Text
                    Черные
мембраннь
подход
Издательство
«Мир»
Дыры


Black Holes: The Membrane Paradigm Edited by Kip S. Thorne Richard H. Price Douglas A. Macdonald Yale University Press New Haven and London
Черные дыры мембранный подход Под редакцией К. Торна, Р. Прайса, Д. Макдоналда Перевод с английского канд. физ.-мат. наук Л. Г. Полнарева под редакцией д-ра физ.-мат. наук, проф. И. Д. Новикова, д-ра физ.-мат. наук В. П. Фролова Москва «Мир» 1988
ББК 22.63 449 УДК 52.531 Авторы: Прайс Р., Торн К., Макдоналд Д., Вэй Мо Сюэн, Сяо Хи Чжань, Хартль Дж., Редмаунт И., Краули Р., Зурек В. Черные дыры: Мембранный подход: Пер. с англ./Под 449 ред. К. Торна, Р. Прайса, Д. Макдоналда. — М.: Мир, 1988. — 428 с, ил. ISBN 5-03-001051-3 В коллективной монографии видных американских специалистов подробно изложен новый подход к анализу физических свойств чер- ных дыр, позволяющий описать явления в сильном гравитационном поле черной дыры на языке, привычном для физиков-нерелятивистов и астрофизиков. Горизонт черной дыры представляется как обычная поверхность, наделенная такими свойствами, как электропроводность, индуктивность, сопротивление и т. д. Помимо электродинамики черных дыр в книге содержится анализ их взаимодействия с другими объек- тами и рассматриваются свойства тепловой атмосферы. Для специалистов в области теоретической физики, астрофизики и прикладной математики, включая студентов старших курсов и аспи- рантов. Редакция литературы по физике и астрономии ISBN 5-03-001051-3 (русск.) © 1986 by Yale University ISBN 0-300-03769-4 (англ.) © перевод на русский язык, «Мир», 1988
Предисловие редакторов перевода В течение последних десятилетий в астрофизике были от- крыты объекты качественно нового типа — небесные тела, в ко- торых эффекты релятивистской теории тяготения Эйнштейна играют определяющую роль. Это нейтронные звезды — пуль- сары, рентгеновские источники в двойных звездных системах, интерпретируемые как черные дыры и, наконец, активные га- лактические ядра и квазары, в центрах которых, вероятно, на- ходятся сверхмассивные черные дыры массой до 109 Мо. Фи- зические процессы в окрестностях сверхмассивных черных дыр обеспечивают энерговыделение порядка 1047 эрг/с и, таким об- разом, эти объекты, вероятно, являются наиболее мощными источниками энергии в наблюдаемой Вселенной. В течение определенного периода после возникновения реля- тивистской астрофизики как науки у нас в стране существовал относительный дефицит соответствующей специальной литера- туры. Это в полной мере относится и к теории черных дыр. Однако в последнее время этот дефицит в значительной мере восполнен, в частности, монографиями, отмеченными в предисло- вии автора к русскому изданию. Книга, предлагаемая внима- нию читателя, также относится к релятивистской астрофизике и посвящена проблеме черных дыр. Она, однако, выделяется из ряда монографий по этой тематике. Особенность этой книги со- стоит в том, что в ней представлен принципиально новый под- ход к старой проблеме. Применение теории черных дыр и ОТО в астрофизике затрудняется, во-первых, новизной представле- ний о пространстве и времени, непривычных для астрофизиков, и, во-вторых, сложностью математического аппарата четырех- мерного тензорного анализа, который нередко имеет отвлечен- ный характер и неудобен для конкретных приложений. Поэтому авторы данной монографии — авторитетные в своей области специалисты — поставили целью построение математического аппарата, позволяющего описывать физические процессы в ок- рестностях черных дыр на основе привычных для астрофизиков понятий. Можно выразить уверенность, что перевод этой книги при- даст новый импульс развитию релятивистской астрофизики в нашей стране и будет полезным для многих физиков-теоретиков, астрофизиков и специалистов по прикладной математике, в том числе для студентов старших курсов и аспирантов. И. Д. Новиков В. П. Фролов
Предисловие к русскому изданию Мы испытываем чувство признательности и удовлетворения в связи с тем, что наши советские коллеги выбрали эту книгу для перевода на русский язык и тем самым сделали мембран- ный подход к черным дырам доступным более широкой ауди- тории. Надеемся, что читатели, как и мы, найдут такой подход полезным. За полтора года после окончания работы над английским изданием развитие мембранной парадигмы произошло в двух направлениях. В рамках этой парадигмы Чжань [2356] сфор- мулировал общерелятивистскую магнитную гидродинамику и использовал ее для воспроизведения результатов Финни [153а, б, в, г], касающихся МГД-процессов в черных дырах как источников энергии квазаров, а Фролов и Торн [72а, б] раз- вили новый подход к теории квантовых эффектов вблизи чер- ных дыр. В издание на русском языке включено краткое изло- жение этих новых результатов. Мы дополнили его ссылками на некоторые работы и исправили опечатки. Для полного понимания современной теории черных дыр чи- тателю наряду с настоящей книгой следует обратиться к двум другим, которые ее дополняют. Это книги И. Д. Новикова и В. П. Фролова [135] и С. Чандрасекара [36]. Прекрасный и полный обзор [135] всех аспектов физики черных дыр вклю- чает краткое введение в мембранный формализм, правда, с не- сколько иной точкой зрения (см. разд. Ш.А.1). Более специаль- ная монография [36] содержит формализм описания движе- ния пробных частиц и распространения полей вблизи черных дыр. Наша монография также более специальна, чем книга [135]. Ее цель — более подробно рассмотреть многие (хотя и далеко не все) из аспектов, затронутых в последней, на новом языке в рамках мембранной парадигмы, чтобы обеспечить спе- циалистов по черным дырам новым подходом и сделать эту тему более доступной для неспециалистов. Мы глубоко признательны И. Д. Новикову и В. П. Фролову, которые подготовили и отредактировали русское издание, а так- же А. Г. Полнареву, который выполнил перевод. Мы хорошо знаем этих специалистов (один из нас работал вместе с ними и опубликовал результаты совместных работ) и относимся к ним с глубоким уважением. Это позволяет нам быть уверен- ными в том, что русский перевод выполнен прекрасно. Кип С. Торн- Ричард X. Прайс Дуглас А. Макдоналд
Предисловие редакторов Эта книга представляет собой введение в физику черных дыр, в котором основное внимание уделяется концепции, полу- чившей название мембранный подход. Мембранный подход — это перевод математического и физического формализма, опи- сывающего черные дыры, на язык, который наиболее подходит для астрофизических исследований. Если исходный формализм для описания черных дыр доступен лишь специалистам по общей теории относительности, то мембранный подход должен оказаться доступным для всех, кто хорошо владеет аппаратом нерелятивистской физики. Следует отметить, что достигается такая доступность вовсе не за счет каких-либо упрощений или потери богатства исходного формализма. Ключевым понятием исходного формализма, описывающего черные дыры, служил горизонт событий черной дыры, трактуе- мый как глобально определенная нулевая поверхность в четы- рехмерном пространстве-времени. В противоположность этому при мембранном подходе горизонт событий рассматривается как двумерная мембрана, помещенная в трехмерное простран- ство. Сила обсуждаемого подхода заключается главным обра- зом в том, что такому мембраноподобному горизонту приписы- ваются простые и хорошо знакомые физические свойства. Гори- зонт рассматривается в виде двумерной вязкой жидкости, ко- торая электрически заряжена, обладает электропроводностью, конечной энтропией и температурой, но не может проводить тепло; взаимодействие горизонта и окружающей Вселенной определяется знакомыми законами, описывающими эту жид- кость, например уравнением Навье — Стокса, законом Ома, уравнением для приливных сил, первым и вторым началами термодинамики. Благодаря тому что эти законы, описывающие горизонт, имеют привычный вид, они дают возможность интуи- тивного понимания и количественного расчета поведения чер- ных дыр в сложных астрофизических ситуациях. Создание мембранного подхода, а также этой книги стало результатом сотрудничества группы авторов главным образом из Калифорнийского технологического института, написавших разные главы. Хотя состав авторов меняется при переходе от
8 ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРОВ одной главы к другой, эту книгу никак нельзя считать простым собранием тесно связанных статей. На самом деле главы книги образуют единое целое, причем педагогические цели имеют пер- востепенную важность. Физическая интуиция, занимающая центральное место в мембранном подходе, может быть развита лишь на множестве конкретных примеров, позволяющих проследить подход в дей- ствии. Предлагаемая книга обеспечивает именно такое знаком- ство с мембранным подходом, поскольку содержит постановку, решение и обсуждение большого числа модельных задач по взаимодействию черных дыр с окружающей Вселенной. Исходя из этих модельных задач, можно качественно представить и оценить по порядку величины, как должны вести себя черные дыры в сложных, реалистических астрофизических ситуациях. Примерно 60% материала этой книги взято — с простран- ными дополнениями педагогического характера — из научных статей, опубликованных в таких журналах как Physical Review и Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. Остальные 40 % представляют собой новый материал, основанный на ра- нее неопубликованных исследованиях авторов. Редакторы и авторы искренне благодарят за полезные ди- скуссии Роджера Блэндфорда, Тибау Дамура, Игоря Нови- кова, Стерла Пинни и Романа Знаека. Исследования, изложен- ные в этой книге, написание, редактирование и фотонабор этой книги осуществлены частично на средства Национального на- учного фонда (субсидии AST79-22012, AST88-14126 и AST85- 14911, выделенные Калифорнийскому технологическому инсти- туту) и фондов, находящихся в распоряжении Кипа Торна и Уильяма Кенана-младшего — профессоров Калифорнийского технологического института. Кроме того, Национальный науч- ный фонд частично финансировал исследования, выполненные Р. Прайсом (субсидии PHY81-06509 и PAY85-03653, выделен- ные Университету штата Юта), Вэй Мо Сюэном (субсидия PHY85-00498, выделенная Университету штата Флорида), Дж. Хартлем (субсидия PHY85-06686, выделенная Калифор- нийскому университету в Санта-Барбаре), И. Редмаунтом (суб- сидия PHY83-06693, выделенная Гарвардскому университету).; а Японское общество содействия долгосрочному научному со- трудничеству выделило средства для работы Редмаунта в тече- ние одного года в Университете Киото. Исследования В. Зу- река осуществлены частично на средства фонда им. Ро- берта Оппенгеймера по теоретической физике в Лос-Аламосской национальной лаборатории.
I Введение: Мембранный подход Р. Прайс, К. Торн В теоретической физике, особую роль играют диаграммы, рисунки, мысленные образы и поясняющие слова, которые со- путствуют нашим уравнениям, например рисунки с изображе- нием силовых линий магнитного поля, которые пронизывают проводящую плазму, и соответствующее пояснение, что сило- вые линии «вморожены в плазму». Подобные рисунки и слова не заменяют строгой математики, благодаря которой становит- ся правомерным их использование, однако они играют суще- ственную роль, позволяя быстро понять качественную сторону дела. Кроме того, благодаря им становится возможным взаи- мопонимание между физиками, а также между физиками и всеми остальными. Нередко появление новой системы рисун- ков и пояснительных слов может оказывать сильное влияние на последующее развитие того или иного научного направления. Исследование черных дыр является хорошим примером важ- ности рисунков и пояснений. До середины 60-х годов тот объект, который мы сегодня называем «черной дырой», в анг- лийской научной литературе фигурирует как «сколлапсировав- шая звезда», а в русской литературе — как «застывшая звезда». Соответствующая мысленная картина, в основе которой лежит описание коллапса в шварцшильдовских координатах (рис. 1,а), была такова: коллапсирующая звезда сжимается все быстрее и быстрее по мере того, как гравитационное притяжение стано- вится все сильнее и сильнее, затем происходит замедление сжатия из-за роста гравитационного красного смещения и в конце концов звезда застывает у «поверхности бесконечного красного смещения» (соответствующей шварцшильдовскому ра- диусу), навсегда оставаясь ограниченной этой поверхностью. Конечно, из работы Оппенгеймера и Снайдера [138] мы знали, что с точки зрения наблюдателя, находящегося на поверхности коллапсирующей звезды, все выглядит иначе: звезда не засты- вает, а испытывает коллапс вплоть до сингулярности за порази- тельно короткое время. Но, поскольку все, что происходит вну- три поверхности бесконечного красного смещения, никогда не сможет оказать какое-либо влияние на внешнюю Вселенную, такая «сопутствующая точка зрения», казалось, не имеет отно-
Поверхность /}\^ у/\ Повер звезды /. >^-/ :Л ^звезл Горизонт Рис. 1. Диаграммы, качественно показывающие гравитационный коллапс звез- ды с образованием черной дыры (а, б), а также столкновение и слияние трех черных дыр (в). Рисунок а представляет собой пространственно-временную диаграмму сферического коллапса звезды; здесь как на самой поверхности звезды, так и снаружи ее используются шварцшильдовские временная и про- странственная координаты /иг. Показаны две «гиперповерхности» постоян- ного времени, t = t0 и t = ti. Эта диаграмма иллюстрирует концепцию «за- стывшей звезды». Рисунок б изображает тот же самый коллапс, но с исполь- зованием временной координаты i Эддингтона [63] и Финкельштейна [69] (ср. разд. II. В.5 ниже). Эта диаграмма, которая иллюстрирует «черно-дыр- ную» точку зрения, ясно показывает образование горизонта черной дыры и сингулярности в центре, вызванное коллапсом. Штриховой линией на этой диаграмме Эддингтона — Финкельштейна показана поверхность постоянного щварцшильдовского времени t = ti. Учитывая форму этой поверхности, резко сужающейся по мере углубления в прошлое, можно понять, почему шварц- шильдовские координаты не позволяют описать образование горизонта и син- гулярности. Рисунок в представляет собой пространственно-временную диа- грамму типа Эддингтона — Финкельштейна и изображает сильно несфериче- скую эволюцию горизонта, когда две черные дыры сталкиваются и сливаются, а затем образуется третья черная дыра и падает на ту, которая сформиро- валась в результате слияния первых двух. Подобные процессы стали доступ- ны исследованиям лишь после того, как представление о «застывшей звезде» было заменено «черно-дырной» точкой зрения. шения к астрофизике. Вот почему в теоретических работах по астрофизике в начале 60-х годов (см., например, [230,231]) преобладала концепция «застывшей звезды». И пока господ- ствовало такое представление, физики не понимали, что чер- ные дыры могут быть объектами динамическими, эволюциони- рующими, способными запасать и высвобождать энергию.
I. ВВЕДЕНИЕ: МЕМБРАННЫЙ ПОДХОД 1 1 В середине и в конце 60-х годов концепция «застывшей звезды» постепенно уступила новой системе диаграмм, рисун- ков, мысленных образов и пояснительных слов. Пенроуз [147] учил нас пользоваться пространственно-временными диаграм- мами, построенными в координатах Эддингтона — Финкель- штейна (рис. 1,6); в этих координатах коллапс звезды никогда не замедляется, а продолжается по нарастающей до сингуляр- ности, оставляя после себя «горизонт» на шварцшильдовском радиусе. Уилер [220] ввел в обращение термин «черная дыра» для описания искривленного пустого пространства-времени, ограниченного горизонтом. Хоукинг [92, 94, 95] и другие дока- зали элегантные теоремы, которые прекрасно иллюстрируются диаграммами1 Пенроуза (рис. 1,в),— теоремы об эволюции го- ризонта в произвольных динамических ситуациях. Диаграммы, рисунки, мысленные образы и поясняющие слова, соответствую- щие этой новой «черно-дырной» точке зрения, удачно перепле- лись с новыми математическими методами (дифференциальная топология, «глобальные методы анализа пространства-време- ни»), введенными в исследования по черным дырам Пенроузом [147—149]. Мысленные образы и диаграммы «черно-дырной» точки зрения позволили достичь глубокого качественного пони- мания, которое затем подтвердилось соответствующей матема- тикой. Этот новый подход сформировал современное представ- ление о черных дырах, как об объектах динамических — объек- тах, которые способны сталкиваться, сливаться, испытывать сильные колебания и излучать мощные всплески гравитацион- ных волн, и как об объектах, способных в «спокойном» состоя- нии запасать 29 % своей массы в виде энергии вращения, а за- тем высвобождать ее, обеспечивая энергией квазары и ядра га- лактик. И концепция застывшей звезды, и концепция черной дыры могут рассматриваться, если пользоваться терминологией Куна [114], как «парадигмы», а переход от одной из них к другой можно считать «научной революцией» по Куну. Однако кон- цепции застывшей звезды и черной дыры не являются различ- ными парадигмами в том смысле, в котором различаются, на- пример, квантовый и классический подходы к описанию физи- ческого мира. В конце концов и парадигма застывшей звезды, и парадигма черной дыры сходятся друг с другом в том, что общая теория относительности Эйнштейна является полной ма- тематической теорией гравитационного поля и содержит в себе правильный ответ на любой вопрос, касающийся черных дыр, который мы пожелаем исследовать. Две парадигмы могут пред- ложить разные математические подходы к решению таких про- блем (например, различные пространственно-временные си- стемы координат, в которых выполняются вычисления), но если
12 р. прайс, к. торн вычисления выполнены правильно и точно, то независимо от того, какой точки зрения мы придерживались, ответ должен быть одинаковым. Однако сказанное вовсе не означает, что различие между этими двумя (или любыми подобными) парадигмами триви- ально. С одной стороны, наглядные образы, присущие той или иной парадигме, имеют огромное значение для получения ин- туитивного, априорного представления о результатах вычисле- ний и тем самым очень важны при выборе конкретного харак- тера вычислений. С другой стороны, математические методы, связанные с конкретными парадигмами, весьма сильно отли- чаются по степени эффективности при анализе различных про- блем. Парадигма застывшей звезды использует шварцшиль- довские координаты, которые весьма удобны при изучении фи- зических явлений вне горизонта статической черной дыры. Од- нако применение шварцшильдовских координат чревато серьез- ными ошибками в ситуациях, имеющих сильно выраженный ди- намический характер, когда важен сам горизонт, например когда речь идет об эволюции со временем магнитного поля сферической звезды, коллапсирующей с образованием гори- зонта и черной дыры. И наоборот, математические методы «черно-дырной» точки зрения хороши при анализе экстремаль- ных динамических ситуаций, в которых горизонт испытывает эволюцию, но слишком громоздки при исследовании физических явлений вне горизонта статической дыры. Однако самая важная причина различий между парадиг- хмами в исследовании черных дыр, возможно, состоит в том, что большая часть вычислений в общерелятивистской астрофи- зике (и не только в ней!) не есть строгое применение матема- тической теории. Такая роскошь, как точное вычисление, обыч- но встречается лишь при доказательствах общих теорем. В бо- лее или менее реалистических задачах релятивистской астрофи- зики математические сложности полной релятивистской теории гравитации почти всегда делают точные вычисления невозмож- ными. Даже в случае сильно идеализированных модельных за- дач приближения оказываются крайне полезными, а чаще без них вообще нельзя обойтись. Сила парадигмы заключается в том, что она позволяет выбрать подходящее приближение, а также указать на те детали точной задачи, которые при ана- лизе можно опустить без ущерба для существа исследуемой проблемы. В качестве аналогии рассмотрим такой простой пример, как классическая механика точечной массы, испытывающей одно- временное действие консервативной силы (например, идеальной пружины) и малой, но сложной диссипативной силы. Пред- ставление о силе (второй закон Ньютона) обеспечивает точное
I. ВВЕДЕНИЕ: МЕМБРАННЫЙ ПОДХОД 13 описание поведения системы, но, вероятно, не позволяет просто оценить ту роль, которую играет диссипация. Анализ задачи в терминах механической энергии математически эквивалентен, но, очевидно, дает возможность более ясно рассмотреть дисси- пативные эффекты. В большинстве работ по астрофизике черных дыр, выпол- ненных в течение последних двух десятилетий, использовано представление о застывшей звезде. Многие из этих исследова- ний были проделаны фактически без привлечения каких-либо реальных релятивистских гравитационных эффектов. Во многих статьях, посвященных рассмотрению как дисковой, так и сфе- рической аккреции на объекты — кандидаты в черные дыры (такие, как Лебедь Х-1), источник гравитации рассматривает- ся клк ньютоновский (!) монополь и вводится ad hoc некото- рая сферическая поверхность, расположенная где-то вблизи того места, на котором общая теория относительности поме- стила бы горизонт событий («поверхность» черной дыры); рас- четы (например, видимой светимости) попросту обрываются на этой в известном смысле произвольно выбранной внутренней границе, которая и представляет собой единственную неньюто- новскую черту черных дыр, фигурирующую в вычислениях (см., например, [139,165,182—185]). Для многих задач, учи- тывая те неопределенности, которые свойственны астрофизиче- ским параметрам, это приближение оказывается вполне доста- точным, по крайней мере для оценок по порядку величины. Известно, что в этих задачах самый важный эффект, связан- ный с черной дырой, определяется тем свойством горизонта со- бытий, что из-под него «нет возврата». При этом фактические свойства пространства-времени вблизи горизонта событий не существенны для задачи. Привлечение «черно-дырной» точки зрения неоправданно запутало бы и усложнило анализ, и без того погрязший в вопросах, связанных с переносом излучения, магнитогидродинамической турбулентностью и т. д. Однако для некоторых задач астрофизики черных дыр кар- тина застывшей звезды все-таки недостаточна. Например, изме- няющийся магнитный дипольныи момент коллапсирующеи звез- ды должен был бы с этой точки зрения стремиться к асимпто- тическому конечному значению за время t-^oo по мере того, как звезда «застывает». Несколько более сложный анализ в рамках концепции застывшей звезды [78] показал, что диполь- ныи момент убывает как 1/7. Точный ответ — всплеск излуче- ния, имеющий хвост, убывающий как I//5, — потребовал вы- числений, в полной мере учитывающих динамическую природу пространства-времени вблизи горизонта событий [55, 162, 201]. В рамках концепции застывшей звезды многие представляю- щие сегодня интерес задачи по астрофизике черных дыр не мо-
14 р. прайс, к. торн гут быть даже поставлены или по крайней мере при их поста- новке велика опасность ошибки. Дело в том, что при таком подходе возникают трудности, связанные с постановкой одно- значных граничных условий (например, для электромагнитных полей) на горизонте событий. Такие «опасные» задачи, как пра- вило, включают в себя астрофизические явления, в которых наиболее интересные события происходят довольно далеко от горизонта событий, но при этом горизонт весьма существенно связан с рассматриваемыми процессами (например, связь чер- ной дыры с астрофизической плазмой посредством электромаг- нитного поля). В качестве примера подобных задач можно отметить процесс Блэндфорда — Знаека [22], обеспечивающий извлечение энергии вращения черной дыры, открытие которого считается наиболее важным в данной области начиная с сере- дины 70-х годов. Изображая черную дыру на рисунках или производя вычисления, при решении таких задач нельзя по- просту взять и заменить черную дыру «поверхностью, из-под которой нет возврата». В то же время для решения таких за- дач не обязательны математические детали, присущие неупро- щенному «черно-дырному» подходу, поскольку такие детали лишь отвлекают от рассмотрения более существенных физиче- ских процессов. Необходимость упростить анализ подобного рода задач при- вела за прошедшие восемь лет к развитию в физике черных дыр нового подхода — к «мембранной парадигме». Настоящая книга представляет собой математическое введение в эту па- радигму. Мембранная парадигма, если речь идет о физических про- цессах вне горизонта, с точки зрения математики эквивалентна обычной неупрощенной общерелятивистской теории черных дыр. Эта парадигма согласуется с концепцией застывшей звезды, когда речь идет о физических процессах вне горизонта, но вместе с тем в ней содержатся простые рецепты, указывающие как при решении астрофизических задач отбросить «все лиш- нее»— несущественные детали, относящиеся к окрестности го- ризонта. Если говорить точнее, то, согласно этому подходу, ча- стицы и поля вблизи горизонта образуют весьма сложную застывшую структуру «граничного слоя», которая по существу есть реликт прошлой истории черной дыры. Этот сложный гра- ничный слой не оказывает никакого влияния на эволюцию ча- стиц и полей вне этого слоя ни в настоящем, ни в будущем; мембранный подход как бы «растягивает» горизонт таким об- разом, чтобы он покрыл граничный слой, и затем в рамках этого подхода ставятся простые и изящные граничные условия мембранного типа на растянутом горизонте. Такое отметание всего несущественного не приводит к большим ошибкам (прак-
I. ВВЕДЕНИЕ: МЕМБРАННЫЙ ПОДХОД 15 тически они пренебрежимо малы), но позволяет получить фор- мализм и подход, удивительно плодотворный в астрофизиче- ских исследованиях. Более того, формализм приобретает осо- бую изящность, если принять во внимание [242], что энтропия черной дыры есть логарифм полного числа отличных друг от друга квантовомеханических конфигураций, которые могли бы существовать в таком покрытом мембраной граничном слое. Возникновение мембранного подхода было обусловлено не- сколькими поразительными основополагающими результатами, полученными в 70-х годах в рамках «черно-дырного» подхода. I) Хоукинг доказал [96—98], что стационарная черная дыра излучает так, как если бы она была черным телом с конечной поверхностной температурой; кроме того, он понял (следуя идее Бекенштейна [10—12]), что если приписать черной дыре энтропию, пропорциональную площади ее поверхности, то за- коны механики черных дыр могут быть увязаны с законами термодинамики. 2) Как открыли Хоукинг и Хартль [101] (см. также [89, 90]), внешние гравитационные поля могут прилив- ным воздействием деформировать горизонт черной дыры, при- чем изменение деформации создает такую энтропию, как если бы горизонт обладал вязкостью. 3) Ханни и Руффини [87], а также Хаичек [85] приписали горизонту черной дыры эффек- тивную плотность заряда; кроме того, Ханни и Руффини [87] нашли, что если поместить черную дыру во внешнее электро- статическое поле, то поле приводит к поляризации эффектив- ного заряда на горизонте. 4) Знаек [236, 237] показал, что при прохождении электрического тока через черную дыру (напри- мер, если положительные заряды текут внутрь через полюса, а отрицательные — через экваториальную плоскость) горизонт ведет себя так, как если бы он обладал поверхностным электри- ческим сопротивлением порядка 30 Ом. Эти результаты побудили Дамура [48—50] переписать урав- нения, описывающие в самом общем случае эволюцию гори- зонта черной дыры, в такой форме, которая позволяет в явном виде выделить члены, «похожие» на те, что описывают электри- ческую проводимость, сдвиговую и объемную вязкости, поверх- ностное давление, поверхностный импульс, температуру, энтро- пию и т. д. Знаек [237—239] независимо вывел почти эквива- лентные, но поначалу менее общие уравнения. Красивый и изящный формализм Дамура со всей очевидностью продемон- стрировал, что мембранный подход обладает достаточными возможностями и формальной строгостью и может стать важ- ным инструментом для астрофизических исследований. К сожалению, формализм Дамура оказался в некотором смысле неполным. Согласно этому формализму, горизонт пред- ставляет собой 3-мерную нулевую поверхность в 4-мерном про-
16 Р. ПРАЙС, К. ТОРН странстве-времени, никак не связанную с физическими про- цессами во внешней Вселенной, окружающей горизонт. Чтобы формализм Дамура стал иструментом для астрофизики, его нужно было увязать воедино с описанием внешней Вселенной. Такое описание было обеспечено 3 + 1-формулировкой общей теории относительности. 3 + 1-формализм позволяет выбрать предпочтительное се- мейство 3-мерных пространственно-подобных гиперповерхно- стей в пространстве-времени (поверхности «постоянного вре- мени») и рассмотреть их так, как если бы они представляли собой одно-единственное 3-мерное пространство, эволюциони- рующее с течением времени («разбиение 4-мерного простран- ства-времени на 3-мерное пространство плюс 1-мерное время»). Общерелятивистские процессы физики черных дыр, плазменные явления, процессы в аккреционных дисках — все это происхо- дит в 3-мерном пространстве; при этом соответствующие реля- тивистские физические законы, написанные на 3-мерном языке, весьма похожи на нерелятивистские законы, к которым при- выкли астрофизики. Таким образом, 3 + 1-формулировка наи- лучшим образом приспособлена для того, чтобы нерелятиви- стскую интуицию физиков, их знания по плазме, гидродинамике и звездной динамике можно было применить в области черных дыр и общей теории относительности. Хотя 3 + 1-формулировка общей теории относительности не излагается в стандартных учебниках по теории относитель- ности, ее весьма детально разработали многие исследователи, и она сыграла важную роль в таких релятивистских исследо- ваниях последних десятилетий, как численное интегрирование эйнштейновских уравнений поля (см., например, [154, 189]), квантование общей теории относительности (см., например, [99, 221]), анализ лабораторных экспериментов по проверке общей теории относительности (см., например, [24]). Наконец, совсем недавно 3+ 1-формулировка легла в основу мебран- ной парадигмы в физике черных дыр. Исторический обзор 3+ 1-формализма представлен в разд. 2.1 работы Торна и Мак- доналда [206]. Объединение 3 + 1-формализма с дамуровским формализ- мом мембранного горизонта происходило в два этапа: сначала Торн и Макдоналд [206] осуществили его применительно к электродинамическим аспектам физики черных дыр, а затем Прайс и Торн [163] — применительно к гравитационным и ме- ханическим аспектам. Разработанный полный мембранный фор- мализм нашел первое свое применение в исследовании Макдо- налдом и Торном [123] магнитосферы черной дыры, окружен- ной замагниченным аккреционным диском. Особое внимание в этом исследовании уделялось процессу Блэндфорда — Знаека
I. ВВЕДЕНИЕ: МЕМБРАННЫЙ ПОДХОД 17 [22], обеспечивающему высвобождение энергии вращения чер- ной дыры с помощью магнитного поля. Благодаря этому иссле- дованию целый ряд схематических рисунков и наглядных обра- зов, предложенных первоначально в качестве аналогий Блэнд- фордом [21] и Знаеком [236,237] (см. также [47,174]), полу- чили строгое обоснование —сюда относятся изображения маг- нитных полей, пронизывающих дыру и испытывающих закручи- вание из-за вращения дыры, а также изображения силовых ли- ний магнитного поля, действующих подобно проводам в гигант- ской электрической цепи, соединяющей батарею на горизонте дыры (источник мощности) с плазменными образованиями (электрическая нагрузка), которые движутся с ускорением вы- соко в магнитосфере черной дыры. С мембранной точки зрения стало еще яснее то обстоятельство, что (независимо от степени хаотичности) магнитное поле, вмороженное в аккреционный диск, по мере приближения к черной дыре в ходе аккреции бу- дет «выглаживаться» горизонтом за характерное время порядка классического времени, за которое свет пересекает дыру; такое выглаживание весьма существенно для эффективного действия процесса Блэндфорда— Знаека. Мембранный подход выявил также замечательное свойство такого выглаженного поля: оно распределяется по поверхности горизонта таким образом,чтобы минимизировать омическую диссипацию на горизонте. Полный мембранный подход в том виде, в каком он исполь- зуется в указанных исследованиях, математически эквивалентен стандартному «черно-дырному» описанию повсюду вне гори- зонта, т. е. во всех тех областях, которые представляют инте- рес для астрофизики. Однако мембранный подход перестает быть применимым (фактически просто не существует) внутри горизонта. Так, наблюдатель, который, падая, пересекает гори- зонт, обнаруживает, что на самом деле горизонт не обладает ни электрическим зарядом, ни током, что все это лишь каза- лось наблюдателю, когда он был снаружи. Несмотря на столь эфемерную природу мембраны, исследователь, относящийся к мембране серьезно и поверивший в нее (хотя бы временно, в процессе выполнения той или иной исследовательской про- граммы), возможно, будет вознагражден тем, что получит в свое распоряжение мощный метод анализа. Область применимости мембранной парадигмы включает в себя те задачи, в которых изучаемая черная дыра испытывает медленные (по сравнению с временем, за которое ее пересе- кает свет) изменения. Математические методы мембранного подхода в случае более динамических ситуаций пригодны, но, как правило, неудобны. В статическом пространстве-времени у нас есть вполне определенная временная координата, которая отражает независимость полей «от времени». Поэтому мы имеем
18 р. прайс, к. торн естественное различие между пространством и временем — различие, которое полезно и для наглядного представления, и для вычислений, хотя и нарушает «единство пространства и времени», которое принято считать «священной коровой» тео- рии относительности. Если в задачах фигурируют медленно меняющиеся черные дыры, то различие это остается, сохраняет- ся и главное достоинство такого различия: 3-мерные изобра- жения чернцх дыр, окруженных мембранной поверхностью, на- деленной более или менее привычными физическими свой- ствами. Как мы увидим, в таких задачах весьма сложная струк- тура граничного слоя может быть заменена мембраноподобным растянутым горизонтом. При этом физические процессы вблизи растянутого горизонта допускают такое простое и наглядное описание, которое невозможно в рамках картины застывшей звезды. Оригинальные научные статьи по мембранной парадигме написаны в основном на языке, доступном лишь профессио- нальному релятивисту. Нерелятивисту разобраться в них не- легко. Но, для того чтобы мембранная парадигма проявила всю свою мощь, она должна стать доступной для астрофизиков. Она может также представлять некоторый интерес и служить источником интеллектуального наслаждения исследователям, работающим в других областях физики. Именно для таких людей в первую очередь и предназначена эта книга. Для реля- тивиста-профессионала эта книга, возможно, окажется интерес- ной в качестве введения в предмет, но, вероятно, ему захо- чется глубже познакомиться с доказательствами обоснованности мембранной парадигмы. Для этого ему следует обратиться к оригинальной литературе, где рассматриваются следующие аспекты такого подхода: горизонт как мембрана [237—239, 48—49]; объединение формализма, описывающего горизонт, с 3+1-формализмом [163, 206]; приложения к магнитосфере черной дыры [120, 121, 206]; приложения к разнообразным мо- дельным задачам по физике черных дыр [122, 195]; закручи- вание черной дыры внешним гравитационным полем [205]; атмосфера черной дыры, испарение черных дыр, энтропия черной дыры и другие вопросы квантовой теории поля [72а, б; 242]. В этой книге мембранная парадигма вырисовывается после- довательно, шаг за шагом, причем при введении каждого важ- ного понятия для его иллюстрации используются модельные задачи. Модельные задачи взяты не только из недавней лите- ратуры и неопубликованных работ авторов, но также из лите- ратуры 60-х и 70-х годов, предшествовавшей разработке мемб- ранной парадигмы; в последнем случае задачи будут перефор- мулированы на языке мембранного формализма. На протяже-
I. ВВЕДЕНИЕ: МЕМБРАННЫЙ ПОДХОД 19 нии всего изложения мы ограничимся медленно меняющимися (шварцшильдовскими, керровскими или почти-шварцшильдов- скими и почти-керровскими) дырами, для которых мембранная парадигма наиболее плодотворна; анализ черных дыр с сильной динамикой в рамках мембранного подхода дан Прайсом и Тор- ном [163]. Кроме того, мы ограничимся рассмотрением реали- стической с точки зрения астрофизики ситуации, когда полный электрический заряд черной дыры столь мал, что его можно описать как линейное возмущение незаряженной дыры; обоб- щение на случай сильно заряженных (рейснер-нордстремо)в- ских или керр-ньюмановских) черных дыр не встречает прин- ципиальных затруднений, но к настоящему времени еще не проделано. В гл. II мы начнем с введения 3+1-формализма для шварцшильдовского пространства-времени, и в частности с 3-|-1-расщепления законов электродинамики. Затем мы обсу- дим трудность, неизбежно возникающую в рамках 3+1-под- хода при описании процессов, протекающих в непосредственной близости от горизонта: «застывание» движения на горизонте. Этим обстоятельством мотивируется введение понятия «растя- нутого» горизонта, при котором нулевой горизонт заменяется времениподобной физической мембраной, наделенной электри- ческими, механическими и термодинамическими свойствами. Именно в этом и состоит суть мембранной парадигмы. Степень полезности этого мембранного подхода иллюстри- руется затем, в конце гл. II, с помощью ряда модельных задач по электромагнетизму. Приводится модельная задача, в кото- рой черная дыра пронизана осциллирующими магнитными сило- выми линиями, которые закреплены на идеально проводящей сфере, окружающей черную дыру; сложная и несущественная (для ответа на большинство вопросов) структура поля вблизи истинного горизонта скрыта под растянутым горизонтом. По- верхностный заряд растянутого горизонта иллюстрируется мо- дельной задачей, в которой внешние заряженные тела индуци- руют разделение заряда на горизонте. Поверхностный ток и сопротивление растянутого горизонта рассматриваются на ос- нове задачи, в которой дыра считается помещенной в электри- ческую цепь. Омический нагрев горизонта в этой цепи исполь- зуется для иллюстрации энтропии черной дыры и закона ее роста. Сила Лоренца, действующая на растянутый горизонт со стороны магнитного поля, пронизывающего горизонт, иллю- стрируется модельной задачей, в которой (почти-) шварцшиль- довская дыра действует как ротор в электромоторе. Изменение электрического и магнитного полей в окрестности горизонта, а также токи и заряды, индуцированные на растянутом гори- зонте в результате этого изменения, иллюстрируются модельной
20 Р. ПРАЙС, К. ТОРН задачей, в которой электрические заряды перемещаются парал- лельно горизонту. В гл. III мы обращаемся к вращающимся (керровским) чер- ным дырам. Рассмотрено 3+1-расщепление для таких дыр и достаточно детально проанализировано гравитомагнитное поле (гравитационный аналог магнитного поля), появляющееся в ре- зультате такого разделения. Природа гравитомагнитного поля (ГМ) в пределе слабой гравитации вдали от горизонта иллю- стрируется на основе анализа его роли в уравнении для геоде- зических, а также в прецессии гироскопов («эффект Лензе — Тирринга», «увлечение инерциальных систем отсчета»). 3+1- расщепление законов электродинамики и других законов фи- зики и растянутый горизонт представлены в случае вращаю- щейся черной дыры. Затем приводятся модельные задачи, с помощью которых объясняется, как ГМ-поле создает электри- ческие поля из магнитных и магнитные поля из электрических. В качестве важного примера показано, что в случае вращаю- щейся черной дыры, пронизанной магнитным полем, создается падение электрического напряжения между полюсами дыры и ее экватором — фактически ГМ-поле дыры взаимодействует с ее магнитным полем, создавая «поверхностную батарею» на горизонте. Физика этой поверхностной батареи поясняется с помощью модельной задачи, в которой фигурирует разделение зарядов на горизонте дыры при отсутствии входящих и выхо- дящих токов, а также с помощью задачи, в которой поверх- ностная батарея создает токи в проводах, соединяющих дыру с внешней цепью. И наконец, взаимодействие магнитных полей и вихревых токов, индуцированных этими полями на горизонте, иллюстрируется модельной задачей о черной дыре во внешнем магнитном поле, которое наклонено по отношению к оси вра- щения дыры. На основе понимания, достигнутого с помощью этих модель- ных задач, в гл. IV дается обзор по магнитосферам черных дыр. Здесь рассматриваются следующие явления: увлечение аккре- ционного диска в экваториальную плоскость дыры в резуль- тате совместного действия ГМ-поля дыры и вязкости диска (эффект Бардина — Петерсона); привнесение магнитного поля на черную дыру аккреционным диском; выглаживание привно- симых полей горизонтом; трансформация выглаженных полей в плазменную бессиловую магнитосферу; и, наконец, высвобож- дение энергии вращения черной дыры в магнитосферу (процесс Блэндфорда — Знаека), включая теорию цепей и анализ пере- дачи энергии с точки зрения теории цепей и сохранения мо- мента. В первых четырех главах основное внимание уделяется гра- витационным эффектам, связанным с воздействием черной
I. ВВЕДЕНИЕ: МЕМБРАННЫЙ ПОДХОД 21 дыры на внешние поля и вещество. В следующих трех главах речь идет об обратной задаче: гравитационное воздействие со стороны внешних полей и вещества (и черных дыр!) на рас- сматриваемую дыру. В гл. V мы начинаем с исследования воз- действия на черную дыру со стороны далеких источников гра- витации. Ключевые роли в этом исследовании играют «асимп- тотическая система покоя» дыры и 3+ 1-расщепление прилив- ного гравитационного поля внешних тел. Эти понятия исполь- зуются для обоснования и вывода 3 + 1-уравнений для сил и моментов, действующих на дыру со стороны далеких тел; за- тем показывается, как получить из этих сил и моментов кон- кретные уравнения движения и прецессии для черной дыры, взаимодействующей со сложной внешней системой, например с другими компактными объектами, входящими в систему не- скольких или многих тел. В оставшейся части гл. V приводятся модельные задачи, предназначенные для иллюстрации четырех типов прецессии, которые может испытывать черная дыра: пре- цессия из-за моментов, обусловленных взаимодействием квад- рупольного момента дыры с приливными гравитационными по- лями, создаваемыми внешними телами; гравитомагнитная пре- цессия, обусловленная взаимодействием ГМ-поля дыры с ГМ- полями внешних тел; прецессия, обусловленная гравитацион- ным спин-орбитальным взаимодействием, когда дыра обра- щается вокруг некоторого компаньона, и прецессия, обусловлен- ная пространственной кривизной, создаваемой компаньоном, во- круг которого обращается черная дыра. Спин-орбитальная пре- цессия и прецессия за счет пространственной кривизны вместе составляют «геодезическую» прецессию, которая, как можно по- казать, преобладает над другими формами прецессии при дви- жении в двойных системах. Однако в случае черной дыры, взаимодействующей с окружающим ее аккреционным диском, гравитомагнитная (Лензе — Тирринга) прецессия оказывается доминирующей, а в случае дыры, взаимодействующей с окру- жающим ее эллипсоидальным скоплением звезд (ядро галак- тики), которое обладает пренебрежимо малым угловым момен- том, отлична от нуля лишь прецессия за счет момента. В. гл. VI мы возвращаемся к рассмотрению области силь- ного поля черной дыры, на этот раз для изучения гравитацион- ных возмущений, которые могут вызывать существенные изме- нения горизонта. Мы развиваем здесь мембранный подход при- менительно к этим гравитационным возмущениям по аналогии с электромагнитным мембранным подходом, описанным в гл. II и III (хотя здесь ситуация оказывается более сложной). В ка- честве отправной точки берется 3 + 1-расщепление возмущаю- щих приливных полей — гравитационных аналогов электромаг-
22 р. прайс, к. торн -> ¦> нитных полей Е и В. Сначала влияние этих приливных сил на дыру сводится к их влиянию на кинематику растянутого гори- зонта. Затем, воспользовавшись подходом Дамура [49, 50], мы интерпретируем выявленные в результате кинематические эф- фекты, приписывая растянутому горизонту свойства механиче- ской поверхности (поверхностную вязкость, поверхностное на- тяжение, поверхностные плотности массы и импульса). Эти понятия и связанные с ними эффекты иллюстрируются в гл. VII модельными задачами, в которых внешнее вещество искажает горизонт и заставляет его эволюционировать. Первая модель- ная задача включает в себя квазистатическое оседание, точеч- ных масс на горизонт невращающейся дыры; из этой задачи вырастает обсуждение квазистационарных искажений горизонта в общем случае. Вращательные возмущения иллюстрируются модельной задачей, в которой точечные массы движутся по ор- битам над самым экватором керровского горизонта. Обсуж- дается замедление вращающейся дыры в приливном поле, соз- даваемом далекими источниками. Такая задача впервые про- демонстрировала вязкую природу горизонта [89, 90, 101] и по- могла обосновать мембранный подход. Затем обсуждаются «черно-дырные» процессы, происходящие в области сильного поля вблизи горизонта; сюда входят гравитационный механизм извлечения энергии вращения, суперрадиационное рассеяние гравитационных волн, квазинормальные пульсации дыры. И на- конец, динамика горизонта еще глубже иллюстрируется с по- мощью модельных задач, в которых точечные частицы ради- ально движутся вблизи горизонта. Здесь рассмотрен случай как свободного падения, так и заданного ускорения. Завершает книгу гл. VIII, в которой дано описание тепло- вой атмосферы черной дыры, предсказываемой квантовой тео- рией поля, в рамках мембранного формализма. Изложены фи- зические законы, которым подчиняется атмосфера и ее эволю- ция, при этом особое внимание уделяется вопросу о том, как поляризация вакуума приводит к перенормировке наблюдений атмосферы для статических наблюдателей, обеспечивая энер- гию и импульс, которые взаимодействуют с гравитацией и яв- ляются причиной эволюции растянутого горизонта. Показано, что энтропия дыры равна перенормированной статистической энтропии атмосферы, которая в свою очередь равна постоянной Больцмана, умноженной на логарифм числа способов, кото- рыми может быть сделана черная дыра. Такая интерпретация энтропии дыры приводит к доказательству того, что второе на- чало термодинамики для систем, включающих в себя черную дыру, есть всего лишь частный случай обычного нерелятивист- ского закона. Несколько модельных задач иллюстрируют фи-
I. ВВЕДЕНИЕ: МЕМБРАННЫЙ ПОДХОД 23 зику тепловой атмосферы черных дыр. Среди этих задач испа- рение дыры в идеальный вакуум, взаимодействие атмосферы дыры с внешней тепловой баней, инжекция гравитонов в ат- мосферу дыры в ходе замедления ее вращения, вызванного при- ливным воздействием, а также возникающее в результате уве- личение статистической энтропии дыры и, наконец, «впрыскива- ние» квантов в атмосферу черной дыры и извлечение квантов из нее. На протяжении всей этой книги мы пользуемся теми же обозначениями, которые приняты в книге Мизнера, Торна и Уилера [129], и, так же как там, полагаем ньютоновскую гра- витационную постоянную G и скорость света с равными еди- нице («геометрические единицы»; см. приложение 1.8 книги [129]). Время от времени мы восстанавливаем G и с в урав- нениях, но лишь для того, чтобы напомнить читателю, куда эти константы входят. Кроме того, следуя книге [129] (§ 8.4, приложение 9.2), мы обозначаем координатные базисные век- торы частными производными, например еф = д/дф. Чтобы при- вести некоторые уравнения к более элегантному виду, мы поль- зуемся приведенными в [129] диадными обозначениями для тен- зоров второго ранга, но все уравнения, в которых диадные обо- значения могли бы внести неясность, мы записываем в индекс- ных обозначениях.
II Невращающиеся и медленно вращающиеся черные дыры Д. Макдоналд, Р. Прайс, Вэй Мо Сюэн, К. Торн А. 3 + 1-расщепление шварцшильдовского пространства-времени Рассмотрим черную дыру, которая образовалась в резуль- тате гравитационного коллапса некоторой звезды, обладавшей пренебрежимо малым угловым моментом / <С M2(J <С GM2/c), где М — масса дыры. Если бы даже черная дыра в самом на- чале была сильно несимметричной, она избавилась бы от своей асимметрии, излучая гравитационные волны за характерное время Д/~ 10(Ш = \00GM/c3~ A мс)(М/М0), где Мо — одна солнечная масса (см. [129], § 32.7). Если вблизи дыры нет масс, способных оказывать на дыру приливное воздействие, то дыра придет в равновесное состояние, описываемое шварц- шильдовской метрикой ds2 = g^v dx^ dxv = = - [l - Щ d? + x Jr22M/r - + r2 (dQ* + sin2 8 d^Y B.1) Здесь t, r, 6, ф — соответственно шварцшильдовские время, ра- диальная и угловые координаты (см., например, [129], § 23.2, 23.3, 23.6), а 2М = гн — гравитационный радиус черной дыры. В большей части этой главы мы ограничимся рассмотрением такой дыры, находящейся в равновесном шварцшильдовском состоянии. Метрика B.1) описывает дыру с пространственно-времен- ной точки зрения. Чтобы расщепить это пространство-время на 3-мерное пространство и 1-мерное время, мы должны вы- брать некоторое предпочтительное множество пространственно- подобных гиперповерхностей. Наиболее естественно остановить свой выбор на гиперповерхностях постоянного времени, что мы и сделаем. (Мало-мальски проницательный читатель может воз- разить против такого выбора, думая, что мы возвращаемся к старому, дискредитировавшему себя взгляду на черные дыры как на застывшие звезды; мы успокоим эти опасения и объяс- ним наш выбор позднее.) Выбрав гиперповерхности постоян- ного времени, мы мысленно совместим все эти гиперповерх- ности в единое «абсолютное» (по Галилею) 3-мерное про-
II. НЕВРАЩАЮЩИЕСЯ И МЕДЛЕННО ВРАЩАЮЩИЕСЯ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ 25 странство с координатами г, 8, ф и 3-мерной метрикой: ds2 = glk dxi dx* = -jSmF + r"{d62 + Si 6 dn B>2) a f будем рассматривать как «мировое время» галилеева типа, отсчитываемое в этом абсолютном пространстве. Удобно представить себе, что это абсолютное пространство заполнено опорными наблюдателями (ОПН). В каждой точке (г, 0,0) находится ОПН, который производит измерения физи- ческих процессов, происходящих в его окрестности. Каждый ОПН покоится относительно дыры и никогда не изменяет свое фиксированное (г, 0, ф) положение. Когда ОПН производит локальные физические измерения, он, как правило, пользуется локальной декартовой системой координат в универсальном пространстве. Ее базисные векторы единичной длины каса- тельны к координатным линиям: ел = \1 —-, вк = —чтг, еА =—г-7г-=гг. B.3а) г L г ] дг © г д9 Ф г sin 9 дФ v } В качестве времени он обычно пользуется временем т, которое показывают физические часы, сопутствующие ОПН. Соотноше- ние между этим временем т, измеряемым по часам ОПН, и ми- ровым временем t можно получить из пространственно-времен- ной метрики B.1): чг ~ а = (- gOoI/2 = [1 —J • B-36) Если встать на пространственно-временную точку зрения и не заниматься 3 + 1-расщеплением, то к ортонормированным ба- зисным векторам B.3а) добавляется ^ d 1 д /о о \ еъ = -г~ == нг B.3в) и е^, ^., ^6, е^, вместе взятые, образуют «собственную систему отсчета» ОПН (ср. с § 13.6 книги [129]). Величина а назы- вается функцией длительности, поскольку ею определяется дли- тельность интервала времени по часам ОПН, соответствующая единичному интервалу мирового времени. Ее можно рассматри- вать также, как «функцию гравитационного красного смеще- ния»: если фотон, испущенный ОПН, расположенным на ради- альном расстоянии го, имеет частоту f0, то принимающий его ОПН, расположенный вдали от дыры, измерит частоту, испы- тавшую красное смещение f = a{ro)fo. Отметим, что вдали от дыры часы, сопутствующие ОПН, идут в том же темпе, что и мировое время, но вблизи горизонта часы, сопутствующие ОПН, идут гораздо медленнее. Горизонт, г = гн = 2М, можно рас-
26 Д. МАКДОНАЛД, Р. ПРАЙС, ВЭЙ МО СЮЭН, К. ТОРН сматривать как место, где часы, сопутствующие ОПН, не идут вовсе, т. е. место, где а ->- 0. Принимая 3+1-подход, мы считаем пространство-время (t,r,Q,<f>) расщепленным на абсолютное 3-мерное простран- ство (г, 9, ф) плюс мировое время /; пространственно-временную метрику gjxv [уравнение B.1)] мы рассматриваем как расщеп- ленную на метрику gjk [уравнение B.2)] плюс функция дли- тельности ос [уравнение B.36)]; аналогично 4-мерный тензор электромагнитного поля F^ мы рассматриваем как расщеп- ленный на электрическое поле Е}- и магнитное поле В/, измеряе- мые (по действию силы Лоренца) различными ОПН: F^ / \ B.4) г, / ,ф) е, ф) t / ejk V \ Далее будем считать, что функция длительности а, электриче- ское и магнитное поля, Е и В, суть объекты, существующие в 3-мерном пространстве и (в случае Е и В) эволюционирую- щие с течением мирового времени. По существу все физические процессы протекают в 3-мерном пространстве с течением миро- вого времени, и все физические величины определяются через измерения, выполняемые в этом пространстве различными ОПН. Абсолютное пространство вокруг черной дыры отличается от абсолютного пространства Галилея в одном существенном отношении: оно искривлено. Эффекты пространственной кри- визны обсуждаются в разд. Б.5. Как правило, эти эффекты менее существенны, чем эффекты, связанные с функцией дли- тельности (с красным смещением), поэтому нередко мы будем пренебрегать ими. Но, если время от времени будет возникать необходимость разбираться в свойствах кривизны, мы будем пользоваться «диаграммами погружения» (см. [129], § 23.8): «плоское» 2-мерное сечение в абсолютном пространстве черной дыры (экваториальное сечение 6 = л/2 или полярное сечение ф = const) обладает 2-мерной геометрией: ds2 = A - 2М/гГ1 dr2 + r2 dQ2. B.5) Точно такая же геометрия (такая же кривизна) свойственна параболоиду вращения в евклидовом 3-пространстве (рис. 2): 2 = V8Af(r-2Af), ds2 = dr2 + dz2 + r2 dQ2. B.6) Такой параболоид можно рассматривать как 2-мерную эква- ториальную «плоскость» [уравнение B.5)], погруженную в евклидово 3-пространство. Как видно на рис. 2, эта кривизна такая же, как у оркестровой трубы, причем горизонт распо-
II. НЕВРАЩАЮЩИЕСЯ И МЕДЛЕННО ВРАЩАЮЩИЕСЯ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ 27 Горизонт Рис. 2. Диаграмма погружения для 2-мерного экваториального или поляр- ного сечения абсолютного 3-пространства шварцшильдовской черной дыры; ср. с формулами B.5) и B.6). Эта диаграмма иллюстрирует кривизну абсолют- ного пространства черной дыры. лагается на горловине трубы, а далекая внешняя Вселенная — на асимптотически плоском листе, с которым соединен раструб. 3+ 1-подход ничего не говорит, и фактически ничего не может сказать, о внутренней области г < 2М. По этой причине мы резко обрываем диаграмму погружения на горизонте. Функция длительности а не только определяет красные сме- щения и темпы хода часов, но и, кроме того, играет роль гравитационного потенциала, по которому рассчитывается гра- витационное ускорение g, испытываемое ОПН. Простой обще- релятивистский расчет дает м B.7) [Более изощренный вывод ускорения, справедливый не толь- ко в случае шварцшильдовских дыр, но и в существенно более общем случае см. в работе [206], уравнение B.4).] В этом и во всех последующих уравнениях V обозначает 3-мерный гра- диент в абсолютном пространстве (подробнее см. разд. Б.5). Вдали от горизонта величина а—1 становится близкой ньюто- новскому гравитационному потенциалу Ф: а— 1~Ф = — M/r, g= — УФ при г>2М. B.8) Повсюду (и вдали от горизонта и вблизи него) g есть уско- рение, измеряемое ОПН, который пользуется обычным грави- метром или акселерометром, а F = — mg — сила, которую не- обходимо приложить к неподвижной массе га, чтобы предотвра-
28 Д. МАКДОНАЛД, Р. ПРАЙС, ВЭЙ МО СЮЭН, К. ТОРН тить ее падение в черную дыру. Вдали от горизонта гравита- ционное ускорение является малым и ньютоновским, вблизи горизонта оно умножается на а =A — 2М/г)~1/2 и становится бесконечным. Б. 3 [ 1-расщепление законов физики вне невращающейся черной дыры 1. Электрические и магнитные поля, измеряемые ОПН, уравнения Максвелла и сохранение заряда Преимущество 3+ 1-подхода состоит в том, что его форма- лизм весьма похож на то, к чему мы привыкли в необщереля- тивистской обычной физике. 3+1-законы электродинамики формулируются с намеренным подчеркиванием этого сходства. Вместе с тем при электродинамическом описании области вблизи черной дыры эти привычные законы приобретают и су- щественно новые черты, свойственные рассматриваемой области. Наиболее важная из этих новых черт состоит в том, что здесь мы имеем дело с двумя «временами»: мировым временем t и собственным временем ОПН т. Мировое время никак не входит в локальные измерения, выполняемые ОПН. ОПН измеряет все скорости, выражая их через свое собственное время т. На про- тяжении всей этой книги поля Е и В в некоторой точке опреде- ляются как поля, измеряемые ОПН, находящимся в этой точке, причем ОПН пользуется при измерениях своим собственным временем т. Рассмотрим это условие более подробно. Пусть ОПН на- блюдает частицу с массой покоя m и зарядом q и измеряет ее скорость v (имеющую компоненты vj = dxj/dx = a~ldx]'/dt). В качестве импульса частицы по определению он принимает величину p = mv/(\—v2I/2 (где v2 = gjkvJ'vk). Тогда по его на- блюдениям темп изменения импульса по отношению к его соб- ственному времени равен -> 4г- = % g + q(E+vXB). B.9а) Локальные поля Е и В определяются в терминах той части этого соотношения, которая зависит от q, т. е. точно так же, как это сделал бы любой лабораторный наблюдатель. [Уравне- ние B.9а) можно вывести из 3 + 1-расщепления обычного об- щерелятивистского уравнения движения для заряженной ча- стицы mua;$u$ = qF$$]
II. НЕВРАЩАЮЩИЕСЯ И МЕДЛЕННО ВРАЩАЮЩИЕСЯ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ 29 К используемым здесь обозначениям следует относиться с известной осторожностью. Электродинамика в специальной тео- рии относительности, как правило, использует символ т для обозначения собственного времени заряженной частицы. Здесь же под т подразумевается собственное время ОПН и оно играет ту же роль, что и «лабораторное время» ^аь в специальной тео- рии относительности, в которой поля Е и В определяются в ла- бораторной системе отсчета с помощью явно нековариантного соотношения: ^E ( ) В нашем случае собственное время частицы dtpart, равное в специальной теории относительности A — у2I12 dt^b, есть dxpavt = (l —v2)l/2dx. [Тот член, который соответствует в урав- нении B.9а) «гравитационному» ускорению, содержит лорен- цевский фактор A—v2)~1/2, поскольку с точки зрения лабора- торного наблюдателя (ОПН) гравитационное взаимодействие определяется массой-энергией, измеренной в лабораторной си- стеме отсчета, т. е. величиной т\{\ —v2I/2, а не массой покоя т. Необходимо также обсудить и смысл производной d/dx, вхо- дящей в уравнение движения частицы B.9а). Поскольку d/dx означает дифференцирование импульса р, который несет ча- стица, то производная d/dx должна браться в точке, движу- щейся вместе с частицей. В локальных декартовых коорди- натах, которые могут быть использованы ОПН при формиро- вании своей локальной системы отсчета, эту производную мож- но было бы переписать следующим образом: dpk/dx ={a-ld/dt + -\-v1d/dx1')pk. Соответственно в обозначениях, не зависящих от выбора координат, эта производная принимает следующий вид: где V — (ковариантный) оператор градиента в абсолютном пространстве (см. ниже подразд. 5). Плотность электрического заряда ре и плотность электриче- -> -> -> ского тока /, так же как и ? и В, являются по определе- нию величинами, измеряемыми ОПН. Это означает, что ре — электрический заряд, приходящийся на единичный (по измере- нию ОПН) пространственный объем, / — электрический заряд, протекающий за единицу времени т через поперечную площадку единичной (по измерению ОПН) площади.
