•••••••••• НИБЕРНЕТИНД
И. м.яглом
БУЛЕВА
СТРУКТУРА
И ЕЕ МОДЕЛИ
• КИБЕРНЕТИКА •
И. м. яглом
БУЛЕВА
СТРУКТУРА
И ЕЕ МОДЕЛИ
Москва «Советское радио» 1980
ББК 62 81
Я 27
УДК 51+007(023)
Яглом И. М.
Я27 Булева структура и. ее модели, —М.: Сов. радио,
1980.— 192 с., ил.
70 коп.
На конкретней примере структуры (алгебры) Буля в книге изла-
гается общая схема создания математических теорий и приложений
этих теорий к явлениям реальной жизни. Главное место в книге зани-
мает алгебра высказываний, являющаяся фундаментом математической
логики, алгебра релейно-контактных схем, лежащая в основе проекти-
рования сложных электрических и электронных систем, и теория веро-
ятностей. Изложение сопровождается большим числом примеров и
упражнений для самостоятельного решения.
Книга не предполагает никаких специальных знаний, выходящих
за пределы школьного курса математики. Предназначается для широ-
кого круга читателей, интересующихся кибернетикой, общенаучными
проблемами, математической логикой или теорией вероятностей.
„ 30501-077
Я 046(01 )-8Г71-81
ББК 32.81
6Ф0.1
Рецензенты: чл.-кор. АПН СССР В. Г. Болтянский и д-р физ.-мат.
наук Б. А. Розенфельд
Редакция кибернетической литературы
Исаак Моисеевич Яглом
БУЛЕВА СТРУКТУРА И ЕЁ МОДЕЛИ
Редактор Н. Г. Давыдова
Художественный редактор Н. А. Игнатьев
Технический редактор Т. Н. Зыкина
Корректор Н. Н. Васина
И Б № 541
Сдано в набор 29.12.79 г. Подписано в печать 22.10.80 г. Т-15077.
Формат 60 X 84’/ie. Бумага книжно-журн. Гарнитура литературная.
Печать высокая. Объем 11,39 усл. п. л. 12,46 уч.изд. л. Тираж 25 000экз.
Зак. 1518. Цена 70 к.
Издательство «Советское радио», Москва, Главпочтамт, а/я 693
Московская типография Кв 4 Союзполиграфпрома при Государственном
комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
129041, Москва, Б. Переяславская ул., д. 46.
© Издательство «Советское радио», 1980
ПРЕДИСЛОВИЕ
При написании настоящей книги автор руководствовался
двумя целями, в соответствии с чем книга рассчитана на две разные
категории читателей.
Прежде всего мне хотелось заполнить явственно ощущающийся
пробел в доступной русскому читателю литературе. Научно-техниче-
ская революция наших дней, связанная с созданием ЭВМ, возникно-
вением кибернетики и широчайшей математизацией знания, не только
колоссально расширила круг потребителей математики, но и вы-
звала известную перестройку самих математических наук, заметно
сместив здесь акценты и выдвинув на авансцену те направления
математической мысли, которые совсем еще недавно считались чисто
специальными и интересными лишь узкому кругу специалистов в со-
ответствующей области. При этом особенно бросается в глаза рост
значения теории вероятностей и математической (или символической)
логики. Возросший авторитет теории вероятностей и логики связан
не только (и даже не столько) с их большим местом во всех современ-
ных приложениях математики, но и с мировоззренческим значением
соответствующих наук: ведь теоретико-вероятностные и статистиче-
ские представления лежат в основе современной научной картины мира,
а без математической логики теряют всякую почву столь модные се-
годня дискуссии о том, может ли машина мыслить, и становится бес-
содержательной актуальная проблема создания искусственного ин-
теллекта. Но обе эти теории (а точнее, науки или даже комплексы
наук, имеющие первостепенное прикладное и общетеоретическое зна-
чение — теория вероятностей и математическая логика) базируются
на одной и той же аксиоматической системе (или математической струк-
туре, если использовать модную и удобную терминологию знамени-
того Никола Бурбаки): на алгебре (или структуре) Буля.
Иной реализацией булевой структуры является играющая столь
важную роль в современной технике (в частности, в учении о конст-
руировании и функционировании ЭВМ) «алгебра релейных (электри-
ческих) цепей», профессионально необходимая каждому инженеру,
связанному с электрическими сетями или электронными устройствами
Все эти обстоятельства привели к тому, что во многих странах
учение об алгебрах (структурах) Буля ныне прочно вошло в школь-
ный курс математики. У нас дело обстоит пока иначе, однако элементы
3
этой теории обстоятельно изучаются во многих высших учебных за-
ведениях — не только на математических факультетах и отделениях
университетов и пединститутов, но и на специализированных «ма-
тематических» отделениях филологических, психологических или
юридических факультетов и во многих втузах. С этим же связано
наличие довольно обширной литературы об алгебрах (структурах)
Буля.
Однако вся имеющаяся на русском языке литература об алгебрах
Буля достаточно отчетливо распадается на три группы: это либо сов-
сем уж элементарные введения в учение об алгебрах Буля, рассчитан-
ные на малоопытных читателей, в первую очередь на школьников (та-
ковы, например, книги [1.1—1.31), либо обстоятельные пособия для
студентов высших учебных заведений (скажем, [2.1, 2.2 или 2.8]),
либо, наконец, монографии для специалистов-математиков (как [3.1
или 3.2]). Но при этом упускается из виду еще одна обширная катего-
рия читателей: ее составляют лица, ранее не изучавшие соответствую-
щей теории (которая ведь еще совсем недавно не входила в обязатель-
ный курс ни одного из наших высших учебных заведений), а ныне же-
лающие с ней самостоятельно познакомиться. В зарубежной литера-
туре на эту категорию читателей — не получивших должного образо-
вания, но достаточно серьезных и по-настоящему заинтересованных
в аппарате современной прикладной математики — рассчитано мно-
жество разнообразных по уровню требований и методическим установ-
кам книг и статей (в качестве примеров здесь можно назвать сочи-
нения [1.15—1.19 или 2.23—2.26], составляющие лишь бесьма малую
часть все не иссякающего потока книг такой направленности). У нас
же подобных книг практически нет; лишь со значительной натяжкой
к этой категории литературы по кибернетике и математике можно
отнести переводные сочинения [1.4—1.7 и 1.13, 1.14], все, кстати ска-
зать, очень сильно отличающиеся от настоящего. Таким образом,
эту книгу, весьма естественную, как мне кажется, для серии «Кибер-
нетика», можно рассматривать как пособие для самообразования или
как книгу для чтения, обращенную к широкому кругу лиц (в том чис-
ле к студентам и выпускникам технических, педагогических, естест-
веннонаучных и гуманитарных вузов), желающих самостоятельно по-
знакомиться как с первоначальными представлениями математиче-
ской логики, теории вероятностей и теории электрические цепей, так
и с внутренними связями этих трех важных теорий.
Наряду со сказанным эта книга преследует еще одну, возможно
несколько менее утилитарную цель. Ее вполне можно рассматривать
как продолжение книги «Математические структуры и математиче-
ское моделирование» [II], призванной пояснить место математики в
общем процессе познания, ее уникальность и одновременно тесную
связь со всеми другими направлениями научной мысли. В книге [II]
обсуждались вопросы об общем устройстве математических теорий,
об их развертывании как формально-логических систем и о путях при-
4
ложения математики к изучению реально существующих явлений мате-
риального, социального или духовного порядка (так сказать, к физи-
ке, или к социологии, или к литературоведению). Общие идеи иллю-
стрировались в III] небольшим числом весьма эскизно набросанных
примеров математических структур и математических моделей — на
более подробный рассказ о каких-либо конкретных образцах матема-
тических теорий там просто не было места. Однако для того, чтобы по-
настоящему понять природу и роль математики, совершенно необ-
ходим более тщательный анализ какой-нибудь конкретной темы —
и в качестве подобного «эталонного» образца математической теории
мне показалось привлекательным остановиться на булевой структуре,
характеризующейся широкими связями со многими магистральными
направлениями математической науки (напримёр, с учением об алгеб-
раических кольцах или о решетках) и весьма широким спектром при-
ложений. Разумеется, от книги [II] настоящее сочинение нисколько не
зависит.
Ориентация на разные категории читателей определила неко-
торую разноплановость книги, в целом достаточно элементарной (от
ее читателя практически нигде не требуются знания, выходящие за
рамки курса средней школы), но вовсе не тривиальной и в некоторых
своих частях предполагающей известную настойчивость читателя.
В частности, несколько более подробные, чем в других сочинениях на
ту же тему, исторические сведения, как и другие вставки, расширяю-
щие строгие рамки учения о булевой структуре (скажем, рассказ об
аксиоматических системах, более широких, чем алгебра Буля, или от-
ступление о теории размытых множеств Л. Заде), рассчитаны ско-
рее на читателей, интересующихся общими вопросами, чем на лиц, не-
посредственно заинтересованных в теории вероятностей, математиче-
ской логике и их приложениях. Напротив, большинство упражне-
ний обращены, в первую очередь, к первой из двух указанных выше
категорий возможных читателей книги. Напечатанные мелким шриф-
том разделы текста могут быть опущены без ущерба для понимания
остальной части книги; некоторым читателям будет, видимо, умест-
но опустить также и доказательства тех или иных фактов (т. е. при-
нять эти доказательства на веру; начало и конец доказательства
в книге всегда обозначаются заметными знаками <4 и ►).
Немногочисленные примеры и упражнения иногда выходят за
рамки основного текста, намечая возможные выходы в смежные об-
ласти; однако в большинстве случаев они рассчитаны лишь на за-
крепление полученных знаний и самопроверку степени усвоения со-
держания книги. Упражнения сопровождаются весьма краткими и не-
полными указаниями к их решению, собранными в конце книги. Даль-
нейшие задачи и упражнения по теме книги читатель сможет найти
в вузовских задачниках [2.21 л 2.22], в некоторых из перечисленных
в конце книги пособий, например, в [1.13, 1.14, 2.1 или 2.3], а также
в содержательных книгах [2.2 и 2.23]. Читателю, специально заинтере-
5
v
сованному в изучении математической логики, можно порекомендо-
вать книги [1.4 и 2.4—2.12] (из которых хочется специально отметить
элементарное введение в предмет [1.4], классическое сочинение [2.71,
превосходный университетский учебник [2.10] и книгу [2.5], входя-
щую в ту же серию, что и настоящая книга); читателю, пожелавше-
му углубить свои знания по теории вероятностей, хочется, в первую,
очередь, указать на весьма богатую по содержанию, однако вовсе не
простую книгу [2.17]; читателя-инженера, нуждающегося в более
полном изложении теории релейных электрических цепей, естественно
адресовать к книге [2.13].
В книге принята двойная нумерация формул и упражнений, где
первое число указывает номер параграфа, а второе — номер формулы
(упражнения); при ссылке на формулу (упражнение) того же парагра-
фа называется лишь второе число. Сравнительно сложную структу-
ру имеет и список литературы, начинающийся с основополагающего
сочинения Буля (к сожалению, пока не переведенного на русский язык)
и с предшествующей книги автора. Затем идет (разумеется, весьма не-
полный) перечень общих сочинений по теории булевых структур, ма-
тематической логике и теории вероятностей, довольно условно раз-
битый на три группы, в связи с чем в этой части списка литературы
пришлось прибегнуть к двойной нумерации входящих в нее книг.
Наконец, последнюю часть списка литературы составляют работы, на
которые в тексте книги имеются прямые ссылки.
В заключение мне 'хочется поблагодарить за помощь моих дру-
зей Л. И. Головину и Д. Б. Персица, прочитавших рукопись и помо-
гавших в составлении окончательного варианта книги.
И. М. $глом
Глава 1
АЛГЕБРА ЧИСЕЛ И АЛГЕБРА МНОЖЕСТВ
1. «СЛОЖЕНИЕ» И «УМНОЖЕНИЕ» В АЛГЕБРЕ МНОЖЕСТВ
Числа, с которыми мы встречаемся в арифметике и в ал-
гебре, могут иметь разную природу — это могут быть целые или
рациональные числа (дроби), вещественные или комплексные числа.
Современная алгебра имеет дело иногда и с более сложными типами чи-
сел, например с так называемыми дуальными числами х + г/е, где
х и у вещественны, а е2 = О (см. (II, с. 87) или [1]), или с кватернио-
нами х 4- yi + zj + tk9 где х, у, z, t вещественны, Z2 = /2 = k2 = —- 1
и ij = — ji = k, ki = — ik = /, jk = — kj = i (см. [II, c. 84] или
[2]). Но независимо от природы рассматриваемых чисел мы всегда ста-
вим в соответствие каждым двум числам с и b два новых числа, обозна-
чаемых через b и ab и называемых «суммой» и «произведением»
чисел а и Ь.
Определение суммы и произведения двух чисел в разных случа-
ях будет совершенно разным. Так, для случая целых поло-
жительных чисел сумма а 4- b означает число предметов, по-
лучаемое при объединении двух наборов предметов, первый из кото-
рых содержит а, а второй4 & предметов (рис. 1, а)\ произведение ab
означает число предметов в а наборах, каждый из которых содержит
b предметов (рис. 1, б). Ясно, что эти определения не имеют смысла,
если числа а и b — не целые или не положительные; в этих случаях
их надо заменить совсем другими соглашениями. Так, например, сум-
ма и произведение рациональных чисел (дробей) определяются
по правилам:
I	в] 4*
Qq	^2	^2	^2	^2 ^2
(здесь	а2,	— целые числа); для вещественных
чисел существует, скажем, правило
(— Ь) = ab\
сумма и произведение комплексных чисел определяются так:
(аг + а20 + (&i + b2i) = (^1 + Ьг) + (а2 + Ь2) /,
(аг + a2i)- (Ьг + b2i) = (а^ — а2Ь2) + (а1Ь2 + а2Ьг) i
(здесь а19 a2i b19 Ь2 — вещественные числа) и т. д.
Единые названия «сумма» и «произведение» для операций, опре-
деленных для объектов («чисел») разной природы и вводимых сов-
сем по-разйому, оправдываются тем, что во всех случаях общие законы
действий над числами остаются одними и теми же. Вот эти законы:
a)	a + b = b-J-a,
(коммутативный за-
кон для сложения)
б)	ab = ba;
(коммутативный за-
кон для умножения)
а)	(а + Ь) + с = а 4- (& + с),
(ассоциативный закон для
сложения)
б)	(ab) с —a (he)-,
(ассоциативный iukoh
•для умножения)
(а + ft) с = ас + Ьс.
(дистрибутивный закон)
(1.1)
(1-2)
(1.3а)
Далее, во всех случаях существуют два замечательных числа, обо-
значаемых символами 0 и 1, таких, что прибавление первого из них
к любому числу и умножение любого числа на второе не меняют са-
мого числа:
а) а + 0 = а и б) а* 1 = a.	(L4)
Сохранение общих свойств сложения и умножения для чисел раз-
ной природы чрезвычайно удобно: оно позволяет на каждом этапе рас-
ширения понятия числа (при переходе от целых положительных чи-
сел к относительным числам или к дробям, при переходе от веществен-
ных чисел к комплексным и т. д.) не переучиваться, полностью ис-
пользовать навыки, полученные ранее при изучении чисел другой,
более простой природы. Собственно, именно это сходство и делает до-
пустимым использование названий «сложение» или «умножение» для
обозначения, казалось бы, совершенно разных операций и употребле-
ние одного термина «число» для разных объектов.
а+Ь яблок
а яблок b яблок
Рис. 1
об груш.
Ь груш b груш Ь груш ь глуш
\ \ / /
а групп груш
8
Иногда свойства (1)—(4) берут за основу при определении
операций сложения и умножения, т. е. рассматривают произвольные
множества элементов, для которых определены две (не описывае-
мые явным образом) операции, сопоставляющие двум элементам
а и Ь третий элемент e = a + bwd = ab соответственно, причем от
этих операций требуется только, чтобы они удовлетворяли условиям
(1)—(4) (и некоторым другим дополнительным условиям). Полученную
таким путем алгебраическую систему или алгебраическую структуру
называют полем или кольцом в зависимости от того, какие дополни-
тельные требования предъявляются к операциям сложения и умноже-
ния (см. [II, с. 82—871 или [31). Мы/однако, займемся здесь алгебра-
ическими системами, отличными-от колец и полей.
Заметим еще, что одна из перечисленных в начале параграфа чис-
ловых систем — система кватернионов — не удовлетворяет всем вы-
писанным законам: умножение кватернионов не коммутативно, т. е.
для двух кватернионов а и Ь, вообще говоря, ab Ф Ьа. Однако все
остальные правила действий (1а), (2), (За), (4) остаются в силе и для
кватернионов: кватернионы образуют «почти поле», хотя и не совсем
точно поле. Для того чтобы включить кватернионы в множество объек-
тов, изучаемых в теории полей,, иногда исключают правило (16) из
тех, которые определяют поле (из аксиом поля), говоря, что кватер-
нионы образуют некоммутативное поле (подобно тому, как кольца
бывают коммутативными и некоммутативными, унитальными и не-
унитальными, причем условия коммутативности и существования еди-
ницы, или унитальности могут включаться или не включаться в ак-
сиомы кольца•— ср. [Ill, с. 82). Чаще, однако, алгебраические систе-
мы, отличающиеся от поля лишь тем, что правило (16) может и не иметь
места, рассматривают отдельно, присваивая таким системам специаль-
ное название («тело»).
При рассмотрении законов (1)—(4) сразу бросается в глаза, что
законы сложения очень похожи на законы умножения:
а) а + b = b + а и б) ab = Ьа\	(1.1)
а) (а 4- 6) + в = а + (Ь + о) и б) (ab) а (Ьс)\	(1.2)
а) а + 0 = а и б) а-1 = а.	(1.4)
Заметим, впрочем, что сходство между действиями сложения и ум-
ножения не простирается слишком далеко. Так, например, число О
играет особую роль не только по отношению к сложению, но л по от-
ношению к умножению: эта особая роль числа 0 определяется заме-
чательным равенством
а-0 = 0.	(1.56)
[Из этого равенства, в частности, вытекает, что число а =/= 0 нельзя
делить на нуль.1 В противоположность этому число 1 по отношению
к сложению не играет никакой особой роли; равенство, которое полу-

Рис. 2
чается из равенства а*0 = 0 заменой числа О
числом 1 и умножения сложением:
а + 1 = 1,	(1 -5а)
почти никогда не будет верным. [Это равен-
ство справедливо лишь при а = 0.1
Так же и дистрибутивный закон (а + Ь)с =
= ас + Ьс подчеркивает различие между дей-
ствиями сложения и умножения. Если заме-
нить в записи этого закона сложение умно-
жением и наоборот, то мы получим курьез-
ное «равенство»
(ab) + с = (а^с)(Ь + с),	(1.36)
как правило, не выполняющееся. [Это равенство справедливо лишь
при с = 0 и при а + Ь + с = 1.1
В математике, однако, встречаются и отличные от чисел объекты,
для которых можно определить две операции, аналогичные сложению
и умножению. При этом, иногда удается прийти к «алгебре», в которой
сходство между операциями «слежения» и «умножения» оказывается
большим, чем в обычной алгебре чисел. В качестве примера мы оста-
новимся здесь на своеобразной алгебре множеств.
Рассмотрим систему всевозможных множеств (совокупностей) тех
или иных объектов; для конкретности мы вначале все время будем
говорить о множестве шахматных фигур (конечное множество;
рис. 2, а) и о множестве натуральных (целых положительных) чисел
(бесконечное множество; рис. 2, б), хотя на самом деле элементами
рассматриваемых множеств могут служить объекты какой угодно
(и даже неопределенной) природы. Нам только нужно будет в даль-
нейшем, чтобы общее множество всех рассматриваемых элементов
(множество всех фигур или множество всех чисел) было четко очерче-
но; это множество мы будем называть универсальным множеством и
обозначать буквой I (множества мы будем обозначать большими бук-
вами латинского алфавита).
Сумму А + В двух множеств А и В мы определим как такое мно-
жество С, которое получается при объединении множеств
А и В. Так, например, если А есть множество всех белых фигур, а В —
множество ферзей, то А + В = С состоит из всех белых фигур и чер-
ного ферзя (рис. 3, а); если А есть множество всех натуральных чисел,
делящихся на 2, а В — множество всех чисел, делящихся на 3, то
А + В = С состоит из всех чисел, делящихся на 2 или на 3
(рис. 3, б).
То обстоятельство, что мы назвали «сложением» совершенно но-
вую операцию, не должно нас смущать: ведьмы и раньше каждый раз,
когда переходили от чисел одной природы к числам другой, опреде-
ляли сложение по-новому. Ясно, например, что сложение положи-
*0,
к *
Рис. 3
тельных и отрицательных чисел — это не то же самое, что сложение
одних положительных чисел; так, сумма чисел (— 5) и (8) — это то
же самое, что разность чисел 8 и 5. Точно так же сложение
дробей — это не то же самое, что сложение целых чисел: ясно, что
указанное на с. 7 определение сложения целых положительных чи-
сел (см. рис. 1, а) совершенно непригодно для определения сложения
дробей. Употребление во всех случаях одного и того же термина «сло-
жение» мы оправдывали тем, что общие законы, которым подчиняется
операция сложения целых чисел, остаются в силе и при переходе,
скажем, к дробям: так, в обоих случаях сложение коммутативно
(см. (1а)) и ассоциативно (см. (2а)).
Посмотрим теперь, сохраняют ли силу эти законы и для множеств.
При этом нам удобно будет использовать специальные диаграммы,
иллюстрирующие действия над множествами. Условимся обозначать
множество всех рассматриваемых элементов (скажем, множество
всех шахматных фигур или множество всех натуральных чисел) в
виде квадрата; в этом квадрате можно отметить точки, обозначающие
конкретные элементы нашего множества1. При этом отдельные мно-
жества элементов, взятых из тех, которые составляют «полное» (уни-
версальное) множество (множества щахматных фигур или множества
натуральных чисел), будут изображаться частями квадрата.
Такие диаграммы часто называют диаграммами Венна — по имени
1 Разумеется, такое сопоставление отдельных точек квадрата элементам
рассматриваемого множества возможно лишь тогда, когда мощность всех эле-
ментов этого множества не превышает мощности континуума — мощности всех
точек квадрата. Так, например, можно противопоставить какие-то 32 точки
квадрата 32 шахматным фигурам; можно также выбрать каким-либо способом
счетное множество точек квадрата и сопоставить их с целыми числами. Однако
общие законы алгебры множеств нисколько не зависят от мощности рассматривае-
мого множества.
11
A+3
Рис. 4
A+B+C
Рис. 5
английского священника Джона Венна (1834—1923)1, применяв-
шего их в своих исследованиях по логике (см. [2.3]). Правильнее, од-
нако, было бы назвать их диаграммами Эйлера, поскольку задолго
до Венна их употреблял знаменитый Леонард Эйлер (1707—1783) —
швейцарский математик, много лет живший и работавший в Петер-
Ясно, что множество А 4- В будет изображаться объедине-
нием фигур, отвечающих множествам А и В (рис. 4). Из определе-
ния суммы двух множеств А и В непосредственно следует, что
А + В = В + А	(1а)
(коммутативный закон для сложения множеств; рис. 4), а также
(А + В) + С = А + (В + С)	(На)
(ассоциативный закон для, сложения множеств; рис. 5). Сумму
(4 4- В) 4- С = А + (В + С) естественно обозначать просто через
А + В + С (без скобок); она означает объединение трех множеств
А, В, С (т. е. в сумму А 4- В 4- С входят все элементы, принадлежа-
щие хотя бы одному из множеств А, В и С).
Определим теперь произведение АВ двух множеств А и В как
множество D, получаемое в пересечении множеств А и В\ дру-
1 Впрочем, став доктором наук и будучи избран в Академию' — английское
Королевское общество, Венн полностью отказался от церковной деятельности
в пользу занятий математической логикой — и даже оформил письменный доку-
мент, удостоверяющий его неспособность к исполнению обязанностей священника.
8 В замечательных «Письмах немецкой принцессе» (1768) Л. Эйлер, объяс-
няя своей корреспондентке простоту аристотелевой силлогистики, систематиче-
ски изображал отдельные множества объектов кругами на плоскости; соот-
ветствующие диаграммы (мало существенно, разумеется, отличающиеся от диа-
грамм Венна) часто называют кругами Эйлера. [Впрочем, подобные графиче-
ские иллюстрации теоретико-множественных и логических зависимостей
встречались и до Эйлера, например, в весьма примечательных, но, к сожалению,
оставшихся неопубликованными заметках по логике Готфрида Вильгельма
Лейбница (1646—1716); см. [2, 3].]
12
гими словами, в множество АВ =D входят те и только те элементы,
которые входят как в множество Д, так и в множество В, Так,4 напри-
мер, если А и В—это указанные выше множества шахматных фигур
или натуральных чисел, то множество АВ = D состоит соответствен-
но из одного только белого ферзя (рис. 6, а) или из всех чисел, кото-
рые делятся на 6 (рис. 6, б). На рис. 7 множество АВ изображено на
диаграмме Венна как пересечение фигур Д и В.
Использование знакомого термина «произведение» в совершенно
новом смысле оправдывается тем обстоятельством, что из самого опре-
деления произведения множеств следует выполнимость для него ос-
новных свойств умножения чисел:
АВ = В А	(16)
(коммутативный закон для умножения множеств; рис. 7);
(АВ) С = А (ВС)	(Пб)
(ассоциативный закон для умножения множеств; рис. 8).
Множество (АВ) С = А (ВС) естественно обозначать просто через
ДВС (без скобок); оно состоит из тех и только тех элементов, кото-
13
(А+В)С
Рис. 9
АС + ВС
рые принадлежат каждому из множеств А. В и С (представляет
собой пересечение трех множеств).
Проверим теперь, выполняется ли для множеств дистрибутивный
закон (За).
◄ На рис. 9, а заштрихованы множества Л 4- В и С; при этом двой-
ной штриховкой оказывается покрыто множество (Л 4- В) С. На
рис. 9, б различно заштрихованы множества АС и ВС\ при этом за-
штриховано на рисунке множество АС + ВС. Но легко видеть, что
множество, покрытое двойной штриховкой на рис. 9, ау— это в точ-
ности то множество, которое заштриховано на рис. 9, б.>
Итак, мы видим, что в алгебре множеств выполняется и дистрибу-
тивный закон:
(А 4- В) С = АС + ВС.
(П1а)
Покажем, что и равенства (4) и (5а) также переносятся в алгебру
множеств. Нетрудно понять, что роль единицы этой алгебры будет
играть «полное» или универсальное множество /: для любого мно-
жества А
А-1 = А.	(IV6)
Так, произведение (пересечение) множества А всех белых фигур
и множества всех вообще шахматных фигур состоит из белых фигур,
а произведение множества ферзей и множества всех фигур состоит из
ферзей. Роль нуля алгебры множеств играет так называемое пустое
множество О, вовсе не содержащее никаких элементов: ясно, что при
любом множестве А
А + 0 = A.	(IVa)
Наконец,
АО = О,	(V6)
14
Ав+С
Рис. 10
(A+C)(S+C)
б)
ибо все элементы множества АО должны принадлежать как множест-
ву А, так и пустому множеству О, в то время как множеству О не
принадлежит ни один элемент универсального множества.
Все рассматриваемые до сих пор законы действий над множест-
вами совпадали с законами действий над числами; может даже соз-
даться впечатление, что алгебра множеств представляет собой частный
случай той же общей алгебраической схемы, что и, скажем, алгебра
вещественных чисел. Однако на самом деле это представление совер-
шенно ошибочно. Алгебра множеств вовсе не копирует точно числовую
алгебру; она обладает многими своеобразными свойствами, не выпол-
няющимися ни для одной из изучаемых в средней и высшей школе чис-
ловых систем.
Демонстрацию своеобразия алгебры множеств мы начнем в неспра-
ведливого в области чисел равенства (5а). Если заменить в нем числа
множествами, то получим
А + / = /.	(Va)
Но ясно, что это равенство имеет место при любом множестве А:
ведь в сумму А + /, по определению, входят все элементы, принадле-
жащие слагаемому /, т. е. все без исключения элементы универсаль-
ного множества.
Рассмотрим далее второй дистрибутивный закон (36), получае-
мый из первого дистрибутивного закона (За) заменой сложения умно-
жением и наоборот. Как уже указывалось, в алгебре чисел этот закон,
вообще говоря, места не имеет. По-другому обстоит дело в алгебре
множеств.
«4 На рис. 10, а, по-разному заштрихованы множества АВ и С. На
рис. 10, б заштрихованы множества А + С и В + С; двойной штри-
ховкой здесь покрыто множество (Л + С) (В + С). Но легко видеть,
что множество, покрытое на рис. 10, б двойной штриховкой,— это
15
в точности то множество, которое заштриховано на рис. 10, а, т. е.
множество АВ + С. ►
Таким образом, в алгебре множеств наряду с (Ша) выполняется
и второй дистрибутивный закон: для любых трех множеств Л, В и С
АВ + С = (А + С) (В + С).	(Шб)
Отметим еще необычные равенства:
а) А + А = А и б) АА = А	(VI)
(выражающие так называемые идемпотентные законы), также вы-
полняющиеся для каждого множества Д. В самом деле, сумма А + А
представляет собой объединение множества А с самим собой; но это,
разумеется, то же множество Д. Аналогично этому произведение
АА— пересечение множества А с самим собой, —- не отличается от
множества Д. Наконец, иногда оказываются полезными следующие
тождества алгебры множеств, также не выполняющиеся в числовых
алгебрах:
а) А + АВ = А и б) А (Д + В) = Д;	(VII)
эти тождества выражают так называемые законы поглощения (или
абсорбции). Равенство (Vila) следует из того, что множество АВ со-
ставляет часть множества А (см. рис. 7) и поэтому «поглощается»
множеством А >в том смысле, что сумма А + АВ совпадает с Д. Ана-
логично устанавливается и справедливость равенства (VII6), вытекаю-
щая из того, что А есть часть множества А + В.
Исходя из правил действий над множествами (I)—(VII), в чем-то
копирующих хорошо знакомые нам арифметические и алгебраиче-
ские законы, а в чем-то весьма своеобразно их искажающих (второй
дистрибутивный закон (II16) или идемпотентные законы (VI)!), мож-
но развить содержательную алгебру множеств, включающую учение
о тождественных равенствах и (см. ниже § 3) неравенствах, теорию
решения уравнении и неравенств и т. д.; эта алгебра, по своей содер-
жательности не уступающая школьной алгебре, в ряде отношений
оказывается проще нее. Мы не ставим перед собой задачу глубокого
изучения алгебры множеств (в частности, в этой книге будет полно-
стью обойден вопрос о решении уравнений в алгебре множеств),
а ограничимся лишь некоторыми первоначальными сведениями из
нее; в частности, в § 2 мы вскроем основную причину, делающую алгеб-
ру множеств более простой, чем алгебра чисел.
Пример. Докажем, что в алгебре множеств всегда (при любых
множествах Д, В и С)
(А + В) (В + С) (С + А) = АВ + ВС + СА
(см. также ниже упр. 4).
16
< Согласно правилам (I)—(VII) "имеем
(А + В) (В + С) (С + А) = (Л + В) 1(В + С) (С + Л)] =
(Пб)	(1а)
= (Л + В) [(С + В) (С + Л)] = (Л + В) (С + АВ) = (А + В) С +
(1116)	(111а)
+ (Л + В) (АВ) = С(А + В) + (АВ) (А + В) = (СА 4>
(16)	(И1а)
+ СВ) + (АВА + ЛВВ) = СА + ВС + ЛЛВ + ЛВВ = СА +
(16, Па)	(VI6)
+ ВС + АВ + АВ = СА + ВС + АВ = АВ + ВС + СА. >
(Via)	(la)
Мы видим, что правила алгебры множеств во многом отличны от
правил, имеющих место в области чисел: ряд законов обычной число-
вой алгебры теряет силу при переходе к алгебре множеств и наоборот.
В этой связи определенные выше операции над множествами часто на-
зывают не суммой и произведением множеств, а объединением и пере-
сечением и обозначают специальными знаками (J и П г не подсказы-
вающими аналогий с операциями над числами. Мы, однако, пред-
почтем во всех случаях использовать привычные знаки сложения и
умножения.
Упражнения. 1.1. Докажите следующие тождества алгебры множеств:
а)	А (Л +	С) (В 4- С) - АВ + АС;
б)	(А + В)(А + С) (В + D) (С + О) “ AD + ВС;
в)	(Л + В	}(В + С)(С + D)~ АС+ ВС+ BD;
г)	(А 4- В	+ С) (В С 4- D) (С -PD + А) - АВ +	AD	+	BD	+	С;
д)	(A + В	+ С) (А + В + D) (А + С + D) (В + С +	D)	=	АВ	+	АС +
4-	AD 4- ВС 4- BD 4- CD;
е)	(А 4- В) (А 4- С) (А + D) (В + С) (В 4- D) (C+D) - АВС+ ABD +
4- ACD 4- BCD
1.2.	Упростите следующие выражения алгебры множеств:
а)	(А 4- В) (А 4- /)Ч- (А 4- В) (В 4- О);
б)	(А 4- в) (В 4- /) (А 4- О);
в)	А+АВ + АВС+А BCD + BCD + CD + D,
где, как всегда, О и / - пустое и универсальное множества.
1.3.	Докажите следующее обобщение дистрибутивных законов (III):
а)	(Д1 4- Л2 4-	4- Ап) В = А{В 4- А2В 4-	+ АпВ;
б)	(А + (Л + В2) (А 4- Вп) = А 4- В>В2 Вп
1.4.	Пусть А2, .Дп £ / — какие-то п множеств; докажите, что для
любого натурального k (где 1 < k < п) сумма всевозможных k-к ратных произве-
дений наших множеств равна произведению всевозможных (п — k 4* 0-крат-
ных сумм тех же множеств [Примечани е-разобранны й в тексте (с 16)
пример отвечает случаю п = 3 k = 2, а результаты упр 1 д), е) — случаям
п = 4, k = 2 и п = 4, k = 3 ]
17
2. ДОПОЛНЕНИЕ МНОЖЕСТВА; ПРИНЦИП ДВОЙСТВЕННОСТИ
Выше мы ввели две операции, сопоставляющие с каждыми двумя
множествами А и В новые множества С = А + В и D = АВ\ эти
операции мы назвали сложением и умножением множеств. В матема-
тике операции такого рода, сопоставляющие с каждыми двумя элемен-
тами а и b какой-то определенной природы третий элемент с, полно-
стью определяемый элементами а и 6, называют бинарными операция-
ми; в анализе им отвечают функции двух переменных с = f (а, Ь).
Таким образом, сложение и умножение множеств — это бинарные
операции, определенные в области рассматриваемых нами множеств,
подобно тому как сложение и умножение чисел — это бинарные опе-
рации в множестве чисел.
Анализируя операции сложения и умножения множеств, мы уста-
новили ряд правил или законов, которым подчиняются эти две опе-
рации. При этом сразу бросается в глаза глубокая аналогия между
правилами, относящимися к сложению множеств, и правилами ум-
ножения. Перепишем снова установленные нами правила:
а) А + В = В + А и б) АВ = ВА\	(I)
а) (Л + В) + С = А + (В + С) и б)	(ЛВ)	С	=	Л	(ВС);	(II)
а) (Л + В) С = АС + ВС и б) АВ +	С =	(Л	+	С) (В	+ С); (III)
а) Л + О = А и б) А1 = Л;	(IV)
а) Л + / = I и б) АО = О;.	(V)
а) Л + Л = Л и б) ЛЛ = Л;	(VI)
г) А + АВ = А и б) Л (Л + В) = Л.	(VII)
Эта таблица создает впечатление, что всякое равенство, тождественно
выполняющееся в алгебре множеств, при замене знака сложения знаком
умножения и наоборот и пустого множества О (если только оно вхо-
дит в первоначальное равенство) универсальным множеством I и на-
оборот переходит в новое равенство, также тождественно имеющее
место. Последнее утверждение представляет большую ценность: оно
позволяет из всякого равенства алгебры множеств получить еще одно
равенство, которое уже не нужно доказывать, поскольку справедли-
вость его автоматически вытекает из справедливости первоначального
равенства1. Оно составляет содержание принципа (или закона) двойст-i
венности алгебры множеств, а равенства, получаемые одно из друго-
1 Разумеется, в принципе возможен случай, когда тождество, двойственное
данному равенству, не отличается от исходного — так, например, применяя
принцип двойственности к доказанному на с. 16—17 тождеству, мы получим
АВ + ВС+ СА = (Л -|- В) (В + С) (С + А), т. е. т о же самое тождество.
Однако случаи такого рода, когда указанное преобразование тождества ничего
нам не дает, являются, разумеется, исключением, а не правилом.
18
A
Рис. 11
л y, g,VZ7, 12,14,15,...,
А
го с помощью этого принципа, называются двойственными друг другу.
Сейчас мы докажем принцип двойственности в общем виде.
Для доказательства нам понадобится еще одна своеобразная
операция алгебры множеств, сопоставляющая новое множество не
с двумя заданными множествами А и S, а с одним множеством
А. В математике операции, сопоставляющие новый элемент b одно-
му элементу а, называются унарными операциями; этим операциям
отвечают функции одного переменного b = f (а). В области чисел унар-
ными операциями являются, например, операция образования числа
1/п, обратного а, операция взятия логарифма log а
числа а или (в области комплексных чисел) операция образования чис-
ла г, сопряженного исходному числу г. Операция в области
множеств, о которой идет речь, называется образованием дополнения
множества; она обозначается чертой, поставленной над рассматривае-
мым множеством. А именно, через А (читается «дополнение Л») мы бу-
дем обозначать множество всех элементов универсального множест-
ва/, не принадлежащих множеству Л. Так, если А есть
множество всех пешек, то А состоит из всех отличных от пешек шах-
матных фигур (рис. 11, а); если А есть множество всех простых чисел,
то А состоит из всех не простых чисел (т. е. из единицы и всех состав-
ных чисел; рис. 11,6) и т. д. На диаграмме Венна множество А
изображается частью квадрата /, не покрытой фигурой А (рис. 12).
Ясно, что
а) А + А = / и б) АА = О;	VIII)
эти равенства можно даже принять за определение множества А.
Отметим еще, что
А - А
(IX)
19
— дополнение множества А совпадает с ис-
ходным множеством Л. Наконец, очевидно, что
а) 7 = О и б) О = /.	(X)
Свойство (IX) означает взаимный харак-
тер операции взятия дополнения множества
(или операции «черта», как мы будем также
иногда ее называть, имея в виду принятое
обозначение А дополнения множества Л): ведь
в силу (IX),
если В = Л, то и А = В.	(IX')
Из известных нам операций алгебры чисел аналогичным свойством
обладают, скажем, операции образования обратного и противополож-
ного числа, ибо,
если b = 1/а, то а = Mb (и, значит, 1/(1/а) = а);
если b = —а, то а = — b (и, значит, — (— а) = а)
(или операция сопряжения, сопоставляющая комплексному числу г
«сопряженное» число г), но, конечно, не операции log или / (по-
скольку, как правило, log log и х=£х). В математике при-
нято называть обладающие свойством взаимности унарные операции
инволютивными операциями или инволюциями; таким образом, обра-
зование дополнения является инволютивной операцией алгебры мно-
жеств (подобно тому, как в арифметике инволюциями являются опе-
рации образования обратного, противоположного или сопряженного
комплексного числа).
- Очень важную роль играют в алгебре множеств следующие два
соотношения:
а) ~А + В = АВ и б) ~АВ = А +В	(XI)
или словами: дополнение суммы двух множеств совпадает с произве-
дением дополнений этих множеств; дополнение произведения двух мно-
жеств совпадает с суммой дополнений этих множеств (правила де Мор-
гана)1.
◄ На рис. 13,а заштрихованы множества А и В, а на рис. 13,6 —
их дополнения А и S. Но ясно, что фигура,, заштрихованная на
рис. 13,а, и фигура, покрытая двойной штриховкой на рис. 13,6,
дополняют друг друга до полного квадрата /; это и доказывает, что
А + В = АВ. Аналогично дополняют друг друга до полного квад-
1 Аугустус де Морган (A. de Morgan, 1806—1871) — известный англий-
ский математик (ср. с. ’1П—112).
20
а)	б)
Рис. 13
рата / фигура, покрытая двойной штриховкой на рис. 13,а, и фигу-
ра, заштрихованная на рис. 13,6; это доказывает равенство АВ =
= А + В. ►
Теперь мы можем уже доказать принцип двойственности алгебры
множеств.
◄ Пусть
Ф = Т,	(2.1)
где слева и справа стоят какие-то «многочлены» Ф и V, образованные
из множеств Д, В, С, ... с помощью сложения и умножения. Из равен-
ства (1), очевидно, следует
Ф = Т,	(2.19
где Ф и Y - дополнения множеств Ф и Т. Предположим теперь, что
последнее действие, которое нам надо произвести для того, чтобы
образовать множество Ф, — это сложение; другими словами, пусть
Ф = Ф] +<Ф2,
где и Ф2 — два других «сложных» множества, образованные с по-
мощью действий сложения и умножения из первоначальных «простых»
множеств Д, В, С, .... Тогда в силу первого из правил де Моргана
Ф = Ф2-Ф2.
Напротив, если последнее действие, осуществление которого приво-
дит к образованию множества Ф, является умножением, т. е. мы имеем
Ф = ФГФ2,
то из второго правила де Моргана следует
Ф = Ф, + Ф2.
121
Упрощая далее таким же образом, с помощью правил де Моргана
(XI), множества Oi и Ф^, мы убеждаемся, что множество Ф получает-
ся из множества Ф заменой исходных множеств Д, В, С,... их допол-
нениями Д, В, С, ... и заменой в алгебраическом выражении для Ф
каждого действия сложения действием умножения и наоборот, а так-
же заменой пустого множества О (если оно входит в выражение Ф)
универсальным множеством / и наоборот (ср. (X)). Так, например,
если
ф = (А + В + CD) (АВ + CD + ABCD),
то
Ф= [4B(C + D)] + |(4+B)(C+D)(1 +B+C + D)]
(проверьте!). Аналогично этому получается и множество V из мно-
жества ¥<
Предположим теперь, что равенство (1) является тождеством,
т. е. справедливо при любых множествах Д, В, С, ... В гаком слу-
чае и равенство (1') — тоже тождество, т. е. оно выполняется при лю-
бых множествах Д, В, С, ... А так как и Д, В, С, ...» и Д, В, С, ... —
произвольные множества, то мы можем в равенстве (1') не-
сколько изменить обозначения, условившись писать не Д, а по-преж-
нему Д; не В, а по-прежнему В и т. д. При этом мы придем к равенству
Фх =	(2.1")
где выражения Фх и получаются из выражений Ф и Т по прави-
лам, указанным в принципе двойственности. Принцип двойственности
утверждает, что из тождественного выполнения равенства (1) выте-
кает и тождественное выполнение равенства (1"),— но это мы толь-
ко что доказали! >
Заметим еще, что наше доказательство принципа двойственности
позволяет несколько расширить его формулировку. До сих пор мы
говорили только о таких равенствах, в составлении которых участ-
вуют лишь действия сложения и умножения. Однако правило (IX)
позволяет распространить принцип двойственности и на равенства,
составленные при участии операции взятия дополнения множества.
Очевидно, что если в выражении Ф фигурирует, скажем, множество
А то соответствующий член выражения Ф будет содержать множество
_(Д) = Д; при переходе же к выражению Фп которое получается из
Ф заменой А на Д, В на В и т. д., у нас снова возникнет множество
Д. Отсюда видно, что в двойственных друг другу формулах алгебры
множеств взятию дополнения множества отвечает та же операция.
Так, например, двойственными друг другу являются формулы де Мор-
гана:
Д + В = АВ и ДВ = Д + В?
22
Упражнения. 2.1. Выпишите равенства алгебры множеств, двойственные
равенствам фигурирующим в упр 1.1 а) —е) и 1.2 а)—в).
2.2	. Упростите:
а)	(Л 4- В) (Л 4~ B)’t
б)	АВ + (Л + В) (Д4- в);.
в)	ЛВС АВ АС\
г)	Л 4" В 4* С АВС $
Д) A-j-AB.
2.3	Выпишите формулы, двойственные фигурирующим в упр. 2 а)—д).
2 4 Докажите следующие обобщения правил де Моргана (XI):
а* 41 4- Л24- • • • + Ап = At А2 .... Апj
б) At А9 ... Лп = Aj 4- Л24- .,. 4- Ап.
3. МНОЖЕСТВА, ПОДМНОЖЕСТВА, РЕШЕТКИ
Идем потентные за коны
а) А + А = А и б) АА = А	(VI)
и законы поглощения
а) А + АВ = А и б) А (А + В) = А	(VII)
являются частными случаями более общих соотношений алгебры мно-
жеств, связанных со своеобразным упорядочением элементов этой
алгебры. Естественно считать, что множество А «не меньше» множест-
ва В, если все элементы множества В принадлежат и множеству А,
Это отношение между множествами записывается так: А о В или
В cz Л; оно читается: «множество А содержит множество В» или «В
содержится в Л»1. Так, если Л есть множество всех белых фигур,
В — множество белых пешек, то Л d 6; точно так же, если Л есть
множество четных чисел, а В — множество чисел,десятичная запись
которых оканчивается двумя нулями, то Л о В. На диаграмме Вен-
на соотношение о иллюстрируется двумя фигурами Л и В. причем
фигура В целиком содержится в фигуре Л (рис. 14) или совпадает
с Л. При этом очевидно, что для всех Л
Л=>Л	(XII)
(рефлексивность отношения zd);
если A zd В и В о С, то А^С	(XIII)
1 Отношение А о В переносит в область алгебры множеств отношение
а > b (но не а > 61) алгебры чисел.
23
(транзитивность отношения id; рис. 15) и
если A id В и В zd А, то А = В
(XIV)
(антисимметричность отношения id).
Разумеется, если А и В — произвольные множества (являющиеся
подмножествами рассматриваемого универсального множества /), то,
вообще говоря (см. рис. 16, а или б), не имеет места ни одно из отноше-
ний A id В и В id А — отношение между множествами есть отноше-
ние частичного порядка (ср. [II, в. 94]),
но не полного (линейного) порядка. Так,
на рис. 17 изображен граф отношения id
между подмножествами множества / ==
= ^12 84 = {av «2, ^3, а4}, где, скажем,
множество
&и = {аь at}, а = {а4, ah аь}
(/. /, k = 1,	4);
на этом рисунке соединяющая две точки
линия означает, что отвечающее верхней
точке множество содержит нижнее (или
Рис. 16
Рис. 17
24
«меньшее») множество. Из рис. 17 видно, что в то время, как из 16 эле-
ментов алгебры подмножеств множества / = Л1234 можно образовать
(16-17)/2= 136 пар множеств, отношением связаны из них лишь
81 пара, ибо, скажем, множества Л123и Л134или Л124 иА 3 несравнимы,
т. е. ни одно из них не «больше» второго1. *
Очевидно, что каково бы ни было множество Л, всегда
а) / zz> Л и ^б) О cz Л.	(XV)
Далее, из определения сложения и умножения множеств (рис. 4 и 7)
вытекает, что для любых множеств Л и В
а) Л + В о Л и б) АВ с А.	(XVI)
Нетрудно видеть также, что
если Л => В, то а) Л + В = Л; б) АВ = В	(XVII)
<см. рис. 14). Так как Л zd Л (см. (XII)) и Л zd ЛВ, Л + В zd А
(см. (XVI)), то тождества (VI) и. (VII) являются следствиями более
общих законов (XVII). Это обстоятельство мы и имели в виду, говоря
в начале параграфа о возможности обобщить идемпотентные законы
и законы поглощения.
Соотношения (XVI) можно еще усилить. Из «симметричности»
(коммутативности) операции сложения множеств и (XVI а) следует,
что
Л + В zd А и А + В zd В.
С другой стороны, пусть М — произвольное множество, такое, что
М zd Л и МэВ,	(3.1)
другими словами, такое, что М содержит Л и М содержит В. Но это
утверждение означает, разумеется, что М содержит объедине-
ние Л и В (рис. 18, а). Напротив, если
Л ээ N и В zd N,	(3.1')
т. е. если N содержится как в множестве Л, так и в множестве В, то,
очевидно (рис. 18, б), N содержится в пересечении Л и В:
если М ^> А и М id В, то М zd Л + В;	(3.2)
если N с: А и N с В, то N cz ЛВ.	(3.2')
Условимся обозначать символом Мах [Л, В] любое множество Л4,
большее как Л, так и В, т. е. удовлетворяющее (1); «наименьшее»
из всех таких множеств М, т. е. такое множество /и, что т zd Л,
1 На рис. 17 мы имеем вовсе не 81 дугу, соединяющую отдельные точки,
а всего только 32 отрезка. Это связано с тем, что при «чтении» рисунка надо еще
учитывать рефлексивность (XII) отношения zd, в силу которой каждая пара
4, А связана этим отношением, и транзитивность (XIII), позволяющую за-
ключить, что, скажем, 4123zd48, ибо соответствующие точки соединены ло-
маной 412841848.
25
Рис. 18
Рис. 19
т о В и из (1) следует М zz> ди, мы назовем (строгим) максимумом
А и В (или верхней гранью А и В) и обозначим через max [А, В]. Ана-
логично запись М = Min [А, В] будет означать выполнимость отноше-
ний (Г); если же п cz А, п cz В и из (Г) вытекает п zz> N (т. е. если
п — «наибольшее» из множеств Л/, меньших как А, так и В), то п
называется (строгим) минимумом (или нижней гранью) А и В и обоз-
начается символом min [А, В]. Теперь соотношения (2) и (2') поз-
воляют утверждать, что
а) А + В = max [A,BL б) АВ = min [А,В]	(XVIII)
Множество каких-то элементов, для которых введено* отношение
порядка сэ, удовлетворяющее условиям (XII)—(XIV), называется
решеткой1, если для каждых двух элементов этого множества сущест-
вует как их (строгий) максимум (верхняя грань) щах [А, В), так и их
(строгий) минимум (нижняя грань) min [А, В] (см. [II, с. 95]). Из
(XVIII) следует, что по отношению естественного упорядочения zz>
множество подмножеств любого универсального множества I образует
решетку. При этом соответствующая решетка обладает также абсо-
1 Английское lattice, немецкое Verband; в нашей литературе решетки име-
нуют иногда также структурами. По поводу решеток, см., например [2.18,
2.19, 4], первую из книг [3] или Приложение II к книге [8].
26
лютным максимумом 1 (элементом, боль-
шим всех рассматриваемых элементов —
см. (XVa)) и абсолютным минимумом О (наи-
меньшим из всех элементов — см. (XV б)).
Перепишем (по существу — равносильные
(XVIII)) соотношения (2), (2') в том виде, в
каком мы будем их использовать ниже:
а)	если A zd В и A zd С, то А зэ В + С;
б)	если В о А и С zd Л, то ВС zd А.
(XIX)
Рис. 20
Заметим, наконец, что введенное в алгебре множеств отношение по-
рядка zd согласовано с операциями сложения и умножения множеств
в том смысле, что
если А id Alf то а) А + В zd At + В; б) АВ zd AxB (XX)
при любом множестве В (рис. 19, а, б). Напротив, с (унарной) опера-
цией “ отношение порядка zd «противосогласовано» в том смысле,
что
если A zd В, то А с В	(XXI)
(если множество А содержит множество В, то множество А содержит-
ся в множестве В; рис. 20). Так, например, очевидно, что если множест-
во В умеющих играть в шахматы учеников определенного класса состо-
ит из одних лишь мальчиков (т. е. составляет часть множества А маль-
чиков), то множество В не умеющих играть в шахматы учеников охва-
тывает множество А девочек.
Важное условие (XXI) позволяет расширить установленный в §2
принцип двойственности алгебры множеств, чтобы получать с его по-
мощью новые результаты не только из равенств, но и из «неравенств»
алгебры множеств, утверждающих, что из двух составленных из мно-
жеств выражений одно всегда «больше» другого. В самом деле, пусть
тождественно имеет место отношение
Ф zd Т,	(3.3)
где Ф и Т — два выражения алгебры множеств, составленные из
некоторых множеств Л, В, С, ... с помощью операций сложения, ум-
ножения и взятия дополнения; тогда тождественно имеет место так-
же и соотношение
Ф1 с:	(3.3')
27
где выражения Фх и получаются из выражений Ф и W с помощью
замены сложения умножением и наоборот и множества О множеством
/ и наоборот (операция взятия дополнения множества при переходе
от (3) к (3') сохраняется).
<4 Доказательство сформулированного предложения подобно из-
ложенному в § 2 доказательству «узкого» принципа двойственности.
В самом деле, из (3) с учетом (XXI) следует
Ф с= Ч\	(3.3")
а если неравенство (3) (значит, и (3")!) тождественно выполняется,
то (3") равносильно (3')« ► Так, например, двойственны друг другу
соотношения (XVa) и (XV6) или (XVIa) и (XVI6) (см. также ниже
упр. 2).
, Можно даже считать, что последняя формулировка принципа двой-
ственности является общей, а «узкий» принцип двойственности § 2
представляет собой следствие этого общего принципа. В самом деле,
в силу рефлексивности (XII) и антисимметричности (XIV) отношения
zd равенство (2.1) равносильно двум соотношениям:
Ф =) ¥ и Ф с= Т.
Но в силу «общего» принципа двойственности из этих двух соотноше-
ний вытекает, что
Фт cz Ч\ и Фх ZD Ч\,
а это и устанавливает справедливость равенства (2.1").
Упражнения. 3.1. Докажите следующие тождественно выполняющиеся не-
равенства:
а)	А + В + С о (А + В) (А + С);
б)	(А + В) (Л + С) (Л + /) zd АВС (где / — универсальное множество);
в)	(Л + В) (BJ- С) (С_+ Л) ЛВС;
г)	А + В => АВ + АВ.
3.2.	Выпишите неравенства, двойственные неравенствам упр. 1 а)—г).
3.3.	Докажите, что если At D ... ZD Ап ZD Ль то Л» = Л2 = Л8 = ...
... = Ап
4. ВЫЧИТАНИЕ МНОЖЕСТВ — РАЗНОСТЬ И СИММЕТРИЧЕСКАЯ РАЗНОСТЬ
В алгебре чисел, как известно, разность двух чисел а и & опреде-
ляется так:
х = а — 6, если а = Ь + х.	(4.1)
При этом разность а — b существует не всегда: так, например, в мно-
жестве целых неотрицательных чисел разность а — b определена
только при а^Ь. Но если бинарная операция «вычитание» на том или
ином множестве чисел определена, то она обладает весьма специфичес-
28
кими свойствами, во многом отличными от свойств сложения и умно-
жения. Так, эта операция не коммутативна: вообще говоря,
а — b =4= Ь — а,
а не ассоциативна: как правило,
(а — Ь) — с =£ а — (Ь — с)
(для чисел первое неравенство обращается р равенство лишь при
а = Ь, а второе — лишь при с = 0). С другой стороны, всегда (при
всех а)
а-а = 0;	(4.Г)
более того, а — 6 = 0 лишь если b = а. Аналогично всегда
а - 0 = а,	(4. Г)
причем здесь тоже а — b = а только при 6 = 0.
В алгебре множеств не удается определить «разность» А«—»В
двух множеств А и В родственным (1) образом:
X = А«—»В, если А = X + В.	(4.2)
В самом деле, из А = X + В следует, что A id В (см. (XVIa)); с дру-
гой стороны, поскольку для любого Z с В имеем
(X + Z)+ В = X + (Z + В) = X + В
(см. (XVI 1а)), то если какое-то X таково, что А = X + В, то и каж-
дое Хх = X + Z, где Z ci В, удовлетворяет равенству А = Х{ + В
Таким образом, при A id В определенное соотношением (2) множество
X не единственно, а если отношение А о В не имеет места, то X не
существует. Поэтому при желании дополнить список операций алгебры
множеств операцией вычитания мы должны определить эту операцию
как-то по-другому.
Наиболее распространенным является следующее
Определение А. Множество X = А\В называется (теоре-
тико-множественной) разностью множеств А и В, если элемент х £ X
в том и только в том случае, когда х £ А и х (£ В:
X = А\В = {х|х С А и х£ В}.	(4.3)
Другими словами,
Х = А\В = АВ,	_	(4.3')
где, как всегда, дополнение В множества В состоит из всех элементов
универсального множества /, не принадлежащих В
(рис. 21). Операция образования множества А\В называется (тео-
ретико-множественным) вычитанием В из А. Если A zd В (рис. 21, б),
то наряду с записью А\В применяется и более обычная запись А — В.
А—С
В \А
Очевидны следующие свойства разности:
Pj : Л\Л = О,
Р2 ; Л\О = А,
Р8 ; О\Л = о,
Р4: (Л\В)\С = (Л \С)\В,
Р5 : (Л\В)С = АС\ВС
(дистрибутивность вычитания множеств относительно умножения);
здесь всюду А, В, С — произвольные множества. Но, как правило,
Л\В^Д\Л	(4.4)
(вычитание множеств не коммутативно — рис. 21, а, в) и
(Л\В)\С#= Л\(В\С)	(4.4')
(вычитание множеств не ассоциативно1 — рис. 22).
Равенства Рх и Рг близки к свойствам (Г) и (1*) вычитания чисел:
однако в то время, как в алгебре чисел равенства а — Ь — 0 и а —
— b = а выполняются лишь в том случае, когда вычитаемое b равно
соответственно а и 0, в алгебре множеств дело обстоит не так: здесь
Pi : Л\В = О равносильно В о Л;
Р? : Л\В — А равносильно В zo Л (или В cz Л).
(Но
Pi : Л — В — О равносильно В = Л,
как и в алгебрах чисел; напомним, что из отношений Л о В и ВоЛ
следует Л = В и что запись Л — В применима лишь при ВсЛ).
