Text
                    ACTUA.LITKS SCIENTIFIQUES ET INDTTSTRIELLES
N. BOURBAKI
ELEMENTS
DE MATHEMATIQUE
PREMIERE PARTIE
I.IVRE III
TOPOLOGIE GENERALE
TROlSltME eniriON HEVVE ET AVCMENTtt
HERMANN


ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИКИ Н. БУРБАКИ ОБЩАЯ ТОПОЛОГИЯ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ СЛОВАРЬ ПЕРИВОД С ФРАНЦУЗСКОГО С. Н. КРАЧКОВСКОГО ПОД РЕДАКЦИЕЙ Д. А. РАЙКОВА ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА 1975
517 3/6 Б 91 513.83 Общая топология, вып. 3, Н. Б у р б а к и, Главная редакция физико-математической литера- литературы изд-ва «Наука», 1975. Группа французских математиков, объедипен- ная под псевдопимом «Бурбаки», поставила перед собой цель — написать полный трактат современ- современной математической науки. Настоящим третьим выпуском завершается перевод на русский язык «Общей топологии». Книга рассчитана на математиков — науч- научных работников, аспирантов и студентов старпшх курсов университетов и пединститутов. Библ. 16 назв. Н. Бурбаки ОБЩАЯ ТОПОЛОГИЯ Использование вещественных чисел в общей топологии. Функциональные пространства. Сводка резулътатоп. Словарь М., 1975 г., 408 стр. с илл. Редактор М. М. Горячая Техн. редантор А. Л. Колесникова. Корректор Т. С, Найсберг Сдано в наОор 4/XII 107 4 г. Подписано к печати 12/"V 1975 г. Бумага tiOxOOVie. Физ. печ. л. 25,5+2 вкл. Услопп. печ. л. '^«,125. Уч,-изд. л. 24,67. Тираж 1Г>()П0 экз. Цена книги 1 р. 09 к. Заказ N 0603 Издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы 117071, Москиа, В-71, Ленинский проспект, 15 Ордена Трудового Красного Знамени Московская типография jsfi 7 «Искра революции» Союзпопиграфпрома при Государственном комитете Сонета Министров СССР по долам издательсп), полиграфин и книжной торговли Москва К-1, Трехпрудный пер., 9 © Перевод на русский язык, „ 20203 — 083 _« _. Главная редакция Б ■ Ag'07«o\ -?ё— 35-75 фиаико-математическлй литерптуры ODo(U^)-70 издательства «Наука», 1U75.
ОГЛАВЛЕНИЕ От издательства 9 Глава IX. Использование вещественных чисел в общей топологии 11 § 1, Порождение равномерной структуры семейством отклонений. Рав- номеривуемые пространства И 1. Отклонения 11 2. Определение равномерной структуры посредством семейства отклопспий 12 3. Свойства равномерных структур, определяемых семействами отклонений 15 4. Построение семейства отклонений, определяющего равномер- равномерную структуру 17 5. Равномериауемыо пространства 19 6. Полунепрерывные функции на равноморивуемом пространстве 21 Упражнения 23 § 2. Метрические пространства; метризуемые пространства 31 1. Расстояния и метрические пространства 31 2.' Структура метрического пространства 33 3. Колебание функции 36 4. Мотрииуемые равномерные пространства 37 5. Метризуемые топологические пространства 38 6. Роль счетных последовательностей 39 7. Полунепрерывные фупкции на метривуемом пространстве 41 8. Метризуемые пространства счетного типа 42 9. Компактные метрические пространства; компактные мотри- вуемые пространства 44 10. Факторпространства метризуемых пространств 47 Упражнения 49 § 3. Метризуемые группы; нормированные тела; нормированные про- пространства и алгебры 59 1. Метриауемьте топологические группы 59 2. Нормированные тела 65 3. Нормированные пространства над нормированным телом . , 70 4. Факторпространства и произведении нормированных про- пространств 73
6 ОГЛАВЛЕНИЕ 5. Непрерывные полилинейные функции 75 6. Абсолютно суммируемые семейства в нормированном про- пространстве 76 7. Нормированные алгебры над нормированным телом .... 77 Упражнения 82 § 4. Нормальные пространства , 86 1. Определение нормальных пространств 86 2. Продолжение непрерывной числовой, функции 90 3. Локально конечные открытые покрытия замкпутого множе- множества в нормальном пространстве 92 4. Пар а компактные пространства 96 5. Паракомпактность метризуомых пространств 99 Упражнения , 102 § 5. Бэронские пространства 113 1. Разрежонпые множества ИЗ 2. Тощие множества 115 3. Баронские пространства 116 4. Полунепрерывные функции на баронском пространство . . . 118 Упражнения 119 § 6. Польские пространства; суслинские пространства; борелевскне множества 128 1. Польские пространства 128 2. Суслинские пространство 132 3. Борелевскне множества 134 4. Раздробленные и путинские пространства 136 5. Решето 138 6. Отделение суслинских множеств 140 7. Лузипские пространства и борелевскно множества . . . .' . 142 8. Борелевские сечения 144 9. Емкостность суслинских .множеств 146 Упражнении 149 П р и л о ж е н и е к главе IX. Бесконечные произведения в норми- нормированных алгебрах 160 1. Перемножаемые последовательности в нормированной алгебре 160 2. Критерии перемножаемое™ 101 3. Бесконечные произведения 165 Упражнения 167 Исторический очерк к глаие IX ' 170 Библиография 172 Глава X. Функциональные пространств» 173 Предисловие ко второму ивданиго , 173 § 1. Равномерпии структура ©-сходимости 173 1. Структура равномерной сходимости 173 2. ©-сходимость 174
ОГЛАВЛЕНИЕ / ;!. Примеры ©-сходимости 177 4. Свойства пространств 2Fq(X', У) 179 5. Полныо множества D &q(X; У) 180 (>. S-сходимость в пространствах непрерывных отображении 181 Упражнения 186 § 2. Равностепенно непрерывные множества 190 1. Определение и общие признаки 190 2. Специальные признаки равностепенной непрерывности . . . 195 3. Замыкание равностепенно непрерывного множества .... 197 4. Простая сходимость и компактная сходимость в равностепенно непрерывных множествах 198 5. Компактные множества непрерывных отображений 199 Упражнения 202 § 3. Специальные функциональные пространства 208 1. Пространства отображений в метрическое пространство . . 208 2. Пространства отображений в нормированное пространство . 211 3. Свойства счетности пространств непрерывных функций . . 215 4. Топология компактной сходимости 217 5. Топологии в группах гомеоморфизмов 223 Упражнения 227 § 4. Аппроксимация непрерывных числовых функций 238 1. Аппроксимация непрерывных функций функциями из некото- некоторой решетки 238 2. Аппроксимация непрерывных функций полиномами .... 241 3. Приложение:' аппроксимация непрерывных числовых функ- функций, определенных на произведении компактных пространств 244 4. Аппроксимация непрерывных отображений компактного пространства в нормированное пространство 245 Упражиония . . . • 248 Исторический очерк к главе X 259 Библиография 201 Сводка результатов Книги III 262 Введение 262 5 1. Топологические структуры; открытые множества, окрестпости, замкнутые множества 263 § 2. Фильтры и пределы 209 § 3. Равномерные пространства; метрические пространства .... 278 § 4. Сравнение топологий и равномерных структур 285 § 5. Аксиомы отделимости 288 § Н. Непрерывные функции равномерно непрерывные функции, полунепрерывные функции 292 § 7. Подпространства; произведения пространств; факторпростраи- ства 300
8 ОГЛАВЛЕНИЕ § 8. Компактно пространства и локально компактные пространства 310 S 9. Связность ' 317 § 10. Топологическая алгебра 320 § 11. Бесконечные суммы и произведения 334 § 12. Аддитивные группы в Rn 340 § 13. Функциональные пространства 345 Словарь 357 Указатель обозначений 392 Указатель терминов 394 Диаграмма основных типов топологических пространств .... вклейка Определения и аксиомы главы IX вклейка
ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА Настоящим выпуском, содержащим IX—X главы я сводку результатов «Общей топологии» II. Бурбаки, заканчивается е» перевод на русский язык. Одиннадцатая глава, обещанная авто- автором в последнем французском издании глав I—II, не появилась из-за его безвременной кончины. Главы I—VIII «Общей тополо- топологии» выходили на русском языке дважды — в переводах со второго- и третьего французских изданий. Настоящий перевод глав IX—X и сводки результатов выполнен с последних (вторых) французских изданий. 15 последнем (французском) издании главы IX были даны ссыл- ссылки только на второе французское издание глав I—VIII, а в гла- главе X — лишь на третье. Для удобства читателя, имеющего только первое или второе русское издание предыдущих глав, в предла- предлагаемом переводе IX—X глав и «Сводки результатов», там, где это оказалось возможным, даны ссылки на оба издания. Отсутствие ссылки на номер издания овначает, что она одна и та нее для обоих изданий.
ГЛАВА IX ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ § 1. Порождение равномерной структуры семейством отклонений. Равномеризуемые пространства t. Отклонения Определение 1. Отклонением на данном множестве Е называют всякое отображение f произведения Е X Е в интервал [О, +ool расширенной прямой R, удовлетворяющее следующим условиям: (ЕСУ / (х, х) — 0 при любом х 6 Е- (ЕСц) / (х, у) — f (у, х) при любых х £ Е, у £ Е (симметрия). (ЕСШ) / (х, у) < / (a;, z) + f (z, у) при любых х£Е, у б Е, z £ Е (неравенство треугольника). Примеры. 1) Евклидово расстояние на числовом пространство Rn (гл. VI, § 2, п° 1) есть отклонение. 2) Пусть Е — произвольное множество; функция /, определенная па Е X Е условиями / (х, х) = 0 для каждого х £Е и / (х, у) = -\- оо при х Ф у, ость отклонение на Е. 3) Пусть g — коночная числовая' функция, определенная на произвольном множестве Е\ функция /, определенная на Е X Е равенством / (х, у) = | g (х) — g (у) |, есть отклонение ла Е. °4) Пусть Е — мноя!ество всех непрорывных отображений интер- 1 вала [0, 1] с: R в R. Положив / (х, у) — \ \ х (t) — у (t) [ dt для о исех пар элементов х, у из Е, получим отклонение / на Е.о Замечания. 1) Приведенный выто пример 2 показывает, что для некоторых пар элементов из Е отклонение может принимать значение Ц-оо.
12 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 1 2) Как показывает вышеприпеденный пример 3, равенство/ (х, у)= ~ 0 для отклоневия / на Е может, вообще говоря, выполняться и при хфу. Из неравенства треугольника следует, что если / (х, z) и / (у, z) конечны, то и / (х, у) конечно; кроме того, в этом случае имеем / (х, z)< / (у, г) +} (х, у) sif (у, z) < / (х, z) -\- f (x, у), откуда | / (х, z) - / (у, z) | < / (х, у). A) Если / — отклонение на Е, то А./ тожо отклонение, каково бы ни было конечное число Я > 0. Если (ДIех—какое-либо семейство отклонений на Я, то сумма 2 Л (а% У) определена для всех пар (х, у) £ Е X Е; пусть / (х, у) — ее значение; тогда / — отклонение на Е. Точно так же верхняя огибающая g семейства (Д) (гл. IV, § 5, п° 5) является отклонением на Е, ибо из отношений Д (х, у) ^ < Д (х, z) + Д (z, у) следует, что sup А (ж, у) <sup (/t (ж, z) -i- А («, У)) <«ир Д (х, z) 4- sup Д (г, ?у) (гл. IV, § 5, формула A7)). 2. Определение равномерной структуры посредством, семейства отклонений Пусть Ua для каждого числа а > 0 есть множество всех пар (х, у) точек из Нп, евклидовы расстояния между которыми ^<г, как мы видели (гл. VI, § 2, п° 3), множества Ua, где а пробегает все числа >0, образуют фундаментальную систему окружений равномерной структуры пространства R". Более общим образом пусть / — отклонение на множестве Е; для каждого а > 0 положим Ua — f ([0, а]); покажем, что когда а пробегает все числа >0, множества Ua образуют фундаментальную систему окружений некоторой равномерной структуры в Е. В самом доле, аксиома (Ui) выполнена в силу (ECi); если а < 6, то UaczUb, так что множества Ua образуют базис фильтра; в силу (ЕСц) имеем Ua = Ua и, следовательно, выполнена аксио- ма (Uix); наконец, в силу (ЕСШ) имеем па cz C/2a, так что выпол- выполнена аксиома (Um). Таким образом, можно сформулировать следующее определение:
£ ОТКЛОНЕНИЯ. РАВНОМЕРИЗУЕМЫЕ ПРОСТРАНСТВА 13 Определение 2. Пусть на множестве Е задано отклонение /; равномерной структурой^ определяемой /, называется равномерная структура в Е, имеющая в качестве фундаментальной системы окружений семейство множеств f ([О, а]), где а пробегает все числа >0. Два отклонения на Е называются эквивалентными, если они определяют одну и ту же равномерную структуру. Замечания. 1) Для любой последовательности (ап) чисел >0, стремящейся к 0, множестиа Uan образуют фундаментальную систему окружений равномерной структуры, определяемой отклонением /. 2) Определение равномерной структуры посредством отклоне- отклонения / сводится к тому, что за фундаментальную систему окружений ятой структуры принимается прообраз относительно / фильтра окрест- окрестностей нуля'в подпространстве [О, -Ь°°] пространства R. Отметим, что этот способ вполне аналогичен применен вому нами для определения равномерных структур п топологической группе (гл. III, § ■'', п° 1). Пусть / и g — отклонения на Е; по определению 2, для того чтобы равномерная структура, определяемая отклонением /, мажо- мажорировалась равномерной структурой, определяемой отклонением g, необходимо и достаточно, чтобы для каждого а > 0 существовало b > 0 такое, что g (х, у) s*T b влечет / (х, у) s*T а. Для того чтобы отклонения / и g были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы для каждого а > 0 существовало b > 0 такое, что g (х, у) ^ <: b влечет / (х, у) ^ a, a / (ж, у) ^ Ъ влечет g (х, у) ^ а. В частности, если существует постоянная к > 0 такая, что / ^ kg, то равномерная структура, определяемая отклонением /, мажори- мажорируется равномерной структурой, определяемой отклонением g. Пусть <р — отображение интервала [0, +оо] в себя, удовлетво- удовлетворяющее следующим условиям: 1° ср @) = 0 и ф непрерывно в точко 0; 2° ф возрастает на интервале) [0, -4-°° ] и строго возрастает на некоторой окрестности точки 0; 3° ф (и -\- v) <; <р (и) + ф (и) для всех и ^ 0 и v ^ 0. Согласно определениям 1 и 2 для любого отклонения / на каком-либо множестве Е сложная функция g — <ро/ является откло- отклонением, вквивалентпым /. Читатель легко проверит, что за <р можно принять, например, любую из функций Vu> log A-f- u), 7-т— , inf(u, i). Два последних примера показывают, что всегда существуют ограниченные отклонения, экгапалентные заданному (конечному или нет).
14 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § f Определение 3. Пусть (ДХс/ — семейство отклонений на мно- множестве Е; равномерной структурой в Е, определяемой этим семейством, называется верхняя грань множества равномерных структур, определяемых в Е каждым из отклонений /t. Два семейства отклонений на Е называются эквивалентными, если они определяют одну и ту же равномерную структуру. Согласно определению верхней грани мпожества равномерных структур (гл. И, 2-е изд., § 1, п° 2; 3-е изд., § 2, п° 5) фильтр окру- жепий равномерной структуры °И, определяемой в Е семейством отклопений (АХе/, есть фильтр, порожденный (гл. I, 2-е изд., § 5, п° 3; 3-е изд., § 6, п° 2) семейством множеств /t ([0, а\), где i пробегает /, а а —множество всех чисол >0. Другими словами, фундаментальную систему окружений для 41 можно получить следующим образом: берем произвольное конечное число индексов 4, i2, • . ., in и для каждого и — любое число ah > 0; образуем множество всех пар (х, у) £ Е X Е таких, что flfi (х, у) ^ ah A ^ k ^ п); эти множества (при всевозможных п, ц и ял) обра- образуют фундаментальную систему окружений равномерной струк- структуры 41, Впрочем, можно ограничиться случаем, когда все а^ равны одному и тому же числу а > 0, ибо окружение, состоящее из тех (ж, у), для которых sup (ft. (x, у)) ^ inf ah, очевидно, содержится в предыдущем. Пусть gH для каждого конечного подмножества // множества / означает верхнюю огибающую семейства (Д^н! мы видим, что когда // пробегает всевозможные конечные подмножества мно- множества /, а а — всевозможные числа > 0, то мпожества gn ([0, а\) образуют фундаментальную систему окружений равномерной структуры 41. По £я — отклонения на Е (п° 1), причем верхняя огибающая коночпого числа функций из семейства (gH) по опреде- лепию снова принадлежит этому семейству; это свойство выража- выражают, говоря, что семейство отклонений (#н) насыщенно. Таким образом, семейство отклонений (gH) эквивалентно семейству (/,.); будем говорить, что оно получено насыщением семейства (/t); ив предыдущего видно, что всегда можно ограничиться рассмотре- рассмотрением равномерных структур, определяемых насыщенными семей- семействами отклонений.
3 ОТКЛОНЕНИЯ. РАВНОМЕРИЗУЕМЫЕ ПРОСТРАНСТВА 15 П топ пастном случае, когда / •— конечное множество, это рас- сцждопио показывает, что равномерная структура, определяемая семейством отклонений (/i)wgj> определяется также одним отклонением В = sup Д. Пусть 11 и 41' — равномерные структуры в Е, определяемые соответственно насыщенными семействами отклонений (A)isi, (ёк)к£к1 для того чтобы 41' мажорировала 41, необходимо и доста- достаточно, чтобы для каждого индекса if/ я каждого числа а > О существовали индекс х £ К и число Ъ > 0 такие, что gK (ж, у) ^ b влечет А (ж, у) ^ а. Пример равномерной структуры, опре- определяемой семейством отклонений. Пусть (A)te/ — какое-либо семейство конечных числовых функций, опре- определенных на множестве Е, и 41 — слабейшая из равномерных структур в Z?, при которых все /t равномерно непрерывны (гл. II, 2-е изд., § 5, п° 1; 3-е изд., § 2, п° 3); иэ определения окружений структуры 11 (гл. II, 2-е изд., § 5, п° 1; З-о изд., § 2, п° 3) следует, что ?/ совпадает с равномерной структурой, определяемой в Е отклонениями gt (х, у) — \ А (х) — А (г/) |. .7. Свойства равномерных структур, определяемых семействами отклонений Пусть 41 — равномерная структура, определяемая в мно- множестве Е семейством конечных отклонений (А); если наделить Е х Е произведением равномерной структуры ■?/. на себя, то каждая из числовых функций А будет равномерно непрерывна на Е х Е; в самом деле, в силу A) IА (х, у) - А (*', у') I < А {х, х') -|- А (г/, г/')- и, следовательно, отношения А (ж» я') ^ е/2, А (гл #') ^ е/2 вле- влекут I А (*, У) ~ А (ж', у') | < е. Для того чтобы 41 была отделимой, необходимо и достаточно, согласно определению ее окружений, чтобы для каждой пары различных точек х, у из Е существовал индекс i такой, что U (х, у)*£0.
16 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § t В частности, если 11 определена одним отклонением /, то для отделимости 11 необходимо и достаточно, чтобы / (х, у) — О влекло х=у (см. § 2). Если 11 неотделима, пересечением всех ее окружений служит подмножество произведения Е X Е, образованное всеми такими парами Or, у), что Д (х, у) = 0 для всех г, это подмножество есть график некоторого отношения эквивалентности R на Е, и отделимая . равномерпая структура, ассоциированная с 11, определена в ElR (см. гл. II, 2-е изд., § 1, п° 4; З-о изд., § 3, п° 8). Легко видеть тогда, что функции Д согласуются (по х и у) с отношением R (Теор. множ., Сводка результ., § 5, п° 7) и что функции Д, получаемые из Д факто- факторизацией (по х и у), являются отклонениями на ElR, определяющими отделимую равномерную структуру, ассоциированную с 11 (см. § 2, и" I). Пусть А — непустое подмножество множества Е; очевидно, сужение на А X А отклонения, заданного на Е, ость отклонение на А; ясно, что 41. индуцирует в А равномерную структуру, опре- определяемую сужениями на А X А отклонений Д. Рассмотрим теперь пополнение отделимого равномерного про- пространства. Предложение 1. Пусть Е — отделимое равномерное про- пространство, равпомерная структура которого / определена семей- семейством конечных отклонений (Д), u E — пополнение пространства Е. Функции Д продолжаются по непрерывности на Е X Е; про- продолженные функции Д являются конечными отклонениями на Е, и равномерная структура в Е совпадает с равномерной структу- структурой, определяемой семейством (Д). Прежде всего, функции Д допускают продолжение по непре- непрерывности на Ё X Ё, ибо они равномерно непрерывны на Е X Е, и продолженные функции Д равномерно непрерывны на Е х Ё (гл. II, 2-е И8Д., § 3, теорема 1; 3-е изд., § 3, теорема 2); кроме того, Д являются отклонениями на Ё в силу принципа продолжения неравенств (гл. IV, § 5, теорема 1). Обозначим через 4lt равномерную структуру в Ё как пополнении Е, а через 41г — равномерную структуру, определяемую семейством отклонений (Д). Ч1.х мажорирует С!/Л; в самом деле, при наделении Ё структурой Il-y, каждая из функций Д равномерно непрерывна на Е X Ё;
^ ОТКЛОНЕНИЯ. Т'АВНОМКРИЗУИМЫЕ ПРОСТРАНСТВА 17 следовательно, для каждого я: > 0 существует окружение V структуры 11 х такое, что | Д (х, у) — Д (а:, ж) | ^ а для любой _ -I uapi.i (а:, у) 6 V, т. е. (поскольку Д (х, х) = 0) Гс/, ([0, а)); таким образом, всякое окружение структуры ?/2 является вместе с том окружением структуры 11 v С другой стороны, ?/j и 9/j индуцируют n E одну и ту же равпомерную структуру ■//. Посколь- Поскольку И в 41 х полно п отделимо, заключаем (гл. II, 2-е изд., § 3, след- стнпе предложения У; !5-е изд., § 3, предложение 14), что <:1/1 и //« совпадают. 4. Построение семейства отклонений, определяющего равномерную струитf/py Способ определения равномерной структуры семейством откло- отклонений важен тем, что он позволяет получить все равномерные структуры. Точнее говоря: ТиопшА 1. Для каждой .заданной в множества Е равно- равномерной структуры 'U существует на Е такое семейство отклоне- отклонений, что определяемая им равномерная структура, совпадает с 11. Для каждого окружения V равномерной структуры II опреде- определим по индукции последовательность симметричных окружений (</„) такую, что U1 с: V и Un+l a Un при всех п > 1; последова- последовательность (Un) является фундаментальной системой окружений некоторой равномерной структуры ?/у, мажорируемой структу- структурой 11; при этом ясно, что ?/. есть верхняя грань множества струк- структур '//у, получаемых так, когда V пробегает фильтр окружений структуры "?/. Поэтому теорема 1 вытекает из следующего предло- предложения: Предложение 2. Если равномерная структура ' ?/ в Е обладает счетной фундаментальной системой окружений, т.о на Е существует отклонение f такое, что °11 совпадает с определяемой им равномерной структурой. Пусть (Vn) — счетная фундаментальная система окружений структуры 9/; определим по индукции последовательность (Un) симметричных окружений структуры 11 такую, что Ux cz Vx и Un+1 cz Un П Vn для всех п > 1. -! H. Бурбаки
18 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 1 Ясно, что (Un) тоже является фундаментальной системой окруже- ний для ■?/, причем (Jn+1 a Un для п > 1. Определим следующим образом числовую функцию g на Е X Е: g (х, у) = 0, если (х, у) 6 Ь'п для всех n; g (х, у) = 2~\ если (х, у) 6 £/п, когда 1 < < п < к, но (а:, ^) $ G/i+1; g (х, у) = 1, если (а:, у) $ Uz. Функция g симметрична, положительна и g (х, х) = 0 для всех х £ /?. Поло- Положим р-1 /(ж, (/)---inf ^ g(zi, zi+I), где ниишяя грань берется но множеству всевозможных конечных последовательностей (z;)o<;i<р (р произвольно) таких, что z0 — х, a zJ( — у. Покажем, что / есть отклонение, удовлетворяющее неравенствам B В самом деле, из определения функции / тотчас вытекает, что она удовлетворяет неравенству треугольника, симметрична и поло- положительна; очевидно, второе из неравенств B) показывает, что / (а:, х) = 0 для всех х £ Е\ таким обравом, / — отклонение. Для доказательства первого ив неравенств B) покажем индукцией по р, что для каждой конечной последовательности ив р -(- 1 точек (zi)o^i~v множества Е, в которой z0 — х и z}) = у, имеет место неравенство 2 £(*'• z<+i)>-2-ir(a-. »)• C) i-0 p-t Для р = 1 это очевидно. Пусть а — У] ? (zi. z(+i); если i-.vO а ^ 1/2, то неравенство C) справедливо, поскольку g (х, у) ^ 1. Предположим поэтому, что а < 1/2, и пусть /г — наибольший из индексов д, для которых 2 g (zt, таким образом, 2?B» «wXj и S ^(z'-z;.,,) >yf откуда i<h i<A+t 2 «'(г,-, Zi+iXy* i > h
rt ОТКЛОНЕНИЯ. ГЛВНОМЕРИЗУЕМЫЕ ПРОСТРАНСТВА 19 По предположению индукции, g (х, zh) < a, g (zft+1, у) < а; с ДРУг°й стороны, очевидно, g (z/,, xh+1) ^ а. Пусть к — наимень- наименьшее целое число >■ 0, для которого 2~ft ^ я; тогда к ^ 2, (ж, zh) £ 6 #/<• (z/м W 6^»и (zh+1, у) 6 С/л по определению функции g; следовательно, (x, j/) £ £/,,, cr (/ft_t, откуда g (з-, г/) < г1"*1 < 2a. Итак, неравенства B) установлены; они показывают, что при каждом а > 0 множество / ([0, aj) содержит С/^ для всех индексов к таких, что 2~h < а, и что, обратно, всякое £7^ содер- -1 -г жит множество / (|0, 2 Ч); таким образом, мно?кества / ([0, а\) образуют фундаментальную систему окружений структуры ■?/, что ц требовалось доказать. Замечание. Равномерная структура 41 ъ Е определяется семейством^Ф всех отклонений на Е, равномерно непрерывных на ЕХЕ. В самом деле, ясно, что равномерная структура, определенная в Е семейством Ф, мажорируется структурой 41; с другой сторопы, тео- теорема 1 показывает, что существует подсемойствоТсемейства Ф, опре- определяющее равномерную структуру 11, так что ривноморная структура, определяемая Ф, мажорирует %', апачит, она совпадает с 41. ,~>. 1'авномерииуемые пространства В главе II, § 4, п° 1 мы поставили проблему характеризации рапиомеризуемых топологических пространств; ее решение дает следующая теорема. Теорема 2. Для того чтобы топологическое пространство А' было равпомеризуемо, необходимо и достаточно, чтобы оно удовлетворяло следующей аксиоме: (Orv) Каковы бы, ни были точка хо£Е и ее окрестность V, существует непрерывная функция на Е со значениями в [0, 1|, равная 0 в тоЧке х0 и 1 на С V. Условие необходимо. В самом деле, если в пространстве Е существует равномерная структура, согласующаяся с его топо- топологией, то по теореме 1 эта структура может быть эадана семейст- ством (Д) отклонений на Е, причем всегда можно считать, что это семейство насыщенно (п° 2). По определению окружений равномер- равномерном структуры, определяемой таким семейством отклонений, существуют отклонение /а из семейства (/() и число а > 0 такие, что /а (х0, х) ^ а для всох х £ CF; а отсюда следует, что функция 2*
20 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § I g (х) — inf f I, '—fa, {хо< х)) удовлетворяет всем требованиям аксиомы. Условие достаточно. В самом деле, пусть Ф — множество всех непрерывных отображений Е в [0, 1]. Аксиома (Oiv) устанавли- устанавливает, что слабейшая из равномерных структур в Е, для которых функции из Ф равномерно непрерывны, согласуется с топологией пространства Е (гл. II, 2-е изд., § 5, и° 1; 3-е изд., § 2, п° 3). Определение А. Топологическое пространство называет- называется вполне регулярным, если оно равномеризуемо и отделимо. По теореме 2 то же самое можно выразить, сказав, что про- пространство вполне регулярно, если оно удовлетворяет аксиомам (Н) и (OIV). 3 а м е ч а н и е. Аксиома (О\у) илечет (Оцг) (см. гл. I, 2-е изд., § 6, и" 7; 3-е изд., § 8, п" 4), ибо если V — окрестность точшг хп v j — непрерывная числовая: функция на А' со значениями в [О, Г] такая, что / (.го) --= Он/ (х) = 1 для всех х Q CV, то множество / ( I 0, — 1 I есть замкнутая окрестность точяи х0, содержащаяся в V. 11 част- частности, всякое вполне регулярное пространство регулярно (что и. оправ- оправдывает терминологию). Напротив, можно привести примеры регуляр- регулярных пространств, но являющихся вполне регулярными *), откуда видно, что (Ощ) не илечет (Oiv)- Как известно (гл. II, § 4, теорема i), всякоо компактное про- пространство, а эначит и всякое подпространство компактного про- пространства, вполне регулярно. Мы сейчас дополним это предложе- предложение доказательством его обращения; иными словами, справедливо Предложение 3. Для того чтобы топологическое про- пространство Е было вполне регулярно, необходимо и достаточно, чтобы оно было гомеоморфно подпространству компактного про- пространства. В самом деле, рассмотрим слабейшую и;> равномерных струк- структур в Е, при которых всо непрерывные отображения Е в [0, 1| равномерно непрерывны; мы исполыювали эту структуру при доказательстве теоромы 2 п видели, что она согласуется с тополо- топологией пространства Е, если Е равномеризуемо. Если Е, кроме того, *) См. А. Т yell on off, Math. Лип. 52 A930), стр. 553.
(. ОТКЛОНЕНИЯ. РАВНОМЕРИЗУЕМЫЕ ПРОСТРАНСТВА 21 отделимо, то в силу компактности интервала [0, 1| и в силу пред- предложения 5 § 5 глав!.т II C-е изд., гл. II, § 4, предложение 3) эта равномерная структура будет структурой предкомпактпого про- пространства. Следовательно, пополнение Е, наделенного этой структурой, будет компактно, чем предложение доказано. Можно еще сказать, что вполне регулярное пространство можно погрузить в компактное пространство; часто оказывается удобным придать :>тому результату следующий вид. 1>удем вообще называть кубом произведение К семейства топологических пространств, солпадакщнх с компактным интер- интервалом К cz R, с произвольным, множеством индексов / (если / конечно и состоит из п элементов, мы приходим слова к понятию замкнутого п-мерного куба, введенному в п° 1 § 1 гл. VI); куб есть компактное пространство (гл. I, 2-е изд., § 10, теорема 3; 3-е изд., § !), теорема 3). Предложении 4. Вполне регулярное топологическое простран- пространство Е гомеоморфно подпространству некоторого куба. В самом деле, пусть (/,)i£r — семейство всех непрерывных отображений Е в К — [0, 1]. Рассмотрим отображение х>-* (Д {%)) пространства Е в К ; будем обозначать его g. Согласно аксиомам (JI) и (Oiv) Для каждой пары различных точек х, у из Ё существует индекс i такой, что Д {х) Ф Д (у); следовательно, g есть взаимно однозначное отображение Е в К1. С другой стороны, ясно, что g есть изоморфиам слабейшей из равномерных структур, при кото- которых псе Д равномерно непрерывны, на равномерную структуру, индуцированную Bg{E) равномерной структурой произведения К ; значит, и подавно g есть гомеоморфиим Е на g (E). И. Полунепрерывные функции ни. равно.меринуемом пространстве В главе IV (§ E, следствие теоремы 4) мы видели, что верхняя огибающая семейства непрерывных числовых функций на топо- топологическом пространство есть полунепрерывная снизу функция. В равпомерызуемом пространстве имеет место, кроме того, сле- следующее обратное предложение:
22 вещественный числа в общки топологии гл. эх, § 1 Предложение 5. Для того чтобы всякая полунепрерывная снизу числовая (конечная или нет) функция f на топологическом пространстве Е была верхней огибающей непрерывных числовых (конечных или нет) функций на /?, необходимо и достаточно, чтобы Е было равномеризусмо. Условие необходимо. В самом деле, пусть х0 — произвольная точка из Е и У— ее произвольная открытая окрестность; ха- характеристическая функция ц>у множества V полунепрерывна снизу (гл. IV, § 6, следствие предложения 1); следователь- следовательно, но предположению, существует непрерывная числовая функ- функция g на Е такая, что g ^ <pv и g (х0) — а > 0; непрерыв- непрерывная функция inf (l,— g*) принимает значения в [0, 1], равна 0 па CV и 1 в точке х0; следовательно (теорема 2), Е равноме- ризуемо. Условие достаточно. Рассмотрим сначала случай, когда / при- принимает значения в [—1, +1|. Требуотся показать, что для каждой точки х0 6 Е и каждого числа а <; / (х0) существует непрерывная числовая функция g на Е такая, что g ^ / и g (х0) ^ а. Если а ^ —1, то в качестве g достаточно взять постоянную —1. Если —1 <я</ (х0), то существует окрестпость У точки х0 такая, что / (х) ^ а для всех х £ У. Поскольку Е равномеризуемо, существу- существует непрерывная числовая функция h на Е со вначениями в @, 1] такан, что h (х0) = 0 и h (х) — 1 для всех х £ СУ. Положив тогда g (х) = а — (а -'г 1) h (x), получим непрерывную функцию, удо- удовлетворяющую поставленным требованиям. Отметим, что эта функция принимает значения в интерпале [ — J, -f-1J. Общий случай получается ив рассмотренпого переносом струк- структуры: в самом деле, существует строго возрастающий гомеомор- фивм интервала [—1, -flj па К (гл. IV, § 4, предложение 2), а определение полунепрерывной функции связано только со структурой порядка и топологией в R. Замечание. Ив проведенного доказательства пидно, что функция я но принимает значения -|-1. Посредством переноса струк- структуры заключаем отсюда, что всякая полунепрерывная сняэу числовая функция / на равномериауемом пространстве Е есть верхняя огибаю- огибающая непрерывных числовых функций я <; / на Е, не принимающих значения +оо.
УПРАЖНЕНИЯ 23 Упражнения 1) Для того чтобы положительная числовая функция /, опреде- определенная на Е X Е, была отклонением на Е, необходимо и достаточно, чтобы / (х, х) = 0 для всех х £ Е и / (х, у) < / (х, г) + / (.у, z) для исех я, у, г из /J. 2) Пустг. /—отображение EX E в [0, -р-оо]; для того чтобы семейство множеств / ([0, а]), где а пробегает все числа >0, еостаи- ляло фундаментальную систему окружений некоторой равномерной структуры в Е, необходимо и достаточно, чтобы / удовлетворяло следующим условиям: а) / (х, х) = 0 для всех х £ Е; б) для каждого а > 0 существует Ь > 0 такое, что / (х, у) < Ъ влечет / (у, х) < а; в) для каждого а > 0 существует с > 0 такое, что соотношения / (х, 2) < с II / (г, у) < с влекут / (х, у) < о. В частности, условия б) и в) выполнены, если'сущестнуют отобра- жепис ф интервала / = [0, -j-°°] на себя, непрерывное и равное нулю и точке 0, и отображение i|> произведения / X / в /, пппреринное и равпос нулю в точке @, 0), такие, что / {у, х) ^ ф (/ (х, у)) и / (х, у) ^ ^ i|> (/ (*! г), / (z> !/)) Для всех х, у, ъ из Е. 3) Пусть Я — топологическое пространство, .'7~ — его топология, (li) — насыщенное (н° 2) семейство отклонений на Е и Ж — определен- определенная им равномерная структура а) Для того чтобы топология, порожденная равномерной струк- структурой 11, мажорировалась топологией ,'Т, необходимо и достаточно, чтобы все Д были непрерывны на Е X Е (п прошшоденпи топологии :Т на себя), б) Для того чтобы топология, порожденная равномориоп струк- структурой 11, мажорировала топологию ,Т, необходимо и достаточно, чтобы для каждой точки х0 £ Е и каждой ее окрестности V (в топологии 3") существовали индекс i и число а > 0 такие, что /,, (х0, х) > а для исех х £ CF. 4) Пусть Ej~- неотделимое равиомеризуемоо пространство и R — отношение у £ {х} между двумя общими точками х, у из Е. в) Показать, что II ость отношение эквивалентности и Е, что всякое непрерывное отображение Е в отделимое пространство согла- согласуется с отношением R (Теор. множ., Сводка результ., § 5, п° 7) и что факторнрострапство F.IR вполне регулярно. б) Для всякой равномерной структуры 41 в Е, согласующейся с его топологией, отделимая равномерная структура, ассоциированная с % (гл. II, § 1, п° 4), определена в факторпространство E/R и согла- согласуется с топологией атого пространства; топологическое пространство ElR называется вполно регулярным пространством, ассоциированным с равномеризуемым пространством Е. 5) Пусть Е-~ равпомеризуемое пространство; показать, что семей- семейстпо есех отклонений на Е, непрерывных на Е X Е, определяет в Е равно-
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § J мерную структуру,, согласующуюся с его топологией. Эта равномерная структура Шй (называемая универсальной равномерной структурой в Е) является сильнейшем из всех равномерных структур в /'', согласую- согласующихся с. его топологией. Каково бы ни было равномерное простран- пространство F, исякое непрерывное отображение К в /' равномерно непре- непрерывно при наделении Е его yj in нереальной структурой, причем это предложении неверно для всякой другой равномерной структуры, согласующейся с топологией пространстпа Е. Покапать, что если в Е существует равномерная структура 9/, согласующаисн с, его тополо- топологией, такая, что Е, наделенное :>топ структурой, полно, то К, наде- наделенное равномерной структурой 11'', мажорирующей 11 и мажорируе- мажорируемой 110, тоже полно. [Заметить, что структуры 11' и ?/0 порождают одни и те же фильтры Коши.] *6) а) Пусть Е — вполне регулярное пространство, 11 — равно- равномерная структура, согласующаяся с его топологией, и 11* - - слабей- слабейшая из равномерных структур в Е, при которых остаются равномерно непрерывными все отображения Е в [0, 1], равномерно непрерывные при наделении Е структурой 11. Показать, что равномерная струк- структура 11* отделима, согласуется с топологией пространства R и тто Е, наделенное лтой рагтомерной структурой, предкомпакгпно. б) Пусть К — произвольное компактное пространство. Показать, что всякое отображение / пространства Е в К, равномерно непрерыв- непрерывное при наделении Е структурой Ш, остается равномерно непрерыв- непрерывным и при наделении Е структурой 41*. [Заметить, что единственная равномерная структура и К, согласующаяся с его топологией, совпа- совпадает со слабейшей ин равномерных структур, при которых нее непро- непрорывные отображения К в [0, 1] равномерно непрерывны.| Вывести отсюда, что 41* есть сильнейшая иа мажорируемых 41 равномерных структур в Е, при которых Е продкомпактно. *7) Пусть Л' — вполне регулярное пространство н 1/а --■ универ- универсальная равномерная структура в Е (упражнение 5); равномерная структура 41* (унряжненне 0) еслъ по. что иное как слабейшая иа рав- равномерных структур в Е, при которых псе непрерывные отображения Е в [0, 1] равномерно непрерывны. Обозначим через "Е компактное про- пространство, получаемое пополнением пространства Е, наделенного структурой 1№*\ Е называют компакты фикаци ей Стоуна — Чеха пространства Е. а) Показать, что всякое непрерывное отображение пространств Е и компактное пространство К допускает продолжении до непрерывного отображения £ в К. (см. Теор. множ., гл. IV, § 'Л). б) Пусть / — гомеоморфизм пространства Е на всюду плотное подпространство Е' компактного пространства /Си/ — непрерывное, отображение Е в К, продолжающее /; показать, что А;?— е) = к — е'.
УПРАЖНЕНИЯ 2!> ^Предположим, что существует п^ Е — Е, для которого / (а) ■■-= / (ft), где b G Е\ рассмотреть непрерывное отображение g пространстна Е в |", 1] такое, что g- (Ь) = 0, g (а) = I, я множество Р тех х £Е, для которых % (х) ;> 1/2; существует непрерывное отображение h про- пространства Л' в [О, 1J такое, что h (/ (?>)) =-- 0 и h (/ (л:)) = 1 для всех г (: /•*; показать, что равенство h (/ (а)) — (I противоречит тому, что а есть точка прикосновения для Р в А'.| *й) Пусть Е —■ вполне регулярное пространство и Е — его ком- нактпфикация Стоуна — Чеха. и) Фильтр ft в А" насыпается вполне регулярным, если он обладает базисом 39, состоящим ин открытых множеств, таким, что для каж- каждого множества А С *8 существуют .множество /J £ 39, содержащееся и Л, и непрерывное отображение / пространства К в [0, 1], рапное О на В и 1 да СЛ- Вполне регулярный фильтр называется максималь- максимальным, если не существует более1 сильного вполне регулярного фильтра. Показать, что для каждого вполне регулярного фильтра Яг существует максимальный вполне .рогулярпы» фильтр, мажорирующий ' Яг. [Исполг.аовать теорему Цоргга.] б) Для того чтобы пполне регулярный фильтр % был максималь- максимальным, необходимо и достаточно, чтобы для каждой нары открытых множеств А, В n E такой, что В с:. А и существует непрерывное ото- отображение / пространства Е в [0,1 ], равное 0 на В и 1 на СЛ, выполня- выполнялось следующее условие: либо А £ ?■) либо A (J % и в Я; существует множество, не пересекающееся с В. [Если все множества из Я пере- пересекаются с В, рассмотреть фильтр, порожденный всеми множествами ив ?f и множествами / ([0, а(), где а пробегает открытый интервал 10, Ч-] в) Покааать, что всякий максимальный вполне регулярный фильтр $ есть фильтр Коти относительно равномерной структуры в Е, инду- индуцированной иа Л. [Рассуждая от противного и испольяуя б), показать,, что каждое непрерьпшое'отображоние / пространства Е a fO, 1] имеет предел по Я--1 г) Два риаличиых максимальных вполне регулярных фильтра Я, ft' не могут сходиться к одной и той же точке в Е. [Заметить, что, согласно б), существуют непересекающиеся открытые множества А С ft it А' С: Я'; далее рассуждать от противного, испольяуя (Oiv)-l д) След Ж па Е фильтра окрестностей произвольной точки хй f E есть максимальный вполне регулярный фильтр. I Рассуждать от нро- типпого, используя оиределенпн пполне регулярного-фильтра и филь- фильтра окрестностей точки в Е.\ '.)) а) Пусть Е — топологическое пространство, .7" — его топо- топология и (/i)tgj — некоторое семейство отображений ^ п К = [0, 1], непрерывных в топологии ,Т. Пусть ,Т0 — слабойтая из топологий в Е>
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX. § 1 при которых псе Д ионрерътны. Покапать, что для того, чтобы 3~й = 3', достаточно, чтобы семейство множеств /t ([0, а[), где а пробегает открытый интервал ]0, 1[, a i пробегает /, было системой образующих топологии 3" (гл. I, § 2, is° 3). Пространство Е тогда равпомеризуемо и в случае отделимости гомеоморфпо некоторому подпространству куба К". б) Предположим, что (Д) есть семейство всех иепрершших (в ЗГ) отображений Е в К. Показать, что для каждого компактного прост- пространства /' всякое отображение Е в F, пепрерыппое п топологии 2Г, неирерыпно и в топологии 3~0. [Погрузить F в куб.] Для того чтобы топология 3~ была рапномеризуемой, необходимо н достаточно, что- чтобы 3~й~ ST. 10) Пусть Е — вполне регулярное пространство, К — его ком- компактное подмножество и V — окрестность К и Е. а) Показать, что существует непрерывное отображение Е и [0, 1], равное 1 на К и 0 па CF. [Использовать (Oiv), покрывая К конечным числом надлежащих окрестностей.] б) Пусть Е' — факторпрострлнстпо, получаемое отождествлением в Е всех точек из if. Показать, что Е' нполпо регулярно. *И) Пусть Е — вполне регулярное пространство. Замкнутые множества А, В и Е называются нормально отделимыми, если сущест- нует непрерывное отображение / пространства Е в [0. 1] такое, что / (х) — 0 на Л и / (х) — 1 на Л. а) Пусть 1С — компнктификация Стоуна — Чеха пространства Е. Покапать, что для того, чтобы замкнутые подмножества А, В прост- пространства Е обладали непересекающимися замыканиями в Е, необхо- необходимо и достаточно, чтобы А и В были нормально отделимы. [Исполь- [Использовать упражнения 7а) и 10а).] б) Пусть h — гомеоморфизм пространства Е на всюду плотное подпространство Е' компактного пространства К и h — непрорывное отображение Е в К, продолжающее h. Предположим, что для каждой пары нормально отделимых замкнутых множеств А, В is E аамыкаиия множеств h (А) и h (В) и А' не пересекаются. Показать, что h есть гомеоморфизм Е иа К. [Доказать, что h инъективпо: предполагая, что о, Ь — две различные точки в Е, для которых h (a) = h (b), рас- рассмотреть множества Е |"| / ([0,1/3]) и £ f)/A2/3, 1]), где / — непрерывное отображение Е в [0, 1] такое, что / (а) = 0, / F) = 1.] *12) Пусть Е — компактификация Стоуна — Чеха нполне регу- регулярного пространств Е. а) Пусть / — непрерывная конечная числовая функция на Е такая, что / (х) > 0 на Е и множество А = / @) с: "Ё — Е не пусто; тогда в Е существует последовательность точек (ап), для которой
УПРАЖНЕНИЯ 27 последовательность чисел Я„ = / (я„) > 0 строго убывает it liin >.n = 0. п~* оо Сопоставим каждому целому п > 0 открытый интервал /, л В* с цент- центром Х„ так, чтобы замкнутые интервалы /п попарно но пересекались, и пусть Мп = / (/„) П Е. Пусть Мл для каждого множества Яс N есть объединение всех множеств Мп, у которых п 6 //; для каждого фпльтра % в N, мажорирующего фильтр Фрошо, обозначим через Jv' фильтр в А' базис которого образуют множества Мц, где Я пробега- пробегает $. Показать, что g' — пполпс регулярный фильтр (упражнение 8) и что еслп Ej, $2 — два различных ультрафильтра в N, мажорирую- мажорирующих фильтр Фреше, то в Е не существует фильтра, мажорирующего л, и За- Иыпести отсюда, что Card (Л) > 22Card ^N\ [Ислоль;юпать упражнении 8 п 14п) § 8 гл. I.] б) Предположим, что К бесконечно и дискретно. Показать, что равномерной структурой, индуцируемой в Е из В, служит равно- равномерная структура конечных раабиепий (гл. II, 2-е изд., § 3, упраж- упражнение 4 и § 4, упражнение 13; 3-е. изд., § 4, упражнения 12 и 126)). [Использоватьупражнение И б)]. Вывести отсюда, чтоCard(A')=22Ca ^ (см. гл. I, § 8, упражнение 14в)*)). Показать, что па Ё существует непрерывная числовая функция / > 0, для которой / @) не пусто н содержится и Е — Е. и) При тох же предпосылках, что и в б), показать, что если А — пескопочпоо замкнутое множество в Е, то Card (И) > 2aCard^. [Показать сначала, что в А существует бесконечная последователь- последовательность точек (о„), обладающих попарно непересекающимися окрест- окрестностями Vn в Ё; вывести отсюда, что всякая ограниченная числовая функция /, определенная па множестве D точек ап, продолжается до непрерывной функции на Е: рассмотреть для этого числовую функ- функцию g, определенную на Е н равную / (оп) для всех точек из E(]Vn. Заключить, что D с: А гомеоморфно компактификации Стоуна —- Чеха множества D (см. § 4, упражнение 17).] 13) Пусть G — некомпактная локально компактная топологиче- топологическая группа. Покааать, что равномерная структура, индуцируемая и произведении II — С X G равномерной структурой его компакти- компактификации Стоуна — Чеха II, сильнее равномерной структуры, инду- индуцируемой из G X G. [Применяя упражнение 7а) к отображению {х, у) t—*-xij~l пространства Н в G, показать, что в противном случае *) В 3-м изд. воспроизведены только пункты а) и б) атого упражнения (гл. I, § 4, упражнение 5). Пункт в): Вывести из а) и б), что в А множество иесх ультрафильтров и множество всех фильтров равномощны Peb.
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § f группа G была бы изоморфна подгруппе компактной группы, п затем использовать предложение 4 § 3 главы Ш.] 14) Показать, что если киждая точка топологического простран- пространств» Е обладает замкнутой окрестностью, являющейся рашюмеризуе- мьгм подпространством пространства Е, то Е равномеризуемо. *1Т)) а) Пусть Е — локально компактно!1 пространство, Ф — мно- множество шех его непрерывных отображений % в [О, 1], равных нулю на дополнении некоторого компактного множества (манисящого от g), и Ч1Л — еллбейшая из равномерных структур в Е, при которых псе функции g £ Ф равномерно иеирерыпмы. Покапать, что 9/{ соглаеует- ся с топологией пространства К, что пополнение; К ирострлнетва Е, наделенного атой структурой, компактно л что дополнение к Е в Е либо пусто, либо сводится к одной точке. | Показать, что если Е не ком- компактно, то фильтр дополнений относнтолыго компактных множеств в Е есть фильтр Коши относительно структуры 11Л.\ б) Показать, что равномерная структура 9/л является слабейшей иа равномерных структур, согласующихся с топологией простран- пространства Е. в) Обратно, пусть Е — такое вполне регулярное пространство, что в множестве равномерных структур, согласующихся с его топо- топологией, существует структура ?/т, мажорируемая всеми остальными. Покапать, что Е локально компактно. [Используя упражнение 6, показать, что Е, наделенное структурой 41 \, предкомпактпо; убедить- убедиться затем, что дополнение к Е относительно его пополнения в струк- структуре Vli не может содержать более одной точки.] г) Предположим, что Е локально компактно и счетно в бесконеч- бесконечности, так что (гл. I, 2-е изд., § 10, пс 11; 3-е изд., § 9, п° 9) К предста- вимо в виде объединения возрастающей последовательности {Un) от- относительно компактных открытых множеств таких, что Un с: Un+i. Показать, что иа Е существует шчтрершшал числовая функция / токая, что / (х) < п для всех х £ Un и / (л) > н для всех х 6 СТ/п. [См. упражнение 10а).] Пусть 41\ -- слабейшая из равномерных структур в Е, при которых ьсе функции g€<& и функция / равно- равномерно непрерывны; показать, что эта структура согласуется с тополо- топологией пространства Е и обладает окружением V таким, что V (х) относи- относительно компактно » Е для киждого х g Е. [См. гл. [I, 2-е нлд., § 4, упражнение 10; 3-е над., § 4. упражнение it.] *1i>) Пусть Е — полное отделимое равномерное пространство и 9/ — его равномерная структура. а) Пусть А — объединение последовательности (/>„) замкнутых подмножеств пространства Е к х <£ А. Покпзпть, что на Е существует непрерывная коночная числовая функция / > 0 такая, что / (х) = 0 и / (у) > 0 для всех // £ А. [Рассмотреть функцию / (х) = V й(| (х)/2п,
УПРАЖНЕНИЯ 29 еде gn — непрерывные отображения Е в [0, 1 ] такие, что gn (х) ~ О и /?л (»)=-! Для всех u£Fn.) б) Пусть h — непрерывная числовая функция >0 на Ем V — —1 открытой множество /* (]0, foot). Рассмотрим в V равномерную струк- структуру li'y являющуюся нерхней гранью структуры, которую индуци- индуцирует 11, н равномерной структуры, определенной отклонением 1 1 Г (.V, //) := h (х) h (у) Показать, что V полип н 1t'.\ «) Пусть Б — иоре(ч"юниA ссмомстпа миожостп (A)J, каждое из которых есп. объединение спетпого coMeiicrna замкнутых иод- множеств пространства Г.. Показать, что в В существует такая рав- равномерная структура, согласующаяся с топологией, индуцируемой it:i Е, что В в !>той структуре полно. [Исполыюпать б).] 17) Пусть Е — топологическое пространство, в котором открыто- замкнутые окрестности каждой точки образуют фундаментальную систему ее окрестностей. Показать, что Е равяомеризуемо. 18) Пусть Е — счетное вполне регулярное пространство. Пока- Покапать, что открыто-замкнутые окрестности каждой точки х 6 Е обра- образуют фундаментальную систему окрестностей этой точки. [См. § 6, 20) Пусть Е — локально компактное пространство. Показать, что всякая полунепрерывная спину функция / ^ 0 на £ есть верхняя ■огибающая семейства непрерывных функций ^0, каждая из которых равна нулю па дополнении никоторого компактного множества. 21) а) Пусть Е — вполне регулярное пространство и а — его точка; для того чтобю на /? существовал» непрерывная функция / J& 0 такая, что / (а) — 0 it j (т) > 0 для ucex x Ф а, необходимо и доста- достаточно, чтобы точка а обладала последовательностью (Vn) окрестностей такой, что {й}т~||^п.. 1СМ> упражнение 16а).] б) Пусть Е -■ нполне регулярное пространство, каждая точка которого обладает счетной фундаментальной системой окрестностей. Показать, что в его компнктифнкацми Стоуна — Чеха Е множество Е совпадает с множеством точек, обладающих счетной фундаментальной системой окрестностей в Е. [Использовать п) и упражнение 12.] Пусть также Е' — вполне регулярное пространство, каждая точка которого обладает счетной фундаментальной системой окрестностей; показать, что если компактификацгш Стоун;» — Чеха Е и Е' гомеоморфны, то также Е и А" гомеоморфны. *22) а) Пусть Е — топологическое пространство. Доказать рав- равносильность следующих двух свойств: а) всякня непрерывная конеч- конечная числовая функция на Е ограниченна: р1) всякая непрерывная и огра- ограниченная1 чистовая функция на Е обладает наименьшим и наибольшим
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 1 значениями. Пространство Е, обладающее этими свойствами, назы- называется вейерштрассовым. Для каждого непрерывного отображения / «плерштрассовп пространства Е в топологическое пространство Е' подпространство / (Е) пространства Е' вейерштрассопо. б) 1'посмотрим следующие два свойства топологического прост- рапстпа Е: 7) Для каждого счетного открытого покрытия (Un) прост- пространства Е последнее является объединением конечного числа мно- жгети Un; 6) пгякий счетиый базис фильтра п Е, состоящий из открытых множеств, имеет но крайней мере одну точку прикосновения. Пока- Показать, что свойства 7) и 6) равносильны и влекут вейерттраесовость пространства Е. В частности, всякое абсолютно замкнутое простран- пространство (гл. I, 2-е изд., § 10, упражнение 10; 3-е изд., § 9, упражнение 19) нойерштрассово. Если Е обладает свойствами 7) и б), то ими обладает и псякоо ого подпространство вида Л, где А — открытое множество. [См. § 4, упражнение 266).] в) Рассмотрим следующее свойство топологического простран- пространства Е: £) всякое локально коночное открытое покрытие ирострапст- ва Е конечно. Покапать^ что £) влечет 7). [Пусть (£/„) — возрастаю- возрастающая последовательность открытых подмножеств пространства Е, образующая его покрытие и такая, что t/n+i (Jl Un; рассмотреть покрытие, состоящее из множеств £/п+1 П С£/п и дополнения после- последовательности (ап) такой, что <zn+i £ Un+i £ Ct/ .] Доказать, что если К регулярно, то 7) влечет £). [Пустг. (Va) — бесконечное локальн» копечпое открытое покрытие пространства Е. Определить по индук- индукции последовательность (а„) индексов, последовательность (хп) точек из Е и для каждой точки хп две ее открытые окрестности Vn, Wn, такие, что: 1° Vn с: Wn, Wn a Ua и Wn пересекается лишь с конеч- конечным числом множеств Ua; 2° Uan iro пересекает пи одного Wh с ип- доксом к < п. Рассмотреть затем покрытие прострлпстна Е, образо- образованное множествами Wn и дополнением к объединению множеств Vn.] г) Во вполне регулярном пространстве Е свойства а), р), 7)> 6), £) равносильны друг другу и следующему свойству: 0) Е предком- пактпо во всякой рашюмерной структуре, согласующейся с его топо- топологией. [Чтобы убедиться в том, что а) влечет £), заметить, опираясь на (Ojv), что если (Un)~ счетпо-бесконечпоо локально конечное откры- открытое покрытие пространства Е и ап £ Un, то на Е существует пепро- рывная чибловая функция / такая, что / (а„) = п для всех п. Для доказательства того, что 0) влечет а), использовать упражнение* 5 и заметить, что на предкомпактиом пространстве всякая равномерно непрерывная числовая функция ограпичоппп. Чтобы доказать, что 7) влечет 0), заметить, что если Е по предкомпактно в равномерной структуре 11, то существуют симметричное окружение V втон струк- структуры и последовательность (хп) точен пз Е такие, что множества V (хп) попарно не пересекаются.]
I МЕТРИЧЕСКИЕ Я МЕТРИЗУЕМЫВ ПРОСТРАНСТВА 31 д) Вполне регулярное вейерштрассово пространство, полное в пекоторой равномерной структуре, согласующейся с его тополо- гиейи компактно. е) Во вполне регулярном войерштрассовом пространстпе Е упн- версальная равномерная структура (упражнение 5) индуцируется равномерпой структурой его комнактификацин Стоуна — Чеха и яв- является единственной равномерной структурой, согласующейся с топо- топологией пространства Е, при которой все непрерывные отображения Е в [0, 1) равномерно пепрерыпиы. *23) Пусть Е — отделимое равномерное пространство, F — его замкнутое подмножество и / — ограниченная равномерно непрерып пая числовая функция на /•'. Показать, что / обладает ограниченным равномерно непрерывным продолжением J па Е [Можно считать, что / (/'') сг [О, 1]. Каждой дпоичиой дроби г= к/2п £ [0, 1) отнесем множество А (г) тех точек х £ Г', для которых / (х) < г, и пусть В (г) =. = А (г) Ц (£ TZ ^)* Определить по индукции "(как при докаяатоль- стпо теоремы 1 § 4H для каждой двоичной дроби г £ [0, 1) открытое множество U (г) так, чтобы для каждой пары двоичных дробей г, г', ГДС г < г'» выполнялось следующее условие: существует окружении V равномерной структуры пространства Е такое, что V (А (г)) с U (г'), V (U (г)) с: U (г'), V (V (г)) с В (г'). Припять тогда 8а? (х) нижнюю грань двоичных дробей г, для которых * 6 U (г).] § 2. Метрические пространства; метризуемые пространства 7. 1'асстояния и метрические пространства Определение 1. Расстоянием на множестве Е называют конечное отклонение d на Е, для которого отношение d (x, у) = О влечет х = у. Метрическим пространством называют множество Е, наделенное структурой, определяемой заданием на Е рассто* яния. Метрическое пространство Е будет всегда считаться паделен- ным равномерной структурой и топологией, определяемыми задан- заданным на Е расстоянием. Примеры. 1) Евклидово расстояние d (x, у) (гл. VI, § 2, п° 1) есть расстояние па числовом пространство Нп; то же можно скатить и о фупкдиях sup | Х[ — iji | и V. | Х[ — i/i |. Все яти расстояния якви- валентны (§ i, n" 2).
