И.Д. НОВИКОВ
В.П. ФРОЛОВ
ФИЗИКА
ЧЕРНЫХ ДЫР
МОСКВА "НАУКА"
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1986

ББК 22.66
Н23
УДК 524..154
Новиков И.Д., Фролов В.П. Физика черных дыр. — М.: Наука.
Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986, 328 с.
Излагается современное состояние проблемы физики черных дыр - объек-
объектов, возникающих в результате катастрофического сжатия небесных тел. Авторы
охватывают все аспекты проблемы - от теории пространства-времени самих
черных дыр, механики движения тел, распространения полей в их окрестности
до физических процессов в них, свойств вакуума и значения черных дыр в
астрофизике.
Для физиков и астрономов - специалистов, аспирантов и студентов старших
курсов.
Табл.5 Ил. 89 Библиогр. 631 назв.
Рецензенты: академик МА. Марков,
доктор физико-математических наук/О.С. Владимиров
© Издательство "Наука".
Главная редакция
1705060000-121 физико-математической
О53(О2)-86 литературы, 1986

ПРЕДИСЛОВИЕ
"... и откуда берутся такие возможности,
если у нас только - дыры?!"
Петер Вайс. Преследование и убийство
Жан-Поля Марата. - В кн.: Из немецкой
поэзии. Век X - век XX. - М.: Худ. лит.,
1979
Одним из наиболее удивительных предсказаний теории тяготения Эйн-
Эйнштейна является возможность существования черных дыр — объектов,
обладающих столь сильным гравитационным полем, что никакие физичес-
физические тела, никакие сигналы не могут вырваться из них наружу. Хотя черные
дыры с полной достоверностью пока еще не открыты, имеются серьезные
основания считать, что некоторые из исследуемых в настоящее время астро-
астрофизиками объектов являются черными дырами. Доказательство существо-
существования черных дыр и исследование их свойств имели бы значение, далеко
выходящее за рамки астрофизики, поскольку речь идет не об открытии
еще одного, быть может, довольно удивительного астрофизического объек-
объекта, а о проверке правильности наших представлений о свойствах простран-
пространства и времени в экстремально сильных гравитационных полях.
Теоретические исследования свойств черных дыр и возможных след-
следствий гипотезы об их существовании особенно интенсивно развивались с
начала 70-х годов. Наряду с изучением тех особенностей черных дыр, кото-
которые важны для понимания их возможных астрофизических проявлений,
теория позволила обнаружить ряд неожиданных закономерностей, прису-
присущих физическим взаимодействиям с участием черных дыр.
В настоящее время имеется довольно полное понимание свойств черных
дыр, их возможных астрофизических проявлений и особенностей протека-
протекания различных физических процессов в черных дырах. Помимо этого была
установлена глубокая связь теории черных дыр с такими, на первый взгляд
далекими, областями, как термодинамика, теория информации и кванто-
квантовая теория. За последние два десятилетия на стыке теории гравитации, аст-
астрофизики, классической и квантовой теории поля возник и, по сути дела,
оформился, как самостоятельное научное направление, раздел физики,
получивший название физики черных дыр.
Цель настоящей книги познакомить читателя с физикой черных дыр,
с методами, которые в ней используются, и с основными результатами этой
относительно молодой и быстро развивающейся области физики. При этом
основное внимание сосредоточивается на вопросах, которые были решены
сравнительно недавно и не вошли еще с достаточной полнотой в учебники
и обзоры *), а то, что известно достаточно давно, мы постарались изложить
кратко (но ясно).
») Отдельные аспекты физики черных дыр рассматривались, например, в следую-
следующих обзорах: Марков A970,1973*),Пенроуз A973 *),КартерA973а), Де Витт A975),

Мы старались сделать изложение доступным не только специалистам, но
и широкому кругу физиков и астрофизиков, не имеющих специальных зна-
знаний в области физики черных дыр.
Авторы везде прежде всего пытались объяснить именно физическую
суть явлений, лишь затем переходя к математическим методам их описа-
описания. Эти цели в основном определили как характер отобранного материала,
так и стиль изложения. Авторы стремились избежать излишней строгости
при формулировке и доказательстве различных теорем о черных дырах.
Зачастую вместо полного доказательства приводится лишь его основная
идея, его последовательные этапы и дается ссылка на оригинальные работы,
где есть подробное доказательство. Это связано не столько с тем, что име-
имеются прекрасные монографии Пенроуза A968), Хокинга, Эллиса A973) и
Чандрасекара A983), в значительной мере покрывающие опущенный
материал, как с тем, что излишняя строгость, на наш взгляд, затрудняет
понимание физических идей, лежащих в основе тех или иных свойств чер-
черных дыр.
Мы вынуждены были почти полностью опустить материал, связанный
с астрофизическими аспектами теории черных дыр. Ограниченный объем
не позволил включить в настоящую монографию сколь-нибудь полного
обзора относящихся к этой теме вопросов, которые сами по себе вполне
могли бы стать предметом отдельной книги. Мы и здесь ограничились
ссылками на оригинальные работы.
Мы пользуемся случаем поблагодарить редактора книги И.Г. Вирко за
помощь при подготовке рукописи к печати.
И.Д. Новиков
В.П. Фролов
Сексл A975), Зельдович и др. A976*), Шьяма A976), Фролов A976 *Ь, 1978*,
1983b), Руффини A979), Бекенштейн A980), Израэль A983), Дымникова A986').
(Здесь и далее при цитировании работ, опубликованных на русском языке, год публи-
публикации отмечен звездочкой.)

ГЛАВА 1
ВВЕДЕНИЕ
Черной дырой называют область пространства-времени, в которой гра-
гравитационное попе настолько сильно, что не позволяет даже свету покинуть
эту область и уйти в бесконечность.
Черная дыра образуется при сжатии тела с массой Мдо размеров, мень-
меньших так называемого гравитационного радиуса - величины rg - 2GM/c2
(G — постоянная тяготения Ньютона, с — скорость света). Скорость, не-
необходимая для того, чтобы улететь в бесконечность с границы черной
дыры (вторая космическая скорость), равна скорости света. Если учесть,
что скорость света является предельной для скорости распространения
физических сигналов, то нетрудно прийти к выводу о невозможности выхо-
выхода наружу сигналов и частиц из области, лежащей внутри черной дыры.
В рамках классической теории тяготения Эйнштейна этот вывод носит аб-
абсолютный характер, поскольку гравитационное взаимодействие является
универсальным. В роли гравитационного заряда выступает масса, значение
которой пропорционально полной энергии системы. Поэтому все объекты,
обладающие энергией, участвуют в гравитационном взаимодействии.
Для описания черных дыр необходимо в полной мере использовать тео-
теорию гравитации Эйнштейна - общую теорию относительности (ОТО) *.
На первый взгляд сложность этих уравнений, связанная, в частности, с
их существенной нелинейностью, не позволяет надеяться на сколь-нибудь
полное описание черных дыр и их свойств. Оказалось, однако, что по про-
прошествии короткого времени после своего образования всякая черная дыра
становится стационарной и ее гравитационное поле однозначно определяет-
определяется малым числом параметров: ее массой и угловым моментом, а также зна-
значением электрического заряда (при наличии последнего). Физическая
причина столь удивительного свойства черных дыр состоит в том, что
только конфигурации физических полей (в том числе и гравитационного)
весьма специального вида могут быть стационарными в исключительно
сильном поле черной дыры.
Поскольку сигналы не могут выйти из черной дыры, а физические тела
и излучение могут в нее падать, поверхность черной дыры играет роль свое-
своеобразной мембраны, а граница черной дыры в пространстве-времени, назы-
называемая горизонтом событий, является световой поверхностью. Появление
черной дыры означает возникновение нетривиальной причинной структуры
*) Относительно проблемы черных дыр в неэйнштейновских теориях гравитации
см., например, Уилл A981).
5

в пространстве-времени. Все эти особенности черных дыр приводят к тому,
что изучение их взаимодействия с физическими полями и веществом,
а также между собой потребовало развития новых методов.
Хотя само название "черные дыры" было введено Уилером лишь в
1968 г., вопрос о возможности существования подобных объектов в рам-
рамках ньютоновской теории обсуждался Митчелом и Лапласом еще в конце
XVIII в. [см. об этом Бэрроу, Силк A983), Новиков A985*) ]. В рамках
ОТО с этой проблемой столкнулись, по сути дела, в год создания теории,
после того как Шварцшильд A916) получил первое точное (сферически-
симметричное) решение уравнений Эйнштейна в пустоте. Это решение, по-
помимо сингулярности в центре симметрии (при г = 0), обладало еще допол-
дополнительной особенностью на поверхности гравитационного радиуса (при
r=rg). Потребовалось более трети столетия, прежде чем в результате
анализа "неожиданных" особенностей решения Шварцшильда, в котором
принимали участие Фламм A916), Вейль A917), Эддингтон A924), Ле-
метр A933), Эйнштейн, Розен A935), наступило глубокое понимание
структуры пространства-времени в сильном гравитационном поле и было
получено полное решение рассматриваемой задачи [Синг A950), Финкель-
штейн A958), Фронсдел A959), Крускал A960), Жекерес A960), Нови-
Новиков A963*, 1964*а)]. На то, что этот интервал времени оказался таким
длительным, по всей видимости, повлияло общее представление о невоз-
невозможности существования в природе тел, размеры которых сравнимы с
их гравитационным радиусом. Подобной точки зрения придерживался,
в частности, сам создатель общей теории относительности. Однако в трид-
тридцатых годах после работ Ландау, Бааде, Цвикки и Оппенгеймера, в кото-
которых была показана возможность существования нейтронных звезд, чей
размер лишь в несколько раз превосходит размер их гравитационного ра-
радиуса, интерес к свойствам сверхсжатых гравитационных систем сильно
возрос. Картина гравитационного коллапса массивной звезды, приводяще-
приводящего к образованию черной дыры, была впервые описана Оппенгеймером и
Снайдером A939).
Следующий период относится к середине шестидесятых - началу семи-
семидесятых годов, когда после работ Синга, Крускала и других, в которых
было получено полное решение для задачи Шварцшильда, и работы Кер-
ра A963), обнаружившего решение, описывающее гравитационное поле
вращающейся черной дыры, началось интенсивное теоретическое изуче-
изучение общих свойств черных дыр и их классических взаимодействий. В это
время были доказаны ставшие теперь классическими теоремы об "от-
"отсутствии волос" у черных дыр (т.е. об отсутствии каких-либо внешних ин-
индивидуальных признаков, кроме массы, момента импульса и заряда), о
существовании сингулярности внутри них, о возрастании площади поверх-
поверхности черных дыр. Эти и другие результаты позволили понять качествен-
качественную картину образования черной дыры, ее возможной дальнейшей эволю-
эволюции и ее взаимодействия с веществом и классическими физическими поля-
полями. Многие из этих результатов были подытожены в известных моногра-
монографиях Мизнера, Торна, Уилера A973) и Хокинга, Эллиса A973).
В конце шестидесятых годов после открытия пульсаров (нейтронных
звезд) перед астрофизиками с особой остротой встал вопрос о возможнос-
возможности обнаружения черных дыр. Анализ падения (аккреции) вещества на оди-

ночные черные дыры и на черные дыры, входящие в состав двойных систем,
позволил предсказать, что аккрецирующие черные дыры могут быть мощ-
мощными источниками рентгеновского излучения [Новиков, ЗельдовичA966),
Шкловский A967*), Бербидж A972)]. Развитие рентгеновской астроно-
астрономии и исследования на рентгеновских спутниках, начатые в 70-е годы, поз-
позволили обнаружить ряд рентгеновских источников, один из которых, рас-
расположенный в созвездии Лебедя (Cyg X-1), по-видимому, является чер-
черной дырой.
Длительные исследования этого объекта, проводящиеся уже около
15 лет, дают все новые подтверждения сделанному предположению. В нас-
настоящее время имеется еще несколько подобных "кандидатов" в черные
дыры. Кроме того, есть веские основания считать, что в ядрах активных
галактик (а может быть, и во всех ядрах галактик) и в квазарах имеются
сверхмасеивные черные дыры [см. Блендфорд, Торн A979), Рис A982)].
Обсуждение вопросов, связанных с возможными наблюдательными
проявлениями черных дыр, привлекло внимание к задачам о движении
частиц и физических полей в пространстве-времени стационарных черных
дыр.
К настоящему времени эта задача, носящая в основном математический
характер и связанная с интегрированием уравнений геодезических и пост-
построением разложения по собственным функциям инвариантных волновых
операторов в метрике Керра, в значительной части решена. Полученные
здесь многочисленные результаты подытожены в появившейся недавно
книге Чандрасекара A983) "Математическая теория черных дыр".
Не успела затихнуть "сенсация", вызванная возможным обнаружением
черной дыры, как новый неожиданный результат, полученный Хокингом
A974, 1975), снова привлек внимание физиков к черным дырам. Оказа-
Оказалось, что неустойчивость вакуума в сильном гравитационном поле черной
дыры приводит к тому, что черные дыры являются источником излучения,
и если их масса мала, они могли бы успеть распасться за время, меньшее
времени жизни Вселенной. Подобные малые черные дыры, получившие наз-
название первичных, по-видимому, могли образовываться только на очень
ранней стадии эволюции Вселенной [Зельдович, Новиков A966*, 1967*),
Хокинг A971а)]. Обнаружение первичных черных дыр или доказательство
отсутствия их или продуктов их распада позволяет в принципе получить
ценную информацию о физических процессах, происходивших во Вселен-
Вселенной в то время.
Открытие Хокинга вызвало большое количество работ, в которых были
исследованы особенности квантовых эффектов в черных дырах. Наряду
с детальным описанием эффектов, связанных с рождением реальных час-
частиц, вылетающих на бесконечность, в последние годы удалось значительно
продвинуться в понимании эффекта поляризации вакуума вблизи черных
дыр. Этот эффект важен для построения полного квантового описания "ис-
"испаряющейся" черной дыры.
Данная книга посвящена систематическому изложению физики черных
дыр. Содержание книги построено следующим образом.
Авторы стремились сделать весь материал в начале книги особенно дос-
доступным и простым, чтобы наглядно ввести некоторые важнейшие понятия
и подчеркнуть основные проблемы. В первую очередь это относится к гл. 2.

В ней излагаются свойства простейшей сферической черной дыры. Здесь
мы знакомим читателя и со свойствами пространства-времени внутри чер-
черной дыры.
В третьей главе рассмотрено распространение слабых физических полей
в окрестности черных дыр. Особое внимание уделяется эволюции слабых
гравитационных полей. Этот вопрос важен для проблемы устойчивости
черной дыры относительно внешних возмущений, а также для проблемы
излучения гравитационных волн телами (и полями), движущимися около
черных дыр. Здесь же рассмотрен вопрос о возникновении черной дыры
при коллапсе тела с малыми отклонениями от сферичности.
Четвертая глава посвящена знакомству с важнейшими свойствами
вращающейся черной дыры, а также черной дыры, обладающей электричес-
электрическим зарядом.
Пятая глава содержит изложение общей теории нестационарных черных
дыр и результатов относительно существования сингулярностей в черных
дырах.
В шестой главе приводится доказательство теоремы единственности
для стационарных черных дыр.
Седьмая глава посвящена методам анализа электромагнитных полей
вблизи стационарной черной дыры, основанным на  + 1"-разбиении прост-
пространства-времени.
В восьмой главе обсуждаются различные физические эффекты в поле
черных дыр: суперрадиация, сдвиг собственной энергии заряженных час-
частиц, взаимное превращение электромагнитных и гравитационных волн, а
также движение и деформация черных дыр во внешнем поле и их взаимо-
взаимодействие друг с другом.
Девятая и десятая главы посвящены квантовой физике черных дыр.
В девятой главе излагается общее решение задачи о рождении частиц в поле
стационарной черной дыры. В десятой главе собраны результаты, касающие-
касающиеся поляризации вакуума в окрестности черных дыр.
Термодинамическая] аналогия в физике черных дыр обсуждается в один-
одиннадцатой главе.
В двенадцатой главе рассмотрены вопросы, связанные со структурой
пространства-времени внутри черных дыр.
В тринадцатой главе собран материал, относящийся к первичным чер-
черным дырам, теории белых дыр и полузамкнутых миров и возможной
роли элементарных черных дыр в квантовой гравитации.
Книга заканчивается приложением, в котором излагаются некоторые
сведения из римановой геометрии и общей теории относительности и при-
приводятся важнейшие формулы, используемые в основном тексте.
Знаки в определениях ds2, тензора кривизны и тензора Риччи совпадают
с выбором знаков в книге Мизнера, Торна, Уилера A973). Во второй и
третьей главах все формулы выписаны с размерными физическими конс-
константами с и G. Начиная с четвертой главы, где мы переходим к более слож-
сложному материалу и где выписывание размерных констант вело бы к слиш-
слишком громоздким выражениям, мы везде (за исключением окончательных
формул и оговоренных разделов) использовали систему единиц с = G =
= h =1.
8

ГЛАВА 2
СФЕРИЧЕСКИ-СИММЕТРИЧНАЯ ЧЕРНАЯ ДЫРА
§ 2.1. Сферически-симметричное поле тяготения
Мы начнем рассмотрение физических свойств черных дыр с простейше-
простейшего случая, когда сама черная дыра и ее гравитационное поле являются
сферически-симметричными.
Сферически-симметричное гравитационное поле (пространство-время
со сферическим 5-мерным пространством) описывается во всех учебниках
по ОТО [см., например, Ландау, Лифшиц A973*), Мизнер, Торн, Уилер
A973)]. Поэтому мы ограничимся лишь приведением здесь необходимых
результатов. Напишем выражение для квадрата интервала вдали от сильных
полей тяготения (т.е. там, где справедлива специальная теория относитель-
относительности), используя сферическую пространственную систему координат (г,
ds2 = -c2dt2 +dt2 ~-c2dt + dr2 +r2(dd2 + sin20d<p2), B.1.1)
где с - скорость света, dl - расстояние в трехмерном пространстве.
Рассмотрим теперь искривленное пространство-время, сохраняя, однако,
требование пространственной сферической симметрии. Пространство-время
не обязательно пустое, в нем могут быть вещество и физические поля
(разумеется, также сферически-симметричные, если мы учитываем их
тяготение). Математика утверждает [см., например, Мизнер, Торн, Уилер
A973)], что интервал в этом случае всегда может быть записан (при под-
подходящем выборе координат) в виде *)
ds2 =gOo(xo,x1)dx°\gll (xo,xl)dxl2 + (XlJ(de2 +sin20 d<?).
B.1.2)
В этом выражении отличны от нуля по-прежнему лишь те же компоненты
метрического тензора, что и в выражении B.1.1) для плоского пространен
ва. Компоненты go о и g\ i зависят только от / их1 и не зависят от в и <р.
Координаты, в которых выражение для?22 записывается в виде (х1J,
носят название координат кривизны. Обычно для х1 -координаты выби-
выбирают обозначение г [по аналогии с B.1.1)], а для х°/с = t. Мы увидим
в дальнейшем, что внутри черной дыры такой выбор обозначений не всегда
логичен (см. § 2.4).
Если сферическое поле тяготения рассматривается не в пустоте, то в
пространственной системе отсчета, определяемой координатами х1, в, <р,
*) Строго говоря, метрика общего вида описывается выражением B.1.6). Формула
B.1.2) верна везде, за исключением особых поверхностей, где ~" = —=Ц- = 0.
Зх° Эх1

вещество, вообще говоря, движется (радиально), т.е. имеются потоки
энергии. Иногда удобно выбирать другие системы отсчета, например, со-
сопутствующие (в которых нет потоков энергии) или какие-то другие (но
сферически-симметричные). Все такие системы обладают следующим
свойством. Точки, составляющие какую-либо систему, движутся по радиу-
радиусу относительно другой системы. Связь между различными системами
отсчета, сохраняющими свойства сферической симметрии, задается преоб-
преобразованиями
х0-*0^0,*1), B.1.3)
х1 = xl(x°,xl), B.1.4)
6 = 6, ?=у>. B.1.5)
Тильда обозначает координаты в новой системе отсчета. Выражение
B.1.4) описывает радиальное движение точек новой системы отсчета
(с координатами х1 = const) относительно старой. После выбора B.1.4),
задающего новую систему отсчета, выбор B.1.3), определяющий коорди-
координату времени в новой системе, всегда может быть сделан таким образом,
что компонента gOi не появится и общее выражение для ds2 будет иметь
вид
. B.1.6)
Заметим, что выражение для g 2 г может быть записано в виде
s/g\l =x\x°,xl), B.1.7)
где л-1 =х1 (х°,х1) есть решение B.1.3), B.1.4) относительно л-1. Оно опи-
описывает радиальное движение точек старой системы (с координатами х1 =
= const) относительно новой.
§ 2.2. Сферически-симметричное поле тяготения в вакууме
Рассмотрим теперь сферическое поле тяготения в вакууме. Решение
уравнений Эйнштейна для этого случая было найдено Шварцшильдом
A916) и имеет следущий вид [см. Ландау, Лифшиц A973*)] :
ds2 =-(l- ^—\c2dt2 +/l-i^L\ dr2 + r2(dв2 + sin2вd*2);
\ c2r ) \ c2r I
B.2.1)
G — постоянная тяготения Ньютона, М — масса источника поля.
Важнейшее свойство этого решения состоит в том, что оно не зависит
от временной координаты t, а только от г, и определяется одним пара-
параметром М— полной массой тяготеющего источника, создающего поле.
Даже если в источнике поля есть радиальные движения (сохраняющие
сферическую симметрию), поле' в вакууме, вне вещества, остается постоян-
постоянным [это утверждение носит название теоремы Биркгофа A923)]. Вдали
от центра тяготения (при г ->•<») пространство-время переходит в плоское
пространство-время Минковского с метрикой B.1.1). Координаты t,r,
д,у, в которых записано выражение B.2.1), носят название координат
10

Шварцшильда, а система отсчета, образуемая ими, — системы отсчета Шварц-
Шварцшильда. В малой окрестности каждой точки пространства можно ввести
для обычных измерений длины локальную декартову систему координат
(x,y,z);
I 2GM \-i/2
"T'lw dr' B2)
9, B.2.3)
dtp = г sin в d^p. B.2.4)
Множитель A - 2GM/c2r)~ll2 в B.2.2) описывает искривленность трех-
трехмерного пространства.
Физическое время т, текущее в данной точке г, определяется выраже-
выражением
V-?oo / 2GM \1/2
dr= dx° =V - gOtjdt =[ 1 I dt. B.2.5)
с \ с r I
Вдали от центра тяготения (при г -*¦«>) имеем dr =dt, т.е. г - это физи-
физическое время наблюдателя на бесконечности.
При меньших г время т течет все медленнее по сравнению со временем
t на бесконечности. При г -*2GM\c2 имеем dr -+Q.
Вычислим теперь ускорение свободного падения тела, первоначально по-
покоящегося в системе Шварцшильда (или имеющего малую скорость и ^ с).
Используя формулу (П. 63) (см. Приложение), находим
GM
-2GMIc2rfl> ¦ B'2-6)
Ускорение направлено по радиусу. При г-*2GM\c2 ускорение становится
бесконечным. Особенность течения времени при r-*2GM\c2 [см. B.2.5)]
и особенность в выражении для ускорения F [см. B.2.6)] показывают, что
в системе отсчета Шварцшильда при этом значении г имеется физическая
особенность*). Значение r = rg^ 2GM/c2 называют радиусом Шварцшильда
(или гравитационным радиусом; см. с. 5), а сферу с радиусом rg -сферой
Шварцшильда. Мы в дальнейшем подробно рассмотрим смысл физической
особенности при г =rg. Сейчас отметим следующее.
Система отсчета Шварцшильда статична, не деформируется [gal3 не зави-
зависят от t,gOi = 0, Dik = 0; см. (П.60) ]. Она может мыслиться как координат-
координатная решетка, "сваренная" из невесомых жестких стержней, заполняющих
пространство вокруг черной дыры. Мы можем изучать движение частиц по
отношению к этой решетке, эволюцию физических полей в разных ее
*)Выражение B.2.6) определяет ускорение, a 9-^-Fm — силу, действующую
на тело массы m и измеряемую наблюдателем, расположенным рядом с этим телом
в точке /•„. Если тело удерживается невесомой, абсолютно жесткой нитью, то значение
силы, прилагаемой к свободному концу нити в точке г,, будет равно
При стремлении г0 к2Ст/е2 &"„ -»«•, в то время какЖ^ остается конечной.
11

точках и т.д. Таким образом, решетка Шварцшильда в какой-то степени
напоминает решетку жестких координат в неизменном ньютоновском
пространстве нерелятивистской физики. Разумеется, геометрия 3-мерного
пространства Шварцшильда вокруг тяготеющего центра неевклидова, в
отличие от евклидова ньютоновского пространства нерелятивистской
физики. Но в остальном свойства очень схожи*). Это помогает работе
нашей интуиции.
Когда мы говорим о движении частиц в поле Шварцшильда, об эволюции
полей, мы подразумеваем движение и эволюцию полей в этом аналоге
абсолютного ньютоновского пространства**). Наличие критического ра-
радиуса в сферическом поле в вакууме rg =2GM/c2, где ускорение свобод-
свободного падения становится бесконечным, показывает, что для меньших
/¦< rg такую жесткую, недеформирующуюся решетку продолжить нельзя,
там уже нет недеформирующегося пространства — аналога ньютоновского
пространства. Тот факт, что на rg величина F обращается в бесконечность,
подсказывает нам, что при г < rg все системы должны быть нежесткими
в том смысле, 4ioga$ должны зависеть от времени, системы должны дефор-
деформироваться (все тела должны падать к центру). Дальше мы убедимся, что
так оно и есть в действительности.
Заметим, что указанные особенности не означают, что в геометрии 4-мер-
4-мерного пространства-времени имеется какая-либо сингулярность типа беско-
бесконечной кривизны и тому подобное. Мы увидим далее, что пространство-
время здесь вполне регулярно и особенности на rg означают физические
особенности только в системе отсчета Шварцшильда, т.е. означают невоз-
невозможность продолжить ее как жесткую, недеформирующуюся (не падаю-
падающую к центру) при r*irg.
В заключение отметим, что величина rg крайне мала даже для небесных
тел. Так, для массы, равной массе Земли, rg = 0,9 см, для массы, равной
массе Солнца, rg = 3 км. При г > rg поле Шварцшильда есть обычное ньюто-
ньютоновское поле тяготения с ускорением свободного падения F = GM/r2,
а искривленность 3-мерного пространства крайне мала. Так как размеры
обычных небесных тел (и вообще обычных тел) много больше rg, то вне
тел их поле тяготения есть ньютоновское поле***). Внутри этих тел реше-
решение Шварцшильда неприменимо и поле тяготения, разумеется, также с ог-
огромной точностью является ньютоновским.
Как мы увидим далее, сферическая черная дыра возникает, когда невра-
щающееся сферическое тело сжимается до размеров меньше гравитацион-
гравитационного радиуса. Но прежде чем рассмотреть этот процесс возникновения
черной дыры, необходимо познакомиться с законами радиального движе-
движения пробных частиц в поле Шварцшильда.
*) В § 4.2 мы подробно рассмотрим эти вопросы.
**) Напомним, что в общем случае несферических полей тяготения, меняющихся во
времени, никакого неизменного 3-мерного пространства ввести нельзя, что затрудняет
и наглядные представления, и вычисления.
***) Исключением являются нейтронные звезды и черные дыры ,
12

§ 2.3. Радиальное движение пробных частиц
в поле Шварцшильда
Рассмотрим прежде всего движение вдоль радиуса фотона, всегда летя-
летящего с фундаментальной скоростью с. Практически по тому же закону
будет двигаться любая ультрарелятивистская частица. Для такой частицы
ds = 0. Для радиального движения dd = dy = 0. Подставляя в B.2.1) ds =
= d6 = d^p = 0, находим закон движения
dr I гг
BЛЛ)
Напомним, что dr/dt - это скорость изменения координаты г с течением
времени t далекого наблюдателя (а не физического времени т в данной
точке), т.е. это координатная, а не физическая скорость. Физическая ско-
скорость есть изменение физического расстояния dx [см. B.2.2)] с физичес-
dx \fg7\dr
ким временем т [см. B.2.5)]: = ± —= ±с. Разумеется, физи-
ческая скорость фотона (в любой системе отсчета) всегда равна с.
С точки зрения далекого наблюдателя (по его часам) изменение физи-
физического радиального расстояния dx с течением t есть
dx I ге
Таким образом, для далекого наблюдателя луч вблизи rg движется медлен-
медленнее, при г -+rg имеем dx/dt -+Q. Разумеется, это отражает замедление тече-
течения времени вблизи rg — см. B.2.5).
Сколько времени по часам далекого наблюдателя понадобится фотону,
чтобы, двигаясь по радиусу от r = rlt достигнуть rg1 Проинтегрируем для
этого уравнение B.3.1):
*= ^— + —1п(' ~Г* )+t0. B.3.3)
с с \ г -rg I
Здесь г, - положение фотона в момент ?0- Выражение B.3.3) показывает,
что при r-*rg t -*°°. С какого бы г, ни начинал свое падение фотон, по
часам далекого наблюдателя время t достижения фотоном rg беско-
бесконечно.
Как изменяется энергия фотона при движении по радиусу? Энергия
пропорциональна частоте. Рассмотрим изменение частоты. Пусть в некото-
некоторой точке с /=г, происходят вспышки с интервалом At. Так как поле
статично, то эти вспышки придут к наблюдателю с г = гг с тем же интерва-
интервалом At. Интервалы собственного времени в этих двух точках относятся
Атх V—^00(^1) At
как = —¦ , а частоты oj, следовательно, относятся как
VvB.3.4)
w2 Дт, ^) I V
Частота кванта уменьшается при выходе из поля тяготения и увеличивается
13

при движении к центру. Это явление называют соответственно красным
и фиолетовым гравитационным смещением.
Рассмотрим радиальное движение нерелятивистских частиц в вакууме.
Исследуем сначала свободное движение, когда на частицу не действуют
никакие негравитационные силы (свободное падение, движение по геоде-
геодезической линии). Интегрирование уравнения для геодезических в случае
dd = dy = О [см. Богородский A962*) ] приводит к выражению
dr _ (l-rglr)№mc>f-l+rglrL2
dt E/mc2
Здесь Е — константа движения, описывающая полную энергию частицы,
включая ее массу покоя т. Если частица покоится вне поля тяготения на
бесконечности, то Е = тс2. В общем случае величина Е/тс2 может быть
и больше и меньше единицы, но Е для частицы вне сферы радиуса rg всегда
Е-тс2
тс
положительна.
На больших расстояниях г > rg для нерелятивистских частиц
•^ 1 и выражение B.3.5) переписывается в виде
midrjdtf ' , GmM
К } =(Е-тс2) + . B.3.6)
2 г
Величина & = Е - тс2 является энергией частицы в ньютоновской теории
(где в энергию не включается масса покоя), и все выражение B.3.6) при-
приобретает вид закона сохранения энергии в ньютоновской теории.
Напомним снова, что в выражении B.3.5) dr/dt - это координатная (не
физическая) скорость. Физическая скорость, измеряемая неподвижным в
системе Шварцшильда наблюдателем, находящимся рядом со свободно дви-
движущимся телом, есть
dx ГТГх dr [{Elmc2J-l+rtlr]42
= у/ : =± . С. \1.5.1)
dr Itfool dt E/mc2
Если падающее тело приближается к rg, то физическая скорость все время
нарастает, и при r-*rg имеем dx/dr -*c. Скорость dxfdt по часам далекого
наблюдателя стремится к нулю при г -*rg, как и в случае движения фотона.
Этот факт отражает замедление течения времени при г -+rg.
Сколько времени длится падение тела от некоторой точки с г = гх до
гравитационного радиуса rg по часам далекого наблюдателя?
Время движения от г^ до rg определяется интегрированием выражения
B.3.5). Интеграл расходится при r-*rg. Результат этот неудивителен, так
как даже для света At -*•<» при г -*rg, а быстрее света ничто двигаться не
может. Более того, характер расходимости At для падающего тела такой
же, как для фотона, ибо при г -*rg скорость тела и всегда стремится к с.
Очевидно, что, какие бы силы не действовали на частицу, время At дости-
достижения" rg всегда будет бесконечным, ибо и в этом случае всегда v < с.
Таким образом, и свободное падение, и движение к rg с любым ускорением
всегда длятся бесконечное время по часам далекого наблюдателя.
Вернемся к свободно летящей частице. Каково время AT достижения
г, по часам на самой падающей частице? Оно находится по формуле ДГ =
1 г.
= —/ \ds\, где ds берется вдоль мировой линии частицы. Подставим
с '*
14

выражениеds из B.2.1) cdd =dy = 0 и получим
i г. Г\ ST . dr B38)
С rg | (dr/cdtf
Для вычисления ДГ подставляем в B.3.8) dr/dt из B.3.5). Легко
показать, что интеграл сходится, интервал ДГ конечен. Для частного слу-
случая Е = тс2, когда частица падает с параболической (второй космической)
скоростью (т.е. dr/dt = 0 при г-+°°), получаем для времени падения от гу
до г:
2 гЛ/г,\з/2 I г \з/2 1
-с Ik) -k) \
Мы видели, что для далекого наблюдателя время падения частицы ДГ
бесконечно, по часам же на самой частице Д Г конечно. С физической точки
зрения этот неожиданный на первый взгляд результат можно интерпрети-
интерпретировать следующим образом. Часы на падающей к rg частице замедляют
свой ход по отношению к часам на бесконечности: во-первых, из-за замедле-
замедления хода времени в гравитационном поле B.2.5), а во-вторых, из-за лорен-
цева сокращения времени, когда их скорость v-*c при r-*-rg. Поэтому
бесконечный по t интервал становится конечным по Г.
§ 2.4. Пространство-время внутри сферы Шварцшильда
Тот факт, что собственное время падения частиц до сферы Шварцшильда
конечно, подсказывает способ построения системы отсчета, которую можно
продолжить при г < rg. Надо связать систему отсчета со свободно падаю-
падающими частицами. При этом на гравитационном радиусе в такой системе
заведомо не возникнут бесконечные ускорения F и соответствующие
бесконечные силы, так как частицы системы свободно падают, находятся
в невесомости и F тождественно везде равно нулю. Наиболее простая
система отсчета такого рода состоит из свободно падающих частиц, имею-
имеющих на пространственной бесконечности нулевую скорость [система отсчета
Леметра A933); см. также Рылов A961*)]. Движение этих частиц опи-
описывается уравнением B.3.9).
Чтобы перейти к этой системе отсчета, выберем в качестве координаты
времени время Т, отсчитываемое часами на падающих частицах. В некото-
некоторый момент Т= const, который мы примем за Т= 0, совокупность свобод-
свободно падающих частиц находится на разных г\. В качестве радиальной коор-
координаты в их системе отсчета можно выбрать эти значения Г\, маркирующие
частицы и неизменные в дальнейшем для каждой из них.
Тогда квадрат интервала в системе свободно падающих частиц запишется
в виде
/гЛЗ/2 3 СГ 2/3
Г/гЛЗ/2 з сГТ*/з
¦I—I rlidd2 +sin20 <V). B.4.1)
15

Рис. 1. Пространство-время Шварцшильда в коорди-
координатах Лсметра. Пунктир - линий г = const; ABC -
мировая линия фотона, падаюшего в черную дыру.
В точках Л. В. С показаны отрезки мировых линий
фотонов, движущихся в противоположную сторону
В качестве радиальной координаты в рассматриваемой системе удобно
использовать не г,, а
2 /г, \з/2
B.4.2)
Квадрат интервала B.4.1) теперь перепишется в виде
dR2
ds2 = -c2dT2
3 (R-cT)
2 г.
Г 3 (R -сТ) 1 4/3
+sin20 dy2).
B.4.3)
Система отсчета с интервалом B.4.3) — система Леметра — действитель-
действительно не имеет никаких особенностей на сфере Шварцшильда. Чтобы убедиться
в этом, запишем в явном виде связь между координатами Шварцшильда
и Леметра:
3 (R-cT)
12/3
J "*>
г = -
(Г/г,
B.4.4)
B.4.5)
Приравнивая в B.4.4) r = rg, находим уравнение для положения сферы
Шварцшильда в системе Леметра:
B.4.6)
Выражения для всех gap в B.4,3) на сфере Шварцшильда вполне регуляр-
регулярны, не имеют никаких особенностей. Вычисление всех отличных от нуля
инвариантов кривизны 4-мерного пространства-времени также показывает
отсутствие на сфере Шварцшильда каких-либо особенностей. Система Ле-
Леметра продолжается при r< rg. Пространство-время в координатах R, Т
Леметра изображено на рис. 1 (угловые координаты В, у не важны в силу
симметрии). Система продолжима вплоть до г = 0, т.е. [см. B.4.4) ] R =
16

-сТ. Здесь имеется истинная особенность пространства-времени — беско-
бесконечная кривизна. Это видно, например, из того факта, что инвариант кри-
кривизны Ra0yb-Ral}yS -»°° при R—cT->¦(). Бесконечность указанного ин-
инварианта означает бесконечность приливных гравитационных сил.
Как видно из рисунка, каждая свободно падающая частица с R = const
в системе Леметра движется с течением Г к меньшим г. За конечное вре-
время Г частица достигает rg, падает дальше и достигает истинной особенности
г-0*). Продолжить пространств о-в рем я за сингулярность нельзя; здесь
бесконечны приливные гравитационные силы, разрушающие любые части-
частицы. Вблизи г = О существенны квантовые эффекты гравитационного поля,
о чем мы будем говорить в гл. 12.
На рис. 1 нанесены также мировые линии радиальных световых лучей.
Они определяются из B.4.3) условием ds -O,dd = dip = 0:
dT
dR
-(fl-cT)
1/3
' B.4.7)
Положение световых конусов на рис. 1 сразу показывает, почему сфера
Шварцшильда играет особую роль в системе отсчета Шварцшильда и вооб-
вообще в сферическом поле тяготения. Дело в том, что при r>rg мировые
линии г - const (здесь и далее мы считаем в = const, у = const) лежат
внутри светового конуса, т.е. они времениподобны; линия r = rg совпадает
с мировой линией фотона, т.е. светоподобна; наконец, при r< rg мировые
линии г = const пространственноподобны.
Вот почему система Шварцшильда, образованная частицами с г = const,
не может быть продолжена при г < rg.
Рассматриваемая ситуация оказывается характерной для общей теории
относительности и отличает ее от обычной теории поля в плоском простран-
пространстве. Для решения уравнений Эйнштейна необходимо выбрать определен-
определенные координаты. С этой целью обычно вводятся дополнительные условия,
фиксирующие вид метрики. При этом из-за возможной сложной глобальной
структуры пространства-времени в общей теории относительности (напри-
(например, нетривиальной его топологии) нельзя, вообще говоря, гарантировать,
что выбранные координаты покрывают все пространство-время. Именно
с этой ситуацией мы столкнулись выше, при попытке описать полное сфери-
сферически-симметричное пространство-время в координатах кривизны B.1.2).
Общий прием, позволяющий установить, действительно ли полученное
решение описывает все пространство-время или только часть его, состоит
в изучении поведения пробных частиц и лучей света. Если за конечное
собственное время (или при конечном значении аффинного параметра для
фотонов) некоторые из частиц достигают "границы" выбранной координат-
координатной системы, а физические особенности в этих "конечных" точках траек-
траекторий частиц отсутствуют, то эта координатная система неполна. Изменив
координатные условия и т;рейдя к метрике B.4.1), нам удалось покрыть
*)Тот факт, что линии г = const в координатах R, Г изображаются прямыми, связан
со специальным выбором R [см. B.4.2)]. Этим, в частности, объясняется выбор
координаты Л вместо rt.
2 И.Д.Новиков 17

большую область пространства-времени и, в частности, описать/возможные
события, происходящие под гравитационным радиусом. Обсуждение вопро-
вопроса о том, является ли координатная система Леметра действительно полной
и описывает ли метрика B.4.1) все пространство-время, мы отложим
до § 2.7, а пока вернемся к обсуждению свойств сферы Шварцшильда и
области пространства-времени, лежащей внутри нее. [Общее обсуждение
затронутых вопросов см. Хокинг, Эллис A973).]
Самая примечательная особенность сферы Шварцшильда заключается в
следующем. Из точек cr>rg луч света, идущий наружу (направо на рис. 1),
движется к все большим г и уходит на пространственную бесконечность.
Для точек с г < rg оба луча (и идущий налево, и идущий направо) движут-
движутся к все меньшим г, не уходят на пространственную бесконечность, а "упи-
"упираются" в сингулярность г = 0. Мировая линия любой частицы обязана
лежать внутри светового конуса. Поэтому при г < rg все частицы обязаны
двигаться к г = 0 — это есть направление в будущее. Движение к большим г
в области r<rg невозможно [см. Финкельштейн A958)]. Подчеркнем,
что сказанное относится не только к свободно падающим частицам (т.е.
движущимся по геодезическим) , но и к частицам, имеющим любое ускоре-
ускорение. Никакое излучение, никакие частицы не выходят к далекому внешне-
внешнему наблюдателю из-под сферы Шварцшильда.
Мы определили в B.2.1) г так, чтобы g^ =r2, т.е. как радиальную
координату в системе координат кривизны [см. B.1.1)]. Так же формаль-
формально определяется г и внутри сферы шварцшильда, хотя здесь линия г = const
пространственноподобна и не может служить радиальной пространственной
координатой. При r< rg величина gn всегда зависит от времени, притом
монотонно в любой системе, определяемой соотношениями B.1.3) —
B.1.5). Все системы отсчета при r< rg нестатичны, оба радиальных луча
света идут только к меньшим г (а значит, к меньшим ?22). Области прост-
пространства-времени с таким свойством называют Т-обдастями [Новиков
A962*а, 1964*а)]. Область пространства-времени вне сферы Шварцшильда
называют R-областью.
Дадим более точное определение Л-и Г-областей. Рассмотрим простран-
пространство-время со сферической симметрией. При этом оно может содержать
материю (ГаC ^ 0) или быть пустым. По определению сферически-симметрич-
сферически-симметричного поля тяготения его метрика всегда может быть записана в виде B.1.2).
Если в окрестности рассматриваемой точки мировая линия х1 = const,
в = const, у = const времениподобна, то эта точка принадлежитЛ-области.
Если эта линия пространственноподобна, то рассматриваемая точка принад-
принадлежит Г-области.
Вернемся к случаю сферически-симметрично го поля тяготения в ва-
вакууме.
Помимо уже рассмотренной системы отсчета Леметра, для исследования
областей как внутри, так и снаружи сферы Шварцшильда используются
и другие системы отсчета. Здесь и в дальнейших параграфах мы приведем
некоторые из них.
Прежде всего обратимся снова к системе координат B.2.1). На сфере
Шварцшильда эта система, как мы показали в § 2.2, сингулярна. Но при г,
строго меньшем г?, метрические коэффициенты gap опять регулярны.
Имеет ли эта система какой-либо прямой физический смысл при r< rg1
18

Оказывается, имеет [Новиков A961*)]. Координата г теперь (приг< rg)
не может быть, как показано, выше, радиальной пространственной коор-
координатой. Однако она может играть роль временной координаты, что прямо
следует из выражения B.2.1), где коэффициент при dr2 меняет знак при
переходе через сферу Шварцшильда и при r< rg отрицателен. С другой
стороны, координата t теперь может служить пространственной радиальной
координатой, коэффициент при dt7 положителен для r< rg. Таким обра-
образом, координаты г_иГ при r< rg поменялись ролями. Поменяем обозна-
обозначения г - -сТ, t = Л/с и перепишем B.2.1) в виде
B.4.8)
B.4.9)
0< -сТ< г„, -°°< R<
Система отсчета B.4.8)-B.4.9) может быть осуществлена свободными
пробными частицами, движущимися по геодезическим внутри сферы г = rg.
Трехмерное сечение Т- const имеет бесконечную пространственную протя-
протяженность по координате R, а вдоль координат в и \р оно замкнуто и являет-
является в целом топологическим произведением сферы на прямую. Трехмерный
объем этого сечения бесконечен. Система нестационарна, она сжимается
вдоль в и i? (радиус сферы уменьшается от rg до 0) и расширяется вдоль R.
Собственное время ее существования конечно:
-goo d T= — rg.
B.4.10)
Мировые линии частиц R = const, образующих систему, показаны на
рис. 2 в координатах Леметра B.4.3). Из рисунка видно, что частицы
движутся внутри сферы Шварцшильда и система ни в коем случае не яв-
Т,
V" const
Рис. 2. Мировые линии частиц R = const, образующих систему отсчета B.4.9) в коор-
координатах Леметра
Рис. 3. Пространство-время Шварцшильда в координатах Эддингтона - Финкельштей-
на B.4.12): K=const - мировые линии фотонов, падающих к г =0; /, 2, 3 - мировые
линии фотонов, движущихся в противоположном (по сравнению с V= const) направ-
направлении
19

ляется продолжением системы Шварцшильда для r<rg (ее мировые линии
г - const показаны на том же рисунке). Время и пространственное радиаль-
радиальное направление в этих системах своеобразно меняются местами.
Приведем теперь систему отсчета, которая исторически была первой
из построенных систем, не имеющих особенностей на tg [Эддингтон A924),
Финкельштейн A958)]. Эта система связана с фотонами, свободно движу-
движущимися по радиусу. Уравнение движения фотонов определяется выраже-
выражением B.3.3). Для фотонов, движущихся к центру, г уменьшается с рос-
ростом t. Выражение B.3.3) для таких фотонов можно переписать в виде
г V
1 + —. B.4.11)
г
?
t= -1 In
с с
Здесь V — константа, характеризующая радиальную координату фотона
для фиксированного момента t.
В выражении B.4.11) под логарифмом поставлен знак модуля, что
обеспечивает применимость выражения и при г < rg *). Если мы возьмем
множество фотонов при фиксированном t и припишем каждому фотону
номер F, который в дальнейшем не меняется при движении фотона, то
подобно тому, как в случае нерелятивистской частицы [см. B.3.9) ] мы
выбирали гл в качестве новой радиальной координаты, здесь можно вы-
выбрать V в качестве другой новой координаты. Правда, есть и существенное
отличие — никакой наблюдатель не может двигаться вместе с фотоном и
в этом смысле новая система не подходит, строго говоря, под определение
системы отсчета. Но в некоторых случаях такая "система" из пробных
фотонов бывает удобна. Надо только всегда помнить, что V — световая
координата (не пространственная и не временная). В качестве второй коор-
координаты можно выбрать прежнюю координату г. Тогда, дифференцируя
B.4.11) и подставляя получающееся выражение для dt в B.2.1), находим
ds2 = -П _-jLW2 +2dVdr+r2(de2 + sin20cfy2). B.4.12)
Выражение B.4.12) регулярно на r-rg. Действительно, коэффициент
при dV2 обращается в нуль на rgy но наличие члена 2dV dr обеспечивает
невырожденность этой системы координат. Пространство-время в коорди-
координатах V, г изображено на рис. 3; при этом учтено, что система неортогональ-
неортогональна и координатные линии образуют между собой постоянный угол 45°
(на плоскости V, г).
§ 2.5. Сжимающиеся и расширяющиеся Г-области
Рассмотренные выше свойства систем отсчета внутри сферы Шварцшиль-
Шварцшильда в Г-области весьма своеобразны. Действительно, мы видим, что все
эти системы обязательно должны сжиматься по в- и ^-направлениям, а ко-
коэффициент gi2 должен уменьшаться со временем (что эквивалентно умень-
уменьшению г со временем). По-другому этот факт можно сформулировать
*) Всегда надо помнить об изменении смысла координат г и Г при r < rg (см.
выше).
20

г,,
U=const
Рис. 4. Пространство-время Шварцшильда в расширяющихся координатах Леметра.
Направление хода времени изменено на противоположное по сравнению с рис. 2
Рис. 5. Пространство-время Шварцшильда в расширяющихся координатах Эддингто-
на - Финкельштейна. Направление хода времени изменено на противоположное по
сравнению с рис. 3
как необходимое движение к сингулярности г = 0 всех лучей света и всех
частиц в Г-области. Однако известно, что уравнения Эйнштейна инвариант-
инвариантны относительно замены знака времени. Все приведенные выше формулы
останутся^решениями уравнений Эйнштейна, если сделать замену t-*—t,
Т-+-Т,Т-*-Т, V-+-U, где U нумерует выходящие лучи (U=2t-V).
Но такая замена эквивалентна изменению направления течения времени
на противоположное. Значит, возможны системы отсчета (например, Лемет-
Леметра, Эддингтона и т.д.) , расширяющиеся из-под сферы Шварцшильда и обра-
образованные частицами, вылетающими из сингулярности в Г-области, пересе-
пересекающими затем сферу Шварцшильда и улетающими на бесконечность
(рис. 4,5).
Как совместить вылет частиц из-под сферы Шварцшильда с неоднократ-
неоднократно подчеркиваемым выше утверждением, что из-под нее частица вылететь
не может? Дело заключается в следующем. Никакая частица не может вы-
вылететь из Г-области (из-под сферы Шварцшильда), если она (или другая
частица) влетела туда. Другими словами, если под сферу Шварцшильда
можно влететь, то из-под нее нельзя вылететь. Г-область, которая есть в
решениях с заменой течения времени на противоположное, это сов сем дру-
другая Г-область с совсем другими свойствами. Если в первой Г-области
возможно было только сжатие, то во второй возможно только расшире-
расширение, туда нельзя упасть (что наглядно видно из рис.. 4,5).
Подчеркнем, что внешнее пространство (вне сферы с r~rg) в обоих
случаях тождественно одно и то же. Преобразованием координат метрика
его сводится к B.2.1), но оно может быть продолжено внутрь сферы
Шварцшильда двояким образом: либо как сжимающаяся Г-область, либо
как расширяющаяся Г-область (но никак не вместе!). Какой тип Г-области
осуществляется конкретно, зависит от граничных или начальных условий.
Мы подробно остановимся на этом в следующем параграфе. Сжимающую-
Сжимающуюся Г-область принято обозначатв Г_, расширяющуюся - Г+.
21

§ 2.6. Гравитационный коллапс —
возникновение черной дыры. Белые дыры
В этом параграфе мы раэберем процесс возникновения черной дыры в
результате сжатия сферической массы до размеров меньше rg. Чтобы изба-
избавиться от эффектов, не имеющих непосредственного отношения к образо-
образованию черной дыры и только осложняющих решение, рассмотрим сжатие
сферического облака вещества, лишенного давления, р- 0 (облако пыли).
В этом случае не придется рассматривать гидродинамических явлений,
связанных с градиентом давления. Все частицы (пылинки) движутся по
радиальным геодезическим, подвергаясь действию только гравитационного
поля. Решение уравнений Эйнштейна для этого случая было получено Тол-
меном A934). В приводимом решении система отсчета сопутствует вещест-
веществу, т.е. пылинки имеют постоянные R, в, у.
ds2 = -c2dT2 + gll(T,R)dR2 + r2(T,R)(dd2 +sin20V), B.6.1)
• B.6.2)
B.6.3)
B.6.4)
с* г г*
Здесь точка - дифференцирование по сТ, штрих - дифференцирование по R;
f(R) и F(R) — две произвольные функции от R (должно выполняться
1 + f(R) > 0). Уравнение B.6.2) определяет функцию г после задания
f(R) и F(R) , p- плотность вещества.
Решение Толмена может описывать, например, сжатие пылевого шара
конечных размеров. Для описания этого процесса выберем начальный
момент Г = const. Тогда B.6.4) определит распределение плотности. Если
координата Ri определяет границу шара, то вне шара (при R > Rx) p = 0
и F = const. Изменение г с течением Г для частиц шара описывается уравне-
уравнением B.6.2) . Из уравнения видно, что каждая частица с фиксированным R,
имеющая г < 0, за конечное Г достигает г - 0, где имеется истинная сингу-
сингулярность пространства-времени.
Вне шара метрика пространства-времени однозначно определяется мас-
массой шара, которая задается значением F на его границе R t. Эта метрика
в пустоте является метрикой Шварцшильда (см. § 2.2).
Частицы на поверхности шара свободно падают в этой внешней метрике,
поэтому их движение может быть представлено как движение по радиаль-
радиальным геодезическим в метрике Шварцшильда [см. B.3.5) ], В частности,
можно рассмотреть сжатие шара, частицы на поверхности которого падают
с параболической (второй космической) скоростью. Формулы движения
таких частиц особенно просты [см. B.3.9) ]. В системе Леметра уравнение
мировой линии этих частиц будет Rt - const. Уравнение этой же линии в си-
системе Эддингтона — Финкельштейна дается в параметрическом виде выра-
выражениями B.4.11) , B.4.4), B.4.5) , если в двух последних формулах поло-
положить R - Ri - const.
22

Рис. 6. Пространство-время сжимающегося шара с образованием черной дыры в коор-
координатах Леметра. Область внутри шара заштрихована
Рис. 7. Пространство-время сжимающегося шара с образованием черной дыры в коор-
координатах Эддингтона - Финкельштейна
Картина пространства-времени для сжимающегося шара изображена на
рис. 6 и 7 в координатах Леметра и Эддингтона — Финкельштейна соответ-
соответственно. Последний рисунок, где изображена и одна из вращательных степе-
степеней свободы, особенно нагляден. Поверхность сжимающегося шара за
конечное собственное время достигает сферы Шварцшильда г - rg и затем
стягивается в точку к г = 0. Этот процесс называют релятивистским грави-
гравитационным коллапсом. В результате коллапса внутри сферы Шварцшильда
возникает пространственно-временная область, из которой никакие сигна-
сигналы не уходят на пространственную бесконечность. Такая область и назы-
называется черной дырой. Итак, в результате релятивистского гравитационного
коллапса сферического невращающегося тела возникает сферическая чер-
черная дыра.
Заметим теперь, что сделанное выше предположение об отсутствии дав-
давления ничего качественно не меняет в картине образования сферической
черной дыры. В общем случае сжатия шара с давлением (р Ф 0) картина
такая же. Когда поверхность сжимающегося шара приближается к сфере
Шварцшильда, никакое давление не может предотвратить возникновение
черной дыры [подробно эти вопросы см. Зельдович, Новиков A971*)].
К нашей теме эти вопросы непосредственно не относятся, и мы здесь на
них не останавливаемся.
В результате гравитационного коллапса внутри сферы Шварцшильда
возникает сжимающаяся Т_ -область. Это следует из требования непрерыв-
23

Рис. 8. Расширение шара из-под сферы Шварцшильда в расширяющихся координатах
Леметра
Рис. 9. Расширение шара из-под сферы Шварцшидьда в координатах Эддингтона - Фин-
кельштейна
ности коэффициента метрики g2i (коэффициента перед угловой простран-
пространственной частью) при переходе в фиксированный момент времени со сжи-
сжимающейся поверхности шара в вакуум*). На поверхности сжимающегося
шара этот коэффициент уменьшается с течением времени при г < rg . Зна-
Значит, вследствие непрерывности он будет уменьшаться со временем и вне
шара (при г < rg),i,e. внутри сферы г = rg расположена именно сжимаю-
сжимающаяся Г_ -область.
При каких условиях возникает расширяющаяся Г+-область? Обратив на-
направление течения времени на рис. 6 и 7, получим рис. 8 и 9. Они изобра-
изображают расширение шара из-под сферы Шварцшильда. Из условия
непрерывности g22 на границе шара теперь следует, что в вакууме - вне
шара, но внутри сферы Шварцшильда с г = rg - находится расширяющаяся
Г+-область. Общую ситуацию наглядно иллюстрирует рис. 8. Вспомним, что
линия г - 0 пространственно подобна, т.е. существует система отсчетам ко-
которой все события на этой линии одновременны. Таким образом, нельзя
сказать, как это кажется на первый взгляд (см. рис. 8 и 9), что сначала
была сингулярность г = 0 в вакууме, а потом из нее начало расширяться
вещество шара. Эти события не связаны времениподобным интервалом.
Правильнее сказать, что природа пространственно подобной сингулярности
г = 0 такова, что она порождает расширение в вакууме (расширяющуюся
") Разрывы в?„ ведут к разрывам в пространстве-времени,
24

7'+-область) правее Ri и расширяющееся вещество шара левее /?i (см.
рис. 8). Заметим, что в расширяющуюся Г+-область не может попасть
никакой сигнал, никакая частица с пространственной бесконечности
(вообще из области с г >rg). Такие области пространства-времени назы-
называют белыми дырами [Новиков A964*Ь), Нееман A965)]. Они не могут
возникнуть во Вселенной в результате коллапса какого-либо объекта, но
в принципе могли бы существовать в расширяющейся Вселенной с самого
начала ее расширения. Подробнее этот круг вопросов рассматривается
в § 13.2.
В заключение параграфа еще раз подчеркнем, что с математической точ-
точки зрения невозможно продолжать решение за истинную сингулярность
пространства-времени г = 0. Таким образом, ОТО не может дать ответа на
вопрос, что будет после сжатия до г = 0 в Т_-области или что было до на-
начала расширения из г = 0 в Г+-области (и даже сказать, корректна ли
постановка таких вопросов). С физической точки зрения ясно, что вблизи
г = 0 существенны квантовые процессы уже для самого пространства-вре-
пространства-времени (что не описывается ОТО). Мы вернемся к этому в гл. 13.
§ 2.7. Вечные черные и белые дыры
На первый взгляд кажется возможным существование в пустом прост-
пространстве вечной черной дыры, т.е. такой черной дыры, которая не возникает
в результате сжатия массы (как изображено на рис. 6 и 7), а всегда сущест-
существует в виде, показанном на рис. 1 и 3. В таком пространстве-времени всегда
есть сфера Шварцшильда и нет сжимающегося вещества шара.
Удивительным образом оказывается, что такого образования - "чистой"
вечной черной дыры — в принципе быть не может. Дело заключается в сле-
следующем. Картина или, как говорят, карта пространства-времени, представ-
представленная на рис. 1 (или рис. 3), не охватывает всего пространства-времени.
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим частицу, свободно движущуюся по
радиусу от сферы Шварцшильда. Ее мировая линия в сжимающейся системе
Леметра определяется выражением
R 2сТ 1 з R - сТ\1/3
const = — — + — 41 -х I +
Го Г„ X2- Го I
+ 2 In
g
1/3
Т1/3
1/3
[| (R - сГ)]1/3-
rg
B-7.1)
и изображена на рис. 10. Продолженная в прошлое, она асимптотически
подходит к линии г = rg , не пересекая ее. По времени Т системы отсчета
Леметра частица существует от Т = — °о. Однако мы знаем, что по собствен-
собственному времени частицы путь от rg до любого конечного г занимает конеч-
конечный промежуток. Таким образом, рис. 10 не охватывает всей прошлой
истории рассмотренной частицы от т = — °° по ее собственным часам. Ведь
история одиночной (т.е. не взаимодействующей с другими частицами -
25

скажем не рождающейся, например, во взаимодействиях) частицы не обры-
обрывается на сфере Шварцшильда. Мировая линия такой частицы должна либо
продолжаться бесконечно по ее собственному времени, либо обрываться
на истинной сингулярности пространства-времени, где вступают в силу но-
новые физические законы. Значит, карта неполна, не покрывает всего прост-
пространства-времени.
Можно ли построить всюду пустое пространство-время с вечной черной
дырой, которое полно в том смысле, что охватывает все истории всех дви-
движущихся в нем частиц? Оказывается, можно, хотя в нем, как мы увидим,
будет представлена не только вечная черная дыра, но и вечная белая дыра.
Г,
Рис. 10. Мировая линия частицы, улетающей от сферы Шварцшильда, в сжимающихся
координатах Леметра
Рис. 11. Расширение шара из-под сферы Шварцшильда с последующим сжатием под
сферу. Область внутри шара заштрихована
Чтобы естественно подойти к такому построению, рассмотрим белую дыру
с расширяющимся пылевым шаром. Представим, что энергия движения
частиц шара такова, что поверхность шара не разлетается в бесконечность,
а, достигнув максимального радиуса, снова сжимается до размеров rg,
а затем коллапсирует до г =0.
Согласно формуле B.3.5) удельная энергия ?/тс2 частицы на поверхно-
поверхности шара должна быть меньше единицы, чтобы dr/dt = 0 при некотором г.
В решении Толмена B.6.1) - B.6.4) такой разлет до конечного радиуса
соответствует выбору /(/?) < 0. Качественно пространство-время с расши-
расширяющимся, а затем сжимающимся пылевым шаром изображено на рис. 11.
В этом пространстве-времени имеется сначала белая дыра, а затем возни-
возникает черная дыра. Обратим внимание на то, что на рисунке линии г = 0 и
г = rg в данном решении изображаются уже не прямыми, как в случае
движения с параболической скоростью (см. рис. 6,8).
Будем уменьшать удельную энергию Е/тс2 частиц на поверхности ша-
шара. Полную массу uiapaAf, а значит, и величину г g считаем фиксированными,
т.е. с уменьшением Е/тс2 мы уменьшаем долю кинетической энергии раз-
разлета в полной энергии Мс2 шара. Тогда шар будет разлетаться до все мень-
26

Рис. 12. Граница шара расширяется только до сферы
Шварщшльда и затем сжимается
ших радиусов. Наконец, при Е/тс2 = 0 разлет ша-
шара происходит до г = rg. Пространство-время тогда
качественно выглядит так, как показано на рис. 12.
Что будет, если константу Е уменьшать и даль-
дальше, делая ее отрицательной? На первый взгляд
это физически бессмысленно, а формально ведет
к увеличению максимального радиуса разлета г,
что определяется приравниванием нулю drjdt в
формуле B.3.5). В действительности ничего бес-
бессмысленного в такой операции нет. Чтобы в этом
разобраться, обратимся к формулам B.6.1) — B.6.4). Будем считать,
что пылевой шар, эволюция которого рассматривается, однороден. Тогда
внутри шара метрика пространства-времени соответствует метрике одно-
однородной изотропной Вселенной. В решении B.6.1) - B.6.4) такая метрика
отвечает выбору функций
/(/?) = -sin2/?, B.7.2)
F(R)= a sin3 R, B.7.3)
где а - масштабный фактор, определяемый плотностью pma x внутри шара
в момент максимального расширения:
Зс5
B.7.4)
Вещество шара продолжается до граничного значения координаты
R-R\. Значение R\ может лежать в пределах 0 < Ry <тг. Вне шара, в ва-
вакууме (при R > Ri), частицы, осуществляющие систему отсчета, свободно
движутся по радиальным геодезическим. Метрика определяется следую-
следующими функциями [Новиков A963*, 1964*а)]:
/(/?) = -
1
(/? + ctg R! -
B.7.5)
B.7.6)
В этой ситуации
rg ~ a sin/?! . B.7.7)
Сумма масс покоя частиц, из которых состоит шар, определяемая произ-
произведением плотности на объем шара, есть
B.7.8)
Величина М (гравитационная масса) характеризует полную энергию частиц
шара, включая гравитационную. Если граничная координата Rt лежит
в пределах тг/2 < Rl < n, то внутренность шара представляет собой так
27

называемый полузамкнутый мир [см. Зельдович, Новиков A975*); там
же ссылки на предыдущие работы]. В этих условиях увеличение граничного
значения /?i (добавление новых слоев вещества) увеличивает Мt, но
уменьшает М (из-за сильного гравитационного дефекта массы).
Наша цель — исследование эволюции шара, когда мы сообщаем его части-
частицам все меньшую и меньшую удельную энергию. Это значит, что мы будем
брать все меньшее и меньшее отношение M/Mt. Для выяснения того, что
при этом получается, можно поступить двояко — беря разные отношения
M/Mt, фиксировать неизменной либо М, либо Mt, Выбор имеет только
методическое значение. Так как нас будет интересовать метрика вне шара,
мы зафиксируем М, определяющую внешнюю метрику.
Проследим при этом, как будет происходить эволюция во времени гра-
границы шара /"(/?!, Г) для каждого фиксированного /?, и какова метрика
вне шара. Отношение M/Mt определяется B.7.7) и B.7.8):
- sinR1 cos/?,)"
B.7.9)
Эволюция границы шара описывается отношением радиуса наибольшего
расширения границы rmax к гравитационному радиусу rg :
= sin/?,.
B.7.10)
Когда /?i ¦€ тг/2, отношение M/Mt лишь немного меньше едини-
единицы, и картина эволюции качественно выглядит так, как показано на
рис. И (rmax/rg > 1).
Когда /?! = -^ , jj- = -^— ( = 1), и ситуация показана на рис. 12.
"g I
Л/
Зтг
При /?i > тг/2 шар является полузамкнутым миром, отношение M/Mt
уменьшается с приближением /?i к тг. Это соответствует Е < 0 в B.3.5).
Теперь метрика выглядит так, как показано на рис. 13.
г=0
Ряс. 13. Расширение и сжатие полузамкнутого мира
Рис. 14. Всюду пустое пространство-время с белой и черной дырой
28

Появилась новая качественная особенность. Отношение rmax/rg снова
больше единицы. Но граница шара теперь не появляется из-под сферы с
радиусом rg в пространстве внешнего наблюдателя R'. Появилась новая
область R ", которая вне шара во всем идентична R'.
При Л, ->тг граница R\ все больше сдвигается влево на рис. 13, оставляя
свободной все большую часть R , Отношение rmax/rg стремится к беско-
бесконечности, а отношение M/Mt — к нулю.
Если перейти к пределу R\ - тг, то область, занятая веществом, исчезнет
вовсе, все пространство-время теперь пустое (рис. 14). В нем есть белая
дыра Г+, черная дыра Г_ и два идентичных внешних пространства R' и
R", переходящие в евклидовы на пространственной бесконечности, Это
пространство-время полно в том смысле, что любая геодезическая теперь
либо продолжается неограниченно, либо заканчивается истинной сингу-
сингулярностью.
Система отсчета, охватывающая все пространство-время на рис, 14,
описывается решением вида B.7.5) - B.7.6), где начало отсчета Л удобно
выбрать в минимуме функции f(R). Тогда
~ R*li ' F = Tg' -°°<R<°°- B.7.П)
Впервые полное, всюду пустое пространство-время, изображенное на
рис. 14, было построено Сингом A950), затем Фронсделом A959), Круска-
лом A960), Жекересом A960). Физические соображения, приведенные вы-
выше, и решение B.7.11) получены Новиковым A962*Ь, 1963*).
Итак, мы получили всюду пустое пространство с присутствием белой и
черной дыр (обязательно вместе!). Эти дыры можно назвать "вечными",
так как с точки зрения внешних наблюдателей, покоящихся в R' и R",
эти дыры существуют всегда.
Физический смысл второго "внешнего пространства" R" выяснен
выше, когда рассматривалась эволюция шара со все меньшей удель-
удельной энергией М/М*. Вопрос о том, могут ли реально существовать
вечные черные и белые дыры (подобные рис. 14), совсем лишенные ве-
вещества, будет рассмотрен в § 13.2 в связи с вопросом устойчивости
белых дыр.
В заключение этого параграфа приведем систему координат, предложен-
предложенную Крускалом A960) и Жекересом A960). Она, как и система B.7.11),
покрывает все пространство-время вечных белой и черной дыр. В этих
координатах интервал записывается в виде
ds2 =-^e'V'*(-d'u2 + du2) + r2{(ie2 +sin20d^2), B.7.12)
где г - функция v ни:
"/rg = и2 -t2. B.7.13)
Связь координат иии сгиГв областях/?' и Т_ дается следующими
29

