Крупномасштабная структура пространства - времени - Хокинг С., Эллис Дж.

Author: Хокинг С. Эллис Дж.

Tags: астрономия астрофизика исследование космического пространства геодезия геофизика гравитация дифференциальная геометрия переводная литература издательство мир космические исследования

Year: 1977

Similar

Природа пространства и времени

Черные дыры. Новости фундаментальной физики. Выпуск 9

Структура пространства-времени

Черные дыры. Мембранный подход

Text

С. ХОКИНГ. ДЖ. ЭЛЛИС
КРУ П НОМАСШТАБ НАЯ
СТРУКТУРА
ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ
Перевод с английского
Э. А. ТАГИРОВА
Под редакцией
Я. А. СМОРОДИНСКОГО
ИЗДАТЕЛБСТВО «МИР»
МОСКВА 1977

THE LARGE SCALE STRUCTURE
OF SPACE-TIME
S. W. HAWKING, F. R. S.
Institute of Astronomy
and Gonville and Caius College, Cambridge
and
G. F. R. ELLIS
Department of Applied Mathematics,
University of Capetown
CAMBRIDGE UNIVERSITY PRESS
1973
УДК 52 + 53
Книга посвящена новому подходу к теории относительности
и ее астрономическим приложениям, основанному на использова-
нии методов современной дифференциальной геометрии. Приме-
нение их оказалось исключительно плодотворным при исследова-
нии свойств пространства-времени в особых условиях, а именно
проблем сингулярности в космологии, черных дыр и т. п.
Авторы рассмотрели роль гравитации, методы дифферен-
циальной геометрии и общую относительность, физический смысл
кривизны пространства-времени, точные решения и задачу Коши
в общей теории относительности, проблему сингулярности и ее
приложения к выяснению природы черных дыр и различных
этапов расширения Вселенной.
Книга рассчитана на широкие круги физиков, математиков
и астрономов, интересующихся проблемами релятивизма, и может
служить учебным пособием для студентов.
Редакция космических исследований, астрономии и геофизики
х 20605-114
041(01)-77
114-77
© Cambridge University Press, 1973
© Перевод на русский язык, «Мир», 1977
Предисловие к русскому изданию
В книге С. Хокинга и Дж. Эллиса общая теория относитель-
ности изложена как математическая теория геометрии простран-
ства-времени. Задача авторов — описать на современном мате-
матическом языке свойства решений уравнений Эйнштейна.
Язык, которым пользуются авторы, пока мало привычен для фи-
зиков и может показаться многим слишком абстрактным. Но
развитие науки всегда приводит к изменению ее языка. Это про-
исходит тогда, когда новые задачи оказываются слишком запу-
танными, если их пытаться исследовать, применяя лишь старый
привычный аппарат.
Когда в книгах по электродинамике в 30-х гг. появились
формулы векторного анализа, то говорили о потере наглядности
и физического смысла формул. Столь же непривычен и труден
был аппарат квантовой механики. Ясно, что для решения старых
задач, таких как движение перигелия Меркурия, старые методы
проще и нагляднее. Новый язык понадобился тогда, когда фи-
зики от поисков конкретных решений уравнений Эйнштейна пе-
решли к качественному исследованию этих уравнений.
Особенно «тяжелой» оказались проблемы сингулярностей,
или «особенностей». Всякое ли решение уравнения Эйнштейна
имеет истинную (не устранимую координатным преобразова-
нием) особенность или нет? После многих работ, среди которых
надо отметить фундаментальные работы Лифшица, Халатнико-
ва, Белинского, исследовавших поведение решений вблизи осо-
бенности (старыми методами), необходимость новой точки зре-
ния на всю проблему стала очевидной.
Новую точку зрения — по существу новое направление — от-
крыли работы Пенроуза, а вслед за ними работы Хокинга.
Именно это направление — от основ до трудных обобщающих
теорем — изложены в предлагаемой книге последовательно и
очень четко. Читатель, преодолевший трудности освоения языка
современной дифференциальной геометрии, будет вознагражден
той красотой, которая откроется в последующих главах, когда
речь пойдет уже о конкретных типах пространства-времени,
представленных в виде карт и атласов, и увидит, как далеко
можно уйти от классических моделей.
Книга построена так, что в ней изложен весь необходимый
математический материал. Однако некоторая общая подготовка
6
Предисловие к русскому изданию
читателя, в рамках элементарных курсов топологии, все же не-
обходима. Изучение книги убедит читателя в том, что новые ма-
тематические средства, вводимые авторами в общую теорию от-
носительности, необычайно сильны и необходимы для дальней-
шего развития теории.
В переводе книги мы старались следовать установившейся
русской математической терминологии, но иногда приходилось
изобретать и новые термины; для объяснения их полезно поль-
зоваться словариком-указателем в конце книги.
Я. Смородинский
Посвящается Д. Шаме
Предисловие
Предмет этой книги — структура пространства-времени в
масштабах длин от радиуса элементарной частицы (~ КН13 см)
до радиуса Вселенной (~ 1023 см). По причинам, указанным в
гл. 1 и 3, наш подход основан на общей теории относительности
Эйнштейна. Эта теория ведет к двум следующим предсказаниям
относительно Вселенной: во-первых, конечной участью массив-
ной звезды является коллапс за горизонт событий; при этом
образуется «черная дыра», внутри которой заключена сингуляр-
ность; во-вторых, в нашем прошлом существует сингулярность,
которая представляет собой в некотором смысле начало наблю-
даемой Вселенной. Наше изложение в основном направлено на
обоснование двух указанных выше результатов. Это связано
прежде всего с двумя областями исследований: с теорией пове-
дения семейств времениподобных и изотропных кривых в про-
странстве-времени и с изучением характера различных отноше-
ний причинности в пространстве-времени. Мы подробно обсудим
эти проблемы. Кроме того, в книге излагается теория развития
во времени решений уравнений Эйнштейна с заданными началь-
ными данными. Параллельно мы исследуем глобальные свойства
разнообразных точных решений уравнений поля Эйнштейна,
многие из которых обнаруживают неожиданные свойства.
Частично эта книга основывается на обзорном докладе, пред-
ставленном в связи с награждением одного из нас (С. X.) пре-
мией Адамса. Многие из идей, изложенных здесь, принадлежат
Р. Пенроузу и Р. Героку; мы благодарим их за помощь и реко-
мендуем читателям их обзорные статьи [58, 59, 128, 131]. Боль-
шую пользу мы извлекли из дискуссий со многими нашими кол-
легами, особенно с Б. Картером и Д. Шамой. Им мы также
приносим благодарность.
Кембридж с. Хокинг
Январь 1973
Дж. Эллис

Глава 1
Роль тяготения
Согласно общепринятому в современной физике взгляду, изу-
чение Вселенной можно разделить на две части. Первая — это
установление локальных законов, которым удовлетворяют раз-
личные физические поля. Эти законы обычно формулируются в
виде дифференциальных уравнений. Вторую часть составляют
проблема граничных условий для этих уравнений и глобальные
свойства их решений. Она в том или ином смысле содержит в
себе идею о крае пространства-времени. Эти две части не обяза-
тельно независимы. Действительно, уже была высказана мысль,
что локальные законы определяются крупномасштабной струк-
турой Вселенной. Эту точку зрения обычно связывают с именем
Маха, а в менее отдаленном прошлом ее развивали Дирак [41],
Ша ма [155], Дикке [39], Хойл и Нарликар [82] и др. Мы не будем
придерживаться столь возвышенной точки зрения: мы просто
начнем с локальных физических законов, установленных экспе-
риментально, и посмотрим, к каким выводам относительно круп-
номасштабной структуры Вселенной они могут привести.
Конечно, предположение о том, что физические законы, уста-
новленные в лаборатории, применимы во всех других точках
пространства-времени, где условия могут быть совсем иными —
это далеко идущая экстраполяция. Если эти законы перестанут
выполняться, мы скажем, что имеется еще какое-то поле, кото-
рое повлияло на локальные законы, однако существование его
до сих пор не было обнаружено в наших экспериментах из-за
того, что оно мало меняется в пределах такой области, как Сол-
нечная система. На самом деле большая часть наших резуль-
татов не будет зависеть от конкретного характера рассматри-
ваемых физических законов: они окажутся связанными лишь с
определенными общими свойствами, такими, как описание про-
странства-времени посредством псевдоримановой геометрии и
положительная определенность плотности энергии.
Фундаментальные взаимодействия, известные сейчас в физи-
ке, можно подразделить на четыре класса: сильные и слабые
ядерные взаимодействия, электромагнетизм и тяготение. Среди
перечисленных тяготение намного слабее остальных: Gm2/e2, от-
ношение силы тяготения между двумя электронами к силе их
электростатического взаимодействия, по порядку величины
10
Гл. 1. Роль тяготения
равно 10-40. Тем не менее тяготение играет доминирующую роль
в формировании крупномасштабной структуры Вселенной. Это
происходит из-за того, что сильное и слабое взаимодействия об-
ладают весьма коротким радиусом действия (~10~12 см и ме-
нее), а электромагнетизм хотя и является дальнодействующим
взаимодействием, но для тел макроскопических размеров оттал-
кивание одноименных зарядов почти полностью компенсируется
притяжением разноименных. Напротив, тяготение, по-видимому,
всегда является силой притяжения. Следовательно, гравитацион-
ные поля всех частиц тела складываются и создают поле, кото-
рое для достаточно больших тел преобладает над всеми другими
силами.
Тяготение не только доминирует на больших расстояниях, но
и является силой, которая одинаковым образом действует на все
частицы. Эту универсальность тяготения впервые выявил Гали-
лей, который обнаружил, что два любых тела падают с одина-
ковой скоростью. Позднее это было проверено с очень большой
точностью опытами Этвеша и Дикке с сотрудниками [39]. Было
обнаружено также, что свет отклоняется гравитационными по-
лями. Поскольку принимается, что нет сигналов, распространяю-
щихся быстрее света, это означает, что именно тяготение опре-
деляет причинную структуру Вселенной, т. е. определяет, какие
события пространства-времени могут быть причинно связаны
друг с другом.
Эти свойства тяготения служат источником серьезных труд-
ностей: если бы в некоторой области сконцентрировалось доста-
точно большое количество вещества, то последнее могло бы от-
клонить свет, испускаемый из этой области, настолько, что свет
был бы втянут обратно в эту область. Эта возможность была
осознана в 1798 г. Лапласом, который отметил, что тело такой
же плотности, как и Солнце, но с радиусом в 250 раз большим
создало бы столь сильное гравитационное поле, что свет не мог
бы уйти с его поверхности. Тот факт, что это было предсказано
так давно, настолько поразителен, что мы приводим в приложе-
нии перевод статьи Лапласа.
Втягивание световых лучей массивным телом можно предста-
вить более точно, используя идею Пенроуза о замкнутых лову-
шечных поверхностях. Рассмотрим сферу ?Г, окружающую неко-
торое тело. Пусть в какой-то момент от РГ исходит импульс све-
та. В некоторый последующий момент t фронты сходящихся и
расходящихся от 2Г волн образуют сферы и РГ г соответ-
ственно. В нормальных условиях площадь РГi (поскольку она
представляет собой сходящийся свет) будет меньше, а площадь
?Г2 (поскольку она представляет собой расходящийся свет) (см.
рис. 1)—больше, чем площадь ST. Однако если внутри РГ за-
ключено достаточно много вещества, то и площадь РГ\, и пло-
Гл. 1. Роль тяготения
11
щадь 5G будут меньше площади .'7~. В этом случае поверх-
ность называют замкнутой ловушечной поверхностью. По
мере возрастания времени t площадь £Г2 будет становиться все
меньше и меньше (при условии, что тяготение остается силой
притяжения, т. е. при условии, что плотность энергии не станет
отрицательной). Поскольку вещество внутри сферы ?Г не может
иметь скорости, превышающей световую, оно окажется запертым
Рис. 1. В некоторый момент времени сфера излучает вспышку света.
В более поздний момент свет, излученный в точке р, образует сферу У’ во-
круг р, и огибающие поверхности i и 2 образуют соответственно фронты
сходящихся и расходящихся волн. Если площади обеих поверхностей ?Г \ и
3~1 меньше площади , то 3~ представляет собой замкнутую ловушечную
поверхность.
в области, граница которой стягивается к нулю за конечный
промежуток времени. Это наводит на мысль, что наша модель в
чем-то ошибочна.
Однако мы покажем, что при выполнении некоторых разум-
ных условий здесь на самом деле возникает сингулярность про-
странства-времени. Можно думать, что сингулярность — это ме-
сто, где ныне известные нам физические законы нарушаются.
В качестве альтернативы можно считать, что сингулярность
представляет часть границы пространства-времени, которая, од-
нако, находится не на бесконечности, а на конечном расстоянии.
Тогда сингулярности перестают быть чем-то порочным с точки
зрения физики; но и при таком взгляде на вещи нам еще остает-
ся решить проблему граничных условий. Другими словами, нам
не известно, что именно выходит из сингулярности.
12
Г л. 1. Роль тяготения
Предполагается, что в двух случаях концентрация материи
будет достаточно для возникновения замкнутых ловушечных по-
верхностей. Первый случай — гравитационный коллапс звезд с
массой больше двух масс Солнца; этот случай должен иметь
место после выгорания ядерного горючего звезды. При этом
звезда, как считают, коллапсирует к сингулярности, которая не-
видима для внешних наблюдателей. Второй случай — это сама
Вселенная как иелое. Недавние наблюдения микроволнового
фонового излучения свидетельствуют, что Вселенная содержит
достаточное количество материи для возникновения замкнутой
ловушечной поверхности при обращении времени. Это означает,
что в прошлом, в начале нынешней эпохи расширения Вселен-
ной, существовала сингулярность. Эту сингулярность мы можем
в принципе наблюдать, и ее можно было бы интерпретировать
как начало Вселенной.
В данной книге мы рассматриваем крупномасштабную струк-
туру пространства-времени на основе общей теории относитель-
ности Эйнштейна. Выводы из этой теории находятся в согласии
со всеми выполненными до сих пор экспериментами. Однако
наша трактовка предмета будет достаточно общей и для того,
чтобы охватить такие модификации теории Эйнштейна, как тео-
рия Бранса — Дикке.
Хотя мы ожидаем, что большинство наших читателей знако-
мы с общей теорией относительности, мы все же пытались напи-
сать книгу так, чтобы от читателя не требовалось иных знаний,
кроме математического анализа, алгебры и топологии точечных
множеств. Вот почему мы посвящаем гл. 2 дифференциальной
геометрии. Наш подход является в разумной мере современным
в том отношении, что мы даем наши определения в форме, не
зависящей явно от координат. Однако для удобства вычислений
временами мы пользуемся индексами; большей частью мы избе-
гали также употребления расслоенных пространств. Читатель,
немного знающий дифференциальную геометрию, может при же-
лании пропустить эту главу.
В гл. 3 дана формулировка общей теории относительности
в виде трех постулатов математической модели пространства-
времени. Эта модель представляет собой многообразие JL вместе
с метрикой g лоренцевой сигнатуры. Физический смысл метрики
раскрывается в первых двух постулатах — локальной причинно-
сти и локального сохранения энергии-импульса. Эти постулаты
общие для специальной и общей теорий относительности, и, сле-
довательно, основанием для них может служить эксперименталь-
ное подтверждение первой из этих теорий. Третий постулат —
полевые уравнения для метрики g — экспериментально обосно-
ван не столь хорошо. Однако большинство наших результатов
будет зависеть лишь от того следствия уравнений поля, что для
Гл. 1. Роль тяготения
13
положительной плотности материи тяготение является силой
притяжения. К этому свойству тяготения приводят как общая
теория относительности, так и некоторые ее модификации, на-
пример теория Бранса — Дикке.
В гл. 4 устанавливается физический смысл кривизны, для
чего мы изучаем ее влияние на семейства времениподобных и
изотропных геодезических. Указанные линии представляют пути
малых частиц и световые лучи соответственно. Кривизну можно
интерпретировать как приливную силу, которая вызывает отно-
сительные ускорения между «соседними» геодезическими. Если
г
Рис. 2. Линия рг не может быть кратчайшей линией от р до гР, поскольку
между р и г имеется фокальная точка q. На самом деле кратчайшей линией
от р до У будет рх или ру.
тензор энергии-импульса удовлетворяет условиям положитель-
ной определенности, то результирующее действие приливной
силы на невращающиеся семейства геодезических всегда оказы-
вается собирательным. Используя уравнение Райчаудхури (4.26),
можно показать, что это приводит к существованию фокальных
или сопряженных точек, в которых соседние геодезические пере-
секаются.
Чтобы выявить роль этих фокальных точек, рассмотрим одно-
мерную поверхность 9? в двумерном евклидовом пространстве
(рис. 2). Пусть р— точка, не лежащая на 17. Тогда найдется
кривая, соединяющая 9Р и р, которая будет короче (или не длин-
нее) любой другой кривой от 9? до р. Ясно, что эта кривая будет
геодезической, т. е. прямой линией и будет пересекать 9? ортого-
нально. На самом деле, в ситуации, изображенной на рис. 2,
имеется три геодезические, ортогональные к 9> и проходящие
через р. Геодезическая, проходящая через точку г, очевидно, не
14
Гл. 1. Роль тяготения
есть кратчайшая линия от 9> до р. В этом можно убедиться [103],
например, заметив, что соседние геодезические, ортогональные
к 9} в точках и и v, пересекают геодезическую, проведенную из г,
в фокальной точке q, лежащей между РР и р. Тогда, присоединяя
к отрезку uq отрезок qp, мы получим кривую от -Р до р, длина
которой такая же, как у прямой гр. Но поскольку uqp не есть
прямая линия, можно было бы срезать угол у точки q и полу-
чить кривую короче, чем гр. Отсюда видно, что гр не есть крат-
чайшая кривая от 9? до р. Значит, кратчайшей кривой будут или
хр, или ур.
Эти соображения можно перенести на случай четырехмерного
пространственно-временного многообразия Л с лоренцевой мет-
рикой g. Вместо прямых линий тогда нужно рассматривать гео-
дезические, а вместо кратчайшей кривой искать времениподоб-
ную кривую наибольшей длины между точкой р и простран-
ственноподобной поверхностью 9> (ввиду лоренцевой сигнатуры
метрики здесь не будет кратчайшей времениподобной кривой, но,
возможно, найдется такая кривая наибольшей длины). Эта кри-
вая должна быть геодезической, пересекающей 9> ортогонально,
и между 9? и р не может быть какой-либо фокальной точки гео-
дезических, ортогональных к РР. Аналогичные результаты можно
получить для изотропных геодезических. Эти результаты исполь-
зуются в гл. 8 для доказательства существования сингулярно-
стей при определенных условиях.
В гл. 5 мы описываем ряд точных решений уравнений Эйн-
штейна. Эти решения не являются реалистическими в том смыс-
ле, что все они обладают точными симметриями. Однако они
служат полезными примерами для последующих глав и иллю-
стрируют различные возможные поведения решений. В частно-
сти, космологические модели, обладающие высокой симметрией,
почти все имеют пространственно-временные сингулярности.
Долгое время думали, что эти сингулярности, возможно, обус-
ловлены именно высокой степенью симметрии и они будут от-
сутствовать в более реалистических моделях. Показать, что это
на самом деле не так — одна из основных наших целей.
В гл. 6 мы исследуем причинную структуру пространства-
времени. В частной теории относительности те события, которые
могут причинно влиять на некоторое данное событие, и те, на
которые это событие само может причинно влиять, образуют
внутренние части световых конусов прошлого и будущего соот-
ветственно (рис. 3). В общей теории относительности метрика g,
которая задает световые конусы, вообще говоря, меняется от
точки к точке, а топология пространственно-временного много-
образия Л не обязательно совпадает с топологией евклидова
пространства /?4. Это приводит к большему разнообразию воз-
можностей. К примеру, можно было отождествить соответствую-
Гл. 1. Роль тяготения
15
щие точки на поверхностях 9\ и Х2 на рис. 3, чтобы получить
пространство-время с топологией /?3 X 51. В нем есть замкнутые
времениподобные кривые. Однако существование таких кривых
Рис. 3. В специальной теории относительности световой конус события р
является множеством всех лучей света, проходящих через р. Прошлое собы-
тие р — это внутренность светового конуса прошлого, а будущее событие
р — внутренность светового конуса будущего.
привело бы к нарушению причинности: можно было бы путеше-
ствовать в собственное прошлое. Большей частью мы ограни-
чимся рассмотрением пространственно-временных многообразий,
в которых такого рода нарушения причинности исключены.
Тогда в пространстве-времени для любой данной пространствен-
ноподобной поверхности существует максимальная область
16
Гл. 1 Роль тяготения
пространства-времени — назовем ее областью Коши (Cauchy de-
velopment*)),— в которой можно делать предсказания по из-
вестным начальным данным на д’. Область Коши обладает
тем свойством («глобальная гиперболичность»), что при нали-
чии в ней двух точек, которые можно соединить времениподоб-
ной кривой, между ними существует такая кривая наибольшей
длины; она будет геодезической.
Причинная структура пространства-времени может быть ис-
пользована для определения границы или края пространства-
времени. Эта граница включает в себя как бесконечность, так и
те части края пространства-времени, которые находятся на ко-
нечном расстоянии, т. е. сингулярные точки.
В гл. 7. мы рассматриваем задачу Коши для общей теории
относительности. Будет показано, что начальные данные на про-
странственноподобной поверхности определяют решение одно-
значно в области Коши для этой поверхности и что в некото-
ром смысле это решение зависит непрерывно от начальных дан-
ных. Эта глава включается для полноты изложения, а также
потому, что в ней используется ряд результатов предыдущей
главы, но чтение ее не обязательно для понимания последующих
глав.
В гл. 8 обсуждается определение пространственно-временных
сингулярностей. Это представляет известную трудность, по-
скольку нет возможности рассматривать сингулярные точки как
часть пространственно-временного многообразия Л.
Затем мы доказываем четыре теоремы, которые устанавли-
вают наличие сингулярностей при определенных условиях. Эти
условия распадаются на три категории. Во-первых, требуется
чтобы тяготение было силой притяжения; это может быть вы-
ражено в виде некоторого неравенства для тензора энергии-им-
пульса. Во-вторых требуется, чтобы количества материи, содер-
жащегося в некоторой области, было бы достаточно для того,
чтобы ничто не могло покинуть эту область. Это произойдет,
если имеется замкнутая ловушечная поверхность или если вся
Вселенная сама пространственно замкнута. Третье требование
состоит в том, чтобы не было никаких нарушений причинности.
Однако в одной из доказываемых теорем это требование не яв-
ляется необходимым. Основная идея доказательства состоит в
том, чтобы с помощью результатов гл. 6 показать, что между
определенными парами точек должны существовать временипо-
добные кривые наибольшей длины. Тогда можно доказать, что
если бы сингулярности отсутствовали, то были бы фокальные
*) В пашей литературе термин «Cauchy development» иногда переводят
как «область зависимости». — Прим, перев.
Гл. 1. Роль тяготения
17
точки, а, следовательно, не было бы кривой наибольшей длины
между этими парами точек.
После этого мы даем описание предложенной Шмидтом про-
цедуры построения границы пространства-времени, отображаю-
щей его сингулярные точки. Эта граница может отличаться от
той части причинной границы (ее определение дано в гл. 6),
которая соответствует сингулярностям.
В гл. 9 показано, что второе условие теоремы 2 гл. 8 должно
выполняться вблизи звезд с массой 1,5 массы Солнца на конеч-
ных стадиях их эволюции. Сингулярности, которые возникают
при этом, вероятно, находятся за горизонтом событий и нена-
блюдаемы извне. Там, где когда-то была звезда, внешний на-
блюдатель видит «черную дыру». Мы рассмотрим свойства этих
черных дыр и покажем, что вероятным итогом процесса образо-
вания их является установление в пространстве-времени метрики
из семейства решений Керра. В предположении, что так на са-
мом деле и происходит, можно наложить определенные ограни-
чения сверху на количество энергии, которое можно извлечь из
черной дыры. В гл. 10 показано, что второе условие теорем 2 и 3
гл. 8 выполнено при обращении знака времени для Вселенной
в целом. В этом случае сингулярности были в прошлом по отно-
шению к нам и представляют собой начало развития всей на-
блюдаемой Вселенной или ее части.
Существенная часть вводного материала содержится в раз-
делах 3.1, 3.2 и 3.4. Читателю, желающему понять лишь тео-
ремы, предсказывающие существование сингулярностей во Все-
ленной, достаточно затем прочитать только гл. 4 и разд. 6.2—6.7,
8.1, 8.2. Применение этих теорем к коллапсирующим звездам
дано в разд. 9.1 (где используются также результаты приложе-
ния Б); в разд. 10.1 эти теоремы на основе некоторого истолко-
вания моделей Робертсона — Уокера применяются к Вселенной
в целом. Обсуждение характера сингулярностей содержится в
разд. 8.1, 8.3—8.5 и 10.2; важную роль при этом играет пример
пространства Тауба — НУТ (разд. 5.8). Определенный интерес
представляет также модель Вселенной типа I Бианки (разд. 5.4).
Читателю, желающему ознакомиться лишь с вопросом о чер-
ных дырах, необходимо прочитать гл. 4 и разд. 6.2—6.6, 6.9,
9.1—9.3. Здесь мы основываемся на определенной интерпретации
решения Шварцшильда (разд. 5.5) и решения Керра (разд. 5.6).
Наконец, читатель, который в первую очередь интересуется
свойствами эволюции во времени уравнений Эйнштейна, может
ограничиться чтением разд. 6.2—6.6 и гл. 7. Для него окажутся
интересными примеры, приведенные в разд. 5.1, 5.2 и 5.5.
Мы старались сделать указатель полезным путеводителем по
всем введенным определениям и связям между ними.
Глава 2
Дифференциальная геометрия
Структура пространства-времени, о которой пойдет речь в
следующей главе и которая является основной для изложения
во всей остальной части книги, — это структура многообразия,
наделенного лоренцевой метрикой и определяемой ею аффин-
ной связностью.
В настоящей главе, в разд. 2.1, мы введем понятие много-
образия, а в разд. 2.2 — векторы и тензоры, являющиеся есте-
ственными геометрическими объектами, определяемыми на
многообразии. В разд. 2.3 будут рассмотрены отображения мно-
гообразий, что приведет нас к понятиям подмногообразий и ин-
дуцированных отображений тензоров. Производная индуциро-
ванного отображения, определяемого векторным полем, дает
производную Ли; она вводится в разд. 2.4. Там же мы даем
определение внешнего дифференцирования — другой дифферен-
циальной операции, зависящей только от структуры многообра-
зия. Эта операция встречается в обобщенной форме теоремы
Стокса.
В разд. 2.5 вводится дополнительная структура — связность;
это позволяет ввести ковариантную производную и тензор кри-
визны. В разд. 2.6 рассмотрено соотношение между метрикой
и связностью и дано выражение для тензора кривизны через тен-
зор Вейля и тензор Риччи, которые связаны между собой тожде-
ствами Бианки.
В оставшейся части главы мы обсудим ряд других вопросов
дифференциальной геометрии. В разд. 2.7 рассмотрены метрика
и связность, индуцированные на гиперповерхности, и выведены
уравнения Гаусса — Кодацци. В разд. 2.8 вводится задаваемый
метрикой элемент объема, который затем используется для дока-
зательства теоремы Гаусса. Наконец, в разд. 2.8 мы вкратце
остановимся на расслоенных пространствах, уделяя особое вни-
мание касательным и реперным расслоениям. Это позволит пере-
формулировать многие из введенных ранее понятий на красивом
геометрическом языке. Сведения из разд. 2.7 и 2.9 в дальнейшем
используются только в одном или двух местах и несущественны
для понимания основного содержания книги,
2.1. Многообразия
19
2.1. Многообразия
По существу многообразие есть пространство, локально по-
добное евклидову пространству в том смысле, что оно может
быть покрыто кусками координатных сетей. Такая структура
позволяет ввести дифференцирование, но не позволяет разли-
чить внутренним образом разные координатные системы. Сле-
довательно, структурой многообразия определяются такие по-
нятия, которые не зависят от выбора системы координат. Мы
дадим точную формулировку понятия многообразия, введя
предварительно некоторые определения.
Обозначим через R'1 евклидово пространство п измерений,
т. е. множество всевозможных наборов п чисел (х1, х2, ...,хп),
(—оо < х{ < оо) с обычной топологией (открытые и замкну-
тые множества определены, как обычно). Пусть уRn означает
«нижнюю половину» Rn, т. е. область Rn, в которой х1 0. Ото-
бражение ф открытого множества О cz Rn (соответственно
•|- Rn^ на открытое множество О' сг Rn (соответственно у Rn^
называется отображением класса Сг, или, короче, ^-отображе-
нием, если координаты (х'1, х'2, х'т) точки ф(р) в О', яв-
ляющейся образом точки р в О, есть r-кратно непрерывно диф-
ференцируемые функции (т. е. их r-е производные существуют
и непрерывны) координат (х1, х2, ..., х11) точки р. Если отобра-
жение является отображением класса Сг для любого г 0, то
говорят, что это отображение класса С°°, или С°°-отображение.
Под С°-отображением мы подразумеваем непрерывное отобра-
жение.
Говорят, что функция / на открытом множестве О ozRn ло-
кально удовлетворяет условию Липшица, если для каждого от-
крытого множества 'U сс О с компактным замыканием суще-
ствует постоянная R, такая, что для любой пары точек р, q
|f(P) — f(q) | R\P — <?|, где \р\ означает
{(х>« + (х2(р))2+ ... + (хп(р))2}'\
Отображение ф будем называть удовлетворяющим локально ус-
ловию Липшица и обозначать это как С1-, если координаты
точки ф(р) как функции координат точки р локально удовлетво-
ряют условию Липшица. Аналогично, будем говорить, что ф
есть ^-отображение, если оно класса Сг и производные
(г—I)-го порядка координат ф(р) являются функциями коор-
динат р, локально удовлетворяющими условию Липшица.
В дальнейшем мы обычно рассматриваем функции класса Сг,
НО аналогичные определения и результаты справедливы и для
функций класса Сг~.
20
Гл. 2. Дифференциальная геометрия
Пусть З3 есть произвольное множество в Rn (соответственно в
; тогда отображение ф из 3 в некоторое множествоЗ3'czRm
^соответственно у /?т) называется Сг-отображением, если ф яв-
ляется сужением на З3 и З3' Сг-отображения некоторого откры-
того множества О, содержащего З3, на некоторое открытое мно-
жество О', содержащее З3’.
п-Мерное многообразие Л класса СГ, или (^-многообразие,
есть множество Л вместе с атласом {°Иа, фа} класса Сг, т. е.
с набором карт фа}, где — подмножества Л, а фа —
взаимно-однозначные отображения соответствующих °Ма на такие
открытые множества в Rn, что
1) <^а образуют покрытие Л, т. е. Л = 33^
а
2) если 31 а П не пусто, то отображение
^М'ШАЧНШАЧ)
есть Сг-отображение некоторого открытого подмножества Rn на
открытое подмножество Rn (рис. 4).
Каждое -II., есть локально-координатная окрестность в том
смысле, что в ней определены локальные координаты х'1, а =
= 1, ..., п, заданные отображением фа [т. е. если p^.°Ua, то
координатами точки р являются координаты точки ф-Др)^ R,n}.
Условие (2) требует, чтобы в пересечении двух координатных
окрестностей координаты одной окрестности были функциями
класса Сг координат другой окрестности, и наоборот.
Какой-либо другой атлас называется совместным с данным
Сг-атласом, если их объединение есть атлас класса Сг для всего
многообразия Л. Атлас, состоящий из всех атласов, совместных
с данным, называется полным атласом многообразия. Таким об-
разом, полный атлас есть множество всех возможных систем
координат, покрывающих Л. Топология в Л определяется тре-
бованием, чтобы все открытые множества Л состояли из объеди-
нений множества вида принадлежащих полному атласу.
В такой топологии каждое отображение фа становится гомео-
морфизмом.
Определение дифференцируемого многообразия класса Сг
с краем получается заменой «/?”» на «у/?п». Тогда край мно-
гообразия Л, обозначаемый дЛ, определяется как множество
всех точек многообразия Л, образы которых при отображении фа
лежат на границе области у/?п в Rn. дЛ представляет собой
(п— 1)-мерное многообразие без края.
Эти определения могут показаться излишне сложными, од-
нако простые примеры показывают, что описание пространства
2.1. Многообразия
21
единственной координатной окрестностью, вообще говоря, невоз-
можно. Очевидно, двумерная евклидова плоскость, R2, является
многообразием. Декартовы координаты (л, у; —со <р х < оо,
—оо < у < оо) покрывают всю плоскость как одну координат-
ную окрестность, в которой ф является тождественным отобра-
жением. Полярные координаты г, 0 покрывают координатную
окрестность (г > 0, 0 < 9 < 2л); нужны по меньшей мере две
такие координатные окрестности, чтобы покрыть R2. Двумерный
Рис. 4. Там, где кооординатные окрестности б2/а и пересекаются, коор-
динаты связаны Сг-отображением ФаОФр-1.
цилиндр С2 представляет собой многообразие, получающееся из
R2 отождествлением точек (х, у) и (х + 2л, у). Тогда (х, у) яв-
ляются координатами в окрестности (0 2л; —oo<;?/<;oo),
и, чтобы покрыть С2, нужны две такие координатные окрестно-
сти. Лист Мёбиуса является многообразием, которое получается
подобным же образом: отождествляются точки (х, у) и
(х4-2л, —у). Двумерную сферу (2-сферу) S2 единичного радиуса
можно определить как поверхность в R3, задаваемую уравнением
(х1)2 + (%2)2 + (х3)2 = 1. Тогда
х2, х3; —— 1 < х2 < 1, — 1<х3<1,
будут координатами в каждой из областей х1 > 0, х1 < 0, и по-
надобится шесть таких координатных окрестностей, чтобы по-
крыть всю сферу. В действительности S2 вообще невозможно
покрыть только одной координатной окрестностью. Аналогично,
n-мерную сферу (/г-сферу) S” можно определить как множество
точек
(х')2 + (х2)2 + ... +(х«+>)-’ = 1
в Rn+'.
22
Гл. 2. Дифференциальная геометрия
Многообразие называется ориентируемым, если в полном ат-
ласе есть такой атлас {Л,,, фа}, что в каждом непустом пересе-
чении (1 якобиан \дхфдх'>\, где х\ ..., хп п х'1, . . ., х'п —
соответственно координаты в и °U$, положителен. Примером
неориентируемого многообразия является лист Мёбиуса.
Пока мы дали самое общее определение многообразия. В боль-
шинстве случаев полезно наложить еще два условия, а именно,
что Л хаусдорфово и паракомпактно. Это гарантирует нам
обычные локальные свойства.
Топологическое пространство называется хаусдорфовым, если
оно удовлетворяет аксиоме разделения Хаусдорфа: для любых
двух различных точек р, q е Л существуют непересекающиеся
открытые множества °U, Т с Л, такие, что р е с2/, q s Т.
Ь а,
<-----------« • Г» гг
.Г4) (XI)'
b' а'
------• •-------------=*~у
(У~Уь)-----------------------------(У = О)
Рис. 5. Пример нехаусдорфова многообразия. Эти две линии отождествлены
при х = у < 0. Однако точки а (х = 0) и а' (у — 0) не отождествлены.
Нельзя считать, что всякое многообразие — непременно хаусдор-
фово. Рассмотрим, например, ситуацию, изображенную на рис. 5.
На двух прямых отождествим те и только те точки b и Ъ', для
которых хь — уь, < 0. Тогда любая точка содержится в некото-
рой (координатной) окрестности, гомеоморфной открытому под-
множеству в R1. Однако не существует непересекающихся от-
крытых окрестностей °U, Т, удовлетворяющих условию а е °U,
а' е Т, где а — точка х = 0 и а' — точка у — 0.
Атлас фа} называют локально-конечным, если для лю-
бой точки р е Л найдется открытая окрестность, которая пере-
секается лишь с конечным числом множеств °Ua. Л называют
паракомпактным, если для любого атласа [Ua, Фа} существует
локально-конечный атлас {Ур, фр}, каждое Та которого содер-
жится в некотором <2/а. Связное хаусдорфово многообразие па-
ракомпактно тогда и только тогда, когда оно обладает счетным
базисом, т. е. существует такая счетная система открытых мно-
жеств, что любое открытое множество можно представить как
объединение множеств из этой системы ([91], р. 271).
Если не оговаривается иное, все рассматриваемые далее мно-
гообразия предполагаются паракомпактными связными хаусдор-
2.2. Векторы и тензоры
3
Новыми многообразиями класса С°° без края. Позднее мы уви-
дим, что при наделении Л дополнительной структурой (о суще-
ствовании аффинной связности см. разд. 2.4) требование пара-
компактности выполняется автоматически в силу прочих огра-
ничений.
Функция f на (^-многообразии Л есть отображение из Л
в У?1. Говорят, что она класса Cr (г k) в точке р е Л, если ее
представление в некоторой локально-координатной
окрестности CU., есть функция класса Ст ((Хфункция) локаль-
ных координат точки р\ f называется Сг-функцией на множестве
f с Л, если f есть О-функция в каждой точке р еТ.
В дальнейшем мы воспользуемся следующим свойством па-
ракомпактных многообразий (см. [91], р. 272). Пусть {74,, ф,,}—
любой локально-конечный атлас на паракомпактном (^-много-
образии; всегда можно найти систему функций ga класса Ck,
таких, что
1) 0 X ga. 1 на Л при любом а;
2) носитель ga, т. е. замыкание множества {ре
3= 0}, содержится в соответствующем
3) У ga (р) = 1 для всех р е Л.
а
Такую систему функций будем называть разложением еди-
ницы. Этот результат справедлив, в частности, для функций
класса С°°, но он, очевидно, не имеет места для аналитических
функций (аналитическую функцию можно представить в виде
сходящегося степенного ряда в некоторой окрестности каждой
точки р е Л, причем если она равна нулю в некоторой открытой
окрестности, то она равна нулю всюду).
Наконец, прямое произведение .X X & многообразий .X, 3
есть многообразие со структурой, которая естественным образом
определяется структурой Л и для произвольных точек р^Л,
q 3 существуют координатные окрестности Л, Т, содержащие
соответственно р и q, такие, что точка (р,д)^Л/(3 содер-
жится в координатной окрестности ЛУЛ"1 Л/^3 и имеет
в ней координаты (хг, у^, где X — координаты р в и yi — ко-
ординаты q в Т.
2.2. Векторы и тензоры
Тензорные поля представляют собой множество геометриче-
ских объектов на многообразии, которые определяются есте-
ственным образом структурой многообразия. Тензорное поле
эквивалентно заданию тензора в каждой точке многообразия.
Поэтому в первую очередь мы определим тензоры в точке много
образия. а начнем с основного понятия вектора в точке.
24
Г л. 2. Дифференциальная геометрия
Кривая Х(0 класса Ch, или, короче, Сй-кривая на Ж, есть
отображение класса С'1 некоторого интервала вещественной пря-
мой R1 в Ж. Вектор (контравариантный вектор) {dldt\ , каса-
тельный к С4-кривой Х(0 в точке Ц/q), есть оператор, который
ставит в соответствие каждой С’-функции f в X(fo) число
(dfldf)K |;. Иначе говоря, (dfldt)y, есть производная f в направле-
нии по параметру t\
(#), I, = lim Т « + s»~f (W- (2- D
\ Ot /К It s -»0 s
Сам параметр t вдоль кривой, очевидно, удовлетворяет соотно-
шению (d/dt)rf = 1.
Пусть (х1, ..., хп)—локальные координаты в некоторой
окрестности точки щ тогда
/ д[ \ _V1 (Л ВР д[ I _____________ dH df I
At dxJ Lu dz дх! I <f/
(Здесь и повсюду в книге мы пользуемся правилом суммирова-
ния, согласно которому по повторяющемуся индексу подразуме-
вается суммирование по всем значениям этого индекса.) Таким
образом, любой касательный вектор в точке р можно предста-
вить в виде линейной комбинации производных по координатам.
Обратно, пусть дана линейная комбинация Vi(didxi) |р, где Vi —
какие-то числа; рассмотрим кривую Х(£), определяемую уравне-
нием хЦЩ)) = х3'(р) + tV} для t из некоторого интервала
[—е, е]; тогда касательным вектором в этой кривой точке р яв-
ляется Vi(d/dxi)P. Следовательно, касательные векторы в р об-
разуют векторное пространство над R\ натянутое на координат-
ные производные (d/dxi)\P; структура векторного пространства
задана соотношением
(aX + ₽Y)f = a(Xf) + ₽(Yf),
справедливым для всех векторов X, Y, чисел а, |3 и функций f.
Векторы (д/дх^р линейно независимы. (Допустим, что они за-
висимы, т. е. существуют числа Vi, не все равные нулю, такие,
что Vi(d/dxj) |р = 0; тогда, применив это соотношение к каждой
координате, мы получим равенство
= у* = о
дх'
т. е. противоречие.) Таким образом, пространство всех касатель-
ных к Ж в точке р векторов, обозначаемое ТР(Ж) или просто Тр,
есть и-мерное векторное пространство. Это пространство, пред-
ставляющее собой множество всех направлений в р, называется
2.2. Векторы и тензоры
25
касательным к Я векторным пространством в р. Можно пред-
ставлять себе вектор V е Тр в виде стрелки в р, направленной
здоль кривой А.(/), т. е. вдоль касательного вектора V в то чке р;
зри этом «длина» V зависит от выбора параметра t вдолзь кри-
зой и определяется соотношением V (ф) — 1. [Жирным шрифтом
отмечено, что V — оператор; его компоненты V-* и V (/) — р> езуль-
гат действия V на функцию f, — являются числами и печат-аются
курсивом.]
Пусть {Еа} (а = 1, ..., п)—какая-либо совокупность п ли-
нейно независимых векторов в точке р. Тогда любой изектор
V е Тр можно записать в виде V = УаЕа, где числа {Va } суть
компоненты V относительно базиса {Еа} векторов в р. (В ч астно-
:ти, в качестве {Еа} можно выбрать координатный базис (д/фдхф р;
тогда компонентами V‘— V(хф = (dx*)di) \ р будут произвводные
координат xi в направлении V.)
Линейная форма*) (ковариантный вектор) ю в р есть веще-
ственная линейная функция на пространстве Тр. Число, кюторое
линейная форма ю ставит в соответствие вектору X в тоочке р,
будем записывать в виде (ю, X); тогда из линейности следует,
что при всех а, р е R1 и X, Y е Тр выполняется равенство
<<о, аХ + 0Y) = а <<о, X) ф- 0 (о, Y).
Подпространство в Тр, определяемое при заданной лижзейной
форме ю уравнением (о, X) = const, линейно. Поэтому . линей-
ную форму в точке р можно представлять себе как пару гилоско-
стей в Тр, таких, что вектор X лежит в одной плоскости, если
(w, X) = 0, и касается концом другой, если (со, X) = 1.
Пусть дан базис {Еа} векторов в р; тогда можно построить
такую единственную систему {Е“} из п линейных форм, щто ли-
нейная форма Е; отображает любой вектор X в число Ж* (i-ю
компоненту X относительно базиса {Еа}). При этом, в частности,
(Еа, Еь) — 6%. Определив линейные комбинации линейны: х форм
равенством
(а® + 0П, X) = а (о), Х> + 0 (п, X)
для любых линейных форм w, q и произвольных а, е R1,
X е Тр, можно рассматривать {Е“} как базис для литейных
форм, ибо любую линейную форму можно записать в виде
© = coiE, где со; = (ю, Ег). Таким образом, множество всех ли-
нейных форм в точке р образует n-мерное векторное простран-
ство Т*р, дуальное касательному пространству. Базис литейных
*) В оригинале «one-form» (1-форма). Мы пользуемся здесь бо1лее при-
вычным термином «линейная форма», по после введения на стр. 30 термина
ър-форма.-», мы тоже будем называть линейную форму 1-формой. — Прим,
перев.
26 Гл. 2. Дифференциальная геометрия
форм {Еа} есть базис, дуальный базису векторов {Еа}. Для лю-
бых (о е Т*р, Х^Тр число (о, X) можно выразить через компо-
ненты Ыг и X’ в дуальных базисах {Еа}, {Еа}:
<<0, = ГЕ/) = ®Х
Любая функция f на Л определяет в р линейную форму df
по правилу: для произвольного вектора X
<df, X) = Xf.
df называется дифференциалом f. Пусть х1, ..., хп — локальные
координаты; совокупность дифференциалов (dx1, dx2, . .., dx”)
в точке р образует базис линейных форм, дуальный базису век-
торов (д/дх1, б/бх2...д)дхп) в р, поскольку
(dxf, д[дх!} = = 6‘,.
дх‘
Дифференциал df произвольной функции f записывается в этом
базисе в виде
J £ df А I
df ——7- dx .
дх
Если df ф 0, поверхности f = const являются (п— 1)-мерными
многообразиями. Множество всех векторов X, для которых
<^df, X) = 0, образует подпространство Тр, состоящее из всех
векторов, которые касательны в точке р к кривым, лежащим на
поверхности f = const. Следовательно, df можно рассматривать
как нормаль к поверхности f = const в р. Если а =И= 0, то adt
также будет нормалью к этой поверхности.
Из пространства Тр векторов ври пространства Т*р линей-
ных форм в р мы можем образовать прямое произведение
Пг = ЛхЛХ ХЕР х ТрХТрХ ... х Тр,
г сомножителей s сомножителей
т. е. упорядоченное множество векторов и линейных форм
(т]1, ..., т/, YJ, где Y — произвольный вектор, т] — про-
извольная линейная форма.
Тензор типа (г, s) в точке р есть функция на Пр, линейная
по каждому из аргументов. Пусть Т — тензор типа (г, s) в р;
он ставит в соответствие элементу (л1, Лг, Y1( ..., Ys) про-
странства Пр число, которое запишем в виде
Пг, Y1( .... УЛ
2.2. Векторы и тензоры
27
Тогда линейность означает, что
ГСП1....«Х + pY, Y2..........Ys) =
= а-7’« ...» X, Y2) .... Ys) +
+ ₽• W, .... Пг, Y, Y2, Ys)
при любых а, ре/?’ и X, Y e Tp.
Пространство всех таких тензоров называется тензорным
произведением
Trs (р) = ТР® ... ®ТР®ГР® ... ®ГР.
г сомножителей s сомножителей
В частности, Т\(р) = Тр и Т®(р) — 'Г*р.
Сложение тензоров типа (г, s) определяется следующим обра-
зом: (Т + Т') есть тензор типа (г, s) в точке р, такой," что для
произвольных Y; е Тр, е 1*р
(Т + Т')№, ..., if, Y„ ..., Ys) =
= ..., rf, Yb ..., Ys) + r(n', if, Yl_______Ys).
Аналогично определяется умножение тензора на скаляр а: аТ есть
тензор, такой, что для любых Y, е Тр, ту е Т*р
аТ(п', Ч2, Y„ ..., Ys) = a-T(n‘, .... rf, Y„ Ys).
В сочетании с этими правилами сложения и умножения тензор-
ное произведение Trs(p) является векторным пространством раз-
мерности nr+s над R1.
Пусть X, е Тр (Z = I, ..., г) и о е Г„ (/ = I, . .., s). Тогда
мы будем обозначать через Х[ ® ... ®Хг®(о'® ... ® (0s такой
элемент из Trs (р), который ставит в соответствие элементу
(ч', ..., rf, Yi, ..., Ys) из Пг число
К х,><П2, х2) . •. (пг, хг><0)', Y,) ... W, Y,}.
Аналогично, если ReTs(p) и Ss7''"(p), будем обозначать
через R®S такой элемент пространства ТР+з(р), который ста-
вит в соответствие элементу (г)1...rf, Yb ..., Ys+<7) из Пр+,
число
•••. 4s, Y1; ..., Yr)S(qs+1, ..., ns4 Yr+„ ..., Yr+p).
Тензорные пространства в p вместе с операцией умножения ®
образуют алгебру над R1.
Если {ЕД {Е«} — дуальные базисы соответственно в Тр
и Т*р, то
{Eaj® ... ®Ea(.® E6‘ ® ... ® E6s}, at, bj—X, ..., п,
28
Гл. 2. Дифференциальная геометрия
будет базисом в Trs (р). Произвольный тензор Т <=Trs(p) можно
записать в этом базисе как
Т = Г',"\ . Е ® ® Е g Е&>® . . . ®еЧ
... Ds аГ
где 7,ai---ar& ь —компоненты Т относительно дуальных бази
еоч (Е„), (Е“): '
„...“’'(Е'1. Е“'. Е,,, .... E(j).
Соотношения тензорной алгебры в р можно написать для ком-
понент тензоров:
(т _1_ т'\а\ аг _та1---аг д_т/а1’--вг
^a'-arbi,„b=a-T^-arbt_ b-,
(T®T')a'---a^+ph . =T^---ar T'ar+i‘"ar+p '
V 1 bf- bs + q bi---bs bs+t...bs + (j
Обычно мы будем представлять тензорные соотношения именно
в такой записи ввиду ее удобства.
Если {Еа'} и {Еа} —другая пара дуальных базисов в^и Т*р,
их элементы можно записать в базисах {EJ, {е“} в виде
Еа- = Фа-аЕа, (2.2}
Еа' = Ф\Еа, (2.3)
где Фа-а и Ф“а — несингулярные матрицы яХп. Поскольку
{ЕЛ, {ЕЛ — дуальные базисы,
6Ь'а' = (еЛ Еа-> = (ф^Е6, Фа'“Еа) = ФЛФЬ'ьд? = ФЛФЬ'а,
т. е. ФЛ, Фа а — взаимно-обратные матрицы и 6ab = Ф^Ф6 ь-
а ...а
Компонентами Т ] г , , тензора Т относительно дуаль-
1 s
НЫХ базисов {Еа'}, {Еа} являются
, = р(е“1, ..., е“г Е,, ...,Е,\
b ... b I ’ ’ ь, ь I
Г S \ 1 S/
Они связаны с компонентами pai---arb .ь относительно бази-
сов {Еа}, {Е°} соотношением
, = Га1-аг ф< ... ф< ф ?• ... ф (2.4)
Ь, ... b b, ... b a a b Ь
\ s 1 s 1 г 1 s
Свертка тензора Т типа (г, s) с компонентами ТаЬdef... g
относительно базисов {Еа}, {Ев} по первому контравариантному
2.2. Векторы и тензоры
29
и первому ковариантному индексам есть по определению тен-
зор С'(Т) типа (г — 1, s — 1), компоненты которого относительно
тех же базисов равны ТаЬ daf... g, т. е.
C\(T) = Tab-daf ...gEb® ... ®Ed®Ef® ... ®Ег.
Если {Еа-}, {Еа} — другая пара базисов, то определяемая ею
свертка равна
С'} (Т) = Г*'6'-•d'a7'...g'E6'® ... ®Е^®ЕГ® ... ®Eg' =
= ••• Ф<АЛ ... Фвг-Еб® ...
... ®Ed®E?® ... ®Ег =
= Tab--daf...gEb® ... ®Ed®Ef® ... ®Eg = C;(T),
так что свертка тензора С} не зависит от базиса, использован-
ного при ее определении. Подобным же образом можно сверты-
вать Т по любой паре контравариантных и ковариантных индек-
сов. (Если бы мы свернули по двум контравариантным или по
двум ковариантным индексам, то полученный тензор зависел бы
от базиса.)
Симметричная часть тензора Т типа (2,0) есть тензор
S(T)(m, П2) = 4-<Г^’ Ъ) + Т(ъ, П1)}
при произвольных т][, г)2 е Т*р. Будем обозначать компоненты
3(Т)аЬ этого тензора через Т<аЪ'1; тогда
Аналогично, компоненты антисимметричной части Т будем обо-
значать через
Вообще для обозначения компонент симметричной или антисим-
метричной части тензора по данной совокупности ковариантных
или контравариантных индексов мы будем заключать эти индек-
сы в круглые или квадратные скобки. Так,
Т(а, ... аг) f = yj-{сумма по всем перестановкам индексов
at, ..., аг в Tai... ab "f}
и
^[“i ••• аг} = уг{альтернированная сумма по всем переста-
новкам индексов alt .... аг В Та{ ... аЬ f}
30
Гл. 2. Дифференциальная геометрия
Например,
- 4 {Kabcd + K°dbc + Kacdb - Kabdc - Kacbd - Kadcb}.
Тензор симметричен по данной совокупности контравариантных
или ковариантных индексов, если он равен своей симметричной
части по этим индексам, и антисимметричен, если он равен своей
антисимметричной части. Так, например, тензор Т типа (0,2)
симметричен, если ТаЬ ~ -% (ТаЬ -ф ТЬа); это свойство иначе можно
выразить равенством Т[аь] — 0.
Особый интерес представляют тензоры типа (0, q), антисим-
метричные по всем q индексам (при этом необходимо q^n')\
такой тензор называется q-формой. Если А и В соответственно
р- и 7-формы, можно из них построить (р -ф q) -форму А А В,
где А означает антисимметризованное тензорное произведение
®; иначе говоря, А Л В есть тензор типа (0, р -ф q) с компонен-
тами
(А А В)а _ bc ,,.f~ ^[а ... Ь^с ... р-
Из этого следует, что АЛВ=(—1)р^(ВЛА). Пространство
внешних форм (т. е. пространство всех р-форм при всех р, вклю-
чая линейные формы в качестве 1-форм и скаляры в качестве
0-форм) вместе с операцией умножения образуют грассманову
алгебру (внешних) форм. Пусть {Е“}— базис линейных форм;
тогда формы Ea> Д ... Д Еар (а{ = 1, .... п) образуют базис
р-форм, поскольку любая р-форма А может быть представлена
в виде А = Аа ... ьЕ“ Л ... Л Е6, где Аа ... ь = А[а ... Ь].
До сих пор мы рассматривали тензоры, определенные в не-
которой фиксированной точке многообразия. Система локальных
координат {А} на открытом множестве к Ж задает базис век-
торов {(д!дх1)\р} и базис линейных форм (1-форм {(dA)|p}),
а следовательно, и базис тензоров типа (г, s) в каждой точке 01.
Такой базис тензоров называется координатным базисом. По
определению мы имеем тензорное поле Т типа (г, s) класса Ch
(тензорное Ск-поле) на множестве ТслЖ, если в каждой точке р
множества У задан элемент пространства Trs(p}> такой, что ком-
поненты Т относительно любого координатного базиса, опреде-
ленного на У, являются функциями класса Ck.
Вообще говоря, в использовании координатного базиса тен-
зоров нет необходимости: вовсе не обязательно, чтобы на У для
заданного базиса векторов {ЕД и дуального ему базиса линей-
ных форм {Е“} нашлось такое открытое подмножество, в кото-
ром существовали бы локальные координаты {л;а}, удовлетво-
ряющие условию Еа = д/дха и Е“ — dxa. Однако использование
координатного базиса приводит к некоторым упрощениям, в част-
2.3. Отображение многообразий
31
ности,для любой функции f выполняется соотношение Ea(Ebf)~
= Eb(Eaf), эквивалентное равенству д2Цдхадхъ — d2f/dxbdxa.
При переходе от координатного базиса Еа — д/дха к координат-
ному базису Еа’ = д!дха' в силу (2.2) и (2.3) имеем
Ясно, что базис общего вида {Еа} можно получить из коорди-
натного базиса {djdx1-}, задав функции Еа1, компоненты Еа
в базисе {d/dv'}; тогда (2.2) и (2.3) запишутся соответственно
в виде Еа = Е'ад1дх1 и En — Eaidxl, причем матрица Eat дуальна
матрице Е„.
2.3. Отображение многообразий
В этом параграфе, пользуясь общим понятием отображения
(^-многообразия, мы дадим определение понятий вложения, по-
гружения и индуцированного отображения тензоров. Первые два
из них будут полезны позднее при рассмотрении подмногообра-
зий, а третье играет важную роль при исследовании поведения
семейств кривых и при установлении свойств симметрии много-
образий.
Отображение ф из «-мерного (^-многообразия Л в «'-мерное
(^'-многообразие называется отображением класса Сг или
О’-отображением (г k, r^fe'), если для каких-либо локаль-
ных координатных систем в Л и Л’ координаты точки-образа
е Л' суть Сг-функции координат точки ре Л. Поскольку
такое отображение, вообще говоря, не является взаимно одно-
значным (например, оно не может быть таковым, если «>«'),
то в общем случае оно не имеет обратного. Даже, если некото-
рое Сг-отображение имеет обратное, то последнее, вообще го-
воря, не будет класса Ст (пусть, например, ф есть отображение
Я1-*#1, устанавливающее соответствие х—>х3; тогда ф~1 недиф-
ференцируемо в точке х — 0).
Пусть f — функция на Л'. Отображение ф задает на Л функ-
цию ф*, значением которой в точке р является значение f в точ-
ке ф(р), т. е.
= (2.5)
Таким образом, когда ф отображает точки из Л в Л’, ф* линей-
но отображает функции из Л' в Л.
Если Х(()—кривая, проходящая через точку р<=Л, то кри-
вая ^>(Л(()) в Л', на которую отображается Л((), проходит через
точку Ф(р). При г 1 касательный вектор к этой кривой! в точ-
ке ф(р) будем обозначать как ф* (d/dt) Д ф ( ; его можно рассма-
тривать как образ вектора (d/dt)}\p при отображении ф.
32
Г.i. 2. Дифференциальная геометрия
Очевидно, <£* есть линейное отображение из ТР(Ж) в Тф [р) (Ж').
Из (2.5) и определения вектора как производной по направле-
нию следует, что отображение векторов </>* можно охарактеризо-
вать соотношением
x(Olp==-M(J)U
для каждой Сг-функции (г 1) в точке ф(р) и вектора X в р.
Используя отображение векторов <£* из Ж в Ж', можно при
т 2^ 1 определить линейное отображение 1-форм ф* изТ*ф(Р) (Ж')
в Т*р (Ж), требуя, чтобы свертка вектора и 1-формы при этих
отображениях сохранялась. Тогда 1-форма А е Т*ф (Р> отобра-
жается в 1-форму <£*А е Т*р, причем для произвольного век-
тора X е Тр имеем
{ф*Ь, Х>|р = <А, ФХ)\ф{рУ
Следствием этого является равенство
</►* (df) = d (</>*/). (2.7)
Отображениям ф* и ф* можно придать более широкий смысл
отображений контравариантных тензоров из Ж в Ж' и ковари-
антных тензоров из Ж' в Ж соответственно, если задать следую-
щие правила:
Фгт ^т°г(р)->фд ^НШрУр
ф*:Т^Гй (</>(p))->^TeT°s(p),
причем для любого г\1^Т*ф(Р')
т(Ф^...,Ф*у)\р = ф,тм........
и для любого
П(хи...,хд = тхн...,^дд(р).
При г 1 говорят, что (^-отображение ф из Ж в Ж' имеет
ранг s в точке р, если размерность ф*(Тр(Ж)) равна s. Оно на-
зывается инъективным в р, если s = п (и, следовательно, п^п')
в р\ тогда в Тр нет вектора, который обращается отображением
ф* в нуль, ф» называется сюръективным, если s = п' (и, следова-
тельно, п п').
(^•отображение ф (г 0) называют погружением, если оно
и обратное ему отображение локально также являются Сг-отоб-
ражениями, т. е. если у каждой точки р Ж существует такая
ее окрестность °U, что обратное отображение ф~1, ограниченное
на ф(°Ы), тоже принадлежит классу Сг. Это означает, что п^2п'.
В силу теоремы о неявной функции ([161], р. 41), при 1 ф
тогда и только тогда будет погружением, когда оно инъективно
в каждой точке р е Ж\ в этом случае ф„ есть изоморфизм Тр на
2.3. Отображение многообразий
33
его образ ф„(Тр) с: ТФ(Р). В этом случае говорят, что образ ф(Л)
является «-мерным погруженным подмногообразием в Л'. Это
подмногообразие может иметь самопересечения, т. е. ф может не
быть взаимно-однозначным, если ограничиться малой окрест-
ностью в Л'.
Погружение является вложением, если оно представляет со-
бой гомеоморфизм на свой образ по индуцированной топологии.
Таким образом, вложение есть взаимно-однозначное погружение;
Рис. 6. Взаимно однозначное погружение Р1 в R2, не являющееся вложе-
нием. Оно получено гладким присоединением части кривой у = sin (1/%)
к кривой {(у, 0); — со < у < 1}.
однако не всякое взаимно-однозначное погружение есть вложе-
ние, см., например, рис. 6. Отображение ф называется собствен-
ным, если образ любого компактного множества У£ сг Л' при
обратном отображении (Ж) компактен. Можно показать, что
собственное взаимно-однозначное погружение есть вложение.
Образ ф{Л} многообразия Л при отображении ф называется
п-мерным вложенным подмногообразием Л'.
Отображение из Л в Л' называют Сг-диффеоморфизмом,
если оно является взаимно-однозначным Сг-отображением и об-
ратное отображение ф~1 есть С'-отображение из Л' в Л. В этом
случае п — п' и при г~^г-1 ф одновременно и инъективно, и сюръ-
ективно. Обратно, из теоремы о неявной функции следует, что
если ф* и инъективно, и сюръективно в точке р, то р имеет от-
крытую окрестность °U, такую, что ф:Л -> ф(^1) есть диффео-
морфизм. Таким образом, ф есть локальный диффеоморфизм в
окрестности р, если ф.„ является изоморфизмом из Тр в ТФ(Р).
2 Заказ 381
34
Гл. 2. Дифференциальная геометрия
Если отображение ф является (/-диффеоморфизмом (г^1),
то ф* отображает ТР(Л() в Тцп](.ТС) и (Ф~‘) отображает Г‘р(./А)
в Т*ф(р)(Л'). Следовательно, мы можем определить отображе-
ние ф* пространства Trs (р) в Trs (ф (р)) при любых (г, s) равенством
Ttf......rf, Х„ .... Хг)|р =
= Ф*т ((</>-')* < . . , (</>-')* VIs, ^Х1, • • •, ФЛ) \фМ,
где Хг е Тр и г\’'е^'Гр произвольны. Это отображение тензоров
типа (г, s) на М в тензоры типа (г, s) на М' сохраняет симмет-
рии и соотношения тензорной алгебры; например, свертка фЛТ
равна отображению ф* свертки Т.
2.4. Внешнее дифференцирование и производная Ли
Теперь нам предстоит рассмотреть три дифференциальных
оператора на многообразии, два из которых полностью опреде-
ляются структурой многообразия, а определение третьего
(разд. 2.5) связано с введением дополнительной структуры.
Оператор внешнего дифференцирования d линейно отобра-
жает поле r-формы в поле (г + 1)-формы. Его действие на поле
0-формы (т. е. на функцию) f дает поле 1-формы df по правилу
(ср. с разд. 2.2):
(df,X) = Xf (2.8)
для всех векторных полей X; действие d на поле г-формы
А = АаЬ... d dxa Д dxb Д ... Ad/
дает поле (г + 1)-формы dA:
dA = dAab... d A dxa A dx6 A A dxd. (2.9)
Чтобы убедиться, что это поле (г + 1)-формы не зависит от вы-
бора координат {ха}, использованных при его определении, рас-
смотрим другую систему координат {№'}. Тогда
А = Aa'v ,,.d' dxa' A dxb' A • • dxd',
где
Л _ дха дхъ dxd „
Л а’Ъ' ... d' а, ь, • • d, Aab ... d~
дх дх dx
2.4. Внешнее дифференцирование
35
Следовательно, (г + 1)-формой dA, определяемой этими коор-
динатами, является
dA = dAa-i' ...d' dxa' Д d?' Д ... Д dxd’ =
= d (-r^ tv- • • • Aab ••• Л dxa'л dx'6'л • • dx"' =
\ dx dx" dx /
- Adx“' да?' л ... A dxd' +
dxa dx dxa
/)2 а ъ b д d
+ -4^— ^Aab...d dx?' Д dxa' A dx1?' Д... л dxd'+
dx dx dx dxa
= dAab... d Д dxa Д dxb A ... A dxd
ввиду симметрии д2ха!дха' дх?' и антисимметрии dx?' Д dxa' по
а' и е'. Отметим, что такое определение подходит только для
внешних форм: оно не будет независимым от выбора координат,
если внешнее умножение Л заменить тензорным произведением.
Используя равенство d (fg) — gdf + fdg, справедливое для про-
извольных функций f, g, для любых r-формы А и 1-формы В
получим, что d(A Л В) = dA Л В + (—l)rAAdB. Согласно
(2.8), локально-координатное выражение df имеет вид df —
= (df/dx^dx^, отсюда следует, что d(df) = (d2f/dxidx^)dxi Л
д Ах1 = 0, поскольку первый множитель симметричен, а второй
антисимметричен. Аналогично, из (2.9) следует, что
d(dA) = 0
для любого поля r-формы А.
Оператор d коммутирует с отображениями многообразия в
следующем смысле: пусть $-.Я -> Л' есть Сг-отображение (г^2)
и А — некоторое С^-поле внешней формы (А Зд 2) на Я’\ тогда,
согласно (2.7),
d (^>*А) = </•* (dA)
(что эквивалентно правилу дифференцирования сложных функ-
ций) .
Оператор d естественным образом появляется в общей фор-
мулировке теоремы Стокса на многообразии. Сначала мы опре-
делим интегрирование n-формы. Пусть Л — компактное ориен-
тируемое n-мерное многообразие с границей дЯ и пусть {fa} —
разложение единицы для конечного ориентированного атласа
Тогда интеграл по Я поля n-формы А на Я опреде-
ляется как
$а = £ $ М12 .„d.r'd.r ... d.A, (2.10)
м а *a(^a)
2*
36
Гл. 2. Дифференциальная геометрия
где Л12... п — компоненты А относительно локальных координат в
координатной окрестности °Urx, а интегралы в правой части — это
обычные кратные интегралы по открытым множествам фа.(аИа')
в Rn. Таким образом интегрирование га-формы по Л сводится
к отображению формы в Rn (путем введения локальных коорди-
нат) и обычному кратному интегрированию в Rn\ существова-
ние разложения единицы гарантирует глобальную справедли-
вость этой операции.
Интеграл (2.10) является хорошо определенной величиной,
поскольку, выбирая другой атлас {Тр, фр} и разложение еди-
ницы {gp} для этого атласа, мы получили бы интеграл
Е S ёЛт ...nAxV ••• d^'-
где х'1' — соответствующие локальные координаты. Из сравнения
этих двух величин в пересечении П координатных окрест-
ностей, принадлежащих двум атласам, видно, что первую из них
можно представить в виде
ЕЕ 5 1а8&А12...пйх]йх2 ... dx",
« 15 ^а(^аПГр)
а вторую в виде
ЕЕ 5 UA2'...„'d*''d*2' ixn'-
а ₽ Ч’р^аПГр)
В силу законов преобразования n-формы А и кратных ин-
тегралов в Rn эти выражения равны в окрестности любой точки,
и, следовательно, А не зависит от выбора атласа и разложе-
м
ния единицы.
Подобным же образом можно показать, что этот интеграл ин-
вариантен относительно диффеоморфизмов: если ф есть ^-диф-
феоморфизм (г 1) из Л в Л', то
= 5 А.
М' м
Обобщенную теорему Стокса можно сформулировать теперь
с помощью оператора d следующим образом: пусть В — поле
(п — 1)-формы на Л, тогда
В = п dB,
ЗМ <М
2.4. Внешнее дифференцирование
37
в чем можно убедиться (см., например, [161]), используя данные
выше определения; по существу мы получили общую формули-
ровку этой фундаментальной теоремы анализа. Чтобы выпол-
нить интегрирование в левой части, нужно задать ориентацию
границы дЛ многообразия Л. Это делается следующим обра-
зом. Пусть — такая координатная окрестность из ориентиро-
ванного атласа многообразия Л, что °ил пересекает дЛ\ тогда,
согласно определению дЛ, фл(Ша П dj?) лежит в плоскости
х1 — 0 в Rn и Фа^а П Л) лежит в нижней половине х1 0.
Координаты (х2, х3, ..., хп) являются тогда ориентированными
координатами в окрестности ‘З/д П дЛ границы дЛ. Можно убе-
диться, что таким путем получается ориентированный атлас
на дЛ.
Структурой многообразия естественным образом опреде-
ляется другой вид дифференцирования — производная Ли. Рас-
смотрим произвольное векторное Сг-поле (rljs 1) X на Л.
Согласно фундаментальной теореме для систем обыкновен-
ных дифференциальных уравнений [18], через каждую точку
р е Л проходит единственная максимальная кривая %(/), такая,
что 2,(0) = р и ее касательный вектор в точке Х(0 есть вектор
Пусть {лч} — локальные координаты, так что кривая Х(/)
имеет координаты х’(0, а вектор X — компоненты X1. Тогда ло-
кально эта кривая есть решение системы дифференциальных
уравнений
dx'/d/ = Х‘ (х' (I), ..хп(/)).
Эта кривая называется интегральной кривой векторного поля X
с начальной точкой р. Для каждой точки q^-Л найдется ее от-
крытая окрестность °U и е > 0, такие, что X задает семейство
диффеоморфизмов фрЛ1 -> Л, если |/|< е, которые получаются
переносом каждой точки на параметрическое расстояние t
вдоль интегральных кривых X. В самом деле, отображения ф(1)
образуют однопараметрическую локальную группу диффеомор-
физмов, поскольку <фt+s Ф± Фз=ФзОф1 ДЛЯ |/l, |5|, П + «1<
<8, так что ф-л~(ф^ *» а ф0 есть единица группы. Этот
диффеоморфизм отображает в <^*Т | (р) в точке р любое тензор-
ное поле Т типа (г, s).
По определению производная Ли Т тензорного поля Т от-
носительно X есть взятое с обратным знаком значение в точке
t = 0 производной семейства тензоров Ф^Л | по t, т. е.
Из свойств </>* следует
1) Lx сохраняет тип тензора, т. е. если Т — тензорное поле
типа (г, $), то LxT — тензорное поле того же типа;
38
Гл. 2. Дифференциальная геометрия
2) Лх — линейное отображение и сохраняет свертку.
Можно доказать, что как и в обычном анализе справедливо
правило Лейбница;
3) для произвольных тензоров S, Т Lx (S ® Т) = LXS ® Т ф-
+ S ® ТХТ.
Из предыдущих определений непосредственно следует
4) Lxf = Xf, где f — любая функция. При отображении
точка q = Ф-tip) отображается в р. Поэтому есть отображе-
ние из Тд в Тр. Следовательно, в силу (2.6)
В локальных координатах {%'}, введенных в окрестности точ-
ки р, координаты компоненты $t*Y в р равны
\Р = № \Рxi = yi \<, ттлу!
х > / ip ip W дх‘ (</) дх‘ (q)
Поскольку
dx1 _ „г .
dt “Л 'W
TO
d Гдх{(ф{(д))\ __ dX‘
d/ \ dxTq) ) t = o dxi p'
и, следовательно,
P Л = - ^ I. - -> X’ -^Y>. (2.11)
Для любых С2-функций f последнее равенство можно переписать
в виде
(LxY)f = X(Yf)-Y(Xf).
Иногда мы будем обозначать LxY через [X, Y], т. е.
Z.XY = — TYX = [X, Y] = [Y, X].
Когда производная Ли двух векторных полей X, Y равна
нулю, говорят, что эти векторные поля коммутируют. В этом
случае, если из точки р двигаться вдоль интегральной кривой
поля X на расстояние t (по параметру кривой), а потом вдоль
интегральной кривой Y на расстояние s, то конечная точка будет
той же, как при движении сначала на расстояние s вдоль инте-
гральной кривой Y, а затем на расстояние I вдоль интегральной
кривой X (см. рис. 7). Таким образом, множество всех точек,
которых можно достичь, двигаясь из данной точки р вдоль инте-
гральных кривых X и Y, образует погруженное двумерное под-
многообразие, содержащее р.
2.4. Внешнее дифференцирование
39
Компоненты производной Ли 1-формы о можно получить
сверткой равенства
Lx (о ® Y) = Lx® ® Y 4- со ® LxY
[свойство (3) производной Ли]; в результате имеем
Lx («), Y) = (Lx<o, Y) + (co, LxY)
[по свойству (2) производной Ли], где X, Y — произвольные век-
торные С4-поля. Выбирая в качестве Y базисный вектор Е; =
Рис. 7. Преобразования, порождаемые коммутирующими векторными по-
лями X, Y, переводят точку р соответственно в точки 0zx(p), 0sY (₽)•
= djdx\ получим, что координатные компоненты равны
, - (да. X , (дл’ \
(Lx<>>)i = I —— ) X1 + ®/ ( —— ),
\ dXj ) \дх1 J
поскольку из (2.11) следует, что
k laxUJ дх1
Аналогично, применяя правило Лейбница к выражению
Lx (Т ® Е" ® ... ® Erf ® Ее ® ... ® Eg)
и затем свертывая по всем индексам, можно найти координат-
ные компоненты производной Ли любого тензорного С'-поля
40
Гл. 2. Дифференциальная геометрия
Т типа (г, s); они равны
(W)ab-de/...g
... d
ef
дх1
(2.12)
В силу (2.7) любая производная Ли коммутирует с d, т. е.
для любого поля р-формы ю
d (Lxft>) = Ах (do).
Как из этих формул, так и из их геометрической интерпрета-
ции вытекает, что производная Ли АхТр тензорного поля Т типа
(г, s) зависит от направления векторного поля X не только в
точке р, но и в соседних точках.
Таким образом, введенные нами два дифференциальных опе-
ратора, определяемые структурой многообразия, имеют слишком
ограниченный характер для того, чтобы служить обобщением
понятия частной производной, которое необходимо для задания
уравнения полей физических величин на многообразиях. В са-
мом деле, d действует только на внешние формы, а производная
Ли отличается от обычной частной производной тем, что послед-
няя (как производная по направлению) зависит только от на-
правления в рассматриваемой точке. Нужное нам обобщение
производной — ковариантную производную — можно получить
при введении на многообразии дополнительной структуры. Это
будет сделано в следующем параграфе.
2.5. Ковариантная производная и тензор кривизны
Дополнительная структура, которую мы введем, — это (аф-
финная) связность на JI. Связность V в точке р е Л есть пра-
вило, по которому любому векторному полю X ставится в точке р
в соответствие дифференциальный оператор Vx, который отобра-
жает произвольное векторное Сг-поле (г 1) в векторное поле
VXY и обладает следующими свойствами:
1) VxY есть тензор по аргументу X, т. е. для произвольных
функций f, g и векторных С'-полей X, Y, Z
Vfx+gYZ = fVxZ + gVYZ
(это эквивалентно условию зависимости Vx только от направле-
ния X в р);
2) VXY линейно по Y, т. е.
Vx(aY + pZ) = aVxY + pVxZ
для любых векторных (Д-полей Y, Z и a, f; е
2.5. Ковариантная производная
41
3) для любой О-функции f и векторного О-поля Y
Vx(/Y) = XfY + /VxY.
При выполнении всех этих условий Vx У есть ковариантная про-
изводная (относительно связности V) векторного поля Y в на-
правлении X в точке р. Согласно условию (1), ковариантную
производную векторного поля Y можно определить как такое
тензорное поле типа (1, I), которое при свертке с X дает вектор
VXY. Тогда имеем
3) OV(fY) = df ® Y+fVY.
Связность V класса Сг (Сг-связность) на ^-многообразии
(k г + 2) есть правило, по которому в каждой точке задается
связность V, такая, что, если Y — векторное Сг+1-поле на аХ, то
VY — тензорное Сг-поле.
Пусть в некоторой окрестности °U даны произвольный базис
С'+1-векторов {Еа} и дуальный базис 1-форм {Е“}; будем запи-
сывать компоненты VY как Уа-ь, тогда
= Еа.
На связность задают я3 Сг-функций Г%С) определяемые ра-
венствами
Г%с = (Еа, VEftEc)OVEc = Г%СЕ& ® Еа.
Для любого векторного С'-поля Y
VY = V (ГЕ.) = dYc 8 Е. + УТ%.ЕЬ 8 Еа.
Таким образом, компонентами VY относительно координатных
базисов {д/дха} и {dx6} являются
уа ___ dYa ।
1 -,ь — —у + 1 ь?У •
Трансформационные свойства функций ГаЬс задаются свойствами
связности (1) —(3):
Га'ь,с, = <Еа', Ve^Ec') = <Фа'аЕа, V®y6Es (Ф/Е.)) =
= фа аф/ (еь (ф/) + ф/ПД
поскольку Еа/=Фа“Еа, Еа =ФааЕа. Это равенство можно пе-
реписать в виде
= фД (ЕУ (ф/) + фДф/ГД).
В частности, если базисами являются координатные базисы, оп-
ределяемые координатами {ха}, {ха'}, закон преобразования
42
Гл, 2. Дифференциальная геометрия
имеет вид
Га' ___ дха' С д2ха , дхь дхс \
-1 Ь'С' _ п I h' л с' • h' л с’ ЬС I *
дха \ дх° дх дх дх /
Из-за члена Еь- (ФС'а) функции ГаЬс не преобразуются как ком-
поненты тензора. Однако если ковариантные производные VY и
VY получены с использованием двух различных связностей, то
VY - VY = (Га6с - Гabc) YcEb ® Ед
будет тензором. Таким образом, разности (Г%с — Га6с) являются
компонентами тензора.
Более широкое понятие ковариантной производной произ-
вольного тензора Сг-поля (г 1) можно ввести, задав следую-
щие правила (ср. со свойствами производной Ли):
1) если Т — тензорное Сг-поле типа (7, s), то VT — тензорное
Сг-1-поле типа (q, s -ф 1);
2) V — линейный оператор, коммутирующий со сверткой;
3) для произвольных тензорных полей S, Т выполняется пра-
вило Лейбница
V (S ® Т) = VS ® Т + S ® VT;
4) Vf = df для любой функции f.
Запишем компоненты VT в виде (^E.T}a’"d =Ta"'de...8-h-
\ « / е ... g
Согласно правилам (2) и (3), имеем
Ve„Ec = - Гс6аЕа,
где {Еа} — базис, дуальный {Еа}. Методом, аналогичным выводу
равенства (2.12), можно показать, что координатные компо-
ненты VT равны
rrdb ... d
™ab ... d Ui ef ... g I т-iCt ... d ।
1 ef ... g;h — Г 1 hjI ef ... g T
+ rVa/’-def...g+ ... +r\Ta6-/ef...g- (2.13)
т-if rr.cib ... d тп/ rpdb ... d тч/ rpab ... d
he* !f~-g 1 hji ej ... g~~ 1 hgl ef...
Интересным примером является единичный тензор E6®Ea, имею-
щий компонентами 6%; его ковариантная производная равна
нулю, и, следовательно, нулю равны также и ковариантные
производные обобщенных единичных тензоров с компонентами
s[VV--6ap4
Пусть Т —тензорное Сг-поле (г^1), заданное вдоль ^-кри-
вой Л(0; тогда можно ввести DT/й, ковариантную производ-
ную Т вдоль Л (2), как V5/5;T, где f — любое тензорное Сг-поле,
2.5. Ковариантная производная
43
расширяющее Т на некоторую открытую окрестность кривой k(t).
DT/dt является тензорным Сг-1-полем, которое определено вдоль
кривой Л. (О и не зависит от расширения Т. Пусть X — касатель-
ный вектор к Л. (/), тогда в записи через компоненты имеем
Y)Ta de... s/dt = Та de,.. ,g; hXh. В частности, можно выбрать
такие локальные координаты, в которых координаты кривой Л(/)
равны xa(t), Ха = d,ve/d/, и тогда для векторного поля
Y)Ya/dt = dYa/dt + YabcYc d?/dt (2.14)
Говорят, что тензор Т параллельно переносится вдоль кри-
вой Y, если DT/dl = 0. Пусть дана кривая a(Z) с концами в точ-
ках р и q, тогда из теории обыкновенных дифференциальных
уравнений при условии, что связность V — по меньшей мере
класса С1-, следует единственность тензора, получаемого в точ-
ке q параллельным переносом вдоль кривой л(^) тензора, задан-
ного в точке р. Таким образом, параллельный перенос вдоль К
есть линейное отображение из Trs (р) в Trs(q), сохраняющее все
тензорные произведения и тензорные свертки. В частности, из
этого следует, что параллельный перенос базиса векторов вдоль
данной кривой из р в q задает изоморфизм из Тр в Тд. (Если
у кривой есть самопересечения, то р и q могут быть одной и той
же точкой.)
Важное понятие возникает при рассмотрении ковариантной
производной вдоль К самого касательного вектора. Кривая Х(0
называется геодезической кривой, если вектор
^Х“4(4)Л
параллелен вектору (d/W)?., т. е. если найдется такая функция f
(возможно, равная нулю), что Ха-, ьХь — fXa. В этом случае
можно ввести новый параметр v (t) вдоль кривой, так что будет
выполняться равенство
— ( —) =. 0
dv \dvh
Такой параметр называется аффинным параметром. Связанный
с ним касательный вектор V — (d/dv)\ параллелен X, но мас-
штаб определяется условием К(ц)= 1; V подчиняется уравне-
ниям
Va.bvb + у- °;- =0, (2.15)
’ Gt>2 'ОС dy ’ х ’
причем второе (локально-координатное) выражение получается
применением (2.14) к вектору V. Аффинный параметр геодези-
ческой кривой определен с точностью до аддитивной и мульти-
пликативной постоянных, т. е. с точностью до преобразования
44
Гл. 2. Дифференциальная геометрия
v' = av + b, где а, b — постоянные; свобода в выборе b соответ-
ствует свободе выбора новой начальной точки 7.(0), свобода в
выборе а — возможности перенормировки масштаба вектора V
умножением на постоянную: V/ = (l/a)V. Будем называть гео-
дезическую кривую просто геодезической, если эта кривая па-
раметризуется каким-либо аффинным параметром.
Пусть задана Сг-связность (гГ^гО); тогда из известных тео-
рем для обыкновенных дифференциальных уравнений следует,
что для любой точки р е Л и для любого вектора Хр в р суще-
ствует максимальная геодезическая 7.x (v) в Л с начальной точ-
кой р и начальным направлением Хр, т. е. Кх(0)=р и
(d/dv)%| г-=0 ~ Хр. Если г 1, то эта геодезическая единственна
и ее зависимость от р и ХР непрерывна. Это означает, что при
г 1 можно определить такое Сг-отображение еху.ТрЛ, что
для каждого Хе Тр, ехр(Х) есть точка в Л, находящаяся на
единичном расстоянии по параметру вдоль геодезической 7.х,
начинающейся в р. Это отображение не обязательно определено
для всех Хе7'я, поскольку геодезическая 7.x (и) может не быть
определена для всех и. Если же v может принимать все значе-
ния, то говорят, что геодезическая Xx(v)—полная. Многообра-
зие Л называется геодезически полным, если все геодезические
на Л полны, т. е. если отображение ехр определено на всем про-
странстве Тр каждой точки р е Л.
Независимо от того, полно или нет многообразие Л, отобра-
жение ехрр имеет ранг п в р. Поэтому в силу теоремы о неявной
функции [161] существует открытая окрестность Дф начала в ТР
и открытая окрестность ДД точки р е Л, такие, что ехр есть
Сг-диффеоморфизм Д’о на Л’р. Такая окрестность Л’р назы-
вается нормальной окрестностью точки р. Далее, Л’р можно счи-
тать выпуклой, т. е. такой, что всякая точка q е Л’р может быть
соединена с любой другой точкой геодезической, начи-
нающейся в q и целиком лежащей в Л’р. Внутри выпуклой нор-
мальной окрестности Д’ координаты (х1, ..., хп) можно ввести
следующим образом: выбираем какую-либо точку q е Д’, базис
{Еа} в Тч и координаты точки геД’ задаем соотношением
г = ехр (л:“Ео) (т. е. точке г приписываем координаты в базисе
{Еа} точки exp-I(r)e Тд). Тогда (д/дх{)\д=Е{ и, согласно
(2.15), Г* (Ik) —0- Такие координаты называются нормальными,
координатами с началом в q. Герок [55] использовал существова-
ние нормальных окрестностей для доказательства наличия счет-
ного базиса у связного хаусдорфова С3-многообразия с С-связ-
ностью. Таким образом паракомпактность С3-многообразия можно
связать с существованием на нем С'-связности. «Нормальное»
локальное поведение геодезических в этих окрестностях контра-
стирует с поведением геодезических в большом в общем случае,
2 5. Ковариантная производная 45
когда, с одной стороны, две произвольные точки, вообще говоря,
не могут быть соединены какой-либо геодезической, а, с другой,
некоторые геодезические, исходящие из одной точки, могут со-
браться как фокусе в некоторой другой точке. Позднее мы столк-
немся с примерами и того и другого поведения.
Если задана С'-связность V, то равенство
Т (X, Y) = VXY - VYX - [X, Y]
определяет некоторое тензорное С',-1-поле типа (1, 2), где X,
Y — произвольные векторные Сг-поля. Такой тензор называется
тензором кручения. В координатном базисе его компоненты
равны
mi ___-pi т-н
1 Ik — A & — 1 £/•
Мы будем иметь дело лишь со связностями без кручения-, иначе
говоря, мы предполагаем, что Т = 0. В этом случае координат-
ные компоненты связности удовлетворяют условию — Г1^-,
и поэтому такую связность часто называют симметричной. Связ-
ность тогда и только тогда является связностью без кручения,
когда f-:ij = f-л Для всех функций f. Из уравнения геодезической
(2.15) следует, что связность без кручения полностью опреде-
ляется заданием геодезических на Л.
В отсутствие кручения ковариантные производные произволь-
ных векторных О-полей связаны с их производными Ли соотно-
шением
[X, Y] = VxY -VYX^(LxY)a ~Ya-bXb - Xa-bYb, (2.16)
а для любого тензорного С’-поля Т типа (г, s)
/ т m\ab «•« d __rpCib ... d vh mlb •«. d xrci
x^xJ ) ef...g— ef g',hX 1 ef... gX ;/ ‘
mdj .d xrb rpdb ... / -trd t
— / ef ... gA / ef...gA ;/ +
+ mob ... d vr/ । mob ... d у/ । t mcib d -yi
* !f-..gX-e + l ei.<.gX-f + ... +1
(2.17)
Легко проверить также, что внешняя производная связана с ко-
вариантной следующим образом:
dA=4...c;dd/Adx*A ... Adx^(dA)e...c</ = (-l)pAra...c;dJ,
где А — произвольная р-форма. Таким образом, уравнения, со-
держащие внешнюю производную или производную Ли, всегда
можно выразить через ковариантную производную. Однако в
силу своих определений производная Ли и внешняя производная
не зависят от связности.
46
Гл. 2. Дифференциальная геометрия
Если вектор X,., из данной точки р перенести параллельно
вдоль некоторой замкнутой кривой у снова в ту же точку р, то
получится вектор Хр, вообще говоря, отличный от X,.,; если вы-
брать другую кривую у', то полученный при этом новый вектор
в р будет, вообще говоря, отличен от ХР и от Х'р. Эта неинтегри-
руемость параллельного переноса соответствует тому, что кова-
риантные производные в общем случае не коммутируют. Меру
этой некоммутативности дает тензор (кривизны) Римана. Пусть
даны векторные Сг+1-поля X, Y, Z, а векторное Сг-1-поле R(X, Y) Z
определено Сг-связностью V следующим образом:
R (X, Y) Z = Vx (VYZ) - V¥ (VxZ) - V[x, yjZ. (2.18)
Тогда поле R(X, Y)Z линейно no X, Y, Z, и можно убедиться,
что значение R(X, Y)Z в р зависит только от значений X, Y, Z
в р, т. е. R(X, Y) Z есть тензорное Сг '-поле типа (3, 1). Чтобы
записать (2.18) в компонентах, определим вторую ковариантную
производную VVZ вектора Z как ковариантную производную
V (VZ) тензора VZ; ее компоненты равны
Z®c = (Za®;c.
Тогда (2.18) можно записать в виде
RabcdXcYdZb = (Za-,dYd).c Xе - (Za-dXd).c Yc -
- Za-d (Yd-cXc - X\fYc) = (Za.,dc - Za.cd) XcYd,
где компоненты тензора Римана Rabcd относительно дуальных
базисов {Еа} и {Еа} определяются как Rabcd = (Еа, R(EC, Ed)Eb).
Поскольку X, Y — произвольные векторы, равенство
Za-dc — Za-<cd —RabcdZb (2.19)
выражает некоммутативность вторых ковариантных производ-
ных Z через тензор Римана.
Поскольку для любых векторных С2-полей X, Y, Z и любого
С2-поля 1-формы т; выполняется равенство
Vx (fl ® VyZ) = Vxi) ® VyZ 4- Ц ® VxVyZ (тр VXVYZ) =
= X«n, VYZ»-(Vxn, VyZ),
то из (2.18) следует, что
(Ea, R(EC, Ed)E6) = Ec((Ea, VErfE6)) - Ed ((Ea, V^E*))-
-<VEEa, VErfEft) + (VEX, VEcb)-(E*, V[Ec. Ed]E4
Выбрав в качестве {Ea}, {Ea} координатные базисы, можно вы-
разить координатные компоненты тензора Римана через коор-
2.6. Метрика
47
динатные компоненты связности:
Rabed = + г (2.20)
Пользуясь этими определениями, можно убедиться, что кроме
симметрии
R bcd~ R bdc^e^R b(cd) == 0 (2.21 а)
тензор кривизны обладает также симметрией вида
R^bcdi ^0^Rabed + Radbe + Racdb = 0. (2.216)
Подобным же образом можно убедиться, что первые ковариант-
ные производные тензора Римана удовлетворяют тождествам
Бианки-.
Rab\cd-,e} = 0^Rabcd-,e + Rabec.d + R^de'.c = 0. (2.22)
Теперь мы видим, что параллельный перенос произвольного
вектора вдоль произвольной замкнутой кривой локально инте-
грируем (т. е. Хр необходимо совпадает с Хр в каждой р^Л),
только если Rai,cd — 0 во всех точках в этом случае мы гово-
рим, что связность плоская. Свертывая тензор кривизны, можно
определить тензор Риччи как тензор типа (0, 2) с компонентами
Rbd — Rabad-
2.6. Метрика
Метрический тензор g в точке р е Л есть симметричный тен-
зор типа (0, 2) в р, так что Сг-метрика на Л есть Сг-поле сим-
метричного тензора g. Метрика g приписывает каждому век-
тору Xsy, его «длину» |g(X, X) р и задает «косинус угла»
g(X,Y)
( I g (X, X) g (Y, Y) I P
между любыми двумя векторами X, Ye Тр, для которых
g(X, X) g(Y, Y) =/= 0. Будем говорить, что векторы X, Y ортого-
нальны, если g(X, Y) = 0.
Компонентами g относительно базиса {Еа} являются
gab = g<Ea, Eb) = g(£b, Ee),
т. е. компоненты g равны просто скалярным произведениям ба-
зисных векторов Еа. Если пользоваться координатным базисом,
то а
g = ® <Б?. (2.23)
Длины касательного пространства, определяемые метрикой,
связаны с длинами на многообразии следующим образом. Длина
пути между точками р = у(а) и q — y(b) вдоль кривой у(/)
48
Гл. 2. Дифференциальная геометрия
класса С°, кусочно класса С1, с касательным вектором d/dt, та-
ким, что g(djdt, d/dt) имеет один знак во всех точках у(0> равна
ь
L =^\g (d/dt, д/dt) \'l2dt. (2.24)
a
Выражения (2.23), (2.24) можно символически представить в
форме
ds2 — gtj dx1 dx!,
используемой в классических руководствах для выражения дли-
ны «бесконечно малой» дуги, задаваемой смещением координат
х{ -> х* + dx1.
Метрика называется невырожденной, если не существует та-
кого ненулевого .вектора для которого g(X, Y) = О при
всех Y е= Тр. В терминах компонент метрика не вырождена, если
матрица (gab) из компонент g неособенна. Далее мы всегда бу-
дем предполагать, что метрический тензор не вырожден. Тогда
соотношением
gabgbe =
мы можем однозначно определить симметричный тензор типа
(2,0) с компонентами gab относительно базиса {Еа}, дуального
к базису {Е“}. Иначе говоря, матрица (gab) тоже неособенна, и
тензоры gab, gab можно использовать для установления изомор-
физма между любым ковариантным тензорным аргументом и
любым контравариантным аргументом, иначе говоря, для «под-
нятия» и «опускания индексов». Таким образом, если Ха— ком-
поненты контравариантного вектора, ему однозначным образом
сопоставляется ковариантный вектор с компонентами Ха, причем
Ха = gabXb, Ха = gabXb. Аналогично, тензору Таъ типа (0, 2) мы
можем однозначно сопоставить тензоры Таъ~gacTcb, Ta=gbcTac,
Tab — gacgbdTcd. Вообще мы будем рассматривать подобные
взаимосвязанные ковариантные и контравариантные тензоры как
различные представления одного и того же геометрического объ-
екта; в частности, gab, 8аь и gab можно считать представлениями
(относительно дуальных базисов) одного и того же геометриче-
ского объекта g. Однако в некоторых случаях, когда мы будем
иметь дело более чем с одной метрикой, нужно будет тщательно
различать, какая из метрик используется для поднятия или опу-
скания индексов.
Сигнатура g в точке р есть число, равное разности числа по-
ложительных и числа отрицательных собственных значений мат-
рицы (gab) в р. Если метрика g не вырождена и непрерывна, то
сигнатура постоянна на ЛС Подходящим выбором базиса {Еа}
компоненты метрического тензора в любой точке р можно при-
2.6. Метрика
49
вести к виду-
gab = diag(+1, +1, • +1, -1, -1, , -1),
(п + s)/2 членов (п — s)/2 членов
где s — сигнатура g, п— размерность Л. В этом случае базис-
ные векторы {Еа} образуют ортонормированную систему в р,
т. е. каждый из них есть единичный вектор, ортогональный ко
всем остальным базисным векторам.
Метрика, сигнатура которой равна п, называется положи-
тельно определенной-, для такой метрики g(X, X) = 0 => X = О,
а ее каноническая форма имеет вид
gab = diag(+1, +!)
п членов
Положительно определенная метрика является «метрикой» в
пространстве в топологическом смысле этого слова.
Метрика с сигнатурой, равной п— 2, называется лоренцевой
метрикой; ее каноническая форма:
gab = diag (+1, ..+1, -1).
(n— 1) членов
Если Л наделено лоренцевой метрикой, нулевые векторы в
р<=Л можно разделить на три класса: вектор ХеГ- назы-
вается времениподобным, изотропным или пространственноподоб-
ным в зависимости от того, отрицателен, равен нулю или поло-
жителен скалярный квадрат g(X, X). Изотропные векторы обра-
зуют в Т-р двухполостный конус, отделяющий времениподобные
векторы от пространственноподобных (рис. 8). Если X, Y — ка-
кие-либо два непространственноподобных (т. е. времениподобных
или изотропных) вектора, лежащие в одной и той же полости
изотропного конуса точки р, то g(X, Y) <Д 0, причем равенство
имеет место, только когда X и Y — параллельные изотропные
векторы [т. е. при X — aY, g(X, X) = 0].
Любое паракомпактное Сг-многообразие допускает положи-
тельно определенную Сг-,-метрику (т. е. такая метрика опреде-
лена на всем Л). Чтобы убедиться в этом, возьмем разложение
единицы {/yj для локально-конечного атласа {°иа, фа}. Тогда g
можно задать равенством
g(x, Y) = Ef,W.x,
а
где ( , ) — естественное скалярное произведение в евклидовом
пространстве Rn; таким образом атлас используется для задания
метрики путем отображения евклидовой метрики в Л. Ясно, что
50
Гл. 2. Дифференциальная геометрия
такое введение метрики неинвариантно относительно изменения
атласа и, следовательно, на JI имеется много подобных положи-
тельно определенных метрик.
В противоположность этому паракомпактное Сг-многообразие
допускает лоренцеву Сг-1-метрику тогда и только тогда, когда
Времениподобные
векторы (внутри
изотропных
конусов)
Изотропный конус
Гиперплоскость,
натянутая на
Рис. 8. Изотропные конусы, определяемые лоренцевой метрикой.
Изотропный конус
Изотропные векторы
(на изотропных конусах)
Пространственноподобные
векторы (вне изотропных
конусов )

