Новости фундаментальной физики
Выпуск
9
ЧЕРНЫЕ
ДЫРЫ
сборник статей
Перевод с английского
И.В. ВОЛОВИЧА, В. А. ЗАГРЕБНОГО
и
В. П. 'ФРОЛОВА
ИЗДАТЕЛЬСТВО
"МИР"
МОСКВА-1978

УДК 52 + 53
Сборник содержит статьи крупных зарубежных ученых по классической и кван-
квантовой физике черных дыр, опубликованные в 1975 — 1977 гг. Ствтьи посвя-
посвящены вопросам, связанным с квантовыми процессами вблизи черных дыр,
термодинамикой и возможными астрофизическими проявлениями черных дыр.
Вступительная статья — краткий обзор современного состояния проблемы —
снвбжена подробным библиографическим указателем.
Сборник представляет интерес для физиков и астрономов, занимающих-
занимающихся релятивистской астрофизикой, а также для студентов старших курсов и
аспирантов соответствующих специальностей.
Редакция литературы по физике
20402.20605 - 49
041@1) - 78
49-78
'Мир". 1978.
Вступительная статья
Черные дыры: квантовые процессы,
термодинамика, астрофизика
В.П. Фролов
ВВЕДЕНИЕ
i
Благодаря теоретическим исследованиям, выполненным главным
образом за последние 10 - «15 лет, и развитию новых методов наблю-
наблюдений (например, рентгеновской и гамма-астрономии) в физике возник-
возникла и получила интенсивное развитие по сути дела новая область - фи-
физика черных дыр. До недавнего времени она рассматривала в основ-
основном возможность образования черных дыр и их взаимодействие как
между собой, так и с физическими полями и частицами в рамках клас-
классической (неквантовой) теории, и лишь за последние 4 — 5 лет появи-
появились работы о возможных квантовых эффектах в черных дырах.
Открытое Хокингом в 1974 г. явление неустойчивости вакуума
в гравитационном поле черг.ых дыр и предсказанное им квантовое ис-
испарение малых черных дыр [30, 31] для большинства физиков были
совершенно неожиданными0. Это открытие вызвало большой интерес.
Резко возросло число работ, где наряду с изучением различных (глав-
(главным образом астрофизических) следствий квантового испарения и
взрыва малых черных дыр тщательно и разносторонне анализируются
принципиальные вопросы, связанные с самим явлением. Эти вопросы
касаются главным образом построения квантовой теории поля в- ис-
искривленном пространстве-времени, которая включала бы в себя задачу
определения и интерпретации вакуумного состояния и вычисление ло-
15 Сам Хокинг изложил историю этого открытия в популярной ствтье [32].
Как и любое другое открытие, оно было в какой-то мере подготовлено пред-
предшествующими исследованиями: см., например, работы Зельдовича [зз, 34],
Старобинского [35], Мизнера [зб] и Унру L37J, в которых было указано
на возможность квантового рождения частиц во вращающихся черных дырах;
Марков [38] обратил внимание на то., что при учете квантовых процессов тео-
теорема Хокинга о возрастании площади поверхности черных дыр может нару-
нарушаться.
О "Мир", 1978

ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
кальных наблюдаемых, например тензора энергии-импульса, эффектив-
эффективно описывающего поляризацию вакуума в гравитационном поле и плот-
плотность энергииЧшпульса рождаемых полем частиц. (Qvi. обзоры [9, 20].)
За последние три года выводы Хокйнга полностью подтвердились, и
было достигнуто более глубокое понимание как самого явления, так
и его возможных астрофизических следствий.
Различные стороны классической (неквантовой) физики черных
дыр подробно изложены в ряде книг и обзоров. Общее представление
об этой области физики можно получить из обзоров [11, 12, 14, 15,
17, 18]; необходимая для чтения сборника информация об основных
понятиях физики черных дыр содержится в обзоре Шьямы [28]; кван-
квантовым процессам посвящен обзор Фролова [J6].
В настоящий сборник вошли статьи 1975 - 1977 гг. Сборник по-
посвящен квантовым процессам в черных дырах и удивительной анало-
аналогии между физикой черных дыр и термодинамикой. В вступительной
статье мы лишь кратко остановимся на тех сторонах физики черных
дыр, которые непосредственно связаны с этой тематикой и наиболее
интенсивно развивались последние три года. В соответствии с этим
библиографический указатель данной статьи ни в коей мере не пре-
претендует на полноту, но мы надеемся, что основные работы по затра-
затрагиваемым проблемам в нем отражены. <
КВАНТОВЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЧЕРНЫХ ДЫРАХ
Изучая задачу об устойчивости вакуума в гравитационном поле
массивного тела, коллапс которого приводит к образованию черной
дыры, Хокинг обнаружил, что черная дыра становится источником
стационарного теплового излучения.
Излучение возникает вследствие квантового процесса рождения
пар в гравитационном поле черной дыры. Наглядно этот процесс мо»
но представить себе следующим образом. В вакууме спонтанно воз-
возникают пары виртуальных частиц, которые в отсутствие внешнего
Поля вновь аннигилируют через время т, связанное с энергией па-
пары Е соотношением неопределенности т ~ %/Е. Если при наличии
внешнего поля виртуальные частицы пары разойдутся на такое рас-
расстояние, что совершенная внешним полем работа будет больше или
порядка Е, то возможно превращение пары виртуальных частиц в
пару реальных частиц. В электростатическом поле частицы пары об-
обладают разными зарядами, и, как за пространственное разделение
1
!
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
частиц, так и за совершение работы ответственна напряженность по-
поля. Специфика процесса рождения пар в гравитационном поле заклю-
заключается в том, что оно на обе частицы действует одинаково (принцип
эквивалентности), и за эффект пространственного разделения частиц
пары отвечает приливное взаимодействие, которое описывается тен-
тензором кривизны и существенным образом связано с неоднородностью
поля. Одна из виртуальных частиц пары, возникшей вблизи горизонта
снаружи от него, может попасть внутрь горизонта и занять состояние
с отрицательной энергией. Тогда другая частица может уйти на бес-
бесконечность, обладая положительной энергией. В соответствии с этой
картиной существует поток положительной энергии на бесконечности
и поток отрицательной энергии через поверхность горизонта внутрь
черной дыры. При этом масса черной дыры уменьшается и, следова-
следовательно, уменьшается поверхность ее горизонта - происходит кванто-
квантовое испарение черной дыры. Характерная температура в излучения
черной дыры с массой М равна в = *cV8ttGM. Если скорость из-
изменения гравитационного радиуса R = 2 GAf/c2 гораздо меньше
скорости света с, уменьшение массы приведет к повышению эффек-
эффективной температуры черной дыры со временем [43] - мощность из-
излучения Хокйнга увеличится, и по сути дела последний этап квантово-
квантового испарения будет преде гавлять собой взрыв. Характеристики это-
этого взрыва (длительность, общая выделяемая энергия и средняя энер-
энергия излучаемых частиц) существенно зависят от особенностей силь-
сильного взаимодействия частиц при высоких энергиях и спектра масс
элементарных частиц.
Излучение Хокйнга не только обладает тепловым спектром, но,
более того, все корреляционные функции, характеризующие его, сов-
совпадают с соответствующими величинами для чернотбльного излуче-
излучения [39, 44 - 48]. Иначе говоря, при любых измерениях излучение
от черной дыры нельзя отличить от излучения черного тела, обладаю-
обладающего температурой в = к/2 тт, т.е. оно описывается равновесной
матрицей плотности15. Неизбежно возникает целый ряд вопросов,
° Вылетая на бесконечность, частицы, рожденные черной дырой, снача-
сначала будут рассеиваться на ев статическом гравитационном полв, чте несколь-
несколько исказит тепловой спектр. Если черную дыру поместить в термостат с из-
излучением или газом свободных частиц при температуре, равной эффектив-
эффективной температуре черной дыры, то система будет находиться в (неустойчивом)
равновесии; частицы, падающие в черную дыру, прежде чем первевчь гори-
горизонт событий, так же рассеиваются нв статическом гравитационном полв,
как и частицы,'вылетающие из черной дыры. Относительно равновесия чер-
черной дыры с газом взаимодействующих частиц см. работу [49].
7

ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
связанных с тепловым характером излучения Хокинга. Прежде все-
всего, как из первоначально чистого (вакуумного) состояния возникает
смешанное состояние, описываемое матрицей плотности? Почему она
совпадает с матрицей плотности для равновесного теплового излуче-
излучения? Как из простых соображений можно понять характер зависимос-
зависимости эффективной температуры излучения от массы черной дыры?
Парадоксальный на первый взгляд факт появления матрицы плот-
плотности легко объяснить, если вспомнить, что образование черной ды-
дыры связано с возникновением горизонта событий. Поэтому если для
описания начального состояния требовалось задать лишь состояния
падающих (входящих)'частиц, то для описания конечного состояния
уже нужно знать состояния не только частиц, вылетающих на беско-
бесконечность, но и частиц, падающих в черную дыру. Любые измерения
вдали от черной дыры1 зависят от состояний вылетающих частиц.
При вычислении средних значений от любых наблюдаемых, зависящих
только от состояний вылетающих частиц, производится суммирова-
суммирование по ненаблюдаемым состояниям частиц, падающих в черную дыру,
и вследствие этого возникает матрица плотности. Поэтому причина
возникновения матрицы плотности при описании излучения от черной
дыры на бесконечности та же самая, что и причина появления матри-
матрицы плотности в обычной квантовой механике, когда, имея систему
в некотором чистом состоянии, мы интересуемся описанием резуль-
результатов измерения в некоторой ее подсистеме. Крайне важнд, что в ре-
результате суммирования по ненаблюдаемым состояниям частиц, па-
падающих в черную дыру, соответствующая матрица плотности не за-
зависит от конкретного определения вакуума и понятия частицы в силь-
сильном гравитационном поле в окрестности горизонта событий [39].
На наш взгляд, при выяснении физической причины теплового
характера матрицы плотности, описывающей излучение от черной ды-
дыры, существует довольно привлекательная возможность связать ее
с фундаментальным свойством гравитационного взаимодействия -
принципом эквивалентности [50]. Вероятность рождения пары частиц
с энергией Е во внешним статическом (необязательно гравитацион-
гравитационном) поле можно оценить следующим образом. Вероятность того,
что соответствующие виртуальные частицы пары находятся на рас-
расстоянии I друг от друга, пропорциональна exp(-?/ficZ). Предполо-
Предположим, что напряженность поля равна Г. и е - константа взаимодей-
взаимодействия частицы с полем. Если на расстоянии lQ при разделении час-
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
тиц поле совершает работу еП0 = Е, то виртуальные частицы мо-
могут стать реальными и вероятность рождения подобной пары пропор-
пропорциональна величине ехр(-?/йс/0). Нетрудно заметить, что эта
вероятность имеет тепловой (больцмановский) вид только в том слу-
случае, когда расстояние lQ = Е/е Г не зависит от энергии Е. Это воз-
возможно только тогда, когда константа взаимодействия частицы с по-
полем пропорциональна полной энергии частицы (инерционной массе).
Именно это свойство, известное как принцип эквивалентности, спра-
справедливо в случае гравитационного взаимодействия. Важно отметить,
что квантовый процесс рождения частиц в статическом гравитацион-
гравитационном поле существенно нелокален [51]. Поэтому высказываемые иног-
иногда утверждения о том, что принцип эквивалентности запрещает рож-
рождение частиц в гравитационном поле, поскольку при переходе в падаю-
падающую систему отсчета это поле можно локально исключить, необосно-
необоснованны.
Характер зависимости эффективной температуры от массы чер-
черной дыры можно было бы вывести из соображений размерности. В рас
сматриваемой задаче гравитационное поле считается заданным внеш-
внешним классическим полем, на фоне которого происходят процессы рож-
рождения, и имеется только одна характерная величина с размерностью
длины - гравитационный радиус. Поэтому характерная длина волны
излучения Л~ R . Это соотношение приводит к правильному (с точ-
точностью до коэффициента) выражению для характерной температуры
излучения. (Другая возможная величина той же размерности - план-
ковская длина I = \JtG/cz' — характеризует размер области, в ко-
которой квантовые флуктуации гравитационного поля уже нельзя счи-
считать малыми; она обычно возникает в задачах, когда квантуется гра-
гравитационное поле.)
При вычислении излучения Хокинга возникает также несколько
более формальных вопросов, связанных с применением аппарата кван-
квантовой теории поля в искривленном пространстве-времени. Прежде все-
всего отметим, что при наличии сильного гравитационного поля извест-
известная трудность связана с определением вакуумного состояния и введе-
введением понятия частицы. Поэтому естественно возникает вопрос:, на-
насколько сильно зависит результат Хокинга от того или иного выбора
вакуума в гравитационном поле? Оказывается, что в задаче о нахож-
нахождении потока энергии от черной дыры, образующейся при коллапсе
тела, для получения результата по существу не нужно делать никаких
предположений о свойствах вакуума в сильном поле. Причину этого
9

ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
проще всего понять, если ограничиться рассмотрением физически
наиболее важного случая, когда рождаются только безмассовые час-
частицы. Для однозначного определения начального и конечного состоя-
состояний (понятия падающей и вылетающей частиц) не нужно, чтобы внеш-
внешнее поле до и после некоторого момента времени отсутствовало, а
требуется лишь, чтобы все частицы при своем движении (как в отда-
отдаленном прошлом, так и в отдаленном будущем) попадали в область,
где этим внешним полем можно пренебречь. Для таких асимптотиче-
асимптотически свободных частиц можно ввести хорошо определенные in- и
out-состояния. Когда пространство-время асимптотически-плоское,
можно ввести понятие асимптотической энергии, связанное с нали-
наличием асимптотических симметрии, и развить процедуру квантования
(в частности, определить вакуумное состояние), используя только
асимптотики (образы) полей и наблюдаемых на бесконечности. (Более
подробно см. в обзоре [9].) В случае когда в асимптотически-плоском
пространстве образуется черная дыра, соответствующая S-матрица,
описывающая состояния вылетающих частиц, заменяется на матрицу
плотности, причем из-за суммирования по ненаблюдаемым состояни-
состояниям частиц, падающих в черную дыру, эта матрица плотности хорошо
определена и не зависит от произвола в определении вакуума на по-
поверхности горизонта.
Конкретный выбор вакуумного состояния в области с сильным
гравитационным полем (в частности, определение вакуума на гори-
горизонте) оказывается важным при рассмотрении задачи о квантовых
процессах в гравитационном поле "вечной" (eternal) черной дыры,
т.е. в пустом пространстве-времени, описызаомом геометрией Кру-
скала. В этом случае, помимо горизонта будущего Н*", имеется го-
горизонт прошлого Н~, и квантовая задача становится определенной
только после задания начального состояния на этой поверхности.
Естественно, что различные выборы состояния на горизонте прошло-
прошлого Н~ приводят к различным результатам при вычислении потока
частиц на бесконечности. Этим, в частности, объясняется наличие
двух противоположных суждений, а именно: 1) вечная черная дыра из-
излучает точно так же, как и черная дыра, образовавшаяся в результа-
результате коллапса [52, 531; 2) излучение от вечной черной дыры полностью
отсутствует [54 - 58]. Выбор вакуумного состояния на Н~ , приво-
приводящий к отсутствию потока частиц на бесконечности (^-вакуум Буль-
Бульвара), соответствует, по-видимому, физически нереализуемой ситуа-
10
\ ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
ции [41, 53]. Анализ» различных определений вакуума на Н~ можно
найти в работе [59].
Задача о рождении частиц в гравитационном поле вечной черной
дыры представляет интерес главным образом из-за своей тесной свя-
связи с задачей о рождении частиц в черной дыре, возникающей в резуль-
результате коллапса. При описании геометрии пространства-времени сфери-
сферически-симметричного коллапсирующего тела метрика пространства- ¦
времени внутри коллапсирующего тела сшивается (с соблюдением оп-
определенных граничных условий) с внешней метрикой, совпадающей
с частью полной метрики Крускала. Сама по себе полная метрика
Крускала, по-видимому, не может встретиться при описании правдо-
правдоподобной физической ситуации °.
Поэтому, в частности, важен результат Унру [53]. Он показал,
что если для определения вакуума на Н~ разбить частоты на положи-
положительные и отрицательные, используя аффинный параметр29 вдоль
образующих горизонта Н~, то на бесконечности будет поток излуче-
излучения, характеристики которого совпадают с характеристиками, излуче-
излучения Хокинга. Соответствующий вакуум на Н~ получил название ?-ва-
куума.
При построении квантовой теории в искривленном пространстве-
времени привлекателен общий подход, предложенный в работе Хартля
и Хокинга [52]. Для определения фейнмановской функции Грина в гра-
гравитационном поле черной дыры (эта задача тесным образом связана
с задачей определения вакуума) авторы использовали ее представле-
представление в виде интеграла по путям. С помощью перехода от псевдоевкли-
псевдоевклидова к евклидову пространству им удалось доопределить интеграл по
путям и фиксировать класс путей, по которым производится интегри-
интегрирование. Этот подход приводит к обычному результату Хокинга для
излучения от черной дыры, образующейся при коллапсе. В случае
V) Вопрос о том, что является источником для полной метрики Круска-
па, обсуждается, например, в работе [17]. Отметим также, что гпростран-
ственноподобнан-, сингулярность г = О в полном пространстве-времени Круска-
Крускала приводит, . по-видимому, к неустойчивости, этой метрики по отношению
к процессам аккреции вещества и квантовому процессу рождения частиц
вблизи г = 0 точно так же, как это имеет место в случае белых дыр [61, 62].
2) Отметим, что и в общем случае для произвольной световой поверх-
поверхности можно использовать аффинный параметр для однозначного определе-
определения положительно- и отрицательно-частотных функций. Соответствующее по-
понятие Л-вакуума было введено и проанализировано в работе [во].
11

ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
вечной черной дыры используемая процедура доопределения интеграла по пу-
путям эквивалентна выбору на горизонте Н~ ^-вакуума Унру.
Остановимся еще на одном важном вопросе, который неизбежно
возникает при более внимательном изучении процесса рождения час-
частиц в черной дыре, образующейся в результате коллапса. Это вопрос
о том, где рождаются частицы, приводящие к излучению Хокинга.
В принципе возможны две существенно различные точки зрения. Со-
Согласно одной из них [56, 63, 64], за рождение частиц ответственна
переменная составляющая гравитационного поля коллапсирующего те-
тела, и поэтому считают, что все частицы излучения рождаются вблизи
поверхности коллапсирующего тела. В этом случае вдоль поверхнос-
поверхности горизонта событий распространялся бы поток бесконечной плот-
плотности (вычисленной в локально падающей системе отсчёта) энергии,
что делало бы недопустимым пренебрежение обратным влиянием рож-
рожденных частиц на метрику коллапсара. Подобный учет мог бы привес-
привести к выводу,'что черная дыра в этом случае вообще не образуется.
Другая точка зрения (которой придерживается, в частности, сам
Хокинг) состоит в том, что частицы рождаются не вблизи поверхнос-
поверхности коллапсирующего тела, а в статическом гравитационном поле об-
образовавшейся черной дыры равномерно вдоль поверхности горизонта.
В этом случае для черных дыр с массой М » М = \jKc/G « 10"8 г
учет обратного влияния приводит к медленному изменению парамет-
параметров черной дыры.
Чтобы отдать предпочтение той или иной точке зрения, необхо-
необходимо исследовать вопрос о локализации процессов рождения частиц
в поле черной дыры. Отметим, что характерная длина волны излуче-
излучения сравнима с размером черной дыры. Это указывает на то, что
квант излучения формируется в области пространства с размерами
порядка размеров черной дыры, и локализовать место рождения кван-
кванта в пространстве с большей точностью невозможно. С другой сто-
стороны, длительность существования черной дыры обычно гораздо боль-
больше, чем характерный период Л/с, и поэтому задача о локализации
процессов рождения частиц во времени (образуются ли все частицы
сразу, в момент пересечения поверхностью коллапсирующего тела
гравитационного радиуса, или равномерно вдоль поверхности горизон-
горизонта) допускает решение.
В работах [60, 65] анализируется эта проблема и приводится
ряд аргументов в Пользу второй точки зрения. Более полную инфор-
информацию можно получить, непосредственно вычисляя тензор энергии-
12
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
импульса частиц, рождаемых в гравитационном поле черных дыр. При
подобных вычислениях возникают трудности из-за появления расходи-
мостей, соответствующих бесконечной плотности энергии нулевых
вакуумных колебаний. (Более подробное обсуждение этого вопроса
содержится в статьях 2 и 6 настоящего сборника.) Используя опреде-
определенную процедуру регуляризации, удается получить осмысленное ко-
конечное выражение для тензора энергии-импульса. Проведенный ана-
анализ, содержащийся, например, в работах [40 - 42], указывает на то,
что соответствующий тензор энергии-импульса, вычисленный в локаль-
локально падающей системе отсчета, остается конечным на горизонте со-
событий. Поэтому в настоящее время есть все основания считать, что
правильна точка зрения Хокинга и частицы рождаются не вблизи по-
поверхности коллапсирующего тела, а в статическом гравитационном
поле вдоль поверхности горизонта. Заметим также, что при анализе
процедуры регуляризации выясняется, в частности, что иногда ока-
оказывается невозможным сохранить инвариантность перенормированных
величин относительно всех преобразований, оставляющих инвариант-
инвариантными соответствующие формальные величины до перенормировки.
С этим свойством (получившим название "аномалий") впервые столк-
столкнулись в физике элементарных частиц (аномалии Адлера [66]). При
вычислении регуляризованных выражений для тензора энергии-им-
энергии-импульса безмассовых частиц в гравитационном поле оказывается не-
невозможным сохранить одновременно требования общей ковариантнос-
ковариантности и конформной инвариантности. Соответствующая конформная ано-
аномалия приводит к тому, что след тензора энергии-импульса
< 01 Га | 0 > для конформно-инвариантной теории может быть отли-
отличен от нуля [40, 41, 67 - 71]. Интересная связь конформных анома-
аномалий с эффектом Хокинга обсуждается в работе [41].
ТЕРМОДИНАМИКА ЧЕРНЫХ ДЫР
То, что черная дыра излучает как нагретое до температуры
в = к/2тг черное тело, оказалось в полном соответствии с неожидан-
неожиданной на первый взгляд аналогией между физикой черных дыр и термо-
термодинамикой [72 — 74]. Более того, обладая известной смелостью, мож-
можно было бы предсказать этот результат за несколько лет до работы
Хокинга. Термодинамическая аналогия была развита при анализе
возможности извлечения энергии из черных дыр. В полном соответ-
соответствии с тем, что закон возрастания энтропии запрещает полное прев-
13

ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
ращение тепловой энергии, заключенной в нагретом теле, в полезную
работу, закон возрастания площади поверхности черной дыры (дока-
(доказанный Хокингом [75]) запрещает построение "вечного двигателя
второго рода", который превращал бы энергию невращающейся чер-
черной дыры в полезную работу без какого-либо изменения состояния
окружающих тел. В этой аналогии роль энтропии играет величина,
пропорциональная площади поверхности черной дыры.
Развивая эту аналогию, удалось установить, что в физике чер-
черных дыр имеют место все четыре закона, соответствующие началам
термодинамики. С принципиальной точки зрения важно, что можно
проследить не только формальное сходство основных феноменологи-
феноменологических законов, но также и более глубокую связь между физикой чер-
черных дыр и термодинамикой, которая обнаруживается при информа-
информационном подходе. Как в термодинамике, так и в физике черных дыр
после перехода в равновесное состояние система полностью "забы-
"забывает" о своем прошлом. Потеря информации о внутреннем состоянии
системы, связанная с наличием у черной дыры сильного гравитацион-
гравитационного поля, не "выпускающего" никаких сигналов наружу, приводит
к тому, что при заданных внешних параметрах стационарной черной
дыры ее внутреннее состояние полностью не определено, и мера этой
неопределенности описывается эффективной энтропией черной дыры
(по этому поводу более подробно см. работы [39, 76 - 78]).
Формально близкая связь физики черных дыр с термодинамикой
наиболее отчетливо проявляется при переходе к евклидовой формули-
формулировке [52, 79]. После введения мнимого времени т = it в решении,
описывающем статическую черную дыру, соответствующая регуляр-
регулярная метрика в евклидовом четырехмерном пространстве становится
периодической по координате т с периодом, равным 2тг/к (к - по-
поверхностная гравитация соответствующей черной дыры). Если теперь
вспомнить, что квантовая статистика системы частиц формально
полностью эквивалентна теории поля в четырехмерном евклидовом
пространстве, в котором по одной из координат существует периодич-
периодичность с периодом, равным (J = 1/Г (Г - температура системы), то
мы увидим, что с формальной точки зрения появление статистиче-
статистических свойств в физике черных дыр отнюдь не случайно.
Евклидова формулировка физики черных дыр в настоящее время
интенсивно исследуется в связи с проблемой квантования гравита-
гравитационного поля, и, по-видимому, на этом пути могут быть получены
14
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
новые интересные результаты, которые, в частности, сделают еще
более отчетливой связь между физикой черных дыр и термодинамикой.
ФИЗИЧЕСКИЕ ПОЛЯ СНАРУЖИ И ВНУТРИ ЧЕРНЫХ ДЫР
Черная дыра образуется в результате гравитационного коллапса,
когда массовое тело сжимается до размера порядка его гравитацион-
гравитационного радиуса. При этом гравитационное поле усиливается до такой
степени, что препятствует выходу из этой области наружу света и
любых других сигналов. Любое физическое поле, обладая энергией,
также притягивается черной дырой. Если источник такого поля, рас-
расположенный, например, на коллапсирующем теле, попадает в черную
дыру, а сила давления, связанная с компонентами тензора натяже-
натяжения этого поля, не способна скомпенсировать силу гравитационного
притяжения15, то втягивание этих полей внутрь черной дыры, сопро-
сопровождаемое излучением части энергии наружу в виде волн соответ-
соответствующего поля, приводит к (быстрому) исчезновению поля снаружи
от черной дыры ("выпадению волос"). Процесс "выпадения волос"
подробно обсуждается в книге [4], где можно найти ссылки на соот-
соответствующие работы. В результате этого процесса черная дыра мо-
может сохранить только те характеристики, которые она не способна
сбросить при излучении (массу, угловой момент, электрический за-
заряд). Теоремы, доказанные в работах [19, 75, 81, 82], позволяют
заключить, что образующаяся стационарная черная дыра является
(заряженной) керровской черной дырой.
Та же причина, которая приводит к "выпадению волос" вне чер-
черной дыры, вызывает внутри черной дыры "притягивание волос" к
сингулярности г = 0. Поэтому, если источник поля находится на кол-
. лансирующем теле, при удалении от границы этого тела поле в ок-
окрестности г = 0 вымирает [83].
Когда источники поля покоятся снаружи черной дыры [83, 84],
то из-за втягивания в черную дыру силовые линии "фокусируются"
около особенности г = 0. Интересно заметить [84], что, когда вне
черной дыры существует источник массивного векторного поля, эф-
1:1 Для сферически-симметричной черной дыры условие компенсации
имеет вид Т' = Тгт [80]. Это усповие, в частности, обеспечивает выполни-
выполнимость теоремы Биркгофе, и сферически-симметричное поле в этом случае
должно быть статическим.
15

ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
фект фокусировки приводит к следующему виду тензора энергии-им-
энергии-импульса около особенности г = 0:
/ G G
по-видимому, это указьшает на то, что данное поле может изменить
втруктуру пространства-времени около особенности (например, сде-
сделать ее типа рейсснер-нордстремовской).
Трудно, однако, надеяться, что в результате учета каких-либо
реальных классических взаимодействий можно избавиться от сингу-
лярностей. Основание тому - строгие теоремы, доказанные в рабо-
работах Пенроуза и Хокинга [85, 86]. В настоящее время большие надеж-
надежды возлагают на учет квантовых процессов в гравитационном поле
около особой точки и на учет квантового характера самого гравита-
гравитационного поля. В этой связи значительный интерес представляют не-
недавние результаты Вилковысского и Фрадкина [87], которые свиде-
свидетельствуют в пользу того, что теория квантовой гравитации, вероят-
вероятно, является "асимптотически свободной", и в этом смысле она бли-
ближе к теории Янга - Миллса, чем к квантовой электродинамике. Дан-
Данные результаты позволяют надеяться, что на малых расстояниях
(при больших импульсах) константа гравитационного взаимодействия
эффективно уменьшается и, следовательно, притяжение, вызывае-
вызываемое гравитационным полем, ослабевает. Это может привести к ослаб-
ослаблению (а возможно, даже и к отсутствию) сингулярности при коллап-
коллапсе тел. В пользу этого также свидетельствует то, что в квантовой
теории условие положительности плотности энергии нарушается, и
поэтому строгие теоремы, использующие в той или иной форме это
предположение, перестают работать.
ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ ВО ВСЕЛЕННОЙ.
ЗВЕЗДНЫЕ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ
При исследовании вопросов, связанных как с гипотезой суще-
существования черных дыр во Вселенной, так и с ее возможными астро-
астрономическими следствиями, следует иметь в виду, что свойства чер-
черных дыр, их устойчивость, характер процессов, приводящих к их об-
образованию, и сама возможность их наблюдений существенно зависят
от массы U черной дыры. Гравитационный радиус R и характерная
16
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
плотность вещества в момент образования черной дыры р следую-
следующим образом связаны с массой:
2GM
R =
« 1,5.10-" ДО г) см,
р mJL » 10е3 (Mr)-2 г/см3.
8 *;
Черные дыры с массой, меньшей чем М » Ю" г, нельзя описывать
в рамках классической теории гравитации, так как квантовые флук-
флуктуации метрики в области l~l = 2GM /с2 « 108 см уже нельзя
рассматривать как малые'>. Ъсновные характеристики черных дыр ,
в возможном диапазоне масс удобно представить в виде таблицы.
Звездные черные дыры могут образовываться в результате кол-
коллапса выгоревших и потерявших устойчивость звезд. Мы лишь кратко
остановимся на свойствах этих черных дыр, поскольку проблемам
коллапса звезд, аккреции вещества на черные дыры и возможности
обнаружения этих черных дыр посвящена многочисленная литерату-
литература (см., например, книги [2, 4, 6, 8], обзоры [14, 15, 17, 18, 21, 23,
24] и статьи, ссылки на которые в них содержатся).
Расчеты показывают, что обычно последний этап эволюции звезд
с массой, в несколько раз превосходящей массу Солнца, сопровожда-
сопровождается взрьюом (вспышкой Сверхновой), в результате которого звезда
может сбросить значительную часть своей оболочкц. Если масса ос-
остатка Сверхновой превосходит величину Ма, равную максимально до-
допустимой массе устойчивой нейтронной звезды, то в результате кол-
коллапса этого остатка может возникнуть черная дыра. Для невращаю-
щихся нейтронных звезд со слабым магнитным полем значение Ма
существенно зависит от уравнения состояния вещества при плотнос-
плотности, превышающей ядерную. Если предположить, что допустимые урав-
уравнения состояния не приводят к скорости звука, превосходящей ско-
скорость света, то, как показали Роадес и Руффини [89], предельная
масса нейтронной звезды не превосходит величины 3-4 Mq, где
Mq - масса Солнца. (Ограничения на предельную массу нейтронной
15 Если бы в природе существовала фундаментальная длина 1^ > I ,
то вместо 10~5 г для минимального значения массы черных дыр естествен-
естественным образом получилось бы значение М. - c2l(/2 G « 1СГ8 88
[86]. . f
см) г
17

I
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
звезды при других предположениях о свойствах уравнения состояния
и в теориях гравитации, отличных от эйнштейновской, а также ссыл-
ссылки на более ранние работы содержатся в статьях [90 - 95].) Числен-
Численные расчеты (см., например, работы [96, 97]) указывают на то, что
при отсутствии вращения в том случае, когда первоначальная масса
звезды превосходила 10 MQ при вспышке Сверхновой может образо-
образоваться черная дыра. Вращение и сильное магнитное поле могут в
принципе помешать образованию черной дыры.
Условия для наблюдения звездной черной дыры наиболее благо-
благоприятны, когда эта дыра входит в состав тесной двойной системы,
вторая компонента в которой - обычная звезда. В этом случае из-за
перетекания (аккреции) вещества со звезды на черную дыру вокруг
последней образуется аккрецирующий диск, который может являться
источником мощного рентгеновского излучения. Описание стандарт-
стандартной модели дисковой аккреции можно найти в обзорах [21, 23, 24].
Совместные наблюдения и исследование характеристик этого
рентгеновского излучения и излучения видимой компоненты могут
позволить идентифицировать подобную черную дыру в двойной систе-
системе. Среди исследованных в настоящее время компактных галактиче-
галактических рентгеновских источников обнаружено более десяти мощных ис-
источников, входящих в состав двойных систем. Девять из этих источ-
источников оказались рентгеновскими пульсарами (нейтронными звездами
в двойной системе). В настоящее время полагают, что рентгеновский
источник в созвездии Лебедя Cyg Х-! с большой степенью вероятнос-
вероятности является аккрецирующей черной дырой в двойной системе. (Обсуж-
(Обсуждение наблюдательных данных для этого источника, полученных к на-
началу 1977 г., и сравнение с теоретическими моделями, а также даль-
дальнейшие ссылки можно найти в обзоре [26]).
МАССИВНЫЕ И СВЕРХМАССИВНЫЕ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ
Наряду с возможностью существования звездных черных дыр не
исключена также возможность образования черных дыр со значитель-
значительно большей массой. Массивные черные дыры (с массой М = 102 —108 Д/@)
могли бы существовать в звездных скоплениях. Относительно недав-
недавно гипотеза о массивных черных дырах в звездных скоплениях при-
привлекла к себе внимание в связи с открытием источников мощных
вспышек рентгеновского излучения, которые, как первоначально по-
полагали, связаны со звездными скоплениями. Более поздние наблюде-
19

ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
В
ния и более тщательная их обработка показали, что только малая
часть (< 20%) этих источников совпадает со звездными скоплениями.
Масса черных дыр в звездных скоплениях (если они существуют) не
может, по-видимому, превосходить 108 - 10* Mq, так как в против-
противном случае она заметно влияла бы на распределение звезд в скоплении
и на эволюцию самого скопления.
Привлекательна идея объяснить природу активности ядер галак-
галактик и квазаров наличием в них сверхмассивной (с массой М ^ 108 MQ)
черной дыры [100, 101]. Вокруг такой дыры при падении на нее меж-
межзвездного таза мог бы возникнуть аккрецирующий диск, максимум
излучения которого лежит в ультрафиолетовом или оптическом диа-
диапазонах [24]. Однако по крайней мере в простейшем варианте эта
модель встречается с рядом трудностей [13, 22].
МАЛЫЕ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ
В настоящее время возникновение малых черных дыр по всей
видимости невозможно. Однако существование крайне высокой плот-
плотности на ранних этапах развития Вселенной приводит к тому, что
при некоторых условиях подобные малые черные дыры могли бы об-
образовываться в прошлом из локальных неоднородностей распределе-
распределения вещества [102 — 104]. Подобные черные дыры получили название
первичных (или реликтовых) черных дыр. Процесс образования чер-
черных дыр с массой Ш преимущественно происходит в момент времени,
когда средняя плотность вещества во Вселенной имеет порядок
р ~ ee/G8M2. Число образующихся черных дыр главным образом за-
зависит от уравнения состояния вещества и от характера неоднороднос-
неоднородностей. Чем жестче уравнение состояния и чем меньше средняя амплиту-
амплитуда неоднородностей, тем меньше образуется черных дыр [105 - 108].
Если справедливо обычное (классическое) рассмотрение вплоть
до планковского момента времени, когда плотность вещества дости-
достигает величины р ~1098 г/см3, этот процесс может приводить к обра-
образованию малых черных дыр с массой вплоть до JIL = 10~в г.
Поскольку температура хокинговского излучения от черной дыры
обратно пропорциональна ее массе [в « 1026 (Мг) К], процесс кван-
квантового распада оказывается существенным только для микроскопиче-
микроскопических (U < 10в г) черных дыр. В результате квантового испарения .
реликтовые черные дыры с массой М < 5 • 10м г к настоящему вре-
времени должны были бы полностью распасться. Поэтому на первый
20
.ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
взгляд из современных наблюдательных данных невозможно получить
какие-либо ограничения на их число в момент образования. Однако
оказывается, -что если бы этих дыр было достаточно много, то про-
продукты их распада могли бы влиять на спектр реликтового излучения
[ПО], на синтез гелия [111] и дейтерия [112] и на наблюдаемую энтро-
энтропию, приходящуюся на один барион [ПО, 113], и поэтому наблюдения
позволяют наложить очень сильное ограничение на допустимое число
реликтовых черных дыр в широком диапазоне масс (М < 10 и п).
Более массивные черные дыры (с массой М ~ 5 • 10 м г) могли бы
дожить до наших дней и их распад в настоящее время мог бы привес-
привести к наблюдаемым явлениям (вспышки у-излучения [106, 114 — 116]
или оптического и радиоизлучения [117, 118]). Отсутствие указаний
- «поломойных наблюдениях на эти явления позволяют заключить,
что и и атом диапазоне маис при образовании черных дыр в них могла
попасть только очень малая A0~2а - Ю6) доля общей массы ве-
вещества во Вселенной.
Для макроскопических малых черных дыр (М > 1015 г) эффект
Хокинга практически несуществен, и такие черные дыры остаются
практически неизменными с самого момента из образования. (Аккре-
(Аккреция окружающего вещества на них не может увеличить их массу,
по-видимому, более чем на порядок [104, 119].) Совокупность подоб-
подобных черных дыр можно рассматривать как своеобразный газ нереля-
нерелятивистских частиц, и при расширении Вселенной плотность энергии
этого газа падает по закону о. Отличие этого закона от обычного
закона для изменения плотности энергии излучения а ~* приводит
к тому, что даже если в настоящее время средняя плотность вещества,
заключенного в подобные черные дыры, сравнима со средней плотнос-
плотностью вещества во Вселенной, то в отдаленном прошлом в момент обра-
образования этих черных дыр в них была заключена лишь крайне малая
доля вещества, примерно равная а/а0, где о и oQ — соответственно
масштабные факторы в момент образования черной дыры и в настоя-
настоящее время [102]. Все это указывает на то, что отклонения Вселен-
Вселенной от однородности на ранних этапах были крайне малы.
Отметим здесь еще один важный с принципиальной точки зрения
аспект физики малых черных дыр, состоящий в своеобразной взаимо-
взаимосвязи макро- и микрофизики. Обладая макроскопической массой (ска-
(скажем, М ~ 1015 г), эти дыры могут иметь микроскопически малый раз-
размер Z~10~13 >(Л//1015 г) см, сравнимый с размером элементарной
21

ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
частицы. Характеристики хокинговского излучения, при котором вы-
выделяется макроекопически большое количество энергии, существен-
существенно зависят от спектра масс и характера взаимодействия элементар-
элементарных частиц при высоких энергиях [106, 1201. С этой особенностью
физики малых черных дыр связана интересная новая возможность
получать информацию о физике микромира при астрофизическом по-
поиске черных дыр. В частности, если в природе имеется фундаменталь-
фундаментальная длина Z{, то, по-видимому, невозможно образование черных дыр
с массой М < 102т (Z{/10-1T смJ г [109]. Другой, быть может,
еще более яркий пример возможной взаимосвязи макро- и микрофизи-
микрофизики в явлениях, где существенно гравитационное взаимодействие, да-
дает рассмотренная в работах [121 — 125] классическая модель заря-
заряженной частицы ("фридмона"), в которой макроскопически большой
заряженный полузамкнутый мир для внешнего наблюдателя может
проявляться в виде объекта с микроскопически малым зарядом и
размером.
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ ("МАКСИМОНЫ")
Вопрос о возможности существования устойчивых элементарных
черных дыр (максимонов), обсуждавшийся в работах Маркова [126,
127] и Хокинга [103], в настоящее время является, по-видимому,
открытым. При разумных предположениях о спектре флуктуации плот-
плотности следовало бы ожидать образования в планковский момент вре-
времени большого количества подобных черных дыр, и если допустить, ,
что эти черные дыры устойчивы и не взаимодействуют друг с другом,
то можно прийти к противоречию с наблюдательными ограничениями
на их допустимую плотность в настоящее время. Однако при подобном
рассуждении полностью игнорируется специфический квантовый ха-
характер подобных объектов. Учет квантовогравитационных процессов
может, в частности, существенно повлиять на вероятность образова-
образования этих дыр.
Элементарные черные дыры могут, по-видимому, сыграть важ-
важную роль в физике элементарных частиц [122]. При вычислении соб-
собственной энергии частицы обычно учитывают вклад промежуточных
состояний с произвольно большой энергией, что приводит к появле-
появлению известных расходимостей. Учет гравитационного взаимодействия
соответствующих виртуальных частиц и возможности появления вир-
виртуальных элементарных черных дыр в промежуточном состоянии мо-
22
ЛИТЕРАТУРА
жет привести к устранению этих расходимостей. В последние годы
эта идея получила своеобразное интересное развитие в работах [128 —
132], в которых обсуждается инстантонный характер решений, описы-
описывающих черные дыры, при продолжении их в евклидову область и воз-
возможный вклад подобных решений в амплитуды квантовых процессов.
В настоящее время в физике черных дыр проблем, наверное, не
меньше, чем решений. Именно это и привлекает к ней столь сильное
внимание. Мы надеемся, что статьи, вошедшие в сборник, помогут
читателю получить представление об этой "горячей точке" науки.
ЛИТЕРАТУРА
Монографии
1. Ввйнбврг С, Гравитация и космология, "Мир", 1975.
2. Зельдович Я.6., Новиков И.Д., Теория тяготения и эволюция звезд,
"Наука", 1971.
3. Зельдович Я.6., Новиков И.Д., Строение и эволюция Вселенной, "Наука",
1975.
4. Шзнер Ч., Торн К., Уилер Дж., Гравитация, "Мир", 1977.
5. Пвнроуэ Р., Структура пространства-времени, "Мир", 1972.
6. Рис М., Руффини Р., Уилер Дж., Черные дыры, гравитационные волны
и космология, "Мир", 1977.
7. Хокинг.С, ЭллисДж., Крупномасштабная структура пространства-вре-
пространства-времени, "Мир", 1977.
8. Уилер Дж., Гаррисон в.. Ввкано М., Торн к.. Теория гравитации и гра-
гравитационный коллапс, "Мир", 1967.
Работы обзорного характера
9. Волович И.В., Загребное В.А., Фролов В.П., ЭЧАЯ, 9, 147 A978).
Квантовая теория поля в асимптотически плоском пространстве-времени.
10. Зельдович Й.Б., УФН, 183. 487 A977).
Тяготение, заряды, космология и когерентность.
П. Зельдович Я.6., Новиков И.Д., Старобинский А.А., Природа, № 1, 34 A976).
Черные и белые дыры.
12. МерКОВ U.A.. УФН, 111, 3A973).
Глобальные свойства вещества а коллапсированном состоянии ("черные
дыры").
13. Озерной Л.М., УФН, 120, 309 A976).
Источники энергии в квазарах и ядрах галактик.
14. Пенрохз Р.. УФН, 109,355A973).
Черные дыры.
23

ЛИТЕРАТУРА
15. Торн К., УФН, 118, 453 A976).
Поиски черных дыр.
16. Фролов В.П., УФН, 118, 473 A976).
Черные дыры и квантовые процессы в них.
17. Фролов В.П., Эйнштейновский сборник, 1975, "Наука", 1978.
Черные дыры:' от Эйнштейна до наших дней.
18. Швкурв ИМ., Нейтронные заезды и "черные дыры" а двойных системах,
"Знание", Т976.
19. Carter В., В сборнике Black Holes, eds. С. DeWitt, B.S. DeWitt, Gordon
and Breach Sci. Publ., 1973, p. 57.
Black Hole equilibrium states.
20. DeWitt В., Phys. Repts., 19C, 297 A975) (Статья 2 настоящего сборника.)
Quantum field theory in curved space-time.
21. Eardley DM., Press W.H., Annual Rev. Astron. Astrophys., 13, 381 A975).
Astrophysical processes near black holes.
22. Гинзбург В.Л., Озерной Л.М., Astron. Space Sci., 50, 23 A977).
On the nature of quasars and active galactic nuclei.
23. НОВИКОВ И.Д., В сборнике Astrophysics and gravitation, Proc. 16th Solway
Conference on Physics, Univ. Braxelles, 1974, p. 317.
Search for observational evidence for black holes.
24. Novikov I.D., Thome K.S., в сборнике Black Holes, eds. С DeWitt,
B.S. DeWitt, Gordon and Breach Sci. Publ., 1973, p. 343.
Black hole astrophysics.
25. НОВИКОВ И.Д., Зельдович Я.Б., Annual Rev. Astron. Astrophys., 11,
387 A973).
Physical processes near cosmological singularities.
26. Oda M., Preprint 1SAS, Tokyo Univ., 1977.
Cyg. X-l — a candidate of the black hole.
27. Parker L., Preprint Univ. Wisconsin-Milwaukee, 1977.
The production of elementary particles by strong gravitational Melds.
28. Schiama D.W., Vistas Astron., 19, 385 A976). (Статья 1 настоящего'сбор-
ника.)
Black holes and their thermodynamics.
29. Sexl R.U., Acta Phys. Austriaca, B42, 303 A975).
Black hole physics.
Статьи
30. Hawking S.W., Nature, 248, 30 A974).
Black hole explosions?
31. Hawking S.W., Commun. Math. Phys., 43, 199 A975).
Quantum particle creation by black hole.
32. Hawking S.W., Scient. American., 236, 34 A977).
The quantum mechanics of black holes.
24
ЛИТЕРАТУРА
33. Зельдович Я.6., Письма ЖЭТФ, 14,270A971).
Генерация волн вращающимся телом.
34. Зельдович Я.Б., ЖЭТФ, 62, 2076 A972).
* Усиление цилиндрических эпектромвгнитных волн при отражении от вра-
вращающегося тела.
35. Старобинский А.А., ЖЭТФ, 64, 48 A973).
Усиление волн при отражении от вращающейся черной дыры.
36. Misner C.W., Phys. Rev. Lett., 28, 999 A972).
Interpretation of gravitational-wave observations.
37. Unruh W.G., Phys. Rev., D10, 3194 A974).
Second quantization in Kerr metric.
38. Марков U.A., В сборнике Gravitational radiation and Gravitational collapse,
ed. C. DeWitt-Morette, Dordrecht - Boston, D. Reidel,. 1974, p. 106.
On black and white holes.
39. Hawking S.W., Phys. Rev., D14, 2460 A976) (Статья З настоящего сбор-
сборника.)
Breakdown of predictability in gravitational collapse.
40. Davies P.C.W., Fulling S.A., Unruh W.G., Phys. Rev., D13, 2720 A976).
Energy-momentum tensor near an evaporating black hole.
41. Chnstensen S.M., Fulling S.A., Phys. Rev., D15, 2088 A977). (Статья 6
настоящего сборника.)
Trace anomalies and the Hawking effect.
42. Fulling S.A., Phys. Rev., D15, 2411 A977). (Статья 7 настоящего сбор-
сборника.)
Radiation and vacuum polarization near a black hole.
43. Волович И.В., Загребное В.А., Фролов В.П., ТМФ, 29, 191 A976).
Квантовое рождение частиц (эффект Хокинга) в черных дырах с перемен-
переменными параметрами.
44. Parker L., Phys. Rev., D12, 1519 A975).
Probability distribution of particles created by a black hole.
45. Wald R.M., Commun. Math. Phys., 45, 9 A975).
On particle creation by black holes.
46. Israel W., Phys. Lett., 57A, 107 A976).
Thermo-field dynamics of black holes.
47. Bekenstein J.D., Meisels A., Phys. Rev., D15, 2775 A977).
Einstein A and В coefficients for a black hole.
48. Фролов В.П., Preprint 1C/77/46, Trieste, Italy A977).
Null surface quantization and quantum field theory in asymptotically flat
space-time.
49. Gibbons G.W., Perry M.J., Phys. Rev. Lett., 38, 985 A976). v
Black holes in thermal equilibrium.
50. Гитман Ц.М., Фролов В.Л., Preprint 15 FIAN A977); ЯФ, 28, 559 A978).
Density matrix in quantum electrodynamics, principle of equivalence and
Hawking effect.
25

ЛИТЕРАТУРА
51. ЗвЛьЛОвИЧ Я.Б., в КНИГв Magic without magic. John Archibald Wheeler.
Ed. J. Klauder, W.H. Freeman, San Francisco 1972.
The birth of particles and antiparticles in electric and gravitational fields.
52. Hartle J.B., Hawking S.W., Phys. Rev., D13, 2188 A976). (Статья 5
настоящего сборника.)
Path integral derivation of black hole radiance.
53. Unruh W.G., Phys. Rev., D14, 870 A976).
Notes on black holes evaporation.
54. Boulware D.G., Phys. Rev., D11, 1404 A975).
Quantum field theory in Schwarzschild and Rindler spaces.
55. Boulware D.G., Phys. Rev., D12, 350 A975).
Spin-% quantum field theory in Schwarzschild space.
56. Boulware D.G., Phys. Rev., D13, 2169 A976).
Hawking radiation and thin shells.
57. Мвнский М.Б., Письма ЖЭТФ, 24. 561 A976).
Рождение пар коллапсирующим телом как эффект квантовой геометрии.
58. Новиков И.Д., Препринт ИКИ N» 268, 1976.
Эффекты процесса Хокинга на границе и внутри черной дыры.
59. Fulling S.A., Joum. Phys., A10, 917 A977).
Alternative vacuum states in static space-times with horizons.
60. ВоповичИ.В., Загребное а А., Фролов В.П., ТМФ, 33, 3 A977).
Об определении вакуума в гравитационном поле: К-вакуум.
61. Eardley D.U., Phys. Rev. Lett., 33, 442 A974).
Death of white holes in the early Universe.
62. Зельдович Я.5., Новиков И. Д., Старобинский А.А., ЖЭТФ, 66, 1897 A974).
Квентовью процессы в белых дырах.
63. Davies P.C.W., Ргос. Roy. Soc, A361, 129 A976).
On the origin of black hole evaporation radiation.
64. Gerlach U.H., Phys. Rev., D14, 1479 A976).
The mechanism of blaekbody radiation from an incipient black hole.
65. Unruh W.G; Phys. Rev., D15, 365 A977).
Origin of the particles in black hole evaporation.
66. Adler S.L., Phys. Rev., 177, part 2, 2426 A969).
Axial-vector vertex in spinor electrodynamics.
Belll.S., Jackiw.R., Nuov. Cim., 60A, 47 A969).
A PCAC puzzle: тт° -* У У in the 5-model.
67.DeserS.,Duf{U.J.,hhamC.]., Nucl. Phys., B111, 45A976).
Non-local con formal anomalies. >
68. Davies P.C.W., King's College preprint, London A976).
Stress tensor and con formal anomalies.
69. Brown L.S., Phys. Rev., D15, 1469 A977).
Stress-tensor trace anomaly in a gravitational metric: Scalar fields.
70. Brown L.S., Cassidy J.P., Phys. Rev., D15, 2810 A977).
Stress-tensor trace anomaly in a gravitational metric: general theory,
Maxwell fields.
26
ЛИТЕРАТУРА
71. Brown L.S., Cassidy J.P., Preprint Univ. Washington, Seattle A977).
Stress tensors and their trace anomalies in conformally flat space-times.
72. Bekenstein J.D., Phys. Rev., D7, 2333 A973).
Black holes and entropy.
73. Bekenstein J.D., Phys. Rev., D9, 3292 A974).
Generalized second law of thermodynamics in black hole physics.
74. Bardeen J.M., Carter В., Hawking S.W., Commun. Math. Phys., 31, 161 A973).
The four laws of black holes mechanics.
75. Hawking S.W., Commun. Math. Phys., 25, 152 A972).
ВДаск holes in general relativity.
76. Hawking S.W., Phys. Rev., D13, 191 A976). (Статья 4 настоящего сбор-
сборника.)
Black holes and thermodynamics.
77. Davies P.C.W., Mon. Not. Roy. Astr. Soc, 177, 179 A976).
Black hole thermodynamics and time asymetry.
78. Davies P.C.W., Proc. Roy. Soc, A353, 499 A977).
The thermodynamic theory of black holes.
79. Gibbons G.W., Hawking S.W., Phys. Rev., D15, 2752A977). (Статья 8
настоящего сборника.)
Action integrals and partial functions in quantum Gravity.
80. Israel W., Gen. Rel. Grav., 2, 53 A971).
Event horizons and gravitational collapse.
81. Carter В., Phys. Rev. Lett., ^6, 331 A971).
Axisymmetric b-laek hole has only two degrees of freedom.
82. Robinson D.Ck, Phys. Rev. Lett., 34, 905 A975).
Uniqueness of the Kerr black hole.
83. Дорошкевич А.Г., Новиков И.Д., Препринт ИПМ № 74 A977).
Пространство-время и физические поля внутри черной дыры.
84. «ролов В.П., Preprint 1C/77/39, Trieste, Italy A977).
Massive vector fields and black holes.
85. Penrose R., Phys. Rev. Lett., 14, 57 A965).
Gravitational collapse and space-time singularities.
86. Hawking S.W., Penrose R., Proc Roy. Soc, A314, 529.A970).
The singularities of gravitational collapse and cosmology.
87. Фрадкин ?.С, ВиПКОВЫССКИЙ Г.А., В сборнике Abstracts of contributed
papers GRS, Univ. Waterloo, Canada, 1977.
Conformal off-mass-shell extension, asymptotic freedom and hypothesis
on global renonhalizability in quantum gravity.
88. Гинзбург В.Л., Письма ЖЭТФ, 22, 514 A975).
Испарение черных дыр и фундаментальная дыра.
89. Rhoades С.Е., Ruffini R., Phys. Rev. Lett., 32, 324 A974).
Maximum mass of a neutron star.
90. Dennis J.H., Lee Т.Н., Cohen JM., Astrophys. Joum., 201, 462 A975).
The maximum mass of nonrotating neutron stars*
27

ЛИТЕРАТУРА
91. Chitre D.M., Hanle J.B., Astrophys. Journ., 207, 592 A976).
Stationary configurations and the upper bound on the mass of nonrotating,
causal neutron stars.
92. Brecher K,, Caporaso G., Nature, 259, 377 A976).
Obese neutron stars.
93. Hanle J.B., Sabbadini A.G., Preprint Univ. Calif., Santa Barbara, TH-11,
1976.
The equation of state and bounds on the mass of non-rotating neutron stars.
94. Joss P.C., Rappaport S.A., Nature, 264, 219 A976).
Observational constrains on the masses of neutron stars.
95. Rosen ]., Rosen N., Astrophys. Journ., 202, 782 A975).
The maximum mass of a cold neutron star.
96. Надвжин Д.К., Препринт ИПМ № 98 A975).
Физико-математическая постановка задачи о колпапсе железных звезд
и метод расчета.
97. Надвжин Д.К., Препринт ИПМ № 106 A975).
Гравитационный коллапс железных звезд с массами г и 10 Mq-
98. Wyller А.А., Astrophys. Journ., 160, 443 A970).
Observational aspects of black holes in globular clusters.
99. Peebles P.].E., Gen. Rel. Grav., 3,63A972).
Gravitational collapse and related phenomena from an empirical point of view.
100. Lynden-Bell D., Nature, 223, 690 A969).
Galactic nuclei as collapsed old quasars.
101. Lynden-Bell D., Rees U.J., Mon. Not. Roy. Astr. Soc, 152, 461 A971).
On quasars, dust and the galactic centre.
102. Зельдович Я.6., Новиков ИМ-, Астроном, журн., 43, 758A966).
Гипотеза задержавшихся в расширении ядер и горячая космологическая
модель.
103. Hawking S.W., Mon. Not. Roy. Astr. Soc, 152, 75 A971).
Gravitationally collapsed objects of very low mass.
104. Can B.J., Hawking S.W., Mon. Not. Roy. Aetr. Soc, 168, 399 A974).
Black holes in the early Universe.
105. CarrB.]., Astrophys. Joum., 201, 1A975).
The primordial black holes mass spectrum.
106. Can B.J., Astrophys. Journ., 206, 8 A976).
Some cosmological consequences of primordial black holes evaporation.
107. Chapline G.F., Phys. Rev., D12, 2949 A975).
Hadron physics and primordial black holes.
108. Надвжин Д.К., Новиков И.Д., Полнорвв А.Г.. Препринт ИКИ № 347 A977).
Гидродинамика образования первичных черных дыр.
» 109. Гинзбург В.Л., Фролов В.П., Письма АЖ, 2, 474 A976).
Возможность существования черных дыр малой массы и фундаменталь-
фундаментальная длина.
28
ЛИТЕРАТУРА
ПО.Зельдович Я.Б., Старобинский А. А., Письма ЖЭТФ, 24, 616 A976).
О возможности холодной космологической сингулярности и спектре
первичных черных дыр.
111. ВайнерБ.В., Насельский Л.Д., Письма АЖ, 3, 147 A977).
Наблюдаемые следствия испарения первичных черных дыр малой массы.
112. Зельдович Я.5., Старобинский А.А., Хпопов М.Ю., Чечеткин В.М., Пись-
Письма АЖ, 3, 208 A977).
Первичные черные дыры и проблема дейтерия.
113. Chapline G.F., Nature, 261, 550 A976).
Quarks in the early Universe.
114. Chapline G.F., Nature, 253, 251 A975).
Cosmological effects of primordial black holes.
115. Page D.N., Hawking S.W., Astrophys. Journ., 206, 1 A976).
Gamma rays from primordial black holes.
116. Porter N.A., We ekes T.C., Astrophys. Journ., 212, 224 A977).
An upper limit to the rate of y-ray bursts from primordial black holes
explosions.
117. Rees M.J., Nature, 266, 333 A977).
A better way of searching for black-hole exlosions?
118. Meikle W.P.S., Nature, 269, 41 A977).
Upper limits for the radio pulse emission rate from exploding black holes?
119. Lin D.N.C., Carr B.J., Fall S.M., Mon. Not. Roy. Astr. Soc, 177, 51 A976).
The growth of primordial black holes in a Universe with a stiff equation
of state.
120. Carter В., Gibbons G.W., Lin D.N.C., Perry M.J., Astron. Astrophys., 52,
427A976).
Black holes emission process in the high energy limit.
121. Марков М.А., в сборнике "Труды Международного семинара по теории
элементарных частиц", Варна, 1968, препринт Р2-4О5О ОИЯИ A968).
О возможности космологического подхода к теории элементарных
частиц.
122. Мартов U.A., Preprint 1C/71/33, Trieste, Italy A971).
Cosmology and elementary particles (Lecture notes),
123. Марков U.A., Фролов В.П., ТМФ, 3. 1 A970).
Метрика закрытого мира Фридмана, возмущенная электрическим заря-
зарядом. (К теории электромагнитных "Фридмонов".)
124. Марков М.А., Фролов В.П., ТФМ, 13, 41 A972).
О минимальных размерах частице иОщеи i ыории относительности.
125. Марков М.A., Ann. Phys., 59, 109 A970).
The closed Universe and laws of conservations of electric, baryon and
l'epton chargies.
126. Маркое U.A., Suppl Progr. Theor. Phys., Extra Number, 85 A965).
Can the gravitational field prove essential for the theory of elementary
particles?
29

ЛИТЕРАТУРА
127. Марков U.A., ЖЭТФ, 51, 848 A966).
Элементарные частицы максимально больших масс: кварки, максимоны.
128. Delbugo R., Salem A., Phys. Lett., 40B, 381 A972).
The gravitational correction to PCAC.
129. Бвпввин А. А, Бурпанков R.E., Phys. Lett., 5вА, 7 A976).
The renormalizable theory of gravitation and the Einstein equations.
ISO. Egachi Т., Freund P.G.O., Phys. Rev. Lett., 37, 1251 A976).
Quantum gravity and world topology.
131. Hawking S.W., в сборнике "Proc. of 8th International conference on
General Relativity and Gravitation, Univ. Waterloo, Canada, 1977.
Quantum gravity and path integrals.
132. Hawking S.W., Phys. Lett., 60A, 81 A977).
Gravitational instantons.
.' J ¦
Статья 1
Черные-дыры и их термодинамика
Д. В. Шьяма
Sciama D.W.*, Vistas Astroiu, 19, 385 A976)
Закон возрастания энтропии-второй закон термодинамики-занимает, я
думаю, высшее положение среди других законов природы. Если кто-
нибудь указывает вам, что ваша любимая теория вселенной находится
в несоответствии с уравнениями Масквелла-тем хуже для уравнений
Максвелла. Если обнаруживается, что она противоречит результатам
наблюдения-ничего, экспериментаторы тоже иногда ошибаются. Но
если обнаружится, что ваша теория противоречит второму закону термо-
термодинамики, вам не на что надеяться, вашей теории не остается ничего
другого, как погибнуть в глубочайшем смирении.
А. С. Эддингтон**
1. ВВЕДЕНИЕ
За последние несколько лет сильно возросло наше понимание
теоретических вопросов, связанных с черными дырами, увеличились
также и экспериментальные возможности для их обнаружения. Боль-
Большая часть достижений теории связана с самой теорией гравитации,
т.е. с общей теорией относительности Эйнштейна. Однако среди этих
результатов особое место по достоинству занимают результаты, тес-
тесно связанные с другими разделами физики. К последним относятся
термодинамические свойства черных дыр. Поскольку термодинамика
имеет фундаментальный и универсальный характер в "негравитаци-
"негравитационной" физике, большое научное значение имеет то, что область ее
"Department of Astrophysics, Oxford University.
** Etldington A.S., The Nature of the Physical World, Cambridge University
Press, 1928, p. 74.
, (Q) Pergamon Press, 1976.
© Перевод на русский язык, "Мир", 1978.
31

Д.В. ШЬЯМА
применимости оказывается настолько широкой, что включает в себя
процессы, в которых участвуют черные дыры. По этой причине, а так-
. же из-за важной роли черных дыр для астрономии я посвящаю эту
статью элементарному введению в их термодинамику. При этом термо-
термодинамика предполагается известной читателям, незнакомым с общей
теорией относительности. [Отдельные технические замечания будут
даны в квадратных скобках.! "-
Я надеюсь тем не менее, что эти читатели по крайней мере бег-
бегло просмотрят основные работы, на которых основывается эта ста-
статья. Они тогда обратят внимание на то, с какими предосторожностя-
предосторожностями вводились идеи термодинамики в физику черных дыр. В 1973 г.
было обнаружено, что в определенных отношениях черные дыры ве-
ведут себя так, как будто они обладают температурой и энтропией, но
сначала думали, что эта аналогия с термодинамикой ограниченна.
В частности, считали, что если черная дыра действительно черная
и, следовательно, ничего не излучает, то ее яркостная температура
равняется абсолютному нулю и достижение ею состояния равновесия,
скажем с чернотельным излучением, невозможно. Теперь, огляды-
оглядываясь назад, можно сказать, что если бы в свое время отнеслись
с достаточным доверием к термодинамике, ее могуществу и универ-
универсальности, то могли бы уже тогда предположить, что "черная дыра"
излучает.
Фактически же формулу для квантового излучения черной дыры
получил Стивен Хокинг в 1974 г. в результате вычислений, основан-
основанных на первых принципах. Согласно Хокингу, это излучение имеет
тепловой характер, причем оказалось, что температура излучения
черной дыры в точности совпадает с величиной, которую ранее назы-
называли "аналогом" температуры для черной дыры. Если это открытие
подтвердится более подробными вычислениями!) , оно явится одним
из наиболее важных теоретических открытий, сделанных когда-либо
в физике. В частности, оно позволило бы заполнить пробел в цепи
доказательства, устанавливающего термодинамическое поведение
} Результат, полученный Хокингом, был поедим подтвержден в це-
целом ряде работ, и в настоящее время его опедуат считать надежно установ-
установленным. Более подробное обсуждение вопросов, касающихся аффекта Хо-
кинга, а также ссылки на соответствующие работы содержатся ао вступи-
вступительной статье. — Прим. пер вв.
32
1. ТЕРМОДИНАМИКА ЧЕРНЫХ ДЫР
стационарных черных дыр, и тем самым связать эту область с осталь-
остальными разделами физики. Эту цепочку выводов можно найти в основ-
основных работах [1, 3, 4, 20 - 22, 25], там же содержатся ссылки на
более ранние статьи и диссертации, в которых можно обнаружить
первые намеки на термодинамическое поведение черных дыр.
Замечательной особенностью этого развития является то, что,
как уже было известно в течение долгого времени, термодинамиче-
термодинамические рассмотрения непосредственно не применимы к явлениям, вклю-
включающим ньютоновскую гравитацию. Например, самогравитирующая
система может обладать отрицательной теплоемкостью. Известный
пример этого — движение искусственного спутника в земной атмосфе-
атмосфера 'Из-за действия трения спутник движется по спирали, при-
приближаясь к Земле, и при этом его скорость возрастает. Другими
словами, диссипация при трении может привести к возрастанию кине-
кинетической энергии тела. Другой пример, известный астрономам, —
физическая система, коллапсирующая под действием собственного
притяжения. По мере того как она излучает свою энергию связи на
бесконечность, она все более сжимается и становится при этом го-
горячее. Более того, при определенных условиях этот коллапс может
продолжаться до тех пор, пока не будет достигнута сингулярность,
и в этом случае отсутствует конечное состояние равновесия, для ко-
которого характерны либо минимум подходящим образом определенной
свободной энергии, либо максимум соответствующим образом опре-
определенной энтропии (см. статью Линден-Белла и Вуда [30] и содержа-
содержащиеся в ней ссылки). К счастью, мы увидим, что в случае образова-
образования черной дыры энтропия коллапсирующей системы действительно
стремится к конечному максимальному значению.
План статьи следующий. Во втором разделе мы кратко напом-
напомним те свойства черных дыр, которые потребуются при обсуждении
термодинамики. В частности, отметим необратимый характер пове-
поведения площади поверхности классической черной дыры, которая в раз-
различных динамических процессах является строго возрастающей функ-
функцией времени. Серьезное обсуждение термодинамики начинается в
разд. 3. Рассматривая коэффициент полезного действия тепловой
машины, в которой черная дыра выступает в роли резервуара, погло-
поглощающего тепловую энергию, т.е. "холодильника", мы, следуя Бекен-
штейну [3], вводим термодинамические определения температуры
33

Д.В. ШЬЯМА
1. ТЕРМОДИНАМИКА ЧЕРНЫХ ДЫР
и энтропии для невращающейся черной дыры. Мы увидим, что кванто-
квантовые свойства вещества и излучения играют ключевую, роль в этом
выводе. Принятые определения обеспечивают выполнимость второ-
второго закона термодинамики для этой тепловой машины. В разд. 4 мы
рассмотрим равномерно вращающиеся черные дыры. Вследствие то-
того, что можно превратить кинетическую энергию вращения черных .
дыр в полезную работу вне горизонта, возникают новые термодинами-
термодинамические возможности. Принцип возрастания площади поверхности чер-
черных дыр по-прежнему остается справедливым. В конце разд. 4 обсуж-
обсуждается спонтанное излучение энергии и углового момента вращающей-
вращающейся черной дырой. Этот процесс не является процессом Хокинга; в част-
частности, отношение излучаемой энергии к угловому моменту излучения
именно таково, что обеспечивается принцип возрастания площади.
Впервые мы встретимся с процессом Хокинга в разд. 5. Для вычисле-
вычисления скорости этого процесса необходимо использовать скорее техни-
технические (и еще не вполне противоречивые) доводы, связанные с форма-
формализмом квантовой теории в искривленном (но неквантованном) про-
пространстве-времени. Мы не будем рассматривать здесь эти доводы,
а ограничимся эвристическими соображениями, предполагая, что вы-
вычисление Хокинга дает правильный ответ. Наконец, в разд. 6 попы-
попытаемся собрать вместе все выводы и провозгласим четыре закона
термодинамики черных дыр, следуя идеям, изложенным в работах
[1, 3, 4].
2. ОСНОВНАЯ ИНФОРМАЦИЯ О ЧЕРНЫХ ДУРАХ
Предположим, что читатель знаком о общими астрономическими
основами понятия о черных дырах. Ключевыми моментами являются
следующие:
а) существуют предельные значения ДМ ММО, которыми могут
обладать белые карлики и вейтровше
б) многие звезды в Галактике имею*
восходящие эти предельные маооы;
в) масштаб времени, в течение которого
пывают все свое ядерное горючее н
чительно пре-
преэвоиды исчер-
катастрофи-
катастрофический гравитационный коллапс, короток Ю Ормивмию с воз-
возрастом Галактики.
34
Если такие звезды не сбросят почти все свое вещество, то им угото-
уготована судьба окончить свое существование в виде черных дыр (или,
возможно, в виде голых, т.е. видимых сингулярностей).
Полезно различать с самого начала два свойства черной дыры,
которые иногда путают между собой, а именно, существование
а) поверхности бесконечного красного смещения,
б) горизонта событий.
Путаница возникает потому, что для невращающейся [шварцшильдов-
ской] черной дыры поверхности бесконечного красного смещения и
горизонт событий расположены случайным образом на одном и том же
расстоянии, а именно на радиусе Шварцшильда, равном Rs = 2 GM/c2.
Бесконечное красное смещение испытывает свет от источника, покоя-
покоящегося на шварцшильдовском радиусе. [В статическом пространстве-
времени понятие "покоиться" имеет инвариантный смысл. Простран-
Пространство-время является статически^ если оно допускает существование
нормальногох) времениподобного на бесконечности векторного поля
Киллинга. Пробная частица в подобном пространстве-времени покоит-
покоится, если ее четырехмерная скорость параллельна вектору Киллинга
в точке, где находится частица. Поверхность бесконечного красного
смещения расположена там, где векторы Киллинга становятся свето-
подобными.]
Горизонт событий является внешней границей области, из кото-
которой световые лучи не могут выйти на бесконечность. В статическом
пространстве-времени невращающейся черной дыры горизонт событий
совпадает с цоверхностыо бесконечного красного смещения. Однако
это не так в нестатическом, но стационарном пространстве-времени
равномерно вращающейся черной дыры. В этом случае горизонт собы-
событий везде лежит внутри поверхности бесконечного красного смещения,
1} Векторное попе ^ называется нормальным векторным полем, если
существует такое семейство гиперповерхностей, что в каждой точке век-
вектор $* лишь множителем отличается от вектора нормали к соответствую-
соответствующей гиперповерхности в этой точке. Для того чтобы векторное поле ?» бы-
было нормальным, необходимо и достаточно выполнение следующего условия:
€h d € 1 а 0. Поле 5м называется векторным полем Киплинга, если оно
удовлетворяет уравнению VUSV + V v^ = °' где v u ~ |«>ваРиаитная ПР°-
изводная в соответствующей метрике. Векторы Киллиига являются генера-
генераторами бесконечно малых преобразований симметрии. - Прим. перев.
35

Д.В. ШЬЯМА
за исключением расположенных на оси вращения точек, где эти две
поверхности касаются друг друга. [В статическом пространстве-вре-
пространстве-времени векторное поле Киллинга, времениподобное на бесконечности,
является нормальным; в нестатическом, но стационарном ("вращаю-
("вращающемся") пространстве-времени это не так. В последнем случае по-
поверхность бесконечного красного смещения не является светоподоб-
ной гиперповерхностью и, следовательно, не может быть горизонтом
событий [43].]
Возможно, более удачное название для поверхности бесконечно-
бесконечного красного смещения — "поверхность статического предела", так
как только вне этой поверхности частицы могут находиться в покое
относительно наблюдателя на бесконечности, если только при этом
они располагают достаточно мощными ракетными двигателями. Внут-
Внутри поверхности все частицы вовлекаются во вращение вокруг вращаю-
вращающейся черной дыры.
Область между горизонтом событий и поверхностью статическо-
статического предела вращающейся черной дыры называется зргосферой; назва-
название отражает тот факт, что процессы, происходящие в эргосфере, мо-
могут привести к переносу кинетической энергии вращения черной дыры
к физическим системам, находящимся на произвольно больших рас-
расстояниях. Этот факт был обнаружен Пенроузом 134] и соответствую-
соответствующий процесс теперь называют процессом Пенроуэа. В подобном рас-
рассмотрении используется то, что частица, покоящаяся на поверхности
статического предела, имеет энергию связи, равную «« массе покоя.
Эвристически это можно понять из того, что энергия тела есть вре-
менная компонента ее четырехмерного импульса. Она обращается
в нуль из-за бесконечного растяжения времени, связанного с беско-
бесконечным красным смещением. [Более точно: полная энергия Е тела
(кинетическая энергия минус энергия связи) дается выражением р^'»
где р. - 4-импульс тела и §' - времениподобное на бесконечности
векторное поле Киллинга. Величина Е постоянна вдоль времениподоб-
ной геодезической. Для покоящегося тела р( - ^ и на поверхности
бесконечного красного смещения §{ светоподобно. Следовательно,
на этой поверхности Е обращается в нуль.]
Рассмотрим теперь возможные типы движения пробной частицы,
которая первоначально находилась внутри эргосферы. (Пробной части-
частицей называют частицу, вкладом которой в общее гравитационное поле
36
1. ТЕРМОДИНАМИКА ЧЕРНЫХ ДЫР
можно пренебречь.) В некоторых случаях движение частицы приводит
к тому, что она вылетает из эргосферы во внешний мир. Соответствую-
Соответствующая энергия связи должна быть меньше массы частицы потому, что
только при этом условии частица может двигаться в знакомом нам
мире вне эргосферы. Поскольку полная энергия есть интеграл движе-
движения, данное неравенство выполняется для этих частиц и также внутри
эргосферы, несмотря на то что энергия связи может равняться мас-
массе на ее внешней поверхности. Дело в том, что последнее свойство
имеет место только для покоящихся частиц, в то время как только
частицы, движущиеся в эргосфере в направлении вращения черной
дыры, могут обладать достаточной энергией, чтобы достичь беско-
бесконечности.
По-видимому, не следует удивляться тому, что "вращение про-
пространства-времени" помогает частице улететь на бесконечность. Бо-
Более удивительно то, что для некоторых орбит внутри эргосферы энер-
энергия связи превосходит массу. [Это возможно, потому что внутри
эргосферы вектор Киллинга §' становится пространственноподобным,
следовательно, величина р. §* может стать отрицательной.] Частица
на подобной орбите не может, конечно, вылететь из эргосферы нару-
наружу, на самом деле в конце концов она падает внутрь горизонта собы-
событий. Именно существование подобных орбит приводит к тому, что мо-
может происходить процесс Пенроуза. Для его осуществления требует-
требуется ввести частицу снаружи в эргосферу. После того как она окажет-
окажется внутри эргосферы, надо расщепить ее на две частицы, одна из
которых будет находиться на орбите с "отрицательной энергией".
Освобожденная энергия связи передается другой частице, которая
при этом вылетает из эргосферы, обладая большей энергией, чем
первоначальная падающая частица. Таким образом можно извлекать
энергию из черной дыры, но, как мы увидим, таким образом может
быть извлечена только кинетическая энергия ее вращения.
Нам потребуется рассмотреть еще два других процесса, которые
могут приводить к извлечению кинетической энергии вращения чер-
черной дыры. Первым из них является процесс Пенроуза, в котором
падающая частица заменена волной [45]. Мы предположим, что про-
пространство-время аксиально-симметрично и стационарно. На самом
деле это предположение не является ограничением, поскольку, со-
согласно теореме Хокинга [18, 19] (см. также [23]), стационарная чер-
37

Д.В. ШЬЯМА
ная дыра должна быть либо аксиально-симметричной, либо статиче-
ркой. В последнем случае, очевидно, полностью отсутствует кинети-
кинетическая энергия вращения, которую можно было бы извлекать. Пред-
Предположим также, что падающая волна настолько слаба, что ее влияни-
влиянием на пространство-время можно пренебречь.
Выберем простую падающую волну, зависимость которой от вре-
времени t и азимутального угла ф имеет вид eis>t ешф. Так как про-
пространство-время стационарно и аксиально-симметрично, величины v
и т являются интегралами движения. Если распространение волны
описывается стандартной теорией поля, отношение этих величин
совпадает с отношением энергии и ф-компонентой углового момента
падающей волны. То же замечание справедливо и для рассеянной
волны, и вследствие сохранения энергии и ф-компоненты угдового
момента мы имеем следующее соотношение для черной дыры:
5М
~б7
вн
вн
v
т
Теперь по причине, имеющей фундаментальный характер (она будет
объяснена позднее), потребуем, чтобы
аб/
ВН:
где а - постоянная, которую мы позднее отождествим с угловой
скоростью черной дыры. Отсюда следует, что если бы выполнялось
условие
v ^ am, A)
то имело бы место неравенство
0.
Если черная дыра теряет массу, то рассеянная волна должна обла-
обладать большей энергией, чем падающая. Следовательно, если частота
падающей волны удовлетворяет условию A), то она усиливается чер-
38
1. ТЕРМОДИНАМИКА ЧЕРНЫХ ДЫР
ной дырой1). Это явление Мизнер [31] назвал сверхизлучением; оче-
очевидно, что оно является волновым аналогом процесса Пенроуза 2).
Другой процесс извлечения кинетической энергии вращения из
черной дыры связан с ее гравитационным взаимодействием с мате-
материальной системой, расположенной снаружи эргосферы. Рассмотрим
два предельных случая. В первом случае на большом расстоянии
окружим черную дыру веществом с жестким, но аксиально-несиммет-
аксиально-несимметричным распределением. Простым примером такой системы мог бы
служить большой жесткий кубический остов с черной дырой в центре.
Вследствие вращения черной дыры ее гравитационное поле действу-
действует на остов, который в свою очередь приходит во вращение вокруг
оси черной дыры в том же самом направлении. Но остов аксиально
несимметричен, и при вращении он излучает гравитационные волны.
Эти волны уносят кинетическую энергию вращения остова; часть энер-
энергии поглощается черной дырой, а другую часть можно использовать
для совершения работы во внешнем пространстве-времени. Эта рабо-
работа производится именно за счет кинетической энергии вращения чер-
черной дыры. Процесс продолжается до тех пор, пока не будет использо-
использована вся эта энергия. Черная дыра становится невращающейся в согла-
согласии с теоремой Хокинга, утверждающей, что стационарные черные
дыры являются либо статическими, либо аксиально-симметричными.
В другом предельном случае предположим, что к остову приложе-
приложена соответствующая пара сил, и потому он не вращается: эта пара
сил не совершает работу и остов не излучает гравитационных волн
на бесконечность. Каким образом может удовлетворяться теорема
Хокинга для этой системы? Ответ довольно изящен. Гравитационное
поле остова деформирует горизонт. Деформация не вращается отно-
относительно бесконечности, но вращается относительно горизонта. Во
многих отношениях горизонт имеет свойства, подобные свойствам
[будущей световой] бесконечности, в частности, это относится к рас-
-!) Возможность усиления вопны при отражении от вращающейся черной
дыры была предсказана Зельдовичем [45]. См. также работы [41, 4б]. -
Прим. паров.
2) Мизнер открыл этс явление, изучая волновое уравнение на фоне
пространства-времени черной дыры. Простой метод, приведенный здесь, при-
принадлежит Бекенштейну [Й.
39

