л
I A
ь
е
'JL-Л _"t И . ГИЛ ■

Серия: ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
И ИНФОРМАТИКА
В. Ф. Кравченко, М. А. Басараб
БУЛЕВА АЛГЕБРА
и методы аппроксимации
в краевых задачах
электродинамики
Под редакцией
профессора В. Ф. Кравченко
Ж
Москва
Физматлит
2 0 0 4

ББК 22.193
К 78
УДК 517.95: 518.517
Рецензенты:
академик РАН и НАН Украины Ю. А. Митропольскищ
член-корреспондент РАН В. И. Пустовойт
КРАВЧЕНКО В.И., БАСАРАБ М.А. Булева алгебра и методы
аппроксимации в краевых задачах электродинамика.—М.: Издательство Физико-
математической литературы, 2004.—308 с—ISBN 5-94052-079-0.
Теория R-функций, содержащая в себе идеи булевой алгебры и
аналитической геометрии, представляет собой универсальный математический аппарат,
позволяющий в неявном виде получать уравнения границ областей произвольной
геометрии. На основе этих уравнений осуществляется построение структур
решения краевых задач в областях сложной формы, т. е. таких аналитических
выражений, которые априори удовлетворяют заданным краевым условиям.
Структуры решения зависят от неопределенных компонент, находящихся из условия
минимизации функционала Ритца или одним из проекционных методов. В книге
описаны алгоритмы и приведены многочисленные примеры решения различных
типов внешних и внутренних краевых задач электростатики и электродинамики
в областях сложной формы.
Для научных работников, а также аспирантов и студентов старших курсов
соответствующих специальностей.
KRAVCHENKO V.F., BASARAB М.А. Boolean Algebra and
Approximation Methods in Boundary-Value Problems of electrodynamic.
The theory of R-functions based on ideas of the Boolean algebra and
analytical geometry is a universal mathematical tool allowing the construction of implicit
equations of arbitrarily-shaped domain boundaries. These equations are used in
the general solution structures for boundary-value problems, which are the
expressions exactly satisfying given boundary conditions. Such structures depend on
undetermined coefficients found by the Ritz procedure or by one of the projection
techniques. The algorithms and numerous examples of solving different types of
internal and external electrostatics and electrodynamics boundary-value problems
in complex-shaped domains are presented in this book.
© Физматлит, 2004
ISBN 5-94052-079-0 © В.Ф. Кравченко, М.А. Басараб, 2004

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
Глава 1. Введение в теорию R-функций 7
1.1. Теория R-функций и обратная задача аналитической
геометрии 8
1.2. Метод R-функций и структуры решения краевых задач . 28
1.3. Методы аппроксимации структур решения 58
1.4. Применение метода R-функций к решению краевых задач
электростатики 82
Глава 2. Решение внешних краевых задач электродинамики
методом R-функций 105
2.1. Структуры решения внешних скалярных задач
электродинамики 106
2.2. Дифракция электромагнитных волн на системе
цилиндров * 133
2.3. Проекционный алгоритм решения задачи дифракции . . 139
2.4. Структуры решения векторных краевых задач теории
дифракции 150
Глава 3. Исследование полей в волноведущих структурах
методом R-функций 164
3.1. Расчет электромагнитных полей в регулярных
волноводах методом R-функций 164
3.2. Излучение из открытого конца волновода сложного
поперечного сечения 200
3.3. Расчет полей в волноводах с неоднородностями 222
Глава 4. Моделирование полей в электродинамических
резонаторах 227
4.1. Построение алгоритмов расчета полых резонаторов .... 227
4.2. Электродинамические резонаторы с оптическими
кристаллами 246
4.3. R-функции в обобщенном методе собственных колебаний 255
Заключение 264
Список литературы 266
ожения 274

CONTENTS
Preface
Chapter 1. Introduction to the R-function theory
1.1. The R-function theory and the inverse problem of
analytical geometry
1.2. The R-function method and general solution structures for
boundary-value problems
1.3. Approximate structures of solutions
1.4. The use of the R-function method for solving electrostatics
boundary-value problems
Chapter 2. Solving external boundary-value problems of
electrodynamics by the R-function method
2.1. General solution structures for external scalar problems of
electrodynamics
2.2. Electromagnetic wave diffraction by a system of cylinders
2.3. A projection algorithm for solving diffraction problems . .
2.4. General solution structures for vector boundary-value
problems of diffraction theory
Chapter 3. Investigation of fields in waveguides by the
R-function method
3.1. Electromagnetic fields evaluation in a regular waveguide
with complex-shaped cross-section by the R-function
method
3.2. Radiation from an open-ended waveguide with complex
shaped cross-section
3.3. Fields evaluation in waveguides with inhomogeneities . . .
Chapter 4. Modeling fields in electro dynamic resonators ....
4.1. Construction of algorithms for evaluating hollow resonators
4.2. Electrodynamic resonators with optical crystals
4.3. R-functions in generalized method of eigenoscillations . . .
Conclusion
References
Appendix

ПРЕДИСЛОВИЕ
Как известно, существуют три основных подхода к решению
краевых задач электродинамики в областях сложной геометрии:
аналитический, численный и численно-аналитический. Первый
из них имеет ограниченное применение, так как пригоден лишь
для ряда канонических областей. Численные методы (методы
конечных разностей, конечных элементов, граничных элементов)
достаточно универсальны, но чувствительны к быстродействию
вычислительных средств и объему оперативной памяти. Их
реализация сталкивается с серьезными трудностями, в частности,
при наличии геометрических сингулярностей в виде входящих
углов. Кроме того, применение сеточных алгоритмов затрудняет
физический анализ получаемых результатов. Поэтому наиболее
рациональный прием заключается в комбинированном
использовании обоих подходов, позволяющем на аналитическом уровне учесть
те или иные особенности приближенного решения. При этом
возможны два основных варианта. В первом решение ищется в
классе функций, удовлетворяющих дифференциальному уравнению, а
удовлетворение краевым условиям осуществляется численно.
Второй вариант предполагает представление искомого решения в виде
ряда по базисным функциям, удовлетворяющим краевым
условиям (линейным однородным). После этого неопределенные
коэффициенты разложения находятся из условия удовлетворения
основному уравнению (методы Ритца, Бубнова-Галеркина, колло-
кации, наименьших квадратов и др.). Здесь основная сложность
заключается в выборе базиса, что является сложной задачей в
случае области произвольной геометрии.
Универсальный подход к решению последней проблемы
(структурный метод R-функций) был предложен В. Л. Рвачевым. Метод
основан на использовании идей алгебры логики при построении
уравнения границы сложной области (нахождении такой функции,
которая положительна внутри области, отрицательна за ее
пределами и обращается в нуль на границе). Имея такое уравнение,
можно построить структуру решения краевой задачи, точно
удовлетворяющую краевым условиям и зависящую от
неопределенной компоненты. Последняя, как правило, представляется в виде
ряда по системе координатных функций (полиномы, сплайны,
атомарные функции и т.д.), неопределенные коэффициенты
которого находятся одним из вариационных или проекционных
методов из условия удовлетворения дифференциальному уравнению.
Для уравнений в частных производных, возникающих в задачах
электродинамики, существуют структуры решений основных
типов краевых задач (Дирихле, Неймана, 3-го рода, смешанных).

6
Предисловие
Развитию и совершенствованию метода R-функций
применительно к краевым задачам электродинамики посвящено много
работ. Однако в последнее время появились новые теоретические
результаты, открывающие широкие перспективы в использовании
теории R-функций для решения краевых задач электродинамики.
Настоящая монография состоит из четырех глав. В первой
даны элементы теории R-функций, описан процесс решения
обратной задачи аналитической геометрии и построения
нормализованных уравнений границ сложных областей. Обсуждается
понятие структуры решения краевой задачи. Представлены сведения
о возможных способах учета в структурных формулах
геометрических особенностей. Эти подходы позволяют существенно
повысить эффективность метода R-функций при решении краевых
задач и основаны на специальных алгоритмах сглаживания границ
областей, а также использовании сингулярных систем R-функций.
Обоснован аппарат почти R-функций и получены аналитические
зависимости для радиуса закругления в угловой точке.
Предложены также новые типы локально-сингулярных и локальных
почти R-функций. Рассмотрен вариант использования метода R-
функций в комбинации с обобщенным альтернирующим методом
Шварца. Один из параграфов посвящен методам аппроксимации
структур решения краевых задач, позволяющим ускорить
вычислительный процесс. Представлены сведения по атомарным
функциям и их аппроксимативным свойствам. В качестве примеров
рассмотрены решения ряда задач электростатики в областях
сложной формы, в том числе в областях предфрактальной геометрии.
Во второй главе представлены новые методы и алгоритмы
решения внешних краевых задач электродинамики. Обоснованы
проекционные процедуры решения задач дифракции
электромагнитных волн на объектах сложной формы, а также вводятся новые
структуры решения внешних граничных задач с учетом условий
Зоммерфельда. Рассмотрены вопросы дифракции на
периодических структурах, а также внешние векторные задачи
электродинамики.
Третья глава посвящена решению внутренних краевых задач
электродинамики в волноводных структурах. В §3.1 приведено и
обосновано решение методом R-функций внутренней краевой
задачи в регулярном волноводе произвольного поперечного сечения.
На основе полученного решения (поле в раскрыве) §3.2
исследуются излучательные характеристики такой структуры. В § 3.3
приведены новые алгоритмы расчета полей в волноводах с неоднород-
ностями.
В четвертой главе приводятся структуры решения задач
электродинамики в полых закрытых резонаторах, а также
резонаторах с неоднородностями (оптическими кристаллами). На основе
обобщенного метода собственных колебаний и метода R-функций
предложен новый гибридный метод численного решения задач
дифракции на диэлектрических телах в полых резонаторах.

Глава 1
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ R-ФУНКЦИЙ
При решении краевых задач электродинамики (как
внутренних, так и внешних) с помощью вариационных или
проекционных методов искомая функция и (напряженность поля, ток,
потенциал и т.д.) пространственных переменных х = (х\}#2>• • • >#п)
аппроксимируется выражением
tt(x) = tio (x) + ]Гс*0А:(х),
к
где с* — неопределенные коэффициенты, щ — известная
функция, a gk — элементы некоторой полной системы координатных
(базисных) функций, удовлетворяющих определенным
однородным краевым условиям на границе некоторой двумерной или
трехмерной области. Последнее требование обязательно в случае так
называемых главных краевых условий, к которым, в частности,
относится условие 1-го рода (Дирихле) для уравнений Лапласа,
Пуассона или Гельмгольца, когда на границе заданы значения щ
искомой функции и. Но даже в случае естественных краевых
условий, не требующих обязательного их удовлетворения, в
частности, при задании нормальной производной и на границе
(условие 2-го рода или Неймана) либо линейной комбинации функции и
и ее нормальной производной (условие 3-го рода), выбор
координатных функций, удовлетворяющих этим ограничениям,
позволяет существенно ускорить сходимость метода, т.е. уменьшить
количество требуемых базисных функций д^ для достижения
определенной точности вычислений. Удовлетворить
вышеперечисленным и другим типам краевых условий сравнительно просто можно
лишь для узкого класса областей сравнительно простой геометрии.
Так, для условия Дирихле следует выбрать
gk(x) =w(x)V>*(x),
где фх — элементы другой полной системы координатных
функций, уже не обязательно удовлетворяющих однородным краевым
условиям 1-го рода, а ш(х) — функция, обращающаяся в ноль на
границе области и строго положительная внутри области.
Уравнение ш(х) = 0 в неявной форме задает границу области и легко

8
Гл. 1. Введение в теорию R-функций
может быть записано для таких областей, как шар,
параллелепипед, эллипсоид вращения (круг, прямоугольник, эллипс в R2)
и др. С помощью искусственных приемов возможно построение
такого уравнения для некоторых областей более сложной формы
(см., например, [1]). Однако в общем случае, для широкого класса
областей, особенно невыпуклых, долгое время не существовало
единого метода построения уравнения границы. Еще сложнее
обстояло дело при попытке удовлетворить краевым условиям
дифференциального типа. Решение этой непростой обратной задачи
аналитической геометрии для областей, границы которых
представлены в виде частей, каждая из которых задается в
аналитическом виде, дал В. Л. Рвачев [2-4]. Сущность его метода (метода
R-функций) основана на использовании алгебры логики. Далее
приводятся некоторые вспомогательные понятия теории множеств
и алгебры логики [5], после чего будут рассмотрены основные
положения теории R-функций и их применение к решению краевых
задач электростатики в областях сложной формы. Изложены также
вопросы построения структурных формул с использованием
базисов на основе глобальных (алгебраических, тригонометрических)
и локальных (сплайнов, атомарных функций) полиномов.
1.1. Теория R-функций и обратная
задача аналитической геометрии
1.1.1. Основные понятия теории множеств и булевой алгебры.
Пусть Xi и ^2 — два подмножества некоторого множества Е.
Множество, состоящее из точек, общих для этих двух множеств,
называется пересечением и обозначается X\f\X2- Множество,
состоящее из точек, вошедших хотя бы в одно из множеств Х\
или Хг, называется их объединением и обозначается XiJJ^.
Множество, дополняющее X до^ всего Е, называется дополнением
множества X и обозначается X,
Характеристической функцией подмножества X множества Е
называется функция х(х) (двузначный предикат множества X):
{1, если х Е X,
О, если х £ X.
Рассмотрим множество 2?2, состоящее из двух элементов: О
(ложь) и 1 (истина). Булевой функцией п аргументов называется
отображение вида F: В% -> #25 , т.е. Y = F(X\,X2,... ,Хп),
где ХЬ...,ХП, Y е #2. Всего булевых функций двух перемен-

1.1. R-функции и обратная задача аналитической геометрии 9
ных 16. Из них четыре тривиальные:
У = Fi = 0 (0 -> 0), Y = F2 = 1 (1 -> 1),
Y = F3 = Xi (Хх -> Хг), Г = F4 = Х2 (Х2 -> Х2).
Булеву функцию, соответствующую пересечению двух множеств
Х\ П^2? называют конъюнкцией и обозначают
Y = F5(Xl,X2)=XlAX2.
Эту функцию называют также логическим умножением: Y —
истина тогда и только тогда, когда Х\ — истина и Х2 — истина.
Булеву функцию, соответствующую объединению двух множеств
Х\ U ^2? называют дизъюнкцией и обозначают
r = F6(Xi,X2)=^iVX2.
Эту функцию называют логическим сложением: Y — истина тогда
и только тогда, когда Х\ — истина или Х2 — истина.
Булеву функцию, соответствующую дополнению X, обозначают
Y = F7(Xl)*=^Xl
и называют отрицанием Х\\ Y — истина, если Х\ — ложь, и
наоборот.
Рассмотрим еще несколько булевых функций:
Y = Fs(X1,X2)=Xl~X2,
Y = F9(X1,X2)=Xl^X2,
Y = F10(Xl,X2)=X1\X2.
Первая из них называется эквивалентностью (равнозначностью):
Y — истина тогда и только тогда, когда и Ii, и 12 — истина
либо и Xi, и Х2 — ложь. Вторая называется импликацией: Y —
истина, если и Ii, и I2 — истина либо Х\ — ложь.
Последняя булева функция называется операцией Шеффера (отрицанием
конъюнкции): Y — ложь тогда и только тогда, когда Х\ — истина
и Х2 — истина.
Эти и другие булевы функции, а также соответствующие
характеристические функции (где xi и Х2 — характеристические
функции множеств Х\ и Х2) приведены в табл. 1.1. На рис. 1.1
показаны теоретико-множественные диаграммы логических
операций.
Из рассмотрения булевых функций видно, что существуют
такие независимые функции, через которые можно выразить осталь-

10
Гл. 1. Введение в теорию R-функций
ные. Очевидно, что через конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание
можно выразить все остальные булевы функции. Так,
хг\х2 = -№ л х2), хг=>х2 = -№ v х2),
хг~х2 = (-«-Yi v х2) л (хг v -,х2).
Кроме того, согласно правилу де Моргана,
-*(Хг V Х2) = -iXi Л ^Х2, -Ч-Xi Л Х2) = ^*1 V ^Х2.
Следовательно, полными являются системы
конъюнкция-отрицание и дизъюнкция-отрицание.
0 1 Х\ Х2
Aj Л Л 2 Хл V Ал -л Л1 —IЛ 2
-,(Х]=>Х2) -п(Х2=*Х}) -*(ХХ~Х2) -i(XxvX2)
Рис. 1.1. Теоретико-множественные диаграммы операций булевой алгебры
Используя тождества
^Х = Х\Х, Х1ЛХ2 = (Х1\Х2)\(Х1\Х2),
XiVX2 = Y, Y = Z\Z, Z = (X1\X2)\(X2\X2),
легко убедиться также в полноте системы, состоящей из одной
операции Шеффера.

1.1. R-функции и обратная задача аналитической геометрии 11
Таблица 1.1. Булевы функции двух переменных
Название
Тождественный нуль
Тождественная единица
Тождественное Х\
Тождественное Х2
Конъюнкция
Дизъюнкция
Отрицание Х\
Отрицание Х2
Эквивалентность
Импликация Х2 из Х\
Импликация Х\ из Х2
Операция Шеффера
Отрицание импликации
Х2 из Xi
Отрицание импликации
Х2 из Хх
Отрицание равнозначности
Отрицание дизъюнкции
Обозначение
0
1
Xl
х2
ХЛХ2
XiVX2
-Xi
-*х2
Xi *** Х2
Xi =>Х2
Х2 £$- Xi
Xi\X2
-,(Xi => Х2)
-.(*2=»Xl)
-i(Xi ~ X2)
-*(X2 V X2)
Характеристическая
функция
0
1
1 Xl 1
1 *2 1
X1X2
X1+X2-X1X2
1-Xi
1 ~ X2 J
1 + 2xiX2 - Xi - X2
I-X1+X1X2 J
I-X2 + X1X2
I-X1X2 J
X1U-X2)
X2(l-Xi)
Xi4-X2-2xiX2 j
1 -Xi -X2 + X1X2
1.1.2. Решение обратной задачи аналитической геометрии
методом R-функций. Пусть в R2 задана область П с кусочно-гладкой
границей dCl и необходимо построить функцию и;(ж,у),
положительную внутри £2, отрицательную вне U и равную нулю на dil.
Уравнение ш{х,у) = 0 будет в неявной форме определять
геометрическое место точек, представляющих границу области.
Обозначим характеристическую функцию, соответствующую
области fi, через х = (<*>(#>!/) ^ 0)- Располагая некоторой
системой Xi — (<*>»(#? 2/) ^ 0) характеристических функций и булевой
функцией Y = F(X\,..., Xm), можно построить предикат
X = F{Xi, • • •, Xm) = F[(иг > 0),..., (wm ^ 0)],
определяющий область $7, сконструированную из
вспомогательных областей fix,..., Clm по логическим правилам, определяемым
булевой функцией F.

12
Гл. 1. Введение в теорию R-функций
Пример 1.1
а) Прямоугольная область с длинами сторон 2а и 2Ъ (рис. 1.2а)
может быть сконструирована из областей
Xi = (a2-x22 0), X2 = (b2-y2Z0)
по логической формуле
X = Xi A X2-
б) Кольцевая область, заштрихованная на рис. 1.26, может быть
сконструирована из областей
Хз = [(х - х0)2 + (у - у0)2 - с2 > 0),
Х4 = [(х - хо)2 + (у - у0)2 - d2 ^ 0)
по логической формуле
Х = -1ХзЛх4.
Рис. 1.2. Области из примера 1.1
жествами: «П» — пересечения, «U» — объединения и «-»> —
дополнения. Формально запишем это так:
П = Р({П1>...,ПТО}> {П,и,-.}). (1.1.1)
Считаем, что исходные области имеют более простую форму, чем ft,
и для каждой из них известно уравнение ее границы u*i(x,y) = 0
(г = 1,... ,ш). Метод R-функций позволяет на основе теоретико-
множественного описания области ft получить в аналитическом
виде уравнение ее границы о;(х, у) = 0.
Определение 1.1. R-функцией (функцией В.Л.Рвачева),
соответствующей разбиению числовой оси на интервалы (—оо,0)

1.1. R-функции и обратная задача аналитической геометрии 13
и [0, оо), называется такая функция, знак которой вполне
определяется знаками ее аргументов.
Здесь, несколько нарушая строгость, во избежание
использования трехзначной логики ноль отнесен к положительным числам.
При этом одновременно с R-функцией оказывается заданной
некоторая сопровождающая функция двузначной логики с тем же
числом аргументов. Поэтому можно дать также следующее
эквивалентное определение R-функции.
Определение 1.2. Функция z = /(x,у) называется
R-функцией, если существует такая булева функция Ф, что S[z(x,y)] =
= Ф [5(ж), S(y)], где двузначный предикат
ГО, х < О,
Каждой R-функции соответствует единственная
сопровождающая булева функция. Обратное неверно, и одной и той же булевой
функции соответствует бесконечное множество (ветвь) R-функций.
Множество R-функций замкнуто, т.е. суперпозиция R-функций
также является R-функцией. ,
Определение 1.3. Система функций if, составленная из R-
функций, называется достаточно полной, если множество всех
суперпозиций элементов Н (множество if-реализуемых функций),
имеет непустое пересечение с каждой ветвью множества
R-функций.
Достаточным условием полноты системы Н является полнота
системы Н* соответствующих сопровождающих булевых функций.
Наиболее часто используется система 9\а:
х Ла у = (1 + а)-1 (х + у — у/х2 + у2 - 2аху) ,
х VQ у = (1 + а)"1 (х + у + у/х2 + у2- 2аху) , (1Л-2)
X = —X.
Здесь -1 < а(х,у) < 1, а{х,у) = а(у,х) = а(-я,у) = а(х,-у).
Осуществим в (1.1.2) формальную замену Q, на о;(х,у), Q{ на
Ui(x,y) (г = 1,...,т), а символов {fl,U, -i} — на символы R-
операций {AQ,VQ,—} соответственно. Получим в итоге
аналитическое выражение, определяющее в элементарных функциях
требуемое уравнение границы сЮ,
и>(х,у) = 0. (1.1.3)
При этом для внутренних точек области ш(х,у) > 0, а для
внешних ш(х,у) < 0.

14
Гл. 1. Введение в теорию R-функций
В табл. 1.2 приведены выражения для R-конъюнкций некоторых
основных систем R-функций.
Таблица 1.2. Основные системы R-функций

Обозначение
Жа
9*о
J tfi
И?
1 ж
р
0
п
1
Выражение для R-конъюнкции
хАау=-
J / , , , , \
\х -f-у ух т у LCtxy \, 1 ^ сца;, у) zi л.
хЛоу = х + у- у/х2 + у2
х Ai у = (х + у - \х - у\)/2 = min(x, у)
U
с Л£* у = (ж + у - у/х2 + у2) (х2 + у2)"1'2
хЛу~х + у-(|х|р + |у|р)1/р, р>0 I
Р
0
X Л J/ = 4
п
хЛ?р1у = 2
г ху{хп + уп)-^п, х>0, у>0,
х, х ^ 0, у ^ 0, , > о\ \
У, 0 0, У^О, Кп*2) \
k (-l)n+l(*n+J/n)1/n, х<0, у<0
"*" [(* + y)msign(x + y)m+1 -(х- y)msign(x - y)m],
m ^ 1
Аналогичные выражения для R-дизъюнкций могут быть
получены с использованием правила де Моргана:
х V у = х Л у,
где R-отрицание х = —х. Таким образом, достаточно полные
системы R-функций получаются и при исключении в системах
R-функций одной из R-операций (дизъюнкции или конъюнкции). Это
связано с полнотой систем булевых функций
конъюнкция-отрицание и дизъюнкция-отрицание. Однако на практике, при
построении уравнений границ областей, использование обеих логических
операций — конъюнкции и дизъюнкции, как правило, приводит к
менее громоздким алгебраическим выражениям. Очевидно, что,
пользуясь лишь одной системой R-функций, можно построить
бесконечное число уравнений одной и той же фигуры, умножая левую
часть (1.1.3) на произвольную строго положительную функцию.
Тем самым получаем пучок функций, обращающихся в ноль на
границе области.
Функции системы SHi наиболее легко реализуемы в
вычислительном плане, а ее операции коммутативны и ассоциативны.
Однако система 9Яо недифференцируема лишь в точке (0,0), а
система 9\\ — на прямой х = у. Двухместные операции системы
UHq1 пРи целых неотрицательных га принадлежат классу Сш в

1.1. R-функции и обратная задача аналитической геометрии 15
о
точке (0,0), а операции из У\ являются коммутативными, ассо-
п
циативными и принадлежат классу С71"1. Система Л при о = 2
р
превращается в 9Яо, а при р —> оо переходит в 9^i. Ж™^ есть
система полиномиальных сплайнов степени га с линией разрыва
производных порядка га: у = (—l)771"1^.
Наиболее распространенной системой R-функций является
система SHQ. Приведем логические свойства операций этой системы:
1) х = х;
2) х Ла у = у Ла х;
3) х Уа у = у VQ х;
4) xAQy = х Va у;
5) х VQ у = х Ла у;
6) (ж Ла у) + (х VQ у) = 2(х + у)/(1 + а);
7) (х Ла у)(х VQ у) = 2ху/(1 + а);
8) (х Ла у = 0) Ф> (х = 0,1/ ^ 0) или (у = 0,х ^ 0);
9) (я: VQ у = 0) Ф> (х = 0,у ^ 0) или (у = 0,х ^ 0).
В дополнение к этим свойствам функции системы У\\ обладают
также свойствами ^
10) х А\ х = х;
11) х Vi х = х;
12) х Лх х = — |х|;
13) xVix = |x|;
14) х Ai (у Ai г) = (х Ai у) Ai г;
15) х Vi (у Vx z) = (х Vi у) Vi z\
16) х Ai (у Vi г) = (х Ai у) Vi (x Ai z)\
17) х Vi (у Ai z) = (x Vi y) Ai (x Vi г);
18) (x Ai y) Vi x = x;
19) (x Vi y) Ai x = x.
Исходя из свойств 6, 7 можно дать следующую интерпретацию
R-операций системы SHQ. Пусть R-конъюнкция и R-дизъюнкция
удовлетворяют системе уравнений
(xAy) + (xVy)=ci(x + y),
(1.1.4)
(xAy)(xVy) = c2xy,
где 0 < ci, C2 < оо. Решив ее относительно неизвестных х Л у и
х Vy (например, использовав теорему Виета), получим
{
х Ау = ?± [ х + у - JX2 + у2 + 2 (l -^\ ху) , (1.1.5)
2

16
Гл. 1. Введение в теорию R-функций
X V у = |- ( X + у + Jx* + у2 + 2 Л - ^ Ху J . (1.1.6)
Обозначив а = 2с2/с2 — 1, можно видеть, что соотношения (1.1.5),
(1.1.6) эквивалентны R-операциям системы 9^Q с точностью до
постоянного нормализующего множителя. Выражения (1.1.5), (1.1.6)
имеют смысл, если
х2 + у2 + 2 ( 1 - ^ ) ху > О
0-S)
или
х2 + у2 - 2аху ^ 0. (1-1-7)
Из (1.1.7) следует, что \а\ ^ 1. Но при а = — 1 должно быть
С2/с2 = 0, т.е. либо С2 = 0, либо с\ -> оо, что противоречит
условию, наложенному на постоянные ci, С2- Следовательно, — 1 <
< а ^ 1- В частности, а = 1 при С2 = с2 = 1, и а = 0 при
с2 = с2/2.
Используя разложение в ряд Тейлора по степеням малого
параметра а, можно выразить операции системы SHQ (\a\ < 1) через
операции систем 9^о (при х2-\-у2 Ф 0) и £Hi (при х фу). Например,
х Аа у = (1 - а)(х Л0 у) - а(х ~о у) + 0{а2) (1.1.8)
и
ж Ла у = (l + i^J (я; Л! у) - Ц^(* ~i у) + 0[(а- I)2],
(1.1.9)
где R-эквивалентность х ~о У = ху/у/х2 + у2, х ~i у = жу/|х—у|.
1.1.3. Нормализованные уравнения. При решении краевых
задач для уравнений в частных производных математической
физики часто используются нормализованные функции областей.
Определение 1.4. Уравнение области ип = 0 называется
нормализованным до п-го порядка, если
_ - 0*<j„
I П ^
an
зп 9п*
= 1, к = 2,...,п,
(1.1.10)
где п — вектор внешней нормали к границе, определенный в ее
регулярных точках. В случае, когда выполняются лишь первые два
условия (1.1.10), то удовлетворяющая им функция и>\ называется
нормализов анной.

1.1. R-функции и обратная задача аналитической геометрии 17
Например, в качестве нормализованного уравнения прямой
может быть взято ее обычное нормальное уравнение
х cos a + у sin a — р = О,
где р — полярное расстояние, a — полярный угол.
Нормализованное уравнение границы ш\(х,у) = 0 может быть получено из
обычного ш(х, у) = 0 следующим образом.
Теорема 1.1. Если ш(х,у) Е Cm(R2) удовлетворяет
условиям и)\до. = 0 и ди;/дп\дп > 0, то функция
ui = cv/y/u2 + \Vu;\2 е Cm-\R2), (1.1.11)
где |Vu>| = yj{duj/dx)2 + (ди/ду)2, удовлетворяет условиям
wi\dto = 0? 9ui/dn\dQ = — 1 во всех регулярных точках
границы dil.
В конструктивном плане нормализация уравнения области
приводит к усложнению алгебраического выражения в левой части
(1.1.3). Однако, на практике процесс построения
нормализованных уравнений для широкого класса областей можно упростить.
Теорема 1.2. Функция а>(х,у), образованная из
нормализованных функций Ш{(х,у) с помощью Коопераций систем 9Яа;
о
9\ или 9Я, также нормализована в регулярных точках границы,
р п
если д£}{ f] dCtj = 0 при j ф j.
Теорема доказывается непосредственным
дифференцированием R-операций по нормали на границе области. Последнее
замечание в условии теоремы 1.2 существенно, так как, например,
ш Ло и = ш(2 — \/2), а и Vo ш = и(2 + \/2), т. е. результат R-
конъюнкции или R-дизъюнкции функции с собой эквивалентен
умножению функции на константу, что нарушает нормализован-
ность.
Из теоремы становится ясен также смысл нормализующего
множителя (1 + а)-1, фигурирующего в операциях системы У\а.
Используя теорему 1.2, нормализованные уравнения границ
некоторых простейших геометрических объектов в R2 (табл. 1.3),
а также преобразования переноса и поворота координат, можно
автоматически получать нормализованные в регулярных точках
границы уравнения более сложных областей. Так,
нормализованное уравнение прямоугольника с длинами сторон 2а и 26 имеет
вид
£<.>-.•> л £(*-л-о,
О
где Л — R-конъюнкция одной из систем: 1Яа, £К или *Н.

18
Гл. 1. Введение в теорию К-функции
Таблица 1.3. Нормализованные уравнения границ некоторых простых
геометрических областей
Геометрический объект
Полоса шириной 2а,
параллельная оси OY
Окружность радиуса R с
центром в точке (0,0)
Эллипс с полуосями а, Ъ и
центром в точке (0,0)
Нормализованное уравнение
Л2 J1
а ~х -о
2а -°
Я2-*2-*/2 о 1
2#
2 2
л х у*
а2 Ь2
i/H-S)'4^S)
= 0
Кроме выражения в знаменателе (1.1.11) можно применять
другие не обращающиеся в нуль функции, совпадающие на
границе с du/dn. Простейшей формулой нормализации функции ш
является
"1 = кТП—• (1ЛЛ2)
Так, нормализованное уравнение прямой ах + Ьу-\-с = 0 имеет вид
ах^Ьу + с =
С помощью (1.1.12) после несложных преобразований получаем
нормализованное уравнение эллипса, более простое, чем
представленное в табл. 1.3:
а2Ъ2 - Ъ2х2 - а2у2 _
2аЪу/а2 + b2-x2-y2 ~
Оно имеет особенность в точках окружности х2 + у2 = а2 + Ь2, т. е.
за пределами области. Из последнего выражения в частном случае
для окружности имеем
R2 - х2 - у2
х2 — у2
= 0.
2^/Ш
Очевидно, что добавление слагаемых вида ш2Ф (Ф — произвольная
положительная внутри И дифференцируемая функция) к правой
части выражений (1.1.11) дает пучок нормализованных,
обращающихся в ноль на границе функций:

1.1. R-функции и обратная задача аналитической геометрии 19
Слагаемые под корнем в формулах (1.1.11), (1.1.14) имеют разные
размерности и могут сильно отличаться по порядку, поэтому в
общем виде целесообразно домножать со2 на произвольную гладкую,
положительную внутри Q, функцию /:
0)1 = /f 2 + |T7lI+Cj2*2- (LL15>
\ffu)1 + |Vcj|2
В частном случае удобно взять / = const > 0.
1.1.4. Построение уравнений границ объектов предфракталь-
ной геометрии. В настоящее время большой интерес вызывают
задачи расчета физических полей на объектах фрактальной
природы [6]. Метод R-функций позволяет легко строить уравнения
границ областей фрактальной (точнее, предфрактальной)
геометрии [7,8], что дает возможность осуществить эффективную
численную реализацию вариационных методов применительно к
областям такого рода.
В основе построения широкого класса фрактальных объектов
является понятие канторового множества на прямой [9]. Исходным
является отрезок [0,1]. Исключаем из него интервал (1/3,2/3).
Из каждого сегмента оставшегося з&мкнутого множества опять
исключаем среднюю треть, т.е. интервалы (1/9,2/9) и (7/9,8/9), и
т. д. Подсчитываем длину оставшихся отрезков, пользуясь
формулой геометрической прогрессии, а затем, переходя к пределу,
получаем ноль. Вместе с тем, нетрудно проверить, что общая длина
удаленных отрезков стремится к 2/3. Следовательно,
оставшаяся часть должна иметь длину 1/3, несмотря на то, что не
содержит в себе ни одного отрезка. Парадокс объясняется тем, что
рассматриваемый объект имеет фрактальную геометрию, а
значит, обладает дробной размерностью Хаусдорфа-Безиковича. Эту
размерность можно определить следующим образом. Рассмотрим
некоторое множество точек в ./V-мерном пространстве. Возьмем
кубы размера е\ и посчитаем, какое минимальное их число может
покрыть все множество. Обозначим это число через n(ei).
Затем возьмем кубы с размером £2- Окажется, что их нужно п(^2).
Уменьшая размер куба, получаем в пределе величину
D = lim|logn(e)/loge|,
называемую фрактальной размерностью множества или
размерностью Хаусдорфа-Безиковича. Для канторового множества эта
размерность оказывается дробной, D = log 2/ log 3 = 0.630 ...
Множества, аналогичные канторовому, могут быть построены на основе
функции Вейерштрасса с использованием подходящих функций,
например, атомарных, в качестве генераторных (см. [10-12], где
атомарно-фрактальные функции используются для построения
новых типов антенных решеток).

20
Гл. 1. Введение в теорию R-функций
Построение уравнения фрактальной области «Ковер Сер-
пинского». Ковер Серпинского [13] является обобщением канто-
рового множества на двумерный случай. Процесс его построения
показан на рис. 1.3. Исходный квадрат (0) разбивается на 9
равновеликих квадратов, центральный из которых исключается (1).
\щiHlmfllnInlff п И
И ■ |УШ[НIH1H1ЙЙ
Уж ■ У Ш 1U УШ-Ш
(0) (1) (2) (3)
Рис. 1.3. Последовательные этапы построения ковра Серпинского
Далее каждый из оставшихся квадратов подвергается аналогичной
процедуре (2), и т.д. Устремляя этот процесс к бесконечности,
получаем в итоге фрактальный объект — ковер Серпинского с
дробной размерностью D = lg 8/ lg 3 » 1.893. Поскольку реализовать
его на практике невозможно, то процесс прерывается на k-м шаге.
При этом получается так называемый предфрактал &-го уровня.
Следуя [4], рассмотрим вначале применение метода R-функций
для построения уравнений границ областей, обладающих
симметрией трансляционного типа. Пусть в Д2 Ео = [шо(х,у) ^ 0],
шо Е Cm(fi), есть область, симметричная относительно оси
ординат, которая заключена в вертикальную полосу —а < х < а, a
£*г = [шо(х — ih, у) ^ 0], г Е «£, — области, полученные смещением
So вдоль оси абсцисс на размеры, кратные h ^ 2а, где h — шаг
трансляции. Тогда граница dCl области
П= Г) Si
(1.1.16)
задается уравнением
где
//(ж, а, К) =
h
arcsin <
7Г
-а;о(//(х,а,/г),у) =0,
sin (-х)Ст(а, h)S\(а, К)
(1.1.17)
Ст(а,ВД(а,/г) + [1 - Si(a,h)]pm+l(x,a,h)

1.1. R-функции и обратная задача аналитической геометрии 21
Cm(a,h) = 2™+1 cos2(-+1) (£а) , Sfah) = sin (^ + J),
p(x,a,/i) = [S^O^a,/г)| — £2(2;, a, /г),
52(x, а, Л) = sin2 f^a) - sin2 (^-x) . (1.1.18)
Выражения (1.1.17)—(1.1.18) позволяют существенно
уменьшить число арифметических операций по сравнению с прямым
использованием формулы (1.1.16). При этом, если функция шъ(х,у)
нормализована, то и функция и(х,у) также будет
нормализованной. Случаи, когда исходная область не является симметричной
Рис. 1.4. Нормализованное уравнение квадрата, построенное с помощью R-one-
раций системы £Но (предфрактал 0-го уровня)
относительно оси ординат, а направление трансляции
произвольно, подробно рассмотрены в [4].
Пусть предфрактал нулевого уровня ковра Серпинского
описывается уравнением (рис. 1.4)
шо(х,у) = ^((а2 - х2) Аа (а2 - у2)) = 0. (1.1.19)
Тогда предфрактал 1-го уровня определяется R-конъюнкцией
и)\(х,у) =шо(х,у) Л0 [3_1-»а;о(Зх,Зу)] =0.
Очевидно, выражение
k-i г 3m-i
шк(х, у) = До { 3"т V) "1 i3™* ~ 1 + 3"m(2i + ^
т=0 I i,j=0
3my - 1 + 3"m(2j + !)][= О, (1.1.20)

22
Гл. 1. Введение в теорию R-функций
где к = 1,2,..., является уравнением предфрактала fc-ro уровня
ковра Серпинского.
Утверждение 1.1. Уравнение (1.1.20) является
нормализованным.
Действительно, если уравнение cj(x,y) = 0 нормализовано, то
нормализованным будет и уравнение a~lu(ax, ay) = 0. Согласно
теореме 1.2, применение R-операций системы £Но к
нормализованным уравнениям сохраняет свойство нормализованности.
Доказательство утверждения следует из того, что уравнение (1.1.19) для
шо{х,у) нормализовано.
Выражение (1.1.20) неудобно в вычислительном плане, так как
с каждым последующим шагом дополнительно требует вычисле-
Рис. 1.5. Линии уровня и поверхности нормализованных функций предфракта-
лов 1-го (а) и 2-го (6) уровней ковра Серпинского
ния З2* операций R-дизъюнкции и одной R-конъюнкции. Поэтому
целесообразно воспользоваться свойством симметрии трансляци-

1.1. R-функции и обратная задача аналитической геометрии 23
онного типа вдоль осей абсцисс и ординат одновременно. В
результате получается следующая рекуррентная формула:
Wk(
*>!/) = S
ш0(х,у), fc = 0,
u)k-\{x - у) Л0 Fk{x, у), к = 1,2,...,
где а>о(ж,у) определяется из (1.1.19), а
Fkfav) =
2 . (. (Ък~хъ \\ Л . (. (Ък~1
(1.1.21)
= -3-*о;о
3—arcsinlsin I -
-х\ 1 , З—arcsinlsin ( -
7Г
fc = l,2,... (1.1.22)
На рис. 1.5 показаны линии уровня и перспективные проекции
поверхностей для нормализованных уравнений предфракталов
1-го и 2-го уровней ковра Серпинского, полученные с
использованием (1.1.21).
Следует отметить, что без использования метода R-функций
построение предфрактала даже 1-го уровня невозможно.
Действительно, если вместо операций R-конъюнкций используются
обычные произведения
шо(х,у) = (1 -х2)(1 -у2), ui(x,y) = -w0(x,y) -o;o(3x,3y),
то последнее обращается в нуль не только на границе области, но
и внутри нее, где оно меняет свой знак.
Построение уравнения фрактальной области «Салфетка
Серпинского*. Еще одним примером обобщения канторового
множества на двумерный случай является салфетка Серпинского [6],
построение которой иллюстрируется на рис. 1.6. При построении
(0) (1) (2) (3)
Рис. 1.6. Последовательные этапы построения салфетки Серпинского
уравнения салфетки Серпинского можно идти двумя путями.
Рассмотрим отдельно каждый из них.
1-й способ. Нормализованное уравнение предфрактала
нулевого уровня имеет вид
ш0(х,у) = Sli(x,y) Л0 ft2(ff,y) Л0 ^з(я,у), (1.1.23)

24
Гл. 1. Введение в теорию К-функций
где
шх
(х,у) = ^ ( VHx-y + — j ,
^2(х,у) = £li(-x,y), £1з(х,у) = У +
V3
Предфракталы fc-го уровня образуются путем дизъюнкции
масштабированных и смещенных предфракталов (к — 1)-го уровня:
-к.
ик(х,у)=2 шк_х
2х,2у
ч/з'
Vo uk-i
1 о л/3
2х + -,2у + —
Vo
Vo^A:-l
1 о л/5
, А: = 1,2,... (1.1.24)
2-й способ. Как известно [4], система бесконечных полос
шириной 2а, параллельных оси абсцисс и смещенных с шагом h вдоль
оси ординат, определяется следующим нормализованным
уравнением:
h ( 2пу 2тга\ Л . ^ Л ч
_^cos_E_cos_j=„. (ы.25)
Предфрактал нулевого уровня определим как пересечение 3-х
систем полос, повернутых друг относительно друга на угол 60°:
И)(я,у) = ^i(y)A0^2 [х- -,yj Ло^з Ы + -,yj , (1.1.26)
где
n1(y) = ^cos^yy
Щх, у) = fti f ——х + -у J , Пз(я?, у) = 0,1 f —ж + -у I .
Конечная рекуррентная формула для предфрактала к-то уровня
имеет вид
ш0(х,у), к = 0,
шк(х,у) = \ "*-i(x,i/)Ao
A0Fk(x,y + ^={2-k-(-l)k)j, к = 1,2,...,
(1.1.27)

1.1. R-функции и обратная задача аналитической геометрии 25
где
Fk(x,y) = -2-*о^(2*я:,-2*у), к = 1,2,.
На рис. 1.7, 1.8 изображены трехмерные графики для пред-
фракталов 1-го и 2-го уровней салфетки Серпинского, полученные
обоими способами. Первый способ дает более однородную картину
Рис. 1.7. Линии уровня и перспективные проекции поверхностей для
нормализованных уравнений предфракталов 1-го (о) и 2-го (б) уровней салфетки
Серпинского (1-й способ)
Рис. 1.8. Линии уровня и перспективные проекции поверхностей для
нормализованных уравнений предфракталов 1-го (а) и 2-го (6) уровней салфетки
Серпинского (2-й способ)
линий уровня по отдельным сегментам, в то время как второй
обладает лучшим быстродействием. Какому подходу следует
отдать предпочтение, зависит от конкретной задачи.
Справедливо следующее утверждение.
Утверждение 1.2. Уравнения (1.1.21), (1.1.24), (1.1.27)
являются нормализованными.
Доказательство аналогично доказательству Утверждения 1.1 и
основано на том, что применение формул (1.1.17), (1.1.18)
сохраняет свойство нормализованности.
Построение уравнения фрактальной области «остров Коха».
Кривая Коха [6] представляет собой пример кривой, которая ни

26
Гл. 1. Введение в теорию R-функций
в одной точке не имеет касательной. Первые этапы построения
кривой Коха показаны на рис. 1.9.
Из начального отрезка-основы удаляется средняя третья часть
и заменяется сторонами равностороннего треугольника. Затем
такая же процедура применяется ко всем получаемым отрезкам,
(0)
А / \_т\£)
Рис. 1.9. Последовательные приближения кривой Коха
а предел этих операций и дает кривую Коха. Если основа имеет
длину 1, то фрагмент будет состоять из четырех отрезков, каждый
длины 1/3 и, следовательно, общей длины 4/3. На следующем
шаге получаем ломаную, состоящую из 16 отрезков и имеющую
общую длину 16/9 или (4/3)2 и т.д. Так как на каждом шаге
lg4 __ lg42 _ _ lg4* __
1^~1^~'*~1^3* ~''''
то фрактальная размерность кривой Коха D = lg 4/ lg 3 « 1.26.
Кривая Коха самоподобна: каждая часть представляет собой
уменьшенную копию целого. Это позволяет осуществить
следующую процедуру построения уравнения области, расположенной
ниже кривой Коха, с помощью метода R-функций. Пусть исходная
область есть полуплоскость у ^ 0. Тогда уравнение ее границы
а;0 = -у = 0. (1.1.28)
Алгоритм нахождения уравнения предфрактала fc-ro уровня (k ^
^ 1) кривой Коха состоит из двух этапов:
1) R-дизъюнкция функции Шк-\ со своим отражением
относительно прямой у = — х\/3 + 3*_1\/3:
йк{х,у) =
, W/ /-x-j/v/3 + 3* -ху/3 + у + Зк-1уД\
= u>k-i{x,y) Vo;fc_i I - ' 2 J '
(1.1.29)

1.1. R-функции и обратная задача аналитической геометрии 27
2) R-конъюнкция функции uk со своим отражением
относительно прямой х = 3h/2:
шк(х, у) = wk(x, у) Л £5*(3* - х, у). (1.1.30)
Функция (1.1.30) будет нормализованной при использовании
R-операций системы 9Яа. Поскольку фрактал Коха имеет входящие
углы в = 47г/3, то для учета сингулярностей в выражении (1.1.29)
следует использовать сингулярную R-дизъюнкцию.
Используя свойства модуля, в случае a = 1 можно получить
выражение для границы предфрактала fc-ro уровня и без
использования R-операций:
"к =
= "*-1 {*'*[- \х№к,у)\,Ук(*к,у)], Ук[~ \х№к,у)\,Ук(хк,у)]},
(1.1.31)
где
**(*>!/) = IMl- у) + Зк~\ у'к(х,у) = -(х + у\/з),
хЦх, y)=xV3 + y- З^л/З, у£(х, у) = -х + <л/3 + З*"1,
гл = 1(з*-|3*-2*|).
Можно убедиться, что функции, построенные с помощью
выражений (1.1.30), (1.1.31), тождественно равны. К сожалению, плохие
Рис. 1.10. Линии уровня функций предфрактала кривой Коха 3-го порядка,
построенные с помощью операций систем £Яо (о.) и £Hi(6)
дифференциальные свойства функции (1.1.31) затрудняют ее
применение в численно-аналитических методах.
На рис. 1.10 представлены линии уровня (положительные
значения) предфрактала кривой Коха 3-го порядка, построенные с
помощью операций систем £Но и JHi.

28
Гл. 1. Введение в теорию R-функций
Если кривую Коха строить на сторонах равностороннего
треугольника, получим геометрический объект, называемый
островом (снежинкой) Коха [6]. Уравнение границы острова Коха
конструируется с применением трех операций R-конъюнкции к
функциям кривых Коха, повернутых друг относительно друга на 60°.
Рис. 1.11. Линии уровня функций предфрактала острова Коха 3-го порядка,
построенные с помощью операций систем ifto (а) и ffti (б)
Так, уравнение, симметричное относительно начала координат,
имеет вид
Wk(x, у) = шк\ ——, I Л
"к
Ашк
2 ' 2
Гу-хуД + Зк -х-ууД-Ък-1уДУ
К 2 2
-у-хуД + Зк -х + уу/3-Зк~1у/3У
. (1.1.32)
На рис. 1.11 показаны графики линий уровня функции
предфрактала острова Коха 3-го порядка, построенные с помощью
операций систем 9Яо и £Hi.
1.2. Метод R-функций
и структуры решения краевых задач
В большинстве случаев математические модели физических
полей имеют вид краевых задач для дифференциальных
уравнений с частными производными. Задача расчета поля сводится к
отысканию в некоторой области Q решения и уравнения Аи = /
при следующих условиях на границе dQ, области Q: L{U — щ,

1.2. Метод R-функций и структуры решения краевых задач 29
г — 1,... ,т, где Л и ^ — заданные дифференциальные
операторы; / и щ — функции, определенные соответственно внутри
области Л и на участках dQ ее границы. Участки д£1{ не
обязательно все различные и могут совпадать со всей границей д£1.
Приведенные в постановках краевых задач функции м, /, ipi и
операторы А и L{ называются аналитическими компонентами
краевой задачи; область $7, ее граница <9$7, участки границы дП{ —
геометрическими компонентами. Особый интерес представляют
краевые задачи расчета полей, зависящих от двух и более
координат. Характерная особенность таких задач — зависимость поля
от геометрических форм, имеющих в реальных объектах весьма
сложную конфигурацию. Это может быть форма области Г2,
участков dCli, границы дП, линий или поверхностей разрыва
аналитических компонент и др. Более того, в случае краевых задач
для кусочно-однородных сред, сами операторы Аи Li могут иметь
совершенно различный вид в разных подобластях flj С £1 и на
участках dQ>i С Q. Существование двух разнородных видов
информации (аналитической и геометрической) является серьезным
препятствием при отыскании решения краевой задачи. При
исследовании и решении краевых задач необходимо не только
учитывать вид формул, входящих в постановку задачи, но и приводить
геометрическую информацию к аналитическому виду,
позволяющему включать ее в разрешающий алгоритм. Осуществить эту
процедуру позволяет метод R-функций.
1.2.1. Дифференциальные операторы. Структуры решения
краевых задач. С помощью нормализованного уравнения можно
строить пучки функций, нормальная или тангенциальная
производная которых, либо произвольная линейная комбинация указанных
производных и самой функции на границе области принимает
заданные значения. Для этого введем сначала следующие линейные
дифференциальные операторы с переменными коэффициентами,
зависящими от формы области:
п = —— —— П9П
дх дх ду ду'
Т = _^А + ^А, П.2.2)
дх ду ду дх'
где ш(х,у) — нормализованное уравнение границы области. При
этом для произвольной достаточно гладкой функции / на границе
области дО, будет иметь место
Ж
дп
Df\dn~ Яг. > Tf\dQ~ dt
дп

30
Гл. 1. Введение в теорию R-функций
где n, t — векторы внешней нормали и касательной к границе
соответственно. Аналоги операторов D и Т, соответствующие
участкам dfli границы д£1, будем обозначать через
Х)№ = ^i — + d^iJL т{г) = _^i A + du)i д
дх дх ду <9у' дх ду ду дх1
где oji(x, у) — нормализованные уравнения участков границы dQi.
Операторы (1.2.1), (1.2.2) являются частными случаями
операторов более общего вида
дш д
ду ду
d -vc^^V'Y^V дп -(дшд I
П {^ П\дх) \ду) dxn~ldyi \дхдх
h \дх) \ду) дх»-1ду*'
так что D = jDi, T = Т\. С помощью операторов Dn возможно, в
частности, построение функции области, нормализованной до п-го
порядка на ее границе (см. Приложение 1).
Пусть внутри ограниченной области Q, С R2 необходимо найти
решение операторного уравнения
An = f (1.2.3)
с заданными краевыми условиями
Ь{и = (ри i = l,N, (1.2.4)
на участках дО, границы сЮ. Здесь А и L{ — дифференциальные
операторы (Li в частном случае могут представлять
тождественный оператор).
Определение 1.5. Общей структурой решения краевой
задачи называется выражение
и = В(Ф,цй}Ц1,^}^), (1-2.5)
которое при любом выборе неопределенной компоненты Ф точно
удовлетворяет краевым условиям. Здесь В — оператор,
зависящий от геометрии области £2 и участков dili ее границы, а также
операторов краевых условий, но не зависящий от вида оператора А
и функции /.
Соответственно, частной структурой решения будем
называть, выражение вида
и = Вг(Ф,и),ии(рг),
при любом выборе неопределенной компоненты точно
удовлетворяющее лишь граничному условию на г-м участке границы сЮ.

1.2. Метод R-функций и структуры решения краевых задач 31
Таким образом, структура решения осуществляет продолжение
граничных условий внутрь области. Метод R-функций
применительно к решению краевых задач часто называют также
структурным методом К-функций. Основные типы краевых
условий для дифференциальных уравнений в частных производных
второго порядка (например, Лапласа, Пуассона, Гельмгольца) и
структуры решения соответствующих краевых задач приведены
в табл. 1.4.
Таблица 1.4. Основные типы краевых условий и структуры решения
Краевые условия
Структуры решения
Условие 1-го рода (Дирихле)
и = о>Ф + ip
(структура Канторовича)
Условие 2-го рода (Неймана)
ди/дп\дп = ip
и = (1 — иП)Ф — илр
Условие 3-го рода (Ньютона)
(ди/дп + hu)\dn = ip
и = [l + uj(h - Dj\ Ф - илр
Смешанное условие
и\еъ = ^>
(ди/дп + М|ап2 =^2
1 +
'U)iU>2
U)\ + LJ2
(h-D^)
(илФ + ipi) -
U)\U)2
U)\ +U)2
<f2
Примечание: в структурах решений для краевых условий
дифференциального типа функции и>(х, у) и о>2(#, у) — нормализованные.
Структуры решения для краевых условий дифференциального
типа можно также получить с использованием разностных
аналогов операторов D и Т:
Df=f(x,y)-f(*-hx,y-hy)+0[ д
Tf=f(*-lX,y-ly)-f(x,y)+0[„( ц
и(х,у)
где
Лх =а;(ж + а;(я:,у)/2,у) -ш(х-ш{х,у)/2,у),
hy = ш(х, у + ш(х, у)/2) - ш(х, у - ш(х, у)/2),
/х = а;(ж, у + и)(х, у)/2) - а;(х, у - и(х, у)/2),
/у = -ш(х + ш(х,у)/2,у) +ш(х-ш(х,у)/2,у),

32
Гл.1. Введение в теорию R-функций
1.2.2. Обобщенная формула Лагранжа. Задача построения
уравнения сложного геометрического объекта является частным
случаем более общей проблемы, когда искомая функция <р принимает
на различных участках dfli границы области Q, заданные
значения </?;, т.е.
(р — (fi на dfli) г = 1,...,га. (1.2.6)
Для простоты будем считать, что щ — элементарные функции,
определенные везде в области Q, U сЮ.
С применением методики, описанной выше, конструируются
функции uf, равные нулю везде на сЮ, за исключением участка
dfli. Тогда функция
* = !>,? 5>? (1.2.7)
удовлетворяет условиям (1.2.6) и определена везде в области, за
исключением точек, общих для различных участков. Кроме
выражения (1.2.7), справедлива также формула
га / га \
где LOi = 0 — уравнение участка сЮг границы сШ, причем Ш{ > О
вне сШ;. При приближении к участку дС1{ функция Ш{ —> 0 и
предельные значения функции ^ совпадают со значениями
соответствующей фуНКЦИИ (fi.
Следует отметить схожесть формулы (1.2.7) с классической
интерполяционной формулой Лагранжа. Отличие заключается в том,
что в обычной задаче интерполяции заданы значения функции в
точках xo,xi, • • • ixm-, в т0 время как в формулах (1.2.7) и (1.2.8)
предполагаются известными значения функции на участках dCli
границы сложного геометрического объекта И.
В выражениях (1.2.7), (1.2.8) вместо функций щ можно
записать пучки функций, совпадающих на участках dfli с ^, а
именно (fi заменить на tpi + Ш{Ф{, где Ф^ — неопределенная
ограниченная функция. Таким образом, вместо (1.2.8) можно записать
формулу для пучка функций, принимающих на участке дО,
заданные значения:
га /га \ /га \
<p=52<Piu>r1\T,uil] + ф Х>гЧ +«ф» (1-2-9)

1.2. Метод R-функции и структуры решения краевых задач 33
где uj — 0 — уравнение границы dfl; Ф — произвольная
ограниченная функция; Ф — Ф] + • • • + Фт. Неопределенные
компоненты ФиФ пучка функций (1.2.9) можно использовать для
удовлетворения дополнительным условиям, которые возникают при
использовании пучков в краевых задачах.
1.2.3. Проблема выбора неопределенной компоненты
структуры решения. Неопределенная компонента Ф в выражениях типа
(1.2.5), (1.2.9) обычно аппроксимируется рядом
m
Ф(х,у) = ^2скфк(х,у), (1.2.10)
где фк — элементы полной системы координатных функций
(алгебраические и тригонометрические полиномы, специальные
функции, сплайны, атомарные функции), а ск — неизвестные
коэффициенты, находящиеся с помощью одного из вариационных или
проекционных методов (Ритца, Бубнова-Галеркина, коллокации,
наименьших квадратов и др. — см. Приложение 2). Выбор
системы координатных функций фк в (1.2.10) существенно влияет на
точность аппроксимации. В целом, можно выделить два основных
класса базисных функций: глобальные (функции с бесконечным
носителем) и финитные (функции с конечным или компактным
носителем). Это свойство инвариантно относительно
трансформации функций фк с помощью структурных формул. Действительно,
умножение финитной функции фк на функцию области или
применение к ней какого-либо дифференциального оператора
сохраняет свойство компактности носителя. В этом пункте
рассматриваются некоторые вопросы аппроксимации с помощью глобальных
базисных функций; приближение на основе финитных атомарных
функций будет изложено в следующем параграфе.
Существуют две наиболее часто применяемые в численном
анализе группы глобальных функций (одномерных):
1) линейные комбинации функций
JL, Ju * Ju ,...«£/ ,
что совпадает с классом всех многочленов степени п (или меньше);
2) тригонометрические функции вида
cosoja;, sinaja;,
широко используемые также в спектральном анализе.
Кроме того, применяются и другие типы базисных функций,
например: экспоненциальные функции
2—2176

34
Гл. 1. Введение в теорию R-функции
встречающиеся, при решении задач радиоактивного распада;
рациональные функции (отношения многочленов)
^TaiX^^TbjX3;
» з
специальные функции (Бесселя, Матье и др.). Хотя в данной книге
будут рассмотрены лишь алгебраические полиномы и
тригонометрические функции как наиболее простые в численной
реализации, результаты могут быть перенесены и на более общий случай
произвольного базиса.
Каждая из двух групп базисных функций обладает одним
важным свойством: конечное множество функций такой группы
переходит само в себя, когда аргумент х заменяется на х + с, где
с — некоторое число (инвариантность относительно сдвига).
Например, если Р(х) — многочлен степени п, то Р(х + с) — также
многочлен степени п по х, хотя и с другими коэффициентами. То
же самое относится и к тригонометрическому базису. Важность
этого свойства заключается в том, что при решении краевой
задачи не требуется иметь сведений о начале отсчета, т. е. его выбор
не влияет на конечный результат, а позволяет лишь, в случае
симметрии, отбросить часть функций, упростив процедуру численной
реализации.
Множество линейных комбинаций 1,х,х2,... ,хп имеет еще
одно важное свойство, а именно: как множество оно также не
изменяется при замене х на сх (инвариантность относительно сжатия-
растяжения). Функции тригонометрического базиса этим
свойством не обладают, что является одним из основных отличий между
рассматриваемыми системами координатных функций.
Построение многомерных систем базисных функций обычно
осуществляется путем тензорного произведения функций,
одномерных по каждой координате. Широкая распространенность
аппроксимации на основе алгебраических и тригонометрических
многочленов в Rn основывается на двух известных теоремах Вей-
ерштрасса. Приведем их для случая п = 2 [14].
Теорема 1.3 (1-я теорема Вейерштрасса в R2). Пусть П —
любое замкнутое ограниченное множество в R2. Тогда для
всякой непрерывной на £1 функции /(х,у), при произвольном
е > 0 найдется многочлен P/vf?^(x,j/), где M,N —
неотрицательные целые числа, вида
М N
Pm,n{x,v) = J^^CfjarY,
такой, что при всех (х,у) Е £1 будет
\/(х,у)-РмАх>У)\<£- (1-2.11)

1.2. Метод R-функций и структуры решения краевых задач 35
Теорема 1.4 (2-я теорема Вейерштрасса в R2). Для
всякой 2k-периодической по каждой из переменных, непрерывной
во всем пространстве В? функции /(х,у), при произвольном
е > 0 найдется тригонометрический полином Тм,м{х,у), где
М, N — неотрицательные целые числа, вида
aij cos гх cos jy + b{j cos ix sinjy + ]
+ C{j sinixcosjy + dij s'mixs'mjy J
такой, что при всех (х, у) G Д2 будет
\f(x,y)-TMiN{x,y)\ <е (1-2.12)
В отличие от функций с финитным носителем, выбор
глобальных базисных функций в качестве координатных удобен тем, что
позволяет естественным образом учесть симметрию
аппроксимируемой функции. Пусть, например, искомое решение уравнения
Лапласа и удовлетворяет однородным условиям Дирихле на
границе дО, симметричной относительно оси ординат двумерной
области $7, и кроме того известно, что и(х,у) = и(—х,у). Очевидно,
что в случае гладкого решения ди/дх = 0 при х = 0. Данный
факт дает возможность существенно сократить количество
арифметических операций при численной реализации одного из
приближенных методов. Возможны три подхода.
1. Вместо всей области О, рассматривать лишь ее половину,
лежащую в левой или правой полуплоскости относительно оси
ординат. Структура решения выбирается из условия удовлетворения
смешанным краевым условиям на различных участках границы
(см. табл. 1.4). Чрезмерное усложнение структурной формулы
сводит к минимуму преимущества такого способа учета симметрии.
2. По-прежнему рассматривать часть области fi, но граничное
условие при х = 0 считать естественным, а структура решения
должна удовлетворять лишь условию Дирихле. Функция ш в этом
случае может иметь более простой вид. Точность аппроксимации
при таком подходе может быть недостаточно высокой.
3. Искомое решение ищется во всей области ft в виде структуры
Дирихле, а в выражении для неопределенной компоненты
структуры (1.2.10) остаются лишь члены, симметричные относительно
оси ординат. Полнота структуры при этом не будет нарушена, а
количество арифметических операций при использовании
алгебраического или тригонометрического базиса сократится вдвое.
Далее, как правило, будет использоваться последний подход,
как наиболее простой и экономичный в численной реализации.
Вопросы упорядочения (векторизации) элементов двумерных
полиномов рассмотрены в Приложении 3.
IVI 14 I
Pm,n{x, y) = ^2
- п « п

36
Гл. 1. Введение в теорию R-функций
1.2.4. Понятие полноты структур.
Определение 1.6. Структура (1.2.5), учитывающая
краевые условия (1.2.4), называется полной структурой на
множестве М, если существует такой элемент Ф* Е М, что выражение
и* = Б(Ф*,а;, {с^}^и {¥>»}i)Li) определяет точное решение
краевой задачи (1.2.3), (1.2.4).
Полноту структуры обычно удается обнаружить, пользуясь
следующей обобщенной теоремой Вейерштрасса [1].
Теорема 1.5. Если функция /(ж,у) непрерывна в
замкнутой ограниченной области Q, вместе с частными
производными df/dx и df /ду, то при произвольном е > 0 найдется
полином Р(х,у) такой, что при всех (ж, у) Е £1 будут
выполнены неравенства
\f(x,y)-P(x,y)l
д£_дР_
дх дх
<е,
д£_дР_
ду ду
<е. (1.2.13)
В частности, с помощью этой теоремы доказывается полнота
системы функций вида {ш(х,у)хгу:>}, где ш Е С(£2), и > 0
внутри fi, ш\дп = 0, и существуют ограниченные и непрерывные
производные дш/дх и дш/ду. Выражение для ш может быть
построено методом R-функций. Примером неполной структуры для
однородных условий Дирихле является, например, структура и = о;2Ф,
которая навязывает приближенному решению обращение
производной по нормали к границе в ноль, в то время как точное
решение таким свойством, как правило, не обладает.
Для случая ш Е С°°(С1) существует более общая теорема.
Теорема 1.6. (Л.В.Канторович [1]). Пусть система
функций {V'AjiSbLo полна в ^г(^)> а Функция ш(х,у) бесконечно
дифференцируема в П и удовлетворяет следующим условиям:
1) и;(х,у) еЩ (П);
2)ш(х,у)>0, (х,у)€П;
3)и(х,у)=0, (х,у)еШ;
4) \Ъш(х,у)\^0,(х,у)едП.
Тогда система функций
дк=ифк, к = 0,1,..., (1.2.14)
О О
будет полной в W\ (^) • (Определения пространств W\, W\ см.
Приложение 4.)

