/
Author: Кунцман Ж. Наслен П.
Tags: электротехника математика алгебра естественные науки точные науки булева алгебра
Year: 1969
Text
ИЗДАТЕЛЬСТВО
„Мир"
ALGÈBRE DE BOOLE
ET
MACHINES LOGIQUES
Sous la direction de
J. KUNTZMANN
Professeur
à la Faculté des Sciences
de Grenoble
et
P. NAS LIN
Ingénieur militaire en
Chef de l'Armement
DUNOD, PARIS, 1967
БУЛЕВА АЛГЕБРА
КОНЕЧНЫЕ АВТОМАТЫ
Перевод с французского
Е. В. БАБИЧЕВОЙ
Под редакцией
д-ра техн. наук П. П. ПАРХОМЕНКО
39.
ИЗДАТЕЛЬСТВО <М И Р» МОСКВА 19 6 4
УДК 621.398:654.931
Книга содержит результаты последних работ французских и ита-
льянских специалистов в области теории и практики релейных
устройств и конечных автоматов. Основное внимание уделено вопро-
сам синтеза логических схем и устройств с памятью; ряд описанных
методов учитывает состязания в схемах; некоторые методы доведены
до машинных алгоритмов. Рассмотрены также методы синтеза веро-
ятностных автоматов, вопросы теории реализации последовательност-
ных электронных устройств (как синхронных, так и асинхронных) и
автоматизации булевых преобразований. Приведено описание различ-
ных алгоритмов, в том числе машинного алгоритма синтеза булевых
функций в мажоритарном базисе. Изложена теория согласований и др.
Книга отличается цельностью тематики, новизной материала и
представляет большой интерес для широкого круга специалистов в об-
ласти теории конечных автоматов, а также для инженеров, занимаю-
щихся разработкой и проектированием логических устройств и конеч-
ных автоматов.
Редакция литературы по новой технике
Инд. 3-3-13
* 161-89
ОТ РЕДАКТОРА РУССКОГО ИЗДАНИЯ
Книга «Булева алгебра и конечные автоматы» является пер-
вым изданием, знакомящим советских исследователей с ра-
ботами французских и итальянских специалистов в области
теории релейных устройств и конечных автоматов. Она пред-
ставляет собой сборник отдельных докладов, прочитанных на
Симпозиуме по булевой алгебре в 1965 г. в Гренобле.
Редакторы сборника профессоры Ж. Кунцман и П. Наслен
благодаря тщательному подбору материала по существу пре-
вратили сборник докладов в монографию, охватывающую целый
ряд наиболее интересных, важных и сложных вопросов теории
релейных устройств и конечных автоматов.
Тематически книга разделена на две части. В первой части
рассмотрены проблемы анализа и синтеза комбинационных
устройств, во второй — логические устройства с памятью.
Особый интерес представляют работы Тизона (гл. 1 и 2),
Джераче (гл. 10 и 11), Перре и Дегерри (гл. 15).
В работе Тизона (гл. 1 и 2) изложена теория согласований,
которая представляет собой обобщение подхода к минимизации
булевых функций, известного в научной литературе под назва-
нием метода Порецкого — Блейка. На основе этой теории раз-
работаны алгоритмы поиска простых импликантов, а также ал-
горитмы поиска существенных импликантов полностью опреде-
ленных и недоопределенных функций.
Работа Джераче (гл. 10 и 11) посвящена решению интерес-
ной и имеющей практическое значение задачи — получению раз-
личных эквивалентных реализаций заданного синхронного уст-
ройства для изучения и исключения критических состязаний как
в логической, так и в запоминающей частях устройства. Кроме
того, в ней изложена общая теория реализации последователь-
ностных' устройств, найдены зависимости между синхронным и
асинхронным типами устройств и разработаны методы преобра-
зования синхронных устройств в эквивалентные асинхронные.
6
ОТ РЕДАКТОРА РУССКОГО ИЗДАНИЯ
В работе Перре и Дегерри (гл. 15) высказана идея канони-
ческой реализации конечного автомата в виде структуры, соот-
ветствующей его диаграмме переходов. Эта идея, представляю-
щая значительный интерес в связи с микроэлектронной техно-
логией, в настоящее время детально разработана сотрудниками
Перре.
Следует отметить также работы, посвященные синтезу на-
дежных релейных устройств путем введения структурной избы-
точности (гл. 13) и исследованию кодирования состояний асин-
хронных и синхронных автоматов (гл. 6—9).
Две небольшие главы не включены в настоящее издание, так
как одна из них представляет собой описание конкретных ма-
шинных (для IBM 7044) программ обработки булевых функций,
а другая — тезисы доклада.
Благодаря тематической цельности, новизне материалов и
обширной библиографии книга представляет интерес для инже-
неров и научных работников в области структурной теории ре-
лейных устройств, а также для аспирантов и студентов соответ-
ствующих специальностей.
П. П. Пархоменко
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
КОМБИНАЦИОННЫЕ
СИСТЕМЫ
ГЛАВА 1
ТЕОРИЯ СОГЛАСОВАНИЙ
П. Тизон
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОГЛАСОВАНИЙ
Рассмотрим импликацию Аи ..., Ар булевой функции F,
т. е. ряд одночленов, образующих F=A\+'... +АР. Каждый из
Л,- является произведением двух сомножителей β, и Cit т. е.
Ai = BiCu где Bi — произведение переменных, входящих в им-
пликацию только в одном (прямом или инверсном) виде, а
С{ — произведение переменных, входящих в импликацию в обоих
(как в прямом, так и в инверсном) видах.
Составим произведение А0=В\.. .Вр и сумму S = CX + ...
...+СР остатков, полученных исключением из каждого одно-
члена переменных, встречающихся только в одном виде. Для
каждой комбинации значений (состояния) переменных, при ко-
торой Ло=1, сумма S принимает значение 0 или 1. Если S = 0
хотя бы для одного из состояний переменных, то Л0 не является
импликантом функции F. Действительно, для этого состояния
переменных все заданные одночлены являются нулями, так как
их сомножители С, равны 0. Если S=\ для каждого состояния
перемен-ных, в котором Л0=1, то Л0-<Л| + ... +AP = F, откуда
следует, что Л0 — импликант функции F. Из рассмотренного вы-
текает теорема 1.
Теорема 1. Пусть функция F задана одной из своих импли-
каций Аи ..., Ар. Для того чтобы произведение А0=Вх... Вр
было импликантом функции F, необходимо и достаточно, чтобы
сумма S = С\ +;...+ С ρ равнялась 1.
Таким образом, исходя из одной заданной импликации мож-
но получить новые импликанты функции.
Пример. Задана функция F=ax+by+xy. Одночлен аЬ
является импликантом F, так как х+у+ху = \.
Примечание. Более интересно получать наибольшие одно-
члены, т. е. одночлены, содержащие в своем написании наимень-
шее число букв. Рассмотрим одночлен Aj, у которого остаток С}
10
ГЛАВА I
является избыточным членом в равенстве S=l. В таком одно-
члене может оказаться отсутствующая в других одночленах пе-
ременная х, которая может уменьшить А;, т. е. увеличить число
букв, входящих в Aj. Следовательно, особенно интересен слу-
чай, когда равенство S=l является неизбыточным.
Определение. Одночлен А0, являющийся произведением пере-
менных, встречающихся в одном виде в множестве одночленов
А\, ..., Ар, называется согласованием (consensus) этих ρ одно-
членов, если сумма S = C\+...+Cp остатков, образованных
произведениями переменных, встречающихся в обоих видах, не-
избыточно равна 1').
Зависимость между множеством одночленов Аи ..., Ар и
их согласованием А0 записывается в виде А0=6(А}.. .Ар).
Пример. Для одночленов ах, by, ху согласованием яв-
ляется одночлен ab. Действительно, х+у+ху=1 (неизбыточно).
Одночлены Αι, ..'., Ар называются генераторами согласова-
ния Ао и образуют порождающее множество. Число генераторов
ρ называется классом.согласования и классом порождающего
множества.
Характеристическим равенством называется неизбыточное
равенство Ci+—+ СР=\.
Примечания. 1. Любой одночлен является своим собствен-
ным согласованием класса 1: Ao=G{Aq). Действительно, ха-
рактеристическое равенство превращается при этом в неизбы-
точное тождество 1=1.
2. Одночлены, сумма которых неизбыточно равна 1, дают
согласование, в котором отсутствуют переменные.
3. Рассмотрим два одночлена X ·* и Υ Ι. Их согласованием
является выражение X-Y, потому что х+х=1. Если имеется
другая переменная, которая входит в одночлены в обоих ви-
дах, то X' Υ=0, τ. е. согласование равно 0.
СВОЙСТВА СОГЛАСОВАНИЯ
Отношение порядка между согласованием и его генераторами
Лемма 1. Если заданное равенство Ct + ... + Ср = I неиз-
быточно, то для любого выбранного заранее Си (k=\, 2, .... ρ)
') При р=2(С\=х, Сг=*) операция получения согласования Ао пред-
ставляет собой известную операцию обобщенного склеивания
Α ι* + Агх — A ix + Atx + AiAit
в которой Aq=AiAi. — Прим. ред.
ТЕОРИЯ СОГЛАСОВАНИИ
II
можно всегда найти такое состояние переменных, при котором
Cft=l иС*=0 (i=l, 2, ..., k— 1, ft+l, ..., ρ).
Действительно, пусть Сь будет выбранным членом. Если для
любого состояния переменных Ct + .. . + Ck-i + Ck+i + ... +Cp = l,
то Сй оказывается избыточным, что противоречит условию неиз-
быточности заданного равенства.
Лемма 2. В любое неизбыточное равенство Ct + ... + Ср =
= 1 не могут входить переменные одного вида.
Пусть а — переменная, содержащаяся в равенстве только в
одном виде. Приравнивая ее 0, аннулируем некоторое число
членов равенства. Остаток снова составляет равенство Ci+
+ ...+Ср=1 для любого возможного состояния переменных
в соответствии с леммой 1. Следовательно, члены, содержащие
а, избыточны, что противоречит условию неизбыточности задан-
ного равенства.
Пусть имеется соотношение Ao=G(Al.. .Ар). Рассмотрим
какое-либо состояние переменных, при котором А0 = \. Для
этого состояния все В{ равны 1. С другой стороны, Ci+\..
... +СР=1, а это значит, что по крайней мере один член Ct
равен 1, т.е. соответствующий одночлен А{ и сумма А\+\
+ ... +АР равны 1. Возьмем состояние, при котором Сл=1
и С4=0 для любого ij=k. (Это возможно согласно лемме 1.)
Задавая переменным, встречающимся в одном виде, значение 1
и произвольное значение отсутствующим в Aq переменным, по-
лучим состояние переменных, при котором
Ло=1 и С,+ ;.. +С,ы-гСл+1+ ... +СР = 0.
Таким образом, можно утверждать, что А0 не меньше и не
равно сумме ρ— 1 генераторов порождающего множества клас-
са р. Отсюда следует теорема 2.
Теорема 2. Согласование класса ρ покрывается суммой
одночленов своего порождающего множества, но не покрывает-
ся никакой суммой любых ρ — 1 генераторов из этого множе-
ства.
Рассмотрим одночлен А, меньший или равный сумме ρ одно-
членов Αι, ..., Ар, но больше суммы ρ— 1 ив'них. Можно рас-
сматривать А как произведение трех сомножителей BCD, где
β — произведение переменных из А, входящих в одночлены
Αι, ..., Ар в одном виде, С — произведение переменных, вхо-
дящих в обоих видах, D — произведение переменных из А, от-
сутствующих в данной записи одночленов Ль ..., Ар.
Пусть х — переменная из С. Все одночлены Ait меньшие или
равные х, имеют нулевое пересечение с А, что противоречит
12
ГЛАВА I
предположению, что ни один одночлен не может быть изъят из
суммы. Следовательно, существование такой переменной невоз-
можно, т. е. C=l, a A = BD. Каждое β* для любого Л,· может
быть записано как произведение В\в], где В\ равняется произ-
ведению переменных β,·, присутствующих в β, и β? —произве-
дению переменных Ви отсутствующих в β.
Всякое состояние переменных, при котором /4 = 1, дает β=1,
т. е. все произведения Bi при этом становятся равными 1.
Рассмотрим сумму В\С\ + ... + ВРСР и найдем ее значение
при всех состояниях переменных, присутствующих в ней. Каж-
дому из этих состояний можно поставить в соответствие неко-
торое состояние, определяемое всеми переменными, полученное
путем присвоения значения 1 переменным, представленным
в Л, и присвоения произвольных значений отсутствующим в А
переменным. При этом состоянии одночлен А и сумма
Αι+)...+Αρ становятся равными 1. С другой стороны, эта
сумма есть сумма Bid + ... Л-В2РСР1 которая, следовательно,
также равна 1. Покажем, что она является неизбыточной.
Рассмотрим некоторый одночлен Ah. Всегда можно найти со-
стояние переменных, при котором А = \ и Ак=\, а все остальные
/4j = 0 ЦФк). Тогда для каждого А, существует переменная, при-
сутствующая в одночлене β/C/, который, следовательно, равен
нулю для всякого j4*k. Одночлен С& оказывается, таким образом,
неизбыточным в равенстве В2\С\ + ... + ВРСР= I. Поскольку k
может быть любым, это равенство является неизбыточным.
На основании леммы 2 можно утверждать, что в этом ра-
венстве отсутствуют переменные одного вида; следовательно,
все В\—\, а А = В\ ... В\- D. Воспользуемся процессом обра-
зования согласований множества одночленов А\, ..., Ар. Най-
дем одночлен В\ ... Вр = В\ ... Вр, который является их согла-
сованием Л0;· А представляется произведением А0 на некоторое
число (которое может быть равно нулю) переменных, отсут-
ствующих в записи генераторов порождающего множества.
Теорему, обратную теореме 2, можно сформулировать сле-
дующим образом.
Теорема 3. Если одночлен А меньше или равен сумме неко-
торых одночленов, но не меньше и не равен сумме ρ— 1 из них,
то эти одночлены дают согласование, которое больше или равно
одночлену А.
Примечания. 1. В частном случае одночлен, содержащий все
переменные порождающего множества и обладающий свойством,
определяемым теоремой 3, является согласованием.
ТЕОРИЯ СОГЛАСОВАНИИ
13
2. Согласование является простым импликантом суммы одно-
членов, образующих одно из его порождающих множеств.
Согласование А0, таким образом, связано с одночленами
Аи ..., Ар, образующими одно из его порождающих множеств,
неизбыточным соотношением Ло·^ А\+ ... +АР, в котором,
кроме того, из А0 нельзя удалить ни одной переменной.
Пример. Рассмотрим одночлены ab, ax, by, xy. Имеем
ab *Cax+by+xy, но ни одно из соотношений ab^.ax+by,
ab ^ax+xy, ab*Cby+xy не имеет места; одночлен ab, не со-
держащий в своей записи ни одной переменной, отсутствующей
в записи трех одночленов ах, by, xy, является их согласова-
нием, т. е. ab=C(ax, by, xy).
Понижение класса согласования
Пусть А0=С (А\.. .Ар). Характеристическое равенство мо-
жет быть записано в виде
k τη ρ
1 ,fe+l m+l
При х=\
k m
Σ-τ+Σ^-1 ο·2>
1 A+l
и при x=0
m ρ
Σ^ι+ΣιΓ-Ι· (»·3)
fc+1 m+l
Оба эти равенства могут оказаться избыточными. В этом
случае можно исключить избыточные члены и получить неиз-
быточные равенства.
Лемма 3. В обоих равенствах
k m
1 ft+1
и
т ρ
Σε,+ Σ*-
ft+l m+l
все избыточные члены содержатся среди одночленов множества
1>Й+1> · ■ ■ > С-ЧП·
Η ГЛАВА I
Учитывая двойственность х и х, достаточно показать это для
одного из равенств, например для равенства (1.2).
Предположим, что избыточным является член Cg/x (g-^-k)
в равенстве (1.2).
Это означает, что
g—1 k т
1 g+l k+l
Можно, следовательно, написать
ι г+ι k+i
и, умножая оба члена на х, получить
c,<S ct+ Σ Ct + Σ ctx.
8 1 g+l . *+l
С другой стороны, имеем С,·* ·< Cit откуда
т m
Σ clX < 2 с ι.
k+l k + l
Следовательно,
(f—1 k m
g + l k+l
или
откуда
β-ι
ο^Σο^
* i
g-\ m
i- g+i
β-1 Ρ
Σο(+Σ сг =
1 g+l
m
Σ с,.
g+l
2с, = 1
1
Таким образом, Cg является избыточным в характеристиче-
ском равенстве, что невозможно по определению последнего.
Таким образом, лемма 3 доказана.
Ν ι
Лемма 4. В обоих равенствах
к т
Σ?+Σ*-ι
1 k+l
ТЕОРИЯ СОГЛАСОВАНИИ
15
и ·
т ρ
k+\ m+1 ·
члены, избыточные в одном из них, обязательно избыточны в
другом.
Предположим, что член С/, множества Cft+i, ..., Ст яв-
ляется избыточным одновременно в обоих равенствах. Из этого
следует, что он покрывается суммой одночленов этих равенств.
Запишем для первого равенства
k А—1 т
^<Σ%+Σ^+Σ^
1 * + I Λ + Ι
откуда
к А—1 m
l k+l A+l
ИЛИ
Λ-l m
χcll<Σci+Σ c{.
1 A+l
Аналогично находим
Λ-1 ρ
xch < Σ Ci + Σ ct.
1 Λ+1
Складывая два неравенства, получаем
1 А+1
Из этого следует
А-1 ρ ρ
2с,т21с,-2с(=1,
1 Λ + Ι 1
что является невозможным. Таким образом, лемма доказана.
Возвратимся к равенствам (1.2) и (1.3). После исключения
избыточных членов имеем
k m'
- ^— + ^ С< = 1 (неизбыточно) (1.4)
1 k+l
и
т. ρ
Σ ^' + Σ Ι^=^ (неизбыточно) (1.5)
k'+l m+1
при \^k^.k'4^.m'fCm-*Cp—1.
16
ГЛАВА I
Можно перераспределить индексы таким образом, чтобы из-
быточными были члены соответственно от Ст-+\ до Ст для пер-
вого равенства (если т' = т, то избыточных членов нет) и от
Ck+\ до Ck'+i для второго (если k' = k, то избыточного члена так-
же нет).
В этом случае равенства (1.4) и (1.5) можно рассматривать
как новые характеристические равенства, которые определяют
согласования хВ\ ... Вт' = С (А\ Ат) класса т' при т'^.
<т<р— 1 и xBk'+\ ... Bp = 6(Ak'+i ... Ар) класса p — k' при
p — k'^p — k^p— 1.
Таким образом, имеем
ρ
А) = 11 Βι = в{... вр=(β[... вт>) {Bk'+ι ... вр),
1
откуда
А0 = е(хВ1 ...Вт„хВ„+1...Вр).
Это согласование класса 2, в котором генераторы сами яв-
ляются согласованиями класса ниже р.
Пример. Пусть cd=G(ac, ab, Id). Характеристическое ра-
венство a + ab + t=\ относительно переменной а сокращается
до 1 + 5 = 1 (при а=1) и до 6 + 15=1 (при а = 0), что дает два
характеристических равенства 1 = 1 и.6+5=1, которые соответ-
ствуют согласованиям ас=С (ас) и ad=G(ab, Ы).
Следовательно, имеем согласование cd=G(ac, ad) класса 2,
т. е. класс согласования уменьшился на единицу.
Теорема 4. Всякое согласование класса р, A0=G(A{. ,.Ар),
является согласованием класса 2 двух одночленов Х\ и Хг, свя-
занных в свою очередь с исходными генераторами Аи ..., Ар
согласованиями класса более низкого, чем р, и таким, что лю-
бой исходный генератор At обязательно присутствует в одном
из них.
Примечания. 1. Сокращение характеристического равенства
относительно содержащейся в нем переменной позволяет умень-
шить класс согласования. В конечном счете можно прийти к
согласованиям класса 1, которые будут генераторами А\, ...
..., Ар. Это свойство используется для перехода от согласова-
ния к его генераторам и обратно.
2. Сокращение характеристического равенства можно осу-
ществлять последовательно по одной переменной в произволь-
ном порядке.
3. Переменная х, относительно которой было сделано сокра-
щение, отсутствует в характеристических равенствах (1.4) и
ТЕОРИЯ СОГЛАСОВАНИИ
17
(1.5), но имеется в одночленах хВ\ ... Вт> и xBv+x ... Вр. Та-
ким образом, происходит переход переменной из группы пере-
менных, встречающихся в обоих видах, в группу переменных,
встречающихся в одном виде.
4. Можно считать, что при сокращении .характеристического
равенства относительно отсутствующей в нем переменной ис-
следуемое согласование сохраняется неизменным.
Пример. Рассмотрим соотношение de=G(ace> ab, bd, bed).
Его характеристическое равенство имеет вид ас+аЬ+.Ь + Ъс =
= 1 (неизбыточно).
Сокращение этого равенства можно представить графически
в виде дерева
de
Сокращение относительно а
-—А:--
-4-4--А-
bd асе bed
Таким образом, путем последовательных уменьшений класса
можно перейти от согласования к его генераторам. Граф, пред-
ставляющий эту операцию, называется деревом сокращения;
особенность этого дерева состоит в том, что каждый из его
узлов представляет собой согласование некоторого числа одно-
членов начального порождающего множества. В таком случае
путем обратного процесса можно перейти от порождающего
множества к его согласованию некоторого класса.
Исключение одночлена из порождающего множества
Рассмотрим согласование А0 и какое-нибудь одно из его
порождающих множеств Аи ..., Ар.
Требуется исключить из порождающего множества какой-
либо генератор, например Л ι (перераспределение индексов все-
гда возможно).
Лемма 5. В равенстве Mt + ... + Мр = 1 всегда можно за-
менить любой член М{ суммой согласований относительно неко-
торой переменной, которые он дает с другими членами М,
(}φι) без нарушения равенства. ^\ ^ |
2 Зак. 46
18
ГЛАВА I
Если в некоторый член этого равенства входит переменная,
встречающаяся в равенстве в одном виде, то, согласно лемме 2,
этот член является избыточным и его можно вычеркнуть. Та-
ким образом, интерес представляют только равенства типа
Ci+\.. +Ср = \, где все переменные входят в обоих видах.
Попытаемся устранить член Сь заменяя его суммой согла-
сований, которые он дает со всеми другими членами С2) ..., Ср
относительно некоторой переменной х.
Равенство Ci+...+Cp=l может быть записано в виде
km ρ
1 fe+1 m+I
Для *=0 оно принимает вид
m ρ
k+i m+1
Пусть Ri — одночлен, полученный при условии, что все пере-
менные из Си имеющиеся в Си равны 1. Тогда
ι т ρ \ т ρ
Vft+1 m+1 / k+\ m+1
Произведение C\Ri для всех i, изменяющихся от k+\ до m,
представляет собой произведение членов С\ и Cj. Следователь-
но, C\Ci^.Ci.
Выражение C\(Rilx) для всех i, изменяющихся от т+\ тор,
представляет собой произведение х и (С\/х) (С,/ж). Произведе-
ние является согласвванием С ι и С{ относительно переменной х.
Пусть Cp+i Cq — такие согласования. Тогда
т ρ т ц
k+l m+1 fe+1 p+1
откуда
m q
c,< ^c,+ zc{.
' fc+I p+l
Заменим С\ в сумме Ci+ ... +CP = 1 правой частью получен-
ного неравенства и перепишем его в виде С2+ ... +Cq=\. Та-
ким образом, лемма доказана.
Лемма 6. В любом неравенстве вида Л0-<Л( + ... + Ар
любой член Лj правой части можно заменить суммой согласова-
ТЕОРИЯ СОГЛАСОВАНИЙ
19
ний.Ар+и ..., Aq, которые он дает с каждым из других членов
А%, ..., Ар.
Рассмотрим неравенство вида Α0^:Αι+...+АР, причем
оно может быть как избыточным, так и неизбыточным. Соста-
вим множество согласований Ар+1, ..., Aq, которое дает Αι с
Лг, · · ·, Ар относительно некоторой переменной х, входящей
в обоих видах. (Доказанное для Л ι будет справедливо для лю-
бого Л,- за счет возможности перераспределения индексов.) По-
лучаем новую сумму Л1+;...+Л„ которая, с одной стороны,
равна Αγ+ ... +АР, а с другой — больше или равна Л0, т. е.
Ах+ ...+Aq>A0.
Пусть все переменные из Л0 равны 1. Тогда левая часть ра-
венства примет вид ΛΙιΗ- ... +Mq] в ней можно исключить Μι
по лемме 5; при этом М%+ ... +Мд = \. Любое состояние пере-
менных, для которого Л0=1, обязательно дает Лг-К··· +Ад=1.
Таким образом, А04^А2+ ... +Aq, что и требовалось доказать.
Рассмотрим теперь согласование A0=G{Ai... Ар). Имеем
Α0^.Αι+ ... +АР (неизбыточно). Применим процесс исключе-
ния члена А\. Получаем неравенство Л0^Л2+ ... +Aq, которое
можно сделать неизбыточным путем исключения избыточных
членов; это дает Aq4^Au+[ ... +'Αυ (неизбыточно), что приводит
к новому согласованию А0=С(Аи ... Л„), в котором отсутствует
исключенный генератор.
Теорема 5. Исключение одного члена из порождающего
множества, сопровождаемое заменой его согласованиями клас-
са 2, которые он дает с другими генераторами относительно не-
которой переменной, входящей в него в обоих видах, всегда
приводит к новому порождающему множеству, в котором после
исключения избыточных членов исключаемый член отсутствует.
Примечание. Число переменных, входящих в обоих видах,
при этой операции не может увеличиться. Оно может остаться
прежним или уменьшиться.
Пример. Пусть_ порождающим множеством согласования
de будет ab, bd, асе, bed. Исключим Ш относительно одной из
его переменных, например а. Член асе дает согласование Ъсе.
Получаем множество членов bd, асе, bed, Ъсе, подмножество
которого bd, Ъса, Ъсе дает согласование de.
Таким образом, данный способ позволяет перейти от одного
порождающего множества к другому. Начиная с любого поро-
ждающего множества можно прийти к порождающему множе-
ству класса 1, которое само является согласованием.
2*
20
ГЛАВА I
ИССЛЕДОВАНИЕ СОГЛАСОВАНИЙ
Рассмотрим исходное множество одночленов Alt ..., Ап.
Попытаемся найти согласования вида Х=С(Аи ... Av), в кото-
рых генераторами являются одночлены исходного множества.
Образуем неравенство X*САи+ ... +AV, в котором нельзя
исключить ни переменную в левой части, ни одночлен в правой
части.
Поиск согласований — это поиск неравенств такого вида.
Такие неравенства можно получить путем образования неко-
торого канонического одночлена Υ и проверки неравенства
У<!ЛГ+;... +AS при всех возможных состояниях переменных.
Одночлен Υ можно образовать 2т возможными способами (если
в рассматриваемой задаче, имеется т переменных), так как
каждую из переменных можно взять в прямом и инверсном
виде.
Каждой переменной а задачи поставим в соответствие бу-
леву переменную а, которая принимает значение 1, если а
содержится в прямом виде, и 0, если в инверсном. Тогда каж-
дому одночлену Υ соответствует одночлен, образованный пере-
менными α, β, ..., взятыми в прямом или инверсном виде.
Примеры. 1. Предположим, что имеются четыре перемен-
ные а, Ь, с, d. Одночлену Y=dBcd соответствует состояние 1011
переменных α, β, γ, δ, т. е. αβγδ=1.
Поставим в соответствие каждому одночлену Ai булеву пере-
менную i, которая равна 1, если А{ входит в правую часть при-
веденного выше неравенства, и 0 — в противном случае.
2. Положим теперь, что имеются три одночлена Ах, Ау и Аг.
Сумме Ах+Ау соответствует состояние ПО переменных х, у и г;
следовательно, xyz = \. Если для проверки составить неравен-
ство abcd-^.Ax+Ay, то для переменных α, β, ν> δ, х, у, г полу-
чим состояние 1011 ПО, т. е. afiybxyz = l.
Истинность образованного неравенства является, очевидно,
функцией соответствующего состояния переменных. Эту функ-
цию можно назвать «функцией 7° достоверности» образованного
неравенства. Для каждого состояния переменных функция до-
стоверности равна 1, если неравенство справедливо, и р'авна 0
в противном случае.
Можно, следовательно, задаться значением функции досто-
верности для каждого состояния переменных. Таким образом,
эта функция оказывается булевой функцией.
3. Рассмотрим два одночлена Ax=*ab и Ау=а. Двум пере-
менным а и Ь поставим в соответствие булевы переменные α
и β. Затем для функции достоверности "У составим таблицу
истинности (табл. 1.1), помещая в первом столбце возможные
ТЕОРИЯ СОГЛАСОВАНИИ
21
состояния переменных α, β, л; и у, во втором — проверяемые не-
равенства, в третьем — значение функции Τ и в четвертом —
соответствующий канонический импликант') функции У.
Таблица 1.1
а
0
0
0
0
0
0
0
0
Переменные
β
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
X
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
У
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
Неравенства
αδ<-
аб <:а
аб ^.ab
аб ^ab + a
а6<-
аЪ ^ α
ab <Taft
ab^ab + a
аб^-
аб <! й
аб^аЬ
aB^.ab + а
аЬ^-
<2&<а
ab <Ξ ab
ab ^ ab + а
Значе-
ние
т
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
1
t
Канонический
импликант
У
а$ху
а$ху
д.$ху
а$ху
afixg
а$ху
Тогда получаем
Τ = а$ху + afixy + а#ху + Ъ$ху + о$ху + а$ху.
Минимизация функции У дает три простых импликанта
α у, $ху и afix (табл. 1.2). —
Таблица 1.2
■ У
ч.
It
L
ι
0
0
0
0
1
1
0
0
1
i
и
и
0
0
0
0
0
(Г)
') Конституент единицы, на котором функция У равна I. — Прим. ред.
22
ГЛАВА I
Рассмотрим некоторый одночлен α4ι, образованный пере-
менными а, ..,, х, ... в их прямом или инверсном виде. Он
будет импликантом функции У, если всякое состояние этих
переменных, которое переводит его в 1, делает также У = \.
Если этот одночлен является импликантом, то отсутствующим
переменным можно приписать произвольное значение. Неравен-
ство, обе части которого образованы соответственно первой груп-
пой поставленных в соответствие переменных и суммой одночле-
нов, индексы которых имеются во второй группе переменных
одночлена a4i, встречающихся в нем в прямом виде, будет все-
гда удовлетворяться (если значение переменной х произвольно,
то не следует брать одночлен Ах).
Пусть задан одночлен аН = аху. Он является импликантом
функции У, потому что каноническому импликанту а$ху соот-
ветствует неравенство ab-^.a, которое удовлетворяется и дает
У = \, а каноническому импликанту а$ху соответствует нера-
венство ab^Ca, которое также удовлетворяется и даёт У = \.
Таким образом, каждому импликанту У можно поставить в
соответствие' неравенство. Если импликант является простым,
неравенство соответствует согласованию.
Простому импликанту $ху функции У соответствует согласо-
вание
Ь = е{АхАу) = 6(аЬ, а):
Примечание. В одночлене аН можно исключить переменные
х, у, ... в инверсном виде. Действительно, если неравенство
удовлетворяется при невыбранном At, то оно обязательно будет
удовлетворяться, если член Ai выбран. В результате таких упро-
щений, которые могут производиться систематически, указанные
переменные будут входить в выражение одночлена o4t только в
одном виде.
Импликанту аху функции У обязательно соответствует дру-
гой импликант ау; наоборот, всякому согласованию можно со-
поставить простой импликант функции У.
Согласованиям класса 1 соответствуют простые импликанты
функции У, поскольку каждый из них содержит во второй
группе переменных только одну переменную, поставленную в
соответствие индексу, отличному от индекса любого другого
одночлена, и поскольку во всяком согласовании другого класса
в соответствующем импликанте обязательно будут по крайней-
мере две такие переменные.
Всякое согласование любого класса может быть сокращено
при помощи рассмотренного выше дерева сокращения, в кото-
ром все узлы соответствуют согласованиям. Следовательно, по
согласованию класса 2 можно получить соответствующий про-
ТЕОРИЯ СОГЛАСОВАНИРГ
23
стой импликалт функции 7°; этим способом выявляются только
простые импликанты функции 7°.
Теорема 6. Каждый простой Импликант функции 7° соот-
ветствует согласованию, и наоборот.
Пример (продолжение примера 3). Согласования, суще-
ствующие между одночленами Ax=ab и Ау^а, заданы простыми
импликантами функции У(д.у, $ху, αβ*); таким образом,
й = 6(а), b = 6(ab, а) и ab = 6(ab).
Рассмотрим теперь множество одночленов, задающих функ-
цию 7° и представляющих собой согласования класса 1. Назо-
вем такое задание функции У обычным решением. По одночле-
нам обычного решения можно получить все простые импликанты
функции 7°. Полученное множество импликантов, таким обра-
зом, представляет собой импликацию этой функции. Каждый из
одночленов является простым импликантом. Будем говорить, что
указанное множество образует базу функции. Если из множе-
ства выкинуть какой-нибудь одночлен, то по оставшимся членам
уже нельзя получить все простые импликанты функции 7°, т. е.
это множество образует простую базу функции V.
Теорема 7. Множество простых импликантов,· образующих
обычное решение, является простой базой функции 1°.
Примечания. 1. В качестве индексов одночленов можно взять
не буквы, а цифры, которым в этом случае ставится в соответ-
ствие значение булевой переменной. Это приведет к внешне
непривычным равенствам, но является вполне справедливым.
Например, если одночлен А5 входит в правую часть нера-
венства, то_имеем соотношение 5=1 и 5=0; если А5 не входит,
то 5=0 и 5 = 1. Преимущество цифровой индексации состоит в
возможности нумеровать одночлены, т. е. записывать Аи А2, ...
2. В каждом импликанте функции 7° обязательно имеется
переменная, соответствующая индексу, так как не может быть
неравенства, в котором правая часть была бы равна нулю.
Тогда, не боясь путаницы, можно переменные α, β, ... заме-
нить на а, Ь, ... Далее отыскивают последовательности знаков,,
образованные группой переменных и группой цифр и соответ-
ствующие непосредственно неравенствам.
Например, одночлену в виде последовательности знаков
аЫ125 соответствует неравенство abd*CAi+A2+A5.
При поиске согласований между заданными одночленами
Αι Ап приходим к отысканию простых импликантов функ-
ции 7°, представленной простой базой А\\, А22, .... Апп.
24
ГЛАВА I
Еще один пример. Пусть ах, abx, by, ху — множество одно-
членов, между которыми требуется найти согласования. Постав-
ленная им в соответствие функция 7° задана простой базой,
содержащей согласования класса 1, т. е. ах\, abx2, ЬуЗ, ху4.
Девять простых импликантов ах\, abx2, ЬуЗ, ху\, ау\4, aby24,
Ьх34, а&134, ай234 дают четыре обычных согласования класса 1,
три — класса 2, два.— класса 3.
3. В качестве возможных генераторов до сих пор рассмат-
ривались произвольные одночлены. В частйЬм случае в множе-
стве могут иметься два одночлена Л,· и Aj, причем А{ <А$. Слу-
чай, когда A{=Aj, не представляет интереса и может быть
исключен.
При присвоении индекса каждому одночлену теряется это
отношение порядка; члены A it и Ajj нельзя сравнивать, и по-
этому они оба являются простыми импликантами функции У.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Теория согласований любых классов дает возможность легко
изучить отношения порядка между заданными одночленами, что
оказывается чрезвычайно полезным при поиске простых импли-
кантов булевых функций; эта^теория позволяет также создать
новые алгоритмы получения простых импликантов. Кроме того,
она дает простое решение для поиска простых баз функций,
что приводит к схемам минимальной стоимости [1, 2]1).
Введение условия неизбыточности для характеристического
равенства дает изящный метод поиска минимальных форм функ-
ции при использовании согласований класса 1 и позволяет пред-
видеть новые возможности, в частности при изучении избыточ-
ности схем путем применения согласований класса q.
') Литература приведена в конце книги. — Прим. ред.
ГЛАВА 2
АЛГОРИТМЫ ПОИСКА ПРОСТЫХ БАЗ
П. Τ изо н
ПОИСК ПРОСТЫХ ИМПЛИКАНТОВ
Метод сокращения
Этот метод основан на восстановлении дерева сокращений
для согласования класса р.
Рассмотрим импликацию Аи ..., А„ функции F. Каждый
простой импликант X является обязательно согласованием клас-
са ρ одночленов Л4. Таким образом, обратным процессом пони-
жения класса можно перейти от генераторов к импликантам X
через согласования класса 2.
Алгоритм 1 поиска простых импликантов 1)
Поиск осуществляется последовательными этапами, причем
каждый этап относится к одной переменной х, входящей в
запись импликантов в обоих видах. Сначала отыскивают все
согласования класса 2 между этими импликантами относительно
переменной х. Каждый найденный одночлен сравнивают с дру-
гими, уже известными импликантами. Если он оказывается
меньше или равен одному из известных импликантов, его исклю-
чают; если же нет, то его вводят в множество импликантов,
производя в последнем возможные упрощения.
На каждом этапе отыскивают согласования только ме-
жду одночленом As и всеми последующими одночленами.
Если А} оказывается последним одночленом, этап заканчи-
вается.
') Этот алгоритм эквивалентен' методу, известному под названием ме-
тода Порецкого—Блейка. — Прим. ред.
26
ГЛАВА 2
Пример. Пусть задана функция F=abde + abe+асЗ+}
+ bc3+bd. Переменными являются Ь, с, d и е.
Первая переменная Ь:
Вторая переменная с:
abde abe Хкёк Ь J *£<с с d
Третья переменная d:
лМе аЬг
о
с d aS
'abe
otik
Четвертая переменная е:
В процессе вычисления исключают Член bed, который день-
те ей, и находят четыре простых импликанта ЪЗ, cd, аЗ, ab.
Результат получен путем образования 6 новых членов при 6
операциях согласования, в то время как при классическом ме-
тоде1) итеративного согласования потребовалось бы 10 опера-
ций и 7 членов.
Примечания. 1. Возможно несколько путей вычисления. Для
каждой переменной, встречающейся в обоих видах, составляются
таблицы остатков М/х и М/х. Затем из этих таблиц образуют
почленные произведения и включают полученные таким путем
члены в исходное множество, производя при этом по возмож-
ности их упрощение.
В качестве примера рассмотрим снова функцию F=
= abde+abe+ac3+bed + Ъ3. Вычисления, относящиеся к каж-
дому этапу, указаны в табл. 2.1.
') То есть при попарном сравнении всех дизъюнктивных членов задан-
ной формы функции. — Прим. ред.
АЛГОРИТМЫ ПОИСКА ПРОСТЫХ БАЗ
27
Таблица 2.1
Множество
имлликантов
функции F
abde, abe, асЗ, Jfihtt, Ъ 3
abde, abe , jaetl·, Б 3,
£jk^7c 3
3dnk, abe ,Ъ 3 . с 3 , аЗ
ээМ&, Ed, с 3, ad, xtbtz
Рассматри-
ваемая ,
переменная
X
Ь
с
d
е
Остаток
относительно
X
dde
аё
cd
ad
abe
ab
X
d
d
b
с
a
ab
Лмпликанты,
образованные
Произведени-
ем
ad ё
с d
аЗ
abe
ab
В результате остаются четыре простых импликанта Id, сЗ,
аЗ, ab.
2. Если обратиться к дереву сокращений, то можно заметить,
что бесполезно искать согласование между двумя одночленами,
из.которых один содержит переменную х, а другой образован
относительно этой же переменной х. Чтобы учесть это, каждому
согласованию можно сопоставить последовательность V пере-
менных, относительно которых оно было образовано.
Таким образом, одночленам аЪ, be соответствует согласова-
ние ас, которое можно написать в виде ас—Ь, чтобы подчерк-
нуть, что ас было образовано относительно Ь. При этом бес-
полезно образовывать согласование аЪ — an be — а.
Отношение порядка между одночленами, обозначенными
^fiVi и .ХгУг, можно определить следующим образом.
Если Xi<X2, то можно исключить ΛΙVt; если Х\=*Х2 при
Vi=£V2, сохраняют XiVs, где V3=Vi U V2. Например, если имеет-
ся abc — d и аЪ — cd, то оставляют аЪ — cd; если же имеется
abe — de и аЪс — def, то оставляют аЪс — def, и если имеется
аЪс — de и аЪс — ef, то оставляют dbc — def.
Значение группы V переменных становится более очевидным
при возрастании числа переменных, йстречающихся в одном
виде, в частности при поиске отношений согласования,
28
ГЛАВА 2
3. Нельзя образовать согласование между одночленом и
одним из согласований, которые этот одночлен дал, будучи ге-
нератором. Следовательно, в одной таблице можно объединять
полученные согласования и одночлены, среди которых ищут от-
ношения согласования.
В качестве примера рассмотрим функцию
F = ах\ + ау2 + ЬхЪ + ЬуА + bz5 + хуб + xzl + ху8 + yz9.
F является функцией достоверности (см. гл. 1). Переменные хуг
входят в функцию в обоих видах, а переменные ab 123456789
встречаются в одном виде.
Затем находят ах\, ау2, ЬхЗ, byi, bzb, xyQ, xz7, ху8, y!9,
ay 18 — x, by38— x, yz78— x, ax26 — y, 6*46— y, x!69— y,
bx57 — z, byb9 — z, by578 — xz, 6*569 — yz, откуда получают
искомые одночлены путем исключения групп V переменных.
Метод исключения
Этот метод основан на образовании новых порождающих
множеств по заданному порождающему множеству путем после-
довательного исключения генераторов.
Пусть Ль ..., Л„ — заданная импликация функции F, для
которой ищут все простые импликанты Х\, ..., Хт. Для каж-
дого Х{ имеем Xi=G(AT... As), где АТ, ..., А3 — одночлены
множества А\, ..., An. Исключим Ат, заменяя его согласова-
ниями относительно какой-нибудь переменной, встречающейся в
обоих видах. Получим новое множество Аи, ..., Αυ, причем
Х[ ^ Ли τ ... τ Αν.
Из этого неравенства (после того, как оно сделано неизбы-
точным) получаем новое порождающее множество. Процесс
продолжается до тех пор, пока не будет найдено порождающее
множество класса 1, которое само и есть Х{.
Заметим, что в правой части неравенства всегда можно ис-
ключить одночлены, которые меньше или равны другим. Но в
этом случае есть опасность выбросить из рассмотрения импли-
кант. Поскольку заранее неизвестно, является он простым им-
пликантом или генератором какого-либо другого импликанта,
а также относительно какой переменной надо брать согласова-
ние, указанное исключение следует производить после образо-
вания всех возможных согласований относительно каждой пере-
менной исключаемого члена.
В конце процесса будут получены все простые импликанты.
Следовательно, различают два множества: исходное множе-
ство одночленов и множество исключенных одночленов, Прак-
АЛГОРИТМЫ ПОИСКА ПРОСТЫХ БАЗ
29
тически работают только с одним множеством, отмечая пооче-
редно каждый одночлен в процессе его исключения и находя
согласования, которые он дает только с теми одночленами, ко-
торые следуют за ним..
Пример. Рассмотрим снова функцию
F = abde + abe + acd + bed + Ь~й.
/akfc\ abe acd be 3 b 3
abd
{abe\ ac3 be 3 Ed abd
ad ё
abe facch bci bd abd аЗ ?
abe
abe
аса
о d abd ad e abd abe
z3
abe ac3 (bd\ abd bH<S vbtt abe c3
acS Ъ S /b£^ -aba с 3 аЗ
ate
abe acd b d
a3 ab
Исключаемые одночлены заключены в полукруг.
Одночлен abd позволяет исключить abde. Справа от одно-
члена сЗ остались переменные, встречающиеся только в одном
виде. Следовательно, согласований больше не будет и вычисление
30
ГЛАВА 2
закончено. Обнаружены и не исключены в ходе процесса
следующие одночлены: abe, асЗ, Ъй, сЗ, аЗ, ab. После исключе-
ния аЬё и асЗ остаются четыре простых импликанта ЪЗ, сЗ, аЗ,
ab.
Примечания. 1. Если в процессе вычисления появится согла-
сование X, с этого момента можно исключить все члены вида
XY, полученные ранее, потому что XY не является простым
импликантом.
2. Аналогично в процессе вычисления можно исключить каж-
дое новое согласование вида XY, если существует одночлен X,
уже исключенный из рассмотрения.
Продолжим рассмотрение предыдущего примера. Дерево об-
разования ab приведено на схеме.
abde abi асЗ if 3 В 3
abd
Каждый узел дерева представляет собой согласование неко-
торого числа его генераторов. Предположим, что на (i'+/)-om
этапе вычисления в порождающем множестве Gi+j искомого со-
гласования X найден одночлен М, причем MKAh, где Ah — од-
ночлен, исключенный из Gi на t-ом этапе. Вернемся от Μ к его
генераторам Аг, ..., А, порождающего множества Gi. Каждый
из одночленов Аг, ..., А, имеет переменную, которая отсут-
ствует в одночлене М. Рассмотрим два случая.
J. М=Ак, т. е. Ак отсутствует в множестве Аг, ..., А„.
Поскольку он меньше или равен сумме Аг+ ... +Аа, то являет-
ся избыточным в Си что невозможно.
2. М<Ак. В этом случае не существует отношения согласо-
вания M = G{Ah, ...). Следовательно, Ак также отсутствует в
Аг, ..., Ав. Замена Ак множеством одночленов Х\, ..., Xq дает
ХАк <Х\+]... +Хд. Последовательное исключение одночленов
Xi приводит к аналогичному соотношению.
Таким образом, в G{ содержится множество одночленов, в
которых отсутствует Μ и сумма которых больше М. Следова-
тельно, одночлен Μ является избыточным в Gi и может быть
исключен. Это значит, что ни в каком узле дерева путем исклю-
АЛГОРИТМЫ ПОИСКА ПРОСТЫХ БАЗ
31
чения нельзя получить одночлен, меньший или равный уже
исключенному одночлену.
На основании этого можно сформулировать алгоритм.
Алгоритм 2 поиска простых импликантов
При поиске рассматривают множество импликантов и ис-
ключают последовательно каждый из них, заменяя импликант
неизбыточными согласованиями, которые он дает с каждым
следующим за ним одночленом. После образования согласова-
ния производят все возможные упрощения и помещают импли-
кант в конце множества, если это согласование не было исклю-
чено.
Пример. Найдем простые импликанты функции
F = abc + abd + acde + bed + bed.
(abc) аЬЗ acde bed ЬсЗ
«be Q acde bed bed
abce abc
abc abd bedk bed bed
«fee
lM abd acde (fatf) ^rf
\/
be
Члены abc и abce исключаются, так как они равны или меньше
уже исключенного члена abc. Член be позволяет исключить abc
(уже исключенный член), bed и ЬсЗ. Остаются три простых им-
пликанта abd, acde, be.
Поскольку узлы дерева являются согласованиями, то усло-
вия примечания 2 также выполняются.
32
ГЛАВА 2
Метод двойственных форм [3]
Часто булева функция задается одной из своих импликаций,
которая соответствует форме «сумма произведений». Однако
функция F может быть задана также в форме «произведение
сумм». В этом случае нужно иметь множество сумм переменных
в их прямой или инверсной форме, произведение которых
равно F.
Совокупность переменных, сумма которых больше функции
F, называется имплицентом F, а множество имплицентов, опре-
деляющее функцию, называется полной системой имплицентов
этой функции.
Пример. Функция F может быть задана либо импликацией
abd, abc, abd, abd, либо полной системой имплицентов abd, acd,
abc, abd, acd. bed. Напишем выражения для функции
F = abd + abc + abd + abd
и
F = (a + b + d) (a + с + d) (d +
+ b + c) (a + b + d) (a + с + d) (b + с + d).
Тем же способом, каким определяют простые импликанты,
определяются и простые имплиценты.
Примечание. Каждому простому импликанту функции F в
силу принципа_ двойственности соответствует простой импли-
цент функции F, и наоборот.
Аналогично каждой импликации функции F соответствует
полная система имплицентов функции F.
Любой простой базе функции F соответствует приведенная
система имплицентов функции F, т. е. неизбыточная полная си-
стема имплицентов, образованная только из простых импли-
центов.
Лемма. Простые импликанты функции Р2, полученной умно-
жением многочлена Pi на сумму переменных S, определяются
непосредственно раскрытием скобок при условии, что много-
член Pi выражен суммой своих простых импликантов.
Рассмотрим произведение многочлена Р\ на сумму перемен-
ных S. Произведем почленное умножение P\S = P2.
Рассмотрим простой .импликант М2 многочлена Р2. Всякое
состояние переменных, для которого М2=1, дает также Р, = 1
и S = l. Следовательно, для Pi существует простой импликант
Ми такой, что Μι > М2- Аналогично в сумме S имеется пере-
менная х, такая, что х^-М2, т. е. в произведении обязательно
имеется одночлен М\Х, который больше или равен М2. Так как
М2 является простым импликантом многочлена Р2, то MiX=M2.
АЛГОРИТМЫ ПОИСКА ПРОСТЫХ БАЗ
33
Таким образом, все простые импликанты функции Рг присут-
ствуют в полученном произведении. При вычислении сохраняют
только их, исключая все те, которые не являются простыми, т. е.
меньше других.
Примечание. Если в многочлене Р\ имеется член, который
содержит только одну переменную х, и если эта переменная
присутствует в сумме S, то она будет также присутствовать и в
многочлене Pi (при вычислениях вычеркивают эту переменную
из суммы S). Кроме того, если в простом импликанте много-
члена Pi и в сумме S имеется одна и та же переменная, она
сохраняется в том же-виде и в многочлене Pj.
Отсюда вытекает теорема 1.
Теорема 1. При условии, что функция задана одной из
своих полных систем имплицентов, переход к форме «сумма
произведений» после исключения меньших членов дает базу
функции.
Найдем простые импликанты функции F, заданной произве-
дением сумм Si, ..., S„ переменных; Si может быть -отожде-
ствлена с функцией Рь заданной суммой своих простых, импли-
кантов. Тогда функцию Р{ можно заменить другой функцией
Р1+ь применив предыдущую лемму к произведению P,Sj+i
(i-1,2, .... л).
Полученная таким путем функция Р„ равна функции F и
дает все простые импликанты последней. Можно заметить, что
теорема 1 является частным случаем теоремы Кунцмана [4].
Пример. Пусть функция F задана своей полной системой
имплицентов abd, acd, abc, аЫ, acd, bed. Применим процесс
перехода к сумме произведений.
ь
1
be
|
1
be
I
be
/\_
a be bed
1 /_
a be bed
a
a
/
ad
f
d
I
1
d
d bd cd^
1 I l\
d гняс з>&& bed'
/
.3=*-e=ff
Получаем базу функции F: abd, abc, bed, ad.
3 Зак. 46
34
ГЛАВА 2
Примечание. Удобнее начать с приведенной системы импли-
центов и классифицировать имплиценты в порядке, допускаю-
щем наибольшие возможные упрощения. Для этого инвертируем
все переменные. Получаем переход от импликации F к полной
системе имплицентов функции F. В конце вычисления, взяв ин-
версию, снова находим полную систему имплицентов функции/7.
Отсюда следует теорема 2.
Теорема 2. Преобразование импликации функции позво-
ляет найти полную систему имплицентов, образованную всеми
простыми имплицентами.
Π ρ и м^е р. Пусть функция F задана одной из своих импли-
каций abd, abc, abd, abd. Применим процесс преобразования
lid
ild
ab3
и найдем множество простых имплицентов функции F, имеющей
вид
F= (a+.b) (й+d) (b + d) (a + c+d).
Итак, здесь мы применили процесс перехода к двойственной
форме.
Алгоритм 3 поиска простых импликантов или имплицентов
Если функция F задана одной из своих импликаций (или
полной системой имплицентов), множество ее простых импли-
кантов (или множество простых имплицентов) можно найти
двукратным применением процесса перехода к двойственной
форме.
Пример. Пусть функция F задана импликацией abd, abc,
abd, abd.
Первое применение. Находим множество простых имплицен-
тов ab, ad, bd, acd.
a b ad
b
I
b
I
bd
I
bd
cd
L
/\
acd bxk
АЛГОРИТМЫ ПОИСКА ПРОСТЫХ БАЗ 35
Второе применение
a b. а Ь
Ε bd
4iL·
bd: lib a d bJ
acd: a be &ЬЦ a d abd bed
Получаем множество простых импликантов функции F: abc, ad,
abd, bed.
Примечание. Этот метод позволяет найти не только простые
импликанты функции F, но также простые импликанты ее ин-
версии, т. е. F. Для этого достаточно инвертировать простые
имплиценты функции F.
Метод применим как для обычных представлений функций,
так и для тех представлений, которые получены при поиске
согласований.
Пример. Пусть ах, by, xy — одночлены, между которыми
ищутся согласования. Найдем простые импликанты функции
F=axl+by2+xy3.
Первое применение
ах\ а х 1
by2 ab, ay, a2, bx, ху, х2, Ы, у\, 12
хуЗ дает полную систему имплицентов функций F: abx, aby,
аЬЗ, аху, ауЪ, ах2, ау2, а23, Ъху, ЬхЪ, хуЪ, ху2, д;23,
bx\, by\, 613, ху\, г/13, Jcl2, y\2, 123.
Второе применение
&}
mi
fix 2
Найдены шесть
8·
123
ах у
1 II
а х 3 у
а х 3 х у у 2
ах\, Ьу2, ау13, хуЗ,
Ьх23, аЫ23.
возможных еогласований.
36 Г Л А В А 2
ПОИСК ПРОСТЫХ БАЗ
Полностью определенные функции
Рассмотрим функцию F, заданную ее базой Аи ..., Ап, и
найдем ее простые базы.
Пусть Ах, ..., Ag — некоторая простая база. Для каждого
простого импликанта А{ функции F имеем неравенство
Λ<-^.<4*+ ... +Ag, которое можно сделать нейзбыточным, т. е..
привести к виду Л4-<Ли+ ... +AV. Поскольку Л< — простой
импликант, то А{=6 {Аи ... Av), где /4„, ...', Αν — простые им-
пликанты базы Ах, ..., Ag. .
Составим базу функции и вместо каждого одночлена Л4
введем булеву переменную, которая равна 1, если А{ имеется
в этой базе.
Если берут Ai, то i=l. Вместо Л< можно брать другие одно-
члены, сумма которых больше или равна А{. В этом случае
имеем и... «= 1, причем Л„, .... Av взяты из выбранных одно-
членов. При этом
Αι = С \Аи ... Ацг).
Следовательно, сумма 1+и+)... +о всегда равна I. В об-
щем случае имеем
Σι (Ζ + α ... о+ ...)=1.
где Σ{ является суммой произведений индексов каждого воз-
можного порождающего множества для А{ (включая согласова-
ние класса 1). Затем эти суммы получают для всех одночленов
от Αι до Ап, т. е.
2ji ... Zin— 1·
По ним можно образовать все базы функции и, в частности,
все простые базы.
Таким образом, определилась новая функция,, которую мож-
но назвать базовой и которую обозначают JP(F) '). Теперь легко
перейти к форме «сумма произведений» для &(F). Присутствую-
щие здесь переменные являются булевыми переменными,- встре-
чающимися в одном виде. К функции Sf можно применить обыч-
ные операции упрощения булевых функций.
Примечание. Всякий импликант Ак, у которого в Σ* содер-
жится только одна переменная к, является обязательно необхо-
димым. Его обычно называют существенным импликантом2).
') JF(F) — есть алгебраическая форма таблицы покрытий (импликант·
ной таблицы). — Прим. р*д.
\ Или импликантом ядра. — Прим, p$9t
АЛГОРИТМЫ ПОИСКА ПРОСТЫХ БАЗ
37
Таким образом, в теории согласований они находятся легко.
Пример. Пусть функция F. является полностью определен-
ной; каждому из ее простых импликантов присвоен числовой
номер, т. е. ах\, ау2, ЬхЗ, Ьу4, ЬгЪ, ху(з, xz7, ху8, yl~9.
Множество согласований дано следующими членами (см.
пример на стр. 28): ах\, ау2, ЬхЗ, ЬуА, ЬгЪ, хуб, xzl, ху8, yz9,
at/18, ЬуЪ8, уТ78, ах26, 6*46, xz69, bx57, by59, by578, bx5№.
Для каждого импликанта найдем сумму вида Σι и получим
следующую картину:
ах Σ] = 1+26 ху Σ6 = 6
ay 2j2 = 2+18 xz 2? = 7+ 69
bx 2з = 3 + 46 + 57 + 569 ху 2β = 8
by 24 = 4 +38+^9+ 578 yz 29 = 9 + 78
bz 25 = 5
Видно, что импликанты bz, ху, ху являются существенными.
Теперь получим базу функции J» = (1 + 26) (2 + 18) (3 + 46 +
+ 57 + 569)(4 + 38 + 59 + 578) 56(7 + 69) 8(9 + 78) = (1 +2) (3 + 4+
+ 7 + 9) 568 (7 + 9) = (1 + 2) 568 (7 + 9) = (17 + 19 + 27 + 29) 568 =
= 15678 + 15689 + 25678 + 25689.
Теорема 3. Каждому простому импликанту функции 9& со-
ответствует простая база функции F, и наоборот.
Каждой простой базе функции В, образованной одночленами
А\, ..., Ар функции F, заданной своими простыми импликан-
тами Αι, ..., Ап, соответствует импликант функции St. Пред-
положим, что этот импликант не является простым. Тогда
можно исключить один индекс, т. е. один одночлен рассматри-
ваемой простой базы В. Оставшиеся одночлены составляют но-
вое множество В*, причем /Ij^Ei, где Σ{ образовано только
индексами одночленов В*.
В этом случае имеем
4<Σ(β*)
и
ρ=£λ<Σ(β*).
1
Следовательно, В* является простой базой функции F, что
противоречит условию, по которому В является простой базой.
Таким образом, теорема доказана.
Вернемся к предыдущему примеру. Функция F имеет четыре
простые базы: ах, Ьг, ху, хг, $у; ах, Ьг, ху, хг, уг; ау, Ьг, xjj,
xJ, Sy и ау, Ьг, xjf, Sy, yx,
38
ГЛАВА 2
Примечание. Можно также использовать произведения
остатков, группируя одночлены XI ι и XI\ в X(Ii + I2).
Например, ах\, ау2, ЬхЗ, by4, bzb, хуб, х!7, ху8, у!9. Вычис-
ления выполнены в табл. 2.2. В результате получаем ах (1+26),
ау(2+Щ, bx(3+46 + 57+569), fei/(4+38+59 + 578), bz5, хуб,
xz(7+.69), xy8, yz (9+78).
Таблица 2.2
Множество одночленов
ах 1, ау 2, bx 3,
by 4, bz 5, ху 6,
xz 7, ху 8, yz 9
ах 1, ay (2+ 18),
bx 3, by (4 + 38),
bz 5, xy 6, xz 7,
xy 8, yz (9 + 78)
ax (1+26), ay (2 +18),
&x(3 + 46), fry (4 + 38),
bz 5, *# 6,
«(7 + 69), xy 8,
yz(9 + 78)
Пере-
менная
a
X
У
z
Остаток относительно
a
a 1
b 3
Μ
z 7
a (2+ 18)
6 (4 + 38)
* 8
2(9 + 78)
6 5
a
У 8
x 6
x(7 + 69)
У (9+ 78)
Произведение
ay 18
6г/ 38
yz 78
ax (26+168)
6x(46 + 368)
xz (69 + 678)
6x (57 + 569)
by (59 + 578)
Таким образом, найдены суммы 2j, соответствующие каж-
дому А{.
Распространение метода на недоопределенные функции
Метод нетрудно распространить на случай, когда функция
неполностью определена. Недоопределенная функция может при-
нимать' для каждого состояния переменных значение 1, 0 или
безразлично (последнее будем отмечать знаком ~). Инвер-
сию F функции F определим следующим образом:
F
1
0
F
0
1
АЛГОРИТМЫ ПОИСКА ПРОСТЫХ БАЗ
39
Недоопределенную функцию будем задавать двумя постав-
ленными ей в соответствие функциями, которые являются ее
верхней границей M(F), принимающей значение 1 при F=~
или 1, и ее нижней границей tn(F), принимающей значение 1
только при F= 1.
Одночлены, входящие в некоторое представление функции
F, являются простыми импликантами Ль ..., Ап функции Μ (г),
пересечение которой с m(F) не равно нулю.
Тогда для каждого одночлена можно отыскать согласования,
в которых генераторами являются одночлены множества
Ль ..., А„. Пусть Х\, ..., Хт— эти согласования. Для каж-
дого из них находят сумму Σ,·.
Для каждого импликанта Yj функции m(F) следует брать
такое Хи при котором Y}-^.XU т. е. Σ4 = 1.
Отметим, что для одного и того же Yj можно иметь несколько
сумм Si и что Xi не обязательно будут простыми импликан-
тами M(F).
Пример. Пусть недоопределенная функция задана гранич-
ными полностью определенными функциями вида
Μ {F) = ac + ad + abc + abd + Be + bd+cd+cd + аЪ,
m {F) = abd + abd + abc + acd.
Импликант аЪ является избыточным, так как произведение
ab-m(F) = Q.
Найдем согласования между другими одночленами функции
M(_F): ac\, ad2, abcS,_ abd4,_bc5, Ш, cd], cd8, bcdU, bcd23,
acd36, acdAb, cd\45, cd236, ad 18, abd37, 5d58, ac27, abc48, 5c67.
Результаты представим в следующем виде:
- abd ad(2+lS)
' abd abd(4 + 37)
abc be (5 + 67)
acd ccf(7+145) или acd (45)
Таким образом, получили функцию реализации St, анало-
гичную базовой функции. Итак,
Μ = (2 + 18) (4 + 37) (5 + 67) (7 + 145 + 45).
После удаления члена 145, поглощаемого членом 45, раскры-
ваем скобки и получаем
0t = 2357 + 13578 + 2467 + 14678 + 2367 + 13678 + 245 + 1458.
Получаем минимальное решение, выраженное суммой
(ad+abd+fic), соответствующей последовательности 245.
40
ГЛАВА S
Распространение метода на системы функций [5]
В системах функций те одночлены, которые пригодны для
образования функции Fit являются простыми импликантами
функции M(F{) и пересечений функции M(Fi) с другими верх-
ними границами, пересечение которых с m(F{) не равно нулю.
Таким образом, процесс минимизации каждой функции F{ си-
стемы аналогичен процессу минимизации одиночной функции.
Присвоение индексов переменным функций /?,· позволяет
определить общие части реализуемых функций.
Пример. Пусть задана система
F{ = ab + be,
F2 = ac + be,
F3 = ab + ac.