30 Д- МАКДОНАЛД, Р. ПРАЙС, ВЭЙ МО СЮЭН, К. ТОРН Отдавая себе отчет в том, что при дальнейшем использова- нии всех этих обозначений может возникнуть какая-нибудь путаница, авторы пользуются случаем лишний раз повторить и подчеркнуть, что символы Е и В всегда относятся к полям, измеряемым ОПН (т. е. к полям, измеряемым в локально ло- ренцевских системах отсчета «покоящегося» относительно шварцшильдовских координат наблюдателя), а символы рс и j всегда будут обозначать плотность заряда и плотность тока, которые получает ОПН, производя локальные измерения. Таким образом, ОПН представляют собой наши «локальные лаборатории», ат играет роль локального лабораторного вре- мени, а не глобальной координаты. Оно не имеет отношения к разбиению пространства-времени на сечения. Для этой цели естественно выбрать «мировое время» t — временную коорди- нату в шварцшильдовской системе. Эта временная координата участвует в разбиении пространства-времени на сечения точно так же, как это делали бы ОПН физически, используя эйнштей- новское определение одновременности. Пусть ОПН s& посылает в сторону соседнего ОПН М световой импульс, и пусть этот импульс, отразившись в зеркале, расположенном в точке Ш, возвращается к sfi. Тогда событие, соответствующее отраже- нию и происходящее в 3$, является одновременным тому собы- тию в si, которое происходит точно посередине по собствен- ному времени т между испусканием и возвращением импульса. Из-за гравитационного красного смещения темпа хода часов невозможно так выбрать начала отсчета собственного времени т в i и I, чтобы одновременным парам событий в i и I со- ответствовало одно и то же т. Однако мировое время t обла- дает тем замечательным свойством, что событиям, которые являются одновременными по измерениям соседних ОПН, всегда соответствует одно и то же значение t. Координата t, соответ- ствующая мировому времени, позволяет также наилучшим об- разом описать независимость «от времени» геометрии и, как правило, приводит к наиболее простым нелокальным соотно- шениям. Вот почему при дифференцировании полей, как это делается в уравнениях Максвелла, мы пользуемся d/dt. Однако при этом не следует удивляться тому, что при соответствующей записи уравнений Максвелла в них появляются множители а = dr/dt, -> -> отражающие то обстоятельство, что в определение Е и В вхо- дит единица ОПН-времени, тогда как, производя дифферен- цирование, мы берем за основу единицу мирового времени. Не существует какого-либо простого правила, позволяющего по- нять, в каком именно месте в уравнениях Максвелла и в урав-
^ () II. НЕВРАЩАЮЩИЕСЯ И МЕДЛЕННО ВРАЩАЮЩИЕСЯ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ 31 нении сохранения заряда, полученных из точной теории, появ- ляются множители а: V-S = 0, B.10a) У-? = 4ярв, B.106) |- = -VX(a?), B.1 Ов) B.1 Or) ^ B.10д) но их положение в уравнениях, безусловно, соответствует при- веденному выше объяснению. В качестве мнемонического пра- вила, но не в качестве объяснения можно считать, что мно- жители а приводят правые части последних трех уравнений к единице мирового времени так, чтобы они соответствовали левым частям. В уравнениях, не содержащих d/dt, множители а не появляются. Знакомые интегральные законы электромагнетизма можно вывести из приведенных выше дифференциальных законов. Эти интегральные законы (соответственно два закона Гаусса, закон Фарадея, закон Ампера и уравнение непрерывности для заряда) имеют вид § B-dA = 0, B.11а) - dA=4n JpedV\ B.116) §E-cU, B.11в) -jj- \ E ¦ dA = <Sj> aB • dl - 4я ^ a/ • dA, B.11г) a\-dA. B.11д) дт Здесь дТ — граница объема Т и <& = д^Ф — кривая, ограничи- вающая площадь s&; остаются в силе обычные правила («пра- вила правой руки»), указывающие относительные ориентации dl, dA и dV\ кроме того, принимается, что объем У°, площадь «я? и кривая 9" покоятся в абсолютном пространстве (покоятся по отношению к ОПН и, следовательно, также по отношению
32 Д- макдоналд, р. прайс, вэй мо сюэн, к. торн к координатам г, 6 и ф). Непривычной особенностью этих урав- нений являются лишь множители а, которые, так же как и в дифференциальных соотношениях B.10), можно рассматривать как факторы, изменяющие правые части и приводящие их к единице мирового времени таким образом, чтобы они были со- вместимы с производными d/dt, входящими в левые части. Вывод приведенных выше дифференциальных и интеграль- ных формул для уравнений Максвелла см., например, в работе Торна и Макдоналда [206]: формулы E.8) и E.11) при со = 0 -> и формулы D.1) — D.5) при v = 0. Эти формулы справедливы, -> -> конечно, лишь в том случае, когда поля Е и В достаточно слабы и можно пренебречь влиянием их энергии-импульса на гравитационное поле, но это условие всегда выполняется, если речь идет о реальных астрофизических ситуациях. 2. Электрические и магнитные линии поля, напряжения и ЭДС, энергия с учетом красного смещения и поток Пойнтинга Один из наиболее привлекательных аспектов 3+1-подхода состоит в том, что он позволяет прийти к системе, в рамках которой оказывается полезной интуиция, основанная на опыте работы с плоским пространством-временем. В то же время здесь явно присутствуют новые свойства электродинамики в искривленном пространстве, и читатель, столкнувшись с ними впервые, возможно, испытает сомнение в применимости этой интуиции. По этой причине мы дадим ниже краткий обзор неко- торых известных понятий и выясним, в какой мере их можно переносить на 3 + 1-электродинамику. Применимость и полез- ность этих понятий будут показаны на примере модельных за- дач в разд. Г. -^ -> а) Силовые линии Е и В Как видно из уравнений Максвелла [формулы B.10а, б)], вектор В всегда является бездивергентным, а вектора бездивер- гентный только в отсутствие заряда. Если мы построим сило- вые линии полей Е и В, следуя обычному алгоритму (силовая линия касательна направлению поля, плотность силовых линий пропорциональна напряженности поля), то силовые линии поля В окажутся кривыми, не имеющими концов, а силовые линии -> поля Е будут начинаться и оканчиваться только на заряде.
ii. НЕВРАЩАЮЩИЕСЯ И МЕДЛЕННО ВРАЩАЮЩИЕСЯ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ 33 Представление о натяжении силовых линий и о давлении между ними по-прежнему применимо для качественного и ко- личественного понимания действия и эволюции полей. Силовые линии по-прежнему «хотят» сократиться и избежать «сгуще- ний» (см. разд. III. Б.3). Картина силовых линий усложняется по той причине, что пространственная геометрия искривлена; об этом подробно пой- дет речь ниже в подразд. 5. б) Падения напряжений и ЭДС по замкнутым контурам Как следует из закона Фарадея [формула B.Ив)], меняю- щееся со временем поле В порождает ЭДС в замкнутом кон- туре, точно так же как и в случае плоского пространства. Раз- ница лишь в том, что в определение ЭДС входит величина аЕ, тогда как Е управляет движением зарядов с точки зрения ОПН, выполняющих локальные измерения [уравнение движе- ния под действием силы Лоренца B.9)]. Появление множи- теля а при рассмотрении напряжения не случайно, оно тесней- шим образом связано с тем обстоятельством, что время, фигу- рирующее в глобальных явлениях, например в глобальных за- конах сохранения, есть мировое время t, а не время ОПН т, а напряжение — понятие глобальное. Чтобы увидеть это более отчетливо, рассмотрим цепь, со- стоящую из сверхпроводящего провода, часть которого нахо- дится вблизи горизонта, а часть вдали от него, и расположен- ных на этом проводе в различных точках сосредоточенных эле- ментов цепи (резисторы, индуктивности, батареи и т.д.). Пред- положим, что цепь находится в стационарном состоянии. Тогда, как следует из интегрального закона сохранения заряда B.11д), ток, определенный через единицу мирового времени, равен / as y /."' = \ «/ • <*Л B.12) и не зависит от положения в цепи. (Интеграл здесь берется по поперечному сечению провода.) С другой стороны, поскольку сопротивление резистора является локально измеряемой вели- чиной ._ s (здесь интеграл взят по очень маленькой длине резистора), и поскольку dx = adt, связь между напряжением и током для ре- зистора имеет вид W ^\aE-df=a ^ R = IR. B.14)
34 Д. макдоналд, р. прайс, вэй мо сюэн, к. торн Таким образом, поскольку ток в цепи / измеряется на основе единицы мирового времени, определение напряжения через ин- теграл от аЕ приводит к сохранению обычного вида закона Ома для резистора, V = IR. Наличие а в определении напряжения можно понять, исходя из более формальных соображений, следующим образом. Если встать на пространственно-временную точку зрения на черную дыру и рассмотреть статическое электромагнитное поле, то можно вычислить компоненты тензора электромагнитного поля по стандартной формуле Fj0 = дА0/дх}. Компоненты ?, изме- ряемые в ортонормированной системе ОПН (в собственной системе отсчета), равны Ej = Fj~. Точно так же компоненты -> Е в произвольном координатном базисе в абсолютном про- странстве равны Ej = F^ = Q<~lFjQ = a dA0/dxf, поэтому именно -> -> аЕ, а не ? является градиентом потенциала (напряжения V = A0). Стоит отметить, что аЕ можно рассматривать как поле, вы- зывающее изменения импульса заряженной частицы, если мы измеряем эти изменения, основываясь на единице мирового вре- мени, а не на единице времени ОПН: Представление об изменениях, приходящихся на единицу ми- рового времени, будет полезным, хотя такие изменения не соответствуют измерениям, проводимым каким-либо наблюда- телем. в) Энергия с учетом красного смещения Когда фотон поднимается в гравитационном поле черной дыры, его частота испытывает красное смещение. В соответ- ствии с этим изменяется и его энергия: (энергия на бесконечности) ,* ig\ (энергия при испускании) При этом фактор красного смещения рассчитывается в точке испускания. Это соотношение для энергии, испытавшей красное смещение, справедливо не только для фотонов. Ему подчиняют- ся все формы энергии (см., например, [129], § 25.3). В резуль- тате в законах физики вокруг черной дыры фигурируют два типа энергии: «локально измеряемая энергия», которая опреде- ляется обычными локальными законами физики, применяемыми
II. НЕВРАЩАЮЩИЕСЯ И МЕДЛЕННО ВРАЩАЮЩИЕСЯ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ 35 ОПН, и «энергия-на-бесконечности», или «энергия с учетом красного смещения», которая равна части локально измеряемой энергии, остающейся после переноса на бесконечность (подра- зумевается, что необходимая для переноса работа совершается за счет этой самой локально измеряемой энергии). Частица, расположенная в том месте, где фактор красного смещения ра- вен а, обладает локально измеряемой энергией и энергией-на- бесконечности, которые связаны друг с другом соотношением ?00 = a?iocai. BЛ7) Если частица свободно падает (внешние силы отсутствуют) в гравитационном поле дыры, то ее энергия-на-бесконечности со- храняется, тогда как локально измеряемая энергия меняется, Если частица падает, пересекая горизонт, в дыру, она увели- чивает массу дыры на величину своей энергии-на-бесконеч- ности: Е„ B.18) (см. [129], § 25.3 и 33.7). И если в дыру попадает любой дру- гой объект (например, электромагнитное поле), то он тоже увеличивает массу дыры на величину, равную его энергии-на- бесконечности. г) Поток Пойнтинга -> -> Поскольку Е и В—это физически измеряемые электриче- -> -> ское и магнитное поля, величина A/4я) ? X 5 должна пред- ставлять собой поток локально измеряемой энергии, т. е. коли- чество локально измеряемой энергии, пересекающей единичную площадку за единицу собственного времени ОПН т. Однако, если мы имеем дело с законом сохранения энергии, нас инте- ресует не эта величина, а количество энергии-на-бесконечности, пересекающее единичную площадку за единицу мирового вре- мени, а эта величина определяется выражением A/4я)а2? X В. Один множитель а связан с переходом от локально измеряемой энергии к энергии-на-бесконечности, а второй появляется из-за перехода от единицы времени ОПН к единице мирового вре- мени. 3. ОПН и СПН Математическое описание физических процессов, основанное на величинах, измеряемых ОПН, независимо от того, выра- жаются ли эти величины через мировое время t или через соб- ственное время ОПН т, имеет один большой недостаток: вблизи
36 Д. МАКДОНАЛД, Р. ПРАЙС, ВЭЙ МО СЮЭН, К. ТОРН горизонта движение ОПН становится аномальным в том смыс- ле, что эти «стационарные» наблюдатели движутся наружу со скоростями, близкими к скорости света (и конечно, со сколь угодно большими ускорениями). В качестве примера неано- мального множества наблюдателей в каждой точке t, r, G, ф мы можем представить себе наблюдателей, которые свободно падают к дыре по радиальным траекториям, начав движение по этим траекториям из состояния покоя на бесконечно большом расстоянии от дыры в бесконечно далеком прошлом. Можно показать, что движение этих свободно падающих наблюдателей (СПН) описывается уравнением dr/dt = — A - 2M/r {2M/r)ll2 B.19) [см. [129], формула B5.36') при R = оо или решение уравне- ния B.9а) при <7 = 0], а скорость, с которой с точки зрения этих СПН движутся наружу ОПН (равная скорости, с которой с точки зрения ОПН движутся к дыре СПН), равна (\-2M/r)-^2dr A-2М/ГГ1/2 dr _( 2М V~~ dx ~ a ~U-~\7~ На горизонте эта скорость становится равной скорости света. В силу основополагающего принципа, согласно которому сво- бодно падающие наблюдатели являются неаномальными на- блюдателями для измерения полевых величин, мы должны прийти к выводу, что измерения ОПН вблизи горизонта весьма сомнительны. Как мы увидим ниже, эта трудность легко прео- долима, поскольку преобразование Лоренца с радиальной ско- ростью v = BM/r)l/2 приводит результаты измерений ОПН к ре- зультатам измерений, проведенных СПН. Отметим, что лорен- цевский фактор, фигурирующий в этом преобразовании, равен 4. Граничные условия на горизонте -> -> Граничные условия, которым удовлетворяют Е и В на го- ризонте, кратки и просты: компоненты электрического и маг- нитного полей, измеряемые СПН, должны быть конечными. Гра- ничные условия для наших Е и В (измеряемых ОПН) следуют из сказанного выше и находятся с помощью обычных законов преобразования [см. [129], формулы C.23)]. Чтобы выписать их, отметим компоненты, измеряемые СПН, соответствующим нижним индексом. Компоненты, измеряемые ОПН, будем за- писывать без нижнего индекса. Тогда законы преобразования при скорости v, определяемой соотношением B.20), имеют еле-
II. НЕВРАЩАЮЩИЕСЯ И МЕДЛЕННО ВРАЩАЮЩИЕСЯ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ 37 дующий вид: Е =?'Спн конечна на горизонте, B.21а) Bf — Вгспн конечна на горизонте, B.216) ?6 = Y 0?пн - v5gnH) = а [ЕЬспн - BМ/гI/2Д?Пн] = О (сГ1), B.22а) В7 = у (я?пн - v^nH) = а [в^пн - BМ/г)т Е6спн] = О (а), B.226) ?*= а [Е1пн + BЛ1/гI/2В^пн] = О (сТ1), B.22в) 6 ^ + BМ/гI/2 ^пн] = О (сГ1). B.22г) Отсюда видно, что все компоненты Е и В, тангенциальные по отношению к горизонту, нарастают вблизи горизонта как а-1. Однако определенные комбинации тангенциальных компо- нент не расходятся на горизонте: Е* + В* = а-{ [1 - BМ/гI12] (Е*спн + Я&пн) = =тй^(^ B-23а) и аналогично ??_В6 = О(а). B.236) Дадим краткую сводку граничных условий (в терминах по- лей, измеряемых ОПН!) при а->0: Е\ Bf = 0A), B.24a) Е\ ??, В\ В* = 0{а~1), B.246) Е& _|_ в*, Е* — В^ = 0 (а) B.24в) -> -> и отметим, что если п= е? — это единичный вектор, направлен- ный по нормали к горизонту (в 3-геометрии), то тангенциаль- -> -> ¦> ные компоненты Е\\ и В\\ (компоненты, ортогональные п) удовле- творяют соотношениям Е\\ = пХ Ви + О (а), В|, = - п X Д| + О (а). B.25) Соотношения B.25) имеют простую физическую интерпрета- цию: поскольку вблизи горизонта (при а-^0) ОПН движутся наружу относительно свободно падающих наблюдателей со ско- ростью, близкой световой, то тангенциальные компоненты элек-
38 Д. МАКДОНАЛД, Р. ПРАЙС, ВЭЙ МО СЮЭН, К, ТОРН тромагнитных полей выглядят для них как распространяю- щиеся вовнутрь электромагнитные волны с точностью до эф- фекта порядка а2, 5. Эффекты пространственной кривизны Хотя геометрия абсолютного пространства (сечения t = const в шварцшильдовском пространстве-времени) не является пло- ской, ее можно описать (что, как правило, и будет делаться) в ортогональных координатах B.2). Сказанное останется спра- ведливым и для абсолютного пространства в случае вращаю- щейся (керровской) черной дыры (разд. III. A.1). Это озна- чает, что при вычислениях в рамках мембранной парадигмы мы практически всегда можем ограничиться операциями с век- торами в ортогональных координатах. В частности, в ортонор- мальном базисе ef={l—2M/r)lf2d/dr, e§=r~l д/дв, e~=(r sin 9) X X д/дф векторная алгебра имеет привычный вид. В основе ее лежат соотношения ^7'еГ==^ГТ и е? X eJ = e?Tkek> где ^?? — символ Кронекера, a e-tjg, — полностью антисимметрич- ный символ. Векторные операции (дивергенция, ротор и т. д.) в ортогональных координатах по форме также мало отличаются от обычных (см., например, [132,190]). В частности, Множитель A — 2М/гI/2 — единственный элемент, отражаю- щий то обстоятельство, что геометрия не является плоской,— необходим здесь для того, чтобы «подправить» производную по г, учитывая тот факт, что дифференциал от длины вдоль ра- диальной координатной линии равен не dr> а A — 2M/r)~l/2 dr [см. формулу B.2)]. Хотя вычисления в рамках ортонормаль- ного базиса вполне достаточны для большинства задач, решае- мых с применением мембранного подхода, при сложных вычис- лениях хорошим подспорьем может оказаться аппарат полного тензорного анализа, изложенный, например, в гл. 8 книги [129]. Есть еще один, более тонкий аспект искривленности про- странственной 3-геометрии. В случае плоского 3-пространства никто не станет оспаривать целесообразность применения де- картовых координат в описании метрики ds2 = dx2 + dy2 + dz2 или сферических полярных координат в выражении ds2 = dr2 + -j- r2(dQ2 + sin26<#2). Мы не сомневаемся в геометрическом
li. НЕВРАЩАЮЩИЕСЯ И МЕДЛЕННО ВРАЩАЮЩИЕСЯ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ §9 смысле этих координат. Иначе обстоит дело в случае 3-геомет- рии в области снаружи черной дыры: ds2 = (l — 2M/r)-ldr2 + r2(d&>+sin2Qd<l>2). B.27) Применение координат 0 и ф геометрически обусловлено, но вы- бор г в данной ситуации больше связан с ее удобством. Ис- пользуемая здесь шварцшильдовская радиальная координата г обладает (весьма примечательным свойством, которое состоит в том, что площадь поверхностей постоянного г определяется этой координатой посредством хорошо знакомой формулы А = 4лх2. Можно было бы выбрать и какую-либо другую «удобную» ра- диальную координату. Например, мы могли бы использовать величину К = 2М + [г (г - 2М)]1'2 + In [(r/2M - II/2 + (Г/2МI/2], B.28) свойство которой заключается в том, что R — 2М измеряет истинное радиальное расстояние от горизонта наружу. В свете вышесказанного необходимо соблюдать осторожность, по- скольку детали рисунков, с помощью которых мы изображаем конфигурации полей, зависят от того, какую радиальную коор- динату мы используем для этих рисунков. Например, с по- мощью формулы B.69), которая будет приведена ниже, мы опишем магнитное поле, являющееся осесимметричным и, в не- котором смысле, однородным. Если мы возьмем пространствен- ное сечение ф = const и изобразим силовые линии В, то они будут удовлетворять соотношению г cos 0 = const и, следова- тельно, будут выглядеть прямыми линиями на рисунке, на ко- тором г является радиальной координатой (рис. 3,а). Однако при представлении поля В в (R, 0) -координатах картина си- ловых линий совершенно иная (рис. 3,6). -> -> Поскольку картина силовых линий Е и В весьма содержа- тельна для интуитивного восприятия, к построению этой кар- тины следует относиться очень внимательно. Наиболее безопас- ный путь — избегать нанесения карты сечения (например, ф = const) искривленной 3-геометрии на «плоский» чертеж. Вместо этого мы можем изобразить силовые линии на диаграм- ме погружения, которая отражает реальные свойства искрив- ленной 3-геометрии (рис. 3,в). Поскольку это может оказаться далеко не простым делом, удобно пользоваться рисунком, пред- ставляющим собой вид (т. е. проекцию) диаграммы погруже- ния сверху. Нетрудно показать, что этот вид сверху совпадает с изображением в координатах г, 0. Следовательно, рис. 3, а есть вид сверху на диаграмму погружения, изображенную на рис. 3, б.
40 Д. МАКДОНАЛД, Р. ПРАЙС, ВЭЙ МО СЮЭН, К. тОрН Рис. 3. Вакуумное статическое магнитное поле в «плоскости» 0 = const аб- солютного пространства шваршильдовской черной дыры. Математически поле описывается соотношением B.69). а — конфигурация линий поля, возникаю- щая, если по радиусу откладывать шварцшильдовскую радиальную коорди- нату г, а шварцшильдовскую угловую координату 6 откладывать вдоль" ок- ружности, б — картина силовых линий, на которой по радиусу отложено фи- зическое радиальное расстояние R [формула B.28)], а 9 отложена вдоль окружности, в — картина линий поля, наложенных на диаграмму погружения для абсолютного пространства дыры. 6. Риндлеровское приближение Пространственно-временная геометрия, описываемая метрикой ds2 = - (gHzf dt2 + dx2 + dy2 + dz2, gH = const B.29) (риндлеровское пространство-время [172]), служит прекрасной иллюстрацией некоторых аспектов 3 + 1-формализма и при- роды горизонта черной дыры. Функция длительности для этой геометрий равна B.30) так что горизонтом (т. е. местом, где а->0) является поверх- ность z = 0. В этой геометрии в качестве ОПН выступают на- блюдатели, для которых х, у, z являются константами, а соб- ственное время т связано с риндлеровской временной коорди- натой (мировым временем) t соотношением dx=--gHzdt. B.31) Однако на самом деле риндлеровское пространство-время представляет собой область пространства-времени Минковского, поскольку преобразование T = zsh(gHt), z = zch(gHt), X = x, Y = y B.32) приводит метрику B.29) к виду ds2 =*-dT2 + dX2 + dY2 + dZ2. B.33)
II. НЕВРАЩАЮЩИЕСЯ И МЕДЛЕННО ВРАЩАЮЩИЕСЯ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ 41 Изображение риндлеровских координат, нанесенных на диа- грамму пространства-времени Минковского, поясняет соотно- шение между этими двумя системами координат (рис. 4,а). Ценность подобной диаграммы состоит в том, что в координа- тах Минковского все приобретает привычный физический смысл. В частности, эта диаграмма позволяет ясно понять соотноше- ние между ОПН и СПН. Мировые линии СПН представляются здесь вертикальными линиями постоянных X, У, Z, а мировые линии ОПН — гиперболами, линиями постоянных х, у, г. Гипер- поверхности постоянного времени в риндлеровской геометрии описываются выражением ds2 = dx2 + dy2 + dz2. B.34) Поэтому одно из преимуществ риндлеровской геометрии со- стоит в том, что она позволяет проиллюстрировать основные понятия, связанные с горизонтом и 3 + 1-расщеплением, и при этом лишена отвлекающих внимание сложностей, порождае- мых искривленностью пространственной 3-геометрии. Однако геометрия риндлеровского пространства-времени — это больше, чем просто пример. Во многих случаях она может служить хорошим приближением шварцшильдовской геометрии пространства-времени вблизи горизонта невращающейся черной дыры: вблизи точки (г = 2М, 9 = я/2, ф = 0) преобразование * == 2М [в--¦?-], у = 2Мф, z = 4M(l—2M/ryi2 B.35) приводит шварцшильдовский линейный элемент к виду I [wTrVwb B-36) = - Ш dt2 + № который хорошо аппроксимируется риндлеровской геометрией с gH=l/4M. B.37) Риндлеровские координаты B.35) нанесены на диаграмму по- гружения для шварцшильдовской дыры на рис. 4, б. Из этой диаграммы должно быть очевидно, что риндлеровские коорди- наты являются локально декартовыми, т. е. соответствующий им пространственный элемент дается формулой B.34),
42 Д. МАКДОНАЛД, Р. ПРАЙС, ВЭЙ МО СЮЭН, К, ТОРН t = QJ5/gH t=-0,25/gH t~-075/gH ¦ I Рис. 4. a — диаграмма пространства-времени Минковского (координаты Г и Z), на которую нанесены риндлеровские координатные линии [координаты t и г\ формулы B.32)]. б — диаграмма погружения для шварцшильдовской черной дыры, на которую нанесены риндлеровские пространственные коорди- наты [формулы B.35)], В. Растянутый горизонт невращающейся или медленно вращающейся черной дыры 1. Застывший граничный слой Шварцшильдовское время t позволяет естественным обра- зом описать эволюцию полей вдали от горизонта. Однако в не- посредственной близости от горизонта его применение приво- дит к искаженной картине «реальности». Именно с этим иска- жением связана недостаточность представления о черных дырах как о застывших звездах. Способность мембранного подхода справиться с этой трудностью, сохраняя при этом простоту, присущую представлению о застывшей звезде, во многом опре- деляет и полезность этого подхода. Чтобы продемонстрировать суть проблемы как можно более ясно, воспользуемся в некотором смысле упрощенным приме- ром, обратившись к риндлеровскому пространству-времени. Рас- смотрим точечный электрический заряд, который до момента времени t = 0 находится в положении х = 0, у = 0, z = z0, потом в течение интервала риндлеровского времени At дви-
li. HE ВРАЩАЮЩИЕСЯ И МЕДЛЕННО ВРАЩАЮЩИЕСЯ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ 4§ жется наружу и достигает точки х = О, у = О, г = Zo + Аг, а затем останавливается и навсегда остается в состоянии покоя. Предположим далее, что At/Az ^> 1 и что изменение положе- ния заряда происходит достаточно плавно. При этих условиях естественно ожидать, что эффекты, связанные с излучением, будут незначительны и поэтому ими можно пренебрегать. При t < О поле Е точно такое же, как у точечного заряда, все время находящегося в точке х = О, у = О, z = z0. Силовые линии поля Е изображены на рис. 5, а. То обстоятельство, что поле Е нор- мально к горизонту, следует из граничных условий B.24) в риндлеровской геометрии совместно с условием, что В=0 для стационарного распределения зарядов. Можно ожидать, что при t > At поле Е точно такое же, как и в случае статического точечного заряда, расположенного в точке х = 0, у = О, z = = z0 + Аг, как это показано на рис. 5, б. Так оно и окажется всюду, за исключением области вблизи горизонта. На рис. 6 рассматриваемая ситуация представлена на диа- грамме Минковского. Крапом отмечена та область, в которой существует первоначальное статическое поле. Заштрихована об- ласть будущего по отношению к тому моменту (t = At, z = zq + + Аг, x = y = 0), когда заряд занял свое новое стационарное положение; в этой области поле Е должно быть статическим, соответствующим новой высоте, на которой находится заряд. В белой области поле должно соответствовать переходному ре- жиму. Заметим, что любое сечение постоянного t > At прости- рается от заштрихованной области нового статического поля через белую область в отмеченную крапом область старого статического поля. На самом деле нетрудно показать (см. разд. III.F работы [122]), что для любого />0 в области первоначального статического поля будет находиться та часть сечения, для которой z<zoe~gHt. Следовательно, достаточно близ- ко от горизонта (т. е. при достаточно малых z) поле всегда бу- дет «помнить» свое первоначальное значение. [Разумеется спра- ведливо и то, что поле «помнит» свое исходное значение и при достаточно больших z (ср. с рис. 6), но этот эффект связан с конечностью скорости распространения сигнала до удаленных областей, и в нем нет ничего удивительного.] Дальнейшая эво- люции поля качественно происходит примерно в той последова- тельности, как это показано на рис. 7. На нем схематически изображена картина поля Е в моменты t = 0, t = At и t = 2At (представленные на рис. 6). На каждом из этих временных сечений поле в области ниже штриховой линии совпадает по структуре с первоначальным статическим полем, а на сечении
а б Рис. 5. Линии электрического поля, обусловленные точечным зарядом, покоя- щимся над риндлеровским горизонтом на двух различных высотах: z=Zo {a) и z = Zo -}- Az (б). Математическое рассмотрение этого электрического поля см. в разд. III. С работы [122]. Рис. 6. Диаграмма пространства-времени Минковского для заряженной части- цы, которая находится в состоянии покоя на риндлеровской высоте z = z0 для всех t < О (Т < 0), затем плавно переходит за риндлеровское время М на риндлеровскую высоту z = 20 + Az и, наконец, остается в состоянии по- коя для всех t > At В области, отмеченной крапом, электрическое поле та- кое же, как у статического заряда, покоящегося при z = z0. В заштрихован- ной области поле такое же, как у статического заряда, покоящегося при z = Zo + Az. Эта диаграмма служит также иллюстрацией к приведенному в подразд. 2 обсуждению, касающемуся истинного горизонта Ж, растянутого горизонта Ж5 и двух событий @ на Ж и & на Ж5, которые соответствуют друг другу.
Иевращающиеся и медленно вращающиеся чёрные дыры Рис. 7. Электрические силовые линии, изображенные в риндлеровском про- странстве, связанные с заряженной частицей, движение которой показано на рис. 6. а — начальное статическое поле в момент t = О, когда частица только начинает двигаться вверх, б — поле в момент t = At, когда частица дости- гает новой и уже окончательной высоты; ниже штриховой линии поле оста- ется неизменным, в — поле в момент t = 2At, т. е. спустя время А^ после того, как частица остановилась. Выше пунктирной линии поле такое же, как у статического заряда, находящегося на новой высоте (рис. 5, б); ниже штри- ховой линии поле такое же, как у статического заряда, находящегося на пер- воначальной высоте. t = 2Д/ выше пунктирной линии совпадает с конечным стати- ческим полем. Такая «заторможенность» полей вблизи горизонта, т. е. дли- тельная задержка их эволюции в окрестности горизонта, бу- дет более подробно рассматриваться в разд. Г.1 на основе чис- ленного анализа осциллирующих магнитных полей вблизи го- ризонта. Эта заторможенность является неизбежным след- ствием того обстоятельства, что мы берем сечения постоянного /, причем все эти сечения проходят через одно и то же фикси- рованное положение (Г, Z) = @,0) на рис. 6. Следовательно, вблизи этого положения, т. е. вблизи г = 2М, остаются «рели- ктовые поля», дошедшие из далекого прошлого. Именно в этом и состоит реальный смысл застывания всех процессов, о кото- ром идет речь в концепции застывшей звезды. Однако засты- вание ограничено тонким слоем (малыми г), который не мо- жет оказывать сколько-нибудь значительное влияние на внеш- нюю Вселенную и, следовательно, никак не проявляется в «ре- альной» динамике, например, при взаимодействии полей с уда- ленной плазмой. Чтобы исключить несущественные с точки зрения астрофи- зики сложности, связанные с этим застывшим граничным слоем, но сохранить при этом все реальные проявления черной дыры, мы следуем подходу [предложенному Торном и Макдоналдом в работе [206] (разд. 5.3) и развитому Макдоналдом и Сюэном [122], согласно которому граничные условия ставятся не прямо на горизонте, а на времениподобной поверхности, расположен- ной точно над застывшим граничным слоем (что имеет вполне определенный смысл). Теория этого растянутого горизонта кратко изложена в следующем разделе.
46 Д. МЛКДОНАЛД, Р. ПРАЙС, ВЭЙ МО СЮЭН, К, ТОРН 2. Растянутый горизонт и его мембранные электрические свойства Чтобы избавиться от всех несущественных деталей, связан- ных с застывшим граничным слоем, введем искусственную гра- ницу, которая охватывает подавляющую часть граничного слоя, т. е. расположена при а = а#, где ая— некоторое малое поло- жительное значение функции длительности. Замена горизонта событий таким растянутым горизонтом включает в себя про- цедуру отождествления каждого события & на истинном гори- зонте с соответствующим событием & на растянутом горизонте. При этом требуется, чтобы значения физиче_ских переменных в соответствующих друг другу событиях 2Р и ?Р были бы (практи- чески) одинаковы, если эти переменные измеряются свободно падающими наблюдателями. [В приближении Риндлера отож- дествленные события 9* на истинном горизонте Ж и 3* на рас- тянутом горизонте 36s связаны друг с другом распространяю- щимся вовнутрь нулевым лучом, для которого Т + Z = const (см. рис. 6).] В разд. VII.В теория растянутого горизонта будет изложена достаточно подробно. А пока мы ограничимся утверждением, что горизонт растягивается до ненулевого, хотя и малого ос# и что граничные условия для всех внешних физических про- цессов ставятся именно там. Было бы не вполне эстетично пользо!ваться граничными условиями, зависящими от выбора положения растянутого го- ризонта, поскольку это положение, определяемое условием а — — ая, в достаточной мере произвольно. По этой причине, вместо того чтобы выражать граничные условия в терминах расходя- щихся бесконечно больших тангенциальных полей Е\\ и Bh мы предпочитаем воспользоваться конечными и не зависящими от ая «горизонтными полями», которые определяются следующими соотношениями: я Эти горизонтные поля существуют на двумерном растянутом горизонте и направлены тангенциально к нему. Вместе с нор- мальными электрическими и магнитными полями Еп^Е-п) Вп^В-п B.39) -> -> (где п — единичный радиальный вектор е?) эти поля полностью характеризуют электромагнитное поле на растянутом гори- зонте. В терминах этих полей граничные условия для электро- магнитного поля на растянутом горизонте принимают вид, ко-
II, НЕВРАЩАЮЩИЕСЯ И МЕДЛЕННО ВРАЩАЮЩИЕСЯ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ 47 торый непосредственно следует из асимптотических полевых соотношений B.24) и B.25): -> -> Величины Еп, Вп, Ен и Вн конечны; B.40а) Ен = пХВН) Вн = -пХЕн. B.406) Как уже отмечалось, соотношения B.25) и B.406) можно рас- сматривать как граничные условия «входящей волны». Конеч- но, эти граничные условия содержат небольшие ошибки из-за растянутого горизонта — порядка ан2. Выбирая ан достаточно малым, можно сделать эти ошибки сколь угодно малыми. Как было впервые показано Знаеком [237] и Дамуром [48], удобно считать, что эти граничные условия возникают как след- ствие физических свойств некоторой воображаемой мембраны, расположенной на растянутом горизонте. Говоря конкретнее, удобно условно считать, что растянутый горизонт обладает по- верхностной плотностью электрического заряда он (которая впервые была введена Ханни и Руффини [86] и Хаичеком [84,85]), причем ан определяется так, чтобы все нормальные компоненты всех электрических полей, пронизывающих растя- нутый горизонт, оканчивались на поверхностном заряде (см. диаграмму а на рис. 8): /заряд, приходящийся \ сгя=(на единицу площади \==~(Еп/4л) на растянутом B.41) ^растянутого горизонта/ горизонте. Аналогично удобно условно считать, что существует поверхно- стный ток на растянутом горизонте (впервые введенный Знае- ком [237] и Дамуром [48]), который определен так, чтобы лю- бое магнитное поле на нем оканчивалось в соответствии с за- коном Ампера (см. диаграмму б на рис. 8). Однако, уточняя понятие поверхностного тока, необходимо тщательно продумать вопрос о том, какое время мы будем использовать при опреде- лении поверхностного тока. Собственное время ОПН для этого не годится, потому что на растянутом горизонте оно течет ано- мально медленно и, более того, темп его течения зависит от того, где именно мы помещаем растянутый горизонт. Един- ственно разумным вариантом является выбор такого времени, которое не зависит от положения растянутого горизонта, — это мировое время t. Таким образом, мы даем следующее опреде- ление: + /заряд, протекающий через единичнуюЧ /е==( длину за единицу мирового времени t\. B.42) ^на растянутом горизонте / Поскольку поверхностная плотность тока на множитель ан = = dx/dt меньше, чем величина, измеряемая ОПН на растяну-
48 Д. МАКДОНАЛД, Р. ПРАЙС, ВЭЙ МО СЮЭН, К. ТОРН а Закон Гаусса б Закон Ампера б Закон Ома г Закон сохранения заряда Рис. 8. Иллюстрации электромагнитных свойств растянутого горизонта, а — закон Гаусса [формула B.41)], с помощью которого определяется поверх- ностная плотность заряда он на растянутом горизонте, б — закон Ампера [формула B.43)], с помощью которого определяется поверхностная плотность тока <f н- в — закон Ома для растянутого горизонта [формула B.44)]. г — за- кон сохранения заряда на растянутом горизонте [формула B.46)]. (Рисунок заимствован из статьи Торна [204].) том горизонте, закон Ампера должен связать эту плотность тока с тангенциальным магнитным полем (умноженным на 1/4я), которое меньше на множитель а#, чем поле, измеряемое ОПН, -> -> т.е. с (умноженным на 1/4я) «горизонтным полем» Вн = анВц. Таким образом, закон Ампера, который по существу является определением /я, имеет вид BH^4nfHXn. B.43) (см. диаграмму б на рис. 8). Очень важное для интуитивного понимания следствие из этого определения поверхностного тока на горизонте состоит в том, что граничное условие «входящей волны» Вн = ЕнУ^п [формула B.406)] можно теперь интерпретировать заново как закон Ома (см. [48, 237], а также диаграмму в на рис. 8): благодаря закону Ампера граничное условие «входящей волны»
II. НЕ ВРАЩАЮЩИЕСЯ И МЕДЛЕННО ВРАЩАЮЩИЕСЯ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ 49 означает, что поверхностный ток на горизонте пропорционален электрическому полю: /я = A/#яL, B.44) где /удельное поверхностноеХ /?я = I сопротивление растяну- I = 4я ^ 377 Ом B.45) \того горизонта / (см. диаграмму в на рис. 8). Не следует удивляться тому, что горизонт имеет удельное поверхностное сопротивление именно 4я = 4п/с ~ 377 Ом. В конце концов это не что иное, как импе- данс на конце открытого волновода, это «импеданс вакуума», в который волны могут свободно распространяться. Вторым важным следствием наших определений B.41) и B.43) заряда и тока на горизонте является закон сохранения заряда на растянутом горизонте (см. [48, 237] и диаграмму г на рис. 8). Из определений B.41) и B.43) с учетом нормальной компоненты уравнения Максвелла B. Юг) следует, что —jj. Ь V • / я + \а1п) (на растянутом горизонте)= ^ ' -> -> Здесь B)V • $'н ~ 2-мерная дивергенция 2-мерного поверхност- ного тока, jn — нормальная компонента объемного тока (заряд на единицу площади, протекающий за единицу собственного времени т), выходящего из растянутого горизонта и измеряе- мого ОПН, a ajn — уходящий ток, пересчитанный на тот же самый единичный интервал мирового времени, что и первые два члена уравнения B.46). Именно мировое время t, а не соб- ственное время ОПН т входит в закон сохранения заряда, по- скольку часы ОПН отсчитывают время на растянутом гори- зонте в аномально медленном темпе, да еще зависящем от а#, тогда как мировое время идет в физически разумном с точки зрения свободно падающих наблюдателей темпе. Согласно закону сохранения заряда B.46), электрический заряд, падающий на растянутый горизонт, через него внутрь не проходит и во внутренность дыры не попадает. Вместо этого он остается на растянутом горизонте и движется по нему, со- храняясь до тех пор, пока на растянутый горизонт не упадет заряд противоположного знака и не произойдет взаимное унич- тожение зарядов. Иначе говоря, электрический ток может как втекать на растянутый горизонт (падение положительных заря- дов), так и вытекать наружу (падение отрицательных зарядов).
50 Д- МАКДОНАЛД, Р. ПРАЙС, ВЭЙ МО СЮЭН, К. ТОРН Любой ток, текущий вовнутрь, остается на растянутом гори- зонте, при этом заряд сохраняется до тех пор, пока ток не вы- течет с него наружу (диаграмма г на рис. 8). Хотя наблюдатель, падающий через растянутый горизонт, обнаружит, что заряд на горизонте он и ток /я — это фикции, тем не менее наблюдатель, который все время остается вне растянутого горизонта, может считать их вполне реальными. Четыре закона электродинамики для растянутого горизон- та—т. е. законы Гаусса B.41), Ампера B.43), Ома B.44) и закон сохранения заряда B.46) — являются приближениями к соответствующим точным законам для истинного горизонта (абсолютного горизонта событий), которые первоначально были сформулированы Дамуром [48] и в несколько ином виде Знае- ком [237]. Эти законы являются приближенными из-за ошибок, неизбежно возникающих при «растягивании» горизонта, при- чем ошибки имеют величины порядка а# и становятся сколь угодно малыми, если растянутый горизонт сколь угодно близок к истинному горизонту. Торн и Макдоналд [206], а также Прайс и Торн [163] формально доказали, что эти законы экви- валентны законам в дамуровской формулировке, и привели бо- лее строгий, хотя и физически менее наглядный, чем приведен- ный выше, вывод этих законов. Четыре закона электродинамики, записанные в виде точных уравнений B.41), B.43), B.44) и B.46) в совокупности с опре- делением перенормировки полей Вн и Ен B.38) и волновым граничным условием B.406), справедливы не только для шварщнильдовских дыр, но также и для керровских дыр, для дыр, испытывающих динамическую эволюцию, т. е. фактически для любых мыслимых черных дыр. Доказательство этих зако- нов для истинного горизонта дано Дамуром [48], а для растя- нутого горизонта — Прайсом и Торном [163]. Для случая вра- щающейся (керровской) дыры мы обсудим эти законы в разд. Ш.В.4. Четыре закона электродинамики для растянутого горизонта в совокупности с уравнениями Максвелла в 3+1-форме для внешней Вселенной (см. выше разд. Б.1) составляют тот базис, на основе которого можно рассчитать вазимодействие черной дыры с произвольными электромагнитными полями, зарядами и токами. Разумеется, вовсе не обязательно при изучении таких взаимодействий считать ток и заряд на горизонте реальными величинами, но, как показали исследования авторов данной книги, такой подход оказывается весьма плодотворным. Отличие законов электродинамики для растянутого гори- зонта в варианте Знаека [237] и в варианте Дамура [48], при- нятом в этой книге, состоит в том, что Знаек приписывал го-
П. Иевращающиеся и медленно вращающиеся черные дыры Si ризонту наряду с электрическим зарядом также и магнитный заряд и, кроме того, очень большие объемные проводимости по отношению как к магнитному, так и электрическому току. В тонком слое непосредственно под горизонтом все электромаг- нитные величины (?ц, Еп, Bh Bm pe, jn) обрываются на полу- чающихся в результате зарядах и токах. Красота и преимуще- ство формализма Знаека в том, что в нем Е и В рассматри- ваются одинаковым образом. Тем не менее мы принимаем фор- мализм Дамура, а не Знаека, поскольку он лучше сочетается с физикой плоского пространства-времени и с лабораторными экспериментами, не подтвердившими существование магнитных монополей. 3. Энтропия, температура и омические потери на растянутом горизонте Гравитационное ускорение на растянутом горизонте невра- щающейся шварцшильдовскои черной дыры определяется соот- ношением ¦>__ _]__^_~>_ ! L^ B 47} «я гя «я 4А* [ср. с уравнением B.7)], где п = е? — единичный радиальный вектор на растянутом горизонте и гн = 2М — «радиус гори- зонта» (называемый также гравитационным радиусом). Вели- чина g расходится при а#-^0, становясь бесконечно большой, и, следовательно, она чувствительна к тому, где именно мы выбираем положение растянутого горизонта. Однако если в ка- честве ускорения считать темп изменения скорости в пересчете на единицу мирового времени [умножив g на ан\ ср. с форму- лой B.15)], то мы получим перенормированное ускорение gH, которое конечно и не зависит от положения растянутого гори- зонта: ?н= ~~ §нп — \а8) на растянутом горизонте. (*Ао) Абсолютная величина этого перенормированного ускорения gH = M/r2H=l/4M B.49) называется поверхностной гравитацией черной дыры. Эта ве- личина— гравитационный аналог электрического и магнитного полей Ен и Вн на горизонте — и является тем параметром, ко- торый фигурирует в риндлеровском приближении для функции длительности вблизи горизонта дыры и для пространственной метрики (см. выше разд. Б.6).
52 Д- МАКДОНАЛД, Р. ПРАЙС, ВЭЙ МО СЮЭН, К. ТОРН Расчеты, в которых используется квантовая теория поля в искривленном пространстве-времени (см. [20, 96—98] и гл. VIII этой книги), показывают, что растянутый горизонт любой ста- ционарной черной дыры излучает (фотоны, нейтрино, грави- тоны, ...) так, как если бы он был черным телом, обладающим температурой, измеряемой локально ОПН на растянутом гори- зонте, которая равна т8 <250> > Здесь g = \ g | — гравитационное ускорение ОПН на растяну- том горизонте [формула B.47)], h — постоянная Планка и кв— постоянная Больцмана. Покидая гравитационную потен- циальную яму дыры, это «хоукинговское излучение» испытывает общее красное смещение, равное а#. Следовательно, излучение выходит из окрестности черной дыры с тепловым спектром, ко- торый характеризуется температурой, испытавшей красное сме- щение: TH = VHT = ^jrgH- B.51) в Хотя температура Г, измеряемая локально ОПН на растянутом горизонте, расходится, становясь бесконечно большой, при ая-^0 и, следовательно, зависит от того, где именно располо- жен растянутый горизонт, температура Тн, испытавшая красное смещение и измеряемая далеким наблюдателем, конечна и не зависит от положения растянутого горизонта. Температура У#, испытавшая красное смещение, называется поверхностной тем- пературой дыры. Численно для шварцшильдовской черной дыры массы М/Мо (в единицах солнечных масс) поверхностная тем- пература равна Гя = (б,17- 10~ВК){М/Мо)~1' B.52) Повсюду в этой книге, за исключением гл. VIII, мы будем иметь дело только с черными дырами «астрофизических размеров», т. е. с М/Мо^>, 1. Поверхностные температуры таких дыр ока- зываются столь малыми, что их тепловое излучение физически не существенно. Напротив, для черных дыр с М<<Л01ог~ ~ 10~18М<э, которые могли образоваться в процессе Большого Взрыва [93], Тн составляет 1011 К и выше. Возникающее в этом случае хоукинговское излучение включает в себя мюоны, элек- троны, позитроны, гравитоны, нейтрино, фотоны; за счет этого излучения происходит испарение дыры за характерное время меньше или порядка возраста Вселенной [96, 97, 140, 141]. Теоретическое открытие Хоукингом теплового излучения чер- ных дыр навело его на мысль связать воедино законы меха-
П. НевраЩаюЩиеся и медленно вращаЮщиься чёрные дыры 5% ники черных дыр с началами термодинамики [98]. (Идея о возможности такой связи была еще раньше высказана Бекен- штейном [10—12].) Согласно полученным в результате зако- нам термодинамики черных дыр, любая черная дыра обладает энтропией Sh, пропорциональной площади поверхности дыры А 4% kB kR (площадь поверхности горизонта) = ~Т7~ Ан = 4Я 4 (планковская длина, 1,616» 10 33 смJ Г М ~|2 I- ° -¦ для шварцшильдов- B.53) ской дыры. Мембранный формализм позволил понять смысл энтропии черной дыры с точки зрения статистической механики (см. [242] и гл. VIII данной книги): ОПН, находящиеся в застыв- шем граничном слое под растянутым горизонтом, обнаружи- вают, что они находятся в «бане» теплового излучения с тем- пературой Т = Тн/а («атмосфера черной дыры»). Информацию о прошлой истории дыры, заключенную в граничном слое, не- сут отклонения этой атмосферы от теплового равновесия. Рас- тягивая горизонт, мы по существу отказываемся от детального и точного описания этих отклонений от равновесного теплового состояния. Мы не можем сказать, соответствуют ли эти откло- нения внезапному образованию дыры в результате гравитацион- ного коллапса, скажем вчера в 3 ч 17 мин, или же дыра обра- зовалась в результате коллапса 1,35-109 лет назад и за коллап- сом последовала аккреция межзвездного газа, имеющая свою собственную историю, или же в прошлом все происходило сов- сем иначе. Однако если мы рассчитываем полное число различ- ных (с точки зрения квантовой механики) способов W> кото- рыми атмосфера граничного слоя могла бы отличаться от пол- ного теплового равновесия, причем каждому способу соответ- ствует своя история в прошлом, то обнаружим (подробности см. в гл. VIII), что энтропия дыры B.53), полученная Хоукин- гом из термодинамических соображений, равна Sh = кв In W. Это не что иное, как очевидное и естественное обобщение на случай черной дыры стандартного «микроканонического» опи- сания энтропии (см., например, разд. 5 книги Киттеля [113]). Теперь мы вполне удовлетворительно можем понять, почему энтропия черной дыры в одну солнечную массу равна Sh = = 1,05-1077Йб, что на 19 порядков превосходит энтропию Солнца So=\058kB: число способов, которыми можно было бы сделать такую черную дыру, в ехрA019) раз больше, чем число спосо- бов, которыми можно распределить частицы внутри Солнца.
54 Д. МАКДОНАЛД, Р. ПРАЙС, ВЭЙ МО СЮЭН, Ks ТбРЙ Для невращающейся (шварцшильдовской) дыры первое на- чало термодинамики гласит, что любое увеличение энтропии дыры Sh сопровождается соответствующим увеличением массы: Тн dSH = (gH/8n) dAH = dM. B.54) Согласно второму началу термодинамики, сумма энтропии чер- ной дыры и энтропии окружающей среды никогда не может уменьшаться. Черная дыра астрофизических размеров не мо- жет испускать сколько-нибудь значительное количество тепло- вого излучения и поэтому не может «перекачать» сколько-ни- будь значительное количество энтропии в окружающую среду. Следовательно, энтропия (и площадь поверхности) такой дыры сама по себе не может существенно уменьшиться независимо от того, что происходит с окружающей средой. [В принципе есть исключение, которое, однако, не имеет реального астро- физического значения, — это использование ресурсов черной дыры разумными существами; см. [210] и ниже разд. VIII. В.6.] Один из наиболее важных способов увеличения массы и энтропии шварцшильдовской дыры реализуется посредством действия электромагнитных полей на горизонте. Учитывая то, что говорилось об энергии, испытавшей красное смещение (энергия-на-бесконечности), и о потоке Пойнтинга в частях «в» и «г» разд. Б.2, мы легко можем сделать вывод, что темп уве- личения массы дыры описывается соотношением: ТЧ § {\№(EXB)dA B.55) по растянутому горизонту Примечательно, что закон Ампера B.43) и закон Ома B.44) для растянутого горизонта позволяют переписать это уравне- ние, описывающее увеличение массы, в виде закона омических потерь на растянутом горизонте: Ч EH-fHdA= § RHfUA. B.56) по растянутому по растянутому горизонту горизонту Таким образом, если электрическое поле создает поверхностные токи на растянутом горизонте черной дыры, то эти поверхно- стные токи работают против поверхностного сопротивления и дают в точности ту же самую величину омических потерь, ко- торую можно было бы ожидать исходя из лабораторных экспе- риментов. Этим замечательным результатом мы обязаны Знаеку [237] и Дамуру [48].
