множества в G, то AR но обязательно
замкнуто в G. Однако если одно из множеств А, Я компактно,
а другое замкнуто, то А В замкнуто.
2. Если 23 — фильтр окрестностей нейтрального элемента е
топологической группы G, то фильтр окрестностей произвольной
точки а 6 G совпадав? с каждым из фильтров а23 и 23а. Пусть
G — группа и S3 — фильтр в ней; для того чтобы в G существо-
существовала согласующаяся с ее структурой группы топология .'Г, для
которой 23 служит фильтром окрестностей нейтрального элемента
е, необходимо и достаточно, чтобы S3 удовлетворял следующим
аксиомам:
(GVi) Для каждого U 6 23 существует V £ 23, такое, что
VVcz U.
(GVn) Каково бы ни было U 6 23, также U'1 6 23.
(GVni) Каковы бы ни были a £G и V 6 23, также aVa~l 6 23.
Тогда топология ,'Т, определяемая фильтром 23, единственна.
Для того чтобы базис фильтра 93 в группе G обладал том свой-
свойством, что фильтр с этим базисом удовлетворяет аксиомам (GVi),
(GVn) и (GVm), необходимо и достаточно, чтобы Ч& удовлетво-
удовлетворял следующим аксиомам:
(GVf) Для каждого V £ № существует V 6 95 такое, что
VVcz U.
(GVn) Для каждого U £ Э} существует W £ 23 такое, чт,о
W~lcz U.
-' II. Бурбаки

322 СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ § Ю
(GVin) Каковы бы ни были a £G и U £ 93, существует V £ 55
такое, что Vcz aUa~l.
Отметим, что условие (GVni) (соотв. (GVin)) выполняется
само собой для всякого фильтра (соотв. всякого базиса фильтра)
в коммутативной группе G; напротив, если G не коммутативна, то
(GVin) не является следствием (GVj) и (GVn).
Окрестность V нейтрального элемента е топологической группы
G называют симметричной, если V~l — V; для каждой окрестно-
окрестности U элемента е множества U\]U~l, U[\U~l и UU~l являются
его симметричными окрестностями. Симметричные окрестности
точки е образуют фундаментальную систему окрестностей этой
точки. В произвольной группе G базис фильтра Ъ, состоящий
из подгрупп группы G, удовлетворяет аксиомам (GVi) и (GVn);
для того чтобы он был фундаментальной системой окрестностей е
в топологии, согласующейся с заданной в G структурой группы,
необходимо и достаточно, чтобы он удовлетворял аксиоме (GVin),
что всегда будет иметь место, осли все подгруппы из 35 нор-
нормальные.
3. Для того чтобы топологическая группа G была отделима,
необходимо и достаточно, чтобы множество {<?}, состоящее из одно-
одного нейтрального элемента, было замкнуто; то же можно выразить,
сказав, что пересечение всех окростностей е состоит из одной этой
точки. Всякая отделимая группа вполне регулярна, но не обяза-
обязательно нормальна.
Для того чтобы тонология отделимой топологической группы G
была метризуемой, необходимо и достаточно, чтобы существовала
счетная фундаментальная система окрестностей нейтрального эле-
элемента е; тогда G называется метризуемой группой.
4. Пусть Сиб' — топологические группы; изоморфиш G па G'
есть биективное отображение/: G—*-G', являющееся одновременно
изоморфизмом структуры группы G на G' (т. о. / (ж, у) — / (ж) / (у),
каковы бы ни были ж и у из G) и гомеоморфизмом G на G' (т. е. вза-
взаимно непрерывным отображением). Для каждого а 6 G отображе-
отображение ху-*- еже есть автоморфизм группы G; он называется внутрен-
внутренним автоморфизмом. Если топология ЗГ согласуется со структурой
группы в G, то она согласуется также со структурой группы

ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА 323
противоположной группы G0; симметрия х >-*■ х~1 есть изоморфизм
топологической группы G на топологическую группу G°.
5. Пусть G и С — топологические группы; локальным игомор-
физмом G в G' называется гомеоморфизм / окрестности V ней-
нейтрального элемента группы G на окрестность V нейтрального
элемента группы G', обладающий следующими свойствами:
1° / (х, у) = f (х) f (у) для каждой пары точек х, у из V таких,
что ху £ V; 2° если g — отображение, обратное к /, то g (x'y') ■■-
== g (x1) g (у1) для каждой нары точек х', у' из V таких, что х'у' £
£ V (откуда следует, что g есть локальный изоморфизм С на 6').
Топологические группы G и G' называют локально изоморфными,
если существует локальный изоморфизм G на С. Изоморфные
топологические группы G и G' локально изоморфпы, однако
существуют локально изоморфные, но но изоморфные топологиче-
топологические группы, например R и Т.
Гомеоморфизм / окрестности V нейтрального элемента группы
G на окрестность V' нейтрального элемента группы 6", удовлетво-
удовлетворяющий условию 1° предыдущего определения, является продол-
продолжением некоторого локального изоморфизма G на G' (которые
поэтому локально изоморфны). Допуская вольность речи, мы
будем называть локальным изоморфизмом также всякое отобра-
отображение окрестности V нейтрального элемента группы G в G'-
сужение которого на некоторую окрестность Wcz V элемента е
является локальным изоморфизмом.
6. Если // — подгруппа топологической группы G, то тополо-
топология, индуцируемая в Н из G, согласуется со структурой группы,
индуцируемой в //' из G; тем: самым Н, наделенная этими двумя
структурами, будет топологической группой. Ее замыкание /7 в G
также будет подгруппой группы G; кроме того, осли Н — всюду
плотная подгруппа в G, а К — нормальная подгруппа группы //,
то К — нормальная подгруппа группы G.
Для того чтобы подгруппа топологической группы была ди-
дискретна, необходимо и достаточно, чтобы она содержала изолиро-
изолированную точку. Всякая дискретная подгруппа отделимой группы
замкнута.
Для того чтобы подгруппа топологической группы G была
открытой, необходимо и достаточно, чтобы она имела внутреннюю
21»

324 СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ § К)
точку. Всякая открытая подгруппа замкнута. Если V — сим-
симметричная окрестность нейтрального элемента топологической
группы G, то подгруппа V°°, которую порождает V, открыто-замк-
открыто-замкнута; в частности, она совпадает с G, если G связна.
В топологической группе G связная компонента К нейтраль-
нейтрального элемента е есть замкнутая нормальная подгруппа; связной
компонентой каждого х £ G служит класс хК = Кх.
7. Если Н — произвольная подгруппа топологической груп-
группы G, отношение эквивалентности х~1у £ // в G открыто; при наде-
наделении однородного пространства GIH фактортопологией топологии
группы G по этому отношению эквивалентности отображение
(s, x) \~* sx произведения G X {GUI) в GUI непрерывно. Однородное
пространство GUI всегда предполагается наделенным этой фактор-
фактортопологией. Для того чтобы GUI было отделимым, необходимо
и достаточно, чтобы // была замкнута в G. Если Я — открытая
подгруппа группы G, то GUI дискретно.
8. Если Н — нормальная подгруппа топологической группы G,
то фактортопология в факторгруппе GIH согласуется с ее струк-
структурой группы; тем самым GUI, наделенное этими двумя струк-
структурами, является топологической группой, в которой канони-
канонические образы окрестностей нейтрального элемента группы G
образуют фильтр окрестностей нейтрального элемента. Если G
метризуема и II замкнута в G, то GUI метризуема.
Если Н — дискретная нормальная подгруппа группы G, то
факторгруппа GIH локально изоморфна G.
Если II я К — нормальные подгруппы группы G и IIcz К, то
топологические группы GIK и (GUI)/{К/II) изоморфны.
Если Н — нормальная подгруппа, а А — какая-либо под-
подгруппа группы G, то канонический образ А в GUI изоморфен топо-
топологической группе АН/Н, но вообще пе изоморфен топологической
группе А /(А С\Н)-
9. Для того чтобы представление топологической группы G
в топологическую группу G' было непрерывно на G, необходимо
и достаточно, чтобы оно было непрерывно в точке е (нейтральном
элементе группы G).
Пусть / — непрерывное представление G в 6" и / = i|> о / о <р —
его капоническое разложение, так что <р — каноническое отобра-

ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА 325
жение G па GUI (где // — ядро /), а гр — каноническое отображе-
отображение / (G) в G'; f — непрерывное биективное представление Gl.ll
на / (G), но не обязательно взаимно непрерывное. / называется
строгим морфизмом G в G', если / — изоморфизм топологической
группы GIH на топологическую группу / (G). Для того чтобы это
имело место, необходимо и достаточно, чтобы образ всякого
открытого множества из G при отображении / был откры-
открытым множеством в / (G). Это условие всегда выполнено, если
G'—дискретная группа или если G — компактная группа, а
G' отделима.
Пусть / — непрерывное представление топологической группы
G в топологическую группу G', II — нормальная подгруппа груп-
группы G и g — представление G/H в / (G)/f (II), получаемое фактори-
факторизацией /. Представлении g непрерывно; при этом, если / — строгий
морфизм (соотв. изоморфизм) G на / (G), то g - строгий морфизм
(соотв. изоморфизм) GUI на / (С)// (Л).
10. Пусть (Gt)ie/ — семейство топологических групп. В мно-
множество G — \\GL структура произведения групп Gt и структура
произведения топологий пространств 6\ согласуются; топологиче-
топологическая группа, получаемая наделением множества G этими двумя
структурами, называется произведением топологических групп <?,..
Для каждого разбиения (J\)х^ь множества / топологическая
группа G изоморфна произведению топологических групп JJ 6\.
Если Ну, для каждого i £ / — подгруппа группы Си то произ-
произведение топологических групп Н1 изоморфно подгруппо ]Ц/Л
i£I
топологической группы JJ Gt, с которой обычно и отождестви
ляется. В частности, если J с I и /' = С./, топологическая
группа G.r = ll^n изоморфна нормальной подгруппе Gj --■
X (\\_{ei}) группы G (где et—нейтральный элемент
tej tej'
группы G,). Проекция рг^ группы G на Gj есть строгий морфизм;
факторгруппа G/G'j изоморфна Gj», а значит, и Gy.

326 СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ § Ю
Пусть Gx и G2 — топологические группы, а Нх (соотв. 7/2) —
нормальная подгруппа группы Gx (соотв. G2); каноническое отобра-
отображение {GilHi) X (G2/#a) на (Gx X G,)/(H1 X Я2) есть изомор
физм.
И. Пусть G — топологическая группа. Для каждой окрестно-
окрестности V ее нейтрального элемента е обозначим через Vd (соотв. V»)
множество тех пар (ж, у) £ G X G, для которых ух'1 6 V (соотв.
я~хУ 6 У)' Когда V пробегает множество всох окрестностей точки
е bG, множества Vd (соотв. Fs) образуют фундаментальную систему
окружений некоторой равномерной структуры в группе G,
согласующейся с ее топологией и называемой правой (соотв. левой)
равномерной структурой топологической группы G. Каково. бы
ни было .множество A cz G, Vd (A) = VA (соотв. V, (А) = AV),
откуда следует, что замыкание А является пересечением множеств
VA (соотв. AV), где V пробегает фильтр окрестностей е.
Правая и левая равномерные структуры топологической груп-
группы G вообще различны. Но когда G — коммутативная или ком-
компактная группа, они совпадают.
Если G метризуема, то ее правая (соотв. левая) равномерная
структура метризуема; она может быть задана расстоянием d,
инвариантным справа (соотв. слева), т. е. таким, что d {xz, yz) —
= d (x, у) (соотв. d {zx, zy) = d (x, y)).
12. Если G — топологическая группа, то правые и левые пере-
переносы являются изоморфизмами правой равномерной структуры
на себя, а также левой равномерной структуры па себя. Симметрия
х*-*- х~х есть изоморфизм правой равномерной структуры на левую
равномерную структуру; замотим, что, напротив, она вообще
'не будет равномерно непрерывной в правой (или в левой) равно-
равномерной структуре. Также отображение (х,. у) *-*■ ху произведения
G X G на G может но быть равномерно непрерывным в правой
(или левой) равномерной структуре; однако это имеет место, когда
G коммутативна или компактна.
Непрерывное представление топологической группы G в топо-
топологическую группу G' равномерно непрерывно при наделении G
и G' правыми (соотв. левыми) равномерными структурами.
Если // — подгруппа топологической группы G, то равномер-
равномерная структура, индуцируемая в // правой (соотв. левой) равно-

ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА 327
мерной структурой группы G, совпадает с правой (соотв. левой)
равномерной структурой топологической группы If.
В произведении семейства (Сг() топологических групп правая
(соотв. левая) равномерная структура совпадает с произведенном
правых (соотв. левых) равномерных структур групп (?,.
13. Топологическую группу G пазывают полной, если ее правая
и левая равномерные структуры являются структурами полпого
нрострапства; впрочем, достаточно, чтобы одна из них была пол-
полна, тогда другая будет тоже полной.
Всякая замкнутая подгруппа полной группы полна. Произве-
Произведение всякого семейства полных групп полно. Если G — полная
метризуемая группа и II — ее замкнутая подгруппа, то фактор-
факторгруппа GUI метризуема и полна (гл. IX, § 3, предложение 4);
напротив, можно указать полную отделимую, но не мотризуемую
группу G, содержащую замкнутую подгруппу // такую, что GIH
не полна.
Всякая локально компактная группа полна; всякая локально
компактная подгруппа отделимой группы G замкнута в G.
Пусть Gi и Ga — полные отделимые топологические группы
и Hi (соотв. II2) — всюду плотная подгруппа группы Gt (соотв.
G2). Всякое непрерывное представление / группы //х в II2 продол-
продолжается единственным образом до непрерывного представления /
группы Gi в С2; если / — изоморфизм //] на И2, то / — изоморфизм
Gt на G2.
14. Для того чтобы отделимая топологическая группа G была
изоморфна всюду плотной подгруппе полной группы G, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы при симметрии х\-*х~1 образ всякого
фильтра Коши относительно правой равномерной структуры в G
был снова фильтром Копш относительно этой структуры (гл. III,
§ 3, теорема 1). Полная группа G, называемая пополнением G,
тогда единственна с точностью до изоморфизма. Отметим, что
указанное условие всегда выполняется, когда G — коммутативная
группа; однако имеются некоммутативные отделимые группы,
для которых оно ие выполнено.
Если G обладает пополнением G, то замыкания в G окрестно-
окрестностей нейтрального элемента из G образуют фундаментальную
систему окрестностей нейтрального элемента в G.

328 СВОДИЛ РЕЗУЛЬТАТОВ § Ю
15. Пусть Е, F и G — полные отделимые коммутативные
группы, а А и В — всюду плотные подгруппы соответственно в Е
и /'. Всякое непрерывное билинейное отображение произведения
А X В может быть продолжено по непрерывности до непрерыв-
непрерывного билинейного отображения Е X F a G (гл. Ш, 2-е и.чд., § 5,
теорема 1; 3-е изд., § 6, теорема 1).
1G. Топологическим кольцом называют множество Л, наделен-
наделенное структурой кольца ы топологией, удовлетворяющими сле-
следующим аксиомам:
(AT,) Отображение (х, у) i—*■ х -\- у произведения А X А в А
непрерывно.
(ЛТИ) Отображение х *-*■ — х кольца А в А непрерывно.
(АТщ) Отображение (х, у) н-» ху произведения А X А в А
непрерывно.
Первые две аксиомы выражают, что топология кольца А согла-
согласуется с его структурой аддитивной группы.
. Говорят, что структура кольца и топология, заданные в мно-
множестве А, согласуются, если они удовлетворяют аксиомам (АТГ),
(АТП) и (АТщ). В произвольном кольце А дискретная топология
согласуется со структурой кольца. Если А — коммутативное
топологическое кольцо, то веяний полином от п переменных
с коэффициентами из А непрерывен на Л™.
17. Пусть Л — кольцо и 58 — фильтр в А; для того чтобы
в А существовала согласующаяся с его структурой кольца топо-
топология ,Т, для которой $8 является фильтром окрестностей нуля,
необходимо и достаточно, чтобы 2J удовлетворял следующим
условиям:
(GAi) Для каждого U £ 58 существует V £ $8 такое, что
V + Fc U.
(GA/r) Для каждого U 6 ® также —U € ®-
(AVj) Каковы бы ни были х0 £ А и V 6 ®, существует W £ S3
такое, что i,Wc У и Wx0 £ V.
(AVT1) Для каждого V 6 2$ существует W 6 23 такое, что
WWcz V.
В частности, если А — кольцо и Й*. — базис фильтра в /I
состоящий из двусторонних идеалов, то в Л существует согласую-
согласующаяся с его структурой кольца топология .? , для которой Ж слу-
служит фундаментальной системой окрестностей нуля.

ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА 329
18. Если // — иодкольцо топологического кольца А, то топо-
топология, индуцируемая в Л топологией пространства А, согласуется
с индуцированной в // из А структурой кольца.
Если // — всюду плотное нодкольцо топологического кольца А .
а К — подпольно (соотв. правый, левый, двусторонний идеал)
в II, то его замыкание Л' в А является подкольцом (соотв. пра-
правым, левым, двусторонним идеалом) в А.
Если Н—двусторонний идеал в 4, то фактортопология
топологии кольца А по отношению эквивалентности х — у £ II
согласуется со структурой кольца АШ.
Пусть (A,)ici — семейство топологических колец. В множе-
множестве А — \\АЬ произведение топологий колец At согласуется
со структурой произведения колец А,; так определенное тополо-
топологическое кольцо А называется произведением топологических
колец At..
19. Говоря о равномерной структуре топологического кольца
Л, всегда имеют в виду, если не оговорено противное, равиомер
ную структуру его аддитивной группы; в частности, говорят, что
А есть полное кольцо, если полна его аддитивная группа.
Всякое отделимое топологическое кольцо А изоморфно всюду
плотному подкольцу полного отделимого кольца А, определен-
определенного с точностью до изоморфизма и называемого пополнением
кольца А,
20. Топологическим телом называют множество К, наделенное
структурой тела и топологией, согласующейся со структурой
кольца в А' и удовлетворяющей, кроме того, следующей аксиоме:
(КТ) Отображение х к-»- х'1 мультипликативной группы К*
всех ненулевых элементов из К в себя непрерывно.
Говорят, что структура тела н топология в мнозкестве К согла-
согласуются, если структура кольца тела К и рассматриваемая топо-
топология согласуются и, кроме того, выполняется аксиома (КТ).
В произвольном теле К дискретная топология согласуется
со структурой тела. Топологии и структура тела числовой прямой
R согласуются.
Если Л' — топологическое тело, то топология, индуцируемая
из А' в мультипликативной группе К*, согласуется со структурой

330 СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ § tO
этой группы. Каковы бы ни были элементы а Ф 0 ъ b тела К,
отображение х*-+ ах -\~Ь (соотв. х<-*ха -\-Ъ) есть гомеоморфизм
К на себя. Если К коммутативно, то всякая рациональная дробь
от п переменных с коэффициентами, принадлежащими К, непре-
непрерывна в каждой точке из Кп, в которой знаменатель дроби отли-
отличен от нуля.
Если // — подтело топологического тела К, то топология,
индуцируемая в // из К, согласуется со структурой тела, шгдуци-
руемой в Н1 из К; кроме того, и замыкание Н тела // есть подтело
тела К. ,
21. В топологическом теле К равномерная структура его
аддитивной группы пазывается аддитивной равномерной струк-
структурой тела К; правая и левая равномерные структуры мультипли-
мультипликативной группы К*, определенные в K*t называют, допуская
вольность речи, мультипликативными равномерными структура-
структурами тела К. В К* эти две структуры вообще несравнимы со струк-
структурой, индуцируемой аддитивной равномерной структурой тела К,
Всякое отделимое топологическое тело К может быть рас-
рассматриваемо как всюду плотное подкольцо полного отделимого
кольца К\ но К может обладать делителями нуля. Для того чтобы
К было топологическим телом, необходимо и достаточно, чтобы
при отображении х *-*■ х'1 образ каждого фильтра Коши иэ К
(относительно аддитивной структуры), не имеющего 0 своей точ-
точкой прикосновения, также был фильтром Коши в К.
22. Абсолютным значением на теле К называют отображение
х ь-*- | х J тела К в R со значениями ^0, удовлетворяющее сле-
•дующим условиям:
(VMi) | х | = 0 равносильно х = 0.
(VMn) | ху | = | х \ | у |, каковы бы ни были х, у из К-
(VMni) |#4-у!^!ж|-г|у!, каковы бы пи были х, у
из К.
Из этих аксиом вытекает, что | 1 | = 1 и | — а: | = | а: | для
всех х 6 К. Функция d (х, у) — \ х — у | есть инвариантное рас-
расстояние на аддитивной группе К, и топология, которую оно опре-
определяет в Kt согласуется с заданной структурой тела в К. Тело К,
наделенное структурой, определяемой заданием на нем абсолют-

ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ АЛПСВРА 331
ного значения, называется нормированным телом; оно всегда
считается наделенным топологией, определяемой заданным абсо-
абсолютным значением.
23. Если в произвольном топологическом теле К положить
[ 0 | = 0 и | х | — 1 для всех х Ф 0, то этим ла К определится
абсолютное значение, называемое несобственным; топология,
определяемая им в К, дискретна. Обратно, абсолютное значение
на К, определяющее в К дискретную топологию, есть несобствен-
несобственное абсолютное значение.
В поле R вещественных: чисел (соотв. в поле С комплексных
чисел, в теле Н кватернионов) обычное абсолютноо значение (соотв
евклидова норма) удовлетворяет аксиомам (VMj), (VMn), (УМщ)
и определяет в R топологию числовой прямой (соотв. топологию
пространства R2 в С, топологию пространства R' в Н).
Если для рационального числа х Ф О обозначить через vp (x)
показатель степени, в которой простое число р входит в разложе-
разложение х на простые множители, то функция | х \р, равная p-vp(*>
для х Ф 0 и 0 для х — 0, будет абсолютным значением на теле Q
рациональных чисел; его называют р-адическим абсолютным зна-
значением.
24. Два абсолютных значения на теле К называют эквивалент-
эквивалентными, если они определяют в К одну и ту же топологию. Для того
чтобы не несобственные абсолютные значения | х |4 и | х |2 в К
были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы | х \х < 1
влекло \х |2 < 1; тогда существует число р > 0 такое, что | х |2 =
-— | £ |? для всех х (гл. IX, § 3, предложение 5).
Обратно, если | х \ — абсолютное значение на К, то то же
верно для | х |р, где 0 <; р < 1.
25. Если Кй — подтело нормированного тела К, то сужение
на Ко абсолютного значения из К есть абсолютное значение
на Ко, и оно определяет в Ко топологию, индуцируемую тополо-
топологией тела К,
Если К — нормированное тело, то кольцо К, являющееся
его пополнением, есть тело, а функция | х \ продолжается но не
прерывности до абсолютного значения на К, определяющего
топологию тела К.

332 сводка результатов ■ § ю
26. Пусть К — недискретное нормированное тело, \t \ — его
абсолютное значение и Е — левое векторное пространство над К;
нормой на Е называют отображение х *-+р (ас) пространства Е
в R со значениями ^ О, удовлетворяющее следующим аксиомам:
(NOi) р (х) = 0 равносильно х = 0.
(NOn) Р (ж + У) ^ Р (х) -[- р (у) для всех х и у в Е.
(NOin) p (tx) = | t | р (х) для всех t £ К и х (Е Е.
Функция d (х, у) == р (х — у) является инвариантным рас-
расстоянием на аддитивной группе Е, и топология, определяемая им
в Е, согласуется со структурой аддитивной группы пространства /?;
кроме того, отображение (t, x) i-»- tx произведения К х Е в Е
непрерывно в этой топологии. Нормированным пространством
над нормированным телом К называют векторное пространство Е
над К, наделенное структурой, определяемой заданием на Е
нормы; такое пространство всегда считается наделенным тополо-
топологией и равномерной структурой, определяемыми заданной нормой.
27. Нормы р и q на векторном пространстве Е нанывают экви-
эквивалентными, если они определяют в Е одну и ту же топологию.
Для этого необходимо и достаточно, чтобы существовали числа
а > 0 и Ъ > 0 такие, что
ар (х) < q (х) < Ьр (х)
для всех х £ Е.
°В пространстве И" все нормы эквивалентны .о
28. Пусть Е — нормированное пространство над нормирован-
нормированным телом К, р — норма на Е и Ё — аддитивная топологическая
группа, являющаяся пополнением топологической группы Е.
Функция (t, x) \-*tx продолжается по непрерывности на А' ^ Е
и определяет в Е структуру векторного пространства над К;
норма р продолжается по непрерывности па Е до нормы р, опре-
определяющей топологию группы Ё.
29. Если II — векторное подпространство нормированного про-
пространства Е, то сужение на II нормы из Е является нормой на Ну
определяющей в // топологию, индуцировапную топологией про-
пространства Е.
Предположим, кроме того, что // замкнуто, и пусть || х || —
норма па Е. Если для каждого класса х = EIII положить || х \\ =

ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА 333
— inf || х ||, то функция || х || будет нормой на векторном про-
страистве EIH, а топология, определяемая этой нормой,— фактор-
топологией топологии пространства Е по //.
30. Пусть (Ej)i j.^n — конечное семейство нормированных
ирострапств над нормированным телом К; для каждой точки
х — (xt) векторного пространства Е = J_J ^i положим || х \\ —
г 1
•= sup || Xi ||; тогда функция || х || будет нормой на Е, определяю-
щей в этом пространстве произведение топологий пространств Et.
Для того чтобы полилинейное отображение / произведения
п
]^ Et в нормированное пространство F было непрерывно, нооб-
i-Л
ходимо и достаточно, чтобы существовало число а > 0 такое, что
II { IV *У> -V ^ II <Г" /7 II V II II 'У II II 'У II
II / \Х\, х2, . . ., хп) \\ ^ а \\ Xi || || ж2 ц ... ц хп ||,
каковы, бы ни были точки xt £ Et (I ^ i ^ га).
31. Пусть К — недискретное нормированное поле и А —
алгебра над К. Говорят, что норма р (х) на А согласуется со струк-
структурой алгебры А, если топология, определяемая ею в А, согла-
согласуется со структурой кольца А. Алгебра А над К, наделенная
структурой, определяемой нормой, согласующейся со структурой
алгобры А, называется нормированной алгеброй.
Заменяя, если нужно, данную норму эквивалентной, можно
всегда предполагать, чтопорма || х \\ на нормированной алгебре А
такова, что || ху || ^ || х || || у \\ для всех х и у из А.
32. Пусть К — нормированное тело и Ко — подтело его центра
такое, что абсолютное значение на Ко не дискретно; тогда К, наде-
наделенное нормой | х |, есть нормированная алгебра над Ко.
Пусть К — недискретное нормированное ноле и Мп (К) —
алгобра квадратных матриц X — (ж,;) порядка п над К; тогда
|| X || -■- sup | xu | будет нормой на М„ (К), согласующейся
со структурой алгобры над К.
33. Пусть А — нормированная алгебра над по дискретпым
нормированным телом К. Пополнение А кольца Л также наделе-
наделено структурой алгебры над К; с другой стороны, норма из А

