BOOLEAN ALGEBRAS
ROMAN SIKORSKI
Second edition
SPRINGER-VERLAG
Berlin • Gottingen • > :eidelberg • New York
1 9 b 4

Р. Сикорский
БУЛЕВЫ
АЛГЕБРЫ
ПЕРЕВОД С АНГЛИЙСКОГО
А. С. МИЩЕНКО
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва 1969

512
Книга выдающегося польского математика Р.
Сикорского посвящена одному из важнейших разделов
современной математики—теории булевых алгебр. Это
наиболее полное изложение теории булевых алгебр с
теоретико-множественной точки зрения. В книге,
по-видимому, впервые систематически изучаются булевы алгебры
с бесконечными операциями. Последний раздел
(дополнение) содержит многочисленные применения булевых
алгебр к другим областям математики. Книга написана
очень просто и подробно. Она вполне доступна и полезна
широким кругам математиков, а также физикам и
инженерам.
Редакция литературы по математическим наукам
2-2-3

ПРЕДИСЛОВИЕ
Существует два подхода к теории булевых алгебр:
алгебраический и теоретико-множественный. В
соответствии с этим булевы алгебры можно рассматривать либо
как частный случай алгебраических колец, либо как
обобщение теоретико-множественного понятия поля множеств.
Основные теоремы в этих двух направлениях
принадлежат М. Стоуну, работы которого открыли новый этап
в развитии теории булевых алгебр.
Книга написана с теоретико-множественных позиций,
а алгебраическое направление затрагивается в ней лишь
вскользь. Она состоит из двух глав и дополнения. В гл. I
булевы алгебры рассматриваются только с точки
зрения конечных булевых операций; большую часть
содержащихся в этой главе результатов можно найти в
книгах Биркгофа [2] и Гермса [1]. В гл. II, по-видимому,
впервые систематически изучаются булевы алгебры с
бесконечными операциями.
Для понимания гл. I и II достаточно владеть
основными понятиями общей теории множеств и
теоретико-множественной топологии; никаких знаний по теории
структур или абстрактной алгебре не предполагается. Менее
известные топологические теоремы формулируются; более
глубокие топологические результаты используются
только в некоторых примерах, однако эти примеры можно
пропустить. Все теоремы в обеих главах даны с
полными Доказательствами.

6
Предисловие
Напротив, в дополнении доказательства, как
правило, опускаются; оно содержит главным образом
краткий обзор некоторых применений булевых алгебр к
другим разделам математики и ссылки на литературу.
Предполагается, что читатель обладает элементарными
знаниями по этим разделам.
Я очень обязан профессору П. Халмошу за то, что
он посоветовал мне написать эту книгу.
Я также выражаю благодарность Бассу, Бялыницкому-
Бируля и Верритту за помощь при подготовке рукописи
и Бровкину, Энгелькингу и Трачику за помощь при
чтении корректуры.
Варшава — Нью Орлеан — Принстон
1957—1958 Роман Сикорский

ПРЕДИСЛОВИЕ
КО ВТОРОМУИЗДАНИЮ
Глава I и дополнение остались без изменения.
Напротив, в гл. II включено много новых результатов;
некоторые параграфы расширены, в то время как другие
совершенно переработаны. Однако общий характер этой
главы остался прежним.
Я очень благодарен Двингеру, Гейфману, Хейлсу, Хал-
перну, Карпу, Маттесу, Пирсу, Семадени и Якубу за
ценную информацию, которая очень помогла поднять
материал на современный уровень.
Я также очень обязан Фарлею, просмотревшему
рукопись, и Трачику за чтение корректуры.
Архус
1962
Роман Сикорский

ТЕРМИНОЛОГИЯ
И ОБОЗНАЧЕНИЯ
Заглавные латинские буквы используются для
обозначения множеств точек и их булевых аналогов.
Заглавные готические буквы обозначают классы множеств и
их булевы аналоги, множества элементов булевых алгебр
(за исключением фильтров и идеалов). В частности,
буквы 31 и 35 (если необходимо, с индексами) всегда
обозначают булевы алгебры или поля множеств. Буква $
всегда обозначает поле множеств.
Символ „ U “ используется как для
теоретико-множественного объединения, так и для более общего понятия
булева объединения. В большинстве случаев обе
возможные интерпретации символа „ U “ совпадают. В противном
случае или это точно указывается, или из текста видно,
как в данном случае следует понимать символ „11“.
Такое же замечание имеет место и для символа „ П
который используется как для теоретико-множественного
пересечения, так и для более общего понятия булева
пересечения. То же самое справедливо и для символов ,,U“
и ,,pi“ соответствующих бесконечных операций (см.
также замечание на стр. 91 для бесконечных булевых
объединений и пересечений) и для символа обознача¬
ющего дополнение, и символа „с“, обозначающего
включения.
Пустое множество обозначается через Д, так же
обозначается и его булев аналог, нулевой элемент.
Двойственное понятие, единичный элемент в булевой алгебре,
обозначается двойственным символом V. Буква Д
обозначает идеал. Двойственный символ V обозначает фильтр.
Таким образом, двойственные булевы понятия и операции
обозначаются двойственными символами.

Терминология и обозначения
9
Буква ш всегда обозначает кардинальное число.
Буква п обозначает (конечное или бесконечное) ненулевое
кардинальное число (за исключением специально
оговоренных случаев). Мощность множества всех целых чисел
будет обозначаться как через #0> так и через а.
Последнее обозначение будет использоваться главным образом
в выражениях типа „а-мера“, „а-поле“, „а-алгебра“ и т. д.,
что соответствует общепринятой терминологии.
Множество мощности называется счетным.
Если мы исследуем подмножества фиксированного
множества X, то часто называем X „пространством" (при
этом в X не выделяется никакой дополнительной
структуры, если только это специально не оговорено).
Под топологическим пространством мы понимаем
множество с операцией замыкания, удовлетворяющей
хорошо известным четырем аксиомам Куратовского (см. стр.
318). Однако во всех случаях (за исключением, быть
может, § 41) существенную роль играют только хаусдор-
фовы пространства. Для любого подмножества S
топологического пространства CS и IS обозначают
соответственно замыкание и внутренность множества S.
Под индексированным множеством {At}t^T мы будем
понимать отображение, которое каждому t £ Т ставит в
соответствие элемент At. Оно не будет
отождествляться с множеством всех элементов Аь t£T. Это
будет существенно, например, в § 13, § 16, § 36 и § 38, где
рассматриваются индексированные множества булевых
алгебр. Во многих случаях это не существенно, например,
когда рассматриваются объединения и пересечения
индексированных множеств элементов булевой алгебры (гл. II).
Следующие сокращения полезны, особенно в гл. II:
индексированное множество {At}t$T убудет называться
ш-индексированным множеством, если Т'^ш. Та же
терминология применяется для дважды индексированных
множеств; {At)S}te т, sz§_ называется m-индексирован-
ним множеством, если Т ?^т,_и (т,
^-индексированным множеством, если a S
Если S и Т — непустые множества, то ST будет
обозначать множество всех отображений Т в S. Если f £ Sr,
а g£Tv, то fg обозначает композицию отображений, за¬

10
Терминология и обозначения
даваемую формулой fg(u) = f (g (и)) для и € V. Если Т'сТ
и , то f\T' есть отображение /, ограниченное на
множестве Т'.
Если формулы и примеры находятся в том же
параграфе, то при ссылке на них указывается только номер.
В остальных случаях добавляется еще номер параграфа.

ГЛАВА I
КОНЕЧНЫЕ ОБЪЕДИНЕНИЯ
И ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
§ 1. Определение булевых алгебр
Булева алгебра — это непустое множество 31, в
котором определены две бинарные операции U, Пи одна
унарная операция —, удовлетворяющие, грубо говоря,
тем же самым свойствам, что и операции взятия
теоретико-множественного объединения, пересечения и
дополнения подмножеств фиксированного пространства. Так
как элементы из 31 обладают многими свойствами,
присущими множествам, мы будем обозначать их буквами
Л, Б, ... , обычно употребляемыми для обозначения
множеств. Для произвольных элементов Л, В из 31
единственным образом определены элементы Л U В и Л Л В
из 31, называемые соответственно объединением и
пересечением А и В. Для каждого элемента Л £31 однозначно
определен элемент —Л, называемый дополнением к Л.
Операции U, Л,— описываются такой системой аксиом,
что свойства этих операций аналогичны свойствам
операций взятия объединения, пересечения и дополнения
множеств соответственно. Известно много эквивалентных
систем аксиом, характеризующих (J » Л ,—1). Мы
выбираем следующую систему2):
(А,) Л (J Д = В и Л, ЛЛ£ = ВГ)Л,
*) См. Беннет [1], Бернштейн [1, 2, 4, 6, 7], Биркгоф Г. и
Биркгоф Г. Д. [1], Брейсвейт [1], Бирн [1, 2, 3], Круазо [1]. Диа-
монд [1, 2], Фринк [1], Грау [1, 2], Хаммер [1] Хоберман и
Маккинси [1], Хантингтон [1, 2], Калицкий [1 , Миллер [1],
Монтегю и Тарский [1], Нейман [1], Шеффер [1], Шоландер [1, 2],
Стаблер [1], Стамм [1], Стоун [2, 3], Тарский [2, 5, 8, 12],
Уайтмен [1, 2]. См. также Рудеану [2].
2) Система аксиом (Аг)—(А5) не является независимой. На¬
пример, одна из аксиом (А4) может быть опущен^ см. Биркгоф. [2]*

12
Г л. /. Конечные объединения и пересечения
(А2) A U (В U С) = {A U В) и С, А О {В () С) = (А(]В)()СУ
(A3) (A[)B)\jB = By (A U В) П В =
(А4) A ()(B\jC) = {A ()B)\J{A ПС), Ли(£пС) =
= (Л иВ)П(Л U С),
(А5) = (Ли-Л)ПВ = В.
Таким образом, булева алгебра — это непустое
множество 21 с тремя операциями А [) В, А[\В, —Л,
удовлетворяющими аксиомам (А4) — (А5).
Примеры. А) Под полем множеств мы будем
понимать любой такой непустой класс 31 подмножеств
фиксированного пространства X, что 21 замкнут
относительно теоретико-множественных операций взятия
конечного объединения, пересечения и дополнения, т. е.
такой класс, что
(а) вместе с множествами Л и В в классе 21
содержится их теоретико-множественное объединение;
(б) вместе с множествами Л и В в классе 21
содержится их теоретико-множественное пересечение;
(в) если множество Л содержится в классе 21, то
в 21 содержится и теоретико-множественное дополнение
к Л в пространстве X (т. е. множество всех элементов
из X, которые не принадлежат Л).
Как легко следует из законов Моргана для множеств,
из условий (а) и (в) вытекает условие (б), а из (б) и
(в) 	— условие (а). Следовательно, в определении поля
множеств достаточно предположить только выполнение
условия (в) и одного из условий (а), (б).
стр. 191 (страницы в книгах, переведенных на русский язык,
указаны по русскому изданию.— Прим, перев.) Многие статьи из
первой сноски содержат гораздо более короткие системы аксиом.
Однако если система аксиом коротка, то из нее труднее вывести
различные важные свойства булевых операций. Чтобы обойти эти
алгебраические трудности, мы все-таки будем исходить из аксиом
(Ах) — (А5).
Заметим, что любая система аксиом для булевых алгебр должна
содержать по крайней мере три переменных А, В, С. Это следует
из того, что существует алгебра, не являющаяся булевой, любая
подалгебра которой, порождаемая двумя элементами, является
булевой. См. Диамонд и Маккинси [1].

§ 1. Определение булевых алгебр
13
Очевидно, каждое поле множеств является булевой
алгеброй, причем булевыми операциями и, П будут
операции взятия теоретико-множественного объединения,
пересечения и дополнения соответственно.
В частности, класс всех подмножеств пространства X
является полем множеств и, следовательно, булевой
алгеброй.
Легко дать другие примеры полей множеств.
Например, для любого пространства X класс,
составленный из всех конечных подмножеств и их
дополнений, является полем множеств.
Аналогичным образом класс таких множеств
действительных чисел, которые являются объединениями
конечного числа интервалов (ограниченных или
неограниченных) и одноточечных множеств, также является полем
множеств.
Для любого топологического пространства X класс
всех таких его подмножеств Л, которые одновременно
открыты и замкнуты, также является полем множеств.
В дальнейшем такие множества мы будем называть
открыто-замкнутыми.
Точно так же класс всех таких подмножеств А
топологического пространства X, что граница А нигде не
плотна, является полем множеств1). Последнее замечание
следует из того, что и граница объединения А[) В и
граница пересечения А П В содержатся в объединении
границ множеств Л и В, а граница дополнения —Л
совпадает с границей Л. Следовательно, если границы
множеств Л и В нигде не плотны, то такими же будут
границы множеств Ли В, ЛПВ, —Л.
Б) Следующий более сложный пример — это булева
алгебра, элементами которой являются множества, но
булевы операции и, П ,— не совпадают с
теоретикомножественными операциями.
Пусть Si!—-класс всех регулярных замкнутых
подмножеств топологического пространства X, т. е.
подмножеств, которые являются замыканиями открытых
подмножеств из X (или, что то же самое, являются
замыканиями множеств своих внутренних точек). В качестве  *)*) См. Куратовский [3], стр. 73, и Стоун [6].

14
Г л. 1. Конечные объединения и пересечения
объединения А{]В множеств Л, В gSlj берется
теоретикомножественное объединение Л и В. Пересечением А О В
множеств Л, является замыкание внутренности
теоретико-множественного пересечения Л и В. Булевым
дополнением —Л множества Л £ будет замыкание
теоретико-множественного дополнения к Л. Легко
проверить, что так определенные операции и , Г) >—
удовлетворяют аксиомам (А2)— (А5), т. е. 8t2 является булевой
алгеброй 1).
Класс 312 всех регулярных открытых подмножеств X
(т. е. класс множеств внутренних точек замкнутых
подмножеств) вместе с определяемыми дальше булевыми
операциями также является алгеброй Буля. Объединением
А UВ множеств Л, В£212 является внутренность
замыкания теоретико-множественного объединения Л и В.
Пересечением Л П В множеств Л, В £ является
теоретикомножественное пересечение Л и В. Булевым
дополнением —Л множества Л £ 312 является внутренность
теоретико-множественного дополнения к Л.
В) Фундаментальным понятием теории вероятностей
является событие. Мы не будем выяснять здесь, что это
такое. Мы только отметим, что в классе всех событий
определены три операции, соответствующие логическим
связкам „или“, „и“, „не“. Если Л, В — некоторые события,
то „Л или В“, „Л и В“ и „не Л“ также являются
событиями.. Читатель, знакомый с теорией вероятностей,
легко может проверить, что события образуют булеву
алгебру, причем булевы операции и > П »— определяются
как „или“, „и“ и „не“ соответственно2).
Г) Следующий пример адресуется читателям, знакомым
с математической логикой.
Пусть S—-множество всех формул (предикативных
функций) формализованной теории, основанной на
двузначной логике. Будем отождествлять в S две формулы
аир, если они эквивалентны, т. е. если формула
а эквивалентно р
является теоремой данной теории. Тогда S становится
г) См. Биркгоф [2], стр. 247.
2) Связь между основаниями теории вероятностей 'и алгебрами
Буля будет рассматриваться в § 46.

§ 2. Некоторые следствия из аксиом
15
булевой алгеброй 91, причем булевы операции и, П, —
определяются очевидным образом при помощи логических
связок „или“, „и“ и „не“ соответственно. Алгебру 91 будем
называть алгеброй Линденбаума—Тарского
рассматриваемой формализованной теории*).
В § Ю будут описаны некоторые методы образования
новых булевых алгебр при помощи уже известных.
Иногда удобно обозначать дополнение —А (элемента А
булевой алгебры 91) через (—1)-А. Тогда элемент А
обозначается через (4-1)-А. По определению
(1) (—1) • А ——А, (+1 )*А = А.
Выражения вида —A U В, A U —В, — Ли —В будут
сокращениями выражений (— А) I) В, А и (— В),
(— A) U (— В) соответственно. Аналогично для операции П .
§ 2. Некоторые следствия из аксиом
Пусть 91—булева алгебра.
Из аксиом (Ах) и (А2) § 1 следует, что операции и
и п коммутативны и ассоциативны. Следовательно,
элементы
(1) 	AjUA2U ... U Аа, А, П А2 П ... П А„
корректно определены и не зависят от порядка
элементов Av А2, ..., Ап. Мы будем обозначать их также
через
U А,- и п А,
1 isC п 1 I «С л
соответственно.
Мы докажем, что для каждого А С 81
(2) А и А = А, А П А = А.
Действительно, применяя последовательно аксиомы (А3),
*) Связь между математической логикой и булевыми алгебрами
будет рассмотрена в § 40, 41. См. также пример Е § 18.

16
Г л. I. Конечные объединения и пересечения
(Ах), (А4), (А4) и (А3), получаем
А = Au(Anfi) =
= (А и А) Л (А и В) = (А П {А и В)) U (А П (A U В)) -
= A\jA
и аналогично
А = А ()(А 1)В) =
= (А П A) U (А П В) = {A U (А П В)) П (A U (Д П В)) =
= А П А.
Тождества (2) называются законами идемпотентности.
Аксиомы (А4) § 1 называются законами
дистрибутивности.
Аксиомы (А3) § 1 называются законами поглощения.
Из законов поглощения следует, что равенства
(3) * Af|B = A, А\)В = В
эквивалентны. Действительно, из первого закона
поглощения следует, что соотношение А П В = А влечет за
собой соотношение А[)В = В. Заменяя А на Б и Б на
А во втором законе поглощения, мы замечаем, что
соотношение A U Б = Б влечет А П Б = А в силу закона
коммутативности (Ах) § 1. Если имеет место (3), то пишем
(4) Ad В или BzdA
и мы говорим, что А является подэлементом В, или А
содержится в Б, или, наконец, Б содержит А.
Отношение с называется (булевым) включением.
Заметим, что если рассматриваемая алгебра SI является
полем множеств, то булево включение с совпадает
с теоретико-множественным.
Включение с определяет частичный порядок в
булевой алгебре т. е. имеют место следующие свойства!
где Ау В, С— произвольные элементы из алгебры ЭД.
Действительно, соотношение (5) немедленно вытекает
из соотношения (2). Если ЛсВиВсЛ, то
(6)
(в)
(7)
АсА,
если Ас В и Вс А, то А = В,
если АсВ и ВсС, то АсС,
Л = АиВ = (АПВ)11В = В

§ 2. Некоторые следствия из аксиом
17
в силу аксиомы (А3) § 1. Наконец, если АсВ и ВсС,
то по аксиоме (А2) § 1
Л=АпВ=АП (В П С) = (А П В) П С = А П С,
т. е. АсС.
Из аксиомы (А5) § 1 сразу же вытекает, что
(8) Ап— АсВ и Bcz A U —А
для произвольных элементов А, В.
Заменяя в соотношениях (8) элемент В на Вп—В
и на В U—В, получаем, что
А П — АсВП —В и В U — ВсА (J —А.
Меняя местами в этих соотношениях А и В, получаем
такие соотношения:
ВП —ВсА П — А и Аи—АсВи—В.
Используя свойство (6), приходим к равенствам
(9) АП —А = ВП —В и A U — А --В U —В
для произвольных элементов А, В £ 31.
Элемент Ап—А, не зависящий, таким образом, от
выбора А £ 31, будем называть нулевым элементом (или
просто нулем) алгебры 81 и обозначать через Д или
через Д§1 (если это необходимо). Элемент A U — А, также
не зависящий от выбора элемента А £ 91, будет
называться единичным элементом (или просто единицей)
алгебры 91 и будет обозначаться через V или V п.
Заметим, что в случае когда рассматриваемая булева
алгебра является полем подмножеств пространства X,
нулевым элементом 91 является пустое множество, а
единичным элементом—все пространство X.
По определению для каждого A G 91
(10) Ап —А = Д, А и — А= V.
Аксиома (А5) § 1 может быть теперь записана либо
в форме
(И)
ди В = В и vnfi = fl,

18
Г л. I. Конечные объединения и пересечения
либо В форме
(12) ДсЛ, Лс\/
для каждого А £ 2I. Это означает, что нулевой и
единичный элементы являются соответственно наименьшим
и наибольшим элементом алгебры 21 при указанном
частичном порядке с.
Скажем, что булева алгебра является вырожденной
алгеброй, если она содержит только один элемент.
Равенство Д = V, т. е. совпадение нуля и единицы
алгебры 21, является необходимым и достаточным
условием ее вырожденности. Достаточность вытекает из
свойств (12) и (6).
Следовательно, если булева алгебра невырождена
(т. е. имеет по крайней мере два элемента), то Д =7^= V.
В начале § 1 мы говорили, что операции и, П ,—
обладают теми же свойствами, что и соответствующие
теоретико-множественные операции. Это утверждение не
является непосредственным следствием аксиом (Ах) — (А5)
§ 1. Оно будет получено как следствие доказываемой
в § 8 теоремы о представлении. А пока мы из аксиом
выведем только некоторые свойства операций и, П , —,
аналогичные хорошо известным свойствам теоретико-
множественных операций.
Для упрощения наших рассмотрений заметим, что
U и П играют совершенно симметричную роль в
аксиомах (Ах) — (Аб) § 1. Система аксиом остается неизменной,
если мы заменим всюду U на П, а П на U.
Следовательно, если в справедливом утверждении, касающемся
операций U, Г) > —, мы всюду заменим U на П и П
на U, то получим также справедливое утверждение,
касающееся операций и > П , —> причем второе
утверждение называется двойственным к первому. Отметим,
что замена U на П и П на U в определениях (10)
и (4) переводит единицу в нуль и нуль в единицу,
а с в d и наоборот. Поэтому, чтобы получить
двойственное утверждение, мы должны заменить всюду нуль
на единицу и наоборот, а с на Z) и наоборот. Этот
общий метод конструирования двойственных утверждений
называется принципом двойственности.

§ 2. Некоторые следствия из аксиом
19
Сначала мы докажем, что
(13) если АаС и BaD, то А[) ВаС [} D.
Действительно, А[)С = С и B()D=^D. Поэтому из
аксиом (Ах) и (Д2) § 1 вытекает, что (A U В) U (С U Ь) =>
= (A\jC)\J{B\jD) = Cl)Dy т. е. A\)BaC{)D.
Из'Принципа двойственности получаем
(13') если СаА и DaBy то С [\DaA[\By
Точное доказательство утверждения (13') можно
получить из предыдущего доказательства посредством
замены U на П и наоборот.
Из утверждений (13) и (2) немедленно следует, что
(14) если АаС и ВаСу то А{]ВаС
и по двойственности, что
(14') если СаА и СаВу то СаА[\В.
Кроме того, имеют место соотношения
(15) АаА[)Ву ВаА\}Ву
так как из соотношений (2) и аксиомы (А2) § 1
вытекает, что A U {A U В) — (A U A) U В = A U В. Используя
принцип двойственности, получаем также
(15') А[\ВаАу А П ВаВ.
Из утверждения (14) и соотношений (15) вытекает,
что объединение А[)В можно определить только в
терминах отношения порядка а. Действительно, А[)В есть
наименьший элемент из 31, подэлементами которого
являются А и В. То же самое замечание верно и для
пересечения; в силу свойств (14') и (15') А[\В является
наибольшим среди всех элементов, являющихся
подэлементами А и В одновремённо.
В силу определения включения условие (4) влечет
за собой (3). Следовательно, из соотношений (12)
получаем
(16) А Г) V = A, A U V = V,
(16') А иЛ = Л, ЛПЛ = Л
для любого А £ 31.

20
Гл. I. Конечные объединения и пересечения
Дополнение —А элемента А полностью
характеризуется соотношениями (10), т. е.
(17) если АпС=А и AuC = V, то С = — А.
Действительно, в силу формул (16), (16') и аксиомы
(А4) § 1
С=Л1)С = (АП —A)UC = (AuC)n(—A\jC) =
= V П(— AUC) = — А и С,
т. е. —АсС. С другой стороны,
С = V f)C = (A U -Л)ПС = (ЛпС)и(— Af)C) =
= ли(— АпС) = — ЛпС,
т. е. Сс:—А. Следовательно, С = — А [свойство (6)].
Из соотношений (10) и закона коммутативности (Ах) § 1
вытекает, что
— А П А =* Д и — А [) А — \/ у
а это влечет за собой в соответствии с утверждением
(17) (где А заменяется на —А)
(18) А= А.
Следовательно, если — А = — В, то А = — (— А) —
х=—(—В) = В. Таким образом,
(19) А = В тогда и только тогда, когда —А= — В.
Теперь мы докажем тождества, называемые
формулами Моргана:
(20) — (А 1)В) = — А П — By — (A f)B) = — A U — В.
Действительно, элемент С = — А П — В удовлетворяет
равенствам
(А и£)ПС = (Л П — Af] — B)[)(Bf] — А[) — Я)=»
-AUA-A,
(A l)B)\jC=*{A USU —A)0(AUB[) — Б) =
= vn v = V,
согласно законам дистрибутивности и свойствам (10),
(16), (16'). В силу утверждения (17) это доказывает, что
С — — (A U В). Доказательство второго тождества (20)
вытекает из принципа двойственности.

§ 2. Некоторые следствия из аксиом
21
Из формул (20) следует, что
(21) Ас В тогда и только тогда, когда —Вс—А,
так как A U В = В тогда и только тогда, когда
— А П — В = — В.
Из (18) и (20) получаем, что
(22) - Л U 5 = — {—А П — В), А П В =— (—A U —В).
Таким образом, операция объединения может быть
выражена через операции пересечения и взятия
дополнения. Аналогичным образом операция пересечения
может быть выражена через операции объединения и взятия
дополнения.
Заменяя В на —А в формуле (22), мы получаем,
используя (18), соотношение
(23) V =—Л. Л =—V.
Элемент А П—В будем обозначать через А—В и
называть разностью А и В. Заметим, что если
рассматриваемая булева алгебра 81 является полем множеств, то
элемент А — В (А, В £ 81) является
теоретико-множественной разностью множеств А и В, т. е. множеством
всех точек, принадлежащих Л, но не принадлежащих В.
В каждой булевой алгебре 81 выполняется соотношение
V — л=— Л.
Отметим, что
(24) Ас В тогда и только тогда, когда Л — В = Д.
Действительно, если АсВ, то ЛП — В = (Л Л В) Л—
— В = А Г) (В П —В) = Л П А = А в силу (16'). Обратно,
если Л Г)—В— А. то в силу формул (16') и закона
дистрибутивности Л = Л П (В U — В)=(Л П В) и (Л Г) — В) =
= (ЛлВ)иЛ = ЛЛ£, т. е. АсВ.
Так как — (Л — В) =—(Л Л —В) = — Л U В [см. (20)
и (18)], то из свойств (24) и (23) видно, что
(24') АсВ тогда и только тогда, когда —А[}В — \/.
Операция
А—+ В = — Л UВ,
двойственная к операции взятия разности В — Л, играет
важную роль в приложениях теории булевых алгебр

22
Г л. /. Конечные объединения и пересечения
к математической логикех). Детально этот вопрос в книге
рассматриваться не будет*  2). Отметим, что в силу
утверждения (24') имеет место
(24") Ad В тогда и только тогда, когда А—*В = \Л
Элементы Л, В £31 называются непересекающимися,
если
лпв = д.
Например, для произвольных Л, В £ 91 элементы Л и
В — Л не пересекаются, т. е.
(25) Л Г) (В — Л) = А,
так как Л Г) (В Г) — Л) = В П (Л П — Л) = В П А = А-
Заметим, что
(26) Ли(В-Л) = ЛиВ,
так как в силу закона дистрибутивности Л U(Bfl —Л) =
=(Л и В) П (Л и —Л) = (Л и В) П V = л и В.
§ 3. Идеалы и фильтры
Непустое подмножество Д булевой алгебры 31
называется идеалом3), если выполнены условия:
(а) из того, что Л, В£ Д, следует, что Лий£Д;
(б) из того, что В£ Д и Ad В у следует, что Л£Д.
Примеры. А) Множество всех подэлементов данного
элемента С £31 является идеалом. Это есть
непосредственное следствие свойств (14) и (7) § 2. Такой идеал
называется главным.
Б) Если 31 является полем всех подмножеств
бесконечного пространства X, то класс всех конечных
подмножеств пространства X дает пример неглавного
идеала в 31.
г) По поводу логической интерпретации операции —>-см. стр. 312.
2) Подробности см. Расёва и Сикорский [9].
8) Детальное изучение классификации идеалов можно найти
в работе Стоуна [7]. См. также Мае да [1], Мори [1], Поспишил [3],
Тарский [3, 6].

§ 3. Идеалы и фильтры
23
В) Действительная функция т, определенная на булевой
алгебре 31, называется мерой, если выполнены следующие
условия:
(1) 0«^т(Л)^оо для каждого Л £31 и существует
такой элемент Л0£31, что т(Ав) < оо;
(2) т (А и В) = т (Л) + т (В),
если только Л п £ = А > Л, ££31.
Класс всех таких Л £31, что т(Л) = 0, является
идеалом; для доказательства достаточно показать, что любая
мера т обладает следующими свойствами:
(3) /п (Л U £)< m (Л) + m (£);
(4) еели Лс£, то т(А)^т(В);
(5) т(Л) = 0.
Допустим, что Л0 является элементом,
удовлетворяющим условию (1). Из условия (2) следует, что
т(Л0) = т(Л0и А) = т(Л0) + т(А).
Так как т (А0) — конечное число, то мы получаем
соотношение (5). Если Ad Ву то
т {А) ^ т (Л) + т (В — А) = т (В),
согласно свойствам (1) и (2), поскольку [см. (25)
и (26) §2] В является объединением непересекающихся
элементов А и В —А. Свойство (4) доказано. Принимая
во внимание свойства (2), (4), а также (25), (26) § 2,
получаем
т (А и В) = т (А) + т (В — А) < т (А) + т (В),
что доказывает неравенство (3).
Г) Класс всех нигде не плотных подмножеств является
идеалом поля всех подмножеств топологического
пространства.
Идеал Д булевой алгебры.31 называется собственным,
если он является собственным подмножеством 31, т. е.
А Ф 31. Необходимое и достаточное условие того, чтобы
идеал А был собственным, заключается в том, что V (£А.
Достаточность очевидна. Для доказательства
необходимости заметим, что если VGA, то в силу условия (б)
и условия (12) § 2 имеем А для каждого А £31, т. е.
А не является собственным идеалом.

24
Г л. I. Конечные объединения и пересечения
Очевидным следствием условий (б) и (12) § 2 является
принадлежность нулевого элемента алгебры 31 любому
идеалу 31. Множество, состоящее только из нулевого
элемента, является идеалом, называемым нулевым.
Легко проверить, что пересечение произвольного
семейства идеалов алгебры 31 будет идеалом в 31.
Для любого множества © элементов алгебры 31
существуют идеалы, содержащие© (вчастности, вся алгебра 31).
Пересечение Д0 всех таких идеалов является наименьшим
идеалом, содержащим ©. Будем говорить, что идеал Д0
порождается множеством ©. Нетрудно описать элементы
идеала Д0. Если © пусто, то Д0 —нулевой идеал.
Предположим, что © непусто. Тогда элемент А £31
принадлежит Д0 в том и только том случае, когда существует
такая конечная последовательность Аъ ..., Ап элементов
из ©, что
АаА,и ... UАп.
Действительно, в силу условия (б) элементы А такого
типа принадлежат каждому идеалу Д, содержащему ©,
так как А1[) ... 1|Л„£Д, согласно свойству (а). С
другой стороны, элементы такого типа образуют идеал,
содержащий ©.
В частности, идеал, порожденный элементом С,
является главным идеалом, описанным в примере А. Идеал,
порожденный данной конечной совокупностью элементов
С1? . .., С„, является главным идеалом, порожденным
элементом С = Сх U ... U Сп.
Наименьший идеал Д0, содержащий данный идеал Д
и данный элемент С, является множеством всех таких
элементов Л, что
(6) АаВ[)С для некоторого В£ Д.
Идеал Д0, порожденный Д и С, не будет собственным
тогда и только тогда, когда
(7) -Се Д.
Действительно, если — С £ Д, то — С £ Д0 и,
следовательно, V=CU— С£Д0 [условие (а)], т. е. Д0 —
несобственный идеал. С другой стороны, если Д0 —
несобственный идеал, то в силу условия '(6) существует такой
элемент В £ Д, что V а В U С, т. е. V = В U С. Отсюда

§ 3. Идеалы и фильтры
25
вытекает, что — С с: В, так как — С = — С Г) (В U С) =*
= (— С П В) U (— С П С) = — С П В. Следовательно
[условие (б)], — С £ А.
Непустое подмножество V булевой алгебры 31
называется фильтром, если выполнены условия:
(а') из Л, B£V следует, что Лр|В£\7;
(б') из Bgv и Л dB следует, что Л£\7.
Понятие фильтра двойственно к понятию идеала.
Действительно, условия (а') и (б') получаются из
условий (а) и (б) заменой U , П , с на П , U , з соответственно.
Из свойств (20) и (21) § 2 вытекает, что если ‘А
является идеалом, то множество всех элементов — Л для
Л С А является фильтром, называемым двойственным
к идеалу А. Обратно, если V является фильтром, то
множество всех элементов —Л для Л £ V является идеалом,
называемым двойственным к фильтру V- Это естественное
взаимно однозначное соответствие между идеалами и
фильтрами показывает, что практически достаточно
рассматривать только идеалы.
Ясно, что все утверждения, двойственные к
утверждениям, доказанным для идеалов, будут справедливы для
фильтров.
Например, если дан элемент С £31, то класс всех
таких Л £31, что Сс Л, является фильтром, называемым
главным фильтром, порожденным элементом С. Каждый
фильтр содержит единичный элемент. Множество,
состоящее только из единичного элемента, является фильтром,
который называется единичным фильтром алгебры 31
(разумеется, единичный фильтр двойствен .к нулевому
идеалу). Фильтр V является собственным, если V^^l,
т. е. A$V.
Формулировка других двойственных утверждений
предоставляется читателю.
Заметим, что условия (а) и (б) в определении идеала
можно заменить на такое условие:
Л и В £ А тогда и только тогда, когда Л £ А и В £ Д.
Аналогичным образом в определении фильтра V
условия (а') и (б') можно заменить одним условием
Лп В£\7 тогда и только тогда, когда Л£У и B£V-

26
Г л. 1. Конечные объединения а пересечения
Пример. Д) Подмножество V булевой алгебры 31,
содержащее единичный элемент, является фильтром тогда
и только тогда, когда условия Л £ V и Л —-► В £ 7 влекут
за собой условие B£V. В силу двойственности
подмножество Д алгебры 31, содержащее нулевой элемент,
является идеалом тогда и только тогда, когда условия
Л £ Д и В — Л £ Д влекут за собой условие В £ Д.
Доказательство предоставляется читателю.
§ 4. Подалгебры
Непустое подмножество 310 булевой алгебры 31
называется подалгеброй алгебры 31, если 310 замкнуто
относительно операций U, П, —, т. е. удовлетворяет
следующим условиям:
(а) если Л, В£310, то ЛиВ£310;
(а'), если Л, В£310, то ЛпВ£3(0;
(б) если Л £ 3(0, то — Л £ 310.
В силу формул Моргана [см. (22) § 2] условие (б) и
одно из условий (а), (а') влекут за собой третье условие.
Следовательно, если условие (б) и одно из условий (а),
(а') выполнены, то 3f0 является подалгеброй. Из
определения сразу же следует, что каждая подалгебра 310
замкнута также относительно операции вычитания, т. е.
справедливо условие
(в) если Л, В £31 о, то Л— В£310.
Каждая подалгебра 310 произвольной булевой алгебры
31 также является булевой алгеброй относительно тех же
самых операций и» Л, —, рассматриваемых на 310;
отношением включения в булевой алгебре 310 является
отношение включения в 31, рассматриваемое на 310.
Каждая подалгебра 3t0 алгебры 31 содержит нуль Д
и единицу V алгебры 31. Действительно, если Л£310> то
д=ЛЛ— Л£310, V = Л U — Л 6 310 в силу условий (а),
(а') и (б). Ясно, что нуль и единица алгебры 31 являются
соответственно нулем и единицей алгебры 310.
Из (16), (16'), (23) § 2 вытекает, что множество,
состоящее только из нуля и единицы алгебры 31, б\дет
подалгеброй алгебры 31, причем наименьшей из всех
подалгебр.

§ 4. Подалгебры
27
Пересечение любого числа подалгебр некоторой алгебры
вновь будет ее подалгеброй.
Для каждого множества 0 элементов булевой
алгебры 31 существует наименьшая подалгебра 310 алгебры
31, содержащая множество 0. Очевидно, Щ0 может быть
определена как пересечение всех подалгебр, содержащих
множество 0. Будем говорить, что подалгебра 310
порождается множеством 0. Легко описать элементы из 310.
Если 0 пусто, то 310 состоит только из Д и V.
Предположим, что 0 непусто, тогда элемент А £ 31 принадлежит
3(0 в том и только том случае, когда его можно
представить в виде
(1) A = (Altl П ... nA^rjUiA^n ... ГМ2,Гв)и ...
... U {As, ! П ... П А8, г,),
где или ^,„£0, или —^,„£0 для любых т, п.
Действительно, класс элементов вида (1)
удовлетворяет условию (а). Как следует из формулы Моргана
[см. (20) § 2] и закона дистрибутивности [см. (А4) § 1],
дополнение к элементу А вида (1) может быть
представлено в таком же виде. Поэтому условие (б) также
удовлетворяется. Следовательно, элементы вида (1) образуют
подалгебру 3J(0, содержащую 0. С другой стороны,
каждый элемент А вида (1) принадлежит любой подалгебре,
содержащей 0. Поэтому Э10 является наименьшей
подалгеброй, содержащей 0.
Из соображений двойственности мы заключаем, что
подалгебра, порождаемая непустым множеством ©,
состоит из всех таких элементов А £31, которые
представимы в виде
(2) А - (Altl U ... U Alt rt) П (A2tl U ... U Аш, г.) П ...
... П (As. х U ... U As, rt),
где или AOTj„£©, или —AOTf„£0 для любых т, п.
В частности, подалгебра,’ порожденная одним
элементом А С 31, состоит только из Д, V, А и —А.
Если 310 является подалгеброй алгебры 31 и Л0£31,
то подалгебра, порожденная 310 и А0, состоит из всех
элементов А £ 31, представимых в виде
(3)
А = (Аг{] А0)[)(А2 — А0)9 где Av А2£310.

28
Г л. I. Конечные объединения и пересечения
Доказательство аналогично доказательству формулы (1).
Достаточно проверить, что объединение элементов вида (3)
и дополнение к элементу вида (3) являются элементами
того же вида.
§ 5. Гомоморфизмы и изоморфизмы
Пусть 2Л и 21'— булевы алгебры. Отображение h
алгебры ^ 21 в алгебру 21' назовем гомоморфизмом*), если
оно сохраняет операции объединения, пересечения и
взятия дополнения, т. е.
(а) h{A \}B)^h{A)[}h{B),
(а') к(А(]В) = к(А)(}Ь(В),
(б) h(—A)=—h(A).
Из формул Моргана [см. (22) § 2] следует, что
условие (б) и одно из условий (а) или (а') влекут за собой
условие (а') или (а) соответственно. Следовательно, если
выполнены условие (б) и одно из условий (а), (а'), то
Л является гомоморфизмом.
Из* определения следует, что гомоморфизм h также
сохраняет операцию вычитания, т. е.
(в) h(A—B) = h{A)-h{B).
Гомоморфизм h переводит нуль и единицу алгебры 21
в нуль и единицу алгебры 21' соответственно, т. е.
(г) МЛя)=Л§1', A (V«) = Vr,
так как h (Д§г) =h (А П — A) = h(A) Г) — h(A) = Лг и
двойственным образом для V.
Обратно, если отображение h удовлетворяет условиям
(а), (а') и (г), то оно является гомоморфизмом.
Действительно, в этом случае
h (А) П А (— А) - А (А П — А) = Дг,
h(A)\Jh(-A)=h(A\J— Л)= Vr
и отсюда вытекает [см. (17) § 2], что h (—А)=-- — h(A).
*) О более общем понятии, чем гомоморфизм, см. Халмош [4],
Райт [2, 3, 4].

§ 5. Гомоморфизмы и изоморфизмы
29
Подобным же образом условие (в) вместе с
последним из условий (г) и одним из условий (а), (а')
достаточно для того, чтобы h было гомоморфизмом.
Произвольный гомоморфизм h сохраняет также
включение, т. е.
(1) если АаВу то h, (А)а h(B),
ибо если В = А[)ВУ то h(B) = h(A \jB) = h(A)[)h(B).
Если h является гомоморфизмом алгебры 31 в алгебру
ЗГ, то класс.h (31) всех элементов вида h (А) £ 31' (А £ 31)
образует подалгебру алгебры 31'.
Взаимно однозначный гомоморфизм h называется изо-
морфизмом. Если существует изоморфизм h алгебры 31
на алгебру 31', то булевы алгебры 31 и ЗГ называются
изоморфными. В этом случае h""1 является изоморфизмом
31' на 31.
Взаимно однозначное отображение h алгебры 31 на
алгебру 31' тогда и только тогда будет изоморфизмом,
когда и А и А-1 сохраняют включение, т. е.
(2) Ad В тогда и только тогда, когда h(A) d h(B).
В самом деле, из (2) вытекает (г). Так как операции
объединения и пересечения можно определить при помощи
только отношения включения [см. § 2, стр. 19], то из (2)
вытекают также условия (а) и (а').
Если А является гомоморфизмом 31 в 31', а Д' —
идеал в 31', то множество Д = й“1(Д') всех таких
элементов Л £31, что А(Л)£Д', будет идеалом. В частности,
множество А”1(Дг) всех таких элементов А £31, что
НА) = Дг, также образует идеал.
Гомоморфизм А алгебры 31 в алгебру 31' тогда и
только тогда является изоморфизмом, когда А_1(Дг)
содержит лишь нуль алгебры 31, т. е. когда
(3) из равенства й(Л)=Дг следует, что А = д«.
Действительно, если отображение h взаимно однозначно,
то в силу свойства (г) условие (3) выполнено. Обратно,
если условие (3) выполнено и h(A) = h(B), то А — В=~- Д§(
и В — Л = Д«, так как h(A — B)=h(A) — h(B)==/\^ и
h(B — A) — h(B) — А(Л)— Дг* Отсюда выводим, что
[см. (24) § 2] справедливы включения A d В и Вс Л,

за
Гл. I. Конечные объединения и пересечения
из которых вытекает равенство А = В. Значит,
отображение h взаимно однозначно.
Двойственным образом, если V' является фильтром
алгебры 31/, a h — гомоморфизмом из 31 в 31', то й""1 (V')
является фильтром 31. В частности, множество A-1(Vr)
есть фильтр алгебры 31. Гомоморфизм й тогда и только
тогда является изоморфизмом, когда /i"“1(Vr) содержит
только элемент Vsi*
Если существует гомоморфизм 31 на 31', то будем
говорить, что 31' является гомоморфным образом алгебры 31.
Примеры. А) Предположим, что 31 и 31' являются
полями множеств пространств X и X' соответственно.
Пусть ф — такое отображение пространства X' в
пространство Ху что
Ф-1(Л)£3[' для любого множества Л£ 31.
Тогда отображение й, определенное по формуле
h(A) = y~1 (А) для Л £31,
является гомоморфизмом алгебры 31 в алгебру 31'. Будем
говорить, что гомоморфизм й индуцирован отображением ф.
Б) Все двухэлементные булевы алгебры изоморфны
между собой, причем изоморфизм задается отображением,
переводящим нуль в нуль, а единицу в единицу. Любая
двухэлементная булева алгебра изоморфна полю всех
подмножеств одноточечного пространства.
В) Пусть и 312 являются соответственно булевымй
алгебрами всех регулярных замкнутых подмножеств
топологического пространства X и всех его регулярных
открытых подмножеств (см. пример Б § 1).
Отображение, ставящее в соответствие каждому
множеству А £ 31х его внутренность, является изоморфизмом
алгебры 31х на алгебру 312.
§ 6. Максимальные идеалы и фильтры
Пусть 31— булева алгебра.
Собственный идеал (фильтр) алгебры 31 называется
максимальным1)у если он не является собственным под-
!) Максимальный идеал (фильтр) называется также простым
идеалом (фильтром).

31
§ 6. Максимальные идеалы и фильтры
множеством никакого собственного идеала (фильтра)
алгебры 31.
Для того чтобы собственный идеал Д (фильтр V) был
максимальным, необходимо и достаточно, чтобы для
любого элемента Л £31 либо Л, либо —А
принадлежал Д (V).
Мы докажем этот критерий только для идеалов;
доказательство для фильтров двойственно. Для
доказательства достаточности предположим, что рассматриваемое
условие выполнено и что Д является собственным
подмножеством идеала Д0, т. е. существует такой элемент А £ Д0,
что А (£ Д. Следовательно, — A £ Д и поэтому — А £ Д0,
откуда получаем, что V=^U—Л£Д0, т. е- До не яв‘
ляется собственным идеалом. Для доказательства
необходимости предположим, что идеал Д максимален. Если
А (£ Д, то Д является собственным подмножеством идеала
Д0, порожденного идеалом Д и элементом А. Так как
Д максимален, то Д0 — несобственный идеал. Из условия
(7) 	§ 3 вытекает, что — Л£ Д.
Каждый собственный идеал (фильтр) содержит не
более одного из элементов Л, —Л, ибо в противном
случае он содержал бы элемент V = Л и — Л (Д = Л П — Л)
и не был бы собственным. Таким образом, идеал (фильтр)
максимален тогда и только тогда, когда для любого
элемента Л £ 31 он содержит в точности один из
элементов Л, —Л.
Пр имеры. А) Если 31 является полем подмножеств
непустого пространства X, а х0£Х, то класс Д всех
множеств Л £ 31, не содержащих х0, является
максимальным идеалом алгебры 31, так как для любого Л £ 31 либо
Л, либо—Л не содержит точку х0. Из тех же самых
соображений класс всех множеств Л £ 31, содержащих
х0£Л, является максимальным фильтром алгебры 31.
Будем говорить, что такой идеал (фильтр) определен
точкой х0.
Если поле 31 содержит все одноточечные
подмножества пространства X, то максимальный фильтр V
определен точкой х0 тогда и только тогда, когда (*0)€V.
Б) Пусть X — произвольное бесконечное пространство,
и пусть 31 — поле всех таких множеств Л с X, что или

32
Г л. I. Конечные объединения и пересечения
А или X — А является конечным множеством. Класс всех
конечных (бесконечных) множеств А из 31 является
максимальным идеалом (максимальным фильтром) алгебры 31.
Этот идеал (фильтр) не определен никакой точкой х0£Х.
Под двузначным гомоморфизмом булевой алгебры 31
мы будем понимать произвольный гомоморфизм 31 в
двухэлементную булеву алгебру.
Мера т на булевой алгебре 31 (см. пример В § 3)
называется двузначной, если она принимает в точности
два значения: число 0 и число 1. Тогда
т(Л) = 0 или 1 для любого Л £21»
и в частности
т(Д) = 0, а т(Х/) = 1.
Первое из этих двух равенств является частным случаем
свойства (5) § 3. В силу свойства (4) § 3 0^т(Л)^т(\/).
Из предположения, что m(V) равно нулю, следует
тождественное равенство нулю меры т, а это противоречит тому,
что двузначная мера принимает оба значения 0 и 1.
Так как т (Л) + т (— Л) =т (Л U — Л) =т (V) = К то
(1) т(—Л) = 1 —т (Л) для любого Л£3I.
Заметим еще, что
(2) т(А []В)~т(А)-т(В) для произвольных Л, 31.
Действительно, равенство (2) справедливо, если либо
т(Л), либо т(В) равно 0. Если т(Л) = 1=т(В), то
в силу формулы (1) т(—Л) = 0=^/п(—В) и,
следовательно, т(—Ли—В) = 0 [см. (3) и (1) § 3]. Поэтому
[из формулы (1)] т(А[) В) = 1—т(—Ли-"В)==1, что
завершает доказательство формулы (2).
Существует естественное взаимно однозначное
соответствие между максимальными идеалами, максимальными
фильтрами, двузначными гомоморфизмами и двузначными
мерами.
Действительно, если Д — максимальный идеал, то
двойственный к Д фильтр будет максимальным (см. § 3),
формула
[ д, если Л С А
(3) h{A). '
V, если
Ai А

§ 6. Максимальные идеалы и фильтры
33
определяет двузначный гомоморфизм й, а формула
— двузначную меру т.
Подобным же образом, если V — максимальный фильтр,
то двойственный к V идеал (см. § 3), т. е. множество А
всех—А для является максимальным идеалом,
а формулы (3) и (4) определяют двузначный гомоморфизм
и двузначную меру, соответствующие фильтру у.
С другой стороны, если h является двузначным
гомоморфизмом, то множество А всех таких Л, чтой(Л) = Д,
будет максимальным идеалом, а множество V всех таких Л,
что h (А) = V — максимальным фильтром
(двойственным к А). Аналогично если т является двузначной мерой,
то множество А всех таких Л, что т(А) = 0, будет
максимальным идеалом, а множество V всех таких Л, что
т (Л) = 1 —максимальным фильтром, двойственным к А
[см. (1) и (2)].
Это естественное соответствие позволяет нам
автоматически получать из теорем о максимальных идеалах
теоремы о максимальных фильтрах, о двузначных
гомоморфизмах или о двузначных мерах и обратно.
Вырожденная алгебра 91 не содержит ни одного
максимального идеала (а значит, она не содержит ни одного
максимального фильтра, не существует ни одного ее
двузначного гомоморфизма или двузначной меры на ней).
Действительно, единственным идеалом алгебры 91 будет
нулевой идеал, а этот идеал является несобственным.
Следующая теорема *) показывает, что каждая
невырожденная булева алгебра 91 имеет много максимальных
идеалов, максимальных фильтров, двузначных
гомоморфизмов и двузначных мер.
6.1. 	(i) Для каждого собственного идеала А0
существует максимальный идеал, содержащий А0.  11) Эта фундаментальная теорема получена Стоуном [5].
См. также Тарский [1], Улам [2].
если Л С А
если А А

34
Г л. I. Конечные объединения и пересечения
(И) Для каждого собственного фильтра V0 существует
максимальный фильтр, содержащий Vo-
(Hi) Для каждого собственного идеала Д0 (собственного
фильтра уо) существует двузначный гомоморфизм h такой,
что h(A) = /\ для любого А£ Д0 {такой, что h(A)=^\/
для любого А £ Vo)-
(iv) Для каждого собственного идеала Д0 {собственного
фильтра V0) существует такая двузначная мера т, что
т{А) = 0 для любого А£А0{т{А) = 1 для любого Л£У0)-
Неизвестно эффективного доказательства этой
теоремы1), т. е. каждое доказательство основывается на
принципе полной упорядоченности или на других
утверждениях, эквивалентных аксиоме выбора.
Вследствие естественного соответствия между
максимальными идеалами, максимальными фильтрами,
двузначными гомоморфизмами и двузначными мерами достаточно
доказать только одну из четырех частей теоремы 6.1,
например (i).
Заметим, во-первых, что если {Да}— возрастающая
трансфинитная последовательность идеалов алгебры 91, то
объединение всех идеалов Да также будет идеалом в 91.
Если все идеалы Да собственные (т. е. не содержат
единицу), то их объединение — также собственный идеал (так
как оно не содержит единицу).
Пусть система {Ла}а<?— трансфинитная
последовательность, пробегающая все элементы алгебры 91. При
помощи трансфинитной индукции следующим образом
определим возрастающую последовательность {Да}а<р
идеалов алгебры 91:
Д0 — идеал из пункта (i). Если 0 < а < р, то через Дв
обозначим идеал, порожденный элементом Аа и
объединением всех идеалов Дт, у < а, при условии, что этот
идеал собственный; в противном случае в качестве Да
возьмем объединение всех Дт, у < а.
Объединение Д всех идеалов Да (а < р) является
собственным идеалом, содержащим Д0. Мы докажем, что
А) Проблема эффективности теоремы 6.1 будет исследована в§47.

§ 7. Приведенные и совершенные поля множеств
35
идеал А является максимальным, т. е. для каждого ос
или Аа, или —Аа принадлежит Д.
Если Ла£Да, то, разумеется, Аа£ Д. Если
то Да является объединением всех Д7 для у < а, и идеал,
порожденный Да и Ла, не является собственным.
Следовательно, в силу свойства (7) § 3 —Аа принадлежит Да,
а значит, и Д.
Теорема 6.1 может быть обобщена в различных
направлениях. Обобщение пункта (ш) будет дано в § 33
(теорема 33.1). Пункт (iv) является частным случаем
следующей теоремы в теории меры г). Каждая мера т0,
определенная на подалгебре 310 алгебры 31, может быть
продолжена до меры т на всей алгебре 31 таким образом,
чтобы множество значений меры т содержалось в
замыкании множества значений меры т0. В частности, каждая
двузначная мера т0 на подалгебре 310 может быть
продолжена до двузначной меры на всей алгебре 31. Чтобы
доказать пункт (iv) с помощью этой теоремы, достаточно
предположить, что 310 есть подалгебра, порожденная
идеалом Д0 (т. е. множество всех элементов А и — Л, где А £ Д0),
и определить т0 по формуле т0(Л) = 0 и т0(—Л) = 1
для всех Л£Д0.
§ 7. Приведенные и совершенные поля множеств
Поле $ подмножеств пространства X называется
приведенным', если любые две точки х и у из X разделяются
множеством А из т. е. существует такое множество
Л£^, что х£А, а у^А.
Примеры. А) Поле всех подмножеств пространства
X является приведенным. Вырожденное поле, состоящее
только из пустого множества (т. е. поле всех
подмножеств пустого пространства), является приведенным.
Б) Если X содержит более чем одну точку, то поле,
состоящее только из пустого множества и всего
пространства X, не является приведенным.  *)*) См. Хорн и Тарский [1], Лось и Марчевский [1], Тарский [11].

36
Г л. I. Конечные объединения и пересечения
В) Если топологическое пространство X нульмерно,
то поле всех открыто-замкнутых множеств АаХ является
приведенным. Обратное утверждение, вообще говоря,
неверно. Если поле всех открыто-замкнутых подмножеств
топологического пространства X является приведенным,
то X называется вполне несвязным. Очевидно, что каждое
вполне несвязное пространство является хаусдорфовым.
Каждое поле $ подмножеств пространства X
изоморфно приведенному полю Чтобы получить ,
достаточно отождествить те точки пространства X,
которые не разделяются никаким множеством Более
точно, для каждой точки х£Х обозначим через л:'
множество всех у£Х, которые не отделимы от х никаким
множеством Пусть А'—- множество всех х, где
х£А. Класс всех множеств А' (А£$) является
приведенным полем подмножеств пространства X', а
отображение
h(A) = A'
является изоморфизмом $ на .
Поле $ подмножеств пространства X называется
совершенным, если каждый максимальный фильтр (или,
что эквивалентно, каждый максимальный идеал) поля $
определяется точкой пространства X (см. пример А § 6).
Примеры. Г) Каждое конечное поле (т. е. поле,
состоящее из конечного числа подмножеств) является
совершенным, ибо пересечение А0 всех множеств А,
принадлежащих максимальному фильтру V, также принадлежит
V (так как оно является пересечением конечного числа
элементов фильтра V) и каждая точка х0 из Л0
определяет фильтр V.
Д) Поле множеств, определенное в §6 Б, несовершенно.
Е) Поле всех подмножеств бесконечного пространства
X несовершенно. Действительно, пусть Д0 —идеал,
составленный из всех конечных подмножеств пространства X.
В силу теоремы 6.1 идеал Д0 является подмножеством
максимального идеала Д, но последний не определяется
никакой точкой из X.
Ж) Обобщая примеры Д и Е, мы видим, что если

§ 7. Приведенные и совершенные поля множеств
37
пространство X бесконечно и поле $ подмножеств
пространства X содержит все одноточечные множества
(следовательно, все конечные подмножества), то поле $
несовершенно.
3) Поле $ всех открыто-замкнутых подмножеств
компактного топологического пространства X совершенно.
Действительно, если V является максимальным фильтром
в то пересечение всех множеств А £ V непусто, так
как множества А £ V замкнуты и пересечение любого
конечного их числа принадлежит V и, следовательно,
непусто. Каждая точка х0> принадлежащая пересечению
всех множеств определяет фильтр V.
Если поле $ подмножеств пространства X совершенно
и является приведенным, то естественное взаимно
однозначное соответствие между максимальными идеалами,
максимальными фильтрами, двузначными гомоморфизмами
и двузначными мерами может быть распространено также
на точки пространства X. Действительно, каждая точка
пространства X определяет единственный максимальный
фильтр (а значит, максимальный идеал, двузначный
гомоморфизм и двузначную меру) и, наоборот, каждый
максимальный фильтр (и, следовательно, каждый максимальный
идеал, двузначный гомоморфизм и двузначная мера)
определяется точкой из X. Различные точки х, у
определяют различные максимальные фильтры (максимальные
идеалы, двузначные гомоморфизмы и двузначные меры).
Действительно, пусть А — такое множество, что х£А,
а у(£А. Тогда А принадлежит максимальному фильтру,
определенному точкой л:, но не принадлежит
максимальному фильтру, определенному точкой у. Это доказывает,
что фильтры, определенные точками х и у, различны.
Из примеров В и 3 следует, что если X —компактное
вполне несвязное пространство, то поле $ всех
открытозамкнутых подмножеств X является приведенным и
совершенным. Верно и обратное:
7.1. 	Если g является совершенным приведенным полем
подмножеств пространства X, то на X можно определить
такую топологию, что X будет компактным вполне не¬

38
Г л. I. Конечные объединения и пересечения
связным пространством, а % —полем всех
открыто-замкнутых подмножеств топологического пространства X.
Для доказательства предположим, что $ является
базисом открытых множеств топологического
пространства X. Другими словами, множество GaX будет
называться открытым тогда и только тогда, когда оно является
объединением каких-либо множеств из Разумеется,
каждое множество А £ $ открыто. Оно также замкнуто
в этой топологии, так как множество Х — А принадлежит
$ и, следовательно, открыто. Поскольку $ является
приведенным полем, то пространство X вполне несвязно.
Для доказательства компактности X достаточно показать,
что если оно представлено в виде объединения класса ©
открытых подмножеств, то существует такая конечная
последовательность Лх, ... , Л„£©, что
(1) Лхи ... иЛ„ = Х.
Мы можем предположить, что множества из ©
принадлежат полю $ (если это не так, то мы можем
заменить © классом всех множеств А £ каждое из которых
содержится в одном из множеств В£©).
Предположим, что равенство (1) не выполняется ни
для одной последовательности Лх, ... , Ап £ ©. Это
означает, что идеал Д0, порожденный множеством © (см. § 3),
является собственным. В силу утверждения 6.1 идеал Д0
может быть расширен до максимального идеала Д. Так
как поле % совершенно, то существует точка х0£Х,
определяющая Д, т. е.
Л£Д тогда и только тогда, когда л:0(£Л.
Следовательно, х0&А для каждого Л£©, а это
противоречит тому, что © покрывает X.
Теперь мы докажем, что если множество Л из X
открыто-замкнуто, то А £ По определению топологии А
является объединением класса £ множеств из $, так как
Л —открытое множество. В то же время Л является
замкнутым подмножеством компактного пространства X,
т. е. существует такая конечная последовательность
Лх, ... , Ля€Лс^, что Л = ЛА U • • • U Ап.
Следовательно, Л

§ 7. Приведенные и совершенные поля множеств
39
Заметим, что топология в X однозначно определяется
полем ^ и условиями теоремы 7.1. Действительно,
предположим, что мы можем ввести требуемую топологию
другим способом. Пусть Х0 обозначает пространство X
с этой новой топологией. Так как каждое множество А
открыто в Х0, то каждое множество, открытое в X,
открыто также и в Х0. Это означает, что тождественное
отображение Х0 на X непрерывно. Так как Х0
—компактное хаусдорфово пространство, то отсюда следует, что
тождественное отображение Х0 на X является
гомеоморфизмом, т. е. эти две топологии совпадают.
Отметим, что если два совершенных приведенных по-
ля$ и ^'(подмножеств пространства X и X'соответственно)
изоморфны, то пространства X и X', снабженные такими же
топологиями, как и в теореме 7.1, гомеоморфны.
Действительно, пусть h обозначает изоморфизм $ на $'• Для
каждой точки х£Х класс А всех таких чтол^Д,
является максимальным фильтром. Изоморфизм h
переводит фильтр А в максимальный фильтр А'==й(А),
определенный некоторой точкой *'£Х'. Следовательно, для
каждого А £ $
х£А тогда и только тогда, когда х' £h (А).
Отсюда вытекает, что взаимно однозначное
отображение ф (X на X'), определенное при помощи формулы
Ф (*) = *',
обладает свойствами
ф(A)=^h(A)£%' для каждого А £$,
Ф~1(A') = h~1 (А') для каждого
Поэтому ф (G) является открытым в X' множеством для
каждого открытого в X множества G, а ф’1 (G') открыто
в X для каждого G', открытого в X'. Отсюда следует,
что ф — гомеоморфизм X на X'.
Примеры. И) Предположим, что ^ является
совершенным (не обязательно приведенным) полем подмножеств
пространства X. Определяя открытые подмножества так
же, как в теореме 7.1, мы превращаем X в компактное
топологическое пространство (которое, вообще говоря, не
является Г0-пространством). Доказательство компактности
такое же, как и в доказательстве теоремы 7.1.

40
Гл. I. Конечные объединения и пересечения
К) Если % является совершенным полем подмножеств
пространства X, a {At)t^T — бесконечное
индексированное множество непересекающихся непустых множеств из^,
то теоретико-множественное объединение А всех At не
принадлежит полю
Действительно, рассмотрим X как топологическое
пространство с топологией, определенной в примере И.
Допустим, что А £$, тогда открытые множества At
покрывают замкнутое подмножество А компактного
пространства X. Отсюда вытекает, что множество А является
объединением конечного числа множеств At вопреки
предположению о том, что множество Т бесконечно, а
множества At непусты и попарно не пересекаются.
§ 8. Основная теорема о представлении
Как говорилось в § 1, элементы булевой алгебры
являются аналогами подмножеств данного пространства. Из
сказанного в § 6 и 7 следует, что максимальные фильтры
(или, что эквивалентно, максимальные идеалы, двузначные
гомоморфизмы, двузначные меры) являются булевыми
аналогами точек пространств. Это замечание будет
полезно при доказательстве следующих двух теорем.
8.1. 	Пусть X — множество максимальных фильтров
булевой алгебры 31. Для каждого А £31 через h {А) обозначим
множество всех таких максимальных фильтров V GX, что
А£у. Тогда класс $ всех множеств h(A) (где А £31)
является приведенным полем подмножеств пространства X,
a h—гомоморфизмом алгебры 31 на поле
Если для каждого А Ф Д существует такой
максимальный фильтр V6X, что Л£у> то h является
изоморфизмом 31 на поле %.
Из определения h следует, что
(1) 	А£Ч тогда и только тогда, когда V£h(A).
Так как А{]В£у тогда и только тогда, когда
и BGV (см. конец § 3), то
h(A(]B) = h(A)(]h(B)f
где символ „П“ в правой части * равенства обозначает
теоретико-множественное пересечение. Поскольку каждый

§ 8. Основная теорема о представлении
41
фильтр V 6 X максимален, то мы заключаем, что (см.
начало § 6)
тогда и только тогда, когда—A(fcV.
Из этого в силу формулы (1) вытекает, что
h(-A) = -h(A),
где „—“ в правой части равенства обозначает терретико-
множественное дополнение в пространстве X. Такдм рб-
разом, h является гомоморфизмом алгебры 31 в поле всех
подмножеств пространства X. Следовательно, класс ^ =
= к(Щ является полем подмножеств пространства X.
Если Vi и V2 являются различными точками в X, т. е.
различными максимальными фильтрами, то существует
элем*ент А € 31, который принадлежит только одному из
них, например,
А£ Vi и Л02.
Следовательно, в силу формулы (1)
Vi$h{A)£% и V,$A(А),
что доказывает приведенность поля
Если выполнено условие второй части теоремы 8.1, то
h(A) непусто, если Аф Д. Это доказывает, что h
является изоморфизмом [см. (3) § 5].
8.2. 	Каждая булева алгебра 31 изоморфна совершенному
приведенному полю множеств, т. е. полю всех
открытозамкнутых подмножеств компактного вполне несвязного
пространства1).
Предположим в теореме 8.1, что X является
множеством всех максимальных фильтров алгебры 3L Пусть h
и % имеют тот же смысл, что и в теореме 8.1.
х) Эта основная теорема о представлении доказана Стоуном [1,
4, 5, б, 10]. Теорема 8.2 о представлении и теорема 6.1 о
существовании максимальных идеалов и фильтров исследовались во многих
работах. См. Ауман [2], Дилуорс [1], Данфорд и Шварц [1] (стр. 41),
Данфорд и Стоун [1], Энгелькинг и Куратовский [1], Эномото [1],
Фринк [1], Исеки [1], Какутани [1], Ливенсон [1], Мори [1], Нол'ин
[1], Стаблер [2], Тарский [1]. Другая теорема о представлении
булевых алгебр дана Хаимо [2].

42
Г л. /. Конечные объединения и пересечения
Если А Д, то главный фильтр, порожденный
элементом Л, является собственным, поэтому в силу теоремы 6.1
его можно продолжить до максимального фильтра V.
Очевидно, Из теоремы 8.1 следует, что h яв¬
ляется изоморфизмом алгебры 31 на приведенное поле
Докажем, что поле $ является совершенным.
Пусть V' — максимальный фильтр поля Из
изоморфизма алгебры 31 и поля $ вытекает, что класс V всех
таких элементов Л£31, что й(Л)£\7', является
максимальным фильтром в 31. Пусть т* е* B=h(A) для
некоторого элемента А £ 31. Тогда
В £ V' тогда и только тогда, когда Л£\7,
т. е. [см. (1)]
B£V' тогда и только тогда, когда V6 5-
Отсюда следует, что фильтр V' определяется точкой V6X,
т. е. что поле $ совершенно.
Последнее утверждение теоремы 8.2 сразу же следует
из доказанного и из теоремы 7.1.
Компактное вполне несвязное пространство X
называется пространством Стоуна булевой алгебры 31, если 31
изоморфна (совершенному приведенному) полю всех
открыто-замкнутых подмножеств пространства X. Из
замечаний в конце § 7 вытекает, что все пространства Стоуна
алгебры 31 гомеоморфны между собой. Обратно, если X
и X' — гомеоморфные пространства, а X является
пространством Стоуна алгебры 31, то таковым же будет и
пространство X'. Действительно, если ф — гомеоморфизм X
на X', то отображение h(A) = (p (А) (А £$) является
изоморфизмом поля $ всех открыто-замкнутых подмножеств
из X на поле всех открыто-замкнутых подмножеств
из Х\ Если поле $ изоморфно алгебре 31, то и поле
ей изоморфно. Таким образом, пространство Стоуна
булевой алгебры 31 определяется ею однозначно с
точностью до гомеоморфизма.
Очевидно, в построении пространства Стоуна алгебры
31, данном в доказательстве теоремы 8.2, мы могли бы
использовать максимальные идеалы (или двузначные
гомоморфизмы, двузначные меры) вместо максимальных

§ 8. Основная теорема о представлении
43
фильтров. Соответствующим образом требуется изменить
определение h(A).
Мы доказали в § 2, что булевы операции U, П, —
и булево включение а обладают некоторыми свойствами,
аналогичными соответствующим свойствам
теоретико-множественных операций и теоретико-множественного
включения. Из теоремы 8.2 вытекает, что, грубо говоря, они
обладают всеми свойствами .своих
теоретико-множественных аналогов. Действительно, каждая булева алгебра 31
изоморфна некоторому полю множеств, и этот изоморфизм
сохраняет все свойства (конечных)
теоретико-множественных операций и теоретико-множественного включения.
Как следует из теоремы 8.2, различие между понятием
поля множеств и более общим понятием булевой алгебры
не существенно с точки зрения конечных
теоретико-множественных операций и их булевых аналогов. В гл. II
мы покажем, что это различие существенно, если
рассматривать некоторые бесконечные операции.
Теорема 8.2 также демонстрирует значение понятия
компактного вполне несвязного пространства для теории
булевых алгебр.
Примеры. А) Если 31 — поле всех
открыто-замкнутых подмножеств компактного вполне несвязного
пространства X, то X является пространством Стоуна алгебры 31.
Б) Если булева алгебра 31 конечна, то пространство
Стоуна X алгебры 31 будет конечным хаусдорфовым
пространством (и наоборот). В этом случае $ будет классом
всех подмножеств пространства X. Если X состоит
из п элементов, то 31 состоит из 2п элементов.
Таким образом, если две конечные булевы алгебры имеют
одинаковое число элементов, то они изоморфны.
В частности, любое одноточечное пространство является
пространством Стоуна двухэлементной булевой алгебры.
Пустое множество является пространством Стоуна
вырожденной булевой алгебры.
В) Пространство Стоуна булевой алгебры 31 метризуемо
тогда и только тогда, когда 31 не более чем счетна. Это

44
Г л. /. Конечные объединения и пересечения
вытекает из теоремы о том, что компактное хаусдорфово
пространство метризуемо тогда и только тогда, когда оно
обладает счетной базой открытых множеств1), т. е. если
существует такая счетная последовательность открытых
множеств, что каждое открытое множество представимо
в виде объединения множеств из этой последовательности.
Если алгебра 51 счетна, то поле % (всех
открыто-замкнутых подмножеств пространства Стоуна X алгебры 5()
является счетным открытым базисом пространства X, т. е.
пространство X метризуемо. Наоборот, если X обладает
базисом открытых множеств {G„}, то каждое множество
А £ $ Является объединением некоторых множеств из
последовательности {G„}. Так как множество А замкнуто
в компактном пространстве, то его можно представить
в виде объединения конечной системы множеств из
последовательности {G„}. Отсюда следует, что мощность $ не
превосходит #0. Следовательно, мощность алгебры 51 также
меньше или равна
Известно2), что число топологических типов вполне
несвязных компактных метрических пространств равно 2**°.
Отсюда следует, что имеется изоморфных типа
счетных булевых алгебр, т. е. все счетные булевы алгебры
можно таким образом разделить на класса, что две
булевы алгебры попадают в один класс тогда и только
тогда, когда они изоморфны.
Г) Пусть Х0 — бесконечное пространство и 51 —булева
алгебра, образованная всеми конечными подмножествами
Х0 и их дополнениями относительно пространства Х0 (см.
§ 6, пример Б). Через х0 обозначим точку, не
принадлежащую пространству Х0, и пусть X = X0U(*0)- Отображение
[ Ау если множество Л £51 конечно
h (А) = <
v ; \ А и(*0)> если множество А £51 бесконечно
является изоморфизмом алгебры 51 на поле $ подмножеств
пространства X. Превратим X в топологическое
пространство, считая класс ^ базисом его открытых множеств.
2) Эта теорема доказана Урысоном. См., например, Александров
и Хопф [1], стр. 88.
2) Мостовский [1]. См. также Мазуркевич и Серпинский [1].

§ 8. Основная теорема о представлении
45
Тогда пространство X компактно и вполне несвязно, и,
следовательно, является пространством Стоуна алгебры 31.
Так топологизированное пространство X называется
одноточечной компактификацией дискретного пространства Х0.
Д) Пусть 3( — наименьшее поле подмножеств
единичного интервала 0 ^ х < 1, содержащее все интервалы
0^х<а (0<а^1), т. е. класс всех конечных
объединений замкнутых слева и открытых справа подинтервалов
единичного интервала. Пространством Стоуна алгебры 31
является множество X, полученное из замкнутого
интервала 0 ^ х ^ 1 посредством раздвоения каждой
внутренней точки х на две точки х~ и х+. Множество X будем
рассматривать как упорядоченное множество с
естественным. порядком
О < х~ < х+ < у~ < у+ < 1 для любых 0 < х < у < 1.
В топологии, определенной этим порядком, X будет
компактным и вполне несвязным пространством1). Булева
алгебра 31 изоморфна полю $ всех открыто-замкнутых
подмножеств пространства X (если в соответствие
каждому интервалу а^.х<Ь поставить множество,
образованное элементами а+> Ь~ и всеми лГ, для а < х < Ы),
поэтому X является пространством Стоуна алгебры 312).
Е) Читатель, знакомый с компактификацией Чеха —
Стоуна, может легко убедиться в том, что если алгебра 31
является полем всех подмножеств пространства Х0
(рассматриваемого в дискретной топологии), то компактифи-
кация Чеха— Стоуна р (Х0) будет пространством Стоуна
алгебры 31.
Ж) Пусть $ — поле подмножеств пространства X. Для
любого через g(A) обозначим множество всех таких
максимальных фильтров V, что A £V и V не определяется
никакой точкой из X. Тогда отображение
h(A) = Aug(A) И 68?)
является изоморфизмом поля $ на совершенное поле
подмножеств пространства X' = X\Jg(X).
*) Александров и Урысон [1].
2) Относительно аналогичной конструкции пространства Стоуна
поля всех множеств вида А{]В, где а множество В конечно,
см. Марчевский [12, 13]. См. также Семадени [3], стр. 79.

46
Г л. 1. Конечные объединения и пересечения
Основная теорема 8.2 о представлении позволяет нам
переводить булевы понятия на топологический язык
соответствующих пространств Стоуна. В дальнейшем это
будет делаться часто. Здесь мы дадим топологическую
интерпретацию идеалов и фильтров.
Пусть X —пространство Стоуна булевой алгебры 21,
и пусть h — изоморфизм алгебры 21 на поле всех
открытозамкнутых подмножеств пространства X.
Для каждого открытого множества G cz X класс всех
таких А£ 21, что А(Л)сб, является идеалом. Он
называется идеалом, соответствующим множеству G. Обратно,
каждый идеал Д соответствует некоторому открытому
подмножеству пространства X, а именно объединению
всех множеств h (Л), где А £ Д.
Для каждого замкнутого множества F а X класс всех
таких Л £21, что F лежит в h (Л), есть фильтр,
называемый фильтром, соответствующим множеству F. Обратно,
каждый фильтр V соответствует некоторому замкнутому
подмножеству пространства X, а именно пересечению
всех множеств h (Л), где A£V-
Таким образом, имеет место взаимно однозначное
соответствие между идеалами и открытыми подмножествами
и между фильтрами и замкнутыми подмножествами
пространства Стоуна. Следовательно, изучение идеалов и
фильтров в алгебре 21 можно свести к изучению открытых
и замкнутых подмножеств пространства X. Указанное
соответствие позволяет нам также классифицировать,
идеалы и фильтры с точки зрения топологических свойств
соответствующих открытых и замкнутых множеств.
Например, естественно выделить класс идеалов,
соответствующих регулярным или плотным открытым множествам,
класс фильтров, соответствующих регулярным или нигде
не плотным замкнутым множествам, и т. д. Такая
классификация1) не входит в предмет исследования этой книги.
Мы отметим только, что нулевой идеал соответствует
пустому множеству, а собственные идеалы в алгебре 21
соответствуют собственным открытым подмножествам
пространства X. Аналогично единичный фильтр соответствует
всему пространству X, а собственные фильтры в алгебре 21
г) Рассмотренная в работе Стоуна [7].

§ 9. Атомы
47
соответствуют непустым замкнутым подмножествам
пространства X. Максимальные фильтры соответствуют
одноточечным множествам, а максимальные идеалы
—дополнениям к одноточечным множествам.
§ 9. Атомы
Говорят, что элемент аф Д булевой алгебры 31
является атомомг) алгебры 31, если для любого A £ 31
включение
(1) А а а
означает, что
(2) или А = д, или А =а.
Понятие атома есть булева аналогия одноточечного
множества. Действительно, если 31 —поле множеств, то
любое одноточечное множество в алгебре 31 является
атомом алгебры 31.
Если а —атом булевой алгебры 31, то для любого
элемента В £ 31
(3) или а а В, или а П В = Д.
Чтобы доказать это, достаточно в условиях (1) и (2)
положить А =а П В.
Обратно, если аф Д и удовлетворяет условию (3), то
а —атом.
Заметим, что элемент а £31 является атомом тогда и
только тогда, когда главный фильтр V, порождаемый а
(т. е. класс всех таких А £31, что а с: Л), будет
максимальным фильтром. Действительно, условие (3) означает,
что для любого В £Э( или В, или —В принадлежит
фильтру V» т. е. V — максимальный фильтр. С другой стороны,
если фильтр V максимален, то а ф/\ и для любого В £ 31
или а с: В или аа—В. Поскольку условие аа—В
означает, что aflB= Д, то условие (3) выполнено, т. е.
а —атом.
х) Обобщение понятия атома см. Пирс [5J.

48
Г л. /. Конечные объединения и пересечения
Другими словами, элемент а тогда и только тогда
является атомом алгебры 8(, когда главный идеал,
порожденный элементом —а (т. е. класс всех таких Л £21,
что а[\А = Д), является максимальным идеалом.
Говорят, что булева алгебра 81 атомна, если для
каждого элемента А Ф Д (Л £21) существует атом а а А.
Булеву алгебру 81 называют безатомной, если она не
содержит ни одного атома.
9.1. Пусть для любого А £81, через h(A) обозначено
множество всех атомов а алгебры 81, таких, что а а А.
Отображение h является гомоморфизмом алгебры 81 на поле
всех подмножеств множества X = h(\J) всех атомов.
Если 81—атомная алгебра, то отображение h является
изоморфизмом.
Теорема 9.1 непосредственно следует из теоремы 8.1,
где за X берется множество всех главных максимальных
фильтров.
Примеры. А) Пусть отображение h является
изоморфизмом алгебры 81 на поле $ всех открыто-замкнутых
подмножеств пространства Стоуна X алгебры 81. В таком
случае элемент а £81 будет атомом тогда и только тогда,
когда h(a) является одноточечным подмножеством
пространства X. Конечно, одноточечное множество (х)
принадлежит полю $ тогда и только тогда, когда х является
изолированной точкой пространства X.
Алгебра 81 является атомной тогда и только, тогда,
когда множество всех изолированных точек плотно в
пространстве X. Алгебра 81 будет безатомной тогда и только
тогда, когда пространство X плотно в себе, т. е. не
имеет изолированных точек.
Б) Поле всех открыто-замкнутых подмножеств канто-
рова совершенного множества X действительных чисел
(т. е. множества всех действительных чисел вида
2ос! . 2ос2
3 -t- За "Г • • •.
где ап равно 0 или 1) является безатомной булевой
алгеброй, поскольку пространство X плотно в себе.

§ 10. Факторалгебры
49
В) Известно1), что все метризуемые плотные в себе
вполне несвязные компактные пространства гомеоморфны
между собой, а именно они гомеоморфны канторову
множеству, определенному в примере Б. Это значит, что
все счетные безатомные булевы алгебры изоморфны, так
как они изоморфны полю всех открыто-замкнутых
подмножеств канторова множества (см. § 8, пример В).
Г) Любая конечная булева алгебра атомна. Если она
имеет 2п элемента (см. § 8, пример Б), то п — число атомов.
§ 10. Факторалгебры
Пусть Д — идеал булевой алгебры SI. Для
произвольных элементов Л, (мы пишем, что
тогда и только тогда, когда
А — Й^А и 6 — А ^Д.
Отношение ~ является отношением эквивалентности,
т. е. оно рефлексивно, симметрично и транзитивно, т. е.
Свойство (1) следует из того факта, что идеал Д
содержит нулевой элемент Д. Свойство (2) очевидно, а
свойство (3) вытекает из включений
Л-Сс(Л-В)и(В-С), С-А а(С-В)(){В-А).
Кроме того,
(4) если ЛХ~Л2, то — Ах~ — Л2;
(5) если Ах ~ Л2 и Вх ~ В2,
то А1()В1~ А21)Вг .и А1()В1~ А2() В2.
Действительно, ( — Ах) — ( — Л2) — Л2 — Ах £ Д и
аналогично ( — Л2) — ( — Ах) £ Д, что доказывает (4). Чтобы
доказать первую часть утверждения (5), достаточно
заметить, что имеет место включение ((J Вх) — (Л2 U В2) с
А ~ В
(1)
(2)
(3)
А ~ А;
если то В ~ А;
если А ~ В и В ~ С, то А ~ С.
х) См. Куратовский [4], стр. 58.

50
Гл. /. Конечные объединения и пересечения
с(Лх— Л2) U (Вх — В2) £ А, и аналогичное включение для
(Л2 L)52) — Mi U Bj). Вторая часть (5) следует из вклю-
чения (^xflSi) —(Л2П В2)с(Л1 — Л2) U(£i — В2) 6 А и
подобного же включения для (Л2 П В2) —(Лх П Вх).
Из условий (1), (2) и (3) следует, что отношение ~
разбивает множество 31 на непересекающиеся классы
(классы эквивалентности по отношению ~) таким
образом, что два элемента Ах и А2 находятся в одном классе
тогда и только тогда, когда Ах ~ А2. Класс, содержащий
элемент A £31, будем обозначать через [Л] (или [Л]д,
если это необходимо). Согласно определению,
эквивалентны следующие условия:
Л~В, А£[В], [Л] = [В].
Множество всех классов [Л](Л£31) будем обозначать
через 31/Д. Это множество становится булевой алгеброй,
если следующим образом определить булевы операции:
(6) [Л] U IB] = [A U В], [Л]П[В] = [ЛПВ]-|Л] = [-Л].
Конечно, символы U, П, — в левых частях этих
равенств обозначают не теоретико-множественные операции
над элементами [Л] и [В], интерпретированными как
множества, а булевы операции над [Л] и [В],
рассматриваемыми как элементы булевой алгебры 31/Д.
Из условий (4) и (5) мгновенно следует, что элементы
[Л] U [В], [Л]П[В] и —[Л] не зависят от выбора
представителей Л, В £21 элементов [Л], [В] £ 31/Д.
Доказательство того, что так определенные булевы операции
алгебры 31/Д удовлетворяют аксиомам (А1) — (А5) из § 1,
непосредственно основано на тождествах (6), которые
утверждают, что операция взятия квадратных скобок [ ]
коммутирует с операциями U, П, —. Например, мы
проверяем, что
[Л] U [В] = [Л U В] = [В U Л] = [В] и [Л]
и аналогично для остальных аксиом.
Из определения (6) вытекает, что
(7) [А]-[В] = [А-В],
поскольку [А\—[В] = [А\ Г) — [В] = [Л] Г) [—В] = [А П —В] —

§ 10. Факторалгебры
51
Построение факторалгебр 81/А в теории булевых алгебр
подобно аналогичным операциям в теории групп. Связь
между факторалгебрами и гомоморфизмами такая же, как
и в теории групп. Действительно, с одной стороны, из
условия (6) непосредственно следует, что отображение
НА) = [А]
является гомоморфизмом алгебры 31 на факторалгебру
31/А. Этот гомоморфизм будем называть естественным
гомоморфизмом. С другой стороны, если h — гомоморфизм
алгебры 31 на булеву алгебру 31', а А — идеал всех таких
А С81, что А(Л) = Д, то формула
g([A])=h(A)
определяет изоморфизму факторалгебры 31/А на алгебру 31'.
Элементы [Д] и [V] являются нулем и единицей
факторалгебры 31/А, так как естественный гомоморфизм
отображает нуль в нуль и единицу в единицу (см. § 5, Г).
Следовательно,
(8) [А] является нулем факторалгебры 31/А тогда и только
тогда, когда А С А.
Заметим также, что
(9) [Л]с[В] тогда и только тогда, когда Л — В£Д.
Действительно, это включение имеет место тогда и только
тогда, когда элемент [Л] —[В], т. е. элемент [А —В]
является нулем факторалгебры 31/А, что эквивалентно,
согласно (8), включению Л — В С А.
Примеры. А) Множество всех подэлементов любого
элемента Е булевой алгебры 31 можно рассматривать как
булеву алгебру. Мы ее обозначим через 311 Е. Под
операциями объединения и пересечения в алгебре Щ Е
понимают то же, что и в алгебре 31. Дополнение к Л в
алгебре 311Е определяется как пересечение элемента Е
и дополнения к Л в булевой алгебре 31. Легкая
проверка аксиом (А^—(А5) оставлена читателю.
Пусть А — главный идеал (булевой алгебры 31),
порожденный элементом —В £31 (т. е. идеал А является
классом всех таких Л £31, что ЛпВ—Д). Алгебра 311Е
изоморфна алгебре 31/А, точнее отображение /г (Л) =

52
Г л. /. Конечные объединения и пересечения
= [А](А£91|£) является изоморфизмом алгебры 911 Е на
алгебру 91/Д.
Б) Пусть -поле подмножеств пространства А, а
Е — некоторое подмножество из X. Класс А всех таких
множеств А £ что пересечение Л П £ пусто (т. е. класс
всех подмножеств пространства Х — Е, которые
принадлежат $), является идеалом поля Булева алгебра $/Д
изоморфна полю (обозначенному через $\ Е) всех множеств
А[\Е, где Л£$. Изоморфизм задается отображением
ЦЕПА) = [А] (Л<=3-).
Действительно, это отображение h является взаимно
однозначным, поскольку А1(] Е = Л2П Е тогда и только
тогда, когда Аг — А2а —Е и А2—Агс: —Е, т. е. [Аг] = [Л2].
Очевидно, что отображение h сохраняет булевы операции.
Заметим, что если ££$, то поле$|£ совпадает с
булевой алгеброй $|£\ определенной в примере А.
В) Пусть Д —идеал в булевой алгебре 31, ££91 и
91' = 91/Д, 910 = 91|£, Д0 = Дп91. Тогда Д0 является
идеалом в алгебре 910, а факторалгебра 910/Д0 изоморфна
алгебре 9Г |[£]д. Именно формула
АР]а.) = [Л]д (Л£910)
определяет изоморфизм факторалгебры 910/Д0 на 9Г|[£]д.
Г) Пусть ^ —поле всех подмножеств (топологического
пространства X) с нигде не плотной границей (см. стр. 13),
т. е. класс всех множеств вида G (J А, где множество G
открыто, а N нигде не плотно. Пусть Д —идеал всех
нигде не плотных подмножеств. Булева алгебра $/Д
изоморфна каждой из булевых алгебр и 912 всех
регулярных замкнутых подмножеств или всех регулярных
открытых подмножеств соответственно (см. § 1, пример Б)г).
Это следует из того факта, что для любого множества
А £ $ существует в точности одно множество Аг £ 9^ и
в точности одно множество Л2£912, такие, что [А] =
=[^] = ия].
Легко определить пространство Стоуна факторалгебры
81/Д посредством пространства Стоуна X алгебры 91.
х) Стоун [6].

§ 10, Факторалгебры
53
Пусть h — изоморфизм алгебры 91 на поле $ всех
открыто-замкнутых подмножеств пространства X, и пусть D —
объединение всех множеств h(A), где Л£Д. Поскольку
множество D открыто, то E = X — D замкнуто, поэтому
множество Е есть компактное вполне несвязное
пространство, а $ | Е является полем всех открыто-замкнутых
подмножеств из Е. Заметим, что Д тогда и только
тогда, когда h(A)<zD, т. е. h(A)f\E = /\. Поскольку
отображение й0, определенное формулой
ho([A]) = h(A){\E,
является изоморфизмом факторалгебры 91/Д на $\Е,
пространство Е является пространством Стоуна
факторалгебры 91/Д.
Таким образом, пространства Стоуна факторалгебр
91/Д являются с точностью до гомеоморфизмов
замкнутыми подмножествами пространства Стоуна алгебры 91 и
обратно. Каждый гомоморфный образ алгебры 91
изоморфен подходящей факторалгебре 91/Д, откуда следует, что
пространства Стоуна гомоморфных образов алгебры 91
являются гомеоморфными образами замкнутых
подмножеств пространства Стоуна алгебры 91 и, обратно, булева
алгебра 91' является гомеоморфным образом алгебры 91
тогда и только тогда, когда пространство Стоуна гомео-
морфно замкнутому подмножеству пространства Стоуна
алгебры 91.
Если у—-фильтр алгебры 91, то под булевой
алгеброй 31/у мы будем понимать по двойственности булеву
алгебру 91/Д, где Д — идеал, двойственный фильтру у.
Таким образом, два элемента Л, В £91 определяют
некоторый элемент алгебры 91/у тогда и только тогда, когда
A—*В£у и В-^Л£у.
Факторалгебра 91/Д (или 91/у) является
двухэлементной булевой алгеброй тогда и только тогда, когда Д (у)
является максимальным идеалом (фильтром). Тогда
естественный гомоморфизм является двузначным.
Факторалгебра 91/Д (91/у) вырождена тогда и только
тогда, когда идеал Д (фильтр у) не является
собственным.

54
Гл. /. Конечные объединения и пересечения
Если идеал Д является нулевым идеалом (если фильтр
у является единичным фильтром), то [А]*=[В] тогда и
только тогда, когда А = В. Таким образом, класс
эквивалентности [А] содержит только элемент А.
Отождествляя [А] с Л, мы отождествляем факторалгебру 2(/Д
с алгеброй 21, и это отождествление сохраняет булевы
операции.
Пусть Д—идеал булевой алгебры 21, Д' — идеал фак-
торалгебры 21' = St/Д. Класс Д" всех таких элементов
Л £21, что [Л]д£Д', является идеалом алгебры 21. Легко
проверить, что формула
(10) Л([Л]д*) = [[Л]д]д'
определяет изоморфизм факторалгебры 21/Д" на булеву
алгебру (21/Д)/Д' (т. е. на 2('/Д').
По двойственности, если у —фильтр алгебры 21 и
у' —фильтр алгебры SX' = Sl/у, то класс у" всех Л £21,
которые определяют в 21' элементы, принадлежащие у',
является фильтром и булевы алгебры 21/у" и (21/у)/у'
(т. е. 2Г/у') изоморфны.
§11. Индуцированные гомоморфизмы между
полями множеств
Пусть $ и — поля подмножеств пространств X и
X' соответственно. Напомним (см. § 5, пример А), что
гомоморфизм h поля $ в поле W индуцирован
отображением ф пространства X' в пространство X, если
(1) й(Л) = ф”1(Л) для каждого множества Л£££.
Примеры. А) Если $' = $|Х' (см. § 10, пример Б),
где X' —подмножество пространства X, то гомоморфизм
h(A) = ЛпХ'
поля $ на поле индуцируется тождественным
отображением ф пространства X' в пространство X:
Ф (х') = лг' для х' £ X'.
Б) Гомоморфизм /г, определенный в § 8, пример Д,
не индуцируется никаким поточечным отображением ф.
Предположим, что такое отображение ф существует.