32 ВЕЩЕСТВЕННЫЙ ЧИСЛА В ОБЩИЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX., §'%2 2) Отклонение d, определенное на произвольном множестве Е соотношениями d (х, х) =- 0, d (х, у) ■=■• 1 при х =yv у, есть расстояние; равномерная структура, определяемая им и Е, дискретна. Определение, равносильное определению 1, получится, если сказать, что расстояние есть такое конечное отклонение, которое определяет отделимую равномерную структуру; следовательно, конечное отклонение, эквивалентное некоторому расстоянию, является расстоянием. С равномерным пространством, определенным заданием одного отклонения (которое можно считать конечным), не являющегося расстоянием, можно связать метрическое пространство. Пусть / — такое отклонение на множестве Е и *?/ — определяемая им равно- равномерная структура; ата структура неотделима, и пересечение ее окружений есть множество в Е X Е, определяемое отношением эквивалентности / (х, у) --■ 0; обозначим это отпошоние через В. Если х зе х' (mod В), то по неравенству треугольника / (х, у) ^ < / (х, х') + / Or', у) = / (х1, у), и так же / (х', у) < / (ж, у), так что / (х, у) — f (x', у); иначе говоря, / есть функций, согласующаяся (по х и у) с отношением эквивалентности В (loop, мгаож., Сводка результ., § 5, п" 7). Пусть / — функция, полученная из / фактори- а • задней (по х и у); она определена на (EiВ) х {ElВ), и если х, у — классы (mod В) точек х, у из Е, то / (ж, у) == / (я, у). Отсюда сразу следует, что / —расстояние па Е/В; ого называют расстоя- расстоянием, ассоциированным с отклонением /; лри этом равномерная структура, определяемая им в Е/В, есть не что иное, как отдели- отделимая равномерная структура, ассоциированная с 11 (гл. II, 2-е изд., § 1, п° 4; 3-е изд., § 3, п° 8). Таким образом, переходом к надлежа- надлежащему факториространству равномерная структура, определяемая одним отклоненном, сводится к структуре метрического про- пространства. Предложение 1 § 1 определяет структуру пополнения метри- метрического пространства. Предложения 1. Пусть Е — метрическое пространство, (J — расстояние на Е и Ё — пополнение Е (по равномерной струк- структуре, определяемой расстоянием d); функция d продолжается по непрерывности на Е, ее продолжение d является расстоянием на Е
2 МЕТРИТ1ЕСКИЕ Л МЕТРИЗУЕМЫЕ ПРОСТРАНСТВА 33 и равномерная структура в Е совпадает с равномерной структурой, определяемой расстоянием й. В^самом деле, предложение 1 § 1 показывает, что d — конечное отклонение на Е и определяет в Е равномерную структуру, полу- получаемую при пополнении; поскольку последняя отделима, d есть расстояние. Рассматривая пополнение Е метрического простран- пространства Е как метрическое пространство, всегда подразумевают, что расстояние на Е получено продолжением по непрерывности рас- расстояния на Е. Я. Структура метрического пространства Лусть Е и Е' — метрические пространства, d — расстояние на Е и d' — на £". В соответствии с общими определениями (Тоор. множ., Сводка результ., § 8, п° 5), взаимно однозначное отображение / пространства Е на Е' есть изоморфизм структуры метрического пространства в Е на структуру метрического про- пространства в £", если d (х, у) = d' (/ (*), / (у)) A) для всех х и у из Е. Отмстим, что отображение / пространства Е на Е\ удовлетво- удовлетворяющее тождеству A), необходимо биективно и, следовательно, является изоморфизмом Е на Е'\ этот изоморфизм называют еще изометрией (или изометрическим отображением) Е на Е'. Изометрия Е на Е', разумеется, является изоморфизмом ранномер- imii структуры (соотвотстиенно топологии) пространства Е на равно- равномерную структуру (соотнетстимгао топологию) пространства Е'\ как покапывает существование различных эквивалентных расстояний (§ 1, п° 2), обратное неверно. Пусть Е — метрическое пространство и d — определяющее его расстояние. Для каждого числа а >• 0 обозначим через Va мно- множество тех точек (х, у) £ Е х Е, для которых d (x, у) < а, и через Wa — множество тех точек (х, у), для которых d (х, у) ^ ^ а; когда а пробегает множество всех чисел > 0 (или только их последовательность, стремящуюся к 0), множества Va (соотв. Wa) образуют в силу непрерывности d (§ 1, п° 3) фундаментальную систему открытых (соотв. замкнутых) окружений равномерной •i Н. Бурбаки
34 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. ТХ, § 2 структуры пространства Е; при этом Va с: Wa, по эти два множе- множества но обязательно совпадают. По аналогии со случаем евклидова расстояния на R™, мно- жестпо Va (x) (соотв. Wa (x)) называется открытым (соотв. аамкнутым) шаром с центром х и радиусом а; это открытое (соотв. замкнутое) множество в Е. Точно так же сферой с центром х и радиусом а называют множество тех точек у, для которых d {х, у) — а; это — замкнутое множество. Согласно предыдущему открытые (соотв. замкпутые) шары с центром х и радиусом а образуют фундаментальную систему окрестностей х, когда, а про- пробегает множество всех чисел >0 или последовательность чисел >0, стремящуюся к 0. Не следует обманываться введенной терминологией и думать, что в произвольном метрическом пространстве тпры и сферы обла- обладают теми же свойствами, что и евклидовы шарм п сферы, изученные в § 2 главы VI. Так, например, иамыкание открытого тара может отличаться от замкнутого шара с темп нее центром и радиусом, гра- граница замкнутого шара может отличаться от сферы с теми жо центром и радиусом, открытый (или замкнутый) тар может не быть спя.чгшм, а сфера может быть пустым множеством (см. упражнение 4). Пусть А ж В — произвольные непустые множества в метри- метрическом пространстве Е. Расстоянием между множествами А и В назыпают число й(А, 7?)= inf d(x, у). В частности, через d (x, А) обозначают расстояние между одно- одноточечным множеством {х} и множеством А; его называют расстоя- расстоянием от точки х до множества А; таким образом, d(x, Л)=- inf d(x, у), 1/£А откуда d (А, В) = inf d {x, В) (гл. IV, § 5, предложение 9).. Замечание. При d (ж, А) — а может случиться, что в А пот ни одной точки, расстояние которой от х равно а. Однако это не может иметь места, если А -компактно, ибо тогда в силу тгоремы'Вейерштрас- ■ ■ са (гл. IV, § б, теорема 1) существует у 6 А, для которого й (х, А) =
2 МЕТРИЧЕСКИЕ И МЕТРИЗУЕМЫЕ ПРОСТРАНСТВА 35 Предложение 2. Свойства d (х, А) = 0 и х £ А равно- равносильны. В самом деле, свойство d (х, А) = 0 выражает, что шар Var[x) пересекается с А при каждом а > 0, а это равносильно тому, что х£А. Предложение 3. Функция d (x, А) равномерно непрерывна на Е. В самом деле, пусть х, у — произвольные точки из Е; для каждого е > 0 существует z £ А такое, что d (у, г) ^ d (у, А) + г, откуда в силу неравенства треугольника d (x, z) < d (x, y)+ d (у, z)^d {х, у) + d (у, А) + е. Тогда, тем более, d(x, A) ^ d (х, у) + d (у, А) + &, и так как е произвольно, то d (ж, А) ^ d (х, у) + d (у, А). Тем же способом получаем, что d (у, А) ^ d (x, y) + d (x, А), так что \d(x,A)-d(y,A)\^d(x,y), B) откуда и вытекает справедливость предложения. Замечание. Если ни одно иа множеств А, Л не одноточечно, то может оказаться, что d (А, В) = 0 и при А Л В = 0- Например, целые числп > 0 и точки последовательности ( п + я- ) образуют ип числовой прямой R непересекающиеся замкнутые множества, расстояние между которыми равно нулю. Однако если А компактно и В замкнуто, соотношение d (А , В) = — О влечет А Г\В Ф 0, ибо в силу соотношения d (А, В) = inf d (x, В), *6А предложения 3 п теоремы Вейергатрасса существует х0 6 А такое, что d (ж0, В) = d (А, В) — 0, откуда (предложение 2) ж0 6 В. Диаметром непустого множества А в Е называют (конечное или равное + со) число б (А). = sup d (x, у). Понятие множества *£А, MIA «малого порядка Wat> (гл. II, § 3, п° \) совпадает с понятием мно- множества диаметра ^а. Для того чтобы непустое множество А было одноточечным, необходимо и достаточно, чтобы б (А) — 0. Множество A cz E называют ограниченным (относительно рас- расстояния d), если его диаметр конечен. То же самое можно выразить, сказав, что, какова бы ни была точка х0 £ Е, А содержится в неко- некотором шаре с центром в х0. Всякое подмножество ограниченного 3*
3fi ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 2 множества есть ограниченное множество; объединение конечного семейства ограниченных множеств есть ограниченное множество. Отметим, что множество к Е может Г>ыть ограниченным относи- относительно расстояния d и неограниченным относительно некоторого расстояния, окшмлентгюго d (см. § 1, и" 2). .?. Колебание функции С понятием диаметра связано понятие колебания функции /, определенной на произвольном мпожестве Е и принимающей значение в метрическом пространстве Е'; колебанием функции f на произвольном непустом множестве А а Е называют диаметр б (/ (А)). Если, кроме того, Е есть подмножество топологического про- пространства F, то колебанием функции f в точке х £ Е называют число со (х; /) = inf б (/ (V П Е)), где V пробегаот фильтр окре- окрестностей точки х в F. Предложение 4- Колебание со (х; /) произвольной функции /, определенной на подмножестве Е типологического пространства F и принимающей значения в метрическом пространстве Е', есть полунепрерывная сверху функция на Е. В самом деле, пусть а — произвольная точка из Е; для каждо- каждого А; > со (а; /) существует открытая окрестность V точки а такая, что б (/(V П Е)) <. к; но V есть окрестность любой точки х£ £ V Г) Е, так что о (х; /)< 6 (/ (V П Е)) < /с, чем доказано, что функция со полунепрерывна сверху в точке а. Для того чтобы со {х\ /) = 0 в точке # £ /?, необходимо и доста- достаточно, чтобы для каждого 8 > 0 существовала окрестность V точки х такая, что / (Vf\E) содержится в таре радиуса е; если х £ Е, это условие выражает непрерывность функции / в точке х относительно Е; если х £ Е П С#, то оно выражает, что образ относительно / следа на Е фильтра окрестностей точки х в F ость базис фильтра Ноши в Е'; в частности: Предложение 5. Пусть f — функция, определенная на подмножестве Е топологического пространства F и принимающая
^ МКТРИЧКСКИЕ И МКТРИЗУЕМЫК ПРОСТРАНСТВА 37 .шачсния в полном метрическом пространстве Е'\ для того чтобы f имела в точке х £ Е предел относительно Е, необходимо и доста- достаточно, чтобы ее колебание в этой точке было равно нулю. 4. Мстризуемые равномерные пространства Определение 2. Говорят, что расстояние на множестве Е согласуется с равномерной структурой 41 в Е, если равномерная структура, определяемая этим расстоянием, совпадает с "II.. Равномерную структуру в множестве Е называют метри- зцемои, если на Е существует расстояние, согласующееся с этой равномерной структурой. Равномерное пространство называют мстризуемым, если метризуема его равномерная структура. С одной и той же равномерной структурой могут согласоваться различные расстояния; они называются тогда эквивалентными (§ 1, п° 2, определение 2). Тгсоремл 1. Для того чтобы равномерная структура была мет ризу емой, необходимо и достаточно, чтобы она была отдели- отделимой и. филът-р ее окружений обладал счетным базисом. Условие необходимо, ибо (в обозначениях из п° 2) окружения V\:n(n^l) образуют базис фильтра окружений равномерной структуры метрического пространства. Условие достаточно, ибо если оно выполнено, то, согласно предложению 2 § 1,"рассматриваемая равномерная структура опре- определяется одним отклонением, которое в силу отделимости структу- структуры является расстоянием. Следствие 1. Отделимая равномерная структура, опре- определяемая счетным семейством отклонений, метризуема. I? самом деле, если (/„) — последовательность отклонений, определяющих такую структуру, то фильтр окружений порождает- порождается счетным семейством множеств /п A0, 1//я|), где т и п пробе- пробега сот все целые числа >0. Следствие 2. Произведение всякого счетного семейства литризуемых равномерных пространств метриауамо. И самом деле, такое пространство отделимо и ого равномерная структура обладает счетной фундаментальной системой окруже- окружении (гл. II, 2-е изд., § 5, п° 2; 3-е изд., § 2, и0 6).
38 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 2 5.■ Метриауемьсе топологические пространства ■Определение 3. Говорят, что расстояние на множестве Е согласуется с топологией & в Е, если топология, определенная втим расстоянием, совпадает с &". Топологическое пространство Е называют метризуемым, если на Е существует расстояние, согла- согласующееся с его топологией. Два расстояния на множестве Е, согласующиеся с одной и той же тоггологпой ,Т, могут быть не эквивалентны. Пример доставляет подпространство R? пространства R, обра- образованное псомп вещественными чвелпмл >0; равномерная структура, индуцируемая аддитивной равномерной структурой из R, л равно- равномерная структура, индуцируемая мультишгикатшшой равномерной структурой из II*, обе метризуемы и согласуются с топологией под- подпространства R*, но не сравнимы. Заметим также, что могут существовать пеметрьзуемые равномер- равномерные структуры, согласующиеся с топологией метризуемого тополо- топологического пространства (упражнение 7). Мы ограничимся здесь приведением необходимого условия метризуемости топологического пространства (необходимое и до- достаточное условие см. в упражнении 22 § 4). Прежде всего, топо- топологическое пространство может быть мотрпзуемым, только если оно вполне регулярно (мы увидим даже — см. § 4, п° 1, предложе- предложение 2,— что метризуемое пространство необходимо «нормально», что является более сильным условием). С другой стороны, по теоре- теореме 1 имеем Предложение 6. Всякая точка метризуемого простран- пространства обладает счетной фундаментальной системой окрестностей. Более общим обраэом: Предложение 7. В метригуемом пространстве всякое замкнутое множество есть пересечение счетного семейства откры- открытых множеств и всякое открытое множество есть объединение счетного семейства замкнутых множеств. В самом деле, пусть d — расстояние, согласующееся с топо- топологией метризуемого пространства Е. Если А замкнуто в Е, то оно является пересечением открытых множеств Уцп {А) (где V{/n (А) — множество тех х, для которых d {х, А) <С 1/и; см.
С МЕТРИЧЕСКИЕ И МЕТРИЗУИМЫЕ ПРОСТРАНСТВА 39 предложение 2). Вторая часть предложения получается из первой переходом к дополнениям. Замочи и и я. 1) Приводешшо m.ime необходимые условия по являются достаточными (см. упражнение 43). 2) Можно уклаать примеры пространств, в которых всякая точ- точка имеет счетную фундаментальную систему окрестностей, но не всякое замкнутое множество является пересечением счетного семей- семейства открытых множеств (упражнение 15); такие пространства не мотризуемы. Следствие 2 теоремы 1 показывает, что произведение счетного семейства метризуемых топологических пространств метризуемо. Кроме того, сумма Е (гл. I, 2-е изд., § 8, п° 10; 3-е изд., § 2, п° 4) произвольного семейства (jFt)tgj метрпзуемых пространств метри- яуома: в самом деле, пусть c?t для каждого i £ / ость расстояние, согласующееся с топологией в Ft', можно считать, что все d,, огра- ограниченны и диаметры пространств/'\ не превышают 1; расстояние d, согласующееся с топологией суммы Е, можно тогда определить, положив d (х, у) = dt (x, у), если х, у принадлежат одному п и тому же пространству F,,, и d(x, у) = 1 в противном случае. (>. Роль счетных последовательностей Предложение б лежит в основе той роли, которую играют счетные последовательности точек в метрическом пространстве; «о многих вопросах оказывается возможным использовать их нместо фильтров. Это связано с тем, что фильтры окрестностей точен пространства (а потому и все сходящиеся фильтры) опреде- определяются заданием сходящихся последовательностей точек этого пространства; в самом деле, поскольку фильтр окрестностей какой- либо точки обладает счетным базисом, он является пересечением мажорирующих его элементарных фильтров (гл. I, 2-е изд., § 5, предложение 10; 3-е изд., § 6, предложение И), т. е. элементарных фильтров, ассоциированных с последовательностями, сходящимися к рассматриваемой точке. Напротив, понятие сходящейся последовательности совершенно не приспособлено к изучению топологических пространств, содер- содержащих точки, фильтр окрестностей которых не обладает счетным базисом. В частности, можно построить недискретныо отделимые топологические пространства, в которых пересечение счетного семей-
40 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX. § 2 ствя окрестностей каждой точки нес еще является окрестностью этой точки *); в таком пространстве сходятся только те последователь- последовательности, у которых все члены, начиная с некоторого, равны между собой. В качестве примеров применения счетных последователь- последовательностей отметим следующие предложения. Предложение 8. Для того чтобы точка х метризуемого пространства Е была точкой прикосновения непустого множества A cz Е, необходимо и достаточно, чтобы существовала последова- последовательность точек из А, сходящаяся к х. Мы уже знаем, что это условие достаточно (гл. I, 2-е изд., § 6, п° 3; 3-е изд., § 7, п° 2). Чтобы убедиться в его необходимости, рассмотрим счетную фундаментальную систему (У„) окрестностей точки х такую, что Vn+1 cz Vn для всех п. Если х — точка при- прикосновения множества А, то каждое множество VH f] А не пусто; боря по точке хп £ Vn f) А для каждого п, получим последователь- последовательность (хп), сходящуюся к х **). Предложение 8 влечет следующее Предложение 9. Для того чтобы метрическое простран- пространство Е било полным, необходимо и достаточно, чтобы всякая последовательность Ноши в Е сходилась. В самом деле, пусть Е — пополнение пространства Е; если существует точка х £ Е, не принадлежащая Е, то существует последовательность (хп) точек из Е, сходящаяся к х; это и будет не сходящейся последовательностью Коти в Е. Предложение 10. Пусть Е — метрииуемое пространство и / — его отображение в топологическое пространство Е'. Для того чтобы f было непрерывно в точке а £ Е, необходимо и ооста- *) (.Ж, например, .Т. D i о и A о и и (', Note* de Тёги/о/ю/ици (I), Revue scienHJiifun (Revun ruse), 1<Ш, стр. 30. **) Это предложение может оставаться еще и осп? ;i.im некоторых про- пространств, в которых по крайний меро одна точка не обладает счетной фунда- фундаментальной системой окрестностей, например для цространстня, получен- полученного комиактификянией несчетного дискретного пространства носред' тном присоединения бесконечно удаленной точки (гл. I, --е изд., § 1A, теорема 4; 3-е инд., § !', теорема 4).
~ метрический и метризуемые пространства 41 точно, чтобы для каждой последовательности (хп) точек из Ег сходящейся к а, последовательность (/ (хп)) сходилась к f (а) в Е'. Необходимость условия уже известна (гл. I, 2-е изд., § 6, след- стиие 1 предложения 9; З-о изд., § 7, следствие 1 предложения У). Чтобы убедиться в его достаточности, рассмотрим фильтр 23' - i окрестностей точки / (а) в £"; из условия вытекает, что / (Ш') мажорируется всяким элементарным фильтром, ассоциированным с некоторой последовательностью, сходящейся к а, т. е. всяким элементарным фильтром, сходящимся к а; но пересечение этих последних есть фильтр окрестностей точки а (гл. I, 2-е изд., § 5, предложение 10; 3-е изд., § G, предложение 11), и предложение- доказано. Отметим, что предложения 8 и 10 спрнведливы также для всякого топологического пространства Е, кпждпя точка которого об.чадоег счетной фундаментальной системой окрестностей. 7. Полунепрерывные функции на метрику емом пространстве Предложение 11. Пусть Е — метризуемое пространство, / — полунепрерывная снизу функция на Е со значениями в замкну- замкнутом интервале [a, b\ rz R; тогда f есть, верхняя огибающая воз- возрастающей последовательности непрерывных функций на Е со зна- значениями в [а, Ь\. Примешш перенос структуры, можно считать, что а =- 0,. Ь =-- 1. 1° Предположим сначала, что / = фд, где А — открытое мно- множество в Е, а фл — его характеристическая функция. Тогда функция #п, определенная равенством: gn (x) == = (п — 1) inf (г/ (х, Е — А), Мп), непрерывна и ^0 на Е. При этом #п (ж) = / [х) == 0 при х £ Е — А и gn (х) -^ fn {х) =- п—\ --- , иогда d (х, Е — А) ^ 1/и. Отсюда сразу следует, что- / -• sup gn; при этом gn (х) < (п — 1)/п<. 1. для всех х ъп. п 2° В общем случае рассмотрим для каждого целого п ~^>- { убывающую конечную последовательность открытых множеств
42 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 2 Ак — f ( —» + оо J @ ^ к ^ п — 1). При каждом п функция п-1 ^i ~ — 2 Ч>-Ак полунепрорывна снизу и 0 < / (а;) — gn (x) < ^ \1п; следовательно, / является ворхной огибающей последова- последовательности {gn). С другой стороны, но 1°, gn, будучи лпиейпой ком- комбинацией с коэффициентами ^0 копочного числа характерпсти- чоских функций открытых миожестц, ость верхняя огибающая «четного множества {hmn)m-^0 непрерывных функций ^0; отсюда f =■- sup hmn. Полагая /n -- sup hp,,, видим, что (jn) есть воз- m, n J»:S;'n, 9$n растающая последовательность непрерывных функций ^0, имею- имеющая своей верхней огибающей функцию /; при этом функции /„ не принимают значения 1, поскольку gn ^ (п — \Iп. S. Метриауемые npocmpaticmea счетного типа Определение 4. Метризуемое пространство, топология которого обладает счетным базисом, называют метризуемым пространством счетного типа. Ясно, что всякое подпространство метризуемого пространства счетного типа также есть пространство счетного типа. Из определе- определения базиса топологии произведения пространств (гл. I, 2-е изд., § 8, п° 1; 3-е изд., § 4, п° 1) и следствия 2 теоремы 1 вытекает, что всякое производение счетного семейства метризуемых пространств счетного типа есть метризуемое пространство счетного типа. Также всякая сумма счетного семейства метризуемых пространств счетного типа есть метризуемое пространство счетного типа (п° 5). Предложение 12. Для метризуемого топологического про~ странства Е следующие утверждения равносильны: а) Е — счетного типа; б) в Е существует всюду плотное счетное множество; в) Е гомеоморфно подпространству куба I , где I — интервал (О, 11 в R. Из предыдущих замечаний ясно, что в) влечет а); а) влечет б), ибо если (Un) — счетный базис топологии пространства Е и ап — точка из Un, то множество точек ап всюду плотно в Е. Покажем, наконец, что б) влечет в). Пусть (ап) — всюду плотная иоследова-
<s МЕТРИЧЕСКИЕ И МЕТРИЗУКМЫЕ ПРОСТРАНСТВА ■ 43 тс.чьность точек в Е и ф (х) для каждого х £ Е — точка (d (x, an))ngN из /N (где d — расстояние, согласующееся с тополо- топологией пространства Е, при котором диаметр последнего ^1); пока- покажем, что ф есть гомеоморфизм Е на подпространство пространства /N. В самом деле, ф непрерывно, поскольку непрерывна каждая из функций х у-*- d (х, ап); кромо того, ф инъективио, ибо каждая точка из Е есть предел некоторой подпоследовательности после- последовательности (а„) (предложение 8). Пусть В —■ шар в Е с центром хп и радиусом г, а п — целое число, для которого d (x0, а„) < < г/3. Образ относительно ф множества W тех точек х £ Е, для которых | d (х0, ап) — d (х, ап) | < г/3, ость по определению, окрестность точки ф (х0) в ф (£). Но для каждого х 6 W имеем d (х, ап) < d (х0, ап) + — < -^ , откуда d (х, х0) < d (х0, ап) + d (х, а„) < г. Ото показывает, что W есть окрестность точки х0, содержащаяся и В; тем самым ф есть гомеоморфизм Е на Заметим, что для произвольного топологического пространства Е свойство б) не обязательно влечот сущееттюванио счетного бааиса, даже если Е компактно и всякая его точка обладает счетной фунда- фундаментальной системой окрестностей (упражнение 13; см. гл. I, 2-е изд., § 2, упражнение 7; 3-е изд., § 1, упражнение 7). Предложение 13. Пусть Е — топологическое простран- пространство, обладающее счетным базисом (Un); для каждого открытого покрытия (Ft)igi пространства Е существует счетное множество J cz I такое, что (Ft)tgj является покрытием Е. В самом деле, пусть И — подмножество множества N, состоя- состоящее из тех индексов п, для которых Un содержится по крайней мере и одном из Ft; последовательность {Un)nin образует покрытие пространства Е, ибо всякая точка х £ Е принадлежит какому-либо Vu а поскольку Vt открыто, существует индекс п такой, что х £ 6 Un с Ft. Таким образом, существует отображение \р множе- множества II ъ I такое, что Un a V^n) для каждого п 6 Я; полагая J = ip (//), получим требуемое счетное подмножество.
44 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 2 9. Компактные метрические пространства: компактные метрику емые пространства Криторий предкомпяктности равномерных пространств (гл. II, 2-е изд., § 4, теорема 4; 3-е изд., § 4, теорема 3) дает для метриче- метрических пространств следующее предложение: Предложении 14. Для того чтобы метрическое простран- пространство Е было предкомпактно, необходимо и достаточно, чтобы для любого в > О существовало конечное покрытие пространства Е множествами, диаметры которых ^в. Присоединив предположение, что Е полно, получим критерий компактности метрических пространств. Из предложения 14 пытокает топологический критерий ком- компактности, применимый к метризуемнм пространствам: Предложение 15. Для того чтобы метризуемое тополо- топологическое пространство Е было компактно, необходимо и доста- достаточно, чтобы всякая бесконечная последовательность его точек имела в Е предельную точку. В силу аксиомы (С) (гл. I, 2-е изд., § 10, п° 1; 3-е изд., § 9, п° 1) условие необходимо. Чтобы убедиться к ого достаточности, рас- рассмотрим на Е расстояние d, согласующееся с его топологией. Пока- Покажем сначала, что так определенное метричоскоо пространство полно; в самом деле, всякая последовательность Коши d Е имеет тогда продельную точку и потому сходится (гл. II, 2-е изд., § 3, предложение 4; 3-е изд., § 3, следствие 2 предложения 5); предло- предложение 9 показывает поэтому, что К полно. Покажем, что Е, кроме того, предкомпактно; действительно, и противном случае в силу предложения \\ сущестиоиало бы число а > 0 такое, что Е не обладало бы конечным, покрытием, диаметры всех множеств кото- которого ^а. Тогда индукцией по п можно было бы получить беско- бесконечную последовательность (х„) точек из Е такую, что d {х,„ х„) > > а для всех п и р < п; но такал, последовательность не может обладать предельной точкой, поскольку каждый шар радиуса <а/2 содержит не более одной ее точки. Следствии. Для того чтобы .множество А в метризуемом топологическом пространстве Е было относительно компактно.
,, МЕТРИЧЕСКИЕ И МЕТРИЗУЕМЫК ПРОСТРАНСТВА • 45 необходимо и достаточно, чтобы всякая бесконечная последователь- последовательность точек этого множества имела в Е предельную точку. В самом деле, пусть d — расстояние, согласующееся с тополо- топологией пространства Е. Применяя критерий предложения 15, пока- покажем, что пространство А компактно: пусть (х„)—последователь- (х„)—последовательность точек из А; для каждого индекса п существует уп £ А такое, что d (хп, уп) < 1/п; в силу предположения последовательность (г/,,) имеет предельную точку а £ Е, и а будет также предельной точкой для последовательности (хп), ибо если ут принадлежит шару с центром а и радиусом 1/п для некоторого т > п, то хт при- принадлежит тару с центром а и радиусом 21 п. Следует заметить, что предложение 15 не является следствием существования счетной фундаментальной систем и окрестностей у каж- каждой точки из IS', можно привести примеры неметрнвуемых и некомпакт- некомпактных пространств, в которых всякая точка облпдмет счетной фунда- фундаментальной системой окрестностей и всякая последовательность точек имеет предельную точку, (упражнение 15). Предложение 16. Для того чтобы компактное простран- пространство Е было метризуемо, необходимо и достаточно, чтобы его топология обладала счетным базисом. Условие необходимо. В самом деле, согласно предложению 14 для каждого целого п ^ 1 существует конечное мпожесткоЛп cr E, расстояние до которого от любой точки из Е не превышает 1/и; следовательно, счетпоо множество А —- \\ Ап всюду плотно в Е, п откуда и вытекает наше утверждение (предложение 12). Условие достаточно. В самом деле, пусть (£/„) — счетный базис топологии пространства Е. Тогда всякая окрестность точки диагонали А произведения Е X Е содержит окрестность вида Un X Un; применяя аксиому Бореля — Лебега к компактному множеству А в Е X Е, заключаем, что всякая окрестность диаго- диагонали А содержит окрестность А, являющуюся объединением конечного числа мпожестп видя Un X Un. Таким обрааом, окрест- окрестности диагонали А, являющиеся объединениями конечного числа множеств вида Un X Vn, образуют фундаментальную систему окружений равномерпой структуры пространства Е (гл. II, § 4, теорема 1); следовательно, паше утверждение вытекает из теоре- теоремы 1.
46 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 2 Следствие. Пусть Е — локально компактное пространство и Е' — компактное пространство, полученное присоединением к Е бесконечно удаленной точки о> (гл. I, 2-е изд., § 10, п° 8; 3-е изд., § 9, п° 8). Следующие предложения равносильны: а) топология пространства Е обладает счетным базисом; б) Е' метризуемо; в) Е метригуемо и счетно в бесконечности. Покажем сначала, что а) влечет б). Пусть (Un) — счетный базис топологии пространства Е; всякая окрестпость точки х в Е содержит компактную окрестность, которая в свою очередь содер- содержит в качестве окрестности точки х одно из множоств Un; следова- следовательно, эти Un, являющиеся относительно компактными, тоже образуют базис топологии пространства Е, так что можно считать все Un относительно компактными. Таким образом, пространство Е является объединением счетного семейства компактпых множеств Un, т. е. счетно в бесконечности; это влечет, что точка а> в Е' обладает счетной фундаментальной системой (Fn) открытых окрест- окрестностей (гл. I, 2-е изд., § 10, следствие предложения 19; 3-е изд., § 9, следствие 2 предложения 15); тогда ясно, что всякая окрест- окрестность точки у ££" содержит либо одно из Un, либо одно из 7П, являющееся окрестностью у, другими словами, Un и Vn образуют счетный базис топологии пространства Е\ и наше утверждение вытекает из предложения 16. Очевидно, б) влечет в), ибо б) вклю- включает, что to обладает счетной фундаментальной системой окрест- окрестностей, (гл. I, 2-е изд., § 10, следствие предложения 19; 3-е изд., § 9, следствие 2 предложения 15). Докажем, наконец, что в) влечет а). По предположению, существует возрастающая последовательность (Vn) относительно компактных открытых множеств, образующих открытое покрытие пространства Е и таких, что Vn cz Vn+1 (гл. I, 2-е изд., § 10, пред- предложение 19; 3-е изд., § 9, предложение 15). Подпространство Vn, будучи компактным и метризуемым, обладает счетным базисом (предложение 16), а следовательно, то же верно для Vn; пусть {Umn)min — базис топологии пространства Vn. Для каждой точки х £ Е и каждой ее окрестности W существует п такое, что x£Vn, и, значит, т такое, что х 6 Umn cz Vn (] W; значит Umn (m ^ 1, n ^ 1) образуют базис топологии пространства Е.
Iff МЕТРИЧЕСКИЕ И МЕТРИЗУЕМЫЕ ПРОСТРАНСТВА 47 jo. Факторпространства метргмуемых пространств Факториространство EIR метризуемого пространства Е по отношению эквивалентности R в £ не обязательно мотризуемо (даже если, кроме того, Е локально компактно °и EIR нормпльно0). Однако: Предложение 17. Всякое отделимое факториространство метрияуемого компактного пространства есть метризуемое ком- компактное пространство. Это жо можно выразить, сказав, что если / — непрерывное отображение метризуемого компактного пространства Е в отдели- отделимое пространство Е', то / (Е) есть метриауемое подпространство пространства Е' (гл. I, 2-е изд., § 10, следствие 1 предложения 8; 3-е изд., § 9, следствие 4 теоремы 2). Пусть Е — метризуемое компактное пространство и Л — отно- отношение эквивалентности в Е такое, что EIR отделимо. Тогда, как известно (гл. I, § 10, предложение 8), EIR компактно; по предло- я;еишо 16 остается доказать, что топология пространства EIR обладает счотным базисом. Для этого мы воспользуемся замкну- замкнутостью R (гл. I, § 10, предложение 8) и компактностью классов mod Ц. Пусть ср — каноническое отображение Е на EIR и (Un) — счетный базис топологии пространства Е. Пусть далее z — произ- произвольная точка из EIR и V — ее окростпость в E/R; тогда q; (V) -х будет окростпостыо компактного множества <р (z) в Е. Поскольку -1 для каждого а; £ <р (z) существует Un, содержащее ж и содержащее- содержащееся в ф (V), из аксиомы Бореля — Лобега вытекает существова- существование конечного открытого покрытия (Un.)i^k^r множества <р (г) такого, что W — ^J Un является окрестностью этого множества, h содержащейся в <р (V). Так как R замкнуто, то <р (W) будет тогда окрестностью точки z в EIR, содержащейся в V (гл. I, 2-е изд., § П, предложение 7; 3-е изд., § 5* предложение 10). Обозначим через 5В множество внутренностей множеств вида <р (W), где W
48 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 2 пробегает множество $ объедипений всевозможных конечных семейств множеств Un; из сказанного выше следует, что 93 есть базис топологии пространства EIR, а так как % счетно, то 93 — «четный базис. Предложение 18. Пусть Е — полное метрическое про- пространство, R — открытое отношение эквивалентности в Е такое, что EIR отделимо, и <р — каноническое отображение Е на E/R. Для каждого компактного множества К в EIR существует ком- компактное множество К' в Е такое, что ц> (К') = К. Пусть 5УХ — множество всех открытых шаров радиуса 1/2 в Е. Множества ф (В), где/? пробегает 9^, образуют открытое покрытие мпожества К, так что в Е существует конечное число точек хх, ... . . ., хт таких, что образы относительно ср открытых шаров радиу- радиуса 1/2 с центрами xt A ^ г'^ т) образуют открытое покрытие мпожества К. Положим Нг ~{xv . . ., хПь} и предположим, что для каждого целого i, удовлетворяющего неравенствам 1 < г ^ п, определено конечное множество Ht так, что: 1° Ht a Hi+1 и каждая точка из Я<+1 находится от Пг на рас- расстоянии < 1/2* A < i < и — 1); 2° образы относительно ф открытых шаров радиуса 1/2*, центры которых пробегают Ht (I ^ I ^ п), образуют открытое покрытие множества К. Обозначим тогда через $Уп+1 множество всех открытых гааров радиуса l/2n+1 с центром х таким, что d (х, //п) < 1/2"; из свойств множества //„ вытекает, что множества ф (В), где В пробегает ~*п+и образуют открытое покрытие множества К; следовательно, существует конечное множество Ьп+Х cz E такое, что образы относительно ф открытых шаров радиуса 1/2"+1, центры которых хгробегают Ln+V образуют открытое покрытие множества К; пола- полагая ДпП = //„ U Ln+l1 видим, что по индукции можно определить бесконечную последовательность (Нп) множеств из Е, обладающих приведенными выше свойствами \° и 2°. Положим Н = JJ Нп п и покажем, что Н предкомпактно; в самом деле, для каждого р > 0 и каждой точки zn+p 6 Нп+р существует такая последователь-
УПРАЖНЕНИЯ 49 „ость точек znH 6 Hn+t (О < i < p — 1), что d(zn+t, zn.,.M)< ^•m+i (^■C''-^Р—'); отсюда вытекает, что с? (zn, zn+p) -^ ■^ ^'i п--^-~£z--nzn 1 и потому d (и, //„) ^ 1/2п~х для каждого у £ 7/, i =■ О чем и доказано нате утверждение. Так как Е полно, то II компактно и, следовательно, ф (Н) компактно. Покажем, что К а ф (II); пусть z £ К; по определению d (Hn, q) (z)) ^ 1/2" для каждого п, откуда d (II, ср (z)) — 0; поскольку ф (z) задпшуто, а Я компактно, отсюда следует, чтс // П ф (z) # 0 (п° 2, замечание после предложения 3), чем нате утверждение и доказано. Пусть теперь К' = 7/ П ф (К)'< тогда К' замкну- замкнуто is //, следовательно, компактно, и ф (К1) = К. Упражнения 1) Пусть Е — отделимое равномерное пространство, (Д) — семей- семейство отклонений на J?, определяющее его равномерную структуру, и Ei — метрическое пространство, ассоциированное с равномерным пространством, получаемым при наделении F, равномерной струк- структурой, определяемой одним отклонением /,, (п° 1). Показать, что Е изоморфно подпространству равномерного пространства П i't. 2) Показать, что в связном метрическом пространстве Е, у кото- которого расстояние не ограниченно на Е X Е, ни одна сфера не пуста. *3) а) Пусть Е — компактное метрическое пространство; если в Е замыканием всякого открытого шара служит замкнутый шар того зке радиуса с тем же центром, то всякий шар в Е есть связное мно- зкество. [Показать, что если х, у — точки из Е и S — замкнутый шар с центром х и радиусом d (х, у), то для каждого е > 0 множество Л и, е точек из S, соединимых с у 7е-цспью, содержащейся в S (гл. II, § 4, н° 4), содержит все точки г, для которых d (x, z) < d (x, у). Рассуждая от противного и исггольэуя теорему Вейергптрасса (гл. IV, § 6, тео- теорема 1), вывести отсюда, что х 6 Av, e для всех е > 0.1 П) Пусть Е — комлпктное подпространство пространства F = R2, наделенного расстоянием d (х, у) — шах (| х\ —уг |, | хг — ;/2 |), образованное всеми точками (хх, xt), у которых хх = 0, 0 ^ хг <; 1 или 0 ^ хх ^ 1, х$ — 0. Показать, что всякий тар в Е связен, но »а- мьшанием открытого шара по обязательно служит замкнутый тар с тем же центром н тем же радиусом. 4 и.
50 ВИЩЕСТВЕННЫИ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 2 4) Метрическое пространство Е напивают улътрамстрическия, если расстояние n нем удовлетворяет для всех .г, у, z неравенству d (х, у) < яир (d (х, г), d (г/, г)) влекущему неравенство треугольники) (см. § G, упражнение 2). а) Покапать, что рслп d(x, z)=/ d (//, г), то г? (ж, #) —sup (с/ (г, г), я1 (у, z)). б) Пусть Vr (г) — открытии шар с центром х и радиусом г; пока- покапать, что Уг (.у) есть открыто-яампнутое множество и Е (так что Е — вполне несвязно) и что Уг (;/) = VT (.г) для пеех г/ £ Vr (x). и) Покапать, что замкнутый шар Wr (х) с центром х и радиусом г ииляотся открыто-замкнутым множеством ii К и что Wr (?/) — Wr (ж) для всех // С И7,, (л-). Различные открытые шары радиуса г, содержа- содержащиеся в Wr (x), образуют его разбиение, причем расстояние между любыми дпумя из них равно г. г) Если два (открытых или замкнутых) тара в Е имеют общую точку, то одпи из них содержится » другом. д) Для того чтобы последовательность (тп) точек из Е была после- последовательностью Коши, необходимо и достаточпо, чтобы й (хп, ж„.ц) стремилось к 0 при неограниченном, возрастании п. е) Показать, что если Е компактно, то для любого ха С: Е значе- значения d (ж0, х) на Е обраауют конечное или счетно бесконечное подмно- подмножество множества [0, +оо ], все точки которого, за исключением, может быть, точки 0, изолированные. [Для каждого значотш г, принимаемого расстоянием d (хс, а), рассмотреть верхнюю грань значений d (ж0) х) на множество точек а1, дли которых d (г0, х) < г, п нижнюю грань на множестве точек х, для которых d (х0, х) > г.1 5) Пусть Е — метрическое пространство иг?— его расстояние. Для каждой пары (,г, ;/) точек и:) Е обозначим через du (.r, ;/) нижнюю грань чисел а > 0 таких, что х и у соединимы У^-цепг.ю (ел. П, § 4, н° А). ПокаиатЕ!, что с/с —■ откло1гсшге па Е и что .метрическое прост- ранстно, ассоциированное с равномерным пространпчюм, определяе- определяемым :)тим оччслош'ннем (ни 1), --■ ультраметрическоо (yiqiiuKHCBiie A). *6) Пусть /•,' — метрнчес][ое пространство; для каждых двух непустых его нодмно/кесги /1 и Л положим: р (Л, В) г-, sup d (х, В) и а (А, В) -.--- янр (р (А, В), р (В, Л)); £Л положим, кроме того, а @, 0) = (I и it @, А) =- п (А, 0) == -|-оо для каждого непустого миожестиа А с- Е. Покакать, что а есть откло- отклонение на множестве ^>(Е) всех подмножеств множества Е н что опре- определяемая им равномерная структура совпадает с получаемой из рав- равномерной структуры пространства Е способом, описанным в упраж- упражнении 7 § 2 главы 11 (У-е изд., гл. II, § \, упражнение 5). Предположим, что Е ограниченно. Па мцожестне %(Е) всех непус- непустых алмкцутых подмножеств пространства Е а является расстоянием.
УПРАЖНЕНИЯ 51 Покапать, что если, кромо того, Е полно, то %{Е) — полное метрнче- гкое пространство. [Пусть Ф — фильтр Кошп в %{Е) и S (X) для каждого множества Ж £ Ф есть объединение нсох множеств X, при- принадлежащих X; показать, что множества 5 (Ж) образуют базис филь- T]ia и Е, что этот бааис фильтра имеет непустое множество Л точек прикосновения и что Ф сходится к А.] *7) Пусть Е — бос/коночное дискретное прост])анство. Покапать, что равномерная структура конечных разбиений (гл. II, 2-е нзд., § 1, н° 2; 3-е ивд., § 2, п° 2) и Е, согласующаяся с топологией про- пространства Е, не метризуема. [В противном случае существовала бы ноелодопателыюсть E,() коночных разбиений пространства Е такая, что всякое его конечное разбиение состояло бы из множеств, каждое из которых было бы объединенном множеств одного из разбиений $п; нынести отсюда, что тогда множество всех коночных разбиений прост- пространства Е было бы счетно.] 8) Пусть (#v) — несчетное семейство отделимых топологических пространств, каждое из которых содержит более одной точки. Пока- яить, что пи одна точка пространства JJ#V не обладает счетпой фунда- i ментальной системой окрестностей. 9) Пусть Е — топологическое пространство, каждая точка кото- которого обладает счотной фундаментальной системой окрестностей. а) Для того чтобы Е было отделимо, достаточно, чтобы всякая сходящаяся последовательность n E имела единственный предел. б) Если а — предельная точка бесконечной последовательности (х„) точек из Е, то существует подпоследовательность последователь- последовательности (хп), сходящаяся к а. в) Пусть Л '—■ пепустое множество в Е, х0 £ А и / — отображе- отображение А н отделимое топологическое пространство Е'. Для того ятобы а £ Е' было проделом / п топке х0 относительно А, достаточно, чтобы для каждой последовательности (хп) точек и» А, сходящейся к а-0> последовательность (/ (хп)) сходилась к п. г) J.( обозначениях пункта и), предположим дополнительно, что BCUKiin точка из Е' имеет счетную фундаментальную систему окрест- окрестностей. Тогда дли всякой предельной точки а £ Е' функции / п точно х0 относительно миожестип А существует последоиателтлгость (хп) точек из А, сходящияоя к х0 и такая, что (/ (хп)) сходится к п. *10) Пусть Е — компактное пространство. Если существует числовая функция /, определенная и непрерывная па Е X Е и обла- обладающая тем свойством, что отношение / (х, у) — 0 эквивалентно отно- отношению х = у, то Е мстриауемо. [Показать, что когда V пробегает -1 фундаментальную систему окростпостей нуля в К, множества / (V) образуют фундаментальную систему окрестностей диагонали Л в Е X ЕЛ 4*
52 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 2 *Н) Пусть Е — метрическое компактное пространство it d — его расстояние. Покавать, что отображение / пространства Е в себя такое, что d (/ (ж), / {у)) > d (x, у) для каждой лары х, у точек из Е, является ияометрией Е на Е. [Пусть а и Ъ — произвольные дни точки из £; положим /п = /п~1 о/, ап — fn (а), Ъп — /" (ft); выделяя из (а„) и (Ьп) надлежащие подпоследовательности, поканать, что для каждого е > 0 существует индекс к такой, что d (a, ац) ^ 8 и d (Ъ, Ьд) < e; вывести отсюда, что d (ах, bt) ~ d (а, Ь) н что / (Е) всюду плотно ъ Е.] *12) Пусть Е — метризуемоо компактное простраистно. а) Показать, что существует непрерывное отображение каиторова множества К (гл. IV, § 2, п° 5) на Е (см. гл. IV, § 8, упражнение 11). б) Если, кроме того, Е вполне несвязно и но имеет мелированных точек, то оно гомеоморфно К. [Рассуждать, как в упражнении 12 § 8 главы IV, используя то, что всякая окрестность точки х £ Е содержит открыто-замкнутую окрогтиость этой точки (гл. II, 2-е изд., § 4, следствие предложения 3; 3-е ияд., § 4, следствие предложения С).] *13) а) Рассмотрим на множестве R всех веществеипых чисол топологию 3"., определенную следующим обраяом: пусть Uv (x) для каждого у > 0 означает объодинепие интервалов [х, х ~\- у\ и J—х — у, —х[; сТ есть топология, в которой фундаментальную систему окрестностей каждой точки х образуют множества U(l {x), где у про- пробегает все числа >0. Пусть Е — пространство, полученное наделением интервала [—1, 1) топологией, индуцированной топологией 3". Показать, что Е компактно. [Если х £ Е ость точка прикоснове- прикосновения для фильтра $ в Е в топологии числовой прямой, то х или —х есть точка прикосновения для 5 в топологии ST.] б) Всякая точка в Е обладает счетной фундаментальной системой окрестностей, и в Е существует счетное всюду плотное множество, однако Е не метрнзуемо. [Показать, что его топология не обладает •счетным базисом.] в) Пусть А — открытое множество и Е; показать, что А есть объединение счетного семейства (/„) открытых интервалом, содержа- содержащихся в [О, 1J, интервалов —/п и некоторого подмножества множе- множества левых концов интервалов 1п п —/„ и, может бить, точки +1. выве- вывести отсюда, что А ость объединение счетного семейства замкнутых множеств в Е. г) Пусть F — множество / X A, 2), где / — иптервал [0, 1] с: R; положим Et — I X {i} (i = l,2) w обозначим чероп / биекцию (х, 1) i—»■ у-*- (х, 2) множества Е^ на Ev Пусть 9$ {(х, 2)) для каждого х £ / означает множество подмножеств, сводящееся к {{х, 2)}, а $ ((х, 1.))— множество подмножеств вида Vx U (/ (V,) — {(.г., 2)}), где Vt = = V X {1}, а V пробегает фундаментальную систему окрестностей х в /, Показать, что SJ (у) для каждого у £ F есть фундаментальная система окрестностей у для некоторой топологии в F. Наделенное этой топологией пространство F компактно, и всякая его точна обла-
УПРАЖНЕНИЯ 53 диет счетной фундаментальной системой окрестностей, однако счет- счетного всюду плотпого множества в F не существует. Всякое замкнутое множество в F, содержащееся в Ег, конечно; вывести отсюда, что в F компактное множество Ех не обладает счетной фундаментальной систе- системой окрестностей. Отношение пквивалентности R n F, классами кото- которого служат множество Ех н точки множоства F — Ех, замкнуто и всякий класс эккиналогатности по В компактен, однако в F/R имеет- имеется точка, не обладающая счетной фундаментальной системой окрест- окрестностей. 1См. § 4, упражнение 24а).] 14) а) Пусть К — достижимое топологическое пространство *) C-е И8д., гл. I, § 8, упражнение 1). Докапать равносильность следую- следующих свойств: а) всякая последовательность точек в Е имеет предельную точку; Р) всякое бесконечное дискретное подпространство пространстпа Е не замкнуто; у) всякое счетное открытое покрытие пространства содержит^его копочноо покрытие; б) для всякого бесконечного открытого покрытия 31 пространст- пространства Е существует открытое покрытие €> с: Я? пространства Е, отлич- отличное от 'Ш. Отделимое топологическое пространство Е, обладающее указан- указанными свойствами, наливается полукомпактным. б) Для того чтобы последовательность точок полукомпактного пространства была сходящейся, необходимо и достаточно, ятобы она имела единственную предельную точку. в) Всякое замкнутое подпространство полукомпактного прост- пространства полукомпактно. Обратно, если Е отделимо и всякая его точка обладает счетной фундаментальной системой окрестностей, то всякое нолукомпактное подпространство в Е замкнуто. г) Пусть / — непрерывное отображение полукомпактного прост- пространства Е в отделимое пространство Е'; тогда образ f (E) является нолукомпактным подпространством пространства Е'. д) Пусть Е — нолукомпактное пространство, каждая точка7кото- рого обладает счетной фундаментальной системой окрестностей; тогда каждая последовательность точек в Е обладает сходящейся подпосле- подпоследовательностью. о) Пусть (Еп) — конечная или счетно бесконечная последователь- последовательность топологических пространств, в каждом из которых всякая точка обладает счетной фундаментальной системой окрестностей. Для того чтобы пространство JJ#n было полукомнактно, необходимо п и достаточно, чтобы каждое ив пространств Еп было полукомпактно. *) То есть каждое одноточечное множество n F. апмкпуто Ред.
54 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 2 [Использовать д) и упражнение 17 § 5 главы I 2-го пзд. (З-о изд., гл. I, § 6, упражнение 1G).] ж) Полукомпактпое пространство, в котором всякая точка обла- обладает счетной фундаментальной системой окрестностей, регулярно. з) Если нолукомпактноо пространство имеет счетный базис, то оно компактно и, следовательно, мотризуомо. и) На полукомпактпом пространство всякая полунепрерывная снизу числовая функция достигает споен нижней грани; и частности, всякое полукомпактпое прострппстно вейерштрассово (§ 1, упражне- пио 22). [См. § 4, упражнение 266).] к) Показать, что свойство б) пункта а) влечет свойстио: £,) псякоо точечно конечное (§ 4, п° 3) открытой покрытие про- пространства Е содержит конечное покрытие. [Рассуждать от протпшюго.] Обратно, регулярное пространство, обладающее свойством Q, иолукомнактпо. [Показать, что I) влечет тогда Р).] *15) Пусть Е = [а, Ь[ — локально компактное пространство, определенное и упражнении 22 § 10 главы I 2-го изд. C-е изд., гл. I, § 9, упражнение 12). а) J(j)i\ того чтобы мвожостпо в Е было относительно компактным, необходимо и достаточно, чтобы оно было ограниченным. Вывести отсюда, что Е нолукомпактпо и, следовательно (упражнение 15), не метризуемо, [Заметить, что всякое счетное множоетио в Е ограни- ограниченно.) б) Показать, что всякая точка в Е имеет мстризуомую окре- окрестность. [Использовать предложение- 10.] л) Всякие два некомпактных ппмкпутых мпожостла А и Л в Е вмеют непустое пересечение. [Образоиать возрастающую последова- последовательность точек, члены которой с четными номерами принадлежат А, а с иечетпымн принадлежат IS.\ Ныкости отсюда, что всякая окре- окрестность некомпактного замкнутого множества яилястсн дополненном относительно компактного .множества. Показать, что множество А всех неизолированных точек пространства Е замкнуто и не является пересечением никакого счетного семейства открытых множеств. г) Обозначим через А" интервал [а, Ъ\, наделенный следующей топологией: фундаментальную систему окрестностей каждого х g E образуют интерпалы ]у, х], где у пробегает псе элементы <а-; фунда- фундаментальную систему окрестностей точки Ъ образуют' множества Vx (x f Л'), где Vx означает объединение /) с множеством тех точек из [х, Ь], которыо имеют нредпи'стнующую точку (другими словами, являются изолированными л Е). Показать, что Л" иолукомнактпо, по не регулярно [см. упражнение 1/1Ж)|; Е, как подпространство прост- пространства Е', полукомпактпо, по не замкнуто. [См. упражнение 14в).] 10) Пусть Е и />' — полукомнактние нрострапстна. Доказать нолукомпактность произиедения Е X F в каждом из следующих двух
УПРАЖШШИЯ 0«) случаев: 1° одно из пространств Е, F компактно; 2° п одном из про- пространств Е, F каждая точна обладает счетной, фундаментально!"! системой окрестностей. [В первом случае, считая компактным, па пример, /'', рассмотреть возрастающую последовательность (Сп) открытых мно- множеств, объединением которых служит Е X /'\ и для каждого п — множество 1/п тох точек х £ Е, для которых {х} X F cr Оп; подн- поднял ть, что множестпа Нп открыты и Л'^117/,,.] п *\1) Пуст:. Е — компактпфикацин Стоуна — Чоха дискретного пространства N (§ 1, упражнение 7). а) Показать, что и Е существуют нолукомплктныо подиростран- 2Card (N) (iTiiii Л, Я.такир. что Л A И — N и Л [] II ■■ -Е. [Пусть ка~2 ; н силу упражнения 126) § 1 сущегшует бпокцпя * v-*-S% ()]>;^aiajibii()ro чиста соа (Тоор. М1ЮЖ., гл. Ш, § 0, унрнжнйпио 10) па множество счемю-босконочных подмножеств множестпа Е. Определить с помощью тр:>п(финитной индукции дна ипъектипних отображения | н->■ xt, Ъ, v—»■ ;yg ординального числа и)ге » Е — N так, чтоби arj G .s'g, yj f ^^ для ь'аждого | и /' П Q — 0■* ^ U (? — Л' — ^i '"Де -^ (гоотвотетвон- по О) — множрстпо «сох Ж| (соотвотстнешю i/t); «оснолг.понаться для этого упражпошшми 126) и 12н) § 1. Показать аатгм, что А — Р [} N, /у =.- (> U N отвечают лоставлотшым требованиям.] 5) Показать, что произведение А X Л не иолукомггактпо. [Замс- tiitti. что иеросочение А X В с диагональю пропанедояпи Е X Е есть бесконечное дискретиоо замкнутое подпространство нуюстранства Л X Л.] *18) Пустт, Е — метричоскоо пр остра потно, в котором для каж- каждого х G Е существует открытый тир с центром х, обладающий, как подпространство пространства Е, счетным базисом; пусть гх — верх- верхняя грань радиусов тех шаров с центром х, котормо обладают этим а) Показать (с, помощью теоремы Дорпа), что существует мака/' малъиое еоменстно (Яа) попарно непересекающихся открытых шаров и /',' таких, что если :са — центр тара На, радиус итого нгпра <г . Поь'авать, что объединение шаров йа всюду плотно в Е\ нмппсти отсюда, что п Е существует всюду плотное мшктегтно М такие, что всякий открытий шар с пршпшольпым центром .г f Е и радиусом <rx соде[)жпт не более чем счетн-о-бсскоиечиос миожестно точек из М, [Заметить, что такой тир может пересекать только счетное множество попарно непересекающихся открытых множеств, н использовать предложении 12.] б) Для каждой точки х Q М обоаначим через Sx открытый шар с, центром и !)топ точке и радиусом гк/'Л\ нокааать, что шары Sx обра- ауют пок[)ыти(! iipoCTjiancTBa /■' и что каждая точки n;i E может при-
56 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 2 надлежать но болео чем счетному мпожеству этих шароп. [Заметить, что если у 6 Sx, то d (х, у) <. г„/2.] в) Определим в Е следующее) отношение эквивалентности R меж- между точкпми х, у: существует последовательность (z,-)i^{^n точек из М такая, что х 6 Sx , ;/ С: Sz и Sz_ П Яг -/- 0 A < Г<Г » — 1). Пока- Покапать, что классы аквтмлечггности no R являются открыто-замкнутыми подп])острпнствам11 в Е, обладающими счетным базисом; другими сло- словами, Е ость топологическая сумма метрических пространств, обладаю- обладающих счетным базисом (гл. I, 2-о изд., § 8, п° 10, 3-е изд., § 2, п° 4). *19) Ii метричреком пространство всякое относительно компакт- компактное множество ограниченно. Покапать, что для того, чтобы метризуемое пространство Е допускало расстояние, согласующееся с его тополо- гшш, при котором всякое ограниченное мпожостпо относительно ком- компактно, необходимо и достаточно, чтобы Е было локально компактно н обладало счетным базисом. [Чтобы убедиться и необходимости усло- условия, показать, что если всякое ограниченное множество относитель- относительно компактно, то Е локально компактно и счетно и бесконечности; для доказательства достаточности заметить, что Е в силу следствия предложения 12 метривуемо; рассмотреть в Е равномерную структуру, определенную отклонениями d (г, ;/) и 1 / (а-) — / (у) |, где d — рас- расстояние, согласующееся с топологией пространства Е, и / — функ- функция, определенная в упражнении 15г) § 1.] *20) а) Дать пример замкнутого отношения эквивалентности Я в метризуомом локально компактном пространство со счетным бази- базисом так, чтобы E/R было паракомиактно, но содержало точку, не обладающую счетной фундаментальной системой окрестностей. [См. гл. I, 2-е изд., § 10, упражнение 14в); 3-е изд., § 10, упражнение 17.] (См. § 4, упражнение 24а).) б) Пусть Е — метризусмоо пространство и R — замкнутое отно- отношение эквивалентности в Е. Показать, что если всякая точка из E/R обладает счетной фундаментальной системой окрестностей, то гра- граница в Е всякого класса эквивалентности по R компактна. [Предпо- [Предположив противное, показать, что тогда в Е существовала бы последо- последовательность, но имеющая предельных точек, члены которой попарно различны, а образ в ElR является последовательностью, сходящейся к проделу, отличному от всех ее членов.1 Пусть Сг для каждой точки г £ ElR — ее прообраз в Е, Fz — граница Cz, если эта граница но пуста, или какое-нибудь одноточечное нодмножрстпо множества Сг, если Сг открт.гто-замкнуто, и F — подпространство пространства Е, лолучеипоо объединением всех Рг (г £ ElR); покапать, что FlR-g, гомео- морфно EIR. *21) а) Пусть Е — метризуемоо пространство, d — согласующее- согласующееся с его топологией ограниченное расстояние, а — соответствующее d расстояний на множестве !?(/?) всех непустых замкнутых подмножеств множества Е (упражнение 6) и R — открыто-замкнутое отношение
УПРАЖНЕНИЯ 57 эквивалентности в Е; показать, что сужение а на ElR есть расстояние, согласующееся с фактортопологией. [Восполыюватьси упражнением 206) для доказательства того, что всякий класс но R является откры- открытии или компактным. Доказать затем, что если последовательность (гп) точек из ElR стремится к точке а, а ф — каноническое отображение Е -1 -1 на ElR, то а (<р (а), <р (zn)) стремится к 0; рассуждать от противного, используя то, что R открыто.] б) Пусть R — отношение эквивалентности в компактном интер- интерпало / = @, 1]сг R, классами которого служат точки канторова мпожества К (гл. IV, § 2, п° Г>), отличные- от концов смежных иптер- валоп, и замыкания этих иптерналов. Показать, что факторпростран- ство IIR гомеоморфно / [гл. IV, § 8, упражнение 166)], но что на IIR расстояние а но согласуется с топологией. *22) Пусть Е — отделимое топологическое пространство, обладаю- обладающее счетным базисом (Un), и Я — отношение эквивалентности в Е такое, что ElR отделимо и каждая точка из ElR обладает счетной фундаментальной системой окрестностей. Показать, что топология пространства ElR обладает счетным базисом. [Пусть ф — канони- каноническое отображение Е на ElR. Доказать, что впутрсниости объедине- объединений конечных семейств мпожеств ф (Un) образуют базис топологии пространства ElR. Для этого показать, что если V — окрестность точки z g ElR, a (Wk) — последоиптельность множеств из (Un), содер- -1 -1 жащихся в ф (V) и образующих покрытие прообраза ф (z) точки г, то существует конечное число ипдексов к таких, что объединение множеств ф (Wk) служит окрестностью точки z. Предположив про- противное, обраяовать последовательность (уп) попарно различных точек и:» ElR, стремящуюся к z и такую, что уп не принадлежит объединению множеств ф (Wk) для к ^ ге; покапать, что тогди объединения множеств -1 Ф (уп) было бы вамкпутым в Е.] Показать, что то же заключение справедливо, если предположить, что R замкнуто и всо классы по R компактны (метод аналогичен). *23) Топологическое пространство Е называют субметризуемым, если его топология мажорирует топологию метрилуемого простран- пространства. Субметрипуемое пространство отделимо, но не обязательно регулярно. [Гл. I, 2-е иад., § 6, упражнение 10; З-о изд., § 8, упраж- упражнение 20.] а) Для того чтобы влолпо регулярное простраистно Е было суб- метризуемо, необходимо и достаточно, чтобы в Е существовала равно- равномерная структура, согласующаяся с его топологией, определяемая семейстном отклонений Ф, содержащим но крайней мере одно расстоя- расстояние d (см. § \, упражнение 3). Обозначим тогда через Е пополнение про- пространства Е по этой равномерной структуре; пусть й — отклонение
58 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 2 ни Е, получаемое» продолжением d; показать, что для каждого х £ Е (■упорствует не более одной точки у € Е такой, что d (т., у) = 0. б) Показать, что если Е — субметрияуемос вполне регулярное пространство, то в Е существует равномерная структура, согласую- согласующаяся с его топологией, такая, что Е в пен но.чно. [Использовать а) и упражнение Kin) § ].] Вынести отсюда, что если, кроме того, В — вейорштраесово (§ 1, унражпекпо 22), то оно компактно. п) Покакать, что наракомпактноо и еубметризуемоо локально компактное пространство метризуемо. [Испольауя тоорему 5 § 10 главы 12-го над. C-е изд., гл. I, § 0, теорема Г>), снести к случаю, когда Е счетно л бесконечности; вогпол.зопаться затем следствием предло- предложения 10. См. также § 5, упражнение 15.] *2Л) а) Пусть Е — полное метрическое пространство и А ~ нере- п"чепие счетного семейства его открытых множеств. Покапать, что па А существует расстояние, при котором А янлястся полным метри- метрическим пространством и которое определяет в А топологию, индуци- индуцируемую на Е, и равномерную структуру, мажорирующую равномер- равномерную структуру, индуцируемую пи Е. [См. § 1, упражнения 106) и в).] б) Обратно, пусть 1С — метрнзуемоо пространство и А ~ его подмножество, irn котором существует расстояние d, согласующееся с топологией, индуцируемой из Е, и превращающее А в полное мет- метрическое пространство. Покапать, что А есть пересечепис счетиого семейства открытых множеств ив Е. [Рассмотреть для каждого нату- натурального числа п множество Gn точек х 6 А, обладающих открытой окрестностью U такой, что диаметр множества А [\ U относительно d не превышает 1/л.] *25) Пусть Е — метринуемое пространство, Е — его компактифи- ьация Стоуна — Чеха (§ 1, упражнение 7) и А— ограниченное рас- расстояние, согласующееся с. топологией пространства Е. Обозначим для каждого х С Е через /х (;/) числовую функцию, получаемую про- продолжением функции у \—> d (х, у) по непрерывности на Е. а) Показать, что jx (z) -\- }y (z) > d (х, у) для всех х £ Е, у С Е, г £ Е. Показать, что fx (у) > 0 для всех точик у Q, Е, отличных от :с G Е. б) Поь'азать, что еслп Е полно по расстоянию d, то Е есть пере- пересечение последовательности открытых множеств и:) Л'. [Рассмотреть и Ь' множество Aп точек у таких, что ]х (у) < 1/п хотя бы для одного х С Е, п показать, используя а), что Е есть пересечение множеств Grr] и) Показать, что и обратно, еслп Е ость пересечение, последова- последовательности F'„) открытых множеств из Е, то на Е существует согласую- согласующееся с топологией расстояние d', при котором Е полно. [Рассматри- [Рассматривая только тот случай, когда Е ■=£■■ Е, наметить, что Е— Е является
НОРМИРОВАННЫЕ ТЕЛА, ПРОСТРАНСТВА И АЛГЕЫ'Ы 59 объединением семейства компактных множеств Fn — Е— Gn; пусть g (х) — inf fx (у) дли каждого и; испольпуя а), покапать, что gn (x) > О v€Fn на Е и что £п нотфорыппо Ffa Е. Закончить рассуждение, как в упрнж- иошт 165) § 1.] § 3. Метрпзуемыо группы; нормированные тела; нормированные пространства и алгебры /. Мг.трияуе.ные топологические группы Предложение 1. Для того чтобы правая и левая равно- равномерные структуры топологической группы G были метризуемы, необходимо и достаточно, чтобы G была отделима и ее нейтраль- нейтральный элемент е обладал счетной фундаментальной системой окре- окрестностей. Необходимость условия очевидна. Обратно, предполагая его выполненным, обозначим через (Vn) фундаментальную систему окрестностей е; пусть Un — мпожество тех пар (х, у) из G X С, для которых х~1у 6 Vn; множества Un образуют счетную фунда- фундаментальную систему окружений левой равномерпой структуры в С; будучи, кроме того, отделимой, эта структура метризуема (§ 2, теорема 1). Для правой равномерной структуры в G доказа- доказательство такое же. Топологическая группа G называется метризуемой, если ее топология метризуема; предложение 1 показывает тогда, что обе ее равномерные структуры метризуемы. Этот результат может быть уточнен с помощью следующего понятия: Определение 1. Расстояние d на мультипликативной группе G называют инвариантным слева (соотв. инвариантным справа), если d (zx, zy) — d (x, у) (соотв. d (xz, yz) -= d (x, у)) для всех х, у, z из G. Предложения 2. Левая (соотв. правая) равномерная струк- структура метризуемой группы G может быть определена посредством расстояния, инвариантного слева (соотв. справа). В самом деле, предположим, что фундаментальная система (Vn) окрестностей е состоит из симметричных окрестпостсп таких, что V^+1 cr Vn для всех п; соответствующие окружения Un левой рав-
ПО ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX,' § 3 номерной структуры будут тогда симметричными окружениями 3 такими, что £/„+, cr Un. Прием, использованный при доказатель- доказательстве предложения 2 § 1, приводит, отправляясь от последователь- последовательности (£/п), к расстоянию d на G, согласующемуся с левой равно^ мерной структурой группы G; кроме того, поскольку при любом z £ G отображение (х, у) >-»■ (zx, zy) оставляет неизменным каждое Un, то же определение d показывает, что d есть расстояние, инва- инвариантное слева. Для правой равпомерной структуры рассуждение аналогично. Отмстим, что, если правил и лгтмя равномерные структуры в G различны, то d по инвариантно справа, л, следовательно, я общгм случае d (зг\ у-1) Ф d (.г, //). В частности, если G — метризуемая коммутативная группа, то ее равномерная структура определяется одним инвариантным расстоянием d; в аддитивной записи будем иметь d (х, у) =- = d @, у — х) = d @, х — у); часто полагают d (О, х) = | х | (или d (О, х) =■ || х ||), так что d (х, у) — \ х — у \. Функция | х \ удов- удовлетворяет следующим трем условиям: а) | —х | = | х | для всех х £ G; б) |a: + yK|:r|-f-|y| для всех х, у 6 G; в) Отношение | х | == 0 равносильно х = 0. Обратно: Предложепие 3. Пусть G — коммутативная группа в ад- аддитивной записи и х *-*■ | х | — отображение G в R+, удовлетворяю- удовлетворяющее предыдущим условиям а), б), в). Тогда функция d (х, у) ~ = | х — у \ является инвариантным расстоянием на G; опреде- определяемая ею в G топология £Г согласуется со структурой группы, а определяемая ею равномерная структура совпадает с равномер- равномерной структурой топологической группы, получаемой- при наделе- наделении G топологией &". Функция d (ж, у) действительно является расстоянием, на G, ибо d (х, у) =■■■{) равносильно х — у в силу и), d (у, х) — d (x, у) в силу а) и d (х, у) = | (х — z) + (z — у) | ^ | х — z | + т■ J z — у \ — (I (x, z) -!- d (z, у) в силу б). Кроме того, d — инвариантное расстояние, поскольку (х + z) — (у -+• z) =•- х — у. Пусть Va для каждого а > 0 — множество тех х ^ G, для которых
/ НОРМИРОВАННЫЕ ТЕЛА, ПРОСТРАНСТВА И АЛГЕБРЫ 61 | х | < а; множества Va образуют фундаментальную систему @ окрестностей нуля в топологии У, а так как d инвариантно, то а -I- <В для каждого о £ G является фундаментальной системой окрестностей а в топологии У. В силу а) множества Va симметрич- симметричны, а в силу б) Va + Va cz Via. Таким образом, топология У согласуется с заданной в G структурой группы (гл. III, § 1, п° 2). Последняя часть предложения очевидна. Условия й), б), в) равносильны соединегаю условия и) с усло- условием б') \х~у |< \х | + |.у |. В самом доле, очевидно, а) и б) влекут б'). Обратно, полагая в б') х = 0 и принимая во внимание в), получаем | — у | ^ | у |, откуда, заменяя у на — у, имеем 1 — у | = | у |, т. е. п); заменяя в б') у яа —у, получаем тогда б). Предложение 4. Всякая отделимая факторгруппа G/H метрищемой группы G метризуема; если, кроме того, G полна, то и GIH полна *). Первая часть предложения вытекает из того, что в GIH нейтральный элемент обладает счетной фундамептальной системой окрестностей: в самом деле, если (Vn) — фундаментальная система окрестностей е в G, то канонические образы Vn множеств Vn в GIH образуют фундаментальную систему окрестностей нейтраль- нейтрального элемента в GIH (гл. III, 2-е изд., § 2, следствие теоремы 1; 'Л-о изд., § 2, предложение 17). Чтобы показать, что если G полна, то и GIH полна, достаточно (§ 2, предложение 9) показать, что всякая последовательность Коши (хп) относительно левой равномерной структуры в GIH сходится; при этом всегда можно считать (выделяя, если потре- буотся, подпоследовательность последовательности (хп)), что x^Xq £ Vn, каковы бы ни были индексы р, q такие, что р ^ га, q ^з га; это означает, что для любой пары точек у £ хр, z £ xq имеем y~lz £ HVn = VnH, так что для любого у £ хр пересечение xq *) Существуют нометризуемыо полные группы G, содержащие замкну- замкнутую подгруппу Н, факторгруппа Gill по которой но полна. (Топ. пскт. нростр., гл. IV, § 4, упражнение 10в).)