1 Но зато в алгебре множеств имеет место «смешение» равенство Р4, в из*
вестном смысле промежуточное между коммутативностей и ассоциативностью,
30
(А\в)\С=(А\С)\В)
Рис. 22
А\(В\С)
◄ Ясно, что равенства Р,_3 и утверждения PJ, Р£ следуют из
определения (теоретико-множественного) вычитания множеств. Р4 вы-
текает из того, что
(Л\В)\С = Л\(В + С) = Л\(С + В) = (Л\С)\В
(рис. 22,а; отсюда снова следует неравенство (4'), поскольку в левой
его части стоит Л\(В + С), а в правой Л\(В\С)). Справедливость
Р5 следует из того, что в левой части этого равенства стоит множество
{х|х £ А и х £ В и х £ С),
а справа
{х g А и С, но S и С),
что, очевидно, то же самое (рис. 23). [Равенства Р4 и Р5 легко также
вывести из определения (3') разности множеств:
(Л\В)\С = (АВ) С = (АС) В =(Л\С)\В
(см. (16), (Пб)) и
(Л\В) С = (АВ) С = (АС) В = (АС) В + (Л С) С = АС (В + С) =*
= АС-ВС = АС\.ВС
(см. (16) и (Пб); (VIII6). (V6) и (IVa); (Х1б)).1 >
Заметим еще, что, очевидно,
Т = /\Л	(4.5)
и
если АВ — О, то Л\В = Л.	(4.6)
Так как
из Л\В = О не следует Л = В,
31
то наше определение разности двух множеств не особенно удобно —
в области чисел соответствующее свойство вычитания мы привыкли
считать одним из самых основных. Это обстоятельство оправдывает
введение в алгебре множеств еще одной операции «вычитания»:
Определение Б. Множество Y = А * В называется сим-
метрической разностью1 множеств А и В, если у С Y в том и только
в том случае, когда у принадлежит ровно одному из множеств
А и В:
Y = А * В = {у\(у £ А и у^В) или (уА и у £ В)}.	(4.7)
Другими словами,
Y = А * В = АВ + АВ (= (Л\В) + (В\Л))	(4.7')
(рис. 24; операцию образования множества А * В можно назвать
симметрическим вычитанием В из Л). Нетрудно видеть, что
С₽! :Л*Л=0иизЛ*В = 0 следует, что В = Л;
СР2 : А * О = Л, и если Л * В = Л, то В = О;
СР3 : А * В = В * Л
(коммутативность симметрического вычитания, именно в силу кото-
рой множество Л * В и называется симметрической раз-
ностью Л и В);
СР4 : (А * В) * С = Л * (В * С)
(ассоциативность симметрического вычитания; она позволяет вместо
левой и правой частей равенства СР4 писать просто Л * В ♦ С без
скобок);
СР5 : (Л * В) С = (АС) * (ВС)
1 В литературе для симметрической разности множеств А и В чаще исполь-
зуется обозначение ЛДВ или А — В.
32
(A ft В) С = (AC) ft (ВС)
А*(В*С)=А*(8*С)
Рис. 26
(дистрибутивность симметрического вычитания относительно умноже-
ния).
◄ Условия CPi—3 вытекают из самого определения симметри-
ческой разности. Так, например,
если А * В = (А \ В) 4- (В\Л) = О, то Л\В = В\Л = О, т. е.
В о А и A В, а значит, А = В.
Несколько сложнее доказываются равенства СР4 и СР8. Второе
из них вытекает из того, что U = (А ♦ В) С — это множество всех
х£ I, принадлежащих ровно одному из множеств Л и В и множеству
С, а V — (ЛС) * (ВС) — множество х, принадлежащих ЛС или ВС,
но не ЛС и ВС одновременно; но, очевидно, JJ — V (рис. 25; см так-
же ниже упр. 6). Равенство СР4 следует из того, что на рис. 26
X = A*B = D + G+ F + J, aC = G±H + J + K,
в силу чего
(A*B)*C=X*C = D + F + Н + К.
Аналогично
Y = В * С = Е + F A-G + Н, A=D + E + G+K,
и поэтому в силу коммутативности и ассоциативности сложения мно-
жеств
Л» (В ♦ С) = A*Y = D + K + FA~H = X*C = (At В) * С
(см. упр. 6). ►
Заметим еще, что аналогично (5) имеем
Л = / • Л	(4.5')
(ибо, очевидно, /*Л = /Л + /Л = /Л4- О А = Л); однако спра-
ведливо и родственное (5') равенство
Л ♦ Л = I	(4.8)
2 Зак. 1518
33
(ибо А * А = АА + А А = АА + А А = А + А = /; см. (IX),
(VI6) и (Villa)).
Наконец, впоследствии нам будет полезно важное равенство
А + В = А ♦ В * (АВ).	(4.9)
4 Равенство (9) вытекает, например, из следующих преобразований:
А * В « (АВ) = А ♦ [В * (ЛВ)1 = А * [ВЛВ + ВЛВ] =
= А ♦ [В (Л~ 4- В) + 01 = А * АВ = аТв + А (АВ) = А х
X (Л 4- В) + АВ = (А 4- АВ) 4- АВ = А 4- АВ = (Л + АВ) 4-
4- АВ = Л 4- (АВ 4- АВ) =- А 4- (Л 4- Л) В = Л 4- В
(здесь используются кроме коммутативных, ассоциативных, идем-
потентных законов, правил (VIII6) и (IVa) и правил де Моргана так-
же законы поглощения (Vila)). ►
Укажем еще, что аналогично свойствам вычитания чисел: если
а — с — b — с, то а — Ь; если а — b = с, то а — с = Ь, имеем
если Л * С = В ♦ С, то Л = В;	(4.10)
если Л *.С = В, то Л * В = С.	(4.11)
С другой стороны, утверждения
если Л\С = В\С, то Л = В;	(4.10')
если Л\В = С, то Л\С = В	(4.1 Г)
уже, вообще говоря, места не имеют (см. упр. 12 и 13).
Упражнения. 4.1. Пусть А = {1, 2, 3, 4, 6), В = {1, 2, 3, 4}, С = {1, 2,
5, 6};-составьте разности Д\В, Л\С, В\С, В\Д, С\А, С\В и соответствую-
щие симметрические разности А * В, А * С, В * С; проверьте на' этом примере
выполнение законов Р4 и Рб; СР4 и СР6.
4.2.	Докажите следующие тождества алгебры множеств:
а)	(А\В) (Д\С) = Л\(В 4- С);
б)	(4\В) + (В\С) 4- (С\Д) 4- АВС = А 4- (В\Д) 4- [С\(Д 4- В)1;
в)	Д\|(Д\В) 4- (А\С)] = АВС;
г)	(Д\В) (С\О) = 4С\(В 4- D).
4.3.	Обобщите следующим образом результат упр. 2 б)—г): для любых мно-
жеств Ле, Аг, ..., Ап и В<, В2, ., Вп
а)	(Л,\Л2) 4- (Д2\Лз) 4- ... 4- (Лл-1\4П) 4* (4п\40 4* ДМа ... Ап =
= Л.+А4- 4,4—.4-Ап = А, 4- (AaXAJ+IA.MA.+AjlJ-MA^Ai 4-
4- А3 4- Л 8)] 4- ...4- Мп\(Л, 4- Аа 4- ••• 4- Ап „ Л;
б)	Л2\[<Л 1\Л2) 4- (Л.\Л э) 4- .. 4- (Л«\Л„)1 = A,At... Ап(
в)	(A.\Bi) (Д2\В2) ... (Ап\Вп) = AiAj ... Ап\(В* 4-	... 4- Вп).
34
4.4.	Упростите
а) Д\5| б) ТТв,
где операции \и • имеют смысл, определенный выше [Примечание: здесь
требуется преобразовать выписанные выражения <ак чтобы операция «черта»
применялась лишь к индивидуальным множествам но не к их комбинациям.]
4.5.	Обозначим А/В = А + В (т е А/В — {ж | * принадлежит А или л
не принадлежит В}). Докажите, что операция z двойственна операции\ в смыв*
ле $2; выведите свойства операции /, двойственные известным Вам свойствам
операции \ (в частности, дистрибутивность (А/В) 4- С == (А + С)/(В + С)
этой операции относительно сложения)
4.6	Выведите все свойства СРх«,б симметрической разности из ее опре-
деления (7').
4.7.	Докажите, что
а)	А ♦ В = (А +_В) АВ)
б)	А ♦ (АВ) = АВ\_
в)	А ♦ (Л + В) = АВ;
г)	А + (А * В) « А + В.
4.8	Используйте тождества упр. 7 а), в) для доказательства формулы (9).
4.9	Докажите, что при любом (натуральном) г;
а)	И» + А2 +	+ Дп) * (Bj + Bt 4-	4- Вп) cz (А{ * Bt) +
+ (Д2 * В2)+ ... + (Ап * Вп);
б)	(AtAt ... Ап) ♦ (В^в ... Вп) cz (Д, * ВО 4- (Д2 * В2)+	+ (Да ♦ BJ,
где Дь At, ..., АпЦ Вх, В9, .... Вп cz / — какие угодно множества
4.10.	Докажите
а)	дистрибутивность сложения множеств относительно вычитания, т е.
равенство (Д + B)\G = (Д\С) + (В\С);
б)	дистрибутивность (АВ)\С = (Д\С) (В\С) умножения относительно
вычитания;
в)	антидистрибутивность вычитания относительно сложения, т е равенст-
во Д\(В + С) = (Д\В) (Д\С);
г)	антидистрибутивность Д\(ВС)= (Д\В) 4-(Д \С) вычитания относитель-
но умножения;
д)	дистрибутивность умножения относительно симметрического вычитания,
т. е равенство (АВ) ♦ С — (А * С) (В * С)
4.11.	Выведите из «антидистрибутивных законов» (упр 10 в), ₽)) правила
де Моргана (XI)
4.12.	Докажите
а) утверждение (10), б) утверждение (II).
4.13.	Приведите пример, опровергающий
а) утверждение (10'); б) утверждение (11').
4.14.	Определите (бинарную) операцию о алгебры множеств, двойственную
(в смысле § 2) симметрическому вычитанию ♦; докажите ее свойства, двойст-
венные известным Вам свойствам операции ♦ (в частности, ассоциативность
(Д о В) о С = А о (В о С) этой операции и ее дистрибутивность (Д о В) + Q =з
= (А 4- С) о (В + С) относительно сложения)
4.15.	а) Нарисуйте диаграмму Венна для «тройной симметрической разно-
сти» А * В ♦ С трех множеств; выразите А В * G с помощью операций +.
• в - алгебры множеств и их комбинаций, примененных к Д В и С
б)	Выразите с помощью операций 4е» • и ~ </i-кратную симметрическую
разность» At » Дэ ♦ Д3 ♦ ... ♦ Ап
2*	35
4.16.	Бинарной операцией ф алгебры множеств назовем закон, сопостав-
ляющий с каждыми двумя множествами 4, В некоторое третье множество С =
= 4 ©В, где принадлежность или непринадлежность элемента х множеству С
полностью определяется информацией о том, верно или неверно каждое иЗ сле-
дующих утверждений: х £ 4; х £ В Докажите, что в алгебре множеств су-
ществует 10 и только 10 бинарных операций, где результат С операции сущест-
венно зависит и от А и от В: + (сложение множеств); • (умножение); \(разность);
«\» («перевернутая разность»: С' = 4«\» В = В\4); ♦ (симметрическая разность
или исключающая дизъюнкция; см с. 127); | (операция Шеффера; см с 61);
| (двойственная операция Шеффера; см с. 62); => (импликация; см с. 123); <==>
(эквивалентность; с 125);-Ф= («обращенная импликация»: С = В => 4); кроме
того, существуют еще 6 бинарных операций, где результат С = 4 ©В операции
зависит лишь от одного из множеств 4 В или даже ни от одного из них: С =
= 4; = Б; = 4; = В; «= /; = О Какие из этих операций двойственны (в смыс-
ле § 2) разности (ср упр. б); симметрической разности (ср упр 14); импликации?
Какие из этих 16 операций алгебры множеств коммутативны, ассоциативны)
дистрибутивны относительно умножения (т е Таковы, что (4 ©В) С = (AC) to
w (ВС)); дистрибутивны относительно сложения (таковы, что (4 ©В) + С =
= (4 + С) © (В + С))?
Глава 2
БУЛЕВА СТРУКТУРА
5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ БУЛЕВОЙ СТРУКТУРЫ
Выше мы видели, что алгебра множеств во многом отлична
от известных нам ранее алгебраических систем. Важность этой новой си-
стемы заставляет дать ей специальное название и рассматривать общие
свойства алгебраических образований со сходными свойствами. По
имени математика, впервые рассмотревшего алгебраические системы,
подобные алгебре множеств, всё эти системы обычно называют алгеб-
рами Буля; мы в этой книге чаще будем употреблять в том же смысле
термин булева структура, имея в виду, что речь здесь идет об определен-
ной математической структуре (ср., например, (5] или [III), задавае-
мой свойственным ей набором аксиом.
Итак, булевой структурой (или алгеброй Буля) называется струк-
тура
В = <33;	=)>,	(5.1)
где
® = {а, 0, у, ...; о, i};	(5.1')
другими словами, множество элементов 33, в котором выделены два
«особых» элемента о и i и определены две бинарные операции:
+ («сложение») и • («умножение»), одна унарная операция ” («черта»)
и бинарное отношение о между элементами, связывающее некоторые
(не обязательно любые) пары элементов, причем выполняются следую-
щие правила (аксиомы):
36
А. Свойства сложения	Б. Свойства умножения а) а 4- Р = Р 4- а,	б) аР = Ра	(I)
(коммутативные законы для сложения и умножения): а) (а + ₽) + 7 = а + ф + V). б) (оф) у = а	(И)
(ассоциативные законы); а) а 4- а = а, б) аа = а (идемпотентные законы).	(VI)
В. Правила, связывающие сложение и умножение а) (а + 0) у = ау + 0у, б) оф + у — (<л -f Ф + у)	(III)
(дистрибути вные за коны); а) а 4- аР = а, б) а (а 4- Р) = а (за коны поглощен и я).	(VII)
Г. Свойства элементов о и i	
а) а 4- о = а, б) ai = а;	(IV)
а) а + » = i, б) ао = о.	(V)
Д. Свойства операции — (терта»)	
а = а	(IX)
(инволютивность операции —);	
а) i = о, б) о = и	(X)
Е. Правила, связывающие операции —, + и •	
а) a 4- a = t,	б) aa = о;	(VIII)
а) a 4- Р = aP, б) aP = a + ₽ (правила де Моргана).	(XI)
Ж. Свойства отношения zd	
a zd a	(XII)
(рефл екси вность); если a id р и Р zd у, то a zd у	(ХШ)
(тра нзити вность); если a zd Р и Р zd а, то a = Р	(XIV)
(антисимметричность); а) । □ а, б) а э о.	(XV)
	37
3. Связь отношения id со сложением и умножением
а)	а + р id а, б) а zd аР;	(XVI)
если а id	Р,	то а) а + р = а, б) оф	= Р;	(XVII)
а) если а	id	Р и а id у, то а о	Р + у,	(XIX)
б)	если Р zd а и у id а, то Ру id а;
если а zd	Р,	то а) а + у id Р +	у, б) осу zd	Ру;	(XX)
а) а + Р = max [а, р], б) аР =	min [а,	Р].	(XVIII)
И. Правило, связывающее отношение id с операцией —,
если а zd р, то Р =) а.	(XXI)
[Во всех аксиомах а, р, у — произвольные элементы мно-
жества ЗВ.]
Иногда в число определяющих булеву структуру аксиом вводят еще нера-
венство о #= I. Ясно, что если о = I, то в силу (IV6) и (V6) для каждого эле-
мента а множества 3& имеем а = о, т. е. наша структура сводится к единствен-
ному элементу со (являющемуся для нее одновременно и н/левым, и единич-
ным элементом), причем, конечно, со + со == coco = со = со (а как еще можно
определить тут элементы со + со, coco и со?). Разумеется, при этом у нас будут
выполняться все аксиомы (I)—(XXI), поскольку и левая, и правая части лю-
бого равенства или неравенства неизбежно сведутся к единственному элементу
со нашей структуры, а в силу свойств отношений = и D мы имеем со ,= со и
со zd со (см. (XII)). Ясно, что эта «тривиальная» структура Буля (ее можно
отождествить с множеством подмножеств пустого множества)1 не представляет
ни малейшего интереса, и поэтому ее стремятся исключить из числа рассматри-
ваемых систем. Мы, однако, предпочтем просто запомнить, что равенство о = i
совместимо с аксиомами булевой структуры, но лишает эту структуру какого бы
то ни было содержательного смысла, т. е. что внимания заслуживают исключи-
тельно структуры (1), для которых о =/= i (и множество Зй содержит более од-
ного элемента)
Ясно, что характеризующие булеву структуру (1) основные опе-
рации + , • и “ и основное отношение id никакого содержатель-
ного (конструктивного) определения (или описания) не имеют: косвен-
ным (дескриптивным) их определением являются свойства (I)—
(XXI), выполняющиеся для рассматриваемых операций и отношения.
Такое определение структуры (1) является, конечно, довольно громозд-
ким: 4 типа основных отношений между элементами множества ЗВ\
37 аксиом (ср., скажем, с определением группы, задаваемым тремя
1 Впрочем, иногда (и это хорошо иллюстрирует несколько схоластический
характер современной математики!) в алгебре подмножеств пустого множества
различают универсальное множество {ф} (множество, состоящее из единствен-
ного элемента ф) и пустое подмножество ф нашего множества, не содержащее
уже ни одного элемента. В этом случае алгебра подмножеств пустого мно-
жества будет состоять из двух элементов {ф} = / и ф = О, т. е. она сведется
к многократно встречающейся в этой книге простейшей «истинной» структуре
Буля из двух элементов i и о.
38
аксиомами, касающимися одной бинарной операции; см. [II,
с. 75] или [3]). Впрочем, впоследствии мы увидим, что громоздкость
определения булевой структуры частично является фиктивной — она
связана с тем, что мы, не мудря, включили в число аксиом все из-
вестные нам свойства алгебры множеств, просто не задумываясь над
тем, какие из них являются следствиями других.
Из определения группы как структуры
G = <$; • >,	(5.1*)
задаваемой тремя свойствами группового умножения1 — ассоциатив-
ностью, существованием единичного элемента е и существованием об-
ратного g~l для каждого g £ & — вытекают, как известно, ряд дру-
гих присущих всем группам свойств, например, единственность еди-
ничного элемента еили возможность деления одного элемента а на дру-
гой элемент b (т. е. существование такого элемента %, что xb = а\ этот
элемент равен а&-1). Аналогично этому из определения структуры
Буля вытекают многие другие ее свойства. Мы здесь остановимся
только на двух примерах подобного рода, первый из которых при всей
своей простоте достаточно принципиален, а второй понадобится нам
впоследствии.
Покажем прежде всего, что определенные равенствами (IV) эле*
менты о и i единственны, т. е. что если наряду с о существует
еще один элемент ор такой, что
а + о, = а для всех а £ 33,	(*)
то Oj = о; аналогично, если
ац = а для всех а С S3,	(**)
то обязательно ц = и ◄В самом деле, так как по (IVa) и (*)
Oj + О = Oj и о + Oj = о,
то в силу (1а) 01 = о. Точно так же, поскольку из (1V6) и (**) имеем
= I] и 1Ц = I,
то по (Пб) ч = I. ►
Докажем теперь, что если а о 0, то существует прямая разность
a — 0, т. е. такой элемент g, что
a = 0 + g и 0g = о.
«4 Мы утверждаем, что1 2 3
g = a — 0 = a0.
1 Возможны, впрочем, и другие аксиоматики описывающие ту же струк-
туру «группа» (см., например, [II, с. 76])
2 Отсюда следует совпадение введенной здесь операции с определенным на
с. 29 вычитанием двух элементов а и 0 (где «уменьшаемое» а и «вычитаемое» 0
связаны отношением а о 0), что и позволяет использовать в этих двух случаях
один и тот же символ «—».
39
В самом деле,
Р + £ — Р + ар = оф + а0 = а (Р + Р) = at = а
(см. аксиомы (XVII б), (Ша) и (I б), (VIII а), (IV б)) и
р£ = р (оф) = а (рр) = ао = о
(см. (16) и (II б), (VIII б), (V б)). ►
Для каждого определения математического объекта, состоящего
в указании системы аксиом, которые должны иметь место, сразу вста-
ет вопрос о непротиворечивости, полноте и независимости выбранной
системы аксиом. Система аксиом называется непротиворечивой, если
из этих аксиом нельзя сделать два взаимно исключающих друг друга
вывода, другими словами, если в результате развития дедуктивной си-
стемы, базирующейся на этой системе аксиом, мы никогда не придем
к противоречию. Ясно, что внимания заслуживают только непротиво-
речивые системы аксиом. Непротиворечивость системы аксиом уста-
навливается построением модели, или интерпретации
соответствующей аксиоматики, т. е. системы каких-то известных ра-
нее объектов, между которыми можно установить отношения, подчи-
няющиеся всем требованиям, содержащимся в наших аксиомах. В слу-
чае булевой структуры такая модель доставляется системой множеств,
где под суммой множеств понимается их объединение, под произведе-
нием множеств — их пересечение, под элементами о и i — пустое мно-
жество и универсальное множество, под унарной операцией «черта» —
образование множества, составленного из всех элементов универсаль-
ного множества, не принадлежащих данному множеству, и соотноше-
ние о означает принадлежность одного множества другому (см. § 1—4).
Эта модель доказывает, что выписанная выше система аксиом, опреде-
ляющих булеву структуру, непротиворечива
Система аксиом называется полной, если она допускает лишь од-
н у-е д и н с т в е н н у ю реализацию, точнее, если любые две моде-
ли или интерпретации этой системы аксиом по существу совпадают,
изоморфны (ср., впрочем, обсуждение этого вопроса в [2.81). Две мо-
дели аксиоматической системы называются изоморфными, если между
образующими эти модели элементами можно установить взаимно-одноз-
начное (биективное) соответствие, причем так, что каждому отношению
между элементами первой модели отвечает такое же отношение между
отвечающими им элементами второй модели. Другими словами, две
изоморфные модели представляют собой один и тот же математический
объект, только описанный на разных языках: так, изоморфны, ска-
жем, множество векторов трехмерного пространства и множество тро-
ек чисел — координат этих векторов. Ясно, что аксиоматика алгебры
Буля является неполной: ведь уже рассмотренные выше две модели
этой аксиоматики — совокупность всевозможных множеств шахмат-
ных фигур и совокупность всевозможных множеств целых чисел —
40
не изоморфны (ибо совокупность множеств шахматных фигур
конечна, а совокупность множеств целых чисел бесконечна, и поэтому
между этими двумя совокупностями множеств нельзя установить вза-
имно-однозначного соответствия).
Наконец, система аксиом называется независимой, если ни одну
из аксиом этой системы нельзя вывести из других аксиом, к, е. дока-
зать как теорему, базируясь на всех остальных аксиомах системы
(ср. [2.8]). Конечно, выписанная выше система аксиом алгебры Буля
является зависимой. Так, мы уже отмечали, что идемпотентные зако-
ны (VI) являются непосредственными следствиями условий (XVII)
и правила (XII), а законы поглощения (VII) — следствиями тех же
правил (XVII) и соотношений (XVI); поэтому нет никакой необходи-
мости включать равенства (VI) и (VII) в систему аксиом. Аналогично
отмечалось, что (XVIПа) есть не что иное, как объединение соотноше-
ний (XVIa) и (XIXa), а (XVI116) — объединение (XVI6) и (XIX6).
Таким образом, в список аксиом достаточно включить законы (XVIII),
после чего как (XVI), так и (XIX) станут не нужны.
Мы указывали также, что правила де Моргана (XI) и соотношения
(X), (IX) и (XXI) позволяют доказать принцип двойственности, ис-
пользуя который можно вывести правила (16)—(VII16) и (XV 6) —
(XX 6) из правил (1а)—(Villa) и (XVa)—(ХХа); поэтому первые 14
правил следует считать не аксиомами, а теоремами, поскольку их
справедливость следует из остальных правил. Нетрудно обнаружить
и ряд других зависимостей между аксиомами (I)—(XXI).
Остановимся подробнее на вопросе о зависимостях между отдельными ак-
сиомами, фигурирующими в определении булевой структуры. Заметим прежде
всего, что отношение cl zd Р можно не вводить в число первоначальных, неопре-
деляемых отношений, так как его можно определить условиями (XVII):
а + р = а или аР = Р
◄( Эти последние два условия равносильны, что следует из того, что каждое
из них эквивалентно условию аР = о. В самом деле, если а + р = а, то
а (а + Р) = аа = о; но
а(а + Р' = аа4-аР = о + аР = ар.
(Illa)	(VIII6) (JVa)
Напротив, если ар = о, то аР + а = а; но
аР + а = (а+а)(Р + а> = t(a + P) « а+р.
(Шб)	(Villa)	(IV6)
Аналогично этому, если аР = р, то аР = а (аР); но
а (аР) = (аа) р = ор = о*
(Пб) (V1II6)	(V6)
Обратно: если аР = о, то аР + аР = аР; но
аР4-ар = (а+а)Р = ф = Р
(Illa)	(Villa) (1V6)
41
[Заметим, что в процессе доказательства мы использовали коммутативность
сложения и умножения ] ►
Далее, из предложенного определения отношения зэ вытекают все его
свойства (XII)-(XVI), (XVIII)—(XX 1)л
В самом деле,
так как а + а = а, то а зэ а, что доказывает (XII);
если а + Р = а и р + у = 0, то а + у = (а +.()) + у = а + .(f) + Y) =
(Па)
= а + Р = а, что доказывает (XIII);
если а + Р = а и Р + а = Р, то в силу (la) а — Р что доказывает (XIV)
так как в силу (Va) t + а = t, то i зэ а, что доказывает (X Va);
так как в силу (IVa) а + о = а, то а зэ о, что доказывает (XV6);
(а + Р) + а = (а + а) + Р = а + Р. что доказывает (XVia);
(la, На)	(Via)
а (аР) = (аа) Р = ар, что доказывает (XVI6);
(Пб)1	(VI6)
если а 4- fl = а, то (а + у) + (fl + у) = (а + ₽) + (у + у) = а + Y,
(la, Ila)	(Via)
что доказывает (ХХа);
если аР = Р, то (ау) (Ру) = (аР) (уу) = Ру. что доказывает (ХХб);
(16, Пб)	(VI6)
если ц + а = ц и ц + fl = ц, то g + (а + fl) = (g + g) + (а + fl) = (р +
(Via)	(la, Па)
+ а) + (р + р) = р + р = р, что совместно с (X Via) и (la) доказывает (XVI11а)
(Via)
(а значит, и (XIXa));
если ра = р и рр = р, то р (ар) — (рр) (ар) = (ра) (рР) = рр = р,
•	(VI6)	(16. Пб)	(V16)
что совместно с (XV16) и (16) доказывает (XVII16) и (XIX6)
если а + Р = а, то, в силу (Xia), ар = а, что доказывает (XXI)
Таким образом, можно исключить из числа основных (неопределяемых)
отношений структуры В отношение Z), а из числа характеризующих эту струк-
туру аксиом — аксиомы (XII) — (XXI). [Аксиомы (XVII) становятся теперь
определениями, а остальные аксиомы — теоремами.]
Далее потребуем, чтобы для каждого элемента а £ существовал такой
элемент а.£ <#, что имеют место условия (VIII). Такой элемент может быть
только о ди н. Действительно, если
а + а = I, аа = о и а + at = i, aat = о,
то
а! = a1i=at(a-[-a) = aj а+«! а = о+а, а = а, а
(IV6)	(Illa)	(IVa)
(здесь также попутно используется коммутативность сложения и умножения) и
a -= ai=a(a + ai) = aa + aax = o+aai = aai,
(IV6)	(Ilia)	(IVa)
откуда в силу коммутативности умножения следует, что ai = 0L ► Поэтому да-
лее можно принять условия (VIII) за определение операции —.
42
Очень важно, что из (VIII) следуют все остальные свойства (IX) — (XI)
операции ”. В самом деле,
условия (VIII) симметричны относительно а и а, откуда следует (IX);
в силу (V) о + i = i и 01 = о, откуда следует (X);
«х + ₽) + ар = ((а+Р) + а)((а+р) + ₽) = ((а + а) + Р) (а + (р + р)) =
(Шб)	(Ila)	(Villa)
= (l + P)(a+0 = ll = I
(Va) (VI6)
и
а+Р)(ар) = а(ар) + р(ар) = (аа) Р4-а (рр) = оР + ао = о+о = о
(П1а)	(Пб)	(VIII6)	(V6) (Via)
(здесь также используются, коммутативные законы), откуда и вытекает (Х1а).
((XI6) вытекает из (Х1а) и (IX^достаточно изменить обозначения в равенстве
(Х1а), заменив а на а и 0 на 0]
Таким образом, мы можем исключить из числа основных операций структу-
ры В унарную операцию ”, сохранив в числе аксиом требование разрешимости
для каждого заданного а £ уравнений!^!!!), в которых а считается неиз-
вестным, после чего из системы аксиом исключаются аксиомы (VIII)—(XI)
(первые две из них становятся определениями, последующие — те-
оремам и1).
Далее, имея уже соотношения (VIII), мы сразу получаем (V)
^a + i => a-|-(a+a) = (a + a) + a = a+a = ц
(Villa)	(Ha)	(Via) (Villa)
ao = a(aa) == (aa)a. = aa =
(VIII6) (116)	(VI6) (VIII6)
He сложнее доказываются идемпотентные законы (VI) и законы поглоще-
ния (VII):
a + a = (a + a) i = (a4-a) (a 4-a) = a + aa = a + о = z
(IV6)	(Villa)	(III6) (VIII6) (IVa)
И
aa — aa4-o a aa + aa = a(a+ a). = ai = a;
(IVa) (V1II6)	(Illa)	(Villa) (IV6)
(a + aP = ai-f-a0 = a'i+P) «=> ai = a
(IV6)	(Illa)	(Va) (IV6) .
1 Заметим, что место «равенств—определений» (XVII) и (VIII) в конструи-
руемой нами «экономной» аксиоматике булевой структуры будет совершенно
разным: (XVII) суть «чистые» определения (одного и того же отношения zd, в си-
лу чего приходится доказывать их эквивалентность), в то время как (VIII) суть
«аксиомы—определения» в том смысле, что нам приходится специально требо-
вать существования элемента а £ удовлетворяющего равенствам (VIII)
(в которых элемент а £ считается заданным). При этом место унарной опе-
рации - в структуре (1) оказывается родственным месту унарной операции -1
в структуре (1") (в группе): аксиомы структуры требуют существова ния
для каждого g £ & (соответственно для каждого а £ элемента g-1 £ 3?
(элемента а £ <#), после чего с привлечением других аксиом доказывается
единственность этого элемента, что и позволяет рассматривать и -
как (унарные) алгебраические операции, действующие соответственно на &
и на
43
и
а(а+Р) = ааЦ-аР = аЦ-аР = а
(Illa)	(Via)	(Vila)
(заметьте, что мы каждый раз ссылаемся лишь на соотношения справедливость
которых нами принимается или уже доказана!)
Наконец, также и ассоциативные законы (II), можно вывести из других ак-
сиом, хотя это и требует чуть больших усилий «4 Обозначим
(а 4- Р) + у = L а + (0 + у) = П
и докажем, что £ = Л- Для этого составим произведения а£ и -остр
ag = а ((а + Р) + у) = а (а + Р) + ау = а + ау = а
(Illa)	(VII6) (Vila»
и
ал = а (а + (Р + у)) = (а + а) (а + (Р + у)) = а + а (р + у) = а
(Via)	(П1б)	(Vila)
(ясно, что в (Vila) можно заменить Р на Р + у).
Далее найдем а£ и атр
а£ = а((а-ЬР)4-у) = а(а-|-Р) + ау = (аа + аР)-|-ау =
(Illa)	(Illa)	(VIII6)
= (о 4 ар)+ ау = оф-f-ау = а(Р + у)
(IVa)	(Illa)
и
ап = а (а-НР4-у)) = аа + а(P-f-у) = o+MP + Y) = а(р + у)*
(Illa)	(VIII6)	(IVa)
Таким образом, мы имеем
а£ = ал и а£ =ал»
откуда следует
5	= (а + а)£ => а£ Ц-а£ = ал-|-ал а
(IV6) (Villa)	(Illa)	(Illa)
= (а4-а)л = 1л = Л.
(Villa) (IV6)
что и требовалось доказать. После этого справедливость (Пб) может быть выве-
дена из (Па) стандартным приемом (принцип двойственности!): если
fci = (аР) у и л» = а (Ру),
то (см. уже доказанное соотношение (XI6))
Bi = (ap\y=aP+y = (a + p) + y
и
Л1=а(ру)=а + ру = а + (р + у),
откуда в силу (Па) {ц = ль А теперь имеем
£i=(li)=(ni) = ni.
что и завершает доказательство ассоциативных законов.
Итак, правила (II), (V), (VI) и (VII) тоже можно исключить из числа аксион
булевой структуры,
44
Окончательно мы приходим к следующему определению:
Булевой структурой называется структура1
В = <	+, • >,	(5.1")
где действующие в множестве да = {а, 0, у, о, i} бинарные опе-
рации 4- и • коммутативны:
Б7 : а 4- Р = Р 4- а, Б2 : а0 = 0а
и дистрибутивны одна относительно другой:
В8: а (Р 4- у) = а0 + ау, Б4 : а 4- Ру = (а 4- Р) (а 4- у);
далее существуют два таких элемента о, i { Я что для каждого
а £ да
В5 : о 4 а = а, Б, : и» = а;
наконец, для каждого а £ да существует такой элемент а £ да, что
Б7 : а—а = i, Б8: аа = о
(в аксиомах Бх_4, разумеется, как всегда а, 0, у — произвольные
элементы множества да; также и в Бб_8 специально отмечается,
что элемент а (Е ®любой). При этом из Б1_8 вытекают (при
оговоренном выше определении отношения гэ и задаваемой Б7 8 опе-
рации —) все 37 предложений (I) — (XXI), так что новое определение
структуры В вполне равносильно первому ее определению.
Бросается в глаза «самодвойственный» характер аксиом Бх_8
(как, впрочем, и первоначальных аксиом (I)—(XXI)): если заменить
в этих аксиомах 4- на • и наоборот, i на о и наоборот (и энас и на-
оборот, а операцию “ сохранить всюду, где она встречается), то
каждая аксиома булевой структуры переходит в новую, также спра-
ведливую (выше мы специально выписали рядом двойственные друг
другу аксиомы — Бх и Б2 и т. д.). А так как каждая «булева теорема»
(теорема теории булевых структур) выводится из аксиом, то отсюда
следует справедливость в теории булевых структур принципа двойст-
венности, согласно которому каждое верное булево предложение (на-
пример, каждое тождественно выполняющееся булево равенство или
неравенство) переходит при замене
ZD«-*CZ
снова в истинное предложение (выводимое из аксиом в точности как
исходное предложение, однако с заменой каждой аксиомы двойствен-
ной ей); этот принцип (ср. выше § 2) играет в теории булевых структур
весьма важную роль.
1 Ясно, что так определённая структура является алгебраической струк-
турой в смысле Н. Бурбаки (см. первую из книг (5] или (II, с. 73]).
45
Система Бх _ 8 аксиом алгебры Буля является уже «почти независимой».
•Единственное дальнейшее упрощение этой системы, которое еще возможно, —
это исключение из списка аксиом одной из аксиом Б6 и Бв, поскольку, например,
Бб может быть выведена из аксиом Б4_4, Бв_8 (и Бв выведена из Бх-^
и Б7_8); система же, состоящая, скажем, из аксиом Бг_ 5, Б7_8, будет
уже независимой. Впрочем, полная симметричность утверждений Б5 и Бв ставит
нас при желании сохранить лишь одну из этих двух аксиом в положение небезыз-
вестного буриданова осла, умершего от голода между двумя совершенно одина-
ковыми вязанками сена, из которых он так и не сумел выбрать какую-либо одну.
Что.бы избежать столь зловещей участи, математики предпочитают сохранять
в списке аксиом булевой структуры оба предложения: и Б5, и Бв> что одновремен-
но упрощает анализ этой аксиоматической системы.
Для того чтобы вывести из Б1_4 и Бв _ 8 аксиому Бб, заметим преж-
де всего, что равенство (Va), т. е. а + i = i, может быть выведено из наших ак-
сиом (где теперь i определяется равенством Б7) без участия Б5:
а4-i = (а4-0	‘« + 9 (« + «)= а4~ьа = а4~ а = i.
Бв	Б,	Б4 Бв Б?
А теперь имеем
04-а =а4~о = а 4-(аа) = (ai) 4~(аа) =а (t4~а)	= ai= ia = a.
Б, Бв	Бв	Бэ	(Va) Б2 Б,
Аналогично выводится и равенство Б6 из аксиом Б^ 5 и Б7_р (см упр.
4а)). ►
Независимость всех остальных аксиом устанавливается стандартным при-
емом: построением моделей, в которых выполняются все аксиомы из нашего
списка, кроме выбранной нами. Ясно, что обе аксиомы Б5 _ 8 нельзя ис-
ключить из нашего списка аксиом, ибо в системе из двух всего элементов а, со
(где и роль о, и роль i играет элемент со) со «сложением» и «умножением»:
4-	I	а	со
а	со	со
со	со	со
| а	со
।
а со	со
со I со со
(5.2)
(с операциями a 4" a = a 4“ со = • со 4" a = со 4- со = aa = a со = coa = coco =
= со) выполняются все аксиомы Б4 _ 4, Б7_8 (где а и со можно определять
как угодно!),— но не Бб и не Бв.
Независимость Б1 устанавливает существование структуры <{о, Q; +» •»
~~> со следующим определением действий:
	1 ° ‘	и . ~ 1 .		
0	0	0	0	1	[5.3)
1	0 1	1	1	и*-*-
(т. е. о 4“ о = i 4” о = о,	о + I = i 4" i — i; оо = oi = ю = о, u = i;
о = i = i). Здесь, очевидно, выполняются Б2 и Б5_8, в то время как
места не имеет (ибо о + i #= о = i 4" о). Далее, непосредственная провер-
ка показывает, что равенства Бя и Б4 также имеют место для любых а, 0, у =«
= о, с. Так, например, о (i 4“ 9 = oi = о и oi4-oi=o4-o=o или i 4-
4- oi = I 4- о = о и (i 4“ о) (i 4- 9 = oi = о. Но если бы аксиома Бх была
выводима из других аксиом нашей системы, то в каждой алгебраической струк-
туре, для которой верны аксиомы Ба_8, выполнялась бы и аксиома Б4, че-
го, как мы видим, на самом деле нет. Аналогично с помощью структуры, «двойст-
венной» рассмотренной нами, доказывается независимость аксиомы Б. (см.
упр. 46)).
46
Чтобы доказать, что аксиома Б4 не может быть выведена из других аксиом,
достаточно рассмотреть множество из двух элементов о и i, в котором следую-
щим образом определены бинарные операции + и •:
(5.4)
(т е. о + о а i + i «= о; о + i а i + о «= i; оо e oi e to а oj u e 1).
Очевидно, что для этой системы элементов выполняются аксиомы и В2 (сло-
жение и умножение коммутативно). Далее, очевидно, имеют место аксиомы Б3
и Бв, а также Б7 и Б8, где надо считать о = i, i в о.
Непосредственной проверкой убеждаемся, что и аксиома Ба также справед-
лива1. Однако
i + а « i + о » I, а
(i + о) (i + i) = ю = о,
т. е. аксиома Б4 здесь не выполняется.
Независимость аксиомы Б3 от остальных аксиом устанавливается множест-
вом двух элементов и и i со следующими правилами сложения и умножения
(ср. с (4));
+	1 “ •		. и 	1	0	€
и	и	1	0 1	1 1	О
1	1	1	1	0	Б
(5.4')
Для этой алгебраической системы (где также надо положить о =» i и i = о)
справедливы семь из выписанных выше восьми аксиом, но не аксиома Б3 На-
конец, независимость равенства Б7 от равенств Бх — в и Б8 следует из струк-
туры <{о, i}; +, •» ->, где
,+1	|	0	1	• 1 0	1	- 1	1 0
0	0	1	о	0	* 0	0	о ’	<5'5)
1	Ь 1	1	0	Б	1	0
а независимость Б8 — из «двойственной структуры», отличающейся от (5) лишь
тем, что здесь о => i. = i.
Заметим еще, что, определив дополнительно
а) ахф = оф и б) а * Р = оф + оф	(5.6)
(разность и симметрическая разность элементов булевой структуры;
в том случае, когда а о р, вместо а^Р можно писать также а — Р),
мы сможем перенести в «абстрактную» структуру Буля все результаты,
составляющие содержание § 4 (см. упр. 2). Так, для любых а, р, у £ ЗВ
а) = оиб)а*а = о	*	(5.7)
1 Это вытекает из того, что наша алгебраическая система представляет со-
бой не что иное, как поле вычетов по модулю 2 (см. [II, с. 85] или любую из книг
[3]).
47
(причем а ♦ Р = о, лишь если р = а);
а) а\о = а и б) а * о = а	(5.8)
(причем д * р = а, лишь; если Р == о);
a) i\a = а и б) i ♦ а = а	(5.9)
(а также о\а = о и а ♦ а == t);
а * Р = р * а;	(5 10)
а) (а\Р)\у = (а\у)\р и б) (а»р|»у = ^	у);	(5.11)
а) (а^р) у = ау\ру и б) (а * Р) у = (ау) ♦ ц)у).	(5 12)
Наряду с этим справедливо тождество
a*P*aP=a + P	(5.13)
и предложения
если а*у = р*у, то a — Р;	(5.14)
если а * Р = у, то a * у = р.	(5.15)
В соответствии с общим определением подструктуры
(см., например, [II, о. 581) подструктурой булевой структуры (под-
алгеброй алгебры Буля ) (1) или (Г') называется такое подмножество
множества S3, которое само является булевой структурой отно-
сительно заданных в нем операций +, • и• —, т. е. которое содержит
элементы о и t и замкнуто относительно операций 4-, •, (скажем,
если a, р £ 5Эх, то и а 4- PC ®i)- Так, например, элементы о и с
булевой структуры всегда образуют (минимальную) ее подструктуру,
поскольку множество (о, i}, очевидно, относительно всех булевых
операций замкнуто:
4-0 1	!» I
----------- -----------,- и
• О О I	О 0	0
III	101
Подструктурой структуры всех заключенных внутри квадрата /
фигур (см. выше рис. 4—5, 7—10, 12—16 и 18—26) является, напри-
мер, алгебра заключенных внутри / многоугольных фигур (многоуголь-
ников, состоящих, возможно, из нескольких отдельных связных
кусков, ограниченных прямолинейными отрезками), поскольку, оче-
видно, объединение и пересечение двух многоугольников снова явля-
ется ’ многоугольником и дополнение Л/ многоугольника М также
можно считать многоугольником, так как граница Л4 состоит из пря-
молинейных отрезков.
Аналогично подструктурой алгебры всех подмножеств бесконеч-
ного универсального множества I является система всех конечных
48
или коконечных (таких, дополнение которых конечно) подмножеств /:
ведь ясно, что если А конечно, то А коконечно и наоборот; пересече-
ние двух множеств, хотя бы одно из которых конечно, будет конечно,
и объединение двух множеств, хотя бы одно из которых коконечно,
будет коконечно; объединение двух конечных множеств, разумеется^
конечно. Отсюда в силу формулы де Моргана (Х1а) АВ = А + В
следует, что пересечение АВ двух коконечных множеств (таких, что
А и В конечны) коконечно. Наконец, пустое множество О можно счи-
тать конечным, а его дополнение / — коконечным. А вот, хотя система
всех подмножеств множества четных натуральных чисел и образует,
разумеется, при обычном определении суммы, пересечения и дополне-
ния булеву структуру, эта структура никак не будет являться под-
структурой системы всех множеств любых натуральных чисел, по-
скольку в этих двух булевых структурах единичные элементы I раз-
личны и операция взятия дополнения имеет разный смысл.
В дальнейшем (см. § 9) у нас будет возможность коснуться также
и вопроса о фактор-структурах (см., например, [II, е. 59]) булевых
структур.
Упражнения. 5.1. Определите операцию, двойственную (в смысле прису-
щего булевой структуре принципа двойственности) определенному на с. 39
прямому вычитанию элементов структуры.
5.2.	Выведите из аксиом булевой структуры все фигурировавшие в § 4
свойства операций \ и «, в частности, те, которым были посвящены упр. 4.2
и 4.10
5.3.	Сколько существенно различных (не изоморфных) подструктур имеет
структура подмножеств 3-, 4- и л-элементного множества?
5.4.	Докажите зависимость (независимость)
а) аксиомы Бв; б) аксиомы Бг
от остальных аксиом Б1__й булевой структуры;
6. БУЛЕВЫ МНОГОЧЛЕНЫ; АДДИТИВНАЯ И МУЛЬТИПЛИКАТИВНАЯ ФОРМА
БУЛЕВА МНОГОЧЛЕНА
Выше нам часто приходилось иметь дело с теми или иными вы-
ражениями, составленными из элементов основного множества Я
булевой структуры при помощи бинарных операций «сложение»
и «умножение» и унарной операции «черта»: так, например, боль-
шинство аксиом (I)—(XXI) утверждает равенство двух подобных вы-
ражений.
При этом, в противоположность обычной алгебре чисел (скажем,
вещественных), в булевой алгебре мы не имеем операции деления
(и, тем более, операции извлечения корня), в силу чего все выражения,
образованные из некоторого набора элементов 53, по строению на-
поминают «целые рациональные выражения» (многочлены) школьной
алгебры. Мы их будем называть булевыми многочленами, [Еще одно
отличие булевой алгебры от обычной заключается в том, что в силу
идемпотентных законов (VI) здесь а*а == а (а не а2) и, следовательно,
49
также а-а- ... -а = а (а не ал; запись а2, а3 или а" здесь просто не
п раз
имеет никакого отличного от а смысла). Аналогично а + а = а
(а не 2а), а также а 4- а + .'.. + а = а (а не па) Имея в виду это
п раз
свойство булевой структуры, говорят, что булева алгебра — это ал-
гебра без степеней и коэффициентов А Булевыми многочленами явля-
ются, например, следующие выражения:
ар, (а+0+у)а0у, (а 4-0)(0-|-у)(у4-а),
«+₽?+₽ + уа+у + ар	(6.1)
или
а₽уб + а0уб + а0уб + а0уб.	(6 Г)
При изучении булевых многочленов основным является вопрос об
их упрощении и идентификации (выяснении, отличаются ли по су-
ществу друг от друга два по-разному записанных многочлена или
представляют лишь разные формы одного выражения). Так, например,
вовсе не очевидно, что последний из многочленов (1) совпадает с
предпоследним, а второй равен о.
В обычной (школьной) алгебре установление совпадения или не-
совпадения двух целых рациональных выражений (многочленов)
осуществляется с помощью приведения многочленов к стандартному
(«каноническому») виду: каждый многочлен Р (хГг..., xft) от k пере-
менных хх, х2,..., xfe может быть записан в виде
Р = li... ih х‘{ х!* ... х^,	(6.2)
где	— отличные от нуля (числовые) коэффициенты много-
члена, a i19 1г. .... ih — (целые неотрицательные) степени, часть ко-
торых (или даже все) может и обращаться в нуль; наибольшая из сумм
h + Ч +* ••• + ih = N называется степенью многочлена Р. Анало-
гичное положение справедливо и для булевой алгебры, где выполня-
ется следующая
Теорема. Пусть Р = Р (£ь |2, ..., gft) булев многочлен,
зависящий от (произвольных или переменных) элементов £2, ....
фиксированной структуры (5.1)1; тогда Р либо тождественно (при
любых g2, ..., gft) равен о, либо Р можно записать в виде
р =	...	(6.3)
где множитель (i = 1, 2, ..., или fe) в каждом члене стоящей справа
суммы обозначает & или При этом, если два многочлена
1 Далее мы считаем, что для рассматриваемой структуры о ф i (ср. со ска-
занным на с. 38).
50
P (5i> 5г» • ••» 5ь) и Q (51» 5г» •••» 5а) тождественны (т. е. совпадают при
любых наборах ?2» •••» 5ь € 33), то они имеют одинаковую форму (3),
а если они различны, то и формы (3) этих многочленов будут разли-
чаться.
Форма (3) булева многочлена (представление о которой может
дать, например, многочлен (1') от переменных а, 0, у, 6 (= ЗВ) назы-
вается его совершенной нормальной аддитивной формой (от лат. addi-
tio — сложение).
◄ Доказательство теоремы совсем просто. Прежде всего, с помо-
щью соотношений де Моргана (XI) мы можем преобразовать многочлен
Р = Р (51,	5а)
так, чтобы (унарная) операция “ в новой его записи применялась
лишь к «булевым переменным» £2, но не к их комбинациям —
суммам или произведениям. Далее, воспользовавшись (первым) ди-
стрибутивным законом (111а), мы можем раскрыть скобки во всех
случаях, когда они означают, что для получения выражения Р надо
перемножить между собой суммы каких-то элементов и булевой
структуры или более сложных выражений. При раскрытии всех та-
ких скобок мы приведем многочлен £ к «аддитивной» форме, представ-
ляющей собой сумму ряда членов, каждый из которых является про-
изведением элементов £ ЗВ и выражений
Далее, если какой-либо член А полученной суммы не содержит,
скажем, ни множителя ни множителя то мы заменим его выра-
жением А (^ + Ii) = /Igj + т. е. суммой двух членов, один из
которых содержит множитель а второй — множитель (см. (Villa),
(IV6), (111а)). Таким образом, мы можем придать Р вид суммы, все
слагаемые которой содержат (с чертой над соответствующим множи-
телем или без нее) все переменные g2, •••» 5п При этом, если
какой-либо член суммы Р содержит сразу оба множителя и
то в силу (VII16), (V6) и (IVa) его можно отбросить; если же в него
один и тот же множитель входит несколько раз, то в силу (V16) этот
множитель можно сохранить лишь один раз [здесь мы учитываем,
разумеется, коммутативный закон (16) и ассоциативный закон (Пб)1.
Наконец, если полученная сумма содержит несколько одинаковых сла-
гаемых, то в силу (Via) из всех этих слагаемых можно оставить лишь
одно. Если в результате всех этих операций в сумме Р выпадут все
члены, то мы будем иметь* Р = о; в противном случае мы приведем
булев многочлен Р к совершенной нормальной аддитивной форме (3).
Наконец, очевидно, что если два булева многочлена Р и Q при-
водятся к одной и той же форме (3), то они тождественно
равны. С другой стороны, если формы (3) двух многочленов Р и Q
не совпадают, то эти многочлены заведомо различны,
т. е. при некотором выборе переменных £2, ..., они будут прини-
51
мать разные значения. В самом деле, пусть, например, k = 4 и адди-
тивная форма (3) многочлена Р содержит слагаемое
(6.4)
а форма (3) многочлена Q такого слагаемого не содержит. Подставим
теперь в Р и Q следующие значения переменных
£1 = Ч ?2 = о, 5з =4 ^4 = I.	(6.5)
Ясно, что член (4) суммы Р при этих значениях обратится в ни = i,
в то время как все другие слагаемые этой суммы будут содержать
хотя бы один множитель о и, значит, в силу (V6) будут равны о. По-
этому мы будем иметь Р (ц о, i, i) = i. С другой стороны, так как
сумма Q не содержит (4), то при подстановке в нее значений (5) все
члены этой суммы обратятся в о (все они будут содержать множи-
тель о); поэтому
Q (i, о, I, t) = о =/= i = Р (i, о, l, Q. ►
Пример. Рассмотрим последний из многочленов (1):
Р(а 0 У)	а4-Ру + Р4-уа+у4-аР •	(6. б)
- ^Обозначим а + Ру — Л; Р + уа «= В; у Ч~ ар =□ Г. В силу правила
де Моргана (Х1а)
Р - Л"+ В + Г = (Л + В) + Г « (Л + В) Т ~ (Л • В) Г “ Л ВЛ
А так как А —• а + ру, В => р + уа, Г в у -J- оф, то
Р « (а + Ру) (Р + уа) (у + оф) — ару + ар (аР) Ч- а (уа) у + а (уа) (оф)+
+ (Ру) Ру + (Ру) Р (»Р) + (Ру) (уа) у + (Ру) (уа) (аР) — а Ру + аР +
+ ау + аРу + Ру + аРу + аРу + аРу аРу + аР + ау + Ру
(здесь мы использовали коммутативный,J ассоциативный, идемпотентный за-
коны для умножения и идемпотентный закон для сложения).
Далее
аР « ар (у + у) — ару + аРу*
и аналогично
ау яв аРу + аРу, Ру — аРу + сфу,
так что окончательно получаем
Р — ару + аРу + аРу + аРу Ч~ аРу + аРу + аРу — аРу + аРу + аРу +
+ ару>	(6.6х)
Наше доказательство однозначности представления буле-
ва многочлена, т. е. того, что никакой многочлен Р не может иметь две
разные формы (3), доставляет одновременно простой алгоритм приве-
дения Р к виду (3), не требующий обращения к сложным преобразо-
ваниям с использованием правил де Моргана. Для простоты предпо-
ложим снова, что k = 4, т. е. что Р зависит от четырех переменных
52
£г. £з. £«. Мы видели выше, что форма (3) многочлена Р содержит
слагаемое (4) в том случае, если Р (i, о, i, i) = i, и не содержит
члена (4), если Р (i, о, i, i) = о. |Так, как множество {о, i} замкну-
то относительно всех операций булевой структуры, то ясно, что если
все значения переменных многочлена Р равны о или i, то и значение
Р может быть равно лишь или о или i.l Введем теперь «стандартные
переменные» ®, равные о или i; тогда форму (3) многочлена Р можно
будет записать так:	(
Р = SP (й)ь 0)2, ...t СО*) ...	(6.3')
где в коэффициенте Р а>2, ...» соЛ) при произведении
положено = i, если равно и со/ = о, если это Ясно,
что все коэффициенты Р (сор ш2, ..., coft) будут равны либо о, либо ц
причем в силу (IV6) и (16) (а также (IVa)) члены суммы (3') с коэффи-
циентами о можно просто отбросить, а у членов с коэффициентом i
не выписывать этот коэффициент.
Следствие 1. Если два булева многочлена Р и Q, зависящие
от одних и тех же переменных |2, ..., совпадают при подстанов-
ке вместо всевозможных наборов из одних только элементов о и ц
то они тождественно равны, т. е. совпадают и при любых значе-
ниях |2, е Я
◄ Утверждение о совпадении значений Р и Q при подстановке вмес-
то £2» всевозможных наборов (оь со2, coft элементов i и о
равносильно предложению о совпадении всех коэффициентов Р (а>п
о)2, ..., (oft) и Q (й)ь (о2, ..., (Оь) соответственно совершенной нормаль-
ной аддитивной формы (3') этих многочленов, т. е. тождественному
равенству многочленов Р и Q. ►
Следствие 2 Булева структура В допускает 22* (и только
22*) различных многочленов от k переменных
◄ В самом деле, совершенная нормальная форма (3') булева много-
члена Р состоит из 2k слагаемых, ибо каждый из k сомножителей
&2» ...» может иметь одно из двух значений (^ или соответственно
£2 или £2, ..., Ъь или gft). А так как каждый из коэффициентов
Р((йъ со2, ..., coj при соответствующих слагаемых может иметь одно
из двух значений о или i, то,'варьируя все возможные значения ко-
эффициентов, мы получим всего 22fe разных форм (3) (или (3')) булевых
многочленов. [В частности, если все коэффициенты многочлена (3')
равны о, то многочлен тождественно равен о, а если все они равны ц
то многочлен тождественно равен i (почему?).] Поскольку разные
формы (3') соответствуют разным многочленам, то мы и приходим к вы-
воду, что общее число разных булевых многочленов равно 22\ ►
В частности, при k = 1 мы имеем следующие 22 » 4 булева выражения
(многочлена):
о, Б, Ги i (= 5 +1),
63
а при k = 2 число многочленов будет уже равно 22 = 16:
о; Е1&2’ 5152» 5152> £1 52*> 5152 + 5112’ 5152 4" 5152» ^1-2 4" Е1&2’ 5152 4* 515^>
5il2 +lil2’ 1i52 +1i52; 5i52 + 5152 + Ji52, 5i52, + 5ja +“5i52. 5i52 + 5i52 +
+ "5i52> 5i52 + 5i52 + 5151; 5i52 + 5151 + 5152 + 5i52 - u
Пример. Обратимся снова к многочлену (6) и приведем его к канонической
форме (3), использовав новый алгоритм.________	_	_
__ Мы видели, что Р ^=А-[-В + Г = АВ1\~ где Д=а+ Ру; В = р + уа
и Г = у + ар; в силу (V6) А ВГ =/= о, лишь если Л =/= о и В =/= о, Г =/= о. Но, оче-
видно, что если а, Р, у = о или i, то А = а + Ру #= о, лишь если а = i или Р =
«= у = i; аналогично В #= о, если р = i или у=а = I, и Г #='о, если у «= i или
а с= р о и Поэтому, если какие-нибудь две из переменных а, р. у_равны^ о,
то два из выражений Л, В, Г тоже равны о (так, если а = Р = о, то А = В =>
“ о), а если а = р = у = о, то и А = ~В = Г’= о; если же из переменных а,
р. у значение о имеет только одно, а остальные равны i, или, тем более, если а =
= Р = у = I, то ~А = ~В = Г а i и, значит, Р а АВГ => i. Отсюда вытекает,
что	_
Р « iaPy + taPy + iaPy + iaPy + oaPy + oaPy + oaPy 4- oapy,
t. e. снова результат (6").
Заметим, наконец, что каждый булев многочлен Р = Р (£п lh)
может быть приведен также и к совершенной нормальной мультипли-
кативной форме (от лат. multiplicatio — умножение):
Р = п а; + ё2 + ... + ^),	(6.7)
где символы & имеют тот же смысл, что и в (3) (или в (3')), и все сом-
ножители (греческая буква П указывает на произведение
ряда множителей, подобно тому как буква S символизирует сумм у)
в правой части различны; такая форма многочлена также является
единственной и полностью характеризует класс тождественно равных
(т. е. одинаковых) многочленов. Доказательство этого утверждения
полностью аналогично рассуждениям, с помощью которых мы убеди-
лись, что каждый многочлен можно привести к форме (3); только вме-
сто, скажем, первого дистрибутивного закона (II 1а) мы теперь долж-
ны будем использовать второй дистрибутивный закон (Шб) (см. ни-
же упр. 3).
Упражнения. 6.1. Запишите зависящие соответственно от a, Р £ 33 и от
а, р, у £ 33 многочлены
а + Р; (а + Р) (а + Р); а (Р+ У) + V; ар + ау + аР
а)	в совершенной нормальной аддитивной форме;
б)	в совершенной нормальной мультипликативной форме.
6.2.	Выпишите все совершенные нормальные мультипликативные формы
булевых многочленов от одного и от двух переменных.