§11. Индуцированные гомоморфизмы между полями множеств 55
Поскольку одноточечное множество А0 = (ф (л:0)) конечно,
то множество h(A0) не содержит х0. С другой стороны,
^обф^Ио). Следовательно, h (Л0) ^ф"1 (Л0).
Противоречие.
Следующее условие является необходимым и
достаточным для того, чтобы гомоморфизм h поля $
(подмножеств пространства X) в поле (подмножеств
пространства X') индуцировался поточечным отображением: если
максимальный фильтр у' поля определяется точкой х'
пространства X', то максимальный фильтр у —h~l (у')
(т. е. множество всех таких А 6$, что h(A)^y')
определяется точкой х в пространстве X. Действительно,
если это условие выполнено, то формула
Ф (х') =*
определяет отображение (пространства X' в X),
индуцирующее гомоморфизм й, так как, согласно определению,
для любых х’ £ X' и А £ $
Ф (х')£А тогда и только тогда, когда x'£h(A),
откуда следует, что
h(A) — ф_1(Л) для любого А 6$.
Обратно, если отображение ф пространства X' в
пространство X индуцирует гомоморфизм й, а
у'—максимальный фильтр, определяемый точкой х' £Х', то
у (у') определяется точкой х^ф^'), так как для
каждого эквивалентны следующие утверждения:
Лбу, й(А)6у\ х'£h(A)y х'^ф"1^), х£А.
Это доказывает следующую теорему.
11.1. 	Если поле $ совершенно, то каждый гомоморфизм
h поля $ в произвольное поле множеств индуцируется
поточечным отображением.
Обратно, если изоморфизм поля % на поле всех
открыто-замкнутых подмножеств пространства Стоуна поля $
индуцируется поточечным отображением, то поле g
совершеннох).
х) Сикорский [6],

56
Г л. /. Конечные объединения и пересечения
Из сказанного выше следует, что отображение ф
пространства X' в пространство X индуцирует заданный
гомоморфизм ft поля 5} в поле тогда и только тогда,
когда для любого х'£Х' точка ф (х') -определяет
максимальный фильтр ft-1 (у'), где у' обозначает фильтр,
определенный точкой х'. Следовательно, мы получили,
что если поле $ приведенное, то существует не более
одного отображения ф, индуцирующего гомоморфизм ft.
Значит, если поле % совершенное и приведенное (в
частности, если $ — поле открыто-замкнутых подмножеств
компактного вполне несвязного пространства), то каждый
гомоморфизм ft поля $ в произвольное поле %'
индуцируется в точности одним поточечным отображением ф.
Пусть g —гомоморфизм булевой алгебры 31 в булеву
алгебру ЭР. По теореме 8.2 алгебры % и ЭР изоморфны
соответственно полям % и всех открыто-замкнутых
подмножеств компактных вполне несвязных пространств
X и X'. Пусть ft —гомоморфизм поля $ в поле
который соответствует в силу этого изоморфизма
гомоморфизму g. Гомоморфизм ft индуцируется поточечным
отображением ф, которое непрерывно, потому что ф-1 (А) открыто
в пространстве X' для каждого и, следовательно,
для каждого открытого множества АаХ. Обратно, если
Ф — непрерывное отображение пространства X' в
пространство X, то ф индуцирует гомоморфизм ft поля $
в поле и, значит, отображение ф определяет
гомоморфизм g алгебры 31 в алгебру 31'. Это естественное
соответствие между гомоморфизмами g алгебры 31 в алгебру
31' и непрерывными отображениями ф пространства X'
в пространство X взаимно однозначно.
Мы заметили в § 8, что рассмотрение булевых алгебр
можно свести к рассмотрению компактных вполне
несвязных пространств. Теперь мы видим, что рассмотрение
гомоморфизмов булевых алгебр можно свести к
рассмотрению непрерывных отображений вполне несвязных
компактных пространств.
Заметим далее, что гомоморфизм ft алгебры 31 в
алгебру ЭР является изоморфизмом тогда и только тогда,
когда индуцирующее непрерывное отображение ф
отображает пространство X' на пространство X. Таким образом,
булева алгебра 31 изоморфна подалгебре алгебры ЗГ в том

§ 11. Индуцированные гомоморфизмы между полями множеств 57
и только том случае, когда пространство Стоуна алгебры
St является непрерывным образом пространства Стоуна
алгебры ЗГ.
Гомоморфизм h (алгебры 31 в алгебру ЗГ) отображает
алгебру 31 на алгебру 31' тогда и только тогда, когда
индуцирующее отображение <р взаимно однозначно, т. е.
является гомеоморфизмом пространства X' на замкнутое
подмножество пространства X. Итак, мы второй раз
получаем утверждение из § 10 о том, что булева алгебра
31' является гомоморфным образом булевой алгебры 3t
в том и только том случае, когда пространство Стоуна
алгебры 31' гомеоморфно некоторому замкнутому
подмножеству пространства Стоуна алгебры 31.
Примеры. В) Изоморфизм h булевой алгебры 31 на
себя называется автоморфизмом. Естественно, что
тождественное отображение алгебры 31 на себя является
ее автоморфизмом. Существуют булевы алгебры 31, которые
не имеют никаких других автоморфизмов. Это следует
из существования такого компактного вполне несвязного
пространства1) X, для которого тождественное
отображение является единственным гомеоморфизмом на себя.
Поле -у открыто-замкнутых подмножеств такого
пространства X является булевой алгеброй без собственных
автоморфизмов. Действительно, каждый автоморфизм поля $
(всех открыто-замкнутых подмножеств любого компактного
вполне несвязного пространства X) на себя индуцируется
некоторым гомеоморфизмом X на X и обратно.
Г) Говорят, что булева алгебра 31 сверхатомна2), если
каждый гомоморфный образ алгебры 31 является атомным.
Таким образом, алгебра 31 является сверхатомной тогда
и только тогда, когда пространство Стоуна алгебры 31
является рассеянным, т. е. оно не содержит никакого
непустого плотного в себе множества. Так как компакт-
г) Пример такого пространства был дан Катетовым [1] с помощью
техники р-компактификации. Два подобных примера линейно
упорядоченных компактных пространств с указанным свойством были
одновременно и независимо даны Джонсоном [1] и Ригером [6].
2) 	Для исследования этого понятия см. Дэй [1].

58
Га. I. Конечные объединения и пересечения
пое хаусдорфово пространство рассеяно тогда и только
тогда, когда каждый из его непрерывных образов
рассеян1), то мы получили, что алгебра 31 сверхатомна тогда
и только тогда, когда каждая ее подалгебра является
атомной2).
Отметим, что существует сверхатомная несчетная
булева алгебра со счетным множеством атомов, потому что
существует неметризуемое компактное рассеянное
пространство со счетным множеством изолированных точек3).
Канторово совершенное множество (см. стр. 48)
является непрерывным образом любого нерассеянного
компактного вполне несвязного пространства. Отсюда
вытекает, что каждая не сверхатомная булева алгебра
содержит подалгебру, изоморфную булевой алгебре,
описанной в примере Б § 94).
§ 12. Теоремы о продолжении до гомоморфизмов
Мы напомним систему обозначений, введенную в
формулах (1) § 1,
(—1 ).А=—А и (+1 ).Л = Л
для каждого элемента А булевой алгебры 31.
Согласно определению из § 4 (стр. 27), говорят,
что множество © элементов булевой алгебры 31
порождает алгебру 31 (или является множеством образующих
алгебры 31), если подалгебра, порожденная множеством ©,
совпадает со всей алгеброй 31, т. е. каждый элемент A £31
имеет вид
(1)
П *р
1 <q<rv
А
q
где Apig€<& и bP'q = ±1 [см. § 4 (1)].
Пусть 31'—другая булева алгебра и / — отображение
множества © образующих алгебры 31 в алгебру 31'. Мы
х) Пелчинский и Сема дени [1], Рудин [1].
2) Это замечание сделано Гофманом.
3) Александров и Урысон [1]. См. также Семадени [1], стр. 20.
4) Пелчинский и Семадени [1]. О характеристике рассеянных
компактных пространств (т. е. сверхатомных булевых алгебр) в
терминах теории меры см. Рудин [2], Пелчинский и Семадени [1].

§ 12. Теоремы о продолжении до гомоморфизмов
59
будем обсуждать проблему, при каком условии
отображение f может быть продолжено до гомоморфизма h
алгебры Щ в алгебру 31'.
Сначала заметим, что если такое продолжение до
гомоморфизма h существует, то оно единственно.
Действительно, если h совпадает с отображением f на
множестве ©, то, согласно условиям (а), (а'), (б) § 5, образ
h(A) любого элемента А типа (1) удовлетворяет равенству
(2)
h(A)= U П
i<p<s Kq<rp
q f (^jt?» q)‘
Поэтому если продолжение h существует, то оно
задается равенством (2).
Из единственности продолжения до гомоморфизма
непосредственно следует, что если hx и h2 — два
гомоморфизма алгебры 31 в алгебру ЗГ, совпадающие на
множестве ©, порождающем алгебру 31, то h1(A) — h2(A)
для А £ 31.
В частности, если h — гомоморфизм алгебры 31 в себя
и множество © порождает алгебру 31, то
(3) если h(A) = A для каждого Л£©, то й(Л) = Л для
каждого A £ 31.
Следующая лемма будет полезна в дальнейшем.
12.1. 	Если f —взаимно однозначное отображение
множества ©, порождающего булеву алгебру 31, на множество (£',
порождающее булеву алгебру ЗГ, и если f может быть
продолжено до гомоморфизма h алгебры 31 в алгебру 31',
а /_1 может быть продолжено до гомоморфизма gалгебры W
в алгебру 31, то h является изоморфизмом алгебры 31 на
алгебру 31' и g = h~1.
Действительно, для любого Л С © имеет место равенство
g(h(A)) = A.
Тогда из утверждения (3) вытекает, что это равенство
выполняется также для всех А С 31. Аналогично
h{g(A')) = A'
для каждого элемента и, следовательно, для
каждого А'£ 31'. Эго доказывает, что g = h~1. Таким
образом, h является изоморфизмом 31 на ЗГ,

60
Г л. I. Конечные объединения и пересечения
Следующая теорема дает полное решение проблемы,
поставленной в начале этого параграфа.
12.2. 	Отображение f множества © образующих булевой
алгебры 91 в булеву алгебру 91' может быть продолжено
до гомоморфизма h алгебры 91 в алгебру 9Г тогда и только
тогда, когда
(4) ъ1А1 П . . . П &пАп = Л st влечет за собой
4f (Ai) п ... mnf(An) = Лг
для каждой последовательности А1У ..., Ап£(£> и каждого
набора elt . . ., гп чисел ■—1, 1г).
Непосредственно из условий (а') (б) и (г) § 5 следует
необходимость условия (4).
Чтобы доказать достаточность, предположим, что
имеет место условие (4). Если (1) и
(Г) U П 8м A'kti(Ak,tG®,bk,i =—1 или 1)
1<k<5' 1 <i</k
— два представления одного и того же элемента А с
помощью элементов из множества ©, то
(5) 	U П *P.gf(APtq)~ U
1 < Р<s 1 < q <rp 1 < k < s'
П %HAk,i)-
1<Кгь
Действительно, равенства (1) и (Г) означают,
благодаря закону Моргана и закону дистрибутивности, что
.М. ^ ^ ,(ЕР> Я ^Р' Я ^ ~ гК //,1к) —
l<P<s I<q<rp l</e<s'
= ( и п ъ„.пА
l<P<s 1<<7<л
6р» ^
( и п
^kjAbi\ ~~ Льл >
где объединение U распространяется на все последова-
телыюсти таких целых чисел 1кУ что 1 ^lk^rk (1 ^ k ^ s').
Из условия (4) следует, что
( и П *Р,д
Vl<p<s 1 <q<rp
= и и П П (8Р,9/(Л ) п
'(//Л S Kq<rp l</e<s'
п “емУ (/*)) Л*'-
х) Сикорский [14].

§12. Теоремы о продолжении Ьо гомоморфизмов
61
Подобным же образом мы доказываем, что
(
и
1<£ <s'
п
п
п -
п «
1 <g<rp
р) Я
f(A
Pi я^ :
Л г
и этим завершаем доказательство равенства (5).
Таким образом, равенство (2) определяет
единственным образом отображение h алгебры 91 в алгебру 9Г.
Если А £ ©, то, конечно, А — А является представлением А
в форме (1). Следовательно, h(A) =f (А), т. е. h является
продолжением /. Легко проверить, что к— гомоморфизм.
,12.3. Пусть f —взаимно однозначное отображение мно-
жества ©, порождающего булеву алгебру 31, на множество ©',
порождающее булеву алгебру 9Г. Отображение f может
быть продолжено до некоторого изоморфизма алгебры 91
на алгебру 9Г в том и только, том случае, если для
каждой последовательности Аъ ..., и каждой последо¬
вательности 8lt ..., гп чисел ±1
е1Л1П ... Г) епАп = Дщ тогда и только тогда,
когда sj (Ау) П • • • П ej (Ап) = Дг*)•
Необходимость этого условия следует из условий (а'),
(б), (в), (3) § 5. Если же условие выполнено, то, согласно
теореме 12.2, отображение f может быть продолжено до
некоторого гомоморфизма алгебры 91 в алгебру 9Г, а /_1 —
до гомоморфизма 91' в 91. В силу теоремы 12.1
отображение f может быть продолжено до некоторого
изоморфизма алгебры 91 на алгебру 9Г.
12.4. 	Пусть Щ —подалгебра алгебры 91 для каждого
t£Ty и пусть ht — гомоморфизм алгебры 91, в булеву
алгебру 91'. Предположим, что теоретико-множественное
объединение всех 91, порождает алгебру 91. Тогда для того
чтобы существовал гомоморфизм h алгебры 91 в алгебру 91',
являющийся общим продолжением всех гомоморфизмов hu
т. е. такой, что
h (А) = ht (А) для любого А С 91,,  22) Куратовский и Позамент [1].

62
Г л. /. Конечные объединения и пересечения
необходимо и достаточно, чтобы для каждой
последовательности tx, . .., tn различных элементов из Т и для
произвольных элементов Л^ЗИ^, ..Ап £3lfw выполнялось
условие
(6) Аг П ... П Ап = Д?1 влечет за собой
К (А,) () ... п^я(Лл) = Дг1).
Необходимость очевидна.
Для доказательства достаточности заметим, что если
А ^ $lii и А £ =А t2)y то А П — А = /\, —Л П Л — Л
и в силу условия (6)
hu(A)n —hu(A) = /\, —hu(A)f]hu(A) = а,
откуда следует, что htx (Л) = А*а (Л). Таким образом,
равенство
/ (Л) = hf (А) для Л £31,
однозначно определяет отображение f
теоретико-множественного объединения © всех алгебр 31, в алгебру 31'.
Из условия (6) следует, что отображение f удовлетворяет
условию (4). Тогда гомоморфизм й, упомянутый в теореме
12.2, 	удовлетворяет всем требованиям теоремы 12.4.
Говорят, что множество © элементов булевой алгебры
31 плотно (в алгебре 31), если для каждого ненулевого
элемента Л £31 существует такой элемент В£©, что
А¥=ВаА.
12.5. 	Предположим, что множество © — плотное
подмножество ненулевых элементов булевой алгебры 31,
порождающее алгебру 31, и ©'— плотное подмножество
ненулевых элементов булевой алгебры 31', порождающее алгебру 31/.
Тогда каждое такое отображение / множества © на
множество ©', что
(7) Агс:А2 тогда и только тогда, когда
f{AJcf(AJ (Л1эЛ2€©),
может быть единственным образом продолжено до
изоморфизма алгебры 31х на алгебру 3122).
х) Сикорский [14].
2) Сикорский [32].

§ 12. Теоремы о продолжении до гомоморфизмов
63
Заметим, что из (7) вытекает следующее свойство
отображения /:
(8) 	АгГ\ А2 = /\% тогда и только тогда, когда
f (Аг) П f (А2) = Да' (Alf А2 £ ©).
Действительно, если А1[\А2Ф/\> т0 существует такой
элемент В£©, что BdA± и ВаА2. Следовательно,
f(B)df(A1) и f (B)df {А2). Более того, /(В)=£д. Это
доказывает, что f (Лх) П f {А2)ф/\. Аналогично
доказывается, что из 1(А1)[)1{А2)ФА следует Аг[\А2Ф/\.
Чтобы доказать теорему 12.5, достаточно показать,
что отображение / удовлетворяет условию теоремы 12.3.
Предположим, что для некоторых А1У ..., АпУ В1У ..., Вт
из. ©
' (9) А1[) ... Ап() —П • • • П —ВтФ/\.
Тогда существует такой элемент А£©, что А является
подэлементом элемента (9), т. е.
A d At для i=l, ..., п и А П В j = Д для /=1,...,т.
Из свойств (7) и (8) следует, что
f(A)cf(Ai) для t= 1, .... /г и f(A) П —f(Bj) = Д
для / = 1, ..., т.
Так как f(B)^ Д, то
(10) f(A±) Г) ... П / (Ап) П -ПВг) П .. • П -Т(Вт)ФЛ.
Подобным же образом мы докажем, что из
соотношения (10) следует (9).
Примеры. А) Булева алгебра атомна тогда и только
тогда, когда множество всех атомов плотно.
Б) Любое плотное множество © ненулевых элементов
булевой алгебры 91 является частично упорядоченным
относительно булева включения с и удовлетворяет
следующему условию:
(а) Если А, В£© и АфВ, то существует такой
элемент CdAy С£©, что никакой элемент D£© не
удовлетворяет одновременно условиям DdC и DdB.
Другими словами, если А не является подэлементом В,
то существует элемент Сс:А(С£©), не
пересекающийся с В.

64
Г л. /. Конечные объединения и пересечения
Обратно, можно доказать1), что если множество ©,
частично упорядоченное с помощью отношения
включения с, удовлетворяет условию (а), то существует такая
булева алгебра 31, что множество © является плотным
подмножеством алгебры 31 и булево включение в алгебре 31
является продолжением частичного порядка а.
§ 13. Независимые подалгебры. Произведения
Говорят, что индексированное множество {31*}*€ г
подалгебр булевой алгебры Э( независимо2), если
(1) А1П ... П АпФ/\
для любой конечной последовательности ненулевых
элементов Ah выбранных из подалгебр с разными индексами,
т. е. для таких произвольных элементов А19 ..., Ап, что
A¥=Aj€$ltJy tj=£tk для j=£k(jf k=l, ..., п).
Заметим, что из соотношения (1) следует, что никакой
элемент Л^3(, отличный от Д и V, не принадлежит
двум подалгебрам 31* с разными индексами. Верен более
общий факт, что если 31*,, Л2631*2 и t1=^=t29 то
включение А1аА2 может иметь место лишь в случае,
когда или Лх = Д, или А2= \Д Это следует из того, что
включение А1с:А2 эквивалентно равенству Ах П — А2 = Д.
13.1. 	Если {31*}* <= г — независимое индексированное
множество подалгебр булевой алгебры 31 и ht для каждого t £Т
является гомоморфизмом Э(* в булеву алгебру 31', то
существует такой гомоморфизм h подалгебры 310с:3(,
порожденной объединением всех 31* (t £ Т), в алгебру ЗГ, что
h (A) =ht(A) для любых Л£3{*, t£T.
2) Бюхи [1]. Другое доказательство см. Сикорский [31].
2) Понятие независимости (и ш-независимости — см. § 37) является
легким обобщением понятия теоретико-множественной независимости
множеств, введенной Фихтенгольцем и Канторовичем [1], Хаусдорфом [1].
Марчевский [5, 6, 8, 14, 16] рассмотрел это понятие с точки зрения
применения к теории меры. См. также Каппос [5]. Теоремы,
упомянутые в § 13, доказаны Сикорским [11, 13, 14].

§ 13. Независимые подалгебры. Произведения
65
Действительно, если Л1П--.П^Я==Л и Лу£31*;.,
tjnfctk при '\Фк, то существует такой индекс }0, что
Ajo = Д. Значит, htj (Л,*в) = Д и, следовательно,
h,t{Ax) П ... Пhtu(A „) = Д. Согласно теореме 12.4, все
гомоморфизмы ht имеют общее продолжение, которое
является гомоморфизмом алгебры 310 в алгебру 31/.
13.2. 	Если {31 t}tsT и — независимые индексиро¬
ванные множества подалгебр булевых алгебр 81 и 3F
соответственно,, a ht(t £Т) — изоморфизм %t в 31,, то
изоморфизмы ht имеют общее продолжение h, которое является
изоморфизмом подалгебры 3i0c3l, порожденной
объединением всех 31,, на подалгебру 31 о с 31/, порожденную
объединением всех 31 [•
В силу предложения 13.1 мы можем продолжить
изоморфизмы ht до гомоморфизма h подалгебры 3(0 в
подалгебру -31 о. Используя те же самые рассуждения, мы можем
продолжить все изоморфизмы hj1 до гомоморфизма ti
подалгебры 31 '0 в подалгебру 310. Из сказанного и из
теоремы 12.1 следует, что h является изоморфизмом 310
на
Последующая операция образования произведения полей
множеств дает важный пример независимого
индексированного множества подалгебр.
Пусть для каждого t £ Т через обозначено
(невырожденное) поле подмножеств непустого пространства X,.
Пусть X — декартово произведение всех пространств Хь
т. е. множество всех х = {xt\ = {*,}/<= г, где л:,£Х,для
каждого t£T. Для каждого AaXt обозначим через А*
множество всех точек х £Х, чьи t-e координаты xt
принадлежат Л, и пусть $* — поле (подмножеств X),
образованное всеми множествами Л*, где Л £ $t. Поле $
(подмножеств X), порожденное объединением всех классов
bt(t£T), называется ¥-произведением индексированного
множества {$Д/<=г полей множеств.
Операция образования F-произведения часто
используется в теории меры. В теории меры доказывается, что
если mt являются заданными мерами на $t и mt(Xt)= 1,
то существует в точности одна мера m на F-произведе-

66
Гл. /. Конечные объединения и пересечения
нии такая, что
(2) т{А\[\ ... ni4;) = m/l(i41)...m,n(i4„)
для каждой конечной последовательности где
tj¥=tk ПРИ /¥=&(/, k=l, ..., п). Говорят, что мера т
является произведением мер /п,.
Индексированное множество € г подалгебр
алгебры ^ независимо. Действительно, если множества
А* б (tj¥= tk при j Ф k) непусты, то множества Aj также
непусты, т. е. существуют Xj^Aj. Каждая такая точка
x={xt\ € X, что xtj = Xj, принадлежит А* П ... П А*п.
Заметим, что Щ* изоморфно полю %t, т. е.
отображение
(3) gt(A) = A* для А 6$,
является изоморфизмом поля $, на поле $*(ш
Приведенные выше рассуждения наводят на мысль
о следующем обобщении понятия F-произведения.
Пусть {StJigт — индексированное множество
невырожденных булевых алгебр. Под булевым произведением1)
(или просто произведением) алгебр {St,},<=г мы будем
понимать всякую пару
(4) {КЬ6г, Щ,
такую, что
(а) S3 является булевой алгеброй;
(б) it есть изоморфизм алгебры St, в алгебру S3 для
всех t £ Т\
(в) индексированное множество {it (81,)},£ г подалгебр
алгебры S3 независимо;
(г) объединение всех подалгебр i, (St,), t£T порождает
алгебру S3.
Если (4) и
(4') 95'}
— две пары, удовлетворяющие условиям (а) и (б), то
мы говорим, что пара (4') изоморфна паре (4), если
существует такой изоморфизм h алгебры 95 на алгебру 33',
2) Сикорский [13]. Другое эквивалентное определение дано Кап-
посом [2, 5] и Риддером [1].

§ 13. Независимые подалгебры. Произведения
67
что
(5) it — hit для всех t£T.
Заметим, что изоморфизм h алгебры 23 на алгебру 25'
удовлетворяет условию (5) тогда и только тогда, когда
(5') h является общим продолжением всех изоморфизмов
i'tij1 (алгебр i (31*) на алгебры V (21*)), t£T.
Если пара (4') изоморфна паре (4), то пара (4) изоморфна
паре (4') (надо взять изоморфизм й"1!). Поэтому мы
можем просто говорить, что пары (4) и (4') изоморфны.
Из условия (5') и теоремы 13.2 легко вытекает, что
любые два произведения (4) и (4') алгебр {21*}*6г
изоморфны. С другой стороны, если пара (4) является
произведением алгебр {31*}*е г. а пара (4') ей изоморфна, то
(4') также является произведением алгебр {2!*}*<= г. Таким
образом, булево произведение алгебр {21*}*<=г определяется
этими алгебрами единственным образом с точностью до
изоморфизма.
Булево произведение любого индексированного
множества {21*}* 6 т невырожденных алгебр всегда существует.
Действительно, пусть ht — изоморфизм алгебры 21* на
поле $* всех открыто-замкнутых подмножеств пространства
Стоуна X* алгебры 21*. Пусть $ есть F-произведение всех
полей %t, t £ Г, и пусть
(6) h* (Л) = ht(A)* для всех 21*,
(t£T). Тогда пара
(7) 8?}
является булевым произведением алгебр {21*}*е т- Заметим,
что ^ есть поле всех открыто-замкнутых подмножеств
декартова произведения X всех пространств X*, а X —
компактное и вполне несвязное пространство, поскольку
таковы пространства X*. Таким образом, X есть
пространство Стоуна поля &, т. е. произведение пространств
Стоуна булевых алгебр 21* является пространством Стоуна
булева произведения алгебр 21*.
Следующая теорема может рассматриваться как другое
эквивалентное определение булева произведения.

68
Г л. I. Конечные объединения и пересечения
13.3. 	Пара {{/*}*ег,33} является булевым произведением
алгебр {31 ,},6г тогда и только тогда, когда выполнены
условия (а), (б) и (г), а также следующее условие (д):
(д) 	если ht — произвольные гомоморфизмы алгебр 31, в
алгебру (£, t то существует такой гомоморфизм h
алгебры 33 в (£, что
(8) ht = /ц, для всех t £Т.
Заметим сначала, что условие (8) эквивалентно
следующему утверждению:
(д') гомоморфизм h является общим продолжением всех
гомоморфизмов htij1 (алгебр /,(31,) в С£), t£T.
Из теоремы 13.1 вытекает, что каждое булево
произведение алгебр {3lt\ieT обладает свойством (д).
С другой стороны, из теоремы 12.1 следует, что если
пары (4) и (4') удовлетворяют условиям (а), (б), (в) и (д),
то они изоморфны. Пусть теперь (4) —любая пара,
удовлетворяющая условиям (а), (б), (в) и (д), а (4') —булево
произведение алгебр {31,}, G г. Тогда пары (4) и (4')
изоморфны. Значит, пара (4) также является булевым
произведением алгебр {31,}*6 т-
Отметим, что если пара (4) — булево произведение
алгебр {31,},6 г, то множество всех элементов вида
(9) Hit (At),
tel'
где Л, £31,, t£T\ а Т'— конечное подмножество Г,
плотно в алгебре 33. Это можно легко доказать в случае,
когда пара (4) совпадает с парой (7), а потом
распространить доказательство на произвольные булевы произведения
с помощью изоморфизма.
Заметим, что теорема о построении произведения мер
справедлива также и для булевых алгебр: если т, — мера
на алгебре 31,, ^£7\ такая, что mt(\J)= 1, а (4) —булево
произведение алгебр {31,},6 г, то существует в точности
одна мера m на алгебре 33, такая, что имеет место
равенство (2), где теперь А] обозначает образ элемента Лу.
при изоморфизме itj, т. е. Л* = it} (Aj) для j= 1, 2, ..., п,

§ 14. Свободные булевы алгебры
69
Если {{/*}*<=г, 23} — булево произведение алгебр
{31*}*€г, 31* — подалгебра алгебры 35, а ^ — тождественное
отображение для всех то 35 также будет называться
булевым произведением алгебр {31
§14. Свободные булевы алгебры
Множество © образующих булевой алгебры 31
называется множеством ее свободных образующих, если каждое
отображение f множества © в произвольную булеву
алгебру ЗГ может быть продолжено до гомоморфизма h
алгебры 31 в ЭГ. Очевидно, свободные образующие всегда
отличны от нуля и единицы [см. свойство (г) § 5V].
Булева алгебра 31 называется свободной (с п
свободными образующими), если она обладает множеством ©
(мощности п) свободных образующих.
Например, каждая четырехэлементная булева алгебра
31 является свободной с одной свободной образующей.
В качестве свободной образующей можно взять любой
из двух отличных от Д и V элементов. Действительно,
пусть Л—такой элемент. Алгебра 31 состоит из
элементов д, V, Л и —А. Если f(A) = A'£ ЗГ, то
отображение й, определяемое формулами
й(А) = Л. A(V) = V, h(A) = A\ h(-A)=-A\
является гомоморфизмом, продолжающим /.
14.1. 	Для того чтобы булева алгебра 31 была свободной
с п свободными образующими, необходимо и достаточно,
чтобы 31 была булевым произведением индексированного
множества п четырехэлементных булевых алгебр.
Предположим, что -булева алгебра 31 свободна, а
элементы Л*(/£7\ Т = и) являются ее свободными
образующими. Множество элементов Д, V, At и — At
является четырехэлементной подалгеброй 31* алгебры Щ, и 31
порождается объединением всех 31*. Пусть /^ —
гомоморфизм 31* в булеву алгебру 91', и пусть
f(At) = ht(At) для t£T.
Так как элементы Ах являются свободными образующими,
то отображение / может быть продолжено до гомомор¬

70
Г л. /. Конечные объединения и пересечения
физма Л, который будет в то же время общим
продолжением всех гомоморфизмов ft*. Как следует из теоремы
13.3, 	31 будет булевым произведением алгебр 31*, t£T.
С другой стороны, предположим, что 31 является
булевым произведением п четырехэлементных булевых
алгебр, т. е. 31 содержит п таких четырехэлементных
алгебр 31*, что объединение всех 31* порождает 31 и любые
гомоморфизмы ft* подалгебр 31* в произвольную булеву
алгебру 31' могут быть продолжены до гомоморфизма ft
алгебры 31 в ЗГ [см. условие (д') теоремы 13.3].
Подалгебра 31* состоит из элементов Д, V, Л* и — Л*. Докажем,
что элементы Л* являются свободными образующими
алгебры 3(. Действительно, они порождают 31. Пусть
f — произвольное отображение множества всех Л* в булеву
алгебру 31'. Тогда отображение ft*, определяемое
формулами
МЛ)=Л. MV) = V, й*(Л*)=/(Л*), /г*( —Л*)= —/(Л*),
является гомоморфизмом 31* в 31'. Гомоморфизм ft,
являющийся общим продолжением всех ft*, будет также
продолжением /.
Из рассмотрений § 13 и теоремы 14.1 следует, что
две свободные булевы алгебры с одинаковым числом
свободных образующих изоморфны. Разумеется, алгебра,
изоморфная свободной булевой алгебре, является также
свободной с тем же числом свободных образующих. Таким
образом, свободные булевы алгебры с точностью до
изоморфизма однозначно определены числом своих
свободных образующих.
Индексированное множество {Л*}*€г элементов булевой
алгебры 31 называется независимым, если
Л/, П &zAt2 П ... П £лЛ*п ф А
для любой последовательности индексов tj£T, tj^tk
при ']фк, и для любой последовательности чисел
8у = — 1, 1. В этом случае все элементы Л* отличны от
А и V.
Легко заметить, что множество {At\ter независимо
тогда и только тогда, когда независимо индексированное
множество {31*}/g г, где 3(* обозначает четырехэлементную

§ 14. Свободные булевы алгебры
71
алгебру, порожденную элементом At. Таким образом, мы
получили теорему
14.2. Булева алгебра 31 свободна (с п свободными
образующими) тогда и только тогда, когда она
порождается независимым индексированным множеством из и
элементов. Эти элементы будут тогда свободными
образующими.
Пусть Т0 — множество мощности п. Для каждого t £Т0
пусть Ht обозначает экземпляр хаусдорфова
пространства Я, состоящего только из чисел —1 и 1. Декартово
произведение <2)„ = Р Ht = HT« является вполне несвяз-
t 6 Т Q
ным бикомпактным пространством, называемым канторр-
вым дисконтинуумом (или, более точно, канторовым
п-дисконтинуумом)1). Для каждого фиксированного
индекса t £То через Dt обозначим множество всех таких
точек из <2)п> t-я координата которых равна 1 (т. е.
множество всех таких точек {ят}тег06®п, для которых at = 1).
Пусть $о,п — поле всех открыто-замкнутых
подмножеств <2)„. Из определения топологии в декартовом
произведении <2)„ следует, что $0,п является наименьшим
полем, содержащим все множества Db t £ Т0. Множества
Dt независимы, так как если индексы tlf ..., tn
различны, то каждая точка с atj = Bj{j*= 1, л)
принадлежит пересечению гг • Dti П ... П • Dtn (еу = ± 1
для /=1, ..., п). Отсюда и из утверждения 14.2
вытекает утверждение
14.3. Поле $о,п всех открыто-замкнутых подмножеств
канторова п-дисконтинуума <2)п является свободной
булевой алгеброй с п свободными образующими Db t £Т0.
Теорему 14.3 можно также вывести из утверждения
14.1 и замечания на стр. 67. Действительно, Ht является
пространством Стоуна для четырехэлементной булевой
алгебры. Отсюда следует, что является пространством  22) Если П = Но, то $п гомеоморфно канторову совершенному
множеству действительных чисел, определенному в § 9, Б.

72
Г л. /. Конечные объединены я и пересечения
Стоуна для произведения п экземпляров
четырехэлементной булевой алгебры, т. е., что $0,п является свободной
булевой алгеброй с п образующими.
Если 91'—-булева алгебра с множеством ©' свободных
образующих, то для каждой булевой алгебры 9С,
порожденной множеством ©, где ©^©', существует такой
гомоморфизм h алгебры 9Г на алгебру 91, что h
отображает ©' на ©. Это сразу же следует из существования
отображения ©' на © и из определения свободной алгебры.
Таким образом, каждая булева алгебра является
гомоморфным образом свободной булевой алгебры с достаточно
большим числом свободных образующих.
Сделанное замечание может быть выражено также в
следующей форме:
14.4 Каждая булева алгебра 91 с множеством
образующих ©, ©^п, изоморфна факторалгебре $0,и/Л> где Д —
подходящий идеал из ^0,«- Более того, мы можем
предполагать, что этот изоморфизм отображает множество
всех элементов [Dt] на множество © образующих алгебры 91.
Попутно мы доказали, что каждое бикомпактное
вполне несвязное пространство гомеоморфно замкнутому
подмножеству канторова дисконтинуума @)п для достаточно
большого п (см. замечания на стр. 52 — 53).
Примеры. А) Конечная булева алгебра свободна
тогда и только тогда, когда она состоит из 22“ элементов
(n = 1, 2, ...). Она в этом случае имеет п свободных
образующих и 2п атома и изоморфна полю всех
подмножеств 2"-элементного пространства. Это сразу же
вытекает из предложения 14.3 (см. также пример Б § 8 и
пример Г § 9).
Двухэлементная булева алгебра может
рассматриваться как свободная алгебра с пустым множеством
свободных образующих.
Б) Счетная булева алгебра свободна тогда и только
тогда, когда в ней нет атомов (она безатомна). Это
вытекает из того факта, что произведение @>$0 гомеоморфно
канторову совершенному множеству, описанному в
примере Б § 9. См. также пример В § 8 и пример В § 9.

§ 14. Свободные булевы алгебры
73
В) Если бесконечная булева алгебра имеет по крайней
мере один атом, то она не свободна.
Г) Для каждого бесконечного множества X мощности
2П существует такое приведенное совершенное поле g
подмножеств множества X, что g = it.
Действительно, во-первых, вместо X можно
рассматривать его образы при взаимно однозначных отображениях.
Во-вторых, множество @)п имеет мощность 2П, g0,«
является _приведенным совершенным полем подмножеств
£>п И g0,it = n.
Д) Для каждого бесконечного кардинального числа ш
канторов дисконтинуум 2Ш содержит всюду плотное
подмножество мощности ш1). —
Действительно, @) 2m = Р Ht (см. стр. 71), гдеТ0 = 2,и.
ttT о
Существует такое приведенное поле g подмножеств
множества Т0, что g = m. Для каждого через
cla = {а6Го обозначим точку из Й)2Ш, определяемую так:
at = 1, если t £ Ау и at= — 1, если t £ — А.
Множество X всех точек ал, где yi£g, имеет
мощность щ. Так как поле g является приведенным, то для
любой системы различных точек tv ..., tn из Т0 и для
любой последовательности г1У . .. , гп чисел — 1 и 1
существует такое множество А £ g, что
ti£Ay если в~1, и ti^—Ay если £,= — 1.
Отсюда следует, что aA£E1-Dil П . . . П Так как
система множеств вида e1-D/1 П ... П e„*D/n составляет
открытый базис в ш, то множество X всюду плотно.
Е) Поле g всех подмножеств множества X мощности
nt^tfo содержит подполе, изоморфное полю gQ П1
(следовательно, X содержит 2Ш независимых подмножеств2).
х) Эта теорема является частным случаем общей теоремы
(принадлежащей Хьюиту [2]) о декартовом произведении топологических
пространств. Для случая m = tf0 эта теорема была независимо
найдена Марчевским [9].
2) Эта теорема является частным случаем более общей теоремы,
доказанной Хаусдорфом [1] и Тарским [6]. Для m = tf0 см. также
Фихтенгольц и Канторович [1].

74
Г л. /. Конечные объединения и пересечения
Достаточно доказать утверждение в случае, когда X
является всюду плотным подмножеством <2) т, Х = т.
2
Тогда отображение
h(A) = Af]X для А 6$ ш
О, 2
является изоморфизмом $о 2Ш в
Ж) Пространство Стоуна Х0 поля $ всех подмножеств
множества мощности имеет мощность 2*  2"1 г).
Действительно, легко доказать, что множество всех
максимальных фильтров в $ имеет мощность, не
превосходящую 22 . Следовательно, Х0 ^ 2зШ. С другой стороны,
из примера Е вытекает, что существует непрерывное
отображение Х0 на D2m (см. замечание на стр. 56).
Следовательно, Х0^ S>2m = 22Ш.
§ 15. Индуцированные гомоморфизмы между
факторалгебрами
Пусть $ и — поля подмножеств пространств X и X'
соответственно, и пусть Д и Д' — идеалы полей $ и
соответственно. Обобщая определение из § 11 (см. также
пример А § 5), мы говорим, что гомоморфизм h фактор-
алгебры ^/Д в факторалгебру %'!&' индуцируется2)
поточечным отображением ф пространства X' в
пространство Ху если
(1) МИ]д) = [ф_1(Л)]д' для каждого
Конечно, из соотношения (1) следует, что
(2) ф"1(А)6г?' Для каждого
х) Гилман и Джерисон [1], Новак [2], Поспишил [5, 6]. См.
также Тарский [6], Хаусдорф [I].
2) Сикорский [6]. Теоремы 15.1, 15.2 доказаны Сикорским [6,18].
Первой теоремой такого вида была теорема фон Неймана [1] об
индуцированных изоморфизмах, сохраняющих меру.

§ 15. Индуцированные гомоморфизмы между факторалгебрами 75
Из этого также вытекает, что
(3) ф_1(Л)бД'для каждого Л£Д,
поскольку гомоморфизм h отображает нуль факторал-
гебры §уД в нуль $'/Д'. Обратно, если отображение ф
удовлетворяет условиям (2) и (3), то формула (1)
определяет гомоморфизм h факторалгебры $/Д в факторал-
гебру
В частности, если Д — нулевой идеал, то отождествляя
$/Д с % (см. конец § 10), мы говорим, что гомоморфизм
h поля $ в поле $'/Д' индуцируется отображением ф
множества X' в множество X, если
(Л) h(A) = [(p~l(A)]^ для каждого Л£$.
Условие (2) также выполнено. Обратно, если ф
—отображение X' в Ху удовлетворяющее условию (2), то
формула (4) определяет гомоморфизм h поля $ в алгебру
$'/Д'.
Если оба идеала Д и Д' являются нулевыми, то $/Д
и $'/Д' могут быть отождествлены с $ и
соответственно (см. конец § 10) и в этом случае приведенное выше
определение индуцированного гомоморфизма совпадает
с определением из § 11 и примера А § 5.
Достаточное условие, данное в первой части теоремы
11.1, в общем случае является недостаточным, если
рассматривать гомоморфизмы поля ^ в произвольные
факторалгебры ^'/А'.
Пример. А) Пусть X является замкнутым
множеством вполне несвязного компактного пространства Х'у а
$ и — поля всех открыто-замкнутых подмножеств
пространств X и X' соответственно, и пусть Д' —идеал всех
В£$'у не пересекающихся с пространством X. Каждое
множество А£% имеет вид
А = А' П Ху
где Множество А' в этом равенстве неоднозначно
определяется множеством Л, но элемент [Л']Д'
определяется единственным образом, и отображение й, заданное

76
Г л. /. Конечные объединения и пересечения
равенством
h(A) = [A']v9
является изоморфизмом поля % на [см. пример В
§ 10]. Изоморфизм h индуцируется поточечным
отображением тогда и только тогда, когда X является ретрактом
пространства X'х), т. е. существует такое непрерывное
отображение ф (называемое ретракцией пространства X'
на множество X) пространства X' в X, что
ф(х) = л; для каждого х£Х.
Действительно, с одной стороны, непрерывное
отображение ф множества X' в множество X является ретракцией
X' на X тогда и только тогда, когда
(5) ф-1 (Л) [\ X — А для каждого
С другой стороны, отображение ф(Х' в X) индуцирует
h тогда и только тогда, когда оно непрерывно и
удовлетворяет условию (5).
Существуют такие компактные вполне несвязные
пространства X', содержащие замкнутые подмножества X,
что X не является ретрактом X' (или где X не является
даже непрерывным образом X'). В этом случае
гомоморфизм hf определенный выше, не индуцируется поточечным
отображением. Заметим, что такие пространства всегда
являются неметризуемыми, поскольку каждое замкнутое
подмножество X любого компактного вполне несвязного
метризуемого пространства X' является его ретрактом*  2).
Пространство X, определенное в примере Д § 8,
является примером такого сингулярного пространства:-Х)но
является компактным и вполне несвязным, поэтому оно
не может быть (гомеоморфно) вложено в канторов
дисконтинуум Х' = Й)П, если п достаточно велико. С другой
стороны, X не является непрерывным образом ёЬп ни
для какого кардинального числа п3).
Пространство Стоуна булевой алгебры всех
подмножеств счетного множества X (т. е. компактификация
Чеха —Стоуна дискретного пространства X—см. при¬
г) Сикорский [6, 18].
2) Серпинский [4].
3) Шанин [1].

§ 15. Индуцированные гомоморфизмы между факторалггбрами 77
мер Е § 8) является еще одним примером компактного
вполне несвязного пространства, которое не является
непрерывным образом <2)п ни для какого кардинального
числа п.
Рассмотрим теперь случай, когда является
полем всех открыто-замкнутых подмножеств канторова
дисконтинуума Jz>n, а Д —его идеал. Через обозначим
произвольное поле подмножеств Х\ а через Д' —
некоторый идеал поля
15.1. Каждый гомоморфизм h факторалгебры $0,п/Д
в факторалгебру $'/&' индуцируется некоторым
поточечным отображением.
Сохраним все обозначения стр. 71 § 14. Для любого
t£T0 обозначим через такое множество, что
(6) мр,]лНи;]л'.
Положим
1, если xf £ A't,
— 1, если х £ — A't,
и пусть
ф(*')Н<М*'Ж®и Для Ж*'1)-
Тогда
(7) ^(Dt) = A'teW
и, значит, для каждого элемента 0 п
Таким образом, формула
fti (Л) = [ф”1 (А)]Д' (А £ Зго. п)
определяет гомоморфизм алгебры $0,п в алгебру $'/&'•
Формула
^2 (^) = ([^4]а ) (А £ $0. п)
*) Отображение ф называется характеристической функцией
семейства | Л'^ € Т. Понятие характеристических функций было
рассмотрено Марчевским [2, 10] в случае, когда Т есть множество
положительных целых чисел. Обобщения на несчетные множества Т см.
в работе Стоуна [11]. Метод характеристических функций Марчев*
ского несколько раз использован в этой книге.

78
Г л. /. Конечные объединения и пересечения
также определяет гомоморфизм /г2 алгебры ^0,п в алгебру
Из равенств (6) и (7) вытекает, что гомоморфизмы
и h2 совпадают на множестве всех образующих Dt
алгебры Следовательно, отсюда вытекает (см. заме¬
чание в ^ 12 на стр. 59), что h1 = h2y а это доказывает
равенство (1).
15.2. 	Пусть $ = %0>п\Х — поле всех
открыто-замкнутых подмножеств замкнутого подмножества X
обобщенного канторова дисконтинуума . Для того чтобы
каждый гомоморфизм h поля $ в любую факторалгебру
индуцировался некоторым поточечным отображением,
необходимо и достаточно, чтобы X являлся ретрактом
пространства @)п.
В этом случае X будет также ретрактом каждого
компактного вполне несвязного пространства, содержащего
его в качестве подпространства.
Для доказательства достаточности предположим, что
ф— ретракция пространства <3)п на X, т. е.
ф'"1(Л)^г?о,п и ф-1 (А) [\Х — А для каждого Л 6$.
Отображение й0, определяемое равенством
h0 (В) = h (В [) X) (В €$0 it),
является гомоморфизмом поля $0.п в алгебру $'/&',
поэтому, согласно теореме 15.1, оно индуцируется некоторым
отображением % пространства X' в пространство т. е.
h (В Г) X) = [фо1 (£)]л' для каждого В^0.п-
Полагая В = ф”1(Л), мы получаем равенства
h (Л) = й (ф”1 (Л) ()Х) = [фо1 (Ф-1 (Л))]д' Для Л
Это доказывает, что суперпозиция
ф (*') = Ф (ф0 {*')) (*'€*')
индуцирует гомоморфизм h.
Необходимость и последнее утверждение теоремы 15.2
следуют из рассуждений примера А.

§ 15. Индуцированные гомоморфизмы между факторалгебрами 79
Из теоремы 15.2 вытекает, что для поля $ всех
открыто-замкнутых подмножеств любого компактного вполне
несвязного пространства X эквивалентны следующие три
условия:
(а) каждый гомоморфизм поля $ в алгебру g'/Д'
индуцируется некоторым поточечным отображением;
(б) пространство X гомеоморфно ретракту
пространства
(в) пространство X является абсолютным ретрактом
в классе вполне несвязных компактных пространств, т. е.
оно является ретрактом всякого вполне несвязного
компактного пространства X'zdX.
Исследование § 11 показывает, что если поле $
обладает свойством (а), то оно является совершенным (случай,
когда Д' есть нулевой идеал). Однако если поле $
совершенно, то существование отображения ф, индуцирующего
данный гомоморфизм ft поля $ в алгебру g'/Д',
эквивалентно существованию такого гомоморфизма ft' поля $
в поле что ft (А) = [ft' (А)] для каждого А £
Действительно, если указанный гомоморфизм ft' существует, то он
индуцирован некоторым отображением ф, которое
индуцирует также и гомоморфизм ft. Обратно, если гомоморфизм
ft индуцирован отображением ф, то гомоморфизм ft',
определенный формулой ft' (А) = ф-1 (Л), удовлетворяет
вышеупомянутым условиям.
Таким образом, задачу о выполнении условия (а) можно
свести к следующему вопросу. При каких условиях булева
алгебра обладает следующим свойством?
(а') Для каждого гомоморфизма ft алгебры 31 в любую
алгебру ЗГ/Д' (где 31' — булева алгебра, а Д' —идеал
алгебры ЗГ) существует такой гомоморфизм ft' алгебры 31
в алгебру 31', что
(8) ft (Л) = [ft' (Л)]А' для каждого А £31.
Для ответа на этот вопрос мы дадим определение,
которое является алгебраическим аналогом
рассмотренного выше топологического понятия ретракта: говорят,
что подалгебра 310 булевой алгебры 31 есть ретракт
алгебры 31, если существует такой гомоморфизм g
(называемый ретрагирующим гомоморфизмом) алгебры 31 на
алгебру 3(0, что g(A)=-A для А £ 310.

80
Г л. /. Конечные объединения ц пересечения
15.3. 	Для любой булевой алгебры 31 свойство (а')
эквивалентно каждому из следующих свойств:
(б') алгебра 31 изоморфна ретракту свободной булевой
алгебры;
(в') алгебра St является абсолютным булевым
ретрактом, т. е. для каждой булевой алгебры 31', такой,
алгебра 31 является гомоморфным образом алгебры 31',
алгебра 31 изоморфна некоторому ретракту алгебры 31'1).
Теорему 15.3. можно доказать, используя только что
полученную эквивалентность свойств (а), (б), (в),
поскольку мы можем ограничить наши исследования случаем,
когда 31 — совершенное поле, а 31' — поле множеств. Тогда
(а) эквивалентно (а'). Поскольку булева алгебра 33
изоморфна ретракту булевой алгебры 33' тогда и только
тогда, когда пространство Стоуна алгебры 33 гомеоморфно
ретракту пространства Стоуна алгебры 35', условия (б')
и (в') эквивалентны условиям (б) и (в) соответственно.
Теорема 15.3 может быть доказана прямо, как это
сделано ниже [и это доказательство можно рассматривать
как второе доказательство теоремы 15.2, если
использовать эквивалентность условий (а), (б), (в) условиям (а'),
(б'), (в') соответственно].
Сначала заметим, что если алгебра 3t свободна, то она
удовлетворяет условию (а'). Действительно, пусть S
является множеством свободных образующих алгебры 31.
Для каждого & определим f(A)£ 31' так, чтобы
[f (A)]=h(A). Отображение f можно продолжить до
гомоморфизма h'y причем последний удовлетворяет
соотношению (8).
С другой стороны, любой ретракт 310 булевой алгебры 31,
удовлетворяющей условию (а'), тоже обладает этим
свойством. Действительно, пусть g—ретрагирующий
гомоморфизм алгебры 3t на алгебру 310. Согласно условию (а'),
существует такой гомоморфизм й', что hg(A) = [h' (А)
для каждого элемента Л£3(. В частности, h (А) = [hf (Л)
для всех А £ 310.
Поскольку свойство (а') сохраняется при изоморфиз-  ЧЧ Халмош [10]. Обобщения см. у Семадени [5].

§ 16. .Прямые объединения
81
мах, то два предыдущих утверждения доказывают, что
из (б') следует (а').
Поскольку каждая булева алгебра является
гомоморфным образом некоторой свободной булевой алгебры
(см. теорему 14.4), то из (в') следует (б').
Предположим, что алгебра 91 обладает свойством (а')
и является гомоморфным образом булевой алгебры 91',
т. е. существует изоморфизм h алгебры 91 на 9Г/Д' для
некоторого идеала Д'. Гомоморфизм /Г, удовлетворяющий
равенствам (8), изоморфно отображает алгебру 91 на
некоторую подалгебру 9Ц алгебры 9Г, а отображение g>
определяемое равенством
g(A') = h'h-'([A']) (Л'бГ),
является ретрагирующим гомоморфизмом алгебры 91'
на 9Г0. Таким образом, из (а') вытекает (в').
§ 16. Прямые объединения
Пусть {91*}/ g т — индексированное множество булевых
алгебр. Рассмотрим их декартово произведение 91, т. е.
множество всех индексированных множеств A = {At} =
= МЛ*ег, таких, что Л* £ 91* для каждого индекса t£T.
Множество 91 становится булевой алгеброй, если
определить булевы операции следующим образом:
{Л(}п<в,} = М(Пв,Ь
-{At\ = {-At\.
Простая проверка выполнения аксиом (А^ — (А5) § 1
для таких операций (J , П , — на множестве Щ оставлена
читателю.
Определенная выше булева алгебра 91 называется
прямым объединением алгебр {91*}/6г.
Конечно, элементы {Д} и {V} (т. е. элементы
декартова произведения 91, у которых все координаты равны
соответственно нулевому или единичному элементу алгебр
9(*) суть нулевой и единичный элементы алгебры 91.
Булево включение имеет место тогда и только

82
Г л. /. Конечные объединения и пересечения
тогда, когда для каждого t £ Т выполнено включение
AtdBt. Кроме того, имеет место равенство
{At\-{Bt\ = {At-Bt\.
Если nt — мощность алгебры то мощность п
прямого объединения алгебр {31(}<<=г равна
(I) п=П«,
w teT
Если 3tt— поля подмножеств непересекающихся
пространств Xt соответственно, то прямое объединение алгебр
изоморфно полю всех таких подмножеств В
объединения X всех пространств Xt(t£T)f что Br\Xt£$lt
для каждого индекса t£T. Указанный изоморфизм
задается формулой
h{{At})= U At.
t$T
В частности, если алгебры 3lf двухэлементные, т. е.
являются полями всех подмножеств одноэлементного
пространства Xt=-(t), то прямое объединение алгебр {31 t}t^T
изоморфно полю всех подмножеств множества Т.
Основная теорема 8.2 о представлении может быть
сформулирована теперь следующим образом: каждая
невырожденная булева алгебра изоморфна подалгебре
прямого объединения двухэлементных булевых алгебр.
Более точно, пусть Т — множество всех гомоморфизмов
булевой алгебры 31 на фиксированную двухэлементную
булеву алгебру 310, и пусть 9tt = 9t0- Отображение
h(A) = {t(A)}tsT
является изоморфизмом алгебры 31 в прямое объединение
алгебр {3tf}f€r> и изоморфизм h действительно совпадает
с изоморфизмом й, определенным в доказательстве
теоремы 8.2, если отождествить максимальные фильтры
с соответствующими двузначными гомоморфизмами.
Примеры. А) Булева алгебра 31 изоморфна прямому
объединению булевых алгебр 31^ ..., 3\п тогда и только
тогда, когда существуют такие непересекающиеся элементы
Av ..., Ап£ Э(, что
Аг U ... UAn = V,

§ 17. Связь с алгебраическими кольцами
83
а
811 А, изоморфна 31Д/ = 1, я).
Именно, если h}—изоморфизм алгебры 811 А, на 31,, то
Л(Л) = {Л1 (Л ПЛХ), К{А[\Ап)) (А£ 31)
является изоморфизмом алгебры 31 на прямое объединение
алгебр Sti, ...» 3t„.
Аналогичная задача для бесконечного
индексированного множества булевых алгебр будет рассматриваться
в примере Д § 22.
Б) Обозначим через Xt пространство Стоуна булевой
алгебры 31, для каждого индекса t £ Т. Предположим,
что пространства Xt не пересекаются. Объединение X
пространств Xt будем рассматривать как топологическое
пространство, базисом открытых множеств которого
служит класс всех открыто-замкнутых подмножеств
пространств Xt. Другими словами, множество АаХ открыто,
если множества А П Xt открыты в пространствах Xt для
каждого t. В частности, каждое множество Xt открыто
и замкнуто в пространстве X.
Читатель, знакомый с компактификацией Чеха
—Стоуна, может проверить, что компактификация Чеха—Стоуна
Р (X) пространства X является пространством Стоуна
прямого объединения алгебр {31,};<= г1)-
§ 17. Связь с алгебраическими кольцами
Мы напомним, что (алгебраическим) кольцом
называется непустое множество 31 элементов (обозначаемых
буквами А, В, С, ...) с двумя операциями—сложением
Л + В и умножением А-В, удовлетворяющими следующим
аксиомам:
(Ri) А В = ВА\
(R*) А + {В + С) = {А + В) + С;
(R3) для данных А и С существует ровно один
элемент В, такой, что А + В=^С\
х) Двингер [2].

84
(R«)
(R.)
(Re)
Гл. I. Конечные объединения и пересечения
А-(В-С) = (А-В)-С\
А-(В + С) = А-В + А-С\
(A + В)-С = А-С + В-С.
Из аксиом (Rx)— (R3) вытекает, что существует такой
элемент, называемый нулем кольца 31 и обозначаемый
через 0, что
(1) А + 0 = А для каждого А.
Говорят, что элемент 1 алгебры 31 является единицей
алгебры 31, если
А-1 = А = /• А для каждого А.
Каждое кольцо содержит не более одной единицы.
Говорят, что кольцо 31 коммутативно, если
А-В = В-А для всех А, В.
Говорят, что кольцо 31 .является булевым кольцом,
если 31 содержит единицу1) 1 и
(2) А-А = А для всех А.
Простым примером булева кольца служит кольцо 31
всех целых чисел по модулю 2, т. е. алгебраическое
кольцо, содержащее только два элемента — нуль 0 и
единицу /, со следующим определением сложения и
умножения:
0 + 0 = 0 = 1 + 1, 0 + 1 = 1 = 1 + 0,
о 0 = 0 1 = 1 0 = 0, /-/ = /.
Другим примером булева кольца служит кольцо 91х
всех отображений любого множества X в кольцо 31 с
обычным определением сложения и умножения: сумма f = f1 + f2
(соответственно произведение / = /vf2) есть отображение,
определенное формулой f (х) = fx (х) + /2 (х) (соответственно
f(x)=f1(x)-fi(x)). Если А — подмножество множества X,
') Обычно существование единицы в определении булевых колец
опускается. Предложенное здесь определение более удобно для
применения в этой книге.

§ 17. Связь с алгебраическими кольцами
85
то функция f£Ux> определенная равенствами
если А'
' ' \ 0, если х(£А,
называется характеристической функцией множества А.
Заметим, что соответствие между подмножествами
множества X и их характеристическими функциями является
взаимно однозначным. Кольцо ?ЯХ является множеством
характеристических функций всех подмножеств
множества X. Нуль (единица) в кольце есть функция,
тождественно равная 0 (соответственно /), т. е.
характеристическая функция пустого множества (соответственно
всего пространства X).
• Подкольца кольца ?RX также являются булевыми
кольцами, если они содержат единицу кольца Шх. В частности,
если X — топологическое пространство, то множество всех
непрерывных отображений пространства X в дискретное
пространство 9i является булевым кольцом. Это кольцо
есть множество характеристических функций всех
открыто-замкнутых подмножеств пространства X.
Каждое булево кольцо 31 обладает следующими
свойствами:
(3) А + А = 0 для каждого Л,
(4) если А + В=0, то В = А,
(5) А-В=В-А для всех А и В
(т. е. булево кольцо всегда коммутативно).
Действительно, из соотношения (2) следует, что
(/ + ЛМ/ + л) = (/ + л),
(/ -f- А) -|- (А -}- А) = (/ + А).
Следовательно, в силу аксиомы (R3) (единственность!)
и равенства (1) (где А заменено на / + А) мы получаем
равенство (3). Свойство (4) следует из равенства (3) и
единственности, которая обеспечивается аксиомой (R3).
Для доказательства формулы (5) заметим, что
(■А + В)-(А + В) = А + В,
т. е., согласно аксиоме (R5) и равенству (2), имеет место

86
Г л. 1. Конечные объединения и пересечения
соотношение
(А + В) + (А-В + В-А) = (А + В),
которое в силу (R3) и (1) дает равенство А-В + В- А = 0.
Это доказывает формулу (5), если использовать
равенство (4).
17.1. 	Каждая булева алгебра является булевым кольцом,
если операции сложения и умножения определить
следующим образом:
(6) А+В = (А-В)[}(В-А),
(7) А-В = А[)В.
Обратно, каждое булево кольцо является булевой
алгеброй, если операции объединения, пересечения и дополнения
определить следующим образом:
(8) Ау]В==А-\~^~\~ А'
(9) А[)В = А-В,
(10) —А = 1 + А.
В обоих случаях алгебраические нуль и единица
совпадают с булевыми нулем и единицей соответственно1).
Первую часть теоремы 17.1 можно доказать посредством
проверки того факта, что если 91 — булева алгебра, то
операции А + В (часто называемая симметрической
разностью2) элементов А и В) и А-В, определенные
равенствами (6) и (7), удовлетворяют аксиомам (Ri) — (R6).
Другое короткое доказательство получаем при помощи
следующего рассуждения. Мы можем ограничиться только
случаем, когда 91 есть поле всех открыто-замкнутых
подмножеств вполне несвязного компактного
пространства X. Отождествляя подмножества пространства X с их
характеристическими функциями, мы можем рассматри¬
*) Теорема 17.1 доказана Стоуном [2, 5]. Существуют также
другие бинарные операции, по отношению к которым каждая булева
алгебра является кольцом и которые единственным образом
определяют булевы операции. См. Рудеану [2].
2) По поводу симметрической разности см., например, Хелсон [1],
Марчевский [7].

§ 17. Связь с алгебраическими кольцами
87
вать 31 как множество всех непрерывных отображений
пространства X в 3ft. В силу этого отождествления сумма
и произведение, определенные формулами (6) и (7),
совпадают с обычными суммой и произведением отображений
пространства X в 3ft, и поэтому удовлетворяют аксиомам
(Ri)-(Re)-
Для доказательства второй части теоремы 17.1
предположим, что 31 есть булево кольцо и А[]В, А{\В, —А
определены по формулам (8), (9), (10).
Коммутативность сложения и умножения [см. (Rx)h (5)]
влечет за собой закон коммутативности (Ах) § 1. Мы имеем
А[}(ВиС) = А + (В + С + В-С) + А-(В + С\-В-С) =
= А + В + С + А-В + А'С + В-С + А-В-С
и
(АиВ)иС = (А + В + А-В) + С + (А + В + А-В)-С=:
= А + В + С + А-В + А-С + В-С + А-В-С,
что доказывает первый закон ассоциативности (А2) § 1.
Второй закон немедленно следует из аксиомы (RJ.
Согласно формулам (2) и (3),
(АПВ)ЦВ = А-В + В + А-В-В = В±А-В + А-В = В
и аналогично
(АиВ)пВ = (А + В + А-В)В = А-В + В + А-В=-В,
что доказывает закон поглощения (А3) § 1. Подобным же
образом мы проверяем, учитывая свойства (2), (3) и (5),
что
An(B[jC) = A-(B + C + B-C) = A-B + A-C + А-В-С,
(АпВ)(](АпС) = А-В + А-С + А-В-А-С =
= А-В + А-С + А-В-С,
Au(Bf]C) = A + B-C + A-B-C,
(А[)В)П(АиС) = (А + В + А-В)(А + С + А-С) =
= А-А + В-А + А-В-А + А-С + В-С~'ГА-В-С +
+ А-А-С + В-А-С + А-В-А-С=*А + В-С + А-В-С,

88
Г л.. I. Конечные объединения и пересечения
что доказывает закон дистрибутивности (А4) § 1.
Поскольку
А(] -А = А-(! + А) = А + А = 0
и
Au-A = A + (i + A) + A-(I + A)=*
то закон (А5) § 1 тоже выполнен.
Примеры. А) Кольцо Ы> рассматриваемое как булева
алгебра, является двухэлементной булевой алгеброй.
Б) Кольцо Шх, рассматриваемое как булева алгебра,
изоморфно полю всех подмножеств множества X.

ГЛАВА II
БЕСКОНЕЧНЫЕ ОБЪЕДИНЕНИЯ
И ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
§ 18. Определение
Пусть ААп — элементы булевой алгебры 21.
Конечное объединение
В = АХ и ... U А„
является наименьшим элементом, содержащим все
элементы Лх, ... , Л„, т. е. единственным образом
определяется двумя условиями
(jx) Aid В для i = l, ... , Пу
(j2) если А{ с: В' для £ = 1, ... , п, то В с: В'.
Подобным же образом конечное пересечение
С = ЛХ П ... П Ап
является наибольшим элементом, содержащимся во всех
элементах Лх, ... , Л„, т. е. однозначно определяется
следующими двумя условиями:
(m^ С с Л/ для i = 1, ... у Пу
(т2) если С'сЛ,- для i=l, ...л, то С'аС.
Эти свойства объединения и пересечения были
доказаны в § 2 для п = 2 [см. условия (15), (14) и (15'), (14')
§2]. По индукции мы можем обобщить их на любое
положительное целое число п. Эти свойства указывают на
следующее обобщение понятий объединения и пересечения
для случая произвольного конечного или бесконечного
числа элементов.
Пусть © —■ непустое множество элементов булевой
алгебры 21. Говорят, что элемент В £4X есть объединение

90
Г л. IL Бесконечные объединения и пересечения
всех элементов А £ © в алгебре 31, если он является
наименьшим элементом этой алгебры 31, содержащим все
элементы А £©, т. е. если выполнены следующие два
условия:
(Jx) А с: В для всех Л£©,
(J2) если АаВ' (В' для всех А £©, то ВаВ'.
Двойственным образом элемент С £ §1 называется яере-
сечением всех элементов Л б® в алгебре 31, если он
является наибольшим элементом, содержащимся во всех
элементах Л£©, т. е. если выполнены следующие два
условия:
(Mt) С а А для всех А £©,
(М2) если С'сЛ (С' б 31) для всех Л£©> то С'аС.
Объединение В всех Л б © будем обозначать (если оно
существует) через
(1) и?1л,
л 6 ©
а пересечение С всех Л б© будем обозначать (тоже если
оно существует) через
(1') П *А,
Л 6©
Если © - множество всех элементов индексированного
множества {At)ttT , то вместо выражений (1) и (Г) будем
писать соответственно
(2) U* Л,
и teT
(2') rfAt.
tZT
Конечно, если Т — множество всех положительных
целых чисел, то мы пишем также
(3)
и* д
1 < П < QO
И
(3')
Па А
1 < п < 00
вместо (2) и (2') соответственно.
Индекс а при знаках U и р, вообще говоря,
необходим, когда мы рассматриваем некоторую подалгебру
алгебры 31 одновременно с целой алгеброй 31. Действитель¬

§ 18. Определение
91
но, предположим, что 35 есть подалгебра алгебры 31, а© —
подмножество алгебры 35. Тогда по определению
(4)
С
п
и8 А
А €©
А 6©
И
(4')
и
ю
С
П" А,
А е©
А е©
если указанные объединения и пересечения существуют.
Действительно, элемент А является наименьшим эле-
А е©
ментом алгебры 31, содержащим все А б©, а элемент
U® А — наименьшим элементом алгебры 35, содержащим
А е©
все*А£©. Поскольку 35 есть подмножество алгебры 31,
то имеет место соотношение (4). По двойственности
получаем соотношение (4').
Если множество © конечно, то знак cz в
соотношениях (4) и (4') можно заменить на знак =, поскольку
оба объединения (пересечения) совпадают с объединением
(пересечением) элементов множества © в смысле первой
главы. Если множество © бесконечно, то знак cz, вообще
говоря, нельзя заменить на знак =. Это будет показано
ниже (см. пример А).
Однако если мы рассматриваем бесконечные
объединения и пересечения по отношению к некоторой
фиксированной булевой алгебре 31, то для простоты мы будем
опускать индекс % в обозначениях (1), (Г), (2), (2'),
(3), (3').
Заметим, что если 35 —подалгебра алгебры 31, © —
подмножество алгебры 35, а объединение U21 А существует
А е©
и принадлежит алгебре 35, то это объединение является
также объединением всех элементов А £ © в
подалгебре 58, т. е.
(5) U* А =11® А.
А е© А е©
Двойственным образом, если © — подмножество
подалгебры 93 алгебры 91 и пересечение Пл существует и принад-
А е©
лежит 33, то это пересечение является также пересечением

92
Г л. II. Бесконечные объединения и пересечения
всех А £ © в подалгебре 35, т. е.
(5') П*М=П*М.
АА
Бесконечные объединения и пересечения инвариантны
относительно изоморфизмов яа, т. е. если h — изоморфизм
алгебры 31 на алгебру 31', © — подмножество алгебры 31,
то
(6)
h(
' IF Л ^
1= игЛ(Л),
^Л 6® )
1 Ле®
(6')
h(
' П'1 ЛЛ
кА 6® )
|= rf’h(A).
1 а е®
Эти равенства следует понимать следующим образом: если
объединение (пересечение) в одной стороне существует, то
существует объединение (пересечение) в другой стороне и
имеют место указанные выше равенства.
Для доказательства равенств (6) и (6') напомним, что
изоморфизмы h и h~1 сохраняют включение с [см.
утверждение (2) § 5]. Поскольку бесконечные объединения и
пересечения определяются только с помощью включения,
то h сохраняет также и их.
Однако бесконечные объединения и пересечения не
сохраняются, вообще говоря, при гомоморфизмах и
изоморфизмах в.
Пусть Д —идеал булевой алгебры 31 и ЗГ = 31/Д.
Элемент А' = [А]£ 31' является объединением
индексированного множества элементов A't = [At](t £Т) в булевой
алгебре 31' тогда и только тогда, когда
(Jl)At — Л£Д для всех t£T,
(JJ) если At — Л0£Д(Л0£31) для всех t£T, то
А—А0€ Д.
Это немедленно вытекает из условий (J2), (J2) и
формулы (9) § 10.
По двойственности мы видим, что элемент А' =
= [Л]£31/Д = ЗГ является пересечением индексированного
множества элементов А\ = [At] (t £ Т) в булевой алгебре 31'
тогда и только тогда, когда
(Щ) A — At£ Д для каждого t £ Т,
(Щ) если А0- Л,£Д(Л0£31) для каждого t£ Г, то
Aq — A£ а.

§ 18. Определение
93
Примеры. А) Пусть 21 — поле всех подмножеств
пространства X всех неотрицательных целых чисел, 23 — его
подалгебра, образованная всеми конечными множествами
положительных чисел и их дополнениями в
пространстве X. Пусть Ап — (я), (п = 1, 2, одноточечное мно¬
жество, содержащее только число п. Тогда
U* Ап = Х-(0),
1 < П < 00
т. е. булево объединение всех элементов Ап в алгебре 21,
совпадает с теоретико-множественным объединением. С
другой стороны,
U* = X =
L < П < оо
поскольку X — единственный элемент алгебры 93, который
содержит все Ап. Аналогично если Вп = Х — Ап, то
rf £„ = (0),
1 < п < 00
т. е. это булево пересечение совпадает с
теоретико-множественным пересечением, но
П* В„=А-
I < п < 00
Этот пример показывает, что знак а нельзя заменить
на знак = в формулах (4) и (4'). Он показывает также,
что в поле множеств теоретико-множественное
объединение и пересечение, вообще говоря, не совпадают с
(бесконечным) булевым объединением и пересечением
соответственно. Однако легко видеть, что если g —поле
множеств, Af£g для каждого t £ Т и
теоретико-множественное объединение (пересечение) всех Ах принадлежит
полю g, то оно является также булевым объединением
(пересечением) всех At в булевой алгебре g.
Б) Если поле g (подмножеств пространства X)
содержит все одноточечные подмножества пространства X, то
бесконечные объединения и пересечения всегда совпадают
с теоретико-множественными объединениями и
пересечениями соответственно. Более точно, если At£ g для
каждого t£Ty то объединение Ift At (пересечение П5 At)
t е Т * е Г
существует тогда и только тогда, когда теоретико-множе¬

94
Г л. //. Бесконечные объединения и пересечения
ственное объединение (пересечение) всех A t принадлежит
полю и тогда они совпадают.
Действительно, предположим, что объединение А =
= IP At существует. В силу условия (Jx) все At являются
tZT
подмножествами множества А. Если А не является
объединением всех Аь то существует такая точка х0£Ау что
AtaA — (*0) £ $ для каждого t £ Т. Согласно условию (J2),
это противоречит предположению, что А есть булево
объединение всех At в поле
Обратное утверждение было доказано в примере А.
По двойственности мы получаем доказательство для
пересечений.
В) Пусть 31 —некоторая булева алгебра. Говорят, что
объединение A=\JllAt является существенно бесконеч-
ter
ным, если Аф At, U • • • U Atn для каждой конечной
последовательности tl9 ... , tn £ Т.
Если 31 —поле всех открыто-замкнутых множеств
компактного пространства X, то объединение А = 1Я At(At £ 3()
ter
совпадает с теоретико-множественным объединением тогда и
только тогда, когда оно не является существенно
бесконечным, т. е. если A = Atl U ... U Atn для некоторых tl9 ... ,
tn £ Т. Действительно, если открыто-замкнутое
множество А есть объединение всех At, то в силу компактности
пространства X оно является объединением некоторых
множеств Atlf ... , Atn> откуда следует, что А = Аи U ...
... U Atn. Обратное утверждение очевидно.
По двойственности мы получаем аналогичное
замечание для пересечений.
Г) Пусть $ — поле подмножеств пространства X.
Предположим, что все не более чем счетные подмножества
пространства X принадлежат полю Пусть Д—идеал
всех конечных подмножеств пространства Ху а 31 ^^/Д1).
Ни одно счетное объединение 1Я Ап не является су-
1 < П < СО
щественно бесконечным.
Согласно условиям (Jj) и (J2), достаточно доказать,
что если
1) Исследование таких булевых алгебр см. Серпинский [3,5].

§ 18. Определение
95
(7) Л, Ап£$I, АпаА и Аг и ... U АпфА дляп = 1,2, ... ,
то существует такой элемент А' £31, что
А'аА, А'ФА и AndA' для /г=1,2, ....
Пусть Ля = [Яя], Л = [Я], где ££$. В силу
условий (7) и формулы (9) § 10 множества В — (В1[) ... 11£л)
бесконечны, а множества Вп — В конечны. Мы можем
выбрать такую последовательность {хп} различных
элементов, что
хп£В — (Вг U ... U Вп) для /г=1,2,... .
Пусть В' =^В — (х19 х29 • • •) 6 ^ и Л' = [В']. Поскольку
B'ZzB и Б —Б'бесконечно, то Л'сЛ и А'ФА. Так как
Bn — B'd(Bn — B) и (хг, ... , хп) £ А, имеет ’место
включение Ллс:Л', что и требовалось доказать.
По двойственности мы получаем аналогичное
утверждение для пересечений.
Д) Пусть Д —идеал булевой алгебры 31 и ЗГ = 31/Д.
Заметим, что, вообще говоря, скобки [ ] не коммути¬
руют с бесконечными объединениями U и
пересечете г
ниями П > т- е- что равенства
teT
(8) IF И,] = [и?‘Л4],
teT teT
(S') гГИ,]-[гГ^]
teT teT
не имеют места, вообще говоря, даже когда эти
объединения и пересечения существуют.
Действительно, пусть 31—-поле всех подмножеств
бесконечного множества Г, Д —идеал всех конечных
подмножеств и At = (t). Тогда
Uw[At] = A¥= V=[UM,].
teT teT
Переходя к дополнениям элементов At> мы получаем
контрпример для пересечений.
Е) Следующий пример рассчитан на читателя,
знакомого с математической логикой.

96
Г л. II. Бесконечные объединения и пересечения
Пусть St — алгебра Линденбаума — Тарского
формализованной теории (см. пример Г § 1.) Элемент (алгебры St),
определяемый формулой а, будет обозначаться через |а|.
Пусть а (т) —формула, содержащая по крайней мере
одну свободную индивидную переменную т. Можно
доказать1), что
| и ОС(х) I = U’a | a (t) |, Ща(х)|= Л*1«(0|.
Т t € Т Т t € Т
где U и П в левой части равенств обозначают логические
т т
кванторы: „существует такое т, что...“ и „для любого т...“
соответственно, а Т — (бесконечное) множество всех
термов.
Ж) Пусть © — множество всех атомов булевой
алгебры St. Алгебра St атомна тогда и только тогда, когда
U А = \/ (мы предполагаем, что U А = Д, если © —
АG© А 6©
пустое множество).
§ 19. Алгебраические свойства бесконечных объединений
и пересечений, (ш, п)-дистрибутивность
Пусть St —булева алгебра. Все встречающиеся ниже
объединения и пересечения рассматриваются в алгебре St.
Из определения немедленно вытекает, что
бесконечные объединения и пересечения являются
коммутативными, т. е. для каждого взаимно однозначного
отображения т множества индексов Т на себя имеют место
равенства
(1) и At= и At<t)> П At= П Ахт .
tzT t e т teT ter
Каждое из этих равенств нужно читать следующим
образом: если одно из объединений (пересечений) существует,
то существует и второе, и равенство (1) имеет место.
Легко проверить, что бесконечные объединения и
пересечения являются также ассоциативными, т. е. если мно¬
1) См., например, Расёва и Сикорский [1,7]. См. также § 40.
Чтобы выполнить подстановку а(/), иногда нужно изменить
связанные переменные.

§ 19. Алгебраические свойства
97
жество Т является объединением множеств Ts(s£S)> то
(2) 	U U At= U At, П П П At.
seSters ter seSters /в г
Каждое из этих равенств следует читать так: если
объединение (пересечение) в левой части равенства существует,
то объединение (пересечение) в правой части также
существует, и равенство имеет место.
Для бесконечных объединений и пересечений также
справедливы законы Моргана:
(3)
и — At = — n At, n -At = — и At.
teT teT teT teT
Существование объединения (или пересечения) в одной
части каждого из этих равенств влечет за собой
существование объединения (пересечения) в другой части, и
соответствующее равенство имеет место.
Законы Моргана (3) легко следуют из определения
бесконечного пересечения и объединения и формулы (21) § 2.
Если для каждого t£T существует такое s С 5, что
AtdBSi то
(4) U At с U Bs
teT ses
каждый раз, когда оба объединения существуют.
Аналогично если для каждого t£T существует такое s С 5, что
BsdAu то
(4') П Bsd П At
seS teT
каждый раз, когда оба пересечения существуют.
в
частности,
(5)
U Atc U At
teT’ teT
и n At с П At для T'cT,
teT teT'
(6)
AtoC U At
teT
и n AtcAt<> для
ter
her,
(7)
U AtcA,
te т
если AtdA для всех
ter,
(7')
Лс n At,
если AdAt для всех
ter,
ter
при условии, что рассматриваемые объединения и
пересечения существуют.

98
Г л. II. Бесконечные объединения и пересечения
Кроме того,
А и ( и АЛ = и (Л и At),
/gv V.er 1 teT
А Л ( n лл = n (A n At).
\teT } teT
Существование объединения (пересечения) в левой части
влечет за собой существование объединения (пересечения)
в правой части.
Немного сложнее проверить следующие законы дистри-
А П ( U АЛ= U
\teT ] teT
A U ( П ЛЛ= n (A U At).
\teT ) teT
бутивности:
(9)
Каждый из этих законов следует читать так: если
бесконечное объединение (пересечение) в левой части
существует, то существует бесконечное объединение (пересечение)
и в правой части, и равенство имеет место.
Для доказательства первого закона (9) предположим,
что В= U At. Тогда
teT
AoAtc:Ar\B для всех t£T,
поскольку AtaB. Пусть С —такой элемент, что
А П AtaC для всех t £ 7,
т. е.
А — Сс— At для всех t£T.
Следовательно,
А — Са П —Аь
teT
т. е. в силу закона Моргана
А-Са-В,
откуда вытекает, что
А (]ВаС.
Это доказывает, что А П В является объединением всех
элементов А П At.
По двойственности мы получаем доказательство
второго закона дистрибутивности.

§ 19. Алгебраические свойства
99
Теоретико-множественные объединения и пересечения
удовлетворяют также следующим законам
дистрибутивности:
(10)
(10')
п ил
t£T s$S
t,s
и „ n а
4>sST ieT
U П Au= nU А
ieT seS <t>eST teT
ty'i W>
где ST обозначает множество всех отображений Т в S
(см. стр. 9). Эти законы, вообще говоря, не имеют
места для булевых алгебр, даже если предположить, что
все рассматриваемые объединения и пересечения
существуют и даже в случае, когда S конечно1}.
Пример. А) Пусть $ — поле всех борелевских
множеств вещественных чисел. Пусть А —идеал всех не
более чем счетных множеств и 31 = $/Д. Пусть, далее,
Bnti — множество всех чисел вида
х
со
-2
з= 1
ау + 1
2J+1
где = —1, 1 для !фп, an = i (/ = ± 1, п— 1, 2, ...).
Множества B„ti принадлежат полю поскольку каждое
из них является объединением конечного числа
замкнутых подинтервалов в замкнутом единичном интервале U.
Положим An>i = [Bn);]. Тогда
П (Л„, _jU A„t 1) = [t/]=^A= U П Ля,в(л),
1<П<00 фбФ 1 <П < со
где Ф обозначает множество всех отображений ср
множества Т всех положительных целых чисел в множество
S, состоящее только из чисел —1 и 1.
Действительно, АПу el U Anfl = [U]y поэтому пересечение
всех этих элементов равно [Ц]ф Д. С другой стороны,
(10 П Ап, еры)= А
1 < П < оо
г) Для изучения бесконечной дистрибутивности в булевых
алгебрах см. Чин и Тарский [1], Христенсен и Пирс [1], Эномото [1],
Керстан [1], Ковальский [1], Маттес [1, 2], Пирс [3, 5, 6], Скотт
[1], Сикорский [25, 27], Сикорский и Трачик [2], Смит [1], Смит и
Тарский [1]. См. также § 20, 24, 25, 29, 34, 35, 36, 38.

100
Г л. II. Бесконечные объединения и пересечения
для каждого ср£Ф. В самом деле, если [В]аАп^{п) =
= [ВПу(?{п)] для п== 1, 2, то все множества Сп = В —
—ВПу1(п) принадлежат идеалу Д. Поскольку ВаВПу(,ш U Сп,
то Вс n (5n,?(„)U С„)С( п £„,«<„>) U( и Сп)е а,
1 < П < СО 1 < п < со 1 < п < со
так как множество П Вп ъм состоит только из одного
1 <; п < со ’ Y
элемента, именно числа
V ф (") + 1
2Л+1
п= 1
Следовательно, Б£Д, т. е. [В] = д. Это доказывает
равенство (П)1).
Заметим, что приведенные выше рассуждения остаются
в силе, если идеал всех счетных подмножеств заменить,
например, на идеал всех борелевских множеств первой
категории или на идеал всех борелевских множеств
лебеговой меры нуль.
Говорят, что булева алгебра 31 является (тп, п)-дп-
стрибутивной, если равенство (10) имеет место для
каждого (тп, ^-индексированного множества {AtyS
элементов алгебры 31, для которого существуют все
пересечения n AUtDii) и
t <=т
(12) существуют все объединения U At s
ses ’
и пересечение п U At s.
t*T seS ’
В силу законов Моргана алгебра 31 является (щ, п)-
дистрибутивной тогда и только тогда, когда имеет место
равенство (10') для каждого (тп, ^-индексированного
множества { Aty s }teT, ses> Для которого существуют все
объединения U At 9(i) и
ter ’ 1
(12') существуют все пересечения n At s
sgS *
и объединение U f| At 5.
*<=т sgs
Говорят, что булева алгебра является т-дистрибу-
тивной, если она (тп, тп)-дистрибутивна. Говорят, что
алгебра вполне дистрибутивна, она тп-дистрибутивна для
0 Тождество (11) легко получить также из теоремы 21.1.

§ 19. Алгебраические свойства
101
каждого кардинального числа тп. Если тп — конечное
число, то, согласно равенствам (9), каждая булева
алгебра является (тп, п)-дистрибутивной. Каждая булева
алгебра является (тп, 1)-дистрибутивной. Чтобы
исключить эти тривиальные случаи, мы всегда в дальнейшем
будем предполагать, что т —бесконечное кардинальное
число, а п^2.
Из определения немедленно следует, что если
алгебра 31 является (тп, п)-дистрибутивной, а тп'^тп, п'^п,
то алгебра 31 является также и (т', п')-дистрибутивной.
Таким образом, вполне дистрибутивная алгебра является
(тп, п)-дистрибутивной для каждого тп и п.
Пусть Я —множество, состоящее из чисел 1 и—1.
19.12). Для каждой булевой алгебры 31 следующие ус-
ловил эквивалентны:
(i) алгебра 31 является т-дистрибутивной\
(ii) алгебра 31 является (тп, 2)-дистрибутивной',
(iii) если {At}tzT является т-индексированным
множеством элементов из алгебры 31, то для каждого
элемента А фА(А существует такая функция е£НТ, что
(13) А П П 8 (0 * At ф- Д •
teT
Условие (13) следует понимать так: или пересечения
всех элементов А, г (/)• At(t £Т) не существует, или оно
существует, но не равно Д. Заметим, что если все
бесконечные пересечения fl s(t)'At существуют, то
существе т
вование функции е£Нт для каждого А ФА> обладающей
свойством (13), эквивалентно, согласно условию (9),
равенству
(14) U% n*(fMt=V.
ген1 teT
Условие (ii) тривиально вытекает из условия (I).
Из условия (ii) следует (iii). Предположим, что
элемент А 6 31 таков, что
А П П в (/) • Л*=Д для каждой функции г£Нт
ter
х) Пирс [3], Смит и Тарский [1].