ЗиЛ СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ § И
продолжается по непрерывности на А и согласуется со структурой
алгебры в А над К.
34. Пусть а — замкнутый двусторонний идеал в нормирован-
*
ной алгебре А; в факторалгебре А/а норма || х \\ — inf || х \\
ор£рг
согласуется со структурой алгебры Ala.
Пусть (At)i^i<:n— конечное семейство нормированных алгебр
над нормированным телом К; для каждого элемента х — (xt)i^i^n
п
алгебры А — JJ At положим \\х \\ — sup || xt ||; тогда || х || будет
г==1
нормой на А, согласующейся с его структурой алгебры.
35. Пусть А — полная нормированная алгебра над не дискрет-
дискретным полным нормированным телом. Если А обладает единичным
элементом е, а норма ||эе || на А такова, что \\ху ||^ ||эе || || у \\,
то в — г; обратимо в А для каждого ж £А с || я || < 1. Таким обра-
образом, мультипликативная группа G обратимых элементов алгебры А
есть открытое множество в А; кроме того, топология, индуцируе-
индуцируемая в G из А, согласуется со структурой группы в G, и так опреде-
определенная топологическая группа G полна (гл. IX, § 3, предложе-
предложение 14). ' .
§ 11. Бесконечные суммы и произведения
1. Пусть G — отделимая коммутативная топологическая грун-
па с аддитивной записью и (ar,,)l£j — семейство ее точек. Для каж-
каждого конечного множества Jcz I положим sj — £ 24 (причем
по условию S0 = 0), и пусть % (I) — мпожество всех конечных
подмножеств множества /, фильтрующееся по отношению с=.
Семейство (zt)t£/ называют суммируемым, если отображение / н-» sj
множества ^ (/) в G имеет предел s по фильтру сечений множества
§ (/); этот предел называется суммой семейства (aOigr и обозна-
обозначается 2 Ху, (или просто У\ хи или даже У х,).
2. Если (ачХе/ суммируемо, то для каждой окрестности V
нуля в G существует конечное множество /0 с: / такое, что S Ж1 6

БЕСКОНЕЧНЫЕ СУММЫ И ПРОИЗВЕДЕНИЯ 3.'.!Г>
£ V, каково бы нн было конечное множество И с: /, не пересе-
пересекающееся с/0 (критерий К оши); ото условие достаточно, если G —
полная группа. В частности, если семейство (x^ci суммирур-
мо, то lim Ху, — 0 по фильтру дополнений конечных подмножеств
множества /; если начало в G обладает счетной фундаментальной
системой окрестностей, то множество индексов ц для которых
Xi Ф 0, необходимо счетно.
Пусть Е — нормированное пространство над нормированным
телом К. Семейство (:«ч) точек из К называют абсолютно сумми-
суммируемым, если семейство (|| аг;0 ||) их норм суммируемо в R; для
этого необходимо и достаточно, чтобы множество всех конечных
частичных сумм семейства (|| х, ||) было ограниченным в II. Если
Е полно, то всякое абсолютно суммируемое семейство в Е сулши-
руемо; это достаточное условие является также необходимым,
если К — R, а Е имеет конечную размерность над R.
3. В полной отделимой группе 6' всякое подсемейство (z,.)l£,>
суммируемого семейства (xo)tej суммируемо; пусть sj = ^ х^
Если (J\)}.£L — какое-либо разбиение множестпа / то семейство
.v.r, суммируемо в Си имеет суммой ^ х,, (ассоциативность суммы)
(гл. III, 2-е изд. § 4, теорема 2; 3-е изд., § 5, теорема 2).
Обратно, если A%)%^ь — конечное разбиение множества /
и каждое подсемейство (a^Xgj суммируемо, то семейство (a,v)ic/
суммируемо.
4. Пусть G — JJ G^ — произведение семейства отделимых ком-
мутативных групп. Для тою чтобы семейство (zOie* точек из G
было суммируемым, необходимо и достаточно, чтобы для каждого
л 6 L было суммируемо семейство (рг^)^/; если s^^Gy. — его
сумма, то s -~ (sjj — сумма семейства {xv).
Пусть / — непрерывное представление отделимой коммутатив-
коммутативной группы G в отделимую коммутативную группу G'. Если (xt) —
суммируемое семейство в G, то (/ (xt)) — суммируемое семейство
ь G' и

,'!3G СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ g И
Пусть (х^ и (i/t) — суммируемые семейства в группе G с одним
и тем же множеством индексов; тогда семейства (nxt) (где п £ 7.)
и (a:t -f- Уд суммируемы и
2 (пхО - п Vj xu a 2 К + </i) — S *i + S <А-
5. Пусть (zn)ncN — последовательность точек в отделимой
коммутативной топологической группе G с аддитивной записью;
п
положив sn = У] я„, имеем, обратно, ж0 = я0 и хп = sn — .9П_,
для п ^ 1. Рядом с общим членом хп называют пару последопп
тельпостей (хп), (sn), связанных указанным образом. Ряд с общим
членом жи называют сходящимся, если сходится последовательность
оо
{sn)\ ее предел называется суммой ряда и обозначается 5 хп.
71:=-О
6. Для того чтобы ряд с общим членом ха был сходящимся,
необходимо, чтобы последовательность (sn) была последователь-
последовательностью Коши, т. е. чтобы для каждой окрестности V начала в G
п+р
существовало такое целое л0, что sn+l, — $п — ^] Ж; £ У, каковы
i-n+l
бы ни были целые л ^ к0 и р ^ 0, Если группа G полна, то это
необходимое условие также достаточно.
Если ряд с общим членом хп сходится, то, в частности,
lim xn — 0; но это необходимое условие сходимости ни в коей
П-*оо
мере пе является достаточным, даже если G полна (и, например,
6' == И).
7. Ряд с общим членом хп называется коммутативно сходя-
сходящимся, если для каждой перестановки о множества N целых
чисел ^ 0 ряд с общим членом х1Пп) сходится. Для того чтобы это
имело место, необходимо и достаточно, чтобы последовательность (:гп)
оо
была суммируема, и тогда S хп — 2j хп (гл- HI, 2-е изд.,
п-.-Ъ n£N
§ 4, предложение 9; 3-е изд., § 5, предложение 9). Если Е —
полное нормированное пространство и последовательность (хп)
абсолютно суммируема, то ряд с общим членом хп коммутативно
сходится; он называется тогда абсолютно сходящимся. В конечно-
конечномерном векторном пространстве лад 1\ всякий коммутативно схо-

БЕСКОНЕЧНЫЕ СУММЫ И ПРОИЗВЕДЕНИЯ 337
дящийся ряд абсолютно сходится (иначе говоря, эти понятия рай-
посильны); однако существуют ряды сходящиеся, но но абсолютно
сходящиеся.
8. Пусть (/с„) — строго возрастающая последовательность це-
целых чисел ^0; если в группе G ряд с общим членом хп сходится,
то ряд с общим членом xhn но обязательно сходится. Однако для
каждого т ряд с общим членом хт+н (п — 0, 1, 2, . . .) сходится;
оо
его сумма гт обозначается S хп и называется т-м остатком ряда
п~ т
с общим членом хп; гт стремится к 0, когда т стремится к -)- °°>
9 Пусть (кп) — строго возрастающая последовательность
целых чисел ^0; если ряд с общим членом хп сходится и ип —
hn-i <» оо
= S хр> т0 РЯД с общим членом ип сходится и S ип — S хп
V—hn-\ n—0 п-- 0
(ограниченная ассоциативность рядов).
1.0. Пусть G = \\ Gx — произведение отделимых коммутатив-
ных групп. Для того чтобы ряд с общим членом хп 6 G сходился,
необходимо и достаточно, чтобы ряд с общим членом ргхагп схо-
сходился для каждого X £ L; если sx — его сумма, то s= (sx) —
сумма ряда с общим членом хп.
Пусть / — непрерывное представление отделимой коммутатив-
коммутативной группы G в отделимую коммутативную группу G'. Если ряд
с общим членом хп £ G сходится, то ряд с общим членом / (хп)
оо
тоже сходится и его сумма равна / ( S хп)-
п— 0
Если ряды с общими членами хп и уп сходятся, то сходятся
ряды с общими членами кхп (где к — произвольное целое рацио-
рациональное число) и хп -\- уп, причем
оо оо оо оо оо
S (кхп) = к S хп и S (*п + г/п)= S xn-r S Уп-
п= 0 п -0 п~Ь п~0 п -0
Отметим, наконец, что если (хГ1) и (уп) —такие две последова-
последовательности, что хп — уп для всех, кроме конечного числа, индексов,
то сходимость ряда с общим членом (хп) влечет сходимость ряда
с общим членом (уп).
11. Все предыдущие результаты непосредственно переводятся
на мультипликативные обозначения; тогда говорят не о сумми-
22 Н. иурбаки

338 СВОДКА РКЗУЛЬТАТОВ S И
руемьтх, а о перемножаемых семействах, не о ряде с общим членом
хп, а о бесконечном произведении с общим множителем хп,
не о сходящемся ряде, а о сходящемся произведении.
12. Пусть А — нормированная алгебра над коммутативным
нормированным телом К, и || х \\ — ее норма. Предположим, что
|i as?/ || ^ || х || || у || и А обладает единичным элементом е. Пусть
(asn)neN — бескопечная последовательность точек иэ А; всякое
конечное множество / cr N совершенно упорядочено порядком иэ N;
положим pj — JJ хп (произведение, равпое as^as^ . . . Х\т,
если (th)i^k<m — последовательность индексов п £ J, расположен-
расположенная в порядке возрастания). Последовательность (хп) называется
перемножаемой, если отображение J >-*■ Pj имеет предел по фильтру
сечений множества % (N) всех конечных подмпожеств множества
N (фильтрующегося по отношению с); этот предел называется
произведением последовательности (хп) и обозначается JJ хп (или
просто Цэвп)-
п
13. Пусть А — полная нормированная алгебра. Если после-
последовательность (хп) перемножаема ъ А я имеет своим произведением
обратимый элемент из Л, то для каждого е > 0 существует конеч-
конечное множество /ос: N такое, что для всякого конечного мпоже-
ства Н cz N, не пересекающегося с /0, ||е — рп || ^ е. Обратно,
если последовательпость (хп) удовлетворяет этому условию, то она
перемножаема; при этом, если каждое хп обратимо, то обратимо
и J[xn.
п
Если последовательность (хп) перемножаема и имеет своим
произведением обратимый элемент из Л, то всякая ее подпоследо-
подпоследовательность (xnk) перемножаема.
14. Пусть А — полная нормированная алгебра; если (ип) —
абсолютно сходящийся ряд в А, то последовательность (е ■+• '*п)
перемножаема в А (гл. IX, Приложение, теорема 2); при этом,
если каждый из элементов е -\- ип обратим (соотв. по является
делителем нуля), то то же верно для Ц (е + ип).

весконечныв(;суммы и произведения 339
Обратно, если А — нормированная алгебра конечного ранга
над полем вещественных чисел R и (е+ ип) •— перемножаемое
семейство в А с обратимым произведением, то ряд с общим чле-
членом ип абсолютно сходится.
15, Пусть (хп) — произвольная последовательность в норми-
п
рованной алгебре А и рп — Ц xh для каждого п; бесконечным
произведением с общим членом хп называется пара последователь-
последовательностей (хп) и (рп); его называют сходящимся, если последователь-
последовательность (рп) сходится в А; предел этой последовательности называет-
называется тогда произведением последовательности (хп) и обозначается
оо
Р хп. Если (хп) перемножаема, то бесконечное произведение с об-
п=0
щим членом хп сходится и Р хп = Ц хп.
16. Пусть А — полная нормированная алгебра. Если беско-
оо
печное произведение с общим членом хп 6 А сходится и Р хп
обратимо, то для каждого е > 0 существует такое п0, что
п
II И ас* — е || ^ е как только тг,,^ т <тг. Обратно, если после-
довательность (хп) удовлетворяет этому условию, то бесконечное
произведение с общим членом хп сходится; при этом, если каждое
оо
хп обратимо, то Р хп обратимо.
п—О
В частности, если бесконечное произведение с общим членом хп
сходится и Р хп обратимо, то \im xn — е. При тех же условиях
Птг-.О П—оо
бесконечное произведение с общим членом хп+т сходится для
оо
каждого целого т > 0; оно обозначается Р хп и наэывается т-м
остатком бесконечного произведения с общим членом хп; он стре-
стремится к е, когда т стремится к -f- оо.
22*

340 СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ § 12
Пусть (кп) — строго возрастающая последовательность целых
чисел 2>0; если бесконечное произведение с общим членом (хп)
ftn-1
'Сходится и ип = JJ хр, то бесконечное произведение с общим
оо ' оо
членом ип сходится и Р ип = Р ж„.
§ 12. Аддитивные группы в R"
1. Рангом множества А в векторном пространстве R" (над по-
полем R) называется размерность г (А) ^ п подпространства в Rn,
порождаемого множеством Л, или, что то же,— максимальное число
векторов, принадлежащих А и образующих свободную систему.
Пусть G — замкнутая подгруппа аддитивной груипы Rn;
существует наибольшее векторное подпространство V (необходимо
вамкнутое), содержащееся в G; для каждого векторного подпро-
подпространства W в R™, дополнительного к V, пересечение W (] G
является дискретной подгруппой группы R", a G — прямой сум-
суммой V и W П G. Размерность d (G) подпространства V называется
размерностью группы G. Если G имеет ранг г и размерность р,
то W П G изоморфно дискретной группе Zr~p. Другими словами,
существует базис (aj)i <;!<.„ пространства R" такой, что at £G, если
1 <S i ^r, a( f 7, если 1 ^ i ^ p, и G совпадает с множеством
векторов 2 U<x>i + 2 njdj, где tt принимают все вещественные
значения, а п} — все целые значения (гл. VII, § 1, следствие 1
теоремы 2); таким образом, существует автоморфизм пространства
R", преобразующий G в группу Rp x 7I~V — прямую сумму
векторного подпространства, порождаемого первыми р векторами
канонического базиса, и аддитивной подгруппы, порождаемой
^следующими г — р векторами.,
В частности, всякая замкнутая подгруппа аддитивной группы
R либо совпадает с R, либо сводится к 0, либо имеет вид aZ, где
афО.
2. Для каждой подгруппы G группы Rn обозначим через G*
множество всех точек гг = (ut) из R" таких, что Y, utxi — целое
11

АДДИТИВНЫЕ ГРУППЫ В r" 341
число для каждой точки ж = (xt) £ G; G* есть подгруппа группы
R" и называется подгруппой, ассоциированной с G; если G и // —
подгруппы группы Rn такие, что Ga H, то H*cz G*, Для каж-
каждой подгруппы G группы Rn ассоциированная подгруппа G*
замкнута; при этом ((?)* = G* и (G*)* = G. Если. G — замкнутая
подгруппа группы R", то г (G*) — п — d(G) и d (G*) = п — г (G).
Для каждой пары замкнутых подгрупп G4, G% группы Rn имеем
F\ + GX = G? П GI и (Gx П G2)* = 6t + 61.
3. Предыдущие результаты влекут следующую теорему
об аппроксимации.
Пусть at = (а^) A < i < m, I < / < п) т точек из R" и ft =
= (fy) (I < / < re) точка из Rn. Для того чтобы при каждом в > О
существовало т целых чисел qt (I ^ i ^ т) и ге целых чисел р}
таких, что
I 7i«i/ + Я.гЧз + . . . + qmamj — Pi — bj I < e d < / < и),
необходимо и достаточно, чтобы для каждой конечной последова-
последовательности п целых чисел (г;) A ^ / ^ ге) таких, что числа
п П
i] aur) 0 ^ t ^ т) — целые, число ]>] bfj также было целым.
Это условие всегда выполняется, если все bj равны нулю. Для
того чтобы оно выполнялось для всех точек Ь — (bj) из Rn, необ-
необходимо и достаточно, чтобы не существовало никакой конечной
последовательности (гу) ге целых чисел, из которых не все равны
нулю, для которой каждое из т чисел £j aifj было бы целым.
}=-Л
В частности, пусть 9j (I ^ i^iri) — п вещественных чисел, из ко-
которых по крайпей мере одно иррационально; тогда для каждого
к >• 0 существуют целое число q и п целых чисел pt (I ^ i ^ п)
такие, что
I Ф1 - Рi К е A < i < re),
где по крайней мере одна из левых частей неравенств отлична
от нуля.
4. Через Т обозначается факторгруппа R/Z, называемая
{аОдитивной) группой вещественных чисел, приведенных по моду-
модулю 1, или также одномерным тором. Это компактная, связная

342 СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ § 12
и локально связная группа; топологическое пространство Т гомео-
морфно окружности х2 +у* — 1, вещественной проективной пря-
прямой Pt (R) и факторпространству интервала [0, 1] из R, получае-
получаемому при отождествлении его концов.
Всякая отделимая факторгруппа группы R" изоморфна группе
вида Rp X Т9, где р -\- q < п. Всякая группа вида Rp X Т3
локально изоморфна Ц.р+Я; обратно, всякая связпая группа G,
локально изоморфная Rn, изоморфна группе вида Rp X Тп"р
(О < р < п).
5. Всякая замкнутая подгруппа группы Тп изоморфна группе
вида Т* X F (О ^ h ^ п), где F — такая конечная коммутатив-
коммутативная группа, что наименьшее число циклических подгрупп, пря-
прямой суммой которых она является, но превосходит п — h. Всякая
отделимая факторгруппа группы Тп изоморфна группе вида Tfe
(О < к < п).
В частности, всякая замкнутая подгруппа группы Т, не совпа-
совпадающая с Т, есть конечная циклическая группа. Всякая отдели-
отделимая! факторгруппа группы Т, не сводящаяся к нейтральному эле-
элементу, изоморфна Т.
6. Функция /, определенная на Rn и принимающая значения
в произвольном множестве Е, называется периодической, если в Rn
существует вектор а Ф 0 такой, что / (ас -\- а) — f (а) для всех
х 6 Rn; всякая точка «6R"» удовлетворяющая этому соотноше-
соотношению, называется периодом функции /. Множество G зтих периодов
образует подгруппу в R", по предположению не сводящуюся к 0.
Если / — непрерывное периодическое отображение Rn в отде-
отделимое топологическое пространство Е, то группа G его периодов
замкнута; если V —наибольшее векторное подпространство,
содержащееся в G, то / постоянно на всяком классе по модулю F,
так что / определяется своим сужением на всякое подпростран-
подпространство W, дополнительное к V. Поэтому достаточно изучить непре-
непрерывные периодические функции с дискретной группой периодов G;
если q — ранг G, то / называется q-периодической функцией,
а всякая свободная система q векторов, порождающая G,— глав-
главной системой периодов функции /. Если (at) и (bt) —■ две главные
системы периодов функции /, то каждая из пих получается из дру-
другой линейным преобразованием с целыми коэффициентами, опре-
определитель которого равен -f-1 или —1.

АДДИТИВНЫЕ ГРУППЫ В Rn 343
Пусть G —замкнутая подгруппа группы R" и ф — каноничо»
ское отображение Rn на Rn/G; тогда g *-*■ g о ц> есть биективпое
отображение мпожества всех отображений R'VG в Е на множество
всех периодических отображений 1\п в Е, группа периодов кото-
которых содержит 6'. Если Е — топологическое пространство, то для
непрерывности g необходимо и достаточно, чтобы g ° ср было
непрерывно.
7. Всякое непрерывное представление аддитивной группы R
в аддитивную группу R" есть линейное отображение R'" в R".
В частности, если G — топологическая группа, изоморфная R,
то для каждого элемента a £G существует, и притом единственное,
непрерывное представление /„ группы R в G такое, что /„ A) = а;
если а отлично от нейтрального элемента группы G, то это пред-
представление есть изоморфизм R на G.
8. Пусть V — окрестность нуля в Rn и / — ее непрерывное
отображепие в топологическую группу G (коммутативную или
нет, записываемую мультипликативно) такое, что / (.ас + У) —
= / (ас) / (у) для каждой пары векторов х 6 F, у 6 V таких, что
•в.+?/ 6 V. Тогда существует, и притом единственное, представле-
представление Rn в G, совпадающее с / во всех точках некоторой окрестно-
окрестности нуля W (гл VII, § 2, предложение 2).
В частности, если / — локальный изоморфизм группы Rn
в топологическую группу G, то существует, и притом единствен-
единственный, строгий морфиям группы R" на открытую подгруппу груп-
группы G, совпадающий с / во всех точках некоторой окрестности
нуля.
9. Пусть G — топологическая группа, F — ее дискретная
подгруппа и <р — канонический гомоморфизм G на GIF. Для
каждого непрерывного представления / группы R" в GIF суще-
существует, и притом единственное, непрерывное представление и
группы Rn в G такое, что / = ер о и. В частности, всякое непре-
непрерывное представление / группы R*1 в группу Тп (отождествлен-
(отождествленную с Rn/Zn) имеет вид фон, где ф — канонический гомоморфизм
Rn на Т™, а и — линейное отображение R*1 в Rn (определяемое
единственным образом заданием/). В частности, при т = п — 1,
всякое непрерывное представление / группы R в Т имеет вид
х I-» ф (ах), где ф — канонический гомоморфизм R на Т, а а —

344 СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ . .:
вещественное число, определяемое заданием /; для того чтобы это
представление было строгим морфиямом, необходимо и достаточ-
достаточно, чтобы а Ф 0.
10. Пусть ф (соотв. \р) — канонический гомоморфизм Rn на Т"
(соотв. Rp на Тр); для того чтобы / было непрерывным представ-
представлением Т" в Тр, необходимо и достаточно, чтобы существовало
линейное отображение и пространства R" в Rp такоо, что f » ц> ~
— а|5 о и и и (Z") d Zp. Для того чтобы / было изоморфизмом Тп
в Т'1, необходимо и достаточно, чтобы и было биективным линей-
линейным отображением R" на Rp и все инвариантные множители под-
подгруппы и (Z") относительно Ър были равны 1.
В частности; всякий изоморфизм группы Тп в себя является ее
автоморфизмом, получаемым факторизацией из линейного отобра-
отображения и пространства Rn на себя, сужение которого на Z71 являет-
является автоморфизмом этой группы. Это означает еще, что элементы
матрицы преобразонания и относительно канонического базиса
пространства Rn должны быть целыми, а ее определитель равен
+1 или —1.
В частности, единственные изоморфизмы Т в себя — это тожде-
тождественное отображение и симметрия х у-*- —х.
11. Топологическая группа G, в которой существует окрест-
окрестность нейтрального элемента, гомеоморфнап открытому интервалу
из R, локально изоморфна R (гл. V, § 3, теорема 1). Это свойство
не распространяется на группы Rn с п > 1.
В частности, всякая связная группа G, в которой существует
окрестность нейтрального элемента, гомеоморфная открытому
интервалу из R, изоморфна R или Т.
Например, мультипликативная группа R* вещественных чисел
>0 изоморфна аддитивной группе R; для каждого а > 0 един-
единственное непрерывное представление /„ группы R в R* такое, что
fa A) =г а, обозначается ах; при а Ф 1 это — изоморфизм R на R*;
обратный изоморфизм обозначают тогда loga x.
Точно так же мультипликативная группа U всех комплексных
чисел с абсолютным значением 1 изоморфна аддитивной группе Т.
Через в (х) обозначается непрерывное представление R на U.
для которого е A/4) = г, его главный период равен 1, и всякий
строгий морфизм R на U имеет вид х у-* е (х/а), где а Ф 0.

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА '.jVj
12. Пусть Е — полная нормированная алгебра над полем R,
обладающая единичным элементом, и/—непрерывное представ-
представление аддитивной группы R в мультипликативную группу G об-
обратимых элементов алгебры Е. Тогда/ дифференцируемо в каждой
точке из R и/' (х)-=/(х)/' @) (Книга IV, гл. III, § 1, теорема 1).
Этот результат приводит к следующему определению чисел е
и л: е — зто единственное число а > 0, для которого производная
функции ах равна ах; с другой стороны, е' (х) = kie (ж), где к—
некоторое число >0, и полагаем п — к/2.
Мультипликативная группа С* всех комплексных чисел =#=0
есть топологическая группа, изоморфная R X Т; всякий строгий
морфизм R2 на С* имеет вид (х, у) *-*■ еах+^е (ух + 8у), где а, Р,
у, б — вещественные числа, для которых осб — ру ф 0. Такой
строгий морфизм можно рассматривать как отображение z *-*■ / (г)
поля С в себя (г = х -f- iy)\ в частности, строгий морфизм x-i~
-f- iy*-+ e*e (у/2л) обозначается е1 или exp z. Всякий строгий мор-
морфизм R2 на С*, являющийся дифференцируемым отображением С
в С, имеет вид г *-»■ ехр (аг), где а — некоторое комплексное число.
Поэтому отображение г *-*■ ехр г есть единственный дифференци-
дифференцируемый строгий морфизм С в С*, сводящийся к ех на веществен-
вещественной оси.
§ 13. Функциональные пространства
1. Пусть Е — произвольное множество, F — равномерное про-
пространство, не сводящееся к одной точке, if (E; F) — множество
всех отображений йв/и® — непустое множество подмножеств
множества Е. Для каждого А 6 © и каждого окружения V для F
пусть W (А, V) — множество тех пар (u, v) отображений Е в F,
для которых (и (х), v (х)) £ V при всех х £ А. Фильтр, порождае-
порождаемый множествами W (А, V) в & (Е, F) x JF (Е X F), когда А
пробегает @, а V — фильтр окружений для F, является фильтром
окружений некоторой равномерной структуры в Цр (Е, F), кото-
которая называется равномерной структурой равномерной сходимости,
на множествах из ©; топология, порождаемая этой структурой,
называется топологией равномерной сходимости на множествах
из @. Для того чтобы фильтр Ф (соотв. последовательность (ип))
в *F {E, F) сходился в этой топологии к v 6 3- (К, F), необходимо
и достаточно, чтобы для каждого множества А £ @ и каждого

346 СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ § 13
окружения V для F существовало множество М £ Ф (соотв. целое
число п0) такое, что (и (х), v (ж)) £ V для всех ж 6 А (соотв.
(ип (х), v (ж)) £ У для псех я 6 Л), каково бы ни было и £ М (соотв.
каково бы ни было п ^ гс0); тогда говорят, что Ф (соотв. (мп))
равномерно сходится к v на всяком множестве А 6 ©• Отсюда
сразу получается определеиие ряда, равномерно сходящегося
на всяком множестве из (§р, и семейства, равномерно суммируемого
на всяком множестве из @, если /^ наделено коммутативным и ассо-
ассоциативным законом композиции, записываемым аддитивно.
2. Важнейшие примеры структур равномерной сходимости
так on ы:
а) При ем за (£> множество всех конечных подмножеств мно-
множества Е; соответствующая равномерная структура (соотв. топо-
топология) называется тогда^ равномерной структурой (соотв. топо-
топологией) простой сходимости] множество sp (E, F), наделенное этой
равномерной структурой, есть не что иное, как равномерное про-
пространство Fh. Если фильтр Ф в .if (E, F) сходится к у в равномер-
равномерной структуре простой сходимости, то говорят, что он просто
сходится к v.
б) Примем за © множество, образованное одним Е; соответ-
соответствующая равпомерная структура (соотв. топология) называется
тогда равномерной структурой (соотв. топологией) равнометой
сходимости; говорят, что фильтр Ф, сходящийся к у в этой топо-
топологии, равномерно сходится к v.
в) Пусть Е — топологическое пространство; примем за <&
множество всех компактных множеств из Е; соответствующая рав-
равномерная структура (соотв. топология) называется равномерной
структурой (соств. топологией) компактной сходимости. Если Е
компактпо (соотв. дискретно), эта равномерная структура совпа-
совпадает с равномерной структурой равномерной (соотв. простой)
сходимости.
Если (Si и @о — множества подмножеств множества Е такие»
что @1 с: <г>2> то равномерная структура равномерной сходимости
на множествах из Si мажорируется равномерной структурой рав-
равномерной сходимости на множествах из @.;.
3. Пусть ,<Fg (E, F) (или просто Jf<^) — равномерное простран-
пространство, получаемое наделением $? (Е, F) равномерной структурой

функциональный: пространства 347
равномерной сходимости на множествах из gf. Для того чтобы jpg.
было отделимо, необходимо и достаточно, чтобы F было отделимо
и каждый элемент из Е принадлежал хотя бы одному множеству
из (£). Тогда подпространство F' пространства jFg (Е, F). образо-
образованное всеми постоянными отображениями Е в F, замкнуто
и изоморфно F. Если пространство fpq, отделимо, то для сходимо-
сходимости фильтра Ф в нем необходимо и достаточно, чтобы ф был филь-
фильтром Коши и просто сходился; для того чтобы ,<f^ было полным,
необходимо и достаточно, чтобы F было полным; всякое множество
Н cz ,<F@, полное в равномерной структуре простой сходимости,
есть полное подпространство пространства .
4. Пусть (A)ier — семейство отклонений, определяющее рав-
равномерную структуру пространства F. Для каждого i £ /, каждого
А 6 €> и каждой пары (и, v) отображений Е в F положим
gi а (и, v) — sup Д (и (х), v (х)); функции gt А яиляются откло-
нениями на jF (E, F), определяющими равномерную структуру
равномерной сходимости на множествах из @.
В частности, если F — метрическое пространство, структура
равномерной сходимости в ер (Е, F) определяется единственным
отклонением б (и,- v) — sup d (и (х), v (ж)) (где d — расстояние
пространства F) и потому метризуема. Пусть 38 (Е, F) — подпро-
подпространство пространства & (Е, F), образованное всеми ограничен-
ограниченными отображениями и: E-*F(t. о. для которых и(Е)~ огра-
ограниченное множество в F); fB (E, F) открыто-замкнуто в ,<f (E, F),
и сужение отклонения S (и, v) на JP х Я есть расстояние в !Ш\
для того чтобы SB (E, F) было полным, необходимо и достаточно,
чтобы F было полным.
Если F — нормированное пространство над нормированным
телом К, то 91 (Е, F) — векторное пространство над К, и || и \\ —
= б @, и) есть норма в 98 (Е, F). Ряд с общим членом ип называет-
ся нормально сходящимся, если S II ип II < + °° ! когда F полно,
такой ряд равномерно сходится на Е.