fJ ВЕЩЕСТВЕННЫ!! ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 3 с окрестпостыо yVu точки у по пусто. Предположим теперь, что последовательность (Vn) выбрана так, что V^+iCZ Vn, и определим по индукции последовательность (хп) точок из G так, чтобы хп £ £ хп и хп+1 с. xnVn, что но предыдущему возможно; по индукции заключаем тогда, что яп+р £ zriFnFn+1 . . . Vni.p^ с: xnVn.x для всех р > 0. Таким образом, (ж„) есть иоследовательность Коти в G и, значит, сходится к некоторой точке а; отсюда сразу следует, что канонический образ а точки а в GIH есть предел последова- последовательности (х„). Следствии 1. Пусть G — полная метризуемая группа, Go — ее всюду плотная подгруппа, II„ — замкнутый нормальный делитель последней и II — его замыкание в G; тогда пополнение факторгруппы Go/Ho изоморфно GIH. Как известно, II есть нормальный делитель группы G (гл. III, 2-е изд., § 2, предложение 7; 3-е изд., § 2, предложение 8), а предло- предложение 4 показывает, что факторгрунпа GIH полна; с другой сто- стороны, ясно, что ф (Go), где <р — каноническое отображопие G на GIH, всюду плотно в GIH. Поэтому справедливость следствия вытекает из следующей леммы: Лемма 1. Пусть G — топологическая группа, Go — ее всю- всюду плотная подгруппа, По — замкнутый нормальный делитель последней, Н — его замыкание вС иц> — канонический гомоморфизм G на GUI; тогда каноническое отображение G,JH0 на ср (Go) есть ияоморфиим структур топологической группы. Поскольку По — II П Gn, все сводится к доказательству того, что открытое множество Uo в Go, насыщенное ио отношению х~ху £ Яо, является следом на Gn некоторого открытого множе- множества ms G, насыщенного по отношению х~гу £ // (гл. I, 2-е изд., § 9, предложение 4; 3-е изд., § 3, предложений 10). Пусть U — открытое множество в G такое, что UQ = U П ^Y> поскольку VQ - — UQH0, сразу видно, что Uo — UH0 f] Go; а так как UHQ открыто в G, то можно предполагать, что U = UH0. Тогда множество UH будет открыто лCи насыщено но отношению х~гу £ II; покажем, что UИ fl Go — U(), чом доказательство и завершится. Пусть и 6 U и h 6 Я таковы, что uh 6 Go; существует симметричная окрестпость V нейтрального элемента е в G такая, что uV cz U;
/ НОРМИРОВАННЫК ТКЛА, ПРОСТРАНСТВА II АЛГЕБРЫ 63 поскольку Vh есть окрестность h в G, существует z £ V, для кото- которою zh £ //„; ио тогда uz~x £ £/, и так как uh — (mz) (zfe), то можно предполагать, что h £ //„; поскольку UII0 — U, тогда Пусть G и С — отделимые коммутативные топологические 1]>уппы, a G и 6" — их пополнения. Напомним (гл. III, § 3), что всякое непрерывное представление и группы G в G" равномерно мспрерывпо и нродолзкается единственным образом до непрерыв- непрерывного представления G в G', которое мы будем далее в этом п° обо- обозначать через и. Диаграмма Г -Л Г' 1 Г' v v Si G 1до i и V — канонические инъекции G в G и G' в С", коммута- коммутативна. Ясно, что если v — непрерывное представление группы б* в отделимую коммутативную топологическую группу G" и м> == ■ Уоц, ТО Ш = Уоц, Пусть Н — замкнутая подгруппа группы G, Е — GUI, а / и р— канонические отображения Пусть далее II — замыкание II в С; Я — полная группа и потому отозкдествляется с пополнением 17 группы //. Непрорывное про- должение jf отобрагкония / на // есть, очевидно, каноническая инъекция II в G. Будем предполагать, начиная отсюда, что группа G метри- лцема. Тогда каноническое отображение факторгруппы Е — GIH n G/II есть ее топологический изоморфизм на всюду плотную под- подгруппу полной группы GUI (следствие 1), так что можно отожде- отождествить Gill с Ё та. непрерывное продолжение р отображения р па G с каноническим отображением G на GIH. Следствие 2. Пусть G и G' — метризуемые коммутатив- коммутативные топологические группы, и — гомоморфизм G в G', N — его
64 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩИЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 3 ядро, а Р — его образ. Тогда и есть гомоморфизм, G в G' с ядром N и образом Р. Пусть u — j°v°p — каноническое разложение гомоморфизма и, где v — изоморфизм топологической группы GIN на топологи- топологическую группу и (G) = Р. Имеем и — j°v°p и, как мы видели, р есть каноническое отображение G на GIN, а / — каноническое отображение Р в G'. С другой стороны, v ость изоморфизм GIN на /' (гл. III, 2-е изд., § 3, предложение G; 3-е изд., § 3, пред- предложение 5), и следствие доказано. Следствие 3. Пусть G, G', G" — метризуемые коммутатив- коммутативные топологические группы, и: G->- G' и V. G" -+• G" — гомомор- U V физмы такие, что последовательность G—>G' —>G" точна (т. е. и (G) = v @)). Тогда и последовательность G—^G'—>G" точна. -1 В самом деле, пусть N — и (G) = v @); из следствия 2 выте- вытекает, что N есть одновременно образ и и ядро v. Замечания. 1) Пусть G — неотделимая топологическая группа такая, что ассоциированная с ной отделимая группа метри- зуема; то же можно выразить, сказав, что нейтральный элемент в G имеет счетную фундаментальную систему окрестностей. Доказатель- Доказательство предложения 4 переносится тогда без изменений на этот случай, с произвольным нормальным делителем группы G в качестве Я; оно показывает, что отделимая группа, ассоцииропанная с G/JFT, ыстризуома и что G/N — полная группа (вообще говоря, неотделимая), коль скоро G полна. 2) Пусть d — инвариантное слева расстояние, определяющее топологию метризуемой группы G, и Н — замкнутый нормальный делитель группы G. Для произвольных точек х, у из GUI рас- рассмотрим расстояние d (x, у) между замкнутыми множествами х, у в G (§ 2, п° 2); покажем, что d (x, у) является инвариантным слева расстоянием па G/H, определяющим топологию этой факторгруп- пы. Заметим сначала, что если х £ х, у £ у, то d (х, у) = d (x, Ну); в самом деле, d (х, Ну) = inf d (x, hy), откуда в силу инвариант- ности слева расстояния d сразу следует, что d (h'x, Ну) =
2 НОРМИРОВАННЫЕ ТЕЛА, ПРОСТРАНСТВА И АЛГЕБРЫ 05 г-, d (ж, Ну) для всех h' £ H, чем наше утверждение и доказано (§ 2, п° 2); таким образом, для любой точки z 6 GIH имеем (§ 2, и" 2, формула B)) \d(x,z) — d(y,z) | = |d (ж, z) — d (у, z) |< d (ж, у), и так как это неравенство справедливо при любых х £ ж и у £ у, то | d (ж, г) — d (у, г) | =С d (ж, #), чем доказано, что d (ж, у) — Расстояние на GUI. При этом, согласно предыдущему, для каждо- каждого z £ z имеем d (zx, zy) = inf d (zx, hzy); но так как hzy =•=-- -■- z(z~1hz)y, a z~}hz пробе1лает //, когда h пробегает // (ибо // — нормальный делитель), то из инвариантности слева расстояния d {х, у) вытекает, что d (zx, Hzy) = d (ж, Ну) = d (x, у). Наконец, ос.'ш V — окрестность евС, определяемая неравенством d (e, ж) < < а, то ее образом V в G/H служит множество', определяемое неравенством d (e, х) < а, чем и завершается доказательство. 'i. IIормиронаипые тела Определение 2. Абсолютным значением на теле К назы- называют отображение ж >-*■ | ж | тела К в R+, удовлетворяющее сле- оующим условиям: | ж | = 0 равносильно х == 0; I жт/ | = | ж | | iy| 5ля есеж ж, у из К; \х-\-у\^]х\л-\у\ для всех ж, у из К. Согласно (VMh), | ж | =•■ | 1 | | ж |, и так как в силу (VMi) существует по крайней мере одно ж, для которого | ж | Ф 0, то | 1 | = 1; в силу (УМл) тогда 1 — | —1 |2, откуда также | — 1 | = = 1 и, следовательно, | -ж | - | -1 | | ж | = | ж (; отсюда заключаем, что |ж — у|^|ж|Ц-1.г/| для всех ж, у. Можно также сказать, что d (ж, у) — | ж — у | есть инвариантное расстояние на аддитивной группе тела Ж, а отображение ж (-+• ►-*• ] ж ] —- представление мультипликативной группы К* ненуле- ных элементов из К в мультипликативную группу R* веществен- вещественных чисел > 0. ■г> И. БурОаки
60 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОВЩКЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 3 Инвариантное расстояние | х — у \ определяет в К топологию метрического пространства, согласующуюся со структурой адди- аддитивной грунпы в К (предложение 3); кроме того, эта топология согласуется со структурой тела в К. В самом деле, непрерывность ху на К X К вытекает из соотношения ху — х0у0 = (х — х0) {у — у0) + {х — х0) у0 -!- х0 (у — jf0), которое дает ! ху — хоу0 | < | х — х0 [ | у — у0 | -|- | х — х0 | | у0 | -f --:-1 *o 11 у — //о !• Точно так же непрерывность х'1 в каждой точке х0 =£ 0 вытекает из тождества ж — аг^1 = х~1 (х0 — х) х~1, котороо па основании (VMn) дает Если 8 > 0 взято <С | х0 |, то отношение | х — х0 | ^ е влечет I ж | > | z0 |— е, откуда | х~г — х;1 \ < |Jo| (|д-0|-е) ' чт0 и уста" навливает непрерывность а:" в точке х0. Опредкленик 3. Нормированным телом называют тело К, наделенное структурой, определяемой заданием на К абсолютного значения. ■Мы будем всегда считать нормированное тело наделенным топо- топологией, определяемой его абсолютным значением, и том самым — топологическим телом. Если Ао — подтело нормированного те- тела А, то сужение на Ао абсолютного значении, заданного на К, является абсолютным значением на А'о и определяет в Ки топо- топологию, совпадающую с индуцированной из К. И р и м о j) т.т. 1) Пусть К — проиаколыюо тело; для каждого х С К положим | х | = 1, если х Ф 0, и | х ! — 0, если х = 0; так определенное отображение х у—*- | х \ япляртся абсолютным значением нп К, называемым несобственным абсолютным значением. Для того чтобы топология, определенная в К абсолютным значением | х |, была дискретной, необходимо к достаточно, чтобы | х | было несоб- несобственным абсолютным значением. Достаточность этого условия оче- очевидна. Обратно, если топология тела К дискретна, то | х \ не может принимать никаких значении а > 0, отличных от 1; в самом деле, если бы | х0 | = а < 1 дли некоторого х0 Ф 0, то последователь-
U НОРМИРОВАННЫЕ ТЕЛА, ПРОСТРАНСТВА И АЛГЕБРЫ 0O иость (а?"), члены которой фО, сходилась Gu к 0; случаи а > 1 сво- сводится к предыдущему переходом к хп1- 2) Абсолютное значение вещественного числа (гл. IV, § \, п° С) удовлетворяет аксиомам (VMi), (VMu), (VMin) и определяет на поло R топологию числовой пряной. Па поло С комплексных чисел (отож- (отождествляемом с R2) и пи теле К кваторпиопов (отождествляемом с R") евклидова норма является вместе с тем абсолютным значением, опре- определяющим топологию каждого из этих тел (гл. VIII, § 1, п°п° 2 и 4). 3) Вещественным, нормированием на теле К называется функ- функция v иа К* со значениями и R, удовлетворяющая следующим усло- условиям: a) v (ху) = v (х) -}- v (у) для всех х, у £ А'*; б) v {х + у) ^з ^ inf (у (х), и ((/)), пели при этом х -\- у -/ 0. Пуст], а — какое-либо вещественное число >1; тогда положив | х | = а-»<*> для всех х =^- О и | 0 | = 0, получим на К абсолютное значение. 15 самом дел с, из соотношения v (ху) = v (x) -f- у (?/) при i' т4-' 0, г/ t/~ 0 получаем для этих х, у соотношение | ху \ — \ х || у |, и ото соотношение, тривиаль- тривиальным образом нерио, если один из элементов х, у ранен нулю; точно так же неравенство v (х + у) ^ inf (у (х), v (у)) для х ф 0, j/ =^= 0, х + J/ ¥: 0 влечет неравенства | х -р- у \ < sup (| х |, | j/ |) <; | х \ -|- + I У I» и непосредственно проверяется, что эти неравенства остаются п силе, если какой-либо из элементов х, у, х -\- у равен нулю. В част- частности, если vp (х) есть р-адичоское нормирование на поле Q рацио- рациональных чисел (показатель степени, в которой р входит в разложение числа х на простые множители), то соответствующее абсолютное зна- значение | х \p — p~Vp(x' называется р-адическим абсолютным аначением на поло Q. Замечание. Если элемент х нормированного тела есть кореш, из единицы, то | х \ ~ 1, ибо если хп — 1 дли целого п > 0, то | х ]" = = 1 и, следовательно, | х \ — 1. В частности, единственное абсолют- абсолютное значение на конечном тело есть несобственное абсолютное зна- значение, поскольку всякий ненулевой йлемепт тела есть корень из еди- единицы. Определение 4. Два абсолютных значения на теле К называются эквивалентными, если они определяют в К одну и ту же топологию. Предложение 5. Для того чтобы не несобственные абсо- абсолютные значения | х |t и \ х |2 на теле К были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы отношение \ х \1 < 1 влекло |ж|г<1. Тогда существует число р > 0 такое, что \ х \г = =- | х |р для всех х £ К. Условие необходимо, ибо множество элементов х £ К, для которых | х \i <C 1, совпадает с множеством тех х, для которых 5*
68 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩКЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 3 limin~0 в топологии, определенной абсолютным значени- П-1-ОО ем | ж |,. Обратно, предположим, что | х \t <С I влечет | х |2 < 1. Тогда | a; |i > 1 влечет | х |2 > 1., ибо | х'1 |t <C 1 и, следовательно, Iх'1 1г<1- Так как' по предположепию, абсолютное значение | х d но являотся несобственным, то существует х0 £ К, для кото- которого | х0 lt > 1; положим а — | х0 |], /> - | ж0 |3, р -- log b/\oga > > 0. Пусть ж g /С* и | ж |, — | х0 \)\ Если тип — целью числа такие, что п > 0 и mln > у, то | х |L < | ж0 |f/n, откуда | ж"/ж;|' [, < 1. и, следовательно, [ хп/х'(;> |2 < 1, | а: |2 < | я0 |.™/п. Так же покажем, что если т,1п <С у, то | х |„ >■ | ж0 |™/". Следова- Следовательно, | ж |а -- | x,t |У; иначе говоря., log | з: |2 -~ у log 6 = = 7Р lf>f? я ::= р 1"? I ж |,. или | х |2 == | a: |f; отсюда явствует тогда, что окрестности нуля в топологиях, определенных в К абсолют- абсолютными значениями \ х |t и | х |2, совпадают. Обратно, для любого абсолютного 31гптгония | х \ на К функция ] х |р яиляется абсолютным нипчинием на К (эквивалентным | х () при всяком; р, удоплктворнющом норапенстпам 0 <рг^ 1. В самом дело, достаточно проворить нерапенстио | х -J- j/.|p ^ | х |р + | ;/ \р', но | х -|- .'/ I*1 =^ (I х | -- | у |)р> так что остается пока.штт., что если п. > 0, 1>0 и 0<р<1, ю (»+ hf < ар + /'р. Полоятв с = = я/(а -г ?j), d ~ bl(a ~\- ft), будем имкть с + rf = 1 п требуомоо тгеравоистпо перепишется и ниде 1 < с° + .<?р! последнее жр неиосред- етлекно следует ил соотношений ср > с, dp > d, очрппдиых, поскольку О < с < 1, О < d < 1 и 0 < р < 1. Отсюда питекает, что множество трх яначснин г > 0, для кото- которых | х \Т •— абсолютное значпнле, есть конечны!! или бесконечный интервал в R с началом 0; если он конечен, тп, очевидно, coflopvKHT <-nofi пришли itoiron, ибо если для проилвольнмх двух Элементов х, у из К имеем | х ~\- у \г < | х \г | -\- | у |г, когда 0 < г < г0, то по непрерывности неравенство остается в силе и при г = го. В слу- случае, когда | х \г есть абсолютное значение при каждом г > 0, имеем |я + V К (U !г+ 12/ 1ГI/Г' каковы бы ни били я, у £ if и г > 0. Ио если а ^ 0 и 5 ^ 0, то liin. (or •■)•- br)^r = sup (a, 6), ибо, предполагая, например, Ъ < а, имеем . о < (а'+ Ь»-I/г < 21/ra, • откуда, неограниченно увеличивая г, и получаем требуемую формулу.
2 НОРМИРОВАННЫЕ ТЕЛА, ПРОСТРАНСТВА И АЛГЕБРЫ 69 Таким образом, видим, что если | х \г есть абсолютное значение при каждом г > 0, то | х -\- у | < sup (| х |, 1 у |); то же можко ныра- :шть еще, сказлв, что v {г) = —log | х \ (х. Ф 0) является нормиро- нормированием на К. Замечали е. Доказательство предложения 5 показывает, что ослп абсолютное значение | х \i ire является несобственным и топо- топология, определяемая к Л? абсолютным значением | х |2, мажорируется топологией, которую определяет | х |,, то | х \х тт \ х%\ эквивалентны, поскольку "неравенство | х \г ■< 1 влечет тогдн \ х |а «< 1. Иначе 1'оворя, топологпп, определяемые « К двумя ие иее.обстпекнымм иСко- лютнымп значениями, могут быть сравнимы только когда они совпа- совпадают. Ш'кдложеиие 0. Кольцо К, получаемое пополнением тела К, нормированного посредством абсолютного значения | х |, являет- является телом, а функция \ х \ продолжается по непрерывности до аб- абсолютного значения на. К, определяющего топологию последнего. Пусть % — фильтр Коти в К (относительно аддитивной ратшо- морной структуры тела А"), для которого 0 не является точкой прикосновения; чтобы убедиться в том, что К — тело, достаточно установить, что образ Й1 при отображении х>-+-х~х есть базис фильтра Когаи (гл. III, 2-е изд., § 5, предложение 3; 3-е изд., § 6, предложение 7). Но, по предположению, существуют число а > О и множество А £ % такие, что | х | ^ а для всех х £ А; с другой стороны, для каждого е > 0 существует множество В 6 % такое, что В а А и | х — у |^е для всякой пары элементов х, у из В; отсюда. чем доказана первая часть предложения. Инвариантное расстоя- расстояние \х — у | — d (х, у) продолжается на К X К по непрерывности и дает расстояние на К (§ 2, предложение 1), определяющее топологию последнего и инвариантное в силу принципа продолже- продолжения тождеств; мы будем обозначать его по-прежнему d (x, у). Если положить | х | = d @, х) для всех х 6 К, то ясно, что | х \ есть продолжение по непрерывности функции | х | на К, и значит, по принципу продолжения тождеств является абсолютным зна- значением на К.
70 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩИЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 3 3. Нормированные пространства над нормированным телом Определение 5. Пусть Е —векторное пространство (скажем, левое) над недискретным нормированным телом К; нормой на Е называют его отображение х^р (х) в R+, удовлетво- удовлетворяющее следующим аксиомам: р (ас) = 0 равносильно х =- 0; Р 0*; +1/) ^ Р 0*0 + Р (.'/) для всех х, у ия Е; (NOrn) р Aл) =- \ t \ р (т) для всех t £ К и х £ Е. Чаще псого ш.тречатотен нормнропапида пространства, лмскт^ю в качестис тела (>K>i.:iMpoi< поле К иди С (наделенное обычным абсолют- абсолютным шир-шинсм.). Ii Kiiiii'ii V будут WH.viim.cii сиецмплып.н^ ciioiicrna этих пормирошшпых нрострапсти. Из (NOhi) вытекает, в частности, что р(—х)=-р (х)\ отсюда, положив d (ас, у) --р (х — у/), получаем инвариантное расстоя- расстояние d на аддитивной: группе векторного пространства В; оно опре- определяет в последнем топологию метрического пространства, согла- согласующуюся с его структурой аддитивной группы (предложение 3). Кроме того, отобрангение (t, х) *-*■ tx непрерывно на К X Е; в самом дело, 7 108 IX 'о'^'О == '* *0/ V""' •"'О/ " V* ~" '()) ■"'О Л~ *о V*"' ~~ ■"'о) и, следователыго, р (tx — toxo) ^\t — to\p (x-~.r,0) -b -I- \t — t0 \ p (x0) -I- \to\p (x — x0), так что ловая часть можот быть сделана сколь угодно малой, если взять достаточно малыми \ t—10 | и р (х — х0). Описделгенпе (к Нормированным пространством над не- недискретным нормированным телом К навивают, векторное про- пространство Е над К, наделенное структурой, определяемой задани- заданием на Е нормы. Пормировапноо пространство всегда будет считаться наделен- наделенным топологией и равномерной структурой, определяемыми его нормой. II р и м о р iii. 1) И а нодискротиом нормированном тело К, рас- сматрипаомом как (левое или привое) векторное пространство отно- относительно самого себя, абсолютное значение ] х ! являются нормой.
НОРМИРОВАННЫЕ ТЕЛА, ПРОСТРАНСТВА И АЛГЕБРЫ 71 2) Выражение || х || = у "У\ х\ , которое мы лазг.тнли ечкли- довой нормой па лростраистис Rn (гл. VI, § 2) , очевидно, остт> норма п смысле опредолпиия Г). То >ко верно для функций sup | ,г; ' 1< H 2Lj 1 ^i I' 3) Пусть ${Е) — множество всех функций / на Е со значениями и ледискретиом нормированном теле К, для которых числовая функ- функция х у-* | / (з-I ограниченна на Е. Очевидно, ато множество естг. иек- торлое подпространство (лопого или правого) вокториого простран- пространства К1'' всох отображений Е и К. Положив р (/) = sup | / (х) \, полу- получим норма р нп векторном црострапстве ,$(/■) (см. гл. X, § 1). °4) Мл вокторлом прострапство V{I) всех пепрерьггпгых кгше'гамх числовых функций, определенных па интервале / = [0, 1], функции 1 Р (х) - j | ,r (t) о dt является Замкнутый шар В с центром 0 и радиусом 1 в нормированном пространстве Е, т. о. множество тех scf£, для которых р (ж) ^ 1, называют единичным шаром пространства Е. Покажем, что гомо- гомотетии x*-*-tx единичного шара, где t пробегает множество всех лснулепых элементов из К, образуют фундаментальную систему окрестностей нуля в Е. В самом доле, образом тара В при такой гомотетии служит замкнутый шар с центром 0 и радиусом | t |; таким образом, достаточно показать, что для каждого веществен- вещественного числа г > 0 существует t £ К такое, что 0 •< | t | < г. Но поскольку К наделено абсолютным значением, не являющимся несобственным, существует t0 £ К, для которого 0 < \tu \ < 1; следовательно, взяв t = £" с достаточно большим целым п, будем иметь | t | = | t0 Г < г. Олркделшше 7. Две нормы на векторном пространстве Е (над недискретным нормированным телом К) называют эквивалент- эквивалентными, если они определяют на Е одну и ту же топологию. Предложение 7. Для того чтобы нормы р и q на вектор- ком пространстве Е были эквивалентны, необходимо и достаточно,
72 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 3 чтобы существовали числа а > О, Ь >• 0 такие, что ар (х) ^q(x)^ bp (х) A) для всех х £ Е. В самом деле, эти неравенства достаточны, ибо из отношения ар (х) ^ q (х) вытекает, что для любого г > О замкнутый тар с центром 0 и радиусом аг в смысле нормы g содержится в замкну- замкнутом шаре с центром 0 и радиусом г в смысле нормы р; таким обра- 8ом, топология, определяемая нормой д, мажорирует топологию, которую определяет р; совершенно так же неравенство д (ас) ^ ^ Ьр (ас) показывает, что топология, определяемая нормой р, мажорирует определяемую нормой q; следовательно, эти две топо- топологии совпадают. Покажем теперь, что неравенства A) необходимы. Если топо- топология, определяемая нормой д, мажорирует определяемую нор- нормой р, то единичный шар п смысле нормы р. содержит некоторый замкнутый тар с центром 0 и радиусом а > 0 в смысле нормы д; иначе говоря, q(x)^. а влечет р (х) ^ 1. Если tn £ К таково, что О < I *0 I < 1' то Для каждого хф 0 из Е существует, и притом единственное, целое рациональное к такое, что а ] t0 \ ■<. q {t\x) =S^ <: а; тогда р {Щх) ^ 1, откуда полагая а —а \ t0 |, получим, что ар (х)^.д (х) для всех х Ф (), и это неравенство сохраняет силу также для х = 0. Таким же образом убеждаемся, что если топология, определяемая нормой р, мажорирует определяемую нормой д, то существует b > 0 такое, что д (х) ^ Ьр (х). Пример. В пространстве R" нормы эквивалентны, ибо Предложение 8. Пусть Е — нормированное пространство над недискретным нормированным телом К, р — его норма и Ё — аддитивная топологическая группа, полученная пополнением адди-
4 НОРМИРОВАННЫЕ ТЕЛА, ПРОСТРАНСТВА И АЛГЕБРЫ 73 пшвпой группы пространства Е. Функция (t, x)*->-tx продолжает- продолжается по непрерывности на К X Ей определяет в Ё структуру вектор- векторного пространства над К; норма р продолжается по непрерывно' сти на Е до нормы р, определяющей топологию пространства Е. Продолжение по непрерывности функции tx есть частный случай теоремы о продолжении непрерывного билинейного отобра- отображения произведения Е х F двух коммутативных групп в третью G (гл. III, 2-е изд., § 5, теорема 1; ?>-о изд., § 6, теорема i); по прин- принципу продолжения тождеств имеем 1 •:»•, — х и t (их) ----- (tu) x для все! t £ К, и £ К и х £ Е; следовательно, внешний закон (/, х) -*■ tx действительно определяет в Е структуру векторного пространства над К. С другой стороны, инвариантное расстояние d (х, у) — р (х—у) продолжается на Е X Е до инвариантного), расстояния dim Ё (§ 2, предложение 1), определяющего топологик> пространства Е\ положив р (х)--~ d @, х), получим продолжение по непрерывности р нормы р на Е, удовлетворяющее аксиомам (NOi) и (NOri); в силу непрерывности tx на К X Ё, оно удовлетво- удовлетворяет также условию (NOm) (принцип продолжения тождеств) и является, таким образом, нормой на Е. Рассматривая в векторном пространство Е определенную, структуру нормированного пространства, чаще всего (если это- не порождает путаницы) обозначают норму вектора х через || х ||. 4. Факторпрострамства и произведении нормированных пространств Предложение 9. Пусть Е — нормированное пространства над недискретным нормированным телом К и II — его замкнутое векторное подпространство. Если для каждого класса х £ Е/Н положить || х || = inf || x ||, то функция \\ х \\ будет нормой на векторном пространстве Е/Н, и топология, определяемая этой нормой, будет совпадать с фактортопологией топологии про- пространства Е по Н. В самом дело (п° 1, замечание 2), d (х, ?/)= || х — у \\ есть инвариантное расстояние па Е/Н, определяющее фактортопологшо
74 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ' ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, §3 топологии пространства Е по //. Остается только убедиться в том, что |! tx || =: | t | |[ х ||, а это непосредственно следует из определе- определения || х || (гл. IV, § 5, формула B3)). Норма || х || может быть истолкована еще следующим обра- образом: это естг> расстояние (в Е) от произвольной точки х ^ х до подпространства If, ибо множество точек из х совпадает с .мно- .множеством точек х — е, где г: пробегает II. Предложение 10. Пусть {Ei)\fii „ — конечное семейство нормированных пространств над недискретным нормированным телом /у; если для калсдой точки ж ----- (эс;) векторного пространства п Е — \\ Et положить || х || -■• sup || xt ||, то функция || х \\ ; ~\ 1.- in будет нормой на Е, а определяемая ею топология в Е будет совпа- совпадать с произведением топологий пространств Е{. В самом деле, если х - ■ (х{) и у ■■- (//,-), то х-\-у ~ (х( Ч- ?/;). и, следовательно, || х -г у || = sup || xi + Vi ||<sup (|| xi || +1| yt || )< <snp || ж, ||-|-аир || у, || .--=|| as |Ц-И у |f.. i i С другой стороны, ясно, что || tx || = | t I || x || и что || x || = 0 влечет || xt || = 0 и, значит, xt = 0 A ^ i ^ и), т. е. х -~ 0; таким образом, || х || действительно ость норма на Е. При этом отношение || х || < а равносильно п отношениям ||г«г || < а, так что норма || ж || действительно определяет в Е топологию произве- произведения. п Г п Можно доказать, что функции ]>] ||ccj|| и V/ V, ||а5(||г тоже i—1 ' i—-1 ялляютск ио])м»ми на Е; в сил5г неравенств B), укааанныо три ш>р- MI.1 эквивалентна. ft частности, если для точки x — (xt)U:\fn (левого или тошного) векторного проотрапстпа Кп над К положить = вир f JCf Г П =1/ ^ \ то функции pt, p2, )>3 будут эквиналонтпыми нормами, определяю- определяющими к А'" нроизведонно топологий сомножителей К.
г, НОРМИРОВАННЫЕ ТЕЛА, ПРОСТРАНСТВА II АЛГВБРЫ 75 ~>. Непрерывные полилинейные функции Теорема 1. Пусть Et (I ^ i ^ п) и F — нормированные пространства над недискретным нормированным телом К, a f — п полилинейное отображение произведения JJ Е{ в F. Для того что- 71 бы / было непрерывно на JJ Ei, необходимо и достаточно, чтобы существовало число а > 0 такое, что Hi (лп /w» /у» \ 11 *£**" ij 11 /у» 1 II /у» 1| |[ /и» 11 / ч\ J 4*^1 Т t^J 91 ' ' ' 1 *^Т1 / 1 ^-^ 11 *^ I II II ' 4 | ■ • • | '"^7( lit \*~ J каковы бы ни были точки xt ^ Ej A ^ г ^ п). Условие необходимо. В самом деле, если / непрерывно в точке (О, 0, . . ., 0), то существует число Ъ > 0 такое, что условия !l-«i КЬA<г< п) влекут ||/ (х1( . . ., хп) ||<1- Пусть ta £ /С гиково, что 0 < | t0 ! < 1; для каждой точки (ж;) g j]b'f, в которой все осг- отличны от нуля, существует п целых рациональ- рациональных чисел hi таких, что Ь \ t0 \ <; || t^lxt || ^ b; следовательно, \ 1 так как, с другой стороны, . ;g , , r || xt ||, то получаем \to\hl 6|£o1 неравенство C) с а — ■ t ■■; очевидно, оно остается в сило также, если какое-либо ив х,- равно нулю. Условно достаточно. В самом доле, покажем, что если оно иынолиено, то /^непрерывно в каждой точке («^пространства \\ Et. Имеем ' — i ^ / ( 4=1 Но в силу C) условия || хг — аг || < r (I ^ i ^ п) влекут ll ..., *„) ||<огП (II «ft Il + r /(«1, ..., а„) = ^ 1-. • ■ •> л*-ь aci —«г, xt+i, ..., хп). h.fci
76 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБ ЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 3 Обозначая через с верхнюю грань чисел || af\\ A ^ г ^ /г), полу- получаем отсюда II / (авг xn)—f {о л «п) -II < ™г (с + г)"-1. Поскольку правая часть ость полином относительно г без свобод- свободного члена, она стремится к 0 при г -> 0, чом непрерывность / и доказана. Заме >т а н и г. '.)т& теорема влетот дип доказанных иыгпо пред- предложения: с одной стороны, нонрермпность билшгошюи функции l.r н силу соотношения ||/х || == | I | |1х-|| ir, с другой стороны, првдло- №D1ио 7, которое получается приыошшием тсоромы 1 к тождостнси- ному отобрая;еииго Е на Е, рлесматринаемому теу.к линейное отобра- отображении прогтранстпп Е, падплетшого нормой р, на пространство /■-', наделовное nopuoii ц (и обратно). 6, Абсолютно суммируемые семейства в нормированном пространстве Определение 8. Семейство (xt) точек нормированного пространства Е называют абсолютно суммируемым, если семейство (|| Xi ||) норм точек жь суммируемо в 11. Это понятие только по виду зависит от выбранной на Е нормы; в силу предложения 7 и принципа сравнения суммируемых се- семейств вещественных чисел, семейство, абсолютно суммируемое по норме р на Е, абсолютно суммируемо по всякой норме, эквива- эквивалентной р. Если (*ч)|.е/ — суммируемое и абсолютно суммируемое селтей- ство точек из Е, то II V' /у. ||<г V II v II 1'А II X-J *Ч П5**- | -*1 II' К У) 16/ i£/ В самом доле, для каждого конечного множества J а I имеем IIS #1II ^2 II 3Ci ||, и неравенство D) получается отсюда иере- 16.' i£j ходом к пределу по фильтрующемуся упорядоченному множе- множеству конечных подмножеств множества /. Предложение 11. В полном нормированном простран- пространстве Е всякое абсолютно суммируемое семейство суммируемо. В самом деле, если (xt) — абсолютно суммируемое семейстно в Е, то для каждого е >> 0 существует конечное подмножество /
7 НОРМИРОВАННЫЕ ТВЛЛ, ПРОСТРАНСТВА И АЛГИБРЫ 77 множества индексов / такое, что 2 Цзе,, || ^ е, какопо бы ни было конечное множество Н с I, не пересекающееся с /. Следова- Следовательно, тем более || 23 #i II ^ в. чем; в силу полноты Е нредложо- пие н доказано (критерий Кошп, гл. III, 2-е изд., § 4, теорема 1; Л-е изд., § 5, теорема 1). Ряд с общим членом хп называют абсолютно сходящимся в /?, если ряд с общим; членом || хп \\ сходится в R; то жо можно выра- выразить, сказав, что семейство (х„) абсолютно суммируемо; отсюда (гл. III, 2-е изд.,§ 4, предложении 9; 3-е изд., § 5, предложение 9): Следствие. В полном нормированном пространстве Е всякий абсолютно сходящийся ряд является коммутативно сходя- сходящимся. Обращение предложения 11, вообще говоря неверно. Рассмотрим, например, пространство J?(N) лгох ограниченных последопатолыгостон ж = (»n)ngN иещчг.твенных чисел с нормой Ц ,'»|| = SUJI | хп \. Ilyf-TIi Хт — ПОСЛОДОППТРЛЬНОСТЬ (.TmiOngN' Ъ КОТО- п рой хтп = 0 при п Ф т, .г00 = 0и хтт ~ \/т для всех т > 1. Легко проверить, что последовательность (asm)mgN в ^Й(\т) гуммирупма и имеет споой суммой нлемсот J/ = (i/n), « котором уЛ == 0 и цп = 1/п. при ге>1; но поскольку Цжт||=1/т, послодователъность норм элементов жт не гуммируема в R. Одпако мы видели (гл. VII, § 3, п° 1), что в Rn всякое суммируе- суммируемое семейство абсолютно суммируемо. Т. Нормированные алгебры над нормированным телом Определение 9. Пусть А —■ алгебра над недискретным коммутативным нормированным телом К; говорят, что норма р (х) на А (рассматриваемом как векторное пространство над К) согласуется с заданной в А структурой алгебры, если топология, определяемая ею в А, согласуется со структурой кольца алгебры А. Алгебра над К, наделенная структурой, определяемой нормой, согласующейся с ее структурой алгебры, называется нормирован- нормированной алгеброй.
78 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОЪЩЕЙ^ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 3 Еслп А — нормированная алгебра над К и р (ас) — ее норма, то билинейное отображение (ос, у) и-*- ху произведения Л X А в А , по предположению, непрерывно; следовательно (теорема 1), суще- существует число а> О такое, что р (ху) < ар (ас) р (у). Заменяя р (х) эквивалентной нормой ар (х), можно, таким образом, всегда пред- предполагать, что норма || х || на нормированной алгебре А удовлетво- удовлетворяет условию II «У II < II ж II II?/ II- E) По индукции отсюда следует, что II хп || < || х И" F) для всех целых п > 0. Пример и. 1) Пустг. К — нормиронаниое тело и А" — подтгло по центра такое, что след на*К' абсолютного значения | х |, заданного на К, не является несобственным абсолютным зпачепием па А"; А, наделенное- нормой | х |, является тогда пормиропапной алгеброй над К'. 2) Пусть К — недискротноо коммутативное нормированное тело и М„ (К) — кольцо кипдрлтнмх матриц порядка п над К; изиестно, что, как нркторпоо пространство над К, М„ (А') изоморфно Кп2. Поло- Положим || X !! = sup | хп | для каждой кпадратпой матрицы X — (г,) порядка п над А', получим на Мп (К) норму, и топология, определяе- определяемая сю, будет совпадать с топологией произведения в Кп (предло- (предложении 10); отсюда вытекает (в силу непрерывности полипомов несколь- нескольких переменных над А'), что указанная норма действительно согла- согласуется со структурой алгебры (над К) в Мп (К). ;i) Миожестш) £В{Е) нсех функций / на множестве К со значениям it в педпекретном коммутативном пормнропапном теле К таких, что а; ь->- | / (х) | ограниченно на Л', есть алгебра пад К; норма || / || -- = япр | / (х) | согласуется со структурой кольца алгебры £в(Е), ибо II/* \\< II/II \\g II (см. гл. X, § 1). Пусть а — замкнутый двусторонний идеал в нормированной алгебре А; формула || х \\ = inf || х || задает в факторалгебре at£<» Ala норму, определяющую в Ala фактортопологию топологии алгебры А по а (предложение 9); так как эта фактортопология согласуется со структурой факторкольца факторалгебры Ala (гл. III, 2-е изд., § 5, п° 1; 3-е изд., § 6, п° 3), то факторалгебра Ala, наделенная нормой || х ||, есть нормированная алгебра.
7 НОРМИРОВАННЫЕ ТЕЛА, ПРОСТРАНСТВА И АЛГЕБРЫ 79 Аналогично пусть (Ai)iri:cn — семейство п нормированных алгебр над нормированным телом К и А ~ J£ A% их произведение; полагая ||х|| = sup || ас,- || для ас = (Х;), получим на Л норму; i определяемая его топология совладает с произведением топологий, заданных в алгебрах Л< (предложение 10); поскольку последняя согласуется со структурой кольца в Л:(гл. III, 2-е изд., § 5, п° 3; 3-е изд., § 6, п° 4), алгебра А, наделенная нормой || ас ||, ость нор- нормированная алгебра. Пусть А — нормированная алгебра над нормированным телом А". Кольцо А, получающееся пополнением А (гл. III, 2-е над., § 5, предложение 2; 3-е пуд., § (>, предложение G), наделено также структурой векторного пространства над К (предложение 8) и, очевидно, по принципу продолжения тождеств t (ху) -■■■ (tx) у — - -х (ty) для всех t £ К, х £А, у 6 А; таким образом, А ость алгебра ипд К; так как, с другой стороны (предложение 8), заданная на А норма продолжается по непрерывности до нормы, опреде- определяющей топологию кольца А, то мы видим, что.Л, наделенное этой нормой, ость нормированная алгебра над К. Если (асх)хе/, и (?/ц)цем — абсолютно суммируемые семейства в нормированной алгебре А, то семейство (жх?/ц)ц, п)$ьхм абсо- абсолютно суммируемо, поскольку || х^Им 11^ II*х II Н?/ц II (гл- IV, 2-е изд., § 7, предложение 2; 3-е изд., § 7, предложение 1); если, кроме того, А полна, то оти три семейства суммируемы и ^ ХхУи. — (^ ■*>.) ( ^] ?/ц) п0 ассоциативности суммы, a, h)£lxm ' \чь нем стояний в левой части равенства (гл. III, 2-е изд., § 4, формула B); 3-е изд., § 5, формула B)). Если нормированная алгебра А обладает единичным элемен- элементом ефО,то отображение t ■-»• tc ость изоморфизм структуры тола в К на структуру тела в подтеле Кс алгебры А; этот изоморфизм является вместо с тем изоморфизмом структуры топологического тела в К на аналогичную структуру в Ке (надолепное топологией, индуцированной из А), ибо сужение || te \\ нормы из А на К есть норма, эквивалентная абсолютному значению \ t \ — -гртм II te II- Если || е ||= 1, то || te || = | t |, и тогда нормированное тело К можно отождествить с нормированным подтелом Ке алгебры А, и, в частности, обозначать единичный элемент алгебры А через 1.
80 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 3 В дальнейшем будет идти речь только о нормированных ал- алгебрах А с единичным элементом е, в которых норма удовлетворяет неравенству E); положив в нем х — у -■-?, получим, что || Предложение 12. Если в А ряд с общим членом я" сходится, то элемент е — * обратим и (е-*)-§ *". G) Обратно, если || а || < 1 и е — и обратим, то ряд с общим членом zn •сходится и имеет место формула G). В^ самом доле, для каждого р > 0 (в —«) V «n = e —«I)+1. (8) Если ряд с общим членом хп сходится и // — его сумма, то гп стре- стремится к 0 при неограниченном возрастании п; следовательно, переходя к пределу в (8), будем иметь (е — z) у — е; и так же дока- *жем, что у (е —«) ~е и том самым что у ~ (е — ,«)"х (заметим, что эта часть рассуждения сохраняет силу в произвольном топо- топологическом кольцо с единичным элементом). Обратно, если ||«||<1, то, поскольку ||«р+1 || ^ \\а ||р+1, заключаем, что ,^р+1 стремится к 0; умпожая обе части равенства (8) слова на (е — z)~l и устремляя р к бесконечности, видим, что ряд с общим членом хп сходится и имеет своей суммой (с.—х). Следствие. Пусть А — полная нормированная алгебра; тогда е —* обратимо в А для каждого а 6 А такого, что || * || < 1. В самом деле, ряд с общим членом хп абсолютно сходится, ибо II •"" II ^ II ~ \\п для всех п > 0; следовательно, в силу полноты А этот ряд сходится (предложение 11). Предложение 13. Пусть G — группа обратимых элемен- .тов полной нормированной алгебры А. Тогда G — открытое мно- множество в А; топология, индуцируемая в G из А, согласуется с ее структурой группы,; наделенная этой топологией, G является полной группой (по каждой из двух ее равномерных структур). Следствие предложения 12 показывает, что G содержит неко- некоторую окрестность V элемента е в А; тогда для каждого xo£G
7 нормированный тела, пространства и алгебры Si элементы из XOVобратимы, a X()V— окрестность х(] в А, поскольку .»•*-*■ хйх есть гомеоморфизм А на себя; следовательно, G открыто л Л. Чтобы убедиться в том, что топологии, индуцируемая в груп- группе G мз*А, согласуется с ее структурой группы, достаточно пока- показать, что функция х'1 непрерывна на G. Пусть х0 £ С; для каждого х 6 G положим х — х0 {е -\-п), т. о. ■//, -■ х'1 (х — х0); тогда \\ и ||^ < ||х„1 || || х — х0 ||; следовательно, если ||ас —х„ || < 1/Цяс^1 ||, то || и ||< 1, элемент с А-и = я;;* обратим, ряд с общим членом (—\)п пп сходится абсолютно и E (-1)ямп)жйх, (9) п—1 откуда Когда ж стремится к х0, \\х— х0 || стремится к 0, и так как 12 я=0 остается ограниченным, то ас1 стремится к ж. Наконец, чтобы установить, что левая равномерная структура группы G есть структура полного пространства, покажем, что вся- всякий фильтр Коши % относительно этой структуры является фильтром Коши относительно аддитивной равномерной структуры алгебры А и сходится к некоторой точке из G. В самом дело, для каждого е такого, что 0 < е < 1, существует множество М (•% такое, что \\х'1у — е \\ г£С ъ для всех х£М и у £М, откуда ||?/ —х || ^ е || х ||. Пусть « — точка из М\ для каждого xf_ M имеем || ж — а ||< в ||« ||, откуда ||as ||< (I -J- е) || » ||. С другой сторопы, существует множество N cz M, принадлежащее f$ и такое, что ||х~г.у — е \\^- ё)|'|"»'|Г для всох * С-^ и-?/€Лг- Тогда || у/ — ж || ^ -■ ' ; '. .. ^ е, так что % есть фильтр Копт относительно аддитивной равномерной структуры в А и, значит, 7i сходится к некоторой точке х0, поскольку А — полная алгебра. Так кал ае0 — продел фильтра fjf» то по принципу продолжения •> II. ПурПаки
82 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 3 неравенств llx^x,,—е \\^г для всех ас'6 М; поскольку е< 1, заключаем, что х~1х0 обратимо; следовательно, обратимо п х0. т. е. х0 6 G. Предложение 14. В полном нормированном теле мульти- мультипликативная группа элементов ФО есть полная группа. Достаточно рассуждать, как при доказательстве предложе- предложений 13, ваменяя заданную в А норму абсолютным значением, заданным в рассматриваемом теле. Отметим, что непосредственно применить предложение 13 пель- зя, ибо некоммутативное нормированное тело не обязательно являет- является алгеброй над недискретным, коммутативным нормиронанньш телом (сужение абсолютного значения на цоптр тела может быть несобствен- несобственным). Замечание. Предложение 13 неверно для неполной норми- нормированной алгебры. Например, в алгобре %{1) конечных непрерывных числовых функций на 7= [0, 1] (с нормой || х || = sup | х (t) |) под- подалгебра Р, образованная полиномами от * (суженными на /), не полна: пусть х (t) — произвольный полипом, отличный от постоянной; поли- полином 1 + ех при достаточно малом е сколь угодно близок к единич- единичному элементу 1 подалгебры Р, однако 1 + е.т не обратим в Р. Тем по менее, если А — неполная нормированная алгебра, G — группа ее обратимых элементов н А — нормироваттая алгебрп, получопная пополнением А, то G — подгруппа группы обратимых элементов алгебры А и, следовательно, топология, индуцируемая в G из А, согласуется с ее структурой группы. Упражнения 1) Отклонение / на группе G с мультипликативной ааписыо назы- называют инвариантным слева (соотв. инвариантным справа), если / (zx, zy) = / (z, у) (соотв. / (аи, yz) = / {х, у)) для всох х, у, я ил G. а) Если / — отклонение, инвариантное слова, то числовая фупк- ция £ (х) = f (е, х) на G удовлетворяет следующим условиям: 1° g (x) > > 0 для всех х е G и g (е) = 0; 2° g (х-1) = g (х); 3° Ц {ху) < g (*) + + а (!/)• Обратно, для всякой числовой функции g, удовлетворяющей атим условиям, / (х, ц) = g (x~hi) ость отклонение на G, инвариант- инвариантное слева. б) Для того чтобы топология ST, определениия в группо G насы- насыщенным семейством (§ 1, п° 2) инвариантных слева отклонений (Д), согласовалась с ее структурой группы, необходимо и достаточно, чтобы для каждого а £ G, каждого индекса i и каждого а > 0 суще- существовали индекс и и число р > 0 такие, что Д, (в, аха'1) < а для
УПРАЖНЕНИЯ 83 нсех х £ G таких, что fK (e, х) < Р. Если это условие выполнено, то равномерная структура, определенная в G семейством A<,), совпа- совпадает с леиой рашгомерной структурой топологической группы полу- получаемое при паделепни G топологией .9* в) На каждой топологической группе G сущестпуат семейство инппрпаитпых слева отклонений такое, что определяемая им рвшго- мерная структура совпадает с левой равномерной структурой груп- пы G. 2) Пусть G — топологическая группа, левая - правая равно- равномерные структуры которой совпадают. Показать, что эта общая ранно- мериая структура может быть определена семейством отклонений на G, инвариантных одновременно слева и справа. [Используя упраж- упражнение 3 § 3 главы III, показать, что, какова бы ни была окрест- окрестность V нейтрального элемента е группы G, также Vo — || rxVx~1 есть окрестность е.] 3) Пусть G — топологическая группа и (Д) — насыщенное семей- семейство инпариаитных слепа отклонений, определяющее ео левую ранпо- мерную структуру; положим g\, (х) — Д (е, х). Пусть Я — замкнутый нормальный делитель группы G; для каждого класса х £ G/H поло- положим ftt (х) == inf (?t (x)\ показать, что функции Д, заданные формулой — • • • • h (Zi !l) — hi (x~ly), образуют семейство инвариантных слева откло- отклонений, определяющее левую равномерыуюГструктуру факторгруппы G/H. [Рассуждать, как в замечании 2 из п" 1.] 4) Показать, что топология нормированного тела удовлетворяет условию (КТа) упражнения 13 § 5 главы ПЦ2-го изд.*). °*5) Пусть со — абсолютное значение на теле Q рациональных чисел. а) Показать, что со полностью определяется своими значениями иа простых числах. б) Показать, что если существует простое число р такое, что со (р) < 1, то и для любого другого простого числа g имеем со (д) < 1. [Оценить сверху со (дп), записывая дп в системе счисления с базисом р,, и устремить п к бесконечности.] в) Показать, что если существует простое число р такое, что4 со (р) < 1, то для любого другого простого числа q имеенГм (д) = 1. [Покапать невозможность неравенства со (д) < 1, используя тот факт, что для каждого целого п > 0 существуют целые рациональные г и * такие, что 1. = rpn -\- sqn.] Вывести отсюда, что со есть тогда абсолют- абсолютное значение, получаемое из р-адического нормирования Ha^Q. *) А именно, каковы бы ни были окрестности U и V нуля, существует 'естность W нуля такая, что W (С7)-1 с: U и (CV)-XW cr U. С*
84 вещественный числа в овщгся топологии гл. IX, § з г) Показать, что если со (/<) > 1 для каждого простого числа р, то, каковы бы ни были простые числа р и д, Iogm(p) log я " 1«й? |Тот жо мотод, что и в нункто б).) Выпусти отсюда, что тогда со (х) = = |*lp W р<1.„ G) Пусть Ь' — левоо векторное пространство над толом К, обла. дающее ctdthmm базисам (<in), и (г„) — убып;иощая ноглодонатель- пость чисел >0, стремящаяся к 0; положим || 0 || = 0, и для каждого элемента ж=яУ] tkah Ф 0 из Е положим ]| но || = г/,, где h — наимсчгь- h пшй из индексов к, при которых i/, r^= 0. Показать, что || х — у \\ есть инвариантное расстояние на аддитлмгюй грушге прострн(гстма Е и что топология, опредпляомая им к Е, по зависит от избранной после- допатольности (г„) (убивающей л стремящейся к 0). Вимесш отсюда- что если распространить определения пормц и нормированного прост- пространства (определения 5 и С) иа случай, когда рассматриваемое абсо- абсолютное значение на тело скаляров — несобственное, то продложопио 7 и теорема 1 пе будут больше-справедливы. 7) Пусть Е — нормированное пространство над нормированным толом. Показать, что осли всякое абсолютно суммируемое семейство в Е суммируемо в Е, то Е гголно. [Рассмотреть такую подпоследова- подпоследовательность (■%.) последовательности Коти (хп) в Е, чтобы ряд с общим членом хп — хп был абсолютпо сходящимся. 1 8) Дать пример суммируемого, но не абсолютно суммируемого семейства в толе Qp р-адичоских чисел. [Использовать упражнению 28 § 5 главы III 2-го изд. *).) 9) Отображение w кольца А в R+ называется полу абсолютным, яначением на А, если оно удовлетворяет следующим условиям: 1° w @) = 0; 2° w {х — !/)< w (х) + w (.;/); 3° w (ху) < w (x) w (у). Полу- абсолютпое зпачепио w назынается отделимым, если w (х) = 0 влечет х = 0. Если и> — отделимое полуабсолготпоо значение на А, то w (х — у) есть инвариантное расстояние на аддитивной группе коль- кольца А и, следовательно, определяет топологию, согласующуюся с его структурой аддитивной группы; покапать, что !>та топология согла- согласуется с ого структурой кольца. Обобщить на кольца, наделенные полупбг.олютиым значением, оскошшо спойстпа нормированных алгебр, в частности предложение 13. Если w — неотделимое нолуабсолтотпос значение на А, то .мно- жество w @) является двусторонним идеалом а и А. Топология в А, определяемая отклонением w {х — у), согласуется с япдянной струк- ") 1! :.!-м издании но военролшюдеио.