соотношениями:
при- г > rg, B.7.14)
~ / г ,\»/а r/2rg ct g
v = j 11 e sh -z—
\rg I lrg
~ /, r V'i r/2rg , ct
и = 11 e sh -r— ,
\ rg I 2rg
при г <rg. B.7.15)
~ / r\U2 r/2rg ct
v = A 1 e ch^—
\ ^/ 2r«
В областях R " и Г+ аналогичные соотношения получаются путем замены
г/-* —и, \) -*¦—»'. Система Крускала удобна тем, что в ней радиальные ну-
нулевые геодезические изображаются прямыми линиями, наклоненными под
углом 45° к осям координат.
§ 2.8. Небесная механика в поле тяготения черной дыры
Вернемся к обсуждению процессов во внешнем по отношению к сфере
Шварцшильда пространстве черной дыры. В этом параграфе мы рассмотрим
движение пробных частиц по геодезическим вокруг черной дыры. Вопрос
этот давно и тщательно проанализирован, вошел в учебники и монографии
[см. Зельдович, Новиков A971*), Мизнер, Торн,Уилер A973)]. Мы огра-
ограничимся здесь кратким обсуждением именно тех особенностей движения,
которые специфичны для черной дыры, а не просто для сильного поля
тяготения (скажем, вокруг нейтронной звезды).
Будем рассматривать движение частиц во внешнем пространстве по
отношению к системе отсчета Шварцшильда по часам наблюдателя на беско-
бесконечности (см. § 2.2). Так как поле тяготения сферически-симметрично, то
траектория частицы плоская, и можно считать, что она лежит в плоскости
в = я/2. Уравнения движения имеют вид
dr V
cdt }
dr V О -*№&* -0 -rg/r){l +1ггЦгг)}
• — j B.8.1)
\cdt
—7 = —^^——. B.8.2)
Cdt ?,.2
Здесь Е — удельная энергия частицы (на единицу собственной энергии тс2,
т - масса частицы), L - удельный угловой момент (измеренный в единицах
mcrg). Обе величины сохраняются при движении. Физическая скорость
частицы v, измеренная находящимся рядом наблюдателем по его часам т,
непосредственно связана с энергией А", что следует из B.8.1) — B.8.2):
Ё2 =(l -rg/r){\ -v2lc2jl. B.8.3)
30

Рис. 15. Эффективный потенциал черной ?
дыры
Качественные особенности дви-
движения частицы выявляются следую-
следующим образом, Приравнивая dr/dt
нулю, можно найти точки наиболь-
наибольшего приближения частицы к чер-
черной дыре и наибольшего удаления
от нее. Правая часть B.8.1) равна
нулю, когда выполняется равенство
B.8.4)
Это выражение иногда называют эф-
эффективным потенциалом. Типичная кривая B.8.4) для фиксированного
L изображена на рис. 15.
Движение частицы происходит с постоянной удельной энергией и изобра-
изображается на рис. 15 горизонталью. Так как числитель B.8.1) должен быть
положительным, то отрезок горизонтали, изображающей движение частицы,
лежит выше кривой B.8.4). Пересечение горизонтали с эффективным
потенциалом определяет точки наибольшего приближения к черной дыре
и наибольшего удаления от нее. Траектория движения частицы не является
коническим сечением и, вообще говоря, не замкнута. На рис. 15 приведены
горизонтали для типичных движений. Горизонталь Е\ < 1 отвечает движе-
движению в ограниченной области пространства между гх и гг — • аналог эллипти-
эллиптического движения ньютоновской теории (пример такой траектории показан
на рис. 16а)*). Гори: шталь Ei > 1 соответствует приходу частицы из
бесконечности и уходу снова на бесконечность (аналог гиперболического
движения). Пример траектории показан на рис. 16Ь.
Наконец, горизонталь Е3 не пересекает потенциальной кривой, проходя
выше ее максимума Emax,nсоответствует падению частицы в черную дыру
(гравитационный захват). Этот тип движения не существует в ньютонов-
ньютоновской теории и характерен для черной дыры. Траектория такого движения
показана на рис. 16с. Гравитационный захват (см. следующий параграф)
возможен из-за наличия максимума в эффективном потенциале. Такого
максимума нет на соответствующей кривой ньютоновской теории.
Кроме перечисленных выше движений возможно еще движение частицы
вблизи черной дыры, соответствующее горизонтали Е4 на рис. 15. Эта
горизонталь может лежать как ниже, так и выше единицы (последнее —
в случае Ётзх > 1), простираясь от rg до пересечения с кривой Е(г). Она
изображает движение частицы, которая, например, сначала удаляется от
черной дыры, достигает rmax (в точке пересечения Е4 и Е(г)), а затем
вновь падает к черной дыре и поглощается ею (рис. 16d).
*) Если вся орбита лежит достаточно далеко от черной дыры, то она представляет
собой эллипс, медленно поворачивающийся в плоскости движения.
31

Чтобы уйти на бесконечность, тело должно иметь энергию Ё > 1. Из урав-
уравнения B.8.3) находим, что выражение для второй космической скорости
есть ("гкосм соответствуетЕ = 1)
B.8.5)
что совпадает с выражением ньютоновской теории.
Заметим, что в ньютоновской теории в поле точечной массы вторая
космическая скорость гарантирует уход на бесконечность независимо от
а 6 с
Рис. 16. Траектории частицы с энергиями ?, (а), Ё2 F), Ё} (с) и Ёл (d)
направления движения. В случае черной дыры это не так. Здесь возможны
траектории, заканчивающиеся в черной дыре (типа Ё* или Ё3 на рис. 15,
последняя - если частица движется к черной дыре). Это явление выше
мы назвали гравитационным захватом.
Важным частным случаем движеню. частицы вокруг черной дыры явля-
является движение по окружности. При этом тождественно dr/dt = 0. На рис. 15
такое движение изображается точкой в экстремуме кривой эффективного
потенциала. Положение точки в минимуме соответствует устойчивому
движению, в максимуме — неустойчивому. Последнее движение не имеет
аналога в ньютоновской теории и специфично для черной дыры. Реальное
движение точки с Ё, равной Ётах для данного L, т.е. по неустойчивой
кривой орбите, конечно, невозможно, как и всякое неустойчивое движение.
Однако, если движение частицы изображается горизонталью Е - const,
подходящей близко к Етах, то частица будет совершать много оборотов
вокруг черной дыры при г , соответствующем положению ^„ах, прежде
чем орбита удалится от этого значения г . Примером такого движения
может служить орбита на рис. 16Ь.
Форма и положение потенциальной кривой Е{г) — разные для разных L;
соответствующие кривые для некоторых значений /.показаны на рис. 17.
Минимумы и максимумы Ё(г ) имеются на кривых с ЬУу/З.При ?<уД
кривая Е(г) монотонна. Таким образом, движение по круговым орбитам
возможно лишь для L >\/3*. При этом минимумы кривых лежат при г > 3>rg.
Следовательно, устойчивые круговые орбиты могут существовать лишь
для r>3rg [Хаджихара A931)]. Ближе этого расстояния имеются только
32

b/rsi
11,5
6 r/rq
Рис. 17. Эффективный потенциал для разных значений L
Рис. 18. Положение экстремумов по г траектории ультрарелятивистской частицы
в зависимости от прицельного расстояния b
неустойчивые круговые орбиты, соответствующие максимумам кривых
Дпах • При L-*°° координаты максимумов Ет ах уменьшаются до г = 1,5 rg.
Ближе * = 1,5 rg невозможны даже неустойчивые круговые движения.
Критической круговой орбите, отделяющей устойчивые движения от не-
неустойчивых, соответствует г -Ъг%. Скорость движения частиц по ней v -с 12.
Энергия частицы при этом Е = \/Sj9 « 0,943. Это движение с максималь-
максимально возможной энергией связи Е * 0,057 тс2. При круговом движении по
(неустойчивым) орбитам с r<3rg скорость v растет с уменьшением г от
с/2 дос на последней круговой орбите при г = 1,5 rg. При движении с г - 2rg
энергия частицы Е- 1 и, следовательно, значение круговой скорости совпа-
совпадает со значением второй космической скорости. При еще меньших г пос-
последняя по величине меньше круговой. Никакого парадокса в этом нет,
ибо круговое движение здесь неустойчиво, и малейшее возмущение (даю-
(дающее импульс по направлению от черной дыры) переводит частицу на орбиту,
уходящую в бесконечность, т.е. соответствующую гиперболическому
движению.
Рассмотрим движение ультрарелятивистской частицы. Оно соответствует
в B.8.1), B.8.2) пределу v -> с, и поэтому Ё-* °° и L-* °°. При этом надо
помнить, что отношение E/L всегда равно отношению rg/b, где Ь-прицель-
ное расстояние частицы на бесконечности. Учтя это, получаем вместо
B.8.6)
_ B.8.7)
с dt \ r J r1
Формулы B.8.6), B.8.7) описывают искривление траектории ультраре-
ультрарелятивистской частицы и луча света, движущихся вблизи черной дыры.
3.И.Д. Новиков 33

Приравнивая квадратную скобку в B.8.6) нулю, получаем положение
точек экстремумов траектории как функцию радиуса г . Соответствующая
кривая b{r) показана на рис. 18. Знак b зависит от направления облета;
будем считать b положительным. Движение ультрарелятивистской частицы
с заданным b изображается на этом рисунке горизонталью b - const. Части-
Частица приближается к черной дыре, огибает ее на минимальном расстоянии,
соответствующем точке пересечения b = const с правой ветвью кривой
b(r), и снова улетает в бесконечность. Если пересечение происходит вблизи
минимума bmin = Зл/Гг^/2, то частица может сделать много оборотов,
прежде чем улетит в бесконечность. Точно минимуму кривой b(r) соответ-
соответствует (неустойчивое) движение по кругу с радиусом г = 1,5 rg со скоро-
скоростью v = с. Заметим, что левая ветвь b(r) на рис. 18 соответствует макси-
максимальному удалению ультрарелятивистской частицы, движущейся вблизи
черной дыры и сначала удаляющейся от нее до г < 1,5 гн, а потом снова
падающей к ней. При этом параметр Ь, разумеется, не имеет прямого смыс-
смысла прицельного расстояния на бесконечности, так как частица никогда на
бесконечность не уходит. Этот параметр может быть выражен при заданной
координате г через тангенс угла ф между траекторией частицы и направле-
направлением на центр черной дыры:
г I tg ф I
Ь= ¦ , . B.8.8)
V(lV)(l+tg»
Если ультрарелятивистская частица подлетает к черной дыре из бесконечно-
бесконечности и параметр Ъ меньше критического значения bmin = 3%/J r^/2, то такая
частица попадает в черную дыру.
§ 2.9. Гравитационный захват
В этом параграфе мы рассматриваем движение пробной частицы, при
котором ее траектория заканчивается в черной дыре. Такое движение
может быть двух типов. Во-первых, траектория частицы начинается в беско-
бесконечности и заканчивается в черной дыре; во-вторых, траектория начинается
и заканчивается в черной дыре. Разумеется, вылететь из черной дыры
частица не может. Поэтому движение по траектории второго типа возможно
только при выведении частицы на эту траекторию по негеодезической
кривой или при рождении частицы вблизи черной дыры *).
Особый интерес представляет гравитационный захват частицы, прилетаю-
прилетающей из бесконечности. Обсудим этот случай.
Как ясно из разобранных в предыдущем параграфе особенностей движе-
движения, для захвата необходимо, чтобы при заданном L прилетающей из беско-
бесконечности частицы ее энергия была больше максимума {Етах) кривой Ё(г).
Рассмотрим гравитационный захват для двух предельных случаев — для
частицы, имеющей на бесконечности скорость много меньше световой
(и« /с < 1), и для ультрарелятивистской на бесконечности частицы.
*) Конечно, частица может вылететь из белой дыры и упасть в черную - в случае,
рассмотренном в § 2.7.
34

В первом случае Е= 1. Кривая Ё(г), имеющая /Гтах = 1, соответствует
Lcr = 2 (см. рис. 17). Максимум этой кривой лежит npnr = 2rg. Значит,
этот радиус является минимальным для периастров орбит частиц си„= О,
приходящих к черной дыре и снова уходящих на бесконечность. При L <2
происходит гравитационный захват. Следовательно, прицельное расстояние,
соответствующее захвату, bCT =LCTIE- 2rg{v^lc). Сечение захвата нереля-
нерелятивистской частицы
°„еРел= fftcr =4я(Уоо/сJг/. B.9.1)
Для ультрарелятивистской частицы bCI = 3\/Jrg/2 и сечение захвата
°рел = ^^- B-9-2)
В связи с возможностью гравитационного захвата не всякая частица,
имеющая скорость больше второй космической, улетает в бесконечность.
Для этого надо еще, чтобы угол ф между направлением на центр черной
дыры и траекторией движения был больше некоторого критического
значения фст. Этот критический угол для скорости, равной второй косми-
космической, дается выражением
-rJr)rJr
* <2.9.3)
VI -4rx/r(l -rg/r)
Знак плюс выбирается для r>2rg (фсг<90°), знак минус - для
r<2rg (^cr>90e).
Критический угол для ультрарелятивистской частицы определяется
выражением
B.9.4)
Лл1 (^у
Знак плюс выбирается для г > 1,5 rg, знак минус - для г < 1.5 rg.
§ 2.10. Движение частиц
с учетом гравитационного излучения
Небесная механика в релятивистской теории отличается от ньютоновс-
ньютоновской, помимо уже рассмотренных особенностей, еще излучением гравита-
гравитационных волн ускоренно движущимся телом. Вследствие этого энергия Е
и угловой момент L не являются строгими интегралами движения.
Излучение гравитационных волн вызывает торможение движущейся
частицы (потерю энергии и углового момента). Сила торможения связана
со взаимодействием пробной частицы массы m с собственным гравитацион-
гравитационным полем и пропорциональна тп1, в то время как взаимодействие с внеш-
внешним полем пропорционально тМ. Поэтому при малых т/М сила "лучистого
трения" является малой поправкой к основной силе и движение пробной
частицы мало отличается от движения по геодезической.
Однако за длительные промежутки времени эти малые изменения могут,
накапливаясь, приводить к существенному отклонению движения частицы
от первоначальной траектории.
3' . 35

Мы рассмотрим изменение сечения захвата черной дырой пробной части-
частицы, летящей из бесконечности, при учете гравитационного излучения и
процесс постепенного захвата тела, движущегося по круговым орбитам
[Зельдович, Новиков A964*, 1971 *)].
Расчет гравитационного излучения проводится методом анализа малых
возмущений метрики Шварцшильда [Зерилли A970а) ,Девис и др. A971)].
Он показывает, что оценки изменения движения, сделанные по теории
слабого поля и для нерелятивистских скоростей, во всех интересных случаях
являются хорошим приближением ).
Рассмотрим случай изменения сечения захвата для частицы, летящей из
бесконечности. Гравитационное излучение, происходящее главным образом
в периастре орбиты, приводит к тому, что частица после облета черной
дыры может уже не удалиться снова в бесконечность (как было бы без
излучения), а перейти на связанную вытянутую орбиту, двигаясь по кото-
которой, она снова вернется к черной дыре, снова излучит в периастре и тд.,
пока не упадет в нее. С учетом этой возможности сечение захвата для части-
частицы масс т, имеющей скорость и», на бесконечности, дается следующей
приближенной формулой:
2 2/7
Bдг) г.2, х>26, B.10.1)
<в
с т
где х-— . При х ^.2 сечение совпадает с B.9.1) для нерелятивист-
vL M
с кой частицы.
После первого облета черной дыры на расстоянии г± в периастре частица
удаляется на максимальное расстояние (апоастр), определяемое прибли-
приближенной формулой
'max~-f "Г ГТ BЛ0)
т lrg \
Для малых г1 при последующих облетах /тах быстро уменьшается. В
конце концов частица падает в черную дыру.
Рассмотрим теперь влияние гравитационного излучения на круговое
движение частицы. Если частица движется при r>rg, в результате излуче-
излучения радиус орбиты постепенно уменьшается по следующему закону [Лан-
[Ландау , Лифшиц A973 *) ]:
dr 8 / т\/гЛ3
_ = с —)(-?) . B.10.3)
dt 5 \М 1\г )
Так продолжается до последней устойчивой круговой орбиты с г = 3rg.
На этой орбите энергия связи ?"«=0,057 тс2 (см. с. 33). Она высвечивается
в течение всего предыдущего движения. За один оборот на критической
окружности г =3rg высвечивается примерно Д?"«0,1 тс2(т/М) . Затем
частица переходит на спиральную орбиту падения к дыре, совершая еще
* (Af/wI' оборотов вокруг нее. Количество излученной при этом энергии
много меньше излученной ранее (до достижения г = 3rg) .
*) Сам процесс излучения в теории сильного поля черной дыры рассмотрен в
следующей главе.
36

ГЛАВА 3
ВОЛНОВЫЕ ПОЛЯ ВОКРУГ СФЕРИЧЕСКОЙ ЧЕРНОЙ ДЫРЫ
§ 3.1. Слабые поля в метрике Шварцшильда
В этой главе мы опишем эволюцию физических полей во внешнем поле
сферической черной дыры. Зная эту эволюцию, можно с успехом изучать
различного рода процессы, связанные с черными дырами. К таким про-
процессам относятся, например, излучение гравитационных, электромагнитных
и других волн частицами, падающими в черную дыру, несферический грави-
гравитационный коллапс при ее образовании, рассеяние ею падающих извне волн
разной природы и т.д.
Мы будем считать поля слабыми в том смысле, что их тензор энергии-
импульса слабо искажает метрику черной дыры, и будем пренебрегать этим
обратным влиянием на фоновую метрику.
Далее, мы остановимся здесь только на "классических" полях с нуле-
нулевой массой покоя и целочисленным спином (для других полей будет указа-
указана литература). Разумеется, следуя общему плану книги, в этой главе мы
рассматриваем только классическую теорию полей, оставляя обсуждение
квантовой теории до гл. 9, 10.
Мы приведем постановку задачи, укажем метод ее решения и физичес-
физические выводы. Полная математическая трактовка вопроса дана в книге Чанд-
расекара A983), физически ясное изложение основных положений - в
книге Мизнера, Торна, Уилера A973) и в обзоре Торна A972).
Особый интерес представляют гравитационные возмущения метрики
Шварцшильда, которые являются частным случаем рассматриваемых
здесь полей. Мы остановимся на них подробно в §§ 3.2 и 3.3. Изложение
физики этого вопроса особенно четко дано в обзоре Торна A976).
Рассмотрение поведения неклассических полей (нейтринного, пионного
и т.д.) читатель найдет в работах Хартля A971, 1972), Тетельбойма A972а,
Ь, с), Бекенштейна A972а, Ь), Детвилера A980), Сибгатуллина A984*),
Чандрасекара A979b, 1983).
В книге Сибгатуллина A984*), помимо эволюции нейтринных полей,
излагаются многие аспекты математической теории волновых процессов
вблизи черной дыры. Особое внимание уделяется электрически заряжен-
заряженным черным дырам, о чем мы будем говорить позже (см. гл. 8). В указан-
указанных работах имеется подробная библиография оригинальных статей.
Рассмотрим слабое поле нулевой массы покоя и с целочисленным
спином х во внешней метрике Шварцшильда. Для х = 2 .это слабые гравита-
гравитационные возмущения на фоне метрики.
Оказывается, для каждого поля можно найти полный набор калибро-
вочно-инвариантных динамических переменных - функций Ф^*, опре-
определенных во внешнем пространстве-времени черной дыры, таких, что
37

A) Ф^ и дФ^/dt могут быть произвольно заданы в начальный момент;
B) после задания A) эволюция Ф^^ полностью определяется одним
волновым уравнением;
C) известные Ф^^ позволяют вычислить все параметры исследуемого
поля путем применения кф'1' дифференциальных операторов и алгебраи-
алгебраических преобразований;
D) известен метод, по которому по заданным параметрам исследуемого
поля (в любой калибровке) можно найти Ф^ .
Знание Ф^^ эквивалентно знанию эволюции исследуемого поля. Таким
образом, задача сводится к нахождению Ф^ . Полное решение этой задачи
было получено в результате усилий многих физиков — см. Редже, Уилер
A957), Эдельстейн, Вишвешвара A970), Зерилли A970 а, Ь), Прайс
A972 а, Ь), Торн A972), Пресс, Бардин A971), Бардин, Пресс A973),
Монкриф A974 а), Чандрасекар, Детвилер A975 а). Современное изло-
изложение этого вопроса см. в книге Чандрасекара A983).
Общий путь решения состоит в следующем. Рассматриваемое поле
разлагается на сферические гармоники (для х = 0 это скалярные гармо-
гармоники, для s = 1 - векторные, для х = 2 - тензорные и т.д.). Каждая сфери-
сферическая гармоника характеризуется, в частности, номером мультиполя /. Для
монополя / = 0, для диполя / = • 1 и т.д. Мультиполи с / < х не эволюцио-
эволюционируют со временем, и мы будем рассматривать нетривиальные мультиполи
с / > х. Эти мультиполи носят название радиационных.
Прайс A972 а, Ь) показал, что для каждого радиационного мультиполя
любого поля со спином х существует скалярное поле Ф^ , зависящее
только от г и t, такое, что его дифференцированием и алгебраическими
операциями можно получить все компоненты исходного поля данной
мультипольности. Каждая такая скалярная функция Ф^*' удовлетворяет
уравнению [см. также C.2.1)]
^(ОФ(Д C.U)
где К/ (i^(r ) -эффективный потенциал, определяющий эволюцию поля
Этот эффективный потенциал зависит от / и х (и, конечно, также от г и М).
Для скалярного, векторного и тензорного полей соответственно
Несмотря на разную форму этих потенциалов, они не сильно отличаются
друг от друга, их асимптотики при г -*r g кг -*°° и другие свойства, опре-
определяющие эволюцию волновых полей, сходны. Поэтому эволюция радиа-
радиационных мультиполей полей с разными х также оказывается сходной.
Вследствие этого для многих задач достаточно рассмотреть поведение
какого-либо одного поля.
38

Как мы уже говорили, особый интерес представляет исследование
поведения гравитационных возмущений метрики Шварцшильда, являю-
являющих собой гравитационные волны, т.е. частный случай поля со спином
х=2.
Остановимся на этом случае более подробно.
§ 3.2. Гравитационные возмущения метрики Шварцшильда
Рассмотрим малые возмущения шварцшильдовской метрики, следуя
в основном анализу Торна A976).
В соответствии с общим Подходом, изложенным в § 3.1, произвольное
возмущение метрики может быть разложено по тензорным сферическим
гармоникам, характеризуемым числами /, т (где | т | </), а также чет-
четностью тг = (-1)' для "четных" и тг = (— 1)' + ' для "нечетных" возмущений.
Возмущение с / = 0 описывает изменение массы черной дыры. Возму-
Возмущение с / = 1 описывает добавление малого углового момента (враще-
(вращения черной дыры); мы остановимся на этом позже*). Оба эти типа воз-
возмущений не эволюционируют со временем.
Рассмотрим радиационные мультиполи с / > х. Для анализа удобно
ввести новую радиальную координату [Уилер A955)]
г. =r+rgln(r/rg-l). C.2.1)
При фиксированных / > 2, т, тг имеется единственная динамическая пе-
переменная Ф, зависящая только от г., t и / (индексы у Ф мы опуска-
опускаем) , которая в отсутствие источников поля удовлетворяет уравнению
Редже - Уилера A957) :
ЭФ „,
г—г = К<2>Ф, C.2.2)
brl c2dt2
где V' B' задается C.1.2с). Переменная г„ .меняется от — °° (когда
г -> Tg) до +°° (когда г ->«>). Потенциал VW, записанный в коорди-
координатах г,, обладает следующими свойствами: он заметно отличается от ну-
нуля только при rt в окрестности нуля (г ** 1,5rg)\ при г,->• ± <» он
быстро убывает. Таким образом, К<2) (г,) имеет характер потенциаль-
потенциального барьера. Поэтому уравнение C.2.2) описывает одномерное про-
прохождение волны через потенциальный барьер. Свойства решения этой за-
задачи хорошо известны. Волны с длиной, много меньшей ширины барье-
барьера (X^rg), свободно проходят сквозь него. Волны с X «г^ частично про-
проходят сквозь барьер, частично отражаются. Наконец, волны с X^rg пол-
полностью отражаются от барьера.
Для волны частоты со (частоты со, вообще говоря, комплексные, мнимая
часть описывает затухание или нарастание .амплитуды волны) зависимость
от времени определяется множителем eiu>t. Для каждого радиационного
мультиполя 1> 2 и некоторых специальных значений частот сосуществуют
решения уравнений C.2.2), в которых нет входящих волн ни с г, = -°°,
*) Мы не рассматриваем здесь нефизическое возмущение, связанное с малым
изменением положения черной дыры как целого в данной системе отсчета.
39

Таблица 1
/= 3
0,37367+0,08896/ 0,59945 + 0,09271/ 0,80918 + 0,09416/
" 0,34844 + 0,27469/ 0,58201+0,28116/ 0,79657 + 0,28439/
0,42629 + 0,37273 / 0,56010 + 0,42329 /
ни с г, = +°°. Это так называемые квазинормальные моды колебаний черной
дыры. Соответствующие частоты называются собственными частотами. На
существование таких решений было указано Чандрасекаром и Детвилером
A975а) . В этой же работе они нашли собственные частоты для нескольких
мультиполей, приведенные в табл. 1. (Эти частоты выражены в единицах
[GM/c3]~l = 2пC2312Ти)(М/Ме)~1.) Все перечисленные в таблице соб-
собственные частоты имеют положительные мнимые части. Это означает, что
колебания затухают с течением времени. Если со = а+ ai, то зависимость
от времени определяется в виде е1ш* = eiat~at и затухание амплитуды
колебаний при фиксированном г» записывается так:
амплитуда после одного колебания / 2тга\
=ехр( . C.2.3)
начальная амплитуда \ а I
Для самой медленно затухающей моды / =2 это отношение равно 0,22. За-
Затухающие Ф-волны собственных колебаний частично уходят на бесконеч-
бесконечность (г, = +<*), частично — в черную дыру (г, = —°°).
Как мы увидим далее, собственные колебания черной дыры интенсивно
возбуждаются падающими в нее телами, возникают при несимметричном
гравитационном коллапсе, образующем первоначально несимметричную
черную дыру, которая с течением времени приходит в равновесное симмет-
симметричное состояние (после осцилляции), и т.д.
Если в собственных частотах а > 0, то осцилляции затухают; если а < 0,
то они нарастают. Последнее означает неустойчивость в собственных часто-
частотах в линейном приближении.
В приведенной выше таблице все а > 0. Можно показать [см., например,
Торн A976)], что а > 0 для всех собственных частот. Однако это еще не
означает, что сферические черные дыры устойчивы (в линейном приближе-
приближении) , так как квазинормальные моды не образуют полного набора динами-
динамических переменных. Но оказывается, что стабильность (в линейном прибли-
приближении) сферической черной дыры может быть доказана для каждой муль-
типольной моды (т.е. для фиксированных /, гп, тг) возмущений с помощью
уравнений C.2.2) [Торн A976)]. Более того, можно показать [Торн A976),
Монкриф A974а, Ь), Уолд A979а, 1980), Чандрасекар A983)], что вся-
всякое малое возмущение гравитационного поля вокруг сферической черной
дыры с течением времени затухает. Гравитационные волны уносят это воз-
возмущение частично на бесконечность, частично — в черную дыру. Стабиль-
Стабильность черной дыры для любой моды возмущений означает ее полную ста-
стабильность (естественно, в линейном приближении).
Гравитационное излучение, возникающее при возмущении поля черной
дыры, например, при падении в нее тел или при образовании ее при слабо
несимметричном коллапсе, можно разделить (условно) на три компоненты:
40

1) излучение, идущее непосредственно от источника возмущений;
2) излучение, возникающее при затухающих колебаниях квазинормаль-
квазинормальных мод, возбужденных источником возмущений, - "звоновое" излучение;
3) так называемые "хвосты" излучений, которые вызваны рассеянием
гравитационнных волн на эффективном потенциале.
¦ После прохождения излучения от источника наблюдатель вдали от черной
дыры регистрирует "звоновое" излучение от квазинормальных мод коле-
колебаний черной дыры (эти моды испытывают экспоненциальное затухание) и
затем "хвосты" излучения. Последние затухают значительно медленнее —
уже по степенному закону. Такой закон и является асимптотикой прибли-
приближения черной дыры к равновесному состоянию. Ниже мы остановимся
на этом подробнее (см. § 3.4); здесь же отметим, что амплитуда "хвосто-
"хвостового" излучения ничтожна по сравнению с первыми двумя составляющими.
§ 3.3. Гравитационное излучение пробной частицы
в .поле черной дыры
Один из простейших видов возмущений — движение пробной частицы
с массой т<М в поле тяготения черной дыры. Во всех случаях мы будем
считать т/М настолько малым, что можно пренебречь обратным влиянием
излучения на движение частицы.
Рассмотрим сначала гравитационное излучение частицы, падающей в чер-
черную дыру по радиусу с параболической скоростью (и» = 0). На рис. 19 и 20
приведены результаты численных расчетов Девиса и др. A971, 1972);
см. также Петрич и др. A985).
0,03 -
Рис. 19. Спектр гравитационного излуче-
излучения частицы (усредненный по всем на-
направлениям) , падающей радиально в чер-
черную дыру с и„> = 0 qqi
0,2
На рис. 19 изображен спектр гравитационного излучения, усредненного
по всем направлениям, измеряемый удаленным наблюдателем. Полное
количество излученной энергии составляет Д? = 0,01 тс2 (т/М).
Рис. 20 показывает поле гравитационной волны (поперечные компонен-
компоненты возмущений метрики) как функцию времени при фиксированном г.
На рисунке ясно видно, как всплеск излучения, прямо приходящего от
падающей частицы, постепенно переходит (в окрестности t = 0) в излуче-
излучение от квазинормальных мод колебаний (последующие затухающие осцил-
осцилляции на графике). "Хвосты" излучения (которые должны доминировать
при ?-><*) имеют слишком малую амплитуду и не могли быть получены
в данном численном расчете.

Рис. 20. Форма волны для / = 2 i-равитационного излучения радиалыю падающей
частицы с и „о = 0: направление в = 0 совпадает с траекторией частицы [по данным
Петрич и др. A985) |. Здесь и на другах аналогичных рисунках знак h зависит от оп-
определения, может определяться разными авторами по-разному и непринципиален
/
«Г*
Iff
W
0,2 Ofi 0,6 0,6 I 1,2 e(GM\
Vc3/
Рис. 21. Спектр полного гравитационного излучения частицы с и», = 0 и L = 1,75 для
разных мод
Хотя нельзя строго отделить излучение, прямо приходящее от источника,
от "звонового" излучения, но по виду осцилляции эта граница лежит в
районе t * 0. Можно констатировать, что основная доля энергии, излучае-
излучаемой в результате падения частицы, приходится на "звоновое" излучение
квазинормальных мод.
42

Рассмотрим теперь падение частицы, обладающей удельным угловым
моментом L и параболической скоростью [Детвилер, Сзедениц A979),
Оохара и Накамура A983а, Ь)]. На рис. 21 показан энергетический спектр
полного излучения для L = 1,75, а на рис. 22 — зависимость полной излу-
излученной энергии АЕ и углового момента Д? от L. Напомним, что когда
I -> 2, геодезическая орбита совершает много оборотов вокруг черной ды-
дыры, что и приводит к увеличению высвеченной энергии и углового момента.
Для L > 2 высвеченная энергия и угловой момент вновь уменьшаются,час-
уменьшаются,частица уже не захватывается черной дырой, а вновь уходит на бесконечность
(см. гл. 2)., Чем больше L, тем дальше пролетает частица от окружности
г = 7rg (см. рис. 17).
Необходимо подчеркнуть следующий факт, отмечавшийся в цитирован-
цитированных выше работах. Если частица падает в черную дыру, то возбуждаются
Рис. 22. Полные излученные энергия АИ
и угловой момент AL частицы с и„ = О
Рис. 23. Форма волны гравитационного
излучения частицы с и«, = О и Л >2
для наблюдателя в плоскости орбиты
в = я/2 и в направлении периастра ее
траектории </> = 0: a) L - 2,005; в) L = 2,5.
"Звоновое"' излучение отсутствует
10'
10-
10-
10
to-
toП-2
1080
43

иг
to-'
0.2
0,4
0.6
0.8
Рис. 24. Спектр излучения частицы с L = 2,005 и и», = 0
квазинормальные моды колебаний и основная энергия излучения содер-
содержится именно в "звоновом" излучении, связанном с этими колебания-
колебаниями. Если же частица не захватывается черной дырой, а вновь уходит
на бесконечность (рассеивается черной дырой) и при этом не имеет
большой энергии на бесконечности (не является релятивистской; см. об
этом далее), то квазинормальные моды колебаний черной дыры не
возбуждаются.
Это ясно видно на рис. 23а и особенно 23Ь, где возмущения гравитацион-
гравитационного поля в волне выглядят совершенно симметрично и нет ничего подоб-
подобного экспоненциально затухающим модам "звонового" излучения, ясно
видимым на рис. 20. Об этом же свидетельствует и спектр излучения,
показанный на рис. 24, для каждой из гармоник /. В случае возбуждения
квазинормальных мод максимум спектра каждой из них определяется в
значительной степени собственной частотой моды и не зависит от L. В слу-
случае рассеяния (L > 2) положение максимума каждой моды зависит от L.
Положение максимума всего излучения определяется удвоенной угловой
частотой движения частицы в периастре. Все это и означает, что "звонового"
излучения практически нет.
Физическое объяснение отсутствия "звонового" излучения в случае
рассеяния частицы черной дырой состоит в следующем. Периастр. орбиты
рассеиваемой частицы лежит вне потенциального барьера (который, напом-
напомним, находится при г = \,5rg), поскольку г > 2rg. Поэтому возмущения
от самой частицы не возбуждают этих мод. Гравитационное же излучение
таких частиц имеет длину волны X > rg и поэтому (см. § 3.2) отражается
44

от потенциального барьера, не проникает ближе к черной дыре и также не
возбуждает квазинормальные моды.
Поэтому для расчета гравитационного излучения рассеиваемых частиц
очень хорошим приближением служит стандартная формула [Ландау,
Лифшиц A973*)], которая справедлива для движений частиц с v < с в
плоском пространстве и не учитывает квазинормальные моды.
Излучение гравитационных волн при падении частицы обладает угловой
асимметрией. Волны уносят часть импульса системы. На рис. 25 показан
график зависимости излученного импульса от углового момента падающей
частицы, а на рис. 26 — угол Ф между направлением приходящей из беско-
бесконечности траектории и направлением полного импульса, излученного грави-
гравитационными волнами, как функция L.
Наконец, рассмотрим гравитационное излучение, возникающее в резуль-
результате рассеяния черной дырой ультрарелятивистской частицы (и» порядка с).
10'
/0-J
О I i 2 0 0,5 1 1,5 I
Рис. 25. Излучение импульса Л.Р при падении частицы с vx = 0 как функция L
Рис. 26. Зависимость угла Ф от L(см. текст)
-50
50
Рис. 27. Форма волны гравитационного излучения при 0 = тг/2 и <р = 0 частицы с A -
и1о/с2)-1/2 = 2иГ =6,25
45

Как показано в работе Оохары A983), в таком случае квазинормальные
моды колебаний черной дыры возбуждаются. Этому способствуют два об-
обстоятельства.
Во-первых, периастр движения таких частиц может лежать ближе к чер-
черной дыре, чем в случае рассеяния с у» = 0 (см. гл. 2). Он может даже
оказаться ближе к ней, чем максимум потенциального барьера. Тогда иду-
идущая внутрь волна будет возбуждать колебания на собственных частотах.
Во-вторых, ультрарелятивистская частица излучает гравитационные вол-
волны на частотах, существенно больших, чем частота ее движения в периаст-
ре [эффект гравитационного синхротронного излучения - см., например,
Дорошкевич и др. A972*), Руффини A973), Хржановский, Мизнер
A974), Тернов и др. A975*)]. Волны высокой частоты с X < rg могут
проникать через барьер и возбуждать колебания квазинормальных мод.
В качестве примера на рис. 27 из работы Оохары A983) пока-
показаны возмущения метрики в гравитационной волне для частицы с
A — и»/с2) ~ = 2 и L = 6,25. В правой части графика ясно видно "зво-
новое" излучение от квазинормальных мод, затухающее по экспоненте.
В заключение дадим ссылку на работы Шапиро и Вассермана A982)
и Петрич и др. A985), в которых рассматривается излучение от протяжен-
протяженных источников, падающих на невращающуюся черную дыру.
§ 3.4. Степенные "хвосты" гравитационного излучения
Рассмотрим теперь асимптотику приближения возмущенного поля чер-
черной дыры к невозбужденному состоянию при t -» °° [Прайс A972а,Ь),
Торн A972)].
Эта асимптотика определяется следующими процессами. Пусть к границе
черной дыры падает источник возмущений. Это может быть, например,
частица, падающая в черную дыру, или "рябь" на поверхности сжимающего-
сжимающегося шара при формировании черной дыры.
Для исследования возмущений мы по-прежнему пользуемся техникой,
описанной в § 3.2. Наша задача сводится к анализу асимптотики поведения
функции Ф при больших временах Г -¦«>, Источник возмущений прибли-
приближается к границе черной дыры [к г, = -°°; см. C.2.1)] со скоростью,
стремящейся к с (см. гл. 2). Это значит, что для наблюдателя, покоящегося
в системе отсчета Шварцшильда, все процессы на источнике возмущений
должны "застывать" при t -* °°, подобно застыванию их на поверхности
коллапсирующей звезды (см. гл. 2). К константе должно стремиться на
источнике и поле Ф. Можно показать, что это застывание происходит по за-
закону (для любого /-го мультиполя)
<bi = Qo+Qi exp(— ), C.4.1)
где Qo и Qx - константы. Затухающая часть имеет характерное время
изменения порядка rg/c. Поэтому волны Ф/ этой частоты будут частично
отражаться от потенциального барьера и идти вновь к черной дыре
(к г» = —°°), а частично проходить сквозь барьер и уходить на бесконеч-
бесконечность (г, = оо). Постоянная1 же часть (Qo) порождает возмущение бесконеч-
46

ной длины волны, которая полностью отражается барьером и не выходит
к внешнему наблюдателю. Следовательно, к нему будут приходить непос-
непосредственно от источника возмущения только экспоненциально затухающие
волны. Однако затухание всего излучения не будет экспоненциальным, так
как оно связано с рассеянием первичных волн на "хвостах" потенциального
барьера (т.е. на кривизне пространства). Прежде чем выяснять детально,
к чему это ведет, рассмотрим подробнее прохождение волн через потен-
потенциальный барьер [Торн A972)].
Пусть волна идет от дыры наружу (от г, = —«> к г, = оо). Разложим
Ф/ (Г, г.) в интеграл Фурье:
Ф,(Г,г.)= f A(k)R'k(r.)e-ik1dk. C.4.2)
оо
Часть этой волны отражается, а часть проходит сквозь барьер. С помощью
уравнений C.2.2) и C.1.2) можно показать, что общее решение для такой
волны имеет следующий асимптотический вид для R'k:
R'k=e'kr* + 4Л'> e~ikr* при г. ->—, C.4.3)
екг* при г. - оо, C.4.4)
где г?Л^ - коэффициент отражения, 7*Л* - коэффициент прохождения
волны, идущей направо, т.е. от г» = —оо к г. = °° (индекс (Л)). Для малых
\к\< \\rg вид коэффициентов следующий:
Г<Л) = -1 + argik, C.4.5)
rf) = _i (г,/*У+1. C.4.6)
к B/-1)!! *
Здесь а и /3 - константы порядка единицы. При к -*¦ 0 волны испытывают
полное отражение.
Для волн, распространяющихся налево (от г» = °° к г, =—оо,индекс (?)),
можно получить аналогичное решение с коэффициентами
C-4.7)
riL) = 5(V*)'+1; C.4.8)
у и 6 - константы порядка единицы. При к -*¦ 0 - снова полное отражение
от барьера.
Вернемся теперь к закону затухания волн при t -*°°. Рассмотрим область
г > 1,5 rg) т.е. вне потенциального барьера. Волны Ф от источника, частично
прошедшие через барьер, испытывают рассеяние назад на "хвосте" потен-
потенциала при r,<rg. Эти волны доходят до г, «0, вновь отражаются от потен-
потенциального барьера и интерферируют с идущими назад волнами. Рассеяние
назад и интерференция и определяют закон затухания. Он оказывается
следующим:
2) C.4.9)
47

В область rg < г < 1,5 г g также проникают волны, рассеянные на "хвос-
"хвосте" потенциала. В результате затухание в этой области определяется той же
формулой C.4.9).
Итак, асимптотика затухания радиационных мультиполей возмущений
/ > 2 гравитационного поля черной дыры при t -* °° определяется форму-
формулой C.4.9). Напомним, что возмущение поля с/ = 1 (соответствующее мо-
моменту импульса) не изменяется вообще (это нерадиационная мода). Все
остальные мультиполи возмущений (т.е. с / > 2) полностью исчезают
при t-*<*>.
Таким образом, при коллапсе слегка несимметричного тела без враще-
вращения возникает сначала слегка возмущенная черная дыра (со слегка возму-
возмущенной границей и возмущенным внешним полем), но эти возмущения
все излучаются (частично наружу, частично внутрь черной дыры) и при
t ->.oo черная дыра в точности описывается метрикой Шварцшильда.
Этот же вывод справедлив и для полей со спином, отличным от двух.
Все радиационные мультиполи таких полей (/ > х) также излучаются и
асимптотика их затухания определяется той же формулой C.4.9). Прайс
сформулировал этот вывод следующим образом: "Все, что может излу-
излучиться, излучается полностью".
Заметим в заключение, что вывод о неизбежности излучения радиацион-
радиационных модполясх =1 (электромагнитного) был получен Гинзбургом A964*),
Гинзбургом и Озерным A964*), а для поля с s = 2 (гравитационного)
Дорошкевичем и др. A965*), Новиковым A969*).
§ 3.S. Сечение рассеяния волн черной дырой
Рассмотрим процесс рассеяния черной дырой приходящих из беско-
бесконечности плоских волн [Хандлер, Метцнер A980)].
Напомним, что процесс рассеяния описывается так называемым диффе-
дифференциальным сечением рассеяния. Например, в классической задаче рассея-
рассеяния пучка параллельных лучей в приближении геометрической оптики
Рис. 28. Траектории лучей с прицель-
прицельными параметрами, близкими к 6gi
("глория "-интерференция)
дифференциальное сечение рассеяния ^определяется следующим образом:
db
dU, C.5.1)
где Ъ = Ь(в) - прицельный параметр луча, отклоняющегося в поле рассеи-
рассеивающего центра на угол в от направления падающего пучка, d?l — эле-
элемент телесного угла (d?l = 2эт sin0 dd).
48

-2 ¦/
Рис. 29. Дифференциальное сечение
рассеяния гравитационного излуче-
излучения невращающейся черной дырой
для различных частот со
В случае черной дыры и в пре-
пределе геометрической оптики за-
зависимость Ъ = Ь @) определяется
уравнениями B.8.6)—B.8.7); в
этом случае вычисление da три-
тривиально. Специальный интерес
представляет волновая задача,
где важен учет интерференции
рассеянных волн и поглощения
части волн черной дырой. Задача
эта решается разложением падаю-
падающих волн по сферическим гармо-
гармоникам с последующим анализом
рассеяния каждой из них на по-
потенциальном барьере (см. §3.1)
и суммированием результатов.
Следуя упомянутой работе
Хандлера, Метцера A980), прежде всего посмотрим, каких качествен-
качественных особенностей следует ожидать в поведении дифференциального се-
сечения.
Первая особенность носит очевидный характер и связана с рассеянием
вперед @ * 0). Когда волны рассеиваются на малый угол, это соответству-
соответствует в полуклассическом приближении прохождению волны на большом рас-
расстоянии от дыры (большие Ъ или большие / в разложении по сферическим
гармоникам), и поэтому рассеяние происходит на кулоновском потенциа-
потенциале. Отклонение луча в этом случае 0 ~ \jb. Подставляя эту зависимость
в C.5.1),получаем
da/du ~ 1/04.
Другие особенности связаны с существованием в поле Шварцшильда кру-
круговой орбиты для безмассовых частиц и с возникновением специфических
условий для интерференции волн при рассеянии на углы, близкие к 0 = я.
Особенно важен и интересен последний случай - явление рассеяния назад,
получившее название "глория" (сияние). Для шварцшильдовской черной
дыры это явление проанализировано Метцнером и др. A985). Суть его
состоит в следующем.
На рис. 28 сплошной линией изображен луч, отклоняющийся точно на
угол в = п. Соответствующий прицельный параметр — прицельный параметр
"глории" bgi — для черной дыры массы М равен
bgi^S^SM. C.5.2)
Здесь обозначено М = GM/c2. Также на этом рисунке изображены
лучи с Ь, мало отличающимися от Ъг\, огибающие черную дыру с противопо-
противоположных сторон и распространяющиеся после рассеяния параллельно друг
4.и.д. Новиков
49

другу в направлении, близком к в = я. В этом случае разность хода лучей
мала, возникает разность фаз, ведущая к интерференции.
Метцнер и др. A985) решили задачу "глория"-рассеяния, используя
обобщенное ВКБ-приближение. Их результат справедлив при М сое > 1
(со — частота волны) и \в — я | ^ 1. Для этих условий имеем
da
dSl
db
dd
C.5.3)
Здесь X — длина волны, s — ее спин, J2s - функция Бесселя порядка Ъ.
~ db
Подставляя в C.5.3) численные значения bgi «5,35М, —
получаем
da _,
« 8,58пиМ3с-1&E,35ыМс-1 sinfl). C.5.4)
Если условия Мшс'1 > 1 и |0 - я|<^1 не выполняются, то сечение рас-
рассеяния не выражается в виде простой формулы и находится численным ме-
методом. На рис. 29 приведены результаты расчетов Хандлера,Метцнера A980)
для рассеяния гравитационных волн (х = 2) сМсос = 0,75; 1,5 и 2,5. На
всех кривых видна особенность do/d&,~ в'4 при рассеянии вперед @ « 0).
Для Мсос =2,5 уже ясно видна интерференционная картина "гло-
рия"-рассеяния назад @ « я). Сравнение результатов численного счета с
формулой C.5.4) для Мшс~1 = 2,5 показывает хорошее согласие в положе-
положении и ширине ближайшего к 0 = я "глория"-максимума. С увеличением
частоты со минимумы кривых при рассеянии точно назад становятся все
более глубокими. Это связано с увеличением поглощения волн для ма-
малых / (что соответствует малым Ь) с увеличением частоты. В пределе
со -> °° рассеяние гравитационных волн (и вообще любых волн с s Ф 0) точ-
точно назад дает da/du = 0.
Полные сечения поглощения для шМс~1 =0,75; 1,5 и 2,5 равны соот-
соответственно 72,4М2; 83,36Л/2 и83,61Л/2. Напомним, что для со-»°° сече-
сечение поглощения составляет 27яЛ/2 «84,81 Л/2.
О зависимости сечения рассеяния волн на шварцшильдовской черной
дыре от их частоты см. также Санчес A976, 1977, 1978а, Ь).

ГЛАВА 4
ВРАЩАЮЩАЯСЯ ЧЕРНАЯ ДЫРА
§ 4.1. Возникновение вращающейся черной дыры
В предыдущих главах было показано, что при коллапсе сферической
массы без вращения возникает сферическая черная дыра, когда радиус тела
становится меньше гравитационного радиуса. Если коллапсирует тело с
малым отклонением от сферической симметрии, то, как было показано в
§ 3.4, при образовании черной дыры все отклонения от сферической сим-
симметрии быстро исчезают, за исключением отклонений, связанных с наличи-
наличием малого углового момента/. Угловой момент остается в ходе коллапса
практически неизменным. Если коллапсирующее тело обладало электри-
электрическим зарядом, то неизменным остается и общий заряд, и связанное с ним
электрическое поле, все же другие компоненты электромагнитного поля
во внешнем пространстве также быстро исчезают.
Что будет при коллапсе тела с уже не малыми отклонениями от сфери-
сферической симметрии и значительными угловым моментом и электромагнит-
электромагнитным полем? Будет ли при этом образовываться черная дыра? А если будет,
то каковы ее свойства?
В дальнейших главах мы покажем, что при сжатии произвольной вра-
вращающейся массы с электромагнитным полем до достаточно малых разме-
размеров возникает черная дыра, причем все свойства этой черной дыры и ее
внешнего гравитационного и электромагнитного полей полностью опре-
определяются тремя параметрами: массой М, угловым моментом / и электри-
электрическим зарядом Q*). Остальные свойства коллапсирующей массы, напри-
например ее состав, несимметрия распределения вещества и электрического заря-
заряда, наличие и особенности магнитного поля и т.д., не сказываются на свойст-
свойствах возникающей черной дыры.
Качественно этот вывод понятен из анализа поведения малых возмуще-
возмущений при образовании сферической черной дыры (§ 3.4). Радиационные
мультиполи всех полей быстро исчезают. Остаются только нерадиационные
моды. Именно они определяются указанными тремя параметрами М, J ,Q .
Никакие другие "классические" физические поля с другими (нерадиацион-
(нерадиационными) модами физике неизвестны. В ходе гравитационного коллапса с
сильными отклонениями от симметрии возникающее гравитационное излу-
излучение уносит часть энергии и углового момента коллапсирующей массы.
Поэтому М и / у черной дыры будут несколько меньшими, чем у тела до
его коллапса (мы это обсудим в дальнейшем). Обнаружить подобное
*) Как мы увидим в дальнейшем, для образования черной дыры должно выпол-
выполняться неравенство Мг > J*/M* + Q* (система единиц выбрана так, что G = с = 1).
4* 51

уменьшение при анализе малых возмущений было невозможно, так как
мы пренебрегали обратным влиянием возмущений на метрику. В астро-
астрофизике общий электрический заряд тела можно обычно считать малым и
не учитывать. Поэтому мы в первую очередь рассмотрим случай, когда
заряд Q равен нулю. Случай отличного от нуля заряда рассмотрен в § 4.8.
Каково же гравитационное поле черной дыры при наличии углового
момента J1 В § 6.4 будет доказано, что это поле описывается стационарным
осесимметричным решением уравнений Эйнштейна, найденным Керром
A963). Мы начнем с описания физических свойств внешнего пространства
вращающейся черной дыры.
§ 4.2.  + 1 "-расщепление пространства-времени
вне черной дыры
Во второй главе исследовались внешнее поле невращаюшейся черной
дыры (поле Шварцшильда) и особенности движения частиц в нем. При
этом использовалась система отсчета Шварцшильда. Она статична, не зависит
от времени и однозначно определена для каждой черной дыры *). Ее можно
представить в виде решетки, "сваренной" из невесомых твердых стержней.
Движение частиц определялось по отношению к такой решетке. При этом
в качестве временной переменной мы использовали время t наблюдателя
на бесконечности. Правда, в каждой точке нашей решетки темп течения
физического (собственного) времени т не совпадал с темпом течения t
(время вблизи черной дыры течет медленнее), но такая "параметризация"
по t была очень удобна. В частности, условие t = const означало одновре-
одновременность во всей нашей системе отсчета.
В некотором смысле решетка системы отсчета Шварцшильда напоминает
абсолютное ньютоновское пространство, в котором движутся тела, а ( -
абсолютное ньютоновское время, используемое в уравнениях движения.
Конечно, есть существенные отличия. Наше "абсолютное" пространство
искривлено (особенно сильно вблизи черной дыры), а "время" t не есть
физическое время.
Использование именно такой системы отсчета не только удобно для ма-
математических выкладок при решении, скажем, уравнений движения, но и
обладает большой наглядностью. Мы используем привычные нам понятия
ньютоновской физики ("абсолютное" жесткое пространство как неизмен-
неизменная сцена, на которой развертываются события, единое время), что помо-
помогает работе нашей интуиции. И хотя система Шварцшильда обладает особен-
особенностью на гgt мы используем для пространства-времени вне черной дыры
именно ее, а не, допустим, систему Леметра, которая не имеет особенности
при приближении к rg, но которая везде деформируется.
Разумеется, выбор жесткой системы был возможен только потому, что
пространство-время вне черной дыры статично. В общем случае в перемен-
переменном гравитационном поле такой выбор невозможен, пространственная сет-
сетка будет деформироваться с течением времени.
*) На больших расстояниях от черной дыры эта система отсчета переходит в лорен-
цеву, в которой черная дыра покоится.
52

В случае метрики Керра, вращающейся черной дыры, пространство-вре-
пространство-время вне ее стационарно и возможен выбор неизменной во времени системы
координат, асимптотически переходящей в лоренцеву систему на бесконеч-
бесконечности. Такой системой координат являются координаты Бойера - Линд-
квиста A967). Запишем метрику Керра в этих координатах:
рА , , ^sin20 / laGMr \2 р2
ds2=- c2dt2 + 7— [d<p-—-r- dt) + dr2+p2dd2,
V Л ' А
P2A
A
a2
+
c2
cos
c2
dt
2в
D.2.1)
где
22 2GMr
+
с2 с2
D.2.2)
а - удельный момент импульса (а = J/M), М - масса черной дыры. В даль-
дальнейшем мы будем пользоваться системой единиц, в которой с = G= 1.
Физический смысл, по-видимому, имеют решения М2 > а2 (см. сноску
на с. 51).
Свойства внешнего по отношению к черной дыре 3-мерного пространства
t - const в метрике D.2.1) не меняются с течением времени. Это значит,
что существует векторное поле Киллинга (см. Приложение),направленное
по линиям времени t, сдвигая пространственное сечение вдоль которого,
мы переходим от одного сечения к точно такому же другому. Таким обра-
образом, в пространстве можно "нарисовать" сетку, которая остается неизмен-
неизменной при переходе от одного сечения к другому вдоль векторного поля
Киллинга*). Переменная t - время наблюдателя на бесконечности - может
служить единым "временем", нумерующим пространственное сечение, как
это было в случае пространства-времени Шварцшильда.
Однако имеются существенные различия.
1) В случае поля Шварцшильда, чтобы перейти от одного 3-мерного сече-
сечения к другому с неизменной координатной сеткой, сдвиг делался вдоль
временных линий, перпендикулярных пространственному сечению. В поле
Керра это не так, и векторное поле Киллинга наклонено к сечению t =
= const, причем для разных г а в -наклон разный.
2) В точках, близких к границе черной дыры (см. с. 56), вектор Кил-
Киллинга, осуществляющий переход от сечения к сечению, становится прост-
ранственноподобным. Это значит, что в таких областях трехмерную жест-
*) Векторное поле Киллинга мы выбрали так, что вдали от черной дыры (на беско-
бесконечности) вектор Киллинга направлен вдоль линий времени лоренцевой координат-
координатной системы, в которую переходит система D.2.1). Эта оговорка необходима потому,
что, помимо свойства стационарности, метрика D.2.1) обладает еще свойством ак-
аксиальной симметрии (не зависит от угла ip). Поэтому имеется еще векторное поле
Киллинга, связанное с неизменностью пространства при повороте вокруг оси симмет-
симметрии. Линейная комбинация двух векторов Киллинга всегда есть снова вектор Киллин-
Киллинга (т.е. в данном случае можно комбинировать перенос сечения во времени с поворо-
поворотом вокруг пространственной оси). Мы выделяем такой вектор Киллинга, который
соответствует отсутствию какого-либо поворота пространственной сетки вокруг оси
симметрии на больших расстояниях от черной дыры (/•-*<»).
53

кую сетку нельзя осуществить материальными телами ("сварить" из
прутьев). Такая сетка вблизи черной дыры двигалась бы по отношению к
любому наблюдателю (с времениподобной мировой линией) со скоростью
больше световой.
Несмотря на указанные особенности, мы по-прежнему можем представ-
представлять наши пространственные сечения t = const как "абсолютное" жесткое
пространство (напоминающее ньютоновское), а переменную t - как единое
во всем "пространстве" "время" (при этом, естественно, необходимо пом-
помнить все сделанные выше оговорки).
В ОТО в произвольном гравитационном поле подобное разбиение прост-
пространства-времени на семейство 3-мерных пространственных сечений (вообще
говоря, с меняющейся от сечения к сечению геометрией) и единое "время",
нумерующее эти сечения, называют  + Г'-расщеплением пространства-вре-
пространства-времени*) , или кинеметрическим методом [Владимиров A982*)]. Этот метод
особенно удобен, когда все пространственные сечения идентичны, и можно
рассматривать движения частиц, электромагнитные процессы и др., проис-
происходящие на этой неизменной "сцене" в едином "времени" t. Как уже отме-
отмечалось, в этом случае наши "наглядные" представления о пространстве и
времени из повседневного опыта помогают нашей интуиции.
Мы будем использовать кинеметрический метод при изучении процессов
вокруг стационарных черных дыр. В качестве пространственных сечений
выбираются сечения t = const в системе D.2.1); t - временная координата.
4.3. Хронометрическая система отсчета и система отсчета
локально неврешающихся наблюдателей
Рассмотрим прежде всего геометрические свойства нашего "абсолютно-
"абсолютного" пространства. Они описываются трехмерной метрикой, получающейся
из D.2.1), если положить dt = 0. В этом трехмерном "абсолютном" прост-
пространстве в фиксированный момент единого "времени" t = const можно рас-
рассматривать распределение трехмерных векторных полей, вычислять, напри-
например, трехмерную дивергенцию векторного поля А и т.д. Изменение вектора
А со "временем" t в фиксированной точке "абсолютного" пространства
дается производной ЪА/bt.
Рассмотрим теперь систему отсчета наблюдателей, которые покоятся в
"абсолютном" пространстве t = const, т.е. неподвижно "сидят" на нашей
жесткой, недеформирующейся решетке. Эту систему называют хронометри-
хронометрической [Владимиров A982*)], лагранжевой [Торн, Макдональд A982) и
Макдональд, Торн A982)] или киллинговой. Посмотрим, какие силы,
вызванные наличием вращающейся черной дыры, действуют в этой системе.
Трехмерные компоненты вектора ускорения F,- в координатах г, в, <р
[ускорение "свободного падения"; см. (П.61)] определяются выражения-
*) Существует другой способ  + 1 "-расщепления, когда первоначально выбирают
ие 3-мерные сечения, а конгруэнцию времениподобных линий. Такой метод получил
название хронометрического [Зельманов A956*)].
54

ми [Владимиров A982*)]
М(р2 -2r2) ~ Mra2sin20
Все величины в данной хронометрической системе отсчета мы будем обо-
обозначать с тильдой, чтобы не путать с величинами, используемыми в даль-
дальнейшем.
Физические компоненты ускорения суть *)
М(р2 - 2г2)\/Д ~ Mra2 sin 20
г р3(р2-2Мг) •' в р3(р2-2Мг)' * '
Система отсчета наших наблюдателей жесткая, в ней тензор скоростей де-
деформации [см (П.60)] равен нулю:
Dik = 0. D.3.3)
Тензор угловой скорости вращения (П.59) есть
~ _ Ма(р2 -2r2) sin2в ~ _ Mrasin28
Ar* = ~ p{p2-2Mr?» ' Ав* = ~ р(р2-2МгУ'> ' Агв^34)
Отличие тензора Atk от нуля означает, что гироскопы, покоящиеся в нашей
системе отсчета, прецессируют относительно нее, а значит, и относительно
далеких объектов, так как наша жесткая система вдали переходит в лорен-
цеву. Тензор А{к пропорционален удельному угловому моменту черной
дыры и отражает наличие "вихревого" гравитационного поля, вызванного
ее вращением.
Подчеркнем следующее важное отличие внешнего поля черной дыры с
вращением от случая без вращения.
Если черная дыра не вращается, условие t = const означает физическую
одновременность во всем внешнем пространстве для наблюдателей, в нем
покоящихся (относительно жесткой системы отсчета). В случае вращаю-
вращающейся черной дыры наличие компоненты goj в жесткой системе отсчета
не позволяет, как известно [см. Ландау, Лифшиц A973*)], ввести в ней
понятие одновременности. Обычно о событиях, для которых t одинаково,
говорят как об одновременных по времени далекого наблюдателя. Но это
вовсе не означает физической одновременности, определяемой синхрони-
синхронизацией часов путем посылки и приема световых сигналов.
Примечательно, что компоненты Fr,Fe,u компоненты Aik, и вычислен-
вычисленная с их помощью угловая скорость прецессии гироскопа J2np [см. (П.62) ]
обращаются в бесконечность1, а компонента gOo в D.2.1) (определяющая
темп течения времени) обращается в нуль при
р2 -2Mr = r2 +a2cos2d -2Mr = 0 D.3.5)
*) Ff - компоненты вектора ускорения, непосредственно измеряемые наблюдате-
наблюдателем, покоящимся в данной системе отсчета. В формуле D.3.2) они даны в локальной
декартовой системе координат с осями вдоль направлений г, в, у.
55

или при г = г 1, где Г\ определяется соотношением
/-, =М + у/~М2 -a2cos2e. D.3.6)
Указанные свойства означают, что в этом месте в системе отсчета имеется
физическая особенность, и продолжить систему отсчета ближе к черной
дыре нельзя, т.е. невозможно, чтобы наблюдатели покоились относительно
нашей сетки*). Причина этого формально та же, что и в поле Шварцшильда
на г = rg: мировая линия наблюдателя г = const, в = const, <р = const перес-
перестает быть времениподобной, что видно из смены знака goo при г <.гх.
Однако имеется существенная разница по сравнению с полем Шварцшильда.
В невращающейся черной дыре при г < г g, чтобы получить мировую ли-
линию, лежащую внутри1 светового конуса, достаточно было сделать преобра-
преобразование
dr=dr+Ai<Jt. D.3.7)
Тогда при подходящем выборе/li =АХ (г) линия r= const, <# = const ,6 = const
будет времениподобна. Это означает, что при г <rg тела обязаны двигаться
по радиусу к центру, a rg - граница изолированной черной дыры.
В случае вращающейся черной дыры при г <Г\ [мы считаем Д>0;
см. D.2.1)] преобразование вида D.3.7) не позволяет получить времени-
подобную мировую линию. Однако преобразование вида
dy = d$-uldt D.3.8)
позволяет это сделать (Qi зависит от г и в). Этот факт означает, что при
/•<>! и А>0 все тела обязаны участвовать во вращении вокруг черной
дыры (в сторону, определяемую знакома; см. далее) относительно жест-
жесткой координатной сетки, простирающейся до бесконечности. Что же каса-
касается движения по радиусу г, то в области г < г х, А > 0 тела могут двигать-
двигаться как с уменьшением, так и с увеличением г.
Таким образом, предел статичности гх в случае вращающейся дыры
имеет совсем другую природу, чем в поле Шварцшильда. Здесь тела неиз-
неизбежно вовлекаются во вращение, но гх — не горизонт событий, так как из
этой области можно выйти наружу. Горизонт событий в метрике D.2.1)
находится при А = 0, т.е. при г = г +, где
г+ = М + s/M2 -a2. D.3.9)
Областьг+<г <Гх называют эргосферой.
Таким образом, жесткая статическая (неподвижная по отношению к
далекому наблюдателю) система отсчета из материальных тел не прости-
простирается до /•+. Предел статичности расположен вне горизонта и совпадает с
ним на полюсе (рис. 30). Важной особенностью статической системы отсче-
отсчета является, как сказано выше, прецессия в ней гироскопов. Наша система
в каждой своей точке вращается относительно местной лоренцевой систе-
системы. Разумеется, это отражает тот факт, что вращение черной дыры меняет
состояние движения локальных лоренцевых систем, увлекая их во вра-
вращение вокруг черной дыры. Качественно это явление давно известно а тео-
теории уже в случае слабого поля тяготеющего вращающегося тела [Тирринг,
Лензе A918)].
*) Саму координатную сетку, конечно, можно продолжить ближе к черной дыре, но
она уже неосуществима материальными телами.
S6

Введем теперь во внешнем поле вращающейся черной дыры систему отс-
отсчета, которая в указанном смысле не вращается относительно местной ло-
ренцевой системы. Эта система получила название системы отсчета локаль-
локально невращающихся наблюдателей. Конечно, такая система не может быть
уже жесткой. С этой целью проведем конгруэнцию мировых линий, всюду
ортогональных выбранным нами пространственным сечениям t = const.
Эти времениподобные линии по определению лишены кручения и образуют
искомую систему отсчета. Наблюдатели, покоящиеся в ней, называются
Рис. 30- Вращающаяся черная дыра:
/ - горизонт, 2 ~ эргосфера, 3 - пре-
предел статичности
локально невращающимися наблюдателями [иногда эту систему отсчета
также называют эйлеровой; см. Торн, Макдональд A982)]. Такие наблю-
наблюдатели движутся относительно сетки системы Бойера — Линдквиста, т.е.
движутся в "абсолютном" пространстве*). Это движение происходит при
постоянных г = const, в = const с постоянной (повремени) угловой ско-
скоростью по if. Если определять угловую скорость со по универсальному
времени t (время далекого покоящегося наблюдателя), то
D.3.10)
dt giptp (r2 +a2J -Aa2sin2d
fgw берутся из D.2.1).
Если же измерять угловую скорость по часам самого движущегося на-
наблюдателя, то
Пт= . " а • D.3.11)
\f-~gtt -2ugtlf- org^
Линейная физическая скорость движения локально невращающихся наблю-
наблюдателей относительно жесткой системы есть
2Мга sin в
- D3Л2)
*) Несколько замечаний о терминологии. Она не единообразна не только у разных
авторов, но иногда у одного и того же. Так, в работе Макдональда и Торна A982)
"абсолютным жестким" пространством названо то пространство, которое мы опи-
описали в § 4.2, и сказано, что локально невращающиеся наблюдатели движутся в этом
пространстве [см раздел 2 их работы перед формулой B.6) ). В работе же Торна
A985) абсолютным называется пространство, сопутствующее локально невраща-
ющимся наблюдателям, и говорится, что они неподвижны в "абсолютном" прост-
пространстве [см. Торн A985), с. 11]. Мы везде придерживаемся первой точки зрения.
По-разному, как мы видели, называют хронометрическую систему отсчета (см.
с. 54). Весь этот "разнобой" носит исторический характер, однако авторы надеют-
надеются, что в ближайшее время установится некое единообразие.
57

Как и следовало ожидать, эта скорость обращается в скогюсть света на пре-
пределе статичности г =^( и превосходит ее в эргосфере.
Подчеркнем еще раз, что собственное время локально невращающихся
наблюдателей т отличается от универсального "времени" t. Связь между
ними дается функцией "длительности" а:
2Д\ 1/2
) . D.3.13)
\dt /н.н \
Приведем выражения для вектора ускорения свободного падения в сис-
системе локально невращающихся наблюдателей:
М
F, = [(г2 +a2J(_a2cos2e-r2)+4Mr3a2sm2e),
9 ДД1
Fe=a2sin2d , D.3.14)
Р2А
^ = 0,
где Д! = р2(гг +а2) + 2Мга2 %т2в.
Вектор F связан с а соотношением
F=-V.]na. D.3.15)
Тензор скоростей деформации системы записывается в виде
Д., =Dre=Dee=Dw =0,
Drip=-Ma[2r2(r2 +a2) + p2(r2 - a2)] sin 20(p3 у^Щ)'1 , D.3.16)
Deip = 2Mra3sin3ecose vrS( рэ\ЛД1).
а тензор Aik =0.
Рассматриваемая система отсчета не имеет никаких особенностей на
пределе статичности и продолжается в эргосфаре вплоть до границы черной
дыры г = г+. При г <г+, помимо вращения вокруг черной дыры, необхо-
необходимо происходит еще и падение по г. Система локально невращающихся
наблюдателей при г =г+ имеет физическую особенность: Fr ->°° при г ->/¦+
[см. формулу D.3.14) ].
При приближении к горизонту событий угловая скорость обращения
локально невращающихся наблюдателей стремится к пределу:
u+=c3a/2GMr+. D.3.17)
Этот предел постоянен на горизонте и не зависит от в. Его называют угло-
угловой скоростью вращения черной дыры (или горизонта) ?1Н.
На пространственной бесконечности система отсчета локально невращаю-
невращающихся наблюдателей переходит в ту же самую лоренцеву систему отсчета,
что и система Бойера - Линдквиста (хронометрическая система).
В заключение параграфа остановимся на вопросе о "вращении" локально
невращающихся наблюдателей и о прецессии гироскопов в системе отсчета,
связанной с этими наблюдателями.
С одной стороны, система отсчета таких наблюдателей выбрана невра-
щающейся, т.е. так, что Aik = 0. Это значит, что отсутствует поворот систе-
системы относительно локально лоренцевой системы отсчета, а значит, и пре-
58