Д.В. ШЬЯМА
пространению излучения только в одну сторону [в предположении,
что отсутствует опережающее излучение]. В соответствие с этим де-
деформация горизонта при своем движении излучает гравитационные
волны внутрь горизонта, вследствие чего он замедляет свое вращение,
и снова этот процесс продолжается до тех пор, пока черная дыра не
перестанет вращаться. В этом случае не производится и не потребля-
потребляется никакой свободной энергии вне черной дыры, масса которой,
следовательно, остается неизменной. В данном случае вся кинетиче-
кинетическая энергия вращения превращается в неизвлекаемую массу, нахо-
находящуюся внутри дыры [16].
Это обсуждение, касающееся различных энергетических процес-
процессов, можно сделать более точным, если ввести две новых характе-
характеристики черной дыры: угловую скорость и поверхностную гравитацию.
Оба эти свойства являются обобщениями известных ньютоновских
свойств материи. Чтобы определить угловую скорость, поступим сле-
следующим образом. В одном из наших предыдущих примеров мы видели,
что окружающий вращающуюся черную дыру остов сам приводится
во вращение. Другими словами, на остов действовала гравитационная
пара сил. Значение этой пары сил зависит от угловой скорости и осто-
остова и исчезает при определенном выборе (wQ) величины со. Угловая
скорость <в0 связана с "увлечением инерциальных систем отсчета"
[эффект Ленссе - Тирринга]. Значение ее возрастает при приближе-
приближении к дыре, и ее величина на горизонте называется угловой скорос-
скоростью Q самой черной дыры. Это определение особенно важно потому,
что, как показал Картер [8], угловая скорость стационарной черной
дыры одинакова во всех точках ее горизонта, другими словами, ста-
стационарная черная дыра вращается как твердое тело.
Поверхностная гравитация черной дыры тесно связана с ускоре-
ускорением пробной частицы, которая находится близко к горизонту и име-
имеет ту же самую угловую скорость, что и черная дыра. Если 4-вектор
ускорения определен в терминах собственного времени, то его дли-
длина расходится при приближении таких пробных вращающихся частиц
все ближе и ближе к горизонту. Однако если бы вместо этого мы ис-
использовали координатное время [причем это время определили бы
в соответствии со свойством стационарности черной дыры], то полу-
получили бы конечную величину, значение которой на горизонте называет-
называется поверхностной гравитацией к черной дыры. Эта величина облада-
40
1. ТЕРМОДИНАМИКА ЧЕРНЫХ ДЫР
ет тем же свойством, что и угловая скорость, а именно, она постоян-
постоянна на горизонте стационарной черной дыры [1].
Одним из преимуществ введения угловой скорости и поверхност-
поверхностной гравитации черной дыры является то, что они изящным образом
входят в соотношение для разности масс 6 М двух стационарных ак-
аксиально-симметричных черных дыр, для которых (малая) разность пло-
площадей поверхностей горизонтов равна ЬА, а разность их угловых
моментов —6/. Это соотношение было выведено в работе [1] и имеет
вид
5М = — 5 A + Q5J.
8тг
B)
Здесь второй член можно интерпретировать как работу, совершенную
над черной дырой при изменении ее углового момента на 6 /. Этот
член имеет тот же вид, что и соответствующая величина в ньютонов-
ньютоновской механике твердого тела [29]. Первый член, очевидно, имеет
другой смысл; в частности, его нельзя интерпретировать как совер-
совершенную работу. Причина этого состоит в том, что в то время как 6/
может быть как положительной, так и отрицательной величиной (т.е.
можно как увеличивать, так и уменьшать угловой момент черной ды-
дыры), имеются свидетельства в пользу того, что при внешних воздей-
воздействиях SA может быть только положительной (или нулевой) величиной.
Этот "закон" о возрастании площади поверхности является край-
крайне важным в физике черных дыр. Впервые его выполнимость предпо-
предположили Пенроуз и Флойд [35], которые обратили внимание на то, что
в процессе Пенроуза площадь поверхности [керровской] черной дыры
возрастает или в предельных случаях остается неизменной. Она ни-
никогда не уменьшается. Подобным образом Кристодулу [12] заметил,
что при захвате [керровской] черной дырой частицы определенная
величина, которую он назвал неприводимой массой черной дыры, ни-
никогда не убывает. Эта величина пропорциональна квадратному корню
из площади поверхности черной дыры.
Мы обязаны Хокингу [18] за очень общий и мощный вывод, ка-
касающийся "закона возрастания площади поверхности". Этот вывод
Хокинга нельзя назвать доказательством, потому что он существен-
существенно зависит от одной недоказанной гипотезы, важность которой впер-
впервые отметил Пенроуз [34], - это так называемая гипотеза косми-
космической цензуры, которая, грубо говоря, состоит в том, что всякий
41

Д.В. ШЬЯМА
раз, когда происходит гравитационный коллапс звезды, приводящей
к появлению сингулярности, эта сингулярность всегда скрыта гори-
горизонтом событий от внешнего мира. Далее мы знаем, что в процессе
гравитационного коллапса всегда образуется сингулярность, если
выполняется определенное предположение о положительности эн?Ргии
материи [24]15. Это предположение о положительности энергии еыпол-
няется для всех реальных форм классической (т.е. неквантованвой)
материи. В соответствие с этим процесс гравитационного коллаИса
классической звезды всегда приводит к сингулярности, и если сИРа"
ведлив принцип космической цензуры, то образуется черная дыр^-
Результат Хокинга состоит в том, что если справедливы предпоЛ°же"
ния о космической цензуре и положительности энергии, то площ&Дь
поверхности черной дыры должна возрастать при любом нестац#онаР~
ном процессе.
Но .справедлива ли гипотеза космической цензуры? Это является
наиболее важной нерешенной проблемой классической общей теории
относительности. Как мы уже упомянули, имеются отдельные р#3Уль"
таты, свидетельствующие в ее пользу. В самом деле, в каждом спе"
циальном исследованном случае, эта гипотеза оказывалась
ливой, если об уравнении состояния вещества коллапсирующей
ды делались реалистические предположения (следует также име1"ь
в виду возможность столкновения черных дыр в пустом простра#стве)-
Этот аргумент не очень хорош, потому что вполне может оказат1>ся>
что голые сингулярности встречаются только в сложных процессах,
которые было бы очень трудно изучить в деталях. Поэтому важнейшей
проблемой классической общей теории относительности остается Д°~
казательство или опровержение гипотезы космической цензуры и
вместе с ней закона о возрастании площади поверхности. Именно
этот закон дает нам "фундаментальное основание" для требования
выполнимости неравенства 5МВН > Q5/BH, которым мы воспоЛ*»30"
вались при выводе явления сверхиэлучения.
Нам остается еще сделать ряд последних замечаний о чернь*х
дырах, прежде чем мы перейдем к обсуждению их термодинамик*1»
15 Строго говоря, для выполнения теоремы о сингулярности требуется>
чтобы выполнялись также еще некоторые другие условия. На практике ока"
зывается, что они всегда выполняются, так что основным предположением
является предположение о справедливости энергетического условия.
42
1, ТЕРМОДИНАМИКА ЧЕРНЫХ ДЫР
в частности потому, что они помогут сделать наши предыдущие за-
замечания более конкретными. Мы подчеркивали, какую важную роль
играют стационарные черные дыры, но до сих пор не рассмотрели
вопрос о том, сколько параметров требуется для. полного описания
стационарной черной дыры. Оказывается, что обсуждение можно сде-
сделать гораздо более Конкретным в силу выполнимости некоторых мощ-
мощных теорем единственности, которые справедливы, если можно пре-
пренебречь гравитационным полем вещества, расположенного вне гори-
горизонта событий. В течение ряда лет в литературе ссылались на эти
теоремы как на гипотезу Израэля — Картера, однако недавно, нако-
наконец, они были доказаны [9, 10, 18, 39]. На самом деле первая теоре-
теорема такого рода была доказана еще в 1967 г. в важной работе Израэ-
Израэля [26]. Теорема устанавливает, что всякое пустое статическое
пространство с регулярным горизонтом событий должно описывать-
описываться геометрией Шварцшильда (а значит, являться, в частности, сфе-
сферически-симметричным и зависеть только от массы черной дырыI5.
Во второй своей важной работе [27] Израэль доказал, что если про-
пространство-время не содержит вещество, но содержит статическое
электромагнитное поле, то статическая черная дыра должна быть за-
заряженным аналогом шварцшильдовской дыры [т.е., рейсснер-норд-
стремовской черной дырой] или, если допустить существование маг-
магнитных монополей, — ее соответствующей модификацией.
После этого различными учеными была высказана гипотеза, что
пустое стационарное пространство-время с регулярным горизонтом
событий должно быть частным решением полевых уравнений Эйнштей-
Эйнштейна, которое нашел Рой Керр в 1963 г. Это решение представляет
собой пространство-время, связанное с вращающейся черной дырой.
Оно аксиально-симметрично и зависит только от двух параметров,
а именно от массы М и углового момента / черной дыры. Эту гипо-
гипотезу доказал Картер [9, 10] для стационарной черной дыры в ваку-
вакууме в предположении,. что она аксиально-симметрична и ее можно
непрерывным образом деформировать в невращающуюся дыру. Затем
появилась теорема Хокинга [18], на которую мы уже ссылались (ста-
(стационарная черная дыра либо статична, либо аксиально-симметрична),
15 Доказательство израэля опиралось на некоторые предположения
технического характера, необходимость в которых была позднее устране-
устранена [32].
43

Д.В. ШЬЯМА
которая позволила отбросить предположение об аксиальной симмет-
симметрии. Еще позднее Робинсон [39] доказал, что не нужно дополнитель-
дополнительно предполагать, что черная дыра допускает непрерывную деформа-
деформацию в невращающуюся дыру. Кроме того, Робинсон [38] и Бозе и
Ванг [5] доказали, что при наличии электромагнитного поля един-
единственно возможным является заряженный аналог решения Керра
(а именно, решение Керра — Ньюмена [33]).
Чтобы лучше разобраться в том, почему имеют место эти тео-
теоремы единственности, рассмотрим сходную проблему о решении вол-
волнового уравнения для негравитационного возмущения, распростра-
распространяющегося в пространстве-времени черной дыры. В пределе, когда
возмущение является статическим, не существует нетривиального
несингулярного решения, если только источник возмущения не удов-
удовлетворяет закону сохранения. В последнем случае вне горизонта
имеется возмущение, связанное с сохраняющейся частью источника.
Например, скалярное поле, которое не имеет сохраняющихся источ-
источников, не может быть статическим и удовлетворять регулярным гра-
граничным условиям на бесконечности и на горизонте [11, 36, 37], если
только, что тривиально, оно не постоянно. Напротив, векторное по-
поле с нулевой массой покоя (например, электромагнитное поле) может
иметь сохраняющийся источник (например, электрический заряд).
В этом случае отличный от нуля сохраняющийся источник внутри
горизонта порождает регулярное статическое поле вне его. В част-
частности, кулоновское поле электрического заряда может проникнуть
через горизонт, а статическое поле электрического дипольного мо-
момента (который, очевидно, не сохраняется) через горизонт проник-
проникнуть не может.
Физическая причина подобного поведения — это то, что статиче-
статическое поле, связанное с сохраняющимся источником, распространяет-
распространяется мгновенно, в то время как остальное поле распространяется со
скоростью, которая определяется волновым уравнением поля. Если
выразиться более математически, то дело сводится к тому, что по-
полевое уравнение, связанное с сохраняющимся источником, является
эллиптическим (например, div Е = р, div H = 0), в то время как остав-
оставшиеся полевые уравнения - гиперболическими (например, оставшиеся
уравнения Максвелла). С этим различием связано существование тео-
теоремы типа теоремы Гаусса, связывающей поверхностный интеграл
44
1
1. ТЕРМОДИНАМИКА ЧЕРНЫХ ДЫР
от поля, вычисленный в один момент времени, с полным сохраняю-
сохраняющимся источником внутри алой поверхности, вычисленным в тот же
самый момент времени (например, fE-dS* fpdV). Следовательно,
горизонт черной дыры можно рассматривать как фильтр, который пол-
полностью препятствует распространению волны изнутри наружу, но не
действует на мгновенное статическое поле, связанное с сохраняю-
сохраняющейся частью источника. Последняя должна оставаться отличной от
нуля вне горизонта, для того чтобы теорема Гаусса была выполнена1'.
Данные соображения переносятся на случай самого гравитацион-
гравитационного поля. В этом случае возникает дополнительное усложнение, а
именно, полевые уравнения Эйнштейна можно рассматривать как вол-
волновое уравнение для тензора потенциала g.. второго ранга, распро-
распространяющегося на фоне искривленного пространства-времени, геомет-
геометрия которого также определяется тензорным полем g.. , выступаю-
выступающим теперь в роли метрики. Несмотря на это усложнение, можно
считать, что горизонт черной дыры отфильтровывает распространяю-
распространяющуюся часть гравитационного поля. Сохраняющимися величинами в
данном случае являются энергия-импульс и угловой .момент, и поэто-
поэтому не следует удивляться тому, что пространство-время вне стацио-
стационарной черной дыры полностью определяется ее массой и угловым
моментом; информация о более высоких моментах распределения
энергии и импульса внутри горизонта полностью отфильтровывается.
Очень полезно располагать этими единственно возможными для
стационарных черных дыр решениями, так как их свойства можно
подробно изучить. Они важны также с точки зрения физики, посколь-
поскольку естественно ожидать, что пространство-время вне звезды, коллапс
которой приводит к образованию черной дыры, быстро достигает ста-
стационарного состояния. Это ожидание подтверждено некоторыми вы-
выполненными ранее расчетами коллапса (например, для звезды, перво-
первоначальная внешняя метрика которой мало отличается от решения
15 Следует отнестись с известной осторожностью к приведенным выше
рассуждениям автора. В самом деле, в случае, например, массивного век-
векторного поля /4 соответствующий ток /м, порождающий это лоле, удовлет-
удовлетворяет закону сохранения у М<= О, а компонента поля \ лрг заданных
значениях А. и А{ удовлетворяет эллиптическому уравнению. Однако тем
не менее у черной дыры отсутствуют "волосы" векторного массивного по-
' ля. — Прим. лерев.
45

Д.В. ШЬЯМА
Шварцшильда [36, 37]). При обсуждении термодинамики, полезно иметь
под рукой выражения для угловой скорости Q, поверхностной грави-
гравитации к и площади поверхности А керровской черной дыры через ее
массу и угловой момент. Если использовать единицы, в которых
G = с = 1, то эти выражения имеют вид
Q =
(
= (If* - /a)Vl2Af (M* + (If* - /У')},
C)
D)
Для дальнейшего особенно важно отметить, что
к-0 при /-М2.
На самом деле, если / > Ыа, то керровская метрика по-прежнему
представляет собой решение полевых уравнений Эйнштейна в пустоте,
но она больше не обладает горизонтом событий» Внутренняя сингу-
сингулярность этого решения "голая", и черная дыра отсутствует* Следо-
Следовательно, если справедлива гипотеза космической цензуры, то не-
невозможно "раскрутить " керровскую черную дыру так, чтобы ее угло-
угловой момент превысил квадрат ее массы15. До сих пор все попытки
придумать мысленный эксперимент, в результате которого удалось
бы "раскрутить ' черную дыру до такого состояния, терпели пораже-
поражение, причем керровская черная дыра просто не принимает вещество
или электромагнитное излучение, угловой момент которого на едини-
единицу массы слишком велик. С этим вопросом связан, как мы увидим,
один из четырёх законов термодинамики черных дыр.
3. ТЕРМОДИНАМИКА НЕВРАЩАЮЩИХСЯ ЧЕРНЫХ ДЫР
Существуют много различных способов введения термодинами-
термодинамических понятий в физику черных дыр, и проницательный читатель уже,
наверное, обратил внимание на некоторые намеки, сделанные в этом
направлении при обсуждениях в предыдущем разделе. Вероятно, про-
простейший подход - это рассмотрение коэффициента полезного дей-
действия тепловой машины, в которой роль холодильника играет невра-
^Интересно отметить, что для Солнца / ~ М2. Что происходит при
коллапсе подобных тел в рамках общей теории относительности не ясно да-
даже качественно.
46
1. ТЕРМОДИНАМИКА ЧЕРНЫХ ДЫР
вдающаяся черная дыра. Следуя Бекенштейну [2, 3], мы выберем в
качестве рабочего тела ящик, содержащий чернотельное излучение
при температуре Т. Чтобы привести тепловую машину в действие,
будем медленно опускать ящик до тех пор, пока он не приблизится
к горизонту, при этом будет совершаться некоторая работа. Затем
ящик откроем и позволим чернотельному излучению упасть на черную
дыру. Снова закроем .ящик и медленно возвратим его в исходную
позицию. Так как теперь ящик стал легче, то потребуется совершить
меньшую работу, чем ящик совершил при своем опускании. В резуль-
результате этого цикла за счет переноса некоторого количества тепла хо-
холодильнику получается некоторый выигрыш в работе.
Найдем теперь коэффициент полезного действия этой тепловой
машины. Так как ящик опускается медленно, можно пренебречь его
гравитационным излучением и предположить, что вся освобожденная
энергия связи превращается в работу, совершаемую около точки за-
закрепления веревки, поддерживающей ящик. Если бы ящик действи-
действительно достиг гбризонта черной дыры, то, как мы видели в предыду-
предыдущем разделе, освобожденная энергия связи в точности совпала бы
с его массой покоя. Однако мы хотим, чтобы ящик можно было воз-
возвратить обратно, поэтому мы должны быть уверены, что он не пере-
пересекает горизонт, так как в противном случае он оказался бы втянут
внутрь черной дыры. Поэтому мы остановим спуск в тот момент,
когда центр ящика находится на расстоянии порядка d над горизон-
горизонтом, где d — средний размер ящика1'. Энергия связи ящика в этом
случае меньше его массы покоя на величину ma.d (при условии, что
v.d « са), где т — масса ящика, а к - поверхностная гравитация
черной дыры, вычисленная на горизонте. Следовательно, работа,
совершенная над веревкой и механизмом ее поддержки, равна т{\— к«0-
Для невращающейся черной дыры ньютоновская оценка для к дает
величину GM/R2, где М — масса черной дыры, a R - радиус гори-
горизонта. Полагая R = 2 GM/c2, получаем
к =ca/4GM = I/AM
х)Если мы предположим, что материал, из которого сделана веревка,
удовлетворяет энергетическому условию, а в остальных отношениях явля-
является идеальным, то, для того чтобы веревка не оборвалась, должно выпол-
выполняться условие d > |(е2 - 1)-1 • радиус Шварцшильда) [15].
47

Д.В. ШЬЯМА
в гравитационных единицах (G = с = 1). Этот результат справедлив
также и в общей теории относительности [ср. с уравнением D) при
/ = 0].
Пусть теперь черная дыра поглотит часть излучения ящика,
после этого медленно возвратим ящик обратно в исходное положение.
Если масса, которая соответствует энергии излучения, поглощенной
черной дырой, равна б га, то работа, совершаемая механизмом под-
поддержки при возвращении ящика, равна (га - бга)A - к«0« Чистый
выигрыш энергии при этом равен бтA — xd). Он получен за счет
передачи холодильнику количества тепла, равного 5т. Следователь-
Следовательно, коэффициент полезного действия г\ нашей тепловой машины (от-
(отношения совершенной работы к затраченному количеству тепла) равен
ц-1-Kd.
Чтобы получить наибольший коэффициент полезного действия, мы
должны сделать размер d ящика минимально возможным. Здесь мы
подходим к ключевому моменту в рассуждении, впервые отмеченно-
отмеченному Бекенштейном [3]. Если ящик содержит чернотельное излучение
при равновесной температуре Т, то имеется кванмовомеханическое
ограничение на минимально допустимые размеры ящика. Во избежа-
избежание больших флуктуации, которые не позволили бы нам непосредствен-
непосредственно применять термодинамику, размеры ящика должны быть достаточ-
достаточно велики, чтобы в нем "уместились" те длины волн, в которых заклю-
заключена большая часть энергии излучения. Другими словами,
где, согласно закону смещения Вина, р ~ АД1'. Следовательно,
Теперь мы можем попытаться провести сравнение с термодинамикой.
Если наш цикл можно рассматривать как цикл Карно, то второй за-
закон термодинамики требует, чтобы коэффициент полезного действия
удовлетворял неравенству
'это условие для <* является более ограничительным, чем условие
приведенное в предыдущем примечании, если только Т < Це2 — 1)р]/[2М
Мы будем считать, что это неравенство выполнено.
46
1. ТЕРМОДИНАМИКА ЧЕРНЫХ ДЫР
!-¦
холодильника
нагревателя
причем равенство возможно только в предельном случае обратимого
преобразования. Таким образом, мы приходим к тому, что черной ды-
дыре можно приписать термодинамическую температуру Гв„, опреде-
определяемую формулой
Г„„ = рк = р/4М. E)
Рассуждая так, нельзя определить точное значение коэффициента р.
Позднее (в разд. 5) мы приведем другой вывод, основанный на кван-
квантовой механике, который позволит определить значение этого коэф-
коэффициента.
Поразительная особенность соотношения E) состоит в том, что
при увеличении массы (энергии) черной дыры она не нагревается,1
а остывает. Однако этому не следует удивляться, потому что, как
мы видели во введении, самогравитирующая система в ньютоновскЬй
теории ведет себя точно так же. Используя приведенную выше оцен1,
ку для коэффициента р, имеем i
т
вн
м
к.
Таким образом, черная дыра с массой, равной массе Солнца, имела
бы очень низкую температуру, но, скажем, для дыры с массой 1016
соответствующая температура Т порядка 101а Кили АГ~100 МэВ.
(Это замечание окажется важным позднее.) Однако для того чтобы
была применима простая теория, основанная на первом приближении,
мы должны еще удовлетворить неравенству v.d « 1. Для этого тре-
требуется, чтобы выполнялось соотношение Гвн « Т, которое не проти-
противоречит неравенству Т < (в2 - 1) р/4М (см. примечание на стр. 48),
Теперь, поскольку, используя второй закон термодинамики, мы
смогли получить выражение для температуры черной дыры, нам хо-
хотелось бы проделать то же самое для ее энтропии. Действительно,
так как перенос чернотельного излучения есть чистый перенос тепла
без совершения работы, можно утверждать, что потеря энтропии ящи-
ящиком равна бга/Г, в то время как энтропия, полученная черной дырой,
равна бМпи/Гоц. Чтобы вычислить 5МПП, заметим, что чистый
49

Д.В. ШЬЯМА
•выигрыш энергии за один цикл равен гаA — a.d), в то время как по-
потеря массы рабочего тела составляет 5т. Следовательно, эффектив-
эффективная потеря массы рабочего тела равна бгок</ и она должна равнять-
равняться массе 5МВН, полученной холодильником. Таким образом,
5т xd
5S
ВН
'ВН
Убедимся, что наш цикл Карно действительно приводит к возрастанию
энтропии. Мы имеем
d 5m
5SBH " Т 5т > ~ = ?
Следовательно, черная дыра в самом деле приобретает больше энтро-
энтропии, чем теряет ящик.
Величина 6SBH не зависит от параметров
, р BH
черней дыры, но если записать ее в виде D/р) М
ч йри Ш « М
6М
что
«
ВН
5S
ВН
8тф
U
ВН
то видно,
F)
Лвн — площадь поверхности горизонта событий (т.е. 16 -пМ|„ ,
шварцшильдовской черной дырыI}. Таким образом, мы приходим
тому, что для полной энтропии SBH черной дыры можно написать
1вдующее выражение:
1
'ВН
'вн •
(предполагая, что SBH = 0 при А„„ = 0); другими словами, энтро-
энтропия (стационарной) черной дыры пропорциональна площади поверхнос-
поверхности ее горизонта.
Чему равен численный коэффициент в этом соотношении? Если
в качестве значения р подставить t/k и вернуться к негравитацион-
негравитационной системе единиц, то получим
S - ЛвН !:
ВН ~К
Р
0Уравнение F) немедленно вытекает из B) при к = ^ВН/Р и 6/ = о.
50
1
1. ТЕРМОДИНАМИКА ЧЕРНЫХ ДЫР
где L - планковская длина (й G/c 3)/г -1,6- Ю"88 см. В единицах СГС
соотношение имеет вид
SRH -(Ю48 эрг/град.см2) А
ВН'
Например, энтропия черной дыры солнечной массы была бы около
1060 эрг/град (в то время как энтропия реального Солнца порядка
1042 эрг/град). Бекенштейн указал, что эту разницу можно понять
в рамках информационного подхода к термодинамике [6]. В процессе
образования невращающейся черной дыры полностью теряется вся
информация о находящихся в ней частицах за исключением той инфор-
информации, которая касается их полной массы. Эта потеря информации
соответствует возрастанию энтропии и при этом — максимально воз-
возможному возрастанию, поскольку, как мы уже видели в разд. 2, ин-
информация о полной массе всегда доступна для внешнего наблюдате-
наблюдателя (эта полная масса связана с поверхностным интегралом на беско-
бесконечности типа интеграла, появляющегося в теореме Гаусса). Суще-
Существование максимума энтропии разрешает парадокс ньютоновской,
теории, состоящий в том, что коллапсирующая система не имеет ко-
конечного состояния равновесия, характеризуемого максимумом эн-\
тропии.
Бекенштейн привел ряд интересных приложений идеи о том, что
энтропия черной дыры пропорциональна площади ее поверхности. Mbi
обсудим здесь два из них. Первое приложение - другой вывод оцен- \
ки для константы пропорциональности 1/8 тт|3, который использует 1
теорию информации. Он основывается на том, что при падении элемен-
элементарной частицы в черную дыру теряется определенная информация. 1
Необходимо выяснить, как возрастает площадь поверхности в этом
процессе. Возрастание площади поверхности в рассмотренном нами
цикле Карно равнялось 8 -nbmd. Бекенштейн, используя два добавоч-
добавочных агрумента, в довольно общем виде показал, что это выражение \
дает нижний предел для возрастания площади поверхности в случае, I
когда черная дыра поглощает тело массы 8т и размером d. В пер- \
вом случае он вычислил минимум энергии, соответствующей орбите, \
которая имеет прицельный параметр d относительно горизонта чер-
черной дыры. *>га энергия дает минимум возрастания массы черной ды-
дыры в результате прямого захвата массы 6 т. Соответствующий ми-
минимум возрастания площади поверхности снова оказался равным
51

Д.В. ШЬЯМА
8 ттб md. Второй вывод Бекенштейна является довольно общим. Он
состоит в непосредственном решении задачи о возрастании площади
поверхности с использованием полевых уравнений Эйнштейна, в ре-
результате чего удается связать геометрические свойства световых
образующих горизонта с тензором энергии-импульса физической
системы, которая поглощается черной дырой. И снова Бекенштейн
получил нижний предел возрастания площади поверхности равный
8 ттбга</.
Далее, в качестве d для элементарной частицы естественно вы-
выбрать величину порядка ее комптоновского радиуса h /Ътс. Для ми-
минимума возрастания площади поверхности мы получаем тогда вели-
величину порядка 8 тгй. При попадании частицы в черную дыру это возрас-
возрастание площади поверхности (энтропии) должно скомпенсировать поте-
потерю "одного бита" информации, вызванную потерей возможности для
наблюдателя во внешнем мире идентифицировать ее. Энтропия, свя-
связанная с одним битом, имеет порядок единицы (в единицах постоянной
Больцмана к). Следовательно,
к
6S
вн
¦ 5А
ВН
что/совпадает с полученным ранее соотношением F).
/ Второе приложение возникает при сравнении современной энтро-
энтропии Солнца с энтропией, которую оно имело бы, если бы сколлапси-
рорало в черную дыру (мы на время пренебрегаем вращением Солнца),
Щк мы видели, коллапс связан с огромной диссипацией, причем воз-
возрастание энтропии характеризуется фактором ~1018. Однако энтро-
энтропия горячего макроскопического тела, подобного звезде, примерно
опорциональна числу содержащихся в нем нуклонов и, следователь-
, его массе. В отличие от этого, энтропия черной дыры пропорцио-
ьна площади поверхности и, следовательно, квадрату ее массы.
!ледовательно, отношение энтропии черной дыры к макроскопической
энтропии пропорционально массе тела. Бекенштейн задал следующий
интересный вопрос: "Для какой массы это отношение равно единице?"
Другими словами, для какой массы не происходит диссипации, связан-
связанной с образованием черной дыры из нагретого макроскопического те-
тела? Из нашего рассмотрения следует, что эта масса имеет поря-
порядок 10-18Мт, или ~1015г.
52
1. ТЕРМОДИНАМИКА ЧЕРНЫХ ДЫР
Очевидно, что масса этого порядка должна привлечь к себе су-
существенный интерес. Во-первых, как указал Бекенштейн, черные ды-
дыры меньшей массы не могли бы спонтанно образовываться при кол-
коллапсе горячего макроскопического объекта, так как если где-либо
в системе не происходит возрастания энтропии на соответствующую
величину, то этот процесс приводил бы к уменьшению энтропии. Во-
вторых, шварцшильдовский радиус, отвечающий массе 101в г, име-
имеет порядок комптоновского радиуса элементарной частицы
(t/moc ~ 103 см). Это снова указывает на то, что было бы трудно
сжать вещество в черную дыру с массой, меньшей чем 1016 г. В-треть-
В-третьих, число нуклонов, содержащихся в массе 1015 г, порядка 1089. Это
именно то число, которое, как может заметить читатель, связано
с известным и загадочным совпадением между определенными без-
безразмерными отношениями фундаментальных постоянных физики микро-
микромира и космологии [40]. В самом деле, это число совпадает с отно-
отношением радиуса Вселенной к комптоновскому радиусу элементарной
частицы, а также- с отношением электростатической и гравитационной
сил между электроном и протоном.
Черная дыра с массой 101б г обладает еще одной важной особен-
особенностью. Если спины всех 1039 элементарных частиц, находящихся
внутри нее, были бы направлены параллельно, то черная дыра облада-
обладала бы столь большим моментом, что ее геометрия описывалась бы
решением Керра с максимальным вращением / ~ М2. В менее мас-
массивной черной дыре все спины ее элементарных частиц не могли бы
быть выстроены параллельно, так как это привело бы к неравенству
/ > М2, невозможному для стационарной черной дыры. Заметим, на-
наконец, еще одно совпадение: период полураспада черной дыры с мас-
массой 101б г в результате процесса Хокинга, описанного в разд. 5, име-
имеет порядок возраста Вселенной. Читателю, возможно, будет приятно
развлечься подсчетом числа независимых совпадений, связанных
с черной дырой, обладающей массой 1016 г.
4. ТЕРМОДИНАМИКА ВРАЩАЮЩИХСЯ ЧЕРНЫХ ДЫР
При переходе к рассмотрению вращающихся черных дыр возни-
возникают новые термодинамические возможности, связанные с тем, что
как мы уже видели, можно извлекать из них часть их кинетической
' энергии вращения. Возникает вопрос о коэффициенте полезного дей-
53

Д.В. ШЬЯМА
ствия этого процесса. Конечно, возможно также и увеличение их ки-
кинетической энергии вращения. Эти процессы связаны с совершением
работы, сопровождаемой, возможно, переносом тепла. Отличие меж-
между работой и теплом, столь известное в традиционной термодинами-
термодинамике, в нашем случае формально проявляется в соотношении B), а
именно
5М
8тг
SA + Q5J.
Можно сравнить это выражение с ньютоновской формулой для изме-
изменения внутренней энергии системы жестко вращающихся тел [29]:
б? = T5S + Q5J.
Здесь член Й6/ описывает совершаемую работу, в то время как T5S
описывает перенос тепла. В случае черной дыры, Q5/, по-видимому,
снова описывает совершаемую работу, и поэтому естественно попы-
попытаться отождествить кбЛ/8тт с переносом тепла. Если бы мы мог-
могли это сделать, то имели бы возможность назвать C к температу-
температурой вращающейся черной дыры, а Л/8тф - ее энтропией.
Эта терминология хорошо согласовывалась бы с тем фактом, ко-
который уже, обсуждался в разд. 2, а именно: что можно установить,
какая часть кинетической энергии вращения черной дыры пригодна
для совершения работы вне горизонта и какая часть переходит в чер-
черную дыру в такой форме, что эту энергию уже больше нельзя извлечь
обратно. Мы приводили примеры как таких случаев, когда можно ис-
использовать для совершения работы практически всю кинетическую
энергию вращения, так и таких случаев, когда это невозможно. На
термодинамическом языке эти различные случаи можно охарактери-
охарактеризовать коэффициентом полезного действия процесса извлечения
энергии.
Однако решающим свойством вращающихся черных дыр, которое
позволило бы нам оправдать нашу терминологию, если ее вообще
можно строго доказать, является'закон возрастания площади поверх-
поверхности черной дыры при ее взаимодействиях с окружающим миром.
Именно этот закон, действительно, заставляет нас считать, что
член (к 6 Л/8 тт) описывает тепло, а не работу, и поэтому является
мерой диссипации. Используя дальше терминологию, взятую из термо-
термодинамики, мы могли бы назвать процесс изменения кинетической
54
1. ТЕРМОДИНАМИКА ЧЕРНЫХ ДЫР
энергии вращения черной дыры обратимым, в то время как процесс,
приводящий к изменению площади ее поверхности, был бы необратимым.
Из приведенного выше рассмотрения не следует делать вывод,
что никакую часть тепла, заключенного в черной дыре, нельзя исполь-
использовать для совершения работы. Как отметил Бекенштейн, здесь си-
ситуация совершенно такая же, как в обычной термодинамике. Там
одиночная система в состоянии теплового равновесия не может со-
совершать работу, однако две системы, каждая из которых по отдель-
отдельности находится в равновесии, но температуры которых различны,
можно заставить совершать работу. В случае черной дыры нельзя
совершить работу путем извлечения части массы невращающейся
черной дыры, но если имеются две почти стационарные черные дыры,
находящиеся на большом расстоянии друг от друга, то при их грави-
гравитационном взаимодействии может быть совершена определенная ра-
работа. Предельный случай — это ситуация, когда две черные дыры па-
падают друг на друга и, если справедлив принцип космической цензу-
цензуры, сливаются, образуя одну черную дыру. В этом процессе черные
дыры излучали бы гравитационные волны, которые можно было бы
использовать для совершения работы. Правда, величина этой рабо-
работы оказывается ограниченной принципом возрастания площади по-
поверхности. В простейшем случае, когда две невращающиеся черные
дыры, масса каждой из которых равна Мi, сливаются в одну с мас-
массой М,, закон возрастания площади поверхности приводит к не-
неравенству
U2f > 2 Iff-
Следовательно, только часть энергии, меньшая чем B — \/И) М(,
может превратиться в гравитационное излучение и использоваться
для совершения полезной работы [17].
Теперь следует рассмотреть вопрос о том, каким образом повлия-
повлияет на наше рассмотрение открытие Хокинга, состоящее в том, что
черные дыры вследствие квантовомеханических лроцессов излучают.
Это открытие мы рассмотрим в следующем разделе. Однако уже здесь
им нельзя пренебречь, поскольку процесс Хокинга может привести
К уменьшению площади поверхности черной дыры. Каким образом
может повлиять этот эффект на наш предшествующий вывод, в кото-
котором, чтобы оправдать возможность рассмотрения величины к 6Л/8 тт
55

Д. В. ШЬЙМА
как члена, описывающего перенос тепла, мы использовали принцип
возрастания площади поверхности?
Не исключено, что этот вывод только получит дополнительное
подтверждение. Дело в том, что излучение вне горизонта, возникаю-
возникающее в результате процесса Хокинга, имеет тепловой спектр с тем-
температурой, пропорциональной поверхностной гравитации к. Другими
словами, уменьшение площади поверхности черной дыры обязатель-
обязательно связано с выделением тепла. Таким образом, аналогия с термо-
термодинамикой обычного нагретого тела является полной, и ничто не ме-
мешает нам рассматривать к 5А/9 тг как член, описывающий перенос
тепла.
Чтобы войти в круг идей, лежащих в основе процесса Хокинга,
рассмотрим тесно связанный с ним процесс, также имеющий квантово-
механическую природу, но который, однако, согласуется с принципом
возрастания площади поверхности. Соответствующий вывод начнем
с рассмотрения явления сверхизлучения, которое мы уже обсуждали
в разд. 2. С точки зрения квантовой механики падающие и выходящие
волны можно рассматривать как поток частиц, рассеиваемый вращаю-
вращающейся черной дырой. Квантовомеханическим аналогом сверхизлучения
представляется в этом случае индуцированное излучение. Напомним,
что с точки зрения квантовой механики в системе, состоящей из ато-
атомов и фотонов, не может установиться термодинамическое равнове-
равновесие, если только возбужденный атом не излучает спонтанно фотоны,
причем коэффициент, характеризующий скорость этого процесса,
должен быть определенным образом связан с коэффициентом индуци-
индуцированного излучения [13, 14]. Конечно, нельзя заранее ожидать, что
система, содержащая вращающуюся черную дыру, обязательно придет
в состояние равновесия с системой частиц. Тем не менее естествен-'
но поинтересоваться, не может ли черная дыра в результате кванто-
квантового процесса спонтанно излучать энергию в виде потока частиц?
Положительный ответ на этот вопрос получили Зельдович [46],
Старобинский [41] и Унру [42] (см. также работу [2]). Процесс, рас-
рассмотренный в этих работах, связан с наличием квантовых флуктуа-
флуктуации вакуума в эргосфере черной дыры. Вследствие этих флуктуации
в каждый момент времени имеются виртуальные пары частиц и анти-
античастиц. Если эти частицы обладают массой покоя т0 и, следователь-
но,энергией mQc2, то соотношение неопределенности F? 5t ? ft)
56
1.ТЕРМОДИНАМИКА ЧЕРНЫХ ДЫР
требует, чтобы в состоянии истинного вакуума пара частиц до исчез-
исчезновения могла прожить время, не превышающее величину ~ %/mQc2
(комптоновское время). Однако гравитационное поле черной дыры,
вообще говоря, не одинаково в точках, где находится частица и анти-
античастица и это случайным образом может приводить к тому, что час-
частицы пары за комптоновское время разойдутся на значительное рас-
расстояние (скажем, Л/т0 с). При этом виртуальная пара может избе-
избежать аннигиляции и превратиться в реальную пару; энергия, необхо-
необходимая для такого процесса, будет получена от гравитационного поля
черной дыры. Если окажется, что одна из частиц пары находится на
орбите с "отрицательной энергией" и, следовательно, захвачена, чер-
черной дырой, то ее партнер может обладать достаточной энергией для
выхода из эргосферы и вырвется на бесконечность. Непосредствен-
Непосредственный расчет скорости излучения вращающейся черной дырой углово-
углового момента и энергии приводит к тому же самому результату, кото-
который получается при выводе, основанном на предположении о равно-
равновесии [21, 47], а именно
dl ] л
dt М6
Если рассматривать возможность рождения частиц только одного
сорта, то характерное время потери углового момента М 3И совпа-
совпадает по порядку величины с возрастом Вселенной для массы Л/ ~ 10 ю г.
5. ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ ЧЕРНОЙ ДЫРЫ
Я считаю, что открытие Хокингом [20, 21] теплового излучения
черной дыры, если оно будет подтверждено более подробными рас-
расчетами1', — одно из великих достижений в истории физики. Основ-
Основная причина, которая побуждает меня к этому утверждению, — это
то, что Хокинг обнаружил концептуально важное, принципиально на-
наблюдаемое и, возможно, имеющее астрофизическое значение явление,
°См. примечание на стр. 32. - Прим. пврвв.
57

Д. В. ШЬЯМА
само существование которого существенно зависит от объединения
как принципов, так и формальной структуры квантовой теории поля
и общей теории относительности. В физике подобные унифицирующие
открытия такого масштаба редки, и когда они происходят, то обыч-
обычно приводят к целому множеству плодотворных следствий. Можно
привести такие примеры, как объединение электричества и магне-
магнетизма Фарадеем, объединение электромагнетизма июптики Максвел-
Максвеллом или объединение гравитации и инерции Эйнштейном. Более того,
в настоящем случае имеется также глубокая связь с термодинами-
термодинамикой, и открытие Хокинга было совершенно неожиданным.
Поскольку вычисления Хокинга зависят от нерешенных вопро-
вопросов интерпретации теории, то еще необходимо подождать окончатель-
окончательного подтверждения. В частности, необходимо определить кванто-
квантовое понятие частицы в искривленном пространстве-времени, связан-
связанном с черной дырой. Для случая пространства-времени общего вида
это нерешенная проблема, но для случая пространства-времени чер-
черной дыры Хокингу-удалось использовать тот факт, что оно является
асимптотически-плоским. Даже специалисты еще не пришли к полно-
полному согласию относительно правильности метода Хокинга, и обсужде-
обсуждение технических деталей, вероятно, еще будет длиться некоторое
время. Здесь не место входить в детали, и в дальнейшем изложении
я буду предполагать, что Хокинг действительно прав.
В конце разд. 3 мы видели, что вращающаяся черная дыра долж-
должна излучать поток частиц и таким образом терять свой угловой мо-
момент. Это — квантовый процесс, однако он "квазиклассичен" в том
смысле, что не нарушает закона возрастания площади поверхности
и тесно связан с классическим явлением сверхизлучения. Он, конечно,
отсутствует для невращающихся черных дыр. Открытый Хокингом
эффект представляет собой существенно другое явление, которое
приводит к излучению невращающейся черной дыры и которое действи-
действительно противоречит принципу возрастания площади поверхности.
Эта ситуация непонятна по двум причинам:
а) хотя эффекты Хокинга и Старобинского — Унру различны,
эвристически их можно объяснить сходным образом, а выраже-
выражения для потоков излучения можно объединить в виде одной про-
простой формулы; ,
б) эффект Хокинга имеет место, когда черная дыра образуется
в результате коллапса звезды, но отсутствует в случае чер-
черной дыры, которая "существовала всегда"'.
58
1. ТЕРМОДИНАМИКА ЧЕРНЫХ ДЫР
Рассмотрим сначала одно из эвристических объяснений этого
эффекта, данное самим Хокингом. Этот эффект связан с существо-
существованием даже в случае невращающихся черных дыр областей, в кото-
которых имеются орбиты с "отрицательной энергией". Однако в отличие
от случая вращающихся черных дыр, эти области (при классическом
рассмотрении) лежат полностью внутри горизонта [где вектор Кил-
линга, который является времениподобным вне горизонта, становит-
становится пространственноподобным]. Рассмотрим теперь флуктуации, в ре-
результате которых возникает пара виртуальных частиц непосредствен-
непосредственно вне горизонта невращающейся черной дыры. Возможно, что одна
из этих частиц находится в состоянии с отрицательной энергией, ко-
которое в классике запрещено, но которое связано посредством квантово-
механического эффекта туннелирования с разрешенными состояниями
с отрицательной энергией внутри горизонта. Если происходит тунне-
лирование, то будет иметь место поток отрицательной энергии внутрь
горизонта и, следовательно, уменьшение площади его поверхности.
Другая частица пары будет обладать положительной энергией и мо-
может покинуть окрестность горизонта. Если туннелирование не проис-
происходит, то виртуальная пара просто рекомбинирует.
Не следует, по-видимому, удивляться тому, что вероятность
туннелирования должна определяться поверхностной гравитацией к
черной дыры. В результате Хокинга замечательно то, что определен-
определенная таким образом вероятность приводит к совпадению спектра энер-
энергии излученных частиц1* со спектром теплового излучения тела с
температурой й.к/2-rrfcc. Наше Прежнее отождествление к с величи-
величиной, пропорциональной температуре черной дыры, находит здесь под-
подтверждение в таком решающем моменте, как возможность установле-
установления теплового равновесия черной дыры с полем чернотельного излу-
излучения25 . Более того, коэффициент пропорциональности р получает
точное значение.
15Отметим, что совпадает не только спектр, но и все характеристики
излучения, такие, например, как корреляционные функции числа фотонов
в разных модах, это обстоятельство оказывается важным при рассмотре-
рассмотрении процесса установления равновесия с чернотельным излучением. (Более
подробно см. вступительную статью.) - Прим. пврвв.
2) Однако, следует отметить, что это равновесие неустойчиво, посколь-
поскольку, как мы уже видели, чем больше энергии излучает черная дыра, тем горя-
горячее она стеновится.
59

Д.В. ШЬЯМА
Не следует слишком буквально принимать это объяснение про-
процесса Хокинга, поскольку оно, по-видимому, так же применимо к "веч-
"вечной" (eternal) черной дыре, как и к дыре, возникающей при гравита-
гравитационном коллапсе. Однако в первом случае пространство-время вне
горизонта полностью статично или стационарно, так что, по-видимо-
по-видимому, невозможно рождение реальных пар [при наличии времениподоб-
ного вектора Киллинга не может происходить смешивания положи-
положительных и отрицательных частот] *>. С другой стороны, во время кол-
коллапса даже на его последних стадиях, когда коллапсирующее тело
приближается к горизонту событий, метрика зависит от времени и
возможно рождение реальных частиц.- С этой точки зрения удивитель-
удивительно, что Хокинг получил отличное от нуля излучение, более того, он
получил излучение, которое не зависит от деталей структуры звезды
и ее коллапса: Это напоминает факт, вытекающий из теорем единствен-
единственности, а именно: внешние метрики, возникающие при образовании чер-
черной дыры,- в конце концов описываются решениями Шварцшильда и
Керра. Здесь также происходят сложные переходные процессы. Одна-
Однако результат Хокинга относится к асимптотическому поведению из-
излучения, возникающему после вымирания переходных процессов, и
именно это излучение зависит только от поверхностной гравитации
черной дыры.
Хокинг приводит также выражение-для спектра излучения фото-
фотонов вращающейся черной дырой, которая описывает как тепловое из-
излучение, так и эффект Старобинского - Унру. Эта формула содержит
множитель
pdP/[exp \{р - »Q)/2 ттк } - 1],
где р — импульс излучаемых фотонов. Для больших масс к мало,
и этот множитель пренебрежимо мал для р > raQ. С другой стороны,
15 Утверждение, что в полностью статическом или стационарном внеш-
внешнем поле невозможно рождение пар, неверно. Дело в том, что инвариантность
уравнений относительно сдвигов, во времени еще не означает, что при произ-
произвольном выборе начальных данных инвариантным является также и состоя-
состояние системы. Например, в электростатическом поле может происходить рож-
рождение пар из вакуума, и, следовательно, вакуумное состояние нвинвариант-
но относительно сдвига во времени. Вопрос о рождении частиц в гравитаци-
гравитационном поле "вечной" черной дыры тесно связан с вопросом об определении
вакуума на горизонте прошлого и подробно обсуждается во вступительной
статье. — Прим. пврев.
60
1. ТЕРМОДИНАМИКА ЧЕРНЫХ ДЫР
при р < mQ он примерно равен -pdp, что совпадает с результатом Старобин-
ского - Унру. Следовательно, для больших масс имеется малое тепловое из-
излучение, и мы снова возвращаемся к явлению спонтанной суперрадиации. Ко-
Конечно, фотоны ничем не выделены и будут рождаться пары всех сор-
сортов частиц, однако поток частиц с массой покоя mQ будет мал до тех
пор, пока &ГВН не станет больше или порядка 2 гаос2.
Очевидно, что работа Хокинга будет очень важна для понимания
того, каким образом можно согласовать квантовую механику и об-
общую теорию относительности. Она может оказаться также важной
для астрофизики и космологии. Сам Хокинг уже предложил два воз-
возможных ее приложения. Первое основывается на том, что характер-
характерный масштаб времени т, в течение которого черная дыра с массой М
теряет в виде теплового излучения половину своей массы, дается вы-
выражением
т-1010
лет.
G)
Следовательно, по мере того как черная дыра излучает и теряет мас-
массу, характерный масштаб времени быстро уменьшается так, что за
последнюю десятую долю секунды освобождается Ю30 эрг, другими
словами, черная дыра оканчивает свое существование взрывом! На
этой стадии ее характерная температура будет столь высокой, что
большая часть излучаемых фотонов является у-квантами.
Как видно из выражения G), черные дыры солнечной массы не
будут взрываться в течение времени, в 10м раз превосходящего вре-
время Хэббла. Возможно, однако, что на ранних этапах развития Все-
Вселенной могли образовываться черные дыры с массой 10'б г. Подобные
черные дыры взрывались бы в настоящее время. Эти взрывы могут
оказаться важными для астрофизики [7].
Другое приложение, рассмотренное Хокингом, касается менее
массивных черных дыр, которые могли образовываться и испаряться
на ранних этапах развития Вселенной. Хокинг предположил, что из-
излучение, возникающее при их распаде, может привести к наблюдае-
наблюдаемому в настоящее время трехградусному фону реликтового излуче-
излучения [7].
61

Д.В. ШЬЯМА
6. ЧЕТЫРЕ ЗАКОНА ТЕРМОДИНАМИКИ
ЧЕРНЫХ ДЫР
Название этого раздела позаимствовано из важной работы Барди-
Бардина, Картера и Хокинга (БКХ) [1]. Они назвали свою статью "Четыре
закона механики черных дыр", потому что она была написана еще до
открытия Хокингом того факта, что температура черной дыры, опре-
определяемая из принципа возрастания площади поверхности и равен-
равенства B), совпадает с температурой излучения черной дыры. В связи
с этим они считали, что аналогия с настоящей термодинамикой огра-
ограничена вполне определенными рамками. Ясно, что если процесс Хо-
Хокинга действительно возможен, то это ограничение, как было указа-
указано Хокингом [22], полностью отпадает. Как мы уже указывали, из-за
принципиальных трудностей, возникающих при обобщении квантовой
теории поля на случай, когда пространство-время является искрив-
искривленным, еще остаются некоторые сомнения в правильности резуль-
результата Хокинга. В частности, имеется сложный вопрос о выборе пра-
правильных граничных условий [для фейнмановской функции Грина].
На мой взгляд, самый сильный аргумент в пользу результата Хокинга
состоит не в том, что прекрасным образом проведены в высшей сте-
степени сложные технические вычисления, а просто в термодинамиче-
термодинамическом характере окончательного результата. Сам Хокинг, по-видимо-
по-видимому, также согласен с этим [22].
Нулевой закон
Этот закон гласит, что поверхностная гравитация стационарной
черной дыры постоянна на горизонте. Эта теорема была доказа-
доказана БКХ [1], и она, очевидно, соответствует нулевому закону термо-
термодинамики, если предположить, что поверхностная гравитация черной
дыры пропорциональна ее температуре.
v Первый закон
Этот закон можно записать в виде соотношения
5Д/= ZlL. +Q8J,
8тт
62
1. ТЕРМОДИНАМИКА ЧЕРНЫХ ДЫР
которое также было установлено БКХ [1]. Оно соответствует перво-
первому закону термодинамики, если к пропорционально Т, а 5 4 пропор-
пропорционально 5S.
Второй закон
Это просто обычный второй закон термодинамики, за исключени-
исключением того, что к обычной энтропии следует добавить члены, пропорцио-
пропорциональные площади поверхностей всех имеющихся черных дыр. Бекен-
штейн [2-4] провозгласил и сделал несколько шагов на пути дока-
доказательства этого модифицированного второго закона, но он не знал
о хокинговском тепловом излучении черной дыры. Завершающий шаг
был сделан Хокингом [22]. *
Третий закон
Одной из форм обычного третьего закона термодинамики являет-
является утверждение, что за конечное число шагов нельзя понизить темпе-
температуру физической системы до абсолютного нуля. В случае черной
дыры температуру следует просто заменить поверхностной гравита-
гравитацией. Значение полученного таким образом утверждения можно понять
из выражения D) для величины поверхностной гравитации керровской
черной дыры. Из этого выражения видно, что абсолютный нуль соот-
соответствует экстремально вращающейся керровской черной дыре, т.е.
максимальному угловому моменту при заданном значении массы
(/ - Л/2), которое еще совместно с существованием горизонта собы-
событий. Чтобы получить экстремально вращающуюся черную дыру, необ-
необходимо раскрутить дыру до состояния, в котором / = Л/2. Как было
отмечено БКХ, если бы было возможно сделать это за конечное чис-
число шагов, то тогда с помощью одного шага можно было бы достичь
/ > М2. В результате этого появилась бы голая сингулярность; что-
чтобы запретить эту возможность, следует привлечь недоказанную, но
весьма праводоподобную гипотезу космической цензуры.
Как мы уже видели, эта гипотеза справедлива в некоторых спе-
специальных случаях. Физическим механизмом, который мог бы не до-
допустить слишком быстрого вращения черной дыры по крайней мере
в линейном приближении, является возникновение сил отталкивания
либо электростатического, либо спин-спинового взаимодействия [44].
63

да шьяма
Хотя приведенные в этой работе аргументы весьма остроумны, они
еще весьма далеки от общего доказательства в полной нелинейной
теории. По-видимому, очень трудно найти такое доказательство,
и эта задача является наиболее важной нерешенной проблемой клас-
классической общей теории относительности.
7. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Из нашего обсуждения следует, что, по-видимому, существуют
глубокие связи между астрофизикой, общей теорией относительности,
квантовой теорией и термодинамикой. Вероятно, что другие важные
связи еще ждут своего открытия. Если это так, то здесь имеется бо-
богатое поле для исследований, таких, которые несомненно откроют
нам новые перспективы в астрономии.
Благодарности
Я благодарен Роджеру Пенроузу за многие полезные обсуждения.
ЛИТЕРАТУРА
1. Bardeen J.M., Carter В., Hawking S.W., Commun. Math. Phys., 31, 161 A973).
2. Век en stein J.D., Phys. Rev., D7, 949 A973).
3. Bekenstein J.D., Phys. Rev., D7, 2333 A973).
4. Bekenstein J.D., Phys. Rev., D9, 3292 A974).
5. Base S.K., Wang M.Y., Phys. Rev., DK), 1675 A974).
6. Brillouin L^ Science and Information Theory, Academic Press, New York,
1956 ( Имеется перевод: Л. Бриппю&, Наука и теория информации,
Физматгиз, М., 1960.)
7. Can B.J., Astrophys. Joum., 201, 1 A975).
8. Carter В., Joum. Math. Phys., 10, 70 A969).
9. Carter В., Phys. Rev. Lett., 26, 331 A971).
10. Carter В., е сборнике Black Holes, eds. B.S. DeWitt and CM. DeWitt,
Gordon & Breach, New York.
11. Chase J.E., Comm. Msth. Phys., 19, 276 A970).
12. Christodoulou D., Phys. Rev. Lett., 25, 1596 A970).
13. Dirac P.A.IH., The Principles of Quantum Mechanics, Oxford, University
Press, Oxford, 1947. (Имеется перевод: П.A.M., Дирак, Принципы кванто-
квантовой механики, Физматгиз, М., 1960.)
14. Einstein A., Phys. Zs., 18, 121 A917).
15. Gibbons G.W., Nature Phys. Sci., 240, 77 A972).
16. Hartle J.B., Phys. Rev., D8. 1010 A973).
64
1. ТЕРМОДИНАМИКА ЧЕРНЫХ ДЫР
17. Hawking S.W., Phys. Rev. Lett., 28, 1344 A971).
18. Hawking S.W., Comm. Math. Phys., 25, 152A972).
19. Hawking S.W., В сборнике Black Holes, eds. B.S. DeWitt and CM. DeWitt,
Gordon & Breach, New York.
20. Hawking S.W., Nature, 248, 30 A974).
21. Hawking S.W., Comm. Math. Phys., 43, 199 A975).
22. Hawking S.W., Phys. Rev., D13, 191 A976)., (Статья З настоящего сбор-
сборника.)
23. Hawking S.W., Ellis G.F.R., The Large Scale Structure of Space-time,
Cambridge University Press, Cambridge, 1973. (Имеется перевод: С. Хокинг,,
Дж. Эппис, Крупномасштабная структура пространства-времени, "Мир",
М., 1977.)
24. Hawking S.W., Penrose R., Ргос. Roy. Soc, A314, 529 A970).
25. lsham C.J., Penrose R., Sciama D.W., eds. Quantum Gravity, an Oxford
Symposium, Oxford University Press, Oxford, 1975.
26. Israel W., Phys. Rev., 164, 1776 A967).
27. Israel W., Comm.'Math. Phys., 8, 245 A968).
28. KerrR.P., Phys. Rev. Lett., 11, 237 A963).
29. Ландау Л.Д., Лифшиц E.U., Статистическая физика, "Наука", М., 1976.
30. Lynden-Bell D., Wood R., Mon. Not. R.Astron. Soc, 138, 495 A968).
31. Misner C.W., Phys. Rev. Lett., 28, 994 A972).
32. Muller zum Hagen H., Robinson D.C., Seifert H.J., Gen. Rel. Grav., 4, 53
A973).
33. Newman E.T., et al., Joum. Math. Phys., 6, 918 A965).
34. Penrose R., Revista Nuovo Cim., 1, 252 A969).
35. Penrose R., Floyd R.M., Nature, 229, 177 A971).
36. Price R.H., Phys. Rev., D5, 2419 A972).
37. Price R.H., Phys. Rev., D5, 2439 A972).
38. Robinson-D.C, Phys. Rev., DK), 458 A974).
39. Robinson D.C., Phys. Rev. Lett., 34, 905 A975).
40. Sciama D.W., Modern Cosmology, Cambridge Univ. Press, Cambridge,
1971. (Имеется перевод: Д. Шама, Современная космология, "Мир",
М., 1973.)
41. Старобинский А.А., ЖЭТФ, 64, 48 A973).
42. Unruh W.G., Phys. Rev., DK), 3194 A974).
43. Vishveshwara C.V., Joum. Math. Phys., 9, 1319 A968).
44. Wald R.M., Ann. Phys., 82, 548 A974).
45. Зельдович Я.Б., Письма в ЖЭТФ, 14, 270 A971).
46. Зельдович Я.5., ЖЭФ; 62,2076A972).
47. DeWitt B.S., Phys. Reps., C19, 297 A975). (Статья 2 настоящего сбор-
сборника.) ч

Статья 2
Квантовая теория поля в искривленном
пространстве-времени*
Б.С. де Вит
DeWitt B.SJ * Physics Reports, 19C, 295 A975)
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ
Квантовая теория поля для случая многообразий (плоских или
искривленных), отличных от пространства Минковского, предсказыва-
предсказывает некоторые необычные физические эффекты, которые не имеют
прямых аналогов в обычном пространстве-времени Минковского. В на-
настоящем обзоре рассмотрены следующие примеры: 1) эффект Казими-
Казимира; 2) излучение ускоренно движущегося проводника; 3) рождение час-
частиц в многообразиях с горизонтами, включая стационарные черные
дыры и черные дыры, образовавшиеся в результате коллапса. В по-
последних примерах кривизна непосредственно связана с материей че-
через тензор напряжений и является причиной рождения реальных час-
частиц. Однако она порождает также серьезные расходимости в энергии-
импульсе вакуума. В обзоре дан анализ этих расходимостей и рас-
рассмотрены методы работы с ними.
* Этот обзор является расширенным вариантом доклада, прочитанного
автором на конференции Американского физического общества, отделение
элементарных частиц и теории поля, в Вилпьямсбурге, Вирджиния, сен-
сентябрь 1974. Финансовую поддержку при его подготовке оказали отчасти
Национальная организация содействия развитию науки и отчасти транспорт-
транспортный фонд НАТО.
••Center for Relativity, Department of Physics, Uuiversity of Texas,
Austin, Texas, USA.
North-Holland Publishing Company, 1975.
Перевод на русский язык, "Мир", 1978.
2. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
1. ВВЕДЕНИЕ
Для физиков, -исследующих элементарные частицы, существова-
существование группы Пуанкаре как группы локальных симметрии пространства-
времени черзвычайно важно в том отношении, что помогает им клас-
классифицировать возникающие идеи и строить теории, описывающие экс-
экспериментальные факты, - от чистой феноменологии и дисперсионных
соотношений до аксиоматической теории поля. В самом деле, в настоя-
настоящее время студентов учат, что элементарные частицы есть не что
иное, как определенные представления группы Пуанкаре.
За любое пристрастие приходится расплачиваться. Физики хоро-
хорошо усвоили этот урок еще в начале века. Многие из нас сознают, что
квантовая теория поля не может в конце концов основываться на груп-
группе Пуанкаре. Что действительно необходимо, так это теория или хотя
бы подход, которые учитывали бы полностью общековариантную эйн-
эйнштейновскую точку зрения на пространство-время как на риманово
многообразие.
Я не ставлю перед собой цель представить здесь такую теорию;
она до сих пор не существует по крайней мере как некоторая после-
последовательная теория. То, что я собираюсь сделать, — это описать
несколько различных, но родственных физических процессов, в кото-
которых существенным образом учитывается структура пространственно-
временного многообразия, они показывают, какие существенные эле-
элементы должны входить в эту теорию. Эти примеры подобраны с точки
зрения их поучительности, а также общего интереса, и, как я надет
юсь, они убедят читателя не только в том, что последовательную
теорию в конце концов можно построить, но и в том, что эта теория
будет необыкновенно красива.
Основа любой теории взаимодействующих полей - это набор то-
токов, которые описывают взаимодействие. Токи в общей теории отно-
относительности являются компонентами тензора напряжений15. При
построении квантовой теории поля в искривленном пространстве-вре-
пространстве-времени основная задача, я бы даже сказал главная проблема, заклю-
заключается в том, чтобы разобраться, что такое тензор напряжений. Тен-
15 В отечественной литературе обычно употребляется термин тензор
энергии-импульса. Мы оставляем терминологию автора. — Прим. перее.
67

B.C. ДЕ ВИТТ
зор напряжений, как и любой ток, является билинейным произведени-
произведением операторнозначных обобщенных функций (операторов поля) и, сле-
следовательно, величиной бессмысленной. Проблема состоит в том, что-
чтобы придать этой величине смысл с помощью некоторой процедуры
вычитания.
Процедура вычитания, или регуляризации, использует обычно
вакуумное состояние. Физики, изучающие элементарные частицы,
знают, что такое вакуум: это (с точностью до вырождений, нарушаю-
нарушающих симметрию) тривиальное представление группы Пуанкаре. Физи-
Физики, изучающие общую теорию относительности, не так. удачливы. Из-за
отсутствия геометрических симметрии они имеют в своем распоряже-
распоряжении много "вакуумов", из которых необходимо сделать выбор.
1.1. базисные функции, вакуумные состояния
и преобразования Боголюбова
Пусть q> - некоторое свободное линейное поле в искривленном
пространстве-времени. Поле q> может быть либо бозонным, либо фер-
мионным. Мы опустим любые индексы, которые может нести поле <р,
и будем предполагать без потери общности, что оно реально (эрми-
(эрмитово). Динамические уравнения для поля имеют вид
F?=0, A)
где F является самосопряженным дифференциальным оператором
в том смысле, что
4)*v2d*x; B)
здесь интегралы берутся по некоторой (открытой) области простран-
пространства-времени, а у j и у 2 - какие-либо гладкие комплексные функ-
функции, которые имеют компактные носители, принадлежащие этой об-
области. Функционал действия для поля, который после варьирования
дает уравнение A), можно записать в следующем виде:
S= -L
иногда я буду его записывать более просто:
1
2
66
C)
D)
2. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
Здесь мы опять опустили индексы, именно обозначения пространствен-
пространственно-временных координат ж*1; по отсутствующим индексам подразуме-
подразумевается суммирование - интегрирование.
Поскольку оператор F самосопряженный, то всегда существует
двусторонний векторный дифференциальный оператор *7М , который
связан с F следующим образом:
дй
E)
где Q — произвольная компактная область пространства-времени
с гладкой границей <Эй; ух, у2 — две произвольные гладкие комп-
комплексные функции, определенные в открытой области, содержащей Q,
и di - ориентированный элемент поверхности ЭО. с нормалью,
направленной наружу. Пусть и1 и и2 - два произвольных комплекс-
комплексных решения уравнений поля A), и пусть Z - произвольная полная
гиперповерхность Коши для этих уравнений. (Мы предполагаем, что
интересующая нас область пространства-времени такова, что для
нее полные гиперповерхности Коши существуют.) Тогда оператор / м
можно использовать для определения внутреннего произведения функ-
функций itj и u2, инвариантного относительно гладких деформаций и сме-
смещений гиперповерхности 2:
<Ul,u2> = -i fuf~f»u2dZu. F)
Это внутреннее произведение для бозонных полей не будет положи-
положительно определенным.
Теперь замысел состоит в том, чтобы ввести полный (с точнос-
точностью до калибровочных преобразований) набор сопряженных пар реше-
решений ui и uf уравнений A), удовлетворяющих следующим условиям
ортогональности' >:
<и., «/>-6w, <«,*,«,•>= 0. • G)
Некоторые из переменных, для которых используются индексы i, /,
могут быть непрерывными. Для таких переменных символ б., понимается
как S-фуикция. '
69

B.C. ДЕВИТТ
Число таких наборов бесконечно. Выберем один из н"их. Разложим
поле q> следующим образом ^ :
<р = 1 (а. и. + о.*и*). (8)
i
Используя канонические (анти)коммутационные соотношения, или,
что более элегантно и явно ковариантно, используя пайерлсово [40]
определение (антикоммутатора, легко показать, что операторные
коэффициенты в разложении (8) удовлетворяют (анти)коммутационным
соотношениям:
[«.,»;]+ =5.;., [а., а.]± = 0. (9)
Эта операторная алгебра служит для того, чтобы стандартным обра-
образом определить фоковское пространство и вакуумное" состояние:
о. | vac >= 0 A0)
Заметим, что в описанном выше построении кривизна простран-
пространства никак себя не проявляет. Поэтому мы можем немедленно при-
приступить к (формальному) вычислению матричных элементов тензора
напряжений. Тензор напряжений определяется функциональным диф-
дифференцированием действия по метрическому тензору
•**/- -\= з±?_ = <p?L9. (ii)
2. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
На самом деле эта форма является тензорной платосш«
включает множитель g * , где g - - det (gMvb и я всегд yw
зумевать.
15 Звездочка для операторов означает эрмитово сопряжение, для с-чи-
сеп или матриц, состоящих из с-чисел, - обычное комплексное сопряжение.
Крестик будет применяться только для матриц независимо от того, состоят
ли они из с-чисел или из операторов, и означает, что наряду с комплексным
(эрмитовым) сопряжением элементов матрицы проводится ее транспониро-
транспонирование [ср. A5)].
70
Простейшим матричным элементом является величина "вакуум-
"вакуумного" среднего, которая, как нетрудно видеть, определяется выраже-
выражением15
Единственная трудность, связанная с этим выражением, заключает-
заключается в том, что эта сумма расходится. Простейший способ избежать
эту трудность заключается в вычитании расходимости и "регуляриза-
"регуляризации". ГМУ с помощью формулы
reg
здесь подразумевается, что вычитание проводится в каждой моде. Это
эквивалентно нормальному упорядочению билинейной формы Гм у(ф, ф)
по отношению к разложению (8). Трудность, однако, состоит в том,
что разные разложения приводят к различным, вообще говоря не
эквивалентным, нормальным упорядочениям. Например, если Hi яв-
являются базисными функциями, соответствующими другому полному
набору, то они будут связаны с функциями и. соотношением
Л = 2(а..и. +p./U*), ' A4)
где коэффициенты а .., р • ¦ удовлетворяют матричному соотношению
(индексы опущены):
±f
°
A5)
здесь знак +(—) соответствует фермионному (бозонному) полю, а
тильда обозначает транспонирование матриц. Если коэффициенты р..
равны нулю, то"вакуум"остается неизменным, однако если р.. не рав-
равны нулю, то для операторов мы имеем преобразование Боголюбова:
5г = 2(а? о. ±р*. а*), A6)
причем
<а*а.> =2
i ь vac
A7)
5 Здесь всегда подразумевается, что форма 7\MV симметризована,
так что TW (Blf u2) = rMV(u2, u,).
71

B.C. ДЕ ВИТТ
Это означает, что старый'вакуум*содержит новые "частицы". Он мо-
может содержать даже бесконечное число новых "частиц", в этом слу-
случае два фоковских пространства нельзя связать друг с другом унитар-
унитарным преобразованием.
1.2. Веторы Киллинга и положительно-частотные функции
Бдительный читатель возразит сейчас, что в приведенном выше
обсуждении был опущен один важный критерий. Именно, необходимо
использовать базисные функции, которые разделяют полоштелъно-
частотные и емпрмнаяелъио-частотные решения. Это разделение мож-
можно осуществлять только тогда, когда в рассматриваемом простран-
пространстве-времени имеют смысл понятия положительных и отрицательных
частот. Для того чтобы эти понятия имели смысл, геометрия про-
пространства-времени должна быть стационарной, или, на языке специа-
специалистов, пространство-время должно допускать глобальное временипо-
добное векторное поле Киллинга. Оно может не допускать наличие
такой симметрии, как группа Пуанкаре, но должно быть устроено так,
чтобы допускать по крайней мере однопараметрическую группу вре-
мениподобных движений.
Гэри Гиббоне [28] дал следующее полностью ковариантное опи-
описание ситуации, когда имеется векторное поле Киллинга К^. Во-пер-
Во-первых, сохраняется величина
Kf^r^tf^, A8)
т.е. она не зависит от выбора гиперповерхности Коши 2. Во-вторых,
хотя оператор К сам по себе является плохо определенным, он при-
приводит к хорошо определенным коммутационным соотношениям с
компонентами поля:
[ф, К]_ = i ? к q> (с точностью до калибровочных преобра-
преобразований, если таковые имеются), A9)
где ? обозначает производную Ли. Поскольку алгебра Ли для неко-
некоторого вектора Киллинга абелева, то группа, которую эта алгебра
порождает, просто экспоненциальна, а базисные функции ui можно
выбрать так, чтобы они удовлетворяли соотношениям
72
2. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
где к,- - константы. Если векторное поле ХР является глобально
времениподобным, то можно ввести координату t, такую, что метри-
метрика от нее не зависит и по отношению к ней вектор Xм имеет вид
(Xм) = A, 0, 0, 0). Более того, векторное поле Км можно выбрать
таким образом, что t дает непосредственно собственное время, из-
измеренное в каждом случае некоторыми часами (например, в асимпто-
асимптотически плоском пространстве-времени часами на бесконечности),
4-скорость которых всегда остается параллельной вектору Xм. ¦
В этом случае функции ut можно выбрать так, что все константы к}-
будут положительны; к}. назовем энергией одной частицы в i-й моде
по отношению к выбранным выше часам. Всюду далее для обозначе-
обозначения энергии одной частицы вместо к. я буду использовать символ е i;
уравнения B0) примут тогда следующий вид:
dui/dtb-U.u., du*./dt= »?,. «f. B1)
Здесь и к и* положительно^ и отрицательно-частотные решения, или
соответственно положительно- и отрицательно-энергетические ре-
решения.
С помощью этих базисных функций и связанных с ними операто-
операторов а., о.* можно теперь определить вакуум, который является ва-
вакуумом на самом деле. Оператор К можно сделать хорошо опреде-
определенным с помощью нормального упорядочения. Результат для энер-
энергии я буду обозначать символом Е:
? = -
B2)
Тогда вакуум для нее будет соответствовать нулевой точке отсчета
?|vac>=0, B3)
a a?, of будут операторами, повышающими и понижающими энергию,
K-fl^'iV B4)
Если Vх— другое векторное поле Киллинга, которое коммутиру-
коммутирует с Ки, тогда базисные функции могут быть выбраны таким обра-
образом, чтобы также удовлетворять соотношениям
?rB|—»Х|В|, B5)
73

Б.С. ДЕВИТТ
-2,^
величины:
тогда также являются по-
B6)
B7)
В общем случае, если имеется некоторое множество независимых
векторных полей Киллинга, порождающих алгебру Ли, uf можно вы-
выделить из условия, что они дают неприводимые представления этой
алгебры.
1.3. Неудовлетворительность традиционных подходов
Все вышеизложенное соответствует традиционному подходу, при-
принятому в физике элементарных частиц. Единственное огорчение, ко-
которое такой подход вызывает, так это то, что он неверен. Проявляет-
Проявляется это не в ошибочности математического аппарата, а просто в том,
что этот подход дает грубо неадекватное обоснование теории. Ниже
приведено лишь несколько примеров, когда традиционный подход тер-
терпит неудачу.
1. Векторное поле Киллинга, времениподобное или пространствен-
ноподобное, может отсутствовать совсем. Это общая ситуация. Как
поступать в этом случае, неизвестно, кроме, может быть, случая,
когда имеется приближенное векторное поле Киллинга, которое ста-
становится точным асимптотически. Кажется весьма маловероятным,
что в данном случае будет полезна корпускулярная картина,за исклю-
исключением областей, где имеют место квазиадиабатические условия (ко-
(которые на практике, конечно, являются очень важными и типичными
областями!).
2. Векторное поле Киллинга может быть глобальным, но не вез-
везде времениподобным. В этом случае возможны два варианта.
а) Можно вырезать из пространства-времени область, где вектор-
векторное поле Киллинга невремениподобно. Это соответствует определен-
определенному молчаливому соглашению о некотором граничном условии.
б) Можно оставить область, где векторное поле Киллинга невре-
невремениподобно, но попытаться разумно определить вакуум, приводя
для этого сильные физические аргументы. Ниже я приведу примеры,
где используются обе процедуры.
74
2. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
3. Пространство-время может быть стационарно только в огра-
ограниченных областях. Если каждая область обладает полными гипер-
гиперповерхностями Коши, тогда в каждой из них можно построить локаль-
локальное времениподобное векторное поле Киллинга и определить свой ва-
вакуум. Предположим, что имеются две точки области, которые связа-
связаны между собой причинно. Я буду называть одну из областей in-об-
ластыо, а причинно связывающую с ней область out-областью и обо-
обозначу соответствующие им вакуумы |in, vac > и |out, vac>. Те-
Теперь возникает вопрос: по отношению к базисным функциям какой
из областей нормально упорядочен тензор напряжений? (Заметим, что
базисные функции, однажды определенные в каждой из областей, мо-
могут распространяться в пространстве-времени, хотя положительно-
или отрицательно-частотными функциями они будут только в перво-
первоначальных областях определения.) Наверное, ответом на этот воп-
вопрос (в соответствии с принципом относительности или демократии,
или любым другим) является - никакой. Ни одной из областей нель-
нельзя отдать предпочтение. Более того, невозможно определить тензор
напряжений, так, чтобы а) он был нормально упорядочен в обеих облас-
областях; б) его матричные элементы являлись гладкими функциями; в) он
везде удовлетворял уравнению непрерывности
T,IXJ = 0. B8)
Таким образом, условимся, что тензор напряжений всегда остается
без нормального упорядочения и что мы только попытаемся регуля-
ризовать его с помощью процесса вычитания, который сохраняет
уравнение B8). В настоящем случае, например, мы могли бы сделать
следующее. Предположим, что в ire-области частицы отсутствуют.
Тогда вектор состояния системы совпадает с | in, vac >. Мы можем
приступить к определению следующего тензора:
<in, vac| ГМУ| in, vac > - <out, vac | rMV|out, vac > . B9)
(Здесь опять подразумевается процедура вычитания в каждой моде,
действие которой может быть хорошо определено.) В out-области
этот тензор описывает распределение и поток энергии частиц, кото-
которые порождены нестационарной геометрией в пространстве между
двумя областями.
Последний пример очень хорошо иллюстрирует неудовлетворитель-
неудовлетворительность наивного подхода, кроме того, демонстрирует, что ни одна из
75