1.2. Метод R-функции и структуры решения краевых задач 37
Данная теорема обосновывает полноту структуры Дирихле [15].
Вопросы построения функции ш Е С°°(П) с помощью атомарных
функций обсуждаются в следующем разделе. В случае краевых
задач 2-го или 3-го рода для уравнений эллиптического типа
второго порядка нужно иметь систему функций {фк}^-^
удовлетворяющую лишь условию полноты. Это связано с тем, что краевые
условия дифференциального типа естественные и при численной
реализации им удовлетворять необязательно. Использование
общих структур решения задач Неймана и 3-го рода не нарушает
полноты вновь полученной системы базисных функций, позволяя
уменьшить их число для достижения требуемой точности
приближенного решения.
Обозначим через ^jU)(/?£) (е ^ 0) модуль непрерывности
функции / в пространстве Ck(Q), определенный равенством [16]:
"с|п) (/>*) =
= max
max
(*2,2/2)€П
{xi-X2)2+{yi-y2)2^e
Qi+jf
дхгдуэ
Qi+jf
t \ dxldvi
(z2,2/2)
(1.2.15)
Будем говорить, что функция / удовлетворяет в области Q условию
Липшица LipA/a, если для любой пары точек (xi,yi) и (#2,3/2) из
области fi имеет место неравенство
|/(*i,l/i) - /(*2,Ы| ^ М[(хг - х2)2 + (уг - y2)2]Q/2. (1.2.16)
В [16] доказаны следующие теоремы.
Теорема 1.7. Пусть Q — ограниченная замкнутая область
на плоскости с границей dCl; к — целое положительное число]
ш(х,у) — функция, определенная в открытой области,
содержащей $7, и удовлетворяющая следующим условиям:
1) ш{х,у) = 0 при (х,у) е дП] ш(х,у) ф 0 при (х,у) £ д£1;
2) функция дифференцируема к раз и ее производные к-го
порядка удовлетворяют условию Lip 1;
3) |Vo;(x,y)| > 0 при (х,у) G дП.
Тогда, если функция и(х,у), определенная и непрерывно
дифференцируемая к раз в области $7, обращается в нуль на д£1,
то можно построить последовательность полиномов Рп(х,у)

38
Гл. 1. Введение в теорию R-функций
степени ^ п относительно каждого из аргументов х и у, для
которой будет иметь место оценка
\u-u;Pn\\CrW=0{
,М
"с(п)(ц; У")
n*-r.
} , r = 0,l,...,fc. (1.2.17)
Теорема 1.8. ПустьО, — ограниченная замкнутая область
на плоскости с границей дП; к — целое положительное число;
и>(х,у) — функция, определенная в открытой области,
содержащей Q, и удовлетворяющая следующим условиям:
1) ш(х,у) = 0 при (х,у) G dfi; и{х,у) ф 0 при (х,у) ^ сЮ;
2) функция и дифференцируема, а ее первые частные
производные по обоим аргументам удовлетворяют условию Lipl;
3) |Уо;(ям/)| > 0 при (ж, у) G дП.
Тогда, если функция и(х, у), определенная и непрерывная в
области $7, обращается в нуль на дС1, то можно построить
последовательность полиномов Рп(х,у) степени ^ п относительно
каждого из аргументов х и у, такую, что
\\и - wP„||c(n) = 0{и>с{а)(и; 1/п)}. (1.2.18)
Обозначим через Da область определения оператора А в (1.2.3).
Определение 1.7. Структура (1.2.5), учитывающая краевые
условия (1.2.4), называется полной в смысле метрики p(u,v),
u,vG Da, если для любого сколь угодно малого е > 0 найдется
такой элемент Ф Е М, что будет выполняться неравенство
р(и*,и) <е, (1.2.19)
где и = В(Ф,и, {^i}£Li> {<Pi}iL\)i a и* — точное решение краевой
задачи (1.2.3), (1.2.4).
Например, система функций (1.2.14) (структура Дирихле)
будет полной в смысле метрики С(П), если к = О, N, т. е. принимает
конечные значения.
После того как полная или полная в смысле какой-либо
метрики структура построена, возникает вопрос об отыскании
элемента Ф* или Ф в множестве М. Чем шире это множество, тем,
вообще говоря, более сложной является задача поиска. На
практике при построении структур необходимо стремиться к тому,
чтобы множество М было возможно более узким. Однако следует

1.2. Метод R-функций и структуры решения краевых задач 39
учитывать тот факт, что если множество М окажется слишком
узким, то элементов Ф* или Ф может в нем не оказаться.
Определение 1.8. Пусть
щ=В(Фиш,{шг}11,{^}11), ФгеМи (1.2.20)
и2 = В(Ф2,а;,{^}^1,{^}^1), Ф2€М2, (1.2.21)
есть полные (полные в смысле определенной метрики) структуры.
Тогда, если М\ С М2 С М, М\ ф М2, то структура (1.2.20)
называется структурой лучшего качества, чем структура (1.2.21).
1.2.5. Типы областей. Почти R-функции. Сингулярные R-функ-
ции. В отношении областей, в которых будут находиться решения
краевых задач электродинамики, следует заметить, что это
области с так называемой границей Липшица [17].
Определение 1.9. Говорят, что Q, — область с границей
Липшица (в общем случае многосвязная), если она ограничена и
если существуют положительные константы а, /3, конечное
число га декартовых систем координат х^у^г\ г = 1, т и т функций
аг(х'г'), непрерывных на интервалах
|х(г)|<а, (1.2.22)
такие, что:
1) каждую точку (х, у) границы дП можно представить по
крайней мере в одной из рассматриваемых систем координат в виде
(х,у) = (х^,аг(х^)); (1.2.23)
2) точки (х, у) = (х(г\ у^), для которых выполняются условия
(1.2.22) и
аг(х{г)) < УИ < аг(х^) + (3 (1.2.24)
или
аг(х(г)) - /3 < i/r> < аг(хМ), (1.2.25)
лежат в Q, или за пределами О, соответственно.
3) каждая функция аг(х^), г = 1,т, удовлетворяет условию
Липшица на интервале |х(г)| < а, т.е. существует такая постоян-
(г) (г)
ная L, что для двух точек х\ , х\ из этого интервала выполняется
неравенство
|аг(4г)) -аг(4Г))| ^ ф2Г) -*}Г)|. (1-2.26)

40
Гл. 1. Введение в теорию R-функций
Примерами областей с границей Липшица могут служить
окружность, плоское круговое кольцо, треугольник и др. К
семейству областей с липшицевой границей не принадлежат, например.
а б в
Рис. 1.12. Области с нелипшицевой границей
двумерные области, имеющие точки возврата. Ряд областей с
нелипшицевой границей показан на рис. 1.12.
Одним из подходов к построению структур высокого качества
является исследование поведения известных точных решений для
областей с угловыми точками и другими типами сингулярностей,
и привнесение найденных особенностей в структурные формулы
[18,19]. Далее ограничимся случаем односвязных областей.
Очевидно, можно разбить их на два класса: выпуклые (рис. 1.13а) и
невыпуклые (рис. 1.135,в). Выпуклость в случае многоугольной
а б в
Рис. 1.13. Типы областей: выпуклая (а), невыпуклая с входящими углами (б),
невыпуклая без входящих углов (в)
области означает, что все внутренние углы меньше 7г. Поведение
решений уравнений эллиптического типа очень чувствительно к
наличию входящих углов. В таких точках теряет свой обычный
смысл дифференцирование по нормали и касательной. Так,
градиент собственных функций задачи Неймана имеет особенность в
таких угловых точках.

1.2. Метод R-функций и структуры решения краевых задач 41
Вместе с тем, можно выделить два типа невыпуклых областей
(рис. 1.136,в). Многоугольник на рис. 1.135 имеет четко
выраженные входящие углы. Область на рис. 1.13в не имеет входящих
углов (либо имеет так называемые слабо входящие углы, если
аппроксимировать окружность ломаной с большим числом звеньев),
и градиент собственных функций задачи Неймана представляет
собой гладкую функцию без особенностей.
Наиболее употребительные R-операции системы *Ra содержат
радикал, т.е. имеют корневую особенность, наличие которой
может существенно исказить характер поведения искомого решения
краевой задачи. Один из путей уменьшения погрешности
аппроксимации при решении краевых задач в невыпуклых областях
заключается в сглаживании входящих углов и последующем
добавлении к структуре решения членов, отличных от нуля в
окрестности особых точек и учитывающих особенности поведения
искомого решения [18,19j. При этом незначительно меняется
геометрия области, а погрешность, вызванная такой модификацией
границы существенно меньше ошибки аппроксимации,
возникающей при попытке решить задачу в исходной постановке, пользуясь
лишь гладкими базисными функциями.
Уравнения границ, имеющих Закругления в угловых точках
можно строить по общей методике [2], вводя дополнительные
опорные функции для каждого участка закругления. Однако, такой
прием приводит к излишней громоздкости уравнения о;(х,у) =
= 0. В [2] приводятся и другие подходы к сглаживанию границ,
основанные на использовании финитных функций и специальных
Дг-операций. При этом отмечается, что предложенные методики,
являясь практически приемлемыми, не дают полного решения
проблемы построения уравнений границы области без
особенностей в угловых точках.
Рассмотрим применение аппарата R-функций для сглаживания
углов области. Можно показать [20], что
lim (/iAa/2) = 7^-, (1.2.27)
где /i и /2 — непрерывные всюду функции со свойствами
/i(x,y) > 0 при (х,у) в Oi, fi\dQi = 0,
/2(х,у) > 0 При (Ж, у) е ft2, /2\Ш2 = 0.
Правая часть (1.2.27) не является R-конъюнкцией, а служит
лишь предельным элементом для нее. Из (1.2.27) следует, что
при любых а таких, что
-1<а< -1 + £

42 Гл. 1. Введение в теорию R-функций
где S — достаточно малое положительное число,
flh -£</iAtt/2-£<7%' (L2-28)
/1 + /2 Jl "" /1+/2
Здесь e = e(6, x,y) при фиксированных функциях класса C(ft)
(ft = Hi П ^Ы- Выражение в правой части (1.2.28) также не
является R-конъюнкцией, как и функция f\ Аа /г — £, так как
внутри области ft найдутся точки, в которых f\ > 0 и /2 > 0, но
/i Ла /2 — б < 0. Вместе с тем, функция U Аа /2 — е будет строго
положительной в некоторой подобласти ft области ft, т. е. на
некотором множестве, содержащемся вместе со своим замыканием в ft,
и, если е < /i Ла /2, то множество 5ft', на котором f\ Аа /2 — е = 0,
непусто.
Определение 1.10 [20]. Функция, знак которой всюду в R2
отличается от знака R-функции на множестве ft* достаточно малой
меры /ift*, называется почти R-функцией.
Почти R-конъюнкцию /iAQ/2 — e = 0 будем обозначать /iA^/2,
а почти R-дизъюнкцию /i VQ/2—e — соответственно /i V^/2. Здесь
константа £ определяет меру множества ft*. Среди свойств почти
R-функций /i Л* /2 и /i V* /2 выделим следующие.
1. Если ft' = {(х, у) : /i Л^ /2^0}, то знак почти R-конъюнк-
ции отличается от знака R-конъюнкции лишь на множестве меры
/i(ft\ft'). Если ft" = {(х, у) : /i V* /2 ^ 0}, где ft" С ft = fti U ft2,
то знак почти R^H3bioHK4HHjraiH4aeTCfl от знака R-дизъюнкции
лишь на множестве меры /i(ft\ft").
2. При е —> 0 почти R-функции переходят в соответствующие
R-функции, т.е. lim/i Л* /2 = /i Ла /2, lim/i V* /2 = /i VQ /2
(предельное свойство).
3. Почти R-конъюнкция /i Л^ /2 положительна в подобласти ft'
области ft, равна нулю на ее границе 3ft', и отрицательна в
остальных точках пространства R2; почти R-дизъюнкция /1 V^ /2
положительна в подобласти ft" области ft, равна нулю на ее границе
5ft", и отрицательна в остальных точках пространства В?.
4. /i Л* /2 = (7iV&72 + e)-e, /1 ^ Л = (7i Л* 72 + <0 - ^
(обобщенное правило де Моргана).
Рассмохрим теперь фушшшо ■&%■-,. левой „с™ нера-
/1 + /2
венства (1.2.28). Она также является почти R-конъюнкцией, но,
в отличие от рассмотренной выше такова, что в тех точках
пространства Д2, в которых |/i| = I/2I Ф 0, но функции /i и /2 имеют
разные знаки, она принимает отрицательные, бесконечно большие
по модулю значения. В тех же точках Я2, в которых |/i| = I/2I = 0,

1.2. Метод R-функций и структуры решения краевых задач 43
она, как и рассмотренная выше почти R-конъюнкция /гЛ^/г,
принимает значения, равные —е. Данная почти R-конъюнкция
обладает всеми свойствами почти R-конъюнкции f\ Л^ /г, кроме
второго. Однако, она имеет важное преимущество перед R-конъюнк-
цией и почти R-конъюнкцией f\ /\ea /2, а именно: не содержит
радикалов и модулей.
При конструировании сложных областей с угловыми точками,
вместо использования почти R-операций, можно применить
следующий подход. Пусть функция ш области Q, такова, что имеет
особенности лишь на границе 8Q (точнее, в угловых точках
границы). Тогда функция
ы£(х,у)=ш(х,у)-е, (1.2.29)
обращается в ноль на границе области Qe С £1 и положительна
внутри нее. Функция (1.2.29) гладкая на dVL£. Если функция ш
нормализована на $7, то расстояние между множествами dist {fi, Cl£} =
= 0{е). Аналогично (1.1.11), нормализованное уравнение
границы области £1£ имеет вид
ш0 = , Ш~& = 0. (1.2.30)
v^-^ + ivh2
В силу нормализованности, радиус кривизны плоской кривой,
описываемой неявным уравнением (1.2.30), можно найти по формуле
[Кд)2 + к„)2]
213/2
{Du0fl2
T2UQ Т2Ш0
(1.2.31)
Исследуем более подробно почти R-конъюнкцию на базе R-
конъюнкции системы 9\а (при a = const, \a\ < 1),
ш(х,у) = xAay = —— (х + у- у/х2 + у2 - 2аху) =0,
(1.2.32)
являющейся уравнением первого квадранта. Случай почти R-дизъ-
юнкции на базе R-дизъюнкции
1
w(x,y) =xVay = ——(х + У+\/х2 + У2~ 2аху) = 0 (1.2.33)
1 + а
(часть плоскости за исключением третьего квадранта)
рассматривается аналогично. С помощью операций (1.2.32), (1.2.33) строятся

44
Гл. 1. Введение в теорию R-функций
уравнения широкого класса более сложных областей. Уравнение
(1.2.32) имеет особенность (недифференцируемо) в точке (0,0).
Для устранения этой особенности рассмотрим почти R-конъюнк-
цию
1
ш£(х,у) =хЛеау = ——(х + у- у/х2 + у2 - 2аху) - е = 0.
1 + а
(1.2.34)
Анализ (1.2.34) удобно проводить, выразив в явном виде у
через х, В результате получим уравнение равнобочной гиперболы
2{х - е)(у - е) - е2(1 - а) = 0. (1.2.35)
Согласно (1.2.34), нас интересует лишь одна ветвь гиперболы,
лежащая в полуплоскости х + у — (1 + а)е > 0. Асимптотами (1.2.35)
являются прямые
х = е, у = е.
Радиус кривизны гиперболы
Р(Х) = &*(1-а)(х-е)> ' (L2-36)
а максимум кривизны соответствует
х | у^Г^о)
Центр кривизны располагается в точке (е(1 + у^2(1 — а)), е(1 +
+ >/2(1 - а))). Из (1.2.37) при а = 0 следует /9min = е. В то же
время, при а = 1 сглаживания области не происходит (/0min = 0 ).
Это связано с тем, что операции системы 9\\ недифференцируемы
на всей прямой х — у. Заметим, что при рассмотрении почти R-
дизъюнкции следует взять ветвь гиперболы (1.2.35), лежащую в
полуплоскости х + у — (1 + а)е < 0. Основные соотношения будут
аналогичны выше приведенным.
Исследуем теперь ситуацию, когда исходные прямые
(нормализованные) пересекаются под произвольным углом. Очевидно,
достаточно рассмотреть случай пересечения областей
Пх = (х > 0), П2 = {у~кх^ 0),
где к > 0. Применение почти R-конъюнкции системы £Но к
нормализованным уравнениям границ этих областей даст новую область

1.2, Метод R-функций и структуры решения краевых задач 45
с границей, описываемой уравнением
Л 1
к(х - е) + е{к + y/l + к2) + — \/1 + к2
2 х —
(1.2.38)
Асимптотами (1.2.38) являются прямые х = е и у = кх+е\/\ + к2.
Максимум кривизны достигается в точке (хо, (к + у/1 + к2)хо), где
^0 = ^(1 + 1/л/2), при этом минимальный радиус кривизны
(к2 - ку/Т+~№ + I)3/2
Anin = ^ лДТ¥ (1.2.39)
а центр кривизны находится в точке с координатами
Xr = e
1 + -^(1 + (ч/^М-1)2)
yc = £[k + {l + V2)Vk2 + l].
^ е при к <?С 1, и рп
е/А; при
Из (1.2.39) следует, что рт{}
А:»1.
Учитывая, что коэффициент к есть котангенс угла в между
исходными прямыми, выражения (1.2.38), (1.2.39) можно
переписать в виде
2{х - е) х
х (у sin 0 — х cos 0 — е) — е2 = 0,
(1.2.40)
Лх + е У 1 +£2
\/1 - cos 0 ,„ Л „ .
Pmin = e^— -. 1.2.41
1 + cos 0
Формула (1.2.41) справедлива
для случая почти R-конъюнк-
ции (а = 0) нормализованных
уравнений любых двух
пересекающихся прямых, независимо
от их ориентации по
отношению к системе координат.
Процесс сглаживания угла между
двумя прямыми показан на
рис. 1.14.
Уменьшить меру множества
П\£1е и приблизить форму об- Рис. 1.14. Сглаживание угла между
ласти Cte к форме и размерам двумя прямыми

46
Гл. 1. Введение в теорию R-функций
области fi, можно также с помощью функции
ше(х,у) = (1 -£)-1и;[(1 -е)х,(1 - е)у] -е.
(1.2.42)
Выражение (1.2.42) пригодно, если участки границы не совпадают
с координатными осями. Выбирая е малым, мы практически не
нарушаем нормализованности исходной функции.
Пример 1.2. Пусть исходная область Q, — квадрат с центром
в начале координат и длиной стороны 2 (рис. 1.15а). На рис. 1.155
Рис. 1.15. Исходная область (а); линии уровня функции а; (б) и функций а>с,
построенных по формулам (1.2.29) (в), (1.2.42) (г)
показаны линии уровня функции области
1-х2
^(*5у) = —y~a° 2
1-У2 л х2 + у2 + у/(1 ~ гт2)2 + (1 -у2)2
о -1 2
имеющей особенности в угловых точках, а на рис. 1.15в, г —
линии уровня функций о;е, построенных по формулам (1.2.29),
(1.2.42), соответственно, при е = 0.1.

1.2. Метод R-функций и структуры решения краевых задач 47
Определение 1.11. Система 9\а , где Е{е,(3) = £<pp{fi +
+ /2)5 а V/?(*) (>S > 0) — достаточно гладкая финитная функция
такая, что (рр{0) = 1, (pp(t) = 0 при |£| ^ 1//3, называется
локальной системой почти R-функций [21].
Варьируя параметр /?, можно добиться того, что сглаживание
будет осуществляться лишь в некоторой окрестности угловой
точки, на остальных участках граница останется прежней. Вместо
финитной функции можно также использовать любую другую
функцию, быстро убывающую с увеличением ff + /|.
Пусть граница области сЮ = Ui=i ^«- Обозначим через ft
угол между касательными к dfli и d£li+i в угловой точке (х^, yi) Е
Е сЮ;П^г+ь отсчитываемый внутри области против часовой
стрелки. Известно [22], что для решения уравнения Лапласа или
Гельмгольца в окрестности каждой угловой точки (х{,у{) имеют
место представления
и = ArJ/6i sin ^ + g(ru tpi) (1.2.43)
щ
для всякого решения задачи Дирихле, и
и = А0 + Axr\tBi cos ^ + g(ru Vi) (1.2.44)
для всякого решения задачи Неймана. Здесь п = л/х? + у?, ^ =
= arctg (yi/x{) — переменные местной полярной системы
координат с центром в (хгтУг) и полярной осью, направленной по
касательной к dfli, a g(ri,(pi) — некоторые функции, достаточно
гладкие внутри П и на гладких участках dfi, и такие, что g{r{,(pi) =
= o(vf )•
Рассмотрим применение системы R-функций из 9Х% для учета
особенностей в угловых точках границы области [21]. Пусть
касательные к участкам границы дС1{ и сЮг+i пересекаются под
внутренним углом ft. Поскольку для практики наибольший интерес
представляют так называемые входящие углы (7г < ft < 27г), то
без ограничения общности можно рассмотреть случай, когда
^г = {(^, у) :ш{(х,у) = у ^0}
и
fti+i = {(х, у) : ui+i (х, у) = х sin ft - у cos 0; ^ 0}.
Применим R-дизъюнкцию системы <Н™ к функциям ыг и о^+ь
Учитывая, что в полярных координатах х = rcostp, у = г sin y>,
получим щ \/™а;г+1 ~ rm+1. Для того чтобы R-дизъюнкция имела

48
Гл. 1. Введение в теорию R-функций
особенность вида г71"/^, необходимо потребовать га = 7г/0; — 1.
В частности, га = 0 при в{ = 7Г, га = —1/3 при в{ = 37г/2, га —>
-+ - 1/2 при 9i -> 2тг.
Определение 1.12. Система £И™ при га < 0 называется
сингулярной системой R-функций.
Определение 1.13. Система £Hq, где М(га,/3) = ггкрр х
х (/j2 + /|), га < 0, а <£/?(£) (/3 > 0) — достаточно гладкая
финитная функция такая, что (fp(0) = 1, <£/?(£) = 0 при |£| ^ 1//3,
называется локально-сингулярной системой R-функций.
Как и операции 9t£, R-функции из SK™ (га < 0) имеют
особенность в угловой точке, однако теперь характер этой особенности
согласован со спецификой решения уравнения Лапласа-Пуассона
или Гельмгольца. Эффективным может оказаться использование
сингулярной системы совместно с другими системами R-функций,
когда сингулярные R-операции применяются лишь для описания
участков границ, образующих входящие углы.
Для упрощения выкладок будем считать, что область Q, имеет
один входящий угол в. Через u/m) обозначим функцию области $7,
строящуюся с помощью системы 9Я™ и имеющую в окрестности
угловой точки порядок гп/в, т.е. т = -к/О— 1. Тогда структура
решения краевой задачи с однородными условиями Дирихле должна
иметь вид
и = Jm-S)pn, (1.2.45)
где
М N
p» = EEr™xv (1.2.46)
— алгебраический полином степени п = М + N, a s = min{p + q :
cpg ф 0}. Если 5 априори неизвестно, необходимо вместо (1.2.45)
использовать следующую структуру решения:
М N
и = ]Г ]Р CpqJn-r-tiafy*. (1.2.47)
р=0 q=Q
К недостаткам сингулярной системы 9\™ следует отнести
нарушение нормализованности функции, описывающей границу области.
Поэтому в случае краевых условий дифференциального типа
следует воспользоваться операциями системы 9\а • Так, в случае
однородных краевых условий Неймана структура решения
записывается в виде
и = Рп- Jm+l-^DMpn, (1.2.48)

1.2. Метод R-функций и структуры решения краевых задач 49
где
D<o)PnS(*:№± + b№d\
\ дх дх ду ду J
u{m+i-s)^ ш{0) — функции области $7, строящиеся с помощью си-
<vvM(m+l—sy3) сууО
стем inQ , Dt^, соответственно, и по-прежнему 5 =
= min{p + q : cpq ф 0}. При неизвестном s структура решения,
имеющая в окрестности угла поведение W0, должна иметь вид
М N
u = ^Лсря1хРУЯ -"{m+l~P~q)D{0){xpyq)]. (1.2.49)
p-Q q=0
Аналогично (1.2.48), (1.2.49) получаются структуры для
краевых задач 3-го рода.
1.2.6. Совместное использование обобщенного метода Шварца и
RFM для учета геометрических особенностей. Рассмотрим
следующий подход [23]. Вблизи вершины входящего угла в некотором
секторе круга используем известное аналитическое решение, а в
остальной области задачу решим численно. Сопряжение этих
решений осуществляется с помощью итерационной процедуры
разделения области, представляющей собой обобщенный
альтернирующий метод Шварца [1]. Применяется схема с перекрытием,
рассмотренная в [24] для решения задачи Дирихле. В отличие от
этих работ в качестве численного метода решения задачи в
сложной области предлагается использовать метод R-функций. Метод
легко распространяется на случай произвольных смешанных
граничных условий и любое количество входящих углов.
Пусть Q — конечная односвязная плоская область,
ограниченная кусочно-гладким контуром сЮ = Ui=i ^»! составляющие его
гладкие звенья dili, dCli+i соединяются между собой под углами
7г0г > 0. Для начала рассмотрим случай, когда существует
единственное натуральное п такое, что 1 < вп < 2, т.е. область Q,
содержит лишь один входящий угол. Обозначим вп в дальнейшем
через 0. Без ограничения общности будем считать, что вершина
этого угла находится в начале координат, его стороны образованы
прямолинейными участками границы д£1\ и дО,2-> причем область
ориентирована так, что dfli лежит на положительной полуоси ОХ.
Требуется в области Q, решить уравнение Пуассона
Au = f (1.2.50)
с граничными условиями
on
= fi, i = l,N, (1.2.51)
d0.i

50
Гл. 1. Введение в теорию R-функций
где aj, j3i — известные кусочно-гладкие функции, а /, fi —
заданные функции.
Алгоритм решения задачи (1.2.50)- (1.2.51) заключается в
следующем. Разделим область Q на две перекрывающиеся
подобласти fix и 0,2, проведя дуги окружностей Ti, Г2, целиком лежащие
Гг = {(ж,у) :x2 + y2 = rl 0 < arctg (у/х) < тг0},
Г2 = {(х, у) : х2 + у2 = г\, 0 < arctg (у/х) < тг^},
^2 = {(х,у) : х2 + у2 < т\, 0 < arctg {у/х) < тг0},
^з = {(х,у) :х2 + у2 <rf, 0 < arctg (у/х) < тг0},
П!=П\{П3иГ1},
где ri < гг.
Обозначим через гх^ сужение решения задачи (1.2.50)—(1.2.51)
на fi*, к = 1,2. Зададим на дуге Ti функцию </(°) G Ci(ri),
удовлетворяющую условиям (1.2.51) на участках dfli, сЮг? если эти
условия главные, т.е. а& = 0, к = 1,2. Рассмотрим следующий
итерационный процесс (рис. 1.16):
ui \аг1 У >
^+ft<>
= /i, t = l,JV;
(1.2.52)
ап;
Д4° = /, (*,!/) 6 П2,
J2 Ьг2 _U1 1г2!
а
<9и
(0
1 дп
+ PiU
(0
/i, г = 1,2;
Ian,-
(1.2.53)
„(0 - „(')
U
•2 J
где t G (0; 1] — параметр итерации; / = 1,2,...
(1.2.54)

1.2. Метод R-функций и структуры решения краевых задач 51
Область 0,2 представляет собой круговой сектор, а задача
(1.2.53) может быть решена аналитически. Задача (1.2.52)
решается численно. Эффективным
здесь оказывается использование
структурного метода R-функций,
позволяющего строить решения
(О
щ , точно удовлетворяющие
краевым условиям произвольного типа
на различных участках границы.
При этом осуществляется
продолжение граничных условий внутрь
области ill. Таким образом,
алгоритм решения исходной задачи
(1.2.50)-(1.2.51) следующий:
1) на дуге Гх задается функ-
(0).
Рис. 1.16. Геометрия задачи
ности между uyk '' и щ\ к = 1,2, не станет меньше некоторого
ция о
2) в области Hi решается задача (1.2.52) методом R-функций
при / = 1;
3) вычисляется функция щ ' на дуге Г2;
4) аналитически решается задача (1.2.53) в секториальной
области $^2;
5) вычисляется функция щ на дуге Г^
6) по формуле (1.2.54) вычисляется функция д№\
7) операции 2)-4) выполняются до тех пор, пока норма раз-
f(/~1} и и{1)
Ifc И Ufa ,
наперед заданного числа е > 0.
По достижении требуемой точности в качестве искомого
решения и принимается либо функция щ' в области ill и функция щ
в области fi\fii, либо функция и[' в области il\ili и функция г^
в области ^2- Рассмотрим основные этапы алгоритма.
Решение в секториальной области. Рассмотрим случай, ког-
да краевые условия однородные, т.е. в (1.2.51) fi = 0, г = l,iV.
Неоднородные условия могут быть сведены к однородным с
помощью представления U2 = V2 + W2, где функция V2 удовлетворяет
неоднородным условиям, a W2 — уравнению (1.2.50) с правой
частью / — А^2- Построение V2 осуществляется методом R-функций
на основе операций склейки граничных условий и обобщенной
формулы Лагранжа. С учетом этих допущений решение в
секториальной области ^2 имеет вид
Е(/, У>2,кп)
II... . 112 \. и*.*л
А:,п
\\и2,кп\\2Хкп
(1.2.55)

52
Гл. 1. Введение в теорию R-фуикций
где (•, •), ||-|| обозначают скалярное произведение и норму в .^(^Ы,
a Afcn, г^ы — собственные числа и собственные функции задачи
на собственные значения
Ащ = -\и2 (1.2.56)
с соответствующими краевыми условиями на д^2- Выделим
отдельно три случая [25].
1. Первая краевая задача
и2\дп2 = 0. (1.2.57)
Здесь собственные функции в полярных координатах (г, <р)
выражаются через функции Бесселя дробного индекса с точностью до
постоянного множителя:
Vkn—\ sin—(/?, (1.2.58)
хкп = vln/r2, Js? Ып) = 0, n = 1,2,. ■., к = 0,1,...,
IN,*nl|2 = -|- [jU(v*n)j .
2. Вторая краевая задача
ди2
= 0. (1.2.59)
дП2
Собственные функции:
(Т \ 7ГТ1
Икп— J cos —<р, w2,oo = 1, (1.2.60)
Л*п = /4n/r2» Jf?£- (Ып) = 0, п, А; = 0,1,...,
и
г20 ( п2 \
ll«2,fcnl|2 = -4-(1 + (Jno) ( 1 о~ Лй(г>*п).
2 V /*fcn/ "
где
2
1, п = 0,
^°-{о! п#0
3. Третья краевая задача
' дп2
— + hu2
дп
-0, (1.2.61)
ап2

1.2. Метод R-функции и структуры решения краевых задач 53
где h = /3/a — кусочно-постоянная функция, h = /го при г = Г2,
h — h\ при </? = 0, /г = /i2 при <£> = #. Собственные функции:
г*2
^A:n = &:п/г2> П,Л = 1,2,.
pn — положительные корни уравнения
tgp0 = (^1 + fa)?
£fcn — корни уравнения
tJ'Pn(t) + eh0JPn(0=o-
Квадрат нормы
{hl+h2){pl + hlh2)
sm pnip
(1.2.62)
\Щ,кп\
r-l
2
в
+
[2 {pl + h\){pl + hly
,2 T
1 +
rzh0 - pi
e
kn
Jpn(bn)-
Решение в области fti методом R-функций. Пусть методом
R-функций построена нормализованная функция ы(х,у),
описывающая границу исходной сложной области ft, т.е.:
1) и > 0 при (ж, у) Е ft,
2) cj < 0 при (ж, у) £ ft,
3) cj = 0 при (ж, у) Е 5ft,
4) ди/дп при (ж, у) Е 5ft.
Тогда, если область fti целиком лежит за пределами части
плоскости у cos в ^ ж sin 0, у ^ 0, аналогичное уравнение границы
9ft 1 может быть записано в виде
up) =CjAcjri, (1.2.63)
где cJn = (#2 + 2/2 — Г2)/2Г27 а Л — символ R-конъюнкции,
сохраняющей нормализованность.
Можно также написать уравнения щ = 0 всех участков
границ dft;, на которых заданы различные краевые условия (1.2.51).
Имея такие уравнения, строится структура решения краевой
задачи (1.2.52)
Для упрощения записи положим, что на дО, задано однотипное
краевое условие первого, второго или третьего рода:
и\да = <Р, (1-2-64)

54
Гл. 1. Введение в теорию R-функций
du
Эп
= <Р>
дП
либо
(£+Ли)
= <Р-
(1.2.65)
(1.2.66)
an
Тогда применительно к рассматриваемому в работе случаю
структуры решения краевой задачи (1.2.52) с условиями (1.2.64)—(1.2.66)
будут иметь следующий вид:
tt<4 = ы(1)ф + "TiV + W
(1-1)
(задача Дирихле),
до
и =
1 + —-1—D
(1.2.67)
(1.2.68)
(задача Неймана) и
«« =
1 + _^_(/г_д)
(ыг.Ф + зС-1))--^-^ (1.2.69)
(задача третьего рода).
Если представить неизвестную компоненту Ф в виде ряда, то
структуры (1.2.67)—(1.2.69) в обобщенной форме можно записать
как
к
и?* = J2 ъъш+ш+Ы9{1~4
(1.2.70)
k=o
где i*\, F2, F3 — линейные однородные операторы, действующие
на известные функции. Воспользовавшись методом Бубнова-Га-
леркина, получим систему линейных алгебраических уравнений
для нахождения неопределенных коэффициентов с*:
к
Y^CkiAF^FMm]) = -(F2[/],Fi[^]) - (FslgV'^FMrn]),
(1.2.71)
k=o
где m = 0, if, a (•, •) обозначает скалярное произведение в L2(fti).
Таким образом, перед началом процесса следует вычислить
величины (AFi^^F^m]) и (F2[/],Fi[^m]), ft,m = 0,iV, и
сохранить их в памяти. Затем на каждом шаге итерации
необходимо лишь заново пересчитывать скалярные произведения

1.2. Метод R-функций и структуры решения краевых задач 55
(^Мр^-1^ -^1 [Фт]) и решать систему (1.2.71) с измененной правой
частью.
Основные разновидности приведенной итерационной
процедуры связаны с различными способами задания граничного условия
на Гг в (1.2.53). В [24] был предложен общий итерационный
процесс:
до
Д<=/, (х,у)еПг,
ui lari У >
(О
a
1 dn
+ /K
(О
= Л, i = l,N;
ап{
(1.2.72)
Au^=f, (х,у)£П2,
du,
(0
dn
+ (71*2
(0
Г2
du
(0
dn
+ СГЩ
(I)
r2
(1.2.73)
a
•*£+*jpy
= fi, * = 1,2,
dCli
»w = t4°lr1 + d+*)^-1)-
(1.2.74)
Особенностью процедуры (1.2.72)-(1.2.74) является то, что она
позволяет использовать неперекрывающиеся области (Ji и ^2) когда
г\ = гг, что может ускорить сходимость метода.
В [24] приведены также рекомендации по оптимальному
выбору параметра итерации t в (1.2.74). В частности, существует
такое t* € (0,1), что при t € (0,Г) процесс (1.2.72)-(1.2.74) при
°Ч-, hi a — 0 сходится к решению задачи (1.2.50), (1.2.51).
Итерации сходятся со скоростью геометрической прогрессии, причем
при выборе
* = 'о = ~~Г^ (1.2.75)
2 + М'
iff7* +1 „ d .
ГД 7 R?le-l ,Щ = П,г
1,2, d = mindist(0,dft),

56
Гл. 1. Введение в теорию R-функций
знаменатель прогрессии не превосходит
М
Яо =
2 + М
Для обычной процедуры Шварца (3.31)-(3.33) имеем
90 =
д»" -1
щ
2/0
1
(1.2.76)
(1.2.77)
Было отмечено, что процесс Шварца сходится медленнее, чем
процесс (1.2.72)—(1.2.74) с тем же перекрытием даже при а = 0.
Пример 1.3. Пусть
требуется решить задачу Дирихле для
уравнения Лапласа (/ = 0) в
области, изображенной на рис. 1.17,
с краевыми условиями
u\abcde = 0,
u\eoa = 1.
(1.2.78)
Эта проблема может быть
интерпретирована как задача
электростатики в L-образной
пластинке с заданными потенциалами
Рис. 1.17. Область из примера 1.3 (1-2.78) на ее краях. Уравнения
границы всей области S2 и
участков ABCDE, ЕОА запишем в виде
W = UABCDE Ao OJEOA = 0,
uabcde = —[а2-(х + а-с)2] Л0 — [Ь2 - (у - Ь + d)2} =0,
UEOA = "X V0 У = 0.
Уравнения границы области fix и участков Г\ имеют вид
071 =о;Л0о;г1 =0, (1.2.79)
ШГ1 = 2^(X' + ^ " г2) = °' ^ = 2^(Г*2 " Х* " у2) = 0в
Зафиксируем следующие геометрические параметры: а = b —
— с — d — 0.5, п = 0.1, Г2 = 0.2. Сначала с помощью обобщенной
формулы Лагранжа (1.2.8) перейдем к задаче с однородными
краевыми условиями. Для этого представим функцию п в виде суммы

1.2. Метод R-функций и структуры решения краевых задач 57
двух функций
u = v + w, (1.2.80)
где v имеет вид
UABCDE
V =
MABCDE+ЫЕОА
и удовлетворяет условиям (1.2.78), a w — уравнению (1.2.50) с
правой частью
/ = ~Av.
Выберем нулевое начальное приближение в (1.2.52):
*<°> = о.
Решение (1.2.52) будем искать методом Бубнова-Галеркина с
помощью структуры (1.2.67), где у? = 0. Учитывая симметрию, в
качестве функций ф^ в (1.2.10) возьмем полиномы
Фк(т,п) = (х + у)2т{х - у)п, т + п = М?,
где к(т,п) = п + (га + п)(т + п + 1)/2 — функция расстановки.
Решив (1.2.52) и вычислив и[ '|г2, перейдем к (1.2.53),
предварительно сведя ее к задаче с однородными условиями путем замены
где
(1)
(1) = Щ 'ШЕОА
2 UJr2 + ШЕОА '
a i*4 удовлетворяет в секториальной области 0,2 уравнению
Пуассона с правой частью —v^ . Решив задачу (1.2.53) по формулам
(1.2.55), (1.2.58), определяем дМ согласно (1.2.54) и повторяем
весь процесс рекуррентно до тех пор, пока не будет достигнута
необходимая точность вычислений. При получении окончательного
решения следует учесть замену (1.2.80).

58
Гл. 1. Введение в теорию R-функций
На рис. 1.18 изображены линии уровня функций ш, cji, а на
рис. 1.19 — решение поставленной задачи после трех итераций.
Рис. 1.18. Линии уровня функций и (а) ин (б)
Рис. 1.19. Линии уровня решения после трех итераций
Достигнутая погрешность (разность между последовательными
приближениями в норме 1^(^)) составила менее 0.1%.
1.3. Методы аппроксимации структур решения
Пусть требуется найти решение краевой задачи Дирихле в
области Q:
Au = f в £2,
u\an = 0.
(1.3.1)

1.3. Методы аппроксимации структур решения 59
Приближенное решение ик будем искать в виде структуры
Канторовича по системе базисных функций {^>к}^-о:
К
пк = ы][^са^*> (1.3.2)
А:=0
где функция области
ш\ап = О, ш > 0 в П.
Применение метода Бубнова-Галеркина приводит к необходимости
решения системы линейных алгебраических уравнений
относительно компонент неизвестного вектора {c^}|L0:
к
J2^kick = bh l = 0J{, (1.3.3)
fc=0
где
а>Ы = / uxpiA(u)ipk)dxdy, Ь/ = / fuxpidxdy. (1.3.4)
Вычисление кратных интегралов (1.3.4) является наиболее
трудоемкой частью метода R-функций, поскольку функция области ш
в общем случае представляется достаточно громоздким
аналитическим выражением. В этой связи представляет интерес подход,
заключающийся в какой-либо подходящей аппроксимации
структуры (1.3.2), в результате чего должна упроститься процедура
нахождения компонент (1.3.4). В следующих пунктах рассмотрим
возможные подходы к решению указанной проблемы.
1.3.1. Аппроксимация функции области. Разложим
приближенно функцию области по системе базисных функций {ipic}kLo:
м
им = ^2ь{(р{. (1.3.5)
г=0
Вместо (1.3.2) имеем модифицированную структуру
к / м \
ик =]>^с* ( (fk^biipij . (1.3.6)
k=0 \ 1=0 /
Подставив (1.3.5) в (1.3.4), получим следующие выражения:
м м г м ^
aki = ^2Yl hbj / ipnpiA(ipjipk)dx dy, fy = ^ fy J f<P№ dx dy.
i=oj=o £ i=o £
(1.3.7)

60
Гл. 1. Введение в теорию R-функций
Если при достаточно большом М погрешность между ш и шм
невелика, то отличие между элементами матрицы {a>ki}£i-o и
{bl}iLo вектора также будет незначительной. Средствами
линейной алгебры можно показать, что в этом случае разница между
неизвестными компонентами с&, с& разложений (1.3.2), (1.3.6)
будет невелика, а следовательно, мала будет и погрешность
аппроксимации решения задачи (1.3.1) в целом. Действительно, в силу
неравенства треугольника,
W ~ Stfll ^ \\и - ик\\ + \\ик ~ йк\\ ^
< \Ы - ик\\ + шах \\(рк\\ - ^2
к
к=0
м
cku ~ск} biifi
i=0
<е.
Можно организовать эффективный процесс вычисления
интегралов (1.3.7), так как видно, что они зависят от определенных
соотношений между индексами А:, /, г, j. Поясним сказанное на
примере полиномиальной аппроксимации, когда
(1.3.8)
¥Ъ(/х,1/) = Х^УУ •>
где к{ц,и) = (/i + ^)(/i + v + 1)/2 — функция расстановки (см.
Приложение 3). В силу 1-й теоремы Вейерштрасса, для любого
малого е > 0 можно найти такие коэффициенты Ь{ и целое М, что
будет выполняться неравенство
м
k=0
£е.
(1.3.9)
Ограничимся далее случаем, когда А есть оператор Лапласа А.
Нетрудно убедиться, что после подстановки (1.3.8) в (1.3.7) имеем,
в частности,
ММ (
5« = ESbA"j [(МО+М*0)2-МО-/*(*0] х
г=0 .7=0 I
+ [{"(*) +"(к))2 - v(i) - v(k)] х
х /я^М^М^^ (1.3.10)

1.3. Методы аппроксимации структур решения 61
Таким образом, задача сводится к нахождению однотипных
интегралов от многочленов по подходящим квадратурным
формулам, что намного проще, чем вычисление интегралов (1.3.4).
Рассмотрим теперь вопрос нахождения коэффициентов {bi}fi0.
Как известно, теорема Вейерштрасса не дает конструктивного
ответа на этот вопрос. Двумерная полиномиальная интерполяция
Лагранжа осуществляется по громоздким формулам; кроме того,
повышение степени интерполяционного полинома может привести
к нежелательным осцилляциям в промежутках между узлами
интерполяции. Воспользуемся известным в теории аппроксимации
аппаратом полиномов Бернштейна [14,26] и следующей теоремой.
Теорема 1.9 (С.Н. Бернштейн). Если функция f(x)
непрерывна на сегменте [0,1], то при п —> оо равномерно
относительно х будет
Bn(f;x)^f(x), (1.3.11)
где
*»(/; *) = £/ (^)с^1 ~х)п~к (1'ЗЛ2)
(полином Бернштейна).
Из этой теоремы следует 1-я теорема Вейерштрасса и, кроме
того, в ней явно указывается многочлен, приближающий данную
функцию. Таким образом, любая непрерывная функция может
быть представлена как предел равномерно сходящейся
последовательности ее полиномов Бернштейна. При этом оказывается
возможным оценить скорость этой сходимости через модуль
непрерывности о;(/; х) функции f(x).
Теорема 1.10 (Т.Поповичиу). Пусть f(x) G С[0,1]. Тогда
|Вп(/;я:)-/(я:)|<|а;(/;^),
где
*(/;*)= sup \f(x)-f(y)\, x,ye[0,l].
\х-у\^.6
Справедлив также более общий результат.
Теорема 1.11 (И.Н.Хлодовский). Пусть f{x) е Cm[0,l]
(т = 0,1,2,...). Тогда последовательности dsBn(f\ x)/dxs
(s = 0,1,..., га) при п —> оо сходятся к функции dsf/dxs
равномерно на отрезке [0,1].

62
Гл. 1. Введение в теорию R-функций
В двумерном случае, когда функция /(х,у) задана в квадрате
П = [0,1] х [0,1] , ее полином Вернштейна имеет вид
771 771 • . . \
Вте,„(/; *,у) = ЕЕ/ (^Z )CinCW(l -хГ"У(1 -у)п-'.
г=о i=o \m п/
(1.3.13)
С помощью соответствующего масштабирования по обеим
координатам можно получить выражение для полинома Вернштейна
функции /(х,у), заданной в произвольном прямоугольнике П =
= [а,Ь] х [c,d].
Окончательно, раскрыв скобки в (1.3.13), можно получить
представление функции /(ж, у) в обычном виде
m n
f(x,y) к ВШ|П(/; х,у) = EEb^xV. (L3.14)
г=0 j=0
Пример 1.4. Пусть требуется аппроксимировать функцию
и>(х,у) = 0,25 - (х - 0,5)2 - (у - 0,5)2,
описывающую окружность радиуса 0.5 с центром в точке (0.5,0.5)
i ' ' — —i— — 1 и г ' ' ^ 1 ■—■ и
0 0.5 10 0.5 1
а б
Рис. 1.20. Линии уровня функции границы круговой области (а) и ее
аппроксимации полиномом Вернштейна 15-й степени (б)
(рис. 1.20а). На рис. 1.205 показаны линии уровня полинома Берн-
штейна порядка 15 по каждой переменной.
Пример 1.5. Рассмотрим аппроксимацию полиномами
Вернштейна функции границы крестообразной области (рис. 1.21а).
и; = [ш\ А Ш2) Л (ыз V (J4))

1.3. Методы аппроксимации структур решения 63
где
Шг = 0.52 - х2, cj2 = 0.52 - у2,
cj3 = 2(0.252 - х2), cj4 = 2(0.252 - у2).
В отличие от предыдущего примера, наличие особенностей в
виде угловых точек замедляет скорость сходимости, и для
обеспечения приемлемого качества аппроксимации требуется брать мно-
0.05 7°-^
Рис. 1.21. Линии уровня функции границы крестообразной области (а) и ее
аппроксимации полиномом Бернштейна 30-й степени (б)
гочлен более высокой степени. На рис. 1.215 показаны линии
уровня полинома Бернштейна 30-й степени по обеим переменным.
1.3.2. Аппроксимация базисных функций. Вместо разложения
(1.3.5) выразим все базисные функции {v<Pk}k-o чеРез функции
другого базиса {xk}kLo:
м
uyk ~Yldi>kXi'
(1.3.15)
г=0
Тогда вместо (1.3.7) имеем
мм Г _ м г
^=^2Y1 difidhi I Xl^Xk dx dy, bt = Y^ dhi / fXi dx dy-
i=oj=o £ i=o £
(1.3.16)
В случае полиномиальной аппроксимации, когда Xk(w) = xfJ"y"i

64
Гл. 1. Введение в теорию R-функции
вместо (1.3.10) получаем
м м
А — П А — ГЛ I "
г=0 j=0
+ U(i)[u{i) - 1] Г xW+MyW + W-Zdj;
dy
(1.3.17)
В этом случае также можно интерполировать функции базиса
{uipk}£-o полиномами Бернштейна.
Как видно из разобранных примеров, для удовлетворительной
аппроксимации может потребоваться довольно большая степень
аппроксимирующего полинома, что затрудняет вычислительный
процесс. Далее на примере атомарных функций рассмотрим один
из эффективных вариантов преодоления этой трудности,
заключающийся в интерполяции функции области финитными
функциями.
1.3.3. Атомарные функции ир(ж) и fupn(a?). Атомарные
функции (АФ) [3,10], подобно финитным полиномиальным сплайнам
[27], являются удобным аппаратом аппроксимации при решении
широкого класса задач численного анализа, в том числе краевых
задач математической физики [10,28-31]. Среди всего
многообразия АФ (см. Приложение 6) следует выделить функции ир(х)
и fupn(x), аппроксимативные свойства которых наиболее хорошо
изучены. Атомарные функции представляют собой финитные
решения функционально-дифференциальных уравнений вида
N М
п=1 т=1
где a, dn, cm, bm — числовые параметры, и \а\ > 1. Наиболее
простой и в тоже время фундаментальной в классе АФ является
функция ир(х) с носителем [—1; 1], удовлетворяющая уравнению
up'(х) = 2(ир(2х + 1) - ир(2х - 1)). (1.3.19)
Преобразование Фурье ир(х) имеет вид
оо
Р(р) = П8шс(р/2*), (1.3.20)
где sinc(x) = sin(x)/x. Функция up(x) — четная, up(0) = 1 и
/_i up(x)dx = 1. Она возрастает на интервале [—1,0], убывает на

1.3. Методы аппроксимации структур решения 65
интервале [0,1] и ир(1— х) = 1 —ир(х). Производные n-го порядка
функции ир(х) вычисляются по формуле
2П
upW(x) = 2n<n+1)/2 J2W(2nx + 2n + 1 - 2k), (1.3.21)
где ^i = l, 62k = —Sk, fak-i = tf/fc, A; = 1,2, — Моменты up(x)
l l
Q>n = / хпир(х)с?ж, bn = / жп+1ир(ж)с£г,
-l о
выражаются с помощью следующих рекуррентных соотношений:
«о = 1, a2n = (-l)nc2n(2n)!, o2n-i = О,
1 1 п
Ь0 = ", Ь2п -"у1, Ь2п-1 = n22n+1 J2C2na2n^ П= 1,2,...,
fc=0
где
1 ^ (-1)П-'С2,
cd = l, ^ = irrrZj(2ri-2i + l)!J n = 1'2—'
а С^ — биномиальные коэффициенты. В двоично-рациональных
точках вида k/2n функция ир(х) есть многочлен степени п, а ее
значения в этих точках — рациональные числа:
9(_n2+n+1)/2 к [п/2\
ир(*2-я) = 1 - ^—^ £'i Е С« (* - > + 2-,)я-5И«а|2-21,
j=l г=0
ир(2~"> - ' - iK^n-Di
Все АФ — бесконечно дифференцируемые, но не
аналитические, т. е. для вычисления значений АФ нельзя использовать
разложение в ряд Тейлора, так как он либо имеет нулевой радиус
сходимости, либо представляется алгебраическим многочленом и
к финитной функции не сходится. Для нахождения ир(х) через
свои моменты в произвольной точке носителя используется
быстр о сходящийся ряд вида
■рм -'+х: ст i {к -';Гад. с-' ■ * - w • *\у-<
0<х< 1,
3—2176

66
Гл. 1. Введение в теорию R-функций
к
где b_i = 1, sk = J^ pj, pk = [|ж| • 2^] mod 2. Функцию ир(ж)
можно также разложить в ряд по нормированным многочленам
Лежандра Ln(x):
up(s) = Yl w2Z23^a2j-2k I L2j(x),
j=0 \k=0 J
где
. ,(2i^2fc)!y2jTT
*'"•* ~ (_1) °i 2>+Wj\U-2k)\ {2k ^ Jh
[n/2]
или, используя (1.3.3) и свойство четности, — в ряд Фурье по
косинусам:
1 -
щ>(*) = g+ ХУ И2.? -х)]cos И2-? - ХИ ■
Целое семейство АФ гирп(ж) получается с помощью
рекуррентных соотношений, аналогичных уравнениям для Бп-сплайнов
Шёнберга
fupn(x) = К • Ьхрп_г(х)*Во(х), fup0(x) = up(x),
где * — символ свертки,
f 1, |*| < 1/2,
tin
*м - {J;
И > 1/2,
а X — нормирующий множитель, определяемый, как правило,
одним из следующих условий:
1) fupn(0) = 1;
2) У^fupn(х — к) = 1 (разложение единицы);
к
оо
3) / fup(x)dx = 1.

1.3. Методы аппроксимации структур решения 67
В частном случае, для функции fup0(x) все три условия
удовлетворяются одновременно. Функции iupn(x) определены на
носителе ( — (п + 2)/2; (п + 2)/2), а их фурье-образы имеют вид
оо
F{p) = Ksmcn(p/2) Л sinc(p/2*) = Ksmcn(p/2) . F(p).
*=1
Атомарные функции fupn(x) удовлетворяют функционально-
дифференциальным уравнениям
п+2
inp'n(x) = 2 • £ (C*+1 - C^})fup„ [2x - к + (п + 2)/2].
fc=0
Функция fupn(a;) может быть выражена через ир(ж)
следующим образом:
га+1
fupjx) = J2 aim)up[2-m(z - 2m + Ш2"1 + 1 - *)],
i-o
где a<m) = 1, ajm) = (-lJ'C^ - £af Ч-;+1-
i=o
На рис. 1.22 представлены графики функций ир(ж), fup^a;) и
fup2(#), нормированных на значение в нуле.
i f—■—г^ 1 1 1 ^п—-—н 1
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
Рис. 1.22. Функции ир(х) (сплошная линия), fupx(x) (штриховая линия) и
fup2(x) (штрих-пунктирная линия)
1.3.4. Аппроксимация атомарными функциями. Как было
упомянуто выше, АФ, аналогично сплайнам, могут использоваться
для аппроксимации неопределенной компоненты структуры
решения краевой задачи. С помощью сдвигов функции ир(х) можно

68
Гл. 1. Введение в теорию R-функции
представить любой алгебраический многочлен, а именно, для
любого п ^ 0 существуют коэффициенты с^ такие, что выполняется
равенство
оо
хп= Y^ ckup(x-k-2-n). (1.3.22)
k=—оо
Это означает, что среди линейных комбинаций сдвигов функции
ир(х) с шагом к • 2~п содержатся все многочлены степени не
больше п, причем каждому фиксированному х соответствует конечное
число членов отличных от нуля. Среди всех финитных
функций (р(х) с носителем [—1,1], для которых выполняется свойство
(1.3.22), функция ир(х) является простейшей: либо (р(х)
пропорциональна ир(х), либо ее производные растут быстрее, чем
производные ир(х): Дг^ (||^(n)||chl|1j/||upW||chl|1]) = оо; для ир(х)
llup^llc[-i Ц = 2П(П+1)/2. Если обозначить через UPn
пространство линейных комбинаций сдвигов функции ир(х) на к • 2~п
оо
]Р ckup{x-k-2~n),
к=—оо
ТО
1) пространства UPn являются согласованными: UPn С UPn+\\
2) пространства UPn являются минимально возможным
видоизменением пространств сплайнов, обладающих бесконечной
гладкостью;
3) в пространствах UPn имеются базисы, состоящие из
целочисленных сдвигов АФ fupn(x);
4) пространства UPn наряду с многочленами и сплайнами
являются экстремальными или асимптотически экстремальными
для классов функций конечной гладкости таких, как Wrx = {f(x) :
ll/(r)IU<l}.
Рассмотрим приближение функции f(t) Е Cr+1[0,1], заданной
на равномерной сетке Адг : U = ih, h = iV_1, г = 0, JV, с
помощью элементов С/РП)Г-пространства линейных комбинаций
сдвигов сжатий функции ир(х)
к
Предположим, что г — четное, а значения функции f(t)
известны в точках 7> = fc/i, к = —г/2, N + г/2. Пространство иРщг
имеет базис, состоящий из сдвигов-сжатий функции fupr(x).
Одномерная атомарная аппроксимация с помощью АФ £щ>п{х) имеет

1.3. Методы аппроксимации структур решения 69
вид
N+M
к=-М
(1.3.23)
где при четном т М — r/2, (fr,k{t) = fupr[(^ + T)h~l — к], h =
= 2T/N. На рис. 1.23 приведены графики пяти соседних
базисных функций разложения (1.3.23) (г = 2, h = 1). Видно, что крат-
Рис. 1.23. Соседние базисные функции разложения (1.3.23) (сдвиги fup2(x))
ность покрытия интервала с помощью базиса АФ fupr(x) равна
г + 2и соответствует кратности покрытия базисом, составленным
из В-сплайнов Шенберга (г + 1)-го порядка [27].
Теорема 1.12 [3]. Для любого h > 0 существуют с& такие,
что
\\f(x) - **ЛМ\\ст < Krh^Mf-M, (1.3.24)
где oJr{f\h) — модуль непрерывности функции /(r'(x), Kr не
зависит от h (но зависит от г).
Рассмотрим двумерную аппроксимацию f(x\,X2) £ С(Г+1'(П),
имеющей непрерывные частные производные порядка не выше
г + 1 по каждой из переменных. Пусть область П —
прямоугольник [—Ti,Ti] х [—Г2,Г2]7 а функция / может быть продолжена за
ее пределы на всю числовую плоскость. На П введем сетку
&nun2 : (xim] х2п) = (~Т\ + ra/ii; -Т2 + nh2),
hi = 2Ti/N» i = l,2,

70
Гл. 1. Введение в теорию R-функций
При четном г двумерная атомарная аппроксимация будет иметь
вид
где
N
Е
k=0
(2)
Ф*,г(/;*ь*2) = E*^i(ib)^i)^iw(^2), (L3.25)
tp^ixi) = fupr [(Xi + Ti)hrl - fc], » = 1,2,
Al(fc)
m = -M, Ni + M, n = -M, N2 + M,
iV2 + 2M + 1
-M, i/(fc) = k-(N2+2M+l)(n(k)+M)-M,
A; = 0,iV, N=(Ni+2M + l)(N2 + 2M + l)-l.
1.3.5. Системы R-функций на основе атомарных функций. В [3]
приведен пример достаточно полной бесконечно дифференцируе-
ОО
мой системы R-функций Ж, основанной на следующих R-onepa-
циях:
оо
х Л= <р(х)<р(у) - <р(-х) - <р{-у),
ОО
х V у = <р{х) + <р(у) - <р(-х)<р(-у),
ОО
где cp(t) = ]Г) up(t —fc). Учитывая свойства функции up(rr), R-
конъюнкцию последней системы можно представить в
развернутом виде
( [1 - ир(х)] [1 - ир(у)] при (х > 0) и (у > 0),
-2 + up(x) + ир(у) при (х < 0) и (у < 0),
— 1 + up[rnin(x,y)] в другом случае.
(1.3.26)
Аналогичное выражение можно получить и для R-дизъюнкции.
Приведем еще одну бесконечно дифференцируемую R-конъюнк-
цию [32],
[1 - ир(аг)] [1 - ир(у)] при (х > 0) и (у > 0),
-1 при (х < -1) и (у < -1),
оо
X Л у = ^
х Л у =
1 [1 - ир(х + 1)] х
х [l — up(y + 1)] — 1 в другом случае,
(1.3.27)

1.3. Методы аппроксимации структур решения 71
результат которой отличается от (1.3.26) лишь за пределами
первого октанта.
С помощью операций, аналогичных (1.3.26), (1.3.27), можно
построить бесконечно дифференцируемое уравнение области,
образованной путем теоретико-множественного пересечения и
объединения более простых областей, описываемых бесконечно
дифференцируемыми уравнениями. В [3,32] приведены доказательства
известной теоремы [33], основанные на дифференциальных
свойствах функции ир(ж).
Теорема 1.13 (Уитни). Для любого замкнутого множества
S С Rn, ограниченного кусочно-гладким контуром,
существует функция ш(х) (х = (ж1,...,жп)) : Rn -> R, cj(x) G C°°(Rn)
такая, что:
1) ш(х) = 0 при х G 5;
2) ш(х) > 0 при х G Rn\S;
3) \Dau(x)\ < C{a)Va, x G Rn]
4)Dftcj(x) = 0Va,xG5.
Если необходимо построить функцию области Q ш(х) такую,
что дш/дп = — 1 в гладких точках границы д£1, то можно
воспользоваться следующей теоремой [34].
Теорема 1.14. Пусть Q, — область в Rn с границей дС1.
Существует ш(х) G С($7), ш(х) G С°°($7) такая, что и(х)\д^ =
= 0, ди/дп\дп = — 1 в каждой точке хо G 8Q такой, что в
некоторой окрестности хо граница дП класса С1. Искомая
функция имеет вид
' 2^ Г 1 _ [2(х-у)"
a J
ш(х) = <
d(y)n~
dy, xGfi
d(y)
о, П хеш,
1/2
где а = I ир(—2 + 2/x)dx, d(x) = min ( J2 (xi ~ Уг)2 )
-l ~
1.3.6. Модифицированный алгоритм метода R-функций на
основе атомарной аппроксимации функции области. Рассмотрим
случай, когда в качестве базисных функций в (1.2.10) выбраны
функции с финитным носителем. Пусть требуется решить задачу на
собственные значения для однородного уравнения Гельмгольца
АЩх, у) + k2U(x, у) = 0 (1.3.28)

72
Гл. 1. Введение в теорию R-функций
в плоской ограниченной области 5 с условиями Дирихле на ее
границе Г
Щх,у)\г=0. (1.3.29)
Задача (1-3.28)—(1.3.29) может быть интерпретирована как
задача нахождения собственных колебаний электрической
составляющей поля в цилиндрическом волноводе поперечного сечения S.
Для представления (7(ж, у) в качестве структуры решения
используется структура Канторовича
Щх, у) = ш(х, у) ^2 Wifa У)- (1.3.30)
i
Здесь о;(х, у) — функция, обращающаяся в ноль на границе Г,
положительная внутри области S и отрицательная за ее пределами.
Эффективность использования структурных формул в сочетании
с вариационными и проекционными методами (коллокации,
наименьших квадратов, Ритца-Галеркина и др.) существенно зависит
от выбора аппроксимирующих полиномов {y>i}, так как от этого
зависят обусловленность и некоторые другие характеристики
матриц обобщенной задачи на собственные значения для
определения коэффициентов {с{}. Многие из упомянутых методов таковы,
что элементы этих матриц являются интегралами или суммами с
большим числом слагаемых по области 5.
Указанные трудности удается в значительной мере преодолеть,
если в качестве аппроксимирующих полиномов использовать
сплайны или АФ. Последние по сравнению со сплайнами
обладают рядом существенных преимуществ (универсальность,
бесконечная дифференцируемость), однако эффективность их
применения существенно зависит от используемых вычислительных
алгоритмов. На примере метода Галеркина рассмотрим подход,
позволяющий существенно упростить численную реализацию того
или иного вариационного метода.
Использование структуры (1.3.30) в сочетании с методом
Галеркина приводит к следующей обобщенной задаче на собственные
значения относительно компонент неизвестного вектора С
АС = к2ВС. (1.3.31)
Элементы матриц А и В определяются по формулам
S
b{j = — / ойripupjdxdy, (1.3.33)
s

1.3. Методы аппроксимации структур решения 73
где интегрирование фактически ведется лишь по пересечению
носителей финитных функций (fi и (fj. Для области S достаточно
сложной геометрии, функция а>(х,у), построенная с помощью R-
операций, будет представлять собой громоздкое выражение, что
усложняет многократное вычисление интегралов (1.3.32), (1.3.33).
Так, если граница Г состоит из сегментов алгебраических
кривых второго порядка, а в качестве базисных функций выбраны
кубические 5-сплайны Шенберга, то нетрудно видеть, что в под-
интегральные выражения в (1.3.32), (1.3.33) будут входить
слагаемые — многочлены б-й и 10-й степени соответственно, и для
точного вычисления потребуется применение многоточечных
квадратур. Нелегче обстоит дело и с атомарным базисом сдвигов
сжатий функций ир(х) или fupn(x). Уменьшение сетки
интегрирования в данном случае (особенно если ее узлы не являются
двоично-рациональными точками) ведет к необходимости
увеличения числа членов ряда для вычисления значений АФ с требуемой
точностью.
Рассмотрим следующий вариант метода R-функций [35,36].
Заключим область S в прямоугольник, а затем каким-либо образом
аппроксимируем функцию двух переменных ш(х,у) с помощью
той же системы координатных функций ^, которая используется
при построении исходной структуры решения (1.3.30). Получим
приближенную функцию области
w(x,y) = Y^dm(x,y). (1.3.34)
г
При этом для произвольной нормы L
\\u{x,y)-w{x,y)\\L^Kha, (1.3.35)
где h = mm{hx^hy} — параметр разбиения, постоянная К
зависит от способа аппроксимации приближаемой функции, a — от
степени ее гладкости и аппроксимативных свойств базисной
системы. Если ш(х,у) достаточное число раз непрерывно
дифференцируема по обеим координатам, то можно подобрать такое число
базисных функций JV, что погрешность между исходным
решением, и решением, полученным подстановкой в формулы (1.3.32),
(1.3.33) w(x,y) вместо ш(х,у), не будет превосходить по порядку
погрешность метода. Возможное увеличение необходимого
числа членов координатной последовательности компенсируется
существенным упрощением структуры подынтегральных
выражений (1.3.32), (1.3.33). Алгебраическую задачу (1.3.31)-(1.3.33) в
«возмущенной» области, описываемой функцией w(x,y) запишем

74
Гл. 1. Введение в теорию Л-функций
в виде
АС = к2ВС, (1.3.36)
A(uHpi)uHpj dxdy, (supppi П supp^j) £ 5,
5
Y^ Yldkdl / &(<Pk<Pi)<P№jdxdy, (supple П supp (pj) С 5,
(1.3.37)
2tj=<5
^■ = s
— / u>2(pi(pj dxdy) (supp^pi Hsupptpj) (t_ 5,
^ ^2 dkdi / <P№<PWjdx dy, (supp <# П supp ^) С 5.
(1.3.38)
To есть в том случае, когда пересечение носителей cpi и cpj
не попадает полностью внутрь области S, компоненты матриц
целесообразно находить по прежним выражениям (1.3.32), (1.3.33).
Сразу отметим, что с увеличением N относительное количество
элементов, вычисляемых таким образом, убывает, а их
абсолютные величины вследствие измельчения сетки и близости ш(ж, у) к
нулю становятся пренебрежимо малыми, так что соответствующие
элементы матриц можно будет принимать равными нулю.
Двумерные финитные функции щ представим в виде
тензорного произведения одномерных
щ(х,у) =ф\1){х)ф12)(у).
Вследствие этого вторые выражения в альтернативных скобках
(1.3.37) и (1.3.38) могут быть записаны, соответственно, как
^^EE^CGSiW^ + GgW^,,), (1-3.39)
к I
к i

1.3. Методы аппроксимации структур решения 75
где
J(1)
—oo
CX)
— CX)
CX)
C&, = / awW W>*.
— CX)
CX)
<>&, - / д(#Ч2,М2 4(2W
(1.3.41)
— CX)
Последние интегралы фактически имеют конечные пределы
благодаря финитности подынтегральных выражений. По этой же
причине суммирование в (1.3.39), (1.3.40) осуществляется по
небольшому числу слагаемых. Интегралы (1.3.41) зависят не от
абсолютных значений индексов, а от попарных разностей между
ними. Используя формулы интегрирования по частям и
соображения симметрии, можно сделать вывод о том, что на самом деле нет
необходимости вычислять интегралы (1.3.41) для всевозможных
наборов индексов г, jf, A:, /, а достаточно ограничиться лишь
несколькими базовыми комбинациями. Так, в случае, когда функции
щ (х), ф\ (у), с точностью до константы, образуют на числовой
оси разбиение единицы с кратностью 3 (кубические 5-сплайны
или функции fup2(a;)), требуется найти всего 13 интегралов вида
Ji%jL (« = М) и 23 интеграла вида Gg*,/ (я = 1,2). В
случае сплайнов они вообще могут быть посчитаны точно. Имеет
смысл, подобно специальным функциям, затабулировать однажды
найденные базовые значения (1.3.41) с тем, чтобы в дальнейшем
не вычислять их каждый раз по-новому при решении однотипных
задач. Очевидное преимущество предлагаемого подхода
заключается в том, что выражения (1.3.41) ни в каком виде не содержат
информации об области S. Эта информация заключена в
коэффициентах dk в формулах (1.3.39), (1.3.40). Задача же нахождения
этих коэффициентов намного проще исходной краевой задачи.
Как уже было отмечено, функция ш(х,у) должна быть
достаточно гладкой, в противном случае ее будет трудно с достаточной
степенью точности приблизить выражением w(x,y). Возможны
два варианта. Первый заключается в выборе для
конструирования ш(х,у) системы R-операций Щ1 (табл. 1.2), принадлежащих

76
Гл. L Введение в теорию R-функций
классу Cm(R2). Второй способ состоит в предварительном
сглаживании исходной области в окрестностях особых точек (например,
с помощью почти R-функций), если это не может существенно
отразиться на физичности получаемых результатов.
Отметим, что в случае выпуклой области обойти указанные
трудности позволяет конструирование функции области не с
помощью R-операций, а путем обычного произведения функций,
описывающих гладкие участки ее границы Г
ш(х,у) =шг(х,у) -U2(x,y) •••• -u;n(x,y).
Кратко затронем вопрос построения аппроксимации (1.3.34)
с помощью алгоритма двумерной атомарной квазиинтерполяции
[37-39] (обоснование одномерной квазиинтерполяции приведено в
Приложении 7). Рассмотрим интерполяцию f(x\,x2) Е С^Г+1^(П),
имеющей непрерывные частные производные порядка не выше
г + 1 по каждой из переменных. Пусть область П —
прямоугольник [ai;bi] х [02; 62]? а функция / может быть продолжена за ее
пределы на всю числовую плоскость. При четном г двумерный
атомарный интерполянт будет иметь вид (1.3.25)
N
Флг,г(/;я1,х2) = ^c^Sw(xi)^w(x2).
А;=0
Теорема 1.15. Пусть f(xux2) G С(г+1)(П). Тогда для
(xi,x2) е П
2
||Ф*,г(/;*ь*2)-^
(1.3.42)
где константа В не зависит от hi (г = 1,2), / и П, а
модули непрерывности по каждой из переменных определяются
следующим образом:
! дг I
I — (f(xux2)-f(x'ux2)) ,
Lj$}\f,hi) = max
\xl-x[\<hl
uW(f,h2)= max
X2tx,2e[a2;b2]
\x2-x'2\<h2
QT
— {f{xux2)~ f(x[,x2))
Определим квазиинтерполянт Ф#,г,м(/;#ь#2) с
коэффициентами
г
М I М М
г=0 \ р=0 s=0
/(^l/i(j)'X2i/0))' (1-3.43)

1.3. Методы аппроксимации структур решения 77
где Дхр, A2s — центральные разделенные разности четных
порядков по каждой из переменных, а величины а& определяются
следующим образом:
aM = fupr(M),
S
аМ-Дирг(М - s) + J^ (-l)i+lCl2iM_s+i)aM-s+u s = TJd.
t=i
Теорема 1.16. Пусть f(xux2) G С(Г+1)(П). Гог(?а для
(xux2) е П
2
(1.3.44)
где константа В не зависит от hi (г = 1,2), / г/ П.
В отличие от интерполяции (1.3.8), коэффициенты атомарного
интерполянта (1.3.43) определяются явно, без решения системы
линейных алгебраических уравнений. Порядок погрешности
приближения остается тем же.
Пример 1.6. Рассмотрим задачу (1.3.28), (1.3.29) в области 5,
изображенной на рис. 1.24.
/1
1
1
/
0
2а
^
R/
/
)
lb
X
'
Рис. 1.24. Область из примера 1.6
Напишем уравнение ее границы в следующем виде:
ш(х,у) =u>i{x,y) -ubfay),
u>i(x,y) = R2-x2- у2, ш2{х,у) = (а2 - х2)(Ь2 - у2).