6.3.	Докажите теорему о возможности приведения каждого булева много-
члена к совершенной нормальной мультипликативной форме и теорему об един-
ственности такой формы.	'
54
6.4.	Докажите, что множество всех булевых многочленов oi k переменных
по отношению к их булеву сложению, умножению и применению (унарной)
операции - («черта») образует булеву структуру с 22* элементами; составьте
таблицы операций +, • и — для элементов таких структур, отвечающих зна-
чениям k = 1 и k = 2«
Ъ ИНЫЕ АКСИОМАТИКИ БУЛЕВОЙ СТРУКТУРЫ
Булеву структуру мы определили выше как структуру
В = <53; + ,	zd >,	(7.1)
задаваемую 37 аксиомам (I)—(XXI) (с. 37—38) или, короче, как
структуру
а)	В = <53; +, • >,	(7.Г)
задаваемую 8 аксиомами (с. 45). Однако эти определения ни
в коей мере не являются единственно возможными: в научной литера-
туре имеются десятки различных эквивалентных между собой аксио-
матик, описывающих один и тот же объект— булеву структуру (или
алгебру Буля). Так, например, поскольку в силу формулы де Мор-
гана (X 1а) произведение оф элементов булевой структуры можно све-
сти к комбинации операций + и
сф = а +р,	_ (7.2a)
то имеется много аксиоматик булевой структуры, кладущих в основу
ее определения одни лишь операции + и “ (или • и ”);
б)	В = <53; +, "> или в) В = <53; •, ’ >.	(7.1')
[Заметим, что операцию " через операции + и • выразить" нельзя —
именно поэтому аксиоматика Б^у специально постулирует су-
ществование‘отображения а->а.| Так, например, достаточно эконом-
ным и в то же время удобным является следующее.
Определение. Булевой структурой называется структура
(Гб) с одной бинарной операцией + («сложение») и одной унарной опе-
рацией " («черта»), определенными на множестве 53 = {а, 0, у, ...; i}
(в этом множестве выделен «единичный» элемент i, обладающий спе-
циальными свойствами); эта структура задается следующими аксио-
мами:
сложение коммутативно, ассоциативно и идемпотентно, т. е.
Б[ : а Р = Р + а;
Бг : (а + р) 4- у = а + (Р + у);
Бз : а + а = а;
кроме того,
Б^ : а + Р = а тогда и только тогда, когда а + р = t
55
(здесь, как всегда, всюду а, Р, у £ 59 — произвольные элементы
множества 59)
Если теперь определить
аР=а + 0,	(7.2а)
o=i,	(7.3)
то из аксиом Б (—4 можно будет вывести аксиомы Б,., и на-
оборот.
Мы уже знаем, что из Б1 _ 8 вытекают все предложения (I)—(XXI),
в частности аксиомы Б{ — з; кроме того, мы видели, что из (I)—(XXI) выте-
кает также равносильность равенства а + Р - а отношениям а □ ₽ и оф = о
(см. с. 41). Но из оф «= о вытекает оф ™ o’ или а + р e i — таким образом,
и аксиома Б4 вытекает из Бх _ 8.
Напротив, коммутативность Bt сложения требуется аксиомой Ба комму*
тативность Б2 умножения следует из Б, и определения (2а):
Ра = Р + а = а + Р = оф
Равенство Б7 сразу следует из идемпотентности Б8 сложения и аксиомы Б4:
Б7: так как а + а = а, то а + а = i.
Далее из Б7, идемпотентности Б8 и ассоциативности Б^ сложения получаем
a+i«=a + (a + a) = (a + ot)+^t = a-f-a=a i.	(Va)
Однако мы пока не в силах установить двойственные Б7 и (Va) предложения Бв
и (V6), поскольку вывод их из Б- и (Va) базируется на инволютивности (IX)
операции «черта», установление которой на базе аксиом Бх_4 оказывается
неожиданно сложным1. И вообще полное доказательство равносильности аксио-
матик Бх_8 и Б{ _4 вовсе не просто — для того, чтобы получить его. н«м
придется еще немало потрудиться.
Прежде всего определим отношение о между элементами нашей алгебраи-
ческой системы:
a ZD 0, если а + Р = а.	(7.4)
Иногда нам будет полезно иметь в виду, что в силу Б4 это определение можно
переписать и так:
а зэ р. если а + Р = I.	(7.4a)
При этом рефлексивность (XII), транзитивность (XIII) и антисимметричность
(XIV) отношения Z), так же как соотношение (XVI 1а), «монотонность сложения»
(ХХа) и родственное (ХХа) предложение (XIXa), совместно с (XVIa) запи-
сываемое в виде равенства (XVII 1а), выводятся из определения (4) в точности
как на с. 42 (где при выводе всех этих фактов, помимо (4), использова-
лись только коммутативность Бх, ассоциативность Б2 и идемпотентность Б8
сложения).
1 Таким образом, включив в число аксиом еще и требование (IX) инволю-
тивности операции «черта», мы заметно упростили бы анализ рассматриваемой
аксиоматики (и не ухудшали бы ее особенно принципиально, поскольку и сис-
тема аксиом независимой не является; см. с. 60). Нам, однако,
кажется, что вывод соотношения (IX) из аксиом Б£.4 сам по себе достаточно
поучителен.
56
Теперь мы можем доказать инволютивно^ть (IX) операции «черта». В са-
мом деле, в силу Б7, коммутативности Б{ сложения и определения (4а),
так как « + « = « + «= h то a zd а.	(7.5)
Точно так же, заменяя а на а и на а, получаем
a) a zd а и б) агэа.	(7.6)
Но из (5) и (66) в силу транзитивности (XIII) отношения zd следует
г. е. а + а = а и, значит, а-{-а = 1	(7.7)
Qm Б.;) Из (7) в силу коммутативности сложения и определения (4а) вы-
текает
a-f-a = i и, значит, ZDa.	(7.8)
А неравенства (8) и (6а) в силу антисимметричности (XIV) отношения zd дают
а = а	(7.9)
(наконец-то из леса неравенств выплыло содержательное равенство!).
Равенство (9) позволяет переписать Б7 так:
а 4-а = I,
что в силу (4а) равносильно
аЭа.	(7.10)
Таким образом, мы имеем два противоположных неравенства (5) и (10), в силу
(XIV) сраз/приводящие нас к требуемому результату;
а = а	’	(IX)
Из (IX) прежде всего следует
о = i	(Хб)
(см. определение (3)). А теперь из Б7 и (Va) в силу определения (2a) получаем со-
ответственно
Б8 : <ха = а + а = а+а«а+а=7 =^о;
и
ао = а + о =a4-i =i =о.	(V6)
Инвалютивность (IX) операции «черта* позволяет далее установить послед-
нее из основных свойств отношения zd;
если a ZD 0. то а + 0 = i или 0 +"а = i, т. е. 0 zd а	(XXI)
(помимо (IX), здесь использованы коммутативность Б' сложения и дважды оп-
ределение (4а)). Из (IX) вытекает также идемпотентность (VI6) и ассоциативность
(Пб) умножения:
аа = а4-а=а = а	(VI б)
(здесь использована идемпотентность Б3 сложения) и
(аР) Y = a+P-Y=a + P+Y = (a + P)+y = a+(P+v) =
=а+Р+т=а-Р+т=а (Рт)	(и^)
(здесь работает ассоциативность Б J сложения). Наконец, из (IX) следует так-
же двойственное определению (2а) правило де Моргана (X16):
o$ = a + p = a + p,	(XI б)
откуда, в свою очередь, в силу того же соотношения (IX) вытекает возможность
(26) выразить сложение через умножение:
^J = a+|=a + p.	(7 26)
[Заметим, что из (IX) и (2а) следует также первая формула де Моргана:
ap = a+f==a + P	(XVIa)
— удивительно, как много плодов принесло скромное соотношение (IX)!] На-
конец, с помощью (IX) можно доказать и двойственное определению (4) предло-
жение (XVII6):
если oQfl, то fDa, т. е. Р4-а==р,
откуда Р + а="р = Р, т. е. Ра = Р или ар==Р	(XVII6)
(кроме (IX), здесь использованы (XXI), коммутативность Б2 умножения и оп-
ределения (4) и (2а)).
Очень важно заметить, что доказанные нами факты влекут за собой также
справедливость утверждения двойственного аксиоме Б*:
равенство ар = а, т. е. а + р = а равносильно а + р = а или а 4~ Р = а.
Но из последнего равенства следует, что a +~Р = i, т. е. что a + р = г, та-
ким образом,
ар = а равносильно аР = о	(7.11)
(здесь мы применяем аксиому Б^, определение (2а) и свойства (IX) и (Хб) опе-
рации «черта»). А это значит, что для задаваемой аксиомами Б{_4 алгебраи-
ческой структуры справедлив сформулированный на с. 45 п р и н ц и п двой-
ственности, поскольку для нее выполняются двойственные всем аксио-
мам предложения (ссылками на которые можно заменить ссылки на аксиомы при
выводе двойственного данной теореме предложения). Так, аксиоме Б{ двойствен
результат Б2, аксиоме Б2—тождество (Нб). аксиоме Б$ — тождество (VI6)
и аксиоме Б4 — результат (11).
В частности, мы можем считать доказанными предложения:
ас Р равносильно аР = о	(7.46»
(двойственно определению (4а)); aP cz а (двойственно (XVIa));	(XVI6)
если а сс р, то ay cz ру (двойственно (ХХа)) и	(ХХб>
если a cz Р и а с у, то a cz Ру 58	(XIX6)
(двойственно (XIХа)). Отношения (XIX6) и (XVI6) совместно можно записать
так:
оф = min [а 0].	’ (XVIII6)
Теперь уже нетрудно доказать тождества Б5 и Бв. В самом деле4
Бь : так как а + i « ц т. е. а + (Г = ц то а + о = а
(см. (Va). (Хб) и Б4) и
Бв : так как а + о = а или а +7 = а*, то а + i = а = а, т. е. ai = а
(см. Б6 (Хб), (1) и (IX); впрочем, принцип двойственности позволяет вовсе не
доказывать тождество Бв, двойственное Бб).
Более, сложно, — но на этой стадии также уже доступно, — доказательство
дистрибутивных законов Ба и Б4. Заметим прежде всего, что из доказанного
до сих пор почти немедленно следуют законы поглощения (VII):
так как оф <z а, го а + оф = а	(Vila)
(см. (XIV6) и (4)); аналогично
так как а + 0 ID а, то а (а + 0) = а	(VI16)
(см. (XVla) и (XVI16); впрочем, (VI16) двойственно (Vila) и его можно не дока-
зывать).
Менее очевидно нужное нам для дальнейшего тождество
а (а + 0) = оф,	(7.12)
которое в силу Б8 можно считать частным случаем правила Б3. Для того чтобы*
его доказать, заметим прежде всего, что в силу правила де Моргана (Х1а) и
тождества (IX)
а + 0= а+ф = а0;
поэтому, если обозначить левую часть (12) через 5. то будем иметь
£ = а(а + 0) = аоф.	(7.13)
Отсюда следует, что
^=a<p=(ap)ajU-.	(7.14)
Но в силу (11) из (14) следует
5= £0,
a £0 = [а (6Г+ 0)] 0 = а [0 (0 + £)] = оф
в силу правила поглощения (V116) (а также коммутативности и ассоциативности
умножения и коммутативности сложения), чем и завершается доказательст-
во (12).
Теперь мы уже можем перейти к основным правилам Б3 и Б4. Обозначим
а (0 + Y) в П и оф + ау = £.	(7.15)
Так как в силу (XVia) 0 + у зэ 0 иф + у зэ у, то согласно ДХХб)
а (0 + у) еэ а0 и а (0 + у) z> ау;	(7.16)
поэтому в силу (ХХа)
а (0 + у) зз а0 + ау, т. е. т) зэ	(7.17)
Сложнее доказывается обратное неравенство
bet,	(7-17*)
59
в силу (4а) равносильное
ПГ-О.	<7.18)
Но
С *=« а (Р + у) ар 4- ау — а (0 + у) а0 ау я а (₽ + ?) (а + Р) (а + V) =
“ (Р + У) 1а (а + Р)1 (а (а + У)1
согласно правилам де Моргана (XI), идемпотентности (VI6), коммутативности
Б2 и ассоциативности (Пб) умножения. А так как (см. (12))
а (а + Р) «= ар и а (а + у) в ау,
уО
*)С “ (В + У) (аР) (ау) а а (р 4- у) (Р у) = а [(Р + у) Р + у] ° ао «= о (7.18')
(здесь использованы, помимо коммутативности, ассоциативности и идемпотент-
ности умножения, правило де Моргана (Х1а) и соотношение Бв), чем и за*
вершается доказательство неравенства (17*). А из (17) и (17') в силу антисиммег»
ричности (XIV) отношения zd и вытекает дистрибутивный закон:
я т. е. а (Р + у) •=» ар + ау.
Наконец, второй дистрибутивный закон Б4 двойствен Б, и, следователь-
но, может быть выведен из Б9 по принципу двойственности (см. также ниже
упр. 16)).
Итак, мы убедились, что система аксиом Б{_4 равносильна аксиомати-
ке B^g, а тем самым и исходной аксиоматике (I—XX 1)1 ►
Но и система аксиом Б{_4 все еще не является самой экономной
из всех возможных! Эта, казалось бы, столь краткая аксиоматика
(всего 4 аксиомы!) не независима: например, аксиому Бз удается вы-
вести из остальных аксиом. При этом аксиому Б1 удобно переформули-
ровать так:
: равенство а + 0 = 6 + 6 при любом 6 G S равносильно ра-
венству а + Р = а.
Такая ее формулировка избавляет нас от необходимости с самого
начала фиксировать в множестве SB «особый» элемент i, который те-
перь можно определить так:
1 = 6 + 6, где 6 g SB — любое	(7.19)
(из аксиом Б!, Бг и Bi можно вывести, что при любом 6 суммы (19)
совпадают между собой). Но даже и аксиоматику из трех предложений
Б!, Бг и Б< можно «укоротить», заменив требования Б! коммутатив-
ности и Бг ассоциативности сложения одной «смешанной» аксиомой
Бьг, так что булеву структуру можно задавать и как структуру (1'6),
удовлетворяющую всего двум аксиомам (безусловный рекорд!):
Б'1,2 : (а + 0) + у = (₽ + Y) + а
(инвариантность «повторного сложения» относительно циклической
подстановки: (а, 0, у) -> (0, у» а)) и
Б;:а + р = 6 + 6 равносильно а + 0 = а
60
(разумеется, фигурирующие в аксиомах элементы а, 0, у, 6 £ 39 со-
вершенно произвольны, — ив частности а, + Р = 6 4- 6 при л ю-
б о м 6 £ 39 равносильно а 4- Р = а). При этом, определяя булеву
структуру как структуру (Гб), мы, конечно, как всегда, дополнитель-
но вводим в ней бинарную операцию умножения элементов, (бинарное)
отношение зэ и особые элементы о и i формулами:
а₽ = а	(7.2a)
а з Р равносильно а + 0 = а;	(7.4)
t = 6 + 6 (где Of® — любое);	(7.9)
о = и	(7.3)
Вот еще один вариант задания булевой структуры тремя аксиомами,
пожалуй, даже более простыми, чем аксиомы Б[, Б£ и BJ:
Булевой структурой называется структура (1'6), подчиняющаяся
следующим аксиомам:
Б[ : сложение коммутативно — для любых элементов а, 0 € ЗЭ
а 4- 0 = Р 4- а;
Б£ : сложение ассоциативно — для любых элементов а, 0, у С $
(а + 0) + у = а + (0 + у);
Б'э : дляк любых двух элементов а, 0 £33}
а 4- 0 + а 4- 0 = а.
Можно также предложить такие системы аксиом булевой струк-
туры, в которых фигурирует лишь единствен но е исходное от-
ношение элементов (единственная операция булевой структуры).
Так, часто оказывается полезным то обстоятельство^ что все операции
булевой структуры могут быть определены с помощью бинарной
операции
а |0 = ар,	(7.20a)
так называемой операции Шеффера1 Если элементы основного мно-
жества 33 булевой структуры — это множества Л, В, С, для ко-
торых операции сложения Л 4- В, умножения АВ и дополнения Л
определены, как в § 1—2, то операция Шеффера Л |В .имеет смысл
пересечения дополнений множеств А и В (рис. 27, а).
Операция Шеффера, очевидно, коммутативна:
а|0 = Ма
1 Генри Морис Ш е ф ф е р — американский логик начала XX в»
61
для любых а, 0 £ Далее из аксиом бу*
левой структуры следует, что
(а 10) | (а |0)=(а 0)-(а 0) = (а + jj) (а + 0) =
= а+0;
(а|а)|(0 | 0) = (аа) (00) = а-| = а0;
(а | а) аа = а.
Таким образом, приняв за основу операцию
Шеффера а|Р, мы можем определить
а + Р, аР и а как (а|Р)|(а|Р), (а|а) [ (р|р) и
а|а; далее, элементы i и о и отношение а =>Р
определяются равенствами а + а = i, аа = о
и условием а + Р = а (или аР = Р). Ис-
пользуя эти определения, мы можем сформу-
лировать все аксиомы булевой структуры так,
чтобы в них фигурировала единственная опе-
рация — операция Шеффера а|р
Роль операции Шеффера может также
играть и другая бинарная операция
а|Р = а + Р	(7.206)
(в алгебре множеств операция А\В имеет смысл объединения допол-
нений множеств А и В\ рис 27, б) Легко видеть, что
(а | а) | (Р | Р) = (а а) + (Р + Р) = а + Р = а + Р;
(М Р) J (а J р) = а+Р+ а + Р = а^+а£ = аР;
а | а a+a=ai
поэтому операции а + р, аР и а можно определить в терминах опе-
рации а | Р
При использовании операции Шеффера, скажем, указанные на с. 61 акси-
омы Б{ Б2 Бу, примут следующий вид!
Ш1:|(а|Р)|(а|Р)« (Р | а) | (Р | а);
Ш2:(1(а|Р)|1а|Р)]|т}|{[(а|Р)|(а|Р)]|т}в
- {а I ((0 I Y) I (Р I Y)J) I {а I [(0 | у) I (0 I т)]}i
Ш8: если а | а и А, р | р — В и
{[(Л | В) | (Л | B)J | [(Л | В) | (Л | В)]} | {[(Л | Р) | (Л | Р)] |[(Л | Р) | (Л | Р)]} - Г.
то Г | /' «= а.
62
Аксиомы Ш^з имеют довольно сложную
форму. Вместо них можно положить в основу
определения булевой структуры три более прос-
тые аксиомы, также оперирующие с единствен-
ной операцией а| р (см. ниже упр. 4):
I (а | а) | (а | а) = а;
ш2 » а I IP I (Р I Р)] а а | а;
I (Р I V)11 1а | (Р I у)]«1(Р | В) | а] | ((у | у) I а].
Таким образом, булеву структуру можно оп-
ределить как систему
В = <#;|>
с одной бинарной алгебраической операци-
ей | подчиняющейся трем аксиомам Ш{ _я.
Иногда в основу определения алгебры Буля кладут единственную
тернарную операцию
{оф?} = а₽ + ру + уа = (а + ₽) (р + у) (у + а),	(7.21)
сопоставляющую новый элемент {аРу} с каждыми тремя элемента-
ми а, Р, у алгебры Буля (ср. Пример на с. 16). В алгебре множеств
{ЛВС} = АВ + ВС + СА представляет собой объединение попарных
пересечений множеств Д, В и С (рис. 28), или, что то же самое, пере-
сечение попарных объединений этих трех множеств.
Тернарная операция (21), очевидно, коммутативна но любым двум
входящим в нее элементам:
{аРу} = {аур} = {0ау} = {Руа} = {уар} = {ура}.	(7.22)
Далее, она облезет своеобразной дистрибутивностью:
{аР{у6е}} = {{офу} 6 {ctPe}}	.	(7.22а)
и (ослабленной) ассоциативностью:
{аР{ур6}} = {{ару}рб}.	(7.226)
Наконец, для нее имеет место закон, аналогичный идемпотентным
законам для сложения и умножения:
{аоф} = а.	(7.23a)
Операцию можно определить с помощью тернарной операции
{аРу} следующим условием, родственным идемпотентному закону
(23а):
{аар} = р.	(7.236)
Так как это условие симметрично относительно элементов а и а, то
из него, очевидно, следует
а = а.
63
Далее, если фиксировать в множестве элементов а, 0, у, для ко-
торых определена тернарная операция {«РтЬ «особый» элемент i
и положить । = о, то можно будет определить и основные (бинарные)
операции алгебры Буля через тернарную операцию {а0у}:
а) а + р =• {api}, б) а0 = (аро).
При этом в силу (24)
а + о = {aoi} = {at i} = а и ai = {аю} = {an} = a; $
a + i = {an} = i и ao = {aoo} = o.
Определения (236) и (24a, б) позволяют сформулировать все аксиомы
алгебры Буля таким образом, чтобы в них участвовала лишь тернар-
ная операция {а0у}.
Существуют и многие другие способы аксиоматического определе-
ния алгебры Буля; двух из них мы еще коснемся ниже (см. § 8—9).
Упражнения. 7.1. Выведите непосредственно из аксиом	не обра-
щаясь к принципу двойственности:
а)	двойственное (12) равенство a 4- оф a a + 0‘»
б)	второй дистрибутивный закон a + 0? — (а + 0) (а + у).
7.2.	Составьте равносильный первоначальному набору аксиом (а значит,
и аксиомам (I)—(XXI) ) список аксиом, двойственный:
а)	аксиомам Б(.4;
б)	аксиомам Б Б£, BJ;
в)	аксиомам Б£ 2, Б4;
г)	аксиомам Б{, Б2, Б£,.
7.3.	Запищите аксиомы Б{, BJ, Б£, используя единственную операцию I .
7.4.	Проверьте равенства подставив в них вместо операции | ее оп-
ределение (20а).
7.5.	Проверьте тождества (22); (23); (24)
7.6.	Выразите
а)	операцию | через операцию I и наоборот;
б)	операцию | через операцию { } и наоборот.
8. БУЛЕВЫ СТРУКТУРЫ И РЕШЕТКИ;
КОНЕЧНЫЕ БУЛЕВЫ СТРУКТУРЫ
Выше мы уже встречались с понятием решетки — математиче-
ской структуры
L = <£; =э >	(8 1)
с одним (бинарным) отношением гэ между элементами основного мно-
жества X, являющимся отношением (частичного) порядка, т. е. удов-
летворяющим аксиомам:
₽! : X г? А для всех k £ X
64
(рефлексивность отношения id);
Р2 : если XzdphjizdX, тоХ = р
(антисимметричность)*,
Р3: если X zd ц и р id v, то 1 id v
(транзитивность). Впоследствии вместо X zd ц мы иногда будем пи-
сать р czX; мы также будем применять привычную для отношений по-
рядка терминологию, говоря о «неравенствах», употребляя термины
«больше» и «меньше», «максимум» и «минимум» и т. д.
Чтобы структура (1) являлась решеткой, необходимо выполнение
для нее наряду с аксиомами Р1-3 еще одного дополнительного ус-
ловия:
Р4 : для каждых X, р f 2 существует их (строгий) максимум
max [X, р] и (строгий) минимум min IX, pl, где строгий максимум (точ-
ная верхняя грань) и строгий минимум (точная нижняя грань) опре-
деляются описанными на с. 26 условиями:
Частично упорядоченные структуры принято изображать графиче-
скими схемами, подобными рис. 17, где элементы а и 0, такие, что а =эр,
изображаются (соединенными между собой) точками, причем точка а
лежит выше 0; такие схемы называются диаграммами Гессе1. При
этом диаграмма Гессе решетки характеризуется тем, что для каждых
двух ее вершин X и р существует ровно одна ближайшая к ним и не
более низкая, чем X и р, вершина р = max IX, р] и одна ближайшая
к X и р не высшая, чем они, вершина о = min (X, pl (см. рис. 17 или
рис. 29 — 32). Разумеется, (абстрактно заданное аксиомами, Pj_4)
отношение id само по себе никак не связано с отношением включения
для множеств или с отношением a zd 0 элементов булевой структуры
(которое можно определить, например, равенствами а + 0 = а или
а0 = 0, а в нашем множестве X пока нет никакого сложения или
умножения!). Однако выполнимость в кажой булевой структуре пра-
вил (ХП)—(XIV) и (XVIII) доказывает, что каждая булева структу-
ра по существующему в ней отношению zd представляет собой ре-
шетку.
Итак, от понятия булевой структуры легко перейти к понятию
решетки; интересно, однако, что и многие решетки могут быть сведе-
ны к булевым структурам. Чтобы доказать это пока еще достаточно не-
определенное утверждение (что такое «многие»? и что такое «могут быть
сведены»?), нам придется подробнее остановиться на общих свойствах
решеток
Аксиома Р4 постулирует существование в каждой решетке двух
бинарных операций max и min:
(X, р) -> р = max |Х, р] и (X, р) —> о = min IX, р|.	(8.2)
1 Отто Гессе (1811 — 1874) — известный немецкий математик,
3 Зак. 1518
65
Исходя из свойств (XVIII) булевой структуры, мы условимся назы-
вать эти операции («решетчатыми») сложением и умножением, в со-
ответствии с чем введем следующие обозначения:
max IX, pl = X 4- р и min [X, р] = Хр	(8.2х)
(разумеется, (2')— это даже не определение, а просто введение новой
терминологии и символики для имевшихся ранее понятий).
Докажем теперь основные свойства введенных операций: в каждой
решетке для любых X, р, v Q X
а) X + р = р + X и б) Хр = рХ	(I)
(коммутативность решетчатых сложения и умножения);
а) (X 4- р) + v = X + (р + v) и б) (Хр) v = X (pv)	(II)
(ассоциативность этих операций, позволяющая вместо фигурирую-
щих в равенствах (111) выражений писать просто X + р -J- v и Xpv
без скобок);
а) X + X = X и б) XX = X	(VI)
(идемпотентность);
а) X + Хр = X и б) X (X + р) = X	(VII)
(законы поглощения)
◄ В самом деле, равенства (I) и (VI) непосредственно следуют из
определений (2') решетчатого сложения и умножения. Почти столь
же очевидна и выполнимость равенств (II). Так как
л = (X + р) 4- v = max [max [X, р), v],
то, очевидно, л □ X и л □ р (ибо л о max [X, pj), а также л Zj \\
Последние три неравенства можно записать так:
л = Мах[Х, р, v]	(8.3а)
(ср. с введенными на с. 25 обозначениями). Но, более того, л — наи-
меньший из «максимумов» Max IX, р, v] элементов X, р и v, ибо,
если П □ X, П zd р и П d v, то П zd max [X, р] (в силу самого оп-
ределения строгого максимума) и П zd v, т. е. (снова в силу определе-
ния понятия max)
П о max (max IX, р], v] = л.
Поэтому л — «наименьший максимум» для X, р и v или «наименьший
из больших и X, и р, и v элементов», т. е. «строгий» максимум X, р
и v, что естественно записать так:
л = max IX, р, v]	(8.4а)
(ср. с. 97). Точно так же доказывается: если = X 4- (р + v) =
= max (X, max Ip, vj], то
Л] = max IX, p, v] = л,
66
чем и устанавливается равенство (Па) Совершенно аналогично дока-
вывается и равенство (116), вытекающее из того, что в естественных
обозначениях
(Ху) v — X (pv) = min IX, у, vj.	(8.46)
Наконец,
а = X 4- Хр = max (X, min (X, pH,
откуда следует, что о zd X. Но так как X э X (рефлексивность Pj
отношения о!) и A. id min (X, р], то по определению операции max
имеем X id max [X, min (X, рП = а. А два неравенства о id X ц X id а
в силу антисимметричности Р2 влекут (Vila):
о = X.
Совершенно аналогично устанавливается и равенство (VI16) (см.
упр. 2). ►
Докажем еще несколько свойств решеток, касающихся связи от-
ношения id с (решетчатыми) сложением и умножением. А именно,
покажем, что в каждой решетке L для любых А, у, v £ Z
а) А + р d X и б) A id Хр;	(XVI)
X id р равносильно тому, что
(XVII)
а) А + р = X; б) Хр = р;
а)	если X id p и X zd v, то A d ц + v;
7	(XIX)
б)	если X ZD V и р ID V, ТО Хр ID V
и
если A zd р, то а) А +v d р + v; 6} Av id pv	(XX)
(согласованность отношения id с решетчатыми сложением и умноже-
нием).
Ясно, что правила (XVI), (XVII) и (XIX) непосредственно вы-
текают из определений (2') (в частности, предложения (XIX) суть опре-
деления строгого максимума и минимума). А из (XVII) сразу следует
и (XX): в самом деле,
если A id р, то А + р = А и (X + v) + (р + v) = (А + р) + (v +
+ v) = (А + р) + v = А + v, т. е. А + v гэ р + v;
совершенно так же из (XVI16) выводится (ХХб) (здесь использу-
ется коммутативность, ассоциативность и идемпотентность решетча-
тых сложения и умножения). ►
Предложения (XVII) позволяют, считая заданными операции ре-
шетчатого сложения и умножения, с их помощью ввести отношение
3*	67
порядка zd. А это, в свою очередь, приводит к (эквивалентному исход-
ному) определению решетки как алгебраической структуры
L= <2; +, • >	(8-1')
о двумя бинарными алгебраическими операциями + (сложение) и •
(умножение), удовлетворяющими следующим восьми аксиомам:
Pi ,2 : а) X 4- р = р 4- X и б) Хр = рХ
(коммутативность)',
Рз,4 : а) (Л + р) + v = Л + (р + v) и б) (Хр) v = X (pv)
(ассоциативность);
Рб,б : а) X + X = X и б) XX = X
(идемпотентность);
Р?,8 • а) X Хр = X и б) X (X 4- р) = X
(законы поглощения*, см., впрочем, ниже упр. 4). [Ясно, что из «са-
модвойственного» характера определяющих решетку аксиом следует
справедливость в теории решеток принципа двойственности, позво-
ляющего заменять во всех относящихся к решеткам формулах и пред-
ложениях сложение умножением и наоборот (ср. с. 18 или 45); при
этом в силу двойственности определений:
а)	если X zd р, то X 4- р = р;
к 1	11	(XV,0
б)	если X о: р, то Хр = X
отношение zd по принципу двойственности заменяется на cz.J
4 В самом деле, мы видели выше, что в каждой решетке при опре-
делениях (2') выполняются все правила PJ_8 С другой стороны,
пусть мы имеем структуру (Г), удовлетворяющую аксиомам Р(_8;
введем в ней отношение zd условием
Хор равносильно равенству X 4- р = X.	(XVIIа)
Заметим прежде всего, что (XVI 1а) эквивалентно определению!
X о р равносильно равенству Хр = р	(XVI16)
Действительно, пусть X о р в смысле определения (XVI 1а); тогда
В СИЛУ Р8 И Р|,2
р = р (р,4- X) = рХ =*Хр.	(8.5а)
Обратно, если выполняется (5а), то
X = X 4- Хр = X 4- р,	(8.56)
что и устанавливает эквивалентность равенств (5а) и (56).
Далее, рефлексивность X zd > введенного согласно (XVII а) от*
ношения о следует из идемпотентности сложения; транзитивность
6Ъ
этого отношения вытекает из ассоциативности сложения, а антисим-
метричность — из коммутативности^ сложения (ср. с. 42). Наконец,
равенство
X + р = max [X, р]	(XVla)
базируется на законах поглощения:
из X (X + р) = X следует X cz X 4- р или * 4- п тэ X
(см. (XVI16)); аналогично убеждаемся в том, что л + рзэр, так что
X + р = Max IX, pj.	(8.6)
Пусть теперь
М = Max IX, рJ, т. е. М zd X и М zd р, или М + X = М 4- р =М. (8.7)
Тогда
М + (X + р) = (М + X) + р = М + р = М,	(8.7')
откуда вытекает, что
М => X + р.	(8.8)
Из (6), (7) и (8) следует, что
X + р = max [X, pj.	(XVla)
Аналогично устанавливается
Хр = min (X, pl	(XVI6)
(см. ниже упр. 3), чем и завершается проверка выполнимости в си-
стеме (Г) всех аксиом Pi-4. ►
Единичным элементом (или «единицей») решетки называется ее
абсолютный максимум, т. е. такой элемент i, что
i X для всех X g X,	(XVa)
Аналогично нулевым элементом («нулем») решетки называется ее
абсолютный минимум — такой элемент о, что
ocz X для все X С Ж.	(XV6)
Разумеется, из одних лишь аксиом Pi— 4 еще вовсе не следует су-
ществование в решетке единичного или нулевого элемента. (Исключени-
ем являются лишь конечные решетки, для которых множество
X = {X, р, v, ..., I) конечно — здесь, очевидно,
i = X + р + ... + В (= max [X, р, ..., £]);
о = Хр ... £ (= min |Х, р, ..., £]),
откуда ясно, что 1 g X и о € Ж (почему?).] Так, например, в упоря-
доченном по обычному включению множестве всех конечных подмно-
жеств множества натуральных чисел (решетка!) существует абсолют-
ный минимум— пустое множество О, но не абсолютный максимум
69
(а в множестве всех коконечных — см. с. 49— подмножеств существу-
ет абсолютный максимум, но не абсолютный минимум). Множество всех
(положительных и неположительных) целых (или рациональных, или
вещественны^) чисел, упорядоченное обычным образом, или схемати-
чески изображенная на рис. 29 (бесконечная) решетка не имеет ни еди-
ничного, ни нулевого элемента. Но если для решетки (1) дополнительно
выполняется аксиома
Р5 : среди элементов решетки имеется как единичный элемент i,
так и нулевой элемент о,
то для этой решетки, очевидно,
а) X + о = X и б) Xi = X;	(IV)
а) X + i = i и б) Хо = о	(V)
для всех X £ Ж (правила (IV) и (V) следуют из (2') и (XV)).
Особое место среди решеток с нулем и единицей (решеток, удовлет-
воряющих аксиоме Рь) занимают так называемые «решетки с допол-
нениями». Решетка (1) называется решеткой с дополнениями, если,
помимо аксиом Рх_б, для нее выполняется также и аксиома
Рв: для каждого X £ X существует такое X £ X. что max [X, X] = i,
min [X, X] = о, или, что-то же самое,
а) X + X = I, б) XX = о.	(VIII)
Элемент X называется дополнением элемента X.
Разумеется, из одного лишь факта существования в решетке нуля
о и единицы i вовсе
не вытекает наличие дополнения у каждого эле-
мента: так, например, изображенная на диаграм-
ме Гессе (рис. 30) решетка не является решет-
кой с дополнениями (почему?); не являются ре-
шетками с дополнениями также решетки, состав-
ляющие содержание моделей 3 (где от числа N
не требуется, чтобы оно было «свободно от квад-
ратов») и 4 из § 10. Далее, из выполнения ак-
сиомы Рв вовсе не следует единствен-
ность дополнения: так, изображенные на
рис. 31, а. б диаграммы Гессе отвечают решет-
кам с дополнениями, но на рис. 31,а X = v и
р = v, а на рис. 31,6 л = а и р = а; л = р
и о = р; р = л и о = л. Эти же примеры пока-
зывают, что известное нам из теории булевых
структур утверждение
если X zd р, то р эХ,	(XXI)
70
Рис. 30
Рис. 31
вообще говоря, не обязано выполняться для решеток с дополне-
ниями (почему?). Однако в силу (IV) и (V) дополнения элементов i
и о всегда единственны:
a) i = о и б) о = и	(X)
Нетрудно видеть, что во всякой решетке — с нулем и единицей
или без них — выполняется родственное дистрибутивному закону (П1а)
неравенство
X (р + v) zd Хр + Xv	(8.9)
<ср. также упр. 5 ниже).
«4 В самом деле в силу (XVIа) и (XI Хб)
X (р 4- v) zd Хр и X (р + v) = X (v + р) zd Xv,
откуда (см. (XIХа) и (Via))
X (р + v) = X (р 4- v) 4- X (р 4- v) zd X (р 4- v) 4- Хр =
= Хр 4- X (р + v) zd Хр + Xv. ►
Однако равенство (дистрибутивный закон)
X (р 4- v) = Хр 4- Xv	(HIа)
в*решетке может и не выполняться. Так, например, в ситуации
рис. 31, а
X (р 4- v) = Xi = X, а Хр 4- Xv = р 4- о = р,
а для изображенной на рис. 31, б решетки
л (р 4- а) =	= л, а лр + ла = о 4- о = о.
71
।	Если же в решетке имеет место дистрибутивный закон
$ д	(Ша), т. е. выполняется аксиома1
3 < *
Р7 : X (р 4- v) = Хр 4- Xv для любых X, р, v f Ж,
2
7Ф то решетка называется дистрибутивной. Так, например,
дистрибутивной является, скажем, решетка (не имеющая
°"	нуля и единицы) всех	целых чисел.	с естественным их
-7 о	упорядочением (рис. 32;	заметьте, что	здесь «решетчатые»
сложение и умножение не имеют ничего общего с обычным
т	сложением и умножением чисел: мы	полагаем а ф Ь ==
•	= max [a, b] и а ® b =	min [а, Ь] ). В	самом деле, легко
Рис. 32 видеть, что
{а, если а С b или а с,
max [6, с], если а > b и а > с
и также
(a®b)®(a®c} max fmin fa, b], -min [a, c]]=>
_ а, если a b или a c,
max [b. с], если a b и a c.
Докажем теперь, что во всякой дистрибутивнойрешетке выполня-
ется второй дистрибутивный закон:
(X + pv = (X + р) (X + v).	(II16
<< Пусть аксиома Р7 выполняется, т. е. имеют место обычные пра-
вила раскрытия скобок. Тогда, в силу ассоциативности сложения и
законов поглощения (VII),
(X + р) (X + v) = (X + р)Х + (X + p)v = X + ЦХ 4~ p)vj =
= (X + Xv) + pv = X + pv ►.
Наконец, заметим, что в дистрибутивной решетке с дополнения-
ми дополнение X элемента X всегда единственно — ведь приведенное
на с. 42 доказательство этого же утверждения для булевой струк-
туры опирается лишь на (выполняющиеся для дистрибутивных "реше-
ток с дополнениями!) коммутативность (16) умножения, свойства (IV)
элементов i и о и дистрибутивность (111а) (а также, разумеется, на
определение (VIII) дополнения). А отсюда и из симметричности опре-
1 Ясно, что вместо выполнения равенства (111а) можно было бы потребо-
вать выполнения противоположного (9) неравенства Л (р -f- v)cz Хр -J- Xv, из
которого, совместно с (9), следует (И 1а).
72
деляющих дополнение равенств (VIII) уже следует, что операция взя-
тия дополнения инволютивна:
X = А для всех X £ Ж.	(IX)
Далее, правила де Моргана
а) X + р = Хр и б) Хр = X + р	(XI)
также выполняются для таких решеток. ◄Действительно, в силу
ассоциативности сложения и умножения, свойств о и i и дистрибут-
ивных законов (III)
(X + р) + X р = i и (X + р) (X р)= о
(ср. с. 43) — откуда и вытекает правило (Х1а). [Правило (X16) может
быть выведено из (Х1а) и (IX) — см. с. 43.] ►
Наконец, из единственности дополнения, определений (XVII) от-
ношения и правил де Моргана (XI) вытекает соотношение (XXI)
(см. с. 42).
Ясно, что аксиомы Рх_7 выполняются в любой булевой структуре,
т. е. что булева структура по присущему ей отношению id является
дистрибутивной решеткой с дополнениями. Но и обратно, как мы ви-
дели, для каждой дистрибутивной решетки с дополнениями выполня-
ются все основные свойства (аксиомы) булевой структуры, так что каж-
дая дистрибутивная решетка с дополнениями одновременно является
и булевой структурой, в которой «булевы» сложение и умножение оп-
ределяются равенствами (2'). Таким образом, аксиомы Рх_? дистри-
бутивной решетки с дополнениями можно рассматривать как еще один
вариант аксиоматики булевой структуры.
Связь булевых структур с решетками может быть использована
для исчерпывающего описания конечных булевых структур,
т. е. таких структур В =	+ , • , id > , для которых множество
® является конечным. Для того чтобы разобраться в том, как могут
быть устроены такие булевы структуры, нам понадобятся некоторые
новые понятия.
Условимся называть атомами решетки L = <Ж;гэ> с нулевым
элементом о ее «элементы 1-го яруса», если считать, что «нулевой ярус»
решетки составляет ее абсолютный минимум о; другими словами,
атомы — это элементы, старшие одного лишь элемента о:
а — атом, если а=#=оиизаг>Р следует Р = а или Р = о. (8.10)
[Это определение никак не фиксирует, существует ли в решетке L га.к-
же и единичный элемент i; является ли L решеткой с дополнениями;
является ли она дистрибутивной или нет.] Так, например, атомами ре-
шетки (даже булевой структуры) подмножеств какого-либо универ-
сального множества / = {х, у. г. ...} являются ею од н о э л ем е н т-
73
н ы е подмножества {х}, {у}, {z}t ... и т. д. (см. рис. 17, который
здесь, безусловно, уместно вспомнить: на этом рисунке атомы — это
множества AL = {а^}, Ла> Аз и Л4).
Единственным атомом решетки натуральных чисел о обычным от-
ношением порядка (ср. с рис. 32) служит число 2 (нулем этой решетки
служит число /); атомами изображенных на рис. 30 и 31, а, 6 решеток
являются соответственно элементы а, 0; р, v; л, р, а этих решеток. При
этом, вообще говоря, решетка может и вовсе не иметь атомов —
не имеют, разумеется, атомов изображенные на рис. 29 и 32 решетки
(у них нет нулевого элемента о); не имеет их также, например, решетка
всех вещественных чисел х, где 0 х 1, с естественным отноше-
нием порядка (нулем и единицей этой решетки служат числа 0 и I).
Однако если решетка имеет атомы ап а2, а3, ..., то
а. а, = °°г ПРИ * для всех i, / = 1, 2, 3,...	(8.11)
|о при i =/= /
— ведь о^а,- ст. af и с а,, т. е. при i / произведение а/а? яв-
ляется элементом нулевого яруса, или нулем нашей решетки.
Пусть теперь a — атом решетки L; тогда про элемент X zd а этой
решетки мы будем говорить, что он произрастает из атома а, а атом a
назовем корнем элемента X. Так, например, все ненулевые элементы
изображенной на рис. 17 решетки произрастают из ее атомов Л2,
А з, Д4; вся (кроме нулевого элемента /) решетка натуральных чисел
произрастает из единственного атома 2; решетки рис. 30 и 31, а, б про-
израстают (в том же смысле) из множества атомов решетки, состоя-
щего из двух и из трех элементов. Эта ситуация является достаточно
типичной; она обусловливает следующее
Определение. Решетка L = <<2; о > называется атомар-
ной, если все ее ненулевые элементы имеют корни среди атомов этой
решетки (если вся решетка произрастает из множества своих «атомов»
в том смысле, в каком мы употребляли это выражение выше).
Так, схематически изображенные на рис. 17, 30, 31, а, б решетки
все являются атомарными. Это обстоятельство отнюдь не является
частным — оно является следствием следующего несложного факта:
Каждая конечная решетка (решетка L = <<S?,zd>, где множество
X конечно) с нулевым элементом о является атомарной.
◄ В самом деле, пусть X g X—произвольный ненулевой элемёнт
решетки. Если X — атом, то ов является своим собственным корнем;
пусть теперь X — не атом, т. е. существует такой элемент Хг, что
Х4 cz X, Xj =/= X и Х4 =/= о.	(8.12)
Введем временно (только для доказательства этого утверждения) от-
ношение > между элементами решетки:
X > р, если X id р и X Ф р;
это отношение очевидно,	__
74
антирефлексивно: ни для одного 1 £ Ж не имеет место отношение
X <Х;
антисимметрично (в строгом смысле): нет таких X, р gS5,
что X > р и р > X;
транзитивно: если К > р и р > v, то X > v.
Из (12) следует
X > Xj (и X, Хг =/= о).	(8.13а)
Точно так же, если — не атом, то существует Х2 С Ж, где
Ха > Х2 (и Х2 =/= о);	(8.136)
если Х2 — не атом, то существует А3 f Ж, где
Х2 Х3 (и Х3 =/= о)	(8.1 Зв)
и т. д. Таким образом, мы приходим к последовательности «строгих
неравенств» (13, а, б, в, ...), которые в силу транзитивности отноше-
ния > можно свести в одну цепочку:
X > Xi > Х2 > Х3 > ...(и все X, Х2, ^з» ...=/=о).	(8.14)
Но так как в силу антирефлексивности и транзитивности отношения
> все элементы цепочки (14) различны, «то в силу конечности числа
элементов Ж эта цепочка не может быть бесконечной; следовательно,
она кончается каким-либо атомом а — корнем элемента X, т. е. все
элементы решетки произрастают из ее корней. ►
Для дальнейшего нам будет полезна также
Лемма. Если атом а дистрибутивной решетки L является корнем
суммы Х2 + Х2 + ... 4-Хп, то из а произрастает хотя бы один из эле-
ментов А,п Х2, ...» Хп.
<4 В самом деле, пусть а не является корнем ни одного из элементов
Х2, ..., Хл, т. е. не имеет места ни одно из неравенств Xf id а или ни
одно из равенств аХ, = а, где i = 1, 2, ..., п. Но так как aXf с а, то
по определению атома	= о для всех и А отсюда в силу дистри-
бутивного закона Р7 имеем
a (Aq + А,2 + ... + Xn) = aAq + aX2 + ... + aXn = о + о + ... +
+ о = о
(ср упр. 13а)), что, однако, противоречит условию
Aq 4- А,2 4- ... 4- A,n = а (т. е. а (Х2 4" Х2 4~ ... 4- Xn) = aa = a) ►
Следствие. Пусть L — дистрибутивная решетка с допол-
нениями (т. е. булева структура — вот тут, наконец, мы переходим от
решеток к булевым структурам); тогда для любого элемента X и лю-
бого атома а выполняется одно и только одно из неравенств
Аэа и А за	(8.15)
75
(т. е. из а произрастает один, и только один, элемент из каж-
дой пары взаимно дополнительных элементов X, X)
«4 Так как Х+ X = i d а, то а является корнем суммыХ +Х, т. е.
в силу нашей леммы корнем хоть одного из элементов X и X. При этом
быть одновременно корнем и X и X атом а не может: если выполняются
оба неравенства (15), то в силу монотонности (ХХб) умножения
о = XX о Ха о аа = а,
что, однако, противоречит определению элемента о. ►
Рассмотрим теперь конечную (и, следовательно, атомарную) буле-
ву структуру В = <S3; +, •, “ о> (дистрибутивную решетку L ==
= <S3; с дополнениями); число k атомов ах, а2, ...» ак структу-
ры В мы назовем ее рангом, а множество А = {ах, а2, ..., aft) — кор-
невым множеством. Сопоставим каждому элементу If® множест-
во А\ = {а/,, а/„ ..., а/J тех атомов, которые являются корнями X:
Х-> Лк = {ач, а,„ а/Д.	(8.16)
Ясно, что (16) есть отображение S3-><4, где Л — множество всех
подмножеств множества 4; при этом, очевидно, 4V = А —это все
множество А (ибо i — абсолютный максимум решетки), а Ао = О,
где О — пустое множество.
Имеет место следующая основная
Теорема. Отображение (16) взаимно-однозначно; оно является
изоморфным отображением булевой структуры В на булеву структуру
А = <v4; +, о> всевозможных подмножеств множества Л
(где операции над множествами определяются, как в гл. 1).
4 Ясно, прежде всего, что (16) — это отображение S3 на Л. т. е. что
в каждое подмножество {а/р а/в, ..., а^} £ <А отображается хоть
один элемент из S3 — элемент
X = а/, + а/, + ... + а^.	(8.17)
В самом деле, разумеется, Хэ aie где t = 1, 2, ..., или q. С дру-
гой стороны, если X о а, где а £ 4, то сумма (17) произрастает из а,
откуда в силу Леммы следует, что а есть корень одного из элементов
aic Но если а =/= a/f, то это противоречит определению атома:
ведь если ах и а2 — два разных атома, то axa2 = о (см. (11)).
Далее, пусть X и р — два разных элемента структуры; пока-
жем, что Лк =# 4ц. Так как X =/= р и отношение о антисимметрично,
то никак не могут иметь места сразу оба отношения Хор.,и роХ; пусть,
например, не выполняется первое из них. В таком случае Хр, о (ибо
равенство Хр = о равносильно отношению Хор — см. с. 41). Так
76
как наша структура атомарна, то элемент Хр произрастает из некото-
рого корня а, т. е. Хр zd а. Но из неравенств
X Хр zd а и р D Хр □ а
следует, что а есть корень элемента р (т. е. а £ Яц) и а есть корень X,
т. е. а — не корень X (см. следствие выше); таким образом, а & А ь.
Поэтому при X р также и Лх =# Лц, т. е. отображение (16) взаимно-
однозначно.
Теперь мы можем записать (16) в виде явной формулы:
Лх =	»z2, ...» a,Q}	+ ... +	= X.	(8.16')
Из (16') прежде всего вытекает, что
если Лх id Л|х» то X zd р	,
(где отношение Лх id Ли понимается в смысле алгебры множеств—
см. гл. 1, 'а отношение X zp р понимается в смысле структуры В);
отсюда в силу взаимооднозначное™ отображения (16') следует рав-
носильность отношений Лх id Ли и X zd р. Далее,
если Лх = Лц + Лу, то X = р + v.	(8.18а)
Затем из идемпотентного закона (VI6), равенства (11) (где положено
i =£ j) и формулы (16') получаем:
если Лх = {«/„ att, •••»	+ а,р = Х
и Лц = {аА, а/г, ..., а/<?} —	4- аА + ... + a/q = р,
то Лх Лц <-» (а, + ... + aip) (aJt + ... + ajq) = Хр.	(8.186)
Наконец, гак как, очевидно,
+ а2 + ... + (x>k = i	(8.19)
(ибо, как мы знаем, Л <-* i в силу отображения (16)), то
если Лх = Лц, то Хр = о
и X + р = aj + а2 + ... + ал = I, т. е. р = X.	(8.18в)
Предложения (18a—-в) и устанавливают, что отображение (16) —
это изоморфизм. ►
Итак, мы доказали, что каждая (конечная) булева структура ВА
ранга k изоморфна алгебре Аа подмножеств (конечного) ^-элементного
множества; поэтому число ее элементов (называемое также порядком,
структуры) равно 2* (см. упр. 1 ниже). Таким образом, порядок про-
извольной конечной булевой структуры обязательно является целой
степенью двойки. При этом ранг (или порядок) конечной булевой
структуры полностью эту структуру характеризует, подобно тому как,
скажем, конечномерное векторное пространство полностью характе-
77
ризуется своей размерностью: структура ранга k или порядка 2* изо-
морфна алгебре подмножеств ^-элементного множества1.
Ясно, что 2* элементов конечной структуры ранга k можно раз-
бить на k + 1 «ярусов», где /-й ярус образуют элементы структуры,
отвечающие /-элементным подмножествам fe-элементного множества
4; при этом 0-й и fe-й ярусы состоят из единственного элемента о и i
соответственно, а /-й ярус содержит С* ( = k\/[i\ (k — /)!]) элементов
булевой структуры (ср. рис. 17). При этом отношение zd может связы-
вать лишь (различные) элементы разных ярусов, причем «большими»
оказываются элементы старшего по номеру яруса; легко также видеть,
что каждый элемент f-го яруса «больше» / (и только /) элементов (/ — 1)-
го яруса и «меньше» k — / (и только k — i) элементов (/ + 1)-го яру-
са. Однако эта наглядность и простота строения конечных булевых
структур не переносится на случай бесконечных булевых струк-
тур. Правда, одна из основных теорем общей теории булевых структур
(теорема Стоуна; см. упр. 9.11 или, например, [2.19, 2.23,
3.1]) утверждает возможность реализации каждой булевой структуры
в виде системы подмножеств некоторого универсального множества I.
[Разумеется, эта система подмножеств должна образовывать так
называемое поле множеств, т. е. включать универсальное множество /
и пустое множество О, и быть замкнутой относительно операций +
(объединение множеств), • (пересечение) и — (образованиедополнения
множества).]
Однако, как нетрудно понять, (конечная или бесконечная) булева
структура В в том и только в том случае изоморфна структуре всех
подмножеств универсального множества /, если она является атомар-
ной, что в силу существования неатомарных (бесконечных) булевых
структур порождает определенную сложность классификации беско-
нечных структур.
Основная теорема об отображении (16') кажется специфически «булевой»
и далекой от всех привычных нам арифметических и алгебраических фактов и
теорем; однако на самом деле она имеет глубокие (и, как мы увидйм далее, неслу-
чайные) аналогии в обычной арифметике. Условимся, прежде всего, называть
элемент Л булевой структуры аддитивно составным, если он разбивается на сум-
му двух отличных от X (и следовательно, «существенно меньших» X, т. е. меньших
X и отличных от X) слагаемых:
X = р + v, где р, #= X и v X	(8.20)
и (аддитивно) простым, если единственное разложение X в сумму различных сла-
гаемых имеет вид
X = X + о или X = о + X.	(8.21).
1 Вот тут нам приходится считать, что пустое множество содержит един-
ственное подмножество (одновременно — универсальное и пустое: ср. со снос-
кой на с. 38) — случай пустого множества А приводит к 1-элементной струк-
туре ранга 0 и порядка 2° = 1.
78
[Ясно, что в булевой «арифметике без степеней и коэффициентов» не имеет смыс-
ла рассматривать разложение элементов на сумму одинаковых слагаемых и их
разложение в произведение одинаковых множителей.] Простые элементы буле-
вой структуры — это, очевидно, лишь ее атомы. В самом деле, из разложения
X = ц + v в силу (XVla) вытекает, что к о р и X zd v; поэтому, если к есть атом,
то возможны лишь значения р = X, о и v = к, о. С другой стороны, если к — не
атом, то существует элемент р с-Х, где р =/= к и р =/= 0; при этом за v можно при-
нять «прямую разность» к — р элементов к и р (см. с. 39) — тогда и v к.
Полученные выше результаты позволяют утверждать, что справедлива сле-
дующая
Теорема об однозначности разбиения на слагае-
мые. Каждая конечная булева структура В обладает конечным набором адди-
тивно простых элементов (атомов) аь а2, ... а&; при этом любой элемент струк-
туры однозначно (с точностью до порядка слагаемых) разбивается на сумму
простых слагаемых:
(X = aii4-aJs+...4-ait	(8.22а)
которая при к a о может и не содержать ни о д н о г о слагаемого).
Обратимся теперь к (присущему каждой булевой структуре) принципу двой-
ственности (см. с. 45). В силу этого принципа аддитивно простым элементам
(атомам) отвечают мультипликативно простые элементы булевой структуры, та-
кие, что единственно возможным разложением Л в произведение различных мно-
жителей является разложение
X = XI = Л;	(8.22б>
все же другие элементы, для которых возможно разложение
к «= |xv, где р, v =/= X,
мы назовем (мультипликативно) составными. (В силу близости этой терминоло-
гии к принятой в элементарной арифметике, в дальнейшем прилагательное «муль-
типликативный» мы будем, как правило, опускать.] При этом справедлива сле-
дующая основная
Теорема об единственности разложения на прос-
тые множители. Каждая конечная булева структура обладает конечным
набором (мультипликативно) простых элементов 0lt 02, ..., 0ft- причем любой
элемент к структуры однозначно (с точностью до порядка сомножителей) разла-
гается в произведение
* = (8 22в>
простых множителей (при этом в разложения включаются «разложение» i = t
единичного элемента структуры, вовсе не имеющего простых множителей, и раз-
ложение о = Р1₽2 ... ₽Л).
Эта теорема родственна известной теореме об единственности разложения
каждого натурального числа в произведение простых множителей, в силу свое-
го значения ранее зачастую именовавшейся «основной теоремой арифметики»
(об этой теореме см., например, [6] ). На причинах, порождающих это сходство,
мы остановимся ниже (см. с. 95).
Упражнения. 8.1. Докажите, что общее число подмножеств ^-элементного
множества / (включая сюда как пустое множество, так и все множество /) рав-
но 2*.
8.2.	Докажите свойство (VI16) решетчатых сложения и умножения.
8.3.	Выведите из аксиом Р{_8 равенство (XVI6) (с. 69).
8.4.	Докажите, что идемпотентные законы Pg>6 могут быть выведены из ак-
сиом Р{_4 и Р,_8,такчто в приведенной на с. 6& аксиоматике можно оставить
лишь последние 6 аксиом, причем эти аксиомы являются уже независимыми.
79
8.5.	Докажите, что
а)	для каждой решетки L а <S&\ ZD > и любых А, р, v £ SB
X + HV С (X 4- ц) (X + V);
б)	решетка L дистрибутивна тогда и только тогда, когда
(X + |iv zd (А + ц) (X + v) для любых A, v £ Z
8.6.	Докажите, что
а)	для каждой решетки L e <Z\ зэ> и любых А, ц, v, л £ Z
(к 4- ц) (V + л) ZD (Av + цл);
б)	для каждой решетки L и любых А, р,, v £ Z
(А ц) (р4“ v) (v4-A) ZD Ap4'P(V4'
в)	решетка L дистрибутивна тогда и только тогдв, когда
(А 4-р) (p4-v) (v4- A) — Ap4-pv4-vA
ср. с примером на с. 16).
8.7.	Докажите, что решетка L = <5?; Э > в том и только в том случае
является дистрибутивной, если L не содержи! «подрешетки» L1 = <<^1; Z) >
(где <2/1 С 5? и отношение 2D переносится на множество Zi с объемлющего его
множества Z), изоморфной решетке рис. 31, а или решетке рис. 31, 6.
8.8.	Докажите, что если каждая подструктура < ZD > решетки
L = < Z; 2D > (здесь «2,0^ и «порядок» Z) Перенесен на с Z) является
ее подрешеткой, то отношение 2D устанавливает на Z «полный» (или линейный)
порядок.
8.9	Докажите, что
а)для каждой решетки L = <Z\ ZD> из Aov следует А (р4- v) Э (Ар) -f- v;
б)	решетка L = <<2/; ZD > дистрибутивна тогда и только тогда, когда для
любых A,p,,v6# имеет место неравенство 'A’U4-vО X (u4-v) (в силу а) об-
ращающееся в равенство в случае X 2D vk
8.10. Решетка L а <Z\ ZD> называется модулярной, если в ней
из А □ v следует (Ар) 4“ v e А (р + v).
Докажите, что
а)	решетка рис. 31, б является не дистрибутивной, но модулярной;
б)	решетка рис. 31, а не является модулярной;
в)	решетка L = <<£?; zd> в том и только в том случае не является моду-
лярной, если она содержит подрешетку, изоморфную решетке рис 31, а.
(В силу упр. 5 всякая дистрибутивная решетка является, модулярной, так
что условие модулярности слабее условия дистрибутивности.]
8.1L Сколько булевых подструктур имеет
а)	конечная булева структура порядка 16 (см. рис. 17);
б)	конечная булева структура ранга k?