102
Гл. II. Бесконечные объединения и пересечения
(т. е. пересечение всех элементов A, e(t)-At всегда
равно Д).
Пусть А — элемент, не принадлежащий множеству Т,
и пусть Т' — Т U (А>)> 5 = Н и, наконец,
AUs = s-At для teT, s£S,
At0,s= А для s£S.
Применяя равенство (10) к (тп, 2)-индексированному
множеству { At>s }ts т', Ses< мы получаем равенство
Условие (Ш) влечет за собой (i). Допустим, что 31 не
является tn-дистрибутивной алгеброй, т. е. существует
m-индексированное множество { }tsr, s6S,
удовлетворяющее всем упомянутым в определении
дистрибутивности условиям и такое, что равенство (10) не имеет места.
Таким образом, существует такой элемент А =АД, что
(15) Ac U At s для каждого t£T
s<=S ’
И
(16) Лп n As (t)=A для каждого фб5г.
te т
Мы докажем, что для каждой функции е £ HTxs имеет
место равенство  17(17) А П П e(t,s)-At>4=Д.
(U s) € TXS
Действительно, если существует такое t£T, что e(tf s) =
= —1 для всех s£S, то равенство (17) вытекает из (15).
Если для каждого t£T существует такое s = <p(0> что
е (/, s) = 1, то равенство (17) следует из (16), поскольку
каждый элемент, появляющийся в левой части равенства
(16), появляется и в левой части равенства (17). Только
что доказанное свойство (17) показывает, что ш-индек-
сированное множество { AtiS s)€txs не обладает
свойством (in).
Согласно теореме 19.1, достаточно рассматривать
(тп, п)-дистрибутивность только для Поэтому
во всех теоремах, касающихся (ш, п)-дистрибутивности,

§ 19» Алгебраические свойства
103
мы всегда будем предполагать, что ш и и —бесконечные
кардинальные числа.
19.2. 	Для любой булевой алгебры 31 следующие три
условия эквивалентны:
(d) алгебра 31 (ш, \\)-дистрибутивна\
(dj если (т, ^-индексированноемножество {AtyS}t €T,ses
элементов алгебры 31 удовлетворяет условию (12) и
(18) П U Л,,s=^A.
<6Т ssS
то существует такое отображение <р £ ST, что
О9) П At
<ет
(d2) если (тп, ^-индексированное множество {^()S};gT.s6S
элементов алгебры §1 удовлетворяет равенству
(20) U At s = V для каждого t £Т,
seS
mo для каждого Аф/\(А£Щ существует такое
отображение ф £ STf что
(21) А П П А*
t <=т
Условие (19) нужно читать следующим образом: или
пересечения п не существует, или оно существу¬
ет ’ Y
ет, но не равно Д. Условие (21) следует интерпретировать
таким же образом: или пересечения А и всех элементов
Aty не существует, или оно существует, но не
равно Д. Отметим, что если все пересечения П At ®<t>
tZT
существуют, то заключение в условии (d2) эквивалентно
тождеству
(21') U П i4,;,m = V.
ФesT tzT
Это легко следует из (9).
Утверждение (d) влечет за собой (dx), поскольку из
условий (10) и (18) вытекает (19) для некоторого фб5г.
Чтобы вывести из (d2) условие (dx), достаточно
дополнить множество Т одним элементом /0, положить

104 Г л. II. Бесконечные объединения -и пересечения
At0iS=---A для всех s£S и применить (dx) к семейству
{ Аи Л*еги<*0), 5^5» предположив, что равенство (20)
имеет место.
(d2) влечет за собой (d). Действительно, пусть (ш, и)-
индексированное множество { 5 5б5 удовлетворяет
условию (12) и В= n U At 9. Предположим, что ра-
t€T seS 9
венство (10) не выполняется, т. е. существует такой
элемент АФ/\> что
(22) 	АаВ и П At Ф(*)С:В —Л Для каждого cp^S7.
tGT
Дополним множество S одним новым элементом s0 и
обозначим
Bt,s0^ — B для всех t£T,
BUs*=B() At)S для всех t£T и для всех s£S.
Тогда (ш, ^-индексированное множество {B*,5her,s€s';(e0\
удовлетворяет условию (20). Применяя (а2) к этому
индексированному множеству, мы получаем, что существует
такое <p£Sr, что А П П At ф (f, =т^А, а это противоречит
teT
утверждению (22).
Определение (ш, п)-дистрибутивности на стр. 100
является несколько сложным, поскольку приходится
требовать существования различных бесконечных объединений
и пересечений. Приведенная ниже теорема 19.3
предлагает другое эквивалентное определение, которое позволяет
избежать этой трудности. Чтобы сформулировать его,
назовем индексированное (n-индексированное) множество
{Л5}5<=5 покрытием (п-покрытием) булевой алгебры?!,
если U Л5 = V«i. Говорят, что покрытие {Вг}г$п измель-
seS
чает покрытие {Л5}5б5, если для каждого r£R
существует такое s£S, что BraAs.
19.3. 	Для каждой булевой алгебры Щ эквивалентны
следующие условия:
(d) алгебра 51 (гп, \\)-дистрибутивна\

§ 19. Алгебраические свойства
105
(d3) каждое множество, состоящее из не более чем
m п-покрытий, имеет общее измельчение1}.
Достаточно доказать, что условие (d3) эквивалентно
условию (d2) теоремы 19.2.
Условие (d2) влечет за собой (d3). Действительно,
предположим, что
(23) для каждого t £Т (Т < т) множество { Aty s }s6s
есть n-покрытие алгебры 34,
т. е. имеет место равенство (20). Пусть {Вг }г<=# —
индексированное множество, образованное всеми элементами
В£3(, обладающими следующим свойством:
(24) существует такое cpGSr, что BczAu^{t)
для каждого t £ Т.
Если (d2) имеет место, то является покрытием
алгебры 31, ибо в противном случае существовал бы
такой элемент АФ/\, что
(25) А()Вг=/\ для всех r£R.
Согласно условию (d2), существовало бы такое
отображение ср £RTy что имело бы место равенство (21), т. е.
существовал бы такой элемент В=И=Д, что В с: Л, BaAtyf.it)
для каждого t£T. Последнее свойство показывает, что
В есть один из элементов Вп что невозможно, согласно
(25). В силу свойства (24) покрытие является
измельчением для каждого п-покрытия { Аи s }sG5j t£T.
Условие (d3) влечет за собой (d2). Предположим, что
(ш, ^-индексированное множество { Л/>>9 }/6r>Jes
удовлетворяет равенству (20), т. е. имеет место условие (23).
Пусть { Br }r G R — общее измельчение каждого из
п-покрытий {Л#|5}5б$. Таким образом, если Л=^Д, то
существует такое r£R> что ЛпВг=^=Д, а для каждого Т
существует такое s = ф (t) £ S, что Вга Аty ,, ш. Поскольку
ненулевой элемент А(]ВГ является подэлементом всех
элементов Л, Aty(,{t)(t £Т), то неравенство (21)
справедливо.
0 Пирс [3],

106
Гл. II. Бесконечные объединения и пересечения
§ 20. m-полные булевы алгебры
Пусть 21 —булева алгебра, а ш —бесконечное
кардинальное число. Согласно законам Моргана [см. формулы
(3) 	§ 19], следующие два условия эквивалентны:
(а) для каждого m-индексированного множества {At}t^T
(элементов алгебры 21) существует в алгебре 21
объединение U At\
teT
(а') для каждого m-индексированного множества {At}te т
(элементов алгебры 21) существует в алгебре 21
пересечение П At.
teT
Если одно из приведенных выше условий выполнено
(или, что то же самое, оба условия выполнены), то
говорят, что алгебра 2t является m-полной булевой алгеброй
или булевой m-алгеброй. Если алгебра 21 является т-пол-
ной булевой алгеброй для каждого тп, то она называется
полной булевой алгеброй.
Конечно, каждая булева алгебра, изоморфная
некоторой тп-полной булевой алгебре (полной булевой алгебре),
тоже является m-полной булевой алгеброй (полной
булевой алгеброй).
Пусть $ — поле подмножеств пространства X. Согласно
закону Моргана для множеств, следующие два условия
эквивалентны:
(б) для каждого m-индексированного множества {At}t^T
множеств поля % теоретико-множественное объединение
всех At(t£T) принадлежит полю
(б') для каждого m-индексированного множества
множеств поля $ теоретико-множественное
пересечение всех At(t£T) принадлежит полю
Если одно (или оба) из этих условий выполнено, то
говорят, что поле $ является т-полным полем множеств,
или т-полем множеств. Если % является т-полным
полем множеств для каждого т, то $ называют полным
полем множеств.
Примеры. А) Класс _всех подмножеств А
пространства X, таких, что или Л^т илиХ — Л^лп, является
m-полем подмножеств пространства X. Класс всех под¬

§ 20. m -полные булевы алгебры
107
множеств любого пространства X является полным полем
множеств.
Б) Из замечания в конце примера А § 18 следует,
что каждое ш-полное (полное) поле множеств является
m-полной (полной) булевой алгеброй, а булевы
объединения U At и пересечения f) совпадают с теоретико-
t <= т teT
множественными объединениями и пересечениями
соответственно, если Г^оп. Обратное утверждение, вообще
говоря, не верно; поле множеств § может быть т-пол-
ной булевой алгеброй, но может не быть тп-полным полем
множеств.
Например, пусть Л — изоморфизм поля 31 всех
подмножеств бесконечного пространства X на поле $ всех
открыто-замкнутых подмножеств пространства Стоуна
алгебры 31. Тогда поле $ есть полная булева алгебра,
поскольку оно изоморфно полной булевой алгебре 31. Однако $
не есть cr-поле1) множеств (и, следовательно, $ не
будет тп-полным полем ни для какого бесконечного
кардинального числа тп). Действительно, если {Ап} —
бесконечная последовательность непустых непересекающихся
подмножеств пространства X, то теоретико-множественное
объединение всех h(An)(n= 1, 2, ...) не принадлежит
полю так как оно (объединение) незамкнуто [см.
также пример К § 7].
В) Булева алгебра 31х всех регулярных замкнутых
подмножеств топологического пространства X [см.
пример Б § 1] является полной булевой алгеброй (которая,
вообще говоря, не является полным полем множеств)2).
Действительно, легко проверить, что для каждого
индексированного множества {Ах} регулярных замкнутых
подмножеств пространства X замыкание
теоретико-множественного объединения всех At является булевым
объединением всех Ах в алгебре 3замыкание внутренности
теоретико-множественного пересечения всех At является
булевым пересечением всех At в алгебре 3^.
1) Буква о обозначает #0. См. терминологию и обозначения на
стр. 9.
а) См. Тарский [3], Биркгоф [2] и Макнейл [1].

108
Г л. II. Бесконечные объединения а пересечения
Подобным же образом мы можем доказать, что булева
алгебра 212 всех регулярных открытых подмножеств
пространства X (см. пример Б § 1) является полной булевой
алгеброй1). Для любого индексированного множества \АХ}
регулярных открытых подмножеств внутренность
замыкания теоретико-множественного объединения всех At есть
булево объединение всех At в алгебре 212, а внутренность
теоретико-множественного пересечения всех Ах является
булевым пересечением всех Ах в алгебре 212.
Г) Если 21 является m-полной (полной) булевой
алгеброй и Е — элемент алгебры St, то алгебра 211 Е (см.
пример А § 10) тоже является тп-полной (полной) булевой
алгеброй. Если $ есть m-полное (полное) поле подмножеств
пространства X и £ —подмножество пространства X, то
поле $ | Е (см. пример Б § 10) тоже является т-полным
(полным) полем множеств.
Д) Каждая бесконечная булева сг-алгебра 21
содержит подалгебру, изоморфную полю $ всех подмножеств
некоторого счетного множества X и, значит, имеет
мощность, большую или равную 2^о.
В самом деле, если 21 — бесконечная алгебра, то она
содержит такое индексированное множество {Ах}хех непе-
ресекающихся элементов, что U AX—\J. Отображение,
хе X
которое каждому множеству ВаХ ставит в соответствие
элемент U Axg2l, является изоморфизмом поля $ в
х € В
алгебру 21.
Таким образом, пространство Стоуна Х0 поля $ [т. е.
компактификация Чеха — Стоуна р (X) дискретного
пространства X — см. пример Е § 8] является непрерывным
образом пространства Стоуна любой бесконечной булевой
сг-алгебры 2(. Поскольку Х0 не является непрерывным
образом обобщенного канторова дисконтинуума &>п для
любого числа п (см. стр. 76), то пространство Стоуна
алгебры 21 не является непрерывным образом
пространства
^последовательно, ни одна бесконечная булева сг-алгебра 21
не изоморфна никакой подалгебре свободной булевой  * 2А) См. Тарский [3], Биркгоф [2] и Макнейл [1].
2) Энгелькинг и Пелчинский [1].

§ 20. т-полные булевы алгебры
109
алгебры $0, п ни для какого кардинального
числа п.
Е) Пусть X — топологическое пространство. Мы
напомним, что множество АаХ обладает свойством Бэра1), если
существует такое открытое множество G, что А — G и
G — А являются множествами первой категории. Другими
словами, А обладает свойством Бэра, если
A = (G — N±) U Л/2,
где G открыто, a NlfN2—множества первой категории.
Если А обладает свойством Бэра, то этим же
свойством обладает и его дополнение. В самом деле, пусть
G0 = —CG—дополнение к замыканию множества G. Тогда
( — A)—G0 = CG — Aa(CG — G)U(G — Л),
G0 — (— А) = А—CGczA — G.
Следовательно, ( — A) — G0 и G0 — ( — А) суть
множества первой категории. Если множества Ап (п=1, 2,
...) обладают свойством Бэра, то их объединение А тоже
обладает этим свойством. Действительно, пусть Gn — такое
открытое множество, что An — Gn и Gn — Ап суть
множества первой категории, п= 1, 2, ... . Пусть G
—объединение множеств Gn. Поскольку
A-Gcz U (An-Gn), G — A с. U (Gn — An),
1</2<00 1</2<СО
то и Л — G, и G — А являются множествами первой
категории.
Таким образом, класс всех множеств, обладающих
свойством Бэра, образует a-поле подмножеств
пространства X. Это поле содержит все открытые множества. По
определению класс всех борелевских множеств является
наименьшим сг-полем, содержащим все открытые
множества. Значит, отсюда следует, что каждое борелевское
множество обладает свойством Бэра.
Ж). Пусть $ и — поля подмножеств пространств
X и X' соответственно. Пусть и ^1 — наименьшие
полные поля, содержащие соответственно $ и
х) См., например, Куратовский [3], стр. 92—101.

ПО Г л. II. Бесконечные объединения и пересечения
Говорят, что поля % и %' сильно изоморфны, если
существует такой изоморфизм hx поля на $i, что
/*1 ($) = $'. Отображение h = hx\$ тогда называется
сильным изоморфизмом1) поля $ на
Не каждый изоморфизм между полями множеств
является сильным. Например, если X— вполне несвязное
компактное пространство, X'— плотное подмножество в
X, ^ —поле всех открыто-замкнутых подмножеств
пространства X, а = X' есть поле всех множеств вида
ЛпХ', где то отображение
ft (А) = А П X' для А $ ^
является изоморфизмом поля $ на но не является
сильным изоморфизмом, если Х'ФХ.
Заметим, что изоморфизм ft поля % на поле
является сильным тогда и только тогда, когда как ft, так и
ft”1 индуцируются поточечными отображениями (см. § И).
Говорят, что поля $ и подмножеств пространства
X и X' соответственно являются эквивалентными2), если
существует такое взаимно однозначное отображение ф
пространства X на пространство X', что отображение
ft, определенное по формуле
й(Л) = ф(Л) для
является изоморфизмом поля $ на поле
Отметим, что поля $ и сильно изоморфны тогда
и только тогда, когда приведенные поля и $о>
полученные соответственно из $ и отождествлением
неотделимых точек (см. § 7 стр. 35), являются
эквивалентными.
3) Прямое объединение любого индексированного
множества булевых тп-алгебр (m-полей подмножеств непе-
ресекающихся пространств) является булевой т-алгеб-
рои (т-полем подмножеств объединения этих пространств).
Аналогичное замечание справедливо для полных булевых
алгебр (полных полей множеств).
1) Марчевский [3].
2) Марчевский [3,10].

§ 20. т-полные булевы алгебры
111
И) Каждое m-поле множеств является т-дистрибу-
тивным. Действительно, равенство (10) § 19 легко
следует из замечания в конце примера А § 18. Другое
доказательство можно получить, проверив, что выполняется
условие (с^) [или (d2)] теоремы 19.2.
Каждое полное поле множеств является вполне
дистрибутивным.
Теперь мы докажем следующий простой критерий т-
полноты булевых алгебр.
20.1. 	Если объединение UBt существует для любого
teT
т-индексированного множества {Bt)t^r непересекающихся
элементов булевой алгебры 31, то 31 является т-полной
алгеброй1).
Доказательство проводится индукцией по
кардинальному числу ш. Допустим, что теорема 20.1 справедлива
для всех кардинальных чисел ш'<ш и что существует
объединение любого m-индексированного множества не-
пересекающихся элементов в алгебре 31. Таким образом,
31 является m'-полной булевой алгеброй для всех
бесконечных кардинальных чисел т'<т.
Пусть т—• любое индексированное множество
элементов алгебры 31, Т = хп.
Удобно считать, что Т — множество всех порядковых
чисел t < а, где а —наименьшее порядковое число
мощности ш. Положим
(1) В0 = А0 и Bt = At — \JAf для 0</<а.
t'<t
Тогда
\J At=\JBt' для 0</<a.
t'Ct t'<t
Доказательство этого равенства проведем трансфинитной
индукцией. Легко проверить, что если равенство имеет
место для некоторого t, то для /-|~1 оно тоже
справедливо. Пусть теперь / — предельное порядковое число, и
равенство имеет место для всех порядковых чисел,
меньших t. Тогда по индуктивному предположению каждый
х) Смит и Тарский [1J.

112
Г л II. Бесконечные объединения и пересечения
At' является подэлементом элемента U В г. Это доказы-
t*<t'
вает, что U Ata\J By. Обратное включение тоже спра-
t'<t vet
ведливо, так как ВуаАу для всех t'.
Поскольку объединение U Bt существует, мы заклю-
t< а
чаем, что объединение U А* тоже существует. Это дока-
te т
зывает, что алгебра 31 является пт-полной.
Заметим, что одновременно мы доказали следующую
теорему:
20.2. 	Если булева алгебра 31 является пт'-полной для
каждого ш' < пт, то для каждого т-индексированного
множества {At}t^j элементов алгебры 31 существует
такое т-индексированное множество {Bt}t^T непересекаю-
щихся элементов алгебры 31, что
Btc:At для каждого t£T
и
U Bt = \JAt.
t<zT t<zT
Требование, чтобы рассматриваемая булева алгебра
31 была m-полной, очень полезно при исследовании
бесконечных объединений и пересечений не более чем ш
элементов, поскольку в этом случае не нужно дополнительно
постулировать существование этих объединений и
пересечений.
Например, если пт^п, то требование, чтобы алгебра
31 была n-полной, существенно облегчает определение
(т, п)-дистрибутивности на стр. 100: алгебра 31 является
(ш, п)-дистрибутивной, если тождество (10) [или (10')]
имеет место для каждого (ш, ^-индексированного
множества {AtfS}t(: г, ses элементов алгебры ?(. Аналогично
можно упростить и некоторые доказательства.
Например, в доказательстве того, что из условия (d2) вытекает
(d3), на стр. 103 достаточно в качестве {Вг}г€д взять
индексированное множество { {\At (P(o}<p<=s7'-
ter '
Мы применим теперь теорему 20.2 для того, чтобы
сформулировать критерий (т, п)-дистрибутивности, яв¬

§ 20. т-полные булевы алгебры
113
ляющийся видоизменением теоремы 19.3. Покрытие (п-
покрытие), состоящее из непересекающихся элементов,
мы для краткости будем называть разбиением (п-разбие-
нием).
20.3. Для любой булевой алгебры 31, являющейся и'-
полной для каждого кардинального числа и' < п,
эквивалентны следующие условия:
(d) алгебра Щ является (пт, п)-дистрибутивной;
(d4) каждое множество, состоящее из не более чем ш
п-разбиений, имеет общее измельчение1).
Согласно теореме 19.3, достаточно доказать, что
условие (d4) эквивалентно условию (d3) из теоремы 19.3.
Поскольку из (d3) прямо вытекает (d4), то мы должны
доказать только обратную импликацию. Предположим, что
для каждого t£T (T^m) множество является
n-покрытием алгебры 31. Согласно теореме 20.2,
существует такое разбиение что BtySc:AtyS. В силу
условия (d4) существует покрытие {Вг}гея, которое
является общим измельчением всех n-разбиений {Bf)5}s6S,
t£ Т. Ясно, что является также общим измельче¬
нием и всех n-покрытий {^f)S}SGs, t£T.
Из теоремы 20.3 следует,’ что в условии (d2) теоремы
19.2 мы можем дополнительно требовать в равенстве (20),
чтобы AtyS[)AtyS' = А при s=£s'. Мы используем это
замечание в доказательстве следующей теоремы.
20.4. Каждая 2Ш-полная m-дистрибутивная булева
алгебра является (ш, 2т)-дистрибутивной2).
Пусть Я —множество, состоящее из чисел 1 и — 1,
Т = m = S. Достаточно доказать [согласно последней
редакции условия (d2), см. также равенство (2 Г) § 19], что
и П Л/,ф«) = V
ф G(HS)T
для каждого индексированного'множества {Л*,е}*€т,гън$
элементов алгебры 3X, таких, что
(2) U А+ е— V Для каждого t£Tf
8 € HS
(3) AtieO Atte’= А при гфъ'.
1) Пирс [3].
2) Смит и Тарский [1]. См. также Пирс [3].

114
Г л. II. Бесконечные объединения и пересечения
Пусть BitS,p где j £ Я, — объединение всех таких
элементов Л*,е, что e(s) = /. Из определения и равенства (3)
непосредственно вытекает, что
(^) е ~ f\Bi, s, e(s)>
s€S
поскольку элемент в правой части равенства содержит
At,г в качестве подэлемента и не пересекается ни с одним
Л*, 8', где в'Фг.
Так как алгебра 81 является m-дистрибутивной, то,
согласно соотношениям (4) и (2), имеют место равенства
П и U П s, е (s) — U i4/,e==V
seSjeH е etfSseS е€Я^
для каждого t £ 7\ Следовательно, в силу т-дистрибу-
тивности алгебры 81
V = п п и В <,.,/ = п и в<,,,/ ==
teTseSjeH (/, s)erxs /ея
— U П 5/, s, ф(/, s) = U П П Bt, s, ф(/, s)*
фбягхя (/, s)eTxs ф zHTxs ttTses
Любую функцию ф£Ягх5 можно естественным
образом интерпретировать как элемент множества (HS)T, а
именно как отображение, которое каждому f £ Т ставит
в соответствие функцию е, = ф (/) из множества S в Я,
определяемую равенством
М«) = Ф(*.s)-
Приняв эту интерпретацию, мы можем отождествить
множество HTxS с множеством (HS)T. Более того,
П 5<,S, ф(*,8)=ПЯ*,8,8,(8) = Л*,в, = Л*,ф(*)
ses sgs
в силу равенства (4). Значит, отсюда следует, что
V = U П П В< s, фu,s> — U П ^/, ф(0-
^(HS)r(erS6S ф6(н5)Г<<=Г
Примеры. К) Существует щ-поле множеств
которое не является (тп, т+)-дистрибутивным, причем ш+

§ 20. m-полные булевы алгебры
116
обозначает наименьшее кардинальное число,
превосходящее тп1).
Пусть Т и S — множества мощности шиш4*
соответственно, а X —множество таких функций / £ Ts , что
множество T — f(S) бесконечно. Для любых t £ Т и s £ S
обозначим через AtfS множество всех таких /£Х, что
/ (s) = t. Легко проверить, что класс $ всех множеств
АсХ, удовлетворяющих следующим условиям:
(а') если х£Ау то Ats,sc:A для некоторых ts£Т
sgS'
и некоторого множества S'czS, S'^rn,
(а") если х£ — А, то П — А для некоторых
s€S"
ts£T и некоторого множества S"c=S, 5"^ш,
является ш-полем подмножеств пространства X,
содержащим все множества A*, s. Для каждого фиксированного
t£T теоретико-множественное пересечение А0 всех
множеств— Ati5(s£S) состоит из всех функций /£Х,
которые не принимают значения t. Поскольку А0 не содержит
никакого непустого множества вида П Ats,s (5'^ш), то,
s€ S'
согласно условию (а'), пустое множество будет
единственным множеством А £ которое является
подмножеством А0, т. е. подмножеством всех — A *jS, s£S. Другими
словами, пd—At 5=Д, т. е.
S € s ’
U® At S=V для каждого tQT.
ses 5
С другой стороны, множество
UzT
пусто для каждого ибо если f^Aij{р(*) для каж¬
дого t£Ty то f(y(t)) = t для каждого t£Ty и,
следовательно, f(S) = Ty т. е. /^Х. Таким образом,
teTses ф zsTt*T
что доказывает, что поле $ не является (ш,
т+^дистрибутивным.
*) Пирс [3].

116
Г л. II. Бесконечные объединения и пересечения
Отметим следующее свойство поля которое будет
использовано в примере О § 35:
п ил
i G Т s 6 S
и
s /\»
где П и U обозначают теоретико-множественные
пересечения и объединения соответственно. Действительно,
функция f принадлежит U At s тогда и только тогда,
s € S ’
когда она принимает значение t. Таким образом, если
/6 П U Л. то f должна отображать S на все мно-
t G Т seS
жество Г; однако такие функции не принадлежат
пространству X.
Л) Для каждого бесконечного регулярногог)
кардинального числа пт существует полная булева алгебра Щ,
которая является (щ', п)-дистрибутивной для каждого
кардинального числа тп' < ш и каждого кардинального
числа п, но не является m-дистрибутивной*  2).
Пусть # =* (— 1, 1) и Т0 = т. Тогда X = НТ° есть
множество всех x = {xt}tzT0, где xt = ±\. Так же, как и на
стр. 71, пусть Dt обозначает множество всех таких х,
что xt=\. Рассмотрим множество X как топологическое
пространство, в котором базисом открытых множеств
служит класс всех пересечений вида
f)et Dty где е, = ±1, ТаТ0У Т<ш.
te т
Это нульмерное топологическое пространство X
обладает следующими свойствами3): (а) пересечение менее
чем пт регулярных открытых множеств является
регулярным множеством; (б) объединение менее чем щ нигде не
плотных множеств является нигде не плотным. Таким
образом, пересечение менее чем пт плотных открытых
множеств является плотным открытым множеством.
г) Кардинальное число ш называется регулярным, если его нельзя
представить в виде суммы менее чем ш кардинальных чисел, каждое
из которых меньше чем ш.
2) Скотт [1].
8) Сикорский [12].

§ 20. ш-полные булевы алгебры
117
Полная булева алгебра 31 всех регулярных открытых
множеств в пространстве X обладает требуемыми
свойствами. Действительно, предположим, что \At )S}te т, s<=s —
такое (m', ^-индексированное множество элементов
алгебры 31 (m' < ш), что
5==V Для каждого t£T.
ses ’
Пусть знаки U и П без индексов обозначают
теоретико-множественные операции. Для каждого t£T
объединение U At s является плотным открытым множест-
seS ’
вом. Поскольку ш' < Ш, то пересечение
n U 4t|, = U n AtlVin
teTseS ф sSTi^T
является плотным открытым множеством. Имеет место
включение
П ^лф(ос П?1^лф(о»
te Т i€ Т
поскольку множество в левой части является
регулярным открытым множеством. Таким образом,
и"
ф €ST
П?1 AtM*)— V.
teT
Согласно условию (d2) теоремы 19.2 и соотношению (2Г),
это доказывает (пт', п)-дистрибутивность алгебры 81. С
другой стороны, полагая AtjS = s-Dt для любого s£S = H
и t£T = T0, мы получаем неравенство
v = п* и
t€ Т seS
Ф и%
ф esT
П^1 At, ф(о — Л>
tZT
которое доказывает, что алгебра 31 не является т-дис-
трибутивной.
Говорят, что булева алгебра 31 удовлетворяет
т-ценно му условию, если каждое множество непересекающихся
элементов в алгебре 31 имеет мощность, меньшую или
равную ш.

118
Г л. II. Бесконечные объединения и пересечения
Пример. М) Из топологии известно, что каждый
класс непересекающихся открытых подмножеств канто-
рова дисконтинуума £Dn не более чем счетен1). Отсюда
вытекает (см. § 14), что каждая свободная булева алгебра
и, значит, любая ее подалгебра удовлетворяет а-цепному
условию. В частности, каждая булева алгебра,
обладающая свойством (а') из § 15, удовлетворяет а-цепному
условию.
Очень полезным на практике является следующий
простой критерий полноты булевой алгебры.
20.5. 	Каждая т-полная булева алгебра 81,
удовлетворяющая т-цепному условию, является полной булевой
алгеброй 2).
Действительно, объединение любого индексированного
множества непересекающихся элементов существует. Таким
образом, согласно теореме 20.1, алгебра 81 является полной.
Пример. Н) Говорят, что вещественная функция т,
определенная на булевой алгебре 81, является т-мерой
(или т-аддитивной мерой), если
(5) 0 ^ т (А) ^оо для всех А £ 21;
существует такой элемент Л0, что т(А0) <оо;
(6) m(U At)= ym(At)
t б T iTr
для каждого m-индексированного множества {А^цт
непересекающихся элементов алгебры 81, для которых
существует объединение U At.
t € Г
Безусловно, бесконечную сумму ^ в равенстве (6)
нужно понимать следующим образом: если т(Л*) = 0 для
всех t, за исключением конечной или счетной
последовательности tn£T (t^t - при 1ф]) и 2 m (Atn) = с <°о, то
п
(At) = с\ в остальных случаях ^т(Л*) = оо. Если
х) Это следует из более общей теоремы о сепарабельности
декартовых произведений (точнее, о свойстве типа сепарабельности, см.
теорему 3. — Прим. перев.). См. Марчевский [9].
2) Тарский [3].

§ 20. т-полные булевы алгебры
119
St является m-алгеброй, то условие „для которых
существует объединение U А“ в этом определении излишне.
Очевидно, что каждая ш-мера является мерой в смысле
определения примера В § 3. Следовательно, она обладает
свойствами (3), (4), (5) § 3.
Если т является ш-мерой на булевой тп-алгебре 31, то
для каждого m-индексированного множества {At}ur
элементов алгебры 31.
Действительно, достаточно рассмотреть случай, когда Т
есть множество всех порядковых чисел мощности,
меньшей ш. Пусть Bt определено по формуле (1). Тогда
поскольку все элементы Bt не пересекаются, a Bta Av
Заметим, что неравенство (7) справедливо также, если m
является a-мерой на произвольной булевой алгебре, а
Т если только U At существует. Доказательство
остается без изменения.
Случай a-мер является наиболее важным х).
Говорят, что a-мера m является a-конечной на булевой
алгебре 31, если единичный элемент V является
объединением счетной последовательности {Ап} элементов конечной
меры. Мы можем также предположить, что элементы Ап
не пересекаются. Каждая конечная мера, безусловно,
является cr-'конечной. Лебегова мера является примером
a-конечной, но не конечной а-меры.
Говорят, что мера m на булевой алгебре 31 является
строго положительной, если т (А) > 0 для всех А Ф Д
Из теоремы 20.5 немедленно вытекает, что каждая
булева а-алгебра, обладающая конечной (или а-аддитивной  11) 	Грубо говоря, о-меры на булевых алгебрах обладают теми же
свойствами, что и о-меры на полях множеств. Мы часто будем
использовать этот факт без указаний на него. Относительно подробностей
см., например, Ауман [3].
(7)
т
(Аещ.

120
Г л. II. Бесконечные объединения и пересечения
и а-конечной) строго положительной мерой, является
полной, поскольку она удовлетворяет а-цепному условию.
Заметим, что существование строго положительной
a-конечной а-меры т на алгебре §1 влечет за собой
существование строго положительной конечной меры на ней, ибо
если {Л„[ — последовательность таких непересекающихся
элементов, что 0<т(Ап) <оо и U Ап= V, тоформула
определяет строго положительную конечную a-меру т'
на алгебре 31.
§ 21. m-идеалы и m-фильтры. Факторалгебры
Говорят, что идеал А m-полной булевой алгебры
является ш-полным идеалом или ш-^дшжш,_если
(а) из того, что At£A для всех t£Ty T^m,
вытекает, что U At£A.
Из теоремы 20.2 легко следует, что идеал А является
Ш-полным, если объединение любого ш-индексированного
множества непересекающихся элементов из идеала А
принадлежит идеалу А.
По двойственности говорят, что фильтр V Ш-полной
булевой алгебры 31 является ш-полным фильтром или
просто ш-фильтроМу если _
(а') из того, что At£y для всех t£T, Т^ш,
вытекает, что п At£ V-
Примеры. А)^ласс А всех таких подмножеств А
множества X, что А ^ ш, является m-идеалом булевой
алгебры всех подмножеств множества X. Множество V
всех множеств вида X — Л, где А ^ш, является т-фильт-
ром этой булевой алгебры.
Б) Пусть Sf — полная булева алгебра. Идеал (фильтр)
алгебры 31 тогда и только тогда является m-полным для
каждого ш, когда он является главным идеалом (фильт¬
00

§ 21. т-идеалы и т-фильтры. Факторалгебры 121
ром). В этом случае он порождается объединением
(пересечением) всех своих элементов.
21.1. 	Если А является т-идеалом (если V является
т-фильтром) ш-полной булевой алгебры 31, то алгебра 31/А
{соответственно St/V) будет т-полной булевой алгеброй,
а для каждого т-индексированного множества At£%{t £ Т)
имеют место равенства
(1) ии,] = [ил,] и п П Аг].
ter t<=T teT teT
Достаточно доказать равенство (1) для алгебры Э£/А.
Пусть А = U At. Тогда Ах — А = Д G А. С другой сто-
teT
роны, если — любой элемент, такой, что At—Л0 £ А
для каждого / £7\ то А — = U (At — A0) £ Д. Поскольку
tZT
выполнены условия (JJ), (JJ) из § 18, то имеет место
первое из равенств (1). Доказательство второго вполне
аналогично.
Заметим, что равенства (1) не имеют, вообще говоря,
места, если Т* > ш. Противоречащий пример можно легко
получить из примера Д § 18, заменив идеал всех
конечных подмножеств на идеал всех подмножеств, мощность
которых не превосходит ш.
Следующий важный пример показывает, что иногда
степень полноты алгебры 31/А может быть выше, чем
степень полноты алгебры 31 и идеала А1).
Примеры. В) Пусть 31 есть a-поле всех борелевских
подмножеств (или всех подмножеств, обладающих
свойством Бэра) топологического пространства X, а А — а-идеал
всех множеств А£ 31 первой категории. Согласно теореме
21.1, 	алгебра31' = 3t/A является ст-полной булевой алгеброй.
Мы же докажем, что ЗГ является полной булевой
алгеброй 2).
г) Мы рассматриваем здесь (примеры В, Г, Д) только
простейший случай увеличения степени полноты факторалгебр. Другие
интересные теоремы подобного сорта см. в работе Смита и Тарского [1].
2) 	Этот результат получен Биркгофом и Уламом. См. Биркгоф [1],
а также фон Нейман [2].

122
Г л. //. Бесконечные об7>единения и пересечения
Действительно, каждое множество А £ 31
представляется в виде
A = {G—A1)uA2y
где G — открытое множество, а А1У Л2£Д. Следовательно,
[i4] = [G], т. е. каждый элемент алгебры ЭГ
представляется в виде [G], где G — открытое множество в
пространстве X.
Пусть Aft = [Gi] (Gt открыты) — некоторое
индексированное множество элементов алгебры 31'. Пусть G
—теоретико-множественное объединение всех множеств Gp и
пусть A' = [G]. Тогда элемент А' является объединением
всех A't в алгебре 31'. Это следует из условий (J£), (J£)
§ 18. В самом деле, Gt — G= Д£Д Для каждого t.
Пусть теперь Gt—Л0£Д для всех t(A0£W). Множества
Gt—А0 являются множествами первой категории и
открыты в индуцированной топологии объединения
G — Л0, поскольку Gt— A0 = (G — A0)[)Gt. Согласно
известной топологической теореме1), объединение G — A0
тоже является множеством первой категории, т. е. G —
— Л0 С А.
Заметим, что мы доказали уже и коммутативность (и
для несчетных множеств Т тоже)
(1') U [Gt] = Г U G/1,
i е Т \_ieT J
но только для открытых множеств GP В общем случае
эта несчетная коммутативность не сохраняется для
произвольных множеств из алгебры 31 (например, для
одноточечных подмножеств при условии, что X плотно в себе).
Переходя к дополнениям, мы получаем также следующий
закон коммутативности (несчетной) для замкнутых
множеств Ft:
(Г) n[^] = [nFt].
t € Т t$T
Отметим, что в случае когда X имеет счетную базу
открытых множеств, полнота алгебры 31/Д может быть получена  22) Банах [3]. См также Куратовский [3], стр. 87.

§ 21. щ-идеалы и т-фильтры. Факторалгебры
123
из теоремы 20.5, поскольку булева а-алгебра 31/Д
удовлетворяет а-цепному условию.
Эта алгебра 31/Д часто называется алгеброй борелевских
подмножеств пространства X по модулю множеств первой
категории.
Г) Предположим, что т есть ш-мера на булевой
m-алгебре. Из неравенства (7) § 20 немедленно следует,
что множество всех элементов, мера т которых равна
нулю, является ш-идеалом.
В частности, если т есть a-мера на булевой а-алгебре
31, то множество Д всех элементов меры т, равной нулю,
является a-идеалом. По теореме 21.1 алгебра 31/Д
является булевой а-алгеброй. Однако если a-мера т конечна
(шш, более общим образом, a-конечна), то 31/Д является
полной булевой алгеброй1).
Это немедленно следует из примера Н § 20, поскольку
формула
т ([Л]д) = т (А) для Л £31.
определяет на алгебре 31/Д строго положительную а-меру,
и т' является конечной (а-конечной) мерой, если таковой
является т.
Если 31 является a-полем подмножеств (пространствах),
измеримых по отношению к a-мере т, то алгебру 31/Д
часто называют алгеброй измеримых подмножеств прост-
ранства X по модулю множеств меры нуль.
Д) Результат, полученный в примере Г, можно усилить
следующим образом: если т — любая конечная мера на
a-полной булевой алгебре 3I и Д — идеал, состоящий из
элементов, m-мера которых равна нулю, то 31/Д является
полной булевой алгеброй2).
Это мгновенно вытекает из приведенной далее теоремы
21.3, 	которой мы предпошлем следующую лемму.
21.2. 	Пусть 31—булева т-алгебра> Д — идеал в алгебре 31
и {At}tsT — любое т-индексированное множество непересе-
кающихся элементов в алгебре 31/Д. Если идеал Д является
А) Веккен [1]. См. также Биркгоф [3].
2) Смит и Тарский [1].

124
Г л. II. Бесконечные объединения и пересечения
т'-полным для каждого бесконечного кардинального числа
ш'< ш и объединение
(2) А = U9l/M*
teT
существует, то объединение
1Р/Л At
ter
тоже существует для каждого Т' а Т1).
Удобно считать, что Т есть множество всех
порядковых чисел мощности меньше ш. Пусть At = [Bt\ и А = [В]
для некоторых элементов Вь В £91. Элементы
Ct = {Bt— и Дг)ПД€Я
v<t
не пересекаются, и [Ct] = At.
Положим С = U%Ct. По определению
teT'
[С] а Л, At а [С] для всех t£T\
[С]Г)А t= А Для всех /£Г — Т'.
Тогда [С] = 1Р,/Л At. Действительно, предположим, что
ter
это равенство не выполняется, т. е. существует такой
элемент Пф д (D£91/Д), что
Da [С] и Ata[C] — D для всех/£Г'.
Значит, Аха А—Оф А для каждого /£7\ что
противоречит равенству (2).
21.3. 	Если 91 — булева m-алгебра, Д— идеал, который
является т'-полным для всех бесконечных кардинальных
чисел т' < ш, и алгебра 91/Д удовлетворяет т-цепному
условию, то алгебра 91/Д является полной2).
Пусть {At\te г — любое индексированное множество
непересекающихся ненулевых элементов алгебры 91/Д.
Множество {At)t 6 г можно расширить до максимального
индексированного множества {At)te т непересекающихся
^ Смит и Тарский [1].
а) Смит и Тарский [1].

§ 21. Xft-идеалы и ъ\-филыпры. Факторалгебры
125
ненулевых элементов в алгебре 31/Д. В силу
максимальности имеем равенство U At = V. Поскольку алгебра 31/Д
te Т =
удовлетворяет ш-депному условию, то Т ш. По
теореме 21.2 объединение U At существует. Комбинируя по-
ter
следний результат с теоремой 20.1, мы получаем, что
ЗХ/Д — полная алгебра.
Примеры. Е) Пусть 31 есть a-поле всех борелевских
множеств вещественных чисел, Д0 — идеал всех множеств
лебеговой меры нуль, а Дх — идеал всех множеств
А £ 31 первой категории. Полные булевы алгебры
Sl0.= Щ/Л0 и SCi = SC/Дх не изоморфны1).
В самом деле, на алгебре Э10 существует ненулевая
a-конечная мера т, а именно мера, индуцированная
естественным образом лебеговой мерой \х:
(3) m ([Л]) = \i (А) для Л б ЭХ.
С другой стороны, на алгебре каждая а-конечная
a-мера тождественно равна нулю. Действительно, каждая
а-конечная a-мера m на Slj однозначно определяет а-ко-
нечную а-меру р, на 31 [см. (3)], причем эта мера р,
равняется нулю на всех множествах А £ Д^ Согласно одной
из теорем теории меры2), множество X всех вещественных
чисел является объединением двух таких непересекающих-
ся борелевских множеств А0 и Л1? что мера р, на А0
равна нулю, а Л^Дг. Следовательно,
m ([^]^i) “ m ([^oIaJ /п([А1]^) = р^(Л0) + ш{ Д) = 0.
Это доказывает, что мера пг тождественно равна нулю
[см. свойства (1) и (4) из § З]3).
Так как существование a-конечной ненулевой а-меры
на булевой а-алгебре является инвариантным относительно
г) Это замечание сделали Биркгоф и Улам. См. Биркгоф [3].
2) См., например, Марчевский [1] или Марчевский и Сикорский [2].
3) Относительно другого доказательства того факта, что на не
существует никакой a-меры, см. Хорн и Тарский [1]. Отсутствие
хотя бы одной строго положительной a-меры на и неизоморфность
алгебр 210 и 5Ki вытекает также из примеров В и Г § 29.

126
Г л. II. Бесконечные объединения и пересечения
изоморфизмов, то мы получаем, что алгебры 810 и 81х не
изоморфны.
Ж) Пусть теперь 81— поле всех множеств
вещественных чисел, Д0 является a-идеалом всех множеств А £ 81
лебеговой меры нуль, а Дх— о-идеалом всех множеств
А первой категории. Из гипотезы континуума 2*° = Нг
вытекает, что булевы cr-алгебры 81/Д0 и St/Aj изоморфны.
В самом деле, каждое множество первой категории
является подмножеством Р0-множества*) первой
категории. Класс всех Р0-множеств первой категории имеет
мощность 2**°, поэтому, согласно гипотезе континуума,
этот класс можно представить в виде трансфинитной
последовательности {В^<й, где Q —наименьшее
несчетное порядковое число. С помощью этой
последовательности мы определим по индукции такую трансфинитную
последовательность {Л^<й непересекающихся несчетных
множеств первой категории, что
(4) 	для каждого множества А £ Дх существует такое
порядковое число t' < £2, что А с U At.
t < v
Именно, пусть А0 — произвольное несчетное множество в
Д2. Предположим, что множества А? определены для всех
t' < t. Поскольку объединение U Аг является множеством
va
первой категории, то его дополнение содержит несчетное
множество Ct первой категории. Положим At = Ct[)(Bt —
- U Av).
va
Используя вб-множества * 2) меры нуль вместо F0-mho-
жеств первой категории, мы определим такую
трансфинитную последовательность \A't}tcQ непересекающихся
несчетных множеств меры нуль, что
(б) для каждого множества Л € До существует такое
порядковое число V < Q, что Лей А\.
ta'
г) Говорят, что подмножество топологического пространства
является F0-множеством, если оно является объединением
последовательности замкнутых множеств.
2) Говорят, что подмножество топологического пространства
является G5-множеством, если оно является пересечением
последовательности открытых множеств.

§ 21. т-идеалы и т-фильтры. Факторалгебры
127
Из условий (4) и (5) следует, что
U At= U A'f = X
tCQ t<Q
(где X есть множество всех вещественных чисел).
Из гипотезы континуума следует, что множества At
и А\ имеют одинаковую мощность. Поэтому существует
такое взаимно однозначное отображение ср множества X
на себя, что
ф (At) = A't для каждого t < £2.
Отсюда, учитывая условия (4) и (5), следует, что
Л£Д1 тогда и только тогда, когда ср (Л) бДо1)* Значит,
отсюда вытекает, что формула
h (H]ai) = [ф(4)]д0 для любого Л б 21
определяет изоморфизм h алгебры Ш/Аг на алгебру 9Л/Д0.
Следующая теорема будет использована в примере 3.
21.4. 	Пусть $ — поле всех подмножеств пространства X,
и пусть Д — идеал (поля $), содержащий все
одноточечные подмножества пространства X. Предположим, что
существуют два т-индексированных множества {At)t$T
и {Bt\teT, таких, что
(6) At П Af — Д при t=£tf и At — Bt£A (t, t’ £ Г),
(7) для каждого В£Д существует такое t£T, 4moBdBi.
Тогда алгебра $/Д не является т-полной2).
А именно, в алгебре $/Д не существует объединения
U [At], поскольку, если для некоторого А £ $
t € Т
[/4t]c[y4] при всех t£T,
то существует такое С £ что
[С]а[А]ф[С] и [Л,]с[С] для всех t£T.
х) Существование отображения ф с указанными свойствами
доказано Серпинским [2, 6]. См. также Марчевский [11], Окстоби и Улам [1].
2) Сикорский [10].

128
Г л. II. Бесконечные объединения и пересечения
Действительно, так как At — Bt(fcА и At — A£ Д, то
множества
Ct = (At-Bt)-(At-A)
непусты. Они попарно не пересекаются, поскольку
являются подмножествами непересекающихся множеств At.
Возьмем по одной точке xt из каждого множества Ct.
Пусть В — множество всех точек xt(t£T) и С^-А — В.
Так как At — Ca(At — Л)и(**)£Л, то имеют место
включения [At]a[C]c:[A]. С другой стороны, В = А—С(£А
в силу условия (7). В самом деле, В не содержится ни
в одном из множеств Ви так как xt£B и xt(fcBt. Это
доказывает, что [С]Ф[А].
Примеры. 3) Пусть 9(, Д0 и \ имеют тот же смысл,
что и в примере Ж. Булевы сг-алгебры 31/Д0 и 31/ДХ не
являются 2^о-ПОЛНЫМИ.
Это следует немедленно из теоремы 21.4. и того факта,
что множество всех вещественных чисел является
объединением 2**° непересекающихся неизмеримых множеств
(или 2**° непересекающихся множеств, не обладающих
свойством Бэра). Существование такого разбиения
вытекает, например, из следующей общей
теоретико-множественной леммы (в случае когда т = 2*Ч а 2 — класс всех
борелевских множеств вещественных чисел мощности 2**°).
Если Х = т, 2 — такой класс подмножеств
пространства X, что 2 = ш и В=^т для каждого В £2, то
существует такой класс й непересекающихся множеств
пространства X, что й = пт, Af)B^=m для любых А£$
и В £ 2, а пространство X является объединением всех
множеств А б^1).
Действительно, пусть Т — множество всех порядковых
чисел мощности меньше пх, {хг}цт — трансфинитная
последовательность, образованная всеми точками
пространства X, a {Bt}t£T — такая трансфинитная последователь-
х) Эта лемма является обобщением рассуждений в доказательстве
теоремы Бернштейна о существовании вполне несовершенных
множеств. См., например, Куратовский [3], стр. 524.

§ 21. т-идеалы и т-фильтры. Фчкторалгебры
129
ность, образованная всеми множествами из класса У,
что каждое множество встречается в последователь¬
ности {Bt)teT ш раз. Теперь мы определим точки xtl, t2 € X,
где t1^t2(tli t2£T), при помощи трансфинитной
индукции. Допустим, что точки
(8) X' /, где или t2 </2, или t2 = t2 и t'x <tv
11’ f2
уже определены. Тогда хti,t2 будет первой точкой в
трансфинитной последовательности {х,\,еТ, которая
принадлежит Blt и отлична от всех точек типа (8). Пусть At —
множество всех точек xt, г- (/</'£ Г). Тогда класс й
всех множеств А, обладает требуемыми свойствами.
И) Пусть £у — поле всех подмножеств несчетного
пространства X. Не решена проблема, существует ли
неглавный a-идеал А, такой, что алгебра $/А полна1).
21.5. 	Пусть А есть m-идеал т-дистрибутивной
2т-полной булевой алгебры 91. Тогда алгебра 51/ А является
т-дистрибутивной тогда и только тогда, когда А 2т-полно2).
Пусть {Аи т, ses — любое m-индексированное мно¬
жество элементов алгебры 91/А. Тогда = [#*,$] для
некоторых 5(>^£91. Из m-дистрибутивности алгебры 91
вытекает равенство
п ив,
teTseS
,= и п ви
Ф е 5 1 t е т
® it)•
Если А — 2ш-полный идеал, то, согласно теореме 21.1,
операция [ ] коммутирует с вышеупомянутыми
операциями объединения и пересечения. Это доказывает, что
аналогичное тождество имеет место и для Att s, т. е.
81/Д является щ-дистрибутивной алгеброй.
Для доказательства второй части теоремы 21.5
допустим, что 7\ S —множества мощности ш. Удобно
представить 2ш-индексированное множество в виде {В9}ф€5г.
Допустим, что m-идеал А не является 2ш-идеалом.
Тогда существует такое индексированное множество
1) См. Сикорский [10].
2) Пирс [3]. Часть этой теоремы независимо доказана Смитом
и Тарским [1]. См. также Сикорский [21].

130
Гл. II. Бесконечные объединения и пересечения
{SJtpes7 непересекающихся элементов из идеала Д, что
объединение
не принадлежит идеалу Д. Для любых t£T и s^S
через AtyS обозначим объединение всех элементов Вг для
которых ф (^) = s. Поскольку элементы В^ не
пересекаются, то
= П Af сс (/)»
t€T
так как элемент в правой части равенства содержится
в А, содержит и не пересекается со всеми Вф' при
ср' =£ср. Таким образом,
А= Ur
ф € ST
П А% о ш — П U At
teT teT seS
так как 81 является m-дистрибутивной алгеброй. Значит,
П и [At 3) = [А]Ф а,
te т seS
поскольку Л(£Д. С другой стороны,
ф€
иг пI [^>?«)]= и [В,] =
eS1 teT ф eS7
Л,
поскольку Ву£А для каждого ф£5г. Это доказывает,
что алгебра 31/Д не является т-дистрибутивной.
Мы определили понятие m-идеалов и т-фильтров
только для случая булевых т-алгебр 81. Если отказаться
от требования m-полноты алгебры 81, то определение
столкнется с затруднением, поскольку имеются три
различных обобщения.
(D) Говорят, что идеал Д (фильтр у) алгебры 81
является m-идеалом (ш-фильтром), если для каждого щ-ин-
дексированного множества {At}teT элементов идеала Д
(фильтра у) существует такой элемент А£ Д (А £ у), что
AtaA (AczAt) для всех t£T.
(D') Говорят, что идеал Д (фильтр у) алгебры 81
является m-идеалом (т-фильтром), если для каждого т-ин-

§ 21. xw-идеалы и т-фильтры. Факторалгебры
131
дексированного множества {At)teT элементов идеала Д
(фильтра у) из существования объединения ил At (пере-
te Т
сечения ff At) следует, что оно принадлежит Д
teT
(фильтру у).
(D") Говорят, что идеал Д (фильтр у) является т-иде-
алом (ш-фильтром) алгебры 31, если для каждого т-индек-
сированного множества {At)t^T элементов из Д (из у)
объединение 1ГЛ At (пересечение ffl At) существует и при-
te т teT
надлежит идеалу Д (фильтру у).
К сожалению, эти определения не эквивалентны. Для
некоторых задач наиболее удобным является
определение (D), для других — определение (D') и т. д.
Например, определение (D') наиболее удобно для проблемы
представления, рассматриваемой в § 24 (см. стр. 159),
а определение (D) наиболее удобно для другой проблемы
представления, рассматриваемой в § 29.
В этой книге мы почти всюду будем рассматривать
щ-идеалы и m-фильтры только в булевых т-алгебрах.
В этом случае все определения (D), (D'), (D") совпадают
с определением, приведенным в начале § 21. В том
случае, когда мы не будем требовать m-полноты
рассматриваемой алгебры, мы будем точно указывать, какое именно
определение мы имеем в виду.
Мы охарактеризуем m-идеалы и m-фильтры через
свойства соответствующих открытых и замкнутых
подмножеств пространства Стоуна (см. стр. 46). Для этого мы
должны ввести следующие определения.
Говорят, что открытое (замкнутое) подмножество В
топологического пространства имеет нижний (верхний)
характер т, если для каждого т-индексированного
множества {5Jter открыто-замкнутых подмножеств из
включения BtaB для всех t£T следует, что В содержит
замыкание объединения множеств Bt (из включения BaBt
для всех t£T следует, что В содержится во
внутренности пересечения всех множеств Bt).
В следующей теореме подразумевается определение (D).
21.6. 	Идеал Д (фильтр у) булевой алгебры 31 является
Ш-идеалом (т-фильтром) тогда и только тогда, когда он

132
Г л. II. Бесконечные объединения и пересечения
соответствует открытому (замкнутому) множеству,
нижний (верхний) характер которого равен щ.
Легкое доказательство оставлено читателю.
Пример. К) Если 31 — булева алгебра всех
открыто-замкнутых подмножеств пространства X всех
порядковых чисел, не превосходящих Q (где Q — первое
несчетное порядковое число) с обычной порядковой
топологией, то нигде не плотное одноточечное множество (Q)
имеет верхний характер Плотное открытое множество
X — (Q) имеет нижний характер К0.
22. m-гомоморфизмы. Связь с пространствами Стоуна
Пусть h — гомоморфизм булевой алгебры 81 в булеву
алгебру ЗГ.
Предположим, что
(1) А = IT At
te т
и существует объединение
(2) 11*7i(At).
t € Т
Тогда имеет место включение
(3) h(A)z.) 1ГЛ' h(At),
ter
поскольку равенство (1) означает, что Л, с: Л и,
следовательно, h (At)dh(A) для каждого t£T. Мы скажем,
что гомоморфизм h алгебры 31 в алгебру VI' сохраняет
объединение (1), если существует объединение (2) и
(4) h(A) = U* h (At).
te 7
Предположим теперь, что
(П А = П21 Аь
te. т
и существует пересечение
(2') (?h(At).
teT

§ 22. ш-гомоморфизмы. Связь с пространствами Стоуна 133
Тогда имеет место включение
(3') А(Л)сп*'А(Л,),
/6 т
поскольку AaAt и, значит, h(A)ah(At) для каждого
t£T. Мы будем говорить, что гомоморфизм h алгебры 31
в {' сохраняет пересечение (Г), если существует
пересечение (2') и
(4') h(A) = nwh(At).
te Т
Пусть ш — фиксированное кардинальное число.
Говорят, что гомоморфизм h является m-полным
гомоморфизмом (или престо m-гомоморфизмом) алгебры £1 в алгебру $1',
если он сохраняет все сбъединения (1) для Т^щ. Из
законов Моргана [см. (3) § 19] следует, что h является
щ-гомоморфизмом тогда и только тогда, когда он
сохраняет все пересечения (Г) для ш. Говорят, что
гомоморфизм h является полным гомоморфизмом алгебры 81
в алгебру 81', если он является m-гомоморфизмом
алгебры 81 в алгебру 81' для каждого бесконечного
кардинального числа т.
Аналогичную терминологию примем и для
изоморфизмов.
Если существует m-гомоморфизм алгебры 81 на
алгебру 81', то говорят, что алгебра 81' является т-гомо-
морфным образом алгебры 81.
Заметим, что гомоморфизм h алгебры 81 в алгебру 81'
является m-гомоморфизмом тогда и только тогда, когда
(а) из равенства П'1 Л (где А, £81, Т^щ)
слеге Т
дует, что nrA (At) = Д.
teT
Необходимость условия (а) очевидна. Чтобы доказать
достаточность, предположим, что имеет место
равенство (1). Тогда гУ1(А — At) = А и, согласно условию (а)^
teT
Пw (h(A) — h(At))=/\. Отсюда вытекает равенство (4),
t 6 т
поскольку At с А и, значит, h(At) с: h{A) для каждого
t£T.

134
Г л. II. Бесконечные объединения и пересечения
Наиболее часто мы будем пользоваться понятием
ш-гомоморфизма и m-изоморфизма, когда алгебры 81 и
81' являются ш-полными булевыми алгебрами. Заметим
в этом случае, что если А является ш-гомоморфизмом, то
множество /Г1 (Д) (т. е. множество всех таких Л£ 8(,
что А(Л)=Д) будет m-идеалом алгебры 81, а множество
А"1 (V) (т. е. множество всех таких Л £81, что A(A) = V)
является ш-фильтром алгебры 81.
В следующей теореме подразумевается определение
ш-фильтра в смысле (D').
22.1. 	Пусть X—множество ш-полных максимальных
фильтров булевой алгебры 81. Для каждого Л £ 81 через h(A)
обозначим множество всех фильтров V € X, для которых
A£V- Тогда А является т-гомоморфизмом алгебры 81 в
поле всех подмножеств пространства X.
Если 81 есть т-полная булева алгебра, то класс %
всех множеств А (Л), где Л £81, является приведенным
т-полем подмножеств пространства X.
Если для каждого Аф/\(А£ Щ существует такой
фильтр V6X, что A£V, то А является изоморфизмом
алгебры 81 на поле %.
Согласно теореме 8.1, достаточно доказать, что если
имеет место равенство (Г), то А (Л) является
теоретикомножественным пересечением множеств A (At) (t £ 7\
Г<ш).
Если V принадлежит этому пересечению, то V£h(At)
для каждого / £ Г, т. е. At £ V для всех t £ Т. Поскольку V
является щ-фильтром, то Л£У, т. е. у.СА(Л). Это
доказывает, что n h(At) a h(A). Обратное включение тоже
ter
справедливо [см. (3')].
Примеры. А) Как следует из равенства (6) § 18,
каждый изоморфизм алгебры 81 на алгебру 81' является
полным. Это замечание не имеет места, если слово „на“
заменить на „в“. Например, если $8 — поле (подмножеств
множества X неотрицательных целых чисел),
определенное в примере А § 18, то тождественный изоморфизм

§ 22. щ-гомоморфизмы. Связь с пространствами Стоуна 135
алгебры 33 в поле 33' всех подмножеств пространства X
не является a-полным изоморфизмом алгебры 93 в поле 33',
поскольку счетное объединение в алгебре 93 не совпадает
с теоретико-множественным объединением.
С другой стороны, если h— изоморфизм булевой
алгебры 31 в булеву алгебру 31', то из равенства (4)
всегда вытекает равенство (1) [из равенства (4') всегда
вытекает равенство (Г)]. Это утверждение может быть
непосредственно получено из определения бесконечных
объединений и пересечений или его можно получить
следующим образом. Если имеет место равенство (4), то,
согласно равенству (5) § 18, имеем также А(А) =
= \Jhm h(At). Поскольку А является изоморфизмом ал-
/€ Т
гебры 31 на алгебру А (91), то последнее равенство
эквивалентно (1). Доказательство для пересечения получаем
по двойственности.
Б) Пусть 31 —булева алгебра, и для каждого Л £91
пусть А (Л) —класс всех атомов, содержащихся в Л.
Тогда А является полным гомоморфизмом алгебры 91
в поле всех подмножеств множества X всех атомов
алгебры 91.
Это немедленно вытекает из теоремы 22.1, поскольку
каждый атом можно отождествить с максимальным
главным фильтром, а каждый главный фильтр является
ш-полным для каждого бесконечного кардинального
числа пт.
Заметим, что если алгебра 31 является m-полной, то
по теореме 22.1 А (31) является щ-полем подмножеств
пространства X. Если 31 —полная булева алгебра, то
А (31) является полным полем (подмножеств
пространства X), содержащим все одноточечные множества (образы
атомов!), и таким образом является полем всех
подмножеств пространства X.
В) Из законов дистрибутивности (9) § 19 следует,
что гомоморфизм А, определенный формулой
h(A) = А п Е для любого Л €31,
является полным гомоморфизмом алгебры 31 на факторал-
гебру 51|£ (см. пример А § 10).

136
Гл. II. Бесконечные объединения и пересечения
Г) Пусть 51 и 5Г— две булевы m-алгебры, Г <лп и
U At = Va. А, П^(,= А'л ДЛЯ
пт
и A't = Vv, Atx П 4=Лг для t^t2.
tz т
Если ht является ш-гомоморфизмом алгебры 91 | Л* в (на)
Л'\ А\ для каждого / g Г, то формула
h(A)= U ht(A П Л*) (А £91)
t <= Т
определяет m-гомоморфизм алгебры Л в (на) алгебру 9Г.
Если каждый гомоморфизм ht является изоморфизмом,
то h тоже является изоморфизмом.
Д) Полная булева алгебра Л изоморфна прямому
объединению полных булевых алгебр {91*}/<=г тогда и
только тогда, когда существуют такие непересекающиеся
элементы Л* £91 (t £Г), что
U At= V,
t G Т
а 911 Л* изоморфна алгебре 91* для каждого t£T.
А именно, если ht — изоморфизм алгебры 911 At на 91*,
то формула
h (А) — \ht (А П Л*)}*<= т
определяет изоморфизм h алгебры 91 на прямое
объединение алгебр {91*}/€ г-
Предыдущее замечание справедливо также, если все
алгебры 91, 91* ш-полны, а Т ^ щ.
Е) Из равенств (1) § 21 следует, что если Д является
ш-полным идеалом (если V является ш-полным фильтром)
некоторой ш-полной булевой алгебры 91, то естественный
гомоморфизм h(A) = [A] является щ-полным
гомоморфизмом алгебры 91 на алгебру 91/Д (на 91/V).
Ж) Пусть 9lj — булева алгебра всех регулярных
замкнутых подмножеств топологического пространства X
(см. пример Б § 1 и пример В § 20). Пусть 91 —поле
всех борелевских подмножеств пространства X, а Д —
идеал всех множеств Л£9( первой категории (см. при¬

§ 22. щ-гомоморфизмы. Связь с пространствами Стоуна 137
мер В § 21). Знакомый с топологией читатель легко
может проверить, что отображение
(5) h(A) = [A]д для Л 6Sli
является полным гомоморфизмом полной булевой
алгебры 2^ на полную булеву алгебру 21/Д. Если в
пространстве X нет открытых непустых подмножеств первой
категории, то h является изоморфизмом1).
Аналогично если 212 — булева алгебра всех регулярных
открытых подмножеств пространства X, то
отображение (5) (в котором 212 заменена на 212) является полным
гомоморфизмом полной булевой алгебры 212 на полную
булеву алгебру 21/Д.
3) Если 2Ц— подалгебра алгебры 21' и h является
ш-гомоморфизмом булевой алгебры 21 в алгебру 21', а
h (21) является подмножеством алгебры 21о, то h является
также m-гомоморфизмом алгебры 21 в 2Г0. Это следует
из (5) § 18.
И) Пусть h0 — изоморфизм булевой алгебры 21 на
поле всех открыто-замкнутых подмножеств
пространства Стоуна X алгебры 21.
Если существует некоторое существенно бесконечное
объединение (1) в алгебре 21, причем Г^ш, то h0 не
является m-изоморфизмом алгебры 21 в поле 21' всех
подмножеств пространства X. В самом деле, тогда не
выполняется равенство (4). Действительно, предположим,
что равенство (4) справедливо, т. е. замкнутое множество
h0(A) является объединением открытых множеств h0(At).
Поскольку X — компактное пространство, то должна
существовать такая конечная последовательность tly ...,
...,tn£T, что h0(A) = h0(Au)U ... \Jh0(AtJ. Поскольку
h0 — изоморфизм, то получаем равенство А = Atx U • • • U Atn,
что противоречит предположению о том, что
объединение (1) существенно бесконечно.
Конечно, справедливым является тот факт, что h0
есть ш-изоморфизм алгебры 21 на (см. пример А), но
не алгебры 21 в алгебру 21'. Поэтому всегда нужно отме-
х) См. Биркгоф [2], стр. 250.

138
Г л. II. Бесконечные объединения и пересечения
чать булеву алгебру 2Г в выражении вида „й является
m-гомоморфизмом (m-изоморфизмом) алгебры 81 в
алгебру 21'“.
Говорят, что подмножество S топологического
пространства X является т-замкнутым (т-открытым), если
оно является пересечением (объединением) не более чем m
открыто-замкнутых подмножеств. Очевидно, что т-замк-
нутое (m-открытое) множество является замкнутым
(открытым).
Мы напомним, что для любого подмножества S
топологического пространства символом CS и IS обозначают
соответственно замыкание и внутренность множества S.
Мы завершим замечание из примера И следующей
теоремой.
22.2. 	Пусть й0— изоморфизм булевой алгебры 21 на
поле всех открыто-замкнутых подмножеств
пространства Стоуна X алгебры 21.
Для любых элементов Л, At алгебры 21 равенство
(6) А = U At (Г<щ)
i е Т
справедливо тогда и только тогда, когда
(7) h0(A) = C U h0(At),
te т
m. е. когда m-замкнутое множество
(8) 5 = Ло(Л)— U h0(At)
te т
нигде не плотно и й0 {At)czh0 (А) для любого t£T.
Аналогичным образом равенство
(6') Л - П At (?<ш)
te т
справедливо тогда и только тогда, когда
(7') h0(A) = l(\J h0(At)),
te Т
m. е. когда m-замкнутое множество
(8') S = f\ h0(At) й0 (Л)
te т
нигде не плотно и h0 (Л)с:й0 (At) для каждого t£T.

§ 22. \\\-гомоморфизмы. Связь с пространствами Стоуна 139
В формулах (7), (8), (7'), (8') знаки U и f|
обозначают соответственно теоретико-множественные
объединение и пересечение.
Множество (8) m-замкнуто, так как оно является
пересечением открыто-замкнутых множеств h0 (Л) и
К ( At)> t 6 Т.
Пусть *S0 = /г0 (Л) — CU /г0 (Лt). По определению S0
te т
открыто и
s0 = IS,
где S определяется формулой (8).
Если имеет место равенство (6), то AtaA и, значит,
hQ (At)dh0 (Л) для каждого t£T. Таким образом,
\j^h0{At)c:h0{A) и
CU h0(At)aCh0(A) = h0(A).
/€ т
Открытое множество S0 пусто, ибо если это не так, то
найдется такой элемент Л0£31, что А0Ф Д и
h(A0)c:S. Тогда h(A0)ah(A) и h(A0)[)h(At) = д.
Следовательно, Л0(=Л и Л0Г)Л, = Д, т. е. AtczA — А0Ф А
для каждого что противоречит равенству (6).
Если имеет место равенство (7), то h0(At)czh0(A)
для каждого t С Т и IS = S0 = Д, т. е. S нигде не плотно.
Если hQ (At)dh0 (А) для каждого t£T, то Л*сЛ для
каждого t£T. Если в дополнение S еще и нигде не
плотно, то имеет место равенство (6). Действительно,
если это не так, то найдется такой элемент Вс:Л, Вф А,
что AtczB для каждого t£T. Положим Л0~Л —В.
Поскольку А0Ф Д и Af П Л0 = Д для каждого t£T, то
непустое открытое множество й0(Л0) является
подмножеством множества S, т. е. S нигде не плотно.
Первая часть теоремы 22.2 доказана. Вторая часть
следует из первой путем перехода к дополнениям.
Если равенство (6) имеет место, то множество (8)
называется дефектным множеством, соответствующим
объединению (6). Аналогично если имеет место
равенство (6'), то множество (8') называется дефектным
множеством, соответствующим пересечению (6'). Согласно
теореме 22.2, дефектные множества всегда нигде не плотны.
Из теоремы 22.2 непосредственно вытекает, что

140
Г л. //. Бесконечные объединения и пересечения
22.3. Объединение (J®At существует тогда и только
te т
тогда, когда замкнутое множество
В = С и h0(At)
te т
открыто. В этом случае hol(B)= UM#.
te т
Пересечение f|л Аг существует тогда и только тогда,
te т
когда открытое множество
B' = ir\h0(At)
te Т
замкнуто. В этом случае 1 (В') = П'1 At.
t е т
Следующая теорема мгновенно вытекает из теоремы
22.3.
22.4. Булева алгебра 31 является т-полной тогда и
только тогда, когда в пространстве Стоуна алгебры 31
замыкание каждого т-открытого множества является от-
крытым множеством или, что эквивалентно, когда
внутренность каждого т-замкнутого множества является
замкнутым множеством.
Алгебра 31 является полной алгеброй тогда и только
тогда, когда ее пространство Стоуна экстремально
несвязно.
Мы напомним, что вполне несвязное топологическое
пространство называется экстремально несвязным, если
замыкание каждого открытого множества открыто или,
что эквивалентно (путем перехода к дополнениям), если
внутренность каждого замкнутого множества замкнута 1).
Чтобы сформулировать очередную теорему, удобно
ввести следующее определение.
Говорят, что подмножество А топологического
пространства X является т-нигде не плотным, если оно
является нигде не плотным ш-замкнутым множеством. Вся-
2) Детальный обзор свойств экстремально несвязных пространств
см. у Гилмана и Джерисона [1].

§ 22. m-гомоморфизмы. Связь с пространствами Стоуна 141
кое объединение не более чем ш множеств, ш-нигде не
плотных в пространстве X, называется множеством ш-
категории.
Легко видеть, что любое непрерывное отображение ф
топологического пространства X' в другое
топологическое пространство X обладает следующим свойством:
Если А является ш-замкнутым подмножеством
пространства X, то ф-1 (А) будет ш-замкнутым подмножеством
пространства X'.
Говорят, чтэ отображение ф пространства X' в
пространство X является пт-непрерывным, если оно
непрерывно и обладает следующим свойством:
Если А — m-нигде не плотное подмножество
пространства X, то ф-1 (Л) является щ-нигде не плотным
подмножеством пространства X'.
Конечно, для того чтобы доказать, что непрерывное
отображение ф является щ-непрерывным, достаточно
показать, что ф_1(Л) нигде не плотно для любого
m-замкнутого нигде не плотного множества А.
Допустим теперь, что h — гомоморфизм булевой
алгебры ЗЛ в булеву алгебру ЗГ. Пусть X и X'—
пространства Стоуна алгебр 31 и ЗГ соответственно, a hQ и h'0 —
изоморфизмы соответственно алгебры 31 на поле всех
открыто-замкнутых подмножеств пространства X и
алгебры 31' на поле $'0 всех открыто-замкнутых подмножеств
пространства X'. Гомоморфизм h определяет
естественным образом соответствующий гомоморфизм К поля
в поле а именно гомоморфизм
(9) 	К (В) = h'0 (h (ho1 (В))) для любого В
Согласно теореме 11.1 (см. также замечание на стр.
56), гомоморфизм К индуцирован некоторым
непрерывным отображением ф пространства X' в пространство X.
По определению
ц>~1 (В) =h'0hho1 (В) для каждого В£$0.
22.5. 	Для того чтобы h сохранял бесконечное
объединение (6) [бесконечное пересечение (6')], необходимо и
достаточно, чтобы прообрчз ф-1(5) соответствующего
дефектного множества S был нигде не плотным.

142
Г л. //. Бесконечные объединения и пересечения
Таким образом, h является т-гомоморфизмом тогда
и только тогда, когда ф является т-непрерывным
отображением,.
Если равенство (6) имеет место, то At <= А и, зна-
чит, h'0h(At)c:h'0h(A) для каждого t£T. По теореме 22.2
й(Л) = и*'А(Л*)
16 т
тогда и только тогда, когда множество
S' = h'0h(A)-\Jh'0h(At) =
= h’ohhz1 (h0\A)) - UAiAAj1 (й0 (Л,)) =
= Ф"1 (A0 (Л,)) - УФ-1 (Ао (Л,)) = ф"1 (S)
te т
нигде не плотно. По двойственности мы получаем
аналогичное утверждение для пересечения (6').
Вторая часть теоремы 22.5 непосредственно следует
из первой части.
Из теоремы 22.5 вытекает, что если гомоморфизм h
сохраняет объединение (6) или пересечение (6'), то
сохраняет также и много других объединений и
пересечений, а именно h сохраняет те объединения и
пересечения, чьи соответствующие дефектные множества
являются подмножествами дефектного множества объединения
(6) или пересечения (6').
Иногда нам нужно рассматривать гомоморфизмы h
алгебры St в алгебру St', которые сохраняют данное
множество бесконечных объединений и пересечений. Для
этой цели удобно ввести следующую терминологию.
Пусть J —класс непустых подмножеств алгебры 31,
такой, что для каждого S£J существует объединение
(Ю) ил,
А 6©
и пусть М — класс непустых подмножеств алгебры 31,
такой, что для каждого ©£М существует пересечение
(Ю') ПА.
Лб©

§ 22. т-гомоморфизмы. Связь с пространствами Стоуна 143
Говорят, что гомоморфизм h алгебры 21 в другую
булеву алгебру 21' является (J, Щ-гомоморфизмом, если h
сохраняет все бесконечные объединения (10) и
пересечения (10').
Заметим, что гомоморфизм h сохраняет объединение
(10) 	тогда и только тогда, когда он сохраняет
пересечение согласно формуле Моргана. Таким образом,
А 6©
сохранение некоторого класса объединений всегда
можно свести к сохранению данного класса пересечений.
Аналогично сохранение класса пересечений можно свести
к сохранению класса объединений.
Если J — класс всех таких непустых подмножеств ©
алгебры 21, что ©=^т и объединение (10) существует,
а_ М — класс всех таких подмножеств © алгебры 21, что
© <т и пересечение (10') существует, то (J, М)-гомо-
морфизмы совпадают с ш-гомоморфизмами.
Пусть 91 — класс нигде не плотных подмножеств
топологического пространства X. Говорят, что отображение
Ф топологического пространства X' в пространство
X является Ш-непрерывным, если для каждого
множество ф-1(А) нигде не плотно в
пространстве X'.
Допустим, что Ш является классом всех дефектных
множеств, соответствующих бесконечным объединениям
(10) 	и пересечениям (10'). Тогда можно следующим
образом обобщить вторую часть теоремы 22.5: h является
(J, М)-гомоморфизмом тогда и только тогда, когда
отображение ф является ^-непрерывным.
Если 91—класс нигде не плотных подмножеств
пространства Стоуна X алгебры 21, то под ^1-гомоморфизмом
мы будем понимать (J, М)-гомоморфизм, где J и М
являются соответственно классами всех непустых множеств
©£21, таких, что существует объединение (10) или
пересечение (Ю'), а дефектные множества, соответствующие
объединению (10) или пересечению (10'), принадлежат
классу 91.
Если h является изоморфизмом и (J, М)-гомоморфиз-
мом (91-гомоморфизмом), то h называется (J, М)-изомор-
физмом (91-изоморфизмом).

144
Г л. //. Бесконечные объединения и пересечения
Примеры. К) Пусть {{it\teT, £3} — булево
произведение индексированного множества {21;}* е г
невырожденных булевых алгебр (см. § 13). Для каждого t£T
изоморфизм it является полным изоморфизмом алгебры 21*
в алгебру 23.
Поскольку все булевы прсизведения алгебр {?1*}*67
изоморфны между собой, то достаточно доказать, что
булево произведение
\{ht)teT , $}>
определенное в (7) § 13, обладает указанным свойством.
Ниже мы будем пользоваться обозначениями из § 13,
Знак U без индексов обозначает
теоретико-множественное объединение.
Если А= IГ’Мм(Л, А„£21*), то дефектное множество
и 6 U
S = ht(A)— U ht (At)dXt нигде не плотно в пространстве
ие U
X,. Согласно известной топологической теореме,
множество S* = h*(A)~- U h* (Аа) нигде не плотно в декарто-
и G U
вом произведении X всех пространств X*. Поскольку X
является пространством Стоуна поля то, согласно
теореме 22.2, имеет место равенство h* (Л) = \J%h*(Att). Ана-
иеи
логично мы доказываем, что h* сохраняет бесконечные
пересечения в алгебре 21*.
Л) Булева алгебра ?( удовлетворяет m-цепному
условию тогда и только тогда, когда в ее пространстве
Стоуна X каждое нигде не плотное множество является
m-нигде не плотным.
Пусть h0 имеет то же значение, что и в теореме 22.2.
Предположим, что N является нигде не плотным
подмножеством пространства X. Пусть {At}t € т —
максимальный класс таких ненулевых непересекающихся элементов
в 21, что ни одно из множеств h0(At) не пересекает
множество N. Поскольку класс максимален, то объединение
G всех h0(At) плотно в X, т. е. его дополнение N0 = X — G
является нигде не плотным множеством. Имеем
включение NczN0. Если алгебра 21 удовлетворяет ш-цепному
условию, то Г^ши, значит, множество N0 = f\h0( — At)
te т

§ 22. ш-гомоморфизмы. Связь с пространствами Стоуна 145
является m-замкнутым. Это доказывает, что N т-нигде
не плотно.
Предположим теперь, что каждое нигде не плотное
подмножество пространства X является ш-нигде не
плотным. Мы докажем, что для каждого индексированного
множества {At\(er непересекающихся ненулевых
элементов алгебры 51 имеет место неравенство Т ^ ш.
Достаточно доказать этот факт для случая, когда {A^t^r
является максимальным классом непересекающихся элементов,
т. е. когда объединение G всех множеств h0(At) плотно
в X. Нигде не плотное множество X — G содержится
в нигде не плотном m-замкнутом множестве N. Таким
образом, существует такое m-индексированное множество
элементов алгебры 51, что объединение G0 всех
множеств h0 (Bs) (s £ S) удовлетворяет равенству
G0 = X — N czG.
Множество h0 (Bs) компактно, a h0 (At) открыто в
компактном пространстве X, так что для каждого
фиксированного индекса s существует только конечное число
индексов /, таких, что h0(At) пересекает h0(Bs). Поскольку
G0 плотно в X, то каждое множество h0(At) пересекает
не более одного множества h0 (Bs). Это доказывает, что
М) Множесгво всех предельных точек пространства
Стоуна X булевой а-алгебры 51 плотно в себе (напомним,
что точка х£Х является предельной точкой
пространства X, если х£С(Х — (л;))1).
Предположим противное, т. е. что множество А всех
предельных точек пространства X имеет изолированную
точку х0. Тогда существует такое открыто-замкнутое
множество Вс=Х, что А () В ^(х0). Пусть С—такое счетное
подмножество множества В — (х0), что В —С бесконечно.
Множество С будет а-открытым, так как оно является
суммой счетной последовательности одноточечных
открыто-замкнутых множеств (л:), х£С (точки множества С
являются изолированными). Точка х0 принадлежит
замыканиям бесконечных непересекающихся множеств С и
х) Семадени (1].

146
Г л. II. Бесконечные объединения и пересечения
В — С — (х0). Это доказывает, что замыкание С U (х0) а-от-
крытого множества С не является открытым.
Противоречие с предположением, что алгебра 31 является а-полной.
Из только что доказанного утверждения вытекает,
что ни одна бесконечная сверхатомная булева алгебра
не будет а-полной.
Говорят, что максимальный идеал Д (максимальный
фильтр V) сохраняет объединение (1), если
соответствующий двузначный естественный гомоморфизм алгебры 31
на алгебру 31/Д (на 31/V) сохраняет объединение (1), т. е.
выполняется следующее условие:
если Л*£Д (если At(£y) для каждого / £ Г,
то Л£Д (то Л£\7).
Говорят, что максимальный идеал Д (максимальный
фильтр V) сохраняет пересечение (Г), если
соответствующий двузначный естественный гомоморфизм алгебры 31
на алгебру 31/Д (на 3J/V) сохраняет пересечение (Г), т. е.
выполняется следующее условие:
если At(fcA (если At£y) для каждого t £ Г,
то А^А (то Л £ V).
Каждую точку пространства Стоуна X булевой
алгебры 31 можно интерпретировать как максимальный фильтр
или максимальный идеал (см. § 8). Согласно этой
интерпретации, теорему 22.2 можно сформулировать
следующим образом: множество всех максимальных фильтров
(максимальных идеалов), которые не сохраняют данное
бесконечное объединение (6) или пересечение (6'),
является ш-замкнутым и нигде не плотным в пространстве
Стоуна алгебры 31. В самом деле, множество S в
указанной интерпретации есть множество всех максимальных
фильтров (максимальных идеалов), которые не сохраняют
объединение (6), а множество S' является множеством всех
максимальных фильтров (максимальных идеалов),
которые не сохраняют пересечение (6') [см. (8) и (8')].
Пример. Н) Будем рассматривать (как и выше) точки
пространства Стоуна X булевой алгебры 31 как максималь¬

§ 22. ш-гомоморфизмы. Связь с пространствами Стоуна 147
ные фильтры в алгебре 8Т Теоретико-множественное
дополнение объединения всех m-нигде не плотных
подмножеств пространства X является множеством всех
максимальных m-фильтров алгебры 81 (здесь
подразумевается определение m-фильтров в смысле (D') см. стр. 130).
Действительно, максимальный фильтр V не является
m-полным тогда и только тогда, когда он не сохраняет
бесконечное объединение (1) при пт, т. е. если он
принадлежит множеству S вида (8).
Заметим, что если 81 является булевой ш-алгеброй,
то при естественных взаимно однозначных соответствиях
между максимальными идеалами, максимальными
фильтрами, двузначными гомоморфизмами и двузначными
мерами (§ 6) максимальные m-идеалы, максимальные т-филь-
тры, двузначные ш-гомоморфизмы и двузначные т-меры
переходят друг в друга.
Мы закончим этот параграф следующей теоремой.
22.6. 	Пусть$1 — булева а-алгебра, Alf А2£% и Агс:А2.
Если алгебра 81 изоморфна алгебре 81\ А1У то она изоморфна
также и алгебре 8t | ^42 г).
Пусть h — изоморфизм алгебры 81 на факторалгебру
ЩА1%
Вг =— А2 и Bn = h(Bn_1) для я = 2, 3,
и пусть
в0=- и в„.
1 < П <С СО
Таким образом,
(И)
v = b0u и вп
1 < П < 00
По определению В0ОВп = /\ при п =1,2 ... . Более
того, В1[)Вт+1=Д для т=1,2, ..., поскольку
Bm+1c:Aic:—B1. Следовательно, В2 П Bm+2=h(B1 П Вт+1)=*
г) Сикорский [1] и Тарский [8]. Требование, чтобы 81 была
о-полной алгеброй, существенно. См. Киносита [1], Ханф [1].
Теоретико-множественное значение этой теоремы объяснено на стр. 311.

148
Г л. II. Бесконечные объединения и пересечения
= Д. По индукции Вп0Вп+т= Д. Таким образом, все
элементы
(12) В0, В1# В2> ...
не пересекаются. Утверждения (11) и (12) означают, что
(13) £0U U Вя = V»Me = i4a = — В,.
2 </2 С оо
Пусть /?0 - тождественный изоморфизм алгебры Ш. | В0 на
себя. Отображения hn = h \ (311 Вп) являются
изоморфизмами алгебры 311 Вп на 31|Ви+1, п — 1, 2, .... Согласно
примеру Г (где ЗГ = 31|Л2) и утверждениям (11), (12) и
(13), формула
h’(A)= U hn{A{\ Вп) = (Л П В0) [\h(A — Вй){А С 3()
О </2 <С оо
определяет изоморфизм алгебры 31 на алгебру 311 Л2.
§ 23. ш-подалгебры
Пусть 35—подалгебра булевой алгебры 31 и ш —
некоторое бесконечное кардинальное число.
Говорят, что подалгебра 35 является т-подалгеброй
алгебры 31 (или m-полной подалгеброй алгебры 3(), если
для каждого m-индексированного множества Ах £ 23, t £ Г,
объединение \J* At принадлежит алгебре 33, если только
t е т
оно существует. Согласно равенству (5) § 18, это
объединение тогда является также объединением всех
элементов At в алгебре 35:
(1) им,= и* л.
ter ter
Из законов Моргана [см. (3) § 19] следует, что 35 есть
щ-подалгебра алгебры 3( тогда4 и только тогда, когда
для каждого m-индексированного множества At£ 35, t С Г,
пересечение At принадлежит алгебре 35, если только
t е Т
оно существует. Тогда по формуле (5') § 18 это
пересечение является также пересечением всех Ах в алгебре 35  1(1) П n«At.
tel teT

§ 23. т-подалгебры
149
Ясно, что если 31 является m-алгеброй, то слова
„если только оно существуем в предыдущих
определениях и условиях можно опустить.
Если 33 является m-подалгеброй алгебры 31 для
каждого кардинального числа т, то 35 называется полной
подалгеброй алгебры 3(.
Заметим, что каждая ш-подалгебра 33 булевой ш-ал-
гебры 31 тоже является булевой m-алгеброй. Каждая
полная подалгебра полной булевой алгебры тоже
является полней булевой алгеброй.
Примеры. А) Если ft есть m-гомоморфизм булевой
ш-алгебры 31 в булеву алгебру 31', то класс ft (31) всех
элементов ft (Л), А £ 31, является m-подалгеброй алгебры31'
и булевой ш-алгеброй.
Б) Поле % подмножеств пространства X является
щ-полем тогда и только тогда, когда оно является ш-под-
алгеброй поля всех подмножеств пространства X.
В) Говорят, что индексированное множество \At\ter
элементов булевой алгебры 81 является монотонным, если
для любых индексов tlt t2£T или At2aAu, или АиаАи
(т. е. если множество всех Af линейно упорядочено
относительно булева включения с).
Если 33 —такая подалгебра алгебры 31, что Г)ш Bt£$8
ter
для каждого монотонного m-индексированного множества
элементов алгебры 33, то 33 является т-подалгеб-
рой алгебры 31. Более того, если ft —такой гомоморфизм
алгебры 33 в булеву ш-алгебру (£, что h( П91^Л =
V ter )
= П®h(Bt) для каждого монотонного ш-индексирован-
teT
ного множества {Bt\teT элементов алгебры 35, то он
является m-гомоморфизмом алгебры 35 в алгебру (£.
Для доказательства первой.части утверждения
достаточно показать, что если {At}tzT — любое ш-индексиро-
ванное множество элементов алгебры 35, то ГУ1^€35-
teT
Можно считать, что Т есть множество всех порядковых
чисел, меньших порядкового числа /0, мощность которого
не превосходит ш. Допустим, что па^*<£^5 для
порядке*!

150
Г л. II. Бесконечные объединения и пересечения
нового числа о1). Пусть ^ — наименьшее
порядковое число с этим свойством. Таким образом, для каждого
t < tx элемент Bt = П9‘лежит в алгебре 35. Поскольку
t'Ct
является монотонным m-индексированным
множеством, мы имеем включение G 93* С другой сто-
tdi
роны, прямо из определения бесконечных пересечений
следует, что ff[ At = П'1 Bt £ 31. Противоречие.
t<tt tdi
Доказательство второй части утверждения аналогично.
Заметим, что по двойственности утверждение остается
в силе, если бесконечные пересечения заменить на
бесконечные объединения.
Говорят, что подалгебра 35 булевой алгебры 31
является m-регулярной подалгеброй, если для каждого т-ин-
дексированного множества Л, £33, /£7\ объединение
U® Л, (если только оно существует) является также
teT
объединением всех элементов At в алгебре 31, т. е. имеет
место равенство (1). Согласно законам Моргана [см. (3)
§ 19], подалгебра 35 алгебры 31 является ш-регулярной
подалгеброй алгебры 31 тогда и только тогда, когда для
каждого щ-индексированного множества Л* £35, / £ 7\
существование пересечения Г\ъ At влечет за собой суще-
teT
ствование пересечения fl'1 Л* и имеет место равенство
t£T
(Г). Следующее условие тоже является необходимым и
достаточным для того, чтобы подалгебра 35 была пт-регу-
лярной подалгеброй алгебры 31;
(2) 	для каждого т-индексированного множества
Л*£35 (/£Т), из того, что П33At= Д, следует
ит
равенство At= Д.
te т
Необходимость очевидна. Достаточность вытекает из того
факта, что если ЛсЛ, для каждого /£Г (Л £35, Л^ £ 35),
х) Автор, по-видимому, предполагает, что алгебра Щ является
Ш-алгеброй.— Прим, перев.

§ 23. ш-под алгебры
151
то равенство A — f|33 эквивалентно равенству
t е т
(At — A) = а равенство А= Пл At эквивалентно
16 т ter
соотношению П* (At-A) = A-
t 6 Т
Если подалгебра 35 алгебры 31 является т-регулярной
для каждого бесконечного кардинального числа т, то 35
называется регулярной подалгеброй алгебры 31.
Прямо из определения следует, что подалгебра 35
алгебры 91 является ее m-регулярной (регулярной)
подалгеброй тогда и только тогда, когда тождественное
отображение алгебры 35 в алгебру 31
h(A) = A для любого Л £35
является m-полным (полным) гомоморфизмом алгебры 35
в алгебру 91.
Более общим образом, если h — изоморфизм алтебры 31
в алгебру ЗГ, то алгебра h (31) является т-регулярной
подалгеброй алгебры ЗГ тогда и только тогда, когда h
является m-изоморфизмом St в 31'.
Каждая т-подалгебра 35 булевой т-алгебры 31
является m-регулярной подалгеброй алгебры 31.
Если К есть m-регулярная (регулярная) подалгебра
алгебры 35, а 35 является m-регулярной (регулярной)
подалгеброй алгебры 31, то (£ будет также т-регулярной
(регулярной) подалгеброй алгебры ЗГ
Напомним (см. стр. 62), что множество © элементов
булевой алгебры 31 называется плотным в алгебре 31,
если для каждого элемента Л £31, Л^Д, существует
такой элемент В£©, что /\ФВсА.
Если © плотно в алгебре 31, то множества ©U(A) и
© — (А) тоже плотны в алгебре 31.
Множество ©, содержащее д> плотно в алгебре v4
тогда и только тогда, когда каждый элемент А £31
является объединением всех таких В£©, что В а А (или, что
эквивалентно, если каждый элемент А £ 31 является
пересечением всех элементов —В, где В£© и A с—В).
Действительно, предположим, что элемент Аг £ 31
обладает тем свойством, что ВаА1 для каждого такого В £©,
что BdА. Разность А — А1 должна быть нулевым
элементом, ибо если это не так, то он содержит некоторый

152
Г л. //. Бесконечные объединения и пересечения
ненулевой элемент В0 £ © и этот элемент должен быть
подэлементом Л, но не лежать в Av Однако равенство
Л — Аг= А означает, что АаАъ а это доказывает, что Л
является объединением всех элементов В£©, которые
лежат в Л. Доказательство аналогичного утверждения
для пересечений можно получить, переходя к дополнениям.
23.1. 	Если 93 — плотная подалгебра булевой алгебры 81,
то 93 является регулярной подалгеброй алгебры 81, а
каждый элемент Л £ 81 является объединением (пересечением)
всех таких элементов В £93, что В а А (Л с: В)1).
Достаточно доказать только первую часть теоремы 23.1.
Предположим, что U33 At = В £ 93 (At £ 93 для каждого
teT
t£T). Пусть Л £ 81 — любой элемент, такой, что AtaA
для каждого t£ Т. Если элемент В —Л не равен нулю,
то он содержит ненулевой элемент В0 £ 93. Следовательно,
имеет место включение AtaB — В0£33 для каждого t£T
и В — В0аВ=^В — В0, а это противоречит тому факту,
что В является объединением всех At в алгебре 33.
Таким образом, если Л*с:Л£81 для каждого t С 7\ то
В — Л = Д, т. е. ВсЛ. Это доказывает, что В является
также объединением всех Л* в алгебре 81. Итак, 93 есть
регулярная подалгебра алгебры 81.
23.2. 	Если 93' —плотная подалгебра алгебры 93 , 93 —
подалгебра булевой алгебры 81 и 93' — регулярная подалгебра
алгебры 81, то 93 также является регулярной подалгеброй
алгебры 812).
Достаточно доказать условие (2). Пусть Л* £33, t £ Т.
Предположим, что п*Л#=Д. По теореме 23.1 At =
teT
= П93^,*, где Л^ s £ 93'. Следовательно, ff AUs= Д,
seSf t 6 Т, s 6 St
а это означает, что П93 AUs = Д. Поскольку 95' —ре-
t с т seSt
гулярная подалгебра алгебры 81, последнее равенство
влечет за собой равенство
(3)
п91
t£T, s£St
= д.
А) Сикорский [13].
2 Сикорский [13].

§ 23. т-подалггбры
153
Допустим, что и AaAt для всех / £ 7\ Тогда
AdAt, s для каждого t £ Т и каждого s£St.
Следовательно, согласно (3), А = /\. Это доказывает, чтоП*^=Л-
/€ т
Примеры. Г) Пусть © — открытый базис
топологического пространства X, т. е. такой класс открытых
множеств, что каждое открытое множество является
объединением множеств из класса ©. Пусть ^ — такое поле
подмножеств пространства X, что @ является
подмножеством поля ^ и каждое множество А С $ обладает
свойством Бэра. Пусть Д — идеал всех множеств А первой
категории в пространстве X. Тогда класс всех элементов
[G], где G£@, является плотным подмножеством фактор-
алгебры ^/Д.
В самом деле, если то
4-(G0UB1)-B2,
где G0 — открытое множество, а Вх и В2 — множества
первой категории. Если [Д]д=^д, то G0 не. будет
множеством первой категории. Множество G0 будет
объединением некоторых множеств, принадлежащих ©, и по
крайней мере одно из них, скажем G, не является
множеством первой категории (так как всякое объединение
открытых множеств первой категории снова является
множеством первой категории1)). Мы имеем включение
Л=^[С]дс=Л, которое завершает доказательство.
Д) По аналогии с топологическими пространствами
говорят, что булева алгебра является сепарабельной2), если
она содержит не более чем счетное плотное подмножество
Например, все счетные булевы алгебры являются
сепарабельными. Поле % всех подмножеств множества X
всех положительных целых чисел является примером
несчетной сепарабельной булевой алгебры. Эта алгебра
атомна. Существуют также несчетные полные безатомные
сепарабельные булевы алгебры. Алгебра 93/Д, где 93
—поле всех борелевских множеств вещественных чисел,
1) Банах [3]. См. также Куратовский [3], стр. 87.
2) Исследование сепарабельных булевых алгебр см. у Хорна и
Тарского [1].