оно допускает неисчезающее С',-1-поле линейных элементов; под
полем линейных элементов подразумевается сопоставление каж-
дой точке р е Л пары равных и противоположно направленных
векторов (X, -X), т. е. поле линейных элементов подобно век-
торному полю, но не имеет определенного знака. Чтобы убе-
диться в этом, введем на многообразии положительно опреде-
ленную Сг-1-метрику g. Тогда в каждой точке р можно следую-
щим образом определить лоренцеву метрику g:
g(Y, Z) = g(Y, Z) —2 Z)~’
2.6. Метрика
51
где X — один из векторов пары (X, —X) в р. (Отметим, что X
появляется в этом выражении четное число раз, и поэтому
несущественно, подставлять X или —X.) Очевидно, g(X, Х) =
— — g(X, X), и если Y, Z — ортогональны к X относительно g,
то они ортогональны к X также относительно g, причем
g(y, Z) = g(Y, Z). Следовательно, ортонормированный относи-
тельно g базис будет ортонормированный и относительно g.
Поскольку метрика g не единственна, то на Ж имеется множе-
ство лоренцевых метрик, если есть хотя бы одна. Обратно, пусть
дана лоренцева метрика g; рассмотрим уравнениеgabXb = ),gabXb,
где g — какая-либо положительно определенная метрика. При
этом получим одно отрицательное и (п— 1) положительных соб-
ственных чисел А. Поле собственного вектора X, соответствую-
щего отрицательному собственному значению, будет локально
определено с точностью до знака нормирующего множителя; его
можно нормировать, наложив условия gabXaXb = —1, и полу-
чить таким образом поле линейных элементов на Ж.
В действительности любое некомпактное многообразие допу-
скает поле линейных элементов, а чтобы такое поле допускало
компактное многообразие, необходимо и достаточно, чтобы ха-
рактеристика Эйлера многообразия равнялась нулю (т. е. тор Т2
допускает, а сфера S2 не допускает поле линейных элементов).
Позднее будет установлено, что многообразие может быть раз-
умной моделью пространства-времени, только если оно неком-
пактно и в силу этого на нем существует множество лоренцевых
метрик.
До сих пор мы рассматривали метрический тензор и связ-
ность как две не зависимые друг от друга структуры на Ж.
Однако при заданной метрике g на Ж имеется единственная
связность без кручения, для которой ковариантная производ-
ная g равна нулю, т. е.
= 0- (2-25)
При этой связности параллельный перенос векторов сохраняет
скалярное произведение, задаваемое метрикой g; поэтому, в
частности, длины векторов инвариантны. Например, если d/dt~
вектор, касательный к геодезической, то вдоль этой геодезиче-
ской g(d/dt, d/dt) = const.
Из (2.25) следует, что для производных векторных С’-по-
лей X, Y, Z
X(g(J, Z)) = Vx(g(Y, Z)) = Vxg(Y, Z) + g(VxY, Z)+
+ g(Y, VxZ) = g(VxY, Z) + g(Y, VXZ).
Складывая это выражение с аналогичным выражением для
Y(g(Z, X)) и вычитая аналогичное выражение для Z(g(X, Y)),
52
Гл. 2. Дифференциальная геометрия
получим
g(Z, VxY) = l{-Z(g(X, Y)) + K(g(Z, X)) + X(g(Y, Z)) +
+ g(Z, [X, Y]) + g(Y, [Z, X])-g(X, [Y, Z] )}•
Выбирая в качестве X, Y, Z базисные векторы, выразим компо-
ненты связности через производные компонент метрики gab =
= g(Ee, E6) и производные Ли базисных векторов:
Гй&с = £(Еа, %Ес) = ^с.
В частности, при использовании координатного базиса эти про-
изводные Ли равны нулю и получаются обычные соотношения
Кристоффеля для координатных компонент связности:
г -1 Г 1 Z99RZ
abc 2 l дхс ' dxb дха г { 2 )
Далее мы везде будем предполагать, что на Л введена эта един-
ственная Сг-1-связность без кручения, определяемая Сг-метри-
кой g. С ее помощью можно ввести нормальные координаты
(разд. 2.5), используя, например, ортонормированный базис в q.
Впредь под нормальными координатами мы будем подразуме-
вать нормальные координаты, заданные с помощью ортонорми-
рованного базиса.
Тензор Римана для связности, задаваемой метрикой, есть
Сг-2-тензор, обладающий свойством симметрии
R(ab) cd 0 Rabcd == Rbacd (2.27а)
в дополнение к симметриям (2.21). Из равенств (2.21) и (2.27а)
следует, что тензор Римана симметричен также по парам индек-
сов {а&}> {с^}'.
Rabcd ~ Rcdab- (2.276
Отсюда видно, что тензор Риччи симметричен:
Rab^Rba- (2.27в)
Свертка тензора Риччи есть по определению скалярная кри-
визна:
п__ па __ па ЛА
X i\ а X badS •
Вследствие этих симметрий Rated имеет (Vi2)ft2(fi2— 1) алге-
браически независимых компонент, где п — размерность Л. Из
них /г(п+1)/2 компонент можно выразить через компоненты
тензора Риччи. Если п = 1, то Rated = 0. При п = 2 Rated имеет
одну независимую компоненту, которая по существу совпадает
с R. При п = 3 тензор кривизны полностью определяется тензо-
ром Риччи. Если п > 3, остальные компоненты тензора кривизны
2.6. Метрика
53
можно выразить через тензор Вейля Саъс<1, определяемый равен-
ством
2 2
Сabcd R-abcd п — 2 {^a[d^c]b + gb[c^d]a} — 1) (п — 2) ^^a[cSd]b ‘
Из того, что последние два слагаемых в правой части обладают
свойствами симметрии тензора кривизны, следует, что Cabcd так-
же обладает этими свойствами. Легко убедиться, что в дополне-
ние к этому
cabad = o,
т. е. тензор Вейля — это та часть тензора кривизны, все свертки
которой равны нулю.
Иначе тензор Вейля можно охарактеризовать тем, что он яв-
ляется конформным инвариантом. Две метрики g и g назы-
ваются конформными, если можно подобрать некоторую ненуле-
вую функцию Q, такую, что
g = Q2g. (2.28)
Тогда для любых векторов X, Y, V, W в точке р
g (X, Y) ё (X, Y)
g(V, w) g(V, w) ’
т. е. углы и отношения длин при конформных преобразованиях
сохраняются; в частности, конформные преобразования сохра-
няют структуру изотропного конуса в Тр, поскольку
g (X, X) > 0, =0, < 0 g- (X, X) > 0, =0, <0
соответственно. Поскольку компоненты метрики связаны соотно-
шениями
gab = & gab, ё g ,
то координатные компоненты связностей, определяемых метри-
ками (2.28), связаны между собой равенством
Г%с = Г%с + Q"1 + С - gbcgad -^\. (2.29)
\ дх дх дх J
Вычисляя тензор Римана для g, получаем
г,аЬ —2 паЬ г Д&
R cd = Q R ed + O[CQd},
где
Qa6 = 4Q“‘ (Q-%e gae - 2 (Q"1).^ (Q~');d gcdtfb,
54
Гл. 2. Дифференциальная геометрия
причем ковариантные производные в этом уравнении взяты от-
носительно метрики g. Отсюда (при условии п > 2)
Rbd = + («- 2) Q’1(fi"1);dcg6c-(n-2)-1Q-'I(^"2);aCg“c6^
и
____ у-уО,
bed bed'
Это последнее равенство выражает тот факт, что тензор Вейля
конформно-инвариантен. Из полученных соотношений следует,
что
R = QXR — 2 (п — 1) Qr\l-cd§.cd — (гс — 1) (п — 4) Q,c^gcd. (2.30)
Расщепив тензор Римана на две части, выражаемые соответ-
ственно через тензор Риччи и тензор Вейля, можно с помощью
тождеств Бианки (2.22) получить дифференциальные соотноше-
ния между тензором Вейля и тензором Риччи; свертывая (2.22),
имеем
Rabcd-,a = Rbd\c— Rbc-.d, (2.31)
а после вторичной свертки
Rac-.a=^R-,c
Пользуясь определением тензора Вейля (при м>3), можно
переписать (2.31) в виде
Cabcd-,a = 2 2 — 2 (и- 1) ;с]) • (2.32)
Если п 4, равенство (2.31) содержит всю информацию, имею-
щуюся в тождествах Бианки (2.22) и, таким образом, при п ~ 4
соотношение (2.32) эквивалентно этим тождествам.
Диффеоморфизм ф:Л -+ Л будем называть изометрией, если
он переводит метрику в себя, иначе говоря, если отображенная
метрика ф*£ равна g в каждой точке. Тогда отображение
фд.ТР-^ТФ (р) сохраняет скалярные произведения
S (X, Y) 1„ = ф£ (ФЛ, ФХ I. (р) = g (ФХ ФХ I, (р)-
Если данная локальная однопараметрическая группа диффео-
морфизмов ф[, порожденная векторным полем К, есть группа
изометрий (т. е. при каждом t преобразование ф1 есть изомет-
рия), то К будем называть векторным полем Шиллинга. Произ-
водная Ли метрики относительно К равна нулю:
LKg = 1 im у (g - фи§) = 0,
так как g = фи§ при каждом но, согласно (2.17), LK gab = 27((a.6)
и, следовательно, векторное поле К Киллинга удовлетворяет
2.7. Гиперповерхности
55
уравнению Киллинга
Ка-ь +Кь-.а = О. (2.33)
Обратно, если К~ векторное поле, удовлетворяющее уравнению
Киллинга, то LKg~ 0 и
t i
K.S Ip = g Ip + 5 7Г №'*g) Ip df = g Ip + S i (^гЛлХ=о Ip df =
о 0
t
^1л№Лй=о1л==
0
t
= g Ip — ^r*(LKgl^r(p)) di' = S\p‘
0
Итак, для того, чтобы К было векторным полем Киллинга,
необходимо и достаточно, чтобы оно удовлетворяло уравнению
Киллинга. Тогда локально можно выбрать координаты ха —
= (х\ t) (v= п — 1), в которых Ка = dxafdt = 6а„; в этих
координатах уравнения Киллинга принимают вид
dgabldt == ОО gab = gab (xv).
В общем случае пространство не обладает какими-либо сим-
метриями и поэтому не допускает никаких векторных полей Кил-
линга. Пространства частного вида могут допускать г линейно-
независимых векторных полей Кя (а = 1, .... г). Можно пока-
зать, что совокупность всех векторных полей Киллинга на таких
пространствах образует r-мерную алгебру Ли над R, 0 г
п (n + I) (верхний предел может быть меньше, если мет-
рика вырождена), причем умножение в этой алгебре задается
скобками Ли [ , ] [см. (2.16)]. Локальная группа диффеоморфиз-
мов, порожденных этими векторными полями, есть г-мерная
группа Ли изометрий на многообразии Я. Полная группа изо-
метрий на Я может включать некоторые дискретные изометрии
(такие, как отражения в плоскости), которые не порождаются
векторными полями Киллинга; свойства симметрии пространства
целиком определяются этой полной группой изометрий.
2.7. Гиперповерхности
Пусть 9 есть (п— 1)-мерное многообразие и Q:9Я— не-
которое вложение; тогда образ 0 (9) многообразия 9 называют
гиперповерхностью в Я. Если р е 9, образ Тр в при отоб-
ражении 0* будет (п— 1)-мерной плоскостью, проходящей через
56 Г л. 2. Дифференциальная геометрия
начало. Следовательно, существует ненулевая линейная форма
n е T’stp), такая, что для любого вектора X е Тр (п, 0*Х) = 0.
Форма п единственна с точностью до знака и нормировочного
множителя, и если локально задать 0(^) уравнением f = 0, так
что df ф 0, то в качестве п можно локально взять df. Если
0(^) — двустороннее подмногообразие в Ж, то п можно выбрать
так, что полученное поле 1-формы на 0(6^) будет всюду отлично
от нуля. Это будет иметь место, если и 5К и Ж — ориентируемые
многообразия. В таком случае выбор направления п связывает
ориентации 0(^) и Ж\ пусть {%'} — такие локальные координаты
из ориентированного атласа на Ж, в которых локально уравне-
ние 0(^) имеет вид х’ = 0ип = adx1, где а > 0, тогда (х2, ...
..., хп) будут ориентированными локальными координатами
на 0(^).
Если g есть метрика на Ж, вложение индуцирует метрику
0*g на так что для X, Y е TpG*g(X., Y) |р = g(0*X, 0*Y) |е(».
Иногда эту метрику называют первой фундаментальной формой
на 5^. Если g — положительно определенная метрика, то и 0*g
будет положительно определенной. Если же g — лоренцева мет-
рика, то 0*g будет
а) лоренцевой при gabnanb > 0,
б) вырожденной при gabnanb = 0,
в) положительно определенной при gabnanb < 0.
В случае (а) гиперповерхность 0(^) называется временипо-
добной, в случае (б)—изотропной и в случае (в) простран-
ственноподобной.
Чтобы убедиться в существовании этих возможностей, рас-
смотрим вектор Nb = nagab\ он ортогонален ко всем векторам,
касательным к 0(^), т. е. ко всем векторам подпространства
Н — в*(Тр) в Ге(Р). Предположим сначала, что сам вектор N не
лежит в этом подпространстве. Тогда, если (Е2, .... Еп) обра-
зуют базис в Тр, векторы N, 0*(Е2), . . . , 0*(ЕП) линейно незави-
симы и составляют базис в Т^. Компоненты g относительно
этого базиса равны
_/g(N, N) 0 /g(N, N) 0 \
0 g(ME(.), 0t(E;.))J“l 0 0*g (Ег, Е;-) / ‘
В силу предположения о невырожденности g отсюда следует,
что g(N, N) #= 0. Если g положительно определена, то g(N, N) > 0
и, следовательно, индуцированная метрика 0*g тоже должна
быть положительно определенной. Если g лоренцева и g(N, N) =
= gabnanb < 0, то 0*g необходимо положительно определена, так
как матрица из компонент g имеет только одно отрицательное
собственное число. Аналогично, если g(N, N) = gabnanb > 0, то
0*g — лоренцева метрика. Предположим теперь, что вектор N
2.7. Гиперповерхности
57
касателен к 0 (У). Тогда найдется ненулевой вектор X <= Тр,
такой, что 0„(X) = N; но g(N, 0„Y) = 0 для всех YsJp, и, сле-
довательно, 0*g(X, Y) = 0. Таким образом, метрика 0*g вы-
рождена. Кроме того, полагая Y = X, имеем g (N, N) = gabnanb = 0.
Если gabnanb 0, нормальную линейную форму и можно
нормировать так, чтобы она имела единичную „длину", т. е.
= ± 1. В этом случае отображение 0*:7’*е (р) -> Т*р будет
однозначным в (п—1)-мерном подпространстве Я*(е, 0) простран-
ства Т*0(Р), состоящем из всех линейных форм « в ©(/?), для
которых gabnaab = 0; это следует из того, что 0*п==О и и не
лежит в Я*. Поэтому обратное отображение (0*)~' будет ото-
бражением 0, пространства Т*р на Н*е^ и, таким образом,
на Т*е<р).
Это отображение можно расширить обычным образом до
отображения ковариантных тензоров в У в ковариантные тен-
зоры в 0($?)с поскольку у нас есть отображение 0„ контра-
вариантных тензоров в в ковариантные тензоры в 0(^), мы
можем расширить 0, до отображения 0, произвольных тензоров
в 7/ в тензоры в 0 (^). Это отображение обладает тем свойством,
что свертка 0Д с п по любому индексу равна нулю, т. е.
(0Д)а-ьс...^а = о И (0j)a-6c...dgc4 = o
для любого тензора Т
Рассмотрим тензор h на 0(^), определяемый как h = 0*(0*g).
Его можно записать через нормированную линейную форму п
(напомним, что gabnanb — ±. 1) в виде
^ab '~~ gab Я ПаПь,
поскольку отсюда следует, что 0*h = 0*g и habgbctic = 0.
Тензор hab = gachcb есть оператор проектирования, т. е.
habhbe — hac. Он проектирует вектор ХеГеад на ту его часть,
которая лежит в подпространстве Н = 0ДГр) касательного к 0(^)
пространства Тв(ру.
Ха = habXb ± папьХъ,
где второе слагаемое представляет собой часть вектора X,
ортогональную к 0(^). Тензор 1гаь проектирует и линейную форму
сдеГ*е(р) на ее часть, лежащую в подпространстве Н*в(Р):
со^ h p^b _1_ сор.
58
Гл. 2. Дифференциальная геометрия
Подобным же образом можно спроектировать любой тензор
Те77(0(р)) на его часть, принадлежащую пространству
Hrs (0 (р)) = Яо (р) ® ... ® Нв (р) ® Яд <Р) ® ... ® Не (р),
г множителей s множителей
т. е. часть, ортогональную к п по всем индексам.
0* является взаимно однозначным отображением из Тр в Яе(Р>.
Поэтому отображение 0* из Теуру в Тр можно задать, проекти-
руя сначала Те{Ру на Не <Р) посредством hab и выполняя затем
обратное отображение (0)7'• Поскольку мы уже определили
отображение 0* линейных форм в 0(^), можно расширить опре-
деление 0* до отображения 0* тензоров на 0(^) любого типа в
тензоры на многообразии ПР. Это отображение обладает тем
свойством, что 0*(0Д) = Т для любого тензора ТеГДр) и
0Д0*Т) = Т для любого тензора Т е Hrs(fi{p)). Мы будем ото-
ждествлять тензоры на д’ с тензорами из Hrs на 0(^), если они
переходят друг в друга при отображениях 0„, 0*. В частности,
h можно рассматривать как индуцированную метрику на 0(Д).
Пусть и есть какое-либо расширение единичной нормали п
на некоторую открытую окрестность гиперповерхности 01Д);
тогда тензор X, определенный на 0(^) формулой
'Pai а!1 b^c-,d’
называется второй фундаментальной формой на Поскольку
проектирование с помощью hab ограничивает ковариантные про-
изводные касательными к 0(5Д направлениями, X не зависит от
способа расширения. Локально поле можно представить в виде
n = adf, где f и а —функции на JP, причем на 0(^) f — О. По-
скольку
U = U и ^ = 0,
тензор ХаЬ симметричен.
Индуцированная на метрика h — 0*g задает на 5^ связ-
ность. Ковариантное дифференцирование относительно этой связ-
ности мы будем обозначать двойной чертой ||. Для любого тен-
зора ТеЯ( справедливо равенство
Та - ьс... № = Г -Л... ... /г6М ... hldhme,
где Т — любое расширение Т на некоторую окрестность 0(^).
Это определение не зависит от выбора расширения, так как свер-
тывание с hat ограничивает ковариантное дифференцирование
направлениями, касательными к 0(^). Чтобы убедиться в пра-
27. Гиперповерхности
59
вильности приведенной формулы, достаточно показать, что ко-
вариантная производная индуцированной метрики равна нулю
и кручение отсутствует. Это следует из равенств:
hMc = + ^f\g heahfbhSc = 0
И
f _ ye ,g г = h° h4 r
h\ab n aH b‘-.eg a1 b' ;ge I ||6a'
Тензор кривизны R'abed относительно индуцированной мет-
рики можно следующим образом связать с тензором кри-
визны Rabcd на 0 (^) и второй фундаментальной формой Z. Пусть
Y е Н — векторное поле на 0(5^); тогда
p/а yb уа уа
bed1 1 ||dc 1 lied'
Имеем
Ya\\dc = (ИДС = haghldhkc =
= Ye-,tkhaehfdhkc + Ye-dn.ene.khf dhaghkc + Ye-fnfnf,khaehit}hk
и, поскольку на 0 (t?) Yene — 0,
Ye-jnehfd = (Yene).fhfd - Yene-fhfd = - Yene.}hfd.
Отсюда
R'abcdYb = (Rebkfhaehkchfd ± XbMae T Yb,
и так как это равенство справедливо для всех УеЯ, то
R'abcd = Refgtlhaehfbhgchhd ± (2.34)
Это соотношение называют уравнением Гаусса.
Свертывая это уравнение по а и с и умножая на hbd, полу-
чаем скалярную кривизну R' относительно индуцированной
метрики
R' = я + 2Rabnan1’ ± (хаау + %а\аь- (2.35)
Можно вывести иное соотношение между второй фундаменталь-
ной формой и тензором кривизны Rabed на 0(^), если из равен-
ства
Wa\b = ^a^da\ehSb
вычесть равенство
^ab\a=={nc-,dhachde\fhfaheb.
В результате получаем уравнение
^a-tfa^RepdlTb. (2.36)
называемое уравнением Кодацци.
60
Гл. 2. Дифференциальная геометрия
2.8, Элемент объема и теорема Гаусса
Пусть {Е“}-~ базис 1-форм; из него можно образовать
«-форму
е = «!Е’ Д Е2 Д ... ДЕ".
Если {Еа} — другой базис, связанный с {Еа} соотношением
Еа = ФавЕа, то е и «-форма е', определяемая базисом {Еа},
связаны равенством
е' = det (фа а) 8,
и, следовательно, эта форма не единственна. Однако наличие
метрики можно использовать для введения «-формы
I |’/2
11 = 1 £Г е,
где g = det (gOb). Компоненты этой «-формы равны
= б“д.
Согласно закону преобразования g, определитель det®ac со-
кращается при условии, что он положителен. Поэтому, если Я
ориентируемо, «-формы ц, определенные координатными бази-
сами некоторого ориентированного атласа, будут тождественны.
Иначе говоря, если задана ориентация Я, можно однозначно
определить поле n-форм ц (каноническую «-форму) на Я.
Контравариантный антисимметричный тензор
h
имеет компоненты
где s — сигнатура g (и, следовательно, число («— s)/2 равно
числу отрицательных собственных значений матрицы {gab} из
компонент метрики). Поэтому эти тензоры удовлетворяют соот-
ношениям
ilab-%ef...ft=(-l)^!6a[e66f (2.37)
Из соотношений Кристоффеля следует, что ковариантные произ-
водные т)а&. _ d и T\ab---d относительно связности, определяемой
метрикой, равны нулю, т. е.
d — 0 = n h , .
1 \е 1ао ... d',e
С помощью канонической «-формы можно определить объем (от-
носительно метрики g) «-мерного подмногообразия ^Н^-Я. как
2.8. Элемент объеме и теорема Гаусса
61
уг]. Таким образом, т| можно рассматривать как положительно
<U
определенную меру объема на Я. Мы будем часто пользоваться
ею в этом смысле, обозначая ее du. Отметим, что здесь d не
означает оператор внешнего дифференцирования; du есть про-
сто мера на Я. Если f — функция на Я, можно определить ее
интеграл по °Н относительно этой меры:
f du = ft).
<U <и
Относительно локальных ориентированных координат {хя} этот
интеграл можно представить в виде кратного интеграла
J flgpdx’dx2 ... dx",
<u
который инвариантен относительно замены координат.
Свертка векторного поля X на Я с т] будет полем 1-формы
Х-т|, причем
Эту (n—1)-форму можно интегрировать по любому (п—1)-
мерному компактному ориентируемому подмногообразию У3.
Этот интеграл запишем в виде
$ Xadaa = Jx-n,
т/>
причем мы считаем, что форма т|, являющаяся мерой на Т, опре-
деляется канонической формой daa. Если ориентация Т задана
направлением нормальной формы па, то daa можно представить
в виде nada, где da — положительно определенная мера объема
на подмногообразии Т. Пока нормаль па не нормирована, мера
объема da определена неоднозначно. При нормировке на па на
единицу по метрике g на Я, т.е. если naribgab = ±1, da стано-
вится равной мере объема на У, которую задает на У индуциро-
ванная метрика (чтобы убедиться в этом, достаточно выбрать
ортонормированный базис с nagab в качестве одного из базисных
векторов).
С помощью канонической формы из теоремы Стокса можно
вывести формулу Гаусса: для любого компактного «-мерного
подмногообразия <2/ сд Я
J X°daa= J X-ij = n Jd(X-n)-
tfU °и
62
Гл. 2. Дифференциальная геометрия
Однако
=(-1ГЧ... О"л....<*'»=
, .((г-1)-7~ (/1-S) 1
= (-D ^-ns-'“na,..dengs... ле.и =
= na..,de6sts... ^б“г]х% = ^Ч...Л>
где дважды использовано равенство (2.37). Отсюда для любого
векторного поля X
J Xadoa= J Xe,gAv\
д°и <й
это и есть теорема Гаусса. Отметим, что эта теорема справед-
лива при такой ориентации в °U, задаваемой нормальной фор-
мой т|, при которой (п, X) > 0 для вектора X, направленного
наружу <U. Если метрика g такова, что gabnanb <_ 0, вектор gabnb
направлен внутрь 7/.
2.9. Расслоенные пространства
Некоторые из геометрических свойств многообразия Ж легче
всего рассматривать, построив многообразие, называемое рас-
слоенным пространством. Локально оно представляет собой пря-
мое произведение Ж и некоторого подходящего пространства.
В этом разделе мы дадим определение расслоенного простран-
ства и рассмотрим четыре примера, которые будут полезны в
дальнейшем: касательное расслоение Т(«<), тензорное расслое-
ние Trs (Ж), расслоение линейных реперов ЦЖ} и расслоение
ортонормированных реперов О(.<).
Ск-расслоение над (^-многообразием Ж (s k) есть (^-мно-
гообразие S и сюръективное О-отображение n:S ->Ж. Много-
образие S называется пространством расслоения, Ж—базой и
л — проекцией. Там, где это не приведет к путанице, мы будем
обозначать расслоение просто через S. Вообще говоря, образ
л-1(р) точки р е Ж при обратном отображении не обязательно
гомеоморфен л-1 (q) для другой точки q е Ж. Простейший при-
мер расслоения — прямое произведение {Ж Ж, Ж, п}, я кото-
ром Ж—некоторое многообразие, а проекция л определяется
как л(р, v) = р для всех р Ж, v е Ж. Например, выбирая в
качестве Ж окружность и в качестве Ж действительную пря-
мую 7?1, мы получим прямое произведение над S1 — цилиндр С2.
Расслоение называется расслоенным пространством, если оно
локально является прямым произведением. Следовательно, рас-
2.9. Расслоенные пространства
63
слоение есть расслоенное пространство со слоем если су-
ществует такая окрестность ‘2/ каждой точки q е Л, что окрест-
ность л-1 (£?/) изоморфна °U X ST в том смысле, что для каждой
точки />£'?/ найдется диффеоморфизм <f>p точки л-1 (р) на 3^,
такой, что отображение ф, определяемое как ф (и) = (л (u),
есть диффеоморфизм ф:л_| -> °U X ST- Поскольку Л пара-
компактно, мы можем выбрать локально конечное покрытие Л
такими открытыми множествами °Ua. Если 'Т/ц и с11^ — два мно-
жества такого покрытия, отображение
есть диффеоморфизм SK на себя для каждого р е Q ^р).
Поэтому образы л-1(р) точек р^Л все необходимо диффео-
морфны (и, значит, друг другу). Например, лист Мёбиуса
есть расслоенное пространство на S1 со слоем У?1; нужны два
открытых множества °Ui, <U?.-, чтобы получить покрытие множе-
ствами вида X R1- Из этого примера видно, что многообра-
зие, являющееся локально прямым произведением двух других
многообразий, в общем случае тем не менее не будет прямым
произведением многообразий. Именно по этой причине понятие
расслоенного пространства столь полезно.
Касательное расслоение Т(Л) есть расслоенное пространство
над (^-многообразием, получающееся при наделении множества
К — J Тр естественной для него структурой многообразия и
р s М
естественной проекцией на Л. Таким образом, проекция л ото-
бражает каждую точку Тр на р. Структура многообразия на <5
определяется локальными координатами {zA} следующим обра-
зом. Пусть {/} —- локальные координаты на открытом множестве
<U ст Л. Тогда любой вектор VeT, можно представить в виде
V = V'dldx1 |р. Координатами {zA} в л_1(^/) будут {zA) = {x£, Еа}.
Если выбрано покрытие Л некоторыми координатными окрест-
ностями Ла, соответствующие карты задают Сй-1-атлас на ё",
при этом ё становится Сл~'-многообразием (п2-мерным). Чтобы
убедиться в этом, нужно только заметить, что в любом пере-
сечении сг/аП^|5 координаты {хга} некоторой точки являются
С^-функциями координат {Хр} той же точки, а компоненты {Еаа}
некоторого векторного поля будут С®-’-функциями компо-
нент {1/ар} того же поля. Тогда координаты {гла} будут
в л-1 (°Ua П С6-'-функциями координат {глр}.
Слой л~’(р) есть Тр и, следовательно, является векторны
пространством размерности п. Структура векторного пространства
64
Гл. 2 Дифференциальная геометрия
сохраняется при отображении <f>a, р:Тр--> Rn, которое определяется
как фа,р(ц) = Vaa(u), т. е. р отображает вектор в точке р
на его компоненты относительно координат {хаа}. Если {xap} —
другая система локальных координат, отображение р) о (^>р< .П1
есть линейное отображение Rn на себя и, следовательно, оно
является элементом общей линейной группы GL(n, R).
Тензорное расслоение типа (г, s) над Л, обозначаемое через
Trs{JC), определяется подобным же образом. Строим множество
s= U ^(р)> задаем проекцию л как отображение каждой
р S
точки Ts(p) на р и для любой координатной окрестности °U cz Л
вводим в л-1^) локальные координаты {zA} как {гл} =
= {х‘, Таьс... </}, где {/} — координаты точки р, {Та ьс... —
координатные компоненты Т (т. е. Т—Та "'ьс... dd/dxa ®...® dxd |р).
Этим мы превращаем <F в ^“’-многообразие размерности rtr+s+I;
любая точка и<^Т$(Л) соответствует единственному тензору Т
типа (г, $) в точке л (и).
Расслоение линейных реперов ЦЛ) есть расслоенное О-1-
пространство, определяемое следующим образом. Полное про-
странство <У состоит из всех базисов во всех точках Л, иначе
говоря, из всех множеств систем п линейно независимых нуле-
вых вектором {Е0}Еа е Тр для каждого р^Л (а — 1, ..., п).
Проекцией л является естественная проекция, отображающая
базис в точке р в саму эту точку. Пусть {х!}—локальные коор-
динаты на открытом множестве Л, тогда
{zA} = {ха, Е/, ЕД .. ., Епт],
где Ej есть /-я компонента вектора Еа в координатном ба-
зисе д)дх\ являются локальными координатами в л-1 (<U). Общая
линейная группа GL(n, R) действует на ЦЛ) следующим обра-
зом: если {Еа} — базис в р^Л, то AeGL(n,/?) отображает
и = {р, Еа} в
А{и) = {р, АаЬЕь}.
Если Л наделена метрикой g с сигнатурой з, можно ввести
подпространство расслоения ИЛ)—расслоение ортонормиро-
ванных базисов О (Л), которое состоит из ортонормированных
(относительно g) базисов во всех точках Л. На О (Л) действует
подгруппа О (у(п + з), y(n—s)} группы GL(n,R). Эта под-
группа состоит из несингулярных вещественных матриц Ааъ, удо-
влетворяющих условию
AabGbfArfc Gad>
2.9. Расслоенные пространства 65
где Gbc ~ матрица вида
diag (+ 1, + + 1, — 1, — 1, —1).
п + S п — S
—2— членов —-— членов
Матрица АаЬ отображает (р, Еа) (= О (Ж} в (р, Даг>Еь) с= О (Л\
В случае лоренцевой метрики (т. е. s = п — 2) группу O(n — 1, 1)
называют ц-мерной группой Лоренца.
Сг-сечение расслоения есть С'-отображение Ф:Ж-+$, такое,
что л ° Ф есть тождественное отображение на Ж\ таким образом,
сечение есть установление Сг-соответствия между каждой точкой
реЖ и некоторым элементом Ф(р) слоя я~1(р). Сечение каса-
тельного расслоения Т(М) есть векторное поле на Ж; сечение
Tsp/) есть тензорное поле Т(Ж) типа (г, s) на Ж; сечение ЦЖ)
есть набор п ненулевых векторных полей {Еа}, которые линейно
независимы в каждой точке; наконец, сечение О (Ж) есть набор
ортонормированных векторных полей на Ж.
Поскольку нулевые векторы и тензоры задают сечения в
Т (Ж) и Trs (Ж), эти расслоенные пространства всегда допускают
сечения. Если Ж ориентируемо и некомпактно или компактно с
характеристикой Эйлера, равной нулю, на нем будут везде суще-
ствовать ненулевые векторные поля и, следовательно, везде не-
нулевые сечения Т(Ж). Расслоения Ь(Ж) и О (Ж) могут как
допускать, так и не допускать сечений; например, L(Rn) их до-
пускает, a L(S2) —нет. Если Ь(Ж) допускает сечение, Ж назы-
вается параллелизуемым. Герок показал [55], что некомпактное
четырехмерное лоренцево многообразие Ж допускает спинорную
структуру в том и только в том случае, когда оно параллели-
зуемо.
В терминах расслоенного пространства Ь(Ж) можно дать
изящное геометрическое описание связности на Ж. Ее можно
рассматривать как правило параллельного переноса векторов
вдоль любой кривой у(Т) в Ж. Таким образом, если {Еа} есть
базис в точке р = у(/0), т. е. {р, Еа} есть точка и в Ь(Ж), то
параллельным переносом {Ея} вдоль у(/) можно однозначно по-
строить базис в любой другой точке кривой у (0, т. е. указать
единственную точку у(/) в слое л-1(у(^)). Следовательно, суще-
ствует в Ь(Ж) единственная кривая у(0. называемая лифтом
у(0, для которой
1) у(/0) = и;
2) л (у (0) = у (/);
3) базис, изображаемый точкой у(/), в Ж переносится па-
раллельно вдоль кривой у (/).
3 Заказ 381
66
Гл. 2. Дифференциальная, геометрия
В терминах локальных координат {zA} кривая у(/) записы-
вается как {xa(y(7)), при этом
dEml (i) i i dxa (у (i)) _ n
di "г m a‘ dt
Рассмотрим касательное пространство Ти(Е(Л)) к расслоен-
ному пространству Ь(Л) в точке и. Его координатным базисом
является {д/дгА | и}. n-мерное подпространство, натянутое на ка-
сательные векторы {(d/dtp щ к лифтам всех кривых, проходя-
щих через р, называется горизонтальным подпространством Ни
пространства Ти(Е(Л)). Через локальные координаты
/_а_\ _ dxa (у (/)) д . dEml д _
\ dt /у di дха di дЕт‘
_ dxa (у (i)) / д _ р jri д \
di т а1 дЕт1)'
так что координатным базисом в Ни является {д[дха —
— Ет'Г‘ajd/dEP}. Таким образом, связность в Л определяет
горизонтальные подпространства в касательном пространстве
каждой точки L(Jl\ Обратно, в Л можно ввести связность,
задав для этого в ГИ(Е(М)) при каждой иеА(,.#) п-мерное
подпространство со свойствами:
1) если А е GL (п, R1), то отображение Ти(Е(Л))->
—>• Та (и) (Р (Л)) переводит горизонтальное подпространство Ни
в На («);
2) Ни не содержит ненулевых векторов, принадлежащих
вертикальному подпространству Vu.
По определению вертикальное подпространство Vu есть
п2-мерное подпространство в TU(L(JO)), натянутое на векторы,
касательные к кривым в слое (л («)); в терминах локальных
координат Vи натянуто на векторы {д[дЕт1}. Свойство (2) озна-
чает, что Ти есть прямая сумма Ни и V и.
Проектирующее отображение л: индуцирует
сюръективное линейное отображение лд Ти(Ь(Л))->ТпыЦЛ),
такое, что л„ (’/„) = 0, а сужение л* на Ни есть взаимно одно-
значное отображение Ни на Tnw- Следовательно, л*-1 есть
линейное отображение ТпыЦЛ) на Ни. Поэтому для любого
вектора Х^.ТР{Л) и точки существует такой един-
ственный вектор X е Ни, называемый горизонтальным лифтом
вектора X, для которого лДХ) = X. Пусть даны кривая у (/)
в Л и начальная точка и в л-1(у(^0)), тогда в можно
построить единственную кривую у(/), проходящую через и,
касательный вектор которой есть горизонтальный лифт каса-
тельного вектора кривой у (/). Таким образом, зная горизонталь-
ные подпространства в каждой точке можно определить
2.9. Расслоенные пространства
67
параллельное перенесение базисов вдоль любой кривой у (?) в Л.
Затем можно определить ковариантные производные вдоль кри-
вой у (/) для любого тензорного поля Т как обыкновенные про-
изводные по t компонент Т относительно параллельно перене-
сенного базиса.
Если на Л введена метрика, ковариантная производная ко-
торой равна нулю, то ортонормированность параллельно перено-
симых реперов сохраняется. Следовательно, горизонтальные под-
пространства касательны к О(Л')^ИЛ) и задают связность
в О(Л\
Аналогично, через параллельный перенос векторов и тензо-
ров связность на Л задает «-мерные горизонтальные подпро-
странства в касательных пространствах к расслоениям Т(Л) и
ТГ3(Л). Координатными базисами этих горизонтальных подпро-
странств являются соответственно
____verf д •>
W ае dVf J
И
{"йх5--" ьс... dVaef + (и т- Д- для каждого нижнего индекса)—
— Та ” bf... dTfec — (и т. д. для каждого верхнего индекса)
у___________________________________________________д 1
дТа-Ьс... J'
Как и в случае ЦЛ), л„ взаимно однозначно отображает эти
горизонтальные подпространства в 7’л:(и)(М). Таким образом,
снова можно обратить л, так, чтобы для любого вектора
ХеГЯ(1|) получить единственный горизонтальный лифт Xs'^.
В частном случае Т (Л) единственному вектору W Тп (и) (Л)
соответствует сама точка и и, следовательно, в Т (Л) связностью
внутренним образом определено горизонтальное векторное
поле W; в локальных координатах {ха, У6}
Это векторное поле можно интерпретировать следующим обра-
зом: его интегральная кривая, проходящая через и = (р, X) е
Т(Л), есть горизонтальный лифт той геодезической в Л, ка-
сательный вектор которой в р есть X. Значит, векторное поле W
представляет все геодезические в Л. В частности, семейство
всех геодезических, проходящих через р^Л, есть семейство ин-
тегральных кривых W, проходящих через слой лы1 (р) с Т(Л);
кривые в Л имеют пересечения по крайней мере в р, а кривые
в Т (Л) нигде не пересекаются.
3*
Глава 3
Общая теория относительности
Чтобы понять появление сингулярностей и возможное круше-
ние общей теории относительности, нам важно иметь точную
формулировку этой теории и установить, в какой степени она
единственна. Поэтому мы представим теорию в виде нескольких
постулатов, касающихся математической модели пространства-
времени.
В разд. 3.1 мы введем эту математическую модель, а в
разд. 3.2 сформулируем первые два постулата — локальной при-
чинности и локального сохранения энергии. Эти постулаты яв-
ляются общими и для специальной и для общей теорий относи-
тельности, и поэтому можно считать, что они экспериментально
обоснованы теми опытами, которые проводились для проверки
специальной теории относительности. В разд. 3.3 мы выведем из
лагранжиана уравнения материальных (т. е. негравитационных)
полей и получим из него тензор энергии-импульса.
Третий постулат, определяющий уравнения поля, приведен
в разд. 3.4. Экспериментально он обоснован не так хорошо, как
первые два, но, как мы увидим позднее, любые иные уравнения
приводили бы по крайней мере к одному или даже нескольким
нежелательным следствиям или же требовали существования
дополнительных полей, которые экспериментально не обнару-
жены.
3.1. Пространственно-временное многообразие
Математическая модель пространства-времени (т. е. совокуп-
ности всех событий), которой мы будем пользоваться, есть пара
(_#, g), где Л— связное четырехмерное хаусдорфово С°°-много-
образие, g—лоренцева метрика (т.е. метрика сигнатуры + 2)
на Л.
Две модели (Л, g) и (Ж, g') будем считать эквивалентны-
ми, если они изометричны, иначе говоря, если существует диф-
феоморфизм Ъ'.Л -> Л'', который переводит метрику g в метри-
ку g', т. е. 0*g = g'. Тогда, строго говоря, моделью простран-
ства-времени является не просто одна пара (Л, g), а весь класс
эквивалентности пар (Ж, gz), эквивалентных (Л, g). Обычно
мы будем иметь дело только с одним представителем (Л, g)
3.1. Пространственно-временное многообразие 69
данного класса эквивалентности, но тот факт, что эта пара опре-
делена лишь с точностью до эквивалентности, важен в некото-
рых ситуациях, в частности при рассмотрении задачи Коши
в гл. 7.
Многообразие берется связным, поскольку нам недоступна
никакая информация относительно несвязных частей. Мы счи-
таем его хаусдорфовым, поскольку это, по-видимому, согласуется
с накопленным опытом. Однако в гл. 5 мы рассмотрим пример,
в котором можно поступиться этим условием. Вместе с условием
лоренцевости метрики условие хаусдорфовости означает, что Я
паракомпактно [55].
Понятие многообразия естественным образом отвечает нашим
интуитивным представлениям о непрерывности пространства и
времени. К настоящему времени такая непрерывность установ-
лена до расстояний порядка 10~15 см экспериментами по рассея-
нию пионов [49]. Наверное, будет трудно распространить понятие
непрерывности до много меньших расстояний, поскольку для
этого понадобится частица такой большой энергии, что родится
несколько других частиц, и они исказят эксперимент. Возможно
поэтому, что модель, в которой пространство-время рассматри-
вается как многообразие, неприемлема для расстояний меньше
10-15 см, и нам следовало бы пользоваться такой теорией, в ко-
торой в таких масштабах пространство-время обладает какой-то
иной структурой. Однако можно ожидать, что подобные откло-
нения от описания пространства-времени как многообразия не
повлияют на общую теорию относительности до тех пор, пока
характерный гравитационный масштаб длины не станет такого
же порядка. Это могло бы случиться лишь при плотности по-
рядка I058 г/см3, т. е. в таких предельных состояниях вещества,
относительно которых в настоящее время ничего не известно.
Тем не менее, рассматривая пространство-время как многообра-
зие и делая определенные разумные предположения, мы пока-
жем в гл. 8—10, что какое-то нарушение общей теории относи-
тельности должно иметь место. Им могли бы быть или несостоя-
тельность уравнений поля, или необходимость квантования мет-
рики, или нарушение структуры многообразия.
Метрика g позволяет делить ненулевые векторы в точке
р^Я на три класса; именно, ненулевой вектор Хе Тр назы-
вается времениподобным, пространственноподобным или изо-
тропным, смотря по тому, является ли g(X, X) отрицательным,
положительным или нулевым (ср. рис. 5).
Порядок г дифференцируемости метрики выбирается доста-
точным для того, чтобы уравнения поля были определены. Они
могут быть определены в смысле обобщенных функций, если ко-
ординатные компоненты метрики gab и gab непрерывны, имеют
локально квадратично-интегрируемые обобщенные первые
70
Гл. 3. Общая теория относительности
производные по локальным координатам. Набор п функций f.a
на Rn называются обобщенными производными функции ф на
Rn, если для любой функции С°°-функции ф на Rn с компакт-
ным носителем
f-,a^dnx = — f (dty/dxa) &пх.
Однако это условие слишком слабое, поскольку оно не гаранти-
рует ни существования, ни единственности геодезических; для
этого требуется метрика класса С2- (С2--метрика по определе-
нию обладает первыми производными координатных компонент,
удовлетворяющими локальному условию Липшица; см. разд. 2.1).
Фактически в большей части книги мы будем предполагать, что
метрика принадлежит по крайней мере классу С2. Это позволяет
определить уравнения поля (а они содержат вторые производ-
ные метрики) в каждой точке. В разд. 8.4 мы ослабим требова-
ния к метрике до класса С2- и покажем, что это не влияет на
наличие сингулярностей.
В гл. 7 мы пользуемся иным условием дифференцируемости
для того, чтобы показать, что развитие во времени полевых
уравнений определяется подходящими начальными условиями.
Мы потребуем, чтобы компоненты метрики и их обобщенные
первые производные до порядка m (m 4) были локально
квадратично-интегрируемы. Это условие заведомо выполняется,
если метрика принадлежит классу С4.
Фактически порядок дифференцируемости метрики с точки
зрения физики, скорее всего, не имеет значения. Поскольку мет-
рику никогда нельзя измерить точно, а лишь в пределах некото-
рой ошибки, то никогда нельзя установить, существует ли дей-
ствительно разрыв в производных того или иного порядка. Та-
ким образом, всегда можно представить результаты измерений
как С°°-метрику.
Если предполагается, что метрика принадлежит классу Сг, то
атлас многообразия должен быть порядка С’+1. Можно, однако,
всегда найти аналитический податлас в любом О-атласе (s^l)
([174], цит. в [112]). Поэтому, не ограничивая общности, можно с
самого начала предположить, что атлас аналитичен, даже в том
случае, когда из-за того, что метрика класса С’’, физически мож-
но задать только Сг+1-атлас.
Чтобы гарантировать включение в нашу модель („#, g) всех
несингулярных точек пространства-времени, мы должны нало-
жить на нее определенные условия. Будем говорить, что Сг-пара
(J(', g') является Сг-расширением (Л, g), если существует изо-
метрическое Сг-вложение ц: ,/7- > Л’. Если бы такое расширение
существовало, то нам пришлось бы рассматривать в качестве
точек пространства-времени также и точки Л’. Поэтому мы
3.2. .Материальные (негравитационные) поля
71
потребуем, чтобы модель (Я, g) была Сг-нерасширяемой, т. е.
чтобы не существовало ее Сг-расширения (Я', gz), при ко-
тором ц(Я) не совпадает с Я'.
В качестве примера пары (Л-,, gj), которая не является не-
расширяемой, рассмотрим двумерное евклидово пространство
с осью х, вырезанной между Xi — —1 и Xi = +1. Очевидным
способом его расширения является «возвращение на место» вы-
резанных точек, но можно также расширить его, взяв еще один
экземпляр (./A, g2) такого пространства и отождествив нижний
берег разреза при |%i|< 1 с верхним берегом разреза при
|х21 < 1, а верхний берег разреза при |лу | < 1 с нижним бере-
гом разреза при | х21 < 1. Полученное таким образом простран-
ство (Яг, £з) нерасширяемо, но не полно, поскольку мы остались
без точек (яд = ± 1, г/i = 0). Мы не можем поместить эти точки
обратно, так как мы стеснены условиями продолжения верхней
и нижней части оси х на различные листы. Однако, если взять
подмножество 01 ст Я$, определенное условиями 1 < Xi < 2,
— 1 < z/i < 1, то можно расширить пару (01, g3и поместить
обратно точку х< = 1, щ = 0. Это побуждает к более строгому
определению нерасширяемости: пара (JC g) называется локаль-
но Сг-нерасширяемой, если не существует какого-либо открытого
множества 00 ст Я с некомпактным замыканием в Я, такого,
что пара (01, g 1^) имеет расширение (00', g'), в котором замы-
кание образа 00 компактно *).
3.2. Материальные (негравитационные) поля
Мы будем рассматривать на Я различные поля, например
такие, как электромагнитное поле, нейтринное поле и т. д., кото-
рые описывают «материальное содержимое» пространства-вре-
мени. Эти поля будут подчинены уравнениям, которые можно
представить в виде таких соотношений между тензорами на Я,
что все производные по положению будут ковариантными произ-
водными относительно симметричной связности, определяемой
метрикой g. Этот вывод следует из того, что только тензорные
соотношения определяются структурой многообразия, а связ-
ность, задаваемая метрикой, — пока единственная связность, ко-
торую мы вводили. Если бы была задана другая связность на Я,
то разность двух связностей была бы тензором, и его можно
было бы рассматривать как новое физическое поле. Аналогично,
другую метрику на Я можно было бы рассматривать как еще
одно физическое поле. Уравнения полей иногда выражаются в
виде соотношений между спинорами на Я. В этой книге мы не
*) Если .// — одномерное многообразие, т. е. Л==Л\, то пару (Л. g),
удовлетворяющую указанному условию, будем называть локально С’-непро-
должимой (ем. стр. 205).— Прим перев.
72
Г л. 3. Общая теория относительности
будем иметь дела с такого рода соотношениями, поскольку для
тех задач, которые мы собираемся рассматривать, в них нет на-
добности. В действительности все спинорные уравнения можно
заменить несколько более сложными тензорными уравнениями
(см., например, [143]).
Мы получим ту или иную форму теории в зависимости от
того, какие материальные поля включим в нее. Можно ввести в
теорию все поля, которые экспериментально наблюдаются, при-
чем можно было бы постулировать и существование полей, кото-
рые еще не обнаружены. Так, например, Бранс и Дикке ([39],
приложение 7) постулировали существование дальнодействую-
щего скалярного поля, которое связано слабо со следом тензора
энергии-импульса. В форме, приданной ей Дикке ([39], приложе-
ние 2), теорию Бранса — Дикке можно рассматривать просто
как общую теорию относительности с дополнительным скаляр-
ным полем. В настоящее время идут споры о том, обнаружено
экспериментально такое поле или нет.
Мы будем обозначать материальные поля, включаемые в тео-
рию, через ЧТв c...d> где индекс (i) нумерует рассматривае-
мые поля. Следующие два постулата относительно природы тех
уравнений, которым подчиняются поля W/2 bc ...d, являются об-
щими для частной и общей теорий относительности.
Постулат (а). Локальная причинность
Пусть °U — выпуклая нормальная окрестность, р, q — любые
две точки уравнения, описывающие материальные поля,
должны быть такими, чтобы передача сигнала от одной из этих
точек до другой была возможна тогда и только тогда, когда р
и q могут быть соединены О-кривой, лежащей целиком в и
имеющей касательным вектором всюду ненулевой времениподоб-
ный или изотропный вектор; такую кривую мы будем называть
непространственноподобной. (Наша формулировка теории отно-
сительности исключает возможность существования частиц вроде
тахионов, движущихся по пространственноподобным кривым.)
Идет ли сигнал от р к q или от q к р, зависит от направления
времени в °И. Вопрос о том, можно ли во всех точках простран-
ства-времени непротиворечивым образом задать направление
времени, будет рассмотрен в разд. 6.2.
Более точную формулировку этого постулата можно дать че-
рез формулировку задачи Коши для материальных полей. Пусть
точка р ^.‘U такова, что каждая непространственноподобная
кривая, проходящая через р, пересекает пространственноподоб-
ную поверхность х4 = 0 в пределах °И. Пусть — множество
тех точек на поверхности х4=0, которых можно достигнуть, дви-
гаясь из р в пределах Т/ по непространственноподобным кривым.
Тогда мы потребуем, чтобы значения материальных полей в точ-
3.2. Материальные (негравитационные) поля 73
ке р однозначно определялись значениями на З2" этих полей и их
производных до некоторого конечного порядка и в то же время
не определялись однозначно значениями на любом собственном
подмножестве множества ST, к которому З2" может быть непре-
рывным образом стянуто. (Более полное обсуждение задачи
Коши см. в гл. 7.)
Именно этот постулат выделяет метрику g среди других по-
лей на Jt и придает ей четко выраженный геометрический ха-
рактер. Если {ха}— нормальные координаты в 'ТС вблизи р, ин-
туитивно довольно очевидно (доказательство см. в гл. 4), что
точками, которых можно достигнуть из р по непространствепно-
подобным кривым в ‘2/, являются точки с координатами, удовле-
творяющими условию
(х1)2 + (х2)2 + (х3)2 - (О2<0.
Граница этих точек представляет собой образ изотропного ко-
нуса в р при экспоненциальном отображении, т. е. множество
всех изотропных геодезических, проходящих через р. Таким об-
разом, установив, какие точки могут сообщаться сигналом с р,
можно определить изотропный конус Лд> в Тр. Коль скоро из-
вестно NP, то с точностью до конформного множителя опреде-
ляется метрика в р. В этом можно убедиться следующим обра-
зом. Пусть X, Y е Тр соответственно времениподобный и про-
странственноподобный векторы. Уравнение
g (X + XY, X + XY) = g (Х,Х) + 2kg (X, Y) + k2g (Y, К) = О
имеет два действительных корня Xi и Х2, поскольку g (X, X) < О
и g(Y, Y) > 0. Если мы знаем Np, то можем определить Х[
и Х2; но
X1X2 = g(X,X)/g(Y, Y)-
Таким образом, по изотропному конусу можно установить отно-
шение величин времениподобного и пространственноподобного
векторов. Тогда, если W и Z—-любые два неизотропных вектора
в р, то
g (W, Z) = j (g (W, W) + g (Z, Z) - g (W + z, w + Z)).
Каждую величину в правой части можно сравнить с «длиной» X
или Y и таким способом найти g (W, Z)/g (X, X). (Если вектор
W + Z изотропен, то можно использовать соответствующее вы-
ражение, содержащее W + 2Z.) Итак, существование локальной
причинности позволяет измерить метрику с точностью до кон-
формного множителя. На практике это измерение удобнее всего
осуществить, используя тот экспериментальный факт, что не об-
наружено никакого сигнала, который распространялся бы быст-
рее электромагнитного излучения. Это означает, что свет должен
74
Г л. 3. Общая теория относительности
распространяться по изотропным геодезическим. Однако такое
свойство света является следствием конкретных уравнений, кото-
рым подчиняется электромагнитное поле, а не самой теории от-
носительности. Дальнейшее рассмотрение причинности мы про-
должим в гл. 6. Среди прочих результатов мы получим, что от-
ношения причинности могут быть использованы для определения
топологической структуры Л. Конформный множитель метрики
можно определить, пользуясь постулатом (б), который формули-
руется ниже; тогда все объекты теории будут физически наблю-
даемыми.
Постулат (б): локальное сохранение энергии и импульса
Уравнения, описывающие материальные поля, таковы, что
существует симметричный тензор ТаЬ, называемый тензором
энергии-импульса, который зависит от полей, их ковариантных
производных и метрики; он обладает следующими свойствами:
1) ТаЬ обращается в нуль на открытом множестве в том и
только в том случае, когда материальные поля исчезают на бИ.
2) ТаЪ подчиняется уравнению
ТаЬ-ь = ®. (3.1)
Условие (1) выражает тот принцип, что все поля обладают
энергией. Не исключены возражения против формулировки
«только в том случае» на том основании, что могут оказаться
два ненулевых поля, тензоры энергии импульса которых компен-
сируют друг друга. Такая возможность связана с допустимостью
существования отрицательной энергии и обсуждается в разд. 3.3.
Если метрика допускает векторное поле Киллинга К, то урав-
нение (3.1) можно проинтегрировать и получить закон сохране-
ния. Чтобы убедиться в этом, введем вектор Ра, компоненты ко-
торого равны Ра = ТаЬКъ- Тогда
Ра-а = ТаЬ-аКь + ТаЪКъ-а.
Первый член есть нуль по уравнению сохранения (3.1), а второй
обращается в нуль, так как тензор ТаЪ симметричен и для век-
тора Киллинга К 2Ка. b = LKgab = 0- Поэтому, если <&— ком-
пактная ориентируемая область с границей дФ, то по теореме
Гаусса (разд. 2.7)
J Pftdoy,= Jp&;6dt) = O. (3.2)
dS> S>
Это равенство можно описать словами как равенство нулю пол-
ного потока К-й компоненты энергии импульса через замкнутую
поверхность.
Когда метрика плоская, как это имеет место в частной теории
относительности, можно выбрать координаты {л"'}, в которых
3.2. Материальные (негравитационные) ноля
75
компоненты метрики равны gab — еа5аъ (суммирования нет!),
где 6пЬ — символ Кронекера, е — +1, если а = 1,2, 3, и еа = —1,
если а = 4. Тогда векторами Киллинга будут
L = —(а=1,2, 3, 4)
а дха
(они порождают 4-трансляции) и
д д
М — е„ха —-(суммирования нет; а, 8=1, 2, 3, 4)
а|3 Щ р <)х!'
(порождающими шесть «вращений» в пространстве-времени).
Эти изометрии образуют 10-параметрическую группу Ли изомет-
рий плоского пространства-времени, называемую неоднородной
группой Лоренца. Их можно использовать для определения де-
сяти векторов Ра и Ра, подчиняющихся уравнению (3.2). Можно
а а|3
считать, что вектор Р описывает поток энергии, а Р, Р, Р — по-
4 12 3
ток трех компонент импульса; Р можно интерпретировать как
а 13
поток момента импульса.
Если метрика не плоская, то в общем случае нет ни одного
вектора Киллинга, и подобных законов сохранения не суще-
ствует. Однако в подходящей окрестности точки q можно ввести
нормальные координаты {х“}. Тогда в точке q компоненты мет-
рики gab = еаЬаъ (суммирования нет!), а компоненты связности
Г%с = 0.
Можно взять такую окрестность 3) точки q, в которой gab и
Гаьс отличаются от их значений в q на произвольно малую вели-
чину; тогда £(й; ь) и ЛГ(в; 6) не будут в 2) точно равны нулю, но
rz.fi
будут отличаться от нуля сколь угодно мало.
Таким образом, интегралы
Pb d<уь и Рь бой
dS> а dSj “р
в первом приближении по-прежнему будут равны нулю; иначе
говоря, в малой области пространства-времени в этом приближе-
нии энергия, импульс и угловой момент импульса все еще сохра-
няются. Используя это, можно показать, что малое изолирован-
ное тело приближенно движется по времениподобной геодезиче-
ской линии независимо от своей внутренней структуры, если
только плотность энергии неотрицательна (расчет движения ма-
лого тела в теории относительности см. в [42]). Этот факт можно
рассматривать как галилеевский принцип падения всех тел с
одинаковой скоростью. В ньютоновских терминах можно было
бы сказать, что для всех тел инертная масса (т в F = та)
76 Гл. 3. Общая теория относительности
равна пассивной гравитационной массе (массе, на которую дей-
ствует гравитационное поле). Справедливость этого была уста-
новлена с высокой точностью экспериментами Этвеша и Дик-
ке [39].
Постулат (а) позволяет измерить метрику в каждой точке
с точностью до конформного множителя. Пользуясь постулатом
(б), можно связать между собой эти множители в различных
точках, так как уравнения сохранения ТаЬ-ь = О, вообще говоря,
не выполняются для связности, полученной из метрики g = Q2g.
Это можно было бы осуществить, наблюдая пути малых «проб-
ных» частиц и определяя времениподобные геодезические. Пусть
у(0—одна из таких линий иК = (d/dt)y— ее касательный век-
тор; тогда из (2.29) имеем
~ ка ка + гй-’й; ькька - сг1 (кькс$ J gadQ.d.
Поскольку у(/)—геодезическая относительно пространственно-
временной метрики g, то Д[ь (D/<3/)/(“1 = 0. Следовательно,
К[Ь 1^а] = - (KKdgcd) Klbga] е (In Q);e. (3.3)
Зная конформную структуру, мы можем выбрать какую-либо
метрику g, представительницу данного класса конформно-экви-
валентных метрик, и вычислить левую часть в (3.3) для любой
пробной частицы. Тогда по правой части (InQ);6 определяется
с точностью до множителя Ка£аъ- Рассмотрев другую кривую
у'(/), касательный вектор которой К.'а не параллелен вектору Ка,
можно найти (1п й);г> и таким образом определить Q везде с точ-
ностью до постоянного множителя. Этот постоянный множитель
зависит от используемых единиц измерения и может быть вы-
бран произвольно.
Конечно, на практике конформный множитель измеряется не
таким способом; обычно используется тот факт, что существует
большое число подобных друг другу систем (например, элек-
тронных состояний атомов), движение которых вдоль времени-
подобных геодезических сопровождается рядом событий, обу-
словленных внутренними движениями. Эти события отмечают
положения систем в пространстве-времени. Интервалы между
этими событиями, по-видимому, не зависят от предыстории си-
стем в том смысле, что интервалы, измеренные для двух сосед-
них систем, находятся в соответствии друг с другом. Если воз-
можна эффективная изоляция подобных систем от внешних
материальных полей (так что они должны будут двигаться по
геодезическим) и если предположить, что их внутреннее дви-
жение не зависит от кривизны пространства-времени, то мет-
3.3. Лагранжева формулировка
77
рика —- единственное, от чего оно может зависеть. Следователь'
но, длина дуги между двумя последовательными событиями на
кривой должна быть одинаковой для каждой пары последова-
тельных событий на любой такой кривой. Если принять эту
длину дуги в качестве единицы измерения, можно определить
конформный фактор в любой точке пространства-времени.
В действительности может оказаться, что изоляция системы
от внешних материальных полей невозможна. Так, например,
в теории Бранса — Дикке присутствует скалярное поле, которое
везде отлично от нуля. Однако конформный множитель все же
можно определить, если потребовать, чтобы уравнение сохране-
ния ТаЬ-ь—О удовлетворялось. Таким образом, зная тензор
энергии-импульса ТаЬ, мы можем узнать и конформный множи-
тель.
3.3. Лагранжева формулировка
Условия (1) и (2) постулата (б) ничего не говорят ни о спо-
собе построения тензора энергии-импульса для данной системы
полей, ни о его единственности. На практике в основном пола-
гаются на интуитивные представления о том, что такое энергия
и импульс. Однако в тех случаях, когда уравнения полей могут
быть выведены из некоторого лагранжиана, для тензора энер-
гии-импульса существует определенная и однозначная формула.
Пусть L, некоторая скалярная функция полей Ч’ц® ьс... щ
их первых производных и метрики, есть лагранжиан. Уравнения
полей получаются из требования, чтобы действие
I = L du
s>
было стационарно при вариации полей внутри компактной че-
тырехмерной области 2). Под вариацией поля ^ц)а“‘ье...л. в 3) мы
подразумеваем однопараметрическое семейство полей Wypfu, г),
где и е (—8, е) и г е Л. такие, что
1) W(f, (0, r) = T(0(r),
2) T(i) {и, г) = Ч**(г) (г), когда г^Л — 2).
Обозначим дЧ^ (ц, г)/ди |и=0 через ДЧ*‘((-); тогда
+ ЛГЛ^-------------Л... Л du,
г(i) с ... /
где 4f(j)a " ьсd-.e — компоненты ковариантных производных 4r(f);
но д(чгц)а"Л...^е) = (ДЧ\г)а %... и потому второй член
78
Гл. 3. Общая теория относительности
можно записать в виде
~(~лгт~ь—) w4—
\ Оil с ... d;e ).е J
Первый член в этом выражении может быть представлен как
$Qa;edu = J Q°doa,
S> dS>
причем Q —вектор, компоненты которого равны
<г'=£т5г^—
ц) ° (О с ... d'.e
Этот интеграл равен нулю, ибо условие (2) эквивалентно утвер-
ждению, что АЧ’Д) обращается в нуль на границе дЗ). Таким
образом, чтобы дЦди 1И==О = 0 при всех вариациях в любой обла-
сти 3), необходимо и достаточно, чтобы при всех i удовлетво-
рялись уравнения Эйлера — Лагранжа
-----------------) =0- <зл)
от(1) c...d \0Tu) c..-d;e/;e
Мы получили уравнения полей.
Тензор энергии-импульса мы выведем из лагранжиана, рас-
сматривая изменение действия, индуцированное изменением
метрики. Предположим, что вариация geb(«, г) оставляет поля
М(0 с ... d неизменными, но изменяет компоненты метрики gab-
Тогда
д!
ди
;,W а ... b
c...d;e
dL
АТ(ц с ,.. d;e + --AgaiT du -|-
dSab J
+ \L^-bgab. (3.5)
J ugab
S)
Последний член возникает из-за того, что мера объема du зави-
сит от метрики. Для вычисления этого члена вспомним, что du
есть каноническая 4-форма г] с компонентами т]аьса =
= (— g)-'2 4!6|aIdb2dcddd]4, где g = det(gaiJ). Отсюда
drived _ 1 I dg ... 1.2.3. 4_
T (- g) w 4!6la dc bd] -
=- 4 (- gr'12 g^AMc3^=
1 ef
2 S ^labcdi
3.3. Лагранжева формулировка
79
и, следовательно,
4 sa4v.
dgab 2 s
Первый член в (3.5) появляется из-за того, что член
ДЧДД&с... не обязательно будет равен нулю, несмотря на
то, что ДЧ/ц®’” с...</ = 0: вариация метрики индуцирует вариа-
цию компонент связности Г%с. Поскольку разность двух связно-
стей преобразуется как тензор, ДГ%С можно считать компонен-
тами тензора. Они связаны с вариацией компонент метрики со-
отношениями
ЛГ%, = I s“ Р, + (Лг.д, -
(Вывести эту формулу проще всего, замечая тот факт, что она
является тензорным соотношением и, следовательно, должна
быть справедлива в любой системе координат. В частности,
можно выбрать нормальные координаты с началом в точке р.
В этих координатах в р обращаются в нуль компоненты Гаьс и
производные компонент gab по координатам. Тогда можно убе-
диться, что данная формула справедлива в р.) Используя это
соотношение, можно выразить ДЧД® ьс... ц,е через (Agbc);d,
после чего обычное интегрирование по частям приводит к по-
дынтегральному выражению, содержащему только &gab- Итак,
мы можем записать д!/ди в виде
J(r6Agab)du,
з>
где ТаЪ — компоненты симметричного тензора, который мы при-
мем за тензор энергии-импульса рассматриваемых полей. (Отно-
сительно связи между этим тензором и так называемым канони-
ческим тензором энергии-импульса см. [142].)
Этот тензор энергии-импульса удовлетворяет уравнениям со-
хранения вследствие полевых уравнений, которым подчинены
bc.-.d‘ Действительно, предположим, что имеется диффео-
морфизм который отличается от тождественного пре-
образования только внутри Ф. Тогда вследствие инвариантности
интегралов относительно дифференцируемого отображения
имеем
I = L du = Ьц — Lt| = \^ф‘ (Li]).
S> S) ф (S>) s>
Следовательно,
J(Tn-^(b1)) = 0.
з>
80
Гл. 3. Общая теория относительности
Если диффеоморфизм ф порожден векторным полем X (отлич-
ным от нуля только внутри 3)), то отсюда следует, что
Lx(Eti) = O;
s>
однако
------(-^гй—) >
S> (<•)£) c...d \0T(i) c...d;e/\ej
\TabLxgabAv.
so
Первый член обращается в нуль в силу полевых уравнений.
Во втором члене CKgab — 2Х(в.&). Таким образом,
S Щ’М..) <1» = 2 S ((Т‘>ХЩ - T“;iXa) do.
s> 3>
Вклад первого члена можно представить в виде интеграла по
границе 3), который равен нулю из-за того, что X = 0 на дЗ).
Отсюда следует, что Tab.b = 0, поскольку второй член должен
обращаться в нуль при произвольном X.
Теперь мы приведем в качестве примеров лагранжианы для
некоторых полей, которые представляют интерес для последую-
щего.
Пример 1. Скалярное поле ф
Это поле может соответствовать, например, л°-мезону. Его
лагранжиан является
где tn, й — константы. Уравнение Эйлера — Лагранжа (3.4)
имеет вид
«а6-пй==о.
Тензор энергии-импульса равен
Tab = - 4 g«b Ф2 ) • (3.6)
Пример 2. Электромагнитное поле
Оно описывается 1-формой А, называемой потенциалом. По-
тенциал определен с точностью до добавления градиента какой-
либо скалярной функции. Лагранжиан имеет вид
L-~-^FabFcdgac&bd,
3.3. Лагранжева формулировка
81
где тензор электромагнитного поля F по определению равен 2dA,
т. е. Fаь — 2А\ь-,а]. Варьируя по Аа, получаем уравнения Эйле-
ра— Лагранжа (3.4) в виде
Fab;cgbC = 0.
Эти уравнения и уравнение = 0 (т. е. уравнение dF =
= d (dA) = 0) представляют уравнения Максвелла для электро-
магнитного поля без источников. Тензор энергии-импульса имеет
вид
Tob - (FocFbdgcd - 4 gabFijFklgikgil) . (3.7)
Пример 3. Заряженное скалярное поле
Оно является фактически объединением двух вещественных
скалярных полей и фг в одно комплексное скалярное поле
ф = -ф[ Л- гф2, которое может соответствовать, например, л+- и
«“-мезонам. Полный лагранжиан заряженного скалярного и
электромагнитного полей равен
L = ~ + ieAa^ §аЬ (tb “ ieAi$) - Й - i FabFcdgaCgM,
где е — постоянная и ф — поле, комплексно сопряженное ф.
Варьируя независимо по ф, ф и Аа, имеем уравнение
+ ieAagab (2ф,6 + геЛ.ф) + ieAa.bgab^> = 0,
получаемое отсюда комплексным сопряжением, и уравнение
i Fab-cgbC ~ - ieAaty + М (Ф;а + = 0.
Тензор энергии-импульса равен
таь = 4 ОМ-Л + + 4 (~ +
+ ~ + 4т F<>cFbdgcd + е2АаАь^ + LSab-
Пример 4. Изэнтропическая идеальная жидкость
Здесь подход несколько отличается от предыдущих случаев.
Жидкость описывают функцией р, называемой плотностью, и
конгруэнцией времениподобных кривых, называемых линиями
тока. Под конгруэнцией кривых подразумевается такое семей-
ство кривых, что через каждую точку Л проходит одна кривая.
Если Зд достаточно малая компактная область, то конгруэнцию
можно представить в виде диффеоморфизма у:[а, й]ХЛ° -> 3),
где [а, Ь] — некоторый замкнутый интервал из R1 и AF — некото-
рое трехмерное многообразие с краем. Кривые называют време-
ниподобными, если их касательные векторы W= (<3/d/)Y, [a, b]
82
Гл. 3. Общая теория относительности
всюду времениподобны. Вектор потока жидкости определяет-
ся как j = р¥, где V — касательный вектор вида V =
= (—g(W, W) и, следовательно, g(V, V) = — 1. Требуется,
чтобы поток сохранялся, т. е. ja-a = 0. Поведение жидкости опре-
деляется заданием потенциала упругих сил (или внутренней
энергии) е в функции р. Лагранжиан берется в виде
£ = -2р(Ц-е),
и требуется, чтобы действие было стационарным при вариации
линий тока, а р подбирается так, чтобы обеспечить сохранение
потока ]а. Вариация линий тока есть дифференцируемое отобра-
жение
у: (- б, б) X [a,
удовлетворяющее условиям
у (0, [а, б], Л’) = у([а, b] Л*),
и
у (и[а, б], Л’) = у ([а, б], Л9) на JI — S), (ые(—б, б)).
Следовательно, AW = AKW, где К = (<?/ди)у. К можно пред-
ставить себе как вектор, задающий смещение некоторой точки
линии тока при вариации. Отсюда следует, что
АГ = уа.ъ^ь -
Используя тот факт, что А = 0 = (A/a).o, имеем
(Ар);аГ + АрГ;а + p;a LVa + р (АV% = 0.
Подставляя сюда AVa и интегрируя вдоль линий тока, получаем
Ар^(р^);й + рГ;с1/йГ.
Следовательно, вариация интеграла действия равна
т? L=-2 5 (1 +
Ф
После интегрирования по частям
L“2 ИМ1 + Ж) т«+р ) tte“+i/т-)) к.} а»,
«0
где Va ^Va-.bVb. Если это выражение равно нулю при всех К, то
(р+ p)Va = ~P,b(gba+VbVa),
3.3. Jiагранжева формулировка
83
где ц — р(1 + е)— плотность энергии и р — p2(de/dp) — давле-
ние. Итак, ортогональный к линиям тока градиент давления за-
дает Г"', ускорение линий тока.
Чтобы получить тензор энергии-импульса, проварьируем мет-
рику. Вычисления можно упростить, если заметить, что сохра-
нение тока может быть выражено в виде равенства
Если линии тока заданы, то из уравнений сохранения величи-
на ja однозначно определяется в каждой точке данной линии
тока через свое начальное значение в некоторой фиксированной
точке той же линии тока. Поэтому д/— gia не изменяется при
вариации метрики. Но
Р2 = gab,
и, следовательно,
2р Др = (/V - jcjcgab) Agab,
а отсюда
Tab = {р (1 + е) + р' VaVb + Р2 §аЬ =
= (p + p)VaVb + pga&. (3.8)
Любую форму материи, тензор энергии-импульса которой имеет
вид (3.8) (независимо от того, выведен он из некоторого лагран-
жиана или нет), будем называть идеальной жидкостью. Уравне-
ние сохранения энергии и импульса (3.1) в приложении к (3.8)
дают
И;а1/я + (р + р)Уя;а = 0, (3.9)
(p + p}Va + (gab+ VaVb)p,<b=Q. (3.10)
Эти уравнения совпадают с полученными из лагранжиана. Бу-
дем называть идеальную жидкость изэнтропической, если дав-
ление р является функцией одной лишь плотности энергии ц.
В этом случае можно ввести сохраняющуюся плотность р и вну-
треннюю энергию е и вывести эти уравнения и тензор энергии
импульса (3.8) из некоторого лагранжиана.
Можно также рассмотреть заряженную жидкость с сохра-
няющимся электрическим зарядом е (т. е. 7а.а = 0, где J = eV —
электрический ток). Лагранжиан заряженной жидкости и элек-
тромагнитного поля имеет вид
L = -i F«bFcdgacgbd - 2р (1 + в) - JaAa.
84 Гл. 3. Общая теория относительности
Последний член задает взаимодействие между жидкостью и по-
лем. Варьируя А, линии тока и метрику соответственно, получаем
Fab.b = 4л/а,
(И + р) Va = - p.ib {gab + VaVb) + FabJb,
Tab = (И + p) VaVb + pgab + (rcFbc - 1 gabFcdFcd) .
3.4. Уравнения поля
До сих пор мы не конкретизировали метрику g. В специальной
теории относительности, которая не рассматривает гравитацион-
ные эффекты, принимается, что метрика плоская. Однако наблю-
дения показали, что лучи света, проходящие вблизи Солнца, от:
клоняются от своего первоначального направления. Поскольку
световые лучи представляют собой изотропные геодезические,
отсюда следует, что пространственно-временная метрика не мо-
жет быть плоской или хотя бы конформной плоской метрике.
Поэтому нам нужно иметь какой-то рецепт вычисления кривизны
пространства-времени. Оказывается, его можно сформулировать
так, чтобы в пределе малой, медленно изменяющейся кривизны
воспроизводились результаты ньютоновской теории тяготения.
Поэтому нет необходимости во введении какого-либо дополни-
тельного поля для описания тяготения. Это не означает, что до-
полнительного поля, ответственного за часть гравитационных
эффектов, вообще не может быть. Такого рода скалярное поле
было введено Иорданом [86] и Брансом и Дикке [39]. Причем,
как отмечено выше, такое дополнительное поле можно было бы
рассматривать просто как еще один вид материального поля и
включить в полный тензор энергии-импульса. Поэтому мы при-
держиваемся того взгляда, что поле тяготения описывается
только пространственно-временной метрикой. Тогда возникает
проблема нахождения полевых уравнений, связывающих метри-
ку с распределением материи.
Эти уравнения должны быть тензорными уравнениями, учи-
тывающими материю только через ее тензор энергии-импульса,
т. е. они не выявляют различий между двумя различными мате-
риальными полями, которые имеют одинаковые распределения
энергии и импульса. Данное условие можно рассматривать как
обобщение ньютоновского принципа равенства активной грави-
тационной массы тела (массы, создающей поле тяготения) пас-
сивной гравитационной массе (массе, на которую действует поле
тяготения). Экспериментально это равенство было проверено
Крейцером [93].
3.4. Уравнения поли 85
Чтобы установить, какими должны быть искомые уравнения
поля, рассмотрим предельный ньютоновский случай. Поскольку
в ньютоновское сравнение 1равигационпого поля время не вхо-
дит, соответствие с ньютоновской теорией нужно устанавливать
в статической метрике. Под статической метрикой подразуме-
вается метрика, которая допускает времениподобное векторное
поле Киллинга К, ортогональное к семейству пространственно-
подобных поверхностей. Эти поверхности можно рассматри вать
как поверхности постоянного времени и отмечать их пара мет-
ром t. Введем единичный времениподобный вектор V — ^-1К,
где р=-КаКа. Тогда Г:й= - VaVb, где Va = Va.,bVb = Г%§аЬ
описывает отклонение от геодезпчпости интегральных кривых
вектора V (которые, конечно, одновременно являются интеграль-
ными кривыми вектора К). Заметим, что КйКа = 0.
Эти интегральные кривые определяют статическую систему
отсчета; иными словами, для частицы, история которой представ-
лена одной из этих кривых, пространственно-временная метрика
кажется не зависящей от времени. Частица, выведенная из со-
стояния покоя и движущаяся по геодезической, выглядела бьп так,
как будто она получила начальное ускорение —V относительно
этой статической системы отсчета. Если / лишь незначительно
отличается от единицы, начальное ускорение выведенной из по-
коя свободно движущейся частицы приблизительно равно гра-
диенту f, взятому со знаком минус. Это наводит на мысль, что
в качестве величины, аналогичной ньютоновскому гравитацион-
ному потенциалу, следует рассматривать f— 1.
Уравнение для этого потенциала можно вывести, рассматри-
вая дивергенцию V"':
Ё“ а = (Va-,bVb\a = Va-b-,aVb + Va-bVb-a =
= RabVaVb + (V “Д* Vb + (VbVb)2 = RabVaVb.
Однако
Va;a = (r]f:bgab\a = - r2f;af;bgab +
И
UvV = - f,ava-bvb = - r'U-.bg*1’,
так что имеем
f.,ab(§ab + VaVb) = fRabVaVb.
Левая часть есть лапласиан f относительно метрики, индуциро-
ванной на 3-поверхности {t — const}. Если эта метрика почти
плоская, то мы получим ньютоновский лапласиан потенц нала.
Таким образом, мы получим согласие с теорией Ньютона bs пре-
дельном случае слабого поля (т. е. когда f « 1), если правая
часть будет равна плотности материи, умноженной на 4nG плюс
86 Г л. 3. Общая теория относительности
члены, которые малы в предельном случае слабого поля. Это
будет иметь место при условии, чго существует соотношение
вида
Rab~ КаЬ, (3.11)
где Каь — тензорная функция тензора энергии-импульса и мет-
рики, такая, что (inG)-lKabVaVb равно плотности материи плюс
члены, которые малы в ньютоновском приближении. Допустим
на время, что имеется соотношение такого вида.
Поскольку Rab удовлетворяет свернутым тождествам Бианки
Ra -b = у R;a, ИЗ (3.11) следует
V;6=y/<:6. (3.12)
Отсюда видно, что кажущееся естественным уравнение КаЬ =
= 4nGTab не может быть правильным, так как из(3.12) и урав-
нений сохранения Таь-,ь = О мы получили бы, что T-a = Q. Для
идеальной жидкости это означало бы, что р — Зр = const во
всем пространстве-времени — условие, которому в общем слу-
чае жидкость удовлетворять не может.
В действительности из тех тождеств, которым удовлетворяет
тензор энергии-импульса, законами сохранения являются в об-
щем случае только тождества первого порядка. Отсюда следует,
что тензорной функцией Rab тензора энергии-импульса и мет-
рики, для которой тождества (3.12) выполняются при любом
тензоре энергии-импульса, может быть только функция
Kab = ^(jab Тgab^ Agab, (3.13)
где х и Л — некоторые постоянные. Значения этих постоянных
можно определить из ньютоновского приближения. Рассмотрим
идеальную жидкость с плотностью энергии р и давлением р, ли-
нии тока которой являются интегральными кривыми вектора
Киллинга (т. е. жидкость покоится в статической системе отсче-
та). Ее тензор энергии-импульса имеет вид (3.8). Подставляя
его в (3.13) и (3.11), получим
f;ab (§ab + = f (4 х (И + Зр) - л) . (3.14)
В ньютоновском пределе давление р обычно весьма мало в срав-
нении с плотностью энергии. (Мы пользуемся единицами, в ко-
торых скорость света равна единице. Если единицы таковы, что
скорость света равна с, выражение р + Зр следует заменить на
р + Зр/с2.) Следовательно, приближенное согласие с ньютонов-
ской теорией будет достигнуто, если х — 8пб, а постоянная | А |
очень мала. Мы будем пользоваться единицами массы, в кото-
3.4. Уравнения поля
87
рых G == 1. В этих единицах масса 102S г соответствует длине
1 см. Из наблюдений удаленных галактик, выполненных Сендей-
джем [145, 146], вытекают ограничения на |Л| порядка 10-56 см-2.
Обычно мы будем принимать Л = 0, но следует помнить о воз-
можности иных значений.
Теперь можно проинтегрировать (3.14) по компактной обла-
сти ST 3-поверхности {t = const} и преобразовать левую часть в
интеграл от градиента f по граничной 2-поверхности д^~:
J f (4л (ц + 3/9)) da - J f.ab (gab + VaVb) da =
= 5 f:a(ga4 W)dT6,
dff-
где da — элемент объема 3-поверхности {t = const} в индуциро-
ванной метрике и dr& — элемент площади 2-поверхности д9~ на
этой 3-поверхности. Это приводит к аналогу формулы Ньютона
для полной массы, заключенной внутри 2-поверхности. Есть, од-
нако, два важных отличия от ньютоновского случая:
1. В интеграле в правой части появляется множитель f; это
означает, что материя, находящаяся в области, где } значительно
меньше единицы (большой отрицательный ньютоновский потен-
циал), дает меньший вклад в полную массу, чем материя из
области, где f почти равно единице (малый отрицательный нью-
тоновский потенциал).
2. Давление дает вклад в полную массу; это означает, что в
определенных условиях оно может способствовать, а вовсе не
препятствовать гравитационному коллапсу.
Уравнения
Rab = 8л — у Тgat)^ + i\gab
называются уравнениями Эйнштейна, и часто их записывают в
следующей эквивалентной форме:
(Rab — jRgab) + Agab = 8nTab. (3.15)
Поскольку тензоры в обеих частях симметричны, эти уравнения
образуют систему десяти связанных нелинейных дифференциаль-
ных уравнений в частных производных для метрики и ее первых
и вторых производных. Однако ковариантные дивергенции левой
и правой частей тождественно равны нулю, т. е.
(Rab - | Rgab + = О
И
88
Гл. 3. Общая теория относительности
независимо от уравнений поля. Таким образом, в действитель-
ности уравнения поля содержат только шесть независимых диф-
ференциальных уравнений для метрики. Это как раз то число
уравнений, которое нужно для задания геометрии пространства-
времени: четыре из десяти компонент метрики могут быть при-
ведены к произвольным значениям при использовании четырех
степеней свободы в виде координатных преобразований. К этому
выводу можно прийти и другим путем: две метрики gi и g2 на
многообразии Л задают ту же самую геометрию, если суще-
ствует диффеоморфизм 0, переводящий gi в g2; поэтому уравне-
ния поля должны определять метрику с точностью до класса
эквивалентности относительно диффеоморфизмов, в выборе ко-
торых имеются четыре степени свободы.
В гл. 7 мы рассмотрим задачу Коши для уравнений Эйн-
штейна и покажем, что последних вместе с уравнениями для ма-
териальных полей при подходящих начальных данных доста-
точно для определения эволюции пространства-времени и что
они удовлетворяют постулату причинности (а) (стр. 72).
Уравнения Эйнштейна могут быть выведены из требования
стационарности действия
1= ^(A(R-2A.) +L)dv (3.16)
з>
при вариации §аь- Здесь L — лагранжиан материи и А — подхо-
дящая постоянная. Действительно,
Д ((R - 2Л) du) = ((7? - 2Л) | gabAgab + Rab Agab + gab ARab) cl v;
последний член можно переписать в виде
gab ARab du = gab ((ДГ%ь);с - (дгас);&) du =
= (ArW&“ArWC);Cdu.
Отсюда интеграл от этого члена можно преобразовать в инте-
грал по границе д0, который обращается в нуль потому, что
ДГа(,с = 0 на д£>. Поэтому
^L= Н^((|я-л)«->-Л'”)+7'“''}^И», (3.17)
s>
и если dlldu обращается в пуль при всех Aga.b, мы получаем
уравнения Эйнштейна, положив А = (8л)”1.
Может возникнуть вопрос, нельзя ли, варьируя действие, по-
лученное из какой-либо другой комбинации метрического тен-
зора и тензора кривизны, получить другую разумную систему
уравнений. Однако скалярная кривизна R — единственный ска-
ляр, который линеен по вторым производным метрического тен-
3.4. Уравнения поля
89
зора, так что только и этом случае можно выделить поверхност-
ный интеграл и получить уравнение, содержащее производные
метрики не выше второго порядка. Если же исходить из какого-
либо другого скаляра, например RabRab или RabcdRabcd, то полу-
чится уравнение, содержащее четвертые производные метриче-
ского тензора. Это обстоятельство нежелательно, ибо все прочие
уравнения физики первого или второго порядка. Если бы урав-
нения были четвертого порядка, то для описания эволюции .мет-
рики пришлось бы задавать начальные значения не только мет-
рики и ее первых производных, но также значения вторых и
третьих производных.
Мы будем предполагать, что уравнения поля не содержат
производных метрики выше второго порядка. Если эти уравне-
ния выводятся из какого-либо лагранжиана, то действие обяза-
тельно должно иметь вид (3.16). Однако можно получить си-
стему уравнений, отличную от эйнштейновской, если наложить
ограничения на вид вариаций Д§аь, при которых мы требуем
стационарности действия. Скажем, можно было бы ограничиться
метриками, конформными к плоской метрике, т. е. положить
gab = Q2riab,
где г]оь -— плоская метрика специальной теории относительности.
Тогда
А^^СГ'ДЙ^,
и действие будет стационарным при условии, что
{(л(4/?-д)^--/?а°)+7'аЬ}АС^ = О
при всех AQ, т. е. если
R + A-'T = 4A.
Из (2.30)
R = - 6Q“3Q|bcn6c = - QQ~'Q.bcgbc + i2Q-2Q.cQ.dgcd,
где | означает ковариантное дифференцирование относительно
плоской метрики т]аб. Для статической метрики Q = const вдоль
интегральных кривых вектора Киллинга К (т. е. Q не будет за-
висеть от времени t). Модуль К будет пропорционален Q.
Поэтому
(g^ + V^Q-1^
= - | R + 2й~2й;ай;6/& - -bVb =
90
Г л. 3. Общая теория относительности
Таким образом, лапласиан f будет равен — ~R плюс член, про-
порциональный квадрату градиента f. Этим последним членом
в слабом поле можно пренебречь. Согласно уравнениям поля
Для идеальной жидкости Т = —ц 4- Зр. Следовательно, согла-
сие с ньютоновской теорией достигается, если Л мало или равно
нулю и Д-1 = —24л.
Эта теория, в которой на метрику наложено условие, чтобы
она была конформно-плоской, известна как теория Нордстрема.
Ее можно переформулировать как теорию, в которой метрика i]
плоская, а гравитационное взаимодействие представлено доба-
вочным скалярным полем ф. Как упоминалось ранее, такого рода
теория не согласуется с наблюдаемым отклонением луча света
массивными объектами и не может объяснить измеренное сме-
щение перигелия Меркурия.
Наблюдаемые значения этих величин (отклонения луча и
смещения перигелия Меркурия) можно было бы получить при
следующем ограничении на вид метрики:
gab = ^^ab + WaWb),
где 1Га— произвольное поле 1-формы. В этом случае ньютонов-
ский предел имел бы место в статической метрике, в которой Wa
параллельно времениподобному вектору Киллинга. Однако
могла бы существовать и другая статическая метрика, в ко-
торой не параллельно вектору Киллинга, и она нс приво-
дила бы к ньютоновскому пределу. Кроме того, это ограничение
выглядит довольно искусственным. Представляется более есте-
ственным не накладывать иных ограничений на метрику, кроме
требования, чтобы она была лоренцевой.
Поэтому в качестве нашего третьего постулата мы примем:
Постулат (в): Уравнения поля
На многообразии Л удовлетворяются уравнения поля Эйн-
штейна (3.15).
Предсказания этих уравнений согласуются в пределах оши-
бок эксперимента с выполненными до настоящего времени на-
блюдениями отклонения луча света и сдвига перигелия Мерку-
рия. В то же время пока остается открытым вопрос, существует
ли дальнодействующее скалярное поле, которое нужно было бы
включить в тензор энергии-импульса.
Глава 4
Физический смысл кривизны
В этой главе мы рассмотрим, как сказывается кривизна
пространства-времени на семействах времениподобных и изотроп-
ных геодезических. Эти семейства могут изображать соответ-
ственно линии тока жидкости и (или) мировые линии фотонов.
В разд. 4.1 и 4.2 мы выведем формулы для скорости вращения,
поперечного сдвига (sheer) и расхождения (expansion) таких
семейств кривых; уравнение для скорости расхождения (уравне-
ние Райчаудхури) занимает центральное место в доказатель-
ствах теорем о сингулярностях в гл. 8. В разд. 4.3 обсуждаются
общие неравенства для тензора энергии-импульса, из которых
вытекает, что гравитационное воздействие материи всегда стре-
мится вызвать сближение времениподобных и изотропных геоде-
зических. Из результатов разд. 4.4 видно, что следствием этих
энергетических условий будет появление сопряженных или фо-
кальных точек в невращающихся семействах времениподобных
или изотропных кривых общего вида. В разд. 4.5 показано, что
из наличия сопряженных точек следует существование таких ва-
риаций кривых между двумя точками, которые переводят изо-
тропную геодезическую во времениподобную кривую или вре-
мениподобную геодезическую во времениподобную кривую боль-
шей длины.
4.1. Времениподобные кривые
Мы видели в гл. 3, что при статической метрике существует
связь между длиной времениподобного вектора Киллинга и нью-
тоновским потенциалом. Находится ли тело в гравитационном
поле, можно узнать по тому, ускоряется ли оно или нет, если его
вывести из состояния покоя относительно статической системы
отсчета, задаваемой этим вектором Киллинга. Однако в общем
случае в пространстве-времени может не быть ни одного вектора
Киллинга, и тогда не будет и какой-либо выделенной системы
отсчета для измерения ускорения. Все, что еще можно сделать,—
это взять два близких друг к другу тела и измерить их относи-
тельное ускорение. Такое измерение позволяет определить гра-
диент гравитационного поля. Если рассматривать метрику как
аналог ньютоновского потенциала, то градиенту ньютоновского
поля будут соответствовать вторые производные метрики. Они
92
Гл. 4. Физический смысл кривизны
определяются тензором Римана. Поэтому можно ожидать, что
относительное ускорение двух соседних тел будет связано с ка-
кими-то компонентами тензора Римана.
Чтобы установить эту связь более строго, изучим поведение
конгруэнции времениподобных кривых с единичным касательным
вектором V (g(V, V) = —1). Эти кривые могут представлять ли-
нии тока жидкости или (в том случае, когда они являются гео-
дезическими) истории малых пробных частиц. В случае идеаль-
ной жидкости, согласно (3.10),
(ц + р) Va = -- p.bhab, (4.1)
где Va = Va-,bVb — ускорение линий тока, а Наь — Ьаь + VaVb —
тензор, который проектирует вектор X е Тч в подпространство
Hq пространства Тд, ортогональное к V. Можно рассматривать
ha.b и как метрику в Нд (ср. с разд. 2.7).
Пусть 7(0—некоторая кривая с касательным вектором Z =
= (d/dt)b- Тогда можно построить семейство кривых сме-
щая каждую точку кривой 2. (f) на расстояние s вдоль интеграль-
ных кривых V. Если определить теперь Z как (д/д/)Л(г s), то из
определения производной Ли (см. разд. 2.4) следует, что
Z,VZ = 0, или, иначе говоря,
-^-Ze = V’%Z6. (4.2)
Величину Z можно интерпретировать как вектор, представляю-
щий относительное расположение указанных выше двух точек
на двух соседних кривых, которые находятся на равном расстоя-
нии от некоторых произвольных начальных точек. Если к Z до-
бавить вектор, кратный V, то полученный вектор будет изобра-
жать относительное расположение точек тех же двух кривых, но
находящихся на различных расстояниях. В действительности нас
интересуют лишь девиация соседних кривых (separation of
neighbouring curves), а не расположение отдельных точек на
них. Поэтому нам приходится иметь дело с Z с точностью до
компоненты, параллельной V, т. е. только с проекцией Z в каж-
дой точке q на пространство Qg, которое состоит из классов экви-
валентности векторов, отличающихся только добавлением век-
тора, кратного V. Это пространство можно представлять себе
как подпространство Нд пространства Тд, состоящее из векторов,
ортогональных к V. Проекцию Z на Нд будем обозначать через
xZ° = habZb. В случае жидкости можно рассматривать ^Z как
расстояние между двумя соседними частицами жидкости, изме-
ренное в их системе покоя.
Из (4.2) следует, что
= (4.3)
4.1. Времениподобные кривые
93
Эта формула дает скорость изменения девиации двух бесконечно
близких кривых, измеренную в Hq. Применяя к (4.3) операцию
D/ds еще раз и проектируя на Нч, получаем
= hab (v\cd iZcVd + Vb-,cVc.dVeZeVd +
(J о \ (J -J z
+ Vb.cVcVs.,dZeVd + Vb.,chceZe.dVd).
Изменяя порядок дифференцирования в первом члене и исполь-
зуя (4.2), приводим это равенство к виду
U9 (Ус ~1Гьы ^СуЬуС!+
+ habVb-cd.Zc + VaVbtZb. (4.4)
Это уравнение, известное как уравнение девиации или уравнение
Якоби, дает относительное ускорение, т. е. вторую производную
по времени девиации двух бесконечно близких кривых, изме-
ренную в Hq. Мы видим, что если эти кривые — геодезические,
то девиация зависит лишь от тензора Римана.
В ньютоновской теории ускорение каждой частицы опреде-
ляется градиентом потенциала Ф, и поэтому относительное уско-
рение двух частиц на расстоянии Za равно <&-abZb. Таким обра-
зом, член с тензором Римана Ra.bcdVbVd аналогичен ньютонов-
скому Ф-,ас- Действие этой «приливной силы» хорошо демонстри-
рует пример сферы, составленной из свободно падающих на
Землю частиц. Каждая частица движется по прямой, проходя-
щей через центр Земли, но более близкие к Земле частицы па-
дают быстрее тех, которые находятся дальше. Это означает, что
сфера не сохраняет свою форму, а деформируется в эллипсоид
того же объема.
Чтобы исследовать уравнение девиации, мы введем в произ-
вольной точке q интегральной кривой y(s) вектора V дуальные
ортонормированные базисы Е1( Е2, Е.3, Е4 и Е1, Е2, Е3, Е4 про-
странств Tq и T*q, причем возьмем Е4 = V. Было бы желательно
перенести затем эти базисы вдоль кривой y(s), чтобы получить
такие же базисы в каждой точке y(s). Однако при параллельном
переносе базисов вдоль y(s) (т. е. когда D/ds для каждого век-
тора обращается в нуль), Е4 не будет оставаться равным V, а
Ei, Е2, Е3 не останутся ортогональными к V, если y(s) — не гео-
дезическая. Поэтому мы введем новую производную вдоль y(s),
так называемую производную Ферми th/ds. Для векторного
поля X вдоль y(s) она определяется формулой
DP (XI DX С DV \ DV
-^— = -5—g(x, -v- V + g(X, Vн-
ds ds 6 \ ’ ds J 1 ° ' ’ ' ds
94
Гл. 4, Физический смысл кривизны
и обладает следующими свойствами:
df D
1) = ~^< если у (s) — геодезическая;
DFV
2) = 0;
’ ds
3) если X и Y — векторные поля вдоль y(s), такие, что
Dfx DfY
—— - о = ——
ds ds
TO g(X, Y) = const вдоль у (s);
4) если Xе — векторное поле вдоль у (s), ортогональное к V, то
(Последнее свойство показывает, что производная Ферми явля-
ется естественным обобщением производной D/ds.)
Итак, если перенести ортонормированный базис пространства
Tq вдоль y(s) так, чтобы производная Ферми каждого базисного
вектора была равна нулю, получится ортонормированный базис
в каждой точке y(s) с Е4 — V. Векторы Еъ Е2, Е3 можно интер-
претировать как орты невращающейся системы координатных
осей вдоль y(s). Физически их можно реализовать с помощью
маленьких гироскопов, оси которых направлены вдоль каждого
из векторов.
Определение производной Ферми для векторных полей вдоль
y(s) можно распространить на произвольные тензорные поля
обычным образом, а именно:
I. Dp/ds представляет собой линейное отображение тензор-
ных полей типа (г, s) вдоль y(s) на тензорные поля типа (г, s),
которое коммутирует со свертками;
Dp DfK DfL
II. -^(K®L) = ^-®L + K®^-;
DFf df
HI- =
ds ds
где f — произвольная функция.
Из этих правил следует, что над дуальным базисом Е1, Е2,
Е3, Е4 пространства Tq также совершается перенос Ферми
вдоль y(s). Используя производные Ферми, можно переписать
(4.3) и (4.4) в виде
^±Za = Va;btZb, (4.5)
^-^Za = -RabcdLZcVbVd + habVb-cxZc + VaVbiZb. (4.6)
4.1. Времениподобные кривые
95
Эти соотношения можно выразить через дуальные базисы, полу-
ченные переносом Ферми. Поскольку ±Z ортогонален к V, у него
есть компоненты лишь относительно Е1( Ег, Ез. Следовательно,
его можно представить как ZaEa, если мы условимся, что грече-
ские индексы пробегают только значения 1,2,3. Тогда (4.5) и
(4.6) можно записать через обыкновенные производные:
= (4.7)
^Z“ = (-7?%4 + V“;b + V“Ve)Ze, (4.8)
где и — те компоненты Va-,t, для которых а = а и b — р. По-
скольку компоненты Z“ удовлетворяют линейному обыкновен-
ному дифференциальному уравнению 1-го порядка (4.7), эти
компоненты можно выразить через их значения в некоторой
точке:
Za(S) = 4ap(S)zX (4.9)
где (s)— матрица 3X3, которая в точке q равна единичной
матрице и удовлетворяет уравнению
-т^- Дир (s) = Ха;уИу|3 (s). (4.10)
В случае жидкости можно считать, что матрица Дар задает
форму и ориентацию малого элемента жидкости, сферического
в точке q. Эту матрицу можно записать в следующем виде:
Tlap — OapSa|j, (4.11)
где Оа|з — ортогональная матрица с положительным определите-
лем, а Sa|3 — симметричная матрица. Оар и Sap могут быть вы-
браны в точке q равными единичной матрице, причем Оар мож-
но рассматривать как матрицу, характеризующую вращение со-
седних кривых относительно базиса, полученного переносом
Ферми, а 5а|з — как матрицу, описывающую смещение этих кри-
вых относительно y(s). При этом определитель Sap, который ра-
вен определителю Дар, характеризует трехмерный объем выре-
заемого соседними кривыми элемента поверхности, ортогональ-
ной к y(s).
В точке q, где Дар — единичная матрица, производная
dOa$/ds антисимметрична, а dSag/ds симметрична. Таким обра-
зом, антисимметричная часть дает скорость вращения со-
седних кривых в точке q, симметричная часть дает скорость из-
менения девиации от y(s), а скорость изменения объема опреде-
ляется следом Va;p. Поэтому мы введем тензор вращения
®ab =hahb“V\c-d], (4-12)
96
Гл. 4. Физический смысл кривизны
тензор расхождения
0аЬ = (4.13)
и объемное расхождение
Q^Qabhab = Va.bhab = Va-,a- (4.14)
Далее мы определим тензор поперечного сдвига как часть 0а&
с нулевым следом:
Cab = — у habQ (4.15)
и вектор вращения как
«а = 4 ^abcdVb&cd = Д ^abcdvbVc-d- (4.16)
Ковариантную производную вектора V можно выразить через
эти величины:
V + aab + ^Qhab~V aVb- <4'17)
Это разложение градиента вектора скорости жидкости анало-
гично соответствующему разложению в ньютоновской гидроди-
намике.
В ортонормированием базисе, полученном переносом Ферми,
вращение и расхождение можно записать с помощью матрицы
Аа, и и обратной ей матрицы А 'ар:
<£»сф = — А \[а Лз]7> (4.18)
9а|3 А у(а Д|3)у> (4.19)
6 = (det А)-1(det А). (4.20)
Из уравнения девиации (4.8) следует, что
Да0 — (— Raiyi + V а.у + ЙаЙу) Ayg. (4.21)
Если известен тензор Римана, то это уравнение позволяет вычи-
слить распространение вращения, сдвига и расхождения вдоль
интегральных кривых V.
Умножив (4.21) на /К'щ и взяв антисимметричную часть,
получим
17 ®а(3 = 2юу[а6Ыу + ^Га;|ЗГ (4-22)
Таким образом, распространение вращения зависит от антисим-
метризованного градиента ускорения, но не от «приливной силы».
4.1. Времениподобные кривые
97
Запишем это уравнение в другой форме:
w.23)
Отсюда видно, что Дуасоу6Д6р— постоянная матрица, если рас-
сматриваемые кривые — геодезические; в частности, если, вра-
щение обращается в нуль в одной точке какой-либо кривой, то в
случае геодезических оно равно нулю во всех точках этой кри-
вой. Если эти кривые представляют линии тока идеальной
жидкости, то из (4.1) следует, что
! dp
^ = -7477®*^.
Если жидкость изэнтропическая, то отсюда следует закон со-
хранения:
1ЕЛуао)у6Лб,. = const, (4.24)
где
Этот закон сохранения представляет собой релятивистскую фор-
му ньютоновского закона сохранения момента количества дви-
жения. В геодезическом случае или при отсутствии давления он
сводится к обычному утверждению, что величина вектора мо-
мента количества движения обратно пропорциональна площади
сечения элемента жидкости, ортогонального к этому вектору.
Когда давление не равно нулю, появляются дополнительный ре-
лятивистский эффект, возникающий из-за того, что давление со-
вершает работу над жидкостью, вследствие чего возрастает
масса, а следовательно, и инерция элемента жидкости [ср. с
(3.9)]. Это означает, что вращение жидкости под давлением воз-
растает медленнее, чем можно было бы ожидать без учета дав-
ления.
Умножив (4.21) на и взяв симметричную часть, нахо-
дим
0а0 — — -Яа4|34 ““ СОауССур — баубуР + Ё(а;|3) + Va(4.25)
Уравнения (4.25) и (4.23) можно записать в общем базисе (не
ортонормированном и не обязательно полученном путем пере-
носа Ферми) при помощи замены обыкновенных производных на
производные Ферми и проектированием на подпространство, ор-
тогональное к V.
След уравнения (4.25) равен
77 0 = - RabVaVb + 2сУ - 2а2 - 1 92 + Va-,a) (4.26)
4 Заказ 381
98
Гл. 4. Физический смысл кривизны
где
2<в2 — йаг,со°6 О,
2<т2 = GabGab >0.
Это уравнение, впервые полученное Ландау и независимо Рай-
чаудхури, в дальнейшем будет играть весьма важную роль. Из
него видно, что вращение порождает расхождение, как и следо-
вало ожидать из аналогии с центробежной силой, в то время
как сдвиг приводит к схождению. Согласно уравнениям поля
для идеальной жидкости, касательным вектором линий тока ко-
торой является Va, имеем
RabVaVb = 4K(v + 3p).
Поэтому можно ожидать, что этот член также приводит к схо-
ждению. Общее исследование знака этого члена будет прове-
дено в разд. 4.3.
Вычитая из (4.25) его след, получим
®аЬ = СacbdV И ha hb Red b b
~ f 9<Ta6 + hachbdV{e-,d) -jhab (2й2 - 2a2 + Va-.a + ~Rcdhcd\ (4.27)
где Cabcd — тензор Вейля. Поскольку этот тензор имеет нулевой
след, он не входит непосредственно в уравнение расхождения
(4.26), но из-за присутствия члена —2о2 в правой части этого
уравнения тензор Вейля, индуцируя сдвиг, косвенно вызывает
схождение кривых. Тензор Римана выражается через тензор
Вейля и тензор Риччи:
^abed С abed ga[d^ c]b §b[c^d]a 3 g a[cg d]b‘
Тензор Риччи определяется уравнениями Эйнштейна
Rab jT gabR “Ь А-gab ЗпТаЬ.
Следовательно, тензор Вейля представляет собой ту часть кри-
визны, которая локально не определяется распределением мате-
рии. Однако он не может быть совершенно произвольным, по-
скольку тензор Римана должен удовлетворять тождествам
Бианки:
Rab{ed’,e\ = 0.
Последние можно переписать в виде
seabed rabc
В ;d = J
где
rabc nclaib] . 1 c[bD;a]
— A T "g g X
(4.28)
(4.29)
4.2. Изотропные кривые
99
Эт<о соотношение похоже на уравнения Максвелла в электроди-
намике:
r>ab та
Г -,Ь = J ,
где Fab — тензор электромагнитного поля, a J'1 — ток источников.
Таким образом, тождества Бианки (4.28) в определенном смысле
можно считать уравнениями поля для тензора Вейля, являюще-
гося той частью кривизны в данной точке, которая зависит от
распределения материи в других точках. (Этот подход был ис-
пользован для анализа поведения гравитационного излучения в
работах [71, 113, 116].)
4.2. Изотропные кривые
Как и в случае времениподобных кривых, тензор Римана бу-
дете влиять на скорость изменения относительного расположения
изотропных кривых. Для простоты мы рассмотрим только изо-
тропные геодезические. Они могут отображать мировые линии
фотонов; влияние тензора Римана будет состоять в искривлении
или фокусировке малых пучков световых лучей.
Чтобы исследовать это явление, рассмотрим уравнение де-
виации для конгруэнции изотропных геодезических с касатель-
ным вектором К (g(K,K) = 0). Здесь имеются два важных от-
личия от случая времениподобных кривых, рассмотренного в
предыдущем разделе.
Во-первых, там мы располагали возможностью нормировать
касательные векторы V к времениподобным кривым при помощи
услювия g(V, V) =—1. В сущности это означает, что кривые
бы.ли параметризованы длиной дуги s. Ясно, что это невозможно
для изотропных кривых, так как дуги их имеют нулевую длину.
Самое большее, что можно сделать, — это воспользоваться аф-
фшнным параметром и; тогда касательный вектор К подчиняется
уравнению
-£-/С = /саХ = о.
(W
Од.нако v можно умножить на функцию f, постоянную вдоль
каждой кривой. Тогда fv будет другим аффинным параметром,
и соответствующим касательным вектором будет f-1K. Таким об-
разом, если кривые заданы как точечные множества на много-
образии, то касательный вектор будет однозначен лишь с точ-
ностью до множителя, постоянного вдоль каждой конвой.
Во-вторых, еще одно различие состоит в том, что Qq, фактор-
пространство Тд по К, теперь не изоморфно Нд, т. е. подпро-
странству Тд, ортогональному к К: из-за того, что g(K, К) = О,
сам: вектор К тоже содержится в Hq. На самом деле, как будет
показано ниже, реальный интерес представляет не пространство
100
Гл. 4. Физический смысл кривизны
Qq в целом, а только его подпространство Sq, состоящее из клас-
сов эквивалентности векторов из Нд, которые отличаются лишь
на вектор, кратный К. В случае лучей света элемент Sg можно
рассматривать как вектор, описывающий девиацию двух близ-
ких лучей, излученных источником в одно и то же время.
Как и прежде, введем дуальные базисы Еь Е2, Е3, Е4 и Е1,
Е2, Е3, Е4 пространств Тq и в некоторой точке q на кривой у (у).
Однако не будем брать их ортонормированными: выберем Е4
равным К, в качестве Е3 возьмем некоторый другой изотропный
вектор L, скалярное произведение которого с Е4 равно — 1, т. е.
g(E3, Е3) = 0, g(E3, Е4) = — 1, а Е, и Е2 пусть будут единичными
пространственноподобными векторами, ортогональными друг
другу и векторам Е3, Е4:
g(Eb E,)=g(E2> E2) = l, g (Е,, E2)=g(Eb E3) = g(E1, Е4)=0 и т. д.
Отметим, что в силу неортонормированного характера этого
базиса форма Е3 будет равна форме —K.agab, а Е4 = —Lagab.
Можно убедиться, что Еь Е2, Е4 образуют базис в Hq, в то время
как проекции векторов Еь Е2, Е3 на Qq образуют базис в Qy,
наконец, проекции Е4 и Е2 образуют базис в Sq. Как правило,
мы не будем различать вектор Z и его проекции на Qq или Sq.
Базис Ei, Е2, Ез, Е4, обладающий указанными свойствами, будем
называть псевдоортонормированным. Параллельным переносом
этих векторов вдоль геодезической у (у) мы получим псевдоорто-
нормированный базис в каждой точке у (у).
Мы используем этот базис для анализа уравнения девиации
изотропных геодезических. Если Z — вектор девиаций, изобра-
жающий относительное расположение соответствующих точек
на соседних кривых, то, как и прежде, имеем
Z-kZ = 0,
так что
-~Za^Ka.bZb (4.30)
и
^Za=~RabcdZcKbKd. (4.31)
В псевдоортонормированном базисе Ка,4 — 0, поскольку вектор
К — касательный к геодезической. Поэтому при а = 1, 2, 3 урав-
нение (4.30) можно представить как систему обыкновенных диф-
ференциальных уравнений:
4-Za = Ка-aZ15,
do ,р ’
где, как и прежде, греческие индексы принимают значения 1,2,3.
Отсюда видно, что проекция Z на пространство Qq подчиняется
4.2. Изотропные кривые
101
уравнению распространения, содержащему только саму эту про-
екцию, без компоненты, параллельной К. Далее, К3-с = 0, по-
скольку (Ка§аьКЬУ.с = 0. Отсюда следует, что компонента Z3 —
= —ZaKa постоянна вдоль геодезической y(v). Это можно ин-
терпретировать следующим образом: девиация лучей света, ис-
пущенных одним и тем же источником в разное время, остается
постоянной во времени. Коль скоро это так, наибольший интерес
представляет поведение соседних изотропных геодезических с
чисто пространственным вектором девиации, т. е. Z с Z3 = 0.
Проекции таких векторов на Qq будут лежать тогда в подпро-
странстве и будут подчиняться уравнению
4 __ TSfTl уп
7? 2 - К >
где т, п принимают только значения 1, 2. Оно подобно уравне-
нию (4.7) для времениподобного случая, за тем исключением,
что теперь мы имеем дело с двумерным пространством векто-
ров Z, соединяющих соседние кривые.
Как и в предыдущем разделе, Zm можно выразить через его
значения в некоторой точке q:
Zm(v) = Amn(v) Zn'\q,
где Amn (v) — матрица 2X2, удовлетворяющая уравнениям
-^-Amn(v)=Km;pApn(v), (4.32)
Ати(у) — RmiPiAph (у)- (4.33)
Как и прежде, будем называть ытп = К[т-П} вращением, 6тп =
— К(т-,п) — скоростью девиации, 9, след 0т„ — расхождением;
сдвиг дтп определим как бесследовую часть Qmn. Уравнения для
них подобны уравнениям для аналогичных величин в предыду-
щем разделе:
(4'34)
0 = - RabKaKb + 2й2 - 262 -102, (4.35)
®тп = С mini ^&тп- (4.36)
Уравнение (4.35) является аналогом уравнения Райчаудхури
для времениподобных геодезических. Снова мы видим, что вра-
щение вызывает расхождение, в то время как сдвиг приводит
к схождению. В следующем разделе мы покажем, что в нормаль-
ных условиях член с тензором Риччи (Rai>KaKb) отрицателен и,
102
Гл. 4. Физический смысл кривизны
следовательно, порождает фокусирование. Как и прежде, тензор
Вейля непосредственно не влияет на расхождение, но вызывает
искривление, которое в свою очередь приводит к схождению (ср.
[127]).
4.3. Энергетические условия
В реальной Вселенной тензор энергии-импульса будет со-
стоять из вкладов большого числа различных материальных по-
лей. Поэтому, даже если нам были бы известны точный вид
вклада каждого поля в отдельности и его уравнения движения,
было бы слишком сложно выписать точное выражение для тен-
зора энергии-импульса. В самом деле, мы весьма смутно пред-
ставляем поведение материи в условиях предельно высоких дав-
лений и плотностей. Таким образом, может показаться, что мало
надежды на предсказание существования сингулярностей во Все-
ленной по уравнениям Эйнштейна, поскольку их правая часть
нам неизвестна. Однако, по-видимому, имеются основания для
того, чтобы потребовать выполнения определенных неравенств
для тензора энергии-импульса. В этом разделе мы собираемся
рассмотреть эти неравенства. Оказывается, что во многих си-
туациях их достаточно для того, чтобы независимо от вида тен-
зора энергии-импульса доказать наличие сингулярностей.
Первым из этих неравенств является
Слабое энергетическое условие
Тензор энергии импульса в каждой точке р е Я удовлетво
ряет неравенству TabWaWb 0 при любом времениподобном
векторе Вследствие непрерывности это условие будет
справедливо и для любого изотропного вектора We7f„
Наблюдателю, мировая линия которого имеет единичным ка-
сательным вектором V, локальная плотность энергии кажется
равной TabVaVb. Следовательно, наше неравенство эквивалентно
утверждению, что локальная плотность энергии, измеренная ка-
ким-либо наблюдателем, неотрицательна. С точки зрения физики
это представляется весьма разумным. Для дальнейшего выясне-
ния смысла этого неравенства воспользуемся тем обстоятель-
ством, что в точке р компоненты тензора энергии-импульса ТаЬ
в базисе Еь Е2, Е3, Е4 (с времениподобным Е4) можно предста-
вить в одной из четырех канонических форм.
Тип I
4.3. Энергетические условия
103
Это тот общий случай, когда тензор энергии-импульса обладает
времениподобным собственным вектором Е4, и притом единствен-
ным, за исключением случая, когда у. = —ра (а = 1, 2, 3). Соб-
ственное значение у представляет собой плотность энергии по
измерениям наблюдателя, мировая линия которого в точке р
имеет касательным вектором Е4; собственные значения ра (а =
= 1, 2, 3) являются главными значениями давления в трех про-
странственноподобных направлениях Еа. Таков вид энергии-им-
пульса для всех наблюдаемых полей с ненулевой массой покоя,
а также и для всех полей с нулевой массой покоя, за исключе-
нием одного особого случая, когда мы имеем каноническую фор-
му типа II.
Тип II
Pi о
0
0
V V -ф X
В этом особом случае тензор энергии-импульса имеет дву-
кратный собственный вектор Ез -ф Е4. Единственный наблюдае-
мый случай такой формы — когда безмассовое поле представ-
ляет собой излучение, целиком распространяющееся в направле-
нии Е3 -ф Е4. В этом случае pi, рг и х равны нулю.
Тип III
/ р 0 0 Ох
. | 0 — v 1 1 |
срао _ I I
I О 1 -v О Г
X О 1 О V /
Это — особый случай, в котором тензор энергии-импульса обла-
дает трехкратным изотропным собственным вектором Е3 -ф Е4.
Полей, обладающих тензором энергии такого вида, не обнару-
жено.
Тип IV
Pl 0 0
'раЬ __ 0 Р-2 — X V , х2 < : 4v2.
0 v 0
104
Гл. 4. Физический смысл кривизны
Это — общий случай, когда у тензора энергии-импульса нет вре-
мениподобных или изотропных собственных векторов. Наблюдае-
мых полей с тензорами энергии-импульса такого вида тоже не
существует.
Для типа I слабое энергетическое условие будет выполняться
при ii^O, р, + ра 0 (а=1, 2, 3). Для типа II оно будет
выполнено, если р\ 0, р2 0, х > 0, v — +1- Эти неравен-
ства являются весьма разумными, и им удовлетворяют все экс-
периментально обнаруженные поля. Для физически нереализую-
щихся типов III и IV слабое энергетическое условие не выпол-
няется.
Этому условию удовлетворяет также скалярное поле ф, по-
стулированное Брансом и Дикке [39]. От этого поля требуется,
чтобы оно всюду было положительным. Его тензор энергии-им-
пульса имеет вид (3.6), причем т = 0. Тензор энергии-импульса
всех других полей отличается в ф раз от того, что было бы, если
бы это скалярное поле не существовало.
Слабое энергетическое условие не выполняется для «С-поля»,
предложенного Хойлом и Нарликаром [82], которое также яв-
ляется скалярным полем с т = 0; только на этот раз тензор
энергии-импульса имеет противоположный знак и, следователь-
но, плотность энергии отрицательна. Ввиду этого возможно одно-
временное рождение квантов полей с положительной энергией и
С-поля с отрицательной энергией. Этот процесс происходит в
стационарной модели Вселенной, предложенной Хойлом и Нар-
ликаром, в которой по мере разлета частиц вследствие общего
расширения Вселенной непрерывно рождается новое вещество,
так что поддерживается постоянная средняя плотность. Однако
подобный процесс вызывает трудности с точки зрения кванто-
вой механики. Даже если сечение такого процесса очень мало,
наличие бесконечного фазового объема для квантов положи-
тельной и отрицательной энергии привело бы к рождению
бесконечного числа пар в конечной области пространства-вре-
мени.
Такой катастрофы не случится, если выполняется слабое
энергетическое условие. Существует также несколько более силь-
ное условие, при котором невозможно рождение материи в том
смысле, что пространство-время остается пустым все время, если
оно пустое в какой-либо момент времени, и никакая материя не
поступает из бесконечности; наоборот, материя, имеющаяся в
какой-то момент времени, не может исчезнуть и, таким образом,
присутствует всегда. Этим условием является
Условие энергодоминантности
Для любого времениподобного WaTabWaWi> 0, а ТаЬ^а —
непространственноподобный вектор.
4.3. Энергетические условия
105
Это условие можно интерпретировать следующим образом:
любой наблюдатель видит, что локальная энергия неотрицатель-
на, а локальный поток энергии непространственноподобен. Экви-
валентным этому является утверждение, что в любом ортонор-
мированном базисе энергия доминирует над другими компонен-
тами Tab, т. е.
Т°°'^\ТаЬ\ для любых а, Ь.
Это условие выполняется для типа I при ц 0, —и Ра Ц
(а = 1, 2, 3) и для типа II при v = +1, х Js 0,
Рис. 9. Компактная область <Н пространства-времени с невремениподоб-
ными границами прошлого и будущего (d°Up, (Ш), и времениподобной
границей (<Ж)3. °U (t')~ часть ‘U, лежащая в прошлом поверхности Ж (t')
(определяемой значением t = i').
(i = 1, 2). Другими словами, условие энергодоминантности пред-
ставляет собой слабое энергетическое условие, дополненное тре-
бованием, чтобы давление не превышало плотности энергии. Ему
удовлетворяют все известные формы материи и имеются серьез-
ные основания предполагать, что оно выполняется во всех си-
туациях. Дело в том, что скорость звуковых волн, распростра-
няющихся в направлении Еа, равна скорости света, умноженной
на (dpa/d;i)адиаб- Значит, должно быть справедливо неравенстве
(dpa/dg) С 1, ибо, согласно постулату (а) разд. 3.2, никакой сиг-
нал не может распространяться быстрее света. Отсюда следует,
что ра и, поскольку для любой известной формы материй дав-
ления малы, когда малы плотности. (Блудман и Рудерман [8. 9]
показали, что могут быть поля, для которых перенормировка
массы может привести к тому, что давление будет больше
105
Гл. 4. Физический смысл кривизны
плотности энергии. Однако, на наш взгляд, это скорее говорит
против теории перенормировок, чем в пользу возможности такой
ситуации.)
Рассмотрим теперь ситуацию, изображенную на рис. 9, когда
имеется С2-функция t, градиент которой всюду времениподобен.
(В разд. 6.4 будет показано, что такая функция существует, если
только пространство-время не слишком близко к нарушению
причинности.) Граница д°И компактной области состоит: 1) из
части (d^i, нормальная форма п которой непространственно-
подобна и такая, что на nat-bgab > 0; 2) из части (<Ж)г, нор-
мальная форма п которой непространственноподобна, но
nat-bgab <0 и 3) из остальной части (<Ж)з (которая может быть
пуста). Знак нормальной формы п получается из требования,
чтобы (n, X) было положительным для всех векторов X, которые
направлены наружу SZZ (ср. с разд. 2.8); 5^(7') означает поверх-
ность t = Г, a — область в <2/, в которой t <_ t'. Для даль-
нейшего использования в разд. 7.4 мы установим одно неравен-
ство, которое выполняется не только для ТаЪ, но и для любого
симметричного тензора Sab, удовлетворяющего условию энерго-
доминантности. В приложении к тензору энергии-импульса это
неравенство будет означать, что он обращается в нуль всюду
в CU, если он равен нулю на (<Ж)з и на начальной поверхности
Лемма 4.3.1.
Существует некоторая положительная постоянная Р, такая,
что для любого тензора Sab, удовлетворяющего условию энерго-
доминан гности и обращающегося в нуль на (сШ)3,
Sabt-a dffb Sabt-adGb +
t t
+ J SaVadobW+$ ( J Sa*;ada6W.
Рассмотрим интеграл по объему
7(0= J (Sabt.a).b dv = J Sabt-ab&v+ J Sab-bt-a&v.
(0 <U (t) CU (0
По теореме Гаусса его можно преобразовать в интеграл по
границе области ‘U (/):
/(0= Sa4adcT6.
4.3. Энергетические условия
107
Граница <U(f) состоит из (t) f] &U и 'U П 7Г (/). Поскольку
Sab = 0 на (<Ж)3, то
I (t) — j
<U </)п(а^)1 (/)п(Ж)2 cUn3f(t}
В силу условия энергодоминантности Sabt-a существует непро-
странственноподобный вектор и Sabt-at-b 0. Так как нормаль-
ная форма на (<Зб2/)2 непространственноподобна и nat-bgab < 0,
то второй член в правой части неотрицателен. Следовательно,
Sabt-,a dCb Sabt;ad(Jb +
'г/пдаю «)п(<э^)1
+ j (Sabt.ab + Sab.,bt-,a)<iv.
<U (t)
В силу компактности 01 в любом ортонормированием базисе
с времениподобным вектором, направленным по t-ab, существует
некоторая верхняя граница для компонент t-a. Значит, сущест-
вует такое Р > 0, что в
Sabt-ab^PSabt.at.b
для любого Sab, удовлетворяющего условию энергодоминант-
ности. Интеграл по “2/(0 можно представить в виде поверхно-
стного интеграла по ^(Г)(~|^ с последующим интегрированием
по f:
t
J (PSabt,at.b + Sab;bt.a) du = И J (PSabt.b 4- Sab.b) d<ral dr,
(i) *'ЭГ(Г)П<^
где daa — элемент поверхности (Г). Итак,
J Sabt,a dab^- J Sabt-a dcr6 +
t t
+ $ Sa4a dcrA d/+$ f Sa6;a ФщЛ dr. □
'да(Г)п^ ' 'да (t')n^ '
Из этого результата сразу следует
Теорема сохранения
Если тензор энергии-импульса удовлетворяет условию энерго-
доминантности и равен нулю на (<9<2/)з и на начальной поверх-
ности тогда он равен нулю всюду в (U.
108
Гл. 4. Физический смысл кривизны
Допустим, ЧТО
t
x(t) = j Tabt-at-,b dv— ( j TaZ7;a do^d/' 2>0.
‘Um '43f(/')n^ '
Тогда по лемме 4.3.1 получаем dxf&t Px. Но при достаточно
малых значениях t 3@(t) не пересекает Pl и, следовательно,
х — 0. Тогда х=0 при всех t и, следовательно, ТаЬ=0 в Pl. □
Из теоремы сохранения следует, что тензор энергии-импуль-
са, равный нулю на множестве 9\ равен нулю также на обла-
сти Коши будущего, Z)+(^), которая по определению есть
множество всех точек, обладающих тем свойством (рис. 10), что
Рис. 10. Область Коши будущего D+ (S’) пространственноподобного мно-
жества (S’).
любая проходящая через них непространственноподобная кри-
вая, направленная в прошлое, пересекает РР (ср. с разд. 6.5).
Действительно, если q—-какая-нибудь точка £)+(<?’), то область
Д+(5г'), расположенная в прошлом q, компактна (предложение
6.6.6), и ее можно взять в качестве Pl. Этот результат можно
интерпретировать в том смысле, что из условия энергодоминант-
ности следует невозможность движения материи быстрее света.
Значение слабого энергетического условия для нашего иссле-
дования сингулярностей состоит в том, что из него следует
вывод о фокусирующем (точнее недефокусирующем) действии
материи на конгруэнции изотропных геодезических. Если нет
вращения, расхождение 0 подчиняется уравнению
4 9 = - RabKaKb - 2d2 -4 02.
Таким образом, 0 в этом случае монотонно убывает вдоль изо-
тропной геодезической, если RabWaWb 0 для любого изотроп-
ного вектора W. Назовем это условие условием изотропного схо-
ждения. Из уравнений Эйнштейна
Rab 2 Agab Вл7'
4.3. Энергетические условия
109
следует, что условие изотропного схождения независимо от зна-
чения Л содержится в слабом энергетическом условии.
Из (4.26) можно получить, что расхождение 9 времениподоб-
ной геодезической конгруэнции будет монотонно убывать вдоль
геодезической, если RacWa U"6 jjs б для любого времениподобно-
го W. Это условие назовем условием времениподобного схожде-
ния. В силу уравнений Эйнштейна оно удовлетворяется, если
для тензора энергии-импульса выполняется неравенство
TabWaWb > WaWa Т - g^A) .
Для типа I это имеет место при
Н + Ра>0, — 4^-Л>0,
а для типа II — при
V = +1, х>0, р2^о и Р1 +/’2 — тур Л >0.
Будем говорить, что тензор энергии-импульса удовлетворяет
сильному энергетическому условию, если приведенное неравен-
ство выполняется при Л = 0. Это требование сильнее слабого
энергетического условия, и все же в приложении к полному тен-
зору энергии-импульса оно физически обосновано. Действитель-
но, в общем случае (тип I) оно нарушается только наличием
отрицательной плотности энергии или большого отрицательного
давления (например, для идеальной жидкости плотностью
I г/см3 нарушение может произойти только при р < —1015 атм).
Это условие выполняется для электромагнитного поля и безмас-
сового скалярного поля (в частности, для скалярного поля Бран-
са— Дикке). Для скалярного поля с ненулевой массой m тензор
энергии-импульса имеет вид (разд. 3.3)
Tab = <ha<hb — у gab (f-.cf-.dg^ + W2</>2).
Отсюда, если Wa — единичный времениподобный вектор, имеем
TabWaWb - | WaWaT = ау- - 4 (4-37)
т. е. это выражение может быть отрицательным. Однако из урав-
нений скалярного поля следует
1 m3 ,2 1 , ,
-2-^^=^^-.abgab.
Учитывая это соотношение в (4.37) и интегрируя по некоторой
области °U, получаем
4 J {gab + 2WnWb) ф;аф-ь do + 4 J dw .
41 Q°U
но
Гл. 4. Физический смысл кривизны
Первый член неотрицателен, ибо g'-111 + 2WaWb есть положитель-
но-определенная метрика, а второй член мал по сравнению с пер-
вым, если область °11 велика по сравнению с длиной волны him.
Для л-мезонов, которые классически можно описывать скаляр-
ным полем, т = 6- 10~25 г, fi/m = 3-10~13 см. Итак, хотя тензор
энергии-импульса л-мезонов может и не удовлетворять сильному
энергетическому условию в каждой точке, это не будет влиять
на схождение времениподобных геодезических на расстояниях,
превышающих 10~12 см. Возможно, такое нарушение сильного
энергетического условия привело бы к тому, что теоремы о син-
гулярностях (гл. 8) теряли бы справедливость при радиусе кри-
визны меньше 10~12 см, но при этом кривизна столь велика, что
ее можно было бы с успехом принять за сингулярность
(разд. 10.2).
4.4. Сопряженные точки
В разд. 4.1 мы видели, что компоненты вектора девиации, ха-
рактеризующего взаимное расположение y(s) и соседней кривой
в конгруэнции времениподобных геодезических, подчиняются
уравнению Якоби:
-^Za = -T?a4p4Zs (а, р=1, 2, 3). (4.38)
Решение этого уравнения будем называть якобиевым полем
вдоль y(s). Поскольку решение может быть охарактеризовано
заданием Za и dZ“/ds в некоторой точке у(з), то вдоль y(s) бу-
дет шесть якобиевых полей. Существует три независимых яко-
биевых поля, равных нулю в некоторой точке q е y(s). Их мож-
но записать следующим образом:
Лз) = у*)|Я
где
Аа. (s) = - 7?a4vMvp (s), (4.39)
и (s)— матрица 3X3, равная нулю в q. Можно считать, что
эти якобиевы поля описывают девиацию (взаимное разделение)
соседних геодезических, проходящих через q. Как и прежде,
можно определить вращение, поперечный сдвиг и расхождение
якобиевых полей вдоль у($), обращающихся в нуль в q-.
®сф ~ 41 ‘v IB 41a]Y, (4.40)
°aP = 41 7(641a)v y“6ap0, (4.41)
0 = (det A)-'-j-(det A). (4.42)
4.4. Сопряженные точки
111
Они будут подчиняться выведенным в разд. 4.1 уравнениям с
ро = 0. В частности, матрица
^1уа®у6-^63 ~2 (^Y“’d? ^V|3 ^Y|3 "ds" ^Y“)
будет постоянной вдоль y(s). Однако она равна нулю в q, где
Аар = 0. Следовательно, <оар = 0 везде, где Аар неособенна.
Будем говорить, что точка р на y(s) сопряжена точке q вдоль
y(s), если найдется якобиево поле, не равное тождественно нулю,
которое исчезает в q и р. Можно представлять себе р как точку,
в которой пересекаются бесконечно близкие геодезические, про-
ходящие через q. (Отметим, однако, что в р будут пересекаться
только бесконечно близкие геодезические; не обязательно, чтобы
две различные геодезические, выходя из q, проходили через р.)
Якобиевы поля, обращающиеся в нуль в q, определяются матри-
цами Лар. Поэтому точка р сопряжена точке q вдоль y(s) тогда
и только тогда, когда Аа$— особенная матрица в р. Объемное
расхождение 0 определяется как (det A)-1d(det A)/ds. Поскольку
Aap подчиняется уравнению (4.39) с конечным Ra^i, d (detA)/ds
должно быть конечно. Следовательно, р будет сопряжена q вдоль
y(s), если 9 становится бесконечным в р. Обратное тоже верно,
ибо 0 = d In (detA) /ds, а матрица Aap может быть особенной
только в .изолированных точках, иначе она была бы особенной
всюду.
Предложение 4.4.1
Пусть в некоторой точке y(si) (si > 0) объемное расхожде-
ние 0 принимает значение 0t < 0 и пусть всюду RabVaVb 0;
тогда между y(si) и y(si + (3/—91)) [при условии, что y(s) мож-
но продолжать до этих значений параметра] существует точка,
сопряженная q вдоль y(s). (Это последнее условие может ока-
заться невыполненным, если пространство-время геодезически
неполно. В гл. 8 такая неполнота интерпретируется как проявле-
ние сингулярности.)
Объемное расхождение 0 матрицы Аар подчиняется уравне-
нию Райчаудхури (4.26):
-^0 = -Т?аЛ/а1/й-2а2-|о2.
(Здесь мы пользуемся тем, что вращение отсутствует.) Все чле-
ны в правой части отрицательны. Следовательно, при s > Si
3
s-(s, + (з/ — 00)'
Отсюда следует, что 0 обращается в бесконечность, так что су-
ществует точка, сопряженная q, при значении $0, заключенном
между Si и sj + (3/—0i). п
112
Гл 4. Физический смысл кривизны
Другими словами, если выполняется условие времениподоб-
ного схождения и если соседние геодезические, выходящие из q,
начинают сходиться к y(s), то некоторые бесконечно близкие
геодезические пересекут y(s), если только можно провести у(д)
до достаточно больших значений параметра s.
Предложение 4.4.2
Если Rat>VaVb и если в некоторой точке p = y(st) при-
ливная сила RabcdVbVd не равна нулю, найдутся такие значения
so и s2, что 7 = y(s0) и r = y(s2) будут сопряжены вдоль y(s)
при условии, что y(s) можно продолжить до этих значений s.
Решение уравнения (4.39) вдоль y(s) однозначно опреде-
ляется значениями Aa!i и d/1ap/ds в точке р. Рассмотрим множе-
ство Р, состоящее из всех таких решений, для которых Дар | р =
= бар, a (dyl^p/ds) | р — симметричная матрица со следом
(-) ,) >0. Для каждого решения из Р найдется некоторое s3 > s1(
при котором Ла|з (s3)—особенная матрица, поскольку или
О р < 0, и тогда это следует из предыдущего результата, или
0 р= 0, и тогда (doy^/ds) | Р =И= О, а, значит, о2 > 0, и вследствие
этого 0 становится отрицательным при s > s4. Элементы множе-
ства Р находятся во взаимно-однозначном соответствии с про-
странством S всех симметричных матриц 3 X 3 с неположитель-
ным следом [т. е. со всеми (d/l^g/ds) |р]. Следовательно, имеется
отображение q из S в y(s)> которое каждому начальному зна-
чению (d/lap/ds)|р ставит в соответствие ту точку на y(s)> в ко-
торой Да|з в первый раз становится особенной. Это отображение
непрерывно. Далее, если какая-либо из компонент (d/l^/ds) | р
очень велика, соответствующая точка на у(«) будет находиться
близко к р, поскольку член Ratyi в (4.39) в пределе становится
пренебрежимо малым и решение приобретает тот же вид, что и
в плоском случае. Таким образом, найдутся такие постоянные
С>0 и s4 > Si, что если какая-либо компонента (d/lap/ds) |р
больше С, то соответствующая точка на у(«) ближе к р, чем
y(s4). Но в пространстве S подпространство, состоящее из всех
матриц, элементы которых меньше или равны С, компактно.
Отсюда видно, что существует такое s5 > sb что r|(S) содер-
жится в сегменте [y(«i), y(ss)]- Рассмотрим теперь точку г —
= y(s2), причем s2 > s5. Если между г и р нет точек, сопряжен-
ных г, якобиевы поля, равные нулю в г, должны иметь в точке р
положительное расхождение 0 (иначе они принадлежали бы
множеству Р, представляющему собой все семейства якобиевых
полей без вращения с неположительным объемным расхожде-
нием в р). Тогда из предыдущего предложения следует, что най-
дется точка q = y(s0) ($0<Si), которая сопряжена г вдоль
y(s). □
4.4. Сопряженные точки
113
Для реалистического с точки зрения физики решения уравне-
ний Эйнштейна можно ожидать, что каждая времениподобная
геодезическая проходит сквозь какую-то материю или гравита-
ционное излучение и, следовательно, содержит точку, где
RabcdVbVd =И= 0 (хотя этого может и не быть в точном решении
с высокой симметрией). Было бы разумно предположить, что
в таком решении каждая времениподобная геодезическая содер-
жит пары сопряженных точек, при условии, что эта линия может
быть продолжена достаточно далеко в обоих направлениях.
Мы рассмотрим также конгруэнцию времениподобных геоде-
зических, нормальных к пространственноподобной трехмерной
поверхности 2ё. Пространственноподобной 3-поверхностью мы
называем вложенное трехмерное подмногообразие, определенное
локально уравнением / = 0, где f есть С2-функция и gabf-,af-,b < О
при f = 0. Введем N, единичный нормальный вектор к Ж: № =
= (— gbcf;bf-,c)~'/2 gadf-,d и второй фундаментальный тензор х на
Xab = hachbdNc-d, где hab = gab + NaNb называется первым
фундаментальным тензором (или индуцированным метрическим
тензором) на 3$ (ср. с разд. 2.7). Из этого определения следует,
что тензор х симметричен. Конгруэнция времениподобных геоде-
зических, ортогональных к 2ё, будет состоять из времениподоб-
ных геодезических, у которых единичные касательные векторы V
на 2ё равны N. Тогда имеем
Va;6 = xa& на Ж (4.43)
Вектор девиации Z, изображающий расположение относительно
y(s) соседних геодезических, нормальных к Зё, будет подчи-
няться уравнению Якоби (4.38). На y(s) Zb точке q ее %ё удо-
влетворяет начальному условию
4za = Xa,3Z₽. (4.44)
Мы представим якобиевы поля вдоль y(s), удовлетворяющие
этому условию, в виде
Za(S) = /la3(S)Z0|<7,
где
'^$2 (4.45)
а в точке q Лар — единичная матрица, и
77 Лх|3 = Хау-^ур* (4.46)
Будем говорить, что точка pey(s) сопряжена поверхности Уё
вдоль y(s), если существует якобиево поле вдоль у(з), не рав-
ное тождественно нулю, удовлетворяющее в q начальному
Ill
Г л. 4. Физический смысл кривизны
условию 4.4.4 и обращающееся в нуль в р. Другими словами, р
сопряженно Ж вдоль y(s), если и только если Аа$ особенна в р.
Можно представлять себе р как точку, в которой пересекаются
соседние геодезические, нормальные к Ж. Как и прежде, Аа$
будет особенна там и только там, где расхождение становится
бесконечным. Начальное значение в q равно нулю, и
поэтому соар = 0 на y(s). Начальное значение 0 равно Хаь<7аЬ-
Предложение 4.4.3
Если RabVaVb >0 и %abgab < 0, найдется точка, сопряжен-
ная Ж вдоль y(s) на расстоянии от Ж не более 3/(—%аьёаЬ), при
условии, что y(s) можно продолжить на такое расстояние.
Для доказательства можно использовать уравнение Райчауд-
хури (4.26), как и при доказательстве предложения 4.4.1. п
Будем называть решение уравнения
Zm = - RminiZn (т, п=1, 2)
вдоль изотропной геодезической у(п) якобиевым полем вдоль
у(а). Компоненты Zm можно рассматривать как компоненты век-
тора в пространстве Sq каждой точки q относительно базиса Ei,
Е2. Будем говорить, что р сопряжено q вдоль изотропной геоде-
зической у(у)> если существует не равное тождественно нулю
якобиево поле вдоль у(и), обращающееся в нуль в q и р. Если
Z — вектор, соединяющий соседние изотропные геодезические,
проходящие через q, компонента Z3 будет равна нулю всюду.
Таким образом, р можно представлять себе как точку, в которой
пересекаются бесконечно близкие геодезические, проходящие че-
рез q. Опишем обращающиеся в нуль в q якобиевы поля вдоль
Y(s) матрицами 2 X 2Amn:
Zm(v) = Ami±Zn\q.
Как и прежде, имеем Atm&>tkAkn = 0, и поэтому у якобиевых по-
лей, равных нулю в р, вращение отсутствует. И снова р будет
сопряженно q вдоль y(s), если и только если
0 = (det АГ14 (det А)
обращается в р в бесконечность. Аналогично предложению 4.4.1
имеем
Предложение 4.4.4
Если всюду RabKaKb 0 и если в некоторой точке у (Vi) рас-
хождение 0 имеет отрицательное значение 0Х < 0, тогда между
y(vi) и y(vi + (2/—61)) найдется точка, сопряженная q вдоль
4.4. Сопряженные точки
Ш
у(у), при условии, что у(у) можно продолжить на такое рас-
стояние.
Расхождение 0 матрицы Атп подчиняется уравнению (4.3.5):
±е =-RabK“Kb-
и, следовательно, доказательство проводится, как прежде. □
Предложение 4.4.5
Если всюду RabKaKb > 0 и если p = y{vi), a KcRdK[aRb]cdieRf]
отлично от нуля, то найдутся такие а0 и v2, что q = у (у0) и
г = У(а2) будут сопряжены вдоль у (а) при условии, что у (а)
можно продолжить до этих значений а.
Если KcKdK\aRb}cd{eKn отлично от нуля, то же верно и для
Pm4n4- Тогда доказательство аналогично доказательству предло-
жения 4.4.2. п
Как и во времениподобном случае, условие KcKdK[aRb]cdleRf]¥=
=£ 0 выполняется для изотропных геодезических, проходящих
сквозь некоторую материальную среду, за исключением случая,
когда эта среда есть чистое излучение (тензор энергии-импульса
типа II, разд. 4.3), распространяющееся в направлении векто-
ра К, касательного к геодезической. В пустом пространстве это
условие выполняется, если рассматриваемая изотропная геоде-
зическая содержит точку, в которой тензор Вейля отличен от
нуля, а К не принадлежит ни к одному из направлений, для ко-
торых KcKdK[aCb]cdieKf\ — 0 (таких направлений самое большее
четыре). Поэтому представляется разумным предположить, что
в физически реалистическом решении уравнений Эйнштейна
каждая времениподобная или изотропная геодезическая содер-
жит точку, в которой KaKbK(cRd]ab\eKf] отлично ог нуля. Будем
говорить, что пространство-время, в котором выполняется это
условие, удовлетворяет типовому условию (generic condition).
Подобным же образом мы можем рассмотреть изотропные
геодезические, ортогональные к пространственноподобной 2-по-
верхности SP. Под пространственноподобной 2-поверхностью RP
мы имеем в виду вложенное двумерное подмногообразие, опре-
деляемое локально уравнениями fi = О, fz = 0, где fi и f2 суть
такие О2-функции, что при Д — 0, f2 — 0 векторы fVa и /2.0 не
равны нулю, не параллельны и
для двух разных действительных значений ц = и ц =
Тогда каждый вектор, лежащий на этой двумерной поверхности,
обязательно пространственноподобен. В качестве изотропных
116
Гл. 4. Физический смысл кривизны
векторов, нормальных к ЗР, введем N“ и N2a, пропорциональ-
ные соответственно gab (ft.b + p,J2.&) и gab (f1;b + ц2)2;6), и затем
нормируем их так, чтобы
Введя еще два единичных пространственноподобных вектора Yta
и У2°, ортогональных друг к другу и к А)0 и N2a, можно по-
лучить псевдоортогональный базис. Определим два вторых фун-
даментальных тензора на 17:
„U = - N nc.d (YfY^ + У2Т2а) (Г/У1й + У2%й),
где га = 1, 2; i/ab и 2Хаь симметричны.
Существуют два семейства изотропных геодезических, нор-
мальных к 17, соответственно двум изотропным нормалям N“ и
NY1- Рассмотрим то семейство, касательный вектор которого К
на ЗР равен N2. Мы можем фиксировать наш псевдоортогональ-
ный базис Е7 Е2, Е3, Е4, приняв, что на 17 Ej = Y1( E2 = Y2,
E3 = Nb E4 = n2, и перенеся его параллельно вдоль изотропных
геодезических. Проекция на пространство Sg вектора девиации Z,
описывающего взаимное разделение соседних изотропных геоде-
зических относительно изотропной геодезической у(у), будет
удовлетворять уравнению (4.30) и начальным условиям
^-^m = YLm^n (4-47)
в точке q е ST А у (у). Как и прежде, вращение этих полей будет
равно нулю; начальное значение расхождения 6 равно гХаб£“ь.
Аналогично предложению 4.4.3 имеем
Предложение 4.4.6
Если всюду RabKaКь ^0 и 2%abgab < 0, то существует точка,
сопряженная ЗР вдоль у (у), в пределах афинного расстояния
2/(— 2Xabgab) от ЗР. °
В силу определения сопряженных точек их существование
означает наличие в семействах геодезических самопересечений
или каустик. Дальнейшее обсуждение роли сопряженных точек
будет дано в следующем разделе.
4.5. Вариация длины дуги
В этом разделе мы рассмотрим времениподобные и непро-
странственноподобные кривые, которые кусочно класса С3, но
могут иметь точки, где их касательные векторы терпят разрыв.
Мы будем требовать, чтобы в таких точках два касательных
4.5. Вариация длины дуги
117
вектора ((?/<?/) и (d/dt) |+ удовлетворяли условию
««о—.
т. е. чтобы они были направлены внутрь одной и той же полости
изотропного конуса.
Предложение 4.5.1
Пусть SZZ — выпуклая координатная окрестность точки <?.
Тогда те точки в <2/, которых можно достичь из q по времени-
подобным (соответственно непространственноподобным) кривым,
имеют вид ехр9 (X), Хе Tq, где ^(Х, Х)<0 (соответственно
sp/O). (Здесь и в остальной части раздела мы полагаем, что от-
ображение ехр ограничено такой окрестностью начала в Tq, ко-
торая диффеоморфна под действием ехр9.)
Другими словами, изотропные геодезические, выходящие из q,
образуют границу той области в SZZ, которую можно достичь из q
по времениподобным или пространственноподобным кривым в TtZ.
Интуитивно это утверждение достаточно очевидно, но поскольку
оно является фундаментальным для понятия причинности, мы
докажем его строго. Начнем с доказательства следующей леммы:
Лемма 4.5.2
В времениподобные геодезические, проходящие через q,
ортогональны к трехмерным поверхностям о = const (о<0),
где по определению при ре'?/ а (р) = g (ехр?-1р, ехр7-1Р)-
Доказательство опирается на тот факт, что вектор девиации
точек равного расстояния вдоль соседних геодезических, перво-
начально ортогональный к этим геодезическим, остается ортого-
нальным к ним. Точнее, пусть X(t) означает кривую в Tq, причем
g(X(/)> Х(0) = —1. Нужно показать, что соответствующие кри-
вые Z.(t) = ехр?($0Х(/)) (so : const)—там, где они определе-
ны,— ортогональны к времениподобным геодезическим
y(s)= expe(sX(/0)) (to — const). Следовательно, для двумерной
поверхности а, определяемой a(s, t) = exp?(sX(/)), нужно дока-
зать, что
«((£)„• (Я)-»
(см. рис. 11). Имеем
АЛА = +
ds ° У ds ’ dt ) ° \ ds ds ' dt ) ~ ® v, ds ’ ds di )
Первый член в правой части равен нулю, потому что d/ds — еди-
ничный касательный вектор к времениподобной геодезической,
выходящей из q. Во втором члене согласно определению
118
Гл. 4. Физический смысл кривизны
производной Ли имеем
D д D д
ds dt dt ds
Итак,
d / d jL\ = a(jL D a "1 = 1 19 (Д_ д У — п
ds \ ds ’ dt / ® \ ds ’ dt ds ) 2 dt \ ds ’ ds ) ’
и, следовательно, g(d/ds, d/dt) не зависит от s. Но при s = 0
(d/dt) а = 0; поэтому g(d/ds, dfdV) тождественно равно нулю. □
Рис. 11. В нормальной окрестности поверхности постоянного расстояния
от q ортогональны к геодезическим, проходящим через q.
Доказательство предложения 4.5.1
Пусть Ся означает множество всех времениподобных векто-
ров в q. Они заполняют внутренность конуса в Tq с вершиной
в начале. Пусть у(?)—некоторая времениподобная кривая в
от q до р и пусть дана кусочно С2-кривая в 7',:у(/) =
= ехр<;”1 (у(0). Тогда, отождествляя касательное пространство
к Tq с самим Т9, имеем
(д/д^\^(д/д!Ц.
4.5. Вариация длины дуги
119
Поэтому вектор (д/dt)^ времениподобен в q. Отсюда видно, что
кривая у (/) входит в область Cq, но ехр9(С9)— это та область <2/,
в которой о< 0 и в которой, в силу предыдущей леммы, по-
верхности ст = const пространственноподобны. Таким образом, ст
должно монотонно убывать вдоль у(0> поскольку вектор (<3/dt)v,
будучи времениподобным, никогда не может быть касательным
к поверхности cr = const и поскольку в любой точке разрыва про-
изводных у(0 два касательных вектора направлены в одну и ту
же полость изотропного конуса. Поэтому /?еехрДС,;), что за-
вершает доказательство для времениподобных кривых.
Чтобы доказать, что непространствепноподобная кривая у(7)
остается в exp7(Cg), рассмотрим такую малую вариацию у(0,
которая переведет ее во времениподобную кривую. Пусть Y —
векторное поле на Tq, такое, что индуцированное на 'II векторное
поле exp9*(Y) всюду времениподобно, и g(Y, {djdt) q) < 0.
Пусть при каждом е^О Р(г, е) есть кривая в Tq, которая выходит
из начала, причем ее касательный вектор (д/дг)& — (d/dt). |/=г +
+ eY |е (r g). Тогда р(г, е) — дифференцируемая функция г и е.
Для каждого е > 0 ехр9(Р(г, е)) является времениподобной кри-
вой на и, таким образом, содержится в ехр9(С9). Следова-
тельно, непространственноподобная кривая expg(p(r, 0)) = у(г)
содержится в expg(C(7) = ехрд (С9). □
Следствие
Если рЕ ?/ можно достичь из q по непространственноподоб-
ной, но не по времениподобной кривой, то р лежит на изотроп-
ной геодезической, проходящей через q. □
Длина непространственноподобной кривой y(t) от q до р равна
р
Ш q, 4)]'2d/’
<7
где интеграл взят по дифференцируемым частям этой кривой.
При положительно определенной метрике можно искать крат-
чайшую кривую между двумя точками, но в лоренцевой метрике
нет никакой кратчайшей кривой, поскольку любую кривую мож-
но деформировать в изотропную, длина которой равна нулю.
Однако при определенных условиях между двумя точками или
между точкой и пространственноподобной трехмерной поверх-
ностью найдется непространственноподобная кривая наибольшей
длины. Сначала мы будем иметь дело с ситуацией, когда две
точки близки друг к Другу. Затем мы выведем необходимые
условия для общего случая, когда две точки не обязательно
близки. Достаточное условие для этого случая будет рассмотре-
но в разд. 6.7.
120
Гл. 4. Физический смысл кривизны
Предложение 4.5.3
Пусть q и р принадлежат нормальной выпуклой окрестно-
сти 01. Тогда, если можно соединить q и р непространственно-
подобной кривой в 01, то кривая наибольшей длины единственна
в 01 и является непространственноподобной геодезической от q
до р. Более того, если ввести функцию p(q, р), равную длине
этой кривой, когда она существует, и равную нулю, если такой
кривой нет, то р(</, р) непрерывна в 01 X 01.
По определению выпуклой нормальной окрестности (разд. 2.5)
в 01 существует единственная геодезическая у(0, Для которой
у(0)= q, у(1)= р. Поскольку эта геодезическая есть дифферен-
цируемая функция своих концов, интеграл
а(<7, P)=pO)v. (4)v>
будет дифференцируемой функцией на Oiy^U. (Это та же функ-
ция о, что и в лемме 4.5.2.) Таким образом, функция р(д, р) не-
прерывна в О1\О1, поскольку она равна [—ст((/, р)при а < 0
и нулю в иных случаях. Остается теперь показать, что в случае
существования в 01 времениподобных кривых, соединяющих q
и р, времениподобная геодезическая между ними имеет наиболь-
шую длину. Пусть, как прежде, a(s,t) = expg(sX(/)), причем
g(X(/), Х(/)) =—1. Если А(/)—времениподобная кривая в О/
от q до р, ее можно представить в виде Х(/)= Тогда
( = Л0 (зг)а + ( аг)а-
Поскольку два вектора в правой части взаимно ортогональны
в силу леммы 4.5.2 и g( (d/ds)a, (d/ds)a)= —1, то
s((4)r (4)>-(f'™’+s((4V (£)>-(fw.
причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда
(d/dt) а = 0, т. е. если и только если А,— геодезическая кривая.
Итак,
р
L (A,, q, р) < J Г (/) d/ = р (q, р),
причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда А.—
геодезическая кривая в 01 от q до р (она единственна). □
Теперь мы перейдем к случаю, когда q и р не обязательно
принадлежат выпуклой нормальной окрестности 01. Необходи-
мые условия для того, чтобы времениподобная кривая у(£), со-
4.5. Вариация длины дуга
121
единяющая q и р, была кривой наибольшей длины от q до р, мы
выведем из рассмотрения малых вариаций. Вариация а кривой
y(t) есть С1--отображение а:(—е, е) X [0. 1р\ со следующи-
ми свойствами:
1) а(0,0= у(П;
2) существует такое подразбиение 0 = В < t2. . . < tn = tp
отрезка [0, tp], что а является С3-отображением на каждом
(—е, е) X [h, ^i+i];
3) а(и, 0) = q, а(и, tp) = р\
4) для любой постоянной и а(и,Г)—времениподобная кри-
вая.
Вектор Z = (д/ди)а |и„0 будем называть вектором вариации.
Обратно, если вдоль y(t) задано непрерывное векторное поле Z
кусочно класса С2, обращающееся в нуль в q и р, мы можем
определить вариацию а, для которой Z будет вектором вариации:
а (и, 0 — expr (hZ |г),
где и е (—е, е) при некотором е > 0 и г = у (/).
Лемма 4.5.4
Вариация расстояния от q до р при отображении а равна
п-1 { i + I
dL I V С ( д ( ,-i D д ( df \ d ) \ ,, .
du |H=0 “ L J g I du ' { f dt dt f \ dt ) dt J ) +
> = 1 t.
n-1
где f2 = g(d/dt,d/df)—квадрат касательного вектора, a
[f~ld/dt]— разрыв в одной из сингулярных точек у(/).
Имеем
4)f'd/=