Имеем
F,F, = F,F, = FnF, = F,F2F, = abc.
\гг-
2*3
1·Γ2^3-
Пронумеруем одночлены следующим образом: abl, abc2,
аЪЪ, асА, йсЪ, Ьсб, ЬЫ.
&
&
ЕЙ
■*f|
■~F,
-5
Рис. 2.1.
Для реализации F, можно использовать одночлены ab, be и
abc. Согласованиями будут одночлены abl, abc2, bcl, аЬ27,
Затем получаем
$?, =.(1+27) 7 =17+ 27,
й?2 = 25 + 56, <i?3 = 23 + 34
и, наконец,
& = (1,7, + 2,7,) (2,6, + 5262) (2333 + 3343)
или
Я = 1,33435г627, + г^Зз^,.
Второй член из Si лает минимальную схему (рис. 2.1).
АЛГОРИТМЫ ПОИСКА ПРОСТЫХ БАЗ 41
Примечание. По нескольким имплицентам Хх, Ух, ... функ-
ции находят другой имплицент XY процессом, аналогичным
процессу получения согласования;
Следовательно, можно обобщить понятие согласования, по-
нимая под этим некоторую операцию, применяемую к последо-
вательности букв, и вывести для имплицентов свойства, двой-
ственные тем, которые были найдены для импликантов (одно-
членов). Таким образом, процесс поиска согласований путем
исключения генераторов позволяет находить множество простых
имплицентов функции. В качестве примера возьмем снова
функцию F, заданную своей полной системой имплицентов:
abd, acd, abc, abd, йсЗ, bed. Методом исключения отыскиваем
простые имплиценты
и получаем функцию, выраженную приведенной системой импли-
центов
F =- (а + с + d) (а + й) (ft + d) (й + ft).
Далее ищем согласования acdl, &32, bd3, ab4, bcd\4a, ab23d.
Откуда находим
ef =1-2· 3(4 + 23) = 123.
Затем получаем минимальную форму функции F в виде «про-
изведения сумм»
F = (a + c + d){a + d){b + d).
ГЛАВА 3
К ОПРЕДЕЛЕНИЮ ЧИСЛА
ЛОГИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ, ПОКРЫВАЕМЫХ
ЯДРОМ
Р. Галимберти, А. Г рассели,
Р. Мор η у ρ го
ВВЕДЕНИЕ
Главной проблемой при синтезе комбинационных схем яв-
ляется получение экономичной схемы, .реализующей задан-
ную функцию. Существуют эффективные алгоритмы [1—4]
для нахождения минимальных выражений, имеющих форму
суммы произведений и соответствующих минимальным схемам
И-ИЛИ1).
Вычисление минимального выражения суммы произведений
логической функции при помощи этих алгоритмов происходит
в два этапа: сначала составляют списки простых импликантов,
а затем выбирают те простые импликанты, которые образуют
минимальную форму.
Список простых импликантов может быть определен, напри-
мер, либо методом Мак-Класки, либо методом итеративных
согласований (см. гл. 2). Некоторые простые импликанты вхо-
дят в любую минимальную форму функции — они называются
существенными простыми импликантами. Совокупность суще-
ственных простых импликантов называется ядром логической
функции. Для некоторых функций сумма существенных простых
импликантов является выражением функции. В этом случае
функция полностью покрывается ядром. Очевидно, что если
функция покрывается ядром, то сумма ее существенных про-
стых импликантов является минимальным выражением суммы
произведений.
Ядро функции может быть определено при помощи алгорит-
мов, приведенных в работах [5, 6]. Эти алгоритмы требуют
меньше операций, чем алгоритмы, дающие полный список про-
стых импликантов. Следовательно, если функция покрывается
ядром, эти алгоритмы дают непосредственно минимальное вы-
, ') В этой главе рассматриваются только выражения в форме суммы
произведений, поскольку любое свойство, полученное для этого случая, при-
годно в силу двойственности для выражений в форме произведения сумм.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ, ПОКРЫВАЕМЫХ ЯДРОМ 43
ражение суммы произведений с меньшими затратами на вычис-
ление. Однако, когда существенные простые импликанты най-
дены, но функция не покрывается ядром, для поиска минималь-
ного выражения применяют способ, пригодный для построения
минимального выражения недоопределенной функции, получае-
мой после замены безразличными значениями тех единичных
значений заданной функции, которые покрываются существен-
ными простыми импликантами. Результаты, полученные при
предварительном определении ядра, сокращают объем вычис-
лений на первом этапе при использовании метода итеративных
согласований, поскольку при этом не требуется повторного
определения существенных простых импликантов1). Объем вы-
числений на втором этапе при этом также сокращается, так как
часть простых импликантов, образующих ядро, определяется на
первом этапе. Выигрыш в вычислениях зависит, очевидно, от
размера ядра, т. е. от отношения числа единичных значений
функции, покрываемых ядром, к общему числу единичных зна-
чений функции. Это сокращение вычислений, полученное при
использовании общего способа, может, однако, не скомпенсиро-
вать объем вычислений, необходимых для определения ядра.
Пусть f(n, т)—функция η переменных, имеющая т еди-
ничных значений; N(n,m)—отношение числа функций f(n,m),
покрываемых ядром, к общему числу функций f(n, т); Е(п,т) —
средний размер ядра функции f(n,m).
Очевидно, что эти величины, которые косвенно характери-
зуют объем вычислений на различных этапах, позволяют опре-
делить в каждом случае наилучший метод, т. е. определить,
следует ли предварительно вычислять ядро. Исключая случай
небольшого числа переменных, имеющий отношение к методам
минимизации [7—9], найти аналитическое выражение для
N(n, m) довольно трудно; вычислить значения Е(п, т) легче,
однако это не приводит к прямому результату.
Ниже представлены результаты статистического определе-
ния N(n, m) и Е(п, т) для п, равного 5, 6, 7, 8, 9, при различ-
ных значениях т. Помимо того что параметры N(n, m) и
Е(п, т), а также те параметры, которые были определены в
работе [7]2), могут служить для выбора метода минимизации,
они способствуют лучшему пониманию структуры логических
функций.
В конце главы изложен мало известный метод Мак-Класки
определения ядра функции [6].
') С другой стороны, не ясно, как эти результаты могут уменьшить объем
вычислений в методе Мак-Класки.
2) В работе [7] определено среднее число элементарных операций для
минимизации функции f(n,m) методом Мак-Класки.
44 ГЛАВА S
РЕЗУЛЬТАТЫ ЭКСПЕРИМЕНТА
Точные значения N(n, т) и Е(п, т) могут быть определены
для л=4, поскольку их вычисление сводится к изучению лишь
402 классов симметрии. Эти значения сведены в табл. 3.1
(столбцы 2 и 3). В столбце 4 этой таблицы помещены значения
S(n, m), представляющие отношение числа классов симметрии,
функции которых покрываются ядром, к общему числу клас-
сов симметрии.
п — 4 Таблица 3.1
т
0
1
2
3
4
б
6
7
8
N (я. го)
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
0,915
0,757
0,636
0,533
β (я, т)
. 1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
0,983
0,945
0,899
0,878
5 (л, т)
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
0,925
0,820
0,680"
0,622
т
9
10
11
12
13
14
15
16
N (я, т)
0,492
0,455
0,374
0,363
0,286
0,667
1,000
1,000
£ (л, т)
0,843
0,835
0,813
0,763
0,733
0,818
1,000
1,000
S(n, m)
0,520
0,460
0,407
0,473
0,334
0,500
1,000
1,000
Значения N(n, m) и Е(п, т) для п, равного 5, 6, 7, 8, 9,
приведены в табл. 3.2—3.6 и определены на цифровой вычисли-
тельной машине IBM 7094. Логические функции были заданы
а = 5 Таблица 3.2
т
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
ЛМя, т)
X
0,92
0,88
0,74
0,61
0,48
0,38
0,30
0,24
0,21
0,16
0,10
0,10
£ (я, т)
X
X
0,97
0,93
0,89
0,89
0,86
- 0,83
0,79
0,77
0,76
0,71
0,67
t (л, го)
0,84
0,92
1,1.0
1,28
1,53
1,80
2,15
2,53
2,95
3,43
3,93
4,60
5,29
т
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
JV (я, го)
0,07
0,06
0,07
0,04
0,05
0,04
0,08
0,11
0,05
0,09
0,09
0,13
0,44
£ <я, го)
0,68
0,63
0,64
0,57
0,60
0,58
0,58
0,61
0,58
0,56
0£6
0,59
0,80
/(я. го)
5,80
6,57
.7,22
8,19
8,73
9,70
10,53
11,59
12,57
13,12
14,15
13,48
12,25
Таблица 3.3
й-β
т
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
Ν (я, m>
X
0,98
0,91
0,83
0,78
0,64
0,50
0,41
0,33
0,29
0,19
0,16
0,15
0,08
0,05
£ (я, m)
X
X
X
X
0,96
0,93
0,91
0,89
0,87
0,85
_ 0,81
0,79
0,78
0,75
0,73
t (л, m)
1,28
1,45
1,62
1,87
2,07
2,42
2,68
3,02
3,45
3,82
4,50
4,93
5,47
6,32
6,92
.
22
23
24
28
32
36
40
44
48
52
56
60
61
62
Ν (л, πι)
0,04
0,06
— ■
>
—
—
—
—
—
—
—
—
0,05
0,34
Ε (η, m)
0,71
0,69
0,69
0,61.
0,55
0,49
0,43
0,39
0,35
0,34
0,42
0,49
0,61
0,84
t (я, т.
7,55
8,25
8,97
12,73
16,87
21,83
25,01
33,70
40,32
48,32
55,00
56,97
48,55
41,47
Таблица 3.4
п-7
т
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
Ν (я. т)
X
0,96
0,94
0,83
0,73
0,55
0,42
0,32
0,21
0,15
0,10
0,03
—
В (л, ш)
X
X
X
0,97
0,96
0,93
0,91
0,90
0,86
0,84
0,81
0,79
0,77
t (л, т)
2,01
2,32
2,65
3,10
3,72
4,52
5,40
6,02
7;50·
8,65
10,02
11,75
13,27
m
40
48
56
64
72
80
88
96
104
112
122
124
126
ЛГ (л, т)
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
0,22
Е(пМ)
0,68
0,57
0,51
0,41
0,34
0,28
0,23
0,19
0,19
0,19
0,34
0,45
0,83
«(я. т)
22,37
34,50
48,58
65,93
85,45.
107,50
132,27
161,33
192,23
226,10
229,77
230,27
153,63
46
ГЛАВА 3
программой, использующей генератор случайных чисел, а их
ядро определялось при помощи алгоритма, изложенного ниже.
Для каждой пары значений (т, п) вырабатывалось 200 функ-
ций. При этом отмечалось время, затрачиваемое на вычисление
ядра. Значения этого времени в секундах помещены в столбцах
t(n, т) табл. 3.2—3.6. Значения N(n, m) и Е(п, т), помещенные
в этих таблицах, даны в пределах 0,03—0,97; значения, большие
0,97, помечены знаком X, а меньшие 0,03 помечены чертой.
Таблица 3.5
Я = 8
т
12
14
16
18
20
22
24
26
28
Ν (п, т)
X
0,97
0,95
0,89
0,86
0,75
0,66
0,60
0,47
Ε (га, т)
X
X
X
X
X
0,97
0,96
0,95
0,94
t (п, т)
3,77
4,08
4,53
. 4,93
5,48
6,30
6,73
7,66
8,63
m
30
32
34
36
38
40
42
44
46
N (га, т)
0,37
0,35
0,26
0,20
0,15
0,11
0,06
—'
—
Ε (га, т)
0,93
0,91
0,90
0,89
0,86
0,88
0,85
0,82
0,81
t (га, т)
9,92
10,85
12,38
13,75
15,52
16,75
19,23
21,83
24,12
Таблица 3.6
я = 9
т
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
N (га, т)
X
0,96
0,95
0,94
0,92
0,90
0,84
0,82
0,74
0,77
0,67
0,57
0,49
Ε (η, т)
X
X
X
X
X
X
X
X
0,97
0,97
0,96
0,96
0,95
t (га, т)
6,95
7,40
7,82
8,33
8,68
9,12
9,93
10,80
11,67
12,05
13,37
14,50
16,05
т
44
. 46
48
50
52
54
56
58
60
62
64
66
N (га, га)
0,46
0,40
0,33
0,30
0,20
0,17
0,12
0,09
0,09
0,06
0,03
—
£(я,/га)
0,94
0,93
0,92
0,92
0,91
0,91
0,86
0,89
0,89
0,88
0,87
0,87
t (га, т)
17,30
18,53
19,87
22,08
24,05
25,04
28,00
29,42
33,00
35,08
38,99
40,55
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ, ПОКРЫВАЕМЫХ ЯДРОМ 47
1,0
0,8
Ε
£L Οβ
E. 0,4
с
ft
0,2
• /V +£
♦ т ♦ +
• · ·
• · , ·
12
W 20
т
и = 5
24
28
Рис. 3.1.
32
Для п = Ъ вычисления были сделаны для всех значений
т (5-<т-<30). Для п, равного 6, 7, 8, 9, время, затрачивае-
мое на вычисление, было оценено выборочно в области
0,03 <N(n, m) <0,97').
') При п=6 для значений т выбран шаг, равный 4, в пределах 24^т^
«=Ξ60, поскольку в этой области Ν(η, /л)<0,03. При я=7 выбран шаг, рав-
ный 2, в пределах 8^т-^40 и 122^/п^126 и шаг, равный 8, в пределах
40^/п^122. При л, равном 8, 9, выбран шаг, равный 2 и до значений т,
при которых N(n, m)<0,03.
48
ГЛАВА 3
Ε
с
0,8
0,6
0.4
0.2
- · х
•
•
•
•
•
•
•
ι Ι ·ι
4
I
4
4
I
4
4
1
♦
4
ι
•A/ ♦ Ε
η·7
4 4 4
/
4
4
♦
1
24
40
56 72
m
Рис. З.З.
88
104
120
Результаты вычислений более наглядно представлены на
рис. 3.1—3.6. Для лучшего срабнения кривых с различными η
они продолжены до /л=68 (рис. 3.6).
Анализ кривых обнаруживает три вполне определенные об-
ласти для N(n, m): 1) участок, на котором N(n, m) снижается
от 1 до значений, меньших 0,03; 2) центральный участок, на
котором Ν(η, т) < 0,03; 3) участок, на котором N(n, m) очень
быстро возрастает от 0,03 до 1.
Последний участок, соответствующий значениям т от
2" — 4 до 2", проанализировать довольно трудно, и единствен-
'.0
0,8
0,6
Ε
iu
0,4
ОЛ -
•
.
•
"
'
■ ·
•
1.
•
—ι
•
1...
4
•
4
*
-1
4
•
■
+
•
|
+
•
_1
4
•
1
4
•
4
•
.. 1.
4
•
_1
+
•
|
+ + 4
• N *Е
•
-ι 1 1
16 20 24 26 32 36 40 44 48
т
п-8
Рис. 3.4.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ. ПОКРЫВАЕМЫХ ЯДРОМ 49
ным представляющим практический интерес участком является
первый. Этот участок можно охарактеризовать, ограничив его
верхний предел, т. е. последнее значение т, обозначенное
тя, при котором N (л, т) < 0,03. Значения mN помещены в
табл. 3.7'). Эти значения нормализуют путем введения коэффи-
циента ajv=mn/2n. Можно заметить, что верхний нормализован-
ный' предел довольно быстро убывает с возрастанием п. Коэф-
фициент aw помещен в третьем столбце табл. 3.7. Несмотря на
то что полученные величины не достаточно точны, они все-
таки позволяют выявить общую закономерность.
Таблица 3.7
._.
η
5
6
7
8
9
mN
22
23
30
42
64
*N
0,69
0,36
0,23
0,16
0,12
Ε {η, mN)
0,60
0,69
0,79
0,85
0,87
Можно заметить, что параметр Е(п, т) имеет вполне опре-
деленный минимум для п, равного 5, 6, 7. Отсюда можно пред-
положить, что для больших значений η будет тот же общий
• · · . + * * + * ♦ ♦ ♦ ♦ ♦♦
. . .♦♦♦♦♦♦
• ·
-I 1 I it ι С ' I .
24 32 40 48 5в 64 72
т
Рис. 3.5.
') При л—δ всегда имеем ,N(n, m)>0,03, поэтому для тн выбрано зна-
чение, соответствующее минимуму.
0.8
?
£ 0JB
Uj
I 0.4
0Л
4 Зак. 4β
50
ГЛАВА 3
ι,υ
0,8
0.6
0.4
0.2
\
-
-
.
ι
s S
V V
г 1
~"*-*·^^
V V
Г4^. , 1
\/7 = 3
ι *">~ ι
\П'6
ι ^5*-ч-_.
16 24 32 40 48
т
56
64
Рис. 3.6.
характер изменения Е(п, т). Интересно отметить, что с
ростом η значения Е(п, т) возрастают (четвертый столбец
табл. 3.7).
МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЯДРА
Изложим кратко метод определения ядра функции, принад-
лежащий Мак-Класки.
Единичные значения логической функции η переменных пред-
ставляются двоичными n-мерными векторами Р\, Р%, ..., Рт.
Эти векторы группируются в классы в зависимости от числа
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ, ПОКРЫВАЕМЫХ ЯДРОМ 51
содержащихся в них единиц так же, как и в методе Квайна —
Мак-Класки при определении простых импликантов. Каждому
классу ставится в соответствие целое число t, равное числу еди-
ниц в каждом из векторов класса.
Так, для функции
F = abed + abed + abed + abed + abed + abed + abed,
представленной в совершенной нормальной дизъюнктивной фор-
ме, эти классы сведены в табл. 3.8. Затем производят сравне-
ние вектора Р5- 1-го класса с каждым из векторов i— 1 и i+,1 ')
классов. Например, Р2 отличается от Pi значением второй со-
ставляющей вектора, от Pi— первой составляющей и от Рь —
третьей составляющей. Результат сравнения может быть пред-
ставлен двоичным вектором Ai(Pj), значение составляющей
которого равно 0, если значения соответствующих составляющих
сравниваемых векторов Р} различны, и равно 1 в других слу-
чаях. В приведенном примере М(Р2)=0001.
Таблица 3.8
Рг
Рг
Ръ
Р*
Рь
Р,
Pi
0001
0101
1001
1101
0111
1011
1111
г=1
г' = 2
/ = 3
i = 4
Получив вектор M(Pj), поставленный в соответствие вектору
Pj, можно сформулировать следующую теорему.
Теорема. Пусть s — число нулевых значений компонент в
векторе M(Pj). Ρ3· является отмеченным единичным значением
функции 2), если существует 2s векторов Ph, удовлетворяющих
равенству3)
Р*(\М{Р,) = Р,()М(Р,),. \<k<m.
') Заметим, что эти классы могут быть пустыми.
2) Единичное значение функции называется отмеченным, если оно по-
крывается только одним простым импликантом. Простой импликант, покры-
вающий хотя бы одно отмеченное единичное значение функции, является
существенным.
8) Символ Π обозначает поэлементное логическое произведение (пере-
сечение),
4·
52
ГЛАВА $
Например, для вектора Ра
s = 3; 2* = 8; Р2ПМ(Р2Н0001.
Векторами, удовлетворяющими условиям теоремы, являются
четыре вектора Pj, P2, Ρ* и Ps. Следовательно, вектор Р2 не
отмечается.
Для Pi находим
Μ (Ρ,) = 0011; s-2; 2* = 4; P,f)Af (P,)-0001.
Четыре вектора Pi, Р2, Ра и Р4 удовлетворяют условиям тео-
ремы, поэтому Pi отмечается.
Если Pj отмечен, то соответствующий существенный простой
импликант является импликантом, переменные которого, соот-
ветствуют ненулевым компонентам вектора M(Pj) и представ-
лены в том виде, в котором они имеются в Р}. Например, про-
стым импликантом, покрывающим Рь является Ы.
ГЛАВА 4
БУЛЕВЫ МАТРИЦЫ
Е. Панде φ
В данной главе кратко изложены некоторые результаты тео-
рии матриц и рассмотрены их возможные применения при
декомпозиции булевых функций. Теорию булевых матриц, по-
видимому, можно также использовать и в других областях,
например в теории устройств релейного действия.
Большая часть теорем в теории булевых матриц выводится
очень просто исходя из основной теоремы. Получаемые алго-
ритмы легко программируются. Однако, как всегда в задачах
такого рода, число комбинаций и возможных решений очень
быстро увеличивается с ростом числа переменных.
ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ
Булевой матрицей называют всякую матрицу булевой алгеб-
ры В, т. е. семейство (а^), (/,'/) е/Х/ элементов В, множество
индексов которых является произведением двух конечных мно-
жеств индексов / и /, /=(1, т) и /==(1, и).
Множество матриц булевой алгебры В, соответствующее
множествам индексов / и /, обозначается Μ (В; I, /), или
N1(1, J).
Булева алгебра конечна и, следовательно, имеет 2? элемен-
тов, поэтому имеется 21""" матриц из m строк и η столбцов.
По каждому множеству Μ (Я; /, /) матриц можно определить
ряд операций и соотношений (одинарных, бинарных и др.).
• Сумма двух матриц Х= (хц) и У= («/«):
X + Y-(xu + yu), V(/, /)e/x/.
Булево произведение двух матриц X=(x{i) и У={уц):
Х-У = {х1ГУи)> V(i, /)€=/x/.
Логическая импликация:
Х<У¥>х„<Уф V(i,/)e/x/
(х < у &ху ='х$¥х + у=*у&х + у = е€$ху = 0).
54
ГЛАВА 4
Дополнение матрицы Х=(хц):
Х = (ха), V(/, /)е/х/.
Пусть имеются три конечных множества индексов I, J а К
и соответствующие матричные множества M(I, J), М(1, К) и
Μ (J, К). Произведением двух матриц ХеМ(/,/) и У е Μ (/,/()
называют матрицу Ζ εΜ(/, К) вида
zik = 2л ХцУ/k·
Символически произведение записывают следующим образом:
Z = X®Y.
Примечание. Булево произведение является отображением
M(I,J)xM(I,J) в M(I,J), в то время как матричное произве-
дение является отображением M(I, J)XM(J, К) в М(1, К),
причем первое отображение—коммутативно, второе — нет.
Транспозицией матрицы Х^М(1, /), что обозначается 1Х,
является матрица УеМ(/, /) в которой уц=ХцЧ {i, j). Напом-
ним, что
'(X + Y)='X + 'Y.
'(Х®У) = 'У®'Х,
'(Х) = ('Х).
Примечание. Матрица, все элементы которой нули, обозна-
чается 0 и является нулевым элементом множества М(1, /).
Матрица, все элементы которой равны единичному эле-
менту алгебры В, является универсальным элементом множе-
ства M(I, J) и обозначается Е. Универсальный элемент Ε не
следует смешивать с единичным элементом матричного произ-
ведения, т. е. с матрицей /, все элементы которой нули, за
исключением расположенных по диагонали элементов, равных
единичному элементу алгебры В.
Нетрудно видеть, что с операциями булевой суммы и про-
изведения матриц множество Μ (В; I, I) образует булеву
алгебру.
Отношение порядка, определяемое импликацией на мно-
жестве Μ (В; I, J), удовлетворяет следующим условиям: если
X < Υ V Ζ, то
x®z^y®z
и
Z®X^Z®Y.
Определим также операцию, двойственную операции мат-
ричного произведения, следующим образом: пусть ХеЛ1(/, J)
и УеМ(/, К); им ставится в соответствие матрица
ZeAl(/, /С),
БУЛЕВЫ МАТРИЦЫ
55
обозначаемая X«Y, причем X °Y—(zih), где zik=*
= П{хц+У]ь.) V (t, R). Справедливы следующие соотношения*
{X~®Y) = X°Y
и
W^rj=x ®у.
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ВИДА А®Х**В и Х®А*=В
Все доказываемые ниже положения справедливы в любой
булевой алгебре.
Пусть заданы две булевы матрицы ЛеМ(/, /) и fie
е Μ (/, К), где I, J к К — три конечные множества индексов.
Исследуем подмножество & множества M(J, К), такое, что
Х<=& 4Ф А ® X = В. (4.1)
Для этого докажем две леммы.
Лемма 1. Каковы бы ни были матрицы А е Μ (/, /) и
XeM(J, К), всегда удовлетворяется следующее соотношение:
X < ['А ® (А ® X)]. (4.2)
Соотношение (4.2) может быть также записано в виде
Ж'Ло^®*).
Элементы правой части этого соотношения имеют вид
Π (an + Σα^ρΛ = Π (an + аих,к + ^iaipxph\
i \ Ρ Ι Ι \ РФ) Ι
В булевой алгебре справедливо соотношение а + ах = а + х,
поэтому
Л(ац + х1к+'^а1рХрЛ>Х1ь
i \ РФ1 I
что и требовалось доказать.
Лемма 2. Для любой пары матриц А ^ M(I, J) ийеМ(/, К)
всегда удовлетворяется следующее соотношение:
А ® ('А ® В) < В. (4.3)
Чтобы убедиться в справедливости этого соотношения, до-
статочно написать его для одного элемента. Лемма 2 доказы-
вает также справедливость соотношения
А ® X < В.
56 ГЛАВА 4
Теорема 1 (основная). Необходимое и достаточное условие,
чтобы уравнение вида
. Л®Х = В ч (4.1)
[или X® А =5] имело решение, состоит в том, чтобы матрица
(*А ® В) (4.4)
[или (Б® *А)] была единственной.
Доказательство. Для упрощения обозначим Х=('А ® Б).
Если X является решением уравнения (4.1), то, согласно лем-
ме 1, X является наибольшим элементом из X. Пусть Х° — ре-
шение уравнения (4.1). Тогда Х°^.Х.
Из определения отношения порядка имеем
Bs^A®X.
Но, согласно лемме 2,
откуда получаем
А®Х*=В.
Таким образом, X есть решение, и притом наибольшее. Сфор-
мулируем следующие положения.
Положение 1. При условии, что заданы две матрицы
/IgM(/, /). и В^М(1, К), соотношение А®Х4^В всегда
имеет решения, и множество -этих решений образует структуру
M(J, К), наибольшим элементом которой является Я, а наи-
меньшим 0.
Положение 2. Множество X решений уравнения (4.1) бы-
вает либо пустым, либо частично упорядоченным подмножеством
M(J, К) с наибольшим элементом X.
Определение. Матрица, содержащая только один единичный
элемент в каждом столбце (все остальные элементы — нули),
называется псевдоединичной.
Умножая справа матрицу А на псевдоединичную матрицу U,
можно установить, что роль матрицы U состоит в перестановке,
повторении или пропуске столбцов матрицы А.
С другой стороны, всегда справедливо следующее соотноше-
ние:
(Л®£/) = А® U, VA, Vi/. (4.5)
Отсюда вытекает лемма 3. *
БУЛЕВЫ МАТРИЦЫ
57
Лемма 3. Если псевдоединичная матрица U — решение
уравнения вида А® Х=В, то она — также решение уравнения
вида Л ® Х=В, и наоборот.
Из этого следует важное для приложений положение 3.
Положение 3. Если уравнение X®U = B, где U — псевдо-
единичная матрица, имеет решения, то множество решений
образует структуру, наибольший элемент которой равен
(Б ® 4J), а наименьший равен В ® W.
Положение 4. Необходимое и достаточное условие того,
чтобы уравнение (4.1) имело решения в виде псевдоединичных
матриц, состоит в том, чтобы для каждого столбца матрицы В
существовал идентичный столбец в матрице А.
ОТОБРАЖЕНИЯ
Пусть В обозначает двузначную булеву алгебру с элемен-
тами 0 и 1, и пусть f — отображение Вп в В, т. е. булева функ-
ция 2= (zi, 22, ..., 2„) η переменных и нетривиальное разбие-
ние Ζ на два подмножества (У; X). I обозначает число перемен-
ных в У и К—число переменных в X.
Поскольку Вп является также полностью упорядоченным
множеством, каждой функции /, определенной в Вп, поставлено
в соответствие слово в алфавите (0, 1) длиной 2", которое на-
зывают изображением функции f.
Пример. Изображением функции f=xy+yz+zx является
00010111.
Изображение функции / разделяют на 2К групп по 2Г знаков
в каждой. Группы нумеруют слева направо от 0 до 2я—1,
а знаки в каждой группе от 0 до 21 — 1. Эти 2я групп являются
строками булевой матрицы ВК1, поставленной в соответствие
функции / и разбиению (У; X). Следовательно, это матрица из
2я строк и 21 столбцов.
Рассмотрим отображение G из В' в В1, которое запишем
в виде
G = {fif2, .·.»//).
Ему можно поставить в соответствие псевдоединичную ма-
трицу преобразований из 2J строк и 21 столбцов, обозначаемую
Uji и определяемую следующим образом:
"/i = 1 4Ф G (0 = /.
Определение. Говорят, что существует декомпозиция функ-
ции f по разбиению (У; X) ее η переменных, если существует
68
ГЛАВА 4
отображение F из В* X Вк в В и отображение G = (fu f2,..., Μ
из S1 в β' при J <Ι и /Ч<3(У); *]=ДУ; Λ").
Итак, можно написать следующую схему:
в'. вк—г—в
с-Ля'· в*'г
F о G X Ε = /,
где £ — тождественная функция Вк.
Очевидно, что это свойство можно выразить в терминах бу-
левых матриц следующим образом:
AKJ ® Uj, = Вю.
Применяя теорему 1, сформулируем теорему 2.
Теорема 2. Для того чтобы функция могла быть выражена
в виде f(Y; X)=F[G(Y); X], необходимо и достаточно, чтобы
матрица, поставленная в соответствие разбиению (У; X) пере-
менных, имела не более 2J различных столбцов при / <■/, где
/ — число переменных подмножества У. (/ есть число функ-
ций fj.)
Наиболее важные задачи, возникающие при этом, следую-
щие: а) заданы / и F, найти G; б) заданы / и G, найти F.
В первом случае требуется решить уравнение вида А ® Х =
= β; во втором — уравнение вида X (g. 11 = В.
Развивая ряд соображений по структуре алгебр Μ (1,1)
или таких операций, как транспозиция и перестановка, можно
прийти к значительному числу положений, из которых наиболее
интересным является следующая теорема.
Теорема 3. Пусть f — булева функция переменных X, У и
U; р, q и г — соответствующие числа этих переменных. Необ-
ходимое и достаточное условие того, чтобы функция f могла
быть представлена в виде
f(X; У; U) = F[gl(fuf2 /.; Y)8*Vi, /2 fa. П ■ ■ ■
.... gbih, h fa; У); и],
где fi — функции Х, состоит в том, чтобы матрица BUt XY имела
не более чем 2Ь различных столбцов (b<p + q), а матрица
Βγυ, х имела не более чем 2° различных столбцов (а<р).
0101
0010
1000
1010
0000
1010
1111
1111
БУЛЕВЫ МАТРИЦЫ 69
Примеры. 1. Рассмотрим функцию h переменных х, у, z,
и, ν, изображение которой
Λ = 0101 0000 0010 1010 1000 1111 1010 1111.
Пусть разбиениями будут множества Х= (х, у, г) и У=·
= (u,v). Составим матрицу
0123 4567
BY,X =
Матрица имеет четыре различных столбца (0, 5, 7) (1, 3)
(2) и (4, 6). Следовательно, можно применить теорему 2. Ма-
трицу А можно составить следующим образом:
1000
0101
л~ооп
0111
Изебражение функции F(f, g, и, ν), следовательно, равно
/7=1000 0101 ООП 0111,
откуда
F = fu + gv + fguv.
По матрицам А и В получаем матрицу преобразования
0101 0000
0010 0000
~ 1000 0101
0000 1010
Находим изображения функций / и g:
f = 0010 1010, или f = x(y + z) = (x + yz);
g=1000 1111, или g = xy + z.
При другой перестановке четырех столбцов получают дру-
гие функции. Возьмем
0100
ООП
Л"1001
1011
60
ГЛАВА 4
Тогда
F = 0100 ООН 1001 1011,
или
F = gu + (fg + fg)v + fguv.
Матрица преобразования в этом случае имеет вид
1000 0101
0101 0000
~ 0010 0000
0000 1010 у
Отсюда следует:
/ = 0101 0010, или f = xz + xz;
g = 0010 1010, или g = x(y + z).
2. Рассмотрим ту же функцию А, но предположим, что функ-
ция F задана в виде
F = fu + gv.
Соответствующая ей матрица А равна:
0000
0101
Л~0011 .
0111
При условии, что первый столбец матрицы А содержит 1-й и
3-й столбцы матрицы В, можно найти импликантное решение.
Его матрица преобразования имеет вид
0101 0000
0010 0000
~ 1000 0101
0000 1010
откуда
/ = 0010 1010, или f = x(y + z);
g=1000 1111, или g^xy + z.
Функция F(f;g;u;v) имплицирует функцию fc(F-<ft). Для
получения А достаточно добавить функцию
G - *2й£1,
A-F + O.
БУЛЕВЫ МАТРИЦЫ
61
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Приведенное изложение теории булевых матриц взято из
работы Ледли1). Целью этой работы было исследование
свойств булевых матриц и применение их к синтезу логических
схем цифровых, вычислительных машин. Действительно, деком-
позиция F[G(Y); X] логической функции f(Y; X) соответствует
следующей практической задаче: пусть / — логическая функция,
реализуемая машиной из унифицированного набора схем. Этот
набор в общем случае является не произвольным, а стандарт-
ным, принятым при крупносерийном производстве. Элементы
flY;X)
1 I 1
9ι
I I I
9z
-г-^Г^
F
MM
ъ
Рис. 4.1.
этого набора могут быть использованы в схемах так, как, на-
пример, показано на рис. 4.1.
Такая двухкаскадная реализация -соответствует матричному
уравнению f=F(G; X), в котором f — реализуемая функция,
F— логическая функция, выполняемая последним каскадом,
G — совокупность схем первого каскада. Действительно, функ-
ции G ставится в соответствие матрица, которая преобразует
всякую входную комбинацию У в комбинацию gu являющуюся
результатом выполнения логических функций «схемами> g.
Таким образом, можно отыскать декомпозицию функции f,
в которой, с одной стороны, используются только имеющиеся
в наличии схемы g и, с другой, внешние переменные X подаются
только на второй каскад. Последнее условие может иметь осо-
бое значение в тех случаях, когда вследствие задержки сигна-
лов информация поступает с запаздыванием.
Декомпозиция такого типа является довольно мощным сред-
ством для синтеза комбинационных η-каскадных схем, которые
можно встретить в цифровых вычислительных машинах.
') Led ley, Digital computer and control engineering, McQraw Hill, 1860.
ГЛАВА 5
МИНИМИЗАЦИЯ ПОРОГОВЫХ ФУНКЦИЙ
С РАВНЫМИ ВЕСАМИ
Б а не ржа
ВВЕДЕНИЕ
Пусть f<J> — пороговая функция с равными весами пере-
менных произведений Clq, из которых каждое содержит I из q
булевых переменных. Пусть gV) — функция, двойственная функ-
ции /£л (получена перестановкой булевых операторов И и
ИЛИ), тогда
f? = gfM. (5.1)
Кроме того, имеем
lClq = {q-l+\)Cq~^. (5.2)
Из этого следует, что для пороговых функций с равными ве-
сами переменных число элементов одинаково в обоих предста-
влениях (в сумме произведений или в произведении сумм).
При условии, что сумма и произведение являются булевыми,
функции fug можно представить в следующем виде:
ffiau ■ ■ ■, aq) = Σ fi\ai α.) #? (α,+1, ..., aq) (5.3 a)·
r=0
И
/
gf (αι, .. ·, aq) = Π У? (fli as) + g^fas+i, ...., a,)], (5.3 6)
причем
f?-l и g<°> = 0. (5.3 b)
Принимая во внимание выражение (5.1), получим
/У (a, α,)-'ЩГ^Чв. «O + CTWr, .... a,)]
(5.4)
При /^ - 0 для <7 > 0.
МИНИМИЗАЦИЯ ПОРОГОВЫХ ФУНКЦИИ
63
Аналогично находят выражение для функции g®. Функции,
содержащиеся в правой части выражений (5.3) и (5.4), в свою
очередь могут быть разложены.
Пусть X^q и Z^'— соответственно числа элементов, необхо-
димых для реализации функций /<" и g{'K Имеем
Xf{6) = Z?(6). (5.5)
В этом соотношении X и Ζ подчиняются тем же законам раз-
ложения по 6. Учитывая выражения (5.1) и (5.5), имеем
4"(δ) = 4<?+Ι"η(δ). (6.6)
На основании выражения (5.3а) получаем
4° = Σ (х¥ + xl;-s) = Σ (xV + xV-s). (5.7 a)
r-0 r=0
В случае закона разложения, независимого от /, имеем ре-
куррентное соотношение, вытекающее из выражения (5.7а):
4°=4_1) + 4U40. (5.7 6)
Всегда имеем
40) = 0 и Xq[) = xy = q. (5.7 в)
РЕГУЛЯРНАЯ ДЕКОМПОЗИЦИЯ
Назовем регулярной декомпозицию (по-видимому, оптималь-
ную), при которой S = q/2 или S=(<7+l)/2 в выражении (5.7).
Получаем следующие уравнения:
ХТР = 2 Σ Х¥ = XV + 24* (5.8 а)
и
г
•fop+I = 2j \Xp+\ + Хр ) = Х2р+1 + Хр+1 + Хр (5.8 б)
для 1-</·<ρ+1 при Х*р+1) = 0 в соответствии с соотношением
(5.7в). По формулам
ι ι
Σ С?+п = Σ Ci-r+n = С"+п+ь (5.9 a)
r-=0 r=o
где
ι
Σ C?-r+n-i = Cf-t+n, (5.9 6)
r—t
84 ГЛАВА б
и из выражения (5.8а) имеем
4ι-2Σ*δ-42 Σ4> = 4Σ(/-Γ + 1)4)· (5.10а)
г-0 r-t г-0 г-0
Вследствие рекуррентности находим
4V> = 2П+12С?-Г+П*Г (5.106)
r-0
. при 0</<р + 1,
Вычитая выражение (5.8а) из выражения (5.86), получаем
xiU - 4! = Σ (4ti - 4r)) (5.11 a)
г-0
при о</<:/> + 1.
Произведя аналогичные операции над выражением (5.11а), по-
лучим
4V'+i - X$f» - Σ С/%4. [*#, - XVI (5· 11 6)
r-0
т. е.
4V'+i - Σ CU*n [X%i + (2n+1 - 1) 41 (5.11b)
r-0
при 0</<p — 1.
Заменяя в выражении (5.8a) ρ на р+1 и вычитая выраже-
ние (5.86), находим
ι
Хяр+2 ~ Xip+l = 2j \Хр+1 ~ Хр Λ
г-0
Прибавляя затем выражение (5.11а), получим
г-0
И
4ν'+2=Σθ?-Γ+„[2^. + (2η+1-2)41. (5.11 г)
г-0
Окончательно имеем
4V'+i=ilC?-r+nM1+(2n+1-04)] (5-12)
г-0
при Z—1<р<2/ —3 и 0<К2"+'.
МИНИМИЗАЦИЯ ПОРОГОВЫХ ФУНКЦИЙ 66
Таким образом, для заданного / получаем /— 1 различных
уравнений.
Таблица 5.1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
if
12
13
14
15
16
/->
0
2
5
8
12
16
20
24
29
^34
39
44
49
54
59
64
2
0
3
8
15
22
31
40
52
64
76
88
102
116
130
144
3
0
4
12
22
35
48
68
88
ПО
132
159
186
213
240
4
0
5
16
31
48
73
98
131
164
206
248
292
,336
5
-
0
6
г
20
40
68
98
137
176
232
288
352
416
6
0
0
7
24
52
88
131
176
239
302
383
464
7
- 0
8
29
64
ПО
164
232
302
391
480
8
0
9
34
76
.132
206
•288
383
480
9
0
10
39
88
"
0
»
44
159 | 102
248
352
464
10
186
292
416
11
I о
12
49
116
213
336
12
0
13
54
130
240
13
о
'14
59
144
14
0
15
64
15
0
16
16
0
ι
Для 1=2 и /=3(0-<9 ^2П), используя выражения (5.12) и
(5.7в), получаем
Х$+д = п2п + д(п + 2), (5.13 а).
XfL+q = η {η + 3) 2" + -| (η + 1) (и + 6), (5.13 б)
Х$£+я = (3"? + 13п + 6) 2"-1 + f (« + 2) (« + 5), (5.13 в)
6 Зак, 46
66
ГЛАВА 5
ИЛИ
X? = г (п + 2) - 2"+' -> 2" < г < 2п+\ (5.14 а)
λ<?) = γη(η + 5)-2η(2η+ 1)->2"<γ<3·2',"1> (5.146)
Х<3> = L. (п + 1) (п + 4) - 2"+Ι (η + 2) -*» 3 · 2η_1 < г < 2η+1. (5.14 в)
С увеличением / выражения (5.13) и (5.14) усложняются.
Поэтому величина xf в табл. 5.1 была вычислена из выраже-
ний (5.8а) и (5.86).
В качестве примера укажем, что неминимизированная функ-
ция /(,'6> требует 102 960 элементов по сравнению с 480, полу-
чаемыми по табл. 5.1. Для больших / и ρ этот метод, основан-
ный на неизбыточной декомпозиции [выражения (5.3а) и (5.36)],
не всегда дает абсолютный минимум; для этого требуются дру-
гие средства.
ОГРАНИЧЕННАЯ ВЕРОЯТНОСТНАЯ ДЕКОМПОЗИЦИЯ
В этом разделе доказывается, что некоторая вероятностная
декомпозиция приводит к тем же результатам, что и регулярная
декомпозиция [выражение (5.8а) и (5.86)].
Действительно, положим
q = 2n+i-p + t, (5.15 а)
s = 2n-p + e (5.15 6)
при 0 < t < 2п+\ 0 < ε < 2", 0 < / — ε < 2" и внесем их в вы-
ражение (5.7а)
4V+' + t = Σ М»« + 4*W/-E). (5.16 a)
Принимая во внимание выражения (5.12) и (5.96), получаем
fc-0
к I
= Zi 2j Ck-r+n-ι [tXp+i + (2 —t)Xp\ —
- = Σ CtL W+l + (2n+1 - t)X$\ = 4V' + /, (5.16 6)
r-0
что и требовалось доказать.
Если в выражении (5.16а) t=0, то в соответствии с нера-
венством (5,15) 8 = 0, В этом случае декомпозиция единственна.
МИНИМИЗАЦИЯ ПОРОГОВЫХ ФУНКЦИИ 67
МИНИМИЗАЦИЯ ЧИСЛА ЛОГИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ
Используя динамическое программирование, уравнение
(5.7а) можно записать в виде
4" (s) = Σ Μ*" [41 + Min [4-У (5.17 a)
r=0
ПрИ (/_ l)<s<^/2 либо в рекуррентном виде
4° is) = 4_1) (s) + Min [44 + Min [4U (5-17 6)
В табл. 5.2 содержатся значения 4°(s) Для '=2 и ' = 3 ПРИ
<7<12. Значения в кружке соответствуют минимуму. Из
габл. 5.2 следует, что для этих значений q и / декомпозиция,
Таблица 5.2
1=7 1=3
1\
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
©
©
9
13
18
23
28
33
39
45
S1
2
©
@
©
21
26
31
36
42
48
3
©
®
25
30
35
40
46
4
©
®
®
®
@
5
®
®
©
6
@
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2
©
@
24
36
48
62
76
94
112
3
®
©
.43
55
69
83
101
4
©
®
%
78
92
5
θ
®
90
6
%
&*
68 Г Л А В А 5
согласно выражениям (5.8а) и (5.86), дает минимальное коли-
чество элементов; в более общем случае декомпозиция, согласно
выражению (5.16а), обеспечивает минимум.
Покажем теперь, что это положение справедливо при 1=2 и
произвольном q. Положим
q = 2n + t при 0<f<2", (5.18а)
s = 2p + r при 0<г<2*/ (5.186)
Имеем
X%r=-2n + t + XlXi_s + Xf) = <p. (5.18 в)
Здесь следует различать два случая.
1. Если t — s > 0> получаем
q> = {n+l)2n + (n + 3)t + (p-n-2)2p + r(p-n).
При минимуме выполняется условие <р£ = 0, или же <р'=0,
что приводит к следующему равенству
qv = ρ — η = 0. ·
Однако это невозможно, поскольку условие р = п находится в
в противоречии с t > s.
2. / — s <C 0. Можно предположить, не теряя общности, что
0 <1 s ·< 2n_1 +1/2. Из этого следует —2n_I ·< / — s-<0. В этом
случае имеем
<¥ = (n+l)2n + (n + 2)t + (p-n-l)2p + r(p + l-n),
qv = p+l— n = 0-* p = n — 1,
т. е. приходим к случаю декомпозиции, согласно выражению
(5.16а).
Теперь исследуем случай, когда / произвольно. Положим
q = ρ· 2" + /, (5.19 а)
s = o-2" + b при 0<е<2*, ч (5.196)
q-s = (p-v)2" + t-e при 0</-ε<2". (5.19в)
Внесем эти выражения в соотношение (5.7а). Получим
φ = xf = Σ Σ c£+„-, Ux& + (2n - в)х[; +
k-r r-0 —._
+ (t - ε) *£0+1 +(2n-t + β) 4r20} =
= i>C?-r+n{eXia + XV(2n-e)+ .
+ 4rip+1(/-8) + ^v(2n-/te)}. (5.20 a)'
МИНИМИЗАЦИЯ ПОРОГОВЫХ ФУНКЦИЙ 69
Чтобы найти минимум, приравняем нулю производную по s или
производную по ε:
q£ = Σ Ctr*n №1ι - X? - (4-o+i - 4-v)} = 0. (5.20 6)
Выражение (5.206) удовлетворяется при p = 2v, откуда
q = 2n+1v + t
при 0·<ε^ /·<2η + 8-<2n+'. Тогда выражение (5.20а) при-
нимает вид
φ = Σ С?-„п {«& + (2η+1 -1) XV}, (5.20 в)
/•-о
что и требовалось доказать.
Заметим, что если для (5.19в) имеет место условие
- 2" < t - е < 0,
то достаточно положить /,=/+2п и р'=р—1, чтобы прийти
к предыдущему случаю.
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТНЫЕ
УСТРОЙСТВА
ГЛАВА б
I
ИССЛЕДОВАНИЕ ТИПОВОГО
КОДИРОВАНИЯ
СОСТОЯНИЙ АСИНХРОННЫХ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТНЫХ УСТРОЙСТВ
Сосье
ВВЕДЕНИЕ
Задача кодирования состояний возникает в процессе синтеза
асинхронного последовательностного устройства. Она заклю-
чается в определении числа внутренних булевых переменных,
необходимых для кодирования л строк некоторой таблицы пе-
реходов.
Заметим, что в асинхронных устройствах отсутствуют так-
товые импульсы; однако, поскольку информация распростра-
няется в устройстве непрерывно, появляется опасность возник-
новения состязаний во время переходных процессов.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Пусть имеется асинхронное последовательностное устрой-
ство, синтез которого должен быть выполнен. Условия работы
устройства будем задавать при помощи классической таблицы
переходов (табл. 6.1). Рассмотрим столбец этой таблицы, соот-
ветствующий комбинации "значений At входных переменных.
Таблица 6.1
{А,)
©
©
β ©
Кодирование таблицы состоит в том, что каждой строке при-
сваивается комбинация значений Xi внутренних переменных.
74
ГЛАВА 6
Число, обведенное кружком в таблице, обозначает устойчивое
состояние, а просто число — неустойчивое состояние, ведущее
в соответствующее устойчивое состояние.
Множество строк рассматриваемого столбца разделяют на
подмножества таким образом, что в одном подмножестве нахо-
дятся строки, соответствующие состояниям, ведущим к одному
и тому же устойчивому состоянию.
Если некоторое такое подмножество относится к устойчивому
состоянию /, то его называют ^множеством.
В рассматриваемом примере имеется три /-множества, соот-
ветствующие трем устойчивым состояниям: (1, 2, 5), (3, 4, 6),
(7,8).
Кодирование состояний рассматриваемого столбца будет со-
ответствовать требованиям, если
а) элементы каждого /-множества образуют последователь-
ности соседних комбинаций значений Х\, Х2, ... внутренних пе-
ременных;
б) указанные последовательности Хи · · ·, Хп, соответствую-
щие двум различным /-множествам, не имеют ни одного общего
элемента.
Множества, для которых при кодировании выполняется ус-
ловие а, называют связанными i-множествами, а множества,
для которых при кодировании выполняются оба условия а и б,
называют связанными непересекающимися i-множествами.
Кодирование таблицы из η строк будем называть универ-
сальным, если таблица независимо от ее структуры может быть
закодирована таким образом (при необходимости с добавле-
нием новых состояний), чтобы для каждого столбца получались
связанные непересекающиеся /-множества.
Для того чтобы удостовериться в универсальности кодиро-
вания, необходимо воспроизвести все возможные структуры
столбцов, все разбиения множества их строк и проверить, су-
ществует ли кодирование, обладающее указанным выше свой-
ством.
Таблица 6.2 -
Число
строк
таблицы
2
3
4
6
Число
внутренних
переменных
1
2
3
4
Число
строк
таблицы
8
12
16
24
Число
внутренних
переменных
5
6
7
8
ТИПОВОЕ КОДИРОВАНИЕ АСИНХРОННЫХ УСТРОЙСТВ 75
Известными результатами по универсальному (типовому)
кодированию являются результаты Хаффмана, который пока-
зал, что для таблицы, имеющей не более 2П строк, существует
кодирование, содержащее 2/г — 1 внутренних переменных, а для
таблицы, имеющей не более 3 · 2п/4 строк, существует кодиро-
вание, содержащее 2/г — 2 внутренних переменных. В табл. 6.2
приведены данные для некоторых значений числа строк таблиц
переходов.
Эти результаты являются частными; кроме того, не суще-
ствует доказательства их оптимальности.
Представление с помощью гиперкуба
Для ρ внутренних булевых переменных имеется 2* внутрен-
них состояний; их можно представить 2? вершинами р-мерного
гиперкуба.
Универсальное кодирование таблицы переходов из q строк
сводится к тому, что каждой строке i или каждому устойчивому
состоянию i приписывается вершина гиперкуба. Тогда условия
кодирования, обладающего указанными выше свойствами, 'за-
ключаются в следующем.
Для каждого возможного разбиения множества q строк на
некоторое число подмножеств элементы каждого подмножества
соединяют на гиперкубе непрерывным путем так, чтобы ни одна
вершина не принадлежала двум путям, соединяющим вершины
двух различных подмножеств.
Эти подмножества должны быть, следовательно, связанными
непересекающимися /-множествами.
Указанное исследование можно выполнить вручную для
η *С 6. Для η > 7 необходимо привлекать вычислительную ма-
шину.
Очевидно, что результаты Хаффмана для п, равного 2, 3, 4
и 6, не могут быть улучшены, поэтому исследование начнем
с/г = 5.
КОДИРОВАНИЕ ТАБЛИЦ ПЕРЕХОДОВ,
СОДЕРЖАЩИХ 5 и 7 СТРОК
Перечень возможных кодирований таблицы, содержащей 5 строк
По Хаффману, число внутренних переменных для таблиц из
5 строк равно 3 или 4.
Решение с четырьмя внутренними переменными очевидно,
так как оно является решением Хаффмана для таблицы пере-
ходов, содержащей 6 строк. Задача, следовательно, заключается
в определении возможности кодирования таблицы из 5 строк
тремя внутренними переменными.
76
ГЛАВА 6
Существует три различных типа кодирования, так как можно
тремя различными способами разместить 5 вершин на 3-мерном
кубе (рис. 6.1),
УЗ?
а
ν! И
\АУ'
Рис. 6.1.
1. Кодирование первого типа (рис. 6.1, а) малоинтересно.
Действительно, из вершин 2 и 4 нельзя образовать связанное
i-множество и, кроме того, разбиения (1,3), (4, 5), (2) невоз-
можны без пересечения путей, соответствующих двум /-множе-
ствам (1,3) и (4,5). ;
2. При кодировании второго типа (рис. 6.1,6) нельзя обра-
зовать связанное множество двух вершин 3 и 5, но другие огра-
ничения отсутствуют.
3.. При кодировании третьего типа для разбиений (1, 4),
(2, 5), (3) неизбежны пересечения путей.
Таблица 6.3
1
8
10
11
12
13
14
15
Это кодирование не является универсальным, но предста-
вляет некоторый интерес. Кодирование столбца выполняется
легко, если столбец имеет два двухэлементных и одно одноэле-
ментное г-множество, что мы будем обозначать записью (2,2, 1).
Таблица, содержащая 5 строк, может реализовать 15 различ-
ных разбиений этого типа (табл. 6.3). Все 15 разбиений отли-
чаются друг от друга и только одно из них будет критичным для
ТИПОВОЕ КОДИРОВАНИЕ АСИНХРОННЫХ УСТРОЙСТВ 77
кодирования третьего типа. Предположим, что некоторая таб-
лица переходов содержит 14 столбцов типа (2, 2, 1). Рассмо-
трим, например, 14 первых столбцов табл. 6.3; при этом доста-
точно взять кодирование, указанное с правой стороны табл. 6.3,
которое не является критичным ни для одного столбца такой
таблицы переходов.
Следовательно, кодирование третьего типа будет универ-
сальным для любой таблицы переходов, содержащей 5 строк и
имеющей не более 14 столбцов типа (2, 2, 1).
Итак, кодирование второго типа пригодно для любой таб-
лицы переходов, содержащей 5 строк, из которых по крайней
мере две не связаны никакой последовательностью. Кодирова-
ние третьего типа пригодно для любой таблицы переходов, со-
держащей 5 строк и имеющей не более 14 различных столбцов
типа (2, 2, 1). Универсальное кодирование таблицы переходов,
содержащей 5 строк, требует четырех внутренних переменных.
Перечень возможных кодирований таблиц, содержащих 7 строк
Исследуем кодирование четырьмя внутренними переменными.
Задача заключается в размещении на 4-мерном кубе 7 вершин
всеми возможными способами и в отыскании кодирования, отве-
чающего сформулированным выше условиям.
При этом существует 56 различных вариантов размещения
7 вершин на 4-мериом кубе. В каждом случае необходимо про-
верить, возможно ли образование непересекающихся путей для
каждого /-множества и возможны ли все типы разбиений мно-
жества строк, т. е. разбиения типа (6, 1), (5,2), (4,3), (4,2,1),
(3,3, 1), (3,2,2), (2,2,2, 1), учитывая при этом, что разбиения
типа (5,1, 1), (4,1, 1,1) охватываются указанными разбие-
ниями. Наиболее длительным является исследование 105 раз-
биений типа (2,2,2,1). Программа на языке-АЛГОЛ была реа-
лизована на машине IBM 7044.
Программа делится на три больших этапа.
1. Поиск прямых путей между парой вершин р-мерного куба,
не содержащих некоторые заданные вершины (результаты вы-
даются в форме таблицы).
2. В трех полученных таблицах возможных путей, соответ-
ствующих трем парам вершин, ищется одна (любая) тройка
совместимых путей (т. е. путей, ни одна пара которых не содер-
жит общую вершину).
3. Получение 105 разбиений типа (2,2,2, 1).
Объединение этих трех этапов составляет программу, выпол-
нение которой для каждого варианта длится 1 цин 8 сек (про-
грамма содержит 1790 синтаксических единиц языка АЛГОЛ).
78
ГЛАВА 6
0010
ΟΠΟ
1010
юоо
поо
Рис. 6.2.
В результате исследования найдено, что существует 10 воз-
можных кодирований таблицы переходов, содержащей 7 строк,
при помощи четырех внутренних переменных.
Одно кодирование, приведенное на рис. 6.2, представляет
особый интерес. Действительно, в этом случае все переходы
выполняются прямыми путями, содержащими не более двух
промежуточных вершин. В этом варианте каждая вершина
окружена по меньшей мере тремя незанятыми вершинами.
Следовательно, для любой таблицы переходов, содержащей
7 строк, существует оптимальное кодирование с минимальным
временем, перехода, представленное на рис. 6.2.
КОДИРОВАНИЕ ТАБЛИЦ ПЕРЕХОДОВ,
СОДЕРЖАЩИХ 8 СТРОК
Проверим, существует ли универсальное кодирование при
помощи четырех переменных. Решение по Хаффману требовало
пяти переменных.
Предварительное исследование при помощи программы
Существует 74 различных варианта, определяемых на 8 вер-
шинах 4-мерного куба. Как и в предыдущем случае, предвари-
тельный выбор позволяет исключить явно невозможные ва-
рианты.
Программа вновь исследует 105 разбиений типа (2, 2, 2, 2)
и для каждого варианта длится 0,043 час (содержит 2796 син-
таксических единиц языка АЛГОЛ). Объем программы,следова-
тельно, очень быстро возрастает с числом задаваемых вершин.
ТИПОВОЕ КОДИРОВАНИЕ АСИНХРОННЫХ УСТРОЙСТВ
79
Эта программа позволила установить, что для варианта, пред-
ставленного на рис. 6.2, все 105 разбиений типа (2, 2, 2, 2) реа-
лизуются прямыми путями без пересечений.
Этот вариант был отмечен априори вследствие наличия в
нем многочисленных элементов симметрии и на основании ре-
зультатов, полученных для таблиц, содержащих 7 строк.
Вариант кодирования, представленный на рис. 6.2, подвергся
специальному исследованию. При этом все разбиения проверя-
лись непосредственно. Проверка упрощается, если учесть два
следующих замечания.
1. Куб размерности 4 (4-мерный куб) можно представить
двумя кубами размерности 3 (двумя 3-мерными кубами). При
С ^
Ь'
Рис. 6.3.
этом опущено представление связей между двумя вершинами,
занимающими одинаковое положение на обоих кубах. Найден-
ный вариант представлен на рис. 6.3. Совокупность двух вер-
шин, занимающих одинаковые положения на двух кубах, на-
пример (1,1'). (2,2'), будем называть биномом смежности.
2. Пусть имеем разбиения 8 определенных вершин, напри-
мер
(1220, (34'), d'3'40, (а)
или
(1220, (33'4), (1'40, (б)
в которых по меньшей мере одно из подмножеств содержит би-
ном смежности. Исследование таких разбиений не представляет
интереса, так как оно охватывается исследованием разбиений,
не содержащих биномов смежности:
<12), (20, (340, О'3'40,
(12), (20, (34), (30, (1'40-
(а0
(60
Таким образом, исследование разбиения (а) становится беспо-
лезным благодаря исследованию разбиения (а'). Исследование
разбиения (б) становится также бесполезным благодаря
80
ГЛАВА β
исследованию р'азбиения (12), (34), (Г4'),. (2'3'), получаемого
путем объединения в одно подмножество вершин 2' и 3'. Обоб-
щая, получаем следующие результаты.
1. Исследование всякого разбиения, подмножества которого
содержат биномы смежности, бесполезно.
2. Для N определенных вершин бесполезно исследование
всякого разбиения; в котором содержится подмножество, имею-
щее число элементов больше N12.
3. Необходимо исследовать всякое разбиение, в котором би-
ном смежности является подмножеством, например (1Г). (234'),
(2'3'4).
Пример. В качестве примера проведем исследование раз-
биения типа (4,2,2).
1. Множество из 4 вершин полностью размещается на пер-
вом кубе; отсюда получаем разбиение типа (1234), (Г2'), (3'4')·
Ему можно поставить в соответствие запись (ab), (а'), (Ь').
2. Множество из 4 вершин задается тремя вершинами на
одном кубе и одной вершиной на другом кубе; отсюда получаем
разбиение типа (1234'), (1'2'), (3'4). Ему можно поставить в
соответствие запись (abb'), (af), (ее').
3. Множество из 4 вершин задается 2 вершинами на одном
кубе и 2 вершинами на другом кубе; в этом случае следует раз-
личать два типа разбиений. Первому типу (1234'), (1'2'), (34)
ставится в соответствие запись (abb'), (а'), (с) и второму типу
(123'4'), (Г4), (2'3)—запись (dbb'), (се'), (аа').
Таким образом, можно утверждать, что возможны 210 раз-
биений типа (4,. 2, 2).
Итак, для всякой таблицы переходов, имеющей 8 строк, су-
ществует оптимальное кодирование, дающее Минимальные вре-
мена перехода, при помощи четырех внутренних^леременных.
КОДИРОВАНИЕ ТАБЛИЦ ПЕРЕХОДОВ, СОДЕРЖАЩИХ 12 СТРОК
Как было показано выше, на 4-мерном кубе для 8 заданных
вершин можно найти только один возможный вариант. Легко
проверить, что разбиения, определяемые 9 вершинами на 4-мер-
ном кубе, не удовлетворяют требуемым условиям.
Следовательно, необходимо использовать 5-мерный куб.
Были опробованы разбиения, определяемые 12 вершинами, что
непосредственно решало задачи для И, 10 и 9 вершин. Так как
всех вариантов, определяемых 12 вершинами на 5-мерном кубе,
слишком много, было рассмотрено лишь несколько вариантов.
Был исследован следующий вариант: на 4-мерном кубе
брали решение, найденное для 8 вершин; затем добавляли вто-
ТИПОВОЕ КОДИРОВАНИЕ АСИНХРОННЫХ УСТРОЙСТВ 81
0010
ОНО
1010
оюо
г 0010
оно
оюо
рой 4-мерный куб, на котором размещали пятую переменную,
равную 1, и на котором в свою очередь помещали оставшиеся
4 вершины. Среди этих 4 вершин не существует вершин, смеж-
ных с 8 вершинами, заданными на первом кубе (рис. 6.4 и 6.5).
Было проверено 10395 разбиений типа (2, 2, 2, 2, 2, 2); про-
верка осуществлялась при помощи программы на языке
АЛГОЛ, содержащей 6527 синтаксических единиц и длившейся
около 5 час.
В результате было найдено, что существует только 18 раз-
биений, не реализуемых прямыми путями. Однако они воз-
можны, если использовать непрямые пути.
По поводу исследования других разбиений можно сделать
следующие замечания.
Q Зак. 46
82
ГЛАВА 6
0010
0110
0100
,£0010
01 10
о юо
1. Исследование выполняется на кубе (рис. 6.6 и 6.7), на
котором можно легче обнаружить симметрию.
2. Замечания, сделанные в связи с исследованием вариантов,
определяемых 8 вершинами, остаются в силе. Благодаря этому
исключается исследование разбиений, у которых множество со-
держит не более 7 вершин. Кроме того, будут исключены раз-
биения, в которых подмножества содержат биномы смежности.