цессия гироскопа в системе отсчета локально невращающихся наблюда-
наблюдателей. С другой стороны, например, в книге Мизнера, Торна, Уилера A973)
говорится, что гироскопы прецессируют по отношению к локально невра-
щающимся наблюдателям с угловой скоростью
'Пр
gyp
со в
е§\, .
D.3.18)
9 Р
где ef, е% — единичные векторы вдоль г и в соответственно, а величины
gap берутся из выражения D.2.1). Как совместить оба эти утверждения?
Парадокс разрешается следующим образом. Напомним, что движение
малого элемента произвольной системы отсчета относительно локально
Рис. 31. Поворот диагонали ОА при
анизотропной деформации элемента
объема вдоль направлений ОВ и ОС
сопутствующей лоренцевой системы состоит в повороте вокруг мгновен-
мгновенной оси вращения и деформации вдоль главных направлений тензора ско-
скоростей деформации. Если поворота нет (Afk = 0), то дело сводится только
к деформации. Гироскоп, центр масс которого неподвижен в системе от-
отсчета, при этом не прецессирует относительно главных направлений тен-
тензора скоростей деформации. Если вдоль этих направлений провести
линии, сопутствующие системе отсчета ("приклеенные" к ней), то гирос-
гироскоп не изменит своей ориентации по отношению к ним. Однако это вовсе
не значит, что при этом гироскоп не меняет ориентацию по отношению к лю-
любой линии, проведенной в данном элементе объема и сопутствующей систе-
системе отсчета. В самом деле, из рис. 31 видно, что при анизотропной деформа-
деформации линии, наклоненные, например, под углом 45° к главным направле-
направлениям тензора деформации и "приклеенные" к системе отсчета, поворачи-
поворачиваются, приближаясь к направлению наибольшего расширения. По отноше-
отношению к этим линиям гироскоп прецессирует, хотя А/к = 0. Именно эта ситуа-
ситуация и имеет место в случае локально невращающихся наблюдателей в мет-
метрике Керра.
Рассмотрим локально невращающихся наблюдателей в экваториальной
плоскости. Везде А1к =0, и, согласно формулам D.3.16), отличной от нуля
является лишь компонента Drtp. Это значит, что мгновенные ориентации
главных осей тензора деформации направлены под углом 45 к векто-
векторам е? и еф. Заметим, что координатные линии у "приклеены" к системе
отсчета. Гироскоп не поворачивается по отношению к главным осям, но,
59

согласно предыдущему замечанию, поворачивается по отношению к коор-
координатной линии у, а значит, ике^ (и, следовательно, к перпендикулярному
к нему вектору ef, который не "приклеен" к системе отсчета; см. далее).
Итак, если локально невращающийся наблюдатель все время будет
ориентировать свой репер вдоль направленийef,e^ и eg, то гироскоп будет
прецессировать по отношению к этому реперу согласно формуле D.3.18),
несмотря на то, что в системе наблюдателя Aik = 0. Репер е*,е$, e$ — ес-
естественный; прецессию гироскопа следует определять по отношению к не-
нему, ибо он определяется симметрией пространства вокруг наблюдателя. Но
можно ввести и другой репер, например репер, который также связан с
локально невращающимся наблюдателем, но не поворачивается относитель-
относительно мгновенно сопутствующей лоренцевой системы. В таком репере гирос-
гироскопы, конечно, не прецессируют.
Заметим, наконец, что если в некоторый момент выбрать одну систему
координатных линий, "приклеенных" к локально невращающимся наблю-
наблюдателям и направленных строго по г, а другую систему — по <р, то с тече-
течением времени координатные линии по <р будут скользить вдоль самих себя
в "абсолютном" пространстве, а линии, бывшие им перпендикулярными,
будут "наматываться" на черную дыру, превращаясь в спирали, так как
станут увлекаться более быстрым движением наблюдателей, ближе рас-
расположенных к черной дыре, т.е. эти линии будут поворачиваться по от-
отношению к линиям у.
§ 4.4. Пространство-время вращающейся черной дыры
Рассмотрим общие свойства пространства-времени вращающейся чер-
черной дыры, описываемого решением D.2.1).
Введем систему координат, которая не обладает координатными осо-
особенностями нигде в пространстве-времени, кроме истинной сингулярнос-
сингулярности, аналогично тому, как мы это делали в пространстве-времени Шварц-
шильда*). В шварцшильдовском пространстве-времени в качестве коор-
координатных линий можно было использовать мировые линии фотонов, дви-
движущихся по радиусу к центру [см. B.4.12)]. В случае вращающейся чер-
черной дыры также можно использовать мировые линии фотонов, движу-
движущихся к черной дыре. Однако теперь вблизи черной дыры траектории фо-
фотонов будут закручиваться вокруг нее, увлекаемые ее "вихревым" гра-
гравитационным полем. Следовательно, при наличии вращения черной дыры,
помимо замены координаты [подобно B.4.11)], надо еще ввести "кру-
"кручение" по координате <?.
Оказывается, что наиболее простое выражение для метрики получается,
если использовать мировые линии фотонов, которые на бесконечности
движутся с постоянным в и имеют проекцию момента импульса на ось
вращения черной дыры Lz =aEsin2d (см. следующий параграф), где Е —
энергия частицы на бесконечности. Можно показать, что переход к такой
*) Разумеется, мы не принимаем в расчет тривиальную координатную сингуляр-
сингулярность на полюсе сферической системы координат, к которой все давно привыкли и
смысл которой очевиден.
60

Рис. 32. Пространство-время вращающейся черной
дыры: 1 - нулевая мировая линия вдоль предела ста-
статичности, 2 - "выходящие" фотоны, образующие го-
горизонт, 3 - падающие внутрь фотоны
У V
системе "свободно падающих" фотонов достигается заменой координат:
dr
dV = dt + (r2 + а2) — ,
А D.4.1)
dr
dip = dip + а — .
А
Получающаяся система координат носит название координат КерраA963):
ds2 =- [1 -p~2BMr)]dV2 + 2drdV + p2dd2 +
+ p'2[(r2 +a2J -Aa2sin2e}sin2ed<f -
- 2a sin20 d$ dr - 4ap~2Mr sin2 в dfd V. D.4.2)
Лучше всего общие свойства геометрии вращающейся черной дыры видны
на пространственно-временной диаграмме в координатах Керра (рис. 32).
Здесь вместо координаты V используется временная координата t:
"t=V-r. D.4.3)
Подобные диаграммы в координатах Эддингтона мы уже использовали
в гл. 2. Существенное отличие рассматриваемого сейчас случая состоит в
том, что метрика Керра не обладает сферической пространственной сим-
симметрией, а только осевой.
Поскольку на этих диаграммах одна из вращательных степеней свободы
не изображается (поворот вдоль "меридианов" в), то они дают информа-
информацию только для какого-нибудь сечения (например, для экваториальной
плоскости в = тг/2, как это сделано на рис. 32). На рисунке изображены не-
некоторые мировые линии фотонов, которые существенны для описания
свойств геометрии Керра, Прежде всего надо помнить, что рассматривае-
рассматриваемые координаты с приближением к горизонту закручиваются все сильнее
и сильнее вокруг черной дыры. Мировые линии фотонов, падающих внутрь
черной дыры, изображаются прямыми. В координатах Бойера — Линдквис-
та (жесткая сетка — см. § § 4.2,4.3) они выглядели бы закрученными. Здесь
же координатные линии закручиваются точно так же, как и траектории
фотонов, поэтому эти траектории по отношению к координатным линиям
61

выглядят прямыми (собственно, мы так и выбирали координатные линии,
чтобы они совпадали с траекториями падающих фотонов). На пределе ста-
статичности Гх [см, D.3.6), D.3.7)] мировая линия г, в,$ = const является
нулевой, световой конус здесь касается этой линии. Ближе предела все
фотоны и частицы обязаны участвовать во вращательном движении вокруг
черной дыры, двигаясь с dfjdl > 0. Но они могут вылететь из-под предела
статичности кг > г i.
На горизонте все времениподобные и нулевые мировые линии направле-
направлены внутрь черной дыры, за исключением единственной в каждой точке гори-
горизонта нулевой линии "выходящего" фотона, которая касается горизонта.
Это семейство мировых линий "навивается" на горизонт (см. рис. 32),
все время оставаясь на нем. Уравнение этих нулевых геодезических в ко-
координатах Керра имеет вид
aV
r = r+, в = const, >p = — — . D.4.4)
r\ +a2
Все другие фотоны и частицы, достигнув горизонта, обязаны продолжать
падать внутрь черной дыры.
Поскольку метрика Керра инвариантна относительно преобразования
t -*—t, ip -*¦ r-tp, переводящего входящие световые лучи в выходящие, можно
выполнить это преобразование в D.4.1). Если при этом произвести замену
V -*¦—&,$ ->¦—<? + » то уравнения U = const, <?+ = const описывают семейст-
семейство выходящих световых лучей, а координата U на бесконечности совпадает
с обычной координатой запаздывающего времени. Метрика Керра в этих
координатах получается из D.4.2) преобразованием V = -U, $ = -<р +.
В отличие от метрики Шварцшильда, мы не будем рассматривать здесь
продолжение метрики Керра внутри горизонта*). Причина этого состоит
в следующем. В случае коллапса сферического тела, порождающего шварц-
шильдовскую черную дыру, метрика пространства-времени вне коллапси-
рующего тела является точно" метрикой Шварцшильда как вне, так и внутри
черной дыры. При коллапсе невращающегося тела с малыми отклонениями
от сферичности метрика вне черной дыры быстро стремится к шварцшиль-
довской при t -><». В гл. 12 мы увидим,.что то же свойство имеет место и
внутри шварцшильдовской черной дыры. Таким образом, внутренняя об-
область шварцшильдовской метрики описывает реальную "внутренность"
невращающейся черной дыры.
Ничего подобного нельзя сказать о метрике Керра. Во-первых, при сжа-
сжатии любого вращающегося тела, превращающегося в черную дыру, вне
тела метрика не может быть сразу стационарной (а значит, не может быть
метрикой Керра), так как в процессе коллапса происходит излучение гра-
гравитационных волн. Это справедливо как для области вне горизонта, так и
внутри горизонта. В области вне горизонта, как мы увидим в гл. 6, все
отклонения от метрики Керна уносятся гравитационными волнами и пре-
предельная метрика при t -*°° есть решение Керра. Таким образом, для внеш-
внешнего пространства-времени метрика Керра описывает реальную враща-
вращающуюся черную дыру.
*) Структура максимального аналитического продолжения метрики Керра -
Ньюмена рассматривается в § 6.5.
62

Однако для области внутри горизонта — ни сразу после коллапса, ни с
течением времени — метрика не стремится к решению Керра. Поэтому оно
(внутри горизонта) не описывает внутренность реальной вращающейся
черной дыры (подробно о строении черных дыр внутри горизонта будет
говориться в гл. 12). Подчеркнем, что все рассмотренные выше свойства
пространства-времени черной дыры справедливы только, если М>\ а \.
В противном случае в \ ешении исчезает горизонт, и оно уже не описывает
черную дыру. Появляются "патологические" особенности [Хокинг, Эл-
лис A973)], и вряд ли это решение может иметь какое-либо отношение
к реальности. С физической точки зрения для образования объекта с М <
< | а | требовалось бы сжатие вращающегося тела, обладающего столь
большим угловым моментом, что при размерах г *г+ линейная скорость
вращения должна была бы превышать скорость света. Везде в дальнейшем
(для незаряженной черной дыры) мы считаем М > \ а \ .
§ 4.5. Небесная механика вращающейся черной дыры
Рассмотрим движение по геодезическим пробных частиц в поле тяготе-
тяготения вращающейся черной дыры. В общем случае траектории довольно слож-
сложны, так как поле не обладает сферической симметрией. Подобное изложе-
изложение вопроса см. Бардин и др. A972), Стюарт и УолкерA973), Руффини,
Уилер A971), Мизнер, Торн, Уилер A973), Шапиро, Тюкольский A983),
Дымникова A986*). Важные аспекты гравитационного захвата частиц вра-
вращающейся черной дырой рассмотрены в работах ДымниковойA982),
Бичака, Стачлика A976), В приведенных работах можно найти ссылки
на многочисленные оригинальные статьи.
Движение пробных частиц мы рассматриваем по отношению к "абсолют-
"абсолютному" пространству, введенному нами в § 4.2, т.е. по отношению к жест-
жесткой решетке хронометрической системы отсчета, описываемой коорди-
координатами Боейра — Линдквиста (см. § 4.3).
Первые интегралы движения записываются в виде
[2 + a2)-L,a]2 - А[т2г2 +
dX D.5.1)
LEJ +Q>]}4\
^ \q* - cos2e\a2(m2 - E2) + -~]Y1, D.5.2)
dX [ L sm20 JI
?-[E(r2+a2)-Lza\, D.5.3)
Д
dt r2 +a2
p2 =-a(aEsin2e-Lz) + [E(r2 +a2)-Lza]. D.5.4)
d\ A
Здесь т - масса покоя пробной частицы, X = r/w, где т - собственное
время частицы, Е - постоянная энергия пробной частицы, Lz - постоянная
проекция момента импульса частицы на ось вращения черной дыры, О * -
63

найденный Картером A968а) интеграл движения*):
Q'=Pe + cos2e[a2(m2 -E2)+sin-2eLlz], D.5.5)
где р0 -б-компонентаФимпульсапробнойчастицы. Движению ультрареля-
ультрарелятивистской частицы соответствует предельный переход т-»0.
Рассмотрим сначала характерные особенности движения частиц в эк-
экваториальной плоскости вращающейся черной дыры. Выражения для dr/dX
и d^p/dX в этом случае могут быть записаны в виде [Шапиро, Тюкольский
A983)]
2
- AaMELz - (г - 2M)L2 - т2гА,
г ^ ) z ( ) ,
\ d\ ) ' D.5.6)
±L = О" - 2M)LS + 2аМЕ 5 ?)
Эти выражения являются аналогом уравнений B.8.1) - B.8.2) дляшварц-
шильдовской черной дыры. Анализ особенностей движения производится
точно таким же способом, как в § 2.8. В частности, приравнивая правую
часть уравнения D.5.6) нулю и решая его относительно Е, получаем "эф-
"эффективный потенциал". Экстремумы эффективного потенциала соответ-
соответствуют круговому движению. Выражения для ?"круГ и 1крУг имеют в
этом случае вид (т = 1)
круг г(г2-ЗМг± l/WL2 '
Здесь и в приводимых ниже формулах верхние знаки соответствуют об-
обращению частицы в ту же сторону, в которую вращается черная дыра,
нижние — в противоположную, поэтому будем всюду считать а > 0.
Радиус ближайшей к черной дыре круговой орбиты, по которой движе-
движение происходит со скоростью света, есть
'фотон, = 2A/{l+cos [у arccos(+^J]j. D.5.10)
Эта орбита неустойчива.
Неустойчивая круговая орбита, на которой /:'круг=ш, определяется
выражением
rCBH3=2M + a + 2Mil2(M+aI12. D.5.11)
Эти значения радиуса являются минимумами периастров всех параболи-
параболических орбит. Если орбита частицы, прилетающей в экваториальной плос-
плоскости из бесконечности, где ее скорость vx < с, подходит к черной дыре
ближе, чем гсвяз, то частица захватывается черной дырой. Значение радиу-
радиуса г о периастра параболической орбиты определяется параметром L
*) Этот интеграл движения связан с существованием в метрике Керра тензорного
лоляКиллинга (П.17) [Картер A968а, 1973а, 1977), Уолкер, Пенроуз A970)].
64

Таблица 2
Орбита
о=0
1 > 0
о = М
1
L <
С 0
''фотона
'гр
1,5
2
3
0,5
0,5
0,5
2
2,92
4,5
Таблица 3
Орбита
о = 0
L >
0
-М
L < 0
Е/т
(in - ?")/»!
I Л I ImM
s/8/9
0.0572
^Л73
0,423
частицы:
ro=M[L2 +УГ4 -BL-a/MJ],
причем IL I < 1 + <
D.5.11a)
Наконец, радиус граничной окружности, отделяющей устойчивые круго-
круговые орбиты от неустойчивых, дается выражением
rrp=M{3+Z2
rrp
D.5.12)
где
Z, =1+A-а2/Л/2I/3[A+а/Л/I/3 +A -а/МI'3],
Z2 =Ca2/M2 +Z2I!2.
В табл. 2 приведены значения рассмотренных выше величин для предельно
быстро вращающейся черной дыры а = М в сравнении со случаем а = 0
(в единицах rg = 2GM/c2). Заметим, что приа-'Минвариантное расстояние
<//¦'
от точки г до горизонта г+, равное / . , расходится. Поэтому,
|-+ Д(г I/2
хотя при L > 0 радиусы г всех трех орбит стремятся к одному и тому же
значению /¦+, это вовсе не означает, что все орбиты в этом пределе совпа-
совпадают друг с другом и лежат на горизонте [см. Бардин и др. A972) ].
Наконец, приведем значения удельной энергии Е\т, удельной энергии
связи (т — Е)/т и удельного момента | L \ /тМ пробной частицы на пос-
последней устойчивой орбите ггр (табл. 3).
Уравнение D.5.6) показывает, что вблизи вращающейся черной дыры
возможны движения частиц с отрицательным Е. Решим его относительно Е:
2aML + [L2r2 A+m2rA+r3(drJd\J]1'2
3 2 2M2
Знак корня выбран положительным, так как это соответствует направле-
направлению 4-импульса частицы в будущее [Мизнер, Торн, Уилер A973)]. Чис-
Числитель D.5.13) отрицателен, если L < 0, и первое слагаемое превышает
корень квадратный из скобки.
5.И.Д. Новиков

Второе и третье слагаемые в скобке можно сделать сколько угодно
малым (т->0 соответствует переходу к ультрарелятивистской частице,
с/гД/Х->-0 соответствует переходу к движению в азимутальном направ-
направлении) . Тогда условия отрицательности Е соответствует выбору точек
внутри эргосферы г <гх. Если тФО и с1г/Л\Ф0, это накладывает до-
добавочные ограничения.
Выражение D.5.13) справедливо только для в = я/2. Можно показать,
что орбиты с отрицательным Е возможны внутри эргосферы при любом
0 =? 0. Наличие орбит с Е < 0 делает возможным механические процессы,
ведущие к извлечению "вращательной энергии" черной дыры. Такие процес-
процессы были открыты Пенроузом A969). Подробно это явление и физические
следствия из него будут обсуждаться в § 8.1.
Рассмотрим теперь некоторые движения пробных частиц не в эквато-
экваториальной плоскости и прежде всего нерялятивистских частиц, движущихся
с параболической скоростью @^=0) и нулевым угловым моментом
(L = 0). Такие частицы будут падать с постоянным 0 и увлекаться во
вращение вокруг черной дыры в широтном направлении с угловой ско-
скоростью D.3.11),т.е. угловой скоростью движения локально "невращаю-
щихся наблюдателей".
Таким образом, в системе отсчета локально "невращающихся наблюда-
наблюдателей" эти частицы в каждой точке падают радиально.
Другой важный случай представляет падение ультрарелятивистских
частиц (фотонов), которые на бесконечности движутся с J0/JA = 0 и
Lz =ak'sin2Q. Для них уравнения D.5.1) —D.5.4) сводятся к следую-
следующим:
dr dd d<p aE dt (r7 +a2)E
=-/:', =0, —— = , = — . D.5.14)
</Х d\ d\ A d\ А
Мировые линии этих фотонов используются при построении системы ко-
координат Керра (§ 4.4).
§ 4.6. Гравитационный захват частиц
вращающейся черной дырой
По аналогии с § 2.9 рассмотрим гравитационный захват частиц вращаю-
вращающейся черной дырой [обзор см. Дымникова A986 *) ].
Прицельный параметр Ь± захвата нерелятивистской частицы, движу-
движущейся в экваториальной плоскости, определяется выражением
1 / / д~\
Ь1=±2М— 1+V1 + }¦ D-6.1)
и» \ М I
Форма сечения захвата для случая падения частиц перпендикулярно оси
вращения черной дыры с а - М показана на рис. 33 [Юнг A976)]. Пло-
Площадь сечения захвата для этого случая
2Л/2. D.6.2)
Для частиц, падающих параллельно оси вращения, прицельный параметр
Л и захвата может быть найден следующим образом, Введем обозначения
66

Рис. 33. Сечение захвата для частиц,
движущихся перпендикулярно оси вра-
вращения черной дыры с а =М и и» -*0.
Масштаб по осям - в единицах Л/ (l/u»)
b || = b\ /M, a = а/М. Тогда b и находится как решение уравнения
A -afq% +4E?2 - A)q30 -8a2F+a2)ql -48aAq0-\6a6 = О, D.6.3)
где^/о =v~(b] -а2). Для2= 1
/1 \ / 1 V
йц= 3.851 )М, оц = 14,8 я
Л/2.
D.6.4)
Рассмотрим теперь ультрарелятивистские частицы. Прицельные пара-
параметры захвата bi для движения экваториальной плоскости даются следую-
следующими формулами:
*- Л ! 1
-^-=8со5 —(тг - arccos а) + а D.6.5)
М L 3 J
для движения с положительным моментом и
Л." ./ 1 \
-^-=-8cos3l — arccos \a\) + a D.6.6)
М \ 3 /
для движения с отрицательным моментом.
Площадь сечения захвата для этого случая
о у =2ЛЗ-пМ2. D.6.7)
Для фотонов, летящих параллельно оси вращения черной дыры с а = 1,
соответственно
М
о-,, =23,ЗтгЛ/2.
D.6.8)
Сравнение сечений захвата, приведенных в этом параграфе, с данными § 2.9
показывает, что вращающаяся дыра захватывает падающие частицы менее
эффективно, чем невращающаяся с той же массой.
§ 4.7. Волновые поля вокруг вращающейся черной дыры
Аналогично тому, как изучались слабые (не возмущающие фоновую
метрику) волновые поля в метрике Шварцшильда, исследуется эта же
задача и в метрике Керра. Главная сложность здесь связана с тем, что
метрика обладает лишь осевой (а не сферической, как шварцшильдовс-
кая) симметрией. Картер, нашедший четвертый интеграл и разделивший
5* 67

переменные в уравнениях геодезических в метрике Керра (см. § 4.5),
показал, что уравнение для массивного (заряженного) поля со спином
нуль в этой метрике также допускает разделение переменных [Картер
A968b) 1. Тюкольскому A972) удалось расцепить систему уравнений
для компонент безмассового поля для спина 1 и 2 и свести эти уравне-
уравнения к одному производящему волновому уравнению для комплексной
скалярной функции. Аналогичный результат был получен Тюкольским
A973) для безмассового поля спина 1/2 [см. также Унру A973)]. Это
производящее уравнение в координатах Бойера — Линдквиста D.2.1) —
D.2.2) имеет вид
г2 +J , ,\ Э! АМаг Э2
a2sin20f
Ы2
/а2 1 \ Э2 Э / ., Э \
\ Д sin20 / Э^2 Ъг \ Ъг I
1 Э / Э \ (a(r-M) /cos0 \ Э
(sin0 —\-2sl — + г—)
sin О 30 \ 30/ \ A sin20 / д<р
(М(г2-а2) \ 9 , , 1
- 2sl г- iacosdj +^2 ctg20 - s >If(i)=0.
\ Д ) bt J
Здесь s — спин поля. Свойство разделения переменных в этом уравнении
означает, что решение Ф (^) можно записать в виде
Сфероидальные волновые функции SF) были подробно изучены в ра-
работе Факерелла и Кросмана A977). Как и в случае метрики Шварцшильда,
решение Ф($) ¦ производящего уравнения позволяет определить все ком-
компоненты рассматриваемого безмассового поля.
Метод разделения переменных был использован для анализа устойчи-
устойчивости метрики Керра [Пресс, Тюкольский A973), Стюарт A975)] и для
изучения рассеяния электромагнитного, гравитационного и нейтринного
полей на керровской черной дыре [Старобинский, Чурилов A973*), Тю-
Тюкольский, Пресс A974) , Чандрасекар, Детвилер A975b, 1976), Детвилер
A977), Чандрасекар A979Ь) ].
В уравнении Дирака с ненулевой массой не удавалось разделить пере-
переменные до тех пор, пока Чандрасекар A976) не предложил новый метод,
в котором разделение переменных производилось до расцепления системы
уравнений. Пэйдж A976с) и Туп A976) распространили этот подход на
случай дираковского уравнения для массивных заряженных частиц.
Взаимодействующие электромагнитные и гравитационные возмущения в
метрике Керра - Ньюмена рассматривались в работах Ли A976), Читра
A976), Факерелла и Кросмана A976). Полное изложение математической
теории распространения физических полей в пространстве-времени вра-
вращающейся черной дыры читатель найдет в книге Чандрасекара A983),
где также имеются дальнейшие ссылки на оригинальные работы.
68

Здесь мы ограничимся только кратким описанием основных идей,
методов и физическими выводами. Особое внимание будет уделено, как
и в случае сферической черной дыры, распространению гравитационных
волн, а также явлению суперрадиации, специфичному для вращающейся
черной дыры.
Начнем с рассмотрения распространения гравитационных волн.
Чандрасекар, Детвилер A975b, 1976) и Детвилер A977) показали,
что гравитационные возмущения вокруг вращающейся черной дыры с
массой М и параметром а могут быть определены с помощью решения
следующего скалярного уравнения:
J2<f>
- V(r, М, а, I, т, со)Ф = 0. D.7.1)
dr\
Здесь г,-обобщенная "черепашья" координата, введенная Уилером A955):
drt = A'1 (r2 +a2)dr. D.7.2)
Величина г ,-* °° при г ->-°° и rt -+—°° при г =' г+. Потенциальный барьер V,
помимо г,М,а, зависит от величин / и т, соответствующих сфероидаль-
сфероидальным гармоническим индексам, и от частоты со. Конкретная форма этой
зависимости дана в цитированных выше работах. Зависимость от времени
каждой гармоники дается функцией ехр(гсог). Уравнение D.7.1) справед-
справедливо вне источника возмущений. При наличии источника правая часть
D.7.1) отлична от нуля. Конкретные выражения для правой части D.7.1)
даны Детвилером A977).
Зная решение уравнения D.7.1), можно вычислить компоненты возму-
возмущения метрического тензора. Таким образом, как и в случае невращающей-
ся черной дыры, все сводится к анализу решений скалярного уравнения
D.7.1). Подчеркнем, что в случае метрики Керра (в отличие от метрики
Шварцшильда) потенциальный барьер V зависит от m и ш.
Асимптотика общего решения уравнения D.7.1) может быть записана
в следующем виде:
вдали от черной дыры (г,-*<*>)
— twr. iur.
Ф ~ Aoute + Aine *; D.7.3)
вблизи горизонта (г,-*—°°)
- ikr^ ikr
Ф ~ Boute + Bine D.7.4)
(здесь к = со +ат/2Мг+).
Квадраты абсолютных<«еличин А и В (сами эти величины, вообще гово-
говоря, комплексные) пропорциональны потокам энергии входящих и выхо-
выходящих волн - соответственно на бесконечности и на горизонте.
Рассмотрим прежде всего квазинормальные моды колебаний вращаю-
вращающейся черной дыры [Детвилер A980) ].
Как и в случае невращающейся черной дыры, это такие моды колебаний,
при которых нет волны, идущей от бесконечности (rt = °°), и нет волны,
идущей от горизонта (г, = — °°), т.е.
Ain = fiout = 0. D.7.5)
69

0,2 Qii Ofi 0,8 1,0
a/M
0,2 Ofi Ц6 0,8 1,0
/M
0,2 Ofi Ofi Ofi 1,0
a/M
Рис. 34. Резонансные частоты u>-a+ai как функция параметра а для разных / и т
Условие D.7.5) возможно только для определенных (резонансных) частот.
Резонансные частоты ^свазинормальных мод были найдены Детвилером
A980). На рис. 34 показана зависимость резонансных частот от парамет-
параметра а. Напомним, что зависимость от времени каждой гармоники опреде-
определяется функцией ехр( ioit). При а Ф 0 частоты зависят от т.
Обратимся теперь к излучению гравитационных волн при движении ча-
частицы в поле вращающейся черной дыры. Начнем с частицы, падающей
вдоль оси симметрии z с нулевой скоростью на бесконечности (и^ =0)
[см. Сасаки, Накамура A981), Накамура, Сасаки A981), Накамура,
Хоуган A983)].
На рис. 35 показан спектр излучения частицы массы т, падающей в ды-
дыру с а/М= 0,99, для разных мод / = 2, 3,4. Дня сравнения пунктиром пока-
показан спектр излучения в случае радиального падения частицы в шварцшиль-
довскую черную дыру (а = 0).
Необходимо отметить два -обстоятельства. Во-первых, основная излу-
излученная энергия приходится на "звоновое" излучение нормальных мод.
Во-вторых, из-за того, что большинство резонансных частот имеют большее
значение при а/М - 0,99, чем при а = 0, максимумы излучения также
сдвинуты в сторону больших частот.
70

to'2
w3
w"
w-5
I0'6
i dE
/
/
/
/
/
j
/
/
/
- / ^,'
/ ***^"
I x
1 /
\ /
1 /
1 /
' /
- /
/
/
/
/ i
\\
\ \
\ \
/\ JlJ
/"« \ ^
» \
t \
i \
\\
\\
\ \
\
t
v
1 .
i V
•I
\
\
•\
t
1
3
s
\
\ \
\ \
\\
S * \_ "\
*" » \ \ \
It* \
\ \ \ \
\ \ \ \
\ \ \ \
* \ ч \
^\ Л \ \
^ \ ' \ » \
\ I \ > \
\ 1 \ \ \
• \<l\ '• \
\ M l \
\ M • '
1 \ l\ *
1 1*1 >
\ \ \r^\
\ \r\\
\ \\
< i \ i
1
1
1
1
О
о?
Ofi
0,6
0.S
Рис. 35. Полный спектр гравитационного излучения на разных модах / частицы мас-
массы т с и» = 0, падающей вдоль оси вращения'в черную дыру с а/М = 0,99 (сплошные
линии) и<7 = 0 (пунктир)
0,6
0,2
0 0,2 Ofi 0,6 Ofi 0,99 а/М
Рис. 36. Отношение полной излученной энергии на разных модах / частицы с i>oo = О
падающей вдоль оси вращения черной дыры с данным параметром а, к энергии
лученной при падении в невращающуюся черную дыру
из-

5-ЯГ -
1,5 I
0,8 а/М
Рис. 37. Зависимость полной энер-
энергии (а) и импульса F), излученных
частицей с массой т и i>oo = 0, па-
падающей вдоль оси вращения, от па-
параметра а
Рис. 38. Полная излученная энергия
при падении частиц с и„ = 0 в эква-
экваториальной плоскости черной дыры
с разными а как функция углового
момента частицы 1.
На рис. 36 приведена зависимость энергии, излучаемой на данной моде /,
от параметра а черной дыры. Наконец, на рис. 37 показаны полная излу-
излученная энергия АЕ (а) и импульс АР (Ь) в зависимости от а. Напомним:
излучение АР возникает из-за того, что падающая частица, подлетая к чер-
черной дыре, излучает гравитационные волны главным образом в направлении
своего движения.
Перейдем теперь к случаю движения частицы в экваториальной плоско-
плоскости вращающейся черной дыры [Кожима, Накамура A983, 1984а,Ь)].
Рис. 38 показывает полное количество излученной энергии для частиц,
имеющих не слишком большой угловой момент и в конце концов захваты-
захватывающихся черной дырой (с разными значениями а) *)• При а/МФ 0 видна
асимметрия графиков для положительных и отрицательных L . Прежде все-
*) Подчеркнем, что расчеты проводятся без учета обратного влияния излучения на
движение частицы, поэтому они перестают быть справедливыми при L, близких к кри-
критическим значениям, определяющим захват частицы. При этих значениях I. частица
делает много оборотов вокруг черной дыры вблизи критической орбиты (см. $ § 4.5,
4.6), и необходим учет накапливающегося обратного влияния излучения на движение.
Случай I/. | > /-сг рассмотрен далее.
72

го, минимумы графиков для а/М ^0,7 лежат при L « — 1 (а не L - 0, как
в случае а = 0) . Это связано с тем, что частицы с отрицательным L вблизи
черной дыры уменьшают тангенциальную составляющую своей скорости
чтобы орбитальное движение стало направленным в сторону вращения чер
о о,г
Рис. 39. Полный спектр излучения на разных модах для частицы с /. = 1.3, падающей
в экваториальной плоскости черной дыры с а/М = 0,85
Рис. 40. То же. что и на рис. 39, но при L = - 2,25
"+
-
1
1
I;
i
\
L
1 ' ¦ »
-so
so
t/ffl
Рис. 41. Форма гравитационной волны h+ для / —2 в экваториальной плоскости и с
у = 0 для тех же условий, что и на рис. 39 (сплошная линия) и рис. 40 (пунктир)
73

ной дыры. В результате частицы ; малым по модулю отрицательным L
имеют меньшую скорость, чем, например, с L = 0, и общее количество излу-
излученной энергии у них меньше. Для частиц с большим по модулю отрицатель-
отрицательным L излучение в основном определяется величиной углового момента,
и АЕ возрастает с ростом \ L \.
Основная асимметрия графика зависимости АЕ от L , проявляющаяся
в том, что при одинаковом модуле L при L > 0 излучается больше энергии,
чем при L < 0, связана со следующим обстоятельством (согласно интерпре-
интерпретации Кожимы и Накамуры). При захвате частицы черной дырой (как
в рассматриваемом случае) возбуждаются собственные колебания черной
дыры. В случае движения частицы в сторону вращения последней сильнее
всего возбуждаются колебания мод с т = — I (для фиксированного /) *)•
Но, согласно рис. 34, мнимая часть и> наименьшая именно для т- —I. Зна-
Значит, и затухание этой моды будет минимальным, и она в результате даст
основной вклад в излучение (это явно видно из рис. 39, где для / = 2 пока-
показаны вклады от разных т) .
Таким образом, сильнее всего возбуждается мода с наименьшим
затуханием.
В случае частицы с отрицательным L сильнее всего возбуждаются моды
с т - I (для фиксированного /). Но они, согласно рис. 34, и быстрее всего
затухают! В результате вклад от разных т оказывается сравнимым
(рис. 40), а общее количество высвеченной энергии заметно меньше, чем
в предыдущем случае. Разница в излучении черной дыры при захвате части-
частицы, движущейся в сторону ее вращения, и частицы, движущейся против
вращения, хорошо видна также на рис. 41, где изображено изменение со
временем возмущения гравитационного поля в волне. В первом случае
имеется более длительное "звоновое" излучение и длина волны короче,
чем во втором случае (модули L примерно одинаковы).
Наконец, на рис. 42 показано излучение углового момента AL и импуль-
импульса АР в зависимости от L для черных дыр с разными а.
Перейдем теперь к рассмотрению излучения гравитационных волн части-
частицей, движущейся в плоскости в = тг/2, имеющей нулевую скорость на бес-
бесконечности и угловой момент L, достаточно большой для того, чтобы не
быть захваченной черной дырой (случай рассеяния). Данная задача рассмот-
рассмотрена в работе Кожимы, Накамуры A984b).
Напомним, что в случае невращающейся черной дыры при рассеянии
нерелятивистской частицы собственные моды колебаний черной дыры не
возбуждались (см. § 3.3). Периастр траектории таких частиц лежит вне
потенциального барьера для гравитационных волн, а излучаемые движу-
движущейся частицей волны имеют слишком низкую частоту, чтобы проникнуть
сквозь барьер и возбудить собственные колебания черной дыры. Однако
в случае вращающейся черной дыры частота излучаемых частицей гравита-
гравитационных волн в периастре, равная удвоенной угловой скорости движения
*) Выбор знака m соответствует рис. 34 и статье Детвилера A980); в работах
Кожимы и Накамуры выбор знака противоположный.
74

Al
1,5 L
Рис. 42. Полные излученные угловой момент и импульс для тех же условий, что и на
рис. 38: кружочки - а/М = 0.99, крестики - 0,85. треугольники - 0.7, квадраты - О
-50 0 50
a i\ci b
Рис. 43. Форма гравитационной волны Л+ для / = 2, m = -2 в экваториальной плоскос-
плоскости в - 7г/2 и вдоль направления на периастр траектории частицы при рассеянии уастииы
^=0сиоо=0в поле черной дыры са/М = 0,99: а) /. = 2,21; в) L = 2,6
частицы, может быть близкой к собственной частоте и достаточной для ее
возбуждения Это возможно при положительном L , лишь немногим превы-
превышающем критическое значение захвата.
Так, на рис. 43а и b показаны возмущения метрики в волне для случая
движения вокруг черной дыры с а/М = 0,99 и L = 2,21 и 2,6. Во втором
75

ш
to-
Рис. 44. Полная излученная энергия при па-
падении частицы с Voo = 0 в экваториальной
плоскости черной дыры как функция
|Г|: 1 - L> 0, а/М = 0,99; 2 - Т. < 0, а/М =
= 0,99; i - в = 0
Рис. 45. Полные излученные угловой мо-
момент (сплошная линия) и импульс (пунк-
(пунктир). Обозначения те же, что и на рис. 44
Рис. 46. Зависимость коэффициента отраже-
¦- ния R от частоты а
Рис.46
случае никакого "звонового" излучения нет. В первом случае вслед за неза-
незатухающим цугом волн, связанных с продолжительным кружением частицы
около критической окружности захвата, видно затухающее "звоновое"
излучение. Простая оценка показывает, что в первом случае частота излуче-
излучения гравитационных волн частицей в периастре примерно совпадает с собст-
собственной частотой моды I = —т= 2.
На рис. 44 и 45 приведены зависимости излученной энергии, углового
момента и импульса от L для черной дыры с а/М= 0,99.
В § 8.1 нами будет рассмотрено интереснейшее явление, называемое
суперрадиацией. Его теорию логично рассматривать после изложения общей
теории черных дыр (гл. 6). Но, с другой стороны, явление суперрадиации
относится к распространению волн в окрестности вращающейся черной
дыры. Поэтому здесь мы лишь коротко изложим физическую суть явления
и приведем его численные характеристики.
76

Будем рассматривать процесс облучения вращающейся черной дыры
какой-либо волной (например, гравитационной), имеющей определенную
частоту о и мультипольность. Как уже было показано для случая шварц-
шильдовской черной дыры, при этом возможно (в общем случае) частичное
проникновение волны сквозь потенциальный барьер и поглощение еечерной
дырой, частичное рассеяние на бесконечность (§ 3.2). При этом амплитуда
рассеянной волны всегда меньше (или равна) амплитуды падающей, так
как часть волны поглощается черной дырой. Рассмотрение этого вопроса
в случае вращающейся черной дыры показывает, что при определенных
параметрах облучающей волны возможно увеличение амплитуды рассеян-
рассеянной волны по сравнению с падающей. Это и есть явление суперрадиации
[Зельдович A970*)]. Добавочная энергия при этом черпается из "враща-
"вращательной энергии" черной дыры. В § 8.1 будет показано, что для возникнове-
возникновения суперрадиации необходимо, чтобы частота волны лежала в пределах
0 < ш < us, D.7.6)
где
am
D.7.7)
(m - отрицательное).
Расчет явления суперрадиации сводится к анализу свойств решения урав-
уравнений типа D.7.1) [см., например. Чандрасекар A979b)]. На рис. 46,
заимствованном из цитированной работы, приводятся графики, показываю-
показывающие зависимость коэффициента отражения R от частоты падающей волны
для волн разной природы (R есть отношение квадрата амплитуд отражен-
отраженной и падающей волн). Из рисунка видно, что для гравитационных и элек-
электромагнитных волн при о) < а)^ R > 1, т.е. имеется суперрадиация. В то же
время для нейтрино суперрадиация отсутствует. Причина последнего факта
проанализирована в работах Мартеллини, Тревеса A977), Чандрасекара
A979b), Айера.Кумара A979).
Наконец, отметим, что метрика Керра вне горизонта событий,
по-видимому, стабильна относительно малых возмущений, как и метрика
Шварцшильда [обзор проблемы см. Торн A976)]. О неустойчивости этой
метрики внутри горизонта событий см. § 12.4.
В заключение данного параграфа рассмотрим рассеяние параллельного
пучка волн, падающих на вращающуюся черную дыру. Ко времени написа-
написания этой книги опубликованы только данные о рассеянии пучка гравита-
гравитационных волн, параллельного оси вращения черной дыры [Хандлер,
Метцнер A980)]. Эта задача аналогична задаче о рассеянии волн шварц-
шильдовской черной дырой (см. § 3.5) и решается аналогичными метода-
методами. В приближении геометрической оптики рассеяние рассматривалось
в предыдущем параграфе.
На рис. 47 [Хандлер, Метцнер A980)] приведены дифференциальные
сечения рассеяния гравитационных волн, падающих параллельно оси враще-
вращения черной дыры с а/М= 0,9. Положительные а> соответствуют круговой
поляризации волн в сторону вращения черной дыры, отрицательные —
противоположной круговой поляризации. Как видно из рисунка, основные
77

в О П/2 в п
Рис. 47. Дифференциальное сечение рассеяния гравитационного излучения вращающей-
вращающейся черной дырой с а/Л? = 0,9 для различных частот ы
Рис. 48. Два дифференциальных сечения рассеяния гравитационного излучения с
Ми> = 0,75 черной дырой с а/М = 0.9 и 0,99. В последнем случае важно явление суперра-
суперрадиации. Кривая для этой ситуации сдвинута вверх по оси ординат на единицу (для яс-
ясности изображения). Цифра 5 в скобках на оси ординат относится только к этой
кривой
особенности дифференциального сечения аналогичны особенностям для слу-
случая невращающейся черной дыры, хотя и существенно усложнены враще-
вращением дыры. Полные сечения поглощения излучения о следующие:
Мы
0,75
36,5
1,5
62,5
-0,75
88,7
-1,5
80,3
Наконец, на рис. 48 показано дифференциальное сечение рассеяния для чер-
черной дыры с а/М = 0,99 и Ми> * 0,75. В этом случае явление суперрадиации
весьма существенно. Полное сечение поглощения здесь отрицательно и
равно —15,8 Л/2. Сравнение этого случая с рассмотренным выше случаем
а/М = 0,9, Ми> = 0,75 показывает, что суперрадиация добавляется к обыч-
обычному рассеянию, "замывая" минимумы на кривых. Особенно сильно это
сказывается на величине сечения при рассеянии строго назад (в = я).
7в

§ 4.8. Заряженная вращающаяся черная дыра
Согласно замечанию, приведенному на с. 52, электрическим зарядом
черной дыры можно обычно пренебречь в любой реально мыслимой ситуа-
ситуации. Отношение заряда Q к массе М черной дыры обычно не может быть
больше 10"'* [Уолд A984)]. Действительно, поскольку отношение
заряда к массе электрона и протона есть соответственно (q/m)e = 1021,
(q/m)p = 1018, а отношение гравитационной силы к электростатической
для взаимодействия этих частиц с черной дырой заряда Q и массы М
есть по порядку величины qQ/mM, то отношение Q/M не может быть
больше (q/m)~l. В противном случае заряды того же знака отталкивались
бы от дыры, а заряды противоположного знака, падая, нейтрализовали бы
заряд дыры.
Однако с теоретической точки зрения было бы интересно рассмотреть —
хотя бы кратко — общий случай вращающейся заряженной черной дыры.
Метрика пространства-времени в этом случае записывается в виде
D.2.1), только выражение для Д теперь зависит от заряда Q (геометрия
Керра - Ньюмена):
Д=г2-2Мг+а2 +<22- D.8.1)
Помимо гравитационного поля, черную дыру теперь окружает стационарное
электромагнитное поле, которое полностью определяется зарядом Q и пара-
параметром а. Вектор-потенциал этого поля в координатах D.2.1), D.8.1)
записывается в виде
Or
Aadxa = {dt - a sin2 в d<p). D.8.2)
Р2
Если а - 0, вращение отсутствует и метрика представляет собой сфериче-
сферически-симметричную заряженную черную дыру со сферически-симметричным
электрическим полем [решение Рейсснера A916) - Нордстрема A918)].
При наличии вращения {а Ф 0), помимо электрического поля, имеется
еще магнитное поле, обусловленное увлечением инерциальной системы
отсчета во вращательное движение вокруг черной дыры.
На больших расстояниях от черной дыры в "жесткой" системе отсчета
(хронометрической; см. § 4.3), переходящей на бесконечности в лоренце-
ву, наибольшие компоненты электромагнитного поля соответствуют
монопольному электрическому полю с зарядом Q и дипольному магнитно-
магнитному полю с магнитным моментом д* = Qa .Остальные моменты поля также
однозначно выражаются через Qua [подробнее см. Коэн, Уолд A971),
Ханни, Руффини A973) ]. При наличии заряда горизонт в решении Керра —
Ньюмена имеется при выполнении условия М2 > Q2 + а2, т.е. только при
этом условии решение описывает черную дыру и только такие решения
мы рассматриваем (ср. обсуждение в § 4.4).
Движение заряженной пробной частицы в метрике Керра - Ньюмена
может быть записано в виде, аналогичном D.5.1) — D.5.4). Обозначим
через Е сохраняющуюся энергию частицы с зарядом q и массой покоя т:
Е = -(р, + qJt), D.8.3)
79

/
где ра — 4-импульс частицы; сохраняющаяся,лроекция момента импульса
частицы на ось черной дыры
Уравнения движения записываются в виде
D.8.4)
Р2 ~ =(g'-cos29L2(^2-?-2)+-^-1)I/2, D.8.5)
d\ { I sin20JJ
, dy I Lz \ a
P2— [aE n-)+- [E(r2+a2)-Lta-qQr], D.8.6)
p2 — = -a(a?'sin2e-Lz)+(r2+a2)A-1[?(r2+a2)-Lza-qrB'-] D.8.7)
d\
[выражение для Q* см. D.5.5) ].
Следует подчеркнуть, что в таком общем виде уравнения описывают не
только явления, специфичные для черной дыры (в основном разобранные
в предыдущих параграфах), но и комбинацию их с обычными эффектами
движения пробной частицы в электромагнитном поле.
Физические поля в пространстве-времени Керра — Ньюмена обладают
многими свойствами рассмотренных выше полей Шварцшильда и вращаю-
вращающейся черной дыры. Помимо этого, в поле заряженной вращающейся чер-
черной дыры появляется качественно новое явление - взаимопревращение
электромагнитных и гравитационных волн. Мы остановимся на нем в гл.8.
Распространение волн в метрике Рейсснера — Нордстрема и доказатель-
доказательство ее устойчивости вне горизонта событий рассмотрены в работах
Бичака A972, 1979), Сибгатуллина, Алексеева A974* ),Монкрифа( 1974с,
1975), Зерилли A974), Чандрасекара, Ксантопулоса A979), Сибгатул-
Сибгатуллина A984*). Полная математическая трактовка этой проблемы для
вращающейся заряженной черной дыры изложена в уже упоминавшейся
книге Чандрасекара A983). О неустойчивости метрики Рейсснера —
Нордстрема внутри горизонта событий см. §§ 12.2, 12.3.

ГЛАВА 5
ОБЩИЕ СВОЙСТВА ЧЕРНЫХ ДЫР
§ 5.1. Асимптотически плоские пространства.
Диаграммы Пенроуза
До сих пор при описании свойств черных дыр мы ограничивались рас-
рассмотрением метрики Шварцшильда и метрики Керра, а соответствующее
пространство-время было стационарным и обладало дополнительным свой-
свойством симметрии. Исследование геодезических (отвечающих движению
пробных частиц и лучей света) и волновых полей в этих метриках позволи-
позволило нам описать ряд интересных и важных особенностей протекания физи-
физических эффектов в поле таких черных дыр. Естественно, возникает вопрос:
а существуют ли черные дыры, отличные от описанных? Каковы их свой-
свойства? Чтобы ответить на эти вопросы, прежде всего требуется распростра-
распространить приведенное выше определение на общий случай, когда пространство-
время уже не является стационарным. Такое обобщение очевидно. Резонно
и в общем случае называть черной дырой область пространства-времени,
откуда невозможен выход к отдаленному наблюдателю никаких, несущих
информацию сигналов.
Для придания строгого смысла этому определению следует лишь уточ-
уточнить, о каком классе наблюдателей идет речь и что на геометрически инва-
инвариантном языке означает понятие "отдаленный". Необходимые уточнения
легко сделать в том физически важном случае, когда вещество и источники
поля вдали от черной дыры отсутствуют, так что при удалении от нее геомет-
геометрия пространства-времени все меньше отличается от плоской. Пространст-
Пространство-время, обладающее этим свойством, называют асимптотически плоским.
При изучении черных дыр необходимость строгих определений для, каза-
казалось бы, наглядных понятий очевидна, ибо само существование этих объ-
объектов принципиально меняет структуру пространства-времени и его гло-
глобальные свойства по сравнению с плоским пространством-временем
Минковского. Так, например, в пространстве-времени Шварцшильда имеет-
имеется сингулярность, не все нулевые геодезические уходят на бесконечность.
Заметим, что такой геодезической является, например, круговая орбита
светового луча при г = 1,5 г^, причем эта геодезическая целиком лежит
вне черной дыры. Особо сложные ситуации могут возникать при формиро-
формировании черных дыр, их динамическом взаимодействии и слиянии. Полу-
Полуинтуитивных, наглядных соображений тут явно недостаточно.
Строгое определение асимптотически плоских пространств было предло-
предложено Пенроузом A963). К этому определению можно прийти посредством
следующих рассуждений.
Рассмотрим сначала, как устроено на бесконечности плоское простран-
пространство-время Минковского М. Для этого поступим обычным в геометрии
6. И.Д. Новиков 8"*

I'
a b
Рис. 49д. Конформная структура пространства-времени Минковского
Рис. 49ft. Диаграмма Пенроуза пространства-времени Минковского. На диа1"рамме
изображены времениподобные (/, /', . . .), иространственноподобная B) и световая
U) геодезические
способом - сделаем необходимое конформное преобразование, прибли-
приближающее бесконечно удаленные точки на конечное расстояние. Перейдем
сначала от обычных сферических координат t, r, 0, у в пространстве-вре-
пространстве-времени М к новым координатам ф, ?, в, у с помощью следующего преобра-
преобразования :
t+r = tg 4
0=
t-r = tgTj(i//-S). v= у,
-я/2 < ф - $ < ф + $'< я/2.
Тогда интервал ds2 записывается в^иде
ds2 =u'2d72 72 2 2
doj2 =d62 +si
где
E.1.1a)
E.1.1b)
E.1.2a)
E.1.2b)
Точкам на бесконечности в пространстве-времени Минковского соот-
соответствуют значения ф + g и ф - ? , равные ± я/2. Метрика ds2 при этих зна-
значениях координат теряет смысл, но конформная ей метрика dT2 при этом
регулярна*). Изучая конформную структуру на многообразии E.1.1)
с границей, мы изучаем тем самым конформную структуру пространства-
времени Минковского, включая бесконечность. Напомним, что при иссле-
*) При ? = 0 и ? = я метрика d72 имеет устранимые координатные сингу-
сингулярности.
82

довании общих свойств пространства-времени именно конформная струк-
структура важна, так как она определяет причинные свойства окрестности точек,
в том числе и свойства световых конусов.
Метрика ds2 является метрикой 4-мерного цилиндра S3 X К1
(рис. 49а). Неравенства E.1.1 Ь) вырезают на цилиндре область, соответ-
соответствующую М, на рис. 49 а она заштрихована (разумеется, мы можем изо-
изобразить только две из четырех координат, в и у опущены). Если
вырезать из цилиндра область М, разрезать ее в точке /° и развернуть на
плоскость, то получим рис. 49Ь. В таком виде обычно изображают кон-
конформный мир Минковского. Это — так называемая диаграмма Пенроуза
для М. Надо помнить, что на рис. 49Ь левая и правая точки /° совпадают,
т.е. должны быть "склеены".
На диаграмме Пенроуза все времениподобные кривые начинаются в точ-
точке /" и заканчиваются в точке /+, а все пространственные сечения прохо-
проходят через /° . Поэтому /" называют временной бесконечностью прошлого,
/+ - временной бесконечностью будущего, /° - пространственной беско-
бесконечностью.
Все нулевые геодезические в М начинаются на границе У~ (на световом
конусе будущего точки /" ) и заканчиваются на У* (на световом конусе
прошлого точки /+). Границы У~ и У* называют соответственно свето-
световой бесконечностью прошлого и световой бесконечностью будущего.
Мы видим, что границами М являются "бесконечности" .'/" , У* и точ-
точки Г, /\ 1°.
С помощью диаграмм Пенроуза удобно изучать глобальную структуру
пространства-времени и в случае, когда геометрия существенно отличается
от плоской. При этом принято использовать координаты, в которых свето-
световые лучи изображаются прямыми линиями с наклоном 45° (этим свойст-
свойством обладают, в частности, использованные выше координаты ф, ?).
В таких координатах особенно наглядна причинная структура, опреде-
определяемая расположением локальных световых конусов. Само собой разу-
разумеется, что на двумерных диаграммах Пенроуза изображается геометрия
определенных двумерных сечений пространства-времени.
Вернемся теперь к вопросу о бесконечно удаленных наблюдателях.
Мировые линии таких наблюдателей, покоящихся в точках г, г' ,г",г'"
{г < г' < г" < г '" ), изображены на рис. 49 b линиями 1, 1', l", 1'"
соответственно. Чем больше величина г , тем ближе к С1~ и ,У+ проходит
соответствующая линия. В пределе г -*¦ <х> она стремится к У и У* .
Поэтому логично называть бесконечно удаленными границами' М именно
,7~ и У*. Заметим, что фактор П в E.1.2), осуществляющий конформ-
конформное преобразование, обращается в нуль на ^У= У* U /У" , а его градиент
—— Ф 0 является световым вектором, касательным к образующим
поверхности У.
Для исследования мира вблизи У бывает удобно пользоваться вместо
E.1.1) другими координатами. Заметим, что интервал в мире Минков-
Минковского может быть записан с использованием запаздывающей световой
6* 83

координаты u-t—r:
ds2 = -du2~2dudr + r2dco2. E.1.3)
Далее, сделав преобразование p = r ~l , можно записать метрику в сле-
следующем конформном виде:
ds2 =Q.-2d72, d72 =—p2du2 +2dudp + doj2,
п = p = r'x . . E.1.4)
В этих координатах поверхность J+ описывается уравнением р = 0. Точка
на С/* с координатами «о, во, ^о отвечает переходу к пределу г -*-°° вдоль
выходящего светового луча и = «0, б =0<ь ^ = *0о- Координаты E.1.4),
однако, неприменимы для описания J". Аналогичным образом, путем
замены и на опережающую световую координату и = t + г, можно опи-
описать Cf~.
Исходя из того, что свойства асимптотически плоского пространства
в окрестности "бесконечности" должны быть аналогичны свойствам про-
пространства Минковского, Пенроуз A963, 1964, 1965b, 1968) предложил
следующие определения.
Сначала определяются так называемые асимптотически простые миры.
Пространство-время М с метрикой #м „ называют асимптотически прос-
простым, если существуют другое, "нефизическое" пространство Л?*) с грани-
границей дМ = Cf и регулярная метрика gм„ на нем такие, что 1) М\ЪМ кон-
конформно М, причем gм„ = 1Г2?М„; 2) П\м > 0, Щ ЗЛ? = 0, ftjM| ъ^ Ф0;
3) каждая световая геодезическая в М начинается и оканчивается на ЪМ.
Если в окрестности 3 метрика g м„ удовлетворяет вакуумным урав-
уравнениям Эйнштейна (или уравнениям Эйнштейна с тензором энергии-им-
энергии-импульса, достаточно быстро убывающим на бесконечности) и выполнены ес-
естественные требования причинности и ориентируемости пространства-
времени, то, как показал Пенроуз, асимптотически простое пространство
обладает следующими свойствами:
1. Пространство М имеет топологию R4, а его граница 3 является свето-
подобной и состоит из двух несвязных компонент С/= J+ U У~, каждая
из которых имеет топологию S2 X.R1.
2. Образующими поверхностей J* являются световые геодезические
в пространстве Л?, касательные векторы к которым совпадают cjf М"Г2 М1 .
3. При удалении в бесконечность вдоль световой геодезической тензор
кривизны в физическом пространстве М убывает, причем имеет место
свойство так называемого Последовательного вырождения. Мы не будем
подробно останавливаться здесь на этом свойстве, детальное описание его
можно найти в литературе [см., например, Сакс A964), Сибгатуллин
A984*)].
Свойство 1 означает, что асимптотически простое пространство гло-
глобально устроено так же, как пространство Минковского. В частности, оно
имеет сходную причинную структуру, и в нем "нет места" для черных дыр.
Чтобы учесть возможность существования локализованных областей с
*) Это пространство мы будем называть пространством Пенроуза.
84

сильным гравитационным полем, наличие которых не изменяет асимпто-
асимптотических (при г -*¦ °°) свойств пространства-времени, достаточно рассмот-
рассмотреть класс пространств, которые с помощью "вырезания" отдельных внут-
внутренних областей, содержащих те или иные особенности (связанные с силь-
сильным гравитационным полем), с последующим гладким "заклеиванием"
образовавшихся "дыр" могут быть превращены в асимптотически простые
пространства. Такие пространства получили название асимптотически прос-
простых в слабом смысле. Более строго, пространство М называют асимп-
асимптотически простым в слабом смысле, если существует асимптотически
простое пространство М такое, что для некоторого его открытого подмно-
подмножества К(ЪМ С К) область М П К изометрична подмножеству М. Асимп-
Асимптотически простые в слабом смысле пространства, в которых метрика в
окрестности С/ удовлетворяет вакуумным уравнениям Эйнштейна (или
уравнениям Эйнштейна с достаточно быстро убывающим тензором энергии-
импульса) , будем называть асимптотически плоскими.
Пространство-время Шварцшильда B.2.1) и Керра D.2.1) асимптоти-
асимптотически плоские. Диаграммы Пенроуза для них изображены на рис. 50 с и
67. Метрика с/Г2 пространства, конформного пространству-времени шварц-
шильдовской вечной черной дыры, может быть получена из метрики B.7.12)
путем перехода от координат Крускала и, v к координатам
1 2и 1 -2и
* = Tarct8
T8i -(»--«»)• ^T (v
-7г/2<* + ?<тг/2, _„/2<Ф-$ <тг/2,
-7г/4<Ф<тг/4,
с последующим выделением конформного фактора.
Отмеченное выше свойство 3 означает, что в асимптотически плоских
пространствах в окрестности /У эффекты, связанные с кривизной, пренеб-
пренебрежимо малы, а само пространство-время мало отличается от плоского.
В частности, в этой области с хорошей точностью выполняются обычные
законы сохранения энергии-импульса, а движение пробных тел прибли-
приближенно можно считать равномерным и прямолинейным. В соответствии
с этим в асимптотически плоском пространстве можно определить группу
асимптотических симметрии. Для этого заметим, что преобразование из
группы Пуанкаре пространства Минковского в декартовых координатах
имеет следующий вид:
х^х'^А^х'+а», E.1.5)
гдеЛМ1,— матрица преобразования Лоренца, ям - вектор трансляции, отве-
отвечающий сдвигу начала координат. Введем теперь в пространстве Минков-
Минковского запаздывающие (и, г, в, у) или опережающие (и, г, в, tp) коорди-
координаты, и пусть н1 обозначает либо запаздывающую («), либо опережающую
(и) временную координату. Тогда преобразованию E.1.5) отвечает, сле-
следующее преобразование координат w, r, в, у:
w' = w'(w. Г, в, if), Г = r'(\V, Г, в, if), . ,,
в' = 0'(и\ г, в, (/?). V ~ v'(w, r, в, у).
В пределе г -* °° функции, описывающие это преобразование, принимают
85

более простой вид. В частности, сдвигам (Лм„ = 0)в физическом простран-
пространстве-времени в этом пределе отвечают следующие преобразования:
w' = w + а0 +д, sin0 cosi^ +a2 sin0 sin(^ +д3 cos0,
fl'-в,*'-*, ( }
осуществляющие сдвиг поверхности Jвдоль своих образующих.
Этот результат можно описать более формальным образом, допускаю-
допускающим естественное обобщение на случай произвольных асимптотически
плоских пространств. Пусть Iм— векторное поле Киплинга, отвечающее
преобразованию симметрии в физическом пространстве-времени M(V^V {• **)=
= 0); тогда в конформном пространстве М оно удовлетворяет соотно-
соотношению
Vе" ^-П ^П^Г^О, E.1.8)
где Vм — ковариантная производная в метрике jfMt, = ?22?М1>. В общем
случае, если пространство-время М не допускает точных изометрий, урав-
уравнение E.1.8) не имеет нетривиальных решений. Это справедливо, в част-
частности, для асимптотически плоских пространств общего вида. Однако,
если ограничиться рассмотрением окрестности С/ и потребовать, чтобы
уравнение E.1.8) выполнялось лишь на ^У , то оно вновь имеет решения.
Эти решения определяют векторные поля, генерирующие преобразования
асимптотических симметрии. Замечательным является тот факт, что груп-
группа, отвечающая этим преобразованиям, не зависит от того или иного кон-
конкретного выбора представителя класса асимптотически плоских прост-
пространств. Эта группа получила название группы Бонда — Метцнера — Сак-
Сакса (сокращенно БМС-группы). Подробное изложение ее свойств и описа-
описание ее представлений можно найти^в работах Сакса A962), Бонда и др.
A962), Пенроуза A964), Маккарти A972а, Ь, 1973), Маккарти, Крэм-
пина A973), Воловича и др. A978*)• Здесь мы лишь кратко остано-
остановимся на основных свойствах этой группы, существенных для дальнейше-
дальнейшего изложения.
Из-за того, что БМС-группа преобразований сохраняет лишь асимпто-
асимптотический вид метрики, а гравитационное поле медленно спадает на беско-
бесконечности, эта группа бесконечномерна и шире, чем группа Пуанкаре,
точно сохраняющая форму метрики плоского пространства. Важным свой-
свойством БМС-группы является 'то, что в ней имеется однозначно выделяе-
выделяемая нормальная 4-мерная подгруппа преобразований трансляций. В про-
пространстве Минковского действие этой подгруппы на CI совпадает с E.1.7).
В общем случае в асимптотически плоском пространстве в окрестности J
можно ввести координаты, в которых преобразования подгруппы транс-
трансляций имеют вид E.1.7). Подобные координаты называют, конформ-
конформными координатами Бонди [см. Тамбурино, Виникур A966), Волович и
др. A978*)].
Итак, мы описали класс асимптотически плоских пространств, обладаю-
обладающих асимптотическим поведением, сходным с асимптотическим поведе-
поведением пространства Минковского, и изложили кратко их свойства. В этом
классе пространств естественным образом можно ввести понятие асимп-
асимптотически удаленного наблюдателя, движение которого происходит почти по
инерции. Теперь можно дать строгое определение черной дыры. Однако
86

прежде чем сделать это, мы остановимся кратко еще на одном вопросе,
связанном с теорией рассеяния безмассовых полей в асимптотически плос-
плоских пространствах, которая нам потребуется в последующих главах.
Введенное выше определение асимптотически плоского пространства
оказывается особенно удобным при обсуждении задачи рассеяния без-
безмассовых полей и, в частности, при описании свойств гравитационного из-
излучения. Универсальный характер поведения (~1/г) в волновой зоне (в
асимптотической области) этих полей позволяет с помощью конформного
преобразования перейти от задачи рассеяния в физическом пространстве-
времени к задаче с регулярными начальными данными на световой границе
прошлого С/ ~ в пространстве Пенроуза. При этом оказывается, что из
регулярности поведения конформно преобразованного поля в окрестности
J вытекает определенный закон спадания этого поля в асимптотической
области.
Проиллюстрируем сказанное на примере скалярного безмассового кон-
конформно-инвариантного поля, описываемого уравнением
= 0 E.1.9)
в асимптотически плоском пространстве (Л/, ?м„). Осуществим с помощью
конформного преобразования ?м„ = J2~2?"Ml, переход к конформному
пространству Пенроуза (М, g, ?2), дополнив его конформным преобразова-
преобразованием поля tp -» <р = П'1 tp. Значения поля ip на световых границах прошлого
С/ ~ и будущего ?(* будем называть образами поля у на «7~ и J+ и обоз-
обозначать соответствующей заглавной буквой:
?1 +=ф»п • E.1.10)
Поле (ръ пространстве Пенроуза удовлетворяет уравнению
= 0, E.1.11)
где ? = gae Va Vp и R - скалярная кривизна метрики gap. Задание образа
Ф|П поля у в асимптотически простом пространстве позволяет найти у пу-
путем решения уравнения E.1.11) с начальными данными на регулярной
световой поверхности ?1~ и тем самым определить Фот- Иными словами,
в асимптотически простом пространстве при условии, что асимптотически
регулярное решение существует глобально, имеет место взаимно однознач-
однозначное соответствие между полем у и его образами на ;У~ и Cl+ :
Условие асимптотической регулярности при этом играет роль условия
излучения, а задача классической теории рассеяния может быть сформу-
сформулирована как задача нахождения образа на У+ решения у, которое обладает
заданным образом на ,7". Заметим, что асимптотически регулярное поле
в асимптотической области (вблизи J) имеет вид
|^~Ф?2. E.1.13)
В пространствах Минковского в координатах E.1.4) это поведение отве-
отвечает следующей асимптотике в волновой зоне:
Фои,(«, в,у)
^ т E.1.14)
87

Описанный метод легко обобщается на случай других безмассовых полей
[по этому поводу см., например, Пенроуз A965b, 1968), Пирани A964),
Воловичидр. A978*), Фролов A979, 1986*)].
Наличие группы асимптотических симметрии в асимптотически плоском
пространстве позволяет определить для безмассовых полей такие величины,
как знергия и импульс падающего или выходящего потока. Пусть ??,4 (а =
= О, 1, 2, 3) — генераторы подгруппы трансляций БМС-группы, действую-
действующие на 'Jx . Выражение для энергии (а = 0) и импульса (а = 1, 2, 3) падаю-
падающего (выходящего) излучения записывается следующим образом:
P%± = -S VUs^da^ E.1.15)
э±
где Гм„ = п~2 T)iV,2iT)iV- метрический тензор энергии-импульса рассматри-
рассматриваемого поля. Нетрудно убедиться, что для асимптотически регулярных
полей в плоском пространстве-времени Р$± совпадает с полной знергией-
импульсом системы, определяемой стандартным образом с помощью
векторных полей Киллинга, отвечающих трансляциям. В общем случае
в асимптотически плоском пространстве выражение E.1.15) может быть
записано в терминах образов безмассовых полей на CI * . В частности, для
скалярного поля,удовлетворяющего уравнению E.1.9),имеем
E.1.16)
- я "I б ¦ J
где
Na = A, sin в costp, sin в sin tp. cos в). E.1.17)
Заметим, что для полей ч> типа волновых пакетов, обладающих конечной
энергией, значение I Э„Ф2 | убывает при I и | -*¦ °° и второй член после интег-
интегрирования по частям может быть опущен:
Рд =/ Na(bu<i>fdudu. E.1.18)
Аналогичным образом записываются в терминах образов полей на С/±
выражения для энергии-импульса падающего и выходящего потоков для
других безмассовых полей [см., например, Фролов A986*)].
§ 5.2. Горизонт событий. Теорема Пенроуза
Теперь мы можем дать строгое определение понятия черной дыры. В
асимптотически плоском пространстве-времени черная дыра определяется
как такая область, откуда никакой причинный (т.е. движущийся со скоро-
скоростью, не превосходящей скорости света) сигнал не может выйти на 3 + .
Причинная кривая, описывающая распространение подобного сигнала,
является гладкой кривой (касательный вектор к которой «м обладает
свойством м^мм <0) либо состоит из кусков таких кривых. Определим
причинное прошлое J~(Q) для некоторого множества Q как множество
точек, обладающих тем свойством, что для каждой из них найдется причин-
причинная кривая, направленная в будущее и соединяющая ее с одной из точек Q.
Множество событий, видимых отдаленным наблюдателем, совпадает с
88