Интегрируя по частям, получаем нужную формулу.
□
Эту формулу можно упростить, выбирая в качестве парамет-
ра t длину дуги s. Тогда g (д/dt, d/dt) = —1. Обозначив через V
122
Гл. 4. Физический смысл кривизны
единичный касательный вектор d/ds, имеем
V)d»+ “fs(Z, IV]).
f = l ti 1=2
где V = DV/ds — ускорение. Отсюда следует необходимое усло-
вие того, чтобы у(0 была кривой наибольшей длины от q до р:
она должна быть геодезической кривой без изломов, в противном
случае можно выбрать вариацию, которая даст более длинную
кривую.
Можно также рассмотреть времениподобную кривую у(/) от
некоторой пространственноподобной 3-поверхности 3$ до точ-
ки р. Вариацию а этой кривой определим, как прежде, за тем
исключением, что свойство (3) заменим на следующее:
3) а (и, 0) лежит на 3%, а (и, /Р) = р.
Отсюда следует, что на поверхности 3$ вектор вариации
Z = д/ди лежит в
Лемма 4.5.5
П—1 4i + l п-1
= S 5 £(V> Z) ds + £g(Z, [V]) + g(Z, V)|s=0.
i = l tt 1 = 2
Она доказывается так же, как и лемма 4.5.4. □
Отсюда следует необходимое условие для того, чтобы y(t)
была кривой наибольшей длины от 3$ до pi она должна быть
геодезической кривой без изломов, ортогональной к 3№.
Путем варьирования а мы убедились, что первая производ-
ная длины времениподобной геодезической равна нулю. Следую-
щим нашим шагом будет вычисление второй производной. Опре-
делим двухпараметрическую вариацию а геодезической линии
у(0, соединяющей q и р, как О-отображение
а: (—sj, eJXC—е2, е2) X [0,
с такими свойствами:
1) а(0, 0, о= y(0;
2) существует такое подразбиение 0 = ti < t2 <3. . <3tn =
— tp отрезка [0, tp], что а является С3-отображением на каждом
(—е); ei) X (—-ег, е2) X [ti. C+t];
3) а(и}, и2, 0) = q, а(и}, и2, tp) = р;
4) для любых постоянных Ui, и2 a(ut, и2, t) является време-
ниподобной кривой.
4.5. Вариация длины дуги
123
В качестве двух векторов вариации мы вводим
1 \d«i/alu.=o ' \<5zz27alM;=o
м2=0 м;=0
Обратно, если вдоль у(() заданы два непрерывных векторных
поля Zi и Z2, кусочно класса С2, можно определить вариацию,
для которой они будут векторами вариации:
a(ut, и2, 0 = expr (h,Z| + u2Z2),
r = y(t).
Лемма 4.5.6
При двухпараметрической вариации геодезической кривой
у(0 вторая производная длина равна *)
n-l ff + l
U; = 0 ti
n-l
-R(V, Z2)v})ds + £g(z„ [^-(Z2+g(V, Z2)V)]).
i=2
Согласно лемме 4.5,4, имеем
Ui=;
Отсюда