154
Г л. II. Бесконечные объединения и пересечения
а Д —идеал всех множеств первой категории, является
примером алгебры такого сорта (в качестве © нужно
взять все элементы [Л], где Л —любой интервал с
рациональными концевыми точками!).
Любая сепарабельная булева алгебра 81 изоморфна
подалгебре поля g^1). Действительно, предположим, что
ненулевые элементы Лх, Л2, ... образуют плотное
подмножество алгебры 81. Для каждого п существует такой
максимальный фильтр v„, что Ап £ v„ (см. 6.1).
Отображение й, задаваемое формулой
^ (^) = { п> А £ V„ }>
является требуемым изоморфизмом алгебры 81 в поле $
(см. 8.1).
Обратное утверждение не верно: поле $ содержит
несепарабельные подалгебры2). В самом деле, поле $
содержит подалгебру, изоморфную свободной булевой
алгебре ^0,2^о, которая не является сепарабельной
[см. пример Е § 14]. С другой стороны, булева алгебра
изоморфна подалгебре поля $ тогда и только тогда,
когда ее пространство Стоуна является непрерывным
образом пространства Стоуна поля g, т. е. компактифика-
ции Чеха — Стоуна Р (X) дискретного пространства X
[см. пример Е § 8]. Знакомый с компактификацией Чеха —
Стоуна читатель может легко проверить, что булева
алгебра изоморфна подалгебре поля $ тогда и только
тогда, когда ее пространство Стоуна содержит счетное
плотное множество. Таким образом, пространство Стоуна
алгебры 83/А (определенной выше) борелевских множеств
по модулю множеств первой категории содержит счетное
плотное множество. Можно доказать, что пространство
Стоуна алгебры борелевских множеств (вещественных
чисел) по модулю множеств лебеговой меры нуль не
содержит никакого счетного плотного подмножества3),
поскольку эта алгебра не сепарабельна (см. замечание
в конце примера Д § 35).
*) Хорн и Тарский [1].
2) Хорн и Тарский [1], Тарский [6].
8) Семадени [2, 3].

§ 23. ш-подалгебры
155
Е) Если ©— плотное подмножество булевой алгебры
91, удовлетворяющей п-цепному условию, то каждый
элемент алгебры 91 является объединением п-индексиро-
ванного множества {At}t^T непересекающихся элементов
из 3. В самом деле, пусть
{At)t^T—максимальное множество непересекающихся элементов AtaAy
At £ ©. Тогда А = U Аь поскольку подмножество
t е т
© являемся плотным, a {At}t^r — максимальное
множество, и Т^лх, так как 91 удовлетворяет n-цепному
условию.
Говорят, что подмножество © булевой алгебры 91
ха-по рождает m-подалгебру 33 алгебры 91, если 58
является наименьшей m-подалгеброй алгебры 91,'
содержащей © в качестве подмножества. Элементы множества ©
называются тогда т-образующими алгебры 58.
Таким образом, множество © ш-порождает алгебру 91
(т. е. © является множеством nt-образующих алгебры 91)
тогда и только тогда, когда наименьшая m-подалгебра,
содержащая множество ©, совпадает со всей алгеброй 91.
Заметим, что если множество © мощности, не
превосходящей п, пх-порсждает булеву алгебру 91, то
(4) 9Г<пш.
Предположим, что © ш-порождает ш-подалгебру 58
алгебры 9(. Тогда, если hx и h2—два ш-гомоморфизма
алгебры 33 в булеву ш-алгебру 9Г и hl(A)=h2(A) для
каждого А £ ©, то
(5) hx(A) =h2{A) для каждого А £ 58,
поскольку класс всех элементов Л £91, на которых hx и
h2 имеют одинаковые значения, является ш-подалгеброй
алгебры 91 и поэтому содержит 58. Следовательно, если
отображение / множества © в алгебру 91' можно
продолжить до m-гомоморфизма h алгебры 58 в алгебру 91',
то такое продолжение единственно.
23.3. 	Пусть /— взаимно однозначное отображение
множества ©, т-порождающего булеву алгебру 91, на
множество ©', хп-порождающее булеву алгебру 91'. Если f

156
Г л. II. Бесконечные объединения и пересечения
можно продолжить до т-гомоморфизма алгебры 94 в
алгебру 94', a можно продолжить до т-гомоморфизма
алгебры 94' в алгебру 91, то f можно продолжить до
изоморфизма алгебры 91 на алгебру 9Г.
Доказательство этой леммы подобно доказательству
аналогичной леммы 12.1.
23.4. 	Пусть 910 — подалгебра булевой т-алгебры 94.
Если множество Si элементов алгебры 94 удовлетворяет
следующим условиям:
(а) 94о является подмножеством множества Я,
(б) и П*lAt€Si для каждого монотонного
ter tzT
т-индексированного множества {At)teT элементов
множества Я,
то множество S\ содержит т-подалгебру 93,
m-порожденную алгеброй 940 [другими словами, 93 является наименьшим
классом Я, удовлетворяющим условиям (а) и (б)].
Если, кроме того, h — отображение множества к в
булеву т-алгебру 94', такое, что
(а') К |940 является гомоморфизмом алгебры 940 в
алгебру 94',
(б') h (U51 At) = \jr['h (At) и h (n?l Af) = f\'l'h (At) для каж-
teT ter ter ter
дого монотонного т-индексированного множества {At)t^T
элементов множества Я,
то й|93 является т-гомоморфизмом алгебры 93 в 94'.
Пусть Я0 —наименьший класс, удовлетворяющий
условиям (а) и (б). Для каждого элемента В £91 через Я (В)
обозначим класс всех таких А £ 94, что одновременно
имеют место условия
(6) АиВеК А-В£к0 и В-Л^Я0,
(6') h(A[}B)=h(A)[}h(B), h(A —B) = h(A) — h(B),
h(B-A) = h(B)-h(A).
Из симметричности условий (6) и (6') мгновенно следует,
что
(7) А £Я(В) тогда и только тогда, когда В£Я(Л).

§ 23. т-подалгебры
157
Для каждого фиксированного В £91 класс (В)
удовлетворяет условию (б). Если В£ 910, то условие (а)
тоже выполняется. Следовательно, Я0(=А\(В), т. е.
если В£910 и Л£Я0, то Л£Я(В).
Согласно свойству (7), отсюда вытекает следующее
утверждение:
если В£910 и Л£Я0, то В£Я(Л).
Значит, если Л£Я0, то класс Я = Я(Л) удовлетворяет
условию (а). Поскольку условие (б) также выполнено,
то Я0<= Я (А). Следовательно, если Л, В £ Я0, то В £ Я (А\
т. е. условия (6) и (6') выполняются для произвольных
элементов А, В£Я0. Это означает, что Я0 является
подалгеброй алгебры 81, a h | Я0 — гомоморфизмом. Согласно (б),
(б') и примеру В, Я0 будет щ-подалгеброй алгебры 91 и
й|Я0 является m-гомоморфизмом, Следовательно, 93с:Я0.
С другой стороны, Я0с=93, поскольку класс Я'= 93
удовлетворяет условиям (а) и (б). Это доказывает, что
Чтобы ограничиться доказательством только первой
части теоремы 23.4, достаточно везде в приведенном выше
доказательстве опустить условие (6').
Говорят, что подмножество © булевой алгебры 91
вполне порождает полную подалгебру 93 алгебры 91,
если 93 является наименьшей полной подалгеброй
алгебры 91, содержащей © в качестве подмножества.
Элементы множества © в этом случае называются
полными образующими алгебры 93.
Таким образом, множество © вполне порождает
алгебру 91 (т. е. © является множеством полных
образующих алгебры £[) тогда и только тогда, когда
наименьшая полная подалгебра, содержащая множество ©,
совпадает со всей алгеброй 91. Например, каждое плотное
подмножество алгебры 91 вполне ее порождает (см.
замечание перед теоремой 23.1).
!) Это доказательство теоремы 23.4 является небольшим
изменением доказательства подобной теоремы у Халмоша [1], стр. 32.

158
Г л. II. Бесконечные объединения и пересечения
§ 24. Представления с помощью m-полей множеств
В § 8 мы доказали, что каждая булева алгебра 31
изоморфна некоторому полю множеств Если 31 — булева
m-алгебра, то поле $ также является ш-алгеброй, но,
вообще говоря, не является m-полем множеств (см.
пример В § 18). Более того, мы можем показать, что ДЛ5*
каждого бесконечного кардинального числа ш существуют
булевы ш-алгебры, которые не изоморфны никакому
щ-полю множеств1).
Пример. А) Каждое m-поле множеств является
ш-дистрибутивным. Следовательно, каждая булева ш-ал-
гебра, изоморфная некоторому ш-полю, является т-ди-
стрибутивной. Если % — поле всех борелевских множеств
вещественных чисел, а Д —или идеал всех множеств
первой категории, или идеал всех множеств меры
нуль, то для каждого ш алгебра ^/Д является
ш-алгеброй (см. примеры В и Г § 21), не изоморфной
никакому ш-полю множеств, поскольку ^/Д не является
ш-дистрибутивной алгеброй (см. пример А § 19).
Аналогично если $ имеет тот же смысл, а А —идеал всех не
более чем счетных множеств, то ^/Д является примером
булевой о-алгебры, которая не изоморфна никакому
о-полю множеств, поскольку она не а-дистрибутивна.
С помощью легкого анализа доказательства теоремы
8.2 мы получаем следующую теорему2).
24.1 Пусть 31 — булева т-алгебра. Тогда следующие
условия эквивалентны:
(0) алгебра 31 изоморфна некоторому т-полю множеств;
(1) для каждого элемента Аф/\ (Л £21) существует
такой максимальный т-фильтр V, что Л£У;
(И) для каждого элемента Л=#=\/(Л£ 31) существует
такой максимальный т-идеал Д, что А £ Д;
(iii) для каждого элемента Аф/\(А£$1) существует
такая двузначная т-мера т, что т (А) = 1;
9 Этот факт впервые был замечен Тарским [3]. См. также Мар-
чевский [4], Сикорский [4].
2) Паук [2], Хорн и Тарский [1], Пирс [2], Сикорский [4],
Тарский [3].

§ 24. Представления с помощью ш-полей множеств
159
(iv) для каждого элемента Аф/\ (А £ 31) существует
такой двузначный т-гомоморфизм h алгебры ЗС что h (А) = V;
(v) в пространстве Стоуна алгебры 31 нет на одного
открытого непустого множества, являющегося
объединением m-нигде не плотных множеств.
Эквивалентность условий (i), (ii) (iii) и (iv) вытекает из
естественного взаимно однозначного соответствия между
максимальными m-фильтрами, максимальными т-идеалами,
двузначными m-гомоморфизмами и двузначными т-мерами
(см. замечание в конце § 22). Условие (i) эквивалентно
условию (v), согласно примеру Н § 22. По теореме 22.1
из условия (i) вытекает условие (о). Обратно, из (о)
вытекает условие (i). В самом деле, поскольку условие
(i) инвариантно относительно изоморфизмов, достаточно
показать, что каждое ш-поле $ (подмножеств
пространства X) обладает свойством (i). Если Л£$ непусто, то
пусть х0 — любой элемент из множества А. Фильтр V,
определенный точкой х0, удовлетворяет условию (i).
Заметим, что без требования m-полноты алгебры 31
все условия (i), (ii), (iv), (v) [в которых определение
ш-идеалов и ш-фильтров следует понимать в смысле (D'),
см. стр. 130] эквивалентны следующему утверждению:
(o') алгебра 31 изоморфна ш-регулярной подалгебре
ш-поля множеств.
Идея доказательства та же.
Говорят, что ш-поле $ подмножеств пространства X
является т-совершенным, если каждый максимальный
ш-фильтр (или, что то же самое, каждый максимальный
ш-идеал) определяется некоторой точкой х0£Х.
Пример. Б) Пусть X — множество всех
максимальных ш-фильтров булевой ш-алгебры 31 и для
каждого Л £ 31 через h(A) обозначим множество всех V£X,
таких, что Л £ V- Согласно теореме 22.1, поле
$ = /г(31) является приведенным ш-полем. Это
ш-поле $ является ш - совершенным. Точное доказательство
последнего утверждения аналогично соответствующей части
доказательства теоремы 8.2.

160
Г л. II Бесконечные объединения и пересечения
По теореме 22.1, если выполнено условие (i), то h
является изоморфизмом. Следовательно,
24.2. Если выполнено одно из условий (о), (i), (ii), (iii),
(iv), (v) теоремы 24.1, то булева \\\-алгебра 91 изоморфна
некоторому приведенному т-совершенному m-полю
множеств
В частности,
24.3. Каждое т-поле множеств изоморфно некоторому
приведенному т-совершенному т-полю множеств.
Из примера Б § 22 следует, что
24.4. Каждая атомная булева т-алгебра 91 изоморфна
некоторому т-полю множеств. Именно отображение
h (А) = множество всех атомов а а А
является полным изоморфизмом алгебры 91 в поле всех
подмножеств множества всех атомов алгебры 91.
Атомность алгебры является достаточным, но не
необходимым условием для того, чтобы булева ш-алгебра
была изоморфна некоторому ш-полю множеств. Это
следует из того факта, что для каждого бесконечного
кардинального числа m существует неатомное щ-поле множеств.
Пример. В) Пусть ^m> п обозначает наименьшее
щ-поле подмножеств_обобщенного канторова
дисконтинуума <Юп = НТ° (где Г0 = п, а Н = (— 1, 1)), содержащее
fto.n <=3m,n (см. стр. 71). Поле п является
приведенным, поскольку таковым является поле ^0,п. Каждое
множество « можно представить в виде
(1) А = ( Р Ht)xB,
teT0-T _
где В — подмножество пространства Р Ht, а Г^т. Это
tel'
следует из того факта, что класс всех множеств вида (1)
является ш-полем множеств и содержит поле $0.п,
поэтому он содержит поле «
Следовательно, каждое множество является
объединением множеств D вида
(2) D = П
I 6 т

§ 24. Представления с помощью Ш-полей множеств
161
где Г^т, е (/) = чь 1, а множества Dt определены так
же, как и на стр. 71 § 14.
Если ш^п, то каждое одноточечное подмножество
пространства @)п принадлежит полю $ш>п, поскольку его
можно представить в виде (2), положив Т = Т0.
Если а^ш<и, то поле $ш>п является безатомным,
поскольку оно не содержит никакого одноточечного
множества (каждый атом приведенного поля является
одноточечным множеством!).
Как мы уже отмечали, ш-дистрибутивность является
необходимым условием для того, чтобы булева ш-алгебра
была изоморфна некоторому ш-полю множеств. Однако
щ-дистрибутивность не является достаточным условием
(контрпример будет приведен в примере Г § 28).
Атомность является достаточным, но, вообще говоря, не
необходимым условием. Условия щ-дистрибутивности и
атомности являются как необходимыми, так и
достаточными для булевых алгебр с ш образующими. Более
точно,
24.5. 	Для любой ш-алгебры 31, ш-порожденной не
более чем ш образующими, следующие условия эквивалентны:
(i) алгебра ЗХ изоморфна некоторому т-полю множеств;
(и) 	алгебра 31 является т-дистрибутивной;
(ш) алгебра 3( является атомной.
Необходимо доказывать только импликацию (ii)—^(iii).
Если m-индексированное множество {At}t^T m-порождает
алгебру 31, то каждый элемент вида
(3) П e(*Mf>
(еТ
где в(/) = ±1, является или нулем, или атомом,
поскольку выполнено условие (3) § 9. Так как
п М* и ~А *) = V,
te Т
то из условия (d2) теоремы 19.2 следует, что каждый
элемент Аф/\ содержит по крайней мере один атом (3).
Таким образом, алгебра атомна.

162
Г л. II. Бесконечные объединения и пересечения
24.6. 	Для каждой булевой т-алгебры Ш эквивалентны
следующие условия:
(i) алгебра U является т-дистрибутивной;
(п) если @ — множество всех атомов некоторой
m-подалгебры, т-порожденной не более чем т элементами, то
U М = V;
А е© ^
(iii) каждая т-подалгебра, т-порожденная не более чем т
элементами, является атомной;
(iv) каждая т-подалгебра, т-порожденная не более
чем т элементами, изоморфна некоторому т-полю
множеств.
Доказательство импликации (i) —* (ii) такое же, как
и доказательство импликации (ii) —► (iii) в теореме 24.5.
Из условия (ii) следует (iii) в силу соотношения (5) § 18
и примера Ж § 18. По теореме 24.4 из условия (iii)
вытекает условие (iv). Из условия (iv) следует (i), так как
алгебра 31 является m-дистрибутивной тогда и только
тогда, когда каждая из ее тп-подалгебр, т-порожденная
не более чем т элементами, является т-дистрибутивной.
Предположим, что $ —приведенное т-совершенное
поле подмножеств пространства X. Мы можем ввести
в пространстве X топологию таким же образом, как и
в § 7, т. е. считая поле $ открытым базисом в
пространстве X. Тогда каждое множество является как
открытым, так и замкнутым в пространстве X, но
обратное утверждение, вообще говоря, не верно (см. пример А
§ 27), а различные m-поля подмножеств X могут
индуцировать в пространстве X одну и ту же топологию.
Поэтому эта топология в общем не имеет практической
ценности.
Полную аналогию с пространством Стоуна можно
получить только в случае, когда рассматриваемое т-поле
$ удовлетворяет следующему условию, аналогичному
условию (i) теоремы 6.1:
(еш) каждый собственный m-идеал содержится в
некотором максимальном т-идеале.
Формулировка условий, эквивалентных условию (ew)
и аналогичных условиям (ii), (iii), (iv) теоремы 6.1,
предоставляется читателю.

§ 24. Представления о помощью уа-полей множеств
163
Если приведенное ш-поле $ обладает свойством (ет),
то пространство X, топологизированное указанным выше
способом, удовлетворяет следующему условию,
являющемуся бесконечным аналогом компактности:
если X = UQfy где — открытые множества, то сущест-
t&T
вует такое подмножество Т'сТ, что*7'и X = U Gt.
t е Т'
Свойство (ет) означает также, что $ является полем
всех открыто-замкнутых подмножеств пространства X.
Доказательство последних двух утверждений
аналогично доказательству подобных утверждений втеореме?Л1).
Для того чтобы дать критерий существования
расширения собственного щ-идеала до максимального т-идеала,
мы введем следующее определение.
Пусть а —наименьшее порядковое число мощности п.
Обозначим через S (через 50) множество всех
последовательностей s = {eY}Y<p, где 0<р^а (где р = а) и
еу=±1 для каждого у. Порядковое число р называют
длиной трансфинитной последовательности s. Для любых
s, s' £ S мы пишем s' < s, если $' является собственным
начальным сегментом последовательности s. Если s £ 5 — S0,
то
s, ± 1
обозначает последовательность, полученную из з
прибавлением в конце последовательности ± 1.
Под и-диадшебкой системой мы будем понимать любое
индексированное множество {Л5}8€5 элементов булевой
алгебры 21, такое, что
А^1[) V, А_г() А1== Д,
ASf -1U ASj г = As и ASi П A$i 1 = Д
для каждого s£S — 50,
As= П As',
s' С s
если длина s £ S — предельное порядковое число.
*) Сикорский [12].

164 Г л. II. Бесконечные объединения и пересечения
Говорят, что булева алгебра 81 является диадически
п-дистрибутивной, если
V- и л,
S6 So
для каждой n-диадической системы {Л5}865 алгебры 81.
24.7. 	Пусть Д— собственный т-идеал булевой
m-алгебры 81. Предположим, что существует такое бесконечное
кардинальное число п, что 2П' ^ ш для каждого п' < it,
алгебра 81 является диадически п-дистрибутивной, a 81/Д
удовлетворяет п0-цепному условию для некоторого и0 < п.
Тогда идеал Д содержится в некотором максимальном
ш-идеале1).
Достаточо доказать, что существует такой элемент
Е (£ Д, что
(4) 	пересечение А0 = Д П (811Е) является максимальным
ш-идеалом в алгебре 811Е.
Действительно, множество всех таких А £ 81, что
Лп^бДо» является тогда максимальным ш-идеалом,
содержащим Д.
Предположим, что не существует элемента Е со
свойством (4), т. е. для каждого элемента Е(£А существует
такой элемент, обозначаемый через / (Е), что f(E)aEy
f(E) ^A и Е — / (£)(£Д. Мы продолжим отображение /
на Д, полагая /(£) — £ для любого Е£ Д.
Теперь определим п-диадическую систему следующим
образом:
^ = /(V), ^_X = -/(V),
As,i = f(As) и ASj = As — f (As) для каждого s£S — S0,
As= П AS’,
s'<s
если длина s — предельное порядковое число.
Тогда в силу диадической п-дистрибутивности
V= U As.
S 6 S0
J) Смит и Тарский [1].

§ 24. Представления с помощью m-полей множеств
165
Пусть S' обозначает множество всех таких s'£S — S0,
что AS'£ Д. Для каждого s£S0 существует такое s'£S',
что s' < s. Действительно, если это не так, то множество
всех элементов [A s> — AS’t Es,] д, где s' < s, a es' = ±:\
выбрано так, что (s', eS') < s, должно быть классом п
непересекающихся элементов в алгебре 31/Д.
Противоречие.
Поскольку AsaAs' при s' < s, то
V= U As'.
s' G S'
Так как S'cS — S0, toS'^th. Это значит, что V £Д,
т. е. Д является несобственным идеалом. Противоречие.
Пусть 31 —булева алгебра, J и М —два класса
непустых подмножеств алгебры 3(, таких, что существуют все
объединения
(5)
и пересечения
IF Л
А е@
(©€•!)
(5')
IF А
А <=©
(@6М).
Иногда важно знать, существует ли (J, М)-гомоморфизм
h алгебры 31 в поле $ всех подмножеств пространства X,
т. е. такой гомоморфизм h алгебры 3J на поле множеств,
который переводит бесконечные объединения (5) и
пересечения (5') в соответствующие теоретико-множественные
объединения и пересечения.
Легкий анализ доказательства теоремы 22.1
показывает, что
24.8. 	Если Х0 — любое множество максимальных
фильтров, сохраняющих все объединения (5) и пересечения (5')
(см. § 22 стр. 146), то отображение h, определенное
равенством
(6) h(A) = {4£X0; A£V},
является (J, Щ-гомоморфизмом алгебры 31 в поле всех
подмножеств пространства Х0.
Анализ доказательства теоремы 24.1 дает следующую
теорему.

166
Г л. 11. Бесконечные объединения и пересечения
24.9. Для существования (J, Щ-изоморфизма h
алгебры 31 в поле всех подмножеств пространства X
необходимо и достаточно, чтобы для любого элемента А Ф Д
существовал максимальный фильтр V, сохраняющий все
объединения (5) и пересечения (5') и такой, что
Конечно, необходимое и достаточное условие, данное
в теореме 24.9, не всегда выполняется (например, оно
не выполняется, если 31 является булевой а-алгеброй,
которая не изоморфна никакому a-полю множеств, a (5)
и (5') суть множества всех счетных объединений и
пересечений, существующих в алгебре 31). Однако оно всегда
выполняется, если данное множество объединений и
пересечений не более чем счетно:
24.10. Если J ^#0 и М ^ #0, то существует (J, М)-изо-
морфизм h алгебры ЗХ в поле всех подмножеств некоторого
пространства1).
В самом деле, пусть X — пространство Стоуна алгебры
31, a h0 — изоморфизм алгебры 31 на поле всех
открытозамкнутых подмножеств пространства X. Согласно
теореме 22.2, объединение Z всех дефектных множеств,
соответствующих объединениям (5) и пересечениям (5'),
является множеством первой категории в пространстве X.
С другой стороны, каждое множество первой категории
Ь компактном хаусдорфовом пространстве ограничено,
т. е. его дополнение всюду плотной). Следовательно,
множество Х0 = Х —Z плотно в пространстве X и, значит,
множество
h(A) = X0()h0(A)
непусто при Аф /\. По теореме 24.8 h является
требуемым изоморфизмом.
Согласно законам Моргана, гомоморфизм сохраняет
бесконечное объединение (5) тогда и только тогда, когда
бн сохраняет бесконечное пересечение rf—А. Таким
А <$©
г) Теорема 24.10 найдена Сикорским. См. Рдсёва и Сикорский
[11 и Расёвй [2]. Другое алГе(э£аическое AOKa3a1^bGTBO теоремы
24.10 найдено Тарским.
2) Чех [1]. См. также Сикорский [4].

§ $4. Представления с помощью m-полей множеств
167
образом, в рассматриваемой здесь проблеме о
представлении достаточно рассматривать только сохранение
некоторого множества М бесконечных пересечений. Это
замечание будет использовано ниже для упрощения
формулировок теорем.
Пусть М — такой класс непустых подмножеств булевой
алгебры 3(, что существуют все пересечения (5'). Говорят,
что алгебра 3t является М-дистрибутивной, если она
обладает следующим свойством (где # = ( — 1, 1)):
для каждого элемента В £31 и каждого индексированного
множества {Аг)цт элементов алгебры 3(, такого, что для
любой функции е £ Нт множество, образованное
элементами
принадлежит классу М. В формуле (7) и в дальнейшем
ЯП П е(0-Л, обозначает пересечение всех элементов (8)
te т
(это пересечение может существовать даже тогда, когда
пересечения п не существует).
tz т
Пусть М — любой класс непустых подмножеств
булевой алгебры 31, такой, что существуют все пересечения
(5'). Мы обозначим через М' наименьший класс непустых
подмножеств алгебры 31, такой, что
(а0)М является подклассом класса М',
(ах) все одноэлементные подмножества принадлежат
классу М',
(а2) объединение двух множеств из класса М' также
принадлежит классу М',
(а3) если ©£М', а пересечение (б') всех элементов
из © равно Д, то каждое множество ©'з© принадлежит
классу М'.
Такой наименьший класс М' всегда существует (именно,
его можно определить, как пересечение всех классов,
удовлетворяющих условиям (а0) — (а3)). Для любого
множества © £ М' пересечение п ^ существует.
(8)
В, e(t)-At (teT),

168
Г л. II. Бесконечные объединения и пересечения
24.11. 	Для того чтобы существовал изоморфизм h
алгебры 31 в поле $ всех подмножеств некоторого
множества Ху сохраняющий все бесконечные пересечения (5') из
класса М, необходимо и достаточно у чтобы алгебра 31
была Ж'-дистрибутивной1).
Для доказательства необходимости заметим сначала,
что если h сохраняет все бесконечные пересечения из М,
то h также сохраняет все бесконечные пересечения из
класса М\ Для любых элементов В, At£$l (t£T) имеет
место равенство
и*шд)п п*в(о-А(Л#п,
ееНТу tzT )
потому что все операции в правой части равенства
являются теоретико-множественными. Если все множества (8)
лежат в классе М', то
h(B) П (f e(t)-h(At) = h (В П П е(/)-ЛЛ.
ter \ teT )
Таким образом,
h(B)= U5 (h(B П П е (t)-At)),
гйНТ <*Т
что доказывает равенство (7) (см. последнее замечание
примера А § 22, стр. 135).
Для доказательства достаточности предположим, что
алгебра 31 является М'-дистрибутивной. Пусть {At)t^T —
индексированное множество, содержащее все элементы
алгебры 31. Для любой функции е£#г через ©е
обозначим множество всех элементов e(t)-At. Таким образом,
согласно формуле (7),
(9) В= U (В П П А\
е ент\ л<=@Е )
при условии, что для каждого е£#г множество,
образованное элементом В и всеми элементами из ©6,
принадлежит классу 1VT.
Для каждого г£Нт через V£ обозначим множество
всех таких элементов С £31, что
(10) Cd П А для множества ©£М', 0с=©8.
А G©
г) Брюнс [1].

§ 24. Представления с помощью ш-полей множеств
169
Из условия (а2) следует, что Ve является фильтром
алгебры 81. Из (ах) вытекает, что для каждого t£T или
At, или —At принадлежит Ve. Таким образом, фильтр
V6 или максимальный, или несобственный. Из
определения (10) (см. также стр. 146) немедленно вытекает, что
если Ve — максимальный фильтр, то V6 сохраняет все
бесконечные пересечения из класса JVT, в частности все
бесконечные пересечения из класса М [см. (а0)].
Согласно теореме 24.9, достаточно доказать, что для
каждого ненулевого элемента В £ 81 существует такая
функция е£#г, что В £ Ve, а фильтр Ve максимальный.
Предположим противное, т. е. что существует такой
элемент Вф Д, что для каждого &£НТ или Vs —
несобственный идеал, или B(£ve. Другими словами, фильтр,
порожденный элементом В и фильтром Ve, является
несобственным, т. е., согласно условию (10), существует
такое множество @£М', ©cz©e, что
В П П Л = Д.
А
В силу условий (ах) и (а2) множество, образованное
элементом В и элементами из множества ©, принадлежит
классу М'. Согласно условию (а3), множество,
образованное элементом В и всеми элементами из ©6,
принадлежит классу М'. Поскольку ВП П ^ —Л» т0 мы по-
л<=©£
лучаем из равенства (9) равенство В = Д.
Пример. Г) Допустим, что М есть класс всех
подмножеств булевой ш-алгебры 81, мощность которых не
превосходит пх. Теорема 24.11 дает тогда необходимое и
достаточное условие для того, чтобы алгебра 81 была
изоморфна некоторому ш-полю множеств.
Заметим, что в этом случае алгебра 81 является М-ди-
стрибутивной тогда и только тогда, когда она ш-дистри-
бутивна в силу теорем 19.1 и 19.2. Условие М'-дистрибу-
тивности является более сильным условием, чем ш-дистри-
бутивность.

170
Г л. II. Бесконечные объединения и пересечения
§ 25. Полные булевы алгебры
Если 3(—-полная булева алгебра, то справедливо
утверждение, обратное теореме 24.4. Более точно:
25.1. Полная булева алгебра 31 изоморфна полному
полю множеств тогда и только тогда, когда она атомна.
В этом случае алгебра 3( изоморфна полю всех
подмножеств множества всех атомов алгебры 31х).
Достаточно доказать, что если алгебра 31 изоморфна
полному полю множеств, то она атомна. Остальная часть
теоремы 25.1 следует из теоремы 24.4.
Поэтому достаточно доказать, что каждое полное поле %
подмножеств пространства X является атомным. Пусть А —
непустое множество поля $ и х0$А. Пересечение А0
всех множеств таких, что х0£В, является атомом
поля $ и А0аА.
Из теоремы 25.1 следует, что две полные атомные
булевы алгебры изоморфны тогда и только тогда, когда
мощности их множеств атомов равны (см. частный случай
в примерах Б § 8 и Г § 9 для бесконечных булевых
алгебр, являющихся частными случаями полных булевых
алгебр).
Другой критерий дается следующей теоремой.
25.2. Полная булева алгебра 31 изоморфна полному
полю множеств тогда и только тогда, когда она вполне
дистрибутивна.
Необходимость полной дистрибутивности вытекает из
того факта, что каждое полное поле множеств является
вполне дистрибутивным.
Для доказательства достаточности предположим, что
множество {At}i 6 т содержит все элементы вполне
дистрибутивной полной булевой алгебры 31. Пусть S
—множество, состоящее только из чисел —1, 1, a AtjS = s-At
для t$T и s£S. Для каждой функции cp£Sr элемент
(0 П At, ф (/)
/€ Т
2) Теорема 25.1 доказана Линденбаумом и Тарским (см. Тарский
[2]), теорема 25.2 доказана Тарским [2]. См. также Хорн и
Тарский [1].

§ 25. Полные Q у левы алгебры
171
или равен Д, или является атомом [поскольку
выполнено условие (3) §9]. Согласно дистрибутивности [см. (d2)
теоремы 19.2], каждый элемент Аф Д (А £91) содержит
некоторый атом (1). Это доказывает, что алгебра 91
является атомной.
Говорят, что булева алгебра 91 является однородной,
если для каждого А £ 91, А Ф Д, алгебра 9( | А изоморфна
алгебре 91. Мы приведем два важных примера полных
однородных алгебр.
Примеры. А) Пусть $ — поле всех борелевских
подмножеств пространства X всех вещественных чисел,
а Д —идеал всех борелевских множеств лебеговой меры
нуль. Тогда полная булева алгебра 91 = $/Д является
однородной.
Действительно, если A£g:, [А] ф Д, то существует
такое взаимно однозначное отображение ф множества А
на пространство X, что для каждого В с: А множество
Ф (В) является борелевским тогда и только тогда, когда
борелевским является множество В, и ф (В) имеет
положительную меру тогда и только тогда, когда В имеет
положительную меру х).
Следовательно, отображение ф индуцирует изоморфизм
алгебры 51 = $/Д на %а/Аа, где = $ | А, а Ал = А Г)
Согласно примеру В § 10, алгебра ^Л/ДЛ изоморфна
алгебре 911 [А]. Значит, алгебра 91 изоморфна алгебре911 [А].
Б) Пусть X —такое топологическое пространство, что
(h) каждое непустое открытое множество содержит
открытое подмножество, гомеоморфное пространству X.
Пусть $ — поле всех борелевских множеств
пространства X, а А —идеал всех борелевских множеств первой
категории. Тогда полная булева алгебра 91 = ^/Д
является однородной.
В самом деле, каждый элемент А £91 можно
представить в форме A = [G], где G — открытое множество. Если
Аф д, то G непусто и содержит открытое подмноже¬
1) См., например, Марчевский [15].

172
Г л. II. Бесконечные объединения и пересечения
ство G0, гомеоморфыое X. Поле всех борелевских
множеств топологического пространства G0 и идеал А0
всех борелевских множеств первой категории в
пространстве G0 удовлетворяют равенствам
= G0, Ао-АПЗо-
Таким образом, в силу примера В § 10 алгебра 81|Л0,
где j40 = [G0]£91, изоморфна алгебре ^оМо* С другой
стороны, гомеоморфизм G0 на X индуцирует изоморфизм
алгебры %/А на ^0/Д0. Это доказывает, что алгебра
8(|Л0 изоморфна алгебре 81. Поскольку А0аА, то по
теореме 22.6 алгебра 8( | А тоже изоморфна алгебре 81.
Примером пространства X со свойством (h) является
пространство всех вещественных чисел. Легко видеть,
что в этом случае алгебра $/А имеет мощность 2**°.
Другой важный примерг) топологического пространства
со свойством (h) —это обобщенный канторов дисконтинуум
(п^Л0), определенный на стр. 71.
Действительно, каждое непустое открытое множество Gс <£>п
является объединением множеств
(2) ErDti() ... [\zn-Dtn {ti£T0y е/ = ±1),
где обозначения заимствованы со стр. 71. Легко
проверить, что каждое множество типа (2) гомеоморфно
пространству .
Предположим, что п —бесконечное кардинальное число.
Класс всех множеств (2) имеет мощность п. Поскольку
каждый класс непересекающихся множеств вида (2)
является конечным или счетным (см. пример М § 20),
то каждое открытое множество в £Dn есть объединение
конечной или счетной последовательности множеств (2) и
нигде не плотного множества. Это значит, что число
элементов в алгебре $/А не превосходит п*°. Это значит
также, что каждый элемент алгебры $/Д можно
представить в виде
(3) [GxHT о"П,
где Т'— конечное или счетное множество, a G— открытое
подмножество канторова дисконтинуума Нг. Более того,
*) Пирс [4].

§ 25. Полные булевы алгебры J73
для каждого счетного множества ТаТ0 можно найти
такое множество GTaHT, что если G—другое открытое
множество, такое, что GaHT\ и
[GT х #г°“ г] — [G х #г°“г],
то ТаТ' (чтобы построить множество Gr, удобно
представлять Нт для счетного Т как канторово совершенное
множество вещественных чисел, определенное на стр. 48,
см. сноску на стр. 71). Это доказывает, что [GrJ Ф [GrJ
для различных счетных множеств Т19 Т2аТ0. Поскольку
класс всех счетных подмножеств множества Т0 имеет
мощность п*°, то мы получаем, что алгебра $/А содержит
не менее п*° элементов. Следовательно, алгебра $/А
имеет в точности п^о элементов.
Таким образом, для каждого бесконечного
кардинального числа и существует полная однородная булева
алгебра мощности пХо1).
Все известные примеры полных булевых алгебр
изоморфны прямым объединениям полных однородных
булевых алгебр. Не известно, всякая ли полная булева алгебра
обладает этим свойством. Ответ на этот вопрос
утвердительный, если однородность заменить на аналогичное
свойство, называемое слабой однородностью. Это следует
из теоремы 25.3.
Для любого ненулевого элемента А фиксированной
булевой алгебры 81 через card А мы будем обозначать
мощность булевой алгебры 811 А. По определению функция
card А обладает следующим свойством монотонности:
если АаВ(А, Б £81), то card А ^ card В.
Говорят, что булева алгебра 81 являетея^слабо
однородной, если card А = card V (т. е. card А = 81) для
каждого А £ 81, Аф Д.
25.3*  2). Для каждой невырожденной полной булевой
х) Пирс [4]. Ранее Гинзбург [2] доказал, что для каждого
бесконечного кардинального числа п существует однородная алгебра
мощности 2П.
2) Пирс [4], где теорема сформулирована более общим образом.
Под card А понимается любая функция со значениями в
кардинальных числах, которая обладает свойством монотонности.
Доказательство остается без изменений. См. также Пирс [9].

174
Г л. II. Бесконечные объединения и пересечения
алгебры 21 существует единственное разложение
(4) V - U At
te Т
с ненулевыми непересекающимися элементами At, а для
каждого t£T существует (вообще говоря, не единственное)
разложение
(б) At= U Аи,
s£St
с ненулевыми непересекающимися элементами AtiS, причем
все алгебры 21 слабо однородны, а
(6) card At%s = card Аг, sf тогда и только тогда, когда t = t'.
Пусть Т0 — множество всех кардинальных чисел, не
превосходящих cardV- Для каждого t£T0 положим
(7) Bt= U А
card А < /
(8) At = Bt- U Bv.
vet
Элементы At не пересекаются и обладают следующими
свойствами:
(9) если Д Ф Вс: Аь то существует такое А, что А П ВФ/\
и card A = ty
(10) если /\ФСаАь то cardC^t,
ибо неравенство t' = cavdC<t означало бы CczBt и
СП 4= А-
Единичный элемент является объединением всех
элементов At, t £ Т0> поскольку объединение всех At равно
объединению всех Bt, а последнее из множеств Bt равно V •
Пусть Г —множество всех таких t£T0, что Агф А-
Ясно, что равенство (4) имеет место.
Для каждого t£ Т через {s}s6s, обозначим
максимальное множество непересекающихся ненулевых пед-
элементов элемента At, такое, что
(11) card At. s — t.
По определению имеет место свойство (6). Мы докажем
равенство (5).

§ 25. Полные булевы алгебры
175
Допустим что равенство (5) не имеет места для
некоторого t£ Г, т. е. существует такой ненулевой элемент
BaAt, что В П = Д для каждого s£St. Пусть А —
элемент, удовлетворяющий условию (9). Согласно
условию (10), элемент С = А [)В удовлетворяет неравенству
card C^t. По монотонности card С ^ card А = t. Таким
образом, card C = t. Это противоречит максимальности
множества {Afj5}s6s,, поскольку элемент С не пересекается
со всеми AttS1 s£St.
Алгебра 811 AtiS является слабо однородной.
Действительно, предположим, что /\ФСсАиз. Тогда cardC^t
по монотонности и card t, согласно свойству (10).
Таким образом, card С = card AitS, a AttS является
единичным элементом алгебры $i\AtiS.
Осталось доказать, что разложение (7) единственно.
Предположим, что т и {Afi5}SGs,(/ £ Т) — два индек¬
сированных множества, удовлетворяющих условиям
теоремы 25.3. Согласно условию (6), можно считать, что
индекс t совпадает с кардинальным числом card AttS.
Тогда At sczBt— U Bt, где Bt определяется по формуле
’ ret
(7). Следовательно, из равенства (4) и (5) вытекает, что
элемент At совпадает с элементами типа (8). Это
завершает доказательство теоремы 25.3.
Слабая однородность алгебры $l\AttS означает, что
для каждого кардинального числа t £Т или t = 2, или
/—•бесконечное число, и, значит, t ^ 2^° в силу примера
Д § 20. Обозначим через Т' множество всех бесконечных
кардинальных чисел множества 7\ а через п —мощность
алгебры 8(. Из равенств (4), (5) и свойства (6)
следует, что
n=*2s*' XI tSt
[см. (1) § 16 и пример Д § 22]. Если 2(£ 7\ то S2 = 0.
Теперь заметим, что если булева алгебра 81 бесконечна
и слабо однородна, то мощность t алгебры 81 обладает
свойством
(12)
/к» -1.

176
Г л. II. Бесконечные объединения и пересечения
В самом деле, в этом случае существует такая
бесконечная последовательность Сп непересекающихся ненулевых
элементов, что V = U Сп. Следовательно,
1 < П <. QD
*=!==
п- 1
Из равенства (12) мы получаем следующее соотношение
на мощность п алгебры 31:
пХо=25*-Хо. П^.
teT
Допустим теперь, что алгебра 31 бесконечна. Тогда
или S2 бесконечно, или Т' непусто.
Если S2 — бесконечное множество, то S2• Н0 = 5.2 и,
значит,
(13) п*о = п.
Если S2 конечно, то Т' содержит по крайней мере одно
кардинальное число tQ, t0^2^. Значит, [см. (1) § 16
и пример Д § 22]
2^2***0 • t0^to = = 2s*-/0Ч
и соотношение (13) снова справедливо. Таким образом,
мы доказали, что мощность п любой бесконечной полной
булевой алгебры 31 удовлетворяет равенству (13). С
другой стороны, если кардинальное число и удовлетворяет
соотношению (13), то существует полная булева алгебра,
мощность которой равна п. Действительно, из замечания
в конце примера Б следует, что существует однородная
полная булева алгебра мощности т. е. мощности п,
согласно условию (13). Итак, мы показали, что
25.4. 	Для того чтобы кардинальное число п было
мощностью некоторой полной булевой алгебры, необходимо
и достаточно, чтобы п^°=п1).
Напомним, что из обобщенной гипотезы континуума
2N« = Na+i следует, что соотношение (13) имеет место для
всех кардинальных чисел, кроме тех, которые можно
2) Пирс [4].

§ 25. Полные булевы алгебры
177
представить в виде суммы счетной последовательности
меньших кардинальных чисел.
Теперь мы дадим топологическую характеристику
полных булевых алгебр.
Допустим, что X является топологическим
пространством, a NaX. Если Л-открыто-замкнутое множество
в пространстве X, то В = А — N является
открыто-замкнутым множеством в топологическом пространстве X — N.
Мы будем говорить, что множество N разделяет
пространство X, если класс всех множеств вида
(14) B = A-N,
где А как открыто, так и замкнуто в пространстве X,
является собственным подклассом класса всех
открытозамкнутых подмножеств топологического пространства
X — N [т. е. если X — N содержит по крайней мере одно
подмножество В, которое открыто и замкнуто в
пространстве X —X, но не представляется в форме (14)].
25.5. 	Булева алгебра 31 является полной тогда и только
тогда, когда ни одно нигде не плотное замкнутое
подмножество не разделяет пространства Стоуна алгебры 31х).
Поскольку алгебра 31 полна тогда и только тогда,
когда пространство Стоуна алгебры 31 является
экстремально несвязным, достаточно доказать, что
топологическое пространство X является экстремально несвязным
тогда и только тогда, когда ни одно нигде не плотное
подмножество N не разделяет X. Для любого
множества SczX через CS будем обозначать замыкание
множества S в пространстве X.
Пусть В — подмножество пространства X — N, которое
является открыто-замкнутым. Поскольку N замкнуто, то
непересекающиеся множества. В и В' = (Х — N) — В
открыты в X. Следовательно, СВ Г\ В' = /\. Таким образом,
B = A — N, где А=СВ. Если пространство X
экстремально несвязно, то А является открыто-замкнутым
в пространстве X, т. е. N не разделяет пространства X.
Обратно, предположим, что ни одно нигде не плотное
г) Двингер [2].

178
Г л. II. Бесконечные объединения и пересечения
замкнутое подмножество не разделяет пространства Хг
Пусть Б--любое открытое подмножество пространства X.
Тогда множество N = СВ — В нигде не плотно и замкнуто,
а В как открыто, так и замкнуто в пространстве X — N.
Значит, существует такое открыто-замкнутое в
пространстве X множество А, что B = A — N. Следовательно, ВаА
а, значит, СВаСА = А. Поскольку В = А — (СВ — В), мы
получаем, что С В = А. Таким образом, замыкание С В
любого открытого множества В является открытым, т. е.
пространство X является экстремально несвязным.
§ 26. Поле всех подмножеств некоторого множества
Согласно определению на стр. 159, полное поле $
всех подмножеств множества X является т-совершенным,
если и только если каждая двузначная мера т на поле $
определяется некоторой точкой Отметим, что мера
т определяется точкой х0 тогда и только тогда, когда
«((*<>))=■!•
Если X = п = У и поле всех подмножеств множества
X является m-совершенным, то поле всех подмножеств
множества Y тоже является m-совершенным. Таким
образом, свойство быть m-совершенным зависит только от
мощности п множества X. Следовательно, мы будем
говорить, что кардинальное число п является т-совершенным,
если равенство ~Я—п влечет за собой тот факт, что поле
всех подмножеств множества X является т-совершенным.
Если п^т, то п является m-совершенным, поскольку
для любой двузначной т-меры т на поле всех
подмножеств множества X мощности п имеет место равенство
(1) 2 т ((*)) (X)3=31,
х 6 X
и поэтому т((х0)) = 1 для некоторой точки х0 g X. Таким
образом, единственным интересным оказывается случай
n>m. Это неравенство предполагается выполненным
в следующей теореме.
26.1. 	Следующие условия эквивалентны:
(i) 	кардинальное число и является т-совершенным;

§ 26. Поле всех подмножеств некоторого множества
179
(и) для каждой булевой п-алгебры 8( всякая двузначная
т-мгра (всякий двузначный т-гомоморфизм) на алгебре 81
является п-мерой (п-гомоморфизмом);
(Ш) для каждой булевой п-алгебры 81 всякий
максимальный ш-фильтр (максимальный т-идеал) в алгебре 81
является п-фильтром (п-идеалом);
(iv) для каждой булевой п-алгебры 81 всякий т-гомо-
морфизм h алгебры 81 в произвольную полную атомную
булеву алгебру 8Г является п-гомоморфизмом.
Согласно естественному взаимно однозначному
соответствию между двузначными мерами, двузначными
гомоморфизмами, максимальными фильтрами и максимальными
идеалами (см. стр. 32 и стр. 147), оба варианта
условия (И) и оба варианта условия (Ш) эквивалентны.
Из (i) следует (И). Пусть т — двузначная nt-мера на
булевой п-алгебре 81. Нам нужно доказать, что
для каждого индексированного множества {Ах}х^х непере-
секающихся элементов алгебры 84, причем = Это
равенство имеет место, если т f U . АЛ =0 [см. (4) §
определяет двузначную m-меру т' на поле $ всех
подмножеств В пространства X. В силу условия (i) мера т'
определяется некоторой точкой х0£Х, т. е. т'((*„)) = 1
и, значит, т(АХо)—\. Поскольку т — двузначная мера
и Ах()АХо— Д при хфх0, то т(Ах)~ 0 при хфхй.
Это доказывает равенство (2);
Из (И) следует (i). Пусть т — двузначная nt-мера на
Нулевой алгебре 91, равной полю $ всех подмножесАЗ
Множества X, Х = п. В силу условия (и) мера т является
Камерой и, значит,
(2)
Допустим, чт [ула
2m(W) = m(X) = 1,

180
Г л. II. Бесконечные объединения и пересечения
а это означает, что т((л'0)) = 1 для некоторой точки
х0£Х. Эта точка х0 определяет меру т.
Из (и) следует (iv). Согласно теореме 25.1,
достаточно рассмотреть только случай, когда ЗГ является полем
$ всех подмножеств некоторого пространства X. В силу
§ 16 мы можем представить алгебру ЗГ в виде прямого
объединения двухэлементных булевых алгебр {33*}*€Х,
где 25* состоит только из пустого множества и
одноточечного множества (я). Тогда гомоморфизм h можно
представить в виде h(A)==- {hx(A)}XsXj где hx (A) =h (А) П (х)
является тп-гомоморфизмом алгебры 31 в $8Х. В силу
условия (И) hx есть п-полный гомоморфизм. Это доказывает,
что h является n-полным гомоморфизмом.
Из (iv) следует (И) (для варианта с гомоморфизмами).
Достаточно считать, что 31' есть двухэлементная булева
алгебра.
26.2. Пусть и есть т-совершенное кардинальное число,
n^m. Если булева и-алгебра изоморфна т-полю множеств,
то она изоморфна некоторому п-полю множеств1).
Это мгновенно следует из теорем 24.1 и 26.1.
26.3. Предположим, что п есть т-совершенное
кардинальное число, и^тп, 31 — булева п-алгебра и А0 —
некоторый т-идеал алгебры 31. Если булева алгебра 3(/Д0
изоморфна т-полю множеств, то А0 является п-идеалом2).
Алгебра ЗХ/А0 будет булевой тп-алгеброй. Для каждого
максимального m-идеала А алгебры 31/А0 множество А'
всех А £31, таких, что [А] £ А, является максимальным
m-идеалом алгебры ЗГ По теореме 26.1 А' является
n-идеалом. Согласно условию (И) теоремы 24.1,
предположение, что 3(/А0 изоморфна некоторому ш-полю
множеств, означает, что идеал А0 является пересечением
всех только что определенных идеалов А'. Таким образом,
Д0 является и-идеалом.
26.4. Класс $ всех т-совершенных кардинальных чисел
обладает следующими свойствами:
х) См. Сикорский [4], Смит и Тарский [1].
2) Тарский [3]. См. также Смит и Тарский [1]. Они доказали
другие интересные теоремы, утверждающие более высокую полноту
идеалов. /

§ 26. Поле всех подмножеств некоторого множества
181
(а) т принадлежит классу
(б) если а принадлежит классу и Ъ^. а, то Ь тоже
принадлежит классу
(в) если для каждого t£T кардинальное число at при-
надлежит классу £ и если Т тоже принадлежит классу
то кардинальное число У at принадлежит классу
teT
(г) если а принадлежит классу $, то 2Л тоже
принадлежит классу Й1).
Свойство (а) было уже доказано [см. формулу (1)].
Доказательство свойства (б). Допустим, что
а^Ь и Ь принадлежит классу $. Пусть Х = а и X' —
такое множество, что ХсХ' и X' = Ь. Каждую двузначную
шумеру т на поле всех подмножеств пространства X
можно продолжить до двузначной nt-меры т' на поле
всех подмножеств пространства X' по формуле
т'(А) = т(А{) X) для любого АаХ
Мера т' определяется некоторой точкой х0 £ X'. Поскольку
т'{Х' — Х)= О, то мы получаем, что х0£Х. Эта точка
х0 и определяет меру т.
Доказательство свойства (в). Допустим, что
Х=п= а^, где Т и все кардинальные числа at
принадлежат классу й. Множество X является объединением
непересекающихся подмножеств Xt(t£T) мощности af
соответственно. Пусть т —двузначная т-мера на поле
всех подмножеств множества X. Формула
m'(B)=m( U ХЛ для любого BczT
\t*B )
х) Эта теорема доказана Уламом [1]. При более сильных
ограничениях на мощность X она является частным случаем общей
теоремы, утверждающей, что каждая а-конечная a-мера поля всех
подмножеств пространства X сосредоточена на некотором счетном
множестве. _См. Банах и Куратовский [1], Банах [1], У лам [1]. Для
случая Х = 2^° см. также Марчевский [1], Серпинский [1].
Дальнейшие обобщения имеются у Марчевского и Сикорского [1], Мазура
[1], Серпинского [2], гл. 5, и Тарского [3J.

182
Га. II. БесКЫёчные объебйнёния и пересечение
определяет двузначную m-меру т' на поле всех
подмножеств В множества Т. Таким образом, существует точка
t0£T, которая определяет меру т'. Поскольку т' ((/0)) = 1,
то m(Xfo) = 1. Мера т, рассматриваемая только на поле
всех подмножеств множества Xfo, является двузначной
ш-мерой. Следовательно, отсюда вытекает, что существует
такая точка х0£Хи, что т((х0))~ 1. Эта точка х0
определяет всю меру т.
Доказательство свойства (г). Пусть а
принадлежит классу Я. Поскольку @>л = 2П, то достаточно
доказать, что каждая щ-мера т, заданная на поле
всех подмножеств обобщенного канторова дисконтинуума
= НТ° (Т0 = а), определяется некоторой точкой х0. Для
каждого t £ Т0 пусть Dt—подмножество множества <2)а,
определенное на стр. 71. Заметим, что для каждой
функции (0 = ± 1 (t С То) пересечение
(3) П 4(t)’Dt
ита
содержит ровно одну точку. Одно из множеств Dt и — Dt
имеет меру, равную единице. Пусть <р(Н = 1» если
m(D#) = 1, и <р (t) =—1 в противном случае. По
определению
/л (ф (0• П,) •= 1 и m(-<p(t)-Dt)=0.
Согласно теореме 26.1, мера m является а-аддитивной.
Поэтому множество (3) (для только что определенной
функции ф) имеет меру единица, поскольку его
дополнение имеет меру нуль [дополнение является
объединением а множеств—ф(t)-Dt меры нуль]. Множество (3)
Состоит только из одной точки х0. Поскольку m((x0)) = 1,
То точка а'0 определяет меру т.
Теорема 26.4 доказана. Пересечение Яш всех классов
Я! кардинальных чисел, удовлетворяющих условиям (а),
(б), (в), (г), тоже удовлетворяет этим условиям. Говорят,
что кардинальное число п является i п-дост и ж и м ым, если
оно принадлежит классу Яш. Если т = о — Я0, то мы
вместо а-достижимое будем говорить просто достижимое.

§ 2$. Поле всех подмножеств некоторого множества
183
Например, кардинальные числа 1, 2, .. м #0, 2*«, 2*  2*0, ...,
#2> • • •» ^u), ^(o+i, ... являются достижимыми и,
следовательно, nt-достижимыми для каждого тп.
Существование не-тп-достижимых (в частности,
недостижимых) кардинальных чисел зависит от принятой
системы аксиом для теории множеств. Действительно, с
одной стороны, для всех обычно рассматриваемых систем
аксиом теории множеств класс множеств, чьи мощности
являются тп-достижимыми, тоже удовлетворяет всем
аксиомам, и в этой ограниченной модели аксиоматической
теории множеств все кардинальные числа являются тп-
достижимыми. С другой стороны, кажется очень
вероятным, что при добавлении (к принятой системе аксиом
теории множеств) новой аксиомы, утверждающей
существование не-тп-достижимых кардинальных чисел, мы
получим совместную систему аксиом.
Из теоремы 26.4 следует, что каждое тп-достижимое
кардинальное число является a-совершенным. В
частности, каждое достижимое число является а-совершен-
ным. Очевидно, каждое a-совершенное кардинальное число
является m-совершенным для каждого тп.
Долгое время была открытой проблема, может ли быть
a-совершенным недостижимое кардинальное число.
Недавно эта проблема была решена в положительном
смысле1). Замечание в предыдущем абзаце показывает, что
класс всех a-совершенных кардинальных чисел очень
велик, он содержит, грубо говоря, все кардинальные
числа, которые обычно встречаются в математических
задачах. Однако в настоящее время не известно, все ли
кардинальные числа являются a-совершенными, хотя все
говорит за то, что эта гипотеза справедлива2).
х) Решение предложено Тарским [18], который получил его как
следствие одной математической теоремы Ханфа [2,3]. Первое
доказательство теоремы Тарского было на языке метаматематики.
Доказательство на языке математики было' предложено Кейслером [1].
Полное изложение см. Кейслер и Тарский [1]. Указанные работы
касаются также других проблем в теории булевых алгебр. См. также
Эрдёш и Тарский [2] и Ханф [4].
2) Скотт [4] доказал, что существование кардинальных чисел,
которые не являются a-совершенными, влечет за собой
существование множеств, которые не конструктивны в смысле Гёделя [1]. Этот
результат показывает, что практически невозможно указать не-а-со-
вершенное кардинальное число.

184
Г л. //. Бесконечные объединения и пересечения
§ 27. Поле всех борелевских подмножеств метрического
пространства
Пусть X — метрическое пространство с функцией
расстояния р. Если х£Х и множество АаХ непусто, то
р (х, А) обозначает наибольшую нижнюю грань
множества всех чисел р (х, у), где у£А. Если множество А
пусто, то полагаем р (х, Л) = 0.
27.1. 	а-поле % всех борелевских подмножеств
метрического пространства X является a-совершенным тогда и
только тогда, когда поле всех подмножеств
пространства X является о-совершенным.
В частности, если кардинальное число X достижимо,
то поле $ является a-совершенным1).
Если не является a-совершенным, то существует
такая двузначная a-мера т на поле что т((х)) = 0
для каждого х£Х. Ограничение меры т на поле $
является примером двузначной a-меры, которая не
определяется никакой точкой пространства X. Таким
образом, поле $ не а-совершенно.
Предположим теперь, что поле является а-совер-
шенным, т. е. что кардинальное число п = Х является
a-совершенным. Пусть т — двузначная a-мера на поле $
и {Gt}«a — трансфинитная последовательность,
образованная всеми (различными) открытыми подмножествами
меры нуль пространства X, т. е.
(1) m(Gt) = 0 для 0^^<а.
Пусть Т — множество всех таких порядковых чисел t,
что 0^^ < а, Н0 — пустое множество и
Ht = U Gr (0 <г<и).
r<t
2) Марчевский и Сикорский [1]. При некоторых предположениях
о кардинальном числе X эта теорема является частным случаем
общей теоремы, утверждающей, что каждая конечная a-мера на поле
всех борелевских подмножеств пространства X сосредоточена на
некотором сепарабельном подмножестве. См. Марчевский и
Сикорский [1]. Обобщение для неметризуемых пространств см. у Кате-
това [2].

§ 27. Поле всех борелевских подмножеств
185
Для каждого множества ВаТ объединение
5S = U (Ht+1-Ht)
t е в
является борелевским подмножеством1). В самом деле,
U F„
где
a Fn^t есть множество всех таких точек x£X — Hti что
р(х, Х-Я(+1)>1.
Множества замкнуты. Более того, если x£Fn^t,
y£Fn,t’ и t=^t\ то р {х, у) ^ \/п. Следовательно,
множество F„ тоже является замкнутым. Это доказывает, что
— борелевское множество.
Для каждого множества ВаТ положим
пг' (B) = m(SB).
Функция пг' является a-мерой на поле всех
подмножеств множества Т и принимает только значения 0 и 1.
Согласно формуле (1), m'((t)) = 0 для каждого t£T.
Кардинальное число Т удовлетворяет неравенству Т ^
^ 2П и поэтому тоже является в силу теоремы 26.4 а-
совершенным. Это означает, что мера пг' тождественно
равна нулю. В частности, m'(Т) — 0, т. е. т(Яа) = О,
так как Ha = ST. Множество На является объединением
всех открытых множеств, мера пг которых равна нулю,
т/ е. это наибольшее открытое множество, мера m
которого равна нулю. Отсюда следует, что его дополнение
имеет меру 1 и состоит только из одной точки х0.
Поскольку т((х0)) = 1, то эта точка х0 определяет меру т.
Из теоремы 27.1 следует, что каждая двузначная o'-
мера на борелевском поле сепарабельного метрического
пространства определяется некоторой точкой, поскольку
мощность пространства в этом случае не превосходит
х) Это утверждение является частным случаем одной общей
теоремы Монтгомери [1]. См. также Куратовский [2].

186
Г л. //. Бесконечны'е объединения и пересечения
2*4 и, значит, оно a-совершенно. Однако этот частный
случай теоремы 27.1 можно доказать более простым
способом.
Пусть {G„} —счетный открытый базис пространства X
и G —объединение всех таких множеств Gn, у которых
m(Gn) = 0. Множество G является наибольшим открытым
множеством со свойством т (G) = 0 и поэтому его
дополнение состоит только из одной точки, которая и
определяет меру т.
Пример. А) Если метрическое пространство X
несчетно и a-совершенно, поле $ всех его борелевских
подмножеств и поле всех его подмножеств не обладают
свойством (е^0) из § 24 (рассмотреть, например, а-идеал
всех не более чем счетных подмножеств пространства X).
Топологии, индуцированные в пространстве X с помощью
поля $ или поля описанным в § 24 (стр. 162) методом,
одинаковы, именно это дискретная топология.
§ 28. Представление факторалгебр в виде полей
множеств
Различные примеры булевых m-алгебр обычно имеют
вид $/Д, где некоторое m-поле подмножеств
пространства X, а Д — некоторый m-идеал поля Теперь мы
обсудим проблему, когда булева ш-алгебра $/Д
указанного выше вида изоморфна некоторому m-полю множеств.
Согласно теореме 24.3, можно всегда считать без
ограничения общности, что поле $ является ш-совершенным.
28.1. 	Пусть % есть т-поле подмножеств простран-
ства X, а Д -т-идеал поля
Следующее условие является достаточным, а в случае,
когда % — m-совершенное поле, и необходимым для того,
чтобы факторалгебра ^/Д была изоморфна некоторому
т-полю множеств:
(а) существует такое множество Х'сХ (X' может
принадлежать и не принадлежать полю %), что для
каждого множества А 6 $  1(1) Л6А тогда и только тогда, когда А Г) X' = Д

§ 28. Представление факторалгебр в виде полей множеств Iff
(ш. е. А является классом всех множеств Л£$, которые
лежат в X —X').
Если условие (а) выполнено, то алгебра ^/Д изоморфна
т-полю $' = $\Х* всех множеств А(]Х\ где Л^^1).
Если условие (а) выполнено, то алгебры $/Д й $|Х'
изоморфны в силу примера В § 10.
Допустим теперь, что ^ есть m-совершенное поле и
алгебра $/Д изоморфна некоторому m-полю множеств,
т. е. $/Д удовлетворяет условию (i) теоремы 24.1. Если
V— максимальный ш-фильтр алгебры $/Д, то множество
всех таких Л£$, что [Л] б V, является максимальным
Ш-фильтром поля $, определенным некоторой точкой xv
пространства X. По определению для каждого Л£$
(2) [Л]€\7 тогда и только тогда, когда xv$A.
Множество X' всех точек х^ обладает свойством (а),
Действительно, если Л£Д, т. е. [Л]=Д, то [Л]#^> и,
значит, согласно условию (2), xv (£ Л для каждого V.
Это доказывает, что ЛпХ' = Д. С другой стороны, если
Л(£Д, т. е. [Л]=т^Д, то по свойству (i) тебремы 24.1
существует такой максимальный m-фильтр V, что [Л] 6 V.
Значит, по условию (2) xv б Л, т. е. Л Г) X' Ф Д,
Следующие две теоремы непосредственно вытекают из
теорем 28.1, 26.’1, 27.1.
28.2. 	Если мощность X множества X является т-со-
вершенной, % — поле всех подмножеств пространства X,
а Д является т-идеалом поля $, то алгебра $/Д
изоморфна некоторому т-полю множеств тогда и только
тогда, когда идеал Д главный.
28.8. Еоли X — метрическое пространство,
кардинальное число X является а-совершенным, $ есть q-поле всех
борелевских подмножеств пространства X, а Д
—некоторый о-идеал поля то алгебра ^/Д изоморфна
некоторому о-полю множеств тогда и только тогда, когда
существует такое подмножество Х'с£Х, что
Л ^ Д тогда и только тогда,
когда пересечение А П X' пусто.
х) Теоремы 28.1—28.3 доказаны Сикорским [4].

188
Г л. II. Бесконечные объединения и пересечения
Примеры. А) Если кардинальное число X а-совер-
шенно, поле всех подмножеств пространства X, а
Д—собственный a-идеал, содержащий все одноточечные
подмножества, то алгебра $/Д не изоморфна никакому
сг-полю множеств.
Б) Если X— метрическое пространство, мощность X
которого a-совершенна, ^ есть сг-поле всех борелевских
пространств X, а Д —собственный а-идеал (поля $),
содержащий все одноточечные подмножества, то алгебра
$/Д не изоморфна никакому a-полю множеств.
Этот результат обобщает результат примера А § 24.
В) Допустим, что п является m-достижимым
кардинальным числом (п^ш), $ есть n-поле множеств, а Д —
Ш-идеал поля Если идеал Д не является п-полным,
то алгебра £/Д не изоморфна никакому щ-полю
множеств1).
Это мгновенно следует из теоремы 26.3.
Г) Как мы уже отмечали в примере А § 24, ш-дистри-
бутивность является необходимым условием для того,
чтобы булева алгебра была изоморфна некоторому ш-
полю множеств. Однако m-дистрибутивность не является
достаточным условием.
В самом деле, пусть X —любое пространство
мощности 2зШ, —поле всех подмножеств пространства X,
а Д —идеал всех подмножеств мощности, не
превосходящей 2Ш.
По теореме 21.5 2т-алгебра $/Д является ш-дистри-
бутивной. Из теоремы 28.2 следует, что алгебра $/Д не
является изоморфной никакому m-полю множеств2).
Напомним, что в § 24 (см. теорему 24.11) было
сформулировано другое, более сильное условие
дистрибутивности, которое уже эквивалентно изоморфности
некоторому m-полю множеств.
2) Тарский [3].
2) Такал же конструкция была использована Сикорским [21] в
проблеме аксиоматизации понятия о-поля множеств. См. также Хорн
и Тарский [1], Сикорский [4], Смит и Тарский [1].

§ 29. Основная теорема о представлении а-алгебр
189
§ 29. Основная теорема о представлении булевых а-алгебр.
ш-представимость
Обсуждение результатов § 28 приводит к следующему
вопросу:
Всякая ли булева алгебра изоморфна некоторой фак-
торалгебре $/Д, где $ является m-полем множеств, а Д
есть m-идеал поля $?
Ответ на этот вопрос отрицателен при т^2^.
Действительно, если булева ш-алгебра 31 изоморфна алгебре
$/Д, где $ есть m-поле, а Д —т-идеал и т^2*Ч то
алгебра $/Д в силу теоремы 21.5 является
а-дистрибутивной. С другой стороны, существуют полные булевы
алгебры, которые не являются а-дистрибутивными (см.
примеры А § 19 и примеры В, Г § 21).
Теперь мы докажем, что ответ на наш вопрос
утвердителен, если т = #0.
29.1. 	Для каждой булевой о-алгебры 31 существует
a-поле множеств $ и о-идеал Д поля такие, что
алгебра 31 изоморфна алгебре $/Д *)•
Более точно:
Пусть X — пространство Стоуна алгебры 31, $ —
наименьшее о-поле (подмножеств пространства X),
содержащее все открыто-замкнутые подмножества пространства
X, а Д — о-идеал всех подмножеств В первой
категории в пространстве X. Тогда алгебра 31 изоморфна
алгебре $уД. Именно если h0 —изоморфизм алгебры 31 на
поле & всех открыто-замкнутых подмножеств
пространства X, то отображение h> заданное формулой
h(A) = [h0(A)]д для любого А 6 31,  22) Эта основная теорема о представлении булевых а-алгебр была
независимо найдена Лумисом [1] и Сикорским [4]. Лумисом она
опубликована в августе 1947 г., а Сикорским она была представлена
(с доказательством) на съезде Польского Математического Общества
в Кракове в мае 1947 г., но опубликована лишь год спустя в силу
издательских трудностей в Польше после второй мировой войны.
Представленное здесь доказательство дано Сикорским [4].
Подобное доказательство было независимо найдено П. Р. Халмошем.
См. также Ауман [1]. Новое доказательство основано на
математических идеях, предложенных Тарским [12].

190
Гл. II. Бесконечные объединения и пересечения
является изоморфизмом алгебры % на алгебру $/Д.
Гомоморфизм h является изоморфизмом. Это следует из
топологической теоремы, утверждающей, что ни одно от^
крытое непустое подмножество компактного хаусдорфова
пространства не является множеством первой категории1).
Следовательно, если Аф Д (Л £31), то
открыто-замкнутое множество h0 (Л) не принадлежит идеалу А, и,
значит, h(A) не является нулевым элементом в алгебре $/Д.
Для доказательства того, что h отображает алгебру
Щ на алгебру ^/Д, достаточно показать, что класс
всех таких множеств что [B] = h(A) для
элементов является a-полем множеств (и поэтому сов¬
падает с полем так как $0а$'с$). Если
т. е. [B]=*h(A) для Л£§1, то [ — B] = h( — А) и поэтому
— В также принадлежит полю Если Вп£$' для
1, 2, .т. е. [Bn]*=h(An) = [h0(An)] для
некоторых элементов Ап£$I, то по теореме 22.2
[ и вп} = [ и h0 {Ап)\ =
1<Я< со 1<Я<со
ЧМ и» Л„)]=Л( и51 А,).
1<Я<с» 1<П<00
Следовательно, теоретико-множественное объединение
U Вп Тоже принадлежит полю а Это и доказыва-
1^/г<со
Й, что поле является a-полем множеств.
Говорят, что булева алгебра является т-представи-
мойу если она изоморфна некоторой m-регулярной
подалгебре факторалгебры $/Д, где $ есть m-поле множеств,
а Д — некоторый m-идеал поля $ (другими словами, если
существует m-изоморфизм алгебры % в алгебру Щ/Д, где
| и Д обладают упомянутыми выше свойствами).
Таким образом, булева ш-алгебра называется т-пред-
ставимой в том и только том случае, если она изоморфна
факторалгебре $/Д, гДе $~некоторое m-поле множеств,
а Д — его ш-идеал.
Булева m-алгебра является m-представимой тогда и
только тогда, когда она является m-гомоморфным обрй-
г) Чех [1]. См. также Сикорский [4].

§ 29. Основная теорема о представлении а-алгебр
191
зом m-поля множеств, т. е. когда существует некоторое
m-поле множеств $ и ш-гомоморфизм h поля $ на
алгебру 9Х.
Действительно, если и h с указанными выше
свойствами существуют, то равенство
h' {[А]ь)=к(А) для
где Д —m-идеал всех таких В что /г(В)=Д,
определяет изоморфизм алгебры ^/Д на алгебру 31. Обратно,
если К — изоморфизм алгебры $/Д на алгебру Щ, где
$ —некоторое m-поле множеств, а Д — его m-идеал, то
та же формула определяет m-гомоморфизм h m-поля %
на алгебру 91.
• Из приведенной выше характеристики прямо вытекает,
что любой m-гомоморфный образ т-представимой ш-ал-
гебры тоже является ш-представимым, поскольку он
также является m-гомоморфным образом m-поля множеств
[другое доказательство можно получить из равенства (10)
§ 10].
С помощью только что введенной терминологии
полученные результаты можно сформулировать следующим
образом. Каждая булева а-алгебра является а-предста-
вимой. Для каждого т^2&> существуют булевы ш-ал-
гебры, которые не являются m-представимыми х),
• Мы рассмотрим более детально, какие булевы алгебры
являются т-представимыми.
Пусть 9Х —булева алгебра, h0 — изоморфизм алгебры
9Х на поле всех открыто-замкнутых подмножеств
пространства Стоуна X алгебры 9Х.
Напомним (см. § 22, стр. 140), что множество ВаХ
называется m-нигде не плотным, если оно является
подмножеством нигде не плотного m-замкнутого множества, т. е.
подмножеством теоретико-множественного пересечения
ПМЛ). где na^t=*A и Г<т.
t е т teT
а) Недавно Карп [1] доказал, что для каждого ш > tf0
существует не-ш-представимая m-алгебра. Более точно, для каждого
^ существует полная m-представимая алгебра, которая не
является ш + -представимой, причем ш + — наименьшее кардинальное
число, большее ш.

192 Г л. II. Бесконечные объединения и пересечения
Говорят, что В является множеством m-категории, если
оно является объединением некоторого ш-индексирован-
ного множества m-нигде не плотных множеств.
Пусть — наименьшее m-поле, содержащее поле $0,
а Д —m-идеал всех множеств Л которые являются
множествами т-категории.
Класс $ всех множеств вида
(BoUBi) — В2, где В06$о и В19 В26 Д,
является подполем поля $ш, а $/Д является
подалгеброй алгебры $Ш/Д.
Факторалгебра ^/Д называется каноническим т-пред-
ставлением для алгебры 21. Гомоморфизм h алгебры 21 на
алгебру $/Д, задаваемый формулой
h(A) = [h0(A)]д для любого Л £21,
называется т-каноническим гомоморфизмом. Если он
является взаимно однозначным, он называется
т-каноническим изоморфизмом.
Используя приведенную выше терминологию и
замечания, мы докажем следующие две теоремы.
29.2. 	т-канонический гомоморфизм h является т-гомо-
морфизмом алгебры 21 в алгебру $Ш/Д. Следовательно,
если h —изоморфизм, то алгебра $/А является
т-регулярной подалгеброй алгебры $т/Д.
Если 21 является т-алгеброй, то $ = $т и,
следовательно, $уд--^ш/д._
Если п?1 Л* = Д (Т ^ т), то пересечение всех множеств
teT
hQ (At) принадлежит идеалу Д и, значит, согласно (1) § 21,
П5ш/дМ^) = ГП ho (AtЛ = д.
teT Ьег J/i
Это доказывает первую часть теоремы [см. § 22 (а)].
Допустим теперь, что алгебра 21 является ш-полной.
Для доказательства того, что £у = $ш, достаточно
показать, что $ является ш-полем.
Заметим, что по определению поля $ множество В
принадлежит % тогда и только тогда, когда существует

§ 29. Основная теорема о представлении о-алгебр
193
такой элемент Л £21, что
(1) h0(A)-B£ А и В-/10М)6 А.
Допустим, что В, £$ для каждого t £Т (Т ^ш), т. е.
Й0(Л()-В(€ А и В,-/10(Л()€Л
для некоторого Л,£31. Пусть Л= 1Г' Л, и В — теоретико-
множественное объединение всех Bt. Тогда
h0(A)-Bc:(h0(A)- U h0(At)) и ( U (h.0(At)-Bt)\
ter \ter J
B-h0(A)<= U(Bt-h0(At)),
t 6 T
где U обозначает теоретико-множественное объединение.
teT
Это доказывает (см. теорему 22.2), что А и В
удовлетворяют условиям (1). Отсюда следует, что ££$. Это
завершает доказательство второй части теоремы 29.2.
В следующей теореме мы используем понятие т-фильт-
ра в произвольных булевых алгебрах в смысле
определения (D) (см. § 21, стр. 130).
29.3. 	Для всякой булевой алгебры 21 каждое из
следующих условий является как необходимым, так и
достаточным, для того чтобы алгебра 21 была т-представимой х):
(г) 	т-канонический гомоморфизм является
изоморфизмом;
(тД если {Аи т, sg6 есть т-индексированное
множество (элементов алгебры 21), такое, что
(2) существуют все объединения U AUs
s eS
и пересечение ^ ^ Аи s
и если
(3) П U s Ф- А,
teTseS  11) Условия (г5) и (г5) доказаны Чангом [1]. См. также Скотт [3].
Условие (г4) доказано Пирсом [2]. Условие (гх) является
видоизменением (Сикорский 125]) достаточного условия, предложенного
Смитом [1]. Вся теорема 29.3 опубликована Сикорским [25].

194
Г л. II. Бесконечные объединения и пересечения
то существует функция ф £ S1 со свойством
(4) П At, o(t) ^Л
для каждого конечного множества Т'аТ\
(г2) если {Аи т, ses есть т-индексированное
множество, удовлетворяющее условию (2), и если
(5) П U AUs=V.
teT seS
то для каждого элемента А=£/\(А£Щ существует такая
функция ф £ ST, что
(6) А П П ср m ^ А
t 6 Т'
для каждого конечного множества Т'аТ\
(г'2) если {Att 5}/6 т, ses есть т-индексированное
множество, удовлетворяющее условию (2), и если имеет место
равенство (5), то для каждого собственного т-филыпра
V алгебры 91 существует такая функция ф £ Sr, что
(7) А П П 71 t,u(t)¥zA
te V
для каждого конечного множества Т'аТ и каждого А £ V;
(г3) в пространстве Стоуна алгебры 91 любое пересечение
не более чем т плотных т-открытых множеств плотно,
т. е. пересечение не более чем т плотных т-открытых
множеств пересекает каждое непустое открытое множество;
(Гз) в пространстве Стоуна алгебры 91 любое
пересечение не более чем т плотных т-открытых множеств
пересекает любое непустое замкнутое множество, имеющее
верхний характер1) ш.
(г4) в пространстве Стоуна алгебры 91 каждое
множество т-категории является граничным множеством, т. е.
ни одно открытое непустое множество не является
множеством т-категории;
(г4) в пространстве Стоуна алгебры 91 ни одно
замкнутое непустое множество верхнего характера m не
является множеством т-категории;
См. определение на стр. 131 и теорему 21.6.

§ 29. Основная теорема о представлении о-алгебр
195
(г5) для каждого множества бесконечных объединений
и пересечений в алгебре St
U 'AttS=Au /€Г, f'<m,
s6 S'f.
(8)
n BUs = Bt, где S'^m, t£T", T"<m,
S € Sf
& для каждого Аф/\(А£Щ существует максимальный
фильтр, содержащий А и сохраняющий все объединения
и пересечения (8);
(Г5) для каждого множества (8) бесконечных
объединений и пересечений в алгебре St и каждого собственного
т-фильтра V существует максимальный фильтр,
содержащий V & сохраняющий объединения и пересечения (8).
Если St — булева ш-алгебра, то каждое из приведенных
выше условий является необходимым и достаточным для
того, чтобы алгебра St бь/ла изоморфна факторалгебре
$7^'» — некоторое т-поле множеств, а Д' есть
т-тЗеол доля
Из (l^) вытекает (г2). Доказательство аналогично
доказательству импликации (бД — ^(d2) в теореме 19.2.
Из (г2) вытекает (г3). В самом деле, допустим, что
для каждого t £ Т (Т ^ ш) через Gt обозначено плотное
Ш-открытое подмножество пространства X, т. е.
G#= U h0(AtyS), где 5=V(S<m).
sg S seS
Пусть G —любое непустое открытое подмножество
пространства X. Поскольку является открытым базисом
пространства X, то существует такой элемент Аф Д(Л £ St),
что hQ(A)aG. Согласно условию (г2), существует такая
функция cp£Sr, что имеет место условие (6), т. е.
\ М) П П^о (At, 9 (п) =И= Л
t 6 Т'
для каждого конечного множества Т'аТ. Так как все
множества й0(Л), й0(ЛЛ5) являются замкнутыми в
компактном пространстве X, то
A=£h0(A) П П К (Аи т u))c:G П П G,.
t е Г

196
Г л. //. Бесконечные объединения и пересечения
Из (г3) вытекает (г4) с помощью перехода к
дополнениям.
Для доказательства очередной импликации удобно
отождествить максимальные фильтры с точками
пространства X, т. е. считать, что X есть множество всех
максимальных фильтров алгебры St, а
(см. доказательство теоремы 8.2).
Из (г4) вытекает (г5). В самом деле, множество всех
максимальных фильтров, которые не сохраняют некоторые
объединения или пересечения из множества (8), является
множеством щ-категории (см. теорему 22.2 и замечания
на стр. 146). Согласно условию (г4), существует точка
в h0(A)y которая не принадлежит этому множеству
m-категории. Эта точка является максимальным фильтром,
сохраняющим все объединения и пересечения (8), а А£ V.
Из (г5) следует (г2). Допустим, что имеет место
равенство (5). Применим условие (г5) к объединению
(9) U AUs=V(t£T).
seS
Пусть у0“максимальный фильтр, сохраняющий все
объединения (9) и содержащий элемент А. По определению
и V06 U h0(At s) для каждого t£T. Таким
seS ’
образом, существует такое s = ф (^), что У0£й0(Л^ 9Ш).
Следовательно,
^оМ)П П (At, сс(t))^ А
( 6 Т'
для каждого конечного множества Т'аТ,
т. е. имеет место условие (6).
Из (г2) следует (г3), из (г3) следует (г4), из (г4) следует
(Г5), из (Г5) следует (ri). Доказательство этих импликаций
аналогично доказательствам импликаций (r2)-> (r3), (г3)-Дг4),
(г4) —> (1*5)» (г6) —*(г2) соответственно.
Из (г2) следует (г2)*). Действительно, допустим, что
имеет место равенство (5), а условие (7) не выполняется,
2) Доказательство этой импликации является легким
видоизменением доказательства Бялыницкого-Бируля (не опубликовано)
теоремы Чанга ш о представлении.

§ 29. Основная теорема о представлении а-алгебр
197
т. е. для каждого ф £ ST существует такое конечное
множество Т^с:Ту а для этого множества такой элемент
i4r^€V, что
А? ^ П П At zit) — /\.
Множество всех имеет мощность, не превосходящую
m (поскольку класс’ всех конечных подмножеств
множества Т имеет мощность, меньшую или равную щ). Так
как V является щ-филътром, то существует такой элемент
A£Vy что АаАТп для каждого Ясно, что Аф/\,
так как V — собственный фильтр. Таким образом,
А П П At А
t4T0
для каждого фб5г, т. е. имеет место условие (г2).
Из (Го) следует (г2) (взять в качестве V главный
фильтр, порожденный элементом А\).
Из (г4) следует (г). В самом деле, если Л=£Д(Л£21),
то h0 (А) является открытым и непустым множеством.
Согласно условию (г4), множество h0 (А)(£ Д, т. е. h (А)ф/\.
Это доказывает, что h является изоморфизмом.
Если имеет место условие (г), то по теореме 29.2
алгебра 21 является т-представимой.
Если алгебра 21 является m-представимой, то имеет
место условие (г4). Достаточно доказать эту импликацию
только в случае, когда 21 является m-регулярной
подалгеброй алгебры $'/Д', где —некоторое m-поле
множеств, а Д' — m-идеал поля
Допустим, что в алгебре 21 имеет место неравенство (3).
Поскольку эта алгебра является m-регулярной
подалгеброй алгебры %'/&', то все объединения и пересечения
в формуле (3) можно рассматривать как объединения и
пересечения в алгебре $'/&'. Тогда
AtiS=[BtiS] для некоторых множеств BtyS£$'.
Пусть В — объединение всех конечных пересечений
Bu,Stn...nBtn<Sn,
которые принадлежат идеалу Д\ и пусть
5 = ^,5

198
Г л. II. Бесконечные объединения и пересечения
Получаем, что
At,s = [£*, j]»
поскольку В£Д'. Более того, для любого конечного
пересечения,
(10) если CtijSiП • •. ПCtn ,Sn¥:A>
то С(|1„П...ПС4я>,ДЛ',
т. е.
Аи, •••
В силу неравенства (3) Г f| U Ct /|=И=Л. Таким обра-
L/erseS ’ J
зом, множество п и с, . содержит точку х. Следова-
ter seS ’
тельно, для каждого t£T существует такое s = cp(0> что
Поэтому
е «,) П ... П C,nt т цп) ф А.
Согласно условию (10), отсюда вытекает (4).
Последняя часть теоремы следует из только что
доказанной части и определения m-представимых ш-алгебр.
В случае ш-н0 теорема 29.3 дает следующее
обобщение теоремы 29.1.
29.4. 	Каждая булева алгебра является о-представимой.
Это немедленно вытекает из условия (г4) теоремы 29.3,
поскольку каждое множество a-категории является
множеством первой категории, а ни одно открытое непустое
подмножество компактного хаусдорфова пространства не
является множеством первой категории.
В случае когда St есть а-алгебра, факторалгебра
$/Д, определенная в теореме 29.1, совпадает с
каноническим a-представлением алгебры St. Действительно,
в обоих случаях % является наименьшим a-полем,
содержащим все открыто-замкнутые подмножества пространства
Стоуна. Хотя идеалы Д, упомянутые в теореме 29.1 ив
определении канонического a-представления, определяются
по-разному, они равны друг другу. Действительно, из
определений мгновенно вытекает, что идеал Д,
упомянутый в определении канонического а-представления, яв-

§ 29. Основная теорема о представлении а-алгебр
199
лиется подмножеством идеала Д, упомянутого в теореме
29.1. С другой стороны, если А £$, то А = (В0 U Вх) — В2,
где В0 как открыто, так и замкнуто, а В19 В2
принадлежат идеалу Д, упомянутому в определении канонического
a-представления. Если Л —множество первой категории,
т. е. А принадлежит идеалу Д из теоремы 29.1, то В0
пусто, и, значит, множество А^Вг — В2 принадлежит
идеалу Д в определении канонического а-представления.
Таким образом, эти два идеала совпадают.
29.5. 	Булева т-алгебра является хп-представимой тогда
и только тогда, когда каждая ее т-подалгебра, т-порож-
денная не более чем ш элементами, является т-предста-
вимой.
Это непосредственно вытекает из теоремы 29.3,
поскольку алгебра 91 удовлетворяет условию (гх) тогда и
только тогда, когда каждая ее m-подалгебра,
m-порожденная не более чем m элементами, удовлетворяет
условию (rj).
Примеры. А) Пусть 91 есть m-представимая булева
алгебра, X — пространство Стоуна алгебры 91, а $/Д —
каноническое m-представление алгебры 9Х. Тогда
существует такой изоморфизм g алгебры $/Д в поле что
(11) [g(A)]b=A
для каждого А£%/Д. В самом деле, X является тогда
пространством Стоуна алгебры $/Д, и естественный
изоморфизм g алгебры ^/Д на поле всех открыто-замкнутых
подмножеств пространства X обладает свойством (11).
Возникает вопрос, существует ли для каждого поля
подмножеств пространства X' и каждого идеала Д'
поля такой изоморфизм g алгебры $'/&' в поле
чтобы имело место равенство .(11). Следующий пример
дает отрицательный ответ на этот вопрос1).
Б) Если m < п < п', — поле всех подмножеств про¬
странства мощности п', а Д'— идеал всех подмножеств
мощности, не превосходящей т, то не существует ни
9 Пример.Б является частным случаем общей теоремы Неймана
и Стоуна [1]. Указанная работа содержит полное исследование этого
вопроса. См. также Тарский [3].

200
Г л. II. Бесконечные объединения и пересечения
одного изоморфизма g алгебры $'/&' в поле чтобы
выполнялось равенство (11).
Для упрощения доказательства мы будем считать,
что является полем всех подмножеств декартова
произведения ХхХ\ где X, X'— множества мощностей и
и и' соответственно. Для каждого х£Х положим Ах =
= (x)xXf и аналогично для каждого х'£Х' положим
Ах' — X х(х'). Допустим, что существует такой
гомоморфизм g алгебры $'/А' в поле что справедливо
равенство (11). Через U (U') обозначим множество всех
точек (х, х'), которые не принадлежат множеству £([Л*)]
[соответственно множеству g([Ax'])].
Ясно, что
(12) U\jU'=XxX’9
поскольку если (х, x')^U []U\ то
(X, *'Kg([AJ)ng([Av']) = g([(*, *')])= д,
что невозможно.
Для каждого х'£Х'
(13) Ax'f)U' имеет мощность меньше п,
поскольку Ах> П U'd Ах'— g([Ax']) £ А' в силу
равенства (11). Подобным же образом мы доказываем, что для
каждого х£Х пересечение AX[\U имеет мощность,
меньшую чем п. Отсюда вытекает, что мощность проекции
множества U на сомножитель X' не превосходит и.
Значит, существует точка х'0, которая не принадлежит
этой проекции, т. е. такая, что AXoaU' [см. (12)]. Таким
образом, Ax°r\U' имеет мощность и, что противоречит
условию (13).
Отметим, что можно ослабить предпосылку только
что доказанного утверждения. Например, достаточно
предполагать, что ц<п', а Д является идеалом всех
подмножеств мощности меньше и (в этой формулировке
оно включает случай идеала всех конечных подмножеств
несчетного пространства).
Рассматриваемая в этом параграфе проблема
представления может быть обобщена следующим образом.

§ 29. Основная теорема о представлении а-алгебр
201
Пусть 81— булева алгебра. Пусть далее J—класс
таких непустых подмножеств © алгебры 81, что ©^пт и
существует объединение
(14) U А = Л©
А е©
для каждого ©£J. Наконец, пусть М — класс таких
непустых подмножеств © алгебры 81, что © ш и
существует пересечение
(14') П А =
А е©
для каждого © £ М. При каких условиях существует
некоторое m-поле множеств $, его m-идеал Д и (J, М)-
изоморфизм ft алгебры 81 в алгебру $/Д? Мы напомним
(см. сгр. 143), что под (J, М)-изоморфизмом [(J, М)-го-
моморфизмом] мы понимаем изоморфизм (гомоморфизм),
сохраняющий все объединения (14) и пересечения (14').
Если изоморфизм ft, обладающий требуемыми -
свойствами, существует, то говорят, что алгебра 81 является
(J, М, т)-представимой.
Чтобы упростить формулировку ответа на
поставленный вопрос, заметим, что гомоморфизм ft, определенный
на алгебре 81, сохраняет все объединения (14) и
пересечения (14') тогда и только тогда, когда он сохраняет все
объединения
U (Л (J —А&)= V (©€ J),
/1ГЧ Ае<&
1 ; и (-ЛиЯ©) = У (©€М).
А 6©
Обозначим через J0 класс всех множеств элементов вида
Ли —Л© (Л б ©)
и всех множеств элементов вида
— ЛиЯ® (Л6@),
где ©£J или ©£М соответственно. Удобно
представлять класс J0 в виде индексированного множества
где
5 = ш.