3. При исследовании можно воспользоваться тем, что, во-
первых, всякое множество заданных вершин становится связан-
ным, если использовать пути (aa'gg'd'e'f) и (bb'hh'def) (эти
два пути не имеют ни одной общей точки); во-вторых, всякое
множество из 5 и 6 заданных вершин становится связанным,
если использовать пути (/, /), и, в-третьих, всякое множество
ТИПОВОЕ КОДИРОВАНИЕ АСИНХРОННЫХ УСТРОЙСТВ 83
заданных вершин, содержащее одну из вершин (5 или 6), ста-
новится связанным, если использовать пути (i, /).
Следствия. Эти указания делают бесполезным исследование
разбиения, содержащего три подмножества вершин, и разбие-
ния, содержащего связанные четыре множества, из которых
одно образовано изолированной вершиной.
Действительно, одно из трех подмножеств будет содержать
одну из вершин (5 или 6) и станет связанным за счет путей'
(t, /); следовательно, для двух других множеств остаются два
непересекающихся указанные выше пути.
Таким образом, необходимо исследовать разбиения следую-
щих типов: (6, 2, 2, 2), (4, 2, 2, 2, 2), (5, 2, 2, 2, 1), (3, 3, 3, 3),
(4,4,2,2), (3,3,3,2,1), (4,3,3,2), (3,3,2,2,2), (4,3,2,2,1),
(3,2,2,2,2,1). Разбиения типа (4,2,2,2,2) и (3,2,2,2,2,1)
были проверены с помощью программы. Остальные разбиения
были проверены непосредственно с учетом свойств симметрии,
ν В результате исследования найдено, что для всякой таблицы,
содержащей 12 строк, существует универсальное кодирование
при помощи пяти внутренних переменных.
Полученные результаты приведены в табл. 6.4.
Таблица 6.4
Число строк
таблицы переходов
5
6
7
8
Число внутренних
переменных
3 ИЛИ 4
4
4
4
Число строк
таблицы переходов
9
10
11
12
Число внутренних
переменных
5
5
5
5
6*
ГЛАВА 7
МЕТОД КОДИРОВАНИЯ ВНУТРЕННИХ
СОСТОЯНИЙ АСИНХРОННЫХ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТНЫХ УСТРОЙСТВ
Р. Галимберти, Р. Морпурео
ВВЕДЕНИЕ
Принято говорить, что в асинхронном последовательностном
устройстве существуют состязания, если после изменения зна-
чений входных переменных две или несколько внутренних пере-
менных изменяют свои значения в одно и то же время. Если
получаемое при этом конечное внутреннее состояние является
не единственным, а зависит от порядка изменения значений
внутренних переменных, состязания называются критическими.
Критические состязания должны быть исключены, так как они
в зависимости от распределения задержек могут повлечь за со-
бой неправильные переключения.
В этой главе изложен эвристический метод кодирования
состояний асинхронных последовательностных устройств без со-
стязаний. Напомним (теорема Хаффмана), что таблица пере-
ходов, содержащая г строк и требующая для кодирования не
менее So=[log2'']1) внутренних переменных, всегда может быть
реализована . без критических состязаний при помощи 2s0 — 1
внутренних переменных. Структура кодирования, использующего
это число внутренних переменных, известна, однако не суще-
ствует систематического метода кодирования без состязаний,
в котором использовалось бы минимальное число внутренних
переменных (см. гл. 6).
Пусть условия работы устройства заданы нормальной табли-
цей переходов, в которой переходы между внутренними состоя-
ниями являются непосредственными (прямыми). Используются
также таблицы переходов, в которых возможны многоступенча-
тые переходы (через промежуточные состояния).
В данном методе для нахождения «выгодного», т. е. миними-
зированного, кодирования используется простой эвристический
критерий.
Метод содержит два этапа.
') Величина [а] представляет собой целое число, следующее за а или
равное ему.
МЕТОД КОДИРОВАНИЯ АСИНХРОННЫХ УСТРОЙСТВ
85
1. Преобразование заданной нормальной таблицы перехо-
дов в таблицу переходов; на этом этапе требования на кодиро-
вание без состязаний по возможности уменьшены.
2. Кодирование внутренних состояний в заданном порядке,
зависящем от числа переходов, для которых кодируемые со-
стояния являются начальными и конечными.
ПОЛУЧЕНИЕ ТАБЛИЦЫ ПЕРЕХОДОВ
Назовем единичным столбцом тот столбец, в котором имеется
только одно внутреннее устойчивое состояние. Поскольку отно-
сящиеся к такому столбцу состязания не могут быть критиче-
скими, исследованию подлежат только нормальные таблицы пе-
реходов, в которых не все столбцы единичные.
Назовем связанной парой всякую пару (St, Sj) внутренних
состояний, связанных по меньшей мере одним переходом (от s<
к Sj или наоборот) в нормальной таблице переходов. Рассмо-
трим в качестве примера нормальную таблицу переходов
(табл. 7.1). Видно, что пара внутренних состояний (а, Ь) яв-
ляется связанной, а пара (с, d)— нет. Каждая связанная пара
. Таблица 7.1
12 3 4 5 6 7 8 9
Θ
а
©
/
Θ
©
/
®
©
/
с
®
Θ
®
Θ
е
4
Ь
е
®
е
с
©
®
©
d
h
®
т
©
/
®
©
g
©
©
©
Ь
т
®
©
®
Ь
/
1
©
h
®
©
/
©
с
©
а
©
/
©
S
©
©
ь
®
©
'©
/
©
d
©
©
/
m
®
Ь
S
m
g
©
®
©
©
m
®
Ь
©
©
тп
h
®
m
®
86
ГЛАВА 7
(S{, Sj) налагает на кодирование определенные условия. Так, на-
пример, необходимо, чтобы внутренним состояниям s< и s} пред-
назначались соседние комбинации значений внутренних пере-
менных и вместо каждого прямого перехода был определен мно-
гоступенчатый переход без состязании ■)
St -+ Sj (St -> S{).
Определение. Связанная пара (sj, Sj) может быть исклю-
чена, если каждый переход Si-*Sj и/или s,—*·$,· может быть за-
менен многоступенчатым переходом, не вводящим новых свя-
занных пар.
Например, в табл. 7.1 связанная пара (f, g) может быть
исключена, так как в столбце 1 переход g —* f может быть за-
менен многоступенчатым переходом g-*d—*f, а в столбце 8
переход f—*g может быть также заменен многоступенчатым пе-
реходом f^>d—-g. Однако пару (d, g) нельзя исключить, так
как хотя в столбце 8 и можно заменить переход d-*g много-
ступенчатым переходом d—*-f-*g, в столбце 4 замена невоз-
можна.
На первом этапе метода пытаются сократить размерность
задачи путем исключения максимально возможного числа связан-
ных пар. Для исключения связанной пары (st·, Sj) каждый пря-
мой переход Si—*-Sj и/или Sj-*Si должен быть заменен много-
ступенчатым переходом без введения новых связанных пар.
Таблица 7.2
Θ
*.
Заметим, что в общем случае в каждом столбце, в котором
появляется переход s,- -> Sj (Sj —>· &t), этот переход может быть
заменен несколькими многоступенчатыми переходами. Следова-
тельно, исключения связанных пар зависят друг от друга.
') Каждый многоступенчатый переход, если это возможно, будет по-
строен при помощи существующих внутренних, состояний или же при помо-
щи существующих внутренних состояний и некоторых других добавляемых
состояний.
МЕТОД КОДИРОВАНИЯ АСИНХРОННЫХ УСТРОЙСТВ 87
Рассмотрим, например, один столбец нормальной таблицы
переходов (табл. 7.2). Пусть (sit Sj) и (sk, Sj) —две связанные
исключаемые пары, a s< —♦ Sk —* Sj и sh-+Si — s3· — единственные
многоступенчатые переходы, которые могут заменить соответ-
ственно прямые переходы Si -> Sj и* sh -> Sj. Очевидно, что если
исключить связанную пару (s,, s3) при помощи многоступенча-
того перехода Sj—*sh-+Sj (табл. 7.2,6) то пару (sit sk) исклю-
чить нельзя. Если же исключают пару (s^ Sj), то оказывается
невозможным исключить пару (s,·, Sj). Таким образом, необхо-
димо не только выбрать многоступенчатый переход в каждом
столбце, где появляется исключаемая связанная пара, но и вы-
брать среди последних такие пары, которые позволили бы по-
лучить нормальную таблицу переходов, содержащую минималь-
ное число связанных пар.
Однако возможностей выбора очень много, поэтому на прак-
тике используют метод, дающий приближенные оптимизирован-
ные решения.
По этому методу связанные пары сначала разделяют на
исключаемые и неисключаемые, затем для замены каждого пря-
мого перехода выбирают многоступенчатый переход и, наконец,
исключаемые пары упорядочивают в соответствии с заданным
критерием, и их исключение производится в этом порядке.
Разделение связанных пар на исключаемые и неисключаемые
базируется на следующей теореме.
Теорема 1. Связанная пара (s{, s}) может быть исключена,
если (и только если) для каждого столбца а нормальной таб-
лицы переходов, в котором находится переход st —* s} (или
Sj—*Si), выполняются следующие условия:
1) Sj (или Si) имеется в строке Sk\
2) пара (sit sh) (или (sj, sk)) является связанной.
Доказательство. Необходимость. Рассмотрим столбец α
нормальной таблицы переходов, в котором содержится переход
Si —*■ Sj. Если в этом столбце Sj появляется только в строках ^
и Sj, то многоступенчатого перехода между Sj и Sj не существует.
Если Sj появляется также и в строке s^, причем (st, Sj,) не яв-
ляется связанной парой, то можно определить многоступенчатый
переход
но он вводит новую связанную пару (s4, sft).
Достаточность. Действительно, в каждом столбце α можно
заменить переход Sj-»Sj (или Sj-*Si) многоступенчатым пере-
ходом s^s^s, (или Sl^sk-+st),
и эта замена не вводит новой связанной пары.
88
Г Л-А В А 7
Для нормальной таблицы переходов (табл. 7.1) исключае-
мые и неисключаемые связанные пары приведены в табл. 7.3.
Таблица 73
Связанные пары
Исключа-
емые
т
1, т
g, m
Неисключа-
емые
Ь, с, d, e, f
с, h
Us
f
ι
h
m
Эту информацию можно также представить в виде диаграммы
переходов, в которой каждый узел изображает внутреннее со-
стояние нормальной таблицы переходов, причем два узла соеди-
няются ребром, если соответствующие им состояния оказы-
ваются связанными').
Диаграмма переходов табл.-7.1 представлена на рис. 7.1; на
этой диаграмме ребра, которые изображают неисключаемые свя-
занные пары, отмечены знаком ~.
Предположим, что столбец α нормальной таблицы перехо-
дов содержит переход Si -* sy, будем говорить, что упорядочен-
ное множество связанных пар
[(s„ shi); (shi, sh2); ...;(«*„, s,)}
является· исключаемым множеством в столбце α для пары
(su Sj), если на пересечении строк sh,sh,...,sh и столбца α
всегда присутствует Sj.
Каждое исключаемое множество по отношению к столбцу
соответствует возможному замещению.
Рассмотрим, например, переход а—*гп в столбце 9 табл. 7.1,
Для этого перехода исключаются множества
{(a, f); (f, m)}; {{a, /); (/, /); (/, m)}.
') Для обозначения внутренних состояний таблицы переходов и узлов
диаграммы переходов используются одни и те же буквы.
m
Рис. 7.1.
m
Рис. 7.2.
90
ГЛАВА 7
Исключаемые множества для одного перехода s,—*s}, отно-
сящегося к столбцу а, могут быть представлены при помощи
частичной диаграммы, получаемой по диаграмме переходов, в
которой узлы st, s/t st, st, ..., st соответствуют всем состоя-
ниям, приводящим к состоянию S; в столбце а. В этой частич-
ной диаграмме исключаемое множество представляет собой
путь, соединяющий узлы s,· и s}.
Частичная диаграмма, относящаяся к переходу а-^-т столб-
ца 9 табл. 7.1 изображена на рис. 7.2. Заметим, что множества
{(a, f); (/, /»)}; {(а, /); (f, /); (/, т))
являются единственными исключаемыми множествами для рас-
сматриваемого перехода.
Назовем ключевой парой любую связанную пару, содержа-
щуюся в исключаемом множестве.
Правила выбора
Для каждой связанной исключаемой пары (st, Sj) и каждо-
го столбца, в котором появляется переход st-*Sj (или Sj —*Si),
среди исключаемых множеств, относящихся к этому столбцу,
выбирается множество, содержащее наименьшее число ключе-
вых пар. В том случае, когда оказывается несколько исклю-
чаемых множеств с наименьшим числом ключевых пар, выби-
рается то множество, которое содержит наименьшее число пар.
Для предыдущего примера получают множество {(а, /);
(f, /); (/, т)}, не содержащее ни одной ключевой пары.
Применение этого правила требует знания всех путей, со-
единяющих узлы Si и Sj частичной диаграммы. Эти пути опре-
деляются при помощи одного из алгоритмов поиска путей
в графе.
Практически, если столбец содержит переходы
stl-*si\ st2-*-Sj·, ...; sift-»-s/,
то желательно иметь одновременно исключаемые множества
для связанных пар
(«ι,.«/); (\< */)·. ···; (v sd>
которые являются исключаемыми, поскольку всем этим парам
поставлена в соответствие одна частичная диаграмма, имею-
щая в качестве узлов состояния s., s. , ..., s, , s,.
В табл. 7.4 помещены исключаемые связанные пары, а так-
же выбранные исключаемые множества.
МЕТОД КОДИРОВАНИЯ АСИНХРОННЫХ УСТРОЙСТВ 91
Каждой связанной паре (s,·, Sj) присваивается вес и>ц =
= Ра + <?и> гДе Ра — число различных ключевых пар, содержа-
щихся в выбранных исключаемых множествах; цц — число
исключаемых пар, для которых (su s,·) является ключевой па-
рой в одном или нескольких выбранных исключаемых множе-
ствах.
Таблица 7.4
Связан-
ные
пары
(Л т)
(Л 8)
(е ,1)
(а, т)
(е, т)
Исключаемые множества
{(/. /); (1, т)}
{(g, d); (d, /)}; {(f, d); (d, g)}
{(/, /); (/, β)}; {(β, m), (m, /)}
{(a, e); (β, m)};{(a, ft; (/, /); (/, m)}
{(β, α); (α, m)}
"V
0
0
I
1
1
"и
Ρ
0
0
1
2
wlj
0
0
1
2
3
Эти веса помещены в трех последних столбцах табл. 7.4,
а связанные пары размещены в порядке неубывания весов гиц.
После составления табл. 7.4 исключают связанные пары в
порядке неубывания весов.
Заметим, что после каждого исключения (например, после
исключения пары (s^, S))) могут представиться следующие два
случая:
1. Наличие пар (Sj, S,) в исключаемых множествах. В этом
случае для каждой пары в тех столбцах, в которых исключае-
мые множества содержат (s{,Sj), вновь применяют правило вы-
бора для того, чтобы найти другие исключаемые множества.
Если по крайней мере в одном столбце не находят нового ис-
ключаемого множества, эта пара становится неисключаемой и
ее вычеркивают из таблицы. Если же находят новое исключае-
мое множество, то для него необходимо Пересчитать веса1).
2. Существование ключевых пар, содержащихся в исключае-
мом множестве (s,·, Sj). Рассмотрим в качестве примера стол-
бец нормальной таблицы переходов (табл: 7.5,а). Пусть
{(Si, Sk); (Sft, Sj)} — выбранное исключаемое множество для
(Si, Sj) и (Si, sh) — единственная ключевая пара в этом исклю-
чаемом множестве. Ясно, что если s,—*Sj исключается благо-
даря Si-+sh-+Sj (табл. 7.5,6), причем {sit sft) становится не-
исключаемой, то лучше заменить s<—*Sh многоступенчатым пе-
') Поскольку поиск новых исключаемых множеств может сильно услож-
нить процесс, не приводя к заметному выигрышу, рассматривают такие парц
Как неирключэемые.
92
ГЛАВА 7
Таблица 7.5
*> Θ
β
Таблица 7.6
7 8 9
Θ
α
Θ
/.
Θ
©
«/
®
Θ
/
с
®
Θ
Θ
Θ
е
d
Ь
f
®
e
с
©
0
Θ
d
h
®
m
®
f
®
Θ
g
®
©
®
υ
m
®
®
®
6
/
m
Φ
A
®
0
/
Θ
с
Θ
α
Θ
/
®
&
®
Θ
&
®
©
Θ
/
©
d
®
Θ
/
e
®
6
8
τη
d
Φ
®
©
©
/
®
6
©
©
/
Λ
®
m
Θ
реходом, не вводящим новых связанных пар. Предположим, что
Si-*Sj можно заменить переходом st-*str*sh (табл. 7.5,в) и
Sj-»Sj переходом Sj-»s/-»s*-+sj (это множество является дру-
гим исключаемым множеством для (su si)). Но множество
*,
12 3 4 5 6
МЕТОД КОДИРОВАНИЯ АСИНХРОННЫХ УСТРОЙСТВ f3
{(Si, sh); (sh, Sj)} было найдено по правилу выбора, следова-
тельно, множество {(s4) si); (si, Sh); (s^ Sj)} содержит ключевые
пары, число которых больше или равно числу пар, содержа-
щихся в {{sit sft); (sA, Sj)}. Следовательно, (sit si) и/или (st, sk) —
исключаемые пары. На этом этапе, вследствие того что отсут-
ствует возможный многоступенчатый^ переход, пары (Si, si) и
(si, Sft) становятся неисключаемыми.
Итак, исключение одной ключевой пары, содержащейся в.
исключаемом множестве, приводит к тому, что необходимо рас-
сматривать одну или несколько ключевых пар как- неисключае-
мые. Следовательно, все ключевые пары, содержащиеся в
исключаемом множестве пар (s(, Sj), рассматриваются как неис-
ключаемые; они вычеркиваются из таблицы, после чего произ-
водится пересчет весов.
В рассматриваемом примере исключаются связанные пары
(f, m) и (f, g); при этом таблица не изменяется. После исклю-
чения пары (е, I) пара (е, т) вычеркивается из таблицы, а вес
W9m принимает значение 0. Затем исключается пара (а, т).
94
ГЛАВА 7
Окончательная таблица переходов имеет вид табл. 7.6. Этой
таблице можно также поставить в соответствие диаграмму пе-
реходов, которую будем называть упрощенной диаграммой пе-
реходов. Она получается из первоначальной диаграммы пере-
ходов при удалении ребер, соответствующих исключаемым
связанным парам. Упрощенная диаграмма переходов для рас-
смотренного примера приведена на рис. 7.3.
КОДИРОВАНИЕ ВНУТРЕННИХ СОСТОЯНИИ
Дадим несколько определений.
Определение 1. Два двоичных вектора бг и 6j, имеющих
одинаковое число nv составляющих, называются соседними,
если они различаются значением одной и только одной соста-
вляющей.
Определение 2. Связанное множество комбинаций значений
внутренних переменных является таким множеством двоичных
векторов
Δ = (δ,, δ2 δ,),
в котором для каждой пары (бл, бл+ь) из Δ можно найти после-
довательность векторов
δη, δΑ+Ι, ..., δ/t+k-u δΛ+4,
где векторы 6ft+i и 6h+i+\ (0 < i ·< k — 1) являются соседними.
Например, множество
Δ = {0000, 0100, 1100, 0101, 0010}, (1)
представленное зачерненными кружками в таблице Карно
(табл. 7.7), является связанным множеством.
Таблица 7.7
00 01 11 10
•
•
•
X
X
•
X
X
X
•
X
X
X
Заметим, что множество, содержащее единичный вектор,
является также связанным множеством,
МЕТОД КОДИРОВАНИЯ АСИНХРОННЫХ УСТРОЙСТВ 95
Определение 3. Два связанных множества называются со-
седними, если их объединение является связанным множеством.
По методу кодирования, используемому здесь, каждому
внутреннему состоянию приписывают связанное множество
комбинаций значений внутренних переменных.
Докажем следующую теорему.
, Теорема 2. Требования кодирования без состязаний удов-
летворяются, если связанные множества, приписываемые состоя-
ниям Si и Sj, являются соседними всякий раз, когда внутренние
состояния Sj и Sj образуют связанную пару.
Если связанные^ множества, приписываемые состояниям Si и
Sj, являются соседними, будем говорить, что s4 и s3- находятся
в соседних положениях.
Определение 4. Двоичные векторы с ηυ составляющими, не
принадлежащие заданному связанному множеству Δ, но сосед-
ние одному или нескольким элементам из этого множества, на-
зываются прилегающими к множеству Δ.
Например, векторами, прилегающими к связанному множе-
ству (1), являются векторы 0001, ООП, 0111, ОНО, 1101, 1110,
1000, 1010. Они отмечены крестом в табл. 7.7.
Рассмотрим теперь задачу кодирования, принимая началь-
ное значение числа внутренних переменных равным ηυ. Это
число вычисляется следующим образом.
Пусть ηυ — число связанных пар (т. е. число ребер на упро-
щенной диаграмме переходов); примем
nv = [log2na]. (2)
В нашем примере /га=14 и /г„=4. Отметим, что при помощи
этого правила значение ηυ вычисляется как функция «сложно-
сти» диаграммы переходов, выражаемая через число ее ветвей.
Однако не доказано, что использование ηυ внутренних перемен-
ных всегда приводит к минимальному числу векторов, необхо-
димых для того, чтобы состояния каждой связанной пары ока-
зались в соседних положениях. Если в процессе вычислений
начальное значение числа ηυ внутренних переменных оказы-
вается недостаточным, его увеличивают на единицу.
Однако при вычислениях, которые были сделаны для огра-
ниченного множества нормальных таблиц переходов, получа-
лись хорошие результаты, и при этом ни разу не потребовалось
увеличивать первоначальное значение я„.
Заметим также, что в самом неблагоприятном случае (т. е.
в случае таблицы, имеющей 2s' внутренних состояний, связан-
ных между собой), требующем при кодирований по Хаффману
96
ГЛАВА 7
2s0 — 1 внутренних переменных, предлагаемый метод также
дает nv = 2s0— 1. В этом случае диаграмма переходов содержит
па = п(п— 1)/2 ребер, и поэтому
п0 = [log2 па] = [log2 "("2~ '] = 2 [log2 η] - 1 = 2s0 - 1.
Пусть Zi — число состояний, образующих связанные пары,
содержащие s,·. Внутренние состояния размещаются в виде по-
следовательности в порядке убывания z,·, т. е.
5*!> Si2· · · ·> Sln· (3)
Если для двух и более состояний z имеет одинаковое зна-
чение, нет необходимости определять их приоритет в этой по-
следовательности.
Описываемый ниже метод кодирования может применяться
даже тогда, когда состояния не упорядочены в такую последо-
вательность. Однако предпочтительнее кодировать сначала со-
стояния, представляющие наибольшее значение z. Действитель-
но, одному из этих состояний Si надо будет присвоить наиболь-
шее связанное множество, так как требуется самое большое
число соседние векторов, чтобы разместить sf и каждое состоя-
ние, связанное с Su в соседних положениях. Это связанное мно-
жество легко образовать в начале процесса кодирования, когда
число используемых кодов максимально: Так, если, например,
состояния располагаются в следующей последовательности: а,
f, Ъ, e, d, с, g, h, I, т, то можно составить так называемую таб-
лицу требований, в которой каждая строка соответствует вну-
треннему состоянию su и строки располагаются в последова-
тельности (3). Таблица требований имеет два столбца, обозна-
чаемых соответственно L и F (табл. 7.8). В строке Sj столбца L
перечислены все внутренние состояния, образующие связанные
пары с Si. Таблица требований в процессе кодирования будет
изменяться за счет исключения элементов из столбца L. В стро-
ке 5, столбца F указано текущее число F(Si) свободных векто-
ров, прилегающих к связанному множеству Δ,·, поставленному
в соответствие s,·. Свободными являются векторы, которые не
принадлежат какому-либо связанному множеству, приписанно-
му внутреннему состоянию. Пусть C(Si)—текущее число эле-
ментов, находящихся в строке Si столбца L.
Положим F(Si)=0, если никакое связанное множество не
было приписано внутреннему состоянию s,·.
Изложим теперь два правила, используемых в данном ме-
тоде кодирования. Благодаря этим правилам внутренние состоя-
ния, образующие связанные пары, окажутся размещенными в
соседних положениях. При этом связанное множество двоич-
МЕТОД КОДИРОВАНИЯ АСИНХРОННЫХ УСТРОЙСТВ 97
ных векторов, приписанных внутреннему состоянию, составляет-
ся вектор за вектором. '
После присвоения двоичного вектора внутреннему состоя-
нию (т. е. после присоединения его к соответствующему связан-
ному множеству) вносят поправки в таблицу требований, т. е.
а) исключают внутренние состояния из столбца L, для которых
удовлетворяются условия соседства с st-; б) уничтожают стро-
ки, для которых столбец L оказывается пустым, и в) изменяют
числа F(S{).
Таблица 7.8
1(«|)
f, h, e, d, с
а, е, d, I
а, с, h
a, f, m
' a, '{, g
а, Ь
d, h
b, g
f, m
e, I
p(°t)
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Правила применяются одно за другим к первой строке таб-
лицы, затем ко второй и так далее до последней. Для некото-
рых специальных условий, которые могут возникнуть в процессе
применения этих правил, будем применять другие правила. На-
зовем их правилами контроля А и В.
Правило 1. Если соотношение F ($*) > С (Sj) не удовлетво-
ряется, то к связанному множеству для строки s< (в некоторых
случаях пустому) добавляют (по одному) двоичные векторы,
выбранные таким образом, что каждый вектор является сосед-
ним ' с наибольшим возможным числом связанных множеств,
приписанных внутренним состояниям, образующим связанные
пары с si. " -
Эти новые векторы должны быть выбраны среди векторов,
прилегающих к множеству Δ,·, которые еще не были приписаны
другим состояниям; следовательно, рассматривают все приле-
гающие векторы и выбирают один, удовлетворяющий предыду-
щему условию.
Правило 1 позволяет поставить в соответствие состоянию Sj
связанное множество, имеющее некоторое число свободных
7 Зак. 46
98
ГЛАВА 7
прилегающих векторов с тем, чтобы удовлетворить всем усло-
виям соседства s,-.
Правило 2. Элементы Sj столбца L и строки Sj таблицы
требований исследуются поочередно. При этом могут предста-
виться два случая.
1. Исследуемое состояние s, еще не было приписано связан-
ному множеству. В этом случае состоянию $, приписывают
Двоичный вектор, прилегающий к множеству Δ4 и к наиболь-
шему возможному числу связанных множеств, приписанных со-
стояниям, образующим связанные пары с s;·. Если связанных
множеств, приписанных состояниям, образующим связанные
пары с Sj, пока нет, то состоянию s3· приписывают двоичный век-
тор, прилегающий к Aj и к наименьшему возможному числу
связанных множеств, приписанных состояниям, образующим
связанные пары с Δ*.
2. Состояние Sj уже приписано связанному множеству. В этом
случае выбирают самую короткую разрешенную последователь-
ность двоичных векторов б^, δ*2, ..., δ^, такую, что векторы
6kt и б*г+1 (1^/^/— 1) являются соседними, а δ^ и δ^—при-
легающими соответственно к Δ< и Δ;·.
В первом случае рассматривают все векторы, прилегающие
к Аи которые еще не были приписаны другим состояниям. Сре-
ди этих векторов выбирают один, который удовлетворяет поста-
вленному условию.
Во втором случае последовательность называется разрешен-
ной, если при ее кодировании ни один из F(sh) не равен 0. Если
такую последовательность удалось найти, эти двоичные век-
торы приписывают состоянию sy, если такая последовательность
не найдена, то применяют правило контроля А.
Необходимость применения правила контроля А возникает
при следующих условиях:
а) в процессе применения правила 1 невозможно в доста-
точной мере увеличить связанное множество одного состояния;
б) в процессе применения правила 2 (случай 2) не удается
найти разрешенную последовательность;
в) значение F(s<) становится равным нулю.
Правило контроля А. Увеличивают на одну единицу число
nv внутренних состояний; добавляют ко всем уже использован-
ным двоичным векторам первую нулевую составляющую. Затем
продолжают вычисление с того момента,, на котором пришлось
обратиться к правилу контроля.
Правило контроля В применяется в том случае, когда
F(Si) принимает значение 1.
МЕТОД КОДИРОВАНИЯ АСИНХРОННЫХ УСТРОЙСТВ 99
Правило контроля В. Если С (st) = 1 и если единственному
внутреннему состоянию Sj, соседнему с Si, еще не было поста-
влено в соответствие связанное множество, то единственный
свободный вектор, прилегающий к Δ,·, приписывается состоя-
нию Sj. В противном случае этот вектор приписывается состоя-
нию st·. Вычисление затем продолжается далее с того места, на
котором были вынуждены обратиться к правилу контроля В.
Цель использования правила В состоит в том, чтобы умень-
шить по возможности число применений правила Av Правило В
применяют столько раз, сколько это требуется, чтобы F(Si)
стало больше 1. Исключение составляет случай 2 правила 2:
все векторы разрешенной последовательности приписываются
состоянию s3· до использования правила контроля.
Если одно из условий, требующее применения правила А,
появляется одновременно с условием, требующим применения
правила В, начинают с правила А. В рассматриваемом примере
правило ,1 применено к первой строке табл. 7.8 (т.е. к стро-
чке а) !). Состоянию а может быть приписан один из 2п" воз-
можных двоичных векторов. Возьмем, например, вектор 0000.
Поскольку F(a)=4 и С(а)=Б необходимо увеличить Δα={0000}.
Для этого к Δα добавим один из следующих двоичных векторов
(прилегающих к 0000): 0001, 0010, 0100, 1000: Выберем, напри-
мер, вектор 0010. Теперь F(a) =6, а связанное множество, по-
ставленное в соответствие состоянию а, равно
Δο = {0000, 0010}.
Исследуем теперь состояние f, которое является первым в
строке а. Ему припишем двоичный вектор 0001. Затем рассмо-
трим состояние Ь; по правилам 2 этому состоянию не может
быть поставлен в - соответствие ни один свободный двоичный
вектор, прилегающий к /, кроме'0011, который является приле-
гающим к связанному множеству, уже приписанному состоя-
нию f. Выберем вектор 0100. В табл. 7.9, а приведены требова-
ния, полученные на этой стадии. Применяя правило 2 к стро-
ке а, припишем состояниям е, d и с соответственно векторы
ООП, 1000 и ОНО. Требования, полученные на этой стадии, при-
ведены в табл. 7.9,6. Заметим, что строки α и с оказались вы-
черкнутыми. Для оценки полеченных результатов выполненное
кодирование представим в виде карты Карно (табл. 7.10, а).
Затем применим правило 1 к строке f, для которой связанное
множество не увеличивается. Применяя к / правило 2, рассмо-
трим состояние d. Так как этому состоянию уже было приписано
') Заметим, что в начале каждой операции связанное множество каж-
дого состояния является пустым,.так.как состояния еще не закодированы.
7*
100
ГЛАВА 7
связанное множество, следовательно, это случай 2 правила 2.
Самой короткой последовательностью, связывающей множе-
ства, является вектор 1001, приписанный состоянию d. В табл.
7.9, в помещены требования, полученные на этой стадии. Заме-
чаем, что F(/)**l; поэтому необходимо применить правило кон-
троля В. '" '
Таблица 7.9
f
ь
е
d
е
h
I
а
}
Ь
е
d
с
а
h
1
т
4«j)·
е, d, с
е, d, I
с, h
a. f, m
«./.«
а, Ь
d, h
b, g
f,m
e, I
'(4)
4
3
3
0
0
0
0
0
0
0
L (.,)
d,.l
h
m
f.g
d, h
b.g
f, m
e.l
Г(*1)
2.
2
2
3
0
0
0
0
f
b
e,
d
R
h
I
m
L(4)
I
h
m
g
d, h
b,g
f, m
e, I
F(°i)
1
2
2
4
0
6
0
0
e
d
К
h
I
m
4«i>
m
g
d, h
g
m
e.l
F(S{)
2
3
0
2
2
0
В этом случае С (/)=*!, и, поскольку ни одно связанное мно-
жество еще не было приписано состоянию /, последний свобод-
ный вектор 0101, прилегающий к Δ/={0001}, приписываем со-
стоянию /. Теперь F(b) становится равным 1, основа приме-
λ няем правило В.
Применение правила В приводит к приписыванию состоя-
нию h вектора 1100. В табл. 7.9, г помещены требования, а в
МЕТОД КОДИРОВАНИЯ АСИНХРОННЫХ УСТРОЙСТВ 101
таблице 7.10,6 — кодирование. Далее к строке е применяется
правило 1-у. связанное множество Δ* не должно увеличиться.
00
01
и
ю
00
01
11
10
а
Ь
ft.
f
е
а
с
00
Таблица 7.10
01 II 10
00
01
11
10
α
Ь
h
d
f
ι
ft.
e
α
с
Применение правила 2 позволяет приписать состоянию т век-
тор 0111, прилегающий к связанным множествам Де и Д|. И на-
конец, применение правил 1 и 2 к строке d приводит к вычер-
киванию всех строк таблицы требований.. В табл. 7.11 приве-
дено полное кодирование.
Таблица 7.11 "
00 01 И 10
00
01
11
10
а
Ь
А
■ d
f
ι
8
d
\
e
m
4
a
с
Отметим, что при кодировании были использованы четыре
внутренние переменные, в то время "как по Хаффману требова-
лось 6 внутренних переменных.
Г ЛАВА 8
МЕТОД МИНИМИЗАЦИИ ЧИСЛА
ВНУТРЕННИХ
СОСТОЯНИЙ НЕДООПРЕДЕЛЕННЫХ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮ УСТРОЙСТВ
А. Г рассели, Ф. Л уччио
Задача минимизации числа внутренних состояний непол-
ностью "определенной таблицы переходов рассмотрена в рабо-
тах [1—3]. В данной главе показано, что только одно подмноже-
ство множества классов совместимости (подмножество простых
классов) должно рассматриваться при выборе минимального
покрытия; кроме того, здесь дан табличный метод выбора из
простых классов.
Основные положения и определения
Пусть Xi, X2, .... Х„ — входные состояния (комбинациизна-
чений входных переменных); si, «2 sp — внутренние состоя-
ния; Z(X{, Sj) —выходное состояние, соответствующее входному
состоянию Х< и внутреннему состоянию sy, S(Xu Sj)—следую-
щее внутреннее состояние для Х{ и s3·.
Функции Ζ a S неполностью определены и обычно" представ-
ляются в виде таблиц переходов и выходов (табл. 8.1).
Таблица 8.1
К\ Λ2 Лз Л( . Л[ Aj Xj
а, 0
Ь, 0
Ь, 0
—, —
ь, -
Ь, 0
-. -
а, I
t
d, l
d, 1
β. —
e, —
с, -
с, 1
в, 0
d. 0
а, —
а, 1
^» "~~
а, -
-, I .
—, —
d, 1
е, 1
*"""» ~™
Ь, -
—, —
А, 1
е, 1
Ь, 0
Ь, 0 ·
а, —
>
**, 0
ь, -
U ι
~t —
*, -
а, -
а, 1
1
-. -
е, —
8. 0
' ё, 0
е. —
_ _
—, —
£, 0
а, —
а, I
—, —
U о
а, 1
Определение 1. Два внутренних состояния sh и sk назы-
ваются соежеетижижи (обозначаются «л~5л)> если при подаче
НЕДООПРЕДЕЛЕННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТНЫЕ УСТРОЙСТВА 103
некоторой входной последовательности начиная с начальных со-
стояний sh и sft получаемые выходные последовательности оди-
наковы (для определенных выходных состояний).
Дадим также другое определение совместимости.
Определение 2. Два внутренних состояния sh и Sft назы-
ваются совместимыми, если а) для каждого Х{, для которого
определены оба соответствующих выходных состояния, имеем
Z(4sft) = z(4s*)
и б) для каждого Х{, для которого определены оба следующих
внутренних состояния, имеем
S(Xt,sh)~S(Xt.sk).
Не теряя общности [3], будем рассматривать те таблицы пе-
реходов, в которых неполностью определены только выходные
состояния.
Определение 3. Классом совместимости называется такое
множество внутренних состояний Ca={saU sa2 saq}, в ко-
тором все члены Са совместимы попарно; максимальным клас-
сом совместимости называется класс совместимости, который не
содержится ни в одном другом классе совместимости.
Например, максимальные классы совместимости табл. 8.1
приведены в первом столбце табл. 8.2, а.
Определение 4. Множество классов совместимости считается
замкнутым, если для каждого класса Са множества все вну-
тренние состояния
S №, Sal), OyXi, SgZ), ..., S(Xl, Sgjj)
содержатся по меньшей мере в одном из классов множества и
если это условие удовлетворяется для каждого входного со-
стояния Х{. Множество совместимых классов покрывает таблицу
переходов, если каждое внутреннее состояние таблицы содер-
жится.по крайней мере в одном из совместимых классов мно-
жества.
Каждому замкнутому множеству Г< совместимых классов,
покрывающему заданную таблицу переходов Т, соответствует
таблица 7\, внешнее поведение которой эквивалентно поведению
Т. Таким образом, задача минимизации числа внутренних со-
стояний таблицы переходов Τ эквивалентна задаче нахождения
104
ГЛАВА 8
замкнутого множества Гго совместимых классов, покрывающего
Τ и минимального по мощности.
» Таблица 8.2
1
2
3
4
5
Классы
{a, ft, d, e}
{ft, с, d}
{С f. g}
{d, e, A}
{a, g}
Множество классов
0 .
{(«, ft), (a, g), (d, «)}
{(c, d), (e, A)}
{(a, ft), (a, d)}
0
1
2
3
4
S
6
7
8
9
10
11
12
Классы
{a, 6, d, e}
{6, c, d}
{c, f, g>
{d, e, A}
{Ь, с}
{c,d}
icf)
icg}
<f,g}
{d, h}
{a,g}
{/}
Множество классов
0
{(a, 6), (a, g), (d, e)}
{(c, d), (e, A)}
{(a, 6), (a, d)}
0
{(a. g). (<i. e)}
{{c, d)}
{(C d), (/. g)}
He, A)}
0
0
0
Множество Гт называется минимальным покрытием. В ли-
тературе отсутствуют систематические методы (кроме полного
перебора) нахождения минимального покрытия.
ПРОСТЫЕ КЛАССЫ
Предлагаемый метод содержит два этапа.
1. Определение множества всех совместимых классов, кото-
рые могут быть частью минимального покрытия, т. е. определе-
ние простых классов.
НЕДООПРЕДЕЛЕННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТНЫЕ УСТРОЙСТВА Юб
2. Выбор покрывающего таблицу переходов замкнутого мно-
жества классов, полученных на первом этапе.
Пусть в заданном классе совместимости
W = {Sei, 5<й> ···» sn?i
Cai является множеством следующих состояний, записанных
в строках sai, ..., sag и столбце Х{ таблицы. В этом случае
будем говорить, что класс Св< заключен в Са.
Определение 5. Множество классов Ра совместимого клас-
са Са является множеством всех классов Cai, заключенных в
Са; при этом Cai образовано по меньшей мере из двух элемен-
тов: Са,- 3= Са и Са1 g? Caj, если Са{ является элементом мно-
жества классов Ра.
Множество классов Ра выражает условия замкнутости, на-
лагаемые на совместимый класс Са. Множество классов, заклю-
ченных в максимальных совместимых классах табл. 8.1, запи-
сано в табл. 8.2, а.
Определение в. Совместимый класс С{ является простым,
если не существует ни одного другого совместимого класса С,·,
такого, что
Ctc=C{; Ρ, ЭР,.
Теорема. Члены минимального покрытия являются просты-
ми совместимыми классами.
Метод получения простых классов достаточно полно описан
в работе [7].
В табл. 8.2, б приведены простые классы и множества клас-
сов для табл. 8.1.
ПОЛУЧЕНИЕ МИНИМАЛЬНОГО ПОКРЫТИЯ
На втором этапе предлагаемого метода выбирают простые
классы, которые входят в минимальное покрытие Гт.
Пусть Pi — множество классов, заключенных в простом
классе С<, т. е.
"l = \^>α· "β> ···· (->xl·
Предположим, что класс Сл содержится в простых классах
С«ь Са2, .... С„а; класс Ср содержится в простых классах
Cpi, Cq2, ■ ■ ■, С$ь и класс Сх содержится в простых классах
Если выбран класс С,·, то должны быть взяты по крайней'
мере классы Са} (1</<а), C$h (1<А-<Ь), ... и CTft
106
ГЛАВА 8
(l^k-^.t) для того, чтобы обеспечить замкнутость минималь-
ного покрытия (см. определение 4).
. Каждому простому классу Су поставим в соответствие пере-
менную Су, которая принимает значение 1, если выбран Су, и
значение 0 в противном случае. Условие замкнутости, налагае-
мое каждым классом С,·, можно выразить при помощи нера-
венств
-Ci + cal + ca2+ ... +сав>-1,
- с, + с„, + ср2 + ... +ср6>-1, -
— Ci + C%x+Cx2+ ... +Cxt> — \.
Условие, по которому Гт должно покрыть все внутренние со-
стояния, аналогично условию, которое существует при решении
таблицы простых импликантов [4]. Условие покрытия, налагае-
мое каждым внутренним состоянием Sj, выражается при помощи
неравенства
С/1 + сУ2+ ... + су,>0,. ' (8.2)
если Sj содержится в простых классах Сц, Cj2, ..., CJS.
Выбор минимального покрытия может быть, таким образом,
получен как решение задачи линейного целочисленного про-
граммирования. Ограничениями являются неравенства типа
(8.1), выражающие условия замкнутости, налагаемые всеми про-
стыми классами, и неравенства типа (8.2), выражающие усло-
вия покрытия, налагаемые всеми внутренними состояниями.
Функция, выражающая условие минимальности числа выбран-
ных классов, записывается в виде
N
2 ci = min,
.де N — число простых классов.
Кроме того, переменные не должны быть отрицательными.
Из-за характера минимизируемой' функции переменные не мо-
гут принимать значения, большие 1.
Теория линейного целочисленного программирования была
сформулирована в работе [5] и применена в работе [6] в каче-
стве метода решения таблиц простых импликантов.
Задача выбора минимального покрытия может быть так-
же представлена в виде таблицы CF (таблица покрытия и
с1
c2
с3
с4
с5
с6
с7
с8
с9
с10
с11
с12
Область покрытия
Область замкнутости
a b с а е f g h
I 2 3 4 5 6 7 8 9 1Ο 11 12 13
Таблица 8.3
xxx xx
О О х х х О
О О х
О О х х х х
О х х х О
О
о о
О х
х х
XX XX
XXX
X XX
XX X
X X
X X
X X
X X
X X
X X
X X
X
108
ГЛАВА 8
замкнутости). Строки таблицы CF соответствуют простым клас-
сам, а столбцы — ограничениям задачи линейного целочисленно-
го программирования. Столбцы делятся на две области. Ка-
ждый столбец из области покрытия соответствует неравенству
вида (8.2) и отмечается крестом в строках Сд, Сц, ..., С3-3.
Столбцы из области замкнутости соответствуют неравенствам
вида (8.1); они отмечаются крестами и кружками. Например,
первое неравенство из соотношений (8.1) соответствует столбцу,
в котором имеются кружок в строке Cj и кресты в строках
Wi> W2, ..., Cje.
Заметим; что в таблице CF столбец, который имеет только
кресты, должен быть покрыт; это говорит о том, что по крайней
мере одна из строк, имеющая крест в этом столбце, должна быть
выбрана. Столбец, который содержит кружок, должен быть по-
крыт хотя бы одним крестом, если была выбрана строка, имею-
щая кружок в этом столбце.
Примером таблицы CF является табл. 8.3.
Строки и столбцы таблицы CF могут быть исключены по
правилам, которые являются расширением правил, применяе-
мых при сокращении таблицы простых импликантов. Эти пра-
вила иллюстрируются табл. 8.4—8.8.
Если таблица CF не может быть больше сжата, говорят, что
она является циклической; в этом случае она соответствует за-
даче линейного целочисленного программирования с минималь-1
ным числом ограничений.
Кроме правил, заданных табл. 8.4—8.8, существует правило,
по которому строка, имеющая только кружки, может быть
исключена, так же как и столбцы, в которых строка имеет эти
кружки.
Для сжатия таблицы CF правила можно применять в лю-
бом порядке; окончательный результат является единственным.
В работе [7] дан пример применения правил в порядке, приводя-
щем к получению результата кратчайшим путем.
В некоторых случаях метод сокращения приводит прямо к
минимальному покрытию. В других случаях получают цикли-
ческую таблицу," которая может быть решена при помощи соот-
ветствующей программы линейного целочисленного программи-
рования; это решение дает минимальное покрытие.
ПРАВИЛА УПРОЩЕНИЯ ТАБЛИЦЫ ПОКРЫТИЯ И ЗАМКНУТОСТИ
Определение. Строка U является α-доминируемой строкой
tj, если tj имеет всё те кресты, что и строка U, и не имеет круж-
ков, ,·
НЕДООПРЕДЕЛЕННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТНЫЕ УСТРОЙСТВА Ю9
Правило 1. Если строка tt является α-доминируемой стро-
кой tj, то она может быть исключена, так же как и все
столбцы, в которых эта строка имеет кружки.
h
h
h
«1
х-
X
U2 «s ««
х О О
X X
О х
Таблица 8.4
и
и^
"1
X
X
"а
X
О
Пример. В табл. 8.4, a t\ является' α-доминируемой стро-
кой ?2, следовательно, t\, u3 И/ «4 могут быть вычеркнуты; полу-
чают сокращенную табл. 8.4, б.
Правило 2. Если столбец щ имеет только один крест в
строке tj и ничего больше, то в минимальное покрытие должен
войти соответствующий tj простой класс. В этом случае строка
tj может быть исключена из таблицы, так же как и все столбцы,
в которых эта строка имеет кресты.
Таблица £.5
и
и
и
и
«1
X
«2
X
X
и»
X
X
О
«4
X
X
«5
X
о
X
«в
X
О
<1
h
и
X
X
X
X
X
О
Пример. В табл. 8.5, а столбец щ имеет единственный
крест в строке fo следовательно, должна быть выбрана строка
/2; получают сокращенную табл. 8.5, б. Заметим, что столбец и*,
который имел кружок в строке t2, содержит теперь только кре-
сты и должен быть обязательно покрыт.
Определение. Столбец и{ доминируется столбцом и}, если
щ имеет все кресты и кружок, которые имеются в щ.
Правило 3. Если столбец щ доминируется столбцом щ, то
ы,· может быть исключен.
Пример. В табл. 8.6, а столбцы ы4 и Us могут быть исклю-
чены, так как они доминируют над столбцом и\\ и3 также
по
ГЛАВА 8
может быть исключен, так как он доминирует над «г', получают
сокращенную табл. 8.6. б.
Таблица 8.6
их и2
и
и
h
и
и
«I
X
X
"2
о
X
"з
X
О
X
X
"4
X
X
X
«5
О
X
X
X
t*
и
к
х О
X
X
Определение. Строка ti является β-доминируемой строкой tj,
если строка tj имеет все кресты, встречающиеся в строке tu и
каждому столбцу ир, в котором /jtимеет кружок, соответствует
по меньшей мере один столбец uq, содержащий кружок в строке
ti и всем крестам которого соответствуют кресты или кружки
в ир.
Правило 4. Если строка ti является β-доминируемой стро-
кой tj, то она может быть исключена, так же как и столбцы,
в которых эта строка имеет кружки.
Таблица 8.7
«1 «2 «3 «4 «5 "в «7 «1 «2 "5 "в «7
f,
ti
h
и
к
и
X
X
X
X
X
X
■о
X
X
О
X
О
X
X
X
О
X
X
О
X
X
X
X
X
X
о
X
X
X
О
X
X
О
X
X
Пример. В табл. 8.7, а строка h является β-доминируемой
строкой /з- Действительно, во-первых, строка /3 имеет все кре-
сты, содержащиеся в строке t2; во-вторых, столбцу и5 соответ-
ствует столбец и3, столбцу «в соответствуют столбцы и3 и и4;
столбцу щ соответствует столбец и4. Строка t2 и столбцы и5,
и6 и «7 могут быть вычеркнуты, в результате получаем сокра-
щенную таблицу 8.7, б.
НЕДООПРЕДЕЛЕННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТНЫЕ УСТРОЙСТВА Щ
Определение. Строка tj называется неизбираемой, если суще-
ствует по меньшей мере один столбец щ, имеющий только один
кружок в строке tj и не имеющий ни одного креста. Неизбирае-
мая строка tj должна быть исключена.
Правило 5. Если существует столбец щ, имеющий кружок
в строке tj и один крест в строке tk, то сначала исключают из
таблицы строку 4, а также столбцы, в которых tk имеет кружки,
затем исключают строку tj, которая становится тепер'ь неизби-
раемой строкой, так же как и столбцы, в которых строка tj
имеет кружки. Исключение строк, которые стали неизбирае-
мыми, продолжается до тех пор, пока не будут исключены все
неизбираемые строки. Если в конце процесса хотя бы один
столбец окажется пустым, то для минимального покрытия дол-
жен быть взят простой класс, соответствующий строке 4. В этом
случае строка tk будет исключена из· таблицы, так же как и
столбцы, в "которых она содержит кресты.
Таблица 8.8
U\ U2 «з «4 «5 "в , «1 «2 «3 "I "3 «»
и
и
и
и
и
X
X
X
X
X
X
X
о
О
X
X
X
О
0
X
X
и
и
и
и
X
X
X X
О
X
X
Пример. В табл. 8.8, а столбец «5 имеет крест в строке
h и кружок в строке t3. Применяя правило 5, исключаем t2,
«4, t3, «5, ^ι (строка /ι стала неизбираемой) и и6. Получаем
табл. 8.8, б, которая содержит пустой столбец м2- Следовательно,
выбираем строку ^. в результате чего получаем сокращенную
табл. 8.8, в.
Применяя правила сокращения к таблице CF (табл. 8.3),
можно получить следующую последовательность операций:
1) исключение столбцов d, 2, 9 и 10, которые доминируют
соответственно над столбцами е, 3, е и е (правило 3);
2) выбор строки С\ (правило 5);
3) исключение строки Сю α-доминируемой строкой С4 (пра-
вило 1);
4) выбор строки С4 (правило 2);
5) исключение строки С^ α-доминируемой строкой Сд (пра-
вило 1);
112
ГЛАВА 8
6) исключение строк, С2, С7 и Се соответственно β-домини-
руемыми строками С6, С3 и С3 (правило 4);
7) исключение столбца g, доминирующего над столбцом £
(правило 3),
Таблица 8.9
f 5 6
V
С,
с5
с„
с9
Си
X
X
X
X
X
о
X
О
X
После операции 7 получают циклическую табл.. 8.9. Этой
таблице соответствует следующая задача линейного целочис-
ленного программирования:
с3 + с5 + с6 + с9 + сп = min,
с3 + с5 + с6>0,
с3 + с9>0,
-с6 + с„>-1.
Решение имеет^ид
с5 = С9 = '»
с3 = с6 = сп = 0.
При условии, что в процессе сокращения выбраны классы
С{ и Ci, получено минимальное покрытие
*т = \С\, Cfr С$, Сд).
Если внутреннее- состояние А поставить в соответствие классу
С\, т. е. А—*С\, B—*Ci, C-*Cs, D-+C9, то получим таблицу,
эквивалентную табл.8.1 и имеющую минимум строк (табл.8,10).
Таблица 8.10
А
В
С
D
Xl
А, 0
А, 1
С, 0
А, 0
Хг
В, 1
А, 0
В, 1
С, 1
*з
/4, 0
А, 1
А 1
-, 1
х*
А, 1
С, 0
~r t ~~
В, 1
Xs
А, 0
С, 0
А, -
D, 1
*в
А, 1
В, -
А, 1
О, 0
*т
А, 1
Λ. 1
D, 0
D, 0
НЕДООПРЕДЕЛЕННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТНЫЕ УСТРОЙСТВА ИЗ
Для решения циклических таблиц, помимо линейного про-
граммирования, можно использовать другие методы, которые
являются расширением методов, используемых для решения
таблиц простых импликантов [4].
Рассмотрим пример применения метода булевых уравнений
к решению циклической табл. 8.9.
Для каждого столбца таблицы и,- записывают булево уравне-
ние вида
с; + сф1 + сф2+ ··· +Sf=1· (8·3)
в котором c't — переменная, поставленная в соответствие строке,
содержащей кружок (если он имеется) в столбце щ\
βφι» сф2, .... cvf—переменные, соответствующие строкам, со-
держащим крест в столбце «,·.
Затем выполняют логическое умножение всех уравнений
вида (8.3) и получают следующее уравнение:
(с3 + с5 + сб) (с3 + с9) (с'6 + сп) (cj + с6) = 1.
Это уравнение преобразуется в форму суммы произведений и
после возможных упрощений приобретает вид
С3С6СП "· С5С9С3С6 ·" С5С9С11С3 "" С6С9С11 ~ *'
Каждый член суммы дает решение циклической таблицы.
Решение образуется из классов, соответствующих имеющимся
переменным без штриха. Тогда минимальное решение, соответ-
ствующее члену, имеющему наименьшее число переменных без
штриха, имеет вид
cs = c9=l, с3 = с6 = си = 0.
8 Зак. 46
ГЛАВА 9
КОДИРОВАНИЕ ВНУТРЕННИХ
СОСТОЯНИЙ И ДЕКОМПОЗИЦИЯ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТНЫХ СИНХРОННЫХ
УСТРОЙСТВ
И. Жоффрэн
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Задача кодирования внутренних состояний, т. е. определение
двоичных переменных, которые будут представлять внутренние
состояния устройства, является одним из наиболее трудных и
наиболее важных этапов при реализации последовательност-
ных устройств.
Действительно, неудачный выбор этих переменных может
привести к конструированию логической схемы, содержащей
значительно больше реле, диодов или транзисторов, чем это
было бы необходимо для реализации'требуемой зависимости
между выходными-в входными величинами.
К сожалению, не существует простого метода, позволяющего
получить наилучшее кодирование для заданных условий работы.
Одним из решений, очевидно, является проверка всех возмож-
ных комбинаций значений двоичных переменных, определяющих
внутренние состояния, и выбор среди систем уравнений наиболее
простой. На практике этот способ малопригоден, так как число
возможных кодирований возрастает очень быстро с ростом чис-
ла внутренних состояний устройства. (Так, существует 840 коди-
рований, представляющих практический интерес, для устрой-
ства, имеющего 8 внутренних состояний.)
В этой главе изложены различные методы кодирования,
позволяющие уменьшить число проверяемых решений и, следо-
вательно, гарантирующие сравнительно простую реализацию
системы, представленной в виде таблицы переходов и выходов.
Эти методы могут быть применены во многих практических слу-
чаях.
В последовательностном устройстве каждое внутреннее со-
стояние Qi(i+\) в дискретный момент времени /+1 зависит
только от внутреннего состояния Qi(t) и состояния входов
E(t) в момент времени t, т. е.
<?<('+1) = Μ<?((0. E(t)].
(9.1)
КОДИРОВАНИЕ И ДЕКОМПОЗИЦИЯ СИНХРОННЫХ УСТРОЙСТВ ПЗ
Совокупность таких соотношений для всех значений ι позво-
ляет представить все изменения, происходящие в устройстве в
зависимости от состояний входов, задаваемых в виде таблицы
переходов.
Предположим, что необходимо выбрать s двоичных пере-
менных г/i, г/г, · · ·. Уа для представления η внутренних состоя-
ний устройства; s, следовательно, есть наименьшее целое число
от s>log2n, что можно представить в виде s=[log2n].
Соотношение (9.1) позволяет написать для каждой двоичной
переменной t/j булево выражение вида
тd + 1) = П [Уι V), У2(0. .... ys(t), Ε {t)]t (9.2)
или в более простой форме
Yt-ftiHu У2 Уз, Е) (9.3)
при 1 ^ i К s.
Множество s выражений позволяет найти требуемые логиче-
ские схемы для реализации устройства, отвечающего заданным
условиям работы.
Различные способы кодирования η внутренних состояний
при помощи множества s двоичных переменных приводят к си-
стемам уравнений вида (9.3) для г=1, 2, .. .„ s, в которых каж-
дая функция /, зависит от некоторого числа переменных г/j.
КОДИРОВАНИЕ С МИНИМАЛЬНОЙ ЗАВИСИМОСТЬЮ
Если известно кодирование переменных уи у2, ..., ys, у ко-
торого подмножество переменных уи у2, ..., г/& (I4^k<s)
может быть вычислено независимо от значения s — k оставших-
ся двоичных переменных, то обычно получают более простую
реализацию системы.
Рассмотрим прежде всего метод, приводящий к кодирова-
нию, при котором из числа s соотношений вида (9.3·) можно
написать k соотношений вида
Yi°=h(yi> Уг Ук> Е)
при 1=1, 2, ..., k и 1 <fe < s.
Такое кодирование, называемое кодированием с минималь-
ной (функциональной) зависимостью, очень часто приводит к
более простой реализации. Основным способом, позволяющим
получить такое кодирование, является разбиение множества
состояний рассматриваемой системы на классы. Мы исследуем
прежде всего случай, когда устройство задано' таблицей пере-
ходов и выходов, в которой определены все «следующие со-
стояния».
8*
116
ГЛАВА β
Поскольку кодирование состояний является задачей, отно-
сящейся к внутренней части устройства, то выходная функция
в представленных примерах не всегда указана.
Пример 1. Рассмотрим устройство, имеющее б внутрен-
них состояний, определяемых таблицей переходов (табл. 9.1).
Таблица 9.1 Таблица 9.2
1
2
3
4
5
6
0
3
3
2
5
6
5
1
6
4
5
2
3
1
г
0
1
1
0
0
\_ X
000
010
100
001
111
по
0
100
100
010
111
по
πι
1
по
001
111
010
100
000
Для кодирования 6 состояний требуются три двоичные перемен-
ные уи 1/2, Уз-
Выберем сначала ^кодирование типа а, записываемое сле-
дующим образом:
1-»000
2-»010
3-И00
4-»-101
5-М11
6^*110
Перенося это двоичное кодирование в табл. 9.1, получаем таб-
лицу потенциальных возбуждений (табл. 9.2), которая позво-
ляет вычислить переменные, характеризующие следующее со-
стояние, в функции входа х и переменных, определяющих теку-
щее состояние. Таким образом, получают следующие булевы
выражения:
3^1 - Ш + Мз* + У\У2 (Уз + *).
Уз = #ii/2#3* + * Ш2 + У1У2) + У1У3*· (9-4)
Эти выражения довольно сложны, и каждая переменная, ха-
рактеризующая новое состояние (левая часть соотношений),
зависит от всех переменных, характеризующих текущее состоя-
ние и вход.
КОДИРОВАНИЕ И ДЕКОМПОЗИЦИЯ СИНХРОННЫХ УСТРОЙСТВ П7
Рассмотрим теперь кодирование типа β, записываемое сле-
дующим образом:
1-М11
2—> 110
3-П00
4->011
5->000
6-*010
Уравнения возбуждения в этом случае имеют вид
Yi = yix + y~ix,
У2 = У2Х + У2Х,
Уз = Шъх- <9·5)
Эти уравнения намного проще уравнений, полученных при
кодировании типа а; кроме того, видно, что У ι не зависит от
х
iH ι
■ни
-D
Гр
Уг*
\)
МГУ
ГУ Z'WVs
^
i ЦЛ Уз'Уг Уд*
-j"M!
Рис. 9.1.
у2 и уз, а Уг и Уз не зависят от у\. Таким образом, кодирование
типа β является кодированием с минимальной зависимостью.
На рис. 9.1 приведена реализация заданного устройства ма-
шины при помощи кодирования типа β на логических элементах
НЕ-ИЛИ.
118
ГЛАВА 9
Устройство состоит как бы из двух частей Afi и М2, рабо-
тающих параллельно: Μι определяет значения Υ\ и М2 опреде-
ляет значения Уг и Уз· Реализация этого устройства при помощи
кодирования типа α привела бы к значительно более сложной
г"ййй
Рис. 9.2.
схеме, не поддающейся декомпозиции. По табл. 9.3 можно со-
ставить таблицу импульсных возбуждений (табл. 9.4). При этом
в выражениях, характеризующих импульсные возбуждения τ,·,
свойство декомпозиции, являющееся следствием кодирования
с минимальной функциональной зависимостью, сохраняется.
Таблица 9.3
У,У".Уз
111
ПО
100
011
000
010
100
100
110
000
010
000
010
011
000
110
100
111
Действительно,
τ, = Υ ι Φ у ι.
Таким образом, если построена функция
У/ = Ы#1. Уг Уи Е),
Таблица 9.4
111
110
100
011
000
010
0
011
010
010
011
010
010
1
101
101
100
101
100
101
КОДИРОВАНИЕ И ДЕКОМПОЗИЦИЯ СИНХРОННЫХ УСТРОЙСТВ 119
то
Ъ^ёЛУи У2, ···. Уи Е)·
Возможно даже, что из выражения τ; полностью исчезнет уи
Уравнениям возбуждения при кодировании типа β соответ-
ствуют следующие выражения для τι, х% %ъ-
Т] = X, %2 = X, Τз = Уз ~Ь У2%·
Как видно, система уравнений очень проста; ее реализация
при помощи триггеров В\, Ζ?2 и В3 со счетным входом изобра-
жена на рис. 9.2.
ПОДСТАНОВОЧНЫЕ РАЗБИЕНИЯ τ
Разбиением множества состояний последовательностного
устройства называют набор π непересекающихся подмножеств;
их объединение дает множество S.
Для предыдущего примера [устройство А (табл. 9.1)]
πι= (123,456) и π2= (14,26,35) являются разбиениями, содержа-
щими соответственно 2 и 3 «блока», т. е. 2 и 3 непересекаю-
щихся подмножества.
Разбиение π = 0 является разбиением, в котором каждый
блок образован одним-единственным элементом, например
л= (1, 2, 3,4, 5, 6) для устройства, имеющего 6 состояний.
л=1 представляет собой разбиение, в котором все состояния
устройства содержатся в одном подмножестве, например, для
устройства, имеющего 6 состояий, л =(123456).
Разбиение я множества' состояний последовательностного
устройства называют разбиением со свойством поцстановки
{подстановочным разбиением), если для каждой пары текущих
состояний Qi и Qj, принадлежащих одному и тому же блоку
этого разбиения, и для каждого состояния входов Хр следую-
щие состояния также содержатся в одном и том же блоке этого
разбиения.
Два предыдущих разбиения πι=(123, 456) и Л2=(Г4~, 2~6, 35)
являются подстановочными разбиениями для устройства, опи-
сываемого табл. 9.1. Проверим это для разбиения яг.
Пара состояний (14) ведет к паре состояний (26), если на
входе 0, и к паре (35), если на входе 1. Как видно, обе пары
следующих состояний являются блоками разбиения яг.