d2L I = у C ( D _d_ ff-iJLJ?________________f-2 (d 1 'l л/
ди-2 диу |U|=o Z—t J ® \ du2 dui ’ t dt dt \ dt ) dt ) J
u2=o
Первый и третий члены равны нулю, так как у (/) — геоде-
зическая кривая без изломов. Во втором члене можно восполь-
*) Напомним, что векторное поле R(X, Y)Z определяется формулой
(2.18). — Прим, перед.
124
Гл. 4. Физический смысл кривизны
зоваться тем, что
_p__D__d__ р z а а \ а . d р д
ди2 dt dt \ dt ’ du2 ) dt ' dt du2 dt
d2f
du2 dt
д \ д . D- d
du2 J eJi ' dt2 du2 ’
£))=
dt dt ) J’
В четвертом члене
-D-Tr'^-Wr1—^- + rW—J-AA1
du2 L' dt J L dt du2 ' ° \ dt du2 ’ dt J dt J'
Затем, выбирая в качестве t длину дуги s, получим требуемый
результат. □
Из определения второй производной следует, что она симмет-
рична по двум векторам вариации Zj и Z2, хотя это и не видно
сразу из полученного выражения. Мы видим лишь, что оно зави-
сит от проекций Zi и Z2 в пространство, ортогональное к V. Сле-
довательно, мы можем ограничиться рассмотрением вариаций,
для которых Zi и Z2 ортогональны к V. Пусть TY — (бесконечно-
мерное) векторное пространство, состоящее из всех непрерыв-
ных, векторных полей кусочно класса С2 вдоль у(0, которые
ортогональны к V и равны нулю в q и р. Тогда д2Ь1ди%дщ будет
симметричным отображением Ту X Ту на /?!. Его можно рассма-
тривать как симметричный тензор в 7\ и записать в виде
£<2ьад=а5т|В1.0. Z„ Z2erv.
U2s?a0
Мы можем вычислить также вторую производную длины от
Ж до р геодезической кривой у(0, нормальной к Зв. Восполь-
зуемся прежним методом, только теперь один из концов кривой
у(/) не закреплен, а может перемещаться по Ж
Лемма 4.5.7
Вторая производная длины у(0 от Зв до р равна
п-1 Z2 + 1
5 «(z„{-^z2-R(v,z2)v})ds +
2-1 t{
+ £ г (z- [£ z>]) + е (z., £ z2) |к - z (z„ z2) |ж,
4.5. Вариация длины дуги
125
где Zi и Z2 взяты ортогональными к V, a x(Zb Z2) есть второй
фундаментальный тензор на Зё.
Первые два члена такие ясе, как в лемме 4.5.6. Добавочные
члены имеют вид
Второй член обращается в нуль, поскольку д/дщ ортогональ-
но к d/dt. Если принять, что t — длина дуги s, то d/dt будет
равно единичной нормали N к Ж Поскольку изменения одной
конечной точки у(/) ограничены перемещениями по Зё, d/dui
будет всегда ортогонален к N. Таким образом,
Z_D____д_
& к ди2 dui
J du2 ° k dUi J ° k dut du? J
/ д 0 \
k <3«i ’ du? ) '
□
Будем говорить, что времениподобная геодезическая линия
у(/), соединяющая q с р, максимальна, если функционал
L(Zi, Z2) отрицательно полуопределен. Иначе говоря, если кри-
вая у(/) не максимальна, то существует малая вариация а, ко-
торая дает более длинную кривую от р до q. Аналогично, будем
говорить, что времениподобная нормальная к Зё геодезическая
кривая от Зё до р максимальна, если функционал L(Zi, Z2) отри-
цательно полуопределен; следовательно, если кривая y(t) не ма-
ксимальна, существует малая вариация, которая дает более
длинную кривую от Зё до р.
Пpedлoжeнue 4.5.8
Времениподобная геодезическая линия у(0, соединяющая q
с р, максимальна тогда и только тогда, когда в (q, р') нет точек,
сопряженных q вдоль у (О-
Предположим, что в (q, р) нет сопряженных точек. Введем
ортонормированный базис вдоль у (О, полученный переносом
Ферми. Якобиевы поля вдоль у(/), равные нулю в q, можно оха-
рактеризовать матрицей Aag(7), которая неособенна в (q, р), но
особенна в q (и, возможно, в р). Ввиду изолированности сопря-
женных точек величина d(lndetA)/ds будет бесконечна там, где
матрица особенна. Следовательно, векторное поле Z е Ту
класса С° и кусочно класса С2 можно представить в [q, р] как
2'! = .4aJ6,
Up »
126
Г л. 4. Физический смысл кривизны
где IF0 — векторное поле класса С° и кусочно класса С1 в [q, р].
Тогда
sp
цг, Z) = £ J | (ЛабГб) + RaiyiAувГб} ds _
О
+ £4вг»[^(Л,и] =
5
Р
= lim У ( Л„ГВ{ 2ЛабIF15 + АабIF61 ds +
g^o^Z-1 J аР I ds ao ds 1 ao ds2 J 1
e
+ £x4U7M4-ir»] =
s
p
= ~У\ [Aaf.4-W^Aa6~W& +
/Л/ J ( ap ds ao ds 1
о
+ if0 (4- лаАв - Axr 4- Лв') 4~
1 \ ds ap ao ap ds a07 ds J
(Мы ввели предельный переход, поскольку вторая производ-
ная IF6 в точке q не определена.) Однако
( js ^аб) 2Лар(ОауД^в О-
Отсюда следует, что L(Z, Z)^0.
Обратно, допустим, что существует точка г е (д, р\ сопря-
женная q вдоль у (/). Пусть W — якобиево поле вдоль у (/),
обращающееся в нуль в q и г, и пусть К = П-такой вектор, что
Kagab wb = ~ 1 в точке г-
Продолжим W до р, положив его равным нулю в [г, р]. Поло-
жим Z = еК + е-'К, где е — некоторая постоянная. Тогда
L (Z, Z) = е2Т (К, К) + 2L (К, W) + 2e~2L (W, W) = e 'L (К, К) + 2.
Следовательно, взяв достаточно малое е, мы можем сделать
L(Z, Z) положительным. □
Аналогичный результат можно получить для времениподоб-
ной геодезической линии y(t) от Зв до р, ортогональной к Зв:
Предложение 4.5.9
Времениподобная геодезическая линия y(i) от Зв до р ма-
ксимальна тогда и только тогда, когда в (Зв, q) нет точек, со-
пряженных Зв вдоль у. □
4.5. Вариация длины дуги
127
Исследуем теперь вариации непространственноподобных кри-
вых от q до р. Выясним условия, при которых можно найти ва-
риацию а кривой у(/), приводящую к условию g(dfdt, dfdt) < О
всюду, иначе говоря, переводящую у(/) во времениподобную
кривую от q до р. При вариации а
А'Й = о 0 ( D а / р _д_ д \ _
ди \dt ' dt ) J у ди dt ' dt ) k dt ди ’ dt ) ~
Чтобы получить времениподобную кривую от q до р, требуется,
чтобы это выражение было меньше или равно нулю на всей кри-
вой y(t).
Предложение 4.5.10
Если р и q соединены непространственноподобной кривой
у(/), которая не есть изотропная геодезическая, то их можно со-
единить времениподобной кривой.
Если у(/) не является изотропной геодезической от р до q, то
должна быть точка, в которой касательный вектор имеет разрыв,
или должен существовать открытый интервал, на котором век-
тор ускорения (D/5/) (5/5/) отличен от нуля и не параллелен djdt.
Рассмотрим сначала случай, когда нет разрывов. Имеем
o-f—— _LA__L d f ( д d _n
® I dt dt ' dt J~ 2 dt I dt ’ dt ) J ~ U’
Отсюда видно, что (D/5/) (dldt) является пространственноподоб-
ным вектором там, где он отличен от нуля и не параллелен dldt.
Пусть W — времениподобное векторное С2-поле вдоль у(/), при-
чем g(W, d/dt) < 0. Тогда мы получим времениподобную кривую
от р до q, варьируя вектор вариации
где
t
х — c~1ebt e~bt (1 —уа2^ dt,
*ч
2_ / D д D <5 \
a~~s ~dt ’ ~dt~di)'
»=-«(* •£)•
6 = max(—e-'g(w, Л-)) на [д, </],
128
Гл. 4. Физический смысл кривизны
а у — неотрицательная функция на [р, qj, такая, что ур — yq — 0 и
t
р
— y//<r)cU = 0.
Предположим теперь, что существует некоторое подразбиение
tq < ti < t2 < . . . < tp, такое, что касательный вектор d/dt не-
прерывен на каждом сегменте [ti, ^+)]. Если сегмент [ti, Z,+i] не
является изотропной геодезической кривой, его можно варьиро-
вать так, чтобы получить между концами сегмента временипо-
добную кривую. Поэтому нужно только показать, что мы можем
получить времениподобную кривую из непространственноподоб-
ной кривой, составленной из сегментов изотропных геодезиче-
ских, касательные векторы которых не параллельны в точках
разрыва y{ti). В качестве t можно выбрать аффинный параметр
на каждом сегменте //+1]. Разрыв [d/dt] \t будет простран-
ственноподобным вектором, будучи разностью двух непарал-
лельных изотропных векторов на одной и той же половине изо-
тропного конуса. Следовательно, вдоль [£г—i, /,+1] можно по-
строить такое векторное С2-поле W, для которого
g(W, d/dt) < О на [/,-], ti]
и
gtW, d/dt) >0 на [tit /г+1].
Тогда времениподобную кривую между у(/,-1) и y(^+i) получим,
варьируя с вектором вариации Z = xW, где
x = c“I(^+1 — ti)(t — t^i)
При ti—1 t ti И
x = c-‘l(ti — ti-l)(ti+i — t)
при ti < £ < ti+i, где с = —g(W, d/dt). □
Итак, если y{t) не является геодезической кривой, то из нее
вариацией можно получить времениподобную кривую. Если у (О
является геодезической кривой, то в качестве t можно взять
аффинный параметр. Тогда видно, что необходимым (но не до-
статочным) условием получения в результате вариации времени-
подобной кривой является ортогональность вектора вариации
д/ди к касательному вектору d/dt на всей y{t), ибо в противном
случае производная {d/dt)g{d/du, d/dt) была бы положительна
где-нибудь на у(0- Для такой вариации {d/du) g {d/dt, d/dt) = О
и надо исследовать вторую производную.
Рассмотрим поэтому двухпараметрическую вариацию (х. изо-
тропной геодезической y{t), соединяющей q и р. Ее определение
будет прежним, за тем исключением, что мы ограничимся (по
4.5. Вариация длины дуги
129
причинам, приведенным выше) варьированием с векторами ва-
риации
-Ч и -/-I ,
Л'1 lU1=.o ди2 |М1=0
1Г = 0 «; = 0
ортогональными к касательному вектору (d/dt) на у(/).
Исследовать поведение L при таких вариациях затруднитель-
но ввиду того, что (—g(d/dt-, d/dt))1/2— недифференцируемая
функция, если g(d/dt, d/dt) = 0. Вместо этого мы рассмотрим
вариацию
Ясно, что необходимым (но не
ния времениподобной кривой от
положительность Л.
Имеем
достаточным) условием получе-
q до р при вариации а является
откуда
1 Р-Л I ______ у С / д ( D- д ___р Z Л Л \ д ) \ ,
2 ди2 diii |„ Д-> J \ dui ’ ( dt- ди> у dt ’ ди2 J dt J )
+2ДД- [т. Д])- ,449>
Эта формула очень похожа на формулу для вариации длины
времениподобной кривой. Можно показать, что вариация Л рав-
на нулю, если вектор вариации пропорционален касательному
вектору d/dt, поскольку он изотропен, a R(d/dt, d/dt) (d/dt) = 0
в силу антисимметричности тензора Римана. Такая вариация
эквивалентна перспараметризации у (t). Итак, если мы хотим
получить вариацию, приводящую к времениподобной кривой,
нужно рассматривать только проекции вектора вариации в про-
странство S,, в каждой точке q кривой у (О. Другими словами,
при введении вдоль y(t) пссвдоортонормированного базиса Е|,
Е2, Е3, Е4 с Ен — d/di вариация Л будет зависеть только от
компонент Z,n вектора вариации (т — 1,2).
5 З.'кяз VI
130
Гл. 4. Физический смысл кривизны
Предложение 4.5.11
Если в (<?,/?) нет точек, сопряженных q вдоль уД), т0
d2A/du21 и=0 < 0 для любой вариации а. кривой y(t), вектор ва-
риации которой <5/ди|и=() ортогонален к касательному вектору
d/dt к у(0> не равен всюду нулю и не пропорционален всюду
д/dl. Иначе говоря, если в (q, р) нет точек, сопряженных q
вдоль y(t), то не существует малых вариаций, переводящих
у(0 во времениподобную кривую от q до р.
Доказательство аналогично доказательству предложения 4.5.8
с использованием вместо Аар матрицы 2X2 Атп из разд. 4.2. □
Предложение 4.5.12
Если в (q, р) есть точка г, сопряженная q вдоль у(0, то най-
дется вариация у(/), которая дает времениподобную кривую от
q до р.
Доказательство предложения будет несколько громоздким
из-за того, что необходимо показать времениподобность каса-
тельного вектора всюду. Пусть Wm — компоненты в простран-
стве S (см. разд. 5.2) якобиева поля, равного нулю в q и г. Оно
удовлетворяет уравнению
где для удобства в качестве t взят аффинный параметр. По-
скольку W является по крайней мере векторным полем класса С3
и (dlFm/dO =/= 0 в q и г, можно написать Wm = fWm, где —
единичный вектор, причем f и I?7—поля класса С2. Тогда
-^/ + «=0,
где
h = Wт + RmMWm Wn.
Пусть точка х £ [г, р] такова, что Wm ^=0 в [г, х] и hi есть мини-
мальное значение h в [г, х]. Тогда, если а > 0 и а2 Ц- hi > 0 и
если b — {—f (eat — I)-1} |х, поле
Zm = {b(eat — 1) +
равно нулю в q и х и удовлетворяет в (<?, х) неравенству
Z'n^Zm + RmMZn)>Q.
Выберем вариацию а (и, t) кривой у (t) от q до х так, что ком-
поненты ее вектора вариации (д/ди) |и_0 в S равны Zm и выпол-
4.5. Вариация длины дуги
131
няется условие:
/Ра —^1 -I- (~ ——^1 =
& \ ди ди ’ dt ) |а=о "г” & \ ди ’ dt ди ) |ц-о
— е/ при
е (tx — t) при
где tx — значение t в точке х и е > 0, но меньше наименьшего
значения величины Zm(d2Zm/tW2 + T?m4n4Zn) в области ~^tx / С
<3у tx. Тогда, в силу (4.49), (d2/du2) g(d/dt, d/dt) < 0 всюду в
(q,x) и в этом интеравле достаточно малые и, а дают времени-
подобную геодезическую. Если мы присоединим эту кривую к
куску у(0 от х до р, то получим непространственноподобную
кривую от q до р, которая не будет изотропной геодезической
кривой. Следовательно, существует вариация, которая приводит
к времениподобной кривой, соединяющей q и р.
Подобным же методом можно доказать
[IpedAOtHceHue 4.5.13
Если y(t)—изотропная геодезическая кривая 2-поверхно-
сти д’ до р, ортогональная к S’, и если в р) нет точек, со-
пряженных S’ вдоль у, то не существует малых вариаций у,
дающих времениподобную кривую от S’ до р.
ПpedAOOiceHue 4.5.14
Если в (S, р) имеется точка, сопряженная S вдоль у, то су-
ществует вариация у, дающая времениподобную кривую от S
до р.
Результаты, касающиеся вариаций времениподобных и не-
пространственноподобных кривых, будут использованы в гл. 8
для доказательства отсутствия геодезических наибольшей длины.
5*
Глава 5
Точные решения
Любое пространство-время можно в определенном смысле
считать решением уравнений поля Эйнштейна
Rab 2 R-Sab ^Sab 8л1 аЬ (5-1)
(мы пользуемся единицами, принятыми в гл. 3), поскольку, вы-
числив по метрическому тензору пространства-времени левую
часть (5.1), мы можем ввести, тензор энергии-импульса Т аь как
правую часть (5.1). Определенный таким образом тензор мате-
рии будет, вообще говоря, обладать неприемлемыми физиче-
скими свойствами, тогда как решение уравнений (5.1) будет
иметь смысл лишь при разумном характере распределения ма-
терии.
Под точным решением уравнений Эйнштейна мы будем под-
разумевать пространство-время (Ж, g), в котором уравнения
поля удовлетворяются тензором энергии-импульса ТаЬ какой-то
конкретной формы материи, причем выполняются постулат (а)
(«локальной причинности») гл. 3 и одно из энергетических усло-
вий (разд. 4,3). В частности, можно искать точные решения для
пустого пространства (7фь = О), для электромагнитного поля
[Tab вида (3.7)], для идеальной жидкости [Та1, вида (3.8)] или
для пространства, содержащего электромагнитное поле и иде-
альную жидкость. Ввиду сложности уравнений поля получить
точные решения можно только в пространствах достаточно вы-
сокой симметрии. Кроме того, точные решения являются идеали-
зацией в том смысле, что любая область пространства-времени,
по-видимому, содержит разные формы материи, в то время как
точные решения можно получить лишь при довольно простом
материальном содержимом. Тем не менее точные решения слу-
жат источником идей о качественно новых явлениях, которые
могут возникнуть в общей теории относительно и, таким обра-
зом, указывают на возможные свойства реалистических решений
уравнений поля. Примеры, которые мы приведем, демонстри-
руют многие интересные для последующих глав типы поведения
решений. Мы рассмотрим эти решения, обращая особое внима-
ние на их глобальные свойства. Многие из этих свойств были
обнаружены только недавно, хотя сами решения в локальной
форме уже известны давно.
5.1. Пространство-время Минковского
133
В разд. 5.1 и 5.2 мы рассматриваем простейшие лоренцевы
метрики — те, для которых кривизна постоянна. Пространствен-
но-однородные и изотропные модели описаны в разд. 5.3, а их
простейшие анизотропные обобщения — в разд. 5.4. Во всех этих
простых моделях мы видим наличие сингулярного начала, если
только Л не принимает больших положительных значений. Сфе-
рически-симметричные метрики, описывающие поле массивного
заряженного или нейтрального тела, и аксиально-симметричные
метрики, описывающие поле тяготения вне массивных вращаю-
щихся тел конкретного типа, рассмотрены соответственно в
разд. 5.5 и 5.6. В них показано, что появление некоторых сингу-
лярностей в явном выражении для метрики вызвано лишь не-
удачным выбором координаты. В разд. 5.7 дано описание модели
Вселенной Геделя, а в разд. 5.8 — решение Тауба — Ньютона —
Тамбурино — Унти (Тауба — НУТ). Последние модели, вероят-
но, не описывают реальную Вселенную, но они интересны свои-
ми патологическими глобальными свойствами. Наконец, ряд дру-
гих интересных точных решений приведен в разд. 5.9.
5.1. Пространство-время Минковского
Пространство-время Минковского (^, i]) является простей-
шим пустым пространством-временем в общей теории относи-
тельности и в действительности представляет собой простран-
ство-время специальной теории относительности. Математически
оно есть многообразие R4 с плоской лоренцевой метрикой 1].
В естественных координатах (х1, х2, х3, х4) на Д'* метрику ц мож-
но записать в виде
ds2 = - (dx4)2 + (dx1 )2 + (dx2)2 + (dx3)2. (5.2)
Если используются сферические полярные координаты (t, г, 0, <£),
где xk = t, х3 = г cos 0, х2 = г sin 0 cos ф, х1 = г sin 0 sin ф, то
метрика принимает вид
ds2 = — dt2 + dr2 + г2 (d02 4- sin2 0 d^2). (5.3)
Очевидно, эта метрика, сингулярна при г — 0 и sin 9 = 0, однако
это происходит из-за того, что используемые координаты не яв-
ляются допустимыми в этих точках. Чтобы получить регулярные
координатные окрестности, необходимо на координаты наложить
ограничения, например 0 < г <_ оо, 0 < 0 < л, 0 < <£ < 2л.
Для покрытия всего пространства Минковского нужны две такие
координатные окрестности.
Другая координатная система получается при выборе опере-
жающей и запаздывающей изотропных координат v, w.
v = 1 + г, w = t — г (=$ v w).
134
Гл. 5. Точные решения
Тогда метрика имеет вид
ds2 = — du day + j (w — w'y (d02 + sin2 0 d</>2), (5.4)
где —oo < t) < oo, —oo < w <z оо. Отсутствие в метрике чле-
нов df2, dtw2 отражает тот факт, что поверхности {ay = const},
а
Рис. 12. Пространство Минковского. Изотропные координаты о (да) можно
представить себе в виде сходящихся (расходящихся) сферических волн, рас-
пространяющихся со скоростью света; они являются опережающими (запаз-
дывающими) временными координатами. Пересечение поверхности {о = const}
с поверхностью {да = const} является 2-сферой, а — координатные поверхности
о, w (одна координата опущена), б — плоскость (/, г); каждая точка изо-
бражает 2-сферу радиуса г
{v — const} изотропны (т. е. w-aw-bgab = 0 = v-av-bgnb}, см.
рис. 12.
В системе координат, в которой метрика выражается в виде
(5.2), геодезические имеют вид xa(t»)= bav-\-ca, где Ьа и са —
постоянные. Таким образом, экспоненциальное отображение
ехрр:Тр -> Л определяется формулой
xa(expp Х) = Ха + ха (р),
где Ха — компоненты X относительно координатного базиса
{д/дха} пространства Тр. Поскольку ехр является взаимно одно-
значным отображением на все многообразие Л, оно представ-
ляет собой диффеоморфизм между ТР и Л. Следовательно, лю-
5.1. Пространство-время Минковского
135
бые две точки Л' можно соединить единственной геодезической
линией. Отображение ехр определено всюду на Тр для
всех р, и в силу этого пространство-время (Л, i]) геодезически
полно.
Область Коши (Cauchy development) будущего, прошлого)
£>+(^) (соответственной-^)) пространственноподобной гипер-
поверхности 9Р определяется как множество всех точек в Л, ко-
Р и с. 13. Поверхность Коши (х4 = const} в пространстве-времени Минков-
ского и пространственноподобные поверхности Р’п. Р’р., которые не являются
поверхностями Коши. Все нормальные к поверхностям 9^, геодезические
пересекаются в точке О.
торые обладают тем свойством, что все непродолжимые в про-
шлое (будущее) непространственноподобные кривые, проведен-
ные из этих точек, пересекают 9е1 (ср. с разд. 6.5). Если
D+iJP) U D-(^) = Л, т. е. если каждая непродолжимая непро-
странственноподобная кривая пересекает 9?, то такую 9? будем
называть поверхностью Коши. В пространстве-времени Минков-
ского поверхности {x4=const} образуют семейство поверхностей
Коши, покрывающих Л полностью. Можно, однако, построить
нерасширяемые пространственноподобные поверхности, которые
13В
Гл. 5. Точные решения
не будут поверхностями Коши; например, поверхности
,7'а: {— (х4)2 + (х1)2 4- (х2)2 + (х3)2 = а = const},
где о < 0, х4 < 0, пространственноподобны, но лежат целиком
внутри изотропного конуса прошлого начала О и потому не яв-
ляются поверхностями Коши (см. рис. 13). В самом деле, об-
ласть Коши будущего поверхности —это область, ограничен-
ная 5Д и световым конусом прошлого точки О. В силу лем-
мы 4.5.2, времениподобные геодезические ортогональны к по-
верхностям Э’о. Если г е D+^a) U то времениподобная
геодезическая, проходящая через г и О, является времениподоб-
ной геодезической наибольшей длины между г и Если же г
не лежит в О+(^о) U D-(^o), то времениподобной кривой наи-
большей длины между г и не существует, поскольку или г ле-
жит в области а 0, и тогда вообще нет времениподобных гео-
дезических, проходящих через г и ортогональных о, или г лежит
в области о < 0, х4 О, и тогда времениподобная геодезиче-
ская, проходящая через г и ортогональная к существует,
но она не будет кривой наибольшей длины между г и ибо
на ней имеется точка О, сопряженная к (ср. с рис. 13).
Для исследования структуры бесконечности в пространстве-
времени Минковского воспользуемся интересным представлением
этого пространства, принадлежащим Пенроузу. От изотропных
координат у, w перейдем к новым изотропным координатам, в
которых бесконечности v и w преобразованы к конечным значе-
ниям. Для этого введем соотношениями tg р = v, tg q = w ко-
ординаты p и q, причем —л/2 < р < л/2, —л/2 < q < л/2 (и
p'^-q'). Тогда метрика пространства (dt, ц) принимает вид
ds2 = sec2 р sec2 7 ( — dp dq 4~ у sin2 (f — <?) (^92 + s'n2 ® ^</’2)) -
т. e. физическая метрика конформна метрике g, для которой
ds2 = — 4dp dq -ф sin2 (p — q) (d02 4- sin2 0 dp2). (5.5)
Эту метрику можно привести к более привычному виду, если
ввести
t' = p + q, г' = р — q,
где
— л < t' + г' < л, —п<1'— г' < л, (5.6)
тогда вместо (5.5) имеем
ds2 — — (df )2 ф- (drz)2 4- sin2 г' (d02 4- sin2 0 d<f>2). (5.7)
Таким образом, все пространство-время Минковского изобра-
жается областью (5.6) метрики
ds2 = sec2 (у (/' 4- г')} sec2 (у (f — г')) ds2,
5.1. Пространство-время Минковского
137
где ds определяется из (5.7); координаты (/, г) из (5.3) связаны
с t', г' соотношениями
2^ = tg(|(f + r')) + tg (4
2r=tg (4 (/'+и)—tg (4 <t'—и) •
Метрика (5.7) локально совпадает с метрикой статической мо-
дели Эйнштейна (см. разд. 5.3), пространство-время которой пол-
ностью однородно*). Можно аналитически продолжить (5.7) на
всю статическую модель Эйнштейна, т. е. можно продолжить
координаты t', г' так, чтобы они покрывали все многообразие
7?1 XS3, где —оо <; t' < оо и г', 0, ф рассматриваются как ко-
ординаты на S3 (с координатными сингулярностями при г' = О,
г' = л и 0 = 0 и 0 = л, подобными тем, что были в (5.3); эти
сингулярности устраняются переходом к другим локальным ко-
ординатам в окрестности точек, где метрика (5.7) особенна).
Опуская два измерения, можно представить статическую вселен-
ную Эйнштейна в виде цилиндра x2 + z/2=l, вложенного в
трехмерное пространство Минковского с метрикой ds2 =
= — d/2 + dx2 + dz/2 (полностью статическую модель Эйнштей-
на можно получить вложением цилиндра х2 + у2 -ф г2 -ф w2 = 1
в пятимерное евклидово пространство с метрикой ds2 =
= —d(2 -ф dx2 -ф di/2 -ф dz2 -ф dw2, ср. c [141]).
Итак, мы имеем следующую картину: все пространство-время
Минковского конформно области (5.6) статической модели Эйн-
штейна, т. е. заштрихованной области на рис. 14. Можно считать,
что граница этой области отражает конформную структуру бес-
конечности пространства-времени Минковского. Она состоит из
изотропных поверхностей р = л/2 (обозначенной 57+) и q——л/2
(обозначенной У-) и включает в себя точки р = л/2, q — л/2
(обозначенную i+), р = л/2, q = —-л/2 (обозначенную i°) и р =
= —л/2, q — — л/2 (обозначенную М). Любая направленная в
будущее времениподобная геодезическая в пространстве Мин-
ковского достигает i+ (М) при бесконечно большом положитель-
ном (отрицательном) значении своего аффинного параметра, и
можно считать, что любая времениподобная геодезическая начи-
нается в М и кончается в i+ (ср. с рис. 15, а). Аналогично можно
считать, что изотропные геодезические начинаются на У- и кон-
чаются на 57+, в то время как пространственноподобные геодези-
ческие начинаются и кончаются в i°. Таким образом, 1+ и можно
*) Под однородностью пространства-времени здесь имеется в виду су-
ществование группы изометрий, преобразованиями которой каждую точку про-
странства-времени можно перевести в любую другую точку; обычно такая
группа преобразований называется транзитивной (см. стр. 188). — Прим
не пев.
138
Гл. Г. Точные решения
рассматривать как изображения времениподобной бесконечно-
сти будущего и прошлого Т7+ и — изотропной бесконечности
будущего и прошлого и t° — пространственноподобной бесконеч-
ности. (Однако эти утверждения не относятся к негеодезическим
Рис. 14. Статическая вселенная Эйнштейна, представленная как вложен-
ный цилиндр; координаты 0, Ф опущены. Каждая точка изображает половину
2-сферы площадью 4л sin2 г'. Заштрихованная область конформна всему
пространству-времени Минковского; ее границу (часть изотропных конусов
точек z+, i®, t-) можно рассматривать как конформную бесконечность про-
странства-времени Минковского.
кривым: негеодезическая времениподобная кривая может начи-
наться, например, на и кончаться на 5^+.) Поскольку любая
поверхность Коши пересекает все времениподобные и изотропные
геодезические, то она должна выглядеть как сечение всего про-
странства-времени, достигающее границы (°. Конформную струк-
туру бесконечности можно представить также, начертив диа-
грамму плоскости (К, г') (см. рис. 15, б). Как и на рис. 12, а, каж-
дая точка этой диаграммы изображает сферу S2, а радиальные
изотропные геодезические изображаются прямыми, идущими под
углом ±45°. Такого рода диаграммой может быть представлена
т — О