II. НЕВРАЩАЮЩИЕСЯ И МЕДЛЕННО ВРАЩАЮЩИЕСЯ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ 55 4. Медленно вращающиеся черные дыры и электромагнитные вращательные моменты на растянутом горизонте Если шварцшильдовская черная дыра погружена во внеш- ние электрическое и магнитное поля, то эти поля взаимодей- ствуют с поверхностным зарядом вн и поверхностным током §'# и оказывают влияние на горизонт посредством силы Лоренца. Можно считать, что эта сила равна скорости изменения плот- ности импульса горизонта Пя = (импульс на единицу площади растянутого горизонта) = = (вектор, тангенциальный растянутому горизонту). B.57) Для шварцшильдовской дыры плотность импульса равна нулю, но под действием силы Лоренца плотность импульса начинает увеличиваться и соответственно горизонт начинает вращаться. При этом дыра из шварцшильдовской превращается в керров- скую (или «медленно вращающуюся шварцшильдовскую»). Неудивительно, что сила Лоренца (скорость изменения плот- ности импульса, измеряемая в пересчете на единицу мирового времени) равна dUH/dt = анЕн + /я X Вп. B.58) (Справедливость этого выражения, полученного Дамуром [48], мы докажем ниже, в разд. VI.B.9.) В формулу B.58) входит нормальная компонента магнитного поля Bn = Bnti, поскольку сила Лоренца должна быть тангенциальна к горизонту, а тан- генциальное магнитное поле создает нормальную силу. Компо- нента силы Лоренца, направленная вдоль вектора Киллинга, являющегося генератором вращений д/дф = гн$т$е~, равна скорости изменения углового момента вдоль полярной оси. По- этому, если Jz — полный угловой момент черной дыры относи- тельно полярной оси, то djjdt = J (dUH/dt) ¦ (д/дф) dA = по растянутому горизонту = \ (oHE~ - fH^Bn) (rH sin 9) (rf, sin 9 dQ йф). B.59) Иначе говоря, величина dJz/dt есть сила Лоренца, умноженная на «плечо» гн sin 9 и проинтегрированная по растянутому гори- зонту. Аналогично можно получить скорость изменения угло-
56 Д. МАКДОНАЛД, Р. ПРАЙС, ВЭЙ МО СЮЭН, К. ТОРН вого момента вокруг любой другой оси; для этого надо вычис- лить dlildt вдоль соответствующего генератора вращений (ср. с упр. 25.8 из книги [129]). Если шварцшильдовская дыра начинает вращаться, то ее вращение можно рассматривать как твердотельное с некоторой угловой скоростью ?2#. Эта угловая скорость имеет фундамен- тальный и вполне определенный смысл на языке «увлечения инерциальных систем отсчета» вблизи горизонта, представляя собой ту угловую скорость, с которой наблюдатели вблизи го- ризонта вынуждены вращаться вокруг дыры из-за увлечения системы отсчета (см. разд. HI. A.4). Отношение углового момента дыры к ее угловой скорости по определению есть ее момент инерции /#: J = IHQH. B.60) Для шварцшильдовской дыры моменты инерции относительно всех осей одинаковы (из-за сферической симметрии) и равны 1н = Мг2н = 4М3 B.61) [ср. с пределом «малых а»; [129], формула C3.42Ь)]. Заме- тим, что это значение превышает тот максимально достижимый момент, который может иметь сфера с массой М и площадью поверхности Ан = 4лг2н в плоском пространстве. Если плотность распределена на сфере однородно, то момент инерции в пло- ском пространстве равен B/5)Мг2н> если же масса целиком сконцентрирована в тонкой оболочке на сферической поверх- ности, то момент инерции равен B/3) Мг2н. Под действием вращательного момента шварцшильдовская дыра начинает вращаться, приобретая не только угловую ско- рость QH и угловой момент /я, но также и вращательную энер- гию. Пока дыра вращается достаточно медленно и почти не деформируется вследствие вращения (что имеет место в случае, когда пнГн <С 1), то момент инерции остается равным шварц- шильдовскому значению B.61), а энергия вращения представ- ляется хорошо известным выражением: Мго4=1/2/яО*я B.62) [ср. с пределом малых а; [129], формула C3.60)]. Полная масса-энергия М медленно вращающейся дыры (величина, ко- торой определяется кеплеровское движение удаленных планет) складывается из этой вращательной энергии и «неприводимой массы»? связанной с площадью поверхности простой формулой
II. ИевраЩающиеся и медленно вращающиеся черные дыры [см. [129], формулу C3.59)]: М = М[тт + Мго1. B.64) Название «неприводимая масса» [38, 39] отражает то обстоя- тельство, что, согласно второму началу термодинамики, эта часть массы никогда не может уменьшаться. По мере того как медленно вращающаяся черная дыра раскручивается и на ее горизонте происходит диссипация, масса дыры возрастает, а темп этого возрастания определяется первым началом термоди- намики [2, 97, 98]: dM = dMnr + dMrot = Тн dSH + QH dJ B.65) [обобщение уравнения B.54)]. Член TtidSH представляет уве- личение Afirr, а член QHdJ — увеличение Mrot. Эти свойства вращения черных дыр справедливы лишь в пределе медленного вращения, Q#r# <C 1. В случае быстровра- щающихся дыр, 0>нГн ~ 1, некоторые из этих свойств видоиз- меняются и существенными становятся новые физические эф- фекты (см. гл. III). 5. Время в падающей системе отсчета Для описания динамической эволюции полей на растянутом горизонте понадобится удобная координата для параметриза- ции времени на этом горизонте. Этот временной параметр дол- жен удовлетворять двум фундаментальным требованиям: 1) время течет в физически разумном темпе, так что поля эво- люционируют за разумные характерные времена, и 2) этот па- раметр не должен быть чувствителен к конкретному выбору ма- лой величины а#; другими словами, это означает, что метка времени, приписываемая некоторому заданному событию 2Р на растянутом горизонте, лишь незначительно меняется при а#->0 и по мере того как 2Р стремится к ^, т. е. к соответствующему событию на истинном горизонте (рис. 6). В риндлеровском при- ближении время Минковского Т = g^a sh gHt течет в физически разумном темпе, и является в & практически постоянным при 2Р-+& [см. формулу B.32) разд. 2], и, следовательно, вполне приемлемо. То же самое, конечно, можно сказать и о g~l In B^"ЯГ) ^ / + g"#! In <*. Эта временная координата вблизи горизонта совпадает с «временем в сжимающейся системе Эд-
i>8 Д. Макдоналд, р. прайс, вэй мо сюэн, К, тбрИ дингтона — Финкельштейна» Ы/ + г + 2М In (r/2M - 1) ^ / + g-Чпа + const ~ -Snl\n BgHT) + const B.66) и показана на рис. 1,6, а также обсуждается в дополнении 31.2 работы Мизнера, Торна и Уилера [129] (где обозначается как V). Таким образом, t является приемлемым временным параметром на растянутом горизонте в том смысле, что при ис- пользовании этого параметра для описания эволюции полей на горизонте поля будут эволюционировать в разумном темпе и их описание при заданном / не будет зависеть от выбора кон- кретного (малого) значения величины а#. Мировое время t в данном случае, напротив, неприемлемо: хотя оно и течет в том же темпе, что и ?, но при ая->0 и постоянном t величина t стремится к —оо («застывание прошлой истории в граничном слое вблизи горизонта»; ср. рис. 1,6 и 6). В результате описа- ние горизонта при фиксированном t весьма чувствительно к вы- бору величины ан. Однако следует отметить, что на любом конкретном растя- нутом горизонте мировое время t и время t в сжимающейся системе отсчета различаются на константу (но идут в одном и том же темпе). Следовательно, на растянутом горизонте (т. е. при постоянном а) д dt на растянутом д dt B.67) на растянутом горизонте горизонте Это позволяет нам записывать дифференциальные уравнения эволюции полей на растянутом горизонте через d/dt. Практи- ческое отличие t от t на растянутом горизонте (но не вне его) очень часто и вовсе отсутствует, поскольку нередко начала отсчета t и i сдвигаются к одному и тому же выбранному на растянутом горизонте событию е, полагая при этом/—-i=gH X Х1п(ая/а) = 0, когда а = ая. (Примером события е может слу- жить момент пересечения частицей растянутого горизонта; об этом более подробно речь пойдет в разд. УП.ДЛ.) Г. Модельные задачи в случае невращающихся и медленно вращающихся черных дыр Самый эффективный способ разобраться в системе физиче- ских законов и уравнений состоит в решении иллюстрирующих их модельных задач. Поэтому ниже мы обращаемся к ряду мо- дельных задач, в которых речь идет об электромагнитных по-
II. НЕВРАЩАЮЩИЕСЯ И МЕДЛЕННО ВРАЩАЮЩЕЕСЯ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ 59 лях снаружи от невращающихся и медленно вращающихся чер- ных дыр. В подразд. 1 исследуются колебания магнитного поля, сило- вые линии которого зафиксированы на сфере, окружающей невращающуюся дыру. Эта модельная задача является иллю- страцией сложного граничного слоя, возникающего в динами- ческих ситуациях вблизи истинного горизонта, и демонстрирует, как можно исключить этот слой из рассмотрения, растягивая горизонт. Затем в подразд. 2 мы займемся исследованием поля статического заряда, покоящегося снаружи от невращающейся дыры, что позволит нам понять, что такое поверхностная плот- ность заряда на растянутом горизонте и какова природа его поляризации внешними электрическими полями. После этого в подразд. 3 мы решим модельную задачу, в которой невращаю- щаяся дыра выступает в роли резистора в электрической цепи. Эта задача помогает понять, что такое поверхностный ток и омические потери на горизонте, и наглядно показывает мощь мембранного подхода в исследовании электродинамических про- цессов вокруг черных дыр. В подразд. 4 мы рассмотрим мед- ленно вращающуюся дыру, которая выступает в роли ротора в электромоторе. Эта задача позволит нам оценить силу Лоренца, действующую на заряды и токи на растянутом горизонте, а также выяснить, какую роль играет первое начало термодина- мики в качестве закона, определяющего поток энергии и угло- вого момента в черную дыру. И наконец, в подразд. 5 с по- мощью риндлеровского приближения мы займемся исследова- нием электрических и магнитных полей точечных зарядов, ко- торые совершают различные движения вблизи горизонта невра- щающейся дыры. Эта задача демонстрирует плодотворность риндлеровского приближения и позволяет разобраться в дина- мике электрических и магнитных полей, движущихся относи- тельно горизонта. В подразд. 6 эта картина обсуждается под- робнее в более общем случае электромагнитных полей. Это обсуждение понадобится нам позднее (см. разд. IV.B ниже), когда мы рассмотрим «выглаживание» хаотического магнит- ного поля горизонтом черной дыры. 1. Колеблющееся магнитное поле: действенность растягивания горизонта Иллюстрацией сложного застывшего граничного слоя, кото- рый образуется в динамических ситуациях, может служить при- водимая ниже модельная задача. В ходе решения этой задачи, вплоть до самого конца нашего исследования, мы не будем «растягивать» горизонт и, следовательно, не будем пользовать- ся мембранным описанием электромагнитных граничных усло- вий на горизонте. Вместо этого мы выполним весьма подробное
60 Д. МАКДОНАЛД, Р. ПРАЙС, ВЭЙ МО СЮЭН, К. ТОРН \ Рис. 9. Начальные (а и а') и конечные (б и б') конфигурации магнитного поля в модельной задаче об осциллирующем поле. Диаграммы а и б изобра- жают начальные и конечные силовые линии магнитного поля, нанесенные на диаграмму погружения. На диаграммах а' и б' показан вид сверху на эти диаграммы погружения или (что эквивалентно) силовые линии, изображенные в координатной плоскости г — G. исследование задачи, рассматривая всю сложность картины, возникающей вблизи горизонта. Наша модельная задача, разработанная Макдоналдом [120, 122], сводится к анализу колебаний силовых линий магнитного поля в окрестности шварцшильдовского горизонта. Магнитное поле вморожено в идеально проводящую сферу, окружающую шварцшильдовскую черную дыру, с радиусом г =Ъгн = ЮМ. Поле при этом совершает колебания в сферической полости, взаимодействуя с горизонтом по мере своего движения. На- чальная конфигурация магнитного поля показана на рис. 9, а и 9, а'. Это поле чисто радиальное, но ниже экваториальной плоскости оно направлено вовнутрь дыры, а выше этой пло- скости— наружу. Математически начальное магнитное поле описывается выражением B = BQErH/rJcosQe?. Начальное электрическое поле отсутствует. B.68)
II. НЕВРАЩАЮЩИЕСЯ И МЕДЛЕННО ВРАЩАЮЩИЕСЯ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ 61 Рассматриваемое начальное магнитное поле не находится в равновесии. Предоставленное самому себе, оно начинает ко- лебаться, в результате чего электромагнитная энергия уходит в дыру. По мере потери энергии колебания затухают, благо- даря чему поле приходит в состояние покоя в конечной равно- весной конфигурации. Эта конечная конфигурация является единственным не зависящим от авремени решением уравнений -> Максвелла B.10), при котором силовые линии поля В по-преж- нему зафиксированы на сфере радиуса г = 5гн: 5 = B0[cos(k-(l -2М/ГI/2 sin 8ed]. B.69) Это конечное поле (аналитическое решение уравнений Максвел- ла было получено и исследовано Уолдом [215], а также Ханни и Руффини [87]) представлено на рис. 9,6 и 9,6х. Заметим, что если смотреть на диаграмму погружения сверху (рис. 9, б7), то конечное поле выглядит совершенно однородным. (Вспом- ните наше обсуждение подобных диаграмм в разд. Б.5.) Динамическая эволюция от начальной конфигурации (рис. 9, а) до конечной конфигурации (рис. 9,6), полученная с помощью численного интегрирования уравнений Максвелла B.10), выполненного Макдоналдом, представлена на рис. 10. В первой колонке изображений (конфигурации в моменты вре- мени t/M = 3, 4, 6, 12) показано распрямление силовых линий вследствие их взаимного отталкивания. Во второй колонке (моменты времени //М = 20, 24, 28, 32) показано обратное стягивание силовых линий и повторное распрямление, в третьей колонке (моменты времени t/M = 40, 44, 48, 52) показан сле- дующий цикл колебаний. С каждым циклом амплитуда коле- баний становится меньше, поскольку энергия уходит в черную дыру. К моменту времени t/M~ 200 (не показанному на рис. 10) колебания становятся настолько слабыми, что уже не- различимы в масштабе, использованном на этих диаграммах, а силовые линии приходят в «однородную» равновесную конфи- гурацию, изображенную на рис. 9, б'. Более тщательный анализ показывает, что распрямление силовых линий от горизонта и стягивание к горизонту происхо- дят не так просто. Вблизи горизонта (г;"<С 1,5г#) силовые ли- нии движутся так, будто они завязают в «зыбучем песке»: они засасываются вовнутрь (вследствие гравитационного притяже- ния дыры), но их движение происходит очень медленно (из-за гравитационного красного смещения). Когда силовая линия (например, штриховая линия в момент времени t/M = 4 на рис. 10) пытается оторваться от горизонта, то оказывается, что гравитационное притяжение при г <С 1,3гя слишком велико, по- этому здесь происходит пересоединение линии с разделением на
62 Д. МАКДОНАЛД, Р. ПРАЙС, ВЭЙ МО СЮЭН, К. ТОРН t//W = 1 t/M -32 t/M = 52 Рис. 10. Динамическая эволюция (затухающие колебания) магнитных сило- вых линий, начальная и конечная конфигурации которых изображены на рис. 9. Каждая картинка представляет собой вид сверху на диаграмму по- гружения или (что то же самое) координатную диаграмму г — 0. (Рисунок заимствован из работ [120, 122].) две части — внешнюю, которая затем распрямляется наружу, и внутреннюю, которая затем засасывается в дыру. После пере- соединения распрямившаяся силовая линия испытывает толчок обратно вовнутрь со стороны максвелловского давления в мо- мент времени t/M ~ 12, снова завязает в «зыбучем песке» в момент времени t/M ~ 24, затем ей снова удается освободиться в момент времени t/M ~ 28, но только ценой пересоединения;
И. НЕВРАЩАЮЩИЕСЯ И МЕДЛЕННО ВРАЩАЮЩИЕСЯ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ Рис. 11. Магнитные силовые линии в модельной задаче о колебаниях поля (см. рис. 9 и 10) в момент времени t/M = 92. а — вид сверху на диаграмму погружения, б — диаграмма погружения, представленная в перспективе; при этом лежащая в глубине область (граничный слой) гн <С г <С l,075r# растя- нута по вертикали [формула B.70)], чтобы показать сжатые петли магнит- ного поля вблизи горизонта. (Рисунок заимствован из работ [120, 122].) при этом часть этой силовой линии остается внизу, обречен- ная на падение в черную дыру. В результате происходящего время от времени пересоедине- ния в структуре поля вблизи горизонта формируется довольно сложный «граничный слой». На рис. И, а представлена картина поля в момент времени t/M = 92, но из-за ограниченного раз- решения любого подобного изображения показать сложность граничного слоя здесь невозможно. Изображение с бесконечно хорошим разрешением показало бы великое множество сило- вых линий, плотно намотанных на окружность радиуса г = г#. Чтобы выявить эти детали, воспользуемся деформированной диаграммой погружения, показанной на рис. 11,6. Часть диа- граммы, имеющая форму «раструба», представляет собой (не- деформированную) диаграмму погружения, обрезанную при г = 1,075г#. «Цилиндрическая» часть — это глубинная область Аг = 0,075/7/, растянутая в вертикальном направлении тем силь- нее, чем ближе к горизонту мы находимся. Количественно рас- стояние 5 по вертикали вдоль цилиндрической части граничного
?4 Д- МАКДОНАЛД, Р. ПРАЙС, ВЭЙ МО СЮЭН, К. Т6рН слоя на этой диаграмме задано соотношением s = 2М\п (г/2М - 1) + const ^ AM In a + const, B.70) которое означает, что горизонт на этой диаграмме расположен бесконечно далеко внизу E = —оо). Отметим, что магнитное поле на граничном слое состоит из замкнутых петель. Если проследить за изменением диаграммы, то мы увидели бы как с течением времени петли непрерывно движутся вниз к горизонту. Каждая осцилляция поля во внеш- ней области (имеющей форму раструба) будет приводить к об- разованию нового семейства замкнутых петель во внутренней области (в цилиндрической части, в граничном слое). Низ петли формируется в тот момент, когда внешнее поле сжимается, тол- каемое в область «застоя» вблизи горизонта (например, в мо- менты времени t/M = 20 и 24 на рис. 10, а также при t/M = 92 на рис. 11). Верхняя часть петли формируется в моменты вре- мени, когда внешнее поле вырывается из застойной области це- ной пересоединения (например, в моменты времени t/M = 4 и 28 на рис. 10). Образовавшись, петля оседает к горизонту, освобождая над собой место для образования следующей петли. К моменту времени t/M = 92 на рис. 11 внешнее поле за- вершает свою четвертую осцилляцию и образует четвертое се- мейство петель. Каждая петля является реликтом одной осцил- ляции, а силовые линии ниже первой петли, простирающиеся радиально вниз вплоть до горизонта, являются реликтом на- чальной конфигурации. Нетрудно заключить, что скорость, с которой опускаются вниз все эти реликтовые поля, измеряемая ОПН, равна скорости света: d (истинное радиальное расстояние) _ _ A — 2M/r)~1^2 dr V ~~ dx ~ a dt Интегрируя это уравнение, находим, что радиус г и растянутая высота 5, соответствующие некоторой заданной метке на сило- вой линии, зависят от времени следующим образом: r — 2Mcz const • е-^т, s ~ — / + const. B.72) Таким образом, из-за бесконечного красного смещения темпа хода часов ОПН (ос->0) петли силовых линий никогда не достигают горизонта. Однако они экспоненциально прибли- жаются к горизонту, и по мере этого приближения размер этих петель по радиусу экспоненциально уменьшается (это умень- шение на рис. 11 не показано, поскольку при изображении пе- тель высота 5 чрезмерно растянута).
II. НЕВРАЩАЮЩИЕСЯ И МЕДЛЕННО ВРАЩАЮЩИЕСЯ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ 65 Приведенное выше описание колебаний поля оказалось чу- довищно сложным и громоздким из-за нашего настойчивого же- лания проследить за всеми деталями структуры поля, падаю- щего с замедлением в граничном слое. Наше описание стано- вится куда более простым и элегантным, если мы «растянем» горизонт, т. е. передвинем границу черной дыры наружу, ска- жем, до г = 1,075/>/ и тем самым отбросим все усложняющие детали граничного слоя. К счастью, такое исключение из рас- смотрения граничного слоя со всеми его сложными петлями поля вполне возможно. Эти петли силовых линий суть не что иное, как «окаменелости» прошедшей истории, плотно уложен- ные на радиальной координате г ж 1,1г#. Мы уже сталкивались с отдельными фрагментами этой истории, которые отражают эволюцию во времени, представленную на рис. 10. Отбрасыва- ние петель поля подобно нежеланию вникать в строение отло- жений на дне океана, когда нам уже известна история океана и тех процессов, которые привели к образованию этих отло- жений. Представления, сопутствующие растягиванию горизонта, ста- новятся математически жизнеспособными и по существу очень привлекательными благодаря совокупности изящных мембрано- подобных граничных условий на растянутом горизонте (разд. В.2), а также благодаря изящному описанию энтропии дыры с учетом информации, потерянной при этом растягивании (разд. В.З). Соотношение между растянутым и истинным горизонтами прослеживается до конца, если встать на обычную «простран- ственно-временную» точку зрения на черные дыры. Рис. 12 представляет собой пространственно-временную диаграмму пен- роузовского типа, на которой изображено образование шварц- шильдовской дыры в ходе гравитационного коллапса сфериче- ской звезды (то же самое, что на рис. 1,6, но с некоторыми дополнительными деталями). На этой диаграмме по вертикали отложено время i в сжимающейся системе отсчета Эддинг- тона — Финкельштейна [разд. В.5, формула B.66)], поскольку это время хорошо ведет себя на горизонте, чего не скажешь о шварцшильдовском времени t. На диаграмме показаны две поверхности постоянного шварцшильдовского времени, t = const. (Хотя общий вид этих поверхностей весьма напоминает поверх- ности погружения, изображенные на рис. 9 и 11, их ни в коем, случае нельзя путать. Рис. 12 — это пространственно-времен- ная диаграмма, тогда как рис. 9 и 11 — чистые диаграммы по- гружения.) На рис. 12, кроме того, показано, как эволюциони- руют растянутый и истинный горизонты. Обратим внимание на то, как истинный горизонт «вставлен» в растянутый гори- зонт. Оба горизонта - - это 3-мерные гиперповерхности в про-
66 Д. МАКДОНАЛД, Р. ПРАЙС, ВЭЙ МО СЮЭН, К. ТОРН Рис. 12. Пространственно-временная диаграмма, показывающая образование черной дыры в процессе коллапса звезды. Вверх отложено время t (время в сжимающихся координатах Эддингтона — Финкелынтейна), наружу откла- дывается шварцшильдовская радиальная координата г. Показаны также ис- тинный горизонт, растянутый горизонт, два сечения постоянного мирового времени t, а также «мгновенные» истинный и растянутый горизонты <2#_ и №st странстве-времени (изображенные как 2-мерные, поскольку один угол вращения на диаграмме не представлен). Пересече- ние растянутого горизонта с гиперповерхностью / = const яв- ляется 2-мерной поверхностью (на диаграмме—1-мерной). Эта
II. НЕВРАЩАЮЩИЕСЯ И МЕДЛЕННО ВРАЩАЮЩИЕСЯ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ 67 поверхность представляет собой растянутый горизонт в задан- ный момент времени. Такой «мгновенный растянутый горизонт» будем обозначать как 361 • Поверхности постоянного t представляют собой сходящиеся световые лучи и поэтому изображаются на диаграмме в виде сходящихся конусов с углом наклона 45°, вдоль которых ра- диус г растет наружу. Мгновенному растянутому горизонту 361 соответствует мгновенный истинный горизонт 36^ который взят в тот же момент ?, что и Зёи т. е. лежит на том же самом схо- дящемся световом конусе. Аналогично событие ?Р на #6% соот- ветствует событию 9* на 36 ^ {то же самое соответствие, с которым мы сталкивались на рис. 6). Граничные условия на растянутом горизонте, сформулированные в разд. В.2, приписывают мгно- венному растянутому горизонту <jgf все физические свойства мгновенного истинного горизонта^ (подробнее см. разд. VLB ниже). Рис. 12 позволяет понять, каким образом внутри растяну- того горизонта на гиперповерхностях t = const записана дав- няя история (граничный слой): эти гиперповерхности постоян- ного времени внутри растянутого горизонта (изображенные пунктиром) почти совпадают в пространственно-временном смысле с истинным горизонтом. По мере приближения к истин- ному горизонту, все глубже и глубже в прошлое, эти гиперпо- верхности / = const асимптотически приближаются к истин- ному горизонту, сгущаясь к точке образования истинного гори- зонта и почти касаясь его в этой точке. Отбрасывая узкую об- ласть между истинным горизонтом и растянутым горизонтом, мы попросту отбрасываем прошлую историю истинного гори- зонта, совпадающую в существенных чертах с прошлой исто- рией растянутого горизонта, которая в свою очередь содер- жится в истории внешней Вселенной (т. е. части Вселенной снаружи от растянутого горизонта). Из всего вышесказанного становится понятным, насколько сильно можно растягивать горизонт, избегая при этом недо- пустимых ошибок: растяжение должно быть мало настолько, чтобы физические поля и частицы находились бы на растяну- том горизонте практически в том же самом состоянии, что и на истинном горизонте, с точки зрения физически разумных свободно падающих наблюдателей (СПН), а не с точки зрения ОПН, фигурирующих в мембранной парадигме. Математически это означает (как можно показать с помощью вычислений в сжимающихся координатах Эддингтона — Финкелыитейна), что радиальная координата растянутого горизонта rsH и характер- ное мировое время (шварцшильдовское характерное время)
68 Д. МАКДОНАЛД, Р. ПРАЙС, ВЭЙ МО СЮЭН, К. ТОРН A/stf, за которое эволюционируют поля и частицы на растяну- том горизонте, должны удовлетворять неравенствам rH < AtSHi rSH — rH< rH. B.73) Для колеблющегося магнитного поля, представленного на рис. 9 и 10, характерное время изменения на всех радиусах по- рядка At = At ~ AM. Следовательно, можно выбрать растяну- тый горизонт снаружи истинного горизонта на некотором рас- стоянии, удовлетворяющем неравенству rSH — гн <С 4М = 2г#. Величина растяжения, принятая на рис. 11,6, г5я — гн = = 0,075гя, может соответствовать точности примерно 10%. Вполне естественно использовать значительно меньшее растя- жение, чтобы относительные ошибки, которые, как правило, по порядку величины равны о?н= 1 — rHjrSH, оставались суще- ственно ниже 0,01. Конечно, следует выбирать растянутый горизонт достаточно малым, чтобы все, в него входящее, никогда не выходило из него обратно. Как правило, критерий B.73) годится и в этом случае, но в особых ситуациях (например, когда объект опу- скают на бесконечно прочной нити очень близко к истинному горизонту, а затем вытягивают обратно вверх) необходим кри- терий, более сильный, чем B.73). В любой конкретной ситуа- ции после здравого размышления необходимо выбрать вели- чину растяжения. Подобного рода рассуждения напоминают те соображения, к которым прибегают при выборе шага сетки при численном решении дифференциального уравнения. 2. Точечный заряд, покоящийся вблизи невращающейся черной дыры В качестве иллюстрации действенности растягивания гори- зонта рассмотрим силовые линии электрического поля точечной частицы, покоящейся на полярной оси F = 0) на радиальном расстоянии го около шварцшильдовскои черной дыры (рис. 13). Аналитическое решение для электрического поля г [(г - М) (г0 - М) — М2 cos 6] [г-М- (г0 - М) cos 9] jQ(ro-2M)(l-2M/rI/2sin8\t ,9 7АЛ D = [(r- MJ + (rQ-MJ ~ M2 - 2(r-M) {rQ-M) cos Q+M2 cos2 6]1/2 было получено в замкнутой форме Линетом [117] (который исправил более ранние результаты Копсона [45]), после того
II. НЕВРАЩАЮЩИЕСЯ И МЕДЛЕННО ВРАЩАЮЩИЕСЯ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ 69 а гп=5М б г =5М Рис. 13. Силовые линии электрического поля, создаваемого точечным зарядом, покоящимся на радиальном расстоянии г0 около шварцшильдовской черной дыры [формула B.74)]. а — силовые линии на диаграмме погружения, б, в и г — диаграммы погружения, вид сверху. как Коэн и Уолд [44] получили выражение для этого поля в виде мультипольного разложения, а Ханни и Руффини [86] построили изображения силовых линий, подобные тем, что пред- ставлены на рис. 13. Если частица расположена достаточно да- леко (например, на радиальном расстоянии г0 = 2,5г#, как на диаграммах а и б рис. 13), то силовые линии создаваемого ею поля несильно искажаются дырой. Однако, если частица очень близка к горизонту (например, при го = 1,05гя, как на диаграм- ме г), ее силовые линии искажаются так сильно, что более уда- ленные наблюдатели обнаруживают почти радиальное поле с силовыми линиями, выходящими из центра дыры, а не из точки, где расположена частица. Растягивая горизонт до го = 1,15гя (пунктирная линия на диаграмме г), мы полностью покрываем частицу и получаем картину, в которой силовые линии выходят радиально из растянутого горизонта так, как если бы растяну-
70 Д. МАКДОНАЛД, Р. ПРАЙС, ВЭЙ МО СЮЭН, К. ТОРН Рис. 14. Распределение поляризационного заряда на растянутом горизонте (отмечен знаками плюс и минус), создаваемое электрическим полем статиче- ского точечного заряда, расположенного на радиальном расстоянии го=\,\гн. тый горизонт обладал однородной плотностью заряда, а ча- стица полностью исчезала в дыре. Электрическое поле такого объекта, как падающая частица, обладающего динамическими свойствами, можно представить как последовательность приведенных статических полей. Эта частица никогда, ни за какое конечное мировое время t не пе- ресекает истинный горизонт. Однако вскоре после того как она проходит растянутый горизонт, картина создаваемого ею поля становится такой, как если бы электрический заряд частицы был передан растянутому горизонту и равномерно распределен по нему. Мембранный подход в форме, изложенной в разд. В, позволяет описать полную динамическую эволюцию (видимого) заряда на растянутом горизонте в процессе его размазывания по этому горизонту. Поле B.74) статического точечного заряда служит прекрас- ной иллюстрацией мембраноподобных свойств растянутого го- ризонта. На рис. 14 показаны в деталях электрические силовые линии и распределение заряда на растянутом горизонте для случая внешнего заряда, расположенного на радиальном рас- стоянии го = 1, 1а*//, и для растянутого горизонта при rSH — — ?н <С 0,1/7/. Качественно поведение силовых линий и заряда на горизонте легко понять, а на самом деле нетрудно предска- зать заранее исходя из законов электродинамики для растя- нутого горизонта. Чтобы проиллюстрировать это положение, перейдем к опи- санию динамической эволюции. Предположим, что частица с по- ложительным зарядом Q очень быстро опускается вдоль поляр- ной оси @ = 0) до радиального расстояния г0. Тангенциальное -> электрическое поле EHi создаваемое этой частицей, затем нач-
II. НЕВРАЩАЮЩИЕСЯ И МЕДЛЕННО ВРАЩАЮЩИЕСЯ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ 71 нет воздействовать на электрически нейтральный растянутый го- ризонт, вызывая разделение зарядов: по растянутому горизонту потекут токи, перенося отрицательный заряд в область под частицей и оставляя положительный заряд с противоположной стороны горизонта. В конце концов установится равновесное состояние, представленное на рис. 14, в котором ?# и поверх- ностный ток равны нулю. Эта динамическая эволюция и конечная равновесная конфи- гурация качественно напоминают то, что происходит в лабора- тории, когда заряженную частицу помещают вблизи металли- ческой сферы конечной проводимости. Как в случае черной дыры, так и в случае лабораторной сферы чем ближе частица к горизонту (к сфере), тем более локализованной становится область отрицательного заряда и более однородно распределе- ние положительного заряда по оставшейся части горизонта. Ко- личественно это следует из формулы для плотности заряда на горизонте [эта формула выводится из закона Гаусса для рас- тянутого горизонта B.41) и из формулы B.74) для электриче- ского поля вне растянутого горизонта] : rt _ Q[2(ro-M)cos9-M(l + cos2e)] При Го~+2М = гн и при условии, что растянутый горизонт всегда находится ниже частицы, эта плотность заряда стремит- ся к величине _ 2Q6 (8) Q , Я~~ Ля81п9 + Л^' B75) где Ан==4пг2н = 16яМ2 — площадь поверхности горизонта. Од- нородно распределенный положительный заряд в пределе гъ~+гн создает радиальное электрическое поле, которое в том случае, когда растянутый горизонт выбран не внутри, а сна- ружи от частицы (штриховая окружность на рис. 13,г), можно было бы приписать частице, упавшей в дыру, считая, что ее заряд при этом распределился по растянутому горизонту. 3. Черная дыра в качестве сопротивления в электрической цепи Выяснив распределение поверхностного заряда на горизонте, обратимся теперь к модельной задаче, которая поможет нам разобраться с поверхностным током и сопротивлением. В этой задаче (сформулированной Дамуром [48]) черная дыра под- соединена к обычной цепи постоянного тока, в которую входят батарея, дыра и провода (рис. 15, а). Батарея создает напря- жение V, обладает пренебрежимо малым внутренним сопротив-
12 Д. МАКДОНАЛД, Р. ПРАЙС, ВЭЙ МО СЮЭН, К. ТОРН Конический "провод" Растянутый горизонт ^эаэор т 6 Истинный горизонт а б Рис. 15. Шварцшильдовская черная дыра, выступающая в роли резистора в электрической цепи. лением и расположена далеко от дыры. Провода считаются идеально проводящими и подходят к дыре вдоль полярной оси. Горизонт черной дыры создает единственное ненулевое сопро- тивление в этой цепи. Полное сопротивление равно поверхно- стному удельному сопротивлению, деленному на длину попереч- ного сечения 2лгн sin 9, через которую течет ток, и проинтегри- рованному по элементу длины r#d9, вдоль которого этот ток течет: южный полюс _ северный полюс rH dQ rH sin e 1 J • B.76) Если провода имеют бесконечно малый радиус, то интегриро- вание должно проводиться точно от северного полюса (9 = 0) в точности до южного полюса (9 = я); в этом случае интеграл обращается в бесконечность. При бесконечном сопротивлении ток в цепи течь не может. Более интересен случай, когда про- вода имеют конечный радиус. Чтобы упростить анализ, в каче- стве проводов возьмем идеально проводящие конические по- верхности с полууглом раствора 9о (рис. 15,а). Тогда интеграл
II. НЕВРАЩАЮЩИЕСЯ И МЕДЛЕННО ВРАЩАЮЩИЕСЯ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ 73 в формуле B.76) берется от Эо до я — 90 и получающееся в результате полное сопротивление горизонта дыры равно Rht = 4 In [tg (во/2)] = ( 120 Ом) In [tg F0/2)] B.760 [поскольку в геометрических единицах 1 = 1/с = 30 Ом]. Полный ток, текущий в цепи и измеряемый в пересчете на единицу мирового времени /= J aj-dA, B.77) по любому поперечному сечению получается из обычного уравнения для цепи I = V/RHT. B.78) Из соображений симметрии очевидно, что этот ток должен течь однородно по горизонту, при этом длина, через которую течет ток, равна 2nrHsmQ = 4яМ sinO. Таким образом, ток на гори- зонте должен быть направлен в 8-направлении и иметь поверх- ностную плотность I/2nrHsinQ: <2-79> Согласно закону Ома и закону Ампера для растянутого го- ризонта, этот ток, определяемый электрическим полем, должен создавать магнитное поле горизонта, согласно следующим со- отношениям: Ен = fuRn = ~^W ^ B.80а) > > Тангенциальные электрическое и магнитное поля Е\\ и В\\, из- меряемые ОПН на растянутом горизонте, совпадают с этими полями Ен и Вн с точностью до множителя 1/ая. Электриче- ские и магнитные поля, измеряемые ОПН на больших радиаль- ных расстояниях, согласно полным уравнениям Максвелла B.10) [48], равны ^ = ^Т^ B.81а) Заметим, что электрическое поле B.81а) обладает тем необ- ходимым свойством, что оно равно Ен/ан на растянутом гори- зонте и создает падение напряжений между верхним проводя-
74 Д. макдоналд, р. прайс, вэй мо сюэн, к. торн щим конусом и нижним проводящим конусом, равное напря- жению батареи: нижний проводящий конус аЕ • dt= IRHT = V. B.82) верхний проводящий конус По аналогии заметим, что магнитное поле В, определяемое со- отношением B.816), равно BHjaH на растянутом горизонте, и если умножить его на а и проинтегрировать по замкнутому контуру, который охватывает дыру и провода, то в результате получится произведение 4я на ток в цепи [закон Ампера, фор- мула B. Иг)] aB-df=4nI. B.83) по замкнутому контуру вокруг дыры Ток B.79), текущий по растянутому горизонту, приводит к омической диссипации [формула B.56)]: = V (/я • 2ягя sin 9) EHrH dQ = = J IEH • dl = IV = PRht. B.84) Таким образом, темп диссипации определяется хорошо знако- мым выражением для участка цепи и равен квадрату полного тока, умноженному на полное сопротивление. Поэтому, пока речь идет о свойствах цепи постоянного тока, черная дыра идентична обычному резистору! Эта модельная задача служит, кроме того, примером экви- валентности концепции входящей волны и концепции омической диссипации. Электрические и магнитные поля вблизи от дыры -> -> по своему виду являются в точности радиационными (Е и В взаимно ортогональны и равны по величине). Постоянный по- ток Пойнтинга Еу^В/Ап, измеряемый ОПН, направлен по ра- диусу вовнутрь и имеет величину a-2J2/n{rH sin 9J. Чтобы пе- рейти от потока локально измеряемой энергии к потоку энер- гии с учетом красного смещения («энергии-на-бесконечности»), необходимо умножение на один множитель а. Чтобы перейти от потока, измеряемого в пересчете на единицу собственного времени ОПН, к потоку, измеряемому в пересчете на единицу мирового времени, следует умножить указанное выражение на второй множитель а. Эти два умножения устраняют зависи-
II. НЕВРАЩАЮЩИЕСЯ И МЕДЛЕННО ВРАЩАЮЩИЕСЯ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ 75 мость потока Пойнтинга от а и приводят к величине, которая, будучи проинтегрирована по растянутому горизонту, оказывает- ся в точности равной темпу омической диссипации, определяе- мому соотношениями B.55), B.56) и B.84). В приведенном выше описании черной дыры как резистора не учитывался очень важный физический фактор: конические провода, изображенные на рис. 15, а, не могут быть протянуты до самого истинного горизонта. Если бы это было возможно, то гравитационное ускорение на их внутренних концах было бы бесконечным. Следовательно, между истинным горизонтом и концами проводов должны существовать зазоры (рис. 15,6). Если бы эти зазоры препятствовали протеканию тока, они соз- давали бы электрические поля, напряженность которых опре- делялась бы разностью потенциалов У/2: ?зазор~-Х^, B.85) где d — ширина зазора, аир — значение функции длительности на кольцевых концах проводов [ср. с формулой B.14)]. В ходе нашего рассмотрения мы предполагаем, что эти зазоры доста- точно малы (atipd достаточно мало), чтобы создать поле B.85), достаточно сильное для «вытягивания» из проводов носителей заряда (электроны или ионы), которые заполняют зазоры и за- мыкают тем самым цепь. В данном случае поле в зазоре ока- жется существенно более слабым, чем B.85), и будет поддер- живать протекание тока, причем почти все падение напряже- ния будет приходиться на истинный горизонт дыры. Растягивая горизонт достаточно сильно, так, чтобы он ока- зался выше концов проводов (рис. 15,6), можно «скрыть» за- зоры и сложную физику, которая с ними связана. Эта про- цедура совершенно аналогична помещению растянутого гори- зонта над заряженной частицей на рис. 14,6. Поэтому рас- смотрение, связанное с рис. 15, а, и изложенные выше сообра- жения становятся абсолютно правильными. В последующих разделах мы будем изучать другие роли, в которых выступают черные дыры в электрических цепях. Здесь мы всегда будем предполагать, что зазоры вблизи го- ризонта достаточно малы, и при этом пренебрежимо малые падения напряжения будут достаточны для поддержания тре- буемых токов. Мы всегда будем помещать растянутый горизонт выше этих зазоров, чтобы не заниматься рассмотрением свя- занной с ними сложной физики. В разд. IV.Г мы будем рас- сматривать астрофизически реалистические цепи постоянного тока, в которых носителем тока служит плазма электрон-пози- тронных пар, и вопрос о зазорах вблизи горизонта не возни- кает.
76 Д. МАКДОНАЛД, Р. ПРАЙС, ВЭЙ МО СЮЭН, К. ТОРН 4. Черная дыра в качестве ротора в электромоторе В качестве примера медленно вращающихся дыр и электро- магнитных моментов, действующих на них, рассмотрим модель- ную задачу, в которой медленно вращающаяся дыра действует как ротор в простом электромоторе (рис. 16). Прежде всего полезно вспомнить устройство аналогичного мотора в лаборатории: возьмем проводящую сферу радиуса г#, которая может свободно вращаться вокруг своей вертикальной оси, и поместим ее в однородное вертикальное магнитное поле напряженности Во. Затем к верхнему полюсу сферы подсоеди- ним провод, а к экватору сферы подсоединим проводящий диск. (Подсоединение обычно осуществляется с помощью щеток, ко- торые при вращении сферы свободно скользят по ней.) Соеди- ним проводами внешний край диска с полярным проводом и по- местим в цепь батарею, тогда в цепи будет течь полный ток. По верхней полусфере будет протекать поверхностный ток, равный я8т9)в6. B.86) Этот ток будет взаимодействовать с магнитным полем, созда- вая вращательный момент, который, действуя на сферу, рас- кручивает ее: '.ТР-&- \ [/я ХЬ-?]«М—{"НИЛ. B.87) по верхней полусфере В принципе можно заменить проводящую сферу шварцшиль- довской черной дырой. Окружающее вертикально направлен- ное магнитное поле Во в таком случае идентично конечному состоянию в нашей задаче о колеблющемся магнитном поле [формула B.69), рис. 9,6]: BQ = B0[cosQef—(l -2M/rI/2sin9e6], B.88) а ток на горизонте имеет в точности тот же вид B.86), что и в нашем лабораторном моторе. Примечательно, что и уравне- ние для вращательного момента тоже имеет в точности тот же вид, что и в лабораторном случае: формула B.87) остается неизменной, если под /# теперь понимать момент инерции дыры, а под Qh — угловую скорость дыры и т. д. В этом «черно-дырном» моторе ток на горизонте не только создает вращательный момент, но и приводит к омической дис-
НЕВРАЩАЮЩИЕСЯ И МЕДЛЕННО ВРАЩАЮЩИЕСЯ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ 77 ) ] I I I I I I I | I I Рис. 16. Медленно вращающаяся щварцшильдовская черная дыра, высту- пающая в роли ротора в электромоторе. сипации dMin/dt = Тн dSH/dt = {?hRh) = I2R HT, B.89) по горизонту выражение для которой идентично формуле B.84) для такой же сферы, но не помещенной в магнитное поле [с точностью до множителя 1/2 в формуле B.76') для полного сопротивле- ния горизонта, поскольку тогда под током находились обе по- лусферы дыры, а в данном случае — лишь верхняя полусфера]. Масса дыры растет как за счет омической диссипации (рост неприводимой массы), так и за счет увеличения угловой ско- рости [рост вращательной массы-энергии, согласно первому началу термодинамики, формула B.65)]: dM dt dM rot dt dt - T = I2RHT-QH(lB0/2)r2H. B.90) 5. Точечные заряды, движущиеся над растянутым горизонтом Обратимся теперь к серии модельных задач, в которых рас- сматривается движение точечных зарядов вблизи горизонта невращающейся черной дыры. Наша цель — разобраться во
78 Д. МАКДОНАЛД, Р. ПРАЙС, ВЭЙ МО СЮЭН, К. ТОРН взаимодействиях между растянутым горизонтом и динамиче- скими электрическими и магнитными полями. Чтобы упростить анализ, будем предполагать, что частицы настолько близко на- ходятся к горизонту (расстояние <С^я), что мы вправе пользо- ваться риндлеровским приближением. Наша первая задача о движении зарядов иллюстрирует увлечение силовых линий электрического (или магнитного) поля к горизонту зарядами, с которыми эти силовые линии свя- заны. В этой задаче, сформулированной Макдоналдом (разд. III.D работы [122]), нейтральная частица, расположен- ная на высоте z0 над риндлеровским горизонтом в момент вре- мени t = О, распадается на две заряженные частицы. Положи- тельный заряд (+Q) остается на месте на высоте го, тогда как отрицательный заряд (—Q) свободно падает вниз по направ- лению к горизонту, причем высота зависит от времени как z= , f0' B.91) ch (gHt) V ' [ср. формулу B.32) с Z = const]. На рис. 17 показана эво- люция электрического поля, соединяющего эти две частицы, полученная в расчетах Макдоналда в рамках риндлеровского приближения. При выборе растянутого горизонта на высоте zH = zo/100 отрицательно заряженная частица попадает на него в момент мирового времени t = 5,3/g#. Электрическое поле первым достигает растянутого горизонта еще до этого момента, но ненамного раньше. Когда электрическое поле «натыкается» на растянутый горизонт, оно начинает возбуждать на нем токи. Эти токи текут по направлению к той точке, куда в скором вре- мени попадет отрицательно заряженная частица. Токи перено- сят туда положительный заряд горизонта, оставляя отрицатель- ный заряд в более удаленных областях. Когда эта частица по- падает на горизонт, ее отрицательный заряд взаимно уничто- жается с принесенным в эту точку положительным зарядом, и вскоре после этого (к моменту времени t = 6/g#) распределе- ние заряда на горизонте и внешнее поле приходят в статиче- ское состояние, представляющее собой риндлеровское прибли- жение к статическому распределению, показанному на рис. 14 и описываемому формулой B.75). Перейдем теперь к модельной задаче, сформулированной Сюэном (см. разд. III.D работы [122]). Частица с зарядом Q находится очень близко к шварцшильдовскому горизонту (рас- стояние zq <С гн) и совершает равномерное движение парал- лельно горизонту со скоростью C, которая измеряется ОПН, когда частица проходит мимо них: (dx/dx) (частицы) = C. B.92)
II. НЕВРАЩАЮЩИЕСЯ И МЕДЛЕННО ВРАЩАЮЩИЕСЯ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ 79 Ян* 0,5 Рис. 17. Силовые линии электрического поля, получающиеся в результате разделения нейтральной частицы, расположенной на высоте z0 < rH над го- ризонтом, на две точечные частицы, одна из которых, имеющая заряд +Q, остается на высоте z0, а другая, имеющая заряд — Q, свободно падает вниз по направлению к горизонту. (Рисунок заимствован из работы [122].) Когда частица движется, она переносит с собой свое кулонов- ское поле, и, следовательно, силовые линии кулоновского поля скользят вдоль растянутого горизонта с локально измеряемой скоростью (dx/dx) (силовых линий на растянутом горизонте) =
80 Д. МАКДОНАЛД, Р. ПРАЙС, ВЭЙ МО СЮЭН, К. ТОРН ! I—зО Растянутый горизонт б Движущийся заряд, Истинный горизонт 3 = 0,5 а Статический заряд Рис. 18. Силовые линии электрического поля, создаваемого покоящейся заря- женной частицей (а) и заряженной частицей, движущейся с локально изме- ряемой скоростью |3 = 0,5 (б), вблизи риндлеровского горизонта (здесь учте- но, что полный заряд черной дыры равен нулю. — Ред.) [122]. Множитель ао/ая = Zo/zh, обусловленный гравитационным красным смещением часов на растянутом горизонте по отноше- нию к тем часам, положение которых совпадает с положением частицы, приводит к тому, что скорость силовых линий может становиться бесконечно большой и существенным образом за- висит от фактического положения растянутого горизонта. Чтобы избежать этих аномалий, будем описывать движение силовых линий не с помощью локально измеряемой скорости, а с по- мощью расстояния, проходимого за единицу мирового времени («скорость относительно горизонта»): vH = (dx/dt) (силовых линий на растянутом горизонте) = = ан {dxldx) = gHz$ = аор. B.94) (Фактически силовые линии движутся с одной и той же ско- ростью, в расчете на единицу мирового времени при любых положениях в риндлеровской области — на растянутом гори- зонте z = Zh, на высоте частицы z = Zo, на высоте, в десять раз превышающей высоту частицы и т. д.). В пределе нулевой скорости кулоновское поле частицы бу- дет определяться формулой B.74) и рис. 13 и 14 в риндлеров- ском приближении. Статическое поле показано на рис. 18, а. В случае произвольной конечной скорости частицы C < 1 Сюэн получил сложную аналитическую формулу для Е и В [фор- мулы C.21) работы [122]]. Для случая C=0,5 силовые линии электрического поля изображены в плоскости х — z (частица и ее скорость лежат в этой вертикальной плоскости) на рис. 18, б. Сравнивая этот случай со случаем статического поля
II. НЕВРАЩАЮЩИЕСЯ И МЕДЛЕННО ВРАЩАЮЩИЕСЯ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ (рис. 18, а), можно отметить, что кулоновское поле увлекается вслед за частицей. При растягивании горизонта на рис. 18,6 (пунктирная ли- ния) силовые линии электрического поля оканчиваются на за- рядах внутри растянутого горизонта. Оказывается, что заряд растянутого горизонта концентрируется вокруг точки, имеющей координату хс = VHt + (yH/gH) In (zH/zQ) = vHl B.95) где мы воспользовались временем в сжимающейся системе от- счета на растянутом горизонте t = t + g^] In (ая/а0) (см. разд. В.5). Отметим, что при некотором заданном мировом вре- мени (сечение t = const в пространстве-времени) чем ближе растянутый горизонт к истинному горизонту (т. е. чем меньше Zh), тем дольше заряд горизонта будет увлекаться за части- цей. Из-за этого увлечения использование времени в сжимаю- щейся системе отсчета становится невозможным. Поскольку представление об увлечения весьма полезно для подхода, осно- ванного на физической интуиции (см. ниже), данная модель- ная задача иллюстрирует преимущества 3 + 1-расщепления в рам_ках мембранной парадигмы (использование времени t, a не ?). Макдоналд и Сюэн [122] приводят следующее аналитиче- ское выражение [формула C.22)] для плотности заряда он на растянутом горизонте: Ы\зн я E2 + 220-2№0K • К ' Здесь 6 и X — функции от х, у, t, заданные в явном виде: со2 = Х2 + #2. B.97) Отметим, что в пределе малых скоростей C <С 1 (когда можно опустить логарифмический член), X — это расстояние от центра заряда хс в направлении движения, а со — радиальное расстоя- ние от центра заряда. Указанная интерпретация остается спра- ведливой и в случае высоких скоростей |3 ~ 1, если рассматри- ваемая точка находится близко от центра заряда, со <С z0. Од- нако в случае высоких скоростей для точек с со ^ Zo логариф- мический член искажает приведенную выше интерпретацию функций Хий. В пределе нулевой скорости формула B.96) для распреде- ления заряда на горизонте согласуется с риндлеровским пре-
82 Д- макдоналд, р. прайс, вэй мо сюэн, к. торн делом, который выражается формулой B.75), и заряд сосре- доточен в круге радиуса ~z0 непосредственно под частицей. Чем быстрее движется частица, тем дальше увлекается за ней заряд [формула B.95)] и тем сильнее распределение заряда отличается от кругового. В ультрарелятивистском режиме, 1 — р <С 1, заряд сосредоточен в области, которая испытывает сильное лоренцевское сокращение: радиус области концентра- ции заряда становится порядка A —|32I/2z0. Закон сохранения заряда на растянутом горизонте требует, чтобы движение заряда сопровождалось электрическими то- ками. Макдоналд и Сюэн получили следующее распределение токов на растянутом горизонте (см. [122], формула C.23)): -> Q (to2 + Z2) X [BZ2 - 2р*о* + $4 - со2 - zl) tx + 2y(X- pz0) ty]. B.98) Это распределение токов показано на рис. 19 для скорости ча- стицы C = 0,5. Затененная область на этом рисунке представ- ляет собой круг радиуса z0, в котором сосредоточена большая часть заряда. Если внимательно вглядеться в рис. 18 и 19, становится ясен физический механизм увлечения частицей заряда, который она индуцирует на растянутом горизонте. По мере того как частица движется, ее кулоновское поле отстает (рис. 18,6) вследствие «трения» на горизонте (об этом речь пойдет ниже). Отстающее -> поле Е, показанное на рис. 18,6, имеет тангенциальную состав- ляющую на горизонте, которая и генерирует токи на горизонте, изображенные на рис. 19 (закон Ома). Эти токи и ответственны за движение индуцированного заряда. Сила Лоренца на горизонте является причиной того самого «трения», которым объясняется отставание кулоновского поля от частицы. Эта сила Лоренца передает горизонту импульс со стороны кулоновского поля со скоростью + ОО +ОО +ОО +ОО dpH/dt= J J (dUH/dt) dx dy = jj jj GHEHdxdy = — oo —oo —oo — oo Равная, но противоположно направленная сила действует со стороны горизонта, через кулоновское поле, на частицы. За- метим, что в случае малых скоростей эта сила противодей- ствия, определяемая соотношением B.99), взятым с обратным
II. НЕВРАЩАЮЩИЕСЯ И МЕДЛЕННО ВРАЩАЮЩИЕСЯ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ 83 / \ i \ t *-* * "*"" ж , \ I / \ \ \ к А А ** ~"^ "^ "^ ^ \ 1 X f / У N v I I / \ Чх^-^'''^/ * * N N \ Рис. 19. Распределение тока —fn на растянутом горизонте, создаваемое движущимся точечным зарядом (см. рис. 18,6). Крапом отмечена область радиуса [(х — х0J + У2]1/2 = ^о = (высота частицы над горизонтом), в ко- торой сосредоточена большая часть индуцированного отрицательного заряда горизонта. Токи, показанные на рисунке, переносят этот заряд вдоль гори- зонта со скоростью dx/dt = v# = |3ао, причем он все время остается на од- ном и том же расстоянии ниже и позади движущегося точечного заряда. На этом рисунке ток — /н представлен так, что стрелки всегда указывают на- правление потока отрицательного индуцированного заряда. Показано только направление —/ш величина его не представлена. знаком, как и обычное увлечение, пропорциональна скорости силовых линий и направлена в противоположном (—ех)-направ- лении. Поскольку все силовые линии поля, создаваемого частицей, в конце концов уходят в горизонт (и ни одна из них не выходит на бесконечность, см. рис. 18), силовой контакт с бесконеч- ностью отсутствует. Следовательно, сила реакции, действующая на частицу, должна быть полностью уравновешена силой не- электромагнитной природы, которая заставляет частицу дви-
84 Д- МАКДОНАЛД, Р. ПРАЙС, ВЭЙ МО СЮЭН, К. ТОРН гаться параллельно горизонту и величина которой определяет- ся соотношением B.99). Если точечная частица движется вдоль экватора черной дыры, то сила Лоренца B.99) вызывает увеличение углового момента горизонта относительно его полярной оси и темп этого увеличения равен dJ _r dPHx 2 Q2 1 ЧГ1Г T^ (!_p) а темп изменения вращательной энергии дыры соответственно равен dMTOt -> dj 2 Q2 1 ~1F~ = QH' -5Г = тйя^я^я^2-A_р2J ; B.101) кроме того, ток на горизонте приводит к омической диссипа- ции, а с ней и к увеличению неприводимой массы дыры: -[ -ОО -J-OO dMWr dS „ г г •> 2 — ОО —СХ) Чтобы еще глубже понять движение электрического поля вблизи горизонта, представим себе, что наша заряженная ча- стица движется со скоростью, меняющейся во времени. Сюэн рассчитал получающееся в результате электромагнитное поле, воспользовавшись методом потенциалов Льенарда — Вихерта в плоском пространстве-времени (см. разд. III работы [122]). На рис. 20 показаны силовые линии электрического поля в том конкретном случае, когда заряд Q первоначально (в моменты времени т < 0) покоится на расстоянии z0 от горизонта (поло- жение А), затем движется вправо (в +х-направлении) со ско- ростью, равной половине скорости света (локально измеряемая скорость C = 0,5), в течение локально измеряемого интервала времени бт = Zo> затем останавливается в положении В и остается там навсегда в состоянии покоя. Сплошными кривыми представлены электрические силовые линии до начала движе- ния (т<0), штриховыми кривыми — те же самые силовые ли- нии, но в момент, когда движение частицы прекратилось (t = 2o). Заметим, что силовые линии переместились вместе с частицей лишь в верхней части рисунка. Вблизи горизонта они остались неизменными, поскольку еще не прошло доста- точно времени, чтобы информация о движении частицы успела дойти до низа. Пунктирные кривые — это те же самые силовые линии, но в момент времени т = 4г0. Совсем близко к горизонту силовые линии еще не получили сигнал о смещении частицы, поэтому они остаются здесь неизменными, но дальше от гори- зонта они уже сместились вместе с частицей.
II. НЕВРАЩАЮЩИЕСЯ И МЕДЛЕННО ВРАЩАЮЩИЕСЯ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ 85 Рис. 20. Электрическое поле точечно- го заряда, который покоится в поло- жении Л во все моменты времени х < 0, затем перемещается вправо до положения В со скоростью, равной половине скорости света, а затем на- всегда остается в В. Сплошные кри- вые — силовые линии электрического поля; штриховые кривые — силовые линии в момент, когда частица дости- гает положения В, пунктирные кри- вые — силовые линии в существенно более поздний момент времени. |" Горизонт Большой интерес представляет переходная область между сместившимися верхними частями силовых линий, изображен- ных пунктиром, и неподвижными нижними частями. В этой пе- реходной области при т ^> z0 силовые линии почти параллельны горизонту, а сама переходная область постепенно опускается к горизонту с той же самой экспоненциальной скоростью z = = (const)X ехр(—g#/) (локальная скорость света), с которой мы уже имели дело в задаче Макдоналда о колебаниях магнит- ного поля [формула B.72) с z = AM A — 2М/гI/2 и gH = = 1/4М]. Когда переходная область проходит через растянутый горизонт, она создает электрическое поле горизонта Ен, которое вызывает ток на горизонте fu, который в свою очередь пере- носит индуцированный заряд вправо, в его новое положение под переместившейся частицей. 6. Движение электрических и магнитных силовых линий вблизи растянутого горизонта Из точных модельных расчетов предыдущего раздела мы смогли познакомиться с рядом особенностей движения электри- ческих (а также магнитных) полей вблизи горизонта. Когда электрические силовые линии, пронизывающие гори- зонт, неподвижны (т. е. когда им не сопутствует магнитное поле), они пересекают горизонт по нормали и никаких токов на горизонте, никаких сил Лоренца на горизонте и никакой омической диссипации они не создают. Если внешний объект (например, частица в модельных задачах о движении зарядов) начинает «тащить» эти нормальные силовые линии в направле- нии, параллельном горизонту, то верхние части этих линий нач- нут двигаться мгновенно, тогда как движение их нижних ча- стей будет запаздывать из-за конечности времени распростра- нения сигнала. В результате силовые линии будут перемещать-
86 Д. МАКДОНАЛД, Р. ПРАЙС, ВЭЙ МО СЮЭН, К. ТОРН ся, «укладываясь» почти параллельно горизонту, как это пока- зано на рис. 20, и вслед за этим погружаться под растянутый горизонт. В процессе погружения почти параллельного поля под растянутый горизонт поле будет генерировать поверхност- ные токи, согласно закону Ома, а эти поверхностные токи бу- дут переносить заряд горизонта и создавать омический нагрев, а также будут поворачивать горизонт и, наоборот, создавать вращательные моменты, действующие на силовые линии, а че- рез них и на объект, благодаря которому силовые линии дви- жутся. По порядку величины напряженность электрического поля, создаваемого в результате движения силовых линий, будет равна где Еп — напряженность нормального поля, a v# — скорость движения силовых линий (в пересчете на единицу мирового времени) относительно растянутого горизонта. [Этот вывод -> -> можно получить, исходя из формул B.98) для fH = Ен/ 4я и B.96) для Он = Еп/4п в модельной задаче о движении заря- дов.] Соответственно ток и плотность заряда в процессе погру- жения «уложенной» области под растянутый горизонт будут связаны друг с другом соотношением Омический нагрев в пересчете на единицу плотности будет равен [ср. с формулой B.102)] -> 2 dA dt *н* н унпп> i н и темп передачи импульса горизонту будет составлять dA^dt = ~Ж~ = °нЕн ~ vhE1- B.106) Заметим, что вследствие пропорциональности темпа передачи импульса скорости движения силовых линий полный импульс, переданный горизонту, пропорционален полному расстоянию бх, на которое сместились силовые линии: ЪПн~е1Ъх. B.107) Это описание движения электрических силовых линий позво- ляет получить результаты, аналогичные тем, что были полу- чены для движения магнитных силовых линий. При отсутствии каких-либо реальных зарядов и токов между электричеством и магнетизмом существует полное сходство. Из любого реше-
II. НЕВРАЩАЮЩИЕСЯ И МЕДЛЕННО ВРАЩАЮЩИЕСЯ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ 87 ния уравнений Максвелла можно получить новое решение с по- мощью перестановки Е -> В и В->—Е. В искривленном про- странстве это так же верно, как и в плоском, и при наличии горизонта так же верно, как и в отсутствие горизонта. Теперь рассмотрим магнитные поля без зарядов и токов, пронизываю- щие горизонт черной дыры. Как в случае электрического поля, так и в случае магнитного поля, если силовые линии непод- вижны, то они пересекают горизонт перпендикулярно ему и ни- каких токов на горизонте не возникает. [В случае электриче- ского поля на горизонте имеются заряды, на которых оканчи- ваются нормальные к горизонту силовые линии; в случае маг- нитного поля таких зарядов нет, поскольку, для того чтобы наш мембранный подход был максимально близок к хорошо зна- комой классической электродинамике, мы предполагаем отсут- ствие магнитных монополей и тем самым нарушаем полную аналогию между электричеством и магнетизмом. Мы могли бы сделать и иной выбор и считать, что растянутый горизонт обла- дает плотностями и токами магнитных монополей [237], но по- ведение полей, конечно, не зависит от нашего выбора. Предпо- ложение о полном сходстве электрического и магнитного полей остается верным выше горизонта. В обоих случаях поля ведут себя одинаково.] Допустим теперь, что некоторая внешняя сила приводит верхние части магнитных силовых линий в движение парал- лельно горизонту. Как и в случае электрического поля, маг- нитные силовые линии должны «укладываться» почти парал- лельно горизонту, и эта область параллельности должна затем опускаться по направлению к горизонту. По мере погруже- ния этой области под растянутый горизонт параллельное гори- зонту поле будет генерировать токи, текущие по горизонту, со- гласно закону Ампера (токи, а не заряды на горизонте). Взаи- модействуя с нормальной горизонту компонентой магнитного поля, эти токи будут приводить к омической диссипации и по- -> -> рождать силу Лоренца fHX.Bny а также соответствующий вра- щательный момент, действующий на горизонт. Величина почти параллельного горизонту магнитного поля, проходящего под растянутый горизонт, будет равна BH~vHBnj B.108) где v# — тангенциальная скорость силовых линий на горизонте (измеряемая в расчете на единицу мирового времени), а В„- нормальная к горизонту компонента магнитного поля. Соответ- ственно ток на горизонте будет описываться соотношением fH~:(l/4nj:vHBn, B.109)
88 Д- МАКДОНАЛД, Р. ПРАЙС, ВЭЙ МО СЮЭН, К. ТОРН темп омической диссипации ЧГЧГ н темп передачи импульса горизонту — а полный импульс, переданный горизонту в результате смеще- ния на расстояние бх,— 6Пн~В2пдх. B.112) В разд. IV. Г мы убедимся, что эти особенности движения силовых линий играют очень важную роль в моделях, объяс- няющих энергетику внегалактических выбросов с помощью ме- ханизма «черно-дырной» электродинамики.