Точно так же пара (26) ведет к парам (14) и (35), а пара
(35)—-к парам (35) и (26). Таким образом, разбиение
(14, 26, 35) —подстановочное разбиение для заданного устрой-
ства.
120
ГЛАВА 9
Связь между подстановочным разбиением и кодированием
с минимальной зависимостью
Достаточное условие существования кодирования
с минимальной зависимостью
Исследуем два разбиения πι =(123/456) и п'г=(ГС 26\ 35).
Разбиение πι разделяет состояния на два блока по три состоя-
ния. Вспомним, что при кодировании типа β переменная у\ при-
нимает значение 1 в состояниях 1, 2 и 3 и значение 0 в состоя-
ниях 4, 5 и 6. Таким образом, знание у\ и входного состояния
позволяет найти, в котором из двух блоков разбиения πι нахо-
дится следующее состояние.
Аналогично исследуются разбиение пг и две переменные уг
и уз. При кодировании типа β переменные у2 и уъ были выбраны
таким образом, что знание их значений при заданном состоя-
нии устройства не позволяет различить состояния 1 и 4, 2 и 6
или 3 и 5. ^
Следовательно, можно определить значения //г и уг для сле-
дующего состояния, зная только значения этих переменных в
текущем состоянии и входное состояние. Это очевидно из урав-
нений (9.5)
Уг и #з=И Ддя состояний 1 и 4,
Уъ и #з=Ю для состояний 2 и 6,
#2 и Уг = 00 Для состояний 3 и 5.
Для того чтобы построить кодирование типа β, поступают
следующим образом.
Приписывают переменной ух значения, по которым можно
различить два блока разбиения πι (одинаковое значение для
состояний 1, 2 и 3, с одной стороны, и для состояний 4, 5 иб—
с другой).
Аналогично определяют значения одновременно для обеих
переменных у^ и уз, исходя из разбиения пг, так чтобы можно
было различить все три блока этого разбиения.
Полученное таким путем кодирование для устройства, опи-
сываемого табл. 9.1, является частным случаем и представляет
интерес, когда можно реализовать кодирование с минимальной
зависимостью.
Как было показано ранее, кодирование с минимальной за-
висимостью выражается при помощи следующих уравнений:
J 1 < I < k,
У1 = !ЛУи Уг у"' E>\\<k<s'
'ffl^flUfu Уг Уз, Ε) fc+l</<s.
КОДИРОВАНИЕ И ДЕКОМПОЗИЦИЯ СИНХРОННЫХ УСТРОЙСТВ 121
Первые k переменных не зависят от s — k остальных перемен-
ных, но у, при k+\ -</<<s могут зависеть от множества всех
УиУг,---,У» переменных.
В случае кодирования при помощи двух независимых под-
множеств (реализация системы при помощи двух устройств,
работающих параллельно), как это имеет место в приведен-
ном примере, мы имеем
Vi-UiVu У2 Ук, £){
yi = fliyM, Уш У*> Ε) k+ l </'<s.
Возможность разложения (декомпозиции) на независимые под-
множества будет подробно исследована ниже.
Связь между подстановочным разбиением и кодированием
с минимальной зависимостью дается следующей теоремой.
Теорема 1. Пусть Μ— последовательноетное устройство,
имеющее η внутренних состояний, которые для кодирования
требуют s двоичных переменных уп У?, · · ·, Уз (s ^ Iog2 n).
Если могут быть вычислены значения k первых переменных
(\Kk<s), характеризующих следующее состояние устрой-
ства, по заданным входным состояниям и значениям k перемен-
ных, характеризующих текущее состояние, т. е. если
Vi
i l<i<A,
то для множества состояний устройства, Μ существует подста-
новочное разбиение π.
Каждый блок этого разбиения содержит все те состояния,
которые имеют одну и ту же комбинацию значений k первых
переменных уи у2, ..., Ун.
Проверка вытекает непосредственно из определения подста-
новочного разбиения и приведенных выше замечаний, касаю-
щихся способа построения кодирования типа β на примере
табл. 9.1. Эта теорема устанавливает связь между кодирова-
нием с минимальной зависимостью и существованием подстано-
вочного разбиения.
Однако существование подстановочного разбиения не гаран-
тирует возможности такого кодирования. Рассмотрим в связи
с этим те дополнительные условия, которые должны быть про-
верены. Для этого используем случай, когда минимизация числа
внутренних состояний системы уже произведена.
122
ГЛАВА 9
Необходимое и достаточное условие
существования кодирования с минимальной зависимостью
Пусть π — подстановочное разбиение для рассматриваемого
устройства; ш(п)—число состояний, содержащихся в самом
большом блоке разбиения π; Ν(π)—число блоков разбие-
ния n;s — число двоичных переменных ylt у2, ,..-, ys, необходи-
мых для кодирования η состояний системы (s — наименьшее
целое число, удовлетворяющее условию s>log2n).
Поскольку π есть подстановочное разбиение, то можно най-
ти блок, в котором будет находиться следующее состояние, если
известны входное состояние и блок, который содержит извест-
ное текущее состояние. Потребуется, следовательно, [log2JV(n)]
двоичных переменных, для того чтобы в разбиении π различить
отдельные блоки независимо от s — [log2iV(jt)] остальных пе-
ременных.
Оставшиеся переменные должны различать состояния, со-
держащиеся в одном и том же блоке. Так как наибольший
блок содержит т(л) состояний, для этой операции потребуется
[log2 ηι(π)] переменных.
Если использовать разбиение π, то потребуется
[log2 m (π)] + [log2 N (π)]
двоичных переменных, чтобы закодировать таким способом со-
стояния рассматриваемого устройства.
Из этого вытекает следующая теорема.
Теорема 2. Если существует подстановочное разбиение π для
заданного последователыюстного устройства Л, то можно за-
кодировать η внутренних состояний устройства с помощью
s двоичных переменных, причем k первых переменных (1 -<С& <
<s), характеризующих последующее состояние устройства, мо-
гут быть определены независимо от s — k остальных перемен-
ных, характеризующих текущее состояние, если для π выпол-
няется условие
[log2 m (π)] + [log2 N (π)] = s = [log2*n].
Алгебраические свойства разбиений
Рассмотрим только основные свойства.
Говорят, что п\ < яг, если и только если каждый блок πι
содержится в одном из блоков пг.
Пример. Даны разбиения πι=(Τ5, 24, 37, 6) и Л2=(Т357,
246). Находим, что πι < пг.
КОДИРОВАНИЕ И ДЕКОМПОЗИЦИЯ СИНХРОННЫХ УСТРОЙСТВ 123
Суммой двух разбиений называют объединение подмно-
жеств, содержащихся в каждом разбиении.
Пример. Даны разбиения πι=(Τ* 25, 38, 467) и пг=
= 03, 28, 5, 46, 7). Их сумма равна πι+π2=π3= (Τ2358, 467).
Можно доказать, что если πι и-яг есть подстановочные раз-
биения, то их сумма Л1+П2 также подстановочное разбиение
(для случая полностью определенных таблиц переходов).
Произведением двух разбиений называют пересечение под-
множеств, образующих каждое разбиение.
Пример. Даны разбиения πι=(Τ6, 235, Jj) и π_2= (15, 23,
467). Их произведение равно πι·π2=π3 (1, 23, 47, 5, 6).,Для
случая полностью определенных таблиц переходов произведе-
ние двух подстановочных разбиений является подстановочным
разбиением. Таким образом, операция произведения, так же
как и операция суммирования, сохраняет свойство подстановки.
Определение подстановочных разбиений
В методе определения подстановочных разбиений состоя-
ний заданного устройства используется, как и при определении
эквивалентных классов, отождествление пар состояний, напри-
мер отождествление пар состояний в следующем случае:
12 23 34 45 56
13 24 35 46
14 25 36
15 26
16
Однако при определении разбиений не учитываются значения
выходных функций.
Для каждой пары заданных (текущих) состояний Q4 и Q)
находят пары следующих состояний Qk и Qi, которые полу-
чаются при подаче каждого возможного входного сигнала. Ре-
зультаты можно представить в виде табл. 9.5. Далее осуще-
ствляют отождествление пар следующих состояний по каждой
новой паре полученных состояний Qk и Q/. Эта операция для
случая полностью определенной таблицы переходов обладает
транзитивным свойством, т. е. если встречаются пары состоя-
ний QiQj, затем QjQhi то состояния QiQjQh могут содержаться
в одном блоке нетривиального подстановочного разбиения
Определение заканчивается, как только все состояния ока-
жутся сгруппированными· в непересекающиеся подмножества,
покрывающие множество состояний устройства. Полученное
124
ГЛАВА 9
разбиение будет удовлетворять определению свойства подста-
. Отождест-
вленные пары
12 ■
46
13
23
56
45
14
26
35
15
36
25
34
16 .
35
26
46
24
Пары, вводимые
входным
состоянием 0 -
3
5
23
23
56
56
35
35
26
36'
25
36
25
35
26
35
5
35 ч
Пары, вводимые
входным
состоянием 1
46
12
56
45
13
23
26
14-
35
36
15
34
25
16
35
14
12
24
Результирующие
разбиения
12, 3, 46, 5
123, 456
И, 26, 35
125, 346
1246, 35
Пример. Табл. 9.5 позволяет определить подстановочные
разбиения для устройства, представленйого таблицей перехо-
дов (табл, 9,1), часть которой повторена в табл, 9,6, ". .
Таблица 9.6 "^
1
2
3
4
5
6
-
0
*
3
3
2
€ '
6
5
1
.6
4
5
2
3
Л
КОДИРОВАНИЕ И ДЕКОМПОЗИЦИЯ СИНХРОННЫХ УСТРОЙСТВ 125
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПОДСТАНОВОЧНОГО РАЗБИЕНИЯ
Случай, когда устройство допускает
только одно подстановочное разбиение
Рассмотрим устройство С, заданное табл.* 9.7. Это устрой-
ство имеет только одно ^подстановочное разбиение π—(13, 26*,
45).
Применяя теорему 2, находим
[log23] + [log»2H2+l=«3.
Следовательно, это разбиение может быть использовано для
кодирования^ состоявши устройства С при помощи TfJex пере-
менных. При этом получают кодирование с минимальной зави-
симостью, если по,двум первым переменным у\ и у% различают
три блока разбиения, а по переменной. у3 различают riapbi со-
стояний, содержащихся в одном блоке.» В этом случае можно
быть уверенным в получение результата вида ,
*Ι = Μ#ι. Уъ х),
У2-*Ш\гУъ х% (9.в)
Yi+hiUuVb.Vb.x)·
Однако еще остается большой выбор, приводящий к выра-
жениям вида (9.6) разной сложности.
Таблица 97 - Таблица 9.8
А№
Я(26)
С(45)
D
Λ
В
А
С
"~
h
С
А
В
^
1
2
3
4
5
6
Λ-
.- 2
3
«
5
5
. 1
h
4
1
5
2
6
3
Действительно, в данном примере известно, что переменные
У\ "и t/2 должны будут принять одинаковые значения в состоя-
ниях 1 и 3, 2 и 6, 4 и 5. Однако неизвестно, в каких состояниях
(1 и 3 или же в состояниях 2 Нчб и А и 5) приписать значения
00 переменным у и у*
Для" уменьшения неопределенности можно поступить сле-
дующим образом: вбозначим через А, В и^ С соответственно
блоки 13, 2<э_ и 45 разбиения п. Построим таблицу переходов
(табл. 9.8) устройства С\ дли трех состояний А, Вм С на осно-
вании табл. 9.7.
/26
ГЛАВА 9
При этом рассуждаем следующим образом: А(13) приводит
к состояниям 2 и 6 (по табл. 9.7), т. е. к состоянию В устрой-
ства Ci для входа 1\, и к состояниям 4 и 5, т. е. к состоянию С
для входа h· Таким образом, самый простой способ кодирова-
ния Cj найден [это дает также самую простую форму двух пер-
X
*
г
ι Различение
блоков
разбиения π
. (У,. Я)
1
X
У;
Уг
Сг (у3)
Различение
состоянии в
одном блоке
Уз
L
Уг
У,
Выход-
ная
функ-
ция
С
Рис. 9.3.
вых уравнений (9.6)]. Получаем таблицу потенциальных воз-
буждений (табл. 9.9).. Уравнения возбуждения имеют вид
Остается определить уъ для различения пар состояний, со-
державшихся в одном блоке. Для ограничения числа проб
представим уз как внутреннюю переменную устройства С2,
Таблица 9.9
У\Уг
А
С
В
D
X
00
01
11
10
0
11
01
00
10
1
01
11
00
00
имеющего два состояния а и Ь\ устройство Сг получает инфор-
мацию от устройства С\ и от двух внешних входов Λ и 1%.
Выход устройства С\ и его текущее состояние используется
в качестве дополнительного входа устройства Сг. Эти резуль-
таты можно изобразить в виде блок-схемы рис. 9.3.
Обозначим через а значение у$ для состояний 1, 2 и 4 и че-
рез Ь значение yt для состояний 3, 5 и 6. Переменные a a b
КОДИРОВАНИЕ И ДЕКОМПОЗИЦИЯ СИНХРОННЫХ УСТРОЙСТВ 127
являются состояниями С2; они дают возможность различить два
состояния, заключенные в одном и том же блоке разбиения л.
Состояния устройства С представляются следующим об-
разом:
\-*Аа
2-*Ва
3-+АЬ
4->Са
5-+СЬ
6->ВЬ
Таким образом, можно легко построить таблицу переходов
устройства Сг (табл. 9.10), пользуясь следующими соображе-
ниями. Устройство С (табл. 9.7), находясь в начальном состоя-
нии 1, переходит при воздействии входного сигнала 1\ в состоя-
ние 2; начальное состояние 1 изображается парой Аа и состоя-
ние 2 — парой Ва. Следовательно, устройство Сг, находясь в
состоянии а (соответствующем состоянию 1), переходит под
воздействием входного сигнала А1\ (вход /j+дополнительный
вход А, характеризующий состояние С{) в состояние а (соот-
ветствующее состоянию 2).
Таблица 9.10
(124)
(35G)
а
Ь
А1х
000
а
Ь
А12
001
а
Ь
β/,
ПО
b
а
В12
111
а
Ъ
С/,
010
ь
ь
С12
011
а
Ь
Заметим, что все входы Сч (AI\, Ah, .. ■) были закодиро-
ваны для устройства Ci. Найдем теперь наиболее простое вы-
ражение для г/з. не изменяя при этом ранее определенных вы-
ражений для ι/ι и г/г-
Для этого попробуем добавить другие строки в табл. 9.10
и получить более простое выражение для у3, например при а =
= 1, 4, 6 и Ь = 2, 3, 5. В данном случае наилучшее решение
было получено при использовании табл. 9.10 и при значениях
Ь— 1 и а = 0. Это дает
128 ' ГЛАВА 9
Полученное таким путем полное кодирование состояний
устройства С имеет следующий вид:
1=Ла-»-000
2 = βα-»110
3 = Л6-»001 .
4 = Са-»010
5 = Сй-»011
6 = Я6-М11
Реализация устройства при помощи двух
последовательно соединенных частей
Пусть требуется закодировать состояния устройства Д за-
данного таблицей переходов (табл. ЭТИ). Это устройство допу-
скает следующее единственное подстановочное разбиение:
π = (17, 25, 36, 48) = (А, В, С, D).
V
Как и в предыдущем примере, начнем с кодирования двух пер-
вых переменных у\ и уъ так чтобы можно было различить че-
тыре блока А, В, С и D разбиения π. Табл. 9.12 представляет
собой таблицу переходов первого устройства D\, а табл. 9.13 —
соответствующую таблицу возбуждений. v
Таблица 9.12
Таблица
1
2
3
4
б
6
7
8
Λ
3
7
5
8
1
2
6
4
9.11
h
4
2
1
1
5
7
8
7
Л(17)
β(25)
С(Э6)
D(48)
Λ
С
А
В
D
h
D
В
А
А
Таблица
Аоо
β01
Сщ
Du
0
10
00
01
11
9.13
1
11
01
00
00
Уравнения возбуждения имеют следующий вид:
У\ = У\Уг + У\У&
У г = Уг* + У\Х-
КОДИРОВАНИЕ И ДЕКОМПОЗИЦИЯ СИНХРОННЫХ УСТРОЙСТВ 129
Переменная уз должна давать возможность различать состоя-
ния, заключенные в одном и том же блоке разбиения π; пере-
менной уз будет соответствовать устройство D2 с двумя состоя-
ниями а и Ь.
Существует множество способов размещения состояний
устройства D по двум блокам α и & таким путем, чтобы каж-
дый из этих блоков содержал только одно состояние из каж-
дого блока разбиения π, τ. е. чтобы выполнялось условие,
необходимое, согласно теореме 2, для того, чтобы кодирование
по трем переменным у\УчУз, реализованное по' разбиению π,
давало возможность отличать один от другого все состояния
системы D.
Можно, например, взять
а =1234, 6 = 5678
или
а = 1268, Ь - 3467.
Отсюда будем иметь
row = (Т7, 25, 36, ~4~8) ("1234,1>678) = 0.
Заметим, что паь не является подстановочным разбиением,
иначе устройство D могло бы быть реализовано при помощи
двух параллельно соединенных частей.
Обозначим через π/, и назовем горизонтальным разбиение,
полученное путем отождествления всех следующих состояний,
содержащихся в одной строке таблицы переходов, и присоеди-
нения к ним других состояний, подчиняющихся транзитивному
закону
Отождествляя указанным способом состояния по табл. 9.11,
получим следующие различные группы состояний: 34, 27, 15,
18, 68 и 47.
По условию транзитивности устройство D допускает следую-
щее горизонтальное разбиение π^:
щ = (Т568, 2347).
Кроме того, в этом примере
ππΑ = (17, 25, 36, 48) (Ι568, 2347) = 0.
Таким образом, разбиение л», можно использовать для ко-
дирования каждого состояния системы значениями переменной
9 Зак. 46
130 . ГЛАВА 9
Уз- Это дает а=1568 (одно и то же значение у3 для состояний
1, 5, 6 и 8) и 6=2347 (одно и то же значение у3 для состояний
2, 3,4 и 7).
При таком выборе а и Ь выражения для у3 не будут содер-
жать х. Действительно, на основании определения пн можно
утверждать, что если последовательностное устройство допу-
скает горизонтальное разбиение пн для любого текущего со-
стояния устройства D, то все следующие состояния для всех
возможных значений входных состояний заключены в одном и
том же блоке π*,. Другими словами, каждый блок ян зависит
только от текущего состояния устройства. В данном примере
Уз будет зависеть только от переменных у\, у% и е/3, характери-
зующих текущее состояние устройства.
Представляя, состояния устройства D при помощи следую-
щих пар:
2-»Я&
3-+СЬ
A^Db
δ-*Βα
6-»-Са
-7->Л6
8->£>а,
можно построить таблицу переходов (табл. 9.14) устройства
£>2> используя тот же метод, что и в предыдущем примере
(табл. 9,10). Отсюда находим
Уз^Мъ + УхУгУъ + УхУз-
Таблица 9.14
\УгУгУз
Уз ^\
а(1568)
*(2347)
All
000
Ь
а
■ А1г
001
ь
а
β/,
010
а
Ь
В1г
011
а
Ь
С/,
100
ь
а
С12
101
Ь
а
Dly
ПО
ь
а
DIt
111
b
а
КОДИРОВАНИЕ И ДЕКОМПОЗИЦИЯ СИНХРОННЫХ УСТРОЙСТВ
131
Окончательно кодирование и соответствующие булевы урав-
нения имеют вид
1-»-000
2-»011
3-М01
4-»111
5-*010
б-» 100
7-»-001
8-» 110
У1 = У\У2 + У\У2Х,
Υ2 = У\х + 9\х,
Ya"* №з +У\УгУз +УМз
I
При реализации устройства по этим уравнениям из элемен-
тов НЕ-ИЛИ обнаруживаются два устройства Dx и D2, соеди-
ненные последовательно и работающие одновременно. Устрой-
СКкй
qP
"га
хУ,Уг
ш
f
3>
щ
.\^N xy, rVW* j
э
τ
ъ
ife»
i4ymqVM\
•V
>ц
Рис. 9.4. .
•ство Di определяет при каждом новом входном состоянии но-
вые значения yt и уг, а устройство D% определяет новое значе-
ние уз (рис. 9.4).
Реализация устройства при помощи двух частей,
соединенных параллельно (два подстановочных разбиения)
Определим теперь для подстановочных разбиений необходи-
мое и достаточное условие существования такого кодирования,
в котором множество двоичных переменных могло бы быть
9*
132
ГЛАВА 9
разделено на непересекающиеся подмножества. Это позволяет
разбить заданное последовательностное устройство на "части,
каждая из которых определяет переменные, содержащиеся в од-
ном из этих непересекающихся подмножеств.
При кодировании типа β это разделение было реализовано
при помощи двух частей. Возьмем снова устройство, заданное
табл. 9.1.
Для построения _кодирования_ типа β были использованы
разбиения πι=(123, 456) и π2= (ТТ, 26, 35). Как видно, каждый
блок из πι имеет только один общий элемент с каждым блоком
Yj*\l<*l<j(S
Комбинационное
устройство
г = 9(У,.Уг V
—г
Рис. 9.5.
из π2. Таким образом, если известны соответствующие блоки
из πι и π2, в которых содержится состояние Qj устройства,
можно сразу установить, о каком состоянии идет речь.
Для возможности построения "такого кодирования, т. е. для
возможности разделения устройства на две параллельно рабо-
тающие части (рис. 9.5), необходимо, чтобы существовали два
разбиения πι и π2, в которых любой блок одного разбиения имел
только один общий элемент (одно состояние) с любым блоком
другого разбиения, т. е. πι · π2=0.
Если это условие удовлетворено, можно взять&i = [log2N(πι)]
переменных для различения между блоками в разбиении πι и
fe2=[log2 N(π2)] переменных для различения между блоками в
разбиении π2.
Эти результаты могут быть сформулированы в виде следую-
щей теоремы.
Теорема 3. Внутренние состояния последовательностного
устройства Μ могут быть закодированы при помощи s двоич-
ных переменных (s> log2n), причем k переменных (1<*<п) и
(s — k) оставшихся пере'менных могут быть определены неза-
висимо, если и-только если существуют два подстановочных
разбиения πι и π2, удовлетворяющие следующим условиям:
а) каждый блок разбиения πι имеет только один общий элемент
с каждым блоком разбиения π2; б) [log2^V(n1)] + [log2N(n2)]=s.
КОДИРОВАНИЕ И ДЕКОМПОЗИЦИЯ СИНХРОННЫХ УСТРОЙСТВ 133
Разбиения πι = (Τ23, 456) и π2=(14, 26, 35) устройства А
(табл. 9.1) удовлетворяли обоим условиям, поэтому можно
было построить кодирование типа β.
Ч
Кодирование при помощи нескольких подмножеств
с минимальной зависимостью
Рассмотрим устройство В, заданное таблицей переходов
(табл. 9.15). Это устройство имеет восемь состояний, которые
необходимо закодировать при
помощи трех внутренних пере-
менных. Сначала проверим, су-
ществуют ли для этого устрой-
ства подстановочные разбиения.
Отождествляя состояния 1 и 6,
получаем πι=(16, 27, 38, 45).
Это разбиение позволяет по-
лучить первое кодирование с ми-
нимальной зависимостью. Две
первые внутренние переменные
должны различать четыре блока
разбиения щ, а у3 служит для
различения пар состояний одно-
го блока.
В этом случае уравнения возбуждения системы имеют вид
У\ = !ЛУ\, Уъ х),
Yfhiilu Уъ х),
Уз = !з(Уи Уь У* х)·
Полученное таким способом решение и соответствующие булевы
уравнения записываются в следующем виде:
1
2
3
4
5
6
7
8
Л
3
5
1
7
2
8
4
6
Таблица
h
. 6
7
8
5
4
1
2
3-
/з
б
3
7
1
6
4
8
2
9.15
Л
4
1
2
. 3
8
5
•6
7
1=000
2 = 010
3=110
4=100
5=101
6 = 001
7 = 011
8=111
Υ ι = У ι (*ι*2 + XiXz) + Х2У1Х1+ Х1Х2У2,
Υ 2 = #2*2 + Х1Х2У2 + Х\Х2Уъ
Уъ = foift + j/iifc) (х\Уз + Х\Уз) +
+ {Х2У3 + Х2У3) {У1У2 + У\Уг)·
134 ГЛАВА 9
Отождествление состояний 1 и 8 приводит к другому под-
становочному разбиению с тем же числом блоков пг=
= (18, 25~, 36, 47). Это разбиение позволяет получить второе ко-
дирование^ минимальной^ зависимостью. Отметим, что πι*Π2 =
= (Тб, 27, 38, 45) (18, 25, 36, 47) =0.
Это означает, что если известны соответствующие блоки раз-
биений πι и яг, в которых содержится одно состояние, то это
состояние может быть определено. Это позволяет найти кодиро-
вание при помощи четырех внутренних переменных при двух
независимых подмножествах вида
^ι = Μ#ι· Уъ хь *г).
^2 = М#1> Уъ *1» *2)ι
Уз = /з(#з» Ун хи *г)»
^4 = М#з> Уа, Хи х2)·
Устройство в этом случае реализуется при помощи двух парал-
лельно работающих частей и имеет четыре состояния. Кодиро-
вание и соответствующие уравнения имеют вид
1 = 0000 Yx ■= yi (Xi*2 + х 1*2) + *ι*2#ι + -МгУг.
2 = 0101 Y2 =i/2*2 + Ч (.У\Х\ + №\)>
3=1111 Уг = У*Х2 + хАУзХ\ + УхХ\),
4=1010 К4 = Уз {Х\*2 + *1*г) + УзХЛ + У&х*
5=1001
6 = 0011
7 = 0110
8=1100
Это кодирование получается из табл. 9.16 и 9.17 для двух уст-
ройств В\ и В2> состояния которых являются соответственно бло-
ками разбиений πι ипг-
Л(16)
В(27)
С(38)
Λ
с
D
А
В
Таблица 9.16
h
4
В
С
D
h
D
С
В
А
Λ
D
А
В
С
"(18)
6(25)
с(36)
d(47)
/,
С
Ь
а
d
Таблица
h
с
d
а
Ь
h
b
с
d
а
9.17
U
d
a
b
с
КОДИРОВАНИЕ И ДЕКОМПОЗИЦИЯ СИНХРОННЫХ УСТРОЙСТВ
Выполняя операцию суммирования двух разбиений, получим
новое подстановочное разбиение
Лз = π, + π2 = (16, 27, 38, 45) + (18, 26, 36, 47) = (Т368, 2457).
Это разбиение содержит два блока; каждое разбиение πι и лг
разделяет любой из этих блоков на два подмножества (πι ·π2 =
=0). Это замечание может быть использовано для кодирования
при помощи двух подмножеств с минимальной зависимостью.
Переменная у\ выбирается таким образом, чтобы различать два
ι
о—
Вычисле-
ние Κ/-Ι
/к
"] С(Мг)
г
I
Вычисле-
ние
г
'/6
Рис. 9.6.
блока из Л1+Л2=лз; у\ и у2 используются для того, чтобы раз-
личать четыре блока из разбиения щ; у ι и у3 выбираются таким
образом, чтобы различать блоки из разбиения яг- Кодирование
и соответствующие уравнения имеют вид
Υι-νΑ + 9ι*ι,
Ys = У2Х2 + Х2У2 (*ι + #1) + £11/2*1,
Y3 = X2 (Мз + У\Уъ) + Х\У\Уз + Хз Шз + Х\Шз)·
- 1 = 000
2=110
3 = 011
4=101
.5=100 /
,6 = 001
7=111
8 = 010
Схема при такой реализации приведена на рис. 9.6.
Рассмотрим теперь систематические методы реализации
устройств при помощи соединенных между собой частей.
ДЕКОМПОЗИЦИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТНЫХ УСТРОЙСТВ
Задачей декомпозиции последовательностных устройств яв-
ляется изучение условий их реализации при помощи более мел-
ких соединенных между собой частей. На нескольких примерах
136
ГЛАВА 9
уже была показана возможность такого конструирования
устройств.
Излагаемые ниже методы являются более общими. Они ис-
пользуют свойства подстановочных и парных разбиений.
Парой разбиений называют упорядоченную пару таких раз-
биений (π, π') множества состояний устройства, что если при
любой паре состояний Q* и Qj, принадлежащих одному блоку
разбиения π, подают любое входное состояние X, то получают
два следующих состояния, принадлежащих одному блоку раз-
биения π'.
Автоматы, рассматриваемые в этой главе, относятся к ав-
томатам типа Мура и задаются полностью определенной таб-
лицей переходов. Далее будет рассмотрено применение этих
-методов к устройствам, заданным . недоопределенной таб-
лицей.
Прежде всего уточним условия взаимного соединения частей,
образующих заданное устройство. Будем считать, что все части
действуют одновременно и соединены без обратных связей.
Пусть Ми М2, ..., Мп — совокупность частей (подустройств),
образуемых при декомпозиции устройства. Обозначим через Zit
Xi, Ei — соответственно множества выходных, входных и вну-
тренних состояний подустройства Ai,·. Для каждого подустрой-
ства Mi множество Xi определяется векторным произведением
подмножеств Ai и Z?,·.
Ai обозначает множество входных состояний подустройст-
ва Ми являющихся выходными состояниями других подуст-
ройств, а В{ — множество внешних входных состояний, прило-
женных непосредственно к подустройству Ai,·; например, для
устройства С (табл. 9.7) множество входных состояний подуст-
ройства С2 (табл. 9.10) является декартовым произведением
подмножества Л2, элементы которого А, В, С представляют со-
бой текущие состояния подустройства С\ (т. е. информацию,
поступающую из С\), на подмножество В2, элементами которого
являются внешние входные состояния 1\ и 12.
В общем случае схема реализации устройства при помощи
взаимно соединенных подустройств имеет вид, изображенный
на рис. 9.7.
Дадим несколько определений.
I. Будем считать, что взаимно соединенные подустройства
Л1Ь Af2 Мп действуют одновременно, если следующее со-
стояние каждого Ai,-ro подустройства (»'=1, 2, ..., п) зависит
от текущего состояния £,· (/) подустройства Mit от состояния вну-
тренних входов Ai(t), определяемых только текущими состоя-
ниями других подустройств., к которым присоединено Ми и от
состояния внешних входов Bi(t).
КОДИРОВАНИЕ И ДЕКОМПОЗИЦИЯ СИНХРОННЫХ УСТРОЙСТВ 137
Характеристическое уравнение для следующего состояния
подустроиства М{ имеет вид
Et(t+D~ft[E,(t), Mt)Bt{f)}.
Упорядоченное множество из η элементов, образованных η
текущими состояниями подустройств, является текущим состоя-
нием всего устройства М. Дли устройства С (табл. 9.9) его со-
стояния 1, 2, 3, 4, 5, 6 были представлены соответственно через
состояния Аа, Ва, АЬ, Са, СЬ и ВЬ подустройств С\ и С2.
II. Подмножество взаимно соединенных подустройств Мц,
Mi2, ..., Mip образует петлю, если выход подустроиства Mih
Su0<?· "*
к
Η rZ__r\ Г
Рис. 9.7.
является входом подустроиства Mik+l (k=\, 2, ..., ρ—1) и
если выход подустроиства М{р является входом подустроиства
Мц. Рассмотрим случай, когда подустроиства соединены без
обратной связи, т. е. без петель ').
III. Подустройство М4 называется предшествующим под-
устройству Mj, если одним из входов подустроиства Mj являет-
ся выход подустроиства М{. Подмножество подустройств Мц,
Мц Mip, соединенных между собой, называют замкнутым,
если все подустроиства этого подмножества являются предше-
ствующими. Для заданного устройства наименьшее замкнутое
подмножество, содержащее М{, обозначают С(М{).
. IV. Итак, будем считать, что последовательностное устрой-
ство реализуется при помощи множества подустройств М\,
М2, ..., Мп, действующих одновременно и соединенных без об-
ратных связей в том случае, если выполняются следующие усло-
вия:
1) подустроиства Мх, М2, .-., Мп действуют одновременно
и соединены без обратных связей (определения I и II);
') Разумеется, внутри подустройств могут иметься петли обгатной связи.
138
ГЛАВА 9
2) множество входов устройства Μ является подмноже-
ством множества возможных входов устройства, реализованного
при помощи Ми Ai2, ..., Af„;
3) существует взаимно однозначное соответствие между мно-
жеством состояний Ε устройства Μ и подмножеством декар-.
това произведения множеств состояний подустройств М\, Mi,...
..., М„. Таким образом, если устройство и подустройства Ми
Mz, ..., М„ находятся в одном исходном состоянии, то после
подачи некоторой последовательности входных состояний X они
окажутся в соответствующих конечных состояниях.
Основная теорема декомпозиции
Пусть Μ -^- последовательностное устройство, a Aii, М2, ...
..., Μη — множество подустройств, работающих одновременно,
соединенных без обратных связей и выполняющих те же пере-
ходы между состояниями, что и устройство М. При таких усло-
виях каждому замкнутому подмножеству С (Mi) этих подуст-
ройств соответствует подстановочное разбиение πι. Множество
этих разбиений обладает свойством
Кроме того, из условия C(Ai,)<C(JWj) следует, что π<>π,;
и наоборот, каждому^ множеству подстановочных разбиений
1-п
(«ι, Π2, ..., π„) устройства Μ при П«< = 0 соответствует реа-
лизация этого устройства при помощи η соединенных между со-
бой без обратных связей подустройств и действующих одновре-
менно. При такой реализации выход подустройства М< может
быть входом подустройства М} только в том случае, если
πι > щ. В разбиении π4 каждый из блоков содержит все те
состояния устройства М, которым соответствует один и тот
же набор состояний подустройств, образующих подмножество
C(Mt).
Первая часть теоремы
Эта часть устанавливает соответствие между реализацией
устройства при помощи η соединенных между собой подуст-
ройств и существованием η подстановочных разбиений. Она
доказывает, что разбиение пи полученное по замкнутому множе-
ству С(М{), является подстановочным. Это разбиение обра-
зуется при размещении в одном блоке всех тех состояний уст-
КОДИРОВАНИЕ И ДЕКОМПОЗИЦИЯ СИНХРОННЫХ УСТРОЙСТВ 139
ройства М, которым соответствует некоторый набор состояний
подустройств, образующих множество C(Af4).
Рассмотрим снова устройство В (табл. 9Л7). Замкнутое мно-
жество С(М2) образовано двумя подустройствами Μι и М2
(рис. 9.6). Подустройство Μι определяет переменную Υ\ и имеет
два состояния Ρ и Q; Ρ соответствует состояниям 1, 3, 6 и
8 устройства М, a Q — состояниям 2, 4, 5 и 7. Аналогично, рас-
сматривая кодирование для у2, видим, что подустройство М2,
которое определяет переменную Υ2, обладает также двумя со-
стояниями R и S, соответствующими состояниям I, 4, 5, 6 и
2, 3, 7, 8.
Таким образом, в множестве С(М2) состояния устройства Μ
представляются следующим образом:
1=Р, R
2 = Q, S
3 = Р, S
4 = Q, /?
5 = Q, R
6 = Р, R
7 = Q,S
8 = Ρ, 5
Разбиение, соответствующее С(М2)[я=(Тб, 27, 38, 45)=πι]
содержит в одном блоке состояния М, которые имеют одно и
то же представление в этом замкнутом множестве.
Покажем теперь, что в общем случае разбиение nit соответ-
ствующее С(Mj),.является подстановочным. Для этого заметим,
что по определению замкнутого подмножества подустройств
(определение III) следующие состояния подустройств^ входящих
в С (Mi), могут быть определены по внешнему входному и те-
кущим состояниям подустройств из С (Mi). Таким образом, если
два состояния Ер и Ед устройства Μ содержатся в одном блоке
разбиения π<, то для каждого возможного входного состояния
Xk следующие состояния Xh, Ер и Xk, Eg будут также содер-
жаться в том же блоке пи т. е. этот блок определяется входным
состоянием Xh и состояниями тех подустройств, которые содер-
жатся в С (М{). Следовательно, разбиение π,· является подста-
новочным.
Кроме того, если С(МЛ содержит по меньшей мере все под-
устройства из С(М{)[С(М}) > C(MiY], то каждый блок из щ
будет содержаться в одном из блоков разбиения л, и, следова-
тельно, Jij >· Jij. Например, для устройства В (рис. 9.6) подмно-
140
ГЛАВА 9
жеству_ C(Mi_), т. е. просто Μι, соответствует разбиение Яз*=
= (Т368, 2457), а замкнутому подмножеству С(М2), содержа-
щему Aij и М2, соответствует разбиение_П1==^(Тб, 27, ,38,35)^ Та-
ким образом. C(MS)> C{Mi) при (16, 27, 38, 45)<(1368, 2457).
Вторая часть теоремы
Для доказательства изложим метод конструирования устрой-
ства Μ при помощи η подустройств, соединенных друг с другом
и соответствующих множеству η подстановочных разбиений
Т= (πι, π2, ..., πη) на множестве состояний устройства М, при-
г=п
чем Ц п{ = 0.
i = l
Отметим сразу два существенных момента: 1) число разбие-
ний η равно числу подустройств реализуемой декомпозиции
устройства и 2) подустроиство Mj может получать информацию
от М{, т. е. быть соединенным с М{ только тогда, когда щ ■< щ.
Доказательство осуществляется в пять этапов.
1. Прежде всего рассмотрим все те разбиения множества Т,
которые не меньше любого другого разбиения этого множества.
Пусть Τι — множество таких разбиений. Каждое разбиение из
7Ι определяет подустроиство и каждое из этих подустройств не
будет получать информации от других подустройств, т. е. будет
иметь только внешние входы. Состояния подустройств опреде-
ляются блоками соответствующих разбиений. Следовательно,
каждое подустроиство будет иметь столько состояний, сколько
блоков содержится в соответствующем разбиении. К этому типу
относятся устройство Μι и разбиение π$ из предыдущего при-
мера.
2. Если Τι = Τ, то устройство Μ может быть реализовано
при помощи η подустройств, работающих параллельно. В этом
случае число состояний Mi равно числу блоков в разбиении щ.
3. Если ΤιΦΤ, рассматриваются разбиения множества
Τ — Τι. Выберем в этом новом множестве те разбиения, кото-
рые не меньше любого другого разбиения из этого множества.
Пусть такие разбиения образуют множество Т2.
4. Для каждого разбиения щ из множества Т2 рассмотрим
все те разбиения щ из множества 7Ι, которые больше π,·. Опре-
делим пересечение π* = Ц π, при π< е Т\ > jtj e Т2.
Обозначим через /j = [nj/jt*] наибольшее число блоков щ, со-
держащихся в одном блоке π*. Для построения подустройства
Mj, соответствующего разбиению itj, будем учитывать, что су-
ществует разбиение τ.,, такое, что Tj^-atj (tj содержит lj блоков)
КОДИРОВАНИЕ И ДЕКОМПОЗИЦИЯ СИН)»РОННЫХ УСТРОЙСТВ 141
и Τ/ · π* = Jiy. Наконец, поскольку π;· является подстановочным
разбиением и Xj > щ, (щ, Xj) является парой разбиений.
Таким образом, можно построить подустройство ЛГ,·, имею-
щее Ij состояний, соответствующих Ij блокам разбиения т,·. Это
подустройство получает информацию только от подустройств,
соответствующих тем разбиениям из множества 7Ι, которые
больше я,·.
Следует отметить, что если п, не разделяет каждый блок из
п*. на одно и то же число блоков, то соответствующее под-
устройство М} окажется неполностью определенным.
5. Если ТФТ\ + Т2, то способом, аналогичным предыду-
щему, строят следующий каскад декомпозиции до тех пор, пока
не будут рассмотрены все разбиения Т. Так, будут рассмотрены
разбиения из множества Τ — (Τι + Т2), которые не меньше лю-
бого другого разбиения из этого нового множества. Они обра-
зуют множество Т3, исходя из которого можно определить соот-
ветствующие подустройства, получающие информацию от под-
устройств множества Т2, и т. д.
Таблица 9.18
1
2
3
4
5
6
7
8
*1
7
5
8
6
2
4
1
3
X,'
3
8
1
7
6
5
4
2
X*
4
3
2
1
8
7
6
5
Xt
6
4
5
2
3
1
8
7
*5
2
8
4
7
7
8
4
2
X»
1
6
3
5
5
6
3
1
Пример. Рассмотрим устройство М, заданное таблицей пе-
реходов (табл. 9.18). Напишем подстановочные разбиения для
этого устройства: _ _ _
π, = (12345678) =1,
π2 = (1356, 2478),
π3 = (Τ458, 2367),
π4 = (15, 27, 36, 48),
π5 = (13, 56, 24, 78),
π6 = (Ι6,_28_, 35, 47), _
Я7-(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) = 0.
142
ГЛАВА 9
Граф этих разбиений изображен на рис. 9.8.
Напомним, что в рассматриваемых задачах декомпозиции ин-
формация может поступать от Mt и Mj, только если П{ > щ.
Таким образом, граф подстановочных разбиений дает предста-
вление о возможных передачах информации между различными
подустройствами.
Существуют многочисленные способы конструирования уст-
ройства Μ при помощи множества соединенных между собой
подустройств. Они соответствуют различным соотношениям ме-
жду приведенными разбиениями, в частности
«з"б " 0.
JC^Jts = 0,
, Л2Я4«7 = 0,
Jt&tj ИЛИ Пз1у=0,
На рис. 9.9 схематично изображены различные соединения
подустройств, соответствующие некоторым из этих соотношений.
В каждом подустройстве указано разбиение, которое оно реа-
лизует.
Рассмотрим теперь более подробно способ получения таблиц
переходов подустройств, образующих устройство, на примере
трех частных случаев, изображенных на рис. 9.9.
I. Соотношения Я4*Я5—0 и яз-яв^О (рис. 9.9,а) позволяют
построить устройство Μ двумя различными способами при по-
мощи двух подустройств, работающих параллельно. Действи-
тельно, если применить первую часть построения, изложенного
КОДИРОВАНИЕ И ДЕКОМПОЗИЦИЯ СИНХРОННЫХ УСТРОЙСТВ 143
в теореме декомпозиции, то получим, что щ и ns или пз и щ
несравнимы. В этом случае, следовательно, не существует более
мелких разбиений, чем дают указанные соотношения. Таким об-
разом, множество 7Ι содержит толька два разбиения из мно-
жества Τ (π4 и πβ или пз и Лб). В обоих случаях имеется два
подустройства, не получающих информации от других подуст-
ройств декомпозиции, следовательно, работающих параллельно.
К
или
Я.Л.'О
я4
-R
к
о-
V
У
1
я.
/я.
ЩЯ,я3-0
6
Рис. 9.9.
У
Я, П7 ·0
в
Рассмотрим более подробно эти два варианта. При построе-
нии, использующем соотношение Я4'Л5=0, имеем
π4-=(15, 27, 36, 48) = (Λ. В, С, D),
π6 = (Γ3, 66, 24, 78) = (а, Ь, с, d).
Так как каждое разбиение состоит из четырех блоков, уст-
ройство Μ реализуется двумя подустройствами Afi и М2, имею-
щими по четыре состояния и работающими параллельно. Каж-
дое подустройство служит для различения блоков соответ-
ствующего разбиения. Знание всех блоков каждого разбиения,
в котором содержится состояние устройства, достаточно для
определения этого состояния.
Таблицы переходов обоих подустройств (табл. 9.19 и 9.20)
получаются непосредственно по таблице переходов устрой-
ства М.
Соотношения между состояниями
подустройств имеют вид
\-+Аа
2-+Вс
Ъ-*Са
4->-£>с
Ь^АЬ
Ъ-+СЬ
7^-Bd
B->Dd
Μ и состояниями обоих
144
ГЛАВА 5
Заметим, что этот способ декомпозиции потребует для ко-
дирования Μ четырех двоичных переменных (два подустройства
с четырьмя состояниями каждое). Из этого не следует, что та-
кое кодирование менее просто, чем кодирование при помощи
трех переменных, так как увеличение числа переменных часто
компенсируется уменьшением сложности логической части уст-
ройства.
Таблица 9.19
А№)
В(2Т)
С(36)
D(48)
Хх
В
А
D
С
*2
С
D
А
В
Х3
D
С
В
А
X*
С
D
А
В
Хъ
В
D
D
В
Хв
А
С
С
А
Таблица 9.20
а(\Ъ)
*(56)
С(24)
d(78)
Хх
d
с
Ъ
а
Хг
а
Ь
d
с
Х3
с
d
а
b
X*
Ь
а
с
d
Хь
с
d
d
с
Хь
а
b
Ь
а
Уравнения возбуждения записываются в виде
Y\ = fi(yu Уъ х),
Уч = к{Уь Уъ х)>
Уз = !з(Уз> Уа, х),
Yi = fi(y3' Уь х)-
При построении, использующем соотношение яз'Л5 = 0,
меем
π3 = (1458, 2367) = (А, В),
π5 = (13, 56, 24, 78) = (а, Ь, с, d).
Так как пз и пь несравнимы, то и в данном случае приходим
к реализации устройства Μ при помощи двух подустройств М3
и М2, работающих параллельно; оба подустройства содержат
соответственно два и четыре состояния.
КОДИРОВАНИЕ И ДЕКОМПОЗИЦИЯ СИНХРОННЫХ УСТРОЙСТВ 145
Таблица переходов подустройства М2 идентична табл. 9.20.
Таблица переходов Ms (табл. 9.21) приведена с соотношениями
соответствия между состояниями.
Таблица 9.21
1 -> Аа
2 -> Вс
3 -> Ва
4 -> Ас
5 -> АЬ
6 -> ВЬ
7 -> Bd
8 -> Ad
Заметим, что следующие состояния одинаковы для входов
Х\, Хг, Xi и Xs, с одной стороны, иХ9и Хъ, с другой; отсюда
вытекает возможность упрощения устройства.
^(1458)
β(2367)
*1
В
А
Xl
В
А
Xs
А
В
X*
В
А
X,
В
А
Х<
А
В
X
<\.
Рис. 9.10.
М5
я</лг
Me
Заметим также, что в этом случае достаточно применить ко-
дирование с тремя двоичными переменными. Уравнения возбу-
ждения при этом имеют вид
Y\=fi(yi, x),
У2 = ?2(У2, Уз. X).
^з = /з(#2. Уз, х)·
II. Заметим, что для случая рис. 9.9,6 зт4+Я5=Я2; это
означает, что определение блока яг, в котором находится сле-
дующее состояние машины М, выполняется в двух подустрой-
ствах Мб(л4) и M6(ns). При этом достаточно трех подустройств
Mit Ai5 и Af6, имеющих по два состояния (рис. 9.10)
Г = 0356, 2478) (45, 36, 27, 48) ("13, 56, 24, 78) = 0.
1. Рассмотрим сначала 7^ = (1356, 2478). Следовательно, на
подустройство Mit имеющее два состояния (разбиение π»
10 Зак. 46
146 ГЛАВА 9
состоит из двух блоков), не будут поступать входные сигналы
от других подустройств. Табл. 9.22 соответствует таблице пере-
ходов подустройства Ai4.
Таблица 932
Л(1356)
β(2478)
Х{Хз
В
А
Λ2-Λ5
А
А'
X*
А
В
х*
В
в
2. Возьмем теперь Т — Г, = (13, 56, 24, 78) (Тб, 36, 27, 48).
Эти два разбиения несравнимы. Два подустройства Af5 и М6,
соответствующие разбиениям π* и лв, будут работать парал-
лельно и на них будет поступать информация от подустрой-
ства Ai4, так как Пг > я4 и яг > я$.
а) Построение подустройства Мб, соответствующего раз-
биению Яц. Я. = rtj = (1356, 2478), /4 = [π4/η*] = 2 (два блока
разбиения η* содержатся в самом большом блоке я}). Остается
найти такое разбиение jH3 двух блоков т^чтобы Т4Яр=Я4. Можно
выбрать т4=(Т458, 2367) - (а, Ь), (Г458, 2367) (13§6, 2478) =
= (11,36,57,48).
б) Построение подустройства Afe, соответствующего разбие-
нию πβ· Имеем я£ = я2 = (1356, 2478); яа > яв, откуда следует,
что информация поступает от МА к М6; l5 = [^/я^] = 2, под-
устройство М6 будет также иметь два состояния
Т5П2 = Я5,
(1234, 5678) (1356, 2478) = (13, 56, 24, 78),
т5 = (1234, 5678) = (α, β);
Каждая из таблиц переходов подустройств Ms и М6 (табл. 9.23
и 9.24) содержит по два состояния (/4=^б=в2) (тч и тг имеют по
Таблица 933
"(1458)
*(2Э67)
AXt
Ь
а
АХ2
Ь
а
АХг
а
Ь
АХ,
Ь
а
AXS
Ь
а
АХ,
а
Ь
ВХХ
Ь
а
BXt
ь
а
ВХ3
а
Ь
ВХ4
Ь
а
BXS
Ъ
а
вх.
а
Ь
КОДИРОВАНИЕ И ДЕКОМПОЗИЦИЯ СИНХРОННЫХ УСТРОЙСТВ 147
два блока) и полный алфавит входов из 12 элементов (декар-
тово произведение алфавита X на алфавит состояний поду-
стройства Л14).
Таблица 9.24
°<1234|
β(5678)
AXi
β
α
АХг
α
β
АХг
α
β
АХ,
β
α
АХЪ
α
β
АХЬ
α
β
BXt
β
α
ВХг
β
α
ВХ3
β
ВХ,
α
β
вх5
β
α
BXt
β
α
Таким образом, в этом случае имеем кодирование при по-
мощи трех двоичных переменных
1 —Λαα
2—β&α
3-*-Aba
4-* Baa
5 —Λαβ
6 —Λδβ
7—5δβ
8 —βαβ
вытекающее из разбиений
яв-(1356, 2478),
т4 = (1458, 2367),
т5 = (1234, 6678).
Например, пусть
1 — 000
2-> 110
3 — 010
4—100
5 — 001
6 —ОН
7—111
8—101.
10*
148
ГЛАВА 9
Соответствующие уравнения возбуждения имеют вид
Yi = U («/ι. х),
^2 = ^0/1, У* X),
Уг = !з{Уи Уз> х)·
III. Из соотношения яз«Я7=0 (рис. 9.9, в) вытекает, что
имеется два подустройства. Так как пз > П7, подустройства со-
единены каскадно и информация распространяется от поду-
стройства Mj, определяемого разбиением пз, к подустройству Мй.
Таблица 925
•^(1458)
^(2367)
Λ
в
А
h
А
В
Поскольку пз содержит_ два блока, М7 будет_иметь _два вну-
тренних состояния Л = 1458 и В=2367. Блоки 1458 и 2367 обра-
зуют одно состояние для входов Х\, Х2, Хз, %4, с одной стороны,
и второе для входов Хз, Хб — с другой. Следовательно, устрой-
ство Ai7 будет иметь два состояния Л = 1458 и В=2367 и два
входа 1\=(Хи Xz, Xit Х5) и /г=(Хз. Хб) (табл. 9.25). Выходное
состояние подустройства М7 представляет его текущее состояние
и используется в качестве дополнительного входа для Л18. По-
строим подустройство Ms, используя метод, указанный в дока-
зательстве второй части основной теоремы декомпозиции. Так
как Jtj=n7, то я*вп3 и [«7·π3] = 4 = /6 (поскольку четыре со-
стояния πβ заключены в одном блоке яз). Разбиение Те должно,
таким образом, иметь четыре блока. Найдем разбиение на че-
тыре блока, такое, чтобы τβ·π3=π7=0. Существует 24 возмож-
ных разбиения. Выберем Τβ=(12, 34, 56, 78) = (а, Ь, с, d). Тогда
состояния устройства Ai можно выразить в функции состояний
подустройств М7 и М8 следующим образом:
1-+Аа
2-*Ва
3-+ВЬ
4-+АЬ
5-* Ас
б-+Вс
7-*Bd
8-* Ad
КОДИРОВАНИЕ И ДЕКОМПОЗИЦИЯ СИНХРОННЫХ УСТРОЙСТВ Н9
Таблица переходов для подустройства М6 (табл. 9.26) мо-
жет быть построена, как и в предыдущих случаях, по таблице
для устройства М.
Таблица 9.26
α(12)
&(34)
С(56)
<*(78)
АХХ
d
с
а
Ъ
АХ2
Ь
d
с
а
АХ3
Ь
а
d
с
AXi
с
а
Ь
d
АХ5
а
d
d
а
АХе
а
с
с
а
BXt
с
d
Ь
а
ВХ2
d
а
с
Ь
ВХЪ
Ъ
а
d
с
ВХ,
ь
с
а
d
ВХЬ
d
Ь
d
Ь
вхъ
с
Ъ
с
Ь,
СЛУЧАИ, КОГДА УСТРОЙСТВО ЗАДАНО
НЕДООПРЕДЕЛЕННОИ ТАБЛИЦЕЙ ПЕРЕХОДОВ
Задание устройств при.помощи таблиц переходов, имеющих пу-
стые клетки, на практике встречается довольно часто. Исследуем
возможность применения описанных выше методов к таким уст-
ройствам. При этом следует учитывать упрощения, которые воз-
никают вследствие недоопределенных состояний и выходов.
Напомним некоторые свойства разбиений.
1. Если πι и П2 являются подстановочными разбиениями од-
ного полностью определенного устройства ΛΙ, то п\П2 и πι+π*
образуют также подстановочные разбиения. Для неполностью
определенного устройства сумма п\ + т может не обладать
свойством подстановки.
2. Если (πι, Яг) и (τι, тг) являются парами разбиений для
устройства М, то (πι + τι, пг + Тг) образуют пару разбиений
для этого устройства только в случае полностью определенного
устройства.
Таблица 9.27
1
2
3
4
5
6
Xi
,
4
6
—
3
Xi
3
—
β
β
—
х>
4
—
—
- ι
2
2
*4
2
—
5
3
Пример. Рассмотрим устройство, заданное таблицей пере-
ходов (табл. 9,27). К наиболее интересным подстановочным
150 ГЛАВА 9
разбиениям относятся
я,-(Г2, 35, 46),
π2 = (Η, 36, 25),
п3 = (Т2, 45, 36),
π4 = (Ι5, 24, 36),
л5 = (Т245, 36),
π6 = (Ι2, 3456),
пА = (Т56, 234).
Это устройство можно закодировать, используя соотношение
я,лй = (12, 35, 46)(Т56, 234) = 0.
При этом получают реализацию устройства при помощи двух
подустройств, содержащих соответственно 3 и 2 состояния
(табл._9.28—9.30). При этом πι= (12, 35, 46) = (А, В, С) и
πΛ=(Ι56, 234) = (α,&).
Таблица 9.28 Таблица 9.29
^4*1*2
0102\
11
00
01
00
01
01
00
01
00
01
01
11
01
11
11
10
s
11
—
00
A(iz>
β(35)
C(46)
Xi
с
с
в
хг
в
с
с
Х>
с
А
А
х*
А
—
В
Таблица 9.30
АХ,
АХ3
АХ3
AXt
BXt
ВХ2
Входы
11 00
И 01
11 11
11 10
00 00
00 01
Состояния
a(156j
Ь
Ь
Ь
*(234)
Ь
а
а
вх3
ВХА
CXi
СХ2
СХЪ
СХ4
Входы
00 11
00 10
01 00
01 01
01 11
01 10
Состояния
■ a(I56)
Ь
Ь
Ь
Ь
*(234)
а
а
а
КОДИРОВАНИЕ И ДЕКОМПОЗИЦИЯ СИНХРОННЫХ УСТРОЙСТВ 151
Подустройство М2 получает информацию от Μι и не зависит
от входа. При этих условиях кодирование и соответствующие
булевы уравнения имеют вид
Г-*Ла->111
2-»Л&-»110. У, = *,(*2#ι+ *:#,),
3 -> В Ь -»> 000 Υ2 = у2 + (х2уг + х2ух) + х^хи
4-+СЬ-»0Ю К3-01Й·
5->βα->·001
6->Са-+0П
Соотношение πι π4=(12, 35, 46) "(15, 24, 36) приведет к по-
строению устройства из двух параллельно работающих под-
устройств, имеющих по три состояния. Соответствующее коди-
рование потребует применения четырех двоичных переменных;
таблицы переходов обоих подустроиств даны в табл. 9.31 и
9.32.
Таблица 9.31 Таблица 9.32
^(12)
β(35)
С(46)
*1
С
С
В
Х2
В
с
с
х3
с
А
А
X*
'А
—
В
"(16)
bW)
С(Э6)
" *1
-
Ь
с
Xt
с
' с
с
Х>
Ь
а
b
Х<
Ь
а
с
Рассмотрим теперь соотношение Я5Явл>,=*0, позволяющее
построить устройство из трех соединенных друг с другом под-
устройств, из которых каждое имеет по два состояния. Кодиро-
вание и булевы уравнения имеют вид
Г-*· 111 ^-ОД + ЗДц
2-* ПО ^2=*ι(*2#2 + *2&),
3-»>000 К3 = М»·
4-»· 100
5->Ю1
6-»- 001
152
ГЛАВА 9
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В этой главе изложен метод кодирования внутренних со-
стояний синхронных устройств, позволяющий уменьшить число
логических элементов, требуемых для построения заданного по-
следовательностного устройства. При разработке метода исход-
ным условием было построение устройства из предельно малень-
ких подустройств, т. е. разделение задачи кодирования задан-
ного устройства на несколько задач кодирования более мелких
устройств (содержащих меньшее число состояний).
Применение этого метода предполагает, что устройство до-
пускает хотя бы одно подстановочное разбиение, что ограничи-
вает его область применения частным классом устройств. Од-
нако в работе [13] предложен метод, который позволяет для лю-
бого последовательностного устройства построить эквивалентное
ему устройство, имеющее по меньшей мере одно подстановочное
разбиение и вследствие этого разделимое на два подустройства.
Решением задач кодирования внутренних состояний синхрон-
ных последовательностных устройств с использованием подста-
новочных разбиений или пар разбиений занимались в США, в
частности Хартманис, Стерне и Карп. Предложенные методы
обладают тем недостатком, что они только частично системати-
зированы и не дают никаких представлений об «объеме» коди-
рования.
В работе [15] описан новый подход к решению задачи ко-
дирования. Полученный метод более систематизирован и по-
зволяет оценить объем кодирования. Однако метод дает
возможность обрабатывать лишь небольшие задачи (кодирова-
ние таблиц с восемью состояниями).
Наиболее существенной является задача декомпозиции
сложного устройства на более простые подустройства, и с этой
точки зрения работы Хартманиса и Стернса, положенные в ос-
нову представленных здесь методов, в настоящее время наи-
более перспективны.
ГЛАВА 10
РЕАЛИЗАЦИЯ ОСНОВНОГО СПОСОБА
ДЕЙСТВИЯ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТНЫХ УСТРОЙСТВ
С ИМПУЛЬСНЫМИ ВХОДАМИ
Дж. Б. Д же ран е
ВВЕДЕНИЕ
Синтез последовательностных схем может быть разделен на
два этапа: 1) построение таблиц переходов и 2) реализация фи-
зической схемы по этим таблицам при помощи логических опе-
раторов и элементов задержки.
В то время как для асинхронных устройств [1] существует
полная теория синтеза, позволяющая реализовать устройства
без состязаний [2, 4], для синхронных устройств [5, 6] второй
этап приводит к устройствам, которые могут работать непра-
вильно, так как обычно предполагается, что логические опера-
торы работают без паразитных задержек. Однако если эти
задержки учитываются, то иногда сумма задержек в комбина-
ционной части последовательностного устройства и элементар-
ных задержек, включенных в какую-либо цепь обратной связи,
предполагается равной периоду тактовой частоты. При этом в
цепях обратной связи могут возникнуть паразитные импульсы,
что повлечет за собой неправильное срабатывание устройства.
При реализации синхронных последовательностных устройств,
содержащих задержки в цепях обратной связи, для исключения
из схемы состязаний проектировщик вынужден прибегать к раз-
личным специальным методам. Эти методы, однако, не удовле-
творяют требованиям, предъявляемым к современным электрон-
ным переключательным устройствам по быстродействию и про-
стоте.
Некоторые авторы пробовали преодолеть эти трудности,
предлагая новые модели для синхронных последовательностных
устройств. В работе [7], например, предложены модели и ме-
тоды определения таблиц переходов синхронных устройств с им-
пульсными входами, реализуемых на триггерах с одним или
двумя входами. Однако ограничения, накладываемые на вход-
ные сигналы (входными сигналами являются импульсы, причем
одновременно на вход может поступить только один импульс),
сильно снижают эффективность применения этих методов для
синтеза устройств. В работе [8] предложена более общая модель
(54
ГЛАВА 10
для импульсных последовательностных устройств, но не дан
метод реализации. В настоящее время не существует какой-
либо единой, теории получения по заданному синхронному
устройству различных эквивалентных устройств, в которых со-
стязания могли бы быть проанализированы и исключены при
помощи формальных методов. Этим объясняется (хотя бы
частично), почему теория последовательностных устройств, не-
смотря на свои успехи, мало используется при изучении син-
хронных устройств.
Кроме того, очень мало исследована связь между двумя
основными типами последовательностных устройств — синхрон-
ными и асинхронными. Попытка такого исследования была сде-
лана в работе [8], в которой в равной степени рассматривались
оба типа устройств, использующих в качестве двоичной памяти
только цепи обратной связи. В этой работе также дано разли-
чие между последовательностными устройствами и способом их
функционирования. В данной главе рассматриваются два основ-
ных типа последовательностных устройств (устройства, функ-
ционирующие асинхронно, и устройства, работающие синхронно)
и соответствующие им модели. Оба типа устройств часто харак-
теризуются видом их входных сигналов: потенциальным вход-
ным сигналом (для асинхронного способа действия) и импульс-
ным (для синхронного).
Такая классификация является следствием того, что устрой-
ства Хаффмана были реализованы преимущественно .на реле,
а устройства Мура.и Мили реализованы при помощи электрон-
ных приборов. Рассматриваемые же здесь последовательностные
устройства характеризуются главным образом способом их дей-
ствия. Будем считать, что устройство работает синхронно-, если
допускается одновременное изменение входных и внутренних
переменных, и что оно реализует основной способ действия, если
такое одновременное изменение запрещено, т. е. изменение со-
стояния входа может происходить только тогда, когда устрой-
ство находится в устойчивом состоянии. В этом случае способ
действия устройства может быть формально поставлен в соот-
ветствие перемещению по. таблице переходов Хпереходы из од-
ного состояния в другое, происходящие не только по строкам
и столбцам» но и «наискось», возможны лишь для устройств,
работающих синхронно).