J~(J + ). Граница этого множества/ ( У + ), которую мы будем обозначать
Н+, называется горизонтом событий. Горизонт событий является границей
черной дыры. Разумеется, в ограниченной области пространства-времени
может существовать не одна, а несколько черных дыр, могут возникать
новые дыры, существующие дыры могут взаимодействовать и сливаться.
В этом случае J~( Cf+) является совокупностью границ всех черных дыр.
Отсутствие горизонта событий в асимптотически плоском пространстве
означает, что все события, происходящие в этом пространстве, со временем
могут быть зарегистрированы отдаленным наблюдателем. Появление
горизонта событий свидетельствует о возникновении черной дыры, о том,
что в результате сильного возрастания гравитационного поля качественно
изменяется причинная структура пространства-времени. Возросшее гравита-
гравитационное поле препятствует выходу сигналов наружу, в результате чего
наблюдатель, если только он не решится пересечь горизонт событий и упасть
внутрь черной дыры, никогда не узнает о том, что происходит внутри нее.
На рис. 50а и b изображена сферически-симметричная черная дыра,
возникающая при коллапсе сферической звезды. Это, как мы знаем, про-
простейший вид черной дыры. На рис. 50а показано пространство-время
такой дыры в координатах Эддингтона - Финкельштейна, на рис. 50Ь -
диаграмма Пенроуза для соответствующего пространства-времени. Послед-
Последнюю можно получить из диаграммы Пенроуза для полного пространства-
времени вечной черной дыры, изображенной на рис. 50с, "разрезанием"
ее вдоль линии /, отвечающей движению поверхности коллапсирующего
тела, с последующим "приклеиванием" слева части диаграммы Пенроуза,
описывающей метрику внутри коллапсирующего тела. Как ьидно из пос-
последнего рисунка, поверхность гравитационного радиуса вне коллапсирую-
коллапсирующего тела совпадает с Н+, область внутри Н* является черной дырой. Беско-
Бесконечность данного пространства-времени (рис. 50Ь) устроена так же, как и
бесконечность пространства-времени Минковского. Следует обратить
внимание на то, что область, из которой лучи света не могут выйти на беско-
бесконечность (т.е. черная дыра), возникает не в момент времени, когда звезда
сжимается до размера, равного ее гравитационному радиусу (не в момент
Т)), а раньше — в момент т^. Горизонт событий п образуют сигналы,
идущие со скоростью света и вышедшие из центра звезды как раз в такой
момент т0, что достигают поверхности звезды, когда она сжимается до
гравитационного радиуса.
Пересечение горизонта событий с произвольной пространственноподоб-
ной поверхностью 2(т), уравнение которой имеет вид т(х) = const, в общем
случае состоит из набора замкнутых двумерных поверхностей Э ^5,(т) (/ =
= 1, ...,N), которые можно рассматривать как границы существующих
в данный момент времени т черных дыр.Часть ?(т), ограниченную Эй),(т),
называют черной дырой $,(т) в данный момент времени. Число черных
дыр может изменяться со временем.
В окрестности точки возникновения горизонта событий, как видно из
рис. 51а, поверхность горизонта не является гладкой. Подобные нерегуляр-
нерегулярные точки могут возникать на горизонте событий, например, при падении
вещества внутрь. Вне этих нерегулярных точек поверхность горизонта
событий является светоподобной. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим
ситуации, изображенные на рис. 51.
89

r=0
Рис. 50G. Пространство-время сферически-симметричной черной дыры в координатах
Финкелышейна
Рис. 50Л. Диаграмма Пенроуза для пространства-времени сферически-симметричной
черной дыры. Линия / изображает движение поверхности коллапсирующего тела.
Конформный фактор выбран так, что линия г = 0 (центр тела) вертикальна
Рис. 50с. Диаграмма Пенроуза для "вечных" черной и белой дыр. Линия / - мировая
линия пробной частицы
Рис. 51. Регулярная часть горизонта событий является светоподобной поверхностью.
Предположение о том, что горизонт событий имеет участок, где он времениподобен
(а) или пропранственноподобен (Ь, с), приводит к противоречию. Область, лежащая
внутри горизонта событий, заштрихована
Предположим сначала, что в окрестности некоторой регулярной точки р,
лежащей на горизонте событий, его поверхность времениподобна (рис. 51а).
Чтобы получить противоречие, достаточно рассмотреть поведение световых
лучей в малой окрестности точки р. Поскольку пространство-время локаль-
90

но устроено точно так же, как пространство Минковского, то световые
лучи, испущенные изр, образуют локальный световой конус, направленный
в будущее. Времениподобная часть горизонта делит этот конус на две части:
часть из лучей идет внутрь черной дыры (влево от Н+), а часть — во внешнее
пространство (вправо от Н+). Но точки внешнего пространства по опреде-
определению находятся в J'( J+), а это означает, что из точки р можно послать
причинный сигнал, выходящий на 3+. Очевидно также, что это возможно
и для точек, лежащих левее Н+, достаточно близко от р. Последнее, однако,
противоречит предположению, что эти точки лежат внутри черной дыры.
Предположим теперь, что горизонт событий имеет регулярную простран-
ственноподобную часть. Если множество J~( ?/+) расположено в будущем
от этой части Н (рис. 51Ь), то световые лучи, испущенные в будущее в
точке р и ее малой окрестности, лежащей внутри Н+, выходят в/"( J + )
и тем самым видны для отдаленного наблюдателя. Это противоречит
сделанному предположению, что область внутри Н+ является черной дырой.
Если множество У~( У + ) расположено в прошлом от рассматриваемой
части Я* (рис. 51с), то в малой окрестности этой части Н+ найдется такая
точка р, что световой конус будущего с вершиной в этой точке целиком
упирается в Н+, Это значит, что событие р не видно отдаленному наблюда-
наблюдателю и точка р не может лежать в J~( У +), что противоречит сделанному
предположению. Приведенные соображения, хотя, конечно, и не абсолютно
строги, показывают, почему регулярные участки горизонта событий явля-
являются световыми поверхностями.
Более детальное описание структуры горизонта событий составляет
содержание теоремы, доказанной Пенроузом A968). Согласно этой теоре-
теореме горизонт событий образован световыми геодезическими (образующи-
(образующими) , у которых в будущем нет граничных точек. Если проследить поведе-
Рис. 52. Иллюстрация к теореме Пенроуза о структуре горизонта событий
Рис. 53. Черная дыра не может распасться на две или более черных дыр. Ситуация,
изображенная на рисунке, когда одиночная черная дыра распадается на две,
невозможна
91

ние любой образующей в будущем, то оказывается, что она никогда не
покинет горизонта Н+ и никогда не пересечется с другой образующей. При
движении вдоль выбранной образующей в прошлое возможны два вариан-
варианта: либо она всегда лежит на Н+, либо в некоторой точке этот световой луч
входит в Н+, покидая область У"( J +), лежащую вне черной дыры. В точке
входа этой образующей в Я+ имеется пересечение ее с другими образующи-
образующими (каустика). Вне каустик через каждую точку горизонта проходит
только одна образующая. Все сказанное проиллюстрировано на рис. 52.
На этом рисунке новые пучки лучей входят в Н+ в каустике 2, когда в
черную дыру падает вещество. Каустика / отвечает точке возникновения
горизонта событий. Каустики могут возникать при падении в черную дыру
гравитационного излучения или при слиянии двух или нескольких черных
дыр.
Ситуация, изображенная на рис. 53, когда одиночная черная дыра под
каким-либо внешним воздействием распадается на две (или более) черные
дыры, оказывается невозможной. Действительно, при таком процессе две
(или более) удаленные в начальный момент То точки поверхности черной
дыры сближаются и пересекаются в момент т{ образования "перетяжки".
Это означает, что по крайней мере пара образующих горизонта событий
при продолжении их в будущее пересекаются между собой, что противоре-
противоречит теореме Пенроуза. Утверждение о невозможности распада или уничтоже-
уничтожения черной дыры допускает строгое доказательство, которое можно найти
в книге Хокинга, Эллиса A973).
§ 5.3. Теорема Элерса — Сакса.
Фокусировка световых лучей
гравитационным полем
Целый ряд важных свойств черных дыр непосредственно связан с тем,
что горизонт событий, ограничивающий черную дыру, является световой
поверхностью. Поэтому, прежде чем перейти к изучению этих свойств,
остановимся более подробно на описании световых поверхностей в искрив-
искривленном пространстве-времени.
Пусть в пространстве-времени с метрикой #м „ задана световая поверх-
поверхность Г, уравнение которой в локальных координатах хм записывается в
виде ф(х11) = 0. Тогда градиентный вектор ^>м является световым на Г :
#'"V>/il0,i; L _ 0 = 0- Вне Г это соотношение, вообще говоря, не выполняет-
выполняется. Однако можно показать [см., например, Курант A962)], что произвол
в выборе функции >р может быть использован так, что поверхность Г (у(х) =
= 0) окажется включенной в однопараметрическое семейство световых
поверхностей Гс (?р(х) = с). Без ограничения общности будем считать, что
такое включение произведено. Тогда
*Д1Чд*,, = 0. E.3.1)
Если обозначить l>i=gllv^iV, то соотношение E.3.1) означает, что вектор
/м — световой и является касательным к поверхностям Гс. Более того,
используя свойство <pillyV ~ "Л v;ii и равенство E.3.1), имеем /"/^;к = ¦/"/„.,, =
92

= —(/"/у)>fi = 0, т.е. интегральные кривые векторного поля
E.3.2)
dr
являются геодезическими, причем г — аффинный параметр. Если начальная
точка интегральной кривой E3.2) лежит на световой поверхности Г, то
она целиком принадлежит этой поверхности, а сама Г образована двумер-
двумерным семейством световых геодезических (образующих). Пусты -аффин-
-аффинный параметр вдоль образующих, г у" (а = 1, 2) — непрерывные параметры,
их "нумерующие". Тогда решение уравнения ^=0 можно записать в сле-
следующем параметризованном виде: х11 =/м(г,у"), причем имеют место
соотношения
u_df* Э/» _
or о у
С физической точки зрения поверхность Г описывает распространение
фронта световой волны, а ее образующие — световые лучи, ортогональные
фронту. Если выделить узкий пучок световых лучей, то информацию об их
поведении можно получить с помощью следующего эксперимента. Располо-
Расположим на пути пучка (ортогонально ему) непрозрачный объект, а на некото-
некотором расстоянии от объекта поместим ортогонально пучку экран. Тогда
теорема, доказанная Элерсом и Саксом [Йордан и др. A961), Сакс
A961)], утверждает, что все части тени достигают экрана одновременно;
размер, форма и ориентация тени зависят только от положения экрана и не
зависят от скорости движения наблюдателя, а если экран расположен на
малом расстоянии 5 г от объекта, то .увеличение и деформация тени опреде-
определяются величинами в 5г и \ о \8г,где
" E.3.4)
Мы воспроизведем здесь основные этапы доказательства этой теоремы
применительно к рассматриваемому случаю. Это позволит нам более
/Г
Рис. 54. Иллюстрация к теореме Элерса - Сакса о распространении световых лучей
93

детально описать ряд важных характеристик световых поверхностей *).
Пусть световой луч 7о, описываемый уравнением хц =/м(г, у о), пересекает
мировую линию наблюдателя в точке xf =/ц(г1 , .)'о) и четырехмерная
скорость наблюдателя в этот момент есть U? (рис. 54). С точки зрения
наблюдателя множество 11] событий xtf+dx*', одновременных этому
событию, удовлетворяет условию
l/lMdx"=0. E.3.5)
Выберем аффинный параметр г так, чтобы в точках пересечения лучей
пучка с Hi выполнялось условие г = Г\. Если потребовать, чтобы смещения
^ дополнительно удовлетворяли условию
MO, E.3.6)
то эти два условия совместно определяют двумерную гоющадку, перпенди-
перпендикулярную (в системе отсчета <7{*) пучку световых лучей. Пусть е° (а =
= 1, 2) — единичные ортогональные друг к другу векторы, а та =
= Г I/2(e? + ief) .Тогда имеем
тата = тат а = 0, тата = 1. E.3.7)
Предположим теперь, что на пути светового пучка расположен объект,
причем так, что часть двумерной площадки, ограниченная кривой
$¦ а(в) sха(в) - х? = f (в) ina + f(d)ma, E.3.8)
оказывается непрозрачной для световых лучей. Тогда за площадкой
возникнет область тени, граница которой определяется условием
*" =/"('. Уо+Ьу"@)), E.3.9)
где Vo + 8^"(б) — значение параметра „va светового луча, проходящего
через точку площадки*0^), а
/"(/•b.)'o+S;'a@))=^+rU0). E3.Ю)
Пусть световой луч То при продолжении в точке х$ =^(гг, уо) пересе-
пересекает мировую линию 2 другого наблюдателя, четырехмерная скорость
которого в этот момент равна U% (см. рис. 54). С точки зрения этого
наблюдателя пространство 112 событий, одновременных с х%, растягивается
векторами dxu =хи - х$, удовлетворяющими соотношению U2iidx^ = 0.
Используем произвол (/•-*/•' -A (y")(r ~ гх) +гх) в выборе аффинного
параметра, чтобы добиться выполнения равенства г = гг для всех световых
лучей пучка в точках их пересечения с 1Ь • Нетрудно убедиться, что двумер-
двумерная площадках^ =f^(r2 ,Уо + &)'"), описывающая положение фронта волны
в момент х% в системе отсчета U% ортогональна направлению светового
ър>
луча, касательный вектор к которому/^ = (Гг-Уо). Тем самым доказа-
Ъг
но, что все части тени одновременно достигают экрана, расположенного
перпендикулярно пучку.
*) Вопрос о конгруэнциях световых геодезических в искривленном пространстве-
времени подробно освещен, например, в обзорах Пирани A964) и Фролова <1976*а),
где приведены также соответствующие ссылки.
94

Размер, форма и ориентация изображения на экране определяются
однозначно, если известны скалярные произведения HiX^ ¦ 8г*ц №1Я
произвольной пары векторов, соединяющих точку xj? с точками попада-
попадания на экран световых лучей с параметрами у о + Ьуа\ и yi + bv\:bix>i =
= (Г2,Уо)^У?¦ Нетрудно убедиться в том, что при переходе в другую
Ъу"
систему отсчета UJ1 векторы SjX^ преобразуются следующим образом:
5,' хц =djX^ +a,l^, а значения скалярных произведений остаются неизмен-
неизменными:
«,*" •«,*„= 6,*"-«ix,,. E.3.11)
Тем самым показано, что размер, форма и ориентация тени не зависят от
скорости движения наблюдателя.
Поскольку характеристики изображения на экране не зависят от выбо-
выбора наблюдателя, возьмем, для удобства, в качестве Щ вектор, получаемый
из Щ параллельным переносом вдоль 7о- Обозначим через т% результат
такого переноса вектора т*1. Поскольку при параллельном переносе сохра-
сохраняется ортогональность т^ векторам /** и f'.iomjH тЧ растягивают
двумерную площадку экрана, ортогонального световому пучку в системе
Ъ fir, у о)
j отсчета U%. Определим вектор ??(/¦) = &}'", соединяющий точку
Ъуа
с аффинным параметром г луча у0 с точкой с тем же аффинным парамет-
параметром на световом луче у с параметрами Vo + &у". Используя выражение для
П 2" 2"
/I / =— J и свойство симметрии = —-— , имеем
\ Ъг I ЪгЪуа ЪуаЪг
'"ff ;«-« ^« s'"??.,«-Г?''.в=0. E3.12)
Вектор ff(/-2) = (? + Sf) ъ? + (f + 5f )*пг отвечает точке попадания луча у
на экран. Обозначим fu(r) вектор, получаемый в точке г в результате
параллельного переноса вектораfа = ??(/"i) = ?in01 + f т01 вдоль 7о:
laSfi.a =0. E.3.13)
Поскольку в начальной точке/-j векторы f f и fa совпадают, то для малых
расстояний Ьг=гг — гг экрана от объекта находим
ff =E%+/а;C5г)Г- E.3.14)
Умножая обе части этого равенства на та и обозначая
Р=-1л#"Рт*' о=-1Лфтат*, E.3.15)
получаем
of)«r. E.3.16)
Таким образом, отображение
Г-»Г'=Г + 5Г =f(i_p5r)-f br E.3.17)
устанавливает связь между формой предмета и формой тени.
95

Если в качестве предмета выбрать круг, граница которого ?(в) - ехр(|0),
то граница тени определяется соотношением
?' = A - р 8г)ехрЦв) - о 8r exp(- iO), E.3.18)
описывающим эллипс с полуосями а± = [1 — (р +р Т I о | M ;• ], площадь
которого равна па+а_ = n[l - (р, + р ) 8г], и, следовательно, фактор
в = — Re р определяет увеличение линейного масштаба. Модуль сдвига | о |
определяет степень сжатия круга и выражается через а+/а_ =1 + 2 I о \ 8 г.
Величины р и | а|,не зависящие от выбора векторов так характеризую-
характеризующие расширение и сдвиг конгруэнции световых лучей, получили название
оптических скаляров. Следует подчеркнуть, что инвариантами являются
величины р8г и о8г, а ри а при изменении аффинного параметра преобра-
преобразуются линейным образом. Нетрудно убедиться, что если рассматриваемая
световая поверхность *р(х) - 0 включена в семейство световых поверхно-
поверхностей >р (х) = с и /а = dai?, то
Р = —J /а:«. I ° I' =7 ^;C/Q;fJ - Р2. E.3.19)
Следует подчеркнуть, что поскольку /а.,з =^.а;C =/„.q , то оптический
скаляр р для конгруэнции световых лучей, образующих поверхность Г,
является действительной величиной: р = р~. Полученные выше соотношения
завершают доказательство теоремы Элерса - Сакса.
Если обозначить площадь сечения узкого светового пучка через 8А, то
ее изменение описывается следующим уравнением, вытекающим из
E.3.18) при р=р:
— (8АI/г*-р(8А)Ч2. E.3.20)
dr
При р > 0 площадь сечения пучка при увеличении аффинного параметра
убывает.
Поведение оптических скаляров р и о вдоль световых лучей описывается
системой обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.
Вывод этих уравнений основан на использовании тождества
1ц;а;0 = 1ц;0;а + R" ца$ h- E.3.21)
Умножая обе части этого соотношения на l^mlifna, выбирая для удобства
тц параллельно переносимым вдоль /**, учитывая условие геодезичности
/"/<* . ц = 0 и соотношение Rv&lvl& = 2RViia0lvl&m^m a, получаем следующее
уравнение:
— = р2 +оо +Ф, E.3.22)
dr
где Ф = — RaplalP. Аналогично выводится уравнение для о:
do
— = о{р+р) + Ъ, E.3.23)
dr
гдеФ =Ca0lSlclm0l'lms;Col0lS - тензор Вейля [см. (П. 4)] *).
*) Оптические скаляры р и а определяются соотношением E.3.19) для произволь-
произвольной световой геодезической конгруэнции; при этом соотношения E.3.22) и E.3.23)
96

Если предположить, что имеется пробный пучок, образованный свето-
световыми лучами, для которого в начальный момент выполнено условие
р = а = 0, то часть кривизны Ф (при ч> = 0) действует как линза без астигма-
астигматизма (о остается равным нулю), в то время как часть кривизны чУ (при
Ф = 0) действует как чисто астигматическая линза (р остается равным
нулю).
Соотношение E 3.22) позволяет доказать следующее важное утверж-
утверждение.
Теорема о фокусировании. Пусть Ф > 0 и в некоторой точке светового
пучка г = г0 выполняется неравенство р = р0 > 0: тогда на конечном рас-
расстоянии г - г0 < Ро1 от этой точки пучок света достигает фокальной точки
и площадь его сечения обращается в нуль.
Для доказательства этого утверждения достаточно воспользоваться
следующим соотношением:
—- EЛI/2 =-(аа +Ф)EЛI/2, E.3.24)
йгг
которое получается из E.3.20) с помощью дифференцирования и уравне-
уравнения E.3.22). Поскольку правая часть этого соотношения неположительна,
топриг>г0 d(8A)ll2/dr <- poEA)ll2(r = г0) и, следовательно, (ЗАI12
обращается в нуль при значении параметра г , удовлетворяющем неравенст-
неравенству 0 < г - г0 < Ро1.
Если гравитационное поле описывается уравнениями Эйнштейна, то
условие Ф>0 эквивалентно соотношению T^J^T >0. Это условие выпол-
выполняется, в частности, если тензор энергии-импульса, описывающий распреде-
распределение вещества и полей, удовлетворяет слабому энергетическому условию
(см. Приложение), т.е. плотность энергии Тц„и^и" в системе отсчета
произвольного наблюдателя (ициц = — 1) неотрицательна. Для доказатель-
доказательства того, что Ф > 0 вытекает из слабого энергетического условия, достаточ-
достаточно рассмотреть предельный случай, когда аA1)иц -* /*\
Имеются основания считать, что при описании вещества и физических
полей в рамках классической теории слабое энергетическое условие всегда
выполняется. Это означает, что всякий поток энергии-импульса через
световую поверхность оказывает фокусирующее действие на световые лучи.
§ 5.4. Теорема Хокинга. Принцип космической цензуры
Согласно теореме Пенроуза горизонт событий является световой поверх-
поверхностью, образующие которой при продолжении их в будущее никогда не
пересекаются между собой. Каустики на горизонте, отвечающие образова-
образованию новых пучков образующих (р = — °°), могут возникать в результате
падения внутрь черной дыры вещества, столкновения и слияния черных
дыр и при воздействии на черную дыру поля от внешних источников. Эти
особенности горизонта событий в сочетании с общими теоремами о свето-
световых поверхностях, доказанными ранее, позволяют вывести ряд важных
утверждений относительно общих свойств черных дыр.
также оказываются выполненными. В случае, если /''являются касательными векто-
векторами к световой поверхности, то р удовлетворяет условию р = <Г.
7.И.Д. Новиков 97

Рассмотрим бесконечно узкий пучок образующих горизонта событий.
Пусть сечение этого пучка в точке с аффинным параметром г имеет пло-
площадь 8 А (г). Отметим, что, согласно теореме Элерса — Сакса, величина
ЗА (г) не зависит от конкретного выбора локального наблюдателя, ее изме-
измеряющего, и поэтому имеет инвариантный смысл. Предположим, что в
некоторой точке г о площадь сечения выбранного пучка начинает убывать,
а тензор энергии-импульса, описывающий вещество и физические поля,
окружающие черную дыру (и, возможно, падающие в нее), удовлетворяет
слабому энергетическому условию. Тогда, по теореме о фокусировании,
образующие горизонта событий, входящие в пучок, должны пересечься
при конечном значении аффинного параметра. Чтобы согласовать этот
результат с теоремой Пенроуза, приходится сделать вывод, что либо имеет-
имеется физическая сингулярность на горизонте и образующие горизонта попада-
попадают в нее, прежде чем начнут пересекаться, либо неверно предположение,
что площадь сечения пучка образующих может начать уменьшаться. Иными
словами, предположение об отсутствии сингулярностей, на которые может
натолкнуться горизонт событий, совместно со слабым энергетическим
условием приводят к тому, что площадь сечения пучка образующих гори-
горизонта событий не убывает со временем. Хокинг A971b, 1972a) доказал
теорему, согласно которой площадь сечения пучка образующих не убывает
со временем даже в том случае, если вместо предположения об отсутствии
сингулярности на горизонте событий потребовать, что отсутствовали сингу-
сингулярности, видимые сЗ+. Подобные (видимые с У+) сингулярности назы-
называют голыми. Условие отсутствия голых сингулярностей более строго
формулируется как условие существования такой регулярной пространст-
венноподобной поверхности 2, что все причинные кривые, выходящие на
J + при продолжении их в прошлое, обязательно пересекают 2. Существова-
Существование такой поверхности гарантирует, что задание на ней начальных данных,
полностью описывающих состояние частиц и полей однозначно определяет
эволюцию системы в области, видимой с ^У+, а это эквивалентно отсутст-
отсутствию видимых с .7+ сингулярностей. По терминологии Хокинга такие
пространства называют асимптотически предсказуемыми.
Таким образом, если предположить, что отсутствуют сингулярности
(либо на горизонте событий, либо вне его), то площадь сечения каждого
пучка образующих горизонта событий не убывает со временем. С другой
стороны, если на горизонте событий имеются каустики, где возникают
новые пучки образующих, площадь сечения горизонта возрастает. Иными
словами, сумма площадей S,(t) поверхностей черных дыр 53,-(?) является
неубывающей функцией "времени" т. (Мы считаем, что /*ViA <0, т.е.
сечение горизонта событий в более поздний момент т отвечает большим
значениям аффинного параметра вдоль каждой образующей.) Аналогичный
вывод о неубывании площади поверхности справедлив и для отдельно
взятой черной дыры 3%((т). Эти результаты составляют содержание теоремы,
доказанной Хокингом A971b, 1972а) (рис. 55).
Обсудим кратко те предположения, в рамках которых эта теорема дока-
доказана. Таких предположений два: 1) отсутствие голых сингулярностей и
2) выполнимость слабого энергетического условия. В настоящее время
имеется гипотеза, высказанная Пенроузом A969) и получившая название
"принципа космической цензуры", согласно которой при физически разум-
98

Рис. 55. Возможные процессы с черными
дырами (иллюстрация к теореме Хокин-
га). Плоскости т;, т2> т, обозначают про-
пространственные сечения в соответствующие
моменты времени; 5а(т/) - площадь
черной дыры а в момент времени т/-
Две черные дыры могут сливаться в одну,
черные дыры могут 'возникать. Площадь
поверхности одиночной черной дыры не
убывает со временем. Теорема Хокинга
утверждает, что общая площадь поверхно-
поверхностей черных дыр в момент времени т
является неубывающей функцией времени
Образование
нобои ^
черной дыры
t=t,
ных предположениях относительно свойств вещества и полей голая (т.е.
видимая удаленным наблюдателем) сингулярность не может образоваться
в результате эволюции системы из регулярного начального состояния *).
Другими словами, сингулярности, возможно, возникающие при эволюции
таких систем, всегда оказываются скрытыми от отдаленного наблюдателя
горизонтом событий.
В настоящее время доказательство зтого принципа отсутствует. Трудно-
Трудности возникают уже при попытке более точного описания того, что следует
понимать под сингулярностью**). Нетрудно привести примеры, когда при
сферическом коллапсе вещества (пыли или жидкости) ц результате негомо-
логичности движения его слоев, вне горизонта событий образуются особые
'поверхности, на которых плотность вещества обращается в бесконечность
[Йодзис и др. A973, 1974) ,Кристодулу A984)] . Возможно также появле-
появление бесконечной кривизны в случаях, когда сжатие звезды сопровождается
излучением, уносящим ее массу, причем полное "выгорание" звезды проис-
происходит в момент ее сжатия в точку, а на всем этапе предыдущего сжатия ее
поверхность находится вне гравитационного радиуса [горизонт событий
в этом случае не образуется — Стейнмюллер и др. A975), Лэйк, Хеллаби
A981),Курода A984b)].
Подобные примеры, хотя формально и противоречат принципу космичес-
космической цензуры, выглядят довольно искусственными. С другой стороны,
численные расчеты коллапса звезд и анализ малых отклонений от сферичес-
сферической симметрии при коллапсе указывают на то, что в реальных физических
условиях голые сингулярности действительно не возникают. Строгое
доказательство принципа космической цензуры (а также точная формули-
формулировка условий, при которых он выполняется) является одной из важных
*) Иногда принцип космической цензуры в такой формулировке называют "спа-
бым", чтобы отличить его от "сильного". Этот принцип, предложенный Пенроузом
A978), состоит в утверждении, что сингулярности, возникающие в результате грави-
гравитационного коллапса, в общем случае являются пространственноподобными и любой
наблюдатель не может их увидеть до тех пор, пока не упадет в них.
• *) Обсуждение вопроса о сингулярностях и ссылки на соответствующие работы
см. § 5.6.
7*
99

нерешенных задач физики черных дыр [см. обзор Израэля A984), ссылки
в нем, а также Кадерни, Кальвани A979), Кальвани A980), Гласе, Харпаз
A981),Янг A979),Лэйк A979) ,Израэль A985)].
Что касается слабого энергетического условия, то необходимо подчерк-
подчеркнуть следующее: хотя при рассмотрении взаимодействий черной дыры с
веществом и полями в рамках классической теории это условие, по-види-
по-видимому, выполняется, учет квантовых эффектов может привести (и дейст-
действительно приводит) к его нарушению ). Поэтому теорема Хокинга о
возрастании площади поверхности черной дыры непосредственно приме-
применима лишь к процессам, при описании которых квантовыми эффектами
можно пренебречь.
§ 5.5. Ловушечные поверхности,
горизонты видимости, Л- и Г-области
Границей черной дыры является горизонт событий Н+. На первый взгляд
определение черной дыры, как области внутри горизонта событий, вполне
естественно. Однако, если рассмотреть процессы, которые могут происхо-
происходить при возникновении черной дыры или в течение ее последующей эволю-
эволюции, то станет ясным, что это определение в действительности описывает
несколько не то,что вначале предполагалось.
В самом деле, представим себе, что в сферическую черную дыру массы М
спустя некоторое время после ее образования падает сферическая оболочка
массы AM (рис. 56). Казалось бы, до падения массы границей черной дыры
был гравитационный радиус г^1= 2Л/, а после падения граница расширится
и будет rg 2 = 2(Л/ + AM). В действительности утверждение, что до падения
AM границей черной дыры была поверхность rg x, неправильно. Ведь после
падения ДМ внутрь сферы радиуса rg ^ нулевые геодезические, шедшие
вдоль rgt у, под действием возросшего тяготения станут сходиться и уйдут
в сингулярность (см. рис. 56). Эти геодезические не являются границей
области, откуда лучи не уходят в бесконечность. Область эта шире, ее
границей являются лучи А, показанные на рисунке. До падения массы AM
они шли снаружи от rgl и, удаляясь, несколько расходились. Если бы AM
не упала, они бы ушли на бесконочть ?/+. Но падение AM устраняет их рас-
расходимость, заставляя идти вдоль rg 2-
Таким образом, граница черной дыры Н+ определяется не только каки-
какими-то особенностями пространства-времени в данный момент (скажем,
сильное поле в какой-то области), но и всей будущей историей (упадет ли
масса AM или не упадет и тд.). Задача нахождения горизонта событий Н*
является задачей с конечными, а не с начальными условиями.
Еще более разительна следующая ситуация. Вспомним процесс возникно-
возникновения сферической черной дыры (рис. 57). Мы знаем, что Н+ (и, стало
быть, черная дыра) возникает в момент т0( до того как звезда сожмется
до гравитационного радиуса (до т^). Но представим себе, что в момент
между т0 HTi звезда взорвется и ее вещество разлетится в бесконечность,
*) Впервые на возможность нарушения теоремы Хокинга при квантовом рождении
частиц в поле черной дыры обратил внимание Марков A974).
100

Рис. 56, Нестатическая сферически-симмет-
сферически-симметричная черная дыра
Рис. 57. Положение горизонта событий
в данный момент времени зависит от всей
последующей эволюции системы. При сфе-
сферическом коллапсе, приводящем к образо-
образованию черной дыры (а), горизонт событий
образуется в момент времени г„. Взрыв
коплапсирующей звезды, происходящий
после т0, может привести к тому, что гори-
горизонт событий не образуется вовсе (й)
т.е. черная дыра вообще не образуется (рис. 57Ь)!*). Конечно, говорить,
что черная дыра существовала в период от тх до взрыва, было бы неверно,
ибо горизонта Н+ в этом примере вообще не существует.
Итак, граница Н+ ограничивает не столько область с особо сильным
полем тяготения (хотя, конечно, сильное поле необходимо, иначе Н+ не
возникнет),сколько область,обладающую свойствами, особыми глобально,
а именно — из этой области лучи не уходят в бесконечность. Именно это
свойство - невидимость из бесконечности, невозможность выбраться из
нее частицам и лучам света — и служит основанием назвать эту область
черной дырой. Кроме того, горизонт событий образован нулевыми геодези-
геодезическими, для них можно сформулировать ряд сильных теорем (часть из них
приведена выше) — это еще одна причина для выбора Н+ в качестве опреде-
определения границы черной дыры.
Но возникает вопрос: существуют ли внутри черной дыры какие-либо
свойства пространства-времени, которые в данный момент времени (т.е. на
данном пространственном сечении) качественно отличались бы от свойств
•) Заметим, что взрыв, после того как звезда сжалась до rg (после т,), не может
заставить вещество разлететься в бесконечность. Из-под г =гн ничто не может выйти
наружу.
101

Рис. 58. Положение локальных световых конусов снаружи и внутри черной дыры, По-
Поверхности внутреннего (S,) и внешнего Eа) фронтов излучения, испущенного нор-
нормально к двумерной поверхности 50 внутри черной дыры, имеют площади, меньшие,
чем площадь S „
Рис, 59. Пример некомпактной двумерной поверхности в пространстве Минковского,
для которой оба ортогонально выходящих семейства световых лучей являются схо-
сходящимися- Такая поверхность S не является ловушечной
области вне черной дыры и тем самым позволяли сказать, что черная дыра
существует в данный момент — без обращения к изучению всей бесконеч-
бесконечной будущей истории мира? Мы сейчас увидим, что такие особые свойства,
вообще говоря, существуют.
Как уже отмечалось при описании сферического коллапса, о попадании
коллапсирующего тела внутрь черной дыры можно судить по результатам
следующего мысленного эксперимента. Пусть поверхность коллапсирую-
коллапсирующего тела в определенный момент вспыхивает. Если тело прозрачно, то
через малый промежуток времени снаружи и внутри него имеются две
поверхности, отвечающие положению фронта внешней и внутренней свето-
световой волны. Для ситуации внутри черной дыры характерно то, что площадь
поверхности как внутреннего, так и внешнего фронта убывает со временем,
а световые лучи, им ортогональные, сближаются. Поле тяготения внутри
черной дыры настолько сильно/что заставляет даже лучи, вышедшие нару-
наружу от коллапсирующего тела, падать к центру (положение световых кону-
конусов внутри черной дыры показано на рис. 58).
В общем случае подобные замкнутые ориентируемые гладкие двумер-
двумерные пространственноподобные поверхности, для которых оба семейства
ортогональных к ним световых геодезических сходятся (/)>. 0), называют
повушечными поверхностями. Наличие ловушечной поверхности свидетель-
свидетельствует о том, чтр гравитационное поле в области, где проходит поверхность,
очень сильное. В асимптотически плоских пространствах (с асимптотически
предсказуемым будущим) *) ловушечную поверхность нельзя увидеть с
*) При доказательстве строгих результатов о свойствах черных дыр обычно прихл-
дится-делать те или иные предположения о глобальных свойствах пространства-време-
102

Cf , если только не нарушается слабое энергетическое условие [Хокинг, Эл-
лис A973)]. Иными словами, ловушечные поверхности лежат внутри чер-
черных дыр, и их существование свидетельствует о возникновении черной дыры.
Таким образом, наличие ловушечной поверхности есть условие, достаточ-
достаточное для существования черной дыры в данный момент времени. Мы увидим
далее, что это условие не является необходимым. Следует отметить, что
в определении ловушечной поверхности весьма существенно требование ее
замкнутости. Такая поверхность, окружающая центр тяготения, сжимается
под его действием, образно говоря, столь стремительно, что это приводит
к указанной особенности (сходимости) даже для лучей света, выходящих
наружу от нее. Если же не требовать замкнутости, то остальные свойства
ловушечной поверхности можно реализовать даже без всякого тяготения
в плоском мире Минковского. Так, пересечение двух световых конусов
Прошлого для точек р\ и Рг в пространстве-времени Минковского (рис. 59)
дает двумерную пространственноподобную поверхность S с требуемыми
свойствами, которая, однако, не является замкнутой.
Для решения многих вопросов, связанных с распространением сигналов
в поле черных дыр, оказывается достаточным проследить за поведением
выходящего излучения. Поэтому оказывается удобным следующее опреде-
определение: внешней ловушечной поверхностью называют компактную ориенти-
ориентируемую пространственноподобную поверхность, обладающую тем свойст-
свойством, что расходимость выходящих ортогонально к ней световых геодези-
геодезических неотрицательна (р > 0). Это определение подразумевает, что имеет-
имеется возможность инвариантным образом определить, какое из двух семейств
ортогональных поверхности S световых лучей является выходящим.
Пусть рассматриваемая ловушечная поверхность S возникает в результа-
результате эволюции системы, начальные данные для которой заданы на поверхно-
поверхности Коши ? (рис. 60). Предположим для простоты, что 2 имеет топологию
R3. Рассмотрим произвольную конгруэнцию гладких времениподобных
линий (существование таких конгруэнции можно гарантировать по крайней
мере в области Коши будущего D+(L) поверхности 2 *) [Хокинг, Эллис
ни, которые являются разумными с точки зрения физики и играют важную "техничес-
"техническую" роль при доказательстве теорем, позволяя не рассматривать различные "патоло-
"патологические" возможности. Такого рода предположения обычно подробно перечисляются
при обсуждении соответствующих теорем [см. Хокинг, Эллис A973) ]. Мы старались
по возможности ограничить использование многочисленных терминов, применяемых
для обозначения этих свойств. Отметим здесь лишь, что частичная поверхность
Коши - это такая пространственноподобная поверхность, которую каждая причинная
кривая пересекает не более одного раза. Пространством с асимптотически сильно
предсказуемым будущим называют пространство, в котором имеется такая частичная
поверхность Коши, что задание на ней начальных данных позволяет делать предсказа-
предсказания не только о "внешности" черной дыры, но и о некоторой окрестности горизонта
событий. Мы используем также понятие регулярно предсказуемого пространства.
Таким называют пространство, если его будущее асимптотически сильно предсказуе-
предсказуемо, а соответствующая частичная поверхность Коши X обладает свойствами: 1) пересе-
пересечение 2 cJ~(J*) содержится в J*(&~)k гомеоморфно R3 с вырезанным из него
открытым множеством с компактным замыканием и 2) поверхность X односвязна.
") Область/) (X) Коши будущего множества X определяется как множество всех
таких точек р, для которых каждая непродолжимая в прошлое причинная кривая, про-
проходящая через р, пересекает X.
103

Рис, 60. Иллюстрация к определению
внешней ловушечной поверхности
A973)]. Отдельные кривые конгруэнции можно рассматривать как миро-
мировые линии локальных наблюдателей. Если проследить в прошлое за линия-
линиями конгруэнции, проходящими через поверхность 5, то точки пересечений
этих линий с поверхностью Коши S, определяют на ней замкнутую ориенти-
ориентируемую поверхность S'. Для этой поверхности уже не представляет труда
определить направление наружу. Например, можно рассмотреть любую
гладкую кривую х**(Х) , начинающуюся на 5' (x**@)G5') и выходящую
на пространственную бесконечность. Тогда вектор ?м = dx^/dX при X = О
определяет направление наружу в точке х^@) . Поскольку поверхность П,
образованная линиями конгруэнции, проходящими через 5, является
ориентируемой, то задание в одной ее точке внешнего направления ?**
определяет внешнее направление в каждой из ее точек и, в частности,
для точек исходной поверхности 5. Подобное определение является
инвариантным, и его можно обобщить на случай асимптотически предсказу-
предсказуемых пространств [Хокинг, Эллис A973)].
Будем говорить, что точка р лежит в ловушечной области (сокращенно
Г_-области) , если существует внешняя ловушечная поверхность, проходя-
проходящая через эту точку. В важном частном случае сферически-симметричных
пространств точка р принадлежит ловушечной области, если выполнено
условие (Vг- Vr)p < 0.
На рис. 61а показано расположение Г_-области для простейшего случая
коллапса сферического облака пыли без какого-либо последующего паде-
падения вещества в черную дыру. Ввиду важности этого понятия то же прост-
пространство-время еще раз изображено на рис. 61Ь в координатах Леметра.
Внутри пылевого шара метрику можно записать в виде
|4/3
ds2 =- dr2 +| — (г„-г)| r-*l3(dR2 +R2doj2); E.5.1)
¦f1 «г.-
1.2 g
при этом границе шара соответствует R
выглядит следующим образом:
ds2 = - dr2 + — ¦¦ +1 — 1
R -Т\2/3
rg. Вне шара, в пустоте, метрика
,4/3
E.5.2)
104

Граница Г_-области в веществе описывается уравнением
2
E.5.3)
Эта граница пространственноподобна. Вне вещества, в вакууме, граница
Т_ -области есть rg:
— (Л-т)=г-. E.5.4)
2
Эта граница светоподобна.
Внешнюю часть Э7}(г) связной компоненты 7}(г) пересечения лову-
шечной области с пространственноподобной поверхностью т(х) = const
называют горизонтом видимости. Горизонт видимости Э7}(т) является
двумерной поверхностью, для которой выходящие ортогональные свето-
световые геодезические имеют нулевую расходимость (р=0). При выполнении
слабого энергетического условия горизонт видимости совпадает с горизон-
горизонтом событий или лежит внутри него (рис. 62). В стационарных черных
дырах горизонт видимости совпадает с горизонтом событий (это, в част-
С
Т-
Рис. 61о Расположение 7"-обласги для слу-
случая коллапса сферического облака пыли;
Ъ это же пространство-время в координатах
Леметра
Рис. 62. Аккреция вещества на сферическую
черную дыру
105

ности, имеет место для стационарной сферически-симметричной черной
дыры; см. рис. 61).
В общем случае лучи, выходящие ортогонально горизонту видимости
Э7(т), обладают нулевой расходимостью. В силу уравнения E.3.22) усло-
условие р = О сохраняется вдоль этих лучей до тех пор, пока они не пересекают
область, где Ф > 0 или а Ф 0. В этой области р становится положительным
и, следовательно, световые лучи покидают горизонт видимости, уходя в
ловушечную область. Иными словами, внешняя граница 7_-области является
световой поверхностью в области, где а = 0, Ф = 0, и становится простран-
пространственно подобной поверхностью в области, где аФО и (или) Ф>0 (см.
рис. 61). При выполнении слабого энергетического условия вне горизонта
видимости всегда имеется горизонт событий. Подчеркнем, однако, что
внутри горизонта событий может, вообще говоря, и не быть внешних
ловушечных поверхностей. С другой стороны, внутри одной черной дыры
может находиться несколько связных компонент ловушечной области.
Сказанное проиллюстрировано на рис. 62, где изображена сферически-
симметричная черная дыра, которая некоторое время нестационарна из-за
падения в нее вещества. Внутри границы ABCDE (соответственно AB'CD'F.'),
обозначенной' точечным пунктиром, лежит 7_ -область. Внешняя граница
каждой связной компоненты 7_-области в сечении т = const является
горизонтом видимости. В сечении т = Т\ = const внутри черной дыры (внут-
(внутри //+) нет 71-области (нет ловушечных поверхностей). Тем самым до-
казшвается, что наличие ловушечных поверхностей внутри черной дыры
в сечении т ~ const не есть необходимое условие существования горизонта
событий. В сечении t=ti = const имеются две связные области 7_; при
этом внутренний горизонт видимости есть г = rg , а внешний - r ~rg2-
Подобная ситуация с образованием нескольких связных компонент 71-
областей может возникнуть," например, при слиянии двух черных дыр.
В дальнейшем окажется полезным также следующее определение: зам-
замкнутая ориентируемая гладкая двумерная пространственноподобная по-
поверхность называется антиловушечной (Г+-область), если оба семейства
ортогональных к ней световых геодезических расходятся (р< 0). Появле-
Появление 7+-областей характерно для случаев, когда имеются белые дыры (см.
гл. 13). Область пространства-времени, лежащую вне Т+- и 71-областей,
будем называть .R-областью.
§ 5.6. Теоремы о сингулярности внутри черных дыр
При анализе сферического коллапса было отмечено, что по крайней
мере в рамках общей теории относительности он неизбежно приводит к
возникновению сингулярности. В процессе коллапса растут инварианты,
характеризующие кривизну пространства-времени, и через конечное время
по часам на коллапсирующем теле в его центре кривизна неограниченно
вырастает. Это происходит, когда граница Т_ -области пересекает линию
г- 0. Дальнейшее продолжение мировых линий частиц и лучей света, "дос-
"достигших" образовавшейся сингулярности, оказывается невозможным, и
поэтому неполнота пространства, связанная с обрыванием световых лучей
и мировых линий на сингулярности при конечном значении аффинного
параметоа, является принципиально неустранимой.
106

При описании коллапса шара из пылевидного вещества в рамках обыч-
обычной ньютоновской теории гравитации также возможна ситуация, когда
плотность вещества и приливные силы неограниченно растут. Существенно,
однако, что учет сил давления или малых отклонений от сферической
симметрии принципиально изменяет ситуацию так, что максимальные
значения плотности вещества и приливных сил (которые в ньютоновской
теории аналогичны кривизне пространства-времени) становятся ограни-
ограниченными. Таким образом, сингулярность в ньютоновской теории вырожде-
вырождена, неустойчива в том смысле, что возникает лишь в крайне специальной
ситуации. Достаточно малых возмущений, и сингулярность исчезает.
О том, что ситуация в общей теории относительности существенно иная
и развитие сингулярности внутри черных дыр неизбежно происходит при
достаточно общих условиях, свидетельствует ряд строгих теорем.
Если предположить, что выполняется слабое энергетическое условие
и возникла ловушечная поверхность (это означает, что имеется черная
дыра), то площади поверхности фронта выходящего и входящего излу-
излучения уменьшаются. С другой стороны, поскольку скорость движения
вещества не превосходит скорости света, между этими уменьшающимися
поверхностями все время будет находиться то вещество, которое когда-
либо попадало в зту область. Оно будет сжиматься, а его плотность воз-
возрастать. При этих условиях естественно ожидать возникновения сингу-
сингулярности или какой-либо иной "неприятности".
О каких "неприятностях" может идти речь? Дело в том, что до сих
пор под сингулярностью мы понимали бесконечную кривизну простран-
пространства-времени. Подобную бесконечность заведомо следует называть физи-
физической сингулярностью, ибо если какая-либо мировая линия частицы
упирается в эту бесконечность, то, далее, линия принципиально не может
быть продолжена. Существование частицы здесь обрывается. Однако этим
особенности пространства-времени, которые следует называть сингуляр-
сингулярностью, не исчерпываются, что связано с возможностью сложной топологии
пространства-времени и индефинитностью его метрики. Рассмотрим, напри-
например, такую ситуацию. Пусть в некотором месте пространства-времени
имеется бесконечная кривизна — сингулярность. Вырежем из пространства-
времени эту сингулярность вместе с некоторой окрестностью. В оставшем-
оставшемся многообразии нет бесконечной кривизны. Следует ли оставшееся много-
многообразие считать не имеющим сингулярности? Такое заключение было бы,
конечно, неверным. Дело в том, что мировые линии, которые ранее упира-
упирались в бесконечную кривизну, теперь обрываются на границе вырезанной
области. Это тоже физическая особенность, которую следует назвать син-
сингулярностью. Принято называть сингулярностью не только бесконечную
кривизну, но и любую конечную точку на мировой линии частицы (или
фотона) или на времениподобной. геодезической, если за зту точку нельзя
в принципе продолжить эту линию. При этом конечная точка — сингуляр-
сингулярность — должна лежать на конечном расстоянии или при конечном значении
аффинного параметра для нулевой геодезической. Таким образом, в более
общем случае сингулярность определяется как неполнота мировых линий
в пространстве-времени [подробнее 96 этом см. Героч A968); Шмидт
A971), Героч и др. A972), Хокинг, Эллис A973), Кларк A973, 1975,
1976), Героч и др. A982), Типлери др. A980)].
107

Рис- 63. Иллюстрация к доказательству теоре-
теоремы Пенроуза о сингулярности внутри черной
дыры
После данных разъяснений вернемся к обсуждению проблемы о неиз-
неизбежности возникновения сингулярности внутри ловушечных поверхностей.
Соответствующая теорема, доказанная Пенроузом A965а), гласит:
Пусть выполнено слабое энергетическое условие и в пространстве-вре-
пространстве-времени, допускающем некомпактную поверхность Коши 2, имеется ло-
вушечная поверхность 5. Тогда такое пространство-время не может быть
полным относительно световых геодезических. Иными словами, в таком
пространстве найдется по крайней мере один световой луч, который нельзя
продолжить и который обрывается при конечном значении аффинного
параметра. А значит, имеется сингулярность согласно данному выше оп-
определению.
Идея доказательства теоремы состоит в следующем. Рассматривается
множество J*(S) точек, которые соединимы с 5 причинной кривой, направ-
направленной в прошлое (рис. 63). Локальный анализ показывает, что. там, где
граница Э/*E) этого множества несингулярна, она светоподобна и образо-
образована отрезками световых геодезических, ортогонально пересекающих 5
в своих начальных точках. Если световые образующие dJ+(S) имеют конеч-
конечные точки, то эти точки совпадают с особенностями Э/+E) (каустиками
или пересечениями). Далее, используя слабое энергетическое условие и
сходимость образующих dJ+(S) на поверхности S, можно доказать, что
каждый из световых лучей, испущенных ортогонально S, обязательно вы-
выходит на,каустику, причем это происходит при значении аффинного пара-
параметра, не превосходящем р$ , где ps — максимальное значение р на 5 для
обоих семейств выходящих лучей. (Существование ps гарантируется
гладкостью и компактностью поверхности S.) Отсюда следует, что грани-
граница dJ*(S) компактна, поскольку она образована компактной системой
конечных замкнутых отрезков. Можно доказать, что dJ*(S) является
трехмерным многообразием без края. Заметим, что при доказательстве
компактности Э/+E) существенно использовалось предположение, что
пространство-время является полным относительно световых геодези-
геодезических, так что не происходит обрыва образующих Э/+E) до выхода на
каустику или точку пересечения.
Следующий этап доказательства состоит в установлении противоречия
компактности dJ+(S) и некомпактности поверхности Коши 2,, после
чего становится очевидным, что сделанное предположение о полноте прост-
пространства-времени несовместно с остальными условиями теоремы.
108

Искомое противоречие устанавливается следующим образом. Можно
показать, что в пространстве-времени с поверхностью Коши существует
конгруэнция времениподобных кривых. Поскольку через каждую точку
пространства проходит одна и только одна кривая конгруэнции и времени-
подобная кривая не может пересечь световую поверхность Э/+E) более
одного раза, то с помощью этой конгруэнции можно установить взаимно
однозначное непрерывное соответствие между Э/+E) и некоторым замк-
замкнутым подмножеством 2' поверхности 2. 2' не может совпасть с 2, по-
поскольку, по предположению, 2 некомпактна. Следовательно, 2' имеет гра-
границу в 2, но это противоречит тому, что dJ*(S) - многообразие без края.
Полученное противоречие завершает доказательство теоремы Пенроуза
о сингулярности.
Следует подчеркнуть, что условие некомпактности поверхности Коши
2 использовалось лишь при доказательстве того, что 2' не совпадает с 2.
Вместо этого можно было бы потребовать, что хотя бы одна времениподоб-
ная линия из конгруэнции не пересекала бы Э/+E).
Мы приведем здесь формулировку еще одной теоремы о сингулярностях
(которая в определенном смысле является самой сильной из набора теорем
такого рода), отсылая читателя, интересующегося точными формулиров-
формулировками, к работам Пенроуза A968,1979), Хокинга, Эллиса A973), Мизнера,
Торна, Уилера A973) , Уолда A984), Типлера и др. A980).
Теорема Хокинга—Пенроуза [Хокинг, Пенроуз A970)]. Пространство-
время М с необходимостью содержит неполные времениподобные или све-
световые геодезические, которые невозможно продолжить, если выполнены
следующие условия: 1) в пространстве-времени отсутствуют замкнутые
времениподобные кривые; 2) для произвольного единичного времени-
подобного вектора мм выполняется неравенство •Км„ммм" > 0; 3) для
каждой времениподобной или световой геодезической с касательным
вектором мд существует точка, в которой U[aRp]y6 [еир]иУи& ^ 0; 4) су-
существует ловушечная поверхность.
Все эти условия представляются достаточно разумными и общими.
Требование 1 отвечает нашему обычному представлению о причинности*).
Условие 2 означает, что в любой физической системе отсчета плотность
энергии б неотрицательна и е + Зр> 0. Требование 3 эквивалентно тому, что
рассматривается пространство-время общего вида, не обладающее какими-
либо специальными симметриями. Условие 4, как уже отмечалось, тесным
образом связано с существованием черной дыры. Теорема Пенроуза—
Хокинга гарантирует возникновение сингулярности и в том случае, когда
ловушечная поверхность возникает, например, в замкнутой Вселенной, где
некомпактная поверхность Коши отсутствует, и поэтому теорема Пенроуза
неприменима.
*) Следует подчеркнуть, что наличие замкнутых времениподобных линий не .проти-
.противоречит принципу причинности в широком смысле. На замкнутой линии времени
нельзя отделить будущее от прошлого, однако это само по себе еще не ведет ни к
каким противоречиям [см. Зельдович, Новиков A975*)]. События на такой линии
все "согласованы" друг с другом. Нельзя, как иногда говорят, изменить прошлое,
зная будущее, так как все события вдоль линии времени уже, так сказать, "имеют
место", их нельзя менять, они есть часть 4-мерного пространства-времени. Можно
сказать и иначе: при наличии замкнутых линий времени неправильно говорить о влия-
влиянии будущего на прошлое, ибо эти понятия теряют смысл.
109

ГЛАВА 6
СТАЦИОНАРНЫЕ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ
§6.1. "Черные дыры не имеют волос"
Световой характер горизонта событий, ограничивающего черную дыру,
приводит к тому, что он выполняет роль односторонней мембраны. Части-
Частицы и излучение могут пересечь горизонт событий извне и попасть внутрь
черной дыры, однако выход частиц и излучения наружу запрещен. Поэтому
для процессов с участием черных дыр характерна существенная необрати-
необратимость. В частности, черная дыра, предоставленная самой себе, с течением
времени становится стационарной. Стандартные рассуждения, приводящие
к этому выводу, сводятся к следующему. Пусть в процессе коллапса об-
образуется черная дыра и возникшая конфигурация полей и частиц вне ее
не является равновесной. Тогда конфигурация начнет перестраиваться.
Этот процесс сопровождается излучением энергии на бесконечность и
внутрь черной дыры. Поскольку поля и частицы вне черной дыры имели
первоначально конечную энергию, а энергия, излученная на бесконечность
или поглощенная черной дырой, ничем не компенсируется, то можно ожи-
ожидать, что со временем этот процесс прекращается и черная дыра становится
стационарной, т.е. геометрия пространства-времени вне ее все меньше
отличается от стационарного пространства, допускающего векторное поле
Киллинга % fo . Этот вывод в случае образования черной дыры при коллапсе
с малыми отклонениями от сферической симметрии подтверждается ре-
результатами, приведенными в гл. 3. Об этом свидетельствуют также теоремы
об устойчивости стационарных черных дыр относительно малых возмуще-
возмущений [см. гл. 3, а также Прайс A972а, Ь), Уолд A979а, 1980)] и доказанное
в работах Чандрасекара, Детвилера A975а), Детвилера A977, 1979) и
Чандрасекара A983) свойство отсутствия собственных мод колебания
гравитационного поля с чисто действительной частотой (без затухания) в
пространстве-времени стационарной черной дыры (см. также гл. 3, 4).
Нетрудно убедиться, что условие равновесия данного физического поля
вблизи поверхности стационарной черной дыры налагает жесткие ограниче-
ограничения на допустимые конфигурации этих полей [Израэль A971)]. Рассмот-
Рассмотрим, для простоты, случай невращающейся черной дыры, описываемой
метрикой Шварцшильда
F.1.1)
Пусть Тц" — тензор энергии-импульса, описывающий физическое поле или
среду вблизи этой черной дыры, Равновесие в такой системе возможно,
если "вес" поля или среды в каждом элементе объема в точности компен-
110
— +r d'
Ф
из2, Ф-
1 -
2Л/
r

сируется "выталкивающей силой", обусловленной действием компонент
тензора энергии-импульса, описывающих натяжение, на поверхность, огра-
ограничивающую выбранный объем. В локальном пределе этот своеобразный
"закон Архимеда" сводится к уравнению (закону сохранения)
Гд;„ = 0, F.1.2)
дополненному условиями статичности
3,7-"" = 0 F.1.3)
и отсутствия потоков
Trt =r/e = 7^ = 0. F.1.4)
При этих условиях уравнение F.1.2) при ц =t выполняется тождественно,
а при ц = г приводит к соотношению
2 ф (Г'Г')
2; ? *
Эг(гГ;)+ Эе(ш0Г?) + ^(Г) (Tt + Tp. F.1.5)
Нетрудно убедиться (переходя, например, к координатам v=r+r* = t+r +
+ 2Л/ In [г — 2Л/1, г, в, ^, регулярным на горизонте Я +), что в окрестности
г = 2М компоненты тензора Ти", удовлетворяющего условию F.1.3) и
регулярного на Я+, имеют следующее поведение в координатах t,r, в, \р:
Т)~ г;~ Твг~Т*~Твв-Т°~Т*~ 0A). F.1.6)
Поскольку все члены в правой части F.1.5) конечны при г = 7М, то в
окрестности горизонта должно выполняться условие Т\ =* Тгг *). Только
при выполнении этого условия рассматриваемая конфигурация статична.
Что же происходит, если оно нарушается? В этом случае обязательно отлич-
отлична от нуля компонента Т\, так что возникает поток энергии поля через
горизонт, который продолжается до тех пор, пока поле, перестроившись,
не достигает возможного равновесия. Характерное время этого процесса
имеет порядок t ~ rg/c.
Подытожив результаты многочисленных работ, посвященных возмож-
возможным конечным состояниям черных дыр, Уилер сформулировал утвержде-
утверждение, состоящее в том, что уединенная черная дыра при переходе в стацио-
стационарное состояние избавляется в процессе излучения от всех тех характерис-
характеристик, от которых можно избавиться путем излучения. Поскольку для без-
безмассового бозонного поля спина s возможно излучение, связанное с изме-
изменением мультипольного момента / системы при / > s, то, согласно предпо-
предположению Уилера, стационарная черная дыра, возникающая в результате
коллапса нейтрального вещества, обладающего только гравитационнным
взаимодействием (s=2), описывается метрикой, содержащей лишь два
*)Можно показать, что условие 7*f = Trr является необходимым и достаточным для
выполнения теоремы Биркгофа, гарантирующей статичность сферически-симметрич-
сферически-симметричных решений. Это условие, очевидно, выполнено в пространствах Рейсснера-Нордстре-
ма и де Ситтера.
111

свободных параметра: масса М A=0) и угловой момент J (/ = 1). Если
коллапсирующее вещество обладало электрическим зарядом, то возни-
возникающая стационарная метрика однозначно определяется заданием трех
параметров: M,J и (? (электрический заряд) *).
Уединенная стационарная черная дыра не может быть источником како-
какого-либо массивного поля, поскольку для таких полей возможны все моды
излучения, включая / = 0, и, согласно гипотезе Уилера, все они должны
излучаться при переходе черной дыры в стационарное состояние. Аналогич-
Аналогичное заключение должно иметь место и для скалярного безмассового поля.
Эти соображения означают, что гипотеза Уилера эквивалентна следую-
следующему утверждению: независимо от деталей коллапса, строения и свойств
коллапсирующего тела возникающая стационарная черная дыра однознач-
однозначно описывается геометрией, определяемой параметрами М, J и Q. Это
свойство стационарных черных дыр Уилер образно охарактеризовал сле-
следующим известным высказыванием: "Черные дыры не имеют волос".
К настоящему времени получено почти исчерпывающее доказательство
гипотезы Уилера. В этой главе собраны основные результаты, связанные
с этим доказательством.
§ 6.2. Общие свойства стационарных черных дыр
Поскольку имеются все основания считать, что при отсутствии внешних
воздействий и в пренебрежении квантовыми эффектами конечное состоя-
состояние любой черной дыры является стационарным, то, естественно при описа-
описании свойств этих конечных состояний начать с изучения стационарных
черных дыр.
Свойство стационарности пространства-времени означает возможность
так ввести в нем координаты, что коэффициенты метрики будут незави-
независимы от одной из них — "временной" координаты. На "более" геометри-
геометрическом языке это означает, что пространство-время допускает однопара-
метрическую группу движений, генераторами которой является ?МЭМ,
где ?м — векторное поле Киллинга, удовлетворяющее уравнению
W) = 0. F.2.1)
Так как мы хотим, чтобы пространство-время не изменялось при сдвиге
"по времени", то логично потребовать, чтобы вектор ? был времениподоб-
ным и ? • ? < 0. В общем случае, однако, нельзя гарантировать, что ? • ?
имеет один и тот же знак^во всем пространстве-времени. Поэтому мы будем
называть асимптотически плоское пространство стационарным, если оно
допускает векторное поле Киллинга ?м, являющееся времениподобным
(? ¦ ? < 0) в окрестности J+ и J'.
Для доказательства содержательных утверждений относительно общих
свойств стационарых черных дыр приходится дополнительно сделать два
следующих предположения:
1) пространство-время является регулярно предсказуемым;
*)Если в природе существуют магнитные монополи и коллапсирующее тело обла-
дает магнитным зарядом, то доя описания стационарной черной дыры требуется
задание величины этого заряда в качестве четвертого параметра.
112

2) пространство-время либо является пустым, либо содержит поля,
описываемые гиперболическими уравнениями и удовлетворяющие ус-
условию энергодоминантности: для произвольных времениподобных векто-
векторов %Ч и ?? тензор энергии-импульса поля Тц" удовлетворяет неравенству
м
Первое предположение, касающееся общей причинной структуры прост-
пространства-времени и подробно обсуждавшееся в предыдущей главе (см.
сноску нас. 102),имеет в известной мере технический характер. Условие
энергодоминантности (из которого, в частности, следует слабое энергети-
энергетическое условие) означает следующее: любой наблюдатель видит, что ло-
локальная энергия неотрицательна, а локальный поток энергии непространст-
венноподобен. Второе предположение заведомо выполняется для электро-
электромагнитного поля [более подробное обсуждение см. Хокинг, Эллис A973) ].
В дальнейшем (в данной главе), не оговаривая этого особо, будем считать,
что приведенные выше предположения выполняются.
В стационарном пространстве-времени площадь поверхности черной
дыры не зависит от времени. Поэтому сходимость р световых лучей, обра-
образующих горизонт событий, тождественно равна нулю. Вследствие этого
горизонт видимости совпадает с горизонтом событий. Используя соотно-
соотношения E.3x20), E.3.22) и E.3.23), нетрудно убедиться, что следствием
слабого энергетического условия (Ф > 0) и постоянства площади поверх-
поверхности черной дыры является обращение в нуль на поверхности горизонта
величин о.ФиФ:
а|„<=0. Ф|я- = 0, *|н*=0. F.2.2)
Последние два равенства можно интерпретировать как отсутствие потоков
вещества и физических полей (Ф = 0) и гравитационного излучения (* = 0)
через горизонт событий.
Каждая связная компонента горизонта ЭЗЗ(т) в заданный момент т
в стационарном пространстве-времени, так же как и в общем случае, яв-
является компактной и односвязной. Более того, как показал Хокинг
A972а), в стационарном случае топология поверхности каждой черной
дыры совпадает с топологией двумерной сферы S . Топологии поверхнос-
поверхности черной дыры, отличные от S2, возможны в случае, если нарушается
условие энергодоминантности [Героч, Хартль A982)].
В принципе не исключен случай, когда в стационарном пространстве-
времени имеется несколько связных компонент Э 53(т) и соответственно
несколько "неподвижных ' черных дыр. Такое равновесие возможно толь-
только, если гравитационное притяжение скомпенсировано электромагнит-
электромагнитным отталкиванием (или отталкиванием силами другой природы). В част-
частности, если имеется несколько заряженных черных дыр, обладающих мас-
массами nij и зарядами (?,-, удовлетворяющими соотношению ml = Qi\fG, то
система таких черных дыр будет находиться в равновесии [Хартль, Хо-
Хокинг A972), Охта, Кимура A982)].
В дальнейшем мы будем рассматривать тот случай, когда имеется лишь
одна стационарная черная дыра, и ограничим рассмотрение областью прост-
пространства-времени, лежащей вне этой черной дыры. В общем случае полное
пространство-время стационарной черной дыры наряду с горизонтом собы-
событий Н* может содержать также горизонт событий прошлого Н~ = ./+(J~)
8. И.Д.Новиков 113

(в этом нетрудно убедиться на примере шварцшильдовской черной дыры,
диаграмма Пенроуза которой для полного пространства-времени приве-
приведена на рис. 50с). Область J*(J~) nj"(J+) пространства-времени, лежащая
вне Н~ и Н* , называется внешней. Для событий, происходящих во внешней
области, характерно то свойство, что найдутся причинные кривые, связы-
связывающие их как с.^Г, так и с Cf *. Можно доказать [см., например, Хокинг,
Эллис A973)], что в стационарном пространстве векторное поле Киллин-
га ? отлично от нуля во всей внешней области и на части Н* ПУ + (^у")
горизонта событий.
Для более детального описания свойств стационарных пространств
удобно ввести в рассмотрение следующий дифференциальный инвариант
ша, связанный с векторным полем Киллинга ?м соотношением
"а = ?м;ЛхеМ"Ха> F-2.3)
где ециХа — полностью антисимметричный тензор. Стационарное прост-
пространство называют статическим, если иа = 0. Обращение ша в нуль, соглас-
согласно теореме Фробениуса, является необходимым и достаточным условием
того, что векторное поле ?м ортогонально некоторой поверхности. Иными
словами, если о/* =0, то найдутся две скалярные функции а и t такие, что
выполняется равенство
?м=а',д. F-2.4)
В области, где ?м Ф 0, можно использовать t в качестве одной из координат
(временной координаты), дополнив ее тремя другими х'. Удобно выбрать
координаты х' следующим образом. Зафиксируем произвольную поверх-
поверхность t = const, введем на ней координаты х' и распространим их на все
пространство, потребовав, чтобы они были постоянными вдоль интеграль-
интегральных кривых ?м. Метрика статического пространства в подобных координа-
координатах имеет вид
ds2 = - V2dt2 +hijdx'dx'. F.2.5)
Используя уравнение Киллинга F.2.1), нетрудно убедиться, что Э,/г,у- =0,
а координатный произвол t -*t' =f(t) можно использовать, чтобы добиться
выполнения следующих соотношений:
а=К2 = -?м.^, Э,К=О, ?МЭМ = Э,. F.2.6)
Оставшийся после этого произвол в выборе координат отвечает преобра-
преобразованиям
t->t'=t+t0, х'->х'' *f'(x>). F.2.7)
Заметим, что поскольку V и h^ не зависят от t, то метрика F.2.5) оказы-
оказывается инвариантной также относительно преобразования t -*—t. Верно и
обратное, а именно, всякая стационарная метрика, допускающая дополни-
дополнительную симметрию обращения времени t -*—t, является статической.
Важным свойством статических черных дыр является то, что во всей их
внешней области векторное поле Киллинга ?м времениподобно, а на части
горизонта событий Я*П7*(,7")) ограничивающей внешнюю область, ?м
отлично от нуля, светоподобно и направлено вдоль образующих Н*. По-
Последнее свойство легко доказать следующим образом. Используя равенство
114