Ill Быстро вращающиеся черные дыры К. Торн, Р. Прайс, Д. Макдоналд, Вэй Мо Сюэн, Сяо Хи Чжань Вращение черной дыры может сопровождаться яркими и не- ожиданными эффектами. До сих пор мы рассматривали лишь простейшие аспекты вращения черных дыр и лишь медленно вращающиеся дыры. Теперь мы обращаемся к быстрому враще- нию и к полному набору связанных с ним эффектов. В ходе всего нашего изложения (вплоть до гл. VI) мы будем пред- полагать, что черная дыра находится в стационарном равно- весном состоянии и гравитационные возмущения, обусловлен- ные внешними телами, пренебрежимо малы. Это означает, что 4-мерная пространственно-временная геометрия дыры описы- вается метрикой Керра. А. 3 + 1-расщепление пространства-времени Керра 1. Выбор опорных наблюдателей и 3 + 1-расщепление метрики В случае керровской черной дыры, как и в случае шварц- шильдовской, мы должны очень внимательно отнестись к вы- бору опорных наблюдателей (ОПН) при 3 + 1-расщеплении. В шварцшильдовском случае мы выбираем ОПН так, чтобы они все время оставались неподвижными по отношению к дыре. В керровском случае само понятие «неподвижности по отноше- нию к дыре» отчасти перестает быть однозначным, поскольку дыра сама вращается. Вращение дыры увлекает все физиче- ские объекты, находящиеся вблизи нее, в орбитальное дви- жение в том направлении, в котором вращается дыра, и про- тивостоять этому увлечению ни один объект не может. Чем ближе к горизонту, тем сильнее этот эффект увлечения. По- этому с точки зрения удаленных статических (не испытываю- щих увлечение) наблюдателей наши опорные наблюдатели не- избежно должны обладать некоторой зависящей от радиуса ко- нечной угловой скоростью, со = cbp/dt. Мы, однако, можем по- требовать, чтобы никаких других движений ОПН не совершали, если смотреть на них издалека. Поскольку вращающаяся дыра обладает осевой симметрией, такие обращающиеся вокруг нее
90 к, торн, р. прайс, д. макдоналд, вэй мо сюэн, сяо хи чжань ОПН все время будут испытывать неизменные гравитационные эффекты (имеются в виду неизменные пространственная кри- визна, функция длительности и гравитационное ускорение). Единственный способ для них узнать о своей отличной от нуля угловой скорости — наблюдать за движением далеких звезд у себя над головой. Угловая скорость ОПН со не является произвольной. Она должна быть выбрана так, чтобы мировые линии ОПН были ортогональны (в пространственно-временном смысле) семей- ству 3-мерных гиперповерхностей, которые ОПН будут физи- чески отождествлять с гиперповерхностями постоянного вре- мени и которые мы мысленно «соберем» в единое 3-мерное «абсолютное пространство». Это требование ортогональности гиперповерхностей, предъявляемое к ОПН, в совокупности с условием, чтобы вдали от дыры ОПН покоились относительно инерциальных систем отсчета, однозначно определяет угловую скорость ОПН и соответственно однозначно определяет ортого- нальные гиперповерхности (см. разд. 5.1 работы [206]). Ока- зывается, что получающиеся в результате гиперповерхности яв- ляются поверхностями постоянной «бойер-линдквистовской вре- менной координаты» t, а получающиеся в результате ОПН яв- ляются «наблюдателями с нулевым угловым моментом» (ННУМ) (это понятие впервые ввел Бардин [2]). Такой выбор гиперповерхностей побуждает нас использовать боейр-линдкви- стовскую временную координату t в качестве мирового времени при 3+ 1-расщеплении. Как в случае шварцшильдовской, так и в случае керровской черной дыры мы теперь мысленно соберем гиперповерхности t — const в единое 3-мерное пространство, называемое абсо- лютным пространством, в котор^к физические процессы проте- кают в соответствии с течением мирового времени t. Поскольку все физические объекты испытывают увлечение в орбитальное движение вращением дыры, будем считать, что само абсолют- ное пространство увлекается в круговое движение относительно далеких звезд — эта картина сильно напоминает движение воз- духа в смерче или воды в водовороте. Точнее, мы будем счи- тать, что ОПН покоятся в абсолютном пространстве, при этом абсолютное пространство, как и ОПН, совершает круговое дви- жение вокруг дыры (если смотреть издалека) с угловой ско- ростью со. Чем ближе точка абсолютного пространства к горизонту, тем быстрее ее круговое движение. Поэтому если считать, что наши пространственные координаты увлекаются этим круговым движением, то наши координатные линии будут быстро дефор- мироваться в спирали. Со временем эти спирали будут все туже наматываться на черную дыру, как нитки на катушку. Чтобы
III. БЫСТРО ВРАЩАЮЩИЕСЯ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ 91 этого избежать, можно потребовать, чтобы наши координаты (которые в конце концов не являются физическими объектами) не поддавались смерчеобразнои циркуляции и всегда и повсюду оставались неподвижными относительно далеких звезд (же- сткие, «фиксированные относительно звезд», координаты). Та- ким выбором xj мы сохраняем форму и масштаб координатной решетки неизменными с течением времени, т. е. обеспечиваем независимость от времени метрических коэффициентов gjk абсо- лютного пространства. Однако это достигается лишь ценой дви- жения абсолютного пространства и ОПН относительно коорди- нат с некоторой зависящей от времени координатной скоростью -РУ, C.1) которая физически соответствует круговому движению с угло- -> -> вой скоростью (о. Величина (З7, так же как и Е и В, представ- ляет собой вектор, существующий в абсолютном пространстве. Ее иногда называют «функцией смещения» [219], потому что она равна скорости, с которой пространственная координатная решетка смещается относительно ОПН. Поскольку наглядные образы играют такую важную роль в мембранной парадигме, полезно снова и снова повторять мыс- ленные представления, которые имеют в виду авторы, когда речь идет о движении координат, ОПН и абсолютного про- странства: мы считаем, что абсолютное пространство заполнено жесткой, неподвижной по отношению к звездам координатной решеткой. С течением времени эта решетка не деформируется и все время остается неподвижной по отношению к далеким звездам. Вращение дыры увлекает ОПН во вращательное дви- жение сквозь эту неподвижную относительно звезд решетку (dxJ'/dt = —Р7', с угловой скоростью со по отношению к далеким наблюдателям). Угловая скорость ОПН монотонно растет при перемещении от удаленных областей к горизонту, что сильно напоминает поведение угловой скорости в смерче или водово- роте. Следовательно, тот мысленный образ, который стоит пе- ред глазами авторов, сводится к следующему: ОПН проскаль- зывают сквозь жесткую координатную решетку, двигаясь будто в смерче (или водовороте), т. е. вдали от горизонта медленно, а вблизи него быстро (однако это движение чисто круговое, без какого-либо перемещения внутрь). Авторы предпочитают представлять себе абсолютное про- странство скользящим вместе с ОПН, так что относительно абсолютного пространства ОПН покоятся. Это приводит к не- обходимости иметь дело с абсолютным пространством, которое испытывает сдвиговые деформации, т. е. с пространством, в ко- тором соседние точки движутся относительно друг друга. От-
92 к. торн, р. прайс, д. макдоналд, вэй мо сюэн, сяо хи чжань меченное неудобство, связанное со сдвиговыми деформациями, навело Новикова и Фролова [135] на мысль, что абсолютное пространство лучше считать жестко связанным с неподвиж- ными относительно звезд координатами. Действительно, двое из авторов данной статьи (Торн и Макдоналд) в своих самых ранних работах по мембранной парадигме придерживались именно такой точки зрения [49, 123, 206]. Оказывается, что можно без каких-либо изменений в математическом формализме мембранного подхода перейти от нашей точки зрения, т. е. аб- солютного пространства, испытывающего сдвиговые деформа- ции, к точке зрения Новикова — Фролова, т. е. к жесткому абсолютному пространству. (Такая возможность объясняется тем, что в математическом описании фигурируют только движе- ния координат и ОПН, а «движение абсолютного простран- ства» из него выпадает. Единственное, что необходимо изме- нить при переходе от одной точки зрения к другой — это неко- торые детали наглядных образов, которые сопутствуют матема- тическому описанию.) Тем не менее на протяжении всей этой книги авторы при- держиваются мысленных представлений об абсолютном про- странстве, испытывающем сдвиговые деформации, и неподвиж- ном относительно ОПН. Главная тому причина связана с 3+ 1- расщеплением, которое лежит в основе мембранного подхода: абсолютное пространство в любой заданный момент мирового времени / является гиперповерхностью в пространстве-времени. Такая поверхность всюду ортогональна мировым линиям ОПН. Это означает в соответствии с общепринятой релятивистской интерпретацией, что ОПН считают себя покоящимися (в абсо-^ лютном пространстве) на гиперповерхности [а также считают такую гиперповерхность сечением «одновременности» в про- странстве-времени, если определять одновременность согласно Эйнштейну, физически, т. е. методом световых сигналов; см. об- суждение перед формулой B.10)]. Таким образом, наша точка зрения, согласно которой абсолютное пространство покоится относительно ОПН, вытекает из 3 + 1-расщепления в совокуп- ности с общепринятой физической интерпретацией гиперпо- верхностей, ортогональных мировым линиям наблюдателей. После наглядного качественного описания нашей жесткой координатной решетки и движений ОПН и абсолютного про- странства, перейдем теперь к более точному математическому описанию. Метрика пространства-времени, выраженная через бойер-линдквистовскую временную координату t и произволь- ные пространственные координаты х1', имеет вид ds2 = -a2dt2 + gjk (dx1 + Py dt) (dxk + p* dt)\ C.2)
III. БЫСТРО ВРАЩАЮЩИЕСЯ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ 93 Соображения, изложенные перед формулой C.1), гарантируют независимость всех метрических коэффициентов а, (З7', gjk от t. Нетрудно убедиться, исходя из этой метрики, что: 1) а есть от- ношение темпа хода часов ОПН к темпу течения мирового вре- мени t, т. е. а = {dx/dt)onH = функция длительности = = фактор красного смешения; C.3) 2) gjk есть 3-метрика на гиперповерхности постоянного вре- мени t, т. е. метрика абсолютного пространства; 3) мировые линии ОПН (dxJ'/dt = —|У) ортогональны в пространстве-вре- мени гиперповерхностям постоянного /. В конкретных расчетах будет полезно ввести систему фик- сированных относительно звезд координат (г, Э, ф), которые были бы максимально близки к шварцшильдовским координа- там. Координаты Бойера — Линдквиста [23] наилучшим обра- зом отвечают поставленной цели. С помощью этих координат, а также массы черной дыры М и ее углового момента, отне- сенного к единице массы, a = J/M, C.4) построим следующие функции: Д = г2 + а2 - 2Мг, р2 е= г2 + a2 cos2 9, Е2 = (г2 + а2J - a2A sin29, со = B/р) sin 9. C.5) Эти функции гвходят в функцию длительности, функцию смеще- ния и метрические функции следующим образом: a = -|-VA"; C.6а) Ar ft0 П &ф - гл 2пМг • /от grr = X", gee = Р2> ёфф = ^2. gjk = O для всех других /, k. (З.бв) [Не трудно убедиться, что, подставив а, ру' и gjk в формулу C.2), мы получим метрику Керра в общепринятом виде, в ко- ординатах Бойера — Линдквиста; ср., например, с формулой C3.2) в работе [129].] Заметим, что со =—$ф ={df/dt)onH есть угловая скорость ОПН, а 2tt& =231^g<p<p — длина окружности вокруг оси сим- метрии. Заметим далее, что в пределе нулевого углового мо- -> мента, / = а = 0, функция смещения р стремится к нулю, а функция длительности и метрические функции принимают шварцшильдовский вид. Как в шварцшильдовском, так и в
94 к. торн, р. прайс, д. макдоналд, вэй мо сюэн, сяо хи чжань керровском случае горизонт представляет собой 2-мерную по- верхность, на которой функция длительности обращается в нуль (бесконечное гравитационное красное смещение): а = Д = 0 и г = гя==М + л/М2 — а2 на горизонте. C.7) Наши опорные наблюдатели (ОПН) иногда называются на- блюдателями с нулевым угловым моментом (ННУМ), потому что их угловой момент, приходящийся на единицу массы, обра- щается в нуль: иФ = и • д/дф = а~1 со2 (d^dt + И = 0, C.8) где ^ = а-1(^/^-|) = D-скорость ОПН) (см. [1]). В абсолютном пространстве с пространственной метрикой (З.бв) можно пользоваться ортонормированными базисными векторами У" д -> \ д + 1 д е е и если мы будем придерживаться пространственно-временной точки зрения, то будем дополнять их временным базисным век- тором ^M] C"9б) который имеет единичную норму и ортогонален векторам ej. Эти базисные векторы можно считать «ортогональным базисом» или «собственной системой отсчета» ОПН. В терминах про- странственных базисных векторов C.9а) операции 3-мерной векторной алгебры приобретают свой общепринятый вид (ср. с разд. П. Б.5). Векторные операции можно также производить с ортогональными, но не нормированными базисными векто- рами д/дг, E/E9, д/дф. В этом базисе векторное произведение, например, строится с помощью тензора Леви-Чивита где ^^2з>=: '» е2'Тз = —I и т. д. Для дифференцирования по- лей по пространству нам понадобится «ковариантная производ- ная» или «градиент» — т. е. производная, которая в локально декартовой системе координат сводится к обычному дифферен- цированию (см., например, гл. 8 книги [129]). Ковариантную производную в искривленном 3-мерном абсолютном простран- стве мы будем обозначать как V, если пользуемся абстракт- ными обозначениями, и вертикальной чертой при использова- нии индексных обозначений, например, так f //-компонента 3-мерного 1 ->-> -> . C.11) градиента W 3-вектора V-*
III. БЫСТРО ВРАЩАЮЩИЕСЯ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ 95 2. Электрические и магнитные поля, гравитационные ускорения и инерциальные направления, измеряемые ОПН -> -> Электрические и магнитные поля Е и В и гравитационное -> ускорение g вблизи вращающейся дыры определяются тем же способом, что и вокруг невращающеися дыры, т. е. посредством сил, которыми они воздействуют на пробные частицы. Рассмот- рим пробную частицу массы т, движущуюся со скоростью v, измеряемой ОПН с помощью локальных стержней и часов («локальный подход»). Эта измеряемая ОПН скорость, выра- женная через скорость движения частицы по отношению к не- подвижным относительно звезд координатам (dx1/'dk) part, равна ( A \ 1 \( dxJ \ jl part \ПГ)опн\ — IT [\ЧГJpart + J — *L\( dxJ Л ( dA \ 1 _ l V — d% Y\~df Jpart \ПГ)опн\ — IT Важно отметить, что v, так же как Е и В и все другие век- торные величины, измеряемые ОПН, является 3-мерным векто- ром, принадлежащим абсолютному пространству. ОПН могут рассматривать v как «стрелку» в абсолютном пространстве: они могут разложить v на «координатные компоненты» v} в непод- вижных относительно звезд координатах или же на «физиче- ские компоненты» vj [проекции на взаимно перпендикулярные единичные векторы ?->, определяемые формулой C.9)]: v = v7' (д/дх]) = v7~e?\ Y ( I / Д \ Г й 0 ф /~ ф /Q -J Q\ Импульс частицы определяется ОПН обычным образом че- рез массу т и скорость v, измеряемые ОПН: р~т \ , C.14) (l-t2I'2 где v2== giJvtvi = 6->jviv1 .Чтобы определить скорость измене- ния импульса ОПН, поступают тоже обычным образом: берут две частицы, движущиеся в течение короткого промежутка вре- мени Дт, измеряемого по часам ОПН, затем совершают парал- лельный перенос вектора р в абсолютном пространстве от но- вого положения частицы х1' + Л*7 обратно к ее первоначаль- ному положению х}\ вычитают р из его первоначального зна-
96 к. торн, р. прайс, д. макдоналд, вэй мо сюэн, сяо хи чжань чения и делят на Дт. Математически эти операции описываются следующим образом: dp dt д d* > > ± ± + где V— ковариантная производная (градиент) в искривленном абсолютном пространстве, а их относится к собственному вре- мени ОПН, а не к собственному времени частицы [ср. с форму- лой B.9)]. Именно эта скорость изменения импульса ОПН отождествляется с результатом действия физических сил. Электрические и магнитные поля ОПН определяют через силу Лоренца, с которой эти поля действуют на заряд q: а гравитационное ускорение g ОПН определяют через силу, связанную с g и действующую на частицу массы т: (А) = _^-J; C.17) \ ат / грав /1 ^2у/2 или, что эквивалентно, по показаниям физического гравиметра или акселерометра, сопутствующего ОПН. Оказывается, что как в случае невращающейся [ср. с формулой B.7)], так и в случае вращающейся черной дыры гравитационное ускорение создается градиентом функции длительности -> -> _ j -> g=— Vlna=— a Va = ^fp2 (г4 - a4) + 2Mr2a2A sin2 9 -> , H у2 з — cos ^ sin 9^- C.18) Лоренцева и гравитационная силы знакомы нам по лаборатор- ной физике и по рассмотрению невращающихся черных дыр. Менее известна гравитомагнитная (ГМ) сила, создаваемая гра- диентом функции смещения: (?) =/Г.р, т. е. (#-) =Я;/?/; C.19а) V их )ам г V dt )i 'i^i' ам sa-'VP, т. е. Ht, = a-IP/|i. C.196)
III. БЫСТРО ВРАЩАЮЩИЕСЯ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ 97 Отметим, что компоненты тензора Н равны [(г2 + *)* + aVA sin26], " pV X X [2г (г2 + а2) - а2 (г - М) sin2 9]}, - Р2г [2г (г2 + а2) - -аЦг-М) sin29]}. C.19в) > Заметим, что, так же как и магнитная сила qvXB, эта гравито- магнитная сила обращается в нуль, когда частица покоится по отношению к ОПН, и линейно зависит от скорости частицы v при малых v. Поле Н называется гравитомагнитным тен- зорным полем, а функцию смещения Р иногда называют гра- витомагнитным потенциалом. Оправданность использования термина «гравитомагнитный» станет более понятной из даль- нейшего. Уравнение движения пробной частицы с массой т и заря- дом q, имеющей скорость v и импульс р, получается в резуль- тате учета силы Лоренца, гравитационной и ГМ-силы dp I dp m "*• . *t"f mv , ,^ , "^V^m /o oa\ ^=^^=7Г4^2"г+яГ^2"+'7(?+"хв)- C'20) [Чтобы вывести выражения C.17) — C.19) для гравитационной и ГМ-силы, достаточно показать, что уравнение C.20) эквива- лентно пространственно-временному уравнению движения mWl; ] Хотя уравнение движения C.20) полезно при рассмотрении локальных измерений, выполняемых ОПН, им не очень удобно пользоваться в качестве отправной точки при исследовании ор- бит пробных частиц. Для анализа орбит пробных частиц удобнее всего использовать картеровские интегралы движения [см. фор- мулы C3.32) и C3.33) из книги [129]], которые эквивалентны C.20), но более пригодны для работы. Иногда полезно представить себе, что ОПН несет с собой инерциальную гидирующую систему ориентации, состоящую из гироскопов, к центрам масс которых ОПН прилагает силу, удерживающую их от падения на дыру. Оказывается, что гра-
98 к. торн, р. прайс, д. макдоналд, вэй мо сюэн, сяо хи чжань витомагнитное поле дыры взаимодействует с таким гироскопом, заставляя его прецессировать относительно абсолютного про- странства с угловой скоростью —х Н 1 Я > > Здесь s — собственный угловой момент гироскопа, Я — грави- томагнитное векторное поле, в котором содержится та же ин- формация, что и в антисимметричной части гравитомагнитного тензорного поля. Hi^eIklHkl = eikla-lV$li т. е. ffsaVxf. C.22) -> Компоненты Я в координатах Бойера — Линдквиста C.5), C.6) можно представить в следующем виде: tT 2aM Г, о 9 9m . л^ . 2r(r24-a2) ^ 1 /опо, Я = 5~ (г — a cos 6) sin б^ Н /=— cos ^ ' C.23) Изучением физических следствий и физического значения этой «гравитомагнитной прецессии» мы займемся в следующем раз- деле. Вывод уравнения прецессии C.21) из «уравнения пере- носа Ферми — Уолкера» и связанные с этим математические вопросы см. в разд. 2.4 работы [206]. 3. 3 + 1-физика вдали от горизонта Вдали от горизонта функцию длительности, функцию сдвига и метрические функции можно разложить по степеням 1/г и по сферическим гармоникам, а коэффициенты в этом разложении можно отождествить с мультипольными моментами черной дыры. Оказывается (см., например, разд. X и XI работы [202]), что полная информация о любом асимптотически плоском, не зависящем от времени гравитационном поле содержится в двух наборах мультипольных моментов — это «массовые моменты», которые получаются из разложения по 1/г функции длитель- ности а, и «токовые моменты», которые получаются из разло- жения функции смещения р. Разложение метрики gjk по 1/г полностью определяется с точностью до координатных преобра- зований этими двумя семействами моментов. Чтобы получить моменты, исходя из а и Р, необходимо ввести координаты, которые были бы «максимально близки к декартовым» на больших радиальных расстояниях; для этого с точностью до относительных ошибок порядка A/г4) можно использовать следующие координаты: [а2 1 г — -^rjcosB. C.24а)
III. БЫСТРО ВРАЩАЮЩИЕСЯ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ 99 Сферические координаты, связанные с этими асимптотически декартовыми координатами, с точностью до относительных оши- бок порядка A/г4) имеют вид f] = * C.246) [см. формулу A1.25) в работе [202]]. Координаты (x,yyz) являются «асимптотически декартовыми» в том смысле, что при разложении а, C/ и gjk по степеням \jrr в члены О (I/O входят лишь сферические гармоники порядка / = 0, в члены ОA/г'2) входят лишь гармоники порядка / = 0 и 1, а члены ОA/г/3) содержат лишь гармоники порядка / = 0, 1, 2. Функ- ция длительности в метрике Керра C.6а) при разложении ее в этих асимптотически декартовых координатах принимает вид „ 2 = J _ _ + где ^2 — полином Лежандра с 1 = 2. Сравнивая формулу C.25а) со стандартной формой разложения [формула A1.1) в [202]] 2 1 2М , const , const Ъ&1кх)хк р х -. а2 = 1 - — + -^г- + —^ ^— + О 1^-J , C.256) мы приходим к выводу, что массовый монопольный момент (т. е. масса) черной дыры равен М, а массовый квадруполь- ный момент Sfjk равен Ухх = УуУ = ^Ма\ У22 = -^Ма*. C.26) (Здесь, как и в ньютоновской теории, отсутствие массового ди- поля, т. е. слагаемого с г'~2 и / = 1 в выражении для а2, со- ответствует тому обстоятельству, что координаты «центриро- ваны по массе». Аналогично из разложения функции смещения (ГМ-потенциала) 1 1 -рГ\ для метрики Керра, C.27а) — (токовый квадруполь) . (член с четностью +) 7 + + О —^-1 в стандартном разложении C.276)
100 к. торн, р. прайс, д. макдоналд, вэй мо сюэн, сяо хи чжань [формула 11.1 в [202]], мы делаем вывод, что токовый диполь- ный момент (т. е. угловой момент) есть jx = jy = Oi J2 = aM = J C.28) и что токовый квадрупольный момент равен нулю. Как будет показано позднее в этой книге (разд. В.2), на- личие отличного от нуля массового квадрупольного момента C.26) играет важную роль: оно позволяет понять природу вы- званного вращением центробежного уплощения черной дыры. Кроме того, при взаимодействии с гравитационными полями внешних объектов (аккреционных дисков, звезд, других чер- ных дыр) создается вращательный момент, действующий на дыру и вызывающий прецессию ее оси вращения [формула E.52а') и разд. V. Б.1]. Но пока мы на время забудем о квад- рупольном моменте и, сосредоточив свое внимание исключи- тельно на гравитационных проявлениях массы дыры и ее угло- вого момента, воспользуемся следующим приближением, спра- ведливым на больших расстояниях: ji C.29) Чтобы получить представление о гравитационных силах, соз- даваемых массой и угловым моментом дыры, конкретизируем уравнение движения C.20) для случая пробной частицы с ну- левым зарядом (^=0), движущейся с малой скоростью -> (| v | <С 1) и находящейся на большом расстоянии от горизонта (г»М). Будем рассматривать траекторию пробной частицы в фиксированных относительно звезд координатах x]'(t). С по- мощью формул C.12) и C.14) можно связать импульс проб- ной частицы р1' с ее координатной скоростью dxJ'/dt: pj^m(dxi/dt + ^). C.30) Как следует из формулы C.15), скорость изменения этого им- пульса равна [^L^]^ '\ C.31) Здесь мы воспользовались приближением а ^ 1, ||3| <С I v |, по- -> скольку вдали от черной дыры величина р очень мала. Подстав- ляя C.31) в уравнение движения C.20) и перенося ГМ-член в правую часть, получаем d2x* 1 , /гг/ rj- /ч dxk
III. БЫСТРО ВРАЩАЮЩИЕСЯ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ 101 что можно переписать как * +^ГХН]. C.32) Здесь d2x/dt2 соответствует d2x]/dt2y а Я — гравитомагнитное векторное поле, определенное формулой C.22), которое вдали от дыры описывается соотношением = V /\ Р» уо.оо) [Формулу C.32) можно также непосредственно вывести из уравнения для геодезической в пространственно-временной мет- рике C.2) в случае малых скоростей и слабой гравитации.] Уравнение движения C.32) говорит о многом. Во-первых, оно напоминает о том, что импульс, измеряемый ОПН, отли- чается от mdx/dt на величину т|3 [формула C.30)] из-за дви- жения ОПН относительно координат, фиксированных по отно- шению к звездам, и, как следствие этого, скорость изменения импульса отличается от md2x/dt2 на гравитомагнитный попра- вочный член р-Н [формула C.31) ]. Далее, из C.32) стано- вится ясно, что этот поправочный ГМ-член в комбинации с ГМ-силой, измеряемой ОПН, создает полное координатное ГМ- ускорение C.32), которое по своему виду напоминает ускоре- ние в магнитном поле, m(dx/dt)XЯ. Действительно, полное ко- ординатное ускорение незаряженной частицы в приближении слабой гравитации и малых скоростей в точности соответствует силе Лоренца, если Е заменить на gy В — на Я, заряд q — на массу ту а формула C.33) для Я выглядит как В = vX^> если магнитный векторный потенциал заменить на ГМ-потенциал (функцию смещения) р. Эти аналогии и легли в основу исполь- зования терминов «гравитомагнитный» для описания функции смещения р и ее производных Я и Я и «гравитоэлектрический» для описания поля гравитационного ускорения g. Чтобы усилить аналогию с электромагнетизмом, сделаем от- ступление и рассмотрим слабо гравитирующее вращающееся тело, такое, как Земля или Солнце, для которого всеми нели- нейными гравитационными эффектами можно пренебречь. Та- кое тело можно описывать с помощью того же самого 3+ 1-рас- щепления, каким мы пользовались в случае черных дыр, но теперь уравнение движения C.32) с лоренцеподобной силой справедливо и внутри, и вблизи тела так же, как и вдали от него. Более того, в этом случае мы можем рассчитать грави-
102 к. торн, р. прайс, д. макдоналд, вэй мо сюэн, сяо хи чжань тационное поле g и ГМ-векторное поле Н с помощью линеари- зованных уравнений Эйнштейна. Оказывается [24, 71], что в случае тела, свойства которого не зависят от времени, эти урав- нения Эйнштейна почти идентичны уравнениям Максвелла f^ VXg = 0, C.34a) -tf = 0. C.346) Они отличаются от уравнений Максвелла лишь знаком минус, из-за того что гравитация соответствует притяжению, а не от- талкиванию, множителем 4 в уравнении с V X Н, присутствием гравитационной постоянной G (которую мы обычно полагаем равной единице), заменой плотности заряда ре плотностью массы рт и заменой плотности тока / плотностью массового тока pmv (где v— скорость массы). С помощью стандартной процедуры, применяемой в электродинамике, можно убедиться, что вне гравитирующего тела а ^ 1 + 2Ф и Р имеют стандарт- ный вид, даваемый формулами C.256) и C.276), если поло- жить ) М = J Pmd*x, Т= \ {г X 9тУ) d3v, 3* = J 9m \x1xk - -1 bjkr2] d*x. C.35) Таким образом, масса М и массовый квадрупольный момент &lk выступают в той же роли, что и соответственно полный электрический заряд и электрический квадрупольный момент, тогда как угловой момент / играет ту же роль, что и магнит- ный дипольный момент. Эту явную аналогию с электродинамикой можно провести и для тел с переменными во времени параметрами (например, для пульсирующих, коллапсирующих или взрывающихся тел), пока скорости малы по сравнению со скоростью света, а гра- витация достаточно слаба и ее можно рассматривать в линей- ном приближении (более подробно см. [24]). Однако в случае больших скоростей и сильной гравитации эта аналогия нару- шается (хотя и не совсем исчезает; этот вопрос подробно об- суждается в работе [156]). Вернемся теперь к вращающейся черной дыре и подробно -> -> рассмотрим гравитационное ускорение g и ГМ-поле Я вдали
II. БЫСТРО ВРАЩАЮЩИЕСЯ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ 103 Рис. 21. Поле гравитационного ускорения g и гравитомагнитное векторное поле Н вдали от вращающейся черной дыры [см. формулы C.36)]. от нее. Из равенств g— — Vina и # = a VXP, где аи Р даются соотношениями C.29), получаем -> 8=- JL C.36) Таким образом, вдали от горизонта g представляет собой обычное радиальное ньютоновское ускорение, а Я — дипольное гравитомагнитное поле, причем в роли диполя выступает угло- вой момент дыры (рис. 21). -> Важным физическим проявлением ГМ-поля Я является гра- витомагнитная прецессия C.21), которую испытывают гиро- скопы вдали от дыры. Эта прецессия относительно абсолют- ного пространства по существу не зависит от того, покоится ли гироскоп по отношению к далеким звездам (dx}'/dt = 0) или движется (с очень малой скоростью) вместе с абсолютным пространством и ОПН (dxf/dt = — р;')- В случае когда гироскоп покоится по отношению к фиксированным относительно звезд координатам, эту прецессию можно рассматривать как прецес- сию относительно далеких звезд. (Если же гироскоп движется, то имеются другие причины прецессии по отношению к дале-
104 К. ТОРН, Р. ПРАЙС, Д. МАКДОНАЛД, ВЭЙ МО СЮЭН, СЯО ХИ ЧЖАНЬ ким звездам; см. ниже гл. V.) ГМ-прецессию можно понять следующим образом, воспользовавшись аналогией с электро- магнетизмом: ГМ-поле дыры Н является аналогом магнитного поля В, а собственный угловой момент гироскопа 5 является аналогом магнитного дипольного момента \х «пробного маг- нита». Точно так же как вращательный момент иХ# действует -> -> на магнит, так и вращательный момент l/2s><H действует на гироскоп. Угловой момент гироскопа под действием этого вра- щательного момента меняется: fit -> -> ¦%f = 42sXH. C.37) Этому уравнению удовлетворяет прецессия собственного угло- вого момента гироскопа с угловой скоростью QGm=-1/2H. C.38) Отметим, что эта скорость прецессии, как и гравитационное ускорение g, не зависит от состава и структуры гироскопа. Эту универсальную прецессию испытывают все тела, даже те, у ко- торых угловая скорость исчезающе мала. Точно так же как универсальность g можно связать с тем обстоятельством, что локально инерциальные системы отсчета падают с ускорением g, так и универсальность QGM=— l/2H можно связать с вра- щением локально инерциальных систем отсчета с угловой сцр- ростью QGm- Другими словами, ГМ-поле Я можно рассматри- вать как некоторое силовое поле, которое увлекает локально инерциальные системы отсчета, заставляя их вращаться, и соз- дает в результате этого «силу Кориолиса» (dx/dt)^ H в нашем абсолютном пространстве [формула C.32)]. Аналогия с магнетизмом наводит на мысль, что ГМ-поле Н создает не только вращательный момент, действующий на ги- роскоп вне черной дыры, но и некоторую силу. Точно так же как неоднородное магнитное поле В действует с силой (\х • V)B на магнитный диполь, так и Н должно действовать на гиро- скоп с силой /=A/25.у)Я. C.39) Как будет показано в разд. V. А.З [формулы E.47) и E.456)], так оно и есть.
III. БЫСТРО ВРАЩАЮЩИЕСЯ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ 105 Гравитомагнитная прецессия C.37) и C.38) была обнару- жена при анализе уравнений общей теории относительности Тиррингом и Лензе [200], и поэтому ее часто называют эффек- том Лензе — Тирринга. Хотя ГМ-поле какого-либо вращаю- щегося тела пока еще не обнаружено, есть надежда обнару- жить ГМ-поле Земли в начале 1990-х годов с помощью ГМ- прецессии сверхпроводящего гироскопа, который будет выведен на орбиту вокруг Земли высотой 500 км (проект «Гравитацион- ный зонд Б» НАСА [67, 118]). Возможны и другие способы обнаружения ГМ-поля, одни из которых основаны на гравита- ционном вращательном моменте C.37), другие — на ГМ-силе C.39) (см., например, [212, 24, 181, 25, 26, 42]). Мы считаем, что проект «Гравитационный зонд Б» и другие попытки обнару- жения ГМ-полей очень важны, поскольку ГМ-поля играют цен- тральную роль в физике черных дыр (см. последующие раз- делы). 4. Застывание физических процессов вблизи горизонта Хотя .увлечение инерциальных систем отсчета в области вдали от черной дыры представляет собой очень малый эффект (и до обидного слабо вблизи Земли), вблизи горизонта дыры оно становится подавляюще сильным. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим движение произвольной пробной частицы, на ко- торую действует произвольная сила. Эта сила может быть сколь угодно велика, но независимо от ее величины вблизи го- ризонта скорость частицы, измеренная ОПН, находящимся в том же месте, что и частица, должна быть субсветовой: Следовательно, скорость изменения координатного положения частицы в пересчете на единицу абсолютного времени должна удовлетворять неравенству dx 4ft <а. C.41) Приведенное неравенство говорит о том, что вблизи горизонта (а< 1) частица движется относительно неподвижных по отно- шению к звездам координат х1' с почти той же координатной скоростью dx/dt ——13, что и ОПН и само абсолютное про- странство. Чем ближе частица к горизонту, тем меньше значе- ние функции длительности а и тем сильнее движение частицы следует за общим движением ОПН и абсолютного простран- ства.
106 К. ТОРН, Р. ПРАЙС, Д. МАКДОНАЛД, ВЭЙ МО СЮЭН, СЯО ХИ ЧЖАНЬ В такой привязке движения частицы проявляется увлече- ние абсолютного пространства ГМ-потенциалом дыры. Сказан- ное означает, что при стремлении к горизонту все частицы должны двигаться с точки зрения далекого наблюдателя с угло- вой скоростью [ср. с формулой C.66)]. Исходя из универсальности этой угло- вой скорости, мы определяем ?1Н как угловую скорость самого горизонта. Другими словами, мы считаем дыру вращающейся как твердое тело (поскольку QH не зависит от G) с угловой ско- ростью Q#. Допустимые отклонения от этого вынужденного вращения сводятся к чрезвычайно медленным в пересчете на единицу ми- рового времени движениям [ср. с формулой C.41)]. Напри- мер, любое падение по радиальному направлению и на невра- щающуюся и на вращающуюся черную дыру происходит в пере- счете на единицу мирового времени так медленно, что ча- стица не может достичь истинного горизонта за какой-либо конечный интервал мирового времени t. Как и в случае невра- щающейся дыры, в рассматриваемом случае это обстоятель- ство приводит к появлению в непосредственной близости от ис- тинного горизонта граничного слоя со сложной структурой по- лей и частиц, которую мы «спрячем» под растянутый горизонт (см. ниже разд. В.1). Новая ключевая особенность граничного слоя, которая появляется в случае вращающейся дыры, со- стоит в его вынужденном вращении вместе с горизонтом, йф/dt = пн. Б. 3 + 1-расщепление законов физики вне вращающейся черной дыры В дальнейших исследованиях взаимодействия вращающейся черной дыры со своим окружением необходимо как математи- чески, так и качественно сформулировать законы физики на языке 3+ 1-расщепления в абсолютном пространстве дыры. Данный раздел и будет посвящен разъяснению этих законов. Мы уже имели дело с силой Лоренца, действующей на за- ряженную частицу [формула C.16)], и уже использовали ее для определения электрического и магнитного полей, Е и В. Поэтому в данном разделе мы сосредоточим внимание на дру- гих аспектах электродинамики: на плотностях электрического заряда и тока, ре и /, и на законах их сохранения (подразд. 1), а также на уравнениях Максвелла (подразд. 2). Затем в под-
III. БЫСТРО ВРАЩАЮЩИЕСЯ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ Ю7 разд. 3 мы обратимся к локальным законам сохранения энер- гии и равновесия сил, из которых затем уже выводятся законы гидродинамики и магнитогидродинамики. И наконец, в под- разд. 4 мы займемся изучением глобальных законов сохране- ния энергии и импульса. Представление физических законов в 3 -f- 1 -трактовке можно получить, исходя из 4-мерной про- странственно-временной формы этих законов; подробности см. в работе [206]. 1. Электрический заряд и ток и законы их сохранения Опорный наблюдатель (ОПН) определяет плотность элек- трического заряда ре и плотность электрического тока / в своей окрестности с помощью тех же измерительных процедур, что и на Земле. [Математически это соответствует следующим со- отношениям: ре = —J^U^ и /v'5s /* (б^ + UvUy), где № — 4-вектор заряда-тока, a Uu—4-скорость ОПН.] Согласно глобальному закону сохранения заряда, скорость увеличения полного заряда в 3-объеме У> очевидно, равна темпу, с которым заряд течет внутрь через 2-мерную границу дТ объема Т. Когда этот закон формулируют в плоском про- странстве, то обычно границу объема У считают статической (неподвижной). Однако в данном случае из-за вращения дыры мы сталкиваемся с двумя разными понятиями «статичности»: координатная статичность (неподвижность по отношению к на- шим жестким, «привязанным к звездам» координатам и, сле- довательно, по отношению к «далеким звездам») и физическая статичность (неподвижность по отношению к ОПН и, следова- тельно, по отношению к абсолютному пространству). Иногда, когда речь идет о законе сохранения заряда, у нас может воз- никнуть желание воспользоваться координатно-статическим объемом, а в других случаях (особенно, когда объем Т мал) мы можем предпочесть физически-статический объем. Преду- сматривая обе эти возможности, будем считать, что граница дТ может произвольным образом двигаться в абсолютном про- странстве (рис. 22,а). Поскольку ре и / определяются физи- чески (с помощью измерений, выполняемых ОПН), то движе- ние дТ мы также будем описывать на физическом языке: -> vs (скорость дУ, измеряемая локально ОПН). C.43а) Отметим, что, поскольку граница дТ не является физическим объектом, она вполне может по измерениям ОПН двигаться быстрее скорости света, т. е. jv | может превышать единицу.
108 к. торн, р. прайс, Д. макдоналд, вэй мо сюэн, сяо хи чжань Рис. 22. Области интегрирования, использованные при формулировке закона сохранения заряда C.44) и в интегральном представлении уравнений Мак- свелла C.48), C.49), C.51). а — 3-мерная область Т вместе с границей dT(t), которая движется в абсолютном пространстве со скоростью v, изме- ряемой ОПН; показан также 2-мерный элемент интегрирования dA. б — 2-мерная поверхность s?(t) с границей ds?(t), которая тоже движется со скоростью v, измеряемой ОПН; показаны поверхностный элемент интегри- рования dA и линейный dl. Так оно и должно быть вблизи горизонта, если граница дТ яв- ляется координатно-статическои. В общем случае связь между физической скоростью v и координатной скоростью выра- жается соотношением ~- = (координатная скорость дТ) = aV — р; C.436) [ср. с формулой C.12)]. Скорость, с которой заряд, двигаясь внутрь, пересекает эДе- -> мент площади dA движущейся границы, согласно измерению ОПН, равна dq/di; = (—j-\-pev)-dA. Здесь первый член есть скорость, с которой ток (согласно измерению ОПН) натекает на границу, а второй член — это скорость, с которой гра- ница (согласно измерению ОПН) надвигается на заряд. Чтобы получить глобальный закон сохранения, мы должны пересчи- тать измерения скоростей в / и v, проводимые ОПН, на еди- ницу мирового времени (умножить на а = dx/dt). Таким обра- зом, глобальный закон сохранения заряда запишется в следую- щем виде: 4г S PedV = § a (-T+ pev) • dA C.44) fit) dint) -> (ср. с рис. 22, а). [Элементы объема и площади, dV и dA, в этих интегралах определяются с точки зрения физики обычным
III. БЫСТРО ВРАЩАЮЩИЕСЯ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ 109 образом в терминах измеряемых ОПН величин, а математи- чески они определяются следующим образом: dV = (det || gjk III/2 dxldx2dx3 = (wpVA1/2) dr dd dj> в координатах Бойера — Линдквиста, C.45а) dAt = €m^-^-dbdc, C.456) где b we — произвольные координаты на дТ, а е/&/ — тензор Леви-Чивита в искривленном 3-пространстве, формула C.10).] В случае невращающейся дыры и статического объема интегри- рования (v = 0) закон сохранения заряда C.44), как это и должно быть, сводится к B.11д). Локальный закон сохранения заряда, эквивалентный гло- бальному закону C.44), имеет вид C.46) Левая часть этого соотношения есть скорость изменения плот- ности заряда, измеряемая ОПН, но пересчитанная на единицу мирового времени; правая же часть есть дивергенция пересчи- танной на мировое время плотности тока. В случае невращаю- щейся дыры (р = 0) это соотношение принимает обычный вид B.10д). Отметим, что здесь, как и во всех 3+ 1-законах сохра- нения (которые будут рассматриваться ниже), поток сохраняю- щейся величины измеряется в пересчете на единицу мирового -> времени [а/= (заряд, пересекающий единицу площади за еди- ницу мирового времени)]. 2. Уравнения Максвелла В пространстве вне вращающейся черной дыры, как и сна- ружи невращающейся дыры и в плоском пространстве, два уравнения Максвелла показывают, что силовые линии магнит- ного поля непрерывны, а силовые линии электрического поля заканчиваются только на электрическом заряде: у.В = 0, V-? = 4jtp6 C.47) [(ср. с формулами B.10а, б) и с разд. II. Б.2.а]. Переписанные в интегральной форме, эти уравнения выглядят так В • dA = 0, ф Е • dA = 4я J 9edV C.48) дТ' Г
110 К. ТОРН, Р. ПРАЙС, Д. МАКДОНАЛД, ВЭЙ МО СЮЭН, СЯО ХИ ЧЖАНЬ [ср. с формулами B.11а, б)], где У— произвольная 3-мерная область абсолютного пространства вне дыры, а дТ — граница этой области. (Поскольку в эти уравнения Максвелла не вхо- дят производные по времени, они являются мгновенными урав- нениями, и движение границы дТ отношения к делу не имеет). Иначе говоря, согласно этим интегральным законам, любая си- ловая линия магнитного поля, входящая в область F, должна выйти из нее, а полный поток силовых линий электрического поля, выходящий из У, равен произведению 4л на полный элек- трический заряд, находящийся в Т. Другую пару уравнений Максвелла для лучшего понимания удобнее представить в интегральном виде. Закон Фарадея в искривленном пространстве, так же как и в плоском, связывает скорость изменения магнитного потока через 2-мерную поверх- ность \s4-(t) с ЭДС вдоль замкнутой кривой дЫ>, являющейся границей поверхности зФ (рис. 22,6): X {E + vXB)-dt=-^r \ B-dX C.49) дЛ (t) Л\г) [ср. с формулами B.11в) ]. Здесь, как и в случае глобального закона сохранения заряда [формула C.44)], допускается про- извольное движение области интегрирования s& и ее границы дМ> относительно абсолютного пространства с течением вре- мени t\ обозначим через v скорость поверхности rf и ее гра- ницы, физически измеряемую ОПН [формула C.43а)]. Слагае- мое Ф avX# • dl учитывает изменение магнитного потока, соз- дл даваемое движением ограничивающей кривой относительно р -> -> ОПН, слагаемое Ф аЕ - dl представляет ЭДС, которая генери- j дЛ руется той частью изменения потока, которая не связана с дви- жением ограничивающей кривой. Отметим, что это та же самая ЭДС, которая фигурировала при нашем обсуждении черной дыры как резистора в электрической цепи [см. формулу B.82) и рис. 15]. Линейный дифференциал dl под знаком интеграла в ЭДС определяется физически, как обычно, в терминах изме- рений ОПН, а математически выражается соотношением dll = (dxlldb)db, C.50) где Ъ — произвольный параметр вдоль замкнутой кривой д$$>. Закон Ампера получается из закона Фарадея C.49) обыч- ным образом, т. е. путем использования дуальной симметрии
111. БЫСТРО ВРАЩАЮЩИЕСЯ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ 111 (Е->В, В->—Е) в сочетании с введением физического тока в качестве источника для интеграла по контуру от В: (B-vXE)-dl = ^r J E-dA + Ак J дЛЦ) ЛЦ) ЛЩ C.51) > [Ср. с формулой B.11г).] Интеграл по контуру от —ocvX^ Учи" тывает изменение потока электрического поля, вызванное дви- жением ограничивающей кривой дзФ. Поверхностный интеграл от —4napev учитывает [через закон Гаусса C.48)] изменение потока электрического поля, вызванное движением поверх- ности s&. После того как эти поправки внесены в (d/dt) \E • dA, закон Ампера принимает знакомый вид: интеграл по контуру -> -> от аВ (В измеряется ОПН в пересчете на единицу мирового времени) вдоль замкнутой кривой дзФ равен произведению 4я S-> -> a/ • dA, пересекающий i^, плюс полный ток Е • dA. Закон Фарадея C.49) и закон Ампера C.51), если привести их к локальному виду, запишутся соответственно так: , C.52) V X (аВ) = (If - ^|-) Е + 4naf C.53) (I |) [ср. с формулами B.10в, г)]. Здесь через ЗБ^- обозначена «про- изводная Ли» вдоль р = — (dx/dt)onH- Se^E = (P • V) Е - (Е . V) Р = Р • V? - a? • Я, C.54) где #,у = а~!Р/1 i — гравитомагнитное тензорное поле, опреде- ляемое формулой C.196). (Обсуждение геометрического и фи- зического смысла производных Ли см., например, в [179].) В такой дифференциальной формулировке законов Фарадея и Ампера подчеркивается взаимодействие между электромаг- нитным полем (Е, В) и гравитомагнетизмом (вращение дыры, Р, Я) — взаимодействие, которое скрыто в интегральной фор- мулировке C.49), C.51) этих законов, но проявится ниже, когда мы перепишем интегральные соотношения в несколько
112 к. торн, р. прайс, д. макдоналд, вэй мо сюэн, сяо хи чжань ином виде [формулы C.103), C.104)] и окончательно станет ясным, когда мы займемся изучением конкретных применений интегральных законов (разд. Г). 3. Локальные законы сохранения энергии и баланс сил В локальной системе отсчета ОПН, как и на Земле, мож- но измерять полную плотность массы-энергии е, полный поток -> массы-энергии (или, что то же самое, плотность импульса) S и тензор натяжений (или, что то же самое, поток импульса) <¦•> -> Т (обозначаемый через W в работе [206]). Эти величины представляют собой те три части, на которые распадается 4-мерный тензор энергии-импульса 7^v, если произвести 3+1- -> <¦-> расщепление. В е, 5 и Т входят все негравитационные формы энергии, импульса и натяжения. Например, хорошо известны выражения, описывающие вклад электромагнитного поля: hk = т-Г I- (E,Ek + BjBk) + 1/2 Ф2 + h g!h), C.55) где б — обычная плотность энергии электромагнитного поля, 5 — обычный поток Пойнтинга, а Г/& представляет обычное на- тяжение вдоль силовых линий и давление, направленное пер- пендикулярно силовым линиям (разд. II. В.2.а). Другой при- мер— вклад идеальной жидкости, которая движется со ско- ростью v относительно ОПН и обладает плотностью и давле- нием (по измерениям в системе отсчета, сопутствующей жид- кости) соответственно рт и р, дается хорошо известными из специальной теории относительности выражениями: Т,„ = (рп + Р) YV, + pg,h, Y - A - vV/2. C.56) Локальный закон сохранения энергии, выраженный на языке 3+ 1-расщепления, имеет вид e=-^V-(a2l)-,/^ C.57) [формула C.12) из работы [206]; см. также приводимые там ссылки). Здесь Ojk — темп сдвиговых деформаций ОПН относи- тельно друг друга, вызванных тем, что увеличение инерциаль-
III. БЫСТРО ВРАЩАЮЩИЕСЯ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ 113 Рис. 23. В координатах, жестко свя- занных с ОПН в точке О, показана переменная во времени деформация ящика, стенки которого покоятся в абсолютном пространстве. Вращение ящика вокруг дыры не показано. Дифференциальное движение (сдви- говая деформация) абсолютного про- странства деформирует ящик по сравнению с его начальной формой (сплошная линия), делая форму ящика вытянутой (штриховая ли- ния). Увлечение инерциальных си- стем отсчета дырой заставляет гиро- скоп в точке О поворачиваться от своего начального положения (сплошная стрелка) до нового поло- жения (штриховая стрелка). ных систем отсчета тем сильнее [со чем ближе ОПН к дыре: Ящик Черная дыра •(с1ф/сИ)опн тем больше], Hlk) C.58) [формулы E.5), E.6g, d) из работы [206]]. Заметим, что бла- годаря осевой симметрии [5' (/ = 0, поэтому след тензора Ojk ра- вен 0. Природа рассматриваемого сдвига иллюстрируется рис. 23 и связанными с ним рассуждениями. Закон сохранения энергии C.57) математически эквивален- тен 4-мерному пространственно-временному уравнению U^T^-v = = 0, где f/p, — 4-скорость ОПН, а Т^у — тонзор энергии-импуль- са; ниже в этом подразделе будет дан физический вывод C.57) из приведенного уравнения. Левая часть C.57) представляет собой производную по соб- ственному времени d/dx от плотности энергии е, измеряемой ОПН [ср. с формулой C.46)]. Член — cT2V • (a2S) — хорошо знакомая нам дивергенция от потока энергии; в нем один мно- житель а под знаком дивергенции учитывает гравитационное красное смещение энергии, а другой множитель а выполняет роль переводного коэффициента в определении потока «за еди- ницу собственного времени». Член GjkTik вносит поправку, учи- тывающую относительное движение Ojk соседних ОПН. Под- робности см. ниже, где приводится вывод формулы C.57). Выражая сдвиг и градиент функции длительности через гра- -> -> ,->-> *--*• витационные поля, создающие силы, а ]\7а=—g, а 1VP = #, можно переписать закон сохранения энергии C.57) иначе: Ж ^ -т (ж - Р •v)е = ~ н '¦т-
114 к. торн, р. прайс, д. макдоналд, вэй мо сюэн, сяо хи чжань Член 2g • S можно рассматривать как скорость, с которой гра- витация совершает работу над единичным объемом вещества, <~> <--> увеличивая тем самым его энергию, а член Н '. Т = НцТ J мож- но рассматривать как скорость, с которой гравитомагнитное поле (вращение дыры) совершает работу над единичным объе- мом вещества. Ниже в этом подразделе мы убедимся в спра- ведливости выражений для этих членов. Локальный закон сохранения импульса (баланс сил) на 3+ 1-языке принимает вид C.59) [см. формулу C.13) из работы [206], а также приводимые там ссылки). Этот закон сохранения математически эквивалентен 4-мерному пространственно-временному уравнению (g^ + +?/р?/цO1^ = 0, и ниже в этом подразделе мы приведем фи- зический вывод уравнения C.59). Член —!/2ЯХ5 в C.59) уже знаком нам по закону прецес- сии гироскопов C.21). Его наличие указывает на то, что плот- ность импульса 5 при отсутствии прочих вынуждающих сил будет прецессировать относительно абсолютного пространства точно так же, как собственный момент гироскопа s. В члене -> eg мы узнаем гравитационную силу приходящуюся на единич- -> <--> ный объем. Член cr^V-(aT)—это знакомая нам дивергенция от потока импульса (т. е. напряжение); при этом один множи- тель а под знаком дивергенции является переводным коэффи- циентом в определении потока «за единицу собственного вре- мени» к потоку «за единицу мирового времени» до дифференци- <-•> -> -> <~> рования. Член — a-S — это дополнительная поправка к cTV • (<хГ) за счет сдвигового движения ОПН. Подробнее см. вывод, приво- димый ниже. Закон сохранения импульса C.59) можно переписать в более <--> -> <-¦> простом виде, если выразить а и Я через тензор ГМ-поля Я [формулы C.58) и C.22)] и произвести соответствующие раз- ложения и сокращения. В результате получаем C.59')
III. БЫСТРО ВРАЩАЮЩИЕСЯ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ 115 где через g обозначена 3-метрика абсолютного пространства. Отметим, что соотношение C.597) очень похоже на уравнение движения C.20) пробной частицы. Оба уравнения содержат одну и ту же «гравитационную силу» (g-член) и одну и ту же «гравитомагнитную силу» (Я-член). [Напоминаем, что eg + T представляет собой инертную массу, приходящуюся на еди- ничный объем (см. упражнение 5.4 из книги [129]), а 5 — импульс, приходящийся на единичный объем.] Если выбрать конкретный вид плотности энергии е, потока _> <-> энергии 5 и тензора натяжений Т, измеряемых ОПН, то из локальных законов баланса сил C.59) и сохранения энергии C.57) можно вывести целый ряд фундаментальных физических уравнений. Например, выбрав одну только идеальную жидкость [формула C.56)], приходим к уравнениям адиабатической гид- родинамики, а выбрав идеальную жидкость [формула C.56)] плюс электромагнитное поле [формула C.55)] и потребовав при этом, чтобы в сопутствующей системе отсчета жидкости электрического поля не было [? +vX^ = 0], приходим к реля- тивистским уравнениям магнитогидродинамики идеальной жид- кости [235а, 186, 153]. Мы завершаем этот подраздел физическим выводом зако- нов сохранения энергии и импульса C.57) и C.59). Позволяя существенно продвинуться в понимании законов сохранения, вывод этих законов оказывается сам по себе достаточно слож- ным, поэтому многим, возможно, захочется пропустить его при первом чтении этой книги. Для вывода локальных законов сохранения энергии и им- пульса можно воспользоваться мысленным экспериментом (рис. 23). Представим, что ОПН, расположенный в точке О, сооружает очень маленький ящик с проницаемыми и деформи- руемыми стенками. (Малость ящика позволяет пренебречь муль- типольными взаимодействиями с внешней кривизной.) Пусть ОПН, расположенный в О, просит соседних ОПН держать стенки ящика, по мере того как они движутся по орбите вокруг дыры. Таким образом, каждый кусочек стенки покоится по от- ношению к абсолютному пространству и по отношению к ОПН, расположенному там же, где и рассматриваемый кусочек («сопутствующие стенки»). Однако из-за того, что увлечение инерциальных систем отсчета тем сильнее (со тем больше), чем ближе к дыре находится ОПН, стенки ящика движутся относи- тельно О. Верхняя стенка движется вокруг дыры медленнее, чем О, и потому отстает от Оу а нижняя стенка движется во- круг дыры быстрее и потому обгоняет О (рис. 23). Ясно, что
116 К. ТОРН, Р. ПРАЙС, Д. МАКДОНАЛД, ВЭЙ МО СЮЭН, СЯО ХИ ЧЖАНЬ такое дифференциальное движение не приводит к изменению объема, т. е. объемное «расширение» ящика 9 = {l/V) {dV/dx) (и самого абсолютного пространства) равно нулю. На первый взгляд кажется, что ящик испытывает некоторое вращение про- тив часовой стрелки. Однако вращение это происходит относи- тельно радиального направления, а не относительно локальных гироскопов. Гироскоп в положении О вращается так, как по- казано стрелками на рис. 23, т. е. совершает такое же враще- ние, что и ящик; поэтому относительно локальных гироскопов никакого вращения нет. Другими словами, локальное враще- ние со абсолютного пространства равно нулю. А вот скорость сдвиговой деформации ящика Ojk, т. е. сдвиговой деформации абсолютного пространства, напротив, не равна нулю и дается уравнением C.58). (Обоснование этих утверждений см., напри- мер, в § 5.1 (работы [206].) При выводе законов сохранения мы будем вычислять изменения по отношению к жесткой системе отсчета («инерциальная система ориентации»), которая реали- зуется на гироскопах, переносимых ОПН в С В этой системе отсчета, если начало локальных декартовых координат \} нахо- дится в (?, физическая скорость 6v; точки \k, расположенной на стенке ящика, определяется соотношением bv! = ojktk. C.60) Здесь G0}' k — величина сдвиговой деформации ОПН в О. Рассмотрим теперь закон сохранения энергии. С течением времени ящик деформируется, наблюдатель в О тщательно сле- дит за полной энергией в ящике, т. е. за энергией, измеряемой самим наблюдателем с помощью его собственных физических линеек, часов и масштабов. В произвольный момент времени энергия в ящике равна Е= ^(a/ao)edV, C.61а) г где а — функция длительности в точке, в которой берется подынтегральное выражение, а с&о—функция длительности в точке 0. Отношение а/а0 представляет собой фактор грави- тационного красного смещения для энергии: локально измеряе- мая энергия вблизи верха ящика, где а больше, «более весома» для наблюдателя 0, чем энергия в том месте, где он находит- ся, поскольку гравитация будет совершать работу, увеличивая энергию, если она будет отправлена вниз к 0 для подсчета. Скорость, с которой происходит изменение энергии C.61а), из- меряемая наблюдателем в 0, равна dx0 j a0 dx \ a0 ) J V a0 / dr r t
ill. быстро Вращающиеся черные дыры 117 где а/ссо можно вынести за знак производной d/dx, поскольку а не зависит от времени т там, где расположен ОПН. Наблю- датель в С следит также тщательно за скоростью, с которой энергия переносится через стенки ящика посредством потока энергии S: перенос потоком о у у C.61в) В этом уравнении поток 5 (энергия за единицу времени и на единицу площади) «подправляется» двумя факторами красного смещения (а/аоJ: один из них ответствен за пересчет энергии в различных точках к энергии в О [тот же самый фактор, что и в C.61а)], а другой множитель нужен, чтобы от времени ОПН т вне С перейти к времени ОПН т0 в С Кроме того, в формуле C.61в) с помощью теоремы Гаусса поверхностный интеграл был сведен к объемному интегралу. И наконец, наблюдатель в О по мере движения стенок относительно О тщательно сле- дит за работой, совершаемой веществом вне стенок ящика над веществом внутри стенок (работа равна «сила X скорость X X время», причем сила обусловлена натяжением T}k): ) о /работа, совершаемая стенками Здесь один множитель а/ао представляет собой обычное красное смещение энергии, второй переводит сдвиговые деформации а*/, измеряемые с помощью часов, расположенных на стенке, в сдвиговые деформации, измеряемые ОПН в С, т. е. (а/а0)ои%! = =вО1$ = 6vt— скорость стенки, измеряемая ОПН в О [фор- мула C.60)]; TikdAk есть сила, действующая на движущуюся стенку; последнее равенство получается в результате примене- ния теоремы Гаусса с учетом малости ящика, т. е. считая Q ма- лыми. Из локального закона сохранения энергии следует, что сумма правых частей уравнений C.616, в, г) равна нулю, т. е. Это в свою очередь означает, поскольку ящик сколь угодно мал, что подынтегральное выражение обращается в нуль. При- равнивая подынтегральное выражение нулю, получаем локаль- ный закон сохранения энергии C.57).