УПРАЖНЕНИЯ 85 турой кольца в Л, и отделимое пространство, ассоциированное с Л, есть по что иное, как факторкольцо А/а, па котором функция w (х), равная для каждого класса х mod а общему зпачевию функции w (х) во псех х 6 х, япляетгя отделимым полуабсолютлым значением, назы- называемым ассоциированным с ш, определяющим фактортопологию топо- топологии кольца А но а, *10) а) Полуабсолютвые зппчевия w\ и w2 па кольце А пазывяют- ся оквивалоптиыми, если эквивалентны отклонения и>\ (х — у) н и>2 (х — у). Показать, что если w — полувбеолютпое зиачевие ва А, то aw и ш1'" — иолуабеолютлые значения, эквипалентпыо w, для всех б) Пусть v>i (I ^ i < п) — полуабсолютвые значения ва коль» цс А; тогда функции «' = 2' ш и ш' ~ SUP wi ~~ экнивалептные полу- i * абсолютные значения на А. Если oj = ц;; @), то а = и; @) = ||п;. Обозначая через At пополпонио факторкольца Л/а;, паделепного отделимым полуабсолютлым значением, ассоцииронанвым с ш(, вокм- зать, что Л /а, наделенное отделимым полуабсолютиым значением, ассоциированным с ш, изоморфно подкольцу кольца JJ Л j; для того i чтобы это подкольцо было всюду плотпо в ДЛ{, необходимо и доста- i точно (и предположении, что Л обладает единичным элементом 1), чтобы полуабсолютные в. чения Ш( удовлетворяли следующему усло- условию: для каждого е > 0 и каждого индекса i существует элемент х £ А такой, что wt A — х) < е и wh (x) ^ e для всех индексов /с Ф U 11) Пусть Л — кольцо, паделенпоо отделимым полуабсолютиым звачонием, полное п топологии, определяемой этим полуабсолютным значением, и обладающее единичным плементом. Показать, что всякий максимальный идеал и Л замкнут. [Использовать предложение 13.] *12) Пусть К— отделимое недпекротиое топологическое тело и ф — отображение К в IU такое, что ср @) — 0, ф (ху) --■■- ср {х) cf (у) п множества Vn тех х £ К, для которых ф (г) <: Мп, образуют фунда- фундаментальную систему окрестностей 0 в К. а) Покапать, что существует число а > 0, для которого ф A + *)< ■^ а A + ф (х)). [В иротпмгом случае существовала бы последова- последовательность- (хп) точек из К такая, что A + * )-1 и гпA Ч- Гп) стре- стремились бы к 0.] Вынести отсюда, что функция *|) {х) — Up (x))a для достаточно малых а удовлетворяет неравенству t(* + V) < 2 янГ (ф (ж), ф(у)) A)
86 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 4 п б) Показать, что воли га = 2Р, то ty ( У}'*;) < я sup Щв|)); выво- I" 1 сти отсюда, что тр {т.) ^ 2т для каждого целого т > 0. ; в) Вывести из б), что для всех п = 2Р и псох .г £ /С выполняется неравенство \|) ((\ -+• x)n~l) ^.2n{\-\-"ф (,ж))п~1; заключить отсюда, что ф ость абсолютное значение на ЛГ, опредоляющпе ого топологию. *13) Пусть JT — отделимой] нодискретпов топологическое тело, R — множество тих х £ К, для которых li in xn = 0, и N — доиол- п-*оо ненне множества R (J Л- Покапать, что для того, чтобы на К суще- существовало абсолютное значение, определяющее его топологию, пеоб- ходтаго и достаточно, чтобы: 1° R было открыто в К; 2° для каждой окростпости V пуля в К существовала окрестность Г/ пуля и К так я, что RU с V; 3° отношения х £ R и ;/ G 7? (J ^V влекли yx£.R. Для доказательства! достаточности ятих условий установить последовательно, что: а) N есть нормальный делитель мультипликативной группы К* непуловых элементов из К. б) Если в факторгруппе K*lN положить х < у, когда существуют х £ х и у С У. для которых j/i-1 £ Л U iV, то это отношение будет отно- отношением порядка, согласующимся с ее структурой группы определен- определенная так упорядочониая группа K*lN изоморфна подгруппе аддитивной группы R. [Использовать упражнение 1 § 3 глапы V.] в) В заключенно носпользоваться упражнением 12. В частности, топология' недискретного локально компактного коммутативного тела может быть] задана абсолютным значением. Cmi Гл. III, 2-е изд. § 5, упражнения 19 и 20*).] § 4. Нормальные пространства 1, Определение нормальных пространств Аксиома ^Otv) равномеризуемых пространств (§1, л° 5) может быть сформулирована следующим образом: каковы бы ни были замкнутое множество А и точка х £ С А, существует непрерывное отображение пространства Е в [0, 1], равное 0 в точке х и \ во всех точках из А; это свойство выражают еще, говоря, что в равноме- ри8уемом пространство точка и замкнутое множество (ие содер- содержащее эту точку) отделимы непрерывной числовой функцией. Мы перейдем сейчас к изучению пространств, в которых можно подобным же образом ^отделить непрерывной числовой функцией всякие два непересекающихся замкнутых множества; точно говоря: *) В 3-м издаиии но воспроизведены.
/ НОРМАЛЬНЫЙ ПРОСТРАНСТВА 87 Определение 1. Топологическое пространство Е назы- называют нормальным, если оно отделимо и удовлетворяет следующей аксиоме: (Оу) Каковы бы ни были непересекающиеся замкнутые мно- множества А и В в Е, существует непрерывное отображение Е в (О, I], ]>авное 0 во всех точках из А и 1 во всех точках из В. Ясно, что всякое нормальное пространство ниолне регулярно; но существуют вполне регулярные пространства, но яшгяющиеся нормальными (см. упражнения 9, 10, 13, 20 и § "i, упражнения 15 и 16). В формулировку аксиомы (Ov), как и аксиомы (Oiv)i входит как вспомогательное множество числовая прямая R. Однако можно дать формулировку, равносильную (Ov)> в которую не входит уже никакое вспомогательное множество: Теорема 1 (Урысон). Аксиома (Оу) равносильна следующей: (Оу) Каковы бы ни были непересекающиеся замкнутые мно- множества А и В в Е, существуют непересекающиеся открытые мно- множества U и V в Е такие, что A cz U и В cz V. Ясно, что (Ov) влечет (OV), ибо если / — непрерывное отобра- отображение Е в [0, 1], равное 0 на А и 1 на В, то открытые множества 7 (|0, 1/2]) и / (]1/2, 1]) содержат соответственно А и 5 и не имеют общих точек. Чтобы доказать обратное, заметим сначала, что аксиома (Ov) равносильна следующей аксиоме: (Оу) Каковы бы ни были замкнутое множество А и его откры- открытая окрестность V, существует открытая окрестность W мно- множества А такая, что Wcz V. Если существует непрерывное отображение / пространства Е в {—1, -|-1], равное —1 на А и 1 на В, то, полагая U (t) = — / (I—1» Ф Для каждого t 6 JO, 1], получим в Е семейство открытых множеств, имеющее [0, 1J своим множеством индексов, такое, что A a U @), В с CU A) и U(t)czU (О A) для каждой пары вещественных чисел t, t' такой, что 0 ^ t < <С t ' ^ 1, поскольку U {t) содержится в замкнутом множестве
88 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 4 -1 / (|—i,t)). Обратпо, предположил:, что определено семейство открытых множеств U (t) @ ^ t ^ 1), обладающее этими тремя свойствами; для каждого х £ Е положим g (x)\ равным 1, если x£CU A), и равным нижней грани тех t, для которых я"£ U (I), в противном случае. Очевидно, тогда 0 ^ g (х) ^ 1 для всех х £ Е, g (х) — 0 на Л, g (х) = 1 на В; наконец, g непрерывно на £: в самом деле, положив g (х) = а, будем иметь | g (у) — g (x) [ < е для каждого г/, принадлежащего множеству £/ (а -)- е) П CU(a—е), являющемуся окрестностью х в силу A) (если еще условиться считать U (a -f- е) = Е при a-|-s>l, и U (а — е) = 0 при а — е < 0). Таким образом, все сводится к определению семейства откры- открытых множеств U (t) указанного тина, опираясь на аксиому (Ov). Примем U A) = СВ; так как A a U A), то, согласно (O'v), суще- существует открытое множество U @) такое, что А с: £/ь@) и V @) сг cr U A). Предположим затем, что для каждого двоично-рациональ- двоично-рационального числа к/2п (к — 0, 1, . . ., 2") уже определено открытое множество U (к/2п) так, что ТЩЩ cz U ((к + 1)/2п) @ < к < ^ 2П — 1). Для каждого двоично-рационального числа BА + 1)/2"+1 @ < к < 2" — 1), согласно (О^), существует откры- открытое множество U (B/c -f- l)/2n+l) такое, что U (к/211) с: U (BA+ l)/2n+1) n £/ (Bft + l)/2"+I) cz U ((к + l)/2n). Таким образом, для каждого двоично-рационального числа г такого, что 0 ^ /• ^ 1, можно определить открытое мпожоство U (г) так, чтобы Л с: U @), i? с: CU A) и Й1г) с: У (г') B) для всякой пары двоично-рациональных чисел г, г' таких, что 0 ^ г < г' < 1. Положим теперь для каждого вещественного числа t 6 [0 1] U @ = U С (г) (г — двоично-рациональные числа); г "t в силу B) это определение совпадает с предыдущим в случае, когда t — двоцчио-рациоиалыюи число; с другой стороны, если 0 ^ t < /' ^; 1, то существуют7'двоично-рациональные числа г, г' Такие, что ?<: г < г' < f; в силу B) тогда U (I) с: С (г) и, елс-
НОРМАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 89 дователыго, U (t) cz U (г) с: U (г') с: U (f), чем устанавливается отношение A) и завершается доказательство. Теорема 1 позволит нам доказать нормальность двух важных категорий топологических пространств. Прежде всего: Предложение 1. Компактное пространство нормально. В самом доле, такое пространство удовлетворяет аксиоме (Оу) в силу предложения. 2 § 10 главы I 2-го изд. C-е изд., гл. I, § 9, предложение 2). Что касается локально компактных простроим is, то всякая точка такого пространства обладает компактной окрестностью, которая яиляотся нормальным нодпрострапством; однако можно укапать примеры локально компактных пространств, не являющихся нормаль- нормальными (см. упражнения 9 и 26 и § 5, упражнение 15). Предложение 2. Метризуемое пространство нормально. Пусть Е — метризуемое пространство, d — расстояние, согла- согласующееся с его топологией, а А и В — непересекающиеся замкну- замкнутые множества в Е; так как функции d (х, А) и d (x, В) непрерыв- непрерывны, то множество U (соотв. V) тех точек х, для которых d {x, А) < < d (х, В) (соотв. d (х, В) < d (x, А)), открыто; ясно, что A cz.U, Вс7и17и7не пересекаются; таким обраэом, аксиома (Оу) выполнена. Замечания. 1) Предложение 2 дает новое необходимое условие метризуемости топологического нрострпнетва, но это условие, даже в соединении со всеми необходимыми условиями, данными в § 2, пи диет системы условий, достаточной для метризуемости топологиче- топологического пространства (см. упражнение 0 и § 5, упражнение 10). 2)-,Можтю указать примеры нормальных пространств, йо являю- являющихся ни метризуемыми, ни локально компактными (см. § 5, упрнж- ненио 16). В силу (Оу), всякоо замкнутое множество в нормальном про- пространстве является нормальным подпространством; но это свой- свойство пе всегда верно для произвольного подмножества нормальпого пространства. Например, вполне регулярное, но ие нормальное пространство, гомеоморфпо подпространству компактного пространства (§ 1, пред- предложение 'Л), а последнее нормально. Отметим, наконец, что произведение двух нормальных про- пространств не обязательно нормально (см. упражнение 9 и § 5, упражнение 16).
90 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩИЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 4 2. Продолжение непрерывной числовой функции Пусть Е и F — топологические пространства п Л — замкнутое множество в Е (отличное от Е); не всегда возможно продолжить непрерывное отображение А в F до непрерывного отображения всего Е. в F. При F — Н условие возможности такого продолжения дается следующей теоремой: Теорема 2 (Урысои). Аксиома (Оу) равносильна следующему свойству: (O'v) Каковы бы ни были замкнутое множество А в Е и непрерыв- непрерывная числовая функция (конечная или нет) /, определенная на А, существует продолжение g функции / на все пространство Е, являющееся непрерывным отображением Е в R. Ясно, что (Оу) влечет (Оу). В самом деле, если В я С непере- непересекающиеся замкнутые множества в Е, то функция, равная 0 па В и 1 на С, определена и непрерывна на замкнутом множестве В (J С. Если / — непрерывное продолжение этой функции на Е, то функ- функция g = inf (/+, 1) будет непрерывна на Е, принимать значения в @, 1] и равна 0 на В и 1 на С. Покажем, обратно, что (Оу) влечет (Ov); поскольку R и интер- интервал [—1, +1] гомеоморфны, можно ограничиться случаем, когда/ есть непрерывное отображение А в R, принимающее значения в [—1, +!]• Мы определим продолжение g функции /, образуя последовательность (gn) непрерывных функций па Е, для которой последовательность {gn (х)) будет сходиться в каждой точке к некоторому числу из иптервала [—1, -\-^]', этот предел будет но определению значением g (ж), и из выбора функций gn будет сле- следовать, что функция g удовлетворяет требуемым условиям. Определение функций gn основывается на следующей лемме: Лемма 1. Пустьи—непрерывное отображение замкнутого мно- множества А с Е в [—1, 4-1]; существует, непрерывное отображение v пространства Е в [—i/3, 1/3] такое, что \ и (х) — и (х) | ^ 2/3 для всех х g A. В самом деле, пусть И — множество тех х 6 А, для которых .—1 ^ и (х) ^ —1/3, и К — множество тех х 6 А, для которых 1/3 ^ и (х) ^ 1; // и К замкнуты в Л, а значит ив £, и но пере- пересекаются; по (Оу) существует непрерывное отображение v про-
Ч НОРМАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 91 странства Е в [—1/3, 1/3], равное —1/3 на 77 и 1/3 на К; оно н удовлетворяет условиям леммы. Определим теперь gn по индукции. Применив лемму к и — /, определим g0 как непрерывное отображение Е в [—1/3, 1/3], для которого | / (х) — g0 (х) | ^ 2/3 на А. Предположим затем опре- определенным непрерывное отображение gn пространства Е в интервал |_1 + B/3)п+\ 1 — B/3)n+1] такое, что \ f (х) — gn (х) \ < B/3)n+1 на А. Применяя лемму к функции и(х) — C/2)n+J (/(х) — gn (x)), убедимся в существовании непрерывного отображения hn+l про- пространства Е в интервал [—2"+1/3"+а, 2'1+1/Зп+2] такого, что | / (х) - gn (x) - hn+1 (х) | на А, и продолжим индукцию, положив gn+1 = gn -(-An+l; эта функция в силу определения hn+i действительно будет удовлетво- удовлетворять на Е неравенству j gn+1 (х) | ^ 1 — B/3)п+2. Из этого определения следует, что 2 \P+1 h---0 для всех m ^ p, n ^ p ж х ^ E; отсюда прежде всего вытекает, что (gn (x)) есть последовательность Коши и^ следовательно, схо- сходится к некоторой точке g (х) интервала [—1, +1]; а так как / (х) — gn (x) стремится к 0 во всех точках из А при неограничен- неограниченном возрастании п, то g действительно является продолжением / на Е. Остается убедиться в непрерывности функции g на Е. Итак, пусть х — произвольная точка из Е; каково бы ни было е > 0, существует п0 такое, что | gm (у) — gn (у) | < е для всех т ^ п0, п ^ но и у £ Е, и значит также, устремляя т к 4-оо, что | g (?/) — gn (.у) | ^ е; пусть V — окрестность точки х такая, что | gn (у) — gn (х) К е для всех у £ V; тогда для всех у £ V будем также иметь \gW — g(x)\<\g (У) ~gn(y)\+\ gn (У) - gn (*) I + + I * (*) — gn (*) I < 38, что доказывает непрерывность g в точке х и завершает доказатель- доказательство (эта последняя часть рассуждения использует для частного случая понятие равномерной сходимости, которое будет определе- определено в общем виде в § 1 главы X).
92 ВЕЩЕСТВЕННЫЙ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ. ГЛ. IX, § 4 Следствии. Если / — конечная числовая функция, опре- определенная и непрерывная на замкнутом множестве A cz E, то существует конечная числовая функция g, определенная и непре- непрерывная на Е, продолжающая /. Проведем сначала доказательство для случая, когда / (х) ^ 0; тогда существует непрорывное продолжение gt функции / на Е, -1 принимающее значения в [0, +оо]. Множество В ■--- gt (+ оо) замкнуто и в силу предположения не пересекается с А; поэтому функция h, равная / на А и 0 на 2?, есть непрерывная функция на замкнутом множестве А [}Б. Пусть g2 — ее непрерывное продолжение на Е, снова со значениями в [0, + оо]; тогда функции g — inf (gi, g2) будет непрерывным продолжением / на Е с конеч- конечными значениями ^0 во всех точках из Е. Чтобы перейти отсюда к общему случаю, достаточно заметить, что если / конечна и непрерывна на А, то то же справедливо для функций /+ и /~; пусть gx и g2 — непрерывные конечные функции, продолжающие соответственно /+ и /~ на Е; тогда gt — g2 будет конечной непрерывной функцией, продолжающей / на Е. Замечание. Если Е — нормальное пространство п А — его замкнутое подмножество, то существует также иепрерыпное продол- продолжение на Е всякого непрерывного отображения / подпростраистна А в куб К1 (§ 1, п° 5); в самом деле, тогда / = (/L)lg/» где Д — непре- непрерывное отображение А в компактный интерлал К. с; Н; и так как существует непрерывное отображение gt пространства Е в К, про- .должающее Д, то отображение # = (gi) будет непрерывным продол- продолжением / на Е. 3. Локально конечные открытые покрытии замкнутого множества в нормальном пространстве В главе I, § 10, п° 12 2-го изд. C-е изд., гл. 1, § 1, п° Г>) было определено понятие локально конечного покрытия топологическо- топологического пространства Е. Болое общим, образом, семейство (At)l£; под- мпожеств множества Е называют локально конечным, если каждая точка х £ Е обладает окрестностью V такой, что У[}А1Ф0 лишь для конечного числа индексов i 6 1- Множество @ подмно- подмножеств множества Е называют локально конечным, если семейство
;i НОРМАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВ Л Я,1.! множеств, определенное тождественным отображением <& на себя, локально конечно. Лкммл 2. Объединение локально конечного семейства замкну- замкнутых подмножеств топологического пространства замкнуто о Е. В самом деле, пусть (/\)iej — локально конечное семейство замкнутых множеств в Е и х £ Е — точка прикосновения мно- множества ll^1' 0Iia обладает окрестностью V, пересекающейся только с множествами Fh, соответствующими индексам, принадлежащим некоторому коночному множеству ТУ с: /; отсюда следует, что х есть точка прикосповепия замкнутого множества М/\, чем лемма и доказана. Теорлма 3. Пусть {А^иц — локально конечное открытое покрытие замкнутого множества F в нормальном пространстве Е. Существует открытое покрытие (Bh)icj множества F такое, что 1^ с: Ау, для всех i 6 7. Наделим. 7 структурой вполне упорядоченного множества (Теор. множ., гл. III, § 2, теорема 1) и определим с помощью трансфи- трансфинитной индукции семейство (BJ^i открытых множеств в Е так, чтобы: 1° Bh cz Аь для всех i £ /; 2° для каждого i 6 / семейство, обравованное всеми В^, у которых J,^i, и всеми А%, у которых К > I, было открытым покрытием множества F. Предположим, что множества Bt определены для i < у так, что указанные два свойства имеют место для всех i < у, и покажем, что BY можно определить так, чтобы эти свойства имели место и для i -~ у. Покажем сначала, что множества Вк, у которых i <; у, вместе с множествами Аи у которых i^y, образуют покрытие мно- множества F. По предположению, для каждого х £ F имеется лишь конечпое число индексов Я £ I таких, что х £ А%\ пусть это будут Aj < л2 < . . . < Ап, и пусть Aft — наибольшее из тех- л£, которые <Z.y\ если h <i п, го х £ А хп ж kn ^ у; если h — п, то предпосыл]са индукции показывает, что х прпнпд;геж"ит некоторому В %,, у кото- которого X ^. kn <z у; этим и доказана справедливость утверждения. Положим далее С — (С/'') U (M^O U (U-^t); (■■ открт.|то и, по сказанному выше, СЛУ с: С; поэтому в силу аксиомы (Ov)
94 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩКЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 4 нормальных пространств, существует открытое множество V та- такое, что САу а V а V а С. Положив Ву - CV, будем иметь ByCZ CV cr Ау и By\JC — E, так что множества Ви у кото- которых i ^ у, вместе с множествами Аь, у которьсх i >■ у, обра- образуют покрытие множества F. 3 а м е ч а н и е. Отметим, что мы исполт.вовмли только то, что покрытие (At) точечно конечно, т. е. что каждая точка на F принядле- яагт только коночному числу mhohjoctb Ai- Определение 2. Пусть Е — типологическое простран- пространство и f — определенная на нем числовая функция. Наименьшее замкнутое множество S в Е такое, что f (х) = 0 на CS, называют носителем f и обозначают supp (/). Другими словами, supp (/) есть замыкание в Е множества тех х 6 Е, для которых / (х) Ф 0; можно еще сказать, что это — мно- множество тех точек ж £ Е, в каждой окрестности которых существует точка у, для которой / (у) Ф 0. Пусть (/()tg/ — семейство конечных числовых функций, носи- носители которых образуют локально конечное семейство; тогда сумма 2 Д (ж) определена для каждого х £ Е (поскольку содержит лишь конечное число ненулевых членов); конечную числовую функцию х ь-*- ^ А (ж) называют суммой семейства (Д) и обозна- чают 2 А- Если каждая из функций А непрерывна, то непрерывна ■и функция / = 2 А; в самом деле, каждая точка х £ /? обладает окрестностью F, пересекающейся лишь с конечным числом носи- носителей функций Д, и, следовательно, имеется конечное множество Яс/ такое, что / (у) = 2 А (#) Для всох У € ^> 1£7Г Определение 3.' Пусть (АI£/ — семейство подмножеств топологического пространства Е\ говорят, что семейство (A)i£7 числовых функций, определенных на Е, подчинено семейству (A,)^j, если supp (А) с i4t для каждого i £ 7.
;t НОРМАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 95 Непрерывным разложением единицы на Е называется всякое семейство (/t)i,cj непрерывных числовых функций ^ 0 на Е таких, что их носители образуют, локально конечное семейство и V д (я) _ 1 ддл всех х £Е. Предложение 3. Для каждого локально конечного откры- открытого покрытия (At)ici нормального пространства существует подчиненное этому покрытию непрерывное разложение единицы (/Oigjr па Е. Применяя, теорему 3, рассмотрим открытое покрытие (#t)i£/ цространствд Е такое, что Bt cr Л,, для всех i £ 7; очевидно, это покрытие локально конечно. По аксиоме (О'у) для каждого i £ I существует открытое множество Ct такое, что BL cr Ct cr Cl cr AL. Но аксиоме (Оу) для каждого i £ I существует непрерывное отображение gh пространства йв[0, 1J такое, что gt (x) — 1 на/?,,, а носитель g,, содержится в 6\ и, следовательно, в А,,. Так как (BL) — покрытие пространства Е, то 2j Si (x) > О ДЛЯ каждого ж 6 ^; положим Д (ж) = gt (х)/B gi (а:)) для каждого i 6 / и каждого х £ Е; тогда функции Д образуют непрерывное разло- разложение единицы, подчиненное покрытию (AJ. Следствие. Для каждого локально конечного открытого покрытия (^4t)igi замкнутого множества F в нормальном про- пространстве Е существует семейство (fi\^i числовых функций определенных и непрерывных на Е, подчиненное покрытию (/4 и такое, что 2 А (х) — 1 для всех х £ F и 2 А (я) ^ 1 для В самом деле, семейство множеств, состоящее из всех At и является локально конечным открытым покрытием про- пространства Е. Поэтому существует подчиненное ему непрерывное разложение единицы, образованное семейством (А)^/ таким, что supp' (/t) cr Аь для всех i 6/, и функцией g с носителем, содержа- содержащимся в CF; ясно, что семейство (/,,) и обладает требуемыми свой- свойствами.
f:lfi ВЕЩЕСТВКИНМЕ ЧИСЛА В ОБЩГСЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 4 </. Пара компактные пространства Напомним (гл. I, 2-е изд., § 10, п° 42; 3-е П8Д., § 9, п° 10), что топологическое пространство Е называется паракомпакпгпым, если оно отделимо и для каждого открытого покрытия Е существует мажорирующее его локально конечное открытое покрытие. Предложении 4. Всякое параколтактное пространство нормально. Это предложение вытекает из следующей леммы: Лемма ?>. Пусть А и В — непересекающиеся замкнутые мно- множества в паракомпактном пространстве Е. Если для каждого х £ А существуют непересекающиеся открытая окрестность Vx точки х и открытая окрестность Wx множества В, то суще- существуют непересекающиеся открытые окрестности, Т и U мно- множеств А и В' В самом деле, предположим, что лемма доказана; так как Е отделимо,, то она применима к случаю, когда В одноточечно, и показывает тогда, что Е регулярно. Снова применяя затем лем- лемму 3 ужо к произвольным двум непересекающимся замкнутым множествам в Е, убедимся в справедливости аксиомы (Оу). Для доказательства леммы рассмотрим открытое покрытие пространства Е, состоящее из С-4 и указанных в лемме окрестно- окрестностей Vx, где х пробегает А; пусть G\)ig/— мажорирующее его локально конечное открытое покрытие; по определению, если А Г) 7( Ф 0, то существует xt £ А такое, что 7\ с: Vx . Пусть Т — объединение всех 7\,, для которых А [\ 7\ •-■£ 0» и, значит ■— открытое множество; покажем, что существует открытая окрестность 11 множества /?, но пересекающая Т. В самом деле, каждая точка у 6 В обладает открытой окрестностью Sy, пере- пересекающейся лить с конечным числом множеств Tt; пусть / - конечное подмножество множества /, образованное томи индекса- индексами I, для которых Ту, пересекает одновременно Sv и А; тогда мно- множество Uy : ■■ SU[\£\WX будет открытой окрестностью точки у, не пересекающей пи одного 7\, для которого А (] 7\ Ф 0, и, значит, UV[\T — 0. Для завершения доказательства остается положить V — М U,r В
4 НОРМАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 97 Можно принести примеры нормилышх нростраястн, но являю- являющихся паракомпактньши (упражнение 10). Следствия. Для каждого открытого покрытия (A,)^i пара- компактного пространства Е существует подчиненное ему непре- непрерывное разложение единицы (/t)iej на Е. В самом деле, пусть (U■к)%ы, — локально конечное открытое покрытие, мажорирующее (At)l£i; тогда существует отображе- отображение ф множества L в 7 такое, что UK с -4фа) для всех X £ L. Согласно предложениям 3 и 4 существует непрерывное разложе- разложение единицы (gx)i£L, подчиненное (Ux)\ для каждого i £ 7 поло- положим Д — 2]. gx, где сумма имеет смысл и непрерывна, поскольку носители функций g\ образуют локально конечное семейство; кроме того, объединение Вк носителей тех gx, для которых <р (К) = = I, замкнуто (лемма 2) и содержится в А,,; поскольку Д (х) — 0 при х g СВи носитель функции Д содерл{ится в Ви а значит и в АК. С другой стороны, семейство {ВС) локально конечно, ибо для каждой точки х £ Е имеются ее окрестность V и конечное множество II с L такие, что V {] Ux ~ 0 для всех X (JII, отку- откуда следует, что V(]B,, — 0 для всех i ^ ф G7). Наконец, для всех х £ Е имеем чем доказательство следствия и завершается. Предложение 5. Всякое замкнутое подпространство F паракомпактного пространства Е паракомпактно. В самом деле, F отделимо. С другой стороны, пусть (Ft) — открытое покрытие пространства F; каждое Ft имеет вид Vt = = Uif\F, где U\, — открытое множество в Е. Рассмотрим откры- открытое покрытие 5R пространства Е, образованное множеством CF и всеми Uи существует локально конечное отгфытое покрытие 9J' пространства Е, мажорирующее 5R, и следы па F множеств из 3J' образуют локально конечное открытое покрытие пространства 7*1, мажорирующее данное покрытие (Ft). Напротив, открытое подпространство компактного пространства моанчг по быть наракомнактным, и даже нормальным (упражнении 206) и § 5, упражнение 1Г>). 7 Н. Бурбаки
98 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX. § 4 Следствие. Всякая окрестность замкнутого множества F в паракомпактном пространстве Е содержит замкнутую (и, сле- следовательно, паракомпактную) окрестность этого множества. Это вытекает из предложений 4 и 5 и аксиомы (Оу). Предложение 6.. Произведение паракомпактного простран- пространства и компактного пространства паракомпактно. Пусть Е — паракомпактное пространство, К — компактное пространство и Ш — открытое покрытие их произведспия. Для каждой точки (ж, у) £ Е X К существуют открытая окрестность Vx,y точки ж в Е и открытая окрестность WXiV точки у в К, произведение которых VXi у X WXi у содержится в некотором мно- множестве из 9?. Для каждого х £ Е множества Wx>y, где у пробе- пробегает К, образуют открытое покрытие пространства К; следователь- следовательно, в К существует конечное число точек yt (I ^ i ^ п) таких, что уже множества Wx< у образуют открытое покрытие простран- пространства К. п Положим Ux = f\ Vx, у', каждое ив открытых множеств Ux X Wx, у A ^ i ^ п) содержится в некотором множестве из Ш. Пусть тогда G\)i£/ — локально конечное открытое покрытие пространства Е, мажорирующее покрытие, образованное мно- множествами Ux (ж 6 Е), и жь для каждого i 6 / есть точка ив Е, для которой Ть с: US[\ обозначим через Slih множества Wx^ Уц A ^ /с ^ raj, отвечающие этой точке. Ясно, что множества 7\ х X Slt n (i 6 I> 1 ^ ft ^ Щ для каждого i £ /) образуют открытое покрытие произведения Е X К, мажорирующее Ж; покажем, что это покрытие локально конечно. В самом деле, для каждой точки {я, у) 6 Е X К существует окрестность Р точки ж, пересекающаяся лишь с конечным числом множеств 7\; окрестность Р х К точки (ж, у) будет тем более пересекаться лишь с конечным числом мно- множеств вида Z\ X.iS^ft. Напротив, проппводонпо двух паракомпактных пространств может не бытг. паракомпактным, и даже нормальным (§ 5, упраж- упражнение 16).
г, . НОРМАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 99 ~>. Паракомпактность метризуемых пространств Следующая теорема уточняет предложение 2: Теорема 4. Всякое метризуемое пространство параком- пактно. Эта теорема вытекает из следующих четырех лемм. Лемма 4. Пусть] 9t = (Ua)a^ — открытое покрытие мет- риауемого пространства Е. Существует последовательность (@п), обладающая следующими свойствами: 1° каждое <&п есть локально конечное семейство открытых множеств ив Е; 2° @ = М @„ п является открытым покрытием пространства Е, мажорирую' щим 9?. В самом деле, пусть d — расстояние, согласующееся с тополо- топологией пространства Е. Для каждого а £ А и каждого целого п обозначим через Fna множество тех точек х 6 Ua, для которых d(x, Е—J7a)>2"n; так как Е—Ua замкнуто, то £/„ = ^^10' п Наделим А структурой вполне упорядоченного множества; пусть Gna для каждого а £ А и каждого целого п означает множество всех точек х £ Fna таких, что x$Fn+1,& для каждого {$ < а; наконец, пусть Vna есть множество тех точек у £ Е, для которых d (у, Gna) < 21"8. Очевидно, Vna открыто. С другой стороны, так как для каждого у £ Vna существует х £ Gna такое, что d (х, у) < 2"", то Vna cz'Ua; поскольку ж £ Fna, имеем d (у, Е - Ua) > d (х, Е — J7«) - d (ж, у) > 2-"-1, откуда у (: Ua. Обозначим далее для каждого х £ Е через а наименьший индекс ив Л, при котором ж £ £/«; тогда существует целое га, для которого х 6 ^*nai и из определения а вытекает, чтс вместе с тем х.6 ^Па» так что я € Fna. Это показывает, что если положить <2>n = (Fna)a£A» то © = \J @n будет открытым покры- п тием пространства J&, мажорирующим 9{. Остается доказать, что- каждое семейство @п локально конечно. Для этого покажем сначала, что d {Gna, Gnp) ^ 2"" при а ^ Р- В самом деле, предположим, 7*
100 ВЕЩКСТВКННЫК ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 4 что Р < а; пусть я £ Спа и у £ f'nP; по определению ж $ Fn+1,&; следовательно, d (х, Е — t/p) < 2"" и d (z/, £ — f/p) > 2"n, откуда d (ж, у) ^ 2""; поскольку Gn$ cr FnP, заключаем, что d(Gna, CnP)>2-"-1. Из определения множеств Fna и Fnp сразу видно теперь, что d (^n«i ^np) ^ 2"n~2. Из этого последнего неравенства вытекает, что открытый шар радиуса 2"п с центром в любой точке z £ Е может пересекаться не более чем с одним из множеств семейства <©„, и тем самым — что это семейство локально конечно. Лемма 5. Пусть (Qn) — последовательность локально конеч- конечных семейств открытых подмножеств топологического простран- пространства Е и @ = М <&п — покрытие пространства Е. Тогда суще- п ствует локально конечное {не обязательно открытое) покрытие 93 пространства Е, мажорирующее Q. В самом деле, пусть Еп — открытое множество в Е, являющееся п объединением всех множеств из @,м положим Un — М Ek и Ап = = Un— £/n-i (Uo — 0). Покажем, что множества Vf]An, где. л — произвольные целые, а V 6 €>m образуют требуемое покры- покрытие 93. Поскольку множества Ап образуют покрытие простран- пространства Е, для каждого х £ Е существует целое п такоо, что х 6 Ап; тогда х £ Еп и существует V £ <&п такое, что х £ V; таким обра- образом. x(zVf\An и совокупность S8 всех множеств Vf)An является покрытием пространства Е. Очевидно, оно маневрирует ©. С дру- другой стороны, для каждого х 6 Е существует целое п такое, что х 6 Un', так как Un открыто, а Qm — локально конечные семей- семейства, то для каждого т существует окрестность Wm точки х, содержащаяся в Un п пересекающаяся лишь с конечным числом п •множеств из Qm; тогда окрестность W = f^ Wm точтеи х будет пересекаться лигаь с конечным числом множеств из 98, поскольку W П Ар — 0 для р~> п. Это показывает, что 23 локально конеч- конечно, и завершает доказательство леммы. Лкмма 6. Пусть Е— регулярное пространство, обладающее тем свойством, что для каждого его открытого покрытия sJt суще-
.; . , ■ НОРМАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 101 ствует локально конечное (не обязательно открытое) покрытие, .мажорирующее SJ{. Тогда Оля каждого открытого покрытия "Si пространства Е существует локально конечное замкнутое покры- покрытие %, мажорирующее Ж. I) самом деле, пусть % — открытое покрытие Е. Для каж- каждого х £ Е существует открытое множество U (Е 9J, содержа- содержащее, х, а значит, поскольку Е регулярно,— открытая окрестность V.v точки х такая, что Vx cz U. Множество 33 всех Vx является открытым покрытием пространства Е и, следовательно, по пред- предположению, существует локально конечное покрытие ИЗ, мажори- мажорирующее 93; пусть % — совокупность замыкапий множеств из 93. Так как покрытие 93', образованное множествами Vx, мажориру- мажорирует ЭД, а % мажорирует 93', то $ есть замкнутое покрытие, мажори- мажорирующее 9{. С другой стороны, % локально конечно, ибо если некоторое открытое множество но пересекается с множеством В £ 95, то оно не пересекается также с его замыканием В. Лкмма 7. Пусть Е — отделимое пространство, обладающее шел свойством, что для каждого его открытого покрытия Ш суще- существует локально конечное замкнутое покрытие %, мажорирующее^. Тогда Е паракомпактно. Пусть Ш — открытое покрытие пространства Е; требуется доказать существование локально конечного открытого покрытия пространства Е, мажорирующего Ж. Пусть ЭД — локально конеч- конечное покрытие пространства Е (замкпутое или нет), мажорирую- мажорирующее 9?, и Wx для каждой точки х £ Е ее открытая окрестность, пересекающаяся лишь с конечным числом множеств из ЭД. Множе- Множество ЗВ всех Wx является открытым покрытием пространства Е; пусть % — локально конечное замкнутое покрытие простран- пространства Е, мажорирующее ЗВ, далее UA для каждого А 6 ?1 — множество из 5R, содержащее А, и С а — объединение всех мно- множеств F 6 Ъ-i Для которых А П F — 0. Поскольку $ локально конечно, СА замкнуто в Е (лемма 2) и, следовательно, А' = - U а П (Е—СА) открыто. Так как А (]СА — 0 и A cr UA, то А а А', и множество ?Г всех А' при А, пробегающем 21, яиляется открытым покрытием пространства Е; при этом, посколь- поскольку А' с: UA 6 9?, 5Г мажорирует 5К\ Остается показать, что 31' локально конечно. Каждая точка х £ Е обладает окрестностью Тг
102 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩИЙ ТОПОЛОГИИ РЛ. IX, § 4 пересекающейся лишь с конечным числом множеств из %; пусть F% A ^ i ^ п) — эти множества. Поскольку Ft содержится в некото- некотором множестве вида WUi, оно, по определению, пересекается лишь с конечным числом множеств иэ Я; пусть А ;у — эти последние A ^J / ^J si). Если А — множество из ЭД, отличное от всех Aif A г^ i г^ п, 1^/^s,), то, как следует из определений, А1 не пересекается ни с одним из_ Ft и потому не пересекается с п Т cz M Ft. Этим доказательство завершается. Упражнения 1) а) Топологическое пространство, удоилетворяющсо аксиомам {Q) (гл. I, 2-о и.чд., § 6, упражнение 5; 3-е изд., § 8, упражнение) 1) и (Оу), нормально. б) Построить топологическое пространство, состоящее из четырех точек, удовлетворяющее аксиоме (Оу), но не удовлетворяющее аксио- аксиоме (Ощ). в) Для того чтобы топологическое пространство Е, удовлетворяю- удовлетворяющее аксиоме (Ov). удовлетворяло также аксиоме (Ощ)» необходимо и достаточно, чтобы оно обладало следующим свойством: всякое замк- замкнутое множество в Е является пересечением своих окрестностей. Тогда Е равномеризуемо, а вполне регулярное пространство, ассоции- ассоциированное с Е (§ 1, упражнение 4), нормально. г) Если топологическое пространство удовлетворяет аксиомам (С) и (Ощ), то оно удовлетворяет и аксиоме (Оу). п ассоциированное вполне регулярное пространство компактно. 2) Пусть Е — топологическое пространство, удовлетворяющее аксиоме (Оу). а) Показать, что отношение R: {х} П (И Ф & между точками х, у из Е равносильно отношению Я': «/ (х) = / (//) для каждой непрерыв- непрерывной числовой функции / на Е», и вывести отсюда, что R есть отношение эквивалентности в Е. б) Показать, что факторпространство F = ElR пормалыго и что всякая непрерывная числовая функция / на Е может быть записана в пяди / — g о ф, где g — непрерывная числовая функция на /•', а <р — каноническое отображение Е на F. 3) 13 топологическом пространстве Е следующие свойства равно- равносильны: а) всякоо подпространство пространства Е удовлетворяет аксиоме б) всякое открытое подпространство пространства Е удовлетво- удовлетворяет аксиоме (Ov);
УПРАЖНЕНИЯ 103 в) для всякой пары множеств А, В из Е таких, что А П В = ВГ\А=0, существуют непересекающиеся открытые мпожостпа U, V такио, что А <=. U ж В a:V. Топологическое! пространство Е называется вполне нормальным, если опо отделимо и обладает указанными свойствами. Всякое мотри- зуемое пространство вполне нормально. Компактное пространство не обязательно вполне нормально. 4) Всякое совершонпо упорядоченное множество Е, наделенное какой-либо из топологий &~+(Е), 3"- (Е) (гл. I, 2-е изд., § 1, упралше- ние 3; З-о изд., § 2, упражнение 5), вполне нормально. [Пусть А и В — такие множества из Е, что А Г\ В — В {\ А — 0\ определить для каждой точки х (; А ее окрестность Vx и для каждой точки у £ В ее окрестность Wy так, чтобы Vx П Wv — 0, каковы бы ни были * 6 А и // £ В.] *5) Всякое совершенно упорядоченное множестпо Е, шделепнов топологией 3~й{Е) (гл. I, 2-е пзд., § 1, упражнение 3; 3-е и:»д., § 2, упражнение 5), вполне нормально. [Рассмотреть прежде всего случай, когда Е компактно; с помощью упражнения 6 § 2 гл. IV показать сначала, что всякое открытое множество в Е есть объединении- неко- некоторого множества попарно непересекающихся открытых интервалов; использовать этот результат для доказательства высказанного пред- предложения, рассматривая (в обозначениях упражнения 3) дополнение замкнутого множества А A В, а затем дополнение множества В; для перехода к общему случаю с произвольным Е использовать упраж- упражнение 7 § 4 гл.- IV.] ♦6) Показать, что в нормальном пространство Е всякое подпро- подпространство F, являющееся счетным объединением замкнутых множеств, нормально. [Пусть А я В — непересекающиеся замкнутым множества в F, a F — объедипение возрастающей последовательности (Fn) замкнутых множеств в Е. Определить по индукции последователь- последовательности (Un) и (Vn) открытых множеств в Е так, чтобы: 1) Un fl Fn и Vn П Fn но пересекались; 2) U П Fn содержало А A Fn и "со мно" яшетва IIi fl Fi (I ^ t ^ n), a Vn fl Fn содержало В {] Fn и все множества Vt {] F( (I < i < п).] 7) Топологическое пространство Е навивается совершенно нор- нормальным, если оно нормально и всякое его замкнутое подмножество есть пересечение счетного семейства открытых множеств (или, что то же, всякое открытое множество в Е есть объединение счетвого семейства замкнутых множеств). а) Для того чтобы отделимое пространство Е было совершенно нормально, необходимо и достаточно, чтобы для каждого его замкну-
104 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, §4 того множества А существовала непрерывная числовая функция / -1 па К, для которой / @) = Л. [Метод упражнения 10а) § 1.] б) Показать, что псякос совершенно нормальное пространство вполне нормально и что всякое его подпространство совершенно нор- нормально. [Использовать упражнения 36) и 6.] в) Исякая полунепрерывная снизу чпелопая функция па совер- совершенно нормальном пространстве является верхней огибающей неко- некоторой последовательности пепрерынпых функций. [Метод, исполь- использованный it доказательство предложения 11 § 2.] г) Компактное пространство Е, получаемое присоединением бес- бесконечно удаленной точки к несчетному дискретному пространству, нполыо нормально, но но совершенно нормально; всякое ею подпро- подпространство параномпактно. *8) Показать, что неметризуемое компактное, пространство Е, определенное в упражнении 13а) § 2, совершенно нормально, а немет- ри:)уемое компактное пространство F, определенное! и упражнении 13г) § 2, ниолно нормально, но но совершенно нормально. *9) а) Пусть Е — иармкомнактпое пространство, каждая точка которого обладает счетной фундаментальной системой окрестностей, и /' — полукомпактпоо нормальное пространство (§ 2, упражнение 14). Покапать, что произведение Е X F нормально. [Пусть А и В — непе- непересекающиеся множества, замкнуты» в Е X /''. Рассуждая от про- противного, поковать, что для каждой точки х £ Е существуют ее окрест- окрестность Uх в Е и два открытых множества Vx, Wx в F такие, что Ух П ~WX = 0 и А (г) с: Vx, Л (г) cr Wx для каждого г 6 Ux. Пусть (T^^i, — локально конечное открытое покрытие пространства Е, ма?корирующсе (UX)X^E, и ф) — 1)аяложение единицы, подчиненное G\); пусть далее х (к) для каждого Я £ Л такопо, что 7\ с Uxd)y и ц^ — Henpejibiiinoo отображение /•' в [0, 1 ], равное 0 на VX(^) н 1 на "W*<x,>; рассмотреть на Е X F функцию ^ h W ^Я (у)-] х б) Пусть F = [а, Ь[ — локально компактное пространство, опре- определенное в упражнении 22 § 10 гл. I 2-го ипд. C-е иэд., гл. I, § 9, упражнение 12), и Е = [а, Ь\— компактное пространство, полученное присоединением к F бесконечно удаленной точки; F нормально (упражнение 4) и полукомтшктно (§ 2, упражнение 15), но произ- произведение Е X F но нормально. [Использовать упражнение 12 § 4 гл. II 2-го имд. C-е над., гл. II, § 4, упражнение 4).] *10) Пусть L — несчетное множество; рассмотрим вполне регу- регулярное пространство Е = NL (где N иаделоно дискретной топологией). Пусть А (соотв. В) — множество, образованное исеми х = (х C^))\cj^ иа Е такими, что для каждого полого к Ф 0 (соотп. к Ф 1) мпожество тех К 6 L, j\nn которых х (к) = к, содержит хотя бы один элемент.
УПРАЖНЕНИЯ . 105 а) Показать, что А и В замкнуты и Е и не пересекаются. б) Пусть U и V — открытые множестна и Е такие, что A a U, В с V. Обозначим череп Ф сопокуппогть всех элементарных мно- множеств в Е (гл. I, 2-е инд., § 8, п° 1; 3-е изд., § 4, п° 1), проекции которых, отличные от N, одноточечны, и И (W) дли каждого W £ Ф означает множество тех % £ L, для которых рг^ (TV) одноточечно. Показать, что существуют последовательность (х„) точек пз Л, после- последовательность (Un) множостн из Ф, последовательность (кп) попарно различных элементен из L и строго нозрастающая последовательность (т («))n£N Делых чисел, обладающие следующими спош-тиами: I) Un cz cz U есть окрестность точки j-,,; 2) II (Un) есть множестно тех ^г для которых к <; т (п); 3) а-0 (к) = 0 дли каждого % £ L и каждого п > 0, хп O^h) — h Для ft ^ m (и — 1) и жп (Я) = 0 для остальных "к £,"i. и) Пусть j/ — точка из В такая, что у (Х^) = к для каждого цело- целого к и у (X) = 1 для nci'x Я, £ /,, отличных от ^ь. Пусть Vo с V — множестло из Ф, содержащее у, и п — целое число такое, что Х^ £ L — Я (Vo) Для каждого к > т. (п). Погашать, что [/„.^ П Vo Ф 0, и лынести отсюда, что Е не нормально. 11) Вывести зга упражнения 10, что: а) Если произведение 1Т Е^, отделимых простринстн нормально, то Ei полуколгпактяы (§ 2, упрнжненис 14) для всех индексон, кроме- не более чем счетного их множества. б) Дли того чтобы произведение JJ £\ метризувмых пространств tejr было нормально, необходимо и достаточно, чтобы Еу били компактны для всех пндепсол, кроме но более чем счетного их множества; и тогда произведение паракомпактпо. 12) Пусть Е и F — отделимые нрострпнетла. а) Предположим, что л Е существует замкнутое множество А, не япллющеепя пересеченном никакого счетного семейства открытых множеств, а в F существует счетно-бесконечное незамкнутое множество В. Пусть Ь б В —В. Рассмотрим и Е X /•' множества С — А X В и D = = (Е — А) X {Ь}. Покапать, что С П Т) — ~С П D = 0, но в Е X F не существует никакой лары (Г/, V) открытых множеств, для кото- которой бы С с: U, D cz V и U [\ V — 0. б) Для того чтобы Е X F било вполне нормально, необходимо, чтобы одно из пространств /:, /' было совершенно нормально или чтобы п одном нп нрострапс.тв Е, F всякое счетно-бесконечное множе- множество было замкнуто (см. § 5, упражнение 16). в) Пусть Е = [а, Ь\ — несчетное вполло упорядоченное множество- такое, что [а, ж[ счетно при всяком х < Ь. Наделим Е топологией, и которой {х} открыто для каждого х < Ь, а интерналы ]х, Ь] (где-
106 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩВЙ^ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 4 * < Ъ) образуют фундаментальную систему окрестностей точки 6. Показать, что Е X Е вполне нормально, по Е не совершенно нор- нормально. г) Показать, что всякое компактное пространство Е, для кото- которого Е X Е X Е вполне нормально, метризуомо. [Использовать тео- теорему 1 § 2.] *13) Пусть (Е\)l£I — несчетное семейство отделимых топологи- топологических пространств, каждое из которых имеет по крайней моро две различные точки. Пусть такими точками в Et для каждого i из / ■будут at, ftt, и F — подпространство пространства JS" = U -^i» образо- ванное теми точками*^)^/) у которых xt = ot для всех индексов, кроме не более чем очетного их множества; пусть 6 — точка (bt) из Е. Рассмотрим r произведении Е X F дпагопаль А множества F X F « множество В = {Ь} X F. Показать, что А ж В замкнуты и в Е X F не существует никакой пары открытых множеств U, V, для которой А с: U, BczVinU(\V=0, [Пусть V и V — открытые мно- множества такие, что А с: U и В а V', показать, что существует возрас- возрастающая последовательность {Нп) не более чем счетных подмножеств множества / такая, что если хп есть точка из F, у которой каждая координата с индексами i £ Нп равна ftt) а каждая координата с индек- индексами i (J Нп равна at, то точка (жп+1, хп) принадлежит V для каждого целого п.; доказать, что послодоватолыгость (жпц, хп) стремится к неко- некоторой точке из А, и вывести отсюда, что U A Уф 0Л Получить с помощью этого результата пример связного тополо- топологического кольца, которое не являлось бы нормальным. Вывести также, что произведение несчетного семейства отделимых топологических пространств, каждое из которых имеет по крайней мере две различные точки, не может быть вполне нормально. [Исполь- [Использовать предыдущий результат для случая, когда все Е\, совпадают •с дискретным двухточечным пространством.] 14) Пусть Е — отделимое не нормальное пространство, А и В — ■непересекающиеся замкнутые множества из Е, для которых не сущо- ■ствуот непересекающихся открытых множеств U, V, удовлетворяющих -отношениям Л cz U, В с: V, и R — отношение эквивалентности в Е, классами эквивалонтпости которого служат множество А, множество В и множества {х}, где гг пробегает С (A U В). Показать, что график ■отношения R в Е X Е замкнут и отношение R замкнуто, но фактор- пространство EIR неотделимо (см. гл. I, 2-е изд., § 9, теорема 2; 3-е изд., § 8, предложение 8). 15) а) Пусть Е — нормальное пространство и Л — замкнутое отношение эквивалентпости в Е. Показать, что факторпрострапство EIR нормально. [Использовать предложение7 § 9 гл. 1,2-гоизд. C-еизд., гл. I, § 5, предложение 10).]
УПРАЖНЕНИЯ 107 б) Пусть Е — локально компактное пространство, счетное в бес- бесконечности, и Л — отношение эквивалентности в Е, график которого аамкнут в Е X Е. Показать, что ElR нормально. [См. гл. I, 2-е изд., § 10, упражнение 15 C-е изд., § 10, упражнение 19).] в) Пусть Е — дополнение в R множества точек вида' 1/ге, где п пробегает все целые числа, отличные от 0 и ±1. Рассмотрим в мотри- зуемом пространство Е отношение эквивалентности R, класс которого для каждого не целого х £ Е состоит из тонок х и Их, а класс каждого целого х — только из х. Показать, что R открыто и нмоит замкнутый график в Е X Е, но ElR ио регулярно. 16) Для каждого покрытия Ж топологического пространства Е обозначим порез V^ объодиноние множостп U X U, где U пробегает 9J. Открытое покрытие Ш пространства Е называется однообразным, если в произведении Е X Е существует окрестность W диагонали Д такая, что покрытие, образованное множостиами W (х), где х пробе- пробегает Е, мажорирует iK. 9t называется делимым, если в Е X Е суще- 2 ствует окрестность W диагонали А такая, что W с: V^. а) Показать, что всякое однообразное открытое покрытие прост- пространства Е делимо (см. упражнение 196)). б) Пусть 91 — открытое покрытие пространства Е, мажорируемое некоторым замкнутым локально копечпым покрытиом © этого прост- пространства. Показать, что 91 однообразно. [Пусть На для каждого А 6 @ есть некоторое множество из 8t, содержащее А, и Va — объединение открытых подмножеств UA X Ua и (Е — А) X (Е — А) простран- пространства Е X Е; рассмотреть множество W= М Гд.] *17) а) Для того чтобы всякое конечноо открытое покрытие топо- топологического пространства Е было делимо (упражнение 16), необхо- необходимо, чтобы Е удовлетворяло аксиоме (Оу). [Рассмотреть бинарное <т. е. состоящее из двух множеств) открытое покрытие пространства Е.] Обратно, если Е удонлетпорнот аксиоме (Оу), то всякое его конечное открытое покрытие однообразно. [Использовать теорему 3 (которая применима, поскольку Е удовлетворяет (Оу)) для сведения к случаю бинарного покрытия и затем для исследования этого случая.] Когда 1R пробегает всепозможные конечные открытые покрытия простран- пространства Е, мпожества V<^ образуют фундаментальную систему окружений некоторой равномерной структуры в Е, согласующейся с его тополо- гиой и называемой «равномерной структурой конечных открытых покрытий». б) Пусть Е нормально; показать, что равномерная структура V- конечпых открытых покрытий совпадает со слабейшей равномерной структурой 11', для которой равномерно непрерывны непрерывные
108 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОВЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 4 отображения Е в [0, 1 ] (т. о. с равномерной структурой, индуцируе- индуцируемой и Е из его компактификации Стоуна — Чеха (§ 1, упражнение 7). [Чтобы убедиться в том, что 11' мажорирует Щ, образовать о помощью теоремы 3 и аксиомы (Оу) конечное семейство отклонений на Е вида (х, у) у-*. | / (х) — / (у) | так, чтобы всякое окружение равномерной структуры, определенной этими отклонениями, содержалось в неко- некотором окружении равномерной структуры Я1.\ в) Пусть Е — нормальное пространство, Е — его комтжтифика- цпя Стоуна— Чохп и F для каждого замкнутого множества /'" из Е — его замыкание в Е. Показать, что непрерывное отображение компакти- фпкапии Стоуна — Чеха F пространства /'' и /'', продолжающее тож- тождественное отображение F в себя, является гомеоморфизмом. (Исполь- (Использовать б) или непосредственно теорему 2 и универсальное свойство пространства F.] Показать, что, каковы бы пи были замкнутые мно- множества /•', С в Е, F(]G=F[\Gn Е. [Предполагая, что х0 (J /•' П G и г,5 F, рассмотреть замкнутую окрестность V точки х0 в Е, для которой V П F и G — непересекающиеся аамкнутые множества в Е.\ *18) Семейство (Аа) подмножеств топологического пространства Е называется дискретным, если каждая точка х £ Е облпдаст окрест- окрестностью, поресекнющейся не бс)лее чем с одним n.i мпожеоти Ла. Отде- Отделимое пространство Е называется коллективно нормальным, если для каждого дискретного семейства (Аа) замкнутых мпожеств н Е сущест- существует семейство (Ua) попарно непересекающихся открытых мпожеств таких, что Ла с Ua для всех а. Всякое коллективно нормальное пространство нормально. а) Для того чтобы каждое открытое покрытие вполне регулярного пространства Е было делимо (упражнение 16), необходимо и доста- достаточно, чтобы множество всех окрестностей диагонали Д в Е X Е было фильтром окружепий универсальной равномерной структуры в Е (§ 1, упражнение 5). Показать, что если это услопио выполнено, то Е коллективно нормально. [Пусть Dа) — дискретное семейство замкну- замкнутых множеств в Е; рассмотреть открытое покрытие (Va), где Va = — Е — II Лр для каждого а.] б) Пусть F — fa, Ъ[ — локально компактное пространство, опре- определенное is упражнении 22 § 10 гл. I 2-го изд. C-е изд., гл. I, § !), упражнение 12), /'0 — мпожество F, паделепное дискретной топологией, и G — множество Fo [} {b}, паделепное топологией, в которой каж- каждая точка из Fo обракует открытое множество, а множества ]х, Ь], где х пробегает f0, образуют фундаментальную систему окрестностей точки 6. Показать, что пространство Е = F X G коллективно нор- нормально. [Заметить, что в F нет бесконечных дискретных семейств нодмпожеств, и использовать упражнение 4.] Пусть Ш — открытое
УПРАЖШШИЯ 109 покрытие пространства Е, состоящее ия /' X Fo и произведений \а, .г] X ] х, Ь] (х < 6); показать, что Ш но делимо и, следовательно, множество всех окрестностей диагонали Д в Е X Е не является филь- фильтром окружений никакой равномерной структуры и Е. [Использовать .упражнение 22а) § 10 гл. I 2-го изд. C-е изд., § 9, упражнение 126)).] *19) а) Для того чтобы регулярное пространство К было иариком- ттяктно, необходимо и достаточно, чтобы всякое его открытое покрытие было одпообравным (упражнение 16). [Для доказательства необходи- необходимости использовать лемму 6 и упражнение 106). Для доказательства достаточности исполг.вовнть упражнение 10я) § 4, предложение 2 •§ 1 it теорему 4 § 4.1 б) Дать пример делимого но однообразного покрытия коллективно нормального, по не нарпкомпиктпого пространства. [Исгголг>ловать а) и упражнение 12 § 4 гл. II 2-го изд. C-е изд., § 4, упражнение 4).] в) Покапать, что паракомпактноо пространство Е полно л своей универсальной равномерной структуре (§ 1, упражнение fi). [Если «фильтр Коти $ относительно этой структуры не имеет точки прикос- прикосновении, то всякая точка х £ Е имеет открытую окрестность Vx, не пересекающуюся хотя бы с одним множеством ип 5- Использовать затем a) ir упражнение 18а).] 20) а) Для того чтобы регулярное пространство Е было параком- пактпо, достаточно, чтобы для каждого его открытого покрытия Я? •существовала последовательность (<Sn) локально конечных семейств, .для которой <5 = II <Вп являлось бы открытым покрытием простран- п •ства Е, мажорирующим 31. [См. леммы 5, С и 7.1 б) Вывести из а), что в паракомпактнои пространстве объединение всякого счетного семейства зимкнутых множеств есть наракомпактное подпространство (см. § Г>, упражнение 15). и) Пусть Е — регулярное пространство и % — локально конечпое ■семейство замкнутых множеств, являющихся паракомнактными нод- ■ пространствам и пространства Е. Показать, что объединение исех ■множеств из § есть парпкомтгактмоо подпространство пространства Е. '(Использовать лемму 7. См. § 5, упражнение 15.] г) Доказать, что произведение наракомняктного пространстна Е и регулярного пространства F, являющегося объединением счетного ■семейства своих компактных подмножеств, паракомиактно. [Погру- [Погрузить F в его комиактификацию Стоуна — Чеха и испольаолать б). ■См. § 5, упражнение 1С] •21) а) Пусть Е — паракомпактноо пространство и Я — зам- замкнутое отношение ятшивалентности в Е такое, что всякий класс экви- эквивалентности но R компактен. Показать, что ElR наракомпактно. 4Использовать упражнение 1Г>я), теорему 3 и лемму 7. См. упраж- .нение 15в).]
110 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОВЩВЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 4 б) Пусть Е — отделимое пространство и R — замкнутое отноше- отношение эквивалептпости в Е такое, что всякий класс эквивалентности по Л компактен. Показать, что если E/R паракомпактно, то Е пара- компактно. [Рассуждать, как в доказательстве предложения 6.1 в) Пусть F — не паракомпактное локально компактное простран- пространство (см. гл. I, 2-е илд.,§ 10, упражнение 22; 3-е изд., §9, упражнение 12), Ft, — компактное пространство, полученное присоединением к F бес- бесконечно удаленной точки, Е — топологическая сумма пространств F и Fo, R — отношение эквивалентности, отождествляющее всякую точку из F с ее каноническим образом в Fo. Покапать, что отношение R открыто, всякий класс эквивалентности по R содержит не более двух точек, a E/R гомеоморфно Fo и, следовательно, компактно. *22) Для того чтобы регулярное пространство Е было метризуемо, необходимо и достаточно, чтобы в нем существовала последователь- последовательность (Я9П) локально конечных семейств открытых множеств такая» что S? = II S3ra — базис его топологии. (Для доказательства необ- п ходимости условия воспользоваться леммой 4. Для доказательства достаточности показать сначала с помощью лемм 5, 6 и 7, что Е пара- компактио. Для каждой пары т, п целых чисел и каждого U 6 ®п» обозначим через U' объединение множеств V £ ЯЭ„ таких, что Fc 17; показать, что U' с U. Пусть fa — непрерывное отображение Е в [0, 1], равное 0 на Е — U и 1 на U', и показать, что отклонения dmn определяют топологию в Е.] {«Теорема Нагата — Смирнова»). В частности, всякое регулярное пространство со счетным базисом метризуемо. 23) Топологическое пространство Е называют линделефовским, если всякое его открытоо покрытие содержит счотное подпокрытие. Всякое пространство, обладающее счетным базисом, линделефовское; всякое квазикомиактное пространство (гл. I, 2-е изд., § 10, упраж- упражнение 23; 3-е изд., § 9, п° 1) линделефовское. а) Всякое замкнутое подпространство линделефовского простран- пространства есть линделефопское пространство. Для каждого непрерывного отображения / лиидолефовского пространства Е в топологическое пространство Е' подпространство / (Е) последнего — липделефовское. б) Всякое отделимое пространство, являющееся объединением счетного семейства компактных множеств,— линделефовское. в) Всякое регулярное линделефовское пространство паракомпакт- паракомпактно. [Использовать упрпжнепие 20а).] г) Произведение линделефовского пространства и компактного пространства есть линделефовское пространство. [Рассуждать, как при доказательстве предложения 6; см. § 5, упражнение 16.]
УПРАЖНЕНИЯ 111 *24) а) Пусть Е — метризуемое пространство, R — замкнутое отношение эквивалентности в Е такое, что всякий класс эквивалент- эквивалентности по R компактен. Показать, что E/R метризуемо. [С помощью теоремы Нагата — Смирнова (упражнение 22) доказать аналог лем- леммы 4 для открытых покрытий пространства Е, состоящих ия насыщен- насыщенных по R множеств; принять за Fna наибольшее насыщенное открытое множество, содержащееся в множестве тех х £ Е, для которых d (х, Е — Ua) > 2"п, за F'na — насыщенные множества тех х^Е, для которых d (х, Е — Ua) > 2~п, и за Gna — множество тех х 6 Fna, для которых х (£ F'n+it р при всех Р < а.] б) Распространить результат пункта а) па случай, когда R зам- замкнуто, а каждая точка пространства E/R обладает счетной фундамен- фундаментальной системой окрестностей. [Использовать упражнонио 206) § 2.] в) Пусть Е — топологическое пространство и (Fa) — его замкну- замкнутое локально конечвое покрытие. Показать, что если каждое из под- подпространств Fa мотризуемо, то Е метризуемо. [Рассмотреть Е как факторпространство топологической суммы всех Fa.] г) Паракомиактное пространство, всякая точка которого обладает метризуемой окрестностью, мотризуемо. [Применить в); см. гл. I, 2-е изд., § 10, упражнение 226) C-е изд., § 9, упражнение 12в)). См. упражнение 25г) и § 2, упражнение 15, а также § 5, упражнение 15.J 25) Отделимое пространство Е называется мета компактным, если для всякого его открытого покрытия SR существует мажорирую- мажорирующее SR точечно конечное открытое покрытие. а) Показать, что всякое замкнутое подпространство метакомпакт- ного пространства метакомпактно; если всякое открытое подпростран- подпространство метакомпактного пространства метакомпактно, то и все вообще подпространства метакомпактны. б) Пусть К — отделимое пространство и Л — замкнутое отно- отношение эквивалентности в Е такое, что всякий класс эквивалентности по R компактен. Показать, что если E/R метакомпактно, то Е мета- метакомпактно. [Рассуждать, как в упражнении 216).] вI Показать, что пространство, одновременно мотакомпактное и полукомпактное (§ 2, упражнение 14), компактно. [Заметить с по- помощью теоремы Цорна, что «сякое точечно конечное открытое покры- покрытие содержит минимальное открытое покрытие, и использовать упраж- упражнение 14а) § 2.] г) Вполне нормальное локально компактное пространство Е = = [а, Ь[, определенное в упражнении 22 § 10 гл. I 2-го изд. C-е изд., гл. I, § 9, упражпенио 12), не метакомпактво •). *) Существуют совершенно нормальные коллективно нормальные прост- пространства, не являющиеся метакомпактпымн, л совершенно нормальные мета- компактные пространства, не являющиеся коллективно нормальными (а сле- следовательно, но паракомпактные). См. Е. М i с h а о 1, Can. Journ. of Math., VII A955), стр. 275—279.