202
Г л. //. Бесконечные объединения и пересечения
По определению
(15') U* At s = V Для каждого t £ Т0.
s € S ’
Класс всех объединений (15') совпадаете классом всех
объединений (15). Гомоморфизм Л, определенный на алгебре 34,
является (J, М)-гомоморфизмом тогда и только тогда,
когда он сохраняет все объединения (15').
Пусть Л0 —изоморфизм алгебры 34 на поле всех
открыто-замкнутых подмножеств пространства Стоуна X
алгебры 31. Дефектные множества
(16) X— и h0(AUs) (t g Т0),
SG S
соответствующие бесконечным объединениям из J0 (где
U обозначает теоретико-множественное объединение),
являются по теореме 22.2 нигде не плотными т-замкну-
тыми множествами. Множества (16) являются в точности
дефектными множествами, соответствующими
объединениям (14) и пересечениям (14'). Каждое подмножество
множества (16) называется (J, РЛ)-нигде не плотным. Любое
объединение не более чем щ (J, М)-нигде не плотных
множеств будет называться множеством (J, М, т)-катего-
рии. Множества
U h0 (Аи J (t £ Т0)
seS
являются плотными m-открытыми подмножествами
пространства X. Мы их будем называть плотными (J, М)-от-
крытыми множествами.
Пусть $ш обозначает, как и раньше, наименьшее щ-по-
ле, содержащее поле $0, а А обозначает теперь щ-идеал
всех множеств Л£$ш, являющихся множествами (J, М,
ш)-категории. Гомоморфизм h алгебры 31 в алгебру $Ш/Д,
определяемый формулой
h (А) = [h0 (Л)]д для любого А £ 31,
называется (J, М, т)-каноникеским гомоморфизмом.
Этот (J, М, щ)-канонический гомоморфизм h (алгебры 31
в алгебру $Ш/Д) сохраняет все объединения (15').
Доказательство такое же, как и доказательство
соответствующей части теоремы 29.2. Следовательно, h сохраняет все

§ 29. Основная теорема о представлении о-алгебр
203
объединения (14) и пересечения (14'), т. е. является
(J, М)-гомоморфизмом алгебры St в алгебру ^Ш/Д.
Ответ на наш вопрос дается следующей теоремой,
формулировка которой аналогична теореме 29.3,
благодаря введенной выше терминологии.
29.6. 	Следующие условия эквивалентны:
(R) (J, М, т)-канонический гомоморфизм является
изоморфизмом;
(Rx) алгебра St является (J, М, т)-представимой;
(R2) для каждого множества Т с Г0 мощности меньше ш
и каждого элемента А Ф Д (А £ SX) существует такая
функция ф £ ST , что
А П П Att ф(о^: А
t € Т'
для каждого конечного множества Т' сТ;
(Ra) для каждого множества ТсТ0 мощности, не
превосходящей т, и каждого собственного т-фильтра у
алгебры St существует такая функция ф £ST, что
А[\ П At, ф(о Ф Л
ter
для каждого А £у и каждого конечного множества Т'сТ\
(R3) в пространстве Стоуна алгебры St любое
пересечение не более чем ш плотных (J, Щ-открытых множеств
является плотным, т. е. любое пересечение не более чем т
плотных (J, М) -открытых множеств пересекает каждое
непустое открытое множество;
(Rg) в пространстве Стоуна алгебры St любое
пересечение не более чем ш плотных (J, Щ-открытых множеств
пересекает любое непустое открытое множество верхнего
характера т;
(R4) в пространстве Стоуна алгебры St каждое
множество (J, М, т)-категории является граничным множеством,
т. е. ни одно открытое непустое множество не является
множеством (J, М, т)-категории\
(R4) в пространстве Стоуна алгебры St ни одно
замкнутое непустое множество верхнего характера ш не
является множеством (J, Ш)-категории;

204
Г л. II. Бесконечные объединения и пересечения
(RJ для каждого множества Т сТ0 мощности, не
превосходящей ш, и каждого А Ф Д (А £9() существует
максимальный фильтр, содержащий А и сохраняющий все
объединения U At s= V, где t£T\
S € S ’
(Rs) для каждого множества Т сТ0 мощности, не
превосходящей ш, и каждого собственного т-фильтра у алгебры 94
существует максимальный фильтр, содержащий у и
сохраняющий все объединения U S=V, где t^T1)
S€S
Ясно, что условия (R), (R2), (Ri), (R3), (Ri), (R4),
(RI), (R5), (Rb) аналогичны условиям (r), (r2), (г'), (r3),
(r')\ (r4), (r4'), (r5), (r5') теоремы 29.3 соответственно.
• Доказательство теоремы 29.6 является легким
видоизменением доказательства теоремы 29.3, именно,
доказываются импликации
(R2) — (R3) — (RJ — (Re) — (R2)> (Ri) — (Rs) —
—(r-;>—<r;>—(r;>. (r2)—(r;) —(R«). (Rj—(R)-
— (Ri) — (R.,)-
Заметим, что если класс J содержит все множества ©
мощности, не превосходящей щ, для которых существуют
объединения (14), или если класс М содержит все
множества © мощности, не превосходящей гп, для которых
существуют пересечения (14'), то (J, М)-нигде не плотные
множества совпадают с щ-нигде не плотными множествами,
множества (J, М, ш)-категории совпадают с множествами
m-категории, a (J, М, ш)-канонический гомоморфизм —
с щ-каноническим гомоморфизмом со стр. 192. В этом случае
алгебра 91 является (J, М, непредставимой тогда и только
тогда, когда она является щ-представимой, а теорема 29.6
становится частью теоремы 29.3.
§ 30. Слабая (т, п)-дистрибутивность
Условия (rj) и (г2) теоремы 29.3 о представлении
аналогичны условиям (dx) и (d2) теоремы 19.2 (для п = ш),
т. е. они выражают некоторое свойство дистрибутивности,
2) Так же как и в теореме 29.3, мы используем определение (D)
(см. стр. 130) ш-фильтров.

§ 30. Слабая (m, х\)-дистрибутивность
205
более слабое, чем m-дистрибутивность, определенная
в § 19. Мы введем сейчас новое свойство
дистрибутивности, называемое слабой m-дистрибутивностью, которое
слабее, чем m-дистрибутивность, но сильнее, чем
свойства (rj) и (г2), т. е. сильнее чем m-представимость1).
С этой целью введем следующие обозначения.
Знаки Т и S будут обозначать непустые множества.
Через S обозначим класс всех конечных непустых
подмножеств множества S. В соответствии с соглашением,
принятым на стр. 9, ST есть множество всех
функций Ф, определенных на 7\ со значениями в классе S,
т. е. таких функций, что для каждого t £Т Ф (t) является
конечным непустым подмножеством множества 3. Если
5 —любое индексированное множество
элементов булевой алгебры, a®GSr, то положим
At, ф (О — U At s.
sеФ (t)
Говорят, что булева алгебра 21 является слабо (гп, п)-дм-
стрибутивной, если равенство
U U At s = U П At, (ф) (о
(*Т seS Ф65Г/6Г
выполняется для каждого (ш, ^-индексированного
множества {At^s}teT,ses элементов алгебры 21, для которого
существуют и все пересечения вида п ^.фю и
(1) существуют все объединения U Ai
s е S
и пересечение tQ т
Говорят, что алгебра 21 является слабо пьдисшрибу-
тивной, если она является .слабо (щ, т)-дистрибутивной.
По определению каждая булева алгебра является слабо
(ш, и)-дистрибутивной, если шип конечно. Чтобы
исключить этот тривиальный случай, мы в дальнейшем будем
считать, что ш и п —бесконечные числа.
*) Обсуждение связей между m-дистрибутивностью, слабой Ш-дис-
трибугивностью и tn-представимостью см. у Сикорского [27J.

206
Г л. II. Бесконечные объединения и пересечения
30.1. 	Для любой булевой алгебры 9( следующие условия
эквивалентных):
(w) алгебра 91 является слабо (ш, п)-дистрибутивной;
(wj) для каждого (ш, п)-индексированного множества
{Аи 5}/6 Tf se5, удовлетворяющего условию (1), если
(*  2) П U At Ф Д,
1етses
mo существует татя функция Ф £ ST, что2)
(3) П At,ф«)Ф Л;
/6 г
(w2) <5ля каждого (ш, л)-индексированного множества
{Аи s}/6 т, sss, удовлетворяющего условию (1), если
(4) П U Л<>5= V,
t e Т seS
mo для каждого Аф Д(Л£91) существует такая
функция Ф £ST, что
(5) А П П At, ф а) ф Д *,
teT
(w3) в пространстве Стоуна алгебры 91 внутренность
любого пересечения не более чем т плотных п-открытых
подмножеств является плотным подмножеством;
(w4) в пространстве Стоуна алгебры 91 каждое
объединение не более чем ш п-нигде не плотных множеств
является нигде не плотным множеством;
(w5) если задано произвольное множество бесконечных
объединений и пересечений в алгебре 91
(6) U AtiS=At) где S't < ш, t£T\ Т' <т,
s 6 s't
nmBUs = Bf9 где ^<т, t£T\ f"< ш,
s 6 Sj
mo каждый ненулевой элемент А £ 91 содержит такой
ненулевой элемент В, что всякий максимальный фильтр,
г) См. Сикорский [25], где теорема доказана для Ш=П.
2) Соотношение (3) следует читать так. или пересечения (3) не
существует или оно существует, но не равно Д. Аналогичное
замечание для соотношения (5).

§ 30. Слабая (m, Х\)-дистрибутивность
207
содержащий В, сохраняет все объединения и
пересечения (6).
Заметим, что в случае, когда ш = п, условие (w4) можно
сформулировать следующим образом:
(w4) в пространстве Стоуна алгебры 21 каждое
множество т-категории является нигде не плотным.
Из (w) следует (w^, из (wt) следует (w2), из (w2)
следует (w). Доказательство этих импликаций аналогично
доказательству импликаций (d) —► (d^, (б4) —► (d2),
(d2) —> (d) теоремы 19.2.
В доказательстве остальных импликаций h0 обозначает
изоморфизм алгебры 21 на поле всех открыто-замкнутых
подмножеств пространства Стоуна X алгебры 21.
Из (w2) следует (w3). Действительно, предположим,
что для каждого t £ Т (Т ^ щ) множество Gt является
n-открытым плотным подмножеством пространства X, т. е.
Gt= U h(AUs),
s 6 S
где
U'{ А
seS
t,
= V,
Пусть G0 обозначает внутренность пересечения
множеств Gv t£T, a GczX—любое непустое открытое
подмножество пространства X. Существует такой
ненулевой элемент А алгебры 21, что h0(A)czG. Согласно
условию (w2), существует такая функция Ф £ Sr, что
внутренность С пересечения
К (Л) П П К (At фц) )
16 т
не пуста. Поскольку С — открытое множество и Cch0 (А) П
П П мы получаем, что Cc=GnG0. Поскольку
пересеве г
чение G0 с любым непустым открытым множеством G
непусто, то G0 является плотным множеством.
Из (w3) следует (w4) путем перехода к дополнениям.
В доказательстве очередных двух импликаций мы
отождествим точки пространства X с максимальными
фильтрами, т. е. будем считать, что X есть множество
всех максимальных фильтров алгебры 21, а
M4)Hv€ Х-,
(см. доказательство теоремы 8.2).

208
Г л. //. Бесконечные объединения и пересечения
Из (w4) следует (w5). В самом деле, множество N
Есех максимальных фильтров, не сохраняющих некоторые
из объединений или пересечений (6), является
объединением не более чем ш n-нигде не плотных множеств,
именно дефектных множеств, соответствующих
объединениям и пересечениям (6) (см. теорему 22.2 и замечание*
на стр. 146), а значит, множество N является нигде не
плотным в силу условия (w4). Таким образом,
множество h0(A) — N имеет непустую внутренность, т. е.
существует такой элемент Б Ф Д (Вс Л), что h0(B)ah0 (А) — N.
Этот элемент В обладает требуемыми свойствами.
Из (w5) следует (w2). Допустим, что имеет место
равенство (4). Применим условие (w5) к объединениям
(7) U4t>,=v (ten
se S
Так как все максимальные фильтры, содержащие В
[т. е. принадлежащие й0(Б)], сохраняют все
объединения (7), то
h0(B)cz U h0(At 5) для каждого t£T.
seS
Поскольку h0(B) замкнуто, a h0(AUs) открыты, то
существует такое конечное множество Ф(0с:5, что
h0(B)c U h0(At s) =h0(A,, Ф t/)).
s € Ф (t)
Это означает (вместе с включением Вс: А), что
Д ф В а А П Аи ф (/) для каждого t£T.
Таким образом, неравенство (5) справедливо.
30.2. Каждая (ш, иудистрибутивная булева алгебра
является слабо (ш, п)-дистрибутивной
Это немедленно следует из определения.
30.3. Каждая слабо т-дистрибутивная булева алгебра
является т-представимой.
Поскольку условие (w3) влечет за собой (г3), то это
немедленно вытекает из теорем 29.3 и 30.1.

§ 30. Слабая (m, п)-дистрибутивность
209
Примеры. А) Каждая булева а-алгебра со строго
положительной конечной (или, более общим образом,
a-конечной) а-мерой т является слабо а-дистрибутив-
ной 1).
Мы докажем это только для случая конечной меры,
поскольку случай a-конечных мер можно свести к случаю
конечных мер (см. замечание в конце § 20).
Допустим, что
П и Аа>)=у,
1 < Я < СО 1 < j < СО
и пусть Аф /\. Поскольку мера т конечна и сг-адди-
тивна, то существует такое конечное множество Ф (п)
положительных целых чисел, что
, .. л ч у, .v т(А)
т( U Ап ■ N^/n(V)—5й+г-
V j € Ф (Я) ) *
Следовательно,
™ (, < „П< . Ап-ф шфт( \у)-ф .
Это доказывает, что Л Г) П Ап,ф(П)¥= А, т. е. имеет
1 < Я < СО
место условие (w2).
Б) Пусть $— поле всех борелевских множеств
вещественных чисел и Д —идеал всех множеств первой
категории. Полная булева алгебра $/Д не является слабо
а-дистрибутивной 2).
Пусть W — множество всех иррациональных чисел
единичного интервала 0<х<1, а А Пу у — множество всех
x£W, у которых разложение в непрерывную дробь
удовлетворяет условию an = j.
А) Эта теорема была ясно сформулирована и доказана Хорном
и Тарским [1], но ранее использовалась Банахом и Куратовским [1].
См. также Нейман [2].
2) См. фон Нейман [2].

210
Г л. II. Бесконечные объединения и пересечения
Тогда n U [А„, ,] = [Щф Л- С другой сто-
1 < Я < со 1 < j < со
роны, для каждой последовательности Ф (п) конечных
множеств положительных целых чисел пересечение
П Ап,Ф(п) является компактным множеством про-
1 < П < СО
странства W и потому нигде не плотно, а это означает,
что П [Ап. ф (п)] = Д. Таким образом, алгебра $/Д
1 < П < 00
не обладает свойством (w^.
В) Если Х = т+ и 2Ш = ш+ х), $— поле всех множеств
в пространстве X, а А— собственный m-идеал, содержащий
все одноточечные подмножества пространства X, то булева
m-алгебра $/Д не является щ-дистрибутивной*  2).
Достаточно доказать существование такого ш-индекси-
рованного множества {BUs)teTy ses подмножеств
пространства X, что
X = U Bf)S для каждого t £Т
seS
и что для каждой функции Ф £ ST множество
П Bt,<&(t)
ter
имеет мощность, не превосходящую ш. В самом деле,
в этом случае в алгебре $/Д для Аи s = [Вл s] выполняется
равенство
п и Л/,5 = V =И= Л>
tет seS
а для каждой функции Ф £ ST — равенство
П At фц) = Д.
ter
Поскольку существование таких множеств BUs в
пространстве X инвариантно при взаимно однозначных
преобразованиях пространства X, то достаточно доказать эго
утверждение только для множества X мощности шД
которое будет определено ниже. Удобно считать, что Т = S
равно множеству всех порядковых чисел мощности мень¬
*) ш+ обозначает наименьшее кардинальное число, большее
чем ш.
2) Эта теорема доказана Банахом и Куратовским [1]; см. также
Банах [1].

§ 30. Слабая (m, П)-дистрибутивность
211
ше т. Пусть (У —множество всех порядковых чисел
мощности, не превосходящей ш. В силу предположения, что
2ш=т+, существует индексированное множество {fa}U6U,
содержащее все элементы множества S7.
Для любых функций /, g £ ST мы будем писать g^f>
если g(t)^.f(t) для каждого t£T. Заметим, что для
любого множества X0dSr, X0^m, мы можем с помощью
диагонального метода построить такую функцию g£ST,
что ни для какого / £ Х0 неравенство не выпол¬
няется. Следовательно, для каждого порядкового
числа и£ U существует такая функция g==f4>{uh что ни для
какого и'^.и неравенство /Ф(М) <!/>(«') не выполняется
(ср С Uu). Более того, мы можем считать, что /ф (ы) =^=/ф {Ul)
для ифих.
Пусть теперь X — множество всех функций /ф (ы), u£U.
Ясно, что X имеет требуемую мощность и
(8) 	для каждой функции f £ST множество всех таких
g£X, что g<I/, имеет мощность, не превосходящую щ.
Пусть Bt s — множество всех таких что f(t) = s.
Ясно, что для каждого t£T пространство X является
объединением всех множеств BtjS, s£S. Пусть 0£Sr, а
f (t) равно наибольшему порядковому числу в конечном
непустом множестве Ф(/). По определению /£5Г, а
пересечение f| Bt ф(/) является подмножеством множества
teT
всех таких g£X, что g^/. В силу условия (8) оно
имеет мощность, меньшую или равную т.
Г) Пусть 91— булева алгебра, удовлетворяющая а-цеп-
ному условию. Алгебра 91 является а-дистрибутивной
тогда и только тогда, когда в пространстве Стоуна
алгебры 91 каждое множество первой категории является
нигде не плотным 1).
Действительно, из примера А § 22 следует, что если 91
удовлетворяет а-цепному условию, то понятия „а-нигде
не плотный" и „нигде не плотный^ совпадают в
пространстве Стоуна алгебры 91. Следовательно, множества а-кате-
гории совпадают с множествами первой категории.
Поэтому наше замечание немедленно вытекает из условия (wi)
теоремы 30.1.
0 Эту теорему доказали Келли [2] и Дж. Окстоби.

212
Г л. II. Бесконечные объединения и пересечения
§ 31. Свободные булевы т-алгебры
Пусть п — произвольное кардинальное число. Говорят,
что булева ш-алгебра 21 является свободной булевой т-ал-
зеброй с п свободными т-образующими, если в алгебре 21
существует подмножество ©, для которого выполнены
следующие условия:
(а) мощность множества © равна п,
(б) множество © щ-порождает алгебру 21 (т. е. алгебра
21 является наименьшей m-алгеброй, содержащей
множество ©),
(в) каждое отображение / множества © в булеву
ш-алгебру 21' продолжается до m-гомоморфизма алгебры
21 в алгебру 2Г.
Элементы множества © называются свободными пт-об-
разующими алгебры 21
Из предложения 23.3 вытекает, что все свободные
булевы m-алгебры с п свободными т-образующими
изоморфны между собой.
31.1. 	Свободная булева т-алгебра 21ш, „си свободными
тюб разу ющими существует для любых кардинальных ни-
сел т и и, н>01).
Пусть N — множество мощности и. Следуя общим
замечаниям на стр. 9, обозначим через 23^ множество
всех отображений v множества N в булеву алгебру 23.
Рассмотрим теперь соответствие а, которое
(г) каждой булевой ш-алгебре 23 сопоставляет
отображение а® множества 23^ в алгебру 23.
Например, таким соответствием а может служить
соответствие, при котором отображение задается по
формуле
а% (v) = v (п) для v С
где п—фиксированный элемент множества N. Такое
соответствие будем обозначать через п*. Итак, по
определению, если n^N, то через п* обозначается такое
соответствие, которое каждой булевой т-алгебре 23 сопо-
2) Ригер [5]. Приведенное здесь доказательство отличается от
доказательства Ригера.

§ 31. Свободные булевы ш-алгебры
213
ставляет отображение ги& множества sSN в алгебру 23,
причем это отображение п% определяется по формуле
п% (v) = V (п) для любого V £ 23^.
Легко видеть, что
(1) если пгФп2, то п\Фп\ (nv n2£N).
Если соответствие а обладает свойством (г), то через
—а будем обозначать соответствие, которое каждой
булевой пт-алгебре 23 сопоставляет отображение (—а)©
множества 23^' в алгебру 23, определяемое равенством
(2) (—a.)&(v) =—(a® (v)) для любого и £23^.
Соответствие —а тоже обладает свойством (г). Подобным
же образом для двух соответствий а и а', обладающих
свойством (г), определяются соответствия alia' и а Г) а'
при помощи равенств
(3) (аиа')<н(у)-а®(и)иай(у) для £>€23^,
(4) (а П a')» (v) ~ а« (v) П a® (v) для
причем эти соответствия тоже обладают свойством (г).
И вообще, если имеется семейство соответствий at1 t С Т\
и каждое из at обладает свойством (г), то и при
помощи равенств
(5) ( U a,Wt;)= U am(v) для
\teT J t e т
(6) ( П a*Wtf)= П <**® (я) ДДЯ v
\teT J teT
определяются соответствия \J at и fl at [тоже обладаю-
teT teT
щие свойством (г)].
Через Stm, „ обозначим наименьшее множество
соответствий а, обладающих свойством (г), для которого
выполняются условия:
(7) „ для каждого n£N,
(8) если a, а'£2(ш. „, то —а, а и а', а П а'€ 24m. Uf
(9) если 7<m, a,£3lWtn для всех t£T,
то Ua^ „и f| € St,», и*
teT teT

214
Г л. //. Бесконечные объединения и пересечения
Из соотношений (2), (3), (4) и (8) непосредственно
вытекает, что множество 31ш> п является булевой алгеброй
по отношению к операциям U , П, —, которые
определяются при помощи соотношений (2,) (3) и (4). Из
соотношений же (5), (6) и (9) вытекает, что алгебра „
является щ-полной. Именно если имеется семейство
элементов о^£91ш, и, t £Т, а Т ^лп, то элементы U а* и
16 т
f| а*, определяемые соотношениями (5) и (6), являются
16 т
соответственно объединением и пересечением элементов
at в булевой алгебре 91ш> Из определения алгебры
§1Ш, п вытекает, что семейство © элементов вида я*, где
я£М, щ-порождает алгебру Ш1П, «. Мощность семейства
© равна и [см. (1)]. Заметим, что, как следует из
формулы (4) § 23, имеет место неравенство
(10) 1,„. „<и"1.
Мы теперь покажем, что алгебра 9im, „ является
свободной булевой m-алгеброй, а множество © — множеством
свободных щ-образующих алгебры 9{Ш) к. Пусть f —
произвольное отображение множества © в некоторую булеву
Ш-алгебру §К\ Тогда формула
v' (я) = f (п*) для любого я £ N
определяет некоторый элемент v' множества (ЗГ)^. Из
соотношений (2), (3), (4), (5) и (6) непосредственно
вытекает формула
h(a)=r--a^(v') для а£?1ш „,
которая определяет щ-гомоморфизм алгебры 91ш, „ в
алгебру По определению
h (я*) = ntv (v') = v' (я) = f (я*),
т. е. гомоморфизм h является продолжением
отображения f. Теорема 31.1 доказана1).
г) Если мы хотим в доказательстве теоремы 31.1 избежать
логических затруднений, связанных с тем, что соответствие а
определялось на множестве всех булевых ш-алгебр £3, то достаточно
рассмотреть только такие булевы ш-алгебры S3, элементы которых

§ 31. Свободные булевы т-алгебры
215
31.2. 	Для любой булевой т-алгебры 21, число т-обра-
зующих которой не превосходит и, существует такой
т-идеал Д в свободной булевой т'-алгебре 21т, „ с п
свободными т-образующими, что алгебра 21 изоморфна алгебре
21Ш> «/А. Более того, еслг/ через © обозначить множество
свободных ш-образующих алгебры 21т, «, а через
—множество m-образующих алгебры 21, © = n, ©0^n, то леы
можем считать, что изоморфизм алгебры 21ш, ,,/Д на
алгебру 21 отображает множество всех элементов вида
Й]€21т.п/Д, где Д£©, на множество ©0
Пусть f — отображение множества © на множество ©0.
В силу условия (в) отображение f можно продолжить
до m-гомоморфизма Л0 алгебры 21Ш) « в алгебру 21.
Поскольку образ Л0 (21т, «) является m-подалгеброй алгебры
21, содержащей множество m-образующих ©0, то имеет
место равенство 21 = h0 (21Ш) п), т. е. h0 является ш-гомо-
морфизмом алгебры 2lm, ,, на алгебру 21. Тогда m-идеал Д
всех таких элементов Л£21ш, п, что А0(Л) = Д, и
изоморфизм Л, определенный равенством
h([A]) = h0(A) для Л g 21т.
обладают требуемыми свойствами.
принадлежат некоторому фиксированному множеству М, причем
мощность этого множества равна пш. Достаточно также свойство (в)
доказывать только для таких алгебр W, элементы которых
принадлежат множеству М.
Правомерность такого рассуждения вытекает из того, что
каждая булева m-алгебра не более чем с п Ш-образующими изоморфна
некоторой булевой алгебре, элементы которой уже принадлежат
множеству М [§ 23(4)]. С другой стороны, булева m-алгебра является
свободной, если выполнены условия (а) и (б), а также условие (в),
но только в условии (в) в качестве алгебры W берутся алгебры
с не более чем п ш-образующими (заменим алгебру W на ее т-под-
алгебру, которая m-порождается множеством /(0)!). Используя
указанный выше изоморфизм, достаточно показать, что алгебра ЭД
удовлетворяет условиям (а), (б) и условию (в), где в качестве
алгебры W берутся только алгебры, состоящие из элементов множества М.
Теорема 31.1 и ее доказательство остаются неизменными и в
случае произвольных абстрактных алгебр с конечными операциями, а
также алгебр с бесконечными операциями, но ограниченной мощности*

216
Г л. II. Бесконечные объединения и пересечения
Мы совсем ничего не знаем о структуре свободной
булевой m-алгебры ЗХШ, „си свободными ш-образующими
за исключением некоторых частных случаев. Если и
конечно, то конечная (и потому полная) свободная
булева алгебра 31о,п> определенная в§ 14, является гп-сво-
бодной для любого кардинального числа m (с тем же
самым множеством свободных образующих). В случае,
когда тп —— №0, а и — произвольное кардинальное число,
структура алгебры 31ш, „ хорошо описывается
приведенной ниже теоремой 31.6. По поводу остальных случаев
мы знаем только, что
31.3. 	Если n^v0, то свободная булева т-ал-
гебра 31Ш) „ не является т-представимой.
Полная алгебра 31 всех борелевских множеств
(вещественных чисел) по модулю множеств первой категории
обладает счетным числом a-образующих (следует взять
элементы, определяемые интервалами с рациональными
концами!), которые, следовательно, щ-порождают алгебру
ЗХ для каждого бесконечного кардинального числа ш.
По теореме 31.2 существует такой m-идеал А' в алгебре
31т, и, что алгебра 31 изоморфна факторалгебре ЗХШ, JА'.
Предположим, что имеет место равенство ЗХт, „ = ^/Д,
где $ есть щ-поле множеств, а А — его m-идеал. В силу
замечания в конце § 10 алгебра 3lm, „/А' изоморфна
факторалгебре ЗУД", где А" есть m-идеал всех таких элементов
что [Л]д£ А'. Следовательно, алгебра 31 изоморфна
алгебре $/А". Такой изоморфизм в случае т^2#<>
невозможен, поскольку алгебра 31 не является т-представимой
при т^2**о (см. замечание в начале § 29).
Можно доказать, что
(11) 31ш. u>m для m, n>iV0*).
1) Этот результат был недавно получен Гейфманом [1,3] и
Хейлсом [1, 2]. Он имеет следующее интересное следствие. Заменив
везде в определении свободной булевой ш-алгебры слова „т-алгебра“
на слова „полная алгебра", а „т-порождает" на „вполне порождает",
мы получаем аналогичное определение для свободной полной булевой
алгебры 31 с множеством © п свободных полных образующих. Такая
свободная полная булева алгебра с п образующими существует,
если п конечно (а именно совпадает с алгеброй 310, „)» и не сущест-

§ 31. Свободные булевы т-алггбры
217
Доказательство неравенства (11) будет дано в
примере М § 35.
Иногда бывает удобным определять понятие свободной
m-алгебры относительно некоторого меньшего класса
булевых m-алгебр, а именно пусть К — некоторый класс
булевых m-алгебр. Говорят, что алгебра 31 £ К является
К-свободной ш-алгеброй (или свободной в классе К m-алгебр)
с п свободными т-образующими, если 31 содержит
подмножество ©, удовлетворяющее условиям (а), (б) и
условию (в) для каждого 31' £ К. Единственное отличие этого
определения от определения на стр. 212 заключается
в том, что мы требуем, чтобы алгебры 31 и 31'
находились в классе К. Так же как и раньше, из теоремы 23.3
мы заключаем, что все К-свободные m-алгебры с и
свободными т-образующими изоморфны между собой (при
условии, что они существуют).
. В этом параграфе мы рассмотрим только случай,
когда К является классом всех m-представимых ш-алгебр.
В этом случае К-свободная m-алгебра с и свободными
m-образующими будет называться свободной т-предста-
вымой с и свободными т-образующими.
Для описания структуры свободных т-представимых
алгебр мы напомним обозначения из § 14 (стр. 71) и
из примера В § 24: <2>п обозначает обобщенный канторов
дисконтинуум веса п, т. е. декартово произведение
й>я= Р Ht = HTо, где #, = #(— 1, 1), а Г0 = п. Для
tsT о
каждого t £ Т0 через Dt обозначается множество всех
точек из й>„, у которых координата с номером t равна 1.
Через ^ш, « обозначено m-поле, т-порождаемое
множествами Dt, т. е. m-порождаемое полем $о, и всех открыто-
замкнутых подмножеств <2)п.
31.4. 	Наименьшее m-поле ^ш> п, содержащее все
открыто-замкнутые подмножества канторова дисконтинуума
вует, если и бесконечно, ибо можно доказать (таким же методом,
как и аналогичное утверждение в примере Ж § 35), что
наименьшая m-подалгебра, содержащая множество @, должна быть
свободной булевой щ-алгеброй с n-образующими. Следовательно, в случае
бесконечного п мы имеем неравенство 31 ^ Ш для каждого
кардинального числа ш, что невозможно.

218
Г л. У/. Бесконечные объединения и пересечения
£DlXt является свободной т-представимой алгеброй с и
свободными т-образующими. В качестве свободных т-обра-
зующих алгебры ^ш> „ можно взять множества Df1).
Доказательство является повторением метода,
использованного в доказательстве теоремы 15.1.
Достаточно показать, что каждое отображение /
множества © всех образующих Dt (t £ Г0) в любую булеву
алгебру $7Д, где есть m-поле подмножеств X, а
Д —Ш-идеал поля можно продолжить до
гомоморфизма h алгебры п в алгебру $/Д.
Для каждого t £ Т0 обозначаем через такое
множество, что
f(Dt) = [Xt}.
Положим далее
Ф, (х) =
1, если х£ Xt,
— 1, если x€ — Xt = X — Xf.
Отображение ф (х) = {ф, (*)} множества X в пространство
индуцирует m-гомоморфизм h с помощью формулы
/г (Л) = [ф""1 (^4)]а 6 г?/Л для любого А £ „,
причем этот гомоморфизм h и является требуемым
продолжением отображения /.
Следующую теорему мы докажем методом, подобным
доказательству теоремы 31.2.
31.5. 	Для каждой m-представимой т-алгебры 91 с
множеством ©о ш-образующих, ©0^п, существует такой
т-идеал Д в алгебре „, что алгебра 91 изоморфна
факторалгебре $ш „/Д. Более того, мы можем считать,
что этот изоморфизм отображает множество всех
элементов [Dt] на все множество С50
В случае m = tt0 класс всех а-алгебр совпадает с
классом всех а-представимых а-алгебр (это вытекает из
теоремы 29.1). Следовательно, в силу теорем 31.4 и 31.2
(или 31.5) имеет место теорема
г) В случае т=П = ^0 теоремы 31.4 — 31.6 были доказаны
Сикорским )14] Случай n > 0 был впервые рассмотрен Ригером [5].
Доказательство, предложенное здесь, было дано Сикорским [17].

§ 31. Свободные булевы т-алгебры
219
31.6. Наименьшее a-поле %0,п подмножеств канто-
рова дисконтинуума S)n> содержащее все
открыто-замкнутые подмножества пространства g>„, является свободной
булевой о-алгеброй. Множества Dt являются свободными
о-образующими алгебры $0, «•
Каждая булева алгебра с не более чем п образующими
изоморфна факторалгебре $а, Ц/Д алгебры $а, п по
некоторому о-идеалу А.
Видоизменяя определение на стр. 71 § 14, мы будем
говорить, что индексированное семейство {At}teT
элементов булевой алгебры 21 является т-независимым, если
для каждого подмножества индексов Т'аТ, Т' ^гп,
и для каждой функции e(f) = ± 1 пересечение f|
ter
существует и не равно Д. Конечно, если семейство
{At\te т m-независимо, то оно также независимо и в смысле
определения на стр. 71.
31.7. Свободные m-образующие алгебры 2tm, п являются
т-независимыми. Свободные т-образующие т-поля „
также являются т-независимыми.
Вторая часть теоремы 31.7 немедленно вытекает из
определения множеств Dt. Доказательство подобно
доказательству аналогичного утверждения на стр. 71.
Для доказательства первой части теоремы 31.7
обозначим через f любое взаимно однозначное отображение
множества © свободных m-образующих алгебры 2tm, „ на
семейство всех множеств Dt. Пусть далее At обозначает
элемент множества 0, чей образ равен Dt. В силу
свойства (в) отображение / можно продолжить до т-гомомор-
физма h алгебры Щт> „ в поле $ш§ „. Поскольку для
подмножества индексов Т'сТ0, Т'<ш, имеет место
соотношение
П z(t)'At)^= П e(t)-Dt=^=/\9
teT' ter'
то отсюда вытекает, что п е(0-Л<¥=Л.
ter■
Следующее замечание непосредственно вытекает из
теорем 31.7 и 14.2,

220
Г л. II. Бесконечные объединения и пересечения
31.8. 	Подалгебра St0i « (алгебры п), порождаемая
множеством © свободных т-образующих алгебры 91ш§ „,
является свободной булевой алгеброй с п свободными
образующими.
Справедливо также аналогичное замечание
относительно поля ^М( п, так как по определению алгебра,
порожденная свободными m-образующими Dt поля $ш>
есть свободная булева алгебра $0, и, определенная на
стр. 71.
Поскольку алгебра £уш> п есть m-поле множеств, а
каждое m-поле множеств является ш-представимой ш-алгеброй,
то из теоремы 31.4 следует, что алгебра $ ш> п является
свободной алгеброй в классе всех m-полей множеств1).
§ 32. Гомоморфизмы, индуцированные поточечными
отображениями
Мы напомним [см. пример А § 5 и 11], что
гомоморфизм h поля % подмножеств пространства X в поле
подмножеств пространства X' называется гомоморфизмом,
индуцированным поточечным отображением ф
пространства X' в пространство X, если выполнено равенство
(1) h (А) = ф-1 (А) для каждого
Очевидно, что если поля ^ и являются ш-полями
множеств, а гомоморфизм h индуцирован поточечным
отображением ф, то гомоморфизм h является т-гомомор-
физмом. Однако не каждый т-гомоморфизм т-поля %
в т-поле индуцируется поточечным отображением.
Пример. А) Следующий пример является несложной
модификацией примеров Г из § 8 и Б из § 11.
Пусть X — множество мощности, строго большей ш,
а % — поле, состоящее из всех подмножеств множества X,
мощность которых не превосходит ш, и из всех
дополнений к таким подмножествам. Поле $ является т-полем.
Предположим, что точка х0 не принадлежит простран-
’) Это следует также из общих свойств свободных алгебр,
описанных Пирсом [8].

§ 32. Индуцированные гомоморфизмы
221
ству X. Через X' обозначим объединение пространства X
и точки х0. Положим далее
Гомоморфизм h является ш-гомоморфизмом поля $
в поле всех подмножеств пространства X', причем
ни одно отображение ср пространства X' в пространство
X не индуцирует гомоморфизм h.
Необходимым и достаточным условием для того, чтобы
m-гомоморфизм h некоторого ш-поля % подмножеств
пространства X в т-поле подмножеств пространства X'
индуцировался поточечным отображением пространств,
является следующее условие: если максимальный
m-фильтр V' поля определяется некоторой точкой х'
пространства X', то максимальный m-фильтр у=Л_1(У')
Гоже определяется некоторой точкой л: пространства X.
Доказательство этого утверждения в точности повторяет
доказательство .аналогичного утверждения из § 11.
Доказательство следующей теоремы также аналогично
доказательству утверждения 11.1.
32.1. Если т-поле ^ является т-совершенным, то
каждый т-гомоморфизм h поля $ в т-поле индуцируется
поточечным отображением.
Следовательно, если т-изоморфизм h (упоминаемый
в предложении 24.3) поля % на ш-совершенное приведенное
т-поле множеств индуцируется поточечным отображением,
то поле g является т-совершенным1).
Следующая теорема является немедленным следствием
теоремы 32.1 (см также утверждение 27.1).
32.2. Если мощность множества X является т-совер-
шеннойу то каждый т-гомоморфизм поля $ всех
подмножеств множества X в любое т-поле индуцируется
поточечным отображением.
1) Теоремы 32.1, 32.2 и 32.4—32.6 являются небольшим
изменением аналогичных утверждений, доказанных Сикорским [6, 8, 18]
Для случая m = i4V
А и (л:0), если X — А
А, если А ^ ш,

222
Гл. II. Бесконечные объединения и пересечения
Если мощность метрического пространства X является
о-совершенной, то каждый о-гомоморфизм h поля $ веек
борелевских подмножеств пространства X в любое о-поле
индуцируется поточечным отображением.
Следующая теорема выясняет структуру т-гомомор-
физмов булевой т-алгебры 94 в любое т-поле множеств.
Прежде чем сформулировать эту теорему, введем
некоторые обозначения. Пусть h0 (А) — множество всех
максимальных щ-фильтров V алгебры 94, содержащих
множество Л (Л £94). Через X обозначим множество всех
максимальных m-фильтров алгебры 94.
32.3. 	Для каждого т-гомоморфизма h булевой
т-алгебры 94 в т-поле подмножеств пространства X'
существует такое отображение ф пространства X'
в пространстве X, что
h (А) = ф"1 (h0 (Л)) для каждого А £ 94.
Заметим сначала, что для любых элементов Аъ Л2£94
если h (ЛЛ Ф h (Л2), то hQ(Ax) ¥=К{А2),
ибо если существует точка х0 £/г(Л1) — /г(Л2), то
множество V всех таких элементов Л £ 94, что
х0£/г(Л), является максимальным щ-фильтром, причем
V€M^i)-AoM2).
Следовательно, равенство
(/?0 (Л)) = /г (Л) для любого Л £ 94
определяет отображение hx из щ-поля ^ = /?0(94) (см. 22.1)
в поле Легко проверяется, что отображение И1
является щ-гомоморфизмом. Как следует из рассуждений,
приведенных в примере Е § 24, поле является щ-со-
вершенным. Из утверждения 32.1 вытекает, что
гомоморфизм /?! индуцируется поточечным отображением ф.
Следовательно, отображение ф обладает требуемыми
свойствами.
Напомним, что если Д и Д' — идеалы полей $ и
соответственно (которые являются полями подмножеств
пространств X и X'), то в этом случае говорят, что
гомоморфизм h факторалгебры $/Д в факторалгебру ^'/Д'

§ 32. Индуцированные гомоморфизмы
223
индуцируется поточечным отображением ф пространства X'
в пространство X, если
(2) л(№) = [ф_1И)к
для каждого элемента (см. § 15). В частности,
когда идеал Д является нулевым, говорят, что
гомоморфизм h поля в факторалгебру $'/Д' индуцируется
отображением ф пространства X' в пространство X, если
(3) h(A) = [y-'(A))v
для каждого элемента
Ясно, что если поля $ и являются ш-полями,
идеалы Д и Д' являются m-идеалами, а гомоморфизм h
факторалгебры в факторалгебру $'/Д' индуцируется
поточечным отображением ф, то гомоморфизм h является
m-гомоморфизмом ш-алгебр.
Пусть $ш, п обозначает то же, что и в § 31, т. е.
наименьшее m-поле, содержащее все открыто-замкнутые
подмножества обобщенного канторова дисконтинуума й)п
веса п. Тогда следующая теорема доказывается так же,
как и утверждение 15.1.
32.4. Если Д является т-идеалом поля „, а Д'
является т-идеалом т-поля то всякий т-гомоморфизм h
факторалгебры $ш> П/Дв факторалгебру /Д' индуцируется
поточечным отображением.
Как известно, всякое сепарабельное метрическое
пространство X гомеоморфно подмножеству гильбертова
куба Ж (т. е. декартова произведения счетного числа
единичных интервалов). Говорят, что пространство X
является абсолютным борелевским пространством, если
оно гомеоморфно борелевскому подмножеству
гильбертова куба Ж. Например, каждое полное метрическое
пространство является абсолютным борелевским
пространством *).
32.5. Пусть X — абсолютное борелевское пространство,
$ является о-полем всех борелевских подмножеств про-
*) См., например, Куратовский [3], стр. 441.

224
Г л. II. бесконечные объединения и пересечения
странства X, а Д является о-идеалом поля Тогда
каждый о-гомоморфизм h факторалгебры ^у/Д в фактор-
алгебру гУ/А\ где —некоторое о-поле, а Д'— некоторый
о-идеал поля индуцируется поточечным отображением.
Рассмотрим сначала случай, когда пространство X
является не более чем счетным множеством, Х = (х19
х2,. ..). Пусть Вп £ —такое множество, что
h ([(*„)]д) = [£„]д-. Положим C1 = B1U(X — (Bj (J В2 U . •)).
Сп = Вп — (В, U • • • U В„_1) для n > 1. Множества Сп по-
парно не пересекаются, объединение этих множеств
равно X, a h([(xn)]д = [С„]д'. Отображение ф,
определенное по формуле
(р(х') = хп для любого
индуцирует гомоморфизм h.
Предположим теперь, что пространство X является
несчетным множеством. В этом случае доказательство
основывается -на следующей топологической теореме:
если пространство X является несчетным абсолютным
борелевским пространством, то существует такое взаимно
однозначное отображение канторова дисконтинуума <2>к0
на пространство X, что для каждого подмножества
множество ф(Л) является борелевским
подмножеством тогда и только тогда, когда множество А
является борелевским подмножеством пространства
(т. е. когда Л £ а) *)•
Пусть Д" является классом всех множеств Л£^0>0,
для которых ф(Л)£Д- Отображение h\ определенное
по формуле
А'([Л]д.) = й([1>(Л)]д) (Л
является а-гомоморфизмом факторалгебры ^ 0/Д" в
факторалгебру $'/Д'- Вследствие утверждения 32.4
а-гомоморфизм h' индуцируется некоторым поточечным
отображением ф\ Легко проверить, что отображение
ф (л:') = гр (ф' (л:')) индуцирует гомоморфизм h.  11) См., например, Куратовский [3], стр. 463.

§ 32. И ндуцированные гомоморфизмы
225
Пример. Б) Если сепарабельное метрическое
пространство X не является абсолютным борелевским
пространством, то тогда существует a-поле ^у', а-идеал Д'
поля и такой а-гомоморфизм h поля $ всех борелев-
ских подмножеств пространства X в факторалгебру ^'/Д',
который не индуцируется никаким поточечным
отображением *).
Действительно, мы можем считать, что пространство
X является неборелевским подмножеством гильбертова
куба Ж. Положим Х' = $?, и пусть %' является а-полем
всех борелевских подмножеств пространства X', а Д' —
a-идеалом всех множеств А £^у', которые не пересекаются
с пространством X. По определению $^^у'|Х (см.
пример Б § 10). Тогда а-изоморфизм h поля $ на алгебру
$'/Д', определенный по формуле
(4) h(A П Х) = [Л]д' для любого Л£$',
не индуцируется никаким поточечным отображением ср
пространства X' в пространстве X. В самом деле,
предположим, что такое отображение ср существует. Тогда
Ф~1(В)^3:' для т. е. отображение ср является
бэровским отображением пространств. Заменяя в
формуле (4) множество А на одноточечное подмножество (х)
пространства X, мы легко получаем, что ф(х) = л:для
х£Х. Следовательно, пространство X состоит из всех
таких точек л;'£Х', что ф(л;') = л;'. Отсюда вытекает,
что пространство X является борелевским подмножеством
пространства X'. Противоречие доказывает утверждение.
Пусть теперь SI и 21' являются ш-представимыми
алгебрами, пространства X и X'— пространствами Стоуна
этих алгебр, а алгебры ^у/Д и ^у'/Д' — их каноническими
m-представлениями (см. § 29, стр. 192). Так как алгебра
81 изоморфна алгебре ^/Д, а алгебра 81' изоморфна
алгебре ^у'/Д', то исследование щ-гомоморфизмов алгебры
81 в алгебру 81' всегда можно свести к изучению ш-го-
моморфизмов алгебры ^у/Д в алгебру ^'/Д'. Следующая
теорема утверждает, что это исследование можно свести
к изучению m-непрерывных отображений пространства X'
в пространство X.
9 Сикорский [6].

226
Г л. II. Бесконечные объединения и пересечения
32.6. 	Пусть 81 и 81' — две т-представимые булевы
алгебры. Тогда каждый т-гомоморфизм h канонического
пт-представления $/Д алгебры 81 в каноническое т-пред-
ставление £у'/Д' алгебры 8(' индуцируется некоторым
т-непрерывным отображением ф пространства Стоуна X'
алгебры 81' в пространство Стоуна X алгебры 81.
Пусть $0 и g; являются полями открыто-замкнутых
подмножеств пространств X и X' соответственно. Так
как поле изоморфно алгебре ^у/Д, а поле
алгебре ^у'/Д', то гомоморфизм h определяет
соответствующий гомоморфизм Л' поля в поле ^ [см. (9) § 22].
По определению имеет место равенство
А([40]д ) = [А' (^о)Ь' Для каждого Л0€$0.
Вследствие теоремы 11.1 гомоморфизм W индуцируется
непрерывным отображением ф пространства X' в
пространство X, т. е.
К (Л0) = ф"1 (Л0) для каждого А0£%0.
Тогда
(б) Л([Л0])Д )-[ф"1(Л0)]Д' для каждого Л0€$о-
Так как ф"1(Л0)^^о Для всех множеств Л0£^0, то
полный прообраз ф_1(Л) любого множества А из
наименьшего щ-поля, содержащего поле $0, тоже
принадлежит наименьшему щ-полю, содержащему поле •
В силу утверждения 22.5 отображение ф является
m-непрерывным. Итак, для каждого нигде не плотного
m-замкнутого подмножества пространства X прообраз
Ф_1(5) принадлежит идеалу Д' и, значит, ф-1(В)£Д'
для каждого множества В£Д. Отсюда вытекает, что
Ф-1(Л)£$’' для каждого множества Л ^ и что формула
(6) h" ([Л]д ) = [ф-1 (Л)]Д' для любого А£%
определяет гомоморфизм h" алгебры £у/Д в алгебру $'/Д'.
Поскольку всякий элемент А £ $ можно представить
в виде
Л-(Л0иВ1)-В2, где А0£%0 и Blt В2£ Д,

§ 32. Индуцированные гомоморфизмы
227
то из формул (5) и (6) следует, что гомоморфизм h"
совпадает с гомоморфизмом Л, т. е. отображение ф
индуцирует гомоморфизм h.
Пример. В) Во всех теоремах об индуцированных
гомоморфизмах, которые были приведены в § 11, 15 и
32, кроме теоремы 32.6, ограничения налагались только
на область определения ^у/Д (или $■) изучаемого
гомоморфизма, в то время как структура области значений
$'/Д' (или ^') гомоморфизма была произвольной. В
теореме же 32.6 структура алгебры ^у'/Д' предполагается
специальной. Поэтому возникает вопрос, остается ли
теорема 32.6 справедливой (конечно, уже без требования
непрерывности отображения ф), если предположить
только, что поле %' является некоторым ш-полем
множеств, а Д' —некоторым m-идеалом поля ^у'. Ответ на
этот вопрос отрицательный.
Пусть, например, алгебра 31 = £у'/Д' является фактор-
алгеброй, как это было определено в примере Б § 29,
т. е. поле является m-полем, идеал Д' является
ш-идеалом поля ^у' и не существует ни одного
изоморфизма g алгебры ^'/Д' в поле$', такого, что [§-(Л)]д=Л
для каждого элемента Л£^у7Д'. Пусть ^/Д —
каноническое представление алгебры 31. Тогда естественный
изоморфизм h алгебры $7Д на алгебру fy'/Д' не
индуцируется ни одним поточечным отображением1). В самом
деле, предположим, что такое отображение существует.
Пусть Л —некоторый элемент алгебры $'/Д'. Элемент
h~1(A)£%!Д представим в виде
А“1М) = И0]д,
где А0 является открыто-замкнутым множеством.
Множество Л0 однозначно определяется множеством А и
указанным выше условием. Тогда отображение g(A) =
= Ф-1(Л0) является изоморфизмом алгебры ^у'/Д' в
поле причем [g(A)]^ = A для каждого Л£^'/Д'.
Противоречие.
Аналогично тому, как это сделано в конце § 15,
нужно было бы исследовать проблему, которая тесно
1) Трачик [1].

228
Г л. II. Бесконечные объединения и пересечения
связана с существованием индуцирующих отображений.
А именно, при каких условиях данная булева ш-алгебра
3t обладает свойством:
(а) для каждого m-гомоморфизма h алгебры St в
любую булеву алгебру St'/A' (где St'— некоторая булева
m-алгебра, а Д' —ее m-идеал) существует такой
m-гомоморфизм W алгебры SI в алгебру ЗГ, что
А (Л) = [А' (Л)]д' для каждого А £ St?
Ответ на этот вопрос дается теоремой, аналогичной
теореме 15.3. Точно ее сформулировать мы предоставляем
читателю.
§ 33. Теоремы о продолжении гомоморфизмов
Следующая теорема будет полезна в § 35.
33.1. 	Пусть St0 является подалгеброй булевой алгебры St.
Тогда каждый гомоморфизм алгебры 3t0 в полную булеву
алгебру St' может быть продолжен до гомоморфизма
алгебры St в алгебру St'А).
Достаточно доказать, что если А0 —гомоморфизм
подалгебры 310 алгебры St в полную булеву алгебру 5Г
и если Л0£31, то гомоморфизм А0 может быть продолжен
до гомоморфизма h подалгебры Э^, порожденной
подалгеброй 3t0 и элементом А0. Действительно, теорема 33.1
немедленно вытекает из этого утверждения. Достаточно
упорядочить все элементы алгебры St в трансфинитную
последовательность {Аа\а<р и продолжать гомоморфизм
шаг за шагом на наименьшую подалгебру, содержащую
подалгебру 310 и элементы Л0, Alt ..., Аа, ...
соответственно.
Для доказательства леммы вспоминаем, что 31х является
множеством всех элементов А £ St, которые могут быть
представлены в виде
(1) Л = (ЛХЛ A0)U(A2-A0),
где Аг, Л2£210 [см. (3) § 4]. Пусть Вх является
объединением (в полной алгебре ЗГ) всех элементов h0 (Л), где
Сикорский [5J.

§ 33. Теоремы о продолжении гомоморфизмов
229
и АаА0. Подобным же образом пусть В2 является
пересечением (в полной алгебре 91') всех элементов h0 (Л),
где А £9(0, А0сА. По определению В1сВ2. Выберем так
элемент чтобы выполнялось включение В1сВс:В2.
По определению
(2) если С, DgS10 и СсЛ0сП, то h0(C)c:Bc:h0(D).
Если элемент имеет вид (1), то определяем
элемент h (А) с помощью равенства
(3) h(A)^(h0(A1)f]B)U(ha(Ai)-B).
Для того чтобы проверить корректность этого
определения, мы должны показать, что элемент, стоящий в правой
части равенства (3), не зависит от представления элемента
А в форме (I)1). Предположим, что одновременно
имеют место равенства (1) и
(1') А = (А'1ПАв)[](А'2-Ав),
где А[, А’2£Ш0- Из равенств (1) и (1') вытекает, что
А2 — А2сА0, А'2—А2сА0,
А0с — ЛиИ;, AodA^ — А[.
Следовательно, в силу утверждения (2)
h0(A2) — h0(A'2)cB, h0(A'2) — h0(A2)cB,
Вс — /г„ (Лх) ий0 (А\), Bch„ {А^ U — К(А\).
Отсюда получаем, что
(h0 (Аг) П В) U (А0 Ш — В) = (h0 {А\) П В) и {К (А2) - В).
Таким образом, равенство (3) однозначно определяет
отображение h алгебры 3it в алгебру 31'. Легко
проверить, что оно является гомоморфизмом. Если А С ?10>
то A = (Af] Л0)и(Л — Л0), и в силу равенства (3)
А(Л) = (йо04)пЯ)и(Ао(Л)-Я) = Ао(Л).
х) Эту часть доказательства можно заменить проверкой того,
что отображение f, которое совпадает с отображением к0 на и
принимает значение В на элементе Л0, удовлетворяет условию (4)

230
Га. //. Бесконечные объединения и пересечении
Другими словами, гомоморфизм h является продолжением
гомоморфизма h0.
Заметим, что теорема 33.1 является обобщением
теоремы 6.1 (iii). Чтобы получить теорему 6.1 (in) из
теоремы 33.1, достаточно предположить в последней, что'
алгебра 81' есть двухэлементная булева алгебра, алгебра
—ее подалгебра, состоящая из всех элементов А£А0
и их дополнений, а гомоморфизм h0 определяется
формулой
МЛ)
Л, если Л€Д0,
V, если —А£ Д0.
Теорему 33.1 можно сформулировать также следующим
образом. Пусть h — гомоморфизм булевой алгебры 810
в полную булеву алгебру 81', и пусть g —изоморфизм
алгебры 810 в булеву алгебру 81. Тогда существует такой
гомоморфизм h' алгебры 81 в алгебру 81', что h = h'g.
Переходя к пространствам Стоуна Х0, X, X' алгебр
810, 21» 21' соответственно и к непрерывным отображениям
ф, фС ф, которые индуцируют соответственно
гомоморфизмы ft, A', g, мы получаем следующую топологическую
формулировку теоремы 33.1. Если ф —непрерывное
отображение экстремально несвязного компактного
пространства X' во вполне несвязное компактное
пространство Х0 и если ф является непрерывным отображением
вполне несвязного компактного пространства X на
пространство Х0, то существует такое непрерывное
отображение ф' пространства X' в пространство X, чтоф = фф,:1).
Отметим, что условие полноты алгебры 81' может быть
заменено в теореме 33.1 предположением, что алгебра
81' является m-полной булевой алгеброй для т = 1Г.
Если же Щ0<8Г, то можно ограничиться условием, что
алгебра 81' является m-полной для каждого
кардинального числа т <Ш. Доказательство остается неизменным.
г) Эта теорема является частным случаем более общей
топологической теоремы, доказанной Глисоном [1]. Относильно связи между
теоремой 33.1 и теоремой Глисона, а также приложений теоремы
Глисона и смежных вопросов см. Халмош [8], Исбелл и Семадени [1],
Рейнватер [1], Семадени [4, 5].

§ 33. Теоремы о продолясении гомоморфизмов
231
33.2. Пусть Э10 — плотная подалгебра булевой алгебры 81,
a h0 — изоморфизм алгебры 810 в полную булеву алгебру 81'.
Тогда изоморфизм h0 может быть продолжен до
изоморфизма h алгебры 81 в алгебру 8Г 1}.
В силу теоремы 33.1 изоморфизм Л0 можно
продолжить до гомоморфизма h алгебры 81 в алгебру 81'. Если
А £ 81, А Ф Д, то существует такой элемент А0 £ 810> что
/\фА0а А. Следовательно, (А0) = Л(Л0)с/г (Л).
Значит, к(А)Ф/\, а это доказывает, что h является
изоморфизмом.
33.3. Пусть 81 и 81'—две полные булевы алгебры, a
h0—изоморфизм подалгебры 8[0с:81 на плотную подалгебру 81qC:81' .
Тогда всякий гомоморфизм h алгебры 81 в алгебру 81',
продолжающий гомоморфизм h0, отображает алгебру 81
на всю алгебру 81'.
Пусть В —некоторый элемент из алгебры ЭГ. Пусть
далее А является булевым объединением (в полной
алгебре 81) всех элементов й^1(В1), где В1^%, Вгс:В.
Если В1У В2£8Г0 и В1аВс:В2, то
hz1(Bx)dAc:ho1(B2).
Следовательно,
B1 = h (h^1 (Bx))ah (Л) с A (ho1 (В2)) = В%.
Так как алгебра 8Г0 плотна в алгебре 81', то элемент В
является пересечением всех таких элементов B2£8Ii, что
ВсВ2, и одновременно В является объединением всех
таких элементов Вх£81о, что ВхаВ (см. теорему 23.1).
Итак, B=h(A)y что и доказывает утверждение.
33.4. Пусть 810 и 8Ц — плотные подалгебры в полных
булевых алгебрах 81 и 81' соответственно. Тогда каждый
изоморфизм алгебры 810 на алгебру 81© можно продолжить
до изоморфизма алгебры 81 на алгебру 81'.
Это немедленно вытекает из теорем 33.2 и 33.3.
Леммы 33.2—33.4 доказаны Сикорским [13].

232
Г л. II. Бесконечные объединения и пересечений
§ 34. Теоремы о продолжении (отображений) до
гомоморфизмов
Пусть 31 и ЗГ — булевы m-алгебры, а © —
подмножество алгебры ЗГ которое m-порождает алгебру 31
(см. § 23). Мы рассмотрим задачу нахождения условий,
при которых отображение / множества © в алгебру ЗГ
можно продолжить до m-гомоморфизма h алгебры 3(
в алгебру ЗГ. Напомним, что если это продолжение
существует, то оно единственно [см. (5) § 23].
Очевидно, для того чтобы отображение /
продолжалось до m-гомоморфизма, необходимо следующее условие:
(а) если П'1 е (0 • At = Да , то f|r е(07 (At) = А г
ter teT
для каждого m-индексированного семейства At £ © и
каждой функции е(/) = ±1. Это следует из
перестановочности продолжения h с операциями п и — .
Вообще говоря, условие (а) не является достаточным
для существования продолжения h (см. следующие ниже
примеры А, Б и Г).
Мы будем говорить, что булева ш-алгебра 31' обладает
свойством сильной т-продолжаемости, если для любой
булевой ш-алгебры 3( каждое отображение / (множества©,
которое m-порождает алгебру 31, в алгебру ЗГ),
удовлетворяющее условию (а), можно продолжить до т-гомомор-
физма h алгебры 3( в алгебру ЗГ.
34.1. 	Каждое т-поле множеств обладает свойством
сильной ш-продолжав мости.
Пусть ЗГ — некоторое m-поле подмножеств
пространства X', и пусть ЗГ ©, / имеют тот же смысл, что
и раньше.
Заметим сначала, что если собственный ш-фильтр
V алгебры 31 обладает тем свойством, что
(1) для каждого А£© или или —AgV,
то фильтр V является максимальным, ибо естественный
гомоморфизм алгебры 31 на алгебру 31/V отображает
множество © в подалгебру, состоящую только из нуля

§ 34. Теоремы о продолжении до гомоморфизмов
233
и единицы. Следовательно, этот гомоморфизм отображает
всю алгебру 91 на двухэлементную подалгебру/ т. е.
алгебра 91/V совпадает с этой двухэлементной подалгеброй.
Теперь через \At}ter0 обозначим индексированное
множество, состоящее из всех элементов множества ©.
Для любой точки х С X положим
Пусть V* обозначает ш-фильтр, m-порожденный всеми
элементами вида zx(t)-At, t£T0.
Покажем, что m-фильтр V* является собственным.
Если бы это было не так, то Г\гх(0' At = Л Для неко¬
торого множества ТсТ0, Т^ш. Отсюда бы вытекало
в силу условия (а), что множество Пе*(0-f(At) пусто,
teT
что невозможно, так как это множество содержит точку х.
Значит, m-фильтр V* является максимальным,
поскольку он обладает свойством (1).
Пусть теперь X' обозначает множество всех
максимальных ш-фильтров V алгебры 91. Формула
определяет отображение пространства X в пространство
X'. Отображение
является ш-гомоморфизмом алгебры 91 в поле всех
подмножеств пространства X' (см. теорему 22.1).
Таким образом, отображение
/г(Л) = ф-1(/г0(Л)) для любого Л^91
является ш-гомоморфизмом алгебры 91 в поле всех
подмножеств пространства X.
Гомоморфизм h является продолжением отображения /\
Действительно, из формулы (2) и определения фильтра V*
немедленно следует, что x£f(At) тогда и только тогда,
когда ;4t£Vx, т. е. когда сp (x)£h0(At). Это доказывает,
что / (At) = ср"1 (А0 (4*)) = h (Л*).
если х £ f (At),
если х£ —f(At).
ф (я) = для любого х£Х
Л0(Л)НУ€Х'; ^<EV}

234
Га. II. Бесконечные объединения и пересечения
Поскольку / отображает множество © в алгебру ЗГ,
продолжение h отображает алгебру 31 в алгебру 31'.
Итак, гомоморфизм h обладает всеми требуемыми свойст-
в ми.
Отметим, что мы по ходу дела еще раз доказали
здесь теорему 32.3.
Теорема 34.1 может быть обобщена следующим
образом:
34.2. 	Каждая т-дистрибутивная булева т-алгебра
обладает свойством сильной т-продолжаемости1).
Предположим, что алгебра 31' является т-дистрибу-
тивной m-алгеброй, а 31, ©, f имеют прежний смысл.
Если ©х —любое подмножество множества ©, причем
©х^т, то пусть 21 (©х) обозначает m-подалгебру алгебры 31,
которая m-порождается множеством ©х, а 31' (©х)
обозначает m-подалгебру алгебры 31', которая ш-порождается
множеством /(©х). Поскольку / (©Г) ^ т> Т0 алгебра
31' (©х) изоморфна некоторому m-полю множеств, как это
следует из теоремы 24.5. Так как свойство сильной
m-продолжаемости сохраняется при изоморфизмах, то
булева т-алгебра 31' (©х) обладает свойством сильной
m-продолжаемости. Таким образом, существует т-гомо-
морфизм h®t алгебры SI (©i) в алгебру ЗГ (©х), который
является продолжением отображения f | ©х, т. е.
отображения /, ограниченного на ©х*
Пусть^теперь ©хИ ©2 —два подмножества множества ©,
причем ©х^т> ©2^т- Мы докажем, что
(3) если Л€21(©х)П21(©2), то /i$1 (A) (А).
Действительно, пусть ©3 есть объединение подмножеств
©х и ©2. Из единственности продолжения следует, что
Л@81 31 (©х) =/г©, и /z©3|j31 (©2) = т. е. гомоморфизм А®,,
ограниченный на 31 (©х) или 31(©2), совпадает с h®t или
Л©2 соответственно. Следовательно, (A)=h®z (А) =■ h®2(A)
для всех А, принадлежащих одновременно и 81(©*),
и 21 (©2).
*) Сикорский [32], Сикорский и Трачик [2].

§ 34. Теоремы о продолжении до гомоморфизмов
235
Так как множество © m-порождает алгебру 31, то
алгебра 31 является объединением всех подалгебр 31 (©х),
где ©хс:©, Из формулы (3) вытекает, что все
ш-гомоморфизмы на алгебрах 31 (©j) определяют
вместе некоторое отображение ft алгебры 31 в алгебру 31'.
Легко проверить, что отображение А является т-гомо-
морфизмом.
Проблема существования не m-дистрибутивной
булевой m-алгебры, обладающей свойством сильной т-про-
должаемости, остается нерешенной. Мы покажем ниже
(теорема 34.5), что всякая m-алгебра, обладающая
свойством сильной m-продолжаемости, является ш-предста-
вимой. С другой стороны, существует ш-представимая
m-аЛгебра, которая не обладает свойством сильной т-про-
должаемости (см. пример А этого параграфа и пример А
§ 37).
Мы закончим рассмотрение свойства сильной т-про-
должаемости следующей теоремой.
34.3. 	Пусть для каждого t £ Т символ 31* обозначает
некоторую т-подалгебру булевой т-алгебры, а через ft*
обозначен т-гомоморфизм алгебры 31* в т-алгебру ЗГ,
которая обладает свойством сильной т-продолжаемости
(в частности, в т-дистрибутивную т-алгебру 31' или в
т-поле множеств 31'). Предположим, что
теоретикомножественное объединение всех алгебр 31* т-порождает
алгебру 31. Тогда для того, чтобы существовал
т-гомоморфизм ft алгебры 31 в алгебру 31', являющийся общим
продолжением всех гомоморфизмов ft*, т. е.
h(A) = ht(A) для каждого А£ 31*, t£T,
необходимо и достаточно, чтобы для каждого подмножества
Т'аТ, Г'<т, и для каждого индексированного множества
{Л*}*€г> Л*£3(*, t£T\ выполнялось условие
fl* At = Д влечет за собой Пг ft* (At) = Д •
*6 Г tQT'
Доказательство теоремы 34.3 точно такое же, как и
доказательство теоремы 12.4.
Пусть теперь 310 является такой подалгеброй булевой
ш-алгебры 31, что алгебра 310 m-порождает алгебру 31,

236
Гл. IL Бесконечные объединения и пересечения
и пусть f — гомоморфизм алгебры 2f0 в булеву m-алгебру 2Г.
Тогда для того чтобы гомоморфизм f имел продолжение
до ш-гомоморфизма h алгебры 21 в алгебру 21', необходимо,
чтобы выполнялось условие,
(а') если п*Л,= Д*, то п*7М*)=Лг.
te т teT
для каждого m-индексированного множества {At}t 6г,
состоящего из элементов алгебры 210.
Условие (а') эквивалентно условию (а) в случае, когда
множество © есть подалгебра 210. Условие (а') также
эквивалентно следующему условию:
f(Bt) для
всех таких m-индексированных множеств {At)tQT и г,
состоящих из элементов алгебры 210, что и
t € Т
te т
Вообще говоря, условие (а') не является достаточным
для существования продолжения h (см. ниже примеры
А и Б).
Говорят, что булева m-алгебра 2Г обладает свойством
слабой т-продолжаемости, если для каждой булевой
ш-алгебры 21 и для каждой подалгебры 210, которая
m-порождает алгебру 21, всякий гомоморфизм f алгебры
210 в алгебру 21', удовлетворяющий условию (а'), может
быть продолжен до m-гомоморфизма h алгебры Ш
в алгебру 21'.
Свойство сильной m-продолжаемости всегда влечет
за собой свойство слабой т-продолжаемости.
Однако свойство сильной m-продолжаемости и свойство
слабой m-продолжаемости не эквивалентны; существуют
булевы алгебры, которые обладают свойством слабой
m-продолжаемости, но не обладают свойством сильной
m-продолжаемости (и, следовательно, не являются т-ди-
стрибутивными алгебрами в силу теоремы 34.3); см. ниже
пример Д.

§ 34. Теоремы о продолжении до гомоморфизмов
237
34.4. 	Всякая слабо т-дистрибуглавная булева алгебра
обладает свойством слабой т-продолжаемости1).
Предположим, что 910 — подалгебра некоторой гп-ал-
гебры §1, алгебра 910 m-порождает алгебру 91, а / —такой
гомоморфизм алгебры 9(0 в слабо m-дистрибутивную
булеву т-алгебру 91', что выполнено свойство (а'). Нам
нужно доказать, что гомоморфизм / можно продолжить
до m-гомоморфизма h алгебры 91 в алгебру 9Г. Далее
буквы Т \\ S всегда обозначают множества мощности т.
Как было оговорено на стр. 205, S будет обозначать
класс всех конечных непустых подмножеств множества S,
и для любого Ф £ ST и любого индексированного
множества {At,s)teT, ses элементов алгебры 9Г имеем
At, ф (о — U At, s•
seO(0
Пусть Й — множество всех элементов А из алгебры 91,
которые обладают следующим свойством:
(б) существует такой элемент А'£ 91' и такое т-индек-
сированное множество {At, s}/e т, ses элементов алгебры 91',
что
(4) U At, s = V > для каждого t£T
seS
и, более того, для всякого Ф £ ST существует такое
непустое множество $фс=9(о, что
(5) Яф<т,
(6) п В с: Ac: U В,
в 6®ф Вб®ф
(7) А'Г\Аф = f (В)Г\АФ для всех В£йф,
где через Аф для краткости обозначено
(8) Аф — П At ф (о-
teT
Допустим, что Л*—другой-элемент из множества Й,
т. е. существуют
Л'*, {Л*, s} teT,seS И йф*, где Ф*е5г,
*) Маттес [1]. Доказательство, приведенное здесь, является
небольшим изменением (неопубликованного) доказательства, которое
Маттес сообщил автору.

238
Г л. II. Бесконечные объединения и пересечения
удовлетворяющие условиям (4), (5), (6) и (7). Мы
докажем, что
(9) если ЛсЛ*, то Л'£Л'*
Из формулы (6) и аналогичного утверждения для &ф*
следует, что для любых Ф, Ф* £ ST
П Вс U В*,
ве®ф в*ей*ф*
т. е.
П П (ВП-Я*) = Л«.
Ве в* е я ф*
Поэтому в силу условия (а') [а также в силу
условия (5)] имеет место равенство
т. е.
(10)
л л (/(В)П-/(В*))=Лг,
Be®ф В* e&Jj*
П f(B)d и f (В*).
Из формулы (7) вытекает, что Л'пЛфс:/(В) для
В£Яф. Таким образом,
(П)
А'пАФа n f(B).
Вей
Ф
Применяя условие (7) к Л'*, получаем включение
/ (В*)с: Л'* и — Л** для где аналогично фор¬
муле (8) введено сокращение
А * — П А*
ф* ф* (о*
Значит,
(12)
t е т
U f(B*)cA’*U — А%..
Из формул (10), (11) и (12) следует, что
А' П АфаА'* U — Л*, для любых Ф, 0*£Sr.
Так как алгебра 81' является слабо ш-дистрибутивной, то
U Aj, = V и U = V
Ф6 sT
Ф*65;

§ 34. Теоремы о продолжении до гомоморфизмов
239
в силу формулы (4) и ее аналога для {Л* s} te т, s€s.
Поэтому
A'cA'*\J-—Аф* для каждого Ф* £ ST
и, наконец, Л'с=Л'*, т. е. формула (9) доказана.
Из формулы (9) следует, что если Л=^Л*£Я, то
А' — А'*> т. е. для каждого элемента Л£Я существует
точно один такой элемент А', что выполняется
условие (б). Таким образом, равенство
h (А) = А'
определяет отображение множества Я в алгебру 5Г.
Отметим теперь, что
(13) 910с=Я и h(A) = f(A) для любого Л £910.
Действительно, чтобы показать это, достаточно
предположить, что Л' — f (Л), At, s = V для всех t и s и Яф = (Л)
длй каждого Все условия (4), (5), (6) и (7) при
этом выполняются.
Очевидно, что если Л, Л', {Л*, s}/6 г, ses и Яф
удовлетворяют условиям (4), (5), (6) и (7), то элементы
—Л, —Л', {Л*. s}/67\ ses и множество
ЯФ == {—В\ В £ Яф}
также удовлетворяют этим же условиям. Это доказывает,
что
(14) если Л£Я, то —Л£Я и /г(—Л) == — h (Л).
Чтобы закончить, наконец, доказательство теоремы
34.4, 	достаточно показать, что
(15) п и hf п ДЛ= П h(Ar)
г € 5 \г es ) reS
для любого упорядоченного m-индексированного
множества |Лг)гgs элементов множества Я.
Действительно, из условий (14) и (15) следует, что
(15') U Лг е Я и hf U ЛЛ= U h(Ar)
г $ S \reS ) reS
для каждого упорядоченного m-индексированного
множества {Лг}г 6 s элементов множества Я. В силу условий

240
Г л. II. Бесконечные объединения и пересечения
(13), (15) и (15') множество № удовлетворяет всем
предположениям теоремы 23.4. Так как алгебра 310 т-порож-
дает алгебру 81, то из теоремы 23.4 вытекает, что № = 81,
a h является m-гомоморфизмом алгебры 31 в алгебру 31'.
Следовательно, из условия (13) вытекает, что h является
продолжением отображения /.
Чтобы доказать свойство (15), предположим, что
{^r}r€s является монотонным m-индексированным
множеством элементов множества №. Таким образом, для
каждого индекса r£S существует элемент Ar С 31' и
такое m-индексированное множество {At, sheтг, ses, что
(16) U At, s= V для t£Tr)
s б S
и, кроме того, для каждого элемента Ф £ STr существует
такое непустое множество №г фс:310, что
(17) Йг, Ф~<т,
(18) П BcArc: U В,
в €$г> ф В 6$г> ф
(1^1 4 П П At, ф (t) = f (В) п П At, ф(1)
t € Tr ttTr
ДЛЯ любого В € Я'г, ф.
Мы можем считать, что все множества Тг попарно не
пересекаются.
Пусть Т — U Тт (J (/„), где/„ — некоторый элемент, не
Г 6 S
принадлежащий объединению U Тг. Пусть далее
res
(20) Л = п Ar, А'= п Ап
r€S Г€ S
(21) Л<0, 5 = Л'и — A’s для всех s£S,
а для каждого Ф £ ST положим
(221 • = U ф | тг ,
г б 5ф
где 5Ф —множество всех таких r£S, что
(23) Ar<= n As.
S6®«.)

§ 34. Теоремы о продолжении до гомоморфизмов
241
Так к$к упорядоченное множество, то условие
(23) эквивалентно условию
(23') Лгс=Л8о,
где Л5о является наименьшим из всех элементов Л5,
s£<P(^0) [множество Ф (^0) конечно и непусто!]
Так определенные элементы Л, Л', {Л/, s}/6 г, ses и
$ф(Ф€$г) удовлетворяют условиям (4), (5), (6) и (7).
Действительно, из условий (16), (20) и (21) вытекает
условие (4), из условий (17) и (22) вытекает условие (5),
а из условий (18), (22) и (23), (23')— условие (6). Для
доказательства условия (7) предположим, что ф,
OgSr. Тогда существует такой индекс г£5ф, что
В£$г, ф| тг (Ф | Tr £ STr). В силу условия (19)
А'г{\ П Л/, ф (/) = f (В) П П At,o>(t)-
t € Tr t$Tr
Следовательно,
Л'П Ato, Ф(/о)П П At, (В)Г\ П At,o(t).
teT teT
Так как г£5ф, то выполняется условие (23) и, значит,
Л'с= П As вследствие условия (9). Итак, из условий
s€<£ (tо)
(20) и (21) вытекает, что
А'г П Ato, ф (М = Л; П (А' и — П А^) = Л'.
seO (t0)
Это доказывает выполнение условия (7) и заканчивает
доказательство свойства (15).
Не известно, существует ли. булева алгебра,
обладающая свойством слабой m-продолжаемости, но не
являющаяся слабо ш-дистрибутивной.
34.5. 	Каждая булева m-алгебра 91 со свойством слабой
m-продолжаемости (а следовательно, и каждая булева
хп-алгебра 91 со свойством сильной т-продолжаемости)
является т-представимой.

242
Г л. II. Бесконечные объединения и пересечения
Пусть , ^Ш|П и Dt имеют тот же смысл, что и в
§ 311). Предположим, что мощность алгебры 9( равна п.
Таким образом, существует взаимно однозначное
отображение /0 множества всех множеств Df (свободных щ-сб-
разующих поля $,„,„) на алгебру 91. Вследствие теоремы
14.3 отображение f0 можно продолжить до гомоморфизма
/ поля go.n всех открыто-замкнутых подмножеств
пространства на алгебру 91. Тогда $0,п щ-порождает
поле $т, „. Гомоморфизм /0 удовлетворяет условию (а').
Ясно, что если п&ш'n At = Д (Т ^ щ, At£$0t „), то в силу
t € Т
компактности пространства &)хх мы имеем n*w,n-'4* = Л
te Т>
для некоторого конечного множества Т'сТ. Так как /
является гомоморфизмом, мы получаем, что п51 f (Л*) = Да,
teT'
а следовательно, и Гff(At) = Да. Так как алгебра 91
te т
обладает свойством слабой m-продолжаемости,
отображение /о можно продолжить до m-гомоморфизма h m-поля
$Ш| п на алгебру 9(. Итак, алгебра 91 является т-пред-
ставимой.
Примеры. А) Пусть Е — такое булево подмножество
канторова дисконтинуума ^)а (см. § 14, стр. 71), что
Е не является Gg-множеством. Пусть 910 =
Щ = Е, и пусть Д есть а-идеал, а-порождаемый
всеми замкнутыми не пересекающимися с Е множествами,
т. е. множество принадлежит идеалу Д тогда
и только тогда, когда оно является подмножеством
некоторого F^-множества, не пересекающегося с
множеством Е. Отображение /, определенное формулой
(24) /(ЛПЯ) = [Л]Д (А б&о,•).
является изоморфизмом алгебры 910 в алгебру 91' = ^а>а/Д
и удовлетворяет условию (а'). Действительно, если
х) То есть @)п — произведение двухточечных пространств Нti
t£tо, T0=*n, Dt — подмножества всех точек, у которых
координата с номером t равна 1, п— m-поле, ш-порождаемое множест¬
вами Df.— Прим. перев.

§ 34. Теоремы о продолжении до гомоморфизмов
243
а. а- П (£ПЛ„) = £П( П 4,)= Л. то
1 <: я < сю 1^/г<со
П ЛЛ£Д, так как это множество замкнуто и пере-
1 ^ П С оо
секается с множеством Е\ значит,
П /(£ГМ„) = Г П АЛ = Д.
1 /г < сю L1 ^ < 00 J А
Однако отображение / нельзя продолжить до сг-гомо-
морфизма h алгебры 31 в алгебру 31'. Действительно, если
предположить, что продолжение h существует, то
гомоморфизмы hx (А) = h (А П Е) и /г2 (Л) = [Л]д (Л £ $а,а)
являются m-гомоморфизмами поля в алгебру ЗГ и в
силу равенства (24) hl(A) = h2(A) для всех Л£50>о.
Так. как поле а-порождает поле $а>а, мы немедленно
получаем, что hl = h2. Но это невозможно, поскольку,
с одной стороны, hx(—Е)= Д, а с другой, —Е А и,
значит, Н2(—Е)Ф Д *).
Это доказывает, что условие (а') [а значит, и
условие (а)] не является достаточным даже в случае, когда
т=г#0, a f предполагается изоморфизмом. Булева а-ал-
гебра ЗГ не обладает свойством слабой а-продолжаемости,
а значит, и свойством сильной а-продолжаемости.
Пусть {31J* е т — индексированное множество всех
конечных подалгебр алгебры 310 = ^0)а|£’, и пусть ht —
ограничение изоморфизма f (из приведенного выше
примера) на алгебру 31*. Тогда не существует а-гомоморфизма h,
который бы являлся общим продолжением всех
гомоморфизмов ht (так как в этом случае h являлся бы
продолжением изоморфизма f). Это доказывает существенность
предположения в теореме 34.3 о том, что алгебра ЗГ
обладает свойством сильной m-продолжаемости, даже в
случае, когда предполагается, что алгебра 31 является
гп-полем, a ht — изоморфизмами. В этом примере
мощность множества индексов Т равна #0. Случай 7 = 2
будет приведен в примере А § 37.
Б) Предположим, что m^2*4 a n^ft0. Пусть
8im,n, Slo.n, , £fm.n и E>t имеют тот же смысл, что и
в § 31, стр. 217.
*) Пример А предложил Сикорский в [14].

244 Г л. II. Бесконечные объединения и пересечения
Пусть / является взаимно однозначным отображением
класса свободных m-образующих Dt поля на мно¬
жество © m-образующих свободной m-алгебры Slm,n.
Отображение / удовлетворяет условию (а), так как множества
Dt являются m-независимыми. Однако отображение / не
может быть продолжено до m-гомоморфизма h поля
в алгебру 8ХШ,П. Допустим, что такое продолжение h
существует. Тогда гомоморфизм h отображает поле ^Ш|П на
алгебру значит, алгебра Slm,n может быть т-пред-
ставлена, что противоречит теореме 31.3.
По теореме 14.3 отображение / можно продолжить до
гомоморфизма /0 поля $0,« всех открыто-замкнутых
подмножеств пространства <2>„ в алгебру 8Ц,П (с помощью
теоремы 12.1 легко проверить, что /0 изоморфно
отображает $о,п на Sto,n). Подалгебра ^0,« m-порождает поле
$1П|П. Гомоморфизм /0 удовлетворяет условию (а')
(аргументация та же, что и в доказательстве теоремы 34.5).
Однако гомоморфизм /0 нельзя продолжить до т-гомо-
морфизма h поля ^ш>п в алгебру ЭЦ.п, так как такое
продолжение h было бы продолжением отображения /,
а последнее нельзя продолжить до m-гомоморфизма.
Таким образом, алгебра Э1т,« при т^28° и
не обладает ни свойством сильной m-продолжаемости, ни
свойством слабой т-продолжаемости.
В) Каждая булева а-алгебра 81', обладающая строго
положительной a-конечной а-мерой, обладает также
свойством слабой а-продолжаемости х).
Это непосредственно вытекает из теоремы 34.4 и
примера А § 30.
Заметим, что алгебра 8Г, обладающая строго
положительной a-конечной а-мерой, не обязательно является
а-дистрибутивной (возьмем, например, алгебру борелев-
ских множеств вещественных чисел по модулю множеств
лебеговой меры нуль —см. пример А § 19).
Г) Пусть / — отображение множества © ш-образующих
ш-алгебры SI в m-алгебру St'.
Пусть Sl0 — подалгебра алгебры 81, порожденная
множеством ©. Предположим, что отображение /
удовлетворяет условию (а). Тогда, как вытекает из теоремы 12.2,
1) Дубине [1].

§ 35. Пополнения и ш-пополнение
245
отображение f можно единственным образом продолжить
до гомоморфизма /0 алгебры 310 в алгебру ЗГ. Однако
гомоморфизм /о не обязан удовлетворять условию (а),
т. е. (а'). Если f0 не удовлетворяет этому условию, то
ни /, ни f0 не могут быть продолжены до ш-гомоморфиз-
ма алгебры 31 в алгебру ЗГ.
Пример (для ш — #0) может быть построен
следующим образом. Пусть $ есть a-поле всех борелевских
множеств вещественных чисел, Д —а-идеал всех
борелевских множеств первой категории, Д' — идеал всех
борелевских множеств лебеговой меры нуль и, наконец,
31 = §уд, ЗГ = $/Д'. Пусть S — класс всех элементов [Л]д ,
где А — полуинтервал, и пусть f([A]A) = [А]^. Легко
проверить, что отображение f удовлетворяет условию (а).
Его продолжение f0 на подалгебру 310, порожденную
множеством не обладает свойством (а'). Допустим от
противного, что /о удовлетворяет условию (а'). Тогда,
как показывает пример В, отображение f0 можно
продолжить до а-гомоморфизма h алгебры 31 в алгебру ЗГ.
Лебегова a-мера на поле $ определяет ненулевую строго
положительную a-конечную а-меру т на ЗГ. Таким
образом, формула т' (В) = т (h (В)) (В £ 31) определяет
ненулевую a-конечную а-меру т' на ЗГ С другой стороны,
известно, что каждая a-конечная мера на алгебре 31
тождественно нулевая (см. пример Е § 21).
Д) Алгебра борелевских множеств (вещественных
чисел) по модулю множеств лебеговой меры нуль обладает
свойством слабой а-продолжаемости, но не обладает
свойством сильной а-продолжаемости. Это непосредственно
вытекает из примера В и свойств отображения /,
построенного в примере Г.
§ 35. Пополнения и т-пополнения
Проблема представления, рассмотренная в § 24,
может быть сформулирована следующим образом:
существует ли такой изоморфизм, который отображает данную
булеву алгебру 31 в полную атомную булеву алгебру
(т. е. на поле множеств —см. теорему 25.1) и при этом
сохраняет некоторые заданные бесконечные объединения

246
Г л. II. Бесконечные объединения и пересечения
и пересечения? Теперь мы сбсудим другую проблему:
существует ли изоморфизм, который данную булеву
алгебру 31 отображает в полную (но, вообще говоря, не
атомную) булеву алгебру и сохраняет все бесконечные
объединения и пересечения?
Следующая теорема показывает, что ответ на
последний вопрос всегда является утвердительным.
35.1. 	Пусть h0 — изоморфизм булевой алгебры 31 на
поле $0 всех открыто-замкнутых подмножеств
пространства Стоуна X алгебры 31. Пусть % есть о-поле всех бо-
релевских подмножеств пространства X (или о-поле всех
подмножеству обладающих свойством Бэра)у и пусть А—
идеал всех множеств А £ $ первой категории в
пространстве X. Тогда отображение iQy задаваемое равенством
(1) h(A) = [ho(A)U (Ае 31),
является полным изоморфизмом алгебры 31 в полную
булеву алгебру §7А. Более тогОу г'0(31) является плотной
регулярной подалгеброй алгебры ££/Д.
Гомоморфизм i0 является изоморфизмом, так как ни
одно непустое открытое подмножество компактного ха-
усдорфова пространства не является множеством первой
категории. Булева алгебра fy/A полна вследствие
примера В § 21. Каждое множество А имеет вид
A = (G-A1)\i А2у
где G — открытое множество, а А1У Л2£Д. Если [А]&Ф Д,
то множество G непусто, т. е. существует такой элемент
A0(z$ty что А0Ф А и h0(A0)czG. Следовательно,
д ф i0 (Лд) = [Н0 (Л0)] cz [G] = [А]у а это доказывает, что
алгебра £> плотна в алгебре $/Д. По теореме 23.1
алгебра ^‘0 (31) является регулярной подалгеброй алгебры
$УД. Если А= UM*, то i0(A)= U/o т i0 (Л*), так как
te Т teT
L является изоморфизмом алгебры 31 на алгебру *0(31).
Так как алгебра *0(31)— регулярная подалгебра
алгебры А, мы можем записывать последнее из равенств р
форме i0(A)= \J®/Ai0(At)y а это и доказывает, что отб-
/е т
бражение i0 является полным изоморфизмом алгебры 31
в алгебру $/Д.

§ 35. Пополнения и ш-пополнение
247
Пусть 31 —некоторая фиксированная булева алгебра.
В этом и следующем параграфах мы будем
рассматривать упорядоченные пары {/, 33}, где i является
изоморфизмом алгебры 31 в алгебру 33. Говорят, что пара
{/', 35'}, изоморфна паре {i, 33}, если существует такой
изоморфизм h алгебры 33 на алгебру 33', что V =Ы
[другими словами, если изоморфизм i'i~x алгебры i (Si) на
алгебру V (31) может быть продолжен до изоморфизма h
алгебры 33 на алгебру 33']. Заметим, что отображение Л"1
тогда тоже является изоморфизмом алгебры 33' на
алгебру 33, причем i = h~4', и, значит, пара {i, 33} изоморфна
паре {Г, 33'}. Таким образом, мы можем просто говорить,
что пары {*, 33} и {Г, 33'} изоморфны.
Говорят, что пара {t, 33} является пополнением1)
алгебры 31, если выполнены условия:
(а) алгебра 33 является полной булевой алгеброй;
(б) изоморфизм i является полным изоморфизмом
алгебры 31 в алгебру 33 [т. е. i (3{) является регулярной
подалгеброй алгебры 33];
(в) алгебра i (31) вполне порождает алгебру 33.
Например, из теоремы 35.1 следует, что пара
(2) кдаь
определенная в этой теореме, является пополнением
алгебры 31. Легко видеть, что, если пара {i, 33} является
пополнением алгебры 31, а пара {/', 33'} изоморфна паре
{/, 33}, то пара {i\ 33'} тоже является пополнением
алгебры 31. Таким образом, все пары, изоморфные паре (2),
являются пополнениями алгебры 31. Обратное утверждение
также справедливо. Это есть часть следующей теоремы,
из которой вытекает, что все пополнения алгебры 31
изоморфны.
35.2. 	Пусть i —некоторый изоморфизм алгебры 31 в пол-
ную булеву алгебру 33. Тогда следующие условия экви-
валентны:
(i) 	{/, 33} — пополнения алгебры 31;
х) О пополнениях булевых алгебр см. Гливенко [1], Макнейл [1],
Сикорский [13] и Стоун [5]. См. также Дилуорс [3], Глисон [1], Рейн-
ватер [1], Семадени [2].