8.12.	Докажите, что атомарная булева структура конечна тогда и только
тогда, когда число ее атомов конечно	• •
8.13.	Перечислите (мультипликативно) простые элементы конечной буле-
вой структуры	
а)	порядка |б (см. рйс. 17);
б)	ранга k (задайте эти элементы их разложением (16')).
80
8.14.	Докажите теорему о единственности разложения на простые множите-
ли, не обращаясь к принципу двойственности
8.15.	Приведите пример
а)	атомарной булевой структуры с бесконечным (скажем, счетным) мно-
жеством атомов;
б)	неатомарной булевой структуры.
8.16.	Докажите, что бесконечная булева структура всегда содержит беско-
нечное множество элементов, произведение каждых двух из которых равно ну-
левому элементу о.
9. БУЛЕВЫ СТРУКТУРЫ И КОЛЬЦА. ИДЕАЛЫ И ФАКТОР-СТРУКТУРЫ
Известно, что кольцом называется алгебраическая структура
К = <ЛС; +, • >,	(9.1)
задаваемая следующей системой аксиом: множество «9Г = {х, X, р, ...
...; о) по отношению к операции сложения образует коммутатив-
ную группу, т. е. выполняются условия:
Ki:x4-X=X4-x (коммутативность сложения);
К2 : (х + X) + р = х 4- (X + р) (ассоциативность сложения);
К3: х + о = х;
1<4 : для каждого х £ УС существует единственный элемент —х С
такой, что
X + (—х) = о
(о называется нулевым элементом кольца, а —х — элементом, проти-
воположным х). Далее выполняются условия 1
Kft : (хХ)р = х (Хр) (ассоциативность умножения);
Кв,6*: х (X + р) = хХ 4- хр; (х 4* Х)р = хр 4- Хр (дистрибутивность
сложения относительно умножения).
Кольцо К называется коммутативным, если дополнительно
выполняется аксиома
К7 : хХ = Хх (коммутативность умножения);
в этом случае, разумеется, из двух аксиом Кб,б' достаточно оставить
только одну. Наконец, кольцо К называется кольцом с единицей, или
унитальным кольцом, если существует такой элемент t £ Лс, что
Ke : Xi = IX = х (i есть единица кольца)
(см. .например, 13] или III, с. 82|; разумеется, во всех аксиомах элемен-
ты к, X, р £ УС произвольны).
1 В настоящее время в разряд колец часто включаются и неассоциативные
кольца, для которых не выполняется аксиома Кб; мы, однако, будем считать
все кольца ассоциативными.
81
Пусть теперь
В = <33; + ,	(9.2)
— булева структура и
а * Р = оф + оф	(9.3)
— симметрическая разность элементов аир (см. § 4 и с. 47). Пере-
числим свойства симметрической разности:
СРТ : а * Р = Р * а;
СР2 : (а * Р) * у = а * (Р * у);
СР3 : а * о = а;
СР4 : а * а = о;
СР5 : а (Р * у) = аР * ау.
Если прибавить к свойствам CPj_5 симметрической разности еще
известные свойства булева умножения:
(а₽)? = а(Рт);	(Пб)
ар = ра;	(16)
at = a,	(I V6)
то мы придем к выводу, что каждая булева структура В по Ътношению
к операциям симметрического вычитания * (см. (3)) и обычного (буле-
ва) умножения образует коммутативное унитальное кольцо
К = <$; *, . >	(9.4)
(ср. аксиомы Ki-е и равенства СР1-5, (Пб), (16) и (TV6)). При этом
из сопоставления К4 и СР4 вытекает, что в рассматриваемом кольце
каждый элемент сам себе противоположен;
СР4 : — a = а, т. е. 2a = о,
где противоположный (в «кольцевом» смысле) а элемент обозначен-
через —а, а через 2a, как обычно, обозначена (кольцевая) «сумма»
a * а.
Кольцо (4) обладает дополнительным важным свойстром идемпо-
тентности умножения;
К9 : а2 = а,
где через а2 обозначено произведение а • а (см. (VIб)). Вот еще неко-
торые факты, касающиеся булевой структуры (2) и порожденного ею
кольца (4):
82
а + р= а«Р* аР;	(9.5)
если а*Р = о, то р = а;	(9.6)
i * а = а;	(9.7)
если а * у = р * у, то а = р;	(9.8)
если а*Р=у, то а * у = Р,	(9.9)
откуда с учетом СРХ и (5) также следует, что
а * а = I.	(9.7')
Связь свойства К9 кольца К со свойствами булева умножения оп-
равдывает следующее наименование.
Кольцо (1), обладающее свойством К9, называется булевым коль-
цом. Таким образом, булево кольцо — это структура (1), для которой
выполнены аксиомы Ki—6,6' и К9.
Теорема. Каждое булево кольцо коммутативно — в нем вы-
полняется также и аксиома К7. Далее, в булевом кольце обратным для
любого элемента является сам этот элемент, т. е. это кольцо обладает
свойством СР' (а значит, и свойством, аналогичным (6)).
◄ Легче всего доказать тождество СР,. А именно: в виду К® и ди-
стрибутивности Кб,6* имеем
2х = х + х = (х + х) (х + х) = х2 + х2 + х2 + х2 =
= х + х + х + х = 2х + 2х.	(9.10)
• Обозначим через — 2х элемент кольца, противоположный 2х, и
прибавим к обеим частям (10) по —2х. Мы получим (здесь, как, впро-
чем, и при выводе (10), используется ассоциативность К2 сложения)
2х + ( — 2х) = 2х + 12х + (—2х) ], т. е. о — 2х.	(9.Н)
Из (11) сразу следует родственное (6) свойство:
если х + X = о, то х + (х + X) = х + о = х, т. е. (х 4- х) + X =
= х или о + X = х и X = х.	(9.6')
Почти так же просто доказывается и коммутативность: в силу К9
и дистрибутивности
х 4- X = (х + X) (х + X) = х2 хХ 4- Хх 4~ X2 = х 4“ хХ 4~ Хх 4~ X,
откуда, прибавляя к обеим частям равенства по х 4- X, получаем :
(х 4- X) + (и 4- X) = (х 4- X) 4- (х 4- X) 4“ (хХ 4- Хх) или о = о 4~
4- (хХ 4- Хх)
— и, значит, в силу (6')
К7 : хХ = Хх. ►
83
Доказанная теорема подчеркивает близость понятий булева коль-
ца и булевой.структуры. На самом деле эта близость заходит даже еще
дальше, ибо имеет место
Теорема. Пусть
К = <Л\ ♦, •>	(9.12)
— унитальное булево кольцо с единицей е (сложение в котором нам
будет удобно обозначать через ♦). Определив дополнительно
а) х -4- к = х * X * (хХ) и б) х = i * х,	(9.13)
мы придем к булевой структуре
В = .<//: 4-, s —>	(9.14)
[Ясно, что отношение zd можно и не включать в число основных отно-
шений булевой структуры, а определить условиями (XVII) —см.
с. 41.]
Покажем, что из аксиом Ki—ь,в'> К8 и К8 унитального булева кольца К и
определений (13) вытекают аксиомы Bi_8 булевой структуры. Коммутатив-
ность Б2 умножения является, как мы знаем, непосредственным следствием «бу-
левости» кольца К; отсюда и из симметричности определения (13а) вытекает и
коммутативность Bj сложения (напомним, что в силу Ki «кольцевое сложение»
коммутативно). Роль нулевого и единичного элементов булевой структуры иг-
рают нуль о и единица t кольца К; при этом булева аксиома Бв совпадает с коль-
цевой аксиомой К8,; а Б* следует из определения (13а):
0 + X = О ♦ X * (ох) = О * X ♦ о = X .
Наконец, из определения (136) без труда выводятся свойства Б7 и Бв: в силу 1<й
Кн. К, И (1.1)
хх =: к (i ♦ х) в х । ♦ хх >= х * х = о;	(9J5a)
аналогично в силу (13а), Къ К2, (15а) и Кя
х + х = х -Ь (i ♦ х) = х ♦ (I ♦ х) * х (i ♦ х) == (х ♦ х) ♦ i ♦ (хх) =>
— о ♦ i ♦ о « I.	(9 156)
Несколько более громоздко доказательство дистрибутивны* законов Ья>
Б4, но и оно не представляет никаких трудностей, кроме чисто технических.
Начнем с более простого первого дистрибутивного закона Мы имеем
х(А + р) s’.rl'A » U “ х*-* (*W) • *	= хА » (хр) ♦ (хАр). (9.16)
С другой стороны,
хА -J- хр •= хА » хр .| (хА) (хр) J = (хА) . (хр) • I (хх) (Ар) j =
= (хА) » (хр) « (хАр),	(9 (6/)
— чем и устанавливается Б, (здесь .используется коммутативность К, умноже-
ния в булевом кольце, ассоциативность К, и идемпотентность Кд). Далее,
х + Ар = х » (Ар) • (хАр),	(9.17)
Ь4
а в силу определения (13а), коммутативности К^ умножения, первого дистри-
бутивного закона Б3, идемпотентности К9 умножения, правила (10), дистрибу-
тивности Кв умножения относительно кольцевого сложения, коммутативности
Ki и ассоциативности К2 кольцевого сложения
(х + X) (х + ц) а (хх) 4- (хр) + (хХ) + (Хр) = [х + (хр.) ] + 1(хХ) + (Хи)] »
= [х ♦	(хр.) ♦	X (хр) ] + I (хХ) * (Хр) ♦ (хХ) (Хр) ] = [х ♦	(хр) ♦ (хр) ]	+ [ (хХ) «
•	(Хр) ♦	(хХр)	] ° х + [ (хХ) ♦ (Хр) ♦ (хХр)] = х * [ (хХ) ♦	(Хр) ♦ (хХр)]	♦ х [(хХ) ♦
•	(Хр) ♦	(хХр)]	в х ♦ (хХ) ♦ (Хр) ♦ (хХр) ♦ [ (ххХ) * (хХр)	♦ (ххХр)] =	х * (хХ) ♦
•	(Хр) ♦	(хХр)	♦ (хХ) » (хХр) ♦ (хХр) о х ♦ (Хр) + (хХр) • [	(хХ) * (хХ) ]	* [ (хХр) ♦
•	(хХр) ] «= х ♦ (Хр) ♦ (хХр) * о ♦ о = х ♦ (Хр) ♦ (хХр),	(9.17')
—	что и завершает доказательство Б4.
Таким образом, с каждой булевой структурой В можно сопоста-
вить унитальное булево кольцо К и, наоборот, от унитального булева
кольца К можно перейти к булевой структуре В, что позволяет при-
нять аксиомы Ki-6, в', К8 и К9 унитального булева кольца за новую
аксиоматику булевой структуры и рассматривать теорию булевых
структур как главу теории колец (как учение об унитальных булевых
кольцах). При этом «естественное» соответствие между булевыми
структурами и булевыми кольцами является взаимным:
В = <®; 4-, ., —, =>> - К = <$; *, •>	(9.18)
в том смысле, что если перейти от булевой структуры В с помощью оп-
ределения (3) к булевому кольцу К, то обратный переход (с помощью
определений (13)) от К к булевой структуре В приведет нас к исходной
структуре (см. ниже упр. 3).
В определении булева кольца мы не требовали коммутативности К? умно-
жения, поскольку условие К7 легко выводится из «булевости» К9 кольца (из
идемпотентности умножения). Но более того, также и коммутативность Ki сло-
жения можно не включать в число аксиом булева кольца, поскольку и она мо-
жет быть выведена из условия К9 (причем доказательство Ki даже проще дока-
зательства К?) ◄ В самом деле, «нильпотентность сложения»
х + х = о	(9.11')
выводится из К9 без использования Kj. Далее, в силу (1Г)
(х + Х)+ (х + Х) = о	(9.19)
и по той же формуле (II') с учетом ассоциативности К2 сложения
(х + X) + (X + х) = х + (X + X) + н = (х + о) + х = х + х « о. (9.19')
Следовательно, и элемент х + X, и элемент X + х являются противоположными
для элемента х + X кольца, откуда, в силу единственности К4 противополож-
ного элемента, имеем
Ki х -f- X = X + х.
[Заметим, впрочем, что в аксиоме К4 кольца достаточно требовать суще с т-
в о в а н и я противоположного элемента, откуда уже с учетом других кольце-
вых аксиом выводится его единственност ь.]
85
Таким образом, список аксиом булевой структуры можно также сократить
до К2_Kg, и Кр.
Как известно (см., например, [3] или [(И, с. 87—88 и 137]) идеалом колъца(\2)
называется такое подкольцо J *== <«7; ♦, • > (где <7 cz VC, а действия сложения
и умножения переносятся на & с^Г), что произведение любого х£<2£ на элемент
%i £ О также принадлежит «7. Эти условия можно записать в виде следующих
двух правил: J есть идеал, если
из х, X £ «7 следует х — X £ «7;	(9.20а)
изх^иХ(«7 следует хХ £ «7,	(9.206)
где под х — X («кольцевая разность») понимается элемент х ♦ (—X). Аналогич-
но под идеалом булевой структуры В = <«#; +, •, ~, zd> понимается под-
множество 3 основного множества «#, замкнутое относительно (булева) сложе-
ния и такое, что произведение любого а £ на элемент ocj £ <7 также принад-
лежит J. Другими словами, булев идеал J «=• <«7; +, • > (ведь множество.
«7 cz «замкнуто» относительно сложения и относительно умножения) опре-
деляется родственными (20) условиями:
из х, X £ «7 следует х + X £ «7;	(9.21а)
из хс и X ( J следует хХ £ У.	(9.216)
Впрочем, нам даже нет необходимости определять специально «булевы идеалы»,
поскольку они в точности отвечают идеалам соответствующего (булева) кольца:
Теорема: Пусть В = < «#; +, •, zd> — булева структура и К =*
= <«#;*, > — отвечающее В булево кольцо (где «кольцевое сложение» ♦
определяется по формуле (3)). Тогда множество У £ 33 в том и только в том
случае представляет собой идеал структуры В, если оно является и («кольцевым»)
идеалом (булева) кольца К; другими словами, условия (20), (21) р а в нос и л ь-
н ы.
Предположим сначала, что J= <«7;-|-, •> — булев идеал (идеал булевой
структуры В). Заметим, что в случае булева кольца К условие (20а) в определе-
нии идеала может быть заменено на •
из х, X £ 3 следует х ♦ X £ «7,	(9.20'а)
ибо в этом случае в силу (11) — X = X. Пусть, далее, х, X £ «7. Поскольку
х ♦ X = хХ + хХ и х, X £ «7, то ъ силу (216) хХ £ У и хХ = Хх £ Z7; поэто-
му в силу (21а) х ♦ X £ «7, т. е. условие (20'а) является следствием условий
(21). С другой стороны, условия (206) и (216) просто совпадают, ибо «кольцевое»
умножение совпадает с булевым. Таким образом, J является также и кольцевым
идеалом булева кольца К-
Обратно, пусть «7 CZ 33 идеал кольца К и пусть х, X £ «7. Так как (см. (13а))
х+Х = х * X ♦ (хХ) и так как по (206) х, X, хХ £ «7, то в силу (20'а) х + X £
£ «7. А так как условие (216) совпадает с (206), то j есть также и булев иде-
ал.
Укажем еще, что условие (216) в определении булева идеала можно заме-
нить следующим:
изХ J и Хзх следует, что и х £ «7.	(9.21'6)
<4 Действительно, так как хХ cz х при любом х (см. свойство (XVI6) булевых
структур), то (216) вытекает из (21'6). С другой стороны, поскольку при X zd х
элемент х можно представить в виде Хх (где X £ .7, а про х пока известно лишь,
что х £ «#), то из (216) вытекает (21'6).
Примеры. Ясно, что один лишь нулевой элемент {о} и все множество 3? сос-
тавляют идеалы любой булевой структуры В = <3?\ +, ♦, -, Z)>; все
идеалы, отличные от этих двух «тривиальных» идеалов, называются собствен-
ными. В алгебре подмножеств данного универсального множества / семейство
всех конечных подмножеств составляет идеал (собственный, если / бес-
86
конечно — см. упр. 9). Для любого элемента а £ «& множество Уд всех «мень-
ших» а элементов:
={РI Р( # и Рса}	(9.22)
составляет идеал (в силу (XVa) и эквивалентности (216) и (2Гб)); этот идеал
называется главным идеалом, порожденным элементом а (он является собствен-
ным, если а =/= о и а =/= i).
Рассмотрим теперь произвольное отношение эквивалентности со(см., напри-
мер, [1.2, 1.5, 2.16] или [II, с. 54]) на множестве элементов булевой структуры
В = <&\ +, • , ", zd>, «согласованное» с булевой структурой, т. е. такое, что
Э1 : а со а (рефлективность);
Э2 : если а со р, то р со а (симметричность)}
Э> ! если а со р и Р со у, то а ^о у (транзитивность)}
Э4 : если а со оц и Р со РР то а + Р со 04 + р^
ЭБ : если а со и Р со рг то оф со а^;
Эв : если асоа1? то а со Р;
Э7 : а zd р, а со и Р со рь то а, □ Р(.
[Заметим прежде всего, что Э7 следует из
если а о Р,’ т. е. а + Р = а и а со ах, р со рх, го в силу Э4
Л1 + Pj = av т. е aj ZD Рг ►
Далее, Э6 можно вывести из Э4 и Эв:
если а со at и рсорь то а со at и pcoPt, а значит, a-f-Pcoai + Pi и
a 4-р со at 4-Pt, т. е. ap coat Pt
(см. (7.2а)). Таким образом, из условий Э4 _ 7согласованности отношения со о
булевой структурой достаточно сохранить лишь Э4 и Эв.]
Теорема. Пусть на булевой структуре В = <&; +, zd> задано
отношение эквивалентности со, согласованное со структурой. Тогда множество
J = {а | а со о}	(9.23)
элементов структуры В, эквивалентных пулевому элементу о, образует некоторый
идеал, а отношение со в терминах структуры В и идеала J можно определить
так:
a со Р тогда и только тогда, когда a — р £ <7 или, что равносильно,
a * Р ( J	(9.24)
где под a — р, как обычно, понимается «кольцевая разность»: а_ р = у озна-
чает, что a = Р ♦ у (мы знаем, что при этом a — Р = a ♦ Р). [Отношение (24)
называют J-эквивалентностью, или сравнимостью по модулю J, и записывают
следующим образом: a со Р или a = Р (mod У).]
4 Если a £ У и Р У, то в силу асооиРсооизЭ4 вытекает, что a 4- р со
со 0 + о = о, т. е. что a 4" р £ У; это доказывает выполнимость свойства
(21а) идеала. Далее, если a £ J и у г то, поскольку а>со о и у со у (см.
3t), по Э5 имеем ау со оу = о, т. е. ay £ J что и,доказывает (216). Следователь-
но. J — идеал	_ _ _____	_	_	_
Далее, если а со р, то в силу Э4 _ 6 а р, aJ3 со aa = о и аР со аа « о,
т. е. а * Р = а[Г+ ар со о 4- о = о, а значит, если а со р, то a ♦ Р со 0, т. е.
а ♦ р £ J Обратно, если a ♦ р £ У, то
ар 4- ар со и;	(9.25)
87
умножая обе части (25) на а и на 0, получаем, используя и Э2_3!
аа0 4-аа0 со ао, т. е. а0+оссо или а0соо и сфссо, а значит. а0соа0 (9.25х)
Наконец, прибавив к обеим частям (25х) по оф и воспользовавшись (эквива-
лентностью аР со аР), дистрибутивностью (Ша), законами (Villa) и (IV6), по-
лучим:
аР + аРсо а04-а0, т. е. а(f4-р)со(а+а) Р,	(9.26)
или aicoip, что равносильно асю0 ►
Таким образом мы видим, что полный перечень всех отношений эквива-
лентности, которые можно задать на множестве ЗВ так, чтобы они были согла-
сованы с булевой структурой В a <ЗВ\ + ,	2Э>, доставляется списком
всех идеалов структуры (с чем, кстати сказать и связана, в первую очередь,
важность понятия идеала): каждому идеалу J отвечает отношение (24) эквива-
лентности и каждому согласованному со структурой отношению со эквивалент-
ности отвечает идеал (23), причем эта связь идеалов с отношениями эквивалент-
ности является взаимно однозначной
Пусть теперь В = <ЗВ\ +	“ z>> — булева структура и со—отношение
J
7-эквивалентности разбивающее множество ЗВ на классы ^-эквивалентных
элементов; множество этих классов называется фактор-множеством множества
ЗВ по отношению эквивалентности со и обозначается через «#/со. или короче,
J	J
через 3BIJ. Условимся обозначать через {a}, {0}, . и т. д классы эквивалент-
ности, содержащие элементы a, Р.. и т. д., и определим:
W +{₽}={«+₽}; {а} • {₽} - {аР};
{а} «= {а}; {а} =) {Р}, если а о 0	(9 27)
(Все эти определения «корректны», т. е. не зависят от выборов представителей в
классах эквивалентности. В самом деле, если {а} => {аЛ, т. е. а * aj в Ш «
= {PJ, т е В ~ рь то а + Р ~ aj + 0Ъ т. е. {а + р} = {«i + Pi} и т. д.]
Множество ЗВ/J классов эквивалентности относительно операций и отношения
(27) само является булевой структурой, нулевым элементом которой является
класс {о} (т. е. идеал 7), а единичным — класс {i} (почему?). Эта структура
обозначается через В/7:
В/у = <#/7; +, •, О>
и называется фактор-струьтурой структуры В по идеалу 7.
Примеры. Ясно, что факк р-структура В/{о}, где {о} — нулевой идеал
структуры В, просто совпадает со структурой В поскольку в этом случае каж-
дый класс {а} состоит из единственного элемента а Аналогично фактор-струк-
тура W3B представляет собой «тривиальную» булеву структуру, состоящую из
одного элемента; эти два случая фактор-структур. разумеется, интереса не пред-
ставляют Больший интерес представляет^ фактор-структура Ва ® В/7а
где 7а — главный идеал, порожденный фиксированным элементом ая #= од
булевой структуры (см. с. 87), В этом случае класс lot| = a * 7a состоящий
из всех элементов a ♦ 0. где 0 cz а0, содержит единственный элемент 0О cz а0
(почему?), так что основное множество фактор-структуры Ва можно отождест-
вить с идеалом 7a# в {а | а £ ЗВ и a <z аа}; при этом операции 4-. . и отно-
шение о. определяются в этом множестве как обычно, под 0 понимается «допол-
нение 0 до а0», т. е. элемент otq\0 или a0 — 0 (см. с 39); роль элементов о и t иг-
рают тот же элемент о и элемент а0 (докажите это).
88
Упражнения. 9.1. Будет ли кольцевое сложение ♦ в произвольной буле-
вой структуре
а)	дистрибутивным относительно умножения (т. е. всегда ли а ♦ (Ру) =
“ (а ♦ Р) (а ♦ у));
б)	монотонным (т. е. следует ли отношение а ♦ у зэ 0 ♦ ? из того, что
аэ р)?
9.2.	Выразите «кольцевое вычитание» — в произвольной булевой структуре
В= <«#; -|-, • , зэ> через основные операции этой структуры (т. е. запи-
шите «кольцевую разность» а - р в виде «булева многочлена» от переменных а
и Р — ср. § 6). Перечислите свойства операции .
9.3.	Докажите взаимный характер соответствия (18) между булевыми
структурами и булевыми кольцами (инволютивный характер отображения, пе-
реводящего булеву структуру в кольцо и обратно); другими словами, покажите,
что если В (К) — построенная с помощью определений (13) по булеву кольцу
К булева структура, а К (В), напротив, булево кольцо, отвечающее данной бу-
левой структуре В, то В (К (В) ) = В и К (В (К) ) = К.
9.4.	Пусть К = <^f; +, •> — унитальное коммутативное кольцо и
— множество идемпотентных элементов х этого кольца (таких, что
ха = х; ясно, что i £ Л\, где i — единица кольца). Докажите, что Ki = <Л\;
♦, •>, где х ♦ X «=• х+Х — 2хХ (здесь знак — означает «кольцевое вычитание») —
булево кольцо; опишите операции отвечающей Ki булевой структуры В (Ki) =
«= В (К) (ср. упр. 3) в терминах исходного кольца К
9.5.	Докажите, что непустое подмножество J «основного множества» ф бу-
левой структуры В =	+, -, зэ> в том и только в том случае образует
идеал этой структуры, если аб £ J тогда и только тогда, когда либо а £ J, ли-
бо р £ J (либо и а ( </, и р ( J).
9.6	Докажите, что /-эквивалентность со элементов булевой структуры
(см. с. 87) можно определить так: а со 0 в том и только в том случае, когда
а + у = 0 + Y Для некоторого у £ J.
97 Докажите, что
а)	как пересечение Г) /2 двух идеалов и /2 булевой структуры, так
и их «прямая сумма» J. ф /2 — множество всех элементов вида ах + а2, где
aj и а2 принадлежат соо(ве <.твенно первому и втор >му идеалу;
Jt ф J3 = {а, + а2 | а, £ а2 £ У2}
— тоже являются идеалами;
б)	множество идеалов образует решетку по отношению к операциям ф как
решетчатому сложению и (~| как решетчатому умножению. Каковы свойства
этой решетки? Может ли она обращаться в булеву структуру (дистрибутивную
решетку с дополнениями)?
9.8.	а) Собственный идеал J булъьой структуры В называется максимальным,
если он не содержится ни в одном другом собственном идеале В. Докажите, что
идеал J является максимальным в том и только в том случае, когда из к а ж д о й
пары элементов а и а один (и только один) принадлежит J.
б)	Собственный идеал J называется простым, если из того, что а и 0 не при-
надлежа! J следует, что J не принадлежит и их сумма а + 0. Докажите, что
идеал является простым в том и только в том случае, если он является макси-
мальным.
в)	Докажите, что главный идеал Jа булевой алгебры В является максималь-
ным (а значит, и простым) в том и только в том случае, если а — атом.
г)	Докажите, что фактор-структура В/J в том и только в том случае ярля-
ется булевой структурой и* двух элементов, если идеал J является максималь-
ным.
9.9.	Пусть В — структура всевозможных подмножеств бесконечного мно-
жества /^докажите, что множество всех конечных подмножеств / образует иде-
ал этой булевой структуры.
89
9.10.	Гомоморфным отображением (гомоморфизмом) булевой структуры
= <#f, +, Z» на булеву структуру В2 = <#2; +, •> ~ =» на-
зывается отображение ф: <#j -♦ <#2, при котором, скажем, из Qh + Pi “ Т1»
<*1, Pi, Yi $ и <р (а,) = а2, ф (pt) = р2. ф (yO = у2 следует а2 + Р8 = у»
(где сложение понимается уже в смысле структуры р2) и в аналогичном смысле
Ф переносит с на «#2 операции • , - и отношение z>. [Примером — и при-
том в определенном смысле чуть ли не единственным (см ниже упр. б) — го-
моморфного отображения булевой структуры В = <#; +, ♦ , г» в фактор-
структуру В/J может служить естественное отображение В-* В//,
переводящее каждый элемент а £ 33 в элемент [а] £ 331J — см. с. 88.] Дока-
жите, что
а)	ф (ох) = о2 и ф (ц) = t2, где Oj и if — соответственно нулевой и единич-
ный элементы структур Bt и В2.
б)	Ядро J гомоморфизма, т. е. множество {at | ar ( f (at) =* о2} яв-
ляется некоторым идеалом J структуры В] и В2 изоморфно B^J
9.	11 (теорема Стоуна). Пусть В= <33\ +, •,	z>> — произвольная
булева структура и / =	— множество всех ее максимальных идеалов. Со-
поставим каждому элементу a £ 33 подмножество Аа cz /, состоящее из всех
максимальных идеалов, не содержащих элемента а:
а а? — ло = {7|7	/ и Уфа}.	(•)
Докажите, что отображение (♦) устанавливает изоморфизм структуры В и струк-
туры подмножеств Аа множества /, понимаемой в смысле гл. 1. [Разумеется,
совокупность подмножеств Аа, вообще говоря, не будет совпадать с совокупно,
стью всех без исключения подмножеств /; впрочем, если множество 33 конеч-
но, то последнее утверждение справедливо.]
Глава 3
МОДЕЛИ БУЛЕВЫХ СТРУКТУР
10. ПЕРВЫЕ МОДЕЛИ
До сих пор мы имели единственную модель булевой струк-
туры доказывающую непротиворечивость соответствующей аксиома-
тики, — реализацию булевой структуры
В = <33; +, -,	=»	(10.1)
в виде системы подмножеств {Л, В, С, ...} некоторого универсального
множества /, где сложение и умножение множеств определяется как
их объединение и пересечение, операция «черта» вводится как обра-
зование дополнения множества, а отношение го имеет смысл включения
множеств. Эта модель имеет универсальный характер в том смысле,
что любая булева структура (где выражение «любая» подчеркивает
неполноту аксиоматики, т. е. наличие ряда неизоморфных булевых
структур) может быть представлена в виде «алгебры множеств» (ср.
с. 78), — но она, разумеется, отнюдь не является единственно воз-
можной. В этой главе мы укажем ряд других реализаций булевых
структур, причем богатство и разнообразие, а также важность рассмат-
90
риваемых моделей (см., в частности, § 11 и 12) вполне оправдывают
большое внимание, уделяемое сегодня этому своеобразному типу мате-
матических структур.
1.	Булева арифметика двух чисел. Мы уже неоднократно встре-
чались выше с простейшей нетривиальной (содержащей больше одного
элемента) булевой структурой — структурой, задаваемой на множестве
из двух элементов: нулевого элемента о и единичного элемента и При
рассмотрении этой «арифметики двух чисел» обычно обозначают нуле-
вой элемент цифрой 0, а единичный — цифрой 1 (помня, разумеется,
что эти символы имеют здесь смысл, несколько отличный от того, ко-
торый придается им в школе и в обыденной жизни). Итак, мы имеем
структуру
В = <{0, 1}; +,	о>,	(10.1')
где сложение и умножение чисел задаются следующими «таблицей
сложения» и • «таблицей умножения»;		
+	() 1	0 1
0	0 1	0	0 0
1	1 1 1	0 1
Если еще Положить
0 = 1, Т = 0
и определить* отношение о при помощи следующей таблицы:
0 о 0, 1 о 0, lol,
то мы получим (простейший и притом — очень важный!) пример буле-
вой структуры.
2.	Булева арифметика четырех чисел. Из доказанного в § 8 следу-
ет, что простейшая после рассмотренной выше булева структура бу-
дет содержать четыре элемента. Итак, рассмотрим множество из четы-
рех элементов («чисел») 0, 1, а, b и структуру
<{0, 1, а, Ь}\ +, •,	о>,
(10.1")
где действия сложения и умножения определяются следующими таб-
лицами:
+	1 °	а	b	1	1 °		а	b	1
0	и	и	0	1	0	0	0	0	0
а	а	а	1	1	а	0	а	0	а
b	b	1	b	1	b	0	0	ь	Ь
1	1	1	1	1	1	0	а	ь	1
91
Операция “ определяется в этой «арифметике* следующим обра-
зом:
б = 1, а = b, b = а, I = 0,	.
а отношение задается выписанной ниже таблицей, в которой звез-
дочкой отмечены пары элементов (первый из них указывается строкой
таблицы, а второй — столбцом), связанные отношением зэ:
О 0 a b I
О *
а	♦	♦
b	♦	♦
1	♦	♦	*	♦
(так, например, из таблицы следует,	что 1	zd й, но что отношением zd b
места не имеет, ибо на месте, отвечающем строке 1 и столбцу Ь, стоит
звездочка, а на строке а в том же столбце звездочки нет). Роль элемен-
тов о и i этой булевой структуры по-прежнему играют «числа» 0 и 1.
3.	Арифметика наибольших кратных и наименьших делителей. В
качестве следующего примера рассмотрим множество всевозможных
делителей некоторого «свободного от квадратов» (немецкое quadra-
tenfrei) натурального числа /V, т. е. такого числа, которое представляет
собой произведение ряда различных простых множителей. Так,
при N = 210 = 2-3-5-7 рассматриваемое множество состоит из чисел
1,	2, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 15, 21, 30, 35, 42, 70, 105 и 210.
«Сложение» и «умножение» этих чисел определим отличным от при-
вычного образом; для того чтобы подчеркнуть это различие, будем
обозначать «булеву сумму» чисел а и b через а © Ь, а их «булево про-
изведение» через а ® Ь. А именно, под «суммой»
а © b = НОК (а, b) = la, Ь|	(10.2а)
двух чисел а и b нашей системы мы будем понимать их наименьшее об-
щее кратное, а под «произведением»
а ® b = НОД (а, Ь) = (а, Ь)	(10.26)
— наибольший общий делитель этих чисел (обозначения 1а, Ы для
наименьшего кратного и (а, Ь) для наибольшего делителя употребля-
ются иногда в арифметике и в теории чисел). Например,
Ю © 15 = [10, 15] = 30; 10 ® 15 = (10, 15) = 5.
Определенные таким образом «сложение» и «умножение» чисел на-
шей системы коммутативны. Они также и ассоциативны, ибо
I la, bl, cl = [a, lb, с] 1 = la, b, d и ((а, Ь), с) = (а, (Ь, с)) = (а, Ь, с),
92
где через la, b, с] и (а, Ь, с) обозначены наименьшее кратное и наиболь-
ший делитель трех чисел a, b и с. Выполняются в нашей «арифмети-
ке» и идемпотентные законы (VI):
а ф а = la, a] = а и а ® а = (а, а) = а,
а также законы поглощения (VI1) (почему?). Далее ясно, что при сде-
ланных соглашениях
а ф 1 = la, 1] = а и а ® N = (a, N) = а,
а ф N = [a, N] = N и а ® 1 •= (а, 1) = 1
(напоминаем, что все рассматриваемые числа являются делителями
числа N) Таким образом, роль элементов i и о здесь играют числа N
и 1.
Несколько сложнее доказываются дистрибутивные законы (111).
Выражение
(а ф Ь) ® с = (la, b|, с)	(10.3)
представляет собой НОД с и числа НОК(а, Ь); оно содержит те и толь-
ко те простые множители, которые входят в состав с и одновременно
в состав хотя бы одного из чисел а и Ь. Но ясно, что все эти
(и только эти!) простые множители входят также и в состав числа
Г(а, с), (b, с) I = (а ® с) ф (Ь ® с),	(10.3')
что и доказывает равенство выражений (3) и (3'). Аналогично проверя-
ется, что
(а ® Ь) ф с = (а ф с) ® (Ь ф с), т. е.
I (a, b), d = ( (a, d, lb, d ).
Условимся теперь считать, что
а Ь, если b есть делитель числа а.	(10.4)
При этом очевидным .образом будут выполняться правила (XII),
(XIII), (XIV), а также правила (XV) (N о а о I), (XVI) (la, Zd z>
zd a zd (a, b)) и (XVII) (если a делится на b, то [a, bl = a,
(a, b) ?== b). Правило (XVI11) есть прямое следствие определения (4)
и того, что а ф b — это наименьшее общее кратное а и Ь, а
a ®b — наибольший общий делитель.
Из этих определений вытекают и очень близкие к (XVI II) правила
(XIX) (если а делится как на Ь, так и на с, то а делится на la, d, если
как а, так и b делятся на с, то и (а, Ь) делится на с), а также (XX) (по-
чему?).
Наконец, положим
а = N!a>	(10.5)
93
откуда сразу вытекает, что в соответствии с законами (IX), (X), (VI11)
и (XXI)
а = а\ ”1 = N\ N = 1; la, N/a\ = /V; (a, N/а) = 1
(ведь N — число, «свободное от квадратов», и потому а и Nla — вза-
имно простые числа) и что если a zd b, то b о а (т. е. если а делится на
Ь, то N/b делится на М/a). Несложно проверяются также правила де
Моргана (XI):
а ® b = а ® Ь (т. е. N/ la, bj = (N/at N/b))
и
a ® b = a ф b (N/(at b) = IM/a, N/b])
Таким образом, наша система чисел относительно определенных выше
операций «сложение» и «умножение», «черта» и отношения zd представ-
ляет собой булеву структуру.
Построенная в этом примере «алгебра делителей числа ЛЬ играет
заметную роль в теории чисел.
Заметим в заключение, что установить выполнимость всех аксиом
булевой структуры здесь можно и не прибегая к непосредственной их
проверке. В силу условия о том, что число N разлагается в произведе-
ние ряда различных простых чисел ръ р2, р3, .., pk, каждый
делитель а числа N характеризуется каким-то набором простых дели-
телей pit9 pitt ..., pim из числа исходных k простых чисел.
а = pi,pi9 ... pim.
Множество {p/f, pi9, ..., pljn} простых делителей числа а обозначим
через Д, а множество {р/,, p/t, ...» p/J простых делителей числа b —
через В. В таком случае числа а ф b — [а, Ь] и а ® b = (а, Ь) харак-
теризуются множествами А + В и АВ простых делителей, где А 4- В
и АВ — объединение и пересечение множеств А и В простых чисел.
Далее, число а делится на число Ь, если A zd В (т е. А содержит В);
число N/a характеризуется множеством А простых делителей — до-
полнением множества А делителей а, где 1 = {р1? р2, ..., ph} — мно-
жество всех делителей числа N. Сказанное позволяет свести рассмот-
ренную здесь структуру Буля к уже изученной алгебре подмножеств
универсального множества /.	♦
Более того, сведение нашей арифметики делителей свободного от
квадратов числа N к алгебре подмножеств fe-элементного множества
1 = {Рп Рг» •••» Ph} доказывает универсальный характер этой моде-
ли булевой структуры, пригодной для описания любой конечной
структуры: для того чтобы прийти к конечной булевой структуре
ранга fe, достаточно предположить, что число N разлагается в произве-
дение k различных простых множителей. «Обратим» теперь нашу мо-
дель по принципу двойственности, назвав НОК (a, b) = 1а, Ь] «буле-
94
вым произведением» чисел а и &, а НОД (а, Ь) = (а, Ь) — «булевой
суммой» этих чисел; тогда придется считать, что число 1 играет роль
«единицы» булевой структуры, а число N — роль ее «нуля» и что от-
ношение a zd b имеет смысл «а является делителем &» (в теории чисел
это отношение записывается как а\Ь, где вертикальную черту, ра-
зумеется, не следует путать с символом операции Шеффера). При этом
простые делители ръ р2, ..., ph числа N будут играть роль (мультипли-
кативно) простых элементов булевой структуры и сформулированная
на с. 79 теорема об однозначности разложения на простые множители
обратится в «основную теорему арифметики» (ср. [6]) (разумеется,
эта теорема применяется здесь к делителям числа /V).
Ясно, что в рамках модели 3 могут быть определены все понятия, имеющие
смысл для общих булевых структур. Так, например, «разность» а\д чисел а и b
вводится так:
о\£ ° д/(а, Ъ)\	(10.6)
вто число представляет собой, так сказать, «наибольшую взаимно простую с b
часть а» — оно является произведением всех тех делителей а, которые нея в-
л я ю т с я делителями Ъ. «Симметрическая разность»
а ♦ b - (а Л// Ь) • (/V/o, Ь)	(10 6')
чисел а и b представляет собой произведение наибольших общих делителей чи-
сел a N/b, и чисел, Л//а; b так, например, считая по-прежнему, что У в 210, бу-
дем иметь
10\15 «2; 10 * 15 ° (10. 14) . (21, 15) <= 2 • 3 «= 6.
При этом как нетрудно проверить (см упр. 2)
а) fl\fl — 1; б) о\1 *= а; в) Л/\а «= ~а\ f) 1\д« 1;
д) (а\д)\с а (о\с)\&; е) (ахА с) ° (а, с)\(д, с),	(Ю.7)
а также
а)	а ♦ а «= 1, причем	а ♦	V = 1,	лишь если b = а;
б)	а ♦ I «= а, причем	а ♦	b = а,	лишь если b и 1;
в)	N * а в а\ г) а *	а =	1; д) а * b « b » а; е) если	а	♦	с e b ♦ с, то а *= Ь\
ж) если а * b с, то а ♦	с = Ь\	з) {а * Ь) » с в а *	(Ь *	с)\
и) ((о д), с) = (а, с) (Ь, с).	(10.8)
Операция Шеффера | (см. с. 61) определяется для двух чисел а и b нашей сис-
темы следующим образом:
а | b «= (Л7а, TV/Ь);	(10.9а)
другими словами, число а\Ь содержит те и только те простые множители (из мно-
жителей числа N), которые не являются делителями ни а, ни Ь. Аналогично опре-
деляется и двойственная (9а) операция |1
a I Ь «= [Л/а, N/b\.	(10.96)
Так если N = 210, то
10 | 15 = (21, 14) = 7 и 10 1 15 = [21, 14] = 42.
95
При этом, как легко убедиться,
а) (а |	| (а | b) « 1а, 6], б) (а | а) | (Ь | Ь) = (а, 6), в) а\а « V/a, (10.11)
или (ср равенства Ш;_2 на с. 63)
г)	(а | а) | (а | а) «= а, д) а | [д | (Ь | д)] » а | а.	(10 11)
Аналогично
a) (-a i а) i (/>	= [а, Ь| > б) (а | Ь) |(а | Ь) = (а. Ь), в) а!а = /У/а. ПОЛИ)
Тернарная операция {а, bt с} (см. с. 63) для чисел а, b и с определяется так;
{а Ь, с} а |(а, 6), (Ь, с), (с, a) J а ( [а. 6], (6, с), к, а] )
Другими словами, число {а, b, с} содержит те и лишь те простые множители, ко-
торые входят в состав по крайней мере двух из чисел а, b и с. Так,
например,
{15. 30, 70} — 30.
Наименьшее общее кратное [а, Ь] я наибольший общий делитель (а Ь) двух чи-
сел а и b нашей системы определяются посредством тернарной операции {а, д, с}
следующим образом:
а, 6] =• {а, 6, N}\ (а, Ь) =• {а, b, 1}.
Интересно отметить, что условие о том, что исходное число W «сво-
бодно от квадратов», оказывается существенным лишь при проверке
правил (VIII)
а ф а = /V, а ® а = 1.	(10.12)
В самом деле, примем за W совершенно произвольное на
туральное число W = Pl'Pl* ... Р** (например, число 720 == 24-За-5),
далее для любых двух делителей а = ра{' р** ... pakh и b = p^pfy ...
... pfy этого числа (где 0 ах nlt 0 а2 п2, ..., 0 а* nk\
0 pi пи 0 Р2 м2, ..., 0 р* nk) положим
а®/? = [а, Ь\ = р™' (а«> ^ р™“	... р™*	(10.13a)
и
fl® b=(at ft) = pniln(at,	pmin(afc.	(10-136)
1Так, если a = 12 = 2M, a b = 80 = 24-5, to a © b = 112, 80) =
= 2*«3«5 = 240, a a ® b = (12, 80) = 22 = 4.J Кроме того, обозна
чим
a = N/а — р*'-^ р^-ъ ...pnkh~ak	(10.13e)
и условимся обозначать символом a b то обстоятельство, что а де-
ли т с я на b (т. е. что > pn а2 р2, ..., ah > pft). Для опреде-
ленной таким образом алгебраической системы сохраняют силу все
96
отвечающие аксиомам (I) — (XXI) § 5 правила, за исключением одних
лишь правил (VI11) (ибо здесь, например, при N = 720 имеем
36 © 36 = [36, 20J = 180 N, 36 0 36 = (36, 20) == 4 =# 1
А
— ср. упр. 5).
Алгебраическая система (1), для которой имеют место все аксиомы
(I)—(XXI) булевой структуры, кроме аксиом (VIII) (35 из 37 аксиом!),
очень близка к булевой структуре, но все же, строго говоря, ею не яв-
ляется. Подобная структура является дистрибутивной решеткой с ну-
лем и единицей (см. § 8), но она даже еще ближе того к булевой
структуре, поскольку в ней имеются «почти дополнения» элементов
структуры — каждому элементу а С 33 отвечает элемент а (в решетке
определена унарная операция «черта»), не обладающий свойствами
(VIII), но обладающий всеми остальными свойствами (IX)—(XI) и
(XXI) булевой операции Иногда системы такого рода включают
в теорию булевых структур (алгебр Буля), отбрасывая в списке опре-
деляющих булеву структуру аксиом соотношения (VIII); в таком слу-
чае аксиомы (VIII) считаются «дополнительными», выделяющими не-
который специальный класс булевых структур («полные» булевы струк-
туры). В других случаях принимают, что алгебраическая система (1),
в которой выполняются аксиомы (I)—(VII) и (IX)—(XXI), но не обя-
зательно выполняются аксиомы (VIII) («неполная» булева структура),
представляет собой образование, родственное булевой структуре,
но все же отличное от нее.
Мы также .чаще будем стоять на этой последней точке зрения.
4. Арифметика максимумов и минимумов. Модель, очень близкую
к рассмотренной выше, можно также получить следующим образом.
Рассмотрим некоторое множество 33 (вещественных!) чисел а; в даль-
нейшем для простоты будем считать, что числа а — это всевозможные
числа, заключенные между нулем и единицей: 0 а 1, так что их
м(^кно изображать точками единичного отрезка числовой оси. Далее
положим
а) а ф Ь = max (а, &), б) а ® b = min (а, Ь), в) а = 1 —а (10.14)
(число а изображается точкой, симметричной точке а относительно
середины 1/2 отрезка [0, 1]; рис. 33 и 34) и условимся писать a zd b,
если а Ь.
Определенные таким образом «сложение» и «умножение» вещест-
венных чисел коммутативны и ассоциативны (ибо
max [ max (а, &), с] = max [а, max (&, с) J = max (а, Ь, с) и
min [ min (а, b), d = min la, min (b, c) J = min (a, b, c));
4 Зак. 1618
97
а®8	Дфв	S a 1/Z a t
0, X2______________ /	0 H>—°—x—о—o-4;
- a 4
Рис. 33	Рис. 34	<
совершенно очевидны также оба идемпотентных закона (ибо
max (а, а) = a, min (а, а) = а) и законы поглощения (ибо, например,
а ф [а ® b] — max [a, min (а, Ь) ] = а). Далее имеют место также и
оба дистрибутивных закона. Например, число
(а ф Ь) ® с — min [max (а, b), с]
равно с, если хоть одно из чисел а, b больше с, и равно наибольшему
из чисел а, Ь, если оба они меньше с; но этому же равно и число
(а ® с) ф (b ® с) = max I min (а, с), min (b, с) J
(рис. 35, а, б). Кроме того/очевидно,
а ф 0 = max (а, 0) = а и а ® 1 = min (а, 1) = а;
а ф 1 = max (а, 1) = 1 и а ® 0 = min (а, 0) = О,
так что роль элементов о и i играют числа 0 и 1.
Из определения операции “ (рис. 34) и отношения => сразу выте-
кает, что
а=а, 1=0, 0=1;
а zd а;
если a z=> Ь и b zd с, то а zd с;
если а zd b и b zd а, то а = Ь\
1 zd а zd 0 и а ф 6 = max (а, b) zd a zd
zd min (а, Ь) = а ® Ь,
а также, что
если а -=>Ь,	то	а ® b — max (а, b) = а,	а	®	b	=	min	(а, b) =
а ф с = max	(а, с)	zd max (&, с) = b ф с и	а	®	с	zd	b	®	с;
если а zd & и	а □	с, то a zd max (b, с) = b	ф	с;
если Ь zd а и	с о	а, то b ® с = min (b, с)	zd	а.
[Заметим, что правила (XVIII) в силу нашего определения отношения
zd просто совпадают с определениями (14).) Наконец, очевидно,
если a zd Ь, то b zd а
(см. рис. 34).
98
Ja®c)@(6®c).
.аве.	fi&c, a® 8,
Ot—o о	о ! 1
а св
афв
„1®£	112
0F-&—-О- К -О-
8 а а
J.a9c)&(69c),
,(ae0)9c,
.афв,
fl® C. B9C,
CH^—-3——оЧ 1
а вс
В)
Офв'
£98, fl® 6.
Ot—o—-^о )< »  - о-1/
а 8 1 {2 8 а
б)
Рис. 35
Рис. 36
Почти так же просто проверяются и правила де Моргана (Х1)|
а ф b = 1 — max (а. b) = min (1 — а, 1 — b) = ~а ® F.
а ® b = 1 — min (а, b) = max (1 — а, 1 — b) = а ® b~
(см. рис. 36, а, б). Таким образом, для нашей алгебраической системы
выполняются все аксиомы булевой структуры, кроме аксиом (VIII)
(ясно, что, вообще говоря, а ф а = max (а, 1 — а) =/= 1, а ® а =-
= min (а, I — а) =/= 0)- Другими словами, здесь мы снова встречаем-
ся с «неполной» булевой структурой. [Большое сходство этой алгебраи-
ческой системы с предыдущей объясняется глубокой аналогией опре-
делений (14) и (13).]
5. Еще более далекий от «полных» булевых структур пример,
сохраняющий при всем том целый ряд присущих булевым структурам
черт, доставляет нам связка 8 прямых и плоскостей (обыкновенно-
го или трехмерного) пространства, т. е. совокупность всех проходя-
щих через фиксированную точку О прямых и плоскостей; к элементам
$ мы условимся присоединять также точку О (центр связки) и все
пространство /?. Под «суммой» а + Ь двух прямых а и b мы будем
понимать содержащую их плоскость (рис. 37, а), если эти прямые раз-
личны, и каждую из этих прямых, если они одинаковы; под «суммой»
а+а прямой а и плоскости а — все пространство R, если а не.принад-
лежит а, и плоскость а в противном случае; под «суммой» а + Р
двух плоскостей аир — все пространство /?, если аир различны, и
плоскость а = Р, если они одинаковы; наконец, положим
z + O = O + z = zt г + R = R + z = R.	(10.15а)
каков бы ни был элемент z связки.
Под «произведением» ab двух прямых а и & мы будем понимать точ-
ку О, если эти прямые различны, и каждую из этих прямых, если они
4*
99
совпадают; под произведением аа прямой а и плоскости а — точку О,
если прямая а не принадлежит а, и саму прямую а в противном случае;
под произведением оф двух плоскостей аир — прямую их пересече-
ния, если они не совпадают (рис. 37, б), и каждую из этих плоскостей
в противном случае; наконец, условимся считать, что для каждого
элемента г связки S
го = oz = О, zR = Rz = г.	(10.156)
Ясно, что определенные таким образом «сложение» и «умножение»
элементов связки коммутативны, ассоциативны и удовлетворяют идем-
потентным законам (VI); выполняются для них и законы поглощения
(VII) (см. упр. 8а)). Роль «нулевого элемента» о и «единичного элемен-
та» i нашей системы играют, очевидно, точка О и все пространство R
(ср. определения (15 а, б) с правилами (IV)—(V)).
Условимся далее считать, что z zd /, если элемент z связки S co-
fl е р ж и т элемент /; при этом, очевидно, будут выполняться прави-
ла (XII)—(XV), а также правила (XVI) и (XVII). Несколько больших
усилий требует проверка правил (XVIII)—(XX) (выполните tie!), —
но и они имеют здесь место. Наконец,
если а есть прямая, то через а мы обо-
значим перпендикулярную а плоскость
а; напротив, для плоскости а за а при-
мем перпендикулярную а прямую а
(рис. 38); кроме того, положим
О = R, R = О.	(10.16)
Ясно, что при этом окажутся выполнен-
ными как правила (VIII), так и законы
(IX), (X) (ср. (16)) и (XXI).
Менее очевидна — но все еще уста-
навливается без особого труда — выпол-
нимость законов де Моргана (XI). Так,
например, если а и b — две различные
прямые, то их сумма а + b есть «натя-
нутая» на а и & плоскость а, а произ-
ведение ab — точка О (рис. 37,а). Но
произведение ab перпендикулярных а и
b плоскостей а и b соответственно сов-
падает с перпендикуляром к плоскости
а, а сумма а + b совпадает со всем про-
странством R, так что здесь ab = а + Ь9
а + b = ab. Аналогично, если аир —
пересекающиеся по прямой а плоско-
сти, то а + р есть все пространство R,
а аР = а (рис. 37, б); но так как пер-
100
пендикулярные к аир прямые аир обе перпендикулярны а, то
а + р = а (а ар = О), так что а + р = ар, ар = а + Р (ср. упр.
8в)). Однако дистрибутивные законы (III) для нашей системы места
не имеют: так, например, если а есть некоторая плоскость, а
b и с — две' разные не принадлежащие а прямые, «порождающие!
плоскость б, пересекающую а по прямой d (рис. 39), то
b 4- с = б и а (Ь + с) = аб = d,
a
ab = ас = О и ab + ac = O + O = O,
так что
а (Ь 4- с) Ф ab 4- ас.	•
[Впрочем, о невыполнении в нашей структуре
S = <S; 4-, •, г»	(10.17)
дистрибутивных законов (III) (другими словами, о «небулевом» ха-
рактере S) можно судить и из косвенных соображений: ведь в булевой
структуре «дополнение» а элемента а, определяемое условиями (VIII),
всегда единственно (ср. с. 42), в то время как в связке § условиям
а 4- а = R, аа — О	(10.18)
удовлетворяет любая пара из плоскости а и не принадлежащей ей
прямой а, так что за а можно принять каждую не лежащую в а пря-
мую, а за а — любую не содержащую а плоскость.] Таким образом,
для структуры (17) выполняются все законы (1)—(И) и (IV)—(XXI)
(т. е. 35 законов из 37), но не законы (Ill): S (при нашем определении
операций 4-,	" и отношения о) представляет собой решетку с до-
полнениями (и даже алгебраическую структуру, несколько более близ-
кую к булевой структуре, чем просто решетка с дополнениями — см.
ниже упр. 9), но не дистрибутивную решетку с дополнениями, т. е„
не булеву структуру. Ясно, что для структуры S выполняются все ба-
101
зирующиеся на аксиомах (I)—(II) и (IV)—(XXI) свойства булевых
структур, но не свойства, существенно апеллирующие к дистрибутив-
ности (III).
Этот пример может быть еще несколько обобщен. Нетрудно понять, что огра-
ничение одними лишь трехмерными (векторными) пространствами вовсе не явля-
ется здесь принципиальным. А именно, пусть R — произвольное (конечномер-
ное) векторное пространство (см., например, [7] или [II, с. 88]); через § обозначим
совокупность («связку») всех (линейных) подпространств векторного пространст-
ва /?, включая сюда и «нульмерное подпространство» — нулевой вектор 0 или
точку О, и все пространство R. Под суммой U + V двух пространств U и V будем
понимать их «векторную сумму»:
LZ + V в -{а | а R и a e aj + а2, где ai £ U и а2 £ V},	(10.19а)
а под произведением UV — пересечение пространств:
UV = {a |а	V}.	(10.196)
Отношение U <z V определим как принадлежность подпространства U подпро-
странству V. Далее, выбрав произвольным образом базисе!, е2, ...» е& пространства
R, где k — размерность /?, а значит, и отвечающие этому базису координаты,
если а «= а (хр х2,...х&), то а =	+ х е2 + ... + хде^,	(10 20)
введем в R (евклидово) скалярное произведением
ab = ххуу + х2(/2 + ... 4- xhyk,	(10.21)
где а = а (хр х2, х^)иЬ = b (z/lt Ук)> Теперь мы можем определить от-
ношение перпендикулярности (или ортогональности) векторов:
а_|_Ь означает, что ab = 0,	(10.22)
и ввести U как «ортогональное дополнение» U1- подпространства Ui
U = U~ = {a \ если b £ U. то а_1_Ь}. *	(10.23)
Нетрудно видеть, что при таких определениях сложения и умножения подпрост-
ранств, отношения zd между подпространствами и «дополнения» U подпрост-
ранства И, множество § всех подпространств векторного пространства R обра-
зует (не дистрибутивную!) решетку с дополнениями, для которой выполняются
все аксиомы (I)—(II) и (IV)—(XXI) булевой структуры, но не свойства (III)
(см. упр. 9).
6 Итак, связка § векторных подпространств векторного пространства R *
порождает весьма близкую к булевой алгебраическую структуру, но не соб-
ственно булеву структуру. Однако исходя из концепции векторного пространства
можно прийти и к содержательной и нетривиальной модели булевой структуры,
в определенном смысле вложенной в решетку. § линейных подпространств век-
торного пространства.
Назовем п-угольником (обыкновенной плоскости, трехмерного простран-
ства или fc-мерного векторного пространства1) просто последовательность
1 Рассматриваемое векторное пространство можно считать евклидовым.
хотя во всех связанных с учением о n-угольниках построениях используются
лишь чисто аффинные конструкции. Это пространство можно также считать
точечно-векторным; впрочем, начиная с задания л-угольника последователь-
ностью векторов мы полностью отказываемся от использования точек, так что
здесь допустимо ограничиться «чистой» концепцией векторного пространства.
Основное поле F, над которым строится векторное пространство, может быть
«почти любым» ([3]; ср. [8]); мы, однако, здесь будем все время иметь в виду
вещественное векторное пространство.
102
<А, А2, ...» Ап> п точек; зафиксировав произвольное начало отсчета векто-
ров О, мы можем заменить точки их радиусами-векторами <аь а2, ...» ап> (точке
О, естественно, отвечает нулевой вектор 0). Алгебраическая структура вектор-
ного пространства позволяет определить также сложение «-угольников и умно-
жение п-угольника на число:
b2, ..., Ьп> = (Sibi, a2 + b2,..., ап4-Ья>, (10,24а)
Х<ап а2,..., аа> = <ХаА, ka2,..., Хап>,	(10.246)
что обращает само множество «-угольников в векторное пространство (#«-мер-
нОе, если рассматриваются «-угольники ^-мерного векторного пространства, в
частности,- 2«-мерное для плоских /i-угольников и Зп-мерное для «-угольников
обычного пространства). Так как, однако, «геометрическая» теория многоуголь-
ников никогда не фиксирует начальной вершины Alt то пространство М-
«-угольников естественно еще «профакторизовать» по отношению ~ «циклической
ц
эквивалентности» (или просто как мы будем обозначать это отношение
ниже), определяемому условием
О1. а2) an_j, ап> ~ <а4> а3.......ап, at>	(10.25)
(и естественными требованиями рефлексивности, симметричности и транзитив-
ности этого отношения; ср. [II], с. 54). Другими словами, мы «склеиваем между
собой», т. е. считаем одним объектом (циклической последовательностью т-
угольников или геометрическим п-угольником1) цепочку
<а1 > а2> • • • > ап—1> ап> , (а2 » а3 > • • • > ап » а1> » <а3> а4> • • • > а1 > а2^ > • • •
<ап, а,, а„, .... ап_,>	(10.26)
«-угольников, получаемых один из другого конечным числом «циклических
подстановок»
а[==а2,	(10.25')
где многоточие в конце указывает, что первое уравнение должно быть «цикли-
1 2 ... п — 1 «\
, т. е. дополнено
2 3... «	1/
до системы
а;=аг, а^, = а3, .... а;_(=ап, а; = а,;	(10.25”)
имеющее подобный смысл многоточие после первого равенства мы будем употреб-
лять и ниже. Таким образом, реальным объектом изучения в теории «-угольни-
ков служат циклические последовательности (26), так что интересует нас собст-
венно не пространство ЛЬ «-угольников, а фактор-пространство
Выделим теперь с помощью уравнения
А-i Эх-|-Х2 а24" • • • *4"ап = 0> •••	(10.27)
некоторое подпространство векторного пространства Лп. Для того чтобы га-
рантировать согласованность этого подпространства с отношением циклической
эквивалентности ~ (т. е. гарантировать, что попадание одного «-угольника
<аь а2, ..., ап> в это подпространство автоматически влечет попадание в него
и всех элементов цепочки (26)), мы продолжим уравнение (27) до «циклической
системы» (на что указывает многоточие в конце равенства (27)), дополнив первое
чески продолжено» с помощью подстановки
1 Таким образом, под «геометрическим «-угольником» мы понимаем здесь
столь часто фигурирующие в геометрических рассмотрениях (см., например,
[9]) ориентированные «-угольники, поскольку, скажем, многоуголь-
ники <ЛЬ А2, .... Лд-х, Ап> и <Лл, Лл_1( .... Л2> Лх> нам удобнее не отож-
дествлять.