Z[n;v%a] ~ 0' вытекающее из условия со01 = 0, и соотношение F.2.1), имеем
2^а;[м^] = -?n;f?<*. F.2.8)
С помощью этого равенства нетрудно убедиться, что
(У2)Л^]=-УЧ^ F-2.9)
и, следовательно, поверхность V2 = 0 является световой, так как нормаль
к ней ((К2). м) совпадает на ней по направлению со световым вектором
?м. Поскольку (V1) . м и ?м параллельны, то
- - (Г2);" = $"••"$„ = к?" F.2.10)
и, следовательно, ?м — касательный вектор к световой геодезической (об-
(образующей поверхности V2 = 0). Эти световые геодезические не выходят
на Ь *, поскольку все время находятся на поверхности, где ?м ?м = 0, в то
время как у С/ * ?м?м = -1. С другой стороны, расходимость световых
образующих поверхности V = 0 равна нулю. Это означает, что такая поверх-
поверхность является внешней ловушечной поверхностью, а поскольку простран-
пространство-время стационарно, то одновременно она является горизонтом собы-
событий [Вишвешвара A968)].
Если стационарная черная дыра не является статической, то векторное
поле Киллинга ?м неизбежно становится пространственноподчбным в не-
некоторой части внешней области [Хокинг, Эллис A973)]. Эта область,
где ?2 > 0, получила название эргосферы.
Возникновение эргосферы вне нестатической стационарной черной дыры
приводит к ряду важных физических следствий. Более подробно эти следст-
следствия обсуждаются в последующих главах. Сейчас мы остановимся лишь на
одном из них. Напомним, что, согласно теореме Нетер, симметриям прост-
пространства-времени отвечают законы сохранения определенных физических b&
личин. В частности, однородности во времени отвечает закон сохранения
энергии. Для частицы, движущейся в стационарном пространстве-времени с
векторным полем Киллинга ?м, эта сохраняющаяся величина (энергия) е
записывается следующим образом*) :
е=-Рм?м, F.2.11)
где рм - 4-импульс частицы. Поскольку рм - направленный в будущее
времениподрбный или световой вектор, то для частиц вне эргосферы
б > 0. Однако для частиц или лучей света, находящихся в эргосфере, воз-
возможно выполнение обратного неравенства е < 0. Такие частицы, очевидно,
могут покинуть эргосферу, только провалившись внутрь черной дыры.
Это возможно лишь в том случае, если эргосфера пересекает горизонт
событий.
Наличие состояний с отрицательной, энергией е в эргосфере делает^воз-
можным следующий механизм извлечения энергии из стационарных неста-
нестатических черных дыр, предложенный Пенроузом A969). Представим себе
*)Сохранение <? (р"<?„= 0) вытекает из соотношения? vev=pvp м. „J ц +Рц1>и?ц- „,
геодезичности движения p"pP.j = 0и уравнения Киллинга F.2.1).
8* 115

(рис. 64), что частица с импульсом р$ , попав в эргосферу, распадается
там на пару частиц с импульсами pf и р? (р? = Р? + Рг), так что е2 =
= -р??м< 0, а частица с импульсом pf вылетает обратно. Тогда энергия
вылетающей частицы б! = -pf ?м = е0 - е2 будет больше энергии падающей
частицы б0 = —Ро ?м> чт0 и означает возможность извлечения энергии в этом
процессе.
Существенное отличие свойств черных дыр с сом = 0 и сом Ф О связано с
тем, что нестатические стационарные черные дыры в известном смысле
¦
Рис. 64. Процесс Пенроуза. Тело, падающее с некоторого расстояния (положение А),
влетает в эргосферу вращающейся черной дыры и, взрываясь, распадается в точке В
около поверхности черной дыры на две части, одна из которых поглощается черной
дырой - точка D (параметры "взрыва" выбраны так, что энергия этой части отрица-
отрицательна). Другая часть вылетает из эргосферы (точка С), обладая энергией, большей,
чем энергия падающего тела
обладают вращением. Появление отрицательных энергий при движении
частиц в поле вращающейся черной дыры можно объяснить, если принять
во внимание дополнительное гравитационное взаимодействие углового
момента этой частицы с угловым моментом вращающейся черной дыры.
Энергия, сообщаемая вылетающей в процессе Пенроуза частице, черпается
из энергии вращения черной дыры.
После этих замечаний возвратимся к обсуждению общих свойств ста-
стационарных черных дыр и рассмотрим вопрос о взаимном расположении
эргосферы и горизонта событий. В принципе возможна ситуация, когда
эргосфера не пересекается с горизонтом и целиком лежит вне его. Одна-
Однако, по-видимому, эта ситуация неустойчива [ Хокинг, Эллис A973)]. По-
Поэтому мы сделаем предположение, что в стационарном пространстве-вре-
пространстве-времени, описывающем конечное состояние черной дыры, эргосфера пересе-
пересекает горизонт. Это означает, ч-то на горизонте событий имеются точки, где
векторное поле Киллинга ?м пространственно подобно. Покажем, что в
этом случае черная дыра обязательно является аксиально-симметричной.
Пусть So — поверхность черной дыры в некоторый момент времени.
Как указывалось выше, для стационарной черной дыры So имеет тополо-
топологию двумерной сферы S2. Обозначим через Sv сечения горизонта событий,
116

возникающие путем сдвига точек So вдоль интегральных кривых хм (и)
поля ?м (dx^jdv-^) на величину, отвечающую параметру v (рис. 65).
Пусть точка р0 G So при этом переходит в точку р\ G Sv. Обозначим че-
через plv точку пересечения образующей горизонта событий, проходящей
через Ро, с Sv. Поскольку /м и ?м непараллельны, то отображение pv ->р\
является нетривиальным преобразованием Sv в себя. Обращение в нуль
сходимости р и сдвига а на горизонте событий стационарной черной дыры
приводит к тому, что расстояние между любой парой точек plv и qlv на Sv
совпадает с расстоянием между отвечающими им точками Ро и q0 на So.
С другой стороны, поскольку ?м — векторное поле Киллинга, то это рас-
расстояние совпадает также с расстоянием между р^ viq^. Тем самым преобра-
преобразование p'v -*pl является преобразованием симметрии, переводящим
поверхность Sv в себя. Поскольку Sv имеет топологию сферы S2, то под
действием описанной группы изометрий все ее точки, за исключением
двух ("полюсов"), движутся, причем их орбиты - замкнутые окружнос-
окружности. Иными словами, поверхность стационарной нестатической черной дыры
аксиально-симметрична. Если метрика, описывающая стационарую черную
дыру, является аналитической*), то из аксиальной симметрии горизонта
событий вытекает аксиальная симметрия всего пространства-времени. Этот
результат составляет содержание следующей теоремы, доказанной Хокин-
гом A972а).
Пусть эргосфера в стационарном нестатическом пространстве имеет
пересечение с горизонтом событий Н* П J+(?T). Тогда существует одно-
параметрическая циклическая группа изометрий, генераторы которой
коммутируют с ?м и орбиты которой пространственноподобны вблизи
Рис. 65, Стационарная вращающаяся чер-
черная дыра является аксиально-еимметрич-
ной. Иллюстрация к доказательству
теоремы Хокинга
Эта теорема справедлива и в тех случаях, когда метрика неаналитична
в изолированных областях вне горизонта.
В заключение параграфа подведем краткий итог. Итак, конечное состоя-
состояние одиночной черной дыры описывается стационарной метрикой. При этом
либо черная дыра не вращается и эта метрика статична, либо она вращается,
тогда пространство-время обладает дополнительной аксиальной симмет-
*)О свойствах аналитичности стационарных аксиально-симметричных асимптоти-
асимптотически плоских решении уравнений Эйнштейна см. Мюллер цум Хаген A970).
117

рией. Следующие два параграфа посвящены доказательству так называе-
называемых теорем единственности, согласно которым как статические, так и
нестатические стационарные черные дыры устроены относительно просто.
А именно, будут рассмотрены стационарные решения уравнений Эйнштей-
Эйнштейна—Максвелла и показано, что все такие решения, описывающие стацио-
стационарную черную дыру, сводятся к метрике Керра—Ньюмена F.4.33); при
этом, если вращение отсутствует, соответствующее решение сводится к
решению Рейсснера—Нордстрема. Обсуждение роли остальных физических
полей и их "волос" мы отложим до последнего параграфа этой главы.
§ 6.3. Теорема единственности для статических черных дыр
Обсудим вопрос о статических решениях вакуумных уравнений Эйнш-
Эйнштейна. Выберем координаты в статическом пространстве-времени так, как
было указано выше, и запишем статическую метрику в форме F.2.5):
ds2 = -V2dt+hi/dxidxi,,
г= 1,2,3; V=V(xl,x2,x3); htj = h^x1 ,x2,x3). F-ЗЛ)
Обозначим через R,-/ тензор Риччи трехмерного пространства Б, описы-
описываемого уравнением t = const и обладающего метрикой кц. Тогда вакуум-
вакуумные уравнения Эйнштейна эквивалентны следующим уравнениям:
h"'V.if = 0, F.3.2а)
K.iy-C)i?,yK=0. F.3.2b)
Здесь ( ).{обозначает ковариантную производную в метрике А,у.
Предположим, что рассматриваемое пространство-время с метрикой
F.3.1): 1) является асимптотически плоским, 2) обладает горизонтом
событий и 3) не содержит сингулярностей, лежащих вне или на горизонте
событий.
Более детально эти предположения означают следующее:
1) Пространство 2 является асимптотически евклидовым, т.е. сущест-
существует такой выбор координат х1, в* которых
htj = Sq+O (Г1), dkhlf=O(r-2), V=l-M/r + r), F,з.з)
Af=const, n=O(r'2), Э,т?=0(Г3), 3,3/1? = О (г'4)
при гЩдцх'х'I12^™.
2) Функция V обращается в нуль на 2, причем множество V(x') = 0 яв-
является связной регулярной гладкой поверхностью.
Строго говоря, точки, где V = 0,не покрываются координатами t,xl, х2,
х3, поскольку в этих координатах метрика F.3.1) имеет особенность. Пред-
Предположение о существовании регулярного горизонта событий означает, что
имеется возможность с помощью перехода к новым координатам получить
продолжение метрики на часть пространства-времени, содержащую гори-
горизонт событий. Поверхность V - О можно рассматривать как границу 2,
возникающую в результате предельного перехода V - 5 = const при 5 ->+ 0.
Функция V удовлетворяет эллиптическому уравнению К.,-:1 = 0 и, следо-
следовательно, является гармонической. Поскольку при г -* °° V = 1, то при
118

конечных г вне горизонта она принимает положительные значения, мень-
меньшие 1 [о соответствующем свойстве гармонических функций см., напри-
например, Яно.Бохнер A953)].
3) Всюду на 2 (при О < V < 1) инвариант <R2 = RapybR а"т5, построен-
построенный из четырехмерного тензора кривизны, конечен.
Теорема единственности для статических черных дыр в пустоте гласит:
Всякое статическое решение вакуумных уравнений Эйнштейна, удов-
удовлетворяющее условиям 1-3, является сферически-симметричными совпа-
совпадает с метрикой Шварцшильда.
Эта теорема при дополнительном условии: 4) эквипотенциальные по-
поверхности V = const > 0 являются регулярными односвязными двумерны-
двумерными замкнутыми поверхностями, была доказана Израэлем A967). Позднее
[см. Мюллер цум Хаген и др. A973), Робинсон A977)] было доказано,
что это условие, означающее, в частности, что Va Ф О всюду при О < V < 1,
вытекает из условий 1 —3.
Основные этапы доказательства теоремы Израэля состоят в следующем.
Выбирают функцию V (уа Ф 0) в качестве координаты. Оставшиеся две
координаты б2 и б3 на поверхностях V = const выбирают так, чтобы коор-
координатные линии V ортогонально пересекали поверхности V - const. В этих
координатах метрика F.3.1) записывается в виде
ds2 =- V2dt2 +p2dV + hXYd6xdeY, F.3.4)
где X, Y = 2, 3, р и b\r являются функциями V, в2, О3, а уравнение
F.3.2а) принимает вид
(тг-
= det(bXY). F.3.5)
Определим двумерный тензор внешней кривизны КХу поверхности V =
= const соотношением
1 dbx у
Kxy = — —— - (б-3-6)
2р oV
Для следа этого тензора К = bXYKXy можно получить выражение К =
= р~' Э(In \/Б)/ЭК, которое с учетом F.3.5) дает
— =р2К. F.3.7)
ЭК
Можно показать, что уравнение F.3.2Ь) эквивалентно выполнению следую-
следующих равенств:
^x, F.3.8)
К
-KXYKXY +K2 +— , F.3.9)
pV
dxp='p2V(dxK-KxYlY), F.3.10)
где B)/? - скалярная кривизна двумерной поверхности V = const, a ( )\Х
119

означает ковариантную производную в метрике ЪХу. Уравнения F.3.5),
F.3.6) и F.3.8) позволяют определить зависимость от V неизвестных
функций р, ЬХу и КХу, а F.3.9) и F.3.10) играют роль связей: если они
выполняются при одном значении V, то, в силу остальных уравнений, вы-
выполняются при всех V.
Следующий этап состоит в нахождении условий, которые налагает на
неизвестные функции предположение 3. С этой целью запишем инвариант
<R2 = RapySRa®yS в обозначениях p,bXY и КХу
-^=(Vp)-2(kxyKxy + 2Р|*Р'* +кЛ. F.3.11)
8 \ р /
Из уравнения F.3.5) следует, что \Jb = c(xY)p, и поэтому из регулярности
поверхности V = 0 следует, что р(К = 0, 02, в3) Ф 0, а из регулярности (R2
при V = 0 находим
*л-г(^ = О,02,03) = О, р(К=О,02,03) = ро =const,
lim (K/V)=—p0 B)K(K = O,02,03). F.3.12)
v - о 2
Если обозначить через Ао = / \/Ьс1в2с1в3 площадь поверхности черной
к=о
дыры, то, интегрируя F.3.5) по К от 0 до 1, с учетом граничных условий
F.3.3) и F.3.12) имеем
F.3.13)
Отсюда вытекает, в частности, что М всегда положительно.
С помощью уравнений F.3.5) и F.3.7)-F.3.9) можно получить сле-
следующие соотношения:
F.3.14)
F.3.15)
где B>Д = ( )^Х и
Последний этап доказательства состоит в интегрировании соотношений
F.3.14) и F.3.15) по К от 0 до 1. Если учесть граничные условия F.3.3) и
F.3.12) и использовать тождество
/ i2)Afy/bdd2de3 = 0, F.3.16)
V = const
справедливое для произвольной функции /, и теорему Гаусса - Бонне:
/ i2)Rs/bde2dd3 =8тг, F.3.17)
V- const
то получаем неравенства
ро>4М, А0>пр1, ¦ F.3.18)
120

причем равенства имеют место тогда и только тогда, когда везде на 2
О. F.3.19)
Сравнивая F.3.18) с F.3.13), нетрудно убедиться, что эти соотношения
не противоречат друг другу только в том случае, если в F.3.18) всюду
стоят знаки равенства, а следовательно, выполнены соотношения F.3.19).
Эти соотношения показывают, что рассматриваемое вакуумное решение
уравнений Эйнштейна является сферически-симметричным, т.е. в соответ-
соответствии с теоремой Биркгофа A923) совпадает с решением Шварцшильда.
Аналогичная теорема единственности имеет место в случае, если отка-
отказаться от условия выполнения вакуумных уравнеьий Эйнштейна, заменив
их системой уравнений Эйнштейна - Максвелла. 1 этой ситуации черная
дыра может обладать зарядом, соответствующее единственное решение
сферически-симметрично и совпадает с метрикой Рейсснера — Нордстрема
[Израэль A968)].
§ 6.4. Теорема единственности для стационарных
аксиально-симметричних черных дыр
Перейдем теперь к обсуждению свойств решений уравнений Эйнштейна -
Максвелла, описывающих стационарные аксиально-симметричные черные
дыры. В подобных пространствах наряду с векторным полем Киллинга
?(Г), нормированным на бесконечности условием ?^) ¦ |(г)д = — 1, имеет-
имеется также пространственноподобное векторное поле Киллинга ?Д), отвечаю-
отвечающее симметрии пространства относительно вращения. Это поле коммути-
коммутирует с ?/МГ) и обладает замкнутыми интегральными кривыми. Поле ?(^)
отлично от нуля всюду во внешней области и на горизонте, кроме оси вра-
вращения, на которой ?^ = 0. Если обозначить X = ?(*^)?(^)м, то условие
регулярности (локальной евклидовости) пространства-времени на оси
вращения выполняется, когда
Х-аХ,.
= 1. F.4.1)
X =0
4Х
Векторные поля %^^ и ?(^) с описанными выше свойствами, включая ус-
условие нормировки F.4.1), определены в стационарном аксиально-симмет-
аксиально-симметричном асимптотически плоском пространстве однозначно.
В таком пространстве можно ввести координаты t, у, хх (Х= 1, 2) так,
что выполняются соотношения
ds2 =- Vdt2 +2Wd<pdt+Xd<p2 +2goxdxxdt +
+ 2g xdxxd<p+ yXYdxxdxY, F.4.2)
где
С
121

а функции V, X, W,gox,gipXn yXY не зависят от t тр. Говорят, что метри-
метрика F.4.2) удовлетворяет условию циркулярное™, если за счет координат-
координатных преобразований, сохраняющих форму F.4.2), можно добиться обраще-
обращения в нуль коэффициентов gox и g^,x- В этом случае двумерные поверх-
поверхности t = const и ip = const являются ортогональными двумерным поверх-
поверхностям, образованным интегральными кривыми полей ?(*^ и ?(^). Не-
Необходимым и достаточным условием для циркулярное™ метрики являет-
является выполнение следующих соотношений [см., например, Крамер и др.
A980)]:
евб*(,)а*<гH*(»O;бвО, еа0т*Ьи)аЦМ01:Му.а=О. F.4.4)
Можно показать [Кундт, Трюмпер A966), Картер A973а) ], что эти соот-
соотношения имеют место тогда и только тогда, когда тензор Риччи /?а/3 удов-
удовлетворяет условиям
=0' $(f)R5{<*k*Hht)y] =0- F.4.5)
Очевидно, что для вакуумных решений уравнений Эйнштейна эти условия
выполняются. Нетрудно убедиться, что они также справедливы и вне источ-
источников в электровакуумных пространствах [Картер A969)]. Таким обра-
образом, в интересующем нас случае (стационарные аксиально-симметричные
решения уравнений Эйнштейна — Максвелла) условие циркулярности вы-
выполнено и элемент длины F.4.2) допускает следующее представление:
ds2 =- Vdt2 + 2Wd$dt + Xd<p2 +dy2, F.4.6)
где
dy2=yXY(xz)dxxdxY.
Картер A969) показал, что если выполняется условие причинности (от-
(отсутствуют замкнутые времениподобные линии), то величины
p2 = VX+W2 F.4.7)
и X положительны во всей внешней области, за исключением оси вращения,
где X = W = 0, и горизонта событий, ограничивающего внешнюю область,
где р2 обращается в нуль. Для статической черной дыры W=0, и уравнение
горизонта событий принимает вид V = 0.
Если выполнены уравнения Эйнштейна или уравнения Эйнштейна -
Максвелла, то функция р является гармонической:
b/XYb) 0 F.4.8)
b
VT
Поскольку всякая двумерная метрика является конформно-плоской,.то
dy2 можно записать в виде
dy2 = U(x', х2) \{dx' J + (dx2 f ]. F.4.9)
Удобнее, однако, для описания свойств метрики в окрестности горизонта
ввести координаты X и ju, которые в асимптотически удаленной об-
области связаны со стандартными сферическими координатами г к в
122

со о тноше ниями
\^r-M, ju^cosfl. F.4.10)
Здесь М - измеряемая асимптотически удаленным наблюдателем масса
черной дыры, а метрика dy2 в этих координатах имеет вид
dy2=U(\,n)dyi, F.4.11а)
^^ + 7Г7- <6А11Ь)
Картер A971) показал, что координаты t, X, ju, \р покрывают всю внеш-
внешнюю область стационарной черной дыры (за исключением оси вращения,
где эти координаты имеют очевидную особенность). При этомлр периодич-
периодична (с периодом 2тт), t изменяется от —°° до +°°, ju пробегает значения от
— 1 до +1 (граничные значения достигаются на "северной" и "южной"
полярных осях), а X > О 0 (значению \-С отвечает горизонт событий,
и \-*°° для асимптотически удаленных точек). В этих координатах
p* = VX + W2 = (Х2 -C2)(l-ju2), F.4.12)
а электромагнитное поле FMV, вне источников записывается следующим
образом:
^„м = Э^м ~ Эмл„, Alldx» = <bdt+Bd*\ F.4.13)
величины V, X, W, U, Ф и В являются функциями от X и ju.
Перейдем теперь к изложению основных этапов доказательства теоремы
единственности для аксиально-симметричных стационарных черных дыр.
Они состоят в следующем;
1) Используя метод, развитый Эрнстом A968а, Ь) [см. также Крамер и
др. A980)], можно свести нахождение решения уравнения Эйнштейна -
Максвелла к задаче решения системы двух эллиптических уравнений второ-
второго порядка для двух комплексных функций от переменных X и ju (потен-
(потенциалов Эрнста). При этом оказывается, что полученные уравнения совпа-
совпадают с уравнениями движения для определенного лагранжиана.
2) Анализируются условия на коэффициенты метрики F.4.6), F.4.11) и
компоненты электромагнитного поля F.4.13), вытекающие из требования
регулярности пространства-времени в окрестности горизонта событий и на
оси вращения, а также из ¦предположения о том, что пространство является
асимптотически плоским. Эти условия затем переформулируются эквива-
эквивалентным образом в виде граничных условий для потенциалов Эрнста в
особых точках X = С, X = °°, I ju | = 1.
3) Используя свойства инвариантности введенного для рассматриваемой
задачи лагранжиана, получают дифференциальное условие, связывающее
произвольные два решения. С помощью этого условия доказывается, что
любые два решения, удовлетворяющие найденным граничным условиям
с фиксированным значением входящих в них произвольных постоянных,
совпадают.-
4) Показывается, что известное решение Керра — Ньюмена, описывающее
заряженную вращающуюся черную дыру, удовлетворяет указанным гра-
граничным условиям и содержит нужное число произвольных постоянных.
Тем самым устанавливается, что этим семейством решений исчерпываются
123

все решения, описывающие стационарные аксиально-симметричные черные
дыры.
Исходным пунктом при реализации описанной выше программы являет-
является следующее замечание. Пусть известны функции X, W, Фи В, отвечающие
некоторому аксиально-симметричному стационарному асимптотически
плоскому решению уравнений Эйнштейна - Максвелла. Тогда функция V
для этого решения определяется из соотношения F.4.12), а функция U мо-
может быть однозначно определена путем решения уравнения, вытекающего
из полной системы Эйнштейна — Максвелла [Крамер и др. A980) ].
Перейдем от переменных Ф, W к новым переменным Е, Y с помощью
следующих соотношений:
= - (ДГФ,М - Ш М)/(Л2 - С2),
Г Л = - (JW M - W* M)/(X2 - C2)
Можно показать, что исходная система уравнений Эйнштейна - Максвелла
обеспечивает выполнение условий совместности для этой системы и приво-
приводит к четырем нелинейным уравнениям в частных производных для четы-
четырех неизвестных функций (потенциалов Эрнста) X, Y, Е, В, которые могут
быть получены варьированием следующего функционала "действия":
F.4.15)
где "лагранжиан"
? = BХ2)'1 [(VXJ + [VY + 2{EVB ~ BVE)]2] +2Х'1 [(VEJ + (VBJ ].
F.4.16)
Здесь все операции свертки и поднятия индексов осуществляются с по-
помощью двумерной метрики dyl F.4.11b). В отсутствие электромагнитно-
электромагнитного поля для получения решений вакуумных уравнений Эйнштейна доста-
достаточно положить Е = В= 0; при этом "лагранжиан" ? принимает вид
(VXJ +(vrJ
?= j . F.4.17)
2Х2
Картер A971, 1973а) показал, что граничные условия, однозначно оп-
определяющие решение X, Y, Е, В, вытекают из следующих предположений:
а) пространство-время является асимптотически плоским; Ь) пространство-
время регулярно везде во внешней области, в том числе и на оси симмет-
чрии; с) горизонт событий является регулярной поверхностью, т.е. на нем
отсутствуют физические особенности. Эти предположения в нашем случае
принимают вид:
а) В асимптотически удаленной области (при X ->¦ °°) Е, В, Y и \~2Х яв-
являются регулярными функциями X и ju со следующими асимптотиками:
F.4.18)
где /, Q и Р — постоянные,4имеющие смысл соответственно углового мо-
момента, электрического и магнитного монопольного заряда черной дыры.
124

b)Ha оси симметрии (при ju -*¦ ± 1) Е, В, X, Y являются регулярными
функциями ju и X; при этом выполнены следующие условия:
Е,ц-О{\), Ед = 0A — ju2), Уд = 0A— ju2),
F.4.19)
1Г5М= 1+0A -ju2).
с) На горизонте событий (при Х-*-С) Е, В, X, Y являются регулярными
функциями ju и X, так что выполняются условия
?•^ = 0A), Et\ = 0A), Вм = 0A), В ^-0A),
F.4.20)
В отсутствие электромагнитного поля перечисленные выше условия при
Е -В = 0 превращаются в граничные условия для задачи F.4.17).
Следующий, основной этап доказательства состоит в установлении диф-
дифференциального тождества, связывающего два произвольных стационарных
аксиально-симметричных решения. При выводе такого тождества мы будем
следовать работе Мазура A982). При этом существенно используется
свойство инвариантности действия F.4.15)-F.4.16) относительно группы
SU A, 2) преобразований полевых переменных*'. Для установления этой
инвариантности удобно ввести вместо переменных X, Y, Е, В новые комп-
комплексные переменные if, 17, связанные с ними соотношениями
? — 1 т?
- X + iY-E2 ~Вг = , E + iB^-1—. F.4.21)
В этих переменных л агранжева плотность F.4.16) записьтается в виде
F.4.22)
а условие положительности Х эквивалентно неравенству
«+ЧЧ<1.. F.4.23)
Обозначим теперь через Ф следующую невырожденную матрицу, которая
•) Действие F.4.15) - F.4.16) является частным случаем действия вида
S[ZA] =Jdx^yabbaZAdbZBGAB,
где a, ft = 1 п; А, В = 1, . . . ,N; уаЬ = yab(х); GAB = GAB(Z). Экстремаль такого
л
действия Z (х) называют гармоническим отображением [Мизнер A978) ]. Указанное
свойство инвариантности означает, что в рассматриваемом случае нефизическое прост-
А
ранство, в котором Z - координаты, a GAB(Z) - метрика, является однородным.
Бантинг A983) предложил иное доказательство теоремы единственности, которое
не использует эту симметрию, а основано на свойстве знакопостоянства тензора кри-
кривизны в этом пространстве. Изложение этого доказательства и его возможные обоб-
обобщения см. Картер A985).
125

построена из if и т?:
~+VV 2\
Ф = A-**-ЧЧУМ 2? ~ 1 +
F.4.24)
Пусть
/у = УуФ-Ф-\ F.4.25)
где V уФ — матрица, получаемая из Ф почленным дифференцированием ее
компонент. С помощью простой проверки можно убедиться, что лагранже-
ва плотность F.4.22) допускает следующую эквивалентную запись:
?= — Sp(/y/y). F.4.26)
где Sp обозначает взятие матричного следа, а операции с индексом Y произ-
XY
водятся с помощью метрики у? .
Пусть U - псевдоунитарная матрица, удовлетворяющая условию
U*t}U=T}, T?=diag(-l,l,l), det ?/ = 1. F.4.27)
Тогда матрица
Ф = ?/Ф?Г' F.4.28)
имеет ту же форму, что и F.4.24) при новых преобразованных значениях
% и tj . Если матрица преобразования U не зависит от xY, то очевидным
образом лагранжева плотность F.4.26) не изменяется при преобразова-
преобразованиях F.4.28). Иными словами, имеет место инвариантность действия
F.4.15), F.4.22) относительно группы SU A, 2) нелинейных преобразо-
преобразований (?, 1?) -> (?,т^), порождаемых линейным представлением F.4.24).
В соответствии с первой теоремой Нетер эта инвариантность действия вле-
влечет за собой законы сохранения. В рассматриваемом случае они эквива-
эквивалентны выполнению соотношения
VM(p;")=0 F.4.29)
для решений Ф полевых уравнений.
Рассмотрим теперь два произвольных поля Ф) и Ф2 вида F.4.24) и обра-
образуем из них матрицу Ф = Ф, Ф21. Тогда можно убедиться, что выполняется
следующее дифференциальное тождество:
= /' Sp { Ф [/, xj? + i2 xi* - 2/2 xj*}) , F.4.30)
где
if = Vх Ф^:1. F.4.31)
Тождество F.4.30) позволяет завершить доказательство теоремы един-
единственности. Пуст,ь. (A",, Yi, ?",, Bi) и (Х2, Y2, E2, В2) (или Ф, и Ф2) -
126

решения, описывающие две стационарные аксиально-симметричные черные
дырыи удовлетворяющие условиям регулярности F.4.18) —F.4.20). Тог-
Тогда первый член в левой части F.4.30) обращается в нуль тождественно, а
второй - если проинтегрировать выражение F.4.30) по внешней области
X > С, -\ <ju < 1 и учесть граничные условия F.4.18) - F.4.20). С другой
стороны, можно показать [Мазур A982, 1984) ], что выражение в правой
части тождества F.4.30) неотрицательно и, следовательно, оно обращается
в нуль на решениях <I>i и Ф2. Далее доказывается, что с учетом граничных
условий F.4.18) -F.4.20) обращение в нуль правой части F.4.30) влечет
за собой равенство
Фх = Ф2, F.4.32)
которое означает, что существует только одно решение уравнений поля в
теории F.4.15), F.4.22), удовлетворяющее заданным граничным усло-
условиям. Тем самым доказывается, что всякая стационарная аксиально-сим-
аксиально-симметричная черная дыра однозначно определяется заданием значений четы-
четырех произвольных параметров: С, J, Q и Р.
Для завершения доказательства заметим, что следующее стационарное
аксиально-симметричное решение уравнений Эйнштейна — Максвелла (ре-
(решение Керра - Ньюмена) (в F.4.33) A=r2 ~2Mr + a2 + Q2 +P2)
ds2 = (dt - a sin20 AфJ +
Р2
sin20 ' , , Idr2 \
[adt-{r2 +a2)d$\2 +рЧ— + dO2], F.4.33)
р
Atldxtl = -p-2 { Qr (dt - a sin2в d^)
+ P cosd [a dt-(г2 + a2) dif]} F.4.34)
удовлетворяет граничн тм условиям F.4.18) —F.4.20) и содержит четыре
произвольных параметра: М, a, Q и Р (связанные с параметрами/ и С соот-
соотношениями J = Ма и С = (М2 - а2 - Q2 - Р2) *'2).Следовательно, это реше-
решение является наиболее общим, описывающим уединенную стационарную
аксиально-симметричную черную дыру в теории Эйнштейна — Максвелла.
Обычно считают, что магнитный монопольный заряд у черной дыры отсут-
отсутствует (Р = 0). В этом случае решение F.4.33) —F.4.34) переходит в ре-
решение D.2.1), D.8.1), D.8.2).
Описанное доказательство теоремы единственности значительно упро-
упрощается в случае незаряженной черной дыры. Для перехода к этому случаю
достаточно положить tj = ? = В = 0и вместо матрицы F.4.24) обозначить
через Ф матрицу 2X2, получаемую из F.4.24) вычеркиванием последней
строки и последнего столбца. При этом тождество F.4.30) переходит в
тождество, найденное Робинсо.юм A975) при доказательстве теоремы
единственности для незаряженных стационарных аксиально-симметричных
черных дыр.
Прежде чем перейти к рассмотрению ^возможности существования не-
неэлектромагнитных "волос" у черных дыр, обсудим вопрос о глобальной
структуре пространства-времени Керра — Ньюмена.
127

§ 6.5. Аналитическое продолжение метрики Керра - Ньюмена
внутри горизонта событий
Стационарная метрика вращающейся незаряженной черной дыры вне
горизонта событий рассмотрена нами в § 4.4. Там мы изложили причины,
по которым метрика Керра, продолженная внутри горизонта событий, не
может описывать пространство-время внутри черной дыры. Те же Самые
соображения применимы, конечно, и к общему случаю заряженной вра-
вращающейся черной дыры, описываемой метрикой Керра - Ньюмена (см.
§4.8)*).
В этом параграфе мы тем не менее рассмотрим формальное продолже-
продолжение метрики Керра — Ньюмена внутри горизонта событий. Причины этого
заключаются в следующем.
Во-первых, сама структура этого продолжения оказалась совершенно
необычной. Ее изучение показало, насколько топологически сложным
может быть полное пространство-время в общей теории относительности.
На основе подобного полного 'решения были высказаны гипотезы о воз-
возможности путешествия из одного пространства в другое при наличии обра-
образований, подобных описываемому полным решением Керра — Ньюмена.
Правда, после доказательства неустойчивости данного решения внутри
горизонта событий вероятность какой-либо достоверности таких гипотез
стала весьма проблематичной.
Во-вторых, для доказательства неустойчивости решения Керра — Ньюме-
Ньюмена внутри черной дыры необходимо привести само решение, а затем и
доказательство неустойчивости.
Свойства решения внутри горизонта событий рассматриваются ниже в
этом параграфе, доказательство неустойчивости дается в гл. 12.
Полное пространство-время метрики Керра — Ньюмена исследуется в
принципе так же, как и в метрике Шварцшильда. Дополнительная труд-
трудность здесь связана с отсутствием сферической симметрии. Мы считаем, что
М2 > Q2 + а2, ибо только в этом случае решение описывает черную дыру.
Прежде всего напомним (см. §§ 4.3, 4.4 и 4.8), что горизонт событий в
координатах D.2.1), D.8.1) находится при г = г+ =М+ (М2 -a2 -Q2) .
Метрика D'.2.1) имеет здесь сингулярность, однако сингулярность эта -
координатная, что выясняется переходом к координатам К*ерра D.4.2);
в случае, заряженной черной дыры в выражение для А входит Q2 [см.
D.8.1) ]. Все инварианты кривизны при г =г+ конечны, и пространство-вре-
пространство-время не имеет особенностей.
При исследовании метрики внутри черной дыры (г < г+) мы должны
помнить, что координаты t, r>, в, у вовсе не обязаны иметь простой смысл
временной и сферических пространственных координат, какой они имели
на бесконечности во внешнем пространстве. С подобным обстоятельством
мы уже сталкивались при исследовании метрики Шварцшильда (см. § 2.4),
где, например, переменная г при г < rg становилась временной координа-
координатой. В метрике Керра - Ньюмена физический смысл координат еще более
**Хотя в данном параграфе мы полагаем, что у черной дыры отсутствует маг-
магнитный заряд, все изложенные в нем результаты легко распространяются на случай,
когда этот заряд отличен от нуля.
128

8*0
б-const
r=const>O
"r=const<0
Мировая линия
частицы
1=0, пальцевая
сингулярность
5, wncpnoeepwocmb
Коши
Рис. 66. Качественная структура сечения t = const, <p = const вблизи г = О
Рис. 67. Диаграмма Пенроуза для полного пространства-времени Керра - Ньюмена
сложен. Координатная сетка - это линии, "начерченные" в искривленном
четырехмерном многообразии, и их физический смысл в каждом месте
может быть выяснен рассмотрением их ориентации относительно светового
конуса.
При г < г+ метрика D.2.1), D.8.1) имеет сингулярности при
r__ = М-(М2-а2 -Q2Yn F.5.1)
и при
р2 =r2+a2cos2e = 0, т.е. г = 0, в = я/2.
F.5.2)
Сингулярность F.5.1) - координатная, подобно г = г+. Сингулярность
F.5.2) — истинная сингулярность пространства-времени. Качественная
структура пространственно-временного сечения t = const, <p = const вблизи
г = 0 показана на рис. 66.
Истинная сингулярность в сечении t = const является "кольцом" г = 0,
в = я/2, лежащим в экваториальной плоскости. Здесь кривизна пространст-
пространства-времени бесконечна. Если идти (в математическом смысле) вдоль линии
в = const Ф я/2, то никакой сингулярности на пути не встречается; при г = 0
пространство-время регулярно, и можно продолжать идти в область г < 0.
Пространство-время продолжается вплоть до г = -<». Однако не надо ду-
думать, что сечение, изображенное на рис. 66, пространственноподобное. Как
видно из D.2.1), при достаточно малых по модулю отрицательных г и при в,
близких к я/2, коэффициент при d*p2 становится отрицательным, а значит,
<р становится времениподобной координатой. Но <р — циклическая пере-
переменная с периодом 2я*). Это означает, что при указанных условиях се-
*)Чтобы метрика D.2.1) на бесконечности /•-<•<» была асимптотически плоской,
переменная <р должна меняться от 0 до 2 ir, а в — от 0 до тг.
9.И.Д; Новиков
129

чение содержит замкнутые линии времени (расположенные вдоль сингу-
сингулярного кольца и вблизи него).
Полная структура аналитического продолжения пространства-времени
Керра — Ньюмена изображена в виде конформной диаграммы на рис. 67*).
Подобная диаграмма для пространства-времени Шварцшильда содержит
четыре различные области (см. рис. 50с): белую дыру, две внешние облас-
области, асимптотически плоские на бесконечности, и черную дыру. Диаграмма
для решения Керра - Ньюмена содержит бесконечное число областей.
Области I и Г соответствуют таким же внешним областям для шварцшиль-
довской черной дыры. Область П' соответствует белой дыре, область II —
черной. Однако области эти не ограничены пространственноподобными
истинными сингулярностями, как в случае решения Шварцшильда. Область
II через две разные границы г = г_ соединяется с областями III и III'. В каж-
каждой из этих областей есть по кольцевой сингулярности, рассмотренной
выше, и в каждой из этих областей можно, минуя сингулярность, пройти
в^область г < 0 (области III и Ш') к г -»• —«>. При г -»• —оо пространства
Ш и III'становятся асимптотически плоскими. В этих пространствах коль-
кольцевые сингулярности р2 = 0 проявляют себя как "голые сингулярности"
отрицательной массы.
Области III и III'через границы г_ соединяются с областью V', являю-
являющейся белой дырой, полностью тождественной по своим свойствам облас-
области II'. В свою очередь область V' через границы г+ соединяется с областя-
областями IV и IV', полностью тождественными по своим свойствам I и Г, и т.д.
(до бесконечности).
Времениподобная линия частицы, попавшей из внешней области I в
черную дыру (область II), будет продолжаться до пересечения с одной из
границ г - г_. В области II возможны движения только к все меньшим г.
После пересечения г = г_ частица попадает в область III'или III**). Здесь
возможны движения как с уменьшающимися г (вплоть до г -*¦ -<»), так и
с увеличивающимися. В последнем случае частица пересекает границу
г = г_, попадает в область V, где возможны движения только с увели-
увеличивающимся г, и пересекает одну из границ г = г+, появляясь в областях
IV' и IV. Так, частица, мировая линия которой изображена на рис. 67,
может из "нашего" внешнего пространства I попасть в другое точно такое
же пространство IV.
Заметим, что топологическая структура, изображенная на рис. 67, сохра-
сохраняется у заряженной черной дыры (Q Ф 0), и в случае отсутствия вращения
(а = 0) (при Q2 < М2). Только в этом случае сингулярность р2 = 0 превра-
превращается из кольцевой (в сечении t = 0) в точечную. ДОиновать ее и пройти
в область г < 0 теперь невозможно. Области III и III' в этом случае отсут-
*) Структура максимального аналитического продолжения для экстремальной
черной дыры имеет несколько иной вид [см. Картер A966а), Хокинг, Эллис A973) ].
Для метрики Рейсснера — Нордстрема максимальное аналитическое продолжение
было получено Грейвсом и Бриллом A960). Общий метод построения максимального
аналитического продолжения для стационарных метрик с горизонтом изложен в ра-
работе Уолкера A970).
**) Через пересечение границ /•_ можно из области II сразу попасть в область V.
130

ствуют, но пройти из I в IV вдоль времениподобной мировой линии по-
прежнему можно.
Возможность подобных "путешествий" породила ряд экзотических ги-
гипотез об исходе реального гравитационного коллапса [Новиков A966а, Ь*,
1970*) , Де ла Круз, Израэль A967), Бардин A968) ].
Однако, как уже было сказано ранее (см. также гл. 12), из-за неустой-
неустойчивости решения Керра — Ньюмена внутри черной дыры диаграмма рис. 67
вряд ли имеет какое-либо отношение к действительности.
Границы г =г_ области II получили название горизонтов Коши. Название
это связано со следующим обстоятельством. Если провести пространствен-
ноподобную гиперповерхность Коши S во всем пространстве I и простран-
пространстве Г (и, возможно, через часть области II' или II), как показано на рис. 67,
и задать на этой поверхности данные Коши для любых полей или частиц,
то эти данные определят эволюцию полей и движение частиц лишь до границ
г = г_. В областях III, III' на эволюцию полей и движение частиц могут
влиять источники в этих пространствах, которые задаются независимо от
данных на S.
Важной особенностью горизонтов Коши является следующее обстоятель-
обстоятельство. Как видно из рис. 67, чем позже какой-либо световой сигнал из
области I попадает в II, тем ближе к границе г_ идет его мировая линия.
Таким образом, вблизи г_ "скапливаются" мировые линии всех сигналов,
попадающих в черную дыру при t -* °o. Эта концентрация сигналов вдоль
г = г_ и является причиной неустойчивости решения Керра - Ньюмена
внутри черной дыры по отношению к малым возмущениям (см. гл. 12).
§ 6.6. Обобщения теоремы единственности
на случай неэлектромагнитных полей
Приведенные выше теоремы единственности для решений системь1
уравнений Эйнштейна — Максвелла, описывающих черные дыры, могут
быть в значительной мере обобщены и распространены на случай других
полей. Здесь мы кратко опишем результаты, относящиеся к существова-
существованию у черных дыр "волос", связанных с другими (не электромагнитными)
взаимодействиями.
Общий метод анализа вЪзможности существования решений для само-
самосогласованной системы уравнений гравитационного и других физических
полей, описывающих стационарное асимптотически плоское пространство,
содержащее черную дыру, был развит Бекенштейном A972а, Ь, с). Этот
метод состоит в следующем. Пусть, помимо гравитационного, имеется
набор физических полей, который мы обозначим 1^л> гДе область измене-
изменения индекса А определяется суммарным числом компонент рассматривае-
рассматриваемых полей. Пусть эти поля удовлетворяют уравнениям, вытекающим из
действия S УА ] = f?(yA, <рА ц)\/^d4x:
1 Г . Ь? 1 Ъ?
~ v-F- = о. F.6.1)
Умножим это уравнение на ^л, просуммируем по всем А и проинтегрируем
9*
131

по всей внешней области черной дыры. Если обозначить
Ьц = Ъ <рл F.6.2)
А Ь*
и воспользоваться теоремой Стокса, то получим
^^ F.6.3)
Здесь с1ац — элемент гиперповерхности, а интегрирование ведется по пол-
полной границе внешней области черной дыры, состоящей из горизонта собы-
событий, пространственной бесконечности и световых и времениподобных
бесконечностей прошлого и будущего.
Далее используется тот факт, что в стационарном случае для массивных
полей и для скалярного безмассового поля Ьц достаточно быстро убывает
на пространственной бесконечности, а на временной бесконечности и на
горизонте величина b^da^ обращается в нуль и первый интеграл в F.6.3)
"зануляется". В том случае, когда подынтегральное выражение второго
интеграла является положительно определенным, обращение его в нуль
означает обращение в нуль соответствующих полей <#А, что и доказывает
искомый результат об отсутствии "волос" этого поля.
Этот метод позволил Бекенштейну A972 а, Ь, с) доказать, что невозмож-
невозможно существование статической черной дыры, вне которой имеются регуляр-
регулярные массивные скалярное, векторное или тензорное поля, описываемые
линейными уравнениями без источников. Аналогичный результат справед-
справедлив и для стационарных аксиально-симметричных черных дыр в предполо-
предположении, что метрика удовлетворяет условию циркулярности [Бекенштейн
A972 с) ]. К сожалению, в общем случае доказать выполнимость этого ус-
условия не удается. Это является препятствием для проведения полного
доказательства на том же уровне строгости, что доказательство теоремы
единственности для электровакуумных черных дыр. Можно показать [Бе-
[Бекенштейн A972b, с), Чейз A970)], что черная дыра не должна обладать
также "волосами", связанными со скалярным безмассовым полем <р,
описываемым уравнением (? - %R) у = 0 и убывающим на бесконечности,
если только значение <р конечно на горизонте*). Аналогичный результат
справедлив также и в скалярно-тензорной теории Бранса - Дикке [Хокинг
A972b)].
Описанные выше результаты об отсутствии "волос" находятся в полном
соответствии с гипотезой, Уилера, поскольку для перечисленных полей
возможно монопольное излучение. Для безмассового поля Янга — Миллса
ситуация иная. Гипотеза Уилера не исключает существования дополнитель-
дополнительных монопольных степеней свободы у черной дыры (т.е. зарядов, анало-
аналогичных электрическому), связанных с сохранением барионов и пептонов.
*'Следует отметить, что если отказаться от условия ограниченности <р, то оказы-
оказывается возможным построить решение, описывающее экстремальную невращаю-
щуюся черную дыру со скалярным безмассовым полем [Бочарова и др. A970*). Бе-
Бекенштейн A97.5) ],однако это решение оказывается неустойчивым [Бронников, Ки-
реев A978)].
132

В работе Фролова A973*) было получено решение, описывающее невра-
щающуюся черную дыру, обладающую зарядом поля Янга - Миллса. Позд-
Позднее Ясскин A975) показал, что для каждого решения уравнений Эйнштей-
Эйнштейна - Максвелла вне источников можно построить (N— 1)-параметрическое
семейство точных решений уравнений Эйнштейна — Янга — Миллса для
^-параметрической калибровочной группы, которое обладает той же мет-
метрикой, что и исходное решение. Он привел также явный вид всех этих ре-
решений в случае вращающейся черной дыры, обладающей зарядом поля
Янга - Миллса. Решения, описывающие черную дыру с таким зарядом
(при наличии хиггсовского поля); аналогичные решению Т' Офта A974)
и Полякова A974*, 1975*) для монополя, были получены в работах Чо,
Фройнда A975),Нейванхойзенаи др. A976).
Хартль A972) показал, что нельзя обнаружить лептонный заряд, упав-
упавший в черную дыру, изучая силы, создаваемые этим зарядом и связанные
с обменом парой нейтрино — антинейтрино. В последнее время оживился
интерес к доказательству возможных модификаций теоремы об отсутствии
"волос" в рамках теории супергравитации [о черных дырах в теории супер-
супергравитации см. Гиббоне A984)]. Среди полученных здесь результатов
следует упомянуть о возможности существования у черных дыр "суперво-
"суперволос" гравитинного поля и появления нового сохраняющегося числа -
суперзаряда в качестве параметра, описывающего соответствующее реше-
решение. Этот результат был получен Айхельбу pro ми Гювеном A981,1983а,Ь),
которые показали, что в семействе Керра — Ньюмена такое обобщение
допускает только экстремальная рейсснер-нордстремовская дыра, и полу-
получили соответствующее решение. Следует отметить, однако, что вопрос о
физической значимости подобного решения далек от ясности, поскольку
используемое классическое описание фермионного поля, отвечающего гра-
витинным "волосам", трудно оправдать.
Интересное развитие получил вопрос о "волосах" черной дыры при опи-
описании ее в рамках многомерных теорий гравитации типа теорий Калуцы -
Клейна [Добиаш, Мэзон A982), Кодос, Детвилер A981), Гиббоне A982,
1984), Поллард A983), Гиббоне, Вильтшир A985)]. Исходным пунктом
при таком описании является предположение, что пространство-время
имеет размерность п > 4. Физическое пространство-время возникает в
результате компактификации "лишних" и-4 измерений. Исходное тен-
тензорное поле g в этом и-мерном пространстве в физическом пространстве-
времени проявляется как набор физических полей, определенным обра-
образом взаимодействующих с гравитационным полем ?м„ и друг с другом. В
частности, в простейшем случае (при п = 5) в такой теории наряду с гра-
гравитационным имеются электромагнитное (Ац) и скалярное базмассовое
(v>) поля, причем, если пятимерная метрика не зависит от "пятой" коорди-
координаты, то пятимерное действие jd5x v-?(s^(s) приводит к следующему
четырехмерному действию для этих полей:
— fd*x V=F(^ - 2*в"Эв* Э„* - e2^^Fa0F^). F.6.4)
167Г
Нейтральные вращающиеся черные дыры в такой теории описываются
стандартной метрикой Керра. Однако, если черная дыра заряжена и имеет
133

электрический (Q) или магнитный (Р) заряд, то, согласно этой теории,
она неизбежно обладает и ненулевым скалярным зарядом, однозначно
с ним связанным. Наличие "скалярных волос" у такой черной дыры не про-
противоречит общим результатам, приведенным выше. Дело в том, что урав-
уравнение скалярного поля <р для действия F.6.4) содержит дополнительный
член, описывающий взаимодействие у с электромагнитным полем. Вели-
Величина FajjF01^, входящая множителем при е2^3*, в этом уравнении играет
роль своеобразного источника для скалярного поля. Явный вид такой мет-
метрики в случае, если черная дыра не вращается, приведен в работе Гиббонса,
Вильтшира A985). Обобщение на случай вращающейся черной дыры обсуж-
обсуждается в этой же работе, а также Блейером и др. A985).
В заключение этой главы обратим еще раз внимание на следующий за-
замечательный факт. Если сравнить теорию поля в плоском пространстве
и в теории Эйнштейна, то в результате возрастания сложности уравнений
естественно ожидать возрастания трудностей, связанных с их решением.
Более того, казалось бы, должно резко возрасти и многообразие решений,
если допустить существование черных дыр и связанных с ними изменений
причинной структуры пространства-времени. Однако парадоксальным об-
образом, как это было показано выше, происходит обратное. Класс возмож-
возможных решений резко суживается и допускает при некоторых ограничениях
полное описание. Физическая причина этого в том, что гравитационное поле
универсально и действует на любую материю, обладающую энергией-им-
энергией-импульсом. При возникновении черной дыры гравитация возрастает настоль-
настолько, что для равновесия физических полей вблизи нее должны выполняться
крайне жесткие условия, по сути дела, эквивалентные тому, что полевая
конфигурация не обладает степенями свободы, способными распростра-
распространяться, что и приводит к указанному упрощению общей картины.

ГЛАВА 7
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА ЧЕРНЫХ ДЫР
Под электродинамикой черных дыр понимается теория электродинами-
электродинамических процессов, которые могут происходить вне горизонта событий,
во внешнем пространстве, доступном изучению далеких наблюдателей *).
На первый взгляд электродинамика черных дыр весьма тривиальна.
Действительно, в § 4.8 отмечалось, что электромагнитное поле стационар-
стационарной черной дыры (при заданной массе М) однозначно определяется ее
электрическим зарядом Q и параметром вращения а. Если заряженная
черная дыра не вращается, то электромагнитное поле сводится к радиаль-
радиальному электрическому полю заряда Q и статично. Какие-либо высшие муль-
типоли, кроме монополя, отсутствуют.
Если. черная дыра вращается, то электромагнитное поле имеет вид
D.8.2). Оно стационарно, но теперь вращение черной дыры, во-первых,
индуцирует появление магнитного поля, а во-вторых, искажает геометрию
пространства и порождает высшие электрические (и магнитные) моменты
в поле. Однако эти высшие моменты однозначно определяются величи-
величинами М, а и Q и ни в коей мере не являются независимыми, как это имеет
место в случае обычных тел.
В астрофизических условиях электрический заряд черной дыры (как
и заряд других небесных тел) не может быть велик (см. § 4.8). Совсем
слабым должно быть и магнитное поле: его дипольный магнитный мо-
момент равен ц* = Qa.
Никаких иных стационарных электромагнитных полей, присущих самой
черной дыре, быть не может. В этом смысле электродинамика собствен-
собственных полей черной дыры оказывается значительно бедней, например, элек-
электродинамики пульсаров. Пульсар представляет собой быстро вращающуюся
нейтронную звезду с массой порядка массы Солнца и гигантским "вморо-
"вмороженным" магнитным полем порядка 10'2 Гс. Вращение индуцирует боль-
большие электрические поля, которые "вырывают" заряды с поверхности
звезды, ускоряют их до большой энергии, создают сложную магнитосферу
пульсара и приводят к целому комплексу других явлений.
У черной дыры нет ни сильных магнитного и электрического полей,
ни поверхности, с которой могут истекать заряды. Поэтому сложные
электродинамические процессы здесь невозможны. Однако, если черная
дыра помещена во внешнее электромагнитное поле и имеются условия
для возникновения в ее окрестности зарядов, то ситуация в корне меня-
*) О свойствах электромагнитных полей внутри черной дыры см. § 12.1.
135

ется и возникает сложная электродинамика. Именно такая электродинами-
электродинамика и имеется в виду, когда говорят об электродинамике черных дыр.
Для астрофизических приложений важен случай внешних магнитных
полей (но не электрических) и наличия разреженной плазмы, в которую
погружена черная дыра.
§ 7.1. Уравнения Максвелла
Мы будем рассматривать электромагнитные поля на фоне заданной мет-
метрики, т.е. будем считать эти поля недостаточно сильными, чтобы обратно
влиять на метрику. Обычно в астрофизике это условие выполняется *).
Уравнения электродинамики, записанные в четырехмерном виде, ис-
использующие тензор Fap (см. Приложение), мало что говорят нашей интуи-
интуиции, и применение их для решения конкретных, сколько-нибудь сложных
задач физики крайне затруднительно. Торн и Макдональд A982) [см. так-
также Макдональд, Торн A982)] переписали эти уравнения электродинамики,
используя  + 1 "-расщепление для внешнего пространства-времени вра-
вращающейся черной дыры (см. § 4.2). В их формализме используются при-
привычные понятия - напряженность поля, плотность заряда, плотность элек-
электрического тока и т.д., "абсолютное" пространство и единое "время".
Уравнения электродинамики записаны в виде, аналогичном тому, который
они имеют в плоском пространстве-времени в лоренцевои системе отсчета.
Это позволяет не только применять хорошо разработанные методы реше-
решения электродинамических задач, но, что, пожалуй, еще важнее, "работать"
привычным понятиям, используя нашу интуицию, основанную на практике
решения задач электродинамики. Кроме того, в цитированных работах
используется так называемая "мембранная" трактовка черной дыры.
Суть ее заключается в том, что с точки зрения внешнего наблюдателя
(не падающего в черную дыру) границу черной дыры во многих случаях
можно трактовать как тонкую мембрану, наделенную особыми электро-
электромагнитными, термодинамическими и механическими свойствами. Несколь-
Несколько подробнее мы остановимся на такой трактовке в § 7.3 [см. по этому по-
поводу Торн A986), Прайс, Торн A986)]. Подчеркнем, что никакой "мемб-
"мембраны" в действительности нет, этим понятием надо пользоваться крайне
осторожно и все время помнить, что оно является только условным и
удобным для решения некоторых задач. 'Перечисленные методы позво-
позволяют относительно просто применять электродинамику черных дыр в
астрофизике, даже для астрофизиков, не являющихся специалистами в
релятивистской теории. Обзор этих вопросов см. Торн и др. A986).
В данном параграфе мы излагаем результаты цитированных выше ра-
работ Торна и Макдональда. Все физические величины, о которых пойдет
речь, являются трехмерными векторами (или тензорами), которые мы
будем характеризовать их положением в "абсолютном" трехмерном про-
пространстве (вне черной дыры) и в абсолютном едином "времени" t (см.
§ 4.2). Это те величины, которые измеряют с помощью обычных прибо-
приборов локально невращающиеся наблюдатели (см. § 4.3).
*) О медленном изменении параметров черной дыры вследствие электродинами-
электродинамических процессов см. далее (§ 7.4).
136

Введем следующие обозначения для электродинамических физических
величин, измеряемых локально невращающимися наблюдателями: Е -
напряженность электрического поля, 2? — напряженность магнитного поля,
ре — плотность электрического заряда, j — плотность электрического тока.
Уравнения Максвелла записываются в следующем виде *):
G.1.1)
G.1.2)
4 эта/ 1 .
VX(cd?)= + — [E+u>?mE-(EVoj)m], G.1.3)
с с
VX ((*?") = -- [B + oj?mB-(BVoj)m]. G.1.4)
с
Здесь а = drjdt [см. D.3.13)]; т - вектор, направленный вдоль коорди-
натных линий у и имеющий длину sin 0 (это вектор Киллинга, от-
Р
ражающий осевую симметрию пространства-времени; вдали от черной ды-
дыры он равен г sinde^); ?тЕ - производная Ли от Е (или В) вдоль век-
вектора т:
G.1.5)
описывающая изменение вектораЕ по отношению к полю вектора т (П. 7)
(эта производная равна нулю, когда при смещении на т dip начало и ко-
конец вектора Е "приклеены" к векторам т d<p); со — угловая скорость
обращения (по времени t) локально невращающихся наблюдателей [см.
D.3.10)]. Точка означает дифференцирование по t; V- оператор набла
в искривленном "абсолютном" пространстве.
Уравнения G.1.1) —G.1.2) имеют обычный вид, в то время как урав-
уравнения G.1.3) — G.1.4) несколько отличаются от привычных. Отличия
заключаются в следующем. Появилась функция а - из-за того, что физи-
физическое время течет по-разному в разных точках пространства, а уравнения
написаны в терминах глобального "времени" t (напомним, что ускоре-
ускорение F свободного падения в системе отсчета локально невращающихся
наблюдателей связано с а соотношением F = -c2Vlna) .Далее, выражения
в квадратных скобках G.1.3) и G.1.4) есть производные (по времени)
"типа Ли" для совокупности локально невращающихся наблюдателей,
которые движутся в абсолютном пространстве и для которых dx\dt = com.
Таким образом, эти выражения соответствуют полным производным по
времени от соответственно Е к В с учетом движения локально невращаю-
невращающихся наблюдателей.
Уравнения электродинамики становятся особенно наглядными и удоб-
удобными для анализа конкретных задач, когда они записаны в интегральной
форме [см., например, Пикельнер A961*)]. Мы приведем здесь одно из
таких интегральных выражений (оно потребуется в дальнейшем) для внеш-
*) Имея в виду применимость электродинамических формул этой главы в астро-
астрофизике, мы выписываем их в обычной системе единиц, используя с.
137

него пространства черной дыры: это — закон Фарадея
ЬА
/ 1 \ Id
f a\E+-\XB)dl=-- — / BdX. G.1.6)
*(t) \ С ) С dt A*(t)
Здесь dl, - вектор элемента поверхности, равный по длине его площади;
A*(t) — двумерная поверхность, не пересекающая горизонт и ограничен-
ограниченная кривой ЬА* (О; dl - элемент bA*(t); v - физическая скорость А*(;)
или ЬА* (t) относительно локально невращающихся наблюдателей.
§ 7.2. Стационарная электродинамика с осевой симметрией.
Бессиловое поле
Вращающаяся черная дыра и пространство вне ее стационарны и обла-
обладают осевой симметрией. Во многих астрофизических задачах движение
вещества вокруг черной дыры также с хорошей точностью можно считать
стационарным и осесимметричным. Естественно предполагать, что и элек-
электромагнитное поле будет таким же.
Мы считаем в этом параграфе перечисленные условия выполненными *).
Тогда производные по времени t и производные ?т от векторов исче-
исчезают. В частности, в квадратных скобках G.1.3) и G.1.4) остаются только
последние слагаемые.
Оказывается, что при условии стационарности и осевой симметрии
непосредственно измеряемые значения Е, В, ре, / выражаются через три
произвольные скалярные функции, которые могут быть выбраны следую-
следующим образом.
Пусть ЬА * — замкнутая координатная линия с постоянными г и в в
"абсолютном" 3-пространстве, а А* — двумерная поверхность, не пересе-
пересекающая черную дыру и ограниченная ЬА *.
Тогда указанные функции:
1) полный ток внутри петли ЬА * (взятый с обратным знаком)
¦/ = ¦- jfa/d2, G.2.1)
где dE — вектор элемента поверхности (он считается положительным,
если ориентирован в направлении я, 0 координаты в);
2) полный магнитный поток через ЬА *
*= fBdl; G.2.2)
А *
3) электрический потенциал
Ло = — аФ — ыАт, G.2.3)
где Ф - скалярный, а А — векторный потенциалы (определение т мы уже
дали).
*) Случай нестационарного поля см., например, Макдональд, Сюэн A985) Торн
A986).
138

Величины /нФ зависят только от выбора положения петли ЬА * и не за-
зависят от формы А* *).
Прежде чем выразить Е и В через функции /, Ф, Ло, разделим поля на
полоидальные (индекс Р) и тороидальные (индекс Т) компоненты, со-
соответственно перпендикулярные и параллельные вектору т:
i
(Ет)т, G.2.4)
sii^flX
-5—) (Вт)т, G.2.5)
ЕР=Е-ЕТ, G.2.6)
ВР=В-ВТ. G.2.7)
Из закона Фарадея G.1.6) и условия стационарности следует
Ет = 0. ' G.2.8)
Из уравнения G.1.2) и условия осесимметричности В (что дает ?тВ = 0)
получаем
VBT = 0, G.2.9)
VBP = 0, G.2.10)
т.е. полоидальные и тороидальные магнитные силовые линии можно рас-
рассматривать отдельно (как нигде не кончающиеся).
Плотность тока / также разделим на полоидальную (/р) и тороидаль-
тороидальную (уг) компоненты.
Теперь мы можем привести выражения для всех электромагнитных
величин через /, Ф, Л о:
G.2.11)
G.2.12)
G.2.13)
G.2.14)
G.2.15)
*) Мы считаем, что у черной дыры нет магнитного заряда.
139
ЕТ
JP
= 0,
. н
acl
m
Ч
lire
'.4sin20\'
21m
Msin20\
X V/
„4 sin2 0 У

Лап20\1/2 1
Л
G.2.16)
Подчеркнем, что последние три уравнения можно рассматривать как
дифференциальные уравнения для определения /, У, jl0 (а значит, и Е,В),
если источники поля jp ,jT и ре считать заданными стационарно и осесим-
метрично, но в остальном произвольно. Заметим, что задание тока / в
стационарном и осесимметричном случае должно удовлетворять условию
V(a/) = 0 из-за закона сохранения заряда, т.е. а/р должно быть бездивер-
бездивергентным.
Рассмотрим теперь физические условия в плазме, окружающей черную
дыру.
Наиболее важным для астрофизики является случай, когда проводи-
проводимость плазмы столь высока, что электрическое поле отсутствует в систе-
системе, сопутствующей плазме, и магнитные силовые линии "вморожены"
в плазму. В этом случае в произвольной системе отсчета электрическое
поле перпендикулярно магнитному (вырожденное поле):
ЕВ = 0. G.2.18)
Еще более специфична ситуация, когда силы инерции (и гравитации),
действующие на плазму, малы по сравнению с электромагнитными. В этом
случае конфигурация полей и токов такова, что в системе, сопутствующей
плазме, токи параллельны магнитным силовым линиям и отсутствует
сила Лоренца, действующая на движущиеся заряды. Такие поля назы-
называют бессиловыми. В произвольной системе условие бессилового поля за-
записывается следующим образом:
1
peE+—jXB = 0. G.2.19)
с
В этом параграфе мы будем считать, что вблизи черной дыры условие
G.2.19) [а значит, и G.2.18)] выполнено*). Подчеркнем, что условие
G.2.19) заведомо нарушается где-то во внешнем пространстве черной
дыры.
Действительно, в обычной ситуации внешнее магнитное поле удер-
удерживается в пространстве около черной дыры из-за того, что концы маг-
магнитных силовых линий "вморожены" в достаточно плотную массивную
плазму, находящуюся несколько поодаль и "принесшую" магнитное поле
к черной дыре. В э/гой плазме выполнено условие G.2.18), но не'условие
G.2.19). Тяготение черной дыры (и инерция) удерживает эту плазму,
а вместе с ней и "вмороженное" в нее магнитное поле. Его силовые линии
*) Условие G.2.19) не выполняется на самом горизонте событий; см. об этом
следующий параграф.
140

Рис. 68. Схема дисковой аккреции на черную дыру: 1 - вращающаяся черная дыра,
2 - область бессилового поля G.2.19), 3 - "область ускорения", где не выполняются
условия G.2.18) и G.2.19). Штриховая линия - граница областей 2 и 3, пунктир -
пример линии электрического тока
выходят из плотной плазмы в область гораздо более разреженной плазмы,
где выполнено условие G.2.19); они могут проходить вблизи черной
дыры, а часть их — пронизывать ее. Такая ситуация осуществляется, напри-
например, в модели широко обсуждаемой дисковой аккреции на черную дыру
(рис. 68).
Если бы где-то не нарушалось условие G.2.19) и плотная плазма своей
инерцией не сдерживала бы расталкивающее давление магнитного поля,
то это давление заставило бы силовые линии вместе с разреженной плаз-
плазмой двигаться наружу.
Вдали от черной дыры должно нарушаться, вероятно, и условие G.2.18)
(область 3 на рис. 68) - там, где магнитное поле достаточно слабо, а силы
инерции, наоборот, становятся большими (см. об этом следующий па-
параграф) .
Заметим, наконец, что условия G.2.18) и G.2.19), конечно, только
приближенные. Для решения задач о конфигурации полей, токов и рас-
распределения зарядов необходимо лишь, чтобы вместо G.2.18) и G.2.19)
выполнялись соответственно неравенства
\ЕВ\ <\Е2 -В2\, G.2.20)
1
pt.E + —jXB
с
\В\.
G.2.21)
141

Малые отклонения от точных равенств G.2.18) и G.2.19) в окрестности
черной дыры могут оказаться существенными для некоторых астрофизи-
астрофизических процессов [см., например, Кардашев и др. A983*)].
Вернемся к случаю бессилового поля, считая условия G.2.18) и G.2.19)
точно выполненными в окрестности черной дыры. Поле Е - чисто полои-
дальное, и, кроме того, ЕВ = 0. Поэтому Е можно представить как вектор-
векторное произведение Вр на некоторый вектор -vF/c, зависящий только от
г, в и параллельный т:
vF
Е = ЕР = ХВР. G.2.22)
с
Напомним, что Ей В - это 'поля, измеряемые невращающимися наблю-
наблюдателями. Тогда из G.2.22) следует, что наблюдатель, движущийся со ско-
скоростью vF относительно невращающихся наблюдателей, измеряет только
магнитное поле, для него электрическое поле равно нулю вследствие пре-
преобразования Лоренца. Значит, можно интерпретировать vF как линейную
скорость точек магнитной силовой линии относительно невращающихся
наблюдателей. Поле Е целиком индуцировано этим движением.
Если записать вектор vF в виде
G.2.23)
то Пр будет угловой скоростью вращения точек силовых линий полои-
дального магнитного поля в "абсолютном" пространстве. Можно пока-
показать, что каждая силовая линия целиком обращается вокруг черной дыры
как единое целое с постоянной J2F по "времени" t в "абсолютном" про-
пространстве.
Поверхность, которая получается при вращении магнитной силовой
линии вокруг оси симметрии, называют магнитной поверхностью. Вели-
Величина % очевидно, постоянна на этой поверхности, и, следовательно, S2F
есть функция *: ?2F = nF(V). Оказьюается, что величина Лц теперь
dj.o &F
не является независимой, а тоже есть функция ч> = • Мож-
d4f 2itc
но показать, что из условия G.2.19) вытекает зависимость и /от чл
Уравнения для /г G.2.16) и ре G.2.17) теперь несколько упрощаются:
—(S2F - w)V*V(ftF - со) (ftF - w) (V*J I, G.2.24)
ас ас d^ 1
G2-25)
Наиболее важным и примечательным фактом является то, что /, *, Лй
теперь не являются произвольными и независимыми, а значит, не явля-
142