Второй способ действия устройства будем называть «основ-
•ным», а не «асинхронным», потому что изучаемые здесь схемы
удовлетворяют определению Мак-Класки [8], в котором отсут-
ствует признак классификации по типу входных и выходных сиг-
налов (потенциалы или импульсы). Наконец, для обоих основ-
ных типов последовательностных устройств будем рассматри-
РЕАЛИЗАЦИЯ ОСНОВНОГО СПОСОБА ДЕЙСТВИЯ 155
вать устройства с импульсными входами, которые характери-
зуются особой структурой таблицы переходов и тем, что во всех
входных последовательностях за некоторым входным состоя-
нием Xi всегда следует нулевое входное состояние Х<>.
В данной главе рассмотрены последовательностные синхрон-
ные устройства (типа S), последовательностные синхронные
устройства с импульсными входами (типа PS), устройства,
которые функционируют по основному способу, среди которых
различают основные последовательностные устройства (типа F)
и основные последовательностные устройства с импульсным
входом (типа PF1)).
В работе [9] рассмотрены методы преобразования устройств
для получения различных эквивалентных типов, имеющих в об-
щем случае различное число внутренних состояний. Здесь будут
исследованы методы преобразования устройств для получения
устройства, эквивалентного заданному и имеющему то же число
внутренних состояний.
СИНХРОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТНЫЕ УСТРОЙСТВА
Устройства типа S
Последовательностное устройство может быть определено
как устройство, в котором выходное состояние в данный момент
времени зависит от настоящего и предыдущего входных состоя-
ний и от начального внутреннего состояния.
Пусть /i, t2, ..., tf — временная последовательность. Обозна-
чим через U(i=\, 2, ..., f) момент времени этой последователь-
ности и назовем t\ начальным моментом, а // — конечным.
Кроме того, обозначим через f, — <,_}(/=2, 3, ...,/) интервалы
времени последовательности длительностью Δ. Пусть X, S,
Ζ— обобщенные переменные (векторы), представляющие соот-
ветственно входное состояние (входные переменные), внутрен-
нее состояние (внутренние переменные) и выходное состояние
(выходные переменные) последовательностного устройства.
Пусть X(ti), S(ti) и Z(ti) —состояния X, S и Ζ в момент /<.
Тогда если if — текущий момент времени, то приведенное опре-
деление последовательностного устройства может быть выра-
жено в виде
Ζ (tf) = Z[X (/,), X ('2), · · ·, X (tf)' S (/,)]. (10.1)
') Обозначения типов устройств образованы начальными буквами соот-
ветствующих двух французских терминов. S — synchrone (синхронный) и
F — fondamental (основной) и одного английского термина Ρ — pulse (им-
пульс).— Прим. реф.
156
ГЛАВА 10
ИЛИ
z(/,w [*('<). s{t,)].
s(/,) = s [*(/,.,), s(*,_,)].
(10.2)
(10.3)
Действительно, предположим, что в выражении (10.2) /<=//;
рекуррентно заменим в выражении (10.2) S(tf), S(tf-i), ...
..., Sfo) их выражениями из (10.3) при t{ = tf, /4 = /у_ь ...
..., ti = t2 и получим выражение (10.1).
(10.4)
(10.5)
(10.6)
Рис. 10.1.
Выражение (10.1), или (10.2) и (10.3), представляет собой
модель Мили последовательностного устройства [6]. Модель
Мура [5] можно описать соотношением
Ζ (ff) = Ζ [X (f,), X (i2) X (iM), S (/,)],
или
Ζ ft) = Ζ [S (/,)],
S(/,)-S[X(fw), S(iw)].
Выражения (10.3) и (10.6) можно представить в виде
S (/l+1)-S [*(/,), S (*,)], - (10.7)
где S(/i+i), S(/f)—соответственно следующее1) и текущее со-
стояния.
Если для входа X(г4) имеет место S(ti+i) =S(/j), то после-
довательностное устройство находится в устойчивом состоянии.
Для последовательностного устройства, имеющего заданное
число входных, выходных и внутренних состояний, функции
Z(U) и S(U) в выражениях (10.2) и (10.7), или (10.5) и (10.7),
могут быть определены при помощи таблицы, аналогичной
табл. 10.1, а. По этой таблице можно составить таблицы перехо-
') Переменные, представляющие следующее состояние, называют также
функциями возбуждения элементов памяти. — Прим. П. Наслена (редактора
французского издания).
РЕАЛИЗАЦИЯ ОСНОВНОГО СПОСОБА ДЕЙСТВИЯ
157
дов (табл. 10.1,6) и выходов (табл. 10.1,в), описывающие
работу последов ательностного устройства') [17]. Если в
табл. 10.1, α заменим входные, выходные и внутренние состоя-
ния комбинациями значений двоичных переменных, то получим
таблицу состояний для комбинационной части последователь-
ностного устройства. Таким образом, последовательностное
устройство может быть представлено в виде модели (рис. 10.1),
в которой элементы задержки D, включенные в цепь обратной
связи, вносят задержку, равную Δ. Эта модель не имеет точного
физического смысла, поскольку предполагается, что логические
операторы комбинационной части устройства не вносят за-
держки. Ниже будет показано использование этой модели для
реализации практических устройств.
Таблица 10.1
XVi)
Xi
Xi
Xi
Xi
Xi
Хг
Xi
Xi
SVi)
Si
s2
s3
s4
s,
Si
s,
st
S(ti»)
s,
s,
s4
s2
s3
s4
s2
st
Z(h)
Z^
Zy
Zi
z,
Zi
Z,
Zx
Zi
S(h) Xi X3
1
г
3
Ι
(D S 3
s;
V
К
SO,.,)
6
у
',
©
*
1
1
2
1
2
1
1
1
Z(H)
Последовательность полных состояний устройства, определяе-
мую входной последовательностью и начальным внутренним со-
стоянием, можно показать стрелками на таблице переходов (см.
табл. 1Q.1.6 для входной последовательности Xi, Ль Х\, Л"2 и
') В нормальных таблицах переходов и выходов симролы, изображаю-
щие лиуяренние состояния, заменены соответствующими индексами. Цифры,
очерченные Кружками, представляют устойчивые состояния,
158
ГЛАВА !0
начального внутреннего состояния 2). Так как в каждый мо-
мент времени U входные и внутренние состояния могут изме-
- няться одновременно, то способ функционирования устройства
будет синхронным, а само устройство будем называть последо-
вательностным синхронным- устройством типа S.
Устройства типа PS
Выражения (10.2) и (10.7), или (10.5) и (10.7), описывают
работу устройства только в каждый момент U последователь-
ности. Информация о поведении устройства в момент, предше-
ствующий t\, отсутствует. Это имеет большое практическое зна-
чение, так как устройство в момент t\ должно находиться в'
начальном состоянии. Привести устройство в начальное состоя-
ние можно двумя способами в зависимости от того, является ли
начальное состояние устройства одним и тем же для любой
входной последовательности или начальным состоянием может
быть любое внутреннее состояние устройства.
Таблица 10.2
S(tt) Х0 А", Хх
0
0
0
0
1
1
2
1
2
1
1
1
Z(ti)
а б
По первому способу можно увеличить таблицу переходов,
добав'ив столбец, представляющий дополнительное входное со-
стояние Хо· Тогда, устанавливая входное состояние Хо в мо-
мент /о -^ U — Δ, переводят устройство в его начальное состоя-
ние. В табл. 10.2 представлены таблицы переходов и выходов,
полученные по табл. 10.1 в предположении, что начальным со-
стоянием является состояние 2.
UO второму способу установки в начальное состояние на мо-
дель устройства (типа Мили или Мура) накладывают следую-
щие ограничения (ta обозначает время i{ при четном t):
1) индекс f в fy— четное число;
S(fJ Х0 Ху Хг
Φ
®
=4^
V
-/-
©
$(*,♦,)
РЕАЛИЗАЦИЯ ОСНОВНОГО СПОСОБА ДЕЙСТВИЯ 159
2) X(te) принимает значение Хо, которое назовем нулевым
входным состоянием;
3) для устройства типа Мили Z(te) принимает значение Zo,
которое назовем нулевым выходным состоянием [при нечетном i
для устройства типа Мура Z(t{) =Ζ(/<_ι)];
4) S(te+i)*=S(te), т.е. в момент te устройство находится в
устойчивом состоянии.
Устройство, которое соответствует одной из этих моделей и
удовлетворяет ограничениям 1 —4, переходит в нулевое входное
состояние Хо в момент te и остается в соответствующем устой-
чивом состоянии до тех пор, пока не будет подана входная по-
следовательность. Следовательно, если устройство может пе-
рейти в любое внутреннее состояние из какого-то другого со-
стояния, то можно сделать так, что входной последовательности
а будет предшествовать другая входная последовательность, пе-
реводящая устройство в состояние, начальное для последова-
тельности σ.
Для устройства, которое соответствует модели Мили или
Мура и удовлетворяет указанным выше ограничениям, может
быть принята структура, приведенная на рис. 10.1. Одновремен-
ные изменения входного и внутреннего состояний могут про-
изойти только в момент te-\ и не могут произойти в момент te.
Следовательно, для нечетного / интервал времени t} — /j_i мо-
жет быть любым, но конечным. Поэтому способ действия таких
устройств будет синхронным, но называться они будут последо-
вательностными устройствами синхронного действия & импульс-
ными входами (типа PS).
Пусть x<l>-{X(1)('0> №4h) ■ ХЩЪ)) и θ(')={Ζ0)(/,),
2<1'(/а). ·■·. Z<')(in)} — входная и выходная последовательности
устройства типа S. Пусть также%® = {Х® ft), Х{о>(t2) Х(2>(/m-i),
Хо* {tm)} — входная последовательность устройства типа PS и
β·-{Ζ·<ω. tf ω..... z" <«.#М
и.
4»-{Ζ»ω, ZV(tJ ZV>(tm-x\ Ζ»О-
выходные последовательности устройства Мили типа PS и
устройства Мура типа PS соответственно. Будем считать, что по-
следовательность γ® эквивалентна х<'>, последовательность θ<2)
или ψ<2> эквивалентна θ<'\ если т=2л,
*<2> ('«-■) = *(1) ft)
и
Z(!)(U-2«'(i() (/-l. 2. ...,«).
ιβο
ГЛАВА 10
Расширяя понятие эквивалентности устройства [1, 5, 6], бу-
дем считать, что устройство Л<2> типа PS эквивалентно устрой-
ству AW типа S, если для каждого начального состояния устрой-
Рис. 10.2.
ства А<® существует начальное состояние устройства ЛО, такое,
что оба устройства выдают эквивалентные выходные последо-
вательности, если на них были поданы эквивалентные входные
Таблица 10.3
S(t.) У0
S(ti) Х0
©
£,
®"
®
©
©
1
2
3
4
0
0
0
0
1
1
2
1
2 '
1
1
1
s(t.*x)
а
Z(t,)
\
последовательности. Вследствие этого для любого устройства
ДО) типа S существует эквивалентное устройство /К2) типа PS,
которое может быть получено из устройства типа S, если удо-
влетворяются указанные выше условия эквивалентности после-
РЕАЛИЗАЦИЯ ОСНОВНОГО СПОСОБА ДЕЙСТВИЯ 161
довательностей. Таблица переходов устройства Л<2> получается
по таблице переходов устройства ЛО путем заполнения устой-
чивыми состояниями клеток добавленного столбца, отмечен-
ного Х0. Таблицы переходов такого типа упомянуты в ра-
боте [9]. В качестве примера в табл. 10.3 показаны таблица
переходов и таблица выходов устройства типа PS, полученные
из табл. 10.1. Последовательность полных состояний, соответ-
ствующих входной последовательности ХъХоХхХйХхХоХ^Хо, экви-
валентной последовательности, указанной для устройства типа S
в табл. 10.1, отмечена стрелками. На рис. 10.2 приведена диа-
грамма переходов для устройства типа PS. Можно видеть, что
по диаграммам переходов заданного устройства типа S (моде-
лей Мура или Мили) диаграмма переходов эквивалентного уст-
ройства типа PS может быть получена добавлением дуги, обо-
значаемой Xo/Zo или Хо к каждому состоянию, причем дуга
должна выходить из этого состояния и возвращаться в него.
РЕАЛИЗАЦИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТНЫХ УСТРОЙСТВ
В предыдущем разделе дано определение устройств типа S
ii-'PS и представлены их теоретические модели. Ниже будут рас-
смотрены различия между моделями и их реализацией. При
реализации должны быть учтены паразитные задержки комби-
национной части последовательностного устройства. Поскольку
эти задержки могут вызвать нежелательное срабатывание эле-
ментов устройства, то необходимо обсудить также проблему
устранения таких явлений.
Кодирование входных состояний при реализации
устройств типа PS
Первая задача, возникающая при реализации устройства —
кодирование входных переменных. Чтобы уничтожить состяза-
ния, которые могут возникнуть, когда один или несколько вход-
ных сигналов, поданных на комбинационную часть устройства,
изменяются одновременно, всякое изменение входного состояния
должно происходить за счет изменения не более чем одной вход-
ной переменной. Для последовательностных устройств типа PS,
в которых за изменением Х0 —* Xi всегда должно следовать из-
менение Xi —► Хо, будет два последовательных изменения
0 —*· 1 —»· 0 входной переменной, представляющих два последо-
вательных изменения Хо —*■ Х% —*■ Хо входного состояния, если
считать, что в состоянии Х0 соответствующая переменная имеет
нулевое значение. Этот двойной переход, влекущий за собой
срабатывание устройства, назовем входным импульсом; отсюда
И Зак. 46
162 ГЛАВА 10
происходит название, присвоенное устройствам типа PS (им-
пульсные синхронные).
Пусть xf (/ = 1, 2, ..., η) обозначает импульсный вход, т. е.
входную переменную, подчиняющуюся двум последовательным
переходам 0-*1—>·0, которые представляют собой два последо-
вательных изменения Х0-* Xi-^-Xo. Пусть также х} (/'=1, 2, ...
..., т) обозначает потенциальный вход, а х§ — импульсный
вход в том случае, когда все остальные входы представлены по-
тенциалами. Из этого вытекает, что для одновременного
представления нулевого состояния Хо и состояний Xi могут
быть использованы два основных типа кодирования входных
переменных.
1. Число входных переменных равно s1); на основании пре-
дыдущих соображений все входы должны быть импульсными xf
и на схему может быть подан одновременно только один сиг-
нал. Кроме того, нулевое состояние может быть представлено
комбинацией 0, 0, ..., 0 [7].
2. Число входных переменных равно Λ+1 (Λ потенциальных
входов и один импульсный вход *£), где ft —наименьшее целое
число, при котором s^2h. Если, например, s<2h, то комбинации
значений переменных х, дают для х%= 1 сразу все s состояний Xi
и 2h — s безразличных входных состояний; если х? = 0, то все 2h
входных состояний Xoi принимаются равными 0 (/=1,2, ..., 2h).
Следовательно, в таблице переходов будет 2h столбцов, пред-
ставляющих нулевые входные состояния и содержащих только
устойчивые состояния. Таблицы переходов, содержащие больше
одного нулевого входного состояния, описаны в работе [8].
Кодирование входных состояний комбинациями значений
входных двоичных переменных может быть выполнено по-раз-
ному. Назовем кодированием типа 1 такое кодирование, при ко-
тором каждая входная переменная представляет собой импульс-
ный вход Xf, а кодированием типа 2 —кодирование, при котором
только одна входная переменная представляет собой импульс-
ный вход xf, а остальные входные переменные являются потен-
циальными входами Xj. Потенциалы, соответствующие перемен-
ным X], несут только логическую информацию, импульсы же, со-
ответствующие переменным xf, несут логическую информацию и
одновременно являются тактовыми сигналами генератора; им-
пульс, соответствующий переменной Jtg, логической информации
не несет, а образует только сигнал генератора тактовой частоты.
Наряду с этими основными типами кодирования существует
l) s — число столбцов таблицы переходов, заданной в виде табл. 10.1,6.—
Прим. ред.
РЕАЛИЗАЦИЯ ОСНОВНОГО СПОСОБА ДЕЙСТВИЯ
163
множество разновидностей кодирований типа 2, если имеется
по меньшей мере одна переменная х} и больше чем одна пере-
менная х\ (кодирование типа 3). Кроме того, для каждого
основного типа кодирования может быть образовано кодиро-
вание путем замены всех переменных xf переменными х, и
прибавления переменной х? (кодирование типа 4).
G точки зрения реализации устройств типа PS, входные по-
следовательности которых представляют собой чередование
входных состояний Х{ и Хо, для кодирований типов 1—4 полу-
чаются следующие результаты:
1) можно получить множество эквивалентных устройств за
счет разных чисел входных переменных;
2) только изменения импульсньис входов xf и х% могут вы-
звать изменения внутреннего и выходного состояний устройства;
3) потенциальные входы х, можно изменять одновременно,
но только в те моменты, когда отсутствуют входные импульсы.
В качестве примера рассмотрим устройство, имеющее семь
вхЪдных состояний Х{; можно получить несколько схем, эквива-
лентных этому устройству: одна схема — на семь входных пере-
менных х? (кодирование типа 1) или же на семь'переменных х-2
и одну переменную ^(кодирование типа 4); другая схема —
на три переменные х} и одну переменную х? (кодирование типа 2)
и на совокупность схем, являющихся результатом кодирования
типа 3 и 4; например, одна схема на две переменные xf и две
переменные х-} и одна схема на четыре переменные Х) и одну пе-
ременную xg.
В табл. 10.4 приведены заданная таблица переходов устрой-
ства PS (а) и две таблицы (б) и (в), полученные кодирова-
нием типа 1 и 2 соответственно.
Таблица 10.4
— ло Λ| Λι Л3
©
®
®
©
2
3
1
©
©
1
г
г
*
i
1
г
а
11·
164
ГЛАВА 10
xf. xf. x5
X2 Хъ
x0 xx
ooo oio no loo ooi on in 101
1
г
3
4
©
Φ
®
©
2
3
1
©
—
—
—
\
©
1
г
г
«
*
1
2
—
—
—
—.
—
—
—
—
—
—
—
—
*δ· xi< x2
А'о,, XaJ XQ3 X{ X2 X3
000 001 Oil 010 100 101 111 110
1
г
3
4
©
Φ
®
©
©
©
®
©
©
®
®
Φ
©
®
®
©
2
3
1
©
©
1
2
2
4
4
1
2
—
—
—
—
Структурные модели
Для устройств типа S или PS рассмотрим структурную мо-
дель рис. (10.1), в которой сумма паразитных задержек в комби-
национной части и различных задержек, существующих в цепях
обратной связи, предполагается теперь равной интервалу време-
ни Δ синхронизирующей последовательности. Для устройств
типа S или PS входные и внутренние состояния могут изме-
няться одновременно; другими словами, на входе комбинацион-
ной части устройств можно наблюдать одновременное изменение
входной и внутренней переменных; Так как это изменение может
РЕАЛИЗАЦИЯ ОСНОВНОГО СПОСОБА ДЕЙСТВИЯ 165
создавать на выходах комбинационной части паразитные им-
пульсы, правильное функционирование иоследовательностного
устройства может быть нарушено, и поэтому модель рис. ЮЛ
неприменима (см. следующую главу). В дальнейшем устройства
типа S и PS будут рассматриваться как идеальные в соответ-
ствии с их определением. Для рассматриваемых таким образом
устройств типа S и PS возможно другое кодирование.
Рассмотрим теперь последовательностное устройство, дей-
ствующее по основному способу [1,7,8]. Структурная модель та-
кого устройства приведена на рис. 10.3. В ней предполагается,
что в логических элементах возникают паразитные задержки.
Входы
Текущие ш /
состояния ■
Комбинационная
часть
Выходы
Л2.Г
-Х-
ν.
Последующие
состояния
Рис. 10.3.
Задержки, возникающие в цепях обратной связи, препятствуют
неправильной работе устройства при наличии существенных со-
стязаний [4]. В схемах, свободных от существенных состязаний,
эти задержки могут быть исключены. Так как при работе уст-
ройства по основному способу входное состояние может изме-
ниться только тогда, когда схема находится в устойчивом состоя-
нии, то при переходе из одного устойчивого состояния в другое
перемещение в таблице переходов возможно либо только по стро-
кам, либо по одной строке и одному столбцу. Вследствие этого
невозможно, чтобы какая-либо входная переменная изменялась
одновременно с изменением внутренней переменной. Если пред-
положить, что входные переменные изменяются по одной, то со-
стязания, возникающие в схемах, всегда могут быть исключены
по известным методам [2,4, 14] и модель, представленная на
рис. 10.3, оказывается пригодной для реализации устройства.
Преобразования устройств типа S в устройства типа F
и устройств типа S или PS в устройства типа PF
В работе [8] показана возможность получения реализаций по-
следовательностного устройства, имеющего одно и то же поведе-
ние, при различных способах действия. Рассмотрим возможность
166
ГЛАВА 10
получения последовательностного синхронного устройства и
устройства, работающего по основному способу действия исхо-
дя из одной и той же таблицы переходов и выходов; первому
устройству соответствует идеальная модель рис. 10.1, а второ-
му— физическая модель рис. 10.3. На выходах этих устройств
при одном и том же начальном состоянии возникают одинако-
вые выходные последовательности, если на входы поданы оди-
наковые входные последовательности. Если существуют табли-
цы переходов и выходов, по которым можно построить такие
устройства, то окажется возможным преобразование заданного
устройства типа S или PS в устройство, реализуемое по модели
рис. 10.3.
Нетрудно видеть, что при определенном выше синхронном
способе действия в случае перехода от одного состояния вход-
ной последовательности к другому не может произойти более
одного изменения внутреннего состояния (условие 1) и более
одного изменения выходного состояния (условие 2). Следова-
тельно, искомые таблицы суть таблицы переходов и выходов, в
которых условия 1 и 2 выполняются для основного способа дей-
ствия. Такие таблицы могут быть определены, если таблица пе-
реходов имеет по крайней мере одно устойчивое состояние в
строке и во всех столбцах для каждого неустойчивого состояния
существует устойчивое состояние, имеющее то же обозначение.
Таблица выходов должна соответствовать одному из следую-
щих типов:
1) клетки каждого столбца, соответствующие клеткам таб-
лицы переходов, имеющим одинаковые обозначения, имеют также
одинаковые обозначения (или одинаковые двоичные комбинации);
2) во всех строках все клетки имеют одинаковые обозначения
(или двоичные комбинации).
Таблицу переходов, определенную таким образом, будем на-
зывать основной (таблица F), если она не содержит ни одного
столбца, имеющего только устойчивые состояния и соответствую-
щего нулевому входному состоянию Хо; таблицу переходов бу-
дем называть основной таблицей с импульсными входами (таб-
лицей PF), если она содержит такой столбец. Кроме того, будем
называть таблицей столбцов (таблица С) или таблицей строк
(таблица R) соответствующую таблицу выходов в зависимости
от того, к какому типу она относится (1 или 2).
Устройство, работающее по основному способу действия и.
имеющее таблицу переходов F и соответствующую таблицу вы-
ходов С или R, будем называть последовательностным устрой-
ством нормального основного способа действия (устройство
типа F). Устройство, работающее по основному способу действия,
у которого все входные последовательности образованы чере-
РЕАЛИЗАЦИЯ ОСНОВНОГО СПОСОБА ДЕЙСТВИЯ
167
дующимися входными состояниями Xt и Х0, и имеющее таблицу
переходов PF, которой соответствует таблица выходов С или R,
будем называть последовательностным устройством основного
действия с импульсным входом (устройство типа PF). Клетки
столбца Хо таблицы С дополняются нулевыми выходными со-
стояниями Z0.
Для устройств типа PF возможно кодирование типов 1—4,
рассмотренных выше. Исследование таблицы переходов устрой-
ства типа PF показывает, что если эти устройства удовлетво-
ряют теореме Ангера [4], то они свободны от существенных со-
стязаний. Действительно, после трех изменений входных пере-
менных хр, хр или Xj в таблице переходов устройства типа PF
останется то конечное устойчивое состояние, которое' будет по-
лучено при однократном изменении тех же входных переменных.
Следовательно, устройства типа PF соответствуют модели,
изображенной на рис. 10.3, и не содержат задержек в цепях
обратной связи [10]. Они являются некоторой аналогией уст-
ройств, работающих по основному способу [11, 12], в которых
элементы задержки в цепях обратной связи исключены.
Таблица 10.5
©'
4
I
©
'*71
' 1
®
©I
)3
1
0
1
0
1
1
1
1
1
2
3
4
0
1
1
0
0
1
1
0
F С R
Итак, если устройство типа S(PS) имеет таблицу переходов
F(PF) и таблицу выходов С или R, то возможны следующие
преобразования: преобразование устройства типа S в устройство
типа F; преобразование устройства типа PS в устройство
типа PF; преобразование устройства типа S в устройство
типа PF.
Последнее преобразование возможно, так как преобразова-
ние S-*PS может быть выполнено всегда; при этом преобразо-
вании таблица F превращается в таблицу PF, а таблица выхо-
дов остается таблицей С или R.
Проиллюстрируем на примере эти преобразования.
В табл. 10.5 приведены таблица переходов F устройства типа S
168
ГЛАВА 10
и соответствующие таблицы выходов (таблица С для модели
Мили и таблица R для модели Мура). Сплошные'линии со
стрелками указывают последовательность полных состояний для
синхронного способа действия, а пунктирные — для основного
способа действия.
При обоих способах входная последовательность X2X\X\Xi в
таблице F создает выходную последовательность 1001 для таб-
лицы С и выходную последовательность 0100 для таблицы R1).
Следовательно, устройство типа S, заданное таблицей переходов
(табл. 10.5), может быть преобразовано в эквивалентное устрой-
ство типа F, представленное такой же таблицей переходов.
Таблица 10.6
*'. re ' \ гч. *р
Xi Xi
01 11 10
1
1
1
1
В табл. 10.6 представлена таблица переходов устройства типа PS,
эквивалентного устройству Мили типа S, заданному табл. 10.5.
Поскольку требуется выполнить преобразование устройства
типа PS в устройство типа PF и при этом должны быть приняты
во внимание задержки, присущие комбинационной части устрой-
ства, рассмотрим один из четырех типов кодирования входных
состояний (кодирование типа 1). При обоих способах функцио-
нирования входная последовательность Х2Х0Х1X0X1X0X2X0 по-
рождает выходную последовательность 10000010. Следовательно,
') В синхронных последовательностных устройствах типа Мили выход-
ные состояния зависят как от входного состояния, так и от внутреннего,
а в автоматах типа Мура они зависят только от внутреннего состояния. Для
последовательностных устройств основного способа действия выходные со-
стояния соответствуют устойчивым состояниям устройства; следовательно,
для таблицы С (табл. 10.5) рассмотрена выходная последовательность, соот-
ветствующая последовательности устойчивых состояний 2443 (последователь-
ность С), а для таблицы R — последовательность устойчивых состояний 1244
(последовательность R).
VI' *
Хп X, Хг
00 01 11 Ю
\
\
1
2
3
4
00
0
0
0
0
PF
РЕАЛИЗАЦИЯ ОСНОВНОГО СПОСОБА ДЕЙСТВИЯ 169
устройства типа S или PS, заданные соответственно табл. 10.5
или 10.6, могут быть преобразованы в эквивалентное устройство
типа PF.
Пусть Q — одно из устройств типа S или PS, заданное табли-
цей F или PF. Если устройство Q — автомат Мура, то, очевидно,
поскольку таблица выходов является таблицей R, возможны все
указанные выше преобразования. Покажем теперь, что если уст-
ройство Q — модель Мили, а его таблица выходов не является
таблицей С, то такое устройство может быть еще преобразовано
в эквивалентное последовательностное устройство А с импульс-
ными входами, работающее по основному способу.
Определение 1. Если последовательностное устройство, таб-
лица выходов которого есть таблица R, имеет одинаковое число
и одни и те же двоичные комбинации значений выходных и вну-
тренних переменных, то оно является запоминающим устрой-
ством. Пусть Μ — последовательностное устройство. Обозначим
через М' запоминающее устройство, у которого одинаковая с Μ
таблица переходов.
Заметим, что всякое последовательностное устройство М, не
являющееся запоминающим устройством, может быть разложено
на два каскадно соединенных устройства. Одно из них будет за-
поминающим устройством ΛΓ, а другое —комбинационным уст-
ройством СС, входами которого являются выходы устройства М'.
Разложим теперь устройство Q типа PS (модель Мили), у кото-
рого таблица выходов не является таблицей типа С, на запоми-
нающее устройство Q' типа PS и комбинационное устройство
СС. Так как устройство 0' —автомат Мура, то оно может быть
преобразовано в эквивалентное устройство А' типа PS. Таким
образом, устройство Q может быть преобразовано в последова-
тельностное устройство Л, составленное из А' и СС.
Кроме того, предположим, что выходы устройства А' присо-
единены к входам CQ через элемент задержки d с временем за-
держки равным t&. ^та задержка такова, что входы комбина-
ционного устройства СС изменяются только после того, как
исчезнет входной импульс, подаваемый одновременно на А'
и СС. ν
* Покажем на примере, что в этом случае устройства Q и А
являются эквивалентными, поскольку они имеют одинаковые
выходные последовательности при одном и том же начальном
состоянии и одинаковых входных последовательностях. Пусть Τ
и Tqc — задержки, возникающие в комбинационной части соот-
ветственно устройств А' и СС; tv — продолжительность вход-
ного импульса, подаваемого одновременно на А' и СС. Тогда
td ^ *р, макс + Tqq, макс ~ Гос, иав ~ Тиал, (10.8)
170
ГЛАВА 10
Пусть табл. 10.7, не являющаяся таблицей С, представляет
собой таблицу выходов, соответствующую представленной в
табл. 10,6 таблице переходов, устройства Q типа PS. В этом слу-
чае перемещение по таблице переходов, показывает, что оба уст-
ройства Q и А при подаче на них входной последовательности
Х2-^<Д Α^ι^ιΑ^ο имеют на выходе последовательность 00001000.
Отсюда следует теорема 1.
Таблица 10.7
\ 00 01 11 Ю
·;
ι
0
Г
'.!
«с
1
ΖΥ1
1
~Г±
: о
1
1
0
Теорема 1. Всякому устройству Q типа PS (Мура или
Мили), имеющему таблицу переходов PF, соответствует экви-
валентное последовательностное устройство А, работающее по
основному способу действия, имеющее ту же таблицу переходов,
что и устройство Q, и образованное двумя каскадно соединен-
ными устройствами: запоминающим устройством А' типа PF и
комбинационным устройством СС. Если устройство Q является
автоматом Мили и имеет таблицу выходов, не являющуюся таб-
лицей С, то в выходные цепи устройства А', которые подсоеди-
няются ко входам СС, вводятся задержки d.
Преобразование устройств типа F в устройства типа PF
Устройство типа F может быть получено по методу Хаффма-
на [1]. Действительно, первоначальную таблицу переходов можно
рассматривать как таблицу переходов F и таблицу выходов R.
Сокращение таблицы переходов путем сжатия строк и исключе-
ния эквивалентных состояний') не изменяет структуры таб-
лицы F; кроме того, таблица выходов, получающаяся в резуль-
тате сжатия строк, будет таблицей С в том случае, когда клетки
таблицы, соответствующие неустойчивым состояниям таблицы
переходов, закодированы надлежащим образом.
') Заметим, что исключение эквивалентных состояний должно выпол-
няться до сжатия строк.
РЕАЛИЗАЦИЯ ОСНОВНОГО СПОСОБА ДЕЙСТВИЯ 171
Предположим, что во всех входных последовательностях для
устройства типа F за каждым состоянием Xj следует нулевое со-
стояние Хо, а устойчивое состояние устройства до и после изме-
нения Xi—*Xo одно и то же. Это соответствует преобразованию
устройства типа F в устройство типа PF. Можно показать, что
любое устройство типа F может быть преобразовано в устрой-
ство типа PF. Эти преобразования могут быть использованы для
исключения существенных состязаний в устройствах Хаффмана.
о
*2
1
*5
*0
00
х,
01
Таблица 10.8
11
Хг
10
1
2
3
4
©
3
®
1
г
®
к
©
0
0
1
1
1
г
э
4
©
®
®
©
©
3
®
1
2
®
*
©
0
0
1
1
Рассмотрим пример (табл. 10.8). В табл. (10.8, а) даны таб-
лицы F и R двоичного счетчика, записанные в соответствии с
методом синтеза Хаффмана. Из таблицы переходов видно, что
любой переход из одного устойчивого состояния в другое содер-
жит существенное состязание. В табл. 10.8, б помещена таблица
переходов эквивалентного устройства типа PF, полученного пу-
тем кодирования типа 1 входных переменных; все существенные
состязания оказываются исключенными, и счетчик может быть
реализован без элементов задержки.
РЕАЛИЗАЦИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТНЫХ УСТРОЙСТВ
ЯРИ ПОМОЩИ УСТРОЙСТВ ТИПА PFM
В предыдущем разделе рассмотрены преобразования уст-
ройств типа S или PS, заданных таблицами F или PF, в устрой-
ства типа PF. В данном разделе показано, что любое устройство
типа S или PS может быть преобразовано в два каскадно соеди-
ненных устройства, из которых одно является так называемым
нормальным или самосогласованным запоминающим устрой-
172
ГЛАВА 10
ством, имеющим одинаковое с исходным устройством число
внутренних состояний, а второе — комбинационным. Кроме того,
будет показано, что запоминающее устройство может быть со-
ставлено из множества нормальных и самосогласованных запо-
минающих устройств, причем первые работают параллельно, а
вторые — согласованно. Используя такое преобразование, мы
рассмотрим структуру устройств типа PF и дадим определение
параллельной и согласованной работы для. множества запоми-
нающих устройств типа PS или PF. Определим также работу
самосогласованного запоминающего устройства типа PF.
Запоминающие устройства типа PS
Определение согласованной работы множества последова-
тельностных синхронных устройств дано в работе [13]. Здесь мы
дадим определение согласованной и параллельной работы мно-
жества запоминающих устройств типа PS-
Определение 2. Пусть σ = Si, S2, ...,Sh — множество запоми-
нающих устройств. Будем считать, что устройство S< (/=1,2,...
..., k) является взаимосоединенным, если по меньшей мере
один его вход соединен с одним из выходов другого устройства
из множества σ, и просто соединенным, если оно не является
взаимосоединенным и если по меньшей мере один его вход
соединен с одним из входов другого устройства. Будем также
считать, что вход устройства S4 является внутренним, если он
соединен с выходом устройства Su и внешним, если не соединен.
Определение 3. Рассмотрим множество σ связанных между
собой запоминающих устройств типа RS. Будем считать, что
n(0^.n-^.k) устройств из <j работают согласованно, a m = k — п
устройств работают параллельно, если 1) каждое из η устройств
является взаимосоединенным устройством, 2) каждое из т уст-
ройств является просто соединенным устройством и 3) все уст-
ройства могут работать одновременно, когда подается один
внешний импульсный вход.
Определение "4. Рассмотрим запоминающее устройство ти;
па PS. Будем считать, что это устройство является обобщенным
элементом памяти типа PS (устройством PSM), если оно имеет
два внутренних состояния. Работа устройства PSM может быть
представлена в следующем виде:
Y = Y{E,y), (10.9)
z = y, (10.10)
где Υ — функция возбуждения; у — внутренняя переменная;
г — выходная переменная; £ —множество входных переменных.
РЕАЛИЗАЦИЙ ОСНОВНОГО. СПОСОБА ДЕЙСТВИЙ 173
Лемма 1. Любое устройство Q типа PS, имеющее ρ внут-
ренних состояний, может быть разложено на k устройств PSM и
одно комбинационное устройство СС, причем k — наименьшее
целое (k^\og2p).
Устройства PSM работают при этом параллельно и/или со-
гласованно.
Доказательство. Разложим сначала устройства Q типа PS на
два каскадно соединенных устройства: запоминающее устрой-
ство Q типа PS и комбинационное устройство СС. Поскольку Q
имеет ρ внутренних состояний, то k будет минимальным числом
внутренних переменных, представляющих эти состояния. Сле-
довательно, для любого кодирования внутренних состояний бу-
дет k уравнений вида
Y, = Yl{E, уи г/2, .... г/м, у{+1, .... yk, yt),
в которых переменные У]Фу\ могут как присутствовать, так и
отсутствовать, в то время как переменная у, имеется всегда. Это
вытекает из структуры таблицы переходов устройства типа PS,
которая содержит столбец, заполненный устойчивыми состоя-
ниями и соответствующий входному состоянию Хо. Для запоми-
нающего устройства 24 = гу,·. Таким образом, ставя в соответствие
каждому уравнению Kj уравнение г, = г/* и заменяя в каждом из
них все переменные У)ФУг через переменные г,·, получим 7г пар
(уи Zi) обобщенных уравнений:
Υι= Υι{Ε, 2[, г2, ..., гг_!, z[+i, ..., Zfc, yi),
описывающих k взаимЬсоединенных устройств PSM, в которых
Z\, ..., Zi_it zit z{+u ...,zh являются внутренними входами. Сле-
довательно, если η — число уравнений У,, в которых имеется хотя
бы одна внутренняя входная переменная, a m — число остав-
шихся уравнений, то будет η(Ο^η^Λ) устройств PSM, рабо-
тающих согласованно, и m{m=k — n) устройств, работающих
параллельно. Значения пит зависят от вида выбранного запо-..
минающего устройства Q' и от типа кодирования внутренних пе-
ременных. Таким образом, лемма доказана.
Нормальные и самосогласованные запоминающие устройства
типа PF
Определение 5."Будемч считать, что запоминающее устрой-
ство типа PF — самосогласованное, если оно имеет по меньшей
мере один вход, который соединен с выходом через элемент за-
держки Di; величина задержки tDl должна быть такой, чтобы
174
ГЛАВА 10
после поступления на устройство импульса ни одно изменение
выхода, проходящего через элемент задержки Du не воздейство-
вало на вход устройства до того момента, пока устройство не
перейдет в предписанное ему устойчивое состояние. По анало-
гии с взаимосоединенными устройствами типа PS будем считать,
что вход устройств является внутренним, если он соединен с вы-
ходом, и внешним, если не соединен. Будем считать, что запоми-
нающее устройство является самосогласованным или нормаль-
ным в зависимости от того, является ли его действие самосогла-
сованным или нет.
Предположим, что все входные импульсы имеют одинаковую
продолжительность tp, а все элементы задержки D\ создают оди-
наковую задержку tDl. Пусть τ — минимальная продолжитель-
ность импульса, для которой могут быть стабилизированы все
изменения в цепях обратной связи запоминающего устройства
типа PF, порождаемые этим импульсом. Пусть Τ — задержка,
создаваемая комбинационной частью устройства. Тогда для нор-
мального или самосогласованного запоминающего устройства
типа PF минимальное значение tp удовлетворяет соотношению
t„>x, (10.11)
а .для самосогласованного запоминающего устройства мини-
мальное время задержки
'о. > {р.
макс + т макс 2ГШ1Н. (10.12)
Определение 6. Рассмотрим самосогласованное, или нормаль-
ное запоминающее устройство типа PF. Будем считать, что уст-
ройство представляет собой обобщенный элемент памяти типа PF
(устройство PFM), если оно имеет два внутренних состояния.
Так как для устройств типа PF возможно только кодирование
входных состояний типов 1—4, то можно выбрать кодирование
типа 3 как наиболее общее. Пусть Y, у, z — соответственно функ-
ции возбуждения и переменные внутренние и выходные. Пусть
хР и х, — входные переменные, определение которых дано на
стр. 162. Нормальное устройство PFM и самосогласованное уст-
ройство PFM описываются соответственно уравнениями вида
Y=Y(xp, xp, .... хр, xv x2, .... хт, у),
z = y
и
z = y.
Переменная zd обозначает внутренний вход, соединенный с вы-
ходом z через элемент задержки Dlt Пусть f — продолжитель-
РЕАЛИЗАЦИЯ ОСНОВНОГО СПОСОБА ДЕЙСТВИЯ
175
ность прохождения сигнала по цепи обратной связи в устрой-
стве PFM. В этом случае для самосогласованного или нормаль-
ного устройства продолжительность τ определяется выражением
Т = £1 макс "г /макс ^ мин· vlU.lOJ
Преобразование устройств PSM в устройства PFM
Определение 7. Два последовательностных устройства А и В
называются эквивалентными, если для всякого начального вну-
треннего состояния устройства А существует такое начальное
внутреннее состояние устройства В, что выходные последова-
тельности обоих устройств при подаче на входы одинаковых
входных последовательностей также одинаковы.
Теорема 2. Любое устройство А типа PSM может быть пре-
образовано в эквивалентное нормальное или самосогласованное
устройство В типа PFM-
Доказательство. Заметим, что во всех неизбыточных выраже-
ниях для У в виде суммы произведений, заданной выражением
(10.9), переменная у для устройств типа PSM, имеющих табли-
цы PF, присутствует только в прямом виде, в то время как для
устройств типа PSM, имеющих таблицы PF, она присутствует в
прямом и в инверсном видах. Это вытекает из расположения
клеток с нулями и единицами в столбцах таблицы переходов
для У, для которых все переменные хр или х? равны нулю. В ре-
зультате, согласно теореме 1, устройство А типа PSM, имеющее
таблицу PF, может быть преобразовано в нормальное устройство
типа PFM, а устройство типа PSM, имеющее таблицу переходов,
которая не является таблицей PF, может быть преобразовано в
устройство типа PFM, имеющее таблицу. PF, если каждое у в вы-
ражении У рассматривается как добавочная потенциальная
входная переменная. Пусть Ул = Ул(хрА, хрш хрА, х1А,
х2А>--->хтА> У а)' 2л = г/л-обобщенные уравнения, которые
описывают устройство А типа PSM с таблицей переходов, не яв-
ляющейся таблицей PF, и YB = YB(x"lB, х%в, · · ·, хрпВ> *1В, х2в, . ..
• · · · хтв> zi, Ув)\ 2в = Ув — обобщенные уравнения, описывающие
устройство В типа PFM, когда Ув получено из выражения YA
при подстановке zd вместо у и индексов из В вместо индексоз
из А. Таким образом, мы преобразовали устройство А типа PSM
в самосогласованное устройство В тица PFM.
Докажем теперь, что устройства А и В эквивалентны. Пред-
положим, что при отсутствии импульса все потенциальные входы
устройства В (включая zdB) стабильны. Предположим, что
176
ГЛАВА |&
Xja=Xjb и уА = Ув- Так как zd=zB = yB = уА, то Ya = Yb- Предпо-
ложим теперь, что на одном и том же входе xf обоих устройств
появляется передний фронт импульса (0-*1). Так как имеется
задержка Du то в этот момент еще УА = Ув- Кроме того, равен-
ства Уа — Ув, za = zb справедливы и при исчезновении импульса
вследствие синхронного способа работы устройства А с импульс-
ными входами и устройства В с импульсными входами, действую-
щего по основному способу, а также согласно уравнениям
Рис. 10.4.
(10.11) — (10.13). Повторяя эти рассуждения для каждого сле-
дующего импульса, замечаем, что устройства А и В являются
эквивалентными, поскольку они выдают одинаковые выходные
последовательности при поступлении на вход одинаковых вход-
ных последовательностей. Таким образом, теорема доказана.
В качестве примера преобразования рассмотрим синтез дво-
ичного счетчика. На рис. 10.4 приведены таблица переходов и
логическая блок-схема устройства А типа, PSM, образующего
двоичный счетчик (У = ху + ху; Ζ = у). На рис. 10.5 приведены
таблица переходов и логическая блок-схема счетчика, реализо-
ванного при помощи самосогласованного устройства В типа
PFM (У = xzd + ху + zdy; Ζ = у). Видно, что член yzd из уравне-
ния для У для устройства В исключает статическое состя-:
зание, которое может быть обнаружено по таблице возбуждения
для В или непосредственно по выражению для У. Точки а,
Ь, с в обеих таблицах переходов изображают соответствующие
состояния обоих устройств. В таблице переходов устройства PSM
перемещение происходит *из а в Ь, затем в с. А в таблице уст-
ройства PFM при поступлении импульса перемещение происхо-
дит из а в b и затем в Ь'. Импульс может исчезнуть, когда уст-
ройство находится в устойчивом состоянии Ъ'. Прл исчезновении
РЕАЛИЗАЦИЯ ОСНОВНОГО СПОСОБА ДЕЙСТВИЯ
177
импульса происходит перемещение в с'. Когда устройство ока-
зывается в устойчивом состоянии с', уровень входного сигнала гь
может измениться, и произойдет переход в с.
Интересно отметить, что, поскольку по предположению в ком-
бинационной части устройства PSM отсутствует задержка, ра-
бота устройства, изображенного на рис. 10.4, не изменится, если
Рис. 10.5.
его схему преобразовать в схему на рис. 10.6. Кроме того, можно
считать, что запоминающее устройство типа PS работает само-
согласованно, если по меньшей мере один выход устройства не-
посредственно соединен с входом. Если преобразовать любое
устройство PSM, имеющее таблицу переходов, не являющуюся
К о
* oZ
Рис. 10.6.
таблицей PF (рис. 10.4), в самосогласованное устройство PSM,
имеющее таблицу PF (рис. 10.6), то можно считать, что любое
нормальное устройство PSM, т. е. не самосогласованное устрой-
ство PSM, имеющее таблицу PF, может быть преобразовано
в эквивалентное нормальное устройство PFM, а любое само-
согласованное устройство PSM —в эквивалентное самосогла-
сованное устройство PFM (рис, 10.5 и 10.6).
12 Зак. 46
178
ГЛАВА 10
Реализация устройств типа S или PS при помощи
устройств типа PFM
Определим прежде всего самосогласованное или параллель-
ное действие множества нормальных и/или самосогласованных
запоминающих устройств типа PF
Определеннее. Пусть φ = {Fu F2, ..., Tk) — множество из k
запоминающих устройств типа PF, в котором каждое устройство
может быть нормальным или самосогласованным. Будем счи-
тать, что n(0^.n^.k) устройств из φ работают согласованно, а
m(m=k — η) работают параллельно, если 1) каждое из η
устройств является взаимосоединенным, причем каждое соеди-
нение содержит элемент задержки D2, 2) каждое из т устройств
является просто соединенным устройством и 3) при поступлении
на вход внешнего импульса все устройства могут работать одно-
временно. Величина задержки, вносимой элементом D2, должна
быть такова, чтобы с момента поступления импульса на вход
устройств из φ изменение выходного состояние, распростра-
няющегося через D2, не воздействовало на внутренний вход
устройства F{ до того момента, пока устройство F,- не перейдет
в соответствующее устойчивое состояние.
Предположим, что все подаваемые на устройства из φ им-
пульсы имеют одинаковую продолжительность tp, а все эле-
менты задержки Di и D2 вносят одинаковую задержку tD. Это
позволяет использовать только один элемент задержки D тогда,
когда выход устройства /·",· соединен одновременно с внутренним
входом этого, же устройства и со входом другого устройства.
Предположим также, что величина tD вычислена для самого
общего случая, т. е. tD не зависит от вида реализации соедине-
ний устройств из φ. В этом случае минимальные значения tv и
tD определяются зависимостями
/„>(*),. и.кс ' (Ю-14)
?£> ^ 1р, макс "Т \1 макс ' мин/i, макс —' W ини/1, мин> (1U. 1<3)
где скобки обозначают соответственно минимальную и макси-
мальную величину, заключенную в скобки и относящуюся к
устройству Ft из φ. Если все k устройств типа PF из φ яв-
ляются устройствами PFM, то величина τ определяется выраже-
нием (10.13), а уравнения, описывающие устройство PFM, соот-
ветствующее Fu имеют вид
I l~ I i\x\i %2' ···> Хп' XV Х2' ···> Хщ' 21' 2> ···
.... zf, zf_p zf+1, .... г*, yt), (10.16)
zt = yit (10.17)
РЕАЛИЗАЦИЯ ОСНОВНОГО СПОСОБА ДЕЙСТВИЯ 170
где z\, zf, ..., zak — внутренние потенциальные входы, устрой-
ства Fu присоединенные к потенциальным выходам zu z2, ..., Zu
устройств F\, F2, ..., Fh через элемент задержки D; перемен-
ная zf присутствует только в том случае, когда уравнения соот-
ветствуют самосогласованному устройству PFM.
Теорема 3. Для любого устройства Q типа S или PS,
имеющего ρ внутренних состояний, существует эквивалентное
последовательностное устройство, составленное из {k + 1) уст-
ройств, т. е. из k устройств PFM и, если Q не является запоми-
нающим устройством, из комбинационной части СС; k — наи-
меньшее целое число, удовлетворяющее условию k > log2 Ρ-
Каждое из устройств PFM может быть нормальным или само-
согласованным; устройства PFM работают параллельно и/или
согласованно. Если h — общее число элементов задержки, то
Доказательство. Поскольку устройство типа S всегда может
быть преобразовано в запоминающее устройство типа PS, тео-
рему необходимо доказать только для устройств PS.
Любое устройство Q типа PS может быть разложено на за-
поминающее устройство Q' и комбинационную часть СС. Кроме
того, по лемме 1 устройство Q' при любом кодировании внутрен-
них переменных Может быть разложено на k устройств типа
PSM, образующих множество σ, например на η устройств, рабо-
тающих самосогласованно, и на m(m=k — η) устройств, рабо-
тающих параллельно. Каждое устройство PSM из σ может быть
преобразовано в эквивалентное нормальное или самосогласо-
ванное устройство PFM (теорема 2). Таким образом, по опре-
делению 7 и 8 множество σ устройств PSM может быть преоб-
разовано в эквивалентное множество из k устройств PFM, в
котором η устройств работают самосогласованно, a m — парал-
лельно. Предположим теперь, что между устройствами PFM и
СС имеется элемент задержки только в том случае, когда
устройство Q — типа Мили и имеет таблицу выходов, отличную
от таблицы С. Тогда множество k + 1 устройств (k устройств
типа PFM и одно устройство СС) эквивалентно Q.
Из выражений (10.8) и (10.15) следует, что задержки to и tu
элементов Dad имеют только ограничения снизу. Вследствие
этого при соединении выхода устройства PFM со входом одного
из k+l устройств множества можно предположить, что исполь-
зуется только один элемент задержки D, время задержки кото-
рого равно большему из двух значений tD и td. Следовательно,
максимальное число элементов задержки не может быть больше
числа k устройств PFM {n^k).
12*
180
ГЛАВА 10
Пусть выражения
..., zk)l=\, 2,..., s, (10.18)
Zz = Zz(j;f, л-р, .... *g, л,, *2, .... *m> z.?, zf,'..., zf), (10.19)
г^г^з.^г zft) (10.20)
являются общими формами s уравнений, описывающих устрой-
ство СС. Уравнение (10.18) описывает устройство Q типа Мили
с таблицей выходов С; уравнение (10.19)—устройство Q типа
Мили с таблицей выходов, не являющейся таблицей С; уравне-
ние (10.20)—устройство Q типа Мура. При этом полное число
элементов задержки равно числу переменных zf, присутствую-
щих в k+s уравнениях, определяющих Y{ и Ζ/.
Будем называть «конечным» устройство PFM из φ, выход
которого не соединен ни с одним другим устройством ^из φ. Та-
ким образом, если удовлетворяется уравнение (10.19) "или одно
из уравнений (10.18) или (10.20) и если не существует устрой-
ства из φ, которое было бы одновременно нормальным и конеч-
ным, то h=k. Если удовлетворяются уравнения (10.18) или
(10.20) и если q — число устройств из φ, которые являются
одновременно нормальными и конечными, тоф.=1г— q. Если же
применимы уравнения (10.18) или (10.20) и если q=k, то А=0
и все устройства являются нормальными и работают парал-
лельно. Теорема, таким образом, доказана.
Метод синтеза
Укажем способ получения последовательностного устройства,
образованного из k + 1 устройства, по заданной таблице пере-
ходов устройства Q типа S или PS.
Первый этап. Если таблица переходов устройства Q описы-
вает работу устройства типа S, то ее преобразуют в таблицу пе-
реходов устройства типа PS, эквивалентного Q: Для устройства
типа PS может быть применено кодирование любого типа (1—4)
входных состояний и любое кодирование внутренних состояний.
При этом получают k таблиц У< и s таблиц Zt, по которым на-
ходят минимальные выражения в виде сумм произведений для
Yi или Ζι.
Второй этап. В выражениях Y{ каждая переменная #,·=£#<
заменяется переменной z<j и каждая переменная y~i заменяется
переменной zf соответственно. В выражениях Ζι переменные
У\, У2, ···. Ук заменяются переменными zu z2, .... zh ил*Гже
переменными zf, zf, ..., zf в зависимости от вида таблицы
выходов устройства Q (типа R или С).
РЕАЛИЗАЦИЯ ОСНОВНОГО СПОСОБА ДЕЙСТВИЯ 181
Третий этап. По k парам (Yj, z{) уравнений вида (10.16)
и (10.17) получают k нормальных или самосогласованных
устройств типа PFM, реализованных при помощи логических
элементов и элементов задержки; статические состязания, воз-
никающие в каждом устройстве типа PFM, обнаруживаются и
исключаются алгебраическими или табличными') методами.
По s уравнениям вида (10.18), (10.19) или (10.20) реализуется
комбинационная част> устройства.
Если переменная zf присутствует в s+k выражениях для У<
и Zu то элемент задержки D присоединяется к выходу z4 i-ro
устройства типа PFM в том случае, если оно является нормаль-
ным, выход элемента задержки обозначается zf. Входы и выходы
устройств и выходы элементов задержки, обозначаемые одина-
ковыми символами, соединяются непосредственно.
Таблица 10.9
хкху
\ 00 01 11 10 Ζ \
*0- *1
©
©
©
©
©
©
©
©
4
©
2
©
2
1
4
Э
0 1->00
1 2->01
0 0
0 1
11 ι ι
10 1 0
00
00
01
11
10
01
00
01
11
10
11
10
01
01
10
10
01
00
10
11
YiYt
Рассмотрим пример применения метода. Возьмем устройство
Q типа PS (типа Мура), заданное табл. 10.9. По таблице по-
лучим минимальные выражения для Υ\Υ2 и Ζ при кодировании
внутренних состояний (способ указан в таблице) и при исполь-
зовании кодирования типа 3 для входных состояний. Эти вы-
ражения имеют вид
γ\ = ЦУ\ + *\У\ + xoxA>
Уг = Цу2 + х%ххх2 + *ι«/2,
Ζ = У&2 + У\У~2-
На втором этапе по этим выражениям получим выражения,
описывающие соответственно нормальное устройство А\ типа
') Методы обнаружения и исключения состязаний, имеющихся в устрой
ствах, исследуемых в этой главе, рассмотрены в гл. 11.
182
ГЛАВА 10
Х,о-
А,
У,
7 Ζ*
ее
Рис. 10.7.
PFM без состязаний, самосогласованное устройство А2 типа PFM
без состязаний и комбинационное устройство СС
γι = ЦУ\ + Х\У\ + xlxi4 + ЧУ ι (г1 = У ι)'
Υ2 = Цу2 + х\х& + х{У2 + Щу2 (га = у2),
Ζ = z,\Z2 + Z\Z2.
(10.21)
(10.22)
(10.23)
Исключение состязаний выполняется по таблицам возбужде-
ний для устройств А\ и Л2, найденных из выражений (10.21)
и (10.22).
Хо°—Г~0—
Х;° 1—О
Рис. 10.8.
РЕАЛИЗАЦИЯ ОСНОВНОГО СПОСОБА ДЕЙСТВИЯ 183
В табл. 10.10 приведены таблицы переходов устройств Л ι и
Л2, а на рис. 10.7 — блок-схема устройства, построенного из
устройств Αι,Α2 и СС. На рис. 10.8 приведена реализация устрой-
ства при помощи логических-операторов и элементов задержки.
Таблица 10.10
\*0> xl· Z2
\ 000 001 011 010 100 101 111 ПО z,
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
N. х0, *|, z2
\^ 000 001 011 010 100 101 111 110 z2
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
0
0
0
1
0
1
Реализация устройств типа S или PS и типа F
при помощи нормальных или самосогласованных устройств
типа PF
Изобразим прямоугольником комбинационные части опреде-
ленных выше устройств Л ι и А2 типа PFM (рис. 10.9). Таким
образом преобразовали устройство Q типа PS в последователь-
ностное устройство В с основным способом действия, составлен-
ное из двух каскадно соединенных устройств: самосогласован-
ного запоминающего устройства В' типа PF и комбинационного
устройства СС.
Выражения (10.21) — (10.23) описывают устройство В.
В табл. 10.11 приведена таблица возбуждения устройства В', по-
лученная по выражениям (10.21) и (10.22). Очевидно, что эта
таблица соответствует таблице PF устройства типа PF. По этой
таблице можно убедиться, что устройство В' свободно от ста-
тических, критических ') и существенных состязаний. Действи-
тельно, статические состязания уже были исключены из обоих
устройств Αι и Л2. С другой стороны, устройства, подобные В',
1) Здесь под критическими состязаниями понимаются состязания, возни-
кающие при одновременном изменении значений двух или большего числа
внутренних переменных. — Прим. рвд,
184
ГЛАВА 10
свободны от критических состязаний поскольку они образованы
устройствами типа PFM, из которых каждое свободно от состя-
заний. Наконец, они не имеют существенных состязаний, по-
скольку устройства типа PF по своей природе свободны от су-
щественных состязаний.
ТРо
Х„о
Уг
*?
У;
ш
Комбинационная
часть
устройства β'
h
h
γ,
Уг
ее
ч
Рис. 10.9.
Изменяя незначительно третий этап рассмотренного про-
цесса синтеза, можно получить метод синтеза по заданному
устройству Q типа PS эквивалентного ему устройства В, обра-
зованного нормальным или самосогласованным запоминающим
устройством θ' типа PF и устройством СС.
Таблица 10.11
000 001 001 010 100 101 111 110 /
У ι Уг^
о о
Θ
©
©
®
®
©
©
©
0
©
©
О
9
©
©
&
01
©
©
11
@
00
10
®
©
©
01
00
10
11
©
о
Определение 9. Будем считать, что устройство типа PF ра-
ботает самосогласованно, если оно состоит из каскадно соеди-
ненных самосогласованного запоминающего устройства типа PF
и комбинационного устройства. Между устройствами может на-
ходиться элемент задержки. Будем считать, что устройство РЕ
РЕАЛИЗАЦИЯ ОСНОВНОГО СПОСОБА ДЕЙСТВИЯ 185
является самосогласованным или нормальным в зависимости от
его способа действия.
Теорема 4. Для любого устройства Q типа S или PS, имею-
щего ρ внутренних состояний, существует эквивалентное нор-
мальное или эквивалентное самосогласованное устройство В
типа PF, образованное из двух каскадйо соединенных устройств:
нормального или самосогласованного устройства В' типа PF и
комбинационного устройства СС. Если устройство Q представ-
ляет автомат Мили и его таблица выходов не является табли-
цей С, то между устройствами В' и СС вводятся элементы за-
держки. Устройство В имеет k петель обратной связи (k — наи-
меньшее целое число, удовлетворяющее условию k^ log2p) и
h(0^.h^k) элементов задержки. Устройство В свободно от кри-
тических и существенных состязаний.
Доказательство теоремы 4 очевидно, если устройство В' со-
стоит из k устройств PFM, работающих согласованно и/или па-
раллельно. Кроме того, очевидно, что устройство В является нор-
мальным устройством типа PF; если для Q существует такое
кодирование / внутренних состояний, по которому В' — нормаль-
ное устройство типа PF. Следовательно, "все устройства типа
PFM, образующие устройство В', являются нормальными и ра-
ботают параллельно, а устройство Q, эквивалентное В, в этом
случае является устройством типа S или PS, определяемым таб-
лицей F или PF. Обозначим такое устройство через Qi. По тео-
реме 1 можно реализовать такое устройство А, которое будет
эквивалентно устройствам Qi и В; реализации устройств А и В
одинаковы, если для них взято одно и то же кодирование Λ
В этом случае в устройстве А отсутствуют критические состяза-
ния, так как В свободно от критических состязаний. Отметим,
однако, что в общем случае в устройстве А как для заданного
кодирования, так и для любого другого, могут присутствовать
критические состязания. Поэтому для реализации устройств
типа S или PS, имеющих таблицу F или PF и свободных" от кри-
тических состязаний при любом кодировании внутренних со-
стояний, следует использовать теорему 4.
Выше было показано, что устройство Q типа F всегда может
быть получено по методу Хаффмана и что для исключения су-
щественных состязаний, возникающих в устройстве типа F, оно
всегда м"ожет быть преобразовано в устройство типа PF. Оче-
видно, что при любом кодировании внутренних состояний всегда'
могут быть исключены существенные и критические состязания,
имеющиеся в устройстве Q типа F путем преобразования этого
устройства в нормальное или самосогласованное устройство
типа PF. Это преобразование может быть выполнено по методу,
186
ГЛАВА 19
аналогичному используемому для преобразования устройства Q
типа S в эквивалентное устройство по теоремам 3 и 4.
Обычно-'критические состязания в устройствах с основным
способом действия исключаются путем введения дополнитель-
ных петель обратной связи [2, 7]. Можно доказать, что для лю--
бого кодирования внутренних состояний критические состязания
могут быть исключены при помощи элементов задержки, если
устройства с основным способом действия с потенциальными вхо-
дами преобразуются в самосогласованные устройства.
I г
I I
-Ш-
«7 Н4
"л
У*
У;
Комбинационная
часть
л
^2,
v-
у»
Рис. 10.10.
Теорема 5. Для каждого устройства Q типа F, имеющего ρ
внутренних состояний, существует эквивалентное нормальное
или самосогласованное устройство В типа PF. Это устройство В
содержит k петель обратной связи {k — наименьшее целое число,
удовлетворяющее условию k>log2ρ) и h(Q^Ch-<Ck) элементов
задержки, аналогичных, элементам задержки устройства В', яв-
ляющегося частью устройства В. Устройство В свободно от кри-
тических и существенных состязаний.
Доказательство теоремы очевидно, если заметить, что между
устройствами В' и СС нет элементов задержки, так как устрой-
ству типа F соответствует таблица выходов С или R.
Изобразим единым прямоугольником комбинационную часть
устройства В' (теоремы 4 и 5) и комбинационное устройство СС
(рис. 10.10)! В этом случае можно дать общую модель устрой-
ства В' (теоремы 3 — 5). В этой модели имеется множество'внеш-
них выводов и k петель обратной связи (k равно числу цепей об-
ратной связи в устройстве Q). Кроме того, имеется h(0^h^.k)
элементов задержек D, помещенных между h внутренними вы-
ходами и h внутренними входами (внутренними входами h мо-
гут быть либо h из k выходов устройства В', либо выходы h
РЕАЛИЗАЦИЯ ОСНОВНОГО СПОСОБА ДЕЙСТВИЯ 187
устройств PFM). При Л=0 модель рис. 10.10 совпадает с мо-
делью, часто употребляемой для асинхронных устройств. Отме-
тим, что приведенная модель последовательностного устройства,
работающего согласно основному способу действия и имеющего
импульсные входы (нормальное или самосогласованное устрой-
ство типа PF), аналогична модели импульсного последователь-
ностного устройства, данной Л1ак-Класки [8].