103
Рис. 40
*1*2
«Л
уравнение (27) с коэффициентами <Xj, Х2, ...» Хп __ lt Кп> (или «уравнение
<Х], Х2, .... Хд-!,	>, как мы будем говорить далее) уравнениями <Л2,	...
...» Хд, Х1>, <Х3, Х4, ...»	Х2>, ...» наконец, <ХП, л*, Х2, .... Хд _ t> (система
п линейных однородных уравнений с п «векторными переменными» аг, а2, ап).
Множество SS «-угольников, удовлетворяющих некоторой системе (27), мы на-
зовем (задаваемым системой (27)) «циклическим классом'» «-угольников (разу-
меется, реально нас интересует не множество 2S £ Л/Ъп, а фактор-множество
5//^ cz Лп!Ясно, что каждой системе (27) отвечает свой циклический класс
«-угольников, однако одному и тому же циклическому классу могут, разумеет-
ся, соответствовать разные системы уравнений — хотя бы уже потому, что урав-
нения <Л4, Х2, ..., Xn> и «xXp аХ2, .... аХд> (где а =/= 0 произвольно), конечно,
порождают эквивалентные системы и, следовательно, один и тот же циклический
класс. Вообще, несмотря на то, что разных систем (27) существует бесконечно
много, для каждого « имеется лишь конечный набор циклических клас-
сов «-угольников. Вот, например, все возможные классы 4-угольников:
1)	полный класс J или J^4 (рис. 40, а; он порождается, скажем, уравнени-
ем <0,0,0, 0>);
2)	классу параллелограммов (порождаемый уравнением <1, —1, 1, —1>:
aj — а2 + а3 — а4 = 0; см. рис. 40,6);
3)	класс ЛЬ2>2 дважды проходимых отрезков <аь а2, aj, а2> (рис. 40,в;
этот класс можно’задать уравнением <1,0—1,0>, т. е. aj —а3 — 0);
4)	класс Л01>4 четырежды взятых точек <а4, аь аь а4> (рис. 40,г; этот класс
задается уравнением <1 — 1,0, 0> или а4 — а2 = 0);
5)—8) классы ЛЬ\, ЛЬ%ЛЬ^ аО, выделяющие те из многоугольников
предыдущих четырех классов, центр тяжести (пли центроид) -j (а1-|-а2 + а3 +
4- а4) которых совпадает с «нулевой точкой» О (с нулевым вектором 0). Классы
5)—8) задаются соответственно системами (27), порождаемыми уравнениями:
aj + а2 + а3 + а4 = 0, или <1, 1, 1, 1>; at + а3 — 0, или <1, 0, 1, 0>,
aj + а2 = 0, или <1, 1, 0, 0>; а, = 0. или <1, 0, 0, 0>
Нетрудно проверить, что (конечное!) множество линейных подпространств
векторного пространства ЛЬПк отвечающих циклическим классам «-угольников,
замкнуто относительно положенных в основу модели 5 (решетки линейных под-
пространств векторного пространства) операций + (векторного) сложения и •
пересечения подпространств. Эга «подрешетка» решетки всех вообще подпрост-
ранств пространства ЛЬп обладает единицей (класс ЛЬп всех «-угольников) и ну-
лем (нулевой класс ЛЬ\, п> образованный единственным «нулевым» «-угольником
<0, О, ...» О>, или <0, 0, .... 0>). Но, более того, по отношению к операциям
+ и « решетка циклических классов «-угольников представляет собой дистри-
бутивную решетку с дополнениями, т. е. булеву структуру. Так, на рис. 41
изображена диаграмма Гессе циклических классов 4-угольников, из которой
следует, что, скажем, & + ЛЬ2л —	& • ^a,2=^i,4;
z>	«^2.2 и <^1,4 — атомы структуры’и т. д.’
104
По поводу доказательства основной теоремы о бу-
левой структуре циклических классов л-угольников
см [8]. В книге (8] освещается глубокая связь рас-
сматриваемой структуры с полностью аналогичной
нашей модели 3 булевой структурой делителей «мно-
гочлена деления круга» хп — 1 (этот многочлен при
любом п «свободен от квадратов»; при п *= 4 элемен-
тами «структуры делителей хп — 1» являются много-
члены г4 — 1, х3 + х1 + х + 1,	— г2 + х — I,
х2 + 1, х2 — 1, х + 1, х — 1 и 1, где сумма и произ-
ведение двух многочленов определяются как их Н®К
и НОД) В той же книге раскрывается роль в раз-
виваемой теории так называемых циклических отоб-
ражений n-угольников, подобных отображению, зада-
ваемому уравнениями (25') (впрочем, самоотображе-
ние (25'), разумеется, «тривиально» — оно переводит каждый л-угольник в се-
бя) Так. отображение — у (а1 + аа)» ••• переводит «полный класс» в илам
& параллелограммов; отображение — (а, + ая), ... —в класс дваж-
1
ды взятых отрезков и отображение aj e -j (ах аа+а8+ а4), ... — в клаве
четырехкратных точек.
Упражнения. 10.1. Составьте таблицы, описывающие операции \ и | 
1 (см с. 47 и 61—62)
а)	«в арифметике двух чисел»; б) в «арифметике четырех чисел».
10.2.	Обозначив подходящим образом элементы булевой структуры
а) порядка 8; б) порядка 16,
составьте для этих структур «таблицу сложения»; «таблицу умножения»; «табли-
цу дополнения», описывающую действие операции «черта»; таблицу отношения
О (ср с. 92)
10.3.	а) Не обращаясь к общим свойствам булевых структур, докажите фор-
мулы (7); (8); (10); (11) «арифметики делителей свободного от квадратов числа V».
б)	Какие из перечисленных в упр а) результатов сохраняют силу для ариф-
метики делителей произвольного (не обязательно свободного оз квадратов) на-
турального числа?
10.4.	а) Нарисуйте диаграмму Гессе для решетки делителей числа И0=»
- 2а • З2 5
б)	Сколько элементов содержит решетка делителей числа N =» p{'pri9 p^h?
10.5	Докажите что соотношения (VIII) заменяются в общей «арифметике
ваибольших кратных и наименьших делителей» (и в «арифметике максимумов
и минимумов») следующими (более слабыми чем (12)j равенствами: и ® я*
 а а & а  а фо” Как выводятся эти равенства из аксиом (1)—(VII)
в (IX)—(XXI) «неполной» булевой структуры?
10.в.	Докажите, что в (действующей на отрезке (0. I] ) «арифметике мав-
вимумов и минимумов» операцию «черта» можно задать любым инволютивным
в монотонно убывающим отображением ф i а -♦ а отрезка / на себя (i е га к им,
что ф (ф (а)) — а для каждого а. где 0 < а < 1, и что из о_< Ь следует ф (а) >
> ф (Ь)). Так»_например. вместо (14 в) можно положить а — 1 — 2а где О <
< а < 1/3 и o’— а
10.7.	Исследуйте «на независимость» аксиомы (1)-~(VH) и (IX)—(XXI) не-
полной булевой структуры.
105
10.8.	Не ссылаясь на общие свойства решеток, проверьте выполнимость
а) правил поглощения (VII); б) законов (XVIII)—(XXI); в) правил де Морга-
на (XI)
1)	для решетки прямых и плоскостей обыкновенного трехмерного прост-
ранства ;
2)	для совокупности линейных подпространств n-мерного векторного про-
странства.
10.9.	Докажите, что совокупность линейных подпространств конечномер-
ного векторного пространства при введенных выше определениях операций + ,
— и отношения о представляет собой модулярную решетку с дополнениями.
11. АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ И «ЗАКОНЫ МЫСЛИ»
Перейдем теперь к самому важному примеру структуры Буля,
изучение которого послужило первым стимулом к введению самого
этого понятия. Этот пример доставляет нам так называемая алгебра
высказываний, представляющая собой раздел математической логи-
ки, правда, весьма элементарный и в значительной мере технический.
Основными элементами алгебры высказываний служат так называе-
мые простые высказывания, например высказывания: сегодня вторник,
Петя — студент, слон — насекомое, и т. д. (мы их будем обозначать
малыми буквами латинского алфавита р, q, г, ...). Потребуем, чтобы
для каждого высказывания имел точный смысл вопрос о том, истин-
но ли оно или ложно; поэтому, скажем, фразы два часа—это большой
промежуток времени или Николай — умный человек, имеющие чис-
то субъективный характер, для нас высказываниями не являются (ср.,
впрочем, ниже с. 177).
Два высказывания р и q мы будем считать одинаковыми (эквивалент-
ными), если истинность любого из них одновременно означает и истин-
ность другого; такие высказывания мы условимся соединять знаком
равенства: р = q. Так, например, одинаковы высказывания: р — се-
годня воскресенье, q — вчера была суббота иг — завтра будет поне-
дельник. Употребление знака равенства в применении к высказыва-
ниям оправдывается тем, что определенное нами «равенство высказы-
ваний» обладает теми тремя свойствами, выполнимость которых харак-
теризует каждое «равенство», а именно, рефлексивностью (р = р для
всех р); симметричностью (если р = q, то q = р) и транзитивностью
(если р = q и q = г, то р = г).
Под суммой р + q высказываний р и q мы будем понимать новое вы-
сказывание, которое получается, если соединить высказывания р и
q при помощи союза «или»; так, если р имеет смысл Петя — студент,
a q\ слон — насекомое, то р + q есть высказывание: Петя явля-
ется студентом или слон — это насекомое. При этом частицу «или» мы
условимся понимать в неисключающем смысле — утвержде-
ние «р или р» всегда будет иметь следующий смысл: имеет место или р,
или q, или, быть может, и р и q (т. е. справедливо по крайней
мере одно из двух высказываний р и q). В математической ло
106
гике сумма высказываний р и q называется их дизъюнкцией и обозна-
чается через р V q\
Под произведением pq двух высказываний р и q мы будем пони-
мать высказывание, получаемое, если соединить высказывания р и q
с помощью союза «и»; так, при тех же высказываниях р uq, что и выше,
высказывание pq гласит: Петя является студентом и слон—это на-
секомое. Таким образом, высказывание pq означает, что справедливы
оба высказывания р и q. В математической логике вместо произве-
дения двух высказываний р и q говорят об их конъюнкции, которую
обозначают через р Д q1.
Ясно, что определенные выше сложение (дизъюнкция) и умноже-
ние (конъюнкция) высказываний коммутативны и ассоциативны:
а) Р + Ч = <7 + Р и б) pq = qp,	(I)
а) (Р + Я) + г = р + (q 4- г) и б) (pq)r = р (qr);	(II)
они удовлетворяют также и идемпотентным законам:
а) р + р = р и б) рр = р.	(VI)
Несколько сложнее проверяются дистрибутивные законы. Пусть
р означает высказывание сегодня ветрено, q — сегодня стоит ясная
погода и г — сегодня воскресенье. В таком случае высказывание
(р + q)r имет следующий смысл: сегодня ветрено или ясно и, кроме
того, сегодня воскресенье. Высказывание‘же pr + qr означает: сегодня
ветрено и при этом сегодня воскресенье или же сегодня стоит ясная
погода и сегодня воскресенье. Но ясно, что последние два высказы-
вания эквивалентны:
(р + q)r = pr + qr.	(Illa)
Аналогично высказывание pq + г в нашем случае имеет смысл:
сегодня ветрено и ясно или сегодня воскресенье, а комбинация
(Р + г) (? + г) наших высказываний р, q, г имеет смысл: сегодня вет-
рено или сегодня воскресенье, а также сегодня стоит ясная погода
или сегодня воскресенье. Но нетрудно понять, что последнее высказы-
вание по существу совпадает с первым: ведь, если день, о котором идет
речь, не является воскресеньем, то он наверное является и ясным и
ветреным. Таким образом, всегда
pq + г = (р + г) (q + г).	(П1б)
Той же схеме следует и проверка законов поглощения (VII). При
прежних высказываниях р и q высказывание pq означает: сегодня вет-
рено и ясно, а высказывание р 4- pq: сегодня ветрено или и ветрено и
ясно, откуда следует, что сегодня, во всяком случае, ветрено (но может
1 Наряду с указанными в этой книге в литературе встречается еще ряд дру-
гих символов для дизъюнкции, конъюнкции и отрицания.
107
быть и ясно и пасмурно—этот пример хорошо поясняет, почему здесь
говорят о поглощении слагаемого pq первым членом р). Поэтому
р + pq = р.	(Vila)
Так же устанавливается и равенство
р(р + ц) = р	(VH6)
(проверьте его!).
Условимся теперь обозначать буквой i высказывание, которое всег-
да является истинным (например, 2x2 = #); под о будем понимать
высказывание, которое всегда ложно (скажем слон — это насекомое)
Ясно, что в таком случае
а) р + о = р и б) pi = р;	(IV)
а) р + i = i и б) ро = о.	(V)
Таким образом, роль элементов i и о нашей булевой структуры игра-
ют тождественно истинное высказывание i и тождественно ложное вы-
сказывание о.
Рассмотрим еще одну чрезвычайно важную операцию «алгебры вы-
сказываний», сопоставляющую каждому высказыванию р новое вы-
сказывание р—отрицание р. Грамматически р получается из р при
помощи частицы «не»; так, например, отрицанием высказывания се-
годня воскресенье служит высказывание сегодня не воскресенье. При
этом ясно, что
а) 7 = о и б) о = I	(X)
— отрицание тождественно истинного высказывания (например, ут-
верждение 2X2=/=#) всегда ложно, а отрицание ложного высказы-
вания (слон не насекомое) всегда истинно.
Основные свойства отрицания играют в логике очень большую
роль; эти свойства (их знали еще древние греки) получили даже спе-
циальные названия. Вот эти свойства:
1.	Закон двойного отрицания:
(IX)
— отрицание отрицания какого-либо высказывания равносильно пер-
воначальному высказыванию. Так, например, отрицанием высказывания
сегодня рабочий день является утверждение о том, что сегодня нерабо-
чий день (суббота, воскресенье или праздник); отрицание же р утверж-
дения р снова возвращает нас к первоначальной ситуации; сегодняшг
ний день не нерабочий, т. е. сегодня рабочий день.
2.	Закон исключенного третьего;	i
р + р~1	(Villa)
108
— для любого р высказывание р или не р (т. е. р или р) всегда верное
сегодня или рабочий день (р) или нерабочий (р). [Более обычная фор-
мулировка: хоть одно из высказываний р или р всегда истинно,
третьего не дано.]
3.	Закон противоречия:
РР^=о	(VI Нб)
— высказывание р и его отрицание р одновременно никогда не
выполняются', утверждение сегодня и рабочий и нерабочий день навер-
няка ложно, в этом можно быть уверенным и не заглядывая в кален-
дарь.
Остановимся еще на правилах де Моргана:
а) Р + <7 = W и б) ~pq = р + q.	(XI)
Пусть, например, р означает Петя умеет играть в шахматы, a q —
Петя умеет играть в шашки. В таком случае сложное высказывание
р 4- q — это отрицание того, что Петя умеет играть в шахматы или
в шашки, т. е. утверждение, что Петя не умеет играть ни в шахматы,
ни в шашки, другими словами, высказывание pq. Аналогично этому
отрицание pq утверждения pqt Петя умеет играть в шахматы
и в шашки означает, что или Петя не умеет играть в шахматы или он
не умеет играть в шашки-, но это и есть высказывание р 4- q.
Условимся теперь говорить, что высказывание р следует из выска-
зывания q и писать pzDq, если из справедливости высказывания q ав-
томатически следует справедливость высказывания р. Так, например,
если р есть высказывание сегодня нерабочий день, a q — высказыва-
ние сегодня воскресенье, то р zd q (но отношение q ZDp не имеет места,
ибо, кроме воскресений, нерабочими днями являются еще и праздни-
ки). Очевидно, что
pop;	(XII)
если рзэ<7и<7=)г, торгэг;	(XIII)
если р zd q и q zd р, то р = q;	(XIV)
а также
а) р 4- q zd р, б) р zd pq.	(XVI)
Наконец, естественно считать, что при каждом высказывании р
i^p	(XV а)
— так как высказывание i имеет место всегда, то можно считать, что
оно следует из любого высказывания р (если справедливо р, та
справедливо i, поскольку i справедливо во всех случаях). Далее мож-
но положить, что для всех р
PZDO	(XV6)
109 t
— поскольку высказывание о не имеет места н и к о г д а/то в усло-
виях, когда истинно о, можно предполагать все, что угодно (если
2 X 2 = 5, то существуют ведьмы): ведь сами эти условия никогда
не выполняются.
Из определения отношения следствия вытекает, что
если р id q, то а) р + q = р и б) pq = q.	(XVII)
В самом деле, если р следует из q, то справедливость q уже влечет за
собой справедливость р\ поэтому для того чтобы имело место р или q
(т. е. высказывание р + q), необходимо, чтобы выполнялось р (ина-
че не может быть истинным ни о д н о из этих высказываний). Ана-
логично, для того чтобы были справедливы оба высказывания р и q
(т. е. высказывание pq), достаточно, чтобы имело место q (тогда и р бу-
дет истинным). Ясно также, что если р id q (высказывание р следует
из q ) и р id г (высказывание р следует из г), то также и высказывание
q + г (т. е. или q, или г, или и q и г) влечет за собой р; если, напротив,
р=>ригор(изр следуют и q и г), то qr id р (собственно, это мы толь-
ко что и сформулировали!):
а) если р z=>q и р => г, то р => q + г,.
)
б) если q id р и г id р, то qr id р.
Не сложнее доказываются и предположения:
если р id q, то а) р + г q + г и б) pr id qr.	(XX)
(Соотношения (XX) читаются так: в том случае, когда из q следует р,
мы, зная, что верно высказывание q или г (т. е. q + г) или и q и г (т. е.
qr), можем с уверенностью утверждать, что верно также высказыва-
ние р или г, и р и г соответственно.] Наконец, легко понять, что (XIХа)
и (XVIa), а также соответственно (XIХб) и (XVI6) можно записать еще
и так:.
а) р + q = max [р, pl, б) pq = min [р, р],	(XVIII)
где под max [р, р] понимается такое высказывание и, что, во-первых,
U ID р И U ZD р,
и, во-вторых, каждое такое высказывание U, что U id р и U id р, удов-
летворяет условию U id и (разумеется, U может и совпадать с и). [Ра-
венство (XVII16) аналогично выводится из (XVIб) и (XI Хб); точное
определение понятия min [р, р] мы предоставляем читателю.]
Наконец, также ясно, что
если р id р, то р id р.	(XXI)
В самом деле, отношение р id р означает, что если имеет место р,
то, наверное, справедливо и высказывание р. Но тогда из того, что р
не имеет места, можно с определенностью заключить, что и высказы-
вание р является ложным: ведь если бы р было истинным, то должно
НО
было бы_быть истинным и высказывание р. Таким образом, из выска-
зывания р следует в этом случае высказывание <?. Так, например, если
все умеющие играть в шахматы студенты определенной студенческой
группы — мужчины (из р следует q, где р — высказывание он умеет
играть в шахматы, a q — он мужчина), то если данный учащийся
группы — женщина, то она наверняка в шахматы не играет (из q сле-
дует р).
Итак, мы убедились, что множество высказываний при определенных
нами операциях сложения и умножения (дизъюнкции и конъюнкции
высказываний), операции “ (отрицание) и отношении zd (отношение
следствия) удовлетворяет аксиомам (I)—(XXI) §5 и, следовательно,
образует булеву структуру. Именно этот пример был подробно про-
анализирован в основополагающем сочинении Джорджа Буля «Ис-
следование законов мысли» (An Investigation of the Laws of Thought),
положившем начало учению об булевых структурах.
Джордж Буль (1815—1864) родился в Линкольне (Англия) в семье мел-
кого торговца. Материальное положение его родителей было очень затрудни-
тельным; поэтому, несмотря на явно выраженную тягу молодого Джорджа н
знаниям, они не смогли дать ему систематического образования и, кроме началь-
ных классов школы для детей бедняков, Буль не учился ни в одном учебном за-
ведении. Впрочем, может быть, частично этим обстоятельством объясняется по-
ражающая оригинальность Буля и свежесть его мысли, никогда не ищущей про-
торенных путей: ведь он не ощущал давления традиций, воплощенных в нала-
женной системе массового образования. Нешаблонность научного творчества
Буля и всего его научного облика задержала и истинное признание заслуг Буля,
которое пришло лишь тогда, когда самого Буля уже давно не было в живых
Стремление Буля к образованию радовало его родителей; однако они не
имели возможности отдать его в хорошую школу и не могли помогать ему в за-
нятиях консультациями или советами. Мальчиком Буль самостоятельно изучил
латынь и греческий, которые проходились в те годы во всех аристократических
школах, — и это несмотря на то, что большим затруднением явилось отсутст-
вие в окружении Буля лиц, знавших эти языки ~
ных изданиях свои переводы из Горация, — но
крайне нуждалась
С ранних лет начался трудовой путь Буля, похожий на путь многих героев
Диккенса: Буль долго искал работу, дающую какой-то заработок и в то же вре-
мя оставляющую возможности для дальнейшего самообразования. Лишь после
долгих мучительных поисков и многих неудачных попыток устроиться Булю
удалось открыть маленькую элементарную школу, в которой он преподавал сам;
денег это давало мало, но оставляло некоторый досуг. В процессе занятий с уча-
щимися Буль впервые обратился к математике — и школьные учебники приве-
ли его в ужас своей нестрогостью и нелогичностью. Стремясь понять, что же на
самом деле представляет собой математика, Буль обратился к сочинениям клас-
сиков науки и самостоятельно проштудировал обширные труды Лапласа и Лаг-
ранжа. В связи с этими занятиями у него появились первые самостоятельные
идеи — и, к его счастью, Д. Грегори, основавший незадолго до того «Кемб-
риджский математический журнал», сразу же оценил глубину мысли и ориги-
нальность стиля провинциального учителя, присылавшего ему свои статьи; за-
родившаяся в эти годы дружба Грегори и Буля сыграла большую роль в жизни
последнего.
Вторым человеком, поддержка которого оказалась драгоценной для Буля,
был уже упоминавшийся выше (с. 20) кембриджский математик, профессор уни-
111
В 12 лет он уже печатал в мест-
это не приносило денег, а семья
Дж. Буль
верситета Аугустус де Морган. Инте-
ресный, хоть и не всегда бесспорный уче-
ный (его труды по расходящимся рядам
X X Харди (1877—1947) характеризо-
вал как поражающий сплав глубоких
мыслей и грубых ошибок), А. де Морган
сам интересовался вопросами логического
обоснования математики, которые вскоре
стали краеугольным камнем всех размыш-
лений Буля; первые публикации Буля за-
интересовали де Моргана, а краткая бро-
шюра «Математический анализ логики,
сопровождаемый наброском исчисления
дедуктивных рассуждений» (1847) привела
его в восторг. [Заметим, что в том же
1847 г., несколькими месяцами позже «Ма-
тематического анализа логики» вышло в
свет сочинение самого де Моргана на ту же
тему: «Формальная логика, или исчисление
выводов, необходимых и возможных», где,
в частности содержались ге. логические
законы, которые ныне называют «прави-
лами де Моргана»; это обстоятельство де-
лало его высокую оценку работы Буля
особенно весомой.] Усилиями де Мор-
гана, Грегори и других друзей и поклонников самоучка Буль стал в 1849 г.
профессором математики вновь открытого католического колледжа в г Корк
(Ирландия); здесь он провел последние 15 лет своей жизни, наконец-то
получив возможность не только обеспечить старость родителей, но и спокойно,
без мыслей о хлебе насущном, заниматься наукой. Здесь же он женился на
Мери Эверестдочери профессора греческого языка в том же колледже и род-
ственнице бывшего генерала-губернатора Индии, по имени которого высочайшая
вершина мира долго именовалась «гора Эверест»; эта женитьба способствовала
укреплению материального благосостояния Буля и его социального статуса.
Мери Буль-Эверест много помогала Булю в работе, а после его смерти остави-
ла интересные воспоминания о своем муже и его научном творчестве; она стала
матерью четырех дочерей'Буля, которые все оказались замечательными людьми
(в нашей стране из них наиболее известна Этель Лилиан Буль в замужестве
Войнич1, автор романа «Овод»).
В 1854 г. вышло в свет основное произведение Буля «Исследование законов
мысли, на которых основаны математические теории логики и вероятностей».
Эта обстоятельная книга ныне причисляется к математической классике; в ней
подробно исследуется та алгебраическая система, которую сегодня называют
«алгеброй высказываний» Правда, строго говоря, система Буля несколько от-
личалась от разобранной в настоящей книге: так. в качестве основных операций,
«алгебры логики» Буль рассматривает операции и (конъюнкция), не (отрицание)
и «исключающее или» («исключающая дизъюнкция» или симметрическая раз-
ность — у Буля выражение «р или q» всегда имеет смысл «или р или q, но не то
и другое вместе» — ср. ниже с. 127). Однако та отчетливость, с которой подошел
Буль к задаче «алгебраизации логики», и то глубокое понимание природы мате-
матики и смысла абстрактных математических структур, которые он при этом об-
наружил, не только вполне оправдывают общепринятый термин «структура (или
алгебра) Буля», но и сделали возможной крылатую фразу Б. Рассела 2: «Чистую
математику открыл Буль в сочинении, которое называлось «Законы мысли»
1	Мужем Этель Буль был польский революционер М. Войнич.
2	Бертран Рассел (1872—1970) — выдающийся английский матема-
тик и философ, один из классиков математической логики, лауреат Нобелев-
112
Разумеется, фразу Рассела никак не следует понимать буквально: так, не
говоря уже о гениальном Готфриде Вильгельме Лейбнице (1646—1716) или
о древних греках, на европейском континенте не уступающую Булю глубину по-
нимания абстрактной природы («чистой») математики демонстрировал в те же го-
ды еще один самоучка (еще один школьный учитель, так же как и Буль, по до-
стоинству оцененный лишь после смерти), немец Герман Г рассман (1809—
1877) * 1. Однако бесспорно, что данная Дж Булем в «Законах мысли» характе-
ристика (любого!) математического исчисления как «метода, базирующегося на
употреблении символов, законы комбинации которых нам известны», или фраза
«действенность анализа зависит не от истолкования символов, а исключительно от
законов их комбинации» свидетельствуют об исключительной глубине проникно-
вения в суть математики. И, конечно, нельзя забыть, что серьезная попытка фор-
мализованного изложения той логической системы, которая лежит в основе всех
математических умозаключений,— так сказать, попытка строгого описания тех
«правил игры», которым подчиняется математика (ср. [II], § 1), — принадлежит
именно Дж. Булю.
Мы видим, что соотношения, выполняющиеся в абстрактных струк-
турах Буля, имеют важный конкретный смысл: они совпадают с пра-
вилами алгебры высказываний, т. е. с теми логическими законами,
которые играют основную роль в процессе нашего мышления. Любое
дедуктивное рассуждение, заключающееся в том, что мы из каких-
то известных заранее предпосылок делаем те или иные выводы, по су-
ществу сводится к преобразованию исходных данных по правилам ал-
гебры высказываний; рассуждение считают «правильным» (или «точ-
ным»), если оно целиком построено на использовании перечисленных
в § 5 аксиом булевой структуры (или некоторой части этих аксиом).
При этом человек в процессе мышления инстинктивно следует прави-
лам формальной логики, не формулируя каждый раз те математичес-
кие законы, которыми он руководствуется в своих умозаключениях,
В настоящее время, однако, мы стремимся перепоручить весьма мног ие
функции интеллектуальной деятельности человека электронным вы-
числительным машинам. При этом оказалось необходимым тщательно
ской премии по литературе (на русский язык переведена обстоятельная «Ис-
тория западной философии» Б Рассела (М., ИЛ., 1959) и некоторые другие его
философские и литературно-философские произведения, а также научно-фан-
тастические рассказы). Опубликованные в 1910—1913 гг. двухтомные «Основа-
ния математики» Б. Рассела и Альфреда Норта Уайт хеда (1861 —1947) со-
держат одну из наиболее известных и продуманных систем логического обосно-
вания математики, оказавшую большое влияние на Давида Г ильберта
(1862—1947) и на всех последующих ученых, занимавшихся основаниями ма-
тематики и математической логикой.
1 Ср. принадлежащие Булю и Грассману краткие формулировки сути мате-
матики [II, с. 43]. [Грассман оказал большое влияние на Рихарда Деде к и н-
да (1831—1916), превосходно написанная и некогда весьма знаменитая (а ны-
не — почти забытая) брошюра которого «Что суть и что должны числа» (Was sind
und was sollen die Zahlen — в русском переводе «Что такое числа и для чего они
служат» (Казань, изд. Университета, 1909)) содержит развернутую трактовку
грассмановских взглядов на числа и на математику в целом.]
113
разобраться в существе правил логики с тем, чтобы затем заложить эти
правила в электронную память машины, заставив ее строго их соблю-
дать. С этим обстоятельством и связан, в первую очередь, тот интерес
к проблемам математической логики, который характерен для наших
дней.
Укажем еще, что связь булевой структуры с «законами мысли» яв-
ляется типичным примером использования математических методов
и конструкций в (естественных и гуманитарных) науках, -исследую-
щих явления реальной жизни (см. об этом, например, [II, § 8] ).
Алгебру высказываний мы рассматриваем здесь как одну из моде-
лей абстрактного понятия булевой структуры, — но что представляет
собой сама алгебра высказываний? Прямо связать ее можно, пожалуй,
лишь с филологическими науками — это есть некоторый
условный язык, позволяющий по отдельным фразам конструировать
новые, более сложные: по высказываниям р, q и г построить, скажем,
высказывание pq + pr + pqr)\ но нас ведь, интересуют не фразы, сами
по себе, а смысл, который можно им придать (не семиотика или грам-
матика, а семантика «логического языка»). Выше мы сказали, что ло-
гические законы, записываемые в виде правил алгебры высказываний,
играют в процессе человеческого мышления основную роль; однако
слово «основную» здесь, возможно, является и некоторым преувеличе-
нием. Дж. Буль и другие логики второй половины XIX столетия (Ау-
густус де Морган, Готлоб Фреге, Бенджамин П и р с, Э. Шрёдер,
П. С. Порецкийи др.) обработали в духе современной им алгеб-
ры так называемую «формальную» или «аристотелеву» логику, разра-
ботанную Аристотелем и его последователями специально в связи о
проблемой точного описания математического доказательства, а по
существу — далеко не достаточную даже и для этих ограниченных це-
лей1. Разумеется, формальная (аристотелева) логика играет важную
роль в процессе мышления, но она далеко не исчерпывает содержание
этого необычно сложного процесса. Происхождение аристотелевой
силлогистики ничем не отличается от происхождения любой другой
«полуэмпирической» теории: она возникла на пути существенного ог-
рубления реальных фактов, относящихся к высшей нервной деятель-
ности человека, вычленения из процесса мышления «логической ком-
поненты», легко поддающейся точному описанию и математической
формализации. Таким образом, «алгебра высказываний» является не
более чем достаточно неполной моделью «жизненной логики» человека,
причем моделью, полученной в результате определенной идеализации,
отсечения многих существенных, но трудно формализуемых моментов,
без чего мы не пришли бы к схеме, укладывающейся в прокрустово ло-
же четко формулируемых законов. С подобной «идеализацией путем
1 См., например, книги [10 и 11], специально посвященные вопросу о ме-
сте в математике интуиции и «полудоказательных» соображений и о специфиче-
ской логике прикладной математики, весьма далекой от жестких аристотелевых!
схем.
114
огрубления» мы встречаемся каждый раз при попытке такой схемати-
зации сложных жизненных явлений, которая делает возможным их
математическое моделирование.
В этом отношении «алгебра высказываний» ничем не отличается от
других абстрактных схем, вроде, например, ньютоновских «законов
движения материальной точки» или идущей еще от голландца В. С н е л-
л иуса (1581—1626) «геометрической оптики» — это есть схема,
дающая первое приближение к реальному процессу, но вовсе не
отображающая адекватно этот процесс. Именно за счет огрубления и
упрощения фактического положения вещей подобные «идеализирован-
ные» схемы (ньютоновская или эйнштейнова механика, максвеллов-
ская теория электромагнитного поля, менделевская генетика и др.)
допускают базирующееся на компактном списке аксиом математичес-
кое описание, не только облегчающее анализ и систематизацию извест-
ных фактов, но и дающее возможность предсказывать новые факты,
которые затем удается подтвердить прямым наблюдением.
Разумеется, многие умозаключения людей не могут быть обоснованы
с точки зрения строгой логики: зачастую они связаны с некоторыми
полу интуитивными представлениями, которые при настоящем поло-
жении психологии не могут быть даже охарактеризованы с той сте-
пенью полноты, которая необходима для их научного анализа. Мож-
но сказать, что мышление человека представляет собой достаточно
сложную смесь логики и интуиции; противоположную логике грани-
цу этого процесса составляют простейшие рефлексы, управляющие
поведением животных. Интересно отметить, что как «формальная ло-
гика», так и изученные И. П. Павловым «условные рефлексы» легко
моделируются на электронных вычислительных машинах; однако
все сложное переплетение логических умозаключений, интуитивных
представлений, эмоциональных возбудителей и т. д., в совокупности
определяющее высшую нервную деятельность человека, не изучено
еще с той степенью обстоятельности, при которой можно ставить зада-
чу о математическом (а затем — о машинном) моделировании этого
процесса. Так, перечисленные нас. 108—109 законы (VIII) и (IX) в оп-
ределенной степени можно считать характерными для человеческой
психики —но вовсе не «абсолютными». Ведь в жизни высказывание р
человек может считать не только «верным» или «неверным» (т. е. вы-
сказывание р + р — наверняка истинным в соответствии с законом
исключенного третьего (Villa)), но и «почти верным», «более или ме-
нее верным» или даже «вообще-то, конечно, верным, но все же для ме-
ня сомнительным» и т. д. (ср. с. 175). Также и закон противоречия
(VI116) мы обычно считаем справедливым — но при этом нас ни кап-
ли не удивляет и прямо противоречащее этому закону известное дву-
стишие римского поэта 1 в. до н. э. Катулла:
Да1 ненавижу и вместе люблю.— Как возможно, ты спросишь?
Не объясню я. Но так чувствую, смертно томясь
115
(пер. А. Пиотровского), ибо мы легко можем представить себе и столь
«нелогичное» (точнее, возможно, было бы сказать «неаристотелево»)
состояние нашей психики, имеющей гораздо более широкий спектр
возможностей, чем это допускает «жесткая» аксиоматика (I)—(XXI).
Поскольку описываемая аксиомами (I)—(XXI) булевой структу-
ры логическая система не отображает со всей полнотой процессы на-
шего мышления, то у нас нет никаких оснований считать ее «абсолют-
но истинной» — это есть всего лишь удобная математическая модель,
внутренне непротиворечивая, но безупречная лишь как раздел мате-
матики, а не как психологическая реальность. «Истинной» в последней
инстанции логической аксиоматики не может существовать, как не мо-
жет существовать и «абсолютно истинных» аксиом механики или гео-
метрии, рассматриваемых как свод законов, описывающих физическую
реальность (в частности, то пространство, в котором мы живем) — и
«аристотелева» (или «булева») логика, подобно ньютоновской механи-
ке или евклидовой геометрии, является лишь одной из ряда a priori
допустимых «логик», «механик» или «геометрий» соответственно, к
которым мы вынуждены прибегать, анализируя те или иные явления
необозримо богатой реальности (ср. [II, а. 45] ).
Близость законов алгебры высказываний к законам алгебры мно-
жеств определяется двойной связью между этими двумя алгебраи-
ческими системами. Каждое множество может быть описано либо при
помощи прямого перечисления его элементов (явный, или конструк-
тивный, метод задания множества), либо путем указания свойства,
которому удовлетворяют все элементы данного множества и только
эги элементы (неявный, или дескриптивный, способ задания множе-
ства). Так, можно говорить о множестве, состоящем из четырех студен-
тов: Пети, Гали, Коли и Оли, или о множестве отличников данной
студенческой группы, имея в виду в обоих случаях одно и то же мно-
жество.
Дескриптивный способ задания множеств связывает учение о мно-
жествах с учением о высказываниях, поскольку характеризующее
элементы множества Р свойство задается некоторым высказыванием
р (например, он отличник). При этом, очевидно, что если множества
Р и Q описываются высказываниями (свойствами) р и q, то множества
Р + Q, PQ и Р характеризуются высказываниями р + q9 pq и р. Так,
например, если в некотором множестве / плоских фигур выделено под-
множество Р фигур единичной площади и подмножество Q треуголь-
ников, то множество P + Q характеризуется высказыванием: она (фи*
гура) имеет площадь 1 или является треугольником (рис. 42). Далее,
если Р zd Q, то и р zd q\ так, если в рассмотренном выше примере все
треугольники имеют единичную площадь (рис. 43), то Р zd Q и одновре-
менно с этим высказывание р — она (фигура) имеет площадь 1 — яв-
ляется следствием высказывания q — она является треугольником.
Таким образом, задаваемое дескриптивными определениями мно-
116
I
Рис. 42

P+Q
Рис. 43
жеств отображение множеств на высказывания переводит булеву
структуру множеств в булеву структуру высказываний.
С другой стороны, выделив какой-то определенный круг высказы-
ваний, можно рассмотреть множество 1 всевозможных объектов, к ко-
торым эти высказывания относятся; так, если ограничиться лишь вы-
сказываниями о студентах определенной студенческой группы, то
роль множества I будет играть множество всех учащихся этой группы.
При этом каждому высказыванию р будет отвечать некоторое подмно-
жество Р множества /, а именно, множество тех элементов /, для ко-
торых высказывание р является истинным. Так, для высказывания р
он отличник множество Р может состоять из названных выше четы-
рех студентов. Определенное таким образом множество Р называется
множеством истинности высказывания р. При этом, очевидно, если
множества истинности высказываний р и q суть Р и Q, то множества
истинности высказываний р + q, pq и ~р суть Р + Q, PQ и Р; так,
например, в_рассмотренном выше примере множество истинности вы-
сказывания р\ он не отличник состоит из всех студентов данной груп-
пы, кроме Пети, Гали, Коли и Оли, т. е. совпадает с множеством Р.
Кроме того, если высказывание р следует из высказывания q\p^ q,
то, очевидно, множество истинности высказывания р (множество Р)
содержит множество истинности высказывания q (множество Q); так,
если множество отличников состоит из студентов Пети, Гены, Семы и
Олега, то высказывание^: он юноша следует из высказывания q\ он от-
личник и одновременно множество юношей из данной группы содержит
множество отлично учащихся студентов. Следовательно, понятие мно-
жества истинности данного высказывания отображает булеву струк-
туру высказываний на булеву структуру множеств. При этом как пер
вое, так и второе отображения устанавливают тождественность (изо-
морфизм) наших двух моделей структуры Буля: алгебры множеств н
алгебры высказываний, что позволяет не проверять аксиомы (I)—
(XXI) для одной из этих двух алгебраических систем, коль скоро они
уже проверены для другой.
117
Правила алгебры высказываний могут быть использованы при ре-
шении логических задач, условия которых представляют собой сово-
купность высказываний, по которым требуется установить истинность
или ложность других высказываний. Вот пример такого рода.
Предположим, что в санатории на берегу моря отдыхают отец О,
мать М, сын С и две дочери Дг и Д2. До завтрака члены семьи часто
купаются в море, причем известно, что если отец утром отправляется
купаться, то с ним обязательно идут мать и сын; если сын идет купать-
ся, то его сестра Дх отправляется вместе с ним; вторая дочьД2 купается
тогда и только тогда, когда купается мать, и каждое утро купается
по крайней мере один из родителей. Если в воскресенье утром купа-
лась в море лишь одна из дочерей, то кто из членов семьи в это утро
ходил на море?
Условимся обозначать высказывания отец утром купался в море,
мать купалась в море, 1-я дочь утром купалась в море и т. д. символа-
ми О, Л4, Ди Д2 и С; отрицания этих высказываний мы, как обычно,
будем обозначать теми же символами, что и сами высказывания, но о
черточкой наверху. В символической форме условия задачи записыва-
ются так:
1)	ОМС + 0 = Z,
2)	СД. + C=J,
3)	МД2 + МД2 = I,	(11.1)
4)	О + М = Z,
5)	Д1Д2 4" Д1Д2 = h
где буквой Z, как всегда, обозначено истинное высказывание. Пере-
множив все равенства (1), мы получим следующее соотношение:
(ОМС + б) (СД. + С) (МД2 + МД2) (О + Л4) (ДЛ2 +Д1Д2)=19
(11.2)
равносильное системе (1) равенств (ибо истинность произведения вы-
сказываний означает, что истинны все высказывания).
Раскроем скобки в выражении, стоящем слева, опираясь на (пер-
вый) дистрибутивный закон (II 1а) и используя коммутативные зако-
ны (I) и ассоциативные законы (II), а также идемпотентные законы
(VI), закон противоречия (VI Пб) и соотношения (V6) и (IVa). При
этом, для того чтобы несколько упростить преобразования, мы изме-
ним порядок, в котором будем перемножать скобки:
(ОМС + б)(0+ М) = ОМС + ОМ,
(ОМС + ОМ) (МД2 + МД2)_= 0МСД2 + 0МД2, _
(0МСД2 +	= о_мсд.дг + омдд,,
(ОМСД^Ц + 0МДгД2) (СД! + С) = ОМСДЛг-
118
Таким образом, окончательно получаем:
0МСД1Д2 = 1,	(11.2')
т. е. в воскресенье утром купались в море лишь мать М и вторая
дочь Дг. ►
Основу этого решения задачи составляют те алгебраические преоб-
разования, с помощью которых мы упростили довольно сложное вы-
ражение (2), приведя его к форме (2'). Внимательный читатель без тру-
да поймет, что здесь мы использовали процедуру приведения стоящего
в левой части (2) «булева многочлена» к совершенной нормальной ад-
дитивной форме1 (см. § 6). При этом ясно, что в случае равенства ти-
па (2)
F(p9 q9r. ...) = i,	(11.3)
где F (р, q9 r9 ...) — какой-то булев многочлен, приведение левой
части (3) к совершенной] аддитивной форме, скажем, переход от (3)
к
♦
PQr + pqr + pqr = i9	(11.3')
полностью проясняет ситуацию: равенство (3') означает, что либо р и
q истинны, а г ложно*, либо риг истинны, a q ложно*, либо, наконец, ис-
тинно лишь р, a q и г оба ложны.
Впрочем, в некоторых случаях может оказаться удобнее приведе-
ние левой части (3) к совершенной нормальной мультипликативной
форме1 2 3 *
П(р'+/ + / + ...) = /,	(11.3")
где р есть р или р\ аналогично расшифровываются записи/, г',
этот переход также проясняет условия выполнимости равенства (3).
Заметим еще, что если вместо систем типа (1) совокупность условий
логической задачи записывается в виде ряда равенств, в правой части
которых стоит тождественно ложное высказывание о, то эти равенст-
ва надо не перемножать, а складывать, и при этом мы придем к экви-
валентному исходной системе равенству
G (р, q, г, ...) = о,	(11.4)
где G (р, q9 г9 ...) — какой-то булев многочлен, зависящий от выска-
зываний р, q, г9 ... (ср. упр. 16)).
Совершенная нормальная форма высказывания может быть полез-
на для распознавания равных (или эквивалентных) высказываний:
ведь ясно, что два зависящих от независимых8 высказываний р, q9
1 В математической логике ее чаще называют совершенной нормальной ди-
въюнктивной формой.
* В логике форма (3") сложного высказывания называется совершенной
нормальной конъюнктивной формой.
3 Т. е. таких, что каждое из них может оказаться истинным или ложным,
независимо от истинности или ложности остальных высказываний.
119
г, ... буЬева многочлена и /2 равны в смысле нашей булевой структу-
ры в том и только в том случае, если они имеют одинаковую совершен-
ную нормальную аддитивную или мультипликативную форму. [При
этом мы, разумеется, должны считать, что Д и f2 зависят от о д н и х
и тех же «простых» высказываний р, q, г, ..., чего, впрочем, всегда
можно добиться: ведь если, скажем, высказывание р входит в выраже-
ние для /ь но не в выражение для /2, то мы можем записать ft в виде
/2 (р + р), уже содержащем высказывание р — ср. выше, с. 51].
Но И, помимо этого, совершенная нормальная аддитивная форма слож-
ного высказывания часто оказывается полезной.
Один пример подобного рода мы уже рассмотрели выше. Вот еще одна зада-
ча, близкая по своему математическому содержанию к рассмотренной нами «за-
даче об утреннем купании». Проанализируем упрощенный учебный план, где
неделя включает всего три учебных дня — понедельйик среду и пятницу, при-
чем каждый день содержит не более трех пар учебных часов В течение недели
учащиеся должны иметь три пары учебных часов по математике, две — по физи-
ке и по одной — по химии, истории и физкультуре. При этом:
1.	Математик настаивает, чтобы его часы никогда не были последними и по
крайней мере два раза — первыми
2.	Физик желает чтобы его часы также не были последними; по крайней ме-
ре один раз он хочет иметь первую пару часов; в среду он должен быть свободен
первые два часа, а в пятницу напротив того может работать лишь первые два
часа.
3.	Историк может преподавать лишь в понедельник в течение первых четы-
рех часов или в среду в течение третьего и четвертого часов; кроме того, он не
желает, чтобы его занятия непосредственно предшествовали физкультуре.
4.	Химик настаивает, чтобы его занятия происходили не в пятницу и не в те
дни, когда учащиеся занимаются физикой
5.	Занятия по физкультуре проводятся на стадионе, и поэтому естественно
требовать, чтобы они были последними в свой день; кроме того, физкультурник в
пятницу занят на другой работе.
6.	Естественно требовать, чтобы в течение каждого учебного дня у учащихся
было не больше двух часов занятий по одному и тому же предмету.
7.	Свободные от занятий два часа в рамках учебной недели из 3X3—9 пар
часов (из которых заняты лишь 3+2+1 +1+1 = 8 пар часов) должны приходиться
на последнюю пару часов в пятницу или на первую пару часов в понедельник.
Как можно составить расписание с соблюдением всех поставленных усло-
вий?
<4 Перенумеруем 9 пар учебных часов цифрами от 1 до 9; в таком случав
задача заключается в выяснении истинности или ложности 54 высказываний Му,
Фу. Ху, Hj, Cjt Oj, означающих, что /-я пара часов (где j = 1,2, или 9) посвя-
щена Математике, иди Физике, или Химии, или Истории, или Физкультуре (Спор-
ту) или свободна от занятий (учащиеся Отдыхают). Условия задачи можно запи-
сать в виде следующей системы соотношений:
1)	^i = M8M6Me(MiM4+MiM7+M4M7)=/t
2)	/2с=ФзФ'Фо(Ф1 + ^4+Ф7)<^ФяФ9 = 1
3)	/8 = (И-i + И2 +Иц) (И} С? + И9 Сз -j-И < Сл -}-Иц Сб + Ич Ся + Ия С^=*19
4)	= Х7 Хя X, (Ф] Х2 + Ф] Х;<+Ф2.Х, +Ф2 хз + • • +Ф8 Х7 +Ф| Х8 ) —Z,
5)	fb = (Сз+Св+Св+С2 О8+С8 0в+ С8 о9) С7 С8 Cg=it
120
6)	fe-=(Mj Mt+Ml Ma+M2 Ms+Mt Mt -j-... -J-M, Mt )>
•(Ф1Фа4-Ф1Ф,4- ... +Ф8Фа)=/,	(П.5)
7)	Zt-Oj+0,-1.
Система равенств (5) равносильна одному равенству
f - WJJM -	(11.59
Совершенная нормальная аддитивная форма выражения f имеет вид:
f - М^Х^ФъС&М^ ... + М1Ф2С8М4ЯвХвФ7М8Ов...,	(1169
где точками обозначены 54—9=45 сомножителей, входящих в каждый из двух
членов суммы f со знаком отрицания. Таким образом, существуют только два спо-
соба составления расписания, удовлетворяющие всем поставленным требовани-
ям:
1)	понедельник: математика, история, химия; среда: математика, физика,
физкультура; пятница: физика, математика, свободные часы;
2)	. понедельник: математика, физика, физкультура; среда: математика, ис-
тория, химия; пятница: физика, математика, свободные часы.
Вернемся к нашей «задаче об утреннем купании». Поучительно со-
поставить приведенное решение этой задачи с тем' которое мог бы пред-
ложить учащийся, не знакомый с элементами математической логики.
Систему равенств (1) и последующие формальные преобразования
этих равенств этот учащийся заменил бы «неформальными рассужде-
ниями» (т. е. рассуждениями, опирающимися не на строго сформули-
рованные законы логики, а на «здравый смысл») примерно такого рода:
«Если бы Отец в воскресенье утром пошел купаться, то с ним пошли
бы Мать и Сын; но вместе с Сыном пошла бы и Первая Дочь, а вместе
с Матерью — Вторая Дочь; а так как в воскресенье из двух Доче-
рей, на море была лишь одна, то Отец не мог пойти купаться» и т. д.
Но нетрудно понять, что рассуждения такого рода на самом деле так-
же опираются на строгие законы алгебры высказываний, — и пресло-
вутый «здравый смысл» как раз и заключается в точном следовании
этим законам.
Так, например, проведенное только что рассуждение может быть
сформулировано так: «по условию
М zd О и С zd О;
но так как, кроме того,
Дх С и Д2 о М, М zd Д2,
то в силу правила (XIV) М = Д2 и, следовательно,
Дг => О,
а в силу правила (XIII)
Дх О;
121
таким образом, из высказывания О следуют высказывания и Д2> а
так как из них имело место только одно, то справедливо высказывание
О» и т. д. Таким образом, «формализация» обычных умозаключений,
отраженная в приведенном на с. 118—119 решении задачи, состояла
лишь в том, что мы точно перечислили все предпосылки, использован-
ные в дальнейших рассуждениях, и ввели математические символы,
позволившие кратко записать как исходные правила, так и весь ход
решения.
Изложенное в тексте решение «задачи об утреннем купании» легко
может быть перепоручено электронной вычислительной машине, по-
скольку лежащие в его основе правила (1)—(XXI) алгебры высказы-
ваний легко заложить в «память» машины, а весь дальнейший ход
решения достаточно просто может быть автоматизирован.
С задачами такого рода мы довольно часто встречаемся в практи-
ческой жизни. Сходный характер имеет, например, задача составления
расписания для того или иного учебного заведения, где приходится
учитывать множество взаимосвязанных условий: пожелания и воз-
можности преподавателей и учащихся, необходимость чередовать пред-
меты разного характера и разной степени трудности, а также лекци-
онные курсы и практические занятия и т. д. (ср. с разобранной на с.
120—121 задачей). С проблемами такого рода сталкивается диспетчер
на транспорте, организующий наиболее рациональный режим рабо-
ты, скажем, железнодорожной сети, и т. д. В настоящее время при ре-
шении подобных задач широко используются вычислительные маши-
ны, причем составление программ для их работы базируется на за-
конах математической логики, в частности на акси'омах алгебры вы-
сказываний.
Выше мы коснулись также правил, регулирующих употребление
символа о. Установление того, что два высказывания связаны этим
символом, можно назвать выводом; тогда в записи р zd q высказывание
q будет называться условием, а высказывание р — заключением, или
следствием1.
С такими выводами мы постоянно встречаемся в науке и в практи-
ческой жизни: например, заключение любой теоремы является след-
ствием ее условия. Правильность вывода обеспечивается соблюдением
условий (XII)—(XX) и (XXI), играющих основную роль почти во
всех рассуждениях. Так, правило (XIII): «если р тэ q и q zd г, то
1 Иногда также говорят, что высказывание р доставляет нам необходимое
условие истинности высказывания q (ибо для того чтобы имело место q, необ-
ходимо, чтобы имело место также и р), а высказывание q — достаточное
условие истинности высказывания р (ибо, для того чтобы имело место р, вполне
достаточно, чтобы выполнялось высказывание q)\ если жерзэри^гэр
(т. е. р = q)y то говорят, что справедливость р представляет собой необходимое
и достаточное условие того, что q имеет место (и наоборот, q доставляет нам не-
обходимое и достаточное условие справедливости р).
122
р => п>, другими словами, «если из q еле- ' Л*------------------ с
дует р и из г следует q, то из г следует / \
ръ — позволяет расчленять сложные вы- /	/
воды на ряд этапов. Пусть, скажем, нам /\ /
требуется доказать, что если диагонали АС , А
и BD четырехугольника ABCD (рис. 44)
в точке пересечения О делятся пополам Рис. 44
(это есть высказывание р), то этот четы-
рехугольник — параллелограмм (высказывание q). Но если АО — 00
и ВО = OD, то треугольники АОВ и COD, AOD и СОВ конгруэнтны
(высказывания qt и р2; итак, pi 2D р и р2 zd р); поэтому </САВ «
= Z_A CD и </CAD = / АС В (высказывания гг и гг; гг zd рх и
гг zd ft), а следовательно, ДВЦСО и ЛРЦСВ (высказывания и
S] zd rt и $2 z г2). Итак,
«1 => G ZD qx ZD Р И S2 2D Г2 2D ft ZD р',
значит,
Si =) Р И S2 2D Р,
— что и доказывает требуемую теорему.
Правило (XXI): «если р zd q, то q zd р» читается так: «если из вы-
сказывания q следует высказывание р, то из отрицания высказывания
р вытекает отрицание высказывания р». Это правило лежит в основе
весьма распространенного метода вывода (или доказательства) от об-
ратного или приведением к абсурду. Пусть, например, мы хотим до-
казать теорему (см. рис. 45): если прямые АВ и CD параллельны (это
есть утверждение р), то соответственные углы АКМ и CLM, обра-
зованные этими прямыми с секущей ММ, равны между собой (это есть
утверждение р). Вместо того чтобы доказывать соотношение р zd р,
мы докажем, что р zd р, т. е. что из отрицания р вытекает отрицание
р. Предположим, что прямые АВ и CD не параллельны, т. е.
что они пересекаются в некоторой точке Р (рис. 46). В таком случае
углы АКМ и CLM не будут равны (это есть внешний угол тре-
угольника PKL и не смежный с ним внутренний угол). Таким образом,
соотношение р 2D р доказано; тем самым доказано и соотношение
р cz р. 1Строго говоря, здесь надо применить к соотношению р zd р
правило (XXI) алгебры логики и_воспользоваться законом двойного
отрицания (IX): если q zd р, то р с q, т. е. р cz р.1
Большое значение отношения р zd q двух высказываний делает по-
лезным рассмотрение еще одной бинарной операции алгебры выска-
зываний, тесно связанной с этим отношением. Эта бинарная операция
называется импликацией высказываний р и р; она записывается таю
р => р. Грамматически высказывание q=^p образуется из высказыва-
ний р и р с помощью выражения «если .... то ...» или глагола «следует»;
оно гласит: «если р, то р», или «из р следует р». Так, например, если
высказывания р и р имеют смысл: Петр — спортсмен и слон — наое-
123
Рис. 45
Рис. 46
комое, то высказывание q => р означает: Если Петр является спортс-
меном, то слон — насекомое или из того, что Петр является спорт-
сменом, следует, что слон — это насекомое. При этом мы будем считать,
что импликация q => р истинна во всех тех (и только тех) случаях, ког-
да р zd q\ таким образом, сложное высказывание q => р можно сфор-
мулировать также и следующим образом: отношение р zd q имеет мес-
то. Поэтому если высказывание q является ложным, то высказывание
q => р будет истинным при любом высказывании р (ибо из заведо-
мо ложного высказывания о следует любое высказывание!); так, на-
пример, если названный выше Петр физкультурой пренебрегает, то
мы будем считать истинным приведенное выше высказывание </=> р:
если Петр — спортсмен, то слон — это насекомое.
Необходимо обратить внимание читателя на глубокое различие
между операцией q => р алгебры высказываний и отношением р zd q.
Сложное высказывание q => р может быть образовано при любых
высказываниях р и р; при этом, как и всякое другое, высказывание,
оно может оказаться истинным или ложным. Отношение же p^q свя-
зывает лишь некоторые пары высказываний; при этом наличие
отношения р zd q само по себе никаким высказыванием не является —
это есть определенный факт, относящийся к высказываниям р и q\
Следует отметить одну особенность импликации q => р, отличаю-
щую ее от известных нам ранее суммы р +q и произведения pq выска-
зываний: операция q => р некоммутативна, т. е. высказыва-
ние р => q, вообще говоря, отличается от высказывания g => р. Импли-
кация р => q называется конверсией импликации q =ф- р. Переход от
импликации q =>р к ее конверсии р => q равносилен переходу от пря-
мой теоремы «если q, то р» (например, если все стороны четырехуголь-
ника равны, то его диагонали взаимно перпендикулярны) к обрат-
1 Можно также сказать, что импликация q=>p представляет собой функцию,
сопоставляющую каждым двум высказываниям р и q новое высказывание q =>р\
отношение же р zd q можно описать как функцию, сопоставляющую паре вы-
сказываний р и q число 1 или 0 (если считатьт что любое выполняющееся отноше-
ние имеет «значение истинности 1», а невыполняющееся — «значение истинно-
сти 0» — ср. с § 13).