348 СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ g I»
Если F — нормированная алгебра над нормированным полем
К, то 38 (Е, F) — алгебра над К и || uv || < || и \\ || v ||, так что
.$Р (Е, F) — нормированная алгебра над К.
5. Пусть Е — топологическое пространство, F — равномерное
пространство и % (Е, F) — подпространство пространства
jF (E, F), образованное всеми непрерывными отображениями Е
в F. Если @ — такое множество подмножеств множества Е, что
всякая точка х £ Е является внутренней хотя бы для одного мно-
множества из @, то % (Е, F) замкнуто в jF© (Е, F); другими словами,
всякая функция, являющаяся равномерным пределом непрерыв-
непрерывных функций на каждом множестве из @, непрерывна (гл. X, § 1,
теорема 2). Для того чтобы подпространство ¥ (Е, F) пространства
^rg(£, F) было отделимо и полно, необходимо и достаточно, чтобы
F было отделимо и полно.
Предыдущее условие на @ выполнено, в частности, в следую-
следующих двух влучаях: а) © сводится к одному Е (равномерная струк-
структура равномерной сходимости); б) Е локально компактно и © мно-
множество всех его компактных подмпожеств (равномерная структура
компактной сходимости). Напротив, оно не выполняется, если
© — множество всех конечных множеств из Е и Е не дискретно
(равномерная структура простой сходимости), ибо простой продел
непрерывных функций не обязательно непрерывен.
6. Пусть А — всюду плотное подмножество топологического
пространства Е. В множестве чв (Е, F) равномерные структуры
равномерной сходимости на Е и равномерной сходимости на А
совпадают. Отсюда вытекает, что если © — какое-либо множе-
множество подмножеств из Е, а (£' образовано их замыканиями, то рав-
равномерная структура равномерной сходимости на множествах кз Q
и равномерная структура равномерной сходимости на множествах
из ©' индуцируют в % (Е, F) одну и ту же равномерную струк-
структуру-
7. Если наделить множество t» (E, F) топологией равномерной
сходимости, то отображение (и, х)у-+и (х) произведения % (Е, F) х
X Е в F непрерывно.
Пусть Е — локально компактное пространство, F — отдели-
отделимое равномерное пространство и И — непустое множество
в % (Е, F). Для того чтобы топология £Г в II была такова, что

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 349
отображение (и, х) *-*■ и (ж) произведения II х Е и F непрерывно,
необходимо и достаточно, чтобы У мажорировала топологию,
индуцируемую в II топологией компактной сходимости (гл. X,
§ 3, следствие 1 теоремы 3).
Если Е локально компактно, то топология компактной сходи-
сходимости в f. (E, F) зависит лишь от топологии пространства F,
а не от его равномерной структуры. Этот результат можно уточ-
уточнить следующим образом: пусть Q (К, U) для каждой пары (А!, £7),
образованной компактным множеством К из Е и открытым мно-
множеством U из F, означает множество всех непрерывных отображе-
отображений Е в /', для которых и (Л)с: U; тогда множества Q (К, V)
порождают топологию компактной сходимости в %■ (Е, F) (гл. X,
§ 3, теорема 2).
Если Е — локально компактное пространство, a F — отдели-
отделимое (не обязательно равномеризуемое) топологическое простран-
пространство, то топологию, порождаемую в % (Е, F) определенными выше
множествами О. {К, U), также называют топологией компактной
•сходимости.
8. Пусть Е — топологическое пространство, Е' — локально
компактное пространство, F — отделимое топологическое про-
пространство и / — отображение произведения Е X Е' в F. Пусть fx
для каждого х £ Е означает отображение у у-*- / (ж, у) простран-
пространства Е' в F. Для непрерывности / на Е X Е' необходимо и доста-
достаточно, чтобы отображение fx было непрерывно на Е' при всех х £
6 Е, а отображение х ь-*- fx пространства Е в % (£", F) было непре-
непрерывно при наделении % (£", F) топологией компактной сходимо-
сходимости (гл. X, § 3, теорема 3).
Предположим, кроме того, что и Е локально компактно,
и обозначим через / отображение х *-+■ fx пространства Е в
% (Е', F); тогда при наделении множеств % (£", F), % (Е х £", F)
а % (Е, % (E',F)) топологией (соотв. равномерной структурой,
если F — равномерное пространство) компактной сходимости
отображение /н->/ является изоморфизмом '€ (Е х Е', F) на
% (Е, % (£', F)).
Если цри тех же предположениях % (Е, Е'), '& (£", F) и r<? (E, F)
наделены топологией компактной сходимости, то отображение
(и, р)ни).в произведения <@(Е, Е') х % (Е1, F) в % (Е, F)
непрерывно.

350 СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ 5 13
9. Пусть Е — топологическое пространство и F — равномер-
равномерное пространство. Множество II с: <F (Е, F) называется равносте-
равностепенно непрерывным в точке х0 £ Е, если для каждого окружения V
для /' существует окрестность U точки х0 такая, что (и (х0), и (х)) £
£ V, каковы бы ни были х £ U пи £ Л. II называется равностепен-
равностепенно непрерывным множеством, если опо равностепенно непрерывно
в каждой точке из Е. Ясно, что если // равностепенно непрерывно
в точке х0 (соотв. равпостеиенно непрерывно), то всякая функция
из II непрерывна в точке х0 (соотв. непрерывна на Е).
Пусть Е и F— равномерные пространства; множество Яс
с: # (Е, F) называется равномерно равностепенно непрерывным,
если для каждого окружения V равномерной структуры в F суще-
существует окружение W равномерной структуры в Е такое, что
{х, у) 6 W влечет (и (ж), и (у)) £ V для всех и £ II. В этом случае
функции из II равномерно непрерывны на Е. Очевидно, всякое
равномерно равностепенно непрерывное множество равностепенно
непрерывно; но обратное неверно (см. п° 16).
10. Пусть Е и F — метрические пространства, d — расстояние
на Е, д! — расстояние на F, к и а — числа >0. Множество всех
отображений и: Е ~*-F, для которых й' (и (х), и (у))^к (d (x, у))а,
равномерно равностепенно непрерывно. В частности, множество
всех изометрических отображений Е в F равномерно равностепен-
равностепенно непрерывно. Если Н — некоторое множество числовых функ-
функций, определенных и дифференцируемых на интервале /с R
и таких, что | и' (х) | ^ к для всех и^Нжх^1,тоН равномерно
равностепенно непрерывно.
Пусть С — топологическая группа, F — равномерное про-
пространство, /— равномерно непрорывное отображение G, наделен-
наделенного левой равномерпой структурой, в F и fa для каждого а £ G —
отображение х i-*-/ (ax) группы G в F. Тогда множество всех отоб-
отображений fa равномерно равностепенно непрерывно.
Далее Е будет обозначать топологическое пространство илиг равно-
равномерное пространстпо, смотря по тому, пдот ли ррчь о ршшостпгенно
непрерывных или рашюмгрно равностепенно непрерывных множествах.
°\ 1. Пусть F — нормированное векторное пространство над
нормированным телом К, Н — множество в <jF (E, F), равносте-
равностепенно непрерывное в точке хи (соотв. равномерно равностепенно

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 351
непрерывное), и к — произвольное число >0; множество Нъ.
всевозможных линейных комбинаций 5] ctut функций wj £ #»
i
у которых ^; | Cj | ^ к, равностепенно непрерывно в точке х0
i
(соотв. равномерно равностепенно пепрерывно).о
Пусть // — множество конечных числовых функций на Е, рав-
равностепенно непрерывное в точке х0 (соотв. равномерно равносте-
равностепенно непрерывное). Множество всех верхних и нижних огибаю-
огибающих его конечных подмножеств равностепеппо непрерывно в точке
х0 (соотв. равномерно равностепенно непрерывно).
12. Пусть Я-—множество в jF (E, F), равностепенно непре-
непрерывное в точке х0 (соотв. равномерно равностепенно непрерывное).
Его замыкание // в пространство JF (Е, F), наделенном тополо-
топологией простой сходимости, равностепенно непрерывно в точке х0
(соотв. равномерно равностепенно непрерывно).
"Пусть Н — равностепенно непрерывное множество конечных
числовых функций на Е (соотв. отображений ^вС) относительно
аддитивной равномерной структуры в R (соотв. С). Если v —
отображение £bR (соотв. С), принадлежащее аамыканию Я в то-
топологии простой сходимости, то v пепрерывно на Е, а множества
v (-f- со) и v (— оо) (соотв. v (оо)) открыто-замкнуты. В частности,
если Е свяано, то v (х) либо конечно для всох х £ Е, либо постоян-
постоянно на Е и равно -f- сю или — оо (соотв. с»).
Предыдущее предложение применимо, в частности, к верхней
и нижней огибающим множества Н, когда II состоит из веще-
вещественных функций.о
13. Пусть Я — множество в fF (E, F), равностепенно непре-
непрерывное в точке х0 £ Е. При наделении // топологией простой
сходимости, отображение {и, х) *-*■ и (х) произведения Н X Е в F
непрерывно в точке (м„, х0) для каждого иа $ Я.
Для того чтобы множество Н cz W (E, F) было равномерно рав-
равностепенно непрерывно, необходимо и достаточно, чтобы отобра-
отображение (и, х) к-* и (х) произведения II X Е в F было равномерно
непрерывно при паделении Я равномерной структурой равномер-
равномерной сходимости.
14. Пусть Е — топологическое (соотв. равномерное) простран-
пространство, F и G — рявномерпые пространства и Я — равпостепенно

СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ $ 13
непрерывное (соотв. равномерно равностепенно непрерывное) мно-
множество в '$ (F, G). При наделении Я, % [Е, F) и % (Е, G) тонологи-
ей простой сходимости (соотв. равномерной структурой равномер-
равномерной сходимости) отображение (и, v) >-*■ и о и произведения 11 х
X # {Е, F) в % (E, G) иенрерывно (соотв. равномерно непрерывно)
Пусть Е — равномерное пространство и 11 — равностепенно
непрерывное (соотв. равномерно равностепенно непрерывное) мно-
множество гомеоморфизмов Е на себя. При наделении II и 11 ~1 топо-
топологией простой сходимости (соотв. равномерной структурой рав-
равномерной сходимости) отображение и *-*■ и~1 пространства И
на // непрерывно (соотв. равномерно непрерывно).
Пусть Е — равномерное пространство и // — равностепенно
непрерывная (соотв. равномерно равностепенно непрерывная)
группа гомеоморфизмов £ на себя. Топология простой (соотв. рав
номерной) сходимости согласуется со структурой группы Н (гл.Х,
$ 3, следствие предложения 10).
15. Пусть Н — равностепенно непрерывное множество
в % (Е, F) и Л — всюду плотное множество в Е. В множестве //
равномерная структура простой сходимости на А и равномерная
-структура простой сходимости на Е совпадают (гл. X, § 2, тео
рема 1).
16. Пусть Е — компактное пространство и F — равномерное
пространство. Всякое равностепенно непрерывное множество Н
в % (Е, F) равномерно равностепенно непрерывно (гл. X, § 2,
следствие 2 предложения 1). Прп этом в Н равномерные структуры
простой сходимости и равномерной сходимости совпадают (гл. X,
§ 2, теорема 1). Поэтому всякий фильтр в II, просто сходящийся
к и0, равномерно сходится к и0. Замыкание множества // в rC {E, F),
наделенном топологией равномерной сходимости, совпадает с за-
замыканием Н в & (Е, F), наделенном топологией простой сходи-
сходимости.
17. Пусть Е — топологическое пространство, F — равномер-
равномерное пространство в Я — равностепенно непрерывное множество
в '$■ \{Е, F). В Н равномерные структуры простой сходимости и ком-
компактной сходимости совпадают. Если при этом Е локально ком-
компактно, то замыкание множества И ъ% (Е, F), наделенном тополо-
топологией компактной сходимости, совпадает с аамыканиемЯв ff (E, F),
наделенном топологией простой сходимости.

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 353
18. Пусть Е — локально компактное пространство, F — отде-
отделимое равномерное пространство и Я — некоторое множество
непрерывных отображений Е в F. Если :Т — такая топология
в Я, что Я, наделенное этой топологией, компактно, а отображе-
отображение (и, х)*-*-и (х) произведения Я X Е в F непрерывно, то 3"
совпадает с топологией компактной сходимости.
Пусть Е — локально компактное пространство, F — отдели
мое равномерное пространство и Я — некоторое множество непре-
непрерывных отображений Е в F. Для того чтобы Я было относительно
компактно в пространстве % {Е, F), наделенном топологией ком-
компактной сходимости, необходимо и достаточно, чтобы Я было рав-
равностепенно непрерывно и для каждого х £ Я множество Я (х)
(всех и (х), где и пробегает Я) было относительно компактно в F
(теорема Асколи) (гл. X, § 2, следствие 3 теоремы 2). Если эти
условия выполнены, то для каждого относительно компактного
множества А из Е множество Л (А) — \J II (х) относительно
х£А
компактно в F.
В случае, когда F полно, второе условие предыдущей теоремы
может быть заменепо следующим: достаточно, чтобы Я (х) было
относительно компактно в F для^кзждой точки а: какого-либо всюду
плотного множества A cr E.
"Кроме того, если F есть пространство Rn, a E связно, то
достаточно ограниченности Я (х0) в F для какой-нибудь точки
хп £ Е, чтобы множество Я (х) было ограниченно в F для каждой
точки х £ Е (разумеется, в предположении, что Я равностепенно
непрерывно)^
19. Пусть G — группа гомеоморфизмов локально компактного
пространства Е на себя. Предположим, что в множестве 4$ (Е, Е),
наделенном топологией компактной сходимости, существует такая
окрестность У тождественного отображения е, что II — V (} G
симметрично в G и относительно компактно в $ (Е, Е). При зтих
условиях:
а) Множество G пределов в"Чо {Е, Е) тех фильтров Ф в G, для
которых ФиФ сходятся в $ (Е, Е), есть группа гомеоморфизмов
пространства Е, содержащая (компактное) замыкание Я множе-
множества Я в % {Е, Е), и II есть окрестность е в G;
23 и, Бурбакя

ЗГ/t СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ § 13
б) Топология компактной сходимости в С согласуется со струк-
структурой группы; наделенная этой топологией, G является локально
компактной группой, a G — всюду плотная ее подгруппа (гл. X,
§ 3, теорема 4).
Заметим, что G содержится в замыкашш G группы G в про-
пространстве 'б (К, Е), по вообще не совпадает с ним; однако если G
компактна, то G — &'.
20. Пусть Е — компактное пространство и II — некоторое
множество непрерывных (и конечных) числовых функций, опре-
определенных на Е. Говорят, что непрорывная числовая фупкция /
на Е равномерно аппроксимируема функциями из //, если / при-
принадлежит замыканию множества Я в пространстве % (Е, R), наде-
наделенном топологией равномерной сходимости; рашюмернаи аппрок-
аппроксимируемость каждой функции / 6 ?' (Е, 1\) функциями из II
означает, что // пслоду плотно в У? {Е, R). Если это имеет место,
то для каждого нормированного пространства F над полом R
множество всех линейных комбинаций ]£а,-И/ Функций из // с коэф-
i
фициентами и:? F всюду плотно в пространстве % (Е, F), наделен-
наделенном топологией равномерной сходимости.
21. Пусть Е — компактное пространство ш II — множество-
непрерывных числовых функций на Е, фильтрующееся по отно-
отношению s$ (соотв. ^). Если перхияя (соотв. нижняя) огибающая
/ множества II конечна и непрерывна па Е, то / равномерно аппрок-
аппроксимируема функциями ш? If; другими словами, фильтр сечений
множества // равномерно сходится к / {теорема Дипи) (гл. X,
§ А, теорема 1).
В частности, если верхняя (соотв. нижняя) огибающая / воз-
возрастающей (соотв. убывающей) последовательности (ип) непрерыв-
непрерывных числовых функций на компактном пространстве Е конечна
и непрерывна, то (и,-,) равномерно сходится к /.
22. Говорят, что множество // отображений множества Е
в множество F отделяет элементы множества А с: Е (или являет-
гя отделяющим множеством для элементов из А), если для каждых
;вух различных элементов х, у из А существует такое / 6 If, что
f (х) Ф I [у). Например, если Е — вполне регулярное прострав-

ФУНШШОНЛЛЬНЫК ПРОСТРАНСТВА 355
ство, то множество всех непрерывных отображений Е в [0, 1|
отделяет точки пространства Е.
Пусть Е — кодшактпоо пространство и II — такое векторное
подпространство пространства V (Е, К), что: 1° все постоянные
функции принадлежат Я; 2° it £ И влечет | и | £ Я; 3° II отделяет
точки пространства А\ При этих условиях всякая непрерывная
числовая функция на Е равномерно аппроксимируема функция-
функциями из // (гл. X, § 4, теорема 2).
23. Пусть II — некоторое множество числовых функций, опре-
определенных на мпожоство Е\ числовая функция, определенная на'/?,
называется полиномом (соотв. полиномом без постоянного члена)
относительно функций из II, если она идгеет вид x>-*-g (ft (х), . . .
...,/„ {х)), где все ft принадлежат //, а аг — полином (соотв.
полипом без постоянного члена) с вещественными коэффициента-
коэффициентами от п неизвестных (где п произвольно).
Пусть // — некоторое мпожестио непрерывных числовых функ-
функций-на компактном пространстве Е, отделяющее его точки. Тогда
всякая непрерывная числовая функция на Е равномерно аппрокси-
аппроксимируема полиномами относительно фупкций из II {теорема Вей-
ерштрасса — Стоуна) (гл. X, § 4, теорелга 3). Другими словами,
всякая подалгебра в Чё {Е, \\), содержащая постоянные функции
и отделяющая точки из Е, всюду плотна в V (Е, R).
В частности, пусть (A'Oigr — семейство компактных интерва-
интервалов из R, К — \\ Kt — произведение этих интервалов и К — ого
компактное подпространство. Всякая непрерывная числовая функ-
функция на Е равномерно аппроксимируема полиномами относительно
координат Xi -- prt£.
24. Пусть (/?i.)ig/ — семейство компактных пространств и Е =
-- JJ /?i — его произведение. Всякая непрерывная числовая
Функция на Е равномерно аппроксимируема суммами конечного
числа функций вида (xt) и-»- JJ иа (ха), где / — (произвольное)
ci.es
конечное множество индексов иа /, а иа для .каждого а £ / —
непрерывная числовая функция на Еа (гл. X, § 4, теорема 4).
23*

356 СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ Ц 13
25. Пусть Е — компактное пространство, А — замкнутое мно-
множество в Е, к II — некоторое множество непрерывных числовых
функций на Е, отделяющее точки множества QA и такое, что А
совпадает с множеством тех точек иа Е, в которых обращаются
в нуль все функции иа //. При этих условиях всякая непрерывная
числовая функция па Е, равная нулю на А, равномерно аппрокси-
аппроксимируема полиномами без постоянного члена относительно функ-
функций из Я.
26. Пусть Р — множество всех периодических непрерывных
отображений Rm в С, группа периодов которых содержит Ът.
Всякая функция иа Р равномерно аппроксимируема на Rm три-
тригонометрическими полиномами от т переменных, т. е. линейными
комбинациями с комплексными коэффициентами функций вида
(хи . . ., хт) >-+е (hiX! А-Н&ъ + • • • +кыхт), .
где ht — целые рациональные числа (напомним, что е (х) — е2п1х).
27. Пусть Е — компактное пространство. Для того чтобы
пространство % {Е, R), наделенное топологией равномерной схо-
сходимости (в которой оно метризуемо), было пространством счетного
типа, необходимо и достаточно, чтобы Е было метриауемо.
Пусть Е — локально компактное пространство, счетное в бес-
бесконечности. Для того чтобы пространство % (Е, R), наделенное
топологией компактной сходимости (в которой оно метризуемо),
было пространством счетного типа, необходимо и достаточно, что-
чтобы Е было метриауемо.

СЛОВАРЬ *)
Введение
Искусство рассуждать сводится к хорошо разработанному языку...
Слово должно порождать идею; идея должна выражать дело; это три оттиска
одной и той же печати; и так как идеи сохраняются и передаются словами,
то нельзя ни совершенствовать язык, не совершенствуя науку, ни — науку,
не совершенствул язык, и сколь бы достоверны ни были факты, и как бы пра-
правильны ни были порожденные ими идеи, они все же вызвали бы ложные пред-
представления, не обладай мы точными выражениями для их передачи...
Мы старались сохранить за всеми предметами названия, которые они
носят е обиходе; мы позволяли себе изменять их только в двух случаях: во-пер-
во-первых, для предметов, недавно открытых и вовсе не получивших еще названия
или по крайней мере приобретших его лишь недавно, так что их название
еще ново и не санкционировано общим признанием; во-вторых, когда назва-
названия, принятые в древности или в настоящее время, порождают, как нам
кажется, очевидным образом, ложные представления, могущие привести к сме-
смешению выражаемых ими предметов с другими, обладающими иными или даже
противополоокными свойствами... Итак, мы старались выражать новыми
плаваниями наиболее общие и характерные свойства предмета и предпочли
не обремештъ память начинающих, которая с трудом удерживает новое
слово, если оно совершенно лишено смысла, и приучать их с самого начала
не допускать никаких слов, не связывая их с каким-либо понятием.
Разумеется, невозможно выполнить эти различные намерения, не sadee
е какой-то мере сложившихся привычек и не приняв наименований, которые
па первый взгляд покажутся грубыми и варварскими, но мы подметили, что
ухо быстро привыкает к новым словам, особенно когда они связаны с общей
системой и обоснованны ...
Когда мы опубликовали наш «Essai do Nomenclature chimique», нас упре-
упрекали в переделке языка, на котором говорили наши учителя, который они
*) Воспроизведен из первого французского издания1 главы X, вышед-
вышедшего в 1949 г. Некоторые термины устарели и представляют лишь истори-
исторический интерес. Ред.

358 словарь
прославили и передали нам; по при этом упускали ив виду, что сами Бергман
и Маккер добивались такой реформы. Ученый, профессор us Упсалы, М. Берг-
Бергман писал М. Деморво в последние годы своей ж пени: чПе давайте пощады
ни одному неподходящему наименованию; т.е, кто уже знает, всегда поймут;
те, кто еще не знает, поймут позже».
A. L. Lavoisier
Traite elemcnlairc de Chimie, Discours
prelimiiiairo (Ocuvres, t. I, Paris, lSf'/i)
Жирными прописными буквами набраны термины, определенные и книге
III настоящего трактата; каждый из них сопровождается ссылкой па главу,
параграф и пункт, где он иведои. Остальные слова представляют собой либо
перевод терминов, определенных в этой книге, на язык другой термино-
терминологии (французской или иностранной), либо термины, означающие понятия,
тесно связанные с изучаемыми в книге, но но рассматриваемые в основном
тексте; в этом последнем случае попятно тут же определяется с помощью
терминов, введенных в тексте книги. Немецкие и английские термины,
весьма близкие по написанию к фрптгузским, имеющим тот же смысл, опу-
щепы (например, слово «continuous» или «kom-paki»). Термины, стоящие
во глапе абзаца и фигурирующие затем п различных выражениях, не повто-
повторяются каждый раз, а заменяются знаком тире. Панмепопаиия, состоящие
ив нескольких слов, приводятся вообще лишь на мерную букву одного
из них (например, «е.5/)ясе localement compact» на букпу L, но по на букиы:
Е и С). Слово, не сопровождаемое никакой ссылкой, имеет один и тот же
смысл во всех основных сочинениях, шшисшпшх па языке, к которому
оно принадлежит; если это не так, то отмечается автор (или апторы), у кото-
которого слово имеет укапанный смысл. Для наиболее часто встречающихся
ссылок приняты следующие сокращения:
(Л—II) Р. Л 1 о х и n d г о f f, И. Н о р f, Topologio I, Berlin (Springer), Ш5.
(С) С. С a r a tliood о гу, Vorlesuiigeii fiber reello Fuiiktioneii, 2-е изд.,
Leipzig — Berlin (Teubnor), 1927.
(F) M. F r 6 с h e t, Les espaces «bstraits, Paris (Gaiithier-Villiirs), 1928.
•(IT) V. IT a u s fl о r 1" f, Mengenlehro, lierlin (do Gruyter), 1927. (Русский
переиод: Ф. Хаусдорф, Теория множеств, ГТТИ, 1934).
(Но) Е. W. II о Ь s о п, The theory of functions of a real variable, t. 1,
.'{e od., Cambridge, 1027.
(К) С. К u r a t о ws k i, Topologio, Warsznwa, 1933. (Русский перевод:
К. К у р а т о в с к и й, Топология, т. 1, «Мир», М., 19E0, т. 2, «Мир»,
М., 19G9).
(L) S. L о f s с h о t z, Algebraic Topology, Am. Math. Soc. Coll.,
vol. XXVII, New York, 1942. (Русский перевод: С. JI e ф ш е ц,
Алгебраическая топология, М., ИЛ, 1949).
(N) М. II. Л. Newman, Topology of plane sets, Cambridge, 1939.