i'(p=-jn)
Пространственно-
подобная геодезичес-
кая
времениподобная
геодезическая
Изотропная геодезическая
& (г— оо, Z=+°O_)
I
р =. const
1~
2-ссрерь'
const
г °
&~(Г — оо,
t~-оо)
Поверхность
д = const
д — const
Поверхности
t — const
1°(рассматри- г
вается как одна
точна)
Поверхность
р = const

а
Рис. 15. а — заштрихованная область на рис. 14 (теперь опущена только одна координата), изображающая пространство-
время Минковского и его конформную бесконечность; б — диаграмма Пенроуза пространства-времени Минковского. Каждая
точга изображает 2-сферу, за исключением точек i+, i°, i~, каждая из которых является единственной точкой, и точек
на линии г — 0 (где полярные координаты сингулярны).
140
Гл. 5. Точные решения
структура бесконечности любого сферически симметричного
пространства. На таких диаграммах бесконечность будет изо-
бражаться одной линией, начало полярных координат — пункти-
ром и неустранимые особенности метрики — двойной линией.
Конформная структура пространства Минковского, описанная
здесь, представляет собой то, что можно было бы считать «нор-
мальным» поведением пространства-времени на бесконечности;
другие типы поведения встретятся нам в следующих разделах.
Упомянем, наконец, что можно построить пространства, ло-
кально совпадающие с {Л, t]), но с иными (крупномасштабны-
ми) топологическими свойствами; это достигается отождествле-
нием в Л точек, которые эквивалентны относительно дискретной
изометрии без фиксированной точки (например, отождествление
точки (х1, х2, х3, х4) с точкой (х1, х2, х3, х4 -ф с), где с — постоян-
ная, меняет топологическую структуру 7?4 на R1 X S1 и приводит
к появлению в пространстве-времени замкнутых времениподоб-
ных линий). Очевидно, (Л, 1]) представляет собой универсаль-
ное накрывающее пространство для всех таких производных
пространств; последние подробно рассмотрены в [3].
5.2. Пространство-время де Ситтера 1-го и 2-го рода
Пространственно-временные метрики постоянной кривизны
локально характеризуются условием Raba} = (Viz)/? (gaegbd —
—gadgbc). Ему эквивалентно равенство CabCd = O — Rab — Rlb)Rgab,
и, следовательно, тензор Римана определяется одним лишь ска-
ляром Риччи R. Из свернутых тождеств Бианки сразу следует,
что R = const во всем пространстве-времени; действительно, эти
пространства однородны. Тензор Эйнштейна имеет вид
Rab Rgab = Rgab 't
поэтому эти пространства можно считать решениями уравнений
поля в пустом пространстве с Л = R/4 или решениями для иде-
альной жидкости с постоянной плотностью /?/32л и с постоянным
давлением — R/32n. Однако последняя трактовка, по-видимому,
неприемлема, поскольку тогда или давление, или плотность
должны быть отрицательными; кроме того, уравнение движения
(3.10) для такой жидкости становится неопределенным.
Пространство-время Минковского является пространством
постоянной кривизны с R — 0. Пространство постоянной кривиз-
ны с R > 0 есть пространство-время де Ситтера 1-го рода, кото-
рое обладает топологией Rl X S3 (см. интересное описание
свойств этого пространства в [152], принадлежащее Шрединге-
ру). Оно наиболее просто реализуется в виде гиперболоида
— v + w‘ + х2 -|- у2 + z2 = а2
5 2. Пространство-время де Ситтера
141
в плоском пятимерном пространстве Г<Ф с метрикой
— do2 -4- dee12 + dx2 -+- dy2 dz2 = ds2
(рис. 16). На этом гиперболоиде можно ввести координаты
(t, X, 9, ф), определяемые соотношениями
a sh (а~Ч) = v, a ch (a“’t) cos % = w,
a ch (ст'?) sin х cos 0 = х, a ch (а'Ч) sin х sin 9 cos ф — у,
а ch (а"’1/) sin х sin 9 sin ^> = z.
В этих координатах метрика имеет вид
ds2 = — d/2 + a2 ch2 (а-1/) • {dx2 + sin2x(d02 4- sin2 0 d<£2)}.
Особенности метрики при х = О, X = л и 9 = 0, 0 = л обуслов-
лены лишь полярными координатами; за исключением этих три-
виальных сингулярностей, координаты t, %, 9, Ф покрывают все
пространство при —оо <с t <С <х>, 0 х л> 0 0=С л,
0 ф :< 2л. Пространственными сечениями постоянного t яв-
ляются сферы S3 постоянной положительной кривизны, и они
представляют собой поверхности Коши. Их геодезические нор-
мали представляют собой линии, монотонно сходящиеся до не-
которого минимального пространственного расстояния и затем
снова расходящиеся до бесконечности (см. рис. 16, а).
На гиперболоиде можно ввести также координаты
а , w + а Л ах л ац ~ az
t=aln-------, х = j—, й=—р—, z =----------i—.
u w + a ' J w v w + v
В этих координатах метрика принимает вид
ds2 = — d?2 + exp (2a ~ ’/) (dx2 + dy2 dz2),
однако они покрывают лишь половину гиперболоида, так как f
не определены при w -(- v 0 (см. рис. 16,6). Область про-
странства де Ситтера 1-го рода, для которой v -|- w > 0, обра-
зует пространство-время стационарной модели Вселенной, пред-
ложенной Бонди и Голдом [12] и Хойлом [80]. В этой модели
предполагается, что материя движется по геодезическим норма-
лям к поверхностям {f = const}. Поскольку при этом происхо-
дит «разрежение» материи, то для поддержания постоянного
значения плотности предполагается непрерывное рождение по-
вой материи. Бонди и Голд не пытались вводить уравнения поля
для этой модели, но Пирани [135] и Хойл и Нарликар [82] заме-
тили, что метрику стационарной модели можно рассматривать
как решение уравнений Эйнштейна (с Л = 0 ), если в дополнение
к обычной материи ввести скалярное поле с отрицательной плот-
ностью энергии. Это «С-поле» вызывало бы также и непрерыв-
ное рождение материи.
142
Ул. 5. Точные решения
Стационарная модель обладает тем достоинством, что ее
предсказания просты и определенны. Однако с нашей точки зре-
ния у нее имеются два неудовлетворительных свойства. Пер-
вое — существование отрицательной энергии, о чем говорилось
в разд. 4.3. Второе—-возможность расширения пространства-
времени, связанная с тем, что оно является только половиной
х - О
X =О
Поверхности
t=const
t= О;расстоя-
ние между
геодезически-
ми нормаля-
ми мини-
мально
Геодезические
нормали
Изотропные поверхноети
(граница сети
координат)
геодезическая, не
Геодезические
нормали
Поверхности
i= const
Времениподобная
пересекающая поверхности
t = const
а
5
Рис. 16. Пространство-время де Ситтера 1-го рода, представленное в виде
гиперболоида, вложенного в пятимерное плоское пространство (на рисунке
два измерения опущены); а — координаты (Л %, 6, </>) покрывают весь гипер-
болоид; сечения {/ = const} являются поверхностями кривизны k = -р 1.
б — координаты (t, х, у, i) покрывают половину гиберболоида; поверхности
{t = const} являются плоскими 3-пространствами; их геодезические нормали
расходятся из точки в бесконечно удаленном прошлом.
пространства де Ситтера 1-го рода. Несмотря на эти возраже-
ния, по-настоящему справедливость стационарной модели опре-
деляется тем, насколько ее предсказания согласуются с наблю-
дениями. Согласия в настоящее время, по-видимому, нет, но на-
блюдения еще не дают достаточно оснований для окончатель-
ного вывода.
Пространство де Ситтера 1-го рода геодезически полно, но в
нем существуют точки, которые нельзя соединить никакой геоде-
зической. Этим оно сильно отличается от пространств с положи-
тельно определенной метрикой, где геодезическая полнота гаран-
тирует возможность соединения любых двух точек по крайней
мере одной геодезической. Половина пространства де Ситтера,
S.2. Пространство-время де Ситтера
143
соответствующая стационарной модели, не полна в прошлом
(существуют геодезические, которые полны во всем пространстве
и пересекают границу области стационарной модели, поэтому
они неполны в этой области).
Чтобы исследовать бесконечность в пространстве-времени
де Ситтера 1-го рода, определим временную координату t' сле-
дующим образом:
£' = 2arctg(expa-1/) —л, (5.8)
где
1 4' 1
2 Л t 2 •ГС*
Тогда
ds2 — a2 ch (a-1/7) • ds2,
где ds2 дается формулой (5.7) после замены г' на %. Таким обра-
зом, пространство де Ситтера 1-го рода конформно части стати-
ческой вселенной Эйнштейна, определенной неравенством (5.8)
(рис. 17, а). Диаграмма Пенроуза для пространства де Ситтера
1-го рода изображена на рис. 17,6. Половина этого рисунка,
представленная на рис. 17, в, изображает ту часть простран-
ства-времени де Ситтера, которая соответствует стационарной
модели.
Мы видим, что в отличие от пространства Минковского
в пространстве де Ситтера 1-го рода для времениподобных и
изотропных кривых существует как в будущем, так и в прошлом
пространственноподобная бесконечность. Это различие соответ-
ствует существованию в пространстве-времени де Ситтера гори-
зонтов частиц и событий для геодезических семейств наблюда-
телей.
Рассмотрим в пространстве де Ситтера 1-го рода семейство
частиц, историями которых являются времениподобные геодези-
ческие. Эти линии начинаются на пространственноподобной бес-
конечности Д'- и кончаются на пространственноподобной беско-
нечности Д+. Пусть р — некоторое событие на мировой линии
частицы О этого семейства, т. е. некоторый момент ее истории
(собственное время, измеренное вдоль мировой линии О). Све-
товой конус прошлого события р — это множество событий в
пространстве-времени, которые может увидеть наблюдатель, на-
ходящийся на частице в это время (наблюдатель О). Мировые
линии некоторых других частиц могут пересекать этот конус, и
эти частицы наблюдатель О может увидеть. Но могут существо-
вать частицы, мировые линии которых не пересекают этот изо-
тропный конус и, таким образом, еще не видны наблюдателю О.
В более поздние моменты времени наблюдатель О может уви-
деть большее число частиц, но и в эти моменты будут существо-
вать частицы, невидимые О,
144
Гл. 5. Точные решения
Мы будем говорить, что частицы, которые наблюдатель О в
событии р может увидеть, отделяются от частиц, не видимых О
в это время, горизонтом частиц наблюдателя О в событии р\
—$ * (t’-л/г), apepa S3
-9t'= const
t'=0
Л/2), apepa S3
Рис. 17. а — пространство-время де Ситтера I-го рода конформно области
— л/2 < t' < л/2 статической вселенной Эйнштейна; б — диаграмма Пенроуза
пространства-времени де Ситтера 1-го рода; в — диаграмма Пенроуза ста-
ционарной модели Вселенной. На диаграммах а и б каждая точка изобра-
жает 2-сферу площадью 2л sin 2%; изотропные линии проходят под углом 45°;
% = 0 и % = л отождествляются.
этот горизонт определяется мировыми линиями частиц, лежащих
на пределе видимости наблюдателя О. Отметим, что горизонт
частиц определен, только если мировые линии всех частиц се-
мейства известны. Если некоторая частица лежит на этом гори-
зонте, то р — это событие, в котором изотропный конус момента
«рождения» этой частицы пересекает мировую линию О. С дру-
гой стороны, в пространстве Минковского is любом событии р
5.2. П ространство-время де Ситтера
145
на мировой линии О можно увидеть все другие частицы, если
они движутся по времениподобным геодезическим. Пока мы
рассматриваем только семейства геодезических наблюдателей,
Частица, видная О
в р
Горизонт частиц
для 0 в р
Мировая линия О
Мировые
линии
частиц
Частицы, которые
еще не видны О вр
Изотропный конус прошлого О в р
б
Рис. 18. а — горизонт частиц, определяемый конгруэнцией геодезических
кривых при пространственноподобпой бесконечности прошлого 3 изотропных
геодезических; б — отсутствие такого горизонта при изотропной 3~.
существование горизонта частиц можно считать следствием
пространственноподобности бесконечности прошлого (рис. 18).
Все события вне изотропного конуса прошлого невидимы из р
и до события р никогда не были видимы. Мировая линия О
имеет предельную точку на ГГ+. В пространстве-времени де Сит-
тера 1-го рода изотропный конус прошлого этой точки (получае-
мый предельным переходом в реальном пространстве или непо-
средственно пз конформного пространства-времени) является
границей между событиями, которые хотя бы в какой-то момент
146
Гл. 5. Точные решения
времени станут видимы наблюдателем О, и событиями, кото-
рые О никогда не увидит. Такую поверхность мы называем гори-
зонтом событий будущего данной мировой линии. Это граница
Мировая линия О
Горизонт событий
прошлого О
Изотропный конус
будущего О в р
Мировая линия
Горизонт событий прошлого О ср
События, колю-
ры е О никогда
не увидит
Горизонт событий
будущего О
События, на кото-
рые О никогда не
сможет повлиять
а
Мировая линия геодезического
наблюдателя О
Мировая линия негеодезического
наблюдателя R
Изотропный конус прошлого
О в р; в конечном итоге он охватит Твризонт событий будущего для R
все пространство-время я
Рис. 19. а — горизонт событий будущего для частицы О, который суще-
ствует, когда бесконечность будущего У+ пространственноподобна; анало-
гично горизонт событий прошлого, который существует, когда пространственно-
подобна бесконечность прошлого б — если бесконечность будущего со-
стоит из изотропной поверхности Sf+ и из г°, для геодезического наблюда-
теля О не существует горизонта событий будущего. Однако у ускоряющегося
наблюдателя может быть горизонт событий будущего.
мировой линии прошлого. Напротив, в пространстве-времени
Минковского предельный изотропный конус любого геодезиче-
ского наблюдателя включает все пространство-время и, следо-
вательно, в нем нет событий которых геодезический наблюдатель
никогда не сможет увидеть. Однако, если наблюдатель движется
равноускоренно, его мировая линия может иметь горизонт собы-
тий будущего. Существование горизонта событий будущего для
5.2. Пространетво-время де Ситтера
147
геодезического наблюдателя можно рассматривать как следствие
пространственноподобности (рис. 19).
Рассмотрим горизонт событий для наблюдателя О в про-
странстве-времени де Ситтера и предположим, что в некоторый
момент собственного времени (событие р на его мировой линии)
его изотропный конус пересекает мировую линию частицы Q.
После этого наблюдатель О всегда может видеть частицу Q. Но
на мировой линии Q имеется событие г, которое лежит на гори-
зонте событий будущего частицы О; О никогда не увидит тех
событий на мировой линии Q, которые расположены позднее г.
Более того, любое данное событие на мировой линии О отделено
бесконечным промежутком собственного времени от события,
когда он сможет увидеть г, но вместе с тем между любым собы-
тием вдоль мировой линии Q и событием г, представляющим со-
бой обычное событие на этой линии, проходит конечное время.
Таким образом, наблюдатель О за бесконечное время видит ко-
нечную часть истории Q; выражаясь более физично, при наблю-
дении частицы Q наблюдателем О происходит красное смеще-
ние, которое стремится к бесконечности по мере приближения
наблюдаемых на мировой линии Q событий к точке г. Соответ-
ственно с частицы Q никогда нельзя будет увидеть событий, сле-
дующих за некоторой точкой на мировой линии О, а близлежащие
к ней точки наблюдаются с очень большим красным смещением.
Изотропный конус будущего любой точки мировой линии яв-
ляется границей множества таких событий в пространстве-вре-
мени, на которые О может влиять начиная с данного момента.
Чтобы получить максимальное множество тех событий в про-
странстве-времени, на которые О может влиять хоть в какой-то
момент, возьмем изотропный конус будущего предельной точки
мировой линии О, расположенной в бесконечности прошлого 3>'~;
иначе говоря, возьмем границу будущего этой мировой линии
(ее можно рассматривать как изотропный конус момента рожде-
ния частицы О). Такая нетривиальная область существует для
геодезического наблюдателя только тогда, когда бесконечность
прошлого пространственноподобна (и тогда она фактически
является горизонтом событий прошлого частицы О). Из приве-
денных рассуждений ясно, что в стационарной модели, где бес-
конечность прошлого для изотропных и времениподобных геоде-
зических изотропна, а бесконечность будущего пространственно-
подобна, любой фундаментальный наблюдатель имеет горизонт
событий будущего, но не имеет горизонта событий прошлого.
Отождествлением точек пространства де Ситтера 1-го рода
мы можем получить другие локально-эквивалентные ему про-
странства. Простейший случай — отождествление антиподаль-
ных точек р, р' (см. рис. 16) на гиперболоиде. Полеченное про-
странство не ориентируемо во времени: если в р время течет
Н8
Гл. 5. Точные решения
в направлении стрелки, то антиподальное oi ождоснмепне тре-
бует, чтобы оно в р' текло в направлении против стрелки, по
такое отождествление будущей прошлой половины изотропного
конуса нельзя распространить на весь гиперболоид. В работе
[19] подробно изучены пространства, получающиеся при таких
отождествлениях; в частности, в ней показано, что произволь-
ная точка в полученном пространстве может быть соединена
геодезической с любой другой точкой, если и только если про-
странство не ориентируемо во времени.
Пространство постоянной кривизны с R < 0 называется про-
странством де Ситтера 2-го рода. Оно обладает топологией
S1 X R3 и может быть представлено в виде гиперболоида
— U2 — V2 + X2 + у2 + Z2 = — 1
в плоском пятимерном пространстве R5 с метрикой
ds2 = — (dn)2 — (dn)2 + (dx)2 + (dy)2 + (de)2.
В этом пространстве существуют замкнутые времениподобные
линии, однако оно не является односвязным, и если мы развер-
нем круг S1 (чтобы получить его накрывающее пространство А?1),
то будем иметь универсальное накрывающее пространство про-
странства де Ситтера 2-го рода, в котором пет замкнутых време-
ниподобных линий. В дальнейшем под пространством де Сит-
тера 2-го рода мы будем подразумевать это универсальное на-
крывающее пространство; оно имеет топологию Ri.
Метрика этого пространства может быть записана в виде
ds2 — — df2 + cos2t {d%2 + sh2 x (d02 + sink 9 d</>2)}- (5.9)
Эта система координат покрывает лишь часть пространства и
имеет кажущиеся сингулярности при t = ±л/2. Пространство
целиком может быть покрыто координатами (С, г, Q, ф), в кото-
рых метрика принимает статическую форму:
ds2 = — ch2 г dt'2 + dr2 + sh2 r (d92 + sin2 0 d^2).
В таком представлении пространство покрывается поверхностя-
ми {f = const} с негеодезическими нормалями.
Для исследования структуры бесконечности введем коорди-
нату г'.
г' = 2 arctg (ехр г) — л/2, 0^г'<л/2.
Тогда получаем ds2 = ch2rds2, где ds2 определяется формулой
(5.7); иными словами, все пространство де Ситтера 2-го рода
конформно области О X R X л/2 эйнштейновского статического
цилиндра. Соответствующая диаграмма Пенроуза приведена на
рис. 20. Изотропную и пространственную бесконечности в этом
случае можно представлять себе как времениподобную поверх-
ность. Топология этой поверхности эквивалентна Д1 X S2.
Гг ~ Л/2
г'=0
б
Р и с. 20. а — универсальное пространство де Ситтера 2-го рода конформно
половине статической вселенной Эйнштейна. Координаты (/, / 0. Ф) покры-
вают лишь изображенную на рисунке ромбовидную область тогда как коор-
динаты (/. г, 0, Ф) покрывают все пространство. Все геодезические, ортого-
нальные к поверхностям {t = const}, сходятся в точках р и q и затем расхо-
дятся в новую такую же ромбовидную область и т. д.; б — диаграмма
Пенроуза пространства де Ситтера 2-го рода. Бесконечность состоит из вре-
мениподобной поверхности У и отдельных точек г+, 1~. Приведены проекции
некоторых времениподобных изотропных геодезических.
150
Гл. 5. Точные решения
В пространстве де Ситтера 2-го рода нельзя построить кон-
формное преобразование, переводящее временную бесконечность
в конечную область, если не сжимать статическую вселенную
Эйнштейна в точку (если при конформном преобразовании вре-
менная координата бесконечности становится конечной, то мас-
штаб пространственного сечения умножается па бесконечный
множитель), и поэтому мы изображаем времениподобную бес-
конечность отдельно стоящими точками i+, i~.
Линии {/_, 0, ф = const} являются геодезическими, ортого-
нальными к поверхностям {t = const}; они все сходятся в буду-
щем (соответственно в прошлом) в точках q (соответственно р)
пространства-времени, и этим схождением объясняется наличие
кажущихся (координатных) особенностей в первоначальном
виде метрики. Этими координатами покрывается область между
поверхностью t = 0 и изотропными поверхностями, на которых
геодезические нормали становятся вырожденными.
Это пространство обладает двумя другими интересными чер-
тами. Во-первых, вследствие времениподобности бесконечности
в нем нигде нет поверхности Коши. Хотя и можно построить
семейства пространственноподобных поверхностей (например,
поверхности {К = const}), которые покрывают пространство пол-
ностью, все же для любой данной поверхности такого семейства
существуют изотропные геодезические, которые ее нигде не пере-
секают. Если задать начальные данные на какой-либо из этих
поверхностей, за пределами ее области Коши нельзя что-либо
предсказать; таким образом, с поверхности {t=0} можно делать
предсказания лишь в области, покрытой координатами t, %, 8, Ф-
Любой попытке предсказаний вне этой области препятствует по-
ступление «свежей» информации из времениподобной бесконеч-
ности.
Во-вторых, в соответствии с тем, что все геодезические нор-
мали из t = 0 сходятся ври?, все геодезические из р в про-
шлое расходятся (нормально к поверхности {t = const}) ненова
сходятся в q. В действительности все времениподобные геодези-
ческие из любой точки этого пространства (и в прошлое, и в бу-
дущее) фокусируются в точку-изображение, от нее снова расхо-
дятся и снова фокусируются во вторую точку-изображение и т. д.
Поэтому времениподобная геодезическая из р в будущее никогда
не может достичь 3 в отличие от изотропной геодезической в бу-
дущее, которая доходит до J и образует границу будущего точ-
ки р. Как следствие такого различия между времениподобными
и изотропными геодезическими в будущем точки р (т. е. там,
куда могут быть проведены из р направленные в будущее вре-
мениподобные линии) существуют области, которых нельзя
достичь из р по какой-либо геодезической. Множеством точек,
которых можно достичь по направленным в будущее времени-
5.?. Пространство Робертсона—Уокера 151
подобным линиям из р, будет множество точек, лежащих выше
изотропного конуса будущего точки р; множество точек, кото-
рых можно достичь из р по направленным в будущее времени-
подобным геодезическим, образует внутренность бесконечной
последовательности ромбообразных областей, подобных той, ко-
торая покрывается координатами (t, %, 0, ф). Заметим, что лю-
бую точку в области Коши поверхности t = 0 можно достичь
с этой поверхности по единственной геодезической нормали, но,
вообще говоря, до точек вне области Коши нельзя провести
геодезическую нормаль к t = 0.
5.3. Пространство Робертсона — Уокера
До сих пор мы не интересовались тем, как связаны с реаль-
ной физической Вселенной точные решения. Следуя Эйнштейну,
мы можем спросить: найдется ли пространство-время, которое
является точным решением для какой-либо подходящей формы
материи и при этом хорошо описывает крупномасштабные свой-
ства наблюдаемой Вселенной? Если таковое найдется, то мы мо-
жем утверждать, что имеем разумную «космологическую мо-
дель», т. е. модель физической Вселенной.
Однако мы не можем построить космологическую модель, ко-
торая была бы свободна от некоторой примеси философии. В са-
мых ранних космологиях человек приписывал себе господствую-
щее положение в центре Вселенной. Начиная с времен Копер-
ника, мы постепенно спустились на среднего размера планету,
обращающуюся вокруг среднего размера звезды на окраине до-
вольно обычной галактики, которая сама является всего лишь
членом Местной группы галактик. Мы стали теперь столь демо-
кратичны, что не возьмемся утверждать, будто наше положение
в пространстве хоть как-то выделено. Вслед за Бонди [10] будем
называть предположение о невыделенности нашего положения
принципом Коперника.
Этот несколько туманный принцип можно интерпретировать
следующим образом: при выборе подходящего масштаба Все-
ленная приблизительно пространственно однородна.
Под пространственной однородностью мы подразумеваем су-
ществование действующей на JI группы изометрий, поверхности
транзитивности *) которой являются пространственноподобными
3-поверхностями; другими словами, любая точка на одной из
этих поверхностей эквивалентна любой другой точке той же по-
верхности. Конечно, Вселенная не в точности пространственно
однородна; в ней существуют локальные неоднородности, такие,
*) Поверхностью транзитивности группы преобразований называется по-
верхность, каждая точка которой может быть переведена преобразованием
группы в любую другую точку этой поверхности. — Прим. ред.
152
Гл. 5. Точные решения
как звезды и галактики. Тем не менее представляется разумным
предположить, что Вселенная пространственно однородна в до-
статочно больших масштабах.
Хотя мы и можем построить математические модели, удовле-
творяющие этому требованию однородности (см. следующий раз-
дел), по непосредственно проверить однородность с помощью
наблюдений трудно вследствие того, что нет простого способа
измерения расстояний до удаленных объектов. Эта трудность
смягчается тем обстоятельством, что в принципе мы довольно
легко можем обнаружить путем наблюдений внегалактических
объектов изотропию (т. е. проверить, совпадают ли результаты
наблюдений в различных направлениях), а изотропия тесно
связана с однородностью. Выполненные до сих пор наблюдения
по проверке изотропии подтверждают вывод о приближенной
сферической симметрии окружающей нас Вселенной.
В частности, было показано, что внегалактические радиоис-
точники распределены приблизительно изотропно, а обнаружен-
ный недавно фон микроволнового излучения в исследованной
области спектра в высшей степени изотропен.
Записать и исследовать метрики для всех случаев сфериче-
ски-симметричиого пространства-времени вполне возможно. Кон-
кретными примерами пространств с такой симметрией являются
решения Шварцшильда и Райснера—Нордстрема (см. разд. 5.5),
которые, однако, являются асимптотически плоскими простран-
ствами. Вообще говоря, в сферически-симметричных пространст-
вах есть самое большее две точки, из которых пространство
представляется сферически-симметричным. Такие пространства
могут служить моделями пространства-времени вблизи массив-
ного тела, но если принять их в качестве моделей Вселенной, то
это согласуется с изотропией по данным наших наблюдений
лишь при условии, что мы расположены вблизи какой-то весьма
специфической точки. Исключением являются те модели, в ко-
торых Вселенная изотропна относительно каждой точки в про-
странстве-времени; поэтому мы будем трактовать принцип
Коперника как утверждение о приближенной сферической сим-
метрии Вселенной относительно каждой точки (поскольку она
приближенно сферически-симметрична вокруг нас).
Как было показано Уокером [171], точная сферическая сим-
метрия относительно каждой точки означает, что Вселенная про-
странственно однородна и допускает 6-параметрическую группу
изометрий с поверхностями транзитивности в виде простран-
ственноподобных 3-поверхностей постоянной кривизны. Такого
рода пространства называются пространствами Робертсона —
Уокера (или Фридмана); пространство Минковского, простран-
ства дс Ситтера обоих родов являются частными случаями про-
странства Робертсона —Уокера общего вида. Отсюда мы заклю-
5.3. Пространство Робертсона — Уокера
153
чаем, что пространства Робертсона — Уокера даюг хорошее при-
ближение к крупномасштабной геометрии пространства-времени
в области, доступной нашим наблюдениям.
В пространстве Робертсона — Уокера координаты можно
выбрать так, чтобы метрика имела вид
ds2 = — df + S2 (/) do2,
где do2— метрика трехмерного пространства постоянной кривиз-
ны, причем она не зависит от времени. Геометрия этого трехмер-
ного пространства существенно зависит от того, положительна,
отрицательна или равна нулю его кривизна К’, подбором функ-
ции S можно нормировать К так, чтобы в первых двух случаях
она была равна +1 или —1. Тогда метрику do2 можно записать
в виде
где
da2 = d/2 + f2 (%) (d02 + sin2 0 d^2),
' sin%
sh%
при
при
при
+ 1,
К = 0,
Л = - 1.
f(x) = 1
Если К = 0 или К = —1, координата % пробегает значения от О
до оо, а при К = +1 имеем 0 sC -/ sC 2л. При К=0 или К—— 1
трехмерное пространство диффеоморфно R3 и, таким образом,
«бесконечно»; когда К = +1, оно диффеоморфно трехмерной
сфере S3 и, следовательно, компактно («закрыто» или «конеч-
но») . Можно было бы отождествить подходящие точки в этих
трехмерных пространствах и получить иные глобальные тополо-
гии; в случае отрицательной и нулевой кривизны это можно сде-
лать даже так, чтобы в результате получилось компактное трех-
мерное пространство [102]. Однако такая компактная поверх-
ность постоянной кривизны не допускает никакой непрерывной
группы изометрий [175]: хотя в каждой точке существуют век-
торы Киллинга, они не задают какое-либо глобальное векторное
поле Киллинга, и локальные группы изометрий, определяемые
ими, нельзя объединить в одну глобальную группу. В случае ну-
левой кривизны компактное пространство может обладать толь-
ко 3-параметрической группой изометрий. Ни в одном случае
полученное пространство-время не будет изотропным. Мы не бу-
дем делать подобных отождествлений, поскольку поводом для
изучения пространств Робертсона — Уокера была их изотропия
(и, следовательно, наличие 6-параметрической группы изомет-
рий). В действительности единственным отождествлением, кото-
рое не приводит к анизотропному пространству, является ото-
ждествление антиподальных точек на S3 в случае постоянной
положительной кривизны.
154
Гл. 5. Точные решения
Симметрия решений Робертсона — Уокера требует, чтобы
тензор энергии-импульса имел вид, соответствующий идеальной
жидкости, плотность ц и давление р которой являются функ-
циями только временной координаты t, а линии тока описы-
ваются кривыми %, 0, ф — const (так что %, 0, ф — сопутствую-
щие координаты). Можно считать, что эта жидкость описывает
материю во Вселенной в приближении равномерного «размазы-
вания»; тогда функция S(?) характеризует девиацию соседних
линий тока, т. е. «близких» галактик.
Уравнение сохранения энергии (3.9) теперь принимает вид
ц = — 3 (ц + р) S/S. (5.10)
Уравнение Райчаудхури (4.26) выглядит следующим образом:
4л (ц + Зр) — Л = — 3S/S, (5.11)
уравнения поля сводятся к одному уравнению [по существу, это
соотношение (2.35)]:
3S2 = 8л (ц53)/5 + AS2 - ЗК. (5.12)
Когда S =К= 0, соотношение (5.12) можно получить (с произволь-
ным значением К) как первый интеграл уравнений (5.10), (5.11);
таким образом, оно фактически служит для отождествления по-
стоянной К с кривизной трехмерного пространства {t = const}
с метрикой do2.
Разумно предположить (см. энергетические условия, разд. 4.3),
что и >0 и р >0. (В действительности по современным оцен-
кам 10-29 г/см3 Цо 10~31 г/см3, цо ро 0.) Тогда, если
Л = 0, то из (5.11) видно, что S не может быть постоянной;
иначе говоря, из уравнений поля следует, что Вселенная должна
или расширяться, или сжиматься. Наблюдения показывают (это
впервые обнаружили Слайфер и Хаббл), что галактики уда-
ляются от нас, т. е. что в настоящее время вещество во Вселен-
ной расширяется. Последние наблюдения дают для современ-
ного значения S/S значение
// = (S/S)lo« 10“10 лет-'1
(по-видимому, с точностью до множителя ~2). Отсюда, соглас-
но (5.11), следует, что при Л = 0$ должна обратиться в нуль
за некоторый конечный интервал времени Ф в прошлом (время
to измеряется вдоль мировой линии нашей Галактики), причем
t0 < Я-' « Ю10 лет.
Из (5.10) следует, что по мере расширения Вселенной плотность
уменьшается; в прошлом, наоборот, она была выше и принимала
сколь угодно большие значения при S -> 0. Поэтому точка, где
5.3. Пространство Робертсона — Уокера
155
5 = 0, не является только координатной особенностью, как при
введении координат (5.9) во вселенной де Ситтера 2-го рода; тот
факт, что плотность обращается при 5 = 0 в бесконечность,
означает, что некоторый скаляр, определяемый тензором кривиз-
ны, тоже бесконечен. Это делает подобную сингулярность даже
серьезней, чем та, которая возникает в соответствующей ньюто-
новской ситуации; в обоих случаях мировые линии всех частиц
пересекаются в одной точке и плотность становится бесконечной,
но здесь становится сингулярным в точке 5 = 0 само простран-
ство-время. Мы должны исключить эту точку из пространствен-
но-временного многообразия, поскольку в ней не могут выпол-
няться никакие известные физические законы.
Эта сингулярность — наиболее удивительное свойство реше-
ний Робертсона — Уокера. Она возникает во всех моделях, в ко-
торых ц + Зр > 0 и Л отрицательна, равна нулю или имеет не
слишком большое положительное значение. Сингулярность озна-
чает, что у Вселенной (или по крайней мере у той ее части,
о физике которой мы имеем некоторое представление) имеется
начало, отдаленное от нас конечным промежутком времени. Од-
нако этот результат основан на предположении о строгой про-
странственной однородности и сферической симметрии. Хотя это
предположение может оказаться разумным приближением для
достаточно больших масштабов в настоящее время, оно, конеч-
но, не выполняется локально. Можно допустить, что при про-
слеживании эволюции Вселенной назад во времени местные
неоднородности настолько возрастут, что они смогут воспрепят-
ствовать появлению сингулярности, приводя к «упругому отра-
жению» частей Вселенной. Может ли подобное произойти и
содержатся ли сингулярности в реалистических решениях с не-
однородностями— это центральные вопросы космологии; их об-
суждение составляет основной предмет этой книги. Как мы
увидим, имеются веские основания считать, что физическая Все-
ленная действительно была сингулярной в прошлом.
Если задана какая-либо разумная связь между р и щ урав-
нение (5.10) можно проинтегрировать и получить р в функции 5.
Давление в настоящую эпоху очень мало. Если р и Л положить
равными нулю, то из (5.10) находим
4 л М
3 В — 5з .
где М — постоянная; при этом (5.12) имеет вид
35! = = (5.13)
Первое уравнение выражает сохранение массы при нулевом дав-
лении, а второе (уравнение Фридмана) представляет собой урав-
нение сохранения энергии для сопутствующего объема материи:
156
Гл. 5. Точные решения
постоянная Е — это сумма кинетической и потенциальной энер-
гий. Если Е < 0 (т. е. К > 0), то S будет возрастать до неко-
торого максимального значения и затем спадет до нуля; если же
Е 0 (т. е. К -С 0), то S возрастет неограниченно.
Явные решения уравнения (5.13) примут простой вид, если
их записать через новый временной параметр r(t), определяе-
мый равенством
dr dr (5.14)
тогда имеем
5 = (у) (chr — 1), t = 4-(sh т — t) u при 1;
t — 1 3 -3 х при /< = 0;
S = — у (1 — cost), t = —- у-(т — sin t) при 1.
(Случаю /\ = 0 соответствует вселенная Эйнштейна — де Сит-
2
тера; очевидно, тогда S ~ i3 .)
При р > 0 поведение качественно такое же. В частности, для
р — (у — 1)ц, где у = const, 1 si- у sE 2, получаем 4лц/З — Л4 /S3v,
и решение (5.12) вблизи сингулярности имеет вид
2
S ~ t3'1.
Если Л < 0, то решение свидетельствует о расширении от
начальной сингулярности к некоторому максимуму с последую-
щим коллапсом во вторую сингулярность. Если Л > 0, то для
Е = 0 или —1 расширение продолжается вечно, и асимптоти-
чески решение приближается к стационарной модели. При К= 1
существует несколько возможностей. Если Л больше некоторого
значения ЛКрПт (при p — Q ЛКрпт = (—Е/ЗЛ4)3/(ЗЛ1)2), реше-
ние начинается с сингулярности и описывает вечное расширение
с асимптотическим приближением к стационарной модели. При
Л = ЛкрИТ имеем статическое решение — статическую вселенную
Эйнштейна. [Метрическая форма (5.7)—это частный случай ста-
тического решения Эйнштейна с ц 4- Р = (4л)'1, Л = 1 + 8лр.]
Существует еще решение, начинающееся с сингулярности и
асимптотически приближающееся к вселенной Эйнштейна, и ре-
шение, начинающееся со вселенной Эйнштейна в бесконечном
прошлом и все время расширяющееся. Если Л < Лкрпт, имеется
два решения: одно описывает расширение от начальной сингу-
лярности и затем коллапс во вторую сингулярность; второе—
сжатие, начинающееся при бесконечном радиусе в бесконечном
прошлом, до некоторого минимального радиуса с последующим
5.3. Пространство Робертсона — Уокера
157
расширением. Только это последнее решение и решение, которое
в бесконечном прошлом асимптотически приближается к стати-
ческой вселенной, могли бы соответствовать наблюдаемой Все-
ленной и не иметь при этом сингулярностей. Однако в этих
моделях всегда S > 0, что, по-видимому, противоречит резуль-
татам наблюдений красных смещений далеких галактик [145,
146]. Кроме того, максимальная плотность в этих моделях, ока-
зывается, не. слишком сильно отличается от современной плот-
ности, что приводит к трудностям в объяснении таких явлений,
как микроволновой фон излучения и распространенность гелия
в космосе: перечисленные явления скорее всего свидетельствуют
об очень горячей плотной фазе в истории Вселенной.
Так же как и в предыдущих случаях, мы можем построить
конформные отображения пространств Робертсона — Уокера в
статическое пространство Эйнштейна. В качестве временной ко-
ординаты будем использовать параметр г, определяемый соотно-
шением (5.14); тогда метрика принимает вид
ds2 = S2(r){ — dr 4- d%2 + f2(x)(d02 + sin2 0 d^2)}. (5.15)
В случае К = 4-1 она уже конформна статическому простран-
ству Эйнштейна [для согласования с обозначениями формулы
(5.7) нужно положить т = У, % = г']. Таким образом, это про-
странство отображается точно на ту часть статического про-
странства Эйнштейна, которая определяется областью значе-
ний т. Когда р = Л = 0, т меняется в пределах 0 < т < л и
все пространство отображается на эту область статического про-
странства, а его граница — на трехмерные сферы т = 0, т = л.
(Если р > 0, оно отображается на область, в которой 0 < т <
< а < л, где а — некоторое число). В случае К = 0 простран-
ство в тех же координатах оказывается конформно-плоским [см.
(5.15)], так что после конформных преобразований (см. разд. 5.1)
мы получим отображение рассматриваемого пространства на об-
ласть, представляющую пространство-время Минковского в ста-
тической вселенной Эйнштейна (см. рис. 14); конкретный вид
области отображения снова определяется значениями, которые
принимает т. При Л = 0 имеем 0 < т < оо, и, следовательно,
это пространство (которое при р = 0 представляет собой про-
странство Эйнштейна — де Ситтера) конформно половине обла-
сти, изображающей пространство-время Минковского. В случае
К = —1 получаем метрику, конформную части той области ста-
тического пространства Эйнштейна, для которой л/2 t' 4- г'
Р> —л/2, л/2 Г f — г' р> —л/2, причем
f = arctg (thy (т 4-х)) 4-arctg (thy (т — %)} ,
г' == arctg (thy (т 4- х)) — arctg (th у (т — х)) •
158
Гл. 5. Точные решения
Какая именно часть этой области покрывается, зависит от обла-
сти изменения т; при Л = 0 рассматриваемое пространство отоб-
ражается па верхнюю половину.
%=л/г