124
ной теореме «если р, то q» (если диагонали четырехугольника взаимно
перпендикулярны, то все его стороны равны). Но хорошо известно, что
формулировки прямой и обратной теорем вовсе не эквивалентны и одна
из них может оказаться верной, а вторая — неверной. Равносильна
импликации q => р импликация р => q, называемая контрапозицией
высказывания q => р\ в самом деле, в силу правила (XXI) отношение
р zd q являетсЯ-Истанным в том и только в том случае, когда истинно
отношение q zd р._Переходу от высказывания q => р (т. е. если q, то р)
к высказыванию р => q (другими словами, к высказыванию: если не име-
ет места р, то не имеет места и q) равносилен переход от прямой тео-
ремы («если все стороны четырехугольника равны, то его диагонали
взаимно перпендикулярны») к теореме, обратной противо-
положной исходной («если диагонали четырехугольника не
взаимно перпендикулярны, то не все его стороны равны»); эта теорема
оказывается эквивалентной первоначальной теореме. Импликация же
q => р, выражающая теорему, противоположную теореме
q => р (в рассматриваемом выше случае — теорему «если все стороны
четырехугольника не равны, то диагонали его не перпендикулярны»),
не равносильна исходной теореме — она равносильна обратной теоре-
ме «если р, то q» (из правила (XXI) вытекает, что отношения следствия
q^p и pz^q выполняются или не выполняются одновременно).
Наряду с импликацией q => р иногда рассматривают также так на-
зываемую двойную импликацию (или эквивалентность1) q и р, обозна-
чаемую символом q*=»p. Двойная импликация высказываний р и q
читается так: «если и только если q, то р» или «р в том и только в том
случае, если?». Так, при указанных нас. 123значениях высказываний
р и q высказывание р «=► q гласит: Петр является спортсменом в том
и только в том случае, если слон — это насекомое. Выделенное кур-
сивом предложение является новым высказыванием (хотя и довольно
нелепым!): двойная импликация также представляет собой бинарную
операцию алгебры высказываний, сопоставляющую каждым двум
высказываниям q и р новое высказывание q *=* р. Ясно, что двойная
импликация q <=► ртак относится к отношению равенства (эквивалент-
ности) высказываний, как простая импликация — к отношению след-
ствия: высказывание ?«==► р является истинным в том и только в том
случае, если имеет место отношение q = р. В противоположность про-
стой импликации двойная импликация высказываний уже комму-
тативна: для любых двух высказываний q и р высказывания q р
и р q эквивалентны, т. е.
q р = qt
1 Мы предпочтем далее употреблять для рассматриваемой (бинарной) опе-
рации алгебры высказываний именно термин «двойная импликация», а не (по-
жалуй, более распространенное) название «эквивалентность», сохранив по-
следнее для (бинарного) отношения q = р между высказываниями —
ведь никак недопустимо обозначать одним и тем же словом два разных понятия.
125
Понятие множества истинности высказывания (см. с. 117) позвс
ляет перенести новые операции q=>p и q алгебры высказывани
и в область алгебры множеств. Пусть q и р — два произвольных вы
сказывания, Q и Р — их множества истинности. Множества истинно
сти высказываний q=>p и q<=> р мы обозначим через Q=>P и (?-<=► Р
Очевидно, что импликация q => р является истинной в том и только 1
том случае, если высказывание q является ложным (из ложных пред
Рис. 47
посылок следуют любые выводы) или если вы
сказывания q и р истинны одновременно (ис
истинных предпосылок следуют истинные вы-
воды); другими словами, множество Q => Р
представляет собой объединение дополнения
множества Q и пересечения множеств Q и Р
(рис. 47, а). Отсюда следует, что
Q=>P = Q + QP,	(11.6)
а следовательно, и
q=>p = q+qp.	(Н-6')
Таким образом, импликация q => р выска-
зываний q и р может быть определена с по-
мощью основных операций алгебры выска-
зываний: сложения высказываний, умноже-
ния высказываний и образования отрица-
ния. Так, приведенное выше высказывание:
если Петр является спортсменом, то слон —
это насекомое равносильно следующему: или
Петр спортсменом не является, или он —
спортсмен, а слон — насекомое.
Аналогично двойная импликация q^=^ р
истинна в том и только в том случае, если
оба высказывания: и q, и р истинны или если
оба высказывания ложны. Таким образом,
множество (?-<=► Р представляет собой объе-
динение пересечения множеств Q и Р и пе-
ресечения множеств Q и Р (рис. 47, б):
P = QP+QP.	(11.7)
Отсюда следует, что двойная импликация
р высказываний также может быть выра-
жена с помощью известных нам ранее опера-
ций алгебры высказываний:
q р = qp 4- qp.
d 1,7')
126
Из формул (6') и (7') сразу следует, что двойная импликация q<==*-p
представляет собой коммутативную операцию алгебры высказыва-
ний, а простая импликация q => р — некоммутативную: ,
р	q = pq + pq = q	р. но p=>q =
= p + pq^q + qp = q-> р
(см. рис. 47, в, на котором изображено множество Р => Q истинности
конверсии р =► q импликации q=> р). С другой стороны, контрапози-
ция р => q импликации q => р совпадает с самой импликацией: ведь
p^-~q-=p + pq,
а из рис. 47, а видно, что множества Q => Р — Q 4- QP и Р =ф- Q =
= Р + PQ совпадают. Равенство импликации q =*- р высказываний
q и р контрапозиции р => q этой импликации можно также доказать и
без апелляции к чертежу:
p^q = p+~pq = p{q + q) + pq = (pq + pq) + pq=‘
= pq + {pq+Vq) = pq+{p+p)q = pq + iq =
pq+q=q+pq = q=> р
см. аксиомы (Villa) и (IV6), (Illa), (Ha), (la), (16) алгебры высказы-
ваний). Аналогично высказывание q => р совпадает с конверсией
р => q импликации q => р;
q=>~p^q + qp^p +pq = p=>q.
В алгебре высказываний можно также определить разность
p\q = pq	(11.8)
высказываний р и (/(«лингвистически» высказывание p\q образуется
так: «р, но не д») и симметричную разность
p*q = pq+pq	(ILS')
тех же высказываний (из (8') следует, что высказывание р * q озна-
чает «р или q , но не р и q одновременно»', его иногда называют исклю*
чающей дизъюнкцией р и q и обозначают р V q). Нетрудно так же до-
казать все перечисленные на с. 47—48 свойства операций \ и * (см.
УПР- 2).
Операция Шеффера	(11.9а)
p\q =~р q
и двойственная ей операция
p[q = p±q	(11.96)
127
имеют в алгебре высказываний следующий смысл: высказывание р | q, очевидно
означает ни р, ни q (в силу чего операцию | в логике называют: операция «ни
ни»), а высказывание р | q—не р или не q. Тернарная операция {р, q, г) алгебрь
логики записывается так:
{р, q, г} = pq + qr + гр = (р + q) (q + г) (г + р);	(11.10
ясно, что высказывание {р, q, /} означает справедливость по крайней
мере двух из высказываний р, q и г.
При этом
р+<? = (Р|<7)1(Р|<?) (=(/> 1Р)1(<7 !<?)),
pq = (p |р) I (p|g)	( = (P W) HP W)).
p=p|p	(-Pip)!
следовательно, например,
g=>p =<h-<?p={(<7 I <7) I Up I p) i (p I p)1 } I {(g I q) I [(p I p) I (<? I <?)]}
и
P = P9+pg =r|r. где r= [(plp)l(glg)] |[(Pt |p,)| (gjgOI, я p, =«p|p
и g,=g|g
Через тернарную операцию {p, g, г} сумма (дизъюнкция) и произведение (конъ-
юнкция) высказываний р и g выражаются так:
р + g — (р, д, <} и pq -= {р, д, о}.
Выше мы уже останавливались на связи между операцией q =► р
и отношением q тэ р. С помощью алгебраических символов эта связь
может быть записана так:
p=>(q=>p)q;	(11.11)
другими словами, если имеет место импликация q => р и справедливо
высказывание q, то истинно и высказывание р. Соотношение (11) с оче-
видностью следует из формулы (6'):
(я =* Р)<7 = (7 + qp)q = о + qp = qp,
ибо, как мы знаем, всегда р гэ qp (см. правило (XVI6) алгебры выска-
зываний). Составляющая содержание соотношения (11) форма аргу-
.ментации представляет собой классический силлогизм:
Все люди смертны (т. е. если N — человек, то N смертен; q => р);
Петр — человек (q);
Следовательно, Петр смертен (р).
Является правильным и рассуждение, выражаемое следующим со-
отношением:
q-=>(q=>p)p	(Н.Нг)
128
— если имеет место импликация q => р и высказывание р ложно, то
ложно и высказывание q. Соотношение (11') также легко выводится
из формулы (6'):
(q^pip =(q + pq)p = q~p+(pp)q==qp +oq = qp + o = qp;
поэтому q:s(q=> p)p = qp.
Вот пример, иллюстрирующий применение правила (11'):
Все математики рассуждают логично (если N — математик, то,
он рассуждает логично: q => р);
Павел рассуждает нелогично (р);	_
Следовательно, Павел не математик (q).
Точно так же, например,
q=>(q=>p)(p —► r)~r	(11.1 Г)
— если из q следует р, высказывание р эквивалентно г и г не имеет
места, то не имеет места и q. В самом деле, в силу формул (6') и (7'),
(q => р)(р	г)7=(q + pq) (pr +p~r)r = qp(r7) +
+ q P (7 7) 4- (ppq) (rr) + (pp) q (r~7) =
= o + qp7 + o + o = qpr
и, следовательно,
q qpr = (q => p) (p <=- r)r.
Можно, скажем, рассуждать следующим образом:
Если стороны четырехугольника равны, то он является параллело-
граммом (даже ромбом; q => р);
Четырехугольник является параллелограммом в том и только в том
случае, если его диагонали делятся в точке пересечения пополам (р <==> г);
Но у четырехугольника A BCD диагонали в точке пересечения не де-
лятся пополам (г);
Поэтому все стороны четырехугольника A BCD никак не могут быть
равны (q).
В противоположность этому, например, следующие два соотноше-
ния могут и не иметь места:
q=>(q=>p)p	(1112)
И
р=>(?=4>р)?.	(11.12')
В самом деле,
(<7^р)р = (р4-рр)р = рр+рр = (р4-р) р=4р = р\
(q=*p)q = (q + qp)q = q+ (qq) р = q+ o = q,
5 Зак. 1518	129
а соотношения
qzzp или p zd q,
разумеется, сами по себе (безотносительно к смыслу высказываний
р и q\) никак не следуют из правил алгебры высказываний. Поэтому
следующие две (к сожалению, довольно распространенные, особенно
среди нематематиков) формы аргументации не вытекают из аксиом (I)—
(XXI) и являются неправильными:
«Из q следует р; но р имеет место, поэтому истинно и высказывание
<7» (скажем, противоположные стороны параллелограмма равны, но и
у четырехугольника A BCD противоположные стороны А В и CD рав-
ны, поэтому A BCD — параллелограмм)',
«Из q следует р; но высказывание q ложно, поэтому ложно и выска-
зывание р (например, юристы — хорошие ораторы, но N не юрист*,
поэтому ему не следует поручать выступление*, он говорит плохо).
Связанные с (истинными или ложными!) аргументами (И)—(11ж)
и (12)—(12') рассуждения дают достаточное представление о силлогис*
тике Аристотеля, составляющей основную часть развитой последним
теории доказательства (см. [12]; по поводу современной обработки это-
го материала см., например, [13] или гл. V книги [1.13]).
Приведенные примеры, (число которых, конечно, можно значитель-
но увеличить) достаточно выпукло иллюстрируют роль, которую иг-
рают аксиомы булевой структуры (правила (I)—(XXI) формальной
логики) в общежитейских и научных рассуждениях.
Упражнения. 11.1. Решите «задачу об утреннем купании» (см. с. 118)
а) приведя стоящий в левой части (2) многочлен к совершенной нормальной
мультипликативной форме;
б) записав условия задачи в виде утверждения о ложности определенной сис-
темы высказываний и затем преобразовав полученную систему равенств
ft (Pt q, г,...)=0(где i“l,2, ... ит.д.» a pt q, г, ... — это наши высказывания О,|Л1,
Сит. д.), заменив ее одним равенством F (р, q, г, ...) = о.
11.2. Проверьте, что логический смысл «сложных» высказываний, записы-
ваемых через простые высказывания а, 0, у, ..., с помощью выражений, стоящих
в левых частях всех «булевых тождеств», отвечающих перечисленным в § 4 тожде-
ствам алгебры множеств (эти булевы тождества выписаны на с. 47—48), экви-
валентен смыслу сложных высказываний, выражаемых правыми частями тех
же тождеств.
11.3. На бумаге нарисован ряд фигур — многоугольных и гладких (без уг-
лов и изломов), черных и белых, больших (по площади) и маленьких, вытянутых
и округлых. При этом известно, что
1)	все многоугольные фигуры черные или большие;
2)	все черные фигуры маленькие или округлые;
3)	ни одна фигура не является одновременно и маленькой и округлой;
4)	вытянутые многоугольники являются черными и большими.
Что вы можете сказать об этих фигурах?
11.4. Некоторые объекты обладают свойствами 4, В и С. Что вы можете
сказать о следующих условиях:
1)	все В суть 4; 2) если С, то не В; 3) если 4 и С, то также и Б?
130
11.5	(задача Э. Шрёдера !). Один химик утверждал: «Соли, которые не окра-
шены, суть ни что иное как соли, которые не являются органическими соедине-
ниями, или суть органические соединения, которые не окрашены». Второй химик
с ним не согласился. Кто из них был прав?
11.6	(задача П. С. Порецкого1 2). Относительно присутствующих на балу девиц
известно, что: 1. Каждая из девиц была или благовоспитана, или весела, или мо-
лода, или красива. 2. Все нетанцующие девицы были некрасивы, а танцующие —
или молоды, или веселы, или благовоспитаны. 3: Все молодые девицы были или
красивы, или веселы, или благовоспитаны. 4. Все молодые или красивые девицы
были либо благовоспитаны, либо веселы. 5. Все веселые девицы были или благо-
воспитаныг или молоды, или красивы. 6. Молодых и веселых, но некрасивых и не-
благовоспитанных девиц на балу не было вовсе. 7. Молодые, красивые и веселые
девицы все были благовоспитаны. 8. Все благовоспитанные девицы были или мо-
лоды, или веселы, или красивы. 9. Все красивые и благовоспитанные девицы бы-
ли веселы или молоды. 10. Невеселые девицы были или немолоды, или некраси-
вы, или не благовоспитаны. 11. Все веселые и благовоспитанные, но немолодые
девицы были красивы. 12. Немолодые девицы были или не благовоспитаны, или
не веселы, или не красивы. 13. Среди некрасивых девиц не было благовоспитан-
ных, молодых и веселых. 14. На балу присутствовали лишь неблаговоспитанные
девицы, немолодые девицы, невеселые девицы и некрасивые девицы — иных не
было вовсе.
Требуется проанализировать эту систему условий.
(Весьма многочисленные и разнообразные по характеру задачи на материал
этого параграфа читатель сможет также найти в книгах [1.2], [1.13], [1.14],
[2.1], [2.2], [2.3], [2.21], [2.22], [2.23], и др.)
12. РЕЛЕЙНО-КОНТАКТНЫЕ СХЕМЫ
Важную модель структуры Буля доставляют широко используемые
в технике релейно-контактные схемы. Здесь мы рассмотрим, в первую
очередь, простейший тип таких схем (контактные схемы), на которых
можно достаточно ясно продемонстрировать современный алгебраи-
ческий метод расчета сложных электрических систем.
Рассмотрим электрическую цепь, разорванную рядом контактных
выключателей (рис. 48). Участки цепи, содержащие эти выключатели,
мы будем обозначать большими буквами Д, В, Г, ... ; они будут слу-
жить основными элементами рассматриваемой в этом примере алгебраи-
ческой системы (одна цепь может содержать, скажем,, и несколько кон-
тактов А — ясно, что все эти контакты должны быть одновременно
замкнуты или одновременно разомкнуты). При этом две цепи^ содер-
жащие одни и те же контакты Д, В, ..., мы будем считать одинаковы-
ми или равными, если при одном и том же состоянии всех контактов
’(Д замкнут, В разомкнут и т. д.) обе цепи одновременно пропускают
или одновременно не пропускают ток.
1 Немецкий математик Эрнест Шрёдер (1841 —1902), автор трехтомных
«Лекций по алгебре логики» (Vorlesungen fiber die Algebra der Logik, Leipzig,
1890—1905 (последний том был издан посмертно))— один из основоположников
математической логики.
2 Платон Сергеевич Порецкий (1846—1907), профессор астрономии в
Казанском университете, один из основоположников математической логики.
5*
131
Рис. 49
Под суммой А + В двух элементов А и В нашей цепи мы будем по-
нимать цепь, полученную в результате параллельного соединения зве-
ньев А и В\ так, на рис. 49, а изображена сумма А + В, где звенья
А и В содержат по одному контакту. Очевидно, что сумма А + В про-
пускает ток в том и только в том случае,’если пропускает ток хотя
бы один из элементов А и В. Подпроизведением АВ мы будем пони-
мать цепь, полученную последовательным соединением звеньев А и В
(см. рис. 49, б, где снова звенья А и В в цепи содержат по одному
контакту); ясно, что цепь АВ пропускает ток лишь в юм случае, если
пропускают ток оба ее звена Л и В.
Определенные таким образом сложение и умножение электричес-
ких цепей коммутативны (см. законы (I) теории-булевых структур) и
ассоциативны (правила (II); см. рис. 50, на котором изображены трой-
ная сумма А + В + Г = (Л + В) + Г = А + (В + Г) и тройное
произведение АВГ = (ЛВ)Г = Л (ВГ) звеньев Л, В, Г). Они также
удовлетворяют идемпотентным законам (VI), поскольку параллельное
или последовательное соединение двух одинаковых (т. е. сомк-
нутых или разомкнутых одновременно) контактов Л лает такой же эф-
фект, как один-единственный контакт Л. Не сложнее проверяются
(рис. 51, а, б) и законы поглощения (VII) — так, например, ясно, что
изображенная'на рис. 51, а цепь пропускает ток в том и только в том
случае, когда пропускает ток (замкнут) контакт Л. Наконец, рис. 52
Рис. 50
132
Рис. 52
Рис. 53
и 53 иллюстрируют выполнимость в нашей «алгебре электрических
схем» дистрибутивных законов (III): на рис. 52,а изображена схема
(Л 4- В)Г, а на рис. 52,6 — равносильная ей схема АГ + В Г; на
рис. 53,а изображена схема АВ + Г, а на рис. 53, б — равносильная
ей схема (А + Г) (В + Г).
Условимся теперь обозначать через / тождественно замкнутый
(запаянный) контакт, а через О — контакт, который никогда не замы-
кается (разрыв цепи). Тогда, очевидно (ср. законы (IV) и (V)),
А + О = А и А/= А
(рис. 54), а также
А + / = / и АО = О
(рис. 55). Таким образом, роль элементов о и t нашей алгебры играют
контакты / и О,	__
Договоримся еще обозначать через А и А два таких контакта, что
когда А замкнут, контакт А обязательно разомкнут, и наоборот; тех-
нически такую пару контактов осуществить весьма несложно (рис. 56,
где изображенный в центре переключатель может занимать всего два
положения).
Дх
I—
Л+0=М	41=Л
О
а)	6)
Рис. 54
А, О
АО-О
6)
Рис. 55
133
При этом, очевидно, выполняются правила (VIII)—(X):
д = Д, 7 = О и 0=1,
а также
А + А = / и АА = О
(рис. 57, а, б). Нетрудно проверить также выполнимость правил
де Моргана (XI а, б):
А + В — А В и АВ = А+В
(рис. 58,а, б; цепи С и С определяются тем условием, что если одна
из них пропускает ток, то вторая не пропускает, и наоборот).
Наконец, условимся писать А зз> В в том случае, если цепь А всегда
пропускает ток, когда пропускает ток цепь В. При этом естественно счи-
тать, что / зэ А (цепь / пропускает ток всегда!) и А п О (цепь О ни-
когда не пропускает ток!). Не менее очевидны, чем (XV), и законы
(XII) — (XIV):
А зэ Д; если А гэ В и В зз> Г, то А зз> Г\ если А зз> В и В зэ Д, то А = В. Ясно также, что (ср. рис. 49, а, б) А + В zd В иДзэ АВ, А А Рис. 56 1	/—1*— -	( ч )	- - ( \	. Л+Л=1 а)	б) Рис. 57 134	А+В 	 _ МУ АВ=А+8 а) А+В  \ В /[\АВ “t J ' ’	т )— 1	\a+r=ab б) Рис. 58
т. е. в нашей «алгебре контактных цепей» выполняются и правила
(XVI). Далее, нетрудно понять, что если A zd В и A id Г (т. е. если
В или если Г пропускают ток, то цепь А наверняка также ток пропус-
кает), то и Л zd В + Г, (ведь факт, что В + Г пропускает ток, озна-
чает, что ток пропускает или В или Г!); аналогично устанавливается,
что если ВэА и Г zd Л, то ВГ id Л. Таким образом, и законы
(XIX) имеют у нас место, а из (XIX) и (XVI) вытекают (при ясных
определениях) и правила (XVIII).
Из самого смысла отношения id вытекают и законы (XX):
если Л zd В, тоЛ+Г id В + Г и АГ zd ВГ;
нетрудно также убедиться, что
если A zd В, то А + В = А и АВ = В
(эти соотношения (XVII) можно даже принять за определение
отношения id I). Наконец, из определения символа zd следует, что
если Л zd В, то цепь В заведомо не пропускает ток, если его
не пропускает цепь Л; но в силу смысла операции последнее означает,
что BzdA, т. е. и правило (XXI) теории булевых структур выпол-
няется для контактных цепей; Таким образом, электрические контак-
тные цепи при принятых определениях равенства (равносильности)
цепей, суммы, произведения, операции ~ и отношения id образуют
булеву структуру.
На возможность использования (к тому времени — уже достаточно
разработанного) аппарата булевой структуры для расчета электричес-
ких цепей впервые, видимо, указал в 1910 г. знаменитый австро-русско-
голландский физик Пауль (или, как его называли в России, Павел
Сигизмундович) Эренфест (1880—1933). В напечатанной в жур-
нале Русского физико-химического общества рецензии [14] на русский
перевод одного из первых учебников математической логики — книги
Л. Кутюра «Алгебра логики» — он писал:
«... уместно коснуться вопроса о том, не встречаются ли в физике или в тех-
нике в самом деле такие сложные системы посылок (т. е. те достаточно сложные
булевы формулы, преобразования и упрощения которых описаны в книге Кутю-
ра.— И. Яд- Мне думается, что на этот вопрос следует ответить утверди-
тельно. Пример: пусть имеется проект схемы проводов автоматической телефон-
ной станции. Нужно определить: 1) будет ли она правильно функционировать
при любой комбинации, могущей встретиться в ходе деятельности станции;
2) не содержит ли она излишних усложнений.
Каждая такая комбинация является посылкой, каждый маленький коммута-
тор есть логическое «или — или», воплощенное в эбоните и латуни; все вместе —
система чисто качественных (в сети слабого тока именно не количественных)
«посылок», ничего не оставляющая желать в отношении сложности и запутан-
ности.
Следует ли при решении этих вопросов навсегда удовлетвориться... рутинным
способом пробования на графике? Правда ли, что несмотря на существование уже
разработанной «алгебры логики», своего рода «алгебра распределительных схем»
должна считаться утопией?».
135
Однако это указание Эренфеста долго оставалось всего лишь гени-
альной догадкой — на него не было обращено никакого внимания, ибо
реально в то время в компактном аппарате для расчета и проектирова-
ния сложных электрических сетей еще не было нужды. Лишь с прогрес-
сом электроники отсутствие такого аппарата стало существенно тормо-
зить дальнейший прогресс техники (не говоря уж о том, что без него
никак не могли быть созданы ЭВМ) — ив конце 30-х годов независи-
мо от Эренфеста та же идея была высказана и детально разработана сра-
зу несколькими учеными в разных странах: американцем Клодом
Шенноном [151, впоследствии прославившимся созданием теории
информации; русским В. И. Шестаковым, диссертация [15] ко-
торого, к сожалению, не была своевременно опубликована; японцами
А. Накасима и М. Ханзава. В наши дни, в связи с появле-
нием ЭВМ и бурным прогрессом электроники, эта идентичность «ал-
гебры электрических цепей» с булевой структурой приобрела особо
важное прикладное значение; она предоставляет нам удобный алгебра-
ический аппарат, пригодный для расчета действия сложных электри-
ческих сетей и для проектирования таких сетей с наперед заданными
свойствами.
Особо ценной оказывается возможность «электромоделирования»
фактов и. теорем алгебры высказываний (т. е. элементарной математи-
ческой логики), являющейся такой же моделью абстрактной булевой
структуры, как и контактные цепи: ведь каждое «булево выражение»
(булев многочлен в смысле § 6) может восприниматься как «сложное
высказывание», построенное из определенных «простых высказываний»,
играющих роль независимых переменных, и в то же время может быть
реализовано как электрическая цепь, представляющая собой комбина-
цию контактов Д, В, Г, ... На этой связи теории электрических цепей
и логики (о ней см., например, книгу [2.131 и многие другие из назван-
ных в списке литературы пособий, скажем [1.13]) мы еще подробнее
остановимся в § 14.
Пример 1. Указать контактную цепь, реализующую булев много-
член (заданный в совершенной нормальной аддитивной форме)
F (а, Р, у) = аРу + ару + аРу + аРу	(12.1)
<4 Ясно, что многочлен F(A, В, Г) = АВГ + ... реализуется изоб-
раженной на рис. 59,а цепью, содержащей 12 контактов. Однако тот
же многочлен F можно реализовать и проще: так как, очевидно,
f(a, Р, у) = (а + а) Ру + а (Ру ф- Ру) = Ру + а (ру 4- Ру), ' (12.1')
го F реализует и изображенная на рис. 59,6 цепь, содержащая всего
семь контактов. Но и эта цепь не является простейшей .электрической
моделью F: поскольку в силу коммутативности (16), ассоциативности
(На), идемпотентности (Via) и закона поглощения (Vila)
Ру = (Ру) + (Ру)а = Ру -J- аРу ару,
136
то правую часть (V) можно переписать так:
Ру + оф? + а₽Т + ару + ару = Ру + ар (у + у) + ау (Р + Р) =
Ру + aPi + ayi = Ру + аР + ау, т. е.
F (а, Ру) = Ру + а(Р + у)	(12.1*)
(см. изображенную на рис. 59,в цепь, содержащую всего пять контак-
тов). ►
Этот пример поясняет занимающую большое место в прикладной тео-
рии булевых структур (и электрических цепей) тематику, связанную с
отысканием минимальных (скажем, по числу вхождения от-
дельных букв) реализаций тех или иных булевых многочленов (см.
например, [2.131 или [2.231). При этом сама постановка вопроса о мини-
мизации требует четкого описания класса допустимых записей булевых
многочленов и допустимых электрических цепей; имеющиеся здесь
возможности мы проиллюстрируем двумя простыми примерами.
Пример 2. Упростить цепь, изображенную на рис. 60,а.
4 Ясно, что наша цепь реализует булев многочлен
G = а (р + уб) + е (б + уР)	(12.2)
(в котором, чтобы получить цепь рис. 60, а, надо лишь заменить строч-
ные греческие буквы прописными). Но тот же многочлен моделирует»
изображенная на рис. 60, б цепь, в которой фигурируют лишь пять кон-
тактов вместо исходных восьми (и это число, разумеется, уже нельзя
уменьшить, поскольку многочлен (2) зависит от пяти переменных а,
р, е): ведь вход М и выход N цепи можно соединить четырьмя
путями: Л — В, 4—Г — А, Е — Аи Е - Г — В, так что наша
«мостиковая» цепь (обратите внимание на «перемычку» Г1) реализует
(не отличающийся от G) многочлен
аР + ауб + еб + syp. >	(12.2')
Таким образом, использование мостиковых (содержащих перемыч-
ки) схем (которое, разумеется, надо заранее разрешить или, напротив,
запретить) помогает иногда значительно упростить электрическую цепь.
Пример 1 (продолжение). 4 Перепишем формулу (Г) для многочле-
на F так-:
F (a, Р, у) = Ру + а (Р ♦ у),
где Р * у — симметрическая разность Ру + Ру элементов Р и у (см.
(5.66)). Но комбинацию А * В контактов А и В реализовать весьма
просто (см. рис. 61, на котором каждый из указанных кружками внут-
ри «ящика» переключателей может занимать одно из двух возможных
положений). Таким образом, изображенную на рис. 59,6 схему можно
еще упростить (см. рис. 59,а) — для реального осуществления этой
цели достаточны всего пять контактов, два из которых являются пере-
ключателями. >
137
Последний пример показывает, как может упростить электричес-
кую цепь использование переключателей; он интересен также и тем,
что здесь мы встретились со специальным устройством, модулирующим
операцию * булевой структуры. Ясно, что эта операция может быть
реализована также изображенным на рис. 61 2—1-полюсником, т. е.
электрическим устройством с двумя входами А и В и с одним выходом
А * В. Еще проще реализуются как 2—1-полюсники операции +
и • булевой структуры (см. упр. 1 ниже). Наконец, простым техничес-
ким устройством является так называемый инвертор, обращающий
процесс подачи электрического тока: с выхода инвертора ток поступа-
ет в цепь лишь тогда, когда он не подается на вход.
Утверждение о том, что все операции булевой структуры могут быть
выражены через одну лишь операцию Шеффера а |р = оф (см. с. 62),
АВГ+АВГ+
+АВГ+АВГ j
Рис. 60
Рис. 59
138
равносильно возможности конст-
руирования любых контактных
электрических сетей с помощью
одного 2—1-полюсника 2, имею-
щего два входа и один выход,
причем ток на выход поступает в
том и только в том случае, если
ни на один из входов ток не по-
дается. {Такой элемент нетрудно
спроектировать, если, например,
условиться, что каждому участку
цепи отвечают два параллельно
идущих провода, по одному из
которых ток течет всегда.] На
рис. 62,а — в изображены сумма
А + В и произведение АВ цепей
А и В, а также «обращение» А
цепи А, осуществляемые с по-
мощью «элемента Шеффера» (ср.
выше с. 62).
Аналогичную роль может иг-
рать также 3—1-полюсник М,
имеющий три входа и один выход,
причем на выход ток поступает рис. $3
лишь в том случае, если ток по-
ступает по крайней мере на два из входов элемента М (этот элемент
отвечает операции {а|3у} = аР + ру + уа = (а + Р) (Р + у)(у + а)
алгебры Буля; ср. с. 63). На рис. 63,а, б показано, как осущест-
вить с помощью элемента М «сложение» и «умножение» цепей А и В
(см. также Шеннон 1151, п. 4.2).
Электрические цепи, сконструированные с участием логических
элементов +, • (или X), * , ” (инвертор), 2, М и т. д., называются
логическими цепями; техническая их реализация является несложной.
Так, например, рис. 64,а, б демонстрируют два варианта логической
реализации многочлена F из примера 1 (ср. с рис. 59,а и б). На
Рис. 64
139
Рис. 65
Рис. 66
рис. 65,а, б изображены два варианта реализации операции^==^(с. 125)
с помощью элементов + , х и инвертора-, а на рис. 66, а — в реализа-
ция с помощью тех же элементов операций \, * и |.
Упражнения. 12.1. Опишите техническое устройство 2—1-полюсников, ре-
ализующих логические операции + и •
12.2.	Опишите контактную цепь, реализующую булев многочлен офуб +
+ офу + Руб, и упростите эту цепь, заменив ее подходящей мостиковой схемой.
12.3.	Постройте логическую цепь, реализующую выражение А + АВ + BQt
и контактную цепь, имеющую тот же смысл.
12.4.	Постройте логические цепи (использующие элементы +» • и для
выражений
а) а=^Р; б) а 4 (3 в) {офу},
а также контактные цепи, реализующие те же булевы выражения.
Глава 4
НОРМИРОВАННЫЕ БУЛЕВЫ СТРУКТУРЫ
13.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ И МОДЕЛИ;
ФОРМУЛА ВКЛЮЧЕНИЙ И ИСКЛЮЧЕНИЙ
В основе всей настоящей главы лежит
Определение. Булева структура
В = < S3;	=»,	-	(13.1)
где S3 = {а, Р, у, .... , t, о} — некоторое (конечное или бесконечное)
множество элементов, в котором выделены «особые» элементы i и о
а операцйи+э ~ и отношение zd удовлетворяют аксиомам (I)— (XXI)
140
§ 5, называется нормированной, если каждому элементу а £ 59 сопо-
ставляется неотрицательное число |а| или /п(а) — абсолютная вели-
чина или норма элемента а, причем
HxiOC |а1< 1; |о| = 0, |i|= 1;
Н2: если а0 = о, то |а -Т ₽[ = |а| 4- |0| (здесь, как всегда, а, Р,
произвольны).
Таким образом, нормированная булева структура — это структура
Вн =< 59;	||>,	(13.Г)
в которой к числу известных нам операций и отношений + при-
бавляется еще унарная операция ||, сопоставляющая о каж-
дым элементом а £ 59 число |а| £ Я (где Я — множество вещест-
венных чисел х), описываемая аксиомами (I) — (XXI) и Н12 (или
Б,.8 и Н12 — см. с. 45).
Заметим, впрочем, что аксиома Hi нормы в чем-то является и избы-
точной. Из того, что для любого элемента а £ Я всегда ао = о, а 4-
4- о = а (см. аксиомы (V6) и (IVa) булевой структуры), следует в си-
лу Н2
|а| = |а +о| = |а| + |о|,
откуда вытекает, что	(13.2)
| о | = | а | — | а | =0..
Таким образом, равенство |о| = 0 можно вывести из Н2,
— и значит, его можно исключить из содержания аксиомы Hi: в на-
стоящем виде наша аксиоматика Нх 2 нормы является зависимой. Бо-
лее того, весьма часто при определении нормы аксиома Нх формулиру-
ется в виде более слабого требования неотрицательности нормы:
Н| s |а| > 0 для всех а £ 93 и |а0| =/= 0 для некоторого а0 £ 93.
При этом в силу
а + а = i , аа = о	(VIII)
имеем по Н 2
|i|= |а|+ |а|>|а|	(13.3)
(см. Н() — и значит, норма |i | = v |а0 | > 0 единичного элемента
i булевой структуры является наибольшей из всех норм. А да-
лее остается только «нормировать» все числа |а|,выбрав «единицу норм»
так, чтобы было |i| = 1 (для этого достаточно поделить все числа | а |
на число v>0); при этом в силу Hj и (3) будем иметь 0 la| 1,
т. е. аксиому Нг Впрочем, в некотооых случаях (см., например, ниже
1 Говорят, что унарная операция |[ имеет своей «областью отправления»
а «областью прибытия» (ср III], с. 100;; можно также говорить о заданной
на $ (вещественнозначной) функции || или об отображении
141
модели 3 и 5, а также модель 7, правда, моделирующую структуру «ре-
шетка о дополнениями», а не булеву структуру) удобнее выбирать
единицу измерения норм по-другому.
Перейдем к рассмотрению моделей нормированной булевой струк-
туры, первая из которых докажет непро тиворечивость
соответствующей аксиоматики, а первая и вторая—ее неполноту.
1.	Элементами рассмотренной на с. 91 «арифметики двух чисел»
являются «числа» 0 и 1. Эти же числа (уже в обычном арифметическом
их смысле) можно принять за нормы соответствующих элементов:
|0| = О, |1| = 1.
При этом очевидным образом выполняется аксиома HT определения
нормы элемента. Далее, поскольку
0-0 = 0 и |04-0| = 0 = |0| + Ю1, 0-1 = 0 и |0 + 1| = 1 = |0|+
+ 1П,
то выполнена и аксиома Н2. [Вообще, для любой булевой структуры,
для которой выполняется аксиома Ht определения нормы, аксиома Н2
автоматически выполняется для пары а, 0 элементов структуры, хотя
бы один из которых совпадает с о ; при этом а о = о и |а + о| =
= |а| = |а| + 0 = |а| + |о|. Но в нашем случае обращение одно-
го из элементов а, 0 аксиомы Н2 в о неизбежно.] Таким образом,
такое определение нормы превращает «двухэлементную» булеву струк-
туру {0,1} в нормированную.
2.	Для рассмотренной на о. 91 «четырехэлементной» булевой струк-
туры было аЬ = 0иа + Ь= 1; поэтому, если требовать выполнения
Нг и Н2, то надо считать:
Ю1 = 0, |1| = 1 и |а| + |&|= П 1= I.
Пусть фигурирующие в определении этой алгебры Буля «числа»
ап b — это произвольные положительные числа, сумма которых равна
единице, и пусть
|1| = 1, |0| = 0, |а| = а и |&| = Ь,
В таком случае аксиома Нг будет очевидным образом удовлетворена;
аксиома Н2 также будет выполняться, поскольку единственной парой
отличных от 0 элементов этой структуры, произведение которых равно
0, является пара элементов а, Ь\ но \а + b\ = |11 = 1 = а + b =
= |а| + |6| (читателя не должно смущать, что в этой одной формуле
символы а, b и 1 фигурируют сразу в обоих своих обличиях: как эле-
менты булевой структуры и как вещественные числа). Итак, наше оп-
ределение норм элементов обращает четыр^хэлементную булеву струк-
туру в нормированную.
3.	Рассмотрим теперь модель, проливающую гораздо больше света
на само понятие нормированной булевой структуры. Пусть наша буле-
ва структура — это та алгебра множеств, которая рассматривалась в
142
§ 1	и 2; предположим еще, что универсальное множество / к о н е ч-
н о: скажем, / содержит N элементов. Условимся считать, что норма
каждого подмножества А универсального множества / задается коли-
чеством k входящих в А элементов*, при этом, для того чтобы соблюсти
условие |/| = 1,мы будем делить все полученные так числа k на N
(так что И | — это доля элементов А в универсальном множестве /).
И | = k/N.	(13.4)
При этом, очевидно, выполняется аксиома Нг Также и аксиома Н2 име-
ет здесь совершенно ясный смысл: если множества Л и В не пересека-
ются (т. е. АВ = О), то число элементов, содержащихся в их сумме
А + В, получается просто сложением числа k элементов множества А
и числа I элементов множества В; поэтому
И + В| = (k + l)/N = k/N + UN = |Я| + |B|.
Таким образом, наша булева структура с определенной таким‘образом
нормой элементов является нормированной булевой структурой.
Приведенное определение нормы |Д | подмножества А универсаль-
ного множества / можно еще обобщить. Предположим, что отдельные
элементы а19 а2, а3,..., aN множества / имеют разный «вес», или «це-
ну». Так, в рассматривавшемся выше примере множества шахматных
фигур часто оказывается естественным считать, что «цена» различных
фигур различна; например, при попытках «обучить» шахматной игре
электронную вычислительную машину иногда полагают, что цена сло-
на или коня примерно в 3 раза больше цены пешки, цена ладьи — в
4—5 раз больше цены пешки, цена ферзя больше цены пешки в 8—9 раз,
а король стоит несравненно больше, чем пешка, скажем, он оценивает-
ся в 1000 пешек (что заставляет каждого из соперников бросать все си-
лы на защиту своего короля, ибо он стоит несравненно больше всех
остальных фигур вместе взятых). Пусть цена (вес) отдельных элемен-
тов ап а2, ..., aN множества / задается неотрицательными числами t19
t2,	при этом нам удобно будет выбрать такую «единицу измере-
ния цен», что
+ ^2 4" •••+ tN = 1.
Если теперь положить
\А | = |{aG, a/f, ..., afn}| = tlt + ti2 + ... +
где z\, i2, ..., in—это какие-то из чисел 1, 2, ..., Л/, то мы превратим ал-
гебру подмножеств множества / в нормированную булеву структуру.
[Это определение норм подмножеств / переходит в предыдущее, если
положить /i = t2 = ... = tN = i/NA
4.	Близка к модели 3 и следующая модель. Будем по-прежнему счи-
тать, что булева структура — это алгебра подмножеств множества /;
только теперь примем за универсальное множество /, скажем, единич-
ный квадрат, так что всевозможные подмножества I — это некоторые
143
фигуры, расположенные внутри квадрата. За норму (абсолютную
величину) множества А мы примем площадь фигуры А *. Ясно, что при
этом удовлетворяется аксиома НР Аксиома Н2 здесь означает, что если
некоторая фигура С = А + В разбивается на непересекающиеся (ибо
АВ = О!) части А и В, то ее площадь равна сумме площадей фигур
А и В. Таким образом, наложенные на норму условия имеют в этом
случае чрезвычайно простой смысл, близкий к тем условиям, которые
определяют площадь фигуры (ср. [17]). Алгебра подмножеств
квадрата I превращается при таком выборе нормы в нормированную
булеву структуру. Разумеется, почти ничего не изменилось бы также,
если бы роль универсального множества / играл не единичный квадрат,
а какая-либо другая фигура, площадь которой равна S; только в этом
случае норму фигуры А следовало бы определить как ее плбщадь, де-
ленную на число S (т. е. как долю, которую вносит фигура Л в об-
щую площадь /). Точно так же, если принять за / какое-либо трехмер-
ное тело, то под нормой его подмножества А естественно понимать объ-
ем А (деленный, в случае необходимости, на общий объем /).
Этот пример также допускает существенное обобщение. Предполо-
жим, что тело / представляет собой плоскую пластинку (т. е. тонкую
материальную пластинку постоянной небольшой толщины), изготов-
ленную из произвольного неоднородно го материала. Удель-
ный вес этого материала в точке М = (х, у) (т. е. вес, приходящийся
на единицу площади) пусть задается некоторой (неотрицательной!)
функцией f (М) = f (х, у). Примем за норму |Л | подмножества А вес
части А пластинки /; этот же вес определяется с помощью интеграла
|Д| ^f(M)ds= y)dxdy,	(13.5)
А	А
где ds — элемент площади пластинки в точке М; при этом единицу из-
мерения веса следует выбрать так, чтобы вес всей пластинки / был ра-
вен единице, т. е. чтобы было
J/(M)ds =
I
Нетрудно понять, что норма, определенная таким образом (с помощью
совершенно произвольной неотрицательной функции f (х, у), удовлет-
воряющей лишь одному условию нормировки (5')), превращает булеву
структуру фигур А в нормированную структуру Буля.
Аналогично можно построить и нормированную булеву структуру,
элементами которой являются области, заключенные внутри трехмер-
ного тела /, считая это тело изготовленным из неоднородного материа-
ла и принимая за норму области ее вес.
1 При этом следует только потребовать, чтобы все рассматриваемые фигуры
А были квадрируемыми, т. е. имели площадь (ср., например, [16, с. 204]).
144
f I f(x, y)dxdy= 1.	(13.5')
5.	Пусть элементами булевой структуры являются всевозможные
делители натурального числа V,a «сумма» и «произведение» чисел оп-
ределяются как их наименьшее общее кратное и наибольший общий де-
литель (см. модель 3 на с. 92). В таком случае за норму | а | числа а мож-
но принять логарифм этого числа, точнее, положить
\а| = log а/log N,	(13.6)
поскольку мы требуем, чтобы норма числа N (играющего роль элемен-
та i булевой структуры) была равна единице Ч В самом деле, в этом слу-
чае, очевидно, выполняется аксиома Нг Далее, условие а ® Ь=(а, Ь) =
= 1 (роль элемента о нашей булевой структуры играет число 1!) озна-
чает, что числа ан b взаимно просты; но в этом случае
а ф 6 = 1а, 61 = а&
и, следовательно,
log (а® Ь) = log (ab) = log а + log b,
т. e.
|аф&| = |а| + |&|.
Тем самым доказано, что и аксиома Н2 нормы здесь выполняется. Таким
образом, и в этом случае мы естественно приходим к нормированной
структуре Буля, — что проливает новый свет на само понятие лога-
рифма (натурального) числа.
При рассмотрении модели 3 из § 10 мы дополнительно требовали,
чтобы каноническое разложение N = р^ рп2*--. pty числа V не содержа-
ло квадратов, т. е. чтобы N имело вид N = ргр2... ph, где рг, р2,---> Ph—
попарно различные простые числа. Отказ от этого последне-
го условия приводил к структуре, весьма близкой к булевой, но все
же несколько отличающейся от нее, поскольку условия (аксиомы)
(VIII) § 5 могут здесь и не иметь места; подобные системы мы назвали
неполными булевыми структурами. При этом отказ от условий (VIII)
нисколько не препятствует определению нормы |а| элемента а струк-
туры. Неполную структуру Буля, для каждого элемента а которой
определена норма |а|, удовлетворяющая аксиомам Нт и Н2, можно на-
звать нормированной неполной булевой структурой. Пример нормиро-
ванной неполной структуры Буля доставляет множество всевозможных
1 Выбор основания системы логарифмов здесь не играет роли, ибо отноше-
ние log а/log N не зависит от выбора системы логарифмов — переход от лога-
рифмов по основанию b к логарифмам по основанию с сводится лишь к умноже-
нию всех логарифмов на постоянный множитель (модуль перехода) logc Ь:
logc М = logc b • logb М.
Вместо равенства | а| = log а : logJV можно также писать | а | = log^fl
(ибо тогда 111 = logA N = 1).
145
делителей а натурального числа W = р1'рп3* ... рпкъ (где"
т. е. хоть один из показателей nlt п2, ...» Пь больше единицы) с нормой
(6).
6.	Еще один пример неполной булевой структуры мы получим,
приняв за элементы этой структуры множество вещественных чисел а,
где, скажем,_0 а 1, и положив а ф b = max (a, b), а ® b =
= min (а, Ь). а = 1 — а и, кроме того, о = 0, i = l и а ю 6, если а > Ь
(см. модель 4 на с. 97). Эту неполную структуру Буля также легко пре-
вратить в нормированную, положив |а| = а. При этом аксиома Нх
нормы выполняется очевидным образом. Аксиома же Н2 вытекает из
того, что здесь а ® b = 0, лишь если один из элементов а или b сов-
падает с 0; но, если, скажем, Ь — 0, то, очевидно,
а ф b = а и \а ф Ь\ = |а| = |д| + 0 = |а| +j&|.
7.	Вот еще более далекая от нашей основной темы, но при том до-
статочно поучительная модель. Рассмотрим решетку с дополнениями.
образованную связкой § прямых и плоскостей обычного (трехмерного)
пространства R с центром О (точка О и пространство R также причис-
ляются к числу элементов S) или, общее, множество 8п всевозможных
линейных подпространств n-мерного векторного пространства (см. мо-
дель 5 на с. 99). Норму \г\ элемента z этой решетки мы определим как
его размерность, которую еще надо разделить на размерность (п или 3)
всёго пространства, если мы хотим, чтобы единичный элемент i ре-
шетки (все пространство) имел норму 1. Так, например, в случае связ-
ки § = §3 прямых и плоскостей обычного пространства положим:
0, если г совпадает с точкой О
1/3, если z есть прямая,	4
= 2/3, если z есть плоскость,
1,	если z совпадает со всем пространством R.
При этом очевидным образом выполняется аксиома Нх нормы.
Далее, если zt = О. то сумма z + / представляет собой плоскость,
когда z и t — две прямые, и все пространство R. когда один из элемен-
тов z и t представляет собой плоскость, а другой — прямую; отсюда
вытекает, что и аксиома Н2 нормы здесь имеет место (ср. ниже упр.4).
Таким образом, и в этом случае удается ввести естественную норму эле-
ментов решетки, удовлетворяющую аксиомам Нх и Н2,— что превра-
щает связку §3 (или §п) в нормированную решетку с дополнениями.
Еще две модели нормированной булевой структуры, специально
связанные с разобранными в § 11 и 12 моделями, мы рассмотрим в§ 14.
Перейдем теперь к выводу дальнейших свойств норм, которые мож-
но установить, исходя из аксиом Нх и Н2. Прежде всего, из равенства
(3) и условия |i| = 1 (см. Нх) вытекает
|сс| = 1 — |а | для всех а g	(13.7)
146
Далее, как нетрудно видеть,
если а => р, то |а | > |Р|.	(13.8)
◄ Для любых а, Р С 39. где а о р, существует такой элемент
(«прямая разность» элементов а и Р), что
а = р + £, Р£ = о
(См. с. 39; элемент £ мы обозначали символом а — Р). Поэтому
|а| = IP+ 51 = IPI + 151 > IPI,
— что и требовалось доказать. ►
Далее, для любых а, Р £ 33
|а + р| = |а| + |р|- |ар|.
(13.9)
◄ Из факта существования «(прямой) разности» у—б элементов у
и б, где v о 6, вытекает справедливое для любых а, Р £ 33 равенство
(а + Р) = а + (р - а р),
где Р — аР = I] (= (а + Р) — а) таково, что at] = о; кроме того,
Р = аР 4- т], а (аР)г| = о
(см. упр. 1). Отсюда в силу Н2
|а + Р|= |а| 4- |т)| и |Р| = |ар| + |т]|.
Вычитая почленно последние два равенства
(связывающие некоторые числа), мы и по-
лучим (9). ►
Так, если |Л| и |В| суть площади двух
фигур А и В (см. модель 4, с. 143), то в сумме
|Л| 4- |В| площадь пересечения АВ засчиты-
вается два раза (рис. 67,а); поэтому
|Л + В| = |Л| + |В|-|ЛВ).
Аналогично, если г и t—два подпространства
векторного пространства R размерностей р
и q, а и .и v — их («векторная») сумма (т. е.
наименьшее подпространство /?, содержащее
как г, так и /) и пересечение, то размерности
hud подпространств и и v связаны соотноше-
нием
|«1 = 1г1 + 1'1~М или +	—£
п п п п
(13.10)
ff)
Рис. 67
147
(см. модель 7 на с. 146; заметьте, что вывод формулы (9) не опирается
на дистрибутивные законы (III) и потому применим и к решетке линей-
ных подпространств векторного пространства!), т. е.
d + h = р + q.	(13.10')
Эта формула часто используется в теории векторных пространств.
Пример. В группе имеется 22 студента; 10 из них умеют играть в
шахматы, В — в шашки; и в шахматы, и в шашки играют 3 студента.
Сколько студентов не умеют играть ни в шахматы, ни в шашки?
«4 Обозначим множество студентов, умеющих играть в шахматы,
символом Шах, а множество студентов, умеющих играть в шашки, —
символом Шаш. Нам надо определить число студентов в множестве
Шах-Шаш = Шах + Шаш
(см. правило де Моргана (Х1а)). На так как здесь естественно считать
(ср. модель 3 на с. 142):
\Шах\=— , \Шаш\ = — и \Шах-Шаш\=—^~ ,
22	22	22
то в силу (9)
\Шах +Шаш\ = \Шах |-f-|Шаш\—\Шах-Шаш\ —
= 10	_8_____3 __ 15
~ 22	22	22 ~~ 22
и, следовательно (см. формулу (7)),
\Шах Шаил\ — \Шах-\-Шаи1 |=1 — | Шах -\-Шаш | =
— 1	15 _ '
~~	22 ~ 22
Таким образом, не умеют играть ни в шахматы, ни в шашки 7 сту-
дентов. ►
Ясно, что равенство (9) представляет собой обобщение аксиомы На
нормы; при оф = о оно переходит в аксиому Н2. Из (9) следует
также, что для любых элементов а и ₽ нормированной булевой струк-
туры В
|сс + ₽| С 1*1+ IPI	(13.11)
— это свойство абсолютных величин элементов аналогично извест-
ному свойству абсолютных величин чисел. С помощью метода мате-
матической индукции из (11) без труда выводится (см. упр. 3 а)), что
при любом п
1*1 + *2 + — *п I С l*il + 1*21 + ••• + 1*Л	(13.11')
где равенство достигается лишь в том случае, если все |ata7-1 = о
(где iь hi 2,	п).
148
г Аналогично переходу от (11) к (11') можно обобщить и формулу
г (9). Рассмотрим, для начала, три элемента ар а8, а8 нормирован-
ной булевой структуры В. В силу (9) имеем
|«1 + а2 + а8| — |а, + (а2 4- а8)| = |а,| 4- |а2 + а8| — |а, (а2 4-
+ а«)1 = |а,| + (1а2| + |а8| — |а2а8|) —	+ а,а8| = |а,| 4-
+ |а2| 4- |а8| — |а2а8| — (|а,а2| 4- |а,а8| — | (а,а2) (сх1ос8)|)= |а,| 4-
+ |а2| 4- |а8| — |а,а2| — |а,а8| — |а2а8| 4- l«i<x2a3|,	(13.9')
ибо, очевидно, (аха2) (a^g) = (а,а,) а2а8 —
Подобно этому доказывается, что
la, 4- a2 4- a8 4- a4| = |a, 4- (a2 4- a8 4- a4)| =
»= laj 4- |a2 4- a8 4- a4| — |a, (a2 4- a8 4- aj|=
«= |a,| 4- (|a2| 4- |a,| 4- laj — |a2a8| —
—	|aja4| — |a,a4| 4- hjajaJ) —
—	|(a,a2 4- a,a8 4- a,a4)| =
•	= |a,I 4- |a2| 4- |a8| 4- |a4| — |a2a8| —
—	|a2a4| — lagaj 4- |a2a,a4| —
—	(|a,a2| 4- |a,a8| 4- |a,a4| —
—	|(a,a2) (a,a8)| — |(a,a2) (a,a4)| —
—	|(a,a8) (a,a4)| 4- I (a,a2) (a,a8)(a,a4)|) ==
= lot,! + lasl + l«el + |a4| —
—	|a,a2| — |a,a8| — (a,a4| — |a2a8| —
—	|a2a4| — |aga4| 4- |a,a2a8| 4- |a,a2a4| +
4- |a,aea4| 4- | a2aaa4| — la^agaj.	(13.9")
Выводы формул (9'), (9") базируются на следующей идее. Ясно, что
|а, 4- а2 4- а8| С laiI + |а2| +1ав Г> однако равенство здесь, вообще
говоря, места иметь не будет, ибо, интерпретируя норму элемента a
булевой структуры как площадь фигуры а, мы в сумме |а, | 4-
4- |а2| 4* |сс3| учитываем дважды все площади |a,a2|, |a,a8|, |a2a3|
попарных пересечений фигур (рис. 67,6). Поэтому для того, чтобы
оценить величину |а, 4- а2 4- а8|, нам надо исключить эти «двукрат-
ные вхождения», т. е. вычесть из суммы |а,| 4- ... + |а8| сумму |а,а2|4-
4-... 4- |а2а8|. Но теперь оказывается, что мы даже «перестарались»: в
самом деле, мы полностью исключили тройное пересечение a,a2a3,
площадь |a,a2a8| которого трижды фигурирует в сумме |а,| 4- ...
(часть a,a2a8 входит в каждое из трех слагаемых) и трижды —
в сумме |a,a2| 4- — (она входит и в каждое из парных пересечений),
в результате чего величина la,a2as| нами никак не учитывается. По-
149
атому «тройное вхождение» (а^газ! надо дополнительно включить
(прибавить к выражению |оьх| + ... — |аха2| — ...), что и дает ре-
зультат (9')- Так же можно получить и формулу (9"). ►
Та же идея (или прямое использование метода математической ин-
дукции — см. ниже упр. 26)) приводит к следующей общей форму-
ле включений и исключений:
l«i+ a2 +a3 + ... + an | = S|а< I — S |а(,а,.Ц>
'	(Ч. G)
+ 2 lai.ai.aij — — +(~О"-22 |аЬ aln-i| +
О'. G)	('«’ '. *n-l)
-H-l)"-1|a1a2...an|,	(13.12)
где символ (ilt i2, ..., i*) под знаком суммирования означает, что сумма
распространена на всевозможные сочетания индексов ilt 1г, ik,
каждый из которых может быть равен 1,2,3,... или п (здесь k=\, 2,...
...,ни сумма У, содержит всего одно слагаемое, из-за чего по-
...................‘п)
следнее выражение в (12) справа не содержит знака суммы).
Приведем ряд примеров, иллюстрирующих разнообразные приме-
нения формулы включений и исключений (12) (по поводу дальнейших
примеров, см., скажем, [181).
Пример 1.,При обследовании сотрудников некоторого научного уч-
реждения выяснилось, что 60% из них могут читать английскую спе-
циальную литературу, 30%—французскую, 20%—немецкую, 15%—
и английскую, и французскую, 5% — английскую и немецкую,
2% — французскую и немецкую и 1 % может читать на всех трех язы-
ках. Спрашивается, каков процент сотрудников, не способных читать
ни на одном из трех языков?
4 Обозначим множества сотрудников, владеющих (в смысле этого
примера) соответственно английским, французским и немецким язы-
ками через а, фин. В силу формулы (9') (см. модель 3, с. 142)
|а + ф 4- н| = |а| + №1 + |н| — \аф\ — |он| — \фн\ + \афн\ ==
= 60% + 30% + 20% — 15% — 5% — 2% + 1% = 89%.
Таким образом (см. правило (Х1а) и упр. 2.4а), а также соотноше-
ние (7)),	z
\а-ф-н\ = |а + ф + «I = 1 — |а + Ф + «I = 100% — 89%
= !!%?►
Пример 2. Чему равна площадь пересечения кругов радиуса а,
центрами которых служат вершины: 1) равностороннего треугольника
со стороной а, 2) квадрата со стороной а?
150
◄ 1) Изображенная на рис. 68, а фигура1 представляет собой, оче-
видно, объединение sx + s2 + s3 трех секторов радиуса а с центрами
Лх, Л2, А3, центральным углом л/3 и площадью ла2/6 (сектор st за-
штрихован на рис. 68,а); пересечением любых двух из этих секторов,
так же как и их тройным пересечением, является ДЛХЛ2Л3 площади
а* 1^3/4. Отсюда имеем (см. модель 4 на с. 143 и формулу (9')):
(Si+s2+ss) = |s1|4-|s2| + |s3|—|s1s2|— |sxsa| —|s2s3| 4-|M«s8| =
=зАй>	"—Уз
6	4	4	2
2) Пусть Si, S2, S3, S4 — фигурирующие на рис. 68,6 секторы ра-
диуса а с центрами Лх, Л2, Л 3, Л4, центральным углом л/2 и площадью
ла2/4; нам надо определить |SXS2S3S4|. Но по формуле (9") (см. так-
же ниже упр. 3)
|SXS2S3S4| = |SX| + |S2| + |S3| + |S4|-
- |SXS2| |S3S4| + |SiS2S3| + ...
...+ |S2S3S4| - |SX + S2 + S3 + S4|;	(13.13)
поэтому надо лишь найти все фигурирующие в правой части (13) ве-
личины. Но |SJ = ...= |S4| = ла2/4 и |SX + ...+|S4| — а2 (ибо объ-
единение четырех секторов — это полный
квадрат /); остается определить площади
двойных и тройных пересечений секто-
ров.