78
Гл. 1. Введение в теорию R-функций
Введем разбиение
Xi = -a + ihx, г — -1,0,... ,NX + 1, hx = 2a/Nx,
yi = -b + jhy, j = -l,0,...,Ny + l, hy = 2b/Ny
и, согласно (1.3.8), в качестве базисных функций возьмем
(рк(х,у) = фк1)(х)ф£)(у),
ф[1) (х) = fup2 ( 2L_2 -цк), ф{к2) (у) = fup2 ( ^~j—
"к
Vk
Ny + 3
1, uk = k-(Ny + 3)nk-l, k = 0,l,...,N,
N(Nx + 3)(Ny + 3)-l.
Структуру решения запишем в виде
TV TV
U(x,y) = w(x,y)Y^,ck<Pk(x,y), w(x,y) = ^dkVkfay),
h=0 h=0
а коэффициенты d^ найдем из условий интерполяции u(x^y) в
узлах (xuyj)
w{xi,yj) =u)(xi,yi), г = -1,0,..., ЛГХ + 1, j = -1,0, ...,Ny + 1,
с помощью алгоритма квазиинтерполяции. Необходимо далее
вычислить одномерные интегралы (1.3.41). Обозначим
J(iJ,k,l) =
min (i,j, к J)
fup2(a; — i)fup2(x — j)fup2(a; — &)fup2(:r — /)da;,
max (г, j, k,l)—2
I
G(i,j,k,l) =
min (г, j, /c,/)
/
d2
fup2(o:-/)fup2(a:~i)^2(fup2(a:-A;)fup2(x~2))^.
max (г, j, /c,/)—2
Тогда
Л?],*,/ == hxJ{v>i,Hj,Vk,Hl), Ji j,k,l = hyJ^i^j^k^l),
GSm = j^GifH^j^k.iii), Gf]Kl - — G{vuv3,vk,vi).

1.3. Методы аппроксимации структур решения 79
В таблицах 1.5 и 1.6 приведены значения J(z,j, k J) и G(i,j, к J).
Для упрощения подынтегрального выражения в последнем
использовались формулы [3]
—fup2(x) — fup^-T + 0.5) - fup^a; - 0.5),
CXJu
d2
^fup2(:z) = up(x + 1) - 2ир(ж - 1).
Интегрирование производилось методом Ромберга по формулам
трапеций [40].
Таблица 1.5. Значения интегралов J(z, j, fc, I)
1 (hj,k,l)
(0,0,0,0)
(0,0,0,1)
(0,0,1,1)
(0,0,0,2)
(0,0,1,2)
(0,0,2,2)
(0,1,1,2)
J(i,j,k,l)
0.012280
3.576293 • 10"3
2.448673 • Ю"3
3.785773 • 10"5
9.016699 • 10"5
1.167758 • 10"5
3.640882 • 10"4
(*,J,M)
(0,0,0,3)
(0,0,1,3)
(0,0,2,3)
(0,1,2,3)
(0,0,3,3)
(0,1,1,3)
J(z,j,/c,Z)
2.198937-10"10
5.754702 • 10~9
4.061027-10-9
2.208717-lO"7
3.347524-10"11
2.365505 • 10~7
Таблица 1.6. Значения интегралов G(г, j, к, I)
1 (*\j,M)
(0,0,0,0)
(0,0,1,1)
(0,0,0,1)
(0,1,0,1)
(0,0,2,2)
(0,0,1,2)
(0,0,0,2)
(1,1,0,2)
(0,1,1,2)
(0,1,0,2)
(0,2,0,2)
(0,0,3,3)
G(i,j,k,l)
-0.038677
0.071446
-0.021344
-0.035729
2.065996 • 10-3
6.912201 • 10~3
-9.447965 • 10"4
-0.023177
9.686321 • 10"3
-4.921539 • 10"3
-7.946367 • 10"4
4.403584 • 10"8
(*,i,M)
(0,0,2,3)
(0,0,1,3)
(0,0,0,3)
(1,1,0,3)
(0,1,2,3)
(0,1,1,3)
(0,1,0,3)
(1,2,0,3)
(0,2,1,3)
(0,2,0,3)
(0,3,0,3)
G(iJ,kJ)
2.553267 • 10"6
2.051173 -10"6
-4.149572 • 10~8
-1.020288-10"4 J
8.004531 • 10~5
3.530269 • 10-5
-1.966974 • 10"6 1
-9.810059 • 10"5
1.73517-Ю-5
-1.628883 • 10-6
-1.608725 • 10"8

80
Гл. 1. Введение в теорию R-функций
Подставив найденные величины в (1.3.39), (1.3.40) и решив
систему (1.3.36), найдем собственные числа и функции задачи
(1.3.28), (1.3.29). Для решения обобщенной проблемы на
собственные значения использовался QZ-алгоритм [41]. В качестве
тестовой рассмотрим задачу с параметрами а — \/2/2, Ь — R = 1. В [42]
для области такой конфигурации найдены собственные значения
методом Ритца с алгебраическими многочленами в качестве
координатных функций. Возьмем в нашем случае Nx = Ny = 5 и
сравним ряд первых собственных чисел (табл. 1.7).
Таблица 1.7. Собственные числа для области на рис. 1.24. Первая строка —
данные из [42, табл. на с. 162], вторая и третья строки — значения, полученные
решением систем (1.3.31)—(1.3.33) и (1.3.36)-(1.3.38) соответственно
7.697
7.651
7.644
15.853
15.759
15.750
22.869
22.842
22.833
31.963
31.850
31.834
48.615
47.833
47.815
56.260
56.109
56.058
Как видно из таблицы, интерполяция исходной области не
приводит к накоплению погрешностей в методе Галеркина, и
результаты, полученные различными методами, отличаются между собой
долями процента.
Предложенную методику можно обобщить на краевые задачи
произвольного вида, для решения которых используется структура
Канторовича (1.3.30). В частности, это относится к уравнению
Пуассона в задачах электростатики
АЩх,у) = f(x,y) (1.3.45)
с краевыми условиями (1.3.29). Здесь следует правую часть также
приблизить координатными функциями {<Pi}: /(#, у) = ^Г, gi<Pi(x, у)-
г
Тогда элементы вектора-столбца J5, bi — — XlS^ff/^ l i^i l />
k i ' ' ' '
будут выражаться через интегралы
(X) СЮ
^ = / ^ЧМ1^, ^,|=/Л?Ч(2)^ (1-3-46)
—оо —оо
а для А останутся справедливыми выражения (1.3.39), (1.3.41).
Пример 1.7. Найти решение задачи (1.3.45) с условиями
(1.3.29) в области S из примера 1.6 при f(x,y) — —0.1До;(х,у).

1.3. Методы аппроксимации структур решения
81
Применим тот же аппроксимативный аппарат, что и в
предыдущем примере. Предварительно необходимо вычислить
вспомогательные интегралы
min(i, fc,/)+2
F(i, k, I) = / fup2(# - i)iup2(x — fc)fup2(£ — l)dx,
max (г, &,/)—2
с помощью которых выражаются величины (1.3.46)
Fi%t = hxF(iH>HkiHi), F-Xi = hyF{ui,uk,ui).
В табл. 1.8 представлены значения точного по(#, у) = 0.1и>(а;, у)
и приближенного, по Галеркину, Up решений, а также их частные
производные в некоторых узлах. Вычисления выполнены для
следующих значений параметров: a — Ь = 1, R = 1.2, Nx = Ny = 5.
Таблица 1.8. Значения точного и приближенного решений, их производных
в некоторых узлах

Решение
UQ
ир
Uqx
Upx
1 u0y
upy
x = y
0.0
0144
0.144
0
0
0
0
0.2
0.125
0.125
-0.089
-0.086
-0.089
-0.086
0.4
0.079
0.079
-0.132
-0.130
-0.132
-0.130
0.6
0.029
0.030
-0.104
-0.098
-0.104
-0.098
! 0.8
2.074 • 10"3
4.165 • 10"3 1
-0.030
-0.027
-0.030 J
-0.027
Ниже приведены оценки относительной погрешности
приближенного решения и его частных производных в равномерной
метрике
N -up\\c(s)
Pol
0.019,
C(S)
ll("o - up)'z\\c(s± = 0 Q21 Uuo - up)y\\c(s) = 0 021
кл
OxUC(S)
l0yWC(S)

82
Гл. 1. Введение в теорию R-функций
1.4. Применение метода R-функций
к решению краевых задач электростатики
Задачи электростатики могут быть отнесены к простейшим,
базовым задачам теории электромагнетизма. Благодаря простоте
постановки они служат удобными моделями для оптимизации
различных численных методов и алгоритмов. Рассмотрим
особенности применения теории R-функций к решению ряда таких задач.
1.4.1. Электростатические поля. Распределение электрического
потенциала в двумерной области Л при отсутствии источников и
пренебрежении индуцированными зарядами, создаваемыми
магнитными полями токов, описывается уравнением Лапласа
d2u d2u л , л ч
Au = w + w = °' (1А1)
где и — искомая функция потенциала.
Вид искомой функции зависит от формы тела О и характера его
электрического взаимодействия с внешней средой, который
определяется краевым условием задачи. В задачах электростатики
краевое условие второго рода (Неймана)
du
= <Ро, (1.4.2)
on
где (ро = JR, В, — погонное сопротивление, возникает тогда,
когда через границу dtl течет электрический ток J. В частном
случае, когда тело электрически изолировано и ток на дС1 равен нулю
(J = 0), условие (1.4.2) превращается в однородное ди/дп\ап = 0,
соответствующее изоляции границы д£1.
Краевые условия первого рода (условия Дирихле)
и\ш = tx0 (1.4.3)
на практике встречаются редко, так как в большинстве случаев
потенциал является искомой величиной. Более общим, чем условия
Дирихле и Неймана, является условие третьего рода
ди
— + wu
on
- 0, (1.4.4)
дп
где w — волновое сопротивление. Здесь нуль в правой части не
ограничивает общности, ибо потенциал всегда определен лишь с
точностью до произвольной константы. В электродинамике это
условие выводится из условий Щукина-Леонтовича на участке д£1
и служит для моделирования сильного скин-эффекта, а в случае
комплексных w — поверхностного импеданса сверхпроводников.

1.4. Применение метода R-функций к решению... 83
ЩдПг = txo, у дп
Наиболее часто встречаются на практике смешанные
граничные условия, соответствующие различному характеру
взаимодействия тела Cl на различных участках 5£2г границы. Например,
краевые условия
= ¥>о (1.4.5)
\дП2
соответствуют заданному распределению потенциала на участке
границы дП\ (например, посредством подключения к источнику
постоянного напряжения) и протеканию электрического тока на
участке дО.2-
1.4.2. Решение краевых задач электростатики методом
R-функций. Рассмотрим применение теории R-функций к решению задач
электростатики (см., например, [43,44]). Пусть
Au + g(e)u = f{e) (1.4.6)
— самосопряженное уравнение эллиптического типа, где в —
некоторая точка конечной n-мерной области Р (везде, где это особо
не оговорено, рассматривается случай любого целого п ^ 2; случаи
п = 2 и п = 3, играющие наиболее важную роль в прикладных
задачах, оговорены отдельно), ограниченной кусочно-гладкой
поверхностью L = дР\ функции /(0) и д(в) заданы внутри области Р
и таковы, что д(в) ^ 0; д(в) G C(P)\ f(0) G L2(P). Разобьем
поверхность L на п частей так, чтобы
п k s n
L={jLi- Г1 = и^; Г2= U Li- Г3= (J Ц. (1.4.7)
г=1 г=1 i=k+l i=s+l
Смешанную краевую задачу сформулируем следующим
образом. Найти решение уравнения (1.4.6), непрерывное в замкнутой
области Р — Р + L, удовлетворяющее на границе L этой области
неоднородным граничным условиям
,,-* (£+л"и
Здесь h* > 0 — функция, заданная на участках Гз границы L;
£Г — функция, определенная на участках Гх; ££ и £з — функции,
заданные на множестве точек участков Г2 и Гз, где направление
нормали определено.
Построим некоторую функцию щ(М), удовлетворяющую тем
же граничным условиям (1.4.8) и такую, что Ащ(М) Е L2(V).
Положив у — и - щ, краевую задачу (1.4.6), (1.4.8) сведем к
смешанной задаче с однородными краевыми условиями
Д1/ + 0(0)i/= /i(0); Иг!=0; (1.4.9)
= Й- (1-4-8)
Гз

84
Гл. 1. Введение в теорию R-функций
du
дп
г.-* (= + "
= 0, (1.4.10)
г3
где /i = / - Ащ - дщ.
Тогда оператор А задачи (1.4.9), (1.4.10) будет определен на
множестве функций Mi, дважды непрерывно дифференцируемых
в замкнутой области Р и удовлетворяющих однородным
граничным условиям (1.4.10). Нетрудно убедиться, что на множестве Mi
оператор А положителен. Действительно, по формуле Грина для
оператора Лапласа
Р р i-l г
и, с учетом (1.4.9), (1.4.10), получим
{Av,v)= [v{-Av + gv)dP= f [(Vv)2 + gv2]dP - f v^dT =
P P P
= / [(Vi/)2 +9"2]dP+ f h*v2dT, Av,v> 0. (1.4.12)
P r3
Покажем теперь, что v = 0, если (Av, v) = 0. Имеем
(;4i/,i/)= A(Vi/)2+pi/2]dP+ [h*is2dT = 0.
P r3
Тогда
f{VufdP = 0; /gv2dP = 0; f h*v2dT = 0. (1.4.13)
P P Г3
Из (1.4.13) следует, что Vz/ = 0 (u = const). Так как Л* > 0
на замкнутом множестве Гз, то существует число ho такое, что
h* > Ло > 0- Отсюда / h*u2dT > Л0 / ^2dT ^ 0, а в силу 3-го из
Гз Гз
равенств
(1.4.13) /V
2dT = 0 и I/ = 0.
Гз
Таким образом, оператор Л на множестве Mi положителен.
Покажем также, что он является положительно определенным на М\.
Отбрасывая в (1.4.12) слагаемое с / dv2dP (оно неотрицательно) и

1.4. Применение метода R-функций к решению... 85
заменяя под знаком поверхностного интеграла h* на /iq, получаем
(Av, у) ^ / (W)2 + ho v2dT. Пусть a — меньшее из чисел 1
Р Г3
и /iq. Тогда (Av, v) > a <
\Р Г3
равенство Пуанкаре [8], имеем
/ (Vz/)2dP+ / u2dT \. Используя
не-
г ) р
/3 { / (W)2dP + / vldY ) > / uldP.
Значит, существует число 7 > 0 и такое, что
(Л*л^72|И2- (1-4.14)
А именно, можно брать у = \/а//3.
Из доказанного следует, что краевая задача (1.4.9), (1.4.10)
является положительно определенной. Она сводится к
вариационной задаче о минимуме функционала
F{v) = {-bv + gv,v)-2{u,h) (1.4.15)
и для ее приближенного решения может быть применен метод
Ритца. Решение ищем в виде
m
ММ) = ^СШ, (1.4.16)
г=1
где Хг — некоторая последовательность базисных функций. Для
определения неизвестных коэффициентов С;, подставив (1.4.16) в
(1.4.15), получим
Y^d j(-Axi + 9Xi)XidP = ffiXjdP, J = l,2,...,m.
i=i p p
(1.4.17)
Применив формулу Грина (1.4.11), а также используя краевые
условия (1.4.9), (1.4.10), систему уравнений (1.4.17) преобразуем
к виду
^ Ci | / {VxiVxj + 9XiX^dP ~ j Л*Х«Х»<*Г | = / hXjdP.
(1.4.18)

86
Гл. 1. Введение в теорию R-функций
Используя понятия частично нормализованного уравнения щ(в)
участка границы области Р и введенных выше операторов
г
построим структуру решения смешанной краевой задачи (1.4.6),
(1.4.8). Будем искать ее решение в виде
и = Ф0 + o>i4>i + о;2Ф2 + <^зФз, (1.4.20)
где Фг являются произвольными функциями, подлежащими
определению линейными комбинациями базисных функций Xi-
Функция cji удовлетворяет условиям
"i(0)>O, 0ЕР; ci;i|ri=0 (1.4.21)
к
и является уравнением участков границы Г\ = (J Li. Функции^
t=i
и о;з, удовлетворяющие внутри области тому же условию
положительности, что и o;i, являются частично нормализованными на Г2
и Гз соответственно уравнениями общей границы L:
и;2(0)>О, 0ЕР; а;2|Г2 =0; -jjj±
и3(в)>0, 0ЕР; а;3|Гз=0; ^
= 1; (1.4.22)
г2
= 1. (1.4.23)
Гз
Предположим, что функция £*, входящая в краевое условие (1.4.8),
допускает элементарное продолжение f J (0) внутри области Р
(определения функции £1 на разных участках Г\ даны согласованно, и
задача имеет решение). Тогда из свойств функций u;i(0), а>2(0)
и о;з(0) следует, что функцию Фо можно всюду внутри области Р
положить равной Фо(0) = fi(0).
Итак, запишем (1.4.20) в виде
u = £$ + игФх + u)2$2 + <^зФз- (1.4.24)
Воспользовавшись свойствами оператора (1.4.19), краевые условия
(1.4.8) заменим на условия вида
D^u = & + ^2*2; (1.4.25)
D^u + fcitx = & + и;3Фз, (1.4.26)

1.4. Применение метода R-функции к решению... 87
где функции hi(Q), £2(0) и £з(#) — элементарные продолжения
функций /г*, <^2 и £з внутрь Р; Фг и Фз — произвольные
непрерывные функции. Формулы (1.4.25) и (1.4.26) на границах Г2
и Гз эквивалентны (1.4.8), но в отличие от последних определены
всюду внутри области Р. Подставляя (1.4.24) в (1.4.25) и учитывая
свойства оператора D^2\ получаем
+ Ф2£>(2)о;2 + ^з£>(2)$з + Фз#(2)^з = Ь + ш2У2. (1.4.27)
Так как £>(2)о;2|Г2 = (Vu;2)2|r2 - 1, то
D^uj2(e) = 1 + о;2(0)х(0), ОеР, (1.4.28)
а поскольку функции и2(в) и ш^{в) обращаются в нуль на
границе L, то можно считать, что внутри области Р они связаны
равенством
из{в)=и2(0)<р(в). (1.4.29)
Здесь х($)э ф{0) — произвольные функции. Тогда с учетом (1.4.28)
и (1.4.29) равенство (1.4.27) можно записать в виде
£>(2)£i + £>(2)(u;^i) + Ф2 + Ф3£>(2)^з = 6 + t<W2, (1.4.30)
где ф2(6) — Ф2 — х®2 — -0^2^Ф2 — <Р-О^Фз- Эта функция является
произвольной из-за произвольности остальных. Отсюда найдем
неизвестную функцию
Ф2 = Ь ~ £>(2)6 - £>(2)ИФ1) - £>(2)(и;3Фз) + ^2^2- (1.4.31)
Подставляя (1.4.31) в (1.4.24), получаем
u = £i - u2D^^\ + ш2& + k>i$i - to2D^ (Ш1Ф1) + ^-рФз + ^2<Р2,
(1.4.32)
где ш® — cj^—(jj2D^(jJs — функция, обладающая согласно (1.4.22),
(1.4.23) следующими свойствами:
bf|r2=0'
dWu>°\V2 = (D^u* - DWcbDWu* - w2D^D^^) |Га = 0.
2(1.4.33)
Таким образом, доказана следующая лемма.

88
Гл. 1. Введение в теорию R-функций
Лемма. Каковы бы ни были дважды непрерывно
дифференцируемые в области Р = Р + L функции <&i(0), Фз(#) м ц>2(0),
функция и(9), определяемая (1.4.32), будет удовлетворять
краевым условиям (1.4.8).
Эти условия удовлетворяются и при <р2(в) = 0. В этом можно
убедиться непосредственной подстановкой, учитывая свойства
(1.4.22) и (1.4.33) функций ш2(в) и ш$(в). Для определения
функции Фз(#) в (1.4.26) подставим функцию и(9), определяемую
(1.4.32) с учетом <р2(в) = О,
D^h - cj2£>(2)£>(3)£i ~ D^u2D^^ + ^2D^u2 + ^2#(3)6 +
+ О&ЦшгФг) - W2DWdW{uj&i) - £(3)^2£>(2)(^i$i) +
+ cjf £>(3)Ф3 + Ф3£>(3)^ + Л& - /icj2£>(2)6 + hu2& +
+ hu)i$i - hu2D^(u^i) + /icjf Ф3 = 6+^3*3- (1-4.34)
Предполагая, что uj2(0) = иъ(9)х\{0), ^(в) = о>з(#)Х2(0) и
D^u>°{9) = (0<3>u/?) lr3 + <** (0)хз(*) (1.4.35)
внутри области Р, где Хг (* = 1,2,3) — произвольные функции,
проделаем преобразования, аналогичные (1.4.30), (1.4.31). Тогда
для Фз(#) получим следующее выражение:
Фз = /д(з)^Р)| [& ~ DiZ)b + D^^D^Hx - ££>(3)u>2 -
(1.4.36)
Подставив (1.4.36) в (1.4.24) и сделав замену
р4яг^ (ы-37)
получим
и = 6(1 - w$h) + Ь"? + &"з - w2D£>(2)6 - u^D^i +
+ wi<h(l -hwg) -wf£>(2)(w^i) -u}gD(3)(u>i$i) +ш3ш£<рз,
(1.4.38)

1.4. Применение метода R-функций к решению... 89
где и>2 = ь>2 — <jJzD^u)2- Согласно (1.4.33), функции ^(в)^ си*(в)
обладают свойствами
и>Х(в)\ь = 0; ХЛ£(0)|Г> = 1; £>(3ЦХ(0)|Г2=О;
(1.4.39)
w?(*)|L = 0; DWv?(e)\rs=0; iAf^ = 1.
Имеет место теорема [44].
Теорема 1.17. Каковы бы ни были дважды непрерывно
дифференцируемые в области Р — Р + L функции Ф\(9) и <£>з(#)>
функция и(0), определяемая (1.4.38), будет удовлетворять
краевым условиям (1.4.8).
Теорема сохраняет свою силу и при (рз(0) = 0. Убедиться в
этом можно также непосредственной подстановкой, учитывая
свойства (1.4.39) функций wf (0) и и)*(0). Таким образом, формулой
(1.4.38) при <£>з(#) = 0 определяется структура решения
смешанной краевой задачи (1.4.6)—(1.4.8). Из теоремы вытекает важное
следствие.
Следствие. Так как неоднородным краевым условиям
удовлетворяют определенные слагаемые, входящие в (1.4.38), а именно:
щ = 6(1 - "*h) + Ь"2 + "з& - ^D4i - ufD^tu
(1.4.40)
то оставшиеся неизвестные члены обозначим
v = wi4>i(l - ufh) - LJ^D^iu;^) - ^О&ЦшгФг). (1.4.41)
Они должны удовлетворять однородным краевым условиям (1.4.10).
Это означает, что вывод структуры решения для неоднородной
краевой задачи (1.4.6), (1.4.8) позволяет, с одной стороны, свести
ее к однородной задаче (1.4.9), (1.4.10), а с другой — решение
однородной задачи искать на множестве функций i/, на котором, как
доказано выше, оператор А является положительно определенным.
Перейдем теперь к построению системы базисных функций.
Пусть \{(0) (i = 1,2,..., га) — некоторая полная
последовательность функций вида степенных полиномов, произведений
степенных полиномов Лежандра Z>fc(#), Lj(y), Ls(z)1 синусоид,
полиномов Чебышева, сплайнов, АФ и т.д.
Представим неизвестную функцию
т
Ф1(0) = £СЖ(0), (1.4.42)
г=1
где С{ — подлежащие определению константы (вариационные
параметры). Из (1.4.41), с подстановкой (1.4.42), получим
т
ит(в) = ^Са№, (1.4.43)
г=1

90
Гл. 1. Введение в теорию R-функций
где
Xi = wiAi(l - u?h) - u^D^i^Xi) - ujfDWfaXi) (1.4.44)
и является искомой системой координатных функций, точно
удовлетворяющих смешанным однородным граничным условиям
(1.4.10).
Граничные условия Неймана будут естественными для
уравнения (1.4.9) и согласно методу Ритца им удовлетворять
необязательно. Однако, как показывает практика, удовлетворение этим
условиям во многих случаях приводит к лучшей сходимости
метода. Поскольку координатные функции (1.4.44) точно
удовлетворяют всем граничным условиям (1.4.10), в том числе и
естественным (условиям Неймана), то систему Ритца можно выбирать, как
указано выше.
Пример 1.8. Применим метод R-функций к расчету
электростатических полей несимметричной полупроводниковой пластины
со смешанными граничными условиями. Рассмотрим
прямоугольную полупроводниковую пластину ABDEC (область Р),
ограниченную сверху и снизу различными по длине контактами CD и
АВ, к которым приложено напряжение С/. На рис. 1.25 показаны
С
D
Рис. 1.25. Область Р (а) и соответствующая R-функция (б) (пример 1.8)
область Р (а) и соответствующая ей R-функция (б).
Электропроводность среды считаем величиной постоянной. Пренебрегая
магнитным полем токов, считаем, что в пластине отсутствуют
индуцированные заряды и задача сводится к решению уравнения
Лапласа
АЩх,у) =0 (1.4.45)
со смешанными граничными условиями. На контактах АВ и DE

1.4. Применение метода R-функций к решению... 91
граничные условия имеют вид
Щх, 0) (-а < х < а), Щх, 6) = 1 {с < х < а). (1.4.46)
При проведении численного эксперимента а = 0.64, b = 1, с = 1/3.
На изоляторах АС£? и BD из-за отсутствия токов вне
полупроводника граничные условия будут следующие:
0£
дх
= 0 (0<у<6); ~
х=±а дУ
у=Ь
= 0 (-а<а?<с). (1.4.47)
Условия (1.4.46) и (1.4.47) представим в обобщенном виде:
21
"1г.-
-т
= U0(x,y);
(1.4.48)
dU_
дп
= 0.
г2
Решение поставленной задачи ищем как
U = <&o+u>i<I>i + w2$2,
(1.4.49)
(1.4.50)
где Фо(ж, у), Ф\(х, у), Фг(ж, у) — подлежащие определению
функции. Функции ш\{х,у) и Ш2(х,у), как показано выше, обладают
следующими свойствами:
wi(a?,y)>0, (х,у)еП,
wi(«.y)|r, = °>
(1.4.51)
Г иъ(х,у) >0, (ж, у) е ft,
М2(х,у)\
riUr2
= 0,
[ 9ш2(а;,у)/ап|Г2 = 1.
(1.4.52)
Отсюда следует, что для удовлетворения (1.4.48) достаточно всюду
в области Р положить
Ф0(х,у) = и0. (1.4.53)
Потребовав, чтобы функция (1.4.50) удовлетворяла условию (1.4.53),

92
Гл. 1. Введение в теорию R-функций
и учитывая свойства (1.4.48) и (1.4.52), получим
(1.4.54)
Подставляя (1.4.53) и (1.4.54) в (1.4.50), окончательно получаем:
U = U0+ шгФг - cj2£>(2)(u^i). (1.4.55)
Следовательно, независимо от выбора Ф\(х,,у) функция U(x,y)
будет удовлетворять заданным граничным условиям (1.4.48) и
(1.4.49). Произвольный выбор функции Ф\(х,у) можно
использовать для приближенного удовлетворения уравнению Лапласа.
Полагая
п
(при этом система функций {х;}? где Хг(^) = ^1^(0), является
полной), можно определить коэффициенты C{j одним из
вариационных методов (например, методом Ритца).
Построим функции
и>г(х,у) =Flf| ^F3f|(F2f|F4)) ; ш2(х,у) = F5f|^6,
(1.4.57)
которые определяют логику форм областей данной задачи. Здесь
функциональные компоненты равны
F1 = у; F2 = х - с; F3 = у - 6; F4 = а - х\
(1-4.58)
F5 = (а2 - х2)/2а; F6 = у(Ь - у)/Ь.
Нетрудно убедиться в том, что построенные таким образом
функции ui(x,y) и U2{x,y) удовлетворяют условиям (1.4.51) и (1.4.52).
Далее воспользуемся методом Ритца, позволяющим улучшить
аппроксимирующую функцию представлением ее в виде линейной
комбинации функций, образующих полную систему. В этом случае
коэффициенты разложения образуют множество линейных
вариационных параметров и минимизация соответствующего
функционала позволяет систематически повышать точность
аппроксимации. Не останавливаясь на общем изложении идеи метода,
проиллюстрируем его применение в сочетании с теорией R-функций
к расчету поля несимметричной полупроводниковой пластины (в
нашем случае — потенциалу электростатического поля).

1.4. Применение метода R-функций к решению... 93
Метод Ритца, являющийся весьма общим методом, позволяет
также отказаться от каких-либо существенных ограничений,
связанных с геометрией поперечного сечения несимметричной
полупроводниковой пластины и параметрами среды, расположенной
между двумя контактами, и сформулировать задачу в самом
общем виде. В такой формулировке метод Ритца практически реален
лишь с применением вычислительной техники.
Итак, краевую задачу (1.4.45)-( 1.4.47), воспользовавшись
методом Ритца, можно свести к задаче о минимуме функционала
F[u] = (-Д*/, у) - 2(Дзд, v) = I (VufdP + 2 Г (Vu0, Vv)dP.
р р
(1.4.59)
После соответствующих подстановок и преобразований имеем
эсги
£ Ci f (VXiVXj)dP + J (VXiVu0)dP
[j=o P P
(1.4.60)
n
или иначе, ^ a%jCj '= b{. Следовательно, для определения ко-
i=o
эффициентов Ci необходимо найти элементы {а^-}, {6;} системы
Ритца, которые имеют вид
<Ы = f {VxiVXj)dP\ b3 = ~f (VxzVu0)dP. (1.4.61)
p p
Для проведения вычислений было взято 20 координатных
функций (п = 20 ). Следует заметить, что при численном решении
данной задачи функции Хг были получены путем применения
процедуры Грама-Шмидта к исходным функциям — произведениям
косинусоид обеих координат. Роль скалярного произведения в
этом подходе должно играть энергетическое произведение
исходных функций, т.е. интеграл по заданной области от скалярного
произведения градиентов этих функций. По свойствам этого
метода каждая новая добавляемая функция не влияет на
предыдущие, а полученные функции Хг ортогональны, так что фактически
матрица {а^-} оказывается единичной. Отсюда следует, что
коэффициенты Ci не меняются при увеличении количества
базисных функций (с точностью до погрешности машинного
округления). Физические картины распределения электростатических
полей для различных соотношений длины и высоты образца, а также

94
Гл. 1. Введение в теорию R-функций
ширины идеально проводящей полосы представлены на рис. 1.26
(а — общая картина распределения поля, б— линии
распределения поля).
Поскольку точное решение задачи неизвестно, то трудно
напрямую судить о погрешности приближенных решений. Однако
Н
0.8
0.6
0.4 Ч
0.2 -I
о-1
I I I 1 i i 3
-0.6 -0.2 0 0.2 0.6
а б
Рис. 1.26. Трехмерный график (а) и линии уровня (6) электростатического поля
(пример 1.8)
возможно вычислить нормы (скалярные или энергетические)
разностей um — un и по ним составить суждение о близости
приближенных решений. Здесь
771 71 771
Um ~ Un = U0 + ^Г CiXi -Uo-^ CiXi\ % - Un = ]P CiXi\
2 = 1 1=1 2=71+1
V(um-un)= ]T QVxu
2=П+1
m p
hm-un\\2= ]T dCj J (VxiVxi)rffi;
При m — m + 1
2j=71+l Q
M
|^m — wn|| = 22 CiCjaij.
\\um - wm_i|| = |Cm|v/anm.
(1.4.62)
(1.4.63)

1.4. Применение метода R-функций к решению... 95
При использовании процедуры Грама-Шмидта для получения
базисных функций Xi-> как было указано выше, матрица {а^}
является единичной. Таким образом, получаем важный результат
||um-um_i|| = \Cm\. (1.4.64)
Таблица 1.9. Значения коэффициентов разложения, скалярной и
энергетической норм погрешности приближенного решения (пример 1.8)
Число
базисных
функций
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1 10
11
12
1 13
14
1 15 1
16
17 1
18 |
19
20
Коэфффициент
Ci
0.94157
0.04259
0.19998
0.09190
-0.03514
0.03834
0.01489
-0.07951
0.00191
0.01980
0.01373
-0.01919
0.06080
0.01227
0.00030
-0.05222
0.01762
0.03900
-0.05128
-0.01307
Скалярная
норма разности
0.44673
0.01242
0.04090
0.01656
0.00644
0.00476
0.00213
0.00955
0
0.00255
0.00123
0.00215
0.00547
0.00113
0
0.00529
0.00124
0.00359
0.00367
0.00098 J
Энергетическая
1 норма разности
0.94163
0.04259
| 0.19999
0.09191
0,03513
0.03834
0.01489
0.07952
0.00191
0.01980
0.01373
0.01919
0.06080
0.01227
о 1
0.05222
0.01762 1
0.03900
0.05128
0.01307 J
В табл. 1.9 приведены значения коэффициентов С;,
энергетических и скалярных норм разности. На рис. 1.27 представлены
графики, показывающие сходимость приближенного решения по
скалярной (а) и энергетической (б) нормам um — un в
зависимости от числа координатных функций п. Равенство (1.4.64) удовле-

96
Гл. 1. Введение в теорию R-функций
творяется во всех приближениях. Например, |jui — «о|| = 0.9416;
Сг = 0.9416; \\щ -и7\\= 0.0795; С8 = -0.0795.
Рис. 1.27. Сходимость приближенного решения по скалярной (а) и
энергетической (б) нормам в зависимости от числа базисных функций (пример 1.8)
Пример 1.9. Рассмотрим уравнение Лапласа (1.4.44) в
области, изображенной на рис. 1.28а, со следующими граничными
условиями:
C/(z,0)=0; 17(ж,Ь) = 1, (1.4.65)
где а = Ь = 4, и
dU\
дп
0
(1.4.66)
на всей остальной части границы.
При переходе от одной задачи к другой вид функционала (1.4.59)
не изменяется, изменяются область интегрирования и функции и)\
Е
С
И
I
к
F
G
D
Рис. 1.28. Область Р (а) и соответствующая R-функция (б) (пример 1.9)
и CJ2, описывающие геометрию объекта. В исследуемой задаче
функция u\ выглядит просто:
ал =у(Ь-у), (1.4.67)

1.4. Применение метода R-функций к решению... 97
так как условия Дирихле заданы лишь на верхнем и нижнем
участках границы. Функция и>2 (рис. 1.286) имеет более сложный
вид:
ш2 = F1 Л0 F2 Л0 ^3 Л0 F4, (1.4.68)
где
Fl = ^^; И-(1-«)л.р-„);
F3=<-v~1)®~v)/vfr-2); F4 = (x-3)A„(s/-l).
Таблица 1.10. Значения коэффициентов разложения, скалярной,
энергетической норм погрешности и невязки приближенного решения (пример 1.9)
Число
базисных
функций
1
2
3
4
1 5
[ б
1 7
1 8
1 9
10
11
12
1 13
14
15
16
17
18 1
19 1
20 1

Коэффициент Ci
0.31541
J 0.19598
-0.18272
0.18803
0.09614
-0.12867
-0.06955
0.07528
-0.07151
0.08012
0.13101
0.03008
0.03180
-0.06339
0.03128
-0.06134
-0.00838
0.01322
-0.03423
0.00730
Скалярная
норма
разности
0.18623
1 0.09920
0.10034
0.04255
0.03616
0.02373
0.03006
0.01557
0.01393
0.02288
0.03073
0.00505
0.00509
0.01100 I
0.00899
0.01866
0.00270
0.00284
0.00526 |
0.00124

Энергетическая норма
разности
0.29381
0.19282
0.18370
0.14920
0.09446
0.10056
0.07004
0.06128
0.06012
0.06610
0.10978
0.02879
0.02618
0.05156
0.03125 1
0.05464
0.00696
0.01322
0.03105
0.00726
Невязка
приближенного
решения
1.18452
1 1.15967
1 1.04380
0.72822
0.71187
0.60785
0.58280
0.53339
0.49702
0.48019
0.40400
0.39398
0.38659
0.34240
0.33842
0.30845
0.30580
0.30190
0.29337 J
0.29293

Относительная невязка
0.35077
0.33621
0.27238
0.13258 1
0.12669
0.09237 J
0.08491 J
0.07113
0.06176
0.05765
0.04080 1
0.03880
0.03736
0.02931 J
0.02863
0.02379
0.02338
0.02279
0.02152
0.02145
4—2176

98
Гл. 1. Введение в теорию R-функций
Эта функция полностью описывает геометрию области. Но
фактически ею можно пренебречь, т.е. опустить последнее слагаемое в
(1.4.54). Это вызвано тем обстоятельством, что краевые условия
Неймана являются естественными для данного уравнения и
полученное решение удовлетворяет им с высокой степенью точности,
даже если базисные функции этим краевым условиям не
удовлетворяют.
Решение исследуемой краевой задачи было сопряжено с
некоторыми трудностями вычислительного характера. Прежде всего
система функций, минимальная на квадрате (0, а) х (0,6), уже не
является минимальной на заданной области. Все попытки
применения этой системы функций в качестве базисной приводили
к слишком большим невязкам и, как следствие, относительным
погрешностям (отношение скалярной нормы невязки к скалярной
норме приближенного решения). Это вызвано тем, что при
использовании неминимальной системы в качестве базисной не
происходит стабилизации коэффициентов d при увеличении количества
базисных функций. Как показано в [15], сам по себе разброс
коэффициентов не является дефектом приближенного решения; однако
он влечет за собой неустойчивость процесса Ритца по отношению
к малым погрешностям округления при промежуточных
вычислениях.
Кроме того, определенную роль играет наличие внутренних
углов. Учитывая это, пришлось поступить следующим образом.
Первоначальная система функций (произведение
тригонометрических функций и полиномов Чебышева) подвергалась процедуре
Рис. 1.29. Трехмерный график (а) и линии уровня (6) электростатического поля
(пример 1.9)
Грама-Шмидта. Под матрицей Грама понимается матрица
произведений градиентов первоначальных функций. Полученная таким
образом система функций автоматически является минимальной

1.4. Применение метода R-функций к решению... 99
U(x,y)
и может быть использована как базисная. Матрица Ритца такой
системы является единичной, а сами по себе базисные функции не
меняются при увеличении
числа п (количества
координатных функций). Это означает,
что разброс коэффициентов Ci
в данной задаче отсутствует.
Таким образом, решение
системы Ритца становится
устойчивым по отношению к
погрешностям округления, и
относительная погрешность может
накапливаться лишь линейно по
числу функций п, что видно из
табл. 1.10.
Например, решение данной
задачи сходится по
энергетической норме: ||wi—wo|| = 0.3154,
С\ = 0.3154; \ч2 -ux\ = 0.1960, С2 = - 0.1960. Картина
распределения поля представлена как в трехмерном виде (рис. 1.29а),
так и в виде линий уровня (рис. 1.296). На рис. 1.30 изображен
Рис. 1.30. Трехмерный график опорной
функции С/о (пример 1.9)
0.25
0.1 Ъ\
0.05
10
б
15
20
Рис. 1.31. Сходимость приближенного
решения по скалярной (а) и
энергетической {б) нормам и невязки (в) в
зависимости от числа вбазисных
функций (пример 1.9)
трехмерный график опорной кусочно-гладкой функции С/о-
Графики сходимости решения примера 1.9 представлены на рис. 1.31
по различным нормам: скалярной (а), энергетической (б),
невязки (в).

100
Гл. 1. Введение в теорию R-функций
Пример 1.10. Здесь рассматривалось уравнение Лапласа
(1.4.44) в квадрате со стороной 4 с вырезанным из него
концентрическим кругом диаметром 2. Граничные условия следующие:
U = 0 на сторонах квадрата,
(1.4.69)
U = 1 на окружности (х2 + у2 — 1 = 0).
Геометрия исследуемой области описывается функцией
u^-^-^MxW-D. d.4.70)
lb
Данная область и соответствующая ей R-функция (трехмерный
график) представлены на рис. 1.32.
Рассматриваемая область является многосвязной.
Определение собственных функций для таких областей представляет
определенные трудности при инженерных расчетах. Данная задача
Рис. 1.32. Область Р (а) и соответствующая R-функция (б) (пример 1.10)
является симметричной, поэтому ее можно свести к решению
краевой задачи для односвязной области. Кроме того, решение
задачи должно быть симметричным относительно осей симметрии
области, а его производная по нормали к осям симметрии
области должна быть равна нулю. Поскольку среди первоначальных
функций есть как симметричные, так и асимметричные, то
очевидно, что базисные функции следует составлять лишь из
симметричных. Более того, из-за симметрии задачи можно не
прибегать к процедуре Грама-Шмидта и использовать первоначальные
функции непосредственно как базисные. Таким образом, в
данной задаче 6... 8 базисных функций достаточно для получения
той же точности результата, что и 20... 30 функций в примерах 1.8

1.4. Применение метода R-функций к решению... 101
Таблица 1.11. Значения коэффициентов разложения,
скалярной и энергетической норм погрешности приближенного
решения (пример 1.10)
Число
базисных
функций
1
2
1 3
1 4
1 5
1 6
7
8
9
Коэффициент
d
0.13498
0.05931
-0.05406
0.18270
0.05863
0.07013
-0.07010
-0.07692
0.05892
Скалярная
норма
разности
0.07590
0.03355
0.03058
0.10272
0.03316
0.03966
0.03965
0.04350
0.03332
Энергетическая j
норма
разности
! 0.43564
0.19143
0.17448
0.58957
0.18921
0.22633 j
0.22625 1
0.24826
0.19015
-2-10 1 2
Рис. 1.33. Линии уровня электростатического поля (пример 1.10)
и 1.9 (табл. 1.11). Картина распределения поля (решения данной
задачи), продолженная на внутреннюю область, представлена на
рис. 1.33 в виде линий уровня.
1.4.3. Решение задач электростатики в области типа «ковер Сер-
пинского». Рассмотрим задачу Дирихле для предфрактала 2-го
уровня ковра Серпинского, изображенного на рис. 1.3 (2). Зада-

102
Гл. 1. Введение в теорию R-функций
димся следующими краевыми условиями:
, ч Г /о(ж,у), (ж,у) Gdfto,
u{x,y) = { (1.4.71)
[ fi(x,y), (x,y) едП\дП0,
т. е. на внешней части границы сЮо области П задан нулевой
потенциал, а к внутренним участкам границы д£1' = 9П\сЮо
приложен единичный потенциал. Уравнения соответствующих участков
границ имеют вид (1.1.19) и (1.1.22) (к = 2). Сначала
необходимо свести неоднородную задачу Дирихле к однородной. Для
этого представим искомое решение в виде суммы двух функций v
и гу, первая из которых удовлетворяет краевым условиям (1.4.71),
а вторая — уравнению Пуассона с однородными условиями
первого рода на всей границе сЮ:
Aw = -f, {х,у)еП (/ = -Ai/),
(1.4.72)
w - о, (ж, у) е <ю.
Функцию v можно построить с помощью обобщенной формулы Ла-
гранжа (см. п. 1.2.2):
= № + fi»om (14 73)
Приближенное решение задачи (1.4.72) находим методом
R-функций с использованием структуры Канторовича
w = иФ,
где u) == u)2 в (1.1.21), а Ф — неопределенная компонента
структуры вида (1.2.10). После нахождения коэффициентов разложения
(1.2.10) одним из вариационных или проекционных методов
окончательное решение будет иметь вид
Пример 1.11. Пусть в (1.5.8) /о = 0, /i = 1, геометрический
размер а = 1. В качестве базисных функций фк выберем
двумерные полиномы Лежандра порядка 2М, ограничившись, в силу
симметрии, лишь четными степенями по обеим переменным:
Lk(ij)(*,v) = L2i{ax)L2j(ay), ij = 0,М. (1.4.75)
Здесь k(i,j) = (i + j)(i + j + l)/2 + j — функция расстановки.
Неопределенные компоненты с* найдем методом Бубнова-Галеркина,
путем решения системы линейных алгебраических уравнений
АС = В, (1.4.76)

1.4. Применение метода R-функций к решению... 103
где С — вектор-столбец коэффициентов с*, а элементы матрицы А
и вектора-столбца В имеют вид
APiq = / А{ифр)шфя(1х(1у, (1.4.77)
Bq = - tjfpgAfdxdy. (1.4.78)
Интегралы в последних выражениях находятся численно по
двумерным квадратурным формулам. В данном примере
использовались простейшие формулы прямоугольников на сетке 150 х 150
а б в
Рис. 1.34. Линии уровня приближенного решения при 2М = 8 (а), опорной
функции v (б), график поверхности и^ (в)
узлов. На рис. 1.34 показаны линии уровня приближенного
решения при М = 4 (а), опорной функции г; (б), а также график
поверхности г/4) (в).
Таблица 1.12. Равномерная, энергетическая и L2-нормы разности между
последовательными приближениями к точному решению
Степень
полинома
2М
2
4
! б
8
Количество
функций
К + 1
3
6
10
15
Равномерная
норма
разности
и(М)_и(М-1)
0.497
0.105
0.093
0.076
Энергетическая
норма
разности
и(М)_и(М-1)
0.173
0.034
0.030
0.019
Ьг -норма
разности
tt<AO_tt<M-l)
0.367
0.087
0.125
0.104 1

104
Гл. 1. Введение в теорию R-функций
В табл. 1.12 приведены относительные погрешности разности
между последовательными приближениями u^M^ — u^M~1^ в
равномерной, энергетической и Ь2-нормах:
е^^-п^-Ц^/^Ц^ (1.4.79)
e2 = \\uM-u("-* >||Яд(п)/||<Щяд(П)> (1.4.80)
£3 = ||u^-^-1)|L2(n)/||«^|L2(n). (1.4.81)
Здесь энергетическая норма определяется как
Н1яд(П) = М = (Л«.«)-

Глава 2
РЕШЕНИЕ ВНЕШНИХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ МЕТОДОМ R-ФУНКЦИЙ
Структурный метод R-функций в сочетании с вариационными
методами эффективно применяется для решения внешних
краевых задач электродинамики. Данный подход позволяет строить
решение задачи, удовлетворяющее точно любым краевым
условиям независимо от сложности геометрической формы области.
Использование вариационных методов дает возможность
удовлетворить исходному дифференциальному уравнению. При этом
возникает необходимость нахождения неизвестных постоянных
разложения из линейной системы алгебраических уравнений, где
известными компонентами матриц являются двойные или тройные
интегралы от соответствующих функций по рассматриваемой
плоской или пространственной области. Решение данной системы не
представляет особого труда. Основная проблема заключена в
вычислении компонент матриц. Эта трудность значительно
возрастает в случае внешних краевых задач, так как область
интегрирования бесконечна. Практически интегрирование
производится по конечной области, размеры которой выбираются таким
образом, что интеграл по оставшейся бесконечной области
достаточно мал.
При вычислении указанных интегралов возникают
дополнительные трудности, связанные с выбором шага интегрирования
по заданной области и с выбором шага дифференцирования в
случае, когда значение подынтегральной функции вычисляется по
разностной схеме. Брать одинаковые шаги численного
интегрирования и дифференцирования вблизи и вдали от объекта
нецелесообразно, так как вклад, вносимый этими частями в значение
интеграла, различен. Выявление характера вклада, вносимого
частями области, по мере удаления от объекта в каждом
конкретном случае даст возможность оптимальным образом подобрать шаг
интегрирования и дифференцирования, что сводит к минимуму
влияние машинных погрешностей на вычисление заданного
интеграла. В связи с этим решение внешней краевой задачи является
более громоздким по сравнению с внутренней, а требуемое
машинное время возрастает в несколько раз. В данной главе рассмотрены
пути преодоления отмеченных трудностей с использованием тео-

106 Гл. 2. Решение внешних краевых задач электродинамики...
рии R-функций для решения внешних скалярных задач теории
дифракции [1-6]. Сложность этих задач в значительной степени
заключается в том, что в окрестности бесконечности их решения
должны удовлетворять условиям излучения Зоммерфельда.
2.1. Структуры решения внешних
скалярных задач электродинамики
2.1.1. Постановка задач теории дифракции. Пусть область Г2,
в которой ищется решение задачи, представляет собой внешность
одной или нескольких заданных ограниченных областей с
кусочно-гладкой границей S. С помощью теории R-функций можно
построить такую функцию и, что
а; > 0 в fi, (2.1.1)
w|5 = 0, (2.1.2)
= 1, (2.1.3)
15
где п — внешняя нормаль к S. Кроме того, путем
соответствующей нормировки функции и можно добиться выполнения условия
Ifri
LO
г + 0(1); г = у/х2 + у2 + z2 -> оо. (2.1.4)
Как было показано в главе 1, располагая функцией о;,
удовлетворяющей условиям (2.1.1)—(2.1.4), можно построить линейный
дифференциальный оператор
_ д ди> д ди д ди .
дх дх ду ду dz dz'
который обладает тем свойством, что всякую непрерывно
дифференцируемую функцию / переводит в такую функцию F = D/,
которая в гладких точках границы S совпадает с нормальной
производной /, т.е.
F = Df\s = %,- (2-L6>
Ниже будет показано, что такое свойство дифференциального
оператора D позволяет продолжить краевые условия скалярной
задачи дифракции внутрь области Q, и на этой основе построить
такой линейный дифференциальный оператор А с переменными
коэффициентами, зависящими от формы области, который
позволяет точное решение задачи представить в следующем виде:
и = ЛФ + Ф0, (2.1.7)

2.1. Структуры решения внешних скалярных задач... 107
где Фо — известная функция, а Ф — достаточное число раз
непрерывно дифференцируемая функция, подлежащая определению.
При этом независимо от выбора Ф, функция и, определяемая
формулой (2.1.7), точно удовлетворяет граничным условиям и условию
излучения на бесконечности.
Рассмотрим краевую задачу, в которой искомая функция
должна удовлетворять:
1) уравнению Гельмгольца
Aw + fc2w = 0; (2.1.8)
2) краевым условиям
au + 0-
= -r\s, (2-1.9)
s
где а, /3, 7 — заданные всюду определенные в ft непрерывные
ограниченные функции. Предполагается, что а и /3 нормированы
так, что при г -» оо имеем: a = 1 + 0(г), /3=1 + 0(г).
Заметим, что обычно в постаноцках задач теории дифракции a
и /3 задаются лишь на границе 5, а функция у выражается
через известную функцию щ, определенную всюду и, следовательно,
можно считать, что у определена всюду. Что же касается а и /3, то,
как правило, нетрудно подобрать такие функции а(#,у) и /3(#, у),
определенные всюду, которые на 5 принимают заданные
значения. Такое продолжение значений а и /3 внутрь области ft в
принципе можно осуществить бесчисленным множеством
способов. Обычно всегда удается сделать такое продолжение в
множестве элементарных функций. Что же касается нормировки на
бесконечности, то если а\(х, у) и /3i(x,y) есть какие-либо
продолжения внутрь области ft, то можно положить
оц (ж, у)[1 + ш(х, у)аг (д?, у)]
1+ш(х9у)о$(х,у)
Ф>У)= 1 , ../_ „л^2
й( ч _ Pi(x,v)[l+w(x,y)0i{x9y)]
P^V)" 1 + ы{х,у)0}(х9у) '
3) условиям на бесконечности (условиям излучения Зоммер-
фельда)
lim г*11-1)/2 (iku — ^^ = 0; lim u = 0, (2.1.10)
r-юо у ОГ J r-+oo
где n — размерность пространства;

108 Гл.2. Решение внешних краевых задач электродинамики...
4) условию ограниченности энергии в любой конечной области
(grad и + u2)dr < оо.
/■
(2.1.11)
Частными случаями сформулированной задачи являются:
1. Задача Дирихле, если a = 1, (3 = cj/(1 + cj), 7 = ~^о>
wo — известная ограниченная на бесконечности функция
(падающая волна).
2. Задача Неймана, если a — lo/(1 + cj), /3=1,
_ _ _9wo9cj _ dwodu; _ dwodu; foil2^
<?# <9ж dy dy dz dz'
3. Третья краевая задача, если /3 = 1, а функция а такова, что
a\s = huo -> 1 при г -> оо, (2.1.13)
где /i — заданная непрерывная на 5 функция, а
дщ ди дщ ди) дщ ди
7 = —Duq — «wq = —
дх дх ду ду dz dz
aw0. (2.1.14)
2.1.2. Структуры решения. Справедлива следующая теорема.
Теорема 2.1 (В.Ф.Кравченко-В.Л.Рвачев). Какова бы ни
была (вообще говоря комплексная) непрерывно
дифференцируемая б 0 = Пи5 функция Ф(#, у, г), функция
и = Ф0 + А [ф (-2-, -£-, -J-)] , (2.1.15)
(2.1.16)
где
Фо =
W7
(/3 + w)(l + u>2)'
\+U)1 \\+U) 1+Ш l+U}J
U)
1+w2
D
РФ
I ^ > z , z ) expiky/x2 + y2 +
Vl + w 1+w' 1+ujJ v v
(2.1.17)

2.1. Структуры решения внешних скалярных задач... 109
удовлетворяет краевым условиям (2.1.9) и условиям излучения
(2.1.10). В двумерном случае
А[Ф] = Р аШФ (-?—, -±-\ expiky/^T7-
и
y/l+ul
:D
/5Ф( 7Т~*' T^—)expik\/x2 + y2
\1 + ш 1 + ш/
(2.1.18)
Доказательство. Докажем вначале, что функция и
удовлетворяет условиям (2.1.9). Согласно формуле (2.1.6), можно
записать
(aM + /?fiO = (au + PDu)\s' (2.1.19)
Подставляя (2.1.15) в (2.1.19) и учитывая (2.1.16), (2.1.17),
получим
(au+4s)
ajto
s (j3 + u>)(l+ufi)
aifi-аш) (_x у z_\
1+u2 Vl+w' 1+w' 1 + u)
вф(^ y- z—)
И \1+ш' 1 + w' 1 + w/
x expikyx2 + y2 + z2 — ^D
1+w2
+ 0D
x exp ikyx2 + y2 + z2
+ /3D
ju>
+
[((3 + u)(l + u>2)\
1 + ur \l+w 1+w 1 + w/
xexpiky/x2 + y2 + z2Y\\ . (2.1.20)
Нетрудно убедиться, что для всякой непрерывно
дифференцируемой функции Ф справедливы соотношения
/><еЛ)|я-»|я, »(£?)
= Я(*)|<
(2.1.21)

ПО Гл.2. Решение внешних краевых задач электродинамики...
Правая часть формулы (2.1.20) может быть упрощена и,
следовательно, (2.1.20) можно привести к виду
+ PD
/?Ф
-{3D
/?Ф
= а/ЗФ(я, у, z) exp iky/x2 +y2 + z2 + /3- +
s Р
( 7Т~~"' ТТ~' Т7~ ) e*piky/x2 + y2 + .
\1 +UJ 1 +Ш 1 +U)J
— (ЗаФ{х, у, z) exp iky/x2 + у2 + z2 —
(- , , 1 exp ikWx2 +y2 + z
1+w' 1+cj l+u)J F v y
= 7lsi
(2.1.22)
что и требовалось доказать.
Теперь покажем, что функция и удовлетворяет условиям
(2.1.10). Так как функции а, /3, 7 по предположению являются
ограниченными и а = 1 + 0(г), /3 = 1 + 0(г), функция Ф
непрерывно дифференцируемая, а функция ш согласно (2.1.4) ведет себя
при г —> оо как г, то тогда
Фо = 0(г-2); ^£^ = -г-1+0(г-2);
1+w2
ЧгЬтЬт^Н'"-'"*0^ (2Л
23)
и>
1+ш
= г-1 + 0(г"2);
D
= i^i(¥j,^)expifcr + 0(r_1). (2.1.24)
Поэтому
u = 0(r~2) + [ - r"1 + 0(r"2)] [Ф^, в) + 0(г~1)] x
x expikr[-r~l + 0{r~2)] [ik$\(<p,0)expikr + Oir'1)] =
= -г-1Ф]. (</?,#) exp ifcr — iM>i(</?,0)r-1expiA;r + 0(r~2)],
(2.1.25)
— = -ikr~lФl((p,в)expikr + к2Ф\((р,в)г~1 expikr + 0(r~2).
or

2.1. Структуры решения внешних скалярных задач... Ш.
Из формул (2.1.24), (2.1.25) непосредственно следует
справедливость формулы (2.2.10). Аналогичным образом можно проверить
справедливость теоремы в случае двумерной задачи.
Функцию Ф(х,у,г) будем искать в виде приближения
Ф(*,у,*) = J2 cijkPi(x)Pj(y)Pk(z), (2.1.26)
ij +к
где Ps{t) {s = 0,1,2,...) — полная последовательность функций
(например, полиномов Лежандра, Чебышева, тригонометрических
полиномов и др.), выбор которой зависит от конкретных условий
рассматриваемой частной задачи. Подставляя (2.1.26) в (2.1.25) и
учитывая линейный характер оператора Л, приходим к формуле
. = «, + ± ^А [Pl (ji-) P, (ji-) Pt (ji-)] .
(2.1.27)
Функция щ определяемая формулой (2.1.27), удовлетворяет
краевым условиям (2.1.9) и условиям излучения (2.1.10) независимо
от выбора постоянных сг^. Это позволяет свести краевую задачу к
определению этих постоянных из соображений наилучшего
удовлетворения (в том или ином смысле) дифференциальному
уравнению (2.1.8). Для этой цели может быть применен, например,
один из вариационных методов (Ритца, Галеркина, наименьших
квадратов и др.).
Из изложенного выше видно, что предлагаемый метод
обладает тем качеством, что на его основе может быть построен
единый алгоритм и, соответственно, стандартная подпрограмма для
широкого класса скалярных задач дифракции на ограниченных
телах. При этом переход от тел одной формы к другой не
затрагивает структуры алгоритма, а лишь связан с заменой одной
функции uj другой. Поскольку построение функции uj с помощью
R-операций можно осуществить для тел практически
произвольной формы, то это позволяет применять предлагаемый алгоритм
к решению таких, например, задач, как задачи дифракции
электромагнитных волн на одной или системе металлических лент, на
цилиндре конечной длины, телах с конечной проводимостью, на
плазменных объектах и т. д. Естественно, что при рассмотрении
кусочно-гладких тел необходимо позаботиться также о выполнении
условия ограниченности энергии (условие Мейкснера) в
окрестности угловых точек. Произвол, который допускает структура
решения (2.1.5), достаточен для того, чтобы можно было решить этот
вопрос в каждом конкретном случае. Подробнее об этом будет
сказано при рассмотрении конкретных примеров задач дифракции.