248
Г л. II. Бесконечные объединения и пересечения
(ii) {/, S3} изоморфна паре (2);
(iii) i (Щ — плотная подалгебра алгебры S3;
(iv) для каждого изоморфизма /' алгебры 31 в любую
полную булеву алгебру S3' существует такой изоморфизм h
алгебры S3 в алгебру S3', что V —hi* [другими словами,
изоморфизм 1'Г1 алгебры /(31) в алгебру S3' можно
продолжить до изоморфизма h алгебры S3 в алгебру S3']1).
Условие (ii) влечет за собой условие (iii). Это вытекает
из теоремы 35.1.
Условие (iii) влечет условие (iv). Это следует из
теоремы 33.2.
Условие (iv) влечет (ii). Действительно, отображение
/0/~х можно продолжить до изоморфизма h алгебры S3
в алгебру gVA. В силу теорем 35.1 и 33.3 изоморфизм h
отображает алгебру 35 на алгебру $/Д. Тем самым пары
{/, 35} и {/0, $/Д} изоморфны.
Условие (i) влечет за собой (iv). Для краткости,
пусть 350--=37Д [см. (2)]. Поскольку (ii), (iii) и (iv)
эквивалентны, то пара {/0, 330} удовлетворяет условию (iv).
Таким образом, изоморфизм ii^1 алгебры /0 (31) в алгебру 33
можно продолжить до изоморфизма h алгебры 350 в
алгебру 33. Подалгебра i (31) = h (/0 (3()) плотна в алгебре
Л(330) вследствие теоремы 35.1 и того, что отображение h
является изоморфизмом. Из условия (в) вытекает, что
алгебра / (31) есть регулярная подалгебра алгебры 33.
Значит, как следует из теоремы 23.2,. алгебра h (330)
является регулярной подалгеброй алгебры 33. С другой
стороны, алгебра h (350) — полная булева алгебра, так как
она изоморфна алгебре 350. Отсюда следует, что алгебра
Л(330) является полной подалгеброй алгебры 35. Значит,
Л (ЗЭ0) = аэ в силу условия (б), т. е. пара {/0, 350} изоморфна
паре {/, 35}. Так как свойство (iv) инвариантно
относительно изоморфизмов и пара {/0, 350} обладает этим
свойством, то и пара {/, 35} тоже обладает свойством (iv).
Условие (iii) влечет за собой условие (i). Это следует
из теоремы 23.1.
Если алгебра 31 является подалгеброй алгебры 33,
отображение / — тождественным отображением и пара
{/, 33} — пополнением алгебры 31, то сама алгебра 35 может
1) Сикорский [13].

§ 35. Пополнения и ш-пополнение
249
быть названа пополнением алгебры 91. Пополнение 93
алгебры 91 всегда существует [отождествим алгебру 91
с алгеброй i0 (91) посредством изоморфизма *0!] и
определяется алгеброй 91 однозначно с точностью до
изоморфизма. Из теоремы 35.2 вытекает, что каждое из
следующих условий является необходимым и достаточным для
того, чтобы полная булева алгебра 93 являлась
пополнением своей подалгебры 91:
(вх) алгебра 9( является регулярной подалгеброй и
вполне порождает алгебру 93;
(в2) алгебра 91 является плотной подалгеброй алгебры 93;
(в3) каждый изоморфизм алгебры 91 в полную булеву
алгебру может быть продолжен до изоморфизма алгебры 93
в алгебру 93'.
Примеры. А) Если булева алгебра91является атомной,
поле ^ —полем всех подмножеств множества всех атомов
алгебры 91, a i(A) равно множеству всех атомов ас: А
для любого Л £91, то пара {*, ^} является пополнением
алгебры 9(. Это немедленно вытекает из теорем 35.2
(i), (iii) и 24.4.
Б) Если алгебра 91 является безатомной, а пара
{/, 93}— пополнением алгебры 91, то алгебра 93 тоже
является безатомной. Это сразу вытекает из теоремы 35.2
(i), (iii).
В) Булева алгебра всех регулярных замкнутых
подмножеств (см. пример Б § 1) вполне несвязного
компактного пространства является пополнением булевой алгебры
всёх открыто-замкнутых подмножеств этого пространства1).
Это замечание также прямо следует из теоремы 35.2 (i),
(iii) и примера В § 20.
Аналогичное замечание справедливо также для
булевой алгебры всех регулярных открытых подмножеств
(см. пример В § 5).
Г) Предположение в теореме 33.1, что булева алгебра
91' полна, является существенным. Более точно, если
алгебра 9(' является неполной булевой алгеброй, то
существуют булева алгебра 91, подалгебра 910 алгебры 91
и гомоморфизм h алгебры 910 в алгебру 81', который
х) См. Макнейл in-

250
Га. II. Бесконечные объединения и пересечения
нельзя продолжить до некоторого гомоморфизма алгебры 91
в алгебру 91'.
Именно, пусть 91 —пополнение алгебры 91', Sl0 = St',
и h — тождественное отображение алгебры 910 на алгебру
91'. Предположим, что гомоморфизм h можно продолжить
до гомоморфизма h' алгебры 91 в алгебру 91'. Тогда
гомоморфизм К отображает алгебру 91 на алгебру 91'.
С помощью таких же аргументов, как и в доказательстве
теоремы 33.2, проверяем, что гомоморфизм W является
изоморфизмом. Таким образом, алгебра 9Г является
полной, так как она изоморфна полной алгебре 91.
Противоречие.
Д) Все сепарабельные безатомные полные булевы
алгебры изоморфны алгебре $/Д, где $ — поле всех боре-
левских множеств вещественных чисел, а А —идеал всех
множеств первой категории1).
Это утверждение является следствием таких
утверждений: (а0) пополнения изоморфных булевых алгебр
изоморфны, (б0) все счетные безатомные булевы алгебры
изоморфны (см. пример В § 9), (в0) каждая безатомная
полная сепарабельная булева алгебра является
пополнением некоторой счетной безатомной булевой алгебры.
Чтобы доказать утверждение (в0), достаточно заметить,
что если множество © есть счетное плотное подмножество
безатомной булевой алгебры, то подалгебра, порожденная
этим множеством, является счетной безатомной и плотной
во всей алгебре.
Из примера Е § 21 следует, что алгебра борелевских
множеств лебеговой меры нуль является несепарабельной
алгеброй.
Е) Говорят, что пара {©г, ©2} подмножеств булевой
алгебры 91 является сечением алгебры 91, если выполнены
условия:
(г') если А1сА2 для каждого Л2£©2, то Л^©^
(г") если АхаА2 для каждого Л^©^ то Л2£©2.
Пусть 93 есть пополнение своей подалгебры 91. Если В —
любой элемент алгебры 33, ©х — множество всех таких
х) Этот результат получен С. Жасковским (не опубликовано).
См. Тарский [3], стр. 199.

§ 35. Пополнения и ш-пополнение
261
элементов что АхаВ, а ©2 — множество всех таких
элементов Л2£81, что ВсА2, то пара {©х, ©2} является
сечением в алгебре 81. Обратно, каждое сечение в алгебре 81
определяется указанным выше образом с помощью
некоторого элемента В £ 33, точнее, с помощью элемента
В= U53 Аг = П® Л2. Итак, элементы любого пополне-
А 1 6 ®i А 2 € ©а
ния 33 алгебры 81 можно отождествить с сечениями алгебры
81, т. е. алгебра 33 может быть определена как множество
всех сечений алгебры S11).
Ж) В качестве применения существования пополнений
булевых алгебр мы докажем дополнительное замечание
к теореме 31.8. Пусть © — множество мощности п
свободных щ-образующих свободной булевой щ-алгебры 8lm,«
(IUn), и пусть <ш. Тогда щ'-подалгебра (£
(алгебры 91т,«), т'-порождаемая множеством ©, изоморфна
свободной булевой ш'-алгебре Sim', n с п свободными т'-обра-
зующими.
Для доказательства рассмотрим Sim', « как регулярную
подалгебру ее пополнения 33. Пусть / — взаимно
однозначное отображение множества © на множество ©'
свободных щ-образующих алгебры Slm\ «. Отображение /
можно продолжить до щ-гомоморфизма h алгебры 8tm, «
в алгебру 33. Продолжение h гомоморфизма /, если его
рассматривать только на алгебре (£, является т'-гомо-
морфизмом алгебры (£ в алгебру 8lm', «• С другой стороны,
отображение /_1 может быть продолжено до т'-гомомор-
физма g алгебры Slm\ п в алгебру (£. В силу теоремы 23.3
алгебра (£ изоморфна алгебре Stm\ «•
Как и выше, пусть / — изоморфизм булевой алгебры 81
в алгебру 33. Будем говорить, что пара {/, 33} является
т-пополнением алгебры St, если выполнены следующие
условия:
(а') алгебра 33 является щ-алгеброй;
(б') изоморфизм / является полным изоморфизмом
алгебры 81 в алгебру 33 [т. е. / (81) является регулярной
подалгеброй алгебры 33];
(в') алгебра /(81) щ-порождает алгебру 33.
х) Этот метод построения пополнения булевых алгебр был
применен Макнейлом [1].

252 Г л. II. Бесконечные объединения и пересечения
Например, если пара {i0, (£} является пополнением
алгебры 31, а 330 —ее подалгебра, которая ш-порождена
алгеброй i (31), то пара
(3) {*„.
является m-пополнением алгебры 31. Так как пара {£0, (5}
определяется алгеброй 31 однозначно с точностью до
изоморфизма, пара (3) тоже однозначно определяется
алгеброй 3( с точностью до изоморфизма. Заметим, что если
пара {i, 33} является m-пополнением алгебры 31, а пара
{Г, 33'} изоморфна паре {i, 33}, то {/', 33'} тоже является
m-пополнением алгебры 31. Таким образом, все пары,
изоморфные паре (3), являются m-пополнениями алгебры 31.
Обратное утверждение тоже справедливо и является
частью следующей теоремы, из которой следует, что все
ш-пополнения алгебры 31 изоморфны между собой.
35.3. 	Пусть i —изоморфизм алгебры 31 в булеву т-ал-
гебру 33. Следующие условия эквивалентны:
(i) пара {i, 33} является т-пополнением алгебры 31;
(И) пара {i, 58} изоморфна паре (3);
(iii) алгебра i (3() является плотной подалгеброй алгебры^д
и т-порождает алгебру 5В1).
Условие (i) влечет за собой условие (И). Действительно,
пусть {Л,6} —пополнение алгебры 5В, i0 = hi и 5В0 = Л(5В).
Тогда пара {/0, 6} является пополнением алгебры 31,
5В0 —подалгеброй, которая m-порождена множеством *0(3(),
а Л —изоморфизмом пары {*, 58} на пару {*0, 5В0}.
Условие (И) влечет за собой условие (iii). Это следует
из соответствующей импликации (И)—>- (iii) в теореме 35.2.
Условие (iii) влечет за собой условие (i). Это
вытекает из теоремы 23.1.
Если 31 — подалгебра алгебры 58, i — тождественное
отображение, а пара {*', 33} является m-пополнением
алгебры 31, то сама алгебра 5В может быть названа
т-пополнением алгебры 31. При этом m-пополнение 5В алгебры 31
всегда существует [отождествим алгебру 31 с подалгеброй
i0(3t) в паре (3) с помощью изоморфизма *0!] и опреде-
х) В случае m = tf0 см. Сикорский [13].

§ 35. Пополнения и т-пополнение
253
ляется алгеброй однозначное точностью до изоморфизма.
В силу теоремы 35.3 каждое из следующих условий
является необходимым и достаточным для того, чтобы т-точ-
ная булева алгебра 23 была m-пополнением ее подалгебры 21:
(в^) алгебра 2( является регулярной подалгеброй и
m-порождает алгебру 23;
(Вз) алгебра 21 является плотной подалгеброй и т-по-
рождает алгебру 23.
Примеры. 3) Если булева алгебра 21 удовлетворяет
n-цепному условию, то ее пополнение и т-пополнение
тоже удовлетворяют n-цепному условию. Таким образом,
при m^n m-пополнение алгебры 2( является полной
булевой алгеброй в силу теоремы 20.5, и, следовательно,
оно совпадает с пополнением алгебры 21.
И) Если пара {i, 25} является m-пополнением атомной
булевой алгебры 21, то алгебра 23 тоже является атомной.
Это следует, например, из примера А.
К) Пусть 21, Л0, X и имеют тот же смысл, что
и в теореме 35.1, является а-полем, а-порождаемым
полем $0, и пусть Д0 является a-идеалом всех множеств
первой категории и, наконец, положим
t0 (Л) = [Л0 (Л)]Ао для Л £21.
Тогда пара {*0, ^а/Д0} является а-пополнением алгебры 21.
Л) В качестве применения существования
m-пополнений мы докажем следующее утверждение: для каждого
бесконечного кардинального числа m существует такая
булева т-алгебра 23, что 25 ^т и алгебра 23 т-порож-
дается счетным множеством ©0 ее элементов1).
Сначала мы построим поле $ подмножеств обобщенного
канторова дисконтинуума &>т = Нт\ где, как обычно,
Н = ( 1, —1), а Т0 — множество мощности т. По
соглашению на стр. 71 Dt означает множество всех точек
х = {xt)tz т0 € Й)ш, У которых координата с номером t равна 1.
Удобно предположить, что
Т0 = (S\jU)xS,
2) Гейфман [1, 3] и Хейлс [1, 2]. Конструкция алгебры 23,
рассматриваемая здесь, такая же, как и у Хейлса [1, 2].

254
Г л. II. Бесконечные объединения и пересечения
где U — множество всех порядковых чисел мощности
меньше гп (включая и число 0), a S —счетное множество,
не пересекающееся с U. Буквами /, k, /, я, m, р, q и s
(с индексами, если понадобится) будем обозначать
элементы множества S, а буквами ос, р и у (тоже с индексами) —
порядковые числа из множества U. Таким образом,
элементы t множества Т0 — это пары вида
t = {j,s} и * = {а, /}.
Простоты ради мы будем писать и Da>/ вместо
и соответственно. Для любого индекса j из мно¬
жества 5 положим
«/=«-(/)•
Символы U» П без всяких индексов сверху будут
обозначать теоретико-множественное объединение и пересечение
соответственно.
Определим множества Апо трансфинитивной индукции
следующим образом:
(4)
(4 ) ^а + 1 ,/ = ЦМа,/ П ^4а,5 п DJiS) U П ^0,/»
(4") Аа . — П А* /. если а—предельное порядковое число.
ft rf"* г/ Р’-'
По определению
(5)
И
(5')
с ■4-'
Элемент л: = s г0 С ^>т, определенный формулой
I 1, если t = {$,j\, где Р^а,
Х* \—1, в остальных случаях,
принадлежит множеству в силу включения (5), но
не принадлежит множеству Лв+1,у, так как x^DJ<s и
х(£Ол+1гу. Таким образом, Aa+i,j¥= Ал,у, и, значит,

§ 35. Пополнения и т-пополнение
255
вследствие формул (4') и (5') имеет место соотношение
(6) Лр./З для Р < а.
Пусть $ — поле (подмножеств пространства £9Ш),
порождаемое всеми множествами Ла>/ и Difj. Из условия (6)
[см. также § 4, (1) или (2)] следует, что
(7) Щ=т.
Мы докажем теперь равенство
(8) Ла+1>у= и5(Ла>уП Ла>5 П DjiS),
seSj
т. е. докажем, что
(8') если Ла>/ П AafS П D/tSc= А € & для всех s£S/f
то Aa+lt/с А.
Как показывает формула (2) § 4, достаточно доказать
условие (8') только в случае, когда
(9)
А= U Ааг
reRt
Jr и и
rtR
— А
yr, k1
и и Dmr
г eRз
U U DPrtQr,
reR 4
где Rlt R2, R3, /?4 — конечные множества индексов. Более
того, достаточно доказать условие (8') только в том
случае, когда множество — Аа+1% у присутствует в правой
части равенства (9) [так как добавлением множества
— Ла+1)/к множеству вида (9) мы получим эквивалентное
утверждение]. Поэтому, чтсбы доказать равенство (8),
достаточно доказать следующую лемму:
(L) Если Л имеет вид (9) и
(10) 	уГо = а + 1, kro= / для некоторого г0^/?2,
и если
(11) Ла>/П A^snD/iSc:A для всех se«Sy,
то
(12) А=&>т.
Пусть /^5 —такой элемент, что
(13) 1ф/, 1ф]г для r£Rv 1фкг для г£/?2,
1фпг для r£R3l ргф1фдг для г €#4-

266
Г л. II. Бесконечные объединения и пересечения
Рассмотрим точку х = {х(}*6г„€®т, которую определим
равенствами:
(14а) лу=1, если t = {$, kr}, где r£R2 и р<уг;
(146) *,= 1, если t = \pr, qr}, где г£/?4;
(14в) xt=\, если t = {$,l} и Р^а;
(14г) xt — l, если / = {/,/};
(14д) xt — —1 во всех остальных случаях.
Из (14г) вытекает, что х (zD^t. Из формул (14в) и
(5) 	следует, что х£Аа}1, и, наконец, из формул (14а) и
(5) получаем, что х£А«у) [в случае когда г = г0—см.
формулу (10)]. Таким образом,
(15) *£ Ла)/Ма, гП£>А1.
Так как /=£/ в силу формул (13), мы из включения (11)
выводим, что
х £ А.
С другой стороны, x(£l) — АУг< *г по свойствам (14а) и (5)
г € R2
и x(£U — DPriqr по свойству (146). Итак, нужно рас-
ге r4 ’
смотреть два случая:
1) * € U £>mr, ПГ, T.e.xZ Dm/, л/, для некоторого г' £ R3.
r*Rz
Тогда в силу свойств (13), (146), (14в) (14г) и (14д)
существует такое что {mrs nr') = {pr, qr}. Это дока¬
зывает равенство (12), так как в правой части
равенства (9) присутствует множество Dmr, „ги его дополнение
DPri qr.
2) ^ U Лаг, jr. Тогда * £ Aart jr для некоторого г £ Rln
reR!
Если — Ааг, зг с А, то имеет место равенство (12). Значит,
для доказательства леммы (L) достаточно показать, что
предположения
(16) x£AccrJr и — Aar,jr ф А
ведут к противоречию.

§ 35. Пополнения и m-пополнение
257
Допустим, что условия (16) выполнены. Заметим, что
'\гф1 в силу условий (13). Пусть а'—такое наименьшее
порядковое число, что существует индекс /' € 5 со
свойствами
(17) / ф I, Х^А а'у у И Ад* ? у ф А.
Если а' = 0, то из условий (4), (14а) и (14д) мы
получаем, что kr' = jf для некоторого r'£R2. Значит [см.
(в)],
— Аа‘,у = —-40,
Это противоречит условию (17).
Если а' — предельное число, то в силу условия (4")
существует такое число р <а', что х£А?,у и —А$,уфА.
Это противоречит минимальности числа а'.
Предположим теперь, что а'=а"+1. Тогда, как
показывает формула (4'), нужно рассмотреть два случая.
2') *€ П D3t у. В этом случае из формул (13), (14а)
0<а'
и (14д) вытекает, что существует такое г £ Т?2, что уг^а'
и kr = j'. Тогда — Аа'9у с — Ayrtkr с Л, что
противоречит условию (17).
2 ) X £ и (Ах", j' П Ла"? 5 П Dy, s), т. е. * £ Ла", j' П A(xr s П
s 6 S
3
П Dys для некоторого индекса s=^/'.
Рассмотрим случай, когда s^l. Тогда из
минимальности числа а мы получаем, что —Аа", у с. А и —Аа» sc: Л.
Так как x£Dy,s, то из условий (13), (146) и (14д)
следует, что {/', s} = \pr, qr} для некоторого индекса r^Rit
т. е. Dyt s — DPry Qr. Таким образом, — Dy,sczA.
Следовательно,
— Аа-, У С — Аа", У U — Ла”, 5 и — Dy, s С А.
Это противоречит условию (17).
Наконец, рассмотрим случай s = l, т. е.
X £ Аа", у П Аа", I П Dy, j.
Так как x£Dy,[t то из условий (146), (14г), (14д) и (13)
вытекает, что j' = j. Значит, — Аа>,]ф А. Поскольку

258
Г л. II. Бесконечные объединения и пересечения
— Л(>+1)ус:Л в силу условия (10), мы из формулы (6)
получаем неравенство а"^сс+1. Тогда из той же
формулы (6) вытекает, что х£ Ла+1, ;, так как х£ Ла", г. Фор*
мула (4') показывает, что могут быть две возможности:
*€ П D{
Р а-}-1
ИЛИ
U (Ла,гпЛа,,лО(1,).
s € S
В первом случае xt=\ для t = {а + 1, /}, что невозможно
ввиду условий (13), (14а), (14в) и (14д). Во втором
случае существует такой индекс s£St (т. е. s=/=l), 4Toxt=l
для ^ = {/, s}. Это тоже невозможно ввиду условий (13)
(146), (14в) и (14д). Тем самым доказательство леммы (L)
завершено. Итак, равенство (8) справедливо.
Пусть теперь 33 — некоторое m-пополнение булевой
алгебры ^у, ©0~-счетное множество всех элементов
s£^)> а 330—m-подалгебра (алгебры 33),
m-порожденная множеством ©. Так как поле $ является
регулярной подалгеброй алгебры 33, то из условий (8) и (4")
вытекает, что
W,/= ив(Л„упл.,,поА,)
S € S 4
для любого порядкового числа a£U и (см. замечание
в конце примера А § 18)
л.,/= П*Ч,,
Р < а р < а
для любого предельного порядкового числа a£U.
Следовательно, по трансфинитной индукции [см. также (4)]
получаем, что все множества Аа>/ являются элементами
алгебры 330. Так как поле $ порождено множеством ©0
и всеми элементами Аа>у, то имеет место включение
$ с 330. Это доказывает, что 33 = 330, т. е. алгебра 33 ш-по-
рождена счетным множеством ©0. Из формулы (7)
следует, что 33]>т.
М) Теперь мы в состоянии доказать неравенство (11)
из § 31 (стр. 216). Пусть 31ш, п—свободная булева ш-ал-
гебра с множеством © мощности п свободных
пт-образующих, пт, п^#0. Пусть f — любое отображение
множества © на счетное множество ©0 ш-сбразующих булевой
пт-алгебры 33, которая построена в примере Л. Отобра¬

§ 35. Пополнения и ш-пополнение
259
жение f можно продолжить до m-гомоморфизма h
алгебры 21т, п в алгебру SB. Так как множество @0 т-порож-
дает алгебру 33, гомоморфизм h отображает алгебру 2(m>n
на алгебру 33. Поскольку 33 ^пт, мы получаем
неравенство Sim. п ^ Ш.
Теперь мы дадим несколько применений пополнений
и m-пополнений к рассмотрению (ш, п)-дистрибутивности
булевых алгебр.
Определение (ш, п)-дистрибутивности на стр. 100
является несколько усложненным, поскольку необходимо
постулировать существование* различных бесконечных
объединений и пересечений. Теорема 35.4 предлагает
другое определение, которое обходит эти трудности.
35.4. 	Пусть 35 — пополнение (или ш'-пополнение, где
т'^т и т'^п) своей подалгебры 2L Тогда следующие
условия эквивалентны:
(d) алгебра 21 является (т, п)-дистрибутивной;
(d5) для каждого (т, п)-индексированного множества
{At) s}tsT, ses элементов алгебры 21 имеет место равенство
(18)
П® U53 А
teT s€S
t, 5
и58 п58 А
ф е S’?
t, cp(t)*
Рассмотрим первый случай, когда алгебра 35 является
пополнением алгебры 21. Тогда все рассматриваемые
пересечения и объединения существуют, поскольку алгебра 33
является полной. Так как At)Ср(П с U® At s, то
seS
П® At,
teT
<c(f)
П® u* At>l
teT s e S
Таким образом, равенство (18) справедливо тогда и только
тогда, когда элемент
В = ff U® At
teT se s
s
U® П® At,
sSTtST
равен Д.
Предположим, что В Ф Д. Поскольку алгебра 31 плотна
в алгебре 33, существует такой элемент А £ 31, что Д ф

260
Г л. II. Бесконечные объединения и пересечения
ф АсВ. Тогда [см. (5) § 18]
Ua А[\Аи, = А
seS
и, следовательно,
но
П51 Ua АпАив=*АфА,
teT seS
D*AnAti<f(t) = A
teT
для каждого cp£Sr. Таким образом, (пт,
^-индексированное множество {А Г) Ai)S\ie т, ses элементов алгебры 31
не удовлетворяет условию (dx) теоремы 19.2, т. е.
алгебра 31 не является (ш, п)-дистрибутивной. Это доказывает,
что из условия (d) вытекает условие (d5).
С другой стороны, очевидно, что из условия (d5)
вытекает (d), так как алгебра 31 является регулярной
подалгеброй алгебры 23.
Пусть теперь 25' — подалгебра (алгебры 23), т'-порож-
денная алгеброй 31. Так как алгебра 31 плотна в алгебре 23,
то тот же факт верен и для алгебры 25'. Следовательно,
алгебра 23' является регулярной подалгеброй алгебры 31.
Поскольку m'^m, m'^n, а алгебра 25' является ш-под-
алгеброй алгебры 23, то имеют место, следовательно,
равенства:
n8 ue^,,=ne' IJ*’AliSe%',
teT seS teT seS
П33 At {t) — П33 At •
teT Y teT
Если справедливо равенство (18), то ввиду равенства (5)
§ 18 верно также и равенство
(18')
ГГ U*' Аи ,= [}*’ П*’Аи,
teT seS
Ф 6 s
Т teT
с (/>•
С другой стороны, из равенства (18') вытекает (18),
поскольку 23' является регулярной подалгеброй алгебры 23.
Таким образом, равенства (18) и (18') эквивалентны, что
и доказывает утверждение 35.4 для случая ш'-пополнения
алгебры 31.

§ 35. Пополнения и т-пополнение
261
35.5. 	Алгебра 81, удовлетворяющая п-цепному условию,
является (m, п)-дистрибутивной тогда и только тогда,
когда (ш, \\)-дистрибутивным является ее пополнение.
Предположим, что алгебра 33 есть пополнение своей
подалгебры 81, причем последняя является (ш,
^-дистрибутивной и удовлетворяет n-цепному условию. В силу
эквивалентности утверждений 19.2 (d) и (dx), чтобы
доказать, что алгебра 33 является (ш, п)-дистрибутивной,
достаточно показать, что если {Bti s}t6 г, ses—такое (т, п)-
индексированное множество элементов алгебры 33, что
teT seS
то существует такое cp£Sr, что fl^^t , Ш)¥= Л-
teT
Поскольку алгебра 81 плотна в алгебре 83, то
существует такой элемент А£ 81, что Д фАсВ. Как
показывает пример Е § 23, имеет место равенство
Bi>s= U®Bt)S)s', где BUtt s-e% S'<n.
s' e S
Положим Au Sts’~ А П Так
’ n* U* ’ Au,t,=
teT (s s')eSxS'
как
Аф Л,
то в силу утверждения 19.2 (d^ существует такое
отображение ,ф(0==(ф(0» ф'(0)» определенное на 7 и
принимающее значения <p (t) € S,(p' (t) £ S', что f|?l Au^iu '{()ф/\.
teT
Поскольку Л*,ф(о,ф'(о с Bt ШФ Д, то rf*Bt {„Ф /\.
teT
Таким образом, (ш, п)-дистрибутивность алгебры 81
влечет за собой (т, п)-дистрибутивность ее пополнения 85.
Импликация в обратную сторону получается из
следующего утверждения, которое вытекает непосредственно из
определения (т, п)-дистрибутйвности: каждая регулярная
подалгебра (ш, п)-дистрибутивной алгебры является (щ, п)-
дистрибутивной.
Как показывает последнее замечание, слово „попол-
нение“ можно заменить в утверждении 35.5 на слово
„т'-пополнение“, где т' — некоторое бесконечное
кардинальное число,

262
Г л. II. Бесконечные объединения и пересечения
35.6. 	Булева алгебра 21 является т-дистрибутивной
тогда и только тогда, когда ее т-пополнение является ш-
дистрибутивным 1).
Пусть 23 есть m-пополнение своей подалгебры 21. Если
алгебра 21 является m-дистрибутивной, то каждая
подалгебра 350 алгебры 23, которая m-порождена некоторым
ш-индексированным множеством {At}teT алгебры 21,
является атомной алгеброй и, следовательно, изоморфна
некоторому ш-полю множеств. Действительно, элемент
(19) П*в(*М, (в(/) = ±1)
teT
является атомом в алгебре 230 или равен Д. Используя
утверждение 35.4, где S = (l, —1), At^s = s- At> приходим
к выводу, что единичный элемент есть объединение всех
элементов типа (19) (см. подобные аргументы в
доказательстве предложения 24.5).
Каждая m-подалгебра алгебры 25, m-порожденная не
более чем m образующими, содержится в подалгебре 250,
Ш-порожденной m-индексированным множеством {At}t^T
элементов алгебры 21, и, значит, изоморфна некоторому
ш-полю множеств. Следовательно, по теореме 24.6
алгебра 25 является т-дистрибутивной.
Таким образом, из m-дистрибутивности алгебры 21
вытекает m-дистрибутивность ее т-пополнения 23. Обратная
импликация следует из замечания в конце доказательства
предложения 35.5.
35.7. 	Пусть 58 — пополнение (или ш'-пополнение,
причем ш' ^ ш, ш' ^ п) своей подалгебры 21. Следующие
условия эквивалентны:
(w) алгебра 21 является слабо (ш, п)-дистрибутивной:
(we) для каждого (ш, и)-индексированного множества
{Ati 5}/<= 7\ ses элементов из 21 имеет место равенство
(20)
* U6 At
teT se s ’
и* п*л*,ф«>.
Ф eST16 Т
х) Пирс [3]. Изложенное выше доказательство утверждения 35.5
отличается от доказательства Пирса,

§ 35. Пополнения и га-пополнение
263
Символы S и Л^ф(/) имеют тот же смысл, что и в
определении слабой (Тп, п)-дистрибутивности на стр 205.
Доказательство предложения 35.7 аналогично
доказательству 35.4 [вместо условия 19.2 (Аг) следует
применить условие 30.1(w1)]. Условие (w6) звучит подобно
первоначальному определению слабой (ш, п)-дистрибутив-
ности, но является более простым, так как дополнительно
не постулируется существование бесконечных объединений
и пересечений.
35.8. 	Пусть булева алгебра 31 удовлетворяет п-цепному
условию. Алгебра 31 является слабо (ш, п)-дистрибутивной
тогда и только тогда, когда ее пополнение является (ш, п)-
дистрибутивным 1).
Доказательство аналогично доказательству
предложения 35.5. Поскольку каждая регулярная подалгебра слабо
(ш, п)-дистрибутивной алгебры тоже является (ш, п)-
дистрибутивной, то слово „пополнение" в предложении
35.8 можно заменить на слово „ш'-пополнение", где ш' —
любое бесконечное кардинальное число.
Примеры. Н) Существует m-дистрибутивная булева
алгебра (и даже m-поле множеств), у которой
пополнения и все ш'-пополнения при ш' ^ 2Ш не являются ш-
дистрибутивными 2).
В самом деле, в примере К § 20 мы показали, что
существует такое m-поле $ подмножеств пространства X,
которое не является (ш, 2ш)-дистрибутивным. Пусть 93 —
любая такая 2ш-полная булева алгебра, что $ является
регулярной подалгеброй алгебры 58. Алгебра 93 не будет
m-дистрибутивной. Действительно, если предположить,
что 93 является m-дистрибутивной алгеброй, то в силу
утверждения 20.4 она окажется также и (ш, 2т)-дистри-
бутивной. Следовательно, поле $ будет (ш, 2т)-дистри-
бутивным как регулярная подалгебра алгебры 93.
О) Если 2m-~m+1), то'существует слабо ш-дистрибу-
тивная булева m-алгебра (и даже m-поле множеств),
г) Трачик [5].
2) Пирс [3].

264
Гл. II. Бесконечные объединения и пересечения
пополнение и все m'-пополнения которой при
не являются слабо m-дистрибутивными х).
Пусть Т и S — два множества мощности ш и ш+
соответственно, а Т—множество всех конечных непустых
подмножеств множества Г. Как показывает пример В § 30,
существуют такие множества cS(f, t" £7), что
(21) S = U Sr г для каждого t'£T>
t"eT
(22) множество So=nSr,o(r) имеет мощность,
V ет
не превосходящую ш, для каждого Ф £ТТ.
Здесь, в согласии с обозначениями на стр. 205,
(23) Sr, ф (Г) = U Sr, г'.
ГбФ(п
Во-первых, мы докажем, что если {BtiS\teT ses — такое
(ш, ш+)-индексированное множество элементов слабо щ-
дистрибутивной булевой ш+-алгебры, что
(24) U Ви 5 = V для каждого t £ Г,
seS
(25) BUsr\BtfS- = Д для s=^s',
то имеет место равенство
(26)
и n Ufl(fj = v.
цг^-рТхТ teT s 6
Здесь функция Wt £ Тт определяется для каждого W £ Ттхт
равенством
Wt (t') = y¥ (t, t') для V € Ty
a S\srt определено так же, как и в равенстве (23), т. е.
= П 5г, (п = П U Sr, г'.
Г е Т t'eT t”eWt (t')
Положим
(27)
B*.r. r = U Bt s для ty t\ t"£T.
s 6 t*  * 2x) ш обозначает наименьшее кардинальное число, большее, чем Ш-
2) Трачик [5].

§ 35. Пополнения и ш-пополнение
265
Из равенств (21) и (24) следует, что
U для каждой пары (/,/') £ ТхТ.
ГеТ
Поскольку алгебра 33 слабо m-дистрибутивна, мы
получаем, что
(28) U п Я*,*',?(/, п~ V,
хреттхт (^г)егхг
где, по соглашению на стр. 205 [см. также (23)], полагаем
Bt, t\w(t, п= U BUr, г.
tf)
Равенство (28) можно также записать в следующем виде:
(29) U П П Bt,t',wt{n = V.
цге тТхТ tGT t'6T
В силу равенств (24) и (25) для каждого фиксированного
индекса t £ Т отображение
Л (S') = (S'cS)
S6 S'
является т+-изоморфизмом поля всех подмножеств
множества S в алгебру 33. Поэтому отсюда вытекает, что
П Bt, t',wt(n = U Bt s,
t' в T s б S\jr^
что вместе с равенством (28) дает равенство (26). Точное
доказательство последнего тождества проводится
следующим образом:
П Bft t\ w (п “ П U h-(Sr t) =
t'eT 1 I'eT reWtit')
= h
П и Sr
t'eT t"eWt (П
r\—h(S^t)= U Bt,,
s 6 S\jr^
Пусть теперь % есть m-поле, определенное в примере
К § 20. Мы напомним основное свойство поля Оно

266
Г л. II. Бесконечные объединения и пересечения
содержит такое (m, т+^индексированное множество
{At,s\t*T, Sts, ЧТО
(30) U*i4t„ = V,
s € S
(31) n и Л„=л,
<« T siS
где U и П обозначают теоретико-множественное
объединение и пересечение соответственно. Из равенства (30) и
теоремы 20.2 вытекает, что существуют такие множества
ДЛЯ которых
(32) BttScAt s, Bt s(] Bt s'= Д npns^s' и IIs B«,4=V
s eS
для t£T.
Предположим теперь, что 93 — такая ш+-алгебра, что $
является ее регулярной подалгеброй. Тогда 95 не будет
слабо ш-дистрибутивной алгеброй. Предположим
противное, т. е. что 95 является слабо m-дистрибутивной. В силу
свойств (32) предпосылки условий (24) и (25) выполнены.
Значит, имеет место равенство (26). С другой стороны,
из (31) и (32) вытекает, что П U Bt s= А Для каж-
t 6 Т s 6 SWt ’
дого Щ^ТТхТ. Противоречие.
Взяв в качестве алгебры 95 пополнение или ш'-по-
полнение поля $(т' ^т+), мы получим утверждение
примера К.
§ 36. Расширения булевых алгебр
Пусть 91 —булева алгебра, ш —фиксированное
бесконечное кардинальное число и J и М —два таких
фиксированных множества непустых подмножеств алгебры 91, что
(1) для каждого и для каждого ©£М,
и существуют все объединения
(2) иЛ (© б J)
А е©
и пересечения
(2') П Л (©€М).
Л б<®>

§ 36. Расширения булевых алгебр
267
Пара {*, 23} называется (J, М, шУрасширением1)
алгебры 2(, если выполнены условия:
(а) 33 —булева алгебра;
(б) i есть (J, М)-изоморфизм алгебры 21 в алгебру 33
(см. стр. 143);
(в) i (21) m-порождает алгебру 33.
В случае когда J и М суть множества всех таких
ненулевых подмножеств © алгебры 2( мощности, не
превосходящей ш, что существуют объединения (2) и пересечения (3),
(J, М, ш)-расширение алгебры 2( будет называться просто
т-расширением алгебры 21. В силу результатов § 22
(стр. 143) (J, М)-изоморфизмы совпадают тогда с т-изо-
морфизмами и, значит, условие (б) можно сформулировать
следующим образом:
(б0) i есть m-изоморфизм алгебры 21 в алгебру 33.
Условия (а), (в) совпадают с условиями (а'), (в') в
определении m-пополнения алгебры 21 на стр. 251 § 35,
но условия (б) и (б0) являются более слабыми, чем
условие (б'). Это приводит к тому, что в отличие от т-попол-
нения алгебра 21 может иметь неизоморфные (J, М, т)-рас-
ширения или неизоморфные т-расширения (см. примеры
Б и В).
Пусть {*,33} и {*', 35'}—два (J, М, ш)-расширения
алгебры 21. Говорят, что расширение {Г,35'} есть т-гомо-
морфный образ расширения {*, 35}, если существует такой
m-гомоморфизм h алгебры 23 в алгебру 35', что
(3) V =Ы.
Мы тогда пишем:
(4) {*', 23'}<{/, 23}.
х) о-расширения были впервые рассмотрены Сикорским [13].
Позднее Керстан [1] доказал существование свободного (J, М, т)-рас-
ширения для любого т. Другое доказательство существования
свободного (J М, ш)-расширения было дано Сикорским в [32].
Независимо такое же доказательство существования свободного
т-расширения было найдено Якубом [1], который также рассмотрел случай,
когда J и М пусты. См. также Дэй [1] и Дэй и Якуб [1].
Изложение этою параграфа является небольшой модификацией изложения
из работы Сикорского [32].

268
Г л. II. Бесконечные объединения и пересечения
Заметим, что условие (3) эквивалентно следующему
условию:
(5) 	h является продолжением изоморфизма Vi"1
алгебры i (31) на алгебру /'(31).
Следовательно, если m-гомоморфизм h с требуемым
условием существует, то он единствен. Более того, h
отображает алгебру 33 на всю алгебру 33'. Эти два утверждения
непосредственно вытекают из условия (в).
Если гомоморфизм h является изоморфизмом, то пары
{/,33} и {/', 33'} изоморфны в смысле определения на стр.
247 § 35.
Заметим, что если {/, 33} есть (J, М, ш)-расширение
алгебры 31 и h — любой изоморфизм алгебры 35 в другую
булеву алгебру 33', то пара {А/, А(33)} является (J, М, ш)-
расширением алгебры 33, изоморфным расширению {/, 35}.
Другими словами, любая алгебра, изоморфная (J, М, ш)-
расширению алгебры 31, тоже является (J, М, ш)-расши-
рением.
Легко проверить, что отношение (4) является
отношением квазипорядка в классе К всех (J, М, ш)-расширений
алгебры 31, т. е. это отношение рефлексивно и транзитивно.
Более того, два элемента {/, 33} и {/', 33'} из класса К
изоморфны тогда и только тогда, когда одновременно
имеют место неравенства
{/', З3'}<{/, 33} и {/, 33}<{/', 33'}
(см. теорему 23.3). Иногда удобно отождествлять
изоморфные элементы класса К\ после отождествления этот класс
становится частично упорядоченным с помощью
отношения
Класс К непуст, а именно каждое ш-пополнение {/, 33}
алгебры 31 принадлежит к классу К, т. е. каждое ш-по-
полнение алгебры 31 является (J, М, ш)-расширением
алгебры 31.
Пусть п — мощность множества образующих алгебры 31,
31ш,п —свободная булева m-алгебра со множеством
мощности и свободных m-образующих. В силу теоремы 31.8
наименьшая подалгебра 310,п алгебры 31ш,п> содержащая
все свободные m-образующие, является свободной булевой

§ 36. Расширения булевых алгебр
269
алгеброй с п свободными образующими. Таким образом,
булева алгебра с п образующими является гомоморфным
образом алгебры 310, «. В частности, существует
гомоморфизм go алгебры 310,п на алгебру 3(. Так как свободные
m-образующие алгебры 31ш,п являются одновременно
и свободными образующими алгебры 310,п, то алгебры
3(0,п и Щт,п обладают тем свойством, что
(г) 	каждый гомоморфизм алгебры 310,п в любую пт-
алгебру 31' можно единственным образом продолжить до
m-гомоморфизма алгебры 3lm, п в алгебру ЗГ.
Пусть Д0 —идеал всех таких элементов Л£310>п, что
g0 (Л) — Д, а /—множество всех таких m-идеалов Д
в алгебре 3Xm>n, что
(д ) Afl 31о,п = А0,
(д") А содержит все элементы вида
Л0 - U Л, U Л-Л0,
А € @1 А б ©1
А0-Г\А> Г\А-А0,
А 6 ©2 л 6 ©2
где А0 £ ЭД0, п> а и ©2—произвольные подмножества
алгебры мощности, не превосходящей ш, и
обладающие свойствами
&o(©i)€J. go(A>) = U g-0 (Л),
Л б©!
gfo(@2)€M, g0(A>) = П£о(Л).
Л б ©2
Для каждого А б/ пусть 31д =3tm>tt/A, а 31д, 0—
подалгебра (алгебры 31д), образованная всеми элементами [Л]д,
Л £ 31о, п-
Условие (д') означает, что формула
8о([А]&)=8о(А) Для ЛеЗ^о.п
определяет изоморфизм gA алгебры 3(д,0 на алгебру 31.
Пусть
Условие (д") означает, что тд есть (J, М)-изоморфизм
алгебры 31 на алгебру 31д . Так как алгебра 31д, 0 = *д (tt)m-
порождает алгебру 31д, мы получаем следующую теорему:

270
Г л. II. Бесконечные объединения и пересечения
36.1. Для каждого IS. из 1 пара {*д,31д} является
(J, М, ту расширением алгебры 31.
Теперь мы докажем, что и обратно,
36.2. Для каждого (J, М, ш)-расширения {i> 93} алгебрыШ,
существует такой идеал А £ /, что пара {*, 93} изоморфна
паре {/А, Яд}.
В силу свойства (г) гомоморфизм igQ алгебры 310>п в
алгебру 95 можно продолжить до m-гомоморфизма g алгебры
51ш,« в алгебру 95. Тогда т-идеал А всех таких элементов
что g(A) = /\y обладает свойствами (д'), (д"),
т. е. Af/, и формула
h ([<<4]д)= § (-<4)
определяет требуемый изоморфизм h пары {/д , 51д} на {/, 95}.
36.3. Для любых идеалов А', А" из /
{/д', 51д'}^ {/д«, Цд*} тогда и только тогда, когда Д"сД'.
Следовательно, пары {/д,51д'} и {*V, ЗЦ"} изоморфны
тогда и только тогда, когда Д' = Д".
В самом деле, пусть h есть m-гомоморфизм алгебры
51 д" в алгебру 51 д>, который является продолжением
гомоморфизма /д'/д"1 и, таким образом,
(6) h([A]b-) = [A]x
для любого Легко проверить, что класс всех
А ёЯщ.п, для которых имеет место равенство (6), является
Ш-подалгеброй алгебры Яш.п- Поскольку эта ш-подалгебра
содержит 510,п, она совпадает с алгеброй 31ш.п, т. е.
равенство (6) имеет место для всех Л€91т,п. Если А£ А",
то А С: А'- Итак, А" с А'. Обратно, если А" с А', то
равенство (6) определяет m-гомоморфизм h алгебры 51д" в 51 д',
который является продолжением гомоморфизма Это
доказывает первую часть утверждения 36.3. Вторая часть
непосредственно вытекает из первой.
Теоремы 36.1, 36.2, 36.3 дают точное описание класса К
всех (J, М, ш)-расширений алгебры 51. Пара {/, 93}
принадлежит классу К тогда и только тогда, когда она
изоморфна паре {*д, 51д} для некоторого А£/. После
отождествления изоморфных элементов множество К становится

§ 36. Расширения булевых алгебр
271
изоморфным (в смысле теории частично упорядоченных
множеств) множеству /, которое частично упорядочено
с помощью отношения, обратного
теоретико-множественному включению.
Пересечение Д° всех идеалов Д из/также принадлежит
множеству /. В силу теоремы 36.1 пара
(7) {/до, ад
является (J, М, ш)-расширением алгебры 31. Тогда
(J, М, ш)-расширение (7) и все ему изоморфные
расширения называются максимальными (J, М, т)-расширениями
алгебры 31.
36.4. 	Для того чтобы (J, М, тУрасширение {/, 33)
алгебры 31 было максимальным, необходимо и достаточно,
чтобы для всякого (J, Щ-гомоморфизма g алгебры 31 в
любую булеву т-алгебру (5 существовал такой т-гомомор-
физм h алгебры 33 в алгебру (S, что
g = hi.
Чтобы объяснить последнее условие, удобно
отождествить алгебру 31 с образом i (31) с помощью изоморфизма и
Тогда это условие означает, что всякий (J,
/^-гомоморфизм подалгебры 31 = i (ЗХ) с 33 в любую булеву ш-алгебру ©
можно продолжить до m-гомоморфизма алгебры 33 в
алгебру (£.
Для доказательства утверждения 36.4 заметим, что
гомоморфизм gg0 алгебры ЗХ0,П в алгебру (5 можно
продолжить до m-гомоморфизма h' алгебры 3tm>n в алгебру 6
в силу свойства (г). Тогда m-идеал Д' всех таких A £3tm,n,
что h' (Л) = Д, обладает свойством (д"), так как g является
(J, М)-гомоморфизмом. Поскольку Д0с=Д', то
(Д' П Д°) П 21о. п = Д' П (Д° П Я0. п) = Д' П Д0 = А0,
т. е. m-идеал Д' П Д° удовлетворяет условию (д'). Так как
этот идеал удовлетворяет также и условию (д") [как
пересечение идеалов, удовлетворяющих условию (д")], то
он принадлежит /. Значит, Д°сД'ПД0, т. е. Д°с:Д'.
Следовательно, формула
Л([Л]до) (Л) для Л£$т,п

272
Г л. II. Бесконечные объединения и пересечения
определяет ш-гомоморфизм алгебры 81до в алгебру ©, и
g = hi.
Таким образом, мы доказали, что пара (7) обладает
свойством продолжаемости, упоминаемым в утверждении
36.4. 	Значит, и каждая пара, изоморфная паре (7), т. е.
каждое максимальное (J, М, т)-расширение алгебры 81,
обладает этим свойством.
С другой стороны, как это следует из теоремы 23.3,
все (J, М, т)-расширения алгебры 81, обладающие
свойством продолжаемости, изоморфны друг другу. Так как
расширение (7) обладает свойством продолжаемости, то
все (J, М, т)-расширения со свойством продолжаемости
изоморфны расширению (7), т. е. являются максимальными.
Согласно общему определению для частично
упорядоченных множеств, элемент {/, 23} из К называется
наибольшим элементом в К, если
{/', 23'}<!{/, 25} для каждого {/',23'}£^-
Элемент {/, 23} называется наименьшим элементом в /С,
если
{/,23} <;{/', 23'} для каждого {/', 23'}£Я\
Элемент {/, 23} называется минимальным, если для
каждого {/', 23'}
{Г, 25'} ^{/,23} влечет за собой {/, 23} ^ {Г, 23'},
т. е. элемент {/', 23'} изоморфен элементу {/, 23} и,
значит, может быть отождествлен с элементом {/, 23}.
36.5. 	Любое максимальное (J, М, ш)-расширение
алгебры % есть наибольший элемент в К. Любое
m-пополнение алгебры & является минимальным элементом в К.
Первая часть этого утверждения легко следует из 36.4.
Чтобы доказать вторую часть, достаточно показать, что
если {/, 23} есть m-пополнение алгебры 2(, {Г, 58'} — любой
элемент из К и h—такой m-гомоморфизм алгебры 23 на
алгебру 23', что /'=й/, то h является изоморфизмом.
Действительно, h является продолжением изоморфизма
/7”1 алгебры /(81) на алгебру /'(81). Таким образом,
НА)Ф Д®'для Аф А®, А £ i(3l). Если б —любой
ненулевой элемент А из алгебры 23, то найдется такой ненулевой

§ 36. Расширения булевых алгебр
273
элемент А из алгебры i (31), что АаВ> поскольку алгебра
i (St) плотна в алгебре 33 (в силу теоремы 35.3). Так как
Лзз':т^h(A)czh(B)f то к(В)Ф/\ъ’, а это доказывает тот
факт, что h является изоморфизмом.
Теорема 36.5 мотивирует использование термина
„максимальный" для расширений, изоморфных расширению (7).
По таким же соображениям ш-пополнения алгебры 31
называют минимальными ш-расширениями алгебры 31
(значит, пополнения алгебры также называют
минимальными расширениями алгебры 31). Свойство продолжаемости
из теоремы 36.4 похоже на основное свойство свободных
m-алгебр. Поэтому максимальные (J, М, т)-расширения
называют еще свободными (J, М, ш)-расширениями
алгебры 31.
Неизвестно, является ли ш-пополнение алгебры 31
наименьшим элементом в классе К. Частичный ответ на
этот вопрос дается следующими двумя теоремами.
36.6. Если {/, 23} £ К и m-алгебра 35 обладает свойством
слабой т-продолжаемости (в частности, 35 является слабо
т-дистрибутивной алгеброй или т-полем множеств), то
расширение {/, 35} является т-пополнением алгебры 31 и
наименьшим элементом в К.
В самом деле, пусть {Г, 3$'} — другой элемент из К.
Поскольку алгебра 35 обладает свойством слабой т-про-
должаемости (см. § 34), то изоморфизм Ц'~г алгебры V (31)
в алгебру 35 можно продолжить до ш-гомоморфизма
алгебрыЗЗ'в алгебру 35. Это доказывает, что {/,35}<1{Г, 35'}.
Таким образом, пара {/, 33} является наименьшим
элементом в К- Так как в каждом частично упорядоченном
множестве все минимальные элементы совпадают с
наименьшим элементом, если таковой существует, то
расширение {/, 35} должно быть пополнением алгебры 31 в силу
второй части теоремы 36.5.
36.7. Если алгебра 31 является т-дистрибутивной или
если она является слабо т-дистрибутивной и
удовлетворяет т-цепному условию, то m-пополнение' алгебры 31
является Наименьшим элементом в К.
Это непосредственно вытекает из теорем 36.6 и 35.6
или 35.8.

274
Г л. II. Бесконечные объединения и пересечения
Пусть Кх означает класс всех таких (J, М, ш)-расши-
рений {/, 33} алгебры 3(, что алгебра 33 является ш-пред-
ставимой. Ясно, что класс Кт непуст тогда и только
тогда, когда алгебра 31 является (J, М, ш)-представимой.
Чтобы изучать класс Kv нам придется вспомнить
обозначения из § 29, стр. 201: h0 будет изоморфизмом
алгебры 31 на поле $ всех открыто-замкнутых подмножеств
пространства Стоуна X алгебры 3(, будет обозначать
наименьшее m-поле, содержащее Наконец, ш-идеал
всех множеств (J, М, т)-категории (см. стр. 202)
теперь будет обозначаться через Д*.
Пусть /г —класс всех таких m-идеалов Д, что
(дх) ни одно непустое открытое подмножество
пространства X не принадлежит идеалу Д;
(д2) Д* является подмножеством Д.
Для каждого Д из /г формула
/Д (Л) = [Ло (Л)]А
определяет ш-изоморфизм iA алгебры 31 в алгебру $1П/Д,
а множество iA (31) ш-порождает алгебру $,П/Д, другими
словами,
36.8 Для каждого Д£/г расширение {iAy $Ш/Д}
принадлежит Кх.
Именно, гомоморфизм iA является изоморфизмом в
силу условия (дх) и (J, М)-гомоморфизмом в силу
условия (д2). Подалгебра *Л(31) ш-порождает алгебру $,Ц/Д
вследствие того, что поле $ ш-порождает $ш.
Тогда из теоремы 29.6 получаем, что расширение
(8) {*Л*, $Ш/Д*}
принадлежит /Сг. Это (J, М, ш)-расширение (8) и все
ему изоморфные расширения называются максимальными
представимыми (J, М, т)-расширениями алгебры % или
свободными представимыми (J, М, ш)-расширениями ал-
гебры 31. Мотивировкой введения таких терминов служат
приводимые ниже теоремы 36.10 и 36.9.
36.9. 	Для того чтобы (J, М, шУрасширение {/, 33} £Kt
было максимальным представимым расширением,
необходимо и достаточно, чтобы для каждого (J, Ш)-гомомор-

§ 36. Расширения булевых алгебр
275
физма g алгебры 81 в любую т-представимую т-алгебру (S
существовал такой т-гомоморфизм h алгебры 83 в алгебру 6,
что
g — hi.
Объяснение последнего свойства продолжаемости
такое же, как и в случае теоремы 36.4.
Сначала мы докажем, что расширение (8) обладает
этим свойством продолжаемости. Достаточно рассмотреть
случай, когда ® = является каноническим т-пред-
ставлением т-представимой m-алгебры. Пусть g—
некоторый (J, М)-гомоморфизм алгебры 81 в алгебру (£. Вейлу
таких же аргументов, как в доказательстве теоремы 32.6
(см. также теорему 22.5), мы утверждаем, что
гомоморфизм h' =g индуцирован поточечным отображе¬
нием ср, которое является (J, М)-непрерывным. Другими
словами,
h' ([Л]а*) = [ф_1(Л)]А' для каждого
и ф“1(Б) принадлежит Д' для каждого (J, М)-нигде не
плотного множества В из X, и следовательно, для всех
В£Д*. Отсюда вытекает, что формула
й([Л]А*) = [ф'1 (Л)]д' для всех
определяет m-гомоморфизм алгебры $т/Д* в алгебру
= который является продолжением гомоморфиз¬
ма /*', т. е. g = hiA*.
Таким образом, мы доказали, что расширение (8)
обладает свойством продолжаемости, описанным в 36.9.
Следовательно, каждое расширение, изоморфное (8), т. е.
максимальное представимое (J, М, т)-расширение
алгебры 81, обладает этим свойством.
С другой стороны, из теоремы 23.3 следует, что все
элементы из /Сг, обладающие свойством продолжаемости,
изоморфны друг другу. Поскольку расширение (8)
обладает этим свойством, то все элементы из Kv обладающие
свойством продолжаемости, изоморфны расширению (8),
т. е. являются максимальными представимыми
расширениями.
36.10 Любое максимальное представимое (J, М. ту рас-
ширение алгебры 81 является наибольшим элементом в Kv

276
Г л. //. Бесконечные объединения и пересечения
Это вытекает прямо из теоремы 36.9.
36.11. Для каждого расширения {i, 33} из Кт существует
такой идеал Д£/г, что пара {i, 33} изоморфна {*л, ^Ш/Д}.
По теореме 36.9 существует такой ш-гомоморфизм h
алгебры $Ш/Д* в алгебру 33, что i = hiA\ т. е. h является
продолжением гомоморфизма i(iA*)_1. Так как алгебра
i(31) ш-порождает алгебру 33 и содержится в Л($ш/Д*),
то $ = А($т/Д*). Тогда ш-идеал Д всех таких
что А([Л]д*)= Дй, принадлежит /г. Действительно,
условие (дх) выполняется, поскольку h является продолжением
изоморфизма Условию же (д2) идеал Д удовле¬
творяет по определению. Формула
Л' ([^4]л) = Л ([^4)]л* для А £
определяет изоморфизм h' алгебры $т/Д на 33, причем
i=zh'iA =hiA*. Таким образом, пара {i, 33} изоморфна
паре {*\ $Ш/Д}.
36.12. Для любых Д', Д" из /г
{/*', $т/Д'}<{1А^ш/Д'}
тогда и только тогда, когда Д"с:Д'.
Следовательно, пары {iA\ $т/Д'} ^ $Ш/Д"} изоморфны
в том и только том случае, /согда Д' = Д".
Доказательство теоремы 36.12 подобно доказательству
аналогичной теоремы 36.3.
Следующее простое замечание вытекает из того факта,
что каждый ш-гомоморфный образ ш-представимой т-ал-
гебры является ш-представимой т-алгеброй.
36.13. Если {i, Щ£КГ, {i'№}£K и 33'} 33},
то {Г, 3З'К^г
Теоремы 36.8, 36.11 и 36.12 полностью описывают
класс Кг Именно, пара {i, 33} принадлежит Кх тогда и
только тогда, когда она изоморфна паре {*л, $Щ/Д} для
некоторого Д £ /г. После отождествления изоморфных
элементов множество КТ становится изоморфным (в смысле
теории частично упорядоченных множеств) множеству /г,
частично упорядоченному по включению, обратному
теоретико-множественному. Теоремы 36.10 и 36.13 объясняют,
как множество Кг расположено в К.

§ 36. Расширения булевых алгебр
277
Неизвестно, находится ли ш-пополнение алгебры St
в множестве Кг. Из теоремы 36.13 легко следует, что
если ш-пополнение алгебры St является наименьшим
элементом в К> то оно принадлежит Кг Это верно,
например, если алгебра 81 является m-дистрибутивной или
слабо ш-дистрибутивной и удовлетворяет ш-цепному
условию.
В случае т=^80 имеет место равенство К = Kt,
поскольку каждая булева алгебра является а-представимой.
Заметим, что в случае ш-расширений идеал Д* состоит
из всех множеств А £ т-категории.
Если алгебра St является подалгеброй S3, то
гомоморфизм i тождествен, а {i, 33} является (J, М, ш)-расши-
рением (ш-расширением) алгебры St, то сама алгебра S3
называется (J, М, ш) -расширением (ш-расширением) своей
подалгебры St.
Примеры. А) Если множества J и М пусты, то
пара {/*0, $ш} является максимальным представимым
(J, М, ш)-расширением алгебры St (при условии, конечно,
что алгебра St является ш-представимой)1).
Б) Если J и.М —пустые множества, то алгебра Stm. «
является свободным (т. е. максимальным) (J, М, ш)-рас-
ширением подалгебры Sto, п- (Обозначения см. на стр. 219.)
Если ш^2**\ то алгебра Stm>n будет непредста¬
вимой по теореме 31.3. Таким образом, вообще говоря,
для несчетных ш равенство К = КГ не выполняется.
В) Существует такая алгебра (булева, атомная) 81, что
минимальное a-расширение алгебры 31 це изоморфно
максимальному а-расширению.
Пусть D — канторово множество действительных чисел
(см. пример Б § 9), В —такое борелевское подмножество
множества D, что C^-D — B плотно в D и для каждого
!) Недавно Якуб в [1] доказал, что (для пустых J и М) если
Ш^2^° и {/г0, 5ш} является максимальным (J, М, т)-расширением,
то алгебра St является сверхатомной. Дэй [1] доказал обратное
утверждение. Таким образом, |/i0, является максимальным
(J, М, т)-расширением алгебры St для пустых J и М и m^2**e
тогда и только тогда, когда алгебра St является сверхатомной.
См. Дэй и Якуб [1].

278
Г л. II. Бесконечные объединения и пересечения
счетного множества EcD объединение В U Е не является
Ра-множеством. Пусть ф — некоторое взаимно однозначное
соответствие между множествами С и С', где С' не
пересекается с D, и пусть X = D\jC'. Множество X
становится вполне несвязным компактным пространством, если
ввести следующую топологию: каждая точка из С'
объявляется изолированной; если x£D, то множества, вида
G U^GflС) — К, где G открыто в D(a:£G), а/( —
конечное подмножество множества С', принимаются за базу
окрестностей точки х.
Булева алгебра 81 всех открыто-замкнутых
подмножеств пространства X является атомной (так как
множество С' изолированных точек пространства X плотно в
пространстве Стоуна X алгебры 81). Однако алгебра $а/Л*
J[cm. обозначение на стр. 274), где т = о, а Д* является
теперь o’-идеалом множеств о-категории, не является
атомной, а потому максимальное о-расширение {/Л*, $а/Л*}
алгебры 81 не изоморфно никакому о-пополнению
алгебры 81 (см. пример И § 35).
Действительно, легко проверить, что множество АаХ
является нигде не плотным и о-замкнутым в X тогда и
только тогда, когда оно является замкнутым
подмножеством в пространстве D, а А — В не более чем счетно.
Следовательно, идеал Д*всех множеств a-категории А
состоит из всех таких борелевских подмножеств Fa-MHO-
жеств AczD, что А —В не более чем счетно. Значит,
В(£Л*, т. е. [В]а*Ф/\. Тем самым элемент [£]д* не
содержит ни одного атома1).
§ 37. m-независимые подалгебры.
m-F-произведение
Говорят, что индексированное множество подалгебр
{81*}гбГ булевой алгебры 81 является щ-независимым,
если
(1) ПМ^Д
ter
для каждого m-индексированного множества {At}ter>
такого, что Т'сТ, АгФ /\, Л* £81* для каждого /£Г'
г) Пример В предложен Катетовым (не опубликовано).

§ 37. ух-независимые подалгебры. m-F-произведение
279
(из последнего условия вытекает, что элементы Ai с
различными индексами принадлежат подалгебрам 91* с
различными индексами). Неравенство (1) следует
понимать так: пересечение-, написанное слева, существует и
не равно нулевому элементу [в приложениях мы будем
рассматривать только ш-полные алгебры 81 и поэтому
левая часть (1) всегда будет существовать]. Каждое ш-не-
зависимое множество подалгебр является также
независимым в смысле определения § 13, поэтому оно обладает
всеми свойствами независимых подалгебр, описанных в § 13.
Всякое ш-независимое индексированное множество
подалгебр булевой ш-алгебры обладает следующим важным
свойством продолжаемости гомоморфизмов (см. также
аналогичную теорему 13.1).
37.1. Если {91*}*6 г есть т-независимое множество
т-подалгебр булевой алгебры 81, ht есть т-гомоморфизм
алгебры 81* в т-алгебру 81' для каждого t£T, причем ал-
гебра 81' обладает свойством сильной ш-продолжаемости
(в частности, 81' является т-дистрибутивной алгеброй
или т-полем множеств), то все гомоморфизмы ht можно
(единственным образом) продолжить до т-гомоморфизма
т-подалгебры 910 с 81, т-порожденной
теоретико-множественным объединением всех алгебр 81*, в алгебру 81'1)
Доказательство теоремы 37.1 подобно доказательству
теоремы 13.1, за исключением того, что вместо теоремы
12.4 нужно ссылаться на теорему 34.3.
Подобно теореме 13.2 мы можем вывести из теоремы
37.1 следующее утверждение:
37.2. Пусть {$lt}teT и —два т-независимых
множества т-подалгебр т-алгебр 81 и 81' соответственно,
причем 91 и обладают свойством сильной т-продолжае-
мости (в частности, 81 и 8Г могут быть т-дистрибу-
тивными т-алгебрами или т-полями множеств), а
объединение всех 81* (всех 8Q m-порождает алгебру 81 (81').
Пусть далее ht — изоморфизм алгебры 91* на алгебру Щ
для всех t£T. Тогда все ht можно продолжить до
изоморфизма h алгебры 81 на 81'2).
*) Сикорский [11, 14].
2) Сикорский [11].

280
Га. II. Бесконечные объединения и пересечения
Важный пример ш-независимых подалгебр дает
следующая операция взятия m-F-произведения.
Напомним некоторые обозначения из § 13. Для
каждого t£T через ^обозначим (невырожденное) поле
подмножеств непустого пространства Xt. Через X обозначим
декартово произведение всех пространств Хь т. е.
множество всех x = {xt\teT, xtZXt для t£T. Если AcXty
то через Л* обозначается множество всех точек х£Ху
у которых t-я координата xt принадлежит А. Через
обозначим поле (подмножеств пространства X),
образованное всеми подмножествами вида Л* для A£$t.
Наименьшее ш-поле $ (подмножеств пространства Х)у
содержащее все поля $t(t£T)y называется
m-F-произведением индексированного множества Другими
словами, m-F-произведение семейства {£Ы/ег есть ш-поле,
т-порожденное F-произведением семейства полей
(см. § 13).
Семейство является m-независимым индекси¬
рованным множеством подполей поля Доказательство
подобно доказательству аналогичного утверждения в § 13
(стр. 66). Поле %*t изоморфно полю %t для каждого t£T.
В случае т = а операция взятия a-произведения очень
часто используется в теории меры. Одной из
фундаментальных теорем теории меры является следующая1):
если для каждого t£T дана a-мера mt на поле
причем mt (Xt) = 1, то существует точно одна такая a-мера т
на a-F-произведении $ множества полей {$*}/<= г > что
(2) 	т{А\ П • • • П А*п) = mt,(A1)-...- mtn (А„)
для произвольных множеств t^tj при 1ф}
(/, у = 1, , п). Говорят, что мера т является а-про-
изведением мер mt.
37.3. 	Пусть —индексированное множество не¬
вырожденных т-полей множеств и 81 — некоторое т-поле
множеств. Следующие условия эквивалентны:
(i) 81 изоморфно m-F-произведению семейства полей
г) См., например, Халмош [1], стр. 152—158.

§ 37. m-независимые подалгебры. m-F-произведение
281
(ii) §1 содержит ^независимое индексированное
множество {StJ/бГ т-под полей, изоморфных полям %t
соответственно, причем теоретико-множественное объединение
всех 81* ш-порождает поле ЭХ;
(iii) 81 содержит индексированное множество {3lt\teT
т-подполей, изоморфных полям $t соответственно, причем
теоретико-множественное объединение всех 81* т-порождает
поле 8X, и для произвольных т-гомоморфизмов ht полей 81*
в любое ш-поле множеств 81' существует т-гомоморфизм
h поля 81 в поле ЭХ', являющийся общим продолжением
всех гомоморфизмов Л*1).
(i) влечет за собой (И). Это очевидно, так как m-F-
произведение $ полей {^*}*6Т и m-подполей обладает
свойствами условия (И):
(и) влечет за собой (iii). Это вытекает из теоремы 37.1.
(iii) 	влечет за собой (i). Доказательство этой
импликации точно такое же, как и в теореме 37.2 (и в
аналогичном утверждении 13.2). Действительно, в
доказательстве теоремы 37.2 используется только свойство
продолжения т-гомоморфизмов.
Пример. А) Из теоремы 37.1 следует, в частности,
что если $ есть m-F-произведение семейства полей {$*}*6:г>
а $* имеет тот же смысл, что и выше, то произвольные
m-гомоморфизмы ht полей $* в т-алгебру 3(',
обладающую свойством сильной т-продолжаемости, можно
продолжить до m-гомоморфизма h поля $ в алгебру 31'.
Требование, чтобы алгебра ЭХ' обладала свойством
сильной m-продолжаемости, существенно и не может быть
заменено, например, более слабым требованием, чтобы
алгебра ЭХ' являлась т-представимой m-алгеброй даже
в случае, когда Т состоит только из двух элементов, а
ht являются изоморфизмами. Значит, и требования на
алгебру ЭХ', наложенные в теоремах 37.1 и 37.3 (iii),
нельзя заменить на более слабое условие, чтобы
алгебра ЭХ' была m-представимой т-алгеброй.
!) Сикорский [И]. Эквивалентность условий (i) и (ii) была
одновременно и независимо доказана Шерманом [1].

282
Г л. II. Бесконечные объединения и пересечения
Например, пусть R— множество всех действительных
чисел, С—некоторое аналитическое1) неборелевское
подмножество множества R и X1 = R — С, X2 = R. Пусть
далее и суть a-поля всех борелевских
подмножеств пространств Хх и Х2 соответственно. Наконец,
через X' обозначим декартово произведение X' = RxR
(иначе говоря, X' есть плоскость), через — сг-поле всех
борелевских подмножеств пространства X' и через А'—
a-идеал (поля $'), сг-порожденный всеми множествами
вида BxR, где В—такое борелевское подмножество из R>
что BflXj непусто (т. е. ВаС). Формулы
К ((В П Хх) х Х2) -- [В х R] д', h2 (X, х В) - [R х В] д'
(где В — борелевское подмножество из R) определяют
сг-изомопфизмы и h2 полей и ^у* соответственно в
алгебру 2t'=^7A'. Эти а-изоморфизмы нельзя продолжить
до а-гомоморфизма h наименьшего ст-поля ^у,
содержащего и $1 (т. е. a-F-произведения $ полей ^ и $2)
в алгебру W = $'/&'. В самом деле, предположим, что
такое продолжение h существует. Тогда для каждого
борелевского подмножества А из X' = RxR имеет место
равенство
h(An(XlxX2)) = [A]^
(это следует из того факта, что класс всех множеств
АаХ', удовлетворяющих этому равенству, является сг-
полем, содержащим все множества вида BxR и RxBy
где В — борелевское множество пространства R).
Аналитическое множество С является проекцией некоторого
плоского 05-множества Dс:Х'у т. е. х £ С тогда и только
тогда, когда (х, у) £ D для некоторого y£R. Так как
множество D не пересекается с множеством Х1хХ2, то
h(Df](X1xX2))= Д. С другой стороны, множество D
не принадлежит идеалу А' (поскольку в противном
случае оно имело бы вид D = Cx R и С было бы борелев-
ским множеством). Значит, [D\^ ф /\. Противоречие2).
В силу же теоремы 37.1 (a-представимая) а-алгебра
^'/А' не обладает свойством сильной а-продолжаемости.
*) По поводу определения и основных свойств см., например,
Куратовский [3], § 34 и 35.
2) Пример А дан Сикорским [14].

§ 38. Булевы (m, ъ)-произведения
283
§ 38. Булевы (ш, п)-произведения
В этом параграфе {9X*}*Gr будет обозначать некоторое
фиксированное индексированное множество
невырожденных булевых алгебр, а m—фиксированное бесконечное
кардинальное число.
Пара {{**}*6Г, Щ называется булевым (ш, 0)-произве-
дением1) (или просто (ш, 0)-произведением) алгебр {91*}* ег,
если выполнены условия:
а) 35 — булева ш-алгебра;
б) it является ; m-изоморфизмом алгебры 91* в
алгебру 33 для каждого индекса t£T\
в) индексированное множество {М^*)Ьег подалгебр
алгебры 33 есть независимое множество;
г) объединение всех подалгебр it(%t)(t^T)
m-порождает алгебру 33.
Класс всех (ш, 0)-произведений алгебр {91*}*6 т будем
обозначать через Р.
Пусть
(1)
{{г<Ьег>
23}
и
(2)
23'}
— два элемента из класса Р. Говорят, что пара (2)
является т-гомоморфным образом пары (1), если
существует такой m-гомоморфизм f алгебры 33 в алгебру 33',
что
(3) h = hit для каждого t£T.
Мы пишем в этом случае, что
(4) ^ } ^ {{*Л*ег>
Заметим, что условие (3) эквивалентно следующему
условию:
(5) гомоморфизм h является общим продолжением
всех изоморфизмов itij1 [алгебр /* (91*) в алгебры
ч(Ш ter.
х) Такое (т, 0)-произведение было рассмотрено в работах
Сикорского [13] (для m = i4o) и [32] (для

284
Г л. //. Бесконечные объединения и пересечения
Значит, если требуемый m-гомоморфизм h существует,
то он единствен. Более того, гомоморфизм h отображает
алгебру 23 на всю алгебру 23'. Эти два последних
утверждения вытекают из условия (г).
Если m-гомоморфизм h является изоморфизмом, то
мы говорим, что пара (2) изоморфна паре (1). В этом
случае имеет место также неравенство
(6) {М,€г. азкш*6г, зз'}
и пара (1) изоморфна паре (2), поскольку Л-1 является
изоморфизмом (и m-гомоморфизмом) алгебры 23' на
алгебру 23, причем it = h~xi't для каждого t£T. Таким
образом, мы можем просто говорить, что пары (1) и (2)
изоморфны.
Легко проверить, что отношение (4) является
отношением квазипорядка в классе Р, т. е. это отношение
рефлексивно и транзитивно. Более того, два элемента
(1) и (2) из класса Р изоморфны тогда и только тогда,
когда имеют место одновременно неравенства (4) и (6)
[см. теорему 23.3 и условие (г)]. Иногда удобно
отождествлять изоморфные элементы из класса Р. После
такого отождествления множество Р становится частично
упорядоченным с помощью отношения
Пусть пара
(7) ИУУг. %}
— некоторое фиксированное булево произведение алгебр
{2t*}*Gr (см- § 13). Напомним, что булево произведение
алгебр {21*}*6Г определяется этими алгебрами однозначно
с точностью до изоморфизма. Более того, гомоморфизмы
iot являются полными изоморфизмами алгебр 21* в
алгебру 210 (см. пример К § 22), т. е. алгебры яв¬
ляются регулярными подалгебрами алгебры 210.
Пусть J является классом всех таких множеств ©c=2{0,
что выполнены следующие условия:
(8) 1<ш,
(9) существует такой индекс t£ Г, что ©с/0*(2(*),
(10) существует объединение и?1°Л.

§ 38. Булевы (m, п)-произведения
285
Пусть далее М является классом всех таких
множеств <$<z9i0, что имеют место условия (8) и (9) и
условие
(10') существует пересечение (f[<>A.
А 6©
Следующая теорема гарантирует существование (ш, 0)-
произведения алгебр {31*}*ег.
38.1. Если пара {/, 33} является (J, М, ш)-расширением
произведения (7) алгебр то паРа
(11)
является (ш, 0)-произведением алгебр {9(*}*6Г. При этом,
если {/', 33'} — другое (J, М, тУрасширение алгебры (7), то
(12) 33'} ^ тогда и только
тогда, когда {Г, 33'} 33}.
Действительно, условие (а) вытекает из условия (а)
§ 36. Условие (б) следует из условия (б) § 36, поскольку
гомоморфизм iot является полным изоморфизмом.
Условие (в) получается из условия (в) § 13. Условие же (г)
вытекает из условий (г) § 13 и (в) § 36.
Если h — такой m-гомоморфизм алгебры 33 в
алгебру 33', что V = hi, то i'iot = hiiot для каждого
индекса t£T.
Обратно, если h является таким пт-гомоморфизмом
алгебры 33 в алгебру 33', что i'j0/ = Aa0/ для каждого
индекса t£ Г, то
Г (А) = hi (А)
для каждого элемента Л, принадлежащего объединению
всех подалгебр /0/(9(t). Поскольку это объединение
порождает алгебру 310 в силу условия (г) § 13, указанное
выше равенство имеет место для всех элементов Л£310,
т. е. i'=hi.
Таким образом, доказана эквивалентность (12).
38.2. Для каждого (щ, 0)-произведения (1) алгебр {51,}*6Г
существует такое (J, М, тУрасширение {/, 33} алгебры (7),
что пара (11) идентична с парой (1).

286
Г л. II. Бесконечные объединения и пересечения
Пусть 230 — наименьшая подалгебра алгебры 23,
которая содержит подалгебры it($it). Из условий (а) —(г)
следует, что пара
(13) {{ч}*ег>
является булевым произведением алгебр {SIt\ter-
Поскольку все булевы произведения алгебр {31^ бг
изоморфны (см. § 13, стр. 67), существует такой
изоморфизм i алгебры 310 на алгебру 230, что it = iiot для
каждого индекса t£T. Тогда (J, М, ш)-расширение (i, 23)
алгебры 310 обладает всеми нужными свойствами.
В силу теорем 38.1 и 38.2 исследование (ш,
(^-произведения алгебр {31^6Г можно свести к исследованию
(J, М, ш)-расширений алгебры (7).
Из условия (12) следует, что если (/, 23)—
максимальное (т. е. свободное) (J, М, ш)-расширение алгебры (7),
то пара (И) является максимальным элементом в классе Р,
т. е. (lX^ll) для каждого (ш, 0)-произведения (1)
алгебр {31 t}teT- Поэтому (гп, 0)-произведение (И) и все
ему изоморфные будут называться максимальными т-про-
изведениями или свободными щ-произведениями алгебр
{Sifher-
38.3. 	Для того чтобы (ш, 0упроизведение (1) алгебр
№Ьег было максимальным ш-произведением этих алгебр,
необходимо и достаточно, чтобы оно обладало следующим
свойством:
(д) 	для любого семейства т-гомоморфизмов ht алгебр 3lt
в любую булеву т-алгебру © существует такой т-гомо-
морфизм h алгебры 23 в алгебру (£, что
(14) ht = hit для каждого t£T.
Ясно, что свойство (д) эквивалентно свойству
(д') для любого семейства щ-гомоморфизмов h't алгебр
h (31*) в булеву т-алгебру (S существует т-гомоморфизм h
алгебры 23 в алгебру 6, являющийся общим продолжением
всех гомоморфизмов hv t£T.
Чтобы установить эквивалентность свойств (д) и (д'),
достаточно положить или ht = h'tit.

§ 38. Булевы (m, n)-произведения
287
Для доказательства необходимости свойства (д)
достаточно показать, что если пара {/, 33} является
максимальным расширением пары (7), то пара (11)
удовлетворяет свойству (д). Действительно, в силу теоремы 13.3
существует такой гомоморфизм h0 алгебры 310 в
алгебру (S, что ht---=h0it для всех индексов t£T.
Следовательно, h0 является (J, М)-гомоморфизмом алгебры 310
в алгебру С. По теореме 36.4 существует такой т-гомо-
морфизм h алгебры 33 в алгебру С, что hQ=hi. Значит,
ht = hiit для каждого t£T.
С другой стороны, из теоремы 23.3 следует, что все
(ш, 0)-произведения (алгебр {ЗХ^ег), обладающие
свойством (д), изоморфны друг другу. Поскольку
максимальное m-произведение (11), где пара (/, 33) является
максимальным (J, М, ш)-расширением пары (7), обладает
свойством (д), то каждое (ш, 0)-произведение со свойством (д)
изоморфно паре (11), т. е. тоже является максимальным
ш-произведением.
Пример. А) Если каждая из алгебр состоит из
четырех элементов, а пара (1) является максимальным
m-произведением алгебр то ® является свобод¬
ной булевой ш-алгеброй с Т свободными ш-образующими.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 14.1.
Из условия (12) вытекает, что если пара (/,. 33)
является минимальным m-расширением пары (7), т. е. ее
m-пополнением, то пара (11) является минимальным
элементом в Р, т. е. если (ш, 0)-произведение (1)
удовлетворяет неравенству (1)^(11), то имеет место и обратное
неравенство (11)^(1). Другими словами, пара (1)
становится равной (И) после отождествления в Р изоморф-—
ных элементов. Это (ш, 0)-произведение и все ему
изоморфные будут называться минимальными (ш, 0)-произве-
дениями алгебр {$,},<= г. Не известно, является ли
минимальное (ш, 0)-произведение (И) наименьшим элементом
в Р, т. е. выполнено ли неравенство (11)^(1) для
каждого (ш, 0)-произведения (1).
38.4. 	Некоторое (ш, 0упроизведение (1) алгебр {2^}*€Г
минимально тогда и только тогда, когда множество всех

288
Г л. //. Бесконечные объединения и пересечения
элементов вида
(15) Г) At,
t€T'
где At^i(%t) для любого t£T'f а Т'—любое конечное
подмножество множества 7\ является плотным
множеством в алгебре 93.
Достаточно доказать теорему 38.4 в случае, когда
пара (1) имеет вид (11). Поскольку множество всех
элементов вида
П Аи
t € Т'
где At^it(^t)f t(zT', а Т' конечно, плотно в 310 [см.
§ 13 (9), стр. 68], то их изоморфные образы (15)
образуют плотное множество в i (910). Таким образом,
множество всех элементов вида (15) плотно в алгебре 93
тогда и только тогда, когда алгебра i (9(0) плотна в
алгебре 93, т. е. когда пара (i> 93) является m-пополнением
алгебры 9Х0 (см. теоремы 35.3).
Пусть и —бесконечное кардинальное число, не
превосходящее ш.
Говорят, что булево (ш, 0)-произведение (1) алгебр
{$lt\t£T является (ш, п)-произведением алгебр если
(в„) индексированное множество {h(^t)\teT
подалгебр алгебры 93 является п-независимым.
Когда ш — и, то (ш, т)-произведения называются
щ-произведениями*).
Класс всех (ш, п)-произведений алгебр будем
обозначать через Рп. Заметим, что любая пара,
изоморфная (щ, п)-произведению, также является (ш,
^-произведением.
По определению
Рп' сРп при п < п' < Ш
и
РшСРпСР При П<Ш.
9 m-произведения исследовались в работах Сикорского [13]
(случай m = tf0) и [32] (случай nt^tf0)*

§ 38. Булевы (m, п)-произведения
289
38.5. 	Если (1) является (ш, 0)-произведением алгебр
(2) является (т, п)-произведением алгебр {91,}, €г
и (2)^(1), то пара (1) является (т, и)-произведением
алгебр {91,}, ет*.
Действительно, пусть h — такой ш-гомоморфизм
алгебры 93 в 58', что i't = hit> т. е. h является общим
продолжением всех изоморфизмов Если Т'аТ,Т'^\\
и Л,^91, для t£T', то
ft(fl h M<)) = n h(Af)=£Av
tsT’ tsT'
в силу условия (в„). Значит, п /(Л()=^ Д8.
г
Для любого п ш класс Р„ непуст. Построению
примера (тп, п)-произведения предпошлем замечание.
Пусть g,— некоторый изоморфизм алгебры 3lt на
поле всех открыто-замкнутых подмножеств
пространства Стоуна X, алгебры §1<( X — декартово произведение
всех пространств X. и (согласно обозначениям 6 13 и 37)
положим
(16) g* (Л) = g, (А)* = {х€ X; t-я координата х лежит
в 8t(A)\,
для каждого элемента Л £91,. Пусть g; —поле
(подмножеств пространства X), порожденное всеми множествами
вида
(17) П */(£*). где В,€91„ *€Г,Гс7\?'<п,
t€T'
где П обозначает теоретико-множественное пересечение.
Заметим, что для каждого t £ Т отображение g*t является
полным изоморфизмом алгебры 91, в
Удобно ввести в пространстве X специальную
топологию, называемую \ьтопологией> в которой семейство $
образует базис открытых множеств. Таким образом,
в n-топологии открытые множества суть произвольные
объединения множеств вида (17). Пространство X с п-то-
пологией не является компактным и не является
пространством Стоуна для поля % (кроме случая, когда Т
конечно). Однако оно обладает следующим важным свой-

290
Г л. II. Бесконечные объединения и пересечения
ством: ни одно непустое открытое множество не
является множеством первой категории в пространстве X.
Чтобы доказать последнее утверждение, удобно
переписать множества вида (17) в форме произведения
(17') Р Gt, где GtGfti для t$T и
te т _
Gf — Xt для t£T-T\ Г'<п.
Пусть G— непустое открытое в пространстве X (с п-то-
пологией) множество, — последовательность замкну¬
тых нигде не плотных подмножеств в X. Поскольку
множество G — N1 непусто, то существует такое непустое
открытое множество
G1 = Р Gx tcG — N11
ter ’
что Glt t являются открыто-замкнутыми подмножествами
пространств Xt. По индукции мы определяем
последовательность множеств
G„= Р G„,/cG^j-Nn,
teT
открытых в X, где Griji являются непустыми
открытозамкнутыми подмножествами пространства Xt. Так как
последовательность Gljt, G2if ... является убывающей
последовательностью непустых замкнутых подмножеств
компактного пространства Х#, то пересечение п Gn^t
1 <Л< СО
непусто и, следовательно, пересечение
n G„
1 < П < СО
р П G„,t
teT 1 <; п < со
является непустым подмножеством, лежащим в
G— U Nn.
1 < П < оо
Это доказывает, что G не является подмножеством
никакого объединения нигде не плотных подмножеств Nп,
т. е. G не является множеством первой категории в
пространстве X.

§ 38. Булевы (ш, П)-произведения
291
Пусть теперь {*, 93} — любое m-пополнение поля
Легко проверить, что пара
(18) \Шит,Щ
является (ш, п)-произведением алгебр {91,}*6 г- Тогда
(ш, п)-произведение (18) и все ему изоморфные
называются минимальными (ш, п)-произведениями алгебр
{^t\teT .
38.6. 	Для того чтобы (ш, п)-произведение (1) было ми-
нимальным (ш, п)-произведением, необходимо и достаточно,
чтобы множество всех элементов вида
(19) rfAt) где At£i($lt) для t£T'% ГсГ, ?'<п,
t € Т'
было плотным в алгебре 93.
Чтобы доказать необходимость этого условия,
достаточно показать, что пара (18) обладает свойством,
описанным в теореме 38.6. Заметим сначала, что семейство
всех множеств вида (17) плотно в Следовательно,
множество их изоморфных образов fl ig*t (Bt) плотно
te Г
в алгебре i ($), которая в свою очередь плотна в алгебре 93
по теореме 35.3. Таким образом, это множество плотно
в алгебре 93.
Чтобы доказать достаточность условий теоремы 38.6,
достаточно показать, что если два (ш,
^-произведения (1) и (2) обладают свойством, описанным в теореме 38.6,
то они изоморфны.
Пусть ©— множество всех ненулевых элементов
вида (19) алгебры 93, ©'— аналогичное множество в
алгебре 93'.
Всякие два элемента А, В £ © можно представить в виде
A— n Afy В= п Bp (At, Bt £ i ($lt)y А^ Д =t^= Bf)
rer ter
с одинаковым множеством индексов Г'сГ, мощность
которого не превосходит п. Заметим, что
(20) Ас В тогда и только тогда,
когда AtcBt для всех t£T'.

292
Г л. 11. Бесконечные объединения и пересечения
Достаточно только доказать, что если Л*о ф Bto для
некоторого индекса t0€T'y то А ф В. Действительно,
ненулевой элемент
С — п С(, где Си = Аи— В1о и Ct = At для t=£t0,
* с. Т>
является подэлементом элемента Л и не пересекается
с элементом В.
Поскольку элементы в соответствующем
подмножестве ©' алгебры 23' обладают тем же свойством (20), то
формула
где Д ^ Л*£ / (21*), Т'сТ> Т'^лг, определяет
отображение множества © на множество©', причем для любых
Л, В£©
АаВ тогда и только тогда, когда /(Л)с/(В).
Так как множества © и 0' плотны в алгебрах 23 и 25'
соответственно, то в силу теоремы 12.5 отображение /
можно продолжить до изоморфизма h0 подалгебры 250,
порожденной множеством ©, на подалгебру 23о,
порожденную множеством ©'. Поскольку множества © и ©'
плотны в алгебрах 23 и 23' соответственно, подалгебры 250
и 23о тоже плотны в алгебрах 23 и 23' соответственно.
Более того, подалгебры 250 и 25J, ш-порождают алгебры 25
и 23' соответственно. Таким образом, алгебры 25 и 23'
являются щ-пополнениями алгебр 250 и 25о соответственно.
Так как ш-пополнения алгебр определяются этими
алгебрами однозначно с точностью до изоморфизма, то
изоморфизм А0 можно продолжить до изоморфизма h алгебры 23
на алгебру 23'. Поскольку изоморфизм h является
продолжением отображения /, то из формулы (21) следует
[в случае Т' = (/)], что h (Л) = i\ ij1 (Л) для Л £ i (21*), т. е.
изоморфизм h является общим продолжением всех
изоморфизмов it ij1. Это доказывает, что пары (1) и (2)
изоморфны.
Следующая теорема дает объяснение термину
„минимальное (щ, п)-произведение“.
(21)

§ 38. Булевы (m, tl)-произведения
293
38.7. Всякое минимальное (ш, \\)-произведение (1) алгебр
{3(*}/е г является минимальным элементом в множестве Рп ,
а изоморфизмы it являются полными изоморфизмами
алгебр 31* в алгебру 33.
Не известно, являются ли минимальные (ш,
^-произведения наименьшими элементами в Ри .
Для доказательства первой части теоремы 38.7
предположим, что пара (1) является минимальным (ш,
^-произведением, пара (2) является (ш, п)-произведением, a h
есть ш-гомоморфизм алгебры 35 на алгебру 33', причем h
является общим продолжением всех изоморфизмов
t£T. Так как пара (2) является (ш, п)-произведением,
то h (Л) Ф Д для каждого А £ ©, где ©— множество всех
ненулевых элементов вида (19) алгебры 33. Поскольку
мйожество © плотно в алгебре 33, то h (Л) Ф Д для
каждого ненулевого элемента из 35. Это доказывает, что h
является изоморфизмом, т. е. пары (1) и (2) изоморфны.
Вторую часть теоремы 38.7 достаточно доказать в
случае, когда пара (1) совпадает с парой (18). Так как g*
является полным изоморфизмом алгебры 31* в алгебру $,
a i является полным изоморфизмом алгебры 31 в алгебру 33,
то композиция ig*t тоже является полным изоморфизмом.
Следующая теорема дает простое топологическое
представление для минимальных (ш, 0)-произведений и
минимальных (ш, п)-произведений. Символы X и g*t имеют
тот же смысл, что и на стр. 289 [см. (16)].
38.8. Пусть %' — поле всех борелевских подмножеств
в произведении X пространств Стоуна алгебр 31*, t£ 7\
с обычной топологией произведения (с топологией п-произ-
ведения), а А — идеал всех множеств Л£$' первой кате-
гории в топологическом пространстве X. Пусть 33 — такая
наименьшая т-подалгебра полной булевой алгебры $'/А,
что все элементы вида [#?(^)]д> где t^T и А б31*,
принадлежат алгебре и, наконец, пусть
МЛ)Ч*?М)]д, t£T, Л 631*.
Тогда пара
{{чЬег t Щ
является минимальным (ш, 0)-произведением [минцмальниц
(ш, п)-произведением] алгебр {3

294
Г л. //. Бесконечные объединения и пересечения
Гомоморфизм it является изоморфизмом, поскольку для
любого ненулевого элемента Л £31* множество не¬
пусто и открыто в пространстве X и, следовательно, не
является множеством первой категории в пространстве X,
а это означает, что it(A)=/=/\.
Гомоморфизм it является полным изоморфизмом
алгебры 31* в алгебру %'IА, ибо если А = и*Мя, то g*t(A)iD
seS
для всех и множество g*t(A)— U g*(As)
S€ S
нигде не плотно в пространстве X, что доказывает
равенство it(A) = U r/A7(^s)- Поскольку it($lt) содержится в
ruses
подалгебре 33 алгебры ^ /Л, т0 h является ш-изоморфиз-
мом алгебры 31* в алгебру 33.
Пусть At — ненулевой элемент из алгебры 31*, t£T',
где Т'аТ и Т' конечно (Г'^п). Так как^**(Л*) являются
замкнутыми множествами в пространстве X, то в силу
формулы (1") § 21 имеет место равенство
П it(At)= П [£Т(Л*)]=1 П Я?М,)].
teV teT’ t е Т'
Поскольку пересечение f| g*t(At) является открытым
teT'
непустым подмножеством пространства X, то оно не
является множеством первой категории в X, а это
доказывает, что П Таким образом, подалгебры
teT'
**(3t*) независимы (п-независимы).
По определению алгебры 35 объединение всех
подалгебр it($lt) m-порождает алгебру 33. Это доказывает,
что пара (1) является (т, 0)-произведением [(т,
копроизведением] алгебр {Э1*}/6 т • Чтобы доказать минимальность
этого произведения, напомним, что каждый элемент А из
алгебры $7Л> а значит, и каждый элемент из алгебры 33
имеют вид A = [G], где G — открытое множество в
пространстве X (см. пример В § 21). Если А — ненулевой
элемент, то G непусто, и, значит, по определению
топологии в пространстве X множество G содержит
подмножество вида П gt(At)> гДе At— ненулевой элемент
teT

§ 38. Булевы (m, пупропзведения
295
алгебры 3lf, а Т' конечно (мощность Т' не превосходит п).
Следовательно,
П it(At) = [ П gt(At)]czA.
ter teT’
Так как пара (1) удовлетворяет условию теоремы 38.4
(теоремы 38.6), то она является минимальным (ш,
(^-произведением [минимальным (ш, п)-произведением].
Заметим, что если {/, 33} —произвольное ш-расширение
поля то пара (18) является (ш, п)-произведением
алгебр {31*}*6r- Не известно, справедливо ли обратное
утверждение.
По теореме 38.5 максимальное m-произведение является
максимальным элементом в Рп для любого п <1 ш (в
частности, оно принадлежит множеству Рт, т. е. является
m-произведением в смысле определения на стр. 288). Мы
не знаем никакого топологического представления для
максимальных m-произведений, кроме случая ш = сг (тогда
рассматриваемое представление является частным случаем
теоремы 38.9).
Если пара (1) есть (ш, 0)-произведение алгебр {31*}/€ г ,
а алгебра 33 является m-представимой, то все алгебры 31*
являются m-представимыми в силу свойств (а) и (б).
Обратно, если все алгебры 31* являются ш-представимыми, то
класс Рг всех таких (ш, 0)-произведений (1), что алгебра 35
ш-представима, непуст. Пример элемента из Pt дается
следующей теоремой, где X*, X, gt и g*t имеют тот же
смысл, что и на стр. 289 (топология в декартовом
произведении X пространств X* рассматривается обычная).
38.9. 	Пусть есть т-поле, т-порожденное полем всех
открыто-замкнутых подмножеств пространства X, Д*—
наиненыиий т-идеал в поле $ш, содержащий все
множества вида
(22) g*(A)- U г?(Л5), где А= U*А3,Ъ^т, t£T,
^ € S s € S
и пусть
it(A) = [gt (А)] Д* для любого Л €31* (t£T).