118 К. ТОРН, Р. ПРАЙС, Д. МАКДОНАЛД, ВЭЙ МО СЮЭН, СЯО ХИ ЧЖАНЬ Аналогичным образом можно вывести локальный закон со- хранения импульса (баланс сил). Пусть опорный наблюдатель в центре О ящика, изображенного на рис. 23, тщательно сле- -> дит за изменениями полного импульса ящика Р, измеряемого в собственной инерциальной и ориентированной системе отсчета. Производная по собственному времени DXqP от Р в этой си- стеме отсчета выражается через V и производную по миро- вому времени d/dt следующим образом: C.62а) Здесь член A/2) Я Х^ представляет собой поправку на вра- щение координат, «привязанных» к звездам, относительно ло- кальных гироскопов [формула C.21)], а множитель а/а0 обес- печивает переход от производной по собственному времени Dx в произвольной точке внутри ящика к производной DXo по соб- ственному времени в О. Изменение импульса C.62а) может быть обусловлено двумя типами сил: гравитацией g, действую- щей на плотность массы-энергии е, и натяжениями, действую- щими через стенки ящика. Действие гравитации, очевидно, можно представить следующим образом: Ф* Арав = § (а/(Хо) ^ dV' C'62б) г Вычисляя действие натяжений, мы должны быть осторожны и использовать тензор натяжений, измеряемый в системе отсчета, связанной с наблюдателем в О, а не с движущейся стенкой: Т* = (а/а0) [Pk + (Si 6vk + Sk 6vO] = (а/а0) [F* [Ср. с формулой C.60), где мы заменили ао\ на ofk, допустив ошибку порядка A}J, т. е. пренебрежимо малую, благодаря малости ящика.] Результирующая сила, действующая на стенку и измеряемая наблюдателем в 0, равна o k \ oi k dV =
III. БЫСТРО ВРАЩАЮЩИЕСЯ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ 119 Здесь мы воспользовались теоремой Гаусса и тем, что а//==0. Полное изменение импульса C.62а) должно равняться сумме силы гравитации C.626) и силы, действующей на стенки C.62в): D^ S ~tD^dV = S-tli(it ~ P • r r = \ -^ [eg - ±- V • (of) -7.1] rfF. C.62r) Поскольку ящик произвольно мал, подынтегральные выражения в C.62 г) должны быть равны друг другу сами по себе, и их равенство есть не что иное, как локальный закон сохранения импульса C.59). 4. Глобальные законы сохранения энергии и углового момента 3-метрика gij, функция смещения Р/ и функция длительно- сти а в случае керровской черной дыры [формула C.6)] обла- дают двумя симметриями: они статичны (не зависят от миро- вого времени t) и осесимметричны (не зависят от угла поворо- та ф вокруг оси вращения дыры ez). С этими симметриями свя- заны два глобальных закона сохранения для вещества и полей, находящихся и движущихся в пространстве вокруг дыры: закон сохранения «энергии на бесконечности» и закон сохранения г- компоненты углового момента. Под «глобальными законами сохранения» мы понимаем та- кие законы сохранения, которые могут быть сформулированы для произвольной 3-мерной области У в искривленном про- странстве вокруг дыры и которые, подобно глобальному за- кону сохранения заряда C.44), гласят, что скорость увеличе- ния некоторой величины внутри У равна скорости, с которой эта величина «втекает» через границу области У. г-компонента углового момента пробной частицы равна ска- лярному произведению локально измеряемого импульса р и вектора 1 = д/дф, который «генерирует вращения вокруг г-оси», или, что то же самое, она равна произведению физически из- -> ' на- меряемой компоненты вектора р вдоль ^-направления, р^ = рХ -> ф Х(единичный вектор е* в ^-направлении), и «плеча» длиной w = (длина окружности вокруг дыры)/2я: L9 = р • | = р. = (Ьр2\ C.63)
120 к. торн, р. прайс, д. макдоналд, вэй мо сюэн, сяо хи чжань ср. с формулой C.9а). Исходя из уравнения движения C.20), можно убедиться, что для незаряженной пробной частицы Lz сохраняется: dLjdx = a dLJdt = 0. C.64) Здесь d/dx — производная по времени, измеряемому ОПН, в системе, сопутствующей частице [формула C.15)]. Этот закон сохранения является следствием осевой симметрии характери- стик гравитационного поля дыры gih C/ и а, т. е. следствием их инвариантности относительно движений, генерируемых век- тором d/d<?=f (ср. с § 25.2, 25.3 и 33.5 в книге [129]). Веществу и негравитационным полям с (локально измеряе- мой) плотностью энергии е, плотностью импульса S и потоком импульса (натяжением) Т соответствуют плотность и поток г-компоненты углового момента еьг — s • ь = 5ф = coS-, C.65а) SL ss-Tf, т. е. SL'r0=cor?. C.656) Эти величины также подчиняются глобальному и локальному законам сохранения, идентичным законам сохранения электри- ческого заряда [формулы C.44), C.46)]: р -> -> .-> C.67) Здесь в отличие от формулы C.64) под d/dx понимается пол- ная производная по времени, измеряемому ОПН, в системе, со- путствующей ОПН. Локальный закон C.67) можно вывести из баланса сил [формула C.59)]; глобальный закон C.66) можно вывести из локального закона, если воспользоваться теоремой Гаусса. Эти законы сохранения, так же как и в случае углового момента свободно падающей частицы [формула C.64)], яв- ляются следствием осевой симметрии гравитационных полей дыры. Займемся теперь глобальным законом сохранения энергии. Очевидно, что «энергия», которая должна сохраняться, — это не та энергия, которая локально измеряется с помощью физиче- ских линеек, часов и масштабов ОПН. В этом можно убедиться с помощью мысленного эксперимента, который уже упоминался в связи с формулой C.61а). Пусть некоторый сгусток энергии
III. БЫСТРО ВРАЩАЮЩИЕСЯ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ 121 Ei в начальный момент покоится в руках ОПН, который нахо- дится на некотором большом радиальном расстоянии, где функция длительности равна a/; Ei есть полная масса — энер- гия сгустка (включая массу покоя), измеряемая начальным ОПН. Представим, что этот ОПН бросает сгусток, тогда по мере падения сгустка к дыре скорость его возрастает. Другой ОПН в некотором конечном положении, где а = ар, ловит этот сгусток и, преобразовав его кинетическую энергию падения Ек в тепловую энергию, сообщает ее сгустку. Полная энергия сгу- стка, измеряемая ОПН при а = ccf, равна теперь EF = Ei + + Ек > Ei\ таким образом, «локально измеряемая энергия» оказывается несохраняющейся величиной. Чтобы получить со- храняющуюся энергию, мы, очевидно, должны внести поправку на кинетическую энергию падения, или, в более общем случае, на всю работу, совершаемую, когда сгустки энергии падают или поднимаются в гравитационном поле дыры. Удобно (см., например, § 25.3 книги A29]) вносить поправки таким образом, чтобы под «сохраняющейся энергией» понимать количество ло- кально измеряемой энергии, которой бы обладал сгусток, пере- местившись без внешней помощи и без потерь из своего факти- ческого положения в точку, удаленную от дыры (на «радиаль- ную бесконечность»). «Подправленная» таким образом энергия называется «энергией-на-бесконечности» и обозначается как Яоо*, иногда она фигурирует как «энергия, испытавшая гравита- ционное красное смещение» или просто «энергия с учетом крас- ного смещения». Энергия-на-бесконечности для незаряженной пробной ча- стицы, движущейся вблизи вращающейся дыры, если выразить ее на языке 4-мерного пространства-времени, равна со знаком минус скалярному произведению 4-импульса частицы р^ и ге- нератора трансляции во времени д-dt, Еоо = —p^id-dt)^ = — р0, ср. с § 25.2, 25.3 и 33.5 книги [129]. Если перевести это соот- ношение на язык 3 + 1-расщепления, то можно записать ?то = аЕ — р • р = аЕ + ®LZ, C.68) где Е есть локально измеряемая энергия частицы, Е = т(\—v2) ; р — ее локально измеряемый импульс, p = mv(\— v2) ; Lz — z-компонента углового момента, со — угловая скорость ОПН, расположенного там же, где и частица, — Р = (од/дф = со|. В C.68) первый член аЕ уже фигурировал в случае невращающейся дыры (разд. II. Б.2). Второй член — р . р = (uLz учитывает орбитальное движение dx/dt = — $ ло- кальных ОПН относительно статических наблюдателей на бес-
122 к- торн, р. прайс, Д. макДоналд, вэй мо сюэн, сяо хи чжанЬ конечности. Можно убедиться, исходя из уравнения движения C.20), что для незаряженной пробной частицы величина Еоо = аЕ — р-р сохраняется вдоль траектории частицы. Этот закон сохранения вытекает из того факта, что характеристики гравитационного поля дыры gih p,-, а не зависят от времени (ср. с § 25.2, 25.3, 33.5 книги Мизнера, Торна и Уилера [129]). В случае вещества и полей с (локально измеряемой) плот- ностью энергии е, потоком энергии (плотности импульса) S <-> и потоком импульса (натяжение) Т плотность и поток «энер- гии-на-бесконечности» равны соответственно $ еЕоо = ае — $ • S = ае + coeL ; C.69а) |?oo = aS — jf. V = aS + ©SL2, f. e. SlE =aSi + ^Ti(b = aSi-\-^TL\ C.696) причем эти величины подчиняются глобальному и локальному законам сохранения, идентичным законам сохранения 2-компо- ненты углового момента и электрического заряда: \ EЯоо + е?с5).Д C.70) Г it) dr(t) >-¦ -> -> ] CJ1) ¦Ж \ it Локальный закон C.71) можно вывести из законов локального баланса энергии и баланса сил [формулы C.57/) и C.59)]. Глобальный закон C.70) получается из локального закона с по- мощью теоремы Гаусса. Оба закона являются следствием не- зависимости характеристик гравитационного поля дыры от вре- мени. В случае заряженной частицы, взаимодействующей с грави- тационным полем дыры и с окружающими электрическими и магнитными полями, можно (как и в электродинамике в пло- ском пространстве-времени) следовать одному из двух различ- ных подходов к энергии и угловому моменту, связанным с элек- тромагнитными взаимодействиями частицы с окружающими полями. Согласно первому подходу, который справедлив в са- мом общем случае и которого мы будем придерживаться, энер-. гия и угловой момент взаимодействия включаются в плотность энергии еЕоо и углового момента eL поля [формулы C.55), C.69) и C.65) с учетом перекрестных членов, в которые входят -> -> -> ¦> Еу В частицы и окружающие Е, В]. При таком подходе са- мой частице приписываются те же ?оо и Lz, что и для незаря-
III. БЫСТРО ВРАЩАЮЩИЕСЯ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ 123 женной частицы [формулы C.68) и C.63I. При втором под- -> -> ходе, который применим лишь в том случае, когда поля Е и В вокруг дыры не зависят от времени и обладают осевой симмет- рией, энергия и угловой момент электромагнитного взаимодей- ствия включаются в собственную энергию Е<оо и угловой мо- мент Lz частицы: Еоо-аЕ + ®LZ - qA0, C.72a) +qAf). C.726) Здесь q — заряд частицы, AQ и А~ — компоненты электромаг- нитного 4-потенциала вдоль пространственно-временных векто- ров d/dt и е ?. По существу, согласно первому подходу, ?«> и Lz рассчитываются по кинематическому 4-импульсу частицы, а согласно второму подходу, они рассчитываются по обобщен- ному (каноническому) 4-импульсу; ср. с формулами C3.31) книги [129]. Более подробно эти вопросы, включая 3+1-рас- щепление электромагнитного 4-потенциала и его связь с Е и В, изложены в § 5.2 и 3.3 работы [206], а также в § 33.5 книги [129]. В. Растянутый горизонт вращающейся дыры 1. Растягивание горизонта В случае вращающейся дыры, как и для невращающейся, мы растянем горизонт так, чтобы отпала необходимость про- слеживать слой за слоем прошлую историю, сконцентрирован- ную вблизи истинного горизонта. Вращение не вносит ничего существенно нового в процедуру растягивания горизонта; ука- зания, которым надлежит следовать при выборе величины рас- тяжения, такие же, как и в случае дыры без вращения (см. последние два абзаца разд. II.ГЛ). Желательно (по техническим причинам, обсуждавшимся в [163]) осуществить выбор растянутого горизонта в простран- стве-времени Керра таким образом, чтобы он являлся поверх- ностью постоянной функции длительности а = ая< 1. Это означает, что растянутый горизонт не является поверхностью, на которой постоянна радиальная координата Бойера — Линд- квиста г, поскольку вблизи истинного горизонта (а = 0 и г — гн =з М + У-М2 — а2) функция длительности связана с ради- альной координатой следующим образом: Р2 / a2sin26\ />„ — М \ А (l ) (^) (г - у) C.73)
124 к. торн, р. прайс, д. макдоналд, вэй мо сюэн, сяо хи чжань [формулы C.5), C.6)]. Ниже мы всюду будем через гн обо- значать истинный горизонт, а функцию длительности будем ис- пользовать в качестве «координаты» местоположения растяну- того горизонта, а = ан. Вычисляя величины на растянутом го- ризонте, мы будем всюду пренебрегать поправками порядка О (ая2). 2. Форма поверхностная гравитация и поверхностные ГМ-поля растянутого горизонта Растянутый горизонт невращающейся черной дыры сфери- чески-симметричен. Этого нельзя сказать в случае вращаю- щейся дыры, поскольку здесь центробежные силы приводят к уплощению дыры к экватору. 2-мерную геометрию горизонта можно выделить из 3-метрики (З.бв) абсолютного пространства, положив'г = ги\ ds2 = p2H d№ + &2Н d<j>2, C.74) где -а281п2е, C.75а) 2„ 2Мг„ sin 6 «я = — sin в = уз \—^-гг,. C.756) 9н (r2 + a2cos2e)ll2 Отметим, что длина окружности вдоль экватора, ф = 2ясо, при б = я/2 равна 4лМ независимо от углового момента дыры. Можно наглядно представить себе 2-геометрию C.74) рас- тянутого горизонта, если выделить ее из искривленного 3-про- странства, в котором она расположена, и погрузить в плоское 3-мерное пространство (ср. с обсуждением погружений в разд. II.А). 2-геометрия после такого погружения, впервые ис- следованная Смарром [187], представлена на рис. 24 для трех горизонтов черных дыр. Все три имеют одну и ту же «непри- водимую массу» Afirr (см. разд. II.В.4 и III.В.5). На рис. 24 первая дыра (а) не вращается, поэтому ее полная масса М равна ее неприводимой массе, а ее горизонт сферически-сим- метричен и имеет длину окружности АпМ = 4яМ1гг. Вторая дыра (б) вращается довольно быстро, у нее а/М = уЗ/2 = 0,866, и соответственно ее полная масса_ (неприводимая масса плюс вра- щательная энергия) М= B/л/З)Mirv= l,15iWirr и длина окруж- ности на экваторе на 15% больше, чем у первой дыры. Отме- тим, что эта вторая дыра сильно сплюснута из-за центробеж- ных сил. Ее полярные области фактически совершенно пло- ские, их гауссова кривизна равна нулю. В случае более мед- ленного вращения, чем у дыры б, сплюснутость меньше и гаус- сова кривизна на полюсах положительна. В случае более бы- строго вращения гауссова кривизна на полюсах отрицательна
I. БЫСТРО ВРАЩАЮЩИЕСЯ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ 1 к? 125 Рис. 24. Формы горизонтов трех черных дыр с одной и той же неприводимой массой Mirr, изображенные на диаграммах погружения. Каждую из диаграмм следует рассматривать как фигуру вращения вокруг ее вертикальной оси. а — невращающаяся сферическая дыра; б — дыра вращается достаточно быстро, настолько, что ее полюса стали полностью плоскими под действием центробежных сил; в — дыра вращается настолько быстро, что ее полярные области (показаны штриховой линией) приобрели отрицательную гауссову кривизну и поэтому погружены в пространство Минковского [формула C.766)] (Рисунок заимствован из работы [187].) (длины окружностей для полярных областей не меньше, а боль- ше произведений 2я на радиусы), и потому невозможно погру- зить горизонт в 3-пространство с евклидовой геометрией. Тем не менее мы все-таки можем наглядно представить себе эту геомет- рию с помощью «смешанного погружения», показанного на рис. 24, в, на котором изображена 2-геометрия горизонта дыры с максимально возможным для черных дыр вращением, а/М = 1. Вблизи экватора, где горизонт изображен сплошной линией, геометрия пространства, в которое происходит погружение, яв- ляется евклидовой ds2 = dz2 + dr2 + г2 df; C.76a) однако вблизи полюсов, где горизонт изображен штриховой линией, геометрия пространства, в которое происходит погру- жение, является геометрией Минковского ds2 = — dz2 + dr2 + г2 d<j>2. C.766) Знак минус в формуле C.766) означает, что в областях, изо- браженных штриховой линией, наклон кривой тем круче, чем меньше физическое расстояние вдоль кривой. Центробежное сплющивание горизонта черной дыры сопро- вождается сплющиванием ее гравитационного поля. Одна из количественных характеристик сплюснутости поля — это квад- рупольный момент дыры C.26). Когда сплющивание горизонта в пределе быстрого вращения а-^-М становится экстремаль- ным и приходится отказаться от евклидовых представлений (необходимость прибегать к «смешанному погружению»),тогда и сплющивание доля при а-*М становится экстремальным,
126 к. торн, р. прайс, д. макдоналд, вэй мо сюэн, сяо хи чжань но тоже не в евклидовом смысле: в этом пределе дыра с мас- сой М и длиной окружности на горизонте 2пгн = 4яМ обладает квадрупольным моментом Ухх = Ууу = — 1/2^22==A/3)Мгя2. Из всех же ньютоновских тел в евклидовом пространстве с той же массой М и с той же длиной окружности 2лгн экстремальный квадрупольныи момент достигается в случае тонкого кольца; в этом случае &ху = 3fyy = (-—1/2) &zz = A/6) Мгн2, т. е. в 2 раза меньше, чем квадрупольныи момент рассмотренной выше дыры. Эта особенность напоминает об экстремальном моменте инер- ции, которым обладает невращающаяся дыра [см. обсуждение, следующее после формулы B.61) ]. ОПН на растянутом горизонте измеряет неограниченно рас- тущее при ая-^0 гравитационное ускорение g= — Vina, но переопределив g — пересчитав его на единицу мирового вре- мени, он получает конечное ускорение — «поверхностную грави- тацию» дыры, -> -> -> 8н = а# ёраст. гор = — ёнп, C.77а) Здесь п — направленный наружу единичный вектор, нормаль- ный к растянутому горизонту. Он соответствует единичному ра- диальному вектору в координатах Бойера — Линдквиста с точ- ностью до малых поправок порядка ане,, которыми мы пре- небрежем [ср. с формулами C.6), C.9), C.18)]: ->_ Va ¦> 2Мгнан д п = — = е? = -у-—2—27" Т~ • (о Jo) Если при ОПН вблизи растянутого горизонта имеется ги- роскоп, то с точки зрения ОПН он будет прецессировать с не- ограниченно растущей при ося->0 угловой скоростью по отно- шению к параллельному переносу в абсолютном 3-пространстве [формулы C.21), C.23)], т. е. ОПН будет испытывать дей- ствие неограниченно растущего при а#->0 гравитомагнитного поля Я. Однако, если, как и в случае с гравитационным уско- -> рением, ОПН переопределит Я, перейдя к единице мирового времени, он получает конечное поле — «гравитомагнитное век- торное поле горизонта» Нн » «я^раст. гор = Ннп, C.79а) Нн=- {AaMrHjp\j) cos 6. C.796)
III. БЫСТРО ВРАЩАЮЩИЕСЯ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ 127 (Здесь, как и в формуле C.78), мы пренебрегаем поправками порядка аяе в направлении почти радиального поля Нн.) Ана- логично расходится и гравитомагнитное тензорное поле #//, но его переопределение приводит к «величине на горизонте», ко- торая имеет единственную не равную нулю компоненту Щ cos 0. C.80) 3. Термодинамика растянутого горизонта Обратимся теперь к термодинамическим характеристикам рас- тянутого горизонта быстро вращающейся дыры, обобщая ре- зультаты разделов П.В.З и П. В.4 для случая медленного вра- щения. Исследования Хоукинга [96, 97] в области квантовой теории поля в искривленном пространстве-времени показали, что лю- бая стационарная черная дыра, вращающаяся или не вращаю- щаяся, испускает тепловое излучение так, как если бы гори- зонт обладал температурой (испытывающей красное смещение), пропорциональной поверхностной гравитации дыры, TH = -^-gH C.81) [формула B.51)], а его дальнейшие исследования эволюции горизонта черной дыры [94,97,98] показали, что независимо от того, вращается дыра или нет, ее энтропия Sh должна быть пропорциональна площади ее поверхности Ан: SH = ^AH C.82) [формула B.53)]. Исходя из 2-геометрии (метрики) горизонта [формула C.74)], мы легко можем выразить площадь поверх- ности горизонта через массу М и угловой момент / = аМ: Ля = 4я(г2я + а2). C.83) Как подчеркивалось в разд. II. В.3, интересующие нас черные дыры астрофизических размеров (М ^ М ©) имеют столь низкие температуры, что не могут быть источниками сколько-нибудь значительного хоукинговского излучения, и поэтому их энтро- пия не может уменьшаться. Если извлечь из такой дыры с мас- сой М и с угловым моментом / = аМ всю ее вращательную энергию и проделать это наиболее эффективным из всех воз- можных способов (т. е. поддерживая энтропию постоянной), то в результате получится невращающаяся черная дыра, имею- щая такую же площадь поверхности, как и первоначальная
128 к. торн, р. прайс, д. макдоналд, вэй мо сюэн, сяо хи чжань дыра [формула C.83)], и массу MnOnrot = {Ан/ 16яI/2. Эта мас- са, которая остается у дыры, после того как она полностью за- медлила свое вращение, причем это замедление было осуществ- лено наиболее эффективным из всех возможных способов, назы- вается «неприводимой массой» черной дыры [38, 39]: Чг = (Ан/Щ1/2 = A/2) (г2н + а2I'2. C.84) Отметим, что энтропия дыры, площадь поверхности и неприво- димая масса совершенно эквивалентны друг другу как функ- циональные характеристики; зная одну из этих величин, мы мо- жем вычислить две другие. Все термодинамические свойства системы, находящейся в равновесии, можно вычислить, зная всего лишь одну функцию: полную массу-энергию системы, выраженную через другие «экстенсивные» переменные, характеризующие систему (см., например, гл. 6 и 8 книги [131]). В случае керровской черной дыры в качестве других экстенсивных переменных можно вы- брать энтропию дыры и ее угловой момент или ее площадь по- верхности и угловой момент. Из соотношений C.4), C.7), C.82) и C.83) можно вывести следующее фундаментальное уравнение: ъя/п гч Г h nkD Р У/2 / А„ . Р У/2 M(SH% / = «Интенсивными» переменными, которые соответствуют энтропии SH и угловому моменту /я, являются температура Тн и угловая скорость QH, а площади Ан соответствует поверхно- стная гравитация gH, деленная на 8я. Следовательно, первый закон термодинамики для керровской черной дыры должен при- нимать вид dM = Тн dSH + пн dJ = A/8я) gH dAH + QH dJ. C.86) Отсюда можно выписать частные производные . C-87) Можно непосредственно убедиться в том, что, подставив фунда- ментальное уравнение C.85) в эти уравнения, получим в ре- зультате в точности те же выражения для поверхностной тем- пературы горизонта, поверхностной гравитации и угловой ско- рости, что и выражения C.81), C.776) и C.42). Формализм термодинамики черных дыр имеет одно суще- ственное отличие от соответствующего формализма, применяе-
III. БЫСТРО ВРАЩАЮЩИЕСЯ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ 129 мого в учебниках при описании большинства систем: масса чер- ной дыры не является линейной однородной функцией экстен- сивных переменных 5я и /, а представляет собой однородную функцию SH и / в степени 1/2 [формула C.85)]. Одно из след- ствий такой зависимости заключается в том, что ThSh + ?2#/ = = (\/8tt)gHAH + Q#/ равно М/2, а не М (теорема Эйлера, фор- мула Смарра [188]). Другие следствия см. в [208]. Вращательная энергия керровской черной дыры равна раз- ности между ее полной массой-энергией и ее неприводимой массой Mrot - М - M,t = (Ml + -?г-у - М.1Т, C.88) rot - М - M,t = (Ml + ?гу М.1Т, Только в случае медленно вращающейся дыры можно выразить эту вращательную энергию как половину произведения не за- висящего от угловой скорости момента инерции и квадрата угловой скорости дыры [ср. с формулой B.62)]. В случае бы- стро вращающейся дыры (так же как и в случае быстро вра- щающейся звезды) нелинейность, связанная с центробежным сплющиванием, мешает получить подобное соотношение; самое простое, что есть, — это формула C.88) и эквивалентное ей со- отношение, связывающее Mrot с М и а = J/M: Mrot = М - Mirr = М - [ 1/2М (М + л/М2-а2)]1/2. C.88') Когда керровская черная дыра взаимодействует со своим окружением, то масса М играет для горизонта роль «энергии на бесконечности». Следовательно, глобальный закон сохране- ния энергии C.70), примененный к растянутому горизонту, гла- сит, что (ср. с § 33.7 книги [129]) ndA = - § (a?HS + аяЙя? • T)-ndA. C.89) Здесь было использовано соотношение C.696), которое в сово- купности с р = — QHl = — Qfjd/дф [формула C.42)] позволяет выразить подынтегральное выражение через поток энергии S и натяжение Г, измеряемые ОПН. Другими словами, со- гласно уравнению C.89), темп увеличения массы дыры за счет вещества и полей, падающих в нее через растянутый горизонт Mt, равен направленному вовнутрь потоку энергии на беско- нечности, причем потоку, пересчитанному с помощью функции длительности аи на единицу мирового времени. Аналогично темп увеличения углового момента дыры за счет падения веще- ства и полей равен (переопределенному) потоку ^-компоненты углового момента (глобальный закон сохранения C.66); см.
130 к. торн, р. прайс, д. макдоналд, вэй мо сюэн, сяо хи чжань § 33.7 книги [129]): aHSLz •'ndA = — § ая|. V • п dA, C.90) t t Здесь было использовано соотношение C.656) для того, чтобы выразить подынтегральное выражение через натяжение 7\ измеряемое ОПН на растянутом горизонте. Комбинируя эти за- коны сохранения с первым началом термодинамики, получаем уравнение для темпа увеличения энтропии или площади по- верхности черной дыры: dS gH dAH __ dM dJ C.91) Отметим, что, согласно последнему соотношению, темп дисси- пации энергии-на-бесконечности (в пересчете на единицу миро- вого времени) на растянутом горизонте равен скорости, с ко- торой локально измеряемая энергия протекает через растяну- тый горизонт, исправленной двумя множителями a#: один необ- ходим, чтобы пересчитать указанную скорость на единицу ми- рового времени, а второй — чтобы учесть красное смещение ло- кально измеряемой энергии. 4. Электродинамика растянутого горизонта Можно считать, что растянутый горизонт вращающейся черной дыры, как и в случае невращающейся дыры, обладает поверхностным зарядом а#, поверхностным током fH и поверх- ностным сопротивлением Ян- Определения и свойства он, /я и RH в случае вращающейся дыры точно такие же, как и в случае невращающейся дыры (разд. II.B.2). Поверхностная плотность заряда он определяет- ся с помощью теоремы Гаусса; величина плотности заряда должна быть такой, чтобы на этом заряде оканчивались сило- вые линии электрического поля, пронизывающие растянутый горизонт: а„=(?,г/4я)раст.гор C.92) [ср. с формулой B.41)]. Здесь Еп — нормальная компонента электрического поля, измеряемая ОПН на растянутом гори- зонте: Еп = Е-*п\ C.93)
III. БЫСТРО ВРАЩАЮЩИЕСЯ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ 131 [ср. с формулой C.78)]. Поверхностный ток fH определяется на основе закона Ампера. Плотность тока должна быть такой, чтобы на этом токе оканчивалось (переопределенное) танген- циальное магнитное поле растянутого горизонта: Вн в (аяВ„)раст. гор = 4я/я X п C.94) [ср. с формулой B.43)]. Поверхностные заряд и ток входят в тот же самый закон сохранения заряда, что и в случае рас- тянутого горизонта невращающейся дыры: дан/д( + «V • /я + («я/Даст. гор = 0 C.95) [ср. с формулой B.46)]. Поверхностный ток зависит от тан- генциальной компоненты (переопределенного) электрического поля горизонта согласно закону Ома: Ён = (аяД,)раст. гор = RHfH C.96) [ср. с формулой B.44) ]; поверхностное сопротивление Ян, как и в случае невращающейся дыры, равно Яя = 4я^377 Ом. C.97) Так же как в случае невращающейся дыры, закон Ома и закон Ампера эквивалентны «радиационному граничному условию» (тангенциальные электрическое и магнитное поля восприни- маются ОПН как излучение, распространяющееся внутрь рас- тянутого горизонта): Вн = ЕнХп C.98) [ср. с формулой B.25)]. Вклады электромагнитного поля в скорости изменения мас- сы, углового момента и энтропии в случае вращающейся чер- ной дыры опять-таки такие же, как и в случае невращающейся (или медленно вращающейся) дыры. Общее уравнение C.91), описывающее рост энтропии дыры в комбинации с формулой C.55) для потока электромагнитной энергии, измеряемого ОПН на растянутом горизонте, и в комбинации с законами Ампера и Ома, преобразуется в уравнение, которое описывает омиче- скую диссипацию B.56): dS „ = llr Ф (~ 4X Ви) • ndA. C.99)
132 к. торн, р. прайс, д. макдоналд, вэй мо сюэн, сяо хи чжань Аналогично общее уравнение C.90), описывающее рост угло- вого момента черной дыры в комбинации с формулой C.55) для электромагнитного натяжения Г, измеряемого ОПН, и в комбинации с теоремой Гаусса и законом Ампера для растяну- того горизонта преобразуется в уравнение для силы Лоренца на горизонте: -^ = ф (онЕн + /я X Вп) • tdA C.100) [ср. с формулами B.58), B.59)]; а общее уравнение C.86), описывающее рост массы черной дыры, аналогичным образом переходит в следующее уравнение: dM dSH dJ dt —J-n~dT'r^~dT~ §- /я - Ря • (оиЁн + /я X Вп)] dA, C.101) где ря = - QH f = - QHd/df C.102) равно величине C на растянутом горизонте. Г. Модельные задачи для вращающихся черных дыр В последних нескольких разделах излагались основопола- гающие понятия мембранной парадигмы для вращающихся черных дыр и были приведены фундаментальные уравнения этой парадигмы. В данном разделе, воспользовавшись указан- ными основополагающими понятиями и уравнениями, мы по- стараемся разобраться во взаимодействии вращения дыры с окружающим ее электромагнитным полем. При этом мы будем исходить из анализа ряда модельных задач. В подразд. 1 мы увидим, что в результате взаимодействия ГМ-поля вращаю- щейся дыры с внешним магнитным полем в вакууме горизонт дыры ведет себя подобно батарее; при этом происходит раз- деление зарядов на горизонте и возникновение электрического поля вне горизонта. В подразд. 2 будет показано, как вра- щение дыры с нулевым электрическим зарядом порождает с точки зрения удаленного наблюдателя токовые петли на го- ризонте, в результате чего возникает дипольное магнитное поле и как это магнитное поле, в свою очередь взаимодействуя с ГМ-полем дыры, создает эффект батареи, заставляющий элек- трический заряд двигаться к экватору дыры. В подразд. 3 мы
111. БЫСТРО ВРАЩАЮЩИЕСЯ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ 133 вернемся к задаче, которая рассматривалась в подразд. 1, т. е. к задаче о черной дыре, погруженной во внешнее магнитное поле, и подсоединим дыру ко внешней электрической цепи. «Поверхностная батарея», связанная с дырой, будет заставлять ток течь через внешнюю цепь, и теория этой цепи окажется идентичной элементарной теории цепей постоянного тока с ба- тареей и нагрузкой в плоском пространстве. В подразд. 4 мы увидим, как однородное внешнее магнитное поле, наклоненное по отношению к оси вращения, создает вихревые токи на го- ризонте и как эти вихревые токи взаимодействуют с магнитным полем, создавая вращательный момент, тормозящий вращение дыры и преобразующий часть ее вращательной энергии в не- приводимую массу. 1. Черная дыра, погруженная в статистическое внешнее магнитное поле в вакууме В качестве первой модельной задачи рассмотрим керров- скую черную дыру, погруженную в постоянное во времени маг- нитное поле, т. е. поле, у которого (dB/dt) / = О, где xl— фик- сированные по отношению к звездам координаты (рис. 25). Мы не требуем с самого начала, чтобы поле было симметричным относительно оси вращения дыры, но обязательно ставим усло- вие, чтобы часть силовых линий пронизывала растянутый го- ризонт. Мы можем продвинуться в понимании взаимодействия поля > В с вращением дыры, если применим закон индукции Фара- дея к специально выбранному для этого замкнутому контуру Ф (рис. 25). Контур начинается в некоторой произвольной точке Q на растянутом горизонте, тянется от растянутого го- ризонта вверх вдоль магнитной силовой линии к точке вдали от дыры, затем, пересекая поле, попадает на другую силовую линию и спускается вдоль нее к растянутому горизонту в точке 2Р, затем идет вдоль растянутого горизонта, возвращаясь в ис- ходную точку Q. Мгновенная «ЭДС» по этому замкнутому кон- туру, §#. dt C.103) не зависит от того, как контур движется с течением времени. Если считать, что контур покоится в неподвижных по отноше- нию к звездам координатах х1, то он имеет скорость v = р/а, измеряемую ОПН, и поскольку магнитное поле не зависит от времени \_(dB/dt) f= OJ, то магнитный поток, охватываемый кон-
134 к. торн, р. прайс, д. макдоналд, вэй мо сюэн, сяо хи чжань Рис. 25. Вращающаяся черная дыра, погруженная в магнитное поле, не зави- сящее от времени, (dB/dt) у = 0. Взаимодействие ГМ-потенциала дыры C с -> магнитным полем В создает ЭДС по замкнутому контуру 9!?. Можно счи- тать, что эта ЭДС создается магнито-гравитомагнитной «поверхностной бата- реей» на растянутом горизонте [формула C.106)]. туром, является постоянным во времени. Следовательно, со- гласно закону Фарадея [формула C.49)]: ЭДС = (& — av X В- dt=& — $X В • dl, C.104) и наоборот, если мы считаем контур жестко связанным с ОПН, т. е. покоящимся в абсолютном пространстве, то v = 0, но тогда контур испытывает дифференциальное орбитальное дви- жение относительно координат, фиксированных по отношению к звездам, dx]'/dt = —(З7. Таким образом, через него проходит переменный поток, который создает ЭДС, равную представлен- ной формулой C.104): 4 [Й & ?XB-di, C.105) л где s& — 2-поверхность, ограниченная контуром сё>. Та часть ^, которая параллельна силовым линиям магнитного поля, не -> -> -> вносит никакого вклада в интеграл (Р X В • dl = 0), как и та часть, которая расположена вдали от горизонта, AР1~//а*2,
III. БЫСТРО ВРАЩАЮЩИЕСЯ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ 135 поэтому интеграл ~//г, что пренебрежимо мало при г^>2М). Таким образом, вклад в интеграл вносит только горизонт: ЭДС= \ -$HXBn-dt C.106) Интеграл здесь берется вдоль растянутого горизонта от точки & до точки Q (ср. с рис. 25). Возможны три различных способа наглядно представить фи- зическую природу этой ЭДС. Два из этих способов соответ- ствуют изложенным выше точкам зрения, которые лежат в ос- нове вывода формул C.104) и C.105): а) контур неподвижен относительно звезд, но движется относительно ОПН и, следо- -> вательно, относительно поля б, которое эти ОПН измеряют, и это движение создает ЭДС; б) контур жестко связан с ОПН и в этом случае испытывает дифференциальное орбитальное движение вокруг дыры, охватывая переменный во времени маг- нитный поток, что и приводит к возникновению ЭДС. При третьем подходе вопрос о конкретном характере движения кон- тура даже не ставится (это движение на самом деле никак не сказывается на ЭДС!), и ЭДС рассматривается как результат взаимодействия между гравитомагнитным потенциалом Р и приложенным извне магнитным полем В. Мы предпочитаем именно такой подход и ниже будем ему следовать. Отметим, что такой подход прекрасно согласуется с законом Фарадея в дифференциальной форме [формула C.52)], и в нем явно прослеживается взаимодействие магнитного и гравитомагнит- ного полей, которое и создает вихрь величины аЕ. Придерживаясь этой точки зрения, можно сделать еще один шаг: можно считать, что магнитное и гравитомагнитное поля, вместе взятые, создают «поверхностную батарею» на горизонте дыры—батарею, ЭДС которой между точками ёР и Q дается формулой C.106). Однако следует проявлять некоторую осто- рожность, говоря о поверхностной батарее. ЭДС создается одним только горизонтом лишь в том случае, когда ветви замкнутого контура вблизи горизонта параллельны магнитному полю и уходят на большие расстояния. Для других типов замкнутых контуров формула C.104) или C.105) для магнито- гравитомагнитного взаимодействия остается справедливой, но формула C.106), в которой интеграл берется только по гори- зонту, уже становится неверной, так как отдельные части замк- нутого контура вне горизонта могут вносить ненулевой вклад в ЭДС. Переходя теперь в явном виде к конкретной конфигурации магнитного поля, рассмотрим однородное внешнее магнитное
136 К. ТОРН, Р. ПРАЙС, Д. МАКДОНАЛД, ВЭЙ МО СЮЭН, СЯО ХИ ЧЖАНЬ \ \ \ / / \ \ \ \ \ \ \ \ \\ 1 1 / ¦ + -+- 4- ¦ + -f ¦+++¦+¦+ w \ \ с x \ \ \ С \ \ Рис. 26. Вращающаяся черная дыра, погруженная в однородное, не завися- щее от времени магнитное поле, направленное параллельно оси вращения дыры. Из закона Ампера, примененного к контуру на рис. а, в комбинации с законами Ампера и Ома для горизонта следует, что на растянутом гори- зонте не может быть никакого электрического поля. На рис. б схематически изображены распределение зарядов и картина силовых линий поля Е (пока- занных штриховой линией) [ср. с формулой C.109)]. поле, направленное параллельно оси вращения дыры (рис.26). Точное определение «однородного поля» будет дано ниже [фор- мула C.108)]. А пока поставим условия, чтобы магнитное поле было осесимметричным, не зависело от времени и пронизывало горизонт. Мы хотим выяснить физические следствия действия «батарееподобной» ЭДС на горизонте дыры. Для этого вос- пользуемся законом Ампера C.51), применив его к окружности ??', расположенной на растянутом горизонте и изображенной на рис. 26, а. Учитывая осевую симметрию и приняв, что кон- тур сё>/ неподвижен относительно звезд, так что v = — р/а, полу- чаем dt + -jlf\E' dA + 4я \ (af- pep) • dA. C.107) Первое слагаемое в правой части обращается в нуль, посколь- ку гравитомагнитный потенциал р параллелен контуру W; вто-
III. БЫСТРО ВРАЩАЮЩИЕСЯ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ 137 рое слагаемое обращается в нуль, потому что любое электри- ческое поле Е, генерируемое за счет взаимодействия не завися- щих от времени полей Вир, должно само быть не зависящим от времени; третье слагаемое обращается в нуль, поскольку в пространстве вне дыры нет ни зарядов ре, ни токов /. Таким -> -> образом, интеграл от аВ = Вн вдоль контура ?>' равен нулю. Это означает, что ^-компонента («тороидальная компонента») поля Вн равна нулю на растянутом горизонте. Но из равенства нулю тороидальной компоненты Вн~ следует [согласно закону Ампера для растянутого горизонта; формула C.94)], что 0-ком- понента («полоидальная компонента») тока на горизонте fH тоже должна быть равна нулю, из чего в свою очередь следует (согласно закону Ома), что полоидальная компонента электри- ческого поля горизонта Ен§ — анЕ§ должна обращаться в нуль. Вывод о равенстве нулю полоидального поля Ен горизонта может показаться неожиданным, если вспомнить о «батарее- подобной» ЭДС C.106) на растянутом горизонте. Этой ЭДС должен противодействовать какой-то фактор, чтобы тангенци- альное электрическое поле обращалось в нуль. Таким факто- ром может быть только «разделение зарядов» на растянутом горизонте (рис. 26,6). В момент, когда дыру помещают в маг- нитное поле, ЭДС, действующая как батарея, заставляет поло- жительный заряд на горизонте двигаться к экватору, а отри- цательный— к полюсу. Такое перемещение будет продолжаться до тех пор, пока возникающее в результате распределение за- ряда не создаст собственное электрическое поле, достаточное чтобы уравновесить ЭДС и чтобы сделать тангенциальные ком- поненты электрического поля и тока на горизонте равными нулю. Характер этого распределения заряда (рис. 26, б) позво- ляет предполагать, что угловое распределение электрического поля в абсолютном пространстве вокруг дыры должно быть квадрупольного типа. Именно такое поле будет соответствовать результирующей ЭДС C.105), C.106) по замкнутым контурам ^, подобным контуру на рис. 25. В справедливости этих качественных выводов, полученных из простых физических соображений, можно убедиться, исходя из точного аналитического решения Уолда [215] для керров- ской черной дыры, погруженной в однородное магнитное поле (ср. с работой [206]). Однородное магнитное поле представ- ляется следующим аналитическим выражением: B^ при г»М; C.108)
138 к. торн, р. прайс, д. макдоналд, вэй мо сюэн, сяо хи чжань а электрическое поле — (ЗЛ09) аг гг (г „ — М) -> гя' + 5соз»8J ^ sin4 8 - 2М cos2 9A + cos2 9)] et + д/д a3 cos 9 sin 9A + cos29) + i50—^4—sin 8 cos 9 A + cos2 9) e§ при r » M, где Xs==(sin29/p2)B2-— 4a2Mr) и p, A, S и а определяются с по- мощью формул C.5) и C.6). Это поле Е показано на рис. 26, б. Вид силовых линий поля оказывается несколько неожиданным: им свойственна, как и предполагалось, квадрупольная зависи- мость 3cos28—1, но, вместо того чтобы, выйдя из экватори- альной области черной дыры, развернуться и идти обратно к полярной области, следуя радиальной зависимости 1/г4, как положено вести себя полю локализованного квадруполя в пло- ском пространстве, поля в рассматриваемой задаче направлены почти точно по радиусу и зависят от радиуса как 1/г2. Малая компонента, направленная по углу [порядка О A/г4)], обеспе- чивает возвращение силовых линий из бесконечности в поляр- ные области, их разворот и выход на бесконечность в области экватора. Это необычное поведение силовых линий легко объяснимо. -> У поля Е, изображенного на рис. 26,6, имеются два источника: -> -> -> -> -> -> один дляУ- Е и другой для VX(a?)- Источник для А» Е зна- ком по опыту плоского пространства: это поверхностная плот- -> ность заряда горизонта, от которой зависит поведение поля Е на малых радиальных расстояниях. Источник для V X (аЕ) со- вершенно иной — это магнитно-гравитомагнитное взаимодей- ствие ЗБ^В [формулы C.52), C.54)]. Этот источник спадает на больших радиальных расстояниях как 1/г3 (магнитное поле В постоянно), гравитомагнитный потенциал р убывает как 1/г2, и еще один множитель 1/г привносит производная Ли & (и непосредственно генерирует в области больших г электриче- ское поле, изображенное на рис. 26,6 и убывающее как. 1/г2).
III. БЫСТРО ВРАЩАЮЩИЕСЯ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ 139 Плотность заряда на растянутом горизонте, соответствую- щую решению Уолда, можно получить из формулы C.109) при малых а(он = Еп/4тс = Ej>/4n): BQarH (гя - М) гя sin* 8 - 2М cos* 6A + cos* 6) G"— 4S (rH* + a* cos* 9J ' ^•11U>) Здесь в явном виде обнаруживается разделение зарядов, пока- занное на рис. 26, б (с он > 0 в экваториальных областях и Он < 0 в полярных областях). Интеграл от он по горизонту равен нулю, так что полный заряд растянутого горизонта равен нулю, как это и должно быть. Полный магнитный поток через горизонт к северу от эква- тора можно рассчитать, исходя из формулы C.108); он оказы- вается равным Ф = 4пВ0М(гн — М). Как было отмечено Би- чаком и Двораком [18], по мере убыстрения вращения дыры магнитный поток выталкивается из нее. В случае максимально быстрого вращения дыры (а = М) магнитный поток, пронизы- вающий горизонт, отсутствует. Мы обсудим это необычайное поведение поля ниже, в конце подразд. 4. 2. Черная дыра с электрическим зарядом Рассмотрим теперь черную дыру, которую пронизывает не магнитное, а постоянное во времени электрическое поле (т. е. на рис. 25 силовые линии поля В следует заменить силовыми линиями поля Е). Поскольку (до сих пор) мы рассматриваем области пространства, свободные от источников, ре = /=0, то между электричеством и магнетизмом имеется полная дуальная симметрия: закон Ампера, примененный к замкнутому контуру, изображенному на рис. 25, должен приводить к тому же ре- зультату [формулы C.103) — C.106)], что и закон Фарадея, но при замене В-> — Е и Е-+В. Следовательно, должна возни- кать не равная нулю «магнитная ЭДС» по замкнутому контуру В- dl = §$XE-d? C.111) В таком виде закон Ампера справедлив не только для специ- ально выбранного контура, изображенного на рис. 25, но и для произвольного замкнутого контура ^, помещенного в не завися- щее от времени электрическое поле в вакууме. Если контур имеет специально выбранную форму, как на рис. 25 (при за- мене В ->—¦?), или, что то же самое, как на рис. 27, а, то не-
140 к. торн, р. прайс, д. макдоналд, вэй мо сю'^н, сяо хи чжань нулевой вклад в интеграл вносит только горизонт, так что а а J $ ?d? C.112) [ср. с формулой C.106) ]. Точно так же как ЭДС в формуле C.106) мы эвристически сводили к «батарее» на растянутом горизонте, мы можем считать, исходя из эвристических сооб- ражений, что интеграл от магнитного поля в формуле C.112) обусловлен «токовыми петлями», которые с точки зрения дале- кого наблюдателя возникают из-за вращательного движения dx/dt = — ря = пнд/дф заряда на горизонте а#. И точно так же как «батарейный» подход требует осторожности, поскольку при- меним лишь к контурам специальной формы, как на рис. 25, и неприменим к контурам, которые пересекаются с силовыми ли- ниями поля В, так и подход, апеллирующий к «токовым пет- лям», требует осторожности, поскольку применим только к контурам той же специально выбранной формы (см., например, рис. 27, а). Альтернативный подход, который верен всегда (и ко-, торому мы предпочитаем следовать), основан на понятии гра- витомагнитной индукции: взаимодействие ГМ-потенциала р или поля #=а !VP с произвольным не зависящим от вре- мени электрическим полем дает в результате интеграл от маг- нитного поля C.111) точно так же, как взаимодействие ГМ- поля с магнитным полем порождает ЭДС [формула C.105)]. Обратимся теперь к определенной специальной конфигура- ции электрических полей, пронизывающих растянутый гори- \ \ Г7^ / \ \ ! / / Ч / \ \ i i / / в / / / I \ \ S ч а б Рис. 27. Электрически заряженная вращающаяся черная дыра. Закон Ампера, примененный к контуру ^ на рис. а, указывает на необходимость дипольного поля В, изображенного на рис. б.
III. БЫСТРО ВРАЩАЮЩИЕСЯ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ 141 зонт: она получается, если поместить на горизонт отличный от нуля электрический заряд (рис. 27, а). Согласно приведенному выше анализу, основанному на законе Ампера, в этом случае должен получаться отличный от нуля «магнитный» интеграл [формула C.112)] по замкнутому контуру W. Однако в рас- сматриваемой конфигурации, свободной от зарядов и не завися- щей от времени, не может быть никакого полоидального маг- нитного поля В§ = аВ§ на растянутом горизонте. [В этом мож- но убедиться, применив закон Фарадея, аналогичный закону, использованному в ситуации, изображенной на рис. 26, а, когда электрическое и магнитное поля были дуально симметричны; см. также рассуждения после формулы C.107).] Следова- тельно, «магнитный» интеграл должен быть связан с диполь- ным магнитным полем, которое выходит перпендикулярно из растянутого горизонта и образует петли, как это показано на рис. 27,6. В соответствии с формулой C.112) мы можем счи- тать, что это дипольное поле создается токовыми петлями, ко- торые, с точки зрения далекого наблюдателя, порождаются вращательным движением заряда на горизонте. Дипольное магнитное поле, созданное вращением дыры, взаимодействует с ГМ-полем и влияет на структуру электриче- ского поля. Более конкретно, это взаимодействие создает ЭДС «батарейного» типа на растянутом горизонте [формулы C.105), C.106)], и эта ЭДС вызывает разделение зарядов точно так -> же, как и в случае однородного поля В, изображенного на рис. 26. Однако в этом случае разделение зарядов не сопро- вождается появлением отрицательного заряда вблизи полюсов, вместо этого происходит лишь выталкивание некоторой части избыточного положительного заряда от полюсов к экватору, благодаря чему он на экваторе оказывается больше, чем на полюсах. Эти полукачественные выводы можно подкрепить точным аналитическим решением для электромагнитного поля заряжен- ной вращающейся дыры. В рассматриваемом случае, когда пол- ная (с учетом красного смещения) энергия, заключенная в элек- тромагнитном поле, пренебрежимо мала по сравнению с массой дыры, т. е. когда Q— (заряд дыры)<М, указанное решение (формула C3.5) книги [129]) имеет следующий вид: C.113a) о* (Q/r2) Z, при г > М; = ^[2г (г2 + a2) cos б! + (г2 - a2 cos2 9) д/А sin 9^] C.1136) о* {Qa/r3) B cos 6е.+ sin 6ed), при г > M.
142 к, торн, р. прайс, д. макдоналд, вэй мо сюэн, сяо хи чжань Отметим, что магнитное поле, создаваемое ГМ-полем, на боль- ших радиальных расстояниях имеет истинно дипольный харак- тер как по угловой, так и по радиальной зависимости в проти- воположность электрическому полю, создаваемому ГМ-полем в случае дыры, погруженной в однородное магнитное поле [рис. 26 и формула C.109)]. Здесь индуцирующий источник (&->Е с Е ос Q/r2 и р ос Ма/r2) так быстро ослабевает на больших радиальных расстояниях (ос1Д5),что не может влиять на индуцированное дипольное (ocl//-3) поле 5, а там индуци- рующий источник C?->В с В = const и C ос Ма/г2\ остается на больших расстояниях настолько сильным, что оказывает опре- деляющее влияние на индуцированное поле Е. Точное распределение заряда на растянутом горизонте, изо- браженное на рис. 27,6, можно получить из выражения C.13а) для радиального электрического поля при малых а: Q (r%-a2cos2Q) 4я (r2H + a2 cos2 0J ' (З.ПЗв) Здесь в явном виде прослеживается концентрация заряда к экватору дыры; например, в случае дыры с максимально быст- рым вращением (а = М) распределение зарядов (З.ПЗв) при- нимает вид _ Q sin26 /Qii/i\ °н — ~ШР B-sin29J ' ia.H4J В этом случае заряд так сильно концентрируется к экватору, что плотность заряда на полюсах доходит до нуля. 3. Замагниченная вращающаяся черная дыра как батарея для внешней цепи Вернемся теперь к модельной задаче, обсуждавшейся в под- разд. 1 и проиллюстрированной рис. 26, а — о вращающейся черной дыре, погруженной в однородное внешнее магнитное поле. В подразд. 1 считалось, что дыра окружена вакуумом, токи не могут течь ни к горизонту, ни от него, поэтому ЭДС, играющая роль батареи, приводит к разделению зарядов (рис. 26,6), а не к возникновению токов. Теперь мы подсоеди- ним дыру к внешней цепи, наподобие той, что была исследо- вана в разд. Н.Г.4 (рис. 16), но заменим внешнюю батарею в этой цепи на внешнюю нагрузку в виде резистора с полным сопротивлением RL (рис. 28). Теперь черная дыра играет роль батареи, магнитно-гравитомагнитное взаимодействие создает
БЫСТРО ВРАЩАЮЩИЕСЯ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ 143 ttftiitmm 11 I'll ¦ I 1 I I • ' II ' It 1111111111111 fs° Рис. 28. Замагниченная вращающаяся черная дыра, играющая роль батареи для внешней цепи. Показана только полоидальная часть магнитного поля В , однако имеется и тороидальная часть, генерируемая током в цепи [см. фор- мулу D.29)]. ЭДС в цепи, т. е. в замкнутом контуре, который идет от эква- тора дыры наружу вдоль идеально проводящего диска к ка- кому-нибудь удаленному проводу, затем вдоль провода и через нагрузку в виде сопротивления к верхнему основанию кониче- ского проводника, а после этого вниз по коническому провод- нику к его кончику (вершине конуса), расположенному при 0 = 0о <С 1 на горизонте, и далее в полоидальном @) направ- лении вниз по горизонту к исходной точке на экваторе: экватор V = Э ДС в § <хЕ • dt= J (— ря X В) • dt= вершина конуса я/2 C.115) Второй интеграл представляет ЭДС «типа батареи», определяе- мую формулой C.106); последний интеграл получается, если выражение для этой ЭДС переписать с учетом того, что Ря = = — пнд/дф = —
144 к. торн, р. прайс, д. макдоналд, вэй мо сюэн, сяо хи чжань. Напряжение на дыре C.115) вызывает полный ток, текущий в цепи и равный / = d (заряд) /dt. На горизонте этот ток осу- ществляется в виде полоидального (9-направление) поверхност- ного тока Применяя сначала закон Фарадея, а затем Ома к контуру Я?', изображенному на рис. 26, а, можно убедиться, что тороидаль- ная (ф) компонента поверхностного тока обращается в нуль. Затем, пользуясь соотношением ФаЕ • dl = V, можно рассчи- тать полный ток в цепи. Та часть интеграла, которая набирает- ся на горизонте, обеспечивает вклад, равный я/2 Я/2 Я/2 УВ = \ «А>я^ = \ RHUHdQ = I \ RH^^^IRHT. C.117) > Здесь первое равенство следует из соотношения dl = второе — из закона Ома, третье — из формулы C.116), а чет- вертое равенство представляет собой обычное определение пол- ного сопротивления как интеграла вдоль проводника (гори- зонта) от поверхностного удельного сопротивления Rh, делен- ного на длину поперечного сечения, через которое течет поверх- ностный ток; ср. с формулами B.76) и B.76/). Для простоты будем предполагать, что экваториальный диск и узкий поляр- ный конус являются идеальными проводниками и устроены так, что каждый элемент диска или конуса покоится относительно системы отсчета локального ОПН. Поэтому измеряемое ОПН тангенциальное электрическое поле должно обращаться в нуль на диске и на конусе, и они не вносят никакого вклада в Фа? • dl= V. Провода, идущие от внешнего края диска к верх- нему краю конуса, неподвижны в асимптотически плоской об- ласти (а^1,р^0) пространства, поэтому к ним применима обычная теория цепей в плоском пространстве. Их вклад в ин- теграл Ф аЕ • dl равен VL = IRL, C.118) где RL — полное сопротивление нагрузки, вычисляемое обыч- ным образом (Rl1 — R^1 + R21 + Яз + ...) для параллельной цепи. Складывая вклады горизонта C.117) и нагрузки C.118), получаем привычный ответ 1= oW,R . C-119) кнт + hl
III. БЫСТРО ВРАЩАЮЩИЕСЯ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ 145 выражающий ток в цепи через У, т. е. через ЭДС «батареи» на горизонте, и полные сопротивления горизонта Rht и на- грузки RL. Поскольку связь между напряжением и током C.119) такая же, как и в теории цепей постоянного тока в плоском простран- стве, то и баланс энергии для цепи такой же. Темп выделения энергии-на-бесконечности (сохраняющийся вид энергии) на со- противлении нагрузки равен ^ C.120) Аналогично темп увеличения площади поверхности дыры Л#, энтропии Sh и неприводимой массы Afirr = (Ля/16яI/2 вслед- ствие омического нагрева равен Л/2 ^S Go Я/2 \ . C.121) Первое равенство следует из формул C.81) и C.82), второе — из формулы C.99), третье—из соотношения dA = 2яй>яря^Э, четвертое—из формулы C.116) для fn и пятое — из формулы C.117). Мощность омических потерь C.120) и C.121) в конеч- ном счете черпается из энергии вращения дыры, поэтому из-за диссипации этой мощности дыра должна замедлять свое вра- щение: Я/2 Я/2 + RL). C.122) Здесь первое равенство описывает силу Лоренца, действующую на горизонт C.100), второе следует из соотношений д/дф = = сояв- и dA = 2яс5яря^0, третье вытекает из формулы C.116) ¦> для fH, четвертое — из формулы C.115) для напряжения «ба- тареи» на горизонте, а пятое — из соотношения C.119) для цепи с сосредоточенными элементами. Можно в деталях проследить за потоком мощности, вос- пользовавшись глобальным законом сохранения «энергии»,
146 К. ТОРН, Р. ПРАЙС, Д. МАКДОНАЛД, ВЭЙ МО СЮЭН, СЯО ХИ ЧЖАНЬ Рис. 29. Схема черной дыры в цепи, представленных на рис. 28, с изображе- нием границ дУ, используемых при анализе потока мощности в цепи. сформулировав его с помощью поверхностного интеграла [фор- мула C.70)]. Рассмотрим область У абсолютного простран- ства, которая включает в себя все пространство, кроме дыры и слоя между истинным и растянутым горизонтами, а также кроме резисторов нагрузки и бесконечно тонких слоев вокруг них. Граница дТ области Т показана штриховыми линиями в сечении, изображенном на рис. 29. Полная энергия-на-беско- нечности, \ еЕ dV, заключенная в Т, не зависит от времени, что является следствием независимости от времени полей, за- рядов и токов в этой области; независимо от того, считаем ли мы границу дТ неподвижной относительно звезд, или же ло- кально неподвижной (v = C/а или v = 0), осевая симметрия обеспечивает ортогональность скорости границы к ее нормали, v.dA = 0. Таким образом, на основе глобального закона со- хранения C.70) для энергии-на-бесконечности можно записать 0 = §aSEoo • dA= ф (ct2S — *с 2 * • dA = ±-(ЕХВ) + ^1- [- д В*)]}-dA, C.123) где второе равенство следует из C.696), а третье — из C.55). Граница дТ состоит из двух частей: растянутого горизонта
III. БЫСТРО ВРАЩАЮЩИЕСЯ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ 147 дыры дТн и поверхности резисторов нагрузки дТь (рис. 29). На -> -> -> -> растянутом горизонте, где со = ?2я, Е-? = 0 и l-dA = 0, инте- грал равен dJ dSH dJ dM = pRHT+QH — = TH-1f~+QH4r = -ir C.124) [ср. с формулой C.99)]. Здесь п определяется обычным об- разом, как направленная наружу нормаль к дыре, а не к об- ласти У3. Формула C.124) описывает темп втекания в дыру элек- тромагнитной энергии-на-бесконечности. Конечно, этот темп от- рицателен, т. е. на самом деле энергия-на-бесконечности течет от дыры наружу, потому что дыра замедляет вращение (теряет энергию вращения) быстрее, чем происходит омическая дисси- пация (увеличение неприводимой массы дыры). Этот направлен- ный поток энергии на бесконечности переносится без потерь электромагнитным полем (локально измеряемый поток SeJ) от горизонта до резисторов, где и выделяется со скоростью aSE • dA= ф -r-(EXB)' dA = I2RL. C.125) Глобальный закон сохранения энергии C.123) — это всего лишь констатация равенства мощности перекачки энергии дыры в электромагнитное поле и мощности, выделяемой на нагрузке: ^^ = -ая^-/27?яг = /2^, C.126) т. е. мы приходим к равенству, которое мы уже вывели [фор- мула C.122)], пользуясь понятиями теории цепей. Было бы неплохо, если бы нам удалось выписать аналити- ческое решение для электрического и магнитного полей в аб- солютном пространстве вокруг этой дыры и цепи. К сожале- нию, никаких аналитических решений не найдено. С другой сто- роны, по-существу в нем и нет необходимости, если нас интере- сует лишь поведение самой цепи. Точно так же как в лаборатор- -> ной электронике (где, как правило, не рассматриваются поля Е и В в пространстве между элементами цепи), здесь нам вполне достаточно во всех деталях исследовать саму цепь, не вдаваясь -> -> в детали поведения полей Е и В.