Ясно, что фигура SXS2 отличается от
изображенного на рис. 68,а треугольника
Рело лишь отсутствием «нижнего» сегмен-
та—это есть объединение двух секторов
sx и s2, а не трех таких секторов. Поэтому
15Х S21 = | S2 S31 = | S3 S41 — | S4 Sx | =

= I $! + S2 I — | S1 I + | S2 I------1 S1 S2 I —
= 2 — д2 g2^3 = 4n~3 V3 a2
6	4	12
1 По имени швейцарского механика XIX в.
Франсуа Рело (F. Reuleaux), впервые изу-
чившего замечательные свойства этой фигуры,
изображенный на рис. 68, а криволинейный тре-
угольник называется треугольником Рело (об
этой фигуре см., например, §7 книги [19]).
a)
Рис. 68
151
Далее |SX + S8| есть весь квадрат / площади а2', поэтому (ср. с тем
же упр. 3):
I 5lS.i | =-1 S2S4 I = |SX I + I S8 I — I S1-f-S8 I =
2 —a2 —a2 = -^-a2.
4	2
Наконец, как легко видеть, в силу (9) (ср. гл. 1)
I Sj S2 S31 4-1 S3 S41 = I 5г S2 S3 Sx S3 S41 4~l St S2 SH»S1 S4 S41 ==
— I Si S3 (S2 4~ S4) 1 +1 St S2 S3 S41 = IS2 S3 /14-1 St S2 S8 S41 =
^|S1S3|4-|S1S2S3S4|= i^l^4-|S1SaS8S4|,
откуда с очевидностью вытекает, что
IS, S2 S31 +... +1S2 S3 S41 = 2	a2 -LI $3 S2 S3 S41] ,
= (л—2) a24-2|S1S2 S8S4|.
Подставляя все эти результаты в (13). находим
| S, S2 S, S41 = 4 — а2 — 4 -4n~3V^. d2—2 а2 >
I I 2 s 41	4	|2	2
4" (я—2) a2 4~ 2J Sx S2 S3 S41 —a\
откуда
IS, S2 S8 S41 = — na2 + (— a—/3 'j a2 + (n -2) a’ - (л -2) a2 -J a2 =
\ и	j
Пример 3 (см. 1201, задача 89). В классе 25 учеников. 17 из них уме-
ют ездить на велосипеде, 13 умеют плавать и 8 — ходить на лыжах.
Ни один ученик не владеет сразу всеми тремя видами спорта, но как
велосипедисты, так и пловцы и лыжники имеют хорошие или удовлет-
ворительные оценки по математике, в то время как 6 учеников класса
не успевают по математике. Сколько учеников класса имеют отличные
оценки по математике? Сколько пловцов умеют ходить на лыжах?
< Обозначим множества учеников, умеющих ездить на Велосипе-
де, Плавать и ходить на Лыжах, буквами В, П и Л\ далее обозначим
множества Отличников, Успевающих по математике учеников (имею-
щих оценку «3» или «4») и Неуспевающих учеников буквами О, У и Н.
152
В таком случае условия задачи могут быть записаны в следующем
виде:
1)	|В| = 17/25, |/7| = 13/25, |Л| = 8/25;
2)	\ВПЛ\ = 0;
3)	|УВ| = |В|, |УП\ = |/7|, |УЛ| = |«/7|;
4)	|Я| = 6/25;
в задаче требуется определить величины |О| и |77Л|.
Очевидно,
|О| + |У| 4- \Н| = |О + У + ,Я| = |/| = 1;
следовательно,
|О| + |у| = 1 _ |Я| = 1 — 6/25 = 19/25.
С другой стороны, если Уо, У, и У2 — множества успевающих учени-
ков, не владеющих ни одним видом спорта, владеющих одним или
двумя видами спорта соответственно (напоминаем, что тремя видами
спорта не владеет ни один учащийся!), то
|У| = |У01 + 1У11 + 1У2|;
таким образом, можно написать:
101 + |Уо1 + 1У11 + |У2| = 19/25.	(13.14)
Но
|Уг1 + |У2| = |УВ + УП + УЛ\ = |УВ| + 1У/71 + |УЛ| -
- |УВ/7| — {УВЛ\ — \УПЛ\ = |В| + |/7| + |Л| — \УВП| —
— |УВЛ| — [У ПЛ | = 17/25 + 13/25 + 8/25 — [У2| = 38/25 — |У2|
(здесь мы снова используем то, что никто из учащихся не владеет тремя
видами спорта), т. е.
1^1 + 21^1 = 38/25.	(13.14')
Вычтем теперь из удвоенного равенства (14) равенство (14'). Мы
получим
2|О| + 2|У0| + |yj = 0.
Но сумма трех неотрицательных чисел может быть равна ну-
лю лишь в том случае, если каждое из этих чисел равно нулю. Итак,
Ю1 = о, |У0| = о, |yj = 0.
153
Далее остается только заметить, что условие = 0 означает,
что каждый из учащихся, владеющих хоть одним видом спорта, вла-
деет еще одним видом спорта. Учитывая это, мы приходим к следую-
щей системе уравнений:
17/25 = |В| = \ВП + ВЛ\ = |В/7|+ |ВЛ|,
13/25 = |/7| = |В77 + ПЛ\ = |В/71 + |/7Л|
8/25 = |Л| = \ВЛ + ПЛ\ = |ВЛ| + |/7Л|.
из которой следует
|В77| = -И-, |ВЛ| = ^_, |/7Л| = -^.
40	ZO	Z0
Итак, число учащихся, имеющих отличные оценки по математике,
равно 0; число пловцов, умеющих ходить на лыжах, равно 2. ►
Пример 4. На джинсах, общая поверхность которых равна 1,
имеется 5 заплат, площадь каждой из которых не меньше Докажи-
те, что найдутся две заплаты, площадь общей части которых не мень-
ше У5.
<4 Обозначим заплаты (подмножества джинсов /) через Лх, Л2, Л3,
А4 и А5, их попарные пересечения — через Л12, Л13 и т. д. Нам извест-
но, что |/| = 1 и \At| > 1/2, где i = 1,2, 3, 4, 5 (см. модель 4 на с. 143);
требуется оценить величины |ЛО|. Согласно формуле (12) имеем
5
1 = I Л I А + А + А3 + Л4 4- Л51 = 2 I А I — 21 А> I +
(Ч)
4- 2 |Л
ijk I — 2 I Ajjhl | +1 л 1234d I
(W	{Ijkl)
или
1—Zj I At | +2 I Au |— 2 Мил 1 + 2 I Atjki I — I 123451 0- (13.15)
i	(if)	(ijk)	(ijkl)
Из полученного неравенства надо исключить член S IAfjk | и после-
дующие члены. Это можно сделать так. Используя ту же самую форму-
лу (12), получаем
5
IА1I Аг+Аз +^i4+As I = 2 ' At I — 21 At?I +
‘ = 2	(Ч)
+ 2 I Alijk|—| л1234ьi,
где индексы суммирования i, j, k пробегают значения 2, ...» 5. Выписав
аналогичные неравенства для величин |Л2|, |Л3|, |Л4| и |Л5| и сложив
все полученные неравенства, будем иметь
5
21Л<|>221ЛП|-3 2 Iл^|+4 s |лмм|-5|лХ2845|,
'=1	_(0‘)	(W	<//*/)
154
или
21 л, |-2 2 i а„'+з 2! л,„ |-< (,2 , л,„,L+
+ 5| Л1284ь| > 0.	“ z	(13.15е)
Умножим неравенство (15') на Ч3 и сложим его в неравенством (15).
Из полученного неравенства выпадет выражение S |Л^Л|1
I 7~ 2|	I + ~ 2Мц1-------Г- 2- MiJAjU".
° I	° (И)	d (Z/AZ)
+ -|-|^|>0.	(13.16)
Но ясно, что каждая из пяти величин |Л12М|, |Л1гШ|, |Л1МС|,
|Лт5| и |Л2345| не меньше |Л12 84&|; поэтому
2 I ^Ukl I 5^ | Л12340 | И —	। ^t/kl I--Г* I ^12845 I I ^12348 I 0»
(W)	6 (ijkl)	15
Следовательно, неравенство (16) можно перепивать еще и таю
1 ~т 21А J+т 21। > °’	(13-16<).
откуда получаем
2|	>2 2мн-3>2(5. -М—3 = 2.
(17)	<	\ Z /
А так как число слагаемых суммы 2 |Л. J равно Cf == 10, то хоть один
/ (/У)
из этих членов не меньше 2/10 = 1/5,— что и требовалось доказать. ►
Полученная оценка является точной. Этот результат можно зна-
чительно обобщить (ср. [211; см. упр. 5).
Пример 5. Пусть N =	— некоторое целое положи-
тельное число (рх, р2, ..., рь — простые делители числа А/). Опреде-
лить число ф (А/) целых положительных чисел, не превосходящих чис-
ла N и взаимно простых с N. [Функция ф (А/) целого положительного
аргумента А/-называется функцией Эйлера.}
<4 Обозначим множество целых положительных чисел ги, где
1 < пг А/, делящихся на простое число через Лн множество
чисел tn, делящихся на простые числа pi и р^— через Л^ и т. д.; здесь
/, /... = 1, 2, 3, ... или k. Нам надо определить число целых положи-
тельных чисел, не делящихся ни на одно из чисел р19 р2, ..., ph, т. е.
число элементов множества ЛАЛ2 ... Ah = ЛА + Л2 + ...+ Л^
(ср. упр. 2.4а)).
155
Очевидно, что (см. выше, модель 3, в. 142)
|Л,| = A iN---------L, ।л„|-------— :A = -J-
Pi	Pi	PiPj Pi Pj
и т. д. Поэтому (см. формулу (12))
| А	| = 21	| — 2 I I + 21 Ай* I—••• Ф
i	(4)	(lib)
-|-( —l)fc—11 Л12.../г| = (—+ — +	+ — 4- ...
\ Pl Pi	Pk /	\ Pl Pt Pi Pi
... +--------'j+(----------P... H	)—... (—1)	1 ’------------
Pk—i Pk / \ P\ Pi Рз	Pk—2Ph—1 Pk/	PiPi**»Ph
и, следовательно (см. (7)),
I А.Л4.....Лл I = |(Л, + Л2 + ... + ЛдЯ = 1 —| Л1 + Л 2 +...ЛЙ |=^1 —
—)+(—+——+...+ —!—)-
\ Р1	Рг	Pk / \Р1 Рг Pi Рз	Pk—i Pk /
—(--------Ь ••• Н------) + ••• + (— о*------—
\ Pl Pi Рз	Pk—2 Pk — i Ph/	Pl Pi •••Ph
=(l-l/p1)(l-l/p,)...(l-l/pk).
А так как
|Л1Л2...Лк| = <p (Ж
где ф (N) — число элементов подмножества Л1-Л2....«Лк множества
/ = {1, 2, 3..А/}, то окончательно получаем:
V(N) = N (i-J-W,-JJ Л _L\ k	(13.17)
Пример 6. Пусть и19 u2t ...» uk — линейные подпространства век-
торного пространства R размерностей пг, п2, пА; размерности по-
парных, тройных и т. д. пересечений этих пространств мы обозначим
через d12, dl3, .... dh_lt k; d128, ^124.^л-г, k-i,k и т. д. Требуется
определить размерность h наименьшего линейного подпространства
U, содержащего uv иг, ..., ик.
-4 Применим формулу (12) (ср. со сказанным на с. 148 по поводу
формулы (10)) к нормированной решетке подпространств векторного
пространства (модель 7). Мы получим
ft = zij + п2 + •••+ пк — d13 — dlt — ... — dk_u к +
+ dli9 + d124 4- ... + dk-a> й-i» k — ... ± ^12з --л
(ср. с формулой (10') на с. 148). ►
156
Пример 7. Пусть av а2, ...» ап — какие угодно целые положитель-
ные числа. Как, зная эти числа, а также общие наибольшие делители
всевозможных комбинаций этих чисел, найти их общее наименьшее
кратное?
4 Здесь нам придется воспользоваться нормированной неполной
булевой структурой, составляющей содержание рассмотренной выше
(с. 145) модели 5. Для этой структуры не выполняются правила (VIII)
«полной» булевой структуры; поэтому неприменимы никакие следствия
из этих правил, скажем, формула (7). Однако вывод «формулы включе-
ний и исключений» (12) не зависит от аксиом (VIII) булевой структу-
ры; поэтому формула (12) применима и к нормированным неполным
булевым структурам.
Пусть теперь ах, а2, а3, ..., ап — какие угодно различные целые
положительные числа, которые, естественно, всегда можно рассматри-
вать как делители некоторого большого числа N (например, числа JV =
= аг а2 а8...ап). В силу формулы (12) имеем:
|ai®a2©a8®...®an|= 21ai I—2 1а<®аЛ + 5 \ai®aj®ah\ -
«/)	(4k)
—I/*-1 |a1®a.2®a3®...®an|
ИЛИ.
log |Д1 , Д2> Да.fln]  уч log уч log (gf, ty) I*
logM	Jed logW	log N
I у log (at, aj.ak) 	, /	j yi -1 log(ai. аг> аз.an)
Умножая обе части последнего равенства на log N и потенцируя, по-
лучаем:
[а,, аа, а9, ап1 = ахаа...ап (ах, аа)-1 (а„ а9)~1... (ап_х, ah)-iX
X (О,, ^2’ аз) (^1» ^2» 4/^... (On — 2»	1> 4п)... (tZ,, ^2» fl3, •••» <*„)**.
Так, например,
Ю 12 з0 75| _ 10-12.30-75.(10, 12 , 30)(10, 12 , 75)(10 , 30 , 75) (12,30,75) _
’	’	’	(10,12) (10,30) (10,75) (12,30) (12,75) (30 , 75) (10, 12 , 30 , 75)
10.12.30.75-2.1.5.3
2.10.5-6.3.15.1
Пример 8. Пусть аг, аа, .... а* — произвольные неотрицательные
числа. Доказать, что
max (а1( аа, ..., ah) = а, + аа + ...+	—
— min (ах, аа) — min (аи as) —min (аъ_г. а,,) 4- min (at,a2,aa)
+ ... + min (aft_a, a„_lt aA) — ... ± min (ax, aa,..., ak).
157
•^Определим норму элемента неполной структуры Буля, образован-
ной системой вещественных чисел (см. модель 4 из § 10), по формуле
|а| = а (см. выше модель 6). Далее нам остается только применить в
этом случае формулу (12) (разумеется, вместо заданных чисел ах,
аг, ..., ak мы всегда можем рассмотреть числа а{ — ajN, a'z = ajN,
..., a'k = ahIN, где N таково, что 0^az sgC 1 при всех i — 1, 2,..., k). ►
Заметим еще в заключение, что вопрос о возможных способах введения ме-
ры в алгебре делителей целого числа N (см. выше модель 5) сводится к задаче оп-
ределения таких функций f (а) целых положительных чисел а, что для взаим-
но простых чисел а и b (т. е. таких, что а Q b = (a, b) = 1) имеет место
равенство / (аф b) = f [a, b]=f (ab) = f(a) +f (b) (логарифм log а числа а является
лишь одной из подобных функций). Этот вопрос тесно связан с вопросом о муль-
типликативных функциях целых чисел, т. е. таких функциях F (а), что при
(a, b) = 1 имеет место равенство F (ab) = F (a) F (Ь). Мультипликативные функ-
ции играют заметную роль в теории чисел (см. .например, [22, гл.II]). К их числу
принадлежат: cF (где с произвольно); сумма всех делителей числа а; сумма $-х
степеней всех делителей а; число с*, где с произвольно, k = k (а) — число раз-
личных простых делителей числа а; функция Эйлера ф (а) (см. выше, пример 5)
и т. д.; логарифм любой из этих функций [например, число log ф (а) или число
k (а)], взятый с некоторым постоянным множителем, может быть принят за нор-
му | а | числа а.
Упражнения. 13.1. Докажите совпадение «прямых разностей» 5 = Р — оф и
El = (a + Р) — а при любых a, Р £ <3?.
13.2.	Докажите:
а) формулу (11х); б) формулу включений и исключений (12).
13.3.	Как, зная меры | af |, | af + ay |, |	+ ay + aft |, ... (где /, /,
... = 1, 2, ..., п) всевозможных сумм элементов ab a2, ..., ап нормированной буле-
вой структуры, найти норму произведения | a1, а2 ... ап |?
13.4.	Докажите, что определение: | г I = dim z/n, где dim г — размерность
линейного подпространства г «-мерного векторного пространства /?,обращает ре-
шетку линейных подпространств пространства /? в нормированную решетку, т. е.
что так введенная величина |z| удовлетворяет аксиомам Нх и Н2 нормы.
13.5.	Внутри квадрата 1 площади 1 расположены п многоугольников
М2, •••»
а)	Пусть площадь] М/1 каждого из многоугольников М/ (где i ™ 1, 2, ...,
п) не меньше о, оцените наименьшую возможную площадь наибольшей из общих
частей Л4г-у =	• Му многоугольников Мг- и Му (Z, j = 1, 2. ..., л; i =/= /);
б)	Пусть площадь | М/ | каждого из многоугольников М$ не меньше о;
оцените наименьшую возможную площадь наибольшего fe-кратного пересечения
многоугольников (т. е. площадь общей части М	мно-
гоугольников М	.... где 1 <	< t2 < ... < ih < п\ разумеется,
k < л);
в)	Пусть каждое из Z-кратных пересечений М,^ ;	• MZj*...« М
многоугольников имеет не большую а площадь; оцените наименьшую возможную
площадь наибольшего из ^-кратных пересечений М,^ t a Mf -М^-...-
многоугольников (здесь I и k — фиксированные числа, причем 1 < / < k < л).
158
14. БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ; АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ И АЛГЕБРА
КОНТАКТНЫХ СХЕМ КАК НОРМИРОВАННЫЕ БУЛЕВЫ СТРУКТУРЫ
Обратимся теперь к нормированным булевым структурам, эле-
ментами которых служат высказывания (см. § 11) и электри-
ческие контактные схемы (§12). Высказывания мы нормируем,
приписав каждому высказыванию р его значение истинности |/>|,
равное 1, если р истинно, и 0, если р ложно; аналогично нормой |Л |
контактной схемы А будет служить ее проводимость, равная 1, если А
пропускает ток, и 0, если А ток не пропускает. Ясно, что так опреде-
ленная норма |р| высказывания р (и норма |Л| контактной схемы Л)
удовлетворяет аксиоме Нх нормы (с. 141). Выполняется здесь и аксиома
Н2. В самом деле pq = о тогда и только тогда, когда хотя бы одно из
высказываний р и q ложно; но если, скажем, q ложно, то р + q ис-
тинно, если р истинно, и q ложно, если р ложно, а в обоих этих
случаях
1р 4- <?| = Ipl = 1Р1 + |<?|
(ибо, ведь здесь |<?| — 0).
Все операции алгебры высказываний можно характеризовать ука-
занием значений истинности полученных сложных высказываний
в зависимости от значений истинности их компонент: так, сумма
(дизъюнкция) р 4- q высказываний р и q характеризуется тем, что
р 4- q истинно в том и только в том случае, если истинно хотя бы
одно из высказываний р и q, в то время как произведение (конъюнк-
ция) pq тех же двух высказываний истинно в том и только в том слу-
чае, если истинны оба высказывания р и q‘, высказывание р истинно
лишь в том случае, если р ложно. Таким образом, операции р 4- <?.
pq и р могут быть описаны с помощью следующих «таблиц истин-
ности»:
1 р 1	1<7|	1р4-<?|	1 PQl	Ip 1	|Р|
1	1	1	1	1	0
1	0	1	0	0	1
0	1	1	0		
0	0	0	0		
Ниже приведены также таблицы, характеризующие разность\п
симметрическую разность (исключающую дизъюнкцию) * двух вы-
сказываний р и q, а также импликацию =>, двойную импликацию
(эквивалентность) <==>, операцию Шеффера «ни, ни»| и «двойственную
операцию Шеффера» | , наконец, тернарную операцию {pqr}
(см. с. 47, 123—125, 127 и 128):
159
IPl Iffl
I P\<7| I P • ЯI I P=><71 I P<=> Я1 IPl ЯI IP l4
0 1
0 0
0	0	110	0
1	1	0	0	0	1
0	110	0	1
0	0,1	1	1	1
к
1 p 1	1 Я1	И	l{ РЯГ }l
1	1	1	1
1	1	0	1
1	0	1	1
1	0	0	0
0	1	1
0	1	0
0	0	1
0	0	0
1
0
0
0
l{ }l
Последняя таблица истинности показывает, что значение истинности
высказывания ф (р, q, г) = {pqr} совпадает со значением истинности
большинства (двух из трех или даже всех трех) аргументов р, q,
г функции ф, в силу чего функцию {р, р, г} трех высказываний р, р,
г иногда называют функцией большинства.
Таблица истинности n-арной операции f = f (рх, р2, рЛ), опре-
деляющая значения истинности высказывания f в зависимости от
значений истинности простых высказываний рп р2, ...» рп, представ-
ляет собой не что иное, как таблицу значений булевой функции f =
= f (Pi» Рг» •••» Рп)». каждый из аргументов рп р2, рп которой, как
и сама функция f, может принимать лишь два значения 0 или 1. Та-
ким образом, всевозможные операции алгебры высказываний могут
быть описаны как булевы функции (ср. упр. 4.16), что делает само по-
нятие булевой функции весьма важным. Например операциям р,
р+р, рр, р* р, p=>q, р | р и {pqr} отвечают следующие булевы функции:
f (р), /1 (р. р), fi (р. q), fa (р. р). Л (р. Р). h <Р> р) и Ф (р, р, г), где
f (1) = 0, f (0) - 1;
Л (1,1) = П (1,0) = Л (0,1) = 1,	(0,0) = 0;
f2 (l.D = 1. f2 (1.0) = f2 (0,1) = f2 (0,0) = 0;
f9 (1.1) =* /8 (0,0) = 0, f3 (1,0) = f9 (0,1) = 1;
(l.D = ft (0,1) = ft (0,0) = 1, ft (1,0) = 0;
f, (1,1) = f6 (1,0) = f6(0,l) = 0, f5(0,0) = 1;
Ф (1,1,1) = ф (1,1,0) = ф (1,0,1) = ф (0,1,1) = 1, ф (1,0, 0) =
= Ф (0,1,0) = ф (0,0,1) = ф (0, 0, 0) = 0.
160
Равенства
Р * q = pq + ~ря, p => q = q + pq, p I q = pq\
p + q = (p \q) | (p| q), pq = (p|p) | (p|p), p = p|p;
p + я = {ря*}, pq = {pqo}< {ppq} = я
(см. e. 47, 127, 61, 62 и 63—64) на языке булевых функций могут
быть записаны так:
fs (Р, Я) = Ь (/2 (Р, f (<?)). fi (f (Р). <?))).
Л (р,я) = ft (Я’ ft (f (р)< f (<?))).
h (р- я) = ft(f (р)> f (<?));
fl (Р'Я) = Is (h (P’ я)> fslP^Y).
fi M = fb(ff. (p>p), h
f (p) = h (p- p);
fi (p- я) = ф (p. <?> О. fz (p, я) = ф (p. ?> 0),
ф (p. f (p). я) = я-
Так как число различных наборов значений аргументов булевой
функции / (рп р2, рп) является конечным (оно равно 2П, поскольку
каждый аргумент может принимать всего два значения: 0 или 1) и
каждому набору значений аргументов может соответствовать либо
значение 0, либо значение 1 функции то общее число различных бу-
левых функций от п переменных (а значит, и общее число л-арных бу-
левых операций) является конечным: оно равно 22" (поскольку число
этих функций совпадает с числом способов, каким можно приписать
два значения (0 или 1) системе из 2л величин — наборов значе-
ний аргументов функции f; ср. с. 53). Однако это число растет с рос-
том п чрезвычайно быстро: если имеется лишь две «булевы функции от
0 аргументов» (булевы постоянные) 0 и 1 и лишь четыре булевы функ-
ции f (р) от одного аргумента (а именно, f (р) = 0, f (р) = 1, f (р)=р
и f (р) = р), то при дальнейшем увеличении п число различных буле-
вых функций от п аргументов растёт с большой скоростью:
п	Число различных булевых функций от п аргументов
0	21 = 2
1	22 = 4
2	2* = 16
3	28 = 256
4	2‘« = 65 536	'
5	232 =4 294 967 W
6	2««= 18 446 744 и73 709 551 616	-
и т. д.	
6 Зак 1518
161
Это обстоятельство делает задачу описания всевозможных булевых
функций достаточно сложной.
Весьма важной является задача конструирования по известным бу*
левым функциям (например, по описанным выше функциям / (р), fi (р9
q), fz (Р, ?)> fa (Р> <?)- Л (Р> fa (Р> <?) и ф (р, q, г)) новых функций,
характеризующих операции с заранее заданными таблицами истин-
ности; другими словами, задача нахождения аналитических выраже-
ний для булевых функций, заданных таблицами своих значений.
Нетрудно показать, как может быть решена эта задача в общем
виде. Пусть нам требуется найти булеву функцию f = f (р, q, г),
описываемую, скажем, следующей таблицей ее значений:
|р|	1 <71	IH	1/1 = 1 tip, Ч, г)|
1	1	1	1
1	1	0	1
1	0	1	1
0	1	1	1
1	0	0	0
0	1	0	0
0	0	1	0
0	0	0	0
(14.1)
Таким образом, высказывание f истинно в том и лишь в том слу-
чае, если 1) истинны все высказывания: и р, и q, и г, или 2) истинны
высказывания р и qt а г ложно, или 3) истинны высказывания риг,
a q ложно, или 4) истинны высказывания q и г, а р ложно. Употребле-
ние частицы «или» подсказывает нам мысль о том, чтобы представить
высказывание f в виде суммы четырех высказываний f2, f3 и
где, например, высказывание истинно лишь тогда, когда: 1) истин-
но р и 2) истинно q и 3) истинно г. Для построения высказывания
нам, очевидно, целесообразно использовать произведение
высказываний (употребление союза «и»): fiz= pqr\ аналогично f2 ==
= pqr, f3 = pqr и f4 = pqr. Таким образом, окончательно получаем
f = pqr + pqr + pqr + pqr.	(14.1')
Ясно, что использованный здесь метод может быть применен для
построения функции f = f (р15 р2, •••, рп), определяемой при помо-
щи любой наперед заданной таблицы истинности; при этом либо
мы придем к функции f = о, либо получим совершенную нормальную
аддитивную форму
f = Sp'ip2...ph	t	(14.2)
булева многочлена f, где через р/ (здесь i = 1, 2,3,или п) обозначе-
но pi или pi и все члены стоящей в правой части суммы различны
(см. § 6). А именно, каждому набору (е1,е2, еп) значений истинности
162
(IPil» 1р«1» •••» \РпI), где все ef=0 или 1, которому в столбце значений
величины И (рп р2> •••» Рп)1 отвечает единица, соответствует слагаемое
pipt... рп суммы (2), причем здесь р} есть pt, если 8^ = 1, и р[
есть рь если 8/ = 0. Если же в последнем столбце таблицы истинности
стоит нуль, то отвечающее соответствующему набору (8П е2, ...» sn)
истинностей переменных рр р2, ...» рп слагаемое суммы (2) вообще от-
сутствует. [Ср. с образованием по таблице (1) многочлена (Г); из ска-
занного также следует, что f = о, лишь если \f (р1, р2, ..., рп) | = 0.)
Из этого описания процедуры отыскания аналитического выраже-
ния функции f по ее таблице истинности следует, что каждой возмож-
ной таблице отвечает своя совершенная нормальная аддитивная фор-
ма f, откуда вытекает, что общее число булевых функций f (рп р2,
..., рп) равно числу возможных совершенных нормальных аддитивных
форм булевых многочленов от п переменных, что снова дает нам уже
знакомую величину 22" для количества булевых функций п перемен-
ных (см. с. 53; ср. также ниже упр. 1).
Пример (ср. § 3.1 книги [23], где указан совершенно другой путь
решения подобных задач). Пусть наблюдатель Н попал в один из
двух городов Ч и Л, где все жители города Ч говорят правду, а жите-
ли города Л всегда лгут; в городе он встретил жителя Ж (который мог
зайти в этот город и из другого города). Какой вопрос должен задать
наблюдатель Н жителю Ж, для того чтобы выяснить, в каком городе
он находится?
<4 Пусть р означает высказывание: Это город Ч, a q — Ты правдив.
Ясно, что вопросы об истинности высказываний р и q, заданные жите-
лю Ж, сами по себе не могут помочь нам выяснить, где находится
Н\ поэтому приходится искать подходящую комбинацию f (р, q) вы-
сказываний р и q. При этом нужна такая комбинация, чтобы ответ
«да» на соответствующий вопрос независимо от значения истинности
высказывания q означал истинность высказывания р, а ответ «нет» —
ложность высказывания р. Таким образом, требуемая функция f вы-
сказываний р и q должна определяться следующей таблицей:
|₽|	1 <?|	Желаемый" ответ	1 Л
1	1	да	1
1	0	да	0
0	1	нет	0
0	0	нет	1
(14.3)
(заметим, что если житель Ж правдив, то ответ «да» соответствует ис-
тинному высказыванию f, а если Ж лжет — то ложному высказыва-
нию f\ Но нетрудно видеть, что искомую таблицу истинности имеет
высказывание
/ (Р» ч) = РЯ + РЧ-	(14.3')
6*
163
Таким образом, вопрос, который Н должен задать жителю Ж, может
звучать так: Правда ли, что это город Ч и ты правдив или это город
Л и ты лжец. (Нетрудно указать и другие формы вопроса f, решающе-
го поставленную задачу.) ►
Форма (2) произвольной булевой функции означает, что все булевы функции
можно представить в виде суперпозиции «элементарных» булевых функций f (p)t
h (Р, q) и fi (P, Я)- Так, функция f (p. q. г), заданная таблицей (1) (с. 162),
может быть записана так:
/ - A {fi 1/2 (/2 (₽ <?). И, /2 (/2 (/ (₽)• <»•/)], А 1/2 (As (Р. / («?))• О» /2 (/г (Р.
9)	. f ('’))]}•
Но в силу соотношений де Моргана (XI):
= Р+? и р + q =* ~р q
функция f2 может быть представлена в виде суперпозиции функций и /, а функ-
ция Д — в виде суперпозиции функций /2 и f:
l2 (р. q)=f {fi If (р). f (?)!}; А (р. q) = f {As У (p). f (<?))}
Отсюда следует, что каждая булева функция от любого числа переменных может
быть представлена в виде суперпозиции одних лишь функций f (р) и (р q)
или одних лишь функций f (р) и f2 (р. q)- Наконец, так как функции f (р), Д (р, q)
и /2 (Р> q) м°гут также быть выражены через функцию Шеффера Д (р, q) (см.
с. 161), то каждая булева функция может быть получена в результате специально
подобранной суперпозиции функции fb (р, q).
Систему булевых функций, обладающую тем свойством, что л ю б у ю булеву
функцию можно представить в виде суперпозиции функций нашей системы, при-
нято называть полной; таким образом, полными являются, например, следующие
системы булевых функций:
{/1 (Р. <7). /2 <Р’ ?)• f(P)}'< {А (Р. <7). f (р)} или даже {ft (р, ?)} .
Исчерпывающее описание всех возможных полных систем булевых функций было
дано американским логиком Э. П о с т о м. А именно, Пост показал, что для того,
чтобы система
{A (Pi. Рг< •••• РП1). /2 (Pi- Рг> • Рп,).fk (Pv Рг- • ••• Рп^}
была полной, необходимо и достаточно, чтобы среди функций Д, /2, .... было
хотя бы по одной функции каждого из следующих пяти классов булевых функций;
А.	Класс функций, не сохраняющих константу 0 (т. е. класс таких функций
f (Pi. P2. Рп). что f (0, 0, .... 0) =# 0);
Б. Класс функций, не сохраняющих константу 1 (т. е. таких, что/ (1, 1, ...
!)¥= 0;
В.	Класс функций, не являющихся монотонными (т. е. таких, что для хотя
бы одной пары наборов аргументов рь р2, ..., рп и qv q2, ..., qn, где pt > для
всех i = 1, 2, ..., п, имеет место неравенство / (рь р2,рп) < / (qv q2, ..., qn)\
напоминаем, что каждое из чисел р/, и / равно 0 или 1);
Г Класс функций, не являющихся двойственными сами себе (т. е. таких, что
хотя бы для одного набора значений р1? р2, ..., рп имеет место неравенство / (рь
р2, ...» р”п) =/= / (рь р2, ..., рп); здесь, как обычно, положено 0 = 1 и 1 = 0);
Д. Класс функций, не являющихся линейными (т. е. не представимых в виде
/ (Р1» ₽2» Рп) — ао + Щ Рг + а202 + ••• + алРп> где каждый из коэффициен-
тов а0, аг. .... пп равен 0 или I и сложение определено как в арифметике вычетов
по модулю 2).
Так, например, функция Д (р, q). определяющая операцию Шеффера, не яв-
ляется ни сохраняющей константу 0 (ибо Д (0,0) = 1), ни сохраняющей констан-
164
ту 1 (ибо fb (1,1) •= 0), ни монотонной (ибо fb (0,6) > fb (1,1)), ни двойственной
самой себе (например, /5 (1, 0) « 0, а /б (Г,0) => /б (0,1) =>0 =£ fb (1,0)), ни линей-
ной (ибо функция fb (р, q) отлична, как легко проверить, от каждой из восьми
функций а0 + arp + a2q, где а0, ах, а2 = 0,1 и сложение, в отличие от правил, за-
дающих сложение в алгебре Буля, определяется равенствами 0+0= 1 + 1 -0,
1+0=0+1—1). Поэтому все булевы функции могут быть выражены через
единственную «функцию Шеффера» /б (р, q).
Аналогично этому система функций f (р), ft (р, q), определяющих операции
р и р + q (булево сложение), также удовлетворяет условиям теоремы Поста, ибо
функция f (р) не сохраняет ни 0, ни 1 и не является монотонной, а функция
/i (р, q) не является ни двойственной самой себе, ни линейной; поэтому через
функции / (р) и /j (р, q) также могут быть выражены все булевы функции. Пол-
ной является и_система из одной функции {fb (р, </)}, отвечающей операции
р I q (см упр. 2 и 4), или функции ф (р, q, г), отвечающей операции {р, q, г}
(см. упр. 26)). Напротив система функций {Д (р, р), /2 (р, q)} определяющих
(булево) сложение и умножение, условию теоремы Поста не удовлетворяет (ибо
обе функции fi и f2 сохраняю! 0. сохраняют 1 и являются монотонными); поэтому
через эти две функции все булевы функции выразить нельзя.
Относительно доказательства теоремы Поста см, например, |2.2] или [24].
Аналогия между нормированными структурами высказываний и
контактных цепей порождает возможность естественного (взаимно-
однозначного или биективного) отображения множества высказыва-
ний на множество контактных цепей. Контактные цепи мы услови-
лись характеризовать исключительно их проводимостью, подобно то-
му как высказывания характеризуются их истинностью, — и каждой
сложной контактной цепи, включающей контакты Л, В, Г и т. д., от-
вечает своя булева функция, указывающая значения проводимости
|Ф| цепи Ф в зависимости от состояния (замкнут, разомкнут) отдель-
ных контактов, задаваемого значениями их проводимости |Л|, |В|,
|Г|, ... (число |Л | равно 1, если контакт Л замкнут, и равно 0, если он
разомкнут). При этом естественно сопоставить друг другу высказыва-
ния и контактные цепи, которым соответствует одна и та же
булева функция (ведь безразлично, выражают ли числа, являющие-
ся аргументами и значением булевой функции, истинности или прово-
димости!). Так, например, сложному высказыванию (Г), задаваемому
таблицей (1) значений отвечающей ему булевой функции, очевидно,
соответствует изображенная на рис. 59,а цепь, роль аргументов кото-
рой играют контакты Л, 5, Г, заменяющие высказывания р, q, г.
Рассмотренные выше возможные варианты упрощения этой цепи
(см. рис. 59,6 —г)' указывают одновременно пути упрощения отвечаю-
щего таблице (1) сложного высказывания f.
Возникающая здесь аналогия между сложными высказываниями
и электрическими цепями может быть использована двояким образом.
Во-первых, она дает возможность моделировать логические соотноше-
ния при помощи электрических цепей] при этом для того, чтобы про-
верить, является ли соответствующее высказывание истинным Или
ложным, достаточно убедиться, пропускает ли ток наша электричес-
кая цепь. Во-вторых, мы можем записывать строение электрической
165
сети при помощи составного высказывания и конструировать
электрические цепи с заданными свойствами с помощью тех приемов,
которые выше были использованы для построения сложных высказы-
ваний.
Проиллюстрируем сказанное на нескольких несложных примерах
(ср. также упр. 7; по поводу других примеров такого «же рода см.,
например, [1.13, 2.1, 2.21, 1.16—1.19 или 2.23—2.26]). ,
Пример I. Требуется спроектировать электрическую цепь для
спальни, где имеется одна лампочка, и желательно иметь два незави-
симых выключателя: один — у двери, а второй — над постелью; при
этом поворот каждого выключателя независимо от состояния второго
выключателя должен размыкать цепь, если она до этого была замкну-
та, и замыкать, если-ранее она была разомкнута.
Рассмотрите также аналогичную задачу о цепи с тремя или боль-
шим числом независимых выключателей.
<4 Обозначим (контактные) выключатели буквами Л и В. Задача со-
стоит в построении такой электрической цепи, содержащей контакты
А и В, что изменение значения проводимости одного контакта при лю-
бом значении проводимости второго контакта изменяет значение про-
водимости всей цепи. Так, например, решение задачи может подска-
зываться следующей таблицей, в которой собраны значения проводи-
мости контактов А, В и значение проводимости всей цепи Ф = Ф (Л, В):
| Л | | В| | Ф (Л, В) |
1	1
1	О
О	1
о	о
о
1
1
о
(14.4)
Соответствующую булеву функцию можно представить, например,
в следующем виде:
Ф (Л, В) = АВ + АВ (= Л * В);	(14.4')
ее реализует электрическая сеть, изображенная на рис. 61 (с. 138)—
она-то и доставляет решение нашей задачи.
Аналогично этому решение «задачи о трех выключателях» Л, В и Г
решает следующий булев многочлен:
Ф3 (Л, В, Г) = (Л * В) * Г (= А * В * Г).	(14.5)
В самом деле, мы только что видели, что булева функция |Ф| =
= |А*Г| (ср. с (4')) меняет свое значение, когда меняет значение любой
из ее аргументов |Д|, |Г|. Положим теперь А = Л * В; тогда мы при-
дем к выражению (5). Но изменение проводимости любого из контак-
тов Л, В, по доказанному, меняет значение величины |Л * В|, т. е.
166
первого из аргументов |Д| рассматриваемой функции |ф3|= |Д*Г|,
а изменение проводимости контакта Г меняет значение второго ар-
гумента \Г\ этой функции, — что и подытоживает рассуждения.
.Решение задачи о п выключателях доставляет функция
Фл Л2, •••> Лп) = Ау * Л2 * ... * Ап	(14.5')
(ассоциативность операции * позволяет отбросить скобки в правой
части); доказать это легко, скажем, с помощью метода математичес-
кой индукции (см. упр. 5). ►
Пример 2. Комитет состоит из трех членов; голосование «за» осу-
шествляется нажатием кнопки; решение принимается большинством
голосов. Спроектируйте такую электрическую цепь, чтобы положи-
тельный результат голосования указывался загоранием лампочки над
столом председателя.
Нам требуется найти такую функцию ф (Л, В, Г) трех контактов
Л. В и Г, чтобы проводимость ф означала включение большинства
(двух или всех трех) из наших контактов. Можно было бы искать ана-
литическое выражение функции ф
стандартным путем, но в данном
случае в этом ' нет нужды: ясно,
что требуемым условиям отвечает
«функция большинства»
ф (Л, S, Г) = {АВГ} = АВ +
+ АГ + ВГ	(14.6)
(см. таблицу истинности функции
Ф на с. 160). На рис. 69 изображено
несколько вариантов реализации
соответствующей электрической
цепи; иное ее строение описано на
G. 162. ►
Пример 3. Спроектируйте двоич-
ный сумматор — электрическую
цепь с 2м входами и п + 1 выходом
(рис. 70): п первых входов отвечают
разрядам двоичной записи первого
слагаемого Л (где поступление
Рис. 69
Рис. 70
167
тока на fc-й вход означает, что Л-й разряд числа А равен 1, а непоступ-
ление — что он равен 0), а следующие п входов — разрядам числа В;
п + 1 выходов сумматора должны указывать значения разрядов сум-
мы (арифметической, а не булевой!) S = А + В.
4 Рассмотрим отдельно устройство, отвечающее какому-то фикси-
рованному /-му разряду чисел А, В и S. Это устройство, очевидно,
должно иметь три входа, на которые поступят Z-e разряды at и bt
чисел Л и В и значение возможного переноса разряда в резуль-
тате сложения предшествующих разрядов чисел Л и В (при i = 1
вход р1_ъ разумеется, отсутствует); выходы sz и рл указывают интере-
сующий нас /-й разряд числа S и (возможный) перенос в следующий
разряд pi (рис. 71). При этом правила двоичной арифметики указыва-
ют следующие таблицы значений булевых функций (ai9 bit р^)
И Pi (ait bt, Pi.i):
1 a, |	IM	1 Pi-11	1 Sil	ipi 1
1	1	1	1	1
1 0	0 1	1 1	0 0	j	(14.7)
0	0	1	1	0
1	1	0	0	1
1	0	0	1	0
0	1	0	J	0
0	0	0	0	0
Если i = 1, то достаточно ограничиться нижней половиной таб-
лицы (7),4отвечающей значению р^ = 0; здесь функция pt (в дан-
ном случае р^) есть просто булево произведение аргументов, а
функция Sj — их симметрическая разность}
Sj == ау * ЬЛ, Pi ~ ct^bi	(14.8)
(ср. рис. 71,а). Полная таблица (7) даст более сложные значения
функций s, и pt: здесь, как легко видеть,
Si = at * bi « Pi-i (= (at ♦ bi) ♦ Pt-i)	(14.8')
(ср. с примером 1; заметьте, что функция меняет значение при из-
менении значения любого из ее аргументов}, а
Pi= atbiPi.i+aibiPi.! + atbtPi.i + аг6гр/_х =
== aibi ((pt-i 4- pt-,) + (afbi + c^b,) p,^,
t. e.
Pi = ciibi 4- (at * bt) pi_!
(рис. 71,6).
168
На рис. 72 изображен искомый сумматор для сложения трехзнач-
ных чисел Л и В, реализованный в виде логической цепи (ср. с. 139);
ясно, что техническое осуществление подобной схемы не представляет
труда. ►
Пример 4 (см. 125), с. 214). Надо спроектировать электрическую
цепь управления лифтом (число этажей, для простоты, полагаем рав-
ным двум). Цепь должна содержать два контакта, управление которы-
ми осуществляется нажимом кнопок, одна из которых находится в ка-
бине лифта (кнопка .спуска), а вторая — у двери лифта на первом эта-
же (кнопка вызова); дополнительные контакты связаны с дверями
лифта на первом и втором этажах, с внутренней дверью кабины лифта,
а также сдавлением пассажира на пол. Электрическая цепь, управляю-
щая движением лифта вниз, должна включаться лишь в том случае,
когда кабина находится на втором этаже и, кроме того, выполнены сле-
дующие условия:
1) обе двери лифта и дверь кабины закрыты; пассажир находится
в лифте и нажимает кнопку спуска или 2) обе двери лифта закрыты,
дверь кабины лифта открыта или закрыта, пассажира в кабине нет,
и кнопка вызова лифта нажата.
4 Обозначим контактные выключатели, регулирующие включение
цепи-, следующим образом: В — выключатель, замыкающийся лишь
(Qj + 8-j)(Qi ~	+ Q< в]
Рис. 71
169
Рис. 72
в том случае, когда кабина находится на 2-м этаже, Дг и Д2 — выклю-
чатели, замыкающиеся при закрывании Дверей лифта на 1 и 2-м эта-
жах, Дк — аналогичный выключатель, связанный с дверью Кабины,
П — выключатель, связанный с полом кабины и замыкающийся от
тяжести Пассажира; Кс и выключатели, связанные с Кноп-
кой Спуска в кабине лифта и с Кнопкой Вызова на 1-м этаже у дверей
лифта. Согласно условию значение проводимости цепи f = f (В. Ди
Д2, Дк, /7, Кс, Кв) равно 1 в том и лишь в том случае, когда равно 1
значение проводимостей контактов В, Дг Д2, Дк, П и или когда
равно 1 значение проводимостей контактов S, Д15 Д2, и равно О
значение проводимости контакта П. Но отсюда следует (ср. с. 162—
163), что функцию f можно представить так:
/ = ВДгДМ1Кс + вдгд2кЛ =
= ВДД2 (ЛДЛс + ПЛв).
Соответствующая электрическая цепь изображена на рис. 73.
Аналогично может быть построена и цепь, управляющая движе-
нием лифта наверх. ►
Ранее мы всегда считали, что значение истинности (норма |р| вы-
сказывания р) может иметь лишь одно из двух значений: 1 (р истинно)
и 0 (р ложно). Однако человеческая логика не всегда работает по та-
кой, несколько слишком прямолинейной схеме. В последнее время
довольно много внимания уделяется так называемым многозначным
логикам. где значение истинности высказывания может принимать бо-
лее чем два значения, скажем 1 (истинно), 0 (ложно) и 1/2 (возможно).
Подобные построения (ср., например, [1.14, 2.121) можно связать и о
введением в алгебре высказываний норм элементов, принимающих
Рис. 73
170
более чем два значения; впрочем, они очень осложняются тем, что в
случае «двузначной нормы» мы имеем естественное отображение буле-
вой структуры высказываний в булеву структуру из двух элементов,
в то время как в случае, скажем, трехзначной ’логики мы никак не мо-
жем сохранить и в множестве истинностей булеву структуру, посколь-
ку булевых структур из трех элементов вообще не существует
(ср. с. 177).
Не останавливаясь на рассмотрении логик с тремя значениями ис-
тинности (например, «истина», «ложь» и «неопределенно» или «бес-
смысленно») и вообще конечнозначных логик (приобретающих в по-
следнее время все большее значение), мы перейдем теперь к наиболее
интересному и плодотворному, обобщению алгебры высказываний,
оперирующуму с бесконечным множеством значений истинности, ко-
торые естественно интерпретировать как вероятности какого-
либо события («вероятностная логика»).
Упражнения 14.1. Выпишите совершенные нормальные формы
а)	аддитивные, б) мультипликативные (см. § 6)
всех 16 бинарных алгебраических операций (т е. булевых функций от двух пере-
менных; ср. с. 160). '
14.2	. а) Составьте таблицу 16 бинарных операций булевой структуры (см.
упр 1), указав для каждой операции (булевой функции двух переменных) назва-
ние. формулу (по возможности — простую), а также го, удовлетворяет или не
удовлетворяет эта функция каждому из фигурирующих в условиях теоремы Пос-
та (с. 164) условий А — Д.
б)	Проверьте, что булева «функция большинства» q: (р, q, г) = pq + qi +
+<р (см. с. 63 и 160) удовлетворяет всем условиям А—Д теоремы Поста [и зна
чит. одна функция ф (р, q, г) (см. с. 160) образует полный класс функций]
14.3	. Какие из следующих наборов унарных и бинарных операций булевой
структуры (булевых функций одной и двух переменных) образуют полную Сис-
тему функций; в случае положительного ответа выразите через операции этого
набора все известные вам булевы операции:
а) + и => <т. е. /j (р q) = p+q и f2(p, g) = p =><?), б) - и =>;
в) — и <==>*. Г) + . • , => И
14.4	. Перечислите все булевы операции о (булевы функции f (р, q) e p?q
двух переменных), такие что все без исключения булевы операции можно выразить
через
а) операцию о , б) операции - и о .
14.5	. Докажите, что функция (5а) (с. 167) действительно, решает «задачу
о п выключателях»; опишите строение соответствующей электрической цепи.
14.6	. Опишите электрическую контактную цепь, реализующую
а) импликацию р => q двух переменных р и q-t б) эквивалентность p<==>q.
14.7	. а) Комитет состоит из пяти членов; опишите «функцию большинства»
пяти переменных р0, рг р2, р?, р4 (ср. с. 160) и постройте такую электрическую
цепь, чтобы лампочка зажигалась в том и только в том случае, если большин-
ство из членов комитета нажмут кнопки;
б)	опишите функцию, аналогичную функции упр. а), но отвечающую усло-
вию о том что решение принимается в случае голосования за него большинства
членов комитета включая председателя (переменное р0);
в)	спроектируйте такую электрическую цепь, что зажигание лампочки от-
вечает принятию решения комитетом из 2п + 1 членов, если голосование «за»
171
осуществляется нажиманием кнопки (включением контакта) и для положитель-
ного решения необходимо просто большинство;
г)	спроектируйте цепь, аналогичную электрической цепи упр. в), но отве-
чающую случаю, когда для положительного решения надо, чтобы за него голосо-
вало большинство, включающее обладающего правом «вето» председателя.
15. ЧТО ТАКОЕ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Вернемся снова к булевой структуре, элементы которой мы в этом
параграфе будем обозначать большими буквами латинского алфави-
та и называть событиями, как это принято в теории вероятностей.
В остальном можно считать, что мы nq-прежнему имеем дело с тем ва-
риантом структуры Буля, которому был посвящен § 11, поскольку
рассматриваемые здесь события характеризуются некоторыми выска-
зываниями (завтра будет дождь, подброшенная .монета упала гербом
кверху, эта деталь бракованная и т. д.), под суммой А + В и произ-
ведением АВ событий А и В понимаются события «Л или В», соответ-
ственно «Л и В», а «дополнение» Л события Л определяется как собы-
тие «не Л». Из числа всех событий мы выделим достоверные события /,
которым отвечают заведомо истинные высказывания (за субботой
следует воскресенье, монета упала кверху гербом или кверху цифрой) и
невозможные события О, которым отвечают ложные высказыва-
ния (за субботой следует понедельник, монета упала кверху гербом и
цифрой одновременно).
Предположим теперь, что алгебра событий нормирована с соблюде-
нием условий § 13: норму |Л| элемента Л рассматриваемой булевой
структуры мы теперь будем обозначать через р (Л) а аксиомы Hj и На
нормы (основные аксиомы теории вероятностей!) будем обозначать
через В} и В2:
В, :0О(Л)С 1; Р (Л = 1, Р (О) = 0.
В2: если АВ = О, то р (Л + В) = р (А) + р (В).
Норму |Л | или р (Л) элемента Л мы по-прежнему будем понимать как
своеобразное «значение истинности» характеризующего Л высказыва-
ния: если р (А) = 1, то это высказывание является истинным,.?, е.
событие Л можно считать достоверным1; если р (Л) = 0, то Л сле-
дует признать невозможным, т. е. характеризующее Л высказывание
1 В рамках теории вероятностей достоверное событие может быть опреде-
лено условием р (Л) — 1, а невозможное — условием р (Л) и 0; однако,
такое определение понятий невозможности и достоверности совпадает с обще-
принятым лишь в случае конечных вероятностных структур (см. с. 177).
В самом деле, скажем, в рассмотренной на с. 174 задаче каждому конкретному
значению длины хорды (например, равному диаметру круга) при любом разум-
ном введении вероятностей следует приписать нулевую вероятность — из чего
общежитейски (не математически) мыслящий человек заключит, пожалуй, что
невозможна никакая длина хорды.
172
ложно; если же 0 < р (А) < 1, то число р (Д) характеризует веро-
ятность того, что рассматриваемое высказывание окажется вер-
ным, иными словами, вероятность того, что событие А произойдет.
Изучение этой нормированной алгебры Буля и составляет предмет
теории вероятностей.
Итак, объектом теории вероятностей является некоторая совокуп-
ность элементов, образующих нормированную булеву структуру;
другими словами, предметом теории вероятностей является изуче-
ние математической структуры
<33; +,	“,=> , р>,	(15.1)
описываемой аксиомами (I) — (XXI) (или, если угодно, скажем, ак-
сиомами Б1-8 § 5) й аксиомами В1>2. При этом элементы Д, В, С, ....
б 33 называются событиями, а их нормы р (Д), р (В), р (С), ... —
вероятностями этих событий.
При таком определении теории вероятностей (предложенном в
1917 г. замечательным русским математиком Сергеем Натановичем
Бернштейном (1880—1968; см. [26]) требуется задать заранее
булеву структуру рассматриваемых событий; множествам событий
разного характера (содержащим конечное число элементов; бесконеч-
ным, но счетном; множествам, еще более богатым событиями) отвечают
разные разделы теории вероятностей. При этом выбор значений веро-
ятностей! не относится к теории вероятностей: этот выбор дол-
жен быть так или иначе произведен заранее. Задачи теории вероятно-
стей состоят в указании правил, позволяющих по известным вероят-
ностям тех или иных событий Д, В, С и т. д. находить вероятности дру-
гих событий, так или иначе связанных с исходными,— например собы-
тий ДВ, (Д + В) С, (Д + В)п и т. д. Следует, однако, иметь в виду,
что указанная здесь общая постановка задач теории вероятностей
конкретизируется в огромном числе-вопросов, зачастую имеющих со-
вершенно разный характер, и наше краткое определение предмета тео-
рии вероятностей не может дать никакого представления об этой об-
ширной и важной науке (см., например, [1.10, 1.11, 2.17]).
Заметим еше, что в настоящее время теорию вероятностей чаще оп-
ределяют не совсем так, как указано выше. Мы уже упоминали
(см. с. 78) об одном из основных результатов теории булевых струк-
тур, в силу которого каждая такая структура может рассматриваться
как алгебра множеств, элементами которой являются определенные
подмножества некоторого универсального множества / (теорема
Стоуна). Это позволяет положить в основу теории вероятностей
так называемое «полное множество элементарных событий» /, различ-
ные подмножества которого отождествляются с рассматриваемыми
событиями; нормы элементов соответствующей булевой структуры
(ср. с примерами 3 и 4 из § 13) определяются аксиоматически, при по-
мощи требований, которым они должны удовлетворять. Такой путь по-
строения теории вероятностей, предложенный в 1929 г. Андреем Ни-
173
колаевичем Колмогоровым (род. в 1903 г., см. (271), обладает
рядом преимуществ. Мы, однако, не можем здесь остановиться на
этом подробнее.
То обстоятельство, что мы оставили открытым очень важный во-
прос о том, как задавать исходные вероятности, не должно нас смущать.
Ведь и в геометрии мы имеем лишь возможность сравнивать между
собой те или иные расстояния и углы (так, мы можем, например, дока-
зать, что если угол АВС равен 90°, то квадрат расстояния АС равен сум-
ме квадрате© расстояний АВ и ВС); однако вопрос о том, как опреде-
ляются расстояния и углы, фактически выходит за рамки геометрии.
Ясно, что нормы (вероятности) рассматриваемых событий, лежащие в
основе содержательной теории, должны согласовываться с нашей ин-
туицией (так, скажем, событию утром восходит солнце следует при-
писать вероятность 1, но никак не 0) и с физическими экспериментами,
о которых мы еще скажем ниже. Но ясно, что установление такого со-
ответствия по существу не может относиться к компетенции какой-
либо математической дисциплины, поскольку математика, будучи де-
дуктивной наукой, исходит из опыта и интуиции, но строиться долж-
на лишь чисто формально (ср. с [II, §§. 1 и 71).
Чтобы пояснить это положение, поставим вопрос об определении
вероятности того, что’брошенная наугад игральная кость упадет квер-
ху стороной, на которой отмечены 6 очков. Наличие у кости шести
сторон побуждает нас приписать этому событию вероятность 1/6.
Может, однако, оказаться, что кость на самом деле является фальши-
вой: она изготовлена из неоднородного материала, например наполне-
на с.одной стороны свинцом, так что при бросании она почти навер-
няка будет выпадать шестеркой кверху. В этом случае мы вынуждены
будем придавать рассматриваемому событию вероятность, значитель-
но большую, чем 1/6. Но ясно, что вопрос о физическом строении конк-
ретной игральной кости, которой пользуется тот или иной игрок
(возможно, — шулер!), может интересовать милицию, но никак не ма-
тематику: к столь абстрактной дисциплине, как теория вероятностей,
этот вопрос не имеет никакого отношения.
Вот еще один хорошо известный пример такого же рода. Рассмот-
рим задачу об определении вероятности того, что проведенная наугад в
круге К хорда АВ окажется больше стороны вписанного в круг правиль-
ного треугольника. Здесь можно рассуждать следующим образом.
Рассмотрим все хорды, параллельные заданному направлению /;
хорды, большие стороны UV вписанного в круг К правильного треу-
гольника, высекают на перпендикулярном I диаметре PQ отрезок MN=
= 1/2 PQ (рис. 74,а), исходя из чего хочется приписать интересую-
щей нас вероятности значение 1/2. С другой стороны, можно рассмот-
реть все хорды, проходящие через данную точку U окружности; боль-
шие UV хорды заполняют угол, равный 1/3 развернутого угла (рис.
74,6); поэтому искомой вероятности естественно приписать значение 1/3.
Наконец, середина S проведенной хорды АВ может совпасть с любой
174
точкой круга К; если АВ> (/V,to S принадлежит меньшему кругу /г,
площадь которого составляет 1/4 часть площади круга /( (рис. 74,*);
поэтому можно думать, что искомая вероятность равна 1/4.
Какое из этих трех решений задачи является правильным? Вер-
ный ответ на этот вопрос состоит в следующем. Сформулированная
выше задача неправильно поставлена: мы указали множество S3 рас-
сматриваемых событий (которые можно отождествлять с множест-
вами хорд круга К), но не указали, каким образом вводятся йормы
р (Л) элементов А этого множества. Таким образом, мы пока не имеем
нормированной структуры (1), изучение которой составляет предмет
теории вероятностей 1, а до задания этой структуры математигу
здесь делать нечего: предложить ему изучать такую структуру, не
фиксировав в ней нормы р, столь же нелепо, как, скажем, просить его
о решении уравнения с «засекреченной» правой
частью. Наши три ответа «задачи о хорде» соот-
ветствуют трем различным способам введения
норм,— но не дело математика выяснять, какой
из этих трех способов введения норм является
«лучшим»: с его точки зрения все они совершен-
но равноправны. Таким образом, полученное
противоречие, которое придумавший его извест-
ный французский математик Жозеф Бертран
(1822—1900) считал опровергающим теорию ве-
роятностей, лишь способствовало прояснению ее
содержания (ср. 1281).
Своеобразным отражением взаимоотношений между
«черно-белой» (или двузначной) аристотелевой логикой
и «серой» или «размытой» (бесконечнозначной) вероят-
ностной логикой может служить принадлежащая извест-
ному американскому исследователю Л. А.* Заде тео-
рия так называемых нечетких или размытых множеств.