112 Гл.2. Решение внешних краевых задач электродинамики...
Пример 2.1. Решение задачи дифракции плоской волны на
системе из двух металлических лент. Пусть в плоскости XOY
(рис. 2.1) расположены две ленты ширины Ь — а, симметрично
относительно оси х и параллельно последней. Металлические ленты
*А
о
Рис. 2.1. Геометрия задачи (пример 2.1)
считаем бесконечно тонкими и идеально проводящими.
Рассмотрим падение на систему плоской электромагнитной волны и
вычислим дифракционное поле как для случая, когда падающая волна
является поляризованной вдоль полос (.Е-поляризация, т. е.
электрическое поле имеет только составляющую Ех), так и для
случая, когда падающая волна поляризована перпендикулярно лентам
(if-поляризация, т. е. электрическое поле имеет только
составляющую IIх).
Дифрагированное поле ищем в следующем виде:
(S-поляризация);
Ex = EXUdiJit + <bi(y,z)
Нх = #хпад + $2 (У, *)
(2.1.28)
(2.1.29)
(iJ-поляризация). Здесь 2?Хпад = ехр(—ikz), Hxn3iA = ехр(—ikz).
Временной множитель expiut опущен. <&i(y,2), Фг(у,^) —
функции, подлежащие определению; k = 27r/A, A — длина волны.
На металлических лентах дифракционные поля должны
удовлетворять следующим граничным условиям:
Ех = 0 (2.1.30)
(jE-поляризация);
(iJ-поляризация).
дНх
dz
= 0
(2.1.31)

2.1. Структуры решения внешних скалярных задач... 113
Подставив соотношения (2.1.28), (2.1.29) соответственно в
(2.1.30), (2.1.31), получим, что функции <&i(y, z), <&2(y,z) должны
удовлетворять граничным условиям
Ф1(у,0) = -1 (2.1.32)
(jE-поляризация);
<ЭФ2(у,0)
dz
= ik
(2.1.33)
(ff-поляризация).
Теперь построим функции u>i, U2, удовлетворяющие
требованиям
ш\ = г + 0(1) при г = д/ж2 + у2 + z2 -> оо,
Ш1\ь ~ ^' ^1^0 вне Li
(JS- поляризация);
fjj2 = r + 0(1) при г = уж2 + у2 + г2 -> оо,
^2
= 0, а>2 > 0 вне Li,
dz
= 1
(2.1.34)
(2.1.35)
Li
(Я-поляризация). Можно убедиться в том, что условиям (2.1.34),
(2.1.35) удовлетворяют функции
(2.1.36)
(2.1.37)
»i = y/f$ + z*-f,
Ш2
где / = (у2 — a2)(b2 — y2)/(l + у4). Используя выражения (2.1.36),
(2.1.37) и учитывая условия (2.1.32), (2.1.33), приходим к выводу,
что подлежащие определению функции Фх(у, г), Ф2(у,^) предста-
вимы в виде
^\ <г. ( V z
_ , ч exp(-ikz)
Фо
\/1 + o>i ^/1 + ш\ \l+u>i' l+uii
exp zfcr
(2.1.38)
(jE-поляризация);
Ыу,*) = >—Ur +
y/i +
Ц
+
1
^2
?¥*>
Wo
V1 + ш2' 1+ш2/
5
</?0
у г
уГ+^з «^ [ \^ 1 -f u)2' 1 + cj2
exp г/сг —
exp zfcr
(2.1.39)

114 Гл.2. Решение внешних краевых задач электродинамики...
(//"-поляризация). Непосредственной проверкой можно убедиться,
что при любом выборе функций Фо> Щ из класса С2
функции Ф1 (у, ^), $2(y> z) удовлетворяют условиям излучения Зоммер-
ф ель да
lim у/г ( —-^ - ik$j ) = 0, г|Ф^| < оо при г -> оо (j = 1,2).
(2.1.40)
При z = 0, у = ±a ± Ь дифракционное поле должно
удовлетворять условию на ребре, которое для соответствующих поляризаций
имеет следующий вид:
lim [pgradc^y,*)] =0 (j = 1,2). (2.1.41)
Функции <&i(y, z), <&2(y, z) всюду ограничены и непрерывны,
включая точки ребра. Действительно, поскольку в данном случае р —
радиус «кольцевого валика», окружающего ребро, то при р —> О
справедливы следующие оценки:
ш\,и>2 ~ р, ехргкр ~ 1, Фо> <£() ~ const.
Функции Фо? <Ро будем искать в виде
*> te its) -£<«« (its) Pi (тт^) •
(2.1.42)
*+J
где Р5(£) (ж = 0,1,2,..., п) — полиномы Лежандра.
Подставив (2.1.42) в (2.1.38), (2.1.39), а затем после
подстановки (2.1.38), (2.1.39) и (2.1.42) — в (2.1.28), (2.1.29) получим
соотношения вида
Ех = ехр {-ikz) - exPlz!^f) +
+ 7^Щ^г±4Р, (jJL.) P, (^) , (2Л.43,

2.1. Структуры решения внешних скалярных задач... 115
W2ikexp(-ikz)
Нх — exp (—ikz) , У
Vi +
U)7,
+
expikr ^r„p ( У \ p ( z \ _
U>2
Э
у/Т+Щдг
г+3
(2.1.44)
Поля, описываемые выражениями (2.1.43), (2.1.44), удовлетворяют
краевым условиям (2.1.32), (2.1.33), условиям излучения на
бесконечности (2.1.40), (2.1.41) и условиям Мейкснера (2.1.42), (2.1.43)
на ребре независимо от выбора постоянных с-•' . Выполнение
перечисленных выше условий позволяет свести краевую задачу к
определению этих постоянных одним из вариационных методов,
например методом наименьших квадратов с некоторым весом.
Неизвестные коэффициенты cf •' - определим из условия
минимума следующих функционалов:
L(EX)L*(EX)
ЧП
S
+ Ш\
dydz,
1н
= ffL(Hx)L*(l
J J 1+^2
ш
(2.1.45)
dydz,
где L = А + к2.
Подставляя в (2.1.45) выражения (2.1.43), (2.1.44), получим
Ех, Нх в следующем виде:
Ех =
, cos kz
cos kz ^ +
U)\
E (coskrRecfj-smkrlmcfAPi ( „ У ) Pj (—-—)
t+j=0
. , s'mkz
+i —sin kz+ . +
+
, , , l Y^ (cosfcrlmc,^+ sinfcrRec^)x
р>(тт^И(тт^)Н*+''*Е' <21-
46)

116 Гл.2. Решение внешних краевых задач электродинамики...
Я,
_ u)2ksmkz 1
cos kz , +
х V (cos kr Re c% -sin krImcV)Pi f, У ) P, ( , * )
t+j=0
+
+
uik
2_, (cos ^r Imcij + Sm^r R-e ci^) X
+ u>kdz
Y (cosfcrRecg - sin*rImc£)Pi (V^—1 Pj (r^—) +
i+J=0
+ t
. , w2& ,
— sin kz H—. cos kz +
Vl+^2
У1+4
x V* (cosfcrlmc^ + sinfcrRee£)Pi [ r-^—) Pj lт-^—) -
i+i=0
u>2&
2J (cos A:r Re c^ — sin kr Im cjj) x
a>2 5
+ w2dz
X
V (cos kr Im c^ + sin kr Re c£)Pi f , У ) P, ( —-— )
= uh + wh- (2.1.47)
i+j=0
Учитывая, что L(EX) = L(ue) + iL(ve), L(Hx) = L{uh)
iL(vH),
41^
s
L2(uE) + L2(vE)
+ Ш1
dydz,
Ih
чг-щ
L2(uH)+L2(vH)
+ Ш2
dydz,

2.1. Структуры решения внешних скалярных задач... 117
то для определения коэффициентов Re eg, Im eg, Re eg, Imcg
получим следующую систему уравнений:
Э1Е
dRecfj
= 0,
din п 91е л Э1н п ,п, .оЧ
я = 0. я?^й = °' ^^я = 0- (2.1-48)
Же с:
ч
fllmcg
Aim eg
Поскольку операции дифференцирования по координатам и по
Rec^, Imcy, Rec^, Imc^ перестановочны, систему (2.1.48)
запишем в следующем виде:
[f«* + «*+*-o, l[S4±MAdyiz = u)
J J l+U)\ J J 1+U)\
УУ 1+wi J J 1 + wi
(2.1.49)
где £f, Zv'Zu,Zv,vZ,,OviT]ui Vv —.некоторые функции. В итоге
представим (2.1.49) следующим образом:
i+j=0 i-hj==0
£ Recg^'+ £ bcg^'=^,
Х>есЗгГ'+ Х>с^Г'=4Л
£ Reeg£^' + £ Ineg^f'=<§',
(2.1.50)
где 5]£ J , £^ J (/ = 1,2,3; m = 1,2) — некоторые функции от и\,
^2, P*{t).
Определим основные энергетические характеристики.
Дифрагируемый объект, в данном случае система из двух идеально
проводящих металлических лент, полностью характеризуется
величиной <т, называемой радиолокационным поперечным сечением:
a = lim A-irR
Л-юо
Ws
Wi
(2.1.51)

118 Гл. 2. Решение внешних краевых задач электродинамики...
где Ws — плотность потока рассеянной мощности на расстоянии R
от рассеивателя, Wi — плотность потока мощности поля падающей
плоской волны. Для £7-поляризации
(2.1.52)
Плотность потока падающей волны равна единице, поскольку
берется равной единице амплитуда падающего поля. Для Я-поляри-
зации
Ws = ±Re{[i*2(y,z)}[>(=±)
-1\дФ2(у,г) , , 1 дФ2(у,г)
dz
+ k-
ike ду
}■
(2.1.53)
Соответственно,
ое = Ит Л Re
Ылу,')]
[ \ikiij oz %k[i ay J J
си = lim R Re
Я-юо
{[i*2(v,*)]
-1\ d<b2(y,z)
' \ike)
-\J[-)-^-+kike
1 ЭФ2(у,г)11
ke dy J J
(2.1.54)
Выражения для потока мощности, рассеянной дифрагирующей
системой:
ft = j;Re//{[>4>i(y,z))]x
[ \гк/х/ oz гкц ay J J
(.Е-поляризация);
dydz (2.1.55)
PH = ±ReJJ{№(y,z))]x
-1\ дФ2(у,г)
*»Ш~-^^+к
dz
1 0Ф2(|/,гЛ 1
ifce dy J /
dyd,z (2.1.56)
(Я-поляризация).

2.1. Структуры решения внешних скалярных задач..
119
Соотношения (2.1.53), (2.1.54) дают возможность определить
диаграммы направленности данной системы по мощности и по
полю. Так, для Е-поляризации при R = const
*f<p(Q,<p,R)
*о,ч>\Р*Ч>) ~ -];——
*L*>(*0,¥>0,
>R)
(2.1.57)
где Ф|^(0, </?,#), Ф^о(ро(в0,(ро,Я) — амплитуды одной из
компонент электрического вектора в произвольном направлении и в
направлении главного максимума. При R > Rmin
\Е
Ф*(*,¥>) =
РеЯ(0,<р)
РЕЩ9^щУ
(2.1.58)
где Ре^У — dffcE'(0, ip)Idil — мощность излучения в пределах
элементарного телесного угла сЮ, Ре^Ь^ОтФо) — мощность
излучения в направлении наибольшего (главного) максимума
излучения, #о> № — углы, определяющие направление главного
максимума, Rm'm — расстояние дальней зоны. Соответствующие
характеристики для iJ-поляризации определяются аналогичным
образом.
Пример 2.2. Решение задачи дифракции на усеченном
цилиндре. Пусть на бесконечно длинный идеально проводящий
цилиндр радиуса i?, усеченный плоскостями z = ±a, падает плоская
волна, направление распространения которой перпендикулярно оси
цилиндра и составляет угол а с осью х (рис. 2.2). Тогда простран-
Рис. 2.2. Общий вид задачи (пример 2.2)
ственная задача дифракции сводится к двумерной задаче в
плоскости xz, а электромагнитная векторная задача — к двум скалярным
краевым задачам для различных направлений поляризации.

120 Гл.2. Решение внешних краевых задач электродинамики...
1. Случай Е-поллризации. Для компонент поля имеем
Е=(0,„0), H=^(-|,0,g). ,2.1.59)
Поле падающей волны единичной амплитуды имеет вид
wo = ехр [ — ik(x cos a + z sin a)].
Искомое поле представим в виде
и = щ + us(x, z), (2.1.60)
где us(x,z) — поле, рассеянное в результате дифракции.
Поле us должно удовлетворять следующим условиям:
а) волновому уравнению
Aus + k2us=0 в П; (2.1.61)
б) краевому условию
М*1г = -Чг' (2.1.62)
где Г — граница области £2;
в) условию излучения в двумерном случае
lim у/г ( тг ~ ik^s ) = 0; (2.1.63)
г->оо \ОГ J
г) условию ограниченности энергии в любой конечной области,
включая окрестность ребра.
Согласно п. 2.1.2, решение будем искать в виде
1 ,° о - /„ оф ( ГТ~' Т~г— ) expifc\A2 + *2,
1 + ш2 vl+o;3 \1+a; 1 + ^/
(2.1.64)
Us = ~
где
(X Z \
-—-—, 1 —неизвестная функция, u(x.z) —функция
1 +U> 1+LjJ
области, удовлетворяющая условиям о;(ж,^)|г = 0, u(x,z) > 0, во
внешней области £2, о;(ж, z) = г + 0(1) при г —> оо. При
таком выборе функции u(x,z) простой подстановкой нетрудно
проверить, что поле us в виде (2.1.64) удовлетворяет условиям (2.1.61),
( X Z
(2.1.62) при любом выборе функции Ф ( ,

2.1. Структуры решения внешних скалярных задач... 121
Для построения функции u>(x,z), удовлетворяющей
перечисленным выше требованиям, используем аппарат R-функций.
Область П может быть задана предикатом (рис. 2.3)
F = h Ло /2 = - (Л + /2 - y/ffHI) =
= 2г2 + х2 - R2 - о2 + у/(а2 - г2)2 + (Я2 - х2 - z2)2, (2.1.65)
где /i = а2 — z2 ^ О — полоса \z\ < а, /г = Я2 — х2 — z2 ^ 0 —
внутренность круга радиуса R. При таком выборе функция jP бу-
( s2
{
L n
V
•
/
Рис. 2.3. Геометрия задачи (2£-поляризация)
дет положительна во всей внешней области Q и равна нулю на ее
границе Г.
Для удовлетворения последнему условию u(x,z) = г + O(l)
при г —> оо выбираем и(х, z) в виде
cj(x.z) = у =
v ' ; VTTf
2z2 +x2-R2-a2 + у\a2 - z2)2 + (Д2 - х2 -^j2
0. + 2*2 + ж2 - Я2 - а2 + У^1 z2)2 + (R2 - ж2 - г2)2
(2.1.66)
Нетрудно убедиться, что u{x, z) в виде (2.1.66) удовлетворяет всем
необходимым требованиям.
Подставляя (2.1.64) в (2.1.60), для поля и окончательно
получаем
U0 Ъ) ( X Z \ Г7Г- J
(2.1.67)

122 Гл.2. Решение внешних краевых задач электродинамики...
Функцию Ф [ , 1 будем искать в следующем виде:
где P8(t) — полиномы Лежандра.
Поле в виде (2.1.67) удовлетворяет граничным условиям и
условию на бесконечности при любых коэффициентах с^ в разложении
(2.1.68). Относительно условия на ребре можно сделать
следующие замечания: так как все функции, входящие в (2.1.64),
ограничены и непрерывны, то данное условие представлено в виде
lim(/9gradws) =0, (2.1.69)
р—у0
где р — радиус цилиндрического валика, охватывающего точки
ребра.
Смещая начало координат в одну из точек ребра (например,
в точку (а, у/В? — а2)) и охватывая ее валиком радиуса р,
убеждаемся, что uj ~ р при р —> 0. Учитывая далее ограниченность
всех остальных функций, входящих в (2.1.64), можно считать, что
условие (2.1.69) выполняется.
Постоянные с^ разложения (2.1.68) находятся из требования
наилучшего удовлетворения волновому уравнению одним из
вариационных методов. В данном случае используем метод Ритца
в сочетании с методом наименьших квадратов. Учитывая
комплексность коэффициентов су, функционал выбираем в
следующем виде:
где L = А + к2. Вес (1 + о;)"1 взят для обеспечения лучшей
сходимости.
Выделяя в (2.1.67) действительную и мнимую части, получим
URe = COS kro -
U = WRe +Ш1т,
cos kro u
1+ш2 v/ГТ^з
x ]T (Aij cos kr -By sin ftr)Pi (yT^) Pi \\T^\ ' (2'L71)
2+j=0

2.1. Структуры решения внешних скалярных задач... 123
sin kro
Щщ = - sin kro +
1+u;2
где ro = x cos a + z sin a, r = \Лг2 + z2, qj = >ljj + г\Вг7.
Учитывая, что A(iiRe + ^im) = &uRe + iAuim, функционал
(2.1.70) можно преобразовать к виду
[(AuRe + fc2uRe)2 + (AtiIm + fc2mm)2]
В последнем выражении
J = /7 l^^e ' " "mv1 + ^"Am ' " "im/ Uxdz. (2.1.72)
n
AuRe + k2uRe = Ff + Fi 53 Ачфч -
i+j=0
n
-Fi J3 ВуФу + Fi J] Л5тФ5ш^1 J] В^ф^ +
i+j=0 t>j=0 s+m=0
n n
i+j=0 s+m=0 i-hj=0 s+m=0
n n n n
i+j=0 s+m=0 i+j=0 з+т=0
(2.1.73)
Awim + fc2tiIm = F22 - F2 53 ^УФУ "
n n n
-F2 J3 BijQij-Fi J3 Asm<HsmF2 J3 Я,тФ5т +
i+j=0 s+ra=0 s+m=0
n n n n
+ X] 2 ЛуЛ«пФуФ«п+ 13 13 BiJB»m$ij*an +
t+j'=0 «+m=0 i+j'=0 «+m=0
n n n »
+ J] J2 ВуАтФу*„п+ 53 53 ^«•В-тФуФ.т,
i+j=0 «+m=0 i+j=0 «+m=0
(2.1.74)

124 Гл. 2. Решение внешних краевых задач электродинамики...
где
Ф„ = L
Ж %J ±J
CJ
Г U)
IVl+u;3
Подставляя (2.1.73), (2.1.74) в (2.1.72), а затем производя
группировку и почленное интегрирование, получим следующее
выражение для функционала:
п п п
J — Q + 2L/ ^*ja*i ~~ x v BijPij + / ^ Л5та5т ~~
1+^=0 t+J=0 s+m=0
п п п
~~ / _j HsmPsm + х ^ х ^ l^t; Asm ~^~ ^ij-^smjlfijsm +
s+m=0 i+.7=0 5+m=0
п п
~^~ х ^ X v {AijBsm ~~ BijAsm)(Jijsrn) (2.1.75)
i+j=0 5+771=0
где
Q
-ич
Fx2 + Ff
+ w
dxdz,
^tjem = / / — 1 dzefc.

2.1. Структуры решения внешних скалярных задач... 125
Исследуя функционал (2.1.75) на минимум по действительной
и мнимой части коэффициентов, получим
п п
/ v ^-ijlfijsm ~~ / _, £>ij&ijsm z= "^sm»
n n (2.1.76)
/ v Aij<Jijsm + / v &ij1/ijsm = ~~ysm-
Совместное решение системы алгебраических уравнений (2.1.76)
дает возможность определить действительные и мнимые части
коэффициентов Cjj, а следовательно, и дифрагированное поле.
2. Случай Н-поляризации. Для компонент поля в этом случае
имеем
*-<*-«• -sMi'-l)- (2-177)
Искомое поле представим в виде
и = uq + up(x,z). (2.1.78)
Рассеянное поле ир должно удовлетворять граничному условию
дщ\
дп
дир
(2.1.79)
где п — внешняя нормаль к поверхности дифрагирующего тела.
Кроме того, ир должно удовлетворять тем же условиям, что и для
^-поляризации.
Решение выбираем в виде
ир = Ф0 + Л[Ф], (2.L80)
где А[Ф] — линейный дифференциальный оператор,
_ ljDuq _ и /дщди дщ ди \
0 = (1+cj)(1+o;2) = ~~{l+u)(l+u2) [itefc + Ihlh) '

126 Гл.2. Решение внешних краевых задач электродинамики...
Входящая в (2.1.81) функция oj(x,z) должна удовлетворять
следующим условиям: о;(ж,^)|г = 0, <9и>/<9п|г = 1, u(x,z) > 0 во
внешней области £}, ш(х, z) = г + 0(1) при г —> оо.
При выполнении всех требований, накладываемых на и>(ж,;г),
функция Up удовлетворяет условиям (2.1.61)—(2.1.63) и (2.1.79) при
(X Z
,
1 +ш 1 + ш
Для построения oj(x, z) используем R-функции. Разделим
границу Г (рис. 2.4) на несколько частей: Ti, Г^, IV Нормали к этим
Рис. 2.4. Геометрия задачи (.//-поляризация)
границам запишутся в виде следующих векторов:
X Z
n=j, ni = -j, n2 = icos<p+jsin<p= — i + — j, (2.1.82)
где i, j — единичные векторы соответственно по осям #, z.
Рассмотрим области f\ — z2 — a2 ^ 0 — вся плоскость xz за
исключением полосы \z\ ^ а, /2 = х2 + z2 — R2 ^ 0 — внешность
круга радиуса R. Пронормируем /i, /2 так, чтобы
dh
дп\
П
= 1,
dh
дп-2
= 1.
(2.1.83)
г2
Для этого перепишем /i, /г в виде
fl = h{z2~a2)>°' h = ^{x2 + z2-R2)>Q. (2.1.84)
В таком виде функции /i, /2 будут удовлетворять условию (2.1.83).

2.1. Структуры решения внешних скалярных задач... 127
Действительно,
dh
дщ
dfi
д/2
#П2
df2
dfi
dz
dfi
dz
Ti
П
2z
2a
г
2z
2a
= 1,
= 1,
Г',
г2
n cos<p+ —-smy?
xz + ^
r2
Д2
= 1.
r2
(2.1.85)
Тогда внешняя область Л может быть представлена предикатом
F(a;,z) = 2(/1Vo/2) = 2
+
sC-«V55<** + ',-*,> +
^2^а2)2 + ^2 + ^"Д2)2
(2.1.86)
Функция F(o;,;z) должна удовлетворять условиям F(x,z)\r = О,
<9F/<9n|r = 1, F(#,2) > 0 в области П.
Так как cj(x, z) кроме этих условий должна удовлетворять
условию и>(ж, z) = г + 0(1) при г —> оо, то ее следует взять в виде
F
u>(x,z)
y/l + F
(2.1.87)
Таким образом, для поля и имеем
uDuq
и = щ —
+ / Ф [ ; , z г ) expiky/x2 + z2 -
CJ
v^T
CJ'
[ \l+w' 1+cj/
ехрг&уж2 + г2
(2.1.88)
где u(x,z) описывается выражением (2.1.87).
Учитывая свойства оператора 2?, нетрудно убедиться, что поле
вида (2.1.88) удовлетворяет граничным условиям, а также
условиям на бесконечности. Так как в данном случае w(x, z) ~ p при
р —> 0, а остальные функции в (2.1.88) непрерывны и ограничены,
то относительно условия на ребре справедливы те же выводы, что
и в случае jE-поляризации.

128 Гл.2. Решение внешних краевых задач электродинамики...
Искомую функцию Ф
VI+cj' 1+ш)
представим в виде ряда
по полиномам Лежандра (2.1.68), а для нахождения
неопределенных коэффициентов с^ используем метод наименьших квадратов.
Выбирая функционал в виде (2.1.72) и проделывая всю
последовательность операций, описанных ранее, вновь приходим к системе
линейных алгебраических уравнений (2.1.76) с коэффициентами
_ ff WjjWsm + HjjHsm J
JJ l+w
0ijsm= // — 1 dxdz,
n
(uD(coskro)\ (uD{smkro)\
#i? = Afy - Ф^, Wij = Nij - Ф^,
где
Мц = L
7rT=»"*r-fl(lf=),,'(rb)]'
7I=!s"'-«(rf^)pKrf^)]'
*ii = L
Фу = Ь
го = # cos a + z sin a, r = уз;2 + z2.
Решив систему уравнений, определим амплитуду и фазу
дифрагированного поля, а следовательно, все остальные параметры,

2.1. Структуры решения внешних скалярных задач... 129
характеризующие рассеивающий объект: радиолокационный
поперечник рассеяния, плотность потока рассеянной мощности,
диаграмму направленности по мощности и по полю.
Следует отметить, что при a = R рассмотренная задача
переходит в задачу дифракции на круглом цилиндре, а при a <3C R — в
задачу дифракции на бесконечно длинной пластине шириной 2R
и толщиной а.
Пример 2.3. Решение задачи дифракции на круглом
цилиндре. Рассмотрим решение задачи дифракции плоской
электромагнитной волны на круглом бесконечно длинном идеально
проводящем цилиндре радиуса R при падении волны
перпендикулярно его оси z под углом а к оси х. Вектор электрического
поля падающей волны предполагается параллельным оси
цилиндра (^-поляризация). Рассмотрение данной задачи интересно тем,
что существование строгого классического решения дает
возможность провести качественное и количественное сравнение
полученных результатов с точным решением, а также провести
необходимую корректировку структур. Следуя вышеизложенному,
компоненту поля и = Ez будем сначала искать в виде
и>о и ( <с у \
(2.1.89)
Здесь
wo = Eoexp(ik£), £ = xcosa + у sin a,
г = v xl + yz, uj = —. ,
a
где Ps{t) — полиномы Лежандра. В ходе численного эксперимента
[6] была показана практически слабая сходимость приближенного
решения как в освещенной, так и в теневой частях ближней зоны
(кривая I на рис. 2.5).
Для преодоления этой трудности на первом этапе строилась
усовершенствованная структура
Ер f.J + "3\
u=u°-r^expvkTTj)-
- ^ЦФ (TT-> 7T-) ехР ("«И. (2Л-90>
5—2176

130 Гл.2. Решение внешних краевых задач электродинамики...
разделяющая для начального приближения отраженной волны
ближнюю и дальнюю зоны. При этом приближение улучшилось
(кривая II на рис. 2.5), и тем самым была подтверждена
необходимость корректировки начального приближения для отражен-
-3
-1
0
1
Рис. 2.5. Приближенные решения задачи дифракции на цилиндре (в сечении
у = 0, угол падения a = 0), построенные с помощью структур (2.1.89) (I),
(2.1.90) (II)
ной волны. Однако для получения хорошего приближения при
сохранении той же размерности аппроксимационного пространства
этого оказалось недостаточно. Поэтому на втором этапе на основе
информации о физических процессах, протекающих в ближней
зоне (законы Снелля), была проведена дополнительная
модификация структуры, а именно: поле отраженных лучей (начальное
приближение) строится в соответствии с известными правилами
геометрической оптики [7]. Это приводит к структуре решения
вида
Е0ехр[гкМ/{1+и2)]
1 -fur
-^Ъ#(гЬтЬ)-ч,(-*г)- (2Х91)
где
M
■(zcos 2<p + ysin2</> + £)(1 + <l) + £ + w3,
cos 2<p = cos2 ip — sin
*-(£)'-(
du\2
dy) '
sin 2(p = 2 sin <p cos <p = 2
dx dy'
x
Q =
>HFT~e

2.1. Структуры решения внешних скалярных задач... 131
и в которой разделены не только ближняя и дальняя, но и
освещенная и теневая зоны. Здесь е имеет тот же смысл, что и в [7], и
характеризует выбираемую в результате численного эксперимента
Рис. 2.G. Приближенное решение задачи дифракции на цилиндре (в сечении
у = 0, угол падения a ~ 0), построенное с помощью структуры (2.1.91)
малую зону полутени в окрестности точек соскальзывания с
дифрагируемого поля падающих лучей. -
На рис. 2.6 приведено решение, которое в зоне света и в зоне
тени хорошо совпадает с точным для кругового цилиндра,
приведенным в [8]:
и — по — Ео х
МЩ гг(2)
MM_HW{kr)cosmip
[HpHkR) *=! H$(kR)
(2)
где Jm, Hm — функции Бесселя и Ханкеля соответственно.
2.1.3. Построение структуры решения, удовлетворяющей
уравнению эйконала. Рассмотрим построение общих структур
решения задач дифракции электромагнитных волн, удовлетворяющих
уравнению эйконала, содержащему основные понятия
геометрической оптики.
Пусть падающее поле щ = ехр гкто, а отраженное ur — ехр гктг.
Тогда имеем [7]
и условия
(но + ^г)|г = 0
тг|г = т0|г,
(2.1.92)
(2.1.93)

132 Гл. 2. Решение внешних краевых задач электродинамики...
дтг\
~д^\
дт0\
' дп\
(2.1.94)
Здесь Г — граница внешней области fi, a n — нормаль к ней.
Условию (2.1.93) удовлетворяет выражение
Тг = Т0+ ШР,
(2.1.95)
где ш описывает границу Г, а Р — неопределенная компонента.
Дифференцируя (2.1.95) и подставляя в (2.1.94), получаем
9rL = 9ro_p p = 2—
дп дп дп'
(2.1.96)
Окончательно условиям (2.1.93), (2.1.94) удовлетворяет формула
вида
тг = го + 2ш
дт0
дп'
(2.1.97)
Таким образом, возможны следующие модификации структурных
формул:
1 Г., / дт0\]
и = ехр гкто — о ехр \гк то + 2ш^— —
1+cj2 [ \ 9njj
- , U Ф (т^—> ^—) ехР Hfcr) С2-1-98)
(без разделения на зоны),
и = ехр ikro —
1+07-
ехр
о;
г&
ап
1 + а;2
у/Г+Zj*
Ф
( х У \
exp{-ikr) (2.1.99)
(с разделением на ближнюю и дальнюю зоны, а также зоны света
и тени). Здесь
7 =
l±q
2 '
х
Я =
у/^Т,

2.2. Дифракция электромагнитных волн на системе цилиндров 133
2.2. Дифракция электромагнитных волн
на системе цилиндров
2.2.1. Постановка задачи. Рассмотрим систему, состоящую из
бесконечно длинных вдоль оси у цилиндров произвольного
поперечного сечения (рис. 2.7). Расстояние между цилиндрами по оси х
равно а, а по оси z равно с. Количество цилиндров конечное и
равно L по оси х и М по оси z.
Пусть на данную систему падает плоская электромагнитная
волна, направление распространения которой перпендикулярно
осям цилиндров и составляет угол а с осью х. Решение данной
ф- &€ &
Ш (Ь (Ь
Рис. 2.7. Общий вид задачи дифракции на системе цилиндров
задачи полностью аналогично тому, которое приведено для одного
цилиндра. Выбрав поле, исходя из единого алгоритма,
предложенного выше, и применив для нахождения коэффициентов
разложения метод наименьших квадратов, получим решение,
которое вновь сведется к системе линейных алгебраических
уравнений. Отличие будет заключаться лишь в выборе соответствующей
функции и.
1. Построение функции uj(x,z) для случая Е-поляризации.
Для построения рассмотрим элементарные области Sim (рис. 2.8),
описываемые предикатами fim = wim(x, z) > 0, с центрами в
точках {la,тс), где / = 0,1,...,L; га = 0,1,...,М. Внешнюю

134 Гл.2. Решение внешних краевых задач электродинамики...
область П можно задать следующим предикатом:
F(x, z) = /оо Л /oi Л ... Л /ом Л /ю Л /ц Л ... Л fLM =
L м
= Л Л Лт- (2.2.1)
/=0т=0
Соответствующая функция области обладает следующими
свойствами:
u(x,z)\r = 0, u;(:z,z)>0 в ft. (2.2.2)
Кроме того, необходимо позаботиться об удовлетворении условиям
тс •
la
Aft. |
x
Рис. 2.8. Геометрия элементарного цилиндра
излучения (о>(ж, г) = г + 0(1) при г -» оо) с помощью подходящей
нормировки.
2. Построение функции uj{x,z) для случая Н-поляризации.
В этом случае, кроме условий (2.2.2) и условий излучения функция
cj(o:, z) должна удовлетворять также условию нормализованности
дш
дщГ1
1,
(2.2.3)
где n/m — внешние нормали к соответствующим границам.
Подставляя данные cj(x,z) в рассмотренные выражения
системы уравнений (2.1.76), можно найти дифрагированное поле и
другие характеристики данной системы.
2.2.2. Построение уравнений границ областей с
использованием симметрии трансляционного типа. Представление функции
области согласно (2.2.1) может быть слишком громоздким при
большом числе элементарных областей. Рассмотрим подход, развитый
в [9,10] и учитывающий симметрию трансляционного типа (он

2.2. Дифракция электромагнитных волн на системе цилиндров 135
был использован в п. 1.1.4 при построении уравнений границ
областей предфрактальной геометрии). Пусть So = [u>o(x,y) > 0],
ujq G Cm(Sl), есть область, симметричная относительно оси
ординат, которая заключена в вертикальную полосу —а < х < а, a
2; = [шо{х — ihiV) ^ О], % Е Z, — области, полученные
смещением So вдоль оси абсцисс на размеры, кратные h ^ 2а, где h —
шаг трансляции. Тогда граница dQ, области
оо
П= f]% (2.2.4)
i=—oo
задается уравнением
ш{х,у) = -w0(n{x,a,h),y) = 0, (2.2.5)
где
li(x,a, h) =
h [ sin (-x}Cm{a,h)Si(a,h)
arcsin
(2.2.6)
тг j Cm{a,h)Si{a,h) + [l - Si(a,h)]pm+l(x,a,h)
Cm{a,h) = 2"+1 cos2^1) (£a), Sfah) = sin (^ + f),
p(x,a,h) = |*?2(ж,а,/1)| - S2{x,a,h),
S2(x,a,h) = sin2 (т-а) — s^2 (гж)-
Нетрудно видеть, что функция внешней области
оо
ac = R2\ f| ^
i=—oo
получается из (2.2.5) переменой знака. Выражения (2.2.5), (2.2.6)
позволяют существенно уменьшить число арифметических
операций по сравнению с прямым использованием формулы вида (2.2.1).
При этом, если уравнение шо(х^у) нормализовано, то и
уравнение и>{х,у) также будет нормализованным. Хотя формулы (2.2.5),
(2.2.6) достаточно сложны для вычислений, при построении
уравнения области они используются лишь один раз, в то время как в
формуле (2.2.1) количество R-конъюнкций растет прямо
пропорционально числу элементарных областей. Аналогично (2.2.5), (2.2.6)

136 Гл.2. Решение внешних краевых задач электродинамики...
рассматривается случай, когда области периодично расположены
вдоль оси ординат, а также случай двойной периодичности.
Используя преобразование поворота осей координат, легко получить
соответствующее уравнение для произвольной прямой. На рис. 2.9
Рис. 2.9. Линии уровня (а) и линии уровня с положительными значениями (6)
крестообразной области, тиражированной бесконечное число раз по двум
координатам
показаны картины линий уровня функции крестообразной
области, периодически повторенной по осям абсцисс и ординат.
Функция области строилась по формулам (2.2.5), (2.2.6).
Если опорная область Ео несимметрична относительно оси
тиражирования, то задача усложняется, так как применение (2.2.6)
в этом случае даст картину, на которой будет видна зеркальная
Рис. 2.10. Линии уровня (с положительными значениями) L-образной
области, тиражированной вдоль оси абсцисс с использованием формул (2.2.5) (а)
и (2.2.7) {б)
симметрия (L-образная область на рис. 2.10а). Чтобы избежать
этого, уравнение границы области (2.2.4) может быть записано в
виде
U>o (fi(x, °, h), У) Ла COS — j Va
VQ \w0(n(x-h,a,h),y)Aacos7r^X~ =0. (2.2.7)

2.2. Дифракция электромагнитных волн на системе цилиндров 137
В первых квадратных скобках стоит выражение, нули которого
образуют границу тиражированной области без зеркальных
элементов,
[7ГХ П
J = u0(iJ,(x,a,h),y) AQcos — ^ 01 ,
а во вторых скобках — нули той же области, но смещенной вдоль
оси х на h и занявшей место ее зеркального образа,
п" =
7Г(/7* /i )
и" = шоЫ(х — Л,a, /i), у) Ла cos - ^ О
h
Объединение этих областей дает требуемую область Q = Q,f (J fi".
На рис. 2.106 показано применение (2.2.7) к функции L-образной
области.
Если соседние области £; не могут быть отделены
вертикальными прямыми, т.е. h ^ 2а (шаг трансляции не превышает
ширины области So), но можно такими прямыми отделить
области Ej, £;+2> то при прежних условиях функция и>(ж,у) может
быть представлена в виде
v(x,y) = |[o;o(/i(a;,a,2/i),y) AQ cos — J VQ
VQ о;о(/х(я:-2Л,а,2Л),у) Aacos — \> Va
Va| а;о(/х(а:-Л,а,2Л),у) Aacos—— Va
VQ Uo(/i(^-3/i,a,2/i),y)AQcos^^—4 1. (2.2.8)
Часто бывает необходимо построить уравнение области,
полученной в результате переноса Ео на некотором отрезке прямой
конечное число раз. В этом случае возможны два подхода.
1. Выделить с помощью области Е = [£(#, у) ^ 0] из Q
рассматриваемый участок и затем получить для него уравнение в виде
[-«Х>{Ф),у)] *а£(х,у) =0. (2.2.9)
2. Предложить специальное преобразование координат,
осуществляющее трансляцию заданное число раз на отрезке.
Рассмотрим вначале первый подход, когда области вдоль
прямой тиражированы конечное число раз. Пусть на отрезке А\А2
длиной I = у/(х2 — ^i)2 -h (уг - Ух)2 (Рис- 2.11) необходимо
разместить п < 1 + l/a областей шириной а. Предположим, что
уравнение первой области в системе координат х1 А\у* имеет вид

138 Гл.2. Решение внешних краевых задач электродинамики...
uq(x',у') = 0. Вначале осуществим бесконечную трансляцию
области So = [uJo(x,y) ^ О], симметричной относительно оси 0у,
вдоль оси Ох с шагом Л — 1/(п — 1), используя
преобразование (2.2.6). В результате получим уравнение бесконечной системы
У
^
о
с
\
^Л
\а
X
J
Л
^ А\(*\,У\)
и
/
п
/*
Ъ
ГХ .
^.
] X
Рис. 2.11. Геометрия задачи для случая п областей
областей с^^у, Л): Далее напишем уравнение необходимого
участка uioo{x-> У, Л) Aa £(ж, у) = 0, выделив его с помощью области
Н = [f (ж, у) ^ 0], где f (ж, у) = (х + h/2)(l - х + Л/2)-
Окончательное решение получим путем поворота и переноса осей координат
жОу в нужное положение:
и(х,у) = а;0С(ж,,у,,Л) Ла £(ж',у') = 0, (2.2.10)
где
х — (х — х\) cos а + (у — yi)sina,
у' — -(х - xi)s'ma + (у -yi)cosa,
(x2-xi)2 . (У2 -yi)2
cos a = , sin a = .
с i
Использование (2.2.9) требует построения функции £(ж,у), а
затем применения операции R-конъюнкции, что связано с
увеличением числа операций. Кроме того, конечная функция ш(х,у)

2.3. Проекционный алгоритм решения задачи дифракции 139
имеет неоднородный характер на различных элементарных
участках решетки — максимальна в центре области тиражирования и
убывает к краям.
В связи с этим целесообразно применять второй подход,
позволяющий осуществить некоторые упрощения. В его основе лежит
следующее преобразование координат с заданным числом
областей п < 1 + l/a на отрезке:
М*(*. Л) = (х Л! ф, h)) п [(х - 1)(-1)п-1], (2.2.11)
где
хпу=1-{х + у+{-\)п-1\х-у\). (2.2.12)
Это позволяет избежать применения R-операции Ла, как в (2.2.9).
В результате получаем
и>{х,у) = -H)(/iV,M,y') = 0. (2.2.13)
На рис. 2.12 показаны линии уровня (положительные
значения) крестообразной области, тиражированной 3 раза вдоль оси
абсцисс в соответствии с обоими алгоритмами. Хорошо видны
Рис. 2.12. Линии уровня крестообразной области, тиражированной 3 раза вдоль
оси абсцисс согласно формулам (2.2.9) (а) и (2.2.13) {б)
недостатки первого подхода (рис. 2.12а), когда рельеф функции
зависит от расположения элементарной области.
2.3. Проекционный алгоритм решения задачи дифракции
Для решения краевых задач, описывающих излучение и
рассеяние волн, применяются различные приближенные методы.
В случае коротковолнового и длинноволнового диапазонов успешно
используется асимптотические методы [11,12]. В резонансном
случае, когда длина волны соизмерима с характерными размерами
препятствий, наиболее эффективными оказываются численные и
численно-аналитические методы. Однако предельные
соотношения типа условий Зоммерфельда мало пригодны для применения
прямых методов [13]. Если оператор задачи допускает
разделение переменных, то более перспективными оказываются
«парциальные» условия излучения [14], формулируемые на некотором

140 Гл.2. Решение внешних краевых задач электродинамики...
дополнительном контуре. Дальнейшее развитие концепции
«парциальных» условий излучения на области общего вида приводит
к внутренней задаче, эквивалентной исходной внешней, с
краевыми условиями нелокального типа, заданными на внешней
границе [15,16]. Поэтому построенные структурные формулы
содержат как дифференциальные, так и интегральные операторы.
Исследована достоверность результатов, получаемых с помощью
разработанных алгоритмов.
2.3.1. Постановка задачи и ее проекционные формулировки.
Одной из ключевых задач дифракции является задача рассеяния
плоской электромагнитной волны на бесконечном
идеально-проводящем цилиндре с поперечным сечением сложной формы £V Так
как эта задача однородна по продольной координате, то она
распадается на две двумерные скалярные: Дирихле (2?-поляризация) и
Неймана (iJ-поляризация).
Обозначим через О, дополнение Оо> где ^о — компактная
открытая область в R2 с кусочногладкой границей <Юо>
удовлетворяющей условию Липшица.
Задача Дирихле. Найти функцию u Е C2(Q)f]C(Q.)
удовлетворяющую в области О, уравнению
-A±u-k2 = f, (2.3.1)
краевому условию на dQo
u = g (2.3.2)
и условиям излучения в окрестности бесконечности.
Задача Неймана формулируется аналогично, только краевое
условие (2.3.2), заданное на сЮо? заменяется на условие
ди
Здесь Ах — двумерный оператор Лапласа; п — вектор нормали к
дПо, внешний по отношению к области Q.
Введем произвольный гладкий контур 9fli, охватывающий как
область Г2о, так nsupp/, т.е. все неоднородности задачи. Область,
заключенную между контурами dClo и <9fti, обозначим через д£1ю.
На контуре dtli ввиду аналитичности решения выполняются
следующие условия:
= 0, (2.3.4)
что позволяет рассмотреть в Qr = fi\Sloi дополнительную задачу.
(2.3.3)
М = о,
ди
дп

2.3. Проекционный алгоритм решения задачи дифракции 141
Задача В. Найти функцию v Е С2(^д)ПС(ид),
удовлетворяющую в области £}# уравнению
-A±v - k2v = -0, (2.3.5)
краевому условию на дО,\
v = u (2.3.6)
и условиям излучения.
Эта задача имеет единственное решение, которое можно
выразить через функцию Грина G(x,y):
v(x) = I -^^-u(y)ddny. (2.3.7)
dQi У
Так как для всех х Е dfli существует нормальная производная
dnv(x), то формула (2.3.7) определяет псевдо дифференциальный
оператор Т(и) [16]:
T{u) = dnv
и, учитывая второе равенство (2.3.4), получаем
dnu = T(u) Vx Е V*. (2.3.8)
Таким образом, поставленные ранее задачи можно
рассматривать в ограниченной области Sloi с краевым условием (2.3.8)
нелокального типа, моделирующим на контуре д£1\ условия излучения,
что позволяет перейти к проекционным формулировкам.
Задача П. Йайти функцию u Е V такую, что
a(u,v) = (F,v) WE V\ (2.3.9)
где
a(u,v)= f {V±u-V±v* -k2uv*)cm- f T{u)v*ddSl, (2.3.10)
V = {v E Я^ПоО, Uif(s) = 0 Ух G <9ft0,
<9пг;(я) = T(0) Vx G 5fti}, (2.3.11)
^ = / + Vxw0 + A;2wo, w0 = o;oiffo, (2.3.12)
<7o = ECg — продолжение внутрь области ftoi функции g,
заданной на контуре <9f2o> такое что
и0 = дпи = 0Ух£ ЭПи дпи0 = g Ух G <9f20. (2.3.13)

142 Гл. 2. Решение внешних краевых задач электродинамики...
Замечание 1. Краевые условия, входящие в определение
пространства V, естественные. Поэтому V можно отождествить с
Соболевским пространством Hl(£loi).
Замечание 2. Построенная билинейная форма не V-эллиптич-
на, поэтому необходимо ввести подпространство Q С V
функций, ортогональных константе. Тогда билинейная форма будет
Q-эллиптична и для и и Е Q будет существовать единственное
решение.
Замечание 3. Формулировка задачи Дирихле отличается
определением пространства V:
V = {v{x) G Я^ВД, v(x) - 0 Ух е Щь
а„и(а;) - Т(и) Vx е ctoi} (2.3.14)
и определением функции щ:
Щ=9о, (2.3.15)
где до ~ ЕСд — продолжение внутрь области fioi функции д,
заданной на контуре <9fio? такое что
?х0 = дпщ = OVx б dfii, гг0 = $Vs G dSl0. (2.3.16)
2.3.2. Парциальные условия излучения. Для областей,
допускающих разделение переменных, поле в окрестности OQi можно
представить в виде разложения по собственным функциям [xi]
«поперечной» части оператора задачи
оо
^ = E^j1)(p)^(o. (2-3-17)
где £ — «поперечная», а р— «продольная» переменные в локальной
системе координат, связанной с контуром dfl\; Q '(/?)
удовлетворяют парциальным условиям излучения [17,18]
дР
+ 7JCJ1)(P) = 0, Ъ = yj\j - *2. (2.3.18)
Здесь Xj — «поперечное» собственное число. Ряд (2.3.17) сходится
равномерно, поэтому
ди
дп
_ ди
dC,f\p)
an, 7=7, дР

2.3. Проекционный алгоритм решения задачи дифракции 143
Исключая неизвестные коэффициенты {Cj} и учитывая
(2.3.18), получаем граничный оператор Т(и):
ОО р
ТН = Х>Ж)Ъ J uip^xjddn,. (2.3.19)
Если область fio компактна, то поле в окрестности
бесконечности выражается суперпозицией уходящих цилиндрических волн
ц=^)«ф(«м
и на окружности достаточно большого радиуса R оператор имеет
вид [19]
Т{и) = Ли, (2.3.21)
me h = ik ~ {2R)~l.
2.3.3. Основная формула Грина. Если геометрия области О, (J fio
такова, что мы можем построить функцию Грина С?(ж, у) для
уравнения Гельмгольца в fi|Jfio> то решение поставленной задачи в
области fi\Jloi можно представить в виде [20]
«(*) = - J {<?(*, у)^М - ^fu(y)] ddny. (2.3.22)
Это выражение автоматически удовлетворяет условиям излучения.
Основную формулу Грина (2.3.22), аналогично (2.3.7), можно
взять за основу для построения краевого условия нелокального
типа, заданного на внешнем контуре dQ\. Однако применение
(2.3.22) или (2.3.7) затруднено при численной реализации, так как
приводит к необходимости вычислять несобственные интегралы.
Обойти это осложнение можно, либо погрузив контур
интегрирования внутрь Лоь либо приводя краевые условия, заданные на дП\
к однородным. Предположим, что нам известно решение задачи
Дирихле на контуре д£1\. Обозначим через и его продолжение
внутрь области fioi такое, что и = дпи — 0 на сЮо- Тогда можно
определить следующую проекционную задачу эквивалентную
исходной.
Задача П2. Найти функцию и' = и-и Е Н1 (fioi) такую, что
a(u',v)+a(u,v) = (F,v)Vt; G Я^оО,

144 Гл.2. Решение внешних краевых задач электродинамики...
где
a(u}v) = / (Vxu- V±v* - k2uv*)dn,
ftoi
F определено в задаче П1.
Чтобы решить эту задачу, необходимо знать значение
функции и на контуре dQ,\. С этой целью воспользуемся интегральным
представлением в виде основной формулы Грина
Ф) = J f(y)G(x,y)dQy-
где 5Лг — произвольный контур, охватывающий Qo и лежащий в
Г2о1; ^ii — часть области fiob заключенная между dQi и 5fti.
Контур 9f2j может совпадать с д£1о- В этом случае учитывая,
что источники поля, распределенные на контуре сЮо> в задачах
рассеяния обычно определяются падающей волной ппад, которая
существовала бы в отсутствие препятствия, удобно преобразовать
(2.3.23) к следующему виду:
Ф)= f f(y)G(x,y)<my-
П01
G{x'y)~^y д^~ГдПу (2-3-24)
Аналогичный подход к задаче Неймана развит в [21].
2.3.4. Неполный метод Галеркина. В приведенных выше
формулировках оператор представляет собой интегральное
соотношение, что не всегда удобно. Однако воспользовавшись
представлением (2.3.17) в (ДПо) можно получить другую формулировку
задачи, являющуюся в некотором смысле обобщением неполного
метода Галеркина [17,18].
Задача ПЗ. Найти функции u E С/, uR E C°°(ft) такие, что
(Viu, V±v)n01 - (k2u,v)n01 + (dnuR,v)dni = (/,v)n01 to G V,
(uR-u,vR)dni =0 V/gC°°(S1),

2.3. Проекционный алгоритм решения задачи дифракции 145
где
V = {v G #^oi), v{x) = 0 Vx G <9ft0},
с/ = {n g #Чад, и(ж) = р vx g a^o}.
Здесь через (.,.)п и (->-)дП обозначены скалярные произведения
в L2(^) и L2(afi) соответственно. Задача Неймана, рассмотренная
в [22], имеет следующий вид:
Задача П4. Найти функции и £ [/, uR Е C°°(ft) такие, что
{V±u,V±v)qqi - (A;2u,i;)r2oi + (dnuR,v)dQl = (/,v)n0i
wetf^oi),
(ид - и,**)^ =o v«* e с°°(й),
где
£/ = {u G Я^ПоО, anu = р Vx G <9ft0}.
Замечание 4. Второе уравнение в обеих задачах отражает
первое из условий (2.3.4).
2.3.5. Построение структурных формул. При реализации
приведенных в предыдущих пунктах алгоритмов необходимы
базисные функции соответствующих функциональных пространств.
Такие функции определяются структурами решений краевых задач.
Пусть ujj(x) — функция, удовлетворяющая условиям
",(*) = 0, \Ч±щ(х)\2 = 1 VxedSlj,
ljj(x) >0 VxGfioi 0'= 1,2).
Если оператор Т(и) задан выражением (2.3.21), то
соответствующие структуры решений задач, удовлетворяющие условиям
(2.3.3) для задачи Неймана и (2.3.2) для задачи Дирихле, имеют
вид [9]
и = Ф - и;01(£>[01)Ф + Л0Ф), (2.3.26)
и = и0Ф - Ш°Ш1 (d[1) (и0Ф) + Ло^оФ) • (2.3.27)
Здесь D[J\ ho — продолжение функции Л, заданной на контуре
9ft 1, внутрь области fioi такое, что ho(x) = 0 Ух G <9fto, Ф —

146 Гл. 2. Решение внешних краевых задач электродинамики...
произвольная комплекснозначная функция. Условия (2.3.21)
естественные, поэтому вместо (2.3.26) и (2.3.27) можно применять
структуры, учитывающие только главные краевые условия:
и = Ф, (2.3.28)
и = ш0Ф. (2.3.29)
Продолжение функций внутрь области можно определить
выражениями типа «склейки» [9]:
9о =
для задачи Дирихле и
для задачи Неймана;
UJQ + Ш\
h0 = EC- /i,
где ЕС = u>o/(ujo + и\). Продолжение и определяется оператором
ЕС = "°
'о+"Г
Замечание 5. Чтобы избежать необходимости вычислять в
(2.3.23) несобственные интегралы, к аргументу функции Грина
следует добавить произвольную, обращающуюся в нуль на контуре
dili положительную функцию f(x) такую, чтобы G стала
ограниченной везде в области С1ц.
Для псевдодифференциального оператора Г вид структурных
формул оказывается сложнее, что связано с нелокальностью
краевых условий, заданных на контуре dfii. Для их построения будем
рассматривать (2.3.8) как неоднородное условие Неймана:
решение будем искать в виде
и = щ + иоь
где щ — часть структуры, удовлетворяющая однородным
краевым условиям (Неймана на контуре d(l\ и Дирихле или Неймана
на 5Г2о)- «Неоднородную» часть можно представить в виде
txoi =u>iECT(u).
Так как оператор Т(и) определен на контуре Sfii, то получаем
и = щ +илЕСТ{и), (2.3.30)

2.3. Проекционный алгоритм решения задачи дифракции 147
где
щ = Ф -%Di Ф
для задачи Неймана и
Щ = ЫоФ
uWi
■П[1)(ш0Ф)
(2.3.31)
(2.3.32)
для задачи Дирихле.
Пример 2.4. Краевые условия (2.3.21) приближенно
моделируют условия излучения и только при R -» оо переходят в условия
Зоммерфельда. Выясним, как выбор размера области fioi влияет
на близость решения проекционной задачи Ш к решению
исходной. С этой целью рассмотрим модельную задачу: бесконечный
цилиндр круглого сечения с радиусом ra (kra — 0.5) равномерно
излучает волну //-поляризации. Точное решение этой задачи
известно и выражается через функции Ханкеля. Базисные функции
построим согласно (2.3.28).
Сходимость приближенного решения к точному оценим по
результатам аппроксимации неопределенных компонент структуры
степенными полиномами 6-14-й степени. На рис. 2.13 приведена
15
10
А
/
\
\У
1
X
\
3
\
^
j
"■^j
-►
9 kR
3 kr„
Рис. 2.13. Относительная погрешность 6 решения задачи как функция kR: 1 —
Юст.; 2~ 12ст.; 3 — 14ст.
Рис. 2.14. Относительная погрешность 8 решения задачи как функция hra; 1 —
Юст.; 2— 12ст.; 3-- Ист.
относительная погрешность 6 решения задачи в метрике I^i^oi)
как функция kR (R — радиус внешнего контура dft\).
Наименьшая погрешность достигается при kR — 6 (8 = 0.5% при 14-й

148 Гл.2. Решение внешних краевых задач электродинамики...
степени аппроксимирующих полиномов). При малых kR
выражение (2.3.21) плохо моделирует условия излучения. Возрастание
погрешности при больших kR объясняется тем, что решение
задачи имеет осциллирующий характер и с увеличением размера
области повышаются требования к аппроксимационным свойствам
структуры решения. Этот результат иллюстрируется на рис. 2.14,
где приведены зависимости относительной погрешности от
частоты при различном числе базисных функций. Таким образом
при kR ^ 6 излученное поле представляет собой цилиндрическую
волну, что позволяет находить как поле ближней зоны, так и
диаграмму направленности. Заметим, что результаты, полученные с
применением структур решений (2.3.26) и (2.3.28), практически
совпадают.
Пример 2.5. Другой модельной задачей, часто используемой
для сравнения эффективности различных методов, является за-
Y*
dQn
dQn
\Х
Рис. 2.15. Плоский волновод с бесконечным фланцем
дача об излучении электромагнитной волны из плоского волновода
с бесконечным фланцем (рис. 2.15).
При падении волны из волновода шириной 2а на апертуру
(х — 0, \у\ < а) часть энергии отражается обратно в волновод,
возбуждая кроме основной высшие типы волн. При работе в од-
новолновом режиме последние быстро затухают и на достаточно
большом расстоянии от апертуры поле в волноводе можно
представить в виде
u = F(y)ei^x + RF(y)e-i'fX,
(2.3.33)
где
u = Ez, F{y) = cos (Py)

2.3. Проекционный алгоритм решения задачи дифракции 149
для ТЕ\-волны и
u = Hz, F(y)=sin(/3y)
для Ti?i-волны. Здесь /3 = 7г/2а — поперечное волновое число,
7 := у к2 — /З2 — постоянная распространения, R — коэффициент
отражения. На таком сечении волновода Е можно сформулировать
граничные условия, в правую часть которых войдет только
амплитуда падающей волны. Продифференцируем (2.3.33) по х:
(2.3.34)
и, исключая из (2.3.33), (2.3.34) коэффициент отражения Д,
получим
- i<yu = -2i^F{y)ellx.
Для вычисления коэффициента отражения можно
воспользоваться следующим выражением:
J-yx
R =
ие"
у=уо
F(y) - ei2ix |
где у о = 0 для задачи Дирихле и у о = а для задачи Неймана.
Для решения задачи применим проекционный алгоритм П1, в
котором оператор Т(и) определяется формулой (2.3.21). Эта
геометрия описывается функцией
CJ = cj0 Л0 0>£ Ло С^Я,
где cJo = х Ло (а2 — у2)/2а описывает металлическую поверхность
волновода, и>х = х — хо — сечение S внутри волновода и lor =
— (Rq — x2 — y°)/2Ro — контур 8Q.R, на котором задаются условия
излучения (2.3.8). На контуре ЭПо в точке с координатами (0, а)
имеется входящий угол, поэтому структуру решения краевой
задачи (2.3.29) целесообразно дополнить сингулярной функцией.
Таблица 2.1. Модуль коэффициента отражения волны
2а/Л
|Л|, метод R-функций
|Л|, данные [23]
0.5001
0.951
0.948
0.6201
0.142
0.150
0.7401
0.064
0.065
0.8601
0.038
0.033
Таблица 2.2. Фаза коэффициента отражения волны
2а/Л
arg R, град,
метод R-функций
arg R, град, данные [23]
0.5001
179
178
0.6201
138
126
0.7401
113
105
0.8601
115
92

150 Гл.2. Решение внешних краевых задач электродинамики...
Из табл. 2.1, 2.2, в которых соответственно приведены
значения модуля и фазы коэффициента отражения волны ТЕ\ от
апертуры, видно хорошее совпадение полученных результатов с
данными работы [23]. Следует заметить, что применение алгоритма П2
и структуры решения (2.3.30), (2.3.32) приводит к результатам,
практически совпадающим с приведенными в табл. 2.1, 2.2.
2.4. Структуры решения векторных
краевых задач теории дифракции
2.4.1. Постановка задач и основные соотношения. С помощью
метода R-функций можно рассмотреть весьма обширный класс
внешних векторных краевых задач электродинамики для
объектов сложной формы. Основная идея предлагаемого подхода
заключается во введении специальной системы координат,
естественным образом связанной с геометрией тела, и использовании
теории R-функций.
Рассмотрим ограниченное тело произвольной конфигурации с
поверхностью Г, точная информация о геометрической форме
которого может быть задана с помощью R-функций. Пусть О —
внешность данного тела. Тогда можно построить такую функцию
о;(а:,у, z), которая обладала бы следующими свойствами:
duj(x:y,z)
u(x,y,z) > 0 в ft, bj{x,y,z)\r = Q,
г ' Эп
1,
где п — нормаль к поверхности тела. Введем единичный вектор
а{а1,а2,аз} = Vu;/|Vu;|, нормальный к поверхности уровня о;, а
на поверхности тела — нормальный к самой поверхности.
Построим также два других единичных вектора b и с, везде
ортогональных к вектору а и друг к другу. Проекции векторов
b = {&1,Ь2?Ьз}5 с = {сьс2,сз} могут быть найдены из условий
ортонормир овки
3 3 3
V" афг = 0, У] (net = 0, У^ biCi = 0,
U U U (2.4.1)
у/Щ + Ь\ + Ь\ = 1, Vcf+ 4 + cj = L
Эта система имеет бесчисленное множество решений. Для выбора
единственного решения система (2.4.1) должна быть дополнена
еще одним условием, связывающим неизвестные проекции.
Возьмем простейшее дополнительное условие bi = 0. В этом
случае решение системы (2.4.1) дает

2.4. Структуры решения векторных краевых задач... 151
{а2 ~^~ ai a>\Q>2 а\аъ I
v/ofTof' yja\ + a\' yja\ + aj )
Следует отметить, что при Ь\ = 0 векторы b и с становятся
неопределенными, если одновременно a<i = аз — 0. В этой точке они
легко доопределяются, например, условием Ьз = 0, которое удобно
тем, что при этом а, Ь, с совпадают с единичными ортами
обычной декартовой системы i,j,k. Возникающая неопределенность b
и с не носит принципиального характера. Всегда может быть
подобрано более сложное дополнительное условие, при котором b и с
будут определены всюду, где определен вектор а.
Одной из основных задач для уравнения вида
Lu = f, (2.4.2)
где L — линейный дифференциальный оператор эллиптического
типа, является задача Дирихле с краевыми условиями для
нормальной и„ и тангенциальной ит составляющих вида
и„|г = </?!, ит|г = </>2, (2.4.3)
где (pi, (f2 — известные вектор-функции. Кроме условий (2.4.3),
на функцию и в зависимости от рода задачи могут накладываться
дополнительно требования, определяющие, например, поведение
функции на бесконечности.
Используя введенную выше систему координат, краевые
условия (2.4.3) можно представить в виде
(u,a)|r = <pu (u,b)|r = (<p2,ti), (u,c)|r = (¥>2,t2).
Можно предложить следующий вид функций и для данной
задачи:
U = {lp\U$i + V>2£>(^$l)}a+ {^l^$2+^2^[^(^2,ti)]}b +
+ {V>1^$3 + faD [ш{<Р2, t2)] }c.
Здесь Фг — достаточное число раз непрерывно
дифференцируемые функции, подлежащие определению, ф{ — подбираемые
ограниченные скалярные функции без особенностей, необходимые при
наложении дополнительных условий на решение задачи и
нормированные следующим образом:
Vi|r = ^|r = l- (2-4-4)
Такие функции подбираются и нормируются с помощью известной
функции uj.

152 Гл.2. Решение внешних краевых задач электродинамики...
Оператор D, введенный ранее как оператор от скалярных
функций, имеет вид
du> d дш д дш д
дх дх ду ду dz dz'
(2.4.5)
Могут быть также поставлены векторные задачи, аналогичные
скалярной задаче Неймана и смешанной задаче. Для этих задач
краевые условия таковы:
1)
2)
= <Р2',
(2.4.6)
-Ч>2-
Используя введенные выше подвижные орты координат,
данные граничные условия представим следующим образом:
Х) (S'a)|r = V?1' (ll'tl)|r = (V?2'tl)'
(§S't2)lr= (v?2,t2>;
2) (au„ + /^,a)|r = v>i, (o^ + ^.t,)
= (V2,tl),
{ч>гМ)-
Конструкция решения для задач с данными условиями выбирается
в виде:
1) U = (^1^Ф1 +^2$1)а+ [lpiU){lp2,h) + V>2$2Jb +
-^зш[Я(Ф1,а) + Я(Ф2,Ь)+1>(Фз,с)];
2) и
lf3 + u
+
a +
р + U!
Ъ-
- ihu;[D№u&) + £>(/ЗФ2,Ь) + £>(/?Ф3,с)]. (2.4.7)

2.4. Структуры решения векторных краевых задач... 153
В данном случае операция (2.4.5) расширена на случай векторных
функций. При этом под D(a) подразумевается вектор с
проекциями D(ax), D(ay), D(az). Нетрудно убедиться, что в этом случае
Функции tpi подбираются с помощью функции u;(o;,y, z) и должны
удовлетворять требованиям
D(^P)|r = U(P)|r, (2.4.8)
где F — произвольная векторная функция.
Можно убедиться в том, что сконструированное таким образом
решение удовлетворяет соответствующим граничным условиям
независимо от выбора функций Ф^х,у,г) (г = 1,2,3). Функции Ф^
ищутся в виде полиномов, построенных с помощью полной
последовательности функций, выбор которых зависит от конкретных
условий рассматриваемой задачи. Неизвестные коэффициенты
находятся из соображений удовлетворения исходному уравнению
(2.4.2). Для этого может быть использован, например, метод
наименьших квадратов с функционалом вида J = (Lu — fi, Lu* — fj*)
или же один из конечно-разностных методов.
2.4.2. Решение задач дифракции и рассеяния
электромагнитных волн. Как известно, электромагнитное поле должно
удовлетворять следующим требованиям:
1) уравнению Гельмгольца
АЕ + fc2E = 0, АН + fc2H = 0, (2.4.9)
где к — 27г/А;
2) краевым условиям, определяемым свойствами
дифрагирующего объекта;
3) условию излучения Зоммерфельда
lim г (^ - гкЕ] = 0, lim г (^ - iku] = 0; (2.4.10)
г-юо \ ОГ / г-too \ОТ )
4) условию Мейкснера на ребре.
Решение данной задачи любым из прямых методов требует
такого выбора конструкции поля, при котором перечисленные выше
условия 2)-4) удовлетворяются независимо от вида искомых
функций, входящих в конструкцию решения.
Введение специальной системы координат совместно с
использованием теории R-функций дает возможность для ряда
практически важных в электродинамике краевых задач обеспечить
конструкцию решения, удовлетворяющую условиям 2)-4).

154 Гл. 2. Решение внешних краевых задач электродинамики...
Идеально проводящий объект. Краевое условие Ет|г
Решение для электрического вектора представляется в виде
0.
„ „ Ф\ехр ikr
Е = Einc + -Л—- п +
1 + ш
Ф2и;ехрИ<;г (Einc,ti)
+
1+u;2 1+ш
Фsшexpikr (Einc,t2)
ti +
t2, (2.4.11)
1 + ш2 1+ш
где Ejnc — падающее поле.
Объект, обладающий конечной проводимостью. Краевое
условие Щукина-Леонтовича [п,Е]|г = г[п, [п,Н]] |г, где z = y/fjje
— волновое сопротивление. Электрический и магнитный векторы
поля выбираем в виде:
Ф\ехр ikr
Е — Е;пс +
+
1+ш
-п +
Ф2шехргкг (Hjnc,ti) + F3expzA;r
1+Ш2
1 +ш
+
Ф3шехр{кг (Hmc, t2) + F2 expikr
1+ш2
1 +ш
ti +
t2; (2.4.12)
H — Hi
F\ exp ikr
+ -1—f n +
1 + ш
Fi exp ikr- (Einc,ti)/z
_ д ...r.„, ,-...„-A//-x , F3expikr + {Einc,t2)/z
H г- ti H — 12.
1 +u; 1 + u;
Две tfecfcowe^wwe диэлектрические среды с границей Г.
Краевое условие ЕГ1 |г = ЕГ2|Г. Векторы электрического поля для
первой и второй среды соответственно имеют вид:
Ф\expikr
Ei = Rmc Н Г~ п +
1 +ш
Ф2ш exp zfcr F2 exp ikr
ti +
E2 = Fj exp ifcrn +
F2 exp ikr +
1+ш2 1+ш
Г ф3о; exp г At F3 exp ikr
+ [ 1 + ш2
(Eincjtl)
1+Ш
t2;
+
l+o;
F3 exp г At +
ti +
(Ejnc, t2)
1 +u;
t2. (2.4.13)
Здесь Ф;, Fi (г = 1,2,3) — искомые функции.