148 к. торн, р. прайс, д. макдоналд, вэй мо сюэн, сяо хи чжань 4. Вихревые токи на растянутом горизонте, обусловленные наклонным внешним магнитным полем В качестве последней модельной задачи рассмотрим вра- щающуюся черную дыру, погруженную в асимптотически одно- родное магнитное поле, наклонное по отношению к оси враще- ния дыры. Эта задача была исследована Бичаком и Двораком [19], Кингом и Лазотой [111], а также Дамуром [48]. Полные выражения для электромагнитного поля и даже выражения для полей на горизонте слишком сложны, чтобы их здесь выводить, но некоторые результаты, особенно полученные в пределе мед- ленного вращения а«М, достаточно просты и полезны в мето- дическом отношении. В случае, рассмотренном в подразд. 1 (рис. 26), когда маг- нитное поле направлено вдоль оси вращения дыры, никаких токов или тангенциальных электромагнитных полей на растя- нутом горизонте не возникало, потому что разделение зарядов на растянутом горизонте компенсировало ЭДС, создаваемую гравитомагнитным полем. Однако почти очевидно, что в случае наклонного магнитного поля никакое стационарное распреде- ление поверхностного заряда не может компенсировать ЭДС и, следовательно, по растянутому горизонту будут течь токи, что будет приводить к нагреву горизонта и порождать замедляю- щий вращательный момент, действующий на вращающуюся дыру. Чтобы представить это наглядно, отбросим компоненту маг- нитного поля, которая вдали от горизонта параллельна оси вра- щения, и оставим только ту компоненту, которая параллельна экваториальной плоскости. (Благодаря линейности уравнений Максвелла это можно сделать, не теряя общности.) В пределе медленного вращения, когда увлечение инерциальных систем отсчета очень мало, а горизонт близок к сферически-симметрич- ному, конфигурация магнитного поля показана на рис. 30. От- метим, что, находясь в точке & на обращенной к нам стороне дыры, ОПН, которые движутся направо относительно магнит- ного поля, фиксированного по отношению к звездам, будут измерять индуциро!ванное электрическое поле?= — a#P#XS, направленное вверх, но на обратной стороне дыры соответ- ствующее индуцированное поле будет направлено вниз. Хотя на первый взгляд никакого индуцированного электрического поля, параллельного горизонту, на полюсах дыры нет, тем не -> менее ясно, что поле Е на обращенной к нам стороне и поле -> Е на обратной стороне будут создавать токи, текущие до тех пор, пока не установится разделение зарядов, достаточное
III. БЫСТРО ВРАЩАЮЩИЕСЯ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ 149 Рис. 30. Медленно вращающаяся черная дыра, которую пронизывает одно- родное магнитное поле, перпендикулярное угловому моменту дыры /. Вза- имодействие поля В с ГМ-потенциалом горизонта |3я = —пнд/дф создает S->->-> -> -> Р# X В • dl по замкнутым контурам в плоскости В — /, приводя тем самым к возникновению поверхностных токов («вихревых то- ков»), текущих по окружностям, указанным на рисунке. чтобы индуцировать тангенциальные полярные поля Е и токи. Результирующий ток на горизонте будет циркулировать вокруг дыры, как показано на рисунке. Выводы о существовании этого кругового тока можно получить, исходя из закона Фарадея C.49), согласно которому вдоль круговых контуров, изобра- женных на рис. 30, должна существовать результирующая ЭДС= — Ф Ря X В • d/, а также исходя из закона Ома C.96), согласно которому вдоль этих контуров должны течь круговые токи. Эти круговые токи на горизонте черной дыры аналогичны вихревым токам, которые возбуждаются в проводящей метал- лической сфере, вращающейся в наклонном магнитном поле. По этой причине Дамур [48] назвал их «черно-дырными вих- ревыми токами». Подробная структура картины черно-дырных вихревых то- ков в случае быстро вращающейся дыры следует из структуры электромагнитного поля, описанной Бичаком и Двораком [19]. Полученные таким образом тангенциальные поля на горизонте
150 К. ТОРН, Р. ПРАЙС, Д. МАКДОНАЛД, ВЭЙ МО СЮЭН, СЯО ХИ ЧЖАНЬ равны Ен§ ^Нф аМВ0 sin y rH cos 0 + a cos2 6 sin 0 яв 4я 4я гн2 + а2 4я д/гя2 + a2 cos2 9 C.127a) Е * В А аЛ1В sin V cos 6 Га cos 0 — г sin 0"| cf НФ до _ 0 L Н J я<^ 4я 4я гя2 + а2 4я д/гя2 + а2 cos2 G C.1276) Здесь у — угол между осью вращения дыры (осью г) и асимп- тотическим направлением магнитного поля, а угол ф опреде- ляется соотношением ^(^Щ (^-), C.128) где г'н^=М—л/М2 — a2, a ф выбран так, чтобы асимптотиче- -> ское поле В лежало в плоскости ф = 0, ф = п и было направ- лено от ^=0 к ф = я (ср. с рис. 30). Выражения для полей Еп и Вл, нормальных к горизонту, намного сложнее. Темп, с которым происходит увеличение энтропии дыры за счет взаимодействия с электромагнитным полем, дается соот- ношением 2Я Я pS 0 0 t 2 (ДоаМ sin уJ Во вращательный момент, действующий на горизонт, входят (крайне сложные) нормальные поля на горизонте, и поэтому вычислить его аналитически очень трудно. Однако, как пока- зал Дамур [48], расчет вращательного момента в первом по- рядке по а/М дает результат, применимый и при учете всех других порядков по а/М, т. е. полное выражение для враща- тельного момента совпадает с соответствующим выражением в.пределе медленного вращения. В случае медленного враще- ния (а <С Му рис. 30) поля на горизонте можно записать в еле-
III. БЫСТРО ВРАЩАЮЩИЕСЯ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ 151 дующем виде: Е д — В ~ аВ sin y ? &* аВ sin у о e sin ф, C.3106) J Нф An An ' \6nM aH = -~-= ft ° [— cosyO — 3cos29) + 3sin y sin 9 cos 9 cos ф], " An lonM C.130b) Bn== — Bo [cos y cos 9 + sin y sin 9 cos ф] + -щ- sin y sin 9 sin <j>. C.130r) С помощью этих выражений можно вычислить ^-компоненту вращательного момента, действующего на горизонт со стороны электромагнитного поля (т. е. компоненту вращательного мо- мента, направленную вдоль оси ©ращения дыры): —гг- = -гт = 6 (онЕи + ?н X В„) *-^-dA= C.131) 2 я X 5ял)?] йя ^ = -1 а (В0М sin Y) Подынтегральное выражение здесь имеет знакомый вид плот- ности силы Лоренца онЕн + f H X В в проекции на генератор вращений вокруг оси z, % = d/d<j> — &He~ [формула C.100)]. Отметим, что выражения для темпа замедления вращения C.131) и темпа диссипации C.129) с учетом первого начала термодинамики dM = TtidSH + Q#d/ позволяют сделать вывод о постоянстве массы дыры с течением времени, dM/dt = 0. Та- ким образом, стационарное наклонное магнитное поле высту- пает в роли катализатора, который вызывает преобразование энергии вращения черной дыры в неприводимую массу без изменения полной массы дыры. В разд. VII. В мы покажем, что наклонное приливное гравитационное поле, создаваемое стацио- нарными удаленными телами, приводит к тому же самому эффекту. В случае быстро вращающейся черной дыры центробежное уплощение приводит к нарушению сферической симметрии и не позволяет 'в сколько-нибудь простом виде выразить х- и у-компоненты вращательного момента через интегралы по рас- тянутому горизонту. Легко можно вычислить только dJx/dt и dly/dt на основе анализа для области вдали от дыры, где абсо-
152 к. торн, р. прайс, д. макдоналд, вэй мо сюэн, сяо хи чжань лютное пространство является асимптотически сферически-сим- метричным, а угловой момент переносится полями. Этот подход будет развит для случая гравитационных (вращательных момен- тов в разд. V. А.4. Здесь мы ограничимся анализом медленно вращающихся черных дыр, для которых абсолютное простран- ство и горизонт почти сферически-симметричны, что позволяет выразить вращательные моменты dJx/dt и dJy/dt через поверх- ностные интегралы по горизонту от силы Лоренца в проекции на генераторы Lx и Ly вращений вокруг осей хну [см. об- суждение после формулы B.59)]. Исходя из соображений симметрии, можно убедиться, что, поскольку ось у перпендикулярна плоскости, в которой лежат вектор / и асимптотическое поле В (плоскость ф = 0), у-ком- понента вращательного момента обращается в нуль. Генера- тор вращений вокруг оси х имеет вид *f . , д cos 6 cos 0 а / и, следовательно, вращательный момент вокруг оси х равен dJx ? г t> i ^ w о ^1 Г • л d cos 6 cos Ф д 1 , „ -ЗГ = $ [онЕн + /я X Впп] ¦ [- sin ф-щ io—Ж] dA = 4 = -|а(?0МJ- sin y cosy C.133) О в согласии с работами [156, 111, 48]. Три компоненты враща- тельного момента C.131), C.133) и dJy/dt = Q можно скомби- нировать в одно единое векторное соотношение [156]: -> 45—f M(/XS)XB, C.134) которое, как показали Кинг и Лазота [111], а также Дамур [48], для быстро вращающихся черных дыр остается справед- ливым, так же как и (в случае медленного вращения. Уравнение для момента C.134) имеет простую физическую интерпретацию: компонента углового момента дыры /ц, на- правленная вдоль асимптотического поля В, сохраняется, тогда как компонента J±, перпендикулярная полю В, испытывает экспоненциальную диссипацию /в = const, /х = /1Начехр(-!-МВ2/). C.1340 Хотя эта диссипация представляет значительный принципиаль- ный интерес, ее астрофизическое значение не велико, поскольку
III. БЫСТРО ВРАЩАЮЩИЕСЯ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ 153 Бесконечное расстояние а б Полярное сечение и поле б Экваториальное и поле Рис. 31. а — диаграммы погружения для экваториального сечения абсолют- ного пространства черной дыры с а/М = 0,9; 0,99; 0,999 и 1,0 (рисунок заимствован из работы [4]); б — диаграмма погружения для полярного сечения в случае дыры с максимально быстрым вращением (а/М =1) и магнитные силовые линии в случае осесимметричного поля В, которое асимптотически однородно и направлено параллельно оси вращения дыры; в — диаграмма погружения для экваториального сечения в случае дыры с максимально быстрым вращением (а/М = 1) и магнитные силовые линии поля В, которое асимптотически однородно и направлено параллельно экваториальной плос- время изменения JL в е раз крайне велико, /diss = 3/BМВ2) = = 1010 лет [A04 Гс)/Б]2A08Мо/М). Весьма поучительно исследовать поведение полей на растя- нутом горизонте в предельном случае, когда дыра приведена в максимально быстрое вращение, а->М. Если магнитное поле асимптотически параллельно оси вращения дыры (см. под- разд. 1, рис. 26), то поля вблизи горизонта, согласно расчетам Уолда [215], при а-^М стремятся к нулю [ср. с формулами C.108—3.110) при а = М и гн = М]. Напротив, если магнит- ное поле асимптотически наклонено к оси вращения (данный раздел), то поля вблизи горизонта, как показали расчеты Би- чака и Дворака [19], при а-^М отличны от нуля. Эти замечательные особенности поведения полей легко по- нять, воспользовавшись диаграммами погружения, изображен- ными на рис. 31. На рис. 31, а показаны самые нижние, расположенные вбли- зи горизонта части диаграмм погружения для экваториальных плоскостей черных дыр с а/М = 0,9; 0,99; 0,999 и 1. Отметим, что при а/М-^l горловина диаграммы погружения растяги- вается вниз до бесконечной длины. Подобное поведение свой- ственно и диаграммам погружения для полярных сечений в 3-геометрии абсолютного пространства: керровский метрический
154 К. ТОРН, Р. ПРАЙС, Д. МАКДОНАЛД, ВЭЙ МО СЮЭН, СЯО ХИ ЧЖАНЬ коэффициент grr [формула (З.бв)] в пределе а-^М пропор- ционален (г — гя)~2, и, следовательно, истинное физическое расстояние от произвольного конечного радиуса г > гн до го- ризонта \glrfdr логарифмически расходится. Рис. 31,6 представляет собой диаграмму погружения в пре- деле а-^М для полярного сечения абсолютного пространства. На этой диаграмме изображены силовые линии магнитного поля, которое осесимметрично и асимптотически параллельно оси вращения (см. подразд. 1, рис. 26). Заметим, что поскольку горизонт расположен бесконечно далеко внизу на этой диа- грамме, то конечный магнитный поток должен охватить беско- нечную пространственную область вокруг цилиндра на диа- грамме погружения, и, следовательно, вблизи горизонта маг- нитное поле падает до нуля. Рис. 31, в — это аналогичная диаграмма погружения в пре- деле а-+М для экваториального сечения в абсолютном про- странстве. На диаграмме изображены силовые линии магнит- ного поля, асимптотически параллельного экваториальной пло- скости (случай, рассмотренный в этом разделе, с углом на- клона у = я/2).В этом случае абсолютное пространство и ОПН движутся все время по кругу вокруг вертикальной оси диа- граммы; круговое движение приводит к увлечению магнитных силовых линий и закручиванию их в спиральную структуру вблизи горизонта. Такое увлечение структуры поля аналогично тому, что было изображено на рис. 18,6 (поле Е, создаваемое заряженной частицей, движущейся параллельно риндлеров- скому горизонту). И в том и в другом случае имеется неодно- родная структура поля, привязанная к некоторому объекту (здесь таким объектом является «пространственная бесконеч- ность», а на рис. 18 — заряженная частица), и абсолютное про- странство вблизи горизонта движется относительно объекта, к которому привязано поле. Можно иначе взглянуть на рис. 31, в и рис. 18,6, если за- метить, что внизу на диаграмме функция длительности а очень мала. Следовательно, объект, к которому привязано поле, дви- жется через абсолютное пространство быстрее, чем скорость света, поэтому поле становится полем излучения (сходящиеся, локально плоские электромагнитные волны, распространяющие- ся по направлению к горизонту). Здесь видна полная аналогия поведению наклонного вакуумного дипольного магнитного поля, зафиксированного на вращающейся проводящей сфере (или нейтронной звезде), которое становится полем излучения вне светового цилиндра (расходящиеся волны, распространяющиеся на бесконечность). Как известно, вакуумное дипольное поле вращающейся сферы, если оно осесимметрично, а не наклонно,
III. БЫСТРО ВРАЩАЮЩИЕСЯ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ 155 не становится полем излучения на световом цилиндре; точно так же и осесимметричное поле, изображенное на рис. 31,6, не будет полем излучения. По мере радиального распространения наклонного поля, изображенного на рис. 31, в, через абсолютное пространство по направлению к горизонту оно проходит через области, сферои- дальное поперечное сечение которых никогда не меняется (ср. с цилиндрическим характером поверхности погружения, при этом опущенное пространственное измерение восстанавливает- ся путем замены горизонтальных окружностей на сфероидаль- ные 2-поверхности). Следовательно, хотя поле прежде, чем достичь горизонта, должно пройти бесконечное расстояние, амплитуда поля падать не будет. На самом деле, поскольку функция длительности становится все меньше и меньше, если идти вниз по данной диаграмме, поле в процессе распростра- нения, наоборот, приобретает все большее смещение в голубую часть спектра. Следовательно, длина волны становится короче (спираль на диаграмме все туже), измеряемые ОПН напря- женности Е\\ и fin растут, и переопределенные поля на растяну- том горизонте Ей, Вн, Еп и Вп оказываются конечными.
IV Астрофизические приложения электродинамики черных дыр Д. Макдоналд, К. Торн, Р. Прайс, Сяо Хи Чжань Перейдем теперь от модельных задач к черным дырам в реальной астрофизической Вселенной. Наша цель в этой гла- ве—показать, как мембранная парадигма позволяет понять возможное поведение вращающихся черных дыр при их взаимо- действии с аккреционными дисками и замагниченной плазмой. Как мы увидим, это взаимодействие позволяет дать разумное объяснение некоторых наблюдаемых свойств квазаров и актив- ных ядер галактик. В разд. А мы начнем с краткого обзора наблюдаемых свойств квазаров и активных ядер галактик, уделяя особое внимание выбросам (джетам), которые простираются наружу от их центров, а также полной энергетике рассматриваемых объек- тов, и дадим обзор свидетельств в пользу того, что энергетика квазаров и ядер галактик обеспечивается сверхмассивными черными дырами, окруженными аккреционными дисками. За- тем в разд. Б мы покажем, как гравитомагнитное поле вра- щающейся дыры вынуждает аккреционный диск расположить- ся в экваториальной плоскости; поэтому направление любых выбросов, создаваемых дырой или диском, фиксируется осью вращения дыры («эффект Бардина — Петтерсона»). В разд. В мы рассмотрим качественные свойства магнитосферы черной дыры и диска, включая передачу магнитного поля от диска к дыре, исследуем механизмы удержания поля дырой и «вы- глаживания» поля горизонтом дыры, оценим возможные значе- ния напряженности получающихся в результате полей и, на- конец, предложим вероятный механизм заполнения магнито- сферы дыры плазмой. В разд. Г мы набросаем контуры деталь- ной теории строения магнитосферы дыры и выполним в рам- ках теории цепей постоянного тока анализ электрических токов и выделения энергии в замагниченной магнитосфере, заполнен- ной плазмой. Наличие этих токов и энерговыделения позволяет дать разумное объяснение того, как возникают и подпитывают- ся энергией некоторые наблюдаемые выбросы («процесс Блэнд- форда — Знаека»).
IV. АСТРОФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ ЧЕРНЫХ ДЫР 157 А. Наблюдаемые свойства квазаров и активных ядер галактик Сейчас представляется вероятным, что квазары — это раз- новидность ярко выраженных и очень далеких активных ядер галактик (АЯГ). Последние можно изучать более подробно, поскольку они расположены ближе к нам (см., например, [102, 223]). В типичном АЯГ (и в типичном квазаре) имеется яркий неразрешенный центральный источник излучения в непрерыв- ном спектре, который может быть аккреционным диском вокруг сверхмассивнбй черной дыры. Размер его порядка 1015 см, при- мерно такой же, как у нашей Солнечной системы. Светимость центрального источника (главным образом в ультрафиолете) может достигать 1048 эрг/с A0 солнечных масс в виде энергии за год), хотя типичное значение светимости на несколько по- рядков меньше. Из центрального источника часто выходят сильно сфокусированный выброс (угол раствора ^10°) или, в некоторых случаях, два выброса в противоположных направ- лениях. В подклассе АЯГ, называемом «радиогалактики» (и в подклассе квазаров, называемом «квазизвездные радиоисточ- ники»), выбросы, интенсивно излучающие в радиодиапазоне, простираются через ядра галактик (имеющих размеры порядка 3000 световых лет или 3-Ю21 см), через внешние области га- лактики (имеющие размеры порядка 100 000 световых лет или 1023 см) и уходят в межгалактическое пространство, где они заканчиваются гигантскими облаками (имеющими размеры по- рядка 1 млн. св. лет или 1024 см), состоящими из плазмы, про- низанной магнитными полями, и излучающими в радиодиапа- зоне. Светимость этих облаков («протяженных радиокомпо- нент») может достигать 1045 эрг/с. Хорошим примером являет- ся галактика NGC 6251 (рис. 32). Общепринято, что вся кон- фигурация черпает энергию из «машины» (вероятно, черной дыры), расположенной в центре неразрешенного центрального источника (который, вероятно, является аккреционным диском), а струйный выброс осуществляет перенос энергии от централь- ной машины к гигантским протяженным радиокомпонентам. Многие струйные выбросы наблюдаются с помощью радиоте- лескопов, а некоторые — также с помощью оптических и рент- геновских телескопов. Дополнительную информацию дают оп- тические эмиссионные линии, которые формируются в облаках фотоионизованного газа в областях с размерами не больше светового года A018 см) вокруг центрального неразрешенного источника непрерывного спектра. Подробный обзор наблюде- ний см. в [103, 27, 158, 70, 127]. Окончательно еще не доказано, что центральная машина в АЯГ (и в квазарах) представляет собой сверхмассивную
158 Д. МАКДОНАЛД, К. ТОРН, Р. ПРАЙС, СЯО ХИ ЧЖАНЬ Рис. 32. Радиокарты струйных выбросов из галактики NGC 6251 (рисунок заимствован из работы [168]). Пунктирная окружность, наложенная на сред- нюю карту, указывает примерный размер оптической галактики. Внутри и вблизи галактики левый выброс настолько слабее, чем правый, что он не ви- ден ни на средней, ни на нижней картах. черную дыру, но есть сильные свидетельства в пользу такой возможности: «черно-дырные» модели центральной машины прекрасно согласуются с наблюдениями. Другие модели цен- тральной машины (главным образом это сверхмассивные бы- стро вращающиеся звезды или плотные скопления звезд нор- мальной массы) также позволяют объяснить результаты на- блюдений, но при этом мы либо сталкиваемся с трудностями, либо должны прибегать к различным ухищрениям. Более того, центральные машины в других моделях должны быть столь компактными, что их времена жизни по отношению к гравита-
IV. АСТРОФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ ЧЕРНЫХ ДЫР 159 ционному сжатию, приводящему к образованию сверхмассив- ной дыры, как правило, должны быть меньше возраста Вселен- ной. Таким образом, разумно считать, что другие модели со- ответствуют короткоживущим предшественникам сверхмас- сивных черных дыр и, хотя некоторые из наименее активных АЯГ могут обеспечиваться энергией за счет этих предшествен- ников, большинство АЯГ (и квазаров) обеспечиваются энер- гией за счет черных дыр. Более подробно см. разд. III.Б об- зора [9]. В некоторых АЯГ светимость неразрешенных источников не- прерывного спектра (аккреционных дисков?) меняется на де- сятки процентов за поразительно короткое характерное время. Сравнение этого характерного времени переменности tYav с пол- ной светимостью источника непрерывного спектра L приводит к одному из наиболее сильных свидетельств в пользу того, что центральная машина представляет собой черную дыру [66, 6]. Излучающий газ в источнике непрерывного спектра, каким бы он ни был, удерживается гравитационным полем центральной машины (сила притяжения пропорциональна массе машины) и выталкивается наружу да!влением излучения (расталкивающая сила пропорциональна светимости источника). Из требования, чтобы источник непрерывного спектра не был разбросан дав- лением излучения, следует, что светимость источника не должна сильно превышать эддингтоновский предел L ^ LEdd = Dптр/от) М = 1,3 . 1038 (М/Мо) эрг/с; D.1) здесь trip — масса протона, от — томсоновское сечение рассея- ния фотонов на электронах и М — масса центральной машины. Это ограничение устанавливает связь между светимостью ис- точника и массой машины. Требование, чтобы характерное время изменений светимости /var не было намного меньше, чем время, за которое свет проходит источник из конца в конец {Kar>Ry где R — размер источника), в комбинации с ограни- чением D.1) дает R W1 2М ^ L/104s эрг/с ! Следовательно, чем короче характерное время переменности tvav в сравнении со светимостью L, тем жестче ограничение на компактность источника непрерывного спектра и тем меньше отличие размеров этого источника от гравитационного радиуса центральной машины. Некоторые АЯГ проявляют такую быструю переменность в сравнении с их светимостью, что, согласно D.2), R/2M <С 1, из чего следует, что центральная машина — черная дыра, а из- лучающая область ненамного протяженней, чем горизонт дыры.
160 Д- МАКДОНАЛД, К. ТОРН, Р. ПРАЙС, СЯО ХИ ЧЖАНЬ Для многих других объектов R/2M <^ 100, следовательно, даже если центральная машина и не является черной дырой, она тем не менее столь компактна, что ее время жизни по отноше- нию к гравитационному сжатию с образованием черной дыры мало по сравнению с возрастом Вселенной. Подробный обзор данных наблюдений см. в работах [66,6]. К сожалению, этот аргумент нельзя считать полностью убе- дительным. При экстремальных обстоятельствах светимость ис- точника может несколько превышать эддингтоновский предел (возможно, в 10 раз) и, если переменный источник в процессе излучения расширяется с ультрарелятивистской скоростью, за- медление времени, следующее из специальной теории относи- тельности, может приводить к видимой переменности с более коротким характерным временем, чем время, за которое свет проходит расстояние, равное размеру источника. Эти слож- ности, позволяющие избежать вывода, что центральная машина есть черная дыра или вскоре станет ею, иллюстрируют не- окончательность всех аргументов в пользу черных дыр как поставщиков энергии в АЯГ. Тем не менее очевидно, что в основе наиболее разумных, непротиворечивых моделей, объяс- няющих данные наблюдений, лежат черные дыры. В остав- шейся части этой книги мы будем предполагать, что черные дыры на самом деле являются поставщиками энергии. Б. Диск и направленность выбросов за счет гравитомагнитных сил Черная дыра сама по себе не может создать наблюдаемое излучение и выбросы. Она способна на это лишь с помощью окружающего вещества и магнитных полей. Сверхмассивная дыра в ядре галактики может заполучить окружающее веще- ство либо посредством гравитационного затягивания межзвезд- ного газа в свою окрестность, либо посредством приливного разрушения пролетающих мимо звезд и последующего «раз- мазывания» их вещества вокруг дыры. И в том и в другом случае газ, по всей вероятности, обладает весьма значитель- ным угловым моментом. Поэтому, вместо того чтобы сразу же радиально падать в поглощающую его дыру, он образует диск, который обращается вокруг дыры. Ориентация диска на боль- ших радиальных расстояниях, г > 100 М, будет определяться направлением вектора углового момента поступающего газа и вполне может меняться за характерное время много меньше миллиона лет, особенно в том случае, если главным поставщи- ком газа служит разрушение случайно пролетающих мимо звезд. Однако на меньших радиальных расстояниях, г <С 100 М, гравитомагнитное поле Н воздействует на диск силой, которая
IV. АСТРОФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ ЧЕРНЫХ ДЫР 161 ь 7 Рис. 33. Аккреционный диск вокруг вращающейся черной дыры, располагаю- щийся в экваториальной плоскости дыры на малых радиальных расстояниях под действием эффекта Бардина — Петтерсона, который возникает в резуль- тате комбинации гравитомагнитных сил (поле Н, взаимодействующее с газом, который движется вокруг дыры) и сил вязкости. заставляет его расположиться в экваториальной плоскости и удерживает его там бесконечно долго независимо от возмож- ных изменений углового момента диска и ориентации его внеш- ней области (эффект Бардина — Петтерсона [3]; см. рис. 33 и подпись к нему). Следовательно, на радиальных расстояниях от ^2 М до ~20 Му где выделяется основная доля гравита- ционной энергии диска и где взаимодействия между дырой и диском сильны, есть только одно геометрически выделенное на- правление, вдоль которого могут происходить выбросы: это на- прагвление, перпендикулярное плоскости диска, совпадающее с осью вращения дыры. В некоторых случаях струйный выброс может создаваться ветром от диска, в других случаях — элек- тродинамическим ускорением от диска, а иногда благодаря то- кам в магнитосфере дыры, которые получают энергию от вра- щения дыры (см. [9]). Однако во всех случаях независимо от механизма, преимущественное направление выброса совпадает с осью вращения дыры. Если такая картина верна, то дыра действует как гироскоп, поддерживающий выброс направлен- ным, и обстоятельство, что ось вращения черной дыры повер- нуть очень трудно (см. гл. V ниже), объясняет постоянство на- блюдаемых направлений струйных выбросов в масштабах, пре- вышающих миллионы световых лет (рис. 32) и, следовательно, за характерные времена в миллионы лет или больше. Математический вывод эффекта Бардина — Петтерсона (увлечение диска в экваториальную плоскость дыры) является
Д. МАКДОНАЛД, К. ТОРН, Р. ПРАЙС, СЯО ХИ ЧЖАНЬ 162 поучительным примером применения 3 + 1-формализма в слу- чае слабой гравитации, поэтому оставшуюся часть этого раз- дела мы посвятим основным моментам этого вывода. (Некото- рые из читателей, возможно, захотят пропустить этот вывод и перейти к следующему разделу.) Вывод можно осуществить в пределе слабой гравитации, поскольку оказывается, что увле- чение диска 1В экваториальную плоскость происходит на ради- альных расстояниях г > 2 М. Строение диска определяется совместным действием грави- тации gy гравитомагнетизма Я, пространственной геометрии gjk, сил давления и сил вязкости. Главной вынуждающей си- лой является радиальная компонента g, которая создает гра- витационное ускорение относительно координат, неподвижных по отношению к звездам; величина этого ускорения равна d2x dt2 g. рад D.3а) Доминирующая сферическая компонента gjk создает эффекты меньше, чем D.3а) на фактор ~М/г, т. е. эффекты «пост-нью- тоновского порядка»: dt2 gik, сфер D'3б) (см. § 39.6 книги [129]). Если бы все другие гравитационные эффекты были, как и рассмотренные выше, сферически-симмет- ричными, диск лежал бы в одной плоскости. Искривление, по- казанное на рис. 33, создается несферическим гравитационным полем. Несферические гравитационные эффекты g= — Vina обу- словлены квадрупольным моментом дыры &ik ~ Ма2 [фор- мулы C.25), C.26)] и создают несферические ускорения по- рядка d2x Ма2 ( М\ ( а \2 Г М g, несфер которые на фактор О {а2/г2) меньше, чем эффекты сферической компоненты g. (Напомним, что а/М ~ 1 для быстро вращаю- щейся дыры.) Аналогично несферические эффекты в gjk меньше, чем сферические эффекты [формулы C.5) и (З.бв)] на фактор O(a2M/r3): несфер / M\ ( М\ ( а2\ ( М\ ( а \2 / М\3 Ы (-) (тг) - (t^J Ы) (гг) • D-3г)
IV. АСТРОФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ ЧЕРНЫХ ДЫР 163 В противоположность этому доминирующие гравитомагнитные (Р, Н) эффекты являются несферическими и имеют величину \2Х -> -> ма та W Я, несфер ^|VX//| ^V~~^~ D.3д) [см. формулы C.32), C.36)], что превышает несферические эффекты связанные с g, на фактор (М/а) (г/МI/2, а несфериче- ские эффекты от gjk, — на фактор (М/а) (г/МK/2. Следовательно, можно с высокой точностью рассчитать конфигурацию искривленного диска, пренебрегая несферич- ностью от gjk и g и считая гравитомагнитные эффекты D.3д) слабыми несферическими возмущениями, наложенными на ньютоновский диск. При таком рассмотрении может возникнуть сомнение в отношении того, что опускаются сферические «пост- ньютоновские» [О(М/г)] поправки к g [формула D.3а)], а также вклад со стороны gjk [формула D.36)] — ведь они превышают гравитомагнитные эффекты, которые мы оставляем [формула D.3д)], на фактор (М/а) (г/МI/2. Заметим, однако, что эти сферические поправки, по-видимому, незначительно влияют на искривление диска, именно поэтому мы ими можем пренебречь. Основным уравнением, определяющим структуру диска, яв- ляется уравнение Навье — Стокса. Его можно вывести с по- мощью нашего 3+ 1-формализма в пределе слабой гравитации, подставляя в локальный закон баланса сил C.59*) ньютонов- скую плотность массы-энергии е, поток импульса S и натяже- ние Vk\ Tk = Pmv V + pgjk — 2v)ojk. D.4a) Здесь ц — коэффициент сдвиговой вязкости (объемная вязкость пренебрежимо мала), a olk — темп сдвиговых деформаций в газе. Фигурирующая здесь скорость представляет собой скорость, измеряемую ОПН: vf = arl(dxf/dt + Р7')- Фактор а является пост-ньютоновским и сферическим, поэтому мы можем его опу- стить, но величину р', хотя она и мала (|р|~Ма/г2), следует оставить, поскольку она является несферическим гравитомаг- нитным членом. Таким образом, сохраняя Р, можно записать v> = и1 + р7; uf = dxf/dt. D.46) С другой стороны, нет необходимости сохранять р повсюду. В астрофизических дисках вязкие натяжения —2r\oik, как пра-
164 Д. МАКДОНАЛД, К, ТОРН, Р. ПРАЙС, СЯО ХИ ЧЖАНЬ вило, очень малы по сравнению с pmvfvk, поэтому в сдвиговой деформации можно пренебречь величиной Р, т. е. сдвиговые деформации можно рассчитывать по обычной ньютоновской формуле aik = 1 (и/1 * + ик ¦' 0 ~ у gikul\ i- D-4в) -> .. Подставляя €, S и V из D.4а) в закон баланса сил C.59') и исключая те эффекты сферической гравитации, которые имеют пост-ньютоновскую величину, получаем + @ v) Iv + o r + = 9mgf - P" Затем, комбинируя это соотношение с законом баланса энер- гии C.57'), который в пределах нужной точности имеет вид и с соотношениями Я = УР, Я = УХР, а также с выражением D.46) для v, получаем в первом порядке по р Это есть обычное нерелятивистское уравнение Навье — Стокса, в которое добавлены гравитационная и гравитомагнитная силы Рт(? + ^Х#). Отметим, что гравитомагнетизм входит в это уравнение в том же самом виде, по форме аналогичном выра- жению силы Лоренца, что и в уравнение движения для проб- ной частицы в пределе слабой гравитации C.32). Бардин и Петтерсон [3], Петтерсон [150, 151], а также Хатчетт, Бегелман и Саразин [91] воспользовались уравнением Навье — Стокса D.5) для расчета деформированной структуры аккреционного диска вокруг черной дыры. Деформация вызы- вается совместным действием гравитомагнитной силырт(^ХЯ) и вязких сил V • Bг|сг). ГМ-сила сама по себе, т. е. в отсутствие вязкости, заставила бы диск прецессировать, точно так же как она заставляет прецессировать гироскоп [формула C.37)]. В самом деле, можно непосредственно убедиться, воспользовав- шись уравнением Навье — Стокса D.5) и выражением диполь- ного ГМ-поля C.36), что тонкое кольцо вещества с радиусом г и угловым моментом L, если на него не действуют силы со стороны соседнего вещества (р = ц = 0), прецессирует вокруг
IV. АСТРОФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ ЧЕРНЫХ ДЫР 165 вектора углового момента дыры, /, с угловой скоростью Qgm= = 2//г3 [224]: ~-rr- = QGMy( L, Qgm = ~t~ Для тонкого кольца. D.6) (XX т В аккреционном диске вязкость заставляет каждое газовое кольцо двигаться по спирали к дыре с радиальной скоростью | иг | < (орбитальная скорость) = (М/гI/2. Если бы это был единственный эффект вязкости, то деформация диска своди- лась бы к дифференциальной прецессии. Каждое последующее кольцо, имеющее меньший радиус, чем предыдущее, более долго взаимодействовало бы с ГМ-полем и, следовательно, успевало бы повернуться в ходе прецессии на больший угол у: dr ~ \иг\ ~ г г2 \иг\' К ' ] В результате диск оказался бы радиально искривленным, но не лег бы в экваториальную плоскость. Однако прецессия из- меняет сдвиговые деформации в диске а/* и это ведет к изме- нению сил вязкости. Именно эти изменившиеся силы застав- ляют диск стремиться к экваториальной плоскости черной дыры. Таким образом, рассмотренная комбинация гравитомагнитных и вязких сил приводит к стационарной конфигурации, изобра- женной на рис. 33. Математическое описание деформированного диска осуще- ствляется с применением двух углов Эйлера у и |3 (рис. 34) для кольца, заданных в виде функций от радиуса кольца г. Мы опишем здесь вывод уравнений для у {г), C(г) в том виде, в каком он был первоначально дан Бардиным и Петтерсоном [3] и Петтерсоном [150, 151], а затем модифицирован и пере- формулирован в терминах одной единственной комплексной ве- личины Хатчеттом, Бегелманом и Саразином [51]. Этот вывод начинается с введения координат г, \f>, ?, удобных для описания конфигурации диска. Как показано на рис. 34, координаты г, г|), ? точки ^, расположенной внутри или вблизи диска, опре- деляются следующим образом: построим в & нормаль к цен- тральной поверхности деформированного диска (это поверх- ность, которая отделяет верхнюю половину от нижней, т. е. по- верхность, изображенная на рис. 33), причем ? есть расстояние вниз вдоль нормали. Нормаль упирается в центральную поверх- ность на некотором выделенном тонком кольце диска; г — ра- диус этого кольца, а я|) — угол, характеризующий положение & на этом кольце, поэтому г, г[), ? по отношению к этому кольцу образуют цилиндрическую систему координат. Ориентация кольца по отношению к черной дыре определяется углами Эй-
166 Д. МАКДОНАЛД, К. ТОРН, Р. ПРАЙС, СЯО ХИ ЧЖАНЬ Рис. 34. Координаты, удобные для описания эффекта Бардина — Петтерсона. Координаты х, у, z связаны с черной дырой: дыра расположена в начале координат, а ее собственный угловой момент направлен вдоль оси z. Коор- динаты х\ yr, zf связаны с некоторым выбранным тонким кольцом на цен- тральной поверхности диска; кольцо, показанное на рисунке, лежит в пло- скости х\ у'. Эти две декартовы системы координат связаны друг с другом через углы Эйлера C и у. Точка ^\ расположенная непосредственно над кольцом, имеет цилиндрические координаты г, ф, ? в системе х', у\ z'. лера р(г) и у (г). Новые координаты г, -ф, Е; следующим обра- зом выражаются через декартовы координаты х, у, z абсолют- ного пространства (пространство в соответствующем прибли- жении берется плоским; см. обсуждение выше; дыра располо- жена в начале координат, а ее угловой момент направлен вдоль оси г): х У _ z D.8) где С и В — С (г[>) = матрицы вращения: cos г|) — sin я|) 0 sin г|з cos tf 0 0- 0 1. в .41 0 cos р — sin Р 0 sin p cosp D.9) Введем также ортонормированныи базис, который сводится к обычному базису для цилиндрических координат, если у и р постоянны: ¦^-. D.10)
IV. АСТРОФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ ЧЕРНЫХ ДЫР 167 где W = p>rsini|) — Y,rcos\|)sinp, D = (l — IW)~\ D.11) Символы Кристоффеля для этого ортонормированного базиса в евклидовом пространстве просты, но вычислять их утоми- тельно; те из них, которые не обращаются в нуль, равны ГФ _ гг ? п dW гф _ v? j_ 1 ft l ?~ г д$ ' >* И " г ' Г^ = -Г^ = /»Т, r^ = -rV = D^. D.12) Чтобы проанализировать конфигурацию стационарного де- формированного диска, мы воспользуемся формулой D.5), за- писанной в этом базисе, сделав следующие допущения. 1) Дви- жение вещества первоначально является круговым, поэтому и? и ut малы по сравнению с орбитальной скоростью Л 2) Предполагается, что мы находимся на достаточно малом ра- диальном расстоянии, где наклон диска уже становится малым вследствие эффекта Бардина — Петтерсона, так что C«<1; справедливость этого допущения будет подтверждена оконча- тельным результатом. 3) Предполагается, что диск тонкий, т. е. что область, заполненная веществом, ограничена ? <С г. Фор- мально мы считаем, что ui ~ zjr ~ p ~ rW = О (и') < 1. D.13) ье — (и*)* = М/г, D.14) т. е. что орбитальная скорость близка к кеплеровской. С другой стороны, ^-компонента уравнения D.5) для ста- ционарного диска в первом порядке по uf имеет вид 9mU^(r^) = T — [^—[—)l D.15) Полезно проинтегрировать это уравнение по ?, т. е. верти- кально по диску, воспользовавшись при этом тем фактом, что D.16) где в случае стационарного диска темп аккреции массы М яв- ляется константой. При и$ ее г~1/2 из уравнения D.15), проин- тегрированного по ?> следует, что \ r\ dQ не зависит от г и --sr. DЛ7) Оценивая радиальную r-компоненту уравнения Навье Стокса D.5) в нулевом порядке по и?у можно записать
168 Д. МАКДОНАЛД, К. ТОРН, Р. ПРАЙС, СЯО ХИ ЧЖАНЬ Во втором порядке по и? ^-компонента уравнения D.5) при- нимает вид wb-d* U*J + ^11*^+4^ —. D.18) При выводе этого уравнения из уравнения D.5) имеется по меньшей мере одна тонкость. При вычислении и%? к следует включить член r~lifidut/d'ty, поскольку du^jd^ не об- ращается в нуль из соображений симметрии. Этим объясняется множитель двойка в левой части уравнения (подробности см. в [91]). Проинтегрируем теперь уравнение D.18) по ?. Члены, включающие d/dt,, после этого обращаются в нуль, поскольку р и т] равны нулю вне диска; член g> исчезает, поскольку он должен быть нечетным по ?. Если воспользоваться формулой D.17) в проинтегрированном по ? уравнении D.18) и учесть, что для диска с малым углом наклона Hf = — 4 Р/ sin ф, D.19) то приходим к следующему уравнению: d2W , 2_ dW_ , dy_ w __ 6ftMa sin ф __ ^ (. ^^^ dr dty г дф dr r4ur Наиболее просто деформацию диска можно описать комп- лексной функцией D.21) полагая р < 1 в формуле D.11), замечаем, что Если переписать уравнение D.20) через w и усреднить по ф, то оно принимает простой вид: d2w , 2 dw . dr2 r dr Это и есть вариант Хатчетта — Бегелмана — Саразина уравне- ния Бардина — Петтерсона, описывающего деформацию диска. В большинстве моделей, представляющих интерес для астро- физиков, и? меняется как отрицательная степень радиуса г~п. [Наиболее интересны для случая дисковой аккреции модели
IV. АСТРОФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ ЧЕРНЫХ ДЫР 169 «а-вязкости», для которых п = 1/4 во внешних областях диска и п=2/5 в промежуточных областях; см. [136]]. Для этих мо- делей можно решить уравнение D.23), выразив решение через функции Бесселя, и показать (для п<.2)> что на малых ради- альных расстояниях C очень мало. Характерное радиальное расстояние, на котором эффект Бардина — Петтерсона стано- вится существенным, как можно видеть, соответствует радиусу, при котором правая часть уравнения D.23) имеет величину порядка w/r2. Следовательно, «радиус Бардина — Петтерсона» гВр, внутри которого увлечение к экватору существенно, опре- деляется как радиус, при котором = \uf\. D.24) Можно сказать, что это тот радиус, при котором скорость ГМ-прецессии ?1Омг = 2аМ/г2 порядка радиальной скорости дрейфа. Оказывается, что для типичных моделей аккреционных дисков этот радиус составляет гвР^ 100 М, D.25) т. е. соответствует области, далекой от горизонта. В. Качественные свойства магнитосферы черной дыры В принятых моделях аккреционного диска вокруг сверхмас- сивной черной дыры гравитационная энергия непрерывно пере- ходит в кинетическую, тепловую и магнитную энергию в ре- зультате совместного действия вязкости, а также растяжения и пересоединения магнитных силовых линий. По своему проис- хождению вязкость может быть турбулентной, магнитной, ра- диационной или даже молекулярной. (Подробные обзоры см. в [136, 164].) Количество выделяющейся тепловой энергии до- статочно, чтобы поддерживать газ диска сильно ионизованным. Следовательно, такой газ является прекрасным проводником, что означает вмороженность магнитных полей диска в плазму («идеальная магнитогидродинамика»), если не учитывать не- которое пересоединение силовых линий, когда поле становится слишком хаотическим и запутанным, и некоторое макроскопи- ческое проскальзывание поля сквозь плазму из-за рэлей-тей- лоровской неустойчивости (см. ниже). По мере того как плазма диска, находящаяся под действием вязкости, постепенно по спи- рали падает в черную дыру, она несет с собой вмороженное в нее магнитное поле и освобождается от этого поля на растя- нутом горизонте дыры. На рис. 35 показаны центральная область такого аккре- ционного диска и вмороженные в него магнитные поля. Диск
170 Д. МАКДОНАЛД, К, ТОРН, Р. ПРАЙС, СЯО ХИ ЧЖАНЬ Рис. 35. Внутренняя область аккреционного диска вокруг черной дыры с про- низывающими ее магнитными силовыми линиями. Хотя диск изображен тон- ким, анализ, данный в тексте, этого ни в коей мере не предполагает. Поверх- ность ^ и ее граница ds& = <& используются при обсуждении сохранения магнитного потока. (Рисунок воспроизводится по работе [123].) лежит в экваториальной плоскости дыры из-за эффекта Бар- дина— Петтерсона. В этом разделе мы воспользуемся уравне- ниями Максвелла и результатами модельных задач из II и III глав, чтобы разобраться в качественной структуре магнито- сферы дыры и диска. При этом мы не будем делать каких-либо предположений об их осевой симметрии или о стационарности, т. е. попытаемся быть по возможности ближе к реальности. Вблизи горизонта физическая ситуация может быть весьма сложной. Например, пересоединение силовых линий может быть частым явлением и приводить к серьезным нарушениям вмороженности поля в плазму, а поле на горизонте может иногда становиться столь сильным, что будет выталкиваться от дыры обратно в диск (рэлей-тейлоровская неустойчивость). Тем не менее вдали от дыры идеальная магнитогидродинамика (МГД), по-видимому, может служить прекрасным приближе- нием. Замкнутый контур (& = д$4- на рис. 35 лежит в удаленной области, где применима идеальная МГД. Этот контур ограничи- вает 2-мерную поверхность s&9 которая простирается вверх над диском и над северным полюсом дыры наподобие купола цир- ка. Мы выберем в качестве контура й? окружность в эквато- риальной плоскости, а поверхность зФ возьмем осесимметрич-
IV. АСТРОФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ ЧЕРНЫХ ДЫР 171 ной, но даже при этом диск и магнитное поле могут суще- ственно отклоняться от осевой симметрии. Кроме того, мы вы- берем ^ и s& покоящимися относительно координат xJ\ фикси- рованных по отношению к звездам, или, что тоже самое (бла- годаря осевой симметрии), покоящимися в абсолютном про- странстве, т. е. привязанными к ОПН. Согласно закону Фарадея C.49), примененному к <%? и *s$, -^ J Ъ • dA = - § аЕ • dt D.26) Л ъ Выражение для ЭДС в правой части можно переписать, чтобы выразить ее через магнитное поле в диске, воспользовавшись для этого условием вмороженности, справедливым в МГД: ? + vXfl = 0 в дисде на ds4>, D.27) где v — скорость плазмы в диске, измеряемая ОПН. Тогда уравнение D.26) принимает вид -J jj Ъ • dA = § avX В • dt. D.28) л к Это уравнение имеет очевидную физическую интерпретацию: скорость изменения магнитного потока через «купол цирка» s4> (измеряемая в пересчете на единицу мирового времени) равна темпу, с которым магнитное поле переносится через контур %? текущей вовнутрь плазмой. Таким образом, магнитный поток сохраняется с течением времени; поток через s& может увели- чиваться или уменьшаться только в результате того, что маг- нитные силовые линии физически переносятся вовнутрь или наружу через <&. Этот вывод, являющийся очевидным в пло- ском пространстве при отсутствии гравитации, остается спра- ведливым и в искривленном пространстве вокруг черной дыры и в присутствии гравитационного и гравитомагнитного полей дыры. Рассмотрим теперь судьбу магнитных силовых линий, пере- носимых к дыре плазмой диска. По мере того как плазма достигает внутреннего края диска (вблизи минимального ра- диуса устойчивых круговых орбит; см. [136]) и затем по спи- рали падает в дыру, она становится причинно не связанной с силовыми линиями, которые она несла. Однако это вовсе не означает, что переносимое поле становится свободным. Закон сохранения потока D.28) гарантирует, что силовые линии, даже оторвавшись от своих источников, не могут уйти на бесконеч- ность. Они могут либо выталкиваться обратно в диск (рэлей- тейлоровская неустойчивость), либо пронизывать почти вакуум-
172 А- макдоналд, к. торн, р. прайс, сяо хи чжань ный зазор между дырой и диском, либо максвелловские дав- ления близлежащих силовых линий могут заталкивать их в дыру. Мы легко можем составить качественное представление об эволюции поля вблизи дыры, комбинируя соображения о макс- велловском давлении и максвелловском натяжении с выво- дами, сделанными в последних трех абзацах разд. П.Г.6. Рас- смотрим сначала идеализированную магнитную силовую линию в виде петли, изображенную на диаграмме al рис. 36. Самый левый край этой петли уже перенесен плазмой, в которую он был вморожен, через растянутый горизонт, а оставшаяся часть петли недавно высвободилась, когда плазма, находившаяся внутри петли, упала в дыру, оставив петлю позади. В это мгновение петля оказалась свободной в почти полном вакууме в области сверхсильного гравитационного поля прямо над рас- тянутым горизонтом. Когда удерживавшая петлю плазма по- кинула ее, оказалось, что максвелловское натяжение вдоль си- ловой линии уже не уравновешивается другими силами, дей- ствующими на плазму, поэтому силовая линия сжимается и укладывается параллельно растянутому горизонту, генерируя тем самым ток на горизонте (закон Ампера; диаграмма а2), а затем уничтожается под действием этого тока (омический нагрев; диаграмма аЗ). Рассмотрим теперь магнитные силовые линии (подобные тем, что пронизывают дыру на диаграмме 61 рис. 36), которые простираются до очень больших радиальных расстояний. Воз- можно, вдали от дыры они делают петлю и возвращаются в аккреционный диск или простираются неограниченно, уходя в межзвездное пространство. Эти силовые линии вносят вклад в результирующий магнитный поток через «купол цирка», изо- браженный на рис. 35, и потому не могут аннигилировать. Эво- люция этих силовых линий в окрестности горизонта будет опре- деляться капризами максвелловских давлений, толкающих их. Если каким-то образом все силовые линии на дыре в какой-то момент собрались в локализованное пятно (диаграмма 61 на рис. 36), то дальше они в таком виде оставаться не могут; максвелловские давления быстро (с локальной скоростью све- та) растолкают их и создадут более или менее однородное рас- пределение (диаграмма 62). Однако из-за гравитационного красного смещения обратное распрямление поля будет задер- живаться вблизи растянутого горизонта и силовые линии на самом деле будут при распрямлении укладываться параллельно растянутому горизонту, что будет сопровождаться омической диссипацией. Качественные детали движения подобных сило- вых линий, включая их энергетику и баланс сил, обсуждаются в разд. Н.Г.6. Результатом этого движения является примерно
IV. АСТРОФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ ЧЕРНЫХ ДЫР 173 Рис. 36. Выглаживание магнитного поля растянутым горизонтом черной дыры. Внизу (в) — возможная конечная структура выглаженного поля, а также окружающий диск и его хаотическое поле. Слева (al — аЗ) — исчез- новение замкнутых магнитных петель, которое является частью процесса вы- глаживания. Справа F1 — 63) — динамическое перераспределение силовых линий, которые первоначально были сильно сконцентрированы вблизи полю- сов дыры. (Рисунок заимствован из работы [122].)