5 6
Рис. 21. а — пространства Робертсона — Уокера (р = Л = 0) конформны
изображенным на рисунке областям, которые соответствуют трем случаям:
/( = + 1, 0, —1; б — диаграмма Пенроуза пространства Робертсона — Уокера
при 7( = -|-1 и р = Л = 0; в — диаграмма Пенроуза пространства Роберт-
сона — Уокера при К = 0 или /< = —1 и р = Л = 0.
Итак, мы установили, что эти пространства и их границы кон-
формны некоторой (вообще говоря, конечной) области статиче-
ского пространства Эйнштейна (рис. 21, а). Однако имеется важ-
ное отличие от предыдущих случаев: часть границы теперь не
!> 3. Пространство Робертсона — Уокера
159
является «бесконечностью» в прежнем смысле, а представляет
собой сингулярность, в которой 5 = 0. (Можно считать, что кон-
формный множитель переводит бесконечную область в конечную
путем бесконечно сильного сжатия, а сингулярную точку 5 = 0
превращает в конечную область бесконечно сильным растяже-
нием.) Вносимые при этом в конформные диаграммы отличия
по существу невелики: мы по-прежнему можем построить диа-
граммы Пенроуза (рис. 21,6 и в). В каждом случае, когда р^О,
сингулярность при t=Q изображается пространственноподобной
поверхностью. Это соответствует существованию горизонтов ча-
стиц (определяемых точно так же, как в разд. 5.2) в простран-
ствах Робертсона — Уокера. Когда К= +1, граница в будущем
также пространственноподобна, из чего следует существование
горизонтов событий для фундаментальных наблюдателей. Если
Л = 0, а /\ = 0 или К — —1, то бесконечность будущего изо-
тропна, и в этих случаях нет никаких горизонтов событий буду-
щего для фундаментальных наблюдений.
На этом этапе нам следует разобраться в таком вопросе:
пространство де Ситтера 2-го рода можно представить в роберт-
сон-уокеровском виде (5.9) и затем отобразить конформно на
часть статической вселенной Эйнштейна. Если это проделать, то
мы обнаружим, что координаты Робертсона — Уокера покры-
вают только малую часть всего пространства-времени. Иначе
говоря, пространство-время, описываемое координатами Роберт-
сона— Уокера, можно расширить. Поэтому нам нужно показать,
что вселенные Робертсона — Уокера, в которых имеется мате-
рия, на самом деле нерасширяемы.
Это действительно так, поскольку при ц > 0 и р 0 для
любого вектора X в произвольной точке q можно показать, что
геодезическая у (у), проходящая через q = у(0) в направле-
нии X, удовлетворяет одному из двух условий:
1) у (у) можно продолжить на произвольные положительные
значения v или
2) существует некоторое значение v = v0 > 0, такое, что ска-
лярный инвариант
(>,-/ -- 4Rgn) (к11 - 4 Rgu) -= (ц + Лф + 3 {р - Л)-
не ограничен на у ([О, у0])-
Ясно, что поверхности {t — const} являются поверхностями
Коши в этих пространствах. Далее, мы видим, что сингулярность
в них универсальна в следующем смысле: все времениподобные
и изотропные геодезические, проходящие через какую-либо точку
пространства, приближаются к сингулярности при некотором
конечном значении своего аффинного параметра. (Поскольку
160
Гл. 5. Точные решения
изотропные геодезические образуют границу прошлого кажцой
точки, все непродолжимые времениподобные кривые также стре-
мятся к сингулярности.)
5.4. Пространственно-однородные космологические модели
Как мы видим, в любом пространстве-времени Робертсона —
Уокера, в котором р > 0, р 0 и постоянная Л не слишком ве-
велика, имеются сингулярности. Однако из этого нельзя делать
вывода о существовании сингулярностей в более реалистических
моделях мира, учитывающих тот факт, что Вселенная не одно-
родна и не изотропна. Конечно, никто не надеется получить точ-
ное решение, которое бы описывало Вселенную во всех деталях.
Однако можно найти точные решения с меньшими ограниче-
ниями, чем в решениях Робертсона — Уокера, которые могли бы
служить приемлемой моделью Вселенной, и посмотреть, имеются
в них сингулярности или нет; тот факт, что эти модели действи-
тельно содержат сингулярности, указывает на то, что существо-
вание сингулярностей, возможно, является общим свойством
всех пространств, которые можно принять в качестве разумных
моделей Вселенной.
Мы получим простой класс таких решений, если, сохраняя
требование пространственной однородности (строгий принцип
Коперника), откажемся от требования изотропии (в настоящее
время Вселенная кажется приблизительно изотропной, но могла
быть значительная анизотропия в более ранние эпохи). Таким
образом, в этих моделях предполагается существование группы
изометрий 6г, орбитами которой в некоторой части модели яв-
ляются пространственноподобные гиперповерхности. (Орбита
точки р под действием группы Gr есть множество точек, в кото-
рые переводится точка р под действием всех элементов группы.)
Такие модели локально можно построить известными методами;
случай г = 3 рассмотрен в [76], случай г = 4 — в [87] (если
г >4, пространство-время по необходимости является простран-
ством Робертсона — Уокера).
Наиболее простой случай пространственной однородности —
это когда соответствующая группа изометрий абелева; тогда
пространство относится к типу I по классификации Бианки [7];
так что пространство-время с такой группой изометрий будем на-
зывать пространством типа I Бианки. Мы рассмотрим некоторые
свойства этих пространств и затем сформулируем теорему, ут-
верждающую, что сингулярности имеют место во всех непустых
пространственно-однородных моделях, в которых удовлетворяет-
ся условие времениподобного схождения (разд. 4.3).
Допустим, что пространственно-однородное иросгранство-
время обладает абелевой группой изометрий; для простоты
5.4. Пространственно-однородные модели
161
предположим, что Л = 0 и что материальное содержимое Все-
ленной представляет собой идеальную жидкость без давления
(«пыль»). Тогда существуют сопутствующие координаты
(t, х, у, г), в которых метрика имеет вид
ds2 == - &t'2 + X2 (/) dx2 + Y2 (t) dу2 + Z2 (0 dz2. (5.16)
Если соотношением S'2 = XYZ ввести функцию S(t), то из за-
конов сохранения видно, что плотность материи определяется
равенством 4лц/3 = М/S3, где М — подходящим образом вы-
бранная постоянная. Общее решение полевых уравнений можно
записать в виде
/ \2 sin а / ^’/s \2 sin (а+2л/3)
X = -д—J , Y = S (^—J
/ //, \2 sin (а+4п/3)
2=44-)
причем
s3=4w + 2);
2(>0)—постоянная, характеризующая степень анизотропии
(мы исключаем изотропный случай 2 = 0, совпадающий со
вселенной Эйнштейна—де Ситтера (разд. 5.3)), а постоянная
а (—л/6 < а л/2) задает направление наиболее быстрого
расширения. Средняя скорость расширения определяется равен-
ством
S _ 2 ^ 2
S ” 3/ t + 2 ’
скорость расширения в направлении х равна
2 z + y20+2sina)
Х = Щ /4-2 ’
а скорости расширения У/У, 2/Z в направлениях у и z даются
выражениями, в которых а заменена соответственно на «+2л/3,
а + 4л/3. Такое решение описывает расширение из сильно ани-
зотропного сингулярного состояния при t = 0, приводящее при
больших t к почти изотропной фазе, в которой пространство-
время такое же, как во вселенной Эйнштейна — де Ситтера.
Средняя длина S монотонно возрастает по мере возрастания I;
первоначально высокая скорость ее изменения (S— i11 при ма-
лых 0 постоянно убывает (S — /2/’ при больших t). Следова-
тельно, в ранние периоды анизотропная Вселенная эволюцио-
нирует быстрее, чем ее изотропный эквивалент.
Допустим, что мы рассматриваем эту модель назад во вре-
мени и приближаемся к сингулярности. Первоначальное почти
6 Заказ 381
162
Гл. !i. Точные решения
изотропное сжатие станет сильно анизотропный и ранние пе-
риоды. При общем значении а, т. е. при а ф л/2, член
1 + 2 sin (а + 4л/3) будет отрицательным. Следовательно, кол-
лапс в направлении осп z должен прекратиться и сменится рас-
ширением, причем скорость расширения в достаточно поздние
моменты времени стремится к бесконечности. Напротив, в на-
правлении осей хи у коллапс будет монотонно стремиться к син-
гулярности. Таким образом, при развитии рассматриваемой
модели в обычном направлении времени мы имеем «сигарооб-
разную» сингулярность: вдоль оси z материя коллапсирует из
бесконечности, затем коллапс прекращается и начинается рас-
ширение, в то время как в направлениях осей х и у материя
монотонно расширяется во все моменты времени. Если в такой
Вселенной можно было бы принять какой-либо сигнал, испу-
щенный в достаточно ранние моменты времени, то в направле-
нии оси z наблюдалось бы максимальное красное смещение;
материю в более ранние моменты времени мы наблюдали бы
со все уменьшающимся красным смещением, которое перехо-
дило бы по мере удаления в прошлое в фиолетовое смещение.
Несколько иначе происходит развитие в специальном случае
а = л/2. Тогда оба множителя 1 ф- 2 sin (а ф- 2л/3) и
1 2 sin (а + 4л/3) обращаются в нуль и скорости расширения
имеют вид
X 2^2 У __ Z __ 2 1
X ~~ 3t / ф S ’ У ~ Z ~ 3 / + 2 ’
Если рассматривать обращенную во времени модель, то ско-
рость коллапса в направлениях у и z асимптотически замед-
ляется до нуля, а в направлении х бесконечно возрастает. При
обычном направлении времени мы имеем «блинообразную» син-
гулярность: материя монотонно расширяется во всех направле-
ниях с бесконечно большой начальной скоростью расширения в
направлении оси х и без начальной скорости в направлениях
осей у и z. Красное смещение в направлении оси х будет сколь
угодно большим, а в направлении у и z — конечным.
Дальнейшее исследование показывает, что в общем («сигаро-
образном») случае, несмотря па анизотропию расширения, суще-
ствуют горизонты частиц в каждом направлении. В специальном
(«блйнообразном») случае в направлении осп х нет никаких го-
ризонтов; действительно, координаты часгиц, которые видны в
момент /о из начала координат (х, у, г), лежат внутри бесконеч-
ного цилиндра
х2 + у'2 < р\
где
р-тН(Т*+эГ-(Т*Л-
5.4. Пространственно-однородные модели
163
Хотя мы рассмотрели пространственно-однородные модели толь-
ко при пулевом давлении и Л = 0, легко можно получить свой-
ства этих пространств при более реалистическом материальном
содержимом; если, например, мы возьмем идеальную жидкость
с р = (у — 1)р, у — const(1 < у < 2) или смесь фотонного газа
и вещества с р мб ц/3, поведение вблизи сингулярности будет
таким же, как и в случае пыли.
Интересным следствием отсутствия горизонта частиц в на-
правлении оси х в специальном («блинообразном») случае яв-
ляется возможность непрерывного продолжения решения за син-
гулярность. Покажем это в случае решения для пыли.
Метрика имеет вид (5.16), причем теперь
= +2))Л У(0 = 2(0 = (4лП(/ + 2))'3. (5.17)
Введем новые координаты т, ц, удовлетворяющие уравнениям
Тогда получаем, что метрика (5.16), (5.17) в новых координатах
имеет вид
ds2 = Л2 (0 (- dr" + dt]2) + В2 (/) (dz/2 + dz2), (5.18)
где
A (t) = exp ( - ) (4 M (t + 2))_1/3. В (/) = (4 M (t + I))2'3;
(5.19)
при этом все пространство (при t > 0) отображается на об-
ласть У, определяемую неравенствами т > 0, т2 — г]2 > 0. Функ-
ция Нт, г]) теперь задана как решение уравнения
т2 — -/И/- ехр—М=----, (5.20)
2 2-
где t > 0. На плоскости (т, ц) введены конформно-плоские ко-
ординаты. Проекция области Т, ограниченной поверхностью
t > 0, на эту плоскость изображена на рис. 22. На этой диа-
грамме мировые линии частиц изображаются прямыми линиями,
расходящимися от начала.
Функции Л(0, -^(0 непрерывны при t -> 0 сверху. Поэтому
решения можно продолжить непрерывно из верхней полупло-
скости па всю плоскость (т, ц), положив, что (5.19) выпол-
няется всюду (5.20)—внутри Т и что вне области Т имеет
место равенство
ЦП П) = 0.
6*
Галактики, которые не видны
О из р
Мировые линии
галактик-, О в р
видит эти
галантина
Сингулярность
Мировая линия
t=0
Поверхности
t— const
Изотропный конце прошлого
врг^ДО)
Рис. 22. Пространство типа I Бианки с пылевидной материей, обладающее
«блинообразной» сингулярностью, а — плоскость (т, Г]); изотропные линии
проходят под углом ±45°; б — поперечный разрез пространства в координа-
тах (т, Г], у) (координата z опущена), на котором виден световой конус
прошлого точки р = (т0, 0, 0). В направлении оси у имеется горизонт частиц,
но его нет в направлении оси х (т. е. т]).
5.4. Пространственно-однородные модели
165
Тогда формула (5.18) дает С°-метрику, которая внутри F экви-
валентна (5.16), (5.17), а вне Т является метрикой плоского
пространства-времени. Однако это решение не принадлежит
классу С1 при переходе через границу 7°, и плотность материи
становится на этой границе бесконечной (поскольку на ней
S—>0). Из-за того, что первые производные квадратично-неинте-
грируемы, уравнения Эйнштейна на этой границе невозможно
трактовать даже в смысле обобщенных функций (см. разд. 8.4).
Хотя продолжение решения на границу единственно, нет способа
сделать его однородным вне области Т. Итак, мы получили про-
должение для случая пыли; подобным же образом можно про-
должить решение в случае смеси вещества и излучения.
Вернемся теперь к рассмотрению непустых пространственно-
однородных моделей общего вида. Существование сингулярности
в таких моделях прямо следует из уравнения Райчаудхури, если
материя движется по геодезическим без вращения (как это бу-
дет, например, в случае ортогональности геодезических к поверх-
ностям однородности и при выполнении условия времениподоб-
ного сближения). Однако существуют пространства, в которых
вещество обладает ускорением и турбулентностью; возможно,
какой-либо из этих двух факторов может воспрепятствовать по-
явлению сингулярности. Следующий результат, являющийся
усовершенствованным вариантом теоремы Хокинга и Эллиса [74],
показывает, что в действительности ни ускорение, ни вращение
не могут помешать существованию сингулярностей в этих мо-
делях.
Теорема
Модель {Я, g) не может быть времениподобно геодезически
полной, если;
1)ЯаьКаКь > 0 для всех времениподобных и изотропных век-
торов К (это справедливо, если тензор энергии-импульса типа I
(разд. 4.3) и ц 4- pi > 0, ц + £ pt — 4лЛ > 0) ;
2) существуют уравнения движения материальных полей,
для которых задача Коши имеет единственное решение (см.
гл. 7);
3) данные Коши на некоторой пространственноподобной
3-поверхности <34? инвариантны относительно группы диффеомор-
физмов <3^, которая транзитивна на Уё.
Поскольку внутренняя геометрия <34? инвариантна относитель-
но транзитивной группы диффеоморфизмов, последние являются
изометриями и многообразие <34? полно, т. е. не может иметь
края. Можно показать (см. разд. 6.5), что из существования
непространственноподобной кривой, пересекающей <34? более
одного раза, следует существование для Я накрывающего
166 Гл. 5. Точные решения
многообразия Л, в котором каждая связная компонента образа
поверхности Ж будет пересекаться по более одного раза с лю-
бой непространствешюподобной кривой. Допустим, что Л—
времениподобное геодезически полное многообразие, и пока-
жем, что это противоречит условиям (1) — (3).
Пусть Ж — связная компонента образа Ж в Л. Согласно
условию (3), данные Коши па Ж однородны. Поэтому по усло-
вию (2) область Коши какой-либо области Ж изометрична об-
ласти Коши любой другой подобной области Ж. Вследствие
этого однородны и поверхности {s = const}, где s есть расстоя-
ние от Ж, измеренное вдоль геодезических нормалей к Ж, если
они лежат внутри области Коши поверхности Ж. Эти поверхно-
сти должны лежать или целиком внутри или целиком вне обла-
сти Коши Ж, ибо в противном случае на Ж> существовали бы
эквивалентные области, которые имели бы неэквивалентные об-
ласти Коши. Поверхности {s = const} будут лежать в области
Коши постольку, поскольку они остаются пространственнопо-
добными, ибо граница (если она существует) области Коши
поверхности Ж> должна быть изотропной (разд. 6.5).
Геодезическая, ортогональная к Ж, будет ортогональной и
к поверхностям {s = const}, поскольку вектор девиации точек,
отстоящих на равном расстоянии от Ж вдоль соседних геодези-
ческих, сохраняет ортогональность к этим геодезическим, если
он был ортогонален к ним первоначально. Как и в разд. 4.1,
пространственное разделение соседних геодезических, ортого-
нальных к Ж, можно охарактеризовать матрицей А, которая
единична на Ж. Пока А не вырождена, отображение из Ж на
поверхности {s = const}, задаваемое нормальными геодезиче-
скими, будет ранга 3, так что эти поверхности будут простран-
ственноподобпыми 3-поверхностями, находящимися в пределах
области Коши Ж. Расхождение
0 = (det А)-1-^||^-
этих геодезических подчиняется уравнению Райчаудхури (4.26)
с нулевыми вращением и ускорением. По условию (1)
> 0 для всех времениподобных векторов Va. Следовательно, 0
становится бесконечным, а матрица А — вырожденной при неко-
тором конечном положительном или отрицательном значении s0
параметра $. Отображение из Ж на поверхность s = su может
иметь самое большее ранг 2, поэтому на Ж найдется по крайней
мере одно векторное поле Z, для которого AZ == 0. Интеграль-
ные кривые этого векторного поля являются теми кривыми на Ж,
5.5. Решение Шварцшильда
167
которые отображаются геодезическими нормалями в одну точку
на поверхности s = s0. Таким образом, эта поверхность будет
самое большее двумерной. Поскольку при |s|<|so| геодезиче-
ские лежат в области Коши поверхности 5^, поверхность s = s0
будет лежать или внутри или на границе этой области. Согласно
условию (1), тензор энергии-импульса имеет единственный вре-
мениподобный собственный вектор в каждой точке. Эти соб-
ственные векторы образуют времениподобное векторное С'-поле,
интегральные кривые которого можно рассматривать как линии
тока вещества. Все линии тока, проходящие через s = s0, долж-
ны пересекать Но тогда в силу однородности Ж все линии
тока, проходящие через должны проходить и через s = s0.
Следовательно, линии тока задают диффеоморфизм между 3$ и
поверхностью s = s0. Это невозможно, так как <3^— трехмерная
поверхность, a s = s0 — двумерная. п
В самом деле, если все линии тока должны проходить через
двумерную поверхность, то следует ожидать, что плотность ве-
щества станет бесконечной. Таким образом, мы убедились, что
крупномасштабные вращение или ускорение не могут сами по
себе воспрепятствовать появлению сингулярностей во вселенной,
подчиняющейся строгому принципу Коперника. Из последующих
теорем мы увидим, что неоднородности также не могут запре-
тить существование сингулярностей в моделях мира.
5.5. Решения Шварцшильда и Райсснера—Нордстрема
Хотя пространственно-однородные решения могут служить
хорошими моделями для крупномасштабного распределения ма-
терии во Вселенной, они непригодны, например, для описания
локальной геометрии пространства-времени в Солнечной систе-
ме. Эту геометрию в хорошем приближении можно описать ре-
шением Шварцшильда, которое представляет собой сфериче-
ски-симметричное пустое пространство-время вне сферически-
симметричного массивного тела. Все эксперименты по проверке
различия между ньютоновской теорией и общей теорией отно-
сительности, выполненные до сих пор, фактически основаны на
предсказаниях, связанных с этим решением.
Метрику пространства Шварцшильда можно представить в
виде
ds? = — (1—у'-') dt2 + (1 •—dr2 + г’ (d02 + sin2 0) d$2,
(5.21)
где г > 2/n. Очевидно, что это пространство-время — статиче-
ское (т. е. d/dt представляет собой градиентный времениподоб-
ный вектор Киллинга) и сферичсски-симметричное, т. е.
168
Гл. 5. Точные решения
инвариантно относительно группы изометрий 50(3), действую-
щей на 2-сферах {/ = const, г = const} (ср. с приложением Б).
Координата г задана в этой метрической форме внутренним об-
разом требованием, чтобы площадь этих поверхностей транзи-
тивности была равна 4лг2. Решение Шварцшильда — асимпто-
тически плоское, поскольку метрика при больших г имеет вид
gab — Лаь + ^(1/г). Сравнение с ньютоновской теорией (ср. с
разд. 3.4) показывает, что т имеет смысл гравитационной массы,
измеренной на бесконечном удалении от тела, создающего дан-
ное поле. Следует подчеркнуть, что это решение единственно:
если какое-либо решение уравнений поля в пустом пространстве
сферически-симметрично, то локально оно изометрично решению
Шварцшильда (хотя в какой-то другой координатной системе
оно, конечно, может выглядеть совсем иначе; см. приложение Б,
а также [6]).
Обычно метрику Шварцильда при г, превышающих некоторое
значение га > 2т, можно рассматривать как решение вне неко-
торого сферически-симметричного тела, внутри которого (г < rq)
метрика имеет иной вид, определяемый тензором энергии-им-
пульса вещества этого тела. Однако интересно посмотреть, что
получится, если рассматривать эту метрику как решение в пу-
стом пространстве при всех значениях г.
Тогда метрика особенна при г — 0 и г = 2т (имеются также
тривиальные сингулярности полярных координат при 9 = 0 и
0 = л). Следовательно, мы должны вырезать точки, в которых
г ~ 0 и г = 2m, из многообразия, задаваемого координатами
(t, г, 0, ф), поскольку в разд. 3.1 мы приняли, что пространство-
время должно представлять собой многообразие с лоренцевой
метрикой. Вырезав поверхность г = 2т, мы разделим многооб-
разие на две непересекающиеся компоненты, в которых 0<r<2m
и 2m < г < оо. Поскольку мы приняли, что пространственно-
временное многообразие должно быть связным, мы должны
брать в рассмотрение только одну из компонент и, очевидно,
выбрать при этом ту, в которой г > 2m, т. е. соответствующую
внешнему полю. После этого мы должны задаться вопросом,
расширяемо ли многообразие Л со шварцшильдовой метри-
кой g, т. е. существуют ли большее многообразие Л', в которое
можно было бы вложить Л, и нужное число раз дифференцируе-
мая лоренцева метрика g' на Л', совпадающая с g на образе Л.
Ясно, что расширение можно осуществить в области, где г~>2т.
Вычисление показывает, что, несмотря на особенность метрики
в шварцшильдовых координатах t, г, 0, ф, при г = 2m ни один
скалярный полином тензора кривизны и метрики не расходится
при г -> 2m. Это наводит на мысль, что особенность при г = 2m
не является истинной физической сингулярностью, а скорее всего
оказывается следствием неудачного выбора координат.
5.5. Решение Шварцшильда
169
Чтобы подтвердить это и показать, что (Ж, g) можно расши-
рить, введем
r* ~ S ' == / + 2m In (г — 2m).
Тогда
v^t + г*
— опережающая изотропная координата и
w^t — г*
— запаздывающая изотропная координата. Используя координаты
(о, г, 0, ф), получим метрику gz в форме Эддингтона — Финкель-
стейна:
ds2 = — (1 — 2m/r) du2 + 2 do dr + r2 (d02 + sin20 d$2). (5.22)
Многообразием Ж является область 2m < г < оо, но метрика
(5.22) не сингулярна и даже аналитична на большем многооб-
разии Ж', для которого 0 < г < оо. Та область модели {Ж', g'),
для которой 0 < г < 2m, фактически изометрична области мет-
рики Шварцшильда, для которой 0 < г < 2m. Итак, используя
другие координаты, т. е. вводя иное многообразие, мы расши-
рили метрику Шварцшильда так, что она перестала быть особен-
ной при г = 2m. Как видно из диаграмм Финкельстейна, в мно-
гообразии Ж' поверхность г — 2m изотропна (рис. 23). Она
является сечением 0 = const, ф = const пространства-времени,
каждая ее точка изображает 2-сферу площади 4лг2. На этой
диаграмме изображены некоторые изотропные конусы и ради-
альные изотропные геодезические; изображены также поверхно-
сти {t = const}, и видно, что t становится бесконечным на по-
верхности г — 2т.
Подобное представление решения Шварцшильда обладает
тем необычным свойством, что оно не симметрично во времени.
Этого можно было бы ожидать из-за наличия перекрестного
члена (du dr) в (5.22); качественно асимметрия видна на диа-
грамме Финкельстейна. Ярче всего она проявляется в том, что
поверхность г — 2т ведет себя как полупроницаемая мембрана,
пропуская направленные в будущее времениподобные или изо-
тропные кривые только извне (г > 2m) внутрь (r<2m). Ни
одна направленная в прошлое времениподобная или изотропная
кривая изнутри г — 2т не может приблизиться к г — 0. Однако
любая направленная в будущее времениподобная или изотроп-
ная кривая, пересекшая г = 2m, достигает г — 0 в пределах ко-
нечного аффинного расстояния. При г-> 0 скаляр RabcdRabcd рас-
ходится как т21гъ. Поэтому г = 0 является истинной сингуляр-
ностью; пространство (Ж', g') не имеет С2-расширения через
г — 0 (на самом деле оно не имеет даже С°-расширения).
Т-2т
Р и с. 23. Сечение постоянных 0 и Ф в решении Шварцшильда, а — кажу-
щаяся сингулярность для г = 2/;г при использовании координат (Z, г); б— диа-
грамма Финкельстейпа, полученная переходом к координатам (а, г) (липин
под углом 45° являются линиями а). Поверхность г = 2т — изотропная по-
верхность, на которой t = со.
б.б. Решение 1Uппрцшильдп
171
Если вместо и использовать координаты w, то метрика при-
мет вид g77
ds’ = — (1 — 2т/г) — 2 dco dr + r ' (dQ 4- sin- 0 d^2).
Она аналитична на многообразии Я", задаваемом координата-
ми (то, г, 0, ф) при 0 < г < оо. Снова мпогобразием Я является
область 2т < г < оо, и новая область 0 О < 2т изометрична
области 0 < г < 2т метрики Шварцшильда, но эта изометрия
обращает направление времени. В многообразии Я” поверх-
ность г = 2т снова является изотропной поверхностью, дей-
ствующей как полупепроницаемая мембрана. Однако на этот
раз она проницаема в противоположном направлении времени;
пропускает извне (г > 2т) внутрь (г < 2т) только направлен-
ные в прошлое времениподобные или изотропные кривые.
На самом деле можно осуществить оба расширения {Я', g')
и (Я", g") одновременно, т. е. существует еще многообразие Я*
с метрикой g*, в которое и (Я', g'), и (Я", g") могут быть изо-
метрично погружены так, что они совпадут в области г > 2m,
которая изометрична пространству (Я, g). Такое расширенное
многообразие было построено Крускалом [95]. Чтобы получить
его, рассмотрим (Я, g) в координатах (о, w, 0, ф)\ тогда мет-
рика имеет вид
ds2 = — (1 — 2m/r) dv с!ю -К г2 (d&2 + sin2 0 d^2),
где г определяется равенством
у (о — w) = г 4- 2т In (г — 2m).
Таким образом, 2-пространство 0 = const, ф = const представ-
лено в изотропных конформно-плоских координатах, поскольку
пространство с метрикой ds2 — do с!ш плоское. Самое общее ко-
ординатное преобразование, оставляющее метрику этого 2-про-
странсгва конформно-плоской, а обе координаты изотропными,
имеет вид v'= v'(v), w'==w'{w), где v' и w'—произвольные
О-фупкции. Получающаяся при этом метрика имеет вид
ds2 = — (1 —-S'K da7 day7 4- r2 (d02 4- sin2 0 d<£2).
\ r ) dv dw । \ । < >
Чтобы привести ее к виду, который соответствует тому, что
было получено ранее для пространства-времени Минковского,
положим
х7 = у (о7 — w'), С==у(о74-щ7)
и придем к следующему окончательному выражению:
ds2 = Г2 (1', х') (— d/72 4- dx72) + г2 (f, х') (d02 ф- sin2 0 d ф2). (5.23)
172
Гл. 5. Точные решения
Конкретный вид этой метрики определяется выбором функций
v', w'. Крускал выбрал
v' = exp(t'/4m), to'= ехр — (—w/4m).
Тогда для г имеем уравнение
(К)2 — (х')2 = — (г — 2т) ехр (r/2m), (5.24)
а для F — формулу
(5.25)
На многообразии Я*, определяемом координатами (/', х', 0, ф)
при (t')2— (х')2<2т, функции г и F [задаваемые (5.24),
(5.25)] положительны и аналитичны. Пусть метрика g* дана
формулой (5.23); область I пространства (Я*, g*), определен-
ная неравенством х’ >|К|, изометрична (Я, g), т. е. области
решения Шварцшильда, для которой г > 2т. Область х' > —t'
(области I и II на рис. 24) изометрична опережающему рас-
ширению Финкельстейна (Я', g'). Аналогично, область х' > V
(области I и II' на рис. 24) изометрична запаздывающему рас-
ширению Финкельстейна (Л"', g"). Имеется также область
определяемая неравенством х' <—|К|, которая тоже оказы-
вается изометричной внешнему решению Шварцшильда. Ее
можно рассматривать как другую асимптотически-плоскую все-
ленную по ту сторону шварцшильдовской «горловины». (Рассмо-
трим сечение t = 0; 2-сферы {г = const} выглядят при боль-
ших г так же, как в евклидовом пространстве; однако при ма-
лых г их площадь убывает к минимальному значению 16лт2 и
затем вновь возрастает, словно эти 2-сферы расширяются в дру-
гом асимптотически-плоском 3-пространстве). Из рис. 24 видно,
что области I' и II изометричны опережающему, а области Г и
II'— запаздывающему расширению Финкельстейна области I'.
Из области I в область /' не проходит ни одна времениподобная
или изотропная кривая. Все направленные в будущее времени-
подобные и изотропные кривые, которые пересекают часть по-
верхности г = 2т, описываемую теперь уравнением t' = [x'f,
стремятся к сингулярности при t' = (2m-)-(x')2)'h, для которой г—0.
Подобно этому направленные в прошлое времениподобные и
изотропные кривые, пересекающие t' — — |х'|, стремятся к дру-
гой сингулярности при t' = —(2т 4- (х')2)1'2, где снова г = 0.
Расширение Крускала (Я*, g*)—единственное аналитиче-
ское и локальное нерасширяемое расширение решения Шварц-
шильда. Вводя новые опережающие и запаздывающие изотроп-
ные координаты
v" = arctg (и' (2т)~'1г), w" == arctg (w' (2m)~‘f2),
— л < v" + w" < л, — 4- л < v" < 4- л, — 4 л < w" < 4 л,
а Л Л 2»
Рис. 24. Максимальное аналитическое расширение решения Шварцшильда.
Координаты 0, Ф опущены; изотропные линии проходят под углом ±45°.
Поверхности {г = const} однородны, а — диаграмма Крускала, на которой
изображены асимптотически плоские области I и 1' и области II, II', для
которых г < 2m; б — диаграмма Пенроуза, изображающая конформную бес-
конечность и две сингулярности.
174
Гл. 5. Точные решения
можно построить диаграмму Пенроуза для расширения Кру-
скала (рис. 24,6). Ее можно сравнить с диаграммой для про-
странства Минковского (см. рис. 15,6). Теперь мы имеем беско-
нечности будущего, прошлого и изотропную бесконечность для
каждой из асимптотически-плоских областей I и Г. В отличие
от пространства Минковского конформная метрика теперь не-
прерывна, по недифференцируема в точках г°.
Если мы рассмотрим изотропный конус будущего какой-либо
точки вне г — 2т, то радиальная геодезическая, направленная
по радиусу наружу, достигает бесконечности, а направленная
внутрь достигает сингулярность в будущем; если точка лежит
внутри г = 2т, то обе эти геодезические попадают на сингуляр-
ность, и все будущее этой точки кончается этой сингулярностью.
Таким образом, любая точка вне г = 2т может избежать сингу-
лярности (и, следовательно, сингулярность не «универсальна»
в отличие от пространства Робертсона — Уокера), но как только
частица оказалась внутри г = 2т, она обязательно достигнет
сингулярности. Оказывается, этот факт тесно связан с тем об:
стоятельством, что каждая точка внутри области II изображает
2-сферу, которая является замкнутой ловушечной поверхностью.
Это означает следующее: рассмотрим какую-либо 2-сферу р (на
рис. 24 опа изображается точкой) и две 2-сферы q и s, образо-
ванные фотонами, которые испущены с поверхности р в один и
тот же момент времени от центра и к центру поверхности р.
Площадь q (она равна 4№) будет больше, а площадь s будет
меньше площади р, если все три сферы лежат в области г > 2т.
Если же все они лежат в области II, где г < 2т, то площади
обеих сфер: и q, и s будут меньше площади р (на рис. 24 значе-
ние г убывает в области II при движении снизу вверх). В таком
случае мы говорим, что р является замкнутой ловушечной по-
верхностью. Каждая точка внутри области II' является замкну-
той ловушечной поверхностью при обращении времени (суще-
ствование замкнутых ловушечных поверхностей — необходимое
следствие того обстоятельства, что поверхности г = const про-
странственноподобны), и соответственно все частицы в обла-
сти II должны быть «пришельцами» из сингулярности в про-
шлом. В гл. 8 мы увидим, что само существование сингулярно-
стей тесно связано с существованием замкнутых ловушечных
поверхностей.
Решение Райссиера — Нордстрема описывает пространство-
время вне электрически заряженного сферически-симметричпого
тела (которое, однако, не обладает ни спином, пи магнитным
дипольным моментом, вследствие чего это решение не может
служить хорошим описанием поля тяготения вокруг электрона).
Следовательно, тензор энергии-импульса такой же, как у элек-
тромагнитного поля, созданного зарядом этого тела. Решение
5.5. Решение Шварцшильда
175
Райсспера — Нордстрема — единственное асимптотически-пло-
ское сферически-симметричное решение уравнений Эйнштейна —
Максвелла н локально оно напоминает решение Шварцшильда:
существуют координаты, в которых метрика имеет вид
- (1 - + ~) d/2 + (1 - + 4)^ +
+ г2 (d02 4- sin2 0 d</>2), (5.26)
где т — гравитационная масса и е — электрический заряд тела.
Это асимптотически-плоское решение естественно рассматривать
как решение только вне тела, а внутри должна быть какая-то
другая метрика; но интересно посмотреть, что получится, если
мы будем считать, что решение имеет смысл для всех г.
Если е2 > т2, метрика неособенна везде, за исключением не-
устранимой особенности при г = 0, которую можно рассматри-
вать как точечный заряд — источник поля. Если е2 т2, метри-
ка имеет особенности также в г+ и г_, где г± = т ±(т2— е2)|/2;
она регулярна в областях оо > г > г+, г+ > г > г_ и г_> г > О
(если е2 = т2, существуют только первая и третья области). Как
и в случае Шварцшильда, эти сингулярности можно устранить
введением подходящих координат и расширением многообразия
до получения максимального аналитического многообразия [21,
64]. Главные отличия возникают из-за того, что множитель пе-
ред d^2 имеет два пуля, а не один, как в случае Шварцшильда.
В частности, это приводит к тому, что первая и третья обла-
сти — обе статические, тогда как вторая область (если она суще-
ствует) — пространственно-однородна, но не статична.
Чтобы получить максимально расширенное многообразие, мы
будем действовать аналогично шварцшильдову случаю. Введем
координату г*:
* С dr
Г J , 2m е2 ’
1 - —+ —
тогда для г > г+
г* = г ф- ~ 'п (г “ гт) — г+ 2Г 'п (г — г~) ПРИ б2 < т\
г = г + 'п In (г — т)"'—г _ 1П при е~ = т!,
г*' = г + т In (г' — Чтг + е2) + —varctg , при е2 > т2'
Вводя опережающие и запаздывающие координаты v, ш
v = t 4-
w = t — г*.
176
Гл. 5. Точные решения
приведем метрику (5.26) к изотропному виду
ds2 = — (1 — + -yr) da dte> + г ’ (d02 + sin2 0 d^2). (5.27)
В случае е2 < т2 определим новые координаты a", w" следую-
щим образом:
а" == arctg exp fr+^ 2~- aA , w" == arctg Г— exp f—r~- .
Тогда метрика (5.27) принимает вид
/ 2т е2 \
ds2 = I 1------1—г ) 64 cosec 2а" cosec 2w" dv" dw" 4-
\ r 1 r2 ) (r+ — г-}2 1
+ r2(d02 + sin20c/^2), (5.28)
где г определяется неявно уравнением
tg a" tg w" = — exp (
\ 2Г .
-а/2
и а = (г+)-2(г_)2. Максимальное расширение мы получим, если
примем (5.28) в качестве метрики g*, а в качестве Л*— макси-
мальное многообразие, на котором g* принадлежит классу С2.
Диаграмма Пенроуза этого максимального расширения при-
ведена на рис. 25. Имеется бесконечное число асимптотически-
плоских областей, где г> г+; они обозначены цифрой I. Эти об-
ласти соединены промежуточными областями II и III, где
г+ > г > г- и г_ > г > 0 соответственно. По-прежнему в каж-
дой области III имеется неустранимая сингулярность при г = О,
но в отличие от решения Шварцшильда она времениподобна, и
направленная в будущее времениподобная кривая из области I,
пересекающая поверхность г = г+, может избежать этой сингу-
лярности. Такая кривая может пройти через области II, III и II
и появиться в другой асимптотически-плоской области I. Возни-
кает захватывающая возможность совершить путешествие в дру-
гие вселенные через «ходы», проделанные зарядами. К сожале-
нию, скорее всего такой путешественник не сможет вернуться
обратно в нашу Вселенную и рассказать о том, что же он видел
«по ту сторону».
Метрика (5.28) аналитична всюду, за исключением поверхно-
сти г = г_, на которой она по меньшей мере класса С2. Можно
ввести другие координаты v"’ и w'"\
v'" = arctg exp ( r+% ~~2r— a^ ,
W
—--------W
2пг'_„
поверхности
t — const
Рис. 25. Диаграмма Пенроуза для максимально расширенного решения Райс-
снера — Нордстрема (е2 < т2). Бесконечная цепь асимптотически плоских
областей 1 (со>г>г+) соединяется областями II (г+>г>г-) и
III (г— > г > 0); каждая область III ограничена времениподобной сингу-
лярностью при г = 0.
178
Гл. 5. Точные решения
где п — целое число, причем п 2(г+)2(г_)2. В этих координа-
тах метрика аналитична всюду, за исключением г — г+, где она
по меньшей мере класса С2. Координаты v"', w"'—аналитиче-
ские функции координат и" и w" всюду вне поверхностей г = г+
иг — Г-. Таким образом, многообразие Л* может быть покрыто
аналитическим атласом, состоящим из локальных координатных
окрестностей, определяемых координатами v", w" при г =/= г_ и
координатами v’", w"' при г г+. В этом атласе метрика ана-
литична.
В случае е2 = т2 расширение осуществляется подобным же
образом; в случае е2 > т2 модель нерасширяема уже в исход-
ных координатах. Диаграммы Пенроуза для этих двух случаев
приведены на рис. 26.
Во всех этих случаях сингулярность времепиподобпа. Это
означает, что в отличие от решения Шварцшильда временипо-
добные и изотропные кривые всегда могут избежать встречи с
сингулярностью. Фактически это выглядит так, словно сингуляр-
ности отталкивают частицы: времениподобные геодезические не
могут столкнуться с сингулярностью, хотя это может произойти
с радиальными изотропными геодезическими и негеодезическими
времениподобными кривыми. Следовательно, эти пространства
времениподобны (по не изотропны) и геодезически полны. Вре-
мениподобный характер сингулярности означает также, что в
этих пространствах нет поверхностей Коши: для любой данной
пространственноподобной поверхности можно найти временипо-
добную или изотропную кривую, которая достигает сингулярно-
сти, не пересекая эту поверхность. Например, в случае е2 < т2
можно найти пространственноподобную поверхность У?, которая
пересекает две асимптотически-плоские области I (см. рис. 25).
Она будет поверхностью Коши для этих двух областей I и со-
седних областей //; но в соседних более поздних областях III
существуют направленные в прошлое непродолжимые времени-
подобные и изотропные кривые, которые подходят к сингуляр-
ности, но не пересекают поверхность г = Г— Поэтому можно
сказать, что эта поверхность представляет собой горизонт Коши
будущего для 5К Расширение решения за пределы г = г_ не
определяется данными Коши на If. Продолжение, которое мы
произвели, является единственным локально нерасширяемым
аналитическим продолжением, но существуют другие, неанали-
тические С°°-продолжения, удовлетворяющие уравнениям Эйн-
штейна-Максвелла.
Наблюдатель О, чья мировая линия остается вне г = г+ и
продолжается до бесконечности будущего i+ (см. рис. 25), на-
блюдал бы частицу Р, пересекающую поверхность г = г+, с бес-
конечным красным смещением. В области II между г — г+ и
г = г- поверхности г = const простраиственпоподобны и, следо-
б
I и е. 26. Диаграмма Пенроуза для максимально расширенных решений Райс-
спера — Нордетрема: еI 2 = т2 (а), е2 > т2 (о). В первом случае имеется бес-
конечная цепь областей / (со > г > т), связанных областями Ill (т > г > 0).
Точки р не являются частью сингулярности г = 0, а представляют собой
исключительные точки на бесконечности.
180
Гл. 5. Точные решения
вательно, каждая точка рисунка изображает 2-сферу, которая
является замкнутой ловушечной поверхностью. Наблюдатель Р,
пересекающий поверхность г = г_, обозрел бы всю историю од-
ной из асимптотически плоских областей за конечное время.
Объекты этой области поэтому были бы видны с бесконечным
фиолетовым смещением по мере приближения к i+. Это дает
основание думать, что поверхность г = г_, возможно, неустой-
чива относительно малых возмущений начальных данных на
пространственноподобной поверхности д’ и что такие возмуще-
ния, вообще говоря, приведут к сингулярности на г — г—
5.6. Решение Керра
Обычно астрономические объекты вращаются, и поэтому
нельзя считать, что поле вне их в точности сферически-симмет-
рично. Решение Керра — единственное известное точное реше-
ние, которое может служить для описания стационарного осе-
симметричного асимптотически-плоского поля вне массивного
вращающегося объекта. Оно будет внешним решением только
для массивных вращающихся полей с конкретным набором
мультипольных моментов; для тел с другими мультипольными
моментами внешние решения будут иными. Однако решение
Керра является, по-видимому, единственно возможным внешним
решением для черных дыр (см. разд. 9.2 и 9.3).
Это решение можно записать в координатах Бойера и Линд-
квиста (г, 0, ф, t), в которых метрика имеет вид
ds2 = р2 + d02) + (Н + a2) sin2 9 d<£2 — d^-j-
+ -^-(asin2 0 с1ф — dt2)2, (5.29)
где
p2 (г, 0) s г2 + a2 cos2 0 и A (r) =s r2 — 2mr + a2,
m и a — постоянные, причем m является массой, а та — момен-
том количества движения, которые как бы измерены в бесконеч-
ности [16]; при а = Г) это решение переходит в шварцшильдово.
Ясно, что эта метрика инвариантна относительно одновремен-
ного обращения t и ф, т. е. относительно преобразовайия
ф-*—ф, хотя она и не инвариантна относительно обращения
одного только t (за исключением случая а = 0). Этого следо-
вало ожидать, поскольку при обращении времени вращающийся
объект меняет направление своего вращения на противополож-
ное.
Если а2 > т2, то А > 0, и приведенная метрика особенна
только при г = 0. Эта сингулярность в действительности яв-
ляется не точкой, а кольцом; в этом можно убедиться при пере-
5.6. Решение Керра
181
ходе к координатам Керра — Шильда (х, у, z, t), где
х + iy = (г + id) sin 0 ехр i (d</> ф аД-1 dr),
z = rcos0, t = j (dt + (r2 + а) A-1 dr) — r.
В этих координатах метрика принимает вид
ds2 = dx2 + dr/2 + dz2 — di2 -ф
, 2mr3 [" r (x dx + у dz/) — a (x dy — у dx) , z dz , ,r
+ r* + a^' L----------K+T2------------+ ~T + d/J ’ (5-3°)
где г как функция x, у, z определяется с точностью до знака
уравнением
г4 — (х2 + у2 + z2 — а2) г2 — а2г2 = 0.
При гфО поверхности {г — const} на плоскости х, у, г явля-
ются конфокальными эллипсоидами, вырождающимися при г=0
в диск z2 ф у2 si a2, z — 0. Кольцо х2 -ф у2 = а2, z = 0 этого ди-
ска является истинной сингулярностью кривизны, поскольку на
нем расходится скалярный полином RabcdRabcd• Но на самом ди-
ске (вне кольца) любой скалярный полином конечен. Чтобы по-
лучить максимальное аналитическое расширение этого решения,
можно аналитически продолжить функцию г от положительных
к отрицательным значениям через открытый диск х2 -ф у2 < а2,
z = 0.
Для этого присоединим другую плоскость, определяемую ко-
ординатами х', /, z', так что точки на верхней стороне диска
х2 -ф у2 < a2, z = 0 в плоскости (х, у, z) отождествляются с точ-
ками с теми же координатами х и у на нижней стороне соответ-
ствующего диска в плоскости (х', у', z'). Аналогично, точки с
нижней стороны диска в плоскости (х, у, z) отождествляются
с точками с верхней стороны диска в плоскости (х', у', z')
(рис. 27). Метрика (5.30) очевидным образом распространяется
на это расширенное многообразие. В области (х', у', z') она по-
прежнему имеет вид (5.29), но значения г не положительны, а
отрицательны. При больших отрицательных г пространство сно-
ва асимптотически-плоское, но теперь масса отрицательна. При
малых отрицательных г вблизи кольцевой сингулярности вектор
д/дф времениподобен, так что окружности t = const, г = const,
0 = const являются замкнутыми времениподобными кривыми.
Эти кривые можно деформировать так, чтобы они проходили
через любую точку расширенного пространства [23]. Решение
Керра геодезически неполно ввиду кольцевой сингулярности;
однако ее достигают только те времениподобные и изотропные
геодезические, которые лежат на экваториальной плоскости в
той части, где г > 0 [23].
Ось симметрии
Плоскость л/z Плоскость x'z'
Р и с. 27. Максимальное расширение решения Керра при а- > т- получается отождествлением верхней поверхности диска
х" У~ <. а-, 2 = 0 в плоскости (х, у, z) с нижней поверхностью соответствующего диска в плоскости (х', у', д'), и на-
оборот. На рисунке приведены сечения у = 0 и у' — 0 этих плоскостей. Двойной обход вокруг сингулярности х- + у- = а2,
2 = 0 переводит из плоскости (х, у, z) в плоскость (х', у', z') (где г < 0) и обратно в плоскость (х, у, г), где г > 0.
5.6. Решение Керра
183
Расширение в случае а2 < т2 несколько сложнее из-за суще-
ствования двух значении г-. r+ = т 4- (т2 — а2)1/2 и г_ =
= т — (т2 — а2)'-'-’, при которых А (г) обращается в нуль. Эти
поверхности подобны поверхностям г — г+ и г = г_ в решении
Райсснера — Нордстрема. Для продолжения метрики через эти
поверхности перейдем к координатам Керра (г, 0, ф+, и+), где
du+ = dt 4- (г ф- а2} А '1 dr, d<£+ •= d^> + аА“1 dr.
Тогда на многообразии, определяемом этими координатами,
метрика имеет вид
ds2 — р2 d0- — ‘2а sin2 0 dr d^+ + 2 dr du+ ф-
4- p"2 [(r2 + a2)2 — Aa2 sin2 0] sin2 0 d^+2 —
-- 4ap~2mr sin2 0 d</>+ d«+ —- (1 — 2/nrp~2) d«+2, (5.31)
она аналитична при г = г+ и г = г~. Снова мы имеем сингуляр-
ность при г = 0, которая имеет ту же форму кольца и описан-
ную выше геодезическую структуру. Метрику Керра можно рас-
ширить и на другое многообразие, определенное координатами
(г, 0, ф-, и-), где
du_ = dt — (г2 + a2) dr, dA_ = d^> — aA~‘ dr,
а метрика имеет вид (5.31) с заменой ф+, на —ф_, —и~. Ма-
ксимальное аналитическое расширение получается комбинацией
этих двух расширений, как в случае Райсснера — Нордстрема
[15, 23]. Его глобальная структура очень похожа на структуру
решения Райсснера — Нордстрема, за тем исключением, что те-
перь возможно продолжение через кольцо к отрицательным зна-
чениям г. На рис. 28, а показана конформная структура решения
вдоль оси симметрии. Области I соответствуют асимптотически-
плоские области, в которых г > г+. Области II (г_ < г <г+)
содержат замкнутые ловушечные поверхности. Области III
(—оо < г < г_) содержат кольцевую сингулярность, в любой
области III через каждую точку можно провести замкнутую вре-
мениподобную кривую, в других двух областях (I и II) нет ни-
каких нарушений причинности.
В случае а2 = т2, г+ и г_. совпадают и области II отсутствуют.
Максимальное расширение похоже на расширение решения
Райсснера — Нордстрема при е2 = т2. О конформной структуре
вдоль оси симметрии для этого случая можно судить по рис. 28, б.
Решение Керра, будучи станционарпым и осесимметричным,
имеет двухпараметрическую группу изометрий; она необходимо
абелева [26]. Следовательно, существуют два независимых ком-
мутирующих векторных поля Киллинга. Имеется только одна их
184
Гл. 5. Точные решения
линейная комбинация №, которая времениподобна при произ-
вольно больших положительных и отрицательных г. Кроме того,
можно составить линейную комбинацию К'1 этих полей, равную
Рис. 28. Конформная структура решения Керра вдоль оси симметрии
О < а2 < т (а); а2 = т2(б). Пунктирные линии соответствуют линиям
г — const; области I, II и III в случае (а) разделяются поверхностями
г = г+ и г — г-, а области I и III в случае (б) — поверхностью г — т.
В обоих случаях структура пространства вблизи кольцевой сингулярности
такая же, как на рис. 27.
нулю на оси симметрии. Орбиты вектора Киллинга Ка опреде-
ляют станционарную систему отсчета: объект, движущийся вдоль
одной их этих орбит, из бесконечности выглядит станционарным.
Орбиты вектора Киллинга К'-' представляют собой замкнутые
кривые, что соответствует вращательной симметрии решения
Керра.
В решениях Шварцшильда и Райсснера — Нордстрема век-
тор Киллинга, времениподобный при больших г, времениподобен
всюду в области I и становится изотропным на поверхностях
г =• 2т и г = г+ соответственно. Эти поверхности изотропны.
Отсюда следует, что частица, которая пересекает одну из этих
S.6. Решение Керра
185
поверхностей, в направлении будущего не может вернуться в
прежнюю область. Эти поверхности являются границей той об-
ласти решения, из которой частицы могут достичь бесконечно-
сти Д+ данной области I, и они называются горизонтами собы-
тий этой (/+. Для наблюдателя, движущегося в области / по
какой-либо орбите вектора К", они являются фактически гори-
зонтами событий в смысле, установленном в разд. 5.2.
Ось симметрии
(0=0)
Пальцевая
сингулярность
Рис. 29. Решение Керра при 0 < а2 < т-\ эргосфера лежит между предель-
ной поверхностью стационарности и горизонтом г — г+. Частицы могут уйти на
бесконечность из области / (вне горизонта событий г = г+), но не из обла-
стей II (между г = г+ и г = г_) и III (г < г_; эта область содержит коль-
цевую сингулярность).
Экваториальная
плоскость
(0=Л/2)
Поверхность
предела стацио-
нарности
Эргосьрера
Горизонт
событий
Наоборот, для решения Керра вектор Киллинга К“ простран-
ственноподобен в некоторой области вне г = г+, называемой
эргосферой (рис. 29). Внешней границей этой области является
поверхность r = m-j-(m2— a2cos0)1/2, на которой Л'а изотропен.
Она называется предельной поверхностью стационарности, так
как является границей области, в которой частица, движущаяся
по времениподобной кривой, может находиться на орбите век-
тора Киллинга и таким образом оставаться в покое относитель-
но бесконечности. Предельная поверхность стационарности вре-
мениподобна, за исключением двух точек на оси, в которых она
изотропна (в этих точках она соприкасается с поверхностью
г —Гр). Там, где она времениподобна, ее могут пересекать и
входящие, и выходящие частицы. Поэтому она не является го-
ризонтом событий для Д+. Горизонтом событий в действитель-
ности является поверхность г = r+ = m + (m2 — а2),/г. Из рис. 30
I8G
Гл. 5. Точные решении
видно, почему это так. На нем изображена экваториальная пло-
скость 0 = л/2; каждая точка на этом рисунке представляет со-
бой орбиту вектора Киллинга Л?', т. е. стационарна относитель-
но 17+. Малые круги изображают положение фронта светового
Поверхность
предела ста-
ционарности
Рис. 30. Экваториальная плоскость решения Керра при т2 > а2. Круги изо-
бражают положение через короткое время вспышек света, излученных источ-
никами, которые обозначены жирными точками.
импульса через короткое время после излучения из точек, изо-
браженных черными кружками. Вне предельной поверхности
стационарности вектор Киллинга Л? времениподобен, т. е. ле-
жит внутри светового конуса. Это означает, что точка на рис. 30,
изображающая орбиту точки вспышки, лежит внутри фронта
волны света.
На предельной поверхности стационарности вектор изо-
тропен, и точка, изображающая орбиту точки вспышки, лежит на
фронте волны. Однако фронт волны лежит частью вне, а частью
внутри предельной поверхности стационарности, поэтому части-
ца, движущаяся по времениподобной кривой, может с этой по-
верхности уйти в бесконечность. В эргосфере между предельной
57 Модель вселенной Гёделя
187
поверхностью стационарности и поверхностью г—г+ вектор Кил-
липга К" ппострапственнопотобеп, и точка, изображающая ор-
биту испускания, лежит вне фронта волны. В этой области вре-
мениподобное пли изотропное движение не может происходить
по орбите вектора Киллинга и поэтому частипа не может оста-
ваться в покое относительно бесконечности. Однако положения
волновых фронтов таковы, что частицы по-прежнему могут пере-
сечь предельную поверхность стационарности и уйти на беско-
нечность. На поверхности г = г+ вектор по-прежнему про-
странствеппоподобен, по фронт волны, расходящийся ст частицы
на этой поверхности, лежит целиком внутри этой поверхности.
Это означает, что частица, движущаяся по времениподобной
кривой из какой-либо точки па или внутри поверхности г = г+,
не может выйти из области, охватываемой этой поверхностью, и
достичь бесконечности. Поэтому поверхность г = г+ является
горизонтом событий для £/+ и изотропна.
Хотя вектор Киллинга К" пространствепноподобен в эргосфе-
ре, модуль К'Ч\ьК[пКЪ] бивектора Киллинга К[аКм отрицателен
всюду вне г = г+, за исключением оси = 0, где он равен нулю.
Поэтому на № и Л"' натягивается 2-поверхность и, следователь-
но, в каждой точке вне г = г+, за исключением оси, имеется
линейная комбинация К'" и Ка, которая времениподобна. Таким
образом, решение в эргосфере в некотором смысле локально ста-
ционарно, хотя и не станционарно относительно бесконечности.
Одной линейной комбинации Ка и /<", которая была бы времени-
подобна всюду вне г = г+, не существует. Величина бивектора
Киллинга на г = г+ обращается в нуль и положительна внутри
этой поверхности. На г = г+ оба вектора Ка и Ка простран-
ственноподобпы, но существует их линейная комбинация, изо-
тропная всюду па этой поверхности [25].
Рассмотренные нами свойства эргосферы и горизонта собы-
тий будут играть важную роль при рассмотрении черных дыр
в разд. 9.2 и 9.3.
Подобно тому как решения Райсснера — Нордстрема можно
рассматривать как решение Шварцшильда при наличии заряда,
имеется семейство аналогичных решений Керра [23]. Их глобаль-
ные свойства весьма похожи па свойства решения Керра без
заряда.
5.7. Модель Вселенной Гёделя
В 1949 г. Курт Гёдель опубликовал статью [62], которая за-
метно стимулировала изучение точных решений, более сложных,
чем рассмотренные выше. Он дал точное решение уравнений
Эйнштейна с материей в виде идеальной жидкости без давления.
(То„ = QU„ub, где р — плотность материи и иа — нормированный
188
Гл. 5. Точные решения
вектор 4-скорости.) Многообразием Л является /?4, а метрика
записывается в виде
ds2 = — df + dx2 — у ехр (2 д/2 мх) dy2 + dz2 —2 ехр(д/2 <ох) di dy,
где а > 0 — постоянная. Уравнения поля удовлетворяются, если
и = д/дхР (т. е. ма = д%) и
4лр = а>2 = — Л.
Постоянная ю фактически является угловой скоростью вращения
вектора потока иа.
Это пространство-время обладает 5-параметрической транзи-
тивной группой изометрий, т. е. это пространство-время пол-
ностью однородно. (Группа транзитивна на Жесли она отобра-
жает любую точку Л на любую другую точку Л.} Данная мет-
рика является прямой суммой метрики gp
ds2 — — dt1 4~ dx2 — у ехр (2 д/2 мх) dy2 — 2 ехр (д/2 <вх) dt dy
на многообразии определяемом координатами (/, х, у),
и метрики g2:
ds22 = dz2
на многообразии Лг = R1, определяемом координатой г. Чтобы
описать свойства этого решения, достаточно рассмотреть M'bgi) .
Введем на Л1 новые координаты ф):
ехр (д/2 <ох) = ch 2r + cos ф sh 2г,
ау ехр (д/2 <ох) = sin ф sh 2г,
tg 4 = ехР (“ 2r) tg 4
тогда метрика gj принимает вид
ds.2 = 2ю-2 (— df2 + dr2 — (sh4 г — sh2 г) d</>2 -f- 2 д/2 sh2 г dф df),
где —oo <z t' <Z оо, Q r <Z оо и О Ф 2л, причем ф = О
отождествляется с ф = 2л; вектор потока в этих координатах
равен и (ю/V2)<3/<3f • В этом выражении для метрики видна
вращательная симметрия этого решения относительно оси г = 0.
Путем того или иного выбора координат можно любую линию
тока вещества сделать осью симметрии.
Поведение модели (Л\, gi) иллюстрирует рис. 31. Световые
конусы на оси г = 0 содержат направление d/dt' (вертикальное
направление на диаграмме), но не содержат горизонтальных на-
правлений д/дг и д/дф. По мере удаления от оси световые ко-
нусы раскрываются и поворачиваются в направлении_координат-
ной линии ф, так что при радиусе г = r0 = In (1 + V2) д/дф яв-
ляется изотропным вектором, а окружность радиуса Го вокруг
начала оказывается замкнутой изотропной кривой. При больших
г—о
(координатная осб)
Мировая линия
вещества (га
Ф постоянны)
Изотропный конус р (фокус в р')
Рис. 31. Вселенная Гёделя (опущена координата г). Это про-
странство обладает вращательной симметрией вокруг любой
точки; на диаграмме корректно представлены вращая-ельная сим-
метрия вокруг оси г = 0 и временная инвариантность. По мере
роста г световой конус раскрывается и переворачивается (это
Изотроп-
касатель-
ныиконр.
Изотропный но-
нус, содержащий
окружность
r>in(f+Y2)
Изотропный Изотропный
конурсоуер- телййыйн~
/мс//опо'и п
^окружноств окружности
амннутая +
времена л одоб- кинутая
I изотропная)
rein (1+Я)
(замкнутая прострси
ственнолбдобная)
Изотропный конце будущего
р'(фокус в р")
Изотропные Наустика на изотропном
_у\~2еодездуеские конусе будущего р
ный конус,
Изотроп- V _
ный конус с — и
будущего
t vo\- 1V11VI1 ftVJIJV 1 Ч-Zl „ 11^ Cl т Л DU V1
изображено на линии L), что приводит к замкнутым времени-
подобным кривым. Диаграмма не отображает наглядно тот факт,
что в действительности все точки пространства эквивалентны.
190
Гл 5. Точные решения
значениях г д/дф становится времениподобным вектором, и
окружности постоянных г и f представляют собой замкнутые
времениподобные кривые. Поскольку (Jh, g() обладает 4-пара-
метричсской транзитивной группой изометрий, то получается,
что через каждую точку (./6, gi), а следовательно, и через каж-
дую точку решений Гёделя (Л, g) проходит замкнутая времени-
подобная геодезическая.
Все это дает основание думать, что решение Гёделя не имеет
физического смысла. Существование замкнутых времениподоб-
ных кривых означает, что в Л нет вложенных трехмерных по-
верхностей без края, которые были бы всюду пространственно-
подобны, ибо замкнутая времениподобная кривая, пересекшая
такую поверхность, пересекает ее нечетное число раз. Это озна-
чает, что кривая не может быть непрерывным образом стянута в
точку: непрерывная деформация может изменить число пересе-
чений лишь на четное число. Это в свою очередь противоречит
тому, что многообразие Л, будучи гомеоморфно Д4, односвязно.
Существование замкнутых времениподобных линий означает так-
же невозможность в Л какой-либо космической координаты вре-
мени t, которая возрастала бы вдоль любой времениподобной
или изотропной кривой, направленной в будущее.
Решение Гёделя геодезически полно. Поведение геодезиче-
ских может быть описано с помощью разбиения на (Лу, gi) и
(Лг, £г). Поскольку метрика g2 на Л2 плоская, компонента
в Л2 вектора, касательного к геодезической, постоянна, т. е.
координата z зависит линейно от аффинного параметра на
геодезической. Поэтому достаточно описать поведение геоде-
зических в (Л\, gi). Изотропные геодезические, проходящие
через точку р на оси координат (рис. 31), первоначально
расходятся (у оси), доходят до каустики г = In (1 + д/2) и за-
тем сходятся к точке р' на оси. Поведение времениподобной
геодезической аналогично: они достигают некоторого максималь-
ного значения г, меньшего чем 1п(1 + д/2), и снова сходятся
к р'. Точку q с г > In(1 + д/2) можно соединить с р некоторой
времениподобной кривой, но не времениподобной или изотроп-
ной геодезической.
Дальнейшие детали свойств решения Гёделя можно найти
в работах [62; 96].
5.8. Пространство Тауба— НУТ
В 1951 г. Тауб получил пространственно-однородное решение
уравнений Эйнштейна в пустом пространстве с топологией /?XS3
и метрикой
ds'= — U~' dt2 -Г (2/)2П (dip + cos 0 Аф)2 +
+ (Ф + Z2) (dO2 + sin2 0 d<2), (5.32)
5.8. Пространство Тауба — НУТ
191
где