B.C. ДЕ ВИТТ
предложенных процедур не соответствует тому, что можно назвать
действительно глубокими достижениями теории. Рассмотрим тензор
B9). Хотя он описывает физическую ситуацию в out-области, в in-об-
ласти он ее, конечно, не описывает, поскольку, несмотря на то, что
в этой области частицы отсутствуют, выражение B9) в нуль не обра-
обращается. В in-области он равен тензору, который описывает распре-
распределение и поток энергии частиц (который должен был бы существо-
существовать в in-области для того, чтобы в out-области свободных частиц
не было), умноженному на (-1). Конечно, этот тензор не может рас-
рассматриваться как источник гравитационного поля. Далее, в out-об-
out-области он также не может рассматриваться как истинный источник,
поскольку он описывает только реальные частицы и не дает никакой *
информации о вкладе виртуальных частиц. Несомненно , что кривиз-
кривизна будет порождать эффекты, аналогичные эффектам поляризации
вакуума в квантовой электродинамике.
Как нам тогда определить истинный источник? Какой тензор,
удовлетворяющий формально уравнению B8), мы можем вычесть
из Г^у, чтобы образовать оператор, который математически хорошо
определен и в то же время описывает как дисперсионные, так и реак-
реактивные эффекты, связанные со взаимодействием кривизны и поля?
В заключительном разделе этой работы я укажу на некоторые пред-
предложения, которые сделаны по этому поводу, однако вначале я хочу
описать несколько конкретных физических примеров. Ничто лучше
конкретного примера не поможет нам почувствовать, действительно
ли мы идем правильным путем.
2. ЭФФЕКТ КАЗИМИРА
2.1. Проблема энергии вакуума
Этот хорошо известный эффект, предсказанный и популяризован-
популяризованный Казимиром [10], а затем экспериментально подтвержденный в
лабораториях фирмы Филипс, на первый взгляд не имеет никакого
отношения к кривизне.
В вакууме две чрезвычайно чистые, нейтральные, параллельные,
микроскопически плоские, проводящие поверхности очень слабо
притягиваются с силой, которая убывает обратно пропорциональ-
пропорционально четвертой степени расстояния между ними.
76
2. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
Однако точно так же, как кривизну можно рассмотреть в качестве
возмущения, которое порождает пространство-время с искривлением,
устройство Казимира можно рассматривать как аппарат, возмущающий
пространство-время нейтральными проводниками. Хотя из-за того,
что сила, как оказалось, не зависит от таких деталей, как молекуляр-
молекулярный состав проводников, этот эффект был впервые рассчитан как не-
некоторый случай сил Ван-дер-Ваальса, Казимир быстро понял, что эф-
эффект притяжения можно рассчитать, исходя из задачи об энергии ва-
вакуума, и в настоящее время на занятиях со студентами используют
именно этот метод расчета. Правда, эта энергия черзвычайно мала:
она на много порядков меньше той величины энергии, которая созда-
создавала бы гравитационное поле, которое кто-либо собирается обнаружить.
Но можно легко построить мысленный эксперимент, в котором закон
сохранения энергии будет нарушаться, если эту энергию не включать
в источник гравитационного поля. Физики-релятивисты могут заме>-
тить, что рассматриваемая здесь плотность энергии отрицательна
и, следовательно, соответствующий тензор напряжений нарушает клас-
классические теоремы об энергии, так существенные для теории черных
дыр1'. Все прочие физики заметят, что энергия в эффекте Казими-
Казимира - это энергия только вакуума; никаких реальных частиц он не
включает, только виртуальные. Однако эксперименты свидетельству-
свидетельствуют, что эту крошечную энергию мы должны рассматривать вполне
серьезно.
Насколько я осведомлен, первый, кто вычислил действительную
плотность энергии (т.е. Т°"-компоненту тензора напряжений) в про-
противоположность полной энергии между проводниками, был Ларри Форд
[23L Метод Форда можно также применить для вычисления и других
компонент тензора напряжений, поэтому я хочу изложить эти очень
красивые результаты. Однако это я сделаю позже, а сначала нужно
сделать обзор того, какова формальная ситуация для вакуумного сред-
среднего тензора напряжений без нормального упорядочения в обычном
невозмущенном пространстве Минковского.
^Отрицательность анергии, оказывается, зависит от геометрии провод-
проводника. Бойер [4] и Дэеис [17J показали, что анергия вакуума внутри проводя-
проводящей сферы положительна.
77

B.C. ДЕ ВИТТ
2.2. Регуляризация тензора напряжений
Поле, рассматриваемое в настоящей задаче, резумеется,
электромагнитное. Простейшие базисные функции ui, которые мож-
можно ввести, это бегущие плоские волны с линейной поляризацией^. Сум-
Сумма A2) для этих волн расходится, поэтому мы должны регуляризо-
вать ее. С точек зрения аксиоматической теории поля, а также с
эвристической в формальное выражение для Twv удобно ввести не
сами операторы поля, а операторы, которые размазаны с помощью
гладкой функции s (x) с компактным носителем:
<ps(x) s { s{x - у) <р(у) d* у (координаты Минковского). C0)
Этот оператор хорошо определен, и можно исследовать поведение его
(конечного) вакуумного среднего как функцию размера носителя s(x),
когда он стремится к нулю. Такую процедуру можно также применить
в искривленном пространстве-времени, однако в этом случае регуляри-
зованный тензор Tuv, вообще говоря, не будет удовлетворять усло-
условию B8), кроме как в описанном выше пределе. В рассматриваемом
нами случае уравнение B8) удовлетворяется тривиально, поскольку
пространство Минковского однородно.
Я хочу подчеркнуть тот факт, что этот метод регуляризации за-
зависит от выбора системы координат. Функция s не может быть одно-
одновременно лоренц-инвариантной функцией интервала (х - у) и иметь
компактный носитель. По моему мнению, это увеличивает ценность
данного метода. Так называемые ковариантные схемы регуляризации
имеют своей единственной целью чисто техническое исключение рас-
расходящихся частей тензора fwv; эти схемы слишком формальны,
чтобы иметь какой-нибудь определенный физический смысл *5. Ме-
^ Популярные ковариантные рассуждения, служащие для избавления
от < rMV> , выглядят следующим образом: величина < rMV > va долж-
должна быть объектом, который преобразуется как тензор при лоренцевых преоб-
преобразованиях и не зависит от поля и выбора системы координат. Единствен-
Единственными объектами такого рода являются произведения, содержащие метриче-
метрический тензор Минковского r)MV. в настоящем случае коэффициент при этом
тензоре должен быть равен нулю, поскольку максеелловский теизор напря-
напряжений имеет нулевой след. Следовательно, < rMV> vac = 0. Даже еще до то-
того, как проведено нормальное упорядочение! Ясно, что здесь мы полностью
отказываемся от идеи рассматривать электромагнитное попе как набор гар-
гармонических осцилляторов.
76
2. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
тод, зависящий от системы координат, полезен в том смысле, что
он подчеркивает изъяны, связанные с тензором ГМУ, и в то же вре-
время позволяет достичь некоторого прогресса в элементарном или эв-
эвристическом физическом понимании структуры энергии вакуума.
Эвристические соображения всегда полезны, когда мы пытаемся про-
проникнуть в глубь новой проблемы; ниже я еще раз подчеркну значение
зависимости регуляризации от выбора системы координат.
Метод регуляризации эквивалентен процедуре размазывания,
однако для применения на практике легче просто разделить точки,
в которых определены два оператора <р, входящие в ГМУ, а затем
исследовать тензор, когда эти точки стремятся друг к другу. Этот
метод очевидным образом зависит от выбора системы координат,
поскольку интервал, разделяющий точки, вводит Некоторое выделен-
выделенное направление. Я Зуду выбирать разделяющий интервал времени-
подобным, параллельным оси t (или х°). Легко видеть, что это экви-
эквивалентно введению в сумму A2)осциллирующего множителя вида
ехр (ie./Л), причем Л - величина, обратная длине разделяющего ин-
интервала. По существу Л является параметром обрезания для больших
энергий, и этот метод совпадает со стандартной процедурой вычисле-
вычисления энергии Казимира.
Сумму A2), включающую в себя осциллирующий множитель, лег-
легко оценить. Получаем
C1)
Это выражение имеет в точности тот же вид, что и тензор напряже-
напряжений покоящегося в выбранной системе координат фотонного газа (пол-
(полный 3-импульс равен нулю).
Введем теперь в рассмотрение параллельные проводники и повто-
повторим описанную выше процедуру. В этом случае естественно восполь-
воспользоваться некоторой специальной системой координат, поскольку са-
сами проводники вынуждают к этому. (См., однако, нижеЛ Единствен-
Единственное отличие от уже приведенного вычисления заключается в том, что
базисные функции ut теперь другие. Можно считать, что проводники
являются бесконечными плоскостями. Тогда можно выбрать функции
79

B.C. ДЕ ВИТТ
ui, такие, что они имеют вид волн, бегущих параллельно плоскостям,
и стоячих волн в перпендикулярном направлении. Единственная слож-
сложность заключается в том, что необходимо, конечно, наложить гранич-
граничные условия, соответствующие электрическому и магнитным полям
вне идеальных проводников, и не упустить ни одну из мод. Вакуум
между пластинами уже не представляет собой вакуум, соответствую-
соответствующий невозмущенному пространству Минковского, поскольку функ-
функции и. теперь другие. В правой части соотношения A2) трехмерный
интеграл (плюс поляризационные суммы) сводится к двумерному ин-
интегралу и бесконечной дискретной сумме. Результат (для больших Л)
имеет вид
0\
1
и
о
о
о
/3°
О V3
о о
о
о
C2)
где о — расстояние между проводящими поверхностями, а направле-
направление оси ха выбрано перпендикулярно поверхностям. Здесь следует
заметить, что я использую единицы, в которых ft = с = 1, и метрику
с положительной сигнатурой: (п ) = diag (-1, 1,1, 1).
2.3. Свойства тензора напряжений Казимира
Выражение C.2) имеет несколько замечательных свойств:
1. Та его часть, которая зависит от обрезания, совпадает с вы-
выражением C1) для нёвозмущенного вакуума. Эту часть можно попы-
попытаться идентифицировать, по крайней мере предположительно, с не-
некоторой неприводимой частью, которую можно будет обнаружить во
всех матричных элементах тензора напряжений и при любых услови-
условиях. Действительно, ниже мы обнаружим, что эта часть возникает в
точности в том же самом виде при наличии искривления пространства-
времени [см. B49)]. Поскольку она универсальна, то ее можно отбро-
отбросить, оставляя, как в настоящем случае, конечный остаток. Более
глубоким соображением для ее отбрасывания в настоящем случае яв-
является то, что конечная часть, и только конечная часть, является
величиной, наблюдаемой в лаборатории.
2. Конечный остаток не зависит не только от обрезания, но и от
системы отсчета. Конечно, сами по себе проводники выделяют ось хъ,
60
2. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
однако они оставляют совершенно произвольным выбор осей х°, х1
и х2. Конечная часть тензора <Т > остается неизменной для
. r MV vac
бустов произвольной величины в любых направлениях, параллельных .
плоскости (х1, х2 ). Физически это означает, что идеально плоский
проводник остается таковым при любом своем движении, параллель-
параллельном своей же поверхности, и что напряжения вакуума в окрестности
такого проводника не меняются независимо от того, как быстро мы
скользим по поверхности проводника, - результат, который наверня-
наверняка бы понравился Эйнштейну.
3. И конечная, и расходящаяся части < ГМУ > удовлетворяют
условию равенства нулю следа: Гм = 0.
4. И конечная, и расходящаяся части не зависят от выбора точки
в пространстве-времени, т.е. постоянны. Для конечной части это свой-
свойство априори не является необходимым, и когда оно было впервые
открыто, то вызвало некоторое удивление. Инвариантность физическо-
физического устройства по отношению к сдвигам в направлениях х°, х1 и х2
гарантирует, конечно, что величина < TMV > будет независимой
от этих координат, однако она могла бы оставаться зависимой от *8.
На самом деле величины < ?2 > и <Н2 > , где Е и Н - векто-
vac „ vac " „
ры электрического и магнитного полей, сами по себе действительно
зависят от xs, причем зависимость в окрестности каждого из провод-
проводников имеет вид15
ЗЛ4 3
<Е2>
<Н2:
тт
2,4
ЗЛ4
тг ¦
16 тг
16 тг2*4
z « а;
C3)
здесь z - расстояние от проводника. И только, когда Е и Н образу-
образуют комбинацию, в которой они входят в тензор напряжений, зависи-
зависимость от ха пропадает. В силу такого стечения обстоятельств,
это не означает, что зависимость от ж8 является ненаблюдаемой.
В принципе она приводит к (очень) слабым, зависящим от хъ, сдви-
сдвигам уровней энергий атомов вблизи проводника (к тому же сдвиги
' В безразмерных величинах.
81

Б.С. ДЕ ВИТТ
возникают из-за отражения атомов в проводнике!). Однако это никак
не влияет на гравитационное поле.
5. Относительные величины @, 0)- и C, 3)-компонент конечной
части тензора <Tyiv> и вид их зависимости от а как раз таковы,
какими они должны были бы быть, если бы вакуум был газом, заключенным'
в пространстве между проводниками, конечно, газом со странными свой-
свойствами - отрицательной плотностью энергии, отрицательным давле-
давлением (напряженностью) в направлении х%, положительным давлением
в направлениях х1 и х2 — однако газом, который тем не менее удов-
удовлетворяет термодинамическому закону.
dE=TdS- pdV. C4)
Следовательно, если медленно {dS = 0) раздвигать проводники, то
работа, совершаемая против давления, приводит, очевидно, к увели-
увеличению энергии вакуума: Максвелл был бы очень рад этому результа-
результату. Он заставляет почти поверить в существование эфира!
Если бы я был сообразительнее (или если бы я верил в эфир), я
должен был бы предвидеть все эти свойства заранее, и тогда я бы
знал, какой вид должна иметь величина < T^v > еще до того, как
V ЭС
я сел бы ее вычислять. Соображения симметрии гарантируют, что
конечная часть < Т^ > должна быть диагональна, причем компо-
компоненты A, 1) и B, 2) равны. Свойство 2 требует, чтобы компоненты
@, 0) и A, 1) были равны по абсолютной величине, но противополож-
противоположны по знаку. Свойство 3 тогда дает относительную величину компонен-
компоненты C, 3) и вместе с условием непрерывности B8) обеспечивает усло-
условие 4. Наконец, зависимость от а следует из свойства 5. Зависимость
от а может быть также получена из соображений размерности при ус-
условии, что известна постоянная Планка, поскольку константы % и с
являются единственными физическими константами, входящими в
теорию. Неопределенными остаются только абсолютное значение и
знак любой из ненулевых компонент. Они должны быть найдены с по-
помощью вычисления (или эксперимента).
Одно последнее замечание: исчезновение конечной части <ruv>
при а -» <х означает, что <ruv > сводится к вырождению C1)
в бесконечном полупространстве с любой стороны от уединенною
плоского проводника. В самом деле, в этом можно убедиться непосред-
непосредственно с помощью суммирования в A2) с базисными функциями, со-
соответствующими этому полупространству. Поскольку эти базисные
82
vac
2. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
функции отличаются от тех, которые соответствуют пустому простран-
пространству Минковского, то вакуум в полупространстве по-прежнему не сов-
совпадает g невозмущенным вакуумом. Например, выражения C3) остают-
остаются справедливыми и в этом случае.
2.4. Эффект Казимира как проблема,
связанная со структурой многообразия.
Безмассовое скалярное поле
Метод вычисления в предыдущих примерах, в которых мы просто
выделяли множество базисных функций, соответствующих необходи-
необходимым граничным условиям, подчеркивает тот факт, что даже эффект
Казимира в очень большой степени связан с проблемой структуры ри-
манова многообразия. В каждом случае мы выделяли различные мно-
многообразия - слой,полупространство или пространство Минковского -
и свойства вакуума зависели от нашего выбора. Это побуждает задать
вопрос: действительно ли обнаруженные нами свойства зависят в пер-
первую очередь от многообразия или же они присущи электромагнитному
полю? Ответ на этот вопрос в общем случае потребовал открытия це-
целого нового направления исследований. Здесь я могу остановиться
только на том, что я обнаружил в случае некоторого другого поля,
а именно безмассового скалярного поля.
Какие граничные условия необходимо принять на поверхностях
для многообразия, соответствующего слою, в случае скалярного, по-
поля? Кажется естественным положить поле на этих границах равным
нулю. И все же это оставляет ощущение неудовлетворенности. Что
является аналогом проводника в случае скалярного поля? В электро-
электромагнитной теории и из многолетних экспериментов, и из модельных
построений мы знаем, что такое проводник. Мы не испытываем коле-
колебаний, когда накладываем стандартные граничные условия для элект-
электрического и магнитного полей, так как знаем, что эта теория согласо-
согласована на самых разных уровнях. Действительно, Бойер [5] в своей
работе по исследованию эффекта Казимира полагал, что электромаг-
электромагнитное поле в этом смысле уникально, т.е. нет поддающегося расче-
расчету аналога эффекта Казимира для полей с другими спинами. Итак,
каковы факты?
83

B.C. ДЕ ВИТТ
2. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
Коротко говоря (вычисления элементарны), факты сводятся к сле-
следующему: величина вакуумного среднего для ГliV внутри слоя при
условии, что поле на границе обращается в нуль, имеет вид
vac
П о о ov
о у3 о о
о о у3 о
0 0 0
тг
1440а4
/-1 0 0 0х
0 10 0
0 0 10
ч 0 0 0 —3>
тг
3-2 sin2 (тгг/о)
48 о2 sin4(Trz/o)
/_1 0 0 (Г
0 10 0
0 0 10
0 0 0 0,
C5)
где z - расстояние от какой-либо из границ. Здесь опять появляется
член, зависящий от выбора системы координат и обрезания, делен-
деленный теперь на 2, поскольку число мод уменьшилось наполовину. Одна-
Однако вместо одного такого члена здесь их два, причем совершенно раз-
различных. Первый - это просто обычный тензор энергии-импульса Кази-
Казимира (деленный на 2), а второй - это новый член, зависящий от точки
в пространстве. Оба эти члена конечны; итак, какой из них неверен?
Главное, что вызывает сомнение, это то, что последний/ член рас-
расходится, если его интегрировать в направлении, перпендикулярном
слою, и, следовательно, он приводит к бесконечной отрицательной
полной энергии (на единицу площади). Бойер оказался прав по крайней
мере в этом пункте. Причина, по которой он оказался прав, заключает-
заключается в том, что не совсем правильно ставить в соответствие скалярному
полю только половину мод из тех, что соответствуют электромагнит-
электромагнитному полю. Электромагнитное поле имеет некоторое число мод, для
которых магнитное поле является константой в направлении, перпенди-
перпендикулярном слою (л1 и х2 фиксированы); это не имеет аналога в случае
скалярного поля. Эти моды при суммировании в A2) образуют вклад,
который сокращает член, зависящий от г, в электромагнитном случае.
Однако не стоит ли нам вернуться к первопричинам, , чтобы ре-
решить, как должен выглядеть тензор напряжений вакуума для ска-
скалярного поля, так же, как мы это сделали (постфактум) для электро-
электромагнитного поля? Какой ключевой пункт из аргументов, соответствую-
84
цщх электромагнитному случаю, здесь опускается? Это тот факт,
что условие Т^ = 0 больше не выполняется. Вот этот пункт! Следо-
Следовательно, мы должны использовать конформно-инвариантное скаляр-
скалярное поле, тензор напряжений которого действительно удовлетворяет
этому условию [см. B32) и B33)]. Конечно, это некоторый трюк. Пря-
Прямые вычисления показывают, что для конформно^инвариантного ска-
скалярного поля последний член в выражении C5) исчезает. Следователь-
Следовательно, в конце концов Бойер оказался неправ.
Однако, что можно сказать об аргументе, учитывающем число
мод? В отсутствие кривизны базисные функции и{ одни и те же не-
независимо от того, какой тензор напряжений мы используем. Более
того, два тензора отличаются друг от друга на градиент и, следова-
следовательно, должны приводить к одной и той же полной энергии. Но на
самом деле это не так. Интегралы энергии отличаются поверхност-
поверхностными членами на границе, именно это и приводит к различию тензо-
тензоров напряжений.
Успех конформно-инвариантной теории в этом случае и тот факт,
что она так хорошо имитирует результаты, соответствующие электро-
электромагнитному полю, дает представление о том, в какой мере ей можно
доверять при рассмотрении более общих проблем, и при этом верить,
что если эффекты, зависящие от спина, не доминируют, то результа-
результаты, полученные для этих проблем, будут согласовьгоаться по крайней
мере качественно, а очень часто и количественно с результатами для
тех же проблем в случае электромагнитного поля. Поскольку со скаляр-
скалярным полем работать чрезвычайно просто, то я буду использовать его
всюду ниже.
3. ПРОВОДНИКИ, ДВИЖУЩИЕСЯ С УСКОРЕНИЕМ
$.1. Рождение частиц движущимися границами
Эффект Казимира можно назвать структурным эффектом в
плоском (неискривленном) многообразии. Прежде чем переходить к об-
обсуждению эффектов, действительно обязанных кривизне, разрешите
мне заняться примером, предложенным Эйнштейном, и вначале рас-
рассмотреть эффекты, вызванные ускорением. Используя термодинамиче-
термодинамический закон C4) для давления в вакууме Казимира, я требовал, чтобы
85

Б.С. ДЕ ВИТТ
2. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
проводники двигались медленно. Если бы я допустил наличие некото-
некоторого заметного ускорения, то проводники стали бы излучать фотоны
и энтропия внутри слоя стала бы возрастать. Вначале может пока-
показаться удивительным, что, ускоряя нейтральный проводник, можно
рождать фотоны, однако каждый сразу же вспомнит, что поверхност-
поверхностные слои реального проводника несут токи. Свободные электроны вбли-
вблизи поверхности взаимодействуют с квантовыми флуктуациями электро-
электромагнитного поля так же, как они взаимодействуют с классическим
полем, и образуют токи именно такой величины, которые гарантиру-
гарантируют стандартные граничные условия. Поскольку.граничных условий
достаточно для того, чтобы определить все физические явления вне
проводника, то вообще нет необходимости ссылаться на токи, как
это делалось сейчас.
Чтобы увидеть, как все это работает на практике, рассмотрим
для простоты безмассовое скалярное поле в плоском двумерном
пространстве-времени. (В двумерном пространстве это поле автома-
автоматически конформно-инвариантно.) Введем координаты Минковского х
и t. Предположим, что имеется проводник, или барьер, и что миро-
мировая линия его поверхности задана гладкой функцией z(t), причем
\z(t)\ < 1. Пусть область "справа" .от барьера будет невозмущенной.
Предположим, что поверхность (на самом деле точка) остается в по-
покое в начале координат вплоть до момента t - 0, затем совершает
различные ускоренные движения вплоть до момента t = Т, а после
этого движется равномерно. Соответствующая ситуация в простран-
пространстве-времени изображена на фиг. 1.
В областях I, II и 1Г используется естественный базис функ-
функций, которые имеют вид
u(t,*|e)= J_ sinM е~иг, 0<6<oo. C6)
V*ttT
В областях II', III и IV естественный базис функций имеет вид
u(t, *|ё)= и{1, x\t) ^ - «-'*«e-'lf. C7)
где х и I связаны с х
и t с помощью лоренцева преобразования:
-v{t -Г)],
C8)
t = (\-vYV*[t-T-v(x-z(T))].
Оба множества базисных функций можно распространить в другие
области, однако тогда они потеряют свой простой вид. Распростране-
Распространение очень легко прослеживается в двумерном пространстве. Например,
первый из базисов везде будет иметь следующий вид:
u(t,x\e) = ft{x-t)+gt{x + t), C9)
и то же будет для второго базиса. Функция g? полностью определя-
определяется уже областью I:
1
«,(*)--
— » EZ
— оо < X < оо .
D0)
~р—Мировая линия барьера
86
Фиг. 1. Рождение частиц движу-
движущимся берьвром.
В то же время функция f определяется зд^сь (а также в областях II
и II1) только для положительных значений ее аргументов. Чтобы по-
получить ее для отрицательных аргументов, необходимо использовать
граничное условие
0 = u(t, *(«) | е)-/,(*(*)-«)+в, (*@ + 0. D1)
87

B.C. ДЕВИТТ
которое дает
D2)
1
Предположим, что вначале система находится в вакуумном состоя-
состоянии. Тогда это состояние есть | in, vac > и удовлетворяет условию
а(е) | in, vac > = 0 для всех е, D3)
где о(е) - оператор уничтожения, отвечающий базисной функции
u(t, x\t). По отношению к базисным функциям u{t, х \ ?) данный век-
вектор не является вакуумным состоянием. Два этих базиса связаны пре-
преобразованием Боголюбова, которое может быть найдено для каждой
функции г (г) с помощью прямого (но утомительного) вычисления,
использующего в областях Ц\ Ш и IV уравнения C9), D0) и D2),
а также свойство ортогональности базисных функций к. Базисные
функции и, распространяющиеся в пространстве, имеют различный
вид в каждой из областей II1, III и IV. Область III - это область,
где происходит рождение "фотонов". Именно здесь перемешиваются
положительные и отрицательные частоты. В области IV восстанавли-
восстанавливается равновесие и имеет место новый вакуум; функции и восстанав-
восстанавливают здесь свой статус чисто- положительно-частотных функций,
однако теперь каждая из них содержит две частоты; исходную частоту
и частоту с допплеровским сдвигом, которая появляется за счет отра-
отражения первоначальной волны от движущегося барьера.
3.2. Постоянное ускорение
Существует один специальный вид ускоренного движения барьера,
для которого имеется некоторое состояние поля, остающееся все вре-
время в равновесии, — это движение с постоянным (по абсолютной величи-
величине) ускорением. Этот случай, который удобно изучать в координатной
системе Риндлера [42], впервые проанализировал Фуллинг [24]. Пусть
t = e^ sK r|, x = e^ chr|. D4)
Тогда интервал в пространстве Минковского может быть записан в
следующей форме:
&a-ea5(-rfna+ (*§"), D5)
2. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
которая, как видно, конформно связана с обычным выражением для
элемента длины. Новые координаты, однако, покрьюают только ту об-
область (двумерного) пространства Минковского, для которой х > \t\.
Мировая линия барьера будет определяться условием § = ? = const.
Величина его абсолютного ускорения равна e~s . И вообще, любой
наблюдатель, который остается при постоянной фиксированной вели-
величине координаты § , будет иметь абсолютное ускорение, равное е~? .
Причина, по которой в этом случае может существовать равно-
равновесное состояние для поля, заключается в том, что подмногообразие
х > 11 | обладает глобальным времениподобным векторным полем
Киллинга, которое параллельно мировой линии барьера, а именно
(контрвариантный) вектор A, 0) в системе координат (r\, §). Это век-
векторное поле не является глобально времениподобным в полном про-
пространстве Минковского, поскольку обращается в нуль на линии х = 11 |
р — »оо ф
Нормированные базисные функции для этой системы имеют вид,
который в силу конформной инвариантности теории, совпадает с тем,
который соответствует покоящемуся барьеру. Они имеют вид
1-0-
", 0<е<
D6)
Если заставить барьер двигаться с бесконечным ускорением по
направлению к границе многообразия (§ = -<»), соответствующие функ-
функции становятся бегущими волнами:
Это происходит потому, что барьер ьа границе многообразия, двига-
двигаясь со скоростью света, никогда не сможет отразить обратно в много-
многообразие падающую на него волну. Как подчеркнул Риндлер [42], это
свойство линии х = 111 аналогично тому» которым обладает горизонт
событий в теории черных дыр, и я буду использовать именно эти бегу-
бегущие волны при обсуждении черных дыр.
Фуллинг [24] обобщил базисные функции D7) на случай массив-
массивных частиц и вычислил коэффициенты преобразования Боголюбова
между этими функциями и стандартным базисом Минковского из пло-
89
88

B.C. ДЕ ВИТТ
ских волн. Немного сложнее анализ в случае, когда барьер имеет
бесконечное ускорение, однако во всех случаях коэффициенты р не
равны нулю. Эти коэффициенты (или вернее их аналоги, когда базис
Минковского заменяется базисом, соответствующим равномерно дви-
движущемуся барьеру) становятся существенными при следующих усло-
условиях: предположим, что ускорение барьера внезапно обращается в
нуль. Тогда коэффициенты р дают непосредственно число рожден-
рожденных частиц. Аналогичная, но более простая ситуация заключается
в следующем. Пусть при конечной температуре газ, который находит-
находится над барьером, движущимся с постоянным ускорением вверх, при-
приходит в равновесие. Если ускорение резко прекратить, то сразу же
в газе возникнет большое количество фононов.
3.3. Напряжение вакуума
Можно задать вопрос: как на самом деле выглядит тензор напря-
напряжения вакуума над плоскостью, движущейся ускоренно? В двумерном
случае вопрос можно перефразировать следующим образом: какой
результат дает суммирование в A2), когда мы используем функции
D6)? В случае покоящейся плоскости тензор, соответствующий ваку-
вакууму, так же, как и в четырехмерном случае, совпадает с тензором
для невозмущенного пространства Минковского. Из-за конформной
инвариантности двумерной теории ожидается, что то же должно быть
справедливо и для барьера, движущегося с ускорением, и это дей-
действительно так. Однако здесь мы сталкиваемся с новой проблемой.
Если включить в выражение для суммы A2) осциллирующий множи-
множитель вида exp(ie/A), мы получим для тензорной плотности <
выражение
2тг
<Т
[XV .
1о
D8)
Это же выражение сохраняется и в локальной лоренцевой системе
координат, ось времени которой параллельна линии постоянного %.
Однако это означает, что в схеме Л-регуляризации напряжение ва-
вакуума стремится к нулю при § -» <»; ничего подобного не происходит
в случае, когда ускорение отсутствует. Причина этого явления за-
заключается в том, что в выражении D6) е имеет смысл локальной
энергии частицы только при § = 0. Для любого другого % локальная
90
2. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
энергия имеет вид e~^t в силу соотношения dr\ = е ~^ d-r между г|
и собственным временем т для постоянного ?. Следовательно, па-
параметр обрезания Л играет роль не локальной энергии, а допплеров-
ского сдвига Если мы согласимся считать Л зависящей от точки,
причем таким образом, чтобы локальная энергия обрезания была
всегда постоянной, то вместо выражения D8) получим
тг
О 1
и в этом выражении нетрудно узнать хорошо знакомую энергию нуле-
нулевых колебаний. На самом деле практически неважно, какую схему
использовать, поскольку мы отдаем себе полный отчет в чем состоит
явление. Некоторые, возможно, предпочтут выражение D8), посколь-
поскольку оно удовлетворяет условию непрерывности B8), принимающему
в настоящем контексте следующий вид:
^ ^ 0. E0)
Пока я не могу предложить удовлетворительный расчет того,
как выглядит тензор напряжения вакуума над ускоренно движущимся
барьером в случае четырехмерного пространства. Этот случай не яв-
является конформно-эквивалентным случаю неподвижного барьера1},
Hi следовательно, априори нет никаких соображений для того, чтобы
исключать из обычного расходящегося выражения C1) конечное, а
значит, имеющее физический смысл слагаемое. Технические же труд-
трудности заключаются в том, что базисные функции становятся функ-
функциями Бесселя такого вида, который уже встречался у Фуллинга [24]
в двумерном случае с ненулевой массой, и в том, что имеет место
квантование в направлении •?. Причиной последнего является тот
факт, что любой фотон, за исключением тех, которые нацелены верти-
вертикально "вверх", в конце концов упадет обратно на барьер, и, следо-
следовательно, каждая орбита имеет точку возврата с максимумом по ?.
Дополнительное замечание. После того как эта работа была напи-
написана, мое внимание привлекла интересная статья Мура [35] по
г> Конформная эквивалентность имеет место для поля вокруг уединен-
уединенного точечного источника, движущегося равномерно ускоренно, но не для
поля над движущимся ускоренно, как целое, барьером.
91

B.C. ДЕ ВИТТ
квантовой теории электромагнитного поля в одномерном резона-
резонаторе с переменной длиной. Мур исследовал проблему двух дви-
движущихся барьеров и дал: а) аккуратное описание математической
структуры соответствующей квантовой теории поля и б) метод
нахождения широкого класса движений барьера, которые допуска-
допускают точные решения задачи, причем некоторые из них представля-
представляют значительный физический и общий интерес.
4. КЕРРОВСКАЯ ЧЕРНАЯ ДЫРА
4.1. Геометрическое введение. Эргосфера и горизонт
Теперь давайте обратимся к многообразиям с кривизной. Мы
начнем с чрезвычайно экзотического случая керровской черной ды-
дыры, - поскольку он хорошо иллюстрирует большой ряд новых проблем.
Интервал в этом случае имеет вид
ds2= —
,2
(dt - a sin
Р
2
dp - adt]2 +
P
Л
+ a cos
9
г2- 2Мг+а2,
E1)
E2)
и я должен буду потратить немного времени, чтобы сделать замеча-
замечание о некоторых его свойствах1'. Рассматривая его при г -» «>, на-
находим, что этот интервал соответствует источнику с массой М и угловым-,
моментом ] -Ма. Когда константа о полагается равной нулю, он
сводится к интервалу метрики Шварцшильда. Считают, что это един-
единственная метрика, которая появляется после того, как заканчивается
гравитационное излучение, когда гравитирующая материя начинает
катастрофически коллапсировать под горизонт событий. Считают
также, что параметр а никогда не превышает М,
Чтобы определить горизонт событий, вначале полезно заметить,
что метрика не зависит от координат t и <р. Следовательно, имеются
два независимых векторных поля Киллинга (§ц{) = (!• 0, 0, 0) и
и Что касается дальнейших деталей о черных дырах, то читателю мож-
можно посоветовать некоторую общую ссыпку, например, Black Holes, eds.
DeWitt and DeWitt, Gordon and Breach, New York, London, Paris, 1973.
92
I
2. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
E^>) = ДО» ®> 0» 1). (Здесь мы предполагаем, что координаты зануме-
занумерованы в следующем порядке t, r, 9, <р.) Прямые вычисления показы-
показывают, что они удовлетворяют соотношениям
§2 =-A-2Мг/р2), E3)
(§г-^J- g'Sj - A sin2 9. E4)
Очевидно, что вектор §f на большей части многообразия является
времениподобным вектором Киллинга, а параметр t при /•-»«> совпа-
совпадает с обычной временной координатой. Однако § ( не является гло-
глобальным времениподобным вектором. Он обращается в нуль на поверх-
поверхности так называемой эргосферы, которая определяется соотноше-
соотношением г = М + уМ2 - о2 cos2 9 , и пространственноподобен в об-
области между этой поверхностью и другой поверхностью, которая за-
задается соотношением г = М — у/М — о2 cos2 9 . Ни одна из этих по-
поверхностей не является горизонтом. Например, внутри наружной по-
поверхности по-прежнему существуют времениподобные векторы, кото-
которые направлены в сторону возрастающих г. При определении границы,
на которой дти векторы перестают существовать, достаточно опреде-
определить, где перестают существовать времениподобные векторы, имею-
имеющие только t- и <р-компоненты. (Некоторая малая положительная
г-компонента может быть всегда добавлена к такому вектору, не на-
нарушая его времениподобного характера.) Итак, мы рассматриваем ком-
комбинации §г и Е вида §t + Q§ , где Q - функция г и, возможно
также, переменной 9. Для того чтобы образованный таким образом
вектор был времениподобным, Q должна лежать в области Q _ < Q <
< Q+, где
E5)
Величина Q - это угловая скорость, которую должен был бы иметь
космический корабль (если смотреть на него из бе/жонечности), если
бы его мировая линия была параллельна вектору §t + Q?.a- Нижняя
граница Q обращается в нуль на поверхности эргосферы, где
§t =0. Внутри этой поверхности космический корабль не может
находиться "в покое", т.е. он не может оставаться в точке с фикси-
фиксированными г, 9 и <р; эффект увлечения Ленсе-Тирринга заставля-
заставляет его вращаться вокруг черной дыры. Заметим сейчас, что если Q
выбрана не зависящей от г и 9, то §( + Q§ является вектором
93

B.C. ДЕ ВИТТ
Киллинга. Это означает, что для экипажа космического корабля гео-
геометрия оказывается по-прежнему стационарной.
Если космический корабль достигает поверхности, где Q и Q_
совпадают, его конус обзора (т.е. световой конус) сужается до нуля
по крайней мере с точки зрения координатной системы t, r, 9, <р, ко-
которая становится сингулярной на этой поверхности. С этого момента
корабль не может повернуть обратно, а может двигаться только в на-
направлении областей, соответствующих убывающему параметру г, где
геометрия является неизбежно динамической (нет времениподобного
вектора Киллинга). Эта поверхность и есть горизонт. Его положение
определяется из условия исчезновения радикала в соотношении E5),
что в силу уравнения E4) эквивалентно обращению в нуль А. Функ-
Функция Д имеет два корня, г+) которые определяются соотношением
г+ = М± V М2 - о2 '. E6)
Именно больший из них является подходящим в этом случае.
Очень важная величина соответствует Q и Q _ , когда значе-
значения Q и Q_ совпадают. Она известна как угловая скорость само-
самого горизонта, и после небольших вычислений получаем, что она равна
Q=_L_ = _L_ . E7)
Н 2 Mr. ra +О2
Другие полезные величины имеют следующие выражения:
gV> - Р5
р.. В2 1
gv
р2 sin 9,
pz dr
1 d2 ,
E9)
Оператор 7" для скалярного волнового уравнения принимает вид
Ле^2_ _JL*VW. F0)
¦gV
2. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
который на гиперповерхности t = const в пространстве Керра превра-
превращается в выражение
"d "d 1
¦ А о2 sin 9] + 2 Mr a ¦
dt
~\ • F1)
Только область вне горизонта необходимо рассматривать при построе-
построении и нормировке наших базисных функций, следовательно, область
интегрирования по этой гиперповерхности имеет вид г < г < «>,
0 < 9 < тг, 0<<р<2тг. Поскольку скаляр кривизны для геометрии
Керра равен нулю (попробуйте-ка проверить это прямым вычислени-
вычислением!), то нет никакой разницы между конформным и обыкновенным ска-
скалярными волновыми уравнениями. Мы также не обнаружим практиче-
практической разницы между соответствующими двумя тензорами напряже-
напряжений в асимптотической области г -» «>, которая является единствен-
единственной областью, где мы можем попытаться их вычислить.
4.2. Абсолютные единицы
Прежде чем двигаться дальше, заметим, что сейчас мы работа-,
ем в единицах, в которых G = с = 1, причем G ~ это гравитацион-
гравитационная постоянная. Когда мы сейчас начнем проводить квантование, я
добавлю еще условие t = 1. Тогда мы получим безразмерные, или
абсолютные единицы. Полезно напомнить, что абсолютные единицы .
длины, времени и массы равны соответственно 1,6-10""88 см, 5-10~48с
и 2' 10"* г. В этих единицах масса протона равна 8 • 1О~20, масса
Солнца 1038, а размер, возраст и масса вселенной равны 1062.
4.3. Базисные функции
Замечательным фактом является то, что волновое уравнение
-У, d v, им d
в метрике Керра имеет разделяющиеся переменные. Базисные функ-
функции поэтому можно выбрать в следующем виде:
и{1, т, р\х) = N(p)(r2 + а2)~А R[n (р. а \ г) х
94
\ cos Q)eim* e-
95
F3)

B.C. ДЕ ВИТТ
где N — нормировочная константа, ар- некоторая функция е (обе
вскоре будут определены). Функция Slm - это сфероидальные гармо-
гармоники, удовлетворяющие уравнению на собственные значения
x S
7m'
F4)
причем собственные значения А;те(ое) удручающе сложным образом
зависят от целых чисел Z(= 0, 1, 2,....), т(= ~1, -I + 1, ..., I — 1,1)
и аргумента ое, но имеют хорошо известное граничное значение
Л @) = /(/ + 1). Прежде чем написать дифференциальное уравнение,
которому удовлетворяет "радиальная" часть функции, удобно ввести
вначале новые •координаты
F5)
г*= г +
удовлетворяющие условию
dr
= (г2 + о2)/Д.
F6)
Эти новые координаты пробегают всю вещественную ось, причем го-
горизонт соответствует минус бесконечности. В этих координатах "ра-
"радиальное" уравнение принимает следующий простой вид:
j O, F7)
где
2 (Mr -a2) A 3o2A2
(r2+«2)8 + (r2+«2)
.2\4
F8)
Нам будет.необходимо знать функцию R только в асимптотиче-
асимптотических областях г* -> ± <х>. В этих областях функция V принимает вид
96
2. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
г-(е - mQHJ
F9)
В области между этими пределами V действует как потенциальный
барьер, приводящий к обратному рассеянию. Из-за присутствия го-
горизонта "радиальные" волны могут брать начало и распространяться
из одной из асимптотических областей, а затем снова рассеиваться
в нее. Следовательно, мы будем различать два класса решений урав-
уравнения F7), которые в силу F8) имеют асимптотические формы:
fexp (ipr*) + tlm(p, a) exp(-ipr*), r* ¦
B]jp,a)expb'(p + mQH)r*b r*-
IB[m(p;a) expfi(p -mQH) г*}, r*-
expf -ipr*} + ^OT(p, a) exp(ipr*), r* ¦
, p> 0, e =p
G0)
, p> 0, e = p.
G1)
С этого момента и далее я буду ставить над соответствующими ба-
базисными функциями стрелки. Как хорошо известно, нормировка базис-
базисных функций определяется в основном поведением в асимптотических
областях, из которых приходят волны. Можно построить очень широ-
широкие волновые пакеты, которые в начальные моменты времени нахо-
находятся в этих областях. Подставляя такие волновые пакеты в инте-
интеграл F), используя выражение F1) и соотношение F6) и переходя
к пределу бесконечно широких пакетов, получаем, что базисные функ-
функции F3) удовлетворяют соотношениям ортогональности:
<*(/, т, р), H[V, т\ р1) > ш <t(l, т, р), *(/', т\ р1) > =
-б/Гбтш'5(Р-Р1)' G2>
и соответствующим им комплексно-сопряженным соотношениям (все
остальные внутренние произведения равны нулю) при условии, что
сфероидальные гармоники нормированы следующим образом:
G3)
-1
97

B.C. ДЕ ВИТТ
а нормировочная константа выбрана равной
N(P) = -L
2
G4)
4.4. Горизонты прошлого и будущего и вакуумное состояние
Сделаем теперь несколько замечаний о роли горизонта: ранее
я сделал утверждение о том, что космический корабль, попавший
под горизонт, не может вернуться обратно так, как если бы горизонт
был односторонней мембраной. Это только половина замечания. Из-за
инвариантности интервала E1) по отношению к одновременному обра-
обращению t и f должен существовать другой горизонт, из котррого ма-
материя (или излучение) могут только уходить и не могут вернуться.
Эта поверхность известна как горизонт прошлого. А другой, о кото-
котором шла речь выше, есть горизонт будущего. Выражение G0) пред-
представляет волну, которая возникает на горизонте прошлого. Часть ее
рассеивается на горизонт будущего, а другая часть уходит на беско-
бесконечность. Выражение G1) представляет волну, которая приходит
из бесконечности. Часть ее опять расоеивается на бесконечность, а другая
часть проникает под.горизонт будущего.
В качестве "вакуумного" состояния для керровской черной дыры
я собираюсь выбрать вакуум, определенный обычным способом по от-
отношению к базисным функциям F3) при условии, что G0) и G1) дают
выражения для радиальных функций. В этом "вакууме" нет частиц,
пришедших из бесконечности или имеющих своим источником горизонт
прошлого. То, что не должно быть частиц, пришедших из бесконечнос-
бесконечности, выглядит достаточно правдоподобно, поскольку пространство-вре-
пространство-время на бесконечности - это обычное, хорошо известное пространство-
время, и это именно то, что нам следовало ожидать в случае нормаль-
нормального вакуума. То что не должно быть частиц, идущих от горизонта
прошлого, есть в лучшем случае не очень обоснованное предположение
или по крайней мере некоторая гипотеза для реальных черных дыр,
поскольку мы считаем, что все реальные черные дыры (если они су-
существуют) образовались в результате провеса коллапса и для таких
черных дыр горизонт прошлого отсутствует. На самом деле в сле-
следующем разделе мы увидим, что если принять во внимание процесс
коллапса, то это приведет к совершенно другим граничным услови-
98
2. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
ям и важной модификации наших результатов. Однако сейчас я остав-
оставлю базисные функции и "вакуум" таковыми, как они есть. Тогда фор-
формализм по крайней мере обладает тем свойством, что выглядит так,
как в стандартной задаче рассеяния, а следовательно, хорошо из-
известен.
4.5. Сверхизлучение
Теперь я хочу обратить внимание на один небольшой, но суще-
существенный момент. Посмотрите на выражение G0). Если азимутальное
квантовое число т удовлетворяет неравенству тп„ < — р, то вели-
величина е отрицательна, и мы сталкиваемся с существованием волн, ко-
которые имеют отрицательную энергию! Не разрушает ли это, наши ос-
основные принципы? Ответ такой: нет, не разрушает. Наши "принци-
"принципы" были основаны на предположении о существовании глобального
времениподобного векторного поля Киллинга. В настоящем случае
у нас такого поля нет; поле § пространственноподобно в эргосфере.
Волновая функция G0) является на самом деле именно такой функци-
функцией. Для наблюдателя, который в окрестности горизонта движется
вдоль времениподобной мировой линии, она является волной с положи-
положительной энергией и угловой частотой р. Следует отметить еще и два
других факта: а) как это и должно быть, групповая скорость для на-
начальной и проходящей волн направлена по радиусу наружу, а для отра-
отраженной волны — внутрь; б) попытка заменить базисные функции Т
на комплексно сопряженные привела бы к нарушению соотношений
ортогональности G2).
Это явление должно, однако, вызывать некоторую насторожен-
настороженность. Математическая ситуация аналогична той, которая имеет мес-
место для двумерного осциллятора с пружиной, которая имеет отрица-
отрицательную упругую постоянную, несет заряд и помещена в однородное
магнитное поле. Если магнитное поле достаточно сильное, все орбиты
будут стабильными. Однако один из двух операторов уничтожения
для этой системы связан с модой, имеющей отрицательную частоту,
и состояние с наинизшей энергией отсутствует.
То, что для скалярного поля в метрике Керра также нет состоя-
состояния с наинизшей энергией, выясняется из следующего анализа явле-
явления, который принадлежит Мизнеру [34] и Зельдовичу [50, 51].
99

B.C. ДЕ ВИТТ
2. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
Используя постоянство вронскиана
R,
dr*
dR,
dr*
*
G5)
для различных комбинаций радиальных волновых функций G0), G1)
и соответствующих комплексно сопряженных функций находим, что
амплитуды прошедшей и отраженной волн удовлетворяют следующим
соотношениям:
Lib
(p. o)
1я
1-|1ы(р,а)|2= ±-\Blmip,«)\*,
?A*Jp, a)BtJp + mQE, a) = -(p + mQg) B*Jp, o) ^OT(P
(p + mQH) B/m(p, o) = pB,m(P + "»QH' o)>
из которых мы получаем также
G6)
G7)
,о), G8)
G9)
(80)
Два первых являются важными соотношениями. Если mQH < -p, тог-
тогда волна, возникшая на горизонте прошлого, отражается с амплиту-
амплитудой, которая больше первоначальной. То же справедливо для волны,
пришедшей из бесконечности, если тй„ > р.
Мизнер назвал это явление сверхизлучением. В физике это яв-
явление не новое. Оно уже было известно более старому поколению фи-
физиков, которые называли его парадоксом Клейна. *Физически это яв-
явление соответствует процессу стимулированного излучения, которое
немедленно наводит на мысль о существовании соответствующего
спонтанного излучения. И в самом деле, этот последний процесс име-
имеет место. "Вакуум" Керра не является состоянием с наинизшей энер-
энергией. Он спонтанно излучает пары, причем одна частица из каждой
пары уходит на бесконечность, а другая падает в черную дыру. В ре-
результате этого постоянного процесса черная дыра должна постепенно
терять свой угловой момент. На классическое явление, родственное
100
этому, впервые указал Пенроуз [41]. Он заметил, что частица, па-
падающая в эргосферу, может распадаться на две частицы, одна из ко-
которых движется в направлении черной дыры, в то время как другая
покидает эргосферу' с энергией, большей, чем та, которой обладала
родившая ее исходная частица. Таким путем можно отнимать энергию
от черной дыры за счет ее углового момента (и, конечно, ее массы).
Именно этот процесс впервые привел к появлению слова зргоефера. >
4.6. Попок частиц от керровской черной дыры
Первую попытку вычислить величину потока частиц от керровской
черной дыры, используя амплитуды вероятности прохождения и отражения
в сочетании с идеей-стимулированного излучения, сделал Старобин-
ский [45] (см. также [46]). Первое же полное последовательное вы-
вычисление, основанное на вторичном квантовании, проделал Вильям
Унру [47].
В частности, именно потому, что Унру существенным образом
использовал тензор напряжений, мы предполагаем рассмотреть здесь
его результаты.
Нам понадобятся (г, t)- и (г, <р)-компоненты тензора напряжений
на бесконечности, поскольку на бесконечности они дают поток энер-
энергии и поток углового момента. Я буду брать тензор Гм" в его плот-
ностной форме. Для конформно-инвариантной теории мы получаем
+ Члены, которые на бесконечности равны нулю. (81)
На бесконечности первый и второй члены в квадратных скобках
дают с точностью до числовых множителей одинаковые вклады. Сле-
Следовательно, мы получаем выражение
п vac
1 2 . „ / д<Р *Р
г sin 9 { •—- , -1-
2 \ЬЭг at
(82)
которое в точности совпадает с тем, что дает обычный (конформно-
неинвариантный) тензор. Аналогично
101

Б.С. ДЕ 0ИТТ
Гф vac
1
т
sin 6 4
(83)
+ / vac
Каждое из этих выражений немедленно превращается в сумму по мо-
модам, как это делается в соотношении A2). Например, подставляя ба-
базисные функции F3), G0), G1) в (82), получаем
Vvac
P2(l-
-^- (84)
В. этом месте мы должны регуляризовать тензор с помощью ос-
осциллирующего множителя. Оказывается, однако, что нам это не пона-
понадобится, если мы заметим, что в силу соотношений G7) и G9) в каж-
каждой моде имеет место сокращение между первым и вторым членами
в фигурных скобках. Сокращение имеет место для всех мод, за исклю-
исключением тех, для которых р < -т?> в первом члене, и тех, для кото-
которых р < тип во втором членех). Это как раз и есть сверхизлучаю-
щие моды. С помощью соотношения (80) можно скомбинировать мо-
моды -» и *., в результате чего получаем '
rt vac
sin 6
mQT.
Г -> оо
Z
I, m
> О
[S, (at | cose)]2 dp
(85)
'lm
!> Чтобы заметить это, достаточно во втором чпене сделать сдвиг
р+
102
2. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
Аналогичным образом получаем
sin6
4тт2
Гф vac
m f
0
x[S,(ot|cose)]2 dp. .
(86)
Если мы теперь приравняем полные потоки на бесконечности к
скоростям, с которыми черная дыра теряет соответственно массу
и угловой момент, то, используя соотношение G3), получаем
м тг 2-пг
lim fdQ fd9<Trt>y
dt
_J_ Z
2 ТГ I, m
mQ
H
Г p(\Alm(p,a)\'-l)dP,
(87)
dj w 21T
— —lim fdQ fdv<Tro>
м '¦->о° о о
Гф vac 2n l,m
m?2H>0
(88)
Это именно те выражения, которые должны быть использованы в рас-
расчетах, интерпретирующих усиление классической волны как процесс
стимулированного излучения и связывающих его с идеей спонтанного
излучения.
4.7. Скорость затухания. Критическая масса
Чтобы получить из этих выражений конкретные числа, необходи-
необходимо оценить коэффициенты А. Вычисления на компьютере показыва-
показывают, что явление сверхизлучения не очень эффективно (за исключени-
исключением гравитационных волн [45, 46]). Причина состоит в том, что когда
р < | тй„ |, функция V в выражении F8) представляет собой потен-
потенциальный барьер, имеющий высоту, которая растет приблизительно
как I2. Используя приближение ВКБ для оценки фактора, характери-
характеризующего проникновение частиц через барьер, получаем
(89)
103

' Б.С. ДЕ ВИТТ
где г* и г* — точки поворота, ? — число, которое грубо имеет по-
порядок, равный единице. Видно, что в выражениях (87) и (88) домини-
доминирует мода, соответствующая /= 1, \т \ = 1, и, следовательно,
1
¦ Q:
(90)
! тт
Сейчас полезно ввести так называемую неприводимую массу.
Она определяется как
(91)
2 1
М2 = —'
" 2
и имеет величину, заключенную между M/yfT и К. С помощью со-
соотношений E6) и E7) легко показать, что она удовлетворяет соот-
соотношениям (напомним, что /. = Ма)
-а . ' _ „» М« __L_=Mx/M2-a2', (92)
(93)
Q
Н
Подставляя выражение (93) в соотношения (90), получаем
dj.
dt
(94)
это говорит о том, что время жизни по отношению к потере углового
момента за счет спонтанного излучения оценивается как
7¦ ~ 8 тте^ if8. (95)
Возраст вселенной равен 10е 2. Значит, чтобы с момента образова-
образования черной дыры ее угловой момент в результате этого процесса зна-
значительно изменился, ее масса должна быть меньше, чемх)
^Выражение (95) на самом деле является верхней границей на время
жизни, поскольку мы учитываем кванты только одного поля. Унру [47] по-
показал, что нейтрино рождаются с той же скоростью, а Старобинский и Чури-
пов [45, 4б] показали, что рождаемые фотоны и гравитоны даже более много-
многочисленны. Эти частицы уже сами по себе приводят к тому, что величина вре-
104
2. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
~ 102O = 2-1015 г.
(96)
Это типичная иассг. астероида. Она должна быть спрессована и иметь
радиус меньше, чем 3-10~и см.
4.8. Согласие с теоремой Хокинга
Понятие неприводимая масса важно не только потому, что оно
облегчает приведенные выше вычисления. Его роль можно понять
еще из следующего дифференциального равенства:
(97)
которое можно получить из соотношений (92). Посылая на черную
дыру пробные частицы по всем возможным орбитам, достигающим
горизонта, и исследуя увеличение dM и dj, сообщаемое таким обра-
образом дыре, Диметриус Кристодулу D4] (см. также [15]) показал, что
величина dMit никогда не может быть отрицательна. Одновременно
Стивен Хокинг [30] показал в достаточно общем виде, что площадь
поверхности черной дыры (т.е. горизонта будущего) никогда не мо-
может уменьшаться. Площадь А черной дыры Керра [которая вычисля-
вычисляется непосредственно из выражения для интервала E1)!] равна 16ттМ.2.
Следовательно, результат Кристодулу является частным случаем теоремы
Хокинга и может быть переписан в виде
(dM - QH dj) > 0.
(98)
мени жизни уменьшается почти на два порядка. Бопее(того, будут также
рождаться и массивные частицы, если их массы меньше | Й„ [. Для экстре-
экстремальной черной дыры Керра (а = М) с массой 1020 скорость вращения
|Qu | равна 1/4 М = 2,5-Ю"^6 = 30 МэВ; следовательно,-в этом случае
единственными массивными частицами, которые рождаются, будут электро-
электроны и позитроны. Однако для черных дыр, масса которых по величине на два
ипи три порядка меньше, число частиц, подлежащих спонтанному излучению,
Может возрасти до бесконечности, приводя к взрывному характеру потери
энергии и углового момента. .
105

Б.С. ДЕ ВИТТ
Рассмотрим теперь одну из частиц, излученную на бесконечность в ре-
результате процесса спонтанного излучения. Она покидает черную дыру
с энергией, величина которой равна р, а азимутальный угловой мо-
момент равен т. Следовательно, ее излучение приводит к следующему
изменению площади поверхности черной дыры:
2Л -(p-mQH). (99)
Однако только те частицы излучаются на бесконечность, которые при-
принадлежат сверхизлучающим модам —, а для них величина р - тО.
всегда отрицательна. Таким образом, процесс спонтанного излуче-
излучения находится в полном соответствии с теоремой Хокинга.
5. ВЗРЫВАЮЩИЕСЯ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ
5.1. Базисные функции для поздних моментов времени
Сейчас я хочу обсудить некоторые вызвавшие широкий резонанс
последние работы Хокинга [31, 32], который прямо обратил внимание
на следствия, вытекающие из выбора граничных условий на горизон-
горизонте прошлого; для этого он рассматривал, что происходит в случае реа-
реалистической черной дыры, образовавшейся в результате коллапса,
когда горизонт прошлого отсутствует. Для простоты я приведу дета-
детали только для случая невращающихся черных дыр, для которых о = О,
/ = О, й„ = 0, г+ = 2 М и выражение E1) сводится к метрике Шварц-
шильда. Чтобы сократить последовательность изложения, которой мы
следовали выше, давайте вначале отметим, как в этом случае выгля-
выглядят базисные функции F3), G0) и G1). Легко видеть, что они сводят-
сводятся к выражениямХ)
Rt{p\r)
A00)
u Функция, обозначенная здесь через
у, , есть просто
Hm
удовлетворяет условию нормировки G3) и, следовательно, отличается на
постоянный множитель от функции, которая обычно обозначается этим сим-
символом. Она также не содержит множитель exp (im ф).
106
2. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
Rt(p\r)
+Al{p)e-iPr\ г*-—,,
fi,(p)e-'Pr\
A01)
A02)
где во всех случаях е = р, а координата г* и функция V имеют вид
г* = г + 2 М In I- 1 ] . A03)
A04)
1A+1) 2 U
Теперь сверхизлучающие моды отсутствуют (нет эргосферы), и ра-
равенства G6) - (80) сводятся к выражениям
. A05)
(W6)
Гг(Р>- <108>
Хотя приведенные выше базисные функции не являются больше
правильными для ранних моментов времени (поскольку нет горизон-
горизонта прошлого), они тем не менее будут полезны для нас при г -> °°,
т.е. после того, как коллапс закончился и образовалась застывшая
черная дыра. На фиг. 2 показано, на что обычно похоже простран-
пространственно-временное поведение радиальной части этих функций, если
горизонт прошлого был. На фигуре использованы координаты и и v,
в которых радиальные световые направления имеют угол 45° с ося-
осями и которые вблизи горизонтов связаны с обычными координатами
Шварцшильда с помощью преобразования Крускала:
107

B.C. ДЕ ВИТТ
а) и в координатах Крускала
6) и в координатах Крускала
Фиг. 2.
Преобразование Крускала обеспечивает "максимальное аналитиче-
аналитическое продолжение" метрики Шварцшильда; достоинством этого про-
продолжения является то, что оно сохраняет хорошее (несингулярное)
поведение метрического тензора на горизонтах (г = Ш, t= ±«).
Строго говоря, соотношения A09) справедливы только в правом квад-
квадранте (вне горизонтов), а в других квадрантах они должны быть за-
заменены соответствующими выражениями того же типа. Квадрант, ко-
108
2. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
торый на каждой из фигур опущен, можно рассматривать как другую
вселенную, присоединенную к нашей с помощью так называемой "кро-
"кротовой норы" (wormhole), однако в случае коллапса такая вселенная
отсутствует и, следовательно, не имеет никакого значения для на-
настоящего обсуждения.
Каждая точка на диаграмме соответствует двумерной сфере ра-
радиуса г, а линии с постоянным г являются гиперболами. Линии со
стрелками, направленными под углом 45°, являются линиями посто-
постоянной фазы (гребни волны) для различных компонент базисных функ-
функций. Следует заметить, что на горизонтах в результате сближения
этих линий их плотность возрастает до бесконечности. Это одно из
выражений гравитационного красного смещения: чем ближе к гори-
горизонту находится волна, тем короче должна быть ее локальная дли-
длина волны, для того чтобы она имела (или должна была иметь) задан-
заданную наперед фиксированную (монохроматическую) частоту на беско-
бесконечности.
5.2. Глобальное поведение базисных функций
длл поздних моменте времени
На фиг. 3 показано действительное поведение базисных функций
в случае коллапса. Здесь имеется только один горизонт, горизонт
будущего, который образуется в результате катастрофического сжа-
сжатия материи, имеющей сферически-симметричное распределение. Ко-
Координаты, обозначенные, как и выше, через и и v, опять выбраны
так, что радиальные световые направления имеют угол 45° с осями.
Каждая точка снова соответствует двумерной сфере, исключением
является только ось v, которая представляет мировую линию центра
распределения массы. Точки, для которых и < 0, здесь не рассмат-
рассматриваются. Поскольку происходит коллапс, то в конце концов достига-
достигается световой конус, из внутренней области которого ни один сигнал
не может уйти на бесконечность. Это и есть горизонт. Его вершина
(событие, порождающее горизонт)/находится в начале системы u,v-ko-
ординат. Точка А, в которой поверхность коллапсирующей материи
пересекает горизонт, обозначает Момент рождения черной дыры. На
каждой фигуре в области над штриховой линией ACN и вне горизон-
горизонта новые координаты и, v и базисные функции Ж, "Ш совпадают с те-
теми, которые соответствуют фиг. 2. Ниже штриховой линии имеются
109

B.C. ДЕ ВИТТ
существенные различия. Рассмотрим прежде всего функцию "и. Над
линией ACN входящие волны, соответствующие этой функции, возни-
возникают на бесконечности с единичной амплитудой. Они сохраняют эту
величину амплитуды до тех пор, пока не достигнут области, где функ-
функция Vt A04) начинает принимать достаточно большие значения. На
диаграмме внешнюю границу этой области можно приблизительно
и О
L М
а) и при коллапсе
6) и при коллапсе
фиг. 3.
обозначить линией г = const, проходящей через точку С. По мере
того как падающие волны пересекают эту область, их амплитуда
уменьшается до тех пор, пока не достигнет величины IS, |, которую
они имеют в тот момент, когда пересекают горизонт. Уходящие (рас-
(рассеянные) волны рождаются в той же области. Они уходят на беско-
бесконечность, пересекая линию HIJ и имея при этом амплитуду | Xj |.
110
2. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
Под линией BCJ уходящие волны также уносят на бесконечность
амплитуду | Xj |. Однако процесс рассеяния, который их порождает,
существенно отличается от того, который происходит выше этой ли-
линии. Если проследить за этими волнами в направлении, обратном по
времени, то встреча с коллапсирующей материей произойдет вне го-
горизонта; это означает, что функция F^ имеет небольшую величину.
Более того, ниже линии OL горизонт больше не поглощает нерассеян-
нерассеянные падающие волны. В результате амплитуда падающих волн при
пересечении области между линиями ACN и OL быстро уменьшается,
а в области OLKB падает фактически до нуля. Ниже линии ВК ам-
амплитуда опять возрастает и в конце концов для ранних моментов вре-
времени стабилизируется на величине | Хг |. Эти, соответствующие ран-
ранним моментам времени падающие волны, если проследить за их эво-
эволюцией во времени, полностью превращаются в уходящие волны от-
отчасти за счет процесса обратного рассеяния из-за кривизны простран-
пространства, а отчасти за счет полного прохождения через центр коллапси-
коллапсирующей материи. Они должны, таким образом, иметь ту же самую
амплитуду, что и уходящие волны.
Необходимо сделать одно замечание о возможности негравита-
негравитационных взаимодействий между скалярным полем (или любым другим
полем, которое может быть проквантовано) и коллапсирующей мате-
материей. Если между ними имеется умеренное или сильное взаимодей-
взаимодействие, может возникнуть вопрос, почему мы исключаем его из рас-
рассмотрения при описании базисных функций гГ, Я", в частности тогда,
когда эти функции распространяются внутрь и через материю ниже
линии A CN. Ответ заключается в том, что мы будем рассматривать
проблему вакуума. В ранние моменты времени нет квантов поля. Сле-
Следовательно, коллапсирующая материя вначале взаимодействует толь-
только с вакуумными флуктуациями поля, в результате возникает необ-
необходимость в вычислении поправок к физическим свойствам материи,
возникающим в результате таких взаимодействий, а также в прове-
проведении всех необходимых перенормировок для наблюдаемых физиче-
физических параметров материи. Если мы предположим, что эти поправки
уже включены в наше описание материи, то нет необходимости рас-
рассматривать их повторно. Что касается реальных квантов, которые
рождаются в процессе коллапса, то они действительно непосредствен-
непосредственно взаимодействуют с материей, если, конечно, константа взаимо-
111

B.C. ДЕ ВИТТ
действия отлична от нуля. Однако сейчас я отложу обсуждение их
. свойств до более удобного случая.
Теперь давайте рассмотрим функцию ТГ, поведение которой су-
существенно отличается от поведения функции Ж Наиболее важной осо-
особенностью этой функции является то, что она соответствует беско-
бесконечному числу уходящих волн в области вне горизонта. Рассмотрим
уходящие волны, находящиеся в области OHIJB. Эти волны, проходя
через линию HIJ, переносят на бесконечность амплитуду \В1\. Одна-
Однако линию OL они пересекают, имея единичную амплитуду. Это озна-
означает, что отвечающие им падающие волны в области OLKB должны
переносить из бесконечности (через линию KL) по крайней мере боль-
большую амплитуду. Вблизи линии OL амплитуда этих падающих волн
должна быть, конечно, в точности равна единице. Вот почему число
волн вблизи линии OL бесконечно, и, следовательно, волны корот-
короткой длины (высокие частоты) доминируют. Эти волны распространя-
ются'по законам геометрической оптики без ослабления их интенсив-
интенсивности, связанного с рассеянием.
Нетрудно определить вид функции It вблизи линии OL на беско-
бесконечности. Заметим, во-первых, что
,r*/2M _
f— -1 .
2M
r/2M .
после подстановки в A09) это дает
г* - t = 4Mln(u
и, следовательно,
1Г(/, т, р | х)
A11)
Вид, который функция 1Г принимает в окрестности линии OL вдали
от оси v (геометрическая оптика), получается из A12) заменой пер-
первого члена, стоящего в скобках, и заменой второго члена выражени-
выражением A01) при г* -»»:
112
2. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
"и(/, т, р | х)
1
2
вблизи OL
х [б(-и - v) exp { i Шр In (-и -v)}+Bl (р) exp {ip(r* - t)}].
A13)
Ступенчатая функция в первом члене соответствует внезапному вклю-
включению этого члена, что ясно из фиг. 3(о). Чтобы в будущем при рабо-
работе с этим членом избежать трудностей, связанных с неопределеннос-
неопределенностью фазы, полезно добавить к р бесконечно малую мнимую часть,
так что на линии OL этот член действительно обращается в нуль.
Для того чтобы привести выражение A13) к виду, который мож-
можно было бы использовать практически, необходимо заменить перемен-
переменные и и v переменными г* и t. (В терминах г* и t метрика всюду
вне материи принимает свой стандартный шварцшильдовский вид.)
Связь между этими двумя системами координат устанавливается
с помощью следующих аргументов, принадлежащих Хокингу.
Пусть к — малый контрвариантный световой вектор смещения,
направленный внутрь вблизи горизонта в верхней части (и, у)-пло-
скости и имеющий компоненты (-€,«) в (и, ^-координатах. Пусть к
пересекает N волновых гребней функции 5?Г Сдвинем к параллельно
себе в прошлое вдоль линий постоянной фазы (которые являются све-
световыми геодезическими) через-центр коллапсирующёй материи и да-
далее опять на бесконечность. Сдвинутый таким образом вектор к бу-
будет по-прежнему световым и будет все также пересекать W волно-
волновых гребней (нового замененного члена), однако теперь он будет на-
направлен наружу. Следовательно, теперь он должен иметь [в коорди-
координатной системе (и, v)] компоненты (s, е). В координатной систе-
системе (г*, t), для которой в окрестности бесконечности интервал име-
имеет вид ds2 = dr*2 — dt2, компоненты вектора к должны, очевидно,
иметь вид (йг, Dt), где D - некоторый множитель, который (для
больших т *) является константой вдоль линии OL- Из этого следу-
следует, что для некоторого t
— и — v
¦D(t0- г* - t) вблизи OL.
A14)
Это соотношение может быть непосредственно использовано в выра-
выражении A13).
113

Б.С. ДЕ ВИТТ
5.3. Стационарная компонента и ее свойства подобия
Вдали от линии OL выражение A13) с заменой, соответствую-
соответствующей A14), не является более справедливым в строгом смысле. Во-
первых, множитель D перестает быть в точности константой. Во-вто-
Во-вторых, амплитуда замененного члена в A13) уменьшается. Например,
ниже линии ВК амплитуда приходящей компоненты должна стремить-
стремиться к | #г |, чтобы сравняться с амплитудой компоненты уходящих
волн ниже линии BCJ. Все эти изменения влияют, однако, только на
переходное поведение квантованного поля. Сейчас мы собираемся
рассмотреть тензор напряжений для больших значений г* выше ли-
линии BCJ. В этой области поле, как полагают, находится в стационар-
стационарном состоянии и поведение функции 7 оставалось бы неизменным,
если бы она была заменена функцией, вид которой для ранних времен
в точности совпадал бы с выражением A13). Я буду называть моди-
модифицированную таким образом функцию стационарной компонентой и
обозначать ее полужирным символом и:
<п,р\х) rfi<* -r*-tYexD\i4Mp[]n{tn-r*-t)+\aD]\+
г--» =» z-n v^p г
A15)
Единственной неопределенной величиной в выражении A15) явля-
является константа D, величина которой зависит от геометрии в области,
занятой материей, и, следовательно, от деталей коллапса. Оказыва-
Оказывается, однако, что нам нет необходимости знать ее. Это потому, что D
входит только под знаком логарифма и, следовательно, дает вклад
в виде несущественного фазового множителя15. Появление логариф-
логарифма является выражением важного свойства подобия для волновых греб-
гребней вблизи горизонта и вблизи лиши OL: пространственно-времен-
пространственно-временное распределение этих гребней, в частности их бесконечное скопле-
скопление, выглядит одинаково при любом увеличении масштаба.
15 По этой самой причине наши конечные результаты, соотношения A35)
и A36), будут оставаться неизменными, если начальное распределение мате-
материи было несферическим, при условии того, что'ее полный спиновый угловой
момент равен нулю [32].
114
2. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
5.4. Базисные функции дм ранних моментов времени.
Преобразование Боголюбова
Поскольку в процессе коллапса изменяется метрика, то можно
ожидать, что рождение частиц имеет место исключительно за счет
изменения геометрии. Для того чтобы вычислить их скорость рожде-
рождения, нам необходимо определить начальное состояние. Предположим,
что геометрия и распределение материи являются статическими для
ранних моментов времени, до того как начался процесс коллапса.
Базисные функции, которые соответствуют этому режиму, имеют вид
т,
I тг v ^Р г
ехрНргЧ-Н)' ехр{{(
2 5,
', Р> О,
A16)
где е = р, а 5^ (р) хорошо известный S-матричный сдвиг фазы. Здесь
у нас нет двух множеств базисных функций, которые обозначаются
стрелками -> и ¦*- , а только одно такое множество. Появление го-
горизонта вызывает эффект внезапного удвоения числа степеней сво-
свободы для поля! Это, однако, не более чем манера говорить, посколь-
поскольку пространство-время может быть полностью покрыто (вплоть до
сингулярности) последовательностью пространственноподобных ги-
гиперповерхностей и задача Коши хорошо сформулирована на каждой
гиперповерхности из этой последовательности независимо от того,
пересекает эта гиперповерхность горизойт или нет. Это означает,
что функции It, Я связаны с функцией / с помощью обратимого
преобразования Боголюбова:
р\х) = f [^
x°f*(l,4n,p'\x)]dp\
A17)
x) +%(p, p')f*(l, -m, p' \x)] dp'.
t(Z,m, p | x) =
Обратимость может быть выражена матричным соотношением [ин-
[индексы опущены, ср. A5)]
115

B.C. ДЕ ВИТТ
" ^ "оГ/
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
A18)
(здесь " обозначает дельта-функцию), которое означает, что
/(/, m, p |s) - f [t*(p>, р) 2[1, т, р' | х) -Jt (р1, р) 3*(; -и, р1 | *) +.
о
+ "o* (р1, р)T(Z, m, p1 |*) -Тг(р'. P)t*(Z, -m, р1 | ж)] ф1 .
A19)
Коэффициенты о и 3 невозможно вычислить точно. Однако нам
необходимы только те части этих коэффициентов, которые связаны
со стационарным режимом в поздние моменты времени. Чтобы опре-
определить эти части, мы представим пространственно-временное пове-
поведение функции f так, как это изображено на фиг. 4. Все приходящие
волны, соответствующие любой точке этой фигуры, начинаются на
бесконечности с единичной амплитудой. Когда они распространяются
внутрь, то те из них, которые лежат над линией OL, расщепляются
на две компоненты: компоненту, отвечающую рассеянию назад, и ком-
компоненту, которая продолжается через горизонт. В области AHIJC
обе эти компоненты дают в / полный вклад, который совпадает с
функцией "и в той же области. Это область стационарности. Следова-
Следовательно, используя для обозначения стационарной компоненты / полу-
полужирный шрифт, получаем
Щ т, р | х)
т, р | х) + [л*г (р\
о
Р1 I *) ~
A20)
Интеграл в этом выражении соответствует падающим волнам в об-
области OLKB на фиг. 4 и уходящим волнам в области ОАСВ, которые,
как показано, заканчиваются на линии АС, но которые на самом де-
деле продолжаются в область стационарности и накладываются на дру-
116
2; КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
гие уходящие волны в этой области. Интеграл представляет эти вол-
волны как линейную комбинацию стационарных функций Т и ТГ*.
Фи г. 4.
К L
Базисная функция f
М
5.5. Вычисле«мв коэффициентов преобразования,
соответствующего стационарным компонентам
Коэффициенты этой линейной комбинации могут быть определе-
определены путем вычисления внутренних произведений
Т,(Р'. Р) = <f(l, m, p), "u(Z, m, p')> , A21)
fl (Р*. Р) = - < Г Л -* p),~u(«. m. Р1) >, A22)
для ранних моментов времени. В ранние моменты времени точный
Вид внутреннего произведения [см. выражение F)] неизвестен, пото-
потому что мы не знаем метрику внутри материи. Эту трудность, правда,
117

B.C. ДЕ ВИТТ
можно обойти заменой функций A16) широкими волновыми пакетами,
относящимися к очень ранним временам, а затем переходя к преде-
пределу, когда пакеты становятся сколь угодно большими. Функции Ft
превращаются тогда в ехр(- ipr*), а внутреннее произведение может
быть взято в виде
-пг 2тг
2М.
Г1
<»,, u2> = J f* fdifd* 1 I г
oo IT 2tr
= j.f(fr* fdQ f d<? r2 sin 6 u*
-oo О О
2 .
 =
A23)
где двусторонний оператор совпадает с оператором F1) с той лишь раз-
разницей, что параметр а выбран равным нулю.
Мы можем проиллюстрировать эту процедуру вычислением коэф-
коэффициента ":
оо ТГ 21Г
/ dr* fdQ f d<? sin 6 exp Up (r* + t)][Ylm(cos 9)]2 x
P
/
:ln D]) + Bl(p)ip' + P)
exp(ip<0) / D Mp' x ~l
'-«»=¦
') exp (-»ря)- dx,
где ж = tQ - r* — t. Поскольку p > 0, контур интегрирования мож-
можно повернуть так, чтобы он совпал с нижней частью мнимой оси. По-
Полагая х = -s§/p, немедленно замечаем, что этот интеграл может
быть выражен через гамма-функции. G помощью хорошо известного
соотношения гГ(г)= Г(г + 1) получаем
(р«, р) =_
*
Di 4 V (ip }
2ttVpp'
118
2. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
Аналогично находим
"fy(pVp)= —
2 тг
Используя для ^функции представление
= Bтг)-х/р
о
-1 ±
и равенство
|r(i+i*)|2;
sh ттж
, х — вещественное
. A25)
A26)
A27)
и вспоминая, что р' и р" ^всегда положительны, легко убедиться,
что функции "oTj и ^г удовлетворяют следующим условиям ортонорми-
рованностиХ):
', Р)
г(р', Р)] dp = б(Р'- р"Ь A28)
', P)dp -0. A29)
5.6. Рождение частиц. Плаиковский спектр.
Температура шварцшильдовской черной дыры
Если теперь квантовое состояние в ранние моменты времени
выбрано вакуумным по отношению к базисным функциям f, то ва-
вакуумное среднее тензора напряжений в области стационарности дает-
дается выражением
I, m О
AA, п, р | х),1* (I, щ р | х)) dp ш.
15 Функции o"j и ^, для которых ^ и "i являются стационарными
компонентами, также удовлетворяют соотношению A28), равно как и соотно-
соотношению, которое получается из A29) антисимметризацией по р1 и р" [см.
выражение A18)].
119

B.C. ДЕ ВИТТ
2 \ / T»v(u(l, m,p\x),7*(l, m, p\ x)) dp +:
J, m о
7 rfP f dp1 J (*p"[?*(p". p) в",(р'.-р) +
0 0 0
?
, "VP" i *), u*(h
IT* (I, m, p |
г(р', р) Г^ИГЦ m,p I *), "u*& m, p' | *)) -,
- If (pVp) ГМУ( u"(/, m, P\ x), 1A, -m, p' I *)) -
- flip', P) T^G*(l, m, p'| *), 1*(l, -m, p |*))]}.
A30)
Подынтегральное выражение в фигурных скобках в последнем инте-
интеграле очень сильно осциллирует при больших г* и, следовательно,
этот интеграл в пределе г* -¦ » стремится к нулю. Второй интеграл
в фигурных скобках (тройной интеграл) может быть сведен к одно-
однократному с помощью тех же равенств [соотношения A26) и A27)],
которые были использованы для получения условий ортонормируе-
мости A28) и A29). Таким образом, получаем
> Z l
Г*-* oo 1>т 0
+ :i*Dirlfp)
,p\x), ~S*(l,m,p\x)) +
"u(Z, т, р\х) Ъ*A,т, р,\ *))] ф. A31)
получить интенсивность стационарного потока рождающих-
рождающихся частиц, нам необходимо знать (г, t )-компоненту этого выражения
в области над линией BCJ. Используя явный вид тензора напряжений,
находим для обоих случаев, обычного скалярного поля и конформно-
инвариантного скалярного поля, следующие выражения15:
0 В этих выражениях тензор напряжений взят в виде плотности.
120
2. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
Тн(иA,т,р\х), ~и*A,т,р\х)
Выше BCJ
Tft(u(l, m, p\ x), H*(l, m, p\x))
Вьше BCJ
и отсюда, используя равенство A07), получаем
>- ,-.?!z[
г* -> oo 4 ТГ2 i, т
Выше BCJ
<Т
п
„8TrJlfp _
A32)
A33)
ф.
A34)
Из A34) немедленно следует, что спектр испускаемого черной
дырой излучения планковский! То есть черная дыра выглядит как
черное тело, имеющее температуру
Т = Vgwilf. A35)
и наблюдаемое через фильтр, причем фильтр представлен вероятност-
вероятностным коэффициентом пропускания | В{ |2. Эта связь температуры с
черной дырой и составляет суть удивительного открытия Хокинга.
5.7. Непротиворечивость принципам
термодинамического равновесия
Следует заметить, что температура зависит только от массы
черной дыры и не зависит от деталей ее образования. Температура
не зависит также от величины константы взаимодействия (если та-
такое существует) между скалярным полем и коллапсирующей матери-
материей. Это можно увидеть следующим образом. Предположим вначале,
что никакого взаимодействия не существует. Тогда коллапсирующая
материя, даже если вначале она была очень горячей, для наблюдате-
наблюдателя на бесконечности будет объектом, имеющим температуру, кото-
которая экспоненциально быстро уменьшается (красное смещение) по ме-
мере того, как поверхность этого объекта приближается к горизонту.
В то же время излучение, порождаемое геометрией, будет по-прежне-
по-прежнему наблюдаться йа бесконечности как имеющее температуру Г. Те-
Теперь предположим, что включается взаимодействие. Тогда становит-
становится существенным следующий вопрос. Откуда в действительности
121