2.4. Структуры решения векторных краевых задач... 155
Предполагается, что помимо вышеупомянутых свойств
функция ш пронормирована так, что и = г + 0(1) при г —> оо. Легко
убедиться, что поля, выбранные в данном виде, автоматически
удовлетворяют соответствующим краевым условиям независимо от
выбора функций Ф;, Fj, ведут себя нужным образом на
бесконечности и, кроме того, не навязывают каких-либо лишних краевых
условий, искажающих физический смысл задачи. Коэффициенты
разложения функций Ф;, F{ по базисной системе могут быть
найдены, как указывалось выше, из условия наилучшего
удовлетворения дифференциальному уравнению одним из вариационных или
сеточных методов.
Рассмотрим на конкретном примере использование описанной
методики в сочетании с методом наименьших квадратов для
решения векторной задачи дифракции.
Пример 2.6. Пусть на идеально проводящее тело сложной
формы, представляющее собой конус эллиптического сечения
высотой с с вершиной в начале координат, переходящий в цилиндр
Рис. 2.16. Геометрия тела (пример 2.6)
того же сечения высотой h (рис. 2.16), падает плоская
электромагнитная волна единичной амплитуды. Направление
распространения волны составляет углы с*о, Ро, 7о с осями х, у, z
соответственно. Тогда электрический вектор падающего поля записы-

156 Гл.2. Решение внешних краевых задач электродинамики...
вается в виде
Е = Ео ехр [ — ik(x cos с*о + у cos (3o + z cos 70)] =
= (1Е01 +}Ео2 + к#оз) ехр [-ikr0], (2.4.14)
где г0 = zcosao + ycosfo + zcos^0l V^oi + Е\2 + Е$3 = 1.
Для случая идеального проводника решение ищем в виде
^ „ Фхехрг'Ат
Е = Einc + -V-^ n +
+
1 +ш
$2^ ехр ikr Eqi b\ + Е^2 + #оз&з
+
1+LJ2 1+U)
Ф3и> ехр ikr Eo\C\ + Е02с2 + Е0^х3
ехр (—ikro)
ti +
l+o;2
1+UJ
exp (—ikro)
(2.4
t2,
.15)
где (Ь1,Ь2»Ьз)) (сьС2,сз) — проекции векторов ti,t2,
соответственно, на оси декартовой системы координат;
ш =
Щ
\Л + uo'
■* —{(?-y-^)A[7-(*-f)]}v
*{(>-£-$Н-(~- !И]} ■<->
Входящие в (2.4.16) символы Л, V обозначают R-конъюнкцию и
R-дизъюнкцию соответственно.
Функции Фг (г = 1,2,3) будем искать в виде разложения по
базисной системе функций
*' - t (48. + «S3.Л Ш * (rb) F' Ш ■
(2.4.17)
m+n+p
Нетрудно проверить, что поле Е удовлетворяет граничным
условиям и условиям на бесконечности при любых коэффициентах
Amnp, Bmnp- Коэффициенты разложения определим из условия

2.4. Структуры решения векторных краевых задач... 157
наилучшего удовлетворения уравнению Гельмгольца методом
наименьших квадратов. Функционал выбираем в следующем виде:
///
Q dx dy dz,
pL(E)L(E*)dxdydz =
n
= fff L(Ei)L(Et) + L(E2)L(E*2) + L(E3)L(E*)
n
(2.4.18)
где L = Д + k2\ E\, E2, E$ — проекции вектора Е на оси
декартовой системы координат; W{E\,E2,El} — вектор, комплексно
сопряженный вектору Е; р = (1 + о;3)-1 — весовая функция,
необходимая для обеспечения лучшей сходимости решения.
Компоненты комплексного вектора Е распишем следующим
образом:
Ei = КеЕ{ + HmEu (2.4.19)
где
t
Re Е{ = E0i cos kr0 + yj^ ]T (Л^р cos kr - J5^p sin fcr) x
x ]C (Л™р cos At - B$np sinЛг) x
га+н+р
\l+u>/ \l+u>/ *\l+u;/ 1 + ш1
x (J5oi6i + E02b2 + #02M cos kr0 + ——9 x
1 +ujz
x Y, (AmnPcoskr-B£lpsmkr)x
m+n+p
x Pm (пУр,г (rib)Pp (rib) ~ it
ra+n+p
X
x (Eqici + E02c2 + E02c2) cos Ат0;

158 Гл. 2. Решение внешних краевых задач электродинамики...
t
Im E{ = Eoi sin fcr0 + y^— J^ (^mnp sin kr + BmlP cos At)
ra-fn-fp
f
X! (A(mnp Si» *»• - #mlp COS kr)
j 4- ?i -4- n
x (jKoibi + £o2&2 + E02b2) sin kr0 + Л , \ x
1 + a;"2
X Y. (A^npSmkr^B^ipCOSkr)x
ra-j-n+P
с*
+ Г—Цг№о1С1 + ^02С2 + #02C2) SU1 &Г0.
1 + UJZ
С учетом обозначений (2.4.19) функционал принимает вид
i=1 n
Для его минимизации необходимо, чтобы
-^- = 0, -^-=0, г = 1,2,3. (2.4.20)
х 2^ (-A™L sin fcr - Bi:L cos kr) x
m+n+p
ranp OJJninp
Это дает возможность после ряда преобразований получить
следующую систему линейных алгебраических уравнений:
Ел(1) mnpeW , V^ л(2) mnpskl
^mnplll ^ Z-j ^rnnp /12 ^
m-fn-fp=0 m+n-fp^O
. V^ Л<3) ~mnPskl _ V4 R(l) rnnpskl __
2-j ^rnnpJU Z-j nmnpaU
m+n-\-p=0 ra+n-fp=0
Ed(2) mnpskl \^ r>(3) mnpskl __ ^s/z/.
**mnpa 12 "" Z-^ атпр°\Ъ ~ al >
m+n+p=0 ra-fn-fp=0

2.4. Структуры решения векторных краевых задач... 159
Е л{ХъГк1+ Е 4*UTsW +
ra+n-fp=0 ra+n-fp=0
+ Е AiX-y™pskl- E 4>VrrpsW-
ra+n+p=0 ra-fn+p=0
- E ^V2TpsW- E ^(nV2TpsW = «f;
m+n+p=0 ra+n+p=0
E 41U7M'+ E ^итрШ+
га+п+р=0 ra+n+p:=0
t t
, V^ /«(3) mnpskl _ V^ r>(l) mnpskl
Z-^ ^mnp 733 2-y nmnpa3l ""
m+n+p=0 m_f.n^_p=0
" E ^2^зТМ"-^ Е ^)pa3Tpsfc/= af;
ra+n-fp=0 ra+n+p=0
E 4V;r*w+ E 4vr2npsW+
m+n-fp=0 ra+n+p=0
+ E A(X^pskl+ E ^p7nnpsW +
ra+n-fp=0 ra+n-fp=0
+ E ^p7^npsfe'+ E в{ХъГы = -P(kl;
m+n+p=0 m+n+p=0
E A$nP°Tpskl + E 4v2tpsW +
m-\-n+p=0 m+n+p=0
+ E ^p^TpsW+ E B^nnpskl+
m+n+p=0 m+n+p—O
+ E ^P72Tpsfe'+ E ^UT"*' = -#";
77l4-n-fp=0 m-fn-fp=:0

160 Гл. 2. Решение внешних краевых задач электродинамики...
Ел(1) mnpskl , V^ л(2) mnpskl
/imnpcrn + Z^ Лтпра32 +
ra+n-fp=0 т+п+р=0
+ Е A$np°?rskl+ Е *ffiwr*"+
ra-fn-fp=0 ra-fn-fp=0
+ Е 5^р7ГрШ+ Е BiiP^npM = -Pf,
ra-fn-fp=0 т+п+р=0
где
3
/./»/» 7>-t,<7 t^ij , -ктгд дгг,7
7mn,»*l = £ / / / «mnPKski+^npI4mnPdx ^ ^
^ С С С Мг>4 KlJ — КгА АТгЛ
mnpskl V~^ / / / iyrnnpJ^skl J\mnpl\skl
J3Q Z^ I I I 1 + ^3
oj
ski
3
E /// [(Vi + «1 - ui)Ki+w-vi- wiwH} ** dy &,
i=1 fi
д,Ы
J
3
= E /// [(И? - *? - *^№ + (^ - W - Wi)KU d* dy dz
0,9 = 1,2,3).

2.4. Структуры решения векторных краевых задач... 161
C/J = £?0г cos fcro, t/2 = £?ot sin fo"o,
V? = , ,' JEoibi + E02b2 + Е02Ь2)coskr0,
1 + or
VJ = * JEoibi + Ewh + Eo-ih)sinkro,
1 -f- uj
W{ = -—'—^(Eoici + E02C2 + E02C2) cos fcr0,
W\ = ——t> (Eoici + E02C2 + E02c2) sin fcr0.
2.4.3. Алгоритмы построения уравнений границ трехмерных
областей методом R-функций. Рассмотрим некоторые подходы к
построению уравнений границ трехмерных областей с помощью
R-функций [9, 24], которые могут быть полезны при решении
векторных задач теории дифракции электромагнитных волн.
Пусть в плоскости хОу граница Го области Г2о описывается
уравнением
T0 = {u>o(x,y,cu...,cm) = 0}, (2.4.21)
где сг — геометрические параметры, определяющие форму и
размеры области Г2о и его элементов. Вводя функции ci{z) (г = 1, ...
... , га) при условии Cj(0) = с^, получаем уравнение поверхности
вида
r={uj0[x,y,cl(z),...,cm(z)} = 0}, (2.4.22)
которому в сечениях z = Н — const будут соответствовать
многообразия из семейства (2.4.21).
6—2176

162 Гл.2. Решение внешних краевых задач электродинамики...
Пример 2.7. Если при z = О граница Го области Qq имеет
вид прямоугольника со сторонами х = ±а, у = ±6 и описывается
уравнением
Го = {(а2 - х2) Л0 (б2 - у2) = 0}, (2.4.23)
а при z — Н граница Гя области Г2я — также прямоугольник со
сторонами х — ±с, у = ±d:
rH = {(c2-x2)A0(d2-y2) = 0},
то, следуя вышеизложенному, можно записать уравнение
боковой поверхности с линейной зависимостью по z, соединяющей Го
и Гя, в виде
г-{(К1-г)+4Г-*Ь
Можно видеть, что коэффициенты, заключенные в квадратные
скобки, построены с помощью обобщенной интерполяционной
формулы Лагранжа (см. § 1.2).
Если в более общем случае известно, что в плоскости хОу
граница Го области Г2о описывается уравнением
Г0 = {ш0(х,у)=0}, (2.4.24)
а при z = Н граница Гя области С1ц — уравнением
Гн = {и>н(х,у)=0},
то, применяя обобщенную формулу Лагранжа, получим
r=|c*(sty)^
(2.4.25)
где Ф(.т,2/, z) — неопределенная компонента, корректирующая
боковую поверхность, например, для линейной зависимости по z.
Функция Ф(ж,у,2г) может определяться, в частности, из
соображений минимизации кривизны этой боковой поверхности.
Пример 2.8. Применив к условию примера 2.7 формулу
(2.4.25), получим
(М
-x*)Ao(b2-y2)](H-z)
н
+ [(«.-,.) л. (*-,»)], + £E-i,(w) . о'

2.4. Структуры решения векторных краевых задач... 163
Следует отметить, что формула (2.4,25) является более общей
по сравнению с (2.4.22), так как позволяет соединять
разноплановые с точки зрения числа параметров области, например,
окружность и прямоугольник.
Пример 2.9. Пусть при z = О граница Го области Qo
описывается уравнением (2.4.23), а при z = Н границей Г# области Г2#
является окружность, уравнение которой
rH = {R2-x2-y2 = 0}.
Применяя формулу (2.4.25), можно записать уравнение боковой
поверхности, соединяющей Го и Г#, в виде
г П(а2-хг)Ло(62-у2)](Я-г) t
Следует отметить, что применить формулу (2.4.22) в этом примере
затруднительно, так как уравнения прямоугольника и окружности
содержат различное количество геометрических параметров С{ и
принадлежат разным семействам двумерных областей.
В случае, когда количество заданных сечений и
соответствующих им областей более двух, можно воспользоваться выражением
вида
N N
w(x,y,z) = Y2ui(x,y)hi(z) +П(*-^)Р(ж,2/,г),
1=1 г=1
где
L\Zi - Zi-l/ \Zi - *2+l/ J
Следует обратить внимание на случай, когда в нижнем,
верхнем и всех промежуточных сечениях расположены области,
обладающие свойством геометрического подобия. Если известно
построенное с помощью R-функций уравнение границы области в
плоскости хОу — ш(х,у) = 0, то уравнение подобной области имеет вид
k~lu>(kx,ky) = 0, где к — коэффициент подобия. Тогда, задавая
к = k(z), при условии к(0) = 1, получим уравнение поверхности
вида
1 ]^ш[к№х*кМу] = °} '
которому в сечениях z = Н = const будут соответствовать
подобные области.

Глава 3
ИССЛЕДОВАНИЕ ПОЛЕЙ В ВОЛНОВОДНЫХ
СТРУКТУРАХ МЕТОДОМ R-ФУНКЦИЙ
Волноводные излучатели, наряду с //-плоскостными щелями,
небольшими рупорами, элементами печатных антенн и др.,
относятся к классу так называемых слабонаправленных
излучателей [1-6]. Такие антенны просты по конструкции,
широкополосны и позволяют в широких пределах подбирать нужную
ширину диаграммы направленности (ДН). Излучатели в виде
открытого конца волновода используются самостоятельно, в составе
фазированных антенных решеток (ФАР), а также как облучатели
линзовых и зеркальных антенн [2,4-7]. Проблему расчета вол-
новодных антенн можно разбить на два этапа. На первом этапе
для нахождения поля в раскрыве необходимо решить внутреннюю
электродинамическую задачу для волновода той или иной
конфигурации (см. Приложение 8) одним из приближенных методов
[8-17] (рис. 3.1). После этого на втором этапе при определенных
допущениях решается внешняя задача об излучении из раскрыва
волновода (или системы волноводов) [1,5].
3.1. Расчет электромагнитных полей
в регулярных волноводах методом R-функций
Наиболее распространенным типом волноводов являются
регулярные волноводы, свойства которых неизменны (продольно-
однородные волноводы) [14]. Пусть среда, заполняющая волновод,
характеризуется нулевой проводимостью (<т = 0), диэлектрической
постоянной £о и магнитной проницаемостью /iq (вакуум), а внутри
волновода отсутствуют источники поля. Волновод предполагается
бесконечно протяженным по оси распространения
электромагнитных волн z.
3.1.1. Идеальные волноводы и их характеристики.
Поперечное сечение регулярного многосвязного (трехсвязного) волновода
произвольной геометрии показано на рис. 3.2. Символами Г2, дО,
и S обозначаются поперечное сечение волновода, внешний контур,
ограничивающий это сечение и боковая поверхность волновода
соответственно. Внутренние границы многосвязного волновода
обозначим через 6KV Таким образом, дО, = I Mdf2j J ^Jdfto-

3.1. Расчет электромагнитных полей в регулярных волноводах... 165
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
Метод Фурье
(разделения переменных)
Метод частичных областей
Альтернирующий метод Шварца
Метод
задачи Римана-Гильберта
Метод возмущений
Метод конформных отображений
Сеточные методы
Метод сингулярных
интегральных уравнений
i
Метод !
неопределенных коэффициентов >
Метод Я. Н. Фельда |
Метод Моделя \\
Обобщенный метод
собственных колебаний
Метод Винера-Хопфа
Конечных разностей !
*■ i 1
Конечных элементов I; 1
Граничных элементов !
Вариационные и проекционные методы
I
J Метод Ритца
■1 Метод
| Бубнова-Галеркина-Петрова
ч Метод Трефтца
| Метод/^-функций
Метод коллокации |
Метод наименьших квадратов |
Метод фиктивных областей !
Метод Канторовича ;
Рис. 3.1. Методы решения краевых задач электродинамики

166 Гл. 3. Исследование полей в волноводных структурах...
Пусть стенки волновода выполнены из идеально проводящего
материала с удельной объемной проводимостью a —> сю.
Комплексная амплитуда любой составляющей электромагнитного поля
Рис. 3.2. Поперечное сечение регулярного волновода произвольной геометрии
в случае неоднородной плоской линейно поляризованной волны,
распространяющейся вдоль оси z, имеет вид
A = A0(x,y)e-*z, (3.1.1)
где 7 — продольное волновое число. Электромагнитный процесс
в области (вакуум), свободной от источников, описывается
уравнениями Максвелла
rotH = iu>e0E, rotE = —гш^оН, (3.1.2)
где ш — частота колебаний; Е, H — комплексные амплитуды
электрического и магнитного полей:
' Ё
Г Е(«) Л
I Н(<) /
еш.
Н J
Из (3.1.2) можно установить взаимосвязь между продольными
и поперечными составляющими электромагнитного поля:
. -if дЁг анЛ
Е*= ,.7 -2 17-^Г+^о-
„ _, дЁг
к2
к2
к2
_72
-г
_72
г
_72
-г
ду
и - ■ дЕ* дЙ>
н = . £& + дН,
у к2 - 72 I дх ду
(3.1.3)

3.1. Расчет электромагнитных полей в регулярных волноводах... 167
Здесь g — yjk2 — j2 — поперечное волновое число; k = y/£ofJ>o =
= ш/с, где с — скорость света в вакууме. Таким образом, четыре
компоненты электромагнитного поля выражаются через две
другие независимые составляющие. При этом возможны следующие
основные случаи.
1. Волны E-muna, или TiJ-волны (Hz = 0). Продольная
составляющая электрического поля и6 = Ez должна удовлетворять
двумерному уравнению Гельмгольца с однородными краевыми
условиями Дирихле:
о2 е £)2 е
&г2 ду2 (3.1.4)
2. Волны H-muna, или 7\Е-волны (£?2 = 0). Продольная
составляющая магнитного поля um = i/z удовлетворяет двумерному
уравнению Гельмгольца с однородными краевыми условиями
Неймана:
02^771 Q2Um
Su*
an
(3.1.5)
= 0.
3. Поперечно-электромагнитные, или ТЕМ-волны (Hz = Ez =
= 0). Существование такого типа волн возможно лишь в
многосвязных структурах (см., например, области 31-34 в табл. П.8.1).
В этом случае компоненты электромагнитного поля удовлетворяют
двумерному уравнению Лапласа с условиями Дирихле:
д2и д2и л ^ „о
77^ + тг-2 = 0 при (ж,у) GfiCff,
дх2 ду2 (3.1.6)
Здесь АГ > 2, и хотя бы две постоянные Ф^ не равны друг другу.
Очевидно, что задача (3.1.6) эквивалентна электростатической
задаче о нахождении потенциала в двумерной области О, по
заданным его значениям на границе области. Решение такой задачи
методом R-функций основывается на использовании обобщенной
формулы Лагранжа и было рассмотрено в главе 1. Поэтому в
дальнейшем ограничимся лишь рассмотрением волн Е- и Я-типа.
Ненулевые решения задач (3.1.4), (3.1.5) возможны лишь при
определенных значениях параметра g = у/к2 — '?2, называемых

168 Гл. 3. Исследование полей в волноводных структурах...
собственными значениями оператора Лапласа
~~ дх2 ду2'
Совокупность всех собственных значений оператора называется
его спектром. Известно [18], что оператор Лапласа с однородными
краевыми условиями Дирихле или Неймана является
самосопряженным и положительно определенным, т. е.
/ vAudx dy — \ uAvdx dy,
п п
/ uAudx dy ^ С и dx dy, С = const > 0
п п
для всех интегрируемых с квадратом в Q, функций и Е 1/2 (fi).
Вследствие этого оператор Лапласа имеет дискретный счетный
спектр положительных собственных чисел
О < & < 6 <■-■<&<-. •
(для задачи Дирихле) и
о <&<&<...<&<...
(для задачи Неймана). Каждому собственному значению
соответствует одно или несколько решений фь, называемых
собственными функциями оператора Лапласа. В последнем случае
собственное значение считается вырожденным с кратностью, равной
числу линейно независимых собственных функций,
соответствующих данному значению. Собственные функции оператора Лапласа
ортогональны:
/ фтФпйх dy = 0, тфп,
п
где символ * означает комплексное сопряжение. Из этого следует
ортогональность электромагнитных полей различных типов
свободных волн в волноводе.
Поперечное волновое число g зависит лишь от геометрии
поперечного сечения волновода и от индексов выбранного типа (формы)
волны и совершенно не зависит от частоты. Согласно
определению поперечного волнового числа д, если k > д, то продольное
волновое число j является вещественным, что означает
возможность распространения соответствующего типа колебаний в виде
бегущих вдоль оси z волн. При достаточно больших длинах волн

3.1. Расчет электромагнитных полей в регулярных волноводах... 169
генератора Л = 2тг/к может оказаться, что к < g (мнимое
продольное волновое число 7), тогда вместо бегущих волн в волноводе
будут существовать нераспространяющиеся (затухающие)
колебания с амплитудой, экспоненциально уменьшающейся по
координате z. Значение длины волны генератора, соответствующее
случаю к = у, называется критической длиной волны Ас для данного
типа колебаний в исследуемом волноводе. Очевидно,
Ас = —. (3.1.7)
9
Длина волны в волноводе с идеально проводящими стенками
всегда превосходит длину волны в свободном пространстве, так
как волны Е- и iJ-типа распространяются с фазовыми
скоростями vp, большими, чем скорость света в вакууме:
vp =
v/1 - (А - Ас)2
На практике интерес в первую очередь представляют колебания
с минимальными поперечными волновыми числами #,
обеспечивающими наибольшие значения критической длины волны.
Средствами вариационного исчисления показывается [17], что основной
волной любого полого волновода, соответствующей максимальному
значению Асо, всегда является волна iiT-типа. При А > Асо
распространение волн в линии передачи невозможно. В диапазоне
Aci < А < Асо в волноводе может распространяться только один,
основной тип волны. Такой режим называется одномодовым, а
интервал (Aci, Aco) — рабочим интервалом длин волн. На
практике ширину этого диапазона выбирают несколько меньше
теоретической — от Aci/0.95 до Асо/1.25. Это связано с тем, что вблизи
критической длины волны Асо увеличивается затухание основного
типа волны, а вблизи Aci возникает опасность возбуждения
высших типов волн.
Характеристическое сопротивление волновода определяется
как отношение поперечных составляющих векторов Е и Н:
\1е2 + Ё2
zc=Vp^L. (З.1.8)
В соответствии с формулами перехода (3.1.3) для волн .Е-типа и
if-типа, соответственно:
Z* = Z0\/l-(A/Ac)2, Z?= Zo
\Д - (VAC)2

170 Гл. 3. Исследование полей в волноводных структурах...
где Zo = v/W^o = 1207Г — характеристическое сопротивление
вакуума.
3.1.2. Волноводы с потерями. Импедансные граничные
условия Щукина-Леонтовича. Граничные условия в (3.1.4), (3.1.5)
возникают как результат обращения тангенциальной
составляющей электрического поля Ет в ноль на поверхности идеального
проводника. В случае конечной (но достаточно большой)
проводимости о на границе раздела металл-диэлектрик появляется
отличная от нуля касательная составляющая Ет, обусловливающая
поток мощности, которая идет на нагревание стенок волновода. При
этом должны выполняться следующие приближенные граничные
условия Щукина-Леонтовича [2,3,14,19-21]:
ЁТ = ZSHT1 (3.1.9)
где Zs = Rs — iXs = (1 — i)y4j/io/(2(j) — поверхностное
сопротивление.
Выражение (3.1.9) достаточно хорошо описывает процесс
поглощения на поверхностях раздела с малой кривизной. Если
кривизна большая, а также в окрестности ребер эти условия
необходимо корректировать [21,22]. Электромагнитное поле СВЧ
проникает в металл на очень небольшую глубину (поверхностный, или
скин-эффект). Расстояние, на котором амплитуды поля и тока
уменьшаются в е раз, называется глубиной проникновения
(толщиной скин-слоя) и равно
(3.1.10)
ШЦоСГ
Условия (3.1.9) справедливы для тел, имеющих достаточно
большую толщину по сравнению с глубиной проникновения (3.1.10).
Кроме того, отношение глубины проникновения к радиусу
кривизны 5/рт-т должно быть очень мало, порядка 2 • 10~5 или меньше
[19]. Добиться выполнения последнего условия можно с помощью
применения алгоритмов сглаживания на основе почти R-операций,
рассмотренных в главе 1.
С помощью формул перехода условие (3.1.9) для волн Е- и
Я-типа типа соответственно принимает вид [21]
(дис . Д
= 0, (3.1.11)
= 0, (3.1.12)
дП
где VE = g2Z0/{kZs), m = g2Zs/(kZ0)

3.1. Расчет электромагнитных полей в регулярных волноводах... 171
Важной особенностью рассматриваемых спектральных задач,
обусловленной поглощением, является их несамосопряженность в
пространстве 1/2(0) [23-25]. Существование собственных
значений и собственных функций может быть строго доказано при
достаточно общих допущениях о форме области, но в общем
случае системы собственных функций могут не быть полными Z/2(fi).
Наибольший практический интерес представляют системы с
малым поглощением, соответствующим реальным металлам на СВЧ.
В этом случае не само сопряженные операторы рассматриваемых
спектральных задач представляют собой малые регулярные
возмущения самосопряженных операторов, соответствующих
отсутствию поглощения [21]. Их спектр также дискретен, имеет
единственную точку сгущения на бесконечности, а собственные функции
порождают полные в L>2 (fi) функциональные системы.
Единственное различие заключается в том, что собственные значения за счет
поглощения смещаются в комплексную область.
При наличии затухания в стенках волновода продольное
волновое число есть величина комплексная:
7 = /?-га, (3.1.13)
где a — постоянная затухания. Поперечное волновое число также
комплексно:
9 = 9f + ig". (3.1.14)
Поскольку условия (3.1.11), (3.1.12) зависят от неизвестного
поперечного волнового числа д, решение краевой задачи для
уравнения Гельмгольца существенно усложняется. Поэтому на
практике применяют более простой прием, полагая приближенно, что
касательная составляющая магнитного вектора НТ совпадает с
аналогичной составляющей, вычисленной на поверхности
идеального проводника. Ошибка, вызванная таким допущением,
незначительна, так как удельная проводимость реальных металлов
достаточно велика. Данный подход называется энергетическим [14].
Он справедлив при условии, что конфигурации поля в идеальном
и реальном волноводах совпадают, а именно, в случае, когда в
(3.1.13) а «С /?. Приближенное выражение для постоянной
затухания имеет вид
Pi
где
Pt = ^ j \RT\ds (3.1.16)
эа
(3.1.15)

172 Гл. 3. Исследование полей в волноводных структурах...
— мощность потерь в металле на единицу длины линии
(волновода), а
ReZr
/|HJ
dxdy
(3.1.17)
— полная мощность, переносимая по волноводу. Здесь Hr, Hj_ —
векторы касательной к границе и поперечной составляющих
магнитного поля соответственно. Развернутые выражения для
постоянной затухания можно записать в виде [14]
Е _ RS k QQ
2Zq (3 f \Т7я,е\2
I
ds
У1™
dxdy
(3.1.18)
для поля £?-типа (а также Т£?М-волн) и
а
н
Rs к
2ZQp
f\Vum\2dxdy
ds
\
I\Vum\2dxdy
(3.1.19)
для поля Я-типа. Величины /Зио находятся из решения
идеализированной задачи вида (3.1.4)—(3.1.6). Следует учитывать, что
на частотах, близких к критической, постоянная затухания всех
типов волн неограниченно растет. При этом условие
справедливости энергетического метода (а «С р) нарушается, и выражения
(3.1.18), (3.1.19) теряют смысл.
Для получения качественной зависимости коэффициента
затухания от частоты удобно ввести относительную частоту v =
= k/g. Так как от частоты зависят только А;(~ i/), /?(~ \Jv2 — 1) и
Rs(~ у/Ц), то из (3.1.18), (3.1.19) следует, что
а
Е
(3.1.20)
а
и Cx{v2-\) + C2
(3.1.21)

3.1. Расчет электромагнитных полей в регулярных волноводах... 173
где Со, Сь С*2 — некоторые положительные коэффициенты. При
стремлении частоты к критической {и —> 1) затухание волн
неограниченно возрастает. При больших частотах затухание
возрастает пропорционально у/й. Для волн £?-типа затухание достигает
минимума при uq = \/3 « 1.73 независимо от формы волновода.
Для волн #-типа минимальное значение зависит от геометрии
волновода, а именно, от соотношения С2/С1. Если С\ — О, т.е.
\dum/dt\2ds = О, то коэффициент затухания для волн магнит-
/
0Q
ного типа может и не принимать минимального значения, и
затухание будет все время уменьшаться с увеличением и. Такая
ситуация возможна при dum/dt = 0 или иш = const на всей
границе <9Г2.
Удельная мощность, переносимая через единичное сечение
волновода, выражается как
A = f-^||H±|2<fcrfy, (3.1.22)
Q
где S — площадь поперечного сечения.
3.1.3. Сверхпроводящие волноводы. Изложение теории
сверхпроводимости и высокотемпературной сверхпроводимости (ВТСП)
можно найти в [26 - 28]. Далее приведем лишь основные
соотношения, полезные для расчета коэффициента затухания в регулярных
волноводах [27].
В теории сверхпроводимости к уравнениям Максвелла
добавляется уравнение Лондонов, показывающее, что напряженность
магнитного поля экспоненциально убывает при проникновении вглубь
сверхпроводника и уменьшается в е раз на расстоянии
*0,L = ./-2*4 (3-L23)
от поверхности. Здесь то, ео — масса и заряд электрона, ns —
плотность электронов в сверхпроводящем состоянии. При Т — О
ns = n0i гДе Щ — полная плотность электронов. Величина Jo,L
носит название лондоновской глубины проникновения при
температуре абсолютного нуля. Плотность электронов в сверхпроводящем
состоянии уменьшается с ростом температуры, так что
зависимость глубины проникновения от температуры имеет вид
SL = , S°'L A (3.1.24)
д/1 - {Т/Тсу
где Тс — критическая температура.

174 Гл. 3. Исследование полей в волноводных структурах...
Глубина проникновения магнитного поля в сверхпроводник
зависит от величины граничного волнового вектора ко zz (7.5... 10) х
хД(0)//шр, где А(Т) — полуширина энергетической щели в
зависимости от температуры, г>р — скорость электронов у
поверхности Ферми, h — постоянная Планка. Величина ко характеризует
ту длину, на которой плотность сверхпроводящего тока меняется
несущественно. Обычно эту длину называют длиной
когерентности £о и определяют из следующего соотношения:
* - ш- (31'26)
Пиппардом было показано, что
где a — некоторый постоянный множитель, а к& — постоянная
Больцмана. При Т = 0 А(0) = 1.76&вТс, а зависимость (3.1.26)
имеет вид
e„ = Hf£, (3.1.27,
квТс
т.е. а = 0.18.
В зависимости от того, в каком соотношении между собой
находятся длина когерентности и лондоновская глубина
проникновения, все сверхпроводники делятся на две группы:
1) сверхпроводники I рода, для которых #о,ь «С £о;
2) сверхпроводники II рода, для которых <Jo,L 3> £о-
Сверхпроводники I рода называются также пиппардовскими,
для них уравнение Лондонов непригодно, и при расчете их
глубины проникновения приходится учитывать нелокальные
соотношения. Сверхпроводники II рода называются лондоновскими.
Для них глубина проникновения 8 = #o,L и может быть записана
в следующей форме:
при зеркальном отражении
8 ,1/3,2/3 МА(0)._Д
* = gtfXii^-j1 cth^I ; (3-L28>
при диффузном отражении
d = e" М^~Л~ ^ ■ (ЗЛ-29)

3.1. Расчет электромагнитных полей в регулярных волноводах... 175
Комплексный импеданс сверхпроводника достаточно мал,
поэтому на границе сверхпроводника может быть задано условие
Щукина-Леонтовича. Полагаем, что поле изменяется во времени
по гармоническому закону. Импеданс зависит от частоты и тесно
связан с комплексной эффективной глубиной проникновения S:
ZS = RS + iXs = и)цъ5. (3.1.30)
Действительная часть Rs называется поверхностным
сопротивлением. При комнатной температуре, когда справедлив закон Ома,
s. = («-DVlr (зл-31)
и
6= } + % . (3.1.32)
y/ZUl/jLoCr
При этом Rs = —Xs = y4j/2o/2cr. В асимптотической области
аномального скин-эффекта Xs = —jR5V3, и при зеркальной
поверхности сверхпроводника
Z, = ^(l-i>/3), (3.1.33)
а при диффузном отражении
Ze = ib(l-tV3), (3.1.34)
где R\ = (/20сЛол/3/(1б7гсг)) , /о — средняя длина пробега
электронов.
В основе микроскопической теории сверхпроводимости при
исследовании высокочастотных свойств сверхпроводников лежит
двухжидкостная модель Гортера-Казимира. Согласно ей
предполагается, что при температуре ниже критической одна часть
электронов находится в сверхпроводящем состоянии, а другая в
нормальном. Коротко результаты микроскопической теории
сверхпроводимости сводятся к следующему. При температурах, отличающихся
от нуля, поверхностный импеданс сильно изменяется с
изменением параметров кшу к^Т и А. Возможны следующие основные
варианты:
1. Если Пи < Д(0), то при hu> < квТ <С Д
(3.1.35)

176 Гл. 3. Исследование полей в волноводных структурах...
а при huj < Д <С квТ
2 Ri \i
l
I tko J 2 tko /2Д
1гДЛ(Д/2*вТ) i 37гЛвТ8Ь(Д/ЛвГ) П УУ +
+
1 tko / Д Л
ЗтгйвТ \кьт)~ ~"2квТ
— г
-щц.
(3.1.36)
где /о и JFCq — функции Бесселя мнимого аргумента,
оо
PM-J
ch хх ~ ch x
dx
(cYixx + l)(chx + 1) x2 - 1
Г e xln3.56x при X ^ 1>
= < 7X
l 2тг2
C(3)
при x < i;
С — функция Римана.
2. Если tko и Д(0), то при квТ <&tko&Avitko< 2A
2Д,-
/Lcj
_ Г у/пквЩ1/Пш + 1/2Д) A/fcRr _
2AEc(tko/2A) \ ZEe{tko/2A)
1 +
у/*квТ(1/?ю> - 1/2А) А/кяТ
3Ee{tko/2A)
(3.1.37)
где 2?е — полный эллиптический интеграл.
3. Если tko » Д(0), то
Ri
Hi)
2 г
з1п
-iRiVSi 1 +
VW
Д(0) + 3 уД
2 Шо_ 1.
3 П Д(0) + 3 + 3v/3 J
it
(3.1.38)
Последнее выражение в пределе, на больших частотах, совпадает
с формулами (3.1.33), (3.1.34) для аномального скин-эффекта.
Так как сверхпроводящий импеданс имеет более сложную, чем
\/ш, зависимость от частоты, то и зависимости коэффициентов
затухания от величины v будут иметь другой вид, причем разный

3.1. Расчет электромагнитных полей в регулярных волноводах... 177
на разных частотах. Наибольший интерес представляют две
области: аномального скин-эффекта и область fiw «С k^T «С А. Первая
соответствует поведению обычных волноводов на низких
температурах, а вторая наиболее характерна для сверхпроводящих
волноводов.
Согласно (3.1.34), (3.1.38), в области аномального скин-эффекта
°е - й- (зхз9)
я [Ci(z/2-l)+C2l
В этой области aE = a^in при и = у/Ъ/2 « 1.58. Минимум
затухания для Я-волн имеет место при
4G*!WG^)'*№> (ЗХ41)
В области аномального скин-эффекта минимальное затухание для
обоих типов волн наблюдается при меньших частотах, чем для
обычных волноводов тех же размеров.
В области fouj <С &в «^ А Для поверхностного импеданса
справедлива формула
„2 (Пш\А/ъ 2Д , 4fcBT / Д\ ,„ , ,оч
^=Д'зЫ ^Т1пГ78^еХр(-Ы (ЗЛ'42)
^«-^, (3.1.43)
у/и2 - 1
Из (3.1.43) следует, что волны £7-типа имеют минимальный
коэффициент затухания при и — ^/3/2 « 1.22, а волны Я-типа —
при

178 Гл. 3. Исследование полей в волноводных структурах...
3.1.4. Расчет полей внутри волноводов методом R-функций. Вне
зависимости от того, рассматривается идеальный волновод или
волновод с потерями, необходимо сначала решить задачу на
собственные значения с однородными краевыми условиями Дирихле
(3.1.4) или Неймана (3.1.5). В литературе чаще всего
рассматриваются случаи регулярных волноводов, границы поперечных
сечений которых образованы координатными линиями одной из
ортогональных систем, т.е. когда возможно использование
метода разделения переменных применительно к задаче Дирихле
или Неймана для уравнения Лапласа. Для поперечного сечения
произвольной геометрии возможно лишь численное решение
поставленной задачи. Метод R-функций является одним из наиболее
удобных и эффективных численно-аналитических методов
решения такого класса внутренних задач электродинамики [29-37].
Пусть конечная область ft С R2 имеет кусочно-гладкую
границу c?ft. Численное решение основано на методе Ритца
минимизации функционала
/ uAudxdy / \Vu\2dxdy
J = -^ = *—f = 6 (3.1.46)
J u dxdy u dxdy
Q n
Неизвестное решение f{x,y) задачи Дирихле должно принадле-
о
жать пространству W\ (ft), а задачи Неймана — классу W\i$i) и
удовлетворять условию
fudxdy = 0. (3.1.47)
п
Согласно методу Ритца, решение ищется в виде ряда с
неопределенными коэффициентами
N
/(ж, у) = Y^ CkVkfa у), (3.1.48)
fc=0
где {<Pk}%=i — базисные (координатные) функции. Подставив
(3.1.48) в (3.1.46), после дифференцирования по q и
приравнивания производных к нулю, получим следующую систему линейных
алгебраических уравнений относительно неизвестных
коэффициентов разложения:
АС = ZBC,
(3.1.49)

3.1. Расчет электромагнитных полей в регулярных волноводах... 179
где
/ (V<pQ,V<po) (V^hV^i)
(V^o.V^Af) \
(V</?i,V</w)
В
V (Vy?w,Vy>0) (V</JAr,V^i) ... (V^jv,V^at) /
/ (vo,¥>o) (vo,Vi) ••
(</>ъЫ (VbVi) ••
V (<PN,<Po) {<PN,<pl) ■■
{<Po,<Pff) \
{4>u4>n)
(<Pn,<Pn) J
' C =
/ Co \
Cl
\ слг /
Здесь (•,•) = {•j-)l2(Q)' В случае ортонормированного базиса
матрица В будет единичной. Для решения обобщенной
алгебраической проблемы собственных значений (3.1.49) разработаны
многочисленные эффективные алгоритмы [38-41].
Приближенные собственные значения оператора Лапласа
удовлетворяют цепочке неравенств
еГ^^и..
(3.1.50)
и являются приближениями к точным значениям сверху, т. е.
(3.1.51)
#°>&,
7V->oo
Чем больше номер &, тем хуже приближение. Соответствующие
линейно независимые собственные функции имеют вид
и.
W -
N
(Р)
О, AT.
(3.1.52)
Базисные функции должны удовлетворять следующим
требованиям [42-44]:
о
1. Линейная независимость и полнота в пространствах W\ (ft)
и W^ifl), соответственно, при N -> ос.
2. Удовлетворение главным граничным условиям в случае
краевой задачи Дирихле и условию (3.1.47) для задачи Неймана.
3. Минимизация ошибки аппроксимации при заданном N.
4. Устойчивость решения алгебраической системы Ритца
(3.1.49). При решении задачи Неймана не обязательно заботиться
об удовлетворении краевым условиям, однако, если базисные
функции им удовлетворяют, то процедура Ритца сходится значительно
быстрее. В случае области произвольной формы сложно подобрать

180 Гл. 3. Исследование полей в волноводных структурах...
удовлетворяющие граничным условиям базисные функции.
Ситуация упрощается, если использовать локальные функции
(конечные элементы) и соответствующим образом аппроксимировать
границу ломаными. Это требует, однако, цривлечения достаточно
большого числа базисных функций в отличие от случая функций с
бесконечным носителем. Эффективное решение поставленной
задачи возможно при использовании метода R-функций, описанного
в главе 1.
Рассмотрим вопрос о погрешности численного решения,
получаемого методом Ритца. Оценка верхней границы погрешности
для собственного значения выполняется на основе соотношений
(3.1.51). Значительно сложнее задача об определении
приближенного значения с недостатком. Известен ряд частных приемов для
решения этой задачи [42]: метод функций Грина, метод
«промежуточных операторов» Вайнштейна, метод Фикера и др. Несмотря на
то, что эти методы дают достаточно точные оценки, они, как
правило, очень трудоемки. Рассмотрим три более простых подхода
нахождения двусторонних оценок собственных чисел применительно
к процессу Ритца для задачи Дирихле. Сформулируем эти подходы
на примере первого (наименьшего) собственного числа.
1. Метод мажорирующих областей. Впишем целиком
сложную область О, в прямоугольник G со сторонами а и Ь.
Соответствующие собственные значения
0 < к0 < к\ ^ ... < кк ^ ...
оператора Лапласа в области G с граничными условиями Дирихле
на ее границе не превышают соответствующих собственных
значений (3.1.50), т.е. к^ ^ Afc. Поскольку для прямоугольной области
Кк = Кт,п={ — ) + {-у) , 771=1,2,..., 71=1,2,...,
(3.1.53)
то оценка собственных чисел «снизу» не представляет сложности,
в частности,
fc**3 (? + £)• (зл-54)
Кроме прямоугольника можно выбрать другую каноническую
область, собственные числа которой известны, например, круг.
В общем случае с помощью данного метода можно получить лишь
весьма грубые оценки [45].
2. Метод И.Ю.Харрик [42]. Пусть уравнение границы дП
имеет вид ш(х,у) = 0, где функция ш удовлетворяет условиям
теоремы Л. В. Канторовича (вместо бесконечной
дифференцируемое™ достаточно, чтобы она имела довольно много непрерывных

3.1. Расчет электромагнитных полей в регулярных волноводах... 181
производных). Предположим также, что первая собственная
функция щ имеет в Q k непрерывных производных, а ее приближе-
ние щ имеет вид произведения ш на полином степени ^ m по
каждой из переменных. Тогда имеет место неравенство
mK 1
где ош — положительная функция, монотонно стремящаяся к
нулю при га —> оо. Для широкого класса областей функция ш
может быть построена с помощью подходящих R-операций. К
сожалению, помимо слишком строгих ограничений на гладкость dQ,
и дифференциальные свойства функций, неудобство неравенств
(3.1.55) заключается также в трудности оценки величины am.
3. Метод Темпля [45,46]. Пусть не равная тождественно нулю
функция / принадлежит пространству Н(0.) дважды непрерывно
дифференцируемых в Q функций, удовлетворяющих заданным
однородным краевым условиям первого рода на дП. В качестве
такой функции можно, в частности, взять достаточно гладкую
функцию границы и>(х, у), метод построения которой был описан выше.
Определим коэффициенты Шварца -
а0 = (Д/,Д/), МД/,/), «2 = (/,/)
и частные Рэлея-Шварца
ОГО Oil
XI = — , Х2 = —,
<*1 OL2
для которых верно соотношение
&<Х2<Х1- (3.1.56)
Допустим, что удалось найти такую нижнюю оценку I для
второго собственного значения £i, что
£о<Х2^Х1 </<&■
Тогда
7~^Х2<&<Х2. (3.1.57)
1-Х2
Условие xi < I является излишним, и для выполнения (3.1.57)
достаточно выполнения лишь Х2 < I, так как £о > 0. Нижняя
оценка при этом, однако, будет слишком грубой.
Другой подход к оценкам собственных чисел и собственных
функций описан в [47]. В [48] представлены аналогичные оценки
для случая использования структурного метода R-функций в
комбинации с методом Ритца. Приведем кратко основные результаты,
полученные в этой области.

182 Гл. 3. Исследование полей в волноводных структурах...
Пусть конечная область Q имеет кусочно-гладкую границу сЮ,
описываемую уравнением и>(х,у) = 0, а функция ш(х,у) такова,
о о
что ш еW* (Q) VI ^ р < сю и ш €W$ (SI) \fq > 2. Функция ш любое
число раз дифференцируема внутри fi и на гладких участках сЮ,
а в окрестности каждой угловой точки Pi = (#г>Уг) ^(P{) —
м
= о(п), где гг = yjxj + yl Пусть 3fl(j0fii, где ^ е С^*2,
&о = 7г/шах{0г}, a 0i есть угол между касательными к ЭС1{ и
г
9Пг+1 в угловой точке Р{ Е c?fitp|dfij+b отсчитываемый внутри
области против часовой стрелки. Тогда решения краевой задачи
для уравнения Гельмгольца являются элементами а при
&о ^ I Оо + 2 и 1 < р < 2/(1 — &о) — элементами
пространства Wp(Q). При этом для решения в окрестности каждой угловой
точки Pi имеют место представления вида (1.2.42)
и (1.2.43)
U = Ar{' Sill— +д(п,7г)
u = А0 + AirJ/9i cos -^ + ff(гь 7»)
для решений задач Дирихле и Неймана соответственно. Здесь Г{ и
7г = arctg (yi/xi) — переменные местной полярной системы
координат с центром в Pi и главной осью, направленной по касательной
к dQi, а 5(г^,7г) — некоторые функции, достаточно гладкие
внутри О, и на гладких участках сЮ, и такие, что #(rj, 7г) = °(rf г )•
Пусть 5 = {£г}£^о есть спектР задачи Дирихле или Неймана,
a U = {щ}^о — собственное подпространство оператора Лапласа.
Предположим, что точные решения и краевых задач Дирихле и
Неймана принадлежат гильбертову пространству #(fi), а их
приближения wN\ найденные методом Ритца в комбинации с методом
R-функций, — (N + 1)-мерному подпространству Нм(С1) С H(Q).
Множество найденных при этом приближенных собственных
чисел обозначим Н(дг).
Если элементы Hjsf(ft) удовлетворяют граничным условиям
задачи Дирихле, то для всякого £ Е Б найдется такое £(N' Е Б^м\
что при достаточно большом N
\Z-ZlN)\<Ci\\QNufmy (3-L58)
||«W - QuW\\H{a) < C2\\QN4m), (3.1.59)

3.1. Расчет электромагнитных полей в регулярных волноводах... 183
где ||и(лг)||я(п) = |Н|Я(П = 1, Q — ортопроектор в #, QN —
ортопроектор в Н\Нм, и
11<М1л<п> = fJ?<HN II/ - /(Л°11я(пг (3-1-60)
То есть f(N) — элемент наилучшего приближения / в метрике
пространства Н(0,). Согласно (3.1.60), если для некоторых f(N) Е
Е #лг и и е U \\и - /^||я < ем, то тем более ||<Злги||я,Пч ^ бгдг,
что дает с помощью (3.1.58), (3.1.59) асимптотические оценки
погрешности метода Ритца.
Для всякого решения и задачи Дирихле существует такое
выражение
N
'(Л°=-£></>ь (3.1.61)
fc=0
UK ' = 04
где и удовлетворяет сформулированным выше требованиям, а
N
/J ckФк — полином от декартовых переменных степени не выше га
к=0
по каждой из них, что
ll«-«(iV)L(n)<^"fc0+£. (з-1-62)
где е > 0 — сколь угодно малое число. При #о ^ я неравенство
(3.1.62) выполняется с ко = 1-
Порядок сходимости метода Ритца существенно усиливается,
если строить приближения с таким же характером поведения в
окрестности угловых точек, как и у искомых решений.
Обозначим через rj(Ri,R2,x) функцию класса Сп[0,оо),
удовлетворяющую условию
Г 1, если 0 < х ^ Дь
r](R1,R2,x) = \ ' ' 3.1.63
[ 0, если i?2 ^ х < оо.
Таким требованиям (при п = оо) удовлетворяет, например,
функция
( 1, если 0 ^ х < i?i,
r)(Ri,R2,x) = <
/ ж - Й1 \
up I _ 1, если i?i < ж < Я2,
^ 0, если R2 ^ х < оо.

184 Гл. 3. Исследование полей в волноводных структурах...
Здесь пр(х) — бесконечно дифференцируемая атомарная
функция, рассмотренная в § 1.3. Тогда выражения
N М
U(N+M) =ш^скфк + £кАг*/в'г,(11и,R2i,n)sin^ (3.1.64)
fc=0 i=l
для задачи Дирихле и
N Mr
u(n+m) = £Скфк + £K. L + 6ur*/* cos *£
A:=0 г=1 L
ft
, *n(Rii,R2i,ri)
Vi J
(3.1.65)
для задачи Неймана, где /«с^ принимает одно из значений 0 или 1,
при произвольных ftj, fto> Ьн и К{ — 1 имеют в окрестности угловой
точки Р{ такой же характер поведения, как и искомые решения.
Существуют такие разложения вида (3.1.64), (3.1.65), что
||« - и(ЛМ"М)||Я(п) ^ Cm-*1+*, (3.1.66)
где к\ =min{A;o + 1, min {п/0{}}.
г:/с;=0
Как видно из сравнения (3.1.66) и (3.1.62), учет особенностей
с помощью выражений вида (3.1.64), (3.1.65) может увеличить
порядок приближения к искомому решению в метрике H(Q) на
единицу относительно степени га. Неравенства (3.1.62), (3.1.66)
посредством (3.1.59), (3.1.60) дают оценки порядка приближения
к искомому собственному значению и собственной функции.
Кроме того, установлена равномерная сходимость найденной методом
Ритца последовательности приближенных собственных функций
{^^}?/=о и доказано, что при достаточно больших N
\\u - uW ||c(n) ^ Cm-k>+£Vh^i, (3.1.67)
где &2 = min{l,A;o}.
Оценки вида (3.1.62), (3.1.66), (3.1.67) справедливы как для
задачи Дирихле, так и для задачи Неймана при использовании
вместо (3.1.61) разложения
N
"(ЛГ) = 5>^Л, (3.1.68)
А:=0
а вместо (3.1.62) — выражения (3.1.63). Если искать решение
задачи Неймана в виде структуры метода R-функций,
удовлетворяющей краевым условиям
N
^) = £С*-"^), (3.1.69)
А:=0

3.1. Расчет электромагнитных полей в регулярных волноводах... 185
то соотношения (3.1.58)—(3.1.60), (3.1.62) применимы, если
функция си имеет в области Q единственную точку экстремума, а
система функций {фь — ^D^aJj^o полна в H(Q,).
В ходе осуществления процесса Ритца вычисление элементов
матриц А и В в (3.1.49) проводится приближенно с помощью
методов численного интегрирования. В результате вместо (3.1.49)
имеем систему
(А + ТА)С = £(В + ГВ)С, (3.1.70)
где Гд, Г в — ограниченные самосопряженные операторы,
действующие в гильбертовом пространстве Нм(&)- Необходимым
и достаточным условием устойчивости процесса вычислений
первого собственного числа и соответствующей ему собственной
функции задачи Дирихле по методу Ритца является требование, чтобы
система координатных функций была сильно минимальной [43]
в H(Q,). Для этого достаточно в качестве {</?fc}fcLo выбрать
систему функций, полную в H(Q) и ортонормированную в 1>2(^о)? где
Г2о — любая область, вписанная в Q. При выборе {</?fc}£Lo в таком
виде сильно минимальной в H(Q) будет и система {^^}^=о-
Важным вопросом численной реализации является получение
апостериорных оценок погрешности,' т. е. оценок погрешности
построенного приближенного решения. Наиболее простую из таких
оценок дает неравенство
|e-^|<||A^ + e(N)^)||Mn). (3.1.71)
Пример 3.1. Уравнение (ненормализованное) границы
крестообразной области Q (см. Приложение 8, табл. П.8.1, № 18),
образованной наложением прямоугольника с длинами сторон 2а, 26
на свой образ, полученный поворотом на 90° относительно начала
координат, имеет вид
ш(х, у) = [(а2 - х2) Ла (б2 - у2)] VQ [(Ь2 - х2) Ла (а2 - у2)}.
На рис. 3.3 приведены линии уровня функции ш (при a = 0) (а)
и собственной функции (б), соответствующей наименьшему
собственному числу задачи Дирихле для значений a — 1, Ь = 5
(волна jEii). Вычисление компонент матриц системы Ритца (3.1.49)
осуществлялось численно с помощью двумерной квадратурной
формулы трапеций на равномерной сетке 100 х 100; вычисление
дифференциальных операторов проводилось с помощью
конечно-разностных аппроксимаций второго порядка точности с шагами Ах =
= 0.0001, Ау = 0.0001. Использовались многочлены Лежандра
четной степени I/2fc(2£)L2n(2y) (0 < А; + п ^ М), орнонормиро-
ванные в прямоугольнике \х\ < Ь, \у\ ^ Ь. Общее количество
базисных функций находится по формуле N = 1 + (М2 + ЗМ)/2. Для

186 Гл. 3. Исследование полей в волноводных структурах...
рассматриваемой области имеем максимальный входящий угол
тах#; = 37г/2, ко = 2/3. Следовательно, решения задачи Дирихле
Рис. 3.3. Линии уровня функции ш (при а = 0) (а) и собственной функции (б),
соответствующей наименьшему собственному числу задачи Дирихле в
крестообразной области
о
принадлежат классу W\ (fi), и с учетом (3.1.58), (3.1.62)
выполняется двусторонняя оценка |£о — £о I ^ СМ2е~~4/3. Таким
образом, скорость сходимости наименьшего приближенного по Ритцу
собственного значения к точному имеет порядок
В табл. 3.1 приведены верхние приближения по Ритцу yQ '
к квадратному корню из наименьшего собственного числа \/£о> а
также нижние апостериорные оценки ^/|о, полученные согласно
апостериорной оценке (3.1.71), для различных значений М.
Следует отметить, что нижняя оценка по методу мажорирующих
областей (\/^о Для квадратной области с длиной стороны 2а = 2)
слишком груба и приближенно равна 2.221. Из табл. 3.1 видно, что в
то время как верхняя по Ритцу оценка стабилизируется с
точностью до третьего знака при М ^ 4, величина нижней
апостериорной оценки по-прежнему растет, что говорит о повышении
точности аппроксимации собственной функции, соответствующей
собственному значению £о- В табл. 3.2 показаны аналогичные
оценки для различных соотношений между геометрическими
параметрами крестообразной области (а = 1, М — 4).
Таблица 3.1. Верхние по Ритцу и нижние апостериорные оценки
для \/£о при различных М
м
\^
>/2°
0
3.170
2.010
1
2.757
2.444
2
2.745
2.512
3
2.742
2.494
4
2.740
2.537
5
2.740
2.639
6
2.740
2.710

3.1. Расчет электромагнитных полей в регулярных волноводах... 187
Таблица 3.2. Верхние по Ритцу и нижние апостериорные оценки
для v^o при различных b/a
b/a
v*r
у/Б.
0.4
3.283
2.821
0.5
2.740
2.498
0.6
2.445
2.195
0.7
2.299
2.159
0.8
2.238
2.153
0.9
2.223
2.195
1
2.221
2.218
Пример 3.2. Проведем расчет собственных колебаний #-об-
разного волновода (см. Приложение 8, табл. П.8.1, № 16) с
параметрами / = 11.5мм, h = 5мм, a = 4.6мм, р = 1.81мм (рис. 3.4).
Возбуждаемые типы волн — Ню (основное колебание), Н20 и Е\\.
Длина волны Л = 3 см.
Нормализованное уравнение области, изображенной на рис. 3.4,
имеет вид
(l2-x2 h2-v2\ ( a2-x2 o2-?/2\
<*.»> = (— АО -£-) Ло (--£- V. >-^-) ,
а его линии уровня (в области положительных значений)
приведены на рис. 3.5. Применим структурный метод R-функций в
комбинации с методом Ритца-Галеркина. Для колебаний Я-типа
используется структура Неймана, Ё-типа — структура Дирихле.
Рис. 3.4. Поперечное сечение Н-образного волновода
Рис. 3.5. Линии уровня функции if-образной области
В качестве базисных функций были выбраны тригонометрические
многочлены и полиномы Лежандра. Интегрирование
осуществлялось с помощью двумерной формулы Симпсона на сетке 100 х 50;
вычисление дифференциальных операторов производилось с
помощью конечно-разностных аппроксимаций второго порядка
точности с шагами Ах = 0.0001/, Ay = O.OOOl/i.
В табл. 3.3, 3.4 М — максимальное значение индексов га и п,
количество базисных функций N = 1 + (М2 + ЗМ)/2. Графики
мембранных функций (потенциалов) #ю- и Ец-колебаний
приведены на рис. 3.6.

188 Гл. 3. Исследование полей в волноводных структурах...
Таблица 3.3. Критические длины волн ТЕю и ТЕ'го-типа в Н-образном
волноводе
Базисные функции <fk(x,y)
С°Ч 21 (« + 0jc»^-5r(, + fc)J
Lm+1 (f)La" (?)
Z-2m+l (J) 1-2» ( jf)
Критические длины волн
Af0\
Ы,мм
М = 1
(iV = 3)
63.77
19.74
47.29
16.32
65.54
М = 2
(iV = 6)
72.48
19.80
65.83
16.82
71.79
М = 3 1
(N = 10)
71.73
20.23
65.98
19.03
71.40
Примечание: Согласно экспериментальным данным А (о = 70.3, А20 = 22.7
Таблица 3.4. Критическая длина волны ТНц -типа в if-образном волноводе
Базисные функции v?fc(x, у)
. /w(2m + l), .\ . /тг(2п + 1), Л
sin ^ ^ (x + Oj sm ^ 2fe (y + ft)J
z-2m (!)L2" (?)
Критическая длина волны
Af1} мм
М = 1
(iV = 3)
11.18
10.99
М = 2
(iV = 6)
11.42
11.84
М = 3
(iV = 10)
11.48
11.87
Относительная погрешность измерений е при использовании
тригонометрического базиса с 10 функциями не превышает 2%
Рис. 3.6. Колебания ТЕю- (а) и ТНц- (6) типа в Я-образном волноводе
для A[q и 10% для Аэд. Для сравнения, при использовании
метода частичных областей с 50-ю базисными тригонометрическими

3.1. Расчет электромагнитных полей в регулярных волноводах... 189
функциями и 5-ю сшивающими функциями получаются A{q = 71.4
{е = 1.6%), А", = 23.4 (е = 3%) [9].
Пример 3.3. Рассмотрим задачу нахождения .Е-волн в
регулярном волноводе с поперечным сечением в виде предфрактала
острова Коха.
Как известно, такая задача сводится к решению уравнения
Гельмгольца
Au + g2u = 0
с краевым условием Дирихле
где и = Ez — продольная компонента электрического поля, а д —
поперечное волновое число.
Воспользуемся структурой Дирихле на основе многочленов Ле-
жандра
Lk(ij)fay) = Li(ax)Lj(ay), i,j = 0,М,
(симметрия не учитывается) и методом Бубнова-Галеркина. На
рис. 3.7 показаны линии уровня первых шести «мембранных функ-
Рис. 3.7. Линии уровня первых шести собственных функции для предфрактала
острова Коха 3-го порядка

190 Гл. 3. Исследование полей в волноводных структурах...
ций» м, а в табл. 3.5 приведены собственные числа, полученные
при следующих параметрах: порядок предфрактала К ~ 3;
вертикальный размер h — 10 мм; горизонтальный размер I = 2h/y/3 ~
« 12 мм; сетка интегрирования 100 х 85 узлов; М = 3.
Функция области строилась с помощью R-операций систем 9Яо и £К0 .
В качестве грубой оценки, для сравнения в первой и последней
строках табл. 3.5 приведены собственные значения для
мажорирующих круговых областей радиусами R = h/y/3nr = h/3.
Интересно отметить практическое вырождение собственных значений,
соответствующих парам собственных функций рис. 3.7#, в и г, д.
Данный эффект наблюдается при различных параметрах
фрактал ьности К.
Таблица 3.5. Собственные числа острова Коха и
мажорирующих круговых областей
V
gR
vR/r
2.405
3.760
4.166
3.832
5.984
6.637
5.135
5.987
8.894
5.520
9.390
9.561
7.016
9.719
12.152
8.417
10.573
14.579
Решение краевых задач в областях фрактальной геометрии с
краевыми условиями дифференциального типа сопряжено с
серьезными трудностями, вызванными тем, что невозможно
определить в классическом смысле понятия касательной и нормали к
границе. В этом случае возможны следующие подходы:
1) применение аппарата дробного интегродифференцирова-
ния [49];
2) не требовать от искомого решения априорного
удовлетворения естественным краевым условиям;
3) применение структур решения с использованием операторов
разностного типа (см. главу 1), не содержащих в явном виде
выражения для производных.
В следующих примерах рассмотрено применение сингулярных
R-операций в задачах расчета собственных колебаний в некоторых
волноводах с входящими углами.
Пример 3.4. Рассмотрим расчет ТЕ- и ТМ-волн в
регулярном волноводе секториального поперечного сечения радиуса В. с
центральным углом в (п ^ в ^ 27г) (рис. 3.8).
Стенки волновода считаем идеально проводящими. Следует
решить задачу на собственные значения для уравнения Лапласа
относительно неизвестной функции и с краевыми условиями
Дирихле для волн 1?-типа (и = EZ,HZ = 0) и Неймана для волн
Я-типа (и = Hz, Ez = 0). Решения с точностью до постоянного
множителя выражаются через функции Бесселя дробного индекса:
Unk = Jeil (vnk^J sin y^, (3.1.72)

3.1. Расчет электромагнитных полей в регулярных волноводах... 191
xnk = -jj£, J*n=0, п = 1,2,..., Л = 0,1,.
(для волн .Е-типа);
/ г\ тгп
wnfc = J^l у^пк-д) cos —у>, ti0o = 1,
Xnb = Jp> J™{»nk) = 0, n,A = 0,l,...
(3.1.73)
(3.1.74)
(3.1.75)
(для волн Я-типа). Так как при малых значениях аргумента для
функций Бесселя имеет место оценка Jp(x) ~ xp', то продольные
компоненты поля Ez и Hz, соответственно, имеют особенность
вида г*/0 вблизи ребра. Справедливы оценки J5r, Нт ~ г*/в, Еп,
Рис. 3.8. Секториальный волновод
Нп ~ г*1е~1, где ЕТ,НТ — касательные, а Еп, Нп — нормальные к
ребру составляющие электромагнитного поля. Для электрических
типов волн значение индекса п = 0 в (3.1.73) лишено смысла, так
как при этом unk = 0. Для магнитных волн допустимо п = 0 в
(3.1.75). При этом поле не имеет сингулярной особенности вблизи
ребра. При п = 1 поля волн магнитного и электрического типов
имеют одинаковые особенности.
Рассмотрим численное решение задачи методом R-функций.
Уравнение границы области запишем в виде
ш = ил А (ш2 V из) = 0, (3.1.76)
где Л, V — символы R-операций, а
Д2-
ш =
■г
2Я
Ы2 = У, Шз = X SU10 — у COS в.

192 Гл. 3. Исследование полей в волноводных структурах...
Для учета особенности в (3.1.76) необходимо применить
сингулярную (для структуры Дирихле) или локально-сингулярную (для
структуры Неймана) R-дизъюнкции. Будем использовать
структуры решения с учетом симметрии. Так, при нахождении
основных мод Е- и ^-колебаний следует брать компоненты полиномов
в виде
(■
в . в
cos- + у sm -
для волн £?-типа и
)'■(-
в
в
sin--у cos-
29
в . 9
х cos - + у sin -
)'■(■
resin- -ycos-J
p + g = 0,l,...,M
p + g = 0,l,...,M
для волн i^-типа.
Зафиксируем следующие значения физических параметров:
R = 1, в = 57г/4. Решение будем искать методом Бубнова-Галерки-
на, сводя краевую задачу к алгебраической проблеме на
собственные значения. Элементы матриц системы вычислим с помощью
простейшей двумерной формулы прямоугольников на равномерной
прямоугольной сетке 101 х 101 узлов. В качестве параметров
локальной R-дизъюнкции *Ra возьмем m = —1/5, a = 0,
М<)
ехр [/?*/(/»-1)}, |«|<1/А
0, |*| > 1//3,
где /3 = 20. В (3.1.76) используем R-конъюнкцию системы 9t(j.
На рис. 3.9 приведены точные и приближенные линии уровня
основных мод Е- и //-колебаний, а также соответствующие
собственные числа, найденные при М = 3 (10 базисных функций).
v10 «3.561
v10 «3.581
/г]0 « 1.581
/"ю
« 1.598
Рис. 3.9. Точные (слева) и приближенные (справа) решения задачи на
собственные значения Дирихле (а, б) и Неймана (в, г)
Погрешности вычисленных собственных значений составляют
0.5% для .Ею-колебания и 1.1% для волны Ню.

3.1. Расчет электромагнитных полей в регулярных волноводах... 193
Пример 3.5. Решим задачу расчета основной формы
^-колебаний в волноводе L-образного поперечного сечения (рис. 3.10).
Геометрия области описывается уравнением
{ш\ Л ш2) Л (и3 V и;4), (3.1.77)
ш
где
a2-{x-a + c)2 b2-{y-b + d)2
Ш\ = — , U)2 =
2a
ш3 =
С — Ж, (jl>4 = d— у.
2b
2b
у *
-flf
Для представления конъюнкций в (3.1.77) воспользуемся
основной системой R-операций fHg, а дизъюнкцию выразим с помощью
систем £Hq или 9Я™ с параметром
m = -1/3 (в = Зтг/2). Картины
линий уровня для параметров 2а —
= 26 = 1, 2с = 2d = 0.5
представлены на рис. 3.11. Рис. 3.11а
соответствует использованию
обычной R-дизъюнкции, а рис. 3.116* —
сингулярной. В качестве базисных <■
использовались многочлены
{х + Уу.{х-у)2о,
р + 9 = 0,1,...,М,
О
2а-
\с
Рис. 3.10. Поперечное сечение L-
образного волновода
аМ = 3. Вычисленные
собственные числа отличаются от значения,
полученного в [50] (А = 38.672 ) на 0.004 и 0.01%. Отчетливо видно
различие в характере картины поля в окрестности особой точки
(порядок убывания г и г2/3 соответственно).
Анализ результатов обоих примеров позволяет сделать
следующий вывод: использование обычных R-дизъюнкций дает
несколько более точные результаты во всей области в целом, а также
Я = 38.838
Я = 39.113
Рис. 3.11. Картины линий уровня задачи Дирихле в L-образной области,
полученные с использованием обычной (а) и сингулярной (6) R-дизъюнкций
7—2176

194 Гл. 3. Исследование полей в волноводных структурах...
собственные числа более близкие к точному; сингулярные R-onepa-
ции, незначительно проигрывая в точности обычным во всей
области, дают существенно более адекватную картину полей в
окрестности входящего угла. Поэтому при расчете электродинамических
характеристик волноводов сложной формы предпочтительнее
использовать последний подход.
Следующие два примера иллюстрируют применение метода
аппроксимации функции области финитными функциями в
сочетании с методом R-функций (см. § 1.3).
Пример 3.6. Рассмотрим задачу Дирихле (колебания S-типа)
для однородного уравнения Гельмгольца в эллиптической области
(см. Приложение 8, табл. П.8.1, № 3). Уравнение границы имеет
вид
2 2
/ \ 1 х у
разбиение
Х{ = —а + ihx1 г = 0,1,.
Уз = -b + jhy, г = 0,1,.
a = 1,
• • j «** х)
■■,Ny,
b = 0.6.
, 2а
h 2b
В качестве базисных функций выберем билинейные сплайны
Шенберга
<Pkfav) =ф(1с)(х)'ф(к){у),
-1 <ж<0,
0^х< 1,
\х\ > 1,
/*(*)
Ny + 1
, v{k) = к - {Ny + 1)ц(к), k = 0,l,...,N,
N = (Nx + l){Ny + l)-l.
Модифицированную структуру решения запишем в виде
N N
U(x,y) = и)(х,у)'*}Гск<Рк:(х,у), w{x,y) = ^Tdk(pk{x,y),
к=0 к=0

3.1. Расчет электромагнитных полей в регулярных волноводах... 195
а коэффициенты dk найдем из условий интерполяции ш(х,у) в
узлах (x^yj)
w{xi,yj)=uj(xi,yj), 1 = 0,1,...,^, j = 0,1,... ,ЛГУ,
dk=u{xfl{k),yl/{k)), Л = 0,1,...,ЛГ.
Необходимо далее вычислить одномерные интегралы (1.3.41).
Обозначим
min(t,j,&,J)+l
J(iJ,kJ) = / J3i(a: — t)Bi(z - j)Bi{x - JfcJBifc - l)dx,
max(i,j,A:,/)-l
G{iJ,k,l)
mm(i,jtk,l)+l
f Bx{x- VfB^x - j)j^{Bx(x - k)Bx{x - l))dx
ma.x(i,j,k,l)—1
Тогда
r(i
(2) _
Ji,j,h,i = hxJ(lH,Mj,Mfc,M/)> ^,j,fc,< = hyJ(vi> Щ, "k, vi),
Gi%,i = f^G(Vi, ft, lik, in), Gflkl = £-G(i/i, i/,-, I/*, ^)-
rf2.). . = -L<
С помощью интегрирования по частям преобразуем
подынтегральное выражение для G(i,j,k,l):
mm(i,j,k,l)+l
G(i,j,k,l) = - f £(£!(*-0£i(*-J)) x
max(t,j,fc,/)—1
d
x — (J5i(ic - k)B\(x — i))dx.
dx
Нетрудно видеть, что все возможные варианты исчерпываются
следующим набором интегралов (табл. 3.6):
Таблица 3.6.
7(0,0,0,0)
2/5
£(0,0,0,0)
-8/3
Значения интегралов J(i, j, fc,
.7(0,0,0,1)
1/20
СГ(0,0,0,1)
1/3
7(0,0,1,1)
1/30
G(0,0,1,1)
2/3
l)nG(i,j,k,l)
G(0,1,0,1)
-1/3

196 Гл. 3. Исследование полей в волноводных структурах...
Для большей наглядности выберем грубую сетку Nx = Ny =
= 10. На рис. 3.12а представлены линии уровня функции о>(ж,у),
а на рис. 3.125— ее приближения w(x,y). Погрешность прибли-
Рис. 3.12. Линии уровня функции области (а) и ее аппроксимации билинейными
сплайнами (б)
жения в равномерной метрике \\w — ь>\[сг§\/IMUfS) = ^-02. ^а
рис. 3.13 показана зависимость относительного уклонения функ-
Рис. 3.13. Относительное уклонение аппроксимации функции области от нуля
на границе
ции w(x,y) от нуля на границе области в зависимости от
координаты х.
Как известно [13], низшими типами 1?-волн для
эллиптического волновода являются четные волны сЕо\ и с£гц, выражения
для амплитуд z-составляющих которых имеют вид
cEZmn = AcRcm{£, сЧтп)Ст(Л, cQmn), ™. = 0, 1, 71=1.