2 (mt + /-)
t2 + r-
m и I — положительные постоянные. Здесь 9, ф, гр — координаты
Эйлера на S3 и, следовательно, 0 гр 4л, 0<0 Д л,
О ф 2л. Эта метрика особенна при t = t+ — (rn ± (rtv 4- /2) ",
где U = 0. Ее можно продолжить через эти поверхности и полу-
чить пространство, найденное Ньюменом, Тамбурино и Унти
[Л 15], но прежде чем перейти к обсуждению этого расширения,
рассмотрим простой двумерный пример с похожими свойствами,
принадлежащий Мизнеру [105]. Это пространство обладает топо-
логией S1 Х^1, а метрика g определяется формулой
ds2 = — С1 dt2 + t dip2,
где 0 о" гр 2л. Эта метрика особенна при t — 0. Если принять,
что многообразие Л определяется координатами гр и t, причем
О < t < оо, то (v<, g) можно расширить, вводя гр' = гр — In t.
Тогда получаем метрику g':
ds2 = + 2 dip' di + t (dip')2.
Метрика g' аналитична на многообразии Л' с топологией
S’X-R1, которое определяется координатами гр' и t, причем
—оо < t < оо. Область t > 0 пространства (Л', g') изометрич-
на (v<, g). Основные черты пространства (Л', g') можно понять
из рис. 32. В области t < 0 имеются замкнутые времениподоб-
ные линии, но их нет там, где t > 0. Одно семейство изотропных
геодезических изображается на рис. 32 вертикальными линиями;
они пересекают поверхность t = 0. Другое семейство прибли-
жается к t — 0 по спирали, но никогда не пересекает эту поверх-
ность. Аффинные длины этих геодезических всегда конечны. Та-
ким образом, расширение (XZ', g') не симметрично относительно
двух семейств изотропных геодезических, хотя исходное про-
странство (Л, g) было симметричным. Однако можно задать
другое расширение {Л", g"), в котором эти два семейства ме-
няются ролями. Для этого определим гр" как г]/' = гр Ц- In t. Ин-
тервал, определяющий метрику g", равен
ds2 = - 2 dip" dt + t (dip")2.
Метрика g" аналитична на многообразии Л" с топологией
S1 X определяемом гр" и неравенством — оо <у t <2 оо. Об-
ласть t > 0 пространства (Л”, g") изометрична (Л, g). Опре-
делив так гр", мы в некотором смысле «раскрутили» второе се-
мейство изотропных геодезических так, чтобы они превратились
в вертикальные линии, и теперь их можно продолжить через
t = 0. Однако при этом мы «намотали» первое семейство, так
Рис. 32. Двумерный пример Мизнера. а — расширение области I за гра-
ницу t == 0, в область II. Вертикальные изотропные геодезические полны,
но закручивающиеся — нет; б — универсальное накрывающее пространство
является пространством Минковского. Относительно дискретной подгруппы G
группы Лоренца точки s эквивалентны. Аналогично, точки р, q, г эквива-
лентны. Рисунок (а) получается отождествлением эквивалентных точек
в областях 1 и II.
5 8. Пространство Тауба — НУТ
193
что его геодезические стали спиральными, и их уже нельзя про-
должить через t = 0. Таким образом, мы имеем два неэкви-
валентных локально нерасширяемых аналитических расширения
пространства {Л, g), причем обе геодезических неполны. Связь
между этими двумя расширениями хорошо видна при переходе
к накрывающему пространству пары {Л, g).
Оказывается, что таким накрывающим пространством явля-
ется область I двумерного пространства Минковского {Л, q),
содержащаяся внутри светового конуса будущего точки р
(рис. 32,6). Изометрии (Я, т)), оставляющие неподвижной точ-
ку р, образуют однопараметрическую группу (группа Лоренца
для метрики т)), орбитами которой являются гиперболы {о =
— const}, где п = ? — х2, a t, х — обычные координаты Минков-
ского. Пространство (Л, g) есть фактор-пространство простран-
ства (7, т)) по дискретной подгруппе G группы Лоренца, которая
состоит из Ап (п целое), причем А отображает (?, х) в
(t ch л + х sh л, х ch л + t sh л),
иначе говоря, отождествляются точки
(? ch пл + х sh пл, х ch п л +1 sh пл)
при всех целых п, и в Л они соответствуют точке
/ = у(? — х2), i|: = arth(4-).
Действие группы изометрии G в области I — собственно раз-
рывное. Действие группы Н на многообразии Л2 называется соб-
ственно разрывным, если:
1) у каждой точки q е Я имеется окрестность '?/, такая, что
A {°Ll) П °U = 0 для любого А е Н, который не является едини-
цей группы;
2) точки которые при любом А^Н удовлетворяют
условию Aq — г, обладают соответственно окрестностями °U и
°U', такими, что В(°и) П <№ =А= 0 при любом В е Н.
Условие (1) означает, что фактор-пространство ABIH явля-
ется многообразием, а условие (2)—что это многообразие хаус-
дорфово. Таким образом, фактор-прострайство (7, t\)IG есть ха-
усдорфово пространство {Л, g). Действие G собственно разрыв-
но также в областях 7-ф77(?>—х). Следовательно,
(7-(-77, t\)IG — тоже хаусдорфово пространство; на самом деле
оно совпадает с {Л', g'). Аналогично т])/б — хаусдор-
фово пространство {Л", g"). Отсюда видно, почему одно семей-
ство изотропных геодезических может быть выбрано полным в
расширении {Л', g'), а другое семейство — в расширении
7 Заказ 381
194
Гл. 5. Точные решения
{Л", g”). Казалось бы, можно осуществить оба расширения
одновременно. Однако действие группы G в области (/H-/7-J-ZZZ),
т. е. при t > —|х|, удовлетворяет лишь условию (1), а условие
(2) для точек q на границе между / и II точек г на границе
между I и /// не выполняется. Поэтому фактор-пространство
(/ + II + III, t])/G не хаусдорфово, хотя и является многообра-
зием.
Этот тип нехаусдорфова поведения отличается от примера,
приведенного в разд. 2.1. Там можно было провести непрерыв-
ные кривые, которые разветвляются так, что две ее ветви уходят
в разные области. Такое поведение мировой линии наблюдателя
представляется крайне неудобным. В многообразии (/ + II ф-
-\-HI)IG нет разветвляющихся кривых. Кривые из области I
можно продолжить в II или в III, но не в обе эти области одно-
временно. Это могло бы служить отправной точкой для такого
ослабления требования хаусдорфовости модели пространства-
времени, при котором допускаются ситуации описанного здесь
типа, но исключаются те, которые приводят к бифуркации кри-
вых. Дальнейшие результаты по нехаусдорфовым моделям про-
странства-времени можно найти в работе [66].
Можно убедиться, что условию (1) удовлетворяет действие G
на Л—{р}. Следовательно, пространство (Л—{p},r))/G яв-
ляется в некотором смысле максимальным нехаусдорфовым рас-
ширением пространства (Л, g). Однако и оно геодезически не-
полно, ибо есть геодезические, которые проходят через точку р,
которую надо удалить. Если же р оставить, то действие группы
не удовлетворяет условию (1) и поэтому фактор-пространство
Л/G не будет даже нехаусдорфовым многообразием. Рассмо-
трим, однако, расслоение линейных реперов Ь(Л), т. е. совокуп-
ность всех пар (X, Y) X, Ye Tq, линейно-независимых векторов
во всех точках q <=Л. Действие элемента .4 группы изометрий G
на Л индуцирует операцию Л» на Ь(Л), которая переводит ре-
пер (X, Y) в точке q в репер (А*Х, /4*Y) в точке A (q). Эта опе-
рация удовлетворяет условию (1), поскольку даже для (X, Y)e
е Тр, Л*Х =^= X и 4*Y =f= N, если, конечно, А не есть тождествен-
ное преобразование; она удовлетворяет также условию (2), если
даже X и Y лежат на изотропном конусе р. Таким образом, фак-
тор-пространство Ь(Л)/О — хаусдорфово многообразие. Оно
является расслоенным пространством над множеством Л/G, ко-
торое само не хаусдорфово и даже не многообразие. В опреде-
ленном смысле Ь(Л)1С можно было бы рассматривать как рас-
слоение линейных реперов для пространства Л/G. Тот факт, что
расслоение линейных реперов может иметь нужные свойства,
даже если само пространство ими не обладает, приводит к мыс-
5.8. Пространство Тауба — НУТ 195
ли о полезности изучения сигулярпостей с точки зрения расслое-
ния линейных реперов. Общий подход к этому указан в разд. 8.3.
Вернемся теперь к четырехмерному пространству Тауба
(^, g), где Л— это У?1 X S3, а метрика g дана формулой (5.32),
Поскольку Л односвязно, мы не можем, как в двумерном при-
мере, построить накрывающее пространство. Однако можно по-
лучить похожий результат, рассматривая Л как расслоенное
пространство над S2 со слоем X S1; проекция расслоения
п\Л —► S2 определяется как (t, ф, 0, ф)-+(в, ф). Фактически это
произведение оси t на расслоение Хопфа S3—> S2 [162], у кото-
рого имеется слой S1. Пространство (Л, g) допускает 4-пара-
метрическую группу изометрий, поверхностями транзитивности
которой являются 3-сферы {t = const}. Эта группа изометрий
отображает слои расслоения п'.Л —*S3 снова в слои, так что
изометричны все пары (,Х, gj, где ST является слоем w
w /ф X S1) и g — метрика, индуцированная в слое четырехмер-
ной метрикой g на Л. Слой можно рассматривать как пло-
скость (t, ф), а метрика g на 3~ получается из (5.32) отбрасы-
ванием членов с d0 и (1ф, т. е. g определяется квадратичной фор-
мой
ds’ = -t7Id/’ +4/2Щс!ф)2. (5.33)
Касательное пространство Tq в точке q е Л можно разло-
жить на вертикальное подпространство Vq, которое касательно
к слою и натянуто на векторы d/dt и <Э/с?ф и на горизонталь-
ное подпространство Hq, которое натянуто на векторы d/dQ и
д/д</>— cos 0<3/<3ф. Любой вектор X <= Tq можно представить как
сумму векторов Ху, лежащего в Vq, и Хн, лежащего в Hq.
Тогда метрику g в Tq можно записать так:
g (X, Y) = gv (Х7, Yy) + (f + /2) gH КХ, л J„), (5.34)
где gt =g, a gH — обычная метрика на 2-сфере: ds2 = d02 +
4- sin2 0 dj>2. Итак, хотя метрика g и не является прямой сум-
мой gv и У2-\-Р)ён (поскольку /?'Х53 не есть прямое произ-
ведение S2 и Rl X S1), все же локально ее можно рассматривать
в виде такой суммы.
Интересующая нас часть метрики g содержится в gv, и по-
этому мы рассмотрим аналитические расширения пары (^", gr).
Взяв их в такой же комбинации с метрикой gH 2-сферы, как в
(5.34), мы получим аналитические расширения пространства
(X g).
Метрика gv, определяемая формулой (5.33), имеет особенно-
сти при t = t±, в которых U = 0. Однако, если взять многообра-
зие &~0, задаваемое ф и t- < t < t+, gy) можно расширить,
7*
196
Гл. 5. Точные решения
введя координату
Тогда получаем метрику g'v, для которой
ds2 == 4/ d t| z (LU (t) dip' — df).
Эта метрика аналитична на многообразии 9~' с топологией
S1 X/?, определяемой координатами гр', t, причем —оо < t <; оо.
В области t- < t < t+ (ST', gy,) изометрична (£Го, gv). В этой
области нет времениподобных кривых, но они есть при t <Z t_
и Z > t+.
Это очень похоже на свойства рассмотренного ранее про-
странства {Л', g'), за исключением того, что теперь возникают
два горизонта (при t — Z_ и t = t+) вместо одного горизонта
(при t = Q). Одно семейство изотропных геодезических пересе-
кает оба горизонта t == Z_ и t = t+, а другое семейство описы-
вает спирали вокруг этих поверхностей и неполно.
Как и прежде, можно произвести иное расширение введением
координаты
При этом получаем метрику g", для которой
ds2 = 4/dip"(Zt7(/W' + dZ)
и которая аналитична на многообразии £Г”, определяемом коор-
динатами гр" и t, — оо < / < оо. Эта метрика тоже изометрична
(ZT0, Sv) в области t- < t < t+. Связь между разными расшире-
ниями снова можно продемонстрировать, перейдя к накрываю-
щему пространству. Накрывающим пространством Л(! является
многообразие ZT0, определяемое координатами — оо < гр < оо и
Z- < t < t+. На о метрика gy может быть записана в изотроп-
ной форме
ds2 = 4/47 (/) dip'dip", (5.35)
где — оо < гр' < оо, — оо < гр" < оо. Ее можно расширить по-
добно тому, как это было сделано в случае решения Райсснера —
Нордстрема. Выберем на £Г0 новые координаты (ы+, v+) и
(ы_, V-):
u± = arctg(exp-J-), v± = arctg(- exp ,
где
t+ — t- t+ — t~
a+ ~ 41 (mt + Г-) И a“ — 4nl (mt + /2) ’
5.8. Пространство Тауба — НУТ
197
Здесь п > (mt+ + -f- /2) — некоторое целое число. Тогда
метрика gv, полученная из (5.35) этим преобразованием, анали-
тична на многообразии ST, изображенном на рис. 33, причем
t~°O
t ~-oo
III
II
.t=t
III-
III
II
III-
Однородные поверхности
t-const (времениподоб-
ные орбиты группы)
Рис. 33. Диаграмма Пенроуза максимально расширенного накрывающего
пространства для двумерного сечения пространства Тауба — НУТ; изобра-
жены орбиты группы изометрии. Пространство Тауба — НУТ и его расши-
рения получены из части этого пространства отождествлением точек при
действии дискретной подгруппы группы изометрии.
t ~-оо
II
Одиороунв/е поверхности
t= const (пространственно -
подобные орбиты группы)