296
Га. II. Бесконечные объединения и пересечения
Если все алгебры 31* т-представимы, то пара
(23) {{**}/€ г, $Ш/Л*}
является т-произведением в Pt.
В теореме 38.9 и в ее доказательстве, следующем ниже,
знаки U, П (без индексов) обозначают
теоретико-множественные операции.
Согласно обозначениям, введенным на стр. 66 и
стр. 280, если В есть подмножество пространства X*, то
В* обозначает множество всех точек в декартовом
произведении X пространств X*, у которых координата с
номером t лежит в множестве В. Таким образом, идеал А*
является идеалом, m-порожденным всеми множествами
вида В*, где В— произвольное подмножество щ-категории
пространства X*, т. е. всякое множество из идеала А*
является подмножеством множества вида U В*, где
_ /6 Г
Т'аТ, Т'^т, а для каждого t£T' множество В*
является подмножеством m-категории в пространстве X*.
Заметим сначала, что если I* и В*с:Х*—
множества m-категории в пространстве X* при t£T',
Т'аТу Т'^т, то включение
(24) п*;м,)с=ид?
/€Г /€Г
никогда не имеет места. Действительно, множество
gt (At) — Bt непусто, поскольку алгебра 31* является т-пред-
ставимой [см. теорему 29.3 (г4)]. Таким образом,
множество f| (£*(^*)— 5?) является непустым подмножеством
/ € Т
множества, стоящего в левой части включения (24), и не
пересекается с множеством, стоящим в правой части этого
включения.
Поскольку соотношение (24) никогда не выполняется,
то отображения ** являются изоморфизмами, а подалгебры
**(31*) m-независимы. Из определения отображений it и
идеала А* немедленно следует, что отображения it
являются m-гомоморфизмами алгебр 31* в алгебру S3. Так как
поле т-порождено объединением всех полей g* (31*),
то объединение всех алгебр **(31*) т-порождает т-пред-

§ 38. Булевы (m, к)-произведения
297
ставимую ш-алгебру $Ш/Д*. Таким образом, пара (23)
является m-произведением в Рг.
Заданное парой (23) m-произведение, а также все ему
изоморфные пары называются максимальными
представимыми т-произведениями. Это название оправдывается
второй частью следующей ниже теоремы.
38.10. 	Для того чтобы (ш, 0)-произведение (1) т-пред-
ставимых алгебр 91* (/£7) было максимальным
представимым т-произведением этих алгебр, необходимо и
достаточно, чтобы оно обладало следующим свойством:
(дг) для каждого семейства т-гомоморфизмов ht алгебр 91*
в произвольную т-представимую т-алгебру (£ существует
такой т-гомоморфизм h алгебры 93 в алгебру (£, что
ht = hit для всех / £ 7\
Следовательно, любое максимальное представимое
произведение алгебр {91*}/€ г является наибольшим элементом
в классе Рг
Ясно, что свойство (дг) эквивалентно следующему
свойству:
(д') для каждого семейства т-гомоморфизмов Kt
алгебр i (91*) в т-представимую т-алгебру © существует т-го-
моморфизм h алгебры 95 в алгебру (S, являющийся общим
продолжением всех гомоморфизмов h'h
Чтобы доказать необходимость выполнения свойства
(дг), достаточно доказать существование требуемого
гомоморфизма h в случае, когда пара (1) является т-произ-
ведением (23), алгебра (£ = $0/Д0есть каноническое т-пред-
ставление ш-представимой m-алгебры. В этом случае
щ-гомоморфизмы ht индуцированы m-непрерывными
отображениями ф* (см. теорему 22.5). Поскольку
отображения ф* m-непрерывны, то отображение
Ф (*) = {Т( (*)} € х
удовлетворяет условию
Ф~1(Л)€До Для каждого множества Л£Д*
(проверяем сначала случай, когда А = В*У а В есть
множество m-категории в X*!). Значит, отсюда вытекает,

298
Г л. II. Бесконечные объединения и пересечения
что формула
h — [ф-1 (^4)]д0 ДЛЯ любого
определяет ш-гомоморфизм алгебры ^Ш/Д* в алгебру
$0/Д0. Более того, для любого \t имеет место
равенство
ht (А) = [фГ1 (gt (А))]д0 - [ф-1 (gt (Л))]До -h (it (Л)),
т. е. ht=hit для каждого t£T.
Чтобы доказать достаточность, заметим, что все (ш, 0)-
произведения из Рг, обладающие свойством (дг), в силу
теоремы 23.3 изоморфны между собой. Так как пара (23)
обладает свойством (дг), то все (ш, 0)-произведения из
Рг, обладающие свойством (дг), изоморфны паре (23),
т. е. все они являются максимальными представимыми
щ-произведениями.
Вторая часть теоремы 38.10 непосредственно вытекает
из первой части; если пара (2) — произвольное (т, 0)-
произведение из Рг, то, положив ht = i'h мы по¬
лучим из свойства (дг), что (2)^(1).
Пусть $ш и Д* имеют тот же смысл, что и в теореме
38.9. 	Пусть /г—класс всех таких m-идеалов Д алгебры
$т> ЧТО
(Гх) Д* с Д,
(г2) ни одно из множеств вида гДе
д ф At^[t, Т' с Г, Г'^п, не принадлежит идеалу Д.
Для всякого идеала Д £ /г положим
it (A) ~-=[gt (A)]/i для любого А €
38.11. 	Для любого идеала Д£/г пара
{{it\uT, 8WA}
является элементом из пересечения РТ П Рп. Следовательно,
каждый элемент из РТ П Рп изоморфен элементу
указанного выше вида для некоторого идеала Д £ /г.
Для любых двух идеалов Д\ Д"£/г неравенство
{{tf'Ur, З^Д'}<{{/ГЬег, ^/Д")

§ 38. Булевы (m, Х[)-произведения
299
эквивалентно включению
Д" с А'.
Доказательство теоремы 38.11 подобно доказательству
теорем 36.8, 36.11, 36.12.
Теорема 38.11 дает нам топологическое представление
для любого представимого (ш, п)-произведения.
Отождествляя изоморфные элементы, мы на основании последней
части теоремы 38.11 замечаем, что частично
упорядоченное множество РгпРп всех представимых (ш,
^-произведений изоморфно (в смысле теории частично
упорядоченных множеств) множеству /г, частично упорядоченному
при помощи включения, обратного
теоретико-множественному.
Не известно, находится ли в классе Рг минимальное
(ш, п)-произведение ш-представимых алгебр 31*.
Если пара (1) является (ш, 0)-произведением ш-ал-
гебр 31* и 35 изоморфна m-полю множеств, то, согласно
условию (б), каждая алгебра 31* изоморфна некоторому
m-полю множеств. Верно также и обратное утверждение:
если каждая алгебра 31* изоморфна m-полю множеств,
то существует такое m-произведение (1), что 33 изоморфно
некоторому ш-полю множеств.
Достаточно доказать это утверждение в случае, когда
алгебра 31* для каждого t £Т является ш-полем
подмножеств пространства X*. Пусть X— декартово
произведение всех пространств X*. Положим для любого А €31*
it(A) = A* =
= {х£Х\ координата л: с номером t принадлежит Л},
и пусть % есть m-F-произведение алгебр 31*, т. е. т-поле
(подмножеств пространства X), порожденное
объединением всех подалгебр *‘*(31*), t£T. Тогда пара
(25) UbUr, 3}
является щ-произведением алгебр {31*}*бг. Согласно
определению § 37, стр. 280, пару (25) мы будем называть
m-F-произведением семейства {31*}* б т-

300
Г л. II. Бесконечные объединения и пересечения
38.12. Если все алгебры 51* являются т-полями
множеств, пара (1) является т-произведением алгебр {31*}*6г,
а алгебра 93 изоморфна т-полю множеств, то пара (1)
является наименьшим элементом в классе Рш и,
следовательно, минимальным т-произведением, причем пара (1)
изоморфна паре (25).
Неравенство (1)^(2) для всякого ш-произведения (2)
непосредственно вытекает из теоремы 34.3. Таким
образом, пара (1) является наименьшим элементом в классе
Рш и, значит, минимальным элементом в Рт. В силу
тех же аргументов пара (25) является наименьшим и
минимальным элементом в Рш. Поскольку все
минимальные элементы в Рт изоморфны, то пара (1) изоморфна
паре (25).
Таким образом, после отождествления изоморфных
ш-произведений мы можем сказать, что если все алгебры
31* являются m-полями множеств, то существует в
точности одно такое m-произведение (1), что 93 является
m-полем, а именно m-F-произведение (25).
Если (ш, 0)-произведение (1) ш-алгебр 31# является
m-дистрибутивным, то, согласно условию (б), каждая
алгебра 31* является m-дистрибутивной. Верно также и
обратное утверждение: если все алгебры 31* ш-дистрибу-
тивны, то m-произведение алгебр {21*}/€ г является ш-дист-
рибутивным. Именно,
38.13. Пусть 31* есть т-дистрибутивная т-алгебра
для каждого t£T, а пара (1) есть т-произведение алгебр
{31*}* € т- При этих предположениях т-алгебраЪ является
т-дистрибутивной тогда и только тогда, когда пара (1)
является минимальным т-произведением. В этом случае
пара (1) является наименьшим элементом в Рт1).
Предположим, что пара (1) является минимальным
ш-произведением. Чтобы доказать, что алгебра 93 является
ш-дистрибутивной, мы должны показать (см. теорему 24.6),
что каждая m-подалгебра алгебры 93, m-порожденная не
г) Теорема 38.13 доказана Христенсеном и Пирсом [1]. Здесь
приведено доказательство, предложенное Сикорским и Трачиком [2].

§ 38. Булевы (m, пупроизведения
301
более чем m элементами, изоморфна некоторому ш-полю
множеств. Достаточно показать, что каждая т-подал-
гебра ЭЭ0, ш-порожденная объединением т-алгебр
33tc/f(3lt), t£T'(T'cT), является атомной, если
Т'^ш, а каждая алгебра 33f m-порождена не более
чем ш элементами. Действительно, каждая подалгебра
алгебры S3, ш-порожденная не более чем ш элементами,
является m-подалгеброй некоторой m-подалгебры 330
указанного выше вида.
Поскольку алгебра §1, является ш-дистрибутивной,
то m-дистрибутивной будет также и алгебра 33(. Пусть
{/l()S}s€S( индексированное множество всех атомов
алгебры 331 и
По второму утверждению теоремы 38.7 алгебра t (Sit)
•является регулярной подалгеброй алгебры. 33. Таким
образом,
Пусть S—множество всех таких функций /,
определенных на Т', что f(t)£St для всех t£T'. Для каждой
функции f£S положим
(26) Л()8П At, S'= А при s Ф s'.
Согласно пунктам (i), (ii) теоремы 24.6,
(27)
Л/= П8
t<z r
Из формулы (26) вытекает, что
(28) Af(]Ar = /\ для
Мы докажем, что
Поскольку множество всех элементов вида
(29') Л= П® А> где ЛФА{£1(%) для t£T\
ttT"
Т" с Т, Г"<ш,

302
Г л. II. Бесконечные объединения и пересечения
плотно в алгебре 35 (см. теорему 38.6), то достаточно
доказать, что для любого элемента А вида (29')
существует такая функция /£S, что A{]Af^/\. Согласно
формуле (27), для любого индекса t£T'f)T" существует
такой элемент st£St) что At[\At, 51Ф Л- Пусть/ —
некоторое отображение из S, такое, что f(t) = st для
*€ГПГ. Тогда
AnAf= ГУ8
ter п г
(Att]At,H)n П® At Л П® А,,ШФ Д,
teT"-T' teT'- Т”
так как подалгебры it (Щ) ш-независимы.
Из формул (28) и (29) следует, что множество всех
элементов А £ 35, таких, что как А, так и —А является
объединением (в 33) некоторых элементов Aft образует
m-подалгебру алгебры 33. Умножая обе части равенства
(29) на произвольный элемент Л £23f, мы получаем, что
эта m-подалгебра содержит все подалгебры 33*, t£T'.
Таким образом, она содержит алгебру 330. Это
доказывает, что каждый ненулевой элемент алгебры 330
содержит по крайней мере один элемент Af в качестве
подэлемента. Итак, алгебра 230 атомна, а элементы Af(f£S)
суть все атомы алгебры 330-
Предположим теперь, что пара (1) есть ш-произведе-
ние алгебр а 33 является m-дистрибутивной ал¬
геброй. Из теоремы 34.3 непосредственно вытекает, что
(1)^(2) для каждого m-произведения (2) алгебр {31 t}teT-
Таким образом, пара (1) является наименьшим
элементом в классе Рт и, значит, минимальным ш-произведе-
нием алгебр {31^ег-
С помощью критерия 38.3 можно доказать, что
операция образования максимального m-произведения
ассоциативна, т. е. если пара 33s} есть макси¬
мальное m-произведение алгебр {2())5}/е7> a {{*s}ses, 33} —
максимальное m-произведение алгебр {33s}ses, то пара
{{isis,t\teTs, ses, 33} является максимальным ш-произве-
дением алгебр {3t/,sbe7v ses- Аналогичное замечание
справедливо для максимальных представимых ш-произ-
ведений m-представимых алгебр. Подобным же образом

§ 38. Булевы (m, Х()-произведения
303
можно доказать с помощью критериев 38.4 и 38.6, что
операция образования минимального (ш, 0)-произведения
или минимального (т, п)-произведения является
ассоциативной операцией г).
Теперь мы рассмотрим случай т = о. Тогда РГ = Р,
поскольку все булевы алгебры являются а-представимыми.
Теорема 38.11 дает топологическое представление всех
a-произведений. Поскольку максимальное представимое
a-произведение совпадает с максимальным а-произведе-
нием, то теорема 38.9 дает топологическое представление
максимальных а-представлений.
Следующая теорема является булевым аналогом
теоремы о построении произведений a-мер на a-полях
множеств [см. § 37, (2)].
38.14. 	Пусть т1—такая о-мера, определенная на 21*,
что mt(\/)= 1, и пусть пара (1) — максимальное о-про-
изведение алгебр {21*}* е г- Тогда существует такая о-мера
т, определенная на алгебре 23, что
(30) т ( n it (An))= п 1Ща(Ап)
VI < л <: А; " ) l^n^k п
для любой последовательности An^%in, при 1ф/.
Поскольку максимальные a-произведения совпадают
с представимыми максимальными a-произведениями, то
достаточно доказать теорему 38.14 в случае, когда пара (1)
является а-произведением (23). Ниже мы используем
обозначения теоремы 38.9 (при m = a), а также ее
доказательство. Формула
И-о,t(gt(A))-=mt(A) Для A£$it
определяет меру р0)* на поле всех открыто-замкнутых
множеств бикомпактного пространства X*. Из метода
внешних мер Каратеодори вытекает, что мера может
быть продолжена до a-меры \it на а-поле * 2) Если
х) Подробные доказательства этих утверждений см. в работе
Сикорского [13].
2) Более детальное объяснение см. в § 42 на стр. 324.

304
Гл. II. Бесконечные объединения и пересечения
В £ -у,—нигде не плотное a-замкнутое подмножество
пространства Xv т. е. если В n gt(A„), где n*‘ Л„=Д
l^nCoo l^rtCoo
(Ап+1 <= А„ для п= 1, 2, ..то
О<ц,(В)= litn \it(gt(A„))= lim mi(An) = mi(A) — 0,
п -> 00 ГС -* 00
поскольку [г* и /л^ суть сг-меры1). Это доказывает, что
Нч (В) = о
для каждого множества В, нигде не плотного и сг-замк-
нутого в Xt.
Пусть [г есть сг-произведение всех мер р*. По
определению р является сг-мерой на поле причем
П £?ИЯ)\
П
т1„(А„)
для каждой последовательности Ли£23( при
*■»*/). и
Ii{B*) = 0
для каждого B£$t, нигде не плотного и а-замкнутого
в пространстве Xt. Следовательно,
р(В) = 0
для каждого множества В£ Д*. Тогда формула
m([B]A*) = \i(B)
определяет сг-меру на алгебре А*, причем имеет место
равенство 30.
Легко видеть, что существует только одна a-мера т
на алгебре 81, такая, что выполняется равенство (30).
Мы назовем меру т булевым а-произведением мер
Примеры. Б) Пусть и —два a-поля
множеств, определенные в примере А § 37. Из этого же
примера следует, что сг-произведение (25) полей <^1 и
не обладает свойством продолжаемости (д) из теоремы
1) См., например, Халмош [1], cip. 42.

§ 38. Булевы (ш, п)-произведения
305
38.3 [по теореме 37.3 (Hi) оно обладает этим свойством
только в случае, когда рассматриваемые сг-гомоморфизмы
отображают в сг-поле множеств], поэтому пара (25) не
является максимальным сг-произведением алгебр и $2.
В силу теоремы 38.11 a-произведение полей и
является минимальным сг-произведением алгебр ^ и $2.
Значит, отсюда вытекает, что максимальное и
минимальное сг-произведения алгебр $г и $2 не изоморфны.
В) Теорема 38.14 не имеет места, вообще говоря,
если максимальное сг-произведение заменить на
минимальное сг-произведение (однако эта модификация
теоремы 38.14 справедлива, если все алгебры 91* являются
сг-полями множеств — см. теорему 38.12).
Действительно, пусть есть сг-поле всех борелевских
подмножеств единичного интервала U, р/ — лебегова мера
на а А'—сг-идеал всех множеств (поля $'), мера р'
которых равна нулю. Пусть Т = ( 1, 2), 31х = Sl2 = ,
{}/€ Ту 950} —булево произведение алгебр 9(х и 912
(см. § 13) и, наконец, пусть 95 есть сг-пополнение
алгебры 230. По определению пара 33} является
минимальным сг-произведением 91х и 912- Формулы
/п* ([Л]) = р' (Л) для любого (/ = 1, 2)
определяют a-меры /л* на алгебрах 91*. Согласно
замечанию в конце § 13, существует произведение т0 мер
т1 и /л2 на 950. Однако не существует сг-произведения
т мер т1 и /л2 на 95. Действительно, если бы такое
a-произведение т существовало, то т было бы
продолжением меры /л0. Поскольку т есть сг-мера, то
выполнялось бы равенство1) Пт т(Ап) = 0 для каждой такой
П -> со
последовательности Лп£23, что Ап+1 cz Ап (п — 1,2, ...) и
П® А„ — А-
1 ^ Л < 0D
С другой стороны, существует такая последовательность
В„€®0.чтоЯп+1сВв(/1 = 1.2, ...), Г)41 В„~ =
1 < П < СО 1 < Я < сю
= А. а
lim т0 (Вп) = lim т (Вп) > 0.
1) См., например, Халмош [1J, стр. 42.

306
Гл. II. Бесконечные объединения и пересечения
Противоречие.
Чтобы определить эту последовательность \В„\,
предположим, что 230 имеет вид $/Д, где $ —наименьшее поле
(борелевских подмножеств единичного квадрата U х О),
содержащее все множества
Ах Uf UxA, где
а Д—идеал всех множеств (поля $) лебеговой меры нуль
на плоскости. Обозначим эту меру через р. Действительно,
подалгебры элементов вида [Лх£/]д и вида [[/хЛ]д
независимы, изоморфны алгебрам Зд и 332 соответственно
и порождают ^/Д. Поэтому $/Д изоморфно алгебре 230
(см. § 13).
Мера т0 на алгебре 230 определяется формулой
(31) т0([Л]) = р(Л) для Л 6$.
Теперь пусть N — нигде не плотное замкнутое
подмножество интервала U и р' (N) > 0, a S — множество
всех таких точек (хг, x2)£UxUt что \хг—х2\ £N.
Неравенство р' (N) > 0 влечет за собой неравенство
(32) р (S) > 0.
Теперь мы докажем, что
(33) если А[х и р {АххА2) > 0, то А[х А\ — S=£ д.
Предположим, что ^x^czS для некоторых множеств
А[, А'2£$ положительной меры р'. Согласно известной
теореме1), множество N0 чисел \хг—х2|, где xt£A't(t =
= 1, 2), будет содержать интервал. Это невозможно, так
как N0 является подмножеством нигде не плотного
множества N.
Свойство (33) можно усилить следующим образом:
(34) если ^хЛаё^ и р(Л!ХЛ2)>0,
то \х(А1хА2 — S) > 0.
Действительно, At содержит такое подмножество A't
положительной меры р', что соотношение А\{\вФ Д влечет
за собой неравенство р'(Л^пС)>0 для каждого откры-
х) Штейнгауз [1].

§ 38. Булевы (m, п)-произведения
307
того множества G в U (t = 1, 2). Следовательно, если Н —
открытое множество в UxU, то соотношение Н{)(А'1х
X Л а) Ф Д влечет за собой неравенство \х (Н П (А[ х Ад)> 0.
Множество Я = UxU — S открыто в ЯхЯ и Яп(Жх
хЛг)^=д в силу свойства (33). Следовательно,
о < р(л;хл;—5)<р.(л1хЛ2—5),
что доказывает свойство (34).
Так как множество 5 замкнуто, то существует
убывающая последовательность множеств таких, что
пересечение всех Sn равно S. Из формул (31), (32) и (34)
вытекает, что последовательность В„ = [S„]A обладает
требуемыми свойствами *).
Г) Пусть пара (1) — булево о-произведение булевых
алгебр а 230—наименьшая подалгебра, содержа¬
щая все алгебры i (21,) (t£T). Тогда 230 является
булевым произведением алгебр {23(}<€г- Если пара (1) не есть
минимальное о-произведение алгебр {21(},€г, то
подалгебра 230 не является, вообще говоря, о-регулярной
подалгеброй алгебры 21.
. Действительно, пусть 21х и 212 — булевы алгебры,
определенные в примере В, Т = (1, 2), а {{i'f},er, 25}
—максимальное о-произведение алгебр 21х и 242. Тогда
подалгебра 230, порожденная алгебрами ^(2^) и г2(212), не
является о-регулярной подалгеброй алгебры 23, ибо
предположив, что 23„ о-регулярна, мы получим, что булево
о-произведение m о-мер тх и т2, определенное в
примере В, является продолжением произведения пг0 мер тх и
пг2. Пусть 30—последовательность, определенная
в примере В. Согласно определению, (Д8» б„ = Д,
1 < п < 00
Вп+1сВ„ и lim m0 (Вп) > 0. С другой стороны, поскольку
П-+ 00
П® В„ = Л, a m есть о-мера на 23, то
1 < П < 00
lim m0(Bn)= lim m(Bn) = 0.
Противоречие.
г) Пример В был предложен Сикорским [15]. Часть
доказательства является небольшим видоизменением рассуждений Хелсона [2].

ДОПОЛНЕНИЕ
§ 39. Связь с другими алгебрами
Булевы алгебры являются частным случаем
абстрактных алгебр (с конечным числом конечноместных операций).
Много понятий, введенных в гл. I, принадлежит общей
теории абстрактных алгебр. Приведем здесь такие
понятия, как гомоморфизм, изоморфизм, подалгебра,
образующая, свободная алгебра и т. д. Булевы ш-алгебры,
исследованные в гл'. II, можно интерпретировать как
частный случай абстрактных алгебр, но с некоторыми
бесконечноместными операциями, а именно алгебр со
следующими операциями: дополнением—Л, бесконечным
объединением U At и бесконечным пересечением f] Л*,
t € Т t€T
где Т — множество индексов мощности ш. Таким образом,
такие понятия, как ш-подалгебра, m-гомоморфизм (двух
ш-алгебр), m-образующая, свободная булева ш-алгебра
и т. д., принадлежат общей теории абстрактных алгебр.
Большая часть замечаний в I и II главах, а также
некоторые теоремы принадлежат теории абстрактных
алгебр. Понятия F-произведения и m-F-произведения,
булева произведения и максимального m-произведения, а
также максимального представимого m-произведения
являются частными случаями общего понятия произведения
абстрактных алгебр1).
!) Сикорский [19]. См. также Христенсен и Пирс [1]. С точки
зрения общей теории категорий булевы произведения и максимальные
Ш-произведения являются свободными объединениями в категории
булевых ш-алгебр (см., например, Курош, Лившиц, Шульгейфер [1],
Семадени [4,5]).

§ 39. Связь с другими алггбрами
309
К теории булевых алгебр можно также применить и
некоторые другие общие алгебраические понятия,
которые не рассматривались вгл. I и II. В качестве примера
мы приведем здесь понятие обратной и прямой систем1)
и понятие проективности и инъективности2) из общей
теории категорий.
Из принятой в § 1 системы аксиом немедленно
вытекает, что булевы алгебры являются дистрибутивными
структурами. Более точно, понятие булевой алгебры
совпадает с понятием дистрибутивной структуры с
дополнениями 3). Некоторые теоремы, доказанные здесь для
булевых алгебр, можно обобщить на дистрибутивные
структуры. В частности, основную теорему 8.2 о представлении
можно рассматривать как частный случай теоремы о
представлении для дистрибутивных структур4).
Как мы видели в § 17, теория булевых алгебр
совпадает (если рассматриваются конечные объединения и
пересечения) с частью теории алгебраических колец.
Термин „идеал** заимствован из этой теории. Действительно,
легко проверить, что множество А элементов булевой
алгебры 81 является идеалом в смысле § 3 тогда и только
тогда, когда оно является идеалом булева кольца 81
в смысле общей теории алгебраических колец. Описанное
в § 10 построение факторалгебр является частным
случаем построения алгебраических факторколец. Это
построение является также частным случаем построения
факторалгебр по отношению конгруэнтности в общей теории
абстрактных алгебр.
Следует заметить, что метод гомоморфизмов с двумя
значениями, использованный в доказательстве основной
теоремы6) 8.2 о представлении, является частным случаем
общего метода исследования более сложных алгебр с по-
г) См. Энгелькинг, Куратовский [1], Хаимо [1], Уоллес [1].
2) О проективных и инъективных булевых алгебрах см. Халмош
[8, 10].
3) По поводу других характеристик булевых алгебр, выделяющих
их в классе структур, см. Балачандран [1, 2, 3], Биркгоф и Вард [ 1 ],
Дилуорс [2], Мичиура [1], Начбин [1].
4) Доказана Биркгофом [1] и Стоуном [9]. См. также Ригер [2].
5) В доказательстве теоремы 8.2 мы использовали понятие
максимального фильтра вместо двузначного гомоморфизма, но эти
понятия эквивалентны (см. стр. 32).

310
Пополнение
мощью гомоморфизмов в некоторые специальные простые
алгебры с тем же набором операций. Примером
использования этого метода является понятие пространства,
двойственного к данному банахову пространству. Это
пространство состоит из всех непрерывных линейных
функционалов, т. е. гомоморфизмов (в смысле теории
банаховых пространств) в простейшее банахово пространство,
именно поле скаляров (вещественных или комплексных).
Другой пример применения этого метода представляет
теория нормированных колец в функциональном анализе.
В этом случае под двойственным пространством 91*
данного нормированного кольца 91 понимается множество
всех непрерывных мультипликативных линейных
функционалов, т. е. гомоморфизмов % в простейшее
нормированное кольцо, именно кольцо скаляров. Если фиксирован
элемент А £ 9(, то формула
Фа(%) = %(Л) (X € St*)
определяет непрерывное отображение пространства 9(*
в скаляры. Если выполнены некоторые дополнительные
условия, то отображение Л, определенное равенством
(1) h(A) = ФА,
является взаимно однозначным. В этом случае кольцо 91
можно представить как кольцо непрерывных функций на
двойственном пространстве 91*.
Последний пример имеет аналогию с теорией булевых
алгебр. Каждая булева алгебра 91 является не только
алгебраическим кольцом, но и линейной алгеброй над
двухэлементным алгебраическим полем 91 (см. § 17, стр.
84). Согласно замечанию на стр. 32 и определению
в доказательстве теоремы 8.2, пространство Стоуна X
данной булевой алгебры 94 можно интерпретировать как
множество всех двузначных гомоморфизмов алгебры 9(
в поле 94, т. е. множество всех мультипликативных
линейных функционалов со значениями в поле скаляров 94.
Множество всех непрерывных отображений пространства
Стоуна X в двухэлементное хаусдорфово пространство 9i
можно отождествить с множеством всех
открыто-замкнутых подмножеств пространства X, поскольку каждое
отображение этого типа однозначно определяется (открыто¬

§ 39. Связь с другими алгебрами
311
замкнутым) множеством точек, в которых рассматриваемое
отображение принимает значение единица. Таким образом,
изоморфизм h в доказательстве основной теоремы 8.2
о представлении можно рассматривать как частный
случай отображения (1). Поэтому пространство Стоуна
алгебры 91 иногда называют двойственным пространством
к алгебре 9I1).
Аналогия между теорией представлений
нормированных колец и булевых алгебр настолько глубока, что
оказывается возможным развить общую теорию
максимальных идеалов, которая дает как частный случай две теоремы
о представлении2).
Понятие булевой а-алгебры является частным случаем
понятия кардинальной алгебры3). Кардинальные алгебры
суть абстрактные алгебры с бесконечноместной операцией,
которая является одновременно обобщением булева
объединения счетных последовательностей элементов и суммы
счетных последовательностей кардинальных чисел.
Аксиомы, характеризующие эту операцию, таковы, что из
них можно вывести большую часть аддитивной арифметики
кардинальных чисел. Однако они также выполняются и
для булевых алгебр, изоморфных типов булевых а-алгебр,
множества неотрицательных целых или вещественных
чисел (включая +оо), множества всех неотрицательных
функций на некотором множестве и для других систем.
Теоремы для кардинальных алгебр имеют место и для
булевых алгебр, но в этой книге они не приводились.
Следует заметить, что некоторые из этих теорем для
булевых алгебр являются обобщением хорошо известных
фундаментальных теорем для кардинальных чисел.
Например, основная теорема Кантора — Бернштейна для
кардинальных чисел:
если и п2^пъ то
есть частный случай следующей теоремы для булевых
а-алгебр 91, 35, являющейся перефразировкой теоремы 22.4:
г) См. Халмош [4, 8].
2) Славиковский и Заводовский [1].
3) Понятие и теория кардинальных алгебр предложены Тарским
[8]. См. также Джонсон и Тарский [2].

312
Дополнение
если 35 изоморфна алгебре 211 А (А £ 31), а 21 изоморфна
алгебре 351В (В £35), то 21 и 58 изоморфны.
Чтобы получить теорему Кантора — Бернштейна,
достаточно взять в качестве алгебр 21 и 35 поля всех
подмножеств некоторых X, Y мощностей пх и п2 соответственно.
Тем же самым способом мы убеждаемся, что теорема
Бернштейна:
если 2п1 = 2п2, то и1 = п2,
является частным случаем следующей теоремы,
справедливой для любой булевой а-алгебры 21:
если Ау В £21, ЩА изоморфна 211 — Л, а 211 б
изоморфна алгебре 2J | — В, то алгебры 211 А и 211В
изоморфны 1).
Много работ посвящено изучению булевых алгебр с
некоторыми дополнительными операциями, а также
различным обобщениям булевых алгебр и колец2).
§ 40. Применение к математической логике. Классические
исчисления
Самым важным применением теории булевых алгебр
является ее применение к математической логике. Это не
удивительно, поскольку понятие булевой алгебры было
создано в результате исследований Булем алгебраической
структуры „законов мышления"3). На первом этапе
развития теория булевых алгебр называлась также алгеброй
логики.
Рассмотрим сначала случай (двузначного) исчисления
высказываний. Обозначим логические связки „или", „и",
„не", „если..., то ..." через (J, П, —, —►
соответственно.
*) Тарский [8]. Предположение, что алгебра 51 a-полна, является
существенным. См. Ханф [1].
2) Бялыницкий-Бируля [1], Бялыницкий-Бируля и Расёва [1]
Чанг и Хорн [1], Чоудхури [1], Копланд [1], Копланд и Харари [1, 2],
Кроули [1], С. Дэвис [1], Эпштейн [1], Эверетт и Улам [1], Фелл и
Тарский [1], Фостер [1], Харари [1], Джонсон и Тарский [1], Лаббе
[1], Маккой [1], Маккой и Монтгомери [1], Маккинси [5], Рибейро [1, 2],
Словиковский и Завадовский [1], Зусман [1], Трачик [3,4, 6] Вуе-
нака [1]. См. также алгебры, упомянутые в § 40 и 41.
3) Буль [1, 2].

§ 40. Применение к математической логике
313
Множество всех формул исчисления высказываний
становится булевой алгеброй, если отождествить
эквивалентные формулы (см. аналогичное замечание в примере Г
§ 1). Мы напомним, что формулы а, (J называются
эквивалентными, если выводимы обе импликации а—*р и
Р—>а. Так полученная булева алгебра называется
алгеброй Линденбаума — Тарского рассматриваемого
исчисления высказываний. Обозначим через | а | элемент алгебры 91,
определяемый формулой а. Имеют место основные тож-
дества
М и| М
= |а U Р |
со
М n|p |
Ч«пР|
— la I
= 1 — а |
|а| — 1Р| = |а—> Р1-
Первые три тождества определяют булевы операции
в алгебре Линденбаума — Тарского 91. Булева операция —►
в левой части четвертого тождества совпадает с операцией,
определенной на стр. 21. Мы видим, что булевы
операции и , П , —, являются булевым аналогом логиче¬
ских связок U, П » —, -н► соответственно.
Основная теорема полноты в исчислении
высказываний утверждает, что класс всех выводимых формул (т. е.
формул, полученных из принятой системы аксиом
исчисления высказываний с помощью правил вывода) совпадает
с классом всех тавтологий, т. е. интуитивно истинных
формул. Используя понятие алгебры Линденбаума —
Тарского, эту теорему легко перефразировать на языке
теории булевых алгебр. Ее эквивалентная булева
формулировка заключается в том, что каждый ненулевой элемент
алгебры Линденбаума — Тарского 91 принадлежит
некоторому максимальному фильтру. Поэтому теорему полноты
можно легко получить из теоремы о существовании
максимальных фильтров в булевой алгебре 91 (см. теорему 6.1)
или же основной теоремы о представлении,
утверждающей, что каждая булева алгебра изоморфна некоторому
полю множеств (см. теорему 8.2). Роль системы аксиом
исчисления высказываний сводится к тому, чтобы
показать, что алгебра Линденбаума — Тарского является
булевой алгеброй.

314
Дополнение
Обратно, основная теорема о представлении для
булевых алгебр может быть также легко выведена прямо из
теоремы полноты, сформулированной в несколько более
сильной форме. Таким образом, обе теоремы выражают
одно и то же математическое содержание, но на разных
языках *).
Рассмотрим теперь случай (двузначного) исчисления
предикатов первой ступени. Так же, как и в предыдущем
случае, множество всех формул становится булевой
алгеброй 31 (называемой алгеброй Линденбаума — Тарского
для исчисления предикатов), если отождествить
эквивалентные формулы. Справедливы также и тождества (1),
причем три первых тождества служат определением
булевых операций в алгебре 31. Предположим, что знаки
и И п обозначают кванторы „существует такое т,
Т X
что... “и„ для любого т ...“. Тогда для каждой
формулы а выполняются тождества (см. пример Е § 18)
U а (т) I == LTa | а(£) |,
т I te т
V“/ |П«(т)|=
I т I t е т
где Т обозначает множество всех термов принятого
формализованного языка рассматриваемого исчисления
предикатов.
Простой анализ показывает, что аналогичная теорема
полноты для исчисления предикатов совпадает с теоремой,
утверждающей, что существует такой изоморфизм h
алгебры Линденбаума — Тарского 3( на некоторое поле
множеств, который преобразует все объединения и
пересечения (2) в соответствующие теоретико-множественные
объединения и пересечения. Таким образом, теорему
полноты для исчисления предикатов можно легко вывести
(в предположении, что множество всех символов в
исчислении предикатов счетно) из теоремы о существовании
максимальных фильтров, сохраняющих данное счетное
множество бесконечных объединений и пересечений (на
последней теореме, в действительности, основано
доказательство теоремы 24.10).
х) См. Хенкин [2] и Лось [1, 3].

§ 40. Применение к математической логике
315
Теорему о представлении 24.10 можно также
использовать, чтобы легко доказать теорему о существовании
счетного или конечного числа семантических моделей
для любого непротиворечивого счетного множества
формул 1).
Булевым методом исследования некоторых подходящих
алгебр Линденбаума — Тарского можно легко получить
и другие фундаментальные теоремы об исчислении
предикатов и формализованных элементарных теориях. Мы
напомним здесь теорему о существовании моделей для
любого (не обязательно счетного) непротиворечивого
множества формул, первую и вторую е-теоремы2) и теорему
Хербранда3). Первоначальные доказательства упомянутых
выше теорем были сложными. Булев метод позволяет
проще доказывать эти теоремы. Булев метод позволяет
также лучше объяснять математическое содержание
метаматематических теорем, а также открывать новые теоремы4).
Под булевым методом мы понимаем систематический
перевод логических проблем на язык булевых алгебр,
исследование алгебр Линденбаума — Тарского вместо
исследования множества формул. С этой точки зрения
изучение исчисления предикатов совпадает с изучением
булевых алгебр с отмеченным множеством бесконечных
объединений и пересечений, соответствующих логическим
кванторам [см. (2)]. Класс таких булевых алгебр лежит
между булевыми алгебрами, рассмотренными в гл. I,
и булевыми m-алгебрами, рассмотренными в гл. II.
Алгебры Линденбаума — Тарского исчислений предикатов
играют особую роль в исследовании этого класса булевых
алгебр, поскольку с точки зрения общей теории
абстрактных алгебр они являются свободными алгебрами в этом
х) Этот метод доказательства теоремы полноты и теоремы
существования семантических моделей для непротиворечивого счетного
множества формул предложен Расёвой. и Сикорским [1,2]. См. также
Бет [1], Хасеньягер [1], Хенкин [1, 3, 4], Лось [1, 3], Рейхбах [1],
Ригер [4, 5, 7]. Для подробного изучения связи между
существованием семантических моделей и представлением алгебр Линденбаума—
Тарского см. Расёва и Сикорский [7].
2) Расёва [5, 6].
3) Лось, Мостовский и Расёва [1, 2], Сикорский [23].
4) См., например, топологическую характеристику открытых
теорий, данную Сикорским [28, 29, 30].

316
Дополнение
классе1). Заметим, что алгебры Линденбаума — Тарского
исчисления высказываний совпадают со свободными бу.
левыми алгебрами (см. § 14) с соответствующим числом
свободных образующих (именно, свободными образующими
в этих алгебрах Линденбаума — Тарского являются
элементы вида \р\, где р — переменные высказывания2)).
Алгебры Линденбаума — Тарского исчисления
предикатов формализованных теорий (см. пример Г § 1)
являются частным случаем полиадических булевых алгебр3),
теория которых была развита в последние годы.
Полиадическая алгебра — это по определению булева алгебра 31
с дополнительным множеством операций, каждая из
которых, грубо говоря, есть абстрактная формулировка
операции, сопоставляющей каждому элементу |а| алгебры
Линденбаума — Тарского элемент |Ua|, где т—фиксиро-
I т I
ванная индивидная переменная. Отмечено подмножество
множества эндоморфизмов (т. е. гомоморфизмов алгебры
31 в алгебру 31). Эти эндоморфизмы являются
абстрактными аналогами операций подстановки в математической
логике. Более точно, они являются абстрактными
аналогами эндоморфизмов h в алгебре 31 Линденбаума —
Тарского, задаваемых формулой
Л(|а|) = |а*|,
где а* обозначает формулу, полученную из формулы а
путем одновременной подстановки термов tl9 t2y ... вместо
индивидных переменных т1У т2, ... для двух
фиксированных последовательностей tl9 t2y ... и т1У т2, ....
Дополнительные операции, аналогичные логическим
кванторам, и множество эндоморфизмов, соответствующее
выполнению подстановок, характеризуются подходящей
системой аксиом.
*) Это замечание сделал Ригер [5]. См. также Расёва и
Сикорский [7].
2) Или пропозициональные переменные. — Прим, перев.
3) Понятия и теория полиадических булевых алгебр созданы
Халмошем [3, 4, 5, 6, 7, 9]. См. также Басс [1], Копланд [2], Дейньо
и Монк [1], Галлер [1], Лебланк [4, 5], Варшавский [1], Райт [1].
Другая алгебраизация исчисления предикатов (с помощью
цилиндрических алгебр) сделана Хенкином и Тарским [1, 2]. См. также
Копланд [2], Галлер [1], Каснер [1], Монк [1].

§ 40. Применение к математической логике
317
Важным примером полиадической алгебры (называемой
функциональной полиадической алгеброй) является булева
алгебра 81 всех отображений множества Xv в полную
булеву алгебру 93. Символ Xv обозначает здесь множество
всех отображений x={xv\ непустого множества V в
непустое множество X. Каждый элемент и' £V определяет
операцию ^соответствующую логическому квантору U^,
которая каждому р £ 91 ставит в соответствие элемент
Р £ 91, задаваемый формулой
P'(*) = UP(*').
где объединение U берется по всем таким точкам х' = {*„} £
£XV, что xv. — xv для всех v=£v'. Множество выделенных
эндоморфизмов, соответствующих подстановкам,
определяется множеством отображений ф множества V в себя.
Именно, эндоморфизм, соответствующий фиксированному
отображению ф, переводит любой элемент р £ 81 в элемент
Р' £ 31 по формуле
P'(W) = №<p «.)})•
Полиадические алгебры, грубо говоря, являются алге-
браизацией исчисления предикатов первой ступени,
в которой исключено понятие формулы. Проблема
представления для полиадических алгебр состоит в
установлении связи между общими полиадическими алгебрами
и определенными выше функциональными полиадическими
алгебрами. Одна из основных теорем о представлении
непосредственно вытекает из теоремы полноты для
исчисления предикатов первой ступени и теоремы о
существовании семантических моделей для непротиворечивых
множеств формул.
Понятие булевых алгебр и некоторые булевы методы
являются также полезными в алгебраизации других
разделов математической логики. Мы напомним здесь
только алгебры отношений. Рассмотрим множество всех
бинарных отношений R, R\ ... между элементами
данного пространства X. Это множество образует булеву
алгебру 91 по отношению к логическим операциям „/?'
или R“ (объединение), и R“ (пересечение), „не
(дополнение). Если R — отношение, то Ru будет обозна¬

318
Дополнение
чать его инверсию, т. е. отношение, определенное
условием: xRVy справедливо тогда и только тогда, когда^
справедливо yRx. Символ R\R' будет обозначать новую
операцию, называемую относительным произведением
и определяемую следующим образом: R\R' есть такое
бинарное отношение в X, что xR\R'y имеет место тогда
и только тогда, когда существует такое z£X, что
справедливы как xRz, так и zR'y. Алгебры отношений
являются обобщением описанных выше алгебр 31. По
определению это булевы алгебры с двумя дополнительными
операциями „и“ и которые характеризуются
некоторой системой аксиом, так что они являются булевыми
аналогами соответствующих операций для бинарных
отношений 1).
§ 41. Топология в булевых алгебрах.
Применения к неклассической логике
Алгебра с замыканием есть по определению булева
алгебра 3( с некоторой операцией, которая каждому
элементу А С 31 ставит в соответствие элемент С А С 31,
называемый замыканием' элемента Л, причем выполняются
следующие аксиомы2):
С (Л []В) --=СА UCB, АсСАу
ССА = САУ СД = Д.
Понятие алгебры с замыканием является обобщением
топологического пространства. Действительно, если X—
топологическое пространство, то поле всех подмножеств
пространства X является алгеброй с замыканием.
Многими авторами3) рассматривались алгебры с
замыканием с топологической точки зрения. На алгебры
*) Теорию алгебр отношений см. Бернайс [1], Чин и Тарский
[1], Джонсон и Тарский [1], Камел [1], Киди [1], Линдон [1, 2],
Моисил [2], Тарский [10, 13].
2) Определение дал Куратовский [1].
3) Дэвис [1], Гофман [1], Монтейро и Рибейро [1], Нёбелинг
[1] 	, Риддер [2, 3], Ригер [9], Рубин [1], Рупрехт [1], Сикорский
[2, 3, 7, 16, 20, 24], Тарасока [1, 2], Зарицкий [1]. Книга Нёбелинга
[2] содержит систематическое изложение теории алгебр с замыканием,
но совершенно не содержит ссылок на ранее опубликованные работы
по алгебрам с замыканием.

$ 41. Применения к неклассической логике
319
с замыканием можно распространить много топологических
понятий. Например, внутренность IА элемента А £ ЗХ
определяется как дополнение замыкания его дополнения
\А = — С-Л,
как это делается и в теоретико-множественной топологии.
Элемент А называется замкнутым (открытым), если
А = С А (если А = \А). Он называется граничным
элементом, если \А = Д. Он называется нигде не плотным, если
1C А = Д и т. д. Для алгебр с замыканием справедливы
многие топологические теоремы.
В топологии существенную роль играют бесконечные
теоретико-множественные операции. Чтобы распространить
эту'часть топологии на алгебры с замыканием, нужно
требовать сг-полноту алгебр. На сг-алгебры с замыканием
распространяется очень большая часть топологии1). Так
же как и в теоретико-множественной топологии, иногда
необходимо ограничиваться специальными классами
алгебр с замыканием. Например, чтобы воспроизвести
теорию сепарабельных метрических пространств,
необходимо ограничивать исследования классом алгебр с
замыканием, которые удовлетворяют следующей аксиоме,
являющейся комбинацией известных аксиом регулярности,
нормальности и сепарабельности:
(а) существует такая последовательность {СД
открытых элементов (открытый базис), что каждый открытый
элемент G является объединением всех тех элементов G„,
для которых CGncG2).
На класс сг-алгебр с замыканием, удовлетворяющих
аксиоме (а), можно распространить некоторые, довольно
неэлементарные разделы теоретико-множественной
топологии, такие, как теория размерности3), теория функций
Бэра 4) и т. д. Этот класс является существенным
обобщением класса всех метрических пространств. Например,
если 33 —алгебра с замыканием всех подмножеств
сепарабельного метрического пространства, а Д— сг-идеал
в алгебре 33, то операция замыкания в алгебре 33 есте¬
х) Сикорский [7].
2) Сикорский [7].
3) Гофман [1[, Сикорский [16].
4) Сикорский [7].

320
Пополнение
ственным образом индуцирует операцию замыкания
в алгебре SI = 93/Л х). Алгебра с замыканием 31
удовлетворяет аксиоме (а), но если Д —не главный идеал, то
существенно отличается от топологических пространств.
Понятие алгебр с замыканием имеет важное применение
в теории некоторых неклассических исчислений
высказываний и предикатов в математической логике.
Рассмотрим сначала случай модального исчисления
высказываний S4 Льюиса, которое в дальнейшем для
краткости будет называться исчислением высказываний
Льюиса. Это исчисление кроме обычных логических связок
U , Г), —*— содержит также одноместную связку С.
Если а —формула, то формулу Са следует читать так:
возможно, что а (справедливо). Связка С обладает
свойствами операции замыкания. Более точно, если мы
образуем алгебру Линденбаума — Тарского 31 для исчисления
высказываний Льюиса описанным в^ § 40 методом, то мы
получим булеву алгебру с замыканием, которое
определяется формулой
(1) С | ос | = | Cot 1.
Таким образом, изучение исчислений высказываний
Льюиса можно свести к изучению алгебр с замыканием.
Конечно, алгебра Линденбаума — Тарского для
исчисления высказываний Льюиса является свободной алгеброй
с замыканием, причем свободными образующими являются
элементы | р | (где р — любая пропозициональная
переменная). Такой метод исследования исчисления высказываний
Льюиса является удобным аппаратом в этой области
логики. Например, он позволяет легко доказывать
разрешимость для исчислений высказываний Льюиса1  2).
Этот метод можно также применить и к исчислению
предикатов Льюиса3).
Понятие алгебры с замыканием очень полезно при
изучении интуиционистских исчислений и высказываний,
и предикатов. В этом случае алгебры Линденбаума —
1) Сикорский [7].
2) Открытие и развитие этого метода принадлежит Маккинси
и Тарскому. См. Маккинси [4], Маккинси и Тарский [1, 3]. См.
также Дэвис [>]• ' „
3) Расёва in. Расёва и Сикорский [3, 4, 5].

§ 41. Применения к неклассической логике
321
Тарского не являются булевыми алгебрами. Алгебры
с операциями, соответствующими интуиционистским
связкам (дизъюнкции U, конъюнкции П, импликации
и отрицанию —|), являются дистрибутивными
структурами специального типа. Однако каждая структура
этого типа может быть представлена в виде алгебры всех
открытых элементов некоторой алгебры с замыканием 51
с тем же самым объединением и пересечением и со
следующим определением операций которое соответ¬
ствует интуиционистским импликации и отрицанию —f.
А-~Я = 1(— A UB) = I(A —Я), -И = 1-А.
Поэтому исследование интуиционистской логики можно
свести к исследованию алгебр открытых элементов в
алгебрах с замыканием. Таким образом, в этой области
понятие алгебры с замыканием является адекватным и
мощным инструментом. Например, теорема о
разрешимости для интуиционистского исчисления высказываний
легко может быть получена этим методом1).
Те же замечания, что и в случае интуиционистской
логики, можно применить к позитивной логике.
Заметим, что в этом случае тоже можно ввести
понятия полиадических алгебр Льюиса и интуиционистских
алгебр.
В теории алгебр с замыканием элементы булевых
алгебр играют роль, аналогичную подмножествам
топологического пространства. Однако возможна и другая
точка зрения; булеву алгебру St можно интерпретировать
как топологическое пространство, а элементы алгебры
51 —как точки этого пространства. Топология, введенная  *)*) Открытие связи между интуиционистской логикой и
структурами принадлежит Стоуну [9] и Тарскому [4]. Развитие упомянутого
метода для интуиционистского исчисления высказываний
принадлежит Маккинси [4]. См. также Маккинси и Тарский [2, 3], Риггер
[1, 3]. Впервые этот метод применялся к проблеме
интуиционистского исчисления высказываний Мостовским [3] и систематически
развивался Расёвой [1, 3, 4], Расёвой и Сикорским [3, 4, 5, 8],
Сикорским [22, 24, 26]. Об аналогичном исследовании
интуиционистского исчисления высказываний и исчисления высказываний Льюиса
с кванторами, см. Расёва и Сикорский [6].
Систематическое развитие булевых методов в математической
логике является предметом монографии Расёвой и Сикорского [9].

322
Дополнение
в алгебре 31, может быть, например, топологией
(окрестностей или Фреше), определенной частичным булевым
порядком с или другим путем, связанным с булевыми
операциями в 3L Известны некоторые теоремы
подобного рода1).
§ 42. Применения к теории меры
Пусть р,-—мера на а-поле $ подмножеств
пространства X. В соответствии с обычной терминологией в теории
меры множества из поля $ будут называться измеримыми.
Пусть далее Д есть a-идеал множеств меры нуль.
Два множества Л, В £££, отличающихся на
множество меры нуль [т. е. такие, что (А — В) и (В — Л)£Д],
с точки зрения теории меры обладают одинаковыми
свойствами и на практике отождествляются друг с
другом. Таким образом, в действительности мы
рассматриваем булеву алгебру
(1) Э1 = ЗУД
и a-меру р, определенную на алгебре 31 равенством
(2) р([Я]А)^р(В) (В£%).
Так определенная мера р является строго
положительной, т. е. она равна нулю только на нулевом элементе.
Булеву а-алгебру со строго положительной cr-мерой будем
называть алгеброй с мерой. Алгебру (1), снабженную
мерой (2), мы будем называть алгеброй с мерой,
соответствующей мере р.
Основное понятие в теории меры есть понятие сг-меры
на a-поле множеств. Изложенная выше точка зрения
приводит к более общему определению a-меры на
булевой а-алгебре. Такое расширенное определение и имелось
х) См., например, Амемия и Мори [1], Антоновский, Болтянский
и Сарымсаков [1], Флойд [1], Новак и Новотный [1], Вард [1].
См. также матричные пространства мер, рассмотренные в § 42.
О применениях булевых понятий к топологии см. у Стоуна [6],
Спекера [1].
Недавно Тарским [9] для структур была доказана теорема,
аналогичная топологическим теоремам о неподвижной точке. См. также
Дэвис [1], Волк [1].

§ 42. Применения к теории меры
323
в виду в этой книге1) (см. пример Н § 20). Теорию
a-мер на булевых 0-алгебрах можно без существенных
изменений развивать как теорию a-мер на a-полях
множеств. Расширенное понятие a-меры на булевой 0-алгебре
91 является несущественным обобщением понятия 0-мерь1
на 0-поле множеств. В самом деле, из основной теоремы
29.1 о представлении для булевых 0-алгебр следует, что
алгебру 91 можно представить в виде (1), где % есть
0-поле множеств, а Д—0-идеал поля g*. Если р является
0-мерой на алгебре 91, то равенство (2) определяет а-меру
[х на поле g, и изучение меры р можно свести к
изучению меры р.
Однако в некоторых вопросах теории меры
возможность пренебрегать множествами меры нуль и переход
к соответствующей строго положительной о-мере
оказывается более удобным и адекватным. Здесь введение
понятия булевых алгебр является существенным, поскольку
ни одна о-мера на 0-поле множеств не является строго
положительной, за исключением нескольких тривиальных
случаев.
Применением такой процедуры является построение
метрического пространства измеримых множеств. Под
метрическим пространством, соответствующим 0-мере р,
заданной на 0-поле g, мы понимаем алгебру с мерой 9(,
определяемую равенством (1), где расстояние вводится
по формуле
(3) 	р(Л, В) = р (А — В) + |х (В — А) для А, В в 31.
Можно доказать, что это метрическое пространство
является полным2). Иногда мы рассматриваем только
подпространства всех элементов конечной меры. Это под-
9 Многие авторы рассматривают меры и a-меры на булевых
алгебрах. См., например, Ауман [3J, Бауэр [1, 2], Каратеодори
[1, 2, 3, 4], Дубине [1], Хаупт и Паус [1, 2, 3, 4], Хейдер [2],
Хьюит [1], Ходжес и Хорн [1], Хорн и Тарский [1], Каппос [2, 3,
4, 5], Кавада [1], Келли [2], Крикберг [1, 2, 3, 4], Колмогоров [2],
Макки [1], Махарам [1, 2, 3, 4, 5], Марчевский [4], Марчевский
и Сикорский [3], Мибу [1], Никодим [2, 3, 4, 5, 7], Новак и
Новотный [1], Огасавара [1], Олмстед [1], Оницеску [1], Паук
[1, 4], Петтис [1], Риддер [1, 3], Ривкинд [1], Сегал [1], Томита [1],
Винокуров [1], Владимиров [1], Веккен [1].
а) См., например, Никодим [1].

324
Дополнение
пространство является замкнутым подмножеством всего
пространства и поэтому тоже полно. Полнота
метрического пространства 31 и его подпространства элементов
конечной меры позволяет ввести в теорию меры
топологические методы, основанные на теореме Бэра для
множеств первой категории (так называемый категорный
метод). В качестве примера мы упомянем здесь
некоторые доказательства теоремы Хана — Витали1).
Другое применение этой процедуры дает понятие
изоморфизма а-мер. Это понятие можно ввести
различными способами. Например, две a-меры \хг и р,2 (на
полях и $2 подмножеств пространств Хг и Х2
соответственно) называются изоморфными, если существует
изоморфизм h поля $г на поле $2, сохраняющий меру,
т. е. такой булев изоморфизм, что
(Л(Л)) = МЛ)
для каждого Л 6$,. Другое определение таково: меры рх
и (i2 называются изоморфными, если существуют такие
множества Хь 0 £ и Х2< 0 £ $2, что ц, (Ха, о)=0=^2 (Х2>0)
и существует сохраняющий меру изоморфизм поля
^1|Х1 — Х1>0 на поле $2|Х2— ^2, о- Однако эти
определения недостаточно удобны, потому что с помощью
несущественного прибавления класса множеств меры нуль
мы можем нарушить существующий изоморфизм
(например, лебегова мера на всех борелевских множествах и
лебегова мера на всех измеримых по Лебегу множествах
не изоморфны в смысле двух приведенных выше
определений). В обоих определениях слишком большую роль
играют структурные свойства полей $х и $2.
Следующее определение обходит эти трудности.
Говорят, что a-меры \хг и р2 изоморфны, если существует
сохраняющий меру изоморфизм между их алгебрами
с мерой [см. (1) и (2)]. Это определение позволяет дать
полную классификацию изоморфных типов для конечных
a-мер 2).
Преимущество рассмотрения 0-меры на булевых
0-алгебрах состоит в возможности перехода к соответ-  *)*) Предложенные Саксом [1].
а) Махарам [1]. См. также Зинк [1].

§ 42. Применения к теории меры
325
ствующим алгебрам с мерой. Возникает проблема, какие
булевы алгебры являются алгебрами с мерой (с
точностью до изоморфизмов), соответствующими некоторой
конечной мере. Если — алгебра с мерой, соответствующая
конечной a-мере, то Щ является полной булевой алгеброй
(см. пример Г § 21). Однако полнота не является
достаточным условием, потому что существуют полные булевы
алгебры, на которых все а-меры тождественно равны
нулю (см. пример Е § 21). Необходимое и достаточное
условие существования конечной строго положительной
a-меры будет рассмотрено в конце этого параграфа.
Важным вспомогательным понятием в теории меры
является понятие меры, определенное в примере В § 3.
Как известно, не каждая мера р, определенная на
данном поле $ подмножеств пространства X, продолжается
до a-меры р' на a-поле ст-порожденном полем gr.
Следующее условие является необходимым и
достаточным для существования такого продолжения:
(с) если { Ап } — произвольная последовательность
непересекающихся множеств поля $ и если
теоретикомножественное объединение U Ап принадлежит
1 ^ гс < 00
полю то ц( и Л„)=-- 2 МД.)*
1 <С ГС < СЮ 1 5^ ГС < СО
Это условие не всегда выполняется. Булевы методы
показывают, что причина этой трудности, грубо говоря,
заключается в том, что рассматриваемое пространство X
может иметь слишком мало точек. Если поле $
совершенно, то каждую меру поля g? можно продолжить до
ст-меры. В самом деле, объединение любой
последовательности непересекающихся непустых множеств в
совершенном поле ^ никогда не принадлежит полю $ (см.
пример К § 7), что влечет выполнение условия (с). С
другой стороны, каждое поле множеств цзоморфно
некоторому совершенному полю множеств (см. теорему 8.2)
и, конечно, этот изоморфизм можно реализовать
прибавлением некоторого числа точек к пространству X
(см. пример Ж § 8).
Таким образом, заменяя рассматриваемое поле g? на
изоморфное ему совершенное поле, мы получаем, что
каждая мера р имеет естественное продолжение р\
являющееся a-мерой. Изоморфный тип меры р' одно¬

326
Дополнение
значно определяется мерой р и может быть получен
другим способом без перехода к изоморфному
совершенному полю при условии, что мера \х конечна. В самом
деле, пусть А — идеал всех множеств, мера р которых
равна нулю. Тогда формула (2) определяет строго
положительную меру р на алгебре Э1 = ^/Д. Так же, как и
в случае a-мер, алгебру §1 можно рассматривать как
метрическое пространство. Это пространство, вообще
говоря, неполное. Согласно известному методу
пополнения метрических пространств, мы можем определить
такое полное пространство ЗГ, что пространство 3( плотно
в пространстве ЗГ. Мера р удовлетворяет условию
|ц(Л) —ц(б)|<р(Л, В).
Поэтому ее можно продолжить до вещественной
непрерывной функции р' на пространстве 31'. Можно
доказать, что булевы операции в алгебре 31 можно
продолжить на пространство ЗГ, причем ЗГ станет булевой
о-алгеброй. Мера р' является строго положительной
a-мерой на алгебре 31' и изоморфна определенному ранее
продолжению р' меры р.
Возникает следующий вопрос: при каких условиях
на данной алгебре 31 существует строго положительная
конечная мера*)? Конечно, необходимым условием
является а-цепное условие. Однако оно не является
достаточным. Существует булева алгебра 31, не имеющая
строго положительных мер, которая является
объединением счетной последовательности таких множеств, что
я-е множество содержит не более чем я непересекаю-
щихся элементов2). Из последнего свойства вытекает
а-цепное условие.
г) Подробное исследование этого вопроса см. у Хорна и
Тарского [1]. Положительный ответ для сепарабельных булевых алгебр
дан Марчевским. См. Тарский [14], сноску 16) и Хорн и Тарский [1].
Ответ отрицателен для алгебры всех подмножеств счетного
множества по модулю идеала конечных множеств. Это следует, например,
из теоремы Сер пинского (см. Хорн и Тарский [1]). Проблема
существования строго положительной меры тесно связана с так
называемой гипотезой Суслина. См. Хорн и Тарский [1], Келли [2],
Махарам [2].
2) 	Этот результат принадлежит Гейфману [1, 2].

§ 42. Применения к теории меры
327
Чтобы сформулировать необходимое и достаточное
условие, введем следующее определение. Для каждой
конечной последовательности f = { Av ... , Ап },
элементов булевой алгебры 81 положим *(f)=/n/n, где
т—наибольшее целое число, обладающее тем свойством, что
существует последовательность 1 ^ < k2 < ... < km ^ я,
для которой Ak2(\ •.. П Актф Д. Для каждого мно¬
жества © элементов алгебры 81 под числом пересечения
множества © понимается точная нижняя грань чисел i (f),
где f — любая последовательность элементов из ©
(допускаются последовательности с повторениями).
Следующее условие является необходимым и
достаточным для существования конечной строго
положительной меры на булевой алгебре 81:
(к) 	множество 8(— (Д) является объединением
счетной последовательности множеств, каждое из которых
имеет положительное число пересечения *).
Для того чтобы существовала конечная строго
положительная a-мера на полной булевой алгебре 81,
необходимо и достаточно, чтобы алгебра 8( была слабо а-дис-
трибутивной (см. пример А § 30) и выполнялось
условие (к)*  2).
Можно дать другое необходимое и достаточное условие
существования конечной строго положительной а-меры
на булевой ст-алгебре 81:
(к') множество 81 — (Д) является объединением счетной
последовательности множеств {©^}, каждое из которых
имеет положительное число пересечения и обладает
следующим свойством: если Агс:А2с:... и U Л,-
1 / < 00
то существует такое целое число я, что А„€©ш3).
Заметим, что на каждой булевой алгебре существует
строго положительная мера, значение которой
принадлежит некоторому неархимедову, упорядоченному
алгебраическому полю4).
!) Условие (к) и вся теорема принадлежат Келли [2].
2) Эта теорема принадлежит Келли [2] (другое доказательство
этой теоремы дано С. Рыль-Нардзевским). Другое более сложное
необходимое и достаточное условие дано Маха рам [2]. Ходжес
и Хорн [1] упростили условие Махарам.
3) Эта модификация теоремы Келли предложена
Рыль-Нардзевским (не опубликовано).
4) Никодим Г7, 8]. См. также Люксембург (1, 2].

328
Дополнение
§ 43. Измеримые функции и вещественные гомоморфизмы
Пусть g есть a-поле подмножеств пространства X.
Напомним, что вещественная функция ф (принимающая,
возможно, значения ±оо), определенная на пространстве
Ху называется $-измеримойу или, кратко, измеримойу если
для каждого вещественного числа а множество всех X,
удовлетворяющих неравенству ф (х) < а, принадлежит
полю g. В некоторых исследованиях необходимо
отождествлять измеримые функции по модулю некоторого
ст-идеала Д поля g. Более точно, мы отождествляем две
измеримые функции ц>г и ф2 тогда и только тогда, когда
множество всех таких л: £Х, что:Ф1(х)^ф2(х),
принадлежит идеалу Д. Мы говорим тогда, что функции фх и ф2
являются Д‘Эквивалентнымиу или просто эквивалентными.
Эта процедура производится, например, в теории меры
и интегрирования, причем Д является a-идеалом множеств
меры нуль.
Вместо рассмотрения абстрактных классов Д-эквива-
лентностей мы можем выполнить отождествление
следующим образом.
Пусть 23 обозначает a-поле всех борелевских множеств
вещественных чцсел (включая ± оо). Каждый а-гомомор-
физм h поля 23 в любую булеву алгебру 21 мы будем
называть вещественным гомоморфизмом на алгебру 21.
Говорят, что гомоморфизм h конечеНу если h((oo))= Д =
= /*(( — оо)). Он называется ограниченныМу если
существует такой конечный интервал В, что h(B) — \/. По
теореме 29.1 мы всегда можем представить алгебру 21 как
факторалгебру некоторого a-поля по a-идеалу. Тогда по
теореме 32.5 гомоморфизм h индуцируется некоторой
вещественной функцией ф. Легко проверить, что h
является конечным (ограниченным) тогда и только тогда, когда
гомоморфизм h индуцируется конечной (ограниченной)
функцией ф.
Пусть g и Д имеют тот же смысл, что и выше.
Каждая g-измеримая функция индуцирует вещественный
гомоморфизм в алгебру g/Д. Две g-измеримые функции
индуцируют один и тот же вещественный гомоморфизм
в том и только том случае, когда эти функции Д-экви-
валентны. Обратно, каждый вещественный гомоморфизм h

g 43. Измеримые функции и вещественные гомоморфизмы 329
в алгебру $/Д индуцируется некоторой ^-измеримой
функцией и каждая функция, индуцируемая А, является
^-измеримой.
Следовательно, вместо ^-измеримых функций по
модулю a-идеала Д мы можем рассматривать вещественные
гомоморфизмы в алгебру $/Д. Эти понятия имеют одно
и то же математическое содержание. Вещественные
гомоморфизмы являются булевым аналогом
теоретико-множественного понятия измеримых вещественных
функций.
Обычные операции над измеримыми функциями можно
производить и над вещественными гомоморфизмами в
любую булеву а-алгебру 81.
* Например, если A, hv h2— конечные вещественные
гомоморфизмы в алгебру 91, а с—конечное вещественное
число, то легко определить с/г, /гг + h2, hx—h2> hX'h2 так,
чтобы они были булевыми аналогами соответствующих
операций для измеримых функций. В самом деле, мы
можем считать, что (см. теорему 29.1) ЗГ—$/Д, где % и
Д удовлетворяют упомянутым выше условиям. Мы можем
также считать (см. теорему 32.5), что A, hx и h2
индуцируются конечными измеримыми функциями ф, <рг и ф2
соответственно. Тогда по определению ch, hx-\-h2, hx—Л2,
hX'h2 являются вещественными гомоморфизмами (в
алгебру 2(), индуцированными измеримыми функциями
ар, Ф1 + Ф2> Фг—Ф2> Ф1*Ф2 соответственно. Легко проверить,
что так определенные вещественные гомоморфизмы не
зависят от представления алгебры 31 в виде $уД и от
выбора индуцирующих функций ф, фх, ф2. Подобным же
образом мы можем определить отношение Нг/Н2, если
М(0» = л.
Мы пишем, что /гх ^ /г2, если существуют такие
функции фх, ф2, индуцирующие/^ и Л2, что ф1^ф2-
Говорят, что последовательность {hn\ вещественных
гомоморфизмов в алгебру 91 сходится (равномерно
сходится) к вещественному гомоморфизму h (в алгебру 81),
если существуют такие функции ф, ф„, индуцирующие
h и hn (п = 1, 2, ...) соответственно, что
последовательность {ф„} сходится (равномерно сходится) к функции ф.
Определение указанных выше операций над
вещественными гомоморфизмами можно также сформулировать, не

330
Дополнение
используя индуцирующие функции. Мы можем, например,
использовать тот факт, что каждый вещественный
гомоморфизм однозначно определяется своими значениями на
бесконечных интервалах Ва: — оо ^х<а. Тогда сумма
hx -fft2— это такой вещественный гомоморфизм ft, что
где W обозначает множество всех рациональных чисел.
Подобным же образом можно сформулировать и
определения других операций. Однако доказательство
эквивалентности этих определений исходным будет более
сложным.
После того как основные операции над вещественными
гомоморфизмами построены, мы можем с ними оперировать
так же, как и с измеримыми функциями, не испытывая
никаких трудностей1).
Мы также можем построить некоторые более сложные
операции над вещественными гомоморфизмами. Например,
допустим, что р есть a-мера на алгебре SI, a
ft—вещественный гомоморфизм в алгебру 31. Тогда интеграл
(при условии, что интеграл в правой части равенства
существует), где ф—функция, индуцирующая
гомоморфизм ft, а р— мера (на поле $), определяемая мерой р
[см. соотношения (1) и (2) из § 42]2).
г) О других определениях булевых аналогов поточечных ото-
Сражений см. Бернштейн [1], Каратеодори [1,4], Гётц [1], Каппое
[1], Никрдим [3], Олмстед [1], Поспишил [1, 2, 4], Риддер [1],
Веккен [1].
2) Сикорский [9]. О других определениях, основанных на
других обобщениях точечных функций, см. Бишоф [1], Каратеодори
[1, 2, 4], Форадори [1], Каппое [2], Олмстед [1], Риддер [1],
Веккен [1].
h(Ba)= и
weW
для каждого вещественного числа а,
можно определить формулой

$ 44. Измеримые функции. Редукция к непрерывным
331
§ 44. Измеримые функции. Редукция к непрерывным
функциям.
Другую модель для пространства всех измеримых
функций по модулю некоторого а-идеала можно получить
следующим образом.
Так же как и в § 43, пусть % будет а-полем
подмножеств пространства X, а А—a-идеалом поля Пусть
X'— пространство Стоуна факторалгебры ^/А, a h0 —
фиксированный изоморфизм алгебры $/А на поле всех
открыто-замкнутых подмножеств пространства X'.
Для каждой ^-измеримой функции ср на пространстве X
пусть ф' обозначает функцию на пространстве X',
однозначно определяемую следующим условием:
ф'_1(и Мф'ЧВ*))
b <а
для каждого вещественного числа а,
где Ва — бесконечный интервал, введенный в конце § 43.
Другими словами,
ср'(х')= sup а для каждого х'£Х'.
х' Мф_1(Да))
Функция ф' всегда является непрерывной (она может
принимать бесконечные значения). Каноническое
преобразование, отображающее функцию ф на функцию ф',
является взаимно однозначным, если мы отождествляем
Д-эквивалентные функции. Более точно, ф^ = ф'2 тогда и
только тогда, когда функции фх и ф2 являются Д-экви-
валентными.
Каноническое преобразование сохраняет естественный
частичный порядок функций и алгебраические операции.
Более точно, Ф^ (*') ^ ф^ (*') для каждого х'£Х' в том
и только том случае, когда фх (х) ^ ф2 (х) для каждого
х£Х, за исключением некоторого множества из идеала А.
Если ф — конечная функция, то ф' (х') конечно для всех
х'^Х', за исключением нигде не плотного
множества, где функция ф' принимает бесконечное
значение. Если Ф = Фх + Ф2 и ф1? ф2 конечны, то ф'(х') =
*= фх {х') + ф'2 (х') для всех х'£Х', за исключением нигде
не плотного множества, на котором сложение в правой

332
Дополнение
части не имеет смысла. Аналогичные утверждения
имеют место для разности и т. п.
Таким образом, пространство всех ^-измеримых
функций по модулю идеала Д можно отождествить с
пространством всех непрерывных функций (включая и
функции, принимающие бесконечные значения) на
пространстве Стоуна X' алгебры $/Д.
Такое представление играет особую роль для
ограниченных измеримых функций ф1). В этом случае класс
всех соответствующих .функций ф' совпадает с классом
всех конечных непрерывных функций на пространстве X'.
Более того,
о)
(2)
sup ф'(х')= inf sup ф(я),
х'еХ' Лб А хеХ-А
inf ф' (*') = sup inf ф(х).
х' е X' А е А хе X- А
Заметим, что каноническое преобразование сохраняет
равномерную сходимость. Аналогичное утверждение для
поточечной сходимости, вообще говоря, несправедливо.
§ 45. Применения к функциональному анализу
Пусть р есть сг-конечная сг-мера на сг-поле $
подмножеств пространства X, а А есть сг-идеал всех множеств,
мера р которых равна нулю. Рассмотрим банахово
пространство L (с обычной нормой) всех интегрируемых
функций (отождествленных по модулю идеала Д) на
пространстве X. Известно, что пространство, сопряженное
к L (т. е. пространство всех линейных непрерывных
функционалов на L), совпадает с пространством М
(с обычной нормой, которая задается правой частью
равенства (1) § 44, где ф следует заменить на его
абсолютное значение) всех ограниченных ^-измеримых
функций (отождествленных по модулю идеада Д) на
пространстве X. Учебники по функциональному анализу часто
не останавливаются на описании пространства,
сопряженного к пространству УИ. Это легко сделать, используя
г) Применения, см., например, у Дьедоне [1], Семадени [2, 3, 7],
см. также § 45.

45. Применения к функциональному анализу
333
булевы исследования § 44. В самом деле, М можно
рассматривать, как пространство всех конечных непрерывных
функций (с обычной нормой) на пространстве Стоуна X'
алгебры [см. соотношение (1) из § 44]. Согласно
основной теореме функционального анализа1),
пространство, сопряженное к пространству всех конечных
непрерывных функций на компактном топологическом
пространстве X', совпадает с множеством всех конечных
(не обязательно неотрицательных) сг-мер на сг-поле всех
бэровских подмножеств пространства X'. Таким образом,
пространство, сопряженное к М, совпадает с
пространством всех сг-мер (не обязательно неотрицательных)
(с обычной нормой) на сг-поле, порожденном всеми
открыто-замкнутыми подмножествами пространства Стоуна
алгебры $/Д.
Иногда булевы понятия появляются и в других
разделах функционального анализа. Мы упомянем здесь,
например, проблему, удовлетворяет ли данное
пространство Банаха Е' следующему условию:
(р) для каждого банахова пространства Е каждый
непрерывный линейный оператор из пространства Е0аЕ
в пространство Е' можно продолжить до непрерывного
линейного оператора из пространства Е в пространство
Е' с той же нормой.
Решение дается следующей теоремой: пространство Е'
обладает свойством (р) тогда и только тогда, когда Е'
изометрично пространству всех конечных непрерывных
функций на некотором экстремально несвязном
компактном топологическом пространстве, т. е. пространству всех
ограниченных вещественных гомоморфизмов в некоторую
полную алгебру2).
Понятие полных булевых алгебр существенным
образом присутствует также в теории частично упорядоченных
линейных пространств3). В частности, экстремально
несвязные пространства появляются в проблеме, связанной
с полнотой структуры^ пространства непрерывных функ¬
х) Какутани [3].
2) См. Келли [1]. Ранее частичные решения были предложены
Гудиером [1], Начбином [3].
3) См. Канторович, Вулих и Пинскер [1J.

334
Дополнение
ций1). Пространства Стоуна появляются также в
доказательстве основной теоремы о представлении для
абстрактных (Ь)-пространств2).
§ 46. Применения к основаниям теории вероятностей
Основными понятиями в теории вероятностей являются
событие, вероятность события и случайная величина.
Как мы уже отмечали в примере В § 1, всегда
предполагается, что множество всех событий образует булеву
алгебру Я0. Вероятность есть нормированная мера р0 на
алгебре 8t0, т. е. мера, принимающая значение единица
на единичном элементе алгебры 310. Согласно теореме
8.2, 	мы всегда можем считать, что алгебра 910 является
полем множеств. Таким образом, исследование событий
и их вероятностей можно свести к изучению
нормированной меры на поле множеств. Однако по чисто
техническим причинам более удобно сводить изучение к
случаю a-мер на сг-полях, поскольку сг-аддитивность имеет
важные математические следствия. Такое сведение также
можно реализовать. Например, по теореме 8.2 мы можем
считать, что алгебра 310 является совершенным
приведенным полем подмножеств всех открыто-замкнутых
подмножеств пространства Стоуна X. Тогда меру |i0 можно
однозначно продолжить до некоторой сг-меры \i на сг-поле
51, порожденном алгеброй 510 (см. § 42). Заметим, что
точки пространства X имеют простую вероятностную
интерпретацию. В самом деле, с интуитивной точки
зрения событие есть нечто, что может наблюдаться или нет;
это можно проверить, например, с помощью надлежащего
испытания. Допустим, что такое испытание было
проведено. Тогда класс всех событий, которые наблюдались
в этом испытании, является максимальным фильтром
в алгебре 510> т. е. точкой пространства X (см. замечание
на стр. 37). Таким образом, точки в пространстве X  * 3г) См. Накано [1], Дилиорс [3], Стоун [13].
3) 	См. Какутани [2]. О других применениях к функциональному
анализу см. также Амемия и Мори [1], Фогель [1], Маеда [2], Маха-
рам [9], Маккарти [1].
Отметим также, что теорему Стоуна о представлении для
булевых алгебр можно получить как следствие теоремы Какутани [3]
о представлении для абстрактных М-пространств.

§ 4§. Применения к основаниям теории вероятности
335
можно интерпретировать как все теоретически возможные
результаты испытанийг).
Согласно изложенным выше рассуждениям, наперед
заданное множество 910 событий можно всегда расширить
до некоторого a-поля 9t, элементы которого (т. е.
множества Л £91) можно тоже интерпретировать как события.
Функция вероятностей |i0 на алгебре 910 может быть
продолжена до функции вероятностей р, на алгебре 31,
причем р будет a-мерой. Поэтому изучение можно свести
к случаю нормированных сг-мер на полях множеств.
Согласно устаревшему неточному определению,
„случайная величина" — это такая величина £, что для каждого
вещественного числа а определена вероятность события
1<а. Таким образом, выражение £<# следует
интерпретировать как событие, т. е. множество Ла£91.
Естественно считать, что событие | < а является объединением
всех событий |<6, где 6 < а. Таким образом, {Аа\
является индексированным множеством множеств из алгебры
31, причем
(1) Aa = \JAb для каждого вещественного числа а.
Ь < а
С другой стороны, для каждого индексированного
множества множеств Ла£9Х, удовлетворяющих условию (1),
существует точно одна вещественная 91-измеримая
функция ф на пространстве X, обладающая свойством:
(2) А0 есть множество всех таких х£Х, что ф (х)<а.
Обратно, если ф — 91-измеримая функция на пространстве
X, то условие (2) определяет такое индексированное
множество {Аа\ множеств алгебры 91, что справедливо
условие (1). Значит, случайные величины совпадают с
91-измеримыми функциями на пространстве X. Так мы
очень естественным образом получаем известную
теоретико-множественную модель для теории вероятностей2).
Возникает вопрос, может быть лучше или естественнее
изучать более общие нормированные сг-меры на булевых  *)*) Эта интерпретация принадлежит Лосю [2, 4]. Указанные
работы содержат исчерпывающий обзор проблем, обсуждаемых в § 46.
а) Предложенную Колмогоровым [1].

336
Дополнение
сг-алгебрах вместо сг-полей множеств1). Тогда случайные
величины следует интерпретировать как вещественные
гомоморфизмы в соответствии с § 43. Такое обобщение
в самом деле возможно. В частности, понятие булева
сг-произведения (см. § 38) дает математическое основание
для исследования независимости событий, которое в
теоретико-множественной модели основано на образовании
произведения a-мер в декартовом произведении. Однако,
-с другой стороны, основная теорема 29.1 о представлении
для булевых а-алгебр показывает, что такое обобщение
является несущественным, и описанным в § 42 и 43
методом булеву модель для теории вероятностей можно
всегда заменить на теоретико-множественную модель.
§ 47. Проблемы эффективности
Как читатель уже заметил, основная теорема 8.2
о представлении является основной теоремой для всей
теории булевых алгебр. Эта теорема получена как
следствие теоремы 6.1 о существовании максимальных
идеалов и фильтров. Доказательство теоремы 6.1 не
эффективно, поскольку оно основано на следующем принципе:
(ах) каждое множество можно вполне упорядочить,
который, как это хорошо известно, эквивалентен аксиоме
выбора, приведенной ниже в самом общем виде.
(а2) для каждого индексированного множества {At}teT
непустых множеств существует такое индексированное
множество {at}teT, что at£At для каждого t£T.
Возникает проблема, можно ли доказать основную
теорему 8.2 о представлении эффективным образом, т. е.
не используя аксиом выбора. Некоторые приводимые ниже
результаты показывают, что ответ, по-видимому,
отрицателен.
9 Такое отношение к вероятности поддерживалось Халмошем[2]>
Колмогоровым [2], Сегалом [1]. Она позволяет рассматривать
вероятность как строго положительную меру и избегать трудностей,
связанных с существованием непустых измеримых множеств меры нуль,
которые не имеют вероятностной интерпретации. О применениях
булевых понятий к теории вероятностей см. Дубине [1], Крикберг [2,3],
Сегал [1), Теодореску [1]. О других подходах к основаниям теории
вероятностей см. у Лося [6].

§ 47. Проблемы эффективности
337
Легко проверить, что следующие утверждения для
булевых алгебр эффективно эквивалентны (т. е. каждое
из них можно вывести из другого, не используя аксиомы
выбора):
(бг) каждый собственный идеал (фильтр) можно
расширить до максимального идеала (фильтра);
(62) каждая невырожденная булева алгебра имеет по
крайней мере один максимальный идеал (фильтр);
(63) каждую двузначную меру на подалгебре можно
продолжить до двузначной меры на всей булевой
алгебре;
(64) каждая булева алгебра изоморфна некоторому
полю множеств;
(66) каждая булева алгебра изоморфна полю
открытозамкнутых подмножеств некоторого вполне несвязного
компактного пространства;
(бв) каждый собственный идеал (фильтр) является
пересечением некоторого класса максимальных идеалов
(фильтров).
Можно доказать, что каждое из утверждений (бх) —
(бв) эффективно эквивалентно каждому из следующих
утверждений:
(67) каждая конечная мера т0 на подалгебре может
быть продолжена до некоторой меры т на всей булевой
алгебре, причем множество всех значений меры т
содержится в замыкании множества всех значений меры т0;
(68) декартово произведение любого числа непустых
компактных хаусдорфовых пространств является непустым
компактным пространством.
Из каждого из утверждений (бх)— (б8) эффективно
вытекает следующее утверждение:
(в) каждый частичный порядок можно продолжить до
линейного порядка.
Очевидно, что из (в) эффективно вытекает принцип
упорядочения, т. е. утверждение
(г) каждое множество можно линейно упорядочить,
и что из (г) эффективно вытекает аксиома выбора для
конечных множеств, т. е. утверждение
(д) для каждого индексированного множества {At}t^T
непустых конечных множеств существует такое
индексированное множество {at\teг, что at£ At для всех t£T.

338
Дополнение
Таким образом, мы имеем эффективные импликации
(а) — (б) — (в) (г) —V (д),
где (а) и (б) обозначают соответственно одно из
утверждений (ах) — (а2) или (б^ — (eg)1). Импликацию (а) —► (б)
нельзя заменить эффективной эквивалентностью2). Однако
утверждение (бх), сформулированное для произвольных
структур, эффективно эквивалентно аксиоме выбора3).
Импликацию (г) —> (д) нельзя заменить на эффективную
эквивалентность 4).
Поле $ всех подмножеств счетного множества X
является одной из простейших булевых алгебр. Из (б)
следует, что существует двузначная мера, определенная на
поле $ и равная нулю на всех конечных подмножествах
пространства X. Однако мы не знаем никакого
эффективного доказательства этого утверждения, и возможность
отыскать доказательство при современном состоянии
математического знания является сомнительной, ибо
существование требуемой меры влечет за собой эффективное
существование неизмеримого множества вещественных
чисел. В самом деле, допустим, что X — множество всех
положительных целых чисел, а т—двузначная мера на
всех подмножествах множества X и т(А) = 0 для
каждого конечного подмножества АаХ. Любое вещественное
г) Все упомянутые результаты принадлежат Лосю и Рыль-Нар-
дзевскому [1]. Некоторые из этих результатов, а также многие
другие эффективные эквивалентности и импликации были одновременно
анонсированы Хенкином [5], Рубином и Скоттом [1], Скоттом [2J,
Тарским [15], [16, 17]. Импликация (б) — (д) была ранее замечена
А. Дэвисом.
2) Этот результат недавно получил Халперн [1, 2, 3]. Ранее Мо-
стовский доказал, что (г) не вытекает эффективно из (а). См. также
Спеккер [2]. Все доказательства неэквивалентности относятся к
системе аксиом Цермело — Френкеля теории множеств, которая не
исключает существования объектов, не являющихся множествами, и не
содержит аксиомы регулярности.
3) Этот результат анонсирован Скоттом [2]. См. также Мрувка
[1, 2]. Работы Мрувки содержат также другие аналогичные
утверждения (для дистрибутивных структур), эквивалентные аксиоме
выбора.
4) Лейхли [1].

ф 47. Проблемы эффективности
339
число можно однозначно представить в виде
со
где k — целое число, а {пу) — бесконечная возрастающая
последовательность положительных целых чисел. Пусть
Ах обозначает множество всех целых чисел rij. Тогда
множество В всех таких х, что т (Л*) = 1, неизмеримо (в
смысле Лебега)1).
Теорема Хана — Банаха о продолжении линейных
функционалов, которая является одной из наиболее важных
теорем в функциональном анализе, доказывается в каждом
учебнике с помощью трансфинитной индукции или другого
эквивалентного аксиоме выбора утверждения. Интересно
отметить, что из утверждения (б) эффективно вытекает
теорема Хана — Банаха2  3).
Отметим, что из аксиомы выбора (а) вытекает
теорема 33.1 о продолжении гомоморфизмов, а из этой теоремы
эффективно вытекает утверждение (б) (см. замечание на
стр. 230). Не известно, можно ли какую-нибудь из этих
импликаций заменить на эффективную эквивалентность 8).
г) Серпинский [1]. См. также Марчевский [13].
2) Этот результат принадлежит Лосю и Рыль-Иардзевскому [1,2].
Другое доказательство было предложено Люксембургом [1, 2],
который также доказал, что из утверждения (б) эффективно вытекает
теорема Никодима о существовании строго положительных мер со
значениями в неархимедовых упорядоченных алгебраических полях
(см. стр. 327). Результаты Люксембурга используются в построении
произведений моделей для математических теорий, принадлежащем
Лосю [5].
3) Исследование этой проблемы см. у Люксембурга [3].

ЛИТЕРАТУРА
Александров и Xon<J)(Alexandrof Р. S., Hopf Н.)
1. 	Topoiogie I, Berlin, 1935.
Александров П. С. иУрысон П. С.
1. 	О компактных топологических пространствах, в книге:
Урысон П. С. Труды по топологии и другим областям
математики, т. 2, М.—Л.л 1951.
Амемия и Мори(Атепиуа I., Mori Т.)
1. 	Topological structures in ordered linear spaces, J. math. Soc.
Japan,9 (1957), 131—142.
Андреоли (Andreoli G.)
1. Struttura delle algebre di Boole e loro estensione quale calcolo
delle classi (in senso ordinario oppure probabilistic©), Giorn.
Mat. Battaglini, 5 (1957), 141—171.
2. Propriety delle funzioni simmetrlche elementari nelle algebre
di Boole e nelle algebre dei livelli, Ricerca (Napoli), 10 (1959),
1—10.
3. Algebre di Boole-algebre di insieme-algebre di livell, Giorn.
Mat. Battaglini, 7 (1959), 3—22.
4. Matrici; reticoli booleani di sottomatrici ,e loro valutazfone per
caratteristiche, Ricerca, Rivista Math. pur. appl., II Ser., 11
(1960), 6—14.
Антоновский M. Я., Болтянский В. Г. и Сарымса-
к о в Т. А.
1. 	Топологические алгебры Буля, Ташкент, 1963.
Ауберт (Aubert К. Е.)
1. 	A generalization of the ideal theory of commutative rings
without finiteness assumptions, Math. Scand., 4, (1956), 209—230.
А у м а н (Aumajin G.)
1. Ein Beweis des Loomisschen Darstellungssatzes fiir o-Somenringe,
Arch. Math., 2,(1950), 321—324.
2. Alternative-Zerlegungen in Booleschen Verbanden, Math. Z., 55
(1951), 109—113.
3. Reelle Funktionen, Berlin—Gottingen—Heidelberg, 1954.
Балачандран (Balachandran'V. K.)
1. 	A characterization for complete Boolean algebras, J. Madras
Univ., Sect. В 24 (1954), 273—278; J. Osaka Inst. Sci. tech.,
4 (1952), 39—44.