174 Д. МАКДОНАЛД, К. ТОРН, Р. ПРАЙС, СЯО ХИ ЧЖАНЬ однородное распределение поля, пронизывающего растянутый горизонт. Из этих соображений мы можем заключить (следуя Макдо- налду и Торну [123], а также Макдоналду и Сюэну [122]), что качественная структура магнитосферы дыры и диска должна быть такой, как на диаграмме в на рис. 36: независимо от того, насколько хаотическим является поле, пронизывающее диск, поле, пронизывающее дыру, будет очень сглаженным. Если диск «пытается» сбросить хаотическое поле на дыру, то замкну- тые силовые петли будут уничтожаться за характерное время St ~ 2М ^ A000 с) (Af/108Mo), оставляя при этом упорядочен- ное поле. Если же максвелловские давления со стороны сило- вых линий, пронизывающих диск, в какой-то момент, толкая поле дыры, приведут к появлению сгущения, то поле распря- мится обратно за такое же характерное время и сделается более или менее однородным. (Мы должны признать, что представленные выше выводы почти целиком основаны на интуитивных рассуждениях, кото- рые мы привели. Никто не пытался доказать их на более высо- ком уровне строгости. Тем не менее нам эти выводы кажутся вполне надежными.) Магнитные силовые линии, пронизывающие растянутый го- ризонт и изображенные на рис. 36, в, не закреплены в дыре непосредственно гравитационным притяжением. Они «вынуж- дены» пронизывать дыру из-за максвелловского давления со стороны окружающих силовых линий, которые в свою очередь закреплены на диске. Если проводимость диска внезапно исчез- нет (или, что более реально, если диск разрушится), то поле, закрепленное на диске, будет разлетаться, и его максвеллов- ское давление на силовые линии, пронизывающие дыру, будет исчезать. Тогда поле дыры будет исчезать вследствие пересо- единения подобно тому, как это изображено на рис. 10 (разд. П. ГЛ), и излучаться в межзвездное пространство в виде сверхнизкочастотных электромагнитных волн; при этом дыра -> лишается поля В. Напряженность поля на дыре определяется историей эво- люции диска в прошлом: результирующий поток через дыру в данное время равен суммарному потоку, от которого освобо- дился диск за все предшествовавшее время существования. В некоторые эпохи диск освобождался от поля одной поляр- ности, в другие эпохи — от поля противоположной полярности. (Например, силовые линии, показанные в левой части рис. 36, в, которые будут переданы дыре в ближайшем будущем, имеют противоположную полярность с теми силовыми линиями, кото- рые в данный момент пронизывают дыру.) Эти передачи поля
IV. АСТРОФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ ЧЕРНЫХ ДЫР 175 будут приводить к стохастическим флуктуациям, типа случай- ных блужданий, результирующего потока через дыру. Однако в ходе этих случайных блужданий дисперсия случайного поля дыры будет с течением времени расти, пока не станет, наконец, столь большой, что поле будет вытолкнуто обратно к аккре- ционному диску и приведет к замедлению аккреции. Результи- рующая максимальная напряженность поля, вероятнее всего, будет иметь величину, необходимую для установления равно- весия между магнитным давлением В2/8п вблизи дыры и га- зовым давлением pgas в самых внутренних частях диска. Из ти- пичных моделей аккреционных дисков вокруг сверхмассивных черных дыр в ядрах галактик (см., например, приложение С работы [153]) следует, что pgas может быть порядка 107 дин/см2 и соответственно характерная максимальная напряженность магнитного поля на дыре может быть порядка 104 Гс. Было бы интересно попытаться дать детальный анализ ди- намического взаимодействия между аккреционным диском и по- лем на дыре, имеющим почти максимальную напряженность. Рэлей-тейлоровские неустойчивости, безусловно, могут оказать- ся существенными и понизить приведенную выше оценку для максимального поля. Теперь мы займемся электрическим полем вблизи диска и дыры, имея в виду, что электрические заряды могут свободно двигаться вдоль магнитных силовых линий, но не поперек, по- скольку их ларморовские радиусы малы. Если бы имелась зна- -> -> чительная составляющая поля Е вдоль полей В, пронизываю- -> -> щих диск (т. е. если бы лоренц-инвариантная величина Е • В не была бы близка к нулю), то электрические поля быстро и легко вытягивали бы электрические заряды из диска вдоль силовых линий поля В, создавая тем самым пространственную плотность зарядов, которая бы и привела к исчезновению по- родившей ее величины Е • В. Поэтому разумно ожидать, что магнитные силовые линии диска, так же как и в случае ней- тронной звезды в моделях пульсаров [82], будут ортогональны электрическому полю, т. е. что Е - В ^ 0. Силовые линии поля В, пронизывающие дыру, бывают раз- ными. Хотя электрические токи могут вытекать из-под растя- нутого горизонта, физически это может происходить только вследствие падения в дыру электрически заряженных частиц. В отсутствие электрических зарядов над дырой никакое элек- трическое поле не может создать ток, текущий от растянутого горизонта. Следовательно, можно ожидать, что силовые линии
176 Д. МАКДОНАЛД, К. ТОРН, Р. ПРАЙС, СЯО ХИ ЧЖАНЬ ¦> поля В, пронизывающие дыру, будут свободны от электриче- ского заряда и тока. Если это действительно так, то магнитно-гравитомагнитная «батарея» дыры будет приводить к разделению зарядов на рас- тянутом горизонте и тем самым создавать в магнитосфере дыры электрическое поле квадрупольного типа. Вблизи дыры вели- чина этого электрического поля должна составлять Е ~ ~ Ва/М ~ C-106 В/см) {а/М), что соответствует полному па- дению напряжения вдоль силовой линии поля В между растя- нутым горизонтом и несколькими гравитационными радиусами V ~ Егн ~ Ва ~ 1028 В для дыры с массой 109 MQ\ Как впер- вые отметили Блэндфорд и Знаек [22], это падение напря- жения столь чудовищно велико, что будет приводить к каскад- ному рождению электрон-позитронных пар, тем самым созда- вая хорошо проводящую электрон-лозитронную плазму (см. также [152]). Например, случайный электрон из диска или из межзвездного пространства будет ускоряться вдоль силовой ли- нии поля В электрическим полем до энергии, на много поряд- ков превышающей его массу покоя, после чего он столкнется с мягким фотоном из аккреционного диска, сообщив фотону высокую энергию («обратное комптоновское рассеяние»). По- лучившийся в результате высокоэнергетичный фотон затем столкнется с еще одним мягким фотоном из диска, создавая при этом электрон-позитронные пары. Возникающие в резуль- тате электроны и позитроны будут затем ускоряться и испы- тывать обратное комптоновское рассеяние, создавая новые вы- сокоэнергичные фотоны, которые будут сталкиваться с мягкими фотонами из диска, создавая дополнительные электрон-пози- тронные пары. Аналогичный, но несколько иной процесс был предложен Рудерманом и Сазерлендом [173] в качестве меха- низма рождения пар в магнитосферах нейтронных звезд, у ко- торых ионы на поверхности образуют столь прочную кристал- лическую решетку, что она мешает полю Е на поверхности «вытянуть» ионы из звезды. Получающаяся в магнитосфере сверхмассивной дыры элек- трон-позитронная плазма, согласно оценкам Блэндфорда и Знаека [22], обеспечивает достаточное количество заряда, чтобы проскальзывать вдоль магнитных силовых линий и унич- тожать компоненту поля Е, направленную вдоль В. Поэтому силовые линии поля В становятся почти ортогональными сило- вым линиям поля ?, но при этом остающееся ненулевое значе- ние величины Е • В как раз достаточно, чтобы приводить время от времени к «искрам» с образованием электрон-позитронных
IV. АСТРОФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ ЧЕРНЫХ ДЫР 177 пар и поддерживать заполнение магнитосферы плазмой. Ситуа- ция здесь аналогична модели Рудермана — Сазерленда с «искро- вым зазором» для магнитосферы нейтронной звезды. Г. Структура и энергетика стационарной осесимметричной магнитосферы: процесс Блэндфорда — Знаека Получившаяся в результате магнитосфера черной дыры, за- полненная плазмой, по своим свойствам очень похожа на элек- трическую цепь, исследованную на рис. 28 и в разд. III. Г.З. Силовые линии поля б, пронизывающие дыру, выполняют роль токонесущих проводов: электроны и позитроны могут скользить вдоль них [с ларморовскими гирорадиусами RL — tnc2/eB~ ^@,2 см) (В/104 Гс)-1], но не могут пересекать их, разве только вдали от дыры, где поле В слабое. Магнитные «про- вода» соединяют горизонт с удаленной областью слабого поля В. Магнитно-гравитомагнитная «батарея» дыры создает токи вдоль контуров, подобных штриховому контуру на рис. 36, в: вверх по почти экваториальным (низкоширотным) проводам в область слабого поля В, затем в этой области поперек прово- дов от низких широт к высоким, затем обратно вниз по высокоширотным проводам к растянутому горизонту и вдоль растянутого горизонта замыкают цепь. Здесь, как и на рис. 28, поток Пойнтинга вдоль цепи переносит энергию от дыры к об- ласти слабого поля В [ср. с формулой C.126)], и эта энергия вполне может идти на создание и управление выбросами, на- блюдаемыми в квазарах и активных ядрах галактик. Блэндфорд и Знаек [22] первыми поняли, что этот меха- низм генерации мощности может действовать вокруг вращаю- щейся замагниченной черной дыры — хотя аналогичный про- цесс в случае нейтронных звезд был уже давно предложен и исследован Голдрайхом и Джулианом [82]. Макдоналд и Торн A23) выполнили детальный анализ электродинамики и энерге- тики процесса Блэндфорда — Знаека на языке мембранной па- радигмы (см. дополнение 1 в конце книги). С самого начала мы ограничимся рассмотрением магнито- сферы черной дыры, которая является стационарной осесим- метричной заполненной плазмой конфигурацией, и предполо- жим, что в области сильного поля В вблизи дыры?-?^0. (При описании магнитосферы в рамках МГД уравнение Е-Н=0 вытекает из требования, чтобы электрическое поле исчезало в -> -> -v -> системе покоя жидкости, т. е. ОПН видят Е = —vX#, где v — скорость жидкости, измеряемая ОПН.) Чтобы наглядно представить себе магнитосферу, полезно
178 Д. МАКДОНАЛД, К. ТОРН, Р. ПРАЙС, СЯО ХИ ЧЖАНЬ Рис. 37. Спиральная структура маг- нитного поля в стационарной осе- симметричной несущей ток магнито- сфере черной дыры. Силовые линии поля В лежат на магнитных поверх- ностях, две из которых (помечены цифрами 1 и 2) изображены на ри- сунке. -> -> разложить Е и В на «торои- дальную» (вдоль 0-направле- ния) и «полоидальную» (вдоль 6- и r-направлений) состав- ляющие: Е ^ EP^EQ = е + е ; Вт = B*t~ ВР = .- > ^г ->р D.29) (Аналогично, при описании магнитосферы в рамках МГД, мы разлагаем скорость жидкости на тороидальную и полоидальную составляющие: v = vT + vP). Тороидальные составляющие Е и В можно вычислить, при- меняя законы Фарадея и Ампера [формулы C.49) и C.51)] к окружности с постоянными (г, 9), жестко связанной с ОПН; например, такой окружностью является сплошная кривая *§" на рис. 37. Благодаря стационарности производные по времени от потоков В и Ё через рассматриваемую окружность должны обращаться в нуль, а поскольку эта окружность жестко свя- зана с ОПН, ее скорость должна обращаться в нуль. Таким об- разом, согласно законам Фарадея и Ампера, Ф аЕ - dl = О, Ф аВ • dl = 4л \ а/ • dA = — 4л/, где / — ток, текущий вниз через окружность. Поскольку длина этой окружности равна 2ло> и окружность ориентирована в то- роидальном направлении, из приведенных уравнений следует (см. дополнение 2 в конце книги): ?Г = 0, BT=—^Lt-. D.30) На рис. 37 показана структура магнитного поля. Каждая из 2-поверхностей (помеченных цифрами 1 и 2) получена враще- нием одной-единственной силовой линии поля В на угол 360°
IV. АСТРОФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ ЧЕРНЫХ ДЫР 179 вокруг оси вращения черной дыры. Силовые линии поля В (а в МГД также и линии течения жидкости) можно представить себе в виде спиралей, которые многократно накручиваются на эти «магнитные поверхности», делая их похожими на «шест брадобрея». Тороидальное поле Вт, определяемое формулой D.30), ответственно за это накручивание по спирали, поло- идальное поле Вр определяет формы магнитных поверхностей. Каждую магнитную поверхность можно характеризовать полным магнитным потоком 4я, заключенным внутри ее; напри- мер, для поверхности / W равно полному магнитному потоку, проходящему вверх через контур ?' (который ограничивает по- верхность 1 сверху). Если рассматривать W как скалярное поле в абсолютном пространстве дыры, то магнитные поверхности являются 2-поверхностями постоянного W, а полоидальная со- -> ставляющая В определяется соотношением (которое следует непосредственно из определения "Ф"). -> -> Поскольку Ет = 0, поле Е является чисто полоидальным, -> -> а поскольку Е-В = 0, оно ортогонально магнитным поверхно- -> стям (см. один вектор Е на рис. 37). Любое электромагнитное поле, подобное рассматриваемому, -> -> у которого Е- В = 0, называется «вырожденным». (Поскольку -> -> величина Е • В лоренц-инвариантна, понятие вырожденности -> -> тоже лоренц-инвариантно.) Если, кроме того, | В | > | Е |, то можно считать, что электрическое поле целиком «индуциро- вано» движением наших опорных наблюдателей в магнитном поле, т. е. можно определить локальную систему покоя магнит- ного поля как систему, в которой Е'= yF (Е + vF X В) обра- щается в нуль. «Скорость силовой линии» Vp, конечно, опреде- ляется лишь с точностью до переноса вдоль В. Один из есте- ственных способов выбора v состоит в том, чтобы положить эту величину равной скорости жидкости в МГД. (Напомним, что в системе отсчета, где жидкость покоится, электрическое поле зануляется). Однако более удобен выбор чисто тороидального (вращательного) движения, поскольку при таком выборе мож- но считать, что силовые линии поля постоянно вращаются во-
180 Д. макдоналд, к. торн, р. прайс, сяо хи чжань круг оси симметрии: 1^ ^, D.32) — со) D.33) Здесь QF = d<f>/dt — угловая скорость магнитных силовых ли- ний, а со — угловая скорость ОПН, которые измеряют ?, В и V/r. Поскольку Е'В = 0у соотношения D.32) и D.33) остают- ся математически корректными (в качестве определений vF и -> -> -> ?2^) даже в тех областях, где |?|>|В| и \vF\> 1. Разные магнитные силовые линии могут вращаться с раз- ными угловыми скоростями, но каждая сшшвая линия (и каж- дая магнитная поверхность) должна вращаться твердотельно, в противном случае шаг спирали силовых линий менялся бы со временем, что означало бы нарушение стационарности: Величина QF, как и Ч7, постоянна на магнитных поверхностях. D.34) Формальное доказательство твердотельности вращения осно- вано на законе Фарадея, применном к полоидальному замкну- тому контуру %? на рис. 37 (пунктирная кривая). Контур пред- полагается неподвижным относительно далеких звезд, поэтому магнитный поток через него постоянен, а скорость контура от- носительно ОПН ecTbv = a~Ip = — а^сосое-. Согласно закону Фарадея C.49), для этого контура 0 = § а (Е + vX В) • dt= - -^ § QFV^ • dt D.35) Поскольку величина W постоянна на магнитных поверхностях, единственный отличный от нуля вклад в интеграл обеспечи- вается сегментами кривой SPQ и Ж?7, которые поперечны по- верхности. Если взять бесконечно близкие друг к другу маг- нитные поверхности, отличающиеся по своим потокам на AT то формула D.35) принимает вид из чего следует, что QF в 31 (в произвольной точке на маг- нитной поверхности 2) должна быть точно такой же, как ив Q. Комбинируя этот результат с условием осевой симметрии, де- лаем вывод, как это утверждалось выше, что QF является константой на каждой магнитной поверхности. (Этот закон
IV. АСТРОФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ ЧЕРНЫХ ДЫР 181 твердотельного вращения для вырожденных стационарных осе- симметричных магнитосфер был впервые доказан Ферраро [63] в случае плоского пространства-времени и Блэндфордом и Знаеком [22] для искривленного пространства-времени. Изящ- ное геометрическое доказательство этого закона твердотельного вращения в искривленном пространстве-времени, не зависящее от системы отсчета и имеющее более общий вид, см. в разд. 6.5.5 работы [33].) Обратимся теперь к токам, текущим в магнитосфере, запол- ненной плазмой. Вблизи дыры, где поле В сильное, электрон- позитронная плазма вряд ли способна оказывать значительное воздействие на магнитное поле, т. е. закон баланса сил C.59'), скорее всего, выполняется за счет одного лишь электромагнит- ного поля. Как в плоском пространстве, так и в искривленном это условие, соответствующее наличию «бессилового магнитного поля», сводится к следующему соотношению: — (реЕ + jfX B) = (сила, действующая со стороны единичного объема плазмы на поле) ~ 0, D.36) Тороидальная составляющая этой плотности силы, равной нулю (так как?т = 0), есть /р X ВР = 0. Это означает, что полои- дальная составляющая тока течет вдоль магнитных поверхно- стей. (Мы могли бы прийти к тому же выводу, исходя из того, что электроны и протоны плазмы привязаны к силовым ли- ниям Б, двигаясь по ларморовским спиралям.) Если обозна- чить через / ток, текущий вниз через контур W на рис. 37 и за- ключенный внутри магнитной поверхности 1, то очевидно, что / является константой на магнитной поверхности 1 и, следова- тельно, функцией магнитного потока 4я: / = /(Чг). Таким обра- -> •> зом, условие ]р X Вр = 0 эквивалентно соотношению где множитель 1/ос представляет собой переводной коэффи- циент от единицы мирового времени, использованной в опре- делении /, к единице времени ОПН, используемой в определе- нии /, а знак минус возникает здесь из-за того, что / есть ток, текущий вниз, а "Ф* — поток, направленный вверх. Комбинируя формулу D.37) с условием бессилового поля D.36), а также -> -> -> с соотношением Е = — vF X В, мы видим, что суммарная плот- ность тока (полоидальная плюс тороидальная составляющие) равна
182 Д. МАКДОНАЛД, К. ТОРН, Р. ПРАЙС, СЯО ХИ ЧЖАНЬ вр Рис. 38. Магнитосфера черной дыры с рис. 37, показанная сбоку. Штриховые кривые ортогональны силовым линиям поля Ё, сплошные кривые — магнитные силовые линии; те и другие совпадают в области бессилового (FF) поля вблизи дыры, но удаляются друг от друга в области астрофизической на- грузки (L). Подробный анализ в тексте относится к бессиловой области; в области нагрузки протекают весьма сложные и до конца не понятые физи- ческие процессы. Таким образом, не зависящая от времени результирующая плотность заряда ре привязана к вращающимся силовым ли- ниям и, следовательно, генерирует плотность тока pev/?, при- чем остающийся ток течет вдоль магнитных силовых линий. Количественные оценки, касающиеся тока и потока энергии в бессиловой магнитосфере черной дыры, можно вывести с по- мощью закона Фарадея, примененного к полоидальному замкну- тому контуру <в (пунктирная кривая) на рис. 38. Этот контур простирается вверх от точки Q на растянутом горизонте вдоль магнитной поверхности 2 до точки 2Г> лежащей в основании области слабого поля В, где токи могут пересекать силовые линии («область нагрузки»), затем поперек силовых линий от точки Э~ на поверхности 2 до ближайшей точки s0U на поверх- ности /, затем вниз вдоль магнитной поверхности / от Ш до & и, наконец, вдоль растянутого горизонта обратно к Q. Полная ЭДС вдоль *&, вычисляемая обычным образом по закону Фа- радея, равна Q AF = ф аЕ • cU=-- - jj p X В • dt=-^QH&}P D.39)
IV. АСТРОФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ ЧЕРНЫХ ДЫР 183 [ср. с формулой C.115)]. Здесь А^?— магнитный поток между поверхностями / и 2, причем предполагается, что область сла- бого поля В расположена достаточно далеко от дыры, так что там р ~ 0. Как и в случае модельной цепи, рассмотренной в разд. III. Г.3 (рис. 28), здесь можно считать, что эта разность потенциалов создается «батареей» на горизонте дыры. Вну- треннее сопротивление батареи (сопротивление между магнит- ными поверхностями 1 и 2 на растянутом горизонте) равно ^, D.40) где А1 — расстояние между поверхностями 1 и 2 вдоль гори- зонта, Вп — нормальное магнитное поле на горизонте между поверхностями 1 и 2 и RH = 4я = 377 Ом — удельное поверх- ностное сопротивление горизонта. Весь полоидальный ток /, который течет вниз к дыре внутри поверхности / (на более высоких широтах, чем поверхность У), согласно закону сохра- нения заряда, должен становиться током на горизонте как толь- ко он достигает растянутого горизонта; затем он должен течь полоидально вдоль растянутого горизонта через сопротивление ARH между поверхностями 1 и 2 и вновь выходить -вверх через магнитные поверхности на меньших широтах. Протекая через сопротивление горизонта Д/?#, этот ток создает падение напря- жения Q AVH =\aE- cU= IARH, D.41а) которое можно рассчитать по формуле D.33) для Е: ^ D.416) «Батарея» создает полное падение напряжения AV [фор- мула D.39)] вдоль контура *&, состоящее из падения напряже- ния на горизонте AVh плюс падение напряжения AVL в астро- физической «нагрузке» в области слабого поля S, где токи мо- гут пересекать силовые линии (т. е. плюс падение напряжения AVL вдоль участка Т°Ы на рис. 38): ДУ = ДУя + Д1/?. D.42) Мы можем формально определить сопротивление астрофизи- ческой нагрузки ARL через соотношение <U <U dt J d AVL = J аЕ • dt= J Е • dl^ IARL D.43) (и можем поставить перед теми, кто строит астрофизические модели, невероятно сложную задачу попытаться рассчитать это
184 Д- макдоналд, к, торн, р. прайс, сяо хи чжань сопротивление). Альтернативное выражение для AVL следует из формулы D.33) для Е при а = 1 и со = 0, что справедливо вда- ли от дыры: AVT=— Qf AW D 44) 2jx * Из формул теории электрических цепей D.39) — D.44) мы можем вывести некоторые важные свойства магнитосферы дыры: угловая скорость QF силовых линий в узком слое между поверхностями 1 и 2 определяется отношением сопротивления нагрузки к сопротивлению горизонта "о _- о === \р == лт/ • D.45) Полный ток, текущий вниз во всей области внутри поверхности 1, равен / = А/? А^ = 4 (Оя - ^) &Вп. D.46) Здесь, как и в случае модельной цепи, рассмотренной в разд. III. Г.З (рис. 28), полная мощность, которая диссипирует при омическом нагреве в узкой полоске горизонта между по- верхностями 1 и 2, равна HAS,, (а„ — п„J Тн —~ = I2 ARH = -i-^-j—^- <Ь2Вп AW; D.47) а полная мощность, переносимая полоидально наружу в виде потока Пойнтинга между двумя магнитными поверхностями и выделяемая в астрофизической нагрузке, равна Л D О /О П \ D.48) Мощности D.47), D.48) обеспечиваются, конечно, вращением дыры, и в процессе их диссипации на горизонте и в нагрузке вращение дыры замедляется. Отметим, что здесь, как и в слу- чае лабораторной цепи постоянного тока, мощность, выделяе- мая в нагрузке, достигает максимума (при заданном напря- жении и сопротивлении «батареи»), если сопротивление на- грузки ARl равно сопротивлению «батареи» ARh. Эта оптими- зация ARL = ARH [согласно формуле D.45)] соответствует QF = 1/2оя. Сопротивление нагрузки было оценено многими способами и разными исследователями (см. дополнение 3 в конце книги). Согласно всем оценкам, с точностью до множителя порядка еди- ницы ARl равно А/?я, &f ~ 1/2&н, а выделяемая мощность ма-
IV. АСТРОФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ ЧЕРНЫХ ДЫР 185 ксимальна: №L~^&2Bn№. D.49) Полная выделяемая мощность получается суммированием вели- чины APL по всем узким полоскам между магнитными поверх- ностями. Полагая S /W = W ~ Вппгн2, со2 ~(со2)~ гя2/2, й# = = а/2Мгн, получим следующую оценку по порядку величины: ф" D.50) ЭДС, которая приводит к такому огромному направленному наружу потоку мощности, дается формулой D.39) при Qf ~ 1/2Qh: тШ *«»-A020 в)(ж)(тщ-)(жтт)• Таким образом, при разумных астрофизических параметрах по- лучаются оценки напряжения в магнитосферах V ~ 1020 В и энерговыделения ~1045 эрг/с, соответствующие наблюдаемым в выбросах (джетах) и протяженных радиокомпонентах у наи- более мощных радиогалактик и квазизвездных радиоисточ- ников. Близкое по величине энерговыделение могут обеспечивать также магнитосфера аккреционного диска и ускоряемый излу- чением ветер от диска. Вполне вероятно, что на самом деле ра- ботают все три механизма генерации энергии, которые вносят разные относительные вклады в наблюдаемых квазарах и яд- рах галактик (подробный обзор см. в [9]). Детальная картина «астрофизической нагрузки», изображен- ной на рис. 38, далека от ясности (см. дополнение 4 в конце книги). В отличие от области астрофизической нагрузки, с при- сущей ей сложностью и неопределенностью, бессиловая область довольно проста и достаточно хорошо понятна. Детали движения жидкости в ней описаны в работах Финни [153] и Чжаня [235а]. В работах Макдоналда и Торна [123] и Макдоналда [120, 121] обсуждаются детали строения магнитосферы в этой области (включая уравнения и решения для формы поверхно- стей магнитного поля, «принцип минимальной диссипации», удо- -> влетворяемый полем В на горизонте, и анализ потока энергии и баланса вращательного момента).
V Гравитационное взаимодействие черной дыры с удаленными телами Дж. Хартль, К. Торн, Р. Прайс Вплоть до этой главы мы ограничивались рассмотрением черных дыр, гравитационное поле которых было столь силь- ным по сравнению с полем окружающего вещества, что грави- тацией вещества можно было полностью пренебречь. Это позво- ляло нам полностью описывать гравитационное поле функцией длительности а, функцией смещения р и пространственной мет- рикой статической шварцшильдовской дыры или стационарной керровской дыры. Теперь в гл. V, VI, VII мы обратимся к более сложной си- туации, когда черная дыра взаимодействует с веществом и с другими дырами, гравитационное поле которых достаточно сильное. При исследовании таких ситуаций мы будем исходить из того же самого 3 + 1-подхода, которым пользовались при изучении изолированной дыры. Это означает, что мы будем иметь дело с функцией длительности, функцией смещения и с метрическими коэффициентами, в которых наряду с гравита- цией дыры учитывается влияние «внешнего» гравитационного поля. Однако мы ограничимся рассмотрением дыры, горизонт которой и близлежащие гравитационные поля испытывают лишь малые возмущения со стороны внешней Вселенной, по- этому вклад внешних полей в ее, р и gfk мы будем рассматри- вать как слабые возмущения шварцшильдовских или керров- ских величин. В системах, которые мы собираемся изучать, внешнее гра- витационное поле будет заставлять дыру эволюционировать, и эта эволюция будет приводить к нарушению единственности «пространственно-временного сечения», на которой основано 3+ 1-расщепление. В результате при изучении физических про- цессов вблизи горизонта (гл. VI) мы будем вынуждены столк- нуться с некоторой «калибровочной свободой» в возмущениях шварцшильдовских или керровских величин а, Р и gfk- Соот- ветственно при изучении физических процессов вдали от гори- зонта (гл. V), где пространство-время является почти плоским, мы будем вынуждены выбирать для сечения специальную си- стему отсчета. Это может быть асимптотическая инерциальная
V. ГРАВИТАЦИОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С УДАЛЕННЫМИ ТЕЛАМИ 187 система отсчета дыры или система центра масс двойной си- стемы, включающей черную дыру, или же средняя система по- коя галактики, в которой находится черная дыра и т. д. С вопросом выбора сечения мы впервые столкнемся (гл. V) в случае черных дыр, взаимодействующих с удаленными те- лами (с телами, расположенными вдали от горизонта), и затем (гл. VI и VII), когда речь пойдет о дырах, взаимодействующих с веществом вблизи горизонта. В данной главе мы рассмотрим вековую эволюцию системы, которая включает в себя черную дыру и другие, удаленные тела. Гравитация будет считаться единственным видом взаимодействия между внешними телами и дырой. К таким системам относятся, например, черная дыра, покоящаяся в центре эллиптического звездного скопления (разд. Б.1), черная дыра, окруженная массивным аккрецион- ным диском, когда большая часть вещества диска расположена вдали от горизонта дыры (разд. Б.2), и двойная система, в ко- торую входит черная дыра (разд. Б.З). Но, прежде чем пе- рейти к подробному изучению этих систем, сформулируем три основополагающих утверждения. 1) Некоторые из интересую- щих нас систем (например, двойную систему) лучше всего исследовать в системах отсчета, относительно которых дыра движется, поэтому в разд. АЛ мы попытаемся разобраться, как применить 3+ 1-подход к движущейся дыре, исследовав с этой целью точное аналитическое решение для функций длитель- ности и смещения, а также для пространственной метрики в слу- чае движущейся невращающейся черной дыры. (В принципе такое исследование весьма полезно, хотя мы не будем в явном виде использовать его результаты в этой книге.) 2) В разд. А.2 и А.З мы введем понятие приливных гравитационных полей и попытаемся разобраться в этих приливных полях, изучая силы и вращательные моменты, посредством которых приливные поля оказывают воздействие на вращающиеся несферические проб- ные тела. 3) И наконец, в разд. А.З—А.6 мы выведем уравне- ния движения и прецессии в случае черной дыры, взаимодей- ствующей с удаленными внешними телами. В этих уравнениях учитываются силы и вращательные моменты, которыми прилив- ные поля внешних тел действуют на черную дыру. А. 3 + 1-расщепление законов гравитационного взаимодействия 1.3 + 1-расщепление пространства-времени вокруг движущейся невращающейся черной дыры В гл. II мы описали стандартный выбор пространственно- временного сечения в случае изолированной невращающейся черной дыры. Как и там, обозначим через t мировое (шварц-
188 ДЖ. хартль, к, торн, р. прайс шильдовское) время при таком выборе сечения, а через а и gJ'k соответственно обозначим отвечающие этому выбору функ- цию длительности и пространственную метрику и будем гово- рить об этом сечении как о «системе покоя черной дыры». Функция длительности и метрика в системе покоя дыры выра- жаются через шварцшильдовские радиальную и угловые коор- динаты г, 9, ф следующим образом: а = A -2M/rf\ ds2 = gjk dx! dxk = dr2m + r2 (dQ2 + sin2 9 4ф*) E.1) r [формулы B.2), B.36)]. В этом разделе нам будет удобно за- менить шварцшильдовские координаты новым набором про- странственных координат х, у, z в системе покоя: х = R sin 6 cos </>, y = RsinQsmf, E.2a) z = R cos 6, где /? = i/2 (r - M + Vг2 - 2Мг ) = х2 + у2 + г2. E.26) Эти координаты х, у, z являются асимптотически (при г 3> М) декартовыми. Функция длительности а и пространственная мет- рика gjk в формуле E.1) выражаются через эти координаты следующим образом: 1-M/2R , J^ а~~ 1 +MJ2R ' ^ ~ ^ 2R ' d52 = g^ rfx7 d/ = ^F4 (dx2 + dy2 + dz2), E.3) и соответственно если перейти от 3 + 1-расщепления к 4-мер- ному пространству-времени, то пространственно-временная мет- рика принимает вид (W = — a2 df + ^4 (dx2 + dy2 + dz2). E.4) Эти координаты называются «изотропными» из-за той формы, которую имеют в этих координатах пространственные метриче- ские коэффициенты. Отметим, что горизонт (г = 2М, а = 0) расположен при R = М/2 и что система покоя дыры является «асимптотически инерциальной», т. е. при г->оо она стано- вится инерциальной системой плоского пространства-времени, а координаты t} x, у, z становятся лоренцевыми. У опорных наблюдателей в системе покоя дыры угловой момент относи- тельно дыры равен нулю. Мы будем называть их ННУМ («на- блюдатели с нулевым угловым моментом»), чтобы отличать их
V. ГРАВИТАЦИОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С УДАЛЕННЫМИ ТЕЛАМИ 189 от других опорных наблюдателей, введенных в предыдущих главах. Отметим, что для ННУМ (г, 6, ф) = const и (х, у у z) = const. E.5) Теперь мы хотим исследовать эту невращающуюся изоли- рованную дыру при новом выборе пространственно-временного сечения (т. е. в новой «системе отсчета»), когда дыра движется со скоростью vo- Мы потребуем, чтобы эта новая система, как и система покоя дыры, была асимптотически инерциальной. Таким образом, временную функцию t при больших радиусах можно будет получать из временной переменной в системе по- коя t преобразованием Лоренца: i = у (t-{-vox). Вблизи дыры, где пространство-время искривлено, особо предпочтительного выбора временной функции t не существует, т. е. имеется «ка- либровочная свобода» при нашем выборе сечения. Однако удобно и полезно сделать выбор таким образом, чтобы фор- мула J = y(t + vox) при малых R оставалась справедливой, как и при больших R: i = y(t + vojc) = (временная функция в «новой» системе отсчета), Y = (l-v2)-I/2. E.6) В качестве ОПН в этой новой системе отсчета выступают те наблюдатели, для которых поверхности постоянного t вы- глядят как поверхности одновременности. Согласно простран- ственно-временной точке зрения, ими являются те наблюдатели, которые движутся в пространстве-времени ортогонально по- верхностям постоянного времени ?, т. е. наблюдатели, имеющие 4-скорости ?/ц = —Х{д1/дх»), где X — положительная нормиро- вочная постоянная, выбранная из условия, чтобы U^Uvg^ = = —1, а благодаря знаку минус в выражении 4-скорости f/p, является вектором, направленным в будущее. Замечая, что функция длительности а, соответствующая этому новому сече- нию, определяется соотношениями а-1 = dt/dx = U^(dt/dx^)=^ = и»[—А,-1^] = К~\ мы убеждаемся, что нормировочная по- стоянная К есть фактически не что иное, как функция длитель- ности а: Up = — а (dt/dx*1) = D-скорость ОПН). E.7) Комбинируя это соотношение с новым выбором мирового вре- мени t E.6) и с пространственно-временной метрикой E.4), мы видим, что ОПН в нашей новой системе отсчета имеют функ- цию длительности 1/2 o<b E.8)
190 ДЖ. ХАРТЛЬ, К. ТОРН, Р. ПРАЙС и что они движутся относительно ННУМ со скоростью 1 (dx\ д а + /По измерениям^ /^ О\ j v^ ( ннум J E-9) Здесь ^=ЧГ~ д/дх — единичный вектор в направлении д/дх. Отметим, что с точки зрения ННУМ ОПН в новой системе отсчета вдали от горизонта движутся со скоростью |vonH| = v0, но вблизи горизонта ОПН почти совсем не движутся: | voriH 1 = = (a/?2)v0^(a/4)v0.OriH в новой системе отсчета, так же как и ННУМ в случае керровской дыры, «вморожены» вблизи го- ризонта дыры из-за «увлечения инерциальных систем отсчета». К тому же выводу можно прийти, исследуя движение новых ОПН не в абсолютном пространстве ННУМ, как это сделано выше [формула C.92)], а в их собственном абсолютном про- странстве, т. е. в Зчпространстве нового сечения E.6). Для этой цели нам необходимы пространственные координаты х, у, z для нового абсолютного пространства. Очевидно, мы хотим, чтобы эти координаты были асимптотически инерциальными вдали от дыры; это означает, что мы хотим получить их все из того же преобразования Лоренца E.6): x = y(x + vot), у = у, z = z. E.10) Вполне естественно (но вовсе не обязательно) определить х, у, z вблизи дыры с помощью этих же соотношений, так же как и вдали от нее. Тогда пространственно-временную метрику в новой системе отсчета можно получить из пространственно- временной метрики в системе покоя E.4) с помощью преобра- зований координат E.6), E.10): {iW = - a2d? + у2 (W4 - a2v^) (dx + Г dtf + ?4 (dy2 + dz2), E.11) где C^—функция, которая будет описана ниже. Из этой inpo- странственно-временнбй метрики мы можем получить функцию смещения |3У и пространственную метрику gjk в новой системе от- счета. Мы выпишем их здесь вместе с функцией длительности а, полученной выше: 2 1/2 E.126) EЛ2в)
V. ГРАВИТАЦИОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С УДАЛЕННЫМИ ТЕЛАМИ 191 Здесь а и W — функции R, даваемые формулой E.3), a R опре- деляется соотношением R = [У2 (х - voiJ + у2 + г2}112 (б. 12г) [ср. с формулами E.26), E.6), E.10)]. Соотношения E.12), E.3) полностью описывают гравитационные свойства черной дыры — функцию длительности а, функцию смещения J3; и про- странственную метрику gjk, — измеряемые новыми ОПН в но- вом абсолютном пространстве. Поскольку гравитационное воздействие дыры (а, р', gjk) за- висит от положения х> у, z в новом абсолютном пространстве только через функцию R=[y2(x— vo?J + у2 + z2]1/2, это воз- действие распространяется относительно координат х, у, z абсо- лютного пространства со скоростью =v<" (¦%) =°> (if) =0- EЛЗ) дыра \ at /дыра V "? /дыра И точно так же как вращение черной дыры увлекает ОПН и абсолютное пространство в орбитальное движение вокруг дыры (разд. HI. A.4), это поступательное движение дыры увлекает ОПН и абсолютное пространство в соответствующее движение относительно координат (х, у, z): fdx\ _ йх Ui)onH p " при — П —Гб"] v° в^лизи горизонта, а<1; E.14) (Щ =(Щ =0; v dt ;опн \ dt JOUH (рис. 39). Отметим, что очень далеко от дыры ОПН едва увле- каются в движение (dx/dt <C vo), тогда как очень близко от горизонта (R = М/2, а = а = 0) ОПН увлекаются почти с такой же скоростью, с какой движется дыра, т. е. так же, как и ННУМ в системе покоя дыры, ОПН «вморожены» в го- ризонт дыры. Отметим далее, что слабое увлечение на боль- ших расстояниях определяется импульсом поступательного дви- жения дыры Pi = Myvo&x через величину fP = —APiyjR, кото- рая сводится к —АР>/\х\ для ОПН на оси х и к —4Р^/(у2 + _|_ f2I/2 для ОПН в плоскости у — z. Читатель, возможно, сочтет полезным рассчитать движение ННУМ, каким его локально измеряют новые ОПН, и убедиться,
192 ДЖ- ХАРТЛЬ, К. ТОРН, Р. ПРАЙС с Рис. 39. Координатные скорости dx'/dt ОПН и абсолютного пространства вокруг шварцшильдовской черной дыры, которая движется со скоростью (dx/dt) дыра = v0 [формула E.14)]. Отметим, что вблизи горизонта ОПН увле- каются дырой (dx/dt) опн = vo[l—О(а2)]. Рисунок соответствует случаю v0 < 1. В случае когда vo ~ 1, форма горизонта; R = [у2(х— vo?J + i/2 + _j_ f2ji/2 _ м/2, в системе координат х, у, z будет сплюснутой (в результате «лоренцева сокращения») вдоль направления движения дыры. что измеряемая скорость ННУМ относительно OnH,v/ = d~1X равна vhhym = ~чг2 voe~ по измерениям ОПН, E.15) -> _ где е<? — единичный вектор в направлении д/дх. Тот факт, что эта скорость равна и противоположна по знаку скорости ОПН E.9), измеряемой ННУМ, есть следствие принципа относитель- ности, гласящего, что локально ни одна система отсчета, будь то система ННУМ или ОПН, не является «предпочтительной» по сравнению с другими и ни один наблюдатель не может из- мерить скорость, которая выделяла бы его среди других на- блюдателей. Увлечение ОПН дырой и их «вмороженность» в горизонт при а <С 1 не есть следствие нашего конкретного выбора E.6) пространственно-временного сечения, т. е. выбора мирового времени t Такое увлечение и «вмороженность» с неизбежностью следуют из физических свойств горизонта черной дыры. Если
V. ГРАВИТАЦИОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С УДАЛЕННЫМИ ТЕЛАМИ 193 мы требуем, чтобы наши ОПН всегда оставались вне горизонта (как мы и будем делать в дальнейшем) и чтобы их мировые линии всегда покрывали все пространство-время вне горизонта, то любое семейство «новых» ОПН с необходимостью будет двигаться с некоторой скоростью, локально измеряемой «ста- рыми» ОПН, причем вблизи горизонта эта скорость стремится к нулю пропорционально а: -> v (новых ОПН) ее а по измерениям старых ОПН E.16) [ср. с формулами E.9) и E.15), а также см. доказательство приведенного утверждения в [163]]. Вблизи горизонта два про- извольных семейства ОПН будут «вморожены» друг в друга и в сам горизонт. Приведенный выше анализ ограничивался случаем невра- щающихся дыр. С помощью тех же методов можно проанализи- ровать и вращающуюся дыру в системе отсчета, в которой дыра движется. Однако мы не будем выполнять такой анализ, поскольку ниже он нам не понадобится. По существу и приве- денное выше исследование необходимо исключительно для об- щего понимания; нигде в книге детали этого анализа нам не понадобятся. 2. Приливное гравитационное поле с точки зрения локально инерциальной системы отсчета Согласно ньютоновской теории гравитации, приливы на Земле создаются «приливным гравитационным полем» &N д2Ф ,- 1V, ^*alPi?"' EЛ7) где Ф — ньютоновский гравитационный потенциал Луны и Солнца. Это приливное поле описывает неоднородности ньюто- новского гравитационного ускорения g=—уФ, т. е. оно отра- жает те аспекты гравитационного ускорения, от которых нельзя избавиться переходом в локально инерциальную (т. е. свободно падающую) систему отсчета. Оно измеряется непосредственно инструментами, которые называются гравитационными гра- диентометрами (см., например, дополнение 16.5 в книге Миз- нера, Торна и Уилера [129], а также [146]). В локально инерциальной системе отсчета ньютоновский потенциал с точностью до членов второго порядка по расстоя- нию от начала координат имеет вид (главный член степенного разложения) !хк, <$N\k = (приливное поле прил' = 0); E.18)
194 ДЖ. ХАРТЛЬ, К. ТОРН, Р. ПРАЙС и соответственно гравитационное ускорение, действующее на пробную частицу, находящуюся в положении х1' вблизи начала координат, равно = ^Х EЛ9) Эту формулу можно применить к Земле, принимая за начало координат центр Земли, а в качестве <§Г/& — приливное поле Луны и Солнца; по этой формуле (с учетом топографии дна океана) можно рассчитать детальную картину приливов в океане (см., например, [116,80, 137]). В общей теории относительности пространственно-времен- ным аналогом величины &% является тензор Римана Ra$yd, опи- сывающий кривизну пространства-времени. Один из способов описания приливных сил, связанных с тензором Римана, — это «уравнение геодезического отклонения» (см., например, [129], § 1.6, 8.7 и 11.1—И.З); другой способ — уравнение для грави- тационной силы, действующей на пробную частицу в локально инерциальной системе отсчета [аналог уравнения E.19)]. Можно показать (см., например, [124, 134]), что если свободно падающий наблюдатель построит в своей окрестности локально инерциальную систему отсчета, т. е. систему, которая все время движется вдоль геодезической мировой линии в пространстве- времени, то функции длительности и смещения и 3-метрика в этой системе отсчета (не путать с функциями длительности и смещения и 3-метрикой в системе отсчета ННУМ, используемой в гл. II и III!) с точностью до членов второго порядка по рас- стоянию от начала координат будут иметь вид п ] \ р yf Yk (*л 90a \ $. = l-#imxixk) E.206) g.. = б/7 + О (Rm6xlxm). E.20в) В этих соотношениях, которые представляют собой релятивист- ский аналог формул E.18), Ra$y6 = #аЭув(*)—компоненты тен- зора кривизны Римана пространства-времени, взятые в начале пространственных инерциальных координат. Вид функции а [формула E.20а)] однозначно определяется тензором Римана. Вид функции р, [формула E.206)] однозначен с точностью до аддитивной величины б|3/ = 3QijkXJ'xk (появляется в результате преобразования мирового времени tHOB = tCTap + QijkXlx^xk), ко- торую нельзя спутать с E.206), потому что тензор Qi]k должен быть симметричным по ij и ik, тогда как Rrjko является антисим- метричным по ij. В отличие от величин а и Р/, которые опреде-
V. ГРАВИТАЦИОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С УДАЛЕННЫМИ ТЕЛАМИ 195 ляются однозначно, конкретный вид членов второго порядка в выражении для gij (формула E.20в)] зависит от конкретного выбора пространственных координат в третьем порядке. (Обсуж- дение инфинитезимальных преобразований координат см. в до- полнении 18.2 книги [129].) Пробная частица, движущаяся с малой скоростью vil = = dxl/dt относительно этой локально инерциальной системы отсчета, испытывает гравитационное ускорение d2x/dt2 = g + + vX#> где g^ — Va, Я^УХР [относительные поправки по- рядка v2 здесь опущены; ср. с формулами C.30) — C.33); см. также обсуждение этих формул]. С точностью до членов пер- вого порядка по расстоянию частицы от начала локально инер- циальной системы отсчета и первого порядка по скорости ча- стицы v^ это гравитационное ускорение принимает вид - 2Rlkl0vkxl. E.21) [При вычислении vX# = vX(VXP), беря р из E.20), мы используем свойства симметрии тензора Римана Ra$y6 Н~ ^аубр ~Ь Ra6$y ~~~ ^> E.22) ср. § 13.5 книги Мизнера, Торна и Уилера [129].] Уравнение E.21) является релятивистским аналогом уравнения E.19); из E.21) видно, что Rjoko является релятивистским аналогом ве- личины &fk = д2Ф/дх!дх\ Чтобы углубить наше понимание свойств приливного поля Rjoko, представим себе пробное тело, состоящее из двух точеч- ных масс 1 и 2, соединенных жестким невесомым стержнем (рис. 40, а). Поместим центр стержня 0 в центр локально инер- циальной системы отсчета и дадим ему возможность свободно падать (так что его центр будет покоиться относительно ло- -> кально инерциальной системы отсчета). Тогда если т] есть по- -> ложение массы У, — г\— положение массы 2f то, согласно уравнению E.21) в пределе малых скоростей (| v |<C 1) эти мас- сы будут испытывать гравитационные ускорения противопо- ложных знаков Очевидно (см. рис. 40, а), что на стержень действует вра- щательный момент.
196 ДЖ. ХАРТЛЬ, К. ТОРН, Р. ПРАЙС /lei) Рис. 40. Действие приливных гравитационных полей на две пробные массы, соединенные жестким невесомым стержнем, а — стержень не вращается, и приливное поле R}-Oko создает указанные на рисунке гравитационные ускорения [формула E.23)], которые вращают стержень [формула E.28)]. б — стержень вращается, и приливное поле Rtjko взаимодействует с вращательным движе- нием масс на стержне, создавая указанные на рисунке дополнительные гра- витационные ускорения [формула E.29)], что приводит к результирующей гравитационной силе, действующей на стержень [формула E.35)]. Мы вычислим вращательный момент, создаваемый прилив- ными силами, не только для этого стержня, но и для произ- вольного пробного тела (произвольного тела, самогравитацией которого можно пренебречь), покоящегося относительно ло- кально инерциальной системы отсчета. Если рт (х) есть рас- пределение плотности в теле, а форма тела произвольна, то приливный вращательный момент, действующий на тело, равен E.24) Используя выражение — RkoioX1 для приливного гравитацион- ного ускорения и воспользовавшись определением второго мо- мента от распределения массы тела / \ E.25) получаем Ni = -eijkRkmIjl. E.26) (Здесь и ниже, поскольку используются декартовы координаты [формула E.20в)], для нас безразлично вверху или внизу рас- положены пространственные индексы и по всем повторяющимся пространственным индексам проводится суммирование, даже если оба индекса находятся внизу или вверху). Фактически только бесследовая часть 3/ц тензора /// вносит ненулевой вклад во вращательный момент E.26); вклад той части, которая имеет след, (Уз)/тт6/*, равен нулю благодаря свойствам сим- метрии Rkoio = Rioko и антисимметрии u\k = —Ьщ- Бесследовая часть Ijt — это массовый квадрупольный момент тела ^ = /;(-JU,i! E-27)
V. ГРАВИТАЦИОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С УДАЛЕННЫМИ ТЕЛАМИ 197 выраженный через него приливный вращательный момент, дей- ствующий на тело, равен Nj — —ttjkRkm^ji — = ?ijk(d2<&/dxkdxlKrji в ньютоновской теории. E.28) Поскольку ньютоновские гравитационные поля складывают- ся линейно, эта формула для вращательного момента справед- лива для самогравитирующих тел так же, как для тел проб- ных: конечно, в этом случае д2Ф/дх3'дхк следует заменить на д2ФехХ/дх]'дхк (т. е. необходимо вычесть из Ф собственное гра- витационное поле тела). Например, в случае Земли соответ- ствующим приливным полем является поле, создаваемое в центре Земли Солнцем, Луной и другими планетами. Соответ- ствующий квадрупольный момент обусловлен деформацией экватора Земли, вызванной центробежными силами, а резуль- тирующий вращательный момент E.28) вызывает «общую пре- цессию» оси вращения Земли с периодом 26 000 лет («прецес- сия равноденствий»). Замечательное свойство общей теории относительности за- ключается в том, что формула E.28) для приливного враща- тельного момента справедлива не только для пробных или почти-ньютоновских тел, но также и для тел, обладающих релятивистски сильным внутренним гравитационным полем (нейтронные звезды и черные дыры). Ниже, в подразд. 4, мы рассмотрим этот вопрос более подробно. А пока вернемся к жесткому стержню, изображенному на рис. 40, и воспользуемся им, чтобы составить представление о неньютоновском приливном поле /?/ш- Пусть стержень вра- щается вокруг своего центра, так что положения и скорости двух масс / и 2 таковы: Х\ = ц, vi = ц\ х2 = —rj, v2 = —т]. Тогда, как следует из формулы E.21), /?/ш приводит к одному и тому же гравитационному ускорению двух масс 1 E.29) (рис. 40,6). В результате стержень как целое ускоряется отно- сительно локально инерциальной системы отсчета с ускорением E.29), т. е. в 4-мерном пространстве-времени его мировая ли- ния отклоняется от геодезической! Полезно вычислить вызванное приливным полем ускорение E.29) для пробного тела произвольной формы с распределе- -> > нием плотности pm (jc) и распределением скорости v{x). Мы выполним вычисления для того момента времени, когда центр масс тела покоится относительно нашей локальной инерциаль-
198 дж. хартль, к. торн, р. прайс ной системы отсчета, и поместим начало нашей инерциальной системы в центр масс тела. Тогда полная гравитационная сила, действующая на тело, равна = -Rim \ Р„**Л( - Щ„ \ pmvV А: E.30) [ср. с формулой E.21)]. Первый член (ньютоновского типа) обращается в нуль, поскольку начало координат находится в центре масс, а интеграл во втором члене можно переписать следующим образом: J pmvkxld3x = \ \ 9т (vV - * V) d?x + \ \ 9т (vV + xkvl) d*x = = — 4" €kla \ ваЬсХЬ ^mV^ ^Х + \ 4i \ PmXkXld3X = — <feklaJa + ~Y~dt^kh E.31) где T\J E.32) есть угловой момент тела. Таким образом, соотношение E.30) сводится к следующему: F, = -RfktO \-4lJa + \ 4Г 7 Эта сила столь слаба, что может представлять физический интерес только после усреднения по большому интервалу вре- мени, а после усреднения (d/dt)Iki обратится в нуль. Следо- вательно, приливная сила целиком связана с взаимодействием приливного поля Rjkto с угловым моментом тела /: Fi=Rlkto4iJa. E.34) Принято писать это уравнение в несколько ином, но эквива- лентном виде, используя свойства симметрии Ra^6 [формула E.22)] и антисимметрии ekia'. eRJ E.35) Приведенное соотношение для приливной силы, как и соот- ношение E.28) для приливного вращательного момента, спра- ведливо как для пробных, так и для самогравитирующих тел; оно справедливо даже для нейтронных звезд и черных дыр (см. ниже подразд. 4). К сожалению, в практических ситуациях
V. ГРАВИТАЦИОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С УДАЛЕННЫМИ ТЕЛАМИ 199 эта сила столь слаба, что никому пока не удалось найти ка- кое-либо интересное применение этой формулы [ср. с упраж- нением 40.8 в книге [129] и § 6.5 в книге [225]]. 3. Приливная гравитация с точки зрения опорных наблюдателей в абсолютном пространстве Теперь от локально инерциальной системы отсчета вернем- ся к абсолютному пространству, с которым связано конкрет- ное глобальное сечение пространства-времени, и к законам фи- зики, сформулированным опорными наблюдателями в этом аб- солютном пространстве. Напомним (разд. III. Б.3), что опорный наблюдатель, при- бегая к 3+ 1-расщеплению законов физики, расщепляет 4-мер- ный тензор энергии-импульса T^v на плотность энергии 6 = ГО^> поток энергии SJ=T^f и натяжение T'k9 где индексом б обозначена пространственно-временная компонента вдоль еди- ничного временного вектора ОПН. Аналогично ОПН расщеп- ляет 4-мерный тензор кривизны Римана на три составляющие: - E.36) Благодаря свойствам симметрии тензора Римана [формула E.22)] все другие компоненты можно выразить через приве- денные выше. Рассмотрим малое пробное тело, покоящееся в данный мо- мент относительно ОПН, который расположен в центре масс тела. ОПН припишет этому телу угловой момент / и квадру- польный момент Э\k, определенные с помощью вычислений или экспериментально точно таким же образом, как и в земной лаборатории. Например, ОПН мог бы ввести локально инер- циальную систему отсчета, покоящуюся в данный момент от- носительно него, и в этой системе отсчета он мог бы вычислить -> <--> J к & с помощью интегралов E.32), E.25) и E.27). По- скольку локально инерциальная система отсчета и система -> <--> отсчета ОПН в данный момент совпадают, / и J можно с рав- ным основанием считать величинами, измеряемыми ОПН, т. е. их можно рассматривать в абсолютном пространстве. Если за- тем ОПН измеряет полный вращательный момент и полную силу, действующие на тело, он обнаружит — дополнительно к вращательным моментам и силам, действующим на идеальную точечную массу [т. е. массу без углового момента и без квад- рупольного момента; формулы C.21) и C.20) для ОПН вне керровской дыры] — также и приливный вращательный момент
200 ДЖ. ХАРТЛЬ, К. ТОРН, Р. ПРАЙС -> -> NT и силу F1', которые определяются в точности теми же са- мыми соотношениями, которые были получены нами в ло- кально инерциальной системе отсчета: NTi = -tilhR\^3f!l9 E.37) FTi = -^4iaRkl^a E-38) [формулы E.28) и E.35)]. Совпадение приливной силы и вра- щательного момента в ускоренной системе отсчета ОПН и в локально инерциальной системе отсчета следует из соображе- ний локального ньютоновского подхода, который справедлив здесь потому, что рассматриваемые скорости малы (никаких специальных релятивистских поправок при переходе от одной системы отсчета к другой) и мал размер тела (никаких обще- релятивистских поправок). Ниже мы убедимся, что весьма полезно расщепить тензор Римана в некоторой заданной точке (t\ x1') пространства и вре- мени на две разные составляющие: источником одной будут -> <~> плотность энергии е, плотность импульса 5 и натяжение Г, ло- кализованные в (t\xi), а другая часть — это, грубо говоря, «свободное» гравитационное поле. Вклад от свободного поля представляет собой бесследовую составляющую тензора /?а|3Уб> которая называется «тензором кривизны Вейля» и обозначается Са$у&- Локальный вклад является той составляющей, которая входит в следы i?apY6> т- е- в тензоР Риччи i?ap; ее можно выра- зить алгебраически посредством уравнений Эйнштейна через 6, _> <-+ S и Т. 4-мерные уравнения для компонент /?арув> выраженные через локальную и свободную составляющие [книга Мизнера, Торна и Уилера [129], формулы A3.50), A3.49) и A7.9)], когда выполнено 3 + 1-расщепление, сводятся к следующим соотношениям: */о *о = С/о *о - 4*Г/* + f F + 2Г<:) 8»> E.39а) Я,/**? = CUkо + ^ (StSik ~ Slgih), E.396) Яны = CiIki + 4я (Т^ц + Tflgik — Tngjk — Tikga) + + Щ- (e - Tl) (gikgjl - gagJk). E.39b) Здесь, как и раньше, индекс нуль (например, в Rf^) соответ- ствует компоненте вдоль единичного временного направления ОПН, т. е. вдоль 4-скорости ОПН, e~ = U, а пространственные координаты и базисные векторы совершенно произвольны. В ва-
V. ГРАВИТАЦИОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С УДАЛЕННЫМИ ТЕЛАМИ 201 кууме локальный вклад обращается в нуль и /?apY6 сводится К СВОбоДНОМу ПрИЛИВНОМу ПОЛЮ, /?а|3уб = ^аруб- Оказывается, из-за того что свободное приливное поле Са$Уь является бесследовым по всем парам индексов, оно имеет толь- ко десять независимых компонент (в противоположность двад- цати независимым компонентам тензора /?аруб)- Когда совер- шается 3 + 1-расщепление, пять из его компонент входят в приливное поле ньютоновского типа C.~k~, а пять — в ненью- тоновское приливное поле Cijk§. Как мы убедимся, полезно ввести новые обозначения для этих двух очень важных прилив- ных полей: E.40а) Отметим тесную аналогию с электрическим и магнитным по- лями, измеряемыми ОПН, которая заметна, если выразить их через тензор электромагнитного поля: Fjk = elkpBp. E.416) Эта аналогия побуждает назвать &jk «составляющей электри- ческого типа», или «гравитоэлектрическои (ГЭ) составляющей приливного тензора Сар?б> и назвать .38jk «составляющей маг- нитного типа», или «гравитомагнитной (ГМ) составляющей». Можно убедиться, исходя из симметрии тензора Вейля + ?a60Y~O' ^Раб], что 1) приливные ГЭ- и ГМ тензоры явля- ются симметричными и бесследовыми: $jk==@kjy 3) = о E.42) и поэтому имеют по пять независимых компонент каждый и 2) чисто пространственные компоненты тензора Вейля Cijki можно выразить полностью через приливный ГЭ-тензор: Cipjq = eij&pq + gpq&ij — Sig^pj — Spj^iq- E«43 Отметим, что формулы E.40а, б) и E.43) определяют все со- ставляющие тензора Вейля CapYe ч^Рез <° \k, SSjk и метрику gi]y
202 ДЖ. ХАРТЛЬ, К. ТОРН, Р. ПРАЙС а также отметим, что формула E.39) затем определяет все составляющие тензора кривизны Римана Ra$y& через <§f/fe, Jf/ь gih е, S; и Тц. Хотя это 3+ 1-разложение тензора кривизны Римана может показаться чрезвычайно сложным, оно очень плодотворно и важно. Каждый отдельный элемент в этом разложении имеет свою собственную физическую интерпретацию и физическую роль. Очевидно, читатели хорошо знакомы с физическим смыс- лом и физической ролью плотности энергии е, потока энергии Si и натяжения Тц. Куда меньше читателям известно о про- странственной метрике gik (хотя мы уже имели дело с эффек- тами, связанными с ней, на диаграммах погружения в гл. II) или о приливных ГЭ- и ГМ-полях, S'jk и 98 jk (хотя мы уже по- знакомились в этом разделе с той ролью, которую играют соз- даваемые ими приливные силы и приливные вращательные мо- менты). По ходу изложения в оставшейся части книги мы бу- дем встречаться с gjk, <§\k и SSjk во многих других разнообраз- ных контекстах. Тензор Римана можно вычислить по пространственно-вре- менной метрике g^, т. е. по функциям длительности а и сме- щения |3' и по пространственной метрике gtj, используя фор- мулы, которые можно найти в любом учебнике по общей тео- рии относительности [см., например, формулы (8.44) и (8.24) в книге [129]]. В частном случае гравитационного поля, на- столько слабого, что его можно рассматривать как линейное возмущение плоского пространства-времени, т. е. вдали от черной дыры, соответствующая формула [см. [129], формула A8.9)] имеет вид RlxvKo = V2 (?ца, vA, + gvK, цо — §иК vc ~ ever, цА,)> E.44) где запятыми обозначены частные производные в (почти-) ло- ренцевой системе координат. Если, кроме того, пространство является локально пустым (R^vio = С^ю) и не зависящим от времени (например, керровским) или медленно меняющимся, то приведенное соотношение вместе с формулой E.40) и лине- аризованными соотношениями goo = —а2 = —1 —2Ф, gOi = |Зг, g = —V In а = —УФ и Я = V X Р Дает &ц = Щ И = ф1 И = —§i 1 / = — Si I и E.45а) #*/ = - tV%.ip/=-т Hi'/ = ~^ Я/| '• E'45б) Здесь вертикальные черточки будут переходить в запятые (в частные производные), если пространственные координаты невозмущенного плоского пространства будут декартовыми [например, х, у, z в формуле C.24)], но в более общем случае
V. ГРАВИТАЦИОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С УДАЛЕННЫМИ ТЕЛАМИ 203 пространственных координат [например, координат Бойера — Линдквиста г, 0, ф] они обозначают ковариантные производ- ные. Если гравитационное поле является локально сильно ди- намическим и (или) нелинейным и (или) невакуумным, то выра- жения E.45) становятся существенно более сложными. Заме- тим, что именно ньютоновский потенциал Ф и (гравитоэлектри- ческое) гравитационное ускорение g входят в гравитоэлектри- ческое приливное поле Sц и именно гравитомагнитныи потен- циал р и поле Н входят в гравитомагнитное приливное поле В вакууме, но в случае произвольно сильного и, возможно, динамического гравитационного поля приливный вращательный момент и сила, действующие на малое вращающееся несфери- ческое пробное тело, покоящееся в данный момент относитель- но ОПН [формулы E.37) и E.38)], можно переписать в сле- дующем виде: NTt = —^ijk^ki^jly E.46) Fl = -%/'. E.47) Приливный вращательный момент E.46) и приливная сила E.47) — это первые члены степенных разложений для малых пробных тел. Безразмерным параметром разложения служит отношение размера пробного тела L к характерному размеру неоднородностей SB внешнего приливного поля. Вполне ве- роятно, что физически всегда важен лишь главный порядок во вращательном моменте E.46). Поскольку в большинстве физических систем скорости малы, сила, созданная ГМ-полем, S&ijJj часто не превосходит по величине не зависящую от скоро- сти поправку следующего порядка. С учетом этой поправки со- отношение E.47) для приливной силы принимает следующий вид (в вакууме, где свободные поля <gц и 3$ц являются един- ственными источниками приливных воздействий): Ft = -Я,,!' - Sm2flk. E.48) Здесь Jjk — квадрупольный момент тела, а &цк — симметрич- ный бесследовый тензор, описывающий неоднородность прилив- ного ПОЛЯ <§]и- <%ijk — (симметричная, бесследовая часть тензора Rt^^, k). E.49) В случае слабых (линейных) гравитационных полей, не зави- сящих от времени или медленно меняющихся, это соотношение сводится к &Ф = Ф\т E.50) [ср. с формулами E.45)]. Более подробно см. [234,235,205].
204 ДЖ. ХАРТЛЬ, К. ТОРН, Р. ПРАЙС 4. Законы движения и прецессии для вращающейся черной дыры Замечательная особенность общей теории относительности состоит в том, что черные дыры, нейтронные звезды и другие релятивистские объекты подчиняются тем же самым законам движения и прецессии, что и пробные тела («сильный принцип эквивалентности»). Иначе обстоит дело в других релятивист- ских теориях гравитации, например в теории Дикке — Бран- са — Йордана (см., например, § 11.3 книги [225]). Соблюдение в общей теории относительности сильного принципа эквива- лентности проявляется, во-первых, в том, что направление и скорость движения, а также направление и угловая скорость вращения тела полностью описываются соответственно импуль- •> -> сом тела Р и его угловым моментом /, а во-вторых, в том, что -> -> именно Р и / являются теми величинами, которые определяют слабое гравитационное поле вдали от тела, и именно эти ве- личины подчиняются законам сохранения, которые (если их сформулировать в области слабого гравитационного поля) имеют для черных дыр и нейтронных звезд тот же вид, что и для любого пробного тела. Мы не будем в этой книге дока- зывать, что общая теория относительности удовлетворяет силь- ному принципу эквивалентности; доказательства и более глубо- кое обсуждение этого вопроса см., например, в гл. 20 книги [129] или в [205], а также в более ранних работах, на кото- рые там есть ссылки. Здесь мы сосредоточим внимание на след- ствиях сильного принципа эквивалентности, которые прояв- ляются в движении и прецессии черных дыр. Рассмотрим вращающуюся черную дыру с угловым момен- том Ji=MaJi (где / — единичный вектор в направлении соб- ственного углового момента) и с квадрупольным моментом &ц> который описывается формулой C.26): Jt = McJi9 &ц = -Ма2 (/,/, --g-б,,). E.51) Пусть эта дыра находится в гравитационном взаимодействии с внешними телами, которые все расположены на расстояниях ~5?^> гн от дыры. Тогда вблизи дыры эти удаленные внеш- ние тела создают слабые приливные поля &\f, &**1, Щх, кото- рые действуют на дыру посредством некоторых приливных вра- щательных моментов и некоторых сил. Благодаря сильному принципу эквивалентности эти приливные вращательные мо- менты и силы в некоторой подходящей системе отсчета (см. ниже) имеют такой же вид, как: и в случае пробного тела
V. ГРАВИТАЦИОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С УДАЛЕННЫМИ ТЕЛАМИ 205 [формулы E.46) и E.48)]: Nl = -e{kgetf3rlh E.52а) F] = -mfl1 - %tkVlk* E.526) Отметим, что, воспользовавшись конкретной формой E.51) квадрупольного момента дыры, выражение приливного враща- тельного момента E.52а) можно переписать в следующем виде: р = qt X /, QTi = ~^fa?]\ E.52а') -> где &г называют угловой скоростью прецессии, вызванной при- ливным вращательным моментом. Поскольку гравитация в общей теории относительности яв- ляется нелинейной, гравитационные поля черной дыры и внеш- них тел не подчиняются линейной суперпозиции. В связи с этим нельзя, исходя из результирующей прецессии, отделить прилив- ные поля <%*jf и Jff/1, создаваемые вблизи дыры внешними те- лами, от приливных полей, создаваемых самой дырой. Анало- гично, зная результирующую прецессию, нельзя по сильно не- линейному полю вблизи дыры определить массу дыры М, угло- вой момент ]1 и квадрупольный момент Э*к\ присутствие внеш- них приливных полей не позволяет выполнить подобного рода процедуру и создает неопределенности в величинах М, J1 и &^к и соответствующие неопределенности и ошибки в приливных вращательных моментах и силах E.52). К счастью, когда расстояние до внешних тел велико по сравнению с размером дыры 3? > гНу этими неопределенно- стями можно пренебречь (подробное обсуждение этого вопроса см. в [205]). Такая возможность должна быть ясна на при- мере более знакомой ситуации, когда рассматривается взаи- модействие Земли с Солнцем, Луной и другими телами Солнеч- ной системы — взаимодействие, которое определяется теми же законами для приливных вращательных моментов и приливных сил E.52), что и в случае черных дыр, и в котором фигурирует та же самая принципиальная неоднозначность. Поскольку гра- витационное поле в Солнечной системе является слабым, супер- позиция полей близка к линейной и неоднозначность, о которой идет речь, столь незначительна, что нет необходимости беспо- коиться о ней, когда вычисляются движение и прецессия Земли. Более того, из-за малой скорости Земли относительно Солнца по сравнению со скоростью света нижние и верхние индексы в законах для приливных вращательных моментов и сил E.52) обозначают компоненты в декартовой системе координат, кото- рая в равной степени может быть выбрана покоящейся относи- тельно центра Земли или относительно центра Солнца.