Сам Заде постулировал необходимость обращения к
этой теории во всех проблемах «гуманистического» ха-
рактера, т. е в проблемах, связанных с человеческой
психикой с ее принципиально «размытым» характером
(ср. со сказанным на с. 115), и, в частности, во всех
науках гуманитарного цикла вроде лингвистики, пси-
хологии или экономики. Характерен успех, который
имела созданная Заде теория! Возникла она, по-види-
мому, где-то в середине 60-х годов (Ъдним из первых
решительно поддержал ее ведущий американский
специалист по прикладной математике Рихард Б е л-
1 Поскольку множество 33 в этом случае совпа-
дает с множеством подмножеств некоторого универ-
сального множества /, введение фигурирующих в (1)
операций и отношения (+, •, - и zd) здесь произво-
дится по общим правилам алгебры множеств (см. гл. 1)$
однако нормы р должны быть введены тем или иным спе-
циальным соглашением.
175
лм.ан, первые публикации которого на эту тему появились почти одновре-
менно с работами Заде), а в настоящий момент ей посвящена уже колоссальная
литература, лишь весьма незначительную часть которой составляют 60 книг и
статей, перечисленных в библиографии к вышедшей в свет в 1973 г. книге [29]
Л. Заде (и 25 названий более поздних работ, указанных в дополнительной би-
блиографии к опубликованному в 1976 г. русскому переводу этой книги) Еще
более показательным надо считать появление во Франции в 1972—1975 гг че-
тырехтомного (!) учебника [30] по теории размытых множеств 1 (в настоящее
время частично переведенного и на английский язык), рассчитанного на сту-
дентов и на лиц, профессионально заинтересованных в этой теории, но не имею-
щих основательного математического образования. Общий объем этого учебника,
автор которого, известный педагог и пропагандист математики А. Кофман, хоро-
шо известен нашим читателям по переводам ряда книг (например [1 12, 2.16]),
составляет около 1500 страниц. Наконец, недавно был создан специализирован-
ный «Международный журнал по теории размытых множеств» (International Jour-
nal of Fuzzy Sets and Systems).
Основные предпосылки созданной Л. Заде теории заключаются в следующем".
Исходным понятием эскизно намеченной в гл. 1 настоящей книги «наивной» (не-
аксиоматической) теории множеств Является понятие принадлежности х £ А
элемента х универсального множества / к определенному подмножеству А с: /;
копируя построения, приводящие к концепции нормированной структуры Бу-
ля, можно говорить о мере тА (х) принадлежности х множеству А : эта мера рав-
на 1, если х £ Л, и равна 0, если х $ А. Переходя теперь к нечетким множест-
вам, вроде, скажем, множеств умных людей, красивых женщин или великих пи-
сателей, Заде предлагает оценивать меру принадлежности элемента х множест-
ву А (скажем, Глеба Успенского или Гюстава Флобера множеству великих писа-
телей) величиной тА (х), где 0 < тА (х) < 1 (если тА (х) ° 1, то х безусловно
принадлежит Л, если тА (х) «= 0, то х наверняка А не принадлежит) При этом
полная характеристика (нечеткого) множества Л с / дается (числовой а) функ-
цией тА (х) с областью определения / («размытой» мерой принадлежности х
к Л). «Размытые» объединение Л и пересечение АВ множеств Л и В, допол-
нение А множества Л и условие принадлежности Ас. В множества Л множеству
В вводятся так:
™А4-в (*) =tnA w®	(*);	(а)
тлв^ = тА	0)
щ (х) — 1 — тА (х);	(в)
л
Л с В тогда и только тогда, когда т л (х) < тв (х) при всех г £ Z, (г)
где «булева сумма» и «булево произведение» Д ® двух числовых функций
/1 (х) и /2 (х) с общей областью определения / понимаются в смысле порожденной
множеством рассматриваемых функций неполной булевой структуры:
fl (X) ф /2 (х) = max [/1 (х), /2 (х)], /, (х) ® /2 (х) = min (/, (х). /2 (x)J (д)
(ср. § 10, модель 4).
1 Последний том этого сочинения представляет собой задачник по теории раз-
мытых множеств; при этом он охватывает лишь содержание первого тома основ-
ной части [30], так что можно предполагать, что эта книга пока еще не завершена.
а Мы не коснемся здесь дальнейших обобщений теории Заде, в которых зна-
чения тА (х) «меры принадлежности х к Л» являются не (вещественными) числа-
ми, а элементами иного частично упорядоченного множества, например, решет-
ки или булевой структуры.
176
[Укажем еще, что наряду с «теоретики-множественными* суммой А + В я
произведением АВ двух множеств А и В в теории Заде существуют также их
«арифметические* сумма А ф В и произведение А 0 Bi
тА®в№=тА (х)-тв(х);	(е)
тА®в (х)=гпа (х) + тв(х) — тА (х) тв(х) ( =тА (х>+тв (х)—тА®в (х))	(ж)
(заметьте, что тА (х) + тв(х) — тАВ (х) = тА^в (х) — ср. с формулой (11)
ниже).] Ясно, что для «четких» множеств, где тА (х) =* 1 или 0 введенные равен-
ствами (а) — (в) операции (и введенное с помощью (г) отношение) совпадают с
рассматриваемыми в гл. 1; операции ф и 0 над множествами здесь совпадают с
операциями, задаваемыми условиями (а) и (б) и поэтому бессодержательны
На этой базе Заде строит и свою «нечеткую» (или «размытую») логику, опе-
рирующую с «нечеткими высказываниями» типа: х принадлежит А, где А —
«нечеткое» множество (вроде уже упоминавшегося выше высказывания: , Глеб
Успенский — великий писатель) и их («размытыми») значениями истинности; он
определяет («размытые») операции над такого рода высказываниями: дизъюнк-
цию, конъюнкцию, отрицание и др., а также «размытые» отношения между ними
(следует или не следует из высказывания q: Андрей — хороший математик.
высказывание р\ Андрей — умный человек?). Мы, однако, не имеем' возможности
остановиться здесь подробно на этой содержательной теории, по поводу которой
уместно отослать читателя к названным выше книгам [29 и 30]
Практически введение вероятностей (норм) легче всего осуществить
в случае так называемых конечных вероятностных структур —
структур (1), в которых множество ® событий является конечным.
Мы знаем (ср. § 7), что каждая конечная булева структура является
атомарной — она характеризуется наличием конечного числа k ато-
мов (их уместно обозначить через 4t, Д2,..., таких что
А И/ = О, i Ф Г i, / = 1, 2, ..., k	(15.2)
(ср. с (8.11)), и что каждое А £ ЗВ представляется в виде суммы конеч-
ного числа атомов At
А = Ai{ + А^+:..+	(15.3)
где 1 < /, < /2< ...< tQ < k (ср. с (8.17)). В теории вероятностей
попарно несовместимые (см. (2)) события At принято называть элемен-
тарными событиями, их совокупность {Л15 Л2,..., ДЛ} именуют пол-
ной группой элементарных событий При этом для того, чтобы задать
все вероятности р (4), достаточно иметь таблицу вероятностей р (At) =
= pi всех «атомов» (элементарных событий) At
События	Д( Д2...Дд
	 (15.4)
Вероятности	pt рг.. .рь
В таблице (4), разумеется, 0 pt <1 I для всех f и, поскольку 4, 4*
4- Д2 4- ...4х 4л = / (ср. (8.19)), то в силу В2 (ср. (2)) и Вх
Pi 4* Рг + ••• 4- Ръ = Р (41) 4* р (Д2) 4- ... 4-
4- Р (Да) = Р (41 4* Д2 4- ...4-Да) = р (/) = 1.
(15.5)
177
Для подобных конечных вероятностных структур ранга k (ср. § 7) име-
ется всего 2* возможных событий и вероятность р (Л) задаваемого
формулой (3) события А равна
Р И) =	+ Pt2 + ••• + PiQ>	(15.3')
В случае счетного множества {Лх, Л2,..., АП9 ...} элементар-
ных событий (атомов) At (см., например, [1.9]) задание норм (вероят-
ностей) р (4) также можно осуществить прямым указанием значений
норм р (Лг) = pi элементарных событий — только здесь таблица (4)
будет уже бесконечной и ее роль, чаще всего, играет явная формула
для величин pt = р (/). Так, например, большое место в теории вероят-
ностей занимают так называемые пуассоновы' структуры, где pt =
= (а1~'/(1 — 1)!) а фиксировано. Ясно, что в случае беско-
нечного (счетного) множества событий Лг- суммы (3') могут обращать-
ся вбесконечные рядьг(а стоящая в левой части (5) сумма
i
всегда является рядом). Однако в других случаях необходимы иные
способы задания вероятностей. Так, если «полное» множество событий
можно изобразить множеством точек некоторой фигуры I на прямой,
на плоскости или в (обыкновенном или многомерном 1 2) пространстве,
то вероятности чаще всего задаются указанием плотности вероятно-
сти f (Л4), определенной для каждой точки М £ /: в таком случае
вероятность р (Л) события Л, изображаемого множеством Л cz /,
вычисляется по формуле
р(Л) = J /(Al)d/W,	(15.6)
м е Д
где под dM понимается элемент длины, площади или (трехмерного или
многомерного) объема (ср. со сказанным по поводу модели 4 из § 13).
В случае конечной вероятностной структуры часто есть осно-
вания считать элементарные события Лх, Л2, ..., Ah равноправными
и, следовательно, приписывать им одинаковую вероятность, в силу
(5) равную \/k (так называемый классический случай). Например, при
рассмотрении совокупности событий, связанных с бросанием играль-
ной кости, полную группу элементарных событий образуют события
Лх, Л2, ..., Лв, заключающиеся в выпадении соответственно 1,2,...,
6 очков. Если дополнительно указано, что кость сделана из однород-
ного материала, то это следует понимать как постулирование равно-
правности событий Лх, Л2, Л з, Л4, Л5 и Лб; другими словами, как ука-
зание на равенство всех вероятностей pt = р (Л^, где i = 1,2, ..., 6,
т. е. на то, что рх = р2 = ...= рв = 1/6.
1 Симеон Пуассон (1781 — 1840) — видный французский математик.
2 См., например, [II, §6] или [31J.
178
В классическом случае вероятность «сложного» события А = А( +
+ Aiz + ... 4- Aiq равна
р (Л) = l/fe+1/fe + ... + l/fe = g/k,	(15.7)
q раз
т. е. отношению числа элементарных событий Aix, Aiz* Aiqi
благоприятствующих А, к общему числу k всех элементарных собы-
тий} так, например, при бросании «правильной» кости вероятность
выпадения Ч четного числа очков равна 3/6 = 1/2 (ибо событию Ч
благоприятствуют исходы Д2> и Дв). Однако в очень многих слу-
чаях такой подход к вероятностям (классическое определение веро-
ятности (7)) является невозможным.
В основе всех практических применений понятия вероятности ле-
жит основной принцип, утверждающий, что вероятность события А
близка к частоте осуществления этого события в длинной серии
однотипных испытаний. Так, например, частота выпадения шестерки
в длинной серии бросаний однородной игральной кости при большом
числе бросаний обязательно будет близка к 1/6; если же эта частота
отличается от 1/6, то это свидетельствует о неоднородности кости, —
и в этом случае мы обязаны отказаться от принятия вероятностей
Pi = 1/6 при всех i. Этот принцип открывает дорогу для эксперимен-
тального определения вероятностей, основанного на многократном пов-
торении соответствующего эксперимента. Во многих случаях такой
(«статистический») путь определения вероятностей является единст-
венно возможным; так, например, при выяснении эффективности опре-
деленного метода прогноза погоды мы вынуждены принять за фигури-
рующие в этом критерии вероятности (вероятность того, что прогноз
оправдается; вероятности той* или иной погоды) частоты со-
ответствующих событий в длинной серии испытаний, поскольку ника-
кое другое («теоретическое;») определение этих вероятностей в настоя-
щее время невозможно. Однако ясно, что осуществление подобных
экспериментов не может относиться к математической теории вероятно-
стей — и ссылка на ни\лишь указывает на пути практического при-
менения теории вероятностей, математическое построение которой ба-
зируется исключительно на описывающих структуру (1) аксиомах,
без каких бы то ни было апелляций к явлениям реальной жизни.
В приведенном выше примере с определением вероятности того,
что хорда АВ круга К превзойдет по величине сторону а вписанного в
К правильного треугольника (рис. 74), мы можем так организовать
соответствующий эксперимент, чтобы частота осуществления рассмат-
риваемого события в длинной серии испытаний была близка к 1/2, или
к 1/3, или к 1/4; можно также придумать такую постановку опыта, что
она не окажется близкой ни к одному из этих трех чисел. Так, напри-
мер, если много раз бросать проволочное кольцо К на лист бумаги,
разграфленный системой параллельных линий, расстояние между
179
каждыми двумя соседними из которых равно диаметру К, то частота
случаев, когда хорда круга /(/высеченная одной из проведенных ли-
ний, окажется больше стороны вписанного в К правильного треуголь-
ника, будет близка к 1/2. Если бросать наугад с большого расстояния
на плоскость, на которой изображен круг К, острием вниз иголку и
каждый раз, когда иголка падает внутрь К, проводить хорду АВ,
которую острие иголки делит пополам, то процент проведенных хорд,
превышающих сторону UV вписанного в К правильного треугольника,
будет близок к 25% (доля случаев, когда AB>UV, будет близка к 1/4).
Если укрепить в точке 4, ограничивающей круг окружности подвиж-
ную тонкую стрелку, подобную стрелке компаса, и много раз раскру-
чивать ее, то доля случаев, при которых высеченная после остановки
этой стрелкой из круга К хорда окажется больше стороны вписанного
в К правильного треугольника, будет близка к 1/3. Поэтому все три
варианта введения вероятностей, использованные в трех решениях за-
дачи, могут считаться допустимыми, — и для чистого математика лю-
бой из них ничем не хуже и не лучше двух других!
Остановимся еще на простейших свойствах вероятностей, вытека-
ющих из их определения как норм элементов нормированной булевой
структуры. Мы уже знаем, что 0 < р (4) < 1 и что если события А и
В несовместимы (т. е. АВ = О), то
р (А + В) = р (4) + р (В),	(15.8)
а также что
р(А)=\^р(А)	(15.9)
(ср. с (13.7)) и
если А о S, то р (4) > р (В)	•	(15.10)
(см. (13.8)):
Формула (8) легко может быть обобщена на произвольную совокуп-
ность попарно несовместимых событий 4Р А2, ...» Ап (т. е. таких собы-
тий, что AiAj = О для всех /, / = 1,2, ...» и): для этих событий
р (4. + А2 + ...+ Ап) = р (А.) + р (42) +'....+ р (4П).	(15.8')
Если же события А и В не несовместимы, го формула (8) заменяется
следующей:
р (А + В) = р (4) + р (В) - р (АВ)	(15.11)
(см. формулу (13.9)). Также и формула включений и исключений (13.12)
полностью переносится в область вероятностей (ср. упр 1 и пример 4).
Формула (11) делает важным- понятие вероятности р (АВ) про-
изведения двух событий. Величину р (АВ) часто оказывается
удобным представить в виде произведения дсух сомножителей:
р(АВ) = р (А) рА(В),~ '	(15.12)
180
где величина рд(В) (определенная только если р (Д) =/= 0) называет-
ся условной вероятностью события В при условии осуществления со-
бытия А:
Ра (В) = р (АВ)/р (И).	(15.12')
Заметим, что формула (12') (или 12)) дает нам определение
условной вероятности рд(В): никакого другого определения условной
вероятности в рамках математической теории вероятности предложе-
но быть не может.
Если рА (В) = р (В), то события А и В называются независимыми.
Таким образом, независимые события А и В определяются как такие,
что
Р (АВ) = р(Д)р(В).	(15.13)
Строгое математическое определение (13) независимости двух со-
бытий часто заменяют описанием независимых событий как таких, что
осуществление или неосуществление события А нисколько не влияет
на условия опыта, с осуществлением которого связана реализация со-
бытия В, и поэтому вероятность события В не зависит от того, имеет
или не имеет место событие А. Однако это словесное описание апелли-
рует к представлению о вероятности как о частоте осуществления оп-
ределенного результата в серии каких-то экспериментов — и поэто-
му имеет естественнонаучный, а не формально-математический харак-
тер. Кроме того, высказанное выше утверждение не является доста-
точно четким, и можно считать, что математическим его выражением
как раз и является формула (13).
Если имеет место равенство (13), то, очевидно,
рх(В) = р(В) и рв(Д) = р(Д);	(15.14)
таким образом, независимость событий А и В можно характеризовать
как первым, так и вторым из равенств (14). Более того, из того, что
р (АВ) = р (Д) рА (В) и р (АВ) = р (ВА) = р (В) рв (Д), вытекает
следующая полезная зависимость между условными вероятностями
рА (В) и рв (А):
рА (В)!рв(А) = р (В)/р (А) или рв (А) = [р (А)/р (В)] рА(В\ (15.15)
В течение столетий все изложения теории вероятностей обязатель-
но начинались с «теоремы сложения вероятностей» (8) и «теоремы ум
ножения вероятностей» (13), доказываемых, однако, на достаточно шат-
кой логической основе — и даже глубокая попытка Рихарда М и-
зеса (1883—1958) строго обосновать статистический (частотный)
подход к вероятностям (см., например, 1321) с современных «бурба-
181
кистских» позиций (ср. [5] или [II, § 31) интересна, в первую очередь, в
свете обсуждения вопроса о взаимоотношениях «чистой» и прикладной
математики, так сказать, «математики-логики» и «математики-физи-
ки». Разумеется, формулы (8) и (13) сохранили свое значение и по-
ныне, но они больше не рассматриваются как теоремы: первая из них
переведена в разряд аксиом, а вторая принимается за о п р е д е-
л е н и е независимости событий.
Ясно, что независимыми являются события А и В, состоящие, скажем, в из*
влечении наугад дамы пик из тщательно перетасованной колоды в 52 карты и в
выпадении шестерки на брошенной наугад игральной кости, сделанной из одно-
родного материала: здесь р (Л) = 1/52, р (В) = 1/6 и р (АВ) = 1/52-6 «
= 1/312 (=р (Л) р (В)), что нетрудно вывести из «классического определения ве-
роятности» (возможность применения которого утверждается оговорками о i щ а-
тельно перемешанной колоде и об однородности игральной
кости). Но вот пример, в котором заранее усмотреть независимость рассматривае-
мых событий гораздо труднее. Пусть мы два раза бросаем (однородную) играль-
ную кость и пусть событие Л состоит в том, что в первый раз выпало больше очков,
чем во второй, а событие В — в том, что в первый раз выпало нечетное число очков,
а во второй — число очков, не разлагающееся на простые множители. Эти собьпня
также независимы. В самом деле, здесь р (Л) = 15/36 =5/12 ибо всего мы имеем
6-6=36 равноправных результатов, которые могут иметь место в результате пов-
торного бросания игральной кости, а удовлетворяют нашему первому условию
следующие 15 пар значений выпавших очков: (6, 1), (6,2), (6,3), (6,4) (6,5); (5,1),
(5,2), (5,3), (5,4); (4,1), (4,2), (4,3); (3,1), (3,2); (2,1) Далее р (В) = 12/36 =
= 1/3, ибо здесь благоприятными являются следующие 12 пар значений чисел
выпавших очков: (1,1). (1,2), (1,3), (1,5); (3,1), (3,2), (3,3), (3,5); (5,1), (5,2), (5,3),
(5,5). Наконец, р (АВ) = 5/36 = 5/12 1/3 = р (Л) р (В) (здесь благоприятными
являются всего следующие пять пар: (3,1), (3,2), (5,1) (5,2) и (5,3)). В примене-
нии к этой паре событий Л и В объяснить утверждение о том, что «осуществление
или не осуществление результата Л не влияет на результат B*t легче всего
прямой ссылкой на формулу (13).
Формальный характер определения (13) независимости приводит также к
некоторым результатам, которые могли бы показаться парадоксальными при
попытке ограничиться «разговорной» (или «содержательной») трактовкой этого
понятия. Рассмотрим тот же круг событий, связанных с двукратным бросанием
игральной кости, и пуёть Чн Н - события, состоящие в выпадении четного
числа очков при 1-м бросании; выпадении нечетного числа очков при 2-м
бросании, а событие ОЧ означает, что при обоих бросаниях кости выпали количе-
ства очков одинаковой четности. Эти три события, очевидно, попарно
независимы, ибо в силу классического определения вероятности р (Ч) =
= р (И) = р (ОЧ) =» 1/2, р (Ч • И) = 1/4 = р (Ч) - р (Н), р(Ч • ОЧ) ~ 1/4 =□
=р (Ч)'Р (ОЧ) и р (Н-04)^ 1/4 *= р (Н)-р (ОЧ). Однако в совокупности все т р и
события уже не независимы, ибо р (Ч* Н-ОЧ) = 0 =£ 1/8 = р (Ч) • р(Н)-(ОЧ)~ведь
все три события одновременно иметь место никак не могут!
Таким образом, в то время как из аксиомы (8) легко выводится теорема (8'),
в условии которой надо лишь потребовать, чтобы все события Ль Л2, ..., Ап
были попарно несовместимыми, из определения (13) никак не вы-
текает, что для попарно независимых событий А2, ,,,, Ап име-
ет место равенство
р (Л,Л2..Л„) = р (Л,) р (А£...р (Лп)	<5 13')
— обобщением определения (13) является определение (13') независи-
мых в совокупности событий Лх, Л2, ...» Ап.
182
На условные вероятности можно распространить весьма многие
свойства обыкновенных («безусловных») вероятностей. Так, напри-
мер,
0^рА (В)<1;
в самом деле, в силу правила (XVI6) A zdAB, а следовательно (см.
(10)), р (АВ) р(А) и, значит, рл(В) = р (АВ)/р (Л) < 1. При этом
рА (В) = 0, если событие В невозможно (ибо в этом случае А В = А О = О
в силу правила (V6) и рА (В) = р (АВ)/.р (Л) = 0) .или если события
Л и В несовместимы (ибо в этом случае также р (АВ) = 0); рА (В) »=1,
если событие В достоверно (ибо в этом случае р (АВ) — р (А!) =
= р (Л) в силу правила (IV6) и рА (В) = р (АВ)/р (Л) = 1) или если
Bz> Л [здесь также р (АВ) = р (Л); см., правило (XVII6)].
Далее, если события В и С несовместимы (т. е. ВС — О), то
Ра (В + С) = рА (В) 4- рА (С).	(15.8х)
В самом Деле в этом случае события АВ и АС также несовместимы
(ибо (ЛВ) (ЛС) = Л (ВС) — АО — О) и, следовательно,
р (АВ А- АС) = р (АВ) 4- Р (АС),
откуда получаем:
рА (В 4- С) = р 1Л (В 4- С)]/р (Л) =
= р (АВ + АС)/р (Л) = 1р (АВ) + р (АС)1/р (А) =
= р (АВ)/р (А) 4- р (АС) /р (Л) = рА (В) + рА (С).
И? формулы (8') и из того, что рА (/) = 1, следует также, что
р, (В) = 1 - рА (В).	(15.9х)
Наконец, из той же формулы (8х) нетрудно вывести, что
если В зэ С, то рА (В) рА (С);	(15.10х)
доказать это мы предоставим читателю.
Пусть теперь события В и С не несовместимы. В таком случае
Ра (В + С) = Ра (В) 4- РА (С) - рА (ВС).	(15.1 Г)
В самом деле
рА (В + С) = р [Л (В + С)Ур (Л) = р (АВ 4- АСУр (Л) =»’
= [р (АВ) 4- р (АС) 4- р (АВ-АС)]/р (Л) =
= (р (АВ) 4- р (ЛС) - р (АВС)Мр (Л) =
= р (АВ)/р (Л) 4- р (АС)/р (А) - р (А-ВС)1р (Л) «
-= Ра (В) + Ра (С) - рА (ВС).
183
Заметим еще, что если	А19 Д2,..., Ап	есть полная группа	элемен-
тарных событий (если Дх	+ Да + ... +	Ап = /, Л^Л, = О;	7, / =з
= 1,2, ..., п и i Ф j), то при любом событии В (где р (В)#= 0)
Р(В) = р (Дг) рЛ1 (В) + р	(А2)рА> (В) +	... + р(Ап)рАп(В).	(15.16)
В самом деле в этом	случае В = /?/	= В (Дх 4~ Л2 + ... 4-	Лп) =
:= (/11 + А2 + ... + Ап)В = ЛХВ + Л2В + ... + ЛПВ. Но события
А{В,А2В,..., АпВ также попарно несовместимы (ибо (AtB)(AjB) =
= (AiAj) В = ОВ = О) — и поэтому в силу (8') и (12)
р (В) = р (А^В + А2В + ...4- АпВ) = р (АХВ) 4- р (А2В) 4-
... + р (АпВ) = р (Лх) рАх (В) + р (А2)рА/ (В) 4- ... +
+ р(4) рЛп(В).>
((16) называется формулой полной вероятности.)
Пример 1. Из тщательно перетасованной колоды в 52 карты извле-
кается наугад одна карта. Какова вероятность, что эта карта окажет-
ся «тузом» или «козырем» (например, картой масти пик)?
◄ Указание о «тщательно перетасованной» колоде следует понимать
как предположение о том, что мы находимся в условиях классическо-
го определения вероятностей (см. с. 178), т. е, р (Т) = 4/52= 1/13,
р(К) = 13/52 =1/4 и р (ТК) = 1/52, где Т, К и ТК - события,
состоящие в извлечении из колоды Туза, Козыря и Козырного Туза
(в колоде 52 карты, из них 13 козырей, 4 туза и 1 козырной туз).
Но (см. (И)) р (Т + К) = р (Л + р (К) - р (ТК) = 1/13 + 1/4 -
- 1/52 = 4/13. ►.
Пример 2 (задача кавалера де Мере1). Что вероятнее — при
четырехкратном бросании игральной кости хоть один раз получить
шесть очков или в 24 бросаниях одновременно двух костей хоть раз
выбросить две шестерки сразу?
4 Пусть As и Big (где с g=l,..., 6) — выпадение g очков,
соответственно выпадение i очков на 1-й и g очков на 2-й кости;
p(Ag)=l/6 и р (Bi g)= 1/36; р (Др = 5/6 и р (Big) = 35/36 (см (9)).
Нам требуется оценить р (Д(б1) 4-... +4(;4)) и р(В^\ -р ..4-£V;4)) где
число сверху указывает номер бросания. Использование (13.1’2) здесь
громоздко. Проще использовать правило де Моргана (X 1а) (см. также
упр. 2.4): Д и) + Д < 2 > 4- Д <3^4- Д<4) = 1'Д<2) ^к3} Д4)- Но так как
«/г	'	о • о 1 о	С	о п г> о
1 Страстный игрок в кости кавалер де Мере вошел в историю матема-
тики рядом содержательных задач, которые он поставил перед своим другом
Блезом Паскалем (1623—1662) — великим ученым и одним из создателей
теории вероятностей. [Заметим, что интерес де Мере к формулируемым им зада-
чам был чисто практическим, так что и здесь мы стал киваемся—правда в не-
сколько шаржированном виде — с фактом влияния запросов практики на раз-
витие теоретической математики.]
184
все события Л(в'>_независимы (ср. ниже упр. 3), р(Лв ’	^в4)) =
= р (Л^‘0 ... р (Л(64>) = (5/6)4 = 625/1296 и значит (см. (9)),
р (Л;1 + ... + Л'41) = 1 - р (Д'*’ 4- ... + Л/’) = 1 — 625/1296 =
= 671/1296 « 0,52.
Далее р (В<’> + ... + Bft>) = 1 •- р(ВЩ +... +В^>) = 1 _
-р(В(611... S<6264)) = 1 -р (В&)... Р №’) = 1 -(35/36)2’ « 0,49.
Таким образом,
р (А“> + ...+ А“>) > Р (В“>, + ... + 5<»Г). ►
Пример 3. Шесть карточек о буквами Л, Л, Л, 77, 77, X перевер-
нуты буквами книзу, тщательно перемешаны и выложены одна за дру-
гой. Какова вероятность, что, перевернув их буквами вверх, мы полу-
чим слово ПАПАХА?
«4 Во всех задачах, связанных с приложениями теории вероятностей,
явно или неявно содержатся указания на то, как именно вводятся нор-
мы (вероятности) в рассматриваемом пространстве событий; в данной
задаче эту роль играют слова о том, что карточки «тщательно переме-
шиваются», имеющие в виду применимость классического определения
вероятностей. Далее имеем
р (ПАПАХА) = р (П)-рп (АП АХ А) =
= р (П) • рп (Л) • рпл (ПАХА) = ... =
= р (П)-рп (А) • Рпл (П) • РПАП (Л) • РпАПА (X) • рПАПАХ (Л) =5
= 2/6.3/5.1/4.2/3.1/2.1/1 = 1/60
(ибо р (П) = 2/6, рп(А) = 3/5 и т. д.). ►
Пример 4. В студенческой группе имеется п студентов. Предполо-
жим, что перед экзаменами каждый из них выучил по одному из и во-
просов экзаменационной программы. Будем считать, .что на экзамене
вопросы раздаются студентам совершенно случайно; какова в этом слу-
чае вероятность того, что хотя бы один из студентов сдаст экзамен?
Пусть событие Л4 означает, что r-й студент случайно получил на
экзамене выученный им вопрос; здесь i = 1, 2, ...» п. Нам требуется
определить вероятность (см (13.12))
р+ Л.2 4-... + Лп) = Р(Л^)— 2 P(^«^j)+ 2	—
f	(IJ)	(t.hb)
— 2 p(леЛ, Лл Л,)4-... ±P(Л! Л2Л3...Лп).
Нор(Л<)= 1/n, р (AtAf) = l/[n(n— 1)], p(AlAJAk)= \/\n(n— l)(n—2)]
и т. д. (ибо 2 студента могут получить 2 вопроса n(n— 1) способами,
3 студента — 3 вопроса п(п—\)(п — 2) способами и т. д.). Атак
как число событий At равно п, число событий Л,Л7 равно С2, число
событий Л2ЛjAh равно Сп и т. д., то
185
p(At +Л84-...+ Лп) = п • Mn-Cl'K Ы
х l/[n (n-DH-C2- l/[n (n-l)(n-2)]-... e ----------------
... ± l/[n (n — 1) (n — 2) ... l]=n-l/n—
—n (n—l)/2M/[n (n—l)j+ n (n— 1) (n—	Cf
—2)/31- l/[n (n— 1) (n — 2)]— ...±l/[nx
X (n —1) (n—2)...1J = 1-1/21 + 1/31- /ШШЩ/
— ... + l/fil.	о
Так как известно (см. любой курс
математического анализа или [33]), что ?£ У_____________________>
J_ = е-i = 1 — 1/11 + 1/2! — 1/3' + ... О a	A tj '
е
(где е = 2,71828 ... — основание системы	рис. 75
натуральных логарифмов), то число
р (4i 4- А2 + ...+ Дп) очень близко к 1 — 1/е = 0,63212.... >
Пример 5 (задача о встрече). Двое лиц условились встретиться
у вокзала под часами между 12 и 13 ч; при этом они договорились, что
каждый пришедший ждет другого 15 мин (если он придет не позднее,
чем в 12 ч 45 мин) и затем уходит. Считая, что каждое лицо с одинаковой
вероятностью может прийти на свидание в любой момент между 12 и
13 ч, найдите, какова вероятность, что встреча состоится?
◄I В этой задаче роль информации отом, как именно вводятся нормы
(вероятности) в рассматриваемом (бесконечном) пространстве событий,
играет (с точки зрения «строгой» математики — достаточно туманное)
указание на «одинаковую вероятность» прибытия каждого лица на
свидание в любой момент времени; понимать его можно как утверж-
дение, что вероятность «сложного» события, изображаемого областью
А фигурирующего на рис. 75 квадрата / = ОАСВ, равна площади
области А. Но событие В («встреча») задается условием | tx —12 |< 1/4,
т. е. изображается шестиугольником Ш = ОаслСс2Ь (рис. 75). Поэтому
Р (В) =	= St - SAaCt -	= 1 - (1/2) (3/4)2 - (1/2) (3/4)2 -
= 1 — 18/32 = 7/16. >
Дальнейшие примеры и задачи читатель сможет найти в любых
пособиях по теории вероятностей (скажем, в (1.11, 2.17 или 341).
Упражнения. 15.1 Выразите а) вероятность р + С) суммы грех со-
бытий; б) вероятность р + Я2+ ...+ ЛЛ) суммы^л событий через вероят-
ность самих событий и их попарных, тройных, .... и т.д произведений (вероят-
ностный вариант формулы включений и исключений).
15.2.	Студенту предстоит сдать в сессию четыре экзамена; он сам оценивает
вероятность провала на каждом экзамене в 0,1, считает эти события (провалы на
отдельных экзаменах) строго независимыми (полагает, что они зависят лишь от
того, какой он вытащит билет). Как оценивает студент вероятность провалить
сессию?
15.3.	События А и В независимы; докажите независимость событий
а) А и В, б) А и В, в) .4 и В.
15.4.	Имеются две тщательно перетасованные колоды карт — одна из 36 карт
а вторая — из 52. Из одной колоды, которая с равными шансами может оказать-
ся как первой, так и второй, извлекается карта. Какова вероятность, что извле-
сена будет «дама»; что извлечена будет «пиковая дама»?
186
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ
1.2.	а) А + В; б) А; в) А + D.
1.3.	Воспользуйтесь методом математической индукции (по числу п).
1.4.	Пусть /И =	2 AfjAi2...AZft (где
G» G. fh
a N = П (Л^ +^/2 + • • • + J (где I = п — Л4-1, а 2 и П — знаки сум-
*1» ^2» ...»
мы и произведения); докажите, что М cz N и что N с /И (в смысле § 3).
2.2.	а) Л; б) Л4-0; в) О (где О—пустое множество); г) /4-f-#4-C; д) Л4-В.
2.3.	в) А 4- В 4- С 4~ /44-^4- Л -Ь С = / 2.4. См. указание к упр. 1.3.
4.2.	Воспользуйтесь формулой (3').
4.3.	См. указание к упр. 1.3
4.4.	а) Л 4- В\ б) АВ 4- А В (= А *7* = 71 ♦ В).
4.7.	Воспользуйтесь формулой (7')
4.9.	а) Обозначим левую и правую часть доказываемого'неравенства через
М и N и пусть х £ /И; тогда либо есть такое что к £ Ллибо есть такое /,
что х £ Bj Пусть х £ At где I фиксировано (разумеется, 1 < Z п), тогда
х ф Bj для всех /, где 1 < / < п; значит, х f Л, * а следовательно, и
х £ N. Если х £ Bj, где / фиксировано го рассуждаем аналогично.
4.11.	Воспользуйтесь тем, что А + В = /\(Л + В); АВ = /\ЛВ.
4.12.	Ср. упр. 4.4 б)
4.16. со задается функцией с *= f (а. Ь) двух переменных, где а, Ь, с £
С {0,1}; здесь а (или Ь, или с) равны 0 или равны 1 в зависимости оттого,
имеем мы х ( Л или х (£ А и х £ В или х В\ х £ С или х (f С соответст-
венно, а их имеется 16.
5.1. «Двойственная разность» q элементов а и 0 определена при 0 Z) а и за-
дается условиями а = 0ц и 0 4- q = t; ее можно ввести формулой q = а 4“ 0-
5.3. 2п (в общем случае).
6.1. а) а 4“ 0 = °Ф 4- ос0 4" а0
6.4. При k =1 имеем структуру из 4 элементов (см. § 10).
7.6. а) а | 0 = [(а | а) 1(0 I 0)1 I ; (а | а) | (0 I 0)|;
а I 0 = [(а| а) | (0 | 0)] Ц(а | а) | (0 | 0)|.
8.1.	Искомое число равно количеству различных последовательностей из
k нулей и единиц (где приписанная определенному элементу а £ / единица озна-
чает, что а входит в рассматриваемое подмножество, а нуль — что не входит).
8.4.	Подставим в Р?: X + Хр = X вместо р элемент X 4- X £ получим
X 4" MX 4" X) = X; но в силу Р.' (где только р заменено на X) X (X 4* X) = X;
поэтому X 4- X = X.
8.5.	а) Это утверждение двойственно (9).
8.6.	б) Так как X 4- И Z) X Z) Хр, р 4“ v zd р ZD Хр и v 4- X zd X zd Хр,
то и А = (X 4- р) (р 4- v)(v 4“ X) zd Хр. Аналогично устанавливается, что A ZD
Z) pv и A ZD vX, откуда и следует требуемое неравенство.
8.7.	Для случая немодулярной решетки см. упр. 10 в); если же L модулярна,
но не дистрибутивна, то в силу упр. 6 существуют X, р, v с: 2С такие, что неравен-
ство упр. 66) не обращается в равенство; но тогда элементы А = (X 4” Н) (М +
187
+ v) (v + X), M - Хц + gv + vX, a = Л (M + X) (= M + ХЛ), 0 =
° Л (М + ц) («— М + цЛ) и у — Л (М + v) («= М + vA) образуют решетку,
изоморфную решетке рис. 31,6.
8.10.	в) Решетка L не модулярна, если существуют X, g, v £ <2? такие, чтс
Хэ v и X(g + v) эХ р + v; далее рассмотрите элементы а, -0. у, 6, е.
8.11.	а) Она содержит пять попарно неизоморфных подструктур.
8.15.	а) Множество всевозможных «конечных сумм» (т. е. объединений)
всевозможных полуинтервалов (х \ х £ $ н а < х 4 Ь} вещественной оси
(где возможны также значения b = оо и а «= — оо).
б) Например, алгебра высказываний, где логически эквивалентные выска-
зывания отождествляются между собой или фактор-структура структуры всех
подмножеств бесконечного множества по идеалу конечных множеств.
9.2. a — 0 <= a * 0. _
9.8. а) Если a £ J и a £ J, то t = a + o’ £ J, т. e. J совпадает co всей
структурой и не является собственным идеалом; отсюда также следует, что идеал
J, удовлетворяющий условиям упражнения, является максимальным: к нему
нельзя присоединить ни одного элемента, не расширив его сразу же до в с е й
структуры. Если же для идеала J существует такое a £ что и a $ J и
a $ J, то множество {J, а} порождает содержащий J собственный идеал
9.9. Проверьте выполнение условий (21).
9.11.	Доказательство (включающее и некоторые тонкости) опирается на ре-
зультат упр. 8а), из которого, в частности, сразу следует, что А- = Аа; неслож-
но проверяются и условия: Aa+p== Aa-4-Aj3; ^ap=AaA|3; Л,=/, Ао=0.
10.4.	б) (^-Ь 1) (л2 + 1)... (лА + 1)
10.5.	Воспользуйтесь определениями (13а) — (13в) (или (14а) — (14в)).
11.3.	Все фигуры — многоугольные, черные, большие и округлые
11.4.	Эти условия непротиворечивы, но их можно упростить, они равносиль-
ны требованиям: «все В суть А» и «ни один С не есть А».
11.5.	Прав был первый химик (его высказывание тождественно истинно).
11.6.	Все девицы были либо благовоспитаны и молоды, но невеселы и не-
красивы, либо веселы и красивы, но неблаговоспитаны и немолоды.
12.2.	Мостиковая схема может включать семь контактов.
13.2.	б) При л = 1 формула (12) тривиальна и при п = 2 была доказана [см.
(9)]. Далее воспользуйтесь методом математической индукции
13	3. Воспользуйтесь формулой включений и исключений (12).
13Г5. а) При (г — 1)/л << о г/л, где г = 1, 2, .., п, ответ [(г — I)/Сп| X
Х[по —г/2]; б) при (г — 1)/л < о < г/п ответ (C*Z}/C*) {ла—((£—1 )М| <};
.в) при Cy-JC” <а<С1г/С1п искомая величина равна [С* Z {/(С* С, Z!) ] X
X	о — [(& — l)/k\ Clr I (см. |35|, решение задачи 60).
14.3.	Полную систему функций образует лишь набор б).
14.4.	а) Лишь операции | и | (см. с. 61—62).
14.7.	а) «Функция большинства» 5 переменных имеет вид /= р0р1р2 +
+ PoPiPs + Р0Р1Р1 + •••+ Р2РяР4 = (До + Р\ + Р2) (Ро + Pi + Рз)- (Р2 +
+ Рз + Рд) (СР УПР 14),
б)	Соответствующая функция : р0 (рхр2 + рхр3 + ptfi + р2р3 + р2Р4 +
+ Р3Р4) = Ро 1(Р1 + Р2 + Рз) (Pi + Р2 + Р4) (Pi + Рз + Р4) (Р2 + Р« 4- P4)J.
15.2.	Вероятность провала сессии равна 0,3439.
15.3.	в) р (АВ) = р (А + fi) = 1 - р (А + fi) -=J - [р (А) + р (fi)-
- р (А) р (fi)) = (1 - р (А) ) (1 - р (fi)) » р (А) р (fi).
15.4.	Воспользуйтесь формулой полной вероятности (16).
188
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
L Bool G. An Investigation of the Laws of Thought, on which are
Founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities. — London,
1854. Последнее издание. New York: Dover, 1958.
11. Яглом И. M. Математические структуры и математическое моделирование.
— М.: Сов. радио, 1980..
ОБЩИЕ СОЧИНЕНИЯ ПО ТЕОРИИ БУЛЕВЫХ СТРУКТУР
(БУЛЕВЫХ АЛГЕБР), МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКЕ,
ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ HJfcOPHH ВЕРОЯ1НОСТЕЙ
1 Книги для начинающих
1.1.	Яглом И. М. Необыкновенная алгебра.— М.: Наука. 1968.
1.2.	Калу жн ин Л. А. Что такое математическая логика.— М.: Наука, 1964;
Элементы теории множеств и математической * логики в школьном курсе
математики.— М.: Просвещение, 1978.
1.3.	Гжегорчик А. Популярная логика: Пер. с польск.—М.: Наука, 1979.
1.4.	Фрейденталь X; Язык логики: Пер. с англ./Под ред. Ю. А. Гастева.— М.:
Наука, 1969.
1.5	Беркли Э. Символическая логика и разумные машины: Пер. с англ./Под
ред Г Н Поворова.— М.: ИЛ, 1961.
1.6“	Столл Р. Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории: Пер. с англ /
Под ред. Ю. А. Шихановича.— М.: Просвещение, 1968.
1.7	Билтон А. М. Логика и цепи переключения Пер. с англ./Под ред. F. М.
Уланова.— М.— Л.: Госэнергоиздат, 1962.
1.8.	Кэррол Льюис. История с узелками: Пер.с англ. /Под ред. Я. А. Смородин-
ского. — М.: Мир. 1973.
1.9.	Виленкин Н. Я. Рассказы о множествах.— М.: Наука, 1969.
1 10. Гнеденко Б. В., Хинчин А. Я. Элементарное введение в теорию вероятно-
стей.— М. Наука, 1976.
1.11.	Мостеллер Ф., Рурке Р., Томас Дж. Вероятность: Пер. с англ./Под ред.
И. М. Яглома.— М.. Мир, 1969.
1.12.	Кофман А., Фор Р. Займемся исследованием операций: Пер. с франц./
Под ред. А. А. Корбута.— М.; Мир, 1968.
I 13 Кальбертсон Дж. Математики и логика цифровых устройств. Пер. с англ./
Под ред. И. М. Яглома.— М.: Просвещение, ,1965.
1 14. Иве Г., Нюсом К. В. О математической логике и философии математики:
Пер. с англ.— М.: Знание, 1968.
1 15. Gardner М. Logic Machines and Diagrams.— New York: McCraw-Hill, 1958.
1.16 Rueff M., Jeger M. Sets and Boolean Algebra.— London: George Allen and
Unwin, 1970.
1 17. Hohn F. E. Applied Boolean Algebra.— New York: Macmillan, 1960.
1 18. Flores |. Logic of Computer Arithmetic.— Englewood Cliffs* Prentice-
Hall, 1963.
1.19.	Strombach W., Emde H., Reyersbach W. Mathematische Logik. MOnch-
en. С. H. Beck, 1972.
189
2.	Учебные пособия и книги, близкие к ним по уровню изложения
2.1.	Дж. Кемени, Дж. Снелл, Дж Гомпсон. Введение в конечную математику:
Пер. с англ./Под ред. И. М Яглома.— М.: Мир, 1964.
2.2.	ГиндикинС. Г. Алгебра логики в задачах.— М.: Наука, 1972.
2.3.	Кузичев А. С. Диаграммы Венна.— М.: Наука, 1968.
2А. Линдон Р. Заметки по логике.: Пер. с англ./Под ред. И. М. Яглома.— М.:
Мир, 1968.
2.5.	Манин Ю. И. Доказуемое и недоказуемое.— М.:Сов. радио, 1979.
2.6.	Тарский А. Введение в логику и методологию дедуктивных наук: Пер. с
англ./Под ред. С. А. Яновской.— М.: ИЛ, 1948.
2.7.	Гильберт Д.» Аккерман В. Основы теоретической логики. Пер. с нем./Под
ред. С. А. Яновской.— М.: ИЛ 1947.
2.8.	Новиков П. С. Элементы математической логики.— М.: Наука, 1973.
2.9.	Клини С. Математическая логика: Пер. с англ./Под ред. Г. Е. Минца.— М.:
Мир, 1973.
2.10.	Мендельсон Э. Введение в математическую логику: Пер. с англ./Под ред.
С. И. Адена.— М.: Наука, 1976.
2.11.	Карри X. Основания математической логики: Пер. с англ./Под ред.
Ю. А. Гастева.— М.: Мир, 1969.
2.12.	Гудстейн Р. Л. Математическая логика: Пер. с англ./Под ред. С. А. Янов-
ской.— М:. ИЛ, 1961.
2.13.	Колдуэлл С. Логический синтез релейных устройств: Пер. с англ./Под ред.
М. А. Гаврилова.— М.: ИЛ, 1962.
2.14.	Бурбаки Н. Теория множеств: Пер. с франц./Под ред. В. А. Успенского.—
М.: Мир, 1965.
2.15.	Шиханович Ю. А. Введение в современную математику.—М.: Наука, 1965.
2	16. Фор Р., Кофман А., Дени-Папен М. Современная математика: Пер. с
франц./Под ред. А. Ы. Колмогорова. — М.: Мир, 1966.
1	7. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения: Пер. с англ./
Под ред. Е. Б. Дынкина.— М.: Наука, 1967. —Т.1.
2.18.	Биркгоф Г. Теория структур: Пер. с англ.— М.: ИЛ, 1952.
2.19.	Биркгоф Г., Барти Т. Современная прикладная алгебра: Пер. с англ.— М.:
Мир, 1976.
2.20.	Эдельман С. Л. Математическая логика.— М.: Высшая школа, 1975.
2.21.	Сборник задач по математической логике и теории множеств./А.В. Гохман,
М. А. Спивак, Г. И. Житомирский и др.— Саратов: СГУ, 1965.
2.22.	Лавров И. А., Максимова Л. Л. Задачи по теории множеств математичес-
кой логике и теории алгоритмов.— М.: Наука, 1975.
2.23.	Mendelson Е. Boolean Algebra and Switching Circuits. — New York: McGraw-
Hill, 1970.
2.24.	Flegg H. G. Boolean Algebra and its Applications. —New York: Wiley, 1964.
2.25.	HoernesG., Heilweil M. Introduction to Boolean Algebra and Logic Design.—
New York: McGraw-Hill, 1964.
2.26.	Whitesitt J. E. Boolesche Algebra und Anwendungen.— Braunschweig:
Vieweg, 1969.
3.	Монографии и учебники повышенной трудности
3.1.	Владимиров Д. А. Булевы алгебры.— М.: Наука, 1969.
3.2.	Сикорский Р. Булевы алгебры: Пер. с англ.— М.: Мир, 1969.
3.3.	Клини С. Введение в метаматематику: Пер. с англ./Под ред. В. А Успен-
ского.— М.: ИЛ, 1957.
3.4.	Расёва Е., Сикорский Р. Математика метаматематики: Пер. с англ.— М.:
Наука, 1972.
3.5.	Чёрч А. Введение в математическую логику: Пер. с англ./Под ред. В. А.
Успенского.— М.: ИЛ, 1960. — Т.1.
3.6.	Шенфилд Дж. Математическая логика; Пер. с англ./Под ред. Ю.Л. Ершова.
— М.; Наука, 1975.
190
3.7.	Слупецкий Е., Борковский Л. Элементы математической логики и теории
множеств Пер. с польск./Под ред. И. Н. Коваленко.—М.: Прогресс, 1965.
3.8.	Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств: Пер. с англ./Под ред.
А. Д. Тайманова.— М.: Мир, 1970.
3.9.	Halmos Р. R. Lectures on Boolean Algebras. — Toronto — New York —
London: van Nostrand, 1963.
3.10.	Goodstein P. L. Boolean Algebra.—Oxford: Pergamon, 1963.
3.11.	Halmos P. R. Algebraic Logic. — New York: Chelsea, 1962.
3.12.	Manin Y. I. A Curse in Mathematical Logic.— New York — Heidelberg —
Berlin. Springer, 1977.
3.13.	Henkin L. La structure algebrique des theories mathematiques.— Paris:
Gauthier-Villars, 1956.
ЛИТЕРАТУРА К ОТДЕЛЬНЫМ ГЛАВАМ КНИГИ
1.	Яглом И. М. Комплексные числа и их применение в геометрии.— М.: Физ-
матгиз, 1963.
2.	Арнольд И. В. Теоретическая арифметика.— М.: Учпедгиз, 1939; Кантор
И. Л , Солодовников А. С. Гиперкомплексные числа.— М.: Наука, 1973.
3.	Курош А. Г. Лекции по общей алгебре.— М.: Наука, 1973; Калужнин Л.А.
Введение в общую алгебру.— М.: Наука, 1973; Кострикин А. И. Введение в
алгебру.— М.: Наука, 1977; ван дер Варден Б.Л. Алгебра: Пер. с нем./
Под ред. Ю. И. Мерзлякова.— М.: Наука, 1976: Ленг С. Алгебра: Пер. с
англ./Под ред. А. И. Кострикина.— М.: Мир, 1968.
4.	Скорняков Л. А. Элементы теории структур.— М.: Наука: 1970; Hermes Н.
Einfuhrung in die Verbandtheorie.— Berlin: Springer, 1955; Szasz G. Intro-
duction to Lattice Theory. — New York: Academic Press, 1963.
5.	Бурбаки H. Алгебра (алгебраические структуры; линейная и полилиней-
ная алгебра)- Пер. с франц.— М.' Физматгиз, 1962; Бурбаки Н. Очерки по
истории математики: Пер. с франц./Под ред. К. А. Рыбникова.— М.: ИЛ,
1963.— Архитектура математики, с. 245—259.
6.	Маркушевич А. И. Деление с остатком в арифметике и алгебре. — М.:
Изд. Акад. пед. наук РСФСР, 1942; Калужнин Л. А. Основная теорема ариф-
метики.— М.: Наука, 1969; Бельский А. А., Калужнин Л. А. Деление с ос-
татком.— Киев: Вища школа, 1977.
7.	Головина Л. И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения. — М.:
Наука, 1975; Шилов Г. Е. Математический анализ (конечномерные век-
торные пространства).— М.:.Наука, 1969: Халмош П. Конечномерные век-
торные пространства: Пер. с англ.— М. Физматгиз, 1963.
8.	Бахман Ф., Шмидт 9. п-угольники: Пер. с нем./Под ред. И. М. Яглома. —
М.: Мир, 1973.
9.	Лопшиц А. М. Вычисление площадей ориентированных фигур.— М.: Гос-
техиздат, 1956.
10.	Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения: Пер. с англ./Под ред.
С. А. Яновской.— М.: Наука, 1975.
11.	Блехман И. И., Мышкис А. Д., Пановко А. Г. Прикладная математика:
предмет, логика, особенности подходов.— Киев: Наукова думка, 1976.
12.	Аристотель. Сочинения в 4-х г.: Пер. с древнегреч./Под ред. 3. Н. Мике-
ладзе.— М.: Мысль, 1978.— Т.2.
13.	Лукасевич Я. Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной
формальной логики: Пер. с англ./Под ред. П. G. Попова.— М.: ИЛ, 1959.
14.	Эренфест П. С. Рецензия на книгу Л. Кутюра «Алгебра логики». — Журнал
русского физ.-хим. обш-ва, физ. отдел., 42, отд. 2, вып. 10, 1910, с. 382—
387.
15.	Шеннон К. Символический анализ релейных и переключательных цепей.—
В кн.: Работы по теории информации и кибернетике: Пер. с англ/Под. ред.
Р. Л. Добрулина и О. В. Лупанова.— М.: ИЛ, 1943, с. 9—45: Шестаков В. И.
191
Некоторые математические методы конструирования и упрощения двухпо-
люсных электрических схем класса А. Канд. дисс. МГУ.— Мл-1938; Алгебра
двухполюсных схем, построенных исключительно из двухполюсников (ал-
гебра A-схем). — Журнал технич. физики, 1941, т. 11, № 6, с. 532—549;
Представление характеристических функций предложений посредством вы-
ражений, реализуемых релейно-контактными схемами.— Изв. АН СССР.
Сер. мат. 1946, 10, с. 529—565; Математическая логика и автоматика.— Мате-
матика в школе, 1958, № 6, с. 4—20; 1959, № 1г с. 19—39.
16.	Лузин Н. Н. Теория функций действительного переменного.— Мл Учпед-
гиз 1940.
17.	Лебег А. Об измерении величин: Пер. с франц./Под ред. И.М. Яглома. — Мл
Учпедгиз, 1960; Рохлин В. А. Площадь и объем.— Энциклопедия элемен-
тарной математики./Под ред. В. Г. Болтянского и И. М. Яглома.— Мл На-
ука, 1966. — Кн V: Геометрия, с 5—87.
18.	Виленкин Н. Я. Комбинаторика.— Мл Наука, 1960; Популярная комбина-
торика— Мл. Наука, 1975.
19.	Яглом И. М., Болтянский В. Г. Выпуклые фигуры.— М.— Лл Гостехиздат,
1951.
20.	Штейнгауз Г. Сто задач: Пер. с польск. — Мл Наука 1976.
21.	Яглом И. М., Файнберг Е. И. Оценки для вероятностей сложных событий.
— Труды VI Всесоюзного совещания по теории вероятностей и математичес-
кой статистике.— Вильнюс. 1962, с. 297 — 303; Пирогов С. А. Вероятности
сложных событийи линейное программирование.— Теория вероятностей и ее
применения, 1968 13, № 2, с. 344—348.
22.	Виноградов И. М . Основы теории чисел.— Мл Наука, 1972.
23.	Яглом А. М., Яглом И. М. Вероятность и информация.— Мл Наука, 1973.
24	Яблонский С. В., Гаврилов Г. П., Кудрявцев В. В. Функции алгебры ло-
гики и классы Поста:—Мл Наука, 1966: Яблонский С. В. Функциональные
построения в /г-значной логике.— Труды Математического Института им.
В. А. Стеклова АН СССР, 1958, т. 51, с. 5—1,42.
25.	Полетаев И. А. Сигнал — М.: Сов. радио, 1958.
26.	Бернштейн С. Н. Опыт аксиоматического обоснования теории вероятностей.
— Записки матем. товарищества. Харьков, 1917, (2) 15, с. 209—274.
27.	Колмогоров А. Н Основные понятия теории вероятностей. —Мл Наука,
1974.
28	Борель Э. Случай. Пер. с франп./Под ред. В. А. Костицина.— Мл— Пг.»
Гиз, 1923.
29.	Заде Л. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию
приближенных решений: Пер. с англ./Под ред. Н. Н. Моисеева и С. А. Ор-
ловского. — Мл Мир, 1976.
30.	Kaufmann A. Introduction a la theorie des sous-ensembles flous: Tomes 1—3
— Paris: Masson; 1974—75; Kaufmann A., Dubois T., Cools M.. — Exercices
avec solutions sur la theorie des sous-ensembles flous — Paris: Masson, 1975.
31.	Розенфельд В. А., Яглом И. M. Многомерные пространства.— Энциклопе-
дия элементарной матемагики./Под ред. В. Г. Болтянского и И. М. Яглома.
М.. Наука, 1966. — Кн. V: Геометрия,’с. 349—392.
32.	Мизес Р. Вероятность и статистика: Пер. с нем./Под ред. А. Я Хинчина.—М.
- Л.. Гиз, 1930.
33.	Маркушевич А. И. Ряды.— Мл Наука, 1979; Шерватов В. Г. Гиперболи-
ческие функции.— М., Физматгиз 1958.
34.	Мостеллер Ф. Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решения-
ми: Пер. с англ. /Под ред. Ю.В. Линника.— Мл Наука, 1975; Мешалкин Л. Л.
Сборник задач по теории вероятностей. — М.. МГУ, 1963; Яглом А. М.,
Яглом И. М. Неэлементарные задачи в элементарном изложении.— Мл
Гостехиздат, 1954.
35.	Шклярский Д. О., Ченцов Н. Н., Яглом И. М. Геометрические оценки и за-
дачи из комбинаторной геометрии*— Мл Наука, 1974.
192
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие	3
ГЛАВА 1. АЛГЕБРА ЧИСЕЛ И АЛГЕБРА МНОЖЕСТВ
1.	«Сложение» и «умножение» в алгебре множеств .	.	7
2.	Дополнение множества; принцип двойственности	...	18
3.	Множества, подмножества, решетки.......................................... 23
4.	Вычитание множеств — разность и симметрическая разность	28
ГЛАВА 2. БУЛЕВА СТРУКТУРА
5.	Определение булевой структуры..............................................36
6.	Булевы многочлены: аддитивная и мультипликативная форма булева
многочлена..........................................................49
7.	Иные аксиоматики	булевой структуры........................................«55
8.	Булевы структуры	и	решетки; конечные	булевы	структуры	....	64
9.	Булевы структуры	и	кольца. Идеалы и	фактор-структуры	....	81
ГЛАВА 3. МОДЕЛИ БУЛЕВЫХ СТРУКТУР
10.	Первые модели ........................................................... 90
11.	Алгебра высказываний и «законы мысли»	106
12.	Релейно-контактные схемы	.	131
ГЛАВА 4. НОРМИРОВАННЫЕ БУЛЕВЫ СТРУКТУРЫ
13.	Определение и модели; формула включений и исключений ....	140
14.	Булевы функции; алгебра высказываний и алгебра контактных схем
как нормированные булевы структуры ................................159
15.	Что такое теория вероятностей	....	.	.172
Ответы и указания к упражнениям	187
Список литературы	.	.	..........................189