B.C. ДЕ ВИТТ
возникает излучение? Хотя необходимо проделать еще много работы,
чтобы на этот вопрос можно было ответить с полной уверенностью,
все же кажется, что есть только два правдоподобных ответа. Излу-
Излучение либо рождается с постоянной интенсивностью в окрестности
горизонта вдоль всей его поверхности, либо подавляющая часть его
рождается внутри области ОАСВ (фиг. 3 и 4), которая в основном
находится внутри материи. В первом случае не возникает никаких
проблем: взаимодействие между материей и излучением не будет
влиять на температуру стационарного потока. В последнем случае
имеют место следующие аргументы. Поскольку излучение является
а) тепловым и б) неисчерпаемым (до тех пор пока черная дыра не
распадется сама по себе; см. ниже), любое взаимодействие, между
ним и материей может служить только тому, чтобы привести мате-
материю в состояние с той же температурой, которую имеет излучение.
Кванты, достигающие бесконечно удаленного наблюдателя, в этом
случае-будут в большей своей части излучены материей (переизлу-
Чение), т.е. они будут по-прежнему иметь температуру Т. Значит,
для материи наблюдаемая температура вместо того, чтобы экспонен-
экспоненциально убывать к нулю, стабилизируется на величине Т. Между
прочим, это наводит, на мысль, что для компенсации красного смеще-
смещения материя должна иметь очень высокую локальную температуру
(бесконечную, если энергия излучения на самом деле неисчерпаема)
в окрестности точки А на фиг. 3 и 4.
Хокинг пришел к выводу о существовании теплового излучения,
не опираясь на тензор напряжений, а с помощью рассуждений, связан-
связанных с рассмотрением волновых пакетов; и он не дал точного выра-
выражения для полной яркости черной дыры. Теперь, используя явный
вид для тензора напряжений, легко получить это выражение [ср.
с формулой (87)]
' = Hm
dt r -» oo
2 f
2тт1 = о о
Выше BCJ
.dp.
A36)
Если идея температуры не противоречит термодинамическим принци-
принципам, то уменьшение массы черной дыры должно прекратиться, если
ее лишить уединения и поместить в резервуар с излучением, который
122
2. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
имеет такую же температуру, что и температура черной дыры. Тогда
должно существовать состояние равновесия, при котором черная ды-
дыра поглощает столько же квантов, сколько излучает сама. Это может
быть проверено прямым вычислением скорости поглощения. Плот-
Плотность скалярных фотонов при температуре Т, которые имеют им-
импульсы, принадлежащие элементу объема d3 р из импульсного про-
пространства в окрестности р, равна
B и)8
- 1)
A37)
Фотоны с импульсом р, которые имею прицельный параметр, соот-
соответствующий угловому моменту I, находятся в коаксиальной трубе,
ось которой проходит через центр черной дыры, имеющей площадь
кольцевого сечения, равную B1 + 1) тг/р2 . Скорость поглощаемой
энергии получается с помощью умножения этой площади на величи-
величину р | ~Bt (р) |2 и на выражение A37), где ^ - амплитуда прохожде-
прохождения (внутрь черной дыры) падающего.излучения, и последующего ин-
интегрирования по р и суммирования по I. 'В силу равенства A05)
немедленно получаем, что скорость поглощения равна скорости из-
излучения | dM/dt |1}.
5.8. Яемпермура керровской черной дыры
Идея температуры может быть распространена на случай керров-
ских черных дыр. Нетрудно показать [рассматривая, например, ин-
интервал E.1) на экваторе: в = тг/2], что в окрестности горизонта
для метрики Керра координаты типа крускаловских получаются за-
заменой величины 4М в соотношении A09) на величину 4Мг /(г - г_).
Следствием этого является то, что эффективная температура черной
дыры Керра равна
'ларри Форд и Стивен Хокинг показали (частное сообщение), что
равновесие между черной дырой и резервуаром с излучением, имеющим
ту же температуру, на самом деле неустойчиво. Чем больше энергии излу-
излучает черная дыра, тем горячей она становится [см. A46)] и наоборот, чем
больше она поглощает, тем больше охлаждается. Некоторые звезды в опре-
определенные моменты их эволюционного цикла ведут себя так же.
123

Б.С. ДЕ ВИТТ
" г
A38)
и выражение A34) должно быть заменено выражением
±1 2 7A- | Tjp. °)\>№1т(°Т\ -в9)]2 х
4тт2 1>ть
Выше BCJ
ехр \(р -тп„)/кТ\ - 1
A39)
Если масса черной дыры очень велика, так что температура очень
мала, то планковский множитель в A39) пренебрежимо мал для
Р > т QH и практически равен -1 для р < т?2„ . Таким образом,
в этом пределе выражение A39) сводится к (8э). Другими словами,
если масса очень велика, то температурное излучение пренебрежи-
пренебрежимо мало и поток энергии сводится к спонтанному излучению Старо-
бинского и Унру.
5.9. Энтропия черной дыры.
Обобщенный второй закон термодинамики
Если для черной дыры определена температура, то для полноты
термодинамической картины необходимо рассмотреть также и ее
энтропию. Идею о том, что черной дыре можно было бы поставить
в соответствие некоторую энтропию, впервые выдвинул Бекенштейн-
[1], который использовал аналогию между теоремой Хокинга о пло-
площади поверхности черной дыры (98) и вторым законом термодинами-
термодинамики. Эта теорема привела Бекенштейна к определению энтропии как
величины, которая пропорциональна площади поверхности черной ды-
дыры, а коэффициент пропорциональности он попытался определить из
следующих соображений: если материя падает в черную дыру, то
энтропия, которую она переносит, для внешнего мира эффективно те-
теряется, т.е. если бы энтропия черной дыры не возрастала на ту же
самую величину, то имело бы место нарушение второго закона термо-
¦ динамики. Простейший объект, который может упасть в черную ды-
дыру, — элементарная частица. Наименьшая информация сопоставимая
с частицей, — это существует частица или нет, т.е. один бит инфор-
124
2. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
мации. Таким образом, максимальная энтропия, которую может пере-
переносить элементарная частица, равна kin 2; она совпадает с измене-
изменением энтропии черной дыры, AS = A In 2, которое производит падаю-
падающая на нее частица. Недавно Кристодулу и Руффини [15] показали,
что существует только один тип орбиты, по которой идеализирован-
идеализированная точечная частица может пересечь горизонт черной дыры, не
вызывая увеличения площади ее поверхности, а именно, по орбите,
касательной к горизонту. Если частица имеет радиус г и массу •т,
то, как показал Бекенштейн, поверхность черной дыры возрастает
на величину Д А = 2 тт даже для этого типа орбит. В квантовой
теории все частицы имеют эффективный радиус порядка комптонов-
ской длины волны. Таким образом, г = §/т и, следовательно,
А А = 2 ?, где ? некоторое число порядка единицы. Выражения
для AS и АА будут непротиворечивы, если мы определим
S-ft-lli-il. A40)
Н
Бекенштейн проанализировал это определение также в нескольких
других физически интересных контекстах и обнаружил, что оно не-
непротиворечиво во всех случаях.
Открытие Хокинга позволяет определить величину константы ?.
Мы перепишем выражение (98) в следующем виде:
— г
dM. = -
32тгМг+
¦ rf-4
1
kT dA
A41)
и обратим внимание на аналогию между этим выражением и выраже-
выражением C4). Мы сразу же приходим к равенству
S=-LiW
4
A42)
а следовательно.
С = 21п2. A43)
Поскольку мы теряем всю информацию о состоянии упорядоченности
или неупорядоченности материи, которая падает в черную дыру, то
энтропия черной дыры должна совпадать с максимальной энтропией,
* которую может иметь тело с фиксированной массой и угловым момен-
125

B.C. ДЕВИТТ
2. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
том. В самом деле, Бекенштейн показал, что по астрофизическим
масштабам энтропия, которая дается выражением A42), исключитель-
исключительно велика. Например, энтропия черной дыры, масса которой равна
массе Солнца, равна 5» 10 ю эрг/град, в то время как энтропия само-
самого Солнца порядка только 1042 эрг/град.
С' введением обобщенного второго закона термодинамики, в ко-
котором требуется, чтобы не убывала полная энтропия данной астро-
астрофизической системы, включая энтропию любой черной дыры, содержа-
содержащейся в ней, обобщается теорема Хокинга о поверхности черных дыр.
Теперь поверхность черной дыры может уменьшаться, и это действи-
действительно будет так, если она не помещена в сосуд с излучением, тем-
температура которого больше или равна температуре черной дыры, или
не подвергается бомбардировке частицами в какой-либо другой форме.
5.10. Закон уменьшения массы. Критическая масса
Представляет интерес исследование закона уменьшения массы
черной дыры, который определяется выражением A36). Для простоты
я аппроксимирую интеграл в правой части, предполагая, что величи-
величина амплитуды прохождения fi^(p) определяется для всех длин волн,
даже для длинных волн, с помощью геометрической оптики. Если
функция V[ из выражения A04) для некоторых значений величины г
становится положительной, то в приближении геометрической опти-
оптики никакого прохождения не будет. Нетрудно убедиться, что для
Мр ». 1 прохождение прекращается, когда I больше у/ШГ Мр, и что
точка обрезания по I для амплитуды прохождения не очень сильно
отличается от этой величины, даже когда Мр мало. Таким образом,
я буду брать
/йГ*). A44)
Подставляя это выражение в A36) и используя соотношение
2B/ + 1) в(у/?ГМр - /)« 27 MV, A45)
I
мы получаем
*.„-*?- Р* dp = -—J A46)
it 2тг о е81тА/р-1 10тг.84-М2
126
Решение этого дифференциального уравнения имеет вид
т. — Мл •""* -.^—»^—^—— t .
0 Ютг-84
A47)
где М величина М при t =0. Таким образом, время жизни черной
дыры дается формулой
Ютг-84
27
¦ И'
A48)
которую следует сравнить с выражением (95). Приближенное выраже-
выражение A48) может быть улучшено, если разделить его на число различ-
различных безмассовых квантов, которые существуют в Природе, а также
принять во внимание испускание массивных частиц.
Закон распада, выраженный формулой A47), не экспоненциальный,
как в (94), а носит взрывной характер. В последнюю десятую часть
секунды своей жизни черная дыра выделяет энергию порядка 1080 эрг.
Для того чтобы черная дыра прожила не меньше, чем возраст вселен-
вселенной, ее масса должна превышать 1015 г. Если на ранних этапах раз-
развития вселенной возникли черные дыры с массами меньше этой, то
они больше не существуют.
5.11. Заряженные черные дыры
Гиббоне [28] и Дамур и Руффини [16] рассмотрели проблему
рождения частиц заряженными черными дырами. В этом случае, в до-
дополнение к излучению энергии и углового момента с помощью меха-
механизма, который мы описали выше, имеется чистое излучение заряда,
причем за него ответственно электростатическое, а не гравитацион-
гравитационное поле черной дыры. Для черных дыр с массой больше, чем 10 и г,
имеет место процесс излучения, соответствующий парадоксу Клейна;
именно он в этом случае доминирует, а скорость излучения опреде-
определяется формулой Швингера (для рождения пар в постоянном электри-
электрическом поле). Для черных дыр с меньшей массой доминирует терми-
термический процесс излучения Хокинга, а поток заряда в этом случае
аналогичен термическому току. В обоих режимах черная дыра стре-
127

B.C. ДЕ ВИТТ
мится разрядиться, и, до тех пор пока она сверхмассивна или несет
неправдоподобно большой заряд, она делает это довольно быстро15.
Следовательно, представляется весьма маловероятным, что малые
черные дыры (М - 1017 г) когда-либо будут наблюдаться в пузырько-
пузырьковой камере, даже если статистически их вокруг значительное коли-
количество (что само по себе чрезвычайно маловероятно, как это можно
заключить, учитывая известные пределы для плотности массы во
воеленной).
5.12. Голая сингулярность
Если поверхность черной дыры обращается в нуль за конечное
время, то событие, которое обозначает ее исчезновение, соответ-
соответствует голой сингулярности. (Это следует из того, что структура про-
пространства-времени в окрестности исчезающего горизонта событий
неизбежно некаузальна. Таким образом, квантовая теория, как ока-
оказывается, ведет не только к нарушению теоремы Хокинга о поверх-
поверхности черной дыры, но нарушает также принцип космической цензуры
(т.е. принцип, заключающийся в том, что все сингулярности, за исклю-
исключением первоначального Большого Взрыва, всегда скрыты внутри го-
горизонтов событий). Следовательно, чрезвычайно интересным стано-
становится более детальное исследование геометрии распадающейся чер-
черной дыры.
К сожалению, вывод теплового излучения, предложенный Хокин-
гом, из-за концентрации внимания в первую очередь на излучении,
которое приходит на бесконечность, дает мало или вообще не дает
никакой информации об изменениях, которые имеют место вблизи
.горизонта. Как мы видим, тепловое излучение нечувствительно по
отношению к деталям процесса коллапса. Возникает вйпрос: можем
ли мы получить больше информации с помощью построения идеализи-
идеализированных моделей коллапса, которые позволят нам исследовать по-
поведение базисных функций во время самого.коллапса? В самом деле,
Хокинг впервые открыл эффект теплового излучения именно этим
5 Руффини и Вильсон (цитируется в работе Дамура и Руффини Ьб]) тем
ее полагают что черные дыры с массой больше, чем Mq (= 2« 1О88 г),
5 Руффини и Вильсон (цитируется в работе Дамура и
не менее полагают, что черные дыры с массой больше, чем
могут нести значй доста
облаком пггазмы.
не менее полагают, что черные дыры с массой больше, чем Mq ( 2 1О
могут нести значительный заряд, если они окружены достаточно большим
облаком пггазмы.
128
2. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
путем. Однако он был не удовлетворен выводами, поскольку они не
объясняли нечувствительность эффекта к выбору модели. Он не пуб-
публиковал свое открытие до тех пор, пока во время его изложения
(частное сообщение) Не "нашел путь лучше".
Ульрих Герлах [27] и Давид Бульвар [3] недавно воспроизвели
результат Хокинга, используя модель коллапсирующей сферической
пылевой оболочки. Оказалось, что из их анализа выясняется следую-
следующая картина. Тепловое излучение возникает в самой оболочке. Обо-
Оболочка остается всегда вне горизонта. Излучение отнимает кинетиче-
кинетическую энергию от оболочки; поверхность горизонта, которая пропор-
пропорциональна квадрату суммы энергии покоя, кинетической и гравита-
гравитационной энергии связи оболочки, стационарно уменьшается. Поверх-
Поверхность оболочки и поверхность горизонта исчезают одновременно.
Однако остается выяснить еще много вопросов, прежде чем эта
. картина может быть принята как твердо установленный факт. Преж-
Прежде всего маловероятно, что коллапс оболочки имеет какой-либо
смысл, когда он происходит после того момента, когда радиус ее до-
достигает абсолютной единицы длины ~10"88 см (так называемой
"планковской длины"). В этот момент из-за квантовых флуктуации са-
самого гравитационного поля нарушается концепция классической "фо-
"фоновой геометрии". О том, что лежит за этим пределом, можно лишь
догадываться.
Во-вторых, в настоящее время между специалистами существу-
существует некоторое разногласие по поводу "локальной реалистичности"
теплового излучения. Все согласны с тем, что на бесконечности из-
излучение действительно существует. Разногласия возникают по пово-
поводу реальности излучения вблизи горизонта. Хокинг [31] считает бес-
бессмысленным говорить, что излучение возникает в некоторой данной,
области. Потому, что горизонт - это некоторый глобальный объект,
и потому, что наблюдатель, пересекающий горизонт во время свобод-
свободного падения, не замечает ничего необычного в геометрии этой об-
области, Хокинг, в частности, не признает соображения о том, что
излучение возникает вблизи горизонта. Разногласие усложняется
еще трудностью определения понятия "частицы" в отсутствие вре-
мениподобного векторного поля Киллинга и настойчивыми замеча-
замечаниями некоторых авторов о том, что объект, который свободно па-
падающий наблюдатель называет частицей, отличается от того, что
129

B.C. ДЕ ВИТТ
называет частицей ускоренный наблюдатель (например, "покоящий-
"покоящийся" в поле Шварцшильда).
Если прекратить бессмысленные дискуссии, то сразу станет
очевидной настоятельная необходимость попытаться разрешить по-
последнее из разногласий с помощью построения точных моделей
для "детекторов частиц" и выяснения их поведения в условиях сво-
свободного падения и ускорения. Но, наверное, столь же необходимо
вернуться (по крайней мере на некоторое время) к этому спорному
вопросу об определении частиц и локализации места их рождения и
задать вместо этого вопрос: чему равно квантовое среднее тензора
напряжений вблизи горизонта? Какое изменение возникает в геомет-
геометрии пространства-времени (как внутри, так и вне горизонта) под влия-
влиянием этого среднего? Как я заметил выше, правильное определение
эффективного тензора напряжений должно учитывать не только по-
появившиеся реальные частицы, но также и вирутальные, и, следова-
следовательно, эффективный тензор напряжений не может быть хорошо опре-
определен до тех пор, пока у нас нет хорошо определенного и непротиво-
непротиворечивого пути регуляризации и перенормировки ruv.
6. РАСХОДИМОСТИ
6.1. Резюме различных подходов
Методы, которые до настоящего времени предлагались для рабо-
работы с расходящимися частями тензора Гц", распадаются на два клас-
класса: 1) ковариантные схемы, имеющие своей целью показать, что рас-
расходимости могут сокращаться путем введения контрчленов в функ-
функционал гравитационного действия, и 2) методы, зависящие от систе-
системы координат, которые вводились в соответствии с контекстом конк-
конкретных физических задач. Среди имен авторов, связанных с разви-
развитием методов из первого класса, 'т Офт и Вельтман [33], Каппер
и Рамон-Медрано [7] (см. также Каппер, Лейббрандт и Рамон-Медра-
но [8] и Каппер, Дафф и Гальперн [9]), Дезер и Ван Ньивенхёйзен
[18], и Утияма и де Витт [48]; авторы, связанные с развитием ме-
методов из второго класса, -*¦ это Зельдович и Старобинский [52] (см.
также Зельдович, Лукаш и Старобинский [53]) и Паркер и Фуллинг [39]
(см. также Фуллинг и Паркер [25] и Фуллинг, Паркер и Ху [26].
130
2. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
Авторы, развивавшие второй класс методов, вначале интересо-
интересовались рождением частиц на ранних этапах развития вселенной и в
течение ее заключительного коллапса. Одна из их целей состояла
в том, чтобы определить, действительно ли рождение частиц, вызы-
вызываемое кривизной пространства, а также связанные с ней виртуаль-
виртуальные процессы могут привести к затуханию любой начальной анизотро-
анизотропии, которая существовала во вселенной, и к космологии, которая
находится в согласии с настоящими наблюдениями. Для этого им ну-
нужен конечный тензор напряжений, из которого вычтены бесконечнос-
бесконечности, чтобы его можно было использовать как источник обратного влия-
влияния на геометрию пространства-времени. Зельдович и его коллеги
несколько прогматически выбрали в рамках пространственно-плоской
модели Казнера чрезвычайно простои алгоритм для вычитания этих
бесконечностей и обнаружили, что получающийся в результате этого
тензор напряжений приводит к быстрой изотропизации вселенной.
(О деталях см. литературу.) Паркер и Фуллинг, которых больше инте-
интересовал теоретический аспект проблем, попытались пойти дальше
этого алгоритма, распространив его на случай, когда трехмерное
пространство искривлено, и показав, что вычитания можно свести
к соответствующим образом выбранным контрчленам в функционале
гравитационного действия. Таким образом, они пытаются дать убе-
убедительное физическое оправдание (или по крайней мере проверку не-
непротиворечивости) для этого алгоритма и установить связь с кова-
риантными схемами из методов первого класса. В настоящее время
они достигли лишь частичного успеха; правда, остается несколько
сбивающих с толку конечных членов, которые невозможно идентифи-
идентифицировать с тензорными компонентами нужного типа.
Главный камень преткновения в исследованиях такого рода за-
заключается в трудности учета априорного геометрического (тензорно-
(тензорного) характера отдельных частей расходящихся сумм по модам, когда
базисные функции таковы, что соответствуют только очень ограни-
ограниченным типам геометрий. К сожалению, ковариантные схемы из ме-
методов первого класса, о которых мы говорили выше, не могут помочь
по двум причинам. Во-первых, непосредственно их можно использо-
использовать только для слабых (линеаризованных) гравитационных полей в
131

B.C. ДЕ ВИТТ
плоском пространстве-времени1', и во-вторых, они применимы толь-
только, если вся проблема может быть сформулирована лоренц-ковариант-
ным образом. Существует, однако, схема, известная как "метод фо-
фонового поля", которая обходит проблему лоренцевой ковариантности,
а сразу дает настоящую общую ковариантность. Именно эту технику
я пытаюсь популяризовать последние несколько лет [19, 20]. 'Те, кто
занимается теорией эффективного потенциала и теориями слабого
взаимодействия типа Янга - Миллса, признали ее полезной, и если
бы не требовалось усилий, необходимых для овладения этой техни-
техникой (для овладения всеми другими приемами квантовой теории поля
необходимо учиться, чтобы эффективно ее использовать), то сейчас
больше специалистов в общей теории относительности признало бы
ее полезность. Во всяком случае это единственный метод, который,
насколько я понимаю, кажется, способен разрешить трудности, воз-
возникшие в настоящее время, и в этом последнем разделе я использую
его как средство для того, чтобы продемонстрировать основную идею
схемы ^Зельдовича - Старобинского и показать, как могут быть до-
достигнуты цели, которые ставили перед собой Паркер и Фуллинг. '
6.& "In"- a "out"-области, коэффициенты Боголюбова
и S-мтрица
Для того чтобы изложить основные идеи, предположим, что в
пространстве-времени имеются две причинно связанные стационар-
стационарные области, именно область "in" и область "out", каждая из кото-
которых обладает полной гиперповерхностью Коши и времениподобным
векторным полем Киллинга, как это описано в разд. 1. Трехмерное
пространство может быть либо конечно, либо бесконечно с произволь-
произвольной связанностью. Позже я покажу, что предположение о существо-
существовании in- и out-областей для конечных результатов несущественно.
-'Авторы методов из первого класса обычно выделяют коитрчлены,
имеющие полную общую ковариантность, но они поступают некорректно.
Все, что они проверяют непосредственно с помощью лоренц-ковариаитных
вычислений замкнутых петель в импульсном пространстве — это лишь квад-
квадратичные части этих членов. Полные контрчлены получаются, если прчэввть
на помощь общую ковариантность и (или) так называемые тождества Уорда-
Славнова.
132
2. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
Выбранная нами процедура вычитания будет оставаться справедли-
справедливой и в пределе, когда объемы этих областей стремятся к нулю.
Пусть {и.п . } и iuout .} — полные наборы положительно-частот-
положительно-частотных нормированных базисных функций соответственно в областях in
и out. Они будут связаны между собой преобразованием Боголюбо-
Боголюбова [ср. A4)]:
%.u-ffyV/+Vt> A49)
где коэффициенты преобразования удовлетворяют соотношению A5).
Я буду предполагать для простоты, что квантовое поле скалярно,
однако не буду требовать, чтобы оно было безмассовым или конформ-
конформно-инвариантным. Уравнение поля будет иметь вид
- т\) = 0, A50)
где т - масса, R - скалярная кривизна, а § - численная констан-
константа. (Для конформно-инвариантного поля т = 0 и ? = 1/6.) Методы
и качественные результаты настоящего раздела будут справедливы
также для полей со спином, как фермионных, так и бозонных.
Векторы вакуумного состояния в in- и out-областях определя-
определяются соотношениями
°in, «• I in' vac > = °' "out, «¦ Iout»vac > = °'
для любого *,. где
fK,iUin,i +eta.<B
t,,uout,i + 0out,,Bo»t,,>-
A52)
Операторы уничтожения в in- и out-областях связаны между собой
соотношениями [ср. A6)]
«out,,'
} V/ "
& "
out,/
;- °
out,
' . ' A53)
?ги соотношения позволяют выразить S-матрицу с помощью коэффи-
коэффициентов Боголюбова.
133

B.C. ДЕ ВИТТ
6.3. Амплитуды рождения и уничтожения частиц
Для квантовой космологии особый интерес представляют ампли-
амплитуды многочастичного рождения и уничтожения:
A54)
~W,„.> „о„ i ,„ ,- ...г ¦>. A55)
-iW
in/2 V t = e~l <out, I,-—*'-I in. vac> >
i. •'ш п
= е
<out, vac | in, »1...г'п>>
где
I in, »
e = <out, vac | in, vac > ,
...» > = a* . ... a* . | in, vac> ,
1 л in, l, 1П>г„
out
i i > = o* . ...o* . |out, vac>.
A56)
A57)
A58)
Цзедполатая, что векторные состояния in- и out -вакуумов нормиро-
нормированы на единицу, можно написать
.п/2
ш, vac > =
> = e™ 11 z у I out, ;,.../„>,
out, vac > = e~iw 2 2 Л*. ¦!«»,/,•••/„>•
A59)
Подстановка этих выражений в A51) и использование соотношений
A53) дает равенство
A60)
)'/j
2 i(-»)/2A*
3?t I in, *,/,.../„>!,
A61)
134
2. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
из которых можно заключить, что
A62)
Л,
I?
o,
2
p
V,
\>,
. V.
- ln-lln
n
n
n
n
нечетное,
четное,
нечетное,
четное,
A63)
A64)
чл/2 ,
где 2 означает суммирование по га!/2п/а(п/2)! различным спарива-
Р
ниям индексов »t... »п.
Соотношения A63) и A64) показывают, что процессы рождения
и уничтожения частиц состоят из индивидуальных событий рождения
и уничтожения пар. Полная симметрия амплитуд (случай бозе-ста-
тистики), в частности симметрия
fy-V *v-v <165>
следует из соотношения A5). {В случае фермионов имеет место пол-
полная антисимметрия.)'Существование обратной матрицы (а г.1), появ-
появляющейся в соотношениях A62), следует из равенства
t t
ао = 1 + РР (положительно определено).
A66)
6.4. Амплитуды одночастичного рассеяния
и оптические теоремы
Оставшиеся структурные элементы S-матрицы являются ампли-
амплитудами одночастичного рассеяния
6.. +»/.. = e~lW <out, i | in, />= e~l <out, »|o? . | in, vac > =
x ,-n/2
= 2 2 V,
„=O n\ kr..kn,l V
+ hf °out, / I out' kl-kn>
<out, i Го?, о*
= -o* + i 2 V.
A67)
135

Б.С. ДЕ ВИТТ
A - i/t)(l + И) = 1 -Л1" Л
Опуская индексы й используя симметрию V'. ¦, можно переписать
это выражение в виде
1 + t/ = а* ~ф*а-хГр = а* -а-г'р1'р =
-о*- а-1~(а~о*- 1)-о-1~.
Основное содержание соотношения A5) заключается тогда в следую-
следующих тождествах, которые можно из него вывести:
A69)
Эти тождества составляют релятивистский вариант хорошо известной
оптической теоремы и вместе с соотношением A72) (см. ниже) гаран-
гарантируют унитарность полной многочастичной S-матрицы. (См. де Витт
[20]. О фермионном случае см. Швингер [44].)
6.5. Амплитуда перехода вакуум - вакуум.
Связь расходимостей в мой амплитуде с расходимостями в
Единственный момент, выпавший из предыдущего рассмотрения,
это амплитуда переходов вакуум - вакуум. Ее можно получить, на-
налагая на полную вероятность перехода из начального вакуумного
состояния условие равенства ее единице
1 г
I | <out, i,... '„| in, vac> | =
1=
Z
L
-aimIF у JL_
\->,
откуда в силу A69) получаем
= det(l -
136
(ПО)
A71)
2. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
а при естественном выборе фазы имеем
il)'* = (det a)~* , A72)
Детерминанты, написанные выше, - это детерминанты фредголь-
мовского типа, для их оценки имеется в принципе большое число раз-
различных методов. Детерминанты A71), которые определяют мнимую
часть У,-конечны. Однако детерминанты A72), которые определяют
реальную часть W (и, следовательно, естественную фазу), содержат
расходимости, фактически те же самые расходимости, что содержит
тензор напряжений. Чтобы увидеть это, представим, что метрический
тензор подвергается инфинитезимальному изменению 5 g , которое
приводит к соответствующему изменению 6S функционала действия D)
для поля <р. Если носитель вариации Sg находится в пространствен-
пространственно-временной области между in- и out-областями, то, согласно хоро-
хорошо известному вариационному принципу (который включает в себя
естественную фазу), получаем соотношение
SW = -ie~iWSeiW = -ie~lWS < out, vac | iu, vac > =
= e~lW< out, vac|6S | in, vac >,
которое в силу A1) дает
„ 8f
A73)
e~ilr<out, vac |
(<p, <p) | in, vac > =
oo ;i/2
Z —— Z A, . { <in,ir...ie|7'»n'(9,9)|in,vw:> =
n = o ra! »,...* in
1 n
. .,u* .)
in, t ' in,r
Z A..
¦ ¦ 4
in, r in,;
A74)
Предположим, что в in-области частиц нет. Тогда первый член в пра-
правой части A74) (последнее равенство) является вакуумным средним
тензора напряжений, и мы получаем
vac|
fa, vao - 2 ^- _ f
f 2 A
ii
137

B.C. ДЕВИТТ
Аналогично получаем
<out, vac| THout, vac> =2|L
A76)
и вообще аналогичные выражения также имеют место для средних
тензора напряжений по другим состояниям. Вторые члены в правых
частях A75) и A76) (и аналогичные члены для средних по другим со-
состояниям) конечны. В каждом случае расходимости содержатся в
члене 2 SW/Sg . Таким образом, чтобы исследовать расходимости,
достаточно исследовать функцию W.
6.6. Анализ W методом функций Грина
Удобно начать этот анализ с переписывания вариационного равен-
стваA73) в более явном виде:
— е < out, vac | <р6 F<p | in, vac
~* W Sp FF <out, vac \ [<p, q>]+ '| in, vac >),
A77)
¦1
где Sp означает, что интегрирование должно проводиться по всем
опущенным пространственно-временным индексам, которые есть
у 5F и обоих полей <р. Введение антикоммутатора возможно из-за
симметрии (реальности) самосопряженного оператора 6F в бозон-
ном случае. (В случае фермионов должен был бы появиться комму-
коммутатор.) Далее,
у [e(V, x)
A78)
ж') -
где "( )". обозначает хронологическое произведение, а Q(x,
хронологическую ступенчатую функцию:
11, если х лежит в будущем от пространственно-,
подобной гиперповерхности, проходящей через %'; A79)
О в противоположном случае.
138
2. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
Из-за коммутативности полей <р для пространственноподобных-расстоя-
пространственноподобных-расстояний выбор гиперповерхности в определении A79) несуществен. Хорошо
известно (см. Пайерлс [40]), что коммутатор полей <р определяется
соотношением
- G ,(х,
retv '
A80)
где ^adv и 4et ~ 0ПеРежаЮ1Цая и запаздывающая функции Грина
для оператора F. Таким образом,
СG
Хорошо известно также, что1
adv(
| in, vac> = -iG(x, x1),
A81)
A82)
где G - фейнмановский пропагатор, связанный с областями in и out,
т.е. такая функция Грина для F, которая, если рассматривать ее как
функцию обоих аргументов, имеет чисто положительно-частотное по-
поведение в out-области и чиото отрицательно-частотное поведение в
in-области. [Выражение A82) проще всего получить, вводя внешний
источник ](х) между in- и out-областями (линейно связанный с по-
полем <р(*) в S), вычисляя вторую вариацию от If по /.и полагая /.рав-
/.равным нулю.] Таким образом,
1 -iW
<out, vac |
')] I in, vac > = -i [G(x, x1) - G(x, x1)] =
A83)
Функцию GA) называют иногда "элементарной функцией Адамара".
С помощью различных функций Грина (см. выше) вариационное
соотношение A77) можно представить в виде следующих компактных
выражений (индексы опущены):
^Определение A82) для фейнмановского пропагатора отличается
от обычного на множитель i. Выбор такого определения имеет то преиму-
преимущество, что все функции Грина тогда удовлетворяют одному и тому же
уравнению FG{x, ж1) = -е(ж, ж').
139

Б.С. ДЕ ВИТТ
2. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
- GadvSF).
ret
Поскольку
A84)
A85)
FC--1. FCedv.-lf
ret
уравнение A84) можно формально проинтегрировать; в результа
те имеем
W = -Li (In detC - lndet^adv) + Ф.
2 ret
A86)
(Ш)
а
ret
где Ф - постоянная (обязательно вещественная) фаза, не зависящая
от матрицы.
6.7. Формализм Швингера
Уравнение A84) показывает, что для того чтобы вычислить функ-
функциональную производную от W по метрике, достаточно знать функции
Грина G и?. Конечно, получить полную информацию об этих функ-
функциях так же трудно, как о средних самого тензора напряжений. Одна-
Однако поскольку F (и, следовательно, SF) является локальным дифферен-
дифференциальным оператором, нам необходимо знать только, как ведут себя
эти функции, когда две точки жиж1 близки друг к другу. Для этой
цели особенно удобна техника Швингера [43]. Вводится некоторое фик-
фиктивное (т.е. неквантовомеханическое) гильбертово пространство, мно-
множество формальных операторов хР, pv , удовлетворяющих коммута-
коммутационным соотношениям
lpu>pvl
=0,
A88).
и множество собственных векторов
ных согласно равенству
<х\х1 > = а (ж, *'
140
).
> оператора хц, нормирован-
нормированA89)
Тогда можно записать, что
g-\x) F(x, x') g-'V) -<* 10"'4F0-'4 I*' > .
gV'(x) G(x, *') g V) = < * I 9% Gg'7' |ж' > ,
где [см. выражение A50)]
A90)
и т.д.
A92)
FG=-1. A93)
При координатных преобразованиях базисные векторы | х > преобра-
преобразуются как плотности с весом 1/2; выше добавлены множители g '*,
д~/л, чтобы получить операторы, оставляющие эти свойства преобра-
преобразований неизменными.
6.8. Фейнмановстй пропагатор и разложение В КБ
Оказывается, что знание фейнмановского пропагатора автома-
автоматически дает знание функций Грина G , Gadv и (Г. Следовательно,
мы можем сосредоточить свое внимание на фейнмановском пропага-
торе. Хорошо известно, что в плоском пространстве-времени гранич-
граничные условия для фейнмановского пропагатора автоматически обеспе-
обеспечиваются прибавлением к т2 инфинитезимальной отрицательной мни-
мнимой части или, что одно и то же, добавлением к оператору F инфини-
инфинитезимальной положительной мнимой части. Это простое правило мож-
можно проверить с помощью теории возмущений, а также с помощью бо-
более общей техники; оно остается верным и в рассматриваемом здесь
случае искривленного пространства-времени. Единственное ограни-
ограничение состоит в том, что точки х и х1 должны лежать либо в облас-
области in, либо в области out, либо в области междуними, а все инте-
интегрирования (и вариации) должны быть ограничены этой областью.
Поэтому мы можем записать
gV«Gg1/4=
A94)
141

Б.С. ДЕ ВИТТ
это дает
G{x, *') = * f
0
g"V)
где
<x, a [ж1, 0 > - < x\ exp(ig
~V< Fg-V*
«) I *' >
A95)
A96)
Матричный элемент A96) можно рассматривать как амплитуду пере-
перехода для фиктивной динамической системы. 5га амплитуда удовлетво-
удовлетворяет "уравнению Шредингера":
<x,s\x\
0> = (-
A97)
где V ц обозначает ковариантную производную. Когда точки жиж1
близки друг к Другу, для изучения этой амплитуды достаточно ВКБ-
разложения:
<ж, si*1, 0> = —
A98)
Здесь функция Q обращается в нуль, когда s = 0, она будет опреде-
определена ниже; величина о — это половина квадрата расстояния между
точками х и к', измеренного вдоль геодезической, a D — детерми-
детерминант матрицы 4x4
D= -det(-d2o/dx»dx<v). A99)
Если не принимать во внимание множитель A6 s4), то D совпада-
совпадает с детерминантом Ван Флека-Морета (см. Ван Флек [491 и Мо-
ретт [361) для динамической системы с функцией действия а /2 s
[т.е. для частицы с массой V2> совершающей движение в некотором
четырехмерном многообразии, метрика которого имеет сигнату-
РУ (~> +» +> + % 5гот детерминант удовлетворяет тождеству
D-^Da."). =4, B00)
которое можно вывести из "уравнения Гамильтона - Якоби"
1 uu- - B01)
142
2. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
Когда точки жиж' достаточно близки друг к другу т D и а можно
считать однозначными функциями. В случае когда имеется более
чем одна геодезическая, соединяющая точки жиж', выражение A98),
строго говоря, следует изменить, добавляя к нему дополнительные
члены, по одному для каждой геодезической15. В частности, для
компактного трехмерного пространства число таких геодезических
бесконечно, т.е. необходимо бесконечное число таких дополнитель-
дополнительных членов (см. Даукер [21, 22]). Однако существует один ведущий
член, который приводит к расходимостям в теории, поэтому рассмат-
рассматривать я буду только его. Численный множитель перед ним выбран
так, чтобы гарантировать условия нормировки
<x,s\x\ 0>
б(ж, ж').
B02)
Подставляя выражение A98) в A97) и используя равенства B00)
и B01), получаем, что функция Q должна удовлетворять дифферен-
дифференциальному уравнению
i dQ/ds + D~\DQ.y) + Q Q? + is"VQ., = §R - D"'7'd\ц .
B03)
Решение этого уравнения, которое обращается в нуль при s, стремя-
стремящемся к нулю, можно представить в виде степенного ряда:
Й(ж, ж', s)= 2 ajx, ж')(is)",
B04)
п = 1
где коэффициенты определяются с помощью рекуррентных дифферен-
дифференциальных соотношений
B05)
стно
П=3,4
г = 1
точки х и х1, расположенные вдоль однэй из этих геодезиче-
геодезических, являются почти сопряженными, то для соответствующего члена в ме-
методе ВКБ должна быть использована интерполяция Эйри (или ее обобщение).
143

B.C. ДЕ ВИТТ
В принципе эти соотношения можно последовательно разрешить с по-
помощью интегрирования вдоль геодезических, выходящих из точки х'.
6.9. Разложения в ряды
Для функции G(x, х1) мы имеем теперь выражение
G(x,x*) = — 7-Lexpl*(a/2«- m2s)\eQ(s)ds,
B06)
Dтт)
2 6 S'
где
B07)
L(x, x1) = g-\x)D(x,x')g~\x').
Интеграл B06) можно оценить, представляя его в виде асимпто-
асимптотического ряда по обратным степеням т2, с помощью разложения
множителя explQ(s)! в степенной ряд по s и почленного инте-
интегрирования:
- .. ду> Г - / д \п]7 1
^ - ' — 1 I I i pvn
8тт
ехр 2 ап
.. B08)
Здесь Н\2) - функция Ганкеля второго рода первого порядка.
Более точно:
_L _L_+2n.4
m \ a -t- iO
y+i.ln(m2/2)
2 224 22426
т+6
B09)
144
2. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
Слагаемые ?0 появляются потому, что функция Грина G в действи-
действительности является обобщенной функцией, т.е. "граничным значени-
значением" функции аналитической в верхней а -полуплоскости. С помощью
соотношений
= тт?Б(ст), 1п(ст + *0) = Ь |а| + ттев(— a)
а + i 0 а
B10)
Б(а) -
легко разложить функцию G на две ее компоненты Си C(t [см. A83)]:
~ / д ^
г. а \
„«I \ dm2J
= ^_ 6(а) - m2Q(-a){— + 2-
8тт \2 8
G(x, %') = ехр
8тт
2 22-4
I „ \
+ а^-ст)(— + — т2а + ... j -
У 2 4 /
B11)
16
1 2
т а — .
2
\2 8
1 1
+ —а
2/п2 2
-at + 1 In | /n V21 (l + — ™Sa +...)-
\ 2 /\ 2 /
+(т°21+°2)<т|(у+т1п|'п2<т/2|)х
¦--;-•
2»'
— а* +аа„+а„ + О(а)
1 12 3
B12)
145

B.C. ДЕ ВИТТ
Несмотря на то что функция Грина G вещественна, функция GA)
в общем случае таковой не является. Выражение B12) этот факт не
отражает. Асимптотическое разложение по обратным степеням т2
не может дать нам мнимую часть, которая отлична от нуля всякий
раз, когда имеет место процесс рождения частиц.
6.10. Эффективный лагранжиан
Вернемся теперь к выражению A84), которое с помощью форма-
формализма Швингера может быть переписано в виде
5!Р = 15р1дЧA)дЧ(д-Чд-Ч
4
В силу проведенного выше анализа это выражение эквивалентно
5W = -L i SPlgV' GgV' 5(g-y< F g"'7')] B14)
2
при условии, что мы исключим добавки ?0, которые появляются,
когда G выражается как функция а. Подставляя соотношение A94)
в B14), мы получаем
5W = — Sp / exp(?g-/4Fg-'/4sM(g-1/4Fg-'/4) ds =
2 о
*. B15)
и, следовательно,
W = J L d*x + const, B16)
где пространственно-временной интеграл берется по множеству, заклю-
заключенному между in- и out-областями, а функция L является эффектав-
нымлагранжианом, который определяется [см. A96) и A98)] выра-
выражением
L ;=-<_ | s <x, s\x, 0> ds =
2 о
146
2. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
+ Члены, соответствующие множеству дополнительных геодези-
геодезических (если такие есть). ,»»,
При получении последнего равенства были использованы следующие
выражения для пределов при совпадении точек х и х'
дх»дх"~ *'-*' ~^и>
B18)
Интеграл B17) расходится на нижнем пределе. Заметим, однако,
что формально он представляет собой скалярную плотность, постро-
построенную только на основе соображений о геометрии пространства-време-
пространства-времени. Это означает, что W, определяемая выражением B16), является
геометрической величиной, инвариантной относительно преобразова-
преобразования координат. Если мы сможем найти инвариантный относительно
преобразования координат и не зависящей от метрики метод выделе-
выделения ее бесконечностей, то остаток W будет автоматически давать
некоторый сохраняющийся вклад в величину среднего от тензора на-
напряжений:
2{5W /Sg ) =0. B19)
х reg 6^v';v v '
Это означает, что в силу дифференциальных уравнений, которым
удовлетворяют базисные функции, это среднее само по себе будет
сохраняться.
6.11. Метод фонового поля.
Эквивалентность однопешлевого и ВИВ-приближений
Теперь, может быть, время объяснить, почечу излагаемый здесь
формализ называется "методом фонового поля". Ранее я отмечал,
что этот метод годится для полей любого спина. Это включает в се-
себя и собственно гравитационное поле. Геометрия, от которой зави-
зависит функция W, является тогда классической фоновой геометрией,
а вклады в W типа тех, которые рассматриваются в настоящем
разделе, определяются линейными флуктуациями около этой геомет-
геометрии; они и заключают в себе квантовую теорию.' Иногда ошибочно
147

B.C. ДЕ ВИТТ
считают, что метод фонового поля этим и исчерпывается, т.е. что
он является только квантовой теорией линеаризованного поля на клас-
сическом фоне. На самом деле этот метод охватывает весь диапазон
самодействий, соответствующих нелинейному характеру гравитацион-
гравитационного поля. Вычисления настоящего раздела (или вернее, их эквивален-
эквиваленты для чистого гравитационного поля) дают нам только первое прибли-
приближение для W, и, следовательно, для амплитуды перехода вакуум-ва-
вакуум-вакуум. По существу это приближение совпадает с приближением ВКБ
и иногда записывается путем включения классического действия в
фазу амплитуды перехода, т.е. в виде
4
,. ^ J
<out, vac | in, vac> = e
B20)
"adv
ret
здесь константа Ф из соотношения A87) включена bS". Можно по-
показать, что отношение двух детерминантов в этом выражении в точ-
точности совпадает-с детерминантом Ван Флека-Моретта для классиче-
классической траектории (истории), соответствующей фоновому полю.
По общепринятой терминологии приближение ВКБ в теории поля
известно как однопетлееое приближение. Приближения более высоко-
высокого порядка можно взаимно однозначно соспоставить с диаграммами,
имеющими более чем одну замкнутую петлю, по обычному правилу.
Единственное отличие от того, что принято в учебниках, заключает-
заключается в том, что пропагатор, соответствующий внутренней линии, явля-
является пропагатором для искривленного, а не плоского пространства.
Если рассматривать сразу несколько взаимодействующих полей, то
соотношение B20) будет по-прежнему справедливо при условии, что
фоновое поле комбинированное, a S и W являются соответственно
полным действием и вакуумной поправкой. Хорошо известно, что
функциональная производная n-го порядка от S + W по фоновым по-
полям равна полной вершинной функции п^го порядка для этой теории,
а точная S-матрица получается с помощью замены S на S + W и вы-
вычисления всех амплитуд только в приближении деревьев. Поскольку
S-матрица наряду с рассеянием индивидуальных частиц определяет
''Здесь 5 — функция действия для полного нелинейного гравитацион-
гравитационного поля.
148
2. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
в конечном счете и когерентное рассеяние (классических) волн боль-
большой амплитуды, то из этого следует, что именно S + W, а не S яв-
является эффективным функционалом даже для макроскопических по-
полей. По этой причине предложение учесть в общей теории относитель-
относительности реальные и виртуальные квантовые процессы с помощью пред-
представления уравнения Эйнштейна в ^
= 8
тт
B21)
имеет не просто эвристическое обоснование, но оно действительно
правильно. Для этого подхода существует модифицированная вер-
версия соотношения
S(S + W)/5guv = 0, B22)
которая включает наряду с эффектами рождения реальных частиц
часть W, соответствующую поляризации вакуума. По этой же при-
причине является абсолютно правильным сокращение расходимостей V
с помощью контрчленов из S. За исключением экстремальных зна-
значений энергий кривизны, когда у W появляется очень большая мни-
мнимая часть и процесс рождения частиц является таким интенсивным,
что становится бессмысленным вопрос, действительно ли квазиклас-
квазиклассическая концепция, воплощенная в уравнении B21), обеспечивает
адекватное описание физики рассматриваемого явления.
6.12. Выделение расходимостей методом Швингер а
Теперь Давайте вернемся к расходимостям. Вначале я кратко
опишу метод Швингера [43], чтобы впоследствии использовать его.
Швингер начинает с вращения контура интегрирования в B17), чтобы
совместить его с нижней частью мнимой оси, что эквивалентно за-
замене s = -it. Функция Q на мнимой оси вещественна. Следователь-
Следовательно, если у нее есть полюса в нижней половине плоскости, то они долж-
должны быть распределены симметрично в обоих квадрантах, и в процес-
процессе вращения контура будут выделяться вычеты от полюсов из право-
правого квадранта. Эти вычеты будут, вообще говоря, давать вклады в мни-
!) Выражение < ГЦУ> в правой части этого уравнения включает в се-
себя вклады от гравитонов.
149

Б.С. ДЕ ВИТТ
мую часть функции W, и, следовательно, полюса (или более сложные
сингулярности, такие, как точки ветвления) должны появляться в этой
части комплексной плоскости всякий раз, когда происходит рождение
реальных частиц. Учитывая только вещественную часть эффективно-
эффективного лагранжиана, мы имеем
Re L = C2 ttV g
g'/j
+ Q(*, x, -it)] dt +
о
+ члены, возникающие от многократных геодезических. B23)
Мы виДим, что бесконечности функции W связаны с Re W.
Швингер выделяет бесконечности, просто разлагая функцию eQ
в точке t = 0:
^div.~
— а2 (ж, х)
2 *
ж, х)
Г'е-т ' dt
B24)
Коэффициенты при расходящихся интегралах можно определить пря-
прямым, но несколько утомительным способом: путем повторного кова-
риантного дифференцирования выражений B00), B01) и B05) и исполь-
использования пределов при совпадении точек жиж' B18). Получаем
«,(*, *)=(- - §]л. B25)
где R т и R — соответственно тензоры Римана и Риччи. Член
вида ?R возникает из уравнения скалярного поля A50). Все другие
члены возникают просто из-за некоммутативности ковариантного
дифференцирования; следовательно, они представляют некоторый
чисто геометрический вклад в расходимости. Сразу очевидно, что
сокращение первых двух членов в выражении B24) внутри фигурных
скобок с контрчленами из выражения для гравитационного действия
эквивалентно перенормировке космологической и гравитационной
констант. Третий член имеет вид, который не соответствует ни од-
одному из членов, обычно включаемых в выражение для классического
- 150
2. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
действия. Члены этих трех типов, фигурирующие в выражении B24),
хорошо известны всем специалистам по квантовой гравитации.
6.13. Связь метода Швингер а с другими методами
Какая же связь между методом Швингера и методом Зельдовича
и Старобинского? Последние ввели свой метод в рамках плоского
трехмерного пространства, поэтому они могли выбрать импульсную
переменную к как индекс для рассматриваемых ими базисных функ-
функций. Технику регуляризации Зельдовичем и Старобинским тензора на-
напряжений можно суммировать следующей формулой:
< T»v (*)>re = / Т?> {к, ж) dak, B27)
где
(к, ж) ш lim \т^(и(т, к \ ж), и*(т, к | ж)) -
п-*оо [
-L Т^(и(пт, пк\х), и*{пт, пк\х))\
. J
B28)
и явно указана зависимость базисных функций от затравочной мас-
массы т. Паркер и Фуллинг смогли показать, что эта формула эквива-
эквивалентна методу "адиабатической регуляризации", который они в свою
очередь смогли обобщить для приложения и в случае некоторого клас-
класса искривленных трехмерных пространств. В этом последнем методе
каждый член в сумме по модам сравнивается с тем, каким он должен
был быть, если бы темп временного изменения метрики замедлился
бы и соответственно уменьшилась бы кривизна трехмерного простран-
пространства. Далее, проводится разложение по обратным степеням "парамет-
"параметра замедления", который измеряет это уменьшение, и первые три чле-
члена (порядков 0, -2 и -4) отбрасываются. Паркер и Фуллинг показали,
что роль параметра замедления совпадает с той, которую играет в
выражении B28) параметр п.
В случае геометрий, рассмотренных упомянутыми выше автора-
авторами, существует некоторая преимущественная система пространствен-
пространственных координат, и метод регуляризации зависит от них. Более того,
151

5.C. ДЕ ВИТТ
эта регуляризация проводится в каждой моде в отдельности. Какой
аналогичный метод могли бы мы предложить в общем случае? Как
мы должны поступить, когда нет очевидного разложения по модам?
Ответ состоит в том, что необходимо раздвинуть точки, в которых
определены полевые операторы, входящие в тензор 7^". Бесконеч-
Бесконечности сразу исчезают (при условии, что раздвижка точек происходит
не в световом направлении), и регуляризацию B28) можно проводить
либо до, либо после интегрирования B27). Кроме того, на каждом
шаге можно проводить преобразование подобия переменной к. Тогда
нетрудно видеть, что регуляризацию B28) также можно осуществить,
оставляя к неизменным; для этого х — х' умножают на п~1, а во
втором члене в выражении B28) множитель п~1 заменяют на п~4.
Эта процедура немедленно переводится на ковариантный язык выра-
выражения B17). Нам необходимо только подставить член ia /2 s в пока-
показатель подынтегрального выражения и записать (игнорируя члены,
соответствующие многократным геодезическим)
reg
= -lim C2-тг2)-1 ёУг I
1
о\ -»о s
ехр
»l-
- 1
д\2
_L_?LU2exp{i(W2s -ma
2 I
B29)
причем вместо п~2 здесь введен символ Л. До тех пор пока а отлич-
отлична от нуля, осциллирующее поведение экспоненты препятствует рас-
расходимости интеграла на нижнем пределе; Более того, переменную s
во втором члене в B29) можно подвергнуть преобразованию подо-
подобия s ^\s, которое тогда приводит B29) к виду
L =-hm
reg ,
ъ х »
C2-тг2)-1 gVa " Hm — ехр ¦
/
— 1
dl
x exp (-im s
!eQ(X«)
«fa = -C2ТГ2)-1 g'^ / -L
) e ^s — 1 — ia s + I a2 + a ,
[ 1 \2 l 2/
ds = L-L,. .
aiv
B30)
152
2. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
Схема Зельдовича - Старобинского, обобщенная таким образом, да-
дает, как видно, в точности ту же регуляризацию, что и метод Швингера.
Швингер указал на то, что его схема, которую можно обобщить также
на случай многопетлевых процессов (см. Боголюбов и Ширков [2]),
годится для регуляризации и в других случаях при единственном усло-
условии, что интегрирование по параметру s (который он называет пара-
параметром "собственного времени") проводится в последнюю очередь.
Он показал, что его схему можно рассматривать как некоторую раз-
разновидность наиболее полного обобщения метода Паули — Вилларса,
и утверждает, что эта схема гарантирует сохранение любой (напри-
(например, калибровочной) инвариантности, которая имеется в формальной
теории. Как мы видели, она наверняка сохраняет общекоординатную
инвариантность и, следовательно, гарантирует наличие сохранения
B19). При всем при том остается вопрос, сохраняет ли эта схема
конформную инвариантность.
6.14. Конформная инвариантность
Тензор напряжений, соответствующий полевому уравнению A50),
определяется выражением
B31)
В конформно-инвариантном случае массы, равной нулю (см. Каллан,
Коулмен и Джакив [6]), это выражение сводится к
Bз2)
которое в силу уравнений поля формально удовлетворяет равенству
Т» = 0. B33)
153

B.C. ДЕ ВИТТ
Равенство B33) возникает также как следствие конформной инва-
инвариантности функционала действия для этого случая: S остается инва-
инвариантным при инфинитезимальных вариациях
1
5^и = «ц„бл, 5q> = --—фбл, B34)
2
где 6Х - произвольная инфинитезимальная скалярная функция. Если
мы покажем, что функционал W также инвариантен при вариациях
B34), то из этого будет следовать, что
) = 0, B35)
и, следовательно,
Т
reg
B36)
яря условии, что расходящаяся часть, которая выделена из W, также
конформно-инвариантна.
Конформную инвариантность W формально можно доказывать
следующим образом: вначале убеждаются, что тензор Римана и его
свертки преобразуются при вариациях B34) следующим образом:
B37)
Затем показывают, что оператор A91) имеет очень простой закон
преобразования, если m = 0 и § = 1/6,
6Х]
В силу того что
FGA) =0, 6O)F =0,
из соотношения B13) немедленно следует
5W = 0.
B38)
B39)
B40)
154
2. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
6.15. Тензор Вейлл и обобщенные инварианты Гаусса-Боннэ
Единственный локальный геометрический конформный инвариант,
который теперь можно построить из метрического тензора и его пер-
первых и вторых производных, - это величина g'/a С c^vcrT (или фуНк-
ции от нее), где С т - тензор
= R
1
v
ио ~
vcr ~
1Я,
5С = С 6Л.
цусгт цусгт
B41)
B42)
Это означает, что единственный контрчлен, который можно было бы
использовать для сокращения расходимостей в W тл который в то же
время сохранял бы конформную инвариантность теории, должен
иметь вид
const
- [gV> С СцисгтЛ н const- [Mr
2R
B43)
Этот интеграл можно упростить, используя тот хорошо известный
факт (см. Черн [11, 12]), что интеграл
Я2)</4*, B44)
для любого четырехмерного многообразия является топологическим
инвариантом, не зависящем от геометрии. (Он является аналогом
хорошо известного инварианта Гаусса — Боннэ для двумерных много-
многообразий.) Следовательно,
const-Jg^ С^О""" <***= const./gl4(^u«^ - -1 У
B45)
const.
^Тензор Вейля обращается в нупь, только если пространство-время
конформно-плоское. Он также удовлетворяет условию С ау0= 0.
155

B.C. ДЕ ВИТТ
6.16. Явное нарушение конформной инвариантности
в методе Швингера. Преодоление той трудности
Обращаясь к выражениям B24) - B26), мы видим, что три рас-
расходящихся члена, выделенные методом Швингера, в конформно-инва-
конформно-инвариантном случае принимают соответственно следующий вид:
- 1/ ,4
const -J g 2 ax,
О,
Г «
х d4* + const.
B46)
Последний из этих членов в точности совпадает с B45). Второй член
равен нулю; следовательно, перенормировка гравитационной постоян-
постоянной отсутствует. В то же время первый член, который перенормиру-
перенормирует космологическую постоянную, не является конфЬрмно-инвариант-
ным и не равен нулю. Что же нам делать с этим фактом?
Один из путей — воспользоваться методом размерной регуляри-
регуляризации (см. 'т Офт и Велтман [33]). В рамках этого метода космоло-
космологический.член автоматически обращается в нуль. Но это так только
потому, что неявно предполагается некоторое специальное соглаше-
соглашение относительно аналитического продолжения на комплексные раз-
размерности. Нури-Могхадан и Тейлор [37] показали, что насколько это
касается расходящихся членов, такое аналитическое продолжение
внутренне противоречиво Более того, этот метод в его настоящей
форме можно использовать только для лоренц- или деситтер-инвари-
антных квазилинеаризованных теорий1).
Ясно, что необходим более прямой подход, причем лучше, если
этот подход будет менее изощрен. Как всегда, сам по себе напраши-
напрашивается метод раздвижки точек: если член ia /2 s подставить в пока-
показатель экспоненты в подынтегральном выражении B17), то мы полу-
получим (пренебрегая поправками от многократных геодезических)
'^ Распространение этого метода на произвольные фоновые геометрии
представляло бы определенный интерес. Для кого-нибудь это может соста-
составить тему диссертации. Распространение на случай пространства-времени
де Ситтера только недавно провели Канделас и Рэйни (частное сообщение).
156
2. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
2A\,Q(s)ds
I v °7 7 J fY°
L = -hm f exp \il m's Ц.е
= lim i JL [g%(x)C{x, х')^(х>)} = [см. B06)]
*'->* 2 да to
(отбрасывая члены с i 0)
2 2 \ '
+ a + у + — lnlm a/2 I - —
B47)
В последнем равенстве, которое получается из соотношения B12),
выписаны только те члены, которые имеют эквивалентные вклады
в расходящемся лагранжиане B24). Первая строчка в фигурных скоб-
скобках соответствует, очевидно, космологическому члену. Это единствен-
единственный член, который остается в плоском пространстве-времени. Следо-
Следовательно, он должен давать скалярный вариант тензора напряжений
вакуума C1). Поучительно увидеть то, как это происходит. Пусть
_ х\у
рд у
я' и есть сдвиг координат. Когда точки % и х' близки
рд ки
друг к другу, можно записать a = \ g ецеи. Следовательно, когда
т = 0, "космологическая" часть функции W принимает вид
V
c
L IT
d4x.
B48)
Выражение B48), зависящее, как это и должно быть, от системы ко-
координат, выделенной вектором вц , не является координатно-инвари-
антным. Оно, однако, является конформно-инвариантным и дает
вклад в < Т^ > , имеющий нулевой след:
157

Б.С. ДЕ ВИТТ
5W
B49)
В локальной системе координат Минковского при выборе (ец ) =
= (Л, 0, 0, 0) выражение B49) совпадает с точностью до множите-
множителя 2, учитывающего степени свободы, с выражением C1). При исполь-
использовании метода пространственного усреднения Фуллинга и Паркера
[25], который дает альтернативный способ регуляризации, действи-
действительно получается равенство (eweu) = diag@, Уэ Л~2, УЭЛ~2 > ^Л),
которое приводит к выражению, отличному от C1) на множитель -1/6.
Урок, который можно из этого извлечь, заключается в следую-
следующем: рассматривая расходящиеся части W, необходимо использовать
различные процедуры в зависимости от того, что мы хотим (формаль-
(формально) подчеркнуть - координатную инвариантность или конформную
инвариантность. В любом случае конечная часть, W , которая оста-
остается после применения метода Швингера, когда бесконечности вычте-
вычтены, является одновременно и координатно-инвариантной и конформно-
инвариантной. Явные вычисления [13] показывают, что аналогичные
результаты имеют место для безмассового поля спина 1/2 и электро-
электромагнитного поля, которые оба являются конформно-инвариантными.
В каждом случае гравитационная постоянная остается неперенорми-
рованной, а логарифмически расходящаяся часть W принимает
вид B45). Единственное достойное внимания различие между ферми-
онным и бозонным случаями состоит в том, что соответствующие
космологические члены имеют противоположные знаки1}. Следует
упомянуть, что для получения этих результатов в электромагнитном
случае необходимо включить вклады от фиктивных квантов, формаль-
формальное присутствие которых необходимо для сохранения калибровочной
инвариантности (см. де Витт [20]). При проведении вычислений в про-
пространстве Минковского (например, в случае стандартной квантовой
электродинамики) эти кванты можно полностью игнорировать.
15 Это общее правило для фермионных полей по отношению к бозонным.
Зумино [54] показал, что в сулерсимметричной теории сумма всех вкладов
в космологический член как следствие этого правила равна нулю. Резуль-
Результат Зумино имеет место во всех порядках по суперсимметричным взаимо-
взаимодействиям.
158
2. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
6.17. Рождение частиц и напряжение вакуума
в конформно-плоском пространстве-времени
Фуллинг, Паркер и Ху [26] рассмотрели конформно-инвариантное
скалярное поле в космологических моделях типа Казнера и Робертсо-
на - Уолкера. Их анализ тензора напряжений в этих моделях подтверж-
подтверждает факт, ранее замеченный Паркером [381, а именно во вселенных
Робертсона - Уолкера нет рождения конформно-инвариантных безмас-
безмассовых квантов. Формально этот результат можно понять как следствие
уравнения B40). Каждая вселенная Робертсона - Уолкера конформно
эквивалентна некоторой вселенной Эйнштейна с постоянным радиусом.
Следовательно, величина V для них обеих должна быть одинакова.
Но вселенная Эйнштейна является статической. Следовательно, для
обеих Im W = 0 (нет рождения частиц).
Фуллинг, Паркер и Ху настаивают, однако, на утверждении, что
в этих вселенных тензор напряжений, т.е. 2SW/bg сам по себе
равен нулю. Это утверждение могло бы следовать из того факта, что
эти вселенные конформно-плоские, а когда R т = 0, ожидают, что
и W =0. Однако на самом деле IFreo. нельзя предполагать равным
нулю только из-за того, что пространство-время плоское. Рассмот-
Рассмотрим, например, статическую плоскую вселенную, для которой трех-
трехмерное пространство имеет топологию Я2 х S1. Сам анализ напря-
напряжений вакуума в этой вселенной почти полностью совпадает с анали-
анализом эффекта Казимира. Напряжение вакуума не равно нулю и зави-
зависит от длины окружности S'-цикла. В этом случае, однако, можно
провести параллель, внося необходимые изменения, с детальными
рассуждениями и аргументами упомянутых выше авторов, причем
вывод будет противоположным. Таким образом, их выводы в случае,
когда трехмерное пространство имеет топологию S3, также необхо-
необходимо рассматривать с некоторым сомнением1}. В общем случае W
можно благополучно считать равным нулю только тогда, когда про-
пространство-время конформно-плоское, асимптотически-плоское и го-
меоморфно пространству Минковского.
15 Дополнение автора при корректуре ангпийского издания. Ларри Форд
и Я. Зельдович (частное сообщение) в этом случае показали недавно, что в
локальной "покоящейся" системе координат <Т цу > = (ftc/480 тт2Я4) diag
A. '/si Уэ, %), где R —радиус вселенной.
159

B.C. ДЕ ВИТТ
6.18. Инфракрасная проблема
Необходимо упомянуть об инфракрасной проблеме, которая возни-
возникает при т = 0. Когда т 4 О, интегралы в фигурных скобках в выра-
выражении B24) расходятся только на нижнем пределе. Это соответству-
соответствует ультрафиолетовому пределу Л -» °°. Однако когда т = 0, третий
из интегралов расходится также и на верхнем пределе. Это инфра-
инфракрасная расходимость. Как было указано Фуллингом и Паркером [25],
эту расходимость не следует включать в ?div, в противном случае
соответствующая расходимость должна быть включена и в IT . То,
что необходимо сделать в этом случае, - это ввести обрезание свер-
сверху, равное Г. Значение величины Т произвольно. Если мы заменим Т
на Г', результат будет эквивалентен изменению перенормированного
лагранжиана для классического гравитационного поля на величину,
равную
— а2 (ж, х) + а2(х, х)
B50)
В конформно-инвариантном случае это соответствует изменению пере-
перенормированного классического действия, которое дается выражением
1п(Г'/Г)
1920 тт2
f M
- — R2V4* - -
3 /
B51)
То, что мы делаем здесь, - это не что иное, как представление
S + W в виде
B52)
S+W = S +W,,
ren red
а затем перемещение интегралов вида B51) произвольно туда и об-
обратно между Sren и Wte . Функционал Sren должен быть определен
из эксперимента! Произвольность B51) означает, что Sren не может
й (K^^fg *Rd*x
р р
быть взята просто в традиционной классической форме
(с G = 1), а необходимо предположить, что она имеет вид1}
* Об Vr1//'^^ - 7*'У*- <253)
1} Предполагается, что перенормированная космологическая констан-
константа равна нулю.
160
2. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
Экспериментальная теория относительности неполна до тех пор, пока
не определена величина константы ц, соответствующей ранее выбран-
выбранному обрезанию Т. Нижняя граница на величину ц может быть полу-
получена путем анализа небесной механики Солнечной системы. Второй
член в выражении B53) приводит к некоторым поправкам к движению
планет, эти поправки имеют порядок е~цг, где г -расстояние от
Солнца. Наибольшая поправка имеет место в случае Меркурия, для
которого г ~ 2.1046 в абсолютных единицах. Принимая во внимание
то, что движение планет, как известно, согласуется с выбором ц = О
с точностью где-то между 10"8 и 10~ю (конечный результат не очень
чувствителен к точной величине), мы получаем ц » 2 • Ю4 в абсо-
абсолютных единицах. Следовательно, если даже коэффициент перед вто-
вторым интегралом в выражении B53) велик и имеет порядок 1085, этот
член не может заметно влиять на планетарную астрономию. Обреза-
Обрезание Т соответствует максимальной длине волны порядка Т /а. Если
рассматривать в качестве гравитационного источника Солнце, то
естественный максимум соответствует радиусу Солнца (~ 1044 в аб-
абсолютных единицах). Но даже если предположить просто, что макси-
максимальная длина волны лежит где-то между радиусом протона (~1О20)
и радиусом вселенной (~1062), то соответствующая неопределенность
в Sfen [см. B51)] дает на уровне солнечной системы совершенно пре-
небрежимый вклад в член с ц2.
В безмассовом конформно-неинвариантном случае инфракрасная
ситуация несколько иная. В этом случае (который включает кванто-
квантованное гравитационное поле) скаляр о t{x, x) не равен нулю тождест-
тождественно. Вместо этого он играет роль, аналогичную тп2 в интеграле B17),
и может обеспечить естественное инфракрасное обрезание. В эффек-
эффективном лагранжиане L он приводит к членам вида а 2 In | R |. Члены,
аналогичные этому, но не являющиеся полностью ковариантными,
обнаружили Фуллинг и Паркер [25] и Гинзбург, Киржниц и Любушин [29].
В случае m ^ 0 процесс перенормировки более прямой. Необходи-
Необходимо просто убрать из эффективного лагранжиана L все члены, появляю-
появляющиеся в B47). Оставшиеся невыписанные члены, начинающиеся с чле-
члена m~2{V6a^ + а^2 + а3), конечны и ковариантны. Они аналогичны
поправкам Улинга и Эйлера — Гейзенберга к максвелловскому лагран-
лагранжиану в квантовой электродинамике. Будучи членами, которые явля-
являются асимптотическим разложением по обратным степеням тп2, они
161

зо
B.C. ДЕ ВИТТ
могут в лучшем случае давать только некоторое приближение к
Это приближение будет хорошим при условии, что компоненты тензо-
тензора Римана в квазистационарной ортонормированной системе коорди-
координат малы по сравнению с т2. Тогда приближенное выражение для <
можно получить с помощью функционального дифференцирования.
6.19. Выделение расходимостей при суммировании по модам
методом раздвижки точек
Когда компоненты тензора Римана не малы по сравнению cm2
или когда т = О, для вычисления < Т?v > необходимо прибегнуть
к помощи других методов. Обычно это включает в себя прямое выде-
выделение бесконечностей из суммы по модам A2). Поскольку базисные
функции в сумме по модам можно вычислить только для очень огра-
ограниченного класса геометрий, то в общем случае невозможно вычис-
вычислить < Тй" > , беря функциональные производные от 1Г.е по метри-
метрике. Следовательно, большая часть формального аппарата настоящего
раздела могла бы оказаться не очень полезной. К счастью, это не
так. Существует прямой путь коварианшно идентифицировать расхо-
расходящиеся части < Tuv >; этот метод годится для любой геометрии,
ограничена она или нет.
Метод основан на том замечании, что в силу уравнений A74), A83)
и B31) можно записать
B54)
Следовательно, выражение B12) можно подставить в B54), провести
указанные дифференцирования, положить ай = -а^ = ей и продол-
продолжить далее так же, как при анализе выражения B49). Но прежде чем
делать это, необходимо заменить Л/з и а1 в выражении B12) их раз-
разложениями
162
2. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
и L
а,(ж, х<) =
1
90*
v ¦" 220 wi<* +
B56)
которые могут быть получены методом, использованным для получе-
получения выражений B25) и B26). Затем, после дифференцирования, необ-
необходимо воспользоваться разложениями
аГ = *"" " Т" *Vb а° а? + - • B57)
у. + •••>
B58)
которые выводятся аналогично.
Получающееся выражение будет приведено в другом месте в свя-
связи с исследованием тензора напряжений вблизи черной дыры. Оно яв-
является и сложным и (из-за большого числа векторов ew , которые в
нем появляются) очень сильно зависит от системы координат. Одна-
Однако зависимость от системы координат полностью связана с членами,
не зависящими от тензора Римана, членами, линейными по тензору
Римана или его первой и второй ковариантным производным, и чле-
членами, квадратичными по тензору Римана. Это именно те члены, кото-
которые появляются из IFd.v. Если все эти члены сложить вместе, резуль-
результат будет равен 2g-% S^div/Sgyv . Когда геометрия задана априори,
покомпонентная оценка этих членов проводится прямо. Более того,
не возникает никаких особых трудностей при выборе подходящего век-
вектора ей, раздвигающего точки, для использования его как в этих чле-
163

B.C. ДЕ ВИТТ
нах, так и при суммировании по модам A2). Таким образом, выраже-
выражение, найденное для 2 5W,. /Sg , можно покомпонентно вычесть из
сумм по модам. Вычитание проводится в любой удобной системе ко-
координат. Результат будет не зависящим от векторов ей и ковариантным.
Большинство членов выражения 2 5 W /6g , зависящих от векто-
вектора $й, конечны и, следовательно, аналогичны странным "нетензорным"
членам, обнаруженным Фуллингом и Паркером [25]. Очень легко убе-
убедиться в возможности установить соответствие между членами, най-
найденными этими двумя методами и, следовательно, разрешить трудность,
которую до сих пор представляют эти члены. В методе регуляризации,
отвечающем этим двум случаям, имеются, однако, и некоторые раз-
различия, на которые следует обратить внимание. Фуллинг и Паркер ис-
используют импульсное обрезание, в то время как принятый здесь ме-
метод раздвижки точек соответствует (по крайней мере для раздвижки
во времениподобном направлении) обрезанию энергии. Если эти два
обрезания обозначить соответственно через К и Л, то они будут
связаны соотношением Л2 = К2 + то2. Это может объяснить, почему
зависящие от вектора ец члены, обнаруженные в настоящем подходе,
включают в себя степени т не выше четвертой, в то время как Фул-
Фуллинг и Паркер получают также члены то6 и то8.
6.20. Взгляд в будущее
Теперь после более или менее контролируемого вычисления вкла-
вкладов от оДнопетлевых процессов можно спросить, что случится, если
попытаться учесть многопетлевые процессы. Такие вычисления в пер-
первую очередь чрезвычайно сложны. Это потому, что когда после учета
многопетлевых вкладов переходят к классическому гравитационному
Действию, то оказывается, что для согласованности необходимо вклю-
включить в рассмотрение гравитоны, а сложность гравитон-гравитонных
вершинных частей такова, что даже смелого человека это заставля-
заставляет дрогнуть. Правда, существует более фундаментальная проблема,
которая вызывает наиболее решительное разногласие в квантовой
теории гравитации. Дело в том, что по стандартным критериям эта
теория неперенормируемая. Амплитуда, или матричные элементы, ко-
которые включают в себя более чем одну петлю, являются более расхо-
расходящимися, чем те, которые учитывают только однопетлевые вклады.
164
2. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
Чтобы избавиться от этих бесконечностей, необходимо учесть допол-
дополнительные контрчлены, причем их сложность возрастает. Для избав-
избавления от логарифмических расходимостей в однопетлевом случае ис-
использовать контрчлен вида B46) уже опасно. Этот член в классиче-
классическом действии приводит к уравнениям поля четвертого порядка по
производным и соответственно ко всем "духовым" трудностям, связан-
связанным с этими уравнениями.
"Больные места" сводятся к следующему. После Эйнштейна фи-
физики стали верить в кривизну пространства-времени. Кривизна уже
в приближении ВКБ (однократные замкнутые петли) приводит к неприят-
неприятным расходимостям. Тем не менее приближение ВКБ более или ме-
менее надежно - взять хотя бы эффект Казимира, а он был измерен в
лаборатории. В то же время нельзя считать, что приближение ВКБ -
последнее слово теории. Это только некоторое приближение.
Может быть, что в квантовой гравитации, как многие предпола-
предполагали, имеется свой собственный параметр обрезания и что он на са-
самом деле конечен. Были предприняты героические усилия, чтобы до-
доказать это путем суммирования бесконечных классов многопетлевых
амплитуд. К сожалению, эти попытки до сих пор остаются и сомни-
сомнительными и, в конце концов, зависящими от системы координат (за-
(зависящими от калибровки). В настоящее время, даже если игнориро-
игнорировать вычислительные трудности, только две возможные процедуры
кажутся пригодными. Первая: согласимся с бесконечностями в каж-
каждом порядке, как они есть, но всех их точно уничтожим контрчленами,
оставленными для классического члена f g^Rd* x [с модификацией,
содержащейся в соотношениях B51) и B53), для случая т = 0]. Вто-
Вторая: будем рассматривать перенормированный гравитационный пропа-
гатор, полученный в приближении ВКБ как пропагатор нулевого по-
порядка, и используем его во внутренних линиях всех многопетлевых
диаграмм. Поскольку на малых расстояниях этот пропагатор ведет
себя менее сингулярно, чем "затравочный" пропагатор, то оказыва-
оказывается, что все амплитуды более высокого порядка будут расходиться
не сильнее, чем квадратично по параметру энергетического обреза-
обрезания д. Действительно ли один из двух методов имеет определенный
смысл, предстоит определить в будущем.
Последнее замечание касается использования in- и out-облас-
out-областей. К настоящему моменту должно быть ясно, что расходимости (по
165

B.C. ДЕ ВИТТ
крайней мере в приближении ВКБ) зависят от геометрии пространства-
времени только локально. Они включают в себя лишь метрический
тензор и его четыре первых производных. Неважно, где in- и out-об-
out-области локализованы, и неважно, каких они размеров: вид расходимос-
тей всегда остается одним и тем же. Следовательно, ничего не4про-
изойдет, если эти области просто исчезнут. Конечно, при полном от-
отсутствии векторов Киллинга могут возникнуть трудности при построе-
построении некоторого имеющего смысл или удобного пространства вектора
состояний. Однако введенные здесь вычитания должны служить для
регуляризации любого матричного элемента для тензора Tuv неза-
независимо от того, как определены состояния.
Я хочу выразить свою признательность профессору Дэннису
Шьяме за гостеприимство, оказанное мне астрофизическим факуль-
факультетом Оксфордского университета, где эта работа была начата. Я по-
получил-пользу от дискуссий со многими коллегами, но в особенности
с Ларри Фордом, Стивеном Фулли^гом, Гэри Гиббонсом, Стивеном
Хокингом, Кристофером Айшемом и Вильямом Унру.
ЛИТЕРАТУРА
1. Bekenstein J.D.,, Phys. Rev., D7, 2333 A973).
2. боголюбов Н.Н., Ширков Д.В., Введение е теорию квантованных полей,
"Наука", 1975.
3. Boulware D.G., 1975 (работа находится в стадии подготовки).
4. Воуег Т.Н., Phys. Rev., 174, 1764A968).
5. Воуег Т.Н., Phys. Rev., 185, 2039 A969).
6. Callan C.G., Colsman S., Jackiw R., Ann. Phys. (N.Y.), 59, 42 A970).
7. Capper D.M., Rambn-Medmno M., Phys. Rev., D9, 1641 A974).
8. Capper D.M., Leibbrandt G., Ramnn-Medrano M., Phys. Rev., D8, 4320 A974).
9. Capper D.M., Duff M.J., Halpern L., Phys. Rev., Dt>, 461 A974).
10. Casimir H.B.G., Proc. Kon. Ned. Akad. Wetenschap., 51, 793 A948).
также Воуег Т.Н., Ann. Phys., (N.Y.), S6, 474 A970).]
11. Chem S.S., Hamburg. Abh., 20, 117 A955).
12. Chem S.S., Joum. Soc. Indust. Appl. Math., 10, 751 A962).
13. Christensen S., 1974, частное сообщение (будет опубликовано).
14. Christodoulou 0., Phys. Rev. Lett., 25, 1596 A970).
15. Christodoulou D., Ruffinl «., Phys. Rev., D4, 3552 A971).
16. Damour Т., Ruffini R., Quantum Electrodynamical Effects in Kerr-Newman
Geometries, Princeton preprint, 1974.
17. Davies В., Joum. Math. Phys., 13, 1324 A972).
166
2. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
18. Deser S., Van Nieuwenhuizen P., Phys. Rev., D10, 401, 411 A974).
19. DeWitt B.S., Dynamical Theory of Groups and Fields, Gordon and Breach,
Inc., New York, 1965.
20. DeWitt B.S., Phys. Rev., 162, 1195, 1239 A967).
21. DowJcer J.S., Joum. Phys. (London), A3, 451 A970).
22. Dowker J.S., Ann. Phys. (N.Y.), 62, 361 A971).
23. Ford L., Ph.D. thesis, Princeton University, 1974.
24. Fulling S.A., Phys. Rev., D7, 2850 A973).
25. Fulling S.A., Parker L., 1974, Ann. Phys. (N.Y.), 87, 176 A974).
26- Fulling S.A., Parker L., Hu B.L., Conformal Energy-Momentum Tensor in
Curved Spacetime: Adiabatic Regularization and Renormalization, Univer-
University of Wisconsin-Milwaukee preprint, 1974.
27. Gerlach V.H., The Mechanism of Black Body Radiation from an Incipient
Black Hole, Ohio State University preprint, 1974.
28. Gibbons G.W., Vacuum Polarization and the Spontaneous Loss of Charge
by Black Holes, University of Cambridge preprint A974) (будет опублико-
опубликовано).
29. Гинзбург В.Л., Киржниц Д.А., Любу шин А.А., ЖЭТФ, 60, 451 A971).
30. Hawking S.W., Phys. Rev. Lett., 26, 1344 A971). (См. также Hawking S.W.,
Ellis G.F.R., The Large Scale Structure of Space-time, Cambridge Univer-
University Press, 1973.)
31. Hawking S.W., Nature, 248, 30 A974).
32. Hawking S.W., Particle Creation by Black Holes, University of Cambridge,
preprint, 1974; Commun. Math. Phys., 43, 199 A975).
33. 't Hooft G., Veltmann U., Oue Loop Divergences in the Theory of Gravita-
Gravitation, CERN Preprint TH 1723 A974), Annales de l'lnstitut Henri Poincare-
34. Misner C.W., 1972, частное сообщение Прессу и Тюкольски. [См. Press W.,
Teukolsky S., Nature, 238, 211 A972); Bekenstein ]., Phys. Rev., D7, 949
A973).]
35. Moore G.T., Joum. Math. Phys., 11, 2679 A970).
36. Morette C, Phys. Rev., 81, 848 A951).
37. Nouri-Moghadan M., Taylor J.G., The Ambiguities of Dimensional Regulariza-
Regularization Scheme, King's College London preprint, 1974.
38. Parker L., Phys. Rev., 183, 1057 A969).
39. Parker L., Fulling S.A., Phys. Rev., D9, 341A974).
40. Peierls R.E., Proc. Roy. Soc. (London), A214, 143A952).
41. Penrose R., Nuovo Cimento, 1, special number A969), 252.
42. Rindler W., Am. Journ. Phys., 34, 1174 A966).
43. Schwinger J.S., Phys. Rev., 82, 664 A951).
44. Schwinger J.S., Phys. Rev., 93, 615 A954).
45. Старобинский А. А., ЖЭТФ, 64, 48 A973).
46. Старобинский А.А., Чурипов СМ-. ЖЭТФ, 65, 3A973).
47. Unruh W.G., Second Quantization in the Kerr Metric, University of California
preprint, 1974 (будет опубликовано).
167