112 ВКЩКСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 4 д) Пусть F — метризуемое пространство, А — его подмножество, которое, как и его дополнение, всюду нлотпо в F, и Е — не регуляр- регулярное пространство, получаемое путем наделения F топологией, порож- порождаемой яг.рмп открытыми множествами нз F и множеством А. Пока- Покапать, что Е мотакомпактно. [Рассмотреть для каждой точки х £ Е со окрестность Vx, содержащуюся в каком-либо множестве заданного открытого покрытия 91 пространства Е и удовлетворяющую слодую- щ]ш условиям; Vxcz А, гели х£А, и Vx есть окрестность х в F, если х (J А. Заметить, что подпространство Л пространства Е нара- компактпо, так же как подпространство пространства F, получаемое объединением всех Vx для х § А.] 20) а) Показать, что всякое вейерштрассово (§ 1, упражнение 22) нормальное пространство полукомцактно (§ 2, упражнение 14). [Пока- [Показать, что если последовательность] (х„) ironapiro различных точек из Е не имеет предельных точек, то на Е существует непрерывная конечная числовая функция / такая, что / (г,,) = п для всех п.] б) Пусть F = [а, Ь\ — локально компактное пространство, опре- определенной н упражнении 22 § 10 гл. I 2-го изд. C-е изд., § 0, упражнение 12), и Fo — компактное пространство, получаемое присоединением к F бесконечно удалешгой топки,— ее можно отождествить с Ь, Пусть далее с — наименьший элемент в F, для которого [а, с[ беско- бесконечно, и G — компактное подпространство [а, с] пространства F, Пусть, наконец, Е — дополнение к точно F, с) л компактном прост- пространстве Fo X G» Показать, что Е — по нормальное локально компакт- компактное пространство (см. упражнение 12а)) я что оно вейерштрассово, но не полукомпактно. Дать пример замкнутого подпространства в Е, которое не было бьт пейергатрассопым. Дать пример полунепрерывной снизу функции на Е, но достигающей своей нижней грани. [См. § 2, упражнение 14и).] 27) Топологическое пространство Е называется локально пара' компактным, если всякая его точка обладает ва.чкиутпй окрест- окрестностью, являющийся параномппктинм подпространством. а) Показать, что локально варакомпактноо пространство вполне регулярно. б) Пусть в компактном пространство Л) X G, определенном в уп- упражнении 206), II означает дополнение к миожгстну тех точек (Ь, у), у которых у < г. Показать, что II гге локально иаракомаактпое нор- нормальное пространство. [См. гл. Т, 2-е плд., § 10, упражнение 226); 3-е изд., § 9, упражнение 12в).] в) Пусть Е — топологическое пространство и Ф — его покрытие, образованное замкнутыми паракомпактными подпространствами и та- такое, что всякое А б Ф обладает в К окрестностью, принадлежащей Ф. Пусть Е' — множество, полученное присоединением к Е точки ш; определим в Е' топологию, приняв за фундаментальную систему окрест- окрестностей точки х £ Е в Е' множество всех ее окрестностей в Е, а за фу и-
БЭРОВСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 113 даментальную систему окрестностей точки о> — базис фильтра, порож- порожденный дополнениями в Е' множеств из Ф (см. упражнение 20в)). Показать, что Е' — ларакомпактноо пространство. *28) Пусть Е—метрическое пространство, d—ото расстояние, А — замкнутое множество и Е и / — непрерывная числопая функция, определенная на Л, со значениями в интервале [1, 2]. Показать, что числопая функции ц, определенная на Е условиями g (х) = / (.т) на А и па О А, непрерывна на Е. Получить отсюда доказательство теоремы 2 для метрических пространстн. 29) Для того чтобы отделимое топологическое пространство Е было нормально, необходимо и достаточно, чтобы для каждого ого замкнутого подмножества А н каждой числовой функции / на А, непрорывпой в индуцированной топологии, существовало непрерывное отклонение d на Е, относительно которого / была бы равномерно непрерывна. [Для- доказательства достаточности, следует показать, что всякая числопая функция / на замкнутом множестве А, непрерыв- непрерывная в индуцированной топологии, может быть продолжена до непре- непрерывной функции на Е\ рассмотреть для этого отделимое простран- пространство Е, ассоциированное с равномерной структурой, определяемой в Е отклонением d.) 30) Пусть Е — нормальное пространство и g — полунепрерывная сверху, а / — полунепрерывная снизу функции на Е такие, что g < /. Показать, что на Е существует непрерывная числовая функция h такая, что g < А < /. [Ограничиться случаем, когда / и g принимают значения в [0, 1]. Для каждой двоичной дроби г £ [0, 1] обозначим через F (г) множество тох х £ Е, для которых / (х) ^ г, и черен С (г) — множество тех х £ Е, для которых g (х) < г. Действуя, как при дока- доказательство теоремы 1, определить по индукции семейство открытых множеств U (г) (где г пробегает множество всех двоичных дробей из интервала [0, 1]) так, чтобы при г <г' выполнялись условия F (г) с: с U (r'), U {г) ст. U (г1) и U (г) с: G (г'); завершить затем доказа- доказательство, как в случае теоремы 1.] § 5. Бэровскис пространства 1. Разреженные множества Определение 1. Подмножество А топологического про- пространства Е называется разреженным, если его замыкание не имеет внутренних точек *). *) Л русской математической литературе такие множества называют нигде не плотными Ред. 8 Н. Бурбаки
114 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 5 То же самое можно выразить, сказал, что внешность множе- множества А всюду плотна в Е. Для того чтобы замкнутое множество А было разреженным, необходимо и достаточно, чтобы оно не имело внутренних точек, или, что то же, чтобы оно совпадало со своей границей. Для того чтобы произвольное множество было разреженным, необходимо и достаточно, чтобы его замыкание было разреженным. Всякое подмножество разреженного множества является разреженным множеством. Примеры. 1) Пустоо множество в Е — раврежешше. Для того чтобы одноточечное мпожеотно в отделимом пространство было разреженным, необходимо ц достаточно, чтобы образующая его точка пе была изолированной в Е. В непустом пространство никакое всюду плотное множество не является рплрежешшм. 2) Граница вамкнутого пли открытого множества исегда есть разрежошгоо множество. 3) В числовом пространство Jln всякое аффинное линейноо много- многообразие размерности р < п есть разреженное множество (см. гл. VI, § 1, предложение 2). Замечание. Граница произвольного множества не облаяна быть разреженным множеством; например, если А и СА оба всюду плотны, то граница множества А совпадает со всем пространством Е. Предложение 1. Объединение конечного числа разрежен- разреженных множеств есть разреженное множество. Достаточно доказать, что объединение двух разреженных множеств А, В есть разреженное множество, причем можно огра- ограничиться случаем, когда А и В замкнуты. Утверждение равно- равносильно тогда тому, что пересечение всюду плотных открытых множеств СА, СВ всюду плотно. Но если U — непустое открытое множество, то U |~) СА открыто и не пусто, а следовательно, ' и U П (СМ П СВ) ~ (U П СМ) П СВ есть непустое открытое множество. Пусть F — подпространство топологического пространства Е. Множество Л с F называется разреженным относительно F, если А, как множество в топологическом пространстве F, разре- разреженное. Предложение 2. Пусть F — подпространство простран- пространства Е и А с F; если А разреженно относительно F, то А разре-
2 БЭРОВСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 115 жепно относительно Е. Обратно, если F открыто в Е и А разре- разреженно относительно Е, то А разреженно относительно F. Пусть А разреженно относительно F; если бы замыкание А множества А относительно Е содержало непустое открытое мно- множество U, то (по определению замыкания) U П Л било бы не пусто и, значит, G П F — непустым открытым относительно F множе- множеством, содержащимся, в зимыкании А (") F множества А относи- относительно F, что противоречит предположению. Пусть теперь F открыто в Е и A cz F разреженпо отпоситоль- но Е\ если U — непустое мпожество, открытое относительно F, то U открыто относительно Е и, следовательно, содержит непустое множество У, открытое относительно Е (и тем более относитель- относительно F) и не пересекающееся с А; это показывает, что А нигде не плотно относительно F. Вторая часть предложения 2, очевидно, неверна, если F не яв- является открытым в Е: чтобы в этом убедиться, достаточно рассмотреть случай, когда F Ф 0 разреженно относительно Е, а А = F. ',i. Тощие множества Определение 2. Множество А в топологическом про- пространстве Е называется тощим, если оно является объединением счетного семейства разреженных множеств *). То же самое можно выразить, сказав, что А содержится в объе- объединении счетного семейства замкнутых множеств, не имеющих ипутреппих точек. Тощее множество вполне может быть всюду плотным в Е\ даже все пространство Е может быть тощим множеством. Примером последнего случая может служить всякое счетное отделимое пространство без изолированных точек; пространством такого тина яплиется рациональная прямая Q. Впрочем, топологи- топологическое простринство Е, являющееся в Е тощим множеством, не обя- зптельно счетно (см. упражнение 9). Всякое подмножество тощего множества в пространстве Е есть тощее множество; объединение счетного семейства тощих множеств есть тощее множество. *) В русской математической литературе такие множества паныпают множествами I категории.— Ред. 8*
116 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 5 Пусть F — подпространство пространства Е\ говорят, что множество А с F тощее относительно F, если при рассмотре- рассмотрении А в топологическом пространстве F оно является тощим мно- множеством. Из предложения 2 (п° 1) вытекает, что еслп A cz F есть тощее множество относительно F, то А является тощим относи- относительно Е; кроме того, если F открыто в Е и A cz F — тощее множество относительно Е, то А является тощим множеством относительно F. 3, Бэровские пространства Определение 3. Топологическое пространство Е назы- называется бэровским, если выполняется одно us следующих двух (равно- (равносильных) условий: (ЕВ) Пересечение всякого счетного семейства всюду плотных открытых множеств в Е всюду плотно в Е. (ЕВ') Объединение всякого счетного семейства замкнутых мно- множеств в Е, не имеющих внутренних точек, не имеет внутренних точек. Аксиома (ЕВ) может быть высказана еще в двух других равно- равносильных формах: (ЕВ") Всякое непустое открытое множество в Е — не тощее. В самом деле, для того чтобы множество было тощим, необхо- необходимо и достаточно, чтобы оно содержалось в объединении счетного семейства замкнутых множеств без внутренних точек. (ЕВ"') Дополнение тощего множества в Е всюду плотно. В самом деле, это означает, что ни одно тощее множество не может содержать непустое открытое множество, и, таким обра- образом, равносильно аксиоме (ЕВ"). Предложение 3. Всякое непустое открытое подпростран- подпространство F бэровского пространства Е есть бэровское пространство. Это вытекает из (ЕВ"), поскольку всякое открытое (соответ- (соответственно тощее) множество в F открыто (соответственно тощее) в Е. В силу этого предложения всякая точка бэровского простран- пространства обладает фундаментальной системой окрестностей, каждая из которых является бэровским пространством. Обратно:
,-} БЭРОВСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 117 Предложение 4. Если всякая точка топологического про- пространства Е обладает окрестностью, являющейся бэроеским про- пространством, то Е — воровское пространство. В самом деле, пусть А — непустое открытое множество в Е, х — точка из А и У — ее открытая окрестность, являющаяся бэровским пространством; если бы А было тощим в Е, то V (") А было бы одновременно тощим и открытым в V, что противоречит предположению. Предложение 5. В бэровском пространстве Е дополне- дополнение к тощему множеству является бэроеским пространством. В самом деле, пусть А — тощее множество в Е; его дополнение F = СА относительно Е всюду плотно в Е. Пусть В — тощее относительно F множество; оно тощее также относительно Е, и, значит, A U В тощее относительно Е. Следовательно, дополпе- пие к A U В относительно Е, являющееся также дополнением к В относительно F, всюду плотно в Е и, тем более, в F, чем предло- предложение и доказано. Теорема 1 (Бзр). 1° Всякое локально компактное про- пространство Е — бэровское. 2° Всякое топологическое пространство Е, на котором суще- существует расстояние, согласующееся с его топологией и определяющее с Е структуру полного метрического пространства, есть бэровское пространство. Покажем, что в каждом из двух случаев выполнена аксиома (ЕВ). Пусть (Ап) — последовательность всюду плотных открытых множеств в Е и G — произвольное непустое открытое множество. I lo индукции можно определить последовательность (Gn) непустых открытых множеств таких, что Gt = G и Gn+1 cz Gn (] Ап; в самом деле, так как, по предположению, Gn не пусто, то Сп П Ап — непустое открытое множество; так как в обоих рассматриваемых случаях Е регулярно, то существует непустое открытое множество ею 6'п+1 такое, что Gn+1 cz Gn П Л„. Тогда множество G П f\ A-n содержит пересечение всех Gn, а это последнее совпадает с пересе- пересечением всех Gn', остается доказать, что множества Gn имеют непустое пересечение. Но если Е локально компактно, то можно
118 ШЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 5 предположить, что G2 компактно; тогда О„. (п > 2) образуют в компактном пространстве G2 убивающую последовательность непустых замкнутых множеств, и потому в силу аксиомы (С") имеют хотя бы одну общую точку. Если жо Е — полное метри- метрическое пространство (при наделении некоторым расстоянием, согласующимся с его топологией), то множества Gn можно выбрать так, чтобы их диаметры (относительно этого расстояния) стреми- стремились к 0 при неограниченном возрастании п; эти множества обра- образуют тогда базис фильтра Коши, который сходится к точке, необ- необходимо принадлежащей пересечению всех Gn. Замечание. Имеются бэровскно пространства, которые не подпадают ип под одну из указанных днух категорий, и маетности бэровские пространства, который ни митривуемы, тш локально ком- компактны (упрнжиогпш 1С); имеются также метрпзуимыо баронский прост- пространства, с, топологией которых не согласуется никакан структура полного метрического пространства (унрпзкноннп 14). 4. Полунепрерывные функцгт на воровском пространстве Теорема 2. Пусть Е — бэроеское пространство и (/а) — семейство полунепрерывных снизу числовых функций на Е, верхняя огибающая sup /а (х) которого в каждой точке х £ Е конечна. При а этих условиях всякое непустое открытое множество содержит непустое открытое подмножество, на котором семейство (/а) равномерно ограниченно. Эту тоорсму можно ощв сформулировать, скапав, что точки, л окрестности которых семейство (/а) равномерно orpamrwniro, обра- образуют плотное открытое множество. Пусть / — верхняя огибающая sup fa семейства (/а); функция / а полунепрерывна сштзу (гл. IV, § 6, теорома 4) и конечна в каждой точке из Е. Таким образом, достаточно провести доказательство для случая, когда семейство (Ja) состоит из одной функции /. Пусть Лп — множество тех точек х 6 Е, для которых / (х) ^ п; Ап замкнуто (гл. IV, § 6, предложение 1), и из условия теоремы вытекает, что Е ость объединение всех А„; поэтому хотя бы одно из множеств Ап имеет внутреннюю точку и, значит, существует непустое открытое множество, на котором:/ ограничена (некоторым целым п). Применение этого результата к произвольному непусто-
УПРАЖНЕНИЯ 119 му открытому подпространству пространства Е (являющемуся, согласно предложению 3, бэровским пространством) завершает доказательство теоремы. Наиболее часто встречающийся приложения этой теоремы отно- относятся к случаю, когда лсо /а непрерывны на Е- 3 а м с ч a н и с. Теорема может оказаться неверной, если не предположить, что Е — бэропскоо пространство. Например, поло- положив / (р/<7) = д для каждой: несократимой дроби p/q, мы получим на рациональной прямой Q функцию, полунепрерывную снизу и ко- конечную в каждой точке (см. гл. IV, § 0, п° 2); но n Q по существует ни одного непустого открытого множества, на котором бы / Пыла ограниченной. Упражнения 1) а) Покапать, что следующие свойства множества X в топологи- топологическом пространстве Е равносильны: а) граница X рязрежмгна; E) X есть объединение открытого множества и разреженного множества; у) X есть разность замкнутого множества и разреженного множества» б) Показать, что если каждая точка множества X и Е обладает окрестностью V, для которой V ("| X рапрежешго n E, то X — разре- разреженное множество в Е. 2) Множество X в топологическом пространстве Е наяываотся ред- редким, если его пересечение Р A X с каждым совершенным мпожест- вом Р CZ Е разреженно относительно Р. а) Показать, что объединение всякого копечного семейства редких множеств есть редкое множество. б) Показать, что граница редкого множества есть разреженное множество. в) В Е существует наибольшее совершенное множество с редким дополнением. *3) Пусть X — множество в топологическом пространстве Е; обозначим через D (X) множество тех точек из Е, для любой окрест- окрестности V которых множество V П X не тощее. D (X) С X. а) Показать, что если D (У) = 0, то D (X U У) = D (X) для каждого X с: Е. б) Для того чтобы D (X) = 0, необходимо и достаточно, чтобы X было тощим множеством. [Начать с доказательства того, что если (Л 0 — семейство попарно непересекающихся открытых множеств в Е, а /Д для каждого i — разреженное относительно Е множество, содержащееся в А\, то М /?,, — раареженное множество. Рассмотреть i затем максимальное множество Ш попарно непересекающихся откры- открытых множеств : Е таких,. что X Л А для каждого А <• ЗК — тощее мпожестно; существование такого максимального множества устанав- устанавливается с помощью теоремы Цорпа. Покачать, наконец, что если
120 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 5 D (X) ~ 0, to X П CG, где G — объединение1 всех множеств из SW, разреженно, и заключить отсюда, что X тогда — тощео множество. 1 в) Покапать, что множество D (X) замкнутое, а множество X П CD (X) — тощее. [Установить с помощью б), что X П CD (X) тощее относительно открытого подпространств» CD (X).] г) Показать, что D (X) совпадает с замыканием своей пиутрен- ности. [Показать, что X П CD' (X), где D' (X) — замыкание ннутрен- ности множества D (X),— тощее множество, заметив, что оно является объединением множеств X П CD (X) и X fl D (X) П CD' (XJ). 4) Пусть Е и F — топологические пространства, а А (соотв. В) — множество в Е (соотв. в У). а) Дли того чтобы А X В было разреженным (соотв. совершенным) в Е X F, необходимо и достаточно, чтобы одно из множеств А, В было разреженным (сооти., чтобы А и В были замкнуты и одно h:i них совершенно). б) Для того чтобы А X В было редким множеством n E X F (упр. 2), необходимо и достаточно, чтобы А я В оба были редкими. *5) а) Пусть Е и F — топологические пространства и А — разре- разреженное подмножество произведения Е X F. Показать, что если топо- топология пространства F обладает счетным базисом, то множество тох точек х б Е, для которых срез А П ({*} X F) множества А по х раз- разрежен относительно {х} X F, есть тощее множество и Е. [Для каж- каждого непустого открытого множества U в F показать, что множество тех х£Е, для которых (i}x !/ содержится в замыкании среза А по х, разреженно в Е.] . б) Показать на примере, что результат пункта а) может оказать- оказаться неверным, если топология пространства F не имеет счетного базиса. [Принять за Е отделимое пространство без изолированных точек, за F — дискретное пространство с тем же носителем, что и Е, а за А — диагональ произведения Е X F.] в) Если В cz Е, С с F и одно иа множеств В, С тощее (соотв. в Е или F), то В X С есть тощее множество в Е X F. Обратно, если В X С — тощее множество в £ X F и топология пространства: Я или f обладает счетным базисом, то одно из множеств В, С тощее. г) Вывести из в), что если топология одного из пространств Е, F обладает счетным базисом, то (в обозначениях упражнения 3) D (В X С) = D (В) X D (С). (i) Множество X в топологическом пространстве Е называется приближаемым, если существует открытое множество V такое, что каждое из множеств U [} СХ, X {] Си тощее. а) Показать, что дополнение приближаемого множества прибли- приближаемо. б) Показать, что объединение всякого счетного семейства прибли- приближаемых множеств приближаемо. в) Показать, что следующие свойства равносильны:
УПРАЖНЕНИЯ 12£ а) X приближаемо; Р) в Е существует тощео множество М такое, что в подпростран- подпространстве Е — М множество X П ОМ открыто-замкнуто; у) в Е существует множество G cz X, являющееся пересечением- счетного семейства открытых множеств, такое, что X — G — тощее- множество в Е; б) в Е существует множество F zd X, являющееся объединением- счетного семейства замкнутых множеств, такое, что F — X — тощее1 множество в Е; {,) D (X) П D (Е — X) (обозначения упражнения 3) — рааре- женное множество и Е\ 0) D (X) П СХ — тощее множество в Е- [Для доказательства равносильности свойств а), £) и 0) исполь- использовать упражнения За) и 36) и показать, что а) влечет £), £) влечет 0) и 0) влечет а).] г) Пусть Е и F — топологические пространства, топология одного- из которых обладает счетным базисом. Для того чтобы множество- в Е X F вида А X В было приближаемым, необходимо и достаточно, чтобы одно иа множеств А, В было тощим или чтобы оба били прибли- приближаемыми. [Использовать свойство Q из пупкта в).] 7) Топологическое пространств Е называется неистощимым* если оно не тощео относительно самого себя *). а) Для того чтобы Е было неистощимо, необходимо и достаточно,, чтобы всякое счетное семейство всюду плотных открытых множеств в Е имело непустое пересечение. б) В неистощимом пространстве дополнение ко всякому тощему множеству является неистощимым подпространством. 8) Пусть Е — топологическое пространство, в котором существует непустое открытое множество А, являющееся неистощимым подпрост- подпространством. Показать, что Е — неистощимое пространство и что А не тощее относительно Е. 9) Пусть Е — подпространство в Ra, являющееся объединением подпространства Q2 и прямой у = 0; показать, что Е тощее относи- относительно самого себя. Вывести отсюда, что топологическое пространство может обладать неистощимым подпространством, не будучи само неистощимым. 10) Показать, что всякое вейерштрассово (§ 1, упражнение 22} вполне регулярное пространство — бэровскоо. [Рассуждать, как при доказательстве теоремы 1]. 11) Пусть Е — топологическое пространство п А •— его непустое1 подмножество. Точка а £ Е называется точкой конденсации множе- множества А, если в каждой ее окрестности содержится несчетное множест- множество точок из А. *) В русской: математической литературе такие пространства называют пространствами II категории в себе.— Ред.
122 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩИЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 5 а) Показать, что если Е — бэровское пространство без изолиро- изолированных точек, то всякая его точка есть точка конденсации множе- множества Е. б) Пусть Е — пространство, обладающее счетным базисом. Пока- Показать, что, каково бы ни было множество А с: Е, множество Б всех его точек конденсации совершенно, а множество А П С# счетно. *12) Топологическое пространство Е ппяынастси совершенно неистощимым, если всякое его непустое замкнутое подпространство неистощимо. Локально компактное пространство соаершенпо неисто- неистощимо; полное метрическое пространство совершенно неистощимо. а) Показать, что совершенно неистощимое регулярное простран- пространство — бэровское. б) Счетное замкнутое множестпо в достижимом *) (гл. I, 3-е пнд., § 8, упражнепио 1) совершенно неистощимом пространстве— родное (упражнение 2) и потому имеет по крайней мере одну изолированную точку. н) В совершенно неистощимом пространство Е всякое подпрост- подпространство А, являющееся пересечением счетно-бесконечного множества открытых мпожеств, совершенно веистощпмо. [Покапать, что если F с; А замкнуто в А, a F — памыкание F и Е, то /'' Г| CF — тощее относительно F.) г) Если всякпя точка топологического пространства Е обладает окрестностью, являющейся совершенно пенстощпмьтм подпространст- подпространством, то Е совершенно неистощимо. *13) Пусть К — спяпное и локплг.но связное совершенно неисто- неистощимое топологическое пространство. Показать, что Е но может быть объединением бесконечной поелодопательиоетп (Fn) попарно непере- непересекающихся непустых заыкпутых мложостп. [Пусть Н — объединение границ Нп множеств Fn п Е\ покалатг., что Н замкнуто в Е, а каждое из множеств Нп разреженно относительно И; чтобы установить по- последнее, рассмотреть фундаментальную систему связных окрестностей точки ия Нп и рассузкдать от противного, лепольпуя предложение) 3 § 11 главы I.] 14) Пусть Е — подпространство в R2, состоящее ия точек (г, 0), где г пробегает множество Q всех рациональных чисел, и точек (kin, 1/п), где п пробегает множество всех целых чисел >1, а к — множество Ticex целых рациональных чисел. Доказать, что Е — бэрокекое прост- пространство, но по янляется совершенно пенстощпмшг. •15) Пусть Е — множество па плоскости К2, состоящее из прямой Т) = {0} X К п точек A/п, к/п~), где п пробегает множестпо всех целых чисел >0, а. к — мпожестпо Z всех це.чых рациональных чисел. а) Для каждой тонки @, ;у) из D и каждого целого п > 0 обозна- обозначим через Тп (у) множество тех точек (и, v) из Е, для которых и < Мп То есть в котором каждоо одноточечное множество аамкпуто.—Ред.
УПРАЖНЕНИЯ 123 и I v — у \ С ч- Показать, что, приняв за фундаментальную систому ■окрестностей каждой точки @, у) множество всех Тп (у), а за фунда- фундаментальную спетому окрестностей каждой другой точки ян Е мно- множество, образованной этой точкой, мы получим топологию 3" в Е, мажорирующую топологию, индуцируемую и» Ra, it превращающую Е в локально компактной пространство. С>) Показать, что Е есть объединение счетного семеистпа метри- зуемых замкнутых лоднрострапств и всякая точка в Е обладает метри- зуемои компактной окрестностью, no E не является нормальным. [Пусть А — множество тех точен @, ;/), у которых у рационально, и В = D —А; понизать, что u E всякая окрестность U множества А пересекается со всякой окрестностью V лгножества Н\ для .'«того рас- рассмотреть для каждого п множество Вп тех у g В, дли которых Тп (у) cz с- V, п заметит!., что в It множество В — не тощее.] *16) Обозначим через И_ топологическое пространство, получае- получаемое наделением совершенно упорядоченного множества К всех вещест- вещественных чисел топологией 3"_ (R) (глава I, 2-е иид., S 1, ynjiajui-iemie .'!; 3-е пщ., § 2, упражнение 5). а) Показать, что всякое открытое множество в Н_ яиляотен объеди- невием счетного семейства попарно непересекающихся открытых слева пли открытых интервалом. Вывести отсюда, что пространство R_ соперппшно нормально (§ 4, упражнение 8) п сопершеппо неистощимо <ущ)ажненио 12). б) Показать; что пространство R_ X U- не является нормальным и что, следовательно, R_ не метризуемо, хотя в R_ и существует всюду плотное счетное множество. [Рассматривая в R_ X R- множество точек (х, у), для которых х + у = 1, показать, что в R_ X R_ суще- существует вамкнут.ое подпространство, гомеоморфное пространству Е, •определенному в упражнении 15.1 в) Покапать, что R_ есть линделефово пространство (§ 4, упраж- упражнение 23) и, следовательно, наракомлактно (там же). [Пусть Us для каждого х С R_ — полуоткрытый интервал ]?/ (х), х] с правым кон- концом х. Показать, что мпожество тех z £ R_, которые по принадлежат никакому открытому интервалу ];/ (х), х[, счетно; можно воспользо- воспользоваться упражнением 1 § 2 гл. IV.1 г) Показать, что всякое компактное множество в R_ счетно. {Если А — компактпое множество в R., то топологии, индуцируемые в А топологиями 3". (Н) и &"п (R), совпадают; вывести отсюда, что всякая точка из А является началом интервала, смежного с А.] 17) а) Показать, что всякое произведение Е — JJ Ft полных ■метрических пространств есть б:>ровское пространство. [Рассуждать, как при доказательстве теоремы 1, принимая за Оп элементарное мпожество (гл. I, 2-е над., § 8, п° 1; 3-е изд., § 4, н° 1), проекции которого, отлпчпые от пространств Fl, имеют диаметр ^1/п; заметить
124 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, §5 далее, что существует счетпое множество J cz I такой, что каждое Gn имеет вид Нп хД?(, где Я„с Ц>1' б) Показать на примере, что если / несчетно, то Е не обязательно совершенно неистощимо (упражнение 12). [Использовать упражне- упражнения 1 и 236) § 2.] *18) а) Покапать, что в полном метрическом пространстве всякое совершенное множество содержит подмножество, гомюоморфцое кан- торояу множеству (гл. IV, § 2, п° 5). [Использовать упражнение 11 § 8, гл. IV.] б) Вывести отсюда, что в полном метрическом пространстве со счетным базисом всякое совершенное множество имеет мощность континуума; всякое замкнутою множество ню болюю чем счетно пли имеет мощность континуум». (Использовать уприяшеиио 116); всякое открытое множество не более чем счетно или имеет мощность конти- континуума.] в) Показать, что в несчетном полном метрическом пространстве, обладающем счетным базисом, множество всех совершенных множеств имеет мощность континуума. [Доказать это сначала для компактного пространства {О, 1}N, затем использовать а) и упражнение 126) § 2.] г) Пусть Е — несчетное полное метрическое пространство со счет- счетным базисом. Показать, что существует множество Z cz. E такое, что Z п Е — Z имеют мощность континуума, но ни одно из них не содер- содержит непустого совершенного множества. [Использовать б) и в) и ме- метод, описанный в Теор. множ., гл. III, § 6, упражнении 24а).] Пока- Показать, что если, кроме того, в Е нет изолированных точек, то пи Z ни Е — Z не тощее. [Используя в) л упражнение 24 § 2, показать, что поресечопио А счетного семейства всюду плотных открытых мно- множеств в Е содержит непустые совершенные мтгожестин.] Вывести отсюда, что в этом случав Z но является приближаемым множеством в Е (упражнении fi). [Заметить, что предыдущее рассуждение показы- показывает, что U П Z для каждого непустого открытого множества U в Е не тощее.] 19) Пусть А — всюду нлотпое подпространство топологического пространства Е и / — ненрерыиноо отображение А в полное метриче- метрическое пространство F; показать, что то точки из Е, в которых / но имеет предела (относительно А), образуют в Е тощее множество. [Рассмотреть для каждого п > 0 множество тех точек х £ Е, в которых колеба- колебание со (х; /) функции / меньше 1/п.] *20) Пусть / — гомеоморфизм подпространства А полного метри- метрического пространства Е на подпространство А' полного метрического пространства Е'; показать, что / допускает продолжение / на пересе- пересечение Л некоторого счетного семейство открытых множеств из Е, причем / является гомеоморфизмом В на пересечение В' счетного
УПРАЖНЕНИЯ 125 семейства открытых множеств из Е'. [Применить к / и к обратному гомеоморфизму g упражнение 19.]. •21) а) Пусть (/„) — последовательность непрерывных отображе- отображений топологического пространства Е и совершенно нормальное прост- пространство F (§ 4, упражнение 8) такая, что последонательность (fn (,r)) -1 для каждого х £ Е имеет предел / (х) в F. Покааать, что А ~ f (S) для каждого замкнутого множества S cz F является пересечением счетного семейства открытых множеств. [В F существует убивающая последовательность (Г7П) открытых множеств такая, что S = || Un; п заметит),, что для того, чтобы / (х) £ S, необходимо и достаточно, что- чтобы для каждого целого п > О существовало целое ft ;> 0 такое, что /n+fe (х) ё ^п-] Вывести отсюда, что А — А — тощее множество в Е. б) Вывести из а), что если, кроме того, F мптризуемо и счетного типа, то точки х £ Е, в которых / терпит разрыв, образуют тощее мно- множество. [Показать, что если (Fn) — базис топологии пространства F, — 1 S = F — Vn и_ Ап = / EП), то х необходимо принадлежит одному из множеств Ап — Ап.\ 22) а) Пусть Е — бэровское прострцнгтво, F — метрическое пространство и (/п) -■ последовательность непрерывных отображе- отображений Е в F такая, что последовательность (fn (x)) имеют предел / (х) в F для каждого х б Е. Показать, что точки х £ Е, в которых / терпит разрыв, образуют тощее множество. [Доказать, что для каждого целого п > 0 множество точек х 6 Е, в которых колебание со (х, f) функции / не превышает 1/п, содержит всюду плотное открытое мно- множество; обозначить для этого через Gp множество тех х £ Е, для кото- которых расстояние между/р (х) и /q (х) но превышает 1/2 п. при всех pug таких, что q > р; показать, что объединение тшутренностел всех множеств Gp есть всюду плотное открытое множество.] б) Пусть К — компактный интервал [0, 1] в R; привести пример последовательности ого непрерывных отображений fn в компактное пространство К , для которой Инг /„ (х) = / (х) существует при тг-*-оо всех х £ К, но функция / разрывна в каждой точке из К. •23) Пусть Е — топологическое пространство, F я G — метриче- метрические пространства с расстояниями соотнетственпо d и d' и / — отобра- отображение Е X F в G такое, что у у-* f (х0, у) непрершшо на F для каждого х0 6 Е и а: к-* / (.г, ,у0) непрерывно на Е для каждого //0 6 F. а) Пусть # (ж; Ь, к) для каждого е > 0, каждой точки b £ F и каждой точки х £ Я— верхняя грань чисел а > 0, для которых d (&> !/) < а влечет <f (/ (ж, Ь), / (х, у)) < е. Показать, что функция х i-> £ (х\ Ь, г) полунепрерывна сверху. б) Пусть Е — бэровское пространство; вывести из пункта а) и теоремы 2, что для каждого Ь б К существует множество Sb a E
126 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩИЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 5 с тощим дополненном такое, что функция / непрерывна и точке (а, Ь) для каждого а £ .S'&. 24) Пусть Е и /'' — топологические пространства. Отображение / _ j пространства Е в F на.чыпаотоя приближаемым, если прообраз / (S) каждого пашптутого множества S с: F является приближаемым множеством (упражнение 6). а) Пусть g — отображение Е в F, дли которого существует тощее множество М в Е такое, что сужение g на С Л/ непрерывно; нокалпть, что g приближаемо. И обратно, если топология пространства F обла- обладает счетным базисом. б) Предположим, что F совершенно нормально (§ 4, упражне- упражнение 8). Пусть (/„) — последовательность приближаемых отображений Е в F, для которой lim fn {х) = / (х) сущестиует при каждом х С Е. Показать, что / приближаемо. [Рассуждать, как п упражнении 21а).) 25) Пусть В — открытое отпошмшо шннтплснтности в топологи- топологическом пространстве Е. Показать, что если Е неистощимое простран- пространство (упражнение 7) (соотв., баронское пространство, совершенно неистощимое пространство (упражнение 12)), то Elli — неистощимое1 (соотв. бэровское, совершенно неистощимое) пространство. *2G) Пусть Е — метрипуемое локально компактное пространство, d — расстояние, согласующееся с его топологией, и Л — замкнутое- отношение эквивалентности в Е такое, что всякий класс аквивалент- ности по R компактен. Как известно, тогда E/R локально компактно (гл. I, 2-е изд., § 10, упражнение 19, и предложение 17; 3-е и.!д-1 § W, теорема 1 л предложение 9) и метризуемо (§ 4, упражнение 24). а) Для каждой пары элементов u, v из E/R положим р(и, w)= sup d(x, qj(i>)), гдо ф _ капоплческое отображениеЕна/?//?, и для каждого и g Elli пусть ) = lim sup р(и, v). Показать, что X полунепрерывно сверху на EIR н что для каждого а > 0 множество тох и £ EIR, для которых X (и) > а, разрежении. [Показать, что в протпшюм случае существовало бы компактное мно- множество К в Е, содержащее бесконечную последовательность (хп) точек, для которой d (хт, хп) > а/2 при т =/■■ п.) б) Вывести из а), что в EIR существует всюду плотное множест- множество М, являющееся пересечением счетного семейства открытых мно- -1 жеств и такое, что для каждого х £ ф (М) образ относительно <р всякой окрестности точки х в Е является окрестностью точки ф (х) в Elli. [Использовать теорему 1.]
УПРАЖНЕНИЯ 127 *27) а) Пусть G — топологическая группа и А — ег приближаемое- подмножество (упражнение 6). Показать, что гели Л но тощре, то Л А'1 — окрестность нейтрального элемента в G. [Заметить сначала,, что в силу упражнения 3 С— бэровгкоп пространство. Пусть А* — объединение открытых множеств V с G, для которых U {] СА — то- щее мвожестно. Показать, что А* но пусто и что если х Q G тпково,. что хА* П А* Ф 0, то хА [\ А Ф 0. Заключить, что А А'1 :=>• zdA* U*)-1.] б) Нывссти из а), что доступная подгруппа топологической груп- группы G либо тощая, либо открыта (и замкнута). В частности, счетная топологическая группа, являющаяся отделимым бзропсклм простран- пространством, дискретна. в) Показать, что и топологической, группе II существуют под- подгруппы 11 тикпе, • что В/7/ счетно-бесконечно. I Использовать базис Хамсля-] Всякая такая подгруппа всюду плотная, не тощая и не- приближаемая.] г) Пусть G — метрнзуемая топологическая группа, припая и левая, равномерные структуры которой совпадают. Показать, что если на С существует согласующееся с топологией расстояние, превращающее G в полное метрическое пространство, то G — полная аюгрииуемая группа. [Использовать б), упражнение 2 § 3 и упражнение 24 § 2.], *28) Пусть G и G' — топологические группы. Показать, что вся- всякое непрерывное представление / группы G на G' является гомеомор- гомеоморфизмом в каждом из следующих двух случаев: а) G локально компактна и счетна в бесконечности, a G' неисто- неистощима. [Показать, что в G существует относительно компактное откры- открытое множество U, для которого внутренность множества f (U) не- непуста; вывести отсюда, что для каждой компактной окрестности V нейтрального элемента внутренность множества / (V) не пуста, и при- применить затем упражнение 16 § 2, гл. III 2-го изд._ (З-о изд., § 2, уп- упражнение 18).] б) G полна и ее топология обладает счетным базисом *), а С неис- неистощима. [Используя то, что G есть объединение последооателыгоста множеств вида snU для венкой окрестности U нейтрального алемен- та е, показать, что для каждого открытого множества А с G сущест- существует открытое множество А'а С, содержащее / {А) и такое, что» / {А) плотно в Л'. Рассмотреть ватем фундаментальную систему (Un) симметричных окрестностей момента е в С таких, что Ufm cz Vn% и показать, что / (Up) содержит открытое множество t/p+1; для этого, взять точку а' б Up+l и построить по индукции последовательность. ♦) Если G не обладает счетным базисом, то предложение неверно, как- мокаш.гоает пример, в котором С есть группа R, наделенная топологией числоиой прямой, G — группа 11, наделенная дискретной топологией, и / — тождественное отображение G на С.
28 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 6 (Ьп) точек из G такую, что Ьп £ Up+n и / F46г . . .Ъп) стремится к а'; заметить, что если х 6 U^, го существует у £ ^а такое, что / (у) 6 29) Пусть G — локально компактная группа, счетная в бесконеч- бесконечности, или полнпя метризуемая группа, топология которой обладает счетным базисом. Пусть Я — ламкиутшЧ яормалыши делитель и А — замкнутая подгруппа группы G. Для того чтобы факторгруппа А/{А A И) была изоморфна АIIIII, необходимо и достаточно, чтобы АН было замкпутои подгруппой группы С. [Чтобы убедиться в необ- необходимости условия, заметить, что в силу упражпсвия 13 § 2 гл. III 2-го изд. C-е изд., § 4, предложение 13) и предложения 4 § 3 гл. IX, группа А /(А (] II) полна; чтобы убедиться п достаточности уел опия, воспользоваться упражнением 28.] *30) Пусть G — группа и d — расстояние па G такое, что при •определяемой им в G топологии 3" отображения у t-*- x$i и у >-* ухп группы G в себя непрерывны для каисдого ха £ G. а) Показать, что если G полна в топологии 3", то отображение ix, у) >-* хц непрерывно на G X G. [Использовать упражнение 23.] б) Пусть, кроме того, ЗГ обладает счетным базисом. Показать, что тогда отображение и-> х~х непрерывно на G, т. с, иначе говоря, что топология .9" согласуется с заданной н G структурой группы. "(Рассмотреть в группе G X G, наделенной произведением топологии 3" на себя, множество F точек (х, ж), где х пробегает G; F замкнуто в б X С и закон композиции (х, х'1) (у, у~х) — (ху, ;/~1а:) определяет в F структуру группы; используя а), показать, что топология, инду- индуцируемая в F из G X G, согласуется с этой структурой группы. Рас- Рассуждая, как в упражнепии 286), доказать затем, что проекция F на G взаимно непрерывна.] § 6. Польские пространства: суслинские пространства; борелевские множества 1. Польские пространства Определение 1. Топологическое пространство Е назы- называется польским, если оно метризуемо, счетного типа (§ 2, п° 8) и на Е существует расстояние, согласующееся с его топологией, при котором Е полно. Предложение 1. а) Всякое замкнутое подпространство польского пространства есть польское пространство. б) Произведение счетного семейства польских пространств есть польское пространство.
/ СУСЛИНСКИЕ llPOCTPAHCTBAl БОРГСЛКВСЮШ МНОЖЕСТВА 129 в) Сумма счетного семейства польских пространств есть польское пространство. В самом деле, всякое подпространство метризуемого про- пространства счетного типа есть метризуемоо пространство счетного типа и каждое замкнутоо подпространство полного пространства полно (гл. II, 2-е изд., § 3, предложение 0; 3-е изд., § 3, предло- предложение 8). Произведение всякого счетного семейства метризуемых пространств счетного тина есть метризуомое пространство счетного типа (§ 2, п° 8) и произведение всякого счетного семейства полных метрических пространств есть полное метрическое пространство относительно некоторого расстояния, согласующегося с его топо- топологией (гл. II, 2-е изд., § 5, предложение 4 C-е изд., § 3, предло- предложение 10) и гл. IX, § 2, следствие 2 теоромы i). Пусть, наконец, (Еп) — последовательность непустых польских пространств; рас- рассмотрим пространство F = N х Ц#п> где N наделено дискрот- п ной топологией; согласно предыдущему F — польское простран- пространство. С другой стороны, сопоставим каждому п точку ап из Еп, и пусть /„ — отображение Еп в F такое, что для каждого х £ Еп fn (х) = (я, (цр)), где yv = ар при р Ф п и уп — х. Ясно, что отображение / суммы Е пространств Еп в F, совпадающее с /„ па Еп для каждого п, ость гомеоморфизм Е па / (Е); кроме того, /„ (Еп) замкнуто в F при любом п, а семейство (/п (Еп)) локально конечно, поскольку" N дискретно; отсюда вытекает, что / (Е) =- — М /п (Еп) замкнуто в F (§ 4, лемма 2) и, следовательно, / (Е) и а силу а) есть польское пространство. Предложение 2. Всякое открытое подпространство польского пространства есть польское пространство. Пусть Е — польское пространство, d — расстояние, согла- согласующееся с его топологией, и U — открытое множество в Е, отличное от Е. Пусть V — множество в R X Е, состоящее из тех точек (t, х), для которых id (х, Е— U) = 1; подпространство V про- пространства R X Е замкнуто (§ 2, предложение 3) и, следовательно, польское (предложение 1). Поскольку сужение на V проекции рг2 произведения R X Е на Е есть гомеоморфизм V на U (§ 2, предло- предложение 3), U ость польское подпространство. '•' Н. БурПвки
130 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 6 Следствие. Всякое локально компактное метризусмое и счет- счетное в бесконечности пространство является польским. В самом деле, пусть Е', — компактное пространство, получае- получаемое присоединением к Е бесконечно удаленной точки; как извест- известно, £" метрнзуемо и счетного типа (§ 2, слодствио предложе- предложения 16), а с другой стороны, Е' полно в своей единственной равномерной структуре (гл. II, § 4, теорема 1); таким образом, Е' — польское пространство, и то же верно для Е, как открыто- открытого подпространства пространства Е'. Предложение 3. Пусть Е — отделимое топологическое пространство; пересечение последовательности (Ап) его польских подпространств есть польское пространство. Пусть / — диагональное отображение Е в Fs (Teop. множ., гл. II, § 5, г»0 3; напомним, что / (х) = (уп), где уп = х для всех п); мы воспользуемся следующей леммой: Лемма 1. Пусть (Ап) — последовательность подмножеств отделимого топологического пространства Е; сужение диагональ- диагонального отображения /: Е —*■ Ё"* на подпространство {\ Ап про- странства Е есть гомеоморфизм пространства f] Апна замкнутое п подпространство произведения Jj4n. п В самом деле, отот образ есть пересечение Ц-4„ с диагональю п Д s= / (Е), которая замкнута в EN, поскольку Е отделимо (гл. I, 2-е изд., § 8, следствие 1 предложения 6; 3-е изд., § 8, предложе- предложение 2), а с другой стороны, / есть гомеоморфизм Е на А. В условиях предложения 3 Ц-^п есть польское пространство (предложение 1), и потому f^ An, в силу леммы 1 и предложе- п ния 1,— его польское подпространство. Следствие. Пространство всех иррациональных чисел, на- наделенное топологией, индуцированной топологией числовой пря- прямой R, является польским.
I СУСЛИНСКИЕ ПРОСТРАНСТВА; БОРЕЛЕВГКИК МНОЖКСТВА 131 В самом деле, оно является пересечением счетного семейства открытых множеств в R, а именно дополнений множеств, сводя- сводящихся к одной рациональной точке. Теорема \. Для того чтобы подпространство F польского пространства Е было польским, необходимо и достаточно, чтобы F шло пересечением счетного семейства открытых мпожестп в Е* Достаточность условия сразу следует из предложений 2 и 3. Докажем его необходимость. Пусть d — расстояние, согласующее- согласующееся с топологией пространства F и превращающее его в полное метрическое пространство, и /' — замыкание F в Е. Пусть Fn для каждого целого п — множество точек х £ F, обладающих открытой окрестностью U, пересечение U П /'' которой с F имеет диаметр (относительно расстояния d) ^1/гс. Ясно, что Fn открыто в F и содержит F. Пусть х — точка, принадлежащая пересечению вс-ех Fn; x есть точка прикосновения множества F и след на F фильтра ее окрестностей в Е есть фильтр Копти (относительно расстояния d); значит, этот фильтр сходится к некоторой точке на F и, следовательно, х 6 F; другими словами, F = {] Fn. п Пусть Нп для каждого п есть открытое множество в Е такое, что Нц П F = Fn; с другой стороны, пусть (Um) — последователь- последовательность открытых множеств в Е такая, что F = f] Um (§ 2, предло- т желие 7); тогда F есть пересечение счетного семейства (Нп f| Um) открытых множеств. Следствии 1. Для того чтобы пространство Е было поль- польским, необходимо и достаточно, чтобы Е было гомеоморфно пере- пересечению счетного семейства открытых подмножеств куба Is (гдо / — интервал [0, 1] из R). Достаточность условия очевидна; оно необходимо, ибо всякое мотризуомое пространство счетного типа гомеоморфно подпро- подпространству куба /N (§ 2, предложение 12). Следствие 2. Пусть Е и F — польские пространства •- i it / — непрерывное отображение Е в F. Прообраз f (G) всякого
132 ВЕЩЕСТВЕННЫЙ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § f, польского подпространства G пространства F есть польское под- подпространство в Е. В самом дело, G — ["| Gn, где Gn — открытые множества в F; п -1 -*-t ~t отсюда / (G) — I I / F'„), где / (Gn) — открытые множества n E. #. Суслиискис пространства Определение 2. Топологическое пространство Е назы- называется суслинским, если оно мепгризуемо и существуют полжкое пространство Р и непрерывное отображение Р па Е. Множество А в топологическом пространстве Е называется суслинским, если подпространство А суслинское. Яспо, что всякое польское пространство — суслипское и что образ суслинского пространства Е относительно непрерывного отображения Е в метризуемое пространство F есть суслинское пространство. Предложение А. Всякое суслинское пространство Е есть пространство счетного типа. В самом доле, пусть Р — польское пространство и / — непре- непрерывное отображение Р на Е; образ всюду плотного счетного мно- множества из Р относительно / есть всюду плотное счетпое множе- множество в Е. Предложение 5. Всякое замкнутое (соответственно от- открытое) подпространство суслинского пространства Е есть суслин- суслинское пространство. В самом деле, пусть / — непрерывное отображение польского пространства Р на Е\ тогда прообраз относительно / .замкнутого (соответственно открытого) множества из Е ость замкнутое (соот- (соответственно открытое) множество в Р, и потому польское подпро- подпространство (предложения 1 и 2). Предложение 6. Пусть Е — суслинское пространство и f — его непрерывное отображение в отделимое пространство F. Прообраз относительно f всякого суслинского подпространства А пространства F есть суслипское подпространство пространства Е;
■> СУСЛИНСКИЕ ПРОСТРАНСТВА; ВОРЕЛЕВСКИЕ МНОЖЕСТВА 133 В самом доле, пусть Р и Q — польские пространства, g — непрерывное отображение Р на Е и h — непрерывное* отображе- отображение Q на А. Пусть R — множество тех точек (х, у) £ Р X Q, для которых / (g (х)) —-• h (у); R замкнуто в Р X Q и иотому является польским подпространством (предложение- 1). Пусть <р — суже- -1 иие на R проекции ргь тогда подпространство / (Л) простран- пространства Е есть образ R относительно непрерывного отображения go ф н, следовательно,— суслинское пространство. Предложение 7. Произведение и сумма счетного семей- семейства суслииских пространств являются суслинскими прострап- етоами. В самом деле, пусть для каждого целого п Еп — мотризуемое пространство, Рп — польское пространство и /„ — непрерывное отображение Рп на Еп. Произведение (соотв. сумма) пространств /'„ есть польское пространство (предложение 1), а образ этого пространства относительно произведения отображений /„ (соотв. отображения, совпадающего с /„ на каждом Рп) есть произведение (соотв. сумма) пространств Ёп и, значит, будучи метризуемьш, — суслинское пространство. Предложение 8. Объединение и пересечение всякой после- последовательности (Ап) суслинских подпространств метризуемого про- пространства Е являются суслинскими подпространствами. В самом деле, эти подпространства метрпзуемы. Существование канонического отображения суммы пространств Ап на подпро- подпространство М Ап пространства Е показывает, что это последнее — п суслинское (предложение 7); с другой стороны, ["| Ап — суслин- п скос в силу предложений 5 и 7 и леммы 1. В общем случае дпже в польском прострмистпо дополнение к сус- линскому подпространству может не быть суслппекцм (см. упраж- упражнение G); см., одипко, в па 0 следстние теоремы 2. IIpi-щложкник 9. Для каждого относительно компактно' го суслинского подпространства А метризуемого пространства Е существуют компактное метризцемое пространсто К, убывающая последовательность (Вп) его подмножеств, каждое из который
134 ВВЩВСТВЕННЫВ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 6 есть объединение счетного семейства компактных множеств, и непрерывное отображение f пространства К в Е такие, что Заменяя Е на А, можем считать, что Е компактно и А всюду плотно в Е. Поскольку А — суслинское, существуют польское пространство Р и ого непрерывное отображение g в Е такие, что g (/') = А. По следствию 1 теоремы 1 можно предполагать, что Р есть пересечение убывающей последовательности (£/„) открытых подмножеств куба /N. Возьмем в качестве К пространство /N X Е; оно компактно и метризуемо (§ 2, следствие 2 теоремы 1). Пусть G cz Р X Е — график отображения g и G — его замыкание в К; обозначим через / каноническую проекцию пространства К — = /N X Е на Е. Очевидно, / (G) — А. Так как g непрерывно, то G замкнуто в Р X Е (гл. I, 2-е изд., § 8, следствие 2 предложе- предложения 6; 3-е изд., § 8, следствие 2 предложения 8), так что G = = G П (Р X Е) (гл. I, § 3, предложение 1) и, следовательно, G = f) Вп, где Бп = G■ fl {Un X Е}. Так как каждое Un есть п объединение счетного семейства замкнутых подмножеств куба /N (§ 2, предложение 7), то каждое Вп есть объединение счетного семейства компактных множеств, и предложение доказано. 3. Борелевекие множества Определение 3. Множество £ подмножеств множества А называется телом на А, если выполняются следующие условия: а) дополнение всякого множества из £ принадлежит £; б) пересечение всякого счетного семейства множеств из £ при- принадлежит £. Если £ — тело, то объединение всякого счетного семейства множеств из £ принадлежит £ (ибо дополнение этого объединения есть пересечение множеств из £). Множество s$ (А) всех подмножеств множества А, очевидно, есть тело. Всякое пересечение тел на А есть тело на А. Следова- Следовательно, для каждого подмножества % множества ty (А) существует наименьшее тело, содержащее %; его называют телом, порожден- порожденным множеством %.
;; СУСЛИЫСКИВ ПРОСТРАНСТВА; БОРЕЛЕВСКИБ МНОЖЕСТВА 135 Определение 4. Борелевскими множествами в топологи- топологическим пространстве Е называют элементы тела, порожденного мпижеством всех замкнутых подмножеств пространства Е. Предложение 10. Пусть / — непрерывное отображение топологического пространства Е в топологическое пространство F. Прообраз относительно f всякого борелевского множества из F сеть борелевское множество в Е. В самом деле, пусть % — множество всех подмножеств У -1 пространства F, для которых / (У) — борглевское множество в Е. Ною, что % есть тело, содержащее все замкнутые множества из F; следовательно, Z содержит все борелевские множества из F. Предложение 11. Всякое борелевское подмножество суслин- ского пространства Е является суслинским. В самом деле, пусть £ — множество всех подмножеств X пространства Е, являющихся суслинскими вмосте со своим допол- дополнением СХ; предложение 8 показывает, что £ — тело. Всякое замкнутое множество А в Е принадлежит £, ибо и А и СМ — суслинские множества (предложение 5); следовательно, % содер- содержит все борелевские множества в Е (см. следствие теоремы 2). Следствие. Пусть / — непрерывное отображение суслин- ского пространства Е в метриауемое пространство F. Для каждого борелевского множества В из Е множество f (В) — суслинское. В самом деле, В — суслипское множество, а тогда, по замеча- замечанию, следующему за определением 2, и / (В) — суслипское мно- множество. Замечания. 1) Даже если Е в F — польские пространства, ' вообще говоря, неверно, что образ борелевского множества ип Е при непрерывном отображении Е в F есть борелевское множество и F (см. упражнение 0 и п° 7, следствие теоремы 3). 2) Пусть R — топологическое пространство и F — ого борелесское подмножество. Тогда борелевские подмножества пространства F — не что иное, как те борелевские множестш) и:) Е, которые содержится в F. В самом деле: 1° Сюрелевекне множества из Е, содержащиеся и F, образуют и /" тело, содержащее все его замкнутые, а потому и все. борелрвекие подмножества; 2° множества X с. Е, для которых X П F боролеиекое множество в />', образуют тело, л Е, содержащее псе замк- замкнутые, а потому и нее борелпвскис множества ил Е.
13G ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩВЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 6 4. Талдроблвниыв и луяипские пространства Определение 5. Топологическое пространство называет- называется раздробленным, если оно отделимо и каждая его точка обладает фундаментальной системой открыто-замкнутых окрестностей. Всякое раздробленное пространство вполне несвязно, ибо связ- связная компонента точки х содержится во всех открыто-замкнутых множествах, содержащих х (гл. I, § 11, п° 5), а пересечение всех этих мпожеств сводится к точко х, если Е — раздробленное про- пространство. Обратно, локально компактное вполне истяланое пространство является раздробленным (гл. II, 2-е изд., § h, слодствмо предложения 3; З-о изд., § 4, слодстпио пррдложонля 6); одиоко существуют мстрнзуо- мъгр пполнй ярсш1:шмр пространства, не ямлыющиеся раздробленными (упразккошю Зи)). Всякое подпространство раздробленного пространства есть раздроблошюе пространство; всякое произведение (соответственно сумма) раздробленных, пространств есть раздробленное простран- пространство. Определение 6. . Топологическое пространство Е назы- называется лузинским, если оно метризуемо и является биективным непрерывным образом некоторого раздробленного польского про- пространства Р. Ясно, что всякое лузинское пространство является суслинским. Предложкние 12. Для того чтобы метрику емое про- пространство было лузинским, необходимо и достаточно, чтобы оно было биективным непрерывным образом некоторого польского пространства. Необходимость условия очевидна, и остается доказать его достаточности. Если / — биективное непрерывное отображение лу.'шпекого пространства Е на мотризуемоо пространство F, то, как следует из определения О, F — лузипскоо пространство. Таким образом, всо сводится к доказательству того, что всякое польское пространство является лузинским. Заметим прежде всего, что всякое замкнутое (соотв. открытой) подпространство А лузпнекого пространства Е есть лузинское
4 . СУСЛИНСКИЕ ПРОСТРАНСТВА; БОРКЛИВС.КИК МНОЖЕСТВА 137 пространство (см. теорему 3); в самом долю, если / — биективное непрерывное отображение раздробленного польского простран- -1 стпа Г на Е, то / {А) замкнуто (соотв. открыто) в Р п, значит (предложения 1 и 2), является раздробленным польским подпро- подпространством, чом наше утверждение и доказано. Произведение всякого счетного семейства лузинских про- пространств есть лузштекое пространство; это вытекает из предложе- предложения 1 и того, что всякоо произведение раздробленных пространств есть раздробленное пространство. Пересечение всякого счетного семейства лузинских подпространств отделимого топологического пространства есть лузинское подпространство; это сразу следует из предыдущих замечаний и леммы 1. Кроме того: Лемма 2. Если метризуемое пространство Е допускает счетное разбиение (Ап), состоящее т лузинских подпространств, то Е — лузинское пространство. В самом доле, пусть для каждого целого п Рп есть раздроблен- раздробленное польское пространство, а /„ — непрерывная биекдия Рп па Ап; сумма Р пространств Рп есть польское (предложение 1) раздробленное пространство, а его отображение/ в Е, совпадающее с /п на каждом Рп, является непрерывной биокцией Р на Е, чом лемма и доказана.' Установив это, покажем прежде всего, что интервал 7= [0, 1], из R есть лузипское пространство. Пусть / — его подпространство, образованное всоми иррациональными точками; / — польское пространство (следствие предложения 3); с другой стороны, J — раздробленное пространство, ибо для каждой точки х из .7 следы и а / интервалов из R вида ]r, s\, гдо г us рациональны nr<i< я, образуют фундаментальную систему открыто-замкнутых окрестно- окрестностей точки х в / (поскольку следы на / интервалов ]r, ,s| п [г, я] совпадают). По J и множества, сводящиеся к одной рациональной точке, образуют счетное разбиение интервала 7, и потому шиле утверждение вытекает из леммы 2. Пусть, наконец, Р — произвольное польское пространство; по следствию 1 теоремы 1 оно гомеоморфно подпространству ку-
138 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 6 ба /N, являющемуся пересечением счетпого семейства егооткры тых подмножеств; справедливость предложения вытекаот теперь из того, что / — лузинское пространство, и замечаний, сделанных в начале доказательства. 5. Решето Определение 7. Решет.ом называют последовательность С = (Сп, рп)П;о, где Сп при любом п есть не более чем счет- счетное множество, а рп — сюръективное отображение Сп+г на Сп Для каждой пары т, п целых чисел таких, что 0 ^ т ^ п обозначим через ртП тождественное отображение Ст на себя, если т = п, и сюръективное отображение pm°pm+i° • • • °рп-\ множества Сп на Ст, ослит<м. Ясно, что если m^ln^. q, то pmq=pmn°pnq, и потому можно рассматривать множество L(C), являющееся проективным пределом семейства (С„) относительно се- семейства отображений (ртп)- (Теор. множ., гл. III, § 1, п° 12); тополо- гизируем это множество следующим образом. Каждое Сп наделим дискретной топологией, а ДСП — топологией произведения; L (С) п есть подмножество множества JJ С„, образованное теми последова- п тельностями (с„), в которых. сп = рп (сп+]) для каждого п, и мы наделим его топологией, индуцированной из ЦСП. Ясно, п что L (С) замкнуто в пространстве JJ Сп; отсюда сразу вытекает, ■ п что L (С) — раздробленное польское пространство (п° 4); мы будом называть L (С) топологическим пространством, ассоциированным с решетом С. Просеиванием метрического пространства Е называют задание решета С = (С„, рп) и для каждого целого п ^ 0 отображе- отображения ф„ множества Сп в множество всех непустых замкнутых множеств диаметра ^2"" из Е, удовлетворяющее следующим условиям: а) Е является объединением всех ср0 (с), когда с пробегает Со;
Г, СУСЛИНСКИВ ПРОСТРАНСТВА; БОРЕЛЕВСКИЕ МНОЖЕСТВА 139 б) ф„ (с) при каждом п и каждом с £Сп есть объединение всех -1 Фл-ri (О, где с' пробегает рп (с). Просеивание называется строгим, если, кроме того, для каждо- каждого п множества фп (с), где с пробегает Сп, попарно не пересекаются. Лвмма 3. Всякое метрическое пространство Е счетного типа допускает просеивание. Если, кроме того, Е раздробленно, то оно допускает строгое просеивание. Заметим сначала, что если F — метрическое пространство счетного типа и е — число >0, то существует счетное покрытие пространства F множествами диаметра ^е (§ 2, предложение 13). Если, кроме того, F раздробленно, то существует покрытие (Vn) указанного типа, состоящее из открыто-замкнутых множеств; обозначив через Wn пересечение Vn с {} (F — Vh), видим, что Wn замкнуты, имеют диаметр ^е, попарно не пересекаются и покрывают Е. Во всех случаях замыкания непустых множеств рассматриваемого покрытия образуют счетное покрытие про- пространства F, элементами которого являются непустые замкнутые множества диаметра ^е. Пусть теперь Е — метрическое пространство счетного типа. Пусть Со — множество индексов счетного покрытия простран- пространства Е, состоящего из непустых замкнутых множеств диаметра ^1, попарно непересекающихся, если Е раздробленно, и ф0 — отображение, сопоставляющее каждому ипдексу с £ Со соответ- соответствующее множество покрытия. Предположим, чтоСг, ф; и сюръек- тивные отображения pt: Ct -*■ Cf_! уже определены для всех i < п так, что для зтих индексов выполнено условие б). Если с £ С„, то пространство ф„ (с) обладает счетным покрытием не- непустыми замкнутыми множествами диаметра ^2""~1, попарно непересекающимися, если Е (а значит, и фп (с)) раздробленное; пусть / (с) — множество индексов ятого покрытия; примем за Сп+1 сумму множеств / (с), где с пробегает Сп; для каждого с' £ Сп+1 обозначим через рн (с1) элемент с £ Сп, для которого с' £ I (с), а через фп+1 (с') — множество с индексом с/ рассматриваемого покрытия пространства ф„ (с). Яспо, что таким путем по индукции определится просеивание пространства Е, строгое, если Е раз- раздробленное, и лемма доказана.