УСТРОЙСТВА НА ЭЛЕМЕНТАХ ПАМЯТИ
Рассмотрим нормальное устройство PFM с двумя входными
состояниями Xi. Назовем это устройство элементом памяти. На
рис. 10.11, α приведена диаграмма переходов устройства PSM,
которое по теореме 2 может быть преобразовано в элемент па-
мяти. Предполагая, что кодирование входных состояний выпол-
няется по типу 1 или 2 (рис. 10.11,6), получим два эквивалент-
ных устройства типа PFM (рис. 10.11, в). Устройство F является
триггером, a R — элементом регистра. Заметим, что избыточный
член ух\ в выражении У для устройства R исключает статиче-
ское состязание.
Ниже покажем, что комбинационная часть любого устрой-
ства PFM может быть разложена на два комбинационных
устройства, соединенных каскадно, а именно на комбинационное
устройство С и комбинационную часть элемента памяти. Будем
считать, что устройство PFM относится к типу PFMF, если его
комбинационная часть разлагается на устройство С и на ком-
бинационную часть триггера, и относится к типу PFMR, если
его комбинационная часть является комбинационной частью эле-
мента регистра. В этом случае теоремы 3—5 применимы, если
последовательностные устройства, полученные при помощи этих
теорем, образованы устройствами PFMF или PFMR. Очевидно,
что теоремы также пригодны, если устройства PFM рассматри-
вать как два каскадно соединенных устройства: комбинационное
устройство С и элемент памяти F или R. Следовательно, такие
последовательностные устройства на элементах памяти яв-
ляются частным случаем нормальных или самосогласованных
устройств типа PF.
Устройства на триггерах
Покажем на примере разложение устройства типа PFM на
устройства С и F. Рассмотрим нормальное устройство А\ типа
PFM и самосогласованное устройство /42 типа PFM, заданные
табл. 10.10').
<) В этом примере потенциальный вход г\ устройства А\ заменен потен-
циальным входом х%.
γΡ ΥΡ
Jfg. X,
οο οι 11 10 г
®
©
1
©
®
0
0
1
00
®
©
01
®
©
11
1
©
10
®
0
Υ = х,у + х2
г =у
Υ = xgj'+xgx, + x,y
г = у
Рис. 10.11.
РЕАЛИЗАЦИЯ ОСНОВНОГО СПОСОБА ДЕЙСТВИЯ
189
Для того чтобы разложить каждое из устройств А\ и Лг
типа PFM на два устройства С и F·, можно использовать способ,
рассмотренный в работе [7], и получить две таблицы (табл. 10.12
и 10.13), определяющие функции возбуждения S и R триггера
по таблицам возбуждения устройств А\ и А^. Видно, что если не-
определенные значения из таблиц S и R закодированы надлежа-
щим образом, то в неизбыточных выражениях для R и S в виде
*0' х1> Х2
jr,\ 00O. 001
011
Таблица 10.12
010 100 101 111 110
0
0
\хр0,х1,4
Уг
0
0
0
0
0
S,
000
0
0
001
0
0
011
0
0
010
0
0
100
0
0
101
0
0
111
0
1
по
0
0
Х\, Хз
у2\^ 000 001
011
Таблица 10.13
010 100 101 111 ПО
s2
000
0
0
L. . ...
001 ·
0
• о
011
0
0
010
0
0
100
0
0
101
0
1
πι
0
0
по
0
0
*»
190
ГЛАВА 10
X,
Tj
υ-"
о;
с
'■ ι
Λ j
iyd
I
i
I
bj
-ozsy
Ρ
xf o-r-1--
X, Orj-
imo-4-
-ь
PFMF
s
Рис. 10.12.
-oz;
сумм произведений, представляющих устройство С, перемен-
ная у отсутствует. На рис. 10.12 и 10.13 приведены обобщенные
схемы каскадно соединенных устройств С и F и обобщенные мо-
дели нормальных или самосогласованных устройств типа PFMF.
По таблице переходов устройств типа S, PS или F может
быть реализовано последовательностное устройство' путем за-
мены устройств PFM каскадным соединением устройств С и F.
Ш : 1
\У[
]Y\
-k)2 =y
хЧ о-
X, О-
т+
-ш-
PFMF
-oz =у
Рис. 10.13.
РЕАЛИЗАЦИЯ ОСНОВНОГО СПОСОБА ДЕЙСТВИЯ
1Θ1
Изобразим все комбинационные устройства С и СС одним пря-
моугольником и получим обобщенную модель рис. 10.14, в кото-
рой штриховые линии обозначают два соединения, связывающие
выход триггера с комбинационной схемой: одно — непосред-
ственно, другое — через элемент задержки. При этом всегда
должно существовать по меньшей мере одно из этих соединений,
но в частном случае могут существовать оба.
ι г-
Комбинационные
устройства
С и СС
> ι
i rn
ι
I
Γ*
I !-4-
I
I
I
I
I
-A
|у,П
У;
41
!*C
Ш
I
Рис. 10.14.
-«*,
Я/
-°z,
Пусть Тс — задержка в устройстве С; TF — задержка в ком-
бинационной части устройства F и fF — время прохождения сиг-
нала в цепи обратной связи устройства F. Тогда уравнения
(10.13) и (10.15) принимают вид
С, иакс
+ 2Т
F, макс
"Т~ ' F, ма
Τ —Τ
С, мин F мин'
lD^tp~V (/ С, макс + IF, макс — Τ С. мин Τ F, мин)(, макс —
(' С, мин Н~ Трщ мин)л
(10.24)
(10.25)
Аналогия между этой моделью и моделью, приведенной в ра-
боте [7], для импульсных устройств очевидна, однако ограниче-
ния, налагаемые импульсными устройствами на входы, здесь
сняты. Метод синтеза в данном случае довольно простой. Кроме
того, если S и R выражаются в виде неизбыточных сумм произ-
ведений, то можно показать, что такая реализация устройств
свободна не только от существенных и критических состязаний
192
ГЛАВА 10
X, ο-
ΛΑ о-
3>ιΑ
Я/
зу~
о-о
—ш-
ЗУ
^
дн*
Рис. 10. 15.
(стр. 183), но и от статических. На рис. 10,15 приведена реали-
зация устройства типа PS, заданного табл. 10.9, при помощи
триггеров.
Устройства на регистрах
Рассмотрим метод декомпозиции нормального или самосо-
гласованного устройства типа PFM на два устройства С и R,
соединенных каскадно. Устройство R описывается следующими
неизбыточными выражениями в виде суммы произведений:
Y = x?y + xJ; z = y. (10.26)
Вход *}, показанный на рис. 10.11, в, заменен здесь символом /.
Рассмотрим теперь реализацию устройств PFM, имеющих по-
тенциальные входы Xj и один импульсный вход *g. Для этих
устройств возможными являются кодирования только типа 2
или 4; обобщенные выражения для нормальных и самосогласо-
ванных устройств PFM имеют соответственно вид
(10.27)
(10.28)
Y=Y(xp, *,, х2 xs, у); z = y,
Y=Y(xp, xt, xv .... xs, zd, y); z = y.
В таблицах переходов, описывающих эти устройства, всегда
содержится столько столбцов, в которых jcg == 1, сколько имеется
столбцов с х? = 0. Следовательно, поскольку все столбцы, в ко-
торых хр = 0, заполнены устойчивыми состояниями, обобщенные
выражения (10.27) и (10.28) для У могут быть записаны также
в виде
Υ = Цу + *#,·(*,, х2 xs, z) (10.29)
и
Y = xPy + xpf2(xv x2 xs, zd, z). (10.30)
РЕАЛИЗАЦИЯ ОСНОВНОГО СПОСОБА ДЕЙСТВИЯ
193
*1
00
0
1
01
0
I
11
0
0
10
1
1
/ι
а
PFMR
-ог
в
Рис. 10.16.
Функции fi и /г определяются клетками столбцов таблицы воз-
буждений, в которых х%= 1. Если сравнить выражения (10.29)
и (10.30) с выражением (10.26), то можно установить, что
устройство PFM всегда разложимо на комбинационное устрой-
ство С, представляемое выражением
ft-M*i.'*s. ···- *Л - . (Ю-31)
или
/г = /2(*ι. *2. ···'. *s> zd, z), (10.32)
и устройство R, в котором потенциальный вход / соединен с по-
тенциальным выходом f\ или fz устройства С.
На рис. 10.16, α и 10.17, α приведены таблицы f\ и /г для
рассмотренных ранее устройств Л ι и А2. Там же помещены
13 Зак. 46 .
ГЛАВА 10
4· *2
22ч
00
1
ι
01
0
0
11
0
1
10
0
1
α
oz = J/
*-ог
Рис. 10. 17.
обобщенные схемы каскадно соединенных устройств С и R
(рис. 10.16,6 и 10.17,6), а также модели устройств типа PFMR
(рис. 10.16,0 и 10.17,в). В этих схемах и моделях штриховая
линия, соединяющая выход регистра с входом устройства С,
указывает, что это соединение существует, если в неизбыточных
выражениях fj или /г имеется переменная г. По соображениям,
аналогичным тем, которые приняты для" устройств на триггерах,
устройство типа S, PS или F можно преобразовать в устройство,
реализованное при помощи элементов регистра. При этом урав-
РЕАЛИЗАЦИЯ ОСНОВНОГО СПОСОБА ДЕЙСТВИЯ
195
X, О-
X, о-
ι
I г
Ф!Й
Комбинационные
устройства
С и СС
-о г,
-°z,
' ! ι Г
ι 1 г' I
х0ро-
LyiE_U»J
zA I
L]*i
Рис. 10.19.
нения (10.13) и (10.15) принимают вид
■ 2Ττ
■ + f*
R, макс ' 'R, макс
макс \' R, макс , мин J С, мин)/, μι
R,мин'
: — Ur, мин)г.
(10.33)
(10.34)
где TR — задержка в комбинационной части устройства R и
fR — время прохождения сигнала в цепи обратной связи устрой-
ства R.
Обобщенная модель приведена на рис. 10.18. На рис. 10.19
показан способ реализации устройства Qo типа PS, заданного
табл. 10.9, при помощи устройств R. Штриховая линия от входа
х% комбинационной схемы (рис. 10.18) указывает на то, что этот
вход существует только в том случае, если преобразуемое
13*
196
ГЛАВА 10
устройство типа PS является автоматом Мили. Следовательно,
если устройство типа PS является автоматом Мура, то комби-
национная схема имеет только потенциальные входы и выходы,
что в значительной степени упрощает представление таких
устройств [15].
Дадим теперь метод непосредственного преобрааования
устройства типа S, PS или F в устройство, реализованное при
помощи элементов регистра. „Если реализуемое устройство Q
имеет таблицы, аналогичные таблицам устройства типа S или F,
то эти таблицы преобразуются в таблицу переходов устройства
типа PS или PF, эквивалентного Q. Для входных состояний ис-
пользуется кодирование типа 3 или 4, а для внутренних можно
применить любое кодирование. При этом находят s таблиц для
выходов Ζι и k таблиц для Yi, имеющих только столбцы, в ко-
торых х%= 1. По этим таблицам получают минимальные выра-
жения для Yi и Ζι в виде суммы произведений. Для получения
выражения fu относящегося к устройствам Си в каждом выра-
жении для Yi заменяют Yt на fu переменные yff^yi — на zdjt yt
— на zf и yi — на Zj. Для получения выражения Zu определяю-
щего устройство СС, заменяют в каждом выражении, относя-
щемся к Zh переменные у\, г/2, · · ·, Уч переменными гь г2, ...
..., zft или же переменными zf, zf, ..., zi, в зависимости от
того, является ли таблица выходов устройства Q таблицей R
(или С) или нет. .
Если в s+k выражениях, относящихся к f< и Ζι, присутствует
переменная zf, то к выходу г,- устройства Ri присоединяется эле-
мент задержки D, а выход элемента задержки обозначается г*.
После этого узлы, обозначенные одинаковыми символами, сое-
диняются непосредственно.
Так как на вход х% устройства Ri импульс поступает только
в тот момент, когда уровни сигналов в Q уже установились, то
очевидно, .что.на работу устройства Q не могут оказывать влия-
ние состязания в устройстве Сь
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В данной главе рассмотрена единая теория реализации элек-
тронных последовательностных устройств; найдены соотношения
между основными типами последовательностных устройств;
сформулированы теоремы и разработаны методы преобразова-
ния последовательностного синхронного устройства в эквива-
лентное нормальное или самосогласованное устройство типа PF,
имеющее то же число внутренних состояний, что и исходное
устройство. Поэтому оказывается возможным реализовать уст-
РЕАЛИЗАЦИЯ ОСНОВНОГО СПОСОБА ДЕЙСТВИЯ 197
ройства, работающие по основному способу действия с наимень-
шим числом внутренних состояний. Кроме того, реализованные
таким образом устройства свободны от существенных и крити-
ческих состязаний.
Предложены различные способы реализации при помощи
устройств PFM, PFMF или PFMR. Показано также, что стати-
ческие состязания могут быть обнаружены и (когда это необхо-
димо для устройств PFM и R) исключены путем добавления
избыточных цепей в комбинационную часть. Наконец, указано,
каким образом последовательностные устройства с потенциаль-
ными входами и с. основным способом действия могут быть пре-
образованы в эквивалентные нормальные или самосогласован-
ные устройства с целью исключения существенных и критиче-
ских состязаний. Отметим, что любое кодирование внутренних
переменных можно использовать для всех реализованных уст-
ройств. Однако от выбора кодирования зависело число элемен-
тов задержки для заданной реализации. Таким образом, суще-
ствует кодирование или множества кодирований, когда для
заданной реализации число элементов задержки минимально.
Это приводит к новым задачам и представлениям при миними-
зации последовательностного устройства, так как число логиче-
ских элементов также может зависеть от выбора кодирования.
В работе [18] описан метод минимизации числа элементов за-
держки самосогласованного устройства типа PF.
Известно, что на современном этапе для переключательных
устройств все чаще начинают применять электронные комбина-
ционные модули. Поскольку рассмотренные здесь устройства
всегда составлялись из устройств типа PFM, PFMF или PFMR,
то, очевидно, возможно строить переключательные последова-
тельностные устройства из электронных последовательностных
модулей.
\
ГЛАВА II
СОСТЯЗАНИЯ В ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТНЫХ
УСТРОЙСТВАХ С ИМПУЛЬСНЫМИ
ВХОДАМИ
Д ж. Б. Д ж е ране
ВВЕДЕНИЕ
Состязания в логических комбинационных устройствах, воз-
никающие вследствие изменения одной входной переменной,
изучены в работах [1, 2]. В работах [1, 3, 4 6] это исследование
распространено на комбинационную часть потенциальных асин-
хронных последовательностных устройств, работающих согласно
основному способу. В работе [7] рассмотрены существенные со-
стязания, возникающие в этих последовательностных устрой-
ствах. Состязания в логических комбинационных или последо-
вательностных устройствах вследствие многократных изменений
входной переменной исследованы в работе [8].
Хорошо известны методы обнаружения и исключения состя-
заний в потенциальных последовательностных устройствах. Для
импульсных последовательностных устройств пока не суще-
ствует ни формального анализа, ни метода обнаружения и ис-
ключения состязаний [5, 6, 9, 10].
В гл. 10 и работах [11, 21] последовательностные устройства
разделены на два больших класса: синхронные последователь-
ностные устройства, управляемые импульсами (устройства типа
PS), и последовательностные устройства основного способа дей-
ствия, управляемые импульсами (устройства типа PF). Пока-
зано, что любое устройство типа PS может быть преобразовано
в эквивалентное нормальное или самосогласованное устройство
типа PF. Следует отметить, что если неисключаемые состязания
не позволяют получить устройство типа PS, реализация, полу-
ченная путем преобразования устройства типа PS в устройство
типа PF, позволяет формально обнаружить и исключить стати-
ческие состязания.
Цель данной главы—обнаружение состязаний в обоих ви-
дах последовательностных устройств с импульсными входами
и поиск формальных методов получения устройств без состя-
заний.
СОСТЯЗАНИЯ В ПОСЛПДОВАТЕЛЬНОСТНЫХ УСТРОЙСТВАХ 199
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТНЫЕ УСГРОЙСТВА
С ИМПУЛЬСНЫМИ ВХОДАМИ
Для устройств типа PS и PF [11] рассмотрим три типа коди-
рования входных состояний.
1. Если все входные сигналы — импульсы, то обозначаем их
через соответствующие входные переменные xph (Λ=1, ..., η).
Каждая переменная xph несет одновременно логическую инфор-
мацию и информацию генератора тактовой частоты.
2. Если имеется один входной импульс, соответствующая пе-
ременная обозначается xfi; все остальные входы являются
потенциальными, и соответствующие им переменные обозна-
чаются Xj (;'=1, ..., т). Переменная х\ несет информацию ге-
нератора тактовой частоты, а переменные Xj — логическую ин-
формацию.
3. Если имеется несколько импульсных входов и хотя бы
один потенциальный вход, соответствующими переменными яв-
ляются xph и хг Каждая переменная xph несет логическую ин-
формацию и является носителем информации генератора такто-
вой частоты, а переменные x3· являются только носителями ло-
гической информации.
Для устройства, заданного табл. 11.2 (нормальное последо-
вательностное устройство типа PF), могут быть построены три
эквивалентные таблицы возбуждения (табл. 11.3), соответствую-
щие трем указанным типам кодирования входов. Заметим, что
изменение потенциальной переменной X] не влияет на устойчи-
вое состояние устройства. Кроме того, переменные Xj могут
изменяться (даже одновременно) при отсутствии импульса и не
могут изменяться в момент изменения 0—1—0 импульсной пере-
менной х\ (или jeg). Заметим также, что на входе может присут-
ствовать одновременно только один импульс.
Запоминающие устройства с импульсными входами
Рассмотрим последовательностное устройство, выходное со-
стояние которого зависит только от текущего состояния. Будем
считать, что такое устройство является запоминающим, если
число и комбинации значений выходных двоичных переменных
всегда равны соответственно числу комбинаций значений внут-
ренних двоичных переменных. Пусть Μ — последовательностное
устройство. Обозначим через М' запоминающее устройство,
имеющее ту же таблицу переходов, что и устройство М.
Любое устройство Μ может быть разложено на два ка-
скадно соединенных устройства — запоминающую часть М'
200
ГЛАВА 11
устройства Μ и комбинационное устройство СС. Так как изме-
нить последовательность внутренних состояний могут только со-
стязания, возникающие в М\ в то время*как состязания, имею-
щиеся в СС, воздействуют только на выходы М, то здесь будут
рассмотрены только состязанля, возникающие" в устройствах М'.
Исключение состязаний, возникающих в устройствах СС, может
быть выполнено классическими методами.
Устройства типа PS
Устройства типа PS являются синхронными устройствами
[9, 10, 12]. Следовательно, возможны одновременные изменения
внутреннего и входного состояний; в этом случае по таблице
переходов перемещаются так, как показано в табл. 11.1. Обоб-
щенная модель запоминающих устройств типа PS (рис. 11.1)
ΑΙ
Таблица 11.1
©"
©
®
®
7
4
-*
. 1
2
4
1
г
3
3
©
4
г
πι:
Рис. 11.1.
содержит элементы задержки в цепях обратной связи, и сумма
задержек в одном из этих элементов и в комбинационной части
последовательностного устройства предполагается равной дли-
тельности входного импульса.
. Устройства типа PF
Устройства типа PF работают согласно основному способу
действия. Следовательно, одновременные изменения внутреннего
и входного состояний невозможны, и по таблице переходов пе-
ремещаются, как указано в табл. 1112. Действительно, изменение
входного состояния может происходить только в том случае,
если устройство находится в устойчивом состоянии. Таблица
переходов (таблица PF) имеет по меньшей мере одно устойчи-
вое состояние на строке и для каждого неустойчивого состояния
в каждом столбце имеется устойчивое состояние, представляв-
СОСТЯЗАНИЯ В ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТНЫХ УСТРОЙСТВАХ 2Щ,
мое тем же символом. Для этого устройства можно получить
три эквивалентные таблицы возбуждения (табй. 11.3), соответ-
ствующие трем типам кодирования. По методу синтеза Ха_ффма-
на и путем преобразования последоеательностного потенциаль-
ного устройства в последовательностное устройство основного
способа действия с импульсными входами всегда можно полу-
чить устройство типа PF, описываемое таблицей PF (см. гл. 10
и работу [11]).
Таблица 11.2
*о *ι "ι *} *<
ι
2
3
4
Рассмотрим два типа запоминающих устройств PF: нор-
мальные и самосогласованные запоминающие устройства. Нор-
мальным устройством будем называть запоминающее устройство
типа PF, которое имеет только внешние потенциальные и/или
импульсные входы. Самосогласованным будем называть запо-
минающее устройство типа PF, которое имеет по меньшей мере
один потенциальный вход, соединенный с его потенциальным
выходом через элемент задержки D. Функция задержки заклю-
чается в следующем: при поступлении на вход импульса ни одно
изменение выхода, соединенного с входом через элемент за-
держки Д не может оказать воздействие на входы до того мо-
мента, пока последовательностное устройство не достигнет
своего собственного устойчивого состояния. В общем случае
(кодирование входных состояний типа 3) самосогласованные за-
поминающие устройства PF представляют в виде k уравнений,
определяющих переменные У<, характеризующие последующее
состояние (i=l, ..., А'),'и k уравнений, определяющих выход-
ные, переменные'г{ (i=l, ..., ft),
ΥΙ = Τ[%\, · · · t %nt JCp . · · ι Xm> Z\, . . ., %i, . . ·
·.·. 4 yv .... yt, .... jg, (11.1)
©
®
®
©
г
©
©
г
ч©
1
«
®
3
и
®
®
©
©
1
г
*< = &.
Таблица 11.3
х\, х\, х%, х\
X,
*г *»
X.
оооо оюо 1100 юоо оою Olio 11Ю 10Ю 0001 0Ю1 Ю11
УхУг
t — о 0
г -* о ι
3—11
4 -. 1 О
®
©
©
®
01
©
©
01
—
•
^
©
00
10
®
1 1
• ю
©
®
—
—
—
—
—
—
— '
—
—
—
—
—
©
©
00
01
—
—
—
—
—
—
—
—
*0' *1> Х1
-*0| *0? -*0J *0« "*1 "7 "3 *Л
000 001 011 010 100 101 111 ι Ι О
У\ У г
О О
О 1
1 О
®
©
@
®
®
©
©
@
©
·-
©
©
·-
®
©
©
©
®
01
©
©
—^—
οι
©
00
10
®
1 1
10
©
®
©
©
00
οι
* I» * 11 -*2
*0 ι *01 *\ "*2
000 100 001 101 Oil til 010 110
*ι У1
0 0
0 ι
1 1
1 0
@
·-
©
©
·-
®
©
©
·©
@
'01
©
©
01
©
00
10
@
—
—
—
—
1 1
ю
©
®
©
©
00
01
СОСТЯЗАНИЯ В ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТНЫХ УСТРОЙСТВАХ 203
где xph (h = 1 η) и X] (/ = 1, ..., т) — внешние входные пе-
ременные;, zf(i= 1, .... k) — переменные, характеризующие по-
тенциальные входы, соединенные с потенциальными выходами
через элементы задержки D; yt (i= 1, ..., k) —переменные, ха-
рактеризующие текущее состояние. Из уравнений (11.1) нахо-
дим, что, если отсутствуют переменные zfi устройство является
нормальным; если отсутствуют переменные Xj, кодирование вхо-
дов устройства выполнено по типу 1; если все переменные
У/ "
Комбинационная
часть
-OZ,
-°z„
Ун
Рис. 11.2.
хрн заменены переменной хр, кодирование входов устройства
выполнено по типу 2.
На рис. 11.2 приведена обобщенная модель для нормальных
или самосогласованных запоминающих устройств PF. В этой мо-
дели соединения, выполненные штриховыми линиями, соответ-
ствуют возможным соединениям выход — вход. Если в модели
отсутствуют элементы задержки D, то запоминающее устрой-
ство PF превращается в нормальное, а модель становится то-
ждественной общей модели последовательностных потенциаль-
ных запоминающих устройств основного способа действия.
СОСТЯЗАНИЯ В КОМБИНАЦИОННЫХ
И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТНЫХ УСТРОЙСТВАХ
Рассмотрим устройства, реализованные двухъярусными струк-
турами из электронных логических элементов И и ИЛИ. При
этом предполагается, что 1) структура устройства описывается
суммой произведений (sp) или произведением сумм (ps) и
204
ГЛАВА II
2) ни в одном из членов выражений sp или ps одна и та же
переменная не содержится сразу в прямом и в инверсном видах.
Эти предположения помогают обнаружить статические со-
стязания. Первое предположение позволяет использовать конъ-
юнктивные (дизъюнктивные) члены как проводящие (непрово-
дящие) совокупности схемы1) .[1, 2]. Оба предположения по-
зволяют анализировать только состязания типа 1 (типа 0) для
логических элементов, соответствующих конъюнктивным (дизъ-
юнктивным) членам, так как эти элементы по своей природе
свободны от статических состязаний типа 0 (типа 1).
Рассмотрим три типа состязаний: статические состязания,
возникающие вследствие изменения одной входной переменной
[1, 2]; статические состязания, появляющиеся в результате одно-
временного изменения нескольких входных переменных [8], и
существенные состязания [7]. Кроме^того, для анализа и синтеза
последовательностных устройств необходимо обнаружить и ис-
ключать только те состязания, которые могут влиять на после-
довательность переходов между полными состояниями. Такие
состязания будем называть «влияющими».
Статические состязания
I. В устройстве возникает статичеекре состязание типа 1
(типа 0), если при одйом изменении входного состояния на
выходе временно появляется ложный сигнал; значение выхода
до и после этого изменения равно I (0).
Пусть / — булева функция, a F — одно из ее выражений. На-
зовем устройством F устройство, структура которого соответ-
ствует выражению F. Назовем статическим состязанием поряд-
ка q состязание, являющееся следствием изменения q входных
переменных! и расстоянием между двумя входными состояния-
ми— число q двоичных знаков, которыми различаются эти два
состояния.
Пусть Xi (i=l, ...,n)—переменная булевой функции
•/(*ι, .... хп), и пусть х\ — значение *< (либо 0, либо 1). Назо-
вем ^-кубом Qclt .... xq, x*q+v ..., **) куб размерностью ^ [13]
переменных Х\, ..., xq, определяемый комбинацией значений
переменных xq+u .... *η·
II. Статическое состязание порядка q типа 1 (типа 0) суще-
ствует в устройстве F, sp (ps), если и только если устройствоF
содержит пару входных состояний Л и В с расстоянием q
[Д™(Д?р . .., Xqi *9+р ·..» хп) И . *» = (·*μ .··» Xqt Xq+l' ···» Хп)\>
') Проводящие и непроводящие совокупности обобщают соответственно
понятия замыкающих и размыкающих совокупностей для контактных схем.
СОСТЯЗАНИЯ В ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТНЫХ УСТРОЙСТВАХ 205
для которой /=1(/=0) и нет конъюнктивного (дизъюнктивного)
члена из F, покрывающего «/-куб (jcp .... xq, лг*+1, .... дс*).
Из этого высказывания следует, что если при q = \ статиче-
ское состязание порядка q типа 1 (типа 0) в устройстве F все-
гда может быть исключенр путем введения в F конъюнктивного
(дизъюнктивного) члена, имплицирующего f и покрывающего
1-куб, то для статического состязания порядка q при q > 1 это
исключение не всегда оказывается возможным. Действительно,'
при этом может не оказаться ни одного импликанта, покрываю-
щего <7-куб.
Для анализа статических состязаний в устройстве F можно
использовать табличный или алгебраический метод. По первому
методу конъюнктивные и дизъюнктивные члены устройства F
записываются в таблицу состояний [14], и таким путем обнару-
живаются статические состязания. По второму методу.статиче-
ские состязания обнаруживаются при анализе выражения F.
Таблица 11.4
\. 00 01 11 10
г х
о о
0 1
ι i
1 0
F = xt +хуг
В качестве примера рассмотрим табл. 11.4. Здесь же помещено
выражение для функции F. Из таблицы находим исключаемое
статическое состязание типа 1 порядка 1 для перехода из клет-
ки α в клетку Ъ и неисключаемоё состязание типа 1 порядка 3
для перехода из клетки α в клетку с. Член xt, покрывающий
2-куб (0, у, г, 1) функции f(x, у, z, t), исключает два статиче-
ских состязания типа 1 порядка 2 и четыре статических состя-
зания типа 1 порядка 1. Таким образом, в общем случав, если
исключается статическое состязание порядка q(q>\), то все
статические состязания порядка Λ (1 ·< h < q), заключенные в
<7-кубе, также исключаются.
0
1
1е
0^
0
S
1
J
■^о-^
i7^
У
1
0
0
0
0
0
0
206
ГЛАВА 11
Отметим еще раз, что для последовательностного устройства
достаточно рассмотреть «влияющие» статические состязания
порядка q. Такие состязания могут быть обнаружены в устрой-
стве с η входами путем фиксации h входов и рассмотрения толь-
ко состязаний порядка q(q^Cn — h),,являющихся результатом
изменений (п — h) оставшихся входов.
Существенные состязания
III. В последовательностном устройстве возникает сущест-
венное состязание, если изменение входа Хи распространяясь по
комбинационной части устройства и по цепи обратной связи
(Ун—*Уь), вызовет изменение значения некоторого узла Уд до
того, как изменение1) входа xt достигнет этого узла Ун-
Наличие существенного состязания может быть определено
по таблице переходов.
IV. Существенное состязание имеется в последовательно-
стном устройстве, если и только если, отправляясь от какого-
нибудь устойчивого состояния и подвергая трем последователь-
ным изменениям некоторую входную переменную, приходят
по таблице переходов к устойчивому состоянию, отличающемуся
от устойчивого состояния, полученного при однократном изме-
нении той же входной переменной [7].
Существенные состязания в последовательностном устрой-
стве могут быть исключены путем введения в цепь обратной
связи элементов задержки.
СОСТЯЗАНИЯ В УСТРОЙСТВАХ ТИПА PS
При исследовании состязаний, возможных в устройствах
типа PS, полезными оказываются два следующих упрощающих
предположения: 1) только одна переменная может изменять
свое значение при переходе Х(> —*■ Xi и 2) в заданный момент
времени изменяется только одна переменная, характеризующая
внутреннее состояние.
Первое предположение исключает возможность статического
состязания вследствие изменения Х0-*Х{. Это может быть реа-
лизовано путем применения кодирования входов типа 1—3. Вто-
рое предположение позволяет отделить анализ этих состязаний
от анализа критических состязаний [1, 16].
В табл. 11.1 приведены два возможных типа последователь-
ностей полных состояний. Очевидно, что для изменения Х0-*Х{
перемещение происходит только по строке, а для изменения
') Распространяющееся только по комбинационной части. — Прим. ред.
■ СОСТЯЗАНИЯ В ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТНЫХ УСТРОЙСТВАХ 207
Xt—*■ К0 можно также перемещаться по диагонали. При приня-
тых предположениях перемещение по диагонали является ре-
зультатом одновременного изменения значений одной входной
переменной xf, или х% и одной внутренней переменной. Пока-
жем, что с практической точки зрения реализация устройства
типа PS в соответствии с моделью рис. 11.1 невозможна вслед-
ствие перемещения по диагонали; в этом случае нельзя про-
вести исключение состязаний.
V. Теорема. Схема sp (ps) комбинационной части устрой-
ства PS всегда содержит неисключаемое «влияющее» статиче-
ское состязание порядка q(q> 1), возникающее вследствие из-
менения 0—»■ 1 ( 1—»0) в цепи обратной связи. Это делает не-
возможной реализацию модели любого устройства типа PS без.
таких состязаний.
Доказательство. Пусть У( — переменная, характеризующая
следующее состояние (функция возбуждения элемента памяти),
а «/,· — переменная, характеризующая текущее состояние (внут-
ренняя переменная). Рассмотрим таблицу У< устройства типа
PS при рассмотренных выше предположениях. Табл. 11.5 и 11.6
представляет собой четыре возможных таблицы, У] для такого
устройства.
Значения столбца Хо таблиц равны соответствующим значе-
ниям </ι, поскольку этот столбец соответствует столбцу таблицы
переходов, заполненному устойчивыми состояниями.
Рассмотрим значение 0 в столбце Хо (табл. 11.5). Для од-
ного изменения X0~*Xi в таблице перемещаются из клетки' а
в клетку Ь. Если же предположить, что при изменении Xi-*XQ
перемещаются по диагонали, то окажутся возможными только
два перемещения из клетки Ь в клетку с в зависимости от со-
держания клетки Ь (0 или 1). Если клетки Ъ и d содержат 0, то
при реализации в форме ps будет исключаемое влияющее ста-
тическое состязание типа 0 порядка 2. Если клетка Ь содер-
жит 1, то при реализации в форме sp возникнет неисключаемое
влияющее статическое состязание типа 1 порядка 2. Таким
образом, при реализации устройства Y\ в форме sp не удается
избавиться от состязаний.
Рассмотрим теперь значение 1 в столбце Хо (табл. 11.6).
Видно, что если клетка Ъ содержит 1, то при реализации устрой-
ства в форме sp возникнет влияющее статическое состязание
типа 1, порядка 2, которое можно исключить; если же клетка Ь
содержит 0, то статическое состязание типа 0 порядка 2 будет
«влияющим» и не может быть исключено при реализации в
форме ps. Поэтому невозможно достроить устройство Y\, сво-
бодное от состязаний, в форме ps.
208
ГЛАВА II
Поскольку рассуждения, проведенные для функции Уь мо-
гут быть распространены на любую функцию возбуждения и на
каждый столбец Хи реализация sp (ps) для устройства типа pS
всегда содержит статические состязания порядка 2, которые
ч Таблица 11.5
У· Уг
0 0
0 1
1 1
ι о
о'
1
1
оь
7^
0 1
1 I
1 О
Х0 Xt
оа
9
1
•7
1Ь
/
/
4
Таблица 11.6
О ι
ι о
0
0
Λ
ш
1
d
к-
У, Υι
о о
о ι
ι о
О ι
ч
•1
-V
1*
°\
нельзя исключить для переходов 0—»1 (1 —»0) в любой цепи
обратной связи. Кроме того, поскольку предположения 1 и 2
являются наиболее благоприятными для правильной работы
устройства, в общем случае будут другие «влияющие» состяза-
ния порядка q(q> 1), которые невозможно исключить.
Это доказывает практическую невозможность реализации
модели устройств типа PS без состязаний.
СОСТЯЗАНИЯ В ПОСЛЕДОВАТЕЛЫЮСТНЫХ УСТРОЙСТВАХ 209
СОСТЯЗАНИЯ В УСТРОЙСТВАХ ТИПА PF
Для устройства типа PF в таблице переходов возможны
перемещения только по строке или по столбцу (табл. 11.2).
Предположим, что устройства, типа PF имеют кодирование вхо-
дов типа 1—3. Анализируя таблицы функций возбуждения, об-
наруживаем три типа влияющих статических состязаний, кото-
рые могут существовать в этих устройствах. Существенные
состязания будут рассмотрены также при помощи таблицы пе-
реходов.
Статические состязания
Для каждого из трех типов кодирования входных состояний
(см. табл. 11.3) можно иметь влияющее статическое состязание
типа 1 (типа 0) порядка 1 во время изменения Хо —*Хи или
Xi-*Xo (когда входной импульс подается или снимается), т. е.
при изменении переменной jcg (h= 1, ..., η) или переменной *g.
Исходя из уравнения (11.1), для Yj можно исключить состяза-
ния такого типа путем добавления в схему для Yi типа sp (ps)
элемента И (ИЛИ), соответствующего конъюнктивному (дизъ-
юнктивному) члену, покрывающему 1-куб (0 х£, ..., 0,
JCj, · · ., #m, Zj > ... ι *·£ ι £/(> ...» 1 \У/> ...» У/})·
При кодировании входных состояний по типу 2 или 3 может
возникнуть влияющее состязание типа 1 (типа 0) порядка q\
это состязание может появиться в момент перехода от входного
состояния Xoh к состоянию X0k, т. е. при изменении одной или
нескольких входных переменных xi и/или zf. Из уравнения
(11.1) видно, что любое состязание этого типа может быть
исключено путем добавления в схему для" У< типа sp (ps) эле-
мента И (ИЛИ), соответствующего конъюнктивному (дизъ-
юнктивному) члену, покрывающему (т + к)-ку6 (0, ...
..., 0, ..., 0, хи ..., Хт, zf, ..., z% у\ 1 (0) у\).
Так как функция У< принимает значение 1 (0) для всех
0-кубов этого (т+А)-куба,-то в Yj всегда существует член, по-
крывающий (т+/г)-куб и исключающий это состязание.
Для каждого из трех типов кодирований входных состояний
возможно влияющее статическое состязание порядка k; это со-
стязание возникает во время наличия импульса на входе
(jcg = 1 или jcJ = 1) и изменения при этом текущего состояния,
т. е. при изменении одной или нескольких (до k) внутренних
переменных у^
Возвращаясь к уравнению (11.1) и предполагая, что все k
внутренних переменных изменяются одновременно, это состяза-
ние можно исключить членом из У,·, покрывающим А-куб (0, ...
• · · > 1> ■ · · ι "> Хр ... ι Хт> **ι » · · · ι *д » У ρ · · · > У ρ · · ·» У/t)·
14 Зак. 46
210
ГЛАВА II
Существенные состязания
Из таблицы переходов (табл. 11.2 и 11.3) устанавливают,
что устройства PF свободны от существенных состязаний. Дей-
ствительно, условия IV никогда не удовлетворяются; это можно
проверить по таблице переходов при тройном изменении вход-
ной переменной х%, х? или хг Таким образом, если запоминаю-
щее устройство PF является нормальным, оно может быть
реализовано без существенных состязаний без применения эле-
ментов задержки [15].
ЗАПОМИНАЮЩИЕ УСТРОЙСТВА PF ТИПА К
Дадим определение частного типа запоминающих устройств
PF, которые назовем запоминающими устройствами PF типа К.
Они имеют тот же принцип действия, что и устройства PF, но
обладают дополнительными свойствами структуры таблицы пе-
реходов. Эти свойства определены в работе [21], где показано,
что синтезом устройств PF всегда можно получить запоминаю-
щие устройства типа К. Здесь же будет дано другое опреде-
ление.
Пусть М' — некоторое запоминающее устройство PF, пред-
ставленное таблицей переходов, содержащей ρ внутренних со-
стояний. Будем считать, что устройство М' относится к типу К,
если существует хотя бы одно такое кодирование внутренних
состояний а, при котором реализация М' могла бы вылиться
в k сумм неизбыточных произведений, определяющих функции
У,- [уравнение (11.1)], при следующих условиях: a) k — наимень-
шее целое число, удовлетворяющее неравенству k > log2,o,
б) в неизбыточном выражении для У< не присутствует ни одна
переменная укФУг и в) переменная yt всегда присутствует в
неизбыточном выражении для Уг- в прямом виде.
Табл. 11.7, α — таблица переходов самосогласованного запо-
минающего устройства PF типа К. Так как в самосогласованных
запоминающих устройствах PF входные состояния представлены
комбинациями значений внешних входных и внутренних пере-
менных, характеризующих потенциальные входы, соединенные
через элементы задержки с выходами, то видно, что в
табл. 11.7, α каждый столбец соответствует внешнему входному
состоянию Х\ или Х2 и подмножеству (1 2) или (3 4) множе-
ства внутренних состояний «примитивной таблицы перехо-
дов» [21].
Из таблицы видно, что при подаче импульса переходы про-
исходят между или вдоль тех столбцов, которые соответствуют
подмножеству, содержащему текущее состояние, которое суще-
\
Кодиро-
вание
типа α
1->00
2^-01
3->11
4-* 10
СОСТЯЗАНИЯ В ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТНЫХ УСТРОЙСТВАХ 211
Таблица 117
ι π ι ιι 1
.12 34 12 34 34 12
1
2
3
4
©
®
®
©
©
©
©
©
3
3
©
—
4
©
©
©
2
1
4
3
©
©
\
\
У\ Уз
0 0
0 1
1 1
1 0
х0· х\' г1
\
000
00
01
11
10
001
00
01
11
10
011
00
01
h
10
010
00
01
11
10
100
11
11
11
—
101
_
—
10
10
111
00
01
01
00
110
10
11
11
10
о о
Yi-'xZyi + XiVi + xfzi
У 2 = *0#2 + *1#2 + х0~х^1
б
ствовало до импульса (состояние /); а когда импульс прекра-
щается, то осуществляется переход к столбцу, соответствую-
щему подмножеству, содержащему новое текущее состояние (со-
стояние 4).
Табл. 11.7,6 — таблица возбуждения, содержащая также
два неизбыточных выражения для У<, полученных при кодирова-
нии внутренних состояний типа α и входных состояний по типу 2.
Запоминающие устройства PF типа К, использующие кодирова-
ние типа а, представляют значительный интерес при реализа-
ции последовательностных устройств; действительно, они сво-
бодны от критических состязаний и могут быть-реализованы
при помощи запоминающих устройств PF, имеющих два
14*
*—°h-y,
°^ = Уг
огг=й
^-ог,=у,
Рис. 11.4.
*-°?,·Υι
Рис. 11.5.
СОСТЯЗАНИЯ В ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТНЫХ УСТРОЙСТВАХ 213
внутренних состояния (устройства PFM')·1) [11]. При помощи
кодирования типа а можно получить к пар (У,·, Zi) обобщенных
уравнений вида
которые описывают k устройств PFM. Каждая переменная
zf^zf обозначает потенциальный вход i-ro устройства PFM,
соединенный через элемент задержки D с потенциальным вы-
ходом другого устройства PFM; переменная zf — потенциальный
вход некоторого устройства PFM, соединенный через элемент
задержки D с выходом этого же устройства.
Если в выражении (11.2) имеется по меньшей мере одна
из переменных zf=^zf, то t-e устройство PFM работает согла-
сованно хотя бы с одним из устройств PFM. Кроме того, если
переменная zf присутствует, то соответствующее устройство
PFM работает самосогласованно.. Если же zf отсутствует, то
соответствующее устройство PFM является нормальным. На
рис. 11.3 показано разложение устройства, заданного табл. 11.7,
на два устройства PFM. Устройство PFMi действует самосогла-
сованно; устройство PFM2 — нормальное и работает согласован-
но с устройством PFMi.
В работе [11] и в гл. 10 показано, что каждое устройство
PFM может быть разложено на комбинационное устройство С
и нормальное устройство PFM с двумя входными состояниями
Хи образованное либо триггером F, либо элементом регистра R.
Следовательно, запоминающие устройства PF типа К могут
быть реализованы при помощи k взаимосоединенных устройств
PFM или при помощи k пар устройств С и F или С и R. На
рис. 11.4 (Уг=#,- rf + sf) и 11.5 (У,-у, xf+f, xp0+ft yt) приве-
дено разложение устройств PFMi и PFM2 (рис. 11.3) на пары
устройств С и F, С и R соответственно.
Кроме того,-каждое устройство PS и каждое последователь-
ностное.устройство основного способа действия с потенциаль-
ными входами может быть преобразовано в запоминающее уст-
ройство PF, имеющее то же число внутренних состояний, что и
исходное. Эти запоминающие устройства относятся к типу К [11].
СОСТЯЗАНИЯ В УСТРОЙСТВАХ PF ТИПА К
При синтезе последовательностного устройства возникает
задача получения устройств, соответствующие выражения кото-
рых после исключения «влияющих» состязаний имеют мини-
') См. также гл. 10. — Прим. ред.
214
ГЛАВА 11
мальное число членов и букв. Большая часть влияющих стати-
ческих состязаний, которые могли бы появиться в выражениях
sp или ps устройств, могут быть исключены обычным методом
минимизации [17, 20]. Оставшиеся статические состязания могут
быть исключены путем добавления избыточных элементов И и
ИЛИ. Вследствие этого в устройствах PF типа К, использую-
щих кодирования типа а, можно отыскать влияющие статиче-
ские состязания, которые исключаются в схемах, определяемых
выражениями sp или ps, и. такие, для исключения которых в
комбинационные схемы необходимо добавлять элементы.
Мы видели, что устройства PF типа К могут быть реализо-
ваны при помощи комбинационных элементов и элементов
задержки D (рис. 11.3) или также при помощи триггеров F
(рис. 11.4) или элементов регистра R (рис. 11.5).
Реализация устройств при помощи комбинированных элементов
и элементов задержки
Рассмотрим таблицы, для Y\ и У2 (табл. 11.8). Они представ-
ляют устройства, соответствующие выражениям, приведенным
под табл. 11.7 б, и удовлетворяют условиям а и б (см. стр. 210).
Хп, *1ι
0· *1> *!
У\ 0а\
0 О
0 1
1 1
1 0
Таблица 11.8
000
>0
0
1
1
001
0
0
1
1
011
0
0
1
1
010
0
0
1
1
100
1
1
1
1
101
0
0
1
1
111
0
0
0
0
по
1
1
1
1
Υι
\
Xq> X[t Z{
0 0
0 1
1 1
1 0
000
0
1
1
0
001
0
1
1
0
011
0
1
1
0
010
0
1
1
0
100
1
1
1
1
101
0
0
0
0
111
0
1 '
1,
0
110
0
1
1
0
состязания в последоваткльностных устройствах 215
В каждом столбце все клетки содержат либо 0, либо 1, или все
клетки, соответствующие строкам, для которых i/i = l, содер-
жат 1, а все клетки, соответствующие строкам, для которых
ι/5·=0, содержат 0.
Возвращаясь к трем типам влияющих статических состяза-
ний (см. стр. 209), для устройства У,·, соответствуют^ неизбы-
точному выражению в форме sp (ps), можно сделать следую-
щие выводы:
А. Устройство Yi может содержать статическое состязание
типа 1 (типа 0) для изменения входного состояния XQ-*Xi.
Таблица 11.9
\ 000 100 001 101 011 111 010 110
0
с
0
2)
0
0
гл
ь>
—
—
гу
У
0
Э
0
0
У= yJc,5c? + j>x,3c{ + x,x5( + ухЩ)
Б. Если устройство Yi реализовано с использованием коди-
рования входных состояний типа 2, то для изменения входного
состояния X0h -» ^oft устройство не может содержать статические
состязания типа 1. (типа 0), так· как (т + £)-куб [(0, ..., 0, ...
..... 0, *,,..., хт, z?, ..., zf, у\ 1 (0) **] всегда по-
крывается простым существенным импликантом Yi [18]. Если
устройство реализовано с использованием кодирования типа 3,
то в нем может содержаться исключаемое состязание указан-
ного типа 1 (типа 0). Табл. 11.9 иллюстрирует этот случай. Из-
быточный член ух\х\ выражения Υ исключает этот тип состя-
зания.
В. В устройстве У4 не могут содержаться статические состяза-
ния типа 1 (типаО) при переходах по столбцу (х%= 1 или х%= 1),
так как каждый <7-куб, который имеет такое статическое со-
стязание, всегда может быть покрыт простым импликантом из
выражения У,·.
Из анализа таблиц для устройств У] и У2 (табл. 11.8) сле-
дует, что эти устройства содержат статические состязания, отно-
сящиеся к типу, рассмотренному в п. А. Эти состязания могут
быть исключены путем введения избыточных членов yxz* для У,
и y2zf для Уг.
216
ГЛАВА II
Все сказанное можно резюмировать следующим образом.
VI. Запоминающее устройство PF типа К, реализованное с
использованием кодирования внутренних состояний типа α и
кодирования входных состояний типа 1, 2 и неизбыточными вы-
ражениями в форме sp (ps) для схем У,·, может содержать
только влияющие статические состязания типа 1 (типа 0), воз-
никающие в результате изменений переменных xph или пере-
менной х%. Если устройство реализовано с использованием коди-
рования входных состояний типа 3, то оно может содержать
также исключаемые влияющие статические состязания порядка
q, являющиеся результатом ^одновременного изменения пере-
менных, соответствующих потенциальным входам xt и/или' zf.
Из этого вытекает следующий метод построения с наимень-
шими затратами запоминающих устройств PF типа К, свобод-
ных от существенных состязаний при любом типе кодирования
входных состояний. Метод представляет собой модификацию
способа, использованного Мак-Класки [2] для получения уст-
ройств в форме sp, свободных от состязаний, путем соответ-
ствующего выбора простых импликантов.
Таблица 11.10
1 2 3-4 5 6
ν$&Ρ$, УхУчХ^х^, ytfzxfazf, y^xfazf, ytf^x^f, ytf^faz1},
7 8 9 10 II 12
У1Уа*$*1*Л> У\УЛХ\*Ь У\У&1*\А> У\У&1х\*Ь У\У<АхА> У\У-АхёЬ
13 14 15 16 17
У\УАХ1*Ь У\ВАх^Ь У1УАХ1*1> У\УАх\^ 9{уАх^\>
1,2 5,6
3,4 7,8 2,9 1,10 6,11 4,12 8,13 14 15 16 17
01*5 θ . θ
xpi Θ Θ θ Θ
У\Х\ © + Ш
»1«? + θ θ
Метод Ι. По этому методу таблица простых импликантов
[19], наиденная с целью получения неизбыточного выражения
для У,·, содержит столбцы трех типов:
СОСТЯЗАНИЯ В ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТНЫХ УСТРОЙСТВАХ 217
1. Множество столбцов для канонических одночленов, имею-
щих переменную ι/< в прямом виде и переменные Jcg или х?
в инверсном виде из расчета одного столбца на каждое множе-
ство одночленов, содержащих переменные ун{УкФу<) в том же
виде.
2. Множество столбцов, каждый из которых соответствует
одной из возможных пар одночленов, различающихся значения-
ми только одной переменной х\ или х%, т. е. содержащейся в
инверсном виде в одном одночлене и в прямом —в другом.
3. Множество столбцов, каждый из которых соответствует
одному из оставшихся одночленов дизъюнктивной формы.
Простые импликанты выбираются обычным путем.
Применение метода I для синтеза выражения У ι устройства
PF, свободного от состязаний (заданного табл. 11.7), проиллю-
стрировано табл. 11.10.
Реализация устройств при помощи триггеров
и элементов регистра
Триггеры и ячейки регистра представляют собой эквивалент-
ные реализации нормального устройства PFM типа К. Резуль-
таты, полученные в предыдущем разделе, применимы к обоим
типам устройств. Из уравнений для У,- (рис. 11.4 и 11.5) сле-
дует, что в триггерах отсутствуют статические состязания, а в
ячейке регистра возникает статическое состязание типа 1 по-
рядка 1, для исключения которого необходим избыточный
член ftyi.
При реализации с помощью ячеек регистра наблюдается
следующее явление: поскольку изменение потенциальных вжодов
в устройстве PF не вызывает изменения состояния, то ячейка
регистра не подвергается воздействию ложного переходного
сигнала, который мог бы прявиться на выходе f< устройства Cf,
если входной сигнал хЦ изменяется (0-> 1 ^ 0) после устано-
вления fi. Таким образом, если это условие выполняется, то
запоминающие устройства PF типа К из ячеек регистра, сво-
бодных от состязаний, также свободны от влияющих со-
стязаний.
Так как в устройствах С< на триггерах выходные импульсы
sp и гр являются также входными импульсами триггеров Fu
рассмотрим возможность возникновения состязаний в устрой-
стве Си реализованном в соответствии с выражениями sp (ps).
Таблицы для sp и гр устройства Cj могут быть получены по
таблице для У< путем использования следующей таблицы
218
ГЛАВА II
соответствий [5]:
0
0
1
1
yt-+Yt
0
1
1
0
s?
0
1
—
0
η
—
0
0
1
В качестве примера рассмотрим таблицы для sf и rf
(табл. 11.1.1), полученные по таблице для Κι (табл. 11.8). Если
безразличные значения задать так, как в табл. 11.12, то при
помощи выражений для sf и г\ в форме суммы произведений
можно получить устройство Си свободное от влияющих состя-
заний. Действительно, sf и г£ становятся независимыми от
переменных yi и у2, и устройство С{ оказывается свободным от
состяз'аний, которые могут возникнуть при переходах в одной и
той же строке. Отметим, что те же результаты получаются при
использовании метода минимизации sp устройств, имеющих не-
доопределенные входные состояния [20]. Кроме того, легко ви-
Таблица ll.lt
х\> г\
i/i. £/а\ 000 001 011 010 100 101 111
110
0 0
0 1
1 1
1 0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
о о о о
1
1
Уи Уг\ 000
0 0
0 1
1 1
1 О
001
011 010 100 101 111 ПО
—
0
0
—
0
0
—
0
0
—
0
0
0
0
0
0
—
0
0
—
1
1
0
0
0
0
гр,
СОСТЯЗАНИЯ В ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТНЫХ УСТРОЙСТВАХ 219
деть, что устройства, свободные от состязаний, получаются из
неизбыточных выражений в форме произведения сумм, если
рассматривать для устройств С* и Fi входной импульс как два
последовательных перехода 1—>0->·1 переменной х\ или *J.
Х0, Хр Zj
у ι. г/2ч
о о
о ι
ι ι
ι о
Таблица 11.12
000
0
0
0
0
001
0
0
0
0
011
0
0
0
0
010
0
0
0
0
100
1
1
1
1
101
0
0
0
0
111
0
0
0
0
по
1
1
1
1
\
\*оР. *ι. А
У1, у2\ 000
0 0
0 1
1 1
1 0
001
011 010 100 101 111 ПО
0
0
0
0
0
0
0
0
0
. б
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
VII. Итак, запоминающие устройства PF типа К, реализо-
ванные на ячейках регистра, свободных от состязаний, с исполь-
зованием кодирования типа а свободны от влияющих состяза-
ний. Запоминающие устройства PF типа К, реализованные на
триггерах кодированием типа α и имеющие минимальные вы-
ражения sp (ps) для схем устройства Cj, также свободны от
влияющих состязаний.
Если сравнить устройства, свободные от состязаний на триг-
герах и ячейках регистра, с устройствами, свободными от со-
стязаний из комбинационных элементов и элементов задержки,
то можно установить, что, если для последних устройств может
оказаться невозможной минимальная двухкаскадная реализа-
ция, на триггерах или ячейках регистра всегда можно иметь
минимальные устройства С(.
220
ГЛАВА II
УСТРОЙСТВА ТИПА PF, СВОБОДНЫЕ ОТ ВЛИЯЮЩИХ СОСТЯЗАНИИ
И ПОЛУЧЕННЫЕ ПУТЕМ" ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
УСТРОЙСТВА ТИПА PS В УСТРОЙСТВО ТИПА PF .
В предыдущем разделе установлено, что любое запоминаю-
щее устройство PS (обозначим его символом В), имеющее ρ
внутренних состояний, может быть преобразовано в нормаль-
ное или самосогласованное запоминающее устройство PF типа
К (обозначим его символом А), имеющее также ρ внутренних
состояний. В работе [21] дается метод1) преобразования, приво-
дящий непосредственно от таблицы переходов заданного запо-
минающего устройства В к таблице переходов запоминающего
устройства А, эквивалентного В. Если этот метод применим, то
кодированием α и по методу I, рассмотренному в предыдущем
разделе, можно получить запоминающее устройство PF из ком-
бинационных элементов и элементов задержки, свободное от
влияющих состязаний. Устройства, свободные от состязаний,
можно также получить при помощи триггеров и^ячёек регистра.
Рассмотрим другой метод преобразования (метод II), по-
зволяющий по таблице переходов устройства В и при некото-
ром кодировании внутренних состояние прийти прямо к.неиз-
быточным выражениям для У{ устройства А-, не обращаясь
к таблице переходов последнего. Поскольку полученное таким
путем устройство PF соответствует реализации, содержащей
только комбинационные элементы *и элементы задержки, оно
может иметь влияющие статические состязания. В этом случае
реализация, свободная от состязаний, может быть получена
путем использования табличного представления выражения для
У< для выявления состязаний и последующего прибавления из-
быточных членов в выражение для Yi (стр. 215).
Однако этот способ обнаружения состязаний сложен и мо-
жет быть использован только для устройств, имеющих неболь-
шое число входных и внутренних состояний. Поэтому рассмотрим
способ, позволяющий обнаруживать состязания, возникающие
в устройстве А, прямо по таблицам для У,· устройства В. Кроме
того, дадим еще один метод, позволяющий реализовать устрой-
ства, содержащие только комбинационные элементы и элементы
задержки, свободные от состязаний, и определим статические
состязания одного частного вида, которые могут возникать в
самосогласованных устройствах типа PF.
Метод П. На основе таблицы переходов, описывающей за-
данное запоминающее устройство PS, имеющее ρ внутренних
') Примером применения этого метода может служить преобразование
таблицы переходов (табл. 11.14) в /табл. 11.7,
СОСТЯЗАНИЯ В ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯХ УСТРОЙСТВАХ 221
состояний с кодированием входов типа 1Г 2 или 3 и некоторым
кодированием β внутренних состояний, можно получить k не-
избыточных выражений для Yu где k — наименьшее целое чис-
ло, удовлетворяющее условию k> \0g2p. Затем в выражениях
Yi каждую переменную Уп{УиФу^ заменяем переменной zf,а ка-
ждое значение y~i — значением zf. Таким образом, получаем k
выражений для новых функций Y\, которые вместе с k уравне-
ниями г{=у{ представляют запоминающее устройство PF, экви-
валентное заданному запоминающему устройству PS, Кроме
того, каждая пара (Y'r zj уравнений описывает устройство
PFM, образующее устройство PF.
Поскольку в этом методе для результирующего устройства
PF выполняются условия а, б, в (см. стр. 210), то любое коди-
рование β внутренних состояний запоминающего устройства В
типа PS является кодированием α для эквивалентного запоми-
нающего устройства А типа PF. Кроме того, каждое неизбы-
точное выражение Υ\ умеете с уравнениями г{=у{ описывает
устройство PFM.
Рассмотрим, например, таблицы переходов (рис. 11.6) и воз-
буждения запоминающего устройства PS, имеющего два внут-
ренних состояния (устройства Р5М). Неизбыточные выражения,
представляющие устройство PSM и самосогласованное устрой-
ство PFM, имеют соответственно вид
У^Цу + х^у, z = y, (11.3)
Y' = xPy + x^xlza, z = y. (Ц.4)
Видно, что в устройстве имеется статическое состязание типа 1
порядка 1. Рассмотрим это состязание, обращаясь к схеме уст-
ройства (рис. 11.6).
Самосогласованные состязания
На рис. 11.6 приведена схема устройства, рассмотренного
выше в качестве примера. Возьмем часть схемы (сплошные
линии) и положим у=0, *ι==1 и дсо=0. Предположим также, что
все уровни сигналов стабильны. При подаче входного импульса
переменная л# принимает значение 1 и в соединениях (сплош-
ные линии) устанавливаются единичные значения. Когда им-
пульс прекращается^ л$ принимает значение 0; если при этом
задержки, распределенные в соединениях 1, 2, 3, больше задер-
жек, распределенных в соединениях 4, 5, 3, то в схеме возникнет
статическое состязание типа 1 порядка 1, а на выходе появится
ложный сигнал 0.
222
ГЛАВА It
Рассмотрим теперь ту часть схемы, которая выполнена пунк-
тирными линиями. До и после поступления импульса элемент
Αι не влияет на выход; действительно, на выходе Αι имеется
значение 0 независимо от сигнала, который установится в цепи
обратной связи. Если у=\ и посылается входной импульс, уста-
навливающий у в 0, на выходе Л ι остается значение 0, та,к как
У, Уг
©
©
2
1
1
1
О
1
00
0
0
01
0
0
11
\
)
* 10
0
0
Ι.Ο-
5
Υ = yJcg + jucSx,
—ш—
t~-Γ»Λ
I
DH^
-OZ
Y'=y xP + zdxPXl { + yzd) .
Рис. 11.6.
задержка D еще помнит значение 1. Если до поступления вход-
ного импульса // = 0, а при поступлении импульса у=\, то в пет-
ле обратной связи, как и на выходе элемента Аи устанавли-
вается значение 1. После окончания импульса значение 1 по-
является на выходе элемента Лг, после чего значение выхода
А\ может вернуться к 0, так как состязание уже закончилось.
Это происходит с момента, когда изменяется выход элемента
задержки D. Таким образом, элемент Л[ исключает статическое
состязание типа 1 порядка 1.
Определим этот вид статического состязания. Так как по-
добное состязание может возникать в самосогласованных уст-
ройствах PFM, то назовем его самосогласованным состяза-
нием. Будем считать, что конъюнктивный (дизъюнктивный)
СОСТЯЗАНИЯ В ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТНЫХ УСТРОЙСТВАХ 223
член, соответствующий элементу И (ИЛИ), покрывает входное
состояние устройства sp {ps), если это состояние делает рав-
ной 1 (0) каждую составляющую рассматриваемого члена.
VIII. Устройство Q типа PFM содержит самосогласованное
состязание, если и только если 1) имеется элемент И (ИЛИ),
соответствующий члену, .содержащему две переменные zd и xph
(или дс£) и покрывающему входное состояние схемы У
sp (или ps) устройства Q, и 2) в схеме У существует статиче-
ское состязание типа 1 (типа 0) порядка 1 при изменении вход-
ной переменной xph или х%.
Приведем теперь метод обнаружения самосогласованных
состязаний по таблице для Υι устройства PS, которое жела-
тельно методом II преобразовать в устройство PF.
IX. В запоминающем устройстве PF типа К, полученном
при помощи преобразования по методу II, существует само-
согласованное состязание, если и только если в таблице для У<
исходного устройства PS имеется: 1) входное состояние Λ, ко-
торое 'переводит функцию У( в 1 и содержит переменную г/,·,
равную 0, переменную х\ или х%, равную 1 (все остальные пе-
ременные х\ равны 0); 2) входное состояние /г, которое пере-
водит функцию Υ{ в 0 и является соседним по отношению к со-
стоянию /ι по переменной i/i (tji=\).
Доказательство. Покажем справедливость этого утверждения
для устройств, соответствующих форме sp. Для выражений вида
ps могут быть использованы аналогичные соображения. Из таб-
лицы для У{ устройства PS видно, что все входные состояния,
в которых переменные *g или'д# равны 0, дают нулевой выход,
если переменная t/{ равна 0, и единичный выход, если г/< = 1.
При выполнении предположений 1 и 2 из этого следует, что
в неизбыточном выражении для У{ имеется простой существен-
ный импликант Γι, содержащий две переменные ух ил$'(или xfy.