B.C. ДЕ ВИТТ
48. Utiyama R., DeWitt B.S., Journ. Math. Phys., 3, 608 A962).
49. Van Vleck J.H., Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 14, 178 A928).
Письма ЖЭТФ, 14, 270 A971).
ЖЭТФ, 62, 2076A972).
52. Зельдович Я.Б., Старобинский А.А., ЖЭТФ, 61, 2161 A971).
53. Зельдович Я.6,, Лукаш В.Н., Старобинский А. А-, Particle Creation in
Gravitational Fields and Its Influence on Cosmological Expansion, пре-
препринт № 23, 1974, Институт прикладной математики АН СССР, М.
54. Zumino В., Supersymmetry and the Vacuum, CERN preprint No. TH-1942,
1974.
50. Зельдович Я.Б.
51. Зельдович Я. Б.
Статья 3
Нарушение детерминированности
при гравитационном коллапсе*
СВ. Хокинг
Hawking S.W:,* Phys. Rev., D14, 2460 A976)
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ
Принцип эквивалентности, который утверждает, что гравитация
взаимодействует с тензором энергии-импульса материи, и квантово-
механическое требование, что энергия должна быть положительной,
приводят к тому, что гравитация всегда действует притягивающе. Это
приводит к сингулярностям в любой правдоподобной теории гравита-
гравитации. Сингулярность - это место, где разрушается классическая кон-
концепция пространства и времени так же, как и все известные законы
физики, поскольку все они формулируются на основе классического
пространства-времени. В настоящей статье утверждается, что это на-
нарушение не просто результат нашего незнания правильной теории, но
что оно приводит к фундаментальному ограничению нашей способнос-
способности предсказывать будущее, ограничению, которое аналогично, но до-
дополнительно к ограничению, накладываемому обычным квантовомеха-
ническим принципом неопределенности. Это новое ограничение возни-
возникает потому, что обшая теория относительности позволяет причинной
структуре пространства-времени быть весьма отличной от структуры
пространства Минковского. Область, где происходит взаимодействие,
может быть ограничена не только начальной поверхностью, на кото-
которой заданы начальные данные, и конечной поверхностью, на которой
* Работа частично финансировалась Национальной организацией содей-
содействия развитию науки (США), договор №MPS 75-01398, Калифорнийский техно-
технологический институт.
** Department of Applied Mathematics and Theoretical Physics, University
of Cambridge, Cambridge, England; California Institute of Technology, Pasadena,
California 91125.
©1976 by the American Physical Society.
©Перевод на русский язык, "Мир", 1978.
169

св. хокинг
производятся измерения, но также "скрытой поверхностью", о кото-
которой наблюдатель имеет только ограниченную информацию, такую, как
масса, угловой момент и заряд. Относительно этой скрытой поверх-
поверхности имеется "принцип игнорантности"': поверхность излучает с рав-
равной вероятностью все конфигурации частиц, совместные с ограничен-
ограниченной наблюдаемой информацией. Показано, что принцип игнорантности
справедлив при квантовомеханическом испарении черных дыр: черная
дыра рождает частицы парами, причем всегда одна частица падает в
дыру, а другая, возможно, улетает на бесконечность. Поскольку часть
информации относительно состояния системы пропадает в дыре, ко-
конечная ситуация лучше описывается матрицей плотности, а-не чистым
квантовым состоянием. Это значит, что не существует S-матрицы
для описания процесса образования и испарения черной дыры. Вместо
этого вводится новый оператор, названный оператором суперрассе-
суперрассеяния, который отображает матрицы плотности, описывающие началь-
начальную ситуацию, в матрицы плотности, описывающие конечную ситуацию.
1. ВВЕДЕНИЕ
' Гравитация намного слабее всех взаимодействий, известных фи-
физикам: гравитационные силы относятся к электрическим, действу-
действующим между двумя электронами, примерно как 1 к Ю43. На самом де-
деле, гравитация так слаба, что она была бы ненаблюдаема вовсе, если
бы не выделялась среди всех других взаимодействий свойством, из-
известным как принцип универсальности или эквивалентности: гравита-
гравитация влияет на траектории всех свободно движущихся частиц одинако-
одинаково. Это было проверено экспериментально с точностью порядка 10~1'
Роллом, Кротковым и Дикке [1] и Брагинским и Пановым [2]. Мате-
Математически принцип эквивалентности выражается утверждением, что
гравитация взаимодействует с тензором энергии-импульса материи.
Это и обычное требование из квантовой теории, что локальная плот-
плотность энергии должна быть положительной, приводят к тому, что гра-
гравитация действует всегда притягивающе. Поэтому гравитационные
поля всех частиц при больших концентрациях материи складываются
и могут превосходить все другие силы. Как было предсказано общей
теорией относительности и Проверено экспериментально, универсаль-
универсальность гравитации распространяется и на свет. Достаточно высокая
концентрация массы может поэтому привести к такому сильному гра-
170
3. НАРУШЕНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННОСТИ
витационному полю, из которого свет не сможет вырваться. Согласно
специальной теории относительности, вырваться оттуда не сможет
вообще ничто, потому что ничто не может распространяться быстрее
света. Таким образом, имеется ситуация, когда некоторое количество
материи запирается в области, граница которой за конечное время
сжимается до нуля. Что-то, очевидно, здесь не так. На самом деле,
как было показано в серии статей Пенроуза и автора [3 - 6], при та-
таких обстоятельствах пространственно-временная сингулярность не-
неотвратима, если предположить, что справедлива общая теория относи-
относительности и что тензор энергии-импульса материи удовлетворяет не-
некоторому неравенству положительной определенности.
Возникновение сингулярностей было предсказано в двух областях.
Во-первых, в прошлом, в начале существующего в настоящее время
расширения вселенной. Этот момент понимается как "большой взрыв"
и, вообще говоря, считается началом вселенной. Вторая область, в
которой предсказаны сингулярности, это коллапс изолированных об-
областей с высокой концентрацией массы, таких, как выгоревшие звезды
Сингулярность может рассматриваться как место, где имеется
нарушение классической концепции пространства-времени как много-
многообразия с псевдоримановой метрикой. Поскольку все известные зако-
законы физики формулируются на основе классического пространства-
времени, все они рушатся в сингулярности. Это большой кризис для
физики, потому что это значит, что невозможно предсказание будуще-
будущего: неизвестно, что будет выходить из сингулярности.
Многие физики очень неохотно соглашаются с тем, что физика
рушится в сингулярностях. Поэтому были сделаны следующие попыт-
попытки для того, чтобы попытаться избежать этого заключения.
1. Общая теория относительности не предсказывает сингулярнос-
сингулярностей. Это мнение одно время было широко распространено (см., напри-
например, статью Лифшица и Халатникова [8]). Оно быле, однако, оставле-
оставлено после открытия теорем о сингулярностях, отмеченных выше, и в
настоящее время большинство признает, что классическая общая тео-
теория относительности в самом деле предсказывает сингулярности
(Лифшиц и Халатников [9]).
2. Модификация общей теории относительности. Для того чтобы
предотвратить сингулярности, модификации должны быть такими, что-
чтобы сделать гравитацию отталкивающей при некоторых обстоятель-
обстоятельствах. Простейшая жизнеспособная модификация - это, вероятно, тео-
171

св. хокинг
рия Бранса - Дикке [10]. В этой теории, однако, гравитация всегда
притягивающая, так что теория предсказывает сингулярности, точно
так же, как и общая теория относительности [7]. Теория Эйнштейна -
Картана [11] включает спин-спиновое взаимодействие, которое мо-
может быть отталкивающим. Это может препятствовать сингулярностям
в некоторых случаях, но существуют ситуации (такие, как чисто гра-
гравитационное или электромагнитное поля), в которых сингулярности
все еще будут возникать. Большинство других модификаций общей
теории относительности представляются или находящимися в конфлик-
конфликте с наблюдениями, или имеющими нежелательные свойства типа от-
отрицательной энергии или уравнений четвертого порядка.
3. Гипотеза "космической цензуры": природа питает отвращение
к голой сингулярности. Другими словами, если начинать с первона-
первоначально несингулярной асимптотически плоской ситуации, любая син-
сингулярность, которая в дальнейшем появится вследствие гравитацион-
гравитационного коллапса, будет скрыта от наблюдателя на бесконечности за го-
горизонтом событий. Эта гипотеза, хотя она и не доказана, вероятно,
верна для классической общей теории относительности при соответ-
соответствующем определении нетривиальной сингулярности, для того чтобы
исключить такие случаи, как мировые линии материи без давления,
пересекающиеся на каустиках. Если гипотеза космической цензуры
имеет место, можно было бы доказывать, что возможно игнорировать
крушение физики в пространственно-временных сингулярностях, по-
потому что это никогда не могло бы вызвать никакого регистрируемо-
регистрируемого эффекта для наблюдателя, достаточно осторожного, чтобы не упасть
в черную дыру. Это довольно эгоистичная позиция, потому что она иг-
игнорирует вопрос о том, что происходит с наблюдателем, который па-
падает через горизонт событий. Это также не решает проблему с сингу-
сингулярностью большего взрыва, которая определенно голая. Однако окон-
окончательным ударом по этой попытке избежать дискуссии о кризисе в
сингулярностях было открытие автора [12, 13], что черные дыры с
постоянной скоростью рождают частицы и излучают их с тепловым
спектром. Поскольку это излучение уносит энергию, черные дыры
должны, по-видимому, терять массу и в конце концов исчезать. Если
попытаться описать этот процесс испарения черной дыры при помощи
классической пространственно-временной метрики, то появление го-
голой сингулярности неизбежно, когда черная дыра исчезает. Даже ес-
172
3. НАРУШЕНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННОСТИ
ли черная дыра не испаряется полностью, можно рассматривать испу-
испущенные частицы как выходяшие из сингулярности внутри черной ды-
дыры и туннелировавшие через горизонт событий по пространственно-
подобным траекториям. Таким образом, даже наблюдатель на беско-
бесконечности не может не видеть того, что происходит в сингулярности.
4. Квантование общей теории относительности. Можно было бы
ожидать, что в очень сильных полях вблизи сингулярности будут важ-
важны квантовые гравитационные эффекты. Некоторые надеются, поэто-
поэтому, что такие квантовые эффекты могут предотвратить возникновение
сингулярности или могут размазать ее некоторым образом так, что-
чтобы сохранить полную предсказуемость в рамках, накладываемых прин-
принципом неопределенности. Однако возникают серьезные трудности при
попытках рассматривать квантовую гравитацию аналогично квантовой
электродинамике при помощи теории возмущений относительно неко-
некоторой исходной метрики (обычно плоского пространства). Обычно в
электродинамике производят разложение в ряд теории возмущений по
степеням малого параметра е2/%с, квадрата заряда. Вследствие
принципа эквивалентности величина в общей теории относительности,
которая соответствует заряду в электродинамике, — это энергия час-
частицы. Поэтому теория возмущений - это по существу ряд по степеням
различных встречающихся энергий, деленных на цланковскую массу
^c^G-'^lO-5 г.
Эта процедура хороша для низкоэнергетических древесных диаг-
диаграмм, но она отказывает для диаграмм с замкнутыми петлями, где
имеется интегрирование по всем энергиям. При энергиях порядка план-
ковской массы все диаграммы становятся одинаково важными, и ряд
расходится. Это является основной причиной, почему общая теория от-
относительности не перенормируема [14, 15].
Каждая дополнительная замкнутая петля включает новое беско-
бесконечное вычитание. Так появляется бесконечная последовательность
конечных остатков или параметров перенормировки, которые не опре-
определяются теорией. Нельзя поэтому, как надеялись, построить S-мат-
S-матрицу, которая приводила бы к определенным предсказаниям. Трудность
с теорией возмущений в том, что она применяет световые конусн
фиксированного исходного пространства. Поэтому она не может опи-
описывать ситуации, при которых вследствие вакуумных флуктуации об-
образуются горизонты или вырезаются дыры. Это не значит, что нельзя
квантовать гравитацию, но требуется новый подход.
173

св. хокинг
Одна из возможных точек зрения на неудачу указанных попыток
избежать нарушения детерминированности могла бы состоять в том,
что мы пока еще не открыли правильной теории. Иель настоящей статьи,
однако, заключается в том, чтобы показать, что это не так, если
согласиться с тем, что квантовые эффекты будут вызывать излучение
черной дыры. В этом случае существует фундаментальное ограниче-
ограничение нашей способности предсказаний, которое аналогично, но дополни-
дополнительно к обычному квантовомеханическому принципу неопределенности.
Это добавочное ограничение возникает из-за того, что общая теория
относительности позволяет причинной структуре пространства-време-
пространства-времени быть совершенно отличной от структуры пространства Минковского.
Например, в случае гравитационного коллапса, приводящего к черной
дыре, существует горизонт событий, который не дает наблюдателю
на бесконечности измерять параметры внутреннего состояния черной
дыры, за исключением ее массы, углового момента и заряда. Это
означает, что измерения в бесконечности будущего недостаточны -
для того, чтобы полностью определить состояние системы в беско-
бесконечности прошлого: требуются также данные на горизонте событий,
описывающие то, что падает в черную дыру. Можно подумать, что
можно было бы иметь наблюдателей, расположенных непосредствен-
непосредственно снаружи от горизонта событий, которые посылали бы сигнал на-
наблюдателям на бесконечности каждый раз, когда некоторая частица
падает в черную дыру. Однако это невозможно точно так же, как
нельзя иметь наблюдателей, которые будут измерять сразу и положе-
положение и скорость частицы. Для того чтобы сигнализировать точно мо-
момент времени, в который частица пересекает горизонт событий, тре-
требуется фотон той же длины волны и поэтому той же энергии, как у
падающей частицы. Если проделать это для каждой частицы, которая
подвергается гравитационному коллапсу, образуя черную дыру, пол-
полная энергия, Нужная для сигнала, была бы равна энергии коллапси-
рующего тела, и поэтому не оставалось бы энергии на образование
черной дыры. Отсюда поэтому следует, что когда образуется черная
дыра, нельзя вывести результаты измерений на бесконечности в про-
пролом из наблюдений на бесконечности в будущем. Это может показать-
показаться не, таким уже страшным, поскольку обычно больше имеют дело с
предсказанием будущего, чем прошлого. Однако, хотя в такой ситуа-
ситуации и можно было бы в классической теории определить данные на
174
3. НАРУШЕНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННОСТИ
бесконечности в будущем из данных на бесконечности в прошлом, это-
этого нельзя будет сделать, если принять во внимание квантовые'эффек-
квантовые'эффекты. Например, в квантовой механике частицам разрешается туннели-
ровать по пространственноподобным или направленным в прошлое ми-
мировым линиям. Поэтому для частицы имеется возможность туннели-
ровать из черной дыры через горизонт событий и уйти на бесконеч-
бесконечность в будущем. Такое событие можно интерпретировать как спон-
спонтанное рождение в гравитационном поле черной дыры пары частиц, од-
одной с отрицательной, а другой с положительной энергией по отноше-
отношению к бесконечности. Частица с отрицательной энергией могла бы
упасть в черную дыру, где имеются состояния с отрицательной энер-
энергией относительно бесконечности. Частицы с положительной энергией
могут уйти на бесконечность, где они образуют предсказанное недав-
недавно тепловое излучение от черных дыр. Поскольку эти частицы выле-
вылетают из внутренности черной дыры, о которой внешний наблюдатель
не имеет никакой информации, он не может предсказать амплитуды
вероятности их излучения, но только вероятности без фаз.
В разд. 3 и 4 этой статьи показано, что квантовое излучение из
черной дыры полностью случайное и некоррелированное. Аналогич-
Аналогичные результаты были получены Уолдом [16] и Паркером [17]. Черная
дыра излучает с равной вероятностью любую конфигурацию частиц,
совместную с сохранением энергии, углового момента и заряда (не
каждая конфигурация достигает бесконечности с равной вероятно-
вероятностью, потому что вокруг черной дыры имеется потенциальный барьер,
который зависит от углового момента частиц и который может отра-
отразить некоторые из частиц обратно в черную дыру). Этот результат
может рассматриваться как квантовая версия теорем об "отсутствии
волос", потому что это приводит к тому,1что наблюдатель на беско-
бесконечности не может предсказывать внутреннее состояние черной ды-
дыры, за исключением ее массы, углового момента и заряда: если чер-
черная дыра излучала бы некоторую конфигурацию частиц с большей
вероятностью, чем другие, наблюдатель мог бы иметь некоторую ап-
априорную информацию о внутреннем состоянии. Конечно, если наблю-
наблюдатель измерит волновые функции всех частиц, которые были излуче-
излучены в данном случае, он сможет тогда определить внутреннее состоя-
состояние черной дыры апостериори, но к тому времени она уже исчезнет.
Гравитационный коллапс, который приводит к горизонту событий,-
это пример ситуации, в которой область взагмодействия ограничена
175

св. хокинг
начальной поверхностью, на которой заданы начальные данные, ко-
конечной поверхностью, на которой производятся измерения, и в доба-
добавок третьей "скрытой" поверхностью, относительно которой наблюда-
наблюдатель может иметь только ограниченную информацию, такую как поток
энергии, углового момента или заряда. Такие скрытые поверхности
могут окружать или сингулярности (как в решении Шварцшильда) или
"кротовые норы", ведущие в другие области пространства-времени,
о которых наблюдатель не имеет информации (как в решении Рейссне-
ра - Нордстрема или других). Относительно таких поверхностей име-
имеется принцип игнорантности.
Все данные на "скрытой" поверхности, совместные с ограничен-
ограниченной наблюдаемой информацией, равновероятны.
До сих пор обсуждение велось в терминах квантованных полей
материи в фиксированной классической внешней метрике (квазиклас-
(квазиклассическое приближение). Однако можно распространить эти принципы
на рассмотрения, в которых гравитационное поле также квантуется
при помощи фейнмановского интеграла по историям. При этом произ-
производится интегрирование (с пока еще неопределенной мерой) но всем
конфигурациям как полей материи, так и гравитационного поля. Клас-
Классический пример горизонтов событий черной дыры Показывает, что
в этот интеграл входят и метрики, в которых область взаимодей-
взаимодействия (т.е. область, по которой вычисляется действие) ограничена
не только начальной и конечной поверхностями, но тржже и скрытой
поверхностью. Действительно, в любой квантовогравитационной си-
ситуации существует возможность появления "виртуальных" черных
дыр, которые возникают из ничего, а затем снова исчезают. Поэтому
следует включить в интеграл по историям метрики, содержащие слу-
случайные дыры, приводящие или к сингулярностям или к другим облас-
областям пространства-времени, о которых ничено не известно. Следова-
Следовательно, нужно ввести скрытую поверхность вокруг каждой из этих
дыр и применить принцип игнорантности, чтобы сделать утверждение,
что все полевые конфигурации на этих скрытых поверхностях равно-
равновероятны при условии, что они совместны с сохранением массы, уг-
углового момента и т.д., которые можно измерить при помощи интег-
интегралов по поверхности на некотором расстоянии от дыры.
Пусть Я, будет гильбертово пространство всех возможных дан-
данных на начальной поверхности, Н2 - гильбертово пространство всех
176
3. НАРУШЕНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННОСТИ
возможных данных на скрытой поверхности и Н 3 — гильбертово
пространство всех возможных данных на конечной поверхности. Ос-
Основное предположение квантовой теории заключается в том, что су-
существует некоторый тензор SABC , три индекса которого относятся
соответственно к Н3, #2 и н такой, что если
?н2, Хл ен3,
то
S
С
J ABC X A'
есть амплитуда вероятности иметь начальное состояние ? , ко-
конечное состояние хА и состояние ? в на скрытой поверхности. Если
дано только начальное состояние §с , то определить конечное со-
состояние нельзя, но можно определить только элемент 2S .__ §_ тен-
тензорного произведения Н2<?)Н3. Поскольку состояние на скрытой по-
поверхности неизвестно, нельзя найти амплитуду для измерений на ко-
конечной поверхности, приводящих к результату хл , но можно вычис-
вычислить вероятность этого, которая равна 222рCDx"rXn> гДе
PCD ~ 222 ->СВЕ DBF^E^F
матрица плотности, которая полностью описывает наблюдения, про-
производимые только на поверхности в будущем, а не на скрытой по-
поверхности. Заметим, что эта матрица плотности получается из
2S4fiC ?c суммированием с равным весом по всем ненаблюдаемым
состояниям на ''скрытой" поверхности.
Из предыдущего можно видеть, что не существует S-матрицы,
или оператора, который отображал бы начальные состояния в конеч-
конечные состояния, потому что наблюдаемая конечная ситуация описыва-
описывается не чистым квантовым состоянием, а матрицей плотности. На са-
самом деле начальная ситуация будет, вообще говоря, также описывать-
описываться не чистым состоянием, а матрицей плотности из-за скрытых поверх-
поверхностей, возникающих в более ранние времена. Вместо S-матрицы мы
будем иметь новый оператор, называемый оператором суперрассе-
суперрассеяния S, который отображает матрицы плотности, описывающие на-
начальную ситуацию, в матрицы плотности, описывающие конечную си-
ситуацию. Этот оператор может рассматриваться как тензор с четырьмя
индексами SAgCD, где первые два индекса действуют в конечном
пространстве HJ8>H3, а последние два индекса действуют в про-
177

св. хокинг
странстве Н^Н,. Он связан с трех индексным тензором SABC со-
соотношением
SABCD
+ S ВЕС SAE D )#
Конечная матрица плотности р выражается через начальную мат-
рицу плотности p1CD следующим образом:
Р2ЛВ = SS $ABCD P1CD '
Оператор суперрассеяния обсуждается далее в разд. 5.
Тот факт, что при гравитационных взаимодействиях конечная си-
ситуация набесконечности описывается матрицей плотности, а не чис-
чистым состоянием, указывает, что квантовая гравитация не может, как
надеялись, быть перенормирована так, чтобы привести к хорошо опре-
определенной S-матрице с только конечным числом неопределенных пара-
параметров. Кажется основательным предположить, что существует тес-
тесная связь между бесконечной последовательностью перенормировоч-
перенормировочных констант, которая появляется в теории возмущений и потерей пред-
предсказуемости, которая возникает из-за скрытых поверхностей.
Можно также обратиться к принципу игнорантности для того, что-
чтобы дать возможное объяснение наблюдениям микроволнового фоново-
фонового излучения и избытку гелия и дейтерия, которые указывают, что
ранняя вселенная была очень близка к пространственной однороднос-
однородности и изотропии и находилась в тепловом равновесии. Можно рассмат-
рассматривать поверхность, очень близкую к начальной сингулярности боль-
большого взрыва (скажем, при планковском времени 1043 с) как "скры-
"скрытую поверхность" в том смысле, что мы не имеем о ней никакой ин-
информации априори. Эта начальная поверхность могла бы тогда излу-
излучать все конфигурации частиц с равной вероятностью. Для того что-
чтобы получить тепловое распределение, нужно было бы наложить неко-
некоторые ограничения на полную энергию конфигураций, где полная энер-
энергия - это энергия массы покоя частиц плюс их кинетическая энергия
вследствие расширения минус их гравитационная потенциальная энер-
энергия. Из наблюдений эта энергия очень близка, если не равна в точ-
точности нулю, и это можно рассматривать как необходимое условие
нашего существования: если бы полная, энергия была большой и поло-
положительной, вселенная расширялась бы слишком быстро Для того, что-
чтобы образовать галактики, а если бы полная энергия была большой и
178
3. НАРУШЕНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННОСТИ
отрицательной, вселенная коллапсировала бы раньше, чем успела бы
развиться разумная жизнь. Поэтому мы имеем некоторую ограничен-
ограниченную информацию о данных на начальной поверхности из самого факта
нашего существования. Если предположить, что начальная поверхность
излучает с равной вероятностью все конфигурации частиц с полной
энергией (при некотором соответствующем определении), примерно
равной нулю, то приблизительно тепловое распределение есть наибо-
наиболее вероятное макросостояние, так как оно соответствует наиболь-
наибольшему числу микросостояний. Любое значительное отклонение от одно-
однородности или изотропности могло бы истолковываться как наличие в
некоторых длинноволновых модах очень большого числа гравитонов
в количестве, сильно превосходящем то, которое должно быть по теп-
тепловому распределению, и поэтому весьма невероятном. Следует от-
отметить, что этот взгляд на степень общности изотропного расширения
противоположен тому, который был принят Коллинзом и Хокингом [18].
Различие возникает из-за рассмотрения микроскопических вместо
макроскопических конфигураций.
Можно также попытаться объяснить наблюдаемый чисто барион-
ный заряд вселенной, сказав, что мы как наблюдатели могли бы воз-
возникнуть только из начальных конфигураций, которые имели чисто ба-
рионный заряд. Альтернативное объяснение могло бы состоять в том,
что нарушение СР в сильно Г-несимметричной ранней вселенной при-
приводило бы к тому, что расширяющиеся конфигурации, в которых преоб-
преобладают барионы, имели бы меньшую энергию, чем подобные расширяю-
расширяющиеся конфигурации, в которых преобладают антибарионы. Это означа-
означало бы, что при данной плотности энергии имелось бы больше конфигу-
конфигураций с положительным барионным зарядом, чем с отрицательным ба-
рионным зарядом, таким образом, среднее значение барионного заря-
заряда было бы положительным. С другой стороны, может существовать
некоторый тип спонтанного нарушения симметрии, которое приводит
к тому, что области, в которых имеются только барионы или только
антибарионы, имеют более низкую плотность энергии, чем области, со-
содержащие смесь барионов и антибарионов. В этом случае, как указал
Омнес [19], мог бы происходить фазовый переход, п>ри котором чис-
чисто барионные области отделялись бы от чисто антибарионных. В от-
отличие от случая, рассмотренного Омнесом, не существует причины,
179

СВ. ХОКИНГ
почему такое разделение не должно происходить в масштабе длин,
больших чем горизонт частицы. Такое большое разделение могло бы
преодолеть большую часть трудностей в модели Омнеса.
Существует тесная связь между предложенным выше объясне-
объяснением изотропии вселенной и предложением Зельдовича (см. [20]), что она
вызвана рождением частиц в анизотропных областях. В этой работе,
однако, для того чтобы определить рождение частиц, было
сделано предположение, что на ранних этапах вселенная не зависит
от времени (что, очевидно, не так). Настоящий подход обходит труд-
трудность с утверждениями относительно ранних этапов; нужно просто
подсчитать конфигурации в некоторый подходящий поздний момент.
Вывод настоящей статьи в том, что гравитация вводит новый уро-
уровень неопределенности или случайности в физику сверх и выше неоп-
неопределенности, обычно связываемой с квантовой механикой. Эйнштейн
был очень удручен индетерминированностью квантовой механики, по-
потому что он испытывал ощущение, что "Бог не играет в кости". Од-
Однако результаты, приведенные здесь, показывают, что "Бог не толь-
кр играет в кости, Он иногда забрасывает их туда, где их нельзя
увидеть".
2. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ В ИСКРИВЛЕННОМ
ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ
В этом разделе дан краткий набросок формализма квантовой
теории на заданном пространственно-временном многообразии, кото-
который применялся Хокингом [13] при выводе квантовомеханического
излучения из черных дыр. Этот формализм будет использован в разд. 3
для того, чтобы показать, что излучение, которое приходит на беско-
бесконечность, полностью тепловое и некоррелированное. В разд. 4 спе-
специальный выбор состояний для частиц, падающих в черную дыру, при-
применяется для того, чтобы точно вычислить состояния падающих и из-
излученных частиц. Это покажет, что частицы рождаются парами, при-
причем одна из этой пары всегда падает в дыру, а другая или падает
или уходит на бесконечность. Разд. 5 содержит обсуждение оператора
суперрассеяния S, который отображает матрицы плотности, описываю-
описывающие начальную ситуацию, в матрицы плотности, описывающие конеч-
конечную ситуацию.
180
3. НАРУШЕНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННОСТИ
Для простоты будут рассматриваться только безмассовое эрми-
эрмитово скалярное поле q> и незаряженная невращающаяся черная дыра.
Обобщение на заряженные массивные поля высшего спина и на заря-
заряженные вращающиеся черные дыры производится непосредственно
по плану, указанному в работе [13]. В этой статье будет применять-
применяться система единиц, в которой G = с = ft = А; = 1.
Сингулярность
Каллапсирующал
материя
Ф и г. 1. Гравитационный коплвлс приводит к черной дыре, которая медлен-
медленно испвряется вследствие излучения на световую бесконечность будущего 3 +.
Из-за потери энергии черная дыра уменьшается в размерах и в конце концов
исчезает.
Диаграмма рассматриваемой ситуации изображена на фиг. h
гравитационный коллапс приводит к появлению черной дыры, которая
медленно испаряется и в конечном счете исчезает вследствие кванто-
квантовомеханического рождения и излучения частиц. За исключением ко-
конечной стадии испарения, когда черная дыра достигает планковской
массы, обратное влияние гравитационного поля очень мало, и его
можно рассматривать как неквантованное внешнее поле. Метрика в
поздние времена может быть аппроксимирована последовательностью
не зависящих от времени решений Шварцшильда, а гравитационный
коллапс можно считать сферически-симметричным (в работе [13] бы-
181

С.В, ХОКИНГ
¦ло показано, что отклонения от сферической симметрии не вносят су-
существенных изменений).
Оператор скалярного поля <р удовлетворяет уравнению
аФ= 0 B.1)
в рассматриваемой метрике и коммутационным соотношениям
bp(*),9(y)]=»G(«, у), B.2)
где G (х, у) есть половина запаздывающей минус половина опережаю-
шей функции Грина. Можно выразить оператор <р в виде
<*~Ща{ + /Та]),
B.3)
где {/. j — полное ортонормированное семейство комплекснозначных
решений волнового уравнения а/. =0, которые содержат только по-
положительные частоты на световой бесконечности прошлого i~. Опе-
Операторы о. не зависят от координат и удовлетворяют коммутацион-
коммутационным соотношениям
[а. ,а.]=0, B.4)
[а.,а|]=6.. . B.5)
Операторы о. и а! являются соответственно операторами рождения
и уничтожения частиц в i-й моде на бесконечности прошлого. На-
Начальное вакуумное состояние для скалярных частиц |0_ > , т.е. со-
состояние, которое не содержит скалярных частиц на бесконечности
прошлого, определяется из условия
о.| 0_> = 0 для всех ». B.6)
можно также представить в виде
Ф= ^ (Pib. + p.bj + q.c.
i
B.7)
Здесь {p. j - полное ортонормированное семейство решений волнового
уравнения, которое содержит только положительные частоты на све-
световой бесконечности будущего $+ и которое является чисто уходя-
шим, т.е. оно имеет нулевые условия Коши на горизонте событий Н.
\q.} - полная ортонормированная последовательность решений волно-
волнового уравнения, которая не содержит выходящих компонент. Незави-
Независящие от координат операторы Ь{ и с. удовлетворяют коммутацион-
коммутационным соотношениям
182
3. НАРУШЕНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННОСТИ
[Ь.
Ь.]=[с.
с.] = 0,
...
B.8)
B.9)
B.10)
Ь! -
Операторы Ъ. и Ь\ — соответственно операторы уничтожения и рож-
рождения для частиц, уходящих на бесконечность будущего. По аналогии
можно рассматривать операторы с. и с! как операторы уничтоже-
уничтожения и рождения частиц, падающих в черную дыру. Тем не менее, по-
поскольку нельзя однозначно определить положительную частотность
для \q. j, разделение на операторы рождения и уничтожения неодно-
неоднозначно, и, следовательно, не следует придавать слишком много физи-
физического смысла этой интерпретации. Неединственность \с.) и {с!\
не влияет на любые наблюдаемые на бесконечности будущего. В разд. 4
будет сделан частный выбор \q. \, который позволит проделать точ-
точное вычисление для частиц, падающих в черную дыру. Конечное ва-
вакуумное состояние для скалярных частиц @+ > , т.е. состояние, кото-
которое не содержит выходящих частиц на бесконечности будущего или
частиц, падающих на черную дыру, определяется из условия
Ь.|0+>= с.|0+>=0. B.11)
Оно может быть представлено как | 0 > | 0 > , где операторы Ь и с
действуют соответственно на | 0; > и | 0д > , которые являются ваку-
умами для уходящих частиц и частиц, падающих в черную дыру. | 0 >
единственным образом определяется из условия положительной час-
частотности 1р. I , однако произвол в выборе \q.} означает, что | 0д >
не единственно.
Поскольку безмассовые поля полностью определяются их значе-
значениями на $ ~ , можно представить 1р ! и igr.} как линейные комби-
комбинации \[.) и {{".}•:
Pi -*<«„/} +М> BЛ2)
Эти соотношения приводят к соответствующим соотношениям между
операторами:
183

св. хокинг
B.14)
B.15)
В рассматриваемой ситуации метрика сферически симметрична. Это
значит, что угловая зависимость \f.\, \р.\ и \q.\ может быть взята
как у сферических гармоник Ylm. Соотношения B.12) и B.13) будут
связывать только решения с одинаковыми значениями I и \т\. (Это
не верно, если коллапс не сферически симметричен, но в [13] было
показало, что это не приводит к существенному различию). Для вычис-
вычислительных целей удобно применять {- и р-решения, которые имеют
зависимость от времени вида е'ш " и e'mu соответственно, где v
и ы - Опережающее и запаздывающее времена. Эти решения будут
обозначаться через \[ , } и |р ! и будут иметь непрерывную норми-
нормировку. !Из их суперпозиции можно построить решения в виде волновых
пакетов с конечной нормировкой. Суммирование в уравнениях B.3),
B.7) и B.12) заменяется на интегрирование по частотам. Операторы
а , Ь и т.д. удовлетворяют аналогичным коммутационным соотноше-
соотношениям, содержащим 5-функции по частотам.
Преимущество применения компонент Фурье относительно вре-
времени состоит в том, что можно вычислить коэффициенты а , и
* т coco
Pmmi в приближении, когда масса черной дыры меняется медленно.
Рассмотрим решение рщг распространяющееся назад во времени из
бесконечности будущего. Часть р^1 * отражается на статической
метрике Шварцшильда и приходит на бесконечность прошлого с той
же частотой. Это дает член гш5(ы-ю') в аша, , где гщ - коэффици-
коэффициент отражения в метрике Шварцшильда для частоты ш и данной уг-
угловой моды. Более интересно поведение части р*2^ , которая распро-
распространяется через коллапсирующее тело и уходит на бесконечность
прошлого с очень большим синим смещением. Это дает вклады в
вида
,B)
B.16)
184
3. НАРУШЕНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННОСТИ
col—со
B.17)
где- к = DA/)~~1 — поверхностная гравитация черной дыры и коэффици-
коэффициент прохождения для данной метрики Шварцшильда, т.е.
есть доля волн .с частотой со и данной угловой зависимостью, кото-
которые проникают через потенциальный барьер в дыру,
3. ВЫХОДЯЩЕЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
Предположим, что на бесконечности прошлого никаких скалярных
частиц нет, т.е. что система находится в начальном вакуумном для
скалярных частиц состоянии |0_ > . (Это не истинный вакуум, по-
поскольку он содержит материю, из которой образуется черная дыра.)
Состояние |0_ > не будет совпадать с конечным вакуумным для ска-
скалярных частиц состоянием |0 > , потому что происходит рождение
частиц. Можно представить |0_ > как линейную комбинацию состоя-
состояний с различным числом частиц, уходящих на бесконечность и за го-
горизонт:
|0_ > = 22КАВ\АГ >\ВН>, C.1)
где |Л/> — состояние уходящих частиц с п.а частицами в /-й уходя-
уходящей моде, а \ВН > - состояние на горизонте с пкь частицами в
А-й моде, падающими в дыру. Другими словами,
C.2)
\В„ > = П(т», ') h (с,1) 10 > . C.3)
н к къ к н
Оператор Q, который соответствует некоторой наблюдаемой на бео-
конечности,будущего, будет состоять только из \Ь. \ и {b\\ и будет
действовать только на вектора |Л/ > . Таким образом, среднее зна-
значение этого оператора будет равно
L>=ZZpACQCA, C.4)
185

св. хокинг
где Q =< C[\Q\A. > - матричный элемент оператора Q ^гиль-
^гильбертовом пространстве уходящих состояний, а рдс = 2 ^в^с
AC __
матрица плотности, которая полностью описывает все наблюдения, ко-
которые делаются только на бесконечности будущего и при которых не
производят измерений того, что происходит в дыре. Компоненты р^с
можно полностью определить, если известны средние значения поли-
полиномов от операторов {Ь.] и \Ь\\. Таким образом, матрица плотности
не зависит от неоднозначности в выборе \q.!, которые описывают
частицы, падающие в дыру.
Как пример такого полинома рассмотрим Ь.Ь. - оператор чис-
числа частиц Для /-Й уходящей моды.
Тогда
<П>=1П .Ряя=<0 IbU.IO >=2|B..|2. C.5)
Для того чтобы вычислить это последнее выражение, разложим ко-
нечнойормированный волновой пакет моды р. по непрерывнонорми-
рованным модам р ,
где
тогда
C.7)
< V
Если волновой пакет представляет собой острый пик около частоты со,
можно применить уравнение B.14) для того, чтобы показать, что
х е
) -1 -ттшк
со е
"'
. C.8)
где у = ln(-co'). Множитель е~шоК возникает из аналитического
продолжения со1 на отрицательные значения в выражении B.15)
186
3. НАРУШЕНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННОСТИ
C-8) = U
¦«,
C-9)
поэтому
-1
(ЗЛО)
Это в точности среднее значение для тела, испускающего тепловое
излучение с температурой Т = к/2тг. Для того чтобы показать, что
вероятности излучения различного числа частиц в ; -й моде и сред-
средние не только числа частиц, но и другие, согласуются с утвержде-
утверждением о тепловом излучении, можно вычислить среднее значение п2,
л? и т.д. Например,
< л2 > = < 0_|ьТь.*>!б-.|0_ > = <„> + <О_|(Ь!J(Ь.J|О > .
3 3 3 3 3 3 } 3
C.11)
Можно вычислить второе слагаемое в правой части уравнения C.11),
применяя уравнения B.14) и B.15), как выше. Члены а B\ приводят
к выражениям, содержащим функции типа 5 (со1 + со2),"которые вкла-
вклада не дают, так как со. и со,—обе положительные. Члены в а^\
приводят к выражениям, содержащим функции типа fp2 (со)<&о, кото-
которые равны нулю, поскольку для волновых пакетов при поздних време-
временах фаза р (со) меняется очень быстро с изменением «. Таким об-
образом,
_, *Г[1 + BГ-1)*]
где х = е
-соТ
-1
О-*J
и Г = |«ш|2 • Действуя по индукции, можно вычис-
вычислить следующие моменты <п3> и т.д. Все они согласуются с ве-
вероятностным распределением для п частиц в /-й моде,
Р(я.)=~ '-IJ-L-P4 . C.13)
' [1 - A - Г)х]п+1
Это в точности комбинация вероятности A - х)хт теплового излу-
излучения т частиц в данной моде с вероятностью г, что данная излучен-
излученная частица будет уходить на бесконечность, а не отразится потен-
потенциальным барьером назад в дыру.
187

св. хокинг
Можно также исследовать, существуют ли какие-либо корреляции
между фазами излучения различного числа частиц в одной и той же
моде, рассмотрев средние значения операторов типа Ь. Ь ¦, кото-
которые связывают компоненты матрицы плотности с различным числом
частиц в /-й моде. Все "эти средние значения равны нулю. Для того
чтобы увидеть, существуют ли какие-либо корреляции между различ-
различными модами, можно рассмотреть средние значения операторов ти-
типа b\bl, которые связывают различные недиагональные компонен-
компоненты матрицы плотности. Все они также равны нулю. Таким образом,
матрица плотности полностью диагональна в базисе состояний с оп-
определенным числом частиц в модах, которые представляют собой
резкие пики по частоте. Можно выписать матрицу плотности явно:
Р.с = П%о,/Чо)- ' C.14)
Матрица плотности C.14) в точности такая, какую можно было бы
ожидать для тела, испускающее тепловое излучение.
Так как черная дыра излучает, ее масса будет уменьшаться, а
температура будет увеличиваться. Это излучение будет медленным
до тех пор, пока масса черной дыры не уменьшится примерно до план-
ковской массы. Таким образом, в хорошем приближении вероятность
излучения п частиц в виде волнового пакета ;-й моды будет давать-
даваться выражением C.13), где температура соответствует массе черной
дыры в момент запаздывающего времени, около которого /-я мода
имеет пик. После того как черная дыра полностью испарилась и ис-
исчезла, единственно возможными для излучения на бесконечности бу-
будущего состояниями | А > будут такие, для которых полная энергия
частиц равна первоначальной массе MQ черной дыры. Вероятность
возникновения такого состояния будет
Р(*) = РАА=ПР(п/а). C.15)
Если Г равны единице для всех мод, то
In [Р(А)] = 2 In A - х.а ) - 2 8тгпja a,Mja, C.16)
где U. - масса, к которой черная дыра была редуцирована в момент
запаздывающего времени /-й моды вследствие излучения част1 иц в
конфигурации А. Вследствие закона сохранения энергии 2/». со. = Мо
188
3. НАРУШЕНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННОСТИ
для всех возможных конфигураций А излученных частиц. Поскольку
М. является только слабо меняющейся функцией номера моды /,
последний член в уравнении C.16) будет приблизительно один и тот же
для всех конфигураций А. Таким образом, черная дыра излучает все
конфигурации с равной вероятностью. Вероятности различных конфи-
конфигураций на бесконечности будущего не одинаковы, потому что факто-
факторы Г различны для различных мод.
4. ПАДАЮЩИЕ ЧАСТИЦЫ
В этом разделе будет сделан специальный выбор падающих реше-
решений ig !, который позволит провести явное вычисление коэффициен-
коэффициентов Л^д , так что состояние системы может быть выражено в терми-
терминах частиц, падающих в черную дыру, и частиц, улетающих на беско-
бесконечность. Уходящие решения {р. J выбраны так, что они имеют толь-
только положительные частоты вдоль орбит приближенно транслирующего
время вектора Киллинга К в квазистационарной области вне черной
дыры в поздние времена. Они поэтому соответствуют модам частиц,
которые мо'гли бы быть зарегистрированы наблюдателем с детекто-
детектором, движущимся по мировой линии на постоянном расстоянии от чер-
черной дыры. Они не соответствуют тому, что могли бы обнаружить не-
нестационарные наблюдатели, в частности наблюдатели, падающие в чер-
черную дыру, потому что они не являются чисто положительно-частотны-
положительно-частотными вдоль мировых линий таких наблюдателей.
Стационарный наблюдатель, находящийся вне черной дыры, мог
бы считать частицу, которую он обнаружил в моде {р.!, одной из па-
пары частиц, рожденных гравитационным полем при коллапсе, причем
другая имеет отрицательную энергию и падает в черную дыру. Состо-
Состояния на горизонте \q.} будут выбраны так, что часть из них описы-
описывают те" частицы с отрицательной энергией, которые стационарный
наблюдатель рассматривает как существующие внутри черной дыры.
Остающиеся {q. J будут описывать те частицы с положительной энер-
энергией, которые отражаются назад потенциальным барьером, окружаю-
окружающим черную дыру, и которые падают, проходя через горизонт, собы-
событий. Следует отметить, что этот выбор {q.\ не соответствует ниче-
ничему, что мог бы измерить неподвижный наблюдатель, так как они не
являются положительно-частотными вдоль его мировой линии. Однако
при заданных {р. 1 выбор {q \, который будет применяться, являет-
189

св. хокинг
3. НАРУШЕНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННОСТИ
ся минимальным в том смысле, что любой другой выбор мог бы опи-
описывать рождение добавочных пар частиц, таких, что обе они падают
в черную дыру.
Для того чтобы вычислить коэффициенты аир, которые свя-
связывают }р.! с \f.! и }/. |, разложим {р. | по компонентам Фурье
{рш! с временной зависимостью вида еШи , где и = t -г - 2Д/1п (г~2М)\
запаздывающая временная координата в решении Шварцшильда. По-
Поскольку ы стремится к +<» во внешней области при подходе к гори-
горизонту будущего, поверхности постоянной фазы рш сжимаются в сто-
стопу сразу за горизонтом будущего (фиг. 2). Другими словами, р
ультрафиолетово сдвинута до очень высоких частот вблизи горизон-
горизонта будущего. Это значит, что она распространяется по законам гео-
геометрической оптики назад сквозь коллапсируюшее тело и уходит на
световую бесконечность прошлого $ ~ , где имеет временную зави-
зависимость вида
— ?сок In (vQ — v) ДЛЯ v < vQ
D.1)
О для v>«0,
где v = t + г + 2Д/ In (г - 2М) - опережающая временная координата,
a v0 - последний момент опережающего времени, раньше которого
световая геодезическая еше могла, начавшись на $ ~, пройти через
центр коллапсирующего объекта и уйти на $+ . Подобным образом,
для того чтобы вычислить коэффициенты у и Ti, которые-выражают
\qt! через {/\! и {ft!, разложим \q. \ по компонентам фурье {?„! • В квази-
квазистационарной области часть I?01!, которая пересекает горизонт бу-
будущего в квазистационарной области, будет иметь зависимость от
времени вида е'ш" . Часть q?], которая пересекает горизонт сразу
после его образования, будет иметь зависимость от времени вида
е ~ia>u (знак минус из-за того, что во внутренней области направле-
направление возрастания ы обратное). Поверхности постоянной фазы \q^]\
собираются в стопу сразу внутри горизонта (фиг. 2). Можно поэтому
также распространить их назад по законам геометрической оптики
через коллапсируюшее тело на if" , где они будут иметь зависимость
от времени вида
О
190
для
для
V < U,
D.2)
Для того чтобы вычислить коэффициенты а, р, у и г\, можно
разложить DЛ) и D.2) на положительно- и отрицательно-частотные
компоненты вида е'ш " и е~'ш " через опережающее время v на i 7
Однако можно получить те же результаты, если оставить коллапси-
рующее тело и аналитически продолжить назад к горизонту прошлого
Волновые...
фронты qj '
Волновые
фронты р]
Волновые ...
фронты qji '
Волновые
фронты pj
Фиг. 2. Волновые фронты или поверхности постоянной фазы решений р.
собираются в стопу сразу вне горизонта событий вследствие большого сине-
синего смещения. Они распространяются по законам геометрической оптики че-
через коллапсирующее тело и уходят на световую бесконечность прошлого 3"
непосредственно перед моментом опережающего времени v - vQ, Аналогич-
Аналогич{4^
но волновые фронты
будут собираться е стопу вблизи от внутренней
стороны горизонта событий и будут распространяться через коллапсирую-
коллапсирующее тело на э сразу после наступления момента опережающего времени
191

C.8. ХОКИНГ
шварцшильдовское решение, которое описывает квазистационарную
область. Вместо того чтобы распространять р и g назад сквозь
коллапсирующее тело на Si ~ и разлагать их там на положельно- и
отрицательно-частотные компоненты относительно опережающего
времени v, распространим их назад к горизонту прошлого Н~ и раз-
разложим их на положительно- и отрицательно-частотные компоненты
относительно аффинного параметра U вдоль образующих Н~ ¦ (Подоб-
(Подобная конструкция применялась Унру [2]].) Тогда можно обсуждать
рождение частиц в терминах диаграммы Пенроуза (фиг. 3) аналити-
аналитически продолженного решения Шварцшильда. Начальное вакуумное со-
состояние |0_ > теперь определяется как состояние, которое на $~
Горизонт будущего
Горизонт прошлого
Фиг. 3. Диаграмма Пенроуэа г - «-плоскости аналитически продолженного
пространства Шварцшильда. Световые пинии проходят под углами в ±45 е и
сделано конформное преобрамюанне для того, чтобы перевести бесконеч-
бесконечность,, предотавленную 9+ и $-, на конечное расстояние. Каждая точка
этой диаграммы представляет собой сферу с поверхностью 4 ттг*.
не имеет положительно-частотных компонент по отношению к опере-
опережающему времени v и которое на горизонте прошлого Н~ не имеет
положительно-частотных компонент по отношению к аффинному пара-
параметру U. Другими словами, можйо представить оператор <р в виде
00
ф_ СI О >/П) , a'2VB' + 3 с )dcx> D 3)
о
где {/<1'! - семейство решений волнового уравнения в аналитически
продолженном решении Шварцшильда с непрерывной нормировкой, ко-
192
3. НАРУШЕНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННОСТИ
торое имеет нулевые данные Коши на горизонте прошлого и имеет за-
зависимость от времени вида eia>v на $~~, a {f{2)\ - семейство ре-
решений с непрерывной нормировкой, которое имеет нулевые данные Ко-
Коши на $~ и зависимость от времени вида eiaV на горизонте прошло-
прошлого. Начальное вакуумное состояние тогда определяется условиями
вюI°-> -в«'Ю->-0. D.4)
Это определение вакуумного состояния отлично от того, которое при-
применял Бульвар [22] для аналитически продолженного решения Шварц-
Шварцшильда. Однако приведенное выше определение воспроизводит ре-
результаты о рождении частиц черной дырой, образовавшейся при кол-
коллапсе.
Аффинный параметр U на горизонте прошлого связан с запазды-
запаздывающим временем ы соотношением
и=-к~11п(-?/), D.5)
где -оо < ы< », V < 0. Можно аналитически продолжить D.5), обхо-
обходя логарифмическую сингулярность при V = 0. При этом получится
1
мнимая часть ±тгк~1 в зависимости от того, совершается обход со-
соответственно выше или ниже сингулярности. Определим два аналити-
аналитических продолжения ы и ы.:
и+ = и_ =-к
-1
Ы-ЬО
и+ =-к~1 Ь U ± пгк
-1
при U < О,
при U > 0.
D.6)
Поскольку ы+ голоморфна в верхней полуплоскости И, функции е'ши+
заданные на любом пути, поднимающемся по горизонту прошлого от
V = -оо до V =+о» , содержат только положительные частоты относи-
относительно U. Это означает, что можно заменить семейство решений
\[^Ц , которые имеют нулевые данные Коши на $~ и только положи-
положительные частоты относительно V на горизонте прошлого, на два ор-
тонормированные семейства решений \f?]\ и \f?4 с непрерывной
нормировкой, которые имеют нулевые данные Коши на $~~ и которые
имеют зависимость от времени на горизонте прошлого вида е'ш"+ и
e-tcou+ СООТВетственно. Тогда можно записать 9 в виде
193

св. хокинг
3. НАРУШЕНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННОСТИ
Уравнение D.4) тогда примет вид
<4-8)
Уравнение D.8) означает, что в модах {/C) j и {/D)! скалярные
частицы отсутствуют. Однако эти моды распространяются через
обе - и внутреннюю и внешнюю - области аналитически продолженно-
продолженного решения Шварцшильда. Наблюдатель на световой бесконечности
будущего $+ не сможет наблюдать эти моды полностью, но только
их часть вне горизонта будущего. Для того чтобы установить соответ-
соответствие с тем, что видит наблюдатель, введем новый базис, состоящий
из трех ортонормированных семейств \w \, \у | и \z \ решений с
непрерывной нормировкой, обладающих следующими свойствами:
{г^ш! имеют нулевые данные Коши на $~ и на горизонте прошло-
прошлого при U< 0. На горизонте прошлого при U > 0 они имеют зависи-
зависимость от времени вида е ' "+. (Знак минус необходим для того,
чтобы {ы;щ! имели положительную норму Клейна - Гордона, и, та-
таким образом, для того, чтобы соответствующие операторы уничтоже-
уничтожения и рождения имели правильные коммутационные соотношения.)
{уш! имеют нулевые данные Коши на i~ и на горизонте прошло-
прошлого при U > 0. На горизонте прошлого при V < 0 они имеют зависи-
IC0U4-
мость времени вида е .
{г | имеют нулевые данные Коши на i~ и на горизонте прошло-
прошлого, а на $~ они зависят от времени как eiWu.
Моды {гщ| описывают частицы, которые вылетают с i~ и про-
проходят через горизонт будущего с вероятностью |«щ|2 или отражают-
отражаются назад на Р с вероятностью |гш|2'. Моды {ущ! описывают части-
частицы, которые в аналитически продолженном Шварцшильдовском прост-
пространстве вылетают с горизонта прошлого и которые улетают на $+ с
вероятностью 11 \2 или отражаются назад к горизонту будущего
с вероятностью |гщ|2 . В пространстве-времени, которое содержит
коллапсируюшее тело, уходящие и приходящие решения {рщ I и {дш!
в квазистационарной области вне горизонта событий соответствуют
линейной комбинации {ущ ! и{ги!:
Моды [w^ } представляют частицы, которые в аналитически продол-
продолженном пространстве Шварцшильда находятся всегда с внутренней
194
стороны от горизонта будущего в которые не проникают во внешнюю
область. В реальном пространстве-времени с коллапсирующим телом
они соответствуют частицам, которые пересекают горизонт событий
сразу после его образования.
Моды {гш I имеют одинаковые данные Коши с {/A'!, поэтому
они совпадают везде, т.е.
со 'со
на горизонте прошлого при V < 0,
„.„ „, -гттшк . Множители A - х)'7 и ж~^A - х)'1
из-за нормировки. На горизонте прошлого при Ь > 0
D.10)
появились
приводит к тому, что A - х)~ Ь (уы + -с/гм7ш ) имеют одинаковые
К f^3'
данные Коши с
Аналогично
и поэтому совпадают с ним везде, т.е.
D.13)
Можно записать оператор ф в базисе
у , 2
D.15)
где 'яш' и'йщ! и т.д. - операторы уничтожения и рождения : частиц
в модах |м;ш1 и т.д. Сравнивая D.15) с D.7) и применяя D.13) и D.14),
видим, что
= /„
D.16)
При помощи наложения решений с непрерывной нормировкой i/A • !
и т.д., \w \ и т.д. можно образовать ортонормированные семейства
195

св. хокинг
3. НАРУШЕНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННОСТИ
решений типа волновых пакетов {/V4, 1/;!3>!, {/уD>1, \w.\, \у.\, \z.\-
Если волновые пакеты имеют острые пики около частоты со, то соот-
соответствующие операторы а.A|ит.д., g;. и т.д.-будут связаны соот-
соотношением типа D.16), где индекс со заменяется на / и моды с оди-
одинаковым индексом / строятся из непрерывных мод одинаковым об-
образом, т.е. они имеют одинаковые преобразования Фурье.
Можно задать вакуумное состояние |0+ > в будущем соотноше-
соотношениями
; B[sk];
Затем можно определить состояния \А; В; С > , которые содержат
т»1а частиц в моде ^ и т.д., п1Ь частиц в моде у, и т.д., п1с час- |
тицвмоде z, и т.д. следующим образом:
\А; В; С>= [Щ/».а О"'4^)"'* 1 х
D.18)
Начальное вакуумное состояние jO_ > можно представить как ли-
линейную комбинацию этих состояний:
|0_ > =2цD<; В; С)\А; В; С > . D.19)
Коэффициенты »(А; В; С) можно найти, применяя уравнения D.8) и
D.16), которые дают
(g -х1/г$)\Ъ_> =0, D.20)
(A4-*'/2gt)(o_ >=0, D.21)
/* I»- > = °- <4'22)
Уравнение D.22) приводит к тому, что коэффициенты ц будут отлич-
отличны от нуля только для состояний, которые не содержат частиц в мо-
модах {г. }, т.е. состояний, для которых п.е = 0 для всех /. Уравне-
Уравнение {4.20) приводит к связи коэффициентов ц для состояний с го
частицами в моде wk и s частицами в моде ук с коэффициентами ц
для состояний с го - 1 частице в моде и>к и s - 1 частицей в моде
¦уА,т.е.
B[(s-\)kh 0) = 0,
D.23)
2а' "*»
где и(А\тк]; B[sk]; 0) - коэффициент для состояния {n1o, n
П\Ь' П2Ь' '""' ^ ' ГДе Пка = т И ПкЬ = S' ^° MHAyKIWM и3 D-23) ВИ-
ВИДИМ, что
; B[sk];
D.24)
Другими словами, если сравниваются состояния с одинаковым числом
частиц во всех модах, за исключением мод и>к и у, , то относитель-
относительная вероятность нахождения в этих модах го и s частиц соответстг
венно равна нулю всегда, за исключением случая го = s, когда она
пропорциональна хт. Можно интерпретировать это, сказав, что час-
частицы рождаются парами в соответствующих модах w и у. Частица
в го-моде попадает в черную дыру сразу после ее рождения. Частица
в у-моде вылетает из черной дыры и будет уходить на бесконечность
с вероятностью |tu|2 или отражаться назад в черную дыру с вероят-
вероятностью |г |2. Относительные вероятности излучения различного
числа частиц в модах в точности соответствуют распределению веро-
вероятностей для теплового излучения.
Применяя D.24) к каждому значению к, получаем
ц(А; В; П)= ехр(-тгк~1 2 п. с
если in.
I =l"rb> п
2., ...
6
;0;0), D.25)
; В; 0) = 0 в противном
—.. ,„1а, л2а, ... ! = \пхь, п2.,
случае. Строго говоря, ц@; 0; 6) равно нулю, потому что в применя-
применяемом приближении обратное влияние рожденных частиц игнорируется,
и пространство-время описывается решением Шварцшильда постоян-
постоянной массы. Это значит, что черная дыра излучает с постоянной ско-
скоростью бесконечное время, и поэтому вероятность излучения любого
данного конечного числа частиц пренебрежимо мала. Однако если рас-
рассматривается излучение только за некоторый конечный период време-
времени, за который масса черной дыры существенно не меняется, выраже-
выражение D.25) дает правильную относительную вероятность излучения
различных конфигураций частиц. Снова видим, что вероятности излу-
излучения всех конфигураций с некоторой данной энергией равны.
Если вспомнить про угловую зависимость мод от Yt , найдем,
что, поскольку D.13) и D.14) связывают м^ и у , они связывают с.
196
197

св. хокинг
3. НАРУШЕНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННОСТИ
противоположными угловыми моментами (I, т) к (I, -т). Это означа-
означает, что частицы рождаются парами в и>- и у-модах с противополож-
противоположным угловым моментом. Поскольку w-моды имеют зависимость от
— Ши.
а у-моды - вида е
¦ icou
, то в некотором смыо-
времени вида е , а у-ти«и — и«ни ~ , __ . .
,ле у них противоположные знаки энергии: у-частицы имеют положитель4|
ную энергию и могут уйти на бесконечность, а wi-частиЦы имеют от- |
рицательную энергию и уменьшают массу черной дыры.
Рождение частиц, которое наблюдается на бесконечности, проис-
происходит потому, что наблюдатель на бесконечности разделяет моды ска-
скалярного поля так, что на горизонте событий непрерывность отсутству- 1
ет и теряет всю информацию о модах внутри горизонта. Наблюдатель, J
который падает в черную дыру, не мог бы провести такого разрывно-
разрывного разделения. Вместо этого он разложил бы поле на моды, которые,
напротив, непрерывны на горизонте событий. Распространяемые на-
назад на горизонте прошлого, эти моды приобрели бы просто синее сме-
смещение на некоторый постоянный фактор и поэтому были бы еще чисто
положительно-частотными по отношению к аффинному параметру U
на горизонте прошлого. Таким образом, наблюдатель, падающий в чер-
черную дыру, не мог бы видеть никаких рожденных частиц.
5. ОПЕРАТОР СУПЕРРАССЕЯНИЯ S
В разд. 3 было показано, что наблюдения на бесконечности буду-
будущего следует описывать в терминах оператора или матрицы плотности!
а не чистого квантового состояния. Причина для этого была в том, 1
что часть информации о квантовом состоянии системы пропадает в
черной дыре. Можно подумать, что эта информация могла бы снова
появиться на конечной стадии испарения и исчезновения черной дыры, I
так что то, что останется на бесконечности будущего, было бы чио- I
тым квантовым состоянием. Однако это не так; образование и испа-
испарение черной дыры должно происходить с несохранением информации |
точно так же, как и с несохранением барионного заряда. Большая j
черная дыра, появившаяся при коллапсе звезды и состоящая в основ-
основном из барионов, будет иметь очень низкую температуру. Поэтому он
будет излучать бо.льшую часть энергии своей массы покоя в виде час-1
тиц нулевой массы покоя. Со временем черная дыра станет достаточ-1
но горячей для того, чтобы излучать барионы, но у нее останется лишЦ
малая доля ее первоначальной массы, и энергии не хватит на то,
198
чтобы излучить такое же число барионов, какое в нее попало при ее
образовании. Что касается несохранения информации, то ситуация
аналогична. Черная дыра образуется при коллапсе некоторого хорошо
упорядоченного тела с малой энтропией. На протяжении фазы квази-
квазистационарного излучения черная дыра выбрасывает случайное тецловое
излучение с большим количеством энтропии. Для того чтобы оказать-
оказаться в конце в чистом квантовом состоянии, черная дыра должна была
бы излучить такое же количество отрицательной энтропии и информа-
информации в конечной стадии испарения. Однако информация типа барионно-
барионного числа требует энергии, а достаточной энергии просто не имеется
на конечной стадии испарения. Для передачи большого количества не-
необходимой информации потребовалось бы излучение на конечной ста-
стадии примерно того же числа частиц, какое уже было испущено в квази-
квазистационарной фазе.
Поскольку в конце мы сталкиваемся с оператором плотности, а
не с чистым квантовым состоянием, процесс образования и испарения
мерной дыры не может быть описан S-матрицей. Вообше говоря, и
начальное состояние не будет чистым квантовым состоянием из-за
испарения черных дыр в более ранние времена. Поэтому то, что име-
имеется, есть оператор, который будет называться оператором суперрас-
суперрассеяния 'S и который отображает операторы плотности, описывающие
начальную ситуацию, в операторы цлотности, описывающие конечную-
ситуацию. По принципу суперпозиции это отображение должно быть
линейным. Таким образом, если мы рассматриваем начальные и конеч-
конечные операторы плотности р, и р2 как тензоры второго ранга или
матрицы р,. и pjCD B начальном и конечном гильбертовых прост-
пространствах соответственно, оператор суперрассеяния будет чётырейш-
дексным тензором ^ABCD , таким, что
Когда начальное состояние есть чистое квантовое состояние §А ,
начальный оператор плотности будет иметь вид
Ргав = SaSb- ' E-2)
Если начальное состояние таково, что вероятность образования чер-
черной дыры очень мала, то конечная ситуация также будет описывать-
описываться чистым квантовым состоянием ? с , которое связано с начальным
состоянием S-матрицей:
199

св. хокинг
3. НАРУШЕНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННОСТИ
>С ~ ^-$СА $А •
Конечный оператор плотности будет
Р2 CD = (> с(> D
E.3)
E.4)
JCDAA
'CD
E.8)
Таким образом, компоненты оператора S на таких состояниях могут
быть выражены как произведение двух S-матриц:
S <SS S^S) E5)
7
Однако для начальных состояний, которые имеют значительную веро-
вероятность образования черной дыры, S-матрицы не существует, и S
нельзя представить в виде E.5).
Рассмотрим, например, рассеяние двух гравитонов. В этом слу-
случае начальная ситуация есть чистое квантовое состояние, и, если энер-
энергия мала, конечная ситуация также будет описываться приблизитель-
приблизительно чистым состоянием. Это можно проверить, вычислив энтропию ко-
конечной ситуации, которую можно определить следующим образом:
S2 =-22p2CDln(p2CD). E.6)
В этом выражении логарифм следует понимать как обратную функцию
по отношению к экспоненте от матрицы. Его можно вычислить, преобра-
преобразуя к базису, в котором p2CD диагональна. Для энергий, при которых
вероятность образования черной дыры малая, энтропия S2 приблизи-
приблизительно равна нулю. Однако когда энергия гравитонов в системе цент-
центра масс возрастет до планковской массы, вероятность образования и
испарения черной дыры будет значительной и энтропия S2 будет от-
отличной от нуля.
Тензор &CDAB эрмитов по первой и второй паре индексов. Лю-
Любая матрица плотности имеет единичный след, потому что в базисе,
в котором она диагональна, ее диагональные матричные элементы
суть вероятности находиться в различных состояниях базиса. Так как
р2 CD должна иметь единичный след для любой начальной матрицы
плотности рыв ,то
*сслв'*лв- E>7)
Можно рассматривать это как утверждение, что, начиная с любого на-
начального состояния, сумма вероятностей оказаться в различных ко-
конечных состояниях равна единице. Соответствующее соотношение
означало бы, что для любого данного конечного состояния вероятнос-
вероятности его возникновения из различных начальных состояний должны в
сумме давать единицу. В пользу уравнения E.8) будут приведены два
аргумента. Первый аргумент из термодинамики, основанный на не-
невозможности построения вечного двигателя. Второй основан на СРТ-
инвариантности.
Поскольку масса, измеряемая на бесконечности, сохраняется,
оператор суперрассеяния S будет связывать между собой только
начальные и конечные состояния с одинаковой энергией. Таким обра-
образом, E.7) будет справедливо, когда индексы начального и конечного
состояния ограничены на состояния с некоторой заданной энергией Е.
Аналогично, если имеет место соотношение E.8), оно также должно
быть справедливо, когда ограничено на начальное и конечное состоя-
состояния с энергией Е. Для удобства, чтобы сделать число состояний ко-
конечным, рассмотрим состояния с энергией между Е и Е + АЕ, за-
заключенные в очень большой ящик с абсолютно отражающими стенками.
Определим Тср как ^'&CDAA , где суммирование идет по конечному чис-i
лу состояний, указанных выше. Предположим, что
Вследствие соотношения E.7), ограниченного одинаковыми состоя-
состояниями, 2vpcc = N, где N - число состояний. При помощи преобразо-
преобразования к базису, в котором у диагональна, легко видеть, что
E.9) приводило бы к тому, что должно существовать некоторое со-
состояние ? , такое что
2Z*cdSc?d = 2Z2SCIMi4-Sc?D> 1. E.10)
Отсюда следовало бы, что сумма вероятностей оказаться в конечном
состоянии § с , начиная со всех возможных начальных состояний,
больше чем единица. Если теперь создать условия, при которых в
ящике в течение очень большого времени сохранялась бы энергия Е,
то система эволюционировала бы, проходя через множество различ-
различных конфигураций. Большую часть времени ящик содержал бы час-
частицы в приблизительно тепловом распределении. Время от времени
большое число частиц скапливалось бы в маленькой области и порож-
порождало черную дыру, которая затем снова испарялась бы. В хорошем
200
201

G.B. ХОКИНГ
приближении можно было бы считать, что развитие во времени мат-
матрицы плотности системы происходит при помощи последовательного
применения оператора S, ограниченного на конечное число состоя-
состояний. При обычных предположениях о тепловом равновесии и эргодич-
эргодичности можно было бы ожидать, что после длительного промежутка
времени вероятность нахождения системы в любом данном состоянии
равнялась бы iV, а энтропия была бы In N. Однако если справедли-
справедливо E.10), вероятность системе находиться в состоянии §с была бы
больше, чем /V , и поэтому энтропия была бы меньше, чем In N.
Можно поэтому было бы получать полезную энергию и приводить в
движение вечный двигатель, позволяя системе периодически релак-
сировать к энтропии Ь N. Если предположить, что это невозможно,
должно выполняться E.8).
Второй аргумент в пользу E.8) основан на СРТ-инвариантности.
Поскольку уравнения Эйнштейна инвариантны относительно С-, Р-
и Г-преобразований. по отдельности, чистая квантовая гравитация
также будет инвариантна относительно этих преобразований, если
граничные условия на скрытых поверхностях обладают подобной
инвариантностью. Поля материи не являются с необходимостью ло-
локально инвариантными относительно С, Р и Т по отдельности, но
они локально инвариантны относительно СР Т, потому что плотность
их лагранжиана является скаляром относительно локальных правиль-
правильных преобразований Лоренца. Таким образом, квантовая теория взаи-
взаимодействующих гравитационного поля и полей материи будет инва-
инвариантна относительно СРТ в предположении, что граничные условия
на скрытых поверхностях инвариантны относительно СРТ ¦ То, что
граничные условия на скрытых поверхностях должны быть инвариант-
инвариантны относительно СР Т, представляется вполне разумным предполо-
предположением. В Действительности предположение о СРТ -инвариантности
и предположении о'невозможности построения вечного двигателя эк-
эквивалентны в том смысле, что из каждого из них следует другое.
При наличии СРГ-инвариантности уравнение E.8) следует из E.7).
Поскольку черные дыры могут образовываться, и тогда, когда не су-
существует черных дыр, образованных ранее, СРГ-инвариантность при-
приводит к тому, что они также должны иметь возможность испариться
полностью; они не могут стабилизироваться при планковской массе,
как предполагалось некоторыми авторами. СРГ-инвариантность при-
приводит также к тому, что наблюдатель на бесконечности не может экс-
экспериментально отличить черную дыру от белой, дыры: образование и
202
3. НАРУШЕНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННОСТИ
испарение черной дыры можно с тем же успехом рассматривать при
противоположном направлении времени как образование и испарение
белой дыры [23]. Наблюдатель, который падает в дыру, всегда будет
знать, что это черная дыра, но он будет не в состоянии сообщить ре-
результаты его измерений наблюдателю на бесконечности.
Благодарности
Автор глубоко благодарен за полезные обсуждения многим кол-
коллегам, в частности Керру, Израэлю, Пэйджу, Пенроузу и Уолду.
ЛИТЕРАТУРА
l.RollP.J., KrotkovR., Dicke R.H., Ann. Phys., (N..Y.) 26, 442 A964).
2. Брагинский В.Б., Паноа В.И., ЖЭТФ, 61, 873 A971);
3. Penrose R., Phys. Rev. Lett., 14,57A965).
4. Hawking S.W., Proc. R. Soc. London, A294, 511 A966):.
5. Hawking S.W., Proc. R. Soc. London, A295 , 460 A966).
6. Hawking S.W., Proc. R.Soc. London, A3O0 , 187 A967).
7. Hawking S.W., Penrose R., Proc. R. Soc. London, A314 , 529 A970).
8. Лифшиц Е.М., Халатников И.М., Adv. Phys., 12, 185 A963):,
9. Лифшиц Е.М., Халатников ИМ., Phys. Rev. Lett., 24,76A970).
10. Brans C, Dicke R.H., Phys. Rev., 124 , 925 A961).
11. Trautman A., Colloques , CNRS Report N 220, 1973.
12. Hawking S.W., Nature, 248, 30A974)..'
13. Hawking S.W., Commun. Math. Phys., 43,199A975).
14. 't Hooft G., Veltman M., Ann. Inst. H. Poincare,, 20A, 69 A974).
15. DeserS., van Nieuwenhuizen P., Phys. Rev., B10, 401 A974); 10, 411
A974):
16. Wald R.M., Commun. Math. Phys., 45, 9 A975).
17. Parker L., Phys. Rev., D12, 1519 A975).
18. Collins СВ., Hawking S.W., Astrophys. Joum., 180,317A973).
19. Omnes R., Phys. Rep., 30, 1 A972).
20. Зельдович Я.Б.. Старобинский А., ЖЭТФ, 61, 2161 A971).,
21. Unruh W.G., Phys. Rev., D14, 870 A976)..
22. Boulware D.G., Phys. Rev., D12, 350 A975).
23. Hawking S.W., Phys. Rev., D13 , 191 A976).

4. ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ И ТЕРМОДИНАМИКА
Статья 4
Черные дыры и термодинамика*
СВ. Хокинг
Hawking S.W.**, Phys. Rev., D13, 191 A976)
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ
Черная дыра с данной массой, угловым моментом и зарядом мо-
может иметь большое число ненаблюдаемых внутренних конфигураций,
соответствующих возможным различным начальным конфигурациям
материи, после коллапса которой получается эта дыра. Логарифм это-
этого числа может рассматриваться как энтропия черной дыры и являет-
является мерой количества информации о начальном состоянии, которая
исчезла при образовании черной дыры. Если принять гипотезу, что
энтропия конечна, можно вывести, что черная дыра должна излучать
тепловое излучение при некоторой ненулевой температуре. Обратно,
недавно полученный квантовомеханический результат, что черные
дыры действительно излучают тепловое излучение при температуре
кй/2тт&е, гдеТ< ¦- поверхностная гравитация, позволяет доказать,
что энтропия конечна и равна с ZAJAG%, где А - площадь поверхнос-
поверхности горизонта событий или границы черной дыры. Поскольку черные
дыры имеют отрицательную удельную теплоемкость, они не могут на-
находиться в' устойчивом состоянии теплового равновесия, за исключе-
исключением случая, когда доступная дополнительная энергия не превосхо-
превосходит */4 массы черной дыры. Это означает, что стандартный канони-
канонический ансамбль статистической механики нельзя применять, когда
* Частичная финансовая поддержка работе оказана Национальной орга-
организацией содействия развитию науки (США), договор № MPS 75-01398, Ка-
Калифорнийский технологический институт,
** California Institute of Technology, Pasadena, California 91125; Depart-
Department of Applied Mathematics and Theoretical Physics, University of Cambridge,
Cambridge, England.
81976 by the American Physical Society.
Перевод на русский язык, "Мир", 1978.
204
важны гравитационные взаимодействия. Черные дыры проявляют се-
себе полностью случайным и симметричным во времени образом и не-
неотличимы, для внешнего наблюдателя, от белых дыр. Необратимость,
которая возникает в классическом пределе, - это просто статистичес-
статистический эффект.
1. ВВЕДЕНИЕ
Пель настоящей статьи в том, чтобы обсудить некоторые след-
следствия недавно открытых квантовых эффектов в черных дырах. Соглас-
Согласно классической общей теории относительности, гравитационно кол-
лапсирующая звезда массы М сожмется (за короткое время по из-
измерениям наблюдателя на поверхности) до радиуса порядка 2GM./62,
на котором гравитационное поле становится таким сильным, что ни-
никакое дальнейшее излучение и вообще ничто не может уйти на беско-
бесконечность. Область пространства-времени, из которой невозможно
уйти на бесконечность, называется черной дырой, а ее граница пред-
представляет собой стремящуюся наружу световую гиперповерхность, на-
называемую горизонтом событий, которая не может достичь бесконеч-
бесконечности. Наблюдателю на бесконечности будет казаться, что звезде
требуется бесконечное время, для того чтобы достичь горизонта со-
событий. Однако, как только наблюдатель примет ограниченное число
фотонов, излучаемых звездой перед тем, как она пересечет горизонт
событий, он увидит, что яркость звезды убывает экспоненциально с
временной шкалой порядка
2GM
ю-5,1
0/
Таким образом, через несколько миллисекунд звезда эффективно ис-
исчезает, а то, что остается, представляет собой объект , который еще
оказывает гравитационное влияние и который удачно назван черной
дырой.
Это классическая картина, как она описана, например, у Мизнера,
Торна и Уилера [1]. Однако, когда во внимание принимаются кванто-
квантовые эффекты, оказывается, что "черная дыра" не полностью черная.
Излучение туннелирует через горизонт событий и уходит на бесконеч-
бесконечность с постоянной скоростью [2, 3]. (Эти результаты были подтверж-
подтверждены несколькими другими авторами [4 - 6].) Еще более замечатель-
205

ев, хокинг
4. ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ И ТЕРМОДИНАМИКА
но, что это излучение с постоянной скоростью оказывается имеет
в точности тепловой спектр: среднее значение < JV> числа частиц
данного типа, излученных в виде колебаний с частотой со, угловым
моментом т% относительно оси вращений дыры и зарядом е, равно
</V> ^
A)
В этом выражении знак « - » ставится для бозонов и знак «+ >
для фермионов. Величина Г равна доле колебаний, которые поглоща-
поглощались бы при падении их на черную дыру. Температура Т = кй/2тт&е,
где к - это поверхностная гравитация черной дыры. Q - это уг-
угловая частота вращения черной дыры, а -Ф - потенциал горизонта со-
событий. Для черной дыры с массой М, угловым моментом / и за-
зарядом Q эти величины суть
-GM)
Q =
ф =
МА
где
г+ =
(G2M2-J2M~2c2 -GQ2
А ш ArtGc -42GM2 -Q2 + 2(G2M4 -J2c2 -
B)
C)
D)
E)
F)
- поверхность горизонта событий. Излучение описывается не чистым
квантовым состоянием, а матрицей плотности. Оно полностью тепло-
тепловое в том смысле, что вероятности излучения частиц в различных мо- |
дах и вероятности излучения различного числа частиц (-) в одной и
той же моде полностью некоррелированы [7]. Вероятности для раз-
различного числа частиц в точности согласуются с тепловым излучени-
излучением [7 - 9].
Бекенштейн [10, 11] впервые предложил, что некоторое кратное к
должно рассматриваться как представляющее в некотором смысле
температуру черной дыры. Он также отметил, что имеется соотноше-
соотношение
d(Mc2) = —dA +QdJ
8ttG
G)
которое связывает разность в энергиях двух близких равновесных
состояний черных дыр с разностями в плошади поверхности горизон-
горизонта событий А, углового момента / и заряда Q. Это очень похоже
на первый закон термодинамики
dU = TdS - PdV, (8)
наводя на мысль, что следует рассматривать некоторое кратное А
как энтропию черной дыры. Бекенштейн поэтому постулировал "обоб-
"обобщенный второй закон":
(Энтропия материи вне черных дыр) + (Некоторая постоянная, ум-
умноженная на сумму поверхностей горизонтов событий черных дар)
никогда не убывает.
Бекенштейн [10, 11] сумел установить справедливость этого за-
закона в некоторых мысленных экспериментах, но поскольку он считал,
что черные дыры не могут ничего излучать, он не смог получить об-
общего доказательства, и в действительности создавалось впечатление,
что могут существовать ситуации, в которых закон мог бы нарушать-
нарушаться. С открытием'квантового теплового излучения такие нарушения
больше невозможны; общее доказательство второго закона будет да-
дано в разд. 2.
Тот факт, что температура черной дыры уменьшается, когда мас-
масса возрастает, означает, что черные дыры не могут находиться в ус-
устойчивом термодинамическом равновесии в ситуациях, когда имеется
неограниченно большое количество доступной энергии. Как описано в
разд. 3, это приводит к тому, что обычный канонический ансамбль ста-
статистической механики не может быть применен к гравитационным сис-
системам. Вместо этого следует применять микроканонический ансамбль,
п котором рассматриваются все возможные конфигурации системы
с, данной энергией. В разд. 4 эта идея применена к мысленному экс-
эксперименту, в котором некоторое количество энергии заключено в
ящик. Получен неожиданный вывод, что поскольку черная дара может
образоваться вследствие статистических флуктуации в излучении чер-
черного тела и может затем распадаться квантовомеханически с обрат-
обратным испусканием излучения, должен быть возможен также и обрат-
обратный во времени процесс, при котором некоторое количество фотонов
206
207

св. хокинг
или гравитонов аннигилируют, образуя белую дыру, которая затем
взрывается, испуская излучение. Таким образом, "гипотеза косми-
космической цензуры" нарушается квантовыми эффектами.
Для внешнего наблюдателя белая дыра неотличима от черной ды-
дыры. Процесс образования и испарения дыры полностью симметричен
во времени. Необратимость, которая возникает в классическом пре-
пределе, есть чисто статистический эффект.
В остальной части этой статьи будут применяться безразмерные
единицы, в которых G=%c=%=k=\. Единицей массы является тог-
тогда планковская масса l/!G"/»c~'/«'v10 г. Единица длины - план- -
ковская длина %^G/*c~3/'2'~]Q'~33 см. Единица температуры - план- 1
ковская температура & й^ G~ ^ с^ ~1032 К. 1
2. ОБОБЩЕННЫЙ ВТОРОЙ ЗАКОН
. Когда при гравитационном коллапсе образуется черная дыра, она
очень быстро проваливается в квазистационарное состояние, харак-
характеризуемое только тремя параметрами: массой М, угловым момен-
моментом / и зарядом Q. (Это состояние является квазистационарным по-
потому, что масса, угловой момент и заряд медленно убывают вслед-
вследствие квантового излучения.) Это известно как теорема об "отсут-
"отсутствии волос" [13 - 19]. Черная дыра с данной массой, угловым мо-
моментом и зарядом может иметь очень большое число ненаблюдаемых
внутренних конфигураций, которое отражает различные возможные
конфигурации сколлапсировавшегося тела. Если пренебречь квантовы-
квантовыми эффектами, число различных внутренних конфигураций стало бы
бесконечным, потому что можно было бы образовывать черную дыру
из неограниченно большого числа частиц неограниченно малой массы.
Однако Бекенштейн [10] указал, что на комптоновские длины волн
этих частиц следовало бы наложить ограничение, чтобы они не пре-
превосходили радиуса черной дыры, и что поэтому число внутренних кон-
конфигураций может быть конечным, хотя и очень большим.
Пусть a dMdQd3J — число внутренних конфигураций или кванто-
квантовых состояний черной дыры в области от М до М + <Ш, от Q до
Q + dQ и угловым моментом в элементе d3 J около данного углово-
углового момента /. По теоремам об "отсутствии волос" информация о внут
реннем состоянии черной дыры отсутствует, и поэтому все эти конфи-i
4. ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ И ТЕРМОДИНАМИКА
гурации равновероятны. Таким образом, энтропия Sft черной дыры
есть
Sh=—'Epi In p. = In ст. (9)
Можно также выразить энтропию через число начальных состояний,
которые приводят к черной дыре в вышеуказанной области. Здесь име-
имеется некоторое усложнение, заключающееся в том, что данное началь-
начальное состояние будет приводить к черной дыре только с некоторой
квантовомеханической вероятностью.
Пусть \\аг > } - полный ортонормированных базис начальных
состояний, и пусть /. Vd3PdMdQd3J - вероятность того, что началь-
начальное состояние | а. > приводит только к черной дыре с параметрами
в вышеуказанной о§ласти и в нормировочном объеме V с линейным
импульсом в элементе .d3P около нуля. Тогда q. = /\ B/.)"' есть
вероятность того, что данная черная дыра возникает из начального
состояния \а >. Энтропия равна S.=-1q.laq.,
Энтропия §л должна бы быть функцией только от М, J и Q со
следующими свойствами:
1) она всегда возрастает, когда вещество или излучение падает
в черную дыру;
2) когда две черные дыры сталкиваются и слипаются в одну, эн-
энтропия получившейся черной дыры больше чем сумма энтропии началь-
начальных дыр.
Единственной такой величиной является некоторая монотонная
функция f(A) с d2f/dA2 > 0, где А - площадь горизонта событий.
Простейшая такая функция есть у А, где у постоянная. Бекенштейн
выдвинул предположение, что у в безразмерных единицах равна
Aп2)/8тт. (В настоящез время можно усмотреть, что правильное зна-
значение у = */4.)
Для того чтобы убедиться-, что гипотеза о конечном числе внут-
внутренних конфигураций самосогласована, нужно показать, что если па-
параметры изменяются на величины ДМ, А/ и AQ вследствие аккре-
аккреции вещества и излучения, новое значение ст не меньше чем старое
значение, умноженное на число возможных конфигураций аккрецирую-
аккрецирующего вещества или излучения. Это эквивалентно тому, чтобы показать,
что возрастание Sft больше или равно количеству энтропии в аккре-
аккрецирующей материи. Другими словами, требуется доказать обобщен-
208
209

св. хокинг
4. ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ И ТЕРМОДИНАМИКА
ный второй закон: S + Sm никогда не убывает со временем (где
S - энтропия вещества и излучения вне черной дыры).
Если энтропия системы задана как функция от энергии системы Е
и от различных других макроскопических параметров, можно опреде-
определить температуру как T~*=dS/dE. Таким образом, можно опреде-
определить температуру черной дыры следующим образом:
'«Л
Обобщенный второй закон тогда эквивалентен требованию, чтобы теп-
теплота не переходила от более холодной системы к более горячей.
Рассмотрим ситуацию, когда черная дыра окружена излучением
черного тела при некоторой температуре Т . Под излучением черно-
черного тела здесь понимаются все возможные виды частиц (с нулевой и
ненулевой массой покоя) в тепловом равновесии, с химическим потен- \
циалом, равным нулю. Для любой ненулевой Г будет существовать |
некоторая скорость аккреции этого излучения на черную дыру. Если
Tm > Th, из определения температуры следует, что уменьшение S ,
вызванное аккретирующим излучением, меньше, чем возрастание Sft.
Таким образом, обобщенный второй закон выполняется. Однако, если I
Тт< Т' , аккреция этот, закон нарушает. Имеется только два способа!
сохранить согласованность: или Tk тождественно равна нулю, в этой
случае Sft бесконечна и концепция энтропии черной дыры бессмыс-
бессмысленна, или черные дыры действительно испускают тепловое излучение!
с некоторой конечной ненулевой температурой. Первый случай реализу
ется в чисто классической теории, где черные дыры могут поглощать*
но ничего не могут излучать. Бекенштейн впадает в противоречие, \
потому что он пытается скомбинировать гипотезу о конечной энтро- Ч
пии с классической теорией, но эта гипотеза имеет смысл, только ес-1
ли учитывается квантовомеханический результат, что черные дыры
испускают тепловое излучение. Обратно, тот факт, что черные дыры
испускают квантовое излучение с температурой Гл = к /2тт, позволяв
доказать обобщенный второй закон и поэтому установить, что энтро?!
пия черной дыры конечна. Если Тт > ГА, аккреция больше чем излу-*!
чение, и поэтому возрастание Sh "больше, чем убывание Sm, тогда,
T T чение больше чем аккреция, и возрастай
растание Sh больше, ч у
h± то излучение больше, чем аккреция, и возраста
Sm больше, чем убывание Sh » Если, аккрецирующее (вещество или
излучение не находится в тепловом равновесии с нулевым химическ!
как если Tm <
Sm больше, чем
потенциалом при некоторой температуре, отношение его плотности
энтропии к плотности энергии не так велико, как это было бы для из-
излучения черного тела. Поэтому эта аккреция даже более далека от
нарушения обобщенного второго закона, чем в случае, рассмотренном
выше.
Квантовый результат, что температура равна к/2тт, позволяет
проинтегрировать первый закон черных дыр [уравнение G)] и полу-
получить, что энтропия Sh = У* А + const. Если сделать разумное предпо-
предположение, что энтропия стремится к нулю, когда масса стремится к
нулю, эта константа должна быть равна нулю. Можно удивиться, поче-
почему значение энтропии не зависит от того, как много существует эле-
элементарных частиц. Например, если было бы 109 различных типов ней-
нейтрино, тогда можно было бы подумать, что число различных спосо-
способов, которыми можно образовать черную дыру, умножалось бы при-
приблизительно на A09)-А, и поэтому энтропия возросла бы до Sh ЫО9.
Ответ состоит в том, что если бы существовало 109 различных ти-
типов нейтрино, черная дыра все их излучила бы тепловым способом,
и поэтому скорость потери ею энергии сильно увеличилась бы. Это
значит, что если мы хотим увеличить массу черной дыры, нам сле-
следует облучать ее нейтрино с очень большой скоростью для того, что-
чтобы превысить излучение. Тот факт, что нейтрино должны быть погло-
поглощены за короткое время, означает, что число возможных конфигура-
конфигураций для них невелико. Таким образом, число способов, которыми мож-
можно увеличить массу черной дыры, не зависит от спектра элементарных
частиц. Однако из многих типов труднее образовать черные дыры, по-
потому что они быстрее излучаются. Если спектр элементарных частиц
возрастает экспоненциально, как это предполагается в статистическом
бутстрапе [20, 21] и в дуальных резонансных моделях сильных взаимо-
взаимодействий, может оказаться невозможным образование черных дыр с
массой меньшей, чем приблизительно 5 • Ю13 г.
Особенно интересный случай аккреции и излучения - это когда
сами частицы представляют собой маленькие черные дыры. Число
внутренних конфигураций для черной дыры в области изменения мас-
массы от т До т + dm есть
esdQJ
(И)
-т О
210
211

св. хокинг
4. ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ И ТЕРМОДИНАМИКА
Скорость излучения маленьких черных дыр в этом массовом проме-
промежутке поэтому будет в такое число раз больше, чем скорость излуче-
излучения единственного вида частиц массы т , которая будет описываться
тепловым фактором [ехр (8тттЛ/) - I] для невращающейся дыры
массы М. Таким образом, так как М » 1 и т > 1, скорость излу-
излучения будет пропорциональна
т3ехр[4ттт (то - 2М)\dm. A2)
Это показывает, что черная дыра излучает маленькие черные дыры
со скоростью, которая экспоненциально мала, так как т меньше,
чем М. Другими словами, вероятность квантовомеханического рас-
распада дыры на две очень мала. Классический распад полностью занре-
щен [13].
3. ТЕЦЛОВОЕ РАВНОВЕСИЕ
Рассмотрим черную дыру, окруженную черным излучением в боль-|
шом сосуде при той Же температуре, что и черная дыра. Для того что- '"
бы находиться в состоянии теплового равновесия, черная дыра должна
быть невращающейся и электрически нейтральной, так как в против-
противном случае она будет преимущественно излучать частицы с угловым
моментом и зарядом того же знака, что и у нее. Предположим, теперь»;;
что, как результат статистической флуктуации, черная дыра поглоти- |
,ла несколько больше энергии, чем излучш^ Поскольку черные дыры |
.имеют отрицательную удельную теплоемкость, температура черной Ч
дыры будет понижаться. Это приведет к уменьшению скорости излуче- J
ния и несколько .увеличит скорость поглощения черной дыры. Если -'
черное излучение поддерживать при постоянной температуре при по-
помощи некоторого резервуара энергии, черная дыра будет расти неог-
неограниченно. Аналогично, если черная дыра "вследствие статистической 1
флуктуации излучила немного больше чем поглотила, скорость излуче-1
ния продолжала бы увеличиваться до тех пор, пока черная дыра пол- ?
ностью не исчезнет. Другими словами, черные дыры не могут нахо- -
диться в устойчивом тепловом равновесии с неограниченно большим
резервуаром энергии. Вследствие этого нельзя применять обычный
канонический ансамбль статистической механики, когда важны гра-
гравитационные взаимодействия. В каноническом ансамбле рассматрива-1
ют очень большое чирло п одинаковых систем, свободно взаимодей-1
212
ствующих между собой. Предполагается, что каждая система имеет
некоторое число энергетических уровней Е. , а полная энергия всей
совокупности систем имеет некоторую данную очень большую энер-
энергию Е. Рассматривая всевозможные способы, которыми эта полная
энергия может быть распределена среди всех различных систем, на-
находят, что среднее число п. систем в данном энергетическом со-
состоянии Е. пропорционально ехр(-?4 Т -1), где Г - множитель
Лагранжа, который интерпретируется как температура ансамбля. Пред-
Предположим теперь, что число энергетических уровней одной из систем
между Е и Е + dE есть р (E)dE . Тогда вероятность системы,
имеющей энергию в промежутке от Е до Е + dE, есть
p(E)exp(-ET~*)dE. В системах, которые обычно рассматривают,
плотность энергетических уровней р(?) возрастает с энергией, но
не экспоненциально, так что вероятность сходится. Однако для чер-
черных дыр p(E)dE равно числу внутренних конфигураций черных дыр
с массами между М = Е и М = Е + dE и равно
//esJ2djdQdE^E3ехрDтт?2)dE . A3)
Что выражение растет быстрее, чем тепловой фактор ехр (-ЕТ~Х)
убывает, так что вероятность черной дыре находиться в данном мас-
массовом интервале, увеличивается с массой, а полная вероятность рас-
чодится, указывая на неприменимость канонического ансамбля. В лю-
любой системе, которая включает гравитационные взаимодействия, всег-
всегда будет существовать возможность образования черных дыр вслед-
вследствие статистической флуктуации, когда множества частиц собирают-
собираются вместе в маленьком пространственном объеме. Таким образом, к
ним системам, строго говоря, нельзя применять концепцию канони-
канонического ансамбля.
Хотя канонический ансамбль для черных дыр не работает, еще
можно применять микроканонический ансамбль большого числа оди-
одинаковых изолированных систем, каждая с данно*фиксированной энер-
гиой ?. Каждая из этих систем будет иметь большое число различ-
различных конфигураций, совместных с данной энергией. Эти конфигурации
г>удут образовывать некоторую поверхность в пространстве конфигу-
конфигураций системы. С течением времени система будет двигаться по этой
поверхности от одной точки к другой. По предположению об эргодич-
эргодичности, вероятность нахождения данной системы в данной области кон-
213

C.B. ХОКИИГ
4. ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ И ТЕРМОДИНАМИКА
фигурационного пространства пропорциональна числу конфигураций в
этой области, совместных с данной энергией.
В большинстве случаев будет существовать одно макроскопичес-
макроскопическое состояние, которое имеет много больше возможных микроскопи-
микроскопических конфигураций, чем любое другое макроскопическое состояние.
Рассмотрим, например, некоторое количество энергии Е, помещен-
помещенное в изолированный ящик объема V. Предположим, для простоты,
что эта энергия может быть распределена только среди гравитонов
и черных дыр: или вся энергия сосредоточена в гравитонах, или эта
энергия разделена среди гравитонов и одной или несколькими черны-
черными дырами. Для данной энергии гравитонов Ех число микроскопичес-
микроскопических конфигураций имеет резкий максимум, когда гравитоны имеют
такое же распределение, как черное излучение при температуре
V 1 ,
A4)
Таким образом, с хорошей точностью число конфигураций гравитонов
с энергией ?, в объеме V равно exp S,, где
S,=
45
A5)
— энтропия черного излучения при температуре Г, . Число внутрен-
внутренних конфигураций черных дыр с полной энергией Е2 будет равно
exp S , где S, = %1А - энтропия черных дыр. Сразу можно ви-
видеть, что вероятность нахождения более чем одной черной дыры очень
мала, так как при заданной Е2 энтропия S2 принимает наибольшее
значение, когда имеется только одна дыра. Энтропия такжз макси- ;]
мальна, когда эта единственная черная дыра не вращается и не заря-
заряжена. Таким образом, в качестве разумной оценки для числа конфи-
конфигураций черной дыры можно взять ехрDтг?j). (Можно игнорировать;
множитель порядка VP3, который возникает из-за движения черной '
дыры.) Полное число конфигураций для системы с энергией ?, у
гравитонов и энергией Е2 у черных дыр есть exp(S, + S2). Наиболее!
вероятными значениями ?, и Е2 будут те, которые приводят к мак->'
симуму S, + S2 при наличии связи ?, + Е2= Е, т.е.
1)
2)
as, es
2
BE*
о,
< о.
be':
Условие 1 означает Г, = Т2 , т.е. черная дыра имеет ту же темпе-
темпе2
ратуру, что и гравитоны черного те*ла. Условие 2 означает, что
дЕ\
или
?, <
\Е
г.
A6)
Другими словами, чтобы для конфигурации, состоящей из черной ды-
дыры и гравитонов, можно было достичь максимальной вероятности, объ-
объем V ящика должен быть достаточно мал для того, чтобы энергия
Е, чернотельных гравитонов была меньше;, чем V4 массы черной
дыры. (Отметим, что этот результат основывается только на ^-за-
^-зависимости плотности энергии чернотельного излучения с нулевой мас-
массой покоя, и поэтому остается справедлив, если рассмотреть вдоба-
вдобавок к гравитонам другие частицы с нулевой массой, такие, как фото-
фотоны и нейтрино.) Если это условие на V выполнено, то равновесие
между черной дырой и чернотельным излучением при той же темпера-
температуре будет устойчивым, потому что если статистическая флуктуация
вызовет некоторое увеличение поглощения излучения черной дырой,
го температура у излучения упадет ниже, чем у дыры, и поэтому ско-
скорость поглощения уменьшится сильнее, чем скорость излучения.
Для того чтобы посмотреть, к чему приводит это условие на V,
рассмотрим предельный случай, когда
7', = Т2 = 5/32 тг?, поэтому
7
1/4Егш
Тогда
или
15 \32тг?/
3.22Отг2?в
125 „ь +
A7)
214
215

св. хокинг
4. ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ И ТЕРМОДИНАМИКА
где пь - число бозонных полей с нулевой массой, а п. — число фер-
миипшд uv«». ич.„. , , rft , то максимально вероятным состояни-
состоянием будет черное излучение без всякой черной дыры. Время от време-
мионных полей. Если V > V.
ни статистические флуктуации в черном излучении будут приводить
к образованию черных дыр, но они снова будут иметь тенденцию к ис-
испарению, так что большую часть времени там не будет ни одной чер-
черной дыры. Если Vh > V> Ve ~64tt?V3, to наиболее вероятным со-
состоянием будет одиночная черная дыра, окруженная чернотельным из-
излучением при той же температуре. Статистические флуктуации будут
приводить к изменению массы черной дыры, а при случае и к полному
ее исчезновению. Если V < Vе (объем Шварцшильда), то весь ящик
будет подвержен гравитационному коллапсу, так что приведенный
анализ не может быть применен.
4. БЕУШЕ ДЫРЫ
Рассмотрим мысленный эксперимент как в предыдущем разделе,
когда некоторое количество энергии Е помещается в изолированный
ящик объема V > Ve . По эргодической гипотезе система будет про-
проходить через все возможные конфигурации и в конечном счете поте-
потеряет всякую память об ее начальном состоянии. Это значит, что ес-
если исследуется поведение системы после большого промежутка вре-
времени, то невозможно различить направления времени; любой данный
пример поведения системы, должен возникать одинаково часто в об-
обращенной во времени форме. Выше было показано, что в некоторый
момент времени система могла бы состоять только из безмассовых
частиц, а в другие моменты статистические флуктуации в системе
этих частиц могли бы привести к образованию черных дыр, которые
позднее испарились бы. Поэтому должно также возникать такое пове-
поведение, обращенное во времени; иногда должно случаться, что некото-
некоторое число безмассовых частиц аннигилируют, образуя черную дыру,
обращенную во времени, - белую дыру, которая в-дальнейшем взры-
взрывается, излучая безмассовые частицы.
В классической общей теории относительности считается, что су-
существует "принцип космической цензуры", согласно которому перво-1
начально несингулярное состояние никогда не может эволюциониро-
эволюционировать так, чтобы прийти к "голой сингулярности", т.е. сингулярности, I
которая не скрыта за горизонтом событий от наблюдателя на беско- I
216
нечности. Этот принцип исключал бы возможность образования белых
дыр в классической теории. Однако, если принять, что квантовые эф-
эффекты могут приводить к исчезновению черных дыр, то голые сингу-
сингулярности должны существовать, если пытаться описывать ситуацию
классической метрикой. Кроме того, обратимость во времени взаимо-
взаимодействующих уравнений Эйнштейна — Максвелла и нейтрино приводит
к тому, что должна также быть возможна обращенная во времени си-
ситуация, когда белая дыра образуется и затем испаряется.
Рассмотрим ящик с Vh > V > F, . Во времени, направленном в
будущее, будем иметь большую часть времени черную дыру, которая'
испускает и поглощает приблизительно чернотельное излучение и при-
примерно с такой же скоростью. Рассматриваемая при обратном направ-
направлении времени эта система будет белой дырой, поглощающей и излу-
излучающей приблизительно чернотельное излучение и примерно с той же
скоростью. Таким образом, если сделать разумное предположение,
что излучение белой дыры не зависит от ее окружения, отсюда следу-
следует, что оно идет с той же скоростью, что и излучение черной дыры с
такой же массой, угловым моментом и зарядом. По термодинамичес-
термодинамической интерпретации черных дыр процессы образования и испарения чер-
черной дыры являются статистически обратимыми во времени друг по
отношению к другу. То есть, черная дыра может быть образована из
гравитонов, фотонов и нейтрино любым из множества различных спо-
способов, причем наибольшее число возможностей возникает, когда чао-
тицы имеют примерно температурное распределение. Аналогично, про-
процесс испарения будет приводить к любой из большого числа различ-
различных конечных конфигураций, причем это число будет наибольшим, когг
да излучение является приближенно тепловым. Вместе с предыду-
предыдущим результатом это означает, что черные и белые дыры одинаковы
для внешнего наблюдателя. Существует общий принцип, что физичео-
кая теория не должна содержать элементов, которые не являются фи-
физически измеримыми, и не должна по разному описывать ситуации, ко-
которые нельзя различить с помощью наблюдений. В классической об-
общей теории относительности имеется единственная пространственно-
нременная метрика, которая различна для черных и для белых дыр.
Однако, если пространство-время квантованно, приходится отказать-
<;я от идеи о единственной пространственно-временной метрике точно
так же, как в специальной теории относительности отказались от идеи
217

св. хокинг
4. ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ И ТЕРМОДИНАМИКА
об абсолютном времени, которое не зависело от наблюдателя. Причи-
Причина этого в том, что для того чтобы определить местоположение в
пространстве-времени, нужно измерить метрику, а такой акт измере-
измерения помещает нас на одну из множества различных ветвей волновой
функции в интерпретации квантовой механики Уилера - Эверетта [22];
если описывать пространство-время некоторой разновидностью фейн-
мановского интеграла по метрикам, то метрики, которые включены
в интеграл, будут зависеть от ситуации, которую же,лают описать,
которая в свою очередь будет зависеть от измерений, которые произ-
производятся. Наблюдатель, который проводит измерения, находясь сам
вне дыры, может использовать метрику как для белой, так и для чер-
черной дыр. В метрике черной дыры аккрецирующие частицы будут падать!
в сингулярность, тогда как излученные частицы будут представлять- '
ся рожденными где-то вне горизонта событий. В метрике белой дыры
аккрецирующие частицы будут казаться аннигилируемыми гравитаци-
гравитационным полем, в то время как излученные частицы будут представлят*
ся уходящими из сингулярности в прощлое. Наблюдатель, который
производит измерения, падая внутрь дыры, не увидит излученных час-
частиц [3, 7] и будет использовать только метрику черной дыры. Подоб- 'f
ным образом в весьма невероятном случае черной дыры, порождаю-
порождающей и излучающей наблюдателя, он мог бы рассматривать себя, как
вылетающего из белой дыры, и мог бы использовать метрику белой
дыры.
В Другой статье [7] показано, что процесс образования и испа-
испарения дыры не может быть описан S -матрицей. Причина этого в том,
что не>сушествует поверхности Коши в будущем. То, что уходит-на
бесконечность, не полностью определяет состояние системы, потому
что это состояние зависит также от того, что упало в дыру. В ре-
результате при помощи измерений на бесконечности будущего нельзя
определить чистое квантовое состояние системы, до только матри-
матрицу плотности, которая описывает вероятности различных комбинаций
излученных частиц. Вместо S-матрицы имеется новая величина, наз-
названная оператором суперрассеяния, который отображает матрицы щ
ности, описывающие начальную ситуацию, в матрицы плотности, опи»]
сывающие конечную ситуацию [7]. Этот оператор будет инвариантен ^
относительно СРГ-оператора в, т.е. вероятность перехода от на-
начальной матрицы плотности р, к конечной матрице плотности pj
218
будет равна вероятности перехода от SpjG к Gp^. Оператор
суперрассеяния обеспечивает для наблюдателей на бесконечности
описание, которое удовлетворяет отмеченному выше принципу, - он
не делает экспериментально непроверяемого различия между черны-
черными и белыми дырами.
Изображение белых дыр, которое обычно применялось до сих
пор, - это обращенный во времени коллапс облака пыли. Белая дыра
ничего не излучает до некоторого момента времени, а затем внезап-
внезапно выбрасывает облако материи. Такую картину критиковал Зельдо-
Зельдович (см. [23]), отметив, что не следует ждать неизлучающей фа-
фазы, потому что там будет происходить рождение пар в сильном гра-
гравитационном поле вблизи сингулярности. Вывод данной статьи очень
близок точке зрения Зельдовича: белая дыра непрерывно испускает
тепловое излучение. Это испускание полностью случайное, и все воз-
возможные конфигурации излученных частиц равновероятны. (Все конфи-
конфигурации не уходят на бесконечность с равной вероятностью, потому
что вокруг дыры имеется потенциальный барьер, который зависит от
углового'момента и т.д. частиц и который может отразить частицы на-
назад в дыру.) На самом деле возможно, что белая дыра ничего не бу-
будет излучать до некоторого момента, а затем выбросит облако пыли,
но число возможных конфигураций, которые представляли бы такую си-
ситуацию, - мало. Гораздо более вероятно, что белая дыра испускает
тепловое излучение, потому что этому соответствует гораздо больше
конфигураций.
5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Вывод данной статьи заключается в том, что имеется тесная
связь между дырами (черной и белой) и термодинамикой, которая воз-
возникает вследствие потери информации в дыре. Если принять гипоте-
чу, что максимальное количество информации, которое может исчез-
исчезнуть в дыре с данной массой, угловым моментом и зарядом, конечно,
отсюда следует, что дыре можно сопоставить некоторую энтропию и
можно вывести, что она должна испускать тепловое излучение при
некоторой конечной ненулевой температуре. Обратно, квантовомеха-
нический результат, а именно то, что черные дыры испускают тепло-
тепловое излучение с температурой Th = к/2тт, позволяет доказать выше-
219

с.а хокинг
4. ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ И ТЕРМОДИНАМИКА
указанную гипотезу и вычислить энтропию Sft= A./4. Из того, что чер-
черные дыры имеют отрицательную удельную теплоемкость, следует, что
они могут находиться в устойчивом тепловом равновесии, только ког-
когда количество доступной энергии некоторым способом ограничено.
Рассмотрение теплового равновесия или обратимости во времени урав-
уравнений приводит к выводу, что черные дыры неотличимы для внещнего
наблюдателя от белых дыр и ведут себя симметричным во времени об-
образом. Необратимость, связанная с классическими черными дырами,
есть просто статистический эффект. Например, в классической тео-
теории две черные дыры могут слиться, но черная дыра никогда не мо-
; жет раздвоиться. Соответствующий результат в квантовой теории
состоит в том, что существует большая вероятность слияния двух
черных дыр в одну, потому что при этом происходит переход от состо- 'I
яния с меньшим числом конфигураций к состоянию с большим числом |
конфигураций, но вероятность обратного процесса мала.
кинп Дж. Ф.Р. Иппс, Крупномасштабная структура пространства-време-
пространства-времени,. "Мир", 1977.)
17. Muller zurn Hagen H., Robinson D.C., Seifert H.J., Gen. Relativ. Gravit.,
4,53A973).
18. Robinson D.C., Phys. Rev., D10, 458 A974).
19. Robinson D.C., Phys Rev. Lett., 34,905A975).
20. Hagedorn R., а книге Cargese Lectures in Physics, vol. 6, ed. by
E. Schatzman, Gordon and Breach, New York, 1973.
21. Frauts с hi S.C., Phys. Rev., D3 , 2821 A971).
22. Everett H., Rev. Mod. Phys., 29, 454 A957).
23. Зельдафч И.Б., Новиков И.Д., Старобинский А.А., ЖЭТФ. вв, 1897.A974).
2
3
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16
ЛИТЕРАТУРА
Misner C.W., Thorne K.S., Wheeler J.A., Gravitation, Freeman, San Francis-
Francisco, 1973. (Имеется перевод: Ч. Мизнер, К. Торн, Дж. Уилер, Гравита-
Гравитация, "Мир", 1977.)
Hawking S.W., Nature, 248,30A974).
Hawking S.W., Commun. Math. Phys., 43,199A975).
Be Witt B.S., Phys. Rep., 19С , 295 A975).
Gerlach U.H., Phys. Rev., D14, 1479 A976).
Boulware D.G., Phys. Rev., D13, 2169 A976).
Hawking S.W., Phys. Rev., D14, 2460 A976).
Wald R.M., Commun. Math. Phys., 45, 9 A975).
Parker L., Phys. Rev., D12.1519 A975).
Bekenstein J.D., Phys. Rev., D7, 2333 A973).
Bekenstein J.D., Phys. Rev., D9, 3292 A974).
Bardeen J.M., Carter В., Hawking S.W., Commun. Math. Phys., 31, 161
A973).
Hawking S.W., Commun. Math. Phys., 25,152A972).
IsraelW., Phys. Rev., 164,1776A967).
Carter В., Phys. Rev., Lett., 26,331A970).
.Hawking S.W., Ellis G.F.R., The large scale structure of spacetime
Cambridge University Press, London, 1973. (ИмеВТСЯ перевод: СВ. Хо-
220

5. ВЫВОД ИЗЛУЧЕНИЯ ОТ ЧЕРНОЙ ДЫРЫ
Статья 5
Вывод излучения от черной дыры
с помощью метода интегрирования
по путям
Дж.Б. Хартль, СВ. Хокинг
Hartle J.B.* , Hawking S.W.* *, Phys. Rev., D13 , 2188 A976)
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ •
Используется метод интегрирования по путям Фейнмана для
построения квантовой механики скалярной частицы, движущейся в
гравитационном поле черной дыры, описываемом геометрией Шварц-
шильда. Амплитуда вероятности излучения черной дырой скалярной
частицы в некотором состоянии представлена в виде суммы по путям,
соединяющим сингулярность в будущем и бесконечность. С помощью
аналитического продолжения в комплексном пространстве Шварцшиль-1
да зта амплитуда связывается с амцлитудой вероятности распростра- '•
нения частицы от сингулярности в прошлом к бесконечности, и, сле-
следовательно, используя обращение во времени, ее можно связать с
амплитудой вероятности поглощения черной дырой частицы в том же'
самом состоянии. Соотношение между вероятностями излучения и ;
поглощения показывает, что шварцшильдовская черная дыра излучаетЗ
скалярные частицы с тепловым спектром и характерная температура >]
связана с ее массой М следующим образом: Т = %c3,/ft-nGMk. Таким|
образом, из первых принципов получен простой вывод излучения чер- ¦
ной дыры. Обсуждается обобщение этого результата на случай полей;
с другими спинами и других геометрий, описывающих гравитационнс*'
поле черной дыры.
* Department of Physics, University of California, Santa Barbara, Californiij
93106. California Institute of Technology, Pasadena, California 91125. 1
** Department of Applied Mathematics and Theoretical Physics, Univer- Ц
sity of Cambridge, Cambridge, England; California Institute of Technology, Рв<|]
sadena, California 91125. ;<
EJ.976 by the American Physical Society.
'Перевод на русский язык, "Мир", 1978.
222
1. ВВЕДЕНИЕ И КРАТКИЙ ОБЗОР
Метод интегрирования по путям Фейнмана [1] дает естественный
подход к формулировке квантовой механики материальных полей, рас-
распространяющихся в искривленном пространстве-времени [2 - 4]. В
этом подходе амплитуда К(х, х') вероятности распространения час-
частицы из одной точки пространства-времени х в другую х' выража-
выражается в форме интеграла по всем возможным путям, соединяющим эти
две точки. Интеграл имеет вид
. К(х, х1)- 2 e's(*.*')¦/* , A.1)
по путям
где S(x, x') - классическое действие, вычисленное для определенно-
определенного пути, соединяющего х1 и х. Амплитуду К называют пропагато-
ром.
Эта формулировка квантовой механики обладает рядом преиму-
преимуществ. Поскольку сумма вычисляется по траекториям в четырехмер-
четырехмерном пространстве и поскольку S является четырехмерным скаляром,
выражение для К явно ковариантно. Выражение пропагатора в виде
суммы по путям позволяет дать ему непосредственную физическую
интерпретацию. Так как пропагатор непосредственно представлен в
виде функционального интеграла, то проблема получения его прибли-
приближенного вида немедленно сводится к проблеме приближенного вычис-
вычисления функционального интеграла. По этим причинам метод интегри-
интегрирования по путям Фейнмана заманчиво использовать как подход к по-
построению квантовой механики в искривленном пространстве-времени.
В данной статье мы используем метод интегрирования по путям для
вывода теплового излучения от черных дыр [5]. Ниже мы в общих
чертах обрисуем наши методы и результаты. Детали и доказательства
будут даны в следующих разделах.
На фиг. 1 изображена диаграмма Пенроуза для иварцшильдовской
геометрии. Незаштрихованная часть диаграммы изображает геомет-
геометрию вне сферически-симметричного кодлапсирующего тела. Заштрихо-
Заштрихованную часть следует заменить внутренней геометрией. Рассмотрим
теперь вероятность того, что частица испущена черной дырой и заре-
зарегистрирована наблюдателем, расположенным на постоянном расстоя-
расстоянии вдали от черной дыры, в виде локализованной возле некоторой
точки А положительно-частотной моды при условии, что в отдален-
223

ДЖ.Б. ХАРТЛЬ, СВ. ХОКИНГ
5. ВЫВОД ИЗЛУЧЕНИЯ ОТ ЧЕРНОЙ ДЫРЫ
Фиг. 1. Незаштрихованная часть диаграммы соответствует геометрии
Шварцшипьда Вне сферически-симметричного коплапсирующего тела. Линия О;
является мировой линией наблюдателя, находящегося на постоянном радиусе ¦
ане черной дыры. Нестационарный путь ВС А соответствует рождению час-
частицы черной дыры. Пара частиц рождается около точки С. Одна из них па-
падает на сингулярность в будущем около точки В, в то время как другая вы-
вылетает наружу к наблюдателю и регистрируется в момент А. Амплитуда ве-
вероятности рождения частицы черной дырой и регистрации ее наблюдателем :
а определенном состоянии в поздние моменты времени можно выразить в ви-
виде интеграла от амплитуды вероятности распространения из точки В, лежа- ;
щей на сингулярности а-будущем, а точку А на мировой пинии наблюдателя. '
В свою очередь этот лропагатор можно выразить в виде .суммы по путям,
соединяющим точки А и В. Продолжая аналитически точку В в комплексно
пространство Шварцшильда, можно связать амплитуду вероятности распро-
распространения из некоторой действительной точки В на сингулярности в будущс
а точку А с амплитудой вероятности распространения из отраженной точки ,
лежащей на сингулярности в прошлом в ту же точку А. Соответствующий
процесс представляет собой обращение во времени процесса поглощения час- ]
тицы черной дырой. Таким образом, можно связать вероятность излучения i
скалярной частицы черной дырой с вероятностью ве поглощения. Эта связь
приводит к тепловому излучению.
ном прошлом отсутствовали падающие частицы. Эту вероятность мс
но связать с амплитудой вероятности распространения от некоторой •
точки на сингулярности в будущем к точке наблюдения А. Ее в свою"|
очередь можно представить как сумму по путям вида A.1), где пути»?
по которым производится суммирование, начинаются в точке В на ^
сингулярности в.будущем и оканчиваются в точке наблюдения С. П
добный типичный путь (ВСА) показан на фиг. 1. Эти пути в точности
совпадают с путями, соответствующими паре рождающихся (около С\
частиц, одна из которых падает в черную дыру, а другая вылетает р«
ружу к наблюдателю. В рассматриваемую сумму не включены пути,
224
которые начинаются на i , так как они отвечали бы распространению
падающих частиц в отдаленном прошлом. В нее также не включены пу-
пути, проходящие через заштрихованную область, так как ее следует за-
заменить внутренней метрикой коллапсирующей звезды и (как мы да-
далее покажем более подробно) она не будет давать вклада в рождение
частиц в поздние моменты времени. Мы рассматриваем только рас-
распространение от сингулярности в будущем.
Если попытаться оценить вероятность рождения, применяя для
вычисления рассматриваемых интегралов метод стационарной фазы,
то легко обнаружить, что действительные стационарные пути, соеди-
соединяющие сингулярность в будущем с положительночастотной модой, для
стационарного внешнего наблюдателя, отсутствуют. Подобные пути,
казалось бы, являются допустимыми классическими траекториями
для частицы с положительной энергией, соединяющими эти две поверх-
поверхности, но таких путей нет (для частиц с отрицательной энергией подоб-
подобные классические траектории существуют.) Однако если координаты
точки В на сингулярности в будущем сделать комплексными, то мож-
можно найти стационарные пути. Оказывается, что эти пути лежат в дей-
действительном многообразии и соединяют сингулярность в прощлом с
ннешним наблюдателем. Таким образом, можно связать амплитуду ве-
вероятности распространения от точки В на сингулярности в будущем
к внешнему наблюдателю и амплитуду вероятности распространения
от соответствующей точки D на сингулярности в прошлом. В свою
очередь вследствие симметрии по отношению к обращению времени мо-
модуль этой амплитуды совпадает с модулем амплитуды вероятности
распространения от обращенной по времени точки А к точке на син-
сингулярности в будущем, соответствующей обращению во времени точ-
точки D. Это показывает, что посредством соответствующего сдвига кон-
контура интегрирования в плоскость комплексных координат можно свя-
мть амплитуды вероятности испускания и поглощения частиц черной
дырой. Для амплитуды вероятности излучения черной дырой частиц в
определенной моде с энергией Е, измеренной удаленным наблюдате-
к'М, эта связь имеет вид
Вероятность испускания^ -2тг?/к / Вероятность поглощения ^ /, ,\
частицы с энергией е J~ е \ частицы с энергией Е }' ' '
i до к - поверхностная гравитация черной дыры для шварцшильдовской
черной дыры к = МЫ. (Здесь и далее мы используем систему единиц,
225

ДЖ.Б. ХАРТЛЬ, С.В.ХОКИНГ
5. ВЫВОД ИЗЛУЧЕНИЯ ОТ ЧЕРНОЙ ДЫРЫ
в которой %= с = G = \.) Эта связь между излучением и поглощением
имеет именно такой вид, который необходим для вывода результата
работы [5], состоящего в том, что шварцшильдовская черная дыра из-
излучает частицы с тепловым спектром с температурой Г = к -/2-пк.
Чтобы убедиться в этом, представим себе, что черная дыра помещена
в термостат, температура которого Г регулируется таким образом,
чтобы вся система находилась в равновесии. Температура излучения
в термостате в этом случае совпадает с температурой черной дыры.
В равновесии скорость испускания частиц черной дырой должна в точ-
точности совпадать со скоростью поглощения. Поскольку отношение ве-
вероятности нахождения в термостате N фотонов в определенной моде
с энергией Е к вероятности нахождения N - 1 фотона в той же са-
самой моде равно ехр(-?,ДГ), то условие равновесия выполняется, ког-
когда Т = к/2ък.
В дальнейшем мы рассмотрим этот простой аргумент более под-
подробно. В разд. 2 квантовая механика скалярных частиц, движущихся
на фоне шварцшильдовской геометрии, сформулирована в терминах
интегрирования по путям. Разд. 3 содержит вывод необходимых ана-
аналитических свойств пропагатора на комплексифицированном многооб-
многообразии, и в разд. 4 выводится тепловое излучение от шварцшильдов-
шварцшильдовской черной дыры. В разд. 5 обсуждается обобщение на случай рейс-
снер-нордстремовской и керровской черных дыр и на случай частиц
с высшим спином.
2. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА СКАЛЯРНОЙ ЧАСТИЦЫ
В ШВАРЦШИЛЬДОВСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
В ПРЕДСТАВЛЕНИИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПО ПУТЯМ
Здесь мы сформулируем квантовую механику скалярной частицы,
движущейся в искривленном пространстве в терминах интегралов по
путям Фейнмана. Настоящая работа является обобщением и интерпре-
интерпретацией работы Фейнмана о скалярном поле в плоском пространстве
[7], и до тех пор, пока речь идет об общей формулировке метода ин-
интегралов по путям в искривленном пространстве, мы будем тесно
следовать более ранним работам де Витта [2, 3]. Цель этого разде-
раздела состоит в том, чтобы обосновать определение пропагатора, кото-
которое будет дано в разд. 3, как решения неоднородного скалярного вол-
волнового уравнения с определенными граничными условиями. Поэтому
226
и настоящем разделе мы не будем постоянно стремиться к математи-
математической точности, впрочем, при работе с интегралами по путям это
обычная ситуация.
Траекторию скалярной частицы в пространстве-времени можно
описать, если задать ее четыре координаты ха как функции от пара-
параметра времени w. Используя обозначение х для всех четырех ко-
координат, можно записать уравнение траектории в виде х = x(w).
Предположим, что мы рассматриваем движение частицы из точки про-
пространства-времени х' при w = О в точку х при w = IF. Функцио-
Функционал действия, описывающий классическое движение подобной частицы,
есть
1 V
S[x(w)] =— f dwg(x, х),
4 о
B.1)
где g - метрика искривленного пространства-времени и х обозна-
обозначает касательный вектор, компоненты которого равны dxa/dw. Путь,
отвечающий экстремуму действия S, удовлетворяет уравнению гео-
геодезической, причем w является аффинным параметром. Поэтому для
премениподобных путей в качестве w можно взять параметр собствен-
собственного времени, умноженный на некоторую константу, в то время как
для пространственноподобных путей параметр w можно положить рав-
равным собственному расстоянию, умноженному на ту же константу.
Функционал действия B.1) не совпадает с обычным функционалом
действия, в котором под интегралом стоит величина [-g (А, *)] '/г
Однако выражение B.1) вполне пригодно для классического действия;
оудучи квадратичным по четырехмерным скоростям, оно обладает оче-
мидными преимуществами при рассмотрении метода интегрирования
по путям (см. приложение). В отличие от обычной формы действие
B.1) аналитически продолжается от времениподобных к пространст-
ненноподобным путям. Кроме того, оно приводит к правильной кван-
квантовой механике скалярных частиц в плоском пространстве-времени и,
следовательно, является естественным обобщением на случай искрив-
искривленных пространств. Мы не будем больше здесь обсуждать другие
позможные выборы действия.
Основное предположение метода интегрирования по путям Фейн-
Фейнмана состоит в том, что амплитуда вероятности распространения час-
частицы вдоль определенного пути в пространстве-времени пропорциональ-
пропорциональна exp {iSU(iu)]l. Чтобы иметь более ясное представление о том, что
227

ДЖ.Б. ХАРТЛЬ, СВ. ХОКИНГ
это означает, представим себе, что вся область изменения параметра
w разделена на много малых интегралов точками wi. Амплитуда ве-
вероятности того, что наблюдения положений в пространстве-времени
при каждом значении параметра времени ил дают множество вели-
величин \х.= x(wi)}, пропорциональна exyliS [x{w)]\ в пределе, когда
интервалы деления становятся бесконечно малыми. Амплитуды веро-
вероятности для более ограниченных множеств наблюдения можно по-
построить, суммируя эту амплитуду по ненаблюдаемым положениям. На-
Например, амплитуда вероятности того, что наблюдение пространствен-
пространственно-временного положения частицы при одном значении параметра вре-
времени дает хх", а при другом измерении, соответствующем более позд-
позднему параметру времени W, дает значение х, равна
F(W, x, x') = Г
/g(i, x)dw\;
о
B.2)
здесь интегрирование ведется по всем ненаблюдаемым положениям
частицы при параметре времени, заключенном между 0 и W. Други-
Другими словами, этот интеграл является функциональным интегралом по
всем путям, удовлетворяющим условиям х @) = х' и х (W) = х.
Параметр w был введен как наблюдаемая, выполняющая роль,
аналогичную обычному времени в нерелятивистской квантовой меха-
механике1'. Однако эксперимента, в котором можно было бы непосред-
непосредственно ее наблюдать, не существует (так как частицы не несут на
себе часов). Все физические наблюдения можно получить, зная ам-
амплитуду вероятности К(х, хх) локализации частицы в двух прост-
пространственно-временных точках хх и х. Функция К(х, хх) называ-
называется пропагатором. Эту амплитуду можно получить в два этапа: сум-
суммируя сначала по всем путям, соединяющим хх с х при данном зна-
значении параметра времени W, а затем суммируя2' по ненаблюдаемой
' Дальнейшее обсуждение метода собственного времени в релятивист»
ской квантовой механике можно найти в работах [8 -г 11].
2) Можно было бы думать, что параметр времени w, который для В|~~™
нилодобных кривых пропорционален собственному времени, полностью опре- '
делается точками ж и ж1 и выбором пути, а не является величиной, задава-;
емой независимо. Однако это аерно только, в случае дифференцируемых пу-
путей, а суммирование проводится также и по недифференцируемым путям.
Ситуация анвлогична той, которая имеет месте а нерелятивистской кванто-
квантовой механике, где можно поставить вопрос о нахождении амплитуды респрЫ
странения из точки пространства х в течку пространства х1 вдоль данной!
го пути в определенный момент времени <. Если бы путь был дифферент
228
5. ВЫВОД ИЗЛУЧЕНИЯ ОТ ЧЕРНОЙ ДЫРЫ
переменной W. Первая сумма совпадает с функцией F [см. B.2)].
Во второй сумме каждому текущему значению параметра времени W
следует приписать соответствующий вес. В плоском пространстве,
если скалярная частица обладает массой покоя от, этот вес равен [7]
1ехр(-ш21Г). Естественно принять это и для случая искривленного
пространства. Тогда выражение для пропагатора принимает вид')
К(х, хх) = ifdWexp(-im2W)F(W, x, хх),
B.3)
где F дается выражением B.2). Интегрирование ведется только по
положительным значениям W, что соответствует требованию, чтобы
частицы всегда двигались только вперед по параметру времени.
Используя это определение, легко показать, что функция К(х, хх)
симметрична по х и х1. Если положить w = W - wx, то действие B.1)
не изменяется, а ж и ж' меняются местами, поскольку если рассмат-
рассматривать их как функции от w', то х @) = х, x(W) = х1. Поэтому
F(W, х, хх) симметрично по х и х1, и из B.3) немедленно следует,
что аналогичной симметрией обладает и К (х, хх).
Уравнения B.2) и B.3) являются основными соотношениями, ко-
которые необходимы для построения квантовой механики свободной ска
лярной частицы в искривленном пространстве-времени. Прежде чем
завершить это построение, требуется придать смысл интегралам, вхо-
входящим в эти соотношения. Мы переходим теперь к рассмотрению это-
этого вопроса, однако для простоты и определенности ограничимся слу-
случаем скалярных частиц, движущихся в шварцшильдовской геометрии.
Первая проблема состоит в определении интеграла по путям B.2).
Для ее решения аналитически продолжим переменные в этом формаль-
формальном выражении к значениям, при которых интеграл хорошо определен.
В частности, продолжим w и W до отрицательных мнимых величин
- ico и —»Q соответственно, а координаты продолжим в область, где
метрика имеет сигнатуру +4. В случае шварцшильдовской геомет-
геометрии, которая в координатах z, у, в и ф описывается метрикой
ds2 = C2M3e~r<2M/r)(-dz2 + dy2) + r2dQ2 , B.4)
руем, то t было бы определенно, однако в интеграле Фейнмана для пропага-
пропагатора суммирование ведется по путям, не обладающим свойством дифферен-
дифференцируемое™.
!) Это определение к(х, х) соответствует / работы [7] и Д„ кни-
книги
Э
[12].
229

ДЖ.Б. ХАРТЛЬ, СВ. ХОКИНГ
5. ВЫВОД ИЗЛУЧЕНИЯ ОТ ЧЕРНОЙ ДЫРЫ
где dQ2 = dQ + sin2e<&p2 и r(y, z) определяется соотношением
\)erj2M-, B.5)
этого можно добиться, полагая г = Я, и считая ? действительной
величиной. Аналитически продолженная метрика у дается элемен-
элементом длины '
do2 =
2dQ2
dy2) + r2dQ
B.6)
где г определяется теперь соотношением
B.7)
Аналитически продолженное выражение для F становится равным
F(Q,x, х') =
1 G
—— f у (i, x)da
* о
B.8)
где
где х соответствует ха = (?, у, 6, <р), а х- dxa/da. Покрыва-
Покрываемое при изменении координат —.<>•< ? < «, -°о < у < ~, 0< 0< тт,
О < ф < 2тт пространство является полным и имеет топологию R2xS2,
и так как г при этом имеет значения, превосходящие 2М, то метри- I
ка у регулярна везде, за исключением тривиальных полярных особен-!
ностей при в = 0 и в = тт. Интегрирование теперь распространяется!
на все пути в этом пространстве, начинающиеся при со = 0 в ж1 и '\
оканчивающиеся при »=Й в* (фиг.. 2, о). Этот интеграл по путям |
может быть строго определен [13, 14]. Наше основное предположение!
состоит в том, что функция F, определенная таким образом и ана- |
литически продолженная обратно к действительным значениям коор- I
динат и параметра временной переменной, дает правильный пропага- |
тор, эвристически определяемый уравнением B.2).
При этой процедуре не только интеграл B.2) приобретает опре;
.ленный смысл, но и определяется класс путей, по которым ведется
интегрирование. Предположим, что мы выбрали определенный путь в |
пространстве с положительно определенной метрикой, и продолжим I
как координаты, так и параметр в комплексную плоскость. Комплекс
ный путь является теперь двумерной поверхностью в пространстве
' Это условие аналогично "постулату евклидовости" в евклидовой
квантовой теории поля. См., например, [15, 18].
230
- Фиг. 2.
•. Компактификация сечения в = const, <р = const пространства-времени с
положительно определенной метрикой, описываемой формулой ( 2.6). Окруж-
Окружность, изображенная сплошной линией, соответствует бесконечности. Син-
Сингулярности отсутствуют. Показен типичный путь, соединяющий точки ж' и х.
б Диаграмма Пенроуза для геометрии Шаарцшипьда, на которой изображе-
изображены также области с отрицательной массой (или г < 0), расположенные выше
н ниже сингупярностей. Здесь показан типичный представитель класса путей,
получающихся на этом действительном сечении при енвпитическом продол-
тении из пространства-времени с попожитепьно определенной метрикой,
изображенного на фиг. 2,а. Подобные пути могут пересекать тудв и обратно
сингулярность при г = 0. Интегрирование по путям, пересекающим сингуляр-
сингулярности доопределяется посредством выбора контуров интегрирования, совпа-
ашющих о аналитическим продолжением контуров в сечение с попожитепьно
определенной метрикой.
комплексных координат, определяемой четырьмя комплексными ана-
штическими функциями х(ш) от комплексного параметра со . Эти ана-
1итические функции полностью определяются своими действительны-
действительными значениями для действительных со. Как выглядит определенный
мыше класс путей, когда при аналитическом продолжении достигают-
¦ ¦и действительные значения W и контуры интегрирования по путям
м -формируются к действительным значениям координат? Очевидно,
что класс путей, возникающий в результате этой процедуры, не бу-
к-т находиться внутри какой-либо области, граница которой конечна
и координатах Крускала. В частности, эти пути будут пересекать
гуда и обратно особенности при г = 0. Эти особенности являются по-
поносами в метрике, рассматриваемой как функции от комплексных
231

ДЖ.Б. ХАРТЛЬ, СВ. ХОКИНГ
координат. Интеграл по путям, пересекающим особенность, доопреде-
доопределяется предписанием, каким образом контур интегрирования обходит
полюс. Это в свою очередь определяется аналитическим продолжением^
пути от сечения с положительно определенной метрикой и деформа- i
цией контура к действительным значениям везде, кроме окрестности
г = 0. Если пути пересекают г = 0, то они продолжаются в геомет-
геометрии Шварцшильда с отрицательной массой. Схематически это проил-
проиллюстрировано на фиг. 2,6.
Реальное вычисление функции F (Q , х, я1) существенно упроща-
упрощается, если заметить, что она удовлетворяет параболическому диффе-
дифференциальному уравнению
4^ = 32F, B.9)
где °2 = уаР\7ау„ и уа обозначает ковариантное дифференци-*
рование по отношению к метрике у. Вывод этого результата см. в
приложении. Чтобы уравнение B.9) определяло функцию F , совпада-
совпадающую с функцией, определяемой интегралом по путям, его следует
дополнить граничными условиями. Пусть первое из них
F@, х, х')= 5(х, *')> B.10)
где б (х, х') - четырехмерная б-функция в пространстве с положив
тельно определенной метрикой [равная б4 {х - *')у~ 2i. Второе - щ
условие убывания F при стремлении х к бесконечности в простран*!
стве с положительно определенной метрикой. Первое граничное уело*
вие есть просто требование локализации частицы в точке х' при <
Второе условие вытекает из экспоненциального убывания интеграл
при стремлении х к бесконечности.
Решение уравнения B.8) и соответствующие граничные ус лови
будут аналитическими по х везде, где аналитична метрика, и аналю!
тическими по Q везде вне начала [17]. Решение, таким образом, мя
но продолжить обратно к физическим значениям координат и параь
ра времени. При этом оно будет удовлетворять аналитически продс
женному уравнению
где о2 = gaP VaVa и Va - ковариантное дифференцирование по 1
232
5. ВЫВОД ИЗЛУЧЕНИЯ ОТ ЧЕРНОЙ ДЫРЫ
ношению к метрике g. Уравнение B.11) можно рассматривать как
ураваение Шредингера для распространения по параметру времени W.
Вторая проблема состоит в том, чтобы придать смысл соотноше-
соотношению ( 2.3), поскольку пропагатор является интегралом по W. Чтобы
решить ее, нам потребуется асимптотическое выражение для F(W, x, х'
как при малых, так и при больших значениях W. Поведение F(W, х, х1)
при малом значении W по существу следует из самого определения
интеграла по путям.' При малом W и фиксированных х и х1 действие
B.1) для типичного пути становится большим. Единственными путя-
путями, дающими существенный вклад в интеграл по путям, являются ста-
стационарные траектории, т.е. геодезические, соединяющие х и х' . Для
>тих путей действие равно
S(W, х, x<)=—s(x, X>)JW
4
B.12)
где s(x, x1) - квадрат геодезического расстояния между х и х' .
Ксли бы существовала только одна геодезическая, соединяющая х
и х' , то при малых значениях W мы могли бы записать
F(W, х, xl) = exp[is(x,
где N(W, x, x1) - действительный нормировочный множитель. Можно
теперь решить уравнение B.11) и найти поведение N при малых W.
Ксли принять во внимание тождество
(Vas)(yas)= 4s, B.13)
ю найдем
N(W, x, x') = D(x, x')W~2 + ... , B.14)
где D не зависит от W; явный вид D нам не потребуется. Читатель
может узнать в этом выражении по сути дела ВКБ-приближение к ре-
решению уравнения B.11). Значительно более подробный вывод можно
найти в работах [2] и [11].
В общем случае имеется несколько геодезических, соединяющих
« и х', и поведение F при малых W будет иметь вид
is U, X')/Uw)
F(W, х, х1) = 2 е с W-*\D (%, х<)+ O(W)\ B.15)
с с
| де суммирование ведется по каждому классу геодезических, соединя-
соединяющих х и х'. Это поведение при малых W не будет справедливо рав-
233

ДЖ.Б. ХАРТЛЬ, СВ. ХОКИНГ
5. ВЫВОД ИЗЛУЧЕНИЯ ОТ ЧЕРНОЙ ДЫРЫ
номерно на всей области изменения х. В частности, когда соседние
геодезические, выходящие из точки, пересекаются (каустика), можно
ожидать, что это приближение перестанет быть справедливым. На-
Например, s(x, х1) будет иметь точку ветвления при таком пересече-
пересечении, а мы из общих соображений знаем, что точки ветвления у функ"
ции F отсутствуют.
Если проинтегрировать соотношение B.15) с гладкой функцией
от х, тогда при стремлении W к нулю существенный вклад в ин-
интеграл дают только такие значения х, для которых значение s (x, x
при фиксированном х1 является близким к стационарному. Это имеет?
место только для х, близких к ¦ х1. Другими словами, функ-;
ция F@, х, х1) пропорциональна б-функции. Коэффициент пропорцио!
нальности равен единице, так как нормировочные множители в B.15) I
также должны приводить к B.10). Следовательно, *
lim F(W, x,
x').
IP-» о
Для больших значений Q стандартные оценки [17] для реше*
параболического уравнения B.9) с граничным условием B.10) показы|
вают, что функция F(Q,x, ж1) при фиксированных х и х' убывает ¦»
не медленнее, чем Q~2 . С точки зрения физики это не что иное как
расплывание первоначально локализованного волнового пакета при •
возрастании Q . Следовательно, при больших Q функцию F можно
представить в виде
F(Q, х, *') = И [Fo (*, *•) + F, (x: x')Q~'l+ ... 1. B.17)
Предположим, что это разложение можно почленно продолжить к ре-
реальным значениям W и х. Таким образом, в частности, при боль-
больших W мы имеем
F(W, х, *') = О(Г). B.18i
Поведение F при больших значениях W показывает, что интеграл
B.3) всегда сходится на верхнем пределе. Однако на нижнем преде-
пределе, где F расходится как W~2, это не так [см. B.15)]. Чтобы сде-
,лать интеграл конечным, добавим в подынтегральное выражение для!
сходимости множитель ехр(~е/У), где е - малая положительная j
постоянная. Физические величины следует вычислять при конечном |
значении е и затем переходить к пределу е -> 0. Таким образом, •
К(х, *') = i CdWexp(-im2W -i/W)F{W, x, x1) . B.19)
о
С точки зрения физики этот метод регуляризации соответствует тре-
требованию, чтобы частица двигалась вперед по параметру времени IF.
Как мы покажем в следующем разделе, он правильно приводит к обыч-
обычному выражению для фейнмановского пропагатора в плоском прост-
пространстве-времени. Наше определение пропагатора B.19) теперь по су-
ществу строгое. Перейдем к его следствиям.
3. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПРОПАГАТОРА
В предыдущем разделе было получено интегральное представле-
представление фейнмановского пропагатора К(х, х'), содержащее пропагатор
F(W, х, хх), который соответствует определенному значению пара-
параметра времени W. Из уравнения B.9) и из уравнения Шредингера
для эволюции по параметру времени B.11) при учете граничных ус-
условий B.15) и B.17) немедленно следует, что К(х, х') является ре-
решением неоднородного волнового уравнения в метрике Шварцшильда
(а2 -т2)К(х, хх) =-
C.1)
В качестве альтернативы к интегралу по путям можно определить
пропагатор К(х, х') как решение уравнения C.1) с заданными гранич-
граничными условиями. Этот подход полезен, потому что некоторые свой-
свойства К(х, х') можно непосредственно вывести, используя дифферен-
дифференциальное уравнение и обобщение на случай частиц с высшим спином,
и более прост. Здесь мы приведем вывод граничных условий для
К(х, х1), которые вытекают из его определения с помощью интегра-
интеграла по путям.
Проиллюстрируем сначала соответствующую процедуру на приме-
примере безмассовой скалярной частицы в плоском пространстве. Решение
F уравнения Шредингера для эволюции по параметру времени W,
удовлетворяющее граничному условию B.10), имеет вид
F(W, х, х1) = W-nW)-2 eis U> x>)/Uw), C.2)
где s(x, x1) обозначает квадрат интеграла между х и х' в прост-
пространстве Минковского. Уравнение B.19) дает для пропагатора выра-
выражение
234
235

ДЖ.Б. ХАРТЛЬ, СВ. ХОКИНГ
5. ВЫВОД ИЗЛУЧЕНИЯ ОТ ЧЕРНОЙ ДЫРЫ
К(х, Xх ) =-
C.3)
4тт2 s (х, х') + U
которое совпадает с правильным фейнмановским пропагатором. В про-
произвольных координатах, в которых метрика Минковского аналогична,
s (х, х1) - аналитическая функция координат и пропагатор К(х, х*)
аналогичен везде, за исключением полюсов, где s (х, х') =-ie. Эти
полюса соответствуют световым геодезическим, соединяющим х
и х%. Именно свойство регулярности на бесконечности совместно с
положением этих полюсов на плоскости комплексных координат одно-
однозначно фиксирует пропагатор К(х, х') как решение неоднородного
волнового уравнения. Более конкретно, в обычных прямоугольных ко-
координатах Минковского х= (t, x) и *'=(«', х1) пропагатор К(х, х')
имеет полюса при t - t' = +(|х - х11 - h). Следовательно, К(х, х1)
есть такое решение неоднородного волнового уравнения, которое ре-
регулярно на бесконечности и сингулярности которого, соответствующие 1
распространению вдоль световых геодезических, направленных в бу- |
дущее, лежат ниже действительной оси t, в то время как сингуляр- I
ности, соответствующие распространению вдоль световых геодези-
геодезических, направленных в прошлое, лежат выше действительной оси t. ,1
Во всей остальной комплексной t -плоскости функция К(х, х1) анали- *
тическая. Рассмотрим теперь аналогичные граничные условия для
уравнения C.1) в геометрии Шварцшильда.
Начнем с рассмотрения случая, когда точка х' расположена вне
черной дыры, а х лежит на горизонте. Удобно использовать свето-
световые координаты Крускала U и V, в которых метрика Шварцшильда
имеет вид
ds2=-C2M3e-T/2M/r)dVdV+r2dQ2, C.4)
где функция г определяется соотношением
f/F = A -гДМ)ег/2М. C.5)
На горизонте г = 2М, а следовательно, либо V, либо V обращаются
в нуль. Аналитически продолжим в комплексную плоскость тот эле-
элемент пары (U, V), который не равен нулю, и назовем полученную та-
таким образом поверхность комплексным горизонтом. Так как метрика f
в крускаловских координатах является аналитической на комплексном!
горизонте, то и функция F(W, х, х1) также будет аналитической на ">
нем. Поэтому любые сингулярности пропагатора К(х, х1) возникают I
236 *
и )-за конечных точек интегрирования по W. Из выражения для асимп-
i отики B.17) функции F(W, x, х') нетрудно увидеть, что при больших
К интеграл сходится для всех комплексных значений х. Поэтому лю-
любые сингулярности К(х, х1) возникают из-за граничной точки W = 0.
, 1ля анализа этих особенностей разделим интервал [0, °° ] интегри-
интегрирования по W на две части [0, WQ] и [Wo, ¦*>], где Wo - малая вели-
величина. Интеграл от WQ до бесконечности дает вклад К0(х, *') в
К {х, х1), который является аналитическим по х. В интервале от 0
до WQ можно воспользоваться нашим выражением для поведения
h (W, х, х1} при малых W везде, где оно справедливо. При т = 0 для
К(х, х1) имеем
isc (х, X')/Uwo)
е с ¦
К(х, х1) = К (х ,
six, x')
D (х, х1). C.6)
c
•то выражение можно использовать, чтобы продолжить К(х, х1) до
шачений л; вне комплексного горизонта. При т Ф 0 пропагаюр
К(х, х') также имеет сингулярности при s (x,x') =-k , т.е. слегка
глвинутые по сравнению с соответствующей световой геодезической,
i оединяющей точку х1 с комплексным горизонтом. Найдем теперь
рисположение этих точек.
Начнем с того, что покажем, что световые геодезические, выхо-
выходящие из х1, пересекают комплексный горизонт в точках, лежащих
км его действительном сечении, т.е. при действительных значениях U
м V. Для определенности рассмотрим сперва геодезические, соеди-
соединяющие действительную точку хх вне черной дыры с горизонтом в
будущем: Вместо аффинного параметра V на горизонте удобно ис-
использовать время Киллинга v, связанное с ним соотношением
I - ехр(ки). Координата v - обычное опережающее время в координа-
1лх Эддингтона - Финкельштейна, которые покрывают область V > 0.
Комплексные световые геодезические описываются заданием четырех
координат как функций от комплексного аффинного параметра, кото-
который мы обозначим через А . Следовательно, геодезическая на самом
.и-ле является двумерной поверхностью в пространстве комплексных
координат.
Из соотношения V = ехр(кг) следует, что заданное значение v
и шачение, получающееся из него сдвигом на Ьпи = 2-тт/к , соответ-
г гну ют одному и тому же значению V. Вследствие этого, изучая све-
237

ДЖ.Б. ХАРТЛЬ. С. В. ХОКИНГ
5. ВЫВОД ИЗЛУЧЕНИЯ ОТ ЧЕРНОЙ ДЫРЫ
товые геодезические, координаты v которых ограничены на комплекс-J
ной плоскости в полосе шириной 2тт/к, мы получим информацию о reorf
дезических, соответствующих любым другим значениям v . Удобно
выбрать такую полосу, которая содержит действительную ось v . За-
Затем можем предположить, что при А = 0 координаты имеют действи-
действительные начальные значения v1, г1, 6', ф'. Вопрос состоит в том,
какие комплексные значения v в этой полосе при действительных*
значениях в и ф и г = 2М лежат на двумерной поверхности, соот-
соответствующей комплексной световой геодезической?
В стационарном сферически-симметричном пространстве-време-
пространстве-времени без потери общности можно выбрать световые геодезические, ле-
лежащие в экваториальной плоскости 6 = тт./2. Они характеризуются'
двумя интегралами движения ей/, которые могут принимать коми*!
лексные значения. Эти интегралы определяются следующим образом:|
2М^1 ,^2±. C.7)
Из условия
жения
е= 1 —
светоподобности *(*,*)-0 получаем известные выра-f
1
„-!>¦= f
2М dr
!-¦
1
bdr/r'
'г)]*"
Здесь мы обозначили через Ь прицельный параметр I /е. Так как
аффинный параметр X определен с точностью до умножения на про-;]
извольную постоянную, то для полного описания определенной светЫ
вой геодезической оказывается достаточным задание одного инвар
антного отношения Ъ.
Чисто действительные геодезические, соединяющие х* с гориз
том в будущем, соответствуют действительным значениям Ь, ле*
щим между 0 и ЗлДм. Для этих значений точки г = г' и г = 2М мс
но соединить чисто действительным контуром. По этой причине
действительных Ь в интервале от 0 до 3-/3 М удобно выбрать раэ»|
резы функции у (г) = [1 - Ь2г~2 A - 2M,/rj]/* таким образом, чтобы!
они не совпадали с положительной действительной осью г и чтобы
г = г' и г = 2М лежали на одном и том же ,листе римановой поверх-
поверхности функции f. Комплексная аналитическая структура f при дру-
других значениях Ь определяется аналитическим продолжением по этой
переменной.
Данная комплексная величина Ь и данный контур в г - плоскости,
соединяющий г = г1 с г = 2М, однозначно определяют комплексную
скетовую геодезическую. Например, для всех действительных Ь, ле-
лежащих между 0 и Ъу/^М, и чисто действительного контура, соединя-
соединяющего г = г' и г = 2М, существует единственная действительная
световая геодезическая. При том же значении Ь другой контур, ко-
который нельзя получить из первого с помощью гладкой деформации,
определил бы другую комплексную световую геодезическую.
Однако, как легко убедиться, рассматривая равенства C.8) и
C.9), в подынтегральных выражениях этих соотношений отсутству-
отсутствуют полюса, которые могли бы препятствовать деформации контура,
соединяющего г = г' и г = 2М, с данного листа на любой другой.
11оэтому удобнее всего выбрать контур просто лежащим вдоль дей-
действительной оси при условии, что она не пересекает разрезы функ-
функции f(r) .
Для данного контура интеграл C.9) определяет функцию ф/Ь как
многозначную функцию от Ь2. Чтобы получить однозначную связь
между ф и Ъ, необходимо ограничить область изменения Ь 2 дан-
данным листом риманова пространства функции ф/Ь. Назовем его физи-
физическим .листом. Этот лист должен содержать часть действительной
оси между Ь2=0и Ь2 = 27М2, которая соответствует реальным
физическим световым геодезическим. У функции ф/Ь имеется точка
иетвления при Ъ 2 = 27 М2. Удобно поэтому определить физический
лист как плоскость с разрезом вдоль положительной действительной
оси от 27М2 до бесконечности и содержащую физические действи-
тельные значения от Ъ 2 = 0 до 27М2 . При этом нетрудно убедиться,
что контур в уравнении C.9) всегда можно выбрать расположенным
идоль действительной оси. При Ь2, лежащем на физическом листе,
интеграл C.9) устанавливает однозначную связь между ф и Ъ.
В настоящий момент нас интересуют световые геодезические,
имеющие действительное значение ф в их конечной точке. Элемен-
тмрный анализ интеграла ( 3.9) показывает, что поскольку для Ъ2,
238
239

ДЖ.Б. ХАРТЛЬ, СВ. ХОКИНГ
лежащих на физическом листе, можно выбрать действительный кон-
контур, то мнимая часть подынтегрального выражения всегда одного
знака и мнимая часть ф не может обратиться в нуль, если только Ъ2
не является действительным и не лежит между 0 и 27 М2. Однако
при этих значениях Ъ координата v конечной точки тоже будет дей-
действительной. Таким образом, комплексные световые геодезические,
выходящие из точки х', пересекают комплексный горизонт в буду-
будущем только при реальных значениях V. Очевидно, что подобное
заключение справедливо и для горизонта в прощлом. Поэтому на ком-
комплексном горизонте имеются сингулярности К, слегка сдвинутые
по сравнению с действительными величинами V и V, при которых
световые геодезические, испущенные из ж1 , пересекают горизонт.
Положение этих сингулярностей определяется соотношением
s(x, x[) =-k. Определим теперь направление этих сдвигов.
• Предположим, что xQ - конечная точка на горизонте в будущем
действительной световой геодезической, которая выходит из х' . Ес-
Если Vo обозначает координату V точки xQ, то функция s при V в
окрестности Vo ведет себя следующим образом:
s(x, *')=f~) (V-VQ)+ ... . (ЗЛО)
Если величина {ds/dV)XQ положительна, решение s(x, x')=-U ле-
лежит в нижней полуплоскости, тогда как если эта величина отрица-
отрицательна, решение лежит в верхней полуплоскости. Чтобы определить
правильный знак, предположим, что k$V есть вектор смещения от
световой геодезической к соседней геодезической, которая также на-
начинается в точке х%, но оканчивается на горизонте в будущем в точ-
точке, расположенной в будущем по отношению к концу первой геодези-
геодезической и аффинный параметр расстояния между их концами равен SV.
Следовательно, на горизонте к = d/dV, Если / - касательный век-
вектор к световой геодезической, то на горизонте / • к < 0. Уравнение
девиации геодезических дает
d2(l • k\/dk2 = 0, C.11)
и это соотношение можно использовать, чтЛ>ы найти значение / • к
вдоль всей световой геодезической вплоть до точки Л = 0, откуда
выходят обе геодезические. Имеем
/ • к = сЛ, C.12)
240
5. ВЫВОД ИЗЛУЧЕНИЯ ОТ ЧЕРНОЙ ДЫРЫ
где с - отрицательная постоянная. Так как касательный вектор к со-
соседней геодезической равен сумме / и kbV, уравнение C.12) позво-
позволяет заключить, что соседняя геодезическая времениподобна. Следо-
Следовательно, s (х, х') отрицательна при изменении х вдоль соседней
кривой и (ds /dV) < 0. Таким образом, особенности пропагатора, со-
соответствующие ° S(x, x')=- h , лежат в верхней полуплоскости,
и пропагатор будет аналитической функцией в нижней половине
F-плоскости на комплексном горизонте.
Аналогичным образом можно вывести аналитические свойства
пропагатора на комплексном горизонте в прощлом. Ерли х1 - дей-
действительная точка вне черной дыры и х лежит на комплексном гори-
горизонте в прощлом, то пропагатор К{х, х') будет аналитической функ-
функцией в верхней половине ^-плоскости.
Аналитические свойства, выведенные нами из интеграла по пу-
путям для пропагатора на комплексном горизонте можно рассматривать
в качестве граничных условий, выделяющих пропагатор как некото-
некоторое, вполне определенное решение неоднородного волнового уравне-
уравнения C.1). Для вывода всех наших дальнейших результатов мы могли
бы исходить из этого определения пропагатора, использующего его
аналитические свойства на комплексном горизонте, однако при подоб-
подобном подходе нам бы недоставало физической мотивировки, которую
дает наше определение в терминах интеграла по путям.
Неоднородное скалярное волновое уравнение совместно с полу-
полученными граничными условиями можно использовать, чтобы вывести
аналитические свойства пропагатора в областях, отличных от комп-
комплексного горизонта. Чтобы выполнить программу* описанную в разд. 1,
рассмотрим в частности аналитические свойства пропагатора по шварц-
шильдовской координате t. Эта координата связана со световыми ко-
координатами U и V соотношениями
(г-«)/4М
(/>0, V> 0 (область II) C.13а)
241

ДЖ.Б. ХАРТЛЬ. СВ. ХОКИНГ
5. ВЫВОД ИЗЛУЧЕНИЯ ОТ ЧЕРНОЙ ДЫРЫ
2ilf
2М
U < 0, V> 0 (область I) C.136)
\2М /
и аналогичными соотношениями с измененными знаками U и V в квад-
рантах, полученных из указанных отражением по отношению к началу
U — F-плоскости. Эти соотношения схематически указаны на диаграм-
диаграмме Пенроуза (фиг. 3).
г=0
г-О
Фиг. 3. Диаграмма Пенроуза для геометрии Шварцшильда.
. Амплитуда вероятности излучения черной дырой частиц, регистрируемых
наблюдателем в состоянии с энергией Е в области I можно связать [см. D.41
с интегралом от умноженного на exp (—iEt) пропегатора распространения от }
точки х на поверхности С постоянного радиуса т в области II в точку ж',-1
расположенную на мировой^пинии детектора в области I. Интеграл берется '
ло координате t на С' Пропегатор является аналитической по координа-
координате t функцией везде, за исключением особых точек при значениях х, со-
соответствующих пересечению комплексной поверхности световыми геодези-
геодезическими, выходящими из точки С . Одним из таких значений является дей-
действительная величине t, соответствующая пересечению с С, действитель-
действительной, направленной в будущее радиальной световой геодезической из х. В
тексте показано, что если временная норрдинвта х имевт мнимую чвсть
— 4-пМ, то сна соответствует точке х" в обпвсти III, которая получается
из х отражением в нвчвпе координат. Следовательно, имеется также дру-
другая особенность лри t с мнимой честью - 4ттМ, соответствующая действи-
действительной, направленной в прошлое радиапьной световой геодезической, выхо-
выходящей из х и пересекающей поверхность С_ , являющуюся отражением С, .
Эти две сингулярности повторяются с периодом 8-пМ по Imt. Распопоже-
нив этих сингупярностей показано на фиг. 4, в.
242 .
Для определенности рассмотрим сначала случай, когда х1 распо-
расположена вне черной дыры и х лежит в области И. Часть горизонта в
будущем при V > 0 совместно с частью горизонта в прошлом при
(/> 0 образует полную характеристическую поверхность Коши для
области II. Пропагатор внутри этой области однозначно определяет-
определяется дифференциальным уравнением по начальным данным на этой по-
поверхности Коши. Этими данными являются значения пропагатора на
соответствующих частях горизонта.
При фиксированных, г, 6 и <р комплексные значения t отвечают -:
определенным комплексным значениям U и V, определяемым фор-
формулой C.13а). Если положить t = т + ia, то имеем, в частности,
V=\V\e™""" . C.14)
Задачу нахождения пропагатора при определенном комплексном зна-
значении t можно рассматривать как задачу решения волнового уравне-
уравнения C.1) при фиксированном значении о в действительных коорди-
координатах \U\ и \V\. Поскольку метрика не зависит от t, это уравне-
уравнение является гиперболическим для произвольных значений, a , и зада-
задача с начальными данными на характеристиках хорошо определена.
Аналитичность пропагатора на комплексном горизонте в верхней по-
половине (/-плоскости и в нижней половине F-плоскости позволяет за-
заключить, что данные Коши для этой задачи в действительной области
регулярны при условии, что -4тгМ < ст < 0. Стандартная теорема су-
шествования и единственности для гиперболических уравнений с на-
начальными данными на характеристических поверхностях гарантирует
существование решения для пропагатора в этой области a . Чтобы
установить аналитичность полученного решения по t, мы должны
только проверить выполнимость условия Коши - Римана. То есть
^черта означает комплексное сопряжение)
еи
C.15)
где производная по t берется при постоянном г. Очевидно, при
—4ттД/ < о < 0 начальные данные удовлетворяют этому условию, так
как К - аналитическая функция от U и V в соответствующих полу-
полуплоскостях на комплексном горизонте. Более того, (д,/дТ) комму-
коммутирует с о2 и, следовательно, задачу определения {дК/ЭТ) можно
243