3.1. Расчет электромагнитных полей в регулярных волноводах... 197
Здесь Ас — постоянная интегрирования, £, г/ — координаты
эллиптической системы координат, Cm(rj,cqmn) — четная
периодическая функция Матье целого порядка га, Rcm{€,cQmn) — четная
модифицированная функция Матье целого порядка га, cqmn — ее
n-й ненулевой параметрический корень, определяемый из
соотношения RcmiZoicQmn) = 0, где £о — координата,
соответствующая граничной поверхности эллиптического волновода. Для
вычисления параметрических корней использовались представления
функций Матье рядами функций Бесселя и были найдены
следующие волновые числа колебаний сЕо\ и сЕц: к(сЕо\) — 3.295,
к{сЕп) =4.580.
На рис. 3.14, 3.15 изображены картины линий уровня двух
низших типов JS-волн, полученные теоретически и методом R-функ-
ций в сочетании с аппроксимацией функции области
соответственно! СЕП
а б
Рис. 3.14. Линии уровня колебаний сЕо\ (а) и сЕц (6)
а б
Рис. 3.15. Линии уровня вычисленных приближенно колебаний cEoi (а) и
сЕц {б)
но. В последнем случае необходимое численное интегрирование
производилось методом Ромберга по формулам трапеций [51], а для

198 Гл. 3. Исследование полей в волноводных структурах...
решения обобщенной проблемы на собственные значения
использовался QZ-алгоритм [40]. Были получены следующие
приближенные значения волновых чисел: к(сЕо\) = 3.292, к(сЕц) = 4.540.
При этом уровень относительной погрешности \к — к\/к составляет
0.001 и 0.009 соответственно.
Пример 3.7. Рассмотрим аналогичную задачу в области с
более сложной геометрией (см. Приложение 8, табл. П.8.1, № 24),
представляющей собой эллипс с круговыми выемками на верхней
и нижней границах. Уравнение области, полученное методом R-
функций, имеет вид
u{x,y) =0Ji(x,y)AQ [w2(x,y) -и;з(я,у)],
u2(x, у) =г2 -х2 -(у- с)2, u3(x, у) = г2 - х2 - (у + с)2,
2 2
u>i(z,y) = 1-5--^-, fl = l, 6 = 0.6, с = 0.6, г = 0.3.
Применим тот же аппроксимативный аппарат, что и в
предыдущем примере. На рис. 3.16а, б представлены линии уровня
Рис. 3.16. Линии уровня функции области (а) и ее аппроксимации билинейными
сплайнами (б)
функции ш(х,у) и ее приближения w(x,y) соответственно, а на
рис. 3.17 — зависимость относительного уклонения функции
w(x, у) от нуля на границе области в зависимости от координаты х.
Погрешность приближения в равномерной метрике
w — ш
C(S) _
0.23.
М
C(S)

3.1. Расчет электромагнитных полей в регулярных волноводах... 199
Как хорошо видно из рис. 3.17, относительно высокий уровень
погрешности приближения вызван тем, что уже первая производная
0.05 г
01
-ОН
-1 -0.8 -6.6 -6.4 -6.2 0 02 04 06 08 1
-a Xi a
Рис. 3.17. Относительное уклонение аппроксимации функции области от нуля
на границе
функции ш(х,у) терпит разрыв в точках границы,
соответствующих координатам х = ±г.
Ниже приведены волновые числа колебаний сЕо\ и СЕ\\, най*
денные традиционным методом R-функций (A;rfm) и в сочетании
с аппроксимацией функции области (к):
kRFu(cEoi) = 4.495, kRFM{cEn) = 4.963,
k(cE0i)= 4.334, k{cEn)= 4.913.
Несмотря на высокий уровень погрешности приближения
функции области о>(ж,2/), величина относительной погрешности
I&rfm ~ &I/&RFM составляет 0.036 и 0.01 соответственно. Для
выбранной сетки (Nx = Ny = 10) количество приближенно
вычисляемых кратных интегралов для нахождения компонент каждой
из матриц алгебраических систем (1.3.31), (1.3.36) составляет 465
и 286 соответственно (при решении не учитывалась симметрия
области), что доставляет выигрыш в быстродействии более чем в
1.5 раза.
На рис. 3.18 показаны линии уровня двух низших типов
JS-волн, полученные с помощью метода аппроксимации функции

200 Гл. 3. Исследование полей в волноводных структурах...
области в сочетании с методом R-функций. Путем непрерывной
деформации области (с -> b + r) обнаруживается стремление прибли-
0
a
1 -1
Ах
0
б
c^OI
Рис. 3.18. Линии уровня вычисленных приближенно двух низших типов
^-колебаний
женного решения к точному решению для эллиптической
области из примера 3.6, что подтверждает достоверность полученных
результатов.
3.2. Излучение из открытого конца волновода
сложного поперечного сечения
В практической электродинамике, в частности, при анализе
и проектировании антенн СВЧ имеет место задача определения
электромагнитного поля, возбуждаемого в пространстве
антенными системами с конечной площадью излучающей поверхности.
Частными случаями таких антенн являются регулярные
волноводы, рассмотренные в предыдущем параграфе.
Электромагнитная энергия излучается из открытого конца волновода,
называемого апертурой или раскрывом антенны. Расчет подобных систем
сводится к нахождению характеристик поля во всем пространстве
при условии, что поле в раскрыве уже известно. Строгое
решение внешних задач теории антенн встречает большие
математические трудности. Поэтому в основном используются приближенные
подходы, среди которых следует отметить векторные формулы и
скалярные приближения по Кирхгофу [1]. Последние значительно
проигрывают в точности, поэтому далее применяются векторные
выражения, хорошо описывающие внешнее поле на больших
расстояниях от антенны. Как было отмечено выше, поля в апертуре
находятся из решения внутренних краевых задач с помощью
метода R-функций [52-55].
3.2.1. Единичный излучатель. Рассмотрим процесс излучения
из открытого конца регулярного волновода по аналогии с дифрак-

3.2. Излучение из открытого конца волновода сложного... 201
цией от отверстия в плоском экране [1] (рис. 3.19). Считаем, что
стенки волновода идеально проводящие. Введем следующие обо-
Рис. 3.19. К расчету поля в удаленной точке при излучении из открытого конца
регулярного волновода
значения: сферические координаты цроизвольной точки
пространства М(ж, у, z):
z = г cos 0,
у = rsin0siny>, (3.2.1)
х = г sin в cos </?;
расстояние от точки М до начала координат О:
г = yjx2+y2 + z2\ (3.2.2)
расстояние от точки 5 до начала координат О:
rs = y/x*+yl; (3.2.3)
расстояние от точки М до точки раскрыва S(xs,ysi®):
tsm = \/{x-xs)2 + (y-ys)2 + z2\ (3.2.4)
a — угол между направлениями OS и ОМ:
rs cos a = sin в{х$ cos ip + ys sin </?). (3.2.5)
Задача об излучении из раскрыва волновода произвольного
поперечного сечения не имеет строгого решения. Наиболее простой
подход заключается в том, что поле в раскрыве равно
невозмущенному полю в волноводе. Некоторое уточнение достигается в
предположении отражения от открытого конца волновода, когда

202 Гл. 3. Исследование полей в волноводных структурах...
поле в раскрыве определяется суперпозицией прямой и обратной
волн. Составляющие электрического и магнитного поля в
плоскости раскрыва определяются по формулам
yfik + Щ,' С3-2-6)
где
ESx = (1 + Г)ЁХ, ESy = (1 + Г)ЁУ,
HSx = (l-t)Hx, ESy = (l-t)Hy,
(3.2.7)
Г — комплексный коэффициент отражения, обычно
определяемый экспериментально, причем получают при этом его модуль.
Знание модуля коэффициента отражения достаточно для
определения ряда важных характеристик электромагнитного поля в
волноводе. Однако для точного определения поля излучения
необходимо знать точную величину поля в раскрыве, которая
определяется как амплитудой, так и фазой отраженной волны. Так
как высшие гармоники не учитываются, то это точное поле не
известно, и в расчетах часто полагают равенство нулю аргумента Г.
Полученные результаты при этом достаточно хорошо согласуются
с экспериментом. Приближенное значение модуля коэффициента
отражения может быть найдено по формуле
1 + j/k k + 7'
где 7 — поперечное волновое число. Величина
(3.2.8)
Wo = ^щ = о^о 1+г = /^ = 1207г*!
Hs{x,y) 7 1-Г V еоТ Т
носит название характеристического сопротивления. Выражения
(3.2.6), (3.2.7) тоже являются приближенными, так как в них
учитывается лишь отраженная волна основного типа и игнорируются
возбуждающие волны высших порядков. Учитывая (3.2.8), (3.2.9),
компоненты полей в точке М определяются векторными
формулами
—ik
Ем = ——
47Г
sin ip ( 1 + -^ cos в ) в -f cos (р I cos в + -~2 ) ¥>
*/
e-ikrsM
Es dxdy, (3.2.10)
rsM
n

3.2. Излучение из открытого конца волновода сложного... 203
Нм =
-ik
47Г
к2
sin ip ( cos в Н—^
1 в + cos (р I
I
*
Hale2
l + ^cosfljy)
Г£М
■ctedy. (3.2.11)
Для дальней зоны (при г > 2D2/А) приближенно имеем
Ем
-tfc e~ifcr
47Г Г
Н
м
-ik e~ikr
47Г Г
sin у? ( 1 + — cos в 1 в + cos у? ( cos в + ~2 ) <р\ х
х ГEseiksin0{xscos*+yssin^dxdy, (3.2.12)
ft
sin (р f cos 0 H—j 9 + cos Ч> ( 1 Н—2 cos ^ ) ^ х
х f HseiksinelxsC0Stp+ys8intp)dxdy; (3.2.13)
в промежуточной зоне (при Z?/4 + D(D/\)1/3/2 ^ r < 2D2/X)
Е
-г'А; е
—ikr
An г
simp
Нм
47Г Г
(1 + p"cos0 J 0 + cos</> (cos0 + p- ) (p
/ik ( Г5 cos a- rg80'" J
#se V 2r /rficdy, (3.2.14)
n
</?( COS 0 + ^ ) 0 + COS </?( 1 + ^ COS 6П </Я X
/ / r£ sin2a\
ikirs cos a—^-sz—
#5e V 2r /«fedy. (3.2.15)
n
На практике наибольший интерес зачастую представляют
зависимости поля излучения от углов у?, в не во всех направлениях, а
лишь для точек, лежащих в характерных взаимно
перпендикулярных плоскостях (р = 0 (//"-плоскость) к ip = 7г/2 (^-плоскость).
Отметим основные характеристики волноводных антенных
излучателей:

204 Гл. 3. Исследование полей в волноводных структурах...
диаграмма направленности (ДН) по полю:
F(r,d,<p)
\к
(3.2.16)
диаграмма направленности по мощности:
F2(r,e,<p)
Е(г,в,1р)
\Emax\ J
мощность электромагнитного потока через апертуру:
(3.2.17)
Ps
■ I E2sdxdy;
n
(3.2.18)
коэффициент направленного действия (КНД):
г2Е2 Аж2г2Е2
30Р5
/ E2sdxdy
n
(3.2.19)
где модуль электрического поля в дальней зоне в направлении
максимального излучения
Еп
I
Ё$ dx dy
\r
(3.2.20)
КНД без учета отражения равен
G =
/ Es dxdyl
In L
/ E2sdxdy
An
A*'
(3.2.21)

3.2. Излучение из открытого конца волновода сложного... 205
а с учетом отражения (3.2.7)-(3.2.9) —
|2
G
1 +
1-Г7
1 + ГА;
1-Г7
1 + Гк
/ Esdxdy
I
Es dx dy
7Г
A2
-(ИУ
s
Es dx dy
7Г
/ E2S dx dy
A2
. (3.2.22)
Коэффициент использования поверхности (КИП)
определяется как
К
Go
GX2
(3.2.23)
где Go — КНД плоского синфазного раскрыва с равномерным
распределением возбуждения, S — площадь раскрыва.
При расчете излучения из открытых волноводов сложных
сечений с ребрами методом R-функций для низших (основных) типов
волн необязательно проводить сглаживание ребер или учет сингу-
лярностей. Это связано с тем, что особенности полей на ребрах
мало влияют на коэффициент отражения и другие параметры
рассеяния [5]. Однако для высших мод влияние сингулярно стей уже
существенно и их следует учитывать.
В следующих двух примерах в качестве тестовых задач
рассмотрим моделирование излучения из волноводов прямоугольного
и круглого поперечного сечений [1]. Несмотря на простоту
геометрии, подобные задачи представляют существенный интерес и шь
прежнему привлекают внимание исследователей (см., например,
[56-65]). В примере 3.10 рассматривается более сложная задача
расчета полей излучения из открытого конца волновода Н-образ-
ного поперечного сечения [53,55].
Пример 3.8. Рабочей волной прямоугольного волновода
размерами а х Ь (а > Ь) считается волна Т£?оь составляющие поля
которой имеют вид
Нх
Ех — Ez— Ну — 0,
Ey = E0cos{^)e-^z1
Hz
7Г 1?о . /7ГЖ\ _
— sin ( — 1 е
а гшцо \ а /
17-2

206 Гл. 3. Исследование полей в волноводных структурах...
где 1?о — амплитуда, а продольное волновое число
В направлении оси волновода электромагнитное поле имеет
характер бегущей волны, распространяющейся с фазовой скоростью
UJ С
Уф = - =
7
При a < Л/2 фазовая скорость становится мнимой, что
указывает на затухающий характер поля вдоль волновода. Критическая
длина волны Ас = 2а. Достаточным для возбуждения волны ТЕщ
является выбор размеров поперечного сечения волновода согласно
условиям
, Л Л
Ь<Г 2<а<А*
В частности, широкое распространение имеют волноводы, у
которых
a = 0.71А, b = 0.32А.
При таких условиях у волновода конечной длины с открытым
концом электромагнитное поле у раскрыва будет практически таким
же, как у полубесконечного волновода. С учетом модуля
коэффициента отражения компоненты поля в раскрыве имеют вид
Ex = Ez = Hy = 0, Eys = (1 + r)#0cos ( — )e-*",
(тУ
шаг\ \ a /
(J/Mq
Я2 = (1-Г)^в1„Р)е^,
a zojfio \ a J
где Г — модуль коэффициента отражения (3.2.8). Учитывая, что
касательные составляющие поля связаны между собой
соотношением
(JfiQ 1 + Г
7 1 — Г

3.2. Излучение из открытого конца волновода сложного... 207
получаем в //-плоскости (ip = 0)
е» = 5а"
Н+©2]/
И В ^-ПЛОСКОСТИ [if = 7г/2)
-ikr
Еу
ys
dxdy
п
ЕЕ=2Лв
1 +
(1Ус°8в]1Еу*'
г.—ikr
dx dy.
В общем случае, когда точка М, для которой вычисляется поле
излучения, произвольно расположена в пространстве, составляющие
поля по угловым координатным осям в и (р имеют следующий вид:
Ео
ik
47Г
/7\2 1 f e~ikr
simp + f — J cos0sin<£ / Eys dxdy,
ik
E<p = —
* 47Г
/7\2 1 f e~ikr
cos в cos ip-\-I - J cos ip\ Eys dxdy
ДН излучения из открытого конца представляются выражениями
ka . \
т81Пв)
(в Я-плоскости),
FE =
cos0 +
©•
COS
l + (2)'«.»
sm I — sin в 1
Tsin6?
(в £7-плоскости).
Согласно (3.2.22) КНД прямоугольного волновода равен
G « 0.81
(НУ
тгаЬ
Проведем теперь расчет полей излучения с помощью
структурного метода R-функций при следующих параметрах: длина волны

208 Гл. 3. Исследование полей в волноводных структурах...
А = 3.2 см, размеры волновода a = 0.71Л, Ь — 0.32А.
Приближенное решение будем искать методом Галеркина с базисными
функциями структуры Неймана
4>Wj){**V) = u{x,y)x2l+ly2\
t+j =0,...,M, k{i,j)
(»+i)(*+J + l)
+ i,
где нормализованное уравнение границы области
Ь2-у2
ш{х,у)
а2-х2
Ло
2а " 26
На рис. 3.20 в обычных и полярных логарифмических
координатах представлены ДН по мощности в дальней зоне,
вычисленные при М = 2 (6 базисных функций). Полученные результаты
i—i—i—i—г-н—i—i—i—i
-180-100 -20 20 100 180
-180-100 -20 20 100 180
270
Рис. 3.20. ДН по мощности в -Е- (а, в) и Я-плоскостях (б, г): 1 — без учета
отражения; 2 — с учетом отражения (прямоугольный волновод)
хорошо согласуются с теоретическими, а также
экспериментальными данными [1].
Пример 3.9. Рассмотрим приближенное решение задачи об
излучении из раскрыва круглого волновода радиуса R. В таких

3.2. Излучение из открытого конца волновода сложного... 209
излучателях, как правило, возбуждается волна ТЕц, при которой
поле излучения имеет обычную ДН с одним направлением
главного максимума вдоль оси волновода. В цилиндрических
координатах р, <£, z составляющие электромагнитного поля выражаются
следующим образом:
Ez=0,
Ер = Eosm<pJi
г
Н,=
62Ер
Е<р = -Eq cos (pJ[
!(«)•-*•
COS if J\
H = lS
P 2(jJflQ
Eq COS ipj\
-172:
,-172:
Hv, = EosimpJi
где Ji, J{ — соответственно бесселева функция и ее производная
по аргументу, a S — первый корень уравнения J[(S) = 0. Между
составляющими векторов по цилиндрическим и прямоугольным
координатам имеют место соотношения
Ех = Ер cos ср — Е(р sin у?,
.Еу = £?р sin (p + Е<р cos у?.
Для ДН в Е- и Я-плоскостях верны, соответственно, выражения
■Ря
COS0 +
ш
J'^kR sinO)
-(т")
2'
*Е =
^7л
- + 7- cos в
7 *
где Ai
Ai(kRs'me),
лямбда-функция. КНД может быть вычислен по формуле
G « 0.83 (- +
Проведем численный эксперимент по расчету поля излучения
из круглой апертуры при следующих параметрах: длина волны
D\fr

210 Гл. 3. Исследование полей в волноводных структурах...
А = 3.2 см, диаметр волновода D = 2R = 0.75А. Приближенное
решение будем искать методом Галеркина с базисными функциями
<Pk(ij)fay) =и{х,у)х2г+ху23,
i + j = o,...,M, *<<,Я-(< + я(<2+' + 1>+>.
где нормализованное уравнение границы области
u}(x,y) = ±(R2-x2-y2).
На рис. 3.21 в обычных и полярных логарифмических
координатах представлены ДН по мощности в дальней зоне,
вычисленные при М = 2 (6 базисных функций).
Пример 3.10. В качестве более сложного примера исследуем
излучение из открытого конца Н-образного волновода (рис. 3.4),
Рис. 3.21. ДН по мощности в Е- (а, в) и Я-плоскостях (б, г): 1 — без учета
отражения; 2 — с учетом отражения (круглый волновод)
рассмотренного в примере 3.2, на основном типе волны — ТЕю
(рис. 3.6а). На рис. 3.22 приведены ДН по мощности в дальней

3.2. Излучение из открытого конца волновода сложного... 211
зоне в Е- (слева) и //-плоскостях (справа). Если сравнить
приведенные данные с аналогичными графиками, построенными для
FE 1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
vj
\ si
\ S
\ ^LJ
0°
60
120 180
0.8^
0.6Н
0л\
0.2-j
o-l
\
\\
\
У"
У
•
*\
/
/
0°
о
60
120 180
60
120
N
Ч (
ну
.г.
•
'/
(
^■-~
180
0°
Рис. 3.22. Диаграммы направленности по мощности в дальней зоне в Е- (слева)
и Я-плоскостях (справа) для Н-образного волновода при волне ТЕю в нем в
обычных (а) и логарифмических (б) координатах. Сплошные кривые — без
учета отражения (Г = 0), штриховые — с учетом отражения
прямоугольного волновода в [1], видно существенно большее
влияние отражения на амплитуду дифракционных максимумов и ши-
лН/р
Рис. 3.23. Зависимость КНД (а) без учета отражения (сплошная линия) и с
учетом отражения (штриховая линия) и КИП (б) от соотношения между
геометрическими параметрами Н-образного волновода (колебание Т2?ю-типа)
рину основного лепестка. Эта связь обусловлена наличием узкой
перемычки, при стремлении ширины которой к высоте прямо-

212 Гл. 3. Исследование полей в волноводных структурах...
угольного волновода характеристики обеих излучающих систем
совпадают. На рис. 3.23 показаны графики КНД и КИП как
функции соотношения между шириной перемычки р и высотой h. Для
прямоугольного волновода размерами 21 х 2h КНД без учета
затухания равен 2.286, с учетом затухания — 2.752; КИП = 0.81 [1].
На рис. 3.24 приведена зависимость амплитуды компоненты
электрического поля в направлении нормали к раскрыву (</? = 0,
9 = 0), нормированной к напряженности поля в дальней зоне как
20
16
12
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Рис. 3.24. Зависимость относительной амплитуды поля в направлении главного
максимума излучения как функции безразмерного расстояния r/Ядз от антенны
до точки наблюдения (штриховая линия) и зависимость вида (г/#дз)-1
(сплошная линия); расстояние дальней зоны Ядз = 2(2/)2/Л, длина волны Л = 27г//9
функция расстояния от апертуры до точки наблюдения. Сплошной
линией показана зависимость вида (г/Ддз)-1, характерная для
дальней зоны излучения. Расстояние дальней зоны определяется
как [2]
97,2
Ддз = —, (3.2.24)
где L — характерный размер апертуры (L = 21). Из рисунка
видно, что зависимость вида (г/Ддз)-1 устанавливается уже на
расстоянии Ддз/2. Отсюда следует, что иногда используемый в
литературе вместо (3.2.24) критерий дальней зоны Ядз ^ L2/\
для широкоразмерного (L > А) волновода обеспечивает
достаточную точность.
На рис. 3.25 приведены зависимости амплитуд компонент Е$
и Ер, нормированных к напряженности поля в направлении
нормали к раскрыву (Ego = E^q) как функций угла в для различных
значений расстояний от антенны для широкоразмерного
волновода. Аналогичные характеристики для одномодового волновода
показаны на рис. 3.26. Характер изменения относительных
амплитуд компонент полей от угла в для одномодового волновода
слабо зависит от расстояния при удалении от антенны на
расстояния, большие 1.5А. Для широкоразмерного волновода это
расстояние равно Ядз/2. Таким образом, на основании результатов

3.2. Излучение из открытого конца волновода сложного... 213
численного эксперимента можно сделать вывод о том, что для
рассматриваемой сложной формы поперечного сечения в случае одно-
модового волновода расстоянием дальней зоны с достаточной для
практики точностью можно считать 1.5А. В случае
широкоразмерного волновода зависимости электромагнитных полей,
характерные для дальней зоны, устанавливаются на расстоянии Лдз/2.
Ео/Еп^0 -20,40,60,80
дБ №
5
10
\5-\
20
25
30J
£„/£L ,0 20 40 60 80
i_i 0°
Рис. 3.25. Зависимость компонент поля Е$ (а) и Е<р (б) от угла 9 для
различных расстояний от раскрыва до точки наблюдения для Н-образного волновода:
Л = 7г//9; 1 — поле в дальней зоне, 2 — г/Ядз = 0.1, 3 — г/Лдз = 0.2, 4 —
г/Ддз = 0.4
Е<р' ^тах*
60 120 180
дБ
4-
8"
12-
16-
20-
\-4
\<"
Г
е°
Рис. 3.26. Зависимость компонент поля Ее (а) и Е<р (б) от угла в для
различных расстояний от раскрыва до точки наблюдения для Н-образного волновода:
Л = 7г/; 1 — поле в дальней зоне, 2 — г/Л = 0.5, 3 — г/Л = 1, 4 — ГМ = 1.5
Эти выводы хорошо согласуются с результатами [56],
выполненными для круглого волновода, а также справедливы для других
типов сложных поперечных сечений (П-образное, Г-образное, Ш-об-
разное и др.).
3.2.2. Решетка излучателей. Антенной решеткой называется
антенная система, состоящая из более чем одного элемента с
когерентным излучением [5]. Излучающими элементами могут быть
вибраторы, открытые концы волноводов или рупоров,
параболические отражатели, спиральные, диэлектрические антенны и др.

214 Гл. 3. Исследование полей в волноводных структурах...
В классической теории антенных решеток не учитывается
взаимное влияние элементов друг на друга. В силу линейности
уравнений Максвелла электромагнитное поле системы излучателей
(антенной решетки) представляет собой сумму полей отдельных
элементов. Если эти элементы имеют равные размеры,
характеризуются одним и тем же законом распределения излучающих
токов и ориентированы в пространстве одинаковым образом, то
дальнее электромагнитное поле оказывается представимым в виде
произведения векторной ДН одного элемента Ем на скалярный
множитель направленности /е (#,¥>) системы точечных
изотропных излучателей, расположенных в местах нахождения элементов
системы [2,5]:
Еме = Ем(^)/е(0,¥>) при г->оо. (3.2.25)
Соотношение (3.2.25) представляет собой математическую запись
теоремы перемножения диаграмм направленности для системы
одинаковых излучателей.
Множитель системы /е(#, <р) называют также множителем
решетки или множителем комбинирования. Учитывая, что
комплексные амплитуды возбуждения отдельных излучателей могут
быть различными, получим следующее представление множителя
направленности системы излучателей с числом элементов N:
fM<p) =
N
= 2^ In exP [ik(xn sin Ocosip + yn sin в sin <p + zn cos в)], (3.2.26)
n=l
где xn,yn,zn — координаты элементарного излучателя, а 1п —
комплексная амплитуда его возбуждения.
Теорема перемножения позволяет проследить, какие
особенности общей ДН антенной системы порождаются свойствами одного
элемента (в первую очередь это относится к поляризации поля),
а какие особенности обусловлены интерференцией полей
изотропных источников, описываемой множителем системы. Множитель
направленности определяет форму луча и уровень боковых
лепестков ДН решетки, а также отражает связь между геометрией
решетки и управляющими фазами, с одной стороны, и
направляющими косинусами луча, с другой.
Экспериментальные и теоретические исследования показали [5],
что взаимным влиянием элементов пренебрегать нельзя в том
случае, когда элементы антенной решетки расположены достаточно
близко друг к другу (например, при расстояниях между ними
< Л/2).
Далее рассмотрим случай, когда антенная решетка конечных
размеров состоит из (2М + l)(2iV + 1) излучающих апертур (рас-

3.2. Излучение из открытого конца волновода сложного... 215
крывов) в бесконечном металлическом экране, совпадающем с
плоскостью z = О (рис. 3.27).
Излучатели располагаются в узлах прямоугольной сетки и
могут возбуждаться с помощью волноводов, подводимых снизу к эк-
Рис. 3.27. Решетка волноводных излучателей
рану. Положение каждого элемента решетки определяется
индексами (га,п), которые соответствуют геометрической точке
Гтп = rnbx + ndy, (3.2.27)
где х,у — единичные векторы в направлении осей ж, у; Ь и d —
интервалы между соседними элементами (раскрывами) по
направлениям х и у. В этом случае выражение для множителя решетки
(3.2.26) можно переписать в виде
М N
/е(#></?)= У^ /J Jnmexp [ik(mb sin в cos (р + nd sin в sin (p)].
m=—Mn=—N
(3.2.28)
Исходя из этой формулы, можно сделать вывод, что множитель
решетки является периодической функцией по обобщенным
координатам
Тх = sin в cos </>, Ту = sin в sin (р (3.2.29)
периодами A/ft и X/d соответственно. Поэтому для полной
характеристики множителя решетки достаточно знать поведение /е (Тх , Ту)
в прямоугольнике
(_А<Т <А _А<Г <АЛ

216 Гл. 3. Исследование полей в волноводных структурах...
Обычно антенные решетки стараются конструировать так,
чтобы их излучение было заключено в полусферической области (0 <
< в < 7г/2, 0 < ip ^ 27г), что в терминах Тх, Ту соответствует
условию Т% +Ту < 1 (круг единичного радиуса на плоскости ТХ1Ту).
Эта область соответствует действительным значениям углов 0, <р и
называется видимой областью в отличие от невидимой области,
соответствующей условию Т%+Ту > 1 и мнимым углам 0, (р. В
видимой области выражение (3.2.25) описывает реально
существующее поле в дальней зоне, а в невидимой области (3.2.25) можно
связать с энергией, запасенной электрическим и магнитным полями
затухающих волн, и с добротностью раскрыва антенны. Особый
случай Т% + Ту = 1 соответствует лучу, касающемуся плоскости
антенной решетки.
Антенная решетка называется фазированной (ФАР), если ее
возбуждение можно менять по закону
Inm = ехр [%{тфх + пфу)], (3.2.30)
где фх,Фу — управляющие фазы, представляющие собой
дифференциальные сдвиги фаз возбуждения соседних излучателей по
направлениям х и у соответственно. Множитель решетки в этом
случае имеет вид
М N
ыв,<р) = Yl J2 1тпХ
х ехр fik \mb (тх + ^\ + nd (ту + ^)] }• (3.2.31)
Таким образом, множитель ФАР получается из множителя
обычной решетки перемещением (сканированием) на Тхо, Туо в
направлениях Тх, Ту соответственно, причем
т—-& г*~ы- (з-2-32»
Часто от антенной решетки требуется направленное излучение,
характеризуемое ДН с одним (главным или основным) лепестком,
окруженным малыми боковыми лепестками, вызванными
конечными размерами апертуры антенны. Если основной лепесток
направлен по нормали к плоскости решетки (Тх =0, Ту = 0), то в
результате введения линейного фазового распределения (3.2.30)
главный лепесток отклонится в направлении, определяемом Тхо,
TyQ. Основной принцип действия ФАР заключается в том, что,
используя подходящий способ регулирования управляющих фаз,

3.2. Излучение из открытого конца волновода сложного... 217
можно обеспечить сканирование основным лепестком всего
пространства.
Одной из моделей решеток с большим числом излучателей
является модель бесконечной решетки. Анализ таких решеток
наиболее прост, так как в этом случае можно использовать теорему
Флоке [5,66], лежащую в основе анализа ФАР. Эта теорема
позволяет представить поля в свободном пространстве (во внешней
области любого элемента волноводной антенной решетки при z ^ 0)
с помощью полной ортогональной системы волн. Теорема Флоке
является по существу обобщением теории рядов Фурье для
периодических функций. Она позволяет получить гармоническое
разложение любой функции, значения которой повторяются
периодически с точностью до экспоненциального множителя. Благодаря
этому возможно описание полей в окрестности бесконечной
периодической решетки, возбуждение которой имеет равномерное по
амплитуде и линейно изменяющееся по фазе распределение.
Пусть волновод с индексами (га, п) возбуждается одной из
распространяющихся волн с коэффициентом
/оо ехр [ - 1{тфх + пфу)], (3.2.33)
где фХуфу — фиксированные сдвиги фаз по направлениям х и у
соответственно. Тогда линейное фазовое распределение будет
порождать излучение в направлении 0, (ру определяемом
соотношениями
фх = kb sin в cos (p, фу = kd sin в sirup. (3.2.34)
Найдем подходящее представление для поля излучения
решетки в области z ^ 0 (теорема Флоке). Компоненты
электромагнитного поля в прямоугольной системе координат являются решением
однородного скалярного уравнения Гельмгольца в
рассматриваемой области:
(S+^+£+*2)ai'y'z)=a (з-2-з5)
Внутри волновода функция £ обычно представляет собой либо
продольную компоненту электрического поля Ez, либо
магнитного — Hz. Изменение поля по оси z (в направлении
распространения волны) имеет вид
Z{x,y,z) =£(z,2/)exp(-ry2), (3.2.36)
где 7 — продольное волновое число. На периметре поперечного
сечения волновода либо Ez = £ = 0 (условие Дирихле), либо
dHz/dn = d£/dn — 0 (условие Неймана).
С учетом того, что возбуждение описывается выражением
(3.2.33), а структура антенной решетки является периодически

218 Гл. 3. Исследование полей в волноводных структурах...
симметричной, компоненты полного поля подчиняются
соотношению
£(х + b,y + d,z)= £{х,у,z) ехр [ - г(фх + фу)]. (3.2.37)
Таким образом, уравнение (3.2.35) принимает вид
э2 а2
[dx2+w^{k2-l2).
Z(xty)=0, (3.2.38)
а функция £(я,у) подчиняется периодическим граничным
условиям (3.2.37).
Применив для решения (3.2.38) метод разделения переменных,
получим два обыкновенных дифференциальных уравнения
(J^+ **)/(*) = О, (3.2.39)
92 'Л9(У)=0, (3.2.40)
\ду2+кЦ
где £{х,у) = f(x)g(y), а константы разделения кх, ку
удовлетворяют уравнению
12 = к2-к2х-к2у. (3.2.41)
Рассматривая зависимость только от ж, заметим, что если
f(x + 6) = f{x) exp (-гфх),
то функция
F(x) = f(x)exp(^f^
является периодической, поскольку
F(x + b) = f(x + b) exp (^) exp (t^) = F{x).
Следовательно, функцию F(x) можно разложить в ряд Фурье
F(x)= J2 А™ехр[—i—)•
ГГ1 — Г*"> ^ '

3.2. Излучение из открытого конца волновода сложного... 219
Тогда
/(*)= £ A™exV
г(27гга — фх)х
Ь
(3.2.42)
Каждый член этого ряда удовлетворяет уравнению (3.2.39),
поэтому в общем виде
27Г7П — фх
kx — kxm —
Аналогично, рассматривая зависимость по у, имеем
д(у) = Y1 Вш ехр
г(27гп - фх)у
d
(3.2.43)
(3.2.44)
^уп
2пп — фу
Таким образом,
Тгап
=м/*2
(2-кт
V ь
Ф:
Л2 /2тт-^у
(3.2.45)
(3.2.46)
и
£тп(я, у, г) = ехр [i(fcm + fcynj/ - 7mn^)] • (3.2.47)
Построение периодического решения уравнения (3.2.35),
удовлетворяющего граничному условию (3.2.37), и является по
существу содержанием теоремы Флоке.
Пример 3.11. Рассмотрим антенную решетку 4x4
излучателей на основе синфазно возбужденных волноводов Н-образного
поперечного сечения, работающих на основном типе волны ТЕщ.
Параметры элементарного излучателя (см. рис. 3.4): / = 11.5мм,
h = 5 мм, a = 4.6 мм, р = 1.81мм; длина волны Л = 3.2 см;
расстояния между излучателями b = 4Z = 46 мм, d = 4/i = 20 мм.
Взаимное влияние излучателей не учитывается. Поле в апертуре
элементарного излучателя рассчитывалось методом R-функций
(см. пример 3.2). На рис. 3.28 представлены ДН по мощности
в Е- и Я-плоскостях (в обычных и логарифмических
координатах). ДН в обобщенных координатах ТХ,ТУ показана на рис. 3.29.
П р и м е р 3.12. На рис. 3.30,3.31 представлены аналогичные
результаты для ФАР с возбуждением, изменяемым по закону (3.2.33),
с фиксированными сдвигами фаз фх = фу = 1 по направлениям х
и у. Хорошо видно отклонение основного лепестка ДН
(сканирование). Вместе с тем следует отметить рост амплитуды боковых
лепестков.

220 Гл. 3. Исследование полей в волноводных структурах...
Рис. 3.28. ДН по мощности в Е- (слева) и /f-плоскостях (справа) в обычных
(а, б) и логарифмических (в, г) координатах; сплошная линия — без учета
отражения, штриховая — с учетом отражения (пример 3.11)
Рис. 3.29. ДН по мощности в координатах ТХ,ТУ (пример 3.11)

3.2. Излучение из открытого конца волновода сложного... 221
0.8
I
0.6
I
0.4
I
0.2
л
-180 -100 -20 20
1Д/у
* i i i
100 180
1
0.8|
0.6
0.4
И
,,-, U
J |
W
1
w
г—\
-180 -100
-180 -100
-20 20
б
100 180
-20 20 100
Рис. 3.30. ДН ФАР по мощности в Е- (слева) и Я-плоскостях (справа) в обычных
(а, б) и логарифмических (в, г) координатах; сплошная линия — без учета
отражения, штриховая — с учетом отражения (пример 3.12)
Рис. 3.31. ДН ФАР по мощности в координатах ТХ,ТУ (пример 3.12)

222 Гл. 3. Исследование полей в волноводных структурах...
3.3. Расчет полей в волноводах с не однородно с тями
3.3.1. Постановка задачи. Рассмотрим задачу о свободных
волнах в волноводе с неоднородной изотропной средой (рис. 3.32),
относительные величины
диэлектрической (ег) и магнитной (щ) проница-
емостей которой в каждой частичной
области S{ имеют постоянные
значения. Считаем, что внешняя граница
Г — кусочно-гладкая.
Как известно, искомые решения
уравнений Максвелла Е(ж, у) и Н(ж, у)
могут быть выражены с помощью двух
скалярных функций
Рис. 3.32. Геометрия
неоднородной среды
Ez =
1_
ше0
Ф, Н2 = Ф,
(3.3.1)
где к\ = к^ецц — /З2; /3 = 0/ко — постоянная распространения.
Функции Ф и Ф при этом должны удовлетворять
дифференциальным уравнениям
ДФ + к?Ф = О,
ДФ + А;?Ф = О,
однородным граничным условиям на металлической оболочке Г
(3.3.2)
<ЭФ
дп
О, Ф|г=0,
(3.3.3)
условиям непрерывности на границах раздела сред Li этих
функций, а также выражений
1 /--г #Ф дФ\ 1 (дФ 0Ф\ .....
вытекающих из непрерывности на этих границах касательных
составляющих электрического и магнитного полей.
Сформулированной задаче можно сопоставить функционал на
классе функций ФиФ, удовлетворяющих на внешнем контуре Г

3.3. Расчет полей в волноводах с неоднородностями 223
однородным условиям Дирихле и Неймана соответственно:
7(Ф,Ф) = р2 IКгЕг\ЧЩ2(1х<1у +
S
I кщг\УФ\2(1х(1у + 2132 / Ki(V4>V<&)zdxdy-
+
5
-k2
J lii№\2dxdy + p2 Si\^\2dxdy
IS S
(3.3.5)
где к,{ = l/(eifii — /З2), ко = 2п/\о. Условие стационарности этого
функционала дает решение задачи (3.3.2)-(3.3.4).
3.3.2. Решение методом R-функций. Рассмотрим методику
построения функциональных базисов, позволяющих конструировать
решения, удовлетворяющие однородным граничным условиям
Дирихле и Неймана на границе Г. Согласно ей неизвестные
функции Ф и Ф представляются в виде
Ф =w^U, Ф = ^2cn{un - u>iDun), (3.3.6)
n n
где tt>, u)\ — функции координат ж, у, положительные внутри
области S и равные нулю на границе Г, а ш\ дополнительно обладает
свойством нормализованности c?it>i/c?n|r = —1; un — некоторая
полная последовательность функций, a D — рассмотренный в гл. 1
дифференциальный оператор:
_ du)\ д ди)\ д
D = -тт1—*
дх дх ду ду
С помощью функций Ф и Ф удовлетворим условию
стационарности функционала (3.3.5) по схеме Ритца. Эта процедура
приводит к системе 2N линейных однородных алгебраических
уравнений относительно коэффициентов bn,cn. В матричной форме,
относительно искомого вектора коэффициентов X, она имеет вид
АХ = к%ВХ, (3.3.7)
где А, В — двухклеточные матрицы:
, / An АП \ _ / ВХХ 0 \
\А21 А„)' В'\ О Вп)'
X = (Ь\ ...Ьм с\. ..слг)

224 Гл. 3. Исследование полей в волноводных структурах...
с элементами
>Ч£г / V±(uv>k)V±(uun)dxdy,
1 i
(An)kn = (32^2Ki / [V±{uun) xV±(uk-uiDuk)]zdxdy,
1 Si
{Ml)kn = {An)nky
{A22)kn = ^2*№ / ViK -uiDuk)V±(un--uiDun)dxdy,
(Bll)kn
{B22)kn = ^2^г Ы- cJiDuk){un - uJiDun) dxdy.
Si
/32 2_]ш2щип dxdy,
1 Si
(3.3.8)
Матрицы А и В — симметричны. Таким образом, в случае
вещественных параметров среды задача свелась к вычислению
собственных значений матрицы, которые являются
приближенными значениями волновых чисел kff, соответствующих
задаваемым значениям постоянных распространения /3 свободных волн.
Обычно желательно, а в случае среды, обладающей потерями,
необходимо решать прямую задачу: по
задаваемому значению волнового
числа ко определять постоянные
распространения /3 из условия
det{A + к%В) = 0. (3.3.9)
Пример 3.13. Рассмотрим
применение данной методики на примере
задачи о распространении свободных
волн в экранированной
несимметричной полосковой линии на магнитоди-
электрической подложке. В случае бесконечно-тонкого
центрального проводника (рис. 3.33) функции ш и ш\ могут быть
определены следующим образом:
ш = ху{а - х)(Ь - у) Л0 [{х - а{){х - а2) Л0 (~\у - h\)],
шг = 2{2(2[я Л0 (а - х)} Л0 2[у Л0 (Ь - у)]) Л0
Л0 2(2[(яг - аг) Л0 (х - а2)] Л0 (-\у - Л|))}. (3.3.10)
У1
ь
h
О
[
г0'^0
■в»
а\ а2 с
1 X
Рис. 3.33. Геометрия
полосковой линии (пример 3.13)

3.3. Расчет полей в волноводах с неоднородностями 225
При наличии в области входящих угловых точек (д),
образуемых металлической границей, продольные компоненты поля
вблизи них ведут себя как pq , а поперечные имеют особенность
pq , где ря = у/(х — xq)2 + (у — уя)2 — расстояние от особой
точки; 0 < a(q) < 1. Естественно для улучшения сходимости
алгоритма учесть это поведение поля в координатных функциях.
В частности, этого можно достичь путем замены базисных
функций (3.3.6) на базисные функции Щип и П^ип. Здесь
п5 = 5>?('м> «fr = XX
(я)
Нетрудно убедиться, что вновь полученные структуры Дирихле и
Неймана, и>Щип, С1^ип - ojD(Q}qUti), имеют требуемый характер
поведения вблизи особых точек, заметив, что для функций а; и ее
производных справедливы следующие асимптотические оценки:
дш дш
lim ш(х.у) ~ pa, lim —- ~ const, lim —- ~ const,
т.я
xq Qx x^xq Qy
V-*Vq y~>Vq V~*Vq a
д2ш _i .. д2ш _i .. д2ш л
lim -—г- ~ р , lim -p-TT ~ pa , lim ~ pa .
x^xq dx2 q х^хя dv2 q x^x<* дхду q
y^Vq y^yq * V~>Vq *
Учет характера поля вблизи особых точек ускоряет сходимость
и повышает точность алгоритма. Однако это приводит к
значительным усложнениям как в формулах для матричных элементов,
так и в процедуре численного интегрирования. Это связано с тем,
что подынтегральные функции будут Ук
с 2а(д)-2 2а(д)-1
иметь особенности ря v ' , pq v '
за счет дифференцирования функций
Щип и QqUu.
Кроме того, необходимы
дополнительные вычисления для определения
показателя степени особенности a(q).
В случае изотропной среды в окрест-
ности особой точки a(Q) = «/щ, где ^^£^%°™
ifq равно значению угла, под которым
линии границы сходятся в эту точку. Здесь возможно
применение методики, описанной в § 1.2, заключающейся в использовании
сингулярных R-операций.
Пример 3.14. Обобщая рассмотрение на случай
центрального проводника конечной толщины со скругленными гранями
8—2176

226 Гл. 3. Исследование полей в волноводных структурах...
(рис. 3.34), получим более сложные выражения для функций ш
и ш\\
ш = {ху(а -х)(Ь- у) Л0 [(х -ai)(x- а2)] Л0
Ao^[(y-/i)Ao(/i-y+2r)]}V0{0Vo([r2-(a;-a1)2-(y-/i-r)2]Vo
V0[r2-(x-a2)2-(y-h-r)2])},
шг = 2{2{2[2[ж Л0 (а - ж)] Л0 2[у Л0 (6 - у)}] Л0
Л0 {2 [2[(х - oi) Л0 (х - а2)\ Л0 2>/2[(у -h)A0(h-y + 2г)]] } } V0
>Jq\/_oI Г^2 fM „_\2 (л. u ~.\2i
L[r2-(x-a2)2-(y-h-r)2]^y (3.3.11)
Нетрудно убедиться, что при г = 0 из (3.3.11) получаем
выражения (3.3.10).
Таким же образом можно перейти к расчету аналогичной
системы с двумя связанными полосковыми линиями и на этой основе
создать достаточно общие алгоритмы расчета волноводных систем.
V02<jOV02
Vo

Глава 4
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОЛЕЙ
В ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ РЕЗОНАТОРАХ
Задачи расчета резонаторов обладают рядом особенностей,
затрудняющих решение: они являются трехмерными и носят
векторный характер. Оператор краевой задачи определен на соленои-
дальных и вырождается на потенциальных вектор-функциях.
Чтобы обойти эту трудность, приходится либо расширять оператор
краевой задачи [1] и вводить дополнительную процедуру
отбраковки потенциальных решений, либо строить конструкции ло-
кально-соленоидальных функций [2]. Несколько проще расчет
резонаторов, являющихся телами вращения, так как эта задача
сводится к двухмерной, но и здесь 'сложным оказывается вопрос
удовлетворения краевым условиям, заданным на поверхности
резонатора произвольной формы, особенно в условиях численного
эксперимента, направленного на оптимизацию параметров,
зависящих от геометрии [3].
4.1. Построение алгоритмов расчета полых резонаторов
В данном параграфе конструктивные средства метода R-функ-
ций развиваются для решения краевых задач электродинамики в
закрытых резонаторах: построены структуры решения
внутренних электрической и магнитной краевых задач; на основе этих
структурных формул и вариационных схем предложены
алгоритмы расчета резонаторов, в том числе и для резонаторов,
являющихся телами вращения. Разработанное математическое
обеспечение использовано при проведении вычислительного
эксперимента по изучению электродинамических характеристик бикони-
ческого резонатора [4,5].
4.1.1. Проекционные алгоритмы решения. Рассмотрим
эллиптические краевые задачи
-Au-A;2u = 0 в ft, (4.1.1)
[n,u] = 0, divu = 0 на dft, (4.1.2)
-Ди-А;2и = 0 в ft,
(4.1.3)

228 Гл. 4. Моделирование полей в электродинамических резонаторах
(n,u) = 0, [n,rotu] = 0 на <9ft, (4.1.4)
представляющие соответственно расширения операторов
электрической и = Е и магнитной и = Н краевых задач. Здесь
Ли = grad div и — rot rot и.
После спектрального анализа в (4.1.1), (4.1.2) или (4.1.3), (4.1.4)
следует оставить лишь соленоидальные типы колебаний.
Этим задачам эквивалентна следующая вариационная
задача [1]. Найти пары (A, u) (A G Я, и G V — {0}), удовлетворяющие
a(u,v) = A(u,v)VvGF, (4.1.5)
где
a(u,v) = / (rotu • rotv+ divu • divv)dO. (4.1.6)
n
Здесь
V = {v(r) G Ж2Й, [n, v] = 0, divv = 0 Vr G Щ (4.1.7)
для Е- задачи и
V = {v(r) G К\(П), (n, v) = 0, [n,rot v] = 0 Vr G Ш} (4.1.8)
для if-задачи.
В силу компактности вложения V(Q) в L2 [6] и положительной
определенности операторов задач [7] спектр этих задач дискретен
и их можно решать методом Ритца.
4.1.2. Структура решения внутренней электрической краевой
задачи. Внутренняя электрическая граничная задача (4.1.1),
(4.1.2) представляет собой аналог задачи Дирихле. Структуру
решения краевой задачи будем искать в виде
и = шФ + VwP, (4.1.9)
где ФиР — произвольные достаточное число раз
дифференцируемые векторная и скалярная функции. Это выражение
удовлетворяет первому граничному условию (4.1.2). Действительно, первый
член (4.1.9) представляет собой произвольную вектор-функцию,
обращающуюся в нуль на границе д£1; второй — обеспечивает
требуемый произвол на поведение нормальной компоненты вектора и.
Здесь учтено, что на границе области в силу нормализованности
уравнения и) = 0
Vw = -п. (4.1.10)

4.1. Построение алгоритмов расчета полых резонаторов 229
Накладывая дополнительные ограничения на функцию Р,
удовлетворим второму краевому условию (4.1.3). С этой целью
заменим его на равенство
divu = uxp1 (4.1.11)
где ip — произвольная скалярная функция. Это соотношение
определено везде в рассматриваемой области Г2, а на ее границе дО,
превращается в краевое условие. Что касается функции у>, то
можно представить, что это та функция, которая обращает
равенство (4.1.11) в тождество, если в левой его части вектор и
представляет собой точное решение краевой задачи. Функцию Р будем
искать в следующем виде:
Р = Р0+шР'. (4.1.12)
Подставляя (4.1.12) в (4.1.11) и учитывая (4.1.10), получаем
(Vw • Ф) + u) div Ф + div(Vu;Po) +
+ P'(Vu> ■ Vu>) + wdiv{VuPf) = uxp.
Так как |Au;|2 = 1 + 0(ш), то
Р' = шРг - (Vu; • Ф) - div(Vu>P0). (4.1.13)
Здесь Pi = tp - div Ф - div(Vu>P').
Подставляя выражения (4.1.12), (4.1.13) в формулу (4.1.9),
получаем структуру решения внутренней электрической краевой
задачи
u = Vcj(P0 -u;div(Vu;-Po)) +'о;(Ф - Vo;(Va; • Ф)) + u;2Vu;Pi.
(4.1.14)
Неопределенные функции Ф = (ФъФг^Фз)? Po>Pi находятся при
решении проекционной задачи (4.1.5)—(4.1.7).
4.1.3. Структура решения внутренней магнитной задачи. Эта
задача представляет собой аналог задачи Неймана. В силу (4.1.4)
нормальная компонента вектора и на границе области дО,
обращается в нуль, поэтому решение будем искать в виде
и = Ф - Va;(Va; • Ф) + a;Va;P, (4.1.15)
где Ф и Р — произвольные достаточно гладкие векторная и
скалярная функции. Выражение (4.1.15) удовлетворяет первому
условию (4.1.4). Необходимо удовлетворить и второму граничному
условию. Продлим его внутрь области ft:
[Va;,rotu] =шф, (4.1.16)

230 Гл. 4. Моделирование полей в электродинамических резонаторах
где гр — некоторый произвольный вектор, направленный по
касательной к границе области dQ. Подставляя (4.1.15) в (4.1.16),
получаем
[Vcj,rot Ф] - [Vu;[rot (Vu(Vu • Ф))]] +
+ [Vcj, Vu]P + ш rot (VuP)wil>.
Третий член этого равенства тождественно равен нулю. Последний
член, в силу произвольности вектора *0, можно включить в правую
часть:
[Vu;,rot Ф] - [Vu[rot (Vu(Vu,rot Ф))]] = ифг. (4.1.17)
Таким образом, для удовлетворения второму граничному
условию (4.1.4) достаточно найти такую вектор-функцию Ф, чтобы
равенство (4.1.17) превратилось в тождество. Пусть
Ф = Ф0+^Ф', (4.1.18)
где Фо, Ф' — некоторые произвольные вектор-функции.
Подставляя (4.1.18) в (4.1.17), получим
[Vcj, rot Ф0]+ [Vw, [Vu;, Ф']] - [Vcj, [rot (Vw(Vu, rot Фо))]] = cj^;.
Откуда, используя векторное тождество
[Vw, [Vu, Ф']] = Vu{Vuj ■ Ф') - Ф'|Vu\2
и учитывая, что |Va;|2 = 1 + O(cj), находим
Ф' - Vcj(Vo; ■ Ф') = [Vu, rot Ф0] -
— [Vu,rot (Vu(Vu • Ф0))] - иФь (4.1.19)
Подставляя (4.1.18) и (4.1.19) в (4.1.15), получаем следующее
выражение для структуры решения внутренней магнитной краевой
задачи:
и = Фо - Va;(Va; • Фо) + cjVujP +
+ и>{[Уи>,тоЬФ0] - [Vu,rot (Vu(Vu • Ф0))] -иФх}, (4.1.20)
где Фо, Фь Р — неопределенные компоненты структуры.
4.1.4. Аксиально-симметричный резонатор. Рассмотрим
резонатор, образованный вращением контура произвольной формы
д£1\ = (u;i(r, z) = 0) вокруг оси OZ, которая ниже именуется
контуром дО,\. Для таких резонаторов система собственных
колебаний распадается на две ветви с аксиальной зависимостью
компонент векторов напряженностей электрического Е = (Er,Etp,Ez) и

4.1. Построение алгоритмов расчета полых резонаторов 231
магнитного Н = (НГ1Н^, Hz) полей в виде
Ег
Ez
Н(р
Е(р
нг
н2
для одной ветви и
Ег
Ez
Н(р
Е(р
Нг
Hz
( E°r(r,z)
E°z(r,z)
\K(r,z)
/*?(r,*)
H?(r,z)
\H°z(r,z)
sin (mip),
cos (mip)
(4.1.21)
/ E°r(r,z) \
= E®(ryz) cos (rmp),
\H%(r,z) J
( кь*) \
= H?(r,z) sin(m^)
\H°z(r,z}J
(4.1.22)
для другой (применяется цилиндрическая система координат
(»*,¥>,*))•
С учетом (4.1.21), (4.1.22) краевые условия поставленных задач
можно рассматривать на контуре дО,\ меридионального сечения
резонатора ft, ограниченного дО, = dQ\\JdQ.2- Тогда формулы
(4.1.2), (4.1.4) примут вид
Е° cos (п^е£) - Е° cos (п"^.) =0, Е° = 0,
#° cos (n^.) 4- Hz cos (n^ez) = 0,
дН?
dz
dH°z
дт
0,
дН° cos(n-er) 0
ОП Г *
(4.1.23)
(4.1.24)
(4.1.25)
(4.1.26)
Подставляя (4.1.21) в (4.1.1), (4.1.3), получаем системы
уравнений, описывающие распределение электромагнитного поля в
области ft для первой ветви:
д_
дт
(&*>)
+
д2Е°г
dz2
+ *:
-£)«
-1 5-^(в
о,

232 Гл. 4. Моделирование полей в электродинамических резонаторах
{rfr{ГЕ*]) + ~d* + [k ~~ ^) E« + ^Er - °'
(4.1.27)
(4.1.28)
r dr \ dr z J
d2H9 /., m
+ W + (k2-£]H- = °-
Для второй ветви уравнения будут отличаться знаком при га.
Для аксиально-симметричных колебаний (га = 0) система
уравнений упростится: Е® — Н^ = Е® = 0 для первой ветви и
Еу = Н® = Н® = 0 для второй V(r, z) G fi. Первая ветвь
определяется Е^ компонентой вектора Е (Я-колебания резонатора —
применяется классификация собственных колебаний,
соответствующая цилиндрическим резонаторам), вторая — Н^ компонентой
вектора Н (^-колебания), которые удовлетворяют уравнению
г1(ги))+£+Л = 0' (4ХИ)
-(-
dr \г
Так как при г = 0 уравнения (4.1.27)-(4.1.29) вырождаются,
то на контуре необходимо дополнительно удовлетворить условиям
га = 0,
га = 1 и
#°=я°=о
яг° = я£, Е°г=о,
H° = H°V, Я» = 0
E°r = Е% = £2° = 0,
(4.1.30)
(4.1.31)
(4.1.32)
(4.1.33)

4.1. Построение алгоритмов расчета полых резонаторов 233
Яг° = Я J = #° = 0. (4.1.34)
Решение электрической задачи при азимутальном числе m —
= 1 удовлетворяет граничным условиям (4.1.23), (4.1.24), (4.1.31).
Согласно (4.1.9) выражение
и = ш\ Ф + Vu; • Р
при любом выборе произвольных функций ФиР удовлетворяет
условиям (4.1.23), заданным на контуре дО,\. Выбирая
функцию Р таким образом, чтобы удовлетворить последнему условию
(4.1.31), получаем
дш 1
ur = Ш1Ф1 + — ш2Фо, (4.1.35)
u4> = ui%, (4.1.36)
uz = шФз + -т-^2Фо. (4.1.37)
Из первого условия (4.1.31) и (4.1.35), (4.1.36) следует, что на
контуре д&2 должно выполняться равенство
Продолжая его внутрь области Г2, найдем функцию Ф^:
*„ = Л**1- + J^L., (4.1.38)
Ш\ + U>2 Ш\ + Ш2
где Ф2 — произвольная функция. Подставляя (4.1.38) в (4.1.36),
получим
2
u = ^!_^2_ф2 + ^L ф,. (4.1.39)
Ш\ + U>2 OJ — I +Ш2
Следует заметить, что выражение u\0J2/{^i + ^2) эквивалентно
U) — Ш\ Ло W2-
Остается еще удовлетворить условию (4.1.31), заданному на
контуре dQ\. С этой целью, заменяя правую часть (4.1.31) на
пучок функций, который обращается в нуль на контуре dfii, продлим
(4.1.31) внутрь области Q. Подставляя в полученное равенство
выражения (4.1.35), (4.1.39) и (4.1.37), находим
-^■$1 + т~Фз + div (Va; • о;2Фо) = ^i$4- (4.1.40)
or oz

234 Гл. 4. Моделирование полей в электродинамических резонаторах
Уравнение (4.1.40) должно обращаться в тождество при любом
выборе неопределенных компонент. Представляя Фо в виде
Фо = Фб + ^i^, (4.1.41)
найдем, что это требование удовлетворяется, если
1 Г du>i ди> 1
ф = ; < шгФ4 - —Фх - — - div (Vu; ■ о;2Ф5) > . (4.1.42)
^i + ^2 I dr oz J
Выражения (4.1.35), (4.1.39), (4.1.37), (4.1.41), (4.1.42)
определяют структуру решения электрической задачи о колебаниях
в аксиально-симметричных резонаторах при азимутальном числе
га = 1.
При га > 1 вместо (4.1.34) необходимо удовлетворить условию
(4.1.33). Так как
(Е^АдП2 = Е*\дП2>
то выражение (4.1.9) удовлетворяет всем граничным условиям
(4.1.23), (4.1.33), если функция Р будет обращаться в нуль на сЮ2:
дш
ur = шФг + —о;2Фо, (4.1.43)
и(р=шФ2, (4.1.44)
дш
uz = о;Ф3 + -г-с^Фо- (4.1.45)
or
Выполняя процедуру, аналогичную описанной выше, находим:
для того чтобы удовлетворить условию (4.1.23), необходимо
выбрать функцию Фо в виде
ш\ [ дш дш Л
Фо = Фб ; { ui$4 - —ф1 ~ -Б~фз ~ div (Vo; • о;2Ф5) } •
ш\ + ш2 L or oz J
(4.1.46)
Таким образом, структура решения при га > 1 определяется
выражениями (4.1.43)-(4.1.46).
Замечание 1. Для аксиально-симметричных колебаний (га =
= 0) структура решения определяется выражением (4.1.44).
Замечание 2. Если Ш2 П дО, = 0 (резонатор тороидального
типа), то структура решения соответствует (4.1.14).