СЛОВАРЬ ЛГ>'.'1
(Р) L. Р о п t г j n g i n, Topological groups, Princeton, 1039. (F'yccKiiii
оригинал: .II. С. II он тр я г ни, Непрерывные группы, изд. 2-е, М.,
Гостехиадат, 1!>5/i; изд. 3-е, «Наука», 1073.
<VV) G. Т. W Ь у 1) ч г n, Analytic Topology, Am. Miitli. Soc. Coll 0
vol. XXVHI, Now York, 1942.
(замкнутое отображение; см. I'ermee (application);—
ITiilie einw Motive (.-шмыклшго мпожгстна); -- Menjje (иамкнутое^мпожестно).
Abgesohlossenei- Rainri (iibsalot —, U'—) (A-J-I): отделимое прогтрангпо E
такое, что для любого его гомеоморфнлмп / » отделимое пространство /■'
множество / (К) :тмкпуто п /'; — (п-) (Л— II): нормальное i[))OCTp;uiOTiio Е
такое, что дли любою его гомеоморфизма / в пор.малшоо пространство F
мпожестш) / (Л') замкнуто и /'; •— (г-) (Л—11): регулярное пространство Е
такое, что для любою его гомооморфн.чма / п рогулярноо пространство F
мнижество / (Л) замкнуто в F.
Ableilung einer Mcngo (произподпое дпюжоспю, см, INriv6 (ensemble)).
ABSOLUMENT (X)NVKRGENT (PKODIJIT 1NF1M) (абсолютно сходящееся
бесконечное произведение) вещестиешшх чисел: IV, 7, Г>; — комплексных
чисол: VI И, 3, 3.
ABSOLUMENT COWERGFNTE (SER1E) (абсолютно сходящийся ряд) пещест-
венпых чисол: IV, 7, (i; — точек из II»: VII, 3, 2; — в иормщкшашгом
пространстве: IX, 3, 6.
ABSOLUMENT SOMMARLE (FAMTLLE) (абсолютно' сумм)груедгое семелство)
и нормированном пространстве: IX, 3, (!.
Abweichuntf zweier Mengcn Л, В in einciu nietrisclien Raiun (отклопепие мпо-
жеств Л, Л в метрическом пространстве) (Л — II): бблшгее из чисел
sup d (x, В) it sup d (//, Л).
Abzahlbarkeilsaxiome (аксломы «четности; см. 1>спошЬгп1и1!1б (axiomes de)).
AccesHible (espace) (достя;кпмое пространстпо) (!■'): топологическое нроетран-
стпо, « иото[юм псякос одтготочечпоо множество замкнуто. IIism.: ^-Наит
(!Tj-iipocTpaiiCTiio). Англ.: ^-ярасс.
Accumulation (point d') (предельная точка) мпожестна: х ость предельная
точка множсстна Л, если любая ее окрестность содержит топну из А,
отличную от х; линче гонор», если х — точка крикоспожяшя для Л [\С{х\
(см. ADHERENCE). Нем.: Hiiufuiigspunkf, ciner Itfonge. Англ.: liuiit-point
о Г a set (N, W).
ACHEVEE (DRO1TE NUMEKIQUE) (расшнропттая числовая прямая); IV, 4, 2.
Acute atiijle: angle aipju (острый угол).
ADHERENCE cl'iin ensenible (замыкание мноя«оства): I, 1,0. В прежней
терминологии: ГепшЧшч» d'un ensembJe. Нем.: Abfreschlos.sene Fliillo einer
Mengo. Англ.: closure of a set. l[ Понятие зпмнкания .мпожяства довольно
поа,'|,но сделалось одним ни основных понятий топологии. До Хаусдорфа
а качестве первоначальных рассматривались но Кантору понятия пре-

360 СЛОВАРЬ
дольной точки и производного множества. Во французском явыке слово
«adherence» предпочтительное старого термина «formeture», поскольку
по.чволягт игпольаовать соответствующее прилагательное «adherent» для
точки, принадлежащей замыканию множества.
ADHERENCE (VALEUR D') (предельная точка) функции по фильтру: I, 7, Я;
— последовательности: I, 7, 3. В прежней терминологии (для последо-
последовательностей в пространстве, всякая точка которого обладает счотной
фундамептялытоп системой окрестностей): предел подпоследовательности
данной последовательности.
ADHERENT (POINT) (точка прикосновения) множества: I, 1, б;—базиса
фильтра: I, 7, 2. Нем.: Boriihrungs punkt einer Monge (А—И). Англ.: point
of closure (N).
AIGU (SECTEUR ANGULAIRE) (острый угловой сектор): VIII, 2, 5. Нем.:
spitzer Winkel. Апгл.: acute angle.
Allgemeine Metrik (A—H) (общая метрика): функция на К X Е с конечными
числовыми влечениями > 0
Allgemein-mefrisierlmrer Raum (A—Н): «Общее топологическое пространст-
пространство» Е и смысле (А—И) (см. TOPOLOG1QUE (ESPACE)), в котором суще-
стнует «Общая метрика» (см. Allgemeine Metrik) / такая, что Х.для любого
X с Е есть множество тех точек у £ Е, для которых inf / (х, у) = 0.
ALTERNEE (SERIE) (знакочередующийся ряд): IV, 7, 0.
AMPLITUDE (амплитуда) комплексного числа: VIII, 2, 2. В прежней терми-
терминологии: аргумент комплексного числа.
ANGLE (угол) между парой полупрямых: VIII, 2, 2; — между парой пря-
прямых: VIII, 2, E. Нем.: Winkel. Англ.: angle.
APPROXIMATION UNIFORME (равномерная аппроксимация) непрерывной
числовой функции непрерывными функциями из данного множества: X, 4,1.
Argument (аргумент) комплексного числа (см. AMPLITUDE).
ASSOCIE (ANNEAU SEPARE) (отделимое кольцо, ассоциированное с топо-
топологическим кольцом); III, 6, 4; — (FILTRE ELEMENTAIRE) (элемен-
(элементарный фильтр, ассоциированный с последовательностью): I, R, 8; —
(GHOUPE SEPARE) (отделимая группа, ассоциированная с топологиче-
топологической группой): Ш, 2, 6; — (SOUS-GROUPE) (подгруппа, ассоциирован-
ассоциированная с подгруппой в Rn): VII, 1, 3.
ASSOCIEE (STRUCTURE UNIFORME SEPAREE) (отделимая равномерная
структура, ассоциированная с равномерной структурой): И, 3, 8; —
(TOPOLOGIE) (топология, ассоциированная с фильтром); I, 0, 5.
ADsserer Punkt einer Menge: точка, впошпяя к множеству.
Autoinorphie (автоморфизм) топологического пространства (К): гомеоморфизм
пространства на себя.
В
BAIRE (ESPACE DE) (бэровсков пространство): IX, 5, 3. В прежней терми-
терминологии: пространство, в котором всякое непустое открытое множеств»
есть мноя«ество второй категории.

СЛОВАРЬ 361
Bairescher Raum (H) (пространство Бэра): метрическое пространство, обра-
зованное элементами х = (хп) произведения JJ Еп счетно бесконечного
семейства множести, наделенное расстоянием d (х, у), равным обратной
величине наименьшего целого т., для которого хт Ф уп), если х Ф у,
н нулю, если х -■ у.
BASE (бляис) ранложопия вещестпенлого числа: IV, 8, 2;—фильтра: 1,6,3;
(основание) системы логарифмов: V, 4, 1; (основание) системы иямереппя
углов: VIII, 2, 3; (базис) топологии: 1,1,3. Нем.: Basis. Англ.: basis, baa».
Base at a point (L): фундаментальная система открытых окрестностей точки.
Base (closed) for a topological space (L): ыпожестпо S3 замкнутых множеств
такое, что псякоо аамквутоо множество есть иоресепепио множеств иа 33.
Bedingt kompnkle Menge (II): предкомпактное подпространство метрического
пространстиа.
Begreraung einer Menge: граница множества (см. FRONTIERS).
Beriihrungspunkt einer Mengo (A—H): точка прикосновения множества,
Beschrankte Funktion: ограниченная числовая функция; — Menge: ограннчея-
пое множество (в метрическом пространстве); —.Metrik: расстояние на мно-
множестве Е такое, что соответствующее метрическое пространство ограничено^
Betrag (absoluter) einer Zahl: абсолюягоо значение вещественного числа; —
eines Vektors (С): евклидова норма воктора в R".
Betrag (Н): числовая функция х *-* \х \, определенная на векторном прост-
пространстве Е над полем R такая, что | х \ > 0 для всех х Ф 0, | 0 | = О,
|-*|=|х|и|х+0|<|*|+|Н.
Bewerteter Ko'iper: нормированное тело,
Bewertung: абсолютное значение (па теле).
Bicompacl (espace): пространство, удовлетворяющее аксиоме (С) (см. COMPACT).
BICONTINUE (APPLICATION) (взаимно непрерывное отображение: I, 2, \.
Синоним: гомеоморфизм. Нем.: topologische Abbildung (A—H), beider-
. seits stetige Abbildung (H), doppeltstetigo Abbildung (H), umkehrbarstrtige
Abbilduti(? (H). Англ.: topological mapping (N), topological transforma-
transformation (L, W).
BISSECTMCE (биссектриса) углового сектора: VIII, 2, 5. Нем.: Winkelhal-
bierende,
BORNE (ENSEMBLE) (ограничеппое множостно) п метрическом пространстве!
IX 2, 2. Нем.: beschrankte Menge. Англ.: bounded set.
BORNE INFERIEURE (— SUPERlEtRE) (нижняя !верхняя) грань) число-
числовой функции: IV, 5, 0.. Нем.: Untere Grewe (obere Grenze) einer Funktion.
Англ.:,greatest lower bound (least upper bound) of a function, сокращенно
g.l.b. (l.u.b.); lower boundary (upper boundary) of a function (Но). Нем,
и англ.: infimum (supremunV1.
BORNE INFERIEUREMENT (ENSEMBLE DE NOMBRES REELS) (ограничен-
(ограниченное снизу множество вещественных чисел): IV, 2, 3; — SUPERIEURE-

362 СЛОВАРЬ
MENT (ENSEMBLE 1)E NOMBKES HEELS) (ограниченное, cnopxy miio-
жсстно шчцестпешсы.х чисел): IV, 2, 3. Ном.: nach untori (nacli oben) besch-
ranktc Mengo. Arrr.i.: bounded from below (from, fibove), bounded on th:> left
(on the right) (Ho).
BOKSEE (lONCTrOXJNUMfiRIQUK) (ограниченная чпг.юиля функция); IV,
5, 1; — lMEIUEl'KEMENT' (EONCTION NUMEUIQUE) (ограниченная
снизу чимоная функция); IV, Г), 1; — SlfPEHIEIKEMENT (FONTTION
NUMERIQUE) (ограниченная енорху чпелоная функция): IV, 5, 1. Нем.:
beschrunkte (iiacli imten heschriinkte, riach oben besc.liviinkle) Funktion.
Англ.: bmindctl fdiiction.
UOULE EUCLlWlliNNE ГЕНМЕЕ (аимкнутыН (.'иклидои map) л-мерпый:
Vf, 2, 3. Нем.: ЛOllkupol (Л- II), ahgeschlossene KiiRel (IT, C).
BOULE EUC.UDIENXE OUVEKTE (открытий епк.ии.чои jimp) п-морный:
VI, 2, .4. В прежнем терминологии: внутренность н-мериок гипорсферы
(или сферы). Нем.: offeno Kngel, sphariHc.ljo limgchung in H». Англ.:
spherical region (L), spherical noighbourhood in II" (N).
BOULE ЕЕКМЁЕ (aaMKnyrwii шар) и метрическом пространстве: IX. 2, 2.
Старая терминология: spheroule (V).
BOULE OUVEHTE (открытьп! map) л метрическом пространство: IX, 2, 2.
Нем.: spharische Umgebung (A—H). Англ.: sphere, spheroid (L).
BOULE UNITE (единичный шар) u Ri: VI, 2, 3; - в нормированном про-
пространстве: IX, 3i 3.
Boundary of a set (L, W): граница миоясестиа (см. FHONTIEHE).
Bounded funelion: ограшшонпая функция; — set: ограниченное, множостпо.
CANTOR (ENSEMBLE TRIADIQUE DE) (канторопо множество): IV, 2, 5.
Нем.: Cantorsehos DiKkoiitinmiin, Cnnlorsche Mengu. Лига.: Canlor set.
•CaracJfere d6nonibral)lc (cspuce a) (V): прострапстпо, п котором каждая точка
обладает счетной фундаментальной системой окрестностей.
■CAHRb" KERMfi (OUVEHT) (aaMKtiyxbtii (открытым) кпидрат): VI, 1, 1.
Нем.: Quiulrat (С) (открытый кпадрат). Англ.: s(piarc.
■ Carlesian product of Uvo spaces: произведении доу.х. топологичоски.х. пространств.
Cartesien (espace) а м dimensions (on rt-dimensioiinel) (V): nircionoe и-мерное
прост])апстйо.
CaJegorie (ensemble de premiere): (множество I категории): тощее мпожестпо;
— (ensemble de seeonde) (множество II категории): не тощей множество.
■CAUC1IY (FILTER DE) (фильтр Kot.ru): II, 3, 1.—(SUITE ))Е) (последова-
(последовательность Koinn): II, 3, 1. В прежней терминологии (для послодонателыго-
стгч'г и метрическом простринстие): фундамента.п.ння иоследонательпост!.,
иоследопатслыюсть, сходящаяся п себе. Нем.: C.anchysche Folge (II),
Fundnmetitalfolge. Англ.: Cauchy sequence, fundamental sequence.
■Cell (м-) (L): пространство, гомеоморфпоо замкнутому тиру Вп.
CENTIIALE (PROJECTION) (центральная проекция): VI, 2, 3.

СЛОВАРЬ 'М'Л
CENTRE (цент])) онклндона шара (енклидовоп сфоры): VI, '2, 3; шара (сферы)
п метрическом иростраистие: IX, 2, 2. Лом.: Mittelpunkl. Англ.: сеЫго.
Амер.: center.
CERCLE (окружность): VI, 2, 3. В прежней терминологии: «circoiiferenec»
или «circoiitereiico do cercle». Нем.: Kreis, Kreislinie, kreisrand. Англ.:
circle, circumference. || (I.tobo «corck1» (и его пквпналоитм «Krnifl» и «circle»)
ужо с очень даиннх. пор употребляется двусмысленно, обозначая и лани
ciiMocTii от авторов (а иногда далее и различных местах одного и того же
сочинения) то «окружность», то «открытый диск», то «замкнутым диск»
без заметного преобладания какого-либо из утих смыслом; именно для
того, чтобы избежать этой двусмысленности, и тексте книги иводен новый
термин «disciно» («диск»).
CERCLE UNTTK (единичная окружность): VI, 2, 3. Нем.: Einheibkreis.
Апгл.: unit circle.
Chain of sets (L): (цепьмножеств): конечная последовательность M,-)i^t<>i
подмпожеств топологического прострнисгва такая, что А} П ^г+i A *С
^ t ^ п — \) не пусты.
CHAINE (!■'-) G-цепь): II, А, 4. Ирм.: e-Kette. Англ.: e-chain (N, W) (для
метрических пространств).
Clairsem6 (ensemble) (нигде пе плотной и себе шюжестио) (F, К): лгаожество,
любая непустая часть которого но плотна и себе (см. Dense ensoi (ensem-
(ensemble).
Closed set; замкнутое миожестпо.
Closed tiansfoinialion A^): замкнутое отображение (см. Fenuce (application)).
Closure оГ a sot: замыкание множестла.
COMMUTATIVEMENT CONAEUGENTE (SKHIK) (коммутатинно сходящийся
ряд): 111, 5, 7.
COMPACT (ENSEM1JLE) (компактное миожестно): I, 9, 3;~(ESPACE) (— про-
пространство): I, 9, i. 1.5 прежней терминологии: бикомпактное хауодорфопо
пространство; хаусдорфопо нространстпо, conepnieinio комнакпгоо и себе
(F). II До 14K7 г. иод «компактным пространством», или «лрогтрппстиом,
компактпим и себе» (]■'), понимали пространств К, п котором всякое бес-
бесконечное мпо/Ь'сетио обладает хотя бы одной предельной точкой (или,
что сводится к тому же, п котором цепкая последовательность имеет хотя
бы одцу предельную точку), и иод «компактным множестиом» и простран-
пространстве Е — его иодмножестпо, любая бесконечная чисть которой) обладает
хотя бы одной предельвой точкой и R. Кслн ограничиться метрпзуеммми
прострапстшши, то пространства, компактные и смысле Френк;, совпа-
совпадают с компактными простринстнами, определенными и главе I. И общем
стучае всякое нространстпо, компактное н смысле текста настоящей
кииги, компактно также п смысле Фретпо, прослраистла же, компактные
и смысле Фрегае, но не компактные в смысле текста книги, нмоют питоло-
гпческин характер и по встречаются п приложениях топологии. Заметим,
что пространство, компактное и смысле (L) (или бикомпактное простран-

364 СЛОВАРЬ
ство (А—Н)), есть пространство, удовлетпоряющее аксиоме (С), но не
обязательно отделимое.
Compachim (компакт) (L): метризуемоо компактное пространство.
COMPARABLES (STRUCTURES UNI FORMES) (сравиимые равномерные
структуры): II, 2, 2; — (TOPOLOGIES) (— топологии): I, 2, 2.
COMPATIBLE (DISTANCE) (расстояпио, согласующееся) с равномерной
структурой: IX, 2, А; — с топологией: IX, 2, 5; — (NORME) (норма,
согласующаяся) со структурой алгебры: IX, 3, 7; — (STRUCTURE UNI-
FORME) (рапномерная структура, согласующаяся) с топологией: II, 4, 1.
COMPATIBLES (STRUCTURE D'ANNEAU ET TOFOLOGIE) (согласующиеся
структура кольца п топология): III, 6, 1; — (STRUCTURE DE CORPS
ET TOPOLOGIE) (— структура тола и топология): III, 0, 7; — (STRUC-
(STRUCTURE DE GROUPE ET TOPOLOGIE) (— структура группы и топология):
III, I, 1.
COMPLET (ANNEAU) (полное кольцо): III, 6, 5; - (ESPACE UNIFORMS)
(—равномерное пространство): II, 3, 3; — (GROUPE) (полная группа):
III, 3, 3. Нем.: vollstandig. Англ.: complete. || Понятно полного простран-
пространства относится к заданной равномерной структуре, а не топологии прост-
пространства. Отметим в связи с этим, что некоторые авторы называют «пол-
«полным пространством» метризуемое топологичоское пространство Е, на
котором существует расстояние, согласующееся с его топологией и такое,
что Е является относительно, него полным метрическим пространством.
В некоторых работах неметризуемое равномерное пространство называют
полным, если в нем сходится всякая последовательность Коши.
COMPLETE (пополнение) отделимого топологического кольца: III, 6, 5;
— отделимой топологической группы: III, 3, 4; — отделимого равномер-
равномерного пространства: II, 3, 7. Нем.: vollatanclige Hiille. Англ.: completion.
Completement normal (espace) (вполне порыалыгое пространство): отделимое
пространство, удовлетворяющее второй аксиоме Титце (см. Separation
(axiouies de)). Ном.: Гь-В.пит (А—Н), vollstandiR normaler Raum.
COMPLETEMENT HEGULIER (ESPACE) (вполне регулярное пространство):
IX, 1, 5. Нем.: vollstanch'g regularer Raum. Англ.: completely regular
space, Tychonoff space (L).
"COMPLETION (пополнение) равномерного пространства: II, 3, 3. Ном.:
Vervollstimdigung eincs Raumes. || Заметим, что по английски слово
«пополнение» означает ые операцию, состоящую в том, чтобы пополнить
пространство, а ее результат.
COMPLEXE (NOMBRE) (комплексное число): VIII, 1,1.
Complete formfi (plan) (замкнутая комплексная плоскость): старый термин,
обозначающий пространство V, (гомеоморфное сфере Sa), получаемое
компактнфикацией С путем присоединения бесконечно удаленной точки;
'— ouvert (plan) (открытая комплексная плоскость): старый термин,
обозначающий тело С комплексных чисел, отождествляемое с R2.
Component (компонента): связная компонента.

СЛОВАРЬ 365
COMPOSANTE CONNEXE (связная компонента): I, 11, 5. Нем.: Kompononte.
Англ.: connectrd component, или component.
Condensation (point tie) (точка конденсации множества): точкой конденсации
множества Л в пространстве Е называется точка пространства Е, каждая
окрестность которой содержит несчетную часть множества А. Ном.:
Verdichtungspunkt (H).
Conditionally compact set (условно компактное множество) (W): относительно
компактпое множество (в метризуемом пространств).
CONJUGUE (сопряженное) комплексное число: VIII, 1, 1. Нем.: konjugiort.
Англ.: conjugate.
Connected set: сплзпое множество; — (е —) (N): множество А п метрической
пространстве, любые две точки которого соединимы е-цепью, состоящей
иа точек множества А,
Connected in a space E (points) (спнзашшо в пространство Е точки) (N)i
пара точек пространства Е, принадлежащих одной и той жо его связной
компопенте.
CONNEXE (ENSEMBLE) (связное множество): I, 11, 1; — (ESPACE) (связ-
(связное пространство): I, 11, 1. Нем.: zusammenhangend. Англ.: connected.
Constituent (конституанта) точки: конституантой точки х пространства Е
называется объединение всох связных компактных множеств, содержа-
содержащих х. Англ.: quasi-component (L).
CONTIGUS (INTERVALLES) (смежные интервалы) к замкпутому множеству
в R: IV, 2, 5. Англ.: contiguous.
Continu (континуум): в настоящее время это слово означает метризуемое
связное компактное пространство (W), иногда с условием, что оно ве
сводится к одной точке (А—Н, N). Раньше под этим словом понимали
вообще всякое евнвное замкнутое множество (Н) или связное замкнутое
множество, не сводящееся к одной точке (Г). Нем.: Kontinuum. Англ.1
continuum.
COXTINU (PUISSANCE DU) (мощпость континуума): IV, 8, 6. Нем.: Ma'ch-
tigkeit des Kontinuums. Англ.: power of the continuum.
CONTINUE (FONCTION) (непрерывная функция): I, 2, 1. Нем.: stetige Abbil-
dung. Апгл.: continuous function.
Continument convergente (suite) (непрерывно сходящаяся последовательность):
локально равномерно сходящаяся последовательность функции (см.
Localement uniformement convergente (suite)).
Continuum (generalized) (обобщенный континуум) (W): связное метризуемое
локально компактное пространство.
Continuum of real numbers (континуум вещественных чисел) (Но): числовая
прямая.
Continuum (n-dimensional) (n-мерный континуум) (Но): n-мерное числовоо
пространство. :
CONVERGENT (FILTRE) (сходящийся фильтр): I, 7, 1; — (PRODUIT INFI
N1) (сходящееся бесконечное произведение): III, 5, 7; — (PRODUIT
INFINI DE NOMBRES REELS) (— бесконечное произведение веществен-

■ 360 словлгь
ных чисел): IV, 7, Г.; — AЧЮ1ДЧТ INFIX! DANS UXE ALGEBRE NOR-
МЕЕ) (бесконечное, производите n нормнроштяоп алгебре): IX, Прил., 3.
CONYERGENTE (BASE I)E F1LTRE) (сходящимся базис фпльтра): I, 7, I;
— (SER1E) (— ряд): III, 5, <>; (SERIE UK NOMBRES REELS) (— ряд
поиу'стнсшиых чисел): IV, 7, 0; — (SUITE) (сводящаяся последопатель-
irocTi,): I, 7, 3.
COUPS 1)ES NOMBRES COMPLEXES (иоле комплексных чисел); VIII, i, 1;
— IffiS NOMBRES REELS (-- вогцостпептшх чисел): IV, 3, 1;— 1)ES
QUATERNIONS (тело кватернионов): VIII, 1, 1.
Cosels (space of rifjlif) (ir])OCT|iiiircTPo праиых смежных клнесов) (Р): одиородпоо
irpocTpaircrnu, определенное подгруппой топологической группы.
COS1SUS (косинус) угла: VIII, 2, 2; — числа: VIII, 2, 4.
COTANGENTE (котангенс) числа: VL1I, 2, 4.
СОТЁ (сторона) кубп: VI, 1, 1. Нем.: Larigp Jer Kanton eines Wiir/els.
('(Hinlahilily «xioni.s: аксиомы очетиогти (см. Derioinlnahilile (axiomes tip))
Countably conipacl space (счетно комтгактмое ирострапппо) (L): пространство,
компактпоо в смысле; Фрсше (cai. COMPACT).
Covering (closed): яамкнутое покрытие; -- (е-) (L): покрытио метрического
пространства множествами диаметра <:«; —(open): открытое покрытие.
CUBE (куб) к-мерны1"| замкнутый (— открытый): Vf, 1, 1; Нем.: (i-dimensiona-
ler Wiirfel; — бесконечномерным IX, \, 5; англ.: Hil.be.rt purallelotope (L)
(гильбертов кирпич): счетное произведение компактпых шпервалои.
D
DECIMAL (DEVEF^OPPEMENT) (десятичное ралложеиие) ввщоеттчшого
числа: IV, 8, 5.
Decomposition space (факторпространство) (W).
DEDU1TE (TOPOLOGIE) (Tonojroniff, иоро;кдаемая равномерной структурою)!
II, 1, 2.
DEGRE (градус (единица угла)): VIIT, 2, :i.
DEMI-AXE HEEL POS1TIF (-NfiGATIF) (положительная (от]шцате.>1Ы1;!я)
neni;ecTB(!HHaii полуось): VIII, 1, 2.
DEMI-CEHCLE FERME (—OUNERT) (замкнутая (открытая) полуокруж-
полуокружность): VT, 2, Л. Нем.: Ilolbkreis. Лигл.: soniicircle.
DEMI-DROITE ГЕПМКЕ (— OUVERTE) (замкнутая (открытая) полупря-
полупрямая, луч): VI, i, f\. Hpm.: Halb^'i'i-ado, Strahl. Англ.: Ппу.
DEMI-ESPACES FERMES (—OtVERTS) (замкнутое (открытое) иолупро-
c.TpaircTiio), определенное гиперплоскостью: VT, 1, 4. Нем.: Hnlbraume.
D6noinhrabilitci (axiomes tie) (аксиомы счетиости): ii(i]>iiati аксиома счотеюсти!
псякая точка обладает счетном фундамента л i.noii системой окрестностей.
Вторая аксиома счетности: прострапстпо обладает счетной баноп. Нем.:
Abziihlbarkoitsaxiome. Англ.: coiiMtability axioms.
DENSE (ENSEMBLE) (плотное множество) отиоентелг.но другого множества:
I, 1, A. Нем.: diclite Menge (zu einer Menge). Англ.: dense set. || Многие
аито])ы, определяют отношение. «/I плотно относительно Пь только и слу-