Кроме того, из этого также следует, что (по предположению 2)
имеется второй простой существенный импликант Г2, содержа-
щий переменные t/j и Jcg (или хр). Все остальные составляющие
Гг либо равны одной из составляющих Гь либо отсутствуют в
Γι. По методу II выражение для Υ{ может быть преобразовано
в выражение У/, соответствующее самосогласованному устрой-
ству PFM, а Γι и Г2 — в члены Т\ и Гг выражения У*, в кото-
рых переменные yt из Γι заменяются на zf из Т\. Таким об-
разом, получим пару членов Т[ и Т'2, в которых только пере-
менная х\ (или xfy встречается в инверсном виде в одном
224
ГЛАВА И
из членов пары и в прямом виде — в другом. По структуре
таблицы Yt можно установить, что если ни один член Τ из вы-
ражения Υ\ не содержит двух переменных yt и zf, то существует
статическое состязание типа 1 порядка 1 вследствие нали-
чия членов Т[ и Т'2. Так как по методу II нельзя получить член Г
(ни один член из У,- не содержит переменной, которая была бы
одновременно и в прямом и в инверсном виде), то в запоминаю-
щем устройстве PF Появится самосогласованное состязание.
На основании утверждения IX можно обнаружить само-
согласованное состязание по таблицам для Yi устройства PS.
Например, в представленной на рис. 11.6 таблице для У устрой-
ства RSM клетки, соединенные стрелками, показывают наличие
самосогласованного состязания в соответствующем устройстве
PFM. По таблице для У ι (табл. 11.14) другого запоминающего
устройства PS можно установить, что соответствующее запо-
минающее устройство PF содержит самосогласованное состяза-
ние и это состязание присутствует в самосогласованном устрой-
стве PFMi. Кроме того, поскольку в таблице для Уг не обнару-
живаются самосогласованные состязания, соответствующее
устройство PFM2 является нормальным.
X. Итак, любое самосогласованное устройство PFM, обра-
зующее запоминающее устройство, полученное из заданного за-
поминающего устройства PF по методу II, содержит по меньшей
мере одно самосогласованное состязалие. Всякое нормальное
устройство PFM свободно от самосогласованных состязаний.
XI. Все самосогласованные состязания, имеющиеся в само-
согласованном устройстве PFM для У, реализованном в форме
sp (или ps), исключаются путем добавления одного конъюнктив-
ного члена yzd (или дизъюнктивного члена y+zd).
Доказательство. Это высказывание рассмотрим только для
выражения У в форме sp. Из предыдущего примера самосогла-
сованного устройства (рис. 11.6) видно, что на выходе элемента
А\, соответствующего члену yzd, появляется 1, если и только
если входной импульс переводит выходное состояние в 1
(У=1/=1) и если до поступления импульса в цепь обратной
связи Y'=y—0. Кроме того, элемент Αι поддерживает значение
1 в петле обратной связи до тех пор, пока значение 1 не распро-
странится через элемент задержки D. Следовательно, введение
элемента Αι не изменяет условия работы самосогласованного
устройства PFM. Если у=0 до поступления импульса и г/=1
в течение импульса,, то элемент Л ι исключает всякий -ложный
(равный 0) сигнал на выходе, являющийся результатом нало-
жения импульсов·. Таким путем исключается любое самосогла-
сованное состязание.
СОСТЯЗАНИЯ В ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТНЫХ УСТРОЙСТВАХ 225
Например, пусть в устройстве рис. 11.7 при помощи мемента
А\ исключаются два самосогласованных состязания. Рассмотрим
только части схем, выполненные сплошными линиями, двух
Xf О-
i, о-
arfo-
"о"
-Ш-
ι--*-ι
J=o
fe—I—0-ф=[)—'
Рис. 11.7.
OZ
самосогласованных устройств PFM (рис. 11.6 и 11.7). Предпо-
ложим, что влияющие состязания, существующие в этих схемах,
Таблица 11.13
Л о Л | я2
гт
2 II 1
2 II 1
φ
®
©
®
2
©
©
1
©
л
©
1
1 -♦ О
2 -» 1
Хх
000 "
0
&
001
0
1
011
0
1
010
0
ri>
'100 10i4 '111 11 0λ
0
а
0
0
' 0
0
(°1
W
Υ' = yxg + xgx,! e + yi'
15 Зак. 4β
226
ГЛАВА II
исключаются классическим алгебраическим методом, служащим
для исключения статических состязаний типа 1 порядка 1. При
этом для устройства рис. 11.6 необходимо в выражение для У
добавить член X\yzd, а для устройства рис. 11.7 — два члена
уЦххга и уЦх£а.
Это противоречит утверждению XI. Действительно, выраже-
ния, найденные алгебраическим методом, дают функции, отли-
чающиеся от функций, содержащихся в выражениях, получен-
ных по утверждению XI. Это объясняется тем, что функции Ψ
не определены для некоторых входных состояний, т. е. таблицы
переходов устройств PFM определены не полностью. Это спра-
ведливо и в общем случае и подтверждается примером устрой-
ства рис. 11.6. Устройство получено методом II. В табл. 11.13
приведена таблица переходов устройства PFM, которое было
получено по таблице переходов устройства PS (рис. 11.6) мето-
дом непосредственного преобразования [21]. Таблица переходов
содержит одну клетку а с неопределенным состоянием. Приме-
няя кодирование входных и внутренних состояний, аналогичное
кодированию, употребленному для устройства рис. 11.6, и ме-
тод I, получим выражение для У, которое может быть найдено
методом.II с учетом утверждения XI.
Устройства типа PF, свободные от состязаний
В предыдущем разделе рассмотрен метод, позволяющий об-
наружить самосогласованные состязания в устройстве А типа
PF по таблице для Yi устройства В типа PS, эквивалентного
устройству А. Кроме того, показано, что эти состязания могут
быть исключены с помощью дополнительного элемента. В этом
разделе рассмотрим метод, позволяющий обнаружить другие
влияющие- статические состязания устройства А по таблицам
для Yi устройства В, и дадим метод непосредственного синтеза
устройств PF, полностью свободных от состязаний.
Рассмотрим, например, запоминающее устройство В типа PS
(табл. 11.14). Методом II и кодированием β внутренних состоя-
ний получим сначала выражения для Yi устройства В
γι = ЦУ\ + Х\У\ + 49 ν (и·5)
а затем выражения для Υι запоминающего устройства А типа
PF, эквивалентного В,
^ = *0Р</,+ *,*/, + *§*?. О1·7)
У2 = ЦУ2 + х&2 + *S*i«i · (1! -8>
СОСТЯЗАНИЯ В ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТНЫХ УСТРОЙСТВАХ 227
Таблица 11.14
00 01 11 10 β
1
©
©
©
©
©
®
©
^
©
J
η
ι — σο
г — о ι
3—11
«—10
•*о» *'
00 01 11 10
00 01 11 10
Vi Уг
о о
0 ι
1 1
0
0
■Ι)
1
0
0
1
1
J
1
λ
' I
0
/
,1
1
■i
Ι
J
У* Уг
0 0
о >
1 1
1 0
0
/^—■
Г
J
0
^ 0
7**Т
1
ы
0
0
'Л
I
J
0
π
Ql
0
0
г.
Уг
Совершенно очевидно, что каждое из выражений (II.7) и
(П.8) можно рассматривать как представляющее одно из
устройств PFM, которые образуют устройство А.
Уравнение (П.7) представляет самосогласованное устрой-
ство PFM, а уравнение( П.8) —нормальное устройство PFM.
Уравнения (П.6) и (П.8) имеют одинаковый вид, но отли-
чаются тем, что переменные Ун^УкФУг) уравнения (II.6) мето-
дом II преобразуются в переменные zfiz^^zf) уравнения
(П.8). Кроме того, влияющие статические состязания могут по-
явиться в неизбыточном выражении для Yi запоминающего
устройства PF типа К при I) одном изменении одной из пере-
менных х% или д-р и 2) одновременных изменениях переменных
х, и г\
Исключим статические состязания из таблицы для У4 устрой-
ства PS, которые могут возникнуть вследствие изменения одной
переменной хрн или х? и одновременных изменений переменных
х} к у. В этом случае получим выражение для Yu которое после
16*
228 ГЛАВА ΙΓ
преобразования переменных ун в переменные zdh превращается
в выражение для у\ устройства PFM, свободного от влияющих
статических состязаний. Если это устройство является самосо-
гласованным, то э соответствии с утверждением XI можно
исключить все самосогласованные состязания!
Из таблицы для Υ\ (табл. 11.14) видно, что устройство PF,
представленное выражениями (11.7) и .(11.8),, содержит "само-
согласованное состязание (см. таблицу для У]) и влияющее
статическое состязание (см. таблицу для У2). Сформулируем
следующее утверждение.
XII. Путем изучения таблицы для У< устройства В типа -PS
можно обнаружить все влияющие статические состязания, воз-
никающие в устройстве А типа PF, полученном из устройства В
методом II. Самосогласованное состязание обнаруживается про-
веркой выполнения утверждения IX. Влияющее статическое со-
стязание присутствует в устройстве А, если и только если в таб-
лице для Υ{ устройства В:
а) имеется пара входных состояний, которая не покрывается
ни одним членом неизбыточного выражения для Υ и и для ко-
торой 1) оба входных состояния дают выход, равный 1; 2) пе-
ременная xph или xg содержится в одном из входных состояний
в инверсном виде и в другом состоянии — в прямом; 3) все
остальные переменные х\ содержатся в инверсном виде в обоих
входных состояниях;
б) все входные состояния, порождающие выходное состоя-
ние, равное 1, и содержащие все переменные х\ или х% в ин-
версном виде, не покрываются ни одним членом неизбыточного
выражения для У4.
Сформулируем метод III, позволяющий построить таблицу
простых импликантов с целью получения выражения для У,-
При помощи этого метода и утверждения XI из метода II мож-
но получить более полный метод IV, реализующий запоминаю-
щее устройство PF, полностью свободное от влияющих состя-
заний и имеющее минимальную стоимость.
Метод III. Таблица - простых импликантов, позволяющая
получить выражение для У*, построена при помощи столбцов
трех видов: столбца, соответствующего всем каноническим од-
ночленам, у которых все переменные х\ или *§ содержатся в
инверсном виде, и двух множеств столбцов, определенных в
пунктах 2 и 3 -метода I. Затем простые импликанты выбираются
обычным способом.
Метод IV. Из ι таблицы вереходов заданного запоминаю-
щего устройства PS, имеющего ρ внутренних состояний и ис-
СОСТЯЗАНИЯ В ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТНЫХ УСТРОЙСТВАХ 229
пользующего кодирование входных состояний типа 1, 2 или 3
и кодирование внутренних состояний типа β, получают k
минимальных выражений sp (или ps) для У,- при помощи
метода III', где k — наименьшее целое число, определяе-
мое соотношением &^>log2 p. Таким образом, в каждом выра-
жении для Yi каждая переменная упФуг заменяется переменной
zf, а каждая переменная j}i— переменной zf. При этом получают
новое выражение для Υ[. Затем к каждому выражению Y't,
содержащему zf, добавляется член y(zf (или yt + zf). Таким
образом, k полученных выражений/ вместе с k уравнениями
Zi=yi описывают запоминающее устройство PF без влияющих
состязаний, эквивалентное заданному запоминающему устрой-
ству PS.
Применяя метод IV к-табл. 11.14, получаем выражения
Y\ = Цух + хуух + хЩ + у${ (11.9)
Υ 2 = ЦУ2 + *Λ + *£*ι^+'»2*?» (НЛО)
которые отличаются от выражений (11.7) и (11.8) тем, что в
них все. влияющие состязания исключены. Схема устройства
приведена на рис. 11.8.
i
-ш-
г—гД_,
ρ
-1У
Х&1
=&7
-°гз>
Х1(П<У±±
у;
-ΟΖ,
td*-
£*
Л)—
У*'
Рис 11.8.
Yi
-°z,
16 Зак. 4в
230
ГЛАВА Π
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В этой главе проведено формальное исследование состяза-
ний, возникающих в самой большой категории импульсных после-
довательностных устройств — в устройствах типа PS и PF. Дока-
зано, что наличие неисключаемых статических состязаний делает
невозможной с практической точки зрения реализацию устройств
типа PS. Для устройств типа PF определены названные «влияю-
щими» состязания, которые могут оказывать влияние на пра-
вильную работу устройства. Рассмотрен частный тип устройств
PF — устройства типа К. Эти устройства могут быть разложены
на устройства типа PFM, работающие параллельно и/или согла-
сованно и свободные от критических и существенных состязаний.
Исследованы два вида реализации устройств типа К: устрой-
ства с запоминающими элементами, внешними по отношению
к комбинационной части, и устройства, содержащие только ком-
бинационную схему и петли обратной связи. Из устройств с
элементами памяти рассмотрены устройства на триггерах и на
ячейках регистров; однако использованный метод анализа мож-
но обобщить для устройств, содержащих другие элементы па-
мяти (например, для триггеров со счетным входом). Показано,
что если комбинационная часть устройств на триггерах реали-
зована обычным методом минимизации, то она свободна от
влияющих статических состязаний, а комбинационная часть
устройств, выполненная на ячейках регистров, свободна от
влияющих статических состязаний по своей природе. Кроме
того, показано, что устройства, содержащие только комбина-
ционную часть и петли обратной связи, могут иметь влияющие
статические состязания, если они реализованы при помощи
неизбыточных выражений.
Рассмотрен метод (метод I) получения реализаций, имею-
щих минимальную стоимость и свободных от влияющих статиче-
ских состязаний. Исследован также метод получения устройств
PF типа К, свободных от состязаний, непосредственно по таб-
лице переходов заданного устройства PS. Исследовано «самосо-
гласованное» состязание, существующее в самосогласованных
устройствах PFM; разработан метод для обнаружения этого
состязания по таблице для К,· устройства PS. Кроме того, до-
казано, что все самосогласованные состязания, присутствующие
в устройстве PFM, могут быть исключены добавлением к схеме
одного элемента. Указан прямой метод (метод IV), позволяю-
щий по таблице переходов устройства PS получить устройство
PF типа К, имеющее только комбинационную часть и цепи об-
ратной связи. Соответствующее устройство свободно от влияю-
щих состязаний и имеет минимальную стоимость.
ГЛАВА 12
ПОКРЫТИЯ НЕПОЛНОСТЬЮ ОПРЕДЕЛЕННЫХ
ТАБЛИЦ ПЕРЕХОДОВ
ТАБЛИЦАМИ ПЕРЕХОДОВ
С КОНЕЧНОЙ ПАААЯТЬЮ
А. Г рассели
ВВЕДЕНИЕ
В последовательностных устройствах текущее состояние вы-
хода зависит от предыстории состояний входа. Существует
класс устройств, для которых эта зависимость имеет ограниче-
ние, т. е. выходное состояние определяется фиксированным чис-
лом прошедших входных состояний. Такие устройства назы-
ваются устройствами с конечной памятью [1]. В общем случае
для таблиц переходов чрезвычайно трудно найти экономичное
кодирование внутренних переменных. Однако можно получить
достаточно «хорошее» кодирование, если таблица переходов от-
носится к виду таблиц, описывающих автомат с конечной па-
мятью [2].
В данной главе дается теория неполностью определенных
таблиц переходов, которые могут быть представлены (покры-
ты) таблицами переходов с конечной памятью; предлагается
способ определения существования покрытия заданной табли-
цы таблицей с конечной памятью и уменьшения числа внутрен-
них состояний последней. В общем случае этот способ требует
гораздо меньшего перебора для нахождения минимального ва-
рианта кодирования по сравнению с существующими методами
[3—6]. Теория дает алгоритм синтеза для класса недоопреде-
ленных таблиц переходов.
В известной литературе по автоматам с конечной памятью
имеются исследования проблемы кодирования таблицы пере-
ходов с минимальным числом строк путем введения задержек
для входных переменных [7, 8], путем доопределения непол-
ностью определенной таблицы переходов с минимальным чис-
лом строк, чтобы результирующая таблица была таблицей с
конечной памятью [9], и путем синтеза устройства, реализующе-
го «определенные события» [10, 11].
16*
232 Г Л А В А 12
ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Последовательностное устройство
Предположим, что состояния последовательностного устрой-
ства известны только в определенные моменты времени. Так,
если x(t), s(i) и z(t) обозначают соответственно входное,внут-
реннее и выходное состояния последовательностного устройства
N в момент времени t, то его выходное и последующее (в мо-
менты времени t+l) внутренние состояния определяются функ-
циями
z(t) = Z[x(t), s(t)], (12.1)
s(f+1)-S [£(/), s (01. (12.2)
в которых *(/), s(t) и z(t) представляют собой соответственно
наборы значений переменных ху, хг, ..., Хт, su s2, ..., sn;
Ζ\, %2, . . ., Zp.
Обозначим через \N\=n число внутренних состояний уст-
ройства N.
Функции (12.1) и (12.2) в общем случае неполностью опре-
делены и задаются обычно таблицей переходов1). Расширим
эти представления, полагая
z(t)~Z[x(t-h+l), x(t-h + 2), ..., x(f), s(t-h+l)], (12.3)
s(t + \) = S[x(t-h+ I), x(t-h + 2) x(t),s(t-Λ+1)],(12.4)
где выходное состояние в момент времени t и внутреннее со-
стояние в момент t + 1 получены как результат подачи на уст-
ройство, находящееся в моменты времени /—/i+1 в состоянии
s(t—h + l), последовательности h входных состояний x(t—h+\),
x(t—h+2),x_(t—h+2) x(t). -
Таблица переходов с конечной памятью
Дадим формальное определение конечной памяти устрой-
ства.
Определение. Полностью определенная таблица переходов
Τ обладает памятью максимальной длины h, если для каждой
пары внутренних состояний s< и Sj таблицы Τ и для каждой
последовательности входных состояний х_ах, Ха2, ..., Ха , r^h
') В дальнейшем вместо выражения «неполностью определенная таблица
переходов» будем употреблять «таблица переходов».
ПОКРЫТИЯ НЕДООПРЕДЕЛЕННЫХ ТАБЛИЦ ПЕРЕХОДОВ 233
имеет место равенство
Ζ[V *а2 V si] - Z[fa,· int· ···> V sl\
Кроме того, таблица Т обладает памятью длины h, если Τ об-
ладает памятью максимальной длины h и если существует хотя
бы одна последовательность *а~, £aj, ..., Xah и два внутрен-
них состояния Si и Sj, таких, что
L—ei' -ai' '*"' £αΛ' М^ Liei' *«»» •••»_?«n» S/J·
Таблицу переходов, обладающую памятью конечной длины,
будем называть таблицей переходов с конечной памятью, или
более коротко таблицей переходов MF. Более точно можно ска-
зать так: в таблице переходов, обладающей памятью длины
h, внутреннее состояние определяется прошедшими входными
состояниями. Например, табл. 12.1, а, б, β имеют память конеч-
ной длины, в то время как табл. 12.1, г имеет память бесконеч-
ной длины.
Таблица 12.1
0 1 0 1
а
Ь
с
d
а, 0
с, 1
а, 0
с, 1
Ь, 1
d, 0
Ь, 0
d, 1
а
Ь
с
d
а, 0
с. 1
в, 0
с, 1
Ь, 1
d, 0
6, 1
d, l
a
ft
с
d
e
0
6, 0
а, 0
a, 1
с, 0
с, 1
1
d, 1
d, 1
d, 0
«,t>
в. 1
a, 0
ft, 0
с, О
ft, 1
с, О
a, 1
В теореме 1 [1] излагаются необходимые и достаточные ус-
ловия, при которых память конечна.
Теорема 1. Полностью определенная таблица переходов Т,
в которой все внутренние состояния являются распознаваемы·
234
ГЛАВА 13
ми1), имеет память максимальной длины h, если и только если
для каждой пары внутренних состояний St и Sj и для каждой
последовательности Хах, Ха2, .... Xah имеет место равенство
Например, табл. 12.1, а удовлетворяет условиям теоремы для
&=2, так как
S [0, 0, а) = S [О, О, Ь] = S [0, 0, с] = S [0, 0, d] = α,
S[0, 1, a] = S[0, 1, 6] = S[0, 1, c] = S[0, l, d] = b,
S[\, 1, a] = S[l, 1, 6] = S[1, 1, c] = S[l, 1, d}=»rf,
но не удовлетворяет им для h = 1, так как S[0, a]=a, S[0, b\ = b.
Следовательно, табл. 12.1, α имеет длину памяти, равную 2.
Следствие из этой теоремы содержит необходимые и доста-
точные условия, при которых память конечна для таблицы пе-
реходов Т, в которой не все внутренние состояния являются
распознаваемыми.
Следствие. Полностью определенная таблица переходов Τ
имеет память максимальной длины h, если и только если для
каждой пары внутренних состояний s,- и Sj и для каждой после-
довательности Хр{, Ха2, ·.., Xah внутренние СОСТОЯНИЯ S[£a,»
Ха2, ..., Xah, si] и S[x0i, Ха2 x_ah, s/] являются распозна-
ваемыми.
Например, табл. 12.1, бив удовлетворяют условиям след-
ствия при h=2.
Для транзитивной таблицы переходов MF2) верхняя грани-
ца числа распознаваемых внутренних состояний определяется
следующей теоремой.
') Два внутренних состояния sj и Sj являются распознаваемыми, если
существует хотя бы одна входная последовательность х„ , х„ , ..., х„ ,та-
1 2 V
кая, что
Z [*«,· V · ·"·· 5V si] * Ζ [f... xa2 *V sl\
*) Таблица переходов называется транзитивной, если для каждой пары
внутренних состояний si и Sj- существуют последовательности входных со-
стояний х, , х, , х, , ..., х, и х, , х, х,, такие, что S[x, , х, , ...
В этой главе рассматриваются только транзитивные таблицы переходов,
ПОКРЫТИЯ НЕДООПРЕДЕЛЕННЫХ ТАБЛИЦ ПЕРЕХОДОВ 235
Теорема 2. В полностью определенной транзитивной таб-
лице переходов, имеющей память длины h, число распознавае-
мых внутренних состояний Να удовлетворяет неравенству Na^C
*Chm, в котором т — число входных состояний.
Например, табл. 12.1, α и в имеют верхнюю границу для Να-
Связь с разбиениями
В работе [2] дана другая формулировка понятия конечной
памяти устройства.
Определение. Разбиение π множества внутренних состояний
V = {sb S2, ..., sn} таблицы переходов Τ является такой сово-
купностью непересекающихся подмножеств из V, называемых
блоками разбиения, в которой каждое s, содержится в одном
из подмножеств совокупности. Два внутренних состояния S{ и
Sj отождествляются разбиением л, если они содержатся в од-
ном блоке, и разделяются разбиением π, если они содержатся
в разных блоках. Разбиение, которое отождествляет все внут-
ренние состояния, обозначается π=1, а разбиение, которое раз-
деляет все внутренние состояния, обозначается π=0.
Рассмотрим в качестве примера табл. 12.2, а. Разбиением,
Таблица 12.2
α β γ κ α β γ
α, 0
α, 0
α, 0
α, 1
6, 1
b, 1
e, I
e, I
с, 0
e, 0
С I
e, 0
f, о
d, 0
d, 0
d, 1
a, 1
d, 1
b, 0
b, 1
6, 0
b, 1
b, 1
b, 1
b, 1
d, 0
d, 0
с, О
/. ι
d, 0
С 0
d, 1
e, 1
a, 1
g. о
g. о
e, 0
g> 1
e, 0
a
отождествляющим внутренние состояния a, g, e и с, d, /, яв-
ляется π = {α, g, e; Б; с, ci, e].
Пусть по, iti, ..., π/, — ряд разбиений множества внутренних
состояний полностью определенной таблицы переходов Т, най-
денных по следующим правилам: а) πο=1; б) внутренние со-
стояния S [xa, s^ и S [xa, Sj] отождествляются разбиением π,·+ι,
если и только если s,· и s} отождествляются разбиением щ.
236
ГЛАВА 12
Разбиениями πο, πι, пг, пз для табл. 12.2, α являются сле-
дующие разбиения:
• щ = {а, Ь, с, d, e, f, g}= 1,
Щ = {α. S, e\ &'> с> d, f},
jtj = {a; 6; c, f; d; ё; g},
щ = {a; 6; c; d; ё\ f; g} = 0.
Теорема 3 устанавливает необходимые и достаточные усло-
вия, при которых память конечна, в терминах ряда разбиений
По, Ль . . ., Л/,.
Теорема 3. Полностью определенная таблица переходов Т,
в которой все внутренние состояния являются распознаваемы-
ми, имеет память максимальной длины h, если и только если
Лд = 0.
Доказательство. Предположим, что Τ обладает памятью мак-
симальной длины h, но при этом "лл=£0. Тогда по определению
ряда разбиений существуют по меньшей мере два внутренних
состояния Si и Sj и последовательность лга,, £а2» ..., x_ah, для
которых справедливо соотношение
\—а\' —а2' · ' "> if°A' *'J "* uEei' —а%' ' ' '' i?A' Sl\'
а это противоречит предположению на основании теоремы 1.
Если лд=0 для каждой пары внутренних состояний s,- и Sj
и для каждой последовательности ха\, Ха2, ..., xafl выполняет-
ся равенство
1*βι" *α2* ' · '> i?A' S'J == lifli' i°2' · ■ ·· *o/ji S/J>
следовательно, на основании теоремы 1 таблица Τ имеет па-
мять максимальной длины Λ.
Например, все внутренние состояния табл. 12.2, а являются
распознаваемыми. Поскольку мы уже проверили, что яз=0, в
то время как пгФО, длина памяти этой таблицы равна 3.
Вытекающее из теоремы следствие относится к таблицам
переходов, в которых не все внутренние состояния являются
распознаваемыми.
Следствие. Полностью определенная таблица переходов Τ
имеет память максимальной длины h, если и только если все
внутренние состояния, отождествляемые разбиением πη, являют-
ся распознаваемыми.
ПОКРЫТИЯ НЕДООПРЕДЕЛЕННЫХ ТАБЛИЦ ПЕРЕХОДОВ 237
Составим, например, ряд разбиений для табл. 12.2, б:
πο = {α, Ь, с, d, е, /}, щ = {a, b, d, f; с, е},
П2 = {а, b, d, f; с, ё], п3 = {а, Ь; с; d, f; ё).
Поскольку а и b, d и / являются нераспознаваемыми, мак-
симальная длина памяти этой таблицы равна 3. Заметим, что
длина памяти этой таблицы равна также 3.
Докажем теорему, которая дает нижнюю границу числа рас-
познаваемых внутренних состояний таблицы переходов типа MF.
Теорема 4. В полностью определенной таблице переходов
длина памяти которой равна А, число распознаваемых состоя-
ний Nd удовлетворяет неравенству Wd>(A+l).
Доказательство. В соответствии с правилами определения
ряда разбиений каждый блок из π<+ι содержится в блоке π,-
Кроме того, из равенства πρ = πρ+ι следует πρ=πρ+Γ для всех г.
Поэтому если лР = яр+1 и πρ=£πρ_ι, то в π4(0<ι-<ρ) содержится
не менее t'+.l блоков. Если длина памяти Τ равна h, то лл=£ял_1
(теорема 3 и ее следствие); следовательно, число блоков в ли
равно по крайней мере h+\. Каждый^лок из п/, содержит либо
одно внутреннее состояние (если все состояния из Τ являются
распознаваемыми), либо множество нераспознаваемых со-
стояний.
Число распознаваемых внутренних состояний табл. 12.1,6
достигает нижней границы, определяемой теоремой 4.
Для таблицы переходов Г, имеющей память длины h, ряд
разбиений πο, πι, ..., π/, можно использовать для кодирования
без обратных связей (другие ряды разбиений, определяющие
кодирование без обратных связей, могут быть получены при ос-
лаблении требований правила б).
ПОКРЫТИЯ С КОНЕЧНОЙ ПАМЯТЬЮ
Исследуем условия, при которых можно построить таблицу
переходов Τ типа MF.
Определение. Таблина переходов Τ покрывается таблицей
с конечной памятью (М^-покрываемая), если она может быть
покрыта таблицей переходов MF. Таблица переходов Τ является
Α-покрываемой, если она может быть покрыта таблицей перехо-
дов, максимальная длина памяти которой равна А.
238
ГЛАВА 12
Рассмотрим, например, табл. 12.3, а. Эта таблица является
AiF-покрываемой, а табл. 12.3,6 — одно из ее покрытий MF.
а
Ъ
с
d
а
-, 0
с, —
d, 1
а, —
, β
Ь, -
с, 0
-, -
ь, -
a, da A
Ь, ccz В
с, da С
Та
а
А, 0
С, 1
А, 1
блица 12.3
β
В, 0
В, 0
В, 1
Определение. Таблица переходов Т, в которой последующие
входные состояния полностью определены, является простой
AiF-покрываемой (или простой /ι-покрываемой), если существует
такое значение А, при котором для' всякой последовательности
ВХОДНЫХ СОСТОЯНИЙ Xait Х^, ■··, Xah И КЭЖДОЙ Пары Si И S)
имеет место равенство
[£а,> *ο2ι · · ·> £од> sl\ = "^ [i«i' ^ау · · ·> £ад> sl\·
Из теоремы 1 и ее следствия вытекает, что таблица Т' типа
MF является результатом произвольного доопределения неопре-
деленных выходов простой М^-покрываемой таблицы перехо-
дов Т.
Таблица 12.4
α β V
α
а, 0
а, 0
а, —
β
ь, -
b, 0
b, 1
Υ
с, 0
с, —
С 1
а, 0
а, 0
а, I
6, 0
Ь, 0
6, 1
с, 0
с, 0
С 1
Таблица 12.5
а
а, 0
Ь, 1
а, -
6, -
β
6, -
с, 1
а, -
а, —
У
_
с, -
Ь, 0
_ ^ _
ПОКРЫТИЯ НЕДООПРЕДЕЛЕННЫХ ТАБЛИЦ ПЕРЕХОДОВ 239
Рассмотрим, например, табл. 12.4, а. Поскольку
S[a, a] = S[a, b] = S[a,c] = a,
S [β, a] = S [β, b] = 5 [β, с] = Ь,
S [у, a] = S [у, b] = S [у, с] = с,
эта таблица переходов является простой М^-покрываемой, а
табл. 12.4,6 — одно из ее покрытий MF..
Табл. 12.5 дает пример таблицы переходов, которая не яв-
ляется М^-покрываемой.
Множества преемников
Условия, которым должна удовлетворять таблица переходов,
чтобы быть MF-покрываемой, можно выразить при помощи
множеств преемников, определяемых следующим образом.
Определение. Пусть V = {su S2,...,sn) — множество внутрен-
них состояний таблицы переходов Т. Множество преемников
порядка 0 является множеством внутренних состояний V. Мно-
жество преемников порядка 1, обозначаемое V(Xa), есть мно-
жество внутренних состояний S[xa, sj, S[xa, S2], ..., S[xa, sn].
Множество преемников порядка t, обозначаемое V (ха^а ·..
... x0i), определяется по множеству преемников порядка
t —1 [V(xai Xa2 ... £„,_,)= {sfll, sfl2, .... sfl/.)] как множество
внутренних состояний
[—al' SfliJ' l—al' Sa2\' ···''-* [Цсц> sar\·
. В качестве примера рассмотрим табл. 12.6. Множествами
Таблица 12.6 '
α β γ
а
b
с
d
е
f
8
h
i
i
b, -
a
e
d
b
—
—
0
—
-
1
—
—
-
h, 0
b, -
d, -
с, О
c, —
b, -
ft, 0
__ 1
i, ~
f, -
h ~
U 1
/. ·
»
g, 0
/. -
i, 1
240
ГЛАВА 12
преемников порядка 1, 2 и 3 этой таблицы являются соответ-
ственно множества
V (а) - {а, Ь, d, е), V (β) = {b, с, d, h), V (γ) = {f,g, i, jl
ν(αβ) = {6, с, h)
7(αββ) = {6, d).
Заметим, что множество преемников V (£а,£а2 · · · xai) содер-
жит все внутренние состояния, полученные при подаче входной
abcdefghij
последовательности £ai, £fl2, ..., £α/относительно всех внутрен-
них состояний таблицы переходов. Представим множества пре-
емников в виде ветвей дерева (рис. 12.1). Ветвь, обозначаемая
ха{, соединяет множество преемников У(£а,£а2 · · · £ог_]) с мно-
жеством V {Ха£аг · · · £<>,_,£<«/)·
Лемма 1. Для всякой транзитивной таблицы переходов Τ
справедливо: а) V(£0i-£e2 ··· £аг) — ^(£а2 •••.*в/); б) объедине-
ние всех множеств преемников порядка i равно множеству пре-
емников порядка 0.
Например, для таблицы на рис. 12.1
VQ)-{bc, d,h],
V (αβ) = {b, c, h}; V (ββ) - {b, с, d}\ V (γβ) = {b, h).
Поэтому
У(сф)сУф); Κ(ββ)<=Κ(β); V (γβ) с: V (β).
Лемма 1 используется при доказательстве теоремы 5.
ПОКРЫТИЯ НЕДООПРЕДЕЛЕННЫХ ТАБЛИЦ ПЕРЕХОДОВ 241
Множества-столбцы
Определение. Множество-столбец №/' является множеством
внутренних состояний, таких, что а) имеется по меньшей мере
одно множество преемников V(*a,*a2 · ■ · £а/). равное WP; б) не
имеется множества преемников V(хр^ ...'£»,); которое строго
содержит WfK
Совокупность множеств-столбцов порядка i обозначается A(i).
В качестве примера в табл. 12.7 даны множества-столбцы
порядка 1 и 2 для схемы, приведенной на рис. 12.1.
Таблица 12.7
Множества-столбцы
Порядка I
W\l)={a, Ь, d, e)
Wf > = [Ь, с, d, h]
*in - {f. g. t. I)
Порядка ?
Г[2> = {а, b,d)
B7<2> = {b, c, h]
«42) = {/.*,/}
Wf > - {a, d, e)
Wf > = {b, c, d)
w?} = U,g,i}
Лемма 2. Если Δ(i) = Δ <<+1>, то для каждой таблицы пере-
ходов Τ выполняется Δ^ = Δ('+Γ> для всех г. .
Для схемы на рис. 12.1 легко проверить, что Δ(2)=Δ<3>; следо-
вательно, А(2)=А<2+Г) для любого г. Назовем конечной совокуп-
ностью такую совокупность множеств-столбцов порядка k(Ah),
для которой Δ(")=Δ("+1) и ΑΜφΔ<*-4
Конечной совокупностью, например, для схемы на рис. 12.1
является Δ(2>.
В-теореме 5 сформулированы условия покрытия MF.
Теорема 5. Таблица переходов Τ является MF-покрываемой,
если (и только если) каждое множество-столбец W^ из ко-
нечной совокупности Δ<η> является совместимым по выходам
классом.
Доказательство. Пусть W^ — множество-столбец, совмести-
мое по выходам. Предположим, что
Ζ \xh stl] Φ Ζ [*/f s,J; s(|, sh «= WT.
242
ГЛАВА 12
По определению множеств-столбцов и по лемме 2 для каждого
/■>·& существуют внутренние состояния sa и sb и последова-
тельность входных состояний */,*/ ... Xj , для которых
-$[*/,. £/2, ..., Х/г, s0r] = ·$/,»
S[£h' -h' ···> -Iг' sbi\ = sh-
Следовательно,
Ζ[*/ι» £/,» ···> £/,. £/Ч] ^ Z [f/i» £/ι» ···' £/r· £/> Ч]·
Пусть Г' — покрытие таблицы Τ, и пусть s'a гэ sfl , s'b =э sb ,
где sa и Sj — внутренние состояния Г'. Тогда
z [£/,> £/2> ···> £ir' £/> 8ατ\ΦΖ [jc/,1 £/2> .... £/r, £/, S6rJ.
Следовательно, Г' не может быть таблицей переходов типа MF.
Для доказательства, что условия теоремы 5 являются доста-
точными, построим таблицу переходов 7W, покрывающую Т, и
покажем, что TW является простой ^/^-покрываемой таблицей.
Сопоставим последовательность входных состояний длины k
с внутренним состоянием из 7W и обозначим через s(£ai^a2...
... jcafe) внутреннее состояние Т&\ поставленное в соответствие
входной последовательности x_0lt Xp2, .... Xak·
Сформулируем правила, по которым определяются выходные
функции и функции следующих состояний 7W.
1. Zk\xb, s {х_а1Хаг ... Хак)] равняется выходному состоянию
класса V{ха Ха2 ... Xak), совместимого по выходам; если
V (*β, Ха2 · · · £ak) = 0, то Z* [xp, s (£а,£а2 ... х?к)] является не-
определенным.
2. S \X_by s\xolXa2 · · ■ Xak)\ = s(£a2£a3 " ' ' -ak—b)'
Согласно лемме 1, каждое внутреннее состояние содержится
по меньшей мере в одном множестве преемников V (ха£а2... x_ak)
и для каждого xa, справедливо соотношение
V (*«,*«, · ■ · X_akXb) Ξ V (Xa2X_a3 · · · £afc**>
Следовательно, 7W есть покрытие Т. Поскольку внутренние со-
стояния 7W определяются последними k входными состояниями,
7W является простой М/^покрываемой таблицей. Отсюда табли-
ца Τ — AfF-покрываемая.
Следствие. Таблица переходов Τ является i-покрываемой,
если и только если все множества-столбцы из Δ(*> совместимы по
выходам.
ПОКРЫТИЯ НЕДООПРЕДЕЛЕННЫХ ТАБЛИЦ ПЕРЕХОДОВ 243
Например, всякое множество-столбец порядка 2 табл. 12.6
и 12.7 является совместимым по выходам. Следовательно,
табл. 12.6 есть 2-покрываемая. Но так как множества-столбцы
^Т =■ {a, b, d, е) и ψψ = {b, с, d, h) являются несовместимыми
по выходам, эта таблица не является 1-покрываемой.
НОРМАЛЬНЫЕ ПОКРЫТИЯ
Остановимся на определении МЛпокрытий AiF-покрываемой
таблицы переходов*Г. Пусть А — наименьшее значение порядка,
при котором каждое множество-столбец совокупности Δ<Α) яв-
ляется совместимым по выходам. На основании следствия из
теоремы 5 таблица переходов Τ является «-покрываемой для
всякого « ^> А.
Определения и свойства
Для определения покрытия таблицы переходов Т, имеющей
память максимальной длины h, рассмотрим нормальное покры-
тие порядка h таблицы переходов Т.
Определение. Нормальное покрытие порядка h таблицы пе-
реходов Т, обозначаемое 7W (где h~2>A), определяется по таб-
лице переходов Τ путем сопоставления внутреннего состояния
s {хахХа2 ■ · · Ха^ таблицы 7W каждой последовательности вход-
ных состояний Хах> х_а2, ..., £αΑ· Входные функции и последую-
щее состояние 7"<ft> задаются следующим образом:
а) Zh\xb, s(£aiXai · · · Xa^j\ равно выходному состоянию
класса V (£а,£й2 ... Ха^}, совместимого по выходам; если
V' {хаХ_аг ••·£αΛ) = 0, то ΖΛ \хр, s(£e,£os · · · £αΑ)] неопределенно;
б) S [Хр, 5(£α,£α2 · · · £a^)j = s (£α2£ο3 ··· *°д£б)·
Отметим, что нормальное покрытие 7W было применено при
доказательстве теоремы 5.
В качестве примера в табл. 12.8 дано нормальное покрытие
порядка 2 табл. 12.6.
Нормальное покрытие 7W обладает следующим свойством:
входная последовательность ха, хй2, ..., Xah, имеющая длину «,
переводит 7W в единственное внутреннее состояние
shea Ха ... ХаЛ, поставленное в соответствие этой последова-
тельности; следовательно, Г<л> является простой «-покрываемой
таблицей. Например, подача входной последовательности α, β
переводит табл. 12.8 в состояние δ(αβ) независимо от исходного
состояния.
244
ГЛАВА 12
a, b, das (αα)
a, d, ecs (βα)
s{ya)
b, c, has (αβ)
b,c,dcs (ββ)
b, h с s (γβ)
Λ/,
f.g,
i,
cz s (αγ)
<= s (βγ)
<= s (YY)
Таблица 12.8
Υ
s (αα), Ο
s(aa), 1
s (aa), -
s (βα), Ο
s (βα), Ο
s (βα), Ο
s (γα), -
s (γα), —
s (γα), -
s (αβ), Ο
s (αβ), Ο
«(αβ),-
s (ββ), -
s (ββ), Ο
«(ββ). - '
«(γβ). ι
s (Υβ), 0
в (γβ), ι
δ(αγ), 1
5(αγ), 1
s (αγ), -
s (βγ), 0
в (βΥ). 1
s (βγ), ο
s(YY). 1
s(YY), l
s(yy), 1
Соотношения между покрытиями
Лемма 8. Для всякого целого числа г имеет место
Доказательство. По лемме 1 для любого из хь , х_Ьг> .
1' _а2'
'' —ah' ^S
V (xbix_bi ... xbrx_aiXa2 ...£«JsV (*«,£«, · · · xah)
Xpr>
V (х„2ХЬз . . . Х_ьтХаХаг · · · Xm£f) Ξ V (ха]Хйз . . . Ха>1Хс).
Следовательно, для каждого внутреннего состояния, принад-
лежащего T(h+r\ существует внутреннее состояние, принадлежа-
щее Г<л>, которое покрывает первое. Из этого следует, что
Г(А) ^j J(ft+r).
Теорема 6 показывает, что существует некоторое соотноше-
ние между покрытием MF, покрывающим таблицу Т, имеющую
память максимальной длины h, и нормальным покрытием по-
рядка h.
Теорема 6. Пусть Τ—покрытие MF таблицы Т, в которой
все состояния являются распознаваемыми. Если Τ обладает па-
мятью максимальной длины h, то Т' гэ 7W.
Доказательство. Поскольку все внутренние состояния, при-
надлежащие Т', являются распознаваемыми, то внутреннее со-
стояние, принадлежащее Т, определяется h последними вход-
ными состояниями; так как Т'^Т, то для всякого множества
ПОКРЫТИЯ НЕДООПРЕДЕЛЕННЫХ ТАБЛИЦ ПЕРЕХОДОВ 245
преемников F(£a,£a, · · · £*а)= [sh' sh' · · ·' siP] имеется внутрен-
нее состояние s'{ таблицы V, покрывающее каждый элемент
множества преемников. Кроме того, S'[£b> sj] = s^, где s'{ по-
крывает каждое внутреннее состояние множества преемников
ν(*<Α · · · i«/>£») = isli> sh slq)' Следовательно, каждое
внутреннее состояние «(£β,*β, ···*«*)' принадлежащее T(h), по-
крывается состоянием s[, принадлежащим Τ' и Г'гэГ.
Таким образом, нормальное покрытие 7W может быть интер-
претировано следующим образом: TW является таблицей пере-
ходов, выражающей минимальные условия, которые должно
обеспечить покрытие h, поскольку каждое покрытие таблицы 7,
максимальная длина памяти которой равна А, может быть по-
лучено как покрытие 7W.
В частности, минимальное покрытие таблицы Т, имеющей
память максимальной длины А, может быть получено по 7W.
Определение. 7W называется минимальным покрытием таб-
лицы Т, имеющей па,мять максимальной длины h; TM назы-
вается покрытием MF' таблицы Т.
Можно было бы ожидать, что Минимальное покрытие MF
таблицы переходов имеет память, длина которой меньше или
равна порядку его конечной совокупности. Однако это не всегда
так, и в общем случае, увеличивая емкость памяти, можно
прийти к уменьшению числа внутренних состояний.
В качестве примера возьмем таблицу переходов Ρ
(табл. 12.9); для этой таблицы A=k = 2, так как первая и
Таблица 12.9
α β γ
ь, -
a, 0
e, -
a, —
b, 1
d, -
d, -
>
-,
d,
c,
d,
»
»
-
—
1
0
—
—
8,
~~ t
»
"— »
~~ ι
g,
f,
0
-
1
-
—
0
Ρ
последняя совокупности столбцов-множеств, совместимых по вы-
ходам, есть Δ<2>. Минимальное покрытие Я® с длиной памяти 2
имеет 5 внутренних состояний (табл. 12.10, а), в то время как
17 Зак. 48
246
ГЛАВА 12
минимальное покрытие MF имеет длину памяти 3 и 4 внутрен-
них состояний (табл. 12.10, б).
Таблица 12.10
α β γ
a, b a A
а, ее В
d<=C
с, dczD
f, 8<=E
А, 0
А, 1
А, -
В, -
С, 1
D, -
D, 0
D, 1
D, 1
D, -
Е, 0
Е, -
Е, 1
Е, 1
Е, 0
э(2)
Μ
а, Ъ с А
а, ее: В
с, da С
U g^D
а
А, 0
А, 1
В, -
С, 1
β
С, -
С, 0
С, 1
с, -
Υ
D, 0
β, -
D, 1
D, 0
p(3)
Теорема 7. Если число внутренних состояний, принадлежа-
щих Тм\ есть |ΓμΙ = Λ+1, то Т(м является минимальным по-
крытием MF таблицы переходов Т.
Доказательство. Пусть | Тм | = А + 1 и предположим, что
I Тм \<\ Т{м I· По лемме 3 и теореме 6 Тм будет обладать па-
мятью г > h, тогда по теореме 4 имеем \ТМ\ ^τ + 1. Следова-
тельно, \ТМ\ Ξ> h + 2 и Тм не может быть минимальным покры-
тием MF.
Заметим, что для таблицы переходов Ρ (табл. 12.9)
|^mI = 4, следовательно, Рм является минимальным покры-
тием MF.
К сожалению, условие теоремы 7 довольно слабое, поскольку
определение Тм подразумевает определение Т(м\ Тм+[) Т{м
до порядка h, так что \Тм\ = Ь+1.
Однако для большинства таблиц переходов минимальное
покрытие MF имеет память, максимальная длина которой рав-
на k. Действительно, можно показать, что свойство ТмфТ<-к)
для структуры таблицы переходов влечет за собой достаточно
жесткие ограничения.
ПОКРЫТИЯ НЕДООПРЕДЕЛЕННЫХ ТАБЛИЦ ПЕРЕХОДОВ 247
Условия, определяющие память конечной длины
Рассмотрим теперь задачу получения таблицы переходов Т^
из таблицы Г<4 В следующей теореме выражаются условия,
которым должно удовлетворять покрытие 7W, чтобы иметь па-
мять конечной длины.
Теорема 8. Пусть Г = {Ci,C2,..., CN} — замкнутое неизбы*
точное множество классов совместимости Т<н\ покрывающее
внутренние состояния Т^\ МножествЪ Г определяет покрытие
7W, имеющее память, максимальная длина которой равна h,
если и только если, исходя из множества Г, можно определить
такое множество классов совместимости Г*= {С*, С*2, ..., C*N], что:
а) С]с=С1;
б) для каждого /, / имеет место С* Π С) ~ 0;
в) множество Г* —замкнутое и покрывает каждое внутрен-
нее состояние Г(А).
Доказательство. Если множество Г* может быть определено,
по множеству Г, то при любом внутреннем состоянии
s(£a,£e2 · · · £αΑ). входящем в "два или бодьшее число классов
совместимости Г, можноs исключить все эти вхождения, кроме
одного, не нарушая при этом условия замкнутости. Предполо-
жим, что внутреннее состояние s(XaXa . ■. ха^ входит
в классы СAh и CBh и его исключение из первого и второго
классов нарушает условие замкнутости. Тогда-должны суще-
ствовать по меньшей мере два класса CAfi_x и СВд], требующие
наличия состояния s(£ai£a2 ... jceft) в CAh и CB/i, для того чтобы
обеспечить замкнутость. Так как s(£ai£ej ... jcaft) можно рас-
сматривать как следующее состояние только в одном столбце х0/1
и строках s(£i£a, •■■За-ι) таблицы переходов Т(Н\ то CAfil со-
держит по меньшей мере одно внутреннее состояние
s(-b\—ai · · · *αΑ-ι)> а C^A-i с°ДеРжит по меньшей мере одно вну-
треннее состояние s (£c,^a, · · · £аА_,); поэтому исключение одного
из этих внутренних состояний (либо из CAfil, либо из СЯй1) не-
возможно.
В этом случае должны существовать по меньшей мере два
класса CAh2 и CBfi2, требующие по условию замкнутости наличия
состояния s(xPlXal ... ха/11) в классе САл_, и s(£CiXal...xafil)
в классе СдА ; классы СЛй_2 и CBft2 содержат по меньшей Мере
одно внутреннее состояние s(£b2xbixai ... xait-i) и °ДН0 внутрен-
нее состояние s(Xc2xSlXal ... £eft_2). Таким образом, должны
17*
248
ГЛАВА 12
существовать две последовательности классов СА{, САг, ... СА£
CBi,Cb2,... CBfi, такие, что CAi(CB) требует наличия
в столбце £а< класса CAl+l(CBi+i) для соблюдения условия зам-
кнутости. Пусть Г0 —таблица переходов, полученная по мно-
жеству Г, и пусть sai и sbi — внутренние состояния, принадле-
жащие Г°. и покрывающие соответственно СА{ и СВ/. Тогда,
поскольку S°[xai, sJJ = s°a{+i и S°[xBi, sSJ-eS|+1. имеем
1-αι -<V -V fliJ V
s°[-v-°2 -ν **,]"*»*·
Следовательно, Г° не может иметь память.максимальной'длины
h, так как все внутренние состояния, принадлежащие Г0, яв-
ляются распознаваемыми по предположению.
Предположим, что можно определить множество Г* по мно-
жеству Г. Тогда функция следующего состояния таблицы Т*,
определенной по Г*, является единственной и такой, что для
каждой пары внутренних состояний s< и Sj и для каждой по-
следовательности ха £в2 ... Xph имеем
S'[io,' £α2· · · ·' 5ifr> S'i] =5*[£o,· £<γ ■■■> £αΑ· S']]·
Следовательно, S* обладает памятью максимальной длины А.
В качестве примера рассмотрим следующие классы совме-
стимости для табл. 12.8:
C,-{s(aa), s (γα), δ(βγ)},
(?2 = {«(βα), s(pv)},
C3 = {s(afS), 5(γβ)},
ε4 = {β(ββ)},
CB = {s(ya), s(ay), s(yy)}.
Множество Г{Сь Сг, Сз, C4, Cs} удовлетворяет гипотезе теоремы;
более точно, состояние «(βγ), которое содержится в классах Ci
и Сг, может быть исключено из одного из этих классов без на-
рушения условия замкнутости, а состояние s(ya), которое содер-
жится в классах Ci и С5, может быть исключено из класса Сз
также без нарушения условия замкнутости. После исключения
ПОКРЫТИЯ НЕДООПРЕДЕЛЕННЫХ ТАБЛИЦ ПЕРЕХОДОВ 249
этих состояний получаются следующие классы совместимости:
C! = {s(aa), δ(γα)},
C; = C2 = {s(pa), 5(βγ)},
C; = C3 = {s(ap), «(γβ)},
ti-ct-{s<m.
Cs = {s(av), «(γγ)}.
Множество Г*={С*, C\, C\, С*, C*5} определяет табл. 12.11,
которая является простой 2-покрываемой.
Таблица 12.11
α β γ
s(aa), s (γα) <= А
s (βα), s (βγ) <= Β
s (αβ), s (γβ) <= С
s (ββ) с D
s (αγ), s (γγ) c= Ε
A, 0
A, 1
B, 0
B, 0
A, -
C, 0
с, о
β, -
Ζ), 0
С, 1
Я, 1
Ε, I
Β, 0
β, ι
Ε, 1
Таблица 12.12
Υ
s (αα)
β(βα)
δ(γα)
δ(αβ)
«(ββ)
β(γβ)
«(αγ)
«(βγ)
Μγγ)
s (αα), 0
s(aa), 0
s (αα), 0
«(βα), 0
s (βα), -
s (βα), -
s (γα), -
s (γα), -
s (γα), -
«(αβ), -.
s (αβ), -
s (αβ), -
s (ββ), -
β (ββ), 1
»(ββ). ~
*(γβ), ι
■« (γβ). -
«(γβ), ο
β(αγ), 1
«(αγ), 1
«(αγ), 1
«(βγ), ι
s (βγ), -
«(βγ). ο
5(γγ), 0
s (γγ), -
s (γγ), 0
Q(2)
В качестве другого примера рассмотрим нормальное покры-
тие Q<2> (табл. 12.12) '); если классы совместимости заданы
C, = {s(aa), s(pa), s(ya), β(αβ), 5(ββ)}, .
C2 = {s (ββ), δ(γβ), s {ay), s(Py)},
C8-{s(Py),-s(YY)}.
') Таблица переходов Q не приведена. Заметим, однако, что для заданной
таблицы переходов /4(Л>, у которой функция следующего состояния является
той же функцией, что и для нормального покрытия, всегда существует таб-
лица переходов А, для которой AW является нормальным покрытием поряд-
ка Λ (иногда сама AW),
250
ГЛАВА 12
то множество Г = {СЬ С2, С3} определяет покрытие Q<2>, но не
удовлетворяет гипотезе теоремы. Действительно, состояние
δ(ββ) принадлежит классам Cj и Сг; состояние δ(βγ) —классам
Сг и С3, но исключение этих состояний приводит к нарушению
Таблица 12.13
α β γ
Л =5 s (αα), s (βα), s (γα), s (αβ), s (ββ)
В => s (ββ), s (γβ), s (αγ), s (βγ)
С => s (βγ), s (γγ)
A
В
С
А, 0
Л, 0
А, 0
Л, 0
В, 1
θ, 0
θ, 1
С, 0
С, 0
Qo
условия замкнутости. Например, таблица переходов Q0, приве-
денная в табл. 12.13, получена по множеству Г, и очевидно, что
Q0 имеет бесконечную память.
Связь с разбиениями
По теореме 8 покрытия MF таблицы переходов 7W соответ-
ствуют разбиениям множества внутренних состояний, принад-
лежащих 7W.
Определение. Разбиение πΜ множества внутренних состоя-
ний таблицы переходов является замкнутым минимальным раз-
биением, если а) блоки разбиения образуют замкнутое множе-
ство классов совместимости и б) отсутствуют другие разбиения,
которые удовлетворяют условию (а) и содержат меньше блоков.
В работе [12] дан метод определения минимальных замкну-
тых разбиений. Более точно минимальное покрытие, имеющее
память максимальной длины h, соответствует минимальному
замкнутому разбиению Г(,г>.
Например, табл. 12.8 допускает два минимальных замкнутых
разбиения. Из них одно было найдено в примере к теореме 8,
а другое имеет вид
jt"={s(aa), s'(ya), s^Y); s(|Ja); δ(αβ), s(Yft; δ(ββ); s(aY), s(YV)}.
Первому разбиению соответствует табл. 12.11, а π", соот-
ветствует табл. 12.14. В табл. 12.15 приводится кодирование без
обратных связей для табл. 12.11, полученное по методу, изло-
женному в [2].
ПОКРЫТИЯ НЕДООПРЕДЕЛЕННЫХ ТАБЛИЦ ПЕРЕХОДОВ 251
Таблица 12.14
β V
у\
s (αα), s (γα), s (βγ) с: А
s (βα) cz В
s (αβ), s (γβ) с С
8 (ββ) <= D
s (αγ), s (γγ) с: Ε
Таблица 12.15
Уг Уг s
А, 0
А, 1
В, 0
S, 0
А, -
С, 0
С, 0
β, -
D, 0
С, 1
£, 1
Е, 1
Л, 0
Л, 1
Е, 1
Таблица 12.16
Υ δ
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
0
1
0
1
0
А
в
с
D
Ε
а
b
с
d
е
f
S
h
i
а, -
b, -
с, 0
а, 1
Ь, -
с, -
а, —
ь, -
с, -
d, -
е, -
и -
d, -
е, —
f, о
d, l
е, -
/. -
8. 0
к -
и -
g. -
h, -
ι, -
g· ~
h, -
i, 1
c, —
c, ~
o, —
c, —
c, —
i, —
c, —
c> —
a, -
Предположим, что входные состояния кодируются при по-
мощи входных переменных х{ и х.% следующим образом:
α кодируется xl(t)=l, x2(t) = 0,
β „ jc,(0=1, *а(0=1.
V „ *ι(/) = 0, x2(i)=l.
Устройство, полученное по табл. 12.11 на основании кодиро-
вания в соответствии с табл. 12.15, описывается следующими
логическими функциями:
yl(t+l) = x1(t)-X2(t),
y3V+i)-yi(t),
г (t) = х2 (t) · у, (t) · у3 (t) + [у, (t) + у3 (t)] · х, (0 + у2 (t).
В заключение отметим, что минимальное покрытие MF-uo-
крываемой таблицы переходов может не обладать конечной
252
ГЛАВА 12
памятью, например табл. 12.16. Табл. 12.17, α является ее мини-
мальным покрытием, в то время как табл. 12.17,6 является ее
минимальным AiF-покрытием.
Таблица 12.17
a, b, d. e, g, hcz A
с, f, i cr В
а
A, 1
B, 0
Υ
A, 1
B, 0
β
A, 1
B, 0
б
в, -
А, -
а, Ь, с с 1
d, e, fez 2
8, h, i с 3
1, 0
1, 1
1', -
2, -
2, 0
2, 1
3, 1
3, -
3, 0
ι, -
ι, -
ι. -
ГЛАВА 13
МЕТОД СИНТЕЗА НАДЕЖНЫХ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТНЫХ УСТРОЙСТВ
Бенежам
Существуют различные критерии оптимизации синтеза по-
следовательностных устройств. В данной главе в качестве кри-
терия выбрана надежность.
Принцип излагаемого ниже метода применим к последова-
тельностным устройствам общего вида, имеющим произволь-
ное1) число входов или выходов. Однако с целью упрощения
расчетов в качестве примера для иллюстрации процесса синтеза
взята простая схема с одним входом и одним выходом.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТНЫХ УСТРОЙСТВ
Для того чтобы последовательностное устройство выполняло
свои функции надежно, необходимо, но не достаточно, чтобы на
каждом этапе работы устройства существовал по меньшей мере
один правильно работающий элемент и по меньшей мере один
правильно выполняемый переход между последовательными
этапами. Каждый из этих этапов соответствует внутреннему
состоянию последовательностного устройства.
Входной вектор, равный или не равный предыдущему, перио-
дически переводит устройство, находящееся первоначально в
некотором состоянии, либо в это же, либо в другое внутреннее
состояние. Таким образом, последовательностное устройство
может быть определено как отображение f(с?, оМ) конечного
множества ^ входных последовательностей в конечное множе-
ство оМ выходных последовательностей. Одной и той же входной
последовательности могут соответствовать различные выходные
последовательности; они зависят от исходного состояния уст-
ройства к моменту поступления входной последовательности.
Пусть последовательностное устройство содержит т двоич-
ных входов а, р; ..., μ и η двоичных выходов 1, 2, ..., η
1) По-видимому, без учета вычислительных трудностей. --Прим. ред%
254
ГЛАВА 13
(рис. 13.1). В этом случае существует 2т значений входного век-
тора; t'-му входному вектору Ε4 = (α,, β{·, ···, μ*) соответствует
матрица переходов #е, и матрица выходов Бег
а
β
Последователь-
ностное
устройство
Рис. 13.1.
Для каждой последовательности входных векторов
Е, Е2 ... Е„
β.
α2 .
βρ
μι μ2 μΡ
математической моделью работы устройства является систе-
ма ρ матричных булевых уравнений, решения которых представ-
ляются в следующем виде:
М2 = Re, ® SE2
Mp = Re,®Re,
®Re„ ,<8>Se„
\f(ElE2...Ep) = (MlM2...Mp)
P-l Ρ
Значком ® обозначено матричное булево произведение.
Матрицы переходов RE. являются квадратными булевыми
матрицами, порядок которых равен числу состояний устройства.
Эти матрицы содержат по одной единице в строке и называются
Σ-строчными единичными матрицами. Матрицы выходов SE( яе-
ляются булевыми матрицами, которые дают значения выходных
векторов по входным векторам Е; и состоянию устройства. Чис-
ло столбцов и строк в этих матрицах равно соответственно числу
выходов и состояний устройства. Таким образом, последователь-
постному устройству как отображению конечного множества £*
входных последовательностей в, конечное множество сМ выход-
ных последовательностей соответствует более удобное представ-
ление, а именно конечное множество 2т матриц выходов и 2т
матриц переходов.
СИНТЕЗ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТНЫХ УСТРОЙСТВ
255
Теория булевых матриц позволяет определить:
а) соответствие между входными и выходными последова-
тельностями на основании матриц переходов и выходов;
б) матрицы переходов и выходов на основании соответствия
между входными и выходными последовательностями. Матрицы
переходов в общем случае могут не быть Σ-строчными единич-
ными, но иногда могут быть разложены на сумму Σ-строчных
единичных матриц, каждая из которых удовлетворяет соответ-
ствию между входными и выходными последовательностями.
Свойство 1. Каждому конечному множеству 2т матриц вы-
ходов и 2т матриц переходов соответствует одно и только одно
отображение f конечного множества & входных последователь-
ностей в конечное множество оМ, выходных последовательностей.
По этому множеству матриц выходов и переходов определяется
возможность построения устройства.
Свойство 2. Отображению ЦУ, аН) могут соответствовать
различные множества из 2™ матриц переходов и из 2т матриц
выходов, по которым определяется возможность построения
устройства. Пусть Η — множество таких устройств, называемых
эквивалентными.
НАДЕЖНОСТЬ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТНЫХ УСТРОЙСТВ
Повышение надежности последовательностных устройств
При этом могут быть поставлены две задачи:
1. Повышение вероятности получения правильного перехода
и правильного выхода.
Действительно, каждой матрице переходов RE[ и каждой
матрице выходов SE соответствуют стохастические матрицы
вероятностей переходов ^?Е/ и вероятностей выходов ^"Е , кото-
рые позволяют вычислить вероятность безотказной работы
устройства при всех входных последовательностях. В матрице
<0?Е/ сумма вероятностей по строке, естественно, равна 1; клас-
сическая избыточность элементов позволяет в этом случае по-
высить вероятность правильных переходов. Действительно, если
1 0 0
0 1 0
1 0 0
и £?Ei =
Р\ <7ι П
?2 />2 Г2
Рз <7з '"з
где pi — вероятности правильного перехода, а Цх и rt — вероят-
ности неправильного перехода, то можно увеличить pj по отно·
шению к qi и /·,·. -
256
ГЛАВА 13
2. Изменение логической структуры последовательностного
устройства таким образом, чтобы некоторые состояния, возни-
кающие вследствие отказов, отрабатывались устройством так,
как если бы они были получены при правильной работе. Реше-
нию этой проблемы посвящена данная глава.
Требования надежности
Требуется построить такое устройство, которое продолжало
бы правильно работать даже при повреждении нескольких его
элементов. Схема устройства при этом будет избыточной. Вы-
игрыш в надежности в этом случае является функцией числа
элементов, повреждения которых были нейтрализованы, и чис-
ла элементов, которые были введены в устройство. Правильная
работа последовательностного устройства означает сохранение
точного отображения f (cf, <Ж). Решим сначала задачу точного
сохранения этого отображения только для части заданных вы-
ходных последовательностей.