4.1. Построение алгоритмов расчета полых резонаторов 235
При азимутальном числе m = 1 граничные условия
магнитной задачи определяются формулами (4.1.25), (4.1.26) и (4.1.32).
Согласно (4.1.20), выражения
♦&(!(!^-->НО--*>))И*'
(4.1.47)
^W/r, *ч ^ln Г дшг /дФг дФЛ
U2 = $2__(Va;i.$o)+a;__p+a;|__^^._£J +
+
<9г дг
5а;
(4.1.49)
удовлетворяют условиям (4.1.25), (4.1.26). Чтобы удовлетворить
последнему условию (4.1.32), необходимо выбрать Ф2 в виде
ф2 = а;2Ф3. (4.1.50)
Здесь lv = (jj\ Ло и>2 и учтено, что на контуре дО.2 dzcv = dzU2 = 0.
Из первого условия (4.1.32) и (4.1.47), (4.1.48) следует, что на
контуре дО.2 должно вьшолняться равенство
Ф^-Фг + ^(Уо;-Фо) = 0.
Продолжая его внутрь области Q, получаем
ф = фг - -^i(Vo;i • Фо) + <^Фг- (4.1.51)
от
Здесь принято
ФГ = ФЬ (4.1.52)
Таким образом, выражения (4.1.47)—(4.1.52) определяют
структуру решения магнитной задачи о колебаниях в
аксиально-симметричных резонаторах при азимутальном числе m = 1.
При m > 1 вместо условий (4.1.32), заданных на контуре дО,2,
необходимо удовлетворить условиям (4.1.33). Учитывая, что на
контуре дО.2
— (Vw-Фо) = ФГ,

236 Гл. 4. Моделирование полей в электродинамических резонаторах
и
получаем, что
(4.1.53)
и выражения (4.1.48), (4.1.49), где
Фг = Фь Ф^ = о;2Ф2, Ф* = ^Фз (4.1.54)
определяют структуру решения при m > 0.
Замечание 3. Для аксиально-симметричных колебаний (т =
= 0) структура решения определяется выражением (4.1.49).
Замечание 4. Если 5^2 П ^ = 0 (резонатор тороидального
типа), то структура решения соответствует (4.1.21).
4.1.5. Применение разработанных алгоритмов к расчету бико-
нического резонатора [4,5]. Биконический резонатор (рис. 4.1)
состоит из цилиндрической части (Rq — ее радиус, L — длина)
Рис. 4.1. Геометрия биконического резонатора
и двух усеченных конусов (в — угол наклона образующей конуса
к оси Oz, a — радиус плоских торцов). Этот резонатор
характеризуется наличием «запредельных» частей [8,9] для рабочего
колебания ifoii-
Осе симметричные колебания типа Нотп описываются
краевой задачей (4.1.29), (4.1.23), (4.1.30), структура решения
которой определяется формулой (4.1.44). Неопределенная компонента
структуры аппроксимировалась последовательностью {гр{}
произведений полиномов Чебышева первого рода до одиннадцатой
степени включительно. Симметрия задачи относительно плоскости
z = 0 учитывалась путем разбиения последовательности {ф{} на
две подпоследовательности четных и нечетных по z полиномов.
В результате дискретизации проекционного равенства
приходим к обобщенной задаче на собственные значения
АХ = к2ВХ, (4.1.55)

4.1. Построение алгоритмов расчета полых резонаторов 237
где
/"/Id 1 д дщдщ\
J \-гд-г{гЩ)-гТг{ги>) + -д7Ж1ЫЫ*>
п
bij = / щ uj '
rdrdz
— элементы матриц АиВ, X = {Ci, С2,..., См] — неизвестный
вектор коэффициентов, к2 — собственное число.
Для решения задачи (4.1.55) применялся стандартный набор
программ [10]: с помощью разложения Холецкого задача
сводилась к алгебраической проблеме на собственные значения, далее
процедурой Хаусхолдера матрица преобразовывалась к трехдиаго-
нальному виду, собственные числа и векторы которой находились
(5^-методом. На последнем этапе восстанавливались собственные
векторы исходной задачи. Качество резонатора оценивалось по
значению «приведенной» добротности [8]:
q = kA°Q, (4.1.56)
где к — волновое число, Q = 2 / |Н|
2 do,
собственная добротность колебания, А0 — глубина
проникновения поля в металл. Оценка точности вычислений проводилась по
решению тестовой задачи и анализу сходимости результатов с
увеличением числа базисных функций.
Пример. 4.1. В качестве тестового был выбран сферический
резонатор единичного радиуса. Функции щ имеют следующий
вид:
Ш1 = 0.5(1 - г2 - z2), u2 = г. (4.1.57)
Кроме Н-колебаний рассматривались и колебания типа Eomn- Эти
колебания находятся из решения краевой задачи (4.1.29), (4.1.26),
(4.1.30) (обобщенная задача Неймана), структура решения
которой описывается выражением (4.1.48). Матричные элементы
задачи (4.1.55) и приведенная добротность находились приближенно:
интегралы по области вычислялись с помощью повторного
применения 16-точечных квадратур Гаусса, а по контуру — с помощью
метода прямоугольников (100 узлов).
На основании данных табл. 4.1 и 4.2, в которых приведены
собственные числа задач для Н- и 2£-колебаний сферического
резонатора (в последние строки таблиц помещены точные значения),

238 Гл. 4. Моделирование полей в электродинамических резонаторах
Таблица 4.1. Сходимость собственных чисел задачи расчета
сферического резонатора (if-колебания) в зависимости от числа
координатных функций
Количество

координатных функций
20
25
30
36
-
Кн0ц
20.1928
20.1929
20.1924
20.1924
20.1907
^"021
33.2178
33.2175
33.2175
33.2175
33.2175
^Я031
48.8741
48.8358
48.8358
48.8353
48.8312
Кн012
59.7175
59.6859
59.6859
59.6849
59.6795
КН0А1
67.0362
66.9565
66.9560
66.9540
66.9543 1
Таблица 4.2. Сходимость собственных чисел задачи расчета
сферического резонатора (J5-колебания) в зависимости от числа
координатных функций
Количество

координатных функций
20
25
30
36
-
КЕом
7.6542
7.6323
7.6165
7.5986
7.5279
^021
15.1318
15.1047
15.0889
15.0690
14.9787
^031
24.9503
24.9057
24.8878
24.8546
24.7349
КЕ041
36.9754
36.9152
36.9014
36.8656
36.7470
^012
37.5148
37.4949
37.4831
37.4694
37.4148 |
можно сделать вывод о хорошей сходимости приближенного
решения к точному в энергетической метрике: при 20 координатных
функциях (что соответствует применению аппроксимирующих
полиномов до восьмой степени включительно) погрешность в
определении собственных чисел не превышает долей процента.
Поскольку точность вычисления собственных векторов в метрике С
на один-два порядка хуже, чем в энергетической метрике, для
вычисления добротности с приемлемой точностью потребовалось
увеличение числа координатных функций до 36. Из табл. 4.3 и 4.4,
Таблица 4.3. Значения добротностей собственных
колебаний сферического резонатора (Н-колебания)
Тип
колебания
Я
S,%
#011
4.547
1.8
#021
5.762
-0.03
#031
7.086
1.4
#041
8.156
-0.3
#012
7.856
1.6

4.1. Построение алгоритмов расчета полых резонаторов 239
Таблица 4.4. Значения добротностей собственных
колебаний сферического резонатора (2£-колебания)
Тип
колебания
<7
6,%
Еоц
1.987
-1.3
Е<}21
2.280
-1.7
#031
2.504
-2.2
#041
2.706
-2.1
#012
5.641
-2.5
в которых приводится погрешность вычисления добротности для
сферического резонатора, видно, что погрешность не превышает
1.8% для Я-колебаний и 2.5% для 2£-колебаний.
Пример 4.2. Рассмотрим биконический резонатор с
плоскими торцами радиуса а и цилиндрической частью радиуса До
и длины L\ в — угол наклона образующей конической части к
оси OZ (рис. 4.1). Функции щ для данной геометрии имеют вид
u>i = (До - г) Л0
До
-И)
tg0
\/l + tg20
Ло
Ro-r +
И)
Ло
tg0
\A+tg20
Ло
Ь2
(4.1.58)
b = L +
2(1-а)
tg0 '
Ш2 = Г.
Сходимость квадратов волновых чисел Е- и Я-колебаний бикони-
ческого резонатора с параметрами L/Rq — 0.7965, a/Ro — 0.553 и
в = 40° иллюстрируется табл. 4.5 и 4.6. Для идентификации типа
Таблица 4.5. Сходимость собственных чисел задачи расчета
сферического резонатора в — 40°; L/Ro — 0.7956; a/Ro = 0.553
(Н-колебания)
Количество

координатных функций
20
25
30
36
Кн0ц
191234
19.1223
19.1223
19.1218
КИ02Х
31.0936
31.0905
31.0900
31.0890
^"031
46.595
46.571
46.570
46.565
Кн0Х2
56.446
56.410
56.409
56.408
КН0А\
63.154
63.106
63.102
63.090 J

240 Гл. 4. Моделирование полей в электродинамических резонаторах
Таблица 4.6. Сходимость собственных чисел задачи расчета
сферического резонатора О = 40°; L/Rq = 0.7956; a/Ro = 0.553
(^-колебания)
Количество
1
координатных функций
20
25
30
36
КЕою
7.0556
7.0454
7.0388
7.0321
^011
13.317
13.305
13.298
13.290
^012
22.249
22.240
22.235
22.222
^Я013
31.175
31.166
31.158
31.157
КБ020
35.047
35.034
35.030
35.024
колебания и изучения распределения поля в резонаторе строились
картины линий равного уровня компонент поля.
Представляет интерес деформация распределения полей в
резонаторе при изменении геометрии. На рис. 4.2а-г построены
0 = 30° 0 = 40°
в г
Рис. 4.2. Изолинии ^-компоненты колебания /foil
изолинии ^-компоненты электрического поля колебания Яоп с
L/R0 = 0.7965; a/R0 = 0.553 и в = 10°, 20°, 30°, 40°.
Изолинии i^-компоненты колебания i?oio приведены на рис. 4.3а-г.
r^TTtCi
23^
==ЕЕЕЕ^^-
0-= 10°
a
f^Bfe
0 = 20°
б
Рис. 4.3. Изолинии Н^
шм
0 = 30°
в
-компоненты колебан]
П
ЛЯ
£sk
0-40°
с'
-#010

4.1. Построение алгоритмов расчета полых резонаторов 241
Из рисунков видно, что если при в = 10° распределения
полей имеют вид, характерный для цилиндрического резонатора, то
при возрастании угла коничности в структура поля изменяется
и становится подобной полю сферического резонатора. Резкое
затухание поля при приближении к торцам резонатора указывает
на «запредельность» этих частей на резонансной частоте. С
целью изучения влияния геометрических параметров на
резонансную частоту и добротность основного колебания #оп проводился
численный эксперимент, в ходе которого изменялись: длина
цилиндрической части (L/Ro = 0; 0.354; 0.708; 1.062), радиус торца
(а/До = 0.177; 0.553; 0.830) и угол коничности (0 = 10°; 20°; 30°;
40°; 50°). Результаты приведены на рис. 4.4-4.5. Рис. 4.6
соответствует резонатору без запредельной части (a/Ro = 0.830). Следует
Ч F-RQ, ГГц см
4.5'
3.5
2.5 '
1
/
А
У
/
#
f
А
/
*
^
==-
■^
-*—i
^ч
2
3
-►
6°
i
35
25
15 ■
i
'i
6°
->-
10
30
50
10
30
50
Рис. 4.4. Зависимости добротности и резонансной частоты резонатора от
геометрических параметров: 1 — L/Ro = 0.354; 2 — L/Ro = 0.708; 3 —
L/Ro = 1.062; 4 — L/Ro = 0.177
заметить, что зависимость q = q(0) для резонатора с L/Ro = 0и
a/Ro = 0.354 (рис. 4.4а) согласуется с данными работы [8].
Из анализа полученных зависимостей можно сделать
следующие выводы:
1. Уменьшение длины цилиндрической части смещает
максимум добротности q в сторону меньших значений в (при L/Ro = 0,
#<7max — 20°, а при L/Rq = 1.062 6q max ~ 40°) и увеличивает
влияние угла коничности в на резонансную частоту.
2. При малых углах коничности удаление запредельных
частей резонатора при наличии цилиндрической части
незначительно сказывается на значениях частоты и добротности.
3. Увеличение запредельных частей приводит к повышению
добротности, что объясняется ослаблением поверхностных токов
9 -2176

242 Гл. 4. Моделирование полей в электродинамических резонаторах
в стенках торцевых частей резонатора и понижению резонансной
частоты. При этом с уменьшением длины цилиндрической части
влияние запредельных частей возрастает.
4. Максимальное значение добротности gmax слабо зависит от
длины цилиндрической части резонатора при оптимальном вы-
F • /?0, ГГц • см
4.5
3.5
2.5
НжШ
кшШг
И mlr
N
N
и
1—|—|—L_l—L_J—1 1 ►
6°
10
30
50
i
35
0^
Lj
15'
I
/
2
3
6°
->-
10
30
50
Рис. 4.5. Зависимости добротности и резонансной частоты резонатора от
геометрических параметров: a/Ro — 0.553; 1 — L/Rq — 0; 2 — L/Rq = 0.354; 3 —
L/R0 = 0.708
4.5
Я
.A
3.5
2.5
2
1
e°
10
30
50
FR0, ГГц cm
I
35
25
15
^
I
2
6°
10
30
50
Рис. 4.6. Зависимости добротности и резонансной частоты резонатора от
геометрических параметров: а/До = 0.830; 1 — L/R0 = 0.352; 2 — 0.708
боре угла коничности и размера запредельной части (в пределах
погрешности вычислений).

4.1. Построение алгоритмов расчета полых резонаторов 243
5. Оптимальным следует считать резонатор,
характеризующийся следующими размерами: L/Ro — 0.7 -f- 1.0; 0 ~ 35° -f- 50° и
достаточном размере запредельной части резонатора a/Ro < 0.4.
В этом случае зависимость добротности от геометрических
параметров притупляется и достигает максимального значения.
6. Добротность биконического резонатора с оптимальным
выбором геометрии (q = 4.36) превышает максимальную
добротность колебания цилиндрического резонатора (q = 4.14) и
приближается к добротности сферического (q = 4.49).
Пример 4.3. Рассмотрим применение атомарных функций к
расчету электродинамических характеристик биконического
резонатора. Задачу исследуем в следующей постановке. В области Q,
(рис. 4.1), представляющей собой меридиональное сечение
биконического резонатора, требуется найти решение двумерного
уравнения Гельмгольца в плоскости цилиндрических координат г, z:
1 д ( дч\ д2и |2
где к — волновое число. На границе дО, заданы однородные
краевые условия Дирихле (и = 0). Структура решения краевой задачи
будет иметь вид
N
u(r, z) = о; (г, z) ^ Ciui(r>z), (4.1.60)
г=0
где o;(r, z) — функция, обращающаяся в нуль на дО, и
положительная внутри области, {щ} — последовательность
координатных функций, {Ci} — неопределенные компоненты. Учитывая тот
факт, что О, представляет собой выпуклый многоугольник,
приведем более простое выражение для o;(r, z), без использования
операций R-конъюнкции:
ш(г, z) = r(R0 - r)(b2 - z2) [(R-r + 0.5L tg0)2 - (z tg0)2].
(4.1.61)
Из последней формулы несложно получить аналитические
выражения для частных производных от ш по обеим координатам.
Собственные частоты и функции задачи (4.1.59) определим из
условия минимума функционала Рэлея-Ритца и в результате
придем к обобщенной задаче на собственные значения (4.1.55).
Использование в качестве координатных функций щ
многочленов Чебышева (или других глобальных полиномов) приводит к
плотной заполненности матриц А и В и, как следствие, их плохой
обусловленности. Кроме того, при больших степенях полиномов

244 Гл. 4. Моделирование полей в электродинамических резонаторах
при численном интегрировании необходимо многократное
применение квадратурных формул высоких порядков, что усложняет
алгоритм.
Выбор координатной системы, представляющей собой
совокупность сдвигов-сжатий функции с ограниченным носителем,
позволяет обойти указанные трудности. В качестве примера рассмотрим
использование АФ ир(ж) (см. § 1.3) в роли такой функции.
Обладая хорошими аппроксимационными свойствами (локальность,
универсальность, бесконечная дифференцируемость), функция
ир(ж) удобна в численной реализации. В частности, ее
производные легко могут быть вычислены через значения самой функции.
Введем в области Q, прямоугольную сетку: Т{ = ihr, г = l,iVr,
hr = R0/Nr; Zj = hz, j = l,iVz, hz = 2b/Nz. Приближение (4.1.60)
решения исходной задачи будем отыскивать в виде линейной
комбинации сдвигов-сжатий функции up(r) • up(z):
u(r, z) = W(r, z) Y, 5>;UP (£ - i2-"*) up (Z±± _ j2-m^ t
1 J
i = _2^r + l,2m'(iVr+ 1)-1; j = -2™: + l,2m*(Nz + l) -1.
(4.1.62)
(Следует брать только те значения индексов г,^, при которых
носители пересекаются с fi.) Параметры сжатия hr,hz и сдвига mr, mz
выбираются из условия необходимой степени приближения в
метрике Cm{Vt). Так, при mr — mz — m можно получить следующую
оценку для приближения функции /(г, z) Е Cm(fi): V7ir, hz3cij
такие, что
/М - ££W (£-«-') »Р (^-'2-)
£
С"(П)
< О [/im'"/maxct7m(/,/i)] , / = 0,l,...,m, (4.1.63)
L m J
где h = тах{/гг,/гЛ, тахшш(/, /г) — максимум модулей непре-
т
рывности смешанных частных производных порядка га функции
f(r,z) в круге радиусом /г; по определению
^(/W,ft)= ma* \f^(xl)-f^(x2)\, xeRn.
\xi-x2\^h
Вычисление интегралов проводилось с помощью 16-точечных
квадратур Гаусса по пересечению носителей. Поскольку узлы
квадратурных формул Гаусса не являются двоично-рациональными
точками, для нахождения значений функции ир(ж) использовался

4.1. Построение алгоритмов расчета полых резонаторов 245
быстро сходящийся ряд (см. § 1.3)
ос А:
up(:r - 1) = - £ (-1)Р1+~+мр* £ Cjk(x - 0,Р1.. .р*)Л
fc=l j=0
где ж = 0, pi.. .pfc — представление числа х Е [0,1] в двоичной
системе счисления, a Cjk — известные рациональные числа. При
этом бесконечный ряд заменялся конечным с числом членов,
зависящим от близости точки х к 1. Квадратные матрицы А и В
размерности
N = [2m'(iVr + 2) - 1] • [2mz(Nz + 2) - 1]
имеют ленточную структуру с шириной ленты
N = [2mr(Nr + 2) - 1] • (2m*+2 - 1)
и хорошо обусловлены. Для решения обобщенной задачи на
собственные значения использовался QJZ-алгоритм [Ц].
В качестве тестовой рассматривалась следующая абстрактная
задача: найти решение уравнения (4.J.59) в области, описываемой
уравнением
u(r,z) = (R*-r2)(b2-z2)
(продольное сечение цилиндра радиуса До) с однородными
условиями Дирихле на границе. Решение такой задачи можно получить
аналитически. Выражение для минимального собственного числа
имеет вид
*min (26)2 + Rl '
где /ioi ~ 2.4048 — наименьший нуль функции Бесселя Jo(a0-
В табл. 4.7 приведены значения A^in, полученные при До = Ь = 1
(hr = hz = h\ mr = mz — га).
Таблица 4.7. Зависимость fc^in от параметров аппроксимации
m
1
2
/i = До/2
9.095
8.454
/г = ЗЯо/8
8.678
8.340
Л = До/4
8.411
8.286
h = Ro/S
8.251
8.246
Сравнение этих результатов с точным значением fc^in « 8.246
позволяет осуществить подбор параметров m, /i из условия
требуемой точности получаемого численного решения.
10—2176

246 Гл. 4. Моделирование полей в электродинамических резонаторах
Вернемся теперь к исходной задаче. Рабочим для бикониче-
ского резонатора является осесимметрическое колебание ifoib п°-
этому основной интерес представляет нахождение минимального
собственного числа к$п. Для значений в = 45°, Ro = L = 1,
a = 0.5 в табл. 4.8 приведены зависимости рассчитанного к$п от
параметров приближения.
Таблица 4.8. Зависимость fcon от параметров аппроксимации
m
1
2
h = Ro/2
12.171
11.612
h = ЗЯо/8
11.556
11.122
/i = До/4
11.230
11.079
h = Ro/S
11.101
11.064
Нетрудно заметить, что даже на грубой сетке (небольшое
количество координатных функций) достигается относительно
хорошая степень приближения. При этом последнее можно
использовать в качестве начального для нахождения следующего
приближения одним из итерационных методов, что возможно в силу
безграничной дробимости функции ир(х).
4.2. Электродинамические резонаторы
с оптическими кристаллами
В последнее время установлено, что в лазерной физике,
атомной и ядерной спектрометрии, а также в метрологии лазерного,
рентгеновского и гамма-излучений наиболее перспективными
являются структуры в виде резонаторов, нагруженных
электрооптическими кристаллами [12j. Теоретическое изучение собственных
колебаний таких модуляторов фотонного излучения представляет
большой теоретический и практический интерес. В данном
параграфе на примере биконического резонатора [13] проводится
моделирование полей в подобных структурах.
Биконический резонатор (рис. 4.7), занимающий область fii,
состоит из цилиндрической части радиусом R и длиной L, двух
усеченных конусов, образующие которых составляют угол в с
осью Oz\ a — радиус плоских торцов резонатора; d\ — длина
кристалла; а\ — радиус плоского торца кристалла; кристалл занимает
область Vto и может иметь форму кругового (г = а\), сферически
выпуклого (г = аг) или сферически вогнутого (г = аз) цилиндра.
Гармонические электромагнитные колебания описываются
уравнениями Максвелла
rot Е = iujuH: divfeE = о);
(4.2.1)
rot H = —ш/лёЕ + J; div(//H) = 0,

4.2. Электродинамические резонаторы с оптическими... 247
где е = е + ia/uj] u5 — циклическая частота гармонической волны
(колебания с временной зависимостью ехр(—iut))\ Е, Н —
векторы напряженностей электрического и магнитного полей; £, р —
диэлектрическая и магнитная проницаемости; a — проводимость;
Рис. 4.7. Геометрия задачи
J — вектор стороннего тока; р — плотность сторонних зарядов.
Величины £, //, с являются тензорами 2-го ранга. Плотности
стороннего тока J и сторонних зарядов связаны уравнением
непрерывности div J — шр = 0.
На гладкой поверхности раздела двух сред векторы
электромагнитного поля должны удовлетворять условиям сопряжения
[п, (Е2 - Ei)] = 0; [п, (е2Е2 - eiEi)] = т/,
[п, (Н2 - НО] = Js; [n, (//2Н2 - MlBi)] = О,
(4.2.2)
где г = 1,2 — обозначение сред; п — единичный вектор нормали
к поверхности сопряжения, направленный из 1-й среды во 2-ю;
Js — поверхностные заряды; г\ — заряды.
Если ни одна из сред не является идеальным проводником, то
Js Ф о, v Ф о.
4.2.1. Задача Дирихле. Для задачи определения
электрического поля уравнения (4.2.1) и (4.2.2) можно записать в виде
rot (рГ1 rot Е) - ш2еЕ = iu5J,
где Ms
div(£E) = /9,
[E,n] = M5,
поверхностный магнитный ток.
(4.2.3)
(4.2.4)
(4.2.5)

248 Гл. 4. Моделирование полей в электродинамических резонаторах
Если внутри однородной структуры отсутствуют источники
(сторонние токи и заряды), то можно рассматривать следующую
краевую задачу эллиптического типа:
AU + A;2U = 0 в ft, (4.2.6)
[n,U]=0; divU = 0 на 3ft, (4.2.7)
где U = Е; ft — область исследования; дО, — граница ft.
Сопоставим краевой задаче (4.2.6), (4.2.7) вариационную:
найти пары (A, U) (A G i?, U G V — {0}), удовлетворяющие условиям
a(u,v) = A(u,v), Vv G V, (4.2.8)
где
a(u,v) = / ((rotU,rotv)+divu-divv)cfo; (4.2.9)
n
V={v(r) G W^ft), [n,v] = 0; divv = 0, V(r G 3ft)} —
пространство допустимых функций v; W\ (ft) — соболевское
пространство, содержащее решения задачи (4.2.6), (4.2.7).
Вариационная задача (4.2.8), (4.2.9) может быть решена
методом Ритца с использованием теории R-функций. При этом
решение задачи (4.2.6), (4.2.7) представим в виде соотношения
и = о;Ф + Уо;Р, (4.2.10)
где ФиР — произвольные достаточное число раз
дифференцируемые векторная и скалярная функции; и — уравнение границы
5ft области исследования ft, которое строится с использованием
конструктивных средств теории R-функций. Это выражение
удовлетворяет граничному условию (4.2.7). В качестве функций Ф
и Р могут выбираться классические полиномы, полиномы с
локальными носителями или специальные функции.
4.2.2. Задача Неймана. Следующая система уравнений
описывает магнитную задачу:
AU + A;2U = 0 в ft, (4.2.11)
(п • и) = 0,
[n, rot и] = 0 на 3ft. (4.2.12)
Под вектором и понимается вектор Н. Задаче (4.2.11), (4.2.12)
эквивалентна следующая вариационная задача: найти пары (А, и)
(A G Я, и G U — {0}), удовлетворяющие условиям
a(u, v) = A(u, v), Vv G V, (4.2.13)

4.2. Электродинамические резонаторы с оптическими... 249
где
a(u,v) = / ((rot u-rot v) +divu)dft; (4.2.14)
n
V = {v(r) e W^(fi)i(n,v) = 0; [n, rotv] = 0, Vr £ 50}.
Эта задача — аналог задачи Неймана, и ее решение в соответствии
с методом R-функций представляется соотношением
и = Ф - Уо;(Уо;Ф) + cos Vu;P, (4.2.15)
где ФиР — произвольные достаточное число раз
дифференцируемые векторная и скалярная функции. Выражение (4.2.15)
удовлетворяет 1-му из граничных условий (4.2.12). Однако, если
произвольную векторную функцию Ф представить в виде следующей
суммы:
Ф = Фо+^Фь (4.2.16)
где Ф и Фх — некоторые произвольные вектор-функции, то придем
к аналитическому решению внутренней магнитной задачи
(выкладки опускаем):
и = Ф0 - Уы(Уо;Фо) + ujVujP +
+ ш{[УигоЬФ0] - [Vurot (Уо;(Уо;Фо))] ~и&\}, (4.2.17)
где Фо, Фь Р — неопределенные компоненты структуры,
которые определяются при численной реализации одним из
вариационных методов и могут представлять собой либо классические
полиномы, либо полиномы с локальными носителями, либо
специальные функции.
Пример 4.4. Рассмотрим магнитные колебания бикониче-
ского резонатора с одноосным кристаллом КДР в сантиметровом
диапазоне изменений длины волны А [13]. Геометрические
параметры кристалла а\ и d\ варьировались (0.05a ^ a\ ^ a, 0.05d ^
< d\ < d) при неизменных геометрических параметрах
резонатора d, L. Физические характеристики кристалла и резонатора Е\
и £2 также не изменялись. Для колебаний типа Дою значения
собственных чисел к в зависимости от а\ представлены на рис. 4.8,
который дал возможность показать, что а\ не должно превосходить
входную апертуру а (а\ ^ а) для различных значений: a = 5 мм
(рис. 4.8а), а = 4мм (рис. 4.86). Значение d\ кристалла
влияет на числа к2 при конкретных параметрах а и а\ следующим
образом: оно возрастает, если d\ ^ 0.55d, и резко убывает, если
0.55rf < d\ < rf, при различных значениях а\ = а, т.е.
максимальное значение к2 числа достигается при параметрах а\ < a

250 Гл. 4. Моделирование полей в электродинамических резонаторах
и d\ ^ 0.55d для ограниченного кристалла. Если кристалл КДР
имеет параметры a\ ^ а и d\ = d, то А;2 достигает максимального
значения при а\ = а. Картины линий уровня поля i?oio для
различных значений входной апертуры а (а = 3, а = 6) приведены на
*2106
7.0 Н
6.9-1
6.8
6.7
6.6
и 1 i 1—
12 3 4
5 *|
*•
106
6.2 -Г у
6.1-
6.0-
/
1
- • ^
i—i—i—
i
\
\
—i—►
2 3 4
б
5 ах
Рис. 4.8. Зависимости к2 от параметра а\ при а — 5 мм (а), а = 4мм [6)
рис. 4.9 (полый резонатор). Поле достигает максимальных
значений при г = R\ и распространяется практически на всю внешнюю
Ш 0.61564Е-О1
■ 0.54724Е-О1
^ 0.47883Е-О1
■ 0.41043Е-О1
Ш 0.34202Е-О1
Щ 0.27362Е-О1
5Й 0.20521Е-01
Ш0.13681Е-О1
» 0.68404Е-О2
ж 0.34868Е-15
Ж 0.58567Е-О1
■ 0.52059Е-О1
^ 0.45552Е-О1
■ 0.39045Е-О1
Ш 0.32537Е-О1
Щ 0.26030Е-01
&0.19522Е-О1
Ц 0.13015E-O1
» 0.65074Е-О2
# 0.13323Е-14
Рис. 4.9. Линии уровня поля #ою полого резонатора при а = 3 (а), а = 6 (б)
поверхность. С увеличением а зона максимальных значений поля
несколько спускается и немного уменьшается по абсолютной
величине (рис. 4.96).

4.2. Электродинамические резонаторы с оптическими... 251
С изменением L (увеличением или уменьшением) наблюдается
увеличение зоны максимальных значений поля и рост
абсолютных максимальных значений поля с уменьшением L.
Поместим кристалл внутри биконического резонатора такого,
что а\ = о и d\ = d (рис. 4.10). Здесь значительно возрастает
Ш 0.59157Е-01
■ 0.52584Е-О1
^ 0.46011Е-01
■ 0.39438Е-О1
Ж 0.32865Е-О1
Щ 0.26292Е-01
S 0.19719E-01
if 0.13146E-O1
8 0.65730Е-О2
■£ 0.11432Е-14
Рис. 4.10. Линии уровня поля #ою для резонатора с кристаллом при а\ = а и
d\ — d
максимальное значение поля вблизи поверхности г = i?i, хотя и
занимает малую зону. Кристалл внутри резонатора значительно
расширяет зону минимальных значений поля и концентрирует ее
на поверхностях г = ±1.5а и z « ±d/2.
Наличие ограниченного кристалле качественно сохраняет поле,
увеличивая при этом как его максимальные, так и минимальные
значения практически при тех же значениях г и z.
Получаемые резонансные частоты позволили определить
диапазон длины волны работы биконического резонатора с
внутренним осевым кристаллом КДР. Так, если кристалл имеет параметр
oi = о = Змм, то 1.49а ^ А ^ 1.703а при различных
значениях d\ ^ d. Если изменяется L (3 ^ L ^ 10) при а\ = а и
d\ = 0.5d, то 1.3а ^ А ^ 1.57а. Параметр а при своем
изменении (3 ^ а ^ 6) определил 2.17а ^ А ^ 2.6а. Таким образом,
Ш 0.65222Е-01
■ 0.57975Е-01
IS 0.50728E-O1
■ 0.43481Е-01
Ж 0.36234Е-О1
Щ 0.28987Е-Ю1
Щ 0.21741Е-01
■ 0.14494Е-01
8 0.72468Е-02
1 0.10408Е-16
Рис. 4.11. Линии уровня поля #ою в резонаторе с кристаллом
для сантиметровых длин волн А наиболее оптимальным по
геометрическим параметрам для колебаний волн типа Яою является
кристалл с характеристиками а\ = a; d\ — 0.5d; L = R\.
Перейдем к исследованию электрического поля внутри
биконического резонатора, имеющего внутренний одноосный кристалл

252 Гл. 4. Моделирование полей в электродинамических резонаторах
КДР. Пусть кристалл занимает область —а = а\ ^ г ^ а = ai,
—d = rf ^ 2 ^ di = d. Значения собственных частот в
электрическом поле ниже, чем в магнитном. Максимальное
значение поля JSqio (рис. 4.11) занимает поверхность 0.5rf ^ z ^ d и
О ^ г ^ oi, возрастая к границе области сЮ, так как кристалл
и резонатор симметричны. Влияние ai при этом качественно не
изменяет картину линий уровня -Бою, н0 к2 возрастает с
уменьшением а\.
На рис. 4.12 представлены линии уровня поля i?oio при
значении геометрического параметра а\ = 2. Максимального значения
поле достигает, приближаясь к внешней поверхности резонатора.
При этом его абсолютное максимальное значение с изменением
параметра а\ (параметры rfi, d, a, L, R\ оставались неизменными)
Ш 0.65709Е-01
■ 0.58404Е-01
Ш 0.51107Е-О1
■ 0.43006Е-01
Ш 0.36505Е-О1
Ш 0.29204Е-О1
Ш 0.21903Е-01
■ 0.14602Е-О1
S 0.73010Е-02
ш 0.86736Е-17
Рис. 4.12. Линии уровня поля Еою при а\ = 2
мало отличается и не зависит от а\. Зона максимальных
значений по переменной z практически не изменяется, т.е. для этой
зоны характерны такие параметры гг, йг:
— l.loi ^ гг ^ l.loi; 0.5d ^ c?2 ^ d.
На рис. 4.13 показана зависимость числа к2 от значения а\.
При а\ = 2 и Змм (ai/a « 0.7 и а\/а = 1) результаты практически
*2106
4.7 i
4.6
4.5 Н
4.4
0.5 1 2 3 а\
Рис. 4.13. Зависимость к2 от параметра ai
совпадают, т.е. при 0.7а ^ а\ ^ а число fc2 меняется
несущественно.

4.2. Электродинамические резонаторы с оптическими... 253
Приведем теперь результаты, связанные с изменением
параметра d\ кристалла, оставляем при этом неизменными параметры
a, L, i?i, oi; а = a\.
Ha рис. 4.14 d\ = 0.2d. Абсолютное максимальное значение
возрастает с увеличением rfi, картина поля несущественно каче-
щ 0.64251Е-01
.—^«^■^з^^ ■. а57,,2Б-01
Рис. 4.14. Линии уровня поля Eow при di = 0.2d
ственно изменяется вблизи внешнейг поверхности резонатора.
Наблюдается плавная зависимость собственного числа к2 от d\ с
максимальным значением при d\ « 0.5d. Таким образом, наиболее
приемлемыми геометрическими параметрами для кристалла
являются a\ « a; di « 0.5<£
Изменим параметр а, т.е. входную апертуру резонатора,
оставив неизменными все остальные геометрические параметры (d,
i?i, L). Параметры кристалла выберем такими: а\ = Змм, di =
= 5 мм. Картина линий уровня поля i?oio представлены при значе-
0.61376Е-01
0.54556Е-О1
0.47737Е-Ю1
■ 0.40917Е-01
Ш 0.34098Е-О1
Ш 0.27278Е-01
Ш 0.20159Е-01
0.13639Е-О1
Я 0.60195Е-02
ш 0.10408Е-16
Рис. 4.15. Линии уровня поля Еою при а = 5 мм
нии а = 5 мм на рис. 4.15. Зона максимальных значений поля
качественно изменяется, а абсолютное максимальное значение

254 Гл. 4. Моделирование полей в электродинамических резонаторах
уменьшается с ростом а, одновременно резко уменьшается и
квадрат собственного числа к2 (рис. 4.16).
Картина линий уровня поля существенно зависит от
параметра d резонатора. Наиболее плавно зона максимального значения
Г-10°
4.7
4.6
4.5
Рис. 4.16. Зависимость к2 от параметра a
поля изменяется, если 10 ^ d ^ 18 мм при остальных
неизменных геометрических параметрах резонатора. Наблюдается
значительный рост максимальных значений вдоль оси z резонатора
с уменьшением параметра d.
Перейдем теперь к исследованию влияния изменения
значения L — одного из геометрических параметров резонатора при
неизменных остальных параметрах резонатора и кристалла. Кар-
0.69491 Е-01
0.61770Е-01
0.54048Е-01
0.46327Е-О1
0.38606Е-О1
0.30885Е-О1
0.23164Е-01
0.15442Е-01
0.77212Е-02
0.86736Е-17
0.70248Е-01
0.62443Е-01
0.54638Е-О1
0.46832Е-О1
0.39027Е-О1
0.31221Е-О1
0.23416Е-Ю1
0.15611Е-О1
0.78854Е-О2
0.86736Е-17
Рис. 4.17. Линии уровня поля Еою при L\ — 0.9L (a), L\ — 0.2L (б)

4.3. R-функции в обобщенном методе собственных колебаний 255
тины линий уровня поля JSoio для L\ = 0.9L и L\ = 0.2L
представлены на рис. 4.17. С увеличением параметра L зона макси-
Ш 0.70315Е-Ю1
■ 0.62502Е-01
Ш 0.54689Е-Ю1
■ 0.46876Е-01
Ш 0.39064Е-01
Ш 0.31251Е-01
Ш 0.23438Е-01
■ 0.15625Е-О1
# 0.78127Е-02
Ш 0.00000Е+00
Рис. 4.18. Линии уровня поля Eow при г = 0.8jR
*2106
5.5
5^
4.5
4.5
1 0.5 0.75
1.25
LJL
Рис. 4.19. Зависимость к2 от параметра L
мальных значений поля по переменной z расширяется, по
переменной г уменьшается. Значение максимального поля падает с
увеличением L\ (рис. 4.176).
Картина линий уровня при параметре резонатора г = 0.87?
приведена на рис. 4.18. На рис. 4.19 представлен график
зависимости квадрата собственного числа к2 от L.
Исследование влияния геометрических параметров резонатора
и кристалла внутри него позволяет, в частности, определить
резонансные характеристики структуры.
4.3. R-функции в обобщенном методе
собственных колебаний
Обобщенный метод собственных колебаний (ОМСК) [14]
является развитием метода собственных частот применительно к
решению широкого класса внутренних и внешних задач теории
дифракции (см. примеры и обзор литературы в [14], работу [15]
и др.). Известно достаточно большое количество модификаций
ОМСК: &-метод (метод собственных частот), е-метод (собственное
значение в уравнении), w-метод (собственное значение в
граничном условии импедансного типа), />метод (собственное значение

256 Гл. 4. Моделирование полей в электродинамических резонаторах
в условии сопряжения), s-метод (собственное значение в условиях
на бесконечности). С точки зрения численного анализа, ОМСК
базируется на решении некоторой вспомогательной задачи на
собственные значения в сложной области путем разложения искомого
решения в ряд по некоторой системе базисных функций и
нахождения коэффициентов этого ряда одним из вариационных
методов. Функции базиса должны удовлетворять определенным
требованиям, в частности, краевым условиям. В случае области
произвольной формы выбор базиса может представлять собой непростую
задачу. Эта проблема может быть эффективно решена с помощью
теории R-функций. Рассмотрим совместное использование ОМСК
(&- и е-методы) и метода R-функций для решения задач теории
дифракции [16].
Изложим основную идею ОМСК на примере к- и е-методов для
скалярных задач дифракции.
4.3.1. Метод собственных частот (fc-метод). Пусть в
ограниченной области fi необходимо найти решение U неоднородного
уравнения Гельмгольца
AU + k2eU = f (4.3.1)
с заданными волновым числом &, функцией источника / и
диэлектрической проницаемостью е, а также краевыми условиями
на границе dQ вида
U\m = 0 (4.3.2а)
(условия Дирихле),
(условия Неймана) или
8п
= О (4.3.26)
an
("+-£)
= 0 (4.3.2в)
дп
(импедансные условия 3-го рода). Здесь п — вектор внешней
нормали к dfi, w — не зависящий от частоты к импеданс. Как
функция координат, е может быть разрывной, но далее будем
предполагать ее достаточно гладкой, так как разрывную функцию можно
представить как предел последовательности непрерывных
функций произвольной гладкости. Далее вводится в рассмотрение
вспомогательная система функций пп, удовлетворяющая однородному
уравнению
А^п + к^еип = О
(4.3.3)

4.3. R-функции в обобщенном методе собственных колебаний 257
в той же области Q, и краевым условиям, аналогичным (4.3.2):
un|an = 0' (4*3-4а)
dun\
Эп
un + w
О,
дп
дип
= 0.
(4.3.46)
(4.3.4в)
дп
Существует счетное множество собственных значений (спектр
частот) kn, при которых эта задача имеет нетривиальные
решения — собственные функции. Собственные значения задачи
(4.3.3)-(4.3.4а,б) вещественны, а собственные функции
ортогональны между собой в вещественном смысле
/
sunumda = 0 (п ф га),
где da — элемент объема, а также в эрмитовом смысле
eunu*mda = 0 (п ф га),
/■
п
где * — знак комплексного сопряжения. При этом
\Vun\2da
,2 _ п
(4.3.5)
(4.3.6)
п
J e\ul\da
(4.3.7)
Для условий (4.3.4в) имеет место лишь ортогональность (4.3.5), а
(4.3.6) сохраняется только, если Imw = 0. Зная ип и kn, можно
решение исходной задачи (4.3.1), (4.3.2) записать в виде
где
и — у ^ Апип,
п
(4.3.8)
А-п —
k2-kl
da
n
J™1
da
\n
(4.3.9)

258 Гл. 4. Моделирование полей в электродинамических резонаторах
Этот вариант ОМСК наиболее эффективен, когда в ряде (4.3.8)
один член намного больше остальных, а поле U близко к полю
одного из собственных колебаний. Такая ситуация возникает в
случае систем с малыми потерями (Imkn мало) при частоте
возбуждения А;, близкой к Rekn. Тогда решение исходной задачи
где сп — коэффициент пропорциональности, зависящий от токов
возбуждения /. Из (4.3.7) следует, что для определения kn методом
Ритца надо варьировать функционал
L(u) = I (Vu)2da-k2 I eu2da. (4.3.11)
Он стационарен (обращается в ноль) при к = кп и и = ип. Если
представить ип в виде ряда по базисным функциям ipm,
удовлетворяющим граничным условиям (4.3.4)
«n = J(4nW (4.3.12)
m
то получим следующую алгебраическую задачу на собственные
значения:
£ amlc№ = k2nJ2 bmic%\ (4.3.13)
771 771
где ami = / V(pmV(pida, bmi = / e(pm(pida. Решив (4.3.13),
n n
определим кп и коэффициенты Cm • Краевые условия (4.3.4б,в)
естественные и необязательно требовать удовлетворения им
функций (рт. В этом случае вместо (4.3.11) следует минимизировать,
например, функционал
L{u)= f (Vu)2da-k2 f eu2da+- I и2 ds, (4.3.14)
где ds — элемент длины дуги. Тем не менее, выбор с^т,
удовлетворяющих граничным условиям, позволяет ускорить сходимость
метода и уменьшить число необходимых базисных функций для
достижения требуемой точности.
4.3.2. Собственное значение в уравнении (s-метод).
Рассмотрим дифракцию на диэлектрическом теле, помещенном в
закрытый резонатор. Пусть внутри конечной области fi+ С П
(диэлектрик) функция U удовлетворяет уравнению
AU + k2eU = /, (4.3.15)

4.3. R-функции в обобщенном методе собственных колебаний 259
в остальной части О, = fi\fi+ (рис. 4.20) — уравнению
AU + k2U = f, (4.3.16)
а на границе диэлектрика dQ+ — условиям сопряжения
tf+-Cr|ftrvt=0, |^--^_|| =0,
1ап+
(ди+ ди~
\ дп дп
дп+
(4.3.17)
где п — внешняя нормаль к dft+, a £/+ и U — значения U по обе
стороны дП+. На границе резонатора дП выполняются краевые
Рис. 4.20. Диэлектрическое тело в закрытом резонаторе с идеально
проводящими стенками
условия (4.3.2). Диэлектрическая проницаемость е может быть
комплексным числом.
Пусть U0 — поле, удовлетворяющее во всем резонаторе
уравнению
AU° + k2U° = f (4.3.18)
с теми же граничными условиями. Тогда решение задачи
дифракции (4.3.15)—(4.3.17), (4.3.2) представляется в виде ряда
U = U° + ^Anun, (4.3.19)
п
где ип — собственные функции следующей вспомогательной
родной задачи:
Aun + k2enun = 0 в fi+,
Aun + k2un = 0 в О,
с условиями сопряжения
одно-
(4.3.20)
(4.3.21)
ип "п|ап+-и' [дп дп)
и краевыми условиями (4.3.2).
\дп+
= 0
(4.3.22)

260 Гл. 4. Моделирование полей в электродинамических резонаторах
Собственными значениями последней задачи являются
числа еп. Эта задача описывает собственное колебание (поле без
источников), происходящее в системе резонатор-диэлектрическое
тело. Вне диэлектрика собственные функции удовлетворяют тому
же уравнению, что и дифрагированное поле U — U0.
Собственные функции задачи (4.3.20)-(4.3.21), (4.3.2а,б) ортогональны в
смысле
/
/
UnUm da = 0 (п Ф га),
unU^da = 0 (пфтп),
(4.3.23)
(4.3.24)
а собственные значения еп — вещественны.
Если на dfl задано краевое условие (4.3.4в) с комплексным
импедансом w, Imw < 0 (поглощающие стенки), то однородная
задача для un не является самосопряженной, собственные
значения еп комплексны, и выполняется лишь соотношение (4.3.23).
При наличии потерь собственные колебания возможны лишь при
условии, что в диэлектрике происходит выделение энергии.
Мнимая часть еп должна быть при этом положительной, а энергия,
выделяемая в теле, равна энергии, поглощаемой в стенках.
Для определения еп надо варьировать функционал
Ци) = f (Vu)2 da-k2 f и2 da - k2e f u2 da, (4.3.25)
где, в отличие от (4.3.11), роль множителя Лагранжа выполняет е.
Применение разложения (4.3.12) и метода Ритца к (4.3.25)
приводит к следующей алгебраической задаче на собственные значения:
£ amlC№ = en ^ bmlC%\ (4.3.26)
m m
где
flm/ = / V</?m V(pi da-k2 (pm(pi da, bml = k2 / (pm(pi da.
n n- n+
Окончательно, коэффициенты Ап в (4.3.9) находятся по формуле
/ Г.. „Л
An —
1
1-е
e-enk2(l-en)
/ unfda
n
(4.3.27)

4.3. R-функции в обобщенном методе собственных колебаний 261
Метод R-функций позволяет для области сложной формы
строить базисные функции tpm в (4.3.12), точно удовлетворяющие
однородным краевым условиям (4.3.4). Правая часть (4.3.12)
может рассматриваться при этом как структура решения краевой
задачи, зависящая от неопределенных коэффициентов Cm •
Последние находятся из условия минимизации функционала (4.3.11) или
(4.3.25).
Пусть методом R-функций построено уравнение области О,
(полагаем, что Q С -R2)
ш(х,у) = 0, (4.3.28)
такое, что функция о; > 0 внутри fi, u < 0 за пределами fi, uj = 0
на dCt. В случае краевых условий 2-го или 3-го рода потребуем
также, чтобы функция и была нормализованной, т.е. duj/dn\d^ =
= — 1. Выберем произвольную, полную в Q, систему функций фп.
Тогда базисные функции (рп в (4.3.12), точно удовлетворяющие
краевым условиям (4.3.4а-в), соответственно, имеют вид
4>п = Й>п, (4.3.29а)
<Рп = Фп- иВфп, (4.3.296)
<Рп = Фп - w (офп - Щ . (4.3.29в)
Здесь
_ ди д дио д
~~ дх дх ду ду
— введенный в главе 1 дифференциальный оператор, на
границе дО, совпадающий с оператором дифференцирования по внешней
нормали. В выражении (4.3.29в) осуществлено продолжение w с
границы внутрь области.
Пример 4.5. Рассмотрим задачу дифракции в закрытом
резонаторе Н-образной формы с металлическими стенками и
диэлектрической вставкой (рис. 4.21). Собственные функции однородной
задачи е-метода удовлетворяют уравнению (4.3.20) в области fi4",
занятой диэлектриком, (4.3.21) — в остальной части
резонатора fi~, a также условиям непрерывности (4.3.22) и граничному
условию (4.3.4а) на стенках резонатора (JS-поляризация).

262 Гл. 4. Моделирование полей в электродинамических резонаторах
Для реализации метода R-функций построим сначала функцию
границы области Q,
ш(х, у) = [(Ъ2 - х2) Л0 (L2 - у2)] Л0 [(х2 - a2) V0 (I2 - у2)}.
(4.3.30)
Далее воспользуемся методом Ритца минимизации функционала
(4.3.25) с базисными функциями (4.3.29а) в разложении (4.3.12).
Рис. 4.21. Геометрия области
В качестве фп возьмем обычные степенные полиномы,
ограничившись лишь четными степенями по х и у (четные колебания).
Сходимость метода Ритца контролировалась численно путем
сравнения результатов, полученных для различного числа
базисных функций. Достигнутая погрешность равнялась примерно 1%
т
ч
>
/2=1
/2 = 3
М—^
/2 = 2
III
0 0.25 0.5 0.75 1
Рис. 4.22. Зависимости первых трех собственных значений от геометрии
резонатора
при 14 базисных функциях. На рис. 4.22 приведены зависимости
трех первых собственных значений еп от относительной ширины

4.3. R-функции в обобщенном методе собственных колебаний 263
диэлектрической вставки при ka = \/2, L/a = 3, b/a == 2. На
рис. 4.23 показаны линии уровня первых четырех собственных
функций, соответствующих четным по обеим координатам
колебаниям.
Полученные результаты хорошо согласуются с данными [14],
где решение осуществлялось одним из вариантов метода
частичных областей, но вместо (4.3.25) приходилось минимизировать
функционал более сложного вида. На основании анализа полу-
г, =0.7883 е2 = 6.2012 е3 = 6-5642 £4 = 29-598
а бег
Рис. 4.23. Первые четыре собственные функции (1/L = 0.5)
ченных результатов можно сделать вывод, что применение метода
R-функций эффективно в тех вариантах ОМСК, когда собственное
значение содержится в уравнении (А;- и е-методы). В случаях,
когда собственное значение содержится в граничных условиях (гск
р- и 5-методы), использование аппарата R-функций
нецелесообразно в силу того, что невозможно построение единой структуры
решения краевой задачи. Предложенный подход удобен как для
внутренних, так и внешних задач дифракции. Он может быть
также распространен на решение векторных задач для уравнений
Максвелла.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Подводя итог изложенному, отметим некоторые основные
моменты, полезные, с точки зрения авторов, при решении методом
R-функций краевых задач электродинамики. Структурный
метод позволяет строить приближения к точному решению,
априори удовлетворяющие практически любым граничным условиям на
границе сложной области. Однако удовлетворение краевым
условиям не влечет за собой автоматически хорошую степень
приближения во всей области. Следует тщательно подходить к выбору
структуры решения, с одной стороны полной, а с другой, — не
настолько громоздкой, чтобы неоправданно увеличивать время счета
и приводить к накоплению машинных погрешностей. Большую
помощь может оказать учет особенностей геометрии сложной
области, в которой ищется решение. Возможны два основных пути:
либо предварительное сглаживание границы области, либо
использование вспомогательных сингулярных выражений, добавляемых
к набору гладких базисных функций. Первый подход является
более прост при численной реализации. Однако он в большей
степени является эмпирическим, так как исследователями степень
сглаживания часто определялась из интуитивных соображений.
Впервые получены аналитические соотношения для радиуса
закругления в окрестности угловой точки, получаемого при
использовании сглаживающей системы почти R-функций. Что
касается второго подхода, то использование введенных сингулярных
R-операций позволяет не только получить решение,
удовлетворяющее условиям Мейкснера в угловых точках, но и существенно
упростить процедуру численной реализации, так как набор
базисных функций состоит из однотипных (сингулярных в окрестности
угла) компонент. Для получения более точного решения удобно
также воспользоваться локальными системами почти и
сингулярных R-функций, а также разнообразными комбинациями
указанных подходов. Одним из эффективных методов учета
особенностей может оказаться совместное применение альтернирующего
метода Шварца и теории R-функций. Подробно рассмотрены
особенности такого подхода.
Важную роль имеет учет особенностей при расчете полей в
структурах с фрактальной (изломанной) геометрией границ.
Исследованы два типа известных фрактальных объектов: ковер Сер-
пинского и остров Коха. Уравнения их границ строятся методом
R-функций.
К одним из наиболее сложных классов задач следует отнести
внешние краевые задачи электродинамики. Их решение проекци-

Заключение
265
онными методами наталкивается на серьезные сложности,
связанные с невозможностью осуществить численное интегрирование по
бесконечной области, а также необходимостью построения
базисных функций, удовлетворяющих условиям излучения. В главе 2
приведены эффективные алгоритмы метода R-функций для
решения задач дифракции электромагнитных волн на ограниченных
объектах сложной формы.
Постановка и решение краевых задач электродинамики
является первым этапом при решении более сложных задач. В качестве
примера в главе 3 монографии рассмотрена комплексная проблема,
заключающаяся в моделировании излучения из открытого конца
(апертуры) регулярного волновода сложной формы. На первом
этапе методом R-функций находится поле в раскрыве, по которому
восстанавливается поле в дальней зоне. Рассмотрение проведено в
наиболее общей постановке, когда стенки волновода обладают
конечной проводимостью, в частности, сверхпроводящие. Благодаря
схожести постановок задач многие алгоритмы метода R-функций
одинаково приемлемы для решения скалярных задач
электродинамики как в волноводах, так и в закрытых резонаторах.
Наконец, особое внимание уделено расчету полей в
электродинамических структурах с неоднородностями. Метод R-функций
в этом случае может быть эффективно использован как
самостоятельно, так и в комбинации с другими известными методами, в
частности, обобщенным методом собственных колебаний.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
К главе 1
1. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего
анализа. — М.-Л.: Физматгиз, 1962.
2. Рвачев В. Л. Методы алгебры логики в математической физике. — Киев:
Наукова думка, 1974.
3. Рвачев В.Л., Рвачев В.А. Неклассические методы теории
приближений. — Киев: Наукова думка, 1979.
4. Рвачев В.Л. Теория R-функций и некоторые ее приложения. — Киев:
Наукова думка, 1982.
5. Карри Х.Б. Основания математической логики. — М.: Мир, 1969.
6. Mandelbrot В.В. The Fractal Geometry of Nature. — San Francisco:
Freeman, 1983.
7. Басараб М.А., Кравченко В.Ф. Построение уравнений границ
областей фрактальной геометрии с помощью метода R-функций //
Электромагнитные волны и электронные системы. 2001. Т. 6. № 6. С. 31-37.
8. БасарабМ. А. Решение краевых задач в областях фрактальной геометрии
методом R-функций // Электромагнитные волны и электронные системы.
2003. Т. 8. ДО 9. С. 31-39.
9. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и
функционального анализа. — М.: Наука, 1981.
10. Кравченко В.Ф. Лекции по теории атомарных функций и некоторым их
приложениям. — М.: Радиотехника, 2003.
11. Кравченко В.Ф., Потапов А.А., Масюк В.М.
Атомарно-фрактальные функции в задачах синтеза антенн // Зарубежная радиоэлектроника.
Успехи современной радиоэлектроники. 2001. № б. С. 4-40.
12. Кравченко В.Ф., Масюк В.М. Новый класс фрактальных функций в
задачах анализа и синтеза антенн // Антенны. 2002. № 10(65). С. 3-72.
13. SierpinskiM. W. Sur une courbe don't tout point est un point de
ramification // Comptes Rendus des Seances de TAcademie des Sciences. Janvier-Juin
1915. V. 160. P. 302-305.
14. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций
полиномами. — М.: Наука, 1977.
15. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. — М.:
Наука, 1970.
16. X а р р и к И. Ю. О приближении функций, обращающихся в нуль на границе
области, функциями особого вида // Матем. сборник. 1955. Т. 37(79). № 2.
С. 353-384.
17. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и
технике. — М.: Мир, 1985.
18. Марчук Г. И., Агошков В. И. Введение в проекционно-сеточные
методы. — М.: Наука, 1981.

Список литературы
267
19. СтрельченкоА.И. Определение собственных чисел и собственных
функций оператора Лапласа в областях сложной формы. Дис. ... канд. физ.-мат.
наук. — Киев, 1971.
20. Гончарюк И.В. Почти R-функции и некоторые их свойства / В кн.
Математические методы анализа динамических систем. — Харьков: Харьк.
авиац. ин-т. 1984. Вып. 8. С. 35-40.
21. Б аса раб М.А. Сингулярные R-функции в краевых задачах
электродинамики // Электромагнитные волны и электронные системы. 2003. Т. 8. № 10.
С. 30-38.
22. Meixner J. The Behavior of Electromagnetic Fields at Edges // IEEE
Trans. 1972. AP-20. July. P. 442-446.
23. Б а с а р а б М. А., Кравченко В. Ф. Новый численно-аналитический метод
решения краевых задач в областях с входящими углами //
Электромагнитные волны и электронные системы. 2003. Т. 8. № 11-12.
24. Терешин Д. А. Численно-аналитический метод решения задачи Дирихле
в областях, содержащих входящие углы / Моделирование процессов
обработки информации и управления. Меж-вед. сб. Моск. физ.-техн. ин-та. С. 79-
87.
25. Бабич В.М., Капилевич М.Б., Михлин С.Г. и др. Линейные
уравнения математической физики / Под ред. С. Г. Михлина. — М.: Физматгиз,
1964.
26. Гутер Р. С, Кудрявцев Л. Д., Левитан Б. М. Элементы теории
функций / Под ред. П.Л.Ульянова. — М.: Физматгиз, 1963.
27. Стечкин СБ., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной
математике. — М.: Наука, 1976.
28. Рвачев В. Л., Рвачев В. А. Атомарные функции в математической
физике / В кн. Математизация знаний и научно-технический прогресс. —
Киев: Наукова думка, 1975. С. 188-199.
29. Рвачев В. Л., Рвачев В. А. О применении функции ир(#) в методе
конечных элементов // Математическая физика. 1975. Вып. 17. С. 170-175.
30. Рвачев В. А. Применение функции ир(х) в вариационно-разностных
методах / Препринт № 16. — Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1975.
31. КравченкоВ.Ф., Рвачев В. А. Применение атомарных функций для
решения краевых задач математической физики // Зарубежная
радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники. 1996. № 8. С. 6-22.
32. Б аса раб М. А., Кравченко В.Ф., Масюк В.М. R-функции,
атомарные функции и их применение // Зарубежная радиоэлектроника. Успехи
современной радиоэлектроники. 2001. № 8. С. 5-40.
33. Whitney H. Analytic Extensions of Differentiable Functions Defined in
Closed Sets // Trans. Amer. Math. Soc. 1936. V. 36. P. 63-89.
34. Рвачев В.Л., Рвачев В.А. Бесконечно дифференцируемые уравнения
замкнутых множеств // Вестник Харьковского политехнического ин-та.
1976. № 113. Вып. 3. С. 3-5.
35. Basarab M.A. Modified Algorithm of the R-Functions Method for
Solving Boundary Value Problems / Матер1али VIII м1жн. наук. конф.
iM-акад. М.Кравчука. 11-14/05, 2000. — Ктв. НТУ (КШ) С. 19.
36. Basarab M.A. Modified Algorithm of the R-Functions Method for Solving
Electromagnetics Boundary Value Problems / Proc. of the Int. Conf. on
Mathematical Methods in Electromagnetic Theory. 12-15/09, 2000. — Kharkov.
V. 2. P. 700-702.

268
Список литературы
37. Б а с а р а б М. А. Периодическая атомарная квазиинтерполяция // УкраГнсь-
кий математичний журнал. 2001. Т. 53. № 10. С. 1422-1426.
38. Басараб М. А., Кравченко В.Ф. Итерационный метод разложения
интерполяционного алгебраического полинома по атомарным функциям //
Электромагнитные волны и электронные системы. 2000. Т. 5. № 4. С. 4—10.
39. Кравченко В.Ф., Басараб М. А. Приближение атомарными функциями
и численные методы решения интегральных уравнений Фредгольма второго
рода // Дифференциальные уравнения. 2001. Т. 37. № 10. С. 1406-1414.
40. Бахвалов Н. С. Численные методы. — М.: Наука, 1973.
41. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. — М.: Мир, 1999.
42. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. —
М.: Мир, 1969.
43. Литвин О.Н., РвачевВ.Л., Ярмолюк В.К. О решении одного класса
краевых задач со смешанными граничными условиями для областей
сложной формы // Дифференциальные уравнения. 1968. Т. 4. № 11. С. 2089-
2093.
44. Кравченко В.Ф., Рвачев В.Л., Торчинов В.В. МетодR-функций в
краевых задачах электродинамики с произвольными граничными
условиями // Электромагнитные волны и электронные системы. 1999. Т. 4. № 5.
С. 7-20.
К главе 2
1. Кравченко В.Ф., Рвачев В.Л. Применение метода R-функций для
решения скалярной задачи теории дифракции // Радиотехника. 1970.
Вып. 13. — Харьков: Изд-во ХГУ им. А. М. Горького. С. 163-167.
2. Кравченко В.Ф., Поляков В.Ф., Рвачев В. Л. К решению задачи
дифракции плоской волны на системе лент методом R-функций //
Радиотехника. 1970. Вып. 13. — Харьков: Изд-во ХГУ им. А. М. Горького. С. 168-176.
3. Кравченко В.Ф., Полевой В.И., Рвачев В.Л. Решение задачи
дифракции на усеченном цилиндре с использованием аппарата R-функций //
Радиотехника. 1971. Вып. 17. — Харьков: Изд-во ХГУ им. А.М.Горького.
С. 89-96.
4. Kravchenko V.F., Polevoy V.L, Rvachyov V. L. Application of the
R-functiou Theory for the Solution of Boundary-Value Problems in
Electrodynamics // Труды международного симпозиума по дифракции и
распространению волн. 1971. — М: Наука. С. 9-15.
5. Кравченко В.Ф., Полевой В.И., Поляков В.Ф., Рвачев В.Л. К
теории дифракции и рассеяния электромагнитных волн на ограниченных
телах сложной формы // Проблемы дифракции и распространения волн.
1973. Вып. 12. — Л.: Изд-во ЛГУ. С. 29-34.
6. Кравченко В.Ф., Рвачев В. Л., Шейко Т. И. Метод построения новых
структур решения внешних задач электродинамики для областей сложной
формы // ДАН СССР. 1990. Т. 311. № 1. С. 67-71.
7. Бабич В.М., Кирпичникова Н.Я. Метод пограничного слоя в задачах
дифракции. — Л.: Изд-во ЛГУ, 1974.
8. Кинг Р., У-Тай Цзунь Рассеяние и дифракция электромагнитных
волн. — М.: ИЛ, 1962.
9. Рвачев В.Л. Теория R-функций и некоторые ее приложения. — Киев:
Наук, думка, 1982.

Список литературы
269
10. Рваче в В. Л., Шапиро В., Шейк о Т. И. Применение метода R-функций
к построению уравнений локусов, обладающих симметрией //
Электромагнитные волны и электронные системы. 1999. Т. 4. № 4. С. 4-20.
11. Тихонов А. Н., Ильинский А. С, Свешников А. Г. Математические
модели электродинамики излучающих систем // Проблемы
вычислительной математики. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1980. С. 82-108.
12. Боровиков В. А., Кинбер Б.Е. Геометрическая теория дифракции. —
М.: Связь, 1978.
13. Свешников А. Г. Принцип излучения // Докл. АН СССР. 1950. Т. 73. № 5.
С. 917-920.
14. Свешников А.Г. Принцип предельного поглощения для волновода //
Докл. АН СССР. 1951. Т. 80. № 3. С. 345-347.
15. A s i s А. К., Kellogg R. В. Finite Element Analysis of a Scattering Problem
// Mathematics of computation. 1981. V. 37. № 156. P. 261-272.
16. Веретельник В.В. О реализации метода R-функций в задачах
дифракции. Препринт 284. — Харьков: Инст. проблем машиностроения, 1988.
17. Свешников А.Г. Неполный метод Галеркина // Докл. АН СССР. 1977.
Т. 236. No 5. С. 1076-1079.
18. Свешников А.Г., Ильинский А. С. Прямой метод для задач
дифракции на локально-неоднородном теле // Журн. вычисл. математики и мат.
физики. 1971. Т. 11. № 4. С. 960-968.
19. Kriegsman G., Moravetz С. S. Numerical Solution of Exterior Problems
with the Reduced Wave Equation // J.-Comput. Phys. 1978. V. 28. P. 181-
197.
20. Тихонов A.M., Самарский А.А. Уравнения математической
физики. — M.: Наука, 1977.
21. Lenoir A., J ami A.A. Variational Formulation for Exterior Problems in
Linear Hydrodynamics // Comput. Meth. Appl. Mech. and Eng. 1978. V. 16.
№ 3. P. 341-359.
22. Mei C.C., Chen H.S. A Hybrid Element Method for Steady Linearized
Free-Surface Flows // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1976. V. 10. № 11. P. 1153-
1175.
23. Leong M. S., Kooi P. S., Chandre Radiation from a Flanged Parallel-Plate
Waveguide: Solution by Moment Method with Inclusion of Edge Condition
// IEE Proc. 1988. V. 135. Pt.H. № 4. P. 249-255.
24. Рвачев В. Л., Толок А. В., Уваров Р. А., Шей к о Т. И. Новые подходы
к построению уравнений трехмерных локусов с помощью R-функций //
Вестник Запорожского госуд. ун-та. 2000. № 2. С. 119-131.
К главе 3
1. ФрадинА. 3. Антенны сверхвысоких частот. — М.: Советское радио, 1957.
2. Сазонов Д.М. Антенны и устройства СВЧ. — М.: Высшая школа, 1988.
3. Справочник по антенной технике / Под ред. Я. Н. Фельда и Е. Г. Зелкина. —
М.: ИПРЖР, 1997.
4. Вендик О.Г., Парнес М.Д. Антенные электрическим сканированием
(Введение в теорию). — М.: Радиотехника, 2002.
5. Амитей Н., Галиндо В., By Ч. Теория и анализ фазированных
антенных решеток. — М.: Мир, 1974.
6. С о 11 i n R. Б. Antennas and Radiowave Propagation. — New York: McGraw-
Hill, 1985.

270
Список литературы
7. Зелкин Е. Г., Петрова Р. А. Линзовые антенны. — М.: Сов. радио, 1974.
8. Заргано Г.Ф., Лерер A.M., Ляпин В.П,, Синявский Г.П. Линии
передачи сложных сечений. — Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ, 1983.
9. Заргано Г.Ф., Ляпин В.П., Михалевский B.C. и др. Волноводы
сложных сечений. — М.: Радио и связь, 1986.
10. Волноводы с поперечным сечением сложной формы / Под ред. В. М.
Седых. — Харьков: Изд-во ХГУ, 1979.
11. Альховский Э.А., Головченко Г. С, Ильинский А. С. и др.
Гибкие волноводы в технике СВЧ. — М.: Радио и связь, 1986.
12. Марков Г. Т., Васильев Е. Н. Математические методы прикладной
электродинамики. — М.: Советское радио, 1970.
13. Ефимов И. Е., Сер ми на Г. А. Волноводные линии передачи. — М.:
Радио и связь, 1979.
14. Г р и г о р ь е в А. Д. Электродинамика и техника СВЧ. — М.: Высшая школа,
1990.
15. Пименов Ю.В., Вольман В.И., Муравцов А.Д. Техническая
электродинамика. — М.: Радио и связь, 2000.
16. Н и к о л ь с к и й В. В. Вариационные методы для внутренних задач
электродинамики. — М.: Наука, 1967.
17. Никольский В.В., Никольская Т.И. Электродинамика и
распространение радиоволн. — М.: Наука, 1989.
18. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы, спектральная
теория. — М.: Мир, 1966.
19. Морс Ф. М., Фешбах Г. Методы теоретической физики, т. I и И. — М.:
ИЛ, 1958, I960.
20. Ильинский А. С, Слепян Г. Я. Колебания и волны в
электродинамических системах с потерями. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983.
21. Ильинский А.С, Слепян Г.Я. Импедансные граничные условия и их
применение для расчета поглощения электромагнитных волн в проводящих
средах // Радиотехника и электроника. 1990. Т. 35. Вып. 6. С. 1121-1139.
22. Ерофеенко В.Т., Кравченко В.Ф. Об импедансных граничных
условиях, учитывающих кривизну поверхности // Радиотехника и электроника.
2000. Т. 45. № 11. С. 1300-1306.
23. Г о х б е р г И. Ц., К р е й н М. Г. Введение в теорию несамосопряженных
операторов в гильбертовом пространстве. — М.: Наука, 1965.
24. J е n g G. and Wе х 1 е г A. Self-Adjoint Variational Formulation of Problems
Having Non-Self-Adjoint Operators // IEEE Trans, on Microwave Theory and
Techniques. 1978. V. MTT-26. № 2. P. 91-94.
25. Chen Ch.H. and Lien Ch.-D. The Variational Principle for Non-Self-
Adjoint Electromagnetic Problems // IEEE Trans, on Microwave Theory and
Techniques. 1980. V. MTT-28. № 8. P. 878-886.
26. Шмидт В.В. Введение в физику сверхпроводников. — М.: МЦНМО, 2000.
27. Диденко А.Н. Сверхпроводящие волноводы и резонаторы. — М.: Сов.
радио, 1973.
28. Менде Ф.Ф., Спицын А.И. Поверхностный импеданс
сверхпроводников. — Киев: Наукова думка, 1985.
29. Кравченко В.Ф., Полевой В.И., Рвачев В.Л. Применение R-функ-
ций для решения краевых задач электродинамики // Тез. докл. Междунар.
симпозиума по дифракции и распространению волн. Тбилиси, сент. 1970. —
М.: Наука, 1971. С. 9-15.

Список литературы
271
30. Кравченко В.Ф., Манько Г.П., Рвачев В.Л., Ивахов В.В.
Определение оптимальных параметров волноводов сложной формы, Метролог,
вопросы радиофизики. — Л.: ВНИИ метрологии, 1974, вып. 158, с. 55-70.
31. Кравченко В.Ф., Нефедов Е.И. Магнитные волны в волноводах одно-
связного поперечного сечения сложной формы // ДАН СССР. 1981. Т. 256.
№ 2. С. 1097-1100.
32. Кравченко В.Ф., Бондаренко A.M. Расчет методом R-функций
собственных чисел и собственных функций круглого волновода с
прямоугольными шлейфами при граничных условиях Дирихле и Неймана на его
поверхности // Радиотехника и электроника. 1984. № 6. С. 1196-1199.
33. Кравченко В.Ф., Кравченко В.В., Рвачев В.Л., Шейко Т.И.,
Манько Г. П. Расчет методом R-функций электродинамических
характеристик волноводов сложной формы // Измерит, техника. 1993. JV* 1. С. 26-29.
34. Веретельник В. В., Кравченко В.Ф., Рвачев В. Л. Применение
R-функций к расчету желобкового волновода // Измерит. Техника. 1993.
ДО 2. С. 59-61.
35. Кравченко В.Ф., Рвачев В.Ф., Талдыкин И.В. Об одном методе
решения краевых задач электродинамики для областей сложной формы с
различным импедансом // ДАН. 1993. Т. 302. ДО 1. С. 72-74.
36. Веретельник В.В., Кравченко В.Ф., Рвачев В. Л. Расчет
электродинамических характеристик биконического резонатора методом
R-функций // ДАН. 1993. Т. 329. ДО 1. С. 33-35.
37. Кравченко В.Ф., Рвачев В. Л., Тррчинов В.В. Метод R-функций в
краевых задачах электродинамики с произвольными граничными
условиями // Электромагнитные волны и электронные системы. 1999. Т. 4. ДО 5.
С. 7-20.
38. Фаддеев Д.К., Фаддева В.Н. Вычислительные методы линейной
алгебры. — М.: Физматгиз, 1963.
39. Икрамов X. Д. Численное решение матричных уравнений. — М.: Наука,
1984.
40. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. —М.: Мир, 1999.
41. Хейли СБ. Обобщенная проблема собственных значений: вычисление
полюсов и нулей // ТИИЭР. 1988. Т. 76. ДО 2. С 7-29.
42. Мих лин С. Г. Вариационные методы в математической физике. — М.:
Наука, 1970.
43. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов. — М.:
Наука, 1966.
44. Марчу к Г. И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные
методы. — М.: Наука, 1981.
45. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и
технике. — М.: Мир, 1985.
46. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. —
М.: Мир, 1969.
47. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П.,
Стеценко В.Я. Приближенное решение операторных уравнений. —
М.: Наука, 1969.
48. СтрельченкоА. И. Определение собственных чисел и собственных
функций оператора Лапласа в областях сложной формы. Автореферат дис. ...
канд. физ.-мат. наук. — Киев, 1971.
49. Дьяченко М.И., Ульянов П.Л. Мера и интеграл. — М.: Факториал
Пресс, 2002.