СЛОВАРЬ • 367
4
пае, когда А с: R, что является ограничением, неудобным для прило-
приложений. Слово «плотное» часто употребляется в смысле «всюду плитное»
(А-Н, К, L, N).
Dense en soi (ensemble) (множество, плотное в себе): множество, содержащееся
в своем ироп.чподлом (см. Derive (ensemble)). Нем.: insichdichte Menge.
Англ.: dense in itself.
DISPLACEMENT EUCLIDIEN (евклидово движение): VI, 2, 2. Нем.: Bvweftinp-
Derive (ensemble) (производное множество) некоторого множества: промнод-
ноо множество подмножества Л топологического пространства Е есть
миожестло всех предельных точгк множества А (см. Accumulation (point d'));
часто обозначается А'. 1-Гем.: AbloitnuR eine.r Mengc. Англ.: derived set»
Derived sol: пронзкодпое множество (см. Derive (ensemble)).
DEVELOPPEMKNT D'VN NOMBHE REEL (разложение вещественного числи)
}io базисной последовательности: IV, 8, 2.
DIAMETRAL (IIYPERPLAN) (диаметральная гиперплоскость): VI, 2, 4.
DIAMETRE (диаметр) множества п мот[игческо.\1 простран("гв(>: IX, 2, ?»
Ием.: Durchmesser. Апгл.: dianieter.
Dichte Menge: плотпое множество.
Direct product (прямое проилиедешю) топологических групп (Р): произведе-
произведение топологических групп.
D1SC0NTINU (ENSEMBLE TOTALEMEM) (вполне несвязное множество):
см. TOTALEMENT DISCONTINU (ENSEMBLE).
DISCONTIN'UE (I'ON'CTION) (разрывная функция). Нем.: unstetig. Англ.г
disconlinuoHP.
DISCRET (ANNEAU) (дискреттгое колъцо): 11Т, E, IV, — (CORPS)(— тело):П1, 6,
7; — (ЕSPACE) (■ - нрос.тршк-тво): I, 1,1; — (GROUPE) (дискретпап груп-
группа): III, 1,1. !! Под нанпипием «дискретное пространство» Александров —
Хопф понимают, более общим образом, псиное прострапстно (отделимое-
или нет), п котором всякое пересеченно открытых множеств есть открытое
множество; если такое пространство отделимо, то оно дискретно н смысле-
текста кппп*»
Discrete set (дискретное множество) (N): :(амт;путоо множество, все точки
которого изолированные, или, что то же, множество, не имеющее предель-
предельных точек (см. Accumulation (pointd')).
DISCRETE (STKUCTUKE l.'NIFOHME) (дискретная равномерная структу-
структура): II, 1, 1; — (TOPOLOtllE) (—топология): I, 1, I.
Diskontiiiuierliche Menjre (И) (см. Puncliforme (ensemble)).
Diskontiniiierlicher Kompnkluni (A— H): вполне, несвязный мотризуемын
компакт.
Diskreter Ranni (дискретное пространство) (А—Н): см. DISCRET (ESPACE).
Disperse (ensemble) (польская школ»): шюлпе несвязное множество.
DISQUE FERME (■■- ОН VERT) (замкнутый (открытии) круг): VI, 2, Л (см.
CERCLE). Нем.: Kreisselieibe.
DISTANCE (расстояние) между двумя точками: IX, 2, ■(; — между точкой п мно-
множеством: IX, 2, 2;— между двумя множествами: IX, 2, 2;— (EUCLIDIE.NNH)

368 СЛОВАРЬ
(евклидово): VI, 2, 1. Нем.: Entfernung, eigentliche Metrik (A—II) (для
расстояния между двумя точками), untero Entfnrnimg (H) (для расстояния
между двумя множоствами). Англ.: distance, metric. || В (К) «расстояние
между двумя множествами» имеет тот же смысл, что «Abweichung zweier
Mengen» (см.) в (А—II).
Distance (espace) (F): мотрнчогкоо пространство.
Distanz zweier Punkte (в метрическом пространстве) (Н): пижняи грань чисел
р> О таких, что данные две точки соединимы р-депыо4
Divergente Menge (A—11): бесконечное множество, не имеющее предельных
точек (см. Accumulation (pointd')).
Divergenle (suite, serie): расходящаяся (последовательность, ряд). || Смысл
этого слова применительно к последовательности или ряду вещественных
чисел у разных авторов различен. У одних оно озпачает «не сходящийся»;
другие применяют его только к последовательностям, сходящимся в R
к +оо или —оо, или к рядам с суммой, равной -'-со нлн —оо; первые
< иа;1ывают иногда такие последовательности (соотн. ряди) «собственно
расходящимися» («proprement divergentes») или «песобстпеипо сходящи-
сходящимися» («improprement cotivergentes»),
Domaine (область). Нем.: Gebiet. Англ.: domain, region (W). || Первые
авторы работ но топологии часто называли «областью» нроиуволь}1ое
открытое множество, «замкнутой областью»— замьткашю открытого мно-
множества; в (К) еще используется этот последний тормип, и «открытой
: областью» называется внутренность замкнутого множества.
Doppeltstetige Abbildung (взаимно непрерывное отображение) (И).
DROIT (ANGLE) (прямой угол)- между прямыми: VIII, 2, 6; — (SECTEUR
ANGULAIRE) (прямой угловой сектор): VIII, 2, 5. Ном.: rechter Winkel,
Англ.: right angle.
DROIT POSITIF (ANGLE) (положительный прямой угол) между полупря-
полупрямыми: VIII, 2, 2.
DROITE COMPLEXE (комплексная прямая) н пространстве С": VIII, 4, 3;
— NUMERIQUE (числовая прямая): IV, 1, 3; англ.: real lino (L), conti-
continuum of real numbers (Ho); — PROJECTIVE REELLE (— проективная
вещественная): VI, 3, 1; — PROJECTIVE COMPLEXE (- проективная
комплексная): VIII, 4, 3; — RATIONNELLE (— рациональная): I, 1, 2.
Нем.: Gerucle. Англ.: line, straight line.
Durchmesser: диаметр.
DYADIQUE (DEVELOPPEMENT) (двоичное разложение) вещественного
числа: IV, 8, 5.
Е
Ebene (/)-dimensionale) (р-мерная плоскость) р-мерноо линейное многообразие.
ECART (отклонопио): IX, 1,1. || В (F) смысл слова «ecart» другой: оно озна-
означает «Общую метрику» (см. Allgemeine Metrik) в смысло (А—Н), для
которой / (у, х) — / (х, у), а / (х, у) — 0 равносильно х = у.

СЛОВАРЬ 369
6cart de deux ensembles (К): расстояние можду двумя множествами.
figalement continue (I'aniille): равностепенно непрерывное множество.
Eigentlieh divenjeiite Fulge reseller Zahlen (С): последовательность веществен-
вещественных чисел, сходящаяся в 11 к +оо или —оо; ReihereellevZnhlen (С):
ряд вещесткенных чисел с суммой +оо ели —оо.
Eigeutliche Melrik (Л —Н): расстояние (между двумя точками).
Einheitskreis: едшштипя окружность.
Einheitssphiire: единичная сфера.
Einheitsvektoren (единичные лекторы): векторы канонического базиса в Rn.
ELEMENTAIRE (ENSEMHLE) (алиментарное множество) в проивнедонии
пространств: I, 4, 1; — (FILTKE) (элементарный фильтр), аесоцииронаи-
пый с последовательностью: I, G, 8.
Endliche Funktion: конечна» числомн функция.
THNGENDRE (FILTRE) (фильтр, порожденный некоторым множеством под-
подмножеств); I, С), 2.
ENGENDREE (TOPOLOGIE) (топологии, порожденная некоторым множест-
пом подмпожеств): 1, 2, 3.
Enffemungzweier Piinkle: расстояипе между днумя точками; — zweier Mengen!
— между дпумя шгожостпаии (С, А—И). В (Н) слова «Entfernung zweier
Mengen» имеют тот же смысл, что и слова «Abweichung zweicr Mengen»
(см.) н (Л—Ы).
ENTOURAGE (окружение) равномерной структуры: II, 1, 1. || В (К) слово
«entourago» означает «окрестность» точки в топологическом пространстве,
ENVELOPPE INFERIEURE (— SUPER1EURE) (— нижняя (— верхняя)
огибающая) семейства числовых функций: IV, 5, 5. Ном.: untere (obere)
Grenze einer Folge von Furiktionen (C).
EQUICONTINU (ENSEMBLE) (равностепенно непрерывное множестно): X, 2,
1; — л точке: X, 2, 1; — относительно подшюжестпа: X, 2, 3. В прежней
терминологии: famille egalement continue (равнонепрерывное семейство).
Англ.: equicontinuous family (у некоторых авторов «равностепонпо пеире-
рыв}юе» опначает «рапномер}!о равпостепетшо непрерывное»).
fiQUIVALENTES (FAMILIES D'ECARTS) (аквивалонтные семейства откло-
нопий): IX, 1,2; — (NORMES) {— нормы): ТХ, 3, 3; — (VALEURS ABSO-
LUES) (— абсолютные лиачеиия): IX, 3, 2.
EQUIVALENTS (ECARTS) ([жниналентнмо отклонения): IX, 1, 2.
Equivalent metrics (эквивалентные метрики): расстояния, определяющие
на одном и том же множестве одну и ту же топологию.
ESPACE DES VARIETES LINEA1RES PRO.TECTIVES A P DIMENSIONS
DE P (R) (пространство /?-мерных проективных линейных многообразии
в Рп (R)): VI, 3, 5; - DE Рп (С) (- в Рп (С)): VIII, 4, 1.
ESPACE NUMER1QUE А п DIMENSIONS (n-мерное числовое пространство):
VI, 1, 1. Нем.: n-dimensionaler Raum; n-dimonsionaler Zahlenraum. Англ.:
«-dimensional continuum (Ho), Cartesian n-space (N), Euclidean и-space (L).
ESPACE NUMER1QUE COMPLEXE A n DIMENSIONS (n-мерное комплексное
числовое пространство): VIII, 4, 1.
24 II. Бурбаки

.'!70 словарь
ESPACE PROJECTIF COMPLEXE a n dimensions (»-морное комплексное
проективное пространство): VIII, 4, 3; — REEL a n dimensions (н-меряпо
вещественное прорктиппое пространство): VI, 3, 1.
Euclidean «-space (L): н-мсрное числопое прострапстпо.
EXPONENT1ELLE (FONCTION) (показательная функция): V, 4, 1.
EXTERIETIR (внешность) множества: I, 1, (>.
EXTEHIEl'R (POINT) (внешняя точка) к множеству: 1, 1, Г>. Нем.: Ausserpr
I'unkt finer Menge.
F
FACTEUR GENERAL (общий сомножитель) бесконечного произведения:
III, 5, 7.
Factor group of a topological group (P): факторгруппа топологическом группы.
FERME (ENSEMHLE) (замкнутое множество): I, 1, 4. Нем.: abgesclilossonc
IVfonge. Англ.: closed sot. J| Слопо «fprmo» («замкнутое») часто примоппется
для обозппчепия всяких других ионятиН, принадлежащих алгебраиче-
алгебраической топологии, кик, папримор, и пыражеии)гх: .замкнутая кривая,
замкнутая поверхность (и смысле «компактная крппая (соотв. попррх-
ность) беи края»). Та жо возможность смешения существует в английском
языке; оо избегают в немецком, говоря «abgesclilosscne Menge», no «gescli-
losseno Kurve».
Fermee (application) (яамкнутор отображение): отображение топологического
простраистпа Е в топологическое пространство /'', при котором обраа
всякого замкнутого множества из Е есть .чамкпутое множество и /■'. Нем.:
abgpKchlossene Abbildung. Англ.: closed transformation.
Ferinee (relation d'equivalence) (замкнутое отнотепие экиивплеитпости):
отношепне лкшпшлентностн Л и пространстве Е, насыщение] но которому
всякого замкнутого множества замкнуто (и)гачо гопоря, такое, что кано-
каноническое отображение Е на факторирог.тряггетво- E/It замкнуто), (см.:
Zerlegun^ (stetijfc) и (Upper senii-coiitinuous collerlioii)).
Fernietiire (замыкание): см. ADHERENCE.
l^n-Rauni (/''ц-прострииство) (Н): метрическое ирострппство, л котором всякое
замкнутое поди ростра пство но тоще в себе.
FILTHE (фильтр): I, (!, 1; — DES SECTIONS (— гечешпг) ф11льт])ую1цегосп
множества: I, 0, 3.
F1LTRE (ENSEMBLE) (фильтрующееся множостпо): I, 6, 1.
F1N (см. PJJJS WN и MO1NS FIN).
FINI (NOMBHE REEL) (копечиое «entecTBeiraoe число): IV, А, 2, Нем.: endliclu
Англ.: finite. i - ■•■
FIME (FONCT1ON NUMERIQL'E) (тговочпая числовая функции): Iy. 5, 1;
— (SOMME PARTIELLE) (—частичная сумма): III, 5, 1.
Finite intersection property (collection of sets having .(he) (L): система образую-
образующих фильтра.
Flat (к-) (N): fe-мсрггоо аффинное линейное многообразие в Rn.
Fluctuation of a function (Но): колебание функции.

СЛОВАРЬ 371
Founctionnel (espace) (фупкциональноо пространство) (К): пространство
ограничеппых отображений метрического пространства Е в метрическое
пространство F, паделенное топологией равномерной сходимости.
Foundnmenlolc (mi(e) (фундпменталыгая последовательность): последова-
последовательность Кении.
FRECHET (IILTRE DE) (фильтр Фрстне): 1, 6, 1.
Frontier of a set (N, W): граница множества.
FRONTltlRE (граница) множества: I, 1, (!. Нем.: Begrenzung eineT Menge.
Англ.: boundary of a set (L, W), frontier of a set (N, W). || Слово «frontiere»
иногди употребляется некоторыми антораыи для обозначения попятвя
алгебраической топологии, родстпешюго понятию «fronticre» (в смысле
настоящего текста), которое мы обозначаем словом «bord» (кран). 1'акое
же смешение имеет место в немецком я.чыкс с терминами «Begrenzung»
и «Hand» и в английском с терминами «boundary» и «frontier». И этих
языках, по-видимому, сейчас преобладает употребление слов «Iiegrenzung»
и «frontier» n смысле «граница», a «Rand» и «boundary» в смысле «край».
FRONTIERS (POINT) (граничная точка) мпижестна: I, 1, 6.
Fa (ensemble) (множество Fa): объодинепио счетного сомоЛств замкнутых
множеств.
Fimilameiilalfolge (фундаментальная последонатслыюсть): последователь-
пость Коти.
G
Сгд (ensemble) (множество G(,): пересечение счетного ceMeiicma открытых
множеств.
Geliicf: область.
GENERATEIEIIS (SYSTEME DF) (система образующих) фильтра: I, 0, 2?
— топологии: I, 1, 3.
Gerade, ^eraile Linie: прямая.
<7n-Raum (II): б:>ровскоо пространство (см. ВАШЕ (ESPACE DE)).
рппиомерпо.
l.'nipebiinjjssyHlenie: фундамептплыше системы окрестпостеГ-,
определяющие одну и ту же топологию.
GRADE (градус), единица угла: VIII, 2, 3.
Greatest lower bound (сокращенно g.l.b.): нижняя грат..
Grenz^erl einer konvergento Zahlenfolge (Г.): предел сходяшеися последова-
последовательности пещестлешшх чисел.
GltOUPE /\DDITIF (яддитштая группа) числовой: лрлмои: IV, 1,3; — число-
ноги пространства R": VI, 1,2; — вещественных чисел, срапппмых по мо-
модулю а: V, 1, 2.
GROl'PE A UN PARAMETRF (одпопарпмртрпческая группа): V, Я. . . ,
Н
Halbtferade: полупрямая.
Hiillikreis: полуокружность (или иногда пересечение круга с полуплоскостью,
определяемой одним и:» его диаметром).
24*

372 словарь
Hulbraum: полупространство.
HalMelige Funklion (nbwarls (С) или nach unten): функция, полунепрерывная
снизу; — (aufwiirfs (С) или nach oben): функция, гголунопрорштая сиерху.
Halbsfetigkeitspunkt (точка полунепрерывности) функции (С): точка, в кото-
которой числовая функция полунепрерывна.
HSufungspunkt einerl Menge: предельная точка множества (см. Accumula-
Accumulation (pointd'))-
Hauptlimes einer Zahlenfolge (С): верхний и нижний продолы последователь-
последовательности вещественных чисел.
HAUSDORFF (ESPACE DE) (хаусдорфово (или отделимое) пространство): I,
8, 1. Нем.: Hauadorffscher Ranm, 7'2-Raum (А—Н). Англ.: Hnusdorff
space, 72-space (L).
HEMISPHERE FERMfi (— OUVERT) (замкнутая полусфера (открытая —)):
VI, 2, -4.
Hilbert paralielotope (гильбертов кирпич) (L): производите счеттгобескопеч-
ного семейства компактных интервалов нз В, не сводящихся к одной точке
(или топологическое пространство, гомеоморфное такому произведению).
HOME0M0RPHES (ESPACE TOPOLOGIQUES) (гомеоморф'ные токологиче-
токологические пространства): I, 1, 1.
H0MEOMORPHIE (гомеоморфизм) двух топологических пространств: I, I, i.
HOMEOMORPHISME (гомеоморфизм) топологического пространства на топо
логическое пространство: 1, 1, 1. Нем.: НотбогаогрЫо. Апгл.: Нотео-
morphism (L, W).
HOMOGENE (ESPACE) topologique (однородное, топологическое простран-
пространство): III, 2, 5. Англ.: space of right cosets (P).
Homogene (ensemble) (однородное множество) (К): подпространство А про-
пространства Е такое, что для любой пары точек а, Ъ вя Л существует гомео-
гомеоморфизм / пространства Е на себя, при котором / (А) = А и / (а) — Ь.
Homomorpbism of a topological group into a topological group (P): непрерывное
представление топологической группы и топологическую группу.
HOMOMORPHISME (гомоморфизм) топологической группы в топологиче-
топологическую группу: III, 2, 8; — топологической группы на топологическую
группу: III, 2, 8. Англ.: open homomorphism of G iuto G' (P) (когда образ
группы G при гомоморфизме открыт в G').
Hulle (оболочка): вообще, если % — такое множество частей множества Е,
что всякое их пересечение снова принадлежит Д, «оболочка» какого-либо
А с Е относительно §f есть пересечение всех множеств ии %, содержа-
содержащих А. Пример: abgeschlossene Hulle (замыкание множества), когда g —
множество всех замкнутых подмножеств топологического пространства.
HYPERPLAN COMPLEXE (комплексная гиперплоскость) в пространстве С":
VIII, 4, 1.
HYPERPLAN DE PROJECTION (гиперплоскость проектирования) при сте-
стереографической проекции: VI, 2, 4.
Hyperspac* of a decomposition (W): факторпрострапство.

словарь 373
IMAGE RfiCIPROQUE (прообраз) топологической структуры: I, 2, 3; — рав-
равномерной структуры: II, 2, 4.
IMAGINAIRE PUIl (NOMBRE) (чисто мнимое число): VIII, 1, 1.
Im kleincn bikompakter Hausdorffscher Hauni (A—H): локалыго компактное
пространств.
Im kleinen koinpakter Raum (A—H): пространство, всякая топка которого
обладаот замкнутой окрестностью, компактной в смысле Фрошо (см.
_ COMPACT).
IMPROPRE (DEVELOPPEMENT) (несобственное разложение) вещественно-
вещественного числа:" IV, 8, 3; — (VALEUR ABSOLIJE) (— абсолютное значение):
IX, 3, 2.
INDUIT (FILTRE) (индуцированш.ш фильтр): I, 0, 5.
INDUITE (STRUCTURE UNIFORME) (индуцированная равномерная струк-
структура): II, 2, 4; - (TOPOLOG1E) (-топология): I, 2, 3.
Infimum: нижняя грань.
Innerer Punkt: внутренняя точка.
Inneres Produkt: скалярное произледепиг: в Rn.
Insichdiehle Menge: клотпое в себе множество (см. Dense en soi (ensemble)).
JNTER1EUR (внутренность) множества: I, 1, 0. Нем.: offener Kern einer
Menge. Англ.: Interior of a set.
INTERIEUR (POINT) (штутроншгя точка) множеств»: I, 1, {>. Нем.: Innerer
Punkt. Англ.: Interior point.
Interior transformation (W): открытое отображение (см. Ouverte (application^).
INTERSECTION (FIT.TRE) (пересечение фильтром): I, 0, 2; — (TOPOLOGIE)
(— топологий): I, 2, 3.
Interval (м-) {«-интервал) (L): ограниченный открытый кирпич n Rn.
Interval (n-dhnensionales) (гс-морный интервал) (С): ограниченный открытый
кирпич в R".
INVARIANTE (DISTANCE) (инвариантное расстояние) в группе: IX, 3, 1.
IRRATIONNEL (NOMBRE) (иррациональное число): IV, 1, 3.
Irreducible set (неприводимое множество) (Но): множество, имеющее по край-
пой меро одну точку конденсации (см. Condensation (point de)).
Isolated set (изолированное мпожоотпо) (N): множество, все точки которого
изодиронанные (или также, дискретное подпространство).
ISOLE (POINT) (изолированная точки) »гаожества: I, 1, 6.
Isolierter Teil einer Menge (изолированная часть множества) (Н): множество
всех ияолироптшых точек множества.
JSOMETRIE (изомотрия): IX, :', 2.
ISOMfiTRIQUE (APPLICATION) (изометричдюе отображение): IX, 2, 2.
ISOMORPHES (ESPACES UN1FORMES) (изоморфные равномерные про-
пространства): II, 1, 1.
1SOMORPIIIE (изоморфпость) двух равномерных пространств: II, 1, 1.

ol\ СЛОВАРЬ
(п:юмо])фпзм) равпомсрного прострипства в рпвттоморпое
пространство: II, 1, 1: —топологической группы на типологическую
rpyirny: III, 1, ;i.
1SOMO It I'l 11SM К LOCAL (локальный п:!омопфп:гм) топологической группы
i! топологическую группу: III, 1, 3.
к
Kern (ядро): вообще, осли 01 — такое множег.тпо частей множества К, что
всякое их объединение снопа принадлежит Щ, «ядро» какого-либо мно-
жестпа Л с Е относительно © есть объединение всох множестн пя @),
содержащихся л А (попятно, «дуальное» понятию «Hullo»), Пример:
«оГГелег Кегн» (ппутроипослъ множества), когда (!) — мпожество iscex
открытых подмиожоств топологического пространства.
Kelte (е-) (Л — И): е-цеш/, — (Мепцеп —) (е-цопь мпожестп): конечпап после
допатолышс/л, (j4,)i^i :„ подмпояоч-.тп топологического простр.шетии
такая, что пересечения Л; ("I Aj+i A ^ I ^ п — 1) по пусты.
Koharenz oiner Menge (И): миожестпо нсех неи:HЛ1тровншплх точек дапиого
множества.
Koinpnkt in he/лщ auFden Raum: относительно компактны» (для мотрияуомых
прострапстн).
Koinpaktuin (компакт) (Л—II): метризуомое компактное прострпнетло.
Kompononfe: еппзпая компоноита; — (е-) eincs Punktcs (е-компопептп точки)
(Л — II): мпожостло псех топок метрического пространства, соединимых
е-ценыо с рассматриваемой точкой; — @-) @-компопопта точки) (Л —II):
множостпп всрх точек, соединимых е-цот.ю с рассматриваемо]"! точкой
для каждого 8 > 0.
Konjgruento Iliiume (конгруэнтные нрострапстна) (Л—И): изомот[нпескно
метрические простраиетпа (т. е. такие, что существует пномстрил одного
на другое).
Koiitiiiuiini: континуум (см. Continu).
Kreis: ок]1ужност|> (см. СИ КС I Л).
Kngel (nl)#csclil(>sse[ie) naMniiyTuii шар; —(offene): открытый —.
Ku^elflaVhe, Kugeloberfliiehe: сфера.
L
dor Kanton nines Wiirfob: длина сторои куба; — einos Intervalls: .— mi-
териала.
Least upper bound (сокращенно l.n.b.): лерхпяя грань.
Length of an interval: длини ипторнила.
Limes (melrisehe, oln^re topolofjische, untere topolo^ische, topolosfische) oiner
Mei>f|en{oli;o (A—FI): предол (метрнчеокнн, nepxnuii топологически!"!,
нижний топологический, топологический) последовательности множеств.
Limes (iihctesehlosserie, obere aboeschlossene, unlero ahi;ewlilosw4U!) einor Men-
genfolgo (И): предел (топологичоскт1!, nepKiraii TOitojiorirvocrmii, niimintii
тонологичоски1т) последовательности множеств.

словарь 37 Г)
Limes (obere offene) emer MengeufolRe (H): миожество по.ох точек, обладаю-
обладающих ОКрвСТИОСТЫО, СОДОрЖ.ИЦСШГЯ В б0СКот»Чт>М ЧИСЛО МИОЖОСТП НОСЛОДО-
вательности; — (nulcre olTone) eirmr Mougonfolge (II): множество всех
точек, обладающих окрестностью, содпржпщенси по всех, хроме коноч-
коночного числи, множествах последовательности. Когда обп продола совпа-
совпадают, их нашито!-, следуя Хауедорфу, «offeric Limes dor MongonfolKO»).
Limit (inferior, superior) of a sequence of .sots (W): (нижний, верхний) тополо-
топологический продел последовательности множеств.
Limit-point of a set (N, W): продольная точка (см. Accumulation (point A'))
множества.
LIMITE Л DltOITE (—Л GAUCHE) (продол справа (—слона)) функции
вещоствошгои переменной: IV, Г>, З. Нем.: Grenzwert nnch roc.hts (~ nach
links). Англ.: limit to the right (— to the left).
LIMITE lMEIUELItE (— SUPEHlEUItE) (mimmiii (пярхпий) П]>едел) число
noii функции no филътру: IV, Г>, 2. Нем.: Untore (obere} Limes pi пег Funk
tion. Англ.: Minimum (inaximmn) of a function at a point (Ho).
Li mile inl'orieure lopolocjique (кгтжгин"! топологический продол) последователь-
последовательности множестп: множество всех точек, каждая окрестность которых пере-
пересекается со пгемн мпожостиамн носледопптельпости, :ia исключением
конечного их числа.
Limife melrifjue (метрически!! предел) последовательности :)амквутцх мпо»
■<кестл: для! любых замкнутых множеств А, Л метрического пространства
положим
р (Л, В) — хтх (sup d (r, И), sup d (у, А)).
же А м£В
Говорят, что пммкнутоо мтгожестио А есть метрическин продел последова-
последовательности замкнутых множеств (Ап), рслн р (А , И„) стремится к 0, когда п
ноограничитю возрастает.
Liinite snperieurc (opologique (nepxiniii топологический продол) последова-
последовательности множеств: множество всех точек, каждая окрестность которых
пересекается с бесконечным числом множеств/tuuaoii последовательности.
Liinite topolojfique (топологический предел) последовательности множеств:
так нязмпают верхний и HiiHtmrir топологические лррделы последователь-
последовательности мпожостп в том случае, когда они совпадают.
LIMITE (POINT) (продол) баннса фильтра: I, 7, 1; - фильтра: I, 7, 1.
LIMITE (VALUER) (продел) функции по фильтру: (, 7, 'Л; -- функции в точ-
точке относительно подмножества: I, 7, 5; ■- последовательности: I, 7, 3.
LIMITE (DEVELO1TEMENT) d'un nombre reel (конечное) ря.чложонло веще-
вещественного числа: IV, 8, 3.
Local, 1осаlenient (локальны», локально): слона, характеризующие свойстпа:
свянатгаме с фиксированной точкой х0 пространства К п остагощпосп в силе
приламепе его тополопги другоСг топологией, подчиненной единственному
условию, чтобы существовала окрестность точки ха, и которой обе инду-
индуцируемые топологии совпадают; пгтчо говоря, свойства, свлиаЕпшь

376 СЛОВАРЬ
с функцией, определенной в некоторой окрестности точки х0 и остаю-
остающиеся в силе при замене втой функции другой, подчиненной едтшстген-
ному условию, чтобы существовала окрестность точки х0, в которой обе
функции сонпадают. 1'аспгирительно, эти слова часто применяются ко
всему пространству (например: локально компактной пространство,
локально связное пространство), означая тогда, что одно и то же «локаль-
«локальное» свойство имеет место в каждоп точке пространства. Иск.: im kleiiien,
lokal. Англ.: local, locally.
LOCALEMENT COMPACT (ESPACE) (локально компактное пространство):
I, 9, 7. Ном.: im kleiuen bikompakter Hausdorffscher Raum (А—И). Англ.:
locally compact Hausdorff space (L). || Локально компактное пространство
в смысле (L) (локально бикомпактное 3i смысле (А—Н)) — это простран-
пространство, каждая точка которого обладает окрестностью, замыкание которой
есть пространство, удовлетворяющее аксиоме (С) (по но обязательно
отделимое). По старой терминологии иод локально компактным простран-
пространством подразумевалось пространство, всякая точка которого обладает
замкпутой окрестностью, компактной в смысле Фреше (см. COMPACT).
LOCALEMENT CONNEXE (ESPACE) (локально свяапоо пространство): 1,
II, 6. Нем.: local zusaminenhangonder Raurn. Англ.: locally connected space.
Localement ferme (ensemble) (локально замкнутое множество) в точке (К):
множество, данная точка которого обладает окрестностью, поресечезме
которой с множеством замкнуто (во всем пространстве).
Localement fini (recouvrement) (локально конечное покрытие): такое покры-
покрытие топологического пространства Е, что каждая точка х £ К обладает
окрестностью, пересекающейся только с конечным числом мпожеств
покрытии.
LOCALEMENT ISOMORPHES (GROUPES TOPOLOGIQUES) (локально изо-
изоморфные топологические группы): III, 1, 3.
Localement uniformement convergent (suite) (локально равномерно сходя-
сходящаяся последовательность): последопательиость функций /„, определенных
на топологическом пространстве Е, со значениями в равномерном иро-
странстне F, локально равпомерпо сходится к функцтаг / в точке .г„ £ Е,
если для любого окружения V для F существуют целое число иа п окрест-
окрестность U точки х0 такие, что (/„ (х), f (x)) £ V для всех х £ U и всех п Зэ па.
LOGARITHME (логарифм) вещественного числа: V, 4, 1.
LONGUEUR (длина) интервала: IV, 1, 5. Нем.: Lange. Англ.: length.
Lower boundary of a function (Но): нижняя грань числовой функции.
Lower semi-continuous function: функция, полунепрерывная снизу.
М
MAIGRE (ENSEMBLE) (тощее множество): IX, 5, 2. В прежней терминоло-
терминологии: множество первой категории.
MAJOREE (FONCTION NUMEUIQUE) (ограниченная сверху числовая фупк-
цпя): IV, 5, 1. Нем.: nach оЪеп beschrankte Funktion. Апгл.: bounded
to the right, bounded from above.