140 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 6 Предположим теперь, что Е — полное метрическое простран- пространство счетного типа, и рассмотрим просоивание Е посредством решета С и отображений сри. Если у — (с„) — точка пространстиа L (с), ассоциированного с С, то (срп (с„)) — убывающая последова- последовательность замкнутых множеств в Е, диаметр которых стремится к 0; пересечение этой последовательности множеств сводитат, следовательно, к одной точно, которую мы обозначим / (у). Тем самым мы определили отображение / пространства L (С) в Е; ясно, что если точки у и у' из L (С) имеют одни и те же координа- координаты с ипдексом I для всех i ^ п, то расстояние между / (у) и / (у') не превосходит 2~п; аначит, в силу определения топологии в L (С), / непрерывно. Из определения просеивания вытекает, что для каж- каждого х £ Е индукцией но п можно опредолить последовательность у — (сп) так, чтобы х 6 ср„ (с„) для всех в>0ис„ = р„ {сп+1); следовательно, х — / (у), т. о. / сюръективпо. Кроме того, если просоивание строгое, то последовательность у — (с„), для кото- которой х = f (у), единственна, так что / биективно. Мы будем назы- называть / отображением, порожденным рассматриваемым просеива- просеиванием. Предложение 13. Для каждого лушнекого (соотв. суслим- ского) пространства Е существуют решето С и непрерывное биек- биективное (соотв. сюръективное) отображение L (С) на Е. В силу определения 6 лузинского (соотв. определения 2 суслин- ского) пространства вопрос сводится к случаю, когда Е является раздроблонпмм польским (соотв. польским) пространством, и пре- предыдущее рассужденио приводит тогда к предложению 13. 6'. Отделение cyciuncuux множеств Теорема 2. Для' каокдой последовательности (Е„) попарно непересекающихся суслинских подпространств метризуемого про- пространства Е существует последовательность (Вп) его попарно непересекающихся борелевских множеств, такая, что Еп а Вп для каждого п. Установим предварительно две леммы. Лемма 4. Пусть (Ап) и (А'т) — последовательности под- подмножеств топологического пространства Е. Предположим, что для каждой пары (Ап, А'т) существует борелевское множество Впт
С, СУСЛИНСКИЕ ПРОСТРАНСТВА; БОРЕЛЕВСКИК МНОЖЕСТВА 141 в Е такое, что Впт zd АпиВпт П А'т = 0 • Тогда в Е существует борелевское множество В, содержащее \\Ап и не пересекающееся п с \jA-m. т В самом доле, требуемым свойством обладает множество Лемма 5. Пусть Е — отделимое пространство и А, А' — его суслинские подпространства, не имеющие общих точек. Тогда в Е существует борелевское множество В такое, что В zd A и В П А' -0. В самом деле, и силу предложения 13 существуют два решета С, С, непрерывное отображение / пространства L (С) на А и непре- непрерывное отображение /' пространства L (С) на А', определенные способом, описанным в п° 5. Пусть оп (с) для каждого п^ О и каждого с 6 Сп означает подпространство пространства L (С), образованное всеми последовательностями (£&)й>о> у которых с„ — с. Это — замкнутое подпространство в L (С). Для каждого У -- (сп) 6 L (С) последовательность замкнутых множеств qn (cn) убывает и образует базис фильтра, имеющего своим пределом у. Кроме того, для каждого с £Сп множества qn+i (d), где d пробегает -1 множество рп (с) в. Сп+1, образуют разбиение пространства qn (с). Аналогичные обозначения введем для решета С". Будем теперь рассуждать от противного, предполагая, что всякое борелевское множество, содержащее А, пересекается с А'. Прежде всего, из леммы 4 и определения просеивания вытекает существование таких с0 £ Со и с'о £ С'о, что всякое борелевское множество, содержащее / (q0 (с0)), поресекается с /' (q', (с'„)). При- Применив тогда индукцию но п, определим.элементы у ~ (с„) £ L (С) и у' ~ (с'п) £ L (С) следующим образом: пусть с( и с\ уже опреде- определены для всех i < п так, что для каждого i<Cn всякое борелевское множество, содержащее / (qt (ct)), пересекается с /' (q\ {c\))\ при- применяя лемму 4 и определение просеивания к множествам / (<7n-i (cn-i)) и f {q'n-\ (c'n-i)), видим, что существуют сп 6 С\ и с'„ 6 С'п такие, что рп_у (сп) = сп_1, рп„ц {с'п) --=-■ с'п„{ и каждое борелевское множество, содержащее / (г/„ (с,,)), пересекается
142 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОВЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 6 с /' (q'n (с'»)). Но последовательность / (qn (с„)) сходится к точке а == / (у) £ А 1 а последовательность /' {q'n (с'п)) — к точке а' = — /' (y') 6 -4'- Поскольку Л О А' — 0 vt E отделимо, существует замкпутая окрестность V точки а, не содержащая а'; для достаточ- достаточно большого п она содержит / (qn (сп)) и не пересекается с /' (q'n (c'n)), в противоречие с тем, что F — бороловское множество. Итак, леммы доказаны. Обозначим теперь через Fn для каждого целого п объединение всех множеств Et с индексом i ^= n; Fn — суслинское пространство (предложение 8). В силу леммы 5 для каждого индекса п существует борелевское множество В'п, содер- содержащее Еп и не пересекающееся с Fn. Пусть Вп — пересечение В'п и ^\{Е — В\). Множества Вп борелевские, попарно непоресека- гощиеся и Вп zd Еп для каждого п; теорема 2 тем самым доказана. Следствие. Если конечное или счетное разбиение метри- зуемого пространства образовано суслинскими множествами, то эти множества являются борелевскими. В частности, в метризуе- мом пространстве всякое суслинское множество, имеющее суслин- суслинское дополнение, есть борелевское множество. 7. Лузинскив njjoempaucmea и борелевские множества Теорема 3. Пусть Е — лузинское пространство. Для то- того чтобы его подпространство было лузинским, необходимо и доста- достаточно, чтобы оно было борелевским в Е. Это вытекает из следующих двух лемм: Лемма 6. В лузинском пространстве Е всякое борелевское множество есть лузинское подпространство. Пусть % — множество всех подмножеств А пространства Е, которые вместе со своим дополнением СМ являются лузинскими подпространствами. Поскольку все замкнутые и все открытые множества в Е являются лузипскими подпространствами (п° 4), £ содержит все вамкнутые множества из Е. Следовательно, лемма будет докавана, если мы установим, что £ — тело. Для этого достаточно показать, что для каждой последовательности {Ап) множеств из £ подпро-
7 СУСЛИНСКИЕ ПРОСТРАНСТВА; ВОРЕЛЕВСКИК МНОЖЕСТВА 143 странства f\An и ^^„пространства Е — лузинские. Но мы 71 И видели в п°4, что пересечение всякого счетного семейства луэин- ских подпространств есть лузинское подпространство. С другой стороны, из предположения и предыдущего замечания вытекает, что пересечение Вп множеств Ап и f^C^l;—лузинское подпро- странство; а так как Min — М5„, то подпространство М^4П — П П !1 лузинское в силу леммы 2. Лемма 7. 'Всякое лузинское подпространство А метри- зуемого- пространства Е есть борелевское множество в Е. По предложению 13 существуют решето С и непрерывное биек- биективное отображение/ пространства L (С) на А. Пусть в обозначе- обозначениях леммы 5 gn(c) для каждого целого п и каждого с £ Сп означа- означает подпространство / (qn (с)) пространства Е; это есть лузинское и, следовательно, суслинское подпространство пространства Е. Поскольку / биективно, множества gn (с), где с пробегает Сп, попарно не пересекаются; поэтому в силу теоремы 2 существует семейство с *-*■ g'n (с) (с £ Сп) попарно непересекающихся боре- левских множеств в Е таких, что g'n (с) зэ gn (с) для каждого с 6 Сп. Заменяя g'n (с) его пересечением с замыкапием gn (с) мпожества gn (с) в Е, можем предполагать, что g'n (с) a gn (с). Обозначим через £„_!, сп_2, . . ., с0 образы элемента с соответственно и Сп_ц Сп_2, . . ., Со при сюръективных отображениях Рп-1,п = Рп-1, Рп-2,п = Рп-г°Рп-п •••> Ро.п ==Po°Pl°- ■ -оРп-и пусть пп (с) — пересечение множеств gn (с), g-,',_i (cn_!), . . ., g'o (c(t). Так как qt (ct) zd qn (c) @ < i < n — 1), то hn (с) содержит gn (c); кроме того, ясно, что hn (с) — борелевское множество, содержа- содержащееся в gn (с), причем когда с пробегает Сп, множества hn (с) попарно не пересекаются; наконец, по построению hn+1 (с1) с с hn (рп (с')) для каждого с' б Сп+1. Пусть теперь Вп — объеди- объединение всех hn (с) (с б Сп)\ Вп — бореловское множество и Вп+Х а с Вп; кроме того, Вп содержит объединение всех gn (с) (с g Cn),
144 . ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА D ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 6 т. е. множество А. Пусть В — пересечение убывающей последова- последовательности мпожеств Вп\ это — боролевское множество, содержа- содержащее А. Покажем, что В — А, чем и завершится доказательство. Пусть х — точка из В; для каждого целого п существует, и притом единственное, с £ Сп такое, что х £ hn (с); обозначим его через сп (х); тогда последовательность (сп {х))пг-о принадлежит L (С). Убывающая последовательность (gn (cn (х))) по определению сходится к некоторой точке а £ А; последовательность замыканий этих множеств также сходится к а в Е, и то жо тем более имеет место для последовательности (hn (с„ (ж))). Но х принадлежит всем К (сп (х)), следовательно, х == а £ А, и теорема доказана. Следствие. Образ лузииского (в частности, польского) про- пространства Е относительно его инъективного отображения в метризуемое пространство F есть борелевское множество в F. 8. Лорелевские сечения Теорема 4. Пусть Е — польское пространство и R — отношение эквивалентности в Е такое, что классы по R замкнуты в Е, а насыщение по R всякого замкнутого множества есть борелев' ское множество. Тогда в Е существует борелевское множество, пересекающее каждый класс эквивалентности по R в одной и только одной точке. Рассмотрим на Е расстояние, согласующееся с его топологией и превращающее Е в полное метрическое пространство. По лемме 3 существует просеивание пространства Е, определенное решетом С — (Сп, рп) и последовательностью отображений (<рп). Пусть gn (с) для каждого с £Сп означает насыщение замкнутого множе- множества ср„ (с) по R; в силу предположения gn (с) — борелонское множество в Е. Поскольку каждое множество Сп по Солге чем счетно, мы можем наделить его отношением совершенного порядка, при ко- котором для каждого задаппого элемента множество всех элементов, меньших, чем он, конечно. Индукцией по п определим для каждо- каждого с £ Сп множество hn (с) следующим образом. Прежде всего, для с £ 6'0 пусть /г„ (с) есть пересечение <р0 (с) и всех множеств Е — So (О, ГД° <•' 6 Со и с' < с. Если с 6 Сп+и то hn+1 (с)
,4 СУСЛИНСКИВ ПРОСТРАНСТВА; БОРЕЛЕВСКИЕ МНОЖЕСТВА 145 пусть будет пересечением ф„+1 (с), hn (pn (с)) и всех множеств Е — gn+1 (с'), где с' g Сп+1, рп (с') = рп (с) и с' < с. Ясно, что «се hn (с) — борелевские множества. Докажем следующее утверждение: для каждого целого п ^ О и каждого класса эквивалентности Н по R существует, и притом единственный, элемент с £ Сп такой, что hn (с) пересекается с //, и тогда К (с) П Н = Ф„ (с) П Я, что является, таким образом, замкнутым множеством. Для п — О рассмотрим наименьший элемент с £ Со такой, что ср0 (с) пересе- иается с //; тогда ф0 (с) П II не пересекается ни с одним из g0 (с'), соответствующих тем с' £ Со, которые <.с, и потому содержится в h0 (с) П Я, а следовательно, совпадает с ним; кроме того, Н cz cz g0 (с), так что множество h0 (с') (~| II для всех с' £ Со, больших чем с, пусто, и утверждение доказано для п = 0. Далее применяем индукцию по п; если существует с £ Сп+1, для которого hn+1 (с) пересекается с Н. то из включения /гп+1 (с) cz hn (pn (с)) и предпо- предположения индукции вытекает, что рп (с) есть единственный элемент d б Сп, для которого hn (d) пересекается с Н. Заметим, что hn (d), содержащееся в ц>п (d), по определению просеивания содержится -1 в объединении всех фп+1 (с), у которых с £ рп (d); поэтому имеется -I наименьший элемент, с £ рп (d), для которого фп+1 (с) пересекается с //. В силу предположения индукции имеем тогда Фп+1 (с)ПЯс Фп (d) П Н = A» (d) П Я. Следовательно, Ф„+1 (с)ПЯс фп+1 (с) П A» (d). и так как, согласно определению, фп+1 {с) П Я не пересекается — 1 ни с одним из множеств gyj+i (с'), у которых с' £ р п (d) и с' < с, то из определения /г„+1 (с) вытекает, что ф„+1 (с) f| Я = hn+i (с) П -1 П Я. Кроме того, Я с gn+1 (с) и, следовательно, если с' б р„ (d) и с' > с, то /г„+1 (с') П Я пусто. Таким образом, наше утверждение доказано для всех п. Пусть теперь Sn для каждого целого п есть объединепие мно- жеств hn (с), где с пробегает С„; 5„ — борелевское множество Юн. Бурбаки
146 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 6 и Sn+1 cz Sn. Пересечение S множеств Sn является борелевским множеством в Е; покажем, что S пересекается с каждым классом эквивалентности // по R в одной и только одной точке. В самом деле, пусть с„ (//) для каждого п — тот единственный элемент с £ Сп, при котором hn (с) пересекается с //; тогда Sn (] Н = — Фп icn {Н)) П Н и S П Н есть пересечение всех ср„ (сп (//)) |~| Н. Так как последовательность (сп (//)) принадлежит L (С), то убы- убывающая последовательность замкнутых множеств ср„ (сп(Н)), диаметр которых стремится к 0, сходится в силу полноты Е к некоторой точке х £ Е. Пересечение замкнутых множеств (рп (сп (#)) Г) Н поэтому сводится к точке х, что и завершает дока- доказательство теоремы 4. Замечание. В частности, отношение эквивалентности R удовлетворяет предположениям теоремы 4, если оно замкнуто. Таким образом, если Е — метризуемое компактное пространство, то теорема 4 применима ко всякому отношению эквивалентности Rt при котором EIR отделимо, поскольку такое R замкнуто (гл. I, § 10, предложение 8). 9. Емкостностъ суслинских множеств Определение 8. Пусть Е — отделимое топологическое пространство. Емкостью на Е называют отображение / мно- множества ^ {Е) всех его подмножеств в расширенную числовую пря- прямую R, удовлетворяющее следующим условиям: (CAi) А <=. В влечет j (А) < / (В). (САц) / (ЦЫм) — SUP / (An) для каждой возрастающей после- дователъности (Ап) множеств из Е. (САш) / (|П Кп) = 1П* / (Кп) ®ля каждой убывающей ?к>сле- п п дователъности (Кп) компактных множеств из Е. Пример ы. "Пусть |л — положительная мора на локально компактном пространство Е\ соответствующая внешняя мера \\,* явля- является тогда емкостью на Е. (См. Интегрирование, гл. IV: определение внешней меры дано в определении 4 § 1; (CAj) вытекает из предло- предложения 16 § 1; (СЛц) — из предложения 17 § 1; (САщ) — из следствия предложения 7 § 4, если принять во внимание, что в силу следствия предложения 10 § 4 всякое компактное множество интегрируемо.
;/ СУСЛИНСКИЕ ПРОСТРАНСТВА; БОРЕЛЕВСКИЕ МНОЖЕСТВА 147 Можно показать, что в пространство Rn, где п > 3, «ньютонов- «ньютоновская внешняя емкость» является емкостью в смысле определения 8.0 Определение 9. Пусть f — емкость на Е; множество А в Е называется емкостным (относительно /), если f (A) = sup / (К), к где К пробегает множество всех компактных подмножеств мно- множества А. "Например, если / есть внешняя мера ц*, то всякое открытое множество емкостно; емкостные множества А, для которых \i* (А) < < Н-оо,—не что иное, как ц-интегрируемыо множества (см. Интег- Интегрирование, гл. IV, § 4, следствия 1 и 4 теоремы 4).о Предложение 14. Пусть К — компактное пространство и / — емкость на К. Пересечение А убывающей последовательности {Лп) множеств из К, каждое из которых является объединением счетного семейства замкнутых множеств, есть емкостное мно- множество. Достаточно показать, что для каждого а < / (А) существует компактное множество С а А такое, что / (С) ^ а. Докажем сна- сначала существование последовательности (Bn)n-^i замкнутых мно- множеств Вп с Ап таких, что, определяя по индукции последователь- последовательность (Сп) условиями Со = А, Сп = Cn_i |~| Вп для п ^ 1, будем иметь / (Сп) > а для каждого п ^ 0. Пусть Bt определены для нсех i < п\ согласно предположению Cn_ic: А а Ап и / (Cn_i) > > а; так как Ап есть объединение возрастающей последователь- последовательности (Dj) замкнутых множеств, то из (САц) вытекает, что ) Поэтому существует индекс ;', для которого / (Сп_х П Dj) > а, и достаточно взять Вп = Dj. Пусть теперь С = {\ Сп; так как А = f^ An и Вп cz An, п п то имеем также С = f^J5n; значит, множество С компактно п и содержится в А. Пусть В'п = £\ Ви так что (В'п) — убывающая i.<n последовательность компактных множеств. Так как Сп а Сг с: с Bt для Кп, то имеем также С„ с: В'п. Поэтому, в силу (САга), / (С) = inf f(B'n), а так как С а Сп а В'п, то также / (С) = п — inf / (Cn) ^ а, и предложение доказано. п 10*
148 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 6 Теорема 5. Относительно компактное суслинское подпро- подпространство F метризуемого пространства Е елкостно относи- относительно любой емкости f на Е. В самом деле, как мы видели (предложение 9), существуют компактное пространство К, убывающая последовательность (Ап) множеств из К, каждое из которых является объединением счетно- счетного семейства компактных множеств, и непрерывное отображение ср пространства if в £, такие, что/1 = ф(^| А п). По предложению 14 п f^ Ап емкостно относительно каждой емкости на К. Поэтому 71 теорема 5 вытекает из следующего предложения: Предложение 15. Пусть ф — непрерывное отображение отде- отделимого пространства К в отделимое пространство Е и f — емкость на Е. Положим g (А) = / (ф (А)) для каждого множества А из К. Тогда g— емкость на К,.и если, кроме того, А емкостно относительно g, то ф (А) емкостно относительно /. Ясно, что g удовлетворяет аксиомам (CAj) и (САп). С другой стороны, пусть (С„) — убывающая последовательность компакт- компактных множеств из К и С = f^Cn; множества ф (Сп) компактны и их пересечением служит ф (С): в самом деле, оно содержит ф (С), -1 и если х £ ф (С„.) для всех п, то множества ф (х) П Сп образуют убывающую последовательность непустых компактных множеств в К и тем самым имеют непустое поресечение. Поэтому / (ф (С)) = = inf / (ф (С„)), т. е. g (С) = inf g (Cn) и, следовательно, g удов- п п летворяет аксиоме (САШ), чем доказано, что g— емкость на К. Пусть теперь А — множество в К, емкостное относительно g; если а < / (ф (А)) = g (А), то существует компактное множество С а А, для которого g (С) ^ а; тогда ф (С) есть компактное множество, содержащееся в ф (А), и / (ф (С)) ^ а. Это доказывает, что ф (А) емкостно относительно /, и завершает доказательство предложения 15 и теоремы 5. Замечание. "Если ц — положительная мера на метризуемом локально компактном пространстве Е, то всякое суслинское множе- множество А с: Е ц-измеримо. В самом деле, К[\А для каждого компактного
УПРАЖНЕНИЯ 149 множества К из Е есть относительно, комцактпое суслинское множе- множество, следовательно, емкостное относительно (i* и, 8начит, ц-интег- рируемое. Отметим, что дополнение в Е к суслинскому множеству, не будучи вообще суслинским, ц-интегрируемо.о Упражнения 1) а) Всякое раздробленное отделимое пространство вполне регу- регулярно. Локально компактные не нормальные пространства, определен- определенные в упражнении 266) § 4 и упражнении 15 § 5, являются раздроб- раздробленными пространствами. б) Топологическое пространство Е называется сильно раздроб- раздробленным, если для каждого замкнутого множества А в Е и каждой его окрестности V существует открыто-замкнутая окрестность множе- множества А, содержащаяся в V. Всякое сильно раздробленное отделимое пространство нормально. Всякое вполне несвязное компактное прост- пространство является сильно раздробленным. Для того чтобы нормальное пространство Е было сильно раздробленным, необходимо и достаточ- достаточно, чтобы его компактификация Стоуна — Чеха Е (§ 1, упражнение 7) была вполне несвязна. [Использовать упражнение 17в) § 4.] в) Пусть Е — сильно раздробленное отделимое пространство и (Un) — возрастающая последовательность непустых открытых мно жеств из Е. Показать, что в Е существует последовательность (Gn) попарно непересекающихся открыто-замкнутых множеств таких, что Gn cz Un для всех и и II <?„ = II Vn. [Определить Gn по индукции.] Бели, кроме того, Е совершенно нормально (§ 4, упражнение 8), то всякое открытое множество в Е является объединением счетного семейства попарно непересекающихся открыто-замкнутых множеств. г) Пусть Е — нормальное пространство, являющееся объедине- объединением последовательности (Ап) своих сильно раздробленных подпрост- подпространств. Показать, что Е — сильно раздробленное пространство. [Пусть В и С — непересекающиеся замкнутые множества в Е. Опре- Определить по индукции возрастающие последовательности (Gn) и (Нп) открытых множеств в Е таких, что <?„ П Чп — 0i An cz @п U Hn я В П Ап a Gn, C[\ Ana Я„.] *2) а) Пусть Е — метризуемое пространство. Показать равно сильность следующих свойств: ос) существует расстояние, согласующееся с топологией прост- пространства Е и превращающее Е в ультраметрическое пространство (§ 2, упражнение 4); Р) Е — сильно раздробленное пространство (упражнение 1);
150 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 6 у) в Е существует последовательность (Я>„) локально конечных семейств открыто-замкнутых множеств такая, что 83=11 й„ ость п базис его топологии в Е. [Чтобы убедиться в том, что а) влечет -Р), заметить, что если F — замкнутое множество в ультраметрическом пространстве Е, то мно- множество тех х £ Е, для которых d (х, F) — р > 0, открыто-замкнуто. Чтобы покапать, что (J) влечет у), использовать лемму 4 § 4 и упраж- упражнение 1в) § 6. Наконец, установление того, что у) влечет а), свести к случаю, когда Wn = (Un, jj^gr, и, обозначив через /n, ^ характеристи- характеристическую функцию множества ?7п,х> рассмотреть отображение ж*-*- •-*■/(*)= (/п.х, (ж)) пространства Е в группу G = IINxL, где # = = Z/B) (отождествленное с множеством @, I}); пусть 6^ для каждого п £ N — подгруппа группы G, состоящая из всех элементов, проекции которых с индексом (к, X) равны нулю для всех X 6 L и всех к < п; показать, что' / — гомеоморфизм пространства Е на подпрост- подпространство группы G, наделенной групповой топологией, для которой (Gn) слунсит фундаментальной системой окрестпостой 0; в заключение заметить, что топология группы G может быть задана инвариантным расстоянием, превращающим G в ультраметрическое пространство.] б) Вывести из а), что всякое раздробленное отделимое простран- пространство Е, обладающее счетным базисом, есть сильно раздробленное метрнзуемое пространство. [Используя предложение 13 § 2, показать, что существует счетный базис, состоящий из открыто-замкнутых множеств.] Кроме того, Е гомеоморфно тогда подпространству кан- торового множества К (см. § 2, упражнение 12) *). 3) а) Показать, что всякое вполне несвязное подпространство пространства R — раздробленное. б) Пусть К — канторово множество; каждое х 6 К записывается 2 единственным образом в виде х= /j—jf— , где (пь))^\ — строго возрас- h 3 * тающая (конечная или бесконечная) последовательность целых чисел >0 (гл. IV, § 8, упражнение 9); положим /(ж) = 2 (—1) /2ft. Пусть h G — график функции / в К X R; показать, что метризуемое простран- пространство G вполне несвя-зно, но не является раздробленным. [Заметить, что пересечение G с прямой {0} X R содержит открытый интервал, содержащий точку @, 0).] 4) Пусть Е — метризуемое пространство. а) Показать, что множество всех борелевских подмножеств прост- пространства Е есть наименьшее подмножество % множества ЩЕ), содер- *) Неизвестно, всякое ли раздробленное' метризуемое пространство является сильно раздробленным.
УПРАЖНЕНИЯ 151 жащее все замкнутые множества из Е и обладающее тем свойством, что объединение и пересечение всякого счетного множества из 5 принадлежит %. [Рассмотреть подмножество © множества 5, обра- образованное теми X^S, для которых Е — X £ 5-1 б) Показать, что множество всех борелевских подмножеств прост- пространства Е есть наименьшее подмножество % множества $ (Е), содер- содержащее все открытые множества из Е и обладающее тем свойством, что пересечение всякого счетного семейства множеств из f?, а также объединение всякой последовательности попарно непересекающихся множеств из % принадлежат ?f. [Тот же метод.] в) Всякое ординальное число а может быть записано, и притом ■единственным образом, в виде а = <вР ~f- п, где п < со (Теор. мно?км гл. III § 2, упражнение 14); а называют четным (соотн. нечетным), осли п четно (соотв. нечетно). Определим с помощью трансфинитной индукции для каждого счетного ординального числа а множества под- подмножеств За (Е) ©а (Е) (или просто 5а> ©а) следующим образом: 5о (соотв. ($0) есть множество всех замкнутых (соотв. открытых) множеств из Е\ если а четно и > 0, то ga (соотв. ©а) есть множество тех мпожеств из Е, которые являются пересечениями (соотв. объеди- объединениями) счетного семейства множеств, принадлежащих II %% (соотв. £<« II ©|); если а нечетно, то За (соотв. ©а) есть множество тех множеств из Е, которые являются объединениями (соотв. пересечениями) счетного семейства мпожеств, принадлежащих М $| (соотв. М Щ).Показать, что объединение всех S}a (соотв. всех @а) есть множество всех борелев- борелевских подмножеств пространства Е. [Использовать а).] Вывести отсю- отсюда, что если Е — счетного типа, то мощность множества всех его борелевских подмножеств не препышает мощности континуума. г) X 6 5а тогда и только тогда, когда СХ 6 ©а- Объединение (соотв. пересечение) всякого кинечного семейства множеств из 3fa (соотв. из &а) принадлежит г$а (соотв. 0а). Справедливы включения Шрименить трансфинитную индукцию.] д) Пусть / — непрерывное отображение пространства Е в мет- рнзуемое пространство F. Показать, что . 7 (Лв (Г)) с ?fe (Е) и / (&а (F)) с ©a (E). с) Если Е \i F — метризуемые пространства, то всякое произве- произведение А X В, где А £ ??„ (Е), В е Эа (Л, (соотв. Л 6 ®а (Я), Д 6 <; ®а (^г)). принадлежит <?a (E X F) (соотв. ©a {E X Л)-
152 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 6 ж) Пусть (Еп) — последовательность мотризуемых пространств. Показать, что если Ап для каждого п — борелевское множество из Еп, то Длп — борелевское множество в Д#п. п п з) Пусть а > 0 — четное (соотв. нечетное) счетное ординальное число и (Ап) — счетное покрытие пространства Е, состоящее из мно- множеств, принадлежащих &а (соотв. %а). Показать, что существует раа- бионие (Вп) пространства Е такое, что Вп а Ап для всех п, причем Вп принадлежат ga f| ®a. [Использовать г).] *5) а) Пусть У — польское пространство NN (где N наделепо дискретной топологией) и Е — мотризуемое пространство счетного типа. Показать, что для каждого счетного ординального числа a существует множество Ga а У X Е такое, что: 1° Ga cz ©a (У X Е) (упражнение 4); 2° для каждого множества U £ &а (Е) существует такое z £ J, что Ga (г) = U. {Рассуждопне можно вести с помощью траисфииитной индукции следующим образом. Пространства У п У1*1 гомеоморфны; пусть /— гомеоморфизм У на yN, fn = рг„о/для каж- каждого целого п и (Ап) — счетный базис пространства Е, содержащий пустое множество. Выбираем б„ так, чтобы Go (z) = II Af ^длякаж- n дого z £ У. Для каждого счетного ординального числа а берем Ga+1 так, чтобы Ga+1 (z) = Q Ga (/„ (г)), если a — четное, и Ga+1 (г) = п = U **а ^п ^' если a ~~ нечетное- Наконец, если а не имеет пред- п шествующего числа и (А,„) ^- возрастающая последовательность орди- ординальных чисел такая, что a = sup Хп. то берем Ga так, чтобы Ga (z) = п = I IG» (/п (г)). Используем непрерывность /„ на У.] П б) Примем, в частности, Е = У. Показать, что множество Pri (Ga П А). гДе Д — диагональ произведения J X J, принадлежит ©а (У), но не принадлежит Sa (У). [Рассуждать от противного, исполь- используя а).] 6) а) Пусть У — польское пространство NN; показать, что для каждого суслинского пространства Е существует сюръектипиос непре- непрерывное отображение У на Е. [Свести к случаю, когда Е — польское, и рассмотреть просеивание пространства Е решетом (Сп), где все Сп бесконечны. J б) Пусть Е — метризуемоо пространство; показать, что для каж- каждого его суслинского подпространства А существует замкнутое мпо- жество F в У X Е такое, что А = рг2 (F). (Использовать а).] в) Пусть Е — метризуемое пространство счетного типа, L — пространство УХ Е и F — замкнутое множество в У X L такое, что
УПРАЖНЕНИЯ 153 для каждого замкнутого множества М из L существует z £ /, для которого F (г) = М (упражнение 5а). Показать, что для каждого суслипского подпространства S пространства Е существует z £ / такое, что рг2 (F (z)) = S. Вывести отсюда, что если Е = /, то множество Т тех «£У, для которых z £ рг2 (F\(z)),— суслинское, но J — Г-не суслинское. [Такое же рассуждение, что и в упражнении 56).] •) 7) а) Показать, что всякое раздробленное польское пространство Е гомеоморфно замкнутому подпространству пространства J = N. [Рассмотреть строгое просеивание пространства Е открыто-замкнуты- открыто-замкнутыми множествами.] б) Пусть Е — раздробленное польское пространство и F — всюду плотпое сто подпространство, не содержащее ппутренних точек и яв- являющееся пересечением счетного семейства открытых множестп в Е. Показать, что F гомеоморфио J. [Заметить, что в раздробленном метризуемом пространстве незамкнутое открытое множество есть объединение счетно-бесконечной последовательности попарно непере- непересекающихся открыто-замкнутых множеств; использовать теорему 1.1 Вывести отсюда, что в R всякое всюду плотное подпространство не имеющее внутренних точок и являющееся пересечением счетного семейства открытых множеств, гомеоморфно J. [Заметить, что такое множество содержится в дополнении всюду плотного счетного мно- множества D из R и что CD — раздробленное.] в) Всякое несчетное раздробленное польское пространство Е допускает разбиение на счетное множество и подпространство, гомео морфное J. [Использовать б) и упражнение 11 § 5.] 8) Пусть Е — суслинское пространство и / — непрерывное отоб- отображение его в отделимое пространство F. Показать, что если / (£)' несчетно, то существует-подпространство А пространства Е, гомео - морфное канторову множеству К (гл. IV, § 2, п° 5), такое, что суже- сужение / на А инъективно. [Свести к случаю, когда Е — полное метри- метрическое пространство. Показать, что существуют решето С — (Сп, рп), где множество Сп для каждого п состоит из 2™ элементов, и для каж- каждого и — отображение ф„ множества Сп в множество всех непустых замкнутых множеств диаметра s^2~n из Е такие, что: 1° фп+1 (с) с а фп (рп (с)) для каждого с 6 Сп+1; 2° для различных элементов с, с' из Сп множества / (фп (с)) и / (ф„ (с')) не пересекаются. Использо- Использовать упражнение И § 5.] В частности, всякое несчетное суслинское- пространство содержит подпространство, гомеоморфное К, и, сле- следовательно, имеет мощность континуума. •) "Можно, показать, что в пространстве $ (/) всех непрерывных число- числовых функций на компактном интервале / с: R, наделенном топологией рав- равномерной сходимости (являющемся польским пространством), множества всех дифференцируемых функций не является суслинским, но имеет суслин- суслинское дополнение (см. S. Mazurkiewicz, Fund. Math., т. XXVII A936), стр. 244).,»
154 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 6 *9) а) Пусть Е — польское пространство и Л — отношение экви- эквивалентности в Е. Показать, что в Е существует множество, являющееся пересечением счетного семейства открытых множеств и пересекаю- пересекающееся с каждым классом эквивалентности по Л в одной, и только одной, точке, коль скоро выполняется одно из следующих двух пред- предположений: а) R замкнуто. [Следовать методу доказательства теоремы 4, используя следующее замечание: если (Gn) — последовательность множеств, каждое из которых есть пересечение счетного семейства открытых множеств, и если для каждого п существует окрестность Vn множества Gn, такая, что семейство (Fn) локально конечно, Tol|Gn п есть пересечение счетного семейстиа открытых множеств.] Р) Е локально компактно и график отношения R замкнут в Е X Е. [Тот же метод с учетом того, что насыщение компактного множества тогда замкнуто; см. гл. I, 2-е изд., § 10, упражнение 14а); 3-е изд., § 10, упражнение 16.] б) Пусть Е — польское пространство, R — открыто-замкнутое отношение эквивалентности в Е и ф — каноническое отображение Е на ElR. Показать, что в Е существует мпожество А, являющееся пересечением счетного семейства открытых множеств и такое, что сужение ср на А есть гомеоморфизм А па ф (Л), причем ф (А) всюду плотно в ElR и является пересечением счетного семейства открытых мпожеств. [В обозначениях доказательства теоремы 4 показать, что для всякого п можно предполагать ф„ (с) определенным так, чтобы объединение внутренностей множеств hn (с) (с £ Сп) имело всюду плотный образ в ElR; использовать а) и теорему 1.] в) Показать, что заключение пункта б) остается в силе, если Е — локально компактное пространство со счетным базисом, a R — зам- замкнутое отношение эквивалентности в Е, всякий класс по которому - компактен. [Свести к случаю б), используя упражнение 26 § 5.] •10) а) Пусть Е— метризуемое пространство и S — его суслинское подпространство. Показать, что множество S приближаемо в Е (§ 5, упражнение 6). [Пусть Р — польское пространство, g — непрерывное отображение Р на S, (Сп, рп, фп)— просеивание пространства Р и / — соответствующее непрерывное отображение L (С) па Р (в обозначе- обозначениях п° 5); положим h = gof и для каждого с £Сп обозначим через <7„ (с) подпространство пространства L (С), образованное всеми после- последовательностями? (cji), у которых с„ = с. Пусть Fn (с) = h (qn (с)), Хп (с) = g (фп (с)) гэ Fn (с) для каждого с 6 Сп; обозначим через Zn (с) такое объединение множества D (Fn (с)) (§ 5, упражнение 3) н неко- некоторого тощего множества в Е, что Fn (с) cz Zn (с) а Хп (с), так что Zn (с) приближаемо в Е. Показать, что г,(«)ПС( U Zn+1(c')) = Yn[(e) Рп(с')="
УПРАЖНЕНИЯ 155 — тощее множество в Е, заметив, что^„ (с) = II Fn+! (с'); с дру- рп(С)=с гой стороны, доказать, что множество Zn (с) — Fn (с) содержится в объе- объединении множеств Ym (d), где т пробегает все целые числа >ге, a d для каждого т — множество всех элементов из Ст таких, что рпт (d) = с. Заключить, что Fn (с) — приближаемое множество.] б) Дать пример непрерывного отображения / интервала / = = [0, 1) в себя и приближаемого множества В а I, для которого / (В) не было бы приближаемым. [Использовать упражнение 166) § 8 гл. IV и показать, что в качестве В можно взятт. подмножество канторова множества К, для которого f (В) — Z обладает свойством," описанным в упражнении 18г) § 5.] *11) Пусть Е = R™ и М — замкнутое множество в Е. Точка х £ М называется линейно достижимой, если в Е — М существует точка у такая, что открытый отрезок с концами х и у содержится в Е — М. Показать, что множество L а М линейно достижимых точек множества М — суслинское. [Пусть d (х, у) — евклидово рас- расстояние на Е и /2 (х, у) = d (х, z) -\- d (z, у) — d (x, у) для каждой точки z 6 Е. Заметить, что в Е X Е X Е множество точек (х, у, z) таких, что х <с М, у £ Е — М, z 6 М, z Ф х и fz (x, у) = 0, есть объеди- объединение счетного семейства компактных множеств и что, следовательно, то же справедливо для его проекции на произведение первых двух сомножителей. 1 12) Пусть Е — метризуемое пространство и / — отображение множества ffi (Е) всех компактных множеств из Е в R, удовлетворяю- удовлетворяющее условиям (CAi) (для двух компактных множеств из Е) и (САш). Для каждого множества А с Е обозначим через fm {А) верхнюю грань значений / (X) для всевозможных компактных подмножеств X мно- множества А и через /• (А) нижнюю грань значений /„ (U) для всевозмож- всевозможных открытых множеств U, содержащих А. Будем говорить, что А допустимо для /, если /» (А) — /* (А). а) Показать, что для каждого компактного множества К из Е w каждого е > 0 существует открытое множество U :э К, обладаю- обладающее тем свойством, что для всех компактных множеств X из £ таких, что К а X a U, имеет место неравенство / (X) < / (К) + е. [Рассуждать от противного.] Вывести отсюда, что всякое компактное и всякое открытое множество в Е допустимо для /. б) Предположим, что / удовлетворяет следующему условию: (AL) Для всякой пары компактных множеств К, К' из Е имеет место неравенство / (К U К') + f (К П К') < / (К) + / (К').
156 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 6 Показать, что если (К^ —• конечное семейство компактных мно- множеств такое, что / (II К $ < +°°, и (К [) — второе копечаое семей - г ство компактных множеств с тем же множеством ипдексов, такое, что К\ a Ki и / (К\) > — оо для каждого t, то Пусть (А^ и (Bi) — конечные семейства множеств из Е с одним и тем же множеством индексов такио, что В( a Ai для всех i, /* (II A j) < i < +00 и /* (Bj) > — оо для каждого i. Показать, что если / удов- удовлетворяет условию (AL), то '*(Ai)-f(Bi)). [Свести к случаю, когда множество индексов состоит из двух элемен- элементов. Рассмотреть сначала случай, когда А{ и Bi открыты, и исполь- использовать следующую лемму: если t/j и U2 — открытые множества и К — компактное множество такое, что К cz t/j U Uit то существуют ком- компактные множества Кг cz U^ и Кга U2 такие, что К а Кг (J Kt.\ в) Предположим, что / удовлетворяет условию (AL). Показать, что /* (II Ап) = sup /• (Ап) для всякой возрастающей последова- п п тельности (Ап) множеств из Е таких, что /* (Ап) > —ор. [Исполь- [Использовать б).] Вывести отсюда, что если / не принимает на ffi (E) значе- значения — оо, то /♦ есть емкость на Е. г) Предположим, что / удовлетворяет условию (AL). Показать, что объединение всякой последовательности (Ап) допустимых мно- множеств таких, что /• (Ап) > —оо, есть допустимое множество. [Исполь- [Использовать б) и в).] °13) Пусть К — компактное множество в R2. Для каждого вещест- вещественного числа у обозначим через 6х {К, у) и 62 [К, у) диаметры пересечений К соответственно с @, -foo [ X {;/}и1 —оо,01х {у} Показать, что функции у ^-*■ Ьх (К, у) и у t—»■ 62 {К, у) полунепре- полунепрерывны сверху. Пусть ф — непрерывное возрастающее отображение интервала [0, +оо) в себя такое, что ф @) = 1 и ф (+оо) = 2; положим , и)Ь№, у)) и /(Я)- j РЫК) Показать, что / удовлетворяет условиям (CAi) и (САш) и что / (К U К') <! / (К) + / (К1) для всякой пары компактных мпожеств
УПРАЖНЕНИЯ 157 К, К' из R2. Но для замкнутого множества А, определяемого неравен- неравенствами х > 0 и 0 < у < 1, /, (А) — 1, а /♦ (А) = 2.0 14) Пусть Е — метризуемое пространство и / — емкость на Е такая, что f(A U В) < / (А) + f (В). а) D обозначениях упражнения 12 показать, что для произволь- произвольных множеств А, В из Е имеют место неравенства /* (A U В) < /• U) + /* (В), U (A U В) < /„ (X) + /* (Я)- [Рассматривая компактные множества К а А [} В и открытые мно жества U ■=> В, представить К в виде К — (К С] U) [} (К П CU).\ б) Пусть К — компактное множество в Е, имеющее мощность континуума, и (А, В) — разбиение Я на два множества, любое ком- компактное подмножество каждого из которых не более чем счетно (см. § 5, упражнение 18г)). Показать, что если / ({х}) = 0 для всякого одноточечного множества и / (К) > 0, то ни А ни В не емкостны отно сительпо /. °15) Пусть ц — лебегова мера па R; определим емкость / па R-. удовлетворяющую условию (AL) упражнения 12, положив f (А) = = ц* (prj А) (предложение 15). а) Пусть А — не емкостное (упражнение 14) ограниченное мно- множество в R2, Во — окружность || х || = г такая, что А содержится в открытом круге || х || < г, и Вх — окружность || х || = г' радиуса г' > г. Показать, что A U Во и A U В\ емкостны, тогда как их пере- пересечение А не емкостно. б) Пусть Сп для каждого п означает множество тех х £ R2, для которых Показать, что каждое из множеств A U Сп емкостно, а их пересече- пересечение но емкостно, и что inf / (Сп) Ф f (f\ Сп).о п *16) Пусть Е и Е' — метризуемые пространства. Отображение / -1 пространства Е в Е' называется борелееским, если прообраз / (/") каждого замкнутого множества F' из Е' есть борелевское множество в Е. Пусть а — четное (соотв. нечетное) счетное ординальное число; -1 / называется отображением класса а, если прообраз / (/") каждого замкнутого множества F' из Е' принадлежит 5а (Е) (соотв. ©а (Е)) -1 (упражнение 4); тогда / (С) для каждого открытого множества G' из Е' принадлежит ©а {Е) (соотв. За (Е)). Борелевские функции клас- класса 0 — непрерывные функции.
158 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 6 а) Для того чтобы характеристическая функция фд множества Дс£ была фупкцией класса а, необходимо и достаточно, чтобы А принадлежало $а П &а- б) Пусть /— отображение класса а пространства Е в Е'\ пока- -1 зать, что прообраз / (В1) каждого множества В' £ Яр (£') (соотв. В' G ©р (Е1)) принадлежит 2га+р (Е) (соотв. ©а+р {Е)). [Применить трансфинитпую индукцию по р.] в) Пусть / — отображение класса а пространства Е в Е' и g — отображение класса Р пространства /?' в метризуемое пространство Е"; показать, что g°j есть отображение класса а + Р- г) Пусть а — произвольное четное (соответственно нечетное) счетное ординальное число и (Ап) — последовательность множеств из Е, принадлежащих ©а (соотв. <?а), покрывающая Е\ если отобра- отображение / пространства Е ъ Е' таково, что его сужение на каждое Ап принадлежит классу а, то / — класса а. Аналогичный результат для конечной последовательности множеств из Е, принадлежащих За (соотв. ©а), образующих покрытие Е. 17) а) Пусть Е — метризуемое пространство, Е' — метризуемое пространство счетного типа со счетным базисом топологии (U^) и а — чотпоо (соотв. нечетное) счетное ординальное число; если отображе- _. | ние / пространства Е в Е' таково, что все / (U'n) принадлежат ©а (Е) (соотв. ga (E)), то / — класса а. б) Пусть (Е'„) — последовательность метризуемых пространств счетного типа. Для того чтобы отображение / = (/„) пространства Е л Y[ E'n принадлежало классу а, необходимо и достаточно, чтобы п каждое/,, принадлежало классу а. [Использовать о).] Вывести отсюда, что если Е счетного типа, то конечные числовые функции класса а Не А.' образуют кольцо. и) Пусть Е и Е' — метризуемыо пространства счетного тппа и а — четное (соотв. нечетное) счетное ординальное число. Показать, что если отображение / пространства Е в Е' принадлежит классу а, то его график принадлежит З'а (Я X Е') (соотв. ®а (Е X Е')). [Использо- [Использовать б) и упражнение 166).] 18) Пусть Е — суслинское пространство, Е' — метризуемое прост- пространство счетного типа и / — отображение Е в Е'. а) Показать, что если график G отображения / есть суслинское множество в Е X Е', то /— борелевская функция (и, следовательно (упражнение 17в)), G — борелевскоо множество). [Использовать след- следствие теоремы 2.] б) Показать, что если / ипъоктивно и борелевское, а Е' суслин- суслинское, то / (А) — суслинское множество в Е' для всякого суслинского
УПРАЖНЕНИЯ 150 подпространства А пространства Е. [Использовать упражнение 17в).} Если / биективно, то обратное отображение — борелевское. 19) Пусть Е и Е' — метризуемые пространства и /— приближаемое -1 (§5, упражненио 24) отображение Е в Е'. Показать, что/(/?') —при- —приближаемое множество в Е для всякого борелевского множеств В'а Е'. [См. § 5, упражнение 6.] Вывести отсюда, что если g — борелевское отображение пространства Е' в метризуемое пространство Е", то gof — приближаемое» отображение. Дать пример непрерывного отобра- отображения / и приближаемого отображения g, для которых отображение gof не было бы приближаемым. [См. упражнение 106).]
ПРИЛОЖЕНИЕ К ГЛАВЕ IX БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ В НОРМИРОВАННЫХ АЛГЕБРАХ 1. Перемножаемые последовательности в нормированной алгебре Пусть А — нормированная алгебра над недискретным комму- коммутативным нормированным телом К (§ 3, определение 9); обозначим через || ас || норму элемента х 6-4 и будем предполагать, что она удовлетворяет неравенству ||ас?/ || ^ ||ас || \\у ||; кроме того, пред положим, что А обладает единицей е. Пусть (xn)n£N — бесконечная последовательность точек из А; всякое конечное множество / cz N, совершенно упорядоченное порядком из N, определяет серию (Алгебра, гл. I, § 1, п° 2) (acn)n£j точек из А; в Алгебре (там же) было определено произведение Pj— Ц хп этой серии; мы будем называть его конечным частич- ным произведением последовательности (эсп)п£х, соответствующим конечному множеству / с N (напомним, что для / == 0 полагают Определение 1. Последовательность (acn)n£N в норми- нормированной алгебре А называется перемножаемой, если отображение J *-*• Pj имеет предел по фильтру сечений множества ^ (N) всех конечных подмножеств множества N, упорядоченному отношени- отношением с; этот предел называется произведением последовательности (acn)n£N и обозначается Д хп (или просто Д хи); элементы хп n£N n называются сомножителями этого произведения.
•> ПРОИЗВЕДЕНИЯ В НОРМИРОВАННЫХ АЛГЕБРАХ 161 Определение 1 равносильно следующему: последовательность (хп) перемножаема и имеет произведениер, если для каждого е>0 существует конечное множество /0 с: N такое, что \\pj — р || ^ е - для всех конечных множеств J гз /0 из N. Замечания. 1) Если А — коммутативная алгебра, то опре- определенно 1 совпадает с определением, данным в пс 1 § 4 гл. Ш 2-го изд. C-е изд., § 5) (замечание 3); но если алгебра А не коммутативна, то структур.ч порядка в множестве индексов N играет л определении 1 су- существенную роль; беря какую-либо перестпноику су множестна N, мы отнюдь не можем тогда утверждать пообщо, что последовательность (я<т(п>) перемножаема, коль скоро тшремиожаемп поглодопателыгость (хп); кроме того, если эти две последовательности и перемножаемы, их произведения вообще различны. 2) Определение 1 непосредстлепно обобщается на случай семей- семейства (a?n)n£j, множество / индексов которого есть подмножество мно- множества Z (совершенно упорядоченное порядком, индуцируемый из Z); предоставляем читателю распространить па этот случай, излагаемые ниже свойства (см. упражнения 1 и 2). :1. Критерии перемножаемое ти В дальнейшем мы ограничимся случаем, когда нормированная алгебра А полна. Теорема 1. Пусть (хп)п^ — последовательность точек полной нормированной алгебры А. а) Если (хп) перемножаема и имеет своим произведением обра- обратимый элемент из А, то для каждого е > 0 существует конечное множество Jo с N такое, что || е — рь II ^ в для каждого конеч- конечного множества Ac N, не пересекающегося с Jo. б) Обратно, если последовательность (хп) удовлетворяет этому условию, то она перемножаема. При этом, если каждое хп обра- обратимо, то и XI ^п. обратимо. а) Пусть р — произведение перемножаемой последовательно- последовательности (хп), причем jp обратимо в А; тогда (§ 3, предложение 13) существуют а > 0 и а >0 такие, что всякий элемент у £ А, для которого || у — р\\ ^ а, обратим и Ц?/ || ^ а. По предположе- предположению, для каждого е, удовлетворяющего неравенствам 0 < е < а, существует конечное множество Яос N такое, что || рн — р || ^ е И Н. Бурбаки
162 ПРИЛОЖЕНИЕ К ГЛАВЕ ГХ для всякого конечного множества Н cz N, содержащего Яо. Пусть /0 == [0, т\ — интервал из N, содержащий Но; для каждо- каждого конечного множества L cz N, не пересекающегося с /0, лтобое целое число, принадлежащее L, превосходит все целые числа, при- принадлежащие Но; следовательно, положив Н — Но [} L, будем иметь рн = PboPl- Но так как || рНо — р ||< в < о, то рТ1о обратимо и || в — Р~ь1пР II ^ е |( р$0 (| ^ ае; из неравенства II PhoPl -J»ll<e следует, что || ph — ри\р || < г || pl}a || < ае и, наконец, \\е — pL || ^ 2ае. б) Предположим, что для каждого е > 0 существует конечное множество /0 с: N такое, что || е\— pL || ^ e для всякого не пересекающегося с /0 конечного множества L cz N. Пусть //„ = — [О, jo] — интервал из N, содержащий /0; всякое конечное множество // из N, содержащее //„, может быть записано в виде Но U L, где каждое целое число, содержащееся в L, превосходит все целые числа, принадлежащие //„; поэтому рн = рн„Рь, и так как L не пересекается с /0, то || рв—Рн0 II ^ е || Рн0 Hi откуда II 1>н II ^ A + 8) II Рщ ||. Если £>Яо = 0, то последовательность (ас„), очевидно, перемножаема и имеет произведением 0; если отбро- отбросить этот тривиальный случай, существует интервал Н\ = [0, д]. содержащий Но и такой, что || е — pi, \\ ^ e || рц„ II для всякого конечного множества icN непересекающегося с /ft. Как и выше, отсюда следует, что II РН - PBi II < (II РЩ II) II JOH! || 8 < 8 A + 8) , для каждого конечного множества И из N, содержащего Нг. Критерий Коши показывает тогда, что J *-*■ Pj имеет предел в А по фильтрующемуся множеству g (N). Если все хп обратимы, то то же верно и для всех конечных час- частичных произведений ру, поэтому для всякого конечного множе- множества Hcz N, содержащего Яо, будем иметь \\е — Рт/„Рн || ^ г; это показывает, что в мультипликативной группе G всох обратимых элементов из А образ фильтра сечений множества ^ (N) при отобра- отображении J >-*■ Pj является базисом фильтра Коши относительно левой равномерной структуры группы G; а так как G полна (гл. IX, § 3, предложение 13), то предел отображения / i-»- jt>/ принадлежит G.
g ПРОИЗВЕДЕНИЯ В НОРМИРОВАННЫХ АЛГЕБРАХ 163 Замечание. Если (хп) перемножаемо и его произведение не допускает обращения, то теорема 1 может не льгполияться. Напри- Например, если все хп равны одному и тому же элементу ж такому, что || да И < 1, то последовательность (хп) перемножаема и имеет произ- произведением 0, а для любого непустого конечного множества Н из N имеем || рн || < || ж ||< 1 < || е \\. Следствие 1. Если (хп) — перемножаемая последователь- последовательность, произведение которой обратимо в А, то Нтп. хп =-- е. П~>00 Следствие 2. Если (хп) — перемножаемая последователь- последовательность, произведение которой обратимо в Л, то всякая ее подпосле- подпоследовательность (aenft)ftcN (где (nh) — строго возрастающая последо- последовательность целых чисел) перемножаема. Это сразу следует из критерия теоремы 1. Теорема 2. Пусть А — полная нормированная алгебра; если (ип) •— абсолютно сходящийся ряд точек из А, то последова- последовательность (е -(- мл) перемножаема в А; если, кроме того, все эле- элементы е + ип обратимы в А, то обратимо и JJ (в -\-ип). Применим критерий теоремы 1; для каждого конечного мно- множества L а N имеем pL — е — Ц(е +ип)— е = 2 (IIwn) » где М пробегает множество всех непустых подмножеств множества L (совершенно упорядоченное в смысле индуцированного порядка). Поскольку jjj мп-<; JJ || «„ ||, будем иметь м По так как ряд с общим членом || ип ||, по предположению, схо- сходится, то последовательность A -f- II wn II) перемножаема в R* (гл. IV, § 7, теорема 4); поэтому для каждого е > 0 существует конечное множество /0 q: N такое, что ^ е для всех не пересекающихся с ним множеств La N, и теоре- теорема доказана. И*
164 ПРИЛОЖЕНИЕ К ГЛАВЕ IX Следствие. Если ряд с общим членом ип абсолютно схо- сходится и ни один из элементов е -|- ип не является в А делителем нуля, то и произведение Ц (е -\- ип) не является в А делителем нуля. В самом деле, имеется только конечное число значений п, для которых || ип || 2s 1. Пусть / = [0, т] — интервал в N, содержащий все эти значения. Произведение последовательности (е-\-ип) равно произведению р3 на элемент Ц (е -\-ип), все п>т сомножители которого обратимы (гл. IX, § 3, следствие предло- предложения 12) и который, следовательно, сам обратим; будучи про- произведением конечного числа элементов, пе являющихся делителя- делителями нуля, Pj тоже не является делителем нуля, а тогда то же верно для Достаточное условие перемножаемости, сформулированное в теореме 2, не является вообще необходимым (см. упражнение 6). Однако оно необходимо в том важном случае, когда А есть алгебра конечного ранга над R (в частности, когда А есть тело кватернио- кватернионов К или алгебра матриц М„. (R)): Предложение 1. Пусть А — нормированная алгебра ко- конечного ранга над R. Если (е -|- ип) — перемножаемая последова- последовательность в А, произведение которой обратимо, то ряд с общим членом ип абсолютно сходится. Как известно (гл. VII, § 3, предложение 2), существует число с > О такое, что ~3**|| A) для всякого конечного семейства (xt)i^i точек из А. Пусть (an)n£N — произвольная последовательность элементов из А. Для каждого коночного множества / из N положим «/ = ]►>*' °i =" 2IIЯ| II-
:t произведения в нормированных алгебрах 165 Лемма 1. Пусть I — любое конечное множество иа N и Ф (/) = sup \\pj — e ||. Тогда \\pj-e~sj\\<<p(l)<y.r B) для всех J cz I. Лемма очевидна, если / пусто; докажем ее индукцией по числу элементов множества /. Пусть / = К {J {/}, где / строго больше каждого элемента из К; тогда pj — рк (е -\- aj) и ftj — як + &], откуда Pj — е — Sj = (Рк — е ~ sK) + (рк — <•) а} н, в силу предположения индукции и определения ср (/), \\р} — е — в, I! < ф (/) ак + ф СО II а, || = Ф (/) в„ чем лемма и доказана. Лемма 2. Если I — конечное множество из N такое, что Ф(/)<т, то g,< tZ\P\l) • В самом деле, если Ja /, то а^ ^ <7/, и потому, согласно B), II «Л1 < ф (I) О/ + II Р/ — е IK A 4- <Jj) Ф (-0; так как в силу A) а7 ^ с sup || «j- ||, то заключаем, что аг ^ сф (/)A + ff/)> и лвм- JcJ ма доказана. Пусть теперь (е 4- мп) — перемнон<аемая последовательность в А, произведение которой обратимо; по теореме 1 существует конечное множество /0 cz N такое, что ^ 1/2с для всякого мнон?ества Н из N, не пересекающегося с /0. По лемме 2 отсюда вытекает, что У \\ vt ||^ 1 для всякого мно- жества Н из N, но пересекающегося с /0, а это влечет суммируе- суммируемость семейства (|| ип ||) в R (гл. IV, § 7, теорема 1). 3. Бесконечные произведения Сопоставим каждой последовательности (хп) точек нормиро- нормированной алгебры А последовательность частичных произведений п рп — TJ aCft*, бесконечным произведением с общим сомножителем хп
166 ПРИЛОЖЕНИЕ К ГЛАВЕ IX называют пару последовательностей (хп), (рп)- Бесконечное про- произведение с общим сомножителем хп называется сходящимся, если последовательность (рп) сходится в Л; предел этой последо- последовательности называется тогда произведением последовательности (хп) и обозначается Р хп. Предложение 2. Пусть (хп) — последовательность точек полной нормированной алгебры А. а) Если бесконечное произведение с общим. сомножителем хп 00 сходится и Р хп обратимо, то для каждого е>0 существует п0 п=0 п такое, что Ц хь —е ^ е, если п0 ^. т^. п. б) Обратно, если последовательность (хп) удовлетворяет этому условию, то бесконечное произведение с общим сомножителем хп сходится; при этом, если каждое хп обратимо, то обратимо 00 и р хп. Предоставляем читателю провести доказательство этого предло- предложения, копирующее во всех пунктах доказательство теоремы 1 (лишь с заменой конечных множеств L из N, фигурирующих в этом последнем доказательстве, интервалами). Следствии 1. Если бесконечное произведение с общим сомпо- жителем хп сходится и Р хп обратимо, то lim xn = е. п =0 п-юо Следствие 2. Если бесконечное произведение с общим сомно- 00 жителем хп сходится и Р хп обратимо, то бесконечное произве- дение с общим сомножителем у п —- xn+k (n ^ 0) сходится. сю Произведение последовательности (уп) обозначается Р хп и n~h и называется еще h-м остатком бесконечного произведения с общим сомножителем хп.