272
Список литературы
50. В а зов, Форсайт Дж. Разностные методы решения дифференциальных
уравнений в частных производных. — М.: ИЛ, 1963.
51. Бахвалов Н. С. Численные методы (анализ, алгебра, обыкновенные
дифференциальные уравнения). — М.: Наука, 1973.
52. Kravchenko V.F. and Basarab M. A. The R-function Method for
Solving Problems of Radiation from Arbitrarily-Shaped Apertures // 6th Int.
Workshop on Finite Elements for Microwave Engineering — Antennas,
Circuits and Devices. Abstracts. May 30 - June 1, 2002. Chios, Greece.
53. Basarab M.A., Kravchenko V.F. and Rvachev V.L. Modeling
Radiation Processes in Open Waveguides with Complex-Shaped Apertures by
the R-function Method // Proc. of the Second International Workshop on
Random Fields Modeling and Processing in Inhomogeneous Media. Nov. 27-
29, 2002. Guanajuato, Gto. Mexico. P. 55-57.
54. Kravchenko V.F. and Basarab M. A. New Methods for Modeling
Radiation from Open-Ended Arbitrarily Shaped Waveguides with the Use of the
Theory of R-Functions // Days on Diffraction. Abstracts. June 24-27, 2003.
St.-Petersburg, Russia. P. 53.
55. Kravchenko V.F. and Basarab M. A. R-function Theory in Problems
of Electromagnetic Wave Radiation from Arbitrarily Shaped Waveguides //
Proc. of the IV Int. Conf. on Antenna Theory and Techniques, ICATT'03.
Sept.9-12, 2003. Sevastopol, Ukraine. V. 1. P. 190-195.
56. Горобец Н.Н., Шишкова А.В. Характеристики электромагнитного
излучения из открытого конца круглого волновода в ближней и промежуточной
зонах // Радиотехника и электроника. 2002. Т. 47. № 5. С. 579-582.
57. Булгаков А. А., Горобец Н.Н., Лященко В. А. Анализ согласования
и направленных характеристик волноводных и рупорных излучателей //
Радиотехника и электроника. 2001. Т. 46. № 8. С. 961-965.
58. Б у т а к о в а С. В. Использование решений для плоского волновода при
анализе излучений открытого конца прямоугольного волновода // Антенны.
2002. Вып. 12(67). С. 48-54.
59. Hyjazie F. and Paknys R. On the Radiation from a Large, Open-Ended
Waveguide // IEEE Antenna's and Propagation Magazine. 2002. V. 44. № 6.
P. 98-100.
60. Shishkova A.V., Gorobets N.N., and Orlova L.V. Mathematical
Model of Radiation from Open-Ended Circular Waveguide Excited by
Symmetrical TM01 and TE01 Modes // Proc. of the Int. Conf. on
Mathematical Methods in Electromagnetic Theory, MMET'2000. 2000. Sept. 12-15.
Kharkov, Ukraine. V. 1. P. 303-305.
61. Kozakoff D.J. and Tripp V. Aperture Antenna Radiation // Proc. of
the IV Int. Conf. on Antenna Theory and Techniques, ICATT'03. Sept.9-12,
2003. Sevastopol, Ukraine. V. 1. P. 25-29.
62. Butakova S. V. Directivity of Rectangular Aperture Electromagnetic
Radiation // Proc. of the IV Int. Conf. on Antenna Theory and Techniques,
ICATT'03. Sept.9-12, 2003. Sevastopol, Ukraine. V. 1. P. 241-244.
63. Shishkova A.V., Pivnenko S.N., and Gorobets N.N., Polarization
Characteristics of an Open-Ended Circular Waveguide // Proc. of the IV
Int. Conf. on Antenna Theory and Techniques, ICATT'03. Sept.9-12, 2003.
Sevastopol, Ukraine. V. 2. P. 465-467.
64. S k о b e 1 e v S. P. On Improvement of the Radiation Performance of the Open-
Eneded Circular Waveguide // Proc. of the IV Int. Conf. on Antenna
Theory and Techniques, ICATT'03. Sept.9-12, 2003. Sevastopol, Ukraine. V. 2.
P. 477-480.

Список литературы
273
К at rich V. A., Dumin A.N.,and Dumin a O. A., Radiation of Transient
Fields from the Open End of Rectangular Waveguide // Proc. of the IV
Int. Conf. on Antenna Theory and Techniques, ICATT'03. Sept.9-12, 2003.
Sevastopol, Ukraine. V. 2. P. 583-586.
Миттра Р., Ли С. Аналитические методы теории волноводов.—М.: Мир,
1974.
К главе 4
Рвачев В. Л., Шкляров Л. И. О применении метода Бубнова-Галеркина
к решению краевых задач для областей сложной формы // Дифференц.
уравнения. 1965. Т. 1. № 1. С. 1537-1543.
Апельцин В.Ф., Ильинский А. С, Сабитов Б.Р. Об аппроксимации
векторных полей // Журн. вычисл. математики и математ. физ. 1986. Т. 26.
№ 9. С. 1412-1415.
Wilhelm W. CAVIT and CAVZD — Computer Programs for RP-Cavities
with Constant Cross Section or any Three-dimensional Form // Particle
accelerators. 1982. P. 12.
Веретельник В.В., Кравченко В.Ф., Рвачев В.Л. Расчет
электродинамических характеристик биконического резонатора методом R-функ-
ций // ДАН. 1993. Т. 329. № 1. С. 33-35.
Веретельник В.В. Метод R-функций при решении внутренних задач
электродинамики. Препринт 232. — Харьков: Инст. проблем
машиностроения, 1986.
Weber Ch. A Local Compactness Theorem for Maxwell's Equations //
Math. Meth. in the Appl. Sci. 1980. V. 2, № 1. P. 12-25.
Вишик М.И. 0 сильно эллиптичных системах дифференциальных
уравнений // Математ. сб. 1951. Т. 29. № 3. С. 615-676.
Ильинский А. С, Слепян Г. Я. Колебания и волны в
электродинамических системах с потерями. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983.
Кравченко В.Ф., Каретников С.Н., Бобрышев В. А. К расчету
предельных резонаторов // Радиотехника. — Харьков: Вища школа. Изд-во
Харьковск. ун-та. 1972. Вып. 21. С. 107-113.
Уилкинсон Дж.,Райнш К. Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ.
Линейная алгебра. — М.: Машиностроение, 1976.
Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. —М.: Мир, 1999.
Ярив А., Юх П. Оптические волны в кристаллах. — М.: Мир, 1987.
Кравченко В.Ф., Кравченко Н. И., Сизова Н. Д. Исследование
методом R-функций электродинамических характеристик биконического
резонатора с оптическим кристаллом // Электромагнитные волны и электронные
системы. 1999. Т. 4. № 5. С. 57-64.
Войтович Н.Н., Каценеленбаум Б.З., Сивов А.Н. Обобщенный
метод собственных колебаний в теории дифракции. — М.: Наука, 1977.
Кравченко В. Ф. Методы определения скорости света, основанные на им-
педансных измерениях сверхпроводников // Радиотехника
(Электромагнитные волны, № 3). 1995. № 10. С. 108-117.
Кравченко В.Ф., Басараб М.А. Функции В. Л.Рвачева в обобщенном
методе собственных колебаний // Зарубежная радиоэлектроника. 2003. № 8.
С. 77-80.

Приложения
Приложение 1
ПОСТРОЕНИЕ НОРМАЛИЗОВАННЫХ УРАВНЕНИЙ
ГРАНИЦ ОБЛАСТЕЙ И ОБОБЩЕННАЯ ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
Пусть известна нормализованная (до первого порядка) функция
области П, обладающая свойствами
u>i
an
О,
= -1, wi > 0 в ft.
(П.1.1)
дп
Теорема П.1.1. Если функция Ui(xyy) Е СР(П), где р = k(k +
+ 1)/2 + Ш — 1, удовлетворяет условиям (П.1.1), то функция ип{х.у),
определяемая по рекуррентной формуле
и)п - un-i -u)^Dnu)n-i, n = 2,3,...,
(П.1.2)
принадлежит классу Ck(il) и удовлетворяет условиям нормализо-
ванности до п-го порядка, т. е.
\дп
О,
дп
= -1,
dkLJn
ди
дпк
О, * = 2,...,п. (П.1.3)
ди>
В (П.1.2) Dn — дифференциальный оператор, совпадающий на
границе дО, с п-й производной по внутренней нормали и имеющий вид
п - (duJl д i dLJl д У _ V г» (duJl \"~* (duJl V э"
п~\дх Эх Эу ду) ^ п\дх ) \ду ) дхп-<ду*"
(П.1.4)
Доказательство. Отметим, что так как o;s_i Е С7*, то o;s E
Е С**-1. Следовательно, функция uj = cj/. принадлежит классу Cp~q,
где
л о i А;2 + А;-2
4 = 2 + 3 + .•• + *;= ,
т.е. р — q — т.
Используя свойства функции ш(х,у), имеем
DiU2 = D\U\ — u\D\uj\ • D2UJ1 — -u\D\D<iU\,
D2uj2 - D2u\ - (D1CJ1)2 • D2UJ1 - 2lji(D2uji)2 -
— -LJ1D2D2UJ1 — 2u\D\uj\ • DiD2UJi,

Приложения
275
что в точках границы <9П дает
ди2
On
-Dilj2\
с)2
U>2
дП
an
дп2
дП
-Ъ"2\т = 0.
Таким образом, для п = 2 теорема доказана. Далее используем метод
математической индукции. Пусть
Us
дП
О,
du)s
Эп
-1,
дк
Us
дП
дпк
= 0, к = 2,..., 5.
an
Согласно формуле (П. 1.2) имеем
Очевидно, что us+i\dQ — 0. Учитывая, что
JD^i+1|m=°» *<* + !> ^^^(s + l)!,
получим
Aw.+i - dm -{s + 1)(s * ^::,(s"j + 2)a,r+1(^i)^H-i^ = о,
г < 5 + 1,
£>e+iu;e+i = Ds+i - {DiUi)8+lD8+iu)8 = 0.
Теорема доказана.
На практике формула (П. 1.2) может привести к чрезмерно
громоздким выражениям. Можно предложить иной подход к построению
нормализованных уравнений с использованием структуры решения краевой
задачи смешанного типа.
Теорема П. 1.2. Пусть ш\ £ С1 (О) — нормализованное
уравнение границы области П, удовлетворяющее условиям (П. 1.1). Тогда
функция
uj2-uji — — (П.1.5)
будет определять нормализованное до второго порядка уравнение
границы oil.
Доказательство. Для доказательства (П.1.5) используем
следующий прием. Как известно (см. § 1.2, табл. 1.4), структура
и =
1 +
(h-D^)
(иЛФ + 1рА)- ШЛ"В <рв (П.1.6)
U А Л-Ub

276
Приложения
с неопределенной компонентой Ф удовлетворяет краевым условиям
смешанного типа
ди
+ hu
(П.1.7)
= <££,
дПБ
заданным на участках <9Г2л, <9П# границы П. Положим в (П. 1.6), (П.1.7)
<9Пл = <9П#, ^ = cjb = о>1, у?д = 0, <^в = —1, /г = 0, а вместо
сомножителя u)a^b/(j^a +^б) подставим функцию u>i. В итоге получим
и = u^(l - [Vu;i)]2) +o;i.
(П.1.8)
Нетрудно проверить, что функция и также будет определять
нормализованное до первого порядка уравнение границы П, но уже зависящее
от неопределенной компоненты Ф. Дифференцируя (П.1.8) дважды по
нормали к границе, после преобразований получим
Э2и
дп2
an
■(■
_4ф^ + ^
дп2 ди2
эп
Очевидно, последнее выражение равно нулю при Ф = 1/4. Подставляя
1/4 вместо Ф в (П.1.8), получим требуемое выражение (П. 1.5), где и = с^-
Теорема доказана.
Если нормализованная функция границы области представляет собой
многочлен степени т (га ^ 1), то функция, нормализованная до п-го
порядка, согласно (П. 1.2) будет полиномом порядка 5га — 4, а согласно
(П.1.5) — порядка Зга — 2.
Пример П.1.1. Уравнение lj\ = (R2 — х2 — y2)/2R — 0 является
нормализованным уравнением окружности радиуса R с центром в
начале координат. Согласно (П. 1.2), нормализованная до второго порядка
функция границы имеет вид
и2 = ш\ +
и2{х2+у2)
2Д3
(Д2 - х2 - y2)[4R4 + (Д2 - х2 - у2)(х2 + у2)}
8Д5
т.е. является полиномом 6-й степени. Применение же формулы (П.1.5)
дает функцию
Wa = fc,l + M
(R2 - х2 - y2)(5R2 - х2 - у2)
8Л3
являющуюся многочленом 4-й степени.
Пример П.1.2. Нормализованная функция полосы шириной 2а,
параллельной оси Оу, имеет вид и>\ — (а2 - х2)/2а. Нормализованная

Приложения
277
до второго порядка функция границы согласно (П. 1.2) представляется в
виде
а2 - х2 / а2 - х2
^2 = —т; 1 +
*)
2а V 4fl4
Используя (П. 1.5), получаем более простое выражение
а2 - х2 / а2 - х2\
Обобщенная формула Тейлора. Классическая формула Тейлора,
которая для функций одной переменной имеет вид
Рп{х) = /(*<,) + ]Г ^^(* - *<>)' + (* - *0)П+1Ф,
позволяет заменить функцию f(x) в окрестности точки жо полиномом,
если в точке хо известны значения этой функции и ее производных до
некоторого порядка п. Остаточный член гп = (х — жо)п+1Ф есть функция,
стремящаяся к нулю при х —> хо.
Рассмотрим задачу о разложении функции /(ж, у) в окрестности
границы <9П области П, которая описывается нормализованным до гс-го
порядка уравнением и — 0. Пусть fi(x,y), i = 0,1,..., n, — известные
функции и на границе <9П выполняются условия
= Л, (П.1.9)
917
где п — внутренняя нормаль к <9П. Введем обозначение f*(x,y) =
= f [ х — uj-^—, у — ш-z— ). Функция /* называется нормализантой
\ дх ду)
функции / по функции и). Тогда имеет место формула
Рп(х,у) = /* + !, л "' +^П+1^, (П.1.10)
г=1
где Ф — некоторая ограниченная функция. Выражение (П.1.10)
является аналогом полинома Тейлора Рп(х), совпадающего в заданной точке
с функцией / и ее производными до некоторого порядка. Однако Рп(х, у)
является вообще не полиномом, а имеет вид некоторой функции,
реализуемой, например, с помощью R-операций, в частности, элементарной.
Обычный полином Тейлора для одномерного случая можно получить из
формулы (П.1.10), если принять и = х - х<>.
Соотношение (П.1.10) называется обобщенной формулой Тейлора.
Эта формула определяет пучок функций (с неопределенной
компонентой Ф), удовлетворяющих условиям (П.1.9). Обобщенная формула
Тейлора используется при построении структур решения краевых задач с
11—2176

278
Приложения
граничными условиями дифференциального типа. Основная сложность
заключается в построении нормализованного до n-го порядка уравнения
<9П, которое рекомендуется осуществлять следующим образом:
1. Нормализованное уравнение строится по формулам, приведенным
в §1.1.
2. Нормализованное до 2-го порядка уравнение строится по формуле
(П.1.5) (теорема П.1.2).
3. Нормализованное до n-го порядка (п > 2) уравнение стоится по
рекуррентной формуле (П.1.2).
В обобщенных интерполяционных формулах Лагранжа и Тейлора
информация о функции и ее производных задается не в отдельных
точках, а на некоторых линиях, поверхностях или гиперповерхностях (в
зависимости от размерности пространства). Эта информация может быть
следствием обработки экспериментальных классов задач, связанных с
совместной переработкой аналитической и геометрической информации.
Наиболее обширным классом задач, в которых необходимо учитывать
информацию функционального и дифференциального характера на
границе геометрических объектов, являются краевые задачи для уравнений
с частными производными для расчета физических полей.
Приложение 2
МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ КОМПОНЕНТ
Пусть в результате подстановки неопределенной компоненты
к
Ф = ]>>*</>* (П.2.1)
в структуру решения (1.2.5)
u = B&,u,,{u>i}£1,{Vi}iLi), (П-2.2)
в силу линейности краевых условий получаем разложение
к
* = £<***. (п-23)
Приведем краткие сведения о некоторых основных методах
нахождения неопределенных компонент с^.
Методы минимизации невязки. Пусть функция (П.2.2)
удовлетворяет всем краевым условиям задачи. Подставив ее в уравнение
Аи - f = О, (П.2.4)
найдем невязку
к
<5(х; си...,ск) = £с*Л**(х) -/(х), х G П. (П.2.5)

Приложения
279
Необходимо выбрать набор с& так, чтобы получить невязку, наименее
уклоняющуюся от нуля.
Метод коллокации. Выберем в области Q, К точек {xj}jLx и
потребуем, чтобы в этих точках невязка была равна нулю:
6(х,; си ..., ск) = 0, j = Tj<. (П.2.6)
Считая краевые условия задачи и оператор А линейными, получаем в
результате систему К линейных алгебраических уравнений с К
неизвестными. Решив ее, находим приближенное решение (П.2.3).
Метод коллокации привлекателен простотой вычислений, а также
тем, что на практике после вычисления постоянных с& обычно нетрудно
проследить характер невязки вне точек Xj и сделать заключение о
погрешности решения. К недостаткам метода можно отнести сложность
выбора узлов коллокации Xj. Эта проблема эффективно решается при
использовании в качестве базиса {V>fc}*Li финитных функций,
например, jB-сплайнов или атомарных.
Метод коллокации допускает различные модификации. Одна из них
состоит в том, что выбирается N > К точек коллокации Xj, а
постоянные Ck находятся по методу наименьших квадратов, т. е. из условия
минимума функции
N
Q(cb . ..,ск) = ]Г<*2(х,-*С1, .. .,ск). (П.2.7)
Если краевая задача линейна, то соответствующая система уравнений
Ц = 2Х:^;с1,...,ск)а^;^-'Ск)^0, k = TJC, (П.2.8)
также является линейной. Другой вариант метода коллокации получим,
если потребуем, чтобы в точках х^ были равны невязка и ее производные
до некоторого порядка.
Метод наименьших квадратов. Потребуем, чтобы квадрат нормы
невязки
1(си • ..,<*) = ||*(x;ci,.. • ,с*)||*а = J62(x;cu... ,cK)dx (П.2.9)
п
был минимален в пространстве 1/2(П). Соответствующая система
уравнений для отыскания с& имеет вид
^^2/^(x;c1,-,CK)^(X;C^'C")dx = 0, * = IX (П.2.10)
п
Если для вычисления интегралов прибегнуть к квадратурной формуле
J /(x)dx«^]ai/(xi)

280
Приложения
с весами а,, то придем к системе
f;aif(xi;c1>...>cJ,)af(Xi;^'--'Cig)=0> * = 1^, (П.2.11)
i=i *
с точностью до весовых коэффициентов совпадающей с системой (П.2.8)
обобщенного метода кол локации.
Метод Бубнова-Галеркина. Этот метод определяется условием
ортогональности невязки системе функций {Xfc}jb=i из (П.2.3):
(<*(х;с1,...,сд:),хл(х)) = / 5(х;си... ,cK)xk(x)dx = 0, А: = М?.
(П.2.12)
Если уравнение Аи = / линейное, то (П.2.12) является системой
линейных алгебраических уравнений. Модификация метода Бубнова-
Галеркина (метод Петрова) состоит в замене системы {Xfc}jb=i
некоторой другой полной в L2(fi) системой функций {фк}^=\- В частности,
в качестве функций грк удобно взять характеристические функции обла-
стей Пд;, таких, что \Jk-1 П& = П (или финитные функции ^(х) ^ 0
с носителями Пк). В этом случае система уравнений принимает вид
[<pk(x)S(xj;cu...,cK)dx = Qy k = lJC (П.2.13)
Q
и после применения теоремы о среднем оказывается эквивалентной
системе (П.2.6) метода коллокации.
Применение описанных методов обеспечивает сходимость в среднем,
а в некоторых случаях — равномерную сходимость к решению краевой
задачи. Для улучшения типа сходимости можно вместо скалярного
произведения (и соответствующей нормы) в Ь2(П) воспользоваться
скалярным произведением пространства Соболева /Р(П) = Wf (П) (см.
Приложение 3), что усложняет вычислительную сторону дела.
Энергетические методы. Часто краевую задачу сводят к
вариационной задаче о минимуме функционала J (и), руководствуясь тем или
иным энергетическим принципом, характеризующим данное физическое
поле.
Если краевые условия линейны и однородны, то множество функций,
удовлетворяющих им, образует линейное пространство Х(П).
Предположим, что оператор А положителен на Х(0):
(Ащ и)>0 Vw e Х(П), и^О.
Величина (Аи,и) в этом случае часто оказывается пропорциональной
энергии, необходимой для возбуждения поля и(х). Поле,
соответствующее уравнению Аи = /, сообщает минимум функционалу
J (и) = (Аи, и) - 2(и, /) = \\и\\2А - 2(«, /). (П.2.14)

Приложения
281
Подставив (П.2.3) в (П.2.14), получим
|2
II К I
J(ci,...,q<:) =
к
3=1
к
-2 $>(*;, Л-
(П.2.15)
Приравняв нулю частные производные dJ/dck, получим систему
алгебраических уравнений
к
X) (AXj,Xk)cj = (хл, /), * = 1, Я\
(П.2.16)
называемую системой Ритца. Определитель этой системы —
определитель Грама — отличен от нуля, если система {xk}%=\ линейно
независима. Если к тому же система {хк}^-\ полна в по норме || • ||д и
выполняется условие
(Аи,и) ^ 71М|2> 7 = const > О
(т.е. оператор А является положительно определенным на Х(П)), то
существует единственное решение и0 краевой задачи и
к
(П.2.17)
при К —> оо. Нетрудно заметить, что система Ритца (П.2.16)
эквивалентна системе, используемой в методе Бубнова-Га леркина.
Преимущество системы Ритца состоит в том, что в этом случае из условия
симметричности (Ли, v) = (и, Av) оператора Л следует возможность
преобразовать коэффициенты (Axj,Xk) к симметричному виду [Xj>X*] с
понижением порядка дифференцирования функций Xj-
Метод Ритца, определяемый формулой (П.2.14), можно
рассматривать как частный случай метода Куранта, который позволяет
получать более сильную сходимость, чем (П.2.14). При этом минимизируется
функционал
G(u) = (Аи, и) - 2(«, /) + \\Аи - f\\2H,
(П).
(П.2.18)
где
ll*(n)=E(JDflu'JDfl||)Mn)-
Если краевая задача линейна, то метод Куранта также приводит к
линейной системе алгебраических уравнений.

282
Приложения
Разностпо-аналитический метод. Возьмем некоторую систему
A{ = fj, j = hN, N>K
конечно-разностных уравнений, аппроксимирующих уравнение Аи = /.
Подставим в эту систему структуру (П.2.2) и получим систему N
уравнений относительно постоянных су.
A{B1{x;c1,...,cK) = fi, j = M?, (П.2.19)
которую решим методом наименьших квадратов.
Перечисленные методы могут сочетаться с различными
итерационными методами, методами оптимизации (градиентного типа, случайного
поиска), сводиться к задачам линейного или нелинейного
программирования и т. п.
Для некоторых классов задач весьма эффективным является метод
Л. В. Канторовича, с помощью которого краевая задача приводится к
решению систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
Метод Трефтца. Предположим, что и = В(Ф) — полная структура,
удовлетворяющая лишь основному уравнению Аи = /. Формулу такого
вида принято называть общим решением краевой задачи. В этом
случае (П.2.3) при любом выборе постоянных Cj удовлетворяет уравнению
Аи = / и, следовательно, остается так выбрать эти постоянные, чтобы
наилучшим образом удовлетворить граничным условиям. Для этой цели
пригодны различные из вышеприведенных методов. На практике удобно
применять тот или иной вариант метода коллокации, требуя, чтобы
граничные условия удовлетворялись на некоторой системе точек границы
рассматриваемой области.
Эффективность использования структурных формул в сочетании с
приведенными методами существенно зависит от выбора
аппроксимирующих полиномов tf>k B (П.2.1). Оператор В структуры, воздействуя на
эти полиномы, деформирует их в последовательность {xk}%-\ в (П.2.3),
и поэтому от аппроксимативных свойств функций Хк существенно
зависит характер приближения к решению краевой задачи. От
последовательности {x*}&Li зависит также обусловленность и некоторые другие
характеристики матрицы системы алгебраических уравнений для
определения ПОСТОЯННЫХ Cj.
Многие из упомянутых методов предполагают многократное
вычисление интегралов (или сумм с большим числом слагаемых) по
области П. Вычислительные трудности можно в значительной уменьшить,
если в качестве функций фк выбирать финитные функции с носителями
малого диаметра. Тогда улучшится обусловленность матрицы системы
алгебраических уравнений и, кроме того, вычисление каждого ее
коэффициента будут состоять в вычислении интеграла не по всей области П,
а только по пересечениям носителей функций фк и Фз- Среди финитных
функций хорошими аппроксимативными свойствами обладают, в
частности, Б-сплайны Шенберга, а также многие атомарные функции (см.
Приложение 6).

Приложения
283
Приложение 3
ФОРМУЛЫ УПОРЯДОЧЕНИЯ ДВУМЕРНЫХ ПОЛИНОМОВ
При практическом применении многомерных полиномов возникают
некоторые сложности вычислительного характера, связанные с
проблемой их упорядочения.
Рассмотрим алгебраический полиномиальный базис {фк} = {я*>2/^'}>
hj ^ 0, г + i ^ L1 где L — степень пространства полиномов. Для L ^ 3
набор таких функций показан в табл. П.3.1.
Таблица П.3.1. Двумерные полиномиальные
функции степени L ^ 3
i
3
2
1
0
у2
у2
У
1
0
ху2
ху
X
1
х2у
X
2
х3
з
з
Выглядит естественным ввести упорядочение членов
последовательности {xlyyi} по диагоналям таблицы, вдоль которых г + j = const, т.е.
1, ж, у, ж2, ху, у2, х3, ж2у, ху2, у3,...
(Здесь использовано упорядочение с приоритетом по х.) Используя такой
прием, можно повысить степень пространства полиномов на 1 путем
простого добавления к исходной последовательности L + 2 членов, стоящих
на диагонали L + 1. При этом данная процедура не нарушает
предыдущего упорядочения. Таким образом, номер любого элемента (функция
расстановки) последовательности {фк}£=о выражается через индексы г
и j следующим образом:
*(М) = ^j h (П.3.1)
a tf = (L2 + 3L)/2.
Рассмотрим теперь такую проблему: для любого целого к найти
показатели степеней (индексы) г и j. Наиболее простой, но неэкономичный
по времени подход заключается в организации цикла по г и j, внутри
которого происходит проверка выполнения условия (П.3.1). Возможен
также вариант решения этой задачи с помощью хранящейся в памяти
матрицы, задающей взаимно однозначное соответствие между
порядковой переменной к и множеством упорядоченных пар (i,j) согласно
формуле (П.3.1). Пример такой матрицы при L = 3 приведен в табл. П.3.2.

284
Приложения
Таблица П.3.2. Соответствие между номером к и парами (г, j)

Индексы
(м)
it
0
(0,0)
1
(1.0)
2
(0,1)
3
(2,0)
4
(1,1)
5
(0,2)
6
(3,0)
7
(2,1)
8
(1,2)
9
(0,3)
При больших L данный подход не является экономичным.
Выведем аналитическую зависимость между к и парами (i,j), т.е. обратный
аналог формулы (П.3.1). Предлагаемый способ состоит из 3-х этапов: .
1) нахождение номера диагонали: / = г + j\
2) нахождение индекса j: j = к — 1(1 -f- 1)/2;
3) нахождение индекса г: г = / — j.
Последние два этапа очевидны. Остановимся подробнее на процедуре
вычисления номера диагонали /, соответствующей номеру А;. Легко
заметить, что
/2 + / - 2 (/ - I)2 + 3(/ - 1) ^ /2 + 3/
2 " 2 <к^ 2 '
Решая систему неравенств с учетом того, что I ^ 0, получим:
V9 + 8k-3 V9 + 8k-l
2 2
или, так как / — целое,
/ = [(л/9 + 8А: - 3)/2], (П.3.2)
где через \р] обозначено наименьшее целое, большее или равное р.
Аналогичным путем используя очевидные неравенства
12 + 1 <,, AI + W + V
2 ^k< 2
приходим к другой оценке для /:
VI + 8fc - 3 y/1 + Sk-l
i=[(vT+8fc-l)/2j, (П.3.3)
где \р\ — наибольшее целое, меньшее или равное р. Можно получить и
более общие выражения для I:
/=[(v9T8fc-3)/21 (KpO),
/=[(>/p + 8*-l)/2J (Ю<9).

Приложения
285
При переходе к задачам большей размерности упорядочение
осуществляется аналогично, с учетом того, что функция расстановки имеет вид
*(*ь*2,..-,*п) = ^2
5=0 \l=j
(П.3.4)
Получение зависимостей вида (П.3.2), (П.3.3) в этом случае сопряжено с
необходимостью решения алгебраических уравнений гс-го порядка.
Полученные формулы упорядочения остаются справедливыми при
использовании других систем двумерных глобальных полиномов (Чебы-
шева, Лежандра, тригонометрических и др.), при упорядочении
элементов кортежей, т.е. значений функции / и ее частных производных в
точке:
д£ д£ 8^1 &Ч_ &£
' дх' ду' дх2 ' дхду' ду2
а также ряде других случаев.
Приложение 4
ОСНОВНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Пусть П — ограниченная область в Rn\ П = П + дП, где dQ —
? д \ai ( д \ап
граница П; Da = ( -— 1 ... ( -— ) , а = (ах,..., an), а* — целые,
\а\ = ai Н h an. Вводятся следующие обозначения:
C(Q) — пространство непрерывных функций на Л с конечной
нормой
\\u\\c(Q) =max|u(a;)|; (П.4.1)
С^(П) — банахово пространство функций, имеющих непрерывные
в Л производные до порядка к включительно; норма имеет вид
с(Ч(Г^ш|Л(1)|; (П.4.2)
Lp(fl) — банахово пространство функций, р-а степень модуля
которых интегрируема по £1; норма имеет вид
\и\\ьР(п) = I / \Ф)\Р<** I . Ю< оо. (11.4.3)

286
Приложения
В случае р = оо пространство Loo(^) есть совокупность измеримых
функций и, каждая из которых ограничена или совпадает почти всюду с
ограниченной функцией. При этом норма определяется как
«существенная грань» |w(x;|, т.е. как наименьшее из чисел М, для которых
неравенство \u(x)\ ^ M выполняется почти всюду, и обозначается
lluILeo(n) = suPvrai \Ф)\- (ПАЛ)
Гильбертово пространство Ьг(П) обладает скалярным
произведением и нормой, соответственно
(Щ v)La(n) = J u(x)v(x)dx, ||u||La(n) = (u, и)1'2. (П.4.5)
Гильбертово пространство W£(f2) — пополнение множества
бесконечно дифференцируемых в П функций по норме
HL»(0)=[ £ /V«la«4 ; (п.4.6)
\Н<* п /
скалярное произведение имеет вид
(",«)и*(щ= Е I £>auDavdx. (П.4.7)
В частном случае И^П) = 1/2(П). Пространство И^(П) называется
также пространством Соболева Нк(Г1).
о
Гильбертово пространство W\ (П) состоит из функций,
принадлежащих W\ (П) и равных нулю на дП. Норма и скалярное произведение
определяются, как и в ИЛ21(П).
Приложение 5
НЕКОТОРЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ
На практике часто требуется осуществлять интегрирование функций,
а также выражений, включающих их нормальные или тангенциальные
производные по контуру некоторой сложной области. Несмотря на то,
что размерность криволинейного интеграла на единицу меньше, чем
интеграла по области, в вычислительном плане последнюю процедуру легче

Приложения
287
автоматизировать. Переход от криволинейного к кратному интегралу от
функции и можно осуществить с помощью формулы
<f>uds = - / / (Du + uAu)da, (П.5.1)
an n
в справедливости которой можно убедиться, интегрируя правую часть по
частям и используя свойства нормализованной функции области и(х, у).
Здесь ds, da — элементы дуги и площади соответственно, a D —
дифференциальный оператор:
п — —— ®и д
~~ дх дх ду ду
Из (П.5.1) либо непосредственно из второй формулы Грина можно
получить несколько другое равенство, отличающееся от (П.5.1) первым
слагаемым под кратным интегралом:
Ф uds - \\ {uAu - uAu)da. (П.5.2)
an n
Из (П.5.2), в частности, получается формула для длины L замкнутого
контура дй:
-и
Auda,
справедливая независимо от способа построения нормализованного
уравнения и(х,у).
Если в подынтегральной функции в левой части (П.5.1) содержатся
производные по нормали или касательной к контуру интегрирования, то
следует их продолжить на всю область с помощью операторов D и Т.
Частные производные в подынтегральном выражении в правой части
(П.5.1) можно вычислить разными способами: по точным формулам,
непосредственно дифференцируя функции и и и; с использованием
операций кортежной алгебры; с помощью конечноразностных аппроксимаций.
Последний подход является наиболее универсальным и простым в
численной реализации.
Альтернативным способом численного нахождения криволинейных
интегралов является использование параметрического задания
уравнения границы области
(X = ft (П.5.3)
I У = 2/(5),
где s E [0,L] — параметр (длина), a L — длина контура
интегрирования. В данном случае, как легко видеть, задача сводится к нахождению
определенного интеграла
ь
/ uds = / u[x(s),y(s)]ds. (П.5.4)
дп о

288
Приложения
В отличие от (П.5.1), криволинейный интеграл в (П.5.4) берется не
обязательно по замкнутому контуру. Если подынтегральное выражение
содержит производные по нормали и касательной к контуру, то удобно также
представить их с помощью операторов D и Т:
I Fr'^' 'UiX'y\ds= F[u>~Du>Tu>x(s)>y(s)]ds- (n-5-5)
dQ о
Кроме того, так как
ди _ ди
at ~~ а?
(П.5.6)
то вместо операторов Т и D на границе области можно использовать
эквивалентные представления
Ти\
dQ
' ди ди)
кдх ду
ди ди;
ду дх
dQ
fdudx dudy\
\ дх ds ду ds J
ди
an
dt
dQ
(П.5.7)
Du\
т.е.
dQ
ди ди)
дх дх
ди)
дх
диди)\
ду ду)
d
dQ d
d
У
s
f ди dy ди dx
\ dx ds dy ds
dQ
ди
dQ
дш
dy
dQ
dx
ds
dQ
(П.5.8)
(П.5.9)
dQ
Выражения в правых частях равенств (П.5.9) вычислять, как правило,
значительно проще, чем частные производные и{х,у) по х и у.
Наиболее интересный случай возникает, когда функция и
выражается через структуру решения краевой задачи. Так, в случае однородной
задачи Дирихле и = иФ и
ди
dQ
дп
dQ
а в случае однородной задачи Неймана и = Ф — uD$ и
U\dQ ~ ®\dQi
ди
at
dQ
дФ
dt
(П.5.10)
(П.5.11)
dQ

Приложения
289
Приложение 6
ОСНОВНЫЕ АТОМАРНЫЕ ФУНКЦИИ
Кроме рассмотренных в § 1.3 функций ир(х) и fupn(x) существуют
другие классы атомарных функций, используемых в теории
аппроксимации и численном анализе. Некоторые наиболее употребимые из них
представлены в табл. П.6.1.
Таблица П.6.1. Атомарные функции и их основные свойства
1 АФ,
носитель
up(ar),
[-1.1]
ha(x) (a > 1),
Г 1 1 1
И а-Г a-lj
сир(ж),
[-2,2]
faPn(s).
Г n-f-2 n-f-2]
L 2 ' 2 J
Fupn(s),
Г n-f-2 n-f-2]
1 2n+1 ' 2n+1 1
Нп(ж),
[-1.1]
[-1,1]
Функционально-дифференциальное уравнение,
преобразование Фурье
у'(х) = 2у(2х + 1)-2у(2х-1),
оо
£Ср) = jf[ sinc («г) (sinc(ar) = sin ж/ж)
1 *=1
2
у'(*) = у Ыаж +1) - у(ах -1)]'
оо
у(р) = J] sine (J)
1 *=i 1
у"(ж) = 4[j/(2x + 1) - 2у(2х) + 3/(2^ - 1)],
ОО
fc=0 ^ '
оо
у(р) = sine" (|)П «nc (£)
/с = 1
У'(х) - 2 g (С*+1 - Ct+l)y (2« - 2(fc -%-"),
fc=0 Ч '
oo
Яр) = *»с"+1(5&г) П sinc(J)
fc=n+2 1
n+2
y'(*) = 2"n(n + l)(n+1) £ ("1)*Йу[(п -f- l)s - 2k -f- n],
fc=0
~/„\ _ TT r:nr" 1^1
fc = l 1
(she (ж) = shrc/rc),
_ ч ^ shc(A:2-1-Hp2-n)
^) = 11—SMI72)—
n = l v '

290
Приложения
Таблица П.6.1 (продолжение)
тгт(а:),
[-1.1]
у'(х) = а \y(xi(m))+ ]Р (~1)ку(хк(т)) - у(х2т(т))\
k=2
(хк(т) = 2тж + 2т -2к + 1, ж € Я1, к = 1,2т
т
у(р) = П
-(^ЬЁ'-И1*5^)
(Зт - 2)t/(2m)k
[-h,h]
у"{х) + /г2г/(ж) = аг/(3я + 2/i) - Ьу(3х) + огДЗя - 2Л),
о =
1 —cos
Л2
(f)
, 6 = 2ocos( —1,
/ (p2h\ (2kh\\
ш д i-cos(2fcv3)CcosC~3J-J-cos{-t))
J=l
k2-p2/&-1
mupn(x),
[-1Д],
y'{x) = 2 ^ [y(2ns + 2n - 2* + 1) - y(2nx - 2k + 1)],
*=i
у(р) = П
sin2 (np(2n)~k)
!j np(2n)_fc sin (p(2n)-k)
Приложение 7
АТОМАРНАЯ КВАЗИИНТЕРПОЛЯЦИЯ
Рассмотрим приближение периодической функции f(t) Е Wp[—n; 7г],
заданной на равномерной сетке Ддг : U = г/г, /г = 7r/iV, г = —N,N, с
помощью элементов t/P;v,r-пространства линейных комбинаций сдвигов
сжатий функций up (ж)
X>»(¥r-<-2">
Предположим, что значения функции f(t) известны в точках
Тк = Tk,r
(4fc-l + (-l)r) 7г
4N
В силу периодичности /(f) системы точек {£*} и {rk} можно считать
продолженными на всю числовую ось с шагом h. Пространство иРм,г

Приложения
291
имеет базис, состоящий из сдвигов сжатий финитной функции fupr(x)
г + 2 г + 21
с носителем supp fupr(x)
Атомарная интерполяция
2 ' 2
r-го порядка функции f(t) осуществляется с помощью выражений
ЛГ+[(г+1)/2]
*N,r(/;0 = £ ckV>rA*Y> ФнЛКъ) = /(т,), (п.7.1)
A5=-N-[(r+l)/2]
где <pr,k(t) = fupr ( — A; + -(l - (-l)r) 1; носитель yv,*(0 опреде-
r H- 2
ляется неравенством |i — т^ | ^ —-—h; [•] — целая часть числа. Будем
считать также, что базисные функции yv,*(0 пронормированы
следующим образом:
Х>г,*(*) = 1. (П.7.2)
А:
Построим локальный атомарный интерполянт
N+[(r+l)/2]
Ф^,г(/;0= 51 ск(Л<ргА*)>
k=-N-[(r+l)/2]
где коэффициенты с*(/) определяются значениями /(г,) не на всем
интервале [—7г;7г], а лишь в узлах, в определенном смысле близких к г*;.
Требуя, чтобы
ЛГ+[(г+1)/2]
$NAf'>rj) = 5Z ck(f)<PrArj) = /fo)>
*=-/V[(r+l)/2]
учитывая финитность, симметричность функций <pr,k(t) и условия
периодичности, приходим к следующей системе разностных уравнений:
C-N-j = cn-j, j = 0,..., [г/2];
[<г+1)/2]
53 b|*|Ci+*=/;, j = -tf,-tf + l,...,tf; (П.7.3)
*=-[(r+l)/2]
c-N+i = слг+j, ,7 = 1,..., [r/2],
где cj = Cj(f)\ fj = (tj)\ bk = <prAkh)-

292
Приложения
Запишем систему (П.7.3) в матричной форме
BC = F.
Нетрудно видеть, что матрица-циркулянт В есть самосопряженная,
положительно-определенная, а ||#||оо = 1 в силу (П.7.2). Простейшая
стационарная итерационная схема для нахождения компонент неизвестного
вектора С имеет вид
Ск+1~Ск +BCk=F, & = 0,1,..., (П.7.4)
где Ck — последовательные приближения; 9 — параметр итерации,
который должен удовлетворять условию в ^ 2/H^IJoo = 2. В качестве
нулевого приближения естественно, как и в схеме Шенберга, принять
Со = F. Последующие приближения будут давать атомарные квази-
интерполянты, обеспечивающие более высокий порядок аппроксимации.
Задача состоит в отыскании параметра 0, при котором достигается
наилучшая сходимость последовательных итераций к точному решению
системы (П.7.3).
Запишем уравнения (П.7.4) для погрешности Zk — Ск — Си невязки
Rk = ВСк - F в виде
Zk+l~Zk +BZk=Q, * = 0,1,..., (П.7.5)
Rk+i-Rk +BRk=0^ А = о,1,... (П.7.6)
Теорема П. 7.1. Метод итераций (П.7.4) сходится в евклидовой
метрике со скоростью геометрической прогрессии
\\Zk+1\\2<p(9)\\Zk\\2,
\\Rk+1\\2$p(e)\\Rk\\2,
где р{9) - у/1 - 2вава; ав и а — минимальные собственные значения
матриц В и Е — вВ/2 соответственно; при этом min р(9) = р(1) =
= у/2(1-Ьо).
Доказательство. Докажем теорему для погрешности Zk (для
невязки Rk ход рассуждений аналогичен). Выразим Zk+i из (4): Zk+i =
= {E-6B)Zk. Тогда
\\Zk+1\\l(Zk+uZk+1) = {(E-9B)Zk,(E-9B)Zk) =
= \\Zk\\l-29(BZk,Zk)+e2(BZk,BZk) =
= \\Zk\\22 - 2в{(Е - 9B/2)Zk,BZk).

Приложения
293
Так как в ^ 2, то Е - 9В/2 ^ аЕ и
\\Zk+1\\l<\\Zk\\l-29a(BZk,Zk)<
$ \\Zk\\22 - 2ваав\\гк\Ц = (1 - 20aaB)||Zfcg.
Известно, что для квадратной матрицы А > О размерности JV,
имеющей положительный спектр (0 < а а = Ai ^ А2 ^ ...^ Aw-i < Aw =
^ = !И11оо5 <*a=Pa-Pd; D = /3aE-A.
Следовательно,
aB = 1 - Ре-в = 1 - (/*в - Ь0 + (1 - Ы) = 2Ь0 - 1.
Для вычисления а найдем норму матрицы Е — вВ/2:
\\Е - 05/211^ = вЦдЦ^/2 - ЬаО/2 + 1 - М/2 = 1 + 0(1/2 - Ь0).
Тогда
a = ||Я - вЯ/2^ - J \\Е - 0В/2Ц..Я - Я + вЯ/гЦ^ =
= 1 + 9(1/2 - bo) - 0||(1/2 - Ь0)# + Д/2^ =
= 1 + 9(1/2 - bo) - 0(1 - bo) = 1 - 9/2.
Далее, минимизируя /о(9),
р(0)2 = 1 - 2ваав = 1 - 2(9(1 - 0/2)(2Ьо - 1) = 1 + (1 - 2ЬО)(20 - 02),
получаем
mmp(ff)2=p(l)2 = 2(l-bo).
Теорема доказана.
Найдем теперь явные выражения для коэффициентов квазиинтер-
полянтов. Для этого покажем, что $N,r(f\Tj) можно выразить через
линейную комбинацию центральных разделенных разностей четного
порядка от неопределенных коэффициентов. Иными словами, для любого
М = 0,1,2,... найдутся такие числа а^ (к — 0,1,...,Л/), что будет

294
Приложения
верно соотношение
м
м
]Г b\k\cj+k = ]Га*Д2*с;.
(П.7.7)
к=-М
к=0
Доказательство проведем методом индукции. Случай М = 0 тривиален.
Пусть (П.7.7) выполняется для некоторого М = q > 0. Тогда
9+1
9+1
Ь<7+1
22 b\k\Cj+k - Ьд+1 2^ T7^Cj+h
k~—q—l k=—q—l
7+1
= ь</+1
9+1
5: (-i)^+ic2%t;^+
t_£1(^-(-1)*+rf,cJffi))^+*|
k= — q
k— — q
где С* — биномиальные коэффициенты. Последняя сумма в силу
указанного предположения представима в виде комбинации центральных
разделенных разностей четных степеней порядка до 2q включительно.
Нетрудно заметить, что в (П.7.7)
ад/ = Ьм,
ам-s = Ьм-s + Yl (~1)2+1(^2(M-s+i)aA/-s+n s = 1,2,..., М.
г=1
Из (П.7.3) и (П.7.7) следует
[<r+l)/2] I(r+l)/2]
jfe=-[(r+l)/2] *=0
j = -N,-N + l,...,N.

Приложения
295
Приведем точное выражение для коэффициентов интерполянта
оо / [(r+l)/2] \ *
Действительно,
i = -JV,-^ + l,...,JV.
(П.7.8)
[(г+1)/2] оо Л [(г+1)/2] \*
*N,r{f;Tj) = O0CJ+ Е 0*Да*С^=Е(-1)* - Е а'А2Ч fi +
[(г+1)/2] , Гоо / f(r+l)/2] \ • ]
/ . l(r+l)/2] \ *+1
j = -N,-N + l,...,N.
Пусть интерполируемая функция / = К = const. Тогда
cj = К/а0;
[(г+1)/2]
К
[(г+1)/2]
*лг,г(/; г,-) = 53 bl*lci+* = — 53 ь1*1 = к>
k=-[(r+l)/2] ° fe=-[(r+l)/2]
j = _iV,-Ar + i,...,iV,
откуда
I(r+l)/2]
a0 = 53 Ь1*1 = L
Л=-[(г+1)/2]

296
Приложения
Согласно схеме простой итерации (П.7.4) с оптимальным параметром
в — 1 и Cj$ = /j, последовательные приближения к точному решению
Cjyk имеют вид
/ [(г+1)/2]
ЧМ - Cj,k-l + в I fj ~ Е ai&2lCjik-l
[(r+l)/2j
= Cj,k-i + /j _ aoCj,*-i - E агД2гс^Л_1 =
г=1
I(r+l)/2] & /[(r+l)/2] \S
= /,-- x^ а^ч-.л-^Ес-1)' E *д2ч />> (n-7-9)
?=1 s=0 У г=1 у
j = -7V,-7V+l,...,iV.
Последнее выражение в пределе при А: —> оо представляет собой не что
иное, как формулу (П.7.8), в которой следует учесть, что ао = 1.
Обозначим через Флг,г,л(/»*) квазиинтерполянт, соответствующий
коэффициентам, определяемым (П.7.9). Очевидно, что
[(г+1)/2]
&N,r,k(fiTj) ~ a0Cj,k + E ak&2hCj,k -
к /l(r+l)/2] \ S
= 5>1п S в'д2< л +
5=0 V «=1 /
[(r+l)/2j
+ E а*д2*
Jt=l
/[(r+l)/2]
E(-1)M E аЛ») П
1
s=0
Л+1
/[(H-D/2]
Следовательно,
шах |Фл?,г,*(/; т,-) - fj\ = max
a(r+D/2] \ *+1
E «iA* /i
«=1 /
0(Л2*+2)
При /(Х) 6 CK--+l)/2](2*+2).

Приложения
297
I(r+l)/2]
Теорема П. 7.2. Пусть b0-2 ]Р b{ = q > 0 u f(x) G
€ С'[(г+1)/2](2/е+2) Тогда будет верна оценка
||Ф*.г.*(/;0 - *jv,r(/;*)||c[0;1] = 0(Л2*+2).
Доказательство. Используя представление (П.7.1) и
соотношение (П.7.2), имеем
||фд^(/;0-Ф(/;0||с[О;1]
ЛЧ-[(г+1)/2]
t=-N-[(r+l)/2]
N+[(r+l)/2]
^ max lei,* -с{\ ^2 lw,i(*)l = max K* - c*l-
a=-N-[(r+l)/2)
Из условия теоремы, а также свойств матриц с доминирующей главной
диагональю, получаем
тах|с;,* - а\ ^ q~l max |Флг,г,*(/;^-) - fj\ = 0(h2k+2).
Теорема доказана.
Наконец, оптимизируем выражение (П.7.9) так, чтобы квазиинтер-
полянт $N,r,k(f]t) был точен на многочленах степени г. Для этого с
помощью полиномиальной формулы раскроем в (П.7.9) скобки и
отбросим слагаемые, содержащие разделенные разности от / порядка выше
г-го
[<r+l)/2] /l(r+l)/2] \ ^™.
<** = Е ("D'E П *Г д S /i- (П-7.Ю)
• = 0 {Рг} \ <=1 /
Здесь набор индексов {pi} должен удовлетворять условиям
[(r+l)/2j I(r+l)/2]
^ Pi = 5, 53 w<[(r + i)/2)].
г=1 г=1
Пример П. 7.1. Задача нахождения атомарного интерполянта
Фдг,2(/;£) приводит к необходимости решения следующей разностной

298
Приложения
системы уравнений:
с-лг-1 = слг-i;
ab-1 + ih + uCj+i=Cj + ид2с'='* J' = -JV*-JV+1 *;
С-ЛГ+1 = CN+1-
Схема (П.7.4) с оптимальным параметром итерации принимает вид
w = -**«* + Л " ВГ д!"+"^ + g (-я)'А"*-
Если принять Cj.o = /j, то получим выражение
*™-li(-s)W
i=0 ч '
Пусть /(ж) = х2. Тогда /, = (ftj)2, а при к > 1
*-*,(''-л)-
Формула (П.7.1) с такими коэффициентами при г = 2 дает точное
разложение функции х2 по атомарному базису.
Пример П. 7.2. Система (П.7.3), соответствующая приближению
f(x) интерполянтом четвертого порядка Фдг,4(/; О» выглядит следующим
образом:
C-N-2 = СдГ-2, С-ЛГ-1 = Cflf-i;
1 /143 1657 3143 1657 143 \ _
2700 [12 е*-2 + ~TCj~l + ~ГС* + T"^+1 + 1Г*+2 j =
2 143
С-ЛГ+1 = Сдг+1, С_лг+2 = СЛГ+2-
Используя формулу (П.7.10), получаем
cja = U ~ §А2Л + 5йй>Д4/,.
При этом Фдг4(/;*) точен на многочленах пятой степени, а
коэффициенты атомарного разложения (П.7.1) функции ж4 имеют вид
, 4 Л4 8 .2 857 \

Приложения
299
Приложение 8
ПОПЕРЕЧНЫЕ СЕЧЕНИЯ РЕГУЛЯРНЫХ ВОЛНОВОДОВ
И НОРМАЛИЗОВАННЫЕ ФУНКЦИИ ГРАНИЦ ОБЛАСТЕЙ
В табл. П.8.1 представлены как широко распространенные, так и
более редкие формы поперечных сечений регулярных волноводов.
Таблица П.8.1. Геометрии поперечных волноводов и функции их границ
А
I Ц
4 ►<"
26
2а
1) Прямоугольный:
U = Ш\ AW2,
Wi
U2 =
2a '
i2 2
Ь -У
26
2) Круглый:
R2-x2-y2
2R
3) Эллиптический:
л2.2 t2„2 Л2Л2
_ а о — о x — а у
2aby/a2 + b2-x2-y2
^r
=4
2a
26,
260
4) Коконообразный (Кассини)
w = uo/yjCul + |Va;o||n»
a;o =p2(Va4 + 4c2s2- ж2 -с2) -у2,
|Vu;o|In = 16aV-fV),
a>c, p > 0, С > О
5) Равнобедренный треугольный:
w=wiA (иг Лиз),
Сь>1 = У + Л/3,
a;2 = (/is - at/ -I- 2ah/3)/Va2 + /i2,
a;2 = (-/is - ay + 2ah/3)/Va2 + /i2

300
Приложения
Таблица П.8.1. (продолжение)
6) Треугольник Релло:
и = ш\ Л {ш2 Л из),
w24Ir2
о>з
(*-т)'-(»-5^)'
J
2/*
1
Ь у
г/
Г—
'
х]\
I
1
-1 \/
а
с
7) Параллелограмм:
и — ш\ Л (а;2 Ло;з),
"i = (h2 - t/2)/2/i,
и2 = (2hx -су Л- ah) I \/Ah2 -I-с2,
u;3 = (-2/irc + q/ + ah)/у/Ah2 + c2
i
h-^-4
7
/
\
, \
h =- н
8) Равнобокий трапецеидальный:
W\
U>2
_ -2bx - (a - c)y + b(a + c)
y/(a - c)2 + 462
26a: — (a — c)y -f- 6(a -f- c)
V(a - c)2 -I- 46f '
ws = (b2 - y2)/2b
9) Пятиугольный (квадратный со скошенным
углом):
и; — (ил Л Ш2) Л о;з,
Wl = [a2-(x-j/)2/2]/2o,
w2= [a2-(x + y)2/2]/2a,
U3 = h-y

Приложения
301
Таблица П.8.1 (продолжение)
a/ >v
$""""/
10) Правильный пятиугольный:
ш — {u\ Л U2) Л из Л (ом Л о^),
. a a acos(a/2)
а,,=»8ш--усо8- + cQsg ,
. a a acos(a/2)
Ш2 = -a: sin- -2/cos- + ———\—,
2 2 cos р
из = 2/ -f- atg/?,
ua = (y + a(tga -I- tg/?)) cos a -I- resin a,
^5 = (y-\-a(tga + tg/3)) cos a — x sin a
(а = 2тг/5, /? = Зтг/10)
Ш
л>/з
2a
И) Правильный шестиугольный:
и — u\ Л LJ2 Л о;з,
a;i = (3a2/4 - у2)/ау/3,
U2
Шз
(Мч*)')/'*
/т
\1
-*
7\
2a
12) Правильный восьмиугольный:
и — (и\ Л иг) Л (из Л ил*),
ил = (а2 - х2)/2а,
и2 = (а2 - г/2)/2а,
а;3 = (а2-(х + г/)2/2)/2а,
а;4 = (а2 - (х-у)2/2)/2а
2Ь
2с
2а
2d
13) L-образный:
и — (ш\ Л иг) Л (из V ом),
Wl = (a2 - (х - а + с)2)/2а,
и;2 = (Ь2-(2/-Ь + <*)2)/2Ь,
a;3 = с - я,
ил* = d - у

302
Приложения
Таблица П.8.1 (продолжение)
2Ь
2а
II
т
^ /■
>с
\
jL
2d
14) Т-образный:
u = (uji Л о>2) V (а>з Л ом),
wi = (а2 - х2)/2а,
и,2 = (^ - t/)/2d,
шг = (с2 - х2)/2с,
w4 = (b2-(y + b-d)2)/26
2b
|«<—
2a
Jj
ц
—►!
Т
Т
2</
2Г
15) П-образный:
lj = (u>i Л о>2) Л (о;з V о^),
ид = (а2 - х2)/2а,
u;2 = (62-(t/ + 6-d)2)/26,
u,3 = (я2 - с2)/2с,
а>4 = г/ 4- d
"I
z^l
1
А
U ц
N Н
2а ^
А
2d
L
16) Н-образный:
и = (u>i V и>2) Л (а>з Л ом),
ил = (а:2-с2)/2с,
u>2 = (d2-y2)/2dy
ыз = (о2 - а:2)/2а,
шА = (Ъ4 - у2)/2Ь
17) Ш-образный:
и = [(cji Л а>2) V и>з] Л (а>4 Л u>s),
2с,
1ГВД
2*>
2</
ш\
U2 =
2а
(2а: 4-а-с)2 - (а - Зс)2
4(о - Зс)
(2х - а - с)2 - (а - Зс)2
4(а - Зс)
uJ3 = d-y>
а>4 = (а2 — а:2)/2а,
ыб = [Ь2-(у-6 + <*)2]/2Ь

Приложения
303
Таблица П.8.1 (продолжение)
I
2b\
Т
П
L^ ►)
_2^_
2d
18) Крестообразный:
и) = (ал Л о;г) Л (о;з V о^),
ал = (а2 - х2)/2а,
и2 = (Ь2 - у2)/26,
uz = (с2 - s2)/2c,
u;4 = (d2-y2)/2d
19) Усеченный круглый:
а; = ал Ла>2,
ал = (а2-а:2)/2а,
а,2 = (Я2 - х2 - г/2)/2Д
2Ь
\Г~
IL_
Pi
_J
2а
20) Прямоугольный со скругленными углами:
(jj = (ал До/г) Лиз,
ал = (а2 -х2)/2а,
и2 = (б2 - г/2)/2Ь,
а;з = (Я2 - х2 - </2)/2Д
СУ!
г
2я
2</
21) Волновод Майнке:
и — (ал Л U2) Л (а;з Л ол^),
ил = (а2-я2)/2а,
U2 = (Ь2 - г/2)/2Ь,
а;з = (х2 + (г/ + d + Л)2 - #2)/2#,
иА = (а:2 + (г/ - d - R)2 - Д2)/2Д
1
м
\
\
А
N
т2с*
\
А
:
la
\2d
т
22) Скошенный Н-образный:
и = [(ал Л а;г) Л (а>з Л а^)] Л (иь V а>б),
аЬ — Ьх — (а — с)г/
ал = . ,
д/Ь2 + (а - с)2
аб — &# 4- (а — с)у
а>2 —
у/Ь2 + (д - с)2 '
_ дЬ + 6х — (д — с)у
W3~ л/Ь2 + (а-с)2 '
а>4
а6 + Ьх + (а — с)|/
ws = (х2 - с2)/2с,
шь = (d2 - i/2)/2d

304
Приложения
Таблица П.8.1 (продолжение)
2Ь
2с
•<—►
КНт^
2а
2d
23) Эллиптический с прямоугольными
желобами:
ш = ш\ Л {ш2 \/о;з),
а о —ох
2 2
2abV^2 + Ь2 - х2 - у2 '
а;2 = (я2 - с2)/2с,
а;3 = (d2 - y2)/2d
I
2b\
\
Y^
( ^
\ ^
Kr
fS\
1
^ J
^A
2a *
ild
24) Эллиптический с круговыми желобами:
ш — ш\ Л (а;2 VW3),
2»2 12 2 2 2
а Ь — Ъ х — а у
U\ —
2аЪу/а2+Ъ2-х2-у2'
U2 = (х2 + (г/ -I- d -I- Я)2 - Л2)/2Д,
о;3 = (х2 + (г/ - d - R)2 - R2)/2R
d-^e
2b
tb-
2</
25) Прямоугольный с круговыми угловыми
желобами:
и — (u\ Л иг) Л (из Л ua Л (а>5 Л ив),
wi = (а2 - я2)/2а,
^2 = (Ь2 - г/2)/2Ь,
(я; - с - Л)2 -I- (у - d - R) - R2
"3 = 2Д '
{х + с + R)2 + {у - d - R) - R2
2R
{х - с- R)2 + {у + d + R) - R2
U5 = 2R '
UA
Мб :
{x + c + R)2 + {у + d + R) - R2
2R
TO
2b\
J&_
2c.
4^
2h
2d
~ 2a *■
26) Прямоугольный с прямоугольными
желобами:
w = (aii V 012) Л (о>з ЛЫ4Л (u>5 V о>б),
wi = (х2 - с2)/2с,
ш2 = (rf2 - y2)/2d,
ш3 = (а2 - ж2)/2а,
а;4 = (б2 - у2)/26,
ws = (52 - х2)/25,
uj6 = (у2 - Л2)/2Л

Приложения
305
Таблица П.8.1 (продолжение)
,2с
2Ь\
л
2а
2d
27) Эллиптический с двумя ребрами:
W = WlV {Ш2 Лиз),
а2Ъ2-Ъ2х2
Ul
2 2
а уг
2aby/a2 -+- Ь2 - х2 - у2 '
^2 = (с2 - х2)/2с,
ш3 = (d2 - y2)/2d
2с
26
2я
2</
28) Круговой с четырьмя ребрами:
ш = [(ил Л иг) Л (из V им)] V а>5,
wi = (а2 - я2)/2а,
^2 = (Ь2 - 2/2)/26,
а;3 = (с2 - я2)/2с,
ш4 = (d2 - 2/2)/2d,
u;5 = (Я2 - х2 - y2)/2R
2с
2Л
ULT
2g
2d
2b
2а
29) Прямоугольный с четырьмя ребрами:
ш = [(ил Л U2) Л (из V из)] V (и>5 Л ие),
ил = (а2 - х2)/2а,
"2 = (б2 - 2/2)/26,
о;3 = (с2-а:2)/2с5
и,4 = (d2 - у2)/2d,
"5 = (д2 - х2)/2д,
Шв = (/г2 - 2/2)/2/г
2с
Р.
Л*
2я
2R
30) Прямоугольный с двумя
цилиндрическими ребрами:
ш = (ил Л U2) V (из V им),
ал = (а2 - х2)/2а,
ш2 = {Ъ2 - г/2)/2Ь,
из = (R2 - (х + с - R)2 - г/2)/2Д,
им = (Я2 - (ж - с -I- Я)2 - г/2)/2Я,
31) Кольцевой (коаксиальный):
LJ ~ LJl Л U>2,
ал = (Я2 - я2 - г/2)/2Л,
W2 = (Я + 3/
2)/2г

306
Приложения
Таблица П.8.1 (продолжение)
32)
с^з
U = (о>1 VW2) Л^З,
ш\ = (х2 -а2)/2а,
"2 = (у2 - Ь2)/2Ь,
(Я2 - х2 - у2)/2Я
26
е
2а
33)
2/?
а; = (а>1 Л и^) Ла;з,
wi = (а — х )/2а,
W2 = (б2 - у2)/2Ъ,
ш = (х2+у2- R2)/2R
1с
34)
А
26
т
-*—►
1 ^ w'
2
а
А
т
2d
ш = (lji Л U2) Л (а>з V ал*),
шх = (а2 - х2)/2а,
"2 = (б2 - г/2)/2Ь,
иг = (я2 - с2)/2с,
u4 = (y4-d2)/2d
\20у
*т-
--►1
А
35)
и = и\ /\ {и)2 Л а>з)Л
Л [(и;4 Л а;б) Л (а>б Л и>7) Л (и& Л cjq)] ,
^1 = -у-f-6-f-а/л/3,
и2 = {-у/Ъх + у + 26 -|- 2а/\/3)/2,
а>з = (v/Зя: + г/ + 26 + 2ал/3)/2,
ал* = гт -|- 1, а>6 = — ж -|- а,
w5 = (а:-л/Зу + 2а)/2,
а;7 = (-ж-л/Зу + 2а)/2,
а;8 = (-ж + уДу + 2а)/2,
w9 = (ж + л/Зу -I- 2а)/2
©^
2л
36) Гантелеобразный:
ш = (a;i Л U2) V (и>з V им),
ил = (а2 - я2)/2а,
"2 = (rf2 - 2/2)/2d,
uz={R2-{x-a)2-y2)/2R,
ш4 = {R2-{x + a)2-y2)/2R,

Приложения
307
Ос
Ч
А
И
JL
?\
'* 2а
Таблица П.8.1 (окончание)
37) Секториальный (п ^ а < 27г):
W=WlA (о>2 \/Сс?з),
wi = (Я2 - х2 - 2/2)/2Я,
^2 = t/,
из = # sin a — у cos а
38) 8-образный: 1
ui = (R2-(x-a + R)2 - г/2)/2Я,
U2 = {R2 - (x + a - Я)2 - г/2)/2Д
Для сохранения норма лизованности в выражениях для границ
областей символы Л и V обозначают R-конъюнкцию и R-дизъюнкцию одной
о
из систем: *Иа, *И или $Н-
р п

Научное издание
КРАВЧЕНКО Виктор Филиппович
Б АС АРАБ Михаил Алексеевич
БУЛЕВА АЛГЕБРА И МЕТОДЫ АППРОКСИМАЦИИ
КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
Редактор Л.А. Папюшкипа
Компьютерная графика М.Н. Грицук
Компьютерная верстка Е.А. Митченко
ИД №01389 от 30.03.2000
Гигиеническое заключение №77.99.10.953.Д.005466.07.03
от 25.07.2003
Подписано в печать 15.03.2004. Формат 60x90/16.
Бумага офсетная №1. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 19,25. Уч.-изд. л. 21,2.
Тираж 1000 экз.
Издательство Физико-математической литературы
119071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
Отпечатано с готовых диапозитивов
в ПФ «Полиграфист»
160001 г. Вологда, ул. Челюскинцев, 3
Заказ №2176