206 дж. хартль, к. торн, р. прайс Рис. 41. Диаграмма погружения для двух черных дыр, движущихся вокруг друг друга. Область, показанная точками, — это асимптотическая система покоя левой дыры. В случае черной дыры интерпретация соотношений E.52), описывающих вращательные моменты и силы, оказывается бо- лее тонкой. Вблизи дыры пространство сильно искривлено и вполне возможно, что дыра с большой скоростью движется от- носительно внешних источников гравитационного поля. Поэтому мы должны очень точно определить как систему отсчета, в ко- торой справедливы уравнения для вращательных моментов и сил, так и базисные векторы, по отношению к которым величины с нижними и верхними индексами являются компонентами. В работе [205], где подробно обсуждается этот вопрос, делается вывод, что формулы E.52) справедливы в «мгновен- ной асимптотической системе покоя» дыры, являющейся анало- гом мгновенной системы покоя пробного тела. Дадим более строгое определение «мгновенной асимптоти- ческой системы покоя». Вблизи черной дыры гравитационные эффекты, создаваемые удаленными внешними телами, очень слабы, поэтому дыра с достаточной точностью описывается формулами для керровского решения, и мы можем ввести стан- дартное пространственно-временное сечение (с мировым вре- менем t, эквивалентным «бойер-линдквистовскому времени»), о котором шла речь в разд. III. АЛ. Очень далеко от горизонта гравитационные воздействия со стороны других тел будут срав- нимы с воздействиями со стороны дыры, и керровские формулы потеряют свою точность. Под «системой покоя дыры» мы будем понимать абсолютное пространство, соответствующее стандарт- ному (бойер-линдквистовскому) выбору сечения t, ограничи- ваясь рассмотрением области, достаточно близкой к горизонту дыры (радиус г меньше некоторого значения го), в которой гра- витационное поле дыры доминирует и близко к керровскому. Под «асимптотической системой покоя дыры» мы будем пони- мать ту часть системы покоя, которая расположена достаточно далеко от горизонта (радиус г ^,/7 » г#), так чтобы гравита- ционное поле в ней было слабым, пространство почти плоским и, следовательно, гравитационные поля дыры и внешних тел складывались бы с большой степенью Точности линейно. На рис. 41 показана асимптотическая система покоя в слу- чае черной дыры (левая часть диаграммы) в двойной системе,
V. ГРАВИТАЦИОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С УДАЛЕННЫМИ ТЕЛАМИ 207 в которую входит еще одна черная дыра сравнимой массы. Пространственная область, соответствующая асимптотической системе покоя левой дыры, обозначена точками; она прости- рается от «внутреннего радиуса» п » гн до «внешнего радиуса» г о <С & > где 3? — расстояние между дырами. -> Угловой момент дыры /, ее квадрупольный момент Jjk и слабые приливные поля «f/jf, &%\ и $}ЪХ внешних тел можно рассматривать соответственно как пространственный вектор и пространственные тензоры, помещенные в асимптотическую си- стему покоя; поскольку пространство там почти плоское, прак- тически безразлично, куда в асимптотической системе покоя мы их помещаем — над северным полюсом дыры, над ее юж- ным полюсом, над экватором или где-то еще. Их можно пере- мещать туда-сюда почти безнаказанно. Более того, то обстоя- тельство, что пространство здесь почти плоское, позволяет нам ввести в асимптотической системе покоя почти-декартовы ко- ординаты [например, асимптотически декартовы координаты, использованные в соотношении C.24)] и рассматривать Jh 2/jky <2?/&*, <$*ш и ife/jf соответственно как компоненты угло- вого момента, квадрупольного момента и приливных сил, соз- даваемых внешними телами, в этих координатах. Естественно, именно в этих декартовых координатах в асимптотической си- стеме покоя дыры справедливы уравнения для приливных вра- щательных моментов и приливных сил. Согласно сильному принципу эквивалентности, в отсутствие приливного вращательного момента и приливной силы наша дыра должна двигаться во внешних гравитационных полях, со- здаваемых удаленными телами, точно так же, как движутся идеальная пробная масса и гироскоп; это означает, что именно так движется асимптотическая система покоя дыры. Таким об- разом, асимптотическая система покоя движется инерциально во внешних гравитационных полях, и приливный вращательный момент и приливная сила E.52) являются единственными при- чинами прецессии черной дыры или ускорения в этой системе отсчета. Можно сказать, что изменение компонент углового мо- мента Ji и импульса Pi дыры в асимптотической системе по- коя описывается «законами движения и прецессии» черных дыр [205, 234]: ^ = tfI = -€?#fW, E.53а) -^L = F] = -gtfjt - gtfh3,l\ E.536) Заметим, что хотя дыра может покоиться (Pi = 0) в этой асимп- тотической системе покоя в момент времени t = 0, приливная
208 ДЖ. ХАРТЛЬ, К. ТОРН, Р. ПРАЙС сила E.536) заставит ее двигаться (Р1 ф 0) в следующие мо- менты времени t. На более специальном языке этот вывод можно выразить так: асимптотическая система покоя дыры определена как система, которая движется вдоль геодезической во внешнем искривленном пространстве-времени и осуществ- ляет перенос Ферми — Уолкера своих пространственных коор- динат. Можно считать, что уравнения E.53) представляют ко- личественные отклонения движения дыры от геодезической и от переноса Ферми — Уолкера ее углового момента. Учитывая это небольшое различие в движении дыры и ее асимптотиче- ской системы покоя, мы добавляем слово «мгновенный» к на- званию этой системы и называем ее мгновенной асимптотиче- ской системой покоя дыры. 5. Уравнения движения и прецессии для черной дыры или нейтронной звезды в сложных внешних системах В большинстве астрофизических исследований интерес пред- ставляет не движение и прецессия дыры относительно мгновен- ной асимптотической системы покоя, а ее движение и прецессия относительно внешней Вселенной. В принципе можно получить «уравнения движения и прецессии» дыры во внешней Вселен- ной, если на инерциальное движение и прецессию мгновенной асимптотической системы покоя дыры наложить приливную силу и вращательный момент E.52), действующие в этой си- стеме покоя. Хотя в принципе эта операция кажется простой, здесь могут возникнуть сложности, когда дыра достаточно мас- сивна и оказывает существенное влияние на внешние тела (об- суждение этого вопроса см. в разд. IV работы [205]). Обратимся к конкретной астрофизической ситуации, когда имеется система, включающая черные дыры, нейтронные звез- ды, обычные звезды и газовые облака, причем все эти объекты гравитационно связаны. Кроме того, каждая черная дыра мо- жет быть окружена массивным аккреционным диском; в таком случае мы условимся, что существенное гравитационное поле может создаваться лишь той частью диска, которая располо- жена далеко от горизонта. Пусть наиболее массивные тела в системе имеют массы ~J?, минимальное расстояние между те- лами ~ 9? и 9? » Ж. Тогда в области между телами (т. е. до- статочно далеко от области сильного поля любого из тел) гра- витационное поле можно аппроксимировать ньютоновским по- лем с точностью до относительных ошибок порядка Л/&\ а ха- рактерная величина ньютоновского потенциала |Ф|~^/«2\ В, данном подразделе мы проведем исследование гравита- ционных полей в этой системе и их влияния на движение и пре- цессию черных дыр и нейтронных звезд, входящих в нее. (Дви-
V. ГРАВИТАЦИОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С УДАЛЕННЫМИ ТЕЛАМИ 209 жение и прецессия обычных звезд и газовых облаков имеют почти ньютоновский характер и хорошо изучены, поэтому рас- сматривать их здесь нет необходимости.) При нашем анализе мы будем пользоваться таким сечением пространства-времени (таким выбором абсолютного пространства), в котором центр масс системы покоится. Более того, мы выберем это сечение так, чтобы система центра масс в области слабого поля между телами была почти инерциальной настолько, насколько это позволяет гравитационное поле. В этой системе вводятся изо- тропные декартовы пространственные координаты таким обра- зом, чтобы с ньютоновской точностью функции длительности, смещения и метрические функции в области слабого поля при- нимали вид а = 1 + Ф + О {Ж2IS2), |5; = О (jr3'2/^3'2), gjk = bjk A - 2Ф) + О (М212Е2) E.54) (см., например, гл. 39 в книге Мизнера, Торна и Уилера [129], в частности упражнение 39.15). Здесь Ф — ньютоновский грави- тационный потенциал системы. Формулы E.54) перестают быть справедливыми вблизи нейтронных звезд и вблизи горизонтов дыр [и их следует за- менить другими выражениями, такими, как E.12)]. Тем не ме- нее в данном случае, как и при строгом рассмотрении движу- щейся шварцшильдовской дыры [формулы E.12)], мы можем считать, что каждая дыра или нейтронная звезда движется вдоль некоторой конкретной траектории в глобальных изотроп- ных декартовых координатах х1: х} = лс/с(/) = (траектория дыры или нейтронной звезды К)- E.55) Если мы находимся достаточно близко от тела /С, так что его гравитационное поле преобладает, \ х — хк\< ro <^i (расстояние между телом К и соседними телами), но в то же время доста- точно далеко от него, так чтобы его гравитационное поле было все еще слабым, | х — хк | > г7 3> Мк, то функция длительности и метрика определяются формулой E.54) с потенциалом , Мк /малые эффекты\ ^ . -> ¦> . _ Ф ^ т—^ hi I при г7 <С \х — хк < г0; \х — х | ^от внешних тел/ E.56а) а функция смещения (гравитомагнитный потенциал) будет да- ваться соотношением а/ /х/ Шк dx*K _9 jfk{xl-xk) /малые эффектьА \t — lc I dt }ht \t—t !3 ^от внешних телу -> -> при г7 < | x — xK I < ro\ E.566)
210 ДЖ. хартль, к. торн, р. прайс [ср. с формулами E.14) и C.29)]. Здесь Мк, Р*к = МкAхУси и/к — это соответственно масса, импульс и угловой момент тела К в выбранной системе отсчета; мы здесь пренебрегли относи- тельными поправками к функциям длительности и смещения и к метрике порядка | Ф | ~ Мк/\ х — хк |. Каждая черная дыра или нейтронная звезда в этой системе будет иметь свою соб- -> ственную траекторию хк (t), и вблизи (но не слишком близко) от каждой дыры или нейтронной звезды величины ф и (У будут определяться соотношениями E.56). Ньютоновский потенциал Ф и ГМ-иотенциал (Зу можно рас- считать всюду в системе, исключая области вблизи горизонтов и поверхностей нейтронных звезд. При этом используются эйнштейновские уравнения C.34) для случая слабого гравита- ционного поля и медленных движений: у2ф = 4ярт, V2P/= 16лр„У, повсюду, где |Ф|< 1 E.56в) (здесь рт и v} — соответственно плотность массы и скорость гравитирующей материи) с соответствующими граничными условиями, поставленными вблизи каждой черной дыры и каж- дой нейтронной звезды [формулы E.56а, б) или более точные варианты этих соотношений]. Если известны траектории xK(t) черных дыр и нейтронных звезд этот метод позволяет опреде- лить Ф и (У в области слабого поля. Траектория xK(t) тела К (черной дыры или нейтронной звезды) является почти инерциальной. Малые отклонения от инерциального движения описываются соотношением E.536) для приливной силы. Мы можем при вычислениях воспользо- ваться этим соотношением в нашей системе покоя центра масс, а не в мгновенной асимптотической системе покоя тела, допу- стив при этом относительные ошибки, не превышающие по по- рядку величины JI/S?: dt2 р к т% - &и№к) [1+0 (Л/2)]. E.57) к Здесь верхний индекс «ext» указывает на то, что поле созда- ется всеми внешними телами (т. е. если убрать тело /С). По порядку величины &\% - Л/3?\ tfff ~ {Л/2)щ ^М\ поэтому (
V. ГРАВИТАЦИОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С УДАЛЕННЫМИ ТЕЛАМИ 21 1 К этому полному ускорению в выбранной нами системе центра масс следует добавить ускорение, которое должна испытывать точечная масса, помещенная вблизи рассматриваемого тела, под действием тех же самых внешних гравитационных полей. С точностью ньютоновского приближения это инерциальное ускорение будет, разумеется, равно E.59) Здесь Фех1 — ньютоновский потенциал, создаваемый всеми дру- гими телами системы и рассчитанный вблизи тела /С Отме- тим, что приливное ускорение E.58) меньше, чем инерциальное (ньютоновское) ускорение E.59) на фактор (М/2?)ъ/2, т. е. яв- ляется величиной «пост1'5-ньютонов1ского порядка». Таким обра- зом, с высокой точностью мы можем пренебречь им. Из формул E.58) и E.59) с очевидностью следует, что если ограничиться изучением движения дыры или нейтронной звезды с точностью до относительных ошибок порядка JfL/&', то можно применить чисто ньютоновский анализ системы, при котором каждая дыра или нейтронная звезда рассматривается как нью- тоновская точечная масса. Такой анализ обеспечивает точность, вполне достаточную для сравнения со всеми имеющимися на сегодняшний день данными наблюдений, исключая данные, от- носящиеся к двойному пульсару (система, включающая ней- тронную звезду; см. гл. 12 книги [225]). Если, с другой стороны, мы хотим описать движение с точ- ностью до пост1'5-ньютоновского порядка, необходимо учесть d2xlKjdf из формул E.58) и E.59) с дополнительными пост- ньютоновскими инерциальными членами. Мы выпишем эти члены в следующем подразделе для частного случая, когда все тела в системе малы по сравнению с расстояниями между ними (когда отсутствует существенное гравитационное поле, созда- ваемое аккреционными дисками, или протяженными газовыми облаками или другими подобными объектами). Хотя ньютоновское рассмотрение движения дыры адекватно для практически всех интересных приложений, этого нельзя сказать о прецессии черной дыры. Причина заключается в том, что астрофизические выбросы, вероятно, выходят вдоль оси вра- щения черных дыр, и при изучении формы этих выбросов на основе наблюдений можно получить весьма точные сведения об истории прецессии дыры на протяжении интервалов порядка 107 лет (см. ниже разд. Б.З). Прецессия собственного углового момента тела К (черной дыры или нейтронной звезды) в рассмотренной выше системе
212 ДЖ- ХАРТЛЬ, К. ТОРН, Р. ПРАЙС относительно асимптотической системы покоя описывается урав- нением для приливного вращательного момента (?f) = (^')T = -«"*#*№ E.60) \ ut /прил Асимптотическая система покоя в свою очередь прецессирует относительно далеких звезд, или, что эквивалентно, относи- тельно глобальных декартовых координат xj в системе центра масс, которая становится асимптотически инерциальной вдали от исследуемой системы и, следовательно, фиксированной по отношению к далеким звездам. Поскольку асимптотическая си- стема покоя тела является инерциальной во внешнем гравита- ционном поле, она прецессирует точно так же, как локальный инерциальный гироскоп (см. §40.7) книги [129]): dJ ¦> X Ml + О Ш&I E.61) Здесь QGm — угловая скорость гравитомагнитной прецессии, с которой мы уже имели дело и изучали ранее [формулы C.21) и C.38)]: QGM=-i-tfex\ E.62) a Qgeod — угловая скорость «геодезической прецессии»: =4-^х!ех\ E.63) с которой мы еще не имели дела потому, что она пропорцио- нальна скорости vk тела (гироскопа), а раньше мы рассмат- ривали гироскопы, покоящиеся относительно ОПН. В форму- лах E.62) и E.63) gext и #ext — это гравитационное ускорение и ГМ-векторное поле, создаваемые внешними источниками, в асимптотической системе покоя тела К: |ext = __^ф™\ ^ext = х ^ext E g4) Складывая прецессию за счет вращательного момента E.60) с инерциальной прецессией E.61), получаем уравнение для прецессии собственного углового момента черной дыры или нейтронной звезды К относительно глобальных декартовых ко- ординат и, следовательно, относительно далеких звезд: -> dJ т, -> -> -> -> -> т -^- = QGM XJK + ^geod X JK + (W/t) > ( где (Nk)t — приливный вращательный момент из E.60), кото- рый в случае черной дыры может быть выражен следующим
V. ГРАВИТАЦИОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С УДАЛЕННЫМИ ТЕЛАМИ 213 образом: (NK) =QTy^JK для черной дыры. E.656) -> -> В соотношениях E.65) QT [формула E.52а/)], Qgm [формула E.62)] и Qgeod [формула E.63)] — это угловые скорости пре- ( [ру ] цессии (соответственно прецессия, вызванная приливным вра- щательным моментом, гравитомагнитная и геодезическая). Ниже в разд. Б мы рассмотрим несколько модельных задач, позволяющих разобраться в этих трех видах прецессии. 6. Уравнения движения и прецессии системы, состоящей исключительно из тел, размеры которых малы по сравнению с расстояниями между телами В качестве примера систем, рассмотренных в подразд. 5, возьмем систему, состоящую исключительно из тел, размеры которых малы по сравнению с расстояниями между ними — настолько малы, чтобы выполнялось условие: L = (максимальный размер тела)<^ (М/2?I12, E.66) где Ж — максимальная масса тела и S? — минимальное расстоя- ние между телами. В такой системе приливные силы -Ja%lf[c\%eaf\<:(j(/S?3)(J(/2?f2 и \1!'\^ЛЬ] и -4i3ab%% [с I 3'аЪ |^ Ml} и | <oTbi I ^ Ж1^^\ могут достигать пост-нью- тоновских величин (пост!'5-ньютоновских в случае черной дыры), но все приливные силы более высоких порядков, кото- рыми мы пренебрегли [ср. текст после формулы E.47)], должны быть величинами пост2-ньютоновского порядка или меньше. Аналогично приливный вращательный момент ~tlah3ca<o*cb может достигать пост-ньютоновского значения (пост1'5-ньютоновского в случае черной дыры), но все прилив- ные вращательные моменты более высоких порядков должны быть величинами пост2-ньютонов1ского порядка или меньше. Торн и Хартль [205] вывели для таких систем уравнения движения и прецессии с точностью вплоть до пост1'5-ньютонов- ской величины; в последнем разделе мы кратко познакомимся с этим выводом. Результаты их анализа таковы: Тело К движется по траектории x\(i), которая в нашей си- стеме центра масс определяется из уравнения: М К рМШН) , pi(SO) , nt(SS) , pi(Q) (Ка7\ мк dt2 =гк +гк +гк +Рк • E.07) Четыре силы в правой части будут выражены через массы МА, собственные угловые моменты ]А и квадрупольные моменты
214 ДЖ. ХАРТЛЬ, К. ТОРН, Р. ПРАЙС & а различных тел, а также через координатные скорости: / dxK i i i ^ v'a-v'b, E.68a) координатные расстояния: Гав = [б/* (х'а - х'в) (хл - хв-)]т, E.686) и единичные векторы, направленные по линиям, соединяющим тела: ^ikfL; E.68в) при этом мы будем пользоваться векторными обозначениями для плоского пространства. В частности, /Г^1Н) — инерциальная сила Эйнштейна, Инфельда и Гофмана [65] [формула C9.64) в книге [129]]: ~1Л E-69a) которая включает ньютоновские эффекты порядка М21&2 и пост-ньютоновские эффекты порядка Л,Ъ1&Ъ и верна с точ- ностью до ошибок порядка пост2-ньютоновской величины МА/3?\ В E.67) Р{кО) — «спин-орбитальная сила»: ii-Г6/7 (I V п \v 4-4f Yv - 6 (/л X ПКА) (VKA ¦ ПКА)\ + 2j -"^-[6ге/СЛ {U X ПКА) X VKA + АФК АК + 3/к Х\А - 3 GKX«W) Кл • пКА)), E.696)
V. ГРАВИТАЦИОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С УДАЛЕННЫМИ ТЕЛАМИ 215 которая имеет пост1>5-ньютоновский порядок величины (Ж/3?I/2, когда Ja или Jk является собственным угловым мо- ментом нейтронной звезды или дыры. Первое слагаемое в вы- ражении этой спин-орбитальной силы появляется вследствие инерциального (геодезического) движения тела К в гравито- магнитном поле, создаваемом собственным угловым моментом тела А (сила укУ^На), а второе слагаемое возникает из-за приливной силы .^/*/д> определяемой соотношением E.57). В E.67) F{%S)—«спин-спиновая сила»: АФК "Ж АФК — 3/л (я* л ' Jk) + 15%л (пКА ' jk) (пка ' /л)], E.69в) которая имеет пост2-ньютоновский порядок величины (JC/S?)A и, следовательно, пренебрежимо мала, если оба собственных угловых момента принадлежат нейтронным звездам или чер- ным дырам, но которая становится величиной пост1>5-ньютонов- ского порядка или даже больше и, следовательно, существенна, если одно или оба тела имеют собственный угловой момент |/| ^Мъ/29?1/2. Эта сила возникает исключительно из-за при- ливной силы — 3tif}lK- И наконец, F{^] в E.67)—«квадруполь- ная сила»: АФК ГАК -Л [3^ • л«л - т- %д (%а • ^ • пКА)\, E.69г) имеющая пост2-ньютоновский порядок величины {М/З?)*. Сле- довательно, ею можно пренебречь, когда квадрупольный мо- мент принадлежит нейтронной звезде или черной дыре, но она становится величиной пост1'5-ньютоновского порядка или боль- ше и, следовательно, начинает быть существенной, если | & | ^ МЪ123?112. Первое слагаемое правой части соотношения E.69г) обязано своим появлением инерциальному (геодезиче- скому) движению тела К в квадрупольном ньютоновском поле Ф, создаваемом телом Л, а второе слагаемое появляется из-за приливной силы —SVik&K, определяемой формулой E.57). При движении тела К в соответствии с этими уравнениями его собственный угловой момент прецессирует относительно на- ших фиксированных по отношению к звездам координат в си- стеме центра масс. Прецессия описывается формулой E.65),
216 Дж- хартль, к. торн, р. прайс которая в применении конкретно к нашей системе многих тел имеет вид dt = [ъ1к + ъ&к J X Jk + ^к • E.70) Здесь QjfM) — угловая скорость гравитомагнитной прецессии [формула E.62)]; 2Af .v л -> q(gm)= \ АФК Га* E.71а) Q/feo } — угловая скорость геодезической прецессии [форму- ла E.63)]: &->Х4^44 E71б) и 7V^ — приливный вращательный момент [формула E.65а)]: E.71b) который в случае черной дыры можно записать в виде [фор- мула E.656)]: ) кл- [Замечание: Торн и Хартль [205] немного иначе определяют Й/^М) и Q/feod), и по этой причине последний член в формуле E.71а) переходит в формулу E.716); ср. с формулами D.17а, 6) из [205].) В этой системе координат, связанной с центром масс, функ- ция длительность, функция смещения и пространственная мет- рика даются соответственно следующими выражениями: #)' E-72a> О (-?-) E.72в) ср. с формулой D.2) в работе [205], где для а приведены некоторые поправки более высоких порядков].
V. ГРАВИТАЦИОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С УДАЛЕННЫМИ ТЕЛАМИ 217 Б. Модельные задачи о прецессии черных дыр 1. Черная дыра в центре эллиптического звездного скопления В качестве простого примера прецессии черной дыры рас- смотрим дыру, покоящуюся в центре эллиптического звездного скопления, скажем в ядре галактики. Ясно, что система от- счета, связанная с центром масс, является общей системой по- коя как для центра скопления, так и для дыры, и симметрия в этой системе отсчета обеспечивает отсутствие гравитацион- ного ускорения, испытываемого дырой, gext = 0. Предположим для простоты, что в среднем каждой звезде, обращающейся вокруг центра по часовой стрелке, соответствует звезда, обра- щающаяся вокруг центра против часовой стрелки, т. е. пред- положим, что среднестатистический импульс р в каждой точке скопления равен нулю. Предположим также, что оси вращения звезд ориентированы случайным образом (хотя в любой реаль- ной астрофизической ситуации эффектами, связанными с соб- ственными угловыми моментами звезд, можно пренебречь). Тогда полный угловой момент скопления обращается в нуль, как и функция смещения |3У и ГМ-поле в месте расположения дыры Hext = VX Pext. Поэтому инерциальная (гравитомагнит- ная плюс геодезическая) составляющая прецессии черной дыры [формулы E.61) — E.64)] обращается в нуль, и остается не равной нулю только прецессия, обусловленная приливным вращательным моментом /VT = йт X L Qt*= — SfjlaV [формула E.52а')]. Мы предположим, что скопление звезд не настолько ком- пактно, чтобы его гравитационное поле считалось релятивист- ским. Тогда приливное поле &IХ в вакууме вблизи дыры пред- ставляется обычным ньютоновским выражением Ориентируя наши декартовы координаты вдоль главных осей скопления, можно привести &У? в его центре к следующему виду: c»ext ^ r gpext c% т ®хх = —2npmlx, &уу = —2лрт1у, &1? = -2лрп1г, &%* = &1* =.&%* = О, E.74) где рт — средняя плотность массы скопления, а /*, Iy, Iz — безразмерные постоянные, которые существенным образом за- висят от формы скопления, но слабо зависят от радиального
218 ДЖ. ХАРТЛЬ, К. ТОРН, Р. ПРАЙС профиля плотности и (поскольку след тензора &Jk равен 0) удовлетворяют соотношению Ix + Iy + Iz = 0. E.75) В простом случае эллиптического скопления с однородным рас- пределением плотности и главными полуосями ах, ау, az, имею- щего сферическую полость в центре, в которой находится чер- ная дыра, величины //, как нетрудно показать, равны /; =Aj — — 2/3, где Л/ — величины, приводимые Чандрасекаром [см. книгу [35], гл. 3, формулы C1) — C7)]. Например, если взять осесимметричный сплюснутый эллипсоид, ах = ау> аг, с эксцентриситетом e=(l—ах/а22), то 1 (i_e2)i/2 i i 1х = 1у = --^1г = -з arcsin е - -^ + т 2 ~—\ье2 ПРИ е ^ * (почти сфера) 2 сх. — при е сх. 1 («блин»). E.76) В случае осесимметричного скопления, если ось вращения дыры 7 ориентирована под углом 8 к оси симметрии скопле- ния, угловая скорость прецессии QT, вызванной вращательным хмоментом [формула E.52ах)], принимает вид: Qt = — 4" a^zz cos 0ег = Злрта1г cos вег. E.77) -> (Здесь были отброшены те члены в выражении Йт, которые -> параллельны / и, следовательно, не вносят вклада во враща- тельный момент, действующий на дыру.) Таким образом, если скопление осесимметрично, дыра испытывает простую плавную прецессию вокруг оси симметрии скопления с постоянной угло- вой скоростью, причем величина ее равна нулю, если оси дыры и скопления ортогональны F = я/2); если же 8 не близко к я/2, то угловая скорость прецессии равна ) ( ;: 1О9М0;(:в,год)з) х EJ8) Таким образом, прецессия под действием вращательного мо- мента достаточно велика и представляет интерес (QT > > 1/108 лет) только в том случае, если очень высока плотность звездного скопления (рт !>, 109 солнечных масс на кубический
V. ГРАВИТАЦИОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С УДАЛЕННЫМИ ТЕЛАМИ 219 световой год) и если дыра очень массивна (М ^ 108 солнеч- ных масс). Бели скопление не является осесимметричным, то из фор- мулы E.52аА) следует, что угловая скорость прецессии Qt ме- няется в ходе прецессии дыры и характер прецессии может быть довольно сложным. 2. Черная дыра, окруженная массивным аккреционным диском В качестве второго примера прецессии черной дыры рас- смотрим дыру, окруженную аккреционным диском, внешние об- ласти которого столь массивны, что их собственным гравита- ционным полем пренебрегать нельзя. Для простоты примем идеализированную модель внешней (массивной) области диска в виде тонкого кольца массы MR и радиуса Ь, а чтобы еще больше упростить задачу, предположим, что это массивное кольцо расположено вне радиуса Бардина — Петтерсона (разд. IV. Б), Ь > гвр > М\ в этом случае оно не обязательно должно лежать в экваториальной плоскости дыры (рис. 33). Благодаря симметрии условий задачи дыра покоится в центре масс всей системы и gext обращается в нуль там, где расположена дыра. Однако ни гравитомагнитное поле диска #ext, ни его приливное поле &Jk не обращаются в нуль, по- этому они оказывают воздействие на дыру посредством вра- щательных моментов [формулы E.52а'), E.62) и E.65)]. Ориентируя оси наших глобальных (почти-) декартовых коор- динат так, чтобы кольцо лежало в плоскости х — у, мы можем привести выражения гравитомагнитного и приливного полей кольца [формулы C.34) и E.73)] в месте расположения дыры, х = у = z = 0, к следующему виду: н = W = ь е*> E-79а) #?? = -у«Т; = -4Sfi = ^? . E.796) Здесь MR и Мн — массы кольца и дыры, JR — угловой момент кольца [предполагается, что вещество кольца обращается во- круг дыры с кеплеровской угловой скоростью QR = (Мн/ЬгI/2]. Поскольку &Jk обладает той же алгебраической структу- рой, что и в случае осесимметричного эллиптического звезд- -> ного скопления, угловая скорость прецессии Йт, вызванной при-
220 ДЖ. ХАРТЛЬ, К. ТОРН, Р. ПРАЙС Рис. 42. Черная дыра, окруженная массивным аккреционным диском, который представлен в виде идеализированного тонкого кольца. И дыра, и кольцо испытывают гравитомагнитную прецессию вокруг вектора их суммарного углового момента JT = /я + Jr [формула E.86)] ливным вращательным моментом, имеет тот же вид, что и в случае звездного скопления [формула E.77)]: > 3 QT = - - -> 3 аМ cos Qez = - у —^ cos Qez E.80) где 8 — угол между осью симметрии кольца (осью г) и осью вращения дыры (рис. 42). Гравитомагнитное поле кольца тоже -> -> -> ¦> создает прецессию вокруг оси г, dJH/dt = Qgm X Jh, где /# — угловой момент дыры, и -> 1 ^ext 2JR E.81) есть угловая скорость гравитомагнитнои прецессии. Отношение абсолютных величин угловых скоростей этих составляющих прецессии равно 1. E.82) м М Таким образом, гравитомагнитное поле кольца Я создает на- много более сильную прецессию, чем взаимодействие прилив- ного поля кольца &jk с квадрупольным моментом дыры. Этот результат может показаться неожиданным для тех читателей, которые привыкли думать об Н как о пост-ньютоновском поле, а об S\k — как о ньютоновском поле. Противоречие с интуи- цией, основанной на пост-ньютоновском опыте, объясняется крайней компактностью дыры, вследствие которой квадруполь-
V. ГРАВИТАЦИОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С УДАЛЕННЫМИ ТЕЛАМИ 221 ный момент, &jk ~ Мна2 ^ Мн> оказывается чрезвычайно ма- лым даже в случае быстрого вращения а ~ М. Угловая скорость гравитомагнитной прецессии E.81) равна J \( MR \( Мн 105 лет J \ 107MG ) \ 108MG J \ \07M поэтому прецессия может быть существенной в астрофизиче- ском смысле, даже если кольцо менее массивно, чем дыра. Следует учитывать, что не только кольцо заставляет пре- цессировать дыру, но и дыра заставляет прецессировать кольцо. Пост-ньютоновский закон сохранения полного углового момента (сформулирован Чандрасекаром [34]; обзор по этому вопросу см. в разд. 4.4Ь книги [225]) гарантирует, что и прецессия, вы- званная вращательным моментом, и гравитомагнитная прецес- сия должны удовлетворять равенству dT4 0. E.84) dt ' dt Как следует из формул D.6) и E.81), для доминирующей гра- витомагнитной прецессии dJu B?р \ -> d7D B?„\ -> 1^Х/ F = [-J-)X7R, E.85) так что сумма E.84) действительно равна нулю. Поскольку -> -> оба момента JR и ]н прецессируют и, следовательно, не яв- ляются постоянными векторами, желательно переписать фор- мулы E.85) в следующем виде: dJD f 2T\ > ? 1] / E-86) > > откуда видно, что и /я, и JR прецессируют вокруг вектора со- храняющегося суммарного углового момента ]т (ср. с рис. 42). Заметим, что отношение абсолютных величин JR и ]н равно MHa \ a )\MH)\MH l/2 ' E87)
222 дж. хартль, к. торн, р. прайс Таким образом, с учетом характерных числовых значений, да- ваемых формулой E.83), можно сказать, что хотя масса кольца несколько меньше, чем масса дыры, его угловой момент не- сколько больше и амплитуда прецессии дыры, следовательно, несколько превышает амплитуду прецессии кольца. 3. Черная дыра в двойной системе В качестве третьего примера прецессии черных дыр мы рас- смотрим двойную систему, в которой одно из тел является чер- ной дырой. Вначале в качестве наводящих соображений мы предположим, что другое тело намного более массивно, чем чер- ная дыра, Мв ^> Мн. Пусть независимо от того, является ли это тело черной дырой или звездой, его угловой момент и квадру- польный момент будут иметь соответственно такие величины: ? ?в | ^< MbRb /I / \ E.88) где Rb — радиус тела и у Мв1 $в — максимальная угловая ско- рость, при которой тело может вращаться, не разрушаясь. Поскольку система отсчета, связанная с центром масс си- стемы, привязана к телу, орбита дыры относительно наших глобальных почти-декартовых координат почти-кеплеровская. Предположим для простоты, что орбита круговая, и сориенти- руем наши координаты так, чтобы орбита лежала в плоскости х — у. Тогда /) E.89) где ?(/)—положение черной дыры в выбранных координатах, a QK — угловая скорость кеплеровского движения. Приливное поле &*$ там, где расположена дыра, создается двумя источниками: это «М5/г-потенциал» тела и «^jk/r3-uo- тенциал». Последний источник доминирует, превосходя первый по меньшей мере на множитель (r/RBJ, и определяется соот- ношением м ^ ^(З + 6) E.90) где |у = Ij/b — единичный вектор, направленный от тела к дыре. Это приливное поле вызывает прецессию собственного углового момента дыры [формула E.52ах)] под воздействием вращательного момента, причем угловая скорость этой прецес-
V. ГРАВИТАЦИОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С УДАЛЕННЫМИ ТЕЛАМИ 223 сии равна Qr = 3a-^f cos8|» E.91) где 0 — угол между вектором собственного углового момента ¦> дыры / и направлением?- от тела к дыре [заметим, что мы опу- стили в E.91) ту часть Qr, которая параллельна /]. Угловой момент тела создает гравитомагнитное поле Яех1, которое в том месте, где расположена дыра, определяется стан- дартной дипольной формулой C.36). Это поле #ext приводит к гравитомагнитной прецессии [формула E.62)] собственного углового момента дыры с угловой скоростью, равной О rrext — В s/ s В /г qo\ [ср. с формулой E.71а)]. Движение dl/dt дыры в гравитационном поле тела g"ext = = — (MB/b2)i приводит к геодезической прецессии с угловой скоростью [формула E.63)] "geod — Т \~dT Xg Отношения абсолютных величин угловых скоростей этих трех прецессий — вращательной, гравитомагнитной и геодези- ческой— равны ¦>->-> п I Mrs Mrs IRD = i~ Л/^г-г ¦ Л/-г : 1. H V В V > п I Mrs Mrs IRD Qr I: I Qgm I: I Qgeod I = i~ Л/^г-г ¦ Л/-г : 1. E.94) H V В V Здесь мы считали, что тело вращается максимально быстро, насколько это возможно, — так, чтобы ГМ-прецессия была как можно больше [ср. с формулой E.88)]. Таким образом, враща- тельная прецессия всегда пренебрежимо мала по сравнению с геодезической; если дыра находится далеко от тела, Ь ^> Rb, то и ГМ-(прецессией тоже можно пренебречь. Доминирующая геодезическая прецессия аналогична пре- цессии спина электрона в классической модели атома водорода. Точно так же как движение электрона в электрическом поле Е ядра индуцирует в системе покоя электрона магнитное поле Вшд = — (dl/dt) X ?> создает вращательный момент ^х X Вшл и в результате приводит к прецессии спина электрона [«атомное спин-орбитальное взаимодействие»; ср. с формулами E.61) — E.63)], движение гироскопа в поле gexi индуцирует в системе
224 дж. хартль, к. торн, р. прайс Рис. 43. Иллюстрация происхождения прецессии, обусловленной простран- ственной кривизной, а — диаграмма погружения для абсолютного простран- ства внутри и снаружи некоторого тела (звезды) массы Мв', черная дыра массы Мн <С Мв вращается вокруг звезды вдоль штриховой кривой, причем локальная пространственная геометрия точно такая же, как на конусе, изо- браженном пунктиром, б — если из круга вырезать малый сектор ВАВ'', а оставшуюся часть склеить в единое целое, то получится пунктирный конус. Вектор собственного углового момента дыры, ориентированный так, как по- казано на рисунке, испытывает прецессию, обусловленную пространственной кривизной E.96). покоя гироскопа гравитомагнитное поле Яинд — — {dl/dt) X gex\ создает вращательный момент— l/2J X Ниил и в результате при- водит к «спин-орбитальной» прецессии гироскопа с угловой ско- ростью гхН-т^к- E-95) Эта величина составляет одну треть от угловой скорости гео- дезической прецессии E.93). В атоме водорода имеет место также и «прецессия Томаса», являющаяся следствием того факта, что произведение двух «бустов скорости» дает комбинацию «буста и вращения». В на- шей гравитационной задаче прецессии Томаса нет, поскольку мы предполагаем, что гироскоп движется по траектории свобод- ного падения, т. е. ускорение относительно локально инерциаль- ных систем отсчета отсутствует и, следовательно, «бустов» нет. С другой стороны, в случае гравитационного поля появляется новый аспект — кривизна пространства, — не имеющий аналога в электромагнетизме, и эта пространственная кривизна приво- дит к совершенно незнакомому типу прецессии. На рис. 43, а мы видим диаграмму погружения (ср. с рис. 2) для искривлен- ного пространства вокруг массивного тела. Пунктирная ли- ния— это круговая орбита гироскопа. Гироскоп может «чув- ствовать» только ту часть пространства, которая находится в
V. ГРАВИТАЦИОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С УДАЛЕННЫМИ ТЕЛАМИ 225 непосредственной близости от его орбиты. Это позволяет про- извести упрощение, полезное в методическом отношении, — диа- грамму погружения реального искривленного пространства, по- верхность которой имеет форму параболоида, заменить конусом (пунктирная линия), который касается параболоида вдоль ор- биты гироскопа. Такой конус можно построить, нарисовав кру- жок на плоском листе бумаги (рис. 43,6), вырезав сектор в форме кусочка пирога (ВАВ') и соединив затем разрезы АВ и АВГ вместе. В процессе движения гироскопа по орбите вокруг конуса вектор его собственного углового момента все время на- правлен в одном и том же фиксированном направлении в пло- ской геометрии листа бумаги, служащего поверхностью конуса (стрелки на рис. 43,6; локальной прецессии нет). Однако легко видеть, что, вырезая сектор из бумажного кружка и склеивая конус, мы получим результирующую прецессию собственного углового момента, когда гироскоп возвращается в исходную точку В = ВГ. По форме поверхности погружения [формула B.6) с г— 2М ~ г] и по тому, как строился конус, легко со- образить, что результирующий угол прецессии за один период обращения по кеплеровской орбите 2я/й/с равен 2тсМв/Ь, что соответствует угловой скорости прецессии -> -> MD й„ MD -> -> Qsc = 2я -f- -± = -JL &к = 2Йзо. E.96) Отметим, что угловая скорость прецессии, вызванной кривизной пространства, равна удвоенной угловой скорости спин-орбиталь- ной прецессии E.95). Две эти прецессии, вместе взятые, состав- ляют геодезическую прецессию E.93). Если тело — компаньон черной дыры в двойной системе — лишь ненамного более массивно, чем дыра, т. е. если Мв ^ Мн, то и тело, и дыра будут двигаться вокруг их общего центра масс. В случае круговых орбит, если обозначить через |# еди- ничный вектор, направленный от тела к дыре, а через b — рас- стояние между телом и дырой, то положения тела и дыры от- носительно центра масс (т. е. начала координат) будут таковы: Ън = ^г Ъ*н> \в = - if Ь1Н, E.97а) а их скорости будут -> -> vh=^T = ^kXIh, Ув=~1г = &кХ1в, E.976) где {)ll2 M = MB + MH. E.97b)
226 дж. хартль, к. торн, р. прайс Как и при Мв ^> Мн, в рассматриваемом случае вращательная прецессия и ГМ-прецессия, вызванная собственным угловым моментом тела, пренебрежимо малы по сравнению с геодези- ческой прецессией. Однако движение тела вносит вклад в ГМ- прецессию: 4 = -/^XvB при x = lH, 4ш = ~4 7^Xt = 2Sb X vfl> gB = ~ (^f) I* E.98a) [формулы E.566) и E.64)], который сравним по величине с геодезической прецессией или превышает ее 4eod = &sc + Qso = y vh X Iext • E.986) Складывая эти две прецессии и используя кеплеровские соот- ношения E.97), мы получаем следующий результат для сум- марной угловой скорости прецессии собственного углового мо- мента дыры: •;-> -> ЗМВ + ц -> MQMH / приведенная \ Sgeod + &GM— Kb Й/с' ^ ° М -4- М =\ )' zo мз "г мн V масса / E.99) Пока разница в массах дыры и ее компаньона не слишком ве- лика, орбитальный угловой момент будет сильно превышать собственные угловые моменты дыры и тела, а это означает, что гравитомагнитные силы не будут приводить к заметной прецессии орбиты и сумма Qgeod + &gm будет оставаться прак- тически постоянной во времени. Формула для прецессии E.99) впервые была получена для слабо гравитирующих тел с ji <С Мв де Ситтером [56] приме- нительно к Солнечной системе; при этом роль вращающегося тела играла система Земля — Луна, а роль массивного цен- трального тела (В) играло Солнце. Формула E.99) в случае слабо гравитирующих тел, но с р ~ Мв была впервые полу- чена Бакером и О'Коннеллом [5], а ее справедливость для черных дыр, так же как и для слабо гравитирующих тел, была впервые строго доказана Д'Эсом [53]. Дополнительные выра- жения для существенно более слабой гравитомагнитной пре- цессии, вызванной собственным угловым моментом, прецессии, вызванной приливным вращательным моментом, и прецессии самой орбиты были получены в случае слабо гравитирующих
V. ГРАВИТАЦИОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С УДАЛЕННЫМИ ТЕЛАМИ 227 Рис. 44. Карта радиоизофот прецессирующего выброса из квазара 2300-189. Предполагается, что по своему происхождению эта прецессия является геодезической. Сплошная линия — это форма, которую можно предсказать (исходя из теоретических расчетов с параметрами, согласующимися с на- блюдениями), если выброс состоит из газа, движущегося по баллистиче- ской траектории после того, как он был выброшен вдоль прецессирующей оси. (Рисунок заимствован из работы [104].) тел, например, Бакером и О'Коннеллом [5], а для черных дыр Д'Эсом [53] и Торном и Хартлем [205]; все эти выражения можно вывести из формул E.70) и E.71). Бегелман, Блэндфорд и Рис [9] высказали утверждение, что две сверхмассивные черные дыры могут нередко находить- ся в одном и том же ядре галактики. Если это так, то гравита- ционное увлечение, вызываемое обычными звездами («прилив- ное трение») будет заставлять две дыры постепенно прибли- жаться к центру ядра галактики, где они легко встретятся и образуют двойную систему. Если в окрестности одной из дыр формируется выброс, направление которого определяется напра-
228 дж. хартль, к. торн, р. прайс влением ее собственного углового момента, то выброс будет прецессировать с угловой скоростью i о ~ зм° ( м V/2~ М У/2 / 1Q17 см \5/2 ) ) E.100) где Мо — масса другой черной дыры, а М — сумма масс двух дыр. На рис. 44 показана радиокарта выброса из квазара 2300-189. Возможно, форма выброса отражает прецессию именно такого характера.
VI Гравитационное взаимодействие черной дыры с близлежащим веществом Р. Прайс, К. Торн, И. Редмаунт Теперь мы обратимся к взаимодействию черной дыры с ве- ществом в непосредственной близости от нее. Это может быть вещество планеты, обращающейся вокруг черной дыры, веще- ство аккреционного диска, постепенно, по спирали падающее в дыру, вещество астероида, испытывающего лобовое столкнове- ние с дырой, или вещество ведра, спускаемого к дыре на конце длинной веревки. В каждом из этих случаев мае может заинте- ресовать вопрос о влиянии вещества и его гравитационного поля на форму и эволюцию горизонта черной дыры, а также вопрос о воздействии дыры на вещество. Анализ аналогичных задач электромагнетизма облегчался двумя наборами математических, наглядных и эвристических приемов: 1) электрические и магнитные силовые линии и за- коны Гаусса, Ампера и Фарадея, которым они подчиняются, и 2) мембраноподобные свойства горизонта и роль этих свойств в описании взаимодействия горизонта с внешними электриче- скими и магнитными полями. В случае задач, касающихся гра- витации, описание горизонта как мембраны оказывается столь же эффективным. Однако вне горизонта не существует простых и плодотворных гравитационных аналогий электрическим и магнитным силовым линиям или законам Гаусса, Ампера и Фарадея. Поэтому те представления о гравитационных взаи- модействиях, которые нам удастся получить на основе мембран- ного формализма, окажутся несколько менее плодотворными, чем то, к чему мы пришли в случае электромагнетизма, но тем не менее они будут весьма полезны. Наше исследование возмущенных черных дыр разбивается на четыре части. В разд. А мы сформулируем основные идеи, необходимые для исследования, уделив особое внимание вы- бору мирового времени и ОПН вне динамически возмущенной черной дыры, выбору положения растянутого горизонта и вы- бору приливных гравитационных полей в качестве носителей информации об этих возмущениях. Затем в разд. Б мы ра- зовьем количественное описание внешних областей вокруг чер- ной дыры, сосредоточив особое внимание на возмущенных при- ливных полях, а также на энергии, импульсе и натяжении ма-
230 р. прайс, к. торн, и. редмаунт терии — факторах, создающих приливные поля. Затем в разд. В мы разовьем мембраноподобное описание взаимодей- ствия вещества и создаваемых им приливных полей с растяну- тым горизонтом. В гл. VII этот формализм будет применен к ряду модельных задач, которые позволят нам разобраться в физической картине гравитационных взаимодействий веще- ства с черными дырами. Л. Основные понятия В гл. II и III этой книги мы изложили основные идеи мем- бранного формализма — 3+ 1-расщепление пространства-вре- мени на пространство плюс время, выбор ОПН, введение растя- нутого горизонта — для черных дыр с шварцшильдовской, либо керровской пространственно-временной структурой. Теперь, приступая к изучению возмущенных дыр, мы должны вновь об- ратиться к основам. Это необходимо, поскольку гравитация есть проявление кривизны пространства-времени, т. е. гравита- ционно-возмущенная дыра обладает иной пространственно-вре- менной структурой, отличающейся от соответствующей струк- туры шварцшильдовской или керровской дыры. В рассматри- ваемом случае требуется иное 3 + 1-расщепление, другой вы- бор ОПН и другой выбор растянутого горизонта. В этой книге мы ограничимся рассмотрением черных дыр, которые хотя и могут заметно эволюционировать за характер- ные астрофизические интервалы времени, но тем не менее всегда остаются по своему виду почти керровскими. Это озна- чает, что каждую изучаемую дыру на любом этапе ее эволю- -> ции можно характеризовать массой М и угловым моментом /; при этом ее пространственно-временная структура на каждом этапе будет соответствовать почти керровской дыре с данными М и /. Отклонения от керровской структуры (гравитационные возмущения) будут вызваны гравитационным воздействием ве- щества, находящегося в окрестности дыры или далеко от нее, и эти возмущения приведут к эволюции М и / за характерное время t% > М. Кроме того, мы ограничимся рассмотрением коротких (At <С /*) стадий в эволюции возмущенной дыры. Это позволит нам аппроксимировать структуру дыры с учетом эволюции М и / в виде малых возмущений, наложенных на постоянную, неэволюционирующую керровскую дыру. Мы ограничиваемся рассмотрением малых возмущений, на- ложенных на керровскую структуру, мотивируя это стремле- нием к простоте анализа. В пользу такого ограничения говорит и то обстоятельство, что большинство реальных астрофизиче-
VI. ГРАВИТАЦИОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С БЛИЗЛЕЖАЩИМ ВЕЩЕСТВОМ 231 ских ситуаций, по-видимому, относится к указанному типу. Од- нако это ограничение вовсе не присуще мембранному форма- лизму. Обобщение этого формализма на случай сильно возму- щенной (существенно некерровской), быстро эволюционирую- щей дыры см. в [163]. Прежде всего четко определим выбор ОПН и мирового вре- мени (т. е. .выбор 3 + 1-расщепления), которым мы будем пользоваться при описании черной дыры, слабо возмущенной по сравнению с постоянной керровской структурой. Будем вы- бирать наших ОПН и мировое время, руководствуясь следую- щими правилами (рис. 45). 1. Мировые линии ОПН ортого- нальны (в пространственно-временном смысле) сечениям по- стоянного мирового времени t, 9*t. 2. ОПН и мировое время являются по своему виду 'почти керровскими, насколько это позволяет наличие возмущений. 3. Очень близко от дыры ОПН «прижимаются» к истинному горизонту (абсолютному гори- зонту событий) возмущенного пространства-времени так, чтобы их мировые линии а) покрывали все пространство-время вне истинного горизонта, б) всюду оставались времениподобными и в) по мере асимптотического приближения ОПН к истинному горизонту асимптотически приближались к нулевым генерато- рам горизонта. Доказательство возможности такого выбора ОПН и мирового времени дано в разд. III и IV работы [163]. Как в керровском случае, так и в случае возмущенной чер- ной дыры мы мысленно соберем воедино 3-мерные сечения постоянного мирового времени t и будем рассматривать их как искривленное абсолютное пространство, в котором с течением мирового времени протекают все физические процессы. В этом абсолютном пространстве мы введем «фиксированные по отно- шению к звездам» координаты х1 = г, х2 = 0, х3 = </>, которые, насколько это позволяют возмущения, почти совпадают с коор- динатами Бойера — Линдквиста. Тогда абсолютное простран- ство будет описываться метрикой g",/, движение пространствен- ных координат относительно ОПН — функцией смещения |3?, и отношение темлов хода часов, отсчитывающих собственное вре- мя ОПН и мировое время, — функцией длительности а, которая будет иметь почти стандартный керровский вид: Шопн—^ Ш опн""'' <6Л> gtl = g°tl + g'th Р'^' + р'', а = а° + а'. F.2) Здесь верхний индекс «о» указывает на то, что величина имеет функциональный стандартный вид для керровской дыры с по- стоянной массой М и параметров углового момента а = J/M, которые соответствуют невозмущенному неэволюционирующему
232 Р. ПРАЙС, К. ТОРН, И. РЕДМАУНТ Сечение постоянного времени t ("абсолют- ное пространство") Мировые линии ОПН Растянутый горизонт $е Истинный горизонт#? и генератрр Рис. 45. Пространственно-временная диаграмма, изображающая рождение и последующую медленную эволюцию гравитационно возмущенной, но невра- щающейся черной дыры (ср. с рис. 1, а, б). Внутреняя сплошная кривая, помеченная буквой Ж, — это истинный горизонт (абсолютный горизонт со- бытий), а внешняя сплошная кривая, помеченная Жэ, — это растянутый гори- зонт. Мировые линии ОПН (показанные штрихами) прижимаются к истин- ному горизонту, как изложено в разд. А, а сечения постоянного мирового времени 9)tx и 9)-t2 (абсолютное пространство в моменты времени t± и /г), которые ортогональны мировым линиям ОПН, тоже приближаются к истин- ному горизонту. Поскольку сечение $?t «глубоко уходит» в прошлое, мы вправе считать массу дыры М и ее угловой момент / постоянными на 9>tx только в том случае, если произведем усечение S?tx на растянутом горизонте, который расположен не слишком близко к истинному горизонту. Это огра- ничение наряду с другими факторами приводит к условию F.5) на величину а#. Точки ^i и ^2 на растянутом горизонте соответствуют точкам &\ и ^2 на истинном горизонте и выступают в роли их заменителей, как это описано в разд. В. Аналогично опороны на растянутом горизонте в точке &\ и &2 заменяют генераторы на истинном горизонте соответственно в точках &х и ^2. (Рисунок заимствован из работы [163].)
VI. ГРАВИТАЦИОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С БЛИЗЛЕЖАЩИМ ВЕЩЕСТВОМ 233 состоянию [формула C.6)], а штрихом обозначены возмуще- ния, т. е. отклонения от стандартного керровского вида. Анализ возмущений сильно усложняется из-за свободы вве- дения малых поправок, равных по величине возмущениям, в пространственные координаты х} и в выбор мирового времени/. Такие малые поправки будут приводить к существенным изме- нениям в функциональном виде возмущений метрики g'tJ, функ- ции смещения $'{ и функции длительности а''. Изменения, вно- симые вариацией хи мы называем «калибровочными преобразо- ваниями» по аналогии с электромагнетизмом, а свободу вно- сить такие изменения мы называем «калибровочной свободой». Аналогично изменения, вызванные вариацией t, мы называем «преобразованиями, связанными с выбором сечения», а свободу вносить такие изменения — «свободой выбора сечения». Калибровочная свобода и свобода выбора сечения вносят чрезмерные усложнения в полную теорию гравитационных воз- мущений черных дыр (подробнее см., например, в книге [36]). К счастью, в большинстве случаев при изучении возмущенных черных дыр можно избежать усложнений, связанных с калиб- ровочной свободой и свободой выбора сечения, ограничившись рассмотрением исключительно (или 'почти исключительно) тех возмущенных величин, которые калибровочно инвариантны и инвариантны по отношению к выбору сечения; мы пойдем именно по этому пути. Это означает, в частности, что мы не будем использовать для количественного описания гравитацион- ных возмущений величины g'tj, ^ и а', зависящие от выбора калибровки и от выбора сечения. Вместо этого мы будем поль- зоваться теми частями приливных гравитационных полей <§ц и 3$ij, измеряемых ОПН, которые не зависят ни от выбора ка- либровки, ни от выбора сечения, и будем обращаться к тем свойствам растянутого горизонта, которые (почти) инвариантны по отношению к калибровке и выбору сечения. Более того, мы получим уравнения, которые описывают не зависящие от ка- либровки и от выбора сечения возмущения лишь с той точ- ностью, при которой на них еще не сказываются возмущения метрики g'{j, функции смещения 0? и функции длительности а. Это означает, что на протяжении всего нашего анализа мы мо- жем, не боясь последствий, положить gtl = g°th P7 = P0/, <* = <х°> F.20 что мы и сделаем. Наш выбор ОПН и миро>вого времени гарантирует [163], что истинный горизонт располагается там, где а = 0. Чтобы избежать трудностей, связанных с нашей аппроксимацией а керровской функцией длительности а0, мы выберем наши про-
234 Р. ПРАЙС, К. ТОРН, И. РЕДМАУНТ странственные координаты так, чтобы истинный горизонт был расположен там, где а0 = 0. Точнее, наш выбор координат бу- дет таким, чтобы вблизи истинного горизонта а/ = 0[(а°K] при а°<1 F.3) и при анализе вблизи горизонта мы всегда будем пренебрегать относительными поправками порядка а2. Как и для керровской дыры, в случае возмущенной черной дыры мы поместим растянутый горизонт там, где а = ая = const <С 1 на растянутом горизонте. F.4) [Это определение на самом деле немного переупрощено. Чтобы наделить динамически эволюционирующий горизонт наиболее полезными свойствами, целесообразнее определить его как по- верхность, образованную мировыми линиями ОПН, причем у всех этих ОПН а = ан <С 1 в некоторый начальный момент времени. Однако в случае слабо возмущенных горизонтов, рас- сматриваемых в этой книге, отличие такого определения от F.4) вносит относительную погрешность того же порядка а2, что и погрешность нашего анализа, поэтому мы можем безна- казанно принять определение F.4). Более подробно см, разд. III. В.1 в работе [163].] По техническим причинам, кото- рые обсуждаются в разд. III. С работы [163], иногда появ- ляется ограничение на ан снизу: , 1п где t*— характерное время эволюции дыры, a gn ~ 1/4 М — невозмущенная поверхностная гравитация. Без этого ограни- чения мембранный формализм иногда приводит к относитель- ным ошибкам, превышающим ая# Отметим, что для дыры с массой 108МC, масса и угловой момент которой эволюционируют за характерное время U ~ 108 лет (типичная реальная ситуа- ция), это ограничение соответствует ан ^ 3-10~6 или а#^ 10" [более подробно см. ниже текст после формулы F.77в)]. Наш выбор положения растянутого горизонта при постоян- ной функции длительности (а не при постоянной, скажем, ра- диальной координате г) имеет то преимущество, что те ОПН, которые первоначально находились на растянутом горизонте, так и будут оставаться на нем, — это утверждение справедливо с относительной точностью порядка а2н, т. е. с точностью до ошибок, которыми мы пренебрегаем (доказательство этого утверждения см. в разд. III. В. 1 работы [163]). Развивая мем- бранный формализм для возмущенных дыр, мы будем часто прибегать к ОПН, которые находятся на растянутом горизонте.
VI. ГРАВИТАЦИОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С БЛИЗЛЕЖАЩИМ ВЕЩЕСТВОМ 235 Например, свойства растянутого горизонта как мембраны мы будем определять через физические измерения, выполняемые такими ОПН. Б. Гравитационные возмущения вне растянутого горизонта Обратимся теперь к количественному описанию внешних областей вокруг возмущенной черной дыры. Поскольку мы вос- пользуемся приливными гравитационными полями в качестве носителей информации о возмущениях, прежде чем приступить к количественному описанию этих возмущений, нам обяза- тельно предстоит подробно изучить приливные поля невозму- щенной керровской дыры. Мы сделаем это в подразд. 1. Затем в подразд. 2 мы выявим ту часть приливных полей возмущен- ной дыры, которая не зависит от калибровки и от выбора се- чения,— т. е. ту часть, которая обращается ib нуль в невозму- щенном случае, — и воспользуемся ею наряду с плотностью энергии материи, потоком энергии и натяжением для описания возмущений. 1. Приливные поля невозмущенной керровской черной дыры Каждый ОПН в абсолютном пространстве вокруг невозму- щенной керровской дыры имеет набор ортонормированных пространственных базисных векторов ej, на которые он может проецировать пространственные векторы и тензоры, а если он примет локально лоренцеву, 4-мерную пространственно-времен- ную точку зрения физики, он может добавить к этим векторам «временной базисный вектор» е^ (который равен 4-скор'ости). Например, если невозмущенная дыра является невращающейся (шварцшильдовской), то наиболее естественный выбор базис- ных векторов ОПН таков [формулы B.3)]: ¦> [\ 2М11/2 д "> 1 д I r j дг е г дВ 1 д -> 1 * г sinG дФ ° A -2M/r)l/2 dt а в случае вращающейся (керровской) дыры, наиболее есте- ственный выбор таков [формула C.9)]: ->___д/д_а_. ^ _L_fL ^ 1 д е"~ р дг' eQ ~~ р ае ' еФ ""ш оф ; А + а\ FJ)
236 Р- ПРАЙС, К. ТОРН, И. РЕДМАУНТ где использованы те же обозначения, что и в формулах C.5) — C.6). Приливные поля в окрестности ОПН можно описывать с помощью компонент