координаты и+, v+ аналитичны везде, кроме поверхности t — t_,
а координаты ы_, V- — везде, кроме t = t+; на своих поверхно-
стях неаналитичности (и+, и+) и («_, п_) принадлежат по край-
ней мере классу С3. Здесь имеется определенное сходство с рас-
ширением плоскости (/, г) решения Райсснера — Нордстрема.
Пространство (&", gv) обладает однопараметрической груп-
пой изометрий, орбиты которой изображены на рис. 33. Вблизи
точек р+, р- эта группа действует подобно группе Лоренца в
двумерном пространстве Минковского (см. рис. 32,6). Пусть
198
Гл 5 Точные решения
G — дискретная подгруппа группы изометрии, порожденная не-
тривиальным элементом А последней. (&~0, gy) представляет со-
бой фактор-пространство одной из областей (Il+, gv-) по G.
(^'.g/) и (,Т", g/') являются соответственно фактор-простран-
ствами (/_ +//++///_, gv)/G и (/+ + П+ + 1Н+, gy)/G. По-
строив фактор-пространство области (/+ + П+ -ф /_), мы могли
бы получить хаусдорфово многообразие: это соответствует тому,
чтобы расширять у поверхности t — t+, как при построении
(£Г', g/), а У поверхности t = С, как при построении (SF", g/').
Так же как в примере Мизнера, взяв фактор-пространство всего
пространства ТАГ без точек р+ и р~, получаем нехаусдорфово мно-
гообразие, а взяв фактор-пространство получим простран-
ство, которое не хаусдорфово и не многообразие. Аналогично
примеру Мизнера, фактор-пространство расслоения линейных ре-
перов над ST образует хаусдорфово многообразие.
Комбинируя эти расширения плоскости ф, ф) с координатами
(0, ^), можно получить соответствующие расширения четырех-
мерного пространства („<, g). В частности, два расширения
, g/) и , приведут к двум различным локально не-
расширяемым расширениям пространства (JI, g), которые оба
геодезически неполны.
Рассмотрим одно из этих расширений, скажем , g').
3-сферы, являющиеся поверхностями транзитивности группы изо-
метрии, пространственноподобны в области С < t < t+ и вре-
мениподобны при t Д> t+ и t < Поверхности транзитивности
t = и t = t+ изотропны и образуют горизонт Коши для лю-
бой пространственно-подобной поверхности, содержащейся в
t- < t < t+, поскольку в областях t <Zt- и t > t+ имеются
времениподобные кривые, которые никогда не пересекают со-
ответственно t — С и t — t+ (в этих областях существуют, в
частности, замкнутые времениподобные кривые). Область про-
странства-времени С t t+ компактна, и все же имеются
времениподобные и изотропные геодезические, которые все
время остаются внутри нее и неполны. Такого рода поведение
будет рассмотрено позднее, в гл. 8.
Более подробное описание пространства Тауба — НУТ можно
найти в работах [103, 109].
5.9. Прочие точные решения
В этой главе мы рассмотрели ряд точных решений и исполь-
зовали их для того, чтобы дать примеры различных глобальных
свойств, более общее исследование которых мы хотим провести
позднее. Хотя локально известно много точных решений, лишь
относительно малое число их изучено глобально. В заключение
5.9. Прочие точные решения
199
этой главы отметим вкратце два других интересных семейства
точных решений, глобальные свойства которых известны.
Первое из них составляют решения в виде плоских волн в пу-
стом пространстве-времени. Они гомеоморфны Р4, и можно вы-
брать такие глобальные координаты (у, г, и, и), пробегающие
значения от —оо до 4*оо, в которых метрика имеет вид
ds2 = 2 du dv -|- dy2 + dz2 -j- H (z, y, u) du2,
где
H = (y2 — z2) f (it) — 2yzg (u),
и /(«), §(«)—произвольные С2-функции, характеризующие ам-
плитуду и поляризацию волны. Эти пространства инвариантны
относительно пятипараметрической группы изометрий, которая
кратно-транзитивпа на изотропных поверхностях {и = const};
особый подкласс, в котором f(u) = cos 2«, g(u) — sin 2и, допу-
скает еще одно векторное поле Киллинга, т. е. такие однородные
пространства инвариантны относительно 6-параметрической
группы изометрий. Эти пространства не содержат замкнутых
времениподобных или изотропных кривых, однако в них не мо-
жет быть поверхностей Коши [124]. Локальные свойства этих
пространств детально изучены Бонди, Пирани и Робинсоном [13],
а глобальные — Пенроузом [124]. Оцват и Шюкинг [118] иссле-
довали глобальные свойства такого пространства с более высо-
кой симметрией. В работе [89] Хан и Пенруоз рассмотрели, как
рассеиваются две ударные плоские волны и как это приводит к
сингулярности.
Во-вторых, мы отметим 5-параметрическое семейство точных
решений уравнений Эйнштейна — Максвелла без источников,
найденное Картером [24] (см. также [37]). В это семейство в ка-
честве частных случаев входят решения Шварцшильда, Райссне-
ра — Нордстрема, Керра, решение Керра с зарядом, решение
Тауба — НУТ и де Ситтера 1-го и 2-го родов. Описание неко-
торых их глобальных свойств дано в [22]. Несколько конкретных
решений, тесно связанных с этим семейством, рассмотрены в
[45, 90].
Глава 6
Причинная структура
Согласно постулату (а) разд. 3.2, из одной точки многообра-
зия Л к другой можно послать сигнал только в том случае, если
эти точки могут быть соединены непространственноподобной гео-
дезической. В этой главе мы займемся дальнейшим исследова-
нием такого рода причинных отношений и получим ряд резуль-
татов, которые будут использованы в гл. 8 для доказательства
существования сингулярностей.
В разд. 3.2 отмечалось, что изучение причинных отношений
эквивалентно изучению конформной геометрии многообразия Л,
т. е. множества всех метрик g, конформных физической метри-
ке g (g = Q2g, где Q — ненулевая Сг-функция). При такого
рода конформном преобразовании метрики геодезическая кри-
вая, вообще говоря, не останется геодезической, если только она
не изотропная, но даже в последнем случае аффинный параметр
вдоль кривой перестанет быть аффинным. Таким образом, в
большинстве случаев геодезическая полнота (т. е. возможность
продлить все геодезические до любых значений их аффинных
параметров) будет зависеть от конкретного конформного множи-
теля; следовательно (исключая специальные случаи, описанные
в разд. 6.4), полнота не является свойством конформной геомет-
рии. Кларке [33] и Зейферт [157] показали, что при выполнении
некоторых физических разумных условий причинности любая ло-
ренцева метрика конформна метрике, в которой все изотропные
геодезические и все направленные в будущее времениподобные
геодезические полны. Геодезическую полноту мы рассмотрим
позднее, в гл. 8, где она служит основой для определения сингу-
лярности.
В разд. 6.1 мы занимаемся вопросом ориентируемости време-
ниподобных и пространственноподобных базисов. В разд. 6.2
даны определения основных причинных отношений и более ши-
рокое определение непространственноподобной кривой, допу-
скающее не только кусочную дифференцируемость, но и просто
непрерывность. Свойства границы будущего некоторого множе-
ства рассмотрены в разд. 6.3. В разд. 6.4 обсуждается ряд усло-
вий, которые исключают нарушение или близость к нарушению
причинности. Тесно связанные между собой понятия области
6 ! Ориентируемость
201
Коши и глобальной гиперболичности введены в разд. 6.5 и 6.6,
а в разд. 6.7 они использованы для доказательства существова-
ния непространственноподобных геодезических максимальной
длины между определенными парами точек.
В разд. 6.8 излагается метод построения причинной границы
пространства-времени, принадлежащий Героку, Кропхеймеру
и Пенроузу. Конкретный пример такой границы дает класс
асимптотически плоских пространств, который исследуется в
разд. 6.9.
6.1. Ориентируемость
В ближайшей к нам области пространства-времени «стрела»
времени четко задана направлением роста энтропии квазиизоли-
рованных термодинамических систем. Однако не вполне ясно,
какова связь между этой «стрелой» времени и другими «стре-
лами» времени, которые определяются расширением Вселенной
и условием излучения в электродинамике; интересующийся, этим
читатель может найти обсуждение этого вопроса в работах [63,
79, 81, 83]. Представляется физически разумным предположить,
что существует локальная термодинамическая «стрела» времени,
заданная непрерывным образом в каждой точке; но мы ограни-
чимся требованием, чтобы имелась возможность задать непре-
рывно разделение непространственноподобных векторов на два
класса, один из которых, по нашему выбору, назовем классом
векторов, направленных в будущее, а другой — классом векто-
ров, направленных в прошлое. Если такое деление возможно, то
будем говорить, что пространство-время ориентируемо по вре-
мени.
В некоторых типах пространства-времени задать такую ори-
ентацию по времени невозможно. Примером служит простран-
ство-время, построенное из пространства де Ситтера (разд. 5.2)
отождествлением точек, получаемых отражением относительно
начала пятимерного объемлющего пространства. В этом про-
странстве существуют замкнутые кривые, не гомотопные нулю,
при обходе по которым направление времени меняется на обрат-
ное. Однако ясно, что эта трудность могла бы быть устранена
просто снятием отождествления точек, и это фактически всегда
возможно: если пространство-время (Л, g) не ориентируемо по
времени, то оно имеет двукратное накрывающее пространство
(Л, g), которое ориентируемо. Л можно определить как множе-
ство пар (р, а), где р е Л, а а — одна из ориентаций времени
в р. Тогда вместе с естественной структурой и проекцией
л:(р, а)-*рЛ является двукратным накрывающим многообра-
зием для Л. Если Л двусвязно, то (Л, g)ориентируемо по вре-
мени. Если Л односвязно, то (Л, g) неориентируемо по времени.
202 Гл 6 Причиннпл структура
но (Л, g)—ориентируемо. В последующих разделах мы будем
предполагать, что имеет место одно из двух: либо (Л, g) ориен-
тируемо по времени, либо мы рассматриваем ориентируемое по
времени накрывающее пространство. Если мы сможем доказать
наличие сингулярностей в накрывающем пространстве, то они
должны быть и в (Л, g).
Можно задаться таким вопросом: является ли пространство-
время пространственно-ориентируемым, т. е. можно ли разделить
непрерывным образом базисы из трех пространственноподобных
осей на левые и правые? Герок [51] указал на интересную связь
между пространственной и временной ориентируемостью, сле-
дующую из того факта, что некоторые эксперименты в физике
элементарных частиц не инвариантны относительно зарядового
сопряжения или пространственного отражения (или того и дру-
гого вместе). Вместе с тем имеются теоретические основания для
уверенности в том, что все взаимодействия инвариантны отно-
сительно комбинации зарядового сопряжения, отражения и обра-
щения времени (СРГ-теорема, см. [164]). Если считать, что нару-
шение инвариантности относительно зарядового сопряжения и
пространственного отражения в слабых взаимодействиях — не
локальное явление, а происходит во всех точках пространства-
времени, то из этого следует, что при обходе по любой замкну-
той кривой такие характеристики, как знак заряда, ориентация
базиса пространственноподобных осей и ориентация времени
могут измениться или остаться неизменными лишь все три вме-
сте. (Обычная теория Максвелла, в которой электромагнитное
поле имеет определенный знак в каждой точке, не допускает из-
менения знака заряда при обходе по замкнутой кривой, не гомо-
топной нулю, без изменения ориентации времени. Однако можно
было бы построить теорию, в которой поле двузначно и меняет
свой знак при обходе по такой! кривой. Такая теория была бы в
согласии со всеми имеющимися экспериментальными данными.)
В частности, если предположить, что пространство-время ориен-
тируемо по времени, то оно должно быть и пространственно-
ориентируемым. (Фактически этот вывод следует из одних лишь
экспериментальных данных без использования СРТ-теоремы.)
Герок [55] показал, что из возможности задать двухкомпо-
нентные спинорные поля в каждой точке с необходимостью сле-
дует параллелизуемость пространства-времени, т. е. возможность
ввести непрерывную систему базисов касательного пространства
в каждой точке. (Дальнейшие следствия существования спинор-
ных структур получены в [56].)
6.2. Причинные кривые
Принимая, что пространство-время ориентируемо по времени
в смысле, разъясненном в предыдущем разделе, мы в Каждой
6 2. Причинные кривые
203
точке можем разделить непрострапственпоподобиы^ векторы на
направленные в будущее и в прошлое. Тогда для м пожеств 9 и
можно определить хронологическое будущее 1+(9&щи) множе-
ства 9 относительно 99 как множество всех точек в любую
из которых можно достичь из 9 по направленно^ в будущее
времениподобной кривой в 99. (Под кривой мы в сегда имеем
в виду кривую ненулевой протяженности; одна точ ка 11е счита-
ется кривой. Таким образом, 1+{9, 99} не может со держать 9.)
1+{9,Л} будем обозначать 1+{9}~, 1+(9) являете^ открытым
множеством: если р^Л можно достичь из 9 по н аправленной
в будущее времениподобной кривой, то имеется м^дая окрест-
ность р, которую тоже можно достичь по такой крив ой.
Для этого определения существует дуальное, в Е^отором «бу-
дущее» заменяется на «прошлое» и + на —; чтоС5ы не повто-
ряться, мы будем считать дуальные определения результаты
самоочевидными.
Обозначим через J+(9, 99} причинное будущее ^множества 9
относительно 91\ оно определяется как объединен не 9 С\91 с
множеством всех тех точек в 99, которых можно Достичь из 9
по направленным в будущее непространственнопо/цобным кри-
вым в 99. В разд. 4.5 мы видели, что непространствещцоподобная
кривая между двумя точками, которая не является; изотропной
геодезической кривой, может быть деформирована вер временипо-
добную кривую между этими точками. Поэтому, е<рли 99— от-
крытое множество и р, q,r 99, то как из условия
q е 7+ (р, 99},
так и из условия
q <= 1+ (р, 99}, rt=J+(,q,9l}
следует, что ге^ГГ(р, 99}. Отсюда 1+ (р, 99}Г'(р^99) и
1 + (р, 99} = j + (р, 91}, где для любого множества Л, Ж озна-
чает замыкание, _ _______
Ж = Ж П И - Ж')
означает границу Ж.
Будем снова вместо J+(9, Л} писать просто i^-{9}. J+(9)
представляет собой область пространства-времени, в которой
события из 9 могут причинно влиять: как видно из рис. 34,
J+(9} не обязательно замкнутое множество, даже если 9 пред-
ставляет собой одну точку. Кстати, этот пример иллюстрирует
полезный способ построения пространства-времени е заданными
свойствами причинности: начинаем с некоторого пространства-
времени (при отсутствии других указаний это будет простран-
ство Минковского), вырезаем из него какое-либо замКНуТОе мно-
жество и, если нужно, склеиваем его подходящим образом (т. е.
204
Гл. 6. Причинная структура
отождествляем точки Л}. В результате получаем снова много-
образие с лоренцевой метрикой, т. е. пространство-время, хотя
оно и выглядит несколько неполным, поскольку некоторые точки
вырезаны. Однако выше было отмечено, что эта неполнота мо-
жет быть «исправлена» подходящим конформным преобразова-
нием, которое передвинет вырезанные точки в бесконечность.
ческае, проходящие
дерезУ и образующие
прошлое множества
УЧУ)
Рис. 34. При удалении из пространства Минковского одной точки причин-
ное будущее 7+ (РР замкнутого множества У не обязательно замкнуто. На-
ходящиеся за этой точкой части границы будущего /+ (^) могут быть обра-
зованы изотропными геодезическими сегментами, не имеющими в Ж ко-
нечных точек в прошлом.
Контур будущего (horismos) для множества У относительно
°И, обозначаемый через Е+(^, 4/), определяется как /+(^, Л)—
— I+(9!,,aU)\ будем писать Е+(&) вместо £+(^, Л}. (В некото-
рых работах отношения ре/+(</), ре/+(</)) и реE+(q) обо-
значаются соответственно как q р, q < р и q р.) Если 'U —
открытое множество, согласно предложению 4.5.10, точки
£+(^, aU} должны лежать на направленных в будущее изотроп-
ных геодезических из 91', если же °U—нормальная выпуклая
окрестность точки р, то из предложения 4.5.1 следует, что
Е+{р,°1Е) состоит из направленных в будущее изотропных геоде-
зических в с началом ври образует в °U границу как хроно-
логического /+(р, “2/), так и причинного 1+(р,°11) будущего точ-
ки р. В частности, это имеет место в пространстве Минковского,
где такую границу образует изотропный конус точки р. Но в бо-
лее сложных случаях такое не обязательно.
Для последующего изложения удобно расширить определе-
ние времениподобных и непространственноподобных кривых,
ослабив требование кусочной дифференцируемости до требова-
6.2 Причинные кривые
205
ния лишь непрерывности. Хотя в таком случае кривая может и
не иметь касательного вектора, мы все же сможем говорить, что
она непространственноподобна, если локально любые две точки
кривой можно соединить кусочно дифференцируемой непростран-
ственноподобной кривой. Точнее, будем говорить, что непрерыв-
ная кривая Jft, где ЗГ — связный интервал из 7?1, направ-
лена в будущее и непространственноподобна, если для каждой
t е существует ее окрестность G в ST и нормальная выпуклая
окрестность <U точки у(0 в Л, такие, что для любого е Gi
у(/1)е/~(у(0, ^)-Y(0,
если /i < t, и
если t < G. Будем говорить, что у направлена в будущее и вре-
мениподобна, если те же самые условия выполняются при за-
мене J на /. Впредь, если не оговаривается иное, под времени-
подобной или непростраиственноподобной кривой мы будем под-
разумевать именно такую непрерывную кривую, а две кривые,
которые получаются одна из другой перепараметризацией, будем
считать эквивалентными. После такого обобщения мы можем
доказать утверждение, которое неоднократно используется в
оставшейся части главы. Сначала дадим несколько новых опре-
делений.
Точка р будет называться конечной точкой в будущем непро-
странственноподобной кривой направленной в буду-
щее, если для каждой окрестности Т этой точки существует та-
кое значение что у (Б) для каждого при
Непространственноподобная кривая непродолжима в будущее
(соответственно непродолжима в будущее в множестве 9), если
у нее нет конечной точки в будущем (соответственно нет конеч-
ной точки в будущем в множестве 5^). Точка р будет называться
предельной точкой бесконечной последовательности непростран-
ственноподобных кривых Хп, если любую окрестность р пересе-
кает бесконечное число этих кривых. Непространственноподобная
кривая будет называться предельной кривой последовательно-
сти },п, если имеется подпоследовательность последователь-
ности такая, что для каждой ре/., А' сходится к р.
Лемма 6.2.1
Пусть 9 — некоторое открытое множество и пусть — бес-
конечная последовательность непространственноподобных кри-
вых в 9, которые непродолжимы в 9. Если р ^9 — предельная
точка последовательности то через р можно провести непро-
странственноподобную кривую X, которая непродолжима в буду-
щее в 9 и является предельной кривой последовательности Хп.
206
Гл. 6. Причинная структура
Достаточно рассмотреть случай У = Л, поскольку S' можно
считать многообразием с лоренцевой метрикой. Допустим, что
% — нормальная выпуклая координатная окрестность точки р
Рис. 35. Проходящая через точку р непространственноподобная предельная
кривая % для семейства непространственноподобных кривых для этого
семейства р является предельной точкой.
и что ^(<7, а)—открытый шар координатного радиуса а с цен-
тром в q. Пусть постоянная b > 0 такова, что <%(р,Ь) суще-
ствует, и пусть 2.(1,0)га— последовательность лп A ^Ux, сходя-
щаяся к р. Так как $(р,Ь)—компактное множество, оно содер-
жит предельные точки последовательности 2.(1,0)п. Любая такая
предельная точка должна лежать либо в J'(р, либо в
/+(р, поскольку в противном случае существовали бы
6.3. Ахрональные границы
207
окрестности Т\ точки у и точки р, которые нельзя было бы
соединить непространственноподобной кривой в °И\. Пусть
.гне/+(р, <U^(p, Ь)
— одна из этих предельных точек (рис. 35) и 7(1, 1)п — сходя-
щаяся к Хц подпоследовательность из 7(1, 0)п. Точка Хц будет
точкой нашей предельной кривой 7. Продолжая по индукции,
определим точку
как предельную точку последовательности 7(г— 1, i— 1)п при
j = 0 и подпоследовательности 7(i, / — 1) при i j г; пусть
также 7(t,/)п— подпоследовательность подпоследовательности
7(1, 1), сходящаяся к Хц. Другими словами, мы делим интервал
[0, Ь] на все меньшие и меньшие отрезки и получаем точки нашей
предельной кривой на соответствующих сферах с центром в р.
Поскольку любые две точки Хц (j г) разделены непростран-
ственноподобно, замыкание объединения всех Хц (j i) даст не-
пространственноподобную кривую 7 от р = хго до Хц = Хц. Те-
перь остается построить такую подпоследовательность 7,'г после-
довательности 7П, чтобы для каждого q е 7 7„ сходилась к q.
Это мы сделаем, выбирая в качестве 7m член подпоследователь-
ности 7(zn, п), который пересекает каждый из шаров
&(xmj, m^b) при 0 т. Таким образом, 7 будет предель-
ной кривой последовательности 7„ от р до Хц. Пусть теперь
— нормальная выпуклая окрестность вокруг Хц; повторим
построение, используя теперь последовательность 7^. Поступая
таким образом, можно продолжить 7 неограниченно. □
6.3. Ахрональные границы
Из предложения 4.5.1 следует, что в нормальной выпуклой
окрестности °U граница множеств J+^p,^) или I+(p,°U) образо-
вана направленными в будущее изотропными геодезическими с
началом р. Для установления свойств границ более общего типа
введем понятия ахронального множества и множества будущего.
Множество 9 называется ахрональным (в литературе его
иногда называют «полупространственноподобным»), если
/+(^) П & пусто, иначе говоря, если никакие две точки д’ не раз-
делены времениподобно. д’ называется множеством будущего,
если 9? тз 1+Отметим, что если д’—множество будущего,
то Ж — д’— множество прошлого. Примерами множеств буду-
щего служат ЛДЛ3) и 7+ (Л3), где Л3— любое множество. При-
меры ахрональных множеств дает следующий фундаментальный
результат.
208
Гл. 6. Причинная структура
Предложение 6.3.1
Если 5^ — множество будущего, то д’ (граница (?) представ-
ляет собой замкнутое вложенное ахрональное трехмерное
(^-многообразие.
Если q е д’, то любая окрестность q пересекает д’ и М— У.
Если ре/+(<7)> то у точки q существует окрестность в /~(р).
Следовательно, /+(д)с!7. Аналогично I~(cf)^dt— д’. Если
r^.l+(q), то существует такая окрестность точки г, что
Т с= 1+ (<?) сд д’.
Таким образом, г не может принадлежать д’. В некоторой
окрестности °Ua точки q можно ввести нормальные координаты
(х1, х2, х3, х4) с времениподобным вектором <3/дх4 так, чтобы кри-
вые {х‘ = const, z = 1, 2, 3} пересекали и I+ (q, и Г (q, Qla).
Тогда каждая из этих кривых должна содержать точно одну
точку д’. Координата х4 этих точек должна быть функцией
Липшица от х‘ (Z = 1, 2, 3), поскольку никакие две точки д
не разделены времениподобно. Поэтому взаимнооднозначное
отображение ф:д Л дда —> R3, задаваемое равенством фа (р) = х‘ (р)
(г = 1,2,3) для p(=dQd/a, есть гомеоморфизм. Таким обра-
зом, {д’<д1б11а. фа) есть С*-атлас для д’. □
Множество со свойствами д’, перечисленными в предложе-
нии 6.3.1, будем называть ахрональной границей. Такое мно-
жество можно разбить на четыре непересекающихся подмно-
жества dN, д\, д’-, д0 следующим образом: для точки q е д’
найдутся или не найдутся точки р, г д’, такие, что р е
е Е~ (у) — q, r^E+(q) — q и различные возможности опреде-
ляют эти подмножества множества д’ по следующей схеме:
Зр Зр
Эг
Если q^dN, то г е Ет (р), поскольку г = /+(р) и согласно
предложению 6.3.1 г е /+ (р). Это означает, что в д’ имеется
изотропный геодезический сегмент, проходящий через q. Если
q е д’+ (соответственно д’2), то q является конечной точкой
в будущем (соответственно прошлом) изотропной геодезиче-
ской в д’. Подмножество пространственноподобно (точнее
непричинно). Это разбиение иллюстрируется рис. 36.
6.3
Ахрональные границы
209
Полезнее условие, определяющее принадлежность точки
одному из множеств дает следующая лемма, при-
надлежащая Пенроузу [128]:
Лемма 6.3.2
Пусть Ж — некоторая окрестность q е Ф, где &— множество
будущего. Тогда
1) из 1+ (<у) с /+ (S? — Ж) следует, что q^9’N[]9,+ ,
2) из Г (q) cz Г (Ж — 91 — 1Г) следует, что q е & N U
Достаточно доказать пункт (1), поскольку можно считать
также и границей множества прошлого Ж— 91. Пусть {хп}—
бесконечная последовательность точек в I+(q~) Л Ж, сходящаяся
Рис. 36. Ахроналы'ая граница & может быть разделена на четыре множе-
ства: пространствепноподобное изотропное & N и SP (соответственно S’-) —
конечная точка будущего (соответственно прошлого) изотропной геодезиче-
ской в 5А
к q. Если /+(<7)cz/+(^ — Ж), от каждого хп до Л1— Ж можно
провести направленную в прошлое времениподобную кривую.
По лемме 6.2.1 существует направленная в прошлое предельная
кривая А от q до (S?— Ж). Поскольку /“(</)—открытое множе-
ство и содержится в Ж — д’, I~(q) П & пусто. Отсюда Ъ должна
быть времениподобной геодезической и лежать ъ 9>. □
В качестве иллюстрации предыдущих результатов рассмо-
трим , границу замкнутого множества будуще-
го Ж. Согласно предложению 6.3.1, она является ахрональным
многообразие1М, и по лемме 6.3.2 каждая точка множества
S {Ж}— Ж принадлежит [/+(Х)].у или [/+((%/’)]+. Это означает,
что J (Ж) — Ж порождается изотропными геодезическими сег-
ментами, которые могут иметь конечную точку в будущем в
/+(Х)—Ж, но если они имеют конечные точки в прошлом, то
обязательно только в самом Ж. Как видно из рис. 36, может су-
ществовать изотропная геодезическая, порождающая сегменты,
210
Гл. 6. П ричинная структура
которые вообще не имеют конечных точек в прошлом, а уходят
в бесконечность. Очевидно, что это несколько надуманный при-
мер, но Пенроуз [124] показал, что аналогичное поведение имеет
место в таком простом случае, как плоские волны; другими при-
мерами служат решения де Ситтера 2-го рода (разд. 5.2) и Райс-
спера — Нордстрема (разд. 5.5). В разд. 6.6 мы увидим, что та-
кое поведение связано с отсутствием поверхностей Коши для
этих решений.
Будем говорить, что открытое множество °И — причинно-
простое, если для каждого компактного множества
Г (Ж) fl <U = Е+ (Ж) П и Г (Ж) Л <U = Е~ {Ж Л °И).
Это эквивалентно утверждению, что ЕГ(Ж) и 1~(Ж) замкнуты
в
6.4. Условия причинности
Постулат (а) разд. 3.2 требует только локальной причинно-
сти; глобальные вопросы остаются при этом открытыми. Следо-
вательно, мы не исключили такую возможность, что в больших
масштабах могут найтись замкнутые времениподобные геодези-
ческие (т. е. времениподобные окружности S1). Но существова-
ние таких кривых, по-видимому, привело бы к возможности ло-
гических парадоксов: можно представить ситуацию, когда космо-
навт на звездолете может совершить круг по такой кривой и,
возвратившись обратно к своему старту, помешать самому себе
стартовать в первый раз. Конечно, здесь есть противоречие
только с позиций элементарных представлений о свободе воли,
но их не так легко отбросить, поскольку эти представления опи-
раются на уверенность, что мы вольны осуществить любой воз-
можный эксперимент. Не исключено, что можно построить тео-
рию, в которой допускались бы замкнутые времениподобные
кривые, а представление о свободе воли было бы как-то измене-
но (см., например, [150]), но проще представить себе, что про-
странство-время удовлетворяет требованию, которое мы назы-
ваем хронологическим условием, а именно, чтобы в простран-
стве-времени не было замкнутых времениподобных кривых.
Однако мы должны иметь в виду возможность существования
точек (может быть, там, где плотность или кривизна очень ве-
лики), в которых это условие не выполняется. Множество всех
таких точек будем называть множеством, нарушающим хроноло-
гию-, оно характеризуется следующим предложением:
Предложение 6.4.1 (Картер)
Множество многообразия Ж, нарушающее хронологию, есть
объединение пересекающихся множеств вида I+(q) Г) I~(q),
q
S.4. Условия причинности
211
Если q принадлежит множеству многообразия Ж, нарушаю-
щему хронологию, то должна существовать направленная в бу-
дущее времениподобная кривая X с конечными точками в про-
шлом и будущем в q. Если г е I~(q) П I+(q), то найдутся напра-
вленные в прошлое и будущее времениподобные кривые щ и р2,
соединяющие q и г. Тогда ц, будет направленной в
будущее времениподобной кривой с конечными точками в про-
шлом и будущем г. Более того, если
г е [/- (?) П /+ (?)] Л [/~ (р) П /+ Ш
то
р^Г (?) П /+ (7) = Г (р) Л 1+ (р).
Для завершения доказательства заметим, что каждая точка г,
в которой нарушается хронология, принадлежит множеству
/+(г)Л/+(г). □
Предложение 6.4.2
Если Ж компактно, то множество, нарушающее хронологию
в Ж, является непустым.
Ж может быть покрыто открытыми множествами вида /+(</),
q <= Л. Если хронологическое условие выполняется в q, то
Таким образом, если бы хронологическое условие
выполнялось в каждой точке, нельзя было бы покрыть Ж конеч-
ным числом множеств вида /+(7). □
Из полученного результата, по-видимому, разумно сделать
вывод, что пространство-время некомпактно. Другой аргумент
против компактности состоит в том, что никакое компактное че-
тырехмерное многообразие с лоренцевой метрикой на нем не
может быть односвязным. (Существование лоренцевой метрики
означает, что характеристика Эйлера х(^<) = 0 ([162], р. 270).)
4
Как известно, %= У (— Вп, где Вп^0 —n-е число Бетти
п = 0
многообразия Ж. В силу дуальности ([160], р. 297) Вп=В^-п. Так
как Во = Bi. — 1, это означает, что В> У= 0, откуда в свою оче-
редь следует, что Л1(^<)^ 0 ([160], р. 398). Таким образом, ком-
пактное пространство-время является в действительности ком-
пактным многообразием, в котором отождествлены некоторые
точки. Представляется физически разумным не отождествлять
точки, а считать, что пространством-временем является накры-
вающее пространство.
Мы будем говорить, что выполнено условие причинности,
если не существует замкнутых непрострапственноподобных кри-
вых. Аналогично предложению 6.4.1 имеем
212
Гл. 6. Причинная структура
Предложение 6.4.3
Множество точек, в которых нарушается условие причинно-
сти, есть объединение непересекающихся множеств вида
П 7+(у), q е Л. □
В частности, если в точке q е Л условие причинности нару-
шено, а хронологическое условие выполняется, должна суще-
ствовать замкнутая изотропная геодезическая кривая у, проходя-
щая через q. Пусть v — аффинный параметр на у (рассматри-
ваемый как отображение открытого интервала из У?"1 на Л} и
пусть .... f-i, v0, Vf, v2, ... — последовательные значения v и q.
Тогда мы можем сравнивать в точке q касательный вектор
dldv |о и касательный вектор d[dv |0=С1, полученный парал-
лельным переносом при обходе по у. Поскольку оба вектора
имеют одинаковое направление, то они должны быть пропорцпо-
нальны djdv |D=Oi — adjdv |с . Множитель а имеет следующий
смысл: аффинное расстояние vn+i — vn, покрываемое при n-м об-
ходе по у, равно а-п(щ— п0)- Отсюда при а > 1 v никогда не
достигает значения (t»i — п0) (1 — а-1)-1, и, таким образом, кри-
вая у геодезически неполна в будущем, несмотря на то, что
можно совершить бесконечное число оборотов. Аналогично, если
а < 1, то у неполна в прошлом, в то время как при а = 1 она
полна в обоих направлениях. В двумерной модели пространства
Тауба — НУТ, описанной в разд. 5.7, существуют замкнутые изо-
тропные геодезические, которые служат примером случая с
а > 1. Поскольку множитель а является конформным инвариан-
том, эта неполнота не зависит от конформного множителя. Од-
нако такого рода поведение может встретиться лишь при нару-
шении причинности в том или ином смысле; если выполняется
условие сильной причинности (см. ниже), подходящее конформ-
ное преобразование метрики превращает все изотропные геоде-
зические в полные [33].
Множитель а приобретает более широкий смысл в силу сле-
дующего результата.
Предложение 6.4.4
Пусть у — замкнутая изотропная геодезическая кривая, кото-
рая неполна в будущем; тогда найдется вариация у, которая
сдвигает каждую точку у в будущее, и при этом получается за-
мкнутая времениподобная кривая.
Согласно разд. 2.6, на Л можно построить поле линейных
элементов (V, —V), нормированное так, что g(V, V) = —1. По-
скольку мы предполагаем, что Л ориентируемо во времени,
можно согласованным образом выбрать одно из направлений
(V, -V) и получить в результате направленное в будущее вре-
мениподобное векторное поле V. Тогда можно ввести положи-
6.4. Условия причинности
213
тельно-определенную метрику g':
g' (X, Y) = g (X, Y) + 2g (X, V) g (Y, V).
Пусть t — неаффинный параметр на у, который равен нулю в не-
которой точке б/еуи для которого g(V, d/dt) = — 1/д/2. Тогда
t измеряет собственное расстояние вдоль у в метрике g' и пробе-
гает значения —оо < t < оо. Рассмотрим вариацию у с векто-
ром вариации д/ди, равным xN, где х— функция x(t). Согласно
разд. 4.5,
1 <3 / д <3 \ d / д <3 \ / д D <3 \
2 ди k dt ’ dt ) dZ @ \ ди ’ dt ) & к, ди ’ dt dt ) ~
= Т).
где f(d/dt) = (DO) (d/dt). Допустим теперь, что v— аффинный
параметр на у. Тогда d/dv будет пропорционален d/dl: d/dv —
= hd/dt, где h~ldh/dt = —f. После одного обхода по у вектор
d/dv умножается на а > 1. Следовательно,
ф f dt — — In а О 0.
Поэтому, если мы возьмем функцию x(t) равной
exp I f (f ) dt' + b~1 Лп a j,
'0 '
где b = ф dZ, то получим вариацию у в будущее и замкнутую
времениподобную кривую. □
IlpedAOM:entie 6.4.5
Если
а) НаьКаК.ь О 0 для любого изотропного вектора К;
б) выполняется типовое условие: каждая изотропная геоде-
зическая с касательным вектором К содержит точку, в которой
K.[aR.b\ cd [eKf]KCKd У= О',
в) в Л выполняется хронологическое условие,
то в Л выполняется условие причинности.
Если бы существовали неполные замкнутые изотропные кри-
вые, то в силу предыдущего предложения их можно было бы
варьировать так, чтобы получить замкнутые времениподобные
кривые. Если бы существовали полные замкнутые изотропные
линии, то по предложению 4.4.5 они содержали бы сопряженные
точки и, согласно предложению 4.5.12, их снова можно было бы
варьировать к замкнутым времениподобным кривым. □
214
Гл. 6. Причинная структура
Из этого видно, что в физически реалистических решениях
условие причинности и хронологическое условие эквивалентны.
Отождествляются
Изотропная
геодезическая
вь/резается
поноска
Рис. 37. Пространство, в котором всюду выполняются условие причинности
и условие, выделяющее прошлое, но условие, выделяющее будущее, в р
или q не выполняется (действительно, /+ (р) = 1+ (<?)). Наклон изотропных
конусов на цилиндре увеличивается, пока одно изотропное направление
не станет горизонтальным, и затем конусы снова выпрямляются; из про-
странства удалена полоса, так что она разрывает эту изотропную геодезиче-
скую, которая иначе была бы замкнута.
Подобно отказу от замкнутых времениподобных линий, пред-
ставляется разумным исключить ситуации, в которых будут су-
ществовать непространственноподобные кривые, возвращающие-
ся сколь угодно близко к своей исходной точке или проходящие
сколь угодно близко от таких непространственноподобных кри-
вых, которые в свою очередь проходят бесконечно близко от
исходной точки первой кривой и т. д. Картер [27] указал, что в
6.4. Условия причинности
215
действительности имеется более чем счетная бесконечная иерар-
хия таких условий причинности более высокого порядка; они за-
висят от числа и порядка рассматриваемых предельных процес-
сов. Мы опишем первые три из этих условий и затем сформули-
руем предельно-сильное условие причинности.
Говорят, что в p<=Jl выполняется условие, выделяющее буду-
щее (соответственно прошлое) [94], если в каждой окрестности р
Вырезается
Изотропная
геодезическая
Отождествляются
Вырезается
Рис. 38. Пространство-время, которое удовлетворяет условию причинности
и условиям, выделяющим проштое и будущее, но в точке р не удовлетво-
ряет условию сильной причинности. С поверхности цилиндра удалены Две
полоски; световые конусы проходят под углом ±45°.
содержится такая окрестность р, которую никакая направленная
в будущее (соответственно в прошлое) из р непространственно-
подобная кривая не пересекает более одного раза. Эквивалент-
ное утверждение состоит в том, что из равенства /+(<?)= 1+{р)
(соответственно из /“(<?) = 1-(р)) следует, что q=p. На рис. 37
дан пример ситуации, когда условие причинности и условие, вы-
деляющее прошлое, выполнены всюду, но условие, выделяющее
будущее, не выполняется в точке р.
Говорят, что в р выполняется условие сильной причинности,
если каждая окрестность р содержит такую окрестность р, ко-
торую никакая непространственноподобная кривая не пересекает
более одного раза. Пример нарушения этого условия дан на
рис. 38.
Предложение 6.4.6
Если условия (а) —(в) предложения 6,4.5 выполнены и, кро-
ме того,
216 Гл. 6. П ршшнная структура
г) Ж— изотропно геодезически полное многообразие, то на
Ж выполняется условие сильной причинности.
Допустим, что в р е Ж условие сильной причинности не вы-
полняется. Пусть Ж— нормальная выпуклая окрестность точ-
ки р и пусть Vn cz -Ll — бесконечная последовательность окрест-
ностей р, таких, что любая окрестность р содержит все Vn с
достаточно большими га. Тогда для каждого Vn будет существо-
вать направленная в будущее непространственноподобная кри-
вая Ап, которая выйдет за пределы °U и затем вернется в Vn.
По лемме 6.2.1 найдется непродолжимая непространственнопо-
добная кривая А, которая будет предельной кривой для после-
довательности Ап- Никакие две точки А не могут иметь вре-
мениподобное разделение, иначе их можно было бы соединить
некоторой Ап, так чтобы получилась замкнутая непространст-
венноподобная кривая. Таким образом, А должна быть изотроп-
ной геодезической. Но по условиям (а), (б) и (г) А должна
содержать сопряженные точки и, следовательно, точки с време-
ниподобным разделением. □
Следствие
На Ж будут выполняться также условия, выделяющие про-
шлое и будущее, ибо они содержатся в условии сильной при-
чинности.
С этими тремя условиями причинности более высокого поряд-
ка тесно связано явление захвата. При построении направленной
в будущее непространственноподобной кривой у, которая непро-
должима в будущее, возможны следующие варианты:
1) кривая войдет и останется в компактном множестве
2) кривая не будет оставаться внутри какого-либо компакт-
ного множества, но будет постоянно возвращаться в компактное
множество
3) кривая не останется внутри какого-либо компактного мно-
жества SP и не будет возвращаться более конечного числа раз
в любое такое множество.
В третьем случае можно считать, что у уходит к краю про-
странства-времени, т. е. или на бесконечность, или в сингуляр-
ность. В первом и во втором случае мы будем говорить, что бу-
дущее у соответственно полностью или частично захвачено мно-
жеством У. Может показаться, что захват имеет место только
при нарушении условия причинности, но пример, принадлежа-
щий Картеру (рис. 39), показывает, что это не обязательно. Тем
не менее справедливо следующее предложение:
Предложение 6.4.7
Если условие сильной причинности выполняется на компакт-
ном множестве д’, то не может быть непродолжимых в будущее
6.4. Условия причинности
217
непространственноподобных кривых с будущим, полностью или
частично захваченным множеством 9.
У можно покрыть конечным числом выпуклых нормальных
координатных окрестностей <Ui с компактным замыканием, та-
ких, что любую °Ui любая непространственноподобная кривая
пересекает не более одного раза. (Такие окрестности мы будем
а
5
Рис. 39. Пространство с захваченными непространственноподобными линиями
но без замкнутых непространственноподобных линий. Многообразие пред-
ставляет собой Rl X S1 X S1 и описывается координатами (t, у, г), причем
(/, у, z) отождествляется с (I, у, z + 1) и с (у, у + 1, z + а), пде а — ирра-
циональное число. Лоренцева метрика имеет вид
ds2 — (ch t — I)2 (d t- — d y~) + dt dy — d z~.
a — сечение {z = const}, показывающее ориентацию изотропных конусов;
б —сечение t = 0, показывающее часть изотропной геодезической.
называть окрестностями локальной причинности.) Любая непро-
должимая в будущее непространственноподобная кривая, кото-
рая пересекает одну из этих окрестностей, должна ее покинуть и
не возвращаться в нее. □
Предложение 6.4.8
Если на компактном множестве 9* выполняются условия, вы-
деляющие будущее или прошлое, то не может существовать не-
продолжимая в будущее непространственноподобная кривая, бу-
дущее которой полностью захвачено 9. (Этот результат приве-
ден здесь, поскольку он интересен сам по себе, но в дальнейшем
он нам не понадобится.)
Пусть {Та}, (а = 1, 2, 3)—счетный базис из открытых мно-
жеств в Л' (т. е. любое открытое множество в Ж можно предста-
218
Гл. 6. Причинная структура
вить как некоторое объединение множеств Поскольку на 9~!
выполняется условие, выделяющее будущее или прошлое, любая
точка р е 91 будет иметь нормальную выпуклую координатную
окрестность °U, такую, что никакая направленная в будущее (со-
ответственно в прошлое) непространствешюподобная кривая,
выходящая из р, не пересекает 91 более одного раза. Введем
функцию f(p), равную наименьшему значению а, при котором
Та содержит р и сама содержится в некоторой окрестности °U.
Допустим, что имеется непродолжимая в будущее непро-
странственноподобная кривая с будущим, полностью заключен-
ным в 91. Пусть точка q е л такова, что А/ = ЛП7+(<7) содер-
жится в 9\ Определим как замкнутое непустое множество,
состоящее из всех точек SK которые являются предельными точ-
ками Ъ. Пусть р0 е Ж»— та точка, в которой f(p0) равна наи-
меньшему значению /(р) на Тогда через р0 можно провести
непродолжимую непространственноподобную кривую у0, каждая
точка которой будет предельной точкой //. Никакие две точки у0
не могут иметь времениподобное разделение, иначе некоторый
сегмент V можно было бы деформировать так, чтобы получить
замкнутую непространственноподобную кривую. Следовательно,
уо будет непродолжимой изотропной геодезической, которая пол-
ностью захвачена в 9> и в направлении будущего, и в направле-
нии прошлого. Пусть — замкнутое множество, состоящее из
всех предельных точек области уо П /+(ро) (или, в случае выпол-
нения на 9* условия, выделяющего прошлое, уоГ1/_(ро))-
с: ^0, поскольку каждая такая точка будет также и предель-
ной точкой V. Ввиду того что не может содержать каких-
либо предельных точек множества уо П /+(ро) (соответственно
уо П (/?о)), будет точно меньше ^о- Так мы получим беско-
нечную последовательность замкнутых множеств Д Д
••• . Каждое л^р не пусто, ибо является множе-
ством всех предельных точек изотропной геодезической с буду-
щим (соответственно с прошлым), полностью захваченным в
Ур-1 П/+(^р-1) (соответственно в ур—i П /~(рр-1))• Пусть
Ж = Г| Поскольку 9? компактно, Ж — непустое множество:
пересечение любого конечного числа множеств «s/р непусто. До-
пустим, г ^Ж. Тогда f(r) = f(pp) для некоторого р. НоУ’цр^П
П c^p+i пусто, и поэтому г не может принадлежать множеству
i9/p+i, а значит, и не может принадлежать Ж. Отсюда ясно, что
существование непродолжимой в будущее непространственнопо-
добной кривой с полностью захваченным в 9Р будущим невоз-
можно.
Причинные отношения в (Jt, g) можно использовать для вве-
дения на Ж топологии, называемой топологией Александрова,
6.4. Условия причинности
219
Эта топология, в которой по определению множество открыто
в том и только в том случае, если оно является объединением
одного или больше множеств вида /+(/?) П I~ (q), р,д<=Л.
I+(p) открыто в топологии многообразия; поэтому любое
множество, открытое в топологии Александрова, будет откры-
тым и в топологии многообразия, хотя обратное не обязательно
верно.
вырезаете»
вырезается
----Изотрот/б/е геодезические
Вырезается
I6
I
f
Рис. 40. Пространство, удовлетворяющее условию сильной причинности,
в котором, однако, малейшее изменение метрики может привести к появлению
замкнутых времениподобных линий, проходящих через р С поверхности ци-
.линдра удалены три полоски; световые конусы проходят под углом ±45°.
Допустим, однако, что на Л выполняется условие сильной
причинности. Тогда вокруг любой точки г е Л найдется окрест-
ность локальной причинности aLL. Топология Александрова пары
(<2/, g|<2/), которая сама рассматривается как пространство-вре-
мя, очевидно, совпадает с топологией многообразия в окрестно-
сти °И. Отсюда следует, что топология Александрова многообра-
зия Л совпадает с топологией многообразия, так как Л можно
покрыть окрестностями локальной причинности. Это означает,
что при выполнении условия сильной причинности топологиче-
ская структура пространства-времени может быть установлена
изучением причинных соотношений.
Как видно из рис. 40, даже наложение условия сильной при-
чинности не ликвидирует все причинные патологии; простран-
ство-время находится на грани нарушения хронологического
условия в том смысле, что малейшее изменение метрики может
220
Гл. 6. Причинная структура
привести к появлению замкнутых кривых. Такого рода ситуация
не выглядит физически реалистической, поскольку общая теория
относительности, по-видимому, является классическим пределом
еще неизвестной квантовой теории пространства-времени, а в
Рис. 41. Открытое множество °U в открытой С°-топологии на про-
странстве (X) симметричных тензоров типа (0,2) на Я.
этой теории принцип неопределенности должен воспрепятство-
вать тому, чтобы метрика имела точное значение в каждой точ-
ке. Поэтому, чтобы быть физически осмысленным, то или иное
свойство пространства-времени должно обладать определенного
рода устойчивостью, т. е. этим свойством должны обладать и
«близкие» пространства. Для придания точного смысла слову
«близкий» необходимо задать некоторую топологию на множе-
стве всех пространств-времен, т. е. всех некомпактных четырех-
мерных многообразий и лоренцевых метрик на них. Мы не будем
касаться проблемы объединения многообразий с различными
топологиями в односвязное топологическое пространство, а рас-
смотрим лишь введение топологии в множество всех лоренцевых
Сг-метрик (r^ 1) на данном многообразии. Это можно сделать
разными способами в зависимости от того, требуем ли мы, чтобы
6.4. Условия причинности
221
«близкая» метрика была близка только по своим значениям
((/-топология) или же еще и по производным до й-го порядка
((/-топология), а также от того, требуется ли близость везде
(открытая топология) или только на компактных множествах
(компактная открытая топология).
Для наших целей интересна открытая С°-топология. Ее можно
определить следующим образом. Пространства Т5°Др) симмет-
ричных тензоров типа (0, 2) в каждой точке р е Ж обра-
зуют многообразие (с естественной структурой). Г$°(^)— рас-
слоение симметричных тензоров типа (0, 2) над Ж. Лоренцева
метрика g на Ж есть установление соответствия Между некото-
рым элементом Тк-ЛЖ} и каждой точкой р^.Ж, и, следова-
тельно, ее можно рассматривать как такое отображение или
сечение Тs02 (Ж), для которого n?g=l, где л — проек-
ция Тз2(Ж)^-Ж, переводящая хеДрл в р. Пусть — от-
крытое множество в Г$°(.<), и пусть О (^ — множество всех
лоренцевых С°-метрик g, таких, что £(Ж) содержится в
(рис. 41). Тогда открытое множество лоренцевых (/-метрик
в открытой (/-топологии определяется как объединение одного
или более множеств вида О
Будем говорить, что на Ж выполняется условие устойчивой
причинности, если пространственно-временная метрика g имеет
такую открытую окрестность в открытой (/-топологии, что в лю-
бой метрике, принадлежащей этой окрестности, нет замкнутых
времениподобных кривых. Использование (/-топологии не при-
вело бы к отличиям, но компактная открытая топология недопу-
стима, так как в ней каждая окрестность любой метрики содер-
жит замкнутые времениподобные кривые. Другими словами,
условие устойчивой причинности означает, что в каждой точке
можно слегка расширить световой конус, не получая при этом
замкнутых времениподобных кривых.
Предложение 6.4.9
Условие устойчивой причинности выполняется всюду в Ж,
если и только если существует функция f на Ж, градиент кото-
рой всюду времениподобен.
Замечание. Функцию f можно мыслить как род космического
времени в том смысле, что она возрастает вдоль каждой направ-
ленной в будущее непространственноподобной кривой.
Доказательство. Из существования функции f с везде време-
ниподобным градиентом следует условие устойчивой причинно-
сти, поскольку замкнутые времениподобные линии невозможны в
любой метрике h, которая близка к g настолько, что изотропный
конус каждой точки р е Ж в метрике h пересекает проходящую
222
Гл. 6. Причинная структура
через р поверхность {/ — const} только в р. Чтобы показать
справедливость обратного утверждения, введем на Л объемную
меру ц (она не связана с объемной мерой, задаваемой метри-
кой g), по которой полный объем Л равен единице. Один из
способов введения этой меры состоит в следующем: выберем для
Л счетный атлас фа), в котором фсА^а) компактно в /?4.
Пусть цо — естественная евклидова мера на А’4, и пусть fa — раз-
ложение единицы для атласа ^а). Тогда ц можно опреде-
лить как
Z fa2-a [Цо(^а)]“‘ фа^а.
а
Теперь, если выполняется условие устойчивой причинности,
найдется семейство лоренцевых Сг-метрик h(a), а е [0, 3] со
следующими свойствами:
1) h(0) является пространственно-временной метрикой g;
2) для каждого а е [0, 3] в метрике h(a) нет замкнутых вре-
мениподобных кривых;
3) если «1, Яг е [0, 3] и di < az, то каждый вектор, непро-
странственноподобный в метрике h(a1), будет времениподобным
в метрике h (а2) •
Пусть 0(р, а), р <= Л — объем области 1~(р, Л, h (а)) по
мере ц, где через °U, h) обозначено прошлое относитель-
но в метрике h. Для данного значения а е(0, 3) 0 (р, а) будет
ограниченной функцией, возрастающей вдоль каждой непро-
странственноподобной кривой. Однако эта функция может не
быть непрерывной: как видно из рис. 42, может оказаться, что
небольшое изменение положения позволяет наблюдателю уви-
деть прошлое за «ширмой» и таким образом увеличить объем
прошлого. Следовательно, нам нужно каким-то образом сгла-
дить 0(р, а) так, чтобы получить непрерывную функцию, воз-
растающую вдоль каждой направленной в будущее и непро-
странственноподобной в метрике h(0) кривой. Это можно сде-
лать, проводя усреднение по области изменения а. Пусть
9
0 (р) = 0 (р, a) da;
1
покажем, что 0 (р) непрерывна на Л.
Сначала нужно показать, что 0(р) полунепрерывна сверху.
Зададим е > 0; пусть $ — шар с центром в р, такой, что объем
по мере ц меньше, чем е/2. По свойству (3) для а{, а2 е [0, 3]
с й] < а2 в найдется окрестность & а2) точки р, для
которой
[Г (ад), h (aj) П ш [/" (р, Я h (а2)) Л $].
6.4. Условия причинности
223
Пусть п — положительное целое число, большее чем 2е-1. Тогда
мы определим множество = Д (1 + у At’1, 1 + у («+1) п-1) ,
i
i — Q, 1, 2п. $ является окрестностью р и содержится в
ST (а, а + /г-1) при любом а (= [1, 2]. Поэтому /“ (q, Л, h (а)) — $
Р и с. 42. Небольшой сдвиг точки из р в q приводит к большому изменению
объема прошлого этой точки. Световые конусы проходят под углом ±45°;
удалена полоска.
будет содержаться в I (р, Л, h (а + п ')) — если q е S’ и
а е [1, 2]. Отсюда
6 (р, а) < 6 (р, ° + у е) + у е
и, следовательно, 0(р)^ 9(р)+е, из чего видно, что 0 полуне-
прерывна сверху. Аналогично доказывается, что она полунепре-
рывна снизу. Чтобы получить дифференцируемую функцию,
можно усреднить 0 с подходящей сглаживающей функцией по
окрестности каждой точки. Выбирая достаточно малую окрест-
ность, можно получить функцию f, градиент которой везде вре-
мениподобен по метрике g. Детали этой процедуры сглаживания
можно найти в работе [167]. □
Пространственноподобные поверхности {f = const} можно
рассматривать в качестве поверхностей одновременности в про-
странстве-времени, хотя они, конечно, не единственны. Если эти
поверхности компактны, то они все диффеоморфны одна другой,
но это не обязательно справедливо, если некоторые из них не-
компактны.
224
Гл. 6. Причинная структура
6.5. Области Коши
В теории Ньютона имеется мгновенное дальнодействие; по-
этому, чтобы предсказать события в будущих точках простран-
ства-времени, мы должны знать состояние всей Вселенной в
настоящий момент времени, а также наложить некоторые гранич-
ные условия на бесконечности, вроде того, что потенциал стре-
мится к нулю. Напротив, из постулата (а) разд. 3.2 следует, что
в теории относительности события в различных точках простран-
ства-времени могут быть причинно связаны только в том случае,
если их можно соединить непространственноподобной кривой.
Таким образом, знание соответствующих данных на замкнутом
множестве д (если данные известны на открытом множестве, то
на его замыкании они получаются в силу непрерывности) позво-
лит устанавливать события в области D+(^) будущего д, назы-
ваемой областью Коши будущего множества д и определяемой
как множество всех таких точек р <^Л, для которых каждая не-
продолжимая в прошлое непространственноподобная кривая,
проходящая через р, пересекает д (отметим, что О^(д)^ д).
Пенроуз [127, 128] определяет область Коши множества д
немного иначе, а именно как множество всех точек р^.Л, та-
ких, что каждая непродолжимая в прошлое времениподобная
кривая, проходящая через р, пересекает д. Такое множество мы
будем обозначать /5+(^). Справедлив следующий результат:
Предложение 6.5.1
£>+ (^)=5т(п
Очевидно, D+ (д) D+ (д’). Если точка q Л — Ь+ (д’), то
у нее есть окрестность с2/, не пересекающая д. Из q можно
провести непродолжимую в прошлое кривую Л, которая не
пересекает д. Если г е Л f| I~ (q, <U), то /+ (г, °И) является
открытой окрестностью q в Л—D+(d). Следовательно,
Л — D+ (д’) — открытое множество, a D+ (д’) — замкнутое. До-
пустим, что существует точка р <= П+ (д’), у которой имеется
окрестность У, не пересекающая D+ (д). Выберем точку х е
^I~(p, Т). Из нее можно провести непродолжимую непро-
странственноподобную кривую у, которая не пересекает д’.
Пусть уа — последовательность точек на у, которая не сходится
к какой-либо точке, причем у„+1 лежит в прошлом уп. Пусть
ТК’п. — нормальные выпуклые окрестности точек уп, причем УКп+\
не пересекается с 7fn. Пусть, наконец, zn есть последователь-
ность точек, такая, что
zn+x е 1+ (уп+1, Гя+1) П Г (zn, Л - д’).
6.5. Области Коши
225
Тогда должна существовать непродолжнмая времениподобная
кривая с началом в р, которая проходит через каждую точку
и не пересекает 9’. Но это противоречит условию, что р е Ь+ (9’).
Следовательно, Ь+(S?) содержится в замыкании D+(У), и по-
этому Ь+ (5Р) = D+ (З’). □
Граница области £>+(^) в будущем, т. е. D+(9}) — I~(D+ (.9’)),
очерчивает пределы области, которая может быть предсказана
Рис. 43, Область Коши будущего D+ и горизонт Коши в будущем Н+ (S’)
замкнутого множества S’, которое частично изотропно и частично простран-
ственноподобно. Отметим, что горизонт Н+ (S) не обязательно связен. Изо-
тропные линии проходят под углом ±45°; удалена полоска.
по известным данным на З’. Это замкнутое ахрональное множе-
ство мы будем называть горизонтом Коши в будущем множе-
ства SP и обозначим его через Н+(^); как видно из рис. 43,
Я+(97) пересекает 9^, если множество 3 изотропно или имеет
«границу». Чтобы придать этому выражению точный смысл,
определим границу (9’) ахронального множества 3 как множе-
ство всех точек ее:/', в каждой окрестности 91 которых есть
точки р е I~(q, 9Z) и г е I+(q, ‘U), которые можно соединить не-
пересекающей 3 времениподобной кривой в 91. В силу аргу-
ментов, аналогичных тем, что были приведены в доказательстве
предложения 6.3.1, получаем, что 3 является трехмерным вло-
женным (^-подмногообразием, если непустое ахрональное мно-
жество 3 не имеет границы.
8 Заказ 381
226
Гл. 6 Причинная структура
Предложение 6.5.2
Для замкнутого ахропального множества 17 граница (Я+(^))
совпадает с границей (9}).
Пусть -2Ж — последовательность окрестностей точки q, при-
надлежащей границе (Я+(1?)), такая, что любая окрестность q
содержит все °Un с достаточно большим п. В каждой окрестно-
сти <Ып найдутся точки р е I~(q, и rn<= I+(q, 9/п), которые
можно соединить времениподобной кривой не пересекающей
Н+(9>). Это означает, что Ж не может пересечь £)+(17). По пред-
ложению 6.5.1 q^D C/) и, следовательно, Г (</) с 1~ (П+ (^))с:
ст Г (17) (J D+ (9^. Таким образом, рп должна лежать в
Кроме того, каждая непродолжимая в направлении прошлого
времениподобная кривая с началом в q должна пересечь 17. По-
этому при каждом п на каждой времениподобной линии в 92п,
соединяющей q и рп, должна быть точка множества 9> и, значит,
q должна принадлежать 9?. Так как кривые лп не пересекают 9\
q лежит на границе (17). Аналогично доказывается обратное
утверждение. □
Предложение 6.5.3
Пусть 9?— замкнутое ахрональное множество. Тогда Я+(^)
порождается изотропными геодезическими сегментами, которые
или вообще не имеют конечных точек в прошлом, или имеют ко-
нечную точку в прошлом на границе (9?).
Множество 9~ = является множеством про-
шлого. Следовательно, в силу предложения 6.3.1, 9~— ахрональ-
ное ^-многообразие. Я+(^) —замкнутое подмногообразие мно-
гообразия 3~. Пусть q <= [Н+(9>')— граница (17)). Если q ф 9Р, то
q£/+(17), поскольку q^D0'9}. В силу ахрональности 9> най-
дется нормальная выпуклая окрестность Ж точки q, которая не
пересекает 7“ (17). Пусть теперь q <= 9?, и пусть Ж— нормальная
выпуклая окрестность q, такая, что ни одна точка из 7+(^, Ж)
не может быть соединена с какой-либо точкой из l~(q, Ж) вре-
мениподобной кривой, не пересекающей 17. В любом случае, если
р — какая-либо точка в /+(7), должна найтись направленная в
прошлое времениподобная кривая от р до некоторой точки из
JI — 9~— Ж, поскольку иначе р лежала бы в £)+(^). Отсюда,
согласно условию (1) леммы 6.3.2, примененному к множеству
будущего JI — 9~, имеем q 9~ 90.. °
Следствие
Если граница (9’) = 0, то Н+(9), когда он не пуст, является
ахрональпым трехмерным вложенным С’-многообразием, кото-
рое порождено изотропными геодезическими сегментами, не
имеющими конечных точек в прошлом.
6.5. Области Коши
227
Непричинное множество без края мы будем называть ча-
стичной поверхностью Коши. Иначе
ность Коши — это пространственно-
подобная гиперповерхность, кото-
рую ни одна непространствснвопо-
добная кривая не пересекает б зее
одного раза. Допустим, что суще-
ствует связная прострапственнопо-
добная гиперповерхность (без
края), пересекаемая непростран-
ственноподобной кривой в точках pi
и рг- Тогда р\ и р2 можно соединить
кривой ц, лежащей в д, и ц U I
будет замкнутой кривой, которая
пересекает д только один раз. Эту
кривую нельзя непрерывным обра-
зом стянуть в нуль, поскольку такая
деформация может изменить число
пересечений кривой с д только на
четное число. Таким образом, Ж не
может быть односвязным. Это озна-
чает, что мы могли бы «развер-
нуть» Ж, перейдя к односвязному
универсальному накрывающему
многообразию для Ж, в котором
каждая связная компонента образа
д является пространственноподоб-
ной гиперповерхностью (без края),
а следовательно, частичной поверх-
ностью Коши в Ж (рис. 44). Однако
переход к универсальному накры-
вающему многообразию может «раз-
вернуть» Ж больше, чем требуется,
Р и с. 44. SP — связная про-
страпственноподобпая гипер-
поверхность без края в Л.
Опа не является частичной по-
верхностью Коши, однако
каждый образ д-1 (^) поверх-
ности SP в универсальном на-
крывающем многообразии Ж
многообразия .// представляет
собой частичную поверхность
Коши в .1!.
и дать в результате такую частич-
ную поверхность Коши, которая бу-
дет некомпактной даже тогда, когда
д компактно. Для целей последую-
щих глав было бы желательно иметь
накрывающее многообразие, кото-
рое развертывает ,// так, чтобы каж-
дая связная компонента образа д
была частичной поверхностью Коши,
но при этом оставалась гомеоморф-
ной д. Такое накрывающее много-
образце можно построить по крайней мере двумя различными
способами.
8*
228
Гл. б. Причинная структура
Напомним, что универсальное накрывающее многообразие
можно определить как множество всех пар (р, [л]), где р еЛ и
[?.] — класс эквивалентности кривых в Л от некоторой фиксиро-
ванной точки q е Л до р, гомотопных по модулю q и р. Накры-
вающее многообразие Лц определяется как множество всех пар
(р, [Л.]), где [л]—класс эквивалентности кривых от г? до р,
гомотопных по модулю 9 и р (т. е. концы на поверхности 9 мо-
гут сдвигаться по ней). Можно сказать, что Лн — это наиболь-
шее накрывающее многообразие, в котором каждая связная
компонента образа 9 гомеоморфна 9. Накрывающее многообра-
зие Ла [52] по определению— это множество всех пар (р, [X]),
где на этот раз [А] является классом эквивалентности кривых от
фиксированной точки q до р, которые пересекают 9 одинаковое
число раз, причем пересечение в направлении будущего счита-
ется положительным, а в направлении прошлого — отрицатель-
ным. Можно сказать, что Ла является наименьшим накрываю-
щим многообразием, в котором каждая связная компонента
образа 9 делит Ла на две части. В обоих случаях топологиче-
ская и дифференциальная структура накрывающего многообра-
зия фиксируется требованием, чтобы проекция, отображающая
(р, [X]) в р, локально была диффеоморфизмом.
Введем D (9) — D+ (9) U D~ (9). Частичная поверхность
Коши 9 называется глобальной поверхностью Коши (или про-
сто поверхностью Коши), если О(9) = Л. Таким образом, по-
верхность Коши — это пространственноподобная гиперповерх-
ность, которую каждая непространственноподобная кривая пере-
секает точно один раз. Примерами поверхности Коши в
пространстве Минковского служат поверхности {х4 = const}, но
гиперболоиды
{(х4)2 — (.г3)2 — (%2)2 — (.К)2 = const}
являются только частичными поверхностями Коши, поскольку
изотропный конус будущего или прошлого в начале системы ко-
ординат будут горизонтами Коши для этих поверхностей (см.
разд. 5.1 и рис. 13). То, что данная поверхность является поверх-
ностью Коши, — это не только свойство самой поверхности, но
также и свойство объемлющего пространства-времени в целом.
Например, достаточно вырезать из пространства Минковского
только одну точку, как полученное пространство-время вообще
не будет допускать ни одной поверхности Коши.
Если для рассматриваемого многообразия Л существует по-
верхность Коши, то, имея нужные данные на ней, мы могли бы
определить состояние Вселенной в любой момент прошлого или
будущего. Однако мы не можем собрать такие данные, не побы-
вав в будущем каждой точки поверхности, что в большинстве
случаев невозможно. Мы не располагаем вескими физическими
6.6. Глобальная гиперболичность
2Э
доводами для уверенности в том, что Вселенная допускает по-
верхность Коши; имеется целый ряд известных точных решений
уравнения Эйнштейна, которые ее не допускают. Среди них опи-
санные в гл. 5 пространство де Ситтера 2-го рода, плоские вол-
ны, пространство Тауба — НУТ, решение Райсснера — Норд-
стрема. Последнее представляет собой особо интересный случай:
поверхность & на рис. 25 позволяет предсказать события во
внешних областях /, где г > г+, и в соседних областях II, где
< г < г+, но при этом существует горизонт Коши г = г_.
Точки соседней области III не лежат в £)+(^’), ибо в этой обла-
сти имеются непространственноподобные кривые, которые непро-
должимы в направлении прошлого и не пересекают г = г_, а
стремятся к точкам i+ (их можно считать расположенными на
бесконечности) или к сингулярности г — 0 (которую нельзя рас-
сматривать как часть пространства-времени, см. разд. 8.1). В эту
область может поступать дополнительная информация из беско-
нечности или сингулярности, которая нарушит любые предсказа-
ния, сделанные на основе одних только данных на 5*’. Итак, в
общей теории относительности наша способность предсказывать
будущее ограничена как трудностями, связанными с необходи-
мостью знать данные на всей пространственноподобной гиперпо-
верхности, так и тем, что даже такого знания может оказаться
недостаточно. Однако, несмотря на эти ограничения, все же мож-
но предсказать, правда, при определенных условиях существо-
вание сингулярностей.
6.6. Глобальная гиперболичность
С областями развития тесно связано свойство глобальной ги-
перболичности [99]. Множество Л9 называется глобально гипер-
болическим, если на Л9 выполняется предположение о сильной
причинности и если для любых двух точек р, 7+(р)А
A J~(q) компактно и содержится в Л9. В некотором смысле мож-
но считать, что это определение говорит о том, что ни одна точка
из /+(/?) А /~(д) не принадлежит краю пространства-времени,
т. е. бесконечности или сингулярности. Термин «глобальная ги-
перболичность» возник в связи с тем, что волновое уравнение
с источником в виде б-функции аре..Т имеет в Л9 единственное
решение, обращающееся в нуль вне Л9— 7+(р, Л9) (см. гл. 7).
Напомним, что Л9 называют причинно-простым, если для лю-
бого компактного множества Ж, содержащегося в Л9, 7+(^)А
А Л9 и 1~(^) А Л9 замкнуты в Л9.
Предложение 6.6.1
Открытое глобальное гиперболическое множество Л9 — при-
чинно простое.
230
Гл. 6. Причинная структура
Пусть р — любая точка множества Л9. Допустим, что есть
точка
q е= (7+ (р) — Г (р)) Г1 Л’.
Поскольку Л9 открыто, должна быть точка ге(/ДДД). Но
тогда q е J+ (р) Л .Г (г), что невозможно, так как J+ (р) П Д (г)
должно быть компактным и поэтому замкнутым. Таким образом,
/+ (р) Л Л9 и Ж (р) П Л9 замкнуты в Ж. _______
Допустим теперь, что существует точка qe.(j+(JH’) —
— J+ (J^)) П Л9. Пусть qn — бесконечная последовательность точек
/+(ДЛЛ9, сходящаяся к q, причем qn+i е/“ (рд). Для каждого п
Г (qn) П Ж будет компактным непустым множеством. Поэтому
П{Д(^)П^} будет непустым множеством. Пусть р — точка
п
этого множества. Тогда qn при всех п будут лежать в J+ (р).
Но J+ (р) замкнуто. Поэтому J+ (р) содержит q. □
Следствие
Если Жх и Ж,- компактные множества в Л9, J+ (Xi) Л Ж (.7zf'2)
компактно.
Можно найти конечное число точек pt е Л9, для которых
{U 1+ (рг)}=эХ,.
Аналогично, существует конечное число точек qf, таких, что Ж^
содержится в
и/’(<?/)•
/
Тогда J+ (Ж{) Л Ж содержится в
U У+ (Pi) Л Г (q,)}
i. i
и замкнуто. □
В работе [99] Лере дал иное, но эквивалентное введенному
выше определение глобальной гиперболичности; сейчас мы его
сформулируем. Для точек p,q <=Jl, для которых в У+(р) П /“(<?)
выполняется условие сильной причинности, мы введем С(р, р) —
пространство всех (непрерывных) непространственноподобных
кривых, соединяющих р и q\ при этом принимается, что две кри-
вые уД) и Z(«) представляют одну и ту же точку пространства
С(р, р), если они получаются одна из другой перепараметриза-
цией, т. е. если существует непрерывная монотонная функция
f(«), такая, что y(f(zz)) = Z(zz). (Пространство С(р, 7) можно
6.6. Глобальная гиперболичность
231
ввести, даже если на 7+(р)П /“(<?) условие сильной причинности
не выполняется.) Топология C(p,q) определяется заданием
окрестностей кривой ус С(р, q), состоящих из всех тех кривых
в С(р, q), точки которых в Ж лежат в окрестности Ж9 точек у
(рис. 45). Определение Лере [99] состоит в том, что множество Л
называется глобально гиперболическим, если C{p,q) компактно
для всех р, q <=Л\ Эквивалентность этих определений видна из
следующего результата:
Рис. 45. Окрестность точек кривой у в Л. Окрестность у в С (р, q) со-
стоит из всех кривых от р до q, точки которых лежат в Ж,
Предложение 6.6.2 (Зейферт [/55], Герок [52])
Пусть на открытом множестве Л = /_(Л5)П 7+(Л9) выпол-
няется сильная причинность. Тогда для глобальной гиперболич-
ности Л необходимо и достаточно, чтобы пространство С(р, q)
было компактно для всех p,q е Л.
Предположим сначала, что С(р, q) компактно. Пусть гп—•
бесконечная последовательность точек /+(р) П/“(<?), и пусть
Гп — последовательность непространственноподобных кривых от
р до q, проходящих через соответствующую гп. Ввиду компакт-
ности C(p,q) существует кривая Г, к которой в топологии
С(р, q) сходится некоторая подпоследовательность Г'п. Пусть
— такая окрестность кривой Г в Ж, что Щ компактно. Тогда
'Т/ будет содержать все Г'п, а значит, и все Гп при достаточно
больших га; следовательно, имеется точка г е 'U, которая явля-
ется предельной точкой последовательности Очевидно, г ле-
жит на Таким образом, любая бесконечная последователь-
ность в /+(/?) Г) /“(<?) имеет предельную точку в 1+(р) П /“(<?)•
Поэтому /+(р)П J~(q) компактно.
232
Гл. 6. Г1 ричинная структура
Обратно, допустим /+(/?) П 7-(<?) компактно. Пусть /,п — бес-
конечная последовательность непространственноподобных кри-
вых от р до q. По лемме 6.2.1, примененной к открытому множе-
ству Л — q, в нем существует направленная в будущее непро-
странственноподобная кривая X с началом в р, которая непро-
должима в Л—q и для которой найдется подпоследователь-
ность л'п, сходящаяся к г при каждом г е X. Кривая Л должна
иметь конечную точку q в будущем, поскольку, согласно предло-
жению 6.4.7, она не может быть полностью заключена в буду-
щем в компактном множестве 7+(р) П 7"(р) и не может покинуть
это множество иначе как в q.
Пусть °U — любая окрестность л в Л, и пусть /у (1=£Д’^й)—
конечное множество точек на Z, таких, что г\ = р, — q и каж-
дая rt имеет окрестность F/, удовлетворяющую условию П
П 7~(F>)c: З/. Тогда для достаточно больших п г'п ст °И. Следо-
вательно, Vп сходится к ?. в топологии С (£,<?), и пространство
компактно. □
Связь между глобальной гиперболичностью и областями Ко-
ши устанавливается следующими утверждениями:
Предложение 6.6.3
Если — замкнутое ахрональное множество, то
если оно не пусто, является глобально гиперболическим множе-
ством.
Докажем сначала несколько лемм.
Лемма 6.6.4
Если p^D+fP1) то каждая непродолжимая в про-
шлое непространственноподобная кривая, проходящая через р,
пересекает
Пусть p^D+(ff>)—и у — непродолжимая в будущее
непространственноподобная кривая, проходящая через q. Тогда
можно найти точку q е Д+(5г’) П /+(р) и непродолжимую в про-
шлое непространственноподобную кривую X, проходящую через
нее, такие, что для каждой точки А' е /. найдется точка у е у,
лежащая в области 1~(х). Так как X пересекает & в некоторой
точке xlt то существует ^еуП/Д!?). □
Следствие
Если р е int(Z)(S^)), то любая непродолжимая непростран-
ственноподобная кривая, проходящая через р, пересекает
и /+(3*).
Имеем int(D(^’))=Z)(Sp) — {H+(^)U Если ре/+(^)
или /“(^), результат получается сразу. Если —/+(^),
6.6. Глобальная гиперболичность
233
то р е 9* с, D~ (9’), и отсюда снова следует то же утвержде-
ние. □
Лемма 6.6.5
В int(£>(^)) выполняется условие сильной причинности.
Допустим, что через р е int D (9) проходит непространствен-
ноподобная кривая X. Согласно предыдущему результату, долж-
ны существовать точки у е/. П/ДМ) и г /. Л /+(^). Посколь-
ку точка геМ(у), то она принадлежит также и что
противоречит ахрональности ‘Т’. Таким образом, в int D (9) вы-
полняется условие причинности. Теперь допустим, что в р нару-
шается условие сильной причинности. Тогда, как и в лемме 6.4.6,
должна существовать бесконечная последовательность направ-
ленных в будущее непространственноподобных кривых Гп, кото-
рая сходится к проходящей через q непродолжимой изотропной
геодезической у. При этом существовали бы точки q е у Л 7~(^)
и геуЛ /+(tZ), и, следовательно, нашлась бы некоторая л„, ко-
торая пересекает /+(^), а значит, и Это противоречит
ахрональности 9. □
Доказательство предложения 6.6.3. Мы хотим показать, что
С(р, q) компактно, если р, q е int(Z) (9)). Рассмотрим сначала
тот случай, когда р, q е I~ (9), и предположим, что pe=J~(q).
Пусть Гп — бесконечная последовательность непространственно-
подобных кривых, соединяющих р и q. Согласно лемме 6.2.1, бу-
дет существовать направленная в будущее непространственно-
подобная предельная кривая с началом в р, которая непродол-
жима в Л — q. Она должна иметь конечную точку в будущем
в q, так как иначе она пересекла бы 9, что невозможно, посколь-
ку Рассмотрим теперь случай, когда p^J~(9),
q е /+(^)Л 1+{р) Если конечной точкой предельной кривой X
является q, то она и есть искомая предельная точка в С(р, q).
Если q не является конечной точкой Г, то на ней должна быть
точка у^1+(9), поскольку Г непродолжима в Л— q. Пусть
Г'п — подпоследовательность, которая сходится к г для любой
точки г s /. между р и q. Пусть Г — направленная в прошлое
предельная кривая подпоследовательности Г'п с началом в q.
Если конечной точкой в прошлом кривой Г является точка р, то
она и будет искомой предельной точкой в С(р, у). Допустим, что
р не является конечной точкой кривой К и она не проходит че-
рез у. Тогда на ней должна быть некоторая точка ге/-(^).
Пусть Т"п — подпоследовательность Г'п, сходящаяся к г для лю-
бой точки rsi. между q и z. Пусть У — открытая окрестность
кривой Г, не содержащая у. Тогда для достаточно больших п все
Г"п П J+(9) должны принадлежать Т. Однако это невозможно,
234
Гл. 6. Причинная структура
ибо у — предельная точка А"п. Поэтому должна существовать
непространственноподобная кривая от р до q, которая будет пре-
дельной точкой последовательности Кп в пространстве С(р, q).
Случаи, когда и p^J-fJ?), q е £+(5^), вместе
с дуальными им случаями, исчерпывают все возможные комби-
нации. Следовательно, во всех этих случаях мы получаем непро-
странственноподобную кривую от р до q, являющуюся предель-
ной точкой последовательности в топологии пространства
С(р, q). □
Подобными же рассуждениями можно доказать
Предложение 6.6.6
Если q int(£)(S?’)), то £+(^’)П£_(7) или компактно, или
пусто. □
Чтобы показать, что глобально гиперболична вся область
£>(^), а не только ее внутренняя часть, необходимо наложить
некоторые дополнительные условия.
Предложение 6.6.7
Если 9?— замкнутое ахрональное множество, такое, что в
/+(^) П одновременно удовлетворяются и условие сильной
причинности, и одно из следующих условий:
1) непричинность (что имеет место, если и только если 9Р
непричинно);
2) компактность —
тогда £>(^)— глобально гиперболическое множество.
Допустим, что в какой-то точке ?е£>(^) условие сильной
причинности не выполняется. Тогда в силу утверждения, анало-
гичного лемме 6.6.5, через q должна проходить непродолжимая
изотропная геодезическая, в каждой точке которой нарушена
сильная причинность. Но это невозможно, поскольку такая кри-
вая пересекала бы 9>. Следовательно, на выполняется
сильная причинность.
Если р, то выполняется условие предложения 6.6.3.
Когда p^J~(^), q <= /+(^), можно, как и при доказательстве
предложения 6.6.3, провести из р направленную в будущее пре-
дельную кривую А, а из q — направленную в прошлое предель-
ную кривую А и выбрать подпоследовательность Х"п, которая
сходится к г для каждой точки г на К или А. В случае (1) X пе-
ресекает д’ в единственной точке х. В любой окрестности х будут
точки кривых Н'п с достаточно большими п и, следовательно,
ввиду ахрональности д’ в ней будет точка х"„ = 'К"'п П 9Г От-
сюда, х"п будет сходиться к х. Аналогично, х"п будет сходиться
к % а= £ Г) Таким образом, х = х и можно соединить X с А, что
приводит к непространственноподобной предельной кривой в
6.6. Глабильная гиперболичность
235
В случае (2) предположим, что q не является конечной точ-
кой в будущем кривой Л. Тогда I покинет область по-
скольку она пересекает и в силу предложения 6.4.7 должна
выйти из компактного множества /-('Z). Поэтому на 7
можно найти точку х, которая не лежит в /~(^). Для каждого п
выберем точку х"п е 3 П . Поскольку компактно, найдутся
некоторая точка у е ЗР и подпоследовательность 7/"п, такие, что
соответствующие точки х"' п сходятся к у. Допустим, что у не
лежит на X. Тогда при достаточно больших п х'"п будет лежать
в будущем любой окрестности точки х. Это означает, что
хеЛ(^). Однако последнее невозможно, поскольку х нахо-
дится в /+(^), но не в компактном множестве /+(5г’) П .
Поэтому Л пройдет через у. Аналогично, Л тоже пройдет через у.
Итак, эти кривые можно соединить и получить предельную кри-
вую. □
Из предложения 6.6.3 следует, что существование поверхно-
сти Коши для открытого множества Л9 означает глобальную ги-
перболичность Л9. Из следующего предложения видна справед-
ливость обратного утверждения.
Предложение 6.6.8 (Герок [57])
Если открытое множество Л9 глобально гиперболично, то оно,
рассматриваемое как многообразие, гомеоморфно Rl X ЗР, где
ЗР— трехмерное многообразие и {а}Х^ есть поверхность Коши
в многообразии Л9 для каждого а е R1.
Как и при доказательстве 6.4.9, введем на Л9 меру у так,
чтобы полный объем Л9 по этой мере был равен единице. Для
р е Л9 введем функцию f+(p)—объем области /+(р, Л9) по
мере ц. Ясно, что f+(p)—ограниченная функция на Л9: она убы-
вает вдоль любой направленной в будущее непространственно-
подобной кривой. Мы покажем, что глобальная гиперболичность
означает непрерывность /+(р) на Л9, так что нам не нужно, как
при доказательстве предложения 6.4.9, «усреднять» объем буду-
щего. Достаточно лишь доказать, что /+(р) непрерывна на лю-
бой непространственноподобной кривой 7.
Пусть геА, и пусть хп — бесконечная последовательность
точек на А, лежащих строго в прошлом относительно г. Пусть
ЗГ — П /+ (хп, Л9). Допустим, что f+(p) не полунепрерывна свер-
п
ху в ге?.. При этом должна существовать точка
Тогда r^J-J_q, но каждая точка хп Л9) и, следова-
тельно, re J~(q, Л9), что невозможно, поскольку, согласно пред-
ложению 6.6.1, J~(q, Л9) замкнуто в Л9. Подобным же образом
доказывается полунепрерывность снизу.
236
Гл. 6. Причинная структура
По мере движения точки р в будущее вдоль непродолжимой
непространственноподобной кривой 7 на Л9 значение f+(p) долж-
но стремиться к нулю. Предположим, что имеется некоторая
точка, которая лежит в будущем любой точки. Тогда направлен-
ная в будущее кривая л войдет в компактное множество /+(г)П
J~(q) и останется внутри его при любом г е/«, что невоз-
можно в силу предложения 6.4.7, так как на Л9 выполняется
условие сильной причинности.
Рассмотрим теперь определенную на Л9 функцию f(p) =
= f~ (р) /1'+ (р) Любая поверхность f = const будет непричинным
множеством и, согласно предложению 6.3.1, вложенным в Л9
трехмерным С1--многообразием. Она будет также поверхностью
Коши для Л9, потому что вдоль любых непространственноподоб-
ных кривых f~ и f+ стремятся к нулю в прошлом и в будущем
соответственно. На Л9 можно ввести времениподобное векторное
поле V и задать непрерывное отображение 0, которое переводит
точки Л9 вдоль интегральных кривых поля V на пересечения
этих кривых с Тогда (lnf(p), р(р)) есть гомеомор-
физм Л9 на Д!Х^, который можно превратить в диффеомор-
физм, если сгладить f, как при доказательстве предложения 6.4.9.
□
Таким образом, если все пространство-время глобально ги-
перболично, оно обладает весьма скучной топологией.
6.7. Существование геодезических
Важность глобальной гиперболичности для гл. 8 связана со
следующим результатом:
Предложение 6.7.1
Пусть р и q лежат на глобально гиперболическом множе-
стве Л9, причем q е /+(р). Тогда р и q можно соединить непро-
странственноподобной кривой, длина которой не меньше длины
любой другой непространственноподобной кривой от р до q.
Мы дадим два доказательства этого утверждения: первое,
принадлежащее Авезу [4] и Зейферту [156], основано на исполь-
зовании компактности С(р, q), а второе (применимое лишь при
открытом Л9) представляет собой метод построения самой этой
геодезической.
Пространство C(p,q) содержит плотное подмножество
С'(р, <?), состоящее из всех времениподобных О-кривых от р
до q. Длина одной такой кривой определяется (ср. с разд. 4.5)
как
иМ(-Д^4)У".
р
6.7. Существование геодезических
237
где t есть С’-параметр на 2.. Функция L не является непрерыв-
ной на Cz(p, <?), поскольку любая окрестность Л содержит зигза-
гообразную кусочно почти изотропную кривую произвольно ма-
лой длины (рис. 46). Эта потеря непрерывности возникает от
того, что мы пользуемся С°-топологией, согласно которой две
кривые близки, если в Л близки их точки, но не требтется бли-
зости их касательных векторов. Можно было бы наделить
Ри с. 46. °11 — открытая окрестность времениподобной кривой % от р до q.
В CU существуют времениподобные кривые от р до q, которые приближенно
являются ломаными изотропными кривыми и имеют сколь угодно малую
длину.
C'(p,q) С’-топологией и таким образом придать L непрерыв-
ность, но мы не делаем этого, ибо С'(р, q) некомпактно; ком-
пактное пространство получается только после присоединения
всех непрерывных непространственноподобных кривых. Вместо
этого мы пользуемся С°-топологией и распространим определе-
ние L на С(р, q).
Из-за сигнатуры метрики увеличение извилистости времени-
подобной кривой сокращает ее длину. Таким образом, L не полу-
непрерывна снизу. Однако имеет место
Лемма 6.7.2
L полунепрерывна сверху в С°-топологии на С'(р, q).
Рассмотрим времениподобную СР-кривую 2.(0 от р до q, при-
чем в качестве параметра выберем длину дуги от р. В достаточ-
но малой окрестности °U кривой 7 можно найти функцию f, кото-
рая равна t и такова, что поверхности {f=const} пространствен-
ноподобны и ортогональны к d/dt [т. е. gnbf.b |% = Один
способ задания такой функции состоит в построении простран-
ственноподобных геодезических, ортогональных к Л. Для
238
Гл. 6. Причинная структура
достаточно малой окрестности ЯЛ кривой 7. они дают однознач-
ное отображение Л на 2., и значение / в некоторой точке р окре-
стности ЯЛ можно определить как значение I в той точке 2., на
которую отображается р. Любую кривую р в Л° можно парамет-
ризовать функцией ). Касательный вектор к р. можно
представить в виде
где к — пространственноподобный вектор, лежащий на поверх-
ности {/ = const}, т. е. kaf.a — O. Тогда
е О)„ Ш,) -
Однако на A, gabf.af.b = — 1. Отсюда, при данном 8>0 можно
выбрать настолько малую окрестность ЯЛ' сс ЯЛ, что в ЯЛ’
gabf.af.b> — 1 +е. Поэтому для любой кривой ц в ЯЛ'
L [р] <(1 + 8)'/° L [X]. □
Теперь мы определим длину непрерывной непространственно-
подобной кривой 7. от р до q следующим образом. Пусть 'ЯЛ —
окрестность А в JL и пусть ПЯЛ}—наименьшая верхняя грань
длин времениподобных кривых в ЯЛ от р до q. Тогда мы опреде-
лим L [?„] как наибольшую нижнюю грань ПЯЛ) для всех окрест-
ностей Я1 кривой а в Это определение длины применимо ко
всем кривым от р до q, в каждой окрестности которых суще-
ствует времениподобная ^-кривая, т. е. оно применимо ко всем
точкам в С (р, q), которые принадлежат замыканию С (р, q). Как
мы знаем (разд. 4.5), пепространственноподобная кривая от р
до q, если она не является изотропной геодезической кривой без
изломов, может быть деформирована во времениподобную ку-
сочно С'-кривую от р до q, а изломы этой кривой можно округ-
лить так, чтобы получить времениподобную С^кривую от р до q.
Следовательно, точки в C(p,q)—C'(p,q)—это изотропные гео-
дезические без изломов (не содержащие сопряженных точек), и
мы положим, что их длина равна нулю.
Такое определение L превращает ее в полунепрерывную
сверху функцию на компактном пространстве C'(p,q). [На са-
мом деле, пока непрерывная непространственноподобная кривая
удовлетворяет локальному условию Липшица, она дифференци-
руема почти всюду. Поэтому длину все еще можно было бы
определить как
6.7. Существование геодезических
239
и это не противоречило бы введенному выше определению.] Если
C'(p,q) — 0, но C(p,q)—непустое множество, то р и q соеди-
няются изотропной геодезической без изломов; кроме нее между
р и q не существует иных непространственноподобных кривых.
Если С'(р, q)^=0, это множество содержит некоторую точку,
в которой L достигает своего максимального значения, т. е. най-
дется непространственноподобная кривая у от р до q, длина ко-
торой больше или равна длине любой другой такой кривой. Со-
гласно предложению 4.5.3, у должна быть геодезической кривой,
поскольку иначе можно было бы найти точки х, у е у, которые
лежали бы в нормальной выпуклой координатной окрестности
и могли бы быть соединены геодезическим сегментом большей
длины, чем часть у между х и у. □
Для другого, конструктивного доказательства мы введем
функцию d(p, q) от p,q е Я, равную нулю, если /+(р), а в
противном случае равную наименьшей верхней грани длин, ку-
сочно непространственноподобных кривых от р до q, направлен-
ных в будущее. [Отметим, что d (р, q) может быть бесконечной.]
Для множеств Д’ n -Д' введем d(0, равную наименьшей
верхней грани d (р, q} при р <= 0, q Я.
Допустим, что q е /+(р) и d (р, q) конечно. Тогда для любого
б > О можно подобрать времениподобную кривую X от р до q
длиной d(p, q)~ у б и такую окрестность <U точки q, что X мож-
но деформировать во времениподобную кривую длины d (р, q) — б,
соединяющую р с любой точкой г е °U. Следовательно, функ-
ция d(p, q) там, где она конечна, полунепрерывна снизу. В об-
щем случае d(p, q) не полунепрерывна сверху, но имеется
Лемма 6.7.3
Функция d (р, р) конечна и непрерывн