ι
Следствие. Избыточная схема является схемой из множества
Н, преобразуемой ее отказами в другие схемы из И.
Действительно, отказ одного или нескольких элементов по-
следовательностного устройства преобразует последнее в устрой-
ство, выполняющее другую функцию; если это новое устройство
эквивалентно первому, то, несмотря на отказы, исходное устрой-
ство допускает отображение / (с?, о4С).
Этот метод повышения надежности учитывает следующий
факт: в процессе синтеза последовательностного устройства
обычно определяют требуемые выходные последовательности
только для конечного числа входных последовательностей и
внутренних состояний, т. е. f не полностью определяется на мно-
жестве У. Следовательно, для входного вектора Е,- при числе
внутренних состояний устройства щ матрица выходов
Me, имеет tif строк. Кроме того, существуют векторы -Ej, для ко-
торых Ме{ не определяется.
Если функция f будет определена для добавочных векторов
Е,·, то появятся дополнительные условия, задающие соответ-
ствующую работу устройства. Следовательно, вероятность пра-
вильного функционирования устройства при этом уменьшается.
Наоборот, существует возможность введения избыточности пу-
тем прибавления «незаданных» состояний устройства, которые,
однако, обеспечивают правильную работу устройства.
Пусть tif — минимальное число внутренних состояний после-
довательностных устройств, удовлетворяющих \&%<ИС). В на-
СИНТЕЗ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТНЫХ УСТРОЙСТВ 257
стоящее время пока не существует систематического метода
поиска щ.
Пусть #„/ — множество всех эквивалентных устройств, имею-
щих rtf состояний и удовлетворяющих f{&, «#). Рассмотрим
следующее свойство.
Свойство 3. Для множества всех эквивалентных устройств
справедливо соотношение
Hnf+i =э Η φ
Устройства из #„/ являются в то же время устройствами из
tf„/+i, удовлетворяют f{<?, аН) и содержат /i/+i внутренних
состояний, таких, что из них щ состояний принадлежит устройству
из Hnf; ни одно из щ состояний не переходите (nf+\)-e состоя-
ние под воздействием какого-либо входного вектора, а (п/+1)-е
состояние переходит само в себя при любом входном векторе.
Таким образом, получают последовательность возрастающих
по мощности множеств; Яп/+1 содержит устройства из Нп} и
другие устройства, для которых (я/+1)-е состояние не является
полностью независимым.
Решение матричных булевых уравнений, описывающих по-
следовательностные устройства, показывает, что чем выше по-
рядок булевой матрицы, тем больше она содержит единиц в
строке; следовательно, по мере роста nf мощность множества
эквивалентных устройств возрастает. Для устройств, получаю-
щихся в результате отказов, влияние которых нейтрализуют,
имеется, таким образом, большая вероятность того, что они вхо-
дят в множество эквивалентных устройств. Отыскиваемые свой-
ства надежности будут получены, если все повреждения, влия-
ние которых мы хотим устранить, преобразуют устройство из Н.
в другие устройства из Н.
Решение проблемы надежности
Избыточность может быть введена прибавлением «неопреде-
ленных» внутренних состояний после синтеза исходной схемы.
Неопределенное внутреннее состояние — это состояние, для ко-
торого не заданы выходные состояния, соответствующие тем или
иным входным векторам. Добавление внутренних состояний
требует добавления элементов, следовательно, для увеличения
надежности путем введения избыточности необходимо увеличи-
вать число элементов.
Излагаемый метод позволяет определить те состояния, кото-
рые нужно добавить для увеличения надежности.
Поскольку первой задачей является точное сохранение зна-
чений лишь для части выходных последовательностей, необхо-
258
ГЛАВА 13
димо выявить те отказы, влияние которых хотят исключить. Для
этого выполняют анализ избыточности, т. е. выполняют систе-
матическое исследование устройства с целью определения по-
следствий отказов в устройстве п, следовательно, в матрицах
переходов и выходов.
Для анализа избыточности необходимо синтезировать базо-
вое устройство при помощи какого-либо систематического ме-
тода, например метода Хаффмана. Такое базовое устройство
позволит вычислить множество соответствующих ему матриц
переходов и выходов.
ИЗЛОЖЕНИЕ МЕТОДА
Пусть На — множество устройств, имеющих α состояний и
эквивалентных исправному базовому устройству. Применим
следующий итеративный метод к базовому устройству (схема).
Λ' = Λ
Вход
Определение устройства
Требование надежности
Синтез базового устрой-
ства h по методу
Хаффмана
Множество Я
устройств, экви-
валентных h
Анализ избыточности
устройства h
Множество Я' уст-
ройств, полученных
из Λ в результате отка-
зов, подлежащих ней-
трализации
Да
Выбор минималь-
ного устройства
из Я
Нет
Выбор наиболее на-
дежного устройства
из Я (например, h')
Выход
Синтез нового устрой-
ства А' графическим
методом
Прибавление внутрен-
него состояния к К
СИНТЕЗ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТНКХ УСТРОЙСТВ 259
I. Выполняем анализ избыточности, т. е. систематически
исследуем последствия отказов в терминах матриц переходов и
выходов с целью выбора тех отказов, влияние которых на ра-
боту устройства должно быть исключено. Таким образом, опре-
деляем множество На устройств, получаемых в результате дей-
ствия интересующих нас отказов. Выбор отказов, влияние кото-
рых требуется устранить, выполняется путем исключения из
множества На всех устройств, эквивалентных исправному базо-
вому устройству. При этом могут возникнуть три случая.
1. На(]На = На, т. е. базовая схема удовлетворяет требуемым
критериям надежности, и поэтому никаких специальных мер по
нейтрализации влияния отказов не требуется.
2. На Π На с= На, т. е. нейтрализуется только часть отказов.
Каждому устройству из На соответствует подмножество уст-
ройств из На. Выбирают устройство из На, которому соответ-
ствует подмножество устройств На, содержащее наибольшее
число элементов; при этом нейтрализуется наибольшее число
отказов.
3. На(]На = 0, т. е. ни один из отказов не устранен. Однако
и в этом случае выбирается устройство из На для того, чтобы
не осложнять алгоритм слишком большим числом матричных
операций. Пусть самое надежное устройство из На выбрано.
В этом случае для него в матрицах Rnt заменяют единицы наи-
большими значениями вероятностей иметь соответствующие зна-
чения в матрицах <$?Ei; матрицам выходов Se1 соответствуют
наибольшие вероятности правильных значений выхода в матри-
цах Ь^Е;·
II. К найденному устройству добавляем неопределенное со-
стояние для выбора значений выходных последовательностей,
соответствующих при правильном функционировании входным
последовательностям; при этом добавляемое состояние рассмат-
ривается как исходное: эти значения являются решениями си-
стемы булевых матричных уравнений. Кроме того, добавление
неопределенного состояния повышает надежность, т. е. позво-
ляет получить в На+] устройства из Ηα+ι) затем выбирают
оставшиеся незаданные значения после решения системы буле-
вых матричных уравнений. При каждой итерации необходимо
выполнять анализ избыточности.
Примечание. Некоторые ошибки вынуждают прибавлять одно
или несколько неопределенных внутренних состояний. Действи-
тельно, изменения, вызываемые отказами в выходной последо-
вательности, являются либо следствием отказов, происходящих
260
ГЛАВА 13
в выходной части последовательностного устройства, либо след-
ствием отказов, присходящих во внутренних частях устройства.
В первом случае отказы изменяют матрицу выходов и могут
нарушить их правильные значения. Во втором случае непра-
вильный переход может образовать непредвиденное в процессе
синтеза устройства внутреннее состояние.
ПРИМЕР ИСПОЛЬЗОВАНИЯ МЕТОДА
Возьмем релейную схему, имеющую один вход и один -выход.
Входной последовательности 010 должна соответствовать вы-
ходная последовательность 001.
Метод Хаффмана дает следующие функции возбуждения и
выхода:
Y-Xi + Уи
Ζ = х2у2-
Схема устройства приведена на рис. 13.2. Работа устройства
выражается диаграммой переходов (рис. 13.3). Ветви диаграммы
обозначаются двумя цифрами, представляющими соответственно
значения входа и выхода устройства. Из диаграммы напишем
X
—1ЯЯ№№
1—у,—'
"— хг Уг-
Υ
z
Рис. 13.2.
матрицы переходов Ro, Ri и выходные векторы So, Si:
Ro
1
2
3
1
1
0
0
2
0
0
0
3
0
1
1
R>
0 1 0J
0 10
oio
So
0
1
1
Si
0
0
0
Это устройство было построено, чтобы проверить следующее
отображение f(&, <*#):
/(010) = {001, 101, 101}.
м
В этом случае ё? состоит из одного элемента. Предположим,
что отыскиваемые условия обеспечения надежности состоят в
СИНТЕЗ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТНЫХ УСТРОЙСТВ 2S1
точном сохранении последнего значения выхода в выходной по-
следовательности, каковы бы ни были отказы, возникающие в
устройстве.
Для этого выполняем анализ избыточности. - '
Обмотки реле имеют малую, вероятность повреждения. От-
казы возникают главным образом в контактах, и опыт показы-
вает, что преобладают отказы типа обрыва, а не замыкания.
Οβ
схг
Рйс. 13.3.
Отказы, влияние которых нужно устранить, вызывают сле-
дующие изменения в матрицах переходов и выходных векторах:
*( =
*S =
1
1
1
0
0
0
0
0
0
или
ч
1
0
0
0
1
1
0
0
0
ИЛИ #0 =
Rl·
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1 0 0
0 1 0
10 0
ι So =
0
0
1
Рассмотрим отказы типа сбоя и-устойчивые- отказы. Проана-
лизируем избыточность.
Отказы типа сбоя
1. Отказы (обрыв) возникают и продолжаются в течение
первого такта (Х = 0). В этом исходном такте может отказать
только Х2, но этот отказ' не изменит выходного значения. По-
этому для контактов и обмоток реле получаем
. X *\ У\ *2 Уз Υ Ζ
0 0 0 0 0 0 0
262
ГЛАВА 13
2. Отказы (обрыв) возникают и продолжаются в Учение
второго такта, когда реле X включено (Х*=1), т. е.
X
1
3. Отказы (обрыв)
т. е.
X Xi
0 0
0
0
0
0
*1
0
.1
1
У\
0
0
1
#2
0
0
0
возникают
У)
0
1
1
1
0
х2
1
0
1
1
1
Уч
1
1
0
1
0
У* Υ Ζ
0 0 0
1 1 0
0 1 0
на третьем такте, когда Х=0,
Υ Ζ
1 1
1 0 (отказ)
1 0 (отказ)
0 1
• 0 0 (отказ)
Из таблицы видно, что отказ реле У имеет то же действие, что
и отказ контакта у\. Отказ типа обрыва элементов хг, г/г, У из-
меняет, последнее значение выхода в выходной последовательно-
сти.
Устойчивые отказы
1. Обрыв на первом такте возникает только в элементе хг,
но он не изменяет ни одного выходного значения в течение
существования входной последовательности.
2. Обрыв элемента, возникающий на втором такте, создает
ложное значение выхода на третьем такте. Значением выхода Ζ
на третьем такте является Ζ=0.
3. Наконец, устойчивые отказы на третьем такте оказывают
такое же влияние, как и отказы типа сбоя.
К отказам, влияние которых необходимо исключить, чтобы
сохранить правильным окончательное значение выхода в вы-
ходной последовательности, относятся отказы типа обрыва эле-
ментов *ι и У, возникающие на втором такте независимо от того,
являются они' устойчивыми или типа сбоя; устойчивые отказы
типа обрыва элементов у\ и г/г, возникающие на втором такте,
и отказы типа обрыва элементов хг и гу2, возникающие на тре-
тьем такте.
Из анализа избыточности следует также, что одновременное
повреждение одного или нескольких элементов часто приводит
к одинаковым изменениям в матрицах переходов и в выходных
векторах.
СИНТЕЗ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТНЫХ УСТРОЙСТВ
263
Добавим новое неопределенное внутреннее состояние 4 к
базовому устройству, определяемому матрицами
Яо
В этом случае входные и выходные последовательности имеют
следующее соответствие:
1 0 0
0 0 1
0 0 1
, /?1*=
0 1 0
0 10
0 1 0
» -So "^
0
1
1
, 5,=
0
0
0
01о#;
2
3
4
So
0
1
1
А
Vi
0
0
0
в
v2
1
1
1
с
5!
0
0
0
D
Найдем также А, В, С, D, которые удовлетворяют приведен-
ным ниже уравнениям (а), (б) и (в) и обеспечивают повышение
надежности в требуемом направлении:
(а) S0 = $0,
(б) tfo®S, = F„
(в) #o®tfi®S0 = F2)
0
(a) S0 =
(б) До®
0
0
0
D
0
0
0
В
/Й-
®/Ш£>/ =
1
I
1 1 1
1 1 1
111 1
В В В D + B
264 /ГЛАВАМ!
®/00(Ш/ =
1. 1
1 1
1 1
111 D
111 D
111 D
I 1 1 B+D
D
D
D
В В В BD + BD
1, если B~D
(в) [/?o®tfi]®S0
[#ο®#ιΓ =
® 1100Л |
[Ro®RiY-
®|011Л|
1
1
1
с
0 1 1 A
Oil A
Oil A
С 1 1 A+C
111 1
111 1
ill ι
1 С С А+С
[Ro ® Ri] = [Ro ® RiY IR* ® RiY
[Ro®Ri]
Oil A
Oil A
Oil A
С С С АС + АС
1, если А*=С
СИНТЕЗ ПОСЛЕДОВ А ГЕЛЬНОСТНЫХ УСТРОЙСТВ 265
ИЛИ
R0®Rl = [Ro®Rl]
/?ι = /?ο·®[/?ο®/?ι]
R'i = Μ ® [Ro ® Λι]
*;=
1 1 1
1 1 1
1 1 1
D D D
Β
Β
Β
DB + BD
®
1 0 0 . Α
1 0 0 Α
10 0 Α
С С С АС + АС
/?;=
о
о
о
в + с
в + с
в + с
в + с
в + с
в + с
А(В + С)
А{В + С)
А(В + С)
D(C + B) D(B + C) i
0 0 0 В
0 0 0 В
0 0 0 В
D D D BD + BD
Э(В + С) AC + D{B + C)
®
0 11 А
0 11 А
0 11 А
С С С АС + АС
Ъ + С В + С В + С В + АС + АС
В + С В + С · В + С Ъ +АС + АС
В+С В + С В + С В + АС + АС
C + BD + BD C + BD + BD C + BD + BD А (С + BD)+ D (AC + В)
0 ВС + СЪ ВС + СВ А{ВС + ВС)
О ВС + СВ ВС + СВ А{ВС + ВС)
О ВС + СВ ВС + СВ А{ВС + ВС)]
D(B + C) D(B + C~) D(B + C) AD{B + C) + ABCD
Матрица Ri должна содержать по меньшей мере одну еди
Я.=
ницу в строке =ф В Φ С.
/?.=
0
0
0
D
1
1
1
DC
1
1
1
DC
А
А
А
AD + ACD
18 Зак. 4Ь
266
ГЛАВА 13
С другой стороны, если мы хотим удовлетворить булевы матрич-
ные уравнения (а), (б) и (в), нужно проверить равенство
R0®Ri=[Ro®Ril где'
Ro®Ri =
О ВС+СВ ВС + СВ А(ВС + ВС)
О ВС+СВ ВС + СВ А(ВС + ВС)
О ВС+СВ ВС + СВ А(ВС + ВС)
DC B(C + D) B{C + D) AC+JCD
Если В ф С, то
0
0
0
DC
1
1
1
с
1
1
1
с
А
- А
А
АС + ACD
#0®#1 =
Чтобы вновь найти матрицу [Ro ®"Ri], необходимо, следова-
тельно, иметь D=\, откуда
Яо =
Так как требования надежности состояли в том, чтобы сохранить
правильным окончательное значение выходов в выходной по-
следовательности при любых отказах, возникающих в устрой-
стве, то необходимо иметь С=1, и вследствие этого В = 0.
Таким образом, матрицы Rq и R\ принимают вид
1
1
1
в
1 1 0
1 1 0
1 1 0
в в в
, '#.=
0
0
0
1
1
1
1
в
1 А
1 А
1 А
В А
Яо =
1110
1110
1110
1110
/?,=
О 1 1 Л
0 1 1 Л
0 1 1 Л
1 0 0 Л
Следовательно, возможны З4 комбинаций матриц, имеющих
только одну единицу перехода в строке для матрицы Ro. Для
матрицы Ri возможны 24 комбинаций, если Л = 0, и З3 комбина-
ций, если Л = 1.
СИНТЕЗ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТНЫХ УСТРОЙСТВ
267
Матрицы Ro и R\ принадлежат одному и тому же множе-
ству Н. Посмотрим, все ли охвачены отказы, которые необхо-
димо нейтрализовать. Для отказа типа обрыва элементов
Х\ и у на втором такте имеем
Яо =
Яо-
1 0
0 0
0 0
0
1
1
1
и #,=
и Я,=
1
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
1
1
1
1
0
0
0
0
Матрица Ri не содержится в этом множестве.
Рассмотрим, как изменилось исходное устройство при добав-
лении состояния 4. Устройства были получены по их матрицам
переходов и выходов, т. е. по диаграммам переходов. Состояния
при синтезе представлялись двоичными числами, соответствую-
щими значениям внутренних и выходных реле.
В качестве примера проведем синтез устройства, принадле-
жащего множеству Я4:
Яо-
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
, /?1~
0 10 0
0 10 0
0 10 0
0 0 4 0
» Sq —
0
1
1
1
,. s.=
0
0
0
1
Диаграмма переходов этой схемы приведена на рис. 13.4.
со-
Рис. 13.4.
18*
268
ГЛАВА 13
В исходном устройстве состояния 1 и 2 имеют значения 00
и 01 соответственно. Состояние 4 возникает из состояний / и 2
вследствие отказов, которые не изменяют выход Ζ (так как все
отказы типа обрыва); таким образом, оно должно отличаться
от состояния 01 : У=0, Z=l. Следовательно, для увеличения
надежности необходимо добавить второе внутреннее реле. Таким
образом, реле Y\ и Уг являются внутренними реле. Выберем,
например, четыре следующих устойчивых состояния (рис. 13.5):
У\ Уг г
1 = 000
2=100
3=111
4 = 010
Алгоритм синтеза позволил построить устройство, приведенное
на рис. 13.10.
В этом примере избыточность, полученная за счет добавле-
ния четвертого состояния, оказалась эквивалентной параллель-
ному резервированию. Если не пренебрегать отказами типа
«короткое замыкание», то каждый контакт был бы заменен
параллельно-последовательной схемой из четырех контактов,
т. е. число элементов устройства было бы не в два, а в четыре
раза больше. Анализ избыточности и применение метода пока-
зали, что в случае отказов типа обрыва или короткого замыка-
ния число элементов не изменялось.
СИНТЕЗ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТНЫХ УСТРОЙСТВ
Заметим, что матрица
отсутствует в множестве матриц Ri, т. е. не все отказы были
нейтрализованы.
Кроме того, из вычислений следует, что прибавление новых
внутренних состояний не обеспечивает получения матрицы вида
1
α
α'
а"
0
β
β'
β"
0
Υ
Υ'
Υ"
0
δ
δ'
δ'
1
0
0
*
0 0...
10...
10...
* · · ·
/?.=
Избыточность, введенную при помощи рассмотренного ме-
тода синтеза, можно удвоить резервированием, примененным к
элементам х и у.
пшт^-
и;
г 00007Г4—
—х у—r00W(T
Рис. 13.6.
-птт^-
1ХГ
•г
—r-y2—r-r "OoOW*
—т-х у,—г-ПЛЯР—
L-x ytJ
Рис. 13.7.
Рассмотренный пример доказывает необходимость полного
определения алгоритмических признаков при поиске наиболее
надежного устройства. Действительно, в настоящее время суще-
ствуют скорее методы повышения надежности некоторой исход-
270
ГЛАВА 13
X
-O06WOT4-
Υ
-ι-я у-г^ТЯЯТ—
Рис. 13.8.
л
'ОШбВС4-
-у—у-
Ly—у-"
тшяяяг—
-рх—х-р-гУ—У-г/^^1-
Li—xJ Ly—yJ
Рис. 13.9.
т::г
X
ТЯШЯЯГ4—
ν,
M-r-OOWG"4-
й
—х-■
-*-
•х-нТКЙТ-
Рис. 13.10.
'СШЮР-
I х 1
-УГ
™к
СП
Рис. 13.11.
ной структуры, построенной без учета надежности, а не методы
надежного синтеза (например, матричный метод для логических
комбинационных структур, метод Хаффмана для логических
последовательностных структур). Обычно производят анализ
надежности, учитывая при этом надежностные характеристики
элементов или целых схем, затем заменяют их более надеж-
ными. Таким образом, операции минимизации числа элементов,
более или менее полно осуществляемой в процессе синтеза, и
СИНТЕЗ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТНЫХ УСТРОЙСТВ 271
повышения надежности выполняются раздельно. Сравнение ме-
тодов повышения надежности, позволяющих получить одинако-
вый выигрыш в надежности, можно производить только путем
сравнения цены количества элементов.
Изложенный метод не может быть предметом реального
сравнения с другими существующими методами повышения на-
дежности, так как его применение требует не только выработки
итеративного метода добавления состояний, но также алгоритма
синтеза, учитывающего вид, в котором будет представлено уст-
■ройство.
Для рассмотренного примера (рис. 13.6) найдены следую'щие
модификации структуры устройства: параллельное резервиро-
вание контактов (рис. 13.7), параллельное резервирование реле
(рис. 13.8), параллельно-последовательное резервирование кон-
тактов (рис. 13.9), резервирование состояний (рис. 13.10),
параллельное резервирование контактов и резервирование со-
стояний (рис. 13.11).
ГЛАВА 14
АНАЛИЗ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТНЫХ СХЕМ
ПРИ ПОМОЩИ ГРАФОВ
Р. Перре, М. Дегерри
ВВЕДЕНИЕ
В данной главе приведен анализ заданное схемы для того,
чтобы определить множество булевых уравнений, описывающих
работу последовательностной схемы, проверить правильность
построения схемы, т. е. правильность кодирования внутренних
переменных и отсутствие состязаний.
Описываемый здесь метод применим к последовательностным
схемам (электронным или другим), реализованным на элемен-
тах НЕ-ИЛИ.
ГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
Графические символы
Будем использовать графические символы, являющиеся
обычным представлением элемента НЕ-ИЛИ, а также дополни-
S = N(a,b,c) S*a,b,cy
Рис. 14.1.
тельно указывать направление распространения информации
между элементами (рис. 14.1). Кроме того, будем различать
входные (а, Ь, с) и выходные узлы (5) элементов.
ν
Определения
Путь — направленный путь, соединяющий входные или вы-
ходные узлы двух элементов НЕ-ИЛИ. Прямой путь— направ-
ленный путь, проходящий только один раз через каждый входя-
АНАЛИЗ СХЕМ ПРИ ПОМОЩИ ГРАФОВ 273
щий в него элемент. Узел — элемент. Петля — путь, начало и
конец которого совмещены.
Независимые (или непересекающиеся) петли — петли, не
имеющие ни одной общей точки.
Пример. Рассмотрим триггер из 6 элементов НЕ-ИЛИ
(рис. 14.2). Обозначения на графе: Τ — входная логическая пе-
«S,
*5,
Рис. 14.2.
ременная; Su S2 — выходные логические функции; А, В, С, D,
Е, F — элементы НЕ-ИЛИ; ЛВС —путь; АВ — петля; BE и
CF — независимые петли.
СОСТАВЛЕНИЕ БУЛЕВЫХ УРАВНЕНИЯ
Понятие последовательностной схемы
Рассмотрим сначала комбинационную схему (рис. 14.3).
Каждому сочетанию значений входов е\, е2, ..., еп соответ-
ствует определенное единственное состояние выходов «ь «2, ···
..., sm. В этом случае схема разомкнута, т. е. не имеет петель.
Рис. 14.3.
Рассмотрим теперь последовательностную схему, которая
имеет петли (обратные связи). В этом случае для одного и
того же сочетания значений входных переменных получают не-
сколько различных сочетаний значений выходных переменных.
Понятие последовательностной схемы включает понятие
схемы с петлями. Последовательностный характер схемы нару-
шается, если разомкнуть все ее петли. В этом случае можно
сопоставить булевы переменные разомкнутым петлям (внутрен-
-* '
274
ГЛАВА 14
ние переменные) (рис. 14.4). Схема, которая получается после
.размыкания петель, является комбинационной схемой с эход-
ными переменными в\, · ■ ■, е„ и у\, ..., у$ и выходными функ-
циями S\, . . ., Sm И у ι, . . . , У,.
еп
У\
У}
| * si
VI
Рис. 14.4.
Внутренние состояния последовательностной схемы могут
быть определены булевыми выражениями вида
У| — fι («ι. ···. еп, У\, ···. Уд,
^2 = /2(«ι. ···. еп, уь .... у,),
- Y] = fi(eu ■■·, еп, уь .... yj).
Если векторы Уь Уг. · · ·, У) и уи У2, ■ ■ ■, У] одинаковы, т. е.
У{=Уи i=l, 2, ..., /', то состояние схемы устойчивое; если эти
векторы различны, состояние схемы неустойчивое.
Поиск внутренних переменных
Петли
Для определения множества булевых уравнений, описываю-
щих работу последовательностной схемы, требуется отыскать
все петли схемы, разорвать их, вводя вместо петли внутреннюю
переменную, и составить булевы выражения для полученной
комбинационной схемы.
Примечание. При этом целесообразно иметь минимальное
число петель, чтобы получить минимальное число внутренних
переменных.
Элемент индекса
Любой элемент может быть представлен схемой рис. 14.5.
Назовем эту операцию раскрытием элемента (или узла). На-
зовем существенным элементом (узлом) всякий элемент, рас-
АНАЛИЗ СХЕМ ПРИ ПОМОЩИ ГРАФОВ
275
крытие которого влечет за собой размыкание петли, а элемен-
том (узлом) индекса — элемент, входящий в минимальное число
узлов, которые необходимо раскрыть для размыкания всех пе-
тель схемы.
Число элементов индекса равно минимальному числу внут-
ренних переменных, позволяющему закодировать внутренние со-
стояния последовательностной схемы.
Примечание. Выбор элементов индекса не является однознач-
ным. Индексом последовательностной схемы называют мини-
мальное число внутренних переменных, необходимое для ее
представления и равное числу элементов индекса.
Метод поиска внутренних переменных
Метод содержит три этапа: 1) вычерчивание графа; 2) поиск
петель; 3) поиск узлов индекса.
Пример. Возьмём триггер из 6 элементов НЕ-ИЛИ.
1. Вычерчивание производится по схеме с учетом принятых
символов.
2. Поиск петель осуществляется непосредственно по схеме.
Для данной схемы находят следующие петли: АВ, ABC, BE,
ABEFC, CF, DE, DEF, DEBCF. Однако не все петли следует
учитывать, так как, например, петля ABC, проходящая через
два элемента А и В, автоматически размыкается после размы-
кания петли АВ.
Таким образом, основными остаются петли АВ(\), BE(2),
CF(3), DE(4). Следовательно, существенными узлами являются
узлы А, В, С, D, Е, F.
3. Узлы индекса определяются по табл. 14.1, в которой раз-
мещены все петли и указаны существенные узлы, через которые
эти петли проходят. Затем по таблице ищут минимальное число
узлов, которые должны быть раскрыты, чтобы разомкнуть петли
(1), (2), (3) и (4). В данном случае необходимо раскрыть не
менее трех узлов, чтобы разомкнуть все петли. Следовательно,
имеется три узла индекса, т. е. последовательностная схема
276 ГЛАВА 14
может быть представлена при помощи трех внутренних пере-
менных.
Таблица 14.1
Существен-
ные узлы
А
β_
С
D
Ε
F
Петли
(1)
+
+
(2)
+
+
(3)
+
+
(4)
+
+
При выборе узлов индекса существует несколько решений:
ЛЕС BCD BFE
AEF ВСЕ BED
Эти решения эквивалентны, но, очевидно, только одно из них
соответствует начальному кодированию, предусмотренному про-
ектировщиком схемы.
Если последовательностные схемы содержат большое число
элементов (N > 20), то для поиска петель целесообразно при-
менить систематический метод, например описанный в работе
[5] метод латинской композиции и латинских матриц.
- Булевы выражения для внутренних переменных
Метод определения булевых выражений
На первом этапе исследования определяли минимальное
число внутренних переменных, при помощи которых можно
представить последовательностную схему, и уточняли на графе
узлы, соответствующие этим внутренним переменным.
Теперь составим систему булевых уравнений, описывающих
работу схемы. Для этого необходимо: а) раскрыть группу эле-
ментов, разрывающих все петли (при этом получаем комбина-
ционную схему); б) ввести переменные уи Yf, в) записать
уравнения каждого из элементов и найти булевы уравнения
для Yi.
Примечание. Выражения для Kj можно определить непосред-
ственно по графу, не выписывая всех уравнений для элементов
НЕ-ИЛИ.
АНАЛИЗ СХЕМ ПРИ ПОМОЩИ ГРАФОВ
277
Вычисление логических выражений по графам
Рассмотрим метод, позволяющий вычислить логические вы-
ражения по графу. Возможность таких вычислений вытекает из
следующих соображений:
а) элемент НЕ-ИЛИ может быть представлен двумя спосо-
бами, изображенными на рис. 14.6;
б) если схемы образованы каскадным соединением элемен-
тов НЕ-ИЛИ и если применять поочередно оба представления
элементов, то инверсии исчезают. Например, схема, приведенная
о—
(+) Оператор ИЛИ
(^) инвертор
(·) Оператор И
Рис. 14.6.
?>
Рис. 14.7.
Рис. 14.8.
о Υ, У,-йП"+У|+*>
Y2=ffT+y,+yz)(y2+%-yJ
У3*(т+у,+уг)(уг+у3)
'3 У3'Уг + Уз(т + У1)
Рис. 14.9.
АНАЛИЗ СХЕМ ПРИ ПОМОЩИ ГРАФОВ
279
на рис. 14.7, α эквивалентна схеме на рис. 14.7,6, по которой
получаем выражения для 5 в следующем виде:
S = (а + Ь) (с + d).
По этому методу для графа, имеющего форму дерева, разме-
щают поочередно + и ·, начиная от выхода и с элемента И}
инвертируют входы схем И; затем, продвигаясь от выхода к вхо-
дам, раскрывают операции, указанные символами +] и ·, т. е.
ИЛИ и И.
Примечания. 1. Граф имеет форму дерева, если элементы
соединены только последовательно.
2. Размножая входы, всегда можно представить любой граф
в форме дерева.
3. Этот метод, примененный в обратном порядке, позволяет
преобразовать логическую схему, образованную элементами И,
ИЛИ и НЕ в схему, содержащую элементы НЕ-ИЛИ [7].
Пример. Рассмотрим граф для триггера из 6 элементов и
после раскрытия узлов А, Е, С введем соответственно перемен-
ные Уь У2, Уз-
Граф можно вычертить в виде, представленном на рис. 14.8.
Выражения для Уь У2, Уз записываются по рис. 14.9.
ИССЛЕДОВАНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТНОИ СХЕМЫ
Таблица внутренних переменных
Из уравнений вида
1Ι=/ι(β„ .... ея, у и .... у ι),
У/ = //(е, ея,'уг у,)
нетрудно получить таблицу состояний для внутренних перемен-
ных. Для этого переменным е\, ..., еп и у и · · ·» У) задают все
возможные значения и выводят Υ\, ..., Yj.
Для триггера получают следующие выражения:
Ух = УзТ + Ш\ + УзУ2 = Уз(Т + У1 + №)t
У2 = Ту2 + ТузУ1 = Τ (у2 + ИИ),
Уз = «/2 + Уз (Г + у ι) = у2 + у3Т + У2У1.
По этим выражениям составляют структурную таблицу перехо-
дов (табл. 14.2). Обозначим устойчивые состояния (в кружке)
000, 011, 001 и 100 соответственно через а, Ь, с и d.
280
ГЛАВА 14
Таблица 14.2
Τ
У< У1 Уг
0 0 0
0 0 1
0 1 1
0 1 0
1 0 0
— - о
о - -*
0
[0 0 0J
0 0 0
(θ 1 1)
ι 1 t
1 1 0
0 0 ι
0 1 1
1 1 1
1
1 0 0
[0 0 1)
0 0 1
1 0 1
[1 0 0]
о о о
Последовательность переходов выполняется в порядке
a-*d-*6-»c-»a. Переход от состояния d к состоянию b про-
исходит через три промежуточных переходных состояния. Пере-
ход от а к d, от b к с и от с к а происходит через одно промежу-
точное состояние. Структурная таблица переходов позволяет
проверить правильность реализации последовательности, пра-
вильность кодирования внутренних переменных и перейти при
желании к абстрактной таблице переходов.
Кодирование внутренних переменных
Отметим, что такое определение устойчивых состояний позво-
ляет упростить используемое кодирование. В данном случае
четыре устойчивых состояния устройства могут быть закодиро-
ваны при помощи двух внутренних переменных вместо трех.
Различные кодирования устойчивых состояний отвечают раз-
личным выборам элементов индекса.
Для триггера в качестве элементов индекса выберем BCD
(В для Уь С для У2, D для У3). Получим табл. 14.3. Устойчивые
состояния 100, 010, 011 и 000 обозначим соответственно через
е, f, g и h. При этом получаем следующую последовательность
переходов: e-+h-+f-+g—>e.
АНАЛИЗ СХЕМ ПРИ ПОМОЩИ ГРАФОВ
281
Таблица 14.3
Τ
У г Уг У ι
0 0 0
0 0 1
0 1 1
0 1 0
1 0 0
ι о 1
1 1 1
ι ι о
0
0 1 0
0 0 0
1 1 1
(о 1 о)
0 ° °)
1 0 0
1 0 1
1 0 1
1
(0 0 0)
0 0 0
(0 1 1)
0 1 1
0 0 0
0 0 0
0 0 1
0 0 1
МГгУг)
Нетрудно определить соответствие между устойчивыми со-
стояниями в двух рассмотренных вариантах кодирования:
Состязания
Статические и динамические состязания
Этот тип состязаний легко обнаруживается по выражениям
для внутренних переменных [3, 4, 6] и по форме графа схемы.
Если петли графа разомкнуты, опасность статических состяза-
ний выражается, например, в том, что для одной и той же
входной переменной одного элемента пути, по которым посту-
пает эта переменная, имеют различную длину. (Длиной пути на-
зывают число дуг пути.)
Существенные состязания
Этот вид состязаний характерен для электронных схем. Его
также можно обнаружить известными методами по выражениям
для внутренних переменных. Кроме того, рассмотренный метод
анализа позволяет составить таблицы переходов для различных
19 Зак. 4$
282
ГЛАВА 14
схем и выборов элементов индекса. В приведенном ниже при-
мере, в котором рассматривается схема триггера> даны две таб-
лицы, из которых одна соответствует правильной работе триг-
гера, а другая — неправильной последовательности, возникаю-
щей из-за состязания устойчивых состояний.
После раскрытия элементов вводят переменные «/* и Yit
связанные соотношением yt (t+At) = Yu что соответствует вве-
дению в схему фиктивных задержек. Если схема свободна от
состязаний, наличие задержки в любой точке схемы должно
сохранять правильную последовательность (это не относится к
последовательностным схемам, имеющим существенные состя-
зания).
Отметим, что исследования существенных состязаний пока не
закончены.
Пример. Возьмем триггер, граф которого приведен на
рис. 14.10. Поиск петель дает петли DE(l) и FC{2).
Рис. 14.10.
Узлы индекса: D и F, или D и С, или Ε и F, или £ и С.
Выберем узлы индекса D и F и введем переменные Υι и Уг
следующим образом: jD-*Ti1), F-tY™
Таблица 14.4
Τ
У, Уг
0 0
0 1
1 1
1 0
0
о
0 0
о
1 1
,
1
1 0
о
0 1
о
Таблица 14.5
Τ
У\ Уг
0 0
0 1
1 0
0
0 1
о
о
1
о
о
0 0
АНАЛИЗ СХЕМ ПРИ ПОМОЩИ ГРАФОВ 283
4 Структурная таблица переходов имеет вид табл. 14.4. Соот-
ветствующая последовательность состояний является правиль-
ной последовательностью работы триггера. Выберем теперь
узлы Ε и F и введем переменные: Ε-*-Υψ, F-^Yf.
Получаем Kf~.fi/,, Υψ = ~ух (Τ + у2) и табл. 14.5.
Убедимся прежде всего, что устойчивые состояния соответ-
ствуют друг другу. Пусть Υψ и Кг" — внутренние переменные,
соответствующие D и F, а Κι" и К® — внутренние переменные,
соответствующие £иЯ
Получаем Υ? = Fi" . Τ, Υ? - if.
Соответствие устойчивых состояний будет следующим:
7--0I ■ "!°1°·
·(;:"
->{::
&2 = 01,
= 01-*-»- с2 = 01,
10«*->·α*2 = 00.
Последовательности переходов имеют вид a\-*d\-+b\-+C\-+a.i
и т. д., a2-*d2-*b2-*C2. Во втором случае триггер попадает и
остается в строке, соответствующей состояниям bz, с*
19*
ГЛАВА 15
ЗАМЕЧАНИЯ^ ПО РЕАЛИЗАЦИИ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЫНОСТНЫХ УСТРОЙСТВ
Р. П ер ре, М. Деге рри
Современная технология придает огромное значение итера-
тивным схемам. Если бы располагали простым методом соеди-
нения таких схем, синтез последовательностного устройства был
бы намного проще. Рассмотрим один из возможных вариантов
соединения итеративных схем.
ИТЕРАТИВНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТНЫЕ УСТРОЙСТВА
Исследуем условия, которым должен удовлетворять типовой
элемент, и закон объединения таких элементов в схемы. Схема
должна быть прежде всего лишена состязаний. Единственной
последовательностной схемой, про которую можно с уверен-
ностью сказать, что она свободна от состязаний, является схема
с одной внутренней переменной, в которой значение выхода
определяется этой переменной.
Рассмотрим возможность реализации последовательностной
схемы путем соединений между собой типовых элементов. Эта
возможность может оказаться интересной, так как в задачах
синтеза часто возникают ограничения, связанные с записью и
логической обработкой больших таблиц переходов. Поставим
в соответствие каждому устойчивому состоянию таблицы пере-
ходов возбужденное состояние одного типового элемента. Таким
образом, получаем итеративную схему, которая группирует типо-
вые элементы в соответствии с графом переходов.
Возьмем в качестве примера последовательность, заданную
табл. 15.1 или графом рис. 15.1. Структура последовательно-
стного устройства воспроизводит в принципе структуру графа
рис. 15.1. Каждое состояние а, Ъ, с, d, e, f устройства представ-
ляется элементарной последовательностной схемой (типовым
элементом), приведенной на рис. 15.2.
Рассмотрим функции, выполняемые такой элементарной схе-
мой. Прежде всего схема должна иметь три типа входных пере-
менных: а) переменные е, переводящие реализуемую устрой-
ЗАМЕЧАНИЯ ПО РЕАЛИЗАЦИИ УСТРОЙСТВ
285
ством последовательность в состояние, характеризуемое воз-
буждением этой схемы; б) переменные разрешения £„, которые
разрешают возбуждение схемы, как только реализуемая после-
довательность достигает соответствующего состояния; в) пере-
менные запрета Еи которые запрещают возбуждения схемы до
какого-то момента.
Таблица 15.1
Рис. 15.1.
Например, в рассмотренном выше случае для состояния с
соответствующая схема содержит вход е'т С другой стороны,
если реализуемая последовательность находится в состоянии Ь,
то схема с должна получить разрешение на возбуждение, чтобы
учесть переход, вызываемый переменной е'г Наоборот, если
устройство находится в состоянии d, то схема с должна полу-
чить сигнал запрета, чтобы не реагировать на переход, вызы-
ваемый переменной е'2, который в этом случае должен привести
к состоянию е.
С точки зрения состязаний разрыв всех выходов Ε различ-
ных элементарных последовательностных схем означает, что все
петли схемы окажутся разомкнутыми. При этом можно изба-
виться от состязаний путем введения одинаковой задержки на
выходе каждой элементарной схемы. Если элементарная схема
лишена состязаний, то единственно возможное состязание, на-
пример для схемы с, происходит вследствие того, что две сле-
дующие друг за другом схемы Ь и с подвергаются воздействию
одной и той же переменной ez- При этом на входах схемы с
одновременно изменяются переменные Ev и е^. В этом случае
изменение Εν должно следовать за изменением е2. В этих усло-
виях для обеспечения надежности в элементарную схему может
быть введена задержка R.
286
ГЛАВА 15
Предложенные соображения были использованы в програм-
мирующих устройствах, реализующих разомкнутые последова-
тельности, т. е. последовательности, в которых каждое состояние
появляется только один раз и следующие друг за другом состоя-
е{~1
£„{ =
Ь[=
Рис. 15.2.
ния вызываются различными переменными. Для реализации
такого типа последовательностей в соответствии с высказанными
соображениями наличие элемента задержки на выходах эле-
ментарных схем окажется бесполезным. Состязания при этом
не возникают.
выводы
Достоинства приведенных соображений состоят, во-первых,
в том, что проблема синтеза ограничивается построением графа
подлежащей реализации последовательности. Следовательно,
нет ограничений на размеры исследуемой последовательности.
Во-вторых, использование одной типовой схемы также чрезвы-
чайно важно с точки зрения практики, особенно при новой тех-
нологии.
К недостаткам следует отнести то, что по этому методу
нельзя определить минимальное число элементов. Поэтому ме-
тод может оказаться малопригодным для коротких последова-
тельностей.
Следует заметить, что классическая формулировка [1, 2] про-
блемы минимизации числа состояний и структуры рискует поте-
рять смысл. Действительно, безусловно более экономично реали-
зовать сложную последовательность при помощи большого
количества простых одинаковых типовых схем, чем минимизи-
ровать общее число элементов сложной схемы.
Автор надеется, что соотношение, установленное между
последовательностным графом переходов и структурой соответ-
ствующей схемы в будущем может представить несомненный
интерес. Действительно, существенные состязания присущи по-
следовательностям некоторого вида, и можно доказать, что их
устранение логическими средствами невозможно.
■г-
[..]
Ε
ЛИТЕРАТУРА
К главам 1 и 2
1. Ghazala M. J., Irredundant Disjunctive and Conjunctive Forms of a Boo-
lean Funkcitori.IBM Journal (April 1957).
2. M о 11 T., Determination of the Irredundant Normal Forms of a Truth Fun-
ction by Iterated Consensus of the Prime Implicants, IRE Trans, on Electro-
nic Computers (June 1960).
3. Tison, Recherche des Termes premiers d'une fonction booléenne, Automatis-
me, IX, № 1 (1964).
4. К u n t z m a n n J., Un théorème sur les composants premiers d'une fonction,
booléenne, Automatisme, IX, № 1 (1964).
5. Tison. Théorie des Consensus, Congrès de FAFCALTI, avril 1964.
К главе З
1. Q u i n e W. V., The Problem of Simplifying Truth Functions, Am. Math.
Monthly, 59, 521—531 (1952).
2. Q u i n e W. V., A Way to Simplify Truth Functions, Am. Math. Monthly,
62, 627-631 (1955).
3. M с С 1 u s к e y E. J.,. Minimization of Boolean Functions, BST Journal,
35, 1417—1444 (1956).
4. U r b a n о R. H., M u 1 i e r R. K-, A Topological Method for the Determi-
nation of Minimal Forms of Booleans Functios, IRE Trans, on Electronic
Computers, 5, 126—132 (1956).
5. L e d 1 e y R. S., Digital Computer and Control Engineering, McGraw-Hill,
1960.
6. G r a s s e 11 i A., M cX. 1 u s к e y E. J., Une version modifiée d'ALGOL pour
la programmation logique, Gauthiers-Villar, 1962, pp. 355—364.
7. Mileto F., Putzolu G., Statistical Complexity of Algorithms for Boole-
an Function Minimization, A Ass. Computing Machinery, 12, 364—375
(1965).
8. Mileto F., Putzolu G., Average Values of Quantities Appearing in
Boolean Function Minimization, IEEE Trans, on Electronic Computers, 13,
87—92 (1964).
288
ЛИТЕРАТУРА
9. M i 1 e t о F., P u t z о 1 u G., Average Values of Quantities Appearing in Mul-
tiple Output Boolean Function Minimization, IEEE Trans, on Electronic
Computers, 14, 542—552 (1965).
К главе 8
1. Pauli M. C, Un g er S. H., Minimizing the Number of States in Incom-
pletely Specified Sequential Switching Functions, IRE Trans, on Electronic
Computers, 8, 356—367 (1959).
2. M с С1 u s к e y E. J., Minimum State Sequential Circuits for a Restricted
Class of Incompletely Specified Flow Tables, BST Journal, 41, 1759—1768
(1962).
3. N a r a s i m h a n R., Minimizing Incompletely Specified Sequential Switching
Functions, IRE Trans, on Electronic Computers, 10, 531—532 (1961).
4. M с С1 u s к e y E. J., Minimization of Boolean Functions, BST Journal, 35,
1417—1444 (1956).
5. G ото r y R. A., An Algorithm for Integer Solutions to Linear Programs,
Tech. Rept. № 1, Princeton-IBM Mathematical Research Project, 1958; Go-
mo r y R. А., В a u m о I W. J., Integer Programming and Pricing, Econo-
metrica, 28, 521—550 (1960).
6. P y n e I. В., M с С1 u s к e y E. J., An Essay on Prime Implicant Tables,
Л of the Society for Industrial and Appl. Math., 9, 604—631 (1961).
7. Grasselli A., Luccio F., A Method for Minimizing the Number of In-
ternal States in Incompletely Specified Sequential Networks, IEEE Trans,
on Electronic Computers, 14 (1965).
К главе 9
1. Hartmanis J., On the State Assignement Problem for Sequential Ma-
chines I, IRE Trans, on Electronic Computers, EC-10, 157—165 (June 1961).
2. Hartmanis J., Stearns R. E., On the State Assignement Problem for
Sequential Machines II, IRE Trans, on Electronic Computers, EC-10, 593—
603 (December 1961). (
3. Hartmanis J., Loop Free Structure of Sequential Machines, Information
and Control, 5, 25—43 (August 1962).
4. Hartmanis J., Stearns R. E., Some Dangers in State Reduction of
Sequential Machines, Information and Control, 5, 252—260 (1962).
5. Hartmanis J.. Stearns R E., A Study of Feedback and Errors in
Sequential Machines, IRE Trans, on Electronic Computers, EC-12, 223—232
(June 1963).
6. Gull A., Cascaded Finite State Machines, IRE Trans, on Electronic Com-
' puters, EC-10, 366—370 (September 1961).
7. Y о e 1 i M., The Cascade Decomposition of Sequential Machines, IRE Trans,
on Electronic Computers, CE-10, 587—592 (December' 1961).
8. Y о e 1 i M., Cascade Parallel Decomposition of Sequential Machines, IEEE
Trans, on Electronic Computers, CE-12, 322—324 (June 1963).
ЛИТЕРАТУРА
289
9. A m s t г о n g D. В., A Programmed Algorithm for Assigning Internal Co-
des to Sequential Machines, IRE Trans, on Electronic Computers, EC-11,
466—472 (August 1962).
10. Amstron,g D. B. On the Efficient Assignment of Internal Codes to
Sequential Machines, IRE Trans, on Electronic Computers, EC-11, № 5,
611—622 (October 1962).
11. Curtis H. A., Multiple Peduction of Variable Dependency of Sequential
Machines, J. Assoc, for Computing Machinery, 9, № 3, 324—344 (July
1962).
12. H u m p h r e y W. S., Switching Circuits with Computer Applications,
McGraw-Hill', 1958, pp. 233—252.
13. К о h a v i Z., Secondary State Assignment for Sequential Machines, IEEE
Trans, on Electronic Computers, EC-13, № 3, 193—203 (June 1964).
14. К a r p R. M., Some Techniques of State Assignment for Synchronous Se-
quential Machines, IEEE Trans, on Electronic Computers, EC-13, № 5,
507—518 (October 1964).
15. Dolotta T. A., McCluskey E. J., The Coding of Internal States of
Sequential Machines, IEEE Trans, on Electronic Computers, EC-13, № 5,
549—562 (October 1964).
К главе 10
1. Huffman D. A., The Synthesis of Sequential Switching Circuits, /. Frank-
lin Institute, 257, 161—190, 275—303 (March —April 1954).
2. H u f f m a n D. A., A Study of the Memory Requirements of Sequential
Switching Circuits, Research Lab. of Electronics, MIT, Cambridge, Rep.
№ 293. March 1955.
3. H u f f m a n D. A., The Design and Use of Hazard-Free Switching Net-
works, Journal ACM, 4, 47—62 (January 1957).
4. U n g e r S. H., Hazards and Delays in Asynchronous Sequential Switching
Circuits, IRE Trans. Circuit Theory, CT-6, 12—25 (March 1959).
5. M о о г е Е. F., Gedanken-Experiments on Sequential Machines, in cAuto-
mata Studies», Princeton Univ. Press, Princeton, N. J., pp. 129—153, 1956.
6. Mealy G. H., A Method for Synthesizing Sequential Circuits, BST Jour-
nal, 34, 1045—1079 (September 1955).
7. Колдуэлл С, Логический синтез релейных устройств, ИЛ, 1962.
8. McCluskey E. J., Fundamental Mode and Pulse Mode Sequential Cir-
cuits, Proc. IFIP Congress 62, North Holland Publ. Co., Amsterdam, Hol-
lande, 1963.
9. С a d d e n W. J., Equivalent Sequential Circuits, IRE Trans. Circuit Theory,
СТ-в, 30—34 (March 1959).
10. G er a ce G. В., Synthesis of Delay-Free Asynchronous Sequential Circuits,
Italy, October 1964.
11. Kliman M., Lowenschuss О., Asynchronus Electronic Switching
Circuits, IRE National Convention Record, pt. 4, pp. 267—274, 1959.
290
ЛИТЕРАТУРА
12. Eich lber ger E. В., Sequential Circuit Synthesis Using Input Delays.
Proc. Fourth Annual Symp. on Switching Circuit Theory and Logical De-
sign, Princeton, N. J., pp. 105—116, October 1963.
13. H art тал is J., Loop-Free Structure of Sequential Machines, Information
and Control, 5, 25—43 (March 1962).
14. McCluskey E. J., Transients in Combinational Logic Circuits, in Redun-
dancy Techniques for Computing Systems, Spartan Books, Washington,
D. C, pp. 9—46, 1962.
15. Gerace G. В., Microprogrammed Control for Computing Systems, IRE
Trans, on Electronic Computers, EC-12, 733—747 (December 1963).
16. Denoth F., Gerace G...В., Maestrini P., Una struttura Modulare
di tipo sequenziale per la realizzazione di circuiti logici, Alta Frequenza.
17. McCluskey E.'J, Bartee T. C, Survey of Switching Circuit Theo-
ry, McGraw-Hill, New York, 1962.
18. Gerace G. В., Gestri G., State Assignments for Reducing the Number
of Delay Elements in Sequential Machines, Information and Control.
К главе II
1. Huffman D. A., The Desing and Use of Hazard-Free Switching Net-
works, Journal ACM, 4, 47—62 (January 1957).
2. McCluskey E. J., Transients in Combinational Logic Circuits,, in Redun-
dancy Techniques for Computing Systems, Spartan Books, Washington,
pp. 9—46, 1962.
3. N a s 1 i n P., Les aléas de continuité dans les circuits de commutation à
séquences, Automatisme, 4, 220—225 (June 1959).
4. Huffman D. A., The Synthesis of Sequential Switching Circuits, J. Fran-
klin Institute, 257, 161—190, 275—303 (March—April 1954).
5. Caldwell S. H., Switching Circuit Theory and Logical Design, J. Wiley,
New York, 1958; русский перевод: Колдуэлл С, Логический синтез релей-
ных устройств, ИЛ, 1962.
6. McCluskey E. J., Fundamental Mode and Pulse Mode Sequential Cir-
cuits, Proc. IFIR Congress 62, North Holland Publ. Co., Amsterdam, 1963.
7. U n g e r S. H., Hazards and Delays in Asynchronous Sequential Switching
Circuits, IRE Trans. Circuit Theory, CT-6, 12—25 (March 1959).
8. Eichelberlge'r E. В., Hazard Detection in Combinational and Sequ-
ential Switching Circuits, Proc Fifth Annual Symposium on Switching Cir--
cuit Theory and Logical Design, Princeton, October 1964 [IBM Journal
Research and Development, 9, 90—99 (March 1965)].
9. Moore E. F., Gedanken Experiments on Sequential Machines, in «Auto--
mata Studies», Princeton Univ. Press., Princeton, N. J., pp. 129—153,
1956.
10. Mealy G. H., A Method for Synthesizing Sequential Circuits, BST Jour-
nal, 34, 1045—1179 (September 1955).
ЛИТЕРАТУРА
291
11. Gerace G. В., Réalisations de machines séquentielles à l'aide de circuits
à mode fondamental et entrées impulsionnelles (гм. гл. 10 данной книги).
12. С a d d e n W. J., Equivalent Sequential Circuits, IRE Trans. Circuit Theory,
CT-6, 30—34 (March 1959)
13. Roth J. P., Algebraic Topological Methods in Synthesis, Annuals of the
Computation Laboratory of Harward University, vol. 29, pp. Б7—73, 1959.
14. Karnaugh M., The Map Method for Synthesis of Combinational Logis
Circuits, AIEE Transactions, Part 1, November 1953, pp. 593—598.
15. Gerace G. В., Synthesis of Delay-Free Asynchronous Sequential Circu-
its, Italy, 26—31 October 1964.
16. H u f f m a n D. A., A Study of the Memory Requirements of Sequential
Switching Circuits, Rep. № 293, Research Lab. of Electronics, MIT, Cam-
bridge, Mass., March 1955.
17. McCluskey E. J., Bartee T. C, A Survey of Switching Circuit Theo-
ry, McGraw-Hill, N. Y., 1962.
18. Q u i n e W. V., On Cores and Prime Implicants of Truth Functions, Am.
Math. Monthly, 66, pp. 755—760 (November 1956). '
19. M с С1 u s k e y E. J., Minimization of Boolean Function, BST Journal,
35, pp. 1417—1444 (November 1956).
20 Bartee T., Lebojv I., Reed I., Theory and Design of Digital Machi-
nes, McGraw-Hill., N. Y., 1962.
21. Gerace G. В., Sintesi e struttura dei circuiti sequenziali con. ingresso
impulsivo, Rendic LXVII Ruinione Annuale A. E. I., Alghero, 1966.
К главе 12
1. Simon J. M., A Note on Memory Aspects of Sequence Transducers, IRE
Trans, on Circuit Theory, 6, 26—29 (March 1959).
2. H a r t m a n i s J., S t e а г n s R. E., A Study of Feedback and Errors in
Sequential Machines, IEEE Trans, on Electronic Computers., 12, 223—232
(June 1963).
3. Paul I'M. C, Un ger S. H., Minimizing the Number of States In Incom-
pletely Specified Sequential Switching Functions, IRE Trans, on Electro-
nic Computers, 8, 356—367 (September 1959).
4. N a r a s i m h a n R., Minimizing Incompletely Specified S equentlal Swit-
ching Functions, IRE Trans, on Electronic Computers, 10, 531—532 (Sep-
tember 1961).
5. McCluskey E. J., Minimum-State Sequential Circuits for a Restricted
Class of Incompletely Specified FIow-Tatiles, BST Journal, 41, 1759—1768
(November 1962).
6. Grasselli A., Luccio F., A Method for Minimizing the Number of
Internal States in Incompletely Specified Sequential Networks, IEEE Transf
on Electronic Computers, 14, 350—359 (June 1965).
7. McCluskey E. J., Reduction of Feedback Loops In Sequential Circuits
and Carry Leads in Iterative Networks, Information and Control, 6, 99—
118 (June 1963).
292
ЛИТЕРАТУРА
8. Liu С. L., K-th Order Finite Automata, IEEE Trans, on Electronic Compu-
ters, 12, 470—475 (October 1963).
9. Liu С L., A Property of Partially Specified Automata, Information and
Control, 6, 163—176 (September 1963).
10. Brzozowski J. Α., Canonical Regular Expressions and Minimal State
Graphs for Definite Events, Proc. Symp. on Mathematical Theory of Auto-
mata, Polytechnic Inst, of Brooklyn Symposia Series, vol. XII, 523—561,
1963.
11. Perles M., Rabin M. 0., Shamir E., The Theory of Definite Events,
IEEE Trans, on Electronic Computers, 12, 233—243 (June 1963). -
12. Grasselli Α., A Note on Minimal Closed Partitions, IEEE Trans on
Electronic Computers, 15, 245—249 (April 1966).
ft" главе 13
L e d 1 e у R. S., Wilson J. В., Analysis and Synthesis Methods for Redun-
dant Logical Design, Redundancy Techniques for Computing Systems, Spar-
tan Books.
Huffman D. Α., The Synthesis of Sequential Switching Circuits, J. of Frank-
tin Institute, 257 (April 1954).
К главе 14
1. Caldwell S. H„ Switching Circuits and Logical Design, J. Wiley, 1958;
русский перевод: Колдуэлл С, Логический синтез релейных устройств,
ИЛ, 1962.
2. Μ а 1 е у G. Α., F а г 1 е J., The Logic Design of Transistor Digital, Compu-
ter, Prentice Hall, 1963.
3. Ρ e r r e t R., Cours de systemes logiques et sequentiels, Labor. d'Automa-
tique, Grenoble.
4. A u b e r t P., D e g u e г г у Μ., Graphes de transf ert — Note de cours, Labor.
d'Automatique, Grenoble.
5. К a u f m a η η Α., Μ a 1 g r a π g e Υ., Recherche des chemins et circuits Ha-
miltoniens d'un graphe. ,
6. McCluskey E. J., Transients in Combinational Logic Circuits, in Redun-
' dancy Techniques for Computing Systems, Spartan Books, Washington,
pp. 9—46, 1962.
7. N a s 1 i η P., Circuits a relais et automatismes a sequences, Dunod, 2·
edition, 1965.
УКАЗАТЕЛЬ АВТОРОВ
Mme Banerjea
Mme Bénéjam
Deguerry M.
Galimberti R.
Graccelli A.
Gerace G. B.
Joffrin Y,
Lucclo F.
Morpurgo R.
Perret R.
Pandeff E.
Mme Saucier
Tison P.
Docteur en Sciences, Compagnie Française, Thomson-Ho-
uston
С. G. A., Centre de Vilarceau
Société d'Electricité MORS
Istituto di Elettrotecnica, Politecnico di Milano
Centro Studi Calcolatrici Elettroniche del С. N. R. presso
1'Università di Pisa, Pisa
Membre de la groupe de logique séquentielle du C.E.R.A.
Istituto di Elettrotecnica, Politecnico di Milano
Istituto di Elettrotechnica, Politecnico di Milano
Laboratoire d'Automatic de Grenoble
Ingénieur, la direction Scientifique de la SETI
Laboratoire de Calcul, Grenoble
Ingénieur divisionnaire aux Hoillères du Bassin de
Lorraine
ОГЛАВЛЕНИЕ
От редактора русского издания 5
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
КОМБИНАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ
Глава 1. Теория согласований (П. Тизон) 9
Глава 2. Алгоритмы поиска простых баз (П. Тизон) 25
Глава _ 3. К определению числа логических функций, покрываемых ядром
(Р. Галимберти, А. Г рассели, Р. Морпурго) 42
Глава 4. Булевы матрицы (£. Пандеф) 53
Глава 5. Минимизация пороговых функций с равными весами (Банержа) 62
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТНЫЕ УСТРОЙСТВА
Глава 6. Исследование типового кодирования состояний асинхронных
последовательностных устройств (Сосье) 73
Глава 7. Метод кодирования внутренних состояний асинхронных по-
следовательностных устройств (Р. Галимберти, Р. Морпурго) 84
Глава 8. Метод минимизации числа внутренних состояний недоопреде-
ленных последовательностных устройств (А. Грассели,
Ф. Луччио) . 102
Глава 9. Кодирование внутренних состояний и декомпозиция последо-
вательных синхронных устройств (И. Жоффрэн) .114
Глава 10. Реализация основного способа действия последовательностных
^устройств с импульсными входами (Дж. Б. Джераче) .... 153
Глава 11. Состязания в последовательностных устройствах е импульс-
ными входами (Дж. Б. Джераче) 198
Глава 12. Покрытия неполностью определенных таблиц переходов табли-
цами переходов с конечной памятью (А. Грассели) .... 231
Глава 13. Метод синтеза надежных последовательностных устройств
(Бенежам) 253
Глава 14. Анализ последовательностных схем при помощи графов
(Р. Перре, М. Дегерри) 272
Глава 15. Замечания по реализации последовательностных устройств
(Р. Перре, М. Дегерри) 284
БУЛЕВА АЛГЕБРА
И КОНЕЧНЫЕ АВТОМАТЫ
Редактор И. М. Андреева
Художник В. М. Золотарев
Художественный редактор В. М. Варлашин
Технический редактор А. Г. Реэоухова
Корректор Е. Г. Литвак
Сдано в производство 21/1—1969 г.
Подписано к печати 11/V1II—1969 г.
Бумага № 3 60 X 90'/и - 9,25 бум. л.
Усл. печ. л. 18,50. Уч.-изд. л. 14,81.
Изд. №20/5100. Цена I р. 42 к. Заказ № 46.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва, 1-й Рижский пер., 2
Ленинградская типография № 2
имени Евгении Соколовой
~ Главполиграфпрона Комитета по печати
при Совете Министров СССР.
Измайловский проспект, 29
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
готовит к печати книгу
Форни Д. КАСКАДНЫЕ КОДЫ
(Forney G. D., Concated Codes),
Кембридж, 1966, перевод с английского, инд. 3-3-14.
Книга известного американского ученого Д. Форни
посвящена решению основных проблем корректирую-
щих кодов. В ней изложены методы помехоустойчи-
вого кодирования для каналов без памяти, в основе
которых лежит идея каскадного кодирования.
В книге весьма удачно сочетаются алгебраический
и вероятностный подходы к решению задач теории ко-
дирования; подробно исследованы свойства макси-
мальных кодов Рида — Соломона и алгоритмы их де-
кодирования; предложено принципиально новое деко-
дирование по обобщенному кодовому расстоянию;
теоретически исследованы предельные возможности
каскадных кодов в каналах без памяти, а также рас-
сматривается построение каскадных кодов на основе
кодов Рида — Соломона.
Книга будет полезна как научным работникам, *ак
и широкому кругу инженеров, работающих в области
теории связи и передачи информации.