словарь 377
Maxinine (point d'aceuimilation) (максимальная предельная точка) мвожестпа
(F): максимальная предельная точка множества А в пространстве Е ато
точка «■„, пересеченно каждой; окрестности которой с A равномощпо A .
Maximum of a function at n point1 (Но): иерхний предел функции в точка.
MESURE PRINC1PALE (главная мери) угла между полупрямыми: VIII, 2, 3.
MESURES (меры) угла между полупрямыми: VIII, 2, 3; — угла между
прямыми: VIII, 2, В.
METRIQUE (Е.ЧРЛСЕ) (метрическое пространство): IX, 2, 1. I) прежней
терминологии (F): espiice dislancie. Нем.: inetrischor Raum. Англ.: metric
space.
METRISABLH (ESPACE TOPOLOGIQUE) (метризуемое топологическое прост-
пространство): IX, 2,5; — (ESPACE UNJFORME) (—равномерное прострапстпо):
IX, 2, 4; — (GROUPE TOPOLOGIQUE) (метриауемая топологическая
группа): IX, 3, 1. Ном.: rnctriierbarer Raurn. Англ.: metrizable spaco (L).
Metrisclies Pioihikt zweier metrische Raume (метрическое произведение двух
метрических пространств) (А—И): произведение метрических пространств:
Е, Е', в котором расстояние между точками (х, х') и (у, у') определено
формулой ~\/(д.{х,у))г + (d'(x', у'))'1, где d и d' — расстояния соответст-
соответственно и Еж Е'.
MINOKEK (FONCTION NDMfilUQIJE) (огравнпеппап спизу числовая функ-
функция): IV, 5, 1. Нем.: naeh unton boschra'nkte Fiinktion. Англ.: bounded
to the left, hounded from below.
Minimum of a function at a point (Но): нижний предел функции в точке.
Mitlelpunkt eines Kugels: центр сферы (или шара).
MO1NS FIN (FILTRE) (мажорируемый фильтр): I, П, 2 (см. STRICTEMENT).
MOINS FINE (STRUCTURE UNI FORME) (мажорируемая равномерная струк-
структура): II, 2, 2; — (TOPOLOGIE) (— топология): I, 2, 2 (см. STRICTEMENT).
Нем.: sehwachere Topologie. Англ.: weaker topology.
MULTIPLIABLE (FAMILLE) (перемножаемое семейство): III, 5, 1; - (SUITE)
(перемпожаомая последовательность) в нормированной алгебре: IX,
Прил., 1.
N
Nach oben (— unten) beschriinkfe Ftinktioni функция, ограниченная евпрху
(спизу); — halbsletige Funklion: функция, полуненрерыпная сверху (сни-
Natural homomorphism of a topological group on a factor group (P): канони-
чеевдпг гомоморфизм топологической группы па факторгруппу.
Neighbourhood of к point: открытая окрестность точки; — of a set: открытая
окрестность множества; — (е-) of a set (L): множество всех точек, отстоя-
отстоящих от данного множества (в метрическом пространстве) на расстоя-
расстояние < е.
Net (е-) (N), Ncfz (е-) (А—Н) (е-сеть): конечное множество (в метрическом
пространств©),' от которого всякая точка пространства удалепа на рас-
расстояние < е.

378 словарь
Nirgendsdielite Мегще (нигде но илотпое множество): разреженное множостпо.
Non dense (ensemble) (неплотное множостпо) (К): разреженное множостпо.
NOHMAJ, (E8P.YCE) (нормальное пространство): IX, 4, 1. Нем.: normaler
Hamn, 7>4"^а|ПI (А—Н). Англ.: iiovmnl space; —(енраге сошрШсшеи!)
(вполне нормальное нрострапстпо): см. GompliMernenf iiornial (espaee).
NOHMALEMENT CONVKRGENTE (SERIE) (нормально сходящийся ряд):
X, -Л, 2.
NOltME (норма) на повторном пространств: IX, .'!,^3; ном. и англ.: norm.;
— ALCEBRIQUE (—алгебраическая) комплексного числа: VIII, 1, 1;
— EUCUDIENNE (— епклидоиа) в Rn: VI, 2, 1; пом.: absolute Botrag
pines Voktors (С).
NOltME (ESPACE) (нормированное простраистпо); IX, 3, 3. Нем.: normiorter
Rmira. Англ.: normed враге.
NORMEK (AIXiEBHE) (пормировпииая алгебр»): IX, И, 7.
Nowhere dense set (нигдо не плотное множество): разреженное множество.
NUMEUIQUE (FONCTION) (тчеловая функцпн): IV, 5, 1.
О
Obere Eiilferrning zweier Mongen Л, В (Н): верхняя грянь расстояний d (x, у),
когда х пробегает Л , а у пробегает У? (и метрической пространстве).
Obere Grenze eitier Funktion: верхняя грань функции; — eiaor Folge von
I'luiktioneri: иорхпяя огибающая последовательности функции.
Obere Limes einer Funktion: nopximii продол функции но фильтру; — einer
l''olge: nopMniii предел последовательности.
OBTUS (SECTEUR AXGULA1RE) (тупой угловой сектор): VIII, 2, 5. Нем.:
stumpier Wiakol. Англ.: obtuse angle. *
Offcne AbbiJilung: открытое отображение (см. Ouverlc (application)); — Menge:
открытое множество; — Uherdeekuii^ einer Alcn^o: открытое покрытие
множества.
Oi'fener Kern einer Menge (открытое ядро): впутреппость множества.
Open coverins! of a set: открытое покрытие мтпкостпа; - homoniorphisni
of i\ topologicfll group О into a topological group G' (T1): гомоморфизм G
n,i открытую подгруппу группи. G'\ —set: открытое множество; — (raus-
)'oniia(ion: открытое отображение (см. Onverfe (applieafion)).
OFtTIIOGOVAL (GFKH1PB) (ортогональная группа): VJ, 2, 2.
OHTUOOONAT.K (TRANSJ'OHMATION) (ортогональное преобранопание): VI
2, 2.
ORTHOGONAF.ES (VARIETES L1NEAIRES AFHNES) (ортоготгал ьны« аф-
фины)>1е лгшеппые мпогообраяия): VI, 2, '1.
ORTFIOGON'AUX (MvCTKUHS) (ортогональные векторы): VI, 2, 2. Ном.:
sonkreclilo Veklorei).
OSCIUaATION (колебание) фурщцпи на множество: IX, 2, 3; — функции
в точно: IX, 2, о. Ном.: Seliwankung einer lumktion. Англ.: oscillation of
a function, [hidualioii of a function (Ho).

словарь 379
О cillation einer Fuuktiononi'olgo (колебание последовательности функций)
A1): для последовательности число пых функций (/„) это фупкцпн, рапная
Urn sup/ — lim inf/д но всех точках, где эта рнгшость определена.
ОUVERT (i:\SEMlil.E) (открытоо множество): I, 1,1; — (RECOUVREMENT)
(— покрытие): 1, 1,1. Нем.: oii'eii. Англ.: open. || Слово «ouvcrt» иногда
употребляется для обозначения всяких других номятпп, как, например,
и выражении ('открытая поверхность» (лскомпактная поверхность без
края) и алгебраической топологии и п выражении «открытия группа»
(не компактная группа) в теории групп Ли.
Ouverfe (application) (открытое отображение): отображепле топологического
пространства К в топологическое пространство F, при котором образ
всякого открытого множества из Е есть открытое мпожестпо и F. Нем.:
offeno Abbildung. Англ.: interior transformation (W), open transformation
(L).
Ouverle (relation (I 'equivalence) (открытое отпеппенне эквивалентности):
отношение :>кии валентности Л и пространстве К, насыщение по которому
всякого открытого множества есть открытое мпожестпо (другими сло-
слонами, такое, что каноническое отображение Е на факториространство
F./li открыто).
OUVFHTL'HE (раствор) углового сектора: YITI, 2, 5.
P-ADKJUE (VALEU« AHSOTAIE) (р-адическо!- абсолютное значение): IX,
3, 2. IleM.:/)-aclische Tiewertimg. Англ.: /)-adic valuation (или absolute value).
Paracoinpact (espace) (ппрпкомпактное ирослрипство): ot/u\-iii.moo нростраи-
стпо /i, для псякого открытого покрытия (Ла) которого существует локаль-
локально конечное (см. Localement finl (rccouvrement)) открытое покрытие (йр)
такое, что ь-аждоо /Ур содержится хотя бы в одном А а.
PARALLELOTOPE FERME (— OUVERT) (параллелепипед аамкиутын (-- от
крытый)): VI, 1, Я.
Parall£l.olope (*?-) («-параллелепипед) (L): компактны!11! кирпич н It", обла-
обладающим внутренней точкой, пли, более общим обр.-кюм, пространство,
гомеоморфпое такому кирпичу.
PARAMETUKS DIHECTKUUS (направляющие параметры) прямой: VI, 1, 4.
PARFAIT (ENSEMBLE) (coiiepineiiuoe множество): I, 1, 0. Нем.: perl'ekt.
Англ.: perfect.
Parfaitomctitcitiiipacl ensoi (ospaeedo Hausrioi'IT) (!■'): компактное пространство.
Parfaitemenl .separable (екрасе) (F): пространство, имеющее слетвып базис.
PARTIE ENTItlJK (целая часть) вещественного числа: IV, 8, 2; — JMACINAI-
RE (лпямая часп.) комплексного числа: \'Ш, 1,1; — REEI.LE (веще-
(вещественная чисть) комплексного числа: VIII, 1, 1.
PAUT1RLLE (SOMAIE) (частичная сумма): III, 5, 3.
PARTITION CONTINUE OK L'UNITK (непрерывное раибиепие единицы):
IX, Л, 'Л.

380 словарь
PARTITIONS FJNTES (STRUCTURE UNIFORME DES) (равномерная струк-
структура конечных разбиоппй): II, 2, 2.
PARTOUT DENSE (ENSEMBLE) (нсюду плотное множество): I, 1, 6. Нем.:
im Байт dichte Menge. Англ.: dense sot (L, K).
Parfout non dense (ensemble) (нигдо не плотное множество): разреженное
множество.
PAVE FERME (замкнутый кирпич): VI, 1, 1; — OUVERT (открытый —):
VI, 1, 1. Нем.: n-dinnensionales Intervall (С). Англ.: n-intcrval (L).
PERIODE (период) функции: VII, 1, 6.
PERIODIQUE (FONCTION) (периодическая функция): VII, 1, С.
PETIT B'ORDRE V (ENSEMBLE) (малое порядка V множество): II, 3, 1.
PLAN COMPLEXE (комплексная плоскость) в пространстве С": VIII, 4, 3;
-NUMERIQUE (числовая -): VI, 1, 1; - PROJECTIF REEL (веще-
ствепная проективная —): VI, 3, 1; PROJECTIF COMPLEXE (комплекс-
(комплексная проективная —); VIII, 4, 3. |Нем.: Ebone.
PLAT (SECTEUR.ANGULAIRE) (раавернутый угловой сектор): VIII, 2, 5.
PLUS FIN (FILTRE) (мажорирующий фильтр); I, С, 2 (см. STRICTEMENT).
PLUS FINE (STRUCTURE UNIFORME) (мажорирующая равномерная струк-
структура): II, 2, 2; - (TOPOLOGIE) (- топология): I, 2, 2 (см. STRICTEMENT).
Нем.: starkere Topologie. Англ.: stronger topology.
POINT DE VUE (центр) стереографической проекции: VI, 2, 4.
Point of closure of a set (N): точка прикосновения множества.
POLYNOMES (полиномы) относительно данного множества числовых функ-
функций (с коэффициентами из нормированного пространства): X, 4, 2.
Ponctuellement discontinue (fonction): функции с тощим множеством точек
разрыва.
PRECOMPACT (ESPACE UNIFORME) (предкомппктной равномерное прост-
пространство): II, 4. 2. Нем.: total beschrankter Raum, bodingt kompakter
Raum (И). Англ.: totally bounded space.
PRODUIT D'UNE FAMILLE MULTIPLIARLE (произведение перемножаемого
семейства) в коммутативной группе: III, 5, 1; — D'UNE SUITE MULTI-
MULTIPLIARLE (— перемножаемой последовательности) в нормированной алгеб-
алгебре: IX, Ирил., 1.
PRODUIT INF1NI (бесконечное произведение) в коммутативной группе:
Ш, 5, 7; — в нормированной алгебре: IX, Пргш., 3.
PRODUIT (ANNEAU TOPOLOGIQUE) (произведение топологических колец):
III, 6, Л; — (ESPACE TOPOLO(HQUE) (токологических пространств):
I, 4, 1; — (ESPACE UNIFORME) (— равномерных 1грострапств): II, 2, 6;
— (GROUPE TOPOLOGIQUE) (— топологических групп): III, 2, 9; англ.:
•direct product of topological groups (Г); —(STRUCTURE UNIFORME)
(ранпомерных структур); II, 2, 6; — (TOPOLOGIE) (— топологий) I, 4, 1.
Prolongenient (продолжение) метрического пространства (К): пополнение.
PROLONGEMENT PAR CONTINU1TE (продолжение отображения по непре-
непрерывности): I, 8, 5.

СЛОВАРЬ 381
Propridte" de Borel (ensemble ayant la) (F) (множество со свойством Бороля):
множество А, «сякое счетное открытое покрытие которого содержит кояеч-
тгое покрытие.
Propriety de Lindeief (ensemble ayant la) (множество со свойством Линделефа):
множестпо А, пси кое открытое покрытие которого содержит счетное
покрытие.
Punctiforme (ensemble) (польская школа): множество, не содержащее пи
одного ноодпоточечного связного компактного множества. Нем.: diskon-
tinuierliche Menge (H).
Punkthai'te Menge (H): вполне несвязное множестпо.
QUADRANT (квадрант): VIIT, 2, Г>.
■Quadrat: кпадрпт.
Quasi-component of a set (квазикомпонента) множества (L) (см. Constituent).
Quasi-uniformement convergent (suite) (квазиравномерно сходящаяся после-
последовательность): последовательность функции /„, определенных на топо-
топологическом пространстве Е со ниачениями в ратгоморпом nj>ocTpaucTne F,
сходится кнавиравпомерно на К к функции /, если она сходится к / в каж-
каждой точке и для всякого окружения V иэ F и всякого целого числа п0
существует конечное число целых чисел тог > я„ таких, что, каково
бы ни было х £ Е, существует хотя бы один индекс i, для] которого
(Ц (*). / (*)) б v. .
QUOTIENT (ANNEAU TOPOLOGIQUE) (топологическое факторкольцо); III,
6, 4; — (ESPACE TOPOLOGIQUE) (топологическое факторпространство):
I, 3, 4; нем.: Zerlegungsraum; апгл.: decomposition spuce, hyperspaeo of
a decomposition (W); — (GROUPI? TOPOLOGIQUE) (топологичоская
факторгруппа): III, 2, 6. англ.: factor group of a topological group (P);
— (TOPOLOGIE) (фактортопология): I, 3, 4. || В (А—Н) на фактормноже-
фактормножестве ElR определяется также топология, мажорирующая фактортополо-
гию: аа окрестности точки г £ ElR в :>тон топологии принимаются канони-
канонические образы наибольших насыщенных по Л множеств, содержащихся
в окрестностях множества <р (г) в Е, где <р — каноническое отображение Е
на ElR', ElR, наделенное этой топологией, называется «schwacher ZerJo-
gungsraura».
R
RACINE (CARREE, CUBIQUE, n-ЁМЕ) (корень квадратный, кубический,
n-й степени) И8 вещественного числа: IV, 3, 3. Нем.: Wurzel. Англ!: root.
RADIAN (радиан) (единица угла): VIII, 2, 3.
Rand einer Menge (край множества) (IT, A—Н): пересечение рассматривае-
рассматриваемого множества с его границей (см. FRONTIERE)

382 словарь
Rnndpunkt einer Monge: граничная точка рассматриваемого множестве,
принадлежащая этому множеству.
ПЛИЕ (ENSEMBLE) (разреженное множество): IX, 5, 1. В прежней терми-
терминологии: нигде но плотпое множество. Нем.: Nirgondsdichte Menge. Апгл.:
nowhere dense set, nondenso set (Ho).
RATIONNEL (RANG) (рациональный раит) подгруппы группы R": VII, 1.
Haum (n-dimensionalcr): n-мериоо числовое простраистпо.
Ray: полупрямая.
ПА YON (радиус) евклидова шара (— евклидовой сферы): VJ, 2, 3; — шара
(-- сферы) в метрическом пространстве: IX, 2, 2. Нем.: Radius, Англ.:
radius.
«echterk: прямоугольник (дпумерный кирпич).
llcrhier Winkel: прямой угол.
REEL (NOMBRE) (вещественное число): IV, i, 3.
REELLE (FONCTION) (иоществеппая функция): IV, 5, 5.
Region (область) (L): открытие множество н метрическом пространстве;
— (W): область п метрическом пространстве.
REGUL1ER (ESPACE) (регулярное простраистпо): I, 8, А. Нем.: regularer
Raum, jT^-Rnum (А—И). Англ.: regular space; — (ESPACE COMPLETE-
MENT) (нгголно регулярное пространство): см. COMPLETEMENT ПЁ-
ОТЛЛЕИ (ESPACE).
Reibe: ]>пд.
Relaliv abgeschlossene, —offene, —perfekle Menge (II): множество, ламкнутое
(соотв. открытое, coiiepineirBOe) отпогительпо подпространства.
REI.AT1VEMENT COMPACT (ENSEMBLE) (относительно компактное мно-
множество): I, 9, П. Нем.: in Bezug аи Г den Raum kompakte Mongo (« случае
мптрнзуомых пространств; в произвольном нрострапс.тпе :>тот термин
огшачает и (Л—II) «компактное мпожестно» и смысле Фрсчпо; см. Compact).
Relativierun^. velathi/.aiioii (ролятипк;!пцтг): переход it топологии, индуци-
индуцируемой и подмножестве длшкш .топологией.
Rclativrauin: подпространстпо.
«ENTRANT (SECTKII15 ANGULA1RE) («ходяиупг уг.-ionoii пч;то])): VIII.
2, П.
Residue! (ensemble): дополнение к тощему множеству (в (Ъровском прострой-
стпе). || Отметим, что слово «Residuum» означает в (И) совсем другое
понятие.
RESTE (остаток)' ряда: III, 5, 0.
Right angle: прямой угол.
Root (м-tli) of a real number: корень.м-й степени пз вещественного числа.
S
SAILLANT (SECTEUR ANOULA1RE) (выступающий yntonoii сектор): VIII,
2, 5. . - • •
SATUREE (FAMILLE D'FCARTS) (насыщенное семейство отклонений)
IX, 1, 2. . . • .. •

словарь 383-
Scattered set: нигде по шинное в себе мпожс.стпо (см. Clairscme (ensemble)).
Sdmache Erwciterin>£ eiiies liaumes (слабое расширение пространства) (А—II):
пространстпо, получаемое путем присоединения к данному пространству Е
«бесконечно удаленно!! точки» w Е лыбора в качестве открытых множеств
is Е U (о)} открытых множеств на Е, а также дополнений (в Е (J {с»})
к замкнутым множествам ив Е, компактным в смысле Фреиге.
Schwankuug eiiicr Fmiklion: колебание функции.
SECTEUH ANGLLAIRE (угловой сектор): VIII, 2, 5. R прежней термино-
терминологии: угол.
SEGMENT FERME (— ODVERT, — OUVERT EN a; FERME EN у) (стре-
(стрелок замкнутый (— открытый, — открытый в х, — замкнутый п у): VI, 1, 4.
Нем.: Strecke (С) (замкнутый отрезок).
Segment (отрезок) (L): компактный интервал в R.
Semi-circle: полуокружность.
SEMI-CONTINUE INFER1EUKEMEXT (FONCTION NUMER1QUE) (числовая
функция, полуиепрерыштая снизу): IV, 0, 2; — SUPER1E141EMENT
(FONCTION NUMERIQUE) ( гперху: IV, 6, 2. Нем.: abwarls
(aufwarls) halbstolige Kunktion (С), narh union (i)ach oben) lialbsteligc
Function. /
Senkrcclitc Vekioren: ортогональные векторы.
Separable (espace) (г.еларнбелыюе прострапстпо) (F): топологическое прост-
пространство, и котором существует сметной всюду плотное множество. || В слу-
случае метрнпуемнх пространств по нитке сепараО'слшого пространства
сонпадает с попятием пространства со счетно»! базой. От термина «нёрагаЬ-
1е» следует отказаться, ибо о» приводит к смешению с понятием «scpar.i-
tiorj» в топологических пространствах, относящимся к совсем другим
вопросам.
Sej>nranl (enpeinhle) (отделяющее множество) для двух множеств (К): мно-
множество С отделяет А от И, если СС = U [J V, гдо U н V -- отделенные
множества (см. S6par6s (спнетМея)) такие, что A a V л В с. V.
SEPAUANTE (FAMILLE DK FONCTIONS) (отделяющее семейство функции):
X, 4, 1. Англ.: separating class of functions (L).
Separation of a space (W): |ia:i6nejtne прострвнетпа на два залпшутых мно-
множества.
Separation (axiomes de) (аксиомы отделимости):
1) Аксиома Колмогорова (или аксиома G'0) (А — II, L)): для любых
двух различных точек х и // существует окрестность одно1'г ни них, кото-
которая не содержит другой (что равносильно тому, что {х} ■-/- {у}).
2) Аксиома Фреше (ггли аксиома A\) (А—II, L)): для любых двух
рааличпых точек хну существует окрестность каждой нл них, не содер-
содержащая другой. Пространство, удовлетворяющее этой аксиоме, назы-
называется достижимым.
3) Аксиома Хаусдорфа, или аксиома (Н) (или аксиома (Г2) (Л —II), L)):
для любых дпух различных точек хну существуют окрестность точки х
и екрестпость точки у, не имеющие общих точек; 1, 8, 1. Пространство,

384 словарь
удовлетворяющее этой аксиоме, называется отделимым (или гаусдор-
фовым).
4) Аксиома Урысана: дли любых двух различных точок х и у суще-
существуют вамкпутпая окрестность х и замкнутая окрестность у, не имеющие
общих точек.
5) Аксиома Виеториса, нлн аксиома (Ощ) (или. аксиома G"я) (Л—II)):
для любого замкнутого множества А и любой точки х & А сущостпуют
окрестность точки г и окрестность множества А, не имеющие общих
точек; I, 8, 4. Отделимое пространство, удовлетворяющее ;rroii аксиоме,
вапываетсл ревулярным.
(>) Аксиома Тихонова, пли аксиома (Oiv): длн любого замкнутого
множества А и любой точки .г $ А существует числовая фувкция /, непре-
непрерывная на К, со .шачепиими л интервале [0, 1], ранная 1 п точке х к О
ни А; IX, 1, й. Пространство, удпилетворшощос этой аксиоме, назыв«ртся
раяномермуемым.
7) Первая аксиома Титце, или аксиома (Ov) (или аксиома G) (Л — Н)):
для любых непересе!{аю1цихси аамквутмх множеств А \\ В существуют
окрестность множества А и окрестность множества В, не имеющие общих
точек; IX, 4, 1. Отделимое пространство, удовлетворяющее этой пксиомо,
ншшиаетси нормальным.
8) Вторая аксиома Титце (или аксиома (f5) (Л—II)): для любых
множеств А и .4, ни одно из которых не содержит точек прикосновении
другого, существуют окрестность множества А и окрестность множест-
множестпа В, не имеющие общих точек. Отделимое пространство, удовлетворяю-
удовлетворяющее этой аксиоме, называется вполне нормальным.
Нем.: Tronnungsaxiome.
SEPARE (КSPACE TOPOLOGIQUE) (отделимое топологическое пространство):
I, 8, 1; нем.: Hausdorffscher Haum, 7y't'u1m (A—II); англ.: Hausdorff
space, 7V-spaco (L); — (ESPACE UNIFORME) (отделимое равномерпое
пространство): II, 3, 8. || Поскольку аксиома Хаусдорфа — наиболее
ппжпая из аксиом отделимости (см. Separation (axiomes tie)) общей топо-
топологии, именно пространствам, удовлетворяющим :>топ аксиоме, мы при-
присвоили наименование отделимых.
SEPAREE (STRUCTURE IMFORME) (отделимая равномерная структура):
П, 1, 2; — (TOPOLOGIE) (— топология): I, 8, 1.
Separfis (ensembles) (отделопные множества) (К): множества А, В, ни одио
ir:i которых не содержит точок прикосновения другого.
Separicrte Menge (Н): нигде не плотное в себе множество (см. Clairsenie (en-
(ensemble)).
Sequentially compact space (секвенциально компактное пространство) (L):
пространство, каждая бесконечная последовательность точек которого
обладает сходящейся подпоследовательностью. || Это понятие совпадает
с понятием пространства ((компактного в себе» в смысле Фрегае (см. Compact),
«ели каждая точка пространства обладает счетной фундаментальной
системой окрестностей.