ДЖ.Б. ХАРТЛЬ, С.а ХОКИНГ
рассматривать как задачу решения волнового уравнения с нулевыми
начальными данными на характеристических поверхностях Коши. Един
ственное решение этой задачи есть (дК/дТ)г = 0. Заключаем поэтому,
что для точки х\ лежащей во внешней области, и фиксированных г,
е, ф в области U > 0, V > 0 функция К{х, х') аналитическая по t
в полосе шириной 4ттЛ1, лежашей ниже действительной оси.
Полосу аналитичности нельзя продолжить выше действительной
оси, так как непосредственно над ней лежат сингулярности, соответ-
соответствующие действительной световой геодезической, которая соединя-,j
ет значение t на поверхности данного значения г с точкой х' '
(фиг. 3). Полосу аналитичности нельзя также продолжить ниже ст=-'
Из уравнения C.14) видно, что это значение о соответствует таким
U и V, которые снова лежат в действительном сечении и отличаются!
только знаком. Пропагатор К(х, х') при точке х, лежащей в облас- !
ти II, будучи продолжен по г до t - 4тгМ?, совпадает с пропагато-
ром от точки ж" в области III до точки х', лежащей во внешней об-j
ласти. Эта точка х" является зеркальным отображением точки х от-;
носительно начала координат в U - F-плоскости. Этот факт будет '
являться основой для нашего вывода излучения от черной дыры ( см У
разд. 4), однако сейчас мы просто отметим, что из него следует, что?
сразу ниже линии сг=-4ттМ имеются сингулярности, которые соот- *
ветствуют действительным световым геодезическим, соединяющим
точку в области III на поверхности постоянного г с точкой- х'.
Сингулярности в этом случае лежат ниже действительной оси, так
как точка ж" лежит в области III, и из соотношений, аналогичных
уравнению C.14), можно увидеть, что малое положительное мнимое
значение V и отрицательное значение V, которые определяют по-
положение полюса, соответствуют отрицательному мнимому значению!
Аналитические свойства пропагатора К{х, х1) по переменной 11
таким образен, становятся очевидными. При фиксированных 6, ф» 1
г' в области II и для точки х', расположенной в области I, эти 1
свойства проиллюстрированы на фиг. 4,о. Пропагатор* является пе-|
риодической по а = Im(t) функцией с периодом, равным 8тгМ. Об- I
ласти аналитичности, соответствующие верхней половине ?/-плоско<з|
ти и нижней половине F-плоскости на комплексном горизонте, предЦ
ставлены заштрихованными полосами шириной 4тгЛ/. На этой фигу-1
ре также изображены периодические сингулярности, соответствуюи"*
Imt
W/A
X X
W//A
X X
0
W/A
X X
-8лМ
X X
W///A
X X
W////,
X X
X X
WM
X X
X
X
t *
X
X
X
12яМ
8жМ
X
0
X
-4яМ
-8лМ
X
-lZnU
Imt x
X
X
X
X
X
X
X
Ret
X
X
а 6
Фиг. 4. Аналитические свойства пропагатора в комплексной плоскости.
На фиг. 4, а изображена аналитическая структура К(х, х') при *', фикси-
фиксированном вне черной дыры в области I, и при фиксированных значениях г,
6, ф внутри горизонта в будущем (в области II). Пропагатор периодичен по
ImU) с периодом, равным 8-пМ. Эта периодичность есть следствие выраже-
выражения C.14) для величны t через координаты U и V, в которых метрика ана-
литична везде, за исключением физической сингулярности. Заштрихованные
полосы являются областями аналитичности по t, Эта аналитичность следу-
следует из аналитичности пропагатора на комплексном горизонте в верхней поло-
половине (/-плоскости и в нижней половине F-лпоскости. Крестами обозначено
положение особенностей, соответствующих действительным световым геоде-
геодезическим, соединяющим хх с кривой г, 6, ф = const. Типичная ситуация
изображена на фиг. 3. Непосредственно над действительной осью имеются
сингулярности, соответствующие световым геодезическим, соединяющим хх
с кривой г, в, <р = const в области //. Ниже линии Imt =-4тгД/ расположе-
расположены особенности, соответствующие действительным геодезическим, соединя-
соединяющим *' с кривой г, в, ф = const в области III. в каждом из этих случа-
случаев имеется бесконечная последовательность сингулярностей (из которой по-
показаны только несколько), возникающая из-за того, что существуют свето-
световые геодезические, которые совершают произвольное число оборотов около
г = Ш и поэтому могут соединить кривую г, в, ф = const с точкой %'
при все больших значениях \t - t'|. Сингулярности при других значениях Imt
дублируют эти сингулярности, так как лролагатор периодичен по Imt с пе-
периодом 8-пМ. На фиг. 4,6 изображена аналогичная аналитическая структу-
структура в случае, когда как х, так и х' лежат в области /. Пролагатор остает-
остается периодичным по Imt с периодом 8 ттМ. В этом случае имеются беско-
бесконечные последовательности световых геодезических, соединяющих х' с
криаой г, 6, ф = const и направленных как в будущее, так и в прошлое.
В соответствие с этим имеются особенности, расположенные как выше, так
и ниже действительной оси t. Эти сингулярности периодически повторяются
по Imt с периодом 8-пМ.
244

ДЖ.Б. ХАРТЛЬ, СВ. ХОКИНГ
действительным световым геодезическим, которые соединяют х' с
точкой на кривой 9, <р, г = const, лежащей либо в будущем, либо
в прошлом.
Если обе точки х и х\ лежат в области I, то пропагатор по-
прежнему является периодической по а функцией, причем период
его, как это следует из уравнения C.13), равен 8ttM. Теперь, одна-
однако, существуют такие действительные значения t 'как в прошлом, так
и в будущем от точки х', для которых имеются действительные
световые геодезические, соединяющие эту точку с кривой т, 6,
ф-const. Для значений, лежащих в будущем от точки х1, соответ-
соответствующие сингулярности слегка смещены с действительной оси t
вверх. Для значений t в прошлом соответствующие сингулярности
слегка смещецы с действительной оси вниз. Эти сингулярности пока-
показаны на фиг. 4, б: Сингулярности, соответствующие действительным
световым геодезическим, лежащие около ст =+4ттМ, отсутствуют,
так как соответствующие действительные точки лежат в области IV,
каждая точка которой отделена от х' пространственноподобным
интервалом.
Пропагатор К(х, х') периодичен по мнимому t, потому что из
его определения в виде интеграла по путям вытекает, что этот пропа-
пропагатор является аналитической функцией крускаловских координат V
и V везде, за исключением описанных выше сингулярностей. Однако
шварцшильдовская координата t как функция от U и V имеет лога-
логарифмическую особенность и является многозначной; она определе-
определена только по модулю 8ттШ. Таким образом, если пропагатор имеет
сингулярность при некотором значении U и V, то он как функция
от t имеет периодические сингулярности, расстояние между которы-
которыми 8тМ. Этот пропагатор подобен тому, который был предложен Ун-
ру [19]. Напротив, пропагатор, предложенный Бульваром [181, не пе-
периодичен по t и поэтому не аналитичен на обоих горизонтах.
Существование периодических по t сингулярностей приведет к
тому, что наблюдатели, движущиеся вдоль линий г, 9, <р « const в
продолженном решении Шварцшильда будут регистрировать частицы.
Это очень напоминает тот факт, что, как показал Унру, наблюдатели,
движущиеся вдоль мировых линий постоянного ускорения в простран-
пространстве Минковского также будут регистрировать частицы. С другой
стороны, наблюдатель, движущийся вдоль какого-либо из двух гори-
246
5. ВЫВОД ИЗЛУЧЕНИЯ ОТ ЧЕРНОЙ ДЫРЫ
зонтов, не увидит никаких частиц. Это иллюстрирует тот факт, что по-
понятие частицы является понятием, зависящим от наблюдателя [20].
В следующем разделе мы покажем, что построенный здесь пропага-
пропагатор, приводит к той же самой скорости рождения частиц с точки зре-
зрения наблюдателя, расположенного на постоянном расстоянии от чер-
черной дыры, которая была получена в работе [5] посредством изучения
смешивания положительных и отрицательных частот при гравитацион-
гравитационном коллапсе.
4. ИЗЛУЧЕНИЕ ЧЕРНОЙ ДЫРЫ
В предыдущем разделе мы доказали аналитичность пропагато-
ра К(х, х') в некоторой полосе в t-плоскости в случае, когда х ле-
лежит в области II и х' лежит в области I шварцшильдовской геомет-
геометрии. Используем теперь эту аналитичность, чтобы вывести тепловое
излучение от шварцшильдовской черной дыры.
Предположим, что мы окружили шварцшильдовскую черную дыру
детекторами частиц, расположенными на расстоянии некоторого боль-
большого постоянного радиуса R. Эти детекторы регистрируют частицы,
вылетающие изнутри этой поверхности в состояниях /.(*'. г1, б1, <р'),
которые описываются положительно-частотными (относительно време-
времени *') решениями скалярного волнового уравнения. Амплитуда ве-
вероятности того, что частица, распространяющаяся в состоянии А. {х)
с некоторой поверхности, ограничивающей область внутри R, будет
зарегистрирована в состоянии /. (х'), равна
(х\, х) dvh.(x),
D.1)
где интеграл по х' вычисляется по поверхности г' = R, а интеграл
по х - по поверхности, ограничивающей внутреннюю область. Сокра-
Сокращение ад Ь означает аЬ. - а, Ь.
„ м 'и 'и
Предположим на мгновение, что детекторы частиц работают в
течение интервала времени t1 е (—*,', t,'), где t' очень велико. В
конце концов мы перейдем к пределу tj -¦ 0. В качестве внутренней
граничной поверхности, о которой упоминалось выше, можно взять
пространственноподобную поверхность, проходящую через звезду пе-
перед началом коллапса в момент ~t\ , полную пространственноподоб-
пространственноподобную поверхность внутри горизонта в будущем и времениподобную по-
поверхность, соединяющую ее с поверхностью г' = R снаружи при
247

ДЖ.Б. ХАРТЛЬ, СВ. ХОКИНГ
t' = t\ ¦ В качестве пространственноподобной поверхности внутри
горизонта в будущем вне вещества мы выберем часть поверхности
С+ постоянного значения" г, а внутри вещества - ее пространствен-
пространственноподобной поверхности внутри горизонта в будущем можно было бы
выбрать сингулярность в будущем. Однако возникающие математи-
математические трудности, связанные с особенностью метрики при г = О, де-
делают это неудобным и заставляют рассматривать поверхности, от-
отстоящие на некотором расстоянии от этих точек. ' j
Вычислим теперь полную вероятность того, что частица зареги-'
стрирована детектором в состоянии ft (х'), которое локализовано во
времени вблизи некоторого позднего момента времени t^ . Эта веро-
вероятность будет суммой квадратов амплитуд D.1) по всем состояниям
h. (x), которые не противоречат нашему знанию ситуации на ограни-
ограничивающей поверхности. Состояния, локализованные на пространствен-
пространственноподобной части при t1 =-*,', не дают вклада, так как мы предпола-
предполагаем, что в начальном состоянии отсутствуют скалярные частицы.
Вклад от других двух поверхностей существенно ограничен тем, что
пропагатор К(х, х1) во внешней геометрии кодлапсирующей звезды
при поздних временах является функцией только от разности t' — t.
Это следствие трансляционной инвариантности по времени шварцшиль-
довской геометрии. Таким образом, если fi(xl) локализовано около
позднего момента времени t'o , вклад в выражение D.1) будут давать
только времена t, сравнимые с t '0. В частности, отсутствует вклад
от времениподобной поверхности, которая начинается в t \ , посколь-
поскольку если выбрать *• достаточно большим, то она пересекает значе-
значения t, много большие чем «„. Более того, единственной частью
пространственноподобной поверхности внутри горизонта, которая да-
дает вклад, является часть t = t '0, и для достаточно поздних момен-
моментов времени она заведомо нахбдится вне вещества. Это дает возмож-
возможность заключить, что если интересоваться вероятностью рождения
частиц в поздние-моменты времени, то детали коллапса несущест-
несущественны. Единственной частью амплитуды D.1), дающей вклад в вероят-
вероятность рождения частиц является такая, в которой интеграл по х бе-
берется по полной пространственноподобной поверхности внутри горизон-
горизонта, и мы можем при вычислениях заменить ее на поверхность С по- ¦
стоянного значения г, лежащего между 0 и 2Д/ в точной шварцшиль-
довской геометрии. При этом мы явно полагаем, что пропагатор меж-
между точкой внутри горизонта в будущем и точкой вне черной дыры в
248
5. ВЫВОД ИЗЛУЧЕНИЯ ОТ ЧЕРНОЙ ДЫРЫ
поздние моменты времени можно с хорошей степенью точности ап-
аппроксимировать пропагатором, полученным нами в аналитически про-
продолженной метрике Шварцшильда.
Чтобы вычислить полную вероятность наблюдения частицы мы
заметим далее, что информация о состоянии частицы на сингулярнос-
сингулярности в будущем отсутствует. Полная вероятность получается суммиро-
суммированием квадратов модулей выражений D.1) по полной системе со-
состояний на С+. Как мы сейчас покажем, для вывода излучения от
черной дыры не нужно проводить детальное вычисление этой суммы.
Нас главным образом интересует амплитуда вероятности излу-
излучения черной дырой частиц в состоянии с определенной положитель-
положительной энергией Е. Временная зависимость для этого состояния име-
имеет вид /<v exp(-i?t'). Вследствие инвариантности относительно
трансляций по времени, состояния h{ (x) из полной системы на С
также можно выбрать в виде состояний, временная зависимость ко-
которых имеет вид expi—iEt), хотя из-за того, что внутри горизонта t
является пространственноподобной координатой, величину Е уже
нельзя интерпретировать как локальную энергию. Зависимость про-
пагатора только от разности t' -1 означает, что интеграл по t и
t1 в уравнении D.1) приводит к 5-функции, соответствующей сохра-
сохранению энергии. При вычислении вероятностей формально возникаю-
возникающий квадрат 5-функции, как обычно, заменяется на фактор плотнос-
плотности состояний. После выделения этой 5-функции, связанной с сохра-
сохранением энергии, из уравнения D.1) имеем
Т J
(R') ^(')A/
где R и R1 соответственно обозначают координаты г, 6, <р и/¦',
б1, ф'; /. (R) и A.(R') обозначают угловые части соответствующих
состояний ; rfcr (R) и da (R') - интегралы по угловым переменным с
выбранным определенным образом весом. Основная информация об
излучении содержится в амплитуде &Е , определяемой уравнением
e?(R',R)= f dte~iEtK@, R';t, R). D.3)
249

дж.б. хартль, с.а хокинг
Используя симметрию К{х, ж') относительно перестановки х и х*,
можно переписать это выражение в более удобной для дальнейшего
форме
&E(R', R) * f dte~iEtK(t,HH, R'). .D.4)
Амплитуда &Е является компонентой с энергией Е амплитуды ве-
вероятности распространения частицы с поверхности С+ в точку
(О, R'), лежащую вне черной дыры.
. Следуя программе, намеченной в разд. 1, мы хотим теперь сдви-
сдвигая контур интегрирования в комплексную плоскость, связать ампли-
амплитуду вероятности испускания, задаваемую уравнениями D.2) и D.4),
с амплитудой вероятности поглощения черной дырой частицы в той же
самой моде. Для этого достаточно ограничиться рассмотрением амп-
амплитуды e?(R', R) и сдвинуть контур интегрирования по t в уравне-
уравнении .D.4) вниз на величину - 4тгМ». Эта деформация контура возмож-
возможна, так как основным результатом предыдущего раздела является
аналитичность K(t, R; О, R1) в полосе шириной 4ттМ, лежащей ни-
ниже действительной оси. Уравнение D.4) принимает вид
&Е (R', R) = е~* Е/к f°°dt е~ '*' K(t - йг/к, R; О, R'), D.5)
где мы использовали поверхностную гравитацию черной. дыры к
вместо }/*М. Уравнение C.14) показывает, что смещение t на ве-
величину - m/к эквивалентно отражению координат Крускада U и V
в начале координатной системы. Таким образом интеграл в уравне-
уравнении D.5) можно интерпретировать как компоненту с энергией Е ампли-
амплитуды вероятности распространения частицы в точку (О, R'), лежащую
вне черной дыры с поверхности С_, расположенной в области III,
которая совпадает с образом поверхности С+ при отражении в начале
координат U - F-плоскости. Если в уравнении D.2) заменить ё? этил
выражением, то мы получим амплитуду вероятности (со знаком минус)
регистрации частицы энергии ? в моде f., которая на поверхности
С_ в области III находилась в состоянии А. с той же самой энерги-.
ей. Знак минус возникает из-за того, что соответствующая нормаль к
поверхности С_ противоположна по направлению. Вследствие инва-
инвариантности относительно обращения времени квадрат модуля этой амп-;|
250
5. ВЫВОД ИЗЛУЧЕНИЯ ОТ ЧЕРНОЙ ДЫРЫ
литуды в точности равен квадрату модуля амплитуды вероятности по-
поглощения черной дырой частицы, вылетающей из точки (О, R1) в со-
состоянии ft с энергией Е, и попадает на С+ в состоянии А. с той же
энергией. После суммирования по полной системе состоянии А;. мы
получаем следующее общее соотношение:
(Вероятность испускания шварцшильдовской черной дырой
частицы в состоянии с энергией ё) = e~2lT?'K x (Вероят-
(Вероятность поглощения шварцшильдовской черной дырой частицы
в том же состоянии)
D.6)
Это именно та фундаментальная связь между испусканием и поглоще-
поглощением, которая была сформулирована в введении. Эта связь показыва-
показывает, что черная дыра излучает частицы с тепловым спектром, характе-
характеризуемым температурой Т - к/2-пк. Таким образом, мы снова при-
приходим1' к результату работы [5].
5. ВРАЩЕНИЕ, ЗАРЯДИ СПИН
В этом разделе мы приведем некоторые замечания, касающиеся
обобщения наших результатов на случай частиц с более высокими спи-
спинами и как заряженных черных дыр, так и вращающихся.
Для полей с ненулевым спином трудно представить пропагатор в
виде интеграла по путям. Однако предположим, что аналитические
свойства пропагаторов для частиц с высшими спинами совпадают с
теми, которые мы установили для скалярного поля. А именно,предпо-
именно,предположим, что если U и V являются аффинными параметрами соответ-
соответственно вдоль горизонтов в будущем и прошлом, причем оба возраста-
возрастают по направлению в будущее, то пропагатор от точки вне черной ды-
дыры к точке на горизонте является аналитическим в верхней половине
' Здесь уместно сделать замечание, чтобы сравнить обозначения, ис-
используемые в настоящей работе, с обозначениями, принятыми в работе [5J.
Мы выбрали действие B.1) таким образом, чтобы при используемом нами вы-
выборе сигнатуры (+2) переменная часть этого действия для нерепятивистских
путей сводилась к +fdtUx/dt) . Это - обычный выбор для нерепятивистоко-
го действия, приводящий к обычной форме уравнения Шредингера, и зависи-
зависимость от времени решений с энергией е имеет вид exp(-ifu). В работе 15J
волновые функции с определенной частотой имели временную зависимость ви-
вида ехР(,и«). Мы получили бы те же самые физические результаты, если бы
начали с действия, имеющего противоположный знак.
251 ,

, ДЖ.Б. ХАРТЛЬ, СВ. ХОКИНГ
(/-плоскости и в нижней половине F-плоскости. Если принять это пред-
предположение, тогда непосредственно получается обобщение наших ре-
результатов на случай частиц с высшими спинами, поскольку вывод из-
излучения от шварцшильдовской черной дыры, приведенный в предыду-
предыдущем разделе, и вывод для черных дыр более общего вида, который бу-
будет приведен ниже, зависят только от этого свойства аналитичности
и правильного определения амплитуд вероятности излучения и погло-
поглощения. Теперь мы приступаем к обобщению нашего вывода на случай
керровской и рейсснер-нордстремовской черных дыр. Для простоты
рассмотрим эти два случая отдельно, предоставляя читателю объеди-
объединить эти выводы и получить общее выражение для вращающейся заря-
заряженной черной дыры.
А. Керроеская черная дыра. На фиг. 5, о изображена известная
диаграмма Пенроуза для керровской черной дыры. Следуя нашему вы-
выводу для шварцшильдовского случая, можно связать амплитуду ве-
вероятности излучения частицы черной дырой с интегралом от пропага-
тора К(х, х'), в котором х' фиксирована вне черной дыры, а по ж
Фиг. 5.
в. Диаграмме Пенроуза для осевого сечения керровской черной дыры. б. Диа-
Диаграмма Пенроуза для рейсснер-нордстремовской черной дыры.
252
5. ВЫВОД ИЗЛУЧЕНИЯ ОТ ЧЕРНОЙ ДЫРЫ
интегрирование ведется по пространственноподобной поверхности
мнутри горизонта, которая разделяет прошлое и будущее. Удобно обо-
шачить эту поверхность через С+ и выбрать в качестве ее поверх-
поверхность постоянного значения г в обычных координатах Бойера-,Линд-
книста таким образом, что т_ < г < г+. Чтобы обобщить наш ре-
результат на случай керровской геометрии, нам, таким образом, по-
потребуется система координат, в которой метрика регулярна по край-
Ш!Й мере в областях 1-Ш, показанных на фиг. 5, о. К счастью, Кар-
тор [21] построил подобную систему координат. Чтобы избежать длин-
длинных переопределений, мы будем использовать егб обозначения везде,
где они совпадают с обозначениями, принятыми в нашей статье. За
разъяснениями по поводу символов, которые мы не определяем, чита-
читатель отсылается к работе Картера.
Область I керровской геометрии можно покрыть координатами
Ьойера - Линдквиста (t, г, 6, <р), причем г ¦> г+ (Картер использу-
использует t, ф вместо наших обозначений t, ф). Области II и III можно
покрыть аналогичной картой с г_ < г < г . Области I и II можно
покрыть координатами Керра - Ньюмена, в состав которых входит
опережающее время v. Аналогично области I и III можно покрыть
координатами, содержащими запаздывающее время и. (Картер ис-
использует и вместо нашего v и -w вместо нашего и.) В области I
>ти координаты связаны соотношениями вида
t-u+/(r), E.1)
t = v-f(r), E.2)
где df/dr = (г2 + о2)/Д Картер вводит затем новую азимутальную
киллинговскую угловую координату <р+, определяемую уравнением
Ф+ = Ф - a+t, E.3)
где ш+ = о,/(г2 + о2) - угловая скорость вращения горизонта. Он так-
также вводит две новые светоподобные координаты х и у, которые со-
соответствуют нашим U и V. Они определяются следующим образом:
(/--е-к", V=eKV. область I, E.4а)
U = е'ки , V = eKV , область II, E.46)
0—е-к", V=-eKv, область III, E.4в)
где к = \/2(г - г_ )/(г2 + о2) - поверхностная гравитация (вращаю-
(вращающейся) черной дыры. Таким образом, V совпадает с координатой Кар-
253

ДЖ.Б. ХАРТЛЬ, С. В. ХОКИНГ
5. ВЫВОД ИЗЛУЧЕНИЯ ОТ ЧЕРНОЙ ДЫРЫ
тера х, в то время как U совпадает с координатой Картера у, взя-
взятой с обратным знаком. В этой новой (U, V, 9, <р ) карте метрика
аналитична в областях I -III [см. уравнение B6) работы Карте-
Картера]. Горизонт в будущем расположен при (/ = 0, и V является аф-
аффинной координатой вдоль него. Горизонт в прошлом расположен при
V = 0, и U является аффинной координатой' вдоль него. Координа-
Координата г как функция от U и V определяется соотношениями E.1), E.2)
и E.4). Различные определения схематически изображены на фиг.5,о.|
В шварцшильдовском случае амплитуда вероятности излучения
черной дырой частицы с энергией Е в конечном счете была связана
с интегралом €?(RI,R) по поверхности постоянного г внутри гори-
горизонта в будущем от умноженного на exp (—iEt) пропагатора распро-
распространения частицы от точки х на этой поверхности в точку х1 сна-
снаружи от дыры. В керровском случае мы будем интересоваться ампли- •
тудой испускания частицы с энергией Е и угловым моментом отно-
относительно оси вращения т (т не следует путать с массой покоя). Ана*|
логичным образом эту амплитуду можно связать с интегралом вида
e?m(R',R)= / dt / d(?e~l{Et~m<f K{t, <p, R; 0, 0, R').
' —• ,° E.5)
Здесь К — пропагатор в геометрии Керра, который вследствие инва-
инвариантности относительно сдвигов по времени и аксиальной симмет-
симметрии зависит только от разностей t и <р координат точек х и х*. Ве*|
личины R и R' обозначают г, 6 координаты точек х и х1. Интег-1
рал берется по поверхности С+. Рассуждения, аналогичные тем, ко
рые были приведены в шварцшильдовском случае, показывают, что
при фиксированных г, 9, <р+ функция К, аналитическая при U в
верхней полуплоскости и при V в нижней полуплоскости. Следовать
но, мы можем деформировать контур интегрирования по t вниз на
величину -»тт/к, оставляя г, 9 и <р+ фиксированными, посколь-
поскольку это сводится к повороту U на угол тт и V — на угол -тт. Неиэ
менность <р+ , согласно E.3), означает, что при этом <р -»<р -шсо+/к|
Таким образом,
?mv
-тКЕ — т<в,)/к +.о» 2тт
= е. f dt f dtpK(t -т,/к, <p -
—оо О
- »тгш+/к, R", 0, 0, R' )..
Гак как этот сдвиг t эквивалентен [см. E.4)] замене U-*-U и
I -»-F, то интегрирование теперь ведется по отраженной поверх-
поверхности постоянного значения г, лежащей в области III, которая на
фиг. 5, а обозначена через С_ . Оставшийся интеграл можно связать
с- амплитудой вероятности поглощения черной дырой^частицы с энер-
энергией ? и угловым моментом т. Следовательно, мы имеем
(Вероятность излучения керровской черной дырой моды с энер-
энергией Е и угловым моментом т) = e~2lr^?~mC0+''Kx (Вероят- E 7)
ность поглощения керровской черной дырой моды с энергией е
и моментом т).
Именно это соотношение позволяет нам вывести, что вращающаяся
черная дыра будет излучать среднее число частиц, пропорциональное
|ехр[(?- тш+Jтг/к] - 1|, и, таким образом, к/2ттА можно интерпре-
интерпретировать как температуру черной дыры [5, 6].
Б. Рейсснер-нордстремовская черная дыра. Ситуация с рейсснер-
нордстремовской черной дырой аналогична керровской7 Здесь, одна-
однако, мы исследуем амплитуду вероятности излучения черной дырой час-
частиц с зарядом q . На фиг. Ь,б изображена диаграмма Пенроуза для
геометрии Рейсснера - Нордстрема. Пропагатор частицы с зарядом q
является решением волнового уравнения
E.6)
pp, x<)=-5(x, x<) E.8)
ма фоне рейсснер-нордстремовской геометрии. В обычной калибровке
имеется только одна неисчезающая компонента А , равная
At(x) = eJr, E.9)
где е - заряд черной дыры. Однако нельзя ожидать, что К в такой
калибровке будет аналитической функцией в верхней половине (/-плос-
(/-плоскости и нижней половине F-плоскости, как этого требуют наши гра-
граничные условия, поскольку компоненты А (х) не аналогичны на го-
горизонте в координатах, являющихся на нем аналитическими. Если, на-
например, мы используем (и, г, v, <р)-коордияаты, которые аналитичны
на горизонте в будущем, то Ат(х) =—A - 2il/,/r+ е2/г2)" и это вы-
выражение расходится при г = г+. Можно найти калибровку, в которой
потенциал А^ стационарен и регулярен на обоих горизонтах, если
сделать преобразование
254
255

ДЖ.Б. ХАРТЛЬ, С.В. ХОКИНГ
E.10)
где
Л= Ф{ E.11)
и Ф - потенциал на горизонте, равный е/г . В новой калибровке по-
потенциал А будет аналитической функцией в той же самой области,
что и метрика, но он не обращается в нуль на бесконечности. Это оз-
означает, что временная зависимость воды с энергией Е на большом
расстоянии от дыры будет не exp(-j?t), a exp[-j(? - qQ))t\
Амплитуду вероятности излучения черной дырой частицы с энер-
энергией Е и зарядом q так же, как в шварцшильдовском и керровсном
случаях, можно выразить в виде интеграла от пропагатора по поверх-
поверхности С+ постоянного значения координаты г, которое лежит меж-
между горизонтом будущего г+ и внутренним горизонтом т_ . Вслед-
Вследствие инвариантности пропагатора относительно сдвигов по времени
амплитуда вероятности излучения зависит от интеграла
f
, R;0, R1),
E.12)
где R обозначает координаты г, 6, <р.
В новой калибровке пропагатор К аналитичен в верхней полу-
полуплоскости (/ив нижней полуплоскости V. Здесь координаты U к V
связаны с координатами Картера так, как это было описано в уравне-
уравнении E.4) и выше. Как и в случае метрики Керра, эта аналитичность
позволяет сдвинуть контур интегрирования по t в уравнении E.12)
в комплексной t -плоскости вниз на величину -т,/к, сохраняя неиз-
неизменным г, поскольку это сводится к повороту U на тг и V на.тт.
Таким образом,
&Е{* ,R) = е Г dte-i(E ~ 4<t>hK(t -m
Так как сдвиг t на -m/к эквивалентен отражению U
V -* -V, этот интеграл можно записать в виде
dte~iEtK(t, R;0, R1),
'к, R;0, R').
E.13)
¦-U и
E.14)
256
5. ВЫВОД ИЗЛУЧЕНИЯ ОТ ЧЕРНОЙ ДЫРЫ
где интегрирование теперь ведется по отраженной поверхности С_ ,
показанной на фиг. 5,6. Как и ранее, интеграл в E.14) можно связать
с амплитудой вероятности поглощения черной дырой частицы с заря-
зарядом q. Повторяя рассуждения, которые привели к соотношению D.6),
имеем
(Вероятность излучения рейсснер-нордсгремовской черной
дырой частицы с зарядом « и энергией Е) = е~2'п(Е~чФ)')К<
( 5.15)
х (Вероятность поглощения рейсснер-нордстремовской черной
дырой частицы с зарядом q и энергией Е) .
Именно это соотношение позволяет доказать, что среднее число из-
излучаемых вращающейся черной дырой заряженных скалярных частиц
в определенной моде пропорционально {ехр[(? - q<t)\/kT] - II, где
кТ= к/2тт. (См. работы [5] и [22].)
ПРИЛОЖЕНИЕ
ВЫВО/1 УРАВНЕНИЯ /ШФФУЗИИ ДЛЯ F(Q,
¦)
Амплитуда F(Q> x, х') определяется интегралом по путям
Г 1 Q
х, ж')= /5ж[ш]ехр \, fy(x, x)da
L 4 о
(П.1)
где у - положительно определенная метрика B.6), х= dx/da и сум-
суммирование ведется по всем путям, удовлетворяющим условиям
Х(Щ = х1 и x(Q) = х. Выведем теперь уравнение диффузии B.8) для
F и в процессе этого вывода обсудим интерпретацию дифференциала
Разделим интервал [О, Q] на N + 1 частей длиной е . Используя
обычные весовые функции при интегрировании по пространству-вре-
пространству-времени, можно следующим образом интерпретировать интеграл в со-
соотношении B.1):
257

дж.б. хартль, с. а хокинг
где хп
х и S дается интегралом
1
*).
(П.З)
вычисленным вдоль геодезического пути, соединяющего х. при со» О
при xi+i при со = е . Нормировочная постоянная А фиксируется тре-
требованием равенства единице амплитуды.вероятности распространения
частицы из одной точки в любую другую точку пространства-времени.
Это условие эквивалентно
Am f d*x [у(х)]V* exp [-S (e , x, x1)]. (ПА)
Уравнение (П.2) является правильным потому, что по мере того как е
становится все меньше и меньше, действие для путей, соединяющих
фиксированные точки х. и х{+, становится все больше и брльше,
и, следовательно, их вклад в интеграл экспоненциально уменьшается.
Главный вклад дает стационарный путь, для которого значение S ми-
минимально. Этот путь является геодезической между точками.
Уравнение диффузии можно получить, рассматривая связь между
F(Q + e, х, х*) и F(Q, х, х1). Из уравнения (П.2) имеем
F(Q + е, х, х') = fd*y[y (yjl^expt-Sfc,*, y)]F(Q, у, А/А. '.
(П.5)
Положим у = х + z , и пусть интегрирование ведется по z. Разло-
Разложим S и F в правой части уравнения по степеням z. Разложим F
в левой части уравнения по степеням е. Анализ интеграла показы-
показывает, что только несколько первых членов разложения в правой части
дают линейный по е вклад в F, приводя к выражению для dF/dQ.
Ченг [4] выполнил этот анализ в общей координатной системе. Одна-
Однако вычисления существенно упрощаются, если ввести в точке х нор-
нормальные римановы координаты. В этой координатной системе имеем
1 Yz* + O(z3), (П.6)
где 5 обозначает 5-символ Кронекера. Из определения нормальных!
координат вытекает, что геодезические, выходящие из начала, — пря-|
мые линии, так что &а = zajt и
S(e,
—
(П.7)
258
5. ВЫВОД ИЗЛУЧЕНИЯ ОТ ЧЕРНОЙ ДЫРЫ
Из вида S можно заключить, что при е -¦ О существенный вклад в
интеграл дает область, где za~ г'1. Следовательно, необходимо удер-
удержать под интегралом только члены O(z2) разложения (у)/* и F, и
пределы интегрирования можно распространить до бесконечности. Да-
Далее, член нулевого порядка в разложении (П.5) дает условие норми-
нормировки
—6ар zazP/e VDtteJ. (П.8)
ТС /
Поскольку интеграл от нечетной по z функции обращается в нуль,
выражение для члена первого порядка по е равно
(П.9)
(П.10)
где член, содержащий кривизну, возникает из разложения
V 1
(ПЛ1)
равно интегралу
A /exp\~7"Snv
Используя это выражение и заменяя частные производные в нормаль-
нормальных координатах ковариантными производными va по отношению к
метрике у, окончательно приходим к уравнению диффузии для F.
Это уравнение имеет вид
(П.12)
Если учесть, что R равно нулю для шварцшильдовской геометрии, это
уравнение в точности совпадает с B.8).
Множитель -Л/3 в уравнении (П.12) есть следствие использо-
использованного нами определенного выбора веса в интегралах по координа-
координатам (П.2). Если мы заменим exp[-S(s, *i+1> x()] в интегралах на
то возникающее при этом уравнение будет иметь вид
259

дж.б. хартль, с.а хокинг
Таким образом, за счет соответствующего выбора действия можно
получить любой коэффициент при множителе скалярной кривизны как
в уравнении диффузии, так и в уравнении для К. Для рассматрива-
рассматриваемых нами вакуумных решений для черных дыр кривизна R равна ну-
нулю, все эти уравнения тождественно совпадают, и мы брльше не бу-
будем касаться этого вопроса. По этому поводу см., однако, замечания
в работах [4, 11].
Благодарности
Мы благодарны за гостеприимство Кипу Торну и группе исследо-
исследователей по релятивистской физике Калифорнийского технологически
го института. Нам бы также хотелось поблагодарить Вернера Израэ-
ля и Ричарда Фейнмана за полезные обсуждения.
ЛИТЕРАТУРА
l.Feynman &Р„ Rev. Mod. Phys., 20,327A948).
2. Morette C, Phys. Rev., 81 , 848 A951).
3. DeWitt B.S., Rev. Mod. Phys., 29, 377 A957).
4. Cheng K.S., Journ. Math. Phys., 13, 1723 A972).
5. Hawking S.W., Nature, 248, 30 A974); Commun. Math. Phys., 43, 199 A975).]
6. Hawking S.W., Phys. Rev., D13, 191 A976). (Статья З настоящего сбор-
сборника.)
7. Feynman R.P., Phys. Rev., 76 , 769 A949).
8. Fock V., Phys. Zeit. Sowjetunion, 12, 404 A937).
9. Nambu Y., Progr. Theor. Phys., 5, 82 A950).
10. Schwinger L, Phys. Rev., 82,64A951).
11. DeWitt B.S., Phys. Rep., 190, 295 A975). (Статья 2 настоящего сборника,!
12. Bjorken I.D., Drell S.D., Relativitistic Quantum Fields, McGraw-Hill Book
Co., New York, 1965.
13. Nelson E.,- Journ. Math. Phys., 5, 332 A964).
14. Kac M., Probability and Related Topics in the Physical Sciences, Inter-
science Publishers, New УогЦ 1959. (Имеется перевод: М. Кац, Вероят-
Вероятность и смежные проблемы физики, "Мир", М., 1965.)
15. Symanzik К., В сборнике Local Quantum Theory, Proc. Int. School of
Physics "Enrico Fermi", 45, 1969.
16. Streater R.F., Rep. Progr. Phys., 38, 771 A975).
17. Eidelman S.D., Parabolic Systems, North-Holland Publishing Co., Amster-
Amsterdam - Wolters — Noordhoff Publishing Groningen, 1969, p. 178.
18. BoulwareD., Phys. Rev., D11, 1404A975).
19. Unruh W.G., Phys. Rev., D14, 870 A976).
20. AshtekarA., Uagnon A., Proc. Roy. Soc. (London), A346, 375 A975).
21. Carter В., Phys. Rev., 174, 1559 A968).
22. Gibbons G.W., Commun. Math. Phys., 44, 245 A975).
Статья 6
Аномалии следов и эффект Хокинга*
СМ. Кристенсен, С.А. Фуллинг
Christensen S.I/.**, Fulling S.A.*.**, Phys. Rev., D15, 2088 A977)
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ
Общее сферически-симметричное статическое решение уравне-
уравнения VVT" = 0 во внешней области метрики Шварцшильда выражено
через две константы интегрирования и две произвольные функции,
одна из которых — след Т^. Одна из констант равна величине Ти
на бесконечности, а другая определяется, если потребовать, чтобы
физически нормированные компоненты Гцу были конечны на горизон-
горизонте будущего. След тензора напряжений конформно-инвариантной кван-
квантовой теории поля может быть отличным от нуля (аномальным), но
должен быть пропорционален (в данном случае) скаляру Вейля 48 М2г~й;
коэффициент пропорциональности для скалярного поля найден при
помощи косвенных аргументов, и он равен B880 тг2). В двумерном
случае величина излучения хокинговского черного тела на бесконеч-
бесконечности прямо пропорциональна величине аномального следа (кратного
скаляру кривизны); знание любого из этих чисел полностью опреде-
определяет тензор напряжений вне тела в конечной стадии коллапса. В че-
четырехмерном случае вместо этого получается некоторое соотноше-
соотношение между остающимися неопределенными функциями, которое мы
* работа финансировалась Национальным научно-исследовательским
советом (США), договор № B/RG/68807. Публикация частично финансирова-
финансировалась Национальной организацией содействия развитию науки (США), договор
№MPS 74-16311 А01, университет Утаи Отделение математики, техасский
Эй энд Эм университет.
Department of Mathematics, University of London King's College,
Strand, London WC2R 2LS, England; настоящий aflpec:Department of Physics,
University of Utah, Salt Lake City, Utah 84112.
* Department of Mathematics, University of London King's College,
Strand, London WC2R 2LS, England; настоящий адрес: Department of Mathema-
Mathematics, Texas A & M University, College Station, Texas 77843.
(Q) 1977 by the American Physical Society.
© Перевод на русский язык, "Мир", 1978.
261

СМ. КРИСТЕНСЕН, С.А. ФУЛЛИНГ
6. АНОМАЛИИ СЛЕДОВ И ЭФФЕКТ ХОКИНГА
выбираем в виде Tq-T°/4. Все это, плюс дополнительные физичес-
физические и математические рассмотрения, приводит нас к вполне опреде-
определенной, физически убедительной качественной картине < Т >. Зало-
Заложена основа для точных вычислений < TMV>.
1. ВВЕДЕНИЕ
Тензор напряжений (тензор энергии-импульса) Гм„ заключает в
себе значительную часть физического содержания квантовой теории
поля в искривленном пространстве-времени [1, 2]. Даже в теории толь- |
ко с внешними взаимодействиями (т.е. с линейными полевыми уравне-
уравнениями) и даже если оператор поля уже разложен по нормальным мо- ¦
дам, вычисление средних значений тензора напряжений затруднитель-
затруднительно. Требуется проинтегрировать функции, которые обычно не извест-
известны в замкнутой форме и даже не могут быть аппроксимированы рав-
равномерно по параметру интегрирования. Эти технические сложности
еще возрастают из-за необходимости некоторым образом регуляризо-
вать интегралы перед тем; как исключать их бесконечные части с по-
помощью перенормировки, не говоря уже о неоднозначностях или прин-
принципиальных вопросах самой перенормировочной процедуры. Поэтому
любая информация относительно тензора напряжений в конкретных
задачах, которая может быть получена из общих принципов без де-
детальных вычислений, представляет большой интерес.
Эти принципы включают геометрические симметрии, ковариант-
ный закон сохранения VvrjJ = 0, и в некоторых случаях, ограничение
на вид следа Г?. В классической теории с конформно-инвариантным
лангражианом след равен нулю. Однако в недавних работах [14-24]
было показано, что в соответствующей квантованной теории оператор
тензора напряжений может приобретать ненулевой след вследствие
перенормировки. (Это явление называется конформной аномалией1 *,
или аномалией следа) След остается еще с-числом и локальным гео-
геометрическим скаляром, и из соображений размерности число содер-
1} Этот термин был применен s работе [г] для того, чтобы описать не-
неединственность вакуумного состояния относительно конформных преобра-
преобразований (разновидность спонтанного нарушения симметрии). Оба эффекта,
очевидно, отражают тот факт, что конформная инвариантность есть "слу-
"случайная" симметрия некоторых уравнении для безмассового попя, а не фун-
фундаментальный физический принцип. Построение и физическая интерпретация
квантовой теории таких полей требует применения полной метрической
структуры пространства-времени.
262
жащихся в нем производных метрического тензора должно равняться
размерности пространства-времени. Таким образом, в двумерном
пространстве-времени Т% может быть только пропорциональным Я,
а в четырехмерном представляет собой линейную комбинацию а /?,
Л2, ЯаРяар и <? s СаРУ6Саргб. Здесь безразмерные коэффициенты
могут зависеть от частного типа рассматриваемого конформно-ин-
конформно-инвариантного поля (например, от спина), но их можно вычислить в каж-
каждом случае, по крайней мере в принципе. (Вычисление следа в неко-
некоторой конкретной модели пространства-времени дает универсально
справедливу%информацик> относительно аномальных коэффициентов).
Знания следа достаточно для того, чтобы значительно ограничить воз-
возможную форму Гйу. Тот факт, что след не равен нулю, приводит к не-
некоторым качественным следствиям; в частности, мы приведем аргу -
менты, что он тесно связан с процессами рождения частиц в некото-
некоторых геометриях.
Модель, которая привлекла в последние годы наибольшее внима-
внимание, это модель сферически-симметричного тела массы М, испыты-
испытывающего гравитационный коллапс [3]. Вне тела пространство-время
имеет метрику Шварцшильда:
2 Д 2W\., 2
+ sin2 в dip2), A.1)
и область, в которой применима эта метрика, простирается через
горизонт будущего (г= 2М, t = -н»). (Обратным влиянием квантован-
квантованных полей на геометрию пренебрегается.) При больших значениях за-
запаздывающего времени (и не слишком близко к телу), в так называе-
называемой стационарной области, среднее значение rMV по первонаяальному
вакуумному состоянию становится, как ожидается, почти независя-
независящим от t (см. [1]) и принимает на пространственной бесконечности
вид, характерный для излучения при температуре кТ = (вттМ) из
тела с характеристиками излучения (поглощения), определяемыми оп-
оптическими свойствами внешней области шварцшильдовского простран-
пространства-времени. В качестве некоторого шага к пониманию локальной
физики этой проблемы мы рассматриваем поэтому вид тензора на-
напряжений в метрике A.1) в предположении, что он не зависит от вре-
времени и сферически симметричен. Уравнения законов сохранения
ууГц = 0 приводят в этом случае к тому, что Гм„ представляется
суммой четырех членов [см. B.8)], каждый из которых в отдельнос-
отдельности сохраняется, сферически симметричен и не зависит от времени ц
каждый из которых удовлетворяет всем, кроме одного, из следующих
263

СМ. КРИСТЕНСЕН, С.А. ФУЛЛИНГ
6, АНОМАЛИИ СЛЕДОВ И ЭФФЕКТ ХОКИНГА
условий: ]) след равен нулю; 2) инвариантность относительно отра-
отражения времени (точнее, Ttr = 0); 3) тангенциальное давление равно
одной четверти следа: 0= Т% -% Т% - 0; 4) конечность компонент
тензора в локальной ортонормированной системе координат на гори-
горизонте будущего. Слагаемое, имеющее ненулевой след, полностью оп-
определяется, когда этот след известен; для конформно-инвариантных
полей, как отмечалось выше, след не зависит от состояния и легко
находится из соображений общей ковариантности. Слагаемые, нару-
нарушающие условия 2 и 4, содержат произвольные константы, которые
фиксируются, если известно поведение Т на бесконечности и на
горизонте. Остающаяся произвольной функция Q(r) неизвестна, но
на нее могут быть наложены некоторые ограничения иэ физических
соображений.
Статические решения уравнений закона сохранения применимы
глобально к полному многообразию шварцшильдовской черной дыры,
где отсутствует центральное тело и метрика A.1) продолжена любым
способом до горизонта прошлого. (Нам не потребуется рассматривать
непосредственно области пространства-времени за горизонтами.)
В этой модели существует несколько не зависящих от времени кван-
квантовых состояний, которые имеют некоторые из свойств, обычно ожи-
ожидаемых у вакуумного состояния1}. Вакуум Унру[5] (обозначаемый
через §) определяется из условия отсутствия падающего потока на
горизонт прошлого (Н~) и световую бесконечность прошлого E ~) и
приводит к выходящему потоку излучения на бесконечности (на 5 *)•
Считается, что это состояние достаточно точно воспроизводит усло-
условия в поздние моменты времени в (первоначально) вакуумном состоя-
состоянии хокинговской модели коллапса Вакуум Израэля-Гиббона-Перри
[6, 7] (v) представляет черную дыру в тепловом равновесии с газом
безмассовых частиц на бесконечности. Вакуум Бульвара [8] (т^) опре-
определяется традиционным образом из требования, чтобы "частицы"
имели положительную энергию по отношению к шварцшильдовскому
вектору Киллинга. Он описывает ситуацию, когда пространство пус-
пусто на бесконечности, но физические условия становятся неправдопо-
неправдоподобными вблизи горизонта Это происходит потому, что траектории
Киллинга являются геодезическими на бесконечности, но имеют про-
15 Фуллинг [4] Дал обзор этой ситуации и вычислил тензор напряжений
для различных состояний s двумерном аналоге метрики Шварцшипьда (см.
разд. 3).
264
извольно большие ускорения вблизи горизонта (Греческие обозначе-
обозначения §, v и т) были предложены в работах [4] и [5].) Каждое из этих
состояний соответствует различным ограничениям на константы ин-
интегрирования и функцию 0(г) в тензоре напряжений.
Статья построена следующим образом. В разд. 2 найдено общее
решение уравнений закона сохранения и его разложение, как описано
выше. В разд. 3 обсуждается физическое требование конечности на
горизонте и рассматривается двумерный аналог этой проблемы. В
этом случае мы находим, что величина хокинговского потока опреде-
определяется следом тензора напряжений, так что для двумерных безмассо-
безмассовых полей эффект Хокинга и конформная аномалия могут быть выве-
выведены одна из другой; в этом случае средние значения тензора напря-
напряжений в различных интересующих нас состояниях полностью опреде-
определены. Разд. 4 содержит обзор того, что известно в настоящее время
относительно величин конформных аномалий в различных теориях по-
поля. Собирая всю информацию вместе, мы заключаем, что след Т^^
для конформно взаимодействующего безмассового скалярного поля
в четырехмерной метрике Шварцшильда равен B880 тт2)^ =
= F0 тт3)-' М2г~6 и что этот след, вероятно, соответственно больше
для нейтринного и электромагнитного полей. В разд. 5 и 6, изучив
асимптотическое поведение компонент тензора, мы фиксируем конс-
константы интегрирования и получаем информацию относительно функции
0 в < Г,д„> для различных состояний. Мы получаем сильную зависи-
зависимость 6 от спина поля, физическое объяснение этого предложено в
разд. 7. Разд. 6 содержит точные определения для скалярного поля
трех отмеченных вакуумных состояний; разности в их .средних значе-
значениях сводятся к сходящимся суммам по нормальным модам поля в
метрике Шварцшильда. Этот раздел представляет собой основной шаг
на пути к прямому вычислению < Гм„>.
Мы применяем выбор сигнатуры Мизнера-Торна— Уилера1*. Счи-
Считаем с = % = 1 и приписываем размерность длины радиальной и вре-
временной координатам, а также "массе" черной дыры М. Применяются
стандартные обозначения
- , A-2)
г
A.3)
множитель
\2М ) dr*
v= t+i*, u= t -r*
в fMV не включ-ается.
1} Имеется в виду книга [27*]. - Прим. пер ев.
265

СМ. КРИСТЕНСЕН, С.А. ФУЛЛИНГ
6. АНОМАЛИИ СЛЕДОВ И ЭФФЕКТ ХОКИНГА
2. ОБЩИЙ ВИД ТЕНЗОРА НАПРЯЖЕНИЙ
В этом разделе мы найдем наиболее общее решение ковариант-
ных уравнений сохранения
VV7^ = 0 B.1)
в метрике Шварцшильда A.1) в предположении, что Т^ не зависит от
времени, как это было бы в стационарной области вне коллапсирую-
щего тела. Поскольку представляющие наибольший интерес кванто-
квантовые состояния сферически симметричны, единственно возможные не-
ненулевые компоненты Т* суть 7% Т\, Т\, Г?, 7$ и Г|. Сферическая
симметрия приводит также к тому, что Г* = ц и что ГУ есть функ-
функция только'от г. При этих условиях уравнения сохранения приобрета-
приобретают вид
дгГт
дг Т\ + - Ц - О,
г
B.2а)
B.26)
B-2в>
Последнее из них — это просто повторение условия сферической сим- Я
метрии.
Уравнение B.26) может быть решено немедленно:
Г( = - i, B.3)
где К - константа интегрирования.
Компоненту Т\ следует определить из уравнения для следа
г г% 1 B.4)
Подставляв B.2в) и B.4) в B.2а) и решая дифференциальное уравне-
уравнение, получаем
V1 Го - К
Формулы B.2в), B.3) - B.5) дают полное решение Vv 7^ = 0 при ус-
условиях независимости от времени и сферической симметрии; это ре-
решение зависит от двух констант KkQ п двух функций Гц(г) и Т$(г).
В терминах координаты г*, определенной в A.2), мы имеем
тг* тг тг*-П--~) V Т1 . -7""*
/г*= 1Г, Jt =1 I - ^ J 11, lr**° - 11 •
Когда применяется г*, смешанные компоненты тензора равны вели-
величинам, имеющим локально физический смысл (компоненты по отно-
отношению к ортонормированной системе координат).
Теперь если мы определим
в(г) ^ 7|(г) - - 7^г), B.6)
Н{г).\
2
-II)
= 2 f(r' -3M)Q(r') dr' ,
то мы можем записать 7^ в виде
_T(l)V
~ l\x
где (в координатах t, r*, в, <р)
I \, Г/ I
О
О
0
0
— ) Щг) О
1
О -7
4
О
О
B.7а)
B.76)
О
О
B.8a)
266
267

СМ. КРИСТЕНСЕН. С.А. ФУЛЛИНГ
6. АНОМАЛИИ СЛЕДОВ И ЭФФЕКТ ХОКИНГА
7X2)
1-10 0
1-10 0
0 0 0 0
0 0 0 0
B.86)
--Д1--; 0(г)-2в(г)
- 1--J G(r) О
о
о
M2r2
о
о
о о'
о о
о о
о о
е(г)
о
о
о
в(г)
B.8в)
B.8г)
Все четыре зги тензора удовлетворяют уравнению V v fv = 0. Только
-ц} v имеет ненулевой след, только 7^} v имеет внедаагональные
компоненты (поток) и только Г® "имеет бесследовую часть (т"--1
у которой ее-компонента отлична от нуля. Таким образом, остается
рассмотреть только последнее из четырех условий, указанных в
разд. 1. Можно показать (см. приложение и [12]), что 7^, измеряемый
в локальной системе отчета на горизонте будущего, будет конечен
если Т%, Tvv и Т\ + Т% конечны при г - 2М и
Ига (г-2М)^\Т(т)\ < оо. B.9)
Г-*2М
Геометрически один из этих множителей (г - 2Л/) происходит из
нормировки векторов базиса ("бесконечное растяжение времени"), а
другой появляется из-за перехода от системы отсчета, связанной с
вектором Киллинга, к системе отсчета наблюдателя, пересекающего
горизонт с конечной скоростью ("бесконечное красное смещение").
Мы легко находим, что
268
B.10)
последнее равенство очевидно следует из определений G и Я. Следо-
Следовательно, условие B.9) эквивалентно (?= 0, т.е. Tff v сингулярно на
горизонте будущего, а другие слагаемые - нет. (Регулярность ТУ
на горизонте прошлого требует, чтобы (г - 2М)~2 Tvv оставалось там
конечным. Так как Tvv = Тии - К/М2т2, это условие переходит в
Q = 2К.)
Отметим, наконец, что уравнения этого раздела применимы к лю-
любым квантовым полям. Только тогда, когда мы будем специализиро-
специализировать 7^(г) (см. разд. 4), нам придется выбрать конкретную теорию
поля.
Зо ДВУМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ
Двумерная задача Хокинга для безмассового скалярного
и коллапсирующего тела с внешней метрикой
поля
1)
C.1)
была решена точно (см. [5], разд. 1 и [16, 12, 9]). Здесь мы покажем,
что результаты этих вычислений могут быть также получены из неко-
некоторых общих физических соображений плюс численное значение неко-
некоторой величины, которая может быть или коэффициентом в хокингов-
ской формуле для температуры, А Г = (втгЛ/), или коэффициентбм в
общей формуле для аномалии следа двумерного скалярного поля
Т% = Bтг)-»Я.
Анализ разд. 2 легко воспроизводится для метрики C.1). Урав-
Уравнения закона сохранения для не зависящего от времени 7^ суть
drTrt = 0, C.2а)
»*-%
2М
т
Г1
n-rr).
C.26)
1} при анализе безмассового свободного скалярного поля в двумерном
пространстве-временн следует иметь s виду известные трудности, связан-
связанфй ляью В плоском лростоанствверемени
рорр ду ду ру,
ные с его инфракрасной сингулярностью. В плоском лростоанствв-еремени,
строго говоря, такого поля не существует (см., например, L28*J). — Пм
пер вв.
р
Прим.
269

СМ. КРИСТЕНСЕН, С.А. ФУЛЛИНГ
Уравнение C.26) эквивалентно
Если
lM
C.3)
то общее решение, в духе выражений B.8) есть
jv _ jo.) v + у(а> v + j(.s> v
где (в координатах t, г*)
-U / Н2(г)+ Т"(г)
\ г/-
-Аи 21) (г -1
м ~М* V т) VI -1
/
C.4а)
C.46)
C.4в)
Произвольная функция 0 в этом случае отсутствует.
Для того чтобы проинтегрировать эти выражения, напомним, что
при нашем выборе сигнатуры г! отрицательна (Г" положительна)
для классической материи, а Ц. положительна для материи, движущей-
движущейся в положительном г-направлении. В двумерном плоском простран-
пространстве плотность энергии газа безмассовых бозонов (с нулевым спином
и зарядом и без внутренних степеней свободы) в тепловом равнове-
равновесии равна
Плотность энергии пучка безмассовых квантов, излученных черней
дырой и двигающихся в положительном ^направлении, в точности
270
6. АНОМАЛИИ СЛЕДОВ И ЭФФЕКТ ХОКЙНГА
равна половине (р > 0) этого интеграла, и той же величине равен по-
поток. Таким образом, тензор напряжений равновесного газа есть
а тензор излучения
12
12
0 2
f ~1
\ 1
C.5)
C.6)
Аргументация Хокинга[3] о том, что коллапсирующее тело должно
излучать с эффективной температурой на бесконечности, равной
кТ - (виЛ/), остается справедливой в двумерном случае. Более то-
того, вследствие конформной инвариантности и конформной плоскости
рассеяние безмассовых частиц или волн на геометрии в двумерном
случае отсутствует, и, следовательно, тензор напряжений на беско-
бесконечности дается в точности выражением C.6) без усложнений, вы-
вызванных коэффициентами излучения — поглощения, отличными от еди-
единицы. Сравнивая это с выражениями C.4) в пределе (г -»»), мы ви-
видим, что тензор напряжений в задаче Хокинга в стационарной облас-
области должен иметь
К = G68 тт) -1.
C.7)
r сам по себе не является полным тензором напряжений,
Однако
поскольку его диагональные компоненты имеют неправильный знак.
Действительно, Г®" с К > 0 представлял бы отрицательную энергию,
втекающую в черную дыру. (Мы имеем 7^ = О, Г®, = -К/Л/2.)
Если Г?(г) ш 0 везде, то единственный способ получить асимпто-
асимптотику вида C.6) - это взять Q * 2К. (Тогда Тии = К/М2, Tvv > 0.)
Это было бы единственным выходом, если бы хокинговский поток со-
состоял из классического излучения безмассовых квантов (которые за-
заведомо рождались бы внутри или в непосредственной близости от кол-
лапсирующего тела). Интенсивность такого излучения становилась,
бы бесконечной на горизонте, так как условие B.9) было бы наруше-
нарушено. Совершенно невероятно, чтобы среднее значение квантового Г?
в первоначально вакуумном состоянии вело себя подобным образом,
поскольку и начальные условия, определяющие вакуум, и геометрия
на горизонте и в области прошлого по отношению к горизонту вполне
регулярные. Неоднозначность (vagaries) перенормировки не позволя-
позволяет сделать этот довод строгим, и сложилась спорная ситуация: со-
271

СМ. КРИСТЕНСЕН, С.А. ФУЛЛИНГ
гласно взглядам одной школы, перенормированный < Гм„> становит-
становится сингулярным на горизонте [10], тогда как другая считает, что
< ГЦу> вообще не имеет инвариантного смысла [111. Однако вычисле-
вычисления в двумерных моделях поддерживают надежду, что < Т v> хорошо
определен и несингулярен, и в настоящей статье мы принимаем эту
точку зрения.
Тензор с(? = 2К^0иГ°=0 также неприемлем для вакуума
Унру §, так как в противоречии со смыслом определения этого со-
состояния Тии не обращается в нуль на горизонте прошлого.
Разрешение этих трудностей состоит в том, что 7^ на самом
деле имеет след, даже если уравнения поля конформно-инвариантны.
При Q = й полная плотность энергии [из уравнений C.4а) и C.4в)]
стремится тогда к Я2(«>) - 7^(«>) - К/М2 при г -* «>. Можно ожидать,
что почти для любого типа полей эта величина больше или равна
асимптотическому потоку К/М2. (Поскольку излучение, достигающее
5 +, находится в истинном термическом состоянии, отсутствуют
квантовые корреляции, которые могли бы нарушить классические ог-
ограничения на энергию.) Таким образом, Т%(г) не может быть тожде-
тождественно равным нулю.
Для поля, описывающего безмассовые частицы (для которого при-
применима формула C.6)), плотность и поток в действительности равны,
так что
/(г') K(r')d
r> ,
C.8)
Поскольку в этом случае Г°(«>) должен обращаться в нуль.
Это уравнение связывает эффект Хокинга со следом 7^. В слу-
случае двумерного конформно-инвариантного поля, как объяснялось в
разд. 1 и более подробно в.разд. 4, ожидается, что след должен быть
пропорционален скаляру кривизны, который отличен от нуля для реду-
редуцированной метрики Шварцшильда(ЗЛ):
3. C.9)
Таким образом, имеем
16 Д/2
аМ4
.4
C.10)
272
6. АНОМАЛИИ СЛЕДОВ И ЭФФЕКТ ХОКИНГА
поэтому а = 32К. С учетом C.7) это дает а = B41т), в согласии с
общей теорией (см. разд. 4), Таким образом, мы вывели конформную
аномалию из эффекта Хокинга.
Обратно, зная Г°, можно вычислить поток Хокинга К. На самом
деле даже качественная природа этого эффекта могла бы быть пред-
предсказана из знания аномалии следа. То, что условия на 5 + асимптоти-
асимптотически стремятся к стационарному состоянию, предсказывается клас-
классическим соображением о замедлении времени для процессов в чер-
черной дыре. Если К ? а/32, то Tvv 4 0 в стационарной области. При
больших г след Г" мало отличается от нуля, так что закон сохране-
сохранения приводит к тому, что Tvv не зависит от и. Это означает, что
выходящий поток может быть обращен назад на5~» что противоре-
противоречит начальным условиям задачи.
Универсальность эффекта Хокинга и приведенные выше аргумен-
аргументы приводят к тому, что все двумерные конформно-инвариантные бо-
зонные теории поля имеют одинаковый коэффициент конформ-
конформной аномалии а с точностью до множителя, учитывающего число раз-
различных типов частиц в теории и их спиновые и зарядовые состояния.
(Этот множитель входит в C.6).) Для фермионов для вычисления Т\^
следует применять вместо распределения Бозе-Эйнштейна распреде-
распределение Ферми—Дирака
Наконец, мы можем выделить из уравнений C.4) тензоры напря-
напряжений для вакуумных состояний Израэля и Бульвара (см. разд. 1)
полной двумерной шварцшильдовской черной дыры. Первый регулярен
и на горизонте прошлого и на горизонте будущего BК = Q = 0), по-
поэтому он в точности равен fjj)v. На бесконечности он стремится к
равновесному виду C.5). Физический смысл отрицательного потока
T^l теперь ясен: он отражает отсутствие у ^-вакуума по сравнению
с v-вакуумом движущейся внутрь половины излучения в равновесном
распределении.
Напряжение т^-вакуума должно исчезать на бесконечности. Ясно,
что оно должно быть равно
TW v + Г<,3>v с Q = -М 2Н2П = -а/16 = -C84ТГ)-1.
Поскольку Q 4 0, этот тензор сингулярен на горизонте. Однако он
действительно представляет собой среднее значение напряжения в
вакууме вне стабильного тела массы М радиуса, больше чем 2М.
Отметим, что — Г[,3>", разность между напряжением состояний Из-
273

СМ. КРИСТЕНСЕН, С.А. ФУЛЛИНГ
раэля и Бульвара, есть классическое обобщение равновесного рас-
распределения C.6) на статическое пространство-время; эффективная
локальная температура равна T(gtJ~'A.
Выражения, полученные здесь для тензоров напряжений различ-
различных состояний, находятся в полном согласии с выражениями, полу-
полученными прямым вычислением в работе [4]„ Наша цель состоит в
том, чтобы обобщить рассмотрения этого раздела на четырехмер-
четырехмерный случай настолько далеко, насколько это возможно.
4 АНОМАЛИИ СЛЕДОВ
Для того чтобы объяснить, как мы собираемся фиксировать вид
Т%(г) в некоторой конкретной теории поля, нам нужно сделать обзор
того, что такое аномалии следов в общем случае. Рассмотрим функ- :
ционал действия S[0], который инвариантен относительно общекоорди-
общекоординатных преобразований и относительно конформных преобразований
вида
где Q(x) - некоторая произвольная функция в пространстве-времени,
и я-число, зависящее от рассматриваемого поля ф. Инвариантность
относительно общекоординатных преобразований требует, чтобы
Vv Т? = 0, а конформная инвариантность дает Г§ = 0.
Когда квантуют поле ф в некотором фиксированном искривлен-
искривленном пространстве-времени, то получают, что вакуумное среднее зна-
значение < T^v(x)> бесконечно. Естественный следующий шаг состоит
в том, чтобы выбрать метод регуляризации, который выделяет рас-
расходимости некоторым физически осмысленным способом. Существу-
Существует два метода регуляризации и перенормировки предположительно
применимые к задачам в искривленном пространстве-времени — раз-
размерная регуляризация и ковариантное разделение точек вдоль геоде-
геодезической. Первый из них сохраняет условие VV7^ « 0 повсюду. Одна-
Однако процесс аналитического продолжения на произвольные комплекс-
комплексные размерности и разложение около полюса в размерности 4 приво»
дят к тому, что тензор напряжений для конформно-инвариантной тео-
теории имеет ненулевой след. Процедура разделения точек, которая вклю» *
чает разложение < Т^(х)> по степеням вектора, касательного к гео-
геодезической, проходящей через точку я, также дает некоторый след,
274
6. АНОМАЛИИ СЛЕДОВ И ЭФФЕКТ ХОКИНГА
после того как избавляются от членов* зависящих от направления.
Член, который возникает в перенормированном операторе тока таким
способом, в нарушение классического тождества называется анома-
аномалией. Аномалии появляются в различных квантовых теориях поля и
имеют экспериментально проверяемые следствия [13].
Относительно мало было сделано для того, чтобы установить
точные значения аномалий следов для различных теорий, но мы уви-
увидим, что в настоящее время имеется как раз достаточно информа-
информации, для того чтобы мы сумели найти их вид в конформно-инвариант-
конформно-инвариантной теории безмассового скалярного поля в двух и четырех измере-
измерениях.
В рамках размерной регуляризации Дезер, Дафф и Айшем [14]
показали,, что общий вид аномалий в перенормированном тензоре на-
напряжений есть
i - Тл ) + кза° + *д« '4Л)
в четырех измерениях и
ТЧ = a.R
D.2)
в двух измерениях. Их общие аргументы не определяют безразмер-
безразмерные константы kt и о. Следующее соображение приводит к выводу,
что кА = 0. В модели пространства-времени Робертсона— Уолкера
можно определить вакуумное состояние, для которого тензор напря-
напряжений должен быть по построению однородным и изотропным. Иссле-
Исследование [15] закона сохранения при этих условиях (аналогично разд. 2
этой статьи) показывает, что не существует сохраняющейся однород-
однородной изотропной тензорной функции вида, который может возникнуть
при вычислениях методом разделения точек, со следом, являющимся
линейной комбинацией Ra^Rap и R2, другой, кроме как кратной
Я°^лав - 5" R2- Так как к. одинаковы для всех кцантовых состояний
и всех моделей пространства-времени, член с R2 не должен появлять-
появляться в D.1).
В этом месте можно задать вопрос, не являются ли эти анома-
аномалии артефактом выбранного метода регуляризации. К счастью, мно-
многие результаты ,были получены различными методами и согласуются
между собой. Ситуация для двумерного безмассового скалярного
поля достаточно хорошо выяснена и позврляет нам сделать важные
выводы относительно четырехмерного случая. Интегрирование по
275

СМ. КРИСТЕНСЕН, С.А. ФУЛЛИНГ
функциям мод в определении Т^, регуляризованного методом кова-
риантного разделения точек, выполняется явно для произвольной дву-
двумерной метрики [16, 17]. Результат показывает, что в уравнении D.2)
а = B4ц)-1; D.3)
на самом деле любое другое значение не согласуется с законом со-
сохранения. Это число появляется так же в двумерном аналоге* [18] об-
общего вычисления Кристенсена <out, vac | T \ in, vac> для массив-
массивного скалярного поля методом разделения точек [ 19]. Вычисления
Кристенсена не применимы непосредственно к безмассовому случаю,
поскольку они включают разложение по обратным степеням массы.
Однако имеется определенный член, не зависящий от массы, содержа-
содержащий производные метрики порядка 2со (размерность пространства-вре-
пространства-времени), который имеет неисчезающий след. Этот член есть
CTuCTv
24тт
в двумерном случае, и
1
~ 2880ц2
D.4)
D.5)
в четырехмерном, где а — касательный вектор к геодезической,
применяемый в методе разделения точек. В вычислениях этот член
возникает, как сумма вклада типа g /2со от слагаемого в fMV, ко-
которое явно зависит от массы (-1/4m2<D2gL,v) и вклада типа
2со
D.6)
от слагаемого в Т , которое имеет такой же вид, как в безмассо-
безмассовом случае (например, в двумерном случае (?цФдуФ - * дрФдрФв^.
Общая идеология метода разделения точек, что физически существен-
существенные члены - это те, которые не зависят от a , наводит тогда на
мысль, что члены, связанные с -gMV/2co в D.6), являются источни-
источником аномалии следа. Мы поэтому заключаем, что
j = к2 = к3 ~ B880тт2)
2\-1
D.7)
Эта интерпретация подтверждается явным вычислением суммы по
модам для массивного поля в двумерном пространстве-времени Ро-
276
6. АНОМАЛИИ СЛЕДОВ И ЭФФЕКТ ХОКИНГА
бертсона-Уолкера [20], где видно, что аномальный член в соответ-
соответствующей безмассовой теории [17] сокращается с членом от
-(%)р»2Ф^ц„ описанным способом.
В четырех измерениях проделаны два вычисления в рамках ме-
метода размерной регуляризации, которые позволяют проверить часть
из соотношений D.7). Первое — это вычисление Даукера и Критчли
[21] тензора напряжений для конформно-инвариантного безмассового
скалярного поля в пространстве де Ситтера радиуса а: Они нашли,
что
11
'а 240тг V 2880т!2
что подтверждает соотношение для к2 в уравнении D.7), так как в
пространстве де Ситтера С2 = aR = 0.
Во-вторых, в методе размерной регуляризации в импульсном про-
пространстве бесконечный контрчлен, который следует добавить к пер-
первоначальному лагранжиану для того, чтобы устранить расходимости
от скалярного, нейтринного и фотонного вкладов в собственную
энергию гравитона, имеет вид
Д?(со) =
1
со
где N{s) = 1,3 и 12 для спина (s) = 0, К и 1 соответственно. Отсюда,
согласно Капперу и Даффу [22], получаем aft-аномалию .следующим
образом: разложим зависящую от со часть коэффициента перед B— о}-
около точки со = 2. Получившееся конечное выражение будет содер-
содержать некоторый член, который не конформно инвариантен, ^том-
Выпишем действие SaH0M, соответствующее AJE!^,^ и построим тен-
тензор напряжений
где 8/Sg — функциональная производная по метрике. След
дает аД-аномалию. Следуя этой процедуре, находим, что
™ NO
2880тг:
aR,
так что для скалярного поля к3 = B880ТТ2), как и ожидалось. Для
поля нейтрино это число будет в 3 раза, а для. электромагнитного
поля в 12 раз больше.
277

СМ. КРИСТЕНСЕН, С.А. ФУЛЛИНГ
6. АНОМАЛИИ СЛЕДОВ И ЭФФЕКТ ХОКИНГА
В четырехмерной метрике Шварцшильда, где Rap = R = 0 для
нейтрального конформно-инвариантного безмассового скалярного по-
поля мы поэтому получим
2880it2
бОтг2
D.8)
Поскольку полный (нелокальный) эффективный лагранжиан, по-види-
по-видимому, содержит N(s) как общий множитель, кажется правдоподоб-
правдоподобным, что коэффициенты кх для скалярного, нейтринного и электро-
электромагнитного полей связаны тем же соотношением 1 : 3 : 12, что и
коэффициенты к3 [23]1}.
Наконец, следует отметить, что можно ожидать, что коэффици-
коэффициенты в аномалии определяются однозначно, так как в Т^ отсутству-
отсутствуют расходящиеся члены с одинаковыми следами, которые могли бы
привести к неодназначности [24]. Кроме того, когда в теории име-
имеются несколько невзаимодействующих полей, эти коэффициенты (и
весь тензор напряжений в целом) аддитивны. Соображения, приве-
приведенные в этом разделе, носят предварительный характер. Нужны бу-
будут детальные вычисления2', для того чтобы надежно определить
значения всех коэффициентов аномалии и сделять соотношение меж-
между массивными и безмассовыми теориями совершенно ясным. В лю-
любом случае основные выводы настоящей статьи не зависят от точ-
точных значений коэффициентов.
5, ФИЗИЧЕСКИЕ ТРЕБОВАНИЯ
НА ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ ВАКУУМА
В этом разделе мы проверим, обладают ли выражения B.8) свой-
свойствами, ожидаемыми от < Г?>, определенными соответственно трем
типам статических вакуумных состояний для шварцшильдовского
пространства-времени без коллапсирующего тела. Как отмечалось ра-
ранее, считается, что ^-вакуум должен быть хорошим приближением
при поздних временах для < V> вне тела, коллапсирующего, начиная
с относительно неподвижной конфигурации, в которой оно было перво-
первоначально окружено пустым пространством.
^Однако, псилетого как рукопись этой статьи была завершена, мы по-
получили с помощью прямого вычисления, что к. для поля нейтрино в 7/4 раза
больше, чем для скалярного поля,
2) СМ. по этому поводу [29*]. — Прим. пврвв.
278
Сразу ясно, что соотношение между аномалией следа и потоком
Хокинга не будет таким же тесным, как в двух измерениях из-за на-
наличия $ решении B.8) неизвестной функции 0. Мы будем рассматри-
рассматривать коэффициент аномалии и асимптотический поток как вычисляе-
вычисляемые независимо и применим это для того, чтобы получить информа-
информацию относительно 0.
Тензор r<,1)v [см. B.8а)] будет один и тот же для всех вакуумных
состояний данного безмассового поля. Из уравнений D.8) и B.7а)
имеем
М2г2
M2r2
4
640 8г" Юг2
8r«
Юг5
E.1)
Х r J
2rs
где р-1 равно 60 ir2 для нейтрального скалярного поля и (как рабочая
гипотеза имея 7) гО2 й
р р д етрального скалярного поля и (ка
гипотеза, применяемая только в разд. 7) гОтг2 для нейтрино
для фотонов, в соответствии с обсуждением в разд. 4.
Среднее значение Т? по §-вакууму должно иметь вид
р
и 5
тт2
E.2)
так как это состояние регулярно на горизонте будущего (Q? = 0). Яр-
Яркость (полная мощность, излученная черной дырой) есть
L = / г2 sin 0«ЙЦ> < Г?*> '¦——.
больше г г М2
E.3)
Единственная материя, которая присутствует в асмиптотической обласяги -
это выходящий поток безмассового излучения, так что главные члены
(порядка г") Тгг и -Т\ должны там быть равными Г'». Рассматривая
ое E2)
(рд ) г \ дон там быть равными Г». Рассматр
тт- и «-компоненты трех членов в уравнении E.2), мы видим, что
E.4)
279

СМ. КРИСТЕНСЕН, С.А. ФУЛЛИНГ
6. АНОМАЛИИ СЛЕДОВ И ЭФФЕКТ ХОКИНГА
где Gp(r) определяется по Qp(r) с помощью уравнения B.7). Это урав-
уравнение аналогично уравнению C.8) и является одним из условий, кото-
которым должна удовлетворять 0^. Мы сопоставим его с некоторыми вы-
вычисленными значениями К? в разд. 7.
Что еще мы можем сказать здесь относительно 0=? Асимптоти-
Асимптотически она должна быть равна трансверсальному давлению Т% излуче-
излучения. Эта величина отлична от нуля для излучения от источника конеч-
конечных эффективных размеров. Частица с 4-импульсом р^ дает вклад в
Гцу, пропорциональный р^. В плоском пространстве наблюдателю,
находящемуся на расстоянии г, излучающее тело радиуса Ь представ-
представляется диском. Частицы, приходящие к наблюдателю от краев диска,
имеют pQ/pr - b/rtu поэтому
1 Г
Для частиц, вылетающих из областей, более близких к центру диска,
это отношение меньше. Эту аргументацию можно обобщить на черные
дыры: тщательный анализ орбит безмассовых частиц в метрике Шварц-|
шильда показывает, что излучающее тело радиуса, несколько больше-
большего чем 2М, представляется удаленному наблюдателю диском эффектив-|
ного радиуса у2Т М [25]. Этот вывод применим также к излучению
Хокинга, вид которого на бесконечности определяется теми же коэф-
коэффициентами излучения, которые описывают распространение класси-
классических волн от г » 2Л/ до бесконечности (см. [1] и [3]). Поэтому мы
предполагаем, что при г -»«
(Этот коэффициент не зависит от М, потому что убывание углового
расхождения при М ¦+ 0 компенсируется возрастанием температуры
и поэтому яркости.)
Вернемся теперь к Ti-вакууму. Так как это состояние определя-
определяется обычным образом относительно вектора Киллинга, касательного
к геодезическим траекториям на бесконечности, оно должно представ-j
лять пустое в существенном пространство для достаточно больших г.
Поэтому ожидается, что компоненты Г^>v убывают быстрее, чем
компоненты Г[5>v при г -»«>, и также исчезают при М -»0. По анало-
аналогии с двумерным случаем на самом деле кажется вероятным, что
все компоненты убывают так же быстро, как след (например, как
Л/2/). С другой стороны, T^)v, по-видимому, нерегулярно на гори-
горизонте будущего. В самом деле, мы должны учитывать возможность
того, что &ц(г) ведет себя при г -»2М так плохо, что интеграл B.76),
260
определяющий Сп(г), расходится. Сравнивая выражения B.8в) и B.8г),
видим, что изменение нижнего предела в этом интеграле сводится
просто к переопределению Q. Давайте поэтому в данном случае при-
применим определение
Gn(r)=2 } (r'-3M)Qn(r')dr'. E.6)
00
С этим подразумеваемым изменением в обозначениях мы имеем
(где T^)v[Qn] не удовлетворяет условию B.9)). Так как'Г(г1)г и
Гр} * должны на бесконечности исчезать, получаем
Сп =-3C/640. E.7)
йшонец, v-вакуум должен быть регулярен на горизонте и инва-
инвариантен относительно обращения времени:
Кроме тогб, физические условия на пространственной бесконеч-
бесконечности в этом состоянии должны соответствовать тепловому равнове-
равновесию при температуре Хокинга Следовательно, Г$>в, r(rv>г и
все должны стремиться к
1 1 - РЧр и2 1 1
3 2тт2 0 ePfhT- 1 90 90 МА
при г -»oo в случае нейтрального скалярного поля. В других случаях
это выражение следует умножить на число независимых состояний
заряда и спиральности (например, на 2 для электромагнитного поля).
Для фермионов появляется дополнительный множитель 7/8, так как
- Р34> 7тт4
Для того чтобы получить правильное поведение для всех компонент
E.11)
ц ' , достаточно предположить его для 0V, так как
lira [Tr™r(r) - \ 7*Ё(г)] = lira t^Gv(t) = 0V(»).
В приблизительно плоской области вдали от черной дыры, где кван-
квантовые эффекты локальной кривизны пространства-времени пренебре-
281