ются произвольными и независимыми ре, /г и бездивергентная часть а/ ,
как это было при требовании лишь стационарности и осевой симметрии.
Теперь произвол в их вь.боре отсутствует: для существования бессило-
бессилового поля необходимо (и достаточно), чтобы величина Ф удовлетворяла
уравнению, которое называют уравнением линий тока (stream equation):
| ар2 Г (ftF-toJ A sin2 в
V Usin20 L1 a2? ~f?~
+ —^ (V*J + — — / =0. G.2.26)
ас е/Ф ас Asm в af*
Таким образом, если *, S2F(*) и /(*) выбраны так, что удовлетво-
удовлетворяют G.2.26), то для области с бессиловым полем Е вычисляется по
G.2.22), куда подставлены G.2.23) и G.2.13), В вычисляется по G.2.13)
и G.2.14), )р - по G.2.15), a jT и ре - по G.2.24) и G.2.25) соответ-
соответственно.
§ 7.3. Граничные условия на горизонте событий.
Мембранная трактовка и "растянутый" горизонт
Электродинамика черных дыр рассматривает процессы только вне го-
горизонта событий. Поэтому для решения уравнений электродинамики,
помимо граничных условий вдали от черной дыры, необходимо задать
еще граничные условия на ее поверхности. Формально эта ситуация ничем
не отличается от ситуации, например, связанной с электродинамикой пуль-
пульсаров, когда также необходимо задавать граничные условия на поверхности
нейтронной звезды.
Тем не менее эти ситуации принципиально разные.
В отличие от нейтронной звезды, у черной дыры нет никакой материаль-
материальной поверхности, отличающейся от окружающего пространства. Формально
для построения полной картины электромагнитного поля надо было бы ре-
решать уравнения Максвелла для всего пространства-времени — как снаружи,
так и внутри черной дыры, причем без каких-либо специальных условий
на горизонте событий. Соответствующие условия надо было бы отнести к
сингулярности внутри черной дыры.
Однако ясно, что если мы интересуемся только процессами вне черной
дыры и помним, что область пространства-времени внутри нее не может
влиять на эти процессы, то должна существовать корректная постановка
задачи об электродинамике вне черной дыры с соответственно подобран-
подобранными граничными условиями на горизонте событий. Так как генераторами
горизонта событий являются нулевые геодезические и эти же линии яв-
являются характеристиками для уравнений Максвелла, то, следовательно,
решается задача с заданием условий на семействе характеристик.
Соответствующие граничные условия были сформулированы Знаеком
A978) и Дамуром A978). Оказалось, что их можно представить весьма
наглядным образом, а именно считать, что на поверхности черной дыры
находится фиктивный поверхностный электрический заряд аИ, компен-
компенсирующий поток электрического поля через поверхность, и фиктивный
поверхностный электрический ток ty , замыкающий реальные токи,
143

пересекающие горизонт, и компенсирующий касательные составляющие
магнитные поля на горизонте. Такая трактовка получила название мемб-
мембранного формализма [ТорнA986),Торн и др. A986)].
В формулировке Макдональда и Торна A982) условия на горизонте
выглядят следующим образом:
закон Гаусса
En=El-*4iroH, G.3.1)
где л — единичный вектор внешней нормали к поверхности черной дыры;
знак ~* означает приближение к ее горизонту по траектории свободно
падающего наблюдателя;
закон сохранения заряда
' Ъан -*¦
.ф -> — - B)V#H, G.3.2)
at
где *2* V - двумерная дивергенция на горизонте;
закон Ампера
„ / 4я\„
а*, - В" = [—)f X ". G-3 J)
где В и - компонента магнитного поля, касательная к горизонту,
закон Ома
о?, -> Ен = RHf", G.3.4)
где ?ц - компонента электрического поля, касательная к горизонту;
RH = 4 я/с - эффективное поверхностное сопротивление горизонта собы-
событий (Rf{ = 377 Ом).
Наличие множителя а в условиях G.3.2) - G.3.4) связано с замедле-
замедлением течения физического времени у локально невращающихся наблюда-
наблюдателей вблизи черной дыры.
Значения Е*1 и Вн конечны, а а ~* 0 на горизонте. Отсюда и из приве-
приведенных выше условий получаем следующие свойства полей у горизонта:
Е1 и Вх конечны на горизонте, G.3.5)
|?ц| и \B$\j вообще говоря, расходятся у. горизонта как 1/а. G.3.6)
|?ц - л X J?,|| <» а -> 0 у горизонта. G.3.7)
Условие G.3.7) означает, что для локально невращающихся наблюда-
наблюдателей электромагнитное поле у горизонта приобретает (в общем случае)
характер электромагнитной волны, идущей в черную дыру с бесконечным
фиолетовым смещением.
Приведенные условия позволяют весьма наглядно представить, как
электромагнитные прбцессы будут влиять на свойства самой черной дыры,
медленно меняя ее параметры (медленно - поскольку мы с самого начала
предположили относительную слабость электромагнитного поля; см.
§7.1).
Изменение углового момента вращения черной дыры ./ равно полному
потоку углового момента электромагнитного поля через горизонт (все -
144

Рис. 69.  + 1 "-расщепление пространства-
времени вблизи горизонта черной дыры:
1 - горизонт черной дыры, 2 - "растяну-
"растянутый" горизонт, 3 - сечения t = const
в глобальном времени t). В диффе-
дифференциальном виде это условие запи-
записывается так:
dJ = (а"Ен +(&Н/с) X BL)m d1,Hdt.
G3.8)
Здесь dtH - элемент площади гори-
горизонта. Изменение массы черной ды-
дыры М определяется следующим выра-
выражением:
dM¦ с2 = { Пн[а"Ен +{f"lc) X
X Bi]m+EHfH }dI,Hdt. G.3.9)
Первое слагаемое в фигурных скобках описывает изменение вращатель-
вращательной энергии черной дыры, а второе — изменение массы вследствие "нагре-
"нагрева" черной дыры поверхностным током.
Мы видим, что описанные в этом параграфе граничные условия на го-
горизонте событий позволяют при решении электродинамических задач
во внешнем пространстве представлять черную дыру как некую мате-
материальную сферу, обладающую вполне определенными электромагнит-
электромагнитными свойствами, способную нести поверхностные заряды и токи. Этот
подход, как мы уже сказали, называют мембранным.
Такое наглядное представление в сильной степени помогает решать
конкретные задачи.
Мы хотим еще раз подчеркнуть, что в действительности никакой ре-
реальной сферы, никаких зарядов и токов на границе черной дыры нет. Под-
Подчеркнем также, что поля Е и В, которые реально измеряет локально не-
вращающийся наблюдатель у горизонта событий, кардинально отличаются
от Ен и Вн, фигурирующих в граничных условиях, из-за наличия множи-
множителя а в определении Ен и Вн [см. G.3.3) и G.3.4)]. Этот множитель
связан (как и при формулировке уравнений Максвелла) с использова-
использованием "глобального времени" t.
Отметим здесь следующее важное обстоятельство. При  + Г'-расщеп-
лении пространства-времени черной дыры поверхности t = const ведут
себя так, как показано на рис. 69. С приближением к горизонту они уходят
в далекое прошлое по параметру V B.4.11) или по времени Т свободно
падающего наблюдателя (Г — время системы отсчета B.4.3) для метрики
Шварцшильда или аналогичной системы отсчета для метрики Керра) *).
*) Заметим, что метрическое расстояние до горизонта от любой точки по сечению
t = const тем не менее конечно (кроме случая а =М). Это связано с тем, что нулевые
геодезические стремятся стаять параллельными этому сечению с приближением к го-
горизонту.
10 ИД Новиков 145

Поэтому с приближением к горизонту на этом сечении имеются значения
электромагнитного поля, соответствующие далекой прошлой истории.
Если рассматривается стационарная задача, то это обстоятельство не имеет
значения, так как поля не меняются со временем. Но при рассмотрении
эволюции полей это обстоятельство оказывается важным и может вызы-
вызывать серьезные неудобства. Поэтому было предложено ввести понятие
"растянутого" горизонта. Им называют поверхность (мембрану), лежа-
лежащую в непосредственной близости от горизонта, снаружи него, и, в отличие
от горизонта, являющуюся времениподобной (см. рис. 69). Точно поло-
положение "растянутого" горизонта не определено и выбирается в зависимости
от конкретной задачи.
Граничные условия задаются в таком подходе на "растянутом" горизон-
горизонте и все далекое прошлое полей на t = const вблизи истинного горизонта
оказывается отсеченным и не рассматривается. Подробную теорию "растя-
"растянутого" горизонта и библиографию можно найти в работе Прайса, Торна
A986) ив книге Торн и др. A986).
Вернемся к истинному горизонту. Будем теперь, как и в предыдущем
параграфе, "специализировать" физические условия. Предположим сначала,
что рассматривается стационарная осесимметричная задача. В этом случае
на горизонте фиктивный поверхностный ток рн и электрическое поле Ен
полностью полоидальны, а магнитное поле Вн тороидально:
2я
Рн
G10)
в" *
где Ан и рн — значения А и р на горизонте. Кроме того, полоидальное
магнитное поле, измеряемое невращающимися наблюдателями, пересе-
пересекает горизонт событий ортогонально. Напомним, что тороидальная ком-
компонента, как сказано выше, расходится на горизонте.
Посмотрим теперь, что изменится в случае бессилового поля в окрест-
окрестности черной дыры. Прежде всего отметим, что на самом горизонте усло-
условие G.2.18) вырожденности поля выполняется, но условие G.2.19) —нет.
Теперь электрическое поле на горизонте Ен прямо выражается через В±:
Ен = - - (ftF - Пи)т X BL. G.3.13)
с
Наиболее важным является следующий факт. В случае бессилового поля
решения уравнения линий тока G.2.26), не имеющие каких-либо нефизи-
нефизических особенностей, автоматически удовлетворяют граничным условиям
146

на горизонте событий. Кроме того, оказывается справедливым следующий
"принцип наименьшего действия".
Линии полоидального магнитного поля, пересекающие горизонт, рас-
распределяются таким образом, чтобы полная поверхностная энергия ? тан-
тангенциального электромагнитного поля на горизонте была экстремальной.
Выражение для ? в этом случае имеет вид
& = — / [(ВнJ + (EHJ}dZH, G.3.14)
8эт н
а интегрирование производится по горизонту.
Наконец, запишем для бессилового поля уравнения G.3.8) и G.3.9):
dJ = -' — (BLJdXHdt, G.3.15)
4этс р2н
D,F(D.F Q.H} Лнч\п2в
Л it lai — а? I /A. Mil U jj
dM- — (BiJdZ"dt. G.3.16)
4этс3 р2н
Угловой момент и энергия, теряемые черной дырой, передаются вдоль
магнитных силовых линий полоидального поля в бессиловой области к
"районам", где условие G.2.19) нарушается.
Заметим, что если ilF = 0 (силовые линии магнитного поля, скажем,
вморожены в плазму вдали от черной дыры, и эта плазма не участвует
во вращении вокруг нее), то dM = 0, т.е. полная масса дыры сохраняется,
a fit/ < 0, т.е. вращение черной дыры замедляется. При этом вся энергия
вращения переходит в массу самой черной дыры (так называемую непри-
неприводимую массу; см. § 8.1) - ничего не отдается наружу.
При заданных параметрах черной^дыры угловая скорость вращения ?lF
определяется граничным условием вдали от черной дыры, во внешней
плазме. Для астрофизических условий ситуация будет рассмотрена в § 7.5.
§ 7.4. Электромагнитные поля в вакууме
в окрестностн черных дыр
Прежде чем переходить к описанию магнитосферы вращающейся черной
дыры, возникающей в условиях, когда на нее происходит аккреция за-
магниченного газа (см. об этом следующий параграф), приведем в ка-
качестве иллюстраций решения следующих задач об электромагнитном поле
в вакууме:
1) электрический заряд в вакууме в метрике Шварцшильда [Копсон
A928), Лине A976), Ханни, Руффини A973)];
2) магнитное поле в вакууме в метрике Керра, однородное на бесконеч-
бесконечности [Уолд A974b), Торн, Макдональд A982), Khhf, Лазота A977)].
Начнем с задачи 1. Пусть заряд q покоится в координатах шварцшильда
при г = Ь, в = 0. Задача сводится к решению системы G.2.15) —G.2.17)
с 5-функцией для ре и с jp = jT = 0. Условия G.2.15), G.2.16) выпол-
выполняются при Ф = / = 0. Из G.2.13) и G.2.14) следует тогда отсутствие
внешнего магнитного поля. Отсутствуют и внешние токи. Тем самым
[смч. выражения G.3.2) и G.3,3)] равен нулю поверхностный ток на
10* ¦ ¦ 147

Горизонт
Т ' <ъ
Рис. 70. Силовые линии электрического поля пробного покоящегося заряда q в метри-
метрике Шварцшильда в сечении ^ = const: о) силовые линии на искривленной поверхности,
геометрия которой совпадает с сечением ^ = const метрики Шварцшильда; в) то же
самое в проекции на плоскость ("вид сверху"). На горизонте изображено распределе-
ние фиктивного поверхностного заряда а . Заряд q считается положительным
горизонте у-н = 0). Из условия G.3.7) следует, что Et -* 0 у горизонта
и электрические силовые линии пересекают его ортогонально. Полный
поток Е через горизонт равен нулю (черная дыра не заряжена). С этими
граничными условиями решение G.2.17) с ре = 5 (г - b, d)q и со= 0 позво-
позволяет найти Лц, а затем из G.2.11) найти Ер (в этом параграфе везде,
кроме окончательных формул, положено G = 1, с = 1) :
Ер =
Ъг2 \ \
Ъг2
r[(r-M)(b-M)
D
М2со%в\
\
q(b - 2Af)A -2M/rL2sin0
G.4.1)
где ef,eg — единичные физические векторы вдоль направлений г и в со-
соответственно, а
D = [(r~MJ +(b-MJ - М2' - 2(г - М) (Ь ^M)cos0+M2cos20]1/2.
G.4.2)
Картина электрических силовых линий изображена на рис. 70. На гра-
границе черной дыры поверхностная плотность заряда определяется G.3.1):
q[M(l + cos20) - 2(b -
ан =
8nb[b-M(l +cos0)]2
G.4.3)
Будем приближать заряд к горизонту (Ь -*¦ 2М). На расстоянии г > Ъ — 2М
от горизонта силовые линии становятся практически радиальными, а на-
напряженность поля стремится к q\r2. Таким образом, общая картина, за
исключением узкой области вблизи горизонт^, выглядит так, как будто
заряд находится в центре черной дыры.
148

Приведем теперь без подробного обоснования решение второй задачи.
Вращающаяся черная дыра помещена в однородное на бесконечности
магнитное поле напряженности Во. В метрике Керра магнитное поле да-
дается следующим выражением:
2psin0 \ А ) \Ъв Ъг Ъг Э0
G.4.4,
где х = (А- 4a2Mr)sm2e!p2.
Электрическое поле, индуцируемое вращением черной дыры, пропор-
пропорционально а: 2
Msin2e
рз
|
X {А-4а2 Mr)-(-)]-+ Д-1/»Г
Ъг\А1\Ъг 1
Э0
э / 1 М э
Как и в задаче 1, здесь отсутствуют Ен ,ВИ и У-н *). Из формул G.3.8),
G.3.9) следует, что угловой момент вращения черной дыры J и ее мас-
масса М остаются неизменными. Кинг и Лазота A977) показали, что при
магнитном поле, наклоненном к оси черной дыры, величина ее углового
момента будет меняться. Их рассуждения заключаются в следующем.
Пусть однородное на бесконечности магнитное поле В составляет не-
некоторый угол с направлением углового момента /. Разложим / на ком-
компоненты — параллельную полю (/ц) и перпендикулярную ему (Ji). Их
изменение с течением времени дается формулами
/j = const, G.4.6)
JL=JL{t = Q)e-4\ G.4.7)
где
т
= М~1(В)'г =1036 лет ( ) ( : ) • G.4.8)
2 С \МЬ ) \ 10"* Гс/
Таким образом, с течением времени полностью теряется компонента Ji
углового момента черной дыры. При статическом внешнем магнитном
поле энергия вращения, связанная с /j_, переходит в "неприводимую"
массу черной дыры, а компонента /ц не меняется.
*) Если вычислить (см. § 7.3) компоненты поля ?j_ и Bi на горизонте событий,
то оказывается, что обе они пропорциональны г+ - М, где г+ = М + (М2 - а2) Ч2.
Поэтому для максимально быстро вращающейся черной дыры с атах = М имеем
Ь\ = 0 и Bi = 0 на горизонте, т.е. силовые линии осесимметричного поля не прони-
пронизывают черную дыру (случай неосесимметричного поля см. далее) . Задачи электро-
электродинамики черных дыр рассматривали также Лейт, Лине A976, 1978) , Мизра A977),
Гальцов, Петухов A978*), Лине A976,1977а, Ь, 1979) .Демянский, Новиков A982),
Бичак.Дворак A980); см. также §§ 8.2-8.4.
149

Конечное состояние черной дыры соответствует теореме Хокинга о том,
что стационарное состояние должно быть осесимметричным. Пресс A972)
отметил, что если внешнее магнитное (или любое другое) поле неосесим-
метрично, то черная дыра в конце концов полностью потеряет свой угло-
угловой момент / согласно теореме Хокинга. При этом, если поле В плавно
меняется на масштабах, много больших размеров черной дыры, то можно
снова разложить / на J\ и J± относительно направления поля в ее окрест-
окрестности. Уменьшение Ji по-прежнему определяется по порядку величины
формулой G.4.7), а уменьшение /ц оценивается формулой
() G.4.9)
dt т \R I
где R - масштаб неоднородности поля.
В сноске на с. 149 отмечалось, что в случае а = ятах осесимметричное
магнитное поле не пронизывает горизонт черной дыры. Бичак A983,1985)
показал, что в случае наклонного к оси вращения однородного на беско-
бесконечности магнитного поля Во поток через половину*) горизонта компо-
компоненты поля BOi максимален при a = amax и равен
Фтах * 2,25В01пМ2. G.4.10)
Наконец, рассмотрим невращающуюся черную дыру, помещенную в
однородное на бесконечности сильное магнитное поле Во [Бичак, A983)].
Пусть оно настолько сильное, что необходимо учитывать его самогравита-
самогравитацию. Тогда оказывается, что для фиксированной массы черной дыры М
существует такое критическое ВОсг, при котором поток Ф через поло-
половину горизонта событий максимален:
BOet = 2c*G-3l2M-l=5-l0l3Tc- (i^), G.4.11)
\ М I
Фта*,1 =4яС1'2Л#. G.4.12)
Потока поля через горизонт, большего, чем Фтах, \, быть не может.
§ 7.5. Магнитосфера черной дыры
Задачи, рассмотренные в предыдущем параграфе, иллюстрируют важ-
важные свойства электрических и магнитных полей в окрестности черных
дыр. Однако эти задачи вряд ли непосредственно приложимы к описанию
реальных электродинамических процессов, которые должны протекать
в астрофизических условиях. Причина этого, как уже отмечалось, состоит
в том, что в окрестности черной дыры поля не могут рассматриваться как
вакуумные — всегда имеется разреженная плазма (и поле становится бес-
бессиловым) или же возникают еще более сложные ситуации.
*) Полный поток магнитного поля через любую замкнутую поверхность, в том
числе и горизонт, конечно, равен нулю (см. § 7.1) . Когда говорят о потоке поля,
пронизывающего дыру, рассматривают только входящие (или выходящие) силовые
линии.
150

Напомним, что в случае вращающихся замагниченных нейтронных
звезд - пульсаров поля в их окрестности также нельзя рассматривать
как вакуумные — возникает сложная магнитосфера пульсара [см. Гольд-
райх, Юлиан A969), Рудерман, Сюзерленд A975), Ароне A983), Бескин
и др. A983), Кардашев и др. A984*), Гуревич, Истомин A985*) ].
По аналогии с пульсарами область вокруг черной дыры с замагничен-
ной плазмой называют магнитосферой черной дыры. Полной ее теории пока
не существует ввиду сложности и многообразия процессов, которые могут
в ней возникать. Более того, сегодня отсутствует сколько-нибудь закон-
законченная теория магнитосферы пульсаров, на создание которой потрачено
очень много сил и времени.
Мы не будем здесь обсуждать все стороны теории магнитосферы черных
дыр, а лишь рассмотрим важнейшие аспекты электродинамических про-
процессов, которые могут возникать в их окрестности и являются специфи-
специфическими именно для черных дыр. Поэтому мы ограничимся изложением
теории простейшей магнитосферы черной дыры, затрагивая лишь процессы,
вызываемые самой черной дырой, и оставляя в стороне процессы, связан-
связанные, например, с движением облаков плазмы в аккреционном газовом
диске, который может существовать вокруг черной дыры, и т.д.
Мы будем рассматривать стационарную осесимметричную модель маг-
магнитосферы черной дыры, подвергающейся дисковой аккреции замагни-
ченного газа (схема магнитосферы показана на рис. 68). Такая модель
была рассмотрена Блендфордом A976), Блендфордом, Знаеком A977),
Макдональдом, Торном A982), Финнеем A983); см. также Лавлейс
A976), Лавлейс и др. A979), Торн, Блендфорд A982), Рис и др. A982).
Чтооы в окрестности черной дыры выполнялись условия существова-
существования бессилового поля G.2.20)-G.2.21), необходимо наличие разрежен-
разреженной плазмы, в которой текут токи вдоль магнитных силовых линий. На
магнитных силовых линиях, пронизывающих черную Дыру, заряды, обес-
обеспечивающие токи, должны все время возобновляться, так как они стекают
в нее. Вытекать из черной дыры заряды, разумеется, не могут*). Таким
образом, в окрестности черной дыры должны существовать механизмы
рождения свободных зарядов. Такие механизмы рассмотрены Блендфор-
Блендфордом и Знаеком A977) и Кардашевым и др. A983*). Не останавливаясь
на них, заметим только, что для их осуществления необходимо наличие
малой компоненты электрического поля, параллельной магнитному. Эта
компонента столь мала, что не нарушает неравенства G.2.20)-G.2.24).
Рассмотрим тонкую трубку силовых линий, пронизывающих черную
дыру. Эта трубка обращается с постоянной угловой скоростью ?lF вокруг
нее (§ 7.2). При этом, согласно формуле G.3.16),извлекается вращатель-
вращательная энергия черной дыры
d& dM ПР(ПН-Пр) AHsin2e , „
— = -с-а — = К- - з ^iS". G.5.1)
eft dt 4nc p2H
Эта энергия передается вдоль магнитных силовых линий в район .? (см.
*) Полный заряд черной дыры, естественно, все время равен нулю в стационарном
решении, так как полное количество зарядов противоположного знака, втекающих в
черную дыру, одинаково.
151

рис. 68), где нарушается условие бессилового поля, происходит перекачка
энергии в ускоренные частицы, излучение и т д.
Частицы в этом районе своей инерцией оказывают обратное действие
на силовую линию и тем самым определяют ?2 . Если инерция велика, то
угловая скорость Пр мала (?lF < Пн) и в пределе ?lF -*0. В этом случае
мощность dk/dt рассматриваемой "машины", как следует из G.5.1), очень
мала. В противоположном случае (малая инерция частиц в области 3)
Пр -*¦ ?2н, и снова из G.5.1) получаем малую мощность.
Вращающаяся^^ Движение
черная у частицы
дыра \ вдоль силовой
\ Линии
Силовая линия
в момент t \ Л
Рис. 71а. Схема.движения заряженной частицы вдоль силовой линии магнитного поля,
вращающейся вокруг черной дыры
Рис. 71*.. Положение отрезка силовой линии магнитного поля в плоскости векторов
В к В в моменты f и t + dt. Если вектор скорости частицы в абсолютном пространст-
пространстве, скользящей наружу вдоль силовой линии, перпендикулярен к ней, то скорость
частицы минимальна
Наибольшая мощность получается при nF = Q,F /2.
Макдональд и Торн A982) показали, что, вероятно, именно это условие
реально осуществляется в данной модели. Их аргументы сводятся к следую-
следующему. Вдали от черной дыры можно считать угловую скорость невращающих-
ся наблюдателей нулевой, и точки силовых линий вдали от оси симметрии
имеют (относительно невращающихся наблюдателей, а значит, в абсолют-
абсолютном пространстве, так как to = 0) скорость \F много больше световой:
|vF| = \Q,Fm\ > с. G.5.2)
Заряженные частицы не могут двигаться со скоростью больше с. Од-
Однако, оставаясь на силовой линии и скользя вдоль нее наружу (как пока-
показано на рис. 71а), они могут иметь скорость меньше | vF| . Участок сило-
силовой линии изображен на рис. 71Ь в плоскости, определяемой векторами
Вр и ВТ. Существует оптимальный темп скольжения вдоль силовой линии
(которая в свою очередь движется со скоростью vF) такой, что полная
скорость частицы в абсолютном пространстве минимальна (это ясно из
рис. 71Ь). Угол 0 есть угол между направлением сильной линии и направ-
направлением у -координаты, поэтому он определяется из соотношения
\ВР\
sin/З • G.5.3)
у/(ВрJ +(ВТJ
С помощью G.5.3) находим I vm in |:
|vmin| = , \ ===¦ ' G.5.4)
152

Оказывается, что условие |vmin| «с эквивалентно условию наиболь-
наибольшей мощности ?2F «s ?2и/2. Действительно, запишем для |vF|, | Вг|
и | Вр| следующие выражения, справедливые вдали от черной дыры и оси сим-
симметрии. Для | vF | имеем
|vF| * nF|m|. G.5.5)
Для \ВТ\, используя формулы G.2.14), G.3.11), G.3.13) и опреде-
определение G.2.2), получаем
Наконец, для \ВР\ из формулы G.2.13) и соотношения | V Ф| * 2Ф/1 m |
находим
G.5.7)
\В\^
тг|т|2
Подставляя G.5.5)-G.5.7) в G.5.4), получаем
cUF
Ivminl - uH_uF ¦ G.5.8)
Из последней формулы следует, что I vmin| « с, когда ?2F = ?2и/2.
Если ?2F -^ 12я/2 и | vmin| < с, то инерция частиц в области 5 мала и
?2F будет увеличиваться до-тех пор, пока скорость I vmin| не станет близ-
близкой к с. Если же | vm in | > с, то частицы не могут удерживаться на сило-
силовых линиях, их обратное действие на поле будет уменьшать i1F, пока не
получим | vmin | s» с*).
Поэтому, вероятно, ?2F « ?2w/2 и темп извлечения вращательной энер-
энергии из черной дыры G.5.1) близок к оптимальному.
По порядку величины мощность рассмотренной "электромашины" есть
IE) (
с / V
G.5.9)
Здесь В - напряженность магнитного поля в окрестности черной дыры.
Иногда работа нашей электромашины описывается с помощью электро-
электротехнической терминологии [Блендфорд A979), Знаек A978), Дамур
A978), Макдональд, Торн A982), Торн, Блендфорд A982)]. Запишем
в этой терминологии выражения для величин на горизонте событий чер-
черной дыры.
Эквипотенциалями на горизонте являются линии постоянного в, так
как поле Ен меридионально [см. G.3.11)]. Поэтому разность потенциа-
*) Аналогичное рассмотрение скольжения частиц вдоль магнитных силовых ли-
линий у горизонта черной дыры приводит к выводу, что условие 1 vmin | « с соответ-
соответствует граничным условиям G.3.11), G.3.13).
153

лов между двумя эквипотенциалями G и 2) есть [см. также G.3.13)]
Ьи"?ЕнШ (ПнПр) A018B)f
V.
Ьи?ЕШ (ПП) A0B)fV.
1 2тгс '\, 106mJ\ 1О4Гс
G.5.10)
где dl — элемент расстояния по меридиану на поверхности черной дыры,
ДФ - разность ^ между эквипотенциалями 2 и 1. Последнее равенство в
G.5.10) написано для условий UF яв?2я/2, пн максимально, эквипотен-
вдали 2 и I соответствуют району экватора и району полюса.
С другой стороны, AUH можно записать через поверхностный ток ?г
и сопротивление:
AUH=RHtyHAl, G.5.11)
где Д/ — расстояние по меридиану между эквипотенииалями 2 и 1.
Подставляя вместо $и его выражение G.3.10), получаем
/Яя|Д/| „
"*Н G)
2я
Рн
где
RH\M\
AZ s (AWy» G-5ЛЗ)
2
1)
Рн >
- полное сопротивление между эквипотенциалями 2 и 1 (для случая, когда
эквипотенциалям 2 и 1 соответствуют экватор и в ** —. интегрирование
4
G.5.13) дает AZH около 30 Ом).
Формулы G.5.10) и G.5.13) дают основание сказать, что в данной мо-
модели вращающаяся черная дыра действует как батарея с электродвижу-
щей силой
/ М \ I В \
порядка A0 В) I —-—) I — 1 и внутренним сопро-
\ 10 Мq, J \ 10 Гс/
тивлением около 30 Ом.
Рассмотренный механизм (и разные его вариации) использовался в
многочисленных работах для объяснения активности ядер галактик и
квазаров [см., например, Блендфорд A976), Блендфорд, Знаек A977),
Блендфорд A979),Руффини A979), Руффини, Вилсон A975), Лавлейс
и др. A979), Блендфорд, Рис A978), Кардашев и др. A983*), Рис A982),
Новиков, Штерн A985) ].

ГЛАВА 8
ФИЗИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ В ПОЛЕ ЧЕРНЫХ ДЫР.
ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
§ 8.1. Извлечение энергии из черных дыр.
Суперрадиация
В этой главе мы продолжим обсуждение эффектов взаимодействия клас-
классических частиц и полей с черными дырами*). Начнем с рассмотрения
вопроса об эффективности процесса извлечения энергии из вращающихся
черных дыр. Напомним, что хотя по определению черная дыра — это об-
область, откуда никакие тела и световые лучи не могут выйти наружу, сущест-
существуют ситуации, когда с помощью определенных физических процессов мож-
можно извлекать из черной дыры энергию. Как мы увидим далее, эта энергия
извлекается из поля, связанного с черной дырой и окружающего ее. Это,
в частности, возможно, когда черная дыра вращается или является заряжен-
заряженной. Примерами таких процессов служат процесс Пенроуза (см. § 6.2) и
электродинамические процессы, рассмотренные в предыдущей главе. В
этом параграфе мы установим некоторые общие ограничения на возмож-
возможную эффективность такого рода процессов.
Рассмотрим эффективность процесса Пенроуза (см. рис. 64). Пусть
е,- = —pfk(t)n — энергия и /,¦ = р/Ч^)^ - угловой момент частицы / с
импульсом р/\ движущейся в гравитационном поле керровской черной
дыры (/ = 0 отвечает падающей частице, распадающейся в эргосфере;
/ = 1 — частице, вылетающей на бесконечность; / = 2 — частице, поглощае-
поглощаемой черной дырой). Заметим теперь, что на горизонте событий вектор
/" = #,+$2%,, (8.1.1)
где О.н — угловая скорость черной дыры, является световым и касатель-
касательным к образующим горизонта. Поскольку р% — времениподобный вектор,
а /м направлен в будущее, то
0>lftp2fl = -e2 +П"/2 (8.1.2)
и, следовательно, для частицы, падающей внутрь черной дыры,
/а<еа/Пя. (8.1.3)
В частности, если вылетающая частица обладает большей энергией, чем
падающая (et — е0 = — е2 > 0), то аналогичное соотношение выполняет-
выполняется и для угловых моментов:
/1 - /о = -к > -е2/пн > 0. (8.1.4)
•) Особенности физических процессов в поле черных дыр, для которых существен-
существенна их квантовая специфика, обсуждаются в последующих главах.
155

При поглощении частицы черной дырой ее параметры М и J изменяются:
8М=е2, 5/ = /2, (8.1.5)
причем условие (8.1.3) означает, что
8M>UH8J. (8.1.6)
Физические процессы, приводящие к такому изменению параметров
8М и 57 черной дыры, которые связаны соотношением
5Л/Д2Я - 5/= О, (8.1.7)
называют обратимыми. Дифференциальное уравнение (8.1.7), связывающее
изменение параметров М и J при обратимом процессе, можно проинтегри-
проинтегрировать [Кристодулу A970) ]. Для этого заметим, что полный дифференци-
дифференциал функции
А=М2 +у/М* -J2 (8.1.8)
записывается в виде
J (8М \
=1 —-гт - 57 . . (8.1.9)
2(М2 +V-W" -J2) '
Из соотношений (8.1.6) и (8.1.9) видно, что для рассмотренных выше
процессов, связанных с падением частиц на черную дыру, имеет место не-
неравенство
8А>0, (8.1.10)
причем равенство справедливо тогда и только тогда, когда процесс обрати-
обратимый. Величина
Ма = С4/2I/2 (8.1.11)
получила название неприводимой массы черной дыры [Кристодулу A970) ].
Из уравнений (8.1.8) и (8.1.11) получаем
1 J2
М2 =Mi? + >М-2. (8.1.12)
4 М&
Из этого соотношения вытекает, что в результате процесса Пенроуза исход-
исходную массу М нельзя сделать меньше М1Т, и, следовательно, максимально
возможный выигрыш энергии в этом процессе равен Д& = АМс2, где
ДМ = Мо - Мк (Л/о, Jo), (8.1.13)
а Мо и Jo — исходные масса и угловой момент черной дыры,Л/;г (Л/о, 70) —
отвечающая им неприводимая масса.
Простые рассуждения показывают, что при заданной начальной массе Мо
максимальное значение ДМ:
АМтах = A - l/V2)Af0 ~0,29Л/0 (8.1.14)
достигается для экстремальной черной дыры с /0 = Мо.
156

Нетрудно убедиться, что величина А лишь численным коэффициентом
отличается от выражения для площади А керровской черной дыры:
А=4п(г1+а2)=8ттА. (8.1.15)
Поэтому условие (8.1.10), означающее неубывание площади поверхности
черной дыры для рассматриваемых процессов, по сути дела, является част-
частным случаем общей теоремы Хокинга ( § 5.4).
Теорема Хокинга позволяет сделать ряд общих выводов относительно
процессов с участием черных дыр. Прежде всего, неравенство (8.1.6) не-
нетрудно распространить на случай заряженных черных дыр и для процессов,
в которых участвуют заряженные частицы. Для этого достаточно воспользо-
воспользоваться выражением (8.1.15), где в случае заряженной вращающейся дыры
-a1 -Q2 . (8.1.16)
Условие 8А > 0 в этом случае дает
5Л/>ПЯ57 + ФЯ5<2, (8.1.17)
где 57 и 8Q — изменение углового момента и заряда черной дыры, а
н 4а2) (8.1.18)
— ее электрический потенциал.
Если в соотношении (8.1.17), обобщающем (8.1.6), имеет место равен-
равенство, то, как и ранее, такие процессы будем называть обратимыми. Общим
свойством обратимых процессов является то, что площадь поверхности
черных дыр для них не возрастает.
Подчеркнем, что в выражении (8.1.17) 57 — полное изменение углового
момента черной дыры. При этом не играет роли — связано ли это изменение
с угловым моментом падающей частицы, отвечающим ее орбитальному
движению, или с ее внутренним угловым моментом (спином). Применение
общего неравенства (8 1.17) в последнем случае позволяет, в частности,
показать, что со стороны вращающейся черной дыры на спиновую частицу
действует дополнительное гравитационное спин-спиновое взаимодействие
[Хокинг, A972а), Уолд A972), Бекенштейн A973b)].
Рассмотрим в качестве иллюстрации простейший случай, когда частица
со спином х и зарядом е, обладая энергией е, падает на черную дыру, дви-
двигаясь точно по оси симметрии. Если такая частица упадет в черную дыру,
то, используя законы сохранения, имеем
8Q = e, 57= as, 8M<e. (8.1.19)
Здесь а = 1, если спин направлен по направлению вращения черной дыры,
и а = — 1 в противоположном случае. Возможность неравенства в последнем
из соотношений (8.1.19) связана с тем, что часть энергии может быть
излучена. Соотношения (8.1.17) и (8.1.19) показывают, что частица со
спином может упасть на черную дыру только в том случае, если ее энер-
энергия е превышает величину os?lH + еФ*1. Второе слагаемое е<$Р имеет
смысл обычной электростатической энергии отталкивания. Первое слагае-
слагаемое при а=1 описывает отталкивание, а при а = — 1 — притяжение за счет
спин-спинового взаимодействия [в теории гравитации подобное взаимодей-
взаимодействие имеет место для любых двух вращающихся тел; подробный вывод
выражения для этой силы и описание аналогии между гравитационным
157

спин-спиновым взаимодействием и электромагнитным взаимодействием
магнитных диполей см. Уолд A972)].
Поскольку движение частиц в приближении геометрической оптики
непосредственно связывается с распространением волновых пакетов, ес-
естественно ожидать, что при определенных условиях падение волны на вра-
вращающуюся черную дыру также может приводить к усилению этой волны.
Убедимся (с помощью теоремы Хокинга), что этот процесс действительно
возможен, и выведем условия, при которых он имеет место.
Поскольку метрика Керра — Ньюмена, описывающая геометрию заряжен-
заряженной черной дыры, является стационарной и аксиально-симметричной, при
описании распространения волны на ее фоне удобно использовать разложе-
разложение по собственным функциям операторов ?('f)9/J = Э, и ?^,)ЭМ = Э^,.
Рассмотрим поведение моды поля уА с квантовыми числами со, т, времен-
временная и угловая зависимость которой имеет вид
*а ~fA (r- 0) ехР Hwf + im{ti- (8-! -20)
Поле \рА может описывать скалярные, электромагнитные, гравитационные
волны*) (или другие бозонные поля, кванты которых, в частности, мо-
могут обладать массой д и зарядом е). Вдали от черной дыры решение (8.1.20)
описывает совокупность квантов, каждый из которых обладает энергией
hco, i?-компонентой углового момента hm, а также, возможно, электри-
электрическим зарядом е. Поэтому для такой волны отношения потока ^-компо-
ненты углового момента и электрического заряда через сферу большого
радиуса, окружающую черную дыру, к потоку энергии через эту сферу рав-
равны соответственно т/со и e/hco. (Это нетрудно доказать строго с помощью
явных выражений для тензора энергии-импульса и тока, отвечающих рас-
рассматриваемому полю \рА.) Используя законы сохранения энергии и углово-
углового момента, связанные с симметрией рассматриваемой задачи, и закон
сохранения электрического заряда, можно показать, что взаимодействие
волны \рА с черной дырой приводит к изменению массы ЬМ, углового
момента 57 и заряда bQ последней, причем
т е
57 =— ЬМ, 5B = — ЬМ. (8.1.21)
со hco
Используя неравенство (8.1.17), вытекающее из теоремы Хокинга, по-
получаем
8М[1 )>0. (8.1.22)
\ со hco /
В частности, для мод, удовлетворяющих условию
Ьы<Ътпи +еФн, (8.1.23)
процесс рассеяния приводит к уменьшению массы черной дыры. При выпол-
выполнении этого условия рассеянная волна обладает энергией, большей, чем
*) При распространении электромагнитных и гравитационных волн вблизи заря-
заряженной черной дыры возможно их взаимное превращение друг в друга (nqдробно этот
эффект рассмотрен в § 8.4). Этот эффект смешивания не изменяет общего условия
усиления волн, однако требует более аккуратного рассмотрения.
158
)>0.
o /

падающая, т.е. происходит усиление падающей волны [Зельдович A971*,
1972*); Мизнер A972); Старобинский A973*); Старобинский, Чури-
лов A973*); Унру A974)]. Это явление получило название сулеррадня^ыы.
На возможность эффекта усиления волн вращающимися черными дыра-
дырами было впервые обращено внимание Зельдовичем A971, 1972),который
исходил из аналогии таких черных дыр с вращающимися поглощающими
телами. Для последних описанный Зельдовичем эффект усиления родствен
в известной мере по своей природе эффекту Вавилова — Черенкова. Чтобы
убедиться в этом, рассмотрим в обычном плоском пространстве цилиндри-
цилиндрическую волну, падающую на цилиндр радиуса R, вращающийся с угловой
скоростью ?2 относительно оси, совпадающей с осью г. Соответствующее
решение \рА имеет вид
*а =/л(Р)ехр[/(т^-соО]- (8.1.24)
На поверхности цилиндра р = R это поле отвечает возмущению, бегущему
с фазовой скоростью dy\dt = co/m. Если скорость SIR движения вещества
поверхности диэлектрического или проводящего цилиндра превышает
линейную скорость /?со/т, с которой фаза падающей волны перемещается
по поверхности цилиндра, вместо поглощения происходит усиление волны.
Соответствующее условие имеет вид/
ы<Пт. (8.1.25)
Подробное обсуждение относящихся к этому эффекту вопросов можно
найти в работе Болотовского, Столярова A980*).
Подчеркнем, что условие усиления (8.1.23) универсально и не зависит
от спина поля. Для частиц со спином т отвечает квантовому числу полного
(орбитального или спинового) углового момента. От спина поля сущест-
существенно зависит величина коэффициента усиления волны. Если для электро-
электромагнитного поля максимальное увеличение энергии волны составляет
4,4%, то для гравитационной волны — уже 138% [Старобинский, Чури-
лов A973*)]. При определенных условиях такое усиление возможно для
гравитационного излучения от частицы, движущейся вблизи вращающейся
черной дыры. Если при этом частице сообщается такая же энергия, какую
она излучает на бесконечность, то такая частица будет обращаться, не па-
падая на черную дыру, и может служить своеобразным катализатором для
извлечения энергии из черной дыры. Подобные орбиты получили назва-
название "плавающих" [Мизнер A972), Пресс, Тюкольский A972)].
С явлением суперрадиации связан следующий, довольно любопытный
эффект [Дамур и др. A976), Зурос, Эрдли A979), Детвилер A980)].
Пусть вне вращающейся черной дыры по круговой орбите вращается вол-
волновой пакет массивного скалярного поля и пусть энергия связи на этой
орбите такова, что массивные частицы, составляющие этот пакет, не могут
излучиться на бесконечность. Возможен, однако, поток этих частиц через
горизонт событий. Если частота квантов, падающих внутрь черной дыры,
удовлетворяет условию суперрадиации, то их падение сопровождается бо-
более интенсивным излучением наружу. Частицы этого излучения, обладая
Лми же квантовыми числами, что и частицы пакета, не могут вылететь
на бесконечность, что приводит к накоплению их вблизи орбиты пакета и
в конечном счете к развитию неустойчивости. Детвилер A980) показал,
159

что эта неустойчивость лмеет место для скалярного поля с массой ц такой,
что /дЛ//тр[ ^ 1; при этом характерное время развития неустойчивости
т = 24(e/M)
~'
tn,
где
тп =
г,
= (hG/csI'2 «5,39-10-43 с
(8.1.26)
(8.1.27)
— планковская масса и планковское время соответственно. Для безмас-
безмассовых полей эта неустойчивость отсутствует [Детвилер, Ипсер A973),
Пресс,Тюкольский A973),Тюкольский,Пресс A974)].
Следует отметить, что хотя описанные выше в этом параграфе процессы
(процесс Пенроуза и суперрадиация), приводящие к потере черной дырой
энергии, имеют крайне важное принципиальное значение для физики черных
дыр, в реальных астрофизических условиях трудно ожидать, чтобы они мог-
могли приводить к существенным наблюдаемым явлениям [Машхун A973),
Уолд A974с), Ковец, Пиран A975а, Ь)]. Более интересными по своим воз-
возможным следствиям могут быть аналоги процесса Пенроуза, в которых
вместо развала частицы происходит столкновение в эргосфере двух частиц,
приводящее к образованию двух новых частиц, одна из которых вылетает
на бесконечность [Пиран и др. A975)]. Разновидностью описанного эффек-
эффекта является комптоновское рассеяние свободно падающего фотона на
электроне, обладающем большим угловым моментом и движущемся в
эргосфере [Пиран, Шахам A977)].
§ 8.2. Глобальная структура поля пробного заряда
в пространстве-времени вечной черной дыры
При изучении процессов, происходящих вне черной дыры, естественным
является описанный в предыдущей главе подход, состоящий в том, что с
помощью фиксации определенным
образом выбранных граничных усло-
условий на поверхности черной дыры фи-
физическая задача в полном пространст-
пространстве-времени сводится к задаче во
внешней области. Обладая рядом до-
достоинств, этот подход по своей при-
природе является неполным, поскольку
в нем целиком исключаются из
рассмотрения все явления, проис-
происходящие внутри черной дыры. Сле-
Следует подчеркнуть, что изучение по-
подобных явлений и, в частности, де-
детальное описание особенностей фиэи-
Рис. 72. Диаграмма Пенроуза для полного
пространства-времени черной дыры Рейс-
снера - Нордстрема
160

ческих процессов в тех областях пространства-времени, где согласно клас-
классической теории должны находиться сингулярности, представляют важную
задачу физики черных дыр. В этих областях, где кривизна пространства-
времени велика, в полной мере проявляются квантовые особенности фи-
физических взаимодействий. Общий вопрос о структуре пространства-времени
внутри черной дыры мы обсудим в гл. 12, после того как изложим теорию
квантовых эффектов в черных дырах. В настоящем параграфе мы рассмот-
рассмотрим частный вопрос о структуре физических полей, создаваемых пробны-
пробными зарядами в полном пространстве-времени черной дыры. При этом рас-
рассмотрении мы считаем метрику черной дыры заданной и пренебрегаем
влиянием на нее поля пробного заряда.
Пусть пробный точечный заряд электрического (е) или скалярного
безмассового (g) поля покоится вне заряженной вечной черной дыры*).
На рис. 72, на котором приведена диаграмма Пенроуза для рассматривае-
рассматриваемого пространства-времени, мировая линия этого заряда обозначена у.
Метрика Рейсснера — Нордстрема, описывающая гравитационное поле
заряженной черной дыры в координатах г, г , покрывающих область I
на этом рисунке, имеет вид
ds2 =-F(r)dt2 + F'1 {f)dr2 + r2du2, /^
(8.2.1)
F=\ -2M/r + Q2/r2, du2=d02 +%in2 в d<p2,
где M — масса, a Q — электрический заряд черной дыры.
Электрическое (Аи) и скалярное (^>) поля, создаваемые пробным
зарядом, покоящимся в точке г0, в0, #0, определяются как решения урав-
уравнений [см. (П. 47), (П. 50)]
=4я/", F^ =Щр<м1, (8.2.2а)
(8.2.2Ь)
где
= 8(г-г0M(в -0о)в(*-*о)- (8.2.3)
Решения этих уравнений вне черной дыры (в области I) были получены
Лине A976) и Лейтом, Лине A976), обнаружившими и исправившими
небольшую неточность в формуле, выведенной ранее (при Q = 0) Копсо-
ном A928). Эти решения имеют вид ¦¦) [ср. с G.4.1)]
1 / II \
Ам (х) = 6 « еGem (х, х0), Сет (х, х0) = [М + — ), (8.2.4а)
*(x)=gF(ro)ll2Gsc(x,xo), GK(x,x0) = —, (8.2.4b)
R
¦) Отметим, что такая постановка задачи в известной мере является идеализи-
идеализированной из-за неустойчивости, присущей подобной черной дыре (см. § § 12.2 и 13.2).
**) Строго говоря, уравнение (8.2.2а) Справедливо лишь для полного электри-
электрического поля (т.е. для суммы поля пробного заряда и поля черной дыры). Если поле
11. И.Д. Новиков 16)

где
R2=R2(x,x0) =
= (г ~ Mf + (i-o - Л/J -2(/ - М)(г0 -М)\ -(М2 -<22)A - X2),
П = п(х,х0) = (г-М) (г0 - М) - (Л/2 - 22)Х,
X = cos 0 cos 0О + sin 0 sin 0О cosfa - ^>0)- (8.2.5)
Используя метод аналитического продолжения, можно распространить
это решение из области I на все пространство-время. Для этого введем в
областях I, II, Г, II' координаты u,v,0,ip, регулярные в этих областях
и связанные в области I с координатами r,t,0 ,<р соотношениями
[/¦+-/¦_ ] Г г+ —г- 1
—*Г«-п[ B-«p[-i^-<'+'->J'
г* =>¦ +
In
г+ - г_
1
_^_ 1
r±=M±s/M2 ~Q2, 0=0, v = v. (8.2.6)
При -°° < м, v <°°, @,^>)е52 эти координаты покрывают области I,
II, Г, II', и аналитическое продолжение метрики Рейсснера - Нордст-
рема (8.2.1) в них имеет вид
ds = — 2Bdudv + r2du}2, (8.2.7)
где
В =
(Г+-Г-?
exp -r*
a r = r(u, v) определяется уравнением
uv =1 1 - — lexp I I r — In
f_
Отличные от нуля компоненты аналитически продолженных решений
(8.2.2) в этих координатах суть
(8.2.9)
е / II \ т\ ( dv du \
fuv =
Вгггп
2гг0
М
sin0
П г
[/0 - М - (r-M)cosd](г% - 2Мг
R R
r+ - r.
o+<22) ,
r§ -2Mro+Q2)v,
(8.2.10)
пробного заряда рассматривать как возмущение, то уравнение для этого возмущения
отличается от (8.2.2а) членами, описывающими возмущение гравитационного поля
(см. § 8.4). Мы, следуя работам Лине и Лейта, опускаем эти дополнительные члены,
что не изменяет общего вывода об особенностях поля внутри черной дыры. При Q = О
эти дополнительные члены отсутствуют.
162

sin в г+ - r_
7 (8.2.11)
В этих формулах г понимается как функция от и и и, определяемая со-
соотношением (8.2.8). Нетрудно видеть, что это решение инвариантно от-
относительно преобразования и-*-и, v -*—v, отображающего область I на
область Г. Поэтому наряду с сингулярностью, отвечающей мировой ли-
линии 7 заряда, оно обладает также сингулярностью на линии у', отвечаю-
отвечающей дополнительному заряду —е (или —g в случае скалярного поля)
в области Г. Поэтому выражения (8.2.9) - (8.2.11) не являются реше-
решением поставленной задачи о нахождении поля, создаваемого одиночным
зарядом.
Искомое решение может быть получено, если учесть, что в областях
Г и II', лежащих вне области влияния пробных зарядов, поле естествен-
естественно выбрать равным нулю *). Это решение может быть представлено в
следующем виде [Зельников, Фролов A982*, 1983*), Демянский, Но-
Новиков A982)]:
^ »). (8-2Л2а)
(8.2.12b)
где Fllv и </> - решения (8.2.10) и (8.2.11). Сингулярные члены F^V* и
i?sing обеспечивают выполнимость однородных уравнений поля на по-
поверхности v = 0. Подставляя (8.2.12а) в уравнения Максвелла (8.2.2а),
получаем
Ф"и=0> -JL bvbfTgy»v)= _Fmu| (8.2.l3)
Ограниченное на Н ~ решение этих уравнений имеет вид
Sin
Аналогично, подставляя (8.2.12b) в уравнение для скалярного поля
(8.2.2b), получаем
Э2Ф ЭФ г+ - г_
A-х2>'^Г -2Х7Г - * = 0' (8Л5)
ЭХ2 ЭХ г+
ЭФ
Ъи
= 0, X = cos0.
Если черная дыра не является экстремальной (Q < М), то единственным
ограниченным на Я" решением (8.2.15) будет Ф=0. Для экстремальной
*) Обсуждение вопроса о граничных условиях для поля пробного заряда в прост-
пространстве-времени вечной черной дыры можно найти в работе Демянского, Новикова
A982).
¦ '* 163

черной дыры (Q = M) имеется также решение Ф= const, однако значе-
значение Ф| н не определяется внешним скалярным полем и поэтому не имеет
отношения к заряду g. Таким образом, в областях I, II, Г и II'решение
поставленной задачи дается соотношениями (8.2.12а), (8.2.12Ь) и (8.2.13)
при Ф = 0.
Аналитическое продолжение легко позволяет определить А ц и у в об-
области III'. Вне горизонта Коши (например, в области III) решение одно-
однозначно распространить, вообще говоря, нельзя, поскольку в этой области
оно зависит от условий, которые требуется задавать дополнительно. В
пределе Q = 0 полученное решение описывает поля от точечных источников
в пространстве-времени вечной шварцшильдовскои черной дыры, метрика
которой в координатах и, и, в ,<$ имеет вид*)
ds2 = -2Bdudv + r2du2, (8.2.16)
где
2г3
В= —•*- e-'I't, rs = 2M,
г
uv=(l -~\ er'rs . (8.2.17)
Появление 6-образной особенности в полученном выше решении для
электромагнитного поля связано с постановкой задачи, при которой счи-
считается, что заряд все время покоился около черной дыры. Аналогичная
особенность возникает и в полном решении, описывающем массивное
векторное поле от источника вне черной дыры [Фролов A978, 1986*)) **.
Описанные выше особенности при v = 0 сглаживаются, если рассмотреть
решения, описывающие случай, когда заряд вносится в поле черной дыры.
Интересно отметить, что имеется тесная связь полученного выше пол-
полного решения для поля от пробного заряда в пространстве-времени черной
дыры с решением для поля от равноускоренного заряда в плоском прост-
пространстве-времени [Зельников, Фролов A982*, 1983*)). Для установления
этой связи заметим, что если в метрике (8.2.16), описывающей гравита-
гравитационное поле черной дыры, устремить параметр М к бесконечности, то в
конечной области пространства-времени вблизи горизонта событий влия-
влияние кривизны неограниченно уменьшается, и гравитационное поле в этой
области все с большей степенью точности можно считать однородным.
Формально переход к пределу однородного поля в метрике (8.2.16) осу-
осуществляется следующим образом. Вводятся координаты U, V,X, Y, свя-
связанные с и, v, в, <р соотношениями
С/ = 4М<Г1/2ы, V = 4Me~l'2v. ,6-,,Оч
(O.Z.loj
Хг + Y2 = 16A/V@/2), УIX = tg*.
*)Эти координатны связаны с кооординатами i7, i> |см. B.7.12)] соотношениями
и - v — и, v - v + и.
**)О поведении массивного векторного поля вблизи шварцшильдовскои черной
дыры см. также Гальцов и др. A984*).
164

В этих координатах метрика (8.2.16) принимает вид
ds2 = el~rl2MdUdV+\— 1 , (8.2.19)
\ Ш ) ( X2 + Y2'
г
где г связано с Uvi V соотношением
UV=l6M2(l —)erl2M-1. (8.2.20)
Если теперь при фиксированных значениях координат U, V ,Х, У устремить
М к бесконечности, то (8.2.19)переходитв метрику плоского пространства
ds2 =-dUdV + dX2 +dY2.= -dT2 +dZ2 +dX2 +dY2 =
= ~dT2 +dZ2 +dp2 +p2d#2. (8.2.21)
Здесь
1 1 Y
T = — (U+V), Z= -— (U-V), p2=X2+Y2, tgv?=— .(8.2.22)
im 2, Л
Уравнение г = r0 движения пробного заряда при этом принимает вид
Uо Vo з _z2 + Г2 = - w'2, Хо = Yo = 0, (8.2.23)
где w —модуль 4-ускорения движения заряда. В пределе Л/-*00 поверх-
поверхности горизонтов Н ± превращаются в световые гиперплоскости, описы-
описываемые уравнением UV = 0 ["горизонты" пространства Риндлера A966)].
Инвариантное расстояние до горизонта для частицы, имеющей 4-ускоре-
ние н\ стремится при этом к конечному значению vv.
При описанном выше предельном переходе выражения (8.2.12) (при Q =
= 0) принимают следующий вид:
4epV
нп (8-2-24)
w S
AepU ?.ep
g 2в(У)
ф= f (8.2.25)
w S
где
S=[(p2 |+и-'2J+4|u-'2]'/2, % = UV. (8.2.26)
Выражения (8.2.24) для F)lv могут быть получены из следующего 4-по-
тенциала:
е
Altdxll =
lt
2
Pdp
\(dV dU\
111—
\ V U
¦2e6(V) • (8.2.27)
pi + vv
165

Нетрудно убедиться, что формулы (8.2.24) совпадают с выражением для
поля от равноускоренного электрического заряда [см., например. Буль-
Бульвар A980I; при этом член, пропорциональный б (F) в (8.2.24), правиль-
правильно воспроизводит сингулярный при V = 0 член, введенный в работе Бонда,
Голда A955).
§ 8.3. Сдвиг собственной энергии заряженной частицы
в поле черной дыры
В этом параграфе мы рассмотрим эффект изменения собственной энер-
энергии заряженной частицы при помещении ее в сильное статическое гравита-
гравитационное поле. Этот эффект состоит в следующем. Полная масса заряженной
частицы складывается из ее "механической" массы, локализованной в точ-
точке, где находится заряд, и "электромагнитной" массы, распределенной
по области, где отлично от нуля электромагнитное поле. При помещении
заряженной частицы в неоднородное гравитационное поле последнее по-
разному действует на "локальную" и "распределенную" массы, вызывая
"деформацию" электрического ноля заряда, что приводит к дополнитель-
дополнительному изменению собственной энергии. Поскольку это изменение зависит
от положения тела, то силы, действующие в гравитационном поле на час-
частицы с одинаковой полной инертной массой в случае, когда одна из час-
частиц заряжена, а другая нейтральна, отличаются друг от друга.
Впервые вопрос о влиянии гравитационного поля на собственную энер-
энергию электрического заряда рассматривался Ферми A921). Им был иссле-
исследован случай, когда электрический заряд покоится в однородном грави-
гравитационном поле, и показано, что электромагнитное взаимодействие, вы-
вызывающее изменение инертной массы частицы, одновременно вызывает
точно такое же изменение ее гравитационной массы, что находится в пол-
полном соответствии с принципом эквивалентности. Для неоднородного гра-
гравитационного поля аргументы, основанные на принципе эквивалентности,
при рассмотрении системы в целом неприменимы, и, вообще говоря, сле-
следует ожидать, что соотношение между собственной энергией заряженной
частицы и изменением ее гравитационной массы будет носить более слож-
сложный характер.
Для частицы, находящейся в поле черной дыры, это действительно так,
и соответствующие яоправки (в приближении GM/c2r < 1) были най-
найдены Виленкиным A979а). Там же было показано, что эффект неоднород-
неоднородности гравитационного поля приводит к появлению дополнительной силы
выталкивания заряда в направлении от черной дыры. Еще раньше Унру
A976а) показал, что аналогичная сила действует на пробный заряд, поме-
помещенный внутри тонкой полой массивной оболочки.
Смит, Уилл A980) и Фролов, Зельников A980) обратили внимание
на то, что величина сдвига собственной энергии электрического заряда
в поле шварцшильдовской черной дыры допускает точное вычисление, и
вычислили величину дополнительной силы выталкивания. Этот резуль-
результат позднее был обобщен на случай черных дыр Рейсснера — Нордстрема
[Зельников, Фролов A982*)], Керра [ЛешуЛине A982)] и Керра - Нью-
Ньюмена [Лохья A982)].
166

Для вычисления величины сдвига собственной энергии заряда в поле
черной дыры мы предположим, что классическая частица, т.е. система
связанных электрических зарядов, покоится на оси симметрии в стацио-
стационарном гравитационном поле и удерживается соответствующим образом
выбранной внешней силой. Обозначим через |*|Г) векторное поле Киллин-
га, времениподобное на бесконечности и нормированное там условием
b\t) % (f) ц ~ -1- Тогда энергия такой системы равна*)
E"-f T^^do", (8.3.1)
где Гм„ — полный метрический тензор энергии-импульса системы. Для оп-
определенности будем рассматривать в качестве модели заряженной частицы
жесткую непроводящую тонкую сферу массы ш0 и радиуса е, по поверх-
поверхности которой распределен заряд е. Имея в виду дальнейший переход к
пределу точечной частицы, будем считать, что е значительно меньше харак-
характерных размеров неоднородностей гравитационного и внешнего электро-
электромагнитного полей, и в окончательном ответе будем пренебрегать члена-
членами О(е).
Полная энергия Е частицы складывается из 1) Ео - части энергии, свя-
связанной с "механической" массой частицы пг0 (Ео = I \ (f) • % (f )| 1/2 пгосг) ;
2) ^seif - собственной энергии, т.е. энергии самодействия заряда частицы;
3) Eext - энергии взаимодействия частицы с внешним полем; 4) Eint -
энергии того дополнительного взаимодействия, которое обеспечивает
устойчивость заряженной частицы. Введение дополнительного взаимо-
взаимодействия обусловливает выполнимость теоремы Лауэ. Если обозначить
через е0 равновесный радиус незаряженной частицы, то Eint (е) = Eint (eo) +
+ — К{е — е0J, и за счет выбора достаточно большой величины эффектив-
эффективной жесткости К изменения (вызванные внесением заряда в поле) равно-
равновесного размера Де = е - е0 и энергии АЕ = Eint (е) - Eint (e0) можно сде-
сделать сколь угодно малыми. В дальнейшем будем пренебрегать величинами
Деи ДЕ, считая, что жесткость К выбрана соответствующим образом.
Включив в Ео постоянную величину Eint (e0), запишем выражение для пол-
полной энергии частицы в виде разложения по степеням заряда е частицы:
E = E0+Eext+Eself. (8.3.2)
Вдали от тяготеющих тел в отсутствие внешнего поля формула (8.3.2)
сводится к следующему выражению:
Е = тсг, (8.3.3)
где т = т0 + е2/2ес2. Отличие т от т0 обусловлено энергией, заключенной
в поле, создаваемом зарядом. При внесении незаряженной частицы в ста-
статическое гравитационное поле ее энергия в результате совершенной работы
уменьшится и станет равной Ео = | |ff) •?(*) I 112тсг. Если же частица
заряжена, часть совершаемой работы идет на перестройку создавае-
*)Мы используем определение (П.26) для da^, при котором элемент объема по-
по" const равен day, =«Д sf^gd3 x.
167

мого ею поля. В результате /Го + ^seif не совпадает, вообще говоря, с
Выражение для ?fself можно записать в виде
?seif=/ nfycp, (8.3.4)
ГДе
*а FaC - напряженность поля, создаваемая током
е), (8.3.6)
описьшающим распределение зарядов частицы. Здесь 1(х,Хо)- инвариант-
инвариантное расстояние точки (/,дг) от точки (/,ль) центра заряженной частицы,
вычисленное вдоль геодезической, соединяющей эти точки, а б - инвариант-
инвариантный размер частицы. Интегрирование в (8.3.4) проводится по пространст-
венноподобной поверхности ?, пересекающей горизонт Н*. Заметим, что
интеграл (8.3.4) по части 2, расположенной внутри горизонта событий,
представляет собой энергию поля, находящегося внутри черной дыры, и
соответствующий вклад входит как часть в определение полной массы
черной дыры. Поэтому, интересуясь вычислением сдвига энергии в поле за-
заданной черной дыры, будем считать параметры последней фиксированными
и, в соответствии с этим, интегрирование в (8.3.4) вести по части 2, лежа-
лежащей вне черной дыры*).
Используя уравнения Максвелла
Я"'.„ =4*Л (8.3.7)
можно преобразовать выражение (8.3.5) к виду
7
2
(8.3.8)
С помощью теоремы Стокса интеграл от выражения в скобках в правой
части этой формулы можно свести к сумме интеграла по поверхности чер-
черной дыры и интеграла по бесконечно удаленной поверхности. Из-за быстро-
быстрого убывания полей на бесконечности второй из этих интегралов обращает-
обращается в нуль. Нетрудно убедиться, что для частицы, расположенной на оси сим-
симметрии, и первый интеграл (по поверхности черной дыры) также равен
нулю. Таким образом, если учесть параллельность ?а и/а, окончательно
имеем
*'.eif = -- / Aaja^cloe. (8.3.9)
2 ?
*) Выражения (8-3.4) - (8.3.5) для собственной энергии заряда с описанным выше
условием на выбор области интегрирования X находятся в полном соответствии с
общим выражением A1.2.48) для изменения массы системы, содержаще? черную
дыру, при изменении параметров самой системы. Интересно отметить, что для шварц-
шильдовской черной дыры, интеграл по части поверхности ?, лежащей под горизон-
горизонтом, тождественно равен нулю.
168

Чтобы получить явное аналитическое выражение для ?Seif> можно вос-
воспользоваться выражением для потенциала .4 а, создаваемого точечным заря-
зарядом, расположенным на оси вращения в пространстве-времени Керра, най-
найденным Лине A977а). Получаемое при этом выражение для ?"Seif имеет
вид 2
е е М
Если сравнить силу, необходимую для того, чтобы удержать такую частицу
в точке г0, с силой, которая требуется для этого в случае нейтральной
частицы с массой т - т0 + е2/2е, то их разность
Д/=1Д/*Д/м11/2=е2 МГ° . (8.3.11)
(Го+а2J
Эта избыточная сила Af, действующая на заряженную частицу, направлена
по оси симметрии в сторону от черной дыры.
Если заряженная (со скалярным, электрическим или гравитационным
зарядом) частица покоится вблизи вращающейся черной дыры вне оси
симметрии, то на нее действует дополнительная сила [Гальцов A982)].
Эта била пропорциональна угловому моменту черной дыры и квадрату
заряда частицы. Она возникает как реакция на приливное воздействие,
оказываемое частицей на черную дыру и стремящееся затормозить ее
вращение. Эта сила исчезает, если частица вращается с той же угловой
скоростью, что и черная дыра, или находится на оси симметрии.
§ 8.4. Взаимное превращение электромагнитных
. и гравитационных волн в поле заряженной черной дыры
Хорошо известным следствием нелинейности системы уравнений Эйн-
Эйнштейна — Максвелла является эффект взаимного превращения электро-
электромагнитных и гравитационных волн во внешнем электрическом поле [под-
[подробное обсуждение этого эффекта и ссылки на соответствующие работы
см., например, Сибгатуллин A984*) ].
В настоящем параграфе мы кратко остановимся на описании этого
эффекта в примении к задаче о распространении фотонов и гравитонов в
поле заряженной черной дыры [Сибгатуллин A973*, 1974*, 1984*), Сиб-
Сибгатуллин, Алексеев A974*),Герлах A974,1975)].
Пусть имеются метрика #д„ и электромагнитное поле А^, удовлетво-
удовлетворяющие системе уравнений Эйнштейна — Максвелла, и пусть h^v =5g ^v и
"и - 5^4 м - малые возмущения на этом фоне. Тогда из условия, что g^v +
+ Лм„ и А ц + пц также являются решениями этих уравнений, вытекает
следующая линеаризованная система для возмущений:
;. "Л ;. К 1.Х „ и ; \ _
Fvfs - 1
, (8.4.1a)
— k,0FaSS=Q. (8.4.1b)
169