словарь 385
SERIE (ряд): III, 5, (i. Пом.: Reihe. Англ.: Series.
SIMPLEMENTCONVEllGENT (FILTRK) (прогто сходящийся фильтр): X, 1, 3.
SIMPLEMENT CONVERCiKNTE (FAMILLE) (семейство, просто сходящееся)
no фильтру: X, 1,3; — (SERIE) (— сходигщптси ряд): X, 1, 2 — 3; — (SUI-
(SUITE) (—сходящаяся последовательность): X, 1, 2—3. Англ.: pointwise
convergent sequence of functions.
Simplement uniformeinent convergente (suite) en un point: последовательность
функции /n, определенных па топологическом прострапстне Е, со зна-
значениями в равномерном пространстве F просто равномерно сходится
в точке а-0 £ К к функции /, если она сходится просто к / п некоторой
окрестности точки хп и для каждого окружения V ил F и каждого целого
п0 существуют окрестность U точки х0 и целое и 5s no такие, что
(/„(*)./ W) С V для вгох xg U.
SiiipilSrcr Punk! eines Raumes A)): точка, пе обладающая фупдпмептальпой
системой связных окрестностей.
SINUS (синус) угла: VIIJ, 2, 4; — члглп: VIII, 2, 4.
SOMMARLE (FAMILLE) (суммируемое семейство): III, 5, 1.
SOMME (сумма) семействе: III, 5, 1; — ридп: III, 5, С>.
SOMME (ESl'ACE ТОГО LOG] QUE) (топологическая сумма семейства прост-
пространств): I, 2, 4; — (TOPOLOGIE) (сумма семейства топологий): I, 2, 4.
SOUS-GROUPE (подгруппа) топологическом группы: III, 1, 1.
SOUS-ESPACK (подпространство) топологического пространства: I, 3, 1; —
равномерного пространства: II, 2, А. Нем.: Relativraum, Unterraum.
Англ.: sub-space.
SPHERE (сфера) в метрическом пространстве.: IX, 2, 2; •— EUCIJDIENNK.
(— евклидова): VI, 2, 3; и прежней терминологии: hypersphere; нем.:
Sphare, KuRoHlaohe, KiiReloborl'laehe; англ.: n-sphore (ом. CERCLE);.
— UNITE (-единичная); VI, 2, 3.
Sphere fermee (— ouverie) и метрическом пространств (К): замкнутый (от-
(открытый) шар.
Sphere (L): открытии тар.
Sphere (-и): открытый шар (V); топологическое пространство, гомеоморф-
иое Sn (L).
Spheroid (сфероид) (L): открытый тар.
Spliiiroide (F): яамкнутый ншр.
Spit/er Winkel: острый угол.
S-spare (I'): метринуемое лрострпистио, обладающее счетпой баяой.
Starke Erweiter\in^ oinos Riiumos (A- II): нространстио, получаемое путем
присоединения к данному прострянотпу Е «бесконечно удаленной» точки <Э
и выбора и качестве открытых множеств и Е {) {м} открытых множеств
из Е, а такжо дополнений (is К 'J {m}) к бикомпактнылг (см. Diconipacl
(espaco)) замкнутыдг множествам ил Е.
Stark sietige Abbildmijj (силг.ио иеп])е])ышгос: отображение) (А—Н): иепрерып-
ное отображение / пространства Е и пространство F, прп котором для
Va 25 II. ьурбаки

386 СЛОВАРЬ
любого замкнутого множества А из Е, насыщенного по отношению экви-
эквивалентности / (х) — f (у), f (А) замкнуто в F.
Steigun£ einer Strecke: наклон прямой.
STEREOGRAPHIQUE (PROJECTION) (стереографическая проокция): VI, 2, 4,
Stetig: непрерывный.
Strahl (луч): полупрямая.
Straight line: прямая.
Strecke: замкнутый отрезок.
STIUCTEMENT (строго): напомним (см. Книга I, гл. III), что вообще, если
покоторое слово выражает, что элементы х, у данного множества связапы
некоторым отношением порядка, то оно же, предваренное словом «stricte-
. ment», означает, что х, у связаны тем же отношением порядка и, кроме
того, х Фу. Например: фильтр Ъ строго минорирует фильтр $', «ели
% минорирует $', и, кроме того, % =#=$'•
Stronger topology: мажорирующая топология.
STRUCTURE UNIFORME (равномерная структура): II, 1, 1; —ADDITIVE
(аддитивная ) топологического тола: III, 0, 8; — ADDITIVE (адди-
(аддитивная ) числовой прямой: IV, 1, (I; — ADDITIVE (аддитивная )
в II": VI, 1, 2; — DE LA CONVERGENCE COMPACTE ( компакт-
компактной сходимости): X, 1, 3; — DE LA CONVERGENCE SIMPLE ( про-
простой сходимости): X, 1, 3; - DE LA CONVERGENCE UNIFORME (
равномерной сходимости): X, 1,3;— DE LA CONVERGENCE UNI-
UNIFORME DANS LES ENSEMBLES D'UN FAMILLE ( равномерной
сходимости на семействе множеств): X, 1,2; — DEFLNIE РАН UNE FA-
FAMILLE D'ECARTS ( , определенная семейством отклонмшй): IX, 1, 2;
— DROITE (правая ) топологической группы: Ш, 3, 1; —GAUCHE
(левая ) топологической группы: III, 3, 1; — MULTIPLICATIVE
(мультипликативная ) топологического тела: Ш, 0, 8.
Stumpfer Winkel: тупой угол.
Subbase of a space (подбаза пространств) (L): система образующих тополо-
топологии; — at a point. х0 (— в точке ж0) (L): множество открытых окрест-
окрестностей точки xq, составляющих систему образующих фильтра ее окрест-
окрестностей.
SUBORDONNEE (PARTITION CONTINUE DE L'UNITE) разбиение единицы,
подчиненное локально конечпому открытому покрытию: IX, 4, 3.
Snpremum: верхняя грань.
SYMETRIQUE (ENTOURAGE) (симметричное окружение): II, 1, 1; — (VOI-
SINAGE) (симметричная окрестпость) нейтрального элемента п тополо-
топологической группе: III, 1, 2.
SYSTEME FONDAMENTAL D'ENTOURAGES (фундаментальная система
окружений) равномерной структуры: II, 1, 1; — DE VOISINAGES D'UN
POINT ( окрестностей точки): I, 1, 3. Нем.: Umgebungssystem eines
Punktes. Англ.: base at a point (для систем открытых окрестностей).
SYSTEME PRINCIPAL DE PEMODES (главная система периодов) д-перио-
дической функции: VII, 1, 6.

словарь 387
Т
TANGENTE (тангенс) угла: VIII, 2, 2; —числа: VIII, 2, 4.
Tenant (ensemble (Pun seul) (F): множество А, для любых двух точек а:, д
которого существует сиявное замкнутое множество, содержащее х и у
и содержащееся в А.
TERME GENERAL (общий член) рядя: III, 5, 6.
Topological equivalence of two spaces (топологическая эквивалентность двух
пространств) (L): гомеоморфизм двух пространств; — mapping (тоноло-
гнчрекоо отобрнжопие): вааимио непрерывное, отображение (гомоомор-
физм); — sphere (топологическая сфер») (L): пространство, гомеоморфное
евклидовой сфере.
TOPOLOGIE (топология): 1,1,1; - DE LA CONVERGENCE COMPACTS (- ком-
компактной сходимости): X, 1, 3 и 3, 4; — DE LA CONVERGENCE SIMPLE
(— простой сходимости): X, i, 3 и 3, 4; — DE LA CONVERGENCE UNI-
FORME (— равномерной сходимости): X, 1, 1; — DE LA CONVERGENCE
UNIFORME DANS LES ENSEMBLES D'UN FAMILLE (— равномерной
сходимости на семействе множеств): X, 1, 3.
TOPOLOGIQUE (ANNEAU) (тонопогическоо кольцо): III, 6, 3; — (CORPS
(— тело): III, 6, 7; — (ESPACE) (— пространство): I, 1, 1; — (GROUPE)
(топологическая группа): III, 1,1. || Смысл, вклядываемый в слова «топо-
«топологическое пространство», исторически очень менялся, и тот, который
мы им придаем, еще не общепринят; иногда эти слона понимают в значи-
значительно более общем смысле, как, например, в (А—Н), (L) и (N). В (Л — Н)
и (N) определена структура менее богатая, чем структура топологическо-
топологического пространства, а именно структура «общего токологического простран-
стна» (А—Н) или «абстрактного топологического пространства» (N); она
определяется заданием любого отображения X —у X множества ЩЕ)
в себя (исходя от которого понятие «замкнутого множества» определяют
условпем X с X, а затем другие основные топологические понятия
обычпым образом). В (V) топологическим пространством названо мно-
множество, наделенпоо структурой предыдущего типа с аксиомой X с: X
(Фреше принимает яа основное понятие производного множества, а но
замыкания, но его определение равносильно предыдущему). В (W)-рас-
(W)-рассматриваются лишь достижимые пространства (см. Accessible (espace))
и именно такие пространства называются топологическими.
TOPOLOG1QUE (STRUCTURE) (топологическая' структура): I, 1, 1. Нем.:
topologischo Zuorclnung (A—Н) (когда топологическая структура опре-
определена заданием отображения X —>- X).
Topologiquement coinplet (espace) (топологически полное пространство) (К, W):
метризуемое топологическое пространство Е, в котором существует рас-
стояпие, согласующееся с топологией, относительно которого Е есть
полное метрическое пространство; — contenu (espace) (— содержащееся
25*

388 словарь
в пространстве Е) (К): прострпнство, гомеоморфиое иодпрострапстпу
пространства Е; ~ equivalents (sous-espaces) (— эквивалентные нодпро-
страпства) пространств Е, F (К): подпространства, для которых суще
ствуст гомеоморфизм Е на F, преобразующий одпо из этих подпространств
и другое.
Topologisch aquivalente Riiume (тонологичоски эквивалентные пространств»)
(А—И): гомеоморфные пространства; — tfleichwertigen Metriken (— рав-
равносильные метрики) (А—Н): расстояния, определяющие п одном и том
же множестве одну и ту же топологию.
Topologischc Zuordnun^ (Л—И): топологическая структура; — (sehwachste)
(слабетная — —): сильнейшая из топологических структур (данного
семейства); — (starkste) (сильнейшая: ): слабейшая на топологиче-
топологических структур (данного семейства).
TORE Л UNE DIMENSION (одномерный тор): V 1, 2; — Л п DIMENSIONS
(к-морпый тор): VII, 1, 4. Англ.: toroidal group (P).
Toroid (торопд) (L): произподение бесконечного семейства топологических
пространств, совпадающих с Т.
Torus (тор) (А—Н): двумерный тор.
Total besehrank'te Merigo: продкомлинтиое подпространство,. (метрического
пространства); — imperfekte MenRe (H): множество, не содержащее ни
одного непустого соворшонпого подмножества); — unKiisaininenhSngende
Мепде (Н): вполпе несвязпоо множество.
Totalement Iiom6 (ensemble) (К): нредкомнактпоо подпроотрапство (метри-
(метрического пространства).
TOTALEMENT DISCONTINU (ENSEMBLE)- (вполне несвязное множество):
I, 11, 5. И другой терминологии: ensemble dispers6 (рассеяппое мпожестпо)
(польская школа). Нем.: punkthafte Мел^е (II), total iinzusamnienhangende
Menge (II), zusammenhajjgslose Menge (А—И). Англ.: totally discon-
disconnected set.
Totally bounded space: предкомпактиое пространство; — disconnected set:
isHOJiite несвязное множество.
Т0-11ашп (А—И), T0-space (L): пространств, в котором всякая raipa точек
удовлетворяет аксиоме Колмогорова (см. Separation (axiomes de,)).
T,-Haum (A—H), Tj-space (L): достижимое прострпнство (см. Accessible
(espnee)).
Tj-Ilaum (A —II), T2-space (L): отделимое пространство.
T3-Raum (A—H): регулярное нространстно.
T4-Raum (A—H): нормальное пространство.
T5-Raum (А—И): вполпе нормалышо пространство (см. Completement normal
(espacc)).
Trennunfrsnxioine: аксиомы отделимости (см. Separation (axioines de)).
TRIADIQUE (DEVELOPPEMENT) (троппноо разложение) поществепного
числа: IV, 8, 5.
TRIGONOMETRIQUE (FORME) (тригонометрическая форма) комплексного
числа: VIII, 2, 2.

словарь 389
Tyehonoff space (тихоновское пространство) (L): вполне регулярное прост-
пространство.
Type topologique (espaces de тёше) (пространства одинакового топологиче-
топологического типа) (А—Н, К): гомеоморфпые пространства.
и
Uberdeckung (abgeschlossenc, offene) oines Raumes: замкпутоо (открытое)
покрытие пространства; - (e-)eines Rnumes: покрытие метрического
пространства множествами диаметра < е.
ULTRAFILTRE (ультрафильтр): I, О, А.
Umgebung eires Punktes: открытая окрестность точки; -- einer Menge: откры-
открытая окрестность множества (II, А— II); — (е-) oiner McBge (А —II): мно-
множество всех точек метрического нрострапства, удаленных от рассматри-
рассматриваемого множества па расстояние < е. || В (А—II) слово «Lmgebung»
оаначает сначала любую окрестность точки, а открытия окрестность
именуется «absolute UmgobuDg»; но со стр. 58 слоно «l.'mgebung» при-
применяется только к открытым окрестностям.
Umgebungssysteni oines Punktes (A- II): фундаментальная система окрест-
nocTeii точки; — eines Rauraes (A—IT): отображение, относящее каждой
точке пространства некоторую фундамоитальиук) систему ое окрестпостей.
Umkehrbar stetige Abbildung (H): взаимно непрорнвноо отображение.
Ummetrisierung oines Raumes (перемотризация пространства) (А—Н): замена
одного расстояния другим, определяющим ту же топологию.
UNIFORME (ESPACE) (равномерное пространство): II, 1, 1.
UNIFORMEMENT BORNEE (FAMILIE DE FUNCTIONS NUMERIQUES) (pun-
номе[)но ограниченное семейство числовых функций): IV, 5, 5; — CON-
CONTINUE (FONCTION).(- непрерывная функция): II, 2, 1; нем.: gloirh-
miissig stetige Abbildung; airrjt.: uniformly continuous function; — CON-
CONVERGENT (FILTRE) (— сходящийся фильтр); X, i, 1; — CONVERG-ENTE
(FAMILLE) (—сходящееся семейство) по фильтру: X, i, 2; — CON-
VERGENTE (SERIE) (—сходящийся ряд): X, 1, 2; — CONVERGENTE
(SUITE) (— сходящаяся последовательность): X, 1, 2; — EQUICONTIXU
(ENSEMRLE) (— равностепенно непрерывное множество): X, 2, 1;
— MAJOREE (FAMILLE DE FONCTIONS NUMEIUOJUES) (— ограничен-
ограниченное сверху семенстно числовых функции): IV, 5, 5; — MINOREE (FA-
(FAMILLE DE FONGTIOXS NUMERIQUES (— ограничоииоо снизу семей-
семейство числовых функций): IV, 5, 5; — SOMMAKLE (FAMILLK) (- сум-
суммируемое семейство): X, i, 2.
UNIFORMISABLE (ESPACE TOPOLOGIQUE) (рлвномерипуемоо топологиче-
топологическое пространство): II, A, i.
UNITE D'ANGLE (единичпый угол): VIII, 2, 3.
Untere Entfenninsl zwoier Mengen (H): расстошгае между двумя множествами.
Untere Greiize einer Funktion: нижняя грапь функции; — einer Folge von
Funktionon: нижпяя огибаюп(ая последовательности функци!!.

390 словарь
Untere Limes einor Funktion: нижний предел функции по фильтру; — einer
Folge: нижний предел последовательности.
Unverdichteter Punkt ehier Menge (H): точка множества А, ire являющаяся
точкой конденсации (см. Condensation (point dc)); — Teil elner Menge (H):
множество всех точек множества А, не являющихся его точками конден-
конденсации (см. Condensation (point dc)).
Upper boundary of a function: верхняя грань числовой функции.
Upper senii-confinuons collection (W): разбиение топологического простран-
пространства такое, что определяемое им отношение экниналептиости замкнуто
(см. Fernwe (relation d'6quivalence)).
Urysohn's characteristic function of a pair (A, B) of closed sots (L): непрерыв-
непрерывная числовая функции со значениями в [О, 1J, определенная на всем
пространств, равная 0 па А и 1 на В.
VALEUR ABSOLUK (пбеолютпоо значение) на теле: IX, 3, 2; нем.: Bewer-
tung, multiplikative Bewertung; англ.: absolute value; пещоствеп-
ного числа: IV, 1, 6; комплексного числа: VIII, 1, 1; нем.: absoluter
Betrag.
VALEUR APPROCHEE (прибли5кепное значение) вещественного числа
с точностью до е: IV, 8, 1.
VALUE (CORPS) (нормированное тело): IX, 3, 2. Нем.: Bewertoter Korper,
VARIETE LINEAIRE COMPLEXE (— REELLE) (комплексное (веществен-
(вещественное) линейное многообразие) в Сп: VIII, 4, I.
VECTEUR DIRECTEUR (направляющий вектор) прямой: VI, 1, 4.
Verdichtungspuiikt einer Mengo (H): точка конденсации (см. Condensation
(point de)) множества.
Verketteter Raum (e-) (A—H): метрическое пространство, каждые дие точки
которого соединимы е-цепью; — @ —) (А — Н): метрическое простран-
пространство, каждые дне топки которого соединимы е-цепыо при всяком в > 0.
Verkettetes Mengcnsystem (A—II): множество ft подмножеств пространства Е,
для любых двух элементок А, В которого существует коночная лоследо-
пательность (Л;H^;<сп множеств из ft такая, что Аа = А, Ап — Л и
Ai П А1+1-ф0(О< i< ii-i).
Vei-vollstSnd g ng eines Raumes (H): пополнепие метрического пространства.
VOISINAGE (окрестность) множестиа: I, 1, 2; — точки: 1,1, 2; — порядка V
множества: II, 1, 2. Нем.: UmgebiiDg. Англ.: Nejp;libo(u)rhood (наметам,
что эти слова означают у упоминаемых нами цнторон открытую окрест-
окрестность) .
VOISINS D'ORDRE V (POINTS) (точки, блиякие порядка V): II, 1, 1.
Vollkugel (A—H): замкнутый евклидов шар.
Vollstiindig normaler Наши: пполне нормальное пространство (см. Comple-
lement normal (espace)).

СЛОВАРЬ 391
Vollstandige Httlle eines Raumes: пополнение метрического простран-
пространства.
Vollstiindiger Itaum: полиос метрическое цространство.
W
Weaker topology: мажорируемая топология.
Well-chained set (\V): множество (в метрическом пространстве), каждые две
точки которого при любом е > 0 соединимы 8-цопыо, состоящей и? точек
множества.
Winkel: угол.
Wiirfel: куб,
Wurzel (w-te) einor Zahl: кореш, гс-й степени из вещественного числа,
Youngsche Menge (Н): метризуемое толологическое пространство Е, допу-
скающео расстояние, согласующееся с его топологией, при котором Е
есть полное метрическое пространство,
Z
Zerlegbarer Raura (H): пространство, являющееся объединением двух отлич-
отличных от него замкнутых подмножеств.
Zerlegung eines Raumes (A—H): разбиение пространства; — (normale) eines
Raumes (— нормальное) (А—Н): ранбиенпе пространства, факторнро-
странство но которому нормальпо; — (regula're) eines Raumes (— регу-
регулярное) (А—И): разбиение пространства, факторпространство по кото-
которому регулярно; — (stetige) eines Raumes (— непрерывное) (А—Н):
- разбиение пространства, которому соответствует замкнутое отношение
эквивалентности (см. Fennfe (relation d'fquivalonce)).
Zerlegungsraum (A—H): факторпрострапство.
Zerstiickelung einos Raumes: разбионие пространства нп два открытых мно-
множества.
Zusammenhfingende Menge: связное множество.
ZusammenMngender Raum: связное пространство.
Zusammenhangslose Menge (A—H): вполне несвязное множество.

УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ
«Р» означает ссылку иа «Сводку результатов»»
Гл. § п° Гл.
Е (£ — виол не рс- °° ■» '
гуляриое про- г^ Ж1' \г ;Г" (в
стрпиство) ... IX 1 упр. 7 п л Пс~-°
j/j m j/ л\ нормированной
б (Л) (х —точка, ' ; • 1л
^4, Д —множест- ^'
па в мотричоском °° г
пространстве, и JJ сс„ IX
котором рао- П„.О
стояшю между ,т (X; V), Я (х)
точками х, у (Л — множество
обозначается ь,Т(Х; \')),Ф(х)
d(x,y)) . . . ' IX 2 2 (Ф— фильтр и
Р 3 7 й~(Х; Y)), и\А,
\х\ (абсолютное Н\А (И —мпо-
значенио в иор- жество в X,
мироваIном те- и £ .5" (X; У),
ло) IX 3 2 Я cz <f (X; У)) х
Р 10 22 р
|[ х |[ (норма в нор- W(I') (F —окру-
миропанпом про- женив для У) . X
странстио) ... )Х з 3 -^u (-V; V) .... X
Р 10 29 ^з ^A'; У)- -476 Х
Л№ IX 5 упр. 3 р
Л (О (С-рашо- ,Г'И,Г,(Л£6,К_ Р
~Т0' fx 6 5 окружение для У) X
а'®а 1Х 6 У"Р-4 ^.(^;П,*-е(Х;У) X
II *"' IIа" (в ?№П,?6(А';У),
£N n ^«(^l^.r-'c^-.y),
нормироваиной ^ u (-V; У) . . . X
алгебре) . . . . 1Х Прил, i P
Р И 12 ?s''V;1>) ■ • • • X
Прил.
13
1
1
3
15
16
1
13
1
6
5
6

УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ
393
j(x — точка в X)
♦'$© (X; Y),
in (Д , 1 ) ( 2 ■—
метрическоо
пространен ю)
|| u|| (и— ограни-
чонное отобра-
отображение норми-
нормированное про-
пространство) . . .
«О (A J, • • • i Лп, J J
и Y—нормиро-
Y—нормированные прост-
пространства) ....
|| и || j (u — поли-
полилинейное отоб-
отображение произ-
произведения норми-
нормированных про- ■
странство) в нор-
нормированное про-
пространство) . .
Т(Я, V) (К-ком-
(К-компактное множе-
множество в X, V —
открытое мно-
множество в У) . .
.Та ....
рх
vX . .
А
А
lini^/, lim^,/(.r)
lira xn
п-*оо
lim / (аг) (А—фильт-
(А—фильтрующееся уио-
Гл.
X
X
Р
X
X
X
X
■у-
X
Y
л,
X
р
р
р
р
§
2
3
13
3
3
3
3
о
о
4
1
4
1
1
2
2
п°
1
1
4
2
2
2
4
5
упр. 0
упр. 17
9
10
16
18
рядоченное
множество)
lim / (х),
lim/(г) . .
х-*а
(о (то; /) • • ■
lim inf»/,
lim sup-^. / (x),
lim тЦ/ (x)
lim supzn,
n-*oo
lim inf xn . ,
lim sup / (ar),
x-*a, x£A
lira inf / (x) .
lira sup / (x),
lim inf / (x) .
x-*a
фильтры) .
2j xu 2j l> Zj
r(G), d(G) (G —
замкнутая под-
подгруппа группы
Rn)
G* (G-подгруппа
группы Rn) . .
T
a*, loga x, e (x)
e, я, ez, expz
(г—комплекс-
(г—комплексное число) . . .
Гл. § n°
Р 2 19
Р 2 20
Р 2 20
Р 2 22
Р 2 25
Р 2 25
Р 2 25
Р 2 26
Р И 1
Р 11 5
Р 11 8
Р 12
Р 12
Р 12
12 И
Р 12 12
26 н. Бурбаки

УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
«Р» означает ссылку на. «Сводку результатоь>>
Гл.
Абсолютная схо-
сходимость ряда
. Р
Абсолютно сум-
суммируемое семей-
семейство
— сходящийся
ряд
IX
Р
IX
Абсолютное зна-
значение ....
— значение р-
адическое . .
Аддитивнаягруп-
па веществен-
вещественных чисел, срав-
сравнимых по моду-
модулю 1
— равномерная
структура на
топологическом
теле ....
Алгебра норми-
нормированная . . .
Александрова
теорема . . .
А ппроксимацион-
ная теорема
• R» ....
Аппроксимация
равномерная
Р
IX
р
р
р
IX
р
р
р
X
р
S
11
3
11
3
10
3
10
12
10
3
10
8
12
4
13
п°
7
6
2
6
22
упр. 5
23
4
21
7
31
16
3
1
20
А сколи теорема
Ассоциированная
отделимая
равномерная
структура . .
— подгруппа . .
Лаяис сходящего-
сходящегося фильтра ,
— топологии .
— фильтра . .
Koviu . .
Базисы эквива-
эквивалентных филь-
фильтров ....
Более сильная
равномерная
структура , .
топология
— сильный
фильтр . . .
— слабая рав-
равномерная
структура . ,
топология
— слабый фильтр
Борелевское мно-
множество . . ,
— отображение
Бэра теорема
Гл.
X
Г
р
р
р
р
р
р
р
р
р
р
р
р
р
IX
IX
IX
р
S
2
13
5
12
2
4
2
2
2
4
4
2
4
4
2
6
6
5
1
п"
5
18
6
2
11
6
5
И
■ ■ 5
8
1
3
8
1
Я
3
упр.
3
17

УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
395
Гл. § n°
Боровское про-
пространство . . IX 5 3
Р 1 17
Веперштрасса
теорема . . Р 6 18
—Стоуна тео-
теорема .... X 4 2
Р 13 23
Вещественное по-
пополнение вполне
регулярного
пространства X 4 упр. 17
Вваимно непре-
непрерывное ' ото-
отображение . . Р 6 6
Внешность мно-
множества . . . Р 1 11
Внешняя точка Р 1 11
Внутренность
множества . . Р 1 9
Внутренняя точка Р 1 9
Вполне несвявное
множество
(пространство) Р 9 4
— нормальное
пространство IX 4 упр. 3
— регулярное
пространство IX 1 5
Р 5 5
— регулярный
фильтр ... IX 1 упр. 8
Всюду плотное
множество . Р 1 14
Гомеоморфизм . Р 1 1
Граница множе-
множества .... Р 1 1.2
Граничная точка Р 1 12
Грань верхняя се-
семейства равно-
равномерных струк-
структур . . . . Р 4 11
— тополо-
топологий Р 4 7
Гл. § п"
Группа аддитив-
аддитивная веществен-
вещественных чисел, срав-
сравнимых по моду-
модулю 1 .... Р 12 4
— операторов, со-
совершенная в
точке .... X 2 упр. 18
— полная . . . Р Ю 13
— топологическая Р 10 1
метризуе-
мая IX . 3 1
Группы тополо-
топологические ло-
локально изоморф-
изоморфные Р 10. 5
Двойной предел Р 2 26
Диаметр ... IX 2 2
Р 3 7
Дини теорема X 4 1
Р 13 21
Дискретная рав-
равномерная
структура . . Р 3 1
— топология . . Р 1  i
Дискретное про- Р 1 1
странство . . Р 1 ■ 1
Единичный шар IX 3" 3
Емкость, емкост-
емкостное множество IX 6' 9
Замкнутое
множество . .
— отношение эк-
еиналентности
— покрытие . .
Замкнутый шар
Замыкание
множества . .
— фильтра . . .
Значение абсо-
абсолютное . . .
Р
Р
Р
IX
Р
Р'
Р
IX
р
1
7
1
2
3
1
2
3
10
7
17
7
2
7
10
14
2
22
26*