Литература
341
2. On certain BS-representations and a characterization of complete
Boolean algebras, Proc. Indian Acad. Sci., Sect. A. 34 (1957),
35—46.
3. On isomorphic BS-representations preserving arbitrary joins,
Math. Japan, 4 (1956), 55—61.
Банах (Banach S.)
1. Uber additive MaBfunktionen in abstrakten Mengen, Fund. Math.,
15 (1930), 97—101.
2. On measures in independent fields of sets (edited by S. Hartman),
Stud. Math., 10 (1948), 159—177.
3. Theoreme sur les ensembles de ргегшёге categorie, Fund. Math.,
16 (1930), 395—398.
Банах и Куратовский (Banach S., KuratowskiO.)
1. 	Sur une generalisation du probleme de la mesure, Fund. Math.,
14 (1929), 127—131.
Басс (Bass H.)
1. 	Finite monadic algebras, Proc. Amer. math. Soc., 9 (1958),
258—268.
Бауэр (Bauer H.)
1. Regulare und singulare Abbildungen eines distributiven Verbandes
ineinem Vektorverband, welche der Funktionalgleichung / (*U*/)+
+ /(^f\y)~f (x) + f (У) geniigen, J. reine angew. Math., 194
(1955), 141—179.
2. Darstellung additiver Funktionen auf Booleschen Algebren als
Mengenfunktionen, Arch. Math., 6 (1955), 215—222.
Белл (В e 11 С. В.)
1. 	On the structure of algebras and homomorphisms, Proc. Amer.
math. Soc., 7 (1956), 483—492.,
Бенадо (Benado M.)
1. 	Sur une caracterisation abstraite des algebres de Boole, (I)
C. R. Acad. Sci., 251 (1960), 622—623; (II) C. R. Acad. Sci.
251 (1960), 835—836.
Беннет (Bennett A. A.)
1. 	Solution of Huntington’s ‘‘unsolved problem in Boolean algebra”,
Bull. Amer. math. Soc., 39 (1933), 289—295.
Бернайс (Bernays P.)
1. 	Uber eine natiirliche Erweiterung des Relationenkalkiils, Con-
structivity in Mathematics, Proc. Coll. Amsterdam, 1957, 1—14.
Бернштейн (Bernstein B. A.)
1. Simplification of the set of four postulates for Boolean algebras
in terms of rejection, Bull. Amer. math. Soc., 39 (1933), 783—787.
2. A set of four postulates for Boolean algebra in terms of the
“implicative” operation, Trans. Amer. math. Soc., 36 (1934),
876—884.
3. On finite Boolean algebras, Amer. J. Math., 57 (1935), 733—742.
4. Postulates for Boolean algebras involving the operation of complete
disjunction, Ann. of Math., 37 (1936), 317—325.
5. Sets of postulates for Boolean groups, Ann. of Math., 40 (1939),
420—422.
6. Postulate-sets for Boolean rings, Trans. Amer. math. Soc., 55
(1944), 393—400.

342
Литература
7. A dual-symmetric definition of Boolean algebra free from
postulated special elements, Scripta Math., 16 (1950), 157—160.
8. Operations with respect to which the elements of a Boolean
algebra form a group, Trans. Amer. math. Soc., 26 (1924),
171—175. v ;
9. On the existence of fields in Boolean Algebras, Trans. Amer.
math. Soc., 28 (1926), 645—657.
Берштейн (Bersteinl.)
1. Sur les classes des fonctions equivalentes et sur les fonctions
definies dans une algebre de Boole, Acad. R. P. Romine, 7
(1955), 565—581 (Rumanian).
Бет (Beth E. W.)
1. A topological proof of the theorem of Lowenheim—Skolem —
Go del, Ind. Math., 13 (1951), 436—444.
Бирн (Byrne L.)
1. Two brief formulations of Boolean algebra, Bull. Amer. math.
Soc., 52 (1946), 269—272.
2. Boolean algebra in terms of inclusion, Amer. J. Math. ,70 (1948),
139—143.
3. Short formulations of Boolean algebra using ring operations,
Canad. J. Math., 3 (1951), 31—33.
Биркгоф Г. (В irk h off G.)
1. Rings of sets, Duke Math. J., 3 (1937), 443—454.
2. Lattice Theory, New York, 1940; second edition 1948, 1961.
(Русский перевод: Теория структур, М., 1952.)
3. Order and the inclusion relation, Proc. Oslo Congress, 1936,
vol. 2, p. 37.
Биркгоф Г. и Биркгоф Г. Д. (Birkhoff G., Birk-
hoff G. D.)
1. Distributive postulates for systems like Boolean algebras, Trans.
Amer. math. Soc., 60 (1946), 3—11.
Биркгоф Г. и Вард (Birkhoff G., Ward M.)
1. A characterization of Boolean algebras, Ann. of Math., 40 (1939),
609—610.
Б и- ш о ф (В i s c h о f A.)
1. Beitrage zur Caratheodoryschen Algebraisierung des Integralbeg-
riffs, Schr. Math. Inst, и Inst, angew. Math. Univ. Berlin, 5
(1941), 237—262.
Блэйк (Blake A.)
1. Canonical expressions ift Boolean algebra, Chicago, Diss., 1938;
correction J. Symb. Logic, 3 (1938), 112—113.
Блюменталь (Blumenthal L. M.)
1. Boolean geometry, (I) Rend. Coirc. Math. Palermo, 1 (1952),
1—18; (II) Proc. Intern. Congress of Math., 2 (1954), 205.
2. Theory and applications of distance geometry, Oxford, 1953.
Брейнерд и Ламбек (Brainerd В., LambekJ.)
1. On the ring of quotients of a Boolean ring, Canad. Math. Bull.,
2 (1959), 25—29.
Брейсвейт (Braithwaite R. B.)
1. Characterization of finite Boolean lattices and related algebras,
J. Lond. math. Soc., 17 (1942), 180—192.

Литература
343
Брюнс (Bruns G.)
1. On the representation of Boolean algebras, Canad. Math. Bull.,
5 (1962), 37—41.
2. Darstellungen und Erweiterungen geordneter Mengen, J. reine
angew. Math., (I), 209 (1962), 167—200; (II), 210 (1962), 1—23.
Брюнс и Шмидт (Bruns G., Schmidt J.)
1. Ein Zerlegungssatz fur gewisse Boolesche Verbande, Abh. math.
Seminar Univ. Hamburg, 22 (1958), 191—200.
2. Eine Verscharfung des Bernsteinschen Aquivalenzsatzes, Math.
Ann., 135 (1958), 257—262.
Буль (Boole G.)
1. The'mathematical analysis of logic, Cambridge, 1847.
2. An investigation of the laws of thought, Cambridge, 1854.
Б ю x и (В u c h i J. R.)
1. Die Boolesche Partialordnung und die Paarung von Gefiigen,
Portugal. Math., 7 (1948), 119—190.
Бялыницкий -Бируля (Biafynicki-Birula A.)
1. Remarks on quasi-Boolean algebras, Bull. Acad. Polon. Sci.y
Cl. Ill, 5 (1957), 615—619.
Бялыницкий-Бируля и Расёва (Biafynicki-Biru-
la A., Rasiowa H.)
1. On the representation of quasi-Boolean algebras, Bull. Acad.
Polon. Sci., Cl. Ill, 5 (1957), 259—261.
Вайдьянатасвами (Vaidyanathaswamy R.)
1. On the group-operations of a Boolean algebra, J. Indian math.
Soc., N. S. 2 (1937), 250—254.
Вард (Ward A. J.) *
1. On relations between certain intrisic topologies in partially
ordered sets, Proc. Cambridge %Phit. Soc., 51 (1955), 254—261.
Варшавский (Varsavsky O.)*
1. Quantifiers and equivalence relations, Rev. Mat. Guyana, 2
(1958), 29—51.
Век к ей (Wee ken F.)
1. Abstrakte Integrate und fastperiodische Funktionen, Math. Z.,
45 (1939), 377—404.
Билль (V i 11 e J.)
1. Etements de l’algebre de Boole, Publ. Inst. Statist. Univ.
Paris, 4 (1955), 107—140.
Винокуров В. Г.
1. Представление булевых алгебр и пространств с мерой, Мат.
сб., 56, № 3 (1962), 375—391.
Винха Новэ (V i n h a Novais j. А.)
1. Introduction to Boolean algebras, Gaz. Mat. Lisboa, 18 (1957),
1—8.
Владимиров Д. A.
1. О счетной аддитивности булевой меры, Вестн. Ленинградского
ун-та, 19, вып. 4 (1961), 5—15.
Волк (Wolk Е. S.)
1. Dedekind completeness and a fixed-point theorem, Ganad. J. of
Math., 9 (1957), 400—405.

344
Литература
Вредендойн (Vredenduin Р. G.)
1. 	Verbande, Euclides, Groningen 33, 129—152 (1958) (Dutch).
Вуенака (Wooyenaka Y.)
1. 	On Newman algebra, Proc. Japan Acad., 30 (1954), 170—175;
30 (1954), 562—565; 31 (1955), 66—69.
Галлер (G a 1 1 e r B. A.)
1. 	Cylindric and polyadic algebras, Psoc. Amer. math. Soc8
(1957) 	, 176—183.
Гейфман (Gaifman H.)
1. Two contributions to the theory of Boolean algebras (doctoral
dissertation), University of California, Berkeley, 1962.
2. Strictly positive measures in Boolean algebras, 'Pacific J
Math., 14, Ия 1 (1964), 61—73.
3. Infinite Boolean polynomials, Fund. Math., 54, № 3 (1964),
229—250. '
Гёдель (G 6 d e 1 K.)
1. The consistency of the Continuum Hypothesis, Princeton, 1940.
Герме (Hermes H.)
1. Einfiihrung in die Verbandstheorie,
Berlin—Gottingen—Heidelberg, 1955.
Гётц (Gotz A.)
1. Analogues to the notion of point functions in Boolean algebras.
Prace Mat., 1 (1954), 145—161 (Polish).
Гийом M. (Guillaume M.)
1. Calculs de consequences et tableaux d’epreuve pour les classes
algebriques generates d’anneaux booleins a operateurs, C. R. Acad.
Sci., 247 (1958), 1542—1544.
Гилман и Джерисон (Gillman L., and Jerison M.)
1. Rings of continuous functions, Toronto—London—New York, 1960.
Гинзбург (Gingsburg S.)
1. A class of everywhere branching sets, Duke Math. J., 20 (1953).
521—526. '
2. On the existence of complete Boolean algebras whose principal
ideals are isomorphic to each other, Proc. Amer. math. Soc., 9
(1958) 	, 130—132.
Гливенко В. И.
1. Sur quelques points de la logique de Brouwer, Bull. Acad. Sci.
Belg., 15 (1929), 183—188.
Глисон (Gleason A. M.)
1. Projective topological spaces, III. J. Math., 2 (1958), 482—489.
Гофман (Hofmann H.)
1. Uber eine Dimensionstheorie in topologischen Verbanden, Fund.
Math., 42 (1955), 289—311.
Г p a у (G r a u A. A.)
1. A ternary operation related to the complete disjunction of
Boolean algebra, Univ. Nac. Tucuman Rev., A. 8, (1951), 121—126.
2. Ternary Boolean algebra, Bull. Amer. math. Soc., 53 (1947),
567—572.
Грэтцер и Шмидт (G r a t z e r G., Schmidt E. T.).
1. Two notes on lattice congruences, Ann. Univ. Sci. Budapest
Eotvos, Sect. Math., 1 (1958), 83—87.

Литература
345
2. Characterizations of relatively complemented distributive lattices,
Publ. math. Debrecen, 5 (1958), 275—287.
3. On the generalized Boolean algebras generated by a distributive
lattice, Nederl. Akad. Wet. Proc., Ser. A, 61 (1958), 547—553.
Гуднер (Goodner D. B.)
1. 	Projections in normed linear spaces, Trans. Amer. math. Soc.
69 (1950), 89—108.
Данфорд и Шварц (DunfordN., Schwartz J. T.)
1. 	Linear operators, Part. I: General theory, New York, 1958.
(Русский перевод: Линейные операторы. Часть I. Общая
теория, ИЛ, М., 1962).
Данфорд и Стоун (D unford N., Stone М. Н.)
1. On the representation theorem for Boolean algebras, Rev. Ci.
Lima, 43 (1941), 743—749.
Двингер (D winger Ph.)
1. On the completeness of the quotient algebras of a complete
Boolean algebra, (I) Indag. Math., 20 (1958), 448—456; (II) Indag.
Math., 21 (1959), 26—35.
2. Remarks on the field representation of Boolean algebras, Indag.
Math., 22 (1960), 213—217.
3. A note on the normal ^-completion of a Boolean algebra, Nieuw
Arch. Wiskunde, 8 (1960), 83—88.
4. Introduction to Boolean algebras, Wurzburg, 1961.
5. Retracts in Boolean algebras, Proc. Symp. Pure Math., II, Amer.
math. Soc., 1961.
6. A note on the completeness of factor algebras of a-complete
Boolean algebras, Indag. Math., 21 (1959), 376—383.
Дейньо и Монк (Daigneault A., Monk D.)
1. Representation theory for polyadic algebras, Fund. Math., 52
(1963), 151 — 176.
Деккер (Dekker J. С. E.)
1. The constructivity of maximal dual ideals in certain Boolean
algebras, Pacific J. Math., 3 (1953), 73—101.
Джонсон (Jonsson B.)
1. Boolean algebra without proper automorphisms, Proc. Amer.
math. Soc., 2 (1951), 766—770.
Джонсон и Тарский (Jonsson В. and Tarski A.)
1. Boolean algebras with operators, (I) Amer. J. Math., 73 (1951),
891—939; (II) Amer. J. Math., 74 (1952), 127—162.
2. Cardinal products of isomorphism types, Добавление к
Тарский [81.
Диамонд А. X. (Diamond А. Н.)
1. The complete existential theory of the Whitehead-Huntington
set of postulates for the algebra of logic, Trans. Amer. math.
Soc., 35 (1933), 940—948.
2. Simplification of the Whitehead-Huntington set of postulates
for the algebra of logic, Bull. Amer. math. Soc., 40 (1934),
599—601.
Диамонд и Маккинси (Diamond A. H., McKinsey J.C. C.)
1. Algebras and their subalgebras, Bull. Amer. maths Soc., 53 (1947),
959—962.

346
Литература
Дилуорс (Dilworth R. Р.)
1. Ideals in Birkhoff lattices, Trans. Atner. math. Soc., 49 (1941).
325— 	353.
2. Lattices with unique complements, Trans. Amer. math. Soc.,
57 (1945), 123—154.
3. The normal completion of the lattice of* continuous functions,
Trans. Amer. math. Soc., 68 (1950), 427—438.
Ду-бинс (Dub ins L. Ё.)
1. Generalized random variables, Trans. Amer. math. Soc., 84
(1957), 273—309.
Дурст (Durst L. K.)
1. On certain subsets of finite Boolean algebras, Proc. Amer. math.
Soc., 6 (1955), 695—697.
Дьедоне (Dieudonne J.)
1. Sur le theoreme de Lebesgue— Nikodym, III, Ann. Univ.
Grenoble, Sect. Sci. Math. Phys. (N. S.), 23 (1948), 25—53.
Дэвис C. (Davis C.)
, 1. Modal operators, equivalence relations, and projective algebras,
Amer. J. Math., 76 (1954), 747—762.
Дэвис A. C. (Davis A. C.)
1. A characterization of complete lattices, Pacific J. Math., 5
(1955), 311—319.
Дэй (Day G. W.)
1. Superatomic Boolean algebras, Notices Amer. math. Soc., 8
(1961), 279; 8 (1961), 602.
Дэй и Якуб (Day G. W., Yaqub F. M.)
1. On free а-extensions of Boolean algebras, Notices Amer. math.
Soc., 8 (1961), 255.
Зарицкий M. A.
1. Алгебра Буля с замыканием и алгебра Буля с производной,
Ronoeidi АН Укр. ССР, № 1, 1955, 3—6.
Земмер (Zemmer J. L.)
1. Some remarks on p-rings and their Boolean geometry, Pacific
J. Math., 29 (1956), 193—208.
Зинк (Zink R. E.)
1. On the structure of measure spaces, Acta Math., 107 (1962),
53—71.
Зусман (Sussman I.)
1. A generalization of Boolean rings, Math. Ann., 136 (1958),
326— 	338.
Исбелл и Семадени (Isbell J. R., Semadeni Z.)
1. Projection constants and spaces of continuous functions, Trans.
Amer. math. Soc., 107 (1963), 38—48.
Исеки (Iseki K.)
1. A construction of two-valued measure on Boolean algebra,
3. 	Osaka Inst. Sci. Techn., Part I, 2 (1950), 43—45.
И т о (I t о h M.)
1. On Boolean equation with many known elements and
generalized Por^tzky.’s formula, Univ. Nac. Tucuman Rev., Ser. A
12 (1959), 107—112.

Литература
347
Кавана (К awada Y.)
1. 	Uber die Existenz der invarianten Integrale, Japan. J. Math.,
19 (1949), 81—95.
Какутани (Kakutani S.)
1. Weak topology, bicompact set and the principle of duality,
Proc. Imp. Acad. Japan, 16 (1940), 63—67.
2. Concrete representation of abstract (L)-spaces ant the mean
ergodic theorem, Ann. of Math., 42 (1941), 523—537.
3. Concrete representation of abstract (M)-spaces, Ann. of Math.,
42 (1941), 994—1024.
Калицкий (Kalicki J.)
1. 	On the axioms of Grau’s ternary algebra. Proc. Leeds Phil.
Lit. Soc. Sci. Sect. 6 (1952), 12—13.
Камел (Kamel H.)
1. 	Relational algebra and Uniform spaces. J. London math. Soc.,
29 (1954), 342—344.
Канторович Л. В., Вулих Б. 3. и Пинскер А. Г.
1. Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах,
М.—Л., 1950.
Каппос (Kappos D. А.)
1. Ein Beitrag zur Caratheodoryschen Definition der Ortsfuriktion
in Booleschen Algebren Math. Z., 51 (1949), 616—634.
2. Die Cartesischen Produkte und die Multiplikation von Mafl-
funktionen in Booleschen Algebren, (I) Math. Ann., 120 (1947),
43—74; (II) Math. Ann., 121 (1949), 223—333.
3. Baire and Borel theory for the Caratheodory “Ortsfunktionen",
Bull. Soc. Math. Grece, 25 (1951), 130—152.
4. Erweiterung von Massverbanden, J. reine angew. Math., 191
(1953), 97—109.
5. Strukturtheorie der Wahrscheinlichkeitsfelder und-raume
Berlin—Gottingen—Heidelberg, Springer Verlag, 1960.
Каратеодори (Caratheodory C.)
1. Entwurf fur eine Algebraisierung des Integralbegriffs, S.-B. ba-
yer. Akad. Wiss., 1938, 27—69.
2. Mafitheorie und Integral, Reale Acad. Ital. Atti Convegni, 9
(1939) 	, 195—208.
3. Bemerkungen zum Ergodensatz von G. Birkhoff, S.-B. math,
nat. Abt. bayer. Akad. Wiss, 1944, 189—208.
4. Uber die Differentiation von Mafifunktionen, Math. Z., 46
(1940) 	, 181—189.
Карп (Karp C. R.)
1. A note on the representation of а-complete Boolean algebras,
Proc. Amer. math. Soc., 14 (1963), 705—707.
Каснер (К asner M.)
1. Les algebres cylindriques, Bull. Soc. Math.! France, 86 (1958),
315—319.
Катетов (К a t e t о v M.)
1. Remarks on Boolean algebras, Coll. Math., 2 (1951), 229—235.
2. Measures in fully normal spaces, Fund. Math., 38 (1951),
73—84.

348
Литература
Кейслер (Keisler Н. J.)
1. 	Some applications of the theory of models to set theory;
Logic, Methodology and Philosophy of Science, Proceedings of
the 1960 International Congress, Stanford 1962, 80—86.
Кейслер и Тарский (Keisler H. J., Tarski A.)
1. 	From accessible to inaccessible cardinals. Results holding for
whole accessible cardinal numbers and the problem of their
extension for inaccessible ones, Fund. Math. 53 (1964),
225—308.
Келли (Kelley J. L.)
1. Banach spaces with the extension property, Trans. Amer. math.
Soc., 72 (1952), 323—326.
2. Measures in Boolean algebras, Pacific J. Math., 9 (1959),
1165—1177.
Керстан (Kerstan J.)
1. Tensorielle Erweiterungen distributiver Verbande, Math. Nachr.,
22 (1960), 1—20.
2. Zur topologischen Invarianz der Hausdorffschen Q(a)-Mengen,
Z. math. Logik u. Grundl. Math., 7 (1961), 259—277.
К ё тэ (К 6 t h e G.)
1. Die Theorie der Verbande, ein neuer Versuch zur Grundlegung
der Algebra und der projektiven Geometrie, Jber. Dtsch. Math.
Ver., 47 (1937), 125—144.
К и д и (К е е d у М. L.)
1. On a theorem of Jonsson and Tarski, Portugal. Math., 16
(1957), 11—14.
Киносита (Kinoshita S.)
1. A solution of a problem of R. Sikorski, Fund. Math., 40
(1953), 39—41.
Клейн (Klein F.)
1. Boole-Schrodersche Verbande, Dtsch. Math., 1 (1936), 528—537.
Ковальский (Kowalsky H. J.)
1. Distributivitat in atomaren Booleschen Verbanden, Arch Math.,
6 (1954), 9—12.
КолмогоровА. H.
1. Griindbegriffe der Wahrschemlichkeitsrechnung, Berlin, 1933.
2. Algebres de Boole metriques completes, VI Zjazd Matematykow
Polskich 1948, Appendix to Ann. Soc. Pol. Math., 20 (1948),
21—30.
Константинеску (Constantinescu P.)
1. Sur la classification des fonctions booleennes symetriques,
Acad. R. P, Romine. Stud., Cere Mat., 11 (1960), 193—206
(Rumanian).
Копланд ст. (Copeland A. H. sr.)
1. Implicative Boolean algebra, Math. Z., 53 (1950), 285 290.
2 Note on cylindric algebras and polyadic algebras, Michigan
math. J., 3 (1955—1956), 155—157.
Копланд ст. и Харари (Copeland A. H., H ar ary F.)
1 A characterization of implicative Boolean rings, Canad. J.
' math. 5 (1953), 465-469. .
2. The extension of an arbitrary Boolean algebra to an implica-

Литература
349
tive Boolean algebra, Proc. Amer. math. Soc.. 4 П9531
751—758. h
Крикберг (Krickeberg Kl.)
1. Extreme Derivierte von Zellenfunktionen in Booleschen a-Al-
gebren und ihre Integration, Bayer. Akad. Wiss., mat -nat
Kl. 1955, 217—279.
2. Convergence of martingales with a directed index set, Trans.
Amer. math. Soc., 83 (1956), 313—337.
3. Stochastische Konvergenz von Semimartingalen, Math. Z., 66
(1957), 470—486.
4. Stochastische Derivierte, Math. Nachr., 18 (1958), 203—217.
Кроули (Crawley P.)
1. 	Lattices whose congruences form a Boolean algebra, Pacific
J. Math., 10 (1960), 787—795.
Круазо (Croisot R.)
1. Axiomatique des lattices distributives, Canad. J. Math., 3
(1951), 24—27.
Кун к ль (Cunkle С. H.)
1. A note on Boolean operations. Portugal. Math., 18 (1959),
177—179.
Куратовский (Kuratowski C.)
1. Sur ГорёгаЪ'оп A de Г Analysis situs, Fund. Math., 3 (1922),
181—199.
2. Quelques problemes concernant les espaces metriques non-sepa-
rables, Fund. Math., 25 (1935), 534—535.
3. Topologie I (second edition), Warszawa — Wroclaw, 1948.
4. Topologie II, Warszawa — Wroclaw, 1950.
Куратовский и Позамент (Kuratowski C. etPosa-
m e. nt T.)
1. Sur l’isomorphie algebro-logique et les ensembles relativement
boreliens, Fund. Math., 22 (1934), 281—286.
Курош А. Г., Лившиц A. X., Шульгейфер E. Г.
1. Основы теории категорий, УМН, XV, 6 (1960), 3—52.
Куэста (Cuesta N.)
1. On an article of MacNeille, Rev. Mat. Hisp.-Am., 18 (1958),
3—9.
Лаббе (L’Abbe M.)
1. Structures algebriques suggerees par la logique mathematique,
Bull. Soc. Math. France, 86 (1958), 299—314.
Л а л а н (L a 1 a n V.)
1. Definition de deux structures d’anneaux dans une algebre de
Boole, C. R. Acad. Sci., 223 (1946), 1086—1087.
2. Equations fonctionelles dans un anneau booleien, C. R. Acad.
Sci., 230 (1950), 603—605.
Ламперти (Lam pert i J.)
1. A note on autometrized Boolean algebras, Amer. Math.
Monthly, 64 (1957), 188—189.
Лебланк (Leblanc L.) /inrm
1. Dualite pour egalites booliennes, C. R. Acad. Set., 250 (I960),
3552—3553.

350
Литература
2. Les algebres boolennes topologiques bornees, C. R. Acad. Sci..
250 (1960), 3766—3768.
3. Les algebres de transformation, C. R. Acad. Sci., 250 (1960),
3928—3930.
4. Representation des algebres polyadiques pour anrieau, C. R.
Acad. Sci., 250 (1960), 4092—4094.
5. Nonhomogenous polyadic algebras, Proc. Amer. math. Soc.,
13 (1962), 59—65.
6. Duality for Boolean equalities, Proc. Amer. math. Soc., 13
(1962), 74—79.
Л ё в и г (L о w i g H.)
1. On transitive Boolean relations, Czechoslovak math. J., 1
(1951), 199—201.
2. Instrisic topology and completion of Boolean rings, Ann. of
Math., 42 (1941), 1138—1196.
Лейхли (Lauchli H.)
1. 	The independence of the ordering principle from a restricted
axiom of choise, Fund. Math., 54, № 1 (1964), 31—43.
Ливенсон E.M.
1. 	On the realization of Boolean algebras by algebras of sets,
Mam. сб., 7 (1940), 309—312.
Линдон (Lyndon R. C.)
1. The representation of relational algebras, (I) Ann. of Math.,
51 (1950), 707—709; (II) Ann. of Math., 63 (1956),
294—307.
2. Relation algebras and projective geometries, Michigan Math.
J., 8 (1961), 21—28.
Лось (bos J.)
1. Sur le theoreme de Godel pour les theories indenombrables,
Bull. Acad. Polon. Sci., Cl. Ill, 2 (1954), 319—320.
2. On the axiomatic treatment of probability, Coll. Math., 3
(1955) 	, 125—137.
3. Remarks on Henkin’s paper: Bolean representation through
• propositional calculus, Fund. Math., 44 (1957), 82—83.
4. О ciaJach zdarzen i ich definicji w aksjomatycznej teorii praw-
dopodobienstwa (On fields of events and their definition in the
axiomatic Theory of Probability), Studia Logica, 9 (1960),
95—115 (Polish; English summary 125—132).
5. Quelques remarques, theoremes et problemes sur les classes
definissables d’algebres. Mathematical Interpretatation of
Formal Systems, Amsterdam 1955, p. 98.
6. Remarks on foundations of probability. Semantic interpretation
of the probability of formulas, Proc. Internat. Congress Math.
1962, 225—229.
Лось и Марчевский (Los J., Marczewski E.)
1. Extensions of measure, Fund. Math., 36 (1949), 267—276.
Лось, Мостовский и P а с ё в a (Los J., Mostowski A.,
R a s i о w a H.)
1. A proof of Herbrand’s theorem, J. Math. Pur. Appl., 35
(1956) 	, 19—24.

Литература
351
2. 	Addition au travail “A proof of Herbrand’s theorem", /. Math.
Рыг. Appl., 40 (1961), 129—134.
Лось и Рыл ь-Н ардзевский (Los J., Ryll-Nard-
zewski C.)
1. Effectiveness of the representation theory for Boolean algebras,
Fund Math., 41 (1954), 49—56.
2. On the application of Tychonoff’s theorem in mathematical
proofs, Fund. Math., 38 (1951), 233—237.
Лумис (Loomis L. H.)
1. 	On the representation of а-complete Boolean algebras, Bull.
Amer. math. Soc., 53 (1947), 757—760.
Любченко Г. Г.
1. Представление булевских функций формулами, Monoeidi АН
УРСР, No 8, 1960, 1011 — 1015.
2. Логический синтез схем устройств, реализующих булевские
функции одного класса, Monoeidi АН УРСР № 10, I960,.
1331 — 1333.
Люксембург (Luxemburg W. A. J.)
1. Non-standard analysis, California Institute of Technology,
Pasadena, 1962.
2. Two applications of the Method of Construction by Ultrapowers
to Analysis, Bull. Amer. math. Soc., 68 (1962), 416—419.
3. A remark on Sikorski’s extension theorem for homomorphisms
in the theory of Boolean algebras, Fund. Math., 55, № 3 (1964),
239—247.
M a e д a (M a e d a F.)
1. Ideals in a Boolean algebra- with transfinite chain condition,
J. Sci, Hiroshima Univ., A 10 (1940), 7—36.
2. Partially ordered linear spaces, J. Sci. Hiroshima Univ., A 10
(1940), 137—150.
Мазур (Mazur S.)
1. On continuous mappings on Cartesian products, Fund. Math.
39 (1952), 229—238.
Мазуркевич (Mazurkiewicz S.)
1. Podstawy rachunku prawdopodobieristwa (Foundation of the
calculus of probability), prepared for print from the late author’s
manuscript by J. Los, Warszawa, 1956 (Polish).
Мазуркевич и Серпинский (Mazurkiewicz S. et
S i e r p i n s k i W.)
1. Contribution a la topologie des ensembles d£nombrables, Fund.
Math., 1 (1920), 17—27.
Маккарти (McCarthy C. A.).
1. Commuting Boolean algebras of projections, Pacific J. Math.,
2 (1961), 295—307.
Макки (Mackey G. W.)
1. Point realizations of transformation groups, III.. J. Math., 6
(1962), 327—335.
Маккинси (McKinsey J.C.C.)
1. Boolean functions and points, Duke math. J2 (1936), 465—471.
2. On Boolean functions of many variables, Trans. Amer. math.
Soc., 40 (1936), 343—362.

352
Литература
3. A condition that a first Boolean function vanish whenever
a second does not, Bull. Amer. Mat. Soc., 43 (1937), 694 — 696.
4. A solution of the decision problem for the Lewis system S2 and
S4 with an application to topology, J. Symb. Logic, 4 (1939),
115—158.
5. On the representation of projective algebras, Amer. J. Math.,
70 (1948), 375—384.
Маккинси и Тарский (McKinsey J.C.C., Tarski A.)
1. The algebra of topology, Ann. of Math., 45 (1944), 141—191.
2. On closed elements in closure algebras, Ann. of Mat:, 47 (1946),
122—162.
3. Some theorems about the sentential calculi of Lewis and Hey-
ting, J. Symb. Logic, 13 (1948), 1—15.
Маккой (McCoy N. H.)
1. 	Subrings of direct sums, Amer. J. Math., 60 (1938),
374—382.
Маккой и Монтгомери (McCoy N. H., Montgomery)
1. 	A representation of generalized Boolean rings, Duke math. J.,
3 (1937), 455—459.
Макнейл (MacNeille H.)
1. Partially ordered sets, Trans. Amer. math. Soc., 42 (1937),
416—460.
2. Extension of a distributive lattice to a Boolean ring, Bull. Amer.
math. Soc., 45 (1939), 452—455.
Марков A. A.
I. Об инверсионной сложности систем функций, ДАН СССР,
116, № 6 (1957), 917—919.
Map4eBCKHft(Marczewski Е. (Szpilraj п)).
1. Remarques sur les fonctions completement additives d’ensemble
et sur les ensembles jouissant de la propriete de Baire, Fund.
Math., 22 (1934), 303—311.
2. The characteristic function of a sequence of sets and some of
its applications, Fund. Math., 31 (1938), 207—223.
3. On the isomorphism and the equivalence of classes and
sequences of sets, Fund. Math., 32 (1939), 133—148.
4. Mesures dans les corps de Boole, Ann. Soc. Pol. Math., 19
(1946), 243—244.
5. Independance d’ensembles et prolongement de mesures, Coll.
Math., 1 (1948), 122—132.
6. Ensembles independants, et leurs applications a la theorie
de la mesure, Fund. Math., 35 (1948), 1—28.
7. Concerning the symmetric difference in the theory of sets and
in Boolean algebras, Coll, Math., 1 (1948), 199—202.
8. Measures in almost independent fields, Fund. Math., 38 (1951),
217—229.
9. S£parabilite et multiplication cartesienne des espaces topo-
logiques, Fund. Math., 34 (1947), 127—143.
10. 	Sur l’equivalence des suites d’ensembles et l’equivalence des
fonctions, Fund. Math., 26 (1936), 302—326.
II. On the equivalence of some classes of sets, Fund. Math.
30 (1938), 235—241.

Литература 353
12. Sur les mesures a deux valeurs et les ideaux premiers dans les
corps d’ensembles, Ann. Soc. Pol. Math., 19 (1947), 232—233.
13. Two-valued measures and prime ideals in fields of sets,
Compt. rend. Soc. Sci. Lett. Varsovie, Cl. Ill (1947), 11—17.
14. Ensembles independants et mesures non-separables, C. R. Acad.
Sci., 207 (1938), 768—770.
15. Sur les ensembles et les fonctions absolument mesurables.
Compt. rend. Soc. Sci. Lett. Varsovie, Cl. Ill, 30 (1937), 1—30
(Polish).
16. Independence in algebras of sets and Boolean algebras, Fund.
Math., 48 (1959/60), 135—145.
Марчевский и Серпинский (Marczewski E., Sier-
p i n s k i W.)
1. Remarque sur le probleme de la mesure, Fund. Math., 26
(1936), 256—261.
Марчевский и Сикорский (Marczewski E., Sikor-
s k i R.)
1. Measures in non-separable metric spaces, Coll. Math., 1 (1948),
133—139.
2. Remarks on measures and category, Coll. Math., 2 (1949), 13—19.
3. On isomorphism types of measure algebras, Fund. Math,, 38
(1951), 92—98.
Марчевский и Трачик (Marczewski E., Traczyk T.)
1. On developable sets and almost-limit points, Coll. Math., 8
(1961), 55—56.
Маттес (Matthes K.)
1. Uber eine Schar von Regularitatsbedingungen fur Verbande,
Math. Nachr., 22 (1960), 93—128.
2. Uber die Ausdehnung von &-Homomorphismen Boolescher Al-
gebren, Z. math. Logik u. Grundl. Math., 6 (1960), 97—105
(II), 7 (1961), 16—19.
Махарам (Maharam D.)
1. On homogeneous measure algebras, Proc. nat. Acad. Sci. (Wash.),
28 (1942), 108—111.
2. An algebraic characterization of measure algebras, Ann of Math.,
48 (1947), 154—167.
3. Set functions and Souslin’s hypothesis, Bull. Amer. math. Soc.t
54 (1948), 587—590.
4. The representation of abstract measure functions, Trans. Amer.
math. Soc., 65 (1949), 279—330.
5. Decomposition of measure algebras and spaces, Trans. Amer.
math. Soc., 69 (1950), 142—160.
6. The representation of abstract integrals, Trans. Amer. math.
Soc., 75 (1953), 154—184.
7. Automorphisms of product of measure spaces, Proc. Amer.
math. Soc., 9 (1958), 702—707.
8. On a theorem of von Neumann, Proc. Amer. math. Soc., 9
(1968), 987—994. . x „
9. Homogenous extensions of positive linear operators, 1 rans.
Amer. math. Soc., 99 (1961), 62—82.

354
Литература
Мацусита (Matsushita S.)
1. 	The algebra of topological operations, I. Math. Jap., 1 (1948),
28—35; II. J. Osaka Inst. Sci. Techn., Part I, 1 (1949), 77—80.
Мейер и Пирсе (Mayer R. D., Pierce R. S.)
1. Boolean algebras with ordered bases, Pacific J. Math., 10(1960),
qop; Q49
Ми б у (MibuY.)
1. Relations between measures and topology in some Boolean
spaces., Proc. Imp. Acad. Tokyo, 20 (1944), 454—458.
Миллер (Miller D. G.)
1. Postulates for Boolean algebras, Amer. Math. Monthly, 59
(1952), 93—96.
Михеев В. M.
1. О множествах, содержащих наибольшее число попарно
несравнимых булевых векторов. Проблемы кибернетики, вып. 2, 1959,
69—72.
Мичиура (Michiura Т.)
1. On characteristic properties of Boolean algebras, J. Osaka
Inst. Sci. Tech., Part I, 1 (1949), 129—133.
Mo и сил (Moisil G. C.)
1. Sur les anneaux de caracteristique 2 ou 3 et leurs applications,
Bull. Ecole Polytech. Bucurest, 12 (1941), 66—90.
2. Sur l’algebre des relations binaires (I), Com, Acad. R. P. Romine,
8 (1958), 1251—1254.
Монк (Monk D.)
1. On the representation theory for cylindric algebras, Pacific J.
Math., 11 (1961) 1447—1457.
Монтгомери (Montgomery D.)
1. Non-separable metric spaces, Fund. Math., 25 (1935), 527—533.
Монтегю и Тарский (Montague R., Tarski J.)
1. On Bernstein’s self dual set of postulates for Boolean algebras,
Proc. Amer. math. Soc., 5 (1954), 310—311.
Монтейро (MonteiroA.)
1. Propriedades caracteristicas de los filtros de un algebra de Boole
(Characteristic properties of the filters of a Boolean algebra),
Acta Guyana Ingen., 1, № 5 (1954) (Spanish).
2. L’arithmetique des filtres et les espaces topologiques. De
Segundo Symposium de Matematicas, Buenos Aires, 1954.
Монтейро и Рибейро (Monteiro A., Ribeiro H.)
1. L’operation de fermeture et ses invariants dans les systemes
partiellement ordonnes, Portugal. Math., 3 (1942), 171 —184.
Мори (Mori S.)
1. Prime ideals in Boolean rings, J. Sci. Hiroshima Univ., A 9
(1939), 67—71.
2. On the group structure of Boolean lattices, Proc. Japan Acad.,
32 (1956), 423—425.
Мостовский (Mostowski A.)
1. Abzahlbare Boolesche Korper und ihre Anwendungen auf die
allgemeine Metamathematik, Fund. Math., 29 (1937), 34—53.
2. Uber die unabhangigkeit des Wohlordnungssatzes vom Ordnungs-
prinzip, Fund. Math., 32 (1939), 201—252.

Литература
Збб
3. 	Proofs of nordeducibility in intuitionistic functional calculus,
3. 	Symp. Logic, 13 (1948), 204—207.
Мостовский, Тарский (Mostowski A., Tarski A.)
1. 	Boolesche Ringe mit geordneter Basis, Fund. Math., 32
(1939), 69—86.
Мрувка (Mrowka S.)
1. On the ideal’s extension theorem and its equivalence to the
axiom of choice, Fund. Math., 43 (1956), 46—49.
2. Two remarks to my paper: „On the ideal’s extension theorem
and its equivalence to the axiom of choice", Fund. Math., 46
(1958), 165—166.
Накано (Nakano H.)
1. Uber das System aller stetigen Funktionen auf einem topo-
logischen Raume, Proc. Imp. Acad. Tokyo, 17 (1941), 308—310.
Начбин (Nachbin L.)
1. Une propriete caracteristique des algebres booleiennes, Рог»
tugal. Math., 6 (1947), 115—188.
2. On a characterization of the lattice of all ideals of a Boolean
ring, Fund. Math., 36 (1949), 137—142.
3. A theorem of the Hahn-Banach type for linear transformations,
Trans. Amer. math. Soc., 68 (1950), 28—46.
фон Нейман (Neumann J. von)
1. Einige Satze uber messbare Abbildungen, Ann. of Math., 33
(1932), 574—586.
2. Lectures on continuous geometry, Princeton, 1937.
фон Нейман и Стоун (Neuman J., von Stone M. H.)
1. The determination of representative elements in the residual
classes of a Boolean algebra, Fund. Math., 25 (1935), 353—376.
Нёбелинг (N6 be ling G.)
1. Topologie der Vereine und Verbande, Arch. Mat., 1 (1949),
154—159.
2. Grundlagen der analytischen Topologie, Berlin-Gottingen-Heidel-
berg, 1954.
Никодим (Nikodym O.)
1. Sur une generalisation des integrates de M. J. Radon, Fund.
Math., 15 (1930), 131 — 179.
2. Sur la mesure vectorielle parfaitement additive dans un corps
abstrait de Boole, Acad. roy. Belg. Cl. Sci. Mem., 17 (1938),
1—40.
3. Sur les etres fonctionnoides, C. R. Acad. Sci., 226 (1948),
375—377, 458—460, 541—543.
4. Tribus de Boole et fonctions mesurables, C. R. Acad. Sci. 228
(1949), 37—38, 150—151.'
5. Remarks on the Lebesgue’s measure extension device ior
finitely additive Boolean lattices, Proc. nat. Acad. Sci. (Wash.),
37 (1951), 533—537. .
6. Critical remarks on some basic notions in Boolean lattices,
(I) Ann. Acad. Brasil. Ci., 24 (1952), 113-136; (II) Rend.
Sem. Mat. d'Univ. Padova, 27 (1957), 193—217.
7. Sur l’extension d’une mesure non Archimedienne sur une triou

366
Литература
de Boole simplement additive, a une autre tribu plus extendue.
C. R. Acad. Sci., 241 (1955), 1439-1440, 1544-1545, 1695—
1696; 242 (1956), 864—866.
8. On extension of a given finitely additive field-valued
nonnegative measure on a finitely additive Boolean tribe to
another tribe more ample, Rend. Sem. Mat. Univ. de Padova,
26 (1956), 232—327.
9. Sur le mesure nonarchimedienne affective sur une tribu de
Boole arbitraire, C. R. Acad. Sci., 251 (1960), 2113—2115.
Новак (Novak J.)
1. 	On the Cartesian product of two compact spaces, Fund. Math.,
40 (1953), 106—112.
Новак и Новотный (Novak J. and M. Novotny)
1. On the convergence in a-algebras of point-sets, Czechoslovack.
Mat. Z., 3 (1953), 291—296.
H о л и н (N о 1 i n L.)
1. Sur les classes d’algebres equationnelles et les theoremes de
representation, C. R. Acad. Sci., 244 (1957), 1862—1863.
2. Algebres de Boole et calcul des propositions, C. R. Acad.
Sci., 244 (1957), 1999—2002.
Огасавара (Ogasawara T.)
1. Compact metric Boolean algebras and vector lattices, J. Sci.
Hiroshima Univ., Ser. A, 11 (1942), 125—128.
Окстоби и Улам (О x t о b у J. C., Ulam S.)
1. On the equivalence of any set of first category to a set of
measure zero, Fund. Math., 31 (1938), 201—206.
Олмстед (Olmsted J. M. H.)
1. Lebesgue theory on a Boolean algebra, Trans. Amer. math.
Soc., 51 (1942), 164—193.
Оницеску (Onicescu O.)
1. Notes sur les fr-algebres, An. Univ. „С. I. Parhon(t Bucuresti,
Ser. $ti Nat., 22 (1959), 17—22; Rev. Math, pures Appl., 4
(1959), 345—350.
Панкаям (Panka jam S.)
1. On symmetric functions of n elements in a Boolean algebra,
J. Indian Math. Soc., N. s., 2 (1937), 198—210.
2. On symmetric functions of m symmetric functions in a Boolean
algebra, Proc. Indian Acad. Sci., Sect. A, 9 (1939), 95—102.
3. Ideal theory in Boolean algebra and its application to deductive
systems, Proc. Indian Acad. Sci., Sect. A, 14 (1941), 670—684.
Паук (Раис Ch.)
1. Construction de mesures. C. R. Acad. Sci., 222 (1946), 123—125.
2. Complements a la representation ensembliste d’une algebre et
d’une a-algebre booleennes, C. R. Acad. Sci., 225 (1947), 219—221.
3. Darstellungs- und Struktursatze fur Boolesche Verbande und
a-Verbande, Arch. Math., 1 (1948), 29—41.
4. Les theoremes fort et faible de Vitali et les conditions
d’evanescence de halos, C R. Acad. Sci., 232 (1951), 1727—1729.
Пелчинскийи CeMaAeHH(Pe4czynskiA.,Semadeni Z.)
1. Spaces of continuous functions (III) (Spaces C (Q) for (Q
without perfect subsets), Studia Math., 18 (1959), 211—222.

Литература
357
Пенн инг (Penning Gh. J.)
1. Boolean metric spaces, doctoral dissertation, Technische Ho-
geschool te Delft, 1960.
Переманс (PeremansW.)
1. Embedding of a distributive lattice into a Boolean algebra,
Ind. Math., 19 (1957), 73-81.
Петтис (Pettis B. J.)
1. On the extension of measures, Ann. of Math., 54 (1951),
186-197.
Пирс (Pierce R. S.)
1. The Boolean algebra of regular open sets, Canad. J. Math.,
5 (1953), 95—100.
2. Representation theorems for certain Boolean algebras, Proc.
Amer. Math. Soc , 10 (1959), 42—50.
3. Distributivity in Boolean algebras, Pacific J. Math., 7 (1957),
983—992.
4. A note on complete Boolean algebras, Proc. Amer. Math. Soc.,
9 (1958), 892—896.
5. A generalization of atomic Boolean algebras, Pacific J. Math.,
9 (1959), 175—182.
6. Distributivity and the normal completion of Boolean algebras,
Pacific J. Math., 8 (1958), 133—140.
7. Some questions about complete Boolean algebras, Proc. Symp.
pure Math., v. 2 (1961), 129—140.
8. A note on free algebras, Proc. Amer. Math. Soc., 14 (1963),
845—846.
Поваров Г. H.
1. О функциональной сепарабельности булевых функций, ДАН
СССР, 94 (1954), 801—803.
2. Sur l’invariance des fonctions booleiennes par rapport a des
groupes, An St. Univ. „А1. /. Cuza“ Iasi, Sect. I (N. S.), 4
(1958), 39—44.
Поме и Русла (Pome R., Ruspa G.)
1. Un teorema di algebra logica, Atti accad. sci. Torino Classe
sci fis. mat. e nat., 95 (1960/61), 336—342
Поспишил (Pospisil B.)
1. Von den Verteilungen auf Booleschen Ringen, Math. Ann.,
118 (1941), 32—40.
2. Eine Bemerkung liber stetige Verteilungen, Cas. mat. fys., 70
(1941), 68—72.
3. Wesentliche Primideale in vollstandigen Ringen, Fund. Math.,
33 (1945), 66—74.
4. Uber die mefibaren Funktionen, Math. Ann., 117 (1939—1941),
327—355.
5. Remark on bicompact spaces, Ann. of Math.., 38 (1937),
845—846.
6. On bicompact spaces, Publ Faculte Sci. Univ. Masaryk, 270
(1939), 11—16.
Райт (Wright F. B.)
1. Ideals in a polyadic algebra, Proc. Amer. math. Soc., 8 (1957),
544—546.

358
Литература
2. Some remarks on Boolean duality, Portugal. Math., 16 (1957),
109—117.
3. Recurrence theorems and operators on Boolean algebras, Proc.
London Math Soc., 11 (1961), 385—401.
4. Polarity and duality, Pacific J. Math., 10 (1960), 723—730.
Расёва (Rasiowa H.)
1. Algebraic treatment of the functional calculi of Heyting and
Lewis, Fund Math., 38 (1951), 99-126.
2. A proof of the compactness theorem for arithmetical classes,
Fund. Math., 39 (1952), 8—14.
3. Construktive theories, Bull Acad. Polon. Sci., Cl. Ill, 2 (1954),
121—124.
4. Algebraic models of axiomatic theories, Fund. Math., 41 (1955),
291 ЗЮ.
5. A proof of e-theorems, Bull. Acad. Pol.Sci., 3 (1955), 299—302.
6. On the e-theorems, Fund. Math., 43 (1956), 156—165; Errata:
Fund. Math., 44 (1957), 333.
Расёва и Сикорский (Rasiowa H., Sikorski R.)
1. A proof of the completeness theorem of Gode!, Fund. Math.,
37 (1950) 193-200.
2. A proof of the Skolem-Lowenheim theorem, Fund. Math., 38
(1951), 230-232.
3. On satisfiability and decidability in nonclassical functional
calculi, Bull. Acad. Pol. Sci., Cl. Ill, 1 (1953), 229-231.
4. Algebraic treatment of the notion of satisfiability, Fund. Math.,
40 (1953), 62—95.
5. On existential theorems in non-classical functional calculi,
Fund. Math., 41 (1954), 21—28.
6. An application of lattices to logic, Fund. Math., 42 (1955),
83-100.
7. On the isomorphism of Lindenbaum algebras with fields of sets,
Coll. Math., 5 (1958), 143-158.
8. Formalisierte intuitionistische elementare Theorien. Xonstructi-
vity in Mathematics, Proc. Colloquium at Amsterdam 1957,
Amsterdam 1959, 241—249.
9. The Mathematics of Metamathematics, Monografien Matematy-
czne, Warszawa, 1963.
Рейнватер (Rainwater J.)
1. 	A note on projective resolutions. Proc. Amer. math. Soc. 10
(1959), 734—735.
Рейхбах (R e i c h b a c h J.)
1. 	Completeness of the functional calculus of first order. Studia
Log., 2, 229-250 (1955).
Рибейро (Ribeiro H.)
1. A remark on Boolean algebras with operators, Amer. J. Math.,
74 (1952), 163—167.
2. Topological groups and Boolean algebras with operators, Univ
Lisboa Rev. Fac. Ci. A. 4 (1955), 195—200.
Ривкинд Я. И.
1. Плотные подструктуры нормированных булевых алгебр, Ун.
вап. Гродненского пед. ин-та, 1, 59—66 (1955).

359
Литература
2. Вещественные функции на булевых алгебрах с мерой, Уч зап.
Гродненского пед. ин-та, 2, 89—101 (1957).
Ригер (Rieger L.)
1. 	On the lattice theory of Brouwerian propositional logic, Acta
Гас. Nat. Univ. Carol. Prague, № 2, 189 (194b).
2 A note on topological representations of distributive lattices,
Casopis pest. mat. fys., 74 (1949), 51—61.
3. On the lattice theory of Brouwerian propositional logic Spisy
vyd. prirod. fak. Univ. Karlovy, 189 (1949), 1—40.
4. On countable generalised o-algebras, with a new proof of
Godel’s completeness theorem, Czech, math. J., 1 (1951),
29-40.
5. On free t-complete Boolean algebras Fund. Math., 38 (1951),
35—52.
6. Some remarks on automorphisms of Boolean algebras, Fund.
Math., 38 (1951), 209-216.
7. On a fundamental theorem of mathematical logic, Casopis pest
mat., 80 (1955), 217-231.
8. Об алгебрах Суслина и их представлениях, Czech. Math. J.,
5 (1955), 99—142.
9. Заметки о так называемых свободных алгебрах с замыканием,
Czech. Math. J.,7 (1957), 16—20.
Р и д д е р (R i d d е г J.)
1. Zur Maft-und Integrationstheorie in Strukturen, Ind. Math., 8
(1946), 64—81.
2. Einige Anwendungen des Dualitatsprinzips in topologischen
Strukturen, Ind. Math., 9 (1947), 341—350.
3. Eine Bemerkung iiber Mafi in Strukturen, Ind. Math., 9 (1947),
315—319.
Роуз (Rose A.)
1. A lattice-theoretic characterization of three-valued logic,
J. London Math. Soc., 25 (1950), 255—259.
Рубин (Rubin J. E.)
1. Remarks about a closure algebra in which closed elements are
open, Proc. Amer. math. Soc., 7 (1956), 30—34.
Рубин и Скотт (Rubin J. E., Scott D.)
1. Some topological theorems equivalent to the Boolean prime
ideal theorem, Bull. Amer. math. Soc., 60 (1954), 389.
Рудеану (Rudeanu S.)
1. Boolean equations and their applications to the study of drid-
gecircuits, (I) Bull. Math. Soc. Math. Phys. R.P.R. 3 (1959),
447-473; (II), Communic. Acad. R.P.R., 6 (1961), 611-618
(Rumanian).
2. On definition of Boolean algebras by means of binary operations.
Rev. Math. pur. Appl., 6 (1961), 171—183 (Rumanian).,
Рудин (Rudin W.)
1. Continuous functions on compact sets without perfect subsets,
Proc. Amer. Math. Soc., 8 (1957), 39—42.
2. Homogeneity problems in the theory of Cech compactification,
Duke Math. J., 23 (1956), 409—419.

360
Литература
Рупрехт (Ruprecht Е.)
1. 	Uber die Charakterisierung normaler und vollstandig regularer
topologischer Boole-Verbande mit Hilfe quasis-tetiger Ortsfun-
ktionen, Math. Nachr., 13 (1955), 289—308.
Сага лович Ю Л.
1. О групповой инвариантности булевых функций. УМН, 14,
вып. 6 (1959), 191 — 195.
С а к с (S a k s S.)
1. On some functionals, Trans. Amer. math. Soc., 35 (1933),
549—556; addition, 965—970.
Cac (Szasz G.)
1. Bevezetes a haleolmeletbe (Introduction to lattice theory),
Budapest, 1959.
C a x c (Sachs S.)
1. The lattice of subalgebras of a Boolean algebra, Canad.
J Math., 14, 451-460.
Сегал (Segal I. E.)
1. Abstract probability spaces and a theorem of Kolmogoroff,
Amer. J. Math., 76, 721—732.
Семадени (Semadeni Z.)
1. Sur les ensembles clairsemes, Rozprawy Matematyczne, 19
(1939), 1-39.
2. Functions with sets of points of discontinuity belonging to a
fixed ideal, Fund Math., 52 (1963), 25—39.
3. Spaces of continuous functions (VI) (Localization of
multiplicative linear functionals), Studia Math., 23 (1963) 51—84.
4. Free and direct objects, Bull. Amer. math. Soc., 69 (1963),
63-66.
5. Projectivity, injectivity and duality, Rozprawy Matematyczne,
35 (1963), 1-47.
6. On weak convergence of measures and а-complete Boolean
algebras, Coll. Math., 12, № 2 (1964), 229—233.
Серпинский (Sierpinski W.)
1. Fonctions additives non complements additives et fonctions
non mesurables, Fund. Math., 30 (1938), 96—99.
2. Hypothese du continu, Warszawa-Lwow, 1934.
3. Sur les ensembles presque contenus les uns dans les autres,
Fund. Math., 35 (1948), 141 — 150.
4. Sur les projections des ensembles complementaires aux
ensembles (A), Fund. Math., 11 (1928), 117—120.
5. Sur une suite transfinie d’ensembles de nombres naturals, Fund.
Math., 33 (1945), 9—11.
6. Sur la dualite entre la premiere categorie et la mesure nulle,
Fund. Math., 22 (1934), 276—280.
Сикорский (Sikorski R.)
1. A generalization of theorem of Banach and Cantor-Bernstein,
Coll. Math., 1 (1948), 140—144.
2. Sur les corps de Boole topologiques. C. R. Acad. Sci, 226
(1948), 1675-1676.
3. Sur la convergence des suites d’homomorphies, C. R. Acad.
Sci., 226 (1948), 1792-1793.

Литература
361
4. 	On the representation of Boolean algebras as fields of sets
Fund. Math., 35 (1948), 247—256.
6. 	A theorem on extension of homoinorphisms, Ann. Soc. Pol,
Math., 21 (1948), 332—335.
6. On the inducting of homomorphisms by mappings, Fund, Math
36 (1949), 7—22.
7. Closure algebras, Fund. Math., 36 (1949), 165—206.
8. A theorem on the structure of homomorphisms, Fund. Math.,
36 (1949), 245-247.
9. The integral in a Boolean algebra, Coll. Math., 2 (1949). 20—26.
10. On an unsolved problem from the theory of Boolean algebras.
Coll Math., 2 (1949), 27—29.
11. Independent fields and Cartesian products, Studia Math., 11
(1950), 171-184.
12. Remarks on some topological spaces of high power, Fund.
Math., 37 (1950), 125-136.
13. Cartesian products of Boolean algebras, Fund. Math., 37
(1950), 25-54.
14. On an analogy between measures and homomorphisms, Ann.
Soc. Pol. Math., 23 (1950), 1—20.
15. On measures in Cartesian products of Boolean algebras, Coll.
Math., 2 (1951). 124—129.
16. Dimension theory in closure algebras, Fund. Math., 38 (1951),
153-166.
17. A note to Ringer’s paper: On free tff-complete Boolean
algebras, Fund. Math., 38 (1951), 53—54,"
18. Homomorphisms, mappings and retracts, Coll. Math., 2 (1951),
202-211.
19. Products of abstract algebras, Fund. Math., 39 (1952),
211—228.
20. Closure homomorphisms and interior mappings, Fund. Math.,
41 (1954), 12—20.
21. On а-complete Boolean algebras, Bull. Acad. Pol. Sci., Cl.
Ill, 3 (1955), 7-9. О a-полных булевых алгебрах.
22. A theorem on non-classical functional calculi, Bull. Acad.
Pol. Sci., Cl III, 4 (1956), 649-650.
23. On the Herbrand theorem, Coll. Math., 6 (1958), 55—59.
24. Some applications of interior mapping, Fund. Math., 45,
(1958), 200-212.
25. E>istributivity and representability, Fund. Math., 48 (1959),
105-117.
26. Der Heytingsche Pradikat-enkalkul und metrische Raume.
Constructivity in Mathematics, Proc. Coll. Amsterdam, 1957,
250—253.
27. Representation and distributivity of Boolean algebras, Coll.
Math., 8 (1961), 1 — 13.
28. A topological characterization of open theories, Bull. Acad.
Pol. Sci., 9 (1961), 259-260.
29. On open theories, Coll. Math., 9 (1962), 171 — 182.
30. On representations of Lindenbaum algebras, Prace Matema-
tyczne, 7 (1962), 97—105.

362
Литература
31. On dense subsets of Boolean algebras, Coll. Math., 10 (1963),
189-192.
32. On extensions and products of Boolean algebras, Fund. Math.,
53 (1963), 99—116.
33. A few problems on Boolean algebras, Coll. Math., 11 (1963),
25—28
Сикорский и Трачик (S i k о r s k i R., TraczykT.)
1. On some Boolean algebras. Bull. Acad. Pol. Sci. Cl. Ill,
4 (1956), 489—492. О некоторых булевых алгебрах.
2. On free products of а-distributive Boolean algebras, Coll.
Math., 11 (1963), 13—16.
Скотт (Scott D.)
1. The independence of certain distributive laws in Boolean
algebras, Trans. Amer. math. Soc., 84 (1957), 258—261.
2. Prime ideal theorems for rings, lattices and Boolean algebras,
Bull. Amer. math. Soc., 60 (1954), 390.
3. A new characterization of a-representable Boolean algebras.
Bull. Am. Soc., 61 (1955), 522—523.
4. Measurable cardinals and constructible sets, Bull. Acad. Pol.
Sci, 9 (1961), 521—524.
Скотт и Тарский (Scott D., Tarski A.)
1. The sentential calculus with infinitely long expressions, Coll.
Math., 6 (1958), 165-170.
Словиковский и Завадовский (Slowikowski W.,
Z aw a d о w s ki W.)
1. A generalization of maximal ideals method of Stone and Gel-
fand, Fund. Math., 42 (1955), 215—231.
Смит мл. (Smith E. C. jr.)
1. A distributivity condition for Boolean algebras, Ann. of Math.,
64 (1956), 551—561.
Смит мл. и T a p с к и й (Smith Е. С. jr., Т а г s k i А.)
1. Higher degrees "of distributivity and completeness in Boolean
algebras, Trans. Amer. math. Soc., 84. (1957), 230—257.
Спеккер (S pecker E.)
1. Endenverbande von Raumen und Gruppen, Math. Ann., 122
(1950), 167—174.
2. Zur Axiomatik der Mengenlehre, Z. math. Logik u. Grundl.
Math., 3 (1957), 173—210.
Стаблер (Stabler E. R.)
1. Sets of postulates for Boolean rings, Am. Math. Monthly, 48 (1941),
20—28.
2. Boolean representation theory, Am. Math. Monthly, 61 (1944),
129—132.
Стамм (Stamm E.)
1. Beitrag zur Algebra der Logik, Monatsh. Math. Phys., 22(1911),
137—149.
Стоун (Stone M. H.)
1. Boolean algebras and their application to topology, Proc. nat.
Acad. Sci. (Wash.), 20 (1934), 197—202.
2. Subsumption of the theory of Boolean algebras under the
theory of rings, Proc. nat. Acad. Sci. (W ash.), 21 (1935), 103—105.

Литература
363
3. Postulates for Boolean algebras and generalized Boolean
algebras, Amer. J. Math., 57 (1935), 703—732.
4. Applications of Boolean algebras to topology, Mam. сб., H.c.,
1 (1936), 765—771.
5. The theory of representations for Boolean algebras, Trans.
Amer. math. Soc.. 40 (1936), 37—111.
6. Applications of the theory of Boolean rings to general topology,
Trans. Amer. math. Soc., 41 (1937), 321—364.
7. Algebraic characterization of special Boolean rings, Fund.
Math., 29 (1937), 223—303.
8. Note on formal logic, Amer. J. Math., 59 (1937), 506—514.
9. Topological representation of distributive lattices and Brouwe-
rian logics, Cas. mat. fys., 67 (1937), 1—25.
10. The representation of Boolean algebras, Bull. Amer. math.
Soc., 44 (1938), 807—816.
11. On characteristic functions of families of sets, Fund. Math.,
33 (1945), 27—33.
12. Free Boolean rings and algebras, An. Acad. Brasil. Ci„
26 (1954). 9—17.
13. Boundedness properties in function-lattices, Canad. J. Math.,
1 (1949), 176—186.
Субрахманьян (Subrahmanyan N. V.)
1. Structure theory for a generalized Boolean ring, Math. Ann.,
141 (1960), 297—310.
Такеучи (Takeuchi K.)
1. The free Booleen a-algebra with countable generators, Math.
J. Tokyo, 1 (1953), 77—79.
Тарский (Tarski A.)
1. Une contribution a la theorie de la mesure, Fund. Math.,
15 (1930), 42—50.
2. Zur Grundlegung der Booleschen Algebra, Fund. Math.,
24 (1935), 177—198.
3. Uber additive und multiplikative Mengenkorper und Mengen-
funktionen, C. R. Soc. Sci. Letter. Varsovie, Cl. Ill,
30 (1937), 151—181.
4. Der Aussagenkalkiil und die Topologie, Fund. Math., 31 (1938),
103—134.
5. Einige Bemerkungen zur Axiomatik der Booleschen Algebra,
C. R. Soc. Sci. Lettr. Varsovie, 31 (1938), 33—35.
6. Ideale in vollstandigen Mengenkorpern, Fund. Math., 32 (1939),
45—63; (II), 33 (19^5), 51—65.
7. Uber unfierreichbare Kardinalzahlen, Fund. Math., 30 (1938),
68—89.
8. Cardinal algebras, New York, 1949.
9. A lattice-theoretical fix-point theorem and its applications,
Pacific J Math., 5 (1955), 285—309.
10. Equationally complete rings and relation algebras, Ind. Math.,
18 (1956), 39—46.
11 Algebraische Fassung des Massproblems, Fund. Math., 31 (1938),
47-66.

364
Литература
12. Metamathematical proofs of some representation theorems for
Boolean algebras, Bull. Amer. math. Soc., 61 (1955), 523.
13. On the calculus of relations, J. Symb. Logic, 6 (1941), 73—89.
14. Ober das absolute Mafi linearer Punktmengen, Fund. Math.,
30 (1938), 218—234.
15. Prime ideal theorems for Boolean algebras and the axioms of
choice, Bull. Amer. math. Soc., 60 (1954), 390—391.
16. Prime ideal theorems for set algebras and ordering principles,
Bull Amer. math. Soc., 60 (1954), 391.
17. Prime ideal theorems for set algebras and the axiom of choice,
Bull. Amer. math. Soc., 60 (1954), 391.
18. Some problems and results relevant to the foundations of set
theory. Logic, Methodology and Philosophy of Sciences,
Proceedings of the 1960 International Congress, Stanford, 1962,
126—136.
Теодореску (Theodorescu R.)
1. Remarques sur les homomorphismes aleatoires, Ann. Univ.
„С. I. Parhon“ Виси rest i, Ser. Sti. Nat., 22 (1959), 55—58.
Терасака (Terasaka H.)
1. Theorie der topologischen Verbande: Ein Versuch zur Forma-
lisierung der allgemeinen Topologie und der Theorie der reellen
Funktionen, Proc. Imp. Acad. Jap., 13 (1937), 401—405.
2. Die Theorie der topologischen Verbande, Reprint of Fund.
Math., 33 (1939); Coll. Papers Fac. Sci. Osaka Univ., Ser. A,
8 (1940).
Томита (Tomita M.)
1. Measure theory of complete Boolean algebras, Mem. Fac. Sci.
Kyusyu Univ., A. 7 (1952), 51—60.
Трачик (Traczyk T.)
1. On homomorphisms not induced by mappings, Bull. Acad.
Pol. Sci., 6 (1938), 103—106.
2. On the approximations of mappings by Baire mappings, Coll.
Math., 8 (1961), 67—70.
3. On axioms and some properties of Post algebras, Bull. Acad.
Pol. Sci., 10 (1962), 509—512.
4. Axioms and some properties of Post algebras, Coll. Math.,
10 (1963), 193-209.
5. Minimal extensions of weakly distributive Boolean algebras,
Coll. Math., 11 (1963), 17-24.
6. Some theorems on independence in Post algebras, Bull. Acad.
Pol. Sci., 11 (1963), 3—8.
Уайтмен (Whiteman A.)
1. Postulates for Boolean algebra in terms of ternary rejection,
Bull. Amer. math. Soc., 43 (1937), 293—298.
2. Postulates for Boolean algebras involving the operations of
complete disjunction, Bull. Amer. math. Soc., 43 (1937),
293—298.
У л а м (U 1 a m S.)
1. Zur Masstheorie in der allgemeinen Mengenlehre, Fund. Math.,
16 (1930), 140-150.
2. Concerning functions of sets, Fund. Math., 14 (1929), 231—233.

Литература
365
Уоллес (W allace A. D.)
1. Boolean rings and cohomology, Proc. Amer. math. Soc.9
4 (1953), 475.
Фадини (Fadini A.)
1. Algoritmi tra operzione unarie e binarie in un’algebra di Boole,
Ricerca (Napoli), 11 (1960), 16—34.
Фелл и Тарский (FellJ.M.G. and A. Tarski)
1. On algebras whose factor algebras are Boolean, Pacific J. Math.,
2 (1952), 297—318.
Фихтенгольц и Канторович (Fichtenholz G. et
Kantorovitch L.)
1. Sur les operations dans respace des fonctions bonnes, Studia
Math., 5 (1934), 69—98.
Флойд (Floyd E. E.)
1. Boolean algebras with pathological orger topologies, Pacific
J. Math., 5 (1955), 687—689.
Фогель (Foguel S. R.)
1. Boolean algebras of projections of finite multiplicity, Pacific
J. Math., 9 (1959), 681—693.
Форадори (Foradori E.)
1. Zur Theorie des Caratheodoryschen Integrals, Dtsch. Math.9
4 (1939), 578—582.
Фортет (Fortet R.)
1. L’Algebre de Boole et des applications en recherche operatio-
nelle, Cahiers Centre Etudes Rech. Oper., 4 (1959), 5—36.
Фостер (Foster A. L.)
1. The theory of Boolean-like rings, Trans. Amer. math. Soc.9
59 (1946), 166-187.
2. p-rings and their Boolean vector representation, Acta Math.
84 (1951), 231—261.
3. The idempotent elements of a commutative ring, Duke Math. J.
12 (1945), 143-152.
Фринк мл. (Frink О. jr.)
1. Representations of Boolean algebras, Bull. Amer. math. Soc.9
47 (1941), 755—756.
2. On the existence of linear algebras in Boolean algebras, Bull.
Amer. math. Soc., 34 (1933), 329—333.
Фунаяма (Funayama N.)
1. Imbedding infinitely distributive lattices completely isomor-
phically into Boolean algebras, Nagoya Math. J., 15 (1959),
71 — 81.
X а и м о (H a i m о F.)
1. Some limits of Boolean algebras, Proc. Amer. math. Soc.,
2 (1951), 566—576.
2. A representation for Boolean algebras, Amer. J. Math., 73
(1951), 725—740.
Халмош (Halmos P. R.)
1. Measure Theory. New York, 1950 (Есть русский перевод:
Халмош, Теория меры, ИЛ, М., 1953.)
2. The foundations of probability, Amer. Math. Monthly, 61
(1944), 497—510.

66
Литература
3. Polyadic Boolean algebras, Proc. nat. Acad. Sci. (Wash.), 40
(1954), 296—301.
4. Algebraic logic, (I), Monadic Boolean algebras, Comp. Math.,
12 (1955), 217—249; (II) Homogeneous locally finite polyadic
Boolean algebras of infinite degree, Fund. Math., 53 (1956),
255—325; (III), Predicates, terms and operations in polyadic
algebras, Trans. Amer. math. Soc., 83 (1956), 430—470; (IV)
Equality in polyadic algebras, Trans. Amer. math. Soc., 86 (1957),
1—27. 7
5. The basic concepts of algebraic logic, Amer. Math. Monthly,
63 (1956), 365-387.
6. The representation of monadic Boolean algebras, Duke Math. J.,
26 (1959), 447—454.
7. 	Free monadic algebras, Proc. Amer. math. Soc., 10 (1959),
219—227.
8. Lectures on Boolean algebras, Toronto-New York-London, 1963.
9. Algebraic logic, New York, 1962.
10. Injective and projective Boolean algebras, Proc. Sympos.
Pure Math. II (1961), 114—122.
Халперн (Halpern J. D.)
1. The independence of the axiom of choice from the Boolean
prime ideal theorem, Notices Amer. math. Soc., 8 (1961), 64b
2. Contributions to the study of the independence of the axiom
of choice doctoral dissertation, University of California, 1962.
3. The independence of the axiom of choice from the Boolean
prime ideal theorem, Fund. Math., 55, № 1 (1964), 57—66.
Хаммер (Hammer L. P.)
1. Shefferian algebras, Bull. Math. Soc. Sci. Math. Phys. R. P. R.,
3 (1959).
Хантингтон (Huntington E. V.)
1. Sets of independent postulates for the algebra of logic, Trans.
Amer. math. Soc., 5 (1904), 288—309.
2. A new set independent postulates for the algebra of
logic with special reference to Whitehead and Russel’s Principia
Mathematica, Proc. nat. Acad. Sci. (Wash.), 18(1932) 179—180.
Ханф (H a n f W.)
1. On some fundamental problems concerning isomorphism of
Boolean algebras, Math, scand., 5 (1957), 205—217.
2. Models of languages with infinitely long expressions,
International Congress for Logic, Methodology and Philosophy of
Sciences; Abstract of contributed Papers, Stanford University, 1960
(mimeographed), p. 24.
3. Incompactness in languages with infinitely long expressions,
Fund. Math., 53 (1964), 309—324.
4. On a problem of Erdos and Tarski, Fund. Math., 53 (1964),
325—334.
Харари (Harary F.)
1. Atomic Boolean-like rings with finite radical, Duke Math. J,
17 (1950), 273-276.
Хасеньягер (Hasenjaeger G.)
1. Eine Bemerkung zu Henkin’s Beweis fur die Vollstadigkeit

Литература
367
des Pradikatenkalkuls der ersten Stufe, J. of Symbolic Logic
18 (1953), 42—48.
X аусл,орф (Hausdorff F.)
1. Uber zwei Satze von G. Fichtenholz und L. Kantorovitch.
Stud. Math., 6 (1936), 18—19.
X а у п т и П а у к (H a u p t O. u. Ch. Y. Раис)
1. Uber die Erweiterung eines Inhaltes zu einem Masse, S.-B.
math.-nat. Kl. bayer. Akad, Wiss. (1948), 247—253.
2. Vitalische Systeme in Booleschen o-Verbanden, S.-B. math.-
nat. Kl. bayer. Akad. Wiss. (1950), 187-207.
3. Holabedingungen und Vitalische Eigenschaft von Somensystem,
Arch. Math., 4 (1953), 107—114.
4. Uber Adjunktion von Idealen in Booleschen Verbanden, Akad.
Wiss. Mainz. Abh. Math.-Nat. Kl. (1957), 177—193.
X ей дер (H e i d e r L. J.)
1. Prime dual ideals in Boolean algebras, Canad. J. Math.., 11
(1959), 397—408.
2. A representation theorem for measures on Boolean algebras,
Mich. Math. J., 5 (1958), 213—221.
Хейлс (Hales A. W.)
1. On the nonexistence of free complete Boolean algebras,
doctoral dissertation, California Institute of Technology, Pasadena, 1962.
2. On the nonexistence of free complete Boolean algebras, Fund.
Math., 54, No 1 (1964), 45-66.
Хелсон (Helson H.)
1. On the symmetric difference of sets as a group operation, Coll.
Math., 1 (1948), 203—205.
2. Remark on measures in almost independent fields, Studia Math.,
10 (1948), 182—183.
Хенкин (HenkinL.)
1. The completeness of the first-order functional calculus, Symb.
Logic, 14 (1949), 159—166.
2. Boolean representation through propositional calculus, Fund.
Math., 41 (1955), 89—96.
3. The algebraic structure of mathematical theories, Bull. Soc.
Math. Belg., 7 (1955), 131—136.
4. La structure algebrique des theories mathematigues, Paris, 1956.
5. Metamathematical theorems equivalent to the prime ideals
theorems for Boolean algebras, Bull. Amer. math. Soc., 60 (1954),
387—388.
Хенкин и Тарский (H e n k i n L., Tarski A.)
1. Cylindric algebras. Proc. of symposia in pure math., II (1960),
83—113.
2. Cylindric algebras, Summaries of talks presented at the Summer
Institute of Symbolic Logic, 3 (1957), 332—340.
Хоберман и Маккинси (Hoberman S., Me Kinsey J. C.C)
1. A set of postulates for Boolean algebra, Bull. Amer. math.
Soc., 43 (1937), 588—592.
Ходжес и Хорн (Hodges J. L., Horn A.)
1. On Maharam’s conditions for measure, Trans. Amer. math.
Soc., 64 (1948), 594—595.

368
Литература
Хорн и Тарский (Horn A., Tarski А.)
1. Measures in Boolean algebras, Trans. Amer. math. Soc., 64
(1948), 467—497.
Христенсен и Пирс (Christensen D. J., Pierce R.S.)
1. Free products of а-distributive Boolean algebras, Math. Scand.,
7 (1959), 81 — 105.
Хьюит (Hewitt E.)
1. A note on measures in Boolean algebras, Duke Math. J., 20
(1953), 253—256.
2. A remark on density characters, Bull. Amer. math. Soc., 52
(1946), 641—643.
Чанг (C h a n g С. C.)
1. On the representation of а-complete Boole an algebras, Trans.
Amer. math. Soc., 85 (1957), 208—218.
Чанг и Хорн (ChangC. C., Horn A.)
1. Prime ideal characterization of generalized Post algebras, Proc.
Symp. pure Math., II, 43—48 (1961).
Чех (Cec h E.)
1. On bicompact spaces, Ann. ofMath., 38 (1937), 823—844.
Чин и Тарский (Chin L. H. and Tarski A.)
1. Distributive and modular laws in the arithmetic of relation
algebras, Univ. California Publ. Math., N. S., 1 (1951), 341—384.
Чоудхури (Choudhury A. C.)
1. On Boolean narings, Bull. Calcutta math. Soc., 46 (1954), 41—46.
Шанин H. A.
1. О произведении топологических пространств. Тр. мат. ин-та
АН СССР, т. 24 (1948).
Шерман (Sherman S.)
1. On denumerably independent families of Borel fields, Amer. J.
Math., 72 (1950), 612—614.
Шеффер (S h e f fe r H. M.)
1. A set of five independent postulates for Boolean algebras with
application to logical constants, Trans. Am. math. Soc., 14
(1913), 481—488.
Шоландер (Sholander M.)
1. Postulates for distributive lattices, Canad. J. Math., 3 (1951),
28—30.
2. Postulates for Boolean algebras, Canad. J. Math., 5 (1953),
460—464.
Штейнгауз (S t e i n h a u s H.)
1. Sur les distances des points des ensembles de mesure positive, Fund.
Math., 1 (1920), 93—104.
Эверетт и Улам (Everet C. J., Ulam S.)
1. Projective algebra, Amer. J. Math., 68 (1946), 77—88.
Эллиот (Elliot J. C.)
1. Autometrization and the symmetric difference, Canad. J. Math.,
5 (1953), 324-331.
Энгелькинг и Куратовский (Engelking R., Kura-
t о ws k i K.)
1. Quelques theoremes de l’Algebre de Boole et leurs applications
topologiques, Fund. Math., 50 (1962), 519—535.

Литература
369
Энгелькинг и Пелчинский (Е n g е 1 k i ng R., Р е \ с z v n-
ski A.) y
1. Remarks on dyadic spaces, Coll. Math., 11 (1963), 55—63.
Эномото (Enomoto S.)
1. Boolean algebras and field of sets, Osaka Math. 5 (1953),
99—115.
Эпштейн (EpsteinG.)
1. The lattice theory of Post algebras, Trans. Amer. math. Soc.,
95 (1960), 300—317.
Эрдёш (Erdos P., Tarski A.)
1. On families of mutually exclusive sets, Ann. of Math., 44
(1953), 315—329.
2. On some problems involving inaccessible cardinals, Essays on
foundations of mathematics, Jerusalem, 1961, 50—82.
Якуб (Yaqub F. M.)
1. Free extensions of Boolean algebras, Doctoral dissertation
Purdue University, 1962.
Я кубик (Jakubik J.)
1. Remarks on the Jordan — Dedekind condition in Boolean
algebras, Casopis. Pest. Mat., 82 (1957), 44—46 (Slovak).
2. Uber Ketten in Booleschen Verbanden, Math.-Fys. Casopis.
Slovensk. Akad. Vied., 8, 193—202 (russian).

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютное борелевское
пространство 223
Абстрактная алгебра 308
Автоморфизм булевой алгебры 57
Ш-аддитивная мера 18
Алгебра борелевских множеств
по модулю множеств первой
категории 123
— булева 12
— измеримых подмножеств по
модулю множеств меры нуль 123
— Линденбаума — Тарского 15,
313
— отношений 317
— с замыканием 318
— с мерой 322
Атом 47
Атомная булева алгебра 48
Безатомная булева алгебра 48
Булева алгебра 12
— т-алгебра 106
Булево кольцо 84
— произведение 66
— (т, 0)-произведение 283
— о-произведение мер 304
Верхний характер 131
Вещественный гомоморфизм 318
Включение 16
Вполне дистрибутивная алгебра
100
— несвязное топологическое
пространство 36
Вырожденная булева алгебра 18
Главный идеал 22
— фильтр 25
Гомоморфизм булевой алгебры 28
— сохраняющий объединения 132
пересечения 133
(J, М)-гомоморфизм 143
т-гомоморфизм 133
^-гомоморфизм 143
Гомоморфный образ 30
Ш-гомоморфный образ 133
расширения 267
Двойственное утверждение 18
Двузначная мера 32
Двузначный гомоморфизм 32
Дефектное множество 139
П-диадическая система 163
Диадически n-дистрибутная
булева алгебра 164
(Ш, п)-дистрибутивная булева
алгебра 100
Щ-дистрибутивная алгебра 100
М-дистрибутивная булева ал¬
гебра 167
Дополнение 11
Достижимое кардинальное число
182
Ш-достижимое кардинальное
число 182
о-достижимое кардинальное
число 182
Единица булевой алгебры 17
Единичный фильтр 25
— элемент 17
Закон дистрибутивности 16, 98
— идемпотентности 16
— поглощения 16
Законы Моргана 97
Ш-замкнутое подмножество 138

Предметный указатель
371
Идеал 22
т-идеал 120
— определенный точкой 31
— соответствующий множеству
46
Измельчение покрытия булевой
алгебры 104
g-измеримая функция 318
Изоморфизм булевой алгебры 29
(J, М)-изоморфизм 143
ЭД-изоморфизм 143 .
Изоморфные булевы алгебры 29
Индексированное множество 9
Ш-индексированное множество 9
(Ш, ^-индексированное
множество 9
Индуцированный гомоморфизм 30
Каноническое Ш-представление
для булевой алгебры 192
(J, М, ш)-канонический
гомоморфизм 202
tn-канонический гомоморфизм 192
— изоморфизм 192
Канторов дисконтинуум 71
— П-дисконтинуум 71
Кардинальная алгебра 311
Кольцо 83
a-конечная мера 119
Максимальное (J, М, ш)-расши-
рение булевой алгебры 271
— представимое (J, М, т)-рас-
ширение булевой алгебры 274
т-произведение булевых
алгебр 297
— m-произведение булевых
алгебр 286
Максимальный идеал 30
сохраняющий объединение
146
пересечение 146
— фильтр 30
сохраняющий объединение
146
пересечение 146
Мера 23
т-мера 118
Минимальное (т,
^-произведение булевых алгебр 291
— (т, 0)-произведение булевых
алгебр 287
— т-расширение булевой
алгебры 273
— расширение булевой алгебры
273
Множество (J, М, ш)-категории
202
— Ш-категории 141
— плотное в булевой алгебре 62
— Ш-порождающее булеву
алгебру 153
— разделяющее топологическое
пространство 177
Fg-множество 126
G^-множество 126
Монотонное множество 149
Независимое множество 64
Непересекающиеся элементы 22
m-непрерывное отображение 141
ЭД-непрерывное отображение 143
(J, М)-нигде не плотное
множество 202
(J, М) -нигде не плотное
подмножество 140
Нижний характер 131
Нулевой элемент 17
Нуль булевой алгебры 17
Образующие булевой алгебры 58
Ш-образующие 155
Объединение И, 89
Однородная булева алгебра 171
Ш-открытое подмножество 138
Открыто-замкнутое множество 138
Пересечение 11,90
.Плотное (J, М)-открытое
множество 202
Подалгебра 26
т-подалгебра 148
Подэлемент 16
Покрытие булевой алгебры 104
П-покрытие булевой алгебры 104
Поле множеств 12
nt-поле множеств 106
Полиадическая' булева алгебра
316

372
Предметный указатель
Полная булева алгебра 106
— подалгебра 149
Ш-полная булева алгебра 106
Ш-полная подалгебра 141
Полное поле множеств 106
m-полное поле множеств 106
Полный гомоморфизм 133
Ш-полный гомоморфизм 133
Ш-полный идеал 120
Ш-полный фильтр 120
Пополнение булевой алгебры 247
ttt-пополнение булевой алгебры
251
(J, М, т)-представимая булева
алгебра 201
Ш-представимая булева алгебра
190
Приведенное поле множеств 35
Принцип двойственности 18
Произведение булевых алгебр 66
(Ш, п)-произведение булевых
алгебр 288
Произведение мер 66
a-произведение мер 280
F-произведение полей множеств 65
tn-F-произведение полей
множеств 280
Пространство Стоуна 42
Прямое объединение булевых
алгебр 81
Разбиение 113
П-разбиение 113
Разность 21
(J, М, ш)-расширение булевой
алгебры 267
Ш-расширение булевой алгебры
267
Регулярная подалгебра 151
Ш-регулярная подалгебра 150
Регулярное замкнутое
подмножество 13
— кардинальное число 113
— открытое подмножество 14
Ретрагирующий гомоморфизм 79
Ретракт 76
Ретракция 76
Сверхатомная булева алгебра 57
Свободная булева алгебра 69
ПТ-алгебра с П свободными
т-образующими 212
— т-представимая булева
алгебра 217
К-свободная ш-алгебра 217
Свободное представимое (J, М, т)-
расширение булевой алгебры 274
— Ш-ггроизведение булевых
алгебр 286
— (J, М, ш)-расширение булевой
алгебры 273
Свободные образующие булевой
алгебры 212
— Ш-образующие булевой
алгебры 69
Свойство Бэра 109
— сильной ш-продолжаемости
232
— слабой ш-продолжаемости 236
Сепарабельная булева алгебра 153
Сечение булевой алгебры 250
Сильно изоморфные поля ПО
Сильный изоморфизм полей ПО
Симметрическая разность 86
Слабо, ш-дистрибутивная булева
алгебра 205
Слабо (ш, п)-дистрибутивная
булева алгебра 205
— однородная булева алгебра 173
Собственный идеал 23
— фильтр 25
Событие 14
Совершенное поле множеств 35
Ш-совершенное кардинальное
число 178
— поле 159
Строго положительная мера 119
Структура 309
Существенно бесконечное
объединение 94
Ш-топология 289
Факторалгебра 49
Фильтр 25
Ш-фильтр 120
— определенный точкой 31
— соответствующий множеству
46
Формула Моргана 20

Предметный указатель
373
Функциональная полиадическая
алгебра 317
Число пересечения семейства
множеств 327
Характеристическая функция 77
Эквивалентные поля множеств
ПО
ПТ-цепное условие 117
Экстремально несвязное
пространство 140

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
Предисловие ко второму изданию 7
Терминология и обозначения 8
Глава /. Конечные объединения и пересечения 11
§ 1. Определение булевых алгебр Ц
§ 2. Некоторые следствия из аксиом 15
§ 3. Идеалы и фильтры 22
§ 4. Подалгебры 26
§ 5. Гомоморфизмы и изоморфизмы 28
§ 6. Максимальные идеалы и фильтры 30
§ 7. Приведенные и совершенные поля множеств 35
§ 8. Основная теорема о представлении 40
§ 9. Атомы 47
§ 10. Факторалгебры 49
§ 11. Индуцированные гомоморфизмы между- полями
множеств 54
§ 12. Теоремы о продолжении до гомоморфизмов 58
§ 13. Независимые подалгебры. Произведения 64
§ 14. Свободные булевы алгебры 69
§ 15. Индуцированные гомоморфизмы между факторалге-
брами 74
§ 16. Прямые объединения 81
§ 17. Связь с алгебраическими кольцами 83
Глава II. Бесконечные объединения и пересечения 89
§ 18. Определение 89
§ 19. Алгебраические свойства бесконечных объединений
и пересечений. (Ш, п)-Дистрибутивность 96
§ 20. nt-полные булевы алгебры 106
§ 21. т-идеалы и т-фильтры. Факторалгебры 120
§ 22. m-гомоморфизмы. Связь с пространствами Стоуна . . 132
§ 23. Ш-подалгебры 148
§ 24. Представления с помощью m-полей множеств .... 158
§ 25. Полные булевы алгебры 170

Оглавление
375
§ 26. Поле всех подмножеств некоторого множества .... 178
§ 27. Поле всех борелевских подмножеств метрического
пространства 184
§ 28. Представление факторалгебр в виде полей множеств . 186
§ 29. Основная теорема о представлении булевых а-ал-
гебр. ш-представимость 189
§ 30. Слабая (т, п)-дистрибутивность 204
§ 31. Свободные булевы ш-алгебры 212
§ 32. Гомоморфизмы, индуцированные поточечными
отображениями 220
§ 33. Теоремы о продолжении гомоморфизмов ....... 228
§ 34. Теоремы о продолжении (отображений) до гомоморфизмов 232
§ 35. Пополнения и ш-пополнения 245
§ 36. Расширения булевых алгебр 266
§ 37. ш-независимые подалгебры. m-F-произведение .... 278
§ 38. Булевы (ш, п)-произведения 283
Дополнение 308
§ 39. Связь с другими алгебрами 308
§ 40. Применение к математической логике. Классические
исчисления 312
. § 41. Топология в булевых алгебрах. Применения к
неклассической логике 318
§ 42. Применения к теории меры 322
§ 43. Измеримые функции и вещественные гомоморфизмы . 328
§ 44. Измеримые функции. Редукция к непрерывным
функциям 331
§ 45. Применения к функциональному анализу 332
§ 46. Применения к основаниям теории вероятностей . . . 334
§ 47. Проблемы эффективности 336
Литература 340
Предметный указатель 370

Р. СИКОРСКИЙ
БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ
Редактор Г. М. Цукерман
Художник А. В. Шипов
Художественный редактор В. И. Шиповалов
Технический редактор И. А. Турсукова
Корректор О. Ф. Иванова
Сдано в производство 23/VII 1968 г.
Подписано к печати 15/XI 1968 г.
Бумага тип. № 2 84 X 1 08У32= 5,88 бум. л.
19,74 уел. печ. л. Уч.-изд. л. 18,03
Изд. № V4 126. Цена 1 р. 44 к. Зак. 2977
Тем. план 1968 г. изд-ва «Мир» пор. № 19
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва, 1-й Рижский пер., 2
Ордена Трудового Красного Знамени
Первая Образцовая типография
имени А. А. Жданова Главполиграфпрома
Комитета по печати при Совете Министров
СССР. Москва Ж-54, Валовая, 28.