Здесь
v ¦=. и _: ид I, = h a к -к а
поднятие, опускание индексов и ковариантное дифференцирование осу-
осуществляется с помощью метрики g^v, а Гм„ — тензор энергии-импульса
ку [см. (П.48)].
Эта система инвариантна относительно калибровочных преобразований
Для ликвидации калибровочного произвола удобно наложить следующие
дополнительные условия:
jt«C;(J = O, aa.a = 0. (8.4.4)
Мы рассмотрим эффект взаимодействия электромагнитных и гравитацион-
гравитационных возмущений, связанный с появлением членов, содержащих электри-
электрическое поле /, в уравнении (8.4.1а) и членов, содержащих гравитацион-
гравитационное возмущение к, в уравнении (8.4.1Ь), в приближении, когда длина
волны X электромагнитных и гравитационных волн много меньше харак-
характерного размера L неоднородностей фоновых полей g^v и А ц. Используя
приближение геометрической оптики*), запишем возмущения kllv ии^в
следующем виде:
вм = Re [(<v + e0M + ... ) eiS'?], (8.4.5a)
k^v = Re[(км„ + еттм„ + ... ) eiS'?], (8.4.5b)
где в — некий параметр, характеризующий степень малости рассматривае-
рассматриваемого члена по отношению к безразмерному параметру X/L. Фазовые функ-
функции S в выражениях (8.4.5) выбраны так, что они совпадают друг с другом.
Этого можно добиться за счет переопределения предэкспонент в случае,
если их различие порядка О(е). В противном случае, если разница в фазах
Sa и S* в выражениях дл'я а^ и k^v не мала {Sa — S/c =O(e0)), члены,
обусловливающие перемешивание, входят с высокочастотным множите-
(Sa - Sк) /е
лем е , и перемешивание в низшем по б порядке отсутствует.
Если обозначитьla = S>a, то при подстановке (8.4.5) в уравнения (8.4.1)
и в калибровочные условия (8.4.4)приравнивание нулю членов порядка
б и б приводит к следующему соотношению (уравнение эйконала) •.
1а 1а = 0 (8.4.6)
и уравнениям
/мкм„ = 0, /мвм=0, (8.4.7)
/%<**+2/^.0=^, (8.4.8а)
HV,e = ^2av, (8.4.8Ь)
*) О применении метода геометрической оптики к распространению высокочастот-
высокочастотных гравитационных волн см. Айэааксон A968 а, Ь). Детальное изложение этого
метода для электромагнитных и гравитационных возмущений можно найти в книге
Мизнера, Торна, Уилера A973).
170

где
irt") (8.4.9a)
(8.4.9b)
Условие (8.4.6) показывает, что поверхность постоянной фазы S = const -
световая. Поэтому интегральные линии х^-х^(К), определяемые урав-
уравнением
dx»
— = /"(*) (8-4.10)
ал
и лежаище на этой поверхности, являются световыми геодезическими, а
параметр А - аффинный.
Дополним векторное поле /''до комплексной световой тетрады (/м,
им,тм,ш м), потребовав, чтобы векторы этой тетрады были нормированы
условиями
1»Пц = -1, m'iwpi = l (8.4.11)
(остальные скалярные произведения обращаются в нуль), а сами тетрады
были ковариантно постоянны вдоль интегральных кривых /м:
/"«"^-/"«".„^O. (8.4.12)
Из условия ортогональности 1^Шц = 0 следует, что векторы mil,mtl каса-
тельны к поверхности S = const. Можно показать [см., например, Сибгатул-
линA984*)], что оставшийся произвол в калибровочных преобразова-
преобразованиях (8.4,3), сохраняющих дополнительные условия (8.4.7), может быть
использован для того, чтобы привести выражения для о^и к^к виду
а». -Ат^ +А т^ ,
! _ (8.4.13)
— к^и- Нт р, т „ + Н Шр, mv .
Умножая (8.4.8а) на т^ и (8.4.8Ь) на т^т" и вводя обозначения Фо =
= Fa|3/aw(j и Iе j и = —2а получаем следующую систему уравнений:
dA
А Ф (8.4.14а)
с/Я
(8.4.14Ь)
Из этих уравнений следует соотношение
[/"(|;4|2+|Я|2)].м=0, (8.4.15)
которое можно интерпретировать как закон сохранения суммарного числа
фотонов и гравитонов.
Систему уравнений (8.4.14) можно несколько упростить, если от поле-
полевых переменных А, Н перейти к величинам
A = zA, H=zH, (8.4.16a)
171

где х
z = z(X) = zoexp[- / pd\]. (8.4.16b)
В терминах этих переменных уравнения (8.4.14) принимают вид
dA dH
= Ф0Я, = - Фо А (8.4.17)
cfX cfX
В случае, когда Фо =Ф0, эта система сводится к уравнению второго по-
порядка
d2A -
—Т+Л = 0, (8.4.18)
dx2
где х = f Фod\. Это уравнение показывает, что амплитуда как электромаг-
электромагнитного, так и гравитационного поля испытывает осцилляции, связанные
с процессом взаимного превращения фотонов и гравитонов. Период этих
осцилляции Д X определяется из условия [Сибгатуллин A974*)]
х+ах
2тт= / ФосГХ. (8.4.19)
х
Все сказанное выше непосредственно переносится на случай, когда
высокочастотные фотоны и гравитоны распространяются в поле заряжен-
заряженной черной дыры. Уравнение эйконала (8.4.6) :
*м,м5,„ = 0 (8.4.20)
в метрике Рейсснера-Нордстрема (8.2.1) допускает полный интеграл
(8.4.21)
(8 4 22)
где
R (r) = JF~l V 1 - b2F\r2 dr,
*(<?)= Nb2 -m21 sin2 Odd, F=l-2M/r + Q2lr2.
Световые лучи, образующие поверхность S= const, параметризуются
произвольными постоянными bum, имеющими смысл прицельного пара-
параметра и углового момента, и описываются уравнениями
Од 0*3
S= const, —= const, = const. (8.4.23)
db dm
Для данной конгруэнции световых лучей аффинный параметр X связан
с г соотношением cfX = cfr(l — Fb2r~2)~1^2, а комплексная световая тет-
тетрада может быть выбрана так, что Фо является действительной величиной
и имеет вид
Ф„=й<2/г3. (8.4.24)
При этом уравнение (8.4.19), определяющее период осцилляции, прини-
принимает вид
dr
. ¦ (8-4.25)
172

Если на заряженную черную дыру падает высокочастотная электромаг-
электромагнитная волна с амплитудой Ain и прицельным параметром Ь, то после
прохождения вблизи черной дыры (если только последняя ее не захватит)
возникнут выходящие электромагнитная и гравитационная волны с ампли-
амплитудами Aout и Яои, [Сибгатуллин A974*, 1984*)]:
1
r2 J
2Qbf
'. г1 s/\-Fb2r
[dr Л
2Qbf (8.4.26)
\ r3 y/l-Fb2r2 J
где r0 - минимальное значение г для светового луча с данным прицельным
параметром Ь. Это значение совпадает с максимальным корнем уравнения
F(r)=r2/b2. (8.4.27)
При b =bCI, где
x=l-Q?/M2, (8.4.28)
этот корень, равный
М .
'о='сг = — C+^ТШ), (8.4.29)
становится кратным. В этом случае интегралы в (8.4.26) расходятся. Соот-
Соответствующий прицельный параметр отвечает неустойчивой замкнутой кру-
круговой орбите.
Расходимость интегралов в (8.4.26) связана с невыполнением условий
применимости приближения геометрической оптики. Учет волновых
свойств света и гравитационного излучения приводит к конечному ответу.
Оказывается, что при \b-bCI\ <О(аГ1) количество актов взаимопревра-
взаимопревращения волн вблизи экстремальной (Q = М) черной дыры порядка единицы,
а суммарная интенсивность выходящих электромагнитных и гравитацион-
гравитационных волн составляет конечную часть интенсивности падающего электро-
электромагнитного излучения. Остальная энергия при этом поглощается черной
дырой.
Для вращающейся заряженной черной дыры описанный выше эффект
взаимного превращения фотонов и гравитонов сопровождается дополни-
дополнительным вращением плоскости их поляризации [Сибгатуллин A984*)].
Подчеркнем,что эффект взаимопревращения может иметь место только
вблизи заряженных дыр. Хотя, как уже отмечалось ранее, их заряд в реаль-
реальных астрофизических условиях, по-видимому, не может быть велик, тем
не менее существуют процессы, приводящие к возникновению у черной
дыры отличного от нуля электрического заряда. Один из таких процес-
процессов, связанный с действием на вращающуюся черную дыру внешнего маг-
магнитного поля, был описан в предыдущей главе. Другой возможный про-
процесс, предложенный Шварцманом A971*), связан с разницей в действии
давления излучения на электроны и ионы вещества, аккрецирующего на
черную дыру.
173

§8.5. Черная дыра во внешнем поле.
Взаимодействие черных дыр
При внешнем воздействии на черную дыру она ведет себя в известной
мере так же, как упругое компактное тело. Некоторые особенности "от-
"отклика" черной дыры на такое воздействие связаны главным образом с
тем, что размеры ее однозначно зависят от ее массы, а гравитационное
самодействие последней экстремально велико.
Прежде чем перейти к детальному описанию поведения черных дыр во
внешнем поле, остановимся на вопросе, который иногда вызывает не-
недоумение. Представим ситуацию, когда имеется покоящаяся уединенная
(например, шварцшильдовская) черная дыра и в некоторый момент вре-
времени удаленный наблюдатель включает внешнее поле, с тем чтобы опре-
определить его воздействие на черную дыру. Для определенности можно счи-
считать, что на нее направляется плоская световая волна. Давление такой
волны на обычное тело (связанное с эффектами ее поглощения и рассея-
рассеяния) приведет, вообще говоря, к движению тела. С другой стороны, если
проследить за характером движения фронта световой волны в метрике
Шварцшильда, то можно убедиться, что для достижения фронтом волны
гравитационного радиуса потребуется бесконечно большое время по часам
удаленного наблюдателя. Детальный расчет показывает [см., например,
Ханни A977)], что фронт волны огибает черную дыру и волна распрост-
распространяется дальше. При этом в ней возникает расходящаяся составляющая,
свидетельствующая о рассеянии, а вокруг черной дыры образуется новый
фронт, отвечающий движению излучения, падающего на нее. Возникает
вопрос — как черная дыра может "почувствовать" давление на нее излу-
излучения и прийти в движение за конечное (по часам удаленного наблюдате-
наблюдателя) время, если с точки зрения этого наблюдателя излучение никогда не
достигает горизонта*) ?
Для ответа на этот вопрос полезно проанализировать близкую ситуацию,
возникающую при рассеянии световой волны на теле размера г0, для ве-
вещества которого показатель преломления и, непрерывно возрастая от 1 на
границе (при г=г0) внутрь, достигает бесконечно большого значения на
некоторой поверхности внутри этого тела (npnr = ri). Как и в случае
черной дыры, распространение света до границы г=гх может занимать
бесконечно большое время. Тело, однако, придет в движение, не дожи-
дожидаясь завершения этого процесса. Можно показать, что, как только фронт
волны достигает поверхности г = г0', поток энергии-импульса через нее
становится, вообще говоря, отличным от нуля и связанная с этим потоком
сила приводит в движение тело как целое.
Аналогичным образом, если мысленно окружить черную дыру сферой
радиуса r0 ~^rg, то при прохождении световой волны появится поток
энергии-импульса через эту поверхность и вся йбласть внутри г0 (черная
дыра и часть окружающего ее пространства) придет в движение по отно-
отношению к внешнему наблюдателю. Для обычной световой волны ее энергия
в объеме порядка rg много меньше rgc4jG, и влияние такой волны на
*) Падающий наблюдатель, естественно, увидит, что по его часам фронт световой
волны пересекает горизонт событий за конечное время.
174

метрику черной дыры пренебрежимо мало. Поэтому в системе отсчета,
связанной с черной дырой, все явления в непосредственной близости от
нее происходят практически так же, как в отсутствие излучения. Отдален-
Отдаленный же наблюдатель заметит появление движения этой системы отсчета
по отношению к его собственной.
Хотя обивя задача о движении черной дыры во внешнем поле не допус-
допускает аналитического решения, в том частном случае, когда черная дыра
не взаимодействует со своим окружением чрезвычайно сильно, имеется
возможность детального описания ее движения в рамках своеобразной
теории возмущений. Это возможно, в частности, для движения во внешнем
гравитационном поле, если характерный размер черной дыры, определяе-
определяемый ее массой М, много меньше характерного масштаба L неоднородности
гравитационного поля, в котором она движется*). В этом случае действие
внешнего гравитационного поля приводит к малому изменению метрики
в окрестности черной дыры. Поэтому вне черной дыры, в области, опреде-
определяемой характерным масштабом М, метрику guv можно записать в виде
Slil" » (li) е»Aи с Sjuj; • ¦ ' ' V0--'-1,'
где gj^J - метрика невозмущенной черной дыры (метрика Керра) и e=M/L.
Аналогичным образом влияние черной дыры на внешнюю метрику в масш-
масштабе порядка L можно считать малым и учесть его в виде поправки, записав
внешнюю метрику в виде
gvV"g$ + eg$ + e2g$ + ... (8.5.2)
Предположение об отсутствии в окрестности черной дыры вещества,
падение которого может достаточно быстро изменить ее параметры, и ус-
условие слабости взаимодействия черной дыры с внешним полем приводят
к тому, что разложения (8.5.1) и (8.5.2) имеют общуюобласть примени-
применимости. Иными словами, существует область расстояний от черной дыры,
определяемая характерным масштабом / ~ еаМ @< а < 1, М < I <Ь),в
которой справедливы оба разложения одновременно. Сравнение (сшива-
(сшивание) этих разложений в указанной области позволяет однозначно опреде-
определить сами разложения.
Описанный метод сшивания асимптотических разложений для изучения
движения черных дыр во внешнем поле и взаимодействия черных дыр
друг с другом был развит Д'Эсом A975а, Ь, 1978, 1979). В применении к
рассматриваемой задаче этот метод приводит к следующим результатам
[Демянский, Грищук A974), Д'Эс A975а, Ь, 1979), Кэйтс A980, 1981),
Дамур A983), Торн, Хартль A985) ].
Член eg'JJe разложении (8.5.1) обращается в нуль. Хотя пространство-
время в целом и не обязано быть асимптотически плоским, можно опреде-
определить массу Л/, импульс Р и угловой момент / черной дыры по параметрам
невозмущенной метрики g 1°],. Неопределенности в определении этих пара-
],.
*) Вообще говоря, неоднородность гравитационного поля характеризуется как
радиусом кривизны L, пространства-времени, так и теми масштабами в пространст-
пространстве (/.,) и времени С?3/с), на которых эта кривизна существенно изменяется. Под L
мы будем понимать минимальную из этих величин L = mm(?, ,L}.L,).
175

метров, связанные с членами e2g '*?, имеют следующий порядок:
АМ~е2М, АР~-е2М, AJ~e2M2. (8.5.3)
Метрика внешнего пространства g®?является всюду регулярной, в то
время как поправки к ней при формальном распространении на все прост-
пространство приводят к особенностям на времениподобиой мировой линии у,
отвечающей движению черной дыры. В окрестности этой линии у можно
ввести координаты Г,дс', в которых метрика записывается в виде
~eiikB\xkxl+..., (8.5.4)
(здесь Ejj=RiOjO и By = — б,ч/Як'/о - "электрическая" и "магнитная"
части тензора кривизны).
Изменение той части возмущения g^v -g^v, которая является конеч-
конечной на линии движения черной дыры, приводит к небольшой неточности в
определении ЕуиВц.
В низшем по б приближении линия движения черной дыры является
геодезической, а спин черной дыры переносится вдоль нее параллельно
(Д'Эс A975а)]. Поправки [см. Торн, Хартль A985)], описывающие
отклонение движения черной дыры от геодезического и закона переноса
ее спина от закона Ферми—Уолкера (П. 12), определяются следующими
уравнениями:
dP1' . .
— « ~B',J\ (8.5.5)
dJ* . и 1 • ,
— = -el,kEk, —J'J'. (8.5.6)
dt ¦ M
Изменения импульса и спина черной дыры, описываемые этими уравнения-
уравнениями, значительно превосходят неопределенности АР* и AJ' (8.5.3):
м (8.5.7)
АГ~М2Е',^'\
связанные с изменением Е'. и B'j. Поэтому указанные эффекты негеоде-
зичности движения вращающейся черной дыры и прецессии ее углового
момента в принципе могут наблюдаться.
Следует подчеркнуть, что уравнения (8.5.5) и (8.5.6) совпадают по
форме с уравнениями движения пробных вращающихся частиц во внешнем
гравитационном поле. Существенным моментом является то, что учет
экстремально сильного гравитационного самодействия, присущего черной
дыре, не изменяет вида этих уравнений и с точки зрения удаленного наблю-
наблюдателя она движется во внешнем поле так же, как малое пробное тело.
176

Аналогичным образом можно показать [Бичак A980)], что при дейст-
действии на черную дыру с зарядом Q и массой М внешнего электрического
поля Е она приобретает ускорение a- QE/M*). Интересно отметить, что
Эрнст A976b) получил точное решение уравнений Эйнштейна—Максвелла,
описывающее движение заряженной черной дыры в однородном электри-
электрическом ноле. Соответствующая метрика в запаздывающих координатах
имеет вид
ds2 = B2(-Hdu2 - 2du dr ~ 2wr2du dx + r2G~ldx2) +
+ B~2r2Gdz\ (8.5.8)
где
В = 1 + QEox + — El(r2 G + Q2x2),
4
G = 1 - x2 ~ 2Mwx3 - Q2w2x4, (8.5.9)
dG
H= -w2r2G + wr + 1 + 6Mwx +6Q2w2x2 -
dx
~2(M + 2Q2wx)r'1 +Q2r2.
Здесь w - ускорение черной дыры, а Ео - напряженность внешнего элект-
электрического поля. При выполнении условия QE0 =Mw узловые сингулярнос-
сингулярности, присущие метрике (8.5.8) в общем случае, отсутствуют. Отметим, что
отсутствие явной зависимости от времени метрики, описывающей ускорен-
ускоренное движение тела, связано с соответствующим выбором координат. Ана-
Аналогичным свойством обладает метрика плоского пространства в координа-
координатах Риндлера, связанных с равноускоренным движением наблюдателей.
Метод сшивания асимптотических разложений (см. выше) позволяет
также исследовать взаимодействие двух черных дыр. В случае, если рас-
расстояние между ними значительно превосходит их гравитационные радиусы,
а сами дыры движутся друг относительно друга со скоростью, много мень-
меньшей скорости света, уравнения движения взаимодействующих черных дыр
были получены Д'Эсом A975b, 1979) [см. также Торн, Хартль A985)].
Гравитационное поле вблизи каждой из черных дыр описывается возму-
возмущенной метрикой KeRpa, а вдали от черных дыр метрика находится с по-
помощью постньютоновского приближения до нужного порядка точности.
Сшивание этих разложений приводит к следующей системе уравнений для
движения одной из черных дыр и прецессии ее углового момента в поле
другой черной дыры:
т,—I1 =F1A)+F,B) + O(e4), (8.5.10а)
—!= [(Й,A) + Й,B) + i1C))X/,]. (8.5.10b)
dt
Здесь и далее используются обозначения: лс,- — положение и v,- — скорость
*)Об эффектах, связанных с действием на черную дыру электромагнитного лоля,
см. также Гальцов и др. A984*).
12. И.Д.Новиков 177

/-й черной дыры, обладающей массой М{ и угловым моментом Jt; r2i =
= х2 -Xi, v2i =v2 -v, - положение и скорость второй черной дыры по
отношению к первой; r=|r2ij, n-r2\jr\ Jt-\Jt\ и /,= /,//,- величина
и единичный вектор направления углового момента i-й черной дыры.
Параметр малости е равен отношению максимального из гравитационных
радиусов к характерному расстоянию между черными дырами. F/1* -
значение силы, найденное Эйнштейном, Инфельдом, Гофманом A938),
отвечающей геодезическому закону движения одного тела в гравитацион-
гравитационном поле, создаваемом вторым телом:
m МХМ2 \ I 4М2 +5Л/,
,A) = л 1 -+v2 +2vl -4v,v2 -
г2 I \ г
у21[л(Зу2 -4v,)] . (8.5.11)
Член F,B) в (8.5.10а), равный
Fi2) = 5—Fл([/2 X л] v,2)+4[/2 X v12] -6[/2 X л] (у12л)} +
г
M2Ji
+ —5—{6"([/i x"] vu) + 3[/i Xvu] -3[/, X л] (у12л)), (8.5.12)
описывает дополнительную силу, связанную со спин-орбитальным взаимо-
взаимодействием. Член 0(е4) в этом же уравнении отвечает спин-спиновому
взаимодействию и взаимодействию, связанному с квадрупольным мо-
моментом черной дыры, — оба имеют порядок малости б4.
Уравнение (8.5.10 Ь) описывает прецессию углового момента черной
дыры по отношению к сопутствующей ортонормированной системе, кото-
которая не испытывает вращения по отношению к бесконечно удаленному
наблюдателю. Гравимагнитная (Oj1') и геодезическая (Г2р') составляю-
составляющие угловой скорости этой прецессии и составляющая П,C), связанная
со взаимодействием квадрупольного момента черной дыры с кривизной,
равны соответственно
1
ЗМ2
(8.5.13)
В пределе, когда Л/, <М2, эти формулы совпадают с уравнениями дви-
движения пробной вращающейся частицы в поле массивного вращающегося
тела. (Подробное описание решения последней задачи можно найти в книге
Мизнера, Торна, Уилера A973), где также содержатся ссылки на много-
многочисленные оригинальные работы.)
В противоположном пределе, когда относительная скорость и двух
черных дыр близка к скорости света, можно использовать разложение
178

по малому параметру у 1, где 7= A — v2) 1/2. Этот метод был применен
Д'Эсом A975b, 1979) для решения задачи о рассеянии двух ультрареля-
ультрарелятивистских черных дыр, движущихся параллельно навстречу друг другу.
Исходным пунктом при этом являлось выражение для метрики одиночной
равномерно движущейся невращающейся черной дыры в пределе, когда
скорость ее движения стремится к скорости света. Эта метрика может
быть получена с помощью преобразований из метрики Шварцшильда,
записанной в изотропных координатах:
где г2 = х2 + у2 + z2, г М - масса черной дыры. Осуществив лоренцево
преобразование
Т = A -и2Г1/2(г + wc), у=у,
x=(\-v2)-1l2(x+vt), T = z, (8.5.15)
перепишем (8.5.14) в следующем виде:
ds2=(\ +AJ(-d72 + dx2 +dy2 + dz2) +
ju A — и2)
(8.5.17)
ц = yM - Ml
Переходя к пределу v-*\ в (8.5.16) при постоянном значении ,« и обозна-
чаяГ-Зс=и, Т + х = п,получаем [Айхельбург,Сексл A971)]
ds2 =-dvdu + dy2 +dz2 + 4/i[-r--S(u)ln(J2 +Y2)\dv2. (8.5.18)
\_\v\ i
_ 4д _
Это выражение с помощью преобразования координат du = du —dv>
v = i) можно привести к виду 'и '
ds2 =-dudv+dy2 +dT2 -4ц8\и)\п(у2 +Y2)dv2. (8.5.19)
Из этой формы метрики видно, что соответствующее гравитационное
поле представляет собой особый случай аксиально-симметричной плоской
гравитационной волны, сосредоточенной на поверхности и = 0, разделяю-
разделяющей два плоских полупространства: и>0 и и< 0. Выполненная предель-
предельная процедура приводит к изменению алгебраического типа тензора Вейля:
метрика (8.5.19) имеет тип 7Vвместо типа Ь, которым обладала исходная
метрика (8.5.14) *). Соответствующий тензор кривизны всюду обращается
*)Это свойство метрики Шварцшильда было обнаружено Пирани A959). Позднее
Пснроуз A976) показал, что этим свойством обладает пространство-время общегв
вида. А именно, с точки зрения наблюдателя, скорость движения которого прибли-
приближается к скорости света и который пользуется параметром времени ут, где у =
179

в нуль, за исключением поверхности и = 0, на которой его отличные от
нуля компоненты имеют особенности типа 5 (и).
В случае, когда имеются две ультрарелятивистские черные дыры, движу-
движущиеся параллельно навстречу друг другу, их гравитационное поле, до
взаимодействия сконцентрированное в виде двух плоских волн, описы-
описываемых метриками (8.5.19), после взаимодействия испытывает искажение,
вызванное рассеянием этих гравитационных волн при прохождении друг
через друга. Д'Эс A978) показал, что если прицельный параметр сравним
с величиной My2, где М — характерная масса черных дыр, а у — типичный
лоренц-фактор в системе центра масс, то возникает гравитационное излуче-
излучение с характерной мощностью ~ 1 (в единицах c5/G) в виду узких пучков
с телесным углом ~у~2 по направлениям движения черных дыр. Причина
этого излучения состоит в появлении быстропеременного ускорения черных
дыр в момент близкого прохождения возле друг друга.
Если прицельный параметр сравним с величиной ц=Му, то излучение
мало вдоль направления движения дыр вплоть до углов в ^ у"'. При боль-
больших углах (в диапазоне у~1 «^ в <$ 1) суммарная энергия гравитационного
излучения в единицу телесного угла имеет величину dE/d?l ^0,248My[2iT.
В предположении, что при лобовом столкновении черных дыр равной
массы гравитационное излучение довольно изотропно, Д'Эс A978) пришел
к выводу, что эффективность преобразования энергии черных дыр 2ц в
энергию излучения АЕ составляет примерно 25 %: A?'/2/i * 0,248 [Смарр
и др. A976); см. также Смарр A977,1979), Бовин A983)].
Общее ограничение на максимальную эффективность превращения в
энергию гравитационного излучения Д?" энергии черных дыр при их лобо-
лобовом столкновении можно получить, исходя из теоремы Хокинга [Пенроуз
A974), Смарр и др. A976)]. Если черные дыры обладают одинаковой
массой М и их скорости движения на бесконечности навстречу друг другу
в системе центра масс равны и, то для максимальной эффективности е =
= АЕ[2ц имеем
Как показывают приведенные выше оценки, реальная эффективность для
ультрарелятивистских черных дыр составляет * 25 % от максимальной
е(и = 1) = 1. При столкновении нбрелятивистских черных дыр она почти
на два порядка меньше. Так, для энергии гравитационного излучения при
лобовом столкновении двух невращающихся черных дыр с одинаковой
массой, обладавших нулевой относительной скоростью на бесконечности,
численный счет дает выражение [Смарр A979); см. также Петрич и др.
A985)] ,
АЕ=2,5 -Ю'3 М.
Напомним (см. § 3.3), что количество излученной энергии при радиальном
- A - и') ''2 и г - собственное время, геометрия окружающего пространства-вре-
пространства-времени стремится к геометрии плоской гравитационной волны. В пределе -у ->°° мировая
линия этого наблюдателя - нулевая геодезическая, а ут - аффинный параметр вдоль
нее.
180

падении с параболической скоростью пробной частицы с массой т на черную
дыру описывается формулой
? = 0,01т2/Л*.
Отметим, что зта же формула хорошо воспроизводит приведенный выше
результат численного счета, если'в нее в качестве т подставить приведен-
приведенную массу двух черных дыр т = М/2.
При воздействии внешнего поля черная дыра испытывает деформацию.
Рассмотрим (кратко), как изменяются свойства черной дыры при "внесе-
"внесении" ее в гравитационное поле, создаваемое стационарным распределением
вещества. Эта задача допускает довольно полное решение в том случае,
когда черная дыра не вращается, а гравитационное поле является аксиаль-
аксиально-симметричным [Изразль, Кхан A964), Дорошкевич и др. A965*),
Мизак, Жекерес A966), Израэль A973), Героч, Хартль A982)]. Обобще-
Обобщение на случай вращающейся черной дыры можно найти в работе Томимат-
су A984).
Прежде всего напомним [см., например, Крамер и др. A980)], что
статическое аксиально-симметричное вакуумное гравитационное поле
описывается с помощью метрики Вейля
ds2=-e2Udt2 +e-2U[e2V(dp2 + dz2) +p2dj], (8.5.20)
где U и V являются функциями от р и z и удовлетворяют уравнениям
U.PP +J-U.fi+U,tz=0, (8.5.21а)
- U22), \\: = 2pUtPUtZ. (8.5.21b)
Нетрудно убедиться, что (8.5.21а) обеспечивает выполнимость условий
интегрируемости системы (8.5.21Ь). Поскольку решение системы (8.5.21 Ь)
для известной функции U(p, z) легко находится в квадратурах, вакуумная
метрика (8.5.20) однозначно определяется выбором решения уравнения
(8.5.21а). В частности, метрика Шварцшильда в этих координатах отвечает
следующему решению:
Х2
где
1 / X - 1 \ 1 /Х2_1\
= — In ), K=KS=— In — -I, (8.5.22)
2 \X+ 1 / S 2 \X2 -V /
X= — , ju = —i -, R+=\/p2 +(z±MJ; (8.5.23)
2M 2M
при этом горизонт событий //определяется условием
р = 0, -М < z < М. (8.4.24)
Согласно теореме единственности (см. § 6.3) зто решение является единст-
единственным, описывающим черную дыру в вакууме в асимптотически плоском
пространстве-времени. Всякое другое вакуумное решение, обладающее
регулярным горизонтом*), не может быть асимптотически плоским.
) Строго говоря, требуется регулярность так называемого горизонта Киплинга,
определяемого в статическом пространстве условием Э, • Э, = 0, где а, - векторное
181

Поэтому, строго говоря, возмущенная черная дыра обязательно описы-
описывается невакуумным решением уравнений Эйнштейна. В простейшем
случае можно считать, что вещество, создающее внешнее гравитационное
поле, расположено на некотором расстоянии от черной дыры. Тогда в
окрестности ее горизонта гравитационное поле описывается вакуумной
метрикой Вейля (8.5.20). И хотя точное решение подобной полной задачи
удается найти лишь для очень частных случаев распределения вещества,
изучение свойств вакуумных решений Вейля вблизи регулярного горизон-
горизонта позволяет получить довольно полную информацию о возможном влия-
влиянии внешних воздействий на поверхность черной дыры *).
Решение, описывающее возмущенную черную дыру, можно записать в
следующем виде [Героч, Хартль A982)] :
U= Us + U, V= Fs+ V, л (8.5.25)
где Us и Vs даются выражениями (8.5.22), a U является решением одно-
однородного уравнения (8.5.21а), удовлетворяющим условию регулярности
на отрезке р = 0, -Л/ <z < М и в некоторой его окрестности и принимаю-
принимающим на его концах одинаковые значения
U(p = 0, z=-АО = 0(р = 0, z = M) =м. (8.5.26)
Л
Значение V однозначно определяется из уравнения (8.5.21Ь) при условии,
что V = 0 на участках оси р = 0, лежащих вне вещества. Условие (8.5.26),
связанное с отсутствием узловых сингулярностей, гарантирует обращение
в нуль суммарной силы, действующей со стороны внешнего поля на черную
дыру как целое, что обеспечивает возможность существования регулярного
статического решения. Используя второе уравнение из (8,5.21b), можно
показать, что на горизонте событий Н имеет место соотношение
V= 2U -2и. (8.5.27)
С помощью преобразования координат
/
in0, z=e"(r-2Mo)cos0, (8.5.28)
М0=Ме~и (8.5.29)
можно метрику (8.5.20) привести к следующему виду:
л / 1Мп \ л л
ds2 =-e2t/(l Jdt2 + e2V-2U+2u X
Г/ 2M0Vl л 1
X (l ) dr2 +r2(d62 +e~2Vsm2e dy2) . (8.5.30)
поле Киплинга. В статическом асимптотически плоском пространстве горизонт Кип-
Киплинга совпадает с горизонтом событий (см. § 6.3).
*' Интересно отметить, что хотя метрика Вейля, описывающая статическую де-
деформированную аксиально-симметричную черную дыру, принадлежит к общему ти-
типу / по Петрову, на горизонте событий она имеет тип D [Пападопулос, Ксантопулос
A984)].
182

Горизонт событий Н в этих координатах описывается уравнением г = 2Л/0 и
двумерная метрика на его поверхности с учетом (8.5.27) записывается так:
ds2 = 4М20(е2"-2и de2 +e-2^+2"sin20d^2). (8.5.31)
Нетрудно убедиться, что поверхность горизонта представляет собой дефор-
деформированную аксиально-симметричным образом сферу*-', площадь которой
А=16ттМ20. (8.5.32)
Действие внешнего гравитационного поля, в качестве потенциала кото-
Л
рого выступает величина expt/, на черную дыру в известной мере аналогич-
аналогично действию этого поля на эластичное массивное тело. Чтобы убедиться в
этом, рассмотрим случай, когда значение U вблизи полюсов больше значе-
значения U на экваторе. В этом случае на любое пробное тело, покоящееся вбли-
вблизи полюса, будет действовать сила, стремящаяся приблизить его к экватору.
В соответствии с этим, как видно из соотношения (8.5.31), поверхность
горизонта оказьшается сплюснутой у полюсов. Поверхностная гравитация к
постоянна на поверхности горизонта:
к=е"/4Л/0. (8.5.33)
Отличие наблюдаемого на бесконечности значения массы М от величи-
величины Мо, определяющей площадь горизонта событий и играющей роль непри-
неприводимой массы (см. § 8.1), объясняется следующим образом. Рассмотрим
процесс "внесения" шварцшильдовской черной дыры (для которой, очевид-
очевидно. М = Л/о) в заданное внешнее гравитационное поле. Если этот процесс
осуществляется достаточно медленно, то площадь поверхности А черной
дыры не изменяется и, следовательно, в этом процессе сохраняется постоян-
постоянной величина Л/о. Величина же Л/ = е"М0 испытывает изменение при изме-
изменении гравитационного потенциала е" внешнего поля в месте, где находит-
находится черная дыра. Разность М-Л/о - Мо (еи — 1) представляет собой работу,
совершенную внешним гравитационным полем при "внесении" в него чер-
черной дыры. Можно показать [Героч, Хартль A982)], что при выполнении
сильного энергетического условия (см. Приложение) потенциал и прини-
принимает только неположительные значения.
Приведем в качестве примера, иллюстрирующего эти общие рассужде-
рассуждения, явное выражение для метрики, описывающей черную дыру во внешнем
квадрупольном поле [Дорошкевич и др. A965*) ]:
л 1
{/ = — <?(ЗХ2 - 1)Cд2 - 1), (8.5.34)
4
16
где q - параметр, характеризующий квадрупольный момент системы, соз-
создающей внешнее гравитационное поле. На горизонте X = 1, ц = z/M, и поэто-
*' Следует упомянуть, что возможны вакуумные аксиально-симметричные стати-
статические метрики, описывающие пространство-время вблизи горизонта, с топологией
тора (см., например, Героч, Хартль A982), Ксантопулос A983) и ссылки в этих ра-
работах ]. Однако, как это следует из теоремы Хокинга (см. § 6.2), при выполнении
условия энергодоминантности внешнее пространство в этом случае не может быть
одновременно регулярными асимптотически плоским.
183

Рис. 73. Мгновенно-статическая конфигурация трех взаимодействующих черных дыр
(двумерное пространственное сечение пространства-времени)
му нетрудно убедиться, что в рассматриваемом случае и = q. Гауссова
кривизна поверхности горизонта событий равна
4Mb
(8.5.35)
Постоянное внешнее квадрупольное поле, описываемое решением (8.5.34),
может быть создано удаленными покоящимися массами. Это решение также
приближенно описывает влияние на черную дыру удаленных свободных
масс, скорости движения которых под действием взаимного притяжения
вначале малы, а поле почти статично.
При получении полных точных аксиально-симметричных стационарных
решений, описывающих поведение черной дыры в гравитационном поле,
основную трудность, как уже указывалось выше, составляет нахождение
решения в области, где присутствует материя. К важным случаям, для ко-
которых можно получить точные решения, относятся ситуации, когда черная
дыра находится либо в однородном электрическом [Эрнст A976b) ], либо
в однородном магнитном поле [Эрнст A976а), Эрнст, Уайлд A976) , Галь-
цов, Петухов A978*), Гальцов A980*), Уайлд, Керне A980), Алиев и др.
A980*), Уайлд и др. A981), Крори и др. A983, 1984), Дадлих A983),
Дхираудхар, Дадлих A984а, Ь) ].
Интересная возможность изучения взаимодействия черных дыр состоит
в рассмотрении так называемых мгновенно-статических конфигураций,
описывающих систему взаимодействующих черных дыр в момент времени,
когда все они покоятся [Мизнер, Уилер A957), Мизнер (I960, 1963),
Линдквист A963), Брилл, Линдквист A963), Гиббоне A972), Боуен,
Йорк A980),Кулкарниидр. A983), Боуен и др. A984),Кулкарни A984)].
Эта возможности основывается на том, что в момент временной симметрии
метрика g^v пространства-времени выбирается так, что удовлетворяются
условия g^o = -5°, bgpvlbt = 0, а трехмерная геометрия пространства
hjj ~?ij находится путем решения уравнения
ДC>=0, (8.5.36)
184

где R^3^ - скаляр трехмерной кривизны метрики Ъц. Если присутствует
электромагнитное поле, то в момент временной симметрии отличны от
нуля только компоненты Et = Ff0, а начальные условия в этот момент вре-
времени для системы уравнений Эйнштейна - Максвелла имеют вид
: 2E.E1, E1 .,. = 0. (8.5.37)
Решение уравнений (8.5.37), описывающее систему N взаимодействующих
заряженных черных дыр [Линдквист A963), Брилл, Линдквист A963)],
выглядит следующим образом:
dl2 s h..dxldxi = (хФJ (dx2 +dy2 + dz2),
' • (8.5.38)
где
лг а,- лг В,-
x = l + 2 —, л= 1 + 2
/ = I Г Г - Г, | I = I | Г - Г,-
(Двумерное сечение соответствующей метрики для случая N = 3 схематич-
схематично изображено на рис. 73.) Масса М, и заряд Qt г-й черной дыры, определяе-
определяемые по асимптотикам решения на бесконечности листа ?,- (при г ->Г/), суть
N Off/Зу + СКу/З,
Af/ = a/ + ft+ 2 , (8.5.39а)
V;; i'i-',i
n fta,- - a,Pi
Qi= Pi -a, + 2 . (8.5.39b)
Масса Ми заряд Q системы взаимодействующих черных дыр, определяемые
по асимптотикам решения на бесконечности листа 2 (при г -* <»), равны
М= 2 (a,. + 0,), Q=2 tf,-o,). (8.5.40)
[При Pt = а/ решение (8.5.38) описывает систему взаимодействующих не-
незаряженных черных дыр - см. Мизнер, Уилер A957), Мизнер A960,1963),
Гиббоне A972).]
Нетрудно убедиться, что
JV N N СК,-|3: + ttjPi
B=2 <2,-, МШ=М- 2 Mt = - 2 — <0.
V;/ ¦ -v -г »> ¦
(8.5.41)
Эти соотношения показывают, что заряды черных дыр складываются ад-
аддитивно, в то время как гравитационный дефект масс, связанный со взаимо-
взаимодействием черных дыр, приводит к тому, что суммарная масса системы
оказывается меньше суммы их масс. Обсуждение свойств двумерных по-
поверхностей, отвечающих положению горизонтов видимости в момент вре-
185

Рис. 74. Решение типа кротовой норы
(двумерное пространственное сечение
пространства-времени)
менной симметрии для системы взаимодействующих черных дыр, см. Брилл,
Линдквист A963).Гиббоне A972),Бишоп A984).
Мизнер A960, 1963) и Линдквист A963) обобщили решение (8.5.38)
на случай, когда вместо системы черных дыр имеется набор "кротовых нор"
(двумерное сечение подобного пространства в случае одной "крото-
"кротовой норы" схематично изображено на рис. 74).
Подчеркнем еще раз, что в общем случае система черных дыр, описы-
описываемая решением (8.5.38), не может оставаться в покое все время. Исклю-
Исключением является ситуация, когда а, = 0 и для всех черных дыр выполняет-
выполняется условие М( = Q( [Хартль, Хокинг A972)]. Если ск; Ф 0, то выражение
(8.5.38) может быть использовано в качестве начальных условий при изу-
изучении динамики движения черных дыр с помощью численных методов
[см., например, Смарри др. A976), Смарр A979) ].
Описанный выше метод построения геометрии пространства-времени
для системы черных дыр в момент временной симметрии может быть
распространен на случай, когда черные дыры обладают вращением [Боуен,
Йорк A980), Боуен и др. A984), Кулкарни A984)]. Относительно воз-
возможности существования равновесных стационарных аксиально-симмет-
аксиально-симметричных конфигураций из вращающихся черных дыр см. Оохара.Сато A981),
Кихара, Томиматсу A982), Томиматсу, Кихара A982), Сато A983), То-
миматсу A983), Ямазаки A983а, Ь), Бичак, Хоенселаерс A985) и ссыл-
ссылки в этих работах.

ГЛАВА 9
КВАНТОВЫЕ ЭФФЕКТЫ В ЧЕРНЫХ ДЫРАХ.
РОЖДЕНИЕ ЧАСТИЦ
§ 9.1. Роль квантовых эффектов в физике черных дыр
До сих пор^при описании взаимодействия вещества и физических полей
с черными дырами полностью игнорировались квантовые особенности
этого взаимодействия. Квантовые эффекты действительно несущественны
для черных дыр с массой порядка солнечной (или больше). Однако для
черной дыры малой массы эти эффекты не только не малы, но приводят
к качественному изменению картины ее эволюции. Они, по-видимому,
также являются определяющими в тех областях внутри черной дыры, в
которых, в соответствии с классической теорией, должны находиться
сингулярности пространства-времени.
Согласно современным квантовым представлениям физический вакуум
(т.е. состояние, в котором отсутствуют реальные частицы) — довольно
сложное образование. В вакууме непрерывно происходит рождение,взаимо-
рождение,взаимодействие и уничтожение виртуальных (короткоживущих) частиц. В отсут-
отсутствие внешних полей вакуум устойчив, т.е. все протекающие в нем процес-
процессы не приводят к появлению реальных (долгоживущих) частиц. При нали-
наличии внешнего поля часть виртуальных частиц, взаимодействуя с ним, может
приобрести достаточную энергию, чтобы стать реальными. Этот процесс
приводит к эффекту квантового рождения частиц из вакуума внешним
полем.
Вероятность рождения частиц во внешнем статическом поле можно оце-
оценить следующим образом- Пусть напряженность поля есть Г, а заряд рож-
рождающихся частиц равен g. Согласно соотношению неопределенностей время
жизни виртуальной пары частиц, обладающих энергией те2 , порядка bjmc2.
За это время, двигаясь со скоростью, не превосходящей скорости света с,
частицы могут удалиться друг от друга на характерное расстояние/0 ~h/mc.
Вероятность обнаружить пару таких частиц на большем расстоянии / про-
пропорциональна ехр(-///0). Эта же величина входит в выражение для ве-
вероятности рождения реальной пары частиц с энергией тс2, если расстоя-
расстояние / таково, что работа gTl, произведенная на нем полем, равна тс2.
Поэтому вероятность w рождения частиц в поле напряженности Г описы-
описывается выражением вида
(9.1.1)
где постоянная 0 (безразмерная константа порядка единицы) и предэкспо-
ненциальный множитель А зависят от более детальных характеристик поля.
Хорошо известным примером рождения частиц во внешнем поле являет-
является рождение электрон-позитронных пар в интенсивном внешнем электри-
187

ческом поле. Для скорости рождения частиц в единице объема d V за едини-
единицу времени dt однородным электрическим полем имеет место следующее
выражение, полученное Швингером A951) :
dN е2Е2 1
= , , 2 exp(-irm2c*n/eEh), (9.1.2)
dtdV я2п2с n = i п*
где Е — напряженность электрического поля. Нетрудно убедиться, что для
полей с напряженностью, много меньшей критической ?"cr = т2съ\е\\, это
соотношение согласуется с (9.1.1), причем численный коэффициент fi ока-
оказывается равным я.
По-видимому, первой работой, в которой было обращено внимание на
важную роль квантовых эффектов в физике черных дыр, была работа
Маркова, Фролова A970). В ней было показано, что квантовый эффект
рождения пар заряженных частиц в поле заряженной черной дыры приводит
к уменьшению ее электрического заряда практически до его уничтожения.
Если потенциал на поверхности черной дыры Q/r+ достаточно велик, чтобы
происходило рождение пар (eQ/r+ > тс2, т — масса и е - заряд электро-
электрона), а заряд черной дыры превосходит hc/e, то условия применимости
приближения однородного поля оказываются выполненными, и для оценки
скорости рождения заряженных частиц полем заряженной черной дыры
можно использовать соотношение Швингера (9.1.2) .
Аналогичное явление квантового рождения частиц - см. Зельдович
A971*, 1972*), Старобинский A973*), Мизнер A972), Унру A974) -
происходит в гравитационном поле вращающихся черных дыр. Напомним,
что рассмотренное в предыдущей главе явление суперрадиации имеет чисто
классический характер. Это проявляется, в частности, в том, что коэффи-
коэффициент усиления не зависит от постоянной Планка. Как и другие классичес-
классические процессы, явление суперрадиации можно описать на квантовом языке.
При подобном описании это явление состоит в увеличении числа квантов в
отраженной волне по сравнению с числом квантов в волне падающей. Дейст-
Действительно, энергия волны заданной частоты при классическом описании
пропорциональна квадрату ее амплитуды, а при квантовом - числу кван-
квантов. Поэтому увеличение амплитуды волны при неизменной частоте озна-
означает увеличение общего числа квантоваюля.
Рассмотренное классическое явление суперрадиации имеет квантовый
аналог: спонтанное рождение частиц- из вакуума в гравитационном поле
вращающейся черной дыры. Поскольку в физическом вакууме равно нулю
лишь среднее значение поля, а сами ноля фпуктуируют около нулевых
значений, то амплитуда тех вакуумных флуктуации, для которых выпол-
выполняется условие усиления, непрерывно возрастает, что проявляется в рож-
рождении реальных квантов поля.
Эффект рождения квантов в поле вращающейся черной дыры можно
описать и несколько иным образом, при котором роль эргосферы прояв-
проявляется более отчетливо. Чтобы произошло рождение реальной частицы,
вылетающей из черной дыры без нарушения закона сохранения энергии,
необходимо, чтобы вторая частица виртуальной пары приобрела отрица-
отрицательную энергию. Это оказывается возможным, если она находится в
эргосфере и обладает определенным значением уголового момента.
188

Работу, необходимую для превращения виртуальных частиц в реаль-
реальные, совершает гравитационное поле черной дыры. Рожденные частицы,
вылетающие из черной дыры, обязательно обладают угловым моментом,
совпадающим по направлению с угловым моментом черной дыры. Поэтому
вне вращающейся черной дыры появляется поток частиц, уносящих ее
энергию и момент. Характерная частота этого излучения порядка угловой
скорости 0я вращения черной дыры, а полный поток энергии и момента
~h(J2")\ (9.1.3)
dt
~Ьпн. " (9.1.4)
При заданной массе М максимальное значение угловой скорости ?1И =
= с3/2GM достигается при J = GM2 /с — экстремальная черная дыра. Поэто-
Поэтому скорость потери энергии и углового момента вращающейся черной ды-
дырой массы М в результате спонтанного рождения частиц в ее ноле не пре-
превосходит следующих значений*):
dE
dt
dJ
dt
c6
G2M2
c3
GM
/ МЛ2
\ М I
эрг /
Л (9.1.5)
/ Ма \
I.
\ M )
,, / \
" эрг I. (9.1.6)
Приведенные оценки показывают, что указанный эффект существен лишь
для черных дыр с малой (значительно меньше солнечной) массой. Заметим,
что приведенные формулы относятся к случаю рождения безмассовых
частиц (фотонов, нейтрино, гравитонов) - скорость рождения массивных
частиц существенно меноше.
Если черная дыра обладает одновременно электрическим зарядом Q и
угловым моментом 3, то рождение частиц будет приводить к уменьшению
и углового момента, и заряда. Если рождающаяся частица, вылетающая на
бесконечность, обладает энергией е, угловым моментом / и зарядом е, то
эти параметры удовлетворяют неравенству, вытекающему из условия
(8.1.23) для суперрадиационных мод:
е < 0я/ + Фие, (9.1.7)
где 0я - угловая скорость, а Фя - электрический потенциал черной дыры.
Поскольку энергия, угловой момент и заряд, уносимые рожденными
частицами, удовлетворяют тому же ограничению (9.1.7), что и параметры
излучения при суперрадиации, то нетрудно убедиться (см. § 8.1), что в
*) Подчеркнем, что соотношения (9.1.3)-(9.1.6), основанные на соображениях,
связанных с анализом размерностей, дают лишь грубую оценку. Свойства излучения
вращающейся черной дыры обсуждаются в § 9.5. Здесь отметим лишь, что интенсив-
интенсивность «того излучения существенно зависит от спина частиц. Для гравитонов значения
dE/dtndJ/dt при J = GM2 /с на порядок меньше приведенного в (9.1.5) -(9.1.6), а для
нейтрино - меньше на три порядка.
189

процессе этого излучения площадь черной дыры не уменьшается. Этот
результат означает, что неприводимая масса черной дыры для таких процес-
процессов также не уменьшается; на рождение частиц расходуется запасенная
черной дырой электростатическая энергия или энергия вращения. После
исчерпания этой энергии описанные выше процессы прекращаются.
Важное открытие, приведшее к существенному изменению представле-
представлений о роли квантовых эффектов в физике черных дыр, было сделано
Хокингом A974, 1975) . Открытие состояло в том, что квантовый процесс
рождения частиц происходит и в нейтральных нев ращающихся черных ды-
дырах, причем черная дыра рождает и излучает частицы так, как если бы вмес-
вместо нее имелось черное тело, нагретое до температуры
0= hK/2irck, (9.1.8)
где к — постоянная Больцмана, а к — поверхностная гравитация черной ды-
дыры, характеризующая "напряженность" гравитационного поля вблизи ее
поверхности (для шварцшильдовской черной дыры к = c4/4GAf)*) .
Результат, полученный Хокингом, допускает следующую интерпрета-
интерпретацию. Поскольку любая частица вне шварцшильдовской черной дыры имеет
положительную энергию, то квантовый процесс рождения частиц в поле
такой дыры происходит так, что одна из частиц пары обязательно "рождает-
"рождается" под горизонтом. (Напомним, что под шварцшильдовским горизон-
горизонтом векторное поле Киллинга ?"9jU= 9, - пространственноподобное и
энергия б = - Ъ^Рц частицы с импульсом рц (рцРц < 0) не является знако-
определенной.) Для грубой оценки вероятности этого подбарьерного
процесса можно использовать общее выражение (9.1.1). Имеется, однако,
существенная особенность гравитационного взаимодействия, связанная
с его тензорным характером и в конечном счете с выполнимостью принципа
эквивалентности. Она состоит в том, что в качестве гравитационного заряда
системы, характеризующего ее гравитационное взаимодействие, выступает
величина ее массы т, связанной с полной энергией е системы соотношением
б = тс1. Поэтому для оценки вероятности рождения частицы в статическом
гравитационном поле в формуле (9.1.1) следует положить# = т и Г = к.
В результате находим,что вероятность рождения частице поле черной дыры
w ~ехр(-0ес/Ьк) = ехр( ). (9.1.9)
\ 2я кв/
Хотя указанные соображения далеки от строгости, тем не менее они при-
приводят к правильному выражению, полученному Хокингом (при этом
числовой множитель Доказывается равным 2 я).
В процессе излучения Хокинга черная дыра теряет массу и, следователь-
следовательно, площадь ее поверхности уменьшается. В общем случае, когда черная
дыра обладает зарядом и вращением, процесс идет одновременно с описан-
описанными выше процессами, приводящими к потере углового момента и заряда.
Результат воздействия внешнего поля на вакуум не исчерпьшается лишь
эффектом рождения частиц. Дело в том, что даже те виртуальные частицы,
которые не приобретают достаточной энергии, чтобы стать реальными, и в
конце концов исчезают, за время их короткой жизни испытывают тем не
*) Строго говоря, спектр излучения черной дыры отличен от теплового из-за эф-
эффектов рассеяния на ее гравитационном поле - см. § 9.5 и рис. 78.
190

менее действие внешнего поля и движутся иначе, чем в его отсутствие. Это
приводит к тому, что вклад таких виртуальных частиц в различные локаль-
локальные физические наблюдаемые (например, в среднее значение тензора энер-
энергии-импульса < Тци >) зависит от величины и других характеристик внешне-
внешнего поля. Иными словами, изменение вакуумных значений локальных наблю-
наблюдаемых при наличии внешнего поля по сравнению с их исходными значе-
значениями в отсутствие поля (а именно эта разность и является величиной,
регистрируемой приборами) есть функционал внешнего поля. Этот эффект
зависимости локальных наблюдаемых от внешнего поля носит название
поляризации вакуума. Он может иметь место и в том случае, когда внешнее
поле по каким-либо причинам не приводит к рождению частиц.
Разделение частиц на реальные и виртуальные, имеющее точный смысл
в отсутствие внешнего поля, теряет однозначность в области пространства-
времени, где внешнее поле является сильным. С этим связана известная
трудность определения понятия частицы в сильном гравитационном поле
[обсуждение этого вопроса см., например, Биррел, Девис A982) ]. Поэтому
не всегда удается разделить вклады реальных и виртуальных частиц в
средние значения локальных наблюдаемых или точно ответить на вопрос,
где именно родилась та или иная частица. Возникающие при этом неопре-
неопределенности являются в конечном счете проявлением общих соотношений
неопределенностей, присущих квантовой механике.
Одно из проявлений эффекта поляризации вакуума — изменение уравне-
уравнений, описывающих среднее значение < Ф > физического поля Ф, создаваемо-
создаваемого внешним источником J. Поле Ф от источника J изменяет состояние
виртуальных вакуумных частиц, взаимодействующих с этим полем. Воз-
Возникающие дополнительные квантовые поляризационные поправки в урав-
уравнении для < Ф) учитывают обратное действие изменения состояния вир-
виртуальных частиц на исходное поле Ф. Поскольку квантовый процесс воз-
возникновения и уничтожения виртуальных пар имеет случайный характер,
то "мгновенное" значение поля Ф не совпадает с его средним значением
< Ф >; поле испытывает квантовые флуктуации. Поэтому само описание
поля в терминах его средних значений имеет ограниченную область при-
применимости. Это описание пригодно в той ситуации, когда квантовые флук-
флуктуации малы по сравнению со средним значением поля.
Сделанные общие замечания, касающиеся возможных проявлений кван-
квантовой природы физических полей и частиц, в полной мере применимы при
рассмотрении квантовых эффектов в черных дырах. Роль внешнего источ-
источника, создающего поле, в этом случае играет массивное тело, коллапс
которого приводит к образованию черной дыры.
Качественно оценить значение флуктуационных эффектов в черных
дырах можно с помощью следующих простых рассуждений. Предположим,
что в области пространства-времени с характерным размером / произошла
флуктуация метрики и ее значение g отклонилось от среднего значения
(g > на величину 5g. При этом кривизна в этой области изменится на величи-
величину порядка б#/(/2 <.g >), а значение действия S для гравитадиоиного поля
испытает изменение порядка
««¦' , с2
»--/¦-. (..LIB)
191

Вероятность подобной квантовой флуктуации значительна только в том
случае, когда 8S ~Л. Поэтому для величины флуктуации метрики bgjig > в
пространственно-временной области размером / получается следующая
оценка:
bg 'pi
777 ~Т- (9U1)
где /Р| = (hG/c3I'2 * 1,6 • 1СГ33 см — планковская длина. Таким образом,
флуктуации метрики, достигающие значения 1 на планковских масштабах,
малы и, вообще говоря, несущественны для значительно ббльших масшта-
масштабов. Поэтому приближение среднего поля, безусловно, применимо при
описании черных дыр с массой, значительно большей планковской массы
шР1 ~ 10~s г. Можно ожидать [Йорк A983)], что описанные квантово-
гравитационные флуктуации приведут к своеобразному квантовому "дро-
"дрожанию" горизонта событий. Для сферической черной дыры с массой М
величина амплитуды "дрожания" 8rg гравитационного радиуса имеет на
основании (9.1.11) следующий вид:
5^~'рЛ- (9.1.12)
Интересно отметить, что хотя эта величина мала для обсуждаемых нами
черных дыр с Af>tfiP|, само существование этого эффекта качественно
меняет идеализированное классическое описание коллапса тела или падения
частиц в черную дыру с точки зрения удаленного наблюдателя. Вместо
формально бесконечного выражения
я dr
At- f - (9.1.13)
rg \-rglr
для длительности этих процессов по часам удаленного наблюдателя сле-
следует ожидать появления конечной величины At — rg In (rgllPl) в резуль-
результате замены rg -* rg + 8rg в нижнем пределе интегрирования*).
Обсудим теперь возможную роль поляризационных эффектов. Можно
показать [Де Витт A965)], что поле (g > с учетом квантовых поляриза-
поляризационных эффектов описывается уравнением, возникающим при вариации
некоторой величины
, (9.1.14)
которая получила название эффективного действия. В отсутствие кванто-
квантовых эффектов (при h = 0) эффективное действие совпадает с действием
Эйнштейна. В общем случае для изучения /,eff можно использовать
•) К аналогичной оценке можно также прийти, если учесть квантовый характер
движения падающей частицы или попытаться оценить точность, с которой можно
локализовать положение падающего тела вблизи горизонта событий с помощью рас-
рассеяния на нем волны физического поля. В последнем случае ограничение (9.1.12)
возникает rta-за того, что размер Ьг волнового пакета, энергия которого меньше
массы черной дырыМ, должен превосходить величину f>r ~h/Mc.
192

разложение вида
Leff = R + hLA) +... (9.1.15)
Можно ожидать (используя, например, соображения, основанные на анализе
размерностей), что в низшем по h приближении квантовые поправки к
Lett имеют порядок / р, /Z-4, где L — характерный радиус кривизны прост-
пространства-времени. Поскольку первый член разложения (9.1.15) имеет по-
порядок R ~1/L2, то отсюда следует, что квантовополяризационные эффекты
могут существенно изменить уравнения Эйнштейна при значениях кривиз-
кривизны, сравнимых с 1// р|,
Для шварцшильдовской метрики это условие выполняется при значе-
значениях г ~г1 = /р] (rgllPl) Х1г, лежащих внутри горизонта событий, если толь-
только масса черной дыры М превосходит планковскую. Поэтому приЛ/>тР1
и г < Г| квантовые эффекты существенно изменяют значение среднего
поля (g > по сравнению с классическим решением, а вне и на границе черной
дыры влияние ?тих эффектов мало.
Если в уравнениях для среднего поля (g > все члены, кроме эйнштейнов-
эйнштейновского (отвечающего h = 0), перенести в правую часть, то соответствующее
выражение в правой части (отличное от нуля лишь при h Ф 0) можно наз-
назвать вакуумным средним < Т "^ > тензора энергии-импульса тех физических
полей, вклад которых учитывался в эффективном действии. На горизонте
событий шварцшильдовской черной дыры характерные значения компонент
< Г"м > имеют порядок hc/r*. Заметим, что хотя при М> тР) < Т"^ > мало из-
изменяет внешнюю геометрию дыры, тем не менее это малое изменение при
больших временах может пр' водить к существенным качественным изме-
изменениям глобальных свойств решений, описывающих дыру. В частности,
поток отрицательной энергий через горизонт событий испаряющейся чер-
черной дыры, сопровождающий ее излучение Хокинга, приводит в конечном
счете к уменьшению горизонта вплоть до планковских размеров (или, воз-
возможно, до его полного исчезновения) . Нетрудно убедиться, что ожидаемое
значение < Т"ц > для потока энергии через горизонт событий, сопровождаю-
сопровождающего эффект Хокинга, имеет порядок, совпадающий с приведенным выше
значением he/г*.
Приведенные соображения показывают, что при изучении квантовых
эффектов в черных дырах, до тех пор пока масса черной дыры много боль-,
ше планковской массы, а рассматриваемые интервалы времени много мень-
меньше характерного времени испарения черной дыры, можно пренебречь обрат-
обратным влиянием рожденного вещества и поляризации вакуума и для описа-
описания геометрии черной дыры использовать решения классических уравнений
Эйнштейна. В этом же приближении несущественны квантовые флуктуа-
ционные явления. Для получения самосогласованного описания эволюции
внешней геометрии черной дыры можно использовать приближение, осно-
основанное на том, что квантовые поляризационные поправки вычисляются в
известной заданной метрике;
В этой главе мы опишем основные результаты, касающиеся рождения
частиц в заданном гравитационном поле стационарной черной дыры, остав-
оставляя обсуждение вопроса о поляризационных эффектах до следующей
главы.
13.И.Д. Новиков 193

§ 9.2. Квантовое рождение частиц во внешнем поле.
Общая теория
Для доказательства тех результатов (относительно квантового рождения
частиц в черных дырах), которые упоминались в предыдущем параграфе,
и для получения более детальной информации о протекании этих квантовых
явлений нам потребуется развитый до известной степени математический
аппарат квантовой теории поля в искривленном пространстве-времени.
С формальной точки зрения задача о рождении частиц в черных дырах
является частным случаем более общей задачи о рождении частиц в произ-
произвольных внешних полях. Стандартная схема построения соответствующей
теории сводится к следующему. Выбирают внешнее поле таким образом,
чтобы в отдаленном прошлом и в отдаленном будущем оно отсутствовало.
В этих, как говорят, ин- и аут-областях удается однозначно определить
понятия частицы и вакуума. В частности, в качестве вакуума обычно выби-
выбирают низшее по энергии состояние системы. В результате действия внешнего
поля в процессе эволюции системы в исходном вакуумном состоянии
происходит рождение частиц, так что результат эволюции состояния, отве-
отвечающего ин-вакууму, уже не совпадает с аут:вакуумным состоянием. Пол-
Полную информацию о процессах рождения частиц, их рассеянии и аннигиляции
во внешнем поле содержит в себе оператор, связывающий ин- и аут-состоя-
аут-состояния и получивший название 5-матрицы.
В задаче о рождении частиц в черных дырах имеются два существенных
момента, приводящие к необходимости модификации стандартной схемы.
Во-первых, хотя в физически реалистической постановке задачи, когда
рассматривается процесс коллапса, приводящий к образованию черной ды-
дыры, можно считать гравитационное поле в прошлом (до начала коллапса) сла-
слабым и определить все состояния, относящиеся к ин-области, "выключить"
естественным образом гравитационное поле образовавшейся черной дыры
в будущем не представляется возможным. Уменьшение массы черной дыры
приводит к увеличению, а не уменьшению поверхностной гравитации и,
следовательно, интенсивности ее излучения. Поэтому, например, процесс
"выключения" гравитационного поля черной дыры путем формального
уменьшения ее массы не приводит к желаемому результату.
Во-вторых, и это более существенно, отдаленный наблюдатель может
зарегистрировать состояния только тех частиц, которые вылетают наружу.
Частицы, рождающиеся и попадающие внутрь черной дыры, остаются для
него "невидимыми". При описании любых наблюдений вне черной дыры
по состояниям этих частиц происходит усреднение. Иными словами, наблю-
наблюдатель вне черной дыры всегда имеет дело только с частью полной кванто-
квантовой системы, и, в соответствии с общими принципами квантовой механики,
излучение черной дыры описывается матрицей плотности, даже если перво-
первоначально (до образования черной дыры) мы имели дело с чистым квантово-
механическим состоянием. Заметим, что необходимое усреднение приво-
приводится как раз по тем состояниям, кЪторые отвечают "частицам", всегда
остающимся в области сильного поля. Именно для них само понятие "части-
"частица" является плохо определенным из-за невозможности "выключения"
поля черной дыры. К счастью, результат усреднения, описывающий состоя-
состояние излучения черной дыры, не зависит от произвола в выборе того или ино-
иного способа описания этих "невидимых" состояний.
194

Подводя краткий итог сказанному, отметим, что интересующая нас
задача вычисления характеристик квантового излучения черной дыры
естественным образом разбивается на два этапа: вычисление оператора
S-матрицы и усреднение его по части аут-состояний, отвечающих "невиди-
"невидимым" частицам. Общий формализм построения S-матрицы для задач во
внешнем поле мы приведем в этом параграфе, а задача вычисления матрицы
плотности, описывающей излучение черной дыры, будет рассмотрена в
следующем.
Изложим (по необходимости кратко) схему построения квантовой
теории свободных бозе-полей в заданном внешнем (не обязательно грави-
гравитационном) поле*).
Общее выражение для действия, описывающего систему действительных
бозе-полей <рА (х) (А = 1, ..., М), взаимодействующих с произвольным
заданным внешним полем gY(x) (Y = 1, .. ., 0, записывается следую-
следующим образом:
*B]d*x, (9.2.1)
ГДе pMw = Р(АВ) (мо) f NABtl = niabu тав = тш) _ действительные
функции от внешнего поля#у и его производных. Напомним, что по пов-
повторяющимся индексам (в том числе по индексам А и В) производится
суммирование. Варьирование этого действия по динамическим переменным
<рА приводит к следующим уравнениям поля:
\ Эмdv - (NAB>t
^BM,MjLBO. (9.2.2)
Поскольку для произвольной пары функций iplA и <рА имеет место соот-
соотношение
где
a1 (9-2-3b)
то, используя теорему Стокса (П. 32) **), можно убедиться, что выражение
, (9.2.4)
вычисленное для произвольной пары решений i^1, <р2 уравнения (9.2.2),
*) Более подробное изложение этой теории, а также теории ферми-полей в иск-
искривленном пространстве-времени см. Де Витт A965, 1975), Биррел. Девис A982),
Фролов A979, 1986*).
**)Если пространство некомпактно, то предполагается, что решения *р' и уг
достаточно быстро убывают на бесконечности.
13* 195

не зависит от выбора полной поверхности Коши 2. Антисимметричную
билинейную формуй, заданную на пространстве решений уравнения (9.2.2),
будем называть канонической формой, отвечающей этому уравнению.
В квантовой теории поле Ч>А(х) рассматривается как операторное реше-
решение уравнения (9.2.2). Канонические коммутационные соотношения, кото-
которым подчиняется этот оператор, формулируются стандартным образом.
Пусть
— импульс поля »рА; тогда
[*А(х,х°), $в(х', х0)] = О, [Ъл{х. х°), *в(х', х0)] = О,
[$A(x,x0),ZB(x',x0)] = /5* 83(x,x'). (9.2.5)
Простой проверкой можно убедиться, что канонические коммутацион-
коммутационные соотношения (9.2.5) полностью эквивалентны следующему соотно-
соотношению*) :
[В(*1, ?), В(у\ ?)] = iBfr1, *2) (9.2.6)
при условии, что оно выполнено для произвольной пары у1 и уг класси-
классических решений системы (9.2.2).
Для введения понятия частицы оказывается удобным рассмотреть мно-
множество комплексных решений, удовлетворяющих тем же уравнениям
(9.2.2) и тем же граничным условиям, что и поле $А, и выбрать в этом
пространстве решений базис, т.е. полную систему линейно независимых
решений. Удобно потребовать, чтобы этот базис состоял из комплексно-
сопряженных друг другу решений и'А (х), п'А (х), удовлетворяющих сле-
следующим условиям нормировки:
В(и\ и') = В(п\ п') = 0, В{и', и') = й''. (9.2.7)
Здесь индексы i, /, ... нумеруют базисные решения. Каждое решение
уравнений (9.2.2), удовлетворяющее наложенным граничным условиям,
допускает разложение по этому базису. В частности, для оператора поля
!рА имеем
где
а. = W(u', 5), 3; = -W(u', ?). (9.2.9)
Если поле $А эрмитово ($А = уА), то д*= (а,)*. Постоянные операторы
а* и dj, называемые операторами рождения и уничтожения частиц в состоя-
состоянии с волновой функцией и'А(х), удовлетворяют следующим коммута-
а*
*) Заметим, что коммутационные соотношения, записанные в форме (9.2.6),
имеют большую область применимости, чем (9.2.5). В частности, они справедливы
для теории со связями (т.е. когда det(PAB0°) = 0), для которых правила (9.2.5)
стандартного канонического квантования требуют изменения.
196