СМ. КРИСТЕНСЕН, С.А. ФУЛЛИНГ
жимо малы, можно было бы ожидать, что тензор энергии-импульса
принимает классический равновесный вид, характеризуемый завися-
зависящей от расстояния температурой
\-V4 _
E.12)
Это предположение самосогласовано в том смысле, что если мы при-
примем, что
то получим
E.13а)
E.136)
Как тензор напряжений должен вести себя на горизонте, физически
менее ясно, чем на.бесконечности. Однако аналогии с двумерным
случаем и с ситуацией на бесконечности приводят к некоторой моде-
модели такого поведения, которая будет подтверждена рассмотрениями
разд. 6.
В двух измерениях бесследовая часть тензора напряжений ваку^|
умаИзраэля C.4а) линейно стремится к нулю, когда т стремится к 2МЩ
-1
2Л/
-i
L
Ш
Ш
x 1 + —
ш ш
F.14)
Кроме того, компоненты этого тензора в рртонормальной системе
координат на (или вне) горизонта исчезают при приближении к точке
пересечения горизонтов прошлого и будущего (см. приложение). Эти
результаты согласуются с интуитивным представлением (см. [4] и
[6]), что v-вакуум является по построению таким состоянием, кото
описывает максимально пустое пространство в окрестности этой
ки; законы сохранения и кривизна пространства приводят к тому,
это состояние перестает быть пустым как только мы выходим из:
282
6. аномалии
точки. Поэтому кажется ;
при т ¦* 2М будут в низшем поряд*
ке пропорциональны 1
v w * " <qn h bv.b?bh o'jomro о экношас мэнрбн иМ
компоненты также ему удовле^щящ чао5о иаот(| О1ОТ ЕВД х
По аналогии с двумерным случаем! оесследовые части тенэ
напряжений вакуумов Унру и вуЛввара долдай быть отридатедьй
вблизи горизонта. По причинам, кётс
щем разделе, мы также ожидаем, что в этом пределе 6с стремится
к константе, Т<&)г— т 7^ стремится к A - 2МА) и все компоненты
^u1'V "~ J ^а*ц стремятся к A - 2M/r)~i. Легко можно проверить,
что все эти утверждения согласуются со структурой выражений B.8)
и что для членов в T^)v порядка A - 2М/$~2 справедлив аналог
уравнений E.11).
Предсказываемые асимптотики (включающие предположения о
знаках, но не о численных коэффициентах) суммированы в табл. 1.
Отметим, что 1 — 2М/г играет на горизонте роль, в точности анало-
аналогичную той, которую играет г" на бесконечности, с перестановкой
| v> и |т)>. Эта симметрия естественно возникнет в вычислениях
разд. 6.
Таблица 1
Ожидаемое асимптотическое поведение средних значений
(численные множители опущены)
Состояние
Тт-~ Т°
'г 2 'а
» оо,
г -+2М,
т - 1- Г°
г 4 «
v>
+1
4т -в
+1
283

фуллинг
6. АНОМАЛИИ СЛЕДОВ И ЭФФЕКТ ХОКИНГА
ЗНАЧЕНИЙ
-дкооп мэшсга н щщд М? *- л щп ^ ?'Т
SflgcbgMj^jHa^ggliP^peiflSSj^ffi^ Я Фактическом вычислении
** ^^пЙIШ81ВДл^1щШШ11^с^?1?)г^?Йоля в метРике Шварцшильда.
Мы начнем решёнйе~с самого 'начала и продвинемся достаточно дале-
далеко, для того чтобы обосновать УтЩВДения, которые были сделаны
зич^скр^у^е^щел^дортжМЦ ^Усредоточимся на разности между
средними значениями т*~* , T^v и 7"<T1)V.
Формальное выражение (симметрированное) для тензора энергии
импульса конформно-инвариантного безмассового эрмитова скаляр-
скалярного поля во внешнем гравитационном поле с flMV = 0 есть
1 1 _о
FЛ)
Если поле разложено по полному набору положительно нормирован-
нормированных модовых функций и. и их комплексно сопряженных и коэффици-
коэффициенты рассматриваются как операторы уничтожения и рождения, то
среднее значение по соответствующему "вакуумному" состоянию
равно
<TMW> = S Гиуи/# iy*L ¦ F.2а)
а*]»2 Re - Vu«Vv«*--(VuVvu)uT~*~
|3 ¦ 6 " J 6
Для внешней метрики Шварцшильда набор правильно нормированных
базисных функций ^
. Ф) *-*
F.3)
где р положительно, Ylm - обычные сферические гармоники, норми-
нормированные так, что
1}Мы следуем обозначениям де Витта [i], за исключением сферических
гармоник.
284
S 2 2l+1
m ~ -I 4тт
а радиальные функции удовлетворяют уравнению
dr*2
= Р
!й.
F.4)
Поскольку уравнение F.4) имеет вид уравнения Шредингера с поло-
положительным потенциалом, стремящимся к нулю и при г* -» ~ (г -» «.),
и при г* -»—«. (г -» 2М), для технических математических целей мы
можем опереться на понятия обычной квантовой теории рассеяния.
Выберем in-базис, в котором функции имеют следующий асимптоти-
асимптотический вид:
г -» во;
4рг*
F.5а)
F.56)
г|-вакуум строят, принимая эту интерпретацию теории, рассеяния серьез-
серьезно на физическом уровне. Пишут
Ф(«, *) = 2 (a/lt/ + aftf) F.6)
и интерпретируют at как операторы рождения для реальных частиц.
Трудность с такой теорией заключается в том, что t и г* не являют-
являются даже приближенно декартовыми координатами вблизи горизонта,
так что отождествление решений с положительными р с волновыми
функциями частиц не имеет физического обоснования в этой облас-
области. (Это пример конформной аномалии в смысле [2].)
Определение v-вакуума Израэля можно мотивировать следую-
следующим образом. Для того чтобы удовлетворительно трактовать локаль-
локальную физику в точке пересечения горизонтов прошлого и будущего,
Н* , мы должны рассмотреть некоторую полную пространственно-
временную окрестность этой точки и затем перенести ее в области,
не покрываемые внешними координатами Шварцшильда В аналити-
аналитическом продолжении Крускала можно построить базисные функции,
285

СМ. КРИСТЕНСЕН. С.А. ФУЛЛИНГ
котЬрые на световом конусе этой точки имеют аналитические свой-
свойства положительно-частотных плоских волн. Они имеют вид
>. = B sh
w-= B sh
F.7)
где v. - функции, аналогичные и- на втором листе многообразия
(см. более подробно в работах [4-6]). После подстановки w- и ю-
для и. в общую формулу F.2а) и некоторых преобразовании полу-
получим (для точек в первоначальной области)
wj]
где
[u,.
„*].
F.8а)
F.86)
Здесь Г^тД и., и*] - выражение, введенное в предыдущем случае,
получающееся из функций F.3) по формуле F.26). (В уравнениях,
таких, как F.8а), сумма по j означает интеграл по р и суммы по
/, m и направлениям стрелок.)
Определение ^-вакуума Унру основывается на идее, что "поло-
"положительные частоты" следует определять на начальных поверхнос-
поверхностях, К~ и §~. Поэтому построение F.7) применимо только к вол-
волнам и, выходящим с К~, а не к волнам tT, которые выходят с§~.
Для тензора напряжений получается следующий результат:
F.9)
0 /,m
§-вакуум - это единственный вакуум из трех описанных, определе-
определение которого существенно зависит от применения in-базиса. out-ба-
out-базис дал бы состояние, в котором излучение сходится в черную дыру
вместо того, чтобы выходить из нее. Этот обращенный во времени
§-вакуум должен отличаться от состояния, получаемого перестанов-
перестановкой в определении | §> ролей входящих 2- и и-функций, для которо-
которого тензор напряжений равен
/rfPS{cthDirMp)
О ltm
1 Mv
*1 +
286
6. АНОМАЛИИ СЛЕДОВ И ЭФФЕКТ ХОКИНГА
Чтобы понять различие между этими состояниями, заметим, что тем-
температурное распределение частиц вне черной дыры состоит, грубо
говоря, из трех типов частиц: тех, которые двигаются от дыры в ра-
радиальном направлении, тех, которые падают в дыру, и тех, которые
вообще проходят мимо дыры, потому что они движутся тангенциально,
^-вакуум содержит только первый тип, обращенный во времени §-ва-
куум содержит только второй тип, и состояние с тензором напряже-
напряжений F.10) содержит второй и третий типы частиц, v-вакуум содержит
все три типа частиц, а т]-вакуум вовсе не содержит частиц на беско-
бесконечности.
Теперь мы сконцентрируем внимание на попарных разностях
между средними значениями F.2), F.8) и F.9):
= 2
. 2
dp
F.11)
F.12)
„ 2
F.13)
Мы опустили значок (т\) у 7^[и, и*], так как теперь недоразуме-
недоразумение невозможно. Эти интегралы сходятся. Поскольку для их определе-
определения не требуется ни регуляризации, ни перенормировки, их след ра-
равен нулю, как и у их подынтегральных выражений [см. F.26)]. Это
является причиной, почему Г° одно и тоже для всех квантовых со-
состояний.)
Давайте вычислим Т?[и, и*] и выполним суммирование по го.
Подставим выражения F.3) в уравнение F.36) и получим после длин-
длинного, но простого вычисления
о оЛ
0 10 0
0 0 0 0
V0 0 0 0/
и*}.
/-1 0 0 0>
0 У, 0 0
0 0 У, 0
0 0 0 ч
(~\
+ F,
\
21 + 1
1
,F.14)
F.15)
287

СМ. КРИСТЕНСЕН, С.А. ФУЛЛИНГ
2 ~ 9Стг2рг2
Г \ T
3M\d\R\2
~r/7h*
21+ \
32тг2г2
dR dR*
' — — R —
di* dr*
FЛ6)
F.17)'
[й в этих выражениях те же, что в F.4) и F.5)]. Если, например, тензор
<& v B'B) v ^3) v <4
( ( рр р
v представлен как сумма Т(и2) v + Г^3) v + Г<,4) v членов
Г2представлен как сумма Ти
имеющих вид B.8), то мы будем иметь
dp
» 1
(ft 18)
F.19)
Однако мы не можем идентифицировать Qg _ ^ с соответствующим ин-
интегралом от F2 + F3, так как член Fj не обязательно имеет вид Т^)у>
Члены Fj и F2 в F.14) не обязательно удовлетворяют уравнению
V Гц = 0 по отдельности, хотя их сумма этому соотношению удовлет-
удовлетворяет.
Легче всего вычислить F3. Вронскиан в (G.17) равен константе,
так что его можно вычислить при всех т из асимптотического выра-
выражения F.5). Получим
2 B1+1)\Ве(р)\2- F-20)
-I /=o
1
8тг2г2 \ г
Пока эта формула точная. Де Витт [1, стр. 333] оценил этот интеграл
в приближении геометрической оптики (см. ниже), получив
40
F.21)
Однако наиболее важным моментом является зависимость выраже-
выражения F.20) от г, которая справедлива везде от 2М до «. Возвращаясь
к B.8) для'случая_Г<5)у, мы видим, что при г ->2М вклад Iu2)v доми-
доминирует в Г^' и Г|5'г. Таким образом, имеется поток отрицательной
288
6. АНОМАЛИИ СЛЕДОВ И ЭФФЕКТ ХОКИНГА
энергии через горизонт, как в двумерной модели; он необходим для
того, чтобы удовлетворить закону сохранения энергии и одновремен-
одновременно обеспечить физическую конечность тензора напряжений на гори-
горизонте.
Теперь мы опишем некоторое предварительное) простое прибли-
приближение для других частей разности тензоров. Заменим радиальные
функции в выражениях F.15) и F.16) их асимптотическими приближе-
приближениями F.5). Кроме того, сделаем приближение геометрической опти-
оптики: в каждой из одномерных задач рассеяния с фиксированным уг-
угловым моментом [уравнение F.4)] волна считается полностью проходя-
проходящей, если р2 больше, чем максимальное значение эффективного по-
потенциала:
"" ¦¦?]. F-22)
но считается полностью отражающей, если р2 меньше, чем это значе-
значение. Для каждого I Vt (r) имеет пик в непосредственной близости к
точке г = Ш (см. фиг. 1) и, таким образом, максимальное значение
Vi (г) весьма близко к (/ + «-] /27 М2. Итак, мы принимаем |В;(р)|=1
для > /
1
+ 2
и |Вг(р)| = 0 для/ +- >
Теперь мы можем оценить
F.23)
v на бесконечности и
f(v)\> _ f(f)v около горизонта, так как в эти величины дают вклад
одя
dp
~ •? ~ t 1 (Т = оо)
243 , 1
• jjf <•*«¦>-¦ 7. <6.24а)
только проходящие волны:
1 -
dp
2 7
dp
9
V —
40
—; . F.246)
т /
289

СМ. КРИСТЕНСЕН, С.А. ФУЛЛИНГ
6. АНОМАЛИИ СЛЕДОВ И ЭФФЕКТ ХОКИНГА
Здесь мы приметили формулы
*=<Д 2/2
П
2
— га
4
F.25)
и интеграл Планка, который появился в уравнении E.9). Уравнение
F.24а) дает главную асимптотику ©©-компонентытензора, а уравне-
уравнение F.246) - гг-компоненты. Поскольку мы верим, что Т^~>v относи-
относительно мало около горизонта, a 7yi>v .относительно мало при боль-
больших г, результаты F.24) находятся в полном согласии со всеми ут-
утверждениями о Т<]>>v, суммированными в средней строке табл. 1. За-
Заметим также, что коэффициент в уравнении F.246) тот же, что и в
уравнении F.21) для потока как это и должно быть для того, чтобы
воспроизвести уходящее безмассовое излучение на бесконечности и
отрицательный поток через горизонт.
Для того чтобы вычислить Т^ V-T^ v вблизи горизонта и
y(v> v_^E) v Ha бесконечности, нам нужно иметь дело спадающими
и затем отражающимися волнами, так как интересующая нас точка г
находится на той стороне потенциального пика, на которой соответ-
соответствующие модовые решения падающие. Коэффициент отражения удов-
удовлетворяет соотношению
Для фиксированного I нам следует разделить область изменения энер-
энергии р на три интервала (см. фиг. 1). За исключением случая
F.2?)
1 / Ш\/ 1\2
г находится в запрещенной классически области, где fy(p|r) экспонен-
экспоненциально убывает, поэтому в приближении геометрической оптики мы
берем Щ (р\г) ш 0. Если
2
< Р2<ф +- ) /27 М2 "
можно взять полностью отраженные волны (| А\ » 1). Для больших р
волна полностью проходящая, как и раньше (| А\ »*0). Вклад от мод из
третьего интервала такой же, как в предыдущем вычислении, в то вре-
290
мя как от второго интервала мы получаем одинаковые вклады и от
падающей и от отраженной волн, плюс быстро осциллирующий интер-
интерференционный член, которым можно пренебречь при г* -> ±<х>. Таким
образом, более удобно вычислять сумму данной величины и величины,
вычисленной ранее, т.е. вычислять T*?)v-T*p)v, из которой T^)v-
- Т^ v вблизи горизонта и 7*w) v- Г-р v на бесконечности могут
быть получены вычитанием выражении F.24). Требуемые суммирова-
суммирование и интегрирование (в приближении геометрической оптики) в урав-
уравнения F.23) - F.27) теперь идентичны с теми, которые содержатся
в уравнениях F.24), за исключением множителя 2 и замены нижнего
предела на р (эквивалентно, верхнего предела I при фиксированном р).
Получаются следующие результаты:
1
-1/3
240
2 /
о
dP
_ I f
240
(8V)
4„2\-1
Однако эти выражения неправильные, потому что они не приводят к
изотропному равновесному тензору напряжений E.9). Грубое прибли-
приближение геометрической оптики не адекватно в этом пункте, и необхо-
необходимо вернуться к приближению ВКБ следующего более высокого по-
порядка. То есть мы заменим каждую волну е±1Рг* в уравнении F.5) на
Однако мы продолжаем применять приближение геометрической оп-
оптики для коэффициентов А и В. В этом приближении при т -> «. или
г -*2М получим
dp
2 /
о е
^тИ— • (б-286)
Это полностью согласуется с нашими предположениями относитель-
относительно поведения Т(?у v на бесконечности и Tty)v вблизи горизонта (см.
291

СМ. КРИСТЕНСЕН, С.А. ФУЛЛИНГ
6. АНОМАЛИИ СЛЕДОВ И ЭФФЕКТ ХОКИНГА
разд. 5 и табл. 1). Расхождение с простейшим приближением можно
приписать неравномерности предела
Vl (г) -» 0 ПрИ Г* -> ±ос
для I и р вблизи границы области F.27). Когда для интегралов по
области F.23) применяется приближение ВКБ, подынтегральное вы-
выражение можно просто разложить по степеням Vl, ив низшем поряд-
порядке этого разложения появится результат F.246).
Мы подозреваем, что
_ L (8Ч2Г1! Л _ 21)
30 М* V г У
-2
-1 О О (Г
F.29)
0 У, 0 0
0 0 У, 0
Vo о о у3/
в точности. Это [см. E.12) и E.13)] есть тензор напряжений класси-
классического газа в тепловом равновесии при температуре к Т= (втгМ)
в статическом пространстве-времени cg((= 1 - Ш/т. Также это
единственный изотропный тензор со всеми требуемыми свойствами.
Поскольку величина F.28а) превосходит величины в уравнениях
F.24) и F.286) в асимптотических пределах, ведущие члены в
Тфч _.у(л)у вблизи горизонта и в 7*y)V - rjjpv на бесконечности
также даются выражением F.28а).
Ясно, что приближения, примененные здесь, довольно грубые.
В частности, они не точно передают вклад в интегралы от малых
значений р, который важен ввиду экспоненциального убывания при
больших р. Наше намерение здесь заключается только в том, чтобы
выявить качественное асимптотическое поведение тензоранапряже-
ний. Вднако мы хотим подчеркнуть, что величины F.11)—F.13) хоро-
хорошо определены и конечны и могли бы быть вычислены точно для
всех значений г при помощи достаточно изобретательной комбина-
комбинации аналитической и численной техники. Мы надеемся, что это будет
сделано достаточно скоро. Такое вычисление технически много про-
проще, чем вычисление регуляризованного < Т^> для отдельного состоя-
состояния. (В последнем случае низший порядок метода ВКБ представляется!
бесполезным, потому что произвол в расходящихся членах поглощает
конечные члены, когда их пытаются выделить.)
Предвидя поэтому, что разности между средними значениями ока-|
жутся дострными ранее, чем сами средние значения, мы предлагаем |
292
следующий метод построения разумного приближения для средних
значений. Предположим, что вблизи г =2М
24») г _ уа _ ?(г _ щ + F(r _ щг
и что при больших г
'е
1
4
Из уравнений B.76) и B.8) можно выразить Е, F, G и Я через А, В,
С и D. Предположим также, что области справедливости этих при-
приближений пересекаются в некоторой точке г0 (вероятно, несколько
меньшей, чем ЗМ). Так как Ttf)v - T™v предполагается известной,
можно получить систему уравнений, определяющую Л, В, С и D,
требуя, чтобы два выражения для Т^ e, r?v) T и их производные
совпадали в г0. (Мы вычислили детерминант этой системы, и он ока-
оказался отличным от нуля.) Эта конструкция дает выражения для 7"(v) v,
TW*v и (так как другие разности тензоров также предполагаются
известными) I(|)v. Было бы очень интересно выяснить, насколько
точно Г(|)в, полученное таким образом, удовлетворяет условию
согласованности E.4).
7о 'ВЫЧИСЛЕНИЕ ЯРКОСТИ И ТАНГЕНЦИАЛЬНОГО
ДАВЛЕНИЯ
В этом разделе мы сравним формулу E.4)#с вычисленными зна-
значениями потока Хокинга К? для безмассовых свободных полей спи-
спинов 0,54 и 1. Мы получаем, что согласие с коэффициентами анома-
аномалии следов, выписанными ниже уравнения E.1), и с асимптотически-
асимптотическими свойствами 0g(O, установленными в разд. 5 и 6, требует, чтобы
функция 0g(r) имела достаточно определенные общие свойства. Кро-
Кроме того, этот результат зависит от спина естественным с точки зре-
зрения физики образом.
Пейдж [26] вычислил численно яркости нейтринного, фотонного
и гравитонного излучения [см. E.3)] шварцшильдовской черной дыры.
293

СМ. КРИСТЕНСЕН. С.А. ФУЛЛИНГ
Он нашел, что яркость быстро убывает с ростом спина. Значения Kg
соответствующие его результатам, для поля нейтрино" и электро-
электромагнитного поля приведены в табл. 2 вместе с аномальным членом
из уравнения E.4) и соответствующими значениями GJoc). (Мы не
рассматриваем квантованное гравитационное поле, для которого тен-
тензор напряжений и аномалия зависят от калибровки.) Пейдж не полу-
получил значения L для нейтрального скалярного поля, так что мы будем
применять оценку де Витта в приближении геометрической оптики
F.21). Последнее прямо связано (см. замечания в работе [26]) с сече-
сечением рассеяния классических частиц на твердой сфере радиуса V27M
(ср. обсуждение, предшествующее нашему уравнению E.5)]. Вычисле-
Вычисления в приближении геометрической оптики для других полей отлича-
отличаются только необходимыми множителями, учитывающими состояния
спиральности и статистику G/4 для нейтрино, 2 для фотонов); они
включены в табл. 2.
.Основное свойство этих результатов то, что коэффициент анома-
аномалии возрастает с .ростом спина поля, а величина потока Хокинга убы-
убывает. Как следствие, хотя значение Gg(«>) может быть положительно
для скалярного поля, оно отрицательно для нейтрино и тем более для
фотонов. Возвращаясь к определению G~, B.76), мы видим, что поло-
положительная в^(г) дает положительный вклад в Gg(~), если г > ЗМ, но
отрицательный, если 2М < г < ЗМ. Мы знаем [см. E.5)], что 9с(г) в
Таблице 2
Аномалии следов, потоки Хокинга и предсказываемое интегральное
тангенциальное давление, согласно уравнению E.4)
Скалярное
попе
Нейтрино
Электромагнит-
Электромагнитное поле
Аномалия, 105тт2 х ЗР/640
Поток, 1О5тт2К| = 105тта :M2L/4n
Геометрическая оптика
Численные вычисления
105ТГ2«2С|с(оо) [см. B.76)]
Геометрическая оптика
Численные вычисления
7.81
5,50
+ 3.17
23,4
9,62
6.42
-4,16
-ю.е
93,7
11,00
2,65
-71.7
-88,4
1 > То есть для двух типов нейтрино, или ve и ~е ипи v^ и "п^.
294
6. АНОМАЛИИ СЛЕДОВ И ЭФФЕКТ ХОКИНГА
конце концов стремится к Лг-4, где Л - положительная постоянная;
таким образом, заведомо имеется положительный вклад в Ge(°°) от
больших г. Если везде 0р(г) = Лг, то Ge(«>) тождественно равно
нулю. Однако [см. F.12) и F.24)] мы знаем, что 0g стремится кот-
рицтельной пострянной при г -> 2М; эта модификация при малых т
может дать в Gc(«>) только положительный вклад. Как в таком слу-
случае Gg(«.) может, быть отрицательной? Существуют только две воз-
возможности: или 0с отрицательна на дающем существенный вклад ин-
интервале вне г = Ш, или 0е имеет высокий положительный пик внут-
внутри т = ЪМ перед тем, как спуститься к отрицательным значениям
при г = 2М (фиг. 2).
Вторая альтернатива более правдоподобна Во внешней области
с малой кривизной, где квантовые эффекты рождения частиц локаль-
локально пренебрежимы, не следует ожидать перехода между пучком обыч-
обычного теплового излучения и высококоррелированным состоянием с
отрицательным средним значением плотности энергии и давления.
Но положительный выброс 7^)в(г) в области, непосредственно при-
примыкающей к г = Ш с внутренней стороны, - вот чего следует ожи-
ожидать из известного поведения там орбит безмассовых частиц. Час-
Частице с большим угловым моментом требуется значительное время
для того, чтобы преодолеть центробежный потенциальный барьер,
если она вообще сумеет это сделать. Это является квантовомехани-
ческим проявлением того факта, что многие классические орбиты
становятся туго скрученными спиралями, когда они.пересекают по-
поверхность т = ЪМ или подходят к ней. (См. [25], особенно фиг. I;
из орбит, рассмотренных там, к нашей задаче имеют отношение толь-
только классы III, IV и Vi) Поскольку такие частицы движутся в основ-
основном тангенциально, они дают большой вклад в г|. Теперь, согласно
[26], хокинговское излучение поля со спином мало в основном пото-
потому, что низшие значения орбитального углового момента обрезают
спектр. Это значит, что спиральные орбиты (класса III и IV в рабо-
работе [25], а также орбиты, расположенные внутри т ш ЗМ) относитель-
относительно более важны для высшего спина по сравнению с орбитами, кото-
которые более близки к радиальным (класс V). Этот эффект дает каче-
отвенное объяснение явлению, продемонстрированному в табл. 2 и
на фиг, 2.
Таким образом, предлагается следующая картина. Описание эф-
эффекта Хокинга на традиционном корпускулярном языке физически
адекватно для всех траекторий, идущих внутрь центробежного барье-
барьера. При больших г тензор напряжений подобен тензору напряжений
295

гм зм
Фиг. 1. Эффективный потенциал для парциальной волны с/= 1 и вызывае-
вызываемое им деление (г, р2)-плоскости. тип модрвых функций показан вблизи точ-
точки г > Зм.
%
\
г
гм
L
зм
Фиг. 2. Качественное поведение 6я(г) для попя со спином. Пик приписыва-
приписывается частицам, которые медленно по спирали проходят через потенциальный
барьер, возникающий из-за наличия углового момента, а также частицам,
которые поднимаются по внутреннему склону и падают вниз. Альтернатива,
указанная пунктирной пинией, отвергается как нефизическая.
6. АНОМАЛИИ СЛЕДОВ И ЭФФЕКТ ХОКИНГА
излучения от источника радиуса \f~TlM в плоском пространстве, а
при т » ЗМ он модифицируется чисто классическими геометрически-
геометрическими эффектами, которые более заметны для полей со спином. При т,
близких к Ш, квантовые поправки приводят к нарушению классичес-
классических энергетических условий; в частности, на горизонте будущего
должен быть чисто отрицательный направленный внутрь поток, для
того чтобы удовлетворить закону сохранения энергии в статическом
пространстве-времени (ср. [16]), (Эти выводы не зависят от отношения
аномалий 1:3:12; нам нужно только предположение, что С2-аномалия
не уменьшатся с ростом спина так же быстро, как поток.)
8о ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Настоящая работа проливает свет на два предмета — конформные
аномалии и вопрос об энергии вакуума в пространстве-времени с го-
горизонтами.
Что касается первого, мы собрали вместе в связную картину ра-
ранее не связанные и фрагментарные вычисления. Мы нашли доказатель-
доказательства согласованности различных методов регуляризации и получили
значения коэффициентов аномалии для конформно взаимодействующе-
взаимодействующего скалярного поля.
Во-вторых, мы применили эту информацию относительно следа
перенормированного тензора напряжений, для того, чтобы показать,
как хокинговский эффект излучения черных дыр согласуется с суще-
существованием ковариантного сохраняющегося оператора тензора напря-
напряжений, среднее значение которого по физически несингулярному со-
состоянию достаточно разумно ведет себя на горизонте. Формы тензо-
тензоров напряжений для различных состояний в областях, где нет зависи-
зависимости от времени, были довольно точно очерчены без детальных вы-
вычислений. (Это, конечно, было первоначальной целью исследования.)
Было показано, что полученные качественные результаты физически
приемлемы.
Мы также указали, в каком смысле можно было бы аппроксими-
аппроксимировать вакуумное среднее значение тензора напряжений по обсуждав-
обсуждавшимся состояниям. Этот метод обходит проблему вычисления расхо-
димостей и позволяет оценить, применяя стандартную аппроксима-
ционную технику, конечные физически интересные члены.
297

С.А. КРИСТЕНСЕН, С.А. ФУЛЛИНГ
БЛАГОДАРНОСТИ
Мы благодарим Дэвиса, де Витта, Даукера, Даффа и Айшема за
многообразную помощь и поддержку.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Некоторый тензор является конечным на горизонте в локальном
физическом смысле, если и только если его компоненты конечны по
отношению к координатам, которые там регулярны, таким, как све-
топодобные координаты Крускала
Г/ — AMov/*M и — А
V — 4/Ие , I/ — — 1
которые удовлетворяют
UV = -Шег/2М (г - 2М)
и поэтому
Т =
lvv
= 2Ме~г/2М(г -
'uv>
1
Отсюда следует, что Т v физически конечен на горизонте будущего
(U = 0), если и только если при г ¦* 2М
1)
< ~,
2I Tvv\ --| Ttt
1
4
4) (г - 2МГ2| Гии | < «..
Тензоры B.8а), B.86) и B.8в) построены так, что они удовлетворяют
этим условиям, если 0BМ) конечно. Заметим, что Тии порядка V2 и
поэтому [см. A.2) и A.3)] порядка г - 2М, если t фиксировано. Ана-
Аналогично Туу порядка O(U2), если T^v конечно наК~. Кроме того,
так как guv =-5- A - 2М/т), мы находим с помощью B.4) и B.6), что
298
6. АНОМАЛИИ СЛЕДОВ И ЭФФЕКТ ХОКИНГА
Отсюда следует, что если Т конечен и на К*, и на К~, и если 9(г)
порядка г - 2М, то все компоненты 7^ - j Г? ей исчезают
в этом порядке при подходе к точке пересечения Д+ и К~ вдоль по-
поВерхности постоянного t. Это же верно'для г? — j 7^ и т.д. так
же, как и для компонент Крускала, потому что бесконечное красное
смещение отсутствует при подходе к горизонту с фиксированным t.
В двумерной модели разд. 3 мы имеем Тиу - ^ Tagi/V'w все ДРУ"
гие утверждения этого приложения применимы без изменений.
Замечание автора (С.А. Фуллита) к русскому изданию1*. Значе-
Значения коэффициентов аномалий следов для нейтрино и электромагнит-
электромагнитного поля, приведенные в разд. 7 и табл.. 2, как стало известно, оши-
ошибочные. Современное обсуждение аномалий следов безмассовых по-
полей со спинами 0, Уг и 1 см.: DuffMJ*, Nucl. Phys., В125, 334A977);
DowkerJ^S., Critchley R.,. Phys» Rev., D16, 3390 A977); Christen-
sen. S.M., Phys. Rev., D17, 946 A978).
ЛИТЕРАТУРА
2)
1. De Witt B.S., Phys. Rep., 19C, 295 A975). (Статья 2 этого сборника.)
2. Fulling S.A., Davies P.C.W., Prac R. Soo. London, A34B, 393 A976).
3. Hawking S.W., Commun. Math. Phys., 43, 199 A975).
4. Fulling S.A., Journ. Phys., A (Math., Gen.) 10, 917 A977).
5. Unruh W.G., Phys. Rev., D14, 870 A976).
6. Israel W., Phys. Lett., S7A.107 A976).
7. Gibbons G.W., Perry M.]., Proo. R. Soo. London, A358, 467 A978). см.
также Нагие J.B., Hawking S.W., Phys. Rev., D13, 2188 A976; Gibbons G.W.,
Perry M.I., Phys. Rev. Lett., 38, 985 A976).
8. Blum B.S., Ph. D. Thesis, Brandeis University, 1973 (не опубликовано);
Boulware D.G., Phys. Rev., D11, 1404 A975).
9. Davies P.C.W., Proc. R. Soc London.. A361, 129 A976).
10. Boulware D.G., Phys. Rev., D13, 2169 A976).
11. Gibbons G.W., Hawking S.W., Phys. Rev., D15, 2738 A977).
12. Fulling S.A., Physf. Rev., D15, 2411 A977).
-1} Получено редакцией 19 июня 1978 г. - Прим. ред.
2)Литература, отмеченная звездочкой, добавлена переводчиком. -
Прим. рва.
299

C.A. КРИСТЕНСЕН, С.А. ФУЛЛИНГ
13. Adlet S.L., В сборнике Lectures on Elementary Particles.aud Quantum
Field Theory, 1970, Brandeis University Summer Institute in Theoretical
Physics, Vol. 1, eds. S. Deser, M. Grisary, and H. Pendleton, МЛ.Т. Press,
Cambridge, Mass., 1970, pp. 1-164.
14. Deser S., DuffM.J., Isham C.J., Nucl. Phys., B111, 45A976).
15. Davies P.C.W., Fulling S.A., Christensen S.M., Bunch T.Si, Ann. Phys.
(N.Y.), «9, 108 A977).
16. Davies P. C, Fulling S.A., Unruh W.G., Phys. Rev., D13, 2720 A976).
17 Davies P.C.W., Fulling S.A.,Pioc. R. Soc. London, A354, 59 A977)*
18. Bunch T.S., Christensen S.M., Fulling S.A., В печати, приложение А.
19. Christensen S.M., Phys. Rev., D14, 2490 A976).
20. Bunch T.S., Ph. D. thesis, King's College, London (готовится к печати)
21. Dowker J.S., Critchley R., Phys. Rev., D13, 3224 A976).
22. Capper DM, Duff M.I., Nuoyo Cimento, 23A, 173 A974).
2$.DuffM.J., частное сообщение.
24. DuffM.J., В сборнике Quantum Gravity: An Oxford Symposium, eds.
C.J. Isham, R. Penrose and D.W. Sciama, Clarendon, Oxford, 1975,
pp. 78-135.
S5. Ames W.L., Thome K.S., Astrophys, Joum., 151, 659 A968).
26. Page D.N., Phys. Rev., D13, 198 A976).
ZTSMisher C, Thome K., Wheeler J,, Gravitation, Freeman, San Francisco,
1973.(Имеется перевод: Ч. Шзнвр, К. Торн, Цж. Уипвр, Гравитация,
"Мир", 1977.) . .
28*. Вайтмвн А., Проблемы в релятивистской динамике квантованных полей,
"Наука", 1968.
29*. Brown L.S., Cassidy J.P., Phys. Rev., D15, 2810 A977).
Статья 7
„Излучение" и „поляризация вакуума"
вблизи черной дыры*
С,А. Фуллтг
Fulling S.A.**, Phys. Rev., D16, 2411A977)
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ
Ранее опубликованные вычисления по двумерной модели показы-
показывают, что направленный наружу поток от коллапсирующего тела не
обращается в бесконечность на горизонте. Противоположная интер-
интерпретация основывается на физически несущественном различии меж-
между "излучением" (или "частицами") и "статической поляризацией ва-
вакуума". В нашей интерпретации хокинговское тепловое излучение
возникает в основном вне коллапсирующего тела
Если задана классическая фоновая метрика тела, коллапсирующе-
коллапсирующего с образованием черной дыры, квантовая теория поля предсказыва-
предсказывает поток теплового излучения на бесконечности в поздние времена
[1]. Выдвигаются различные предположения, и идет оживленная дис-
дискуссия относительно физической ситуации вблизи тела и вблизи гори-
горизонта Возникли по меньшей мере три школы.
Согласно первой, излучение Хокинга должно возникать в коллап-
сирующей материи. Это согласуется с интуитивным ожиданием, что
статическая геометрия вне тела не должна порождать частицы имен-
именно потому, что метрика завис»:' от времени в другой области. Кроме
того, эту картину, как представляется по крайней мере на первый
взгляд, поддерживают точные вычисления [2-4].
Возражение на эту первую точку зрения состоит в том, что она
требует излучения квантов все большей и большей энергии (по изме-
* Работа финансирована Научным исследовательским советом,
договор № В /BG/ 68807.
Department of Mathematics, King's College, Strand, London WC2R 2LS,
United Kingdom; адрес в настоящее время: Department of Mathematics, Texas
A&M University, College Station, Texas 77843.
E1977 by the American Physical Society.
Перевод на русский язык, "Мир'1, 1978.
301

C.A. ФУЛЛИНГ
7. ИЗЛУЧЕНИЕ И ПОЛЯРИЗАЦИЯ ВАКУУМА
рениям, скажем,' в системе отсчета, связанной с поверхностью тела)
для того чтобы компенсировать красное смещение, испытываемое
излучением nq пути к бесконечности. Другими словами, постоянный
поток, видимый в течение бесконечного времени асимптотическим
наблюдателем, может быть сведен к конечному интервалу истинного
времени вдоль поверхности, окружающей тело и пересекающей гори-
горизонт на конечном аффинном расстоянии от тела; следовательно, по-
поток энергии и плотность должны обращаться в бесконечность при
приближении к горизонту вдоль тщкой поверхности. Но в локальной
геометрии на горизонте нет ничего особенного; горизонт выделяется
только его глобальным соотношением с сингулярностью в будущем.
Поэтому неправдоподобно, что локальная физика становится там син-
сингулярной.
Выдвигалось соображение, что сингулярность на горизонте (ес-
(если она там есть) может быть следствием неадекватности физики
модели; если принять во внимание реакцию рожденных частиц на мет-
метрику с помощью уравнений гравитационного поля, то бесконечность
(а возможно, и сам горизонт) может исчезнуть..Это замечание, одна-
однако, не разрешало бы очевидный математический парадокс сингуляр-
сингулярного поведения в системе, описываемой гладким дифференциальным
уравнением (уравнение для поля материи с коэффициентами, опреде-
определяемыми метрикой) и гладким начальным условием (пространство,
первоначально не заполненное материей).
Те, кто отвергают только что описанную картину, делятся на
две группы. По мнению Хокинга[1,5], точное описание физики в ма-
малой области с высокой кривизной невозможно, потому что волновые
частоты хорошо определены только в приблизительно плоских облас-
областях пространства-времени некоторой конечной протяженности. В луч-
лучшем случае можно сделать приближенные, операционные, сильно за-
зависящие от наблюдателя утверждения. В этом контексте доказыва-
доказывается, что наблюдатель, пересекающий горизонт вблизи тела, мог бы
"видеть" очень малое излучение (ср. [12] и [13]).
Другая точка зрения заключается в том, что хотя в областях с
сильной кривизной нельзя определить частицы, еще должно быть воз-
возможно дать там детальную, не зависящую от наблюдателя физическую I
интерпретацию квантовой теории поля. В частности, такие локальные
функции поля, как тензор энергии-импульса Tuv(x), должны иметь
смысл как наблюдаемые квантовой теории.
Последний подход был успешно проведен для двумерных моделей
скалярного поля [6, 7] (см. также [11], разд. I и [4]), и ведется рабо-
работа в четырех измерениях. Основная проблема состоит в том, чтобы
выделить конечный, физически осмысленный тензор энергии-импуль-
энергии-импульса (или другую наблюдаемую) из расходящегося формального выра-
выражения для этой, величины. В двух измерениях это может быть сдела-
сделано относительно однозначно, и теория дает вакуумное среднее зна-
значение,. < Т^(х)>, удовлетворяющее физическим требованиям. В част-
частности, для модели коллапсирующей черной дыры [6] < Гцу> имеет
следующие свойства: 1) воспроизводится поток Хокинга на бесконечт
насти в поздние времена; 2) тензор ковариантно сохраняется,
<у„7^> « 0; 3) тензор является конечной, гладкой функцией про-
пространства и времени вблизи горизонта.
Здесь мы хотим тщательно проанализировать третье свойство,
так как результаты вычислений [6, 4] и [3] могут быть неправильно
истолкованы, как поддерживающие мнение, что бесконечный поток из-
излучения испускается коллапсирующим телом.
Основной вывод статьи [6] (см. также [13]) состоит в том, что
напряжение вакуума вне двумерного коллапсирующего тела "массы"
Ш в поздние времена есть
<rwv>'^v + B41T)-1u>(iu)v, A)
где Tsw равен значению, которое < Гцу> могло бы принимать вне
статического тела массы Л/-(и поэтому радиуса, большего чем 2Ы),
a w - направленный наружу световой вектор, удовлетворяющий ус-
условиям
0,
- 0.
B)
Каждый член уравнения A) в отдельности удовлетворяет ковариант-
ному закону сохранения УЦ7^ = 0.
Г^у выражен в обычных шварцшильдовских координатах (t, r) в
уравнении E) в [6] (см. также уравнение (8) настоящей статьи). Он
является функцией только от г с Т$г = 0. За исключением общего
отрицтельного знака, он мог бы быть тензором напряжений для об-
облака классической материи в ее системе покоя. В шварцшильдовских
световых координатах
и * t - t*, v - t + г*, .
r*-r+2lfln(r/2lf-l) '
302
303

C.A. ФУЛЛИНГ
имеем
и»„«0,
C2 М2)-
D)
главное в законах сохранения B). то, что wu не зависит от v. Таким
образом, член TRV = B^rr)~1u> щу классически может представлять
испускаемое телом безмассовое излучение.
Имеется попытка интерпретировать T^v как тензор энергии-им-
энергии-импульса хокинговского излучения, создаваемого при коллапсе, a T^v
как "поляризацию" вакуума, ассоциируемую со статической кривиз-
кривизной пространства, которая могла бы существовать даже, если бы те-
тело никогда не коллапсировало, но поддерживалось бы при постоянном
радиусе (обязательно меньшем, чем координата г точки, где вычисля-
вычисляется < rpv>). Мы постараемся доказать, что такой язык не адеква-
адекватен при описании локальной физики модели, особенно вблизи гори-
горизонта
Во-первых, заметим, что если бы тело первоначально имело
большой радиус (сравнимый с 2М) и низкую плотность, тогда при рант
них временах с Т > было бы относительно мало везде в простран-
пространстве. Точки с координатами ггй2Л/ находились бы тогда внутри тела,
где шварцшильдовская форма Т^ не применима С этой точки зрения
большая "поляризация вакуума вблизи черной дыры в поздние време-
времена "вызывается" коллапсом тела точно в такой же степени, как и по-
поток Хокинга
Во-вторых, каждое слагаемое в A) обращается в бесконечность,
когда точка х стремится к горизонту, ко сумма остается конечной.
(Эти утверждения относятся к компонентам тензоров по отношению
к соответствующей локальной системе отсчета) Один из способов
увидеть это— произвести преобразование в координатную систему
Крускала; находим [13], что
<T
UV
где
<Туу>
<TUV>-
ds2 -
М
2г4
E)
F)
304
7. ИЗЛУЧЕНИЕ И ПОЛЯРИЗАЦИЯ ВАКУУМА
Горизонт (будущего) - это линия U - 0. (Хотя представляется, что < Туу>
терпит разрыв на горизонте прошлого, V - 0, формула там неприме-
неприменима, так как эта линия была бы внутри тела.)
Мы приведем более подробно альтернативный, более поучитель-
поучительный анализ членов в < Гц„>. Рассмотрим компоненты этих тензоров
относительно ортонормированной тетрады, соответствующей шварц-
шильдовской системе координат. Пусть
г - г - 2М. G)
Мы будем игнорировать в этом обсуждении компоненту следа, < Ги„> =
= T^v^Rguv, так как ее тензорные трансформационные свойства три-
тривиальны и ясно, что она хорошо себя ведет на горизонте. Также,
для краткости, мы опустим общий множитель A92ТГ)". Применяя
знак "шляпки", чтобы помнить обо всех этих соглашениях, мы полу-
получим из соотношений
ЗА/2
(8)
(приведенных в [6]), что бесследовая часть статической поляризации
вакуума есть
tsu = /(*)' < 0, ffr- 0, (9)
где /(г) ~ Мг при г -> оо и
Л/г 2М2 2М
-+ .... ПрИ 2 -» 0.
Тензор "излучения" есть
TR TR =—4. —
" " 2Mz +4M2'
A0)
A1)
и.поэтому он доминирует при больших г. Сумма вкладов (9) и A1)
резко возрастает на горизонте (г ¦ 0), но только потому, что шварц-
шварцшильдовская система координат становится там сингулярной. Вектор
Киллинга, определяющий ось времени нашей тетрады, становится на
горизонте светоподобным. Если наблюдатель вблизи горизонта дви-
движется со скоростью, близкой к скорости света, он естественно, ви-
видит любую материю, имеющуюся там, с исключительно сильным си-
синим смещением. Для того чтобы получить разумный результат, мы
305

C.A. ФУЛЛИНГ
должны применить к тетраде зависящее от z локальное лоренцево
преобразование. Такое преобразование легче всего выписывается
для компонент в световых направлениях. Мы положим
где штрих указывает, что базисные векторы не параллельны перво-
первоначальным осям координат. В этой новой системе отсчета мы имеем
л _ Л
A3)
A4)
ТЦ ш TR
1 t'tr" lt'r' =
1
1
WA
Сингулярности обоих членов при 2 = 0 стали еще сильнее, чем рань-
раньше; можно сказать, что наблюдатель видит предполагаемое уходящее
излучение с синим смещением, потому что он погружен в него и, по-
подобным образом, что он теперь движется относительно поляризации
вакуума. Однако эти сингулярности вычитаются в уравнении A):
Поэтому полный тензор напряжений хорошо себя ведет на гори-
горизонте, как ожидалось из гладкости динамической проблемы, которая
должна его определять. Это не отрицает того, что тензор A5) имеет
необычные свойства с классической точки зрения. Так как |< Г,г,»>|<
< |< Tt'r.> |, то не существует "системы покоя", где < 7у,го - 0, вмес-
вместо этого можно вьйрать А, так что < Г,-е> «0. Следует иметь в виду, что
<rMV> не представляет реального потока материи, но скорее дает вероят-
вероятностную информацию относительно результатов некоторых идеализирован-
идеализированных экспериментоа
Можно написать
где
A6)
A7)
A8)
306
7. ИЗЛУЧЕНИЕ И ПОЛЯРИЗАЦИЯ ВАКУУМА
Эти части наглядно можно соответственно рассматривать как направ-
направленный наружу пучок обычного излучения и направленный внутрь пу-
пучок излучения с отрицательной энергией. Направленный наружу пучок
имеет конечную интенсивность, но на бесконечности (т.е. позднее на
5"*) он становится хокинговским излучением. Направленный внутрь
пучок, проинтегрированный по горизонту вне тела, дает поток отри-
отрицательной энергии в черную дыру. В случае, когда тело первоначаль-
первоначально так разрежено, что <Гцу> можно пренебречь для всех практичес-
практических целей при ранних временах, можно сказать, что эти два пучка
"порождены" позднее в области вне тела. Можно даже говорить о рож-
рождении частиц парами1 >. Хотя эти выражения только метафорические,
они имеют больше смысла, чем альтернативное описание, при кото-
котором все хокинговское излучение приписывается телу. Говоря более
прозаически, уравнение A6) является более полезным разложением,
чем уравнение A), если z мало.
Рассмотрение предела при поздних временах для получения урав-
уравнения A) приводит к восстановлению опущенных членов, которые мо-
могут дать конечную ненулевую добавку к ?ц, ц,. Этот член зависит от
деталей коллапса и может быть удовлетворительно интерпретирован
как излучение, производимое прямо изменяющейся во времени геомет-
геометрией в коллапсирующем теле.
Третий аргумент заключается в том, что тенденция рассматри-
рассматривать разложение A) как имеющее особое физическое значение, наи-
наиболее вероятно, основана на неправильном представлении, что Tjjjv
внутренне связан с локальной кривизной шварцшильдовского простран-
пространства-времени, тогда как другой член представляет "реальную материю",
которая движется на этом фоне. Наоборот, бесследовая часть 7™v
не является локальной функцией самой геометрии, но зависи от вы-
выбранного квантового состояния. Тензор, данный в (8)—A0), неразрыв-
неразрывно связан с применением шварцшильдовского времениподобного век-
вектора Киллинга для определения "положительных частот" и поэтому
вакуумного состояния. В случае статического тела (с геометрией
Шварцшильда только во внешней области) эта процедура приводит
к гладкому начальному условию при задании состояния квантового
поля. Однако, когда существует горизонт прошлого (как в полном
Э представление имеет до некоторой степени строгий математичес-
математический эквивалент в корреляции излучения в модах, определенных на Я > и в мо-
модах, определенных на горизонте [8J.
307

С.А. ФУЛЛИНГ
7. ИЗЛУЧЕНИЕ И ПОЛЯРИЗАЦИЯ ВАКУУМ*
многообразии Шварцшильда-Крускала), это начальное условие [9]
становится сингулярным, потому что на горизонте вектор Киллинга
является светоподобным. Если мы обозначим это вакуумное состоя-
состояние через Т, то <Т | Г 1<р> равно T^v в двумерной модели. Такое
состояние представляет физически неправдоподобную начальную кон-
конфигурацию полевой системы. Оно в точности аналогично состоянию,
сконструированному в части плоского пространства-времени с гене-
генератором преобразования Лоренца в качестве основного времениподоб-
ного вектора Киллинга [10]. Естественное геометрическое определе-
определение "вакуумных" начальных условий на горизонте прошлого, не зави-
зависящее от системы координат, которая там сингулярна, воспроизводит
обычный вакуум в плоском пространстве, тогда как в пространстве
Крускала оно дает состояние, которое несингулярно вдали от гори-
горизонта прошлого и содержит поток Хокинга на световой бесконечнос-
бесконечности будущего ([11], разд. II). Возвращаясь к случаю коллапсирующего
тела, видим, что первоначальный вакуум—несингулярное состояние
везде, но что если вычесть из < Гцу> среднее значение ГцУ по сингу-
сингулярному состоянию Т, как, очевидно, имелось в виду в [3], тогда ос-
остаток имеет на горизонте сингулярность, которая и представляет со-
собой бесконечный, якобы, поток частиц или излучения. Если не припи-
приписывать никакого фундаментального физического значения <Т|Г |T>,if
то это вычитание бессмысленно.
Пока ГцУ является единственной рассматриваемой наблюдаемой, \
нет способа различить два члена в A) в том, что относится к локаль-
локальной физике. По-видимому, однако, существуют эксперименты, резуль-
результаты которых не описываются одним только оперетором тензора энер-1
гии-импульса. В частности, если можно придать некоторый независи-
независимый смысл понятию "частиц" в областях сильной кривизны: например,
при изучении взаимодействия поля с модельными детекторами [12]
(и [11], разд. III), то вопрос о возникновении частиц, составляющих
поток Хокинга, мог бы быть пересмотрен. Однако Унру привел дово-
доводы, что такие частицы не могут появляться все из тела, но должны
большей частью производиться вне его вблизи горизонта [13]. Его ар-1
гументы полностью независимы от анзатца, примененного в [6] для
того, чтобы определить перенормированный тензор напряжений A).
Эта статья многим обязана обсуждениям и переписке с Унру. Ав-
Автор благодарен также Дэвису и де Витту за стимулирующие обсужде-1
ния. Я также благодарен за предоставленную возможность развивать
эти идеи перед отзывчивыми слушателями на различных семинарах.
308
ЛИТЕРАТУРА
1. Hawking S.W.. Commun.Math. Phys., 43, 1999 A975).
2. Gerlach U.H..B Сборнике Proc of the Marcel Grossmann Conference , Trieste,
1975; Phys. Rev., D14, 1479 A976).
3. Boulware D.G., Phys. Rev., D13, 2169 A976).
4. Davies P.C.W., Proc. R. Soc. London, A351, 129 A976).
5. Gibbons G.W., Hawking S.W., Phys. Rev., D15, 2738 A977).
6. Davies P.G.W., Fulling S.A., Unruh W.G., Phys. Rev., D13, 2720 A976).
7. Fulling S.A., Davies P.C.W., Proc. R. Soc. London, A343, 393 A976);
Davies P.C.W., Fulling S.A., Proc. R. Soc. London, A354, 59 A977);
Bunch T.S., Ph. D. thesis, King's College London, ГОТОВИТСЯ к печати.
8" So пШ\СЪтпТ- Mc$/ P&s" ^ 9 A975); Pori"?-- Phys. Rev., D12,
1519 A975); Hawking S.W., Phys. Rev., D14, 2460 A976).
9. Boulware D.G., Phys. Rev., D11,. 1404 A975).
10. Fulling S.A., Phys. Rev., D7, 2850 A973).
11. Unruh W.G., Phys. Rev., D14, 870 A976).
12. Unnth V.G., В Сборнике Proc. of the Marcel Grossmann Conference Trieste, *
1975.
13. Unruh W.G., Phys. Rev., D15, 365A977).

Статья 8
Интегралы действия и статистические
суммы в квантовой гравитации
Г. В. Риббонс, СВ. iKomm
Gibbons G.W.*, Hawking S.W.**, Phys. Rev., D15, 2752A977)
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ
Можно вычислить действие для гравитационного поля на сечении
комплексифицированного пространства-времени, которое обходит
сингулярности. Таким образом мы получили конечные, чисто мнимые
значения для действий решений Керра-Ньюмена и пространства де
' Ситтера. Одна интерпретация этих значений состоит в том,- что они
дают вероятности нахождения таких метрик в вакуумном состоянии.
Другая интерпретация заключается в том, что они дают вклад таких
метрик в статистическую сумму для большого канонического ансамб-
ансамбля при некоторой температуре, угловом моменте и заряде. Мы при-
применяем такой подход для вычисления энтропии этих метрик и нахо-
находим, что она всегда равна одной четвертой площади горизонта собы-
событий в фундаментальных единицах. Это согласуется с более ранними
выводами при помощи полностью отличных методов. В случае стацио-
стационарной системы, такой, как звезда без горизонта событий, гравита-
гравитационное поле не имеет энтропии.
1. ВВЕДЕНИЕ
В подходе к квантованию гравитации с помощью континуального
интегрирования рассматривают выражения вида
Z = fd[g] 4ф] eXpb7[g, 9]1, A.1)
где c/[g] - мера на пространстве метрик g, d[<p] - мера на простран-
* Настоящий адрес: Max-Planck-Institute fur Physik und As trophy sik,
8 Munchen 40, Postfach 401212, BRD. Telephone: 327001.
** Department of Applied Mathematics and Theoretical Physics, Univer-
University of Cambridge, England.
© 1977 by the American Physical Society.
(Q Перевод на русский язык, "Мир", 1978.
310
8. ИНТЕГРАЛЫ ДЕЙСТВИЯ И СТАТИСТИЧЕСКИЕ СУММЫ
стве полей материи <р, a/[g, q>] - действие. В этот интеграл должны
включаться не только метрики, которые можно непрерывно деформи-
деформировать в метрику плоского пространсгва, но также гомотопически
неэквивалентные метрики, такие, как метрики черных дыр; образова-
образование и испарение черных макроскопических дыр приводит к таким
эффектам, как несохранение барионного заряда и производство энтро-
энтропии [1-4]. Поэтому можно было бы ожидать возникновения подобно-
подобного явления и на уровне элементарных частиц. Однако вычисление
действия / для метрики черной дыры является проблемой из-за про-
пространственно-временных сингулярностей, которые она необходимо
содержит [5—7]. В этой статье мы покажем, как Можно преодолеть
эту трудность, комплексифицируя метрику и вычисляя действие на
вещественном четырехмерном сечении (фактически контуре), кото-
которое обходит сингулярности. В разд. 2 мы применяем эту процедуру
для того, чтобы вычислить действие для некоторых стационарных
точных решений уравнений Эйнштейна. Для черной дыры с массой М,
угловым моментом / и зарядом Q получаем
A.2)
где
/-2\-1
г±= М±(М2 - J2M~2 -Q2)"
в единицах, в которых G=c~"h=k=\.
Одна интерпретация этого результата состоит в том, что он да-
дает вероятность, в соответствующем смысле, возникновения в вакуум-
вакуумном состоянии черной дыры с такими параметрами. Этот аспект бу-
будет обсуждаться далее в другой статье Другая интерпретация, которая будет
обсуждаться в разд. 3 этой статьи, заключается в том, что действие представ-
представляет собой вклад гравитационного поля в логарифм статистической суммы
для систем при некоторой температуре и угловой скорости. Из статистичес-
статистической суммы можно вычислить энтропию стандартными термодинамическими
методами. Оказывается, что эта энтропия равна нулю для стационарных гра-
гравитационных полей, таких, как поля звезд, которые не содержат горизонтов
событий. Однако, и для черных дыр и для пространства де Ситтера [8] оказы-
оказывается, что энтропия' равна *Л площади поверхности горизонта собы-
событий. Это согласуется с результатами, полученными полностью отлич-
отличными методами [1, 4, 8].
311

Г.В. ГИББОНС, СВ. ХОКИНГ
2 ДЕЙСТВИЕ
Действие для гравитационного поля обычно берется в виде
. A6ТГ)-1 J Ri-gfid4*'
Однако скалярная кривизна R содержит члены, которые линейны по
вторым производным метрики. Для того чтобы получить действие, ко-
которое линейно по первым производным метрики, как это требуется
в методе континуального интегрирования, вторые производные сле-
следует уничтожить при помощи интегрирования по частям. Действие
для метрики g по области У с границей ЗУ имеет вид
/= A61Т) $R{-giAd\+ / B(-kfid3x. B.1)
Y dY
Поверхностный член В должен быть выбран так, чтобы для метрик g,
которые удовлетворяют уравнениям Эйнштейна, действие / являлось
экстремальным при вариациях метрики, таких, которые исчезают на
границе BY, но могут иметь ненулевую нормальную производную.
Это будет выполняться, если В = (Ви)^ + С, где К - след второй
фундаментальной формы границы dY в метрике g, а С — член, кото-
который зависит только от индуцированной на <?У метрики Л. Член С при-
приводит к слагаемому в действии, которое не зависит от метрики g.
Оно может быть включено в нормировку меры на пространстве всех
метрик. Однако в случае асимптотически плоских метрик, когда гра-
граница дУ может быть взята в виде произведения оси времени на дву-
двумерную сферу большого радиуса, естественно выбрать С так, чтобы
/ - 0 для метрики плоского пространства-времени г|. Тогда В = (8тг)~' [К],
где Ш - разность следов второй'фундаментальной формы ЗУ в мет-
метрике g и в метрике <г\.
Мы проиллюстрируем процедуру вычисления действия по несингу-
несингулярному сечению комплексифицированного пространства-времени на
примере решения Шварцшильда. Оно обычно дается в виде
ds2 = -<1 - 2Mr1)dtl + A - Шг)-1*2 + r2dQ.2. B.2)
Это выражение имеет сингулярности при г = 0 и при г = 2М. Как те-
теперь хорошо известно, сингулярность при г = 2Ы может быть удале-
удалена преобразованием к координатам Крускала, в которых метрика
имеет вид
312
8. ИНТЕГРАЛЫ ДЕЙСТВИЯ И СТАТИСТИЧЕСКИЕ СУММЫ
ds3 =
exp l-rBil)-i](-dz2 + dy2) + r2dQ2, B.3)
где
]. B-5)
Сингулярность при г = 0 находится теперь на поверхности х2 -у2 = \.
Она является сингулярностью кривизны и не может быть удалена за-
заменой координат. Однако ее можно обойти, введя новую координату
5 = iz. Метрика теперь принимает положительно-определенную или
евклидову форму
2dQ2.,
B.6)
ds2 = 32Д/3г-» exp[-rBJf)-1](^2 + dy2)
где г теперь определяется из соотношения
? 2 + у2 ш И2А0-1 - И ехрИгД/Г1]. B.7)
На сечении, на котором 5 и у вещественны (евклидово сечение), г бу-
будет вещественно и больше или равно 2М, Введем мнимое время т = Н.
Из уравнения B.5) следует, что т периодично с периодом 8ттД/. На ев-
евклидовом сечении т имеет характер угловой координаты относительно
"оси" г = 2М. Так как евклидово сечение несингулярно, мы можем
вычислить действие B.1) по области У по ограничивающей ее поверх-
поверхности г = г0. Граница dY имеет топологию S1 x S2 и поэтому ком-
компактна.
Скалярная кривизна R равна нулю, поэтому действие дается по-
поверхностным членом
/=
Но
д
In"
B.8)
B.9)
где (d/dn)fdZ - производная площади fdl поверхности ЭУ, когда каж-
каждая точка dY удаляется на равное расстояние вдоль направленной на-
наружу единичной нормали п. Таким образом, для решения Шварцшильда
)У* — [»г2A - 2А/Г-1)**] =
dr
ш -32rr2iMBr - Ш). B.10)
Множитель - * возникает из (-Ар в поверхностном элементе И. Для
плоского пространства К = 2Г1. Таким образом,
313

Г.В. ГИББОНС, СВ. ХОКИНГ
= -32tt2iMA -
Поэтому
/ = (8тг)-» f[K] dl = 4тгШ2 + О(А/2г)=
2r.
B.11)
B.12)
где к = DЛ/) - поверхностная гравитация решения Шварцшильда.
Для решения Рейсснера-Нордстрема процедура аналогична, за
исключением того, что теперь нужно добавить действие для электро-
электромагнитного поля Fab. Оно равно
-(leu) fFabFab(-g)^d*x. B.13)
Для решения уравнений Максвелла Fab; 6=0, так что подынтеграль-
подынтегральное выражение в B.13) может быть записано как дивергенция
FabFed8aeg*= l2F°bAaU • B-14)
Таким образом, действие равно
-(8u)-J fF°bAad2b. B.15)
Электромагнитный вектор-потенциал Аа для решения Рейсснера-Норд- I
стрема обычно выбирается в виде
Aa = Qr-H.a . B.16)
Однако это выражение сингулярно на горизонте, так как t там не оп-
определено. Для того чтобы получить регулярный потенциал, нужно сде-
сделать калибровочное преобразование
B.17)
где Ф = ^(г+)-1 - потенциал горизонта черной дыры. Действие для
взаимодействующих гравитационного и электромагнитного полей
равно
/= тк-ЦМ-ОФ). B.18)
Мы вычислили действие на сечении комплексифицированного пространства-
времени, на котором индуцированная метрика вещественна и положительно-
определена Однакр, поскольку R, Fab и К - голоморфные функшш в
комплексифицированном пространстве-времени, за исключением син-
гулярностей, интеграл действия - это фактически контурный интег
рал, и он будет иметь то же значение на любом сечении комплексифи-
комплексифицированного пространства-времени, которое гомологично евклидову
сечению, даже если индуцированная метрика на этом сечении может
314
8. ИНТЕГРАЛЫ ДЕЙСТВИЯ И СТАТИСТИЧЕСКИЕ СУММЫ
быть комплексной. Это позволяет нам обобщить процедуру на другие
пространства-времена, которые не обязательно имеют вещественное
евклидово сечение. Особенно важный пример такой метрики — это ре-
решение Керра-Ньюмена. В этом случае можно ввести координаты
Крускала у и г и, положив ? = iz, можно определить несингулярное
сечение как в случае Шварцшильда. Мы будем называть его "квази-
"квазиевклидовым сечением". Метрика на этом сечении комплексна, и оно
является асимптотически плоским в системе координат, вращающей-
вращающейся с угловой скоростью Q, где Q = JM~1(r*. + J2M~2)~1 - угловая ско-
скорость черной дыры. Регулярность метрики на горизонте требует, что-
чтобы точка (t, г, 9, ф) была отождествлена с точкой (t + йтгк", г, е,
Ф + i^ttQk)- Это вращение не влияет на вычисление f[K]dZ, так что
действие еще дается выражением B.18). Можно также вычислить
вклад гравитационного поля в действие для стационарного аксиально-
симметричного решения, описывающего черную дыру, окруженную
идеальной жидкостью, вращающейся как целое с некоторой другой уг-
угловой скоростью. Действие есть
/=
1 [W-n[RKadZa +2-ЧЛ,
B.19)
где Кад/дха = d/dt -транслирующий время вектор Киллинга, а 2 -
поверхность в квазиевклидовом сечении, которая соединяет границу
приг= г0с"осью" или поверхностью бифуркации горизонта при
г = г+. Полная масса М, может быть записана как
М = Мн + 2
где
Мн=
B.20)
B.21)
Мн - масса черной дыры, А - поверхность горизонта событий, a Q#
и JH соответственно - угловая скорость и угловой момент черной ды-
дыры [9]. Тензор энергии-импульса жидкости имеет вид
ТаЬ = (Р + Р) »аЧ + РёаЬ' B-22)
где р — плотность энергии, ар — давление жидкости. 4-скорость иа
может быть записана в виде
B.23)
315

Г.В. ГИБВОНС, С. В. ХОКИНГ
где Qm - угловая скорость жидкости, та - аксиальный вектор Кил-
линга, и А - нормировочный множитель. Подставляя B.21) и B.22) в
B.20) находим, что
М =
- /(р + Zp)Kadla
где
B.24)
B.25)
есть угловой момент жидкости. Из полевых уравнений R = 8тг(р - Зр),
так что это действие равно
/ =
- &HJH-QmJm - к
r^{pKadlal B.26)
Можно также применять B.26) к ситуации, такой, как вращающаяся
звезда, где черная дыра отсутствует. В этом случае регулярность
метрики не требует никакой специальной периодичности временной
координаты, и 2TIK можно заменить на произвольный параметр р.
Значение такой периодичности будет обсуждаться в следующем раз-
разделе.
Мы закончим этот раздел вычислением действия для простран-
пространства де Ситтера. Оно дается выражением
/ = A6-тг)-1 / (R -2Л)(-ё)УЧ*х + (8-п)-1 / [КШ, B.27)
У dY
где Л - космологическая постоянная. Вследствие полевых уравне-
уравнений R = 4Л. Если бы взять в качестве У обычное вещественное про-
пространство де Ситтера, т.е. сечение, на котором метрика вещественна
и лоренцева, объемный интеграл в B.27) был бы бесконечным. Одна-
Однако комплексифицированное пространство де Ситтера имеет сечение,
на котором метрика является вещественной положительно-определен-
положительно-определенной метрикой четырехмерной сферы радиуса З^Л~*% Такое евклидо-
евклидово сечение не имеет границы, поэтому величина этого действия на нем
равна
/= -^тп'Л. B.28)
где множитель -i появился из (-gO*.
316
8. ИНТЕГРАЛЫ ДЕЙСТВИЯ И СТАТИСТИЧЕСКИЕ СУММЫ
3. СТАТИСТИЧЕСКАЯ СУММА
В подходе к квантованию поля ф методом континуального интег-1
рирования амплитуду перехода от полевой конфигурации ф1 в момент
времени t1 к полевой конфигурации ф2 в момент t2 представляют в
виде
<Ф2, t2| 9j, tj> = /<2[ф] ехрA/[ф]), C.1)
где континуальный интеграл берется по всем полевым конфигураци-
конфигурациям ф, которые принимают значение <^>1 в момент t1 и значение ф2 в
момент t2 . Но
<Ф
,>, C.2)
= ф2 и про-
прогде Н - гамильтониан. Если положить t2 - tt = -ip и >
суммировать по всем ф1# получим
Sp ехр(—р#) =/Лф] ехрA'/[ф]), C.3)
где континуальнйй интеграл теперь берется по всем полям, которые
периодичны с периодом р по мнимому времени. Левая часть равен-
равенства C.3) - это в точности статистическая сумма Z канонического
ансамбля, описывающего поле ф при температуре Т = р~*. Таким об-
образом, можно представить статистическую сумму системы как кон-
континуальный интеграл по периодическим полям [10]. Когда имеются ка-
калибровочные поля, такие, как электромагнитные или гравитационное,
следует включить в континуальный интеграл вклады от духов Фаддее-
ва-Попова [11-13].
Можно также рассмотреть большой канонический ансамбль, в ко-
котором имеются химические потенциалы ц^ , ассоциированные с сохра-
сохраняющимися величинами С{, В этом случае статистическая сумма
есть
7 — Чг* »v Г ft (// *S" /"* \1 /Ч &\
Например, можно было бы рассмотреть систему при температу-
температуре Т = р -1 с данным угловым моментом / и электрическим зарядом Q.
Соответствующие химические потенциалы тогда суть Q - угловая ско-
скорость, и Ф г- электростатический потенциал. Статистическая сумма
будет тогда даваться континуальным интегралом по всем полям ф, та-
таким, что значение поля в точке (t + ip, г, е, ф + ipQ) равно
умноженной на значение в точке (t, г, 6, ф), где q - заряд поля.
317

Г. В. ГИББОНС, С. В. ХОКИНГ
Основной вклад в континуальный интеграл будет от метрик g и
полей материи q>, которые близки к фоновым полям g0 и ф0, имеющим
правильную периодичность и являющимся экстремалями действия, т.е.
решениями классических уравнений движения. Можно представить g и
Ф в виде
S = «о + ё, Ф- Фо +Ф C-5)
и разложить действие в ряд Тейлора относительно фоновых полей
l[g, ф] = /[g0, q>0] + /2[g] + /2Ср] +
+ Члены высшего порядка, C.6)
где /2[g] и /2[ф] квадратичны по флуктуациям g и ф". Если пренебречь
членами высшего порядка, то статистическая сумма дается выраже-
выражением
In Z = Ц[ь, Фо] + In
In
хр<U2Щ)> C-7)
Но по обычным термодинамическим соображениям
In Z = -WT~\ C.8)
где W = М - TS -2цг- Сг - "термодинамический потенциал" системы.
Можно поэтому рассматривать il[g0, ф^ как вклад фона в -WT~l, a
второй и третий члены в C.7) - как вклады, возникающие .от тепло-
тепловых гравитонов и квантов материи с соответствующими химическими
потенциалами. Метод вычисления этих последних членов будет ука-
указан в другой статье.
Можно применить предыдущий анализ к решениям Керра-Ньюме-
на, потому что в них точки (t, г, Q, ф) и (t + 2ТПК, г, 8, ф + 2-niQtc1)
отождествлены (заряд q гравитона и фотона равен нулю). Отсюда сле-
следует, что температура Т фонового поля есть кBтт)~1, а термодинами-
термодинамический потенциал равен ,
W=-(H-<bQ), C.9) ¦
но
Поэтому
W = М - TS -
1 1
- М= TS + -
2 2
318
- QJ
C.10)
C-П) I
8.ИНТЕГРАЛЫ ДЕЙСТВИЯ И СТАТИСТИЧЕСКИЕ СУММЫ
Но по обобщенной формуле Смарра [9, 14]
1
\ш-
Следовательно,
S= -A
4
C.12)
C.13)
в полном согласии с предыдущими результатами.
Для пространства де Ситтера
WT-1 = -12ТГЛ-1,
но в этом случае W = -TS, так как М = /¦= Q = 0, поскольку это
пространство замкнутое. Тогда
S = 12ТГЛ, C.15)
что снова согласуется с предыдущими результатами. Заметим, что
температура Г пространства де Ситтера вычитается за период. Этого
можно было бы ожидать, так как температура зависит от наблюдате-
наблюдателя и связана с нормировкой времениподобного вектора Киллинга.
Наконец, мы рассмотрим случай вращающейся звезды, находя-
находящейся в равновесии при некоторой температуре Г без горизонтов со-
событий. В этом случае мы должны включить вклад в континуальный
интеграл от полей материи, так как именно они создают гравитаци-
гравитационное поле. Для квантов материи в тепловом равновесии при темпе-
температуре Г и в объеме V » Г в плоском пространстве термодинами-
термодинамический потенциал дается выражением
ГГ-1--.7р(-т1)х<*4*~рП'-1. C.16)
В ситуациях, когда характерные длины волн, Г, малы по срав-
сравнению с гравитационными масштабами длины, разумно применить это
жидкостное приближение для плотности термодинамического потен-
потенциала; таким образом, вклад материи в термодинамический потен-
потенциал будет иметь вид
Wm Г - - i fp(-g
C.17)
(поскольку сигнатура нашей метрики Kadla отрицательна), но из
уравнения B.26) гравитационный вклад в полный термодинамический
потенциал есть
319

Г.В. ГИББОНС, С.В.ХОКИНГ
Поэтому полный термодинамический потенциал равен
но
р + р = Ts + 2 Щпг,
C.18)
C.19)
C.20)
где Г - локальная температура, s - плотность энтропии жидкости,
¦Jij- - локальные химические потенциалы, и nt - плотность числа час-
частиц 1-го типа, из которых состоит жидкость. Следовательно,
W = М ~ Чп'
В тепловом равновесии
* щп() КаЙо.
C.21)
Т =
1 C.22)
Щ = Mi^~ t C.23)
где Г и цг- - значения, Тш щ на бесконечности [9]. Таким образом,
энтропия есть
-~fsuadZa. C.24)
Это в точности энтропия материи. В отсутствие горизонта событий
гравитационное поле не имеет энтропии.
ЛИТЕРАТУРА
1. Hawking S.W., Commun. Math. Phys., 43. 199 A975).
2. Wald R.U., Commun. Math. Phys., 45, 9 A975).
3. Hawking S.W., Phys. Rev., D14, 2460 A976).
4. Hawking S.W., Phys. Rev., D13, 191 A976).
5. Penrose R., Phys. Rev. Lett., 14, 57 A965).
6. Hawking S.W., Penrose R., Proc. B. Soo. London, АЗЛ4, 529 A970).
7. Hawking S.W., Ellis G.F.R., The large scale structure of space-time, Cam-
Cambridge University Press, Cambridge, England, 1973. (ИмбвТСЯ перевод:
СВ. Хокинг, Дж. Ф,р. Иппс, Крупномасштабная структура пространства-
времени, "Мир", 1977.)
320
в. ИНТЕГРАЛЫ ДЕЙСТВИЯ И СТАТИСТИЧЕСКИЕ СУММЫ
8. Gibbons G.W., Hawking S.W., Phys. Rev., D15, 2738 A977).
9. ВЫееп }., Carter В., Hawking S.W., Gommun. Math. Phys., 31, 161 A973).
10. Feynman R.P., Hibbs A.R., Quantum mechanics and path integrals, McGraw-
Hill, New York, 1965. (Имеется перевод: Р. Фейнмвн, А. Хибс, Квантовая
механика и интегралы по траекториям, "Мир", 1968.)
11. Bernard C.W., Phys. Rev., D9, 3312 A974).
12. Dolan I., Jackiw R., Phys. Rev., D9, 3320 A974).
13. Фэдаеев Л.Д; Попов B.H.,Phys. Lett., 25B, 29 A967).
14. SmarrL., Phys. Rev. Lett., 30, 71, 521 (E) A973).

СОДЕРЖАНИЕ
Вступительная статья. В.Л. Фролов. Черные дыры: квантовые
процессы, термодинамика, астрофизика 5
1. Д.В. Шьяма. Черные дыры и их термодинамика (перевод
В.П. Фролова) 31
2. Б.С. де Вит. Квантовая теория поля в искривленном про-
пространстве-времени 'перевод В. А. Загребнова) .... 66
3. С.В.Хокит Нарушение детерминированности при Гравита-
Гравитационном коллапсе (перевод И. В. Воловича) 169
4. СВ. Хокит. Черные дыры и термодинамика (перевод
И.В. Воловича) 204
5. Док* Б. Хартль, СВ. Хокинг, Вывод излучения от черной ды-
дыры методом интегрирования по путям (перевод
В.П.Фролова) ' 222
6. СМ. Кристенсен, .СА, Фуллинг, -Аномалии следов и эффект
Хокинга (перевод И. В. Воловича) 261
7. СА, Фуллинг. "Излучение" и "поляризация вакуума" вблизи
черной дыры (перевод И.В. Воловича) 301
8. Г.В. Гиббоне, СВ. Хокинг. Интегралы действия и стати-
статистические суммы в квантовой гравитации (перевод
И. В. Воловича) ЗШ

Уважаемый читатель!
Ваши замечания о содержании книги, ее оформ-
оформлении, качестве перевода и другие Просим присыпать
по адресу: 129820, Москаа, И-110, ГСП, 1-й Рижский
пер., 2, изд-во "Мир".
-50
ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ
Научный редактор Л. Третьякове
Мл. научные редакторы О. Белове, А. Лебедева
Художник Е. Урусов
Художественный редактор Л. Беэруяенков
Технический редактор Л. Тихомирове
Корректор И. Максимова
ИБМ>1368
Подписано к печати 27/VII-78 Г.
Бумага офсет. №2 60 х 84 Vte » 10,13 бум. п.
Печ. л. 20,25. Уч.-изд. л. 18,41. Изд. №2/9617
Тираж 6000 экз. Цена 2 р. 10 к. Зак. 3105
, Издательство "Мир"
Москва, 1-й рижский пер., 2
Московская типография №9 Союзлолиграфпрома при Государственном коми-
комитете Совета Министров СССР по делам издательств) попиграфии и книжной
торговли
Волочаевская ул., д. 40
1Л
I ¦'¦'.1