УПРАЖНЕНИЯ 167 Предполагая по-прежнему обратимость Р хп, заключаем еще п=0 на основании предложения 2, что если (zn) — последовательность, в которой яп — хп для всех, кроме конечного числа, индексов, то произведение с общим сомножителем %п сходится. Предложение 3. Пусть (кп) — строго возрастающая по- последовательность целых чисел^О, причем к0 — 0; если бесконечное произведение с общим сомножителем хп сходится'то и бесконечное "п-И  произедение с общим сомножителем ип— JJ хр сходится, при- чем Р мп = Р хп. В самом деле, последовательность частичных произведенпй для (ип) является подпоследовательностью последовательности частичных произведений для (хп). Наконец, то же рассуждение, что и для коммутативных групп (гл. III, 2-е изд., § 4, п° 7; 3-е изд., § 5, п° 7), показывает, что если последовательность (ас„) перемножаема в нормированной алгебре Л, [ос то произведение с общим сомножителем ха сходится, и Рэсп = 71=0 00 ~ Пл'п (оно записывается также в виде JJ хп); [разумеется, n£N n=0 обратное неверно (см. упражнение 7). Упражнения 1) Пусть Е — отделимое топологическое пространство, в котором определен мультипликативно записываемый ассоциативный закон. Обобщить определение 1 на случаи ссмепстна {xx)^j элементов из Е с совершенно упорядоченным, множеством индексов /. Пусть pj, для каждого конечного множества Jcl, означает произведенио JJ xj последователг.пости Если Е — полная топологическая группа, то для того, чтобы семейство (*i)l£j точек из Е было перемножаемо, необходимо и доста- достаточно, чтобы для каждой окрестности V нейтрального племента е
168 ПРИЛОЯСЕНИЕ К ГЛАВЕ IX группы Е существовало конечное множество Jo с I такое, что Pj (Pj,)'1 6 V (пли (PjJ'1 PJ £ *0 Для всякого коночного множества J с I, содерясащего Jo. *2) Нопустое подмножество J совершенно упорядоченного мно- множества / наливается обрубком, еслп имеете со всякими двумя своими элементами а, р такими, что а < Р, оно содержит и весь отрезок [а, fl]. а) Пусть (xi)lCj — перемножаемое семейстло п полной группе G. Показать, что для всякого обрубка J множества / семейство (.ri)tgj перемножаемо. [Рассмотрел, сначала частпый случай, когда множе- множество минорант обрубка J, не принадлежащих J, пусто.] б) Разбиение (J^^^ совершенно упорядоченного множества / называется упорядоченным, если L — совершенно упорядоченное множество и отношения К < jj,, а, £ J\i Р 6 Jti влекут а < р1; под- подмножества J^ являются тогда обрубками множества /. Показать, что если (*i)tgj — перемножаемое семейство в полной группе G, то семейство (pjjj^jr,. где р^ — Д ги перемножаемо и имеет тожопроиз- ведение, что и M^j- в) Обратно, если {J%)\£t, — конечное упорядоченное ралбпение множества / и (*i)tgx таково, что каждое из семейств (х\.)^ перемно- перемножаемо, то семейство (*i)tgj перемножаемо. *3) Пусть G — отделимая топологическая группа, обладающая окрестностью Fo нейтрального элемента е, на которой х I—*• а-1 рав- иолтерно непрерывно (как отображение Gd в G^', см. гл. III, 2-е изд., § 3, упражнения 7 и 14; 3-е изд., § 3, упражнения 7 и 8). Пусть {xi)vci — перемножаемое семейство точек из G. Показать, что для всякой окрестности U элемента е существует конечное множество /ос/ такое, что для каждого конечного множества К cz /, содер- содержащегося в обрубко множества /, не пересекающемся с JB, рц, (Е U. [Показать сначала существование конечного множества Но с I и конечного числа точек ах, а2, . . ., ач из G таких, что для каждого конечного множества L сг /, содержащегося л обрубко, но пореа-кшо- щемся с #0, pl 6 аь^цй^1 по крайней мере для одного индекса к, где V9 — некоторая окрестность элемента е такая, что V'aY'o cz Vo. Ограничиться патем рассмотрением конечных подмножеств, содержа- содержащихся в одном из открытых интервалов, концами которых служат два последовательных индекса из Но', использовать рассуждение упраж- упражнения 2я) и равномерную непрерывность х~1 на каждой из окрестно- окрестностей ahVoa-^.] Вывести отсюда, что при тех же условиях lim t\, = e по фильтру дополнений конечных подмножеств множества / (если / бесконечно).
УПРАЖНЕНИЯ 169 4) Пусть G — локально компактная группа. Показать, что мно- множество конечных частичных произведений pj перемножаемого семей- семейства (xt) точек из G относительно компактно. 5) а) Пусть G — полная группа, всякая окрестность нейтрального элемента е которой содержит открытую подгруппу. /1^ля того чтобы последовательность (хп) точек из G была перемножаема, необходимо и достаточно, чтобы Ига хп = е. 6) Пусть G — полная группа, всякая окрестность нейтрального элемента е которой содержит открытьп"| нормальный делитель груп- группы G. Для того чтобы семойстпо (л)|,е/ точок па 6' омло перемножаемо, необходимо и достаточно, чтобы Пти з\ -- е iro фильтру дополнений конечных подмножеств множества 7. [Использовать упражнение 3.] . 6) Пусть А — алгебра (над R) пс.ох ограпичеппых чнелопих функ- функций, определенных на Интерполе /' = 11, -г°° I cr R, наделенных нормой ||/ || = sup | / (х) |, и и„ для каждого целого п > 0 означает функцию, равную 1/л, когда п< i<B-f 1,иО но всех других точ- точках из Е. Показать, что семейство A ~\- ип) перемножаемо в А, но ряд с общим членом мп не является абсолютно сходящимся в А. 7) Пусть (хп) — последовательность ючек нормированной алгеб- алгебры А такая, что для пенкой перестановки а множества N бесконечное оо произведение с общим сомножителем ха(п> сходится и р 07О(П)обра- п=0 тимо. Показать, что каждая последовательность (Ха(.п)) перемножаема. [То же рассуждение, что и в предложении 9 § 4 ivi. Ill 2-го изд. C-е изд., предложение 9 § 5).] *8) Пусть А — полная нормированная алгебра; показать, что если (хп) — последовательность точек из А такая, что для всякой пере- перестановки а множества N последовательность («Го(п)) перемножаема и имеет обратимое произведение, то каждое хп обратимо. [/Докапать сначала следующую алгебраическую лемму: если в кольце с единицей элементы х, у таковы, что а-;/ обратимо, а ух но есть целитель нуля, то каждый из элементов х, у обратим; см. Алгебра, гл. I, § 8, упраж- упражнение 4.]
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВЕ IX (Римские цифры относятся к библиография, помещенной в конце настоящего очерка.) Как мы уже говорили (Исторический очерк к главе II), понятие метри- метрического пространства было лиедеяо в 1906 г. М. Фреше и развито нескольки- несколькими годами позже Ф. Хаусдорфом в его «Теории множеств». Оно приобретает особую важность после 1920 г., с одной стороны, благодаря фундаменталь- фундаментальным работам С. Банаха и его школы по нормированным пространствам и их приложениям к функциональному анализу (см. книгу V), а с другой — в силу того интереса, который представляет понятие абсолютного значения для арифметики и алгебраической геометрии (где оказалось весьма плодо- плодотворным пополнение относительно абсолютного значения). С периода 1920—1930 годов начинается целый ряд предпринятых москов- московской школой исследований, посвященных свойствам топологии метрического пространства, направленных, в частности, на получение необходимых и до- достаточных условий для того чтобы заданная топология была метризуемой Именно это развитие идей привлекло интерес к понятию нормального прост- пространства, которое было сформулиропатго Тптцо в 1923 г., но важная роль ■которого выявилась только благодаря ряду работ Урысона (VI) о продол- продолжении непрерывных числовых функций. Не считая тривиального случая -функции одной вещественной переменной, проблема продолжения на все пространство непрерывной числовой функции, определенной па замкнутом множестве, была впервые рассмотрена (для случая плоскости) Л. Лебе- Лебегом (III); до получения Урьтсоном окончательного результата она была реше- решена для метрических пространств Титце (IV). Распространение этой проблемы на случай функций со значениями в произвольном топологическом пространстве приобрело в последние годы большое значение в алгебраической топологии. Иеданние работы пыявпли при этом, что понятие нормального пространства недогтаточво приспособ- приспособлено к этому кругу вопросов, ибо оставляет еще много возможностей для «патологии»; чаще всего его приходится заменять более узким понятием паракомпактного пространства, введенным в 1944 г. Дьедонпе (IX); наиболее
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВЕ IX 171 замечательным результатом этой теории является теорема А. Стоуна (X), по которой всякое метризуемоо пространство паракомнактно *). Мы ужо отмечали (Исторический очерк к главе IV) важные работы кон- конца XJX и начала XX веков (У. Борель, Бар, Лебег, Осгуд, Юнг) по классифи- классификации точечиых множеств в простравстпах Ttn и по классификации и харак- тернзащш числовых функции, получаемых исходя из непрерывных функ- функции итерацией предельного перехода (для последовательностей функций). Кскоре было подмечено, что метрические пространства представляют естественную область для исследований подобного рода, развертываемых после 1910 г. главным образом русском и польской школами. Именно эти школы выяснили, наряду с другими вопросам», фундаментальную роль, которую играют л современном анализе понятие тощего множества и теорема <> пересечении счетного семейства нсюду плотных открытых мпожести в пол- полном метрическом пространство (§ 5, теорема 1), ранее доказанная (независимо) Осгудом (I) дли числовой прямой и Баром (II) для пространств Rn. С другой стороны, и 1917 г. Суслпн (V), исправляя одну ошибку Лебега, показал, что непрерывный образ борелевского множества не обяаатольно «иляется борелевским, что привело его к определению и изучению более широкого класса множеств, назынаемых с тех нор «аналитическими» или «суслинскими»; после ранней смерти Суслина это изучение! было продолжено глгтньгм образом Н. Лузиным (идеи которого вдохновляли Суслина) н поль- польскими математиками (см. (VII) и (VIII)). Актуальное значение этих множеств заключается главным образом в их применениях к теории интегрирования (где благодаря своим специальным свойствам опн допускают построения, которые были бы невозможны для произвольных измеримых множеств) н к современной теории потенциала, где фундаментальная теорема о емкост- иости суслинских множеств, совсем недавно доказанная Г. Шоке (XI), уже обнаружила свою плодотиорность в различных приложениях. *) Эта теорема позволила дать более удовлетворительное решение проб- проблемы метризуемости, чем критерии, полученные русско-польской школой (см. «Критерий Нагата — Смирнова» в упражнении 22 § 4). Но следует отме- отметить, что эти критерии до отх нор не получили применений; как это часто случалось в истории математики, решение проблемы метризации, по-види- по-видимому, пмоло меньше значения, чем то новые понятия, к развитию которых она привела.
БИБЛИОГРАФИЯ (I) W. О s g о о d, Non uniform convergence and the integration of series term by term, Amer. Journ. of Math. XIX A897), стр. 155—100. (II) R. В a i r o, Sur Irs fonctions di> variables replies, Ann. di Mat. C), III A8П9), стр. 1. (III) H. L о b с я g u e, Sur le problem о dft Dirichlet, Bond. С ire. mat. di Palermo, XXIV A907), стр. :i71—402. (IV) H. T i e t z o, Uber Fimktiotion die auf einer abgcschlossfinen Menge stetig sind, J. de Crelle, CXLV A015), стр. 9—14. (V) M. S о u s 1 i n, Sur une definition des ensembles mesurable? В sans nombres traiisfinis, С. П. Acad. Sci., CLXIV A917), стр. 88—01. (VI) P. U г у s о h n, Ueber dip Machtigkeit dor zusammeiihangenden Mentjen, Math. Ann. XCIV A925), стр. 262 [П. С. У р ыоон, Труды по топологии и другим областям математики, I, стр. 208.] (VII) N. L u sin, Lecons ?ur los ensembles analytiquew et leurs ;ipplications, Paris (Gauthier-Villnrs), 1930. [H. H. Лузин, Лекпип об аналитиче- аналитических множествах и их приложениях, Москва, Гостехиздат, 1953.] (VIII) К. Kuratowski, Topologie I, 2е ed., Warszawa-Vroctaw, 1948. [Русский перевод: К. К у р а тов скпй, Топология, т. I, перевод с 5-го нзд., Москва, Мир, 1966.1 (IX) 3. Dieudonne, Une generalisation des espaces compacts, lourn. de Math. (9), XXIII A044), стр. G5-76. (X) A. H. Stone, Paracnmpuctness and product spaces, Bull. Amer. Math. Soc, LIV A948), стр. 977—982. [Русский перевод: Стоун А., Паракомпактность л произведения пространств, Математика, 5 : 5 A9G6), стр. 3-11.1 (XI) G. Choquet, Theory of capacities, Ann. Inst. Fourier V A953— 1954), стр. 131-295.
ГЛАВАХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ Это изданио отличается от предыдущего главным образом своим новым планом, позволившим сгруппировать более четко основные результаты главы, устрапяя второстепенные предложения; един- единственное существенное добавление касается свойств счетности пространств непрерывных функций (§ 3, п° 3). Нанкаго, осень 1060 Я. В. § 1. Равномерная структура ©-сходимости ОбознАЧЕния. Пусть даны множества X, У; напомним, что jF (X; У) означает множество всех отображений X в У, отож- отождествляемое с. произведением Yx (Teop. множ., гл. II, § 5, п° 2). Для каждого множества На jF (X; Y) и каждого х £ X мы будем обозначать через // (х) множество всох и (х) £ У, где и пробе- пробегает Я. Если Ф — базис фильтра в JF (X; У), мы будем обозна- обозначать через Ф (х) базис фильтра в Y, образованный множествами II (х), где // пробегает Ф. Наконец, напомним, что для каждого и 6 2F (X; Y) и каждого множества А а X через и\А обозна- обозначается отображение А в У, являющееся сужением и на А; II\ А, где Н—подмножество множества д? (X; У), озпачает множество всех сужений и\А (и£Н). 1. Структура равномерной сходимости Пусть X — множество, У — равномерное пространство. Для каждого окружения V из равномерной структуры пространства У обозначим через W{V) множество тех пар (и, v) отображений X в У, для которых (и (х), v (х)) £ V при всех х 6 X. Множества
174 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. X, § 1 W (V), где V пробегает множество всех окружений для Y, обра- образуют фундаментальную систему окружений некоторой равно- равномерной структуры в JF (X; У). В самом деле, они очевидным обра- образом удовлетворяют аксиоме (UJ) (гл. II, § 1, п° 1). Далее, если V, V — окружения для Y такие, что Fez V, то IV(V) cz W (V), так что множества W(V) удовлетворяют аксиоме (В4) (гл. I, 2-е изд., § 5, п° 4; 3-е изд., § 6, п° 3); а так как W~(V) = 1F(V), то выпол- выполнена аксиома (U'n). Наконец, отношения «(и (х), и (х)) £ V, каково бы ни было х £ X» и «(и (х), w (х)) 6 V, каково бы ни было х £ Хь 2 влекут отношение «(ц (х), w(x)) £ V, каково бы ни было х £ X»; иными словами, W (V) cz W (V), что доказывает (Uju). Определение 1. Равномерная структура в fp (X; Y), имею- имеющая в качестве фундаментальной системы окружений множество всех W (V), где V — окружения для Y, называется структурой равномерной сходимости; топология, порожденная этой равно- равномерной структурой, называется топологией равномерной сходи- сходимости. Если фильтр Ф в jF (X; У) сходится к элементу и0 в эт.ой топологии, то говорят, что Ф равномерно сходится к и0. Отмстим, что топология равномерной сходимости в &'(X; У) зависит от равномерной структуры пространства У, а не только от его топологии (упражнение 4). Равномерное пространство, получаемое наделением £Р (X; Y) структурой равномерной сходимости, обозначается Jfu (X; Y). 2. ^-сходимость Определение 2. Пусть X — множество, Y — равномерное пространство и Q — некоторое множество подмножеств из X. Равномерной структурой равномерной сходимости на множе- множествах из <3, или просто равномерной структурой <£-сходимости, называют слабейшую из равномерных структур в множестве jF (X; Y), при которых его отображения-сужения и >-*■ и \ А в равномерные пространства Jfu(A; Y) равномерно непрерывна для всех А £ @. Равномерное пространство, полученное наделением
Ч РАВНОМЕРНАЯ СТРУКТУРА ^-СХОДИМОСТИ 175 ,Т (X; У) равномерной структурой <В-сходимости, обозначается .Ге (X; Y). Топология, порожденная равномерной структурой B-сходимо- сти, называется топологией ^-сходимости; это слабейшая из топо- топологий в множестве $р (X; У), при которых непрерывны ого отобра- отображения и (-»- и\А в пространства ,fu (A; У) для всех А £ <3 (гл. II, 2-о изд., § 1, предложение 1; 3-е изд., § 2, следствие предложе- предложения 4). Для того чтобга фильтр Ф в JT (X; Y) сходился к ип я тополо- топологии ©-сходимости, необходимо и достаточно, чтобы и|Л для: каж- каждого А £ © равномерно сходилось к ио\А по фильтру Ф (гл. I, 2-е изд., § 8, теорема 1; 3-е изд., § 7, предложение 10); говорят также, что Ф равномерно сходится к и0 на множествах из S. Точно так же, для того чтобы базис фильтра Ф в .5Г@(Х; У) был базисом фильтра Коши, необходимо и достаточно, чтобы образ 0) при отображении и *-*■ и | А был базисом фильтра Коши « Jfu(A; У) для каждого А £ <2> (гл. II, 3-е изд., § 3, предложе- предложение 4). Пусть / — отображение топологического (соотв. равномерного) пространства Z в jF^ (X; У). Для того чтобы / было непрерывно (соотв. равномерно непрерывно), необходимо и достаточно, чтобы отображение z у-* / (z) | А пространства Z в jF"u (A; У) было непре- непрерывно (соотв. равномерно непрерывно) для каждого А £(а (гл. I, § 2, предложение 4 и гл. II, .3-е изд., § 2, предложение 4). Пусть, наконец, М— множество в jFg (X; У); для того чтобы М было прёдкомпактно, необходимо и достаточно, чтобы для каж- каждого А 6 <2> множество сужений и | А (и £ М) было прёдкомпактно в ^и (A; Y) (гл. II, 3-е изд., § 4, предложение 3). Замечания. 1) Общее определение окружений инициаль- инициальной равномерной структуры (гл. II, 3-е изд., § 2, предложение 4) показывает, что фундаментальную систему окружений для ..F® (X; У) можно получить следующим образом: пусть W(А, V) для каждого Л £ <3 п каждого V из фундаментальной системы 93 окружений для У есть множество тех пар (и, v) отображений X в У, для которых (и (ж), v (х)) £ V при всех х £ А; тогди пересечения
176 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. X, § 1 всевозможных конечных семейств множеств W(А, V) образуют фундаментальную систему окружений для Jf^, (X; У). Из этого описания сразу видпо, что если ©, ©' —множества подмножеств из X и ©cr ©', то равномерная структура ©'-схо- ©'-сходимости мажорирует равномерную структуру ©-сходимости. 2) Однако равномерная структура ©-сходимости пе изменяется при замене © множеством ©' всох подмножеств из X, содержащихся каждое в объединении конечного числа множеств из ©. Таким образом, при изучении в-сходимости монсно всегда ограничиваться случаем, когда множество S удовлетворяет следующим днум условиям: (Fj) Всякое подмножество множества из © принадлежит ©. (Fjj) Объединение всякого конечного семейства множеств из © принадлежат ©. Если (Fjj) выполнено, то фундяментальную систему окружений для ЗР(~{Х; У) образуют множества W (А, V), где А пробегает ©, а V — какую-либо фундаментальную систему окружений для У. 3) Равномерная структура ©-сходимости есть прообраз равно- равномерной структуры произведения JJ J>FU (A; Y) относительно отображения и >-* (и \А)а$® множества <f (X; Y) в JJ <FU (A; Y) (гл. II, 3-е изд., § 2, предложение 8). Если © покрывает X, то это отображение инъективно, и, следовательно, jF@(X; Y) изоморф- изоморфно равномерному подпространству произведения JX.l/ru(-^; Y) — образу яр (X; Y) при этом отображении. Предложение \. Если Y отделимо и © покрывает X, то пространство jF@ (X; Y) отделимо. В самом деле, пусть элементы и, v множества & (X; Y) тако- таковы, что (и, г;) £ W (А, V) для каждого окружения V из Y и каж- каждого А £ ©; поскольку У отделимо, отсюда вытекает прежде всего, что и и v совпадают на каждом множестве А £ ©, а так как © покрывает X, то и — v. Замечания. 4) Пусть II—подмножество множества № (X; У); допуская вольность речи, равномерной структурой (соотв. топологией) ©-сходимости на // называют равномерную структуру (соотв. тополо-
3 РАВНОМЕРНАЯ СТРУКТУРА ©-СХОДИМОСТИ 177 гню), индуцированную в 77 равномерной структурой (соотв. тополо- топологией) ©-сходимости из 2F (X; У). 5) Пусть % *—*■ иу, ость отображение п .^(Х; У) множества L, фильтрующегося по фильтру ©, причем это отображение имегт предел по П; тогда гопорят, что по фильтру & отображения м?- множества X в У равномерно сходятся к v (пли что семейство (и^ равномерно сходит- сходится к v) на каждом множестве из €>; «ели L = N и © — фильтр Фреше, то упоминании об этом фильтре опуекпют. В частности, предположим, что в У задай коммутативный п ассо- ассоциативный аакон композиции в аддитивной записи. Пусть (ы„) — произвольная последовательность отображоггий X и У и чп — отобранк1- п ния х \-+- 2j Uft (х) (п £ N); говорят, что ряд с общим членом ип равио- ft=0 мерно сходится на каждом множестве иа ©, осля лослрдоиптмьиость (vn) равномерно сходится на каждом множестве из ©. Аналогично определяют равномерно суммируемое семейство («x)\cl отображений X в У, рассматривая отображения х (—*■ У) и^ (х) для всевозможных конечных множеств J С L и их предел в 8Fq (X; У) но фильтрующему- фильтрующемуся упорядоченному множеству конечных лодмножестн множества L (гл. П1, 2-е изд., § 4, п° 1; 3-е изд., § 5, п° 1). 6) Из определений 1 и 2 непосредственно следует, что для всякого х 6 LJ^ отображение и*-*-и (х) пространства .«^(Х; Y) в Y равномерно непрерывно. Отсюда, в частности, вытекает, что если обозначить через И замыкание множества //с jFg(X\ Y) (X; Y), то II (х) с: II (х) для всякого х £ yj А (гл. I, 2-е изд., § 4, теорема 1; 3-е изд., § 2, теорема 1). 3. примеры <3-сходимости I. Равномерная сходимость на подмножестве множества X. Пусть А а X, <3 — {А}. Равномерная структура (соотв. тополо- топология) (^-сходимости называется тогда также равномерной структу- структурой (соотв. топологией) равномерной сходимости на А; если фильтр Ф в JTq (X; Y) сходится к и0, то говорят, что он сходится к и0 равномерно на А. При А — X мы вновь приходим к структуре равномерной сходимости, определенной в п° 1. 12 Н. Бурбаки
178 ФУНКЦИОНАЛЬНЫМ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. X, § 1 II. Простая сходимость на подмножестве множества X. Пусть Л с: X; примем за © множество всех одноточечных подмно- подмножеств множества Л (или, что в силу замечания 2 из п° 2 равно- равносильно это if у,— множество всех коночных подмножеств мпожоства А). Тогда равномерная структура (соотв. топология) g-сходнмости называется равномерной структурой (соотв. топологией) простой сходимости на А; если фильтр Ф в ,'fg (X; У) сходится к и0, то говорят, что он просто сходится к и0 на А; то же самое можно выразить, сказав, что ио(х) для каждого х £ А есть предел и (х) но фильтру ф. В частности, при А — X равномерная структура (соотв. топо- топология) простой сходимости на X называется также равномерной структурой (соотв. топологией) простой сходимости, а равно- равномерное пространство, получаемое наделением ,<f {X; У) этой структурой, обозначается ,Г« (X; У). Заметим, что топология про- простой сходимости есть не что иное, как топология произведения в Yx; она зависит, таким образом, только от топологии пространства, а не от его равномерной структуры, в противоположность тому, что имеет место в общем случае. III. Компактная сходимость. Предположим, что X — тополо- топологическое пространство, и примем за © множество всех его ком- компактных подмножеств. Равномерная структура (соотв. топология) ©-сходимости называется тогда равномерной структурой (соотв. топологией) компактной сходимости; равномерное пространство, получаемое наделением jf (X; У) этой структурой, обозна- обозначается jFc(X; У). Структура компактной сходимости мажорируется структурой равномерной сходимости, совпадая с ней, если X комнактпо; она мажорирует структуру простой сходимости, сов- совпадая с ней, если X дискретно. Если X — равномерное пространство, то аналогично, взяв в качестве (£ множество всех его предкомпактных подмножеств, определим в <р (X; У) равномерную структуру предкомпактной сходимости. Точно так же, если X — метрическое пространство, можем принять за @ множество всех его ограниченных подмно- подмножеств; структуру (£-сходимости называют тогда равномерной структурой ограниченной сходимости.
4 РАНИОМКРИАЯ СТРУКТУРА (g-C ХОДИМ ОСТИ 170 /. Свойства пространств JFq(X; У) Предложение 2. Пусть Хх, Х2 — множества, Y — равно- равномерное пространство, @,- — некоторое множество подмножеств множества Х-, (i ■--■- 1, 2) и <Si X <®2 — множество подмножеств вида Аг X А* произведения Xi X Х2, где At £ ©г, i — 1, 2. Тогда каноническая биекция ,*р (Хх X Х2; У) -> jF (Xi; .F (Х2; У)) (Теор. множ., Сводка результ., § 4, п° 14) является изоморфиз- изоморфизмом равномерного пространства ,у"g х@. (-^i X Х2; У) на равно- равномерное пространство .(Fq1 {Хй .^s., (Хг\ У))- В самом деле, пусть V — окружение для У и Л г 6 ©г (' = 1,2); из он редел опий непосредственно следует, что канонически я биекция отождествляет ГГ (Ai X Лг, F) с llr(Ai, It' (A.,, V)), II предложение доказано. Предложение 3. а) Пусть X—множество, © —-некото- —-некоторое множество его подмножеств, У и У — равномерные простран- пространства и /— равномерно непрерыв}юе отображение У в У. Тогда отображение и >-*■ f ° и пространства ,f^ (X; У) в .«Fg (X; У) равномерно непрерывно. б) Пусть X и X' — множества, © (соотв. ©') — некоторое множество подмножеств множества X (соотв. X')-, У — равно- равномерное пространство и отображение g: X' —*■ X таково, что К (А1) для каждого А' £ @' содержится в объединении конечного числа множеств из ©• Тогда отображение и*-*-и° g пространства ;F<s,(X; У) в ,"/~~q'(X'; У) равномерно непрерывно. Предложение 4. Пусть X и У — множества, (ХАе/ — семейство множеств и (У-^)„ем — семейство равномерных про- пространств. Для каждого X£L пусть @^ — некоторое множество подмножеств множества Х^ и g%~— отображение Х^ в X; пусть <В — множество подмножеств множества X, образованное путем объединения всех #х (@х)- Наконец, пусть /^ для каждого ц £ М — отображение Y в Y^, и Y наделено слабейшей из равномерных структур, при которых все f{i равномерно непрерывны. Тогда рав- равномерная структура ^-сходимости в jF (X; У) является слабейшей из тех, при которых все его отображения и н-* /^ о и о g^ с .'^®, (-^гй Уц) равномерно непрерывны. 12*
180 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. X, § 1 Эти предложения пепосредствонно вытекают из описания фун- фундаментальной системы окружений равномерной структуры ©-схо- ©-сходимости, данного в замечании 1 п° 2; детали доказательств мы оставляем читателю. Предложение 4 влечет, в частпости, Следствие. Пусть X — множество, (Yi)^i — семейство равномерных пространств и <В — некоторое множество подмно- подмножеств множества X. Если наделить ДУ\ равномерной структу- рой произведения, то каноническая биекция равномерного простран- пространства £?($ (X; JJУ,,) на равномерное пространство у[ jjFq (X; Уь) i6i ' i6/ (Теор. множ., Сводка результ., § 4, п° 13) есть изоморфизм. 5. Полные множества в jF© (X.; Y) Предложение 5. Пусть X — множество, Y — равномерное пространство, <& — некоторое множество подмножеств множе- множества X. Для того чтобы фильтр Ф в .^rg(X; У) сходился к и0, необходимо и достаточно, чтобы Ф был фильтром Коши для равномерной структуры ^-сходимости, просто сходящимся к и0 па В = U А. Поскольку структура простой сходимости на В мажорируется структурой ©-сходимости, все сводится к доказательству того, что для каждого А £ © и каждого замкнутого окружения V рав- равномерной структуры пространства Y множество W{A, V) замкну- замкнуто в топологии простой сходимости на В (гл. II, 2-е изд., § 3, упражнения 1а) и 16); 3-е изд., § 3, предложение 7). Но W{A, V) есть пересечение прообразов V относительно отображений (и, v)^-*■ >-*-(и{х), v (х)), где х пробегает А, а эти последние непрерывны в топологии простой сходимости (п° 2, замечание 6). Следствие 1. Для того чтобы подпространство Я про- пространства jF<g (X; Y) было полно, необходимо и достаточно, что- чтобы для каждого фильтра Коши Ф в Н существовало и0 £ //, к кото- которому Ф просто сходится на В = ^J A.
С . РАВНОМЕРНАЯ СТРУКТУРА g-СХОДИМОСТИ 181 Это непосредственно следует из предложения 5. Следствие 2. Пусть (st и @8 — множества подмножеств множества X такие, что их' объединения совпадают и <2>i с: <32; и пусть Нс: JF (X; У). Тогда полнота II по ^-сходимости влечет его полноту по <&^-сходимости. В самом деле, всякий фильтр Копш по @2-сходимости является фильтром Коти и по (Si-сходимости, и можно применить след- следствие i. Следствие 3. Пусть Н — подмножество множества Jf (X; У) такое, что для всякого х £ В — [J А замыкание мно- жества Н (х) в У есть полное подпространство. Тогда замыкание И множества II в jF@ (X; Y) есть полное подпространство. Пусть Ф — фильтр Коши в //; определим отображение v мно- множества X в У следующим образом. Если х £ В, то Ф (х) есть фильтр Коши в II (х) (п° 2, замечание 6) и, следовательно, в силу пред- предположения имеет по крайней мере одну предельную точку, за i; (х) принимаем одну из них; если же х (* В, то принимаем за v (x) произвольную точку из Y. При таком определении ясно, что Ф просто сходится к v на В, так что v является пределом Ф в ; Y) по предложению 5. В частности, если Y полно, то предположение следствия 3 предложения 5 выполняется для каждого II cz JF (X; У), откуда Ткоремл 1. Пусть X — множество, @ — некоторое мно- множество его подмножеств uY — полное равномерное пространство; тогда равномерное пространство \Fq (X; У) полно. О, ^'сходимость в пространствах непрерывных отображений Пусть X и У — топологические пространства; обозначим через % (X; У) множество всех непрерывных отображений X в У. Если <В — какое-либо множество подмножеств пространства X и У — равномерное пространство, то через г<% (X; У) будем обозначать множество V> (X; У), наделенное равномерной структурой @-схо-
182 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. X, § 1 димости. В частности, ^s (X; У), <€>с (X; У), ^и (X; У) означают множество %{Х; У), паделеппое соответственно равномерной струк- структурой простой сходимости, компактной сходимости и равномерной сходимости. Предложение 6. Пусть X — топологическое пространство, Y — равномерное пространство, (g — некоторое множество под- подмножеств из X. Для'^каждого А £ (g и каждого замкнутого окру- окружения V для Y следы на % (X; У) X % (X; Y) множеств И' (А, V) и W (Л, V) совпадают. В^самом деле, пусть и и у — непрерывные отображения X в У; тогда х *-*■ (и (х), v (х)) есть непрерывное отображение X в У х У, и потому предположение, что (и (х), v (х)) 6 V для всех х £ А влечет, что (и (х), v (х)) £ V для всех х 6 А (гл. I, 2-е изд., § 4, теорема 2; 3-е изд., § 2, теорема \). Обозначая через @f множество замьтканий в X множеств из (g. заключаем из предложения 6, что в % {X; У) структуры ©-схо- ©-сходимости и (g-сходимостн совпадают. Следствие. Пусть В—плотное подмножество в X; в % (X; У) структура равномерной сходимости совпадает со струк- структурой равномерной сходимости на Б. Предложение 7. Пусть X — топологическое пространство, (g — некоторое множество его подмножеств и У — равномерное пространство. Если Y отделимо и объединение В всех множеств из <g плотно в X, то Vq (X; У) отделимо. В самом деле, если и и и принадлежат всом W (А, V) (А £ (g, V — окружение для У), то предположение отделимости У влечет, что и (х) - v (х) для всех х 6 В\ если и и у непрерывны, то по прин- принципу продолжения тождеств (гл. I, 2-е изд., § 8, следствие 1 пред- предложения 6; З-о изд., § 8, следствие 1 предложения 2) заключаем отсюда, что и = и. В частности, в 'G (X; У) топология простой сходимости на мно- множестве, плотном в X, отделима. Иредложвник 8. Пусть X — множество, ^ — фильтр в X и Y — равномерное пространство. Множество II всех отображе-
С, РАИНОМКРНЛЯ СТРУКТУРА ©-СХОДИМОСТИ 1815 кий и: X -*■ У, для которых и (%) есть базис фильтра Коши в У, замкнуто в ,fu (X; У). 13 самом дело, пусть отображение и0 множества X ъ Y есть точка прикосновения для // в jFu (X; Y). Для всякого симметрич- симметричного окружения V равномерной структуры пространства У суще- стиует такое отображение и £ //, что (и0 (х), и (х)) £ V, каково бы ни было х£Х; с другой стороны, по предположению, существует множество М £ % такое, что {и (х), и (х1)) £ V для каждой пары .элементов х, х' из М. Поскольку (и0 (х), и (х)) £ V и (и0 (х'), з и (х')) £ V, заключаем, что (и0 (х), u0 (x1)) £ V для каждой пары элементов х, х из М, и нредложоние доказано. Слкдстпик 1. Пусть X — топологическое пространство и Y — равномерное пространство. Множество всех отображений X в У, непрерывных в некоторой точке х0 6 X, замкнуто в :ги(Х; У). В самом деле, если 33 — фильтр окрестностей точки х0 в X, то и (х0) ость предельная точка для и B5); следовательно, для того чтобы и было непрерывно в х0, необходимо и достаточно, чтобы и B5) являлось базисом фильтра Коши в У (гл. II, 2-е изд., § 3, предложение 4; 3-е изд., § 3, следствие 2 предложения 5). Слкдстпие 2. Пусть X и L — множества, фильтрую- фильтрующиеся соответственно по фильтрам ^ и @3, а У — полное равно- равномерное пространство. Пусть далее и^ для каждого К 6 !■> есть отображение X в У. Предположим, что: 1° семейство (ик)^ь схо- сходится по фильтру @ равномерно на X к отображению v множества X в У; 2° ц?„ для каждого л- £ L сходится по фильтру % к пределу j/j,. ///ж этих условиях и имеет предел по фильтру ^ и всякий такой предел является пределом семейства (yi)^L no @. В самом деле, г; есть точка прикосновения множества отображе- отображений и% v. .if-'и (X; У), а значит, но предложению 8 и (^) есть базис фильтра Кошп в У, чем в силу полноты У доказано, что и обладает некоторым продолом у но $у. Пусть X' -= X [} {со} — топологи- топологическое пространство, ассоциированное с фильтром $у (гл. I, 2-е изд., § 5, Т1° 8; .'3-е изд., § G, п° Г)); продолжим их (соотв. с) до отображения мх (соотв. г;) пространств X' в У, полагая
184 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. X, § 1 uh (о)) = у% (соотв. а (со) = у). Тогда все и% и v будут непрерыв- непрерывны bI'muj будет сходиться равномерно на X к v по @; посколь- поскольку X плотно в X', следствие предложения G показывает, что ик будет сходиться равномерно на X' к v и, в частности, что у = Теорема 2. Пусть X — топологическое пространство и У — равномерное пространство. Тогда множество # (X; У) всех непрерывных отображений X в Y замкнуто в $р (X; У)» наделен- наделенном топологией равномерной сходимости. В самом деле, для каждого х £ X множество всех отображений X в У, непрерывных в точке х, замкнуто в jFu (X; Y) (следствие 1 предложения 8); поэтому и пересечение % (X; Y) этих множеств замкнуто. Этот результат выражают още, говоря, что всякий равномерный предел непрерывных функций непрерывен. Следствие 1. Если Y— полное равномерное пространство, то Ч$и(Х; Y) полно. Действительно, по теореме 2 "<?„ {X; Y) есть замкнутое равно- равномерное подпространство равномерного пространства jFu (X; Y), полного в силу теоремы 1. Следствие 2. Пусть X — топологическое пространство, <& — некоторое множество его подмножеств и Y — равномерное пространство; обозначим через %^(Х; Y) множество всех отобра- отображений X в Y, сужение которых на каждое множество из <& непре- непрерывно. Тогда frg (X; Y). замкнуто в равномерном пространстве Ж& (X; Y) и является полным равномерным подпространством, если Y полно. Действительно, предположим, что и есть точка прикосновения для f© (X; У) в ,Fs № У)' Т0ГДа (п° 2) и\А при всяком А 6 <3 есть точка прикосновения для % (А; У) в ,fu (А; У) и потому в силу теоремы 2 непрерывно. Следствие 3. Пусть X — метризуемое или локально ком- компактное топологическое пространство и У — равномерное про-
в РАВНОМЕРНАЯ СТРУКТУРА С-СХОДИМОСТИ 185 странство. Тогда гб (X; Y) замкнуто в равномерном простран- пространстве у?с (X; У); если, кроме того, Y полно, то равномерное про- пространство 'ёс (X; Y) полно. В силу следствия 2 достаточно показать, что если Q — мно- множество всех компактных подмножеств из X, то #3 № Y) — --^{Х; Y) в обоих рассматриваемых случаях. Если X локально компактно, то это очевидно; если же X метринуемо, то предполо- предположение непрерывности сужения отображения м: X-*• Y па вся- всякое компактное множество в X влечет, в частности, что для каж- каждого х £ X и каждой последовательности (zn) точек из X, сходя- сходящейся к х, и (х) -■ lim и (zn); следовательно, и непрерывно в х Пч-оо (гл. IX, § 2, предложение 10). Отметим, что последнее рассуждение применимо в том более общем случае, когда всякая точка в X обладает счетной фунда- фундаментальной системой окрестностей. Замечания. 1) Вообще говоря, множество "& (X; Y) не замкнуто в <>р (X; Y), наделенном топологией простой сходи- сходимости; другими словами, простой предел непрерывных функций но обязательно непрерывен (упражнение 5а)). 2) Фильтр в % (X; Y) может просто сходиться к непрерывной функции, не сходясь к ней равномерно. Например, пусть ип — числовая функции на интервале I = = [0, 1), равная 0, еепп х — 0 или — ^ х < 1, равная 1 при х — \1п и линейная'на каждом из интервалов [0, Мп\ и [\'п, 2/п]; тогда после- последовательность {ип) просто сходится к 0, но не сходится к 0 рминомерпо на I (см. упражнение 6). 3) Если X — равномерное пространство, то рассуждение, со- совершенно аналогичное проведенному при доказательство пред- предложения 8, показывает, что множество всех равномерно непрерыв- непрерывных отображений X в Y замкнуто в jf"a (X; У). 4) Предположим, что равномерное пространство Y наделено аддитивно записываемым ассоциативным и коммутативным зако- законом композиции таким, что отображение (у, у') у-*- у -f- у' не- непрерывно на У X 5'. Пусть (ип) — такая последовательность непрерывных отображений X в Y, что ряд с общим членом щ
180 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. X, § 1 равномерно сходится на X; тогда сумма] этого ряда непрерывна па X. Мы оставляем читателю формулировку соответствующего ре- результата для равномерно суммируемых семейств (и0 1, замечание 5) непрерывных отображений. Предложении 9. Пусть X — топологическое пространстве и У — равномерное пространство. Тогда отображение (/, х) н-> *-*■ / (х) пространства 'fu (X; У) X X в Y непрерывно. В самом деле, пусть /0 — непрерывное отображение X в Y, х0 — точка из X и V — симметричное окружение для У. Множе- Множество Т непрерывных отображений /: X -*- Y таких, что (/ (х), /о (х)) £ У для всех х £ X, есть окрестность /0 в ?„ (X; У). С дру- другой стороны, так как /0 непрерывно, то существует такая окрест- окрестность U точки х0 в X, что (/0 (х), /0 (£„)) 6 У для всех х £ U- Сле- 2 довательно, (/ (z), /0 (z0)) £ У для всех (/, х) £ 71 х С/, и предло- предложение доказано. Упражнения 1) Пусть Z — множество, У — непустой и по аюдящоеся к одной точке рпиномерноо простринстно, 2 — непустое множество непустых подмпожостп множопна X п У с: S~ (X; Y) — множестко лсех постоян- постоянных отображении X и У. Обозначим через с?/ дли каждого // £ У постоян- постоянное отображение X в У, ршшоо ;/. а) Покияать, что ;/ t—*■ c,t есп. ино.морфилм пространства У rta раниоморпое нодпростр.'игство У" пространства S-q (X; У). б) Для того чтобы .^g (X; У) было отделимо, необходимо (и доста- достаточно), чтобы У было отделимо, a S покринало X. и) Для того чтобы У было ^«минуто и !Fq{X;Y), необходимо и достаточно, чтобы ?Р~ (X; У) было отдел пио. 2) Пусть X — множество, У— непустое и не сводящееся к одной точко отделимое равномерное нространстно, a ©i и 32 — множестна подмножеств множества X, удовлетворяющие уеюниям (Fj) и (Kj[) п° 2; пока.-штг., что если 6,cS, и 6, у «„, то paniioMujiiiaii струк- структура S^-еходимостн слабее pfiiiiiOMejinoii структуры <£а-сходимости. И частности: 1° Если X — отделимое но компактное топологическое- простран- пространство, то равномерная структура компактной сходимости слабее равно- равномерной структуры равномерной сходимости. 2е Если X — отделимое топологическое нространетио, в котором сущестнушт бесконечные компактный множества см. гл. I, И-е изд.,
УПРАЖНЕНИЯ 187 § !), упражнение 4), то ратшомерппя структура простои сходимости слабее равномерной структуры компактно!"! сходимости. 'Л) Пуст1> X — множество, 3 — его покрытие, У — неотделимое равномерное нроетранетно п Уо — ассоциированное с. У отделимое ривномерноо проетранетно (гл. II, 2-е изд., § 1, н° 4; .Ч-е и;|д., § 'Л, n° 8). Показать, что отделимое равномерное пространство, ассоциированное, с 5^ (X; У), изоморфно &% (X; Уо). 4) Покапать, что и множестве % (В, 1$) леех непрерывных конеч- конечных числовых функций, определенных на В, топологии равномерной сходимости получается pa;iJMi4iioii, смотри по тому, наделим ли мы 1? аддитппной равномерной структурой или ])aniioMepiioii е.т]>уктурой, которую индуцирует (едннстпемпал) равномерная структура расши- расширенной прямой It (хотя топологии, определяемые и R лтнми двумя pun померим мл структурами, с.опнадпют). .")) Пусть X — топологическое проетранетно; множество © его подмножеств на:п.пш1от насыщенным, если © удоилетпо]1яет условиям (Fj) и (Fjj) и° 2 и замыкание всякого множества из © принадле- принадлежит ©. а) Показать, что если X — нормальное проетранетно (гл. IX, § 4) и 6 — пасыщепмор множество его подмножеств, покрывающее X, то мпожегтно ¥{Х; II) плотно л пространство cff~ (X; R) (следствие 2 теоремы 2), наделенном топологией ©-сходимости; и частности, <ё(Х; It) плотно н SF3(X; П); f (X; It) замкнуто н :F,H(X; It) только когда X дискретно. б) Пусть X — вполне регулярное пространство (гл. IX, § 1, и" Г)), а ©, п ©2 — насыщенные миожестна его нодмпожестп; пред- предположим, что ©I с: ©2 и ©1 -/ ©2- Показать, что и %' (X; И) топо- топология ©[-сходимости слабее топологии ©„-сходимости. (!) а) Пусть X -- топологическое нроетранетно, У — раниомерное пространство и Ф — фильтр в множестве 1С (X; У), просто сходящийся к некоторой функции ;/„. Для того чтобы //.„ бьгла пеирерыипм в точ- точке хй G А', необходимо н достаточно, чтобы для каждого окружения V равномерной структуры пространства У и каждого множества М £ Ф существовали окрестность V точки т0 и и С М такие, что (и„ (г), и (.г)) £ С V при. всех х £ U. б) Пусть X — кназнкомпактнос пространство, У ■• рмнпомерное проетранетно н Ф — фильтр и Г('(Х; У), просто сходящийся к некото- некоторой функции »0. Для того чтобы и0 была пенре|!ывиа на X, необходимо и достаточно, чтобы для каждого окружения V для У н каждого множе- множества М С: Ф существовало конечное! число функции iii 6 М A < I < п), для которых при любом х (■ X имелся хотя бы один индекс / таком, что (t/0 (x), ui {x)) £ V. [Использовать а).] *7) Пусть X и У — отделимые равномерные пространства. График G (/) С X У, Y любого непрерывного отображении /: X -»- У есть
188 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. X, § 1 замкнутое множество вХХУ (гл. I, 2-е. изд., § 8, следствие 2 пред- предложения 0; 3-е изд., § 8, следствие 2 предложения 2), так что / н-»■ G (/) ость ивъектшшоо отображение f (Х;У) в множество 5' (X X У) всех непустых замкнутых подмножеств нространстпа X X У. а) Показать, что отображопие / I—♦ С (/) пространства Ч^и (X; У) и $• (Л" X У) равномерно непрерывно, рели нпдолить SF (X', У) равно- равномерной структурой, определенной в упражнение 7 § 2 гл. II 2-го изд. C-е нмд., § 1, упражнение 5). б) Пусть Г — обрив множества % (X; У) в й (X X У) при ото- отображении/ н-*С(/) иф — отображопио Г и ¥и(Х; У), обратное к f >-*■ н-*1 G (/). Показать, что если X компактно, тоф непрерывно на Г. [Рас- [Рассуждать от противного.] в) Пусть X и У совпадают с компактным интервалом [0, 1| в R. Покапать, что ф не равномерно непрерывно на Г. ♦8) Пусть X и У — метрические пространства и (/„) — после- последовательность боррлевских отображений класса а пространства X в У (гл. IX, § 6, упражиепио 16). а) Предположим, что последовательность (/„) просто сходится к некоторому отображении! /: X -+■ У. Показать, что / принадлежит классу а -\- 1. [Заметитт., что если V — открытое множество в У, то / (U) = \j (|| fn+h (t/))> и испольлопать упражнение 4 § 6 гл. IX.] б) Предположим, что последовательность (/„) равноморно сходит- сходится к /. Показать, что / принадлежит классу а. [Пусти F — замкнутое множество в У и Vn для каждого п > 0 означает множество тех точек Из У, расстояние которых до F не превышает 1/п. Показать, что суще- существует возрастающая последовательность п ►-*• т (и) номеров такая, п в) Предположим, что У — счетного тшге. Показать, что если /: X -»■ У — борелевская функция класса а > 0, то существует после- последовательность (g-n) боррлевских функций. ^п: X -*• У класса < а, просто сходящаяся к /. [Показать, что в качество #„ можно ваять функции, принимающие только конечное число аиачешш; иснользо- впть упражнения 4з) и 16п) § 6 гл. IX. 1 *9) Пусть X — бэровское пространство, У -- метрическое про- пространство и (/„) — последовательность непрерывных отображений X в У, просто сходящаяся к /. Точка х £ X называется точкой равно- равномерной сходимости, последовательности (/„), если для каждого е > О существуют окрестность V точки х и целое /; такие, что d (}m {у), fn ('/)) *£г в для всех m > j, » >-р и у f V (где d — расстояние в У). Показать, что дополнение 5 к множеству точек равпомерлой сходимо-
УПРАЖНЕНИЯ 189 сти есть тощее множество и X. [См. упражнение 22а) § 5 гл. IX.] Привести пример, в котором 5 плотно в X. [Взять X = Y — R; пусть п н-*■ г„ —бигкция N itn Q; с другой стороны, пусть (gn) — последо- последовательность непрерывных отображений Н в [0, 1], сходящаяся к функ- функции, равной 0 для х -/• 0, и рашюй 1 в точно 0, причем сходимость равномерна иа всяком открытом интервале из U, we содержащем 0. Рассмотреть последовательность функций со /п М = ]>] ЯрКп {х — гр), 0 где последовательность (а;)) надлежащим образом стремится к 0.] 10) Показать, что в группе Г всех гомеоморфизмов числовой .прямой II па себя топология простом сходимости совпадает с тополо- топологией компактной сходимости. [См. упражнение 14 § 3.] 11) Пусть X — топологическое пространство и С- топологиче- топологическая группа; множество 4$(X',G) всех непрерывных отображений X в G есть подгруппа группы Gx. Пусть © — некоторое множество подмножеств из X. п) Предположим, что для каждого А 6 0, каждой окрестности V нейтрального момента е в G и каждого и £ $ (X; С) существует окре- окрестность W элемента е в G такая, что sWs'1 С V для всох s £ и (А). Показать, что тогда топология ^-сходимости согласуется со структу- структурой группы в Ч£ (X; С); кроме того, правая (соотв. левая) рашюмерная ■структура так определенной топологической группы fg (X; 6'), где € наделена правой (соотв. левой) равномерной структурой, совпадает с равномерной структурой 8-сходимости. Случай простой сходимости; •случай компактной сходимости, когда G локально компактна. Случай, «огда G коммутативна. б) Показать, что если G — группа SL B, И), наделенная тополо- топологией, индуцированной из tt*, то топология равномерно]"! сходимости но согласуется со структурой группы и % (И; С). 12) Пусть X — топологическое пространство и А — топологи- топологическое кольцо (гл. Ill, 2-е изд., § Г>, п° 1; 3-е изд., § 6, п° 3); мно- множество <g(X; А) всех непрерывных отображений X в Л является подкольцом кольца А . Пусть б> — некоторое множество подмпо- экеств из X. а) Предположим, что множества и (М) для всох М £ © и и g 6 $(Х; А) ограниченны (гл. III, 3-й изд., § 6, упражнение 12). Пока- Показать, что топология ©-сходимости согласуется со структурой кольца в % (X; Л). Случаи простои и компактной сходимости. б) Пусть X — локально компактное, но не компактное простран- стно, счетное в бесконечности (гл. I, 2-е и.чд., § 10, и° 11; 3-е изд., 5 0, п° 9). Показать, что топология равномерной сходимости не согла- согласуется со структурой кольца в С (X; И).
4Я0 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. X. §2 § 2. Равностепенно непрерывные множества 1. О71 ре)f\ieiiue и опщие признаки Определение 1. Пусть X — топологическое простран- пространство и У — равномерное пространство. Говорят, что множество IIс *Г (X; У) равностепенно непрерывно в точке х0 £ X, если для каждого окружения V равномерной структуры пространства Y существует окрестность U точки х0 в X такая, что (/ (xti), f (x)) £ 6 V для всех точек х £ U и всех функций / £ //. Говорят, что II равностепенно непрерывно, если оно равностепенно непрерывно в каждой точке из X. Определение 2. Пусть X и Y — равномерные простран- пространства. Говорят,, что множество IIcz $■ (X; Y) равномерно равно- равностепенно непрерывно, если для каждого окружения V равномерной структуры пространства Y существует окружение U для X такое, что отношения (х, х') (• U и f £ Н влекут (/ (х), / (х')) 6 V. Гопорят, что семейство (/t)tgj отображений X в Y равностепен- равностепенно непрерывно в точке х0 (соотв. равностоненно непрерывно, равномерно равностепенно непрерывно), если множество всех /t равностепенно непрерывно в х0 (соотв. равностепенно непре- непрерывно, равномерно равностепенно непрерывно). Ясно, что если II cz jF (X; Y) равностепенно непрерывно в х0, то каждая функция f € Н непрерывна в ж0; если Л равностепенно непрерывно, то все f £ II будут тем самым непрерывны па X, т. в. Н cz% (X; У). Точно так нее, если // равномерно равностепенно непрерывно (так что X — равномерное пространство), то каждая функция f £ II равпомерио непрерывна на X. Ясно, что если Н равномерно равностепенно непрерывно, то оно равностепенно непрерывно; однако множество равномерно непрерывных отобра- отображений может быть равностепенно непрерывным, но будучи равно- равномерно равностепенно непрерывным (см. упражнение 1, следствие 2 предложения 1 и предложение А). Пример и. 1) Пусть X — топологическое (соотв. равномерпое) пространство и Y — рашгомермос пространство. Всякое конечное множество непрерывных (соотв. равпомерио непрерывных) отображе- отображении Х{ъ Y равностепенно непрерывно (соотв. равномерно равностс- непрерывно').
J РАВНОСТЕПЕННО НЕПРЕРЫВНЫЕ МНОЖЕСТВА 191 2) Пусть X и У — метрические пространства, d (соотв. d') — расстоявие I! X (соотв. и У), л к и а — числа >0. Множество пегх отображений /: X -*■ У таких, что el' (fix), 1 (х')) К к (d (х, x')f ,. для каждой пары (х, х') точек из X, равномерно равностепенно неире- рыипо. Например, множество всех изометрий (гл. IX, § 2, п° 2) про- пространства X ва некоторую часть пространства У равномерно равно- равностепенно иепрерыимо. 0 Пусть // — какое-либо множество дифференцируемых числовых функции на Интерполе / d К таких, что | /' (л-) | < к дли всех х £ / и нсех / £ П. Тогда // равномерно равностепенно непрерывно, ибо по теореме о конечных приращениях (Функции действ, перем., гл. I, § 2, теорема 1) | / (хл) — / {хг) | ^ к | xv -- хг \ для нсех xlt хг иа / и нсех / £ II.о Щ Пусть С — топологическая группа, У — раиномеркос про- пространство к / — равномерно непрерывное отображение группы G, наделенной своей леиой равномерной структурой (гл. III, § 3, п° 1), и У. Пусть /., для каждого я G G означает отображение х I—••/ (sx) груп- in.i G и У. Тогда мпожестио отобряя«'НиГ| /л (s £ С) равномерно ранио- стенепно непрерывно, поскольку соотношотге х~хх' С. V ранпосилыю (sx)-1 (.«') G V. Предложение 1. Пусть Т — множество, <& — некоторое множество его подмножеств, Y — равномерное пространство, К — топологическое (соотв. равномерное) пространство и } — отображение Т X X в Y. Пусть далее 11 a cz ;f (X; Y) для каж- каждого А 6 <£ есть множество всех отображений вида х у~* / (t, x), где t £ Л. Для того чтобы отображение х ►-*■/(•, х) пространства X в .^"s (^; Y) было непрерывно в точке хо£Х (соотв. равномерно непрерывно), необходимо и достаточно, чтобы множество ПА Оля каждого Л £ <& было равностепенно непрерывно в х0 (соотв. равномерно равностепенно непрерывно). Рассмотрим сначала тот частный случай, когда <3 -- {Т}, т. с. .Fs G1; Y) ■"= .'fu (T; У). Каково бы ни было окружение V для У, условие (/(•, х), /(•, х')) 6 W (V) означает, что (/ (t, x), I (t, х')) £ V для всех t £ Т. Поэтому непрерывность отображения х ь-> / (., х) в х0 (соотв. равномерная непрерывность) означает, что каково бы ни было окружение V для У, существует окрестность U точки х0 в X (соотн. окружепиоМ для X) такая, что отношение х £ U (соотв. (х, х') £ М) влечет (/ (t, x), / (t, x0)) £ V (соотв.
192 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. X, § 2 (/ (t, x), f (t, х')) £ V) для всех t £ Т; а тогда справедливость пред- предложения вытекает из определений 1 и 2. В общем случае, согласно сказанному в п° 2 § :1, следует сказать, что отображение х*~+- »-*■/(., х) \ А пространства X в ,<fu (А; У) для каждого А £ @ непрерывно в точке аг0 (соотв. равномерно непрерывно); в силу предыдущего это равносильно условию, что ВА для каждого А £ © равностепенно непрерывно в точке а?0 (соотв. равномерно равностепенно непрерывно). Предложение 1 позволяет дать подчас удобную перефразировку определений 1 и 2 применительно к случаю, когда Т — II, а / — отображение (h, x) t-+ h (х) произведения // X X в Y; поскольку / (•, х) есть тогда отображение h *-+■ h (х) множества // » У, получаем Следствие 1. Пусть X — топологическое (соотв. равно- равномерное) пространство, Y — равномерное пространство и Н cz d^F (X; Y). Для каждого х £ X обозначим через х отображение h*-+ h (x) множества II в Y. Для того чтобы II было равностепенно непрерывно в точке х0 (соотв. равномерно равностепенно непре- непрерывно), необходимо и достаточно, чтобы отображение х >-* х про- пространства X в равномерное пространство ,f\x, (H\ Y) было непре- непрерывно в точке х0 (соотв. равномерно непрерывно). В частности, так как, когда X компактно, всякое непрерыв- непрерывное отображение X в ,^FU(#; У) равномерно непрерывно (гл. II, § 4, теорема 2), имеем: Следствие 2. Пусть X — компактное пространство и У — равномерное пространство. Всякое равностепенно непрерывное множество в JF" (X; Y) равномерно равностепенно непрерывно. Рассмотрим теперь множество Т, топологическое пространство X, равномерное пространство У и отображение /: Т X X -+■ У. Обозпачим через J отображение ««•/(■, х) пространства X в &а (Т; У), и пусть 0: (t, g) <-*■ g (t) — каноническое отображе- отображение Т х jF« {T; Y) в У; ясно, что диаграмма У л / Г*сГи(Т;У)
/ РЛВНОСТКПЕННО НЕПРЙРЫВНЫК МНОЖЕСТВА 15K (где i;r — тождественное отображение) коммутативна. Предпо- Предположим: теперь, что Т наделено топологией и отображение / (•, х): t>-+f {t, х) для каждого х £ X непрерывно; тогда в пре- предыдущей диаграмме .можно заменить ,fa (Г; У) на Г6и (Т; У). Но, как mtj знаем, 6 непрерывно (§ 1, предложение 9), и потому, сечи отображение / непрерывно, то непрерывно и /. Поскольку непрерывность / характеризуется предложонием 1, получаем сле- следующий результат: Следствии 3. Пусть Т и X — топологические пространства, У — равномерное пространство и / — отображение Т X X в У. Для непрерывности f достаточно, чтобы выполнялись следующие условия: 1 ° частичное отображение t*-*-f(t, x) непрерывно для каждого ■г 6 X; 2° частичные отобраясения х *■+■ / (t, x), где t пробегает Т, обра- образуют равностепенно непрерывное подмножество в jF(X; Y). Возьмем, в частности, в качестве Т множество На jf (X; У), п в качестве / — каноническое отображение (h, x)*-*-h (x) произ- произведения Я х X в 7; условие 1° следствия 3 будет означать, что If наделено топологией, мажорирующей толологию простой сходи- сходимости, а условие 2° — что // равностепенно непрерывно. Таким образом: Следствие 4. Пусть X — топологическое пространство, У — равномерное пространство и Н — равностепенно непрерыв~ пое множество отображений X в У. Если И наделено топологией простой сходимости, то отображение (h, х) *■+■ h (x) произведе- произведения В X X в У непрерывно. Говоря образно, это означает, что если h Cz II просто сходится к Л о 6 Hi а х £ X сходится к х0, то h (х) сходится к А„ (я0). Следствие 5. Пусть X — топологическое пространство, У и Z — равномерные пространства и И — равностепенно непре- непрерывное множество отображений У в Z. Если, Н, % (X; У) и '£ (X; Z) наделены топологией простой сходимости, то отобра- отображение {и„ v) *-*■ и о v произведения Н X То (X; У) в % (X; Z) непрерывно. 13 Н. Бурбаки
194 функциональный пространства гл. х, § 2 В самом деле, требуется доказать непрсрывиость отображения (u, v) у-*- и (у (х)) произведения Н X ¥ (X', У) в Z для любого х£Х. Но v >-*■ v (х) непрерывно на И (§ 1, п° 2, замечание 0), и из следствия 4 вытекает, что {и, у)*-*и (у) есть непрерывное ото- отображение // X У n Z; поскольку (и, v) у-*- и (v (х)) есть композиция отображений (и, у)*-*и {у) и (u, v) *-*■ (и, v (x)), предложение дока- доказано. Следующее предложение и ого следствие — аналоги следствий 3 и 4 предложении 1 для равномерно непрерывных отображений. Предложение 2. Пусть Т, X, Y — равномерные простран- пространства и / — отображение Т X X в У. Для того чтобы / было равно- равномерно непрерывно, необходимо и достаточно, чтобы были выпол- выполнены следующие условия: 1° отображения x*-*-f (t, x), где t пробегает Т, образуют рав- равномерно равностепенно непрерывное множество в ,f (X; У); 2° отображения t\~*f (t, х), где х пробегает X, образуют рав- равномерно равностепенно непрерывное множество в вр (Г: У). Непосредственно ясно, что эти условия необходимы. Обратно, предположим, что они выполнены, и пусть W — окру-, жение для У; тогда существуют окружение U для Т и окруже- окружение V для X такие, что: 1е (?, t") £ U влечет (/ (f, х), / (*", х)) 6 е W для всех х 6 X; 2° (х', х") € V влечет (/ (t, х'), / (t, х)) 6 W для всех t £ Т. Ясно, что тогда отношение «B\ t") £ U и (х', х") £ £ Vi> влечет (/ (f, x'), / (t", x")) £ W, и предложение доказано. Пусть, в частности, Т есть множество IIcz JF-(X', У), наделен- наделенное равномерной структурой равномерной сходимости, а / — каноническое отображение (h, x)^~*-h{x); тогда условие 2° пред- предложения 2 автоматически выполнено, ибо, каково бы ни было окружение W для У, множество тех иар (h', h"), для которых (ti (ж), h" (х)) 6 W при всех х £ X, является но определению окру- окружением равномерной структуры в Я. Достаточно поэтому выра- выразить только условие 1°; таким образом имеем Следствие. Пусть X, У— равномерные пространства и На $Р (X; У). Для того чтобы Н было равномерно равностепенно
2 РАВНОСТЕПЕННО НЕПРЕРЫВНЫЕ МПОЖКСТВА 195 непрерывно, необходимо и достаточно, чтобы отображение (h, х)>-+ ►-»• h (х) произведения Н X X в Y было равномерно непрерывно при паделе}ши Н равномерной структурой равномерной сходимости. V?. Специальные признаки равностепенной непрерывности Ясно, что всякое подмножество равностепенно непрерывного (соотв. равномерно равностепенно непрерывного) множества рав- равностепенно непрерывно (соотв. равномерно равностепенно непре- непрерывно). Кроме того, если X — топологическое (соотв. равномер- равномерное) пространство и У — равномерное пространство, то объедине- объединение всякого конечного семейства равностепенно непрерывных (соотв. равномерно равностепенно непрерывных) множеств из .F(X; У) равностепенно непрерывно (соотв. равномерно равно- равностепенно непрерывно). Пусть X и X' — топологические (соотв. равномерные) про- пространства, У и У — равномерные пространства, /: X' -+■ X — непрерывное (соотв. равномерпо непрерывное) отображение и g: Y—у У — равномерно непрерывное отображение. Из опреде- определений непосредственно следует, что отображение и *-*■ g о и о / множества jF(X; Y) в ^F (X'; Y') переводит равностепенно непре- непрерывные (соотв. равномерно равностепенно непрерывные) множе- множества в равностепенно непрерывные (соотв. равномерно равносте- пеппо непрерывные) множества. Предложение 3. Пусть X — топологическое (соотв. рав- равномерное) пространство, (Fi)tgr — семейство равномерных про- пространств, Y — множество и Д для каждого i — отображение Y в Yb. Наделим Y слабейшей из равномерных структур, при кото- которых все /t равномерно непрерывны. Для того чтобы множество II cz с: jF(X; У) было равностепенно непрерывно (соотв. равномерно равностепенно непрерывно), необходимо и достаточно, чтобы его образ при отображении и ь-» Д о и был равностепенно непрерыв- непрерывным (соотв. равномерно равностепенно непрерывным) множеством в & (X; Yi) для каждого i £ /. Это непосредственно следует из определений 1 и 2 п° 1 и опре- определения окружений для У. 13*
196 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. X, § 2 Предложение А. Пусть X и Y — равномерные простран- пространства, II — некоторое множество равномерно непрерывных отобра- отображений X в У, X uY — отделимые пополнения пространств X uY и Я — множество отображений и: X -*- Y где и пробегает Н (гл. II, 3-е изд., § 3, предложение 15). Для того чтобы Н было равномерно равностепенно непрерывным., необходимо и достаточно, чтобы таким было II. Напомним, что имеет место коммутативная диаграмма хЛу *1 1*. A) X -? Y и где i и / — канонические отображения; кроме того, равномерная структура в X (соотв. Y) есть прообраз относительно отображения i (соотв./) равномерной структуры в X (соотв. У). Таким образом, для того чтобы II было равномерно равностепенно непрерывно, необходимо и достаточно, чтобы этим свойством обладал его образ при отображении ш->/«и (предложение 3), причем можно даже ограничиться случаем, когда Y отделимо и полно; кроаге того, если II равномерно равностепенно непрерывно, то то же верно и для II—его образа при отображении и -+■ и о i; поэтому все сводится к установлению обратного в случае, когда У — Y. Итак, пусть V — замкнутое окружение для У; по предположе- предположению, существует такое окружение U для X, что отношения (х, х') £ 6 U и и■ £ Н влекут (и (х), и (х')) £ V. Во если V есть образ окру- окружения U при отображепии I x i, то его замыкание СУ'.в X X X 'является окружением в X (гл. II, 2-е изд., § 3, предложение 10; 3-е изд, § 3, предложение 12); из предположения следует, что для (z, z') £ U' и и £ Я имеем (и (г), и {%')) £ V, а так как V зам- замкнуто и и непрерывно, то тогда также (и (/), и (/')) £ V, каковы бы ни были (if, t') £ U' и и £ Я, что завершает доказательство. Предложение 5. Пусть G и G' — топологические группы, наделенные своей левой равномерной структурой, и II — некото- некоторое множество представлений G в G'. Следующие условия равно- равносильны:
;t РАВНОСТЕПЕННО НЕПРЕРЫВНЫЕ МНОЖЕСТВА 197 а) Н равностепенно непрерывно в нейтральном элементе е группы G; б) II равностепенно непрерывно; в) // равномерно равностепенно непрерывно. Достаточно доказать, что а) влечет в). Пусть V — окрестность нейтрального элемента е' группы G'; по предположению, сущест- существует окрестность V элемента е в G такая, что и (V)cz V для всех ч £ Л; поскольку элементы множества // — представления, отно- отношение х~1у 6 V влечет (и (х))~ги(у) = и {х~*у) £ V. Но в силу определения окружений левых равномерных структур в G и 6" (гл. ill, § 3, п° 1) это и означает, что Н равномерно равностепенно непрерывно. .7. Замыкание равностепенно непрерывного множества Иредложеннв 6. Пусть X — топологическое (соотв. рав- равномерное) пространство, Y — равномерное пространство и II а cz ,<f (X; Y). Для того чтобы Н было равностепенно непрерывно « точке хй £ X (соотв. равномерно равностепенно непрерывно), необ- необходимо и достаточно, чтобы его замыкание II в пространстве .Т'я {X; Y) было равностепенно непрерывно в точке х() (соотв. равно- равномерно равностепенно непрерывно). Условие тривиальным образом достаточно. Для доказательства необходимости рассмотрим окружение V для У, замкнутое и Y X Y; по предположению, существует окрестность U точки х0 в X (соотв. окружение М для X) такая, что отношение х £ U (соотв. (х', х") £ М) влечет (Л (х0), h (x)) 6 V (соотв. (h (x'), h (х")) £ V) для всех h 6 II. Так как V замкнуто, то отображения h 6 ..!F (X; Y) такие, что (h (x0), h (x)) 6 V для всех х £ U (соотв. {h (x'), h (х")) £ V для всех пар (х', х") £ М) образуют замкнутое множество в ,'/"„ (X; Y) (§ 1, п° 2, замечание E); поскольку это замкнутое множество содержит И, оно содержит If, чем предло- предложение и доказано, поскольку окружения для Y, замкнутые вУ X X Y, образуют фундаментальную систему окружений (гл. II, 2-е изд., стр. 162 русского перевода; 3-е изд., § 1, следствие 2 предложения 2).