396
УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
Гл.
ГЛ. §
Значение абсо-
абсолютное несоб-
несобственное . .
р-адическое
— предельное
функции по
фильтру . . .
Значения абсо-
абсолютные экви-
эквивалентные . .
Идеал максималь-
максимальный веществен-
вещественный
гипервеще-
гипервещественный . .
Изолированная
точка ....
Изометрическое
отображение
Лвометрия . . .
Изоморфизм ло-
локальный топо-
топологических
групп ....
— топологических
групп ....
Инвариантное
расстояние . .
Инду цирован ная
равномерная
структура
— топология
Индуцированный
фильтр . . .
Колебание функ-
функции на множе-
множестве, в точке .
IX
Р
IX
Р
Р
IX
Р
X
X
р
IX
IX
р
р
р
IX
р
р
р
р
IX
р
3
10
3
10
2
3
10
4
4
1
2
2
3
10
Л А
10
3
А Л
10
7
7
2
2
2
2
23
2
23
10
2
24
упр. 16
упр. 16
13
2
2
7
5
4
1
/
3
1
8
3
20
Коллективно нор-
нормальное про-
rmjiancmno , .
Кольцо тополо-
топологическое . . .
полное , .
Коммутативно
сходящийся ряд
Компактифика-
ция Стоуна —
Чеха ....
Компактное
множество . .
— пространство
Конденсации
точка ....
Конечного типа
покрытие . .
Коши баяис
фильтра . . .
— последователь-
последовательность ....
Куб
Левая равномер-
равномерная структура
топологической
группы . . .
Линделефово про-
пространство . .
Линейно дости-
достижимая точка
Локально изо-
изоморфные группы
— компактное
пространство
— конечное се-
семейства под-
подмножеств . .
функций
— паракомпакт-
ное простран-
пространство
IX
Р
Р
Р
IX
р
Г'
IX
р
р
г>
г
гх
р
IX
IX
р
р
IX
р
р
IX
4
10
10
11
1
8
S
5
8
2
о
Z
1
10
4
fi
10
8
4
5
5
4
упр. 18
1G
19
7
упр. 7
1
1
упр. 11
20
11
1о
Г)
11
упр. 23
упр. 11
5
1.5
'Л
10
11
viiп. 27

УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
397
ГЛ.
гл. S
Локально связное
пространство
Локальный ияо-
морфивм . . .
Лузинское про-
пространство . .
Мажорируемая
равномерная
структура . .
— топология . .
Мажорируемое
покрытие . .
Мажорируемый
фильтр . . .
Мажорирующая
равномерная
структура . .
— топология . .
Мажорирующее
покрытие . .
Мажорирующий
фильтр . . ,
Малое порядка V
множество . .
Метакомпактное
пространство
Метрияуемая
■ равномерная
структура , .
— топологическая
зруппа ....
Метри&уемое
равномерное
пространство
— топологическое
пространство
Метрическое про-
пространство . .
Множество бо-
релевское . . .
Р
Р
IX
Р
Р
Р
Р
Р
Р
Р
Р
Р
IX
IX
Р
IX
IX
IX
р
IX
р
IX
9
10
6
4
4
8
2
4
4
8
2
2
• 4
2
3
3
2
2
3
2
3
6
7
5
4
8
1
20
3
8
1
20
3
11
упр. 25
4
■ 8
1
4
5
9
1
7
;(
Множество вполне
несвязное . . .
— всюду плотное
— замкнутое . .
— компактное ,
— малое порядка V
— ограниченное
— открытое . .
— относительно
компактное
— отображений
отделяющее
— плотное отно~
сителъно друго-
другого множества
— подмножеств
насыщенное . .
— приближаемое
— равномерно
равностепенно
непрерывное
~ равностепенно
непрерывное
в точке
— разреженное
— — относи-
относительно под-
подпространства
— редкое . . .
— связное . . .
— совершенное
— суслинское . ,
— тои(ее . . .
относи-
относительно под-
подпространства
Р
Р
Р
Р
Р
IX
Р
Р
Р
Р
Р
X
IX
X
р
X
р
X
р
IX
р
IX
р
IX
р
р
IX
IX
р
IX
р
9
1
1
8
2
2
3
1
8
13
1
1
5
2
13
2
13
2
13
5
' 1
5
1
5
9
1
6
5
1
5
1
4
14
7
1
И
2
7
1
1
22
14
упр. 5
упр. 6
1
9
. 1
9
1
9
1
15
1
15
упр. 1
1
13
2
2
10
2
16

398
УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
Гл. ? п°
Множество филь-
фильтрующееся . . Р 2 1
— элементарное Р 7 ■")
Монотонный пре-
предел Р 2 21
Морфиам силь-
сильный Р 10 9
Мультиплика-
Мультипликативные равно-
равномерные струк-
структуры тополо-
топологического тела Р 10 21
Шасыщепиое се-
семейство откло-
отклонений .... IX 1 2
Неистощимое
пространство IX 5 упр. 7
Непрерывная
функция в точ-
точке Р 6 1
под-
подмножества от-
относительно
множества . . Р 6 9
гна всем про-
пространстве . . Р 6 3
относитель-
относительной " подмноже-
подмножества . .'. . Р 6 9
Непрерывное про-
продолжение . . . Р 6 10
— разбиение еди-
единицы . . . . Р 5 11
— сечение . . . Р 7 20
Неравенство тре-
треугольника . . IX 1 1
Р 3 3
Несобственное аб-
абсолютное ана-
■ чепие .... IX 3 2
Р 10 23
Норма ..... IX 3 3
Р 10 26
Гл. § п°
Норма согласую-
согласующаяся со cm рук-
турой алгебры IX 3 7
Р 10 31
Нормально отде-
отделимые множе-
множества IX 1 уир. И
— сходящийся
ряд X 3,1 2
Нормальное про-
пространство . . IX 4 1
Р 5 7
Нормированная
алгебра . . . IX 3 7
Р 10 31
Нормированное
пространство IX 3 3
Р 10 26
— тело .... IX 3 2
Р 10 22
Нормы эквива-
эквивалентные . . . IX 3 3
Р 10 27
Носитель функ-
функции IX 4 3
Обрубок .... IX Прил. упр. 2
Ограниченное
множество в ме-
метрическом про-
пространстве . . Р 3 7
Однообразное по-
покрытие про-
пространства . . IX 4 упр. 16
Окрестность . . Р 1 3
— симметричная Р 10 3
Окружение рав-
равномерной
структуры . . Р 3 1
— симметричное Р 3 2
Остаток беско-
бесконечного произ-
произведения . . . Р И 16
— ряда .... Р 11 8

УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
39(.)
1'Л. §
Гл. §
Отделение точек
множества по-
посредством мно-
множества функ-
функций
Отделимая ]>ав-
номерная
структура . .
Отделимое
пространство
Отделяющее мно-
множество ото-
отображений . .
Отклонение . .
Отклонения экви-
эквивалентные . .
Открытое мно-
множество . . .
— отношение
эквивалентно-
эквивалентности
— покрытие . .
Открытый шар
Относительно
компактное
множество . .
Отношение экви-
эквивалентности
замкнутое . .
открытое
Отображение
борелевское . .
— игометриче-
ское
— ограниченное
(« метрическом
пространстве)
— порожденное
просеиванием
— приближаемое
— совершенное
X
Р
Р
Р
IX
р
IX
р
р
р
IX
р
р
р
р
IX
IX
X
IX
IX
р
4
3
5
13
1
з
1
1
7
1
2
3
8
7
7
6
2
3
6
5
8
1
5
I
22
1
з
2
1
17
1
2
7
1
17
17
уир, 15
2
1
5
упр, 24
18
Ларакомпактное
пространство
Перемножаемая
последователь-
последовательность ....
Леремно жаемое
семейство . .
Пересечение то-
топологий . . .
Период функции
Периодическая
и q-кратно пе-
периодическая
функция . .
Плотное множе-
множество
Подпрост ранство
равномерного
пространства
— топологиче-
топологического простран-
пространства ....
Подчиненное ло-
локально конечно-
конечному покрытию
непрерывное
раебиепие еди-
единицы ....
— семейству
подмножеств
семейство функ-
функций
Покрытие^ замк-
замкнутое ....
— конечного ти-
типа
— мажорируемое
(мажорирую-
(мажорирующее) ....
— однообразное
— открытое . .
Полином относи-
относительно числовых
Р
IX
Р
Р
Р
Р
Р
Р
Р
Р
Р
IX
Р
Р
Р
IX
Р
8
Прил.
II
11
4
12
12
1
7
7
0
5
4
1
8
8
4
1
20
1
12
и
ъ
0
6
14
3
1
11
3
7
20
20
упр. 16
1

400
УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
ГЛ. §
Гл. §
функций из за-
заданного мно-
множества . . .
Полиномы три-
гонометриче-
гонометрические от т пере-
переменных . . .
Полная тополо-
топологическая груп-
группа
Полное равномер-
равномерное простран-
— топологиче-
топологическое кольцо . .
Полу компактное
пространство
Полунепрерывная
снизу (сверху)
функция . . .
Польское про-
пространство . .
Пополнение ве-
вещественное
вполне регуляр-
регулярного простран-
пространства ....
— отделимого
равномерного
пространства
— — топологиче-
топологического кольца
— отделимой то-
топологической
группы . . .
Порождаемая
равномерной
структурой.
топология . .
— семейством
подмножеств
топология . .
X
Р
X
р
р
р
р
IX
р
IX
X
р
р
р
р
р
4
13
4
13
10
3
10
2
6
6 -
4
3
10
10
3
4
2
23
4
26
13
10
19
упр. 14
16
1
упр. 17
11
19
14
5
6
Порождаелый се-
семейством под-
подмножеств
фильтр , . .
Порожденное
множеством
подмножеств
тело множеств
— просеиванием
отображение
Последователь-
Последовательность Коши
— перемножае-
перемножаемая , .
— сходящаяся
Почти периоди-
периодическая точка
группы гомео-
гомеоморфизмов . .
Правая равномер-
равномерная структура
топологической
группы . . ,
Предел базиса
фильтра . . .
— нижний (верх-
(верхний) числовой
функции по
фильтру . . .
— последователь-
последовательности ...
— функции в точ-
точке, относитель-
относительно подмноже-
подмножества ....
' по фильтру
филь-
фильтрующемуся
множеству . ,
Предельная точ-
точка базиса филь-
фильтра
множества
PJ
IX
IX
р
IX
р
X
р
р
р
р
р
р
р
р
р
2
6
6
is:
Прил.
И
2
3
10
2
2
2
2
2
2
2
1
п
18
1
12
18
упр.
11
11
22
18
20
16
19
11
10
27

УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
ГЛ. §
Гл.
Лредкомпактное
множество . .
— пространство
Лриближаемое
множество
-— отображение
Принцип продол-
продолжения нера-
неравенств
тождеств
Продолжение по
непрерывности
Произведение бес-
бесконечное . .
сходящееся
— перемножаемо-
перемножаемого семейства
— перемножае-
перемножаемой последова-
последовательности . .
— равномерных
пространств
структур
— топологий . .
— топологических
групп ....
пространств
— фильтров . .
Просеивание . . '.
— сильное . . . '.
Просто сходя-
сходящийся фильтр
Пространств пе-
пересечение . .
— произведение
— сумма . . .
Пространства-
сомножители
Р
Р
IX
IX
р
р
IX
р
IX
р
р
р
IX
р
р
р
р
р
р
р
[X
IX
X
р
р
р
р
р
р
3
3
5
5
0
0
0
Ирпл.
11
Прил.
11
11
И
Прил.
И
7
7
7
10
7
2
0
G
1
13
4
7
7
7
7
12
12
упр. 6
упр. 24
10
К)
10
3
11
3
11
15
11
1
12
11
11
5
10
0
20
5
0
3
2
5
5
К»
11
15
Пространство,
ассоциированное
с решетом
— бвровское
— вещественно
полное . .
—• вполне несвяз'
ное ....
нормальное
— ■-- регулярное
— дискретное
— коллективно
нормальное
— компактное .
— линделефово
— локально ком-
компактное , .
— счетное
а бесконечности
параком-
пактное . .
— — связное , .
— лузинское . .
— метакомпакт-
ное
— метривуемое
— — счетного
типа ....
— метрическое
— неистощимое
— нормальное
— нормированное
— отделимое . .
— паракомпакт-
— полное . . .
— полукомпакт-
полукомпактное '.
. IX
. IX
р
. X
р
IX
IX
р
р
IX
р
IX
р
, р
IX
р
IX
IX
р
IX
р
IX
р
IX
IX
р
IX
р
р
р
р
IX
6
5
1
4
9
4
1
5
1
4
8
4
8
8
4
9
6
4
3
2
1
2
3
5
3
5
3
10
5
8
3
2
Г)
.4
17
упр. 17
4
упр. 3
5
5
■1
упр. 18
1
упр. 23
15
19
упр. 27
7
4
упр. 2S
9
8
14
1
7
упр. 7
3
7
3
2&
1
20
10
vnt). 14

402
УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
Лространство
польское . . .
— предкомпакт-
— равномериауе-
— равномерное
— — нетривие-
мое
— раздробленное
— т>еъилят>ное .
— связное . . .
— сильно раздроб-
раздробленное . . .
— совершенно не-
неистощимое . .
нормальное
— суслинское . .
— топологиче-
метризуе-
— хаусдорфово
Равномеризуемое
пространство
Равномерная
структура . .
— — аддитивная
топологического
тела
ассоцииро-
ассоциированная ....
дискретная
индуциро-
индуцированная ....
компактной
сходимости . .
мажорируе-
мажорируемая (мажори-
(мажорирующая, более
сильная, более
■слабая) ....
Гл.
IX
Р
Р
Р
IX
IX
р
р
IX
IX
IX
IX
р
IX
р
р .
р
р
р
р
р
X
р
р
6
о
it
3
3
2
6
5
9
6
5
4
6
1
2
5
3
3
10
5
3
7
1
13
4
п°
1
12
0
5
4
4
4
1
упр. 1
упр. 12
упр. 7
2
1
5
1
6
1
21
6
1
3
3
2
8
Равномерная
структура
метризуемая .
мультипли-
мультипликативная то-
топологического
тела
ограничен-
ограниченной сходимо-
сходимости . . . ,\
определен-
определенная отклоне-
отклонением, семейст-
семейством отклонений
— — отделимая
, ассоции-
ассоциированная с дан-
данной равномер
ной структу-
структурой
правая (ле-
(левая) топологи-
топологической группы
предком-
пактной схо-
сходимости . . .
простой
сходимости
па
подмножестве
равномерной
сходимости
на
множествах се-
семейства © . .
под-
подмножестве . .
униеерсаль-
Гл.
IX
Р
Р
X
IX
р
р
р
р
X
X
X
р
X
X
р
X
X
IX
§
2
3
10
1
1
3
3
о
10
1
1
1
13
1
1
13
1
1
1
4
8
21
3
2
4
5
6
И
3
3
3
2
1
3
2
2
3
vrm.

УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
403
Равномерно не-
непрерывная
функция . .
— — — отно-
относительно под-
подмножества
— суммируемое
семейство
функций . . .
— сходящийся на
всяком множе-
множестве иа ©
фильтр . . .
ряд . . .
фильтр
Равномерное под-
подпространство
— пространство
— равностепенно
непрерывное
множество . .
Равномерные
структуры
сравнимые . .
Равностепенно
непрерывное
в точке мно-
множество , .
множество
Радиус шара . .
Раабиение непре-
непрерывное едини-
единицы
, подчи-
подчиненное локаль-
локально конечному
покрытию . .
Раздробленное
пространство
гл.
Р
Р
X
Р
Р
Р
X
р
р
р
X
р
. X
X
р
IX
р
р
р
IX
8
6
6
1
13
13
13
1
13
7
3
2
4
2
2
13
2
ч
о
5
5
6
п°
5
9
2
1
1
9
1
2
3
1
1
8
1
1
9
2
7
/
11
11
4
Разложение еди-
единицы непре-
непрерывное ....
Размерность под-
подгруппы в R"
Разреженное мно-
множество . . .
Ранг множества
в Цп ....
Расстояние . .
— инвариантное
па группе . .
— — слева (спра-
(справа)
— между двумя
множествами
— — точкой а
множеством
— согласующееся
с равномерной
структурой
— тополо-
топологией
Регуляризация
функции полу-
полунепрерывная
снизу (сверху)
Регулярное про-
пространство . ,
Редкое множе-
Решето ....
Ряд абсолютно
сходящийся . .
— коммутативно
сходящийся . .
— нормально схо-
сходящийся . . .
— равномерно
сходящийся
— сходящийся
Гл.
IX
Р
IX
■г-»
Р
Р
IX .
Р
IX
IX
р
IX
р
IX
IX
р
р
IX
IX
IX
р
р
р
р
р
§
4
12
5
1
12
2
10
3
2
3
2
3
2
2
6
5
5
6
3
11
11
13
13
и
\\
■1
1
15
1
1
11
1
2
7
2
7
4
5
17
4
упр. 1
5
6
7
7
4
1
5

404
УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
Связная компо-
компонента ....
— — подмноже-
подмножества
— — точки . .
Связное множе-
множество
— пространство
Семейства откло-
отклонений эквива-
эквивалентные . . .
Семейство абсо-
абсолютно сумми-
суммируемое ....
— м}Южеств ло-
локально конеч-
конечное
— отклонений
насыщенное . .
— перемножаемое
— равномерно
суммируемое
— суммируемое .
— функций ло-
локально конеч-
конечное
— — подчинен-
подчиненное семейству
подмножеств ,
Сечение непрерыв-
— фильтрующе-
фильтрующегося упорядо-
упорядоченного множе-
множества
Сечений фильтр
Силыю раздроб-
раздробленное про-
пространство . .
Сильный м ор-
орфизм ....
Симмет.ричная
окрестность ,
Гл.
Р
Р
Р
Р
Р.
Р
IX
Р
Р
IX
р
р
р
р
IX
р
р
р
IX
р
р
§
9
9
9
'J
9
3
3
11
о
1
11
13
11
5
4
7
2
2
6
10
10
П«
4
4
4
1
1
4
6
2
10
2
11
1
1
11
3
20
6
0
упр. 1
9
2
Симметричное
окружение . .
Система глав-
главная периодов д-
периодической
функции . . .
— фундаменталь-
фундаментальная окрестно-
окрестностей
окружений
Совершенно неис-
неистощимое про-
пространство . .
— нормальное
пространство
Совершенное
множество . .
— отображение
Совласующаяся с
алгебраической
структурой
норма . . .
Согласующееся с
равномерной
структурой
расстояние . ■
топологи-
топологией расстояние
Согласующиеся
топология и
равномерная
структура . .
струк-
структура группы
_ кольца
— тела
Сравнимые рав-
равномерные
структуры
— топологии . ,
— фильтры , .
Стоуна — Чеха
компактифика-
Гл.
Р
Р
Р
Р
IX
IX
р
р
IX
IX
IX
р
р
р
р
р
р
р
IX
§
3
12
1
3
5
4
1
8
3
2
2
3
10
10
10
4
4
2
1
п
2
С.
4
2
упр. 1
упр. 7
13
18
7
4
5
6
1
16
20
8
1
3
Упр. 7

УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
'[(I,)
Гл. §
Структур рав-
равномерных про-
произведение . .
Структура рав-
равномерная . •
— — аддитивная
тополи.: ического
тела ....
дискрет-
дискретная
индуциро-
индуцированная ....
— — компактной
сходимости
мажорируе-
мажорируемая (мажори-
(мажорирующая, более
All jm » *J fw 0 f\ /\ Я А Л
сильная, иолее
слабая) . . .
метриауе-
— — мультипли-
мультипликативная то-
топологического
тела ....
—• — ограничен-
ограниченной сходимо-
сходимости ....
определен-
определенная отклоне-
отклонением, се.чей-
стпом откло-
отклонений ....
—■ — отделимая
— — — accoifuu-
рованная с дан-
данной равномвр-
ной структу-
правая (ле-
(левая) топологи-
топологической группы
Р
1'
Р
Р
Р
X
1>
Р
IX
Р
Р.
X
IX
р
р
р
7
3
10
3
7
1
13
4
2
3
10
1
1
3
Г,
10
11
1
21
1
3
'.(
2
8
4
8
21
3
2
5'
fi
11
Структура равно-
равномерная предком-
пакпиой схо-
сходимости . .
простой
сходимости
— на
подмножестве
— — равномерной
сходимости
— — па
подмноже-
подмножествах семей-
семейства @ ...
множестве
универсалъ-
— топологиче-
топологическая ....
Структуры рав-
равномерные срав-
сравнимые . . .
Сумма про-
пространств . .
— ряда ....
— суммируемого
семейства . .
— топологий . .
Суммируемое се-
семейство . . .
Суслинское мно-
множество, про-
пространство
Сфера ....
Сходи-мости ком-
компактной равно-
равномерная стрик-
стриктура . . . .
X
X
Р
X
р
X
X
р
X
X
IX
р
р
р
р
р
р
р
IX
IX
р
р
1
1
13
1
13
1
1
13
1
1
1
1
4
7
11
11
7
11
6
2
3
13
:■.
:i
2
2
1
3
2
2
.4
упр.
1
8
16
5
1
10
1
0
7
<:

406
УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
Сходимости ком-
компактной топо-
топология
— предкомпакт-
ной равномер-
равномерная структу-
структура
— простой рав-
равномерная
структура . .
топология
— равномерной
на множествах
семейства @ рае-
номерная
структура . .
— — равномер-
равномерная структу-
структура
— — топология
Сходимость ком-
компактная . .
— ограниченная
— предкомпакт-
— простая . . .
— равномерная %
— — на множе-
множествах семей-
семейства © ...
Сходящаяся по-
следователь-
следовательность ....
Сходящееся бес-
бесконечное произ-
произведение . . .
Сходящийся бааис
фильтра . . .
— ряд ....
Счетного типа
метриауемое
пространство
гл.
Р
X
Р
Р
Р
Р
Р
X
X
X
X
X
X
X .
X
р
р
р
р
р
13
1
13
13
13
13
13
1
3
1
1.
1
3
1
1
2
11
2
11
1
п°
2
3
2
2
1
2
1
1
3
4
3
3
3
4
1
2
18
15
11
15
14
Счетное в беско-
бесконечности ло-
локально ком-
компактное про-
пространство
Тело ...
— множеств, по-
порожденное мно-
множеством под-
подмножеств . .
— нормированное
— топологическое
Теорема А лек-
сандрова . .
— Асколи . . .
— Бэра ....
— Вейерштрасса
— —Стоуна . .
— Дини ....
— о двойном пре-
пределе ....
пределе . . .
— об аппрокси-
аппроксимации в Rn .
— Стоуна . .
— Тихонова . .
— Урыспна . .
Тип счетный ме-
триауемого про-
пространства . .
Тихонова теоре-
теорема
Топологии срав-
сравнимые . . .
Топологическая
группа ....
— структура
Гл.
Р.
IX
IX
Р
Р
Р
X
р
IX
р
р
X
р
X
р
р
р
р
X
р
IX
IX
р
IX
р
р
р
р
§
8
6
с
10
-10
8
2
13
5
1
6
4
13
4
13
2
2
12
4
7
4
4
5
2
7
4 .
10
1
пс
19
3
3
20
20
6
5
6
3
17
18
2
23
i
21
2ft
21
3
\
9
1
г
7
8
9
1
1
1

УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМПНОП
'.07
Гл.
Топологическое
кольцо ... I'
— пространство Р
— тело .... Р
Топология . . . Р
— дискретная . Р
— индуцирован-
индуцированная Р
— компактной
сходимости
- мажорируемая
(мажорирую-
(мажорирующая, более силь-
сильная, менее
сильная) . .
- порождаемая
множеством
подмножеств
- — равномер-
равномерной структу-
структурой
- простой схо-
сходимости , . .
X
х'
р
X
на под-
мпожестве . .
— равномерной
сходимости
на мно-
множествах семей-
семейства © ...
под-
подмножестве . .
— ^-сходимости
Тор одномерный
Точечно конечное
семейство мно-
множеств . ... IX
1
Ю
1
1
X 1-
X 3
I» 13
Р 13
1
3
13
1
Р 13
Р 13
X 2
X 1
Р 12
16
1
20
1
1
Точка
— внешняя . . •
— внутренняя
— граничная . .
— изолированная.
— конденсации
— линейно По-
Постижимая . .
— почти перио-
периодическая . . .
— прикосновения
базиса фильтра
множества
Гл.
Р
Р
Р
Р
Р
IX
IX
X
I'
р
— равномерной
сходимости X
Тощее множество V
11
9
12
13
5 упр. 11
6 упр. 11
3 уцр. 27
■Л
10
упр. S)
16
Ультраметриче-
ское простран-
Улътрафилътр
Универсальная
равномерная
структура . .
Урысона теорема
Факторпростран-
ство топологи-
топологическое ....
Фактортопология
Фильтр
— индуцированный
— мажорируемый
(минорируемый,
более слабый,
более сильный)
— порождаемый
множеством
подмножеств
— сечений филь-
фильтрующегося
упорядоченного
множества , ,
IX
Р
IX
IX
IX
Р
1'
1'
Р
Р
Р
Р
Р
2
2
1
4
4
5
7
7
2
2
2
2
2
VI1D. 4
7
упр. 5
1
2
7
17
17
1
8
а
4

УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
Гл.
Гл.
Фильтр сходящийся
просто ....
равномерно
на каж-
каждом множестве
семейства <В
— Фреше
— элементарный
Фильтров про-
произведшие . .
Фильтрующееся
множество' . .
Фильтры, сравни-
сравнимые
Фреше фильтр
Функция, аппро-
аппроксимируемая
рав}юмерно
функциями ва-
данпого множе-
— вваимно не-
непрерывная . .
— непрерывная
в точке . .
под-
подмножества от-
относительно
множества . .
относитель-
относительно подмноже-
— q-пе.риодиче-
— периодичес-
периодическая
— полунепрерыв-
полунепрерывная сниау
(сверху) . . .
Р
Р
Р
Р
Р
Р
Р
Р
Р
Р
Р
Р
I1
Р
Р
Р
Р
Р
13
13
13
2
2
2
2
2
2
13
6
6
6
6
6
12
12
0
2
2
1
2
10
26
1
3
2
20
6
3
1
9
9
0
6
16
Функция, полуне-
полунепрерывная стщ
(сверху) в
точке ....
— почти перио-
периодическая . . .
— равномерно не-
непрерывная . .
— относи-
относительно « под-
подмножества . .
Хаусдорфоао про-
пространство . ,
Центр шара . .
Цепь (с.-, V-) . .
Шар единичный
— замкнутый,
открытый , .
Эквивалентные
абсолютные
значения . . .
— бааисы филът-
— нормы ....
отклонения
— семейства от-
отклонений
Элементарное
множество . .
Элементарный
фильтр . . .
1
Р
X
1"
Р
Р
IX
р
р
IX
IX
р
IX
р
|>
IX
р
IX
IX
р
р
р
G
3
(S
6
Г)
2
3
9
3
2
3
3
10
2
3
10
1
\
3
7
2
16
упр.
S
9
1
2
7
6
3
2
7
2
24
^
3
27
2
2
4
5
10