ционным соотношениям:
[Sh a,\ = [Sr, a'] = 0, [?,, 2/] = 5„. (9.2.10)
В этом легко убедиться, если использовать соотношение (9.2.6) и условия
нормировки (9.2.7).
Вакуумное состояние I 0 >, отвечающее данному выбору базиса, опре-
определяется условием
д,-|0> = 0. (9.2.11)
Состояние | i!, ...,/„>, в котором имеется п частиц с волновыми функ-
функциями и'' (х), . . ., u'j* (x) , получается из вакуума в результате действия
на него соответствующего числа операторов рождения:
I/,,...,/„>=2; ... 2; ю>. (9.2.12)
м 'и
Эти базисные многочастичные состояния являются собственными для
оператора nt = a." at числа частиц в моде i:
и, |i,,... ,/„> = «, |/,,...,/„>, л, = Z &Пк (9.2.13)
к= I
и удовлетворяют следующим условиям ортонормируемости и полноты:
</!,...,/„ | /1,. .., jm > = 0, если и * /я,
5 ...5. . , (9.2.14)
л
/=l
. . . , in
0X0|
l/l
+
* * *
oo
2
•>/n
1/..
> =
2
по всем
перестановкам
1
|. . (9.2.15)
л
В последнем равенстве / — единичный оператор, а суммирование ведется
повеем (/,, ... ,/„).
Очевидно, что выбор базиса (и'А, п'д ) и связанного с ним определе-
определения "частицы" далеко не однозначен. Приведенная выше формальная
конструкция приобретает физический смысл только в том случае, когда
удается четко описать набор признаков, по которым мы отличаем ваку-
вакуумное или одночастичное состояние от всех остальных возможных кван-
квантовых состояний системы. В конечном счете этот вопрос сводится к опи-
описанию детектора, с помощью которого мы регистрируем частицы. Сог-
Согласно квантовой теории измерений этот прибор описывается эрмитовым
оператором, собственными векторами которого являются состояния,
отвечающие определенному числу регистрируемых этим прибором частиц.
В стандартной схеме теории, когда внешнее поле "выключается" в
отдаленном прошлом и в отдаленном будущем, можно определить все
необходимые понятия в этих асимптотических ин- и аут-областях. В каж-
каждой из них приходится иметь дело со свободной теорией бозе-полей в
плоском пространстве-времени, для которой однозначно определены сох-
л ¦ л
раняющиеся операторы энергии /*о и импульса Р{, отвечающие транс-
трансляциям по временной (х°) и пространственным (х1) координатам в
197

пространстве Минковского:
[PaM = jS*i**. (9.2.16)
Здесь ?д = 5 м - векторные поля Киплинга, порождающие соответству-
соответствующие трансляции. Вакуумное состояние в каждой из асимптотических об-
областей определяется как низшее собственное состояние оператора энер-
энергии Ро- Этот выбор однозначно соответствует тому, что в качестве базисных
выбираются функции, обладающие свойством положительной частотности
по отношению к временной координате х°:
&Ъ„и1А(х) = -ш,и{А. (9.2.17)
Чтобы отличить два базиса, состоящие из решений (и1 , п' ), для ко-
которых соотношения (9.2.17) играют роль асимптотических граничных'ус-
граничных'условий в будущем (аут-базис) или в прошлом (ин-базис), мы будем снаб-
снабжать базисные функции индексом out и in соответственно. Аналогичным
образом мы будем использовать эти дополнительные индексы для того,
чтобы различать величины, определяемые с помощью этих базисов. Так,
например,
=20о»,х».м+*:».Х»..^ (9-2Л8)
Дщ,| |0;in> = 0, aouti,-|0;out> = 0. (9.2.19)
Поскольку ин- и аут-базисные функции удовлетворяют различным грани-
граничным условиям, то ин- и аут-базисы, вообще говоря, не совпадают.
Коэффициенты матриц А1' и В'1, связывающих ин- и аут-базисы
носят название коэффициентов преобразования Боголюбова. Используя
условия нормировки (9.2.7) , имеем
А''=1В(п(,и' X ?'¦'= W(ui ,u' J. (9.2.21)
4 in out' ч in out7 ч '
Для сокращения записи удобно ввести следующие матричные обоз-
обозначения:
*in = (ain,i- a\n,i )'
out out out
4,
out ' - i -• - i (9 2.22)
"in
eut \«i'n
4 out'
Используя эти обозначения, имеем
"out -сЩп,Ь\П=Ьои1С, (p=b\nv\n=boutvout, (9.2.23)
*out =*inC~\ Uin=C~1UOuf
Для коэффициентов матрицы С, обратной по отношению к С, соот-
198

ношения (9.2.21) позволяют получить следующее выражение:
, / *' -в'\
приведенных формулах штрих вверху означает транспонирование, а + -
>митово сопряжение матриц: ( )+ = ( )'• Условия СС = С~1С = 1
в
эрмитово
означают выполнение равенств
АА* - ВВ* = /, А*А - В'В =/, (9.2.25)
(здесь / — единичная матрица).
Оператор S-матрицы, связывающий ин- и аут-состояния, определяется
соотношениями
Л Л ЛЛ
b-inS = Sb6ut. (9.2.26)
л л л
Можно убедиться, что этот оператор является унитарным (SS* = Г),
обладает свойством
S | /,, ...,/„; out > = | г,,..., г„; in > (9.2.27)
и допускает следующее представление:
S= 2 | /,,..., /„;in >—.</,,.... /„;out I. (9.2.28)
Если подставить bin = ЪоиХС в (9.2.26), то, решая получившееся урав-
Л Л
нение, можно выразить оператор S через Ь^х- Соответствующее решение
допускает следующее представление [Березин A965*), Де Витт A965)]:
1
:ехр( — a'
\2
out Aaout + a+out(^ - /)<W +T«out Vao*ut
2
(9.2.29)
где :: означает операцию нормального упорядочения*) относительно аут-
операторов, aSut = (aout)' и
, M A,
eiW° =e[det(A+A)]-1'4, \в\=1
(здесь a'outAaout = 2aout,i Л "'flout,/ и Т-Д-)-
Из (9.2.25) вытекает симметричность матриц Ли V:
Л' = Л, V'-V. (9.2.31)
Этот результат, состоящий в том, что имеется возможность явно вычис-
вычислить оператор S-матрицы, содержащий полную информацию о квантовых
эффектах рождения, рассеяния и поглощения частиц во внешнем поле,
*) Эта операция состоит в том, что в разложении соответствующего выражения
в ряд по операторам рождения и уничтожения все операторы рождения располага-
располагаются слева от операторов уничтожения. То же выражение (9.2.29) описывает 5-мат-
рицу и в случае ферми-полей. Прн этом матрицы Ли V антисимметричны. Общее
выражение для них через коэффициенты Боголюбова дано в книгах Березина
A965*),ДеВитта A965).
199

если известны коэффициенты преобразования Боголюбова, определяемые
путем решения классических уравнений (9.2.2), является основным для
рассматриваемой теории во внешнем поле. Можно убедиться, что матрицы
V, М и Л, входящие в (9.2.29), непосредственно связаны с амплитудами
вероятности элементарных процессов рождения, рассеяние и уничтожения
во внешнем поле:
</,/;out |0;in>=e'"'» V1',
< i; out | /; in > = eiW° M", (9.2.32)
<0;out \i,j;m) = eiW° A1'.
§ 9.3. Усреднение по "ненаблюдаемым" состояниям.
Матрица плотности
Обсудим теперь более подробно те особенности, которые отличают
задачу о'рождении частиц в черных дырах от общей задачи во внешнем
поле, рассмотренной в предыдущем разделе. Как уже упоминалось, харак-
характерным для процессов с участием черных дыр является возможность разде-
разделить множество аут-состояний на два класса, представителей которых мы
условно будем называть "видимыми" и "невидимыми". К первому классу
относятся состояния, отвечающие частицам, вылетающим от черной дыры,
ко второму — падающим внутрь нее*). Чтобы сделать это разбиение явным,
договоримся использовать вместо индекса i, нумерующего аут-состояния,
индекс а для нумерации "видимых" и индекс а для нумерации "невиди-
"невидимых" состояний. Примем также обозначения
= 0*«, ¦¦¦hkKi ¦¦¦ Km I0;out>. (9.3.1)
Произвольный вектор пространства аут-состояний | *> допускает сле-
следующее разложение:
|*> = 2 Z *<«,....,ak:e. ви|а1,---.а*;0>1в1 ат;Ъ).
k, m а, ,...,ак
(9.3.2)
Л - Л
Для среднего значения <Ф.| F | Ф > произвольного оператора F, зависяще-
зависящего только от "видимых" состояний F = F(fi*a, ра), имеем
<*1*1*>вЛ 2 *¦'. *«\ .*'*«, •*;.. °т х
К, rn U| ,...,0:1л
к'-т' а',,...,аУ
а,,...,ат
а\ «т1
X(a'i....,ak,;fi\<a\ а'т.\Ь \ F(fc, &,) | а, ат \Ъ) \ а,,...,ак;C>.
л л. (9.3.3)
Поскольку оператор F не зависит от Ьа и Ьа , а состояния | а,,..., а,„ ; Ь >
*) При наличии связанных состояний условимся относить их ко второму
классу.
200

удовлетворяют условиям нормировки
<*1 «m'tH'l ат\Ъ)=Ьтт, 2 ««',«, "Л' ,а '
по всем ' mm
перестановкам
(«1 ат> (9.3.4)
то соотношение (9.3.3) можно переписать в виде
2 2 Ra ак.,а[ а> ^i,...,ak^\F\au...,akJ)
к, к' а, ак К
(9.3.5)
где
а,, ..., ак; а\ , .,., ау
к.к' а\,...,ак '" '¦ *' ' *'
°I «к' (9-3.7)
и Sp^ означает операцию вычисления следа в пространстве состояний
"видимых" частиц.
Следует особо подчеркнуть, что зведенная выше матрица плотности р
не зависит от способа определения понятия частицы для "невидимых"
состояний. На примере преобразований, связывающих ин- и аут-базисы, мы
Л
уже отмечали, что отвечающий этому преобразованию оператор S является
Л Л
унитарным: S * - S ~ . Очевидно, что это свойство имеет место для подоб-
подобных канонических преобразований общего вида. Изменение базиса в под-
подпространстве решений, отвечающих "невидимым" частицам, описывается
Л
с помощью унитарного оператора U, обладающего свойством
U\al,...,ak;P)\al,...,am;b) =
m
,:.., a'
U , : U „
"¦ a»^^'a^ %/ а"
201

При этом преобразовании коэффициенты ч/а1 afc.
ния (9,3.2) преобразуются по следующему закону:
т
; в',,....
а
в
„т разложе-
разложе(9.3.10)
а коэффициенты матрицы Ra a , ai ai , вследствие условия уни-
унитарности (9.3.9), остаются неизменными.
Нетрудно убедиться, используя соотношение (9.3.5) для единичного опе-
Л л
ратора F = I, что для нормированного состояния |ч/> (<Ф|Ф> = 1) мат-
матрица плотности р удовлетворяет условию нормировки Spp ( р ) = 1,
§ 9.4, Матрица плотности и производящий функционал
для квантовых эффектов в черных дырах
Теперь после изложения общей формальной схемы мы обратимся непо-
непосредственно к вопросу о ее применении для описания квантовых эффектов
в черных дырах. Для простоты мы ограничимся рассмотрением теории
безмассового нейтрального скалярного поля if в пространстве-времени
вращающейся черной дыры. Случай безмассовых полей является наиболее
важным, поскольку, с одной стороны, именно безмассовые поля дают
основной вклад в квантовое излучение черных дыр, а с другой стороны,
это рассмотрение дает хорошее приближение при описании рождения
массивных частиц в случае, когда хокинговская температура черной дыры
много больше, энергии покоя этих частиц, и для их описания можно поль-
пользоваться ультрарелятивистским приближением. К обсуждению влияния
спина, массы и заряда частиц на процессы их рождения в черных дырах мы
вернемся позднее.
На рис, 75 изображена диаграмма Пенроуза для пространства-времени
вращающейся черной дыры, возникающей
в результате коллапса массивного тела.
Будем считать, что координата опережаю-
опережающего конформного времени Бонда и выб-
выбрана таким образом, что световой луч,
посланный с J"b момент и = О, достигает
точки г = О точно в момент возникнове-
возникновения горизонта (см. рис. 75). Поскольку
после образования черной дыры она до-
довольно быстро становится практически ста-
стационарной, мы будем считать, что волно-
волновые пакеты, испущенные с У~, начиная с не-
Рис. 75. Диаграмма Пенроуза пространства-вре-
пространства-времени вращающейся черной дыры, возникающей
в результате коллапса массивного тела

которого момента опережающего времени v = vlt движутся все время в
метрике, совпадающей с метрикой Керра. Для построения базисных вол-
волновых функций мы используем разложение решений волнового уравнения
?V = 0 (9.4.1)
в метрике Керра по сфероидальным волновым функциям
Ylm(e,v) = —rS|w(oose), (9.4.2)
V 2я
где S,m определены как ограниченные на интервале [—1, 1] собственные
функции оператора
г)Т1 VOz)
dz 1 1 -z2)
удовлетворяющие условиям нормировки
J S^(z)SlT(z)dz = 6,,,. (9.4.4)
-1
Обозначим через иш/т решение уравнения (9.4.1), обладающее тем свой-
свойством, что его образ Vwlm на У (^u,/m(u>0>V) = Hm [rvwlm(r,
/1Ч1Ч ' v, в, tp = const
и, в, i/j) ]) имеет вид
= ^(w"r/m((l,rt (9.4.5)
4no)
где и — координата опережающего конформного времени Бонда (см.
§ 5.1). Для дальнейшего оказывается удобным рассматривать в качестве
базисных не сами функции uw/m, а построенные из них решения типа вол-
волновых пакетов. С этой целью зафиксируем действительное число Е
(О <Е< 1) и обозначим (/ > 0)
_ Г--1/2 г 2ninw/E j /п л (Л
Условимся далее коллективный индекс jnlm обозначать кратко через а.
Волновые пакеты va на У~ содержат частоты в интервале от ]Е до
(/ + 1) Е, имеют максимум вблизи значения опережающего времени
и = Inn/E и обладают шириной Av ~ 2п/Е.
Заметим, что для рассматриваемой теории безмассового поля поверх-
поверхность Л" в пространстве Пенроуза играет роль полной поверхности Коши
и каноническая форма"/? для пары i/j1 , \р2 решений уравнения (9.4.1):
(9.4.7)
допускает следующую запись:
fi(v',V2)= I (Ф1ЬиФ2-Ф2диФ1) dvdu, (9.4.8)
Я'
где Ф1 и Ф2 — образы полей if1 и i^2 на 3~ .
203

Нетрудно убедиться, используя (9.4.2), (9.4.4) - (9.4.6) и (9.4.8), что
волновые пакеты va удовлетворяют условиям нормировки
B(va,va.) = B(va,va.) f 0, B(va,va.) * ifiae, (9.4.9)
и совместно с va образуют полную систему на У~ . Здесь и далее мы
используем обозначение
ваа'-в//'в--'вЙ'в-*-- _, (9А10)
Указанный набор функций (ua, va) можно выбрать в качестве ин-базиса.
Отвечающее этому выбору ин-вакуумное состояние | 0; in > выделяется
условием отсутствия потока энергии, падающего с Cf~ на черную дыру.
Заменив в выражении (9.4.5) опережающее конформное время Бонда и
на запаздывающее и, получим функции на У*, которые обозначим U -1т .
Их этих функций с помощью преобразования, аналогичного (9.4.6), по-
построим на J* волновые пакеты иа. Образование горизонта событий Н*
приводит к тому, что задание образа функции на 3 * еще не определяет
решение волнового уравнения (9.4.1). Дополнительные условия, необходи-
необходимые для однозначного определения решения, могут быть заданы в виде зна-
значений решения на горизонте Н *. Определим волновой пакет иа как реше-
решение (9.4.1), обращающееся в нуль на горизонте событий и обладающее
образом Ua на У*, Очевидно, что эти пакеты удовлетворяют условиям нор-
нормировки, аналогичным (9.4.9). Если дополнить решения (иа, иа) до пол-
полной системы с помощью произвольных функций (ha, ha), образы которых
обращаются в нуль на CI* и образуют полную нормированную систему
функций на Н *, то систему (ма, па, ha, ha) можно выбрать как аут-базис.
В качестве ha удобно выбрать решения, которые определяются следующим
образом. Пусть hwlm — решения, обращающиеся в нуль на 0* и принимаю-
принимающие на Н * значения в координатах D.4.1)
(9.4.11)
и пусть ha — волновые пакеты (9.4.6), построенные для этих решений. Оп-
Определим ha с помощью соотношения
Ла=в(аа)л'а+в(-аа)л1, aa=sign(w/- тПИ). (9.4.12)
Можно убедиться, что функции ha удовлетворяют следующим условиям
нормировки:
B(ha,ha.)^B(ha,ha,)^0, B(ha,ha.)~i&aa: (9.4.13)
В пространстве-времени вечной черной дыры, описываемом метрикой
Керра, волновое уравнение (9.4.1) допускает полное разделение перемен-
переменных, и поэтому в этом пространстве имеется следующая связь между вве*
денными волновыми функциями:
Vwim =Лы,тмы/т +Гы/тАы/т. (9.4.14)
204

Коэффициенты Rwt m и Тш1т будем называть коэффициентами отражения
и поглощения волны иш/т черной дырой. Для классической волны величи-
величина | Ru>im 12 равна отношению энергии рассеянной волны к энергии падаю-
падающей. Это отношение становится больше единицы для тех волн, для которых
выполнено условие суперрадиации. Если выбрать параметр Е при пост-
построении пакетов достаточно малым, а /?ш/т и Twlm гладко зависят от ча-
частоты oj, то аналогичное разложение можно записать и для волновых
пакетов:
va = Raua + Taha. (9.4.15)
Заметим теперь, что волновые (иа = Vjnlm) пакеты с достаточно большим
значением п(> N = Vi/E) в пространстве-времени черной дыры, возни-
возникающей в результате коллапса, движутся в метрике, практически не отли-
отличающейся от метрики Керра (см. рис. 75). Поэтому для них также выпол-
выполняется соотношение (9.4.15). Из условий нормировки функций va , иа и
ha вытекает следующее соотношение:
\Ка\г + оа \Та \2 = 1. (9.4.16)
Из него следует, в частности, что \Ra |2 > 1 для тех мод, для которых вы-
выполнено условие суперрадиации оа < 0.
Следующий этап состоит в нахождении коэффициентов преобразования
Боголюбова, связывающих построенные ин- и аут-базисы. Эта задача
существенно упрощается, если воспользоваться следующим приемом, вве-
введенным Уолдом A975). Далее, не оговаривая этого особо, мы будем рас-
рассматривать волновые пакеты, индекс а для которых удовлетворяет
условию п> N, так что для пакетов с этими индексами выполнено соотно-
соотношение (9.4.15). Определим волновые пакеты cfa, потребовав, чтобы они
были ортогональны u a:
В{ qa , va,) = В{ qa , i7,) = 0 (9.4.17)
и допускали разложение
Я~а = taiia + raha. (9.4.18)
Через qa обозначим волновой пакет, связанный с qa соотношением
Яа = Чоа)?а+в(-оаиа (9.4.19)
и нормированный условием
B(.qa.qa.)-=iSaa,. (9.4.20)
Условия ортогональности и нормировки приводят к выполнению наряду
с (9.4.16) также следующих соотношений:
I га |2 + аа | ta |2 = 1, taRa + aarafa = 0. (9.4.21)
Из свойств симметрии метрики Керра по отношению к преобразованию
t -» - t, v? ->™Я> следует равенство [см., например, Унру A974) ]
Та = oata. (9.4.22)
205

Используя соотношения (9.4.15), (9.4.16), (9.4.18), (9.4.21) и (9.4.22),
можно получить
"а = Taq~a + Rava. (9.4.23)
Это соотношение показывает, что если проследить за эволюцией в прошлое
пакета иа, то часть его ( Ra и а ), рассеиваясь на стационарном поле черной
дыры, выходит на J" при и > 0, а другая ( Taqa) проходит через коллап-
сирующее тело в момент времени, предшествующий возникновению гори-
горизонта событий, и выходит на .С при и < 0. Хокинг A975) показал, что
для описания распространения этой второй части можно использовать
приближение геометрической оптики и что в этом приближении волновой
пакет Qa на У~ получается с помощью преобразования (9.4.6) из функции
е «ЗЬ.<-Ю)/к Г(вЖ) (9.4.24)
Здесь cj = cj — m$lH , а в (х) - ступенчатая функция, отличная от нуля и
равная 1 при х>0.
Для получения этого результата достаточно рассмотреть поведение по-
поверхности постоянной фазы для волны иы/т . В приближении геометриче-
геометрической оптики эта поверхность — световая. Вне коллапсирующего тела, в об-
области, где геометрия пространства-времени хорошо аппроксимируется мет-
метрикой Керра, эта поверхность описывается уравнением U = const, где U —
запаздывающая координата Керра, а ее образующие — световые геодезиче-
геодезические U = const, ip+ = const, в = const (см. § 4.4). При продолжении
в прошлое эти геодезические проходят через коллапсирующее вещество и
выходят на CJ в точке с координатами u, i/j , в j (и < 0). Можно убедиться
[Хокинг A975) ], что при U-+ °° имеют место следующие соотношения:
f/ = —к"Чп(-и), ?. = -Пяк"Чп(ги) + ip,
связывающие U, i/j+ с u, if. Если учесть, что на 3* координаты U, i/j +
совпадают см, </?, то приходим к выражению (9.4.24) для Qwim . Указан-
Указанное приближение выполняется тем лучше, чем в более поздние моменты
времени и выходит на 21* пакет иа. Мы будем считать, что число N выбра-
выбрано достаточно большим и описанное приближение выполняется с необходи-
необходимой степенью точности.
Введем еще одно семейство решений ga, определив их с помощью зада-
задания образов Ga на J" :
Ga(v,e,v) = Qa{-v,0,v). (9.4.25)
Покажем, что линейные комбинации ра и па функций ga и qa:
Ра = caga + saqa,
па = caqa + saga, (9.4.26)
206

где
-2ст„, -1/2 2ст„ -1/2
sa = (w a - 1) , са = A-и>а а) . , (9.4.27)
— тг(шу — mil )/к
Н»а = е
обладают положительно-частотными по отношению к опережающему време-
времени и образами на У .
Для доказательства достаточно заметить, что функции ра и па получают-
получаются с помощью преобразования (9.4.6) из решений, которые на Cf~ содержат
следующую зависимость от и (-°° < ш < °°):
v)lK. (9.4.28)
С другой стороны,
о
i
= _e*Z/K j e-tpve-iwinv/Kdv при р > о. (9.4.29)
о
В этом нетрудно убедиться, осуществив деформацию контура интегрирова-
интегрирования в правой части (9.4.29) в нижней полуплоскости. Поэтому при р > 0
имеем
fe-ipvFwlm(v)dv = 0, (9.4.30)
откуда и вытекает условие положительной частотности функций ра ил„.
Выберем в качестве ин-базисных положительно-частотных решений
наборы функций
a = jnlm, (9.4.31)
при п, больших выбранного выше значения N, дополнив их произвольным
образом положительно-частотными на У функциями до полного ортонор-
мированного базиса. Аналогичным образом аут-базис образуем путем
дополнения наборов функций
п > N, (9.4.32)
до полной ортонормированной системы. Удобство описанного выбора
207

базисов, предложенного Уолдом A975), состоит в том, что при этом выбо-
выборе происходит факторизация матриц преобразования Боголюбова, и мы
имеем
Wln =ЛХои' - B^Waout. (9-4.33)
Матрицы преобразований Аа и Ва, связывающие наборы ин-базисных
(W^n) и аут-базисных (W°ut) функций, легко определяются с помощью
соотношений (9.4.15), (9.4.18) и (9.4.26) и имеют вид
аа<0,
(9.4.34)
аа > 0.
Таким образом, с помощью описанного способа перехода к базисам
Уолда нам удалось получить явное выражение для тех коэффициентов
преобразований Боголюбова, которые определяют связь ин- и аут-базисных
функций при больших значениях п > N. Используя общие формулы
(9.2.29) и (9.2.30), можно получить выражение для оператора S-матрицы,
Следующим этапом является вычисление матрицы плотности, описываю-
описывающей излучение черной дыры. Обозначим через
операторы уничтожения и рождения частиц в состоянии иа. Пусть нас инте-
Л Л
ресует вычисление средних вида < 0; in | F@a, /За) | 0; in >. Используя выраже-
выражения (9.2.29), (9.2.30) для оператора S-матрицы и представляя | 0; in > в виде
|0;in> = 5 |0;out>, можно определить коэффициенты разложения (9.3.2)
и вычислить искомую матрицу плотности.
В общем случае матрица плотности р,описывающая наблюдаемые на J+n
возникающая при усреднении по состояниям ha, зависит от деталей процес-
процесса образования черной дыры. Однако, если интересоваться значениями
наблюдаемых на J +лишь в достаточно поздние моменты запаздывающего
времени (и > и\), то зти детали оказываются несущественными и значения
этих наблюдаемых зависят только от параметров образовавшейся стацио-
стационарной черной дыры. В этом можно убедиться, если рассмотреть матрицу
плотности рдг, получаемую из р дополнительным усреднением по всем
состояниям на J +, кроме иа с п > N. Для получения явного выражения рл
оказывается достаточным знания, вычисленных выше коэффициентов
преобразований Боголюбова АаиВа при n>N. Опуская детали вычисле-
208

ний, которые можно найти в работах Фролова A983*а, 1986*), приведем
здесь лишь окончательный результат:
Pn= II Ра, (9.4.35)
п > N
где Qa. = A ¦- ^'а)A - w« \Ra I2I> a :: означает операцию нормального
Л Л
упорядочения относительно операторов /Заи/3*,. (Последнее равенство
Л Л Л Л
написано с учетом известного соотношения: ехр г/3*/3: = ехр [1пA + г)/3*/3].)
Для невращающихся черных дыр выражение (9.4.35) было получено
Хокингом. Пусть | па >- состояние, когда имеется па частиц в моде а.
Тогда
Ра= 2, Рпап'а \па)<п'а |. (9.4.36а)
"а-"а
Для невращающейся черной дыры
" -"« + f, (9.4.36b)
где Га = | Та. |2, а е = 1. Аналогичное выражение справедливо для ра и в
случае ферми-частиц, с той лишь разницей, что е в этом случае равно —1,
а /гп может принимать значения 0 и 1 [Уолд A975) .Хокинг A976b)]. Если
пренебречь процессами рассеяния на гравитационном поле (Ra = 0), то
полученное выражение переписывается в следующем виде:
pN=e~XJ°, (9.4.37а)
где ЗСо — свободный гамильтониан, описывающий вылетающие на У
частицы:
¦К о = 2 wj*0a, (9.4.37b)
Ос
п> N
а
в = к/2тг (9.4.38)
— хокинговская температура черной дыры.
Выражение (9.4.35) для матрицы плотности р^ позволяет вычислять
средние значения наблюдаемых/r = f(/3*,/3a) на J :
<0;in I F(fcja) | 0;in >= SPfi(pNF) . (9.4.39)
В квантовой теории поля и квантовой статистике хорошо известен и широ-
широко употребляется следующий прием, позволяющий существенно упростить
Л
вычисления выражений типа (9.4.39) . Выберем в качестве F оператор
?[.//, ^7] =ехр( Е >М*)ехр( Б фа$а)=.
а а
п > N п > N
.= :ехр[ 2 (фак + К$а)]:. (9.4.40)
a
п> N
14.И.Д. Новиков 209

Заметим теперь, что если оператор F в (9.4.39) задан в нормальной форме
л л л л
«1 •;' (9.4.41)
то его можно записать в следующем виде:
КфI>^=°> <9-4-42)
где
Ьфс
т,т а, , . .
а,1, . .
Ът
Y
Л
Обозначим
г[Ф,Ф] =sP,
тогда имеем
¦ >«т
¦ ' ат'
> Ьф
т
л л
Ьф
1 т
(9.4.43)
(9.4.44)
г .. (9.4.45)
~ Ф — о .
л
Иными словами, вместо того чтобы каждый раз заново вычислять (F) =
= Spp(pNF) , достаточно провести вычисления этой величины один раз для
F = К[ф, ф] и найти величину 2\ф, ф], которая называется производящим
функционалом. После этого задача вычисления < F) сводится к дифферен-
дифференцированию Z[ф, ф}.
Можно посредством небольшой модификации описанного метода
существенно расширить класс задач, решаемых с его помощью. Во-первых,
оказывается удобным в качестве К выбрать следующее выражение:
К[ф, ф, ц] - Г ехр[— 2 (Vafiafia ~ ФаЬа — Ф а&а%- ¦ (9.4.46)
а
п > N
Поскольку дифференцирование по iia приводит к появлению выражения
"а ~ РаРа, то введение зависимости от ц в К позволяет легко вычислять
средние от выражений, содержащих операторы числа частиц па. Во-вторых,
путем введения дополнительных переменных уаг7а bZ можно получить
формулы, позволяющие вычислять средние от оператора F не только в
210

вакуумном, но и в произвольном многочастичном начальном состоянии.
С этой целью заметим, что
<*\F\*) = Sp(p<,,F), (9.4.47)
где
ДФ=|ФХФ|. (9.4.48)
В частности,
<O;in|F|O;in> = Sp(po?), (9.4.49)
где
jS0 =|0;'inX0;in | = : exp(-2 *;*„,«*;„,«): (9.4.50)
а
Здесь : : — операция нормального упорядочения относительно операторов
в*п.« = Щ»а, <р), а?п,« = - iB(va, $). (9.4.51)
Определим производящий функционал Z [ф, /л; у] соотношением
г[ф,ц;у] = 8р(рук[ф,ф,»\), (9.4.52)
где
Р7=:ехр[- Б К,Лп,сс+ 2 (.yJtn,a+yJtti,a)]: ¦ (9.4.53)
а а
п > N п>N
При ца = 0, 7а = У а =0 Z [ф, ц; у] очевидным образом совпадает с выраже-
выражением (9.4.44).
Явное выражение для производящего функционала Z[i//, /л; у] имеет
следующий вид [Фролов A983а, 1986*)]:
Z[*,m;7]= П га[фа,ца;уа], (9.4.54)
а
п > N
где
Za[Фа, Ма;Уа] = -~ ехр(-^ ). (9.4.55)
Здесь
^а = (Са - Ma Ga I Ла |2 ) 7а7а + Ga^a Уа фа +
>/'a+(l -GJ^a^. (9.4.56)
Ra — коэффициент отражения,входящий в соотношение (9.4.15), a»vaonpe-
делено равенством (9.4.27).
В заключение этого параграфа мы приведем два общих соотношения,
устанавливающие связь производящего функционала Z [ф, ц; у] с основ-
14* 211

ными, представляющими физический интерес величинами, характеризую-
характеризующими квантовые эффекты в черных дырах.
Введем следующие обозначения:
1 Э'« Э'« . 1 Ька Э*«
D'<* ; г-, Д*« = z =т—. (9.4.57)
° (/а)! ду'« д%* а (*а)! дф*« Э**«
1) Пусть | а'ь . . , а'т; in > = Sj",,,^.. . afn, a'm | 0; in >, Q = С?(Иа,, . . .
• • • . "afc) — функция операторов па = /3a/3a и г = F(/3*, /За) - оператор,
заданный в нормальной форме вида (9.4.41). Тогда
<а'1;... ,а'т; in | Q[nai,.. . ,пак)\а[,. . .,ат; in> =
-{«;.. ^„Q{~ ^ )Ч# - 0. , - I - Л
(9.4.58)
; in |F(fo Ja)j ai,. ..,<; in> =
=0; rlb—.. <9AS9)
2) Пусть ^(fcaj,...-, A:an | /ttj /an) - вероятность излучения черной
дырой на У+ kai квантов в моде Mttj, . . . , кап квантов в моде иап при
условии, что на J' имелось /ttj квантов в моде uaj lan квантов
в моде van {ка. > 0, 1а. > 0, ка( + 1а( > 0). Тогда справедливы равен-
равенства
«., - • • • . Кп I /a, /а„) = ^(Л:а, I /а, ) . . . Р{кап | /а„), ^ 4 б())
Р(ка | /а) = (/)^A*«Za[^a, 1; 7а] >га = *а = о-
Таким образом, вычисление средних значений наблюдаемых, корреля-
корреляционных функций и распределений вероятностей для квантовых процес-
процессов в поле черной дыры эффективно сводится к выполнению операций
дифференцирования производящего функционала Z, определяемого соот-
соотношениями (9.4.54) - (9.4.56). Подчеркнем, что производящий функцио-
функционал полностью определен, если наряду с поверхностной гравитацией к и
угловой скоростью ?2Я черной дыры известны также коэффициенты отра-
отражения Ra и поглощения Та волновых пакетов ио черной дырой. При этом,
по описанным выше причинам, достаточно значения этих величин для
волновых пакетов va, движущихся в стационарной метрике Керра образо-
образовавшейся черной дыры. Нахождение коэффициентов Ra и Та требует
решения одномерной задачи рассеяния. Запишем решение иш;т уравне-
уравнения (9.4.1) в метрике Керра в виде
^^У{в,ф), (9.4.61)
212

где w^jim 00 удовлетворяет радиальному уравнению
d2
dr* Ш т ш т ш т
и следующим граничным условиям:
... 1/2
Здесь
со = со-
н
г2+а2
dr
dr ~ г2 - 2Мг + а2
\2 а .
am
г2+а2
- Пнт,
XJ" - 2ашт
(г2 + а2J
(г2+а2K"
d
dr
(9.4.62)
(9.4.63)
(9.4.64)
(9.4.65)
(9.4.66)
Х{" -
собственное значение, отвечающее функции S™ (9.4.3).
Задача нахождения R^im и Тш1т, а также ее аналог для полей с дру-
другими характеристиками (спином, отличным от нуля, массой и зарядом)
подробно исследовались в многочисленных работах. Ее подробное обсуж-
обсуждение и явные выражения для коэффициентов отражения и поглощения,
отвечающие этим случаям, см. Чандрасекар A983), где приведены также
ссылки на оригинальные работы.
§ 9.5. Частные случаи
В этом разделе мы обсудим ряд конкретных результатов, вытекающих
из общих соотношений (9.4.58) -(9.4.60).
а) Эффект Хокинга. Пусть первоначально, до образования черной дыры,
система находилась в вакуумном состоянии. После возникновения черной
дыры она становится источником излучения, причем среднее число частиц,
излучаемых ею в моде а и регистрируемых отдаленным наблюдателем,
дается следующим выражением:
<йа>о = <0;т|йа|0; in> =
Za[0,l-eXa;0]
(9.5.1)
ЭХа J^a=o ехр(соа/в)-1
где Га = аа\ Та\ 2, соа = соа — тапн, в = к/2тг - температура черной дыры.
Отметим, что хотя при соа = 0 знаменатель (9.5.1) обращается в нуль,
среднее число частиц, рождающихся в подобных модах, остается конечным,
поскольку одновременно обращается в нуль и \Та\2. Можно также убе-
убедиться, что изменение знака знаменателя при соа < 0 сопровождается из-
изменением знака оа, так что в целом выражение (9.5.1) остается всегда
положительным.
213

Поскольку коэффициент поглощения пакета va стационарной черной
дырой не зависит от момента времени v - 2ттп/Е, когда этот пакет был
испущен, то число частиц, вылетающих на У+ , не зависит от момента
запаздывающего времени »¦ Иными словами, образовавшаяся черная
дыра становится источником стационарного излучения. Появление стацио-
стационарного потока (мы уже отмечали зто выше) можно интерпретировать
как следствие спонтанного процесса рождения пар частиц в стационарном
гравитационном поле вблизи горизонта событий, в результате которого
одна из частиц падает внутрь черной дыры, а другая вылетает на беско-
бесконечность *),
Возможна также другая интерпретация результата (9.5.1), в рамках
которой более отчетливо выявляется роль нестационарности гравитацион-
гравитационного поля в процессе образования черной дыры [эта интерпретация обсуж-
обсуждается, например, в работах Герлаха A976) и Зельдовича A976*)]. Рас-
Рассмотрим поведение волнового пакета, испущенного с J" при v < 0 с ха-
характерной частотой со так, что он проходит коллапсирующее тело и вы-
выходит наружу непосредственно перед моментом образования горизонта.
Такой пакет испытывает сильное красное смещение, и его характерная
частота становится со'. Как бы велика ни была частота со, найдется такой
момент v < 0, начиная с которого со'^ 1/7^, где Tg -rg/c- характерное
время гравитационного коллапса.
Для подобных квантов действие переменного гравитационного по-
поля коллапсирующей системы является существенно неадиабатиче-
неадиабатически. Число квантов при неадиабатическом возмущении уже не со-
сохраняется, а в вакуумном состоянии происходит рождение частиц.
Чем больше частота нулевых вакуумных колебаний, тем ближе
к горизонту они должны двигаться для того, чтобы оказалось выпол-
выполненным условие неадиабатичности и родился реальный квант, и тем
позднее выйдет он к отдаленному наблюдателю. Поскольку в вакууме
имеются нулевые колебания со сколь угодно высокой частотой, этот про-
процесс приводит к бесконечно растянутому во времени процессу излучения
черной дыры.
Заметим, Что в плоском пространстве процессы рождения частиц ста-
стационарным полем и полем, изменяющимся во времени, довольно суще-
существенно отличаются по своим характеристикам [см., например, Швингер
A956*)]. Особенность задачи о рождении частиц в черных дырах состоит
в том, что рождение происходит в окрестности горизонта событий, ко-
который является светоподобной поверхностью. Именно поэтому описанные
"стационарная" и "нестационарная" интерпретации этого эффекта не про-
противоречат, а взаимно дополняют друг друга.
б) Индуцированное излучение. Пусть на черную дыру с ?1~ падает m
частиц в моде а. Тогда для среднего значения числа частиц в состоянии а
*) Унру A981) обратил внимание на то, что явление квантового рождения частиц
в черных дырах допускает гидродинамическую аналогию. Если при течении жидкости
или газа имеется замкнутая двумерная поверхность, разделяющая области дозвуко-
дозвукового и сверхзвукового течения (сопло Лаваля), то в подобной системе должно воз-
возникнуть излучение фононов с тепловым спектром.
214

на J+ получаем,используя (9.4.58).следующеевыражение:
<па)т = <та;ш[йа|та; in> =
*{D?aH-\+Q? +|Ла127а7а)^а7а]}7=0= <йа>о+та|Ла|2. (9.5.2)
Член <йа>0 описывает спонтанное рождение частиц из вакуума и дается
выражением (9.5.1). В работе Бекенштейна, Майзельса A977) было обра-
обращено внимание на то, что полученное выражение можно эквивалентным
образом переписать в следующем виде:
<па)т = Аа + Вата +A -Bi)ma, (9.5.3)
а величины
Ai*BL-<Ha)o* У"' • (9.5.4)
exp(wa/0) - 1
i f^'' (9.5.5)
Si
l-exp(-wa/0)
можно интерпретировать как аналог коэффициентов Эйнштейна для про-
процессов в черных дырах. Член Аа описывает спонтанное рождение частиц
из вакуума, Ва играет роль коэффициента поглощения, а Вата описы-
описывает индуцированное излучение частиц в моде а.
Величину 1 — Ва можно интерпретировать как вероятность рассеяния
моды а черной дырой. Используя (9.4.16) и (9.5.4), запишем выражение
для | Ra |2 в следующем виде:
\Ra\2=(l-Bfa)+Bla. (9.5.6)
Это соотношение показывает, что величина \Ra\2, характеризующая рас-
рассеяние черной дырой частицы в моде а, является суммой вероятности рас-
рассеяния I - В^ падающей частицы и вероятности индуцированного излуче-
излучения В^ в этой моде. Поскольку Ва - Ваехр(-сЬп/в), то для суперрадиа-
суперрадиационных мод коэффициент индуцированного излучения Ва превосходит
коэффициент поглощения Ва и |Ла12 принимает значения, большие еди-
единицы.
Соотношения (9.5.3)-(9.5 5) показывают, что излучение черной дыры
подчинено тем же законам, что и излучение нагретых тел. Имеется, од-
однако, весьма существенное отличие. Температура черной дыры опреде-
определяется теми же параметрами (массой и угловым моментом), что и ее
геометрические размеры, в то время как для обычного тела температура —
независимый параметр.
в) Рассеяние когерентной волны. Выше мы уже отмечали, что имеется
тесная связь процессов распространения во внешнем поле классической
волны и отдельных квантов. Проследим эту связь более подробно для
случая рассеяния на черной дыре. Рассмотрим падающую на черную дыру
классическую волну, которая с квантовой точки зрения описывается
как когерентная совокупность5 квантов и характеризуется следующим
когерентным состоянием:
17„; in> = expl- - %уЛекр(у^п^)\0; in>. (9.5.7)
215

Условие нормировки этого состояния
<7„; inl70: in) = 1 (9.5.8)
вытекает из следующего соотношения [см., например, Клаудер, Сударшан
A968) |:
л * л л л л
eXcY = e[X.Y]cXeY^ . (959)
л л
которое выполняется для произвольных операторов X и Y таких, что
Л Л Л Л
[X, Y] коммутирует с X и Y.
С помощью простой проверки легко убедиться, что
+ ь) . (9.5.Ю)
Используя это соотношение, можно показать, что среднее значение образа
Ф;п поля !р на J ":
Ф|п = 2<Иа2гп>а + Ka$,n>a) (9.5.11)
а
в когерентном состоянии (9.5.7) дается следующим выражением:
Ф'7па з<7/}; т|Ф,п|7/}; in> - 7/0 + 7^. (9.5.12)
Для образа Oout рассеянной волны на У+ имеем
Ф?;'=(Т,; inl^outl70; in>. (9.5.13)
Заметим теперь, что справедливы соотношения
, (9.5.14)
фо-t = t,-V0Sp(i37$out)- (9.5.15)
Oout 2 2(t/a.fc. + VaA.), (9-5-16)
a
Oout = j 2 (ua -f +f/a4-)^[^^0]] (9.5.17)
Л Л
где р~и К даются соответственно выражениями (9.4.53) и (9.4.46), причем
в (9.4.53) отличны от нуля только те члены С7„и уа, в которых индекс а
совпадает с 0. Эти соотношения позволяют установить следующую связь
Ф° "* с функционалом Z:
= в„„ j j у + у \Z[^f о; 7]1 . (9.5.18)
Используя выражения (9.4.54)—(9.4.56) для Z, окончательно получаем
Иными словами, отношение квадрата амплитуды рассеянной волны к
216

квадрату амплитуды падающей равно | R$ \2. Эта величина больше единицы,
т.е. происходит усиление тех мод, для которых выполнено условие супер-
суперрадиации аа < 0.
г) Потеря энергии и углового момента черной дырой при квантовом
излучении. Если Oout - образ поля у на J + , то интенсивности потерь
системой энергии dEjdu и углового момента dJjdu, вызываемых излуче-
излучением этого поля, даются следующими выражениями [ср. с E.1.18)]:
dE Ъ Ъ
- = fdSl —Фои, -r-*o»f (9-5-2°)
du ди ди
dJ Ь Ь
-— = /<Ш — Фои, — Фои,; (9.5.21)
du ди Ъ\р
где интегрирование ведется по сфере S2, и = const на t7+ и d?l =
= sin0 d6 dy — элемент площади S2. Л
В квантовом случае Oout следует заменить оператором Oout, симметри-
зовать выражение и произвести усреднение (9.5.20) и (9.5.21) по некото-
некоторому состоянию, отвечающему определенному выбору начальных условий.
Поскольку в полученном выражении встречаются операторы поля в совпа-
совпадающих точках, то требуется еще задать определенные правила регуляри-
регуляризации. В рассматриваемом случае эти правила крайне просты и сводятся
к тому, что вместо рассматриваемого выражения берется его нормальная
Л л Л
форма относительно операторов $а и $а. Причина обсуждаемой расходи-
расходимости состоит в наличии вакуумных нулевых колебаний, приводящих
к тому, что даже в отсутствие внешнего поля имеются указанные расхо-
расходимости. Задача, интересующая нас, состоит в изучении влияния внешнего
поля на состояние квантовой системы. Поэтому нам важны не потоки энер-
энергии и момента, связанные с флуктуациями вакуума в плоском простран-
пространстве, а лишь измеримые приборами изменения этих потоков, вызванные
возникновением черной дыры, и мы должны произвести вычитание из
рассматриваемых величин аналогичных средних по аут-вакуумному состоя-
состоянию. Нетрудно убедиться, что эта процедура эквивалентна описанному
выше переходу к нормальной форме.
Для простоты ограничимся случаем, когда до образования черной дыры
система находилась в вакуумном состоянии. Пусть (? = (и, в, у), %' =
6'(?.?') =<0: in|: Фои{(м, 0,^)Фои,(м',0',^'):|О; in>; (9.5.22)
тогда
dt Г Э Э ,1
= jY/П —С{и,в,г,и,в.*)\ , (9.5.23)
аи I ди ди 1ч'~и
dJ Г Э Э ,1
= Idil — —, С,(и в,$\ и ,в.$ ) . (9.5.24)
du L Ьи Ъ^р J «'=и
Используя для вычисления G(?, %') разложение (9.5.16) оператора <t>out
217

и соотношение (9.4.59), имеем
(Г Э - Э I
= 2<«e>o[t/e«)t/e«') + t/ettI)t/e(t)], (9.5.25)
где <«л>0 — среднее число частиц в моде а, излучаемое черной дырой
и описываемое выражением (9.5.1). Заметим, что поскольку суммиро-
суммирование в (9.5.25) ведется по полной системе функций, можно вместо Ua
использовать любую другую полную систему функций на<7+. Удобно,
в частности, переписать (9.5.25) в следующем виде.'
S"du S <-8w;m>o[tW«)tfw/mtt') +
О 1,т
m «')«/«/„«)], (9-5.26)
где
1""УГ(в^). (9.5.27)
Подставляя это разложение G в (9.5.23) и (9.5 24), выполняя операции
дифференцирования и интегрируя по угловым переменным с использова-
использованием условий нормировки (9.4.4), окончательно получаем
= /с/со 2 > (9.5.28)
с/м 2я о i,m ехр(со/б) - 1
du 2т: о (,т ехр(со/б)-1
Если масса черной дыры велика, так что температура очень мала, то
4
«
ехр (со/б) - 1 2
В этом пределе вклад в излучение дают только моды, удовлетворяющие
условию суперрадиации, и мы имеем
dE 1 г"ПИ
-— = — I/ с/сосоЦ^!2, (9.5.31)
dll 2ТТ l,m 0
dJ I mfi"
-— = — S / dcom | Гы';т I2. (9.5.32)
с/ы 2т: i, m о
д) Энтропия излучения черной дыры. Определим энтропию 5 для систе-
системы, описываемой матрицей плотности р, соотношением
S=Sp(p\np). (9.5.33)
218

Нетрудно убедиться, что если р записывается в виде
Р = Пра, (9.5.34)
где ра — оператор, зависящий только от операторов разложения 0? и унич-
уничтожения рЛ в моде а, то S представляется в виде суммы:
S-2Se, (9.5.35)
а
где
¦S«-SpelPelnpe). (9.5.36)
Здесь Spa обозначает операцию взятия следа в пространстве, порождаемом
Л
действием 0? на вакуум.
Как уже отмечалось ранее, коэффициент отражения Rjnim волнового
пакета Vjnlm для достаточно больших значений п > N от п не зависит.
Поэтому оператор ра, определяемый соотношением (9.4.35), также не за-
зависит от п и, следовательно, для излучения от стационарной черной дыры
выражение (9.5.33) расходится. Поэтому удобно вместо полной излучен-
излученной, энтропии S ввести скорость возрастания энтропии во внешнем прост-
пространстве dS/du, связанной с излучением. Для этого заметим, что волновые
пакеты Ujnlm с фиксированным значением п выходят на У + в интервале
запаздывающего времени от 2тг (и — 1/2)/Е до 2тг (и + 1/2) /Е. Поэтому
определим (а = jnlm)
dS E А
— =— S Spatpalnpa). (9.5.37)
du In jtm
Заметим теперь, что поскольку входящие в это выражение величины
гладко зависят от частоты со и слабо изменяются при изменении ее в интер-
интервале от ]Е до (/ + 1) Е, то можно заменить суммирование по j интегрирова-
интегрированием по частоте со:
?¦!(...)= /\/со(...). (9.5.38)
/ о
В результате, используя выражение (9.4.35) для ра, получаем
du 2тг о л т I ia - е \ Га I \ za - е
(9.5.39а)
где Та = аа\Та\2, za = ехр(соЛ/0), 6=1. Это же выражение оказывается
справедливым и для ферми-полей, если в нем положить е = — 1. Аналогич-
Аналогичное выражение имеет место для полей различных спинов и для массивных
полей. При этом суммирование распространяется на все квантовые числа,
нумерующие состояния, а интегрирование при наличии у поля массы ц ве-
ведется, начиная с /х. Вклады нейтринного (s = 1/2), фотонного (s = 1) и гра-
гравитационного (s = 2) полей в энтропию излучения невращающейся черной
дыры можно записать следующим образом [Пэйдж A983)]:
• dS / 1 \
— =10M-I(l,685/1 - +0,634/1A) + 0,065/1 B)), '(9.5.39b)
du \2 /
где h (s) — число поляризаций поля спина s.
219

е) Распределение вероятностей. Вероятность P(kaila)обнаружить в излу-
излучении черной дыры ка частиц в состоянии иа при условии, что в падающем
на черную дыру потоке имеется 1а частиц в состоянии va, дается общим
выражением (9.4.60). Можно показать, что это выражение может быть пре-
преобразовано к следующему виду [Бекенштейн, Майзельс A977), Папанга-
ден.Уолд A977)]:
mln <*«./«) j П1-">*J\Ла\ I!
о l(/«)!(tn)!(«!Il(ll«lJ)Jw1J Г
Нетрудно убедиться, что
{в)к(!а\ка). (9.5.41)
Ниже мы покажем, что это условие обеспечивает детальное равновесие меж-
между черной дырой и полостью, вращающейся с угловой скоростью ?1И и
заполненной чернотельным излучением с температурой в.
ж) Черная дыра в "тепловой бане". Если вне черной дыры отсутствует
вещество, то описанное выше хокинговское излучение является единствен-
единственным процессом, изменяющим состояние стационарной черной дыры. При
наличии вне ее вещества или излучения одновременно с хокинговским из-
излучением идет процесс аккреции этого вещества и излучения на черную
дыру. Оказывается, что при выполнении определенного согласования па-
параметров окружающего черную дыру распределения вещества с параметра-
параметрами черной дыры возможна равновесная.ситуация, при которой потеря час-
стиц в каждой моде в результате аккреции компенсируется излучением
черной дыры в этой моде. В простейшем случае, когда можно пренебречь
взаимодействием различных сортов частиц, эти условия равновесия, очевид-
очевидно, должны выполняться для каждого из сортов частиц по отдельности.
Ниже мы обсудим условие равновесия черной дыры с газом безмассовых
скалярных частиц.
Предположим, что матрица плотности ftn, описывающая состояние та-
таких частиц вне стационарной черной дыры (на J~), имеет вид
Pin = П Pin,а,
а
n>N
Pin,а =Ро,а-ехр[-A +Ца)аСп^аа1П >а].\ (9.5.42)
Можно убедиться [Фролов, 1986*)], что матрица плотности роиЬописываю-
щая излучение черной дыры на .У+, при указанном выборе начального усло-
условия (9.5.42) дается следующим выражением:
Л т-| Л
Pout ~ 11 Pout,а-
а
п > Лг
Pout.cv=Po.aA*:exp[-(l +Рв)^вЙА.]:. (9.5.43)
220

где
Условие равновесия, означающее, что распределение для выходящих
частиц совпадает с распределением падающих, эквивалентно условию Da = 1,
которое выполняется тогда и только тогда, когда
Но, = -wi = -ехр (-ы«/0). (9.5.44)
Предположим, что рассматриваемая черная дыра окружена стационарной
аксиально-симметричной зеркальной отражающей поверхностью. При отра-
отражении от такой поверхности частицы сохраняют свой угловой момент и
энергию, и действие этой поверхности на волновые пакеты состоит в прев-
превращении моды va в моду -иа. Если выполнено условие (9.5.44), то излу-
излучение в полости будет находиться в состоянии равновесия с черной дырой,
а соответствующая этому равновесному состоянию матрица плотности
имеет вид
Л „Л
Рв = ПРа<
<* .~ (9.5.45)
А * А
где р° —нормировочная константа, а CЛ и CЛ - операторы рождения и унич-
уничтожения в моде а.
Этот же результат можно описать несколько иначе. Если Sppa = 1, то
вероятность обнаружить в моде а ка квантов для распределения (9.5.45)
равна
е-(и>а1в)ка
Р«а)= 1е_ ~а/в . (9.5.46)
С учетом равенства (9.5.41) для условной вероятности РAа I ка) это соот-
соотношение позволяет заключить, что вероятность РAа I ка)Р(ка) встретить
в заданном распределении в моде а 1а выходящих квантов и ка входящих
равна вероятности Р(ка 11а)РAа) встретить ка выходящих и 1а входящих
квантов, т.е. выполнен детальный баланс, обеспечивающий термодинами-
термодинамическое равновесие между полостью и черной дырой в данной моде.
Отметим особо, что матрица плотности (9.5.43) нормируема и действи-
действительно описывает реальное физическое состояние только в том случае, ког-
когда ца>-1. Для суперрадиационных мод ша <0 условие равновесия
(9.5.44) противоречит условию нормируемости матрицы плотности pin.
Этот результат допускает следующую интерпретацию. Рассмотрим вращаю-
вращающуюся черную дыру, окруженную зеркальной полостью. Пусть в некоторый
момент времени имеется произвольное (нормируемое) распределение
частиц в выбранной суперрадиационной моде а. Тогда в результате рассея-
рассеяния этой моды черной дырой число квантов в ней увеличится. После отра-
отражения оболочкой эти кванты вновь рассеиваются черной дырой, и их число
вновь возрастает. Иными словами, система, состоящая из черной дыры и
окружающей ее оболочки, для суперрадиационных мод выполняет роль
221

генератора, и равновесное стационарное распределение для подобных мод
оказывается невозможным.
Полученный вывод не означает, вообще говоря, что вращающаяся черная
дыра не может находиться в равновесии с газом излучения внутри полости.
Требуется лишь, чтобы размеры этой полости были не слишком велики
(r^(f2H) ), т.е. чтобы в 'системе отсутствовали суперрадиацион-
суперрадиационные моды.
Этот вывод подтверждается также следующим рассуждением. Заметим,
что волновые моды^ш/т = ехр(- /cor + im^fuimff, в) являются собствен-
собственными для оператора i?MdM, где
1? = «,+ П%, (9.5.47)
а именно
Чмэ*.*ы/т = -»«*ы;т- (9.5.48)
Предположим, что окружающая черную дыру зеркальная оболочка совпа-
совпадает с поверхностью, на которой i? • i? = const, и угловая скорость вращения
оболочки равна ?1И. Наблюдатель, покоящийся на этой поверхности, обла-
обладает скоростью
uli = nli/U, t/2 =-17-17, (9.5.49)
и в его системе отсчета мода <РШ1т обладает частотой со' = со/С/. Заметим
теперь, что равновесную матрицу плотности (9.5.45) можно записать в виде
ЙА). (9.5.50)
РвР0,вехр(ЙА).
где
T=k/2ttU. (9.5.51)
Это означает, что вращающаяся поглощающая оболочка, внутри которой
заключена черная дыра, не нарушает равновесия, если температура ее по-
поверхности равна Т. Если поверхность оболочки не совпадает с поверх-
поверхностью, на которой 1? ¦ 1? = const, то в условии равновесия температура этой
оболочки обязана равняться (9.5.51), где
U2 = - I? • 1? = 2 {ДA - auHsin2eJ - sin20[a - П,и(г2 + а2)]2} .
(9.5.52)
Назовем "световым цилиндром" поверхность вне черной дыры, на кото-
которой выполнено условие
i?-i? = 0. (9.5.53)
Решение уравнения (9.5.53) для метрики Керра в координатах Бойера -
Линдквиста имеет вид
Действительная функция Т, заданная соотношениями (9.5.51) - (9.5.52),
определена и ограничена в области, лежащей между горизонтом событий
и поверхностью "светового цилиндра". В соответствии с этим равновесное
222

состояние, описываемое матрицей плотности (9.5.45), возможно только,
если оболочка, окружающая черную дыру, также расположена в этой
области (при этом го^.(?1н) )..
Для невращающейся черной дыры равновесие с газом излучения возмож-
возможно при любом размере полости*); при этом для равновесия необходимо,
чтобы температура излучения вдали от черной дыры совпадала с ее хокин-
говской температурой.
Вывод о возможности теплового равновесия черной дыры с газом излу-
излучения при условии совпадения их температур и угловых скоростей **)имеет
общий характер. Как показали Гиббоне, Перри A978), он может быть
распространен и на случай взаимодействующих частиц.
з) Излучение заряженной вращающейся черной дыры. Зависимость излу-
излучения от массы, заряда и спина частиц. В общем случае, когда черная дыра
наряду с массой М и угловым моментом/ обладает также электрическим
зарядом Q, выражение для среднего числа частиц с массой ц, электричес-
электрическим зарядом q I e I (q - ± 1) и спином s, рождаемых черной дырой, может
быть записано в следующем виде [Хокинг A975) ]:
ту
(п,)= г-. (9.5.55)
J ехР[B7гсо7)/к] -(-IJ1
Здесь коллективный индекс J обозначает полный набор квантовых чисел,
задание которого необходимо для описания рассматриваемой моды. Этот
набор включает индекс /, нумерующий сорт частиц и содержащий, в част-
частности, информацию о спине частицы s, частоту или энергию со, сфероидаль-
сфероидальное квантовое число /, азимутальное квантовое число т, поляризацию или
спиральность р и знак заряда частиц q. Величина со/ в этом выражении
равна
Zj = Uj-mj?lH -Я}\е\Фн, (9.5.56)
где ?1 и Фн — угловая скорость вращения и электрический потенциал
черной дыры, а коэффициент Г/ = 1 - I Rj I2, где Rj - коэффициент отра-
отражения падающей волны У. Для бозонных полей для суперрадиационных мод
коэффициент Tj становится отрицательным. Для фермионных полей прин-
принцип Паули приводит к тому, что среднее число рассеянных в данной моде
частиц не может превосходить единицы, и поэтому всегда \Rj |2 < 1. Коэф-
Коэффициент Tj положителен, и, следовательно, выражение в правой части
(9.5.55) всегда положительно. Явление суперрадиации для ферми-частиц
отсутствует [Мартеллини, Тревес A977), Айер, Кумар A979), Чандрасе-
кар A979а, Ь)].
Обозначим 2 суммирование по всем дискретным и интегрирование по
j
непрерывным квантовым числам, входящим в J:
1 <*>
2= 2 — /с/со; (9.5.57)
J j, I, m, p, q 2ТГ м
*) Отметим, что если размеры полости с излучением достаточно велики, то это
равновесие; вообще говоря, неустойчивое (подробнее об этом см. § 11.4).
**' Если выполнены условия,гарантирующие отсутствие суперрадиациоииых мод.
223

Рис. 76. Изменение параметра вращения J/M2 черной
дыры в процессе ее испарения Щ - начальная, М -
текущая масса черной дыры). На рисунке изображено
поведение 7/ЛГ в зависимости от М/М/ для случаев,
когда имеется только одно нейтринное U). только
фотонное B) или только гравитонное C) излучение,
и для реальной ситуации D) (четыре сорта нейтрино,
один - фотонов и один - гравитонов)
Рис. 77. Мощность излучения энергии <р) и углового
момента (Ь) черной дырой в зависимости от парамет-
параметра вращения J/M2. Отдельно изображены вклады
одного сорта нейтрино G), фотонов B) и гравитонов
C), а также полная мощность излучения безмассовых
частиц в реальной ситуации D) (четыре сорта нейтри-
нейтрино, один - фотонов и один - гравитонов)
tfl
ш
О 0,2 Of 0,6 0,8 1,0
J/M2
О 0,2 Ofi QS 0,8 1,0
J/M*
тогда для скорости изменения массы, углового момента и заряда черной
дыры в результате ее квантового излучения имеем
dM
(9.5.58)
dt J
dJ
dQ
= еЪ sign qj < rij >.
dt J
Задача вычисления вкладов отдельных сортов частиц в квантовое излу-
излучение черной дыры сводится к определению соответствующих коэффициен-
коэффициентов отражения для волновых функций, описывающих эти частицы. Имеется
значительное число работ, посвященных анализу коэффициентов отражения
для различных полей в метрике Керра - Ньюмена или ее частных случаях
и развитию методов их приближенного описания. Полное изложение отно-
относящихся к этой проблеме математических вопросов и обзор полученных
224

результатов можно найти в книге Чандрасекара A983), к которой мы
и отсылаем читателя. В этом параграфе мы остановимся лишь на некото-
некоторых из результатов этого анализа, представляющих особый физический
интерес.
1) Потеря заряженной черной дырой электрического заряда анализиро-
анализировалась в работах Маркова, Фролова A970*), Заумена A974), Картера
A974), Гиббонса A975), Накамуры, Сато A976), Дамура, Руффини A975),
Пэйджа A977), Руффини A979), Новикова, Старобинского A980*).
Основной результат этого анализа состоит в следующем. Черные дыры с
массой М< Ge2/т * 1015г (т - масса электрона) почти полностью сбра-
сбрасывает свой электрический заряд практически мгновенно. Для черных дыр
с массой М < \JGет\х1т2 * 105М® время сбрасывания электрического
заряда значительно меньше характерного времени испарения черной дыры
(см. далее § 12.3 и рис. 85). Таким образом, при анализе процесса испаре-
испарения черной дыры практически на всем этапе этого испарения можно считать,
что черная дыра является нейтральной.
.. 2)Потеря вращающейся черной дырой углового момента, как это выте-
вытекает из размерных соображений, вообще говоря, могла бы происходить за
времена, сравнимые со временем испарения черной дыры. Картер A974)
высказал предположение, что в процессе испарения отношение углового
момента черной дыры к квадрату ее массы стремится к определенному
ненулевому значению. Численный счет, выполненный Пэйджем A976b),
показал, что это не так. Если учесть вклад реально существующих безмас-
безмассовых частиц (нейтрино,фотонов и гравитонов), то угловой мо'мент сбра-
сбрасывается в несколько раз быстрее, чем масса черной дыры (рис. 76). При
этом оказьшается, что для медленно вращающихся черных щыр(//М2 ^ 0,6)
чем меньше спин безмассовых частиц, тем больший вклад в излучение
массы и углового момента они дают (при одинаковом числе состояний
поляризации, равном 2). Для быстро вращающихся черных дыр (J/M2 ^
> 0,6). ситуация противоположная, и вклад тем больше, чем выше спин
частиц (рис. 77). Этот результат находится в соответствии с результатом
Старобинского, Чурилова A973*) относительно зависимости суперрадиа-
суперрадиации от спина.
t(T'r
Рис. 78. Спектр мощности излучения черной ды-
дыры. Изображены вклады четырех сортов ней-
нейтрино (кривая /), фотонов B) и гравитонов
E), а также суммарный спектр (кривая 4).
Для сравнения приведен спектр излучения
этих частиц черным телом с сечением 21тМг
(кривая 5)
15.И.Д. Новиков

Малость ат
излучения с
@"г>м>5-@'*г
1О'*г>н>1013'5г
с \Н
10" &
. с \Н
Рис. 79. Квантовый распад иевращающейся черной дыры. В процентах указана доля
гравитонов {g), фотонов G), нейтрино {у) и других элементарных частиц в общем
числе частиц, излучаемых черными дырами различной массы
Отметим также, что при излучении нейтрино вращающейся черной дырой
имеет место асимметрия, проявляющаяся в том, что по направлению враще-
вращения излучается больше нейтрино, а против - больше антинейтрино [Унру
A973), Виленкин A979b), Лихи, Унру A979) ].
3) Излучение невращающейся черной дыры происходит приблизительно
так же, как излучение тела с температурой
Ы he3
0 = = * 1026К(М/1 г).
2пс 8nGkM
Отличи^ от теплового излучения связано с тем, что коэффициент Г/ зави-
зависит от частоты. При высоких частотах для всех частиц эффективное сече-
сечение черной дыры составляет величину 27nG2M2/c4. Для низких частот
сечение уменьшается, причем оно оказывается существенно зависящим
от спина:
(9.5.59)
где s > 0 — спин поля. Вклад частиц в общее излучение невращающейся
черной дыры падает с возрастанием спина [Пзйдж A976а)] (рис. 78).
Черные дыры с массой Л/> 1017г могут излучать только безмассовые части-
частицы: нейтрино (v), фотоны G) и гравитоны (g) .Черные дыры с массой
5 • 1014г <М < 1017г могут дополнительно излучать электроны и позитро-
позитроны. Черные дыры с меньшей массой могут излучать более тяжелые элемен-
элементарные частицы. Распределение продуктов распада черных дыр в разных
диапазонах масс представлено на рис. 79.
Скорость потери массы черной дырой в процессе ее испарения описывает-
описывается следующей формулой:
dM с'/тр\\2 тпР, ,,/ М \'2
* 4 • 1(Г5 (—- ) ——/=7,7 • 1024 ( /—. . (9.5.60)
dt \ М ) tp\
/ М \'2 г
! /—.
\ 1 г / с
Функция / = /(ЛО учитывает зависимость dtifdt от числа возможных со-
состояний и сортов частиц, которые дают вклад в излучение черной дыры
226

с массой М. Вклады безмассовых частиц - нейтрино (s = 1/2), фотонов
(s = 1) и гравитонов (s = 2) -в/имеют вид [Пэйдж A976а, Ь)]
/= 1.023А ( — I + 0,420йA) + 0,048АB), (9.5.61)
где h{s) - число различных поляризаций частиц спина s.
Время жизни черной дыры относительно процесса ее квантового испаре-
испарения равно
м мг(М
t*2,7-10-26cf •?9-10-27с(М/1гK. (9.5.62)
о ДЛО
Это время не превосходит время жизни Вселенной для черных дыр с массой
М < 5 • 1014г. Такие черные дыры могли возникать как первичные на ран-
ранних этапах эволюции Вселенной (см. § 13.1). Относительно возможности
наблюдения квантовых взрывов таких малых черных дыр и продуктов их
распадов см. обзор Карра A983) и приведенные в нем ссылки.
4)С помощью внешних воздействий можно влиять на излучение черной
дыры и в определенной мере управлять им. Так, при включении внешнего
поля мощность и другие характеристики излучения черной дыры изменяют-
изменяются. В частности, при "внесении" черной дыры во внешний гравитационный
потенциал интенсивность ее излучения на бесконечности уменьшается в
полном соответствии с тем, что уменьшается ее температура, измеренная
удаленным наблюдателем [Героч, Хартль A982), Жук, Фролов A981*)].
О влиянии магнитного яоля на рождение частиц в черных дырах см. Гиб-
Гиббоне A976), Гальцов A980*),Соколов и др. A984*). Интересный пример
внешнего воздействия на мощность' излучения черной дыры рассмотрен в
работе Унру, Уолда A982) (см. также § 11.3). .
15*

ГЛАВА 10
ПОЛЯРИЗАЦИЯ ВАКУУМА В ЧЕРНЫХ ДЫРАХ
§10.1. Квазиклассическое приближение.
Перенормированный тензор энергии-импульса
Квантовое излучение изолированной черной дыры приводит к уменьше-
уменьшению ее массы, а следовательно, и площади. Чтобы объяснить это "наруше-
"нарушение" теоремы Хокинга, приходится сделать вывод о том, что поток частиц
из черной дыры на бесконечность, уносящих положительную энергию,
сопровождается потоком через горизонт событий отрицательной энергии
внутрь черной дыры. В классической теории при выполнении естественных
физических предположений (