198 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. X, § 2 4. Простая сходимость и ко.чпактнан сходимость в равностепенно непрерывных, множествах Теорема 1. Пусть X — топологическое (соотв. равномер- равномерное) пространство, У — равномерное пространство и II — равно- равностепенно непрерывное (соотв. равномерно равностепешю непре- непрерывное) множество в '( (X; У). Тогда в II равномерные структуры компактной (соотв. предкомпактной) сходимости, простой схо- сходимости и простой сходимости на плотном подмножестве D про- пространства X совпадают. Достаточно показать, что последняя равномерная структура в II мажорирует первую; другими словами, требуется доказать, что для любых окружений V равномерной структуры простран- пространства У и компактного (соотв. нредкомпактного) множества А в X существуют окружение W для У и коночное множество F сг D такие, что отношение и е II, v£II и (и (ж), v (ж)) 6 W для всех х 6 F B) влечет (и (х), v (х)) £ V для всех х б А. C) Предположим сначала, что А компактно, а И равпостепепно непрерывно. Пусть дано симметричное окружение W для У; каждая точка х£ X обладает такой окрестностью U (х), что отно- отношение х' £ U (х) влечет (и (х), и (х')) 6 W для всех и £ //. Поэто- Поэтому компактное множество А можно покрыть конечным числом открытых множеств Ut таких, что для каждой пары точек х'', х", принадлежащих одпому и тому же множеству Ut, (и (х'), и {х")) £ 2 ^ W при всех и £ //. Для каждого i возьмем по точке а; из D f] b'i, и пусть V — множество, образованное этими точками; предполо- предположим тогда, что B) выполнено; для каждого х £ А существует индекс г такой, что а< и х принадлежат одпому и тому жомпожоству 2 2 Uj, так что (и(х), и (а,)) 6 W и (и (аг), v (х)) £ W, a отсюда сле- 5 дует, что B) влечет C) коль скоро W выбрано так, что We V. Если Л предкомпактно, а // равномерно равностепенно нопре- рывно, используем предложение 4: достаточно заметить, что i (A) компактно в X, i (D) плотно в X и все окружения для Y являются прообразами окружений для У относительно / X /.
Л РАВНОСТЕПЕННО НЕПРЕРЫВНЫЕ MIIO7KF.CTBA 199 Следствие. В предположениях теоремы 1 замыкание II множества II в пространстве ,'F (X; Y), наделенном топологией простой сходимости, совпадает с замыканием Н в Г6 (X', Y), наде- наделенном топологией компактной (соотв. предкомпактно и) сходи- сходимости. В самом деле, множество Н равностепенно непрерывно (соотв. равномерно равностепенно непрерывно) в силу предложения E и потому содержится в % (X; Y); поэтому утверждение следствия непосредственно вытекает из того, что по теореме 1 обе рассматри- рассматриваемые топологии в II совпадают. Л. Компактные множества непрерывных отображений Теорема 2 (Асколи). Пусть X — топологическое (соотв. равномерное) пространство, 3 — его покрытие, Y — равномер- равномерное пространство и Н — некоторое множество отображений X в У; предположим, что для всякого А £ <& сужение на А каждого отображения и £ // непрерывно (соотв. равномерно непрерывно). Для того чтобы II было предкомпактно в равномерной структуре (В-сходимости, необходимо во всех случаях и достаточно, если все множества А £ © компактны (соотв. предкомпактны), чтобы выполнялись следующие условия'. а) Для каждого А £ <2> множество И | A cz jf (A; Y) сужений на А всех функций и £ II равностепенно непрерывно (соотв. равно- равномерно равностепенно непрерывно). б) Для каждого х £ X множество II (х) с: Y всех и (х), где и пробегает II, предкомпактно. 1° Покажем сначала необходимость условий а) и б). Как мы знаем (§ 1, п° 2, замечание 0), отображение и*-* и, (х) простран- пространства .f^ (X; У) в У равномерно непрерывно; если II предкомпакт- по, то предкомпактно и II (х) (гл. II, 2-е изд., § 4, упражнение 8; 3-е изд., § 4, предложение 2); тем самым б) доказано. Для доказа- доказательства свойства а) рассмотрим множество А £ £>, точку х0 £ А и окружепие V для Y; поскольку // предкомпактно, оно может Г)[,1ть покрыто конечным числом мпожеств, малых порядка IV(А, V); другими словами, имеется конечная последопатольность
200 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. X, § (М() элементов из // такая, что, каково бы ни было и £ II, суще- существует по крайней мере один индекс i, для которого (и (х), ut (x)) £ V для всох х £ А. D) Так как тенорь каждое- ut \ А непрерывно в точке х0 (соотв. равномерно непрерывно), то имеется окрестность Ut точки хй в А (соотв. окружение Mt для .Л), такая, что аг€ Ui влечет (и, (х), и, (х0)) £ V E) (соотв., что (х', х") е М, влечет (щ (х1), ut (х")) 6 V). (С) Пусть U (соотв. М) — пересечение всох Ut (соотв. всех Mt); оно снова есть окрестность точки х0 в А (соотв. окружение для А). Для каждого и£Н существует индекс i такой, что выполняется D); записав, условие D) для х0 и для х (соотв. для х' и х") и при- принимая во внимание E) (соотв. F)), видим сразу, что отношение х £ U (соотв. (х', х") £ М) влечет (и (х), и (х0)) £ V (соотв. (и (х'), и (х")) £ V) для всех и 6 Н, чем установлено свойство а). 2° Покажем теперь, что условия а) и б) достаточны, если все А £ <& компактны (соотв. предкомпактны). Действительно, выпол- выполнение условия б) влечет предкошгактность//в равномерной струк- структуре простой сходимости (гл. II, 2-е изд., § 5, предложение о; 3-е изд., § 4, предложение 3). Но из условия а) и теоремы 1. вытекает, что в Н \ А равномерная структура простой сходимости на А совпадает со структурой равномерной сходимости на Л '■> следовательно, Я \А предкомнактно в ^fu{A; Y), а это влечет предкомпактность Н в равномерной структуре ©-сходимости (§ 1, п° 2). Отметим, что условно б) теоремы 2 всегда выполнено, если У — предкомпактное пространство. Следствии 1. Пусть X — топологическое (соотв. равномер- равномерное) пространство, У — отделимое равномерное пространство и II — равностепенно непрерывное (соотв. равномерно равностепенно непрерывное) множество в % (X; У). Предположим, что И (х) относительно компактно в У для каждого х £ X. Тогда Н относи- относительно компактно в % (X; У), наделенном топологией компактной (соотв. предкомпактной) сходимости.
.5 РАВНОСТЕПЕННО НЕПРЕРЫВНЫЕ МНОЖЕСТВА 201 Пусть II — замыкание Н в JFs (X; Y); оно также является равностепенно непрерывным (соотв. равномерно равностепенно непрерывным) множеством (предложение fi). Так как, кроме того, И (х)с II (х) (§ 1, п° 2, замечание 0), то // (х) относительно ком- компактно; поэтому теорема 2 показывает, что II предкомпактио относительно ©-сходимости, где @ — множество всех компактных (соотв. иредкомиактшлх) подмножеств ив X. Кроме того, посколь- поскольку II (х) компактно и, значит, полно, II полно в равномерной структуре простой сходимости (гл. II, 2-е изд., § 5, предложении 4; 3-е изд., § 3, предложения 10 и 8), а потому также — в равномер- равномерной структуре ©-сходимости (§ 1, следствие 2 предложения 5). Поэтому, будучи предкомпактпым, полным и отделимым, // ком- компактно (§ 1, предложение 1). Следствие 2. Пусть X — топологическое (соотв. равномер- равномерное) пространство, Y — полное отделимое равномерное простран- пространство и Н — равностепенно непрерывное (соотв. равномерно равно- равностепенно непрерывное) множество в 'ё (X; Y). Предположим, что II (х) относительно компактно в Y для каждой точки х из всюду плотного подмножества D пространства X. Тогда Н относи- относительно компактно в ff (X;.Y), наделенном топологией компактной (соотв. предкомпактной) сходимости. Все сводится к доказательству того, что II (х) относительно компактно для всех х £ X, ибо тогда можно применить следствие 1. Поскольку Y полно, достаточно убедиться в том, что // (х) ирод- компактно для всех, х £ X. Но каково бы ни было.симметричное окружение V для Y, существует окрестность U точки х такая, что (и (х), и {х')) 6 V для ncex x' (~ U и всех и £ II. В силу пред- предположения существует х' 6 U {] D, а так как II (х1) относительно компактно в У, то существует конечное число точек /уА £ У таких, что // (х') содержится в объединении множеств V (///,); тогда 2 // (х) содержится в объединении множеств V (,«/;,), чем доказатель- доказательство и завершается. Следствие 3. Пусть X — локально компактное простран- пространство, Y — отделимое равномерное пространство и 7/cr IS (X; Y). Для того чтобы Н было относительно компактно в ¥е (X; Y),
202 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. X, § 2 необходимо и достаточно, чтобы II было равностепенно непре- непрерывно, а II (х) относительно компактно в У Оля всех х £ X. На основании следствия 1 достаточно показать, что если // относительно компактно в %с (X; У), то Н равностепенно непре- непрерывно; но всякая точка х £ X обладает компактной окрестностью А, и из теоремы 2 вытекает, что // | А равностепенно непрерывпо; а это влечет раиностепенную непрерывность Н в точке х, что и требовалось. 3 а м е ч а н и е. Пусть X — топологическое пространство, У — равномерное пространство и © — некоторое множество под- подмножеств из X. Тогда во всяком предкомпактпом множестве На ,<FS (X; Y) равномерная структура ©-сходимости совпадает с равномерной структурой простой сходимости на В = М А. Ф Можно ограничиться случаем, когда В — X, а У отделимо и пол- полно; действительно, равномерная структура ©-сходимости в ,'f (X; У) является прообразом равномерной структуры ©-схо- ©-сходимости в /F (В, У) относительно отображения 0: и>—*- i°u°i, где 7 — каноническая инъекция В -v X, а I — каноническое отображение Y-+-Y (§ 1, предложение 4), и для иредкомпакт- ности // необходимо и достаточно, чтобы 0 (//) было предкомпакт- ио (гл. II, 2-е изд., § 5, предложение 5; 3-е изд., § 4, предложе- предложение 3). Но если В ~ X, а У отделимо и полно, то JF~ (X; Y) отделимо и полно (§ 1, предложение 1 и теорема 1), так что замыканпо II множества // в этом пространстве компактно. В // топология простой сходимости отделима (§ 1, предложение 1) и мажорируется топологией ©-сходимости; поэтому обе эти топо- топологии совпадают (гл. I, 2-е изд., § 10, п° 4; 3-е изд., § 9, след- следствие 3 теоремы 2), и следовательно, совпадают равномерные структуры ©-сходимости и простой сходимости (гл. II, § 4, тео- теорема 1). Упражнения 1) Пусть / — числовая функция, равная 0 для х ^ 0, равная х, если 0 <; х rg: 1, и ранная 1 для х > 1. Показать, что последователь- последовательность числовых функции /п (х) = / (па: — и") (п £ N) равностепенно непрерывна, но не равномерно рашюстепенпо непрерывна в К, хотя и состоит из ранпомерно непрерывных функций.
УПРАЖНЕНИЯ 203 2) Пусть X — отделимое топологическое пространство, каждая точки которого обладает счетной фундаментальной системой ojjpi- стноптоц, и У — рпвномерное пространство. Показать, что если множе- множество II с: % (X; У) такопо, что для каждого компактного К с X множистпо II | К сужений на К отображений и £ II равностепенно непрерывно d % (К; У), то II равиостопеппо непрерывно. [Рассуждать от противного.] 3) Пусть X, У, Z — метрические пространства и II с: % (X X У; Z). Предположим, что для каждого х0 £ X отображения и (я0, *)t где и E //, образуют равностепенно непрерывное множество в % (У; Z), а для каждого уа £ У отображения и (•, ;/„), где и £ II, образуют равностепенно непрерывное множество в ((Z (X; Z). Показать, что селя Лг полно, то для каждого Ь £ Y существует множество 6'ь в X с тощим дополнением в X такое, что множество II равностепенно непрерывно в точке (а, Ь) для каждого а £ Sb- [Применить упражне- упражнение 23 § 5 гл. IX, используя следствие 1 предложения 1 § 2 гл. X.] 4) Пусть X, Y, 1 — равномерные пространства. а) Пусть If — равномерно равпостенепно непрерывное множество « Т (У; Z). Показать, что если II, <$\ (X; Y) и f (X; Z) наделены равно- равномерной структурой равномерной сходимости, то отображение (и, v) >—*■ ч—*- v о v произведения II Х% (X; Y) в % (X; Z) равномерно непре- непрерывно. б) Пусть К — равномерпо равностепенно непрерывное множество в %) (X; У) и L — равпоморпо равностепенно непрерывное множество в % (У, Z). Показать, что множество всех v о и, где и пробегает К, a v пробегает L, равномерно равностепенно непрорывпо в Чр (X; Z). 5) Пусть X — топологическое пространство, У — нормированное пространство над нодискретным нормированным телом К л II — множе- множество н.ч .¥ (X; У), равностепенно непрерывное в точке х0 6 X. Пока- Покакать, что для каждого вещественного числа к Ф 0 множество IIь всех таких линейных комбинаций ^ ctui функций и; £#, что ^ | ct | ^ к. % i равностепенно ненре])ывяо в точке хй. 6) Пусть X — топологическое пространство, У — равномерное пространство, //— рявностепеино непрерывное множество в % (X; У) п Ф — фильтр в II. Показать, что множество тех точек х £ X, для которых Ф 'Or) есть бавис фильтра Коши в У, замкнуто и X. 7) Пусть X — топологическое пространстпо, У — полное отдели- отделимое равномерное пространство и ф — равномерно непрерывный гомео- гомеоморфизм пространства У на открытое подмножестпо ф (У) отделимого равномерного пространства У. Пусть далее II — равностепенно непрерывное множество в % (X; У) и Я' — множество всех фон, где к f II. Показать, что если v ость точка прпкоснопеиия для В' -1 в ,<Fg (А'; У), то v (ф (У))- открыто-замкнуто л Л'.' В частности, если
204 ' ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. X, § 2 X связно, то г> (X) содержится и ф (У) или в связной компоненте его дополнения С<р (У). [Заметить, что v непрерывно, и лсаользоиать упражнение 6.] 8) Пусть И — равностепенно непрерывное множество отображе- отображений топологического пространства X в R. а) Показать, что множество верхних (соотв. нижних) огибающих, коночных подмножеств из И равностепенно непрерывно. б) Пусть г — отображении X в R, являющиеся точкой прикосно- прикосновения для // в топологии простой сходимости. Покпнзть, что г пепре- -1 --1 рывко ira X и что множества и (-l-oo) it г (--схз) открыто-замкнуты г» X. [Использовать упражнение 7.1 в) Вывести из а) и б), что верхняя огибающая ш (соотн. нижняя -1 огибающая с) множества 11 непрерывна в X и что множество «• (--|-оо) -1 (соотв. v (—оо)) открыто-замкнуто в X. г) Пусть X связно и существует такое х0 £ X, что множество П (х0) ограниченно в R. Показать, что для каждого компактного мгго- жестиа К из X множество сужений на К функций лз И рашюморио ограниченно на К. [Использовпть в).] 9) Пусть X — множество, Y — равномерное ирострвпетно и S — покрытие X. Для того чтобы подмножество И равномерного простран- пространства 8F& (X; У") было нредкомпактио, необходимо и достаточно, чтобы: 1° // (х) было предкомпактио в Y для каждого х 6 X; 2° в Н равномер- равномерные структуры ©-сходимости и простои сходимости совпади.™. |При- |Применить теорему 2, рассматривая X как дискретное пространство и о гра- граничив» ясь1 случаем, когда У отделимо и полно.] 10) а) Пусть X — компактное пространство и (/п) — последова- последовательность непрерывных отображении X в себя, просто, но не равно- равномерно сходящаяся на X к непрерглиной функции (§ 1, ri" fi, замечание 2). Показать, что множество функций fn относительно компактно и #„ (А';Х), но не п ??с (X; X) = Фи (X; X). б) Пусть / — интервал [—1, +1] в R и ип (х) — Л/х -j- 4re-j? для каждого п > (I и каждого х > 0. Показать, что миожестио II функций ип равностепенно непрерывно в 9% (R+! /) и относительно компактно в %Q (R.<.; /), но не в <@ц. (R+; /). [Заметить, что последоин- тельность (ип) просто сходится к 0.1 11) Пусть X — вполне регулярное пространство и б— ишожо- ство подмножеств ил X, внутренности которых покрывают А'. Пока- Показать, что пространство %~ (Ж; 1?) но локально компактно. 1.2) Пусть X — топологическое пространство, У — равномерное пространство, И —• равностепенно непрерывное множество в 1% (X; Y) и V — симметричное окружение для У. Покидать, что для каждой точки х £ X множество тех точек х' £ X, для которых, существует
УПРАЖНЕНИЯ 205 n целое п (зависящее от х), такое, что // (х') ст. V {]{ (.г)), открыто- аамкпуто. Вывести отсюда, что для каждого компактного и свяаного множества А' в X и каждой точки х0 £ А' существует такое целое п > 0, что Н (К) cV(H (*„)). *13) Пусть X — топологическое пространство, У — локально компактное равномерное пространство и // — равностепенно непре- непрерывное множество в % (X; У"). а) Пусть А — множество тех точек х £ X, для которых Я (г) относительно компактно rt У; показать, что А открыто и X. |См. 2-е над., гл. I, § 10, предложено 10 и гл. IJ, § 4, предложение 1; 3-е изд., гл. I, § $), предложение 10 и гл. II, § 4, предложение 4.] б) Предположим, кроме того, что У полно в своей равномерной структуре; тогда А также замкнуто п Х- [Заметит!., что если х0 £ Л, то Л (х0) относительно компактно в У, рассматривая для этого ультра- ультрафильтр и // (хи) как образ некоторого ультрафильтра из //.] В этом случае, если X связно, то для того, чтобы If было относительно компактно в фс (X; У), необходимо и достаточно, чтобы множество // (х0) было относительно компактно в У для какой-нибудь точки *„ 6 X. в) Возьмем в качестве X компактный интервал 1Д 1] из II, а в качестве У — интервал ]0,1[, наделенный равномерной структу- структурой, индуцируемой ия R. Привести пример равностепенно непрерыв- непрерывного множества Я в % (X; У), для которого бы множество А, определен- определенное в а), было интервалом ]0, 1J. г) Пусть X = У н Н состоит из гомеоморфизмов X на себя. Пока- Показать, что если Н равпостетшно непрерывно, то множество А, опре- делгатое и а), открыто-замкнуто л X. 14) Пусть Г — равностепенно непрерывная группа гомеоморфиз- гомеоморфизмов пространства R на себя; показать, что если некоторый возрастаю- возрастающий гомеоморфизм к £ Г имеет хотя бы одну неподвижную точку, то и — тождественное отображение. [Покааать, что в противном слу- случае моногенная группа, порожденная алемектом и, не была бы равно- равностепенно непрерывна в надлежаще выбранной неподвижной точке.] Если и убывает, то и1 — тождественное отображение. *1Г>) Пусть X — метризуемоо компактное пространство, Г — группа всех его гомеоморфизмов па себя и G — подгруппа группы Г, действующая транзитияно в X. Показать, что централизатор If группы G в Г равностепенно непрерывен. [Рассуждать от противного, предполагая, что Н не равностепенно непрерывен в некоторой точке а £ X; вывести отсюда существование последовательности точек хп £ X и последовательности элементов «„ £ Н таких, что lim xn = а, 71-* ОС lira ип (а) == 6, lim ип (хп) = с, где 6 -/= с. Заключить отсюда, что И-+0О 71-»0о
206 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. X, g 2 нослрдопатслыюстг» (ип) просто сходится на X, но ни один точка из X не является точкой равномерной сходимости для этой последователь- последовательности, и противоречие с упражнением 9 § 1.] 16) Пусть X — отделимое равномерное пространство и Г — равностепенно непрерывная группа гомеоморфизмов X на себя. Тогда отношение оквивалевтности И, определяемое группой Г и X, открыто (гл. I, 2-е изд., § '.), п° С, 7; З-о изд., § 5, н° 2). а) Показать, что если псякая орбита относительно Г лпминута в X, то пространство орбит Х/Т отделимо. б) Показать, что если всякая орбита относительно Г компактна, то отношение R замкнуто. [Использовать предложение 7 § 0 глины I 2-го шд. или предложение 10 § 5 глалм I 3-го изд.] в) Принести пример, когда X компактно, но пи одна орбита относительно Г не замкнута н X. [См. гл. Ill, 3-е ивд. § 2, упражне- упражнение 20.] ♦17) Пусть X — компактное пространство и Г — счетная группа гомеоморфизмов X па себя; предположим, что пространство орбит Х/Г ощделимо (и потому компактно). а) Покакать, что орбита Г (х) каждой точки х £ X есть конечное множество. [Заметить, что если бы лто множество было бесконечно, оно не имело бы ни одной изолированной точки, и применить теорему Бэра (гл. IX, § 5, теорема 1).] б) Пусть Л (хп) для каждой точки х„ £ X. означает нормальный делитель группы Г, образованный гомеоморфизмами, оставляющими неподвижными все точки орбиты Г (х0). Показать, что если Д (ж0) имеет конечное число образующих, то группа Г равностепенно непре- непрерывна в точке х0. (Пусть /,- A < i s^ m) — образующие нормального делителя А (#„) и gk A ^ к ^ и) — представители каждого из классов группы Г по модулю Л (л0), отличных от Л (.г0); взять окрестность V точки х0 так, чтобы ни одно из множеств ft (V), fjl (V) не пересекало ни одного из множеств gh (V); использовать затем замкнутость отноше- отношения пквипалоитности, определяемого группой Г (гл. I, § 10, пред- предложение 8).] в) Не предполагая ничего о Д (х0), допустим, что х0 обладает фундаментальной системой связных окрестностей в X; показать, что Г раппостененпо непрерывна в точке х0. [Метод, аналогичный указан- указанному в б).] Вывести отсюда, что если X локально связно, то Г равно- равностепенно непрерывна. г) Возьмем п качестве X компактное подпространство п R, состоя- состоящее из точек 0, 1, Мп и 1 -|- Ип, где п — целые 5=2; привести пример неравностепенно непрерывной счетной группы Г гомеоморфизмов X на себя, для которой Х/Г отделимо. ♦18) Пусть G— отделимая топологическая группа, действующая непрерывно в отделимом топологическом пространстве X", говорят,
УПРАЖНЕНИЯ 207 что G совершенна в точке ха £ X, если орбита Gxn замкнута в X и G действует совершенно n Gx0 (гл. III, 3-е изд., § 4, п° 1). а) Пусть G — локально компактная топологическая группа, дей- действующая пепрерыпно в отделимом равномерном пространстве X. Предположим, что множество гомиоморфипмоп х >—*■ sx пространства X на себя, где s пробегает G, равностепенно непрерывно. Покапать, что если G совершении и точке я-0 в. X, то существует окрестность V атой томкн такая, что множество тех я £ G, для которых sV П V *?'- 0> относительно компактно п G. [См. гл. III, 3-е изд., § 4, предложение 7.J Г>ывссти отсюда, что множество D точек из X, где G совершенна, открыто в X, и G действует совершенно n D. Если X, кроме того, локально компактно, то 1) открыто-замкнуто в X. [Использовать еледетпие 2 предложения 1.] б) Пусть Е — множество на числовой плоскости И2, состоящее нл начала @, 0) и точек (О, 2~П), где п — целые. ^=0. Для каждого целого п £ Z, отличного от 0, обозначим через ип сужение па Е такого аффнцного ливейного отображения плоскости IX" в себя, что ип @. 0) = = (п, 0) и ип @, 2~'п') = @, 0"), гдо 0 — иррациональное число такое, что 0 < 0 < 1; пусть А' — локально компактное подпростран- подпространство « R2, являющееся объединением Е п всех ип (Е) (п (; Z, п Ф 0). Обозначим, кроме того, через и0 тояедественноо отображение Е на себя и определим ип (п £ Z) на всем X, полагая ип (ит (х)) = кп+т (х) для всех х £ Е и всех т £ Z; множество G отображений ип является группой гомеоморфизмов X на себя, которую мы наделим дискретной топологией, так что G будит действовать непрерывно в X. Показать, что G совершенна в каждой точке да X, но но равностепенно непрерыв- непрерывна и не действует совершенно в X. в) Пусть X — подпространство (не локально компактное) в Иг (отождествленном с С), состоящее из полуплоскости ;/ > 0 и начала. Определим гомеоморфизм 7^ пространства X на себя, положив и @, 0)== =- @, 0) и и (ге1<в) = геы', где со' = ш/2, если 0 < со < л/2, (й' — = 0) — эт/4, если л/2 < а> ^ Зл/4, и со' = 2м — я, ослп Зя/4 <. < «в < я (г > 0, 0 < о) < я). Пусть G — моногенная группа гомео- гомеоморфизмов X па себя, порожденная и и наделенная дискретной тополо- топологией. Показать, что Gравностепенно непрерывна на X и что множеством тех точек пз X, где G совершенна, служит полуплоскость ;/ > 0. 19) Пусть X —- отделимое равномерное пространство и G — груп- группа гомеоморфизмов X на себя. а) Показать, что если G равностепенно непрерывна и дискретна в топологии простои сходимости, то она замкпута в пространстве #"„ (X; X). б) Показать, что если G, наделенная дискретной топологией, совершенна хотя бы в одной точке нз X (упражнение 18), то она зам- замкнута в Srs (X; X) и топология простой сходимости индуцирует в G дискретную топологию.
208 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. X, §3 в) Пусть X — топологическая сумма пространств Х\, Ха, гомео- морфных R, Tart что X отождоствлмл с произведенном R X {1,2}; наделим X равномерной структурой произведении. Для каждом пары (т, п) целых рациональных чисел обозначим через ит„ гомеомор- фнпм X на себя, определенный дли ис.сх х1 £ Xt v х.г £ Х2 уравнениями "пт (*i) = rt -u >"а + »Р> vmn (*») ~ Ia* -I' '«Y -г nS- где а, р, у. Ь —■ вещественныр числи =?ь0 такие, что а/р и y/fi иррациональны и |)а;)личны. Покалить, что отображения ы„„, образуют группу G гомеоморфизмов X на себя, которая равностепенно непрерывна и дис- дискретна в топологии простой сходимости, но что G (наделеннан дискрет- дискретной топологией) не является совершенной ни в одной точке из X. 20) Пусть G — группа гомеоморфизмов отделимого равномерного пространства X на себя. Предположим, что G рашюстемеппо непрерыв- непрерывна п, будучи наделенной дискретной топологией, действует совер- совершенно в X. Предположим, кроме того, что множество всех х £ X, не являющихся неподвижными ни для одного не тождественного гомео- гомеоморфизма и £ G, всюду плотно в X. Показать, что при этих условиях в X существует открытое множество F, такое, что F р, и (/•') = 0 для каждого не тождественного гомеоморфизма «• £ G и что канониче- канонический образ множества F в пространстве орбит E/G открыт в E/G, всюду плотен и гомеоморфен F. [Использовать упражнение 16 и теорему Цорна.] § 3. Специальные функциональные пространства 1. Лространства отображений в метрическое пространство Пусть X — множество, Y — равномерное пространство, (/i)iei — семойство отклонений, определяющее равномерную структуру пространства Y (гл. IX, § 1, п° 4), и @ — некоторое множество подмножеств из X. Для каждого i £ /, каждого множе- множества А 6 @ и каждой пары (и, v) отображений X в Y положим fi(u(x), v{x))\ ясно, что gt,A — отклонение на JF (X; Y) и что семейство откло- отклонений (gitA), где i пробегает /, а А пробегает @, определяет рав- равномерную структуру ^-сходимости в ,!f (X; Y). В. частности: Предложение 1. Если Y — метризуемое равномерное пространство, то равномерная структура равномерной сходимо- сходимости в jf (X; Y) метриауема.
/ СПЕЦИАЛЬНЫЙ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 209 В самом деле, пусть d — расстояние и V, согласующееся с рав- равномерной структурой iiToro пространств; тогда структура pauiio- Mopimii сходимости в ,/~ (X; У) определяется одним отклоненном и (.г), v(.r)); .\-=.V и общем случае ;по отклонение1 но конечно; но опо эквивалентно некоторому конечному отклонению (гл. IX, § 1, № 2), п так как равномерная структура равномерной сходимости отделима (§ I, предложенпе 1), то она мотрнпуема. Слкдг.тпик. Пуст/, X — топологическое пространство и У — метрнщемое равномерное пространство; предположим., что суще- существует такая после<)овате.н>1шст<> (К„) компактных множеств вХ, что всякое компактное множество из X содержится в одном, иj А"„. Тогда равномерная структура компактной сходимости в .Т(А'; V) метризуема. В самом деле, так как А'„ образуют покрытие X, то /Г,- (X; У) плиморфно равномерному подпространству процаводвнпя Ц .^"'и (Л'»". У) (§ 1. п" 2, замечание 3), и потому утверждение следстпия пытокает из предложения 1 (гл. JX, § 2, следствие 2 теоремы 1). Наметим, что ото следствие применимо, в частности, когда Л' — локально компактное пространство, счетное, в бесконечности (гл. J. 2-е и.чд., стр. 12л русского перевода; .'i-e изд., § У, следст- пне 1 предложения 1Г>). Пусть теперь )' — метрическое пространство и d — его рас- расстояние. Для каждого множества X и множества Q его подмно- подмножеств будем обозначать через USq, (X; }') множество всех отобра- отображений и: X -v У таких, что и (А) ограниченно дли каждого А £ ©; если не оговорепо противное, будем наделять .Wq (X; У) равно- равномерной структурой ©-сходимости; последняя определяется семей- семейством отклонений dA{u,v) -supd («(*), у (я)) (/16©) па fiSq. (X; У), по предположению, конечных. Яри <& ■-■- {X} иместо j&q(X; У) будем писать .49 (X; У); отображение и: X~> У ''i It.
210 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. X, § 3 называется ограниченным, если оно принадлежит .$? (X; У), т. е. если и (X) есть ограниченное множество в У. Предложения 2. Пусть X — множество и У — метриче- метрическое пространство. Множество (В (X; У) всех ограниченных ото- отображений открыто-замкнуто в пространстве yf u (X', У). Действительно, если и ограниченно, то и всякое отображение v: X -*• Y такое, что d (и (х), v (х)) ^ 1 для каждого ж £ А', огра- ограниченно, ибо d (v (x), v (х0)) < d (и (х), и (х0)) + 2; следовательно, $ (X; У) открыто. G другой стороны, если и — точка прикосновения для 98 (X; У) в jfu (X; У), то существует отображение и0 £ $ (X; У) такоо, что d (и (х), и0 (х)) ^ 1 для всех х 6 X, и, следовательно, и ограниченно. Следствие 1. Пусть X — множество, У — метрическое про- пространство и @ — некоторое множество подмножеств из X. Тогда множество i?@ (X; У) всех отображений X в У, переводящих каж- каждое А 6 © в ограниченное множество в У, замкнуто в jF@ (Ar; У). 5 частности, если У полно, то $'д (X; У) тмко е равномерной структуре ^-сходимости. Действительно, ЗР© (X; У) есть прообраз подмножества UJ* (Л; У) произведения f[ ,<FU(/1; У) относительно кано- лё© нпческого отображения пространства ,/Fg (X; У) в [J ,^„ (А'; У); поэтому первое утверждение вытекает из замечания 3 п° 2 § 1. Второе вытекает ив теоремы 1 § 1. Следствие 2. Пусть X — топологическое пространство и У — метрическое пространство. Тогда пространство всех огра- ограниченных непрерывных отображений X в У открыто-вамкнуто в пространстве tf „ (X; У); око полно, если У, кроме того, полно. В самом деле, рассматриваемое пространство является пере- пересечением Я(Х\ У) П «,№ У); первое утверждение следует ив предложения 2, а второе вытекает из следствия 1 теоремы 2 § 1.
2 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 211 И. Л ространетва отображений в нормированное пространство Рассмотрим, в частности, случай, когда Y есть нормированное векторное пространство над недискретным нормированным телом К (гл. IX, § 3, п" 3), с нормой И у || элемента у £Y; тогда множество ,F (X; Y) = Yx канонически наделяется структурой векторного пространства над К. Для того чтобы отображение и: X -> Y было ограниченным, необходимо и достаточно, чтобы числовая функ- функция х *-* || и (х) || была ограниченной на X; ясно, что если и, и — ограниченные отображения X в У", то и -\- Ь и Хи (X £ К) также ограниченны; иначе говоря, .98 (X; Y) есть векторное подпрост- подпространство пространства jy (X; У). Кромо того, Цы|| — sup ||г/ (х) \\ есть норма на SS (X', Y), ибо эта функция удовлетворяет нера- неравенству треугольника, || и || — 0 влечет и — 0 и, наконец, для всех X 6 К имеем || Хи || = sup || Хи (х) || ■= sup | X | || и (х) \\ — -- j X | sup \\ и (х) \\ — \ X } \\ и ||. Непосредственно ясно также, что равномерная структура в -38 (X', Y), определяемая этой нор- нормой, есть структура равномерной сходимости. Если но оговорено противное, то рассматривая SS (X; Y) как нормированное про- пространство, мы всегда будем иметь в виду эту норму. Предложение- 3.. Если нормированное пространство Y пол- полно, то всякий ряд (ип) ограниченных отображений X в Y, абсолют- абсолютно сходящийся в нормированном пространстве 98 {X; Y) (т. в. ОО такой, что 2 II ип II < + °°" см. гл. IX, § 3, п° 6), равномерно п-=--0 сходится на X. В самом деле, поскольку jg1 (X; У") полно (следствие 1 предло- предложения 2), это вытекает из предложения 1.1 § 3 главы IX и опре- определения равномерно сходящегося ряда. 00 Замечание \. Если 2 II "п II < +°°i т0 Для любого х Р. X ОО 00 имием У^ || ип (х) II < 2 'I "п II < +°°"' другими словами, каждый из рядов с общим членом ип {х) (х С X) абсолютпо сходится в простран- пространстве У; но обратное прнррво. Чтобы избежать всякой поясности, 14*
212 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. X, $ 3 иногдп тот факт, что ряд с общим членил || ип || сходится, иыражают, ГОВОрИ, ЧТО рЯД С. ОО1Ц11.М Ч.'П'НОМ ип ио/'ЫалЫМ СГоОитСЯ. РЯД МО/КРТ равномерно гхпдип.ся на А, но будут нормально сходящимся; напри- например, :т> имеет место для ряда (ип) в нроетранстне $ (К; К), определен- \ ]Щго следующим пбра:и>м: ип (.»■) ; - — «ч'м х и пнтерпале [ип, (и -,-■ I) я] и ип (.г) =- 0 line птого иттркала. ]<1сли Y — нормированная алгебра (гл. IX, § 3, п° 7) над подп- подпек ротным нормированным коммутативным телом К, то .# (X; Y) ость алгебра над К; кроме того, норма || и \\ согласуется тогда с этой структурой алгебры, ибо || uv\\ -sup И и (х) v (х) ||<si.,i (|| и (х) || || v (х) ||)< х£Л' х£Х Иначе говоря, .99 (X; У) является тогда нормированной алгеб- алгеброй над толом К. 4. Пусть Xt A ^ I ^ /г) и Y — нормиро- нормированные векторные пространства, над недискретным нормирован- ним телом К и X-~ |[ Xt. Множество всех полилинейных ото- i -i Сражений X в Y замкнуто в пространстве ^р„ (X; У). 1J самом деле, это множество образовано исемк и (i,"f(X; У), удовлетворяющими соотношениялг и(л-\, ...,х\ \-х], ...,хп) -и (.г, х], ...,xn)~yu(xt, ...,х", ..., .г„), | и (.г,, .. . ,Ъ-и . . .,xn):-=h.i (xi, ...,Xi, ...,xn) p A ^ i ^ n, xh х\, х"\ — произвольные элементы из Хи К — про- произвольное в К); обо части ка.кдого им соотношений A) — непре- непрерывные функции от и в ,Fs (X; У) (§ 1, п° 2, замечание 6), откуда и следует предложение (гл. I, 2-е изд., § 8, следствие 1 предложе- предложения 6; .'3-е и.чд., § 8, предложение 2). Предложшик Г). При условиях предложения 4 множество X (Xi, . . ., Хп\ Y) всех непрерывных полилинейных отображе- отображений X в Y замкнуто в ,'f (X; У), наделенном топологией ограни- ограниченной сходимости; оно полно в равномерной структуре ограни- ограниченной сходимости, когда У полно.
а специальный функциональные пространства 213 Действительно, осли @ — множество «сох ограниченных под- подмножеств из X, то X (Х\, . . ., Х„; У) ость пересечение множе- ства всех полилинейных отображений X в У с множеством :/9^ (X; У) (гл. IX, § 'А, теорема I); справедливость предложения лытекает потому из предложении 4 и следствия 1 предложения 2. Всюду далее в этом п° К означает коммутативное недискрет- недискретное нормированное тело. Тогда X (X), . . ., Хп; У) ость векторное подпространство и ,Т' (X; У). ]1усть Я — единичный тар произведении X, т. е. множество тех {Xi)u~i--n, для которых sup \\x-t || ^ 1; отображе- пио и >-*■ и | В пространства X (Хь . . ., Хп; У) в .# (В; У) чнъективпо; кроме того, прообраз ранпо.морной структуры рав- равномерной, сходимости н .9? (В; У) относительно этого отображе- отображения есть равномерная структура ограниченной сходимости в X (Х(, . . ., Хп; У). Действительно, всякое ограниченное мно- множество в X содержится в мпожестпе вида uVJ (где ii ^ К*), и ска- ,чать, что для некоторого элемента и 6 X (Xt, . . ., Х„; У) и всех z(zl>B выполняется неравенство || ы (.?) ||^ а, равносильно тому, чтобы сказать, что || и (,-j) || ^ a/\ \i |" для всех х 6 В. Отсюда непосредственно следует, что число || и \\ — sup (|| и (х) \\l\\ х ||) ~.ф О является нормой, па X (X,, . . ., Х„; У), определяющей в этом пространстве равномерную структуру ограниченной сходимости, и, очевидно, || и{хи . . ., хп) || < || х || ||*ч || ... || хп ||. B) Если но оговорено противное, то, рассматривая X (Xlt . . . . . ., Хп; У) как нормированное пространство, мы всегда будем иметь и виду эту норму. Предложении П. Полилинейное отображение («, '«1 хп) •-* »■ (-«ь • • •. •«„) нормированного пространства X (Х(, ..., Хп; У) X X, X ... X Хп к У непрерывно. Это — непосредственное следстште перавепства B) (гл. IX, S 3, теорема 1).
214 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. X, § 3 Предложение 7. Пусть X, Y, Z — нормированные про- пространства над К. Каноническое отображение нормированного пространства X (X, Y; Z) в пространство линейных отображе- отображений X в X (Y\ Z), относящее каждому и £ X (X, Y; Z) отобра- отображение х *-*■ и (х, •), есть изометрия X (X, Y; Z) на X (X; X (У; Z)). Это непосредственно следует из определений и соотношения sup (sup || и (х, у) ||) - sup || к (ас, у)\\. 11*115=1 IMMS1 11*11^1 ||1|1 Предложение 8. Пусть X, Y, Z — нормированные про- пространства над К. Билинейное отображение (и, v) *-*■ v ° и произ- произведения X (X; Y) X X (Y; Z) в X (X; Z) непрерывно. Действительно, для любых и £ X {X; Y) и v £ X (У; Z), более точно, имеем II V о и || < || Ц || || V ||, C) ибо, каково бы ни было х 6 X, в силу B) || v (и (х)) || < || v || || и (ас) || < || v\\\\u || || х \\. В частности, на множестве X (X) всех непрерывных эндомор- эндоморфизмов нормированного пространства X над К норма \\ и || согла- согласуется со структурой алгебры над К. Замечание 2. Множество X (Rm; Rn) псох (необходимо ' непрерывных) лин'ейных отображений Rm в Rn отождестшшо с множе- множеством Mn,m (R) всех матриц с п строками и т столбцами над К, т. е. с Rmn; на X (]\т; R") равномерные структуры ограниченной схо- сходимости (относительно евклидова расстояния в R), компактной сходимости и простой сходимости отождествляются тогда с аддитивной равномерной структурой в Rmn. В самом деле, вояьмем в R" норму || х || = sup | xi | для х = (х(), и пусть (ef) — канонический базис в Rm; если и и v — такие линейные отображения R"> в Rn, что || и (е}) - v (су) Ке A < / < т), то для матриц U = (оу) и V »(р<у) этих отображений будем иметь | atj- — Pfj I < в для всех нар (i, /); и обратно, если эти неравенства выполпепы, то для лгобой топки х куба с центром 0 и стороной а в Rm будом иметь || и (ас) — v (а?) || < таг.
.4 СПВЦИАЛЬНЫК ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 215 «7. Свойства счетпости пространств непрерывных функций Теорема 1. Пусть X — компактное пространство. а) Если X метризуемо, то для каждого метризуемого равно- мериого пространства Y счетного типа (гл. IX, § 2, п° 8) мстри- зуемое пространство %U(X\ У) всех непрерывных отображений X в Y, наделенное топологией равномерной сходимости, будет счетного типа. б) Обратно, если метризуемое пространство f'u (X; R) есть пространство счетного типа, то X метризуемо. а) Пусть d (соотв. d') — расстояние, согласующееся с топо- топологией пространства X (соотв. равномерной структурой простран- пространства У); как мы знаем, б (/, g) — sup d' (/ (х), g (x)) ость рас- стояние, определяющее структуру равномерной сходимости в 'С, (X; Y), состоящем из ограниченных функций, поскольку X компактно (п° 1). Обозначим через Gmn для каждой пары целых чисел т > О, п > 0 множество тех функций / £ гв (X; Y), для которых d (х, х') ^ \1т влечет d' (/ (x), f (x1)) ^ 1/ге; так как всякая функция / £ ¥? (X; Y) равномерно непрерывна (гл. II, § 4, теорема 2), то % (X; Y) при любом п > 0 является объедине- объединением всех Gmn (т > 0). Пусть {at, . . ., a.JHm)} — такое конечное множество в X, что открытые шары с центрами а; A ^ i ^ р (т)) и радиусом 1/т- образуют покрытие пространства X; пусть, с другой стороны, (b,.)r£N — счетная всюду плотная последова- последовательность в Y. Для каждого отображения <р множества {1, ... . . .., р (т)} в N обозначим чорез IIа множество тех / 6 Gmn, для которых d' (/ (ah), bwh)) ^ 1/ra A < k < p (т)). По определению точек br, Gmn есть объединение всех На (q> £ Np<m)); пусть Стп — множество тех ср £ NP(m\ для которых Пуф 0, и каждому ф £ Стп поставлено в соответствие но элементу gy из IIV; обозначим, нако- наконец, через Lmn счетное множество всех £ф (ф 6 Стп). Пусть / g £ Gmn и ф — элемент из Стп, для которого / £ На; из определе- определений сразу вытекает, что d' (f (x), ga (ж)) ^ 4/ге для всех х б X, т. е. б (/, £ф) <: 4/п. Отсюда следует, что объединение всех Lmn всюду плотно в #„ (X; У): действительно, для каждого целого п > 0 и каждого / £ % (X; У) существует такоо т, что / £ Стп, откуда явствует, что расстояние от / до Lmn не превышает 4/п.
21 Г» <1>УПКШЮИЛЛЫ1ЫК ПРОСТГЛИСТПЛ ГЛ. X, § :{ б) Пусть / г - [О, 1J; как равномерное подпространство про- пространства с(?и (X; К), 'ви (X; 1) есть пространство счетного типа; пусть (/„) — всюду плотная последовательность в этом простран- пространство. Рассмотрим произведение К ■-■■■■. Is к отображение^: х*-> (/„ (.т)) пространства X в К, оченидио, непрерывное; \\> ипъекпшвно: действительно, согласно определению последовательности (/„), вы- иолнепне равенства /п (х) • ■ jn{x') для всех п влечет путем перехода к продолу, что / (х) — f (х1) для каждой функции / £ %} (X; /); но если х Ф- х', это невозможно в силу аксиомы (Orv), применен- примененной к точке х и ее окрестности V, не содержащей х' (гл. JX, § 1, теорема 2). Отсюда заключаем, что компактное пространство X гомеоморфно п.однространстиу1|э(Х) пространства Л.' (гл. I, 2-е плд., § 10, следстпне 2 теоремы 2; 3-е над., § 9, следствие 2 теоремы 2); но так как К мотрпзуемо и счетного типа, то то же справед- справедливо для i|" (X), а значит н для X. Теорема доказана. 38 12 Слкдствие. Пусть X — локальное компактное простран- пространство с топологией, обладающей счетным базисом, и Y — метри- зуемое равномерное пространство счетного типа. а) Пространство X всех непрерывных отображений, X в Y, имеющих предел на бесконечности, наделенное топологией равно- равномерной сходимости на X, есть метризцемое пространство счет- счетного типа. б) Пространство 'Sc. (X; У) всех непрерывных отображений X в Y, наделенное топологией компактной сходимости, есть метри- зуемое пространство счетного типа. а) Пусть X' — компактное пространство, получаемое при- присоединением it X бесконечно удаленной точки (гл. I, 2-е изд.. § 10, теорема 4; 3-е изд., § '.), теорема 4); по определению всякая функция / из X продолжается единственным образом до непре- непрерывного отображения /пространства X' в У, так что / >—> / есть биекцин X па '6 {Х'\ У); кроме того, в силу предложения (J § 1 ота бнекция есть гомеоморфизм пространства X па '6'и (X'; У). Остает- Остается применить к X' и У теорему 1, заметив еще, что X' метризуемо (гл. IX, § 2, следствие предложении 16). б) Пусть (U,,) — такое покрытие пространства X относительно компактными открытыми м.по?кестиами, что всякое компактное множество в X содержится, и одном из Un (гл. ], 2-е изд., стр. 124
+ СПЕЦИАЛЬНЫ К ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ ПРОСТРАНСТВА 217 русского перевода; 3-е изд., § 9, следствие I предложения 15). Топология компактной сходимости в % (X; >') совпадает с тополо- топологией (^-сходимости, где <Z— множество всех 6',,. Следовательно (§ 1, и' 2, замечание .">). пространство '(v (X; )") гомеоморфпо под- подпространству произведения ]J '(■'и (£/„; >'); поскольку каждое it из компактных пространств U,, обладает счетным базисом:, оно метризуемо (гл. IX, § 2, предложение Hi); значит, в силу теоремы 1 каждое из '('■ и ((./„; У) метрпзуемо п счетного тина, и потому то же нор)со также дли '(-с (X; >"). ЯмМОПГМ, ЧТО ll|)l)('T|)illl('TRO IICI'X 1М|>;П111Ч1>1МШХ ll(>lipci)l>IHI1I.IX чнс.'кшых функции iiii It, наделенное ionojioiuoii |>iinn<>Mt>piii>ii сходи- сходимости, lit1 ecTii Н|)ост|>алст|11> снтииго rnim (упражнение 4). 4. Tono.io/un -ко.мпакт.пок cxoOu.vocmti Tkoi'kma 2. Jli/cnih X -■■■ топологическое пространство и Y — равномерное пространство. Для кажОои пары- (К, с/), где К — компактное- множество в X и V - открытое множество в Y, обозначим чере.1 Т (К, U) множество всех непрерывных отображе- luiii и: X —*■ Y, ()ля которых и {K)cz U. Тогда множества вида Т (А', £/) порождают (гл. 1, § 2, и ' 3) топологию компактной схо- сходимости в Ч; (X, Y). Пусть Уг' -■- отделимое равномерное проетрапстно, ассоцннро- liamioe с У (гл. II, 2-е изд., § 1, н" 4; '5-е изд., § ;>, п' 8) п /: ) —*- -->- У' ■■■ каноническое отобраяччмте Г па У. Топология компакт- компактной, сходимости есть слабейшая из топологии, при которых непре- непрерывны все отображения и к» (i о и) | А' пространства '{' (X; У) в '( „ (А.*; У), где А" пробегает псе компактные множества из X (S !, предлоячешге 4). Поэтому мы получим систему образующих топологии пространства 'fc (X; Уг). беря для каждого компактного множества К из X какую-лгтбо систему образующих топологии пространства '(■ '„ (А'; У) ч ее прообраз в 'С (X; ) ) п рассматривая об'ьедппенне в sJ[b (% (X; )")) все\ получаемых таким образом мно- множеств подмножеств 'G (X; У). С другой стороны, всякое открытое -1 множество в У имеет вид I (V), где V открыто в У (гл. II, 3-е . i мид., § 'Л, предложение 12); поэтому Т (К, I {()')) для любого ком-
218 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. X, § :» пактного К' ю К является прообразом 7Т (К, U') относительно отображения % {X; У) ->- $„ (К', У) и доказательство теоремы сводится к случаю, когда X компактно, a Y отделимо, что мы далее и будем предполагать. Покажем сначала, что Т (К, U) открыто в %с (X; Y). Пусть и0 — точка этого множества; поскольку и0 (К) компактно (гл. I, 2-е изд., § 10, следствие 1 теоремы 2; 3-е изд., § 9, следствие 1 теоремы 2) и содержится в открытом множество U, существует симметричное окружение V для Y такое, что V (ио(К)) cr U (гл. II, 2-е пзд., § 4, следствие предложения 1; 3-е изд., § 4, следствие предложения 4). Пусть W — окрестность точки и0 в С6'г (X; У), образованная темл непрерывными отображениями и: X -*- Y, для которых (и (х), и0 (х)) 6 V при всех х £ К- Для этих отображений, очевидно, имеем и (К) с. V (и0 (К)) a U, откуда и 6 Т (К, U) и, следовательно, We: T (К, U), чем наше утверждение доказано. Обратно, пусть W— окрестность точки и0 (j #c (X; Y); пока- покажем, что W содержит пересечение коночного числа окрестностей и0 вида Т (К, U). Можно предположить, что W есть множество тех и ^'в (X; Y), для которых (и (х), и0 (х)) 6 V при всех х £ X, где V — заданное окружение для Y. Так как и0 непрерывно на X, то оно равномерно непрерывно (гл. II, § 4, теорема 2); пусть Vi — симмотрпчное окружение для Y, открытое в У х У и такое, 2 что Vt cr V. Существует покрытие пространства X конечным чис- числом компактных множеств Kt A ^ i ^ п) таких, что и0 (Kt) A ^ i ^ п) малы порядка Vi. Пусть Ui — открытое множество Fi (»0 (Kt)) пи — непрерывное отображение X в У, принадлежа- принадлежащее пересечению п множеств Т (Kt, Ui) (являющихся окрестно- окрестностями и0). Тогда и (х) для всех х 6 А"г принадлежит Ut, и потому 2 и0 (х) и и (х) близки порядка Vif а следовательно, близки поряд- порядка V. Так как каждое х 6 X принадлежит хотя бы одному Kt, то и £ W, и теорема доказана. Этот результат подсказывает введение следующего опреде- определения: Определение 1. Пусть X и У — топологические прост- пространства (не обязательно раеномеризуемые). Для любой пары (К, U), где К — компактное множество в X, a U — открытое
4 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 219 множество в У, обозначим через Т (К, U) множество всех и £ 6 $ (X; У), для которых и (К) cr U. Топологией компактной сходи- сходимости в % (X; Y) называется топология, порождаемая множеством всех подмножеств вида Т (К; U); топологическое пространство, получаемое наделением $ (X; У) этой топологией, обозначается ?r(X; У). Из теоремы 2 следует, что в случае, когда Y — равномерное пространство, это определение совпадает с данным в п° 3 § 1. Топология,"* индуцируемая в множестве IIс: % (X; Y) из сбс (X; Y), будет по-прежнему называться топологией компакт- компактной сходимости. П р и м е р. Пусть / — интервал [0, 1] n U; пространство %'с (/; У) для любою топологического пространства Y назмиаотся простран- пространством путей и У; для каждого у £ У ого подпространство О;/ (У), образованное путпмц и, для которых и @) — и A) = у, намывается пространством петель (в У) в точке у. Замечания. 1) Говорят также, что топология, индуциро- индуцированная в % (X; Y) топологией произведения YK — <f (X; Y), есть топология простой сходимости (причем У не обязательно равноморизуемо); она порождается множествами вида Т ({х}, U), где х £ X и U открыто в У, и следовательно, мажорируется топо- топологией компактной сходимости. Отсюда вытекает, что если У отделимо, то пространство %с (X; Y) отделимо (гл. I, 2-е изд., § С, следствие предложения 4; 3-е изд., § 8, следствие предложе- предложения 5). 2) Пусть C — система образующих топологии пространства У н Jil — некоторое множество компактных множеств из X, обла- обладающее следующим свойством: (R) Для каждого компактного множества L в X и каждой его окрестности V существует конечное число множеств Kt £ Ш таких, что Lcz\J KiCzV. г Тогда Т (К, U) (К £ №. U £ <3)— система образующих топо- топологии компактной сходимости в IS (X; У). Действительно, доста- достаточно доказать, что для каждого компактного мпожества L в X, каждого открытого множества V в У и каждого и 6 Т (L, V) суще- существует конечное число пар (Kif U{), где Kt 6 Я и Ui 6 <3, таких,
220 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. X, § ;{ что и С f\ T {Kh UJczT (L, V). Заметим сначала, что дли кал,- i дои конечной последовательности (о^) множеств ил о и каждого компактного множества М в X, по определению, Т (j]f, f] SA — it -■-■ f] T (M, S\). Поэтому прежде всего можно заменить <£ мпо- к жествол! пересечений всевозможных конечных семейств множеств из <2, другими словами предположить, что Q есть базис тополо- топологии пространства У. По предположению, » (.//) квазпкомиактно и содержится и V, та it что существует конечное число множеств U \ С <£, содержащихся в V и покрывающих a (L). Множества j и (U,) открыты в X и покрывают L. Поэтому каждое х С L обла- обладает компактной окрестностью Nx в L, содержащейся в одной ил и (Ut), н L может быть покрыто конечным числом этих мно- множеств Nx. -■■■ fj/, обозначим для каждого j через i (j) какой-либо • j ыз индексов I, для которьтх JjjCZ и. (Ui). Тогда для кая;дого индек- индекса / существует, согласно (\\), конечное чис.!го ,\iHo;i;ecrn ATy/i cr -■i с: и {Ui^)), нрннад.чежащих i\ it покрывающих Lr Для ка;к- дого v £ f\ T (Kjh, Ultp) будем иметь \J v (Кlh) с Ui(p, откуда j, i' . it v {Lj)cz Uцр и v (L) -■■-• ^J v (/jj)cz U Unj»^ ^ чем ''зше j J утверждение п доказано. Tkopkma ;'». Пусть X, У, Z —■ топологические пространства, uf -■ отображение X X У в Z. Если j непрерывно, то j: х н-> / (х,' •) есть непрерывное отображении X. в 'Сс (Y; Z). Обратное справед- справедливо, если У локально компактно. Предположим, что / непрерывно, л докажем непрерывность /; требуется доказать, что для каждого компактного множества К из Y и каждого открытого множества G ил Z прообраз V множе- множества Т (К, U) относительно отображения / открыт в X. Итак, пусть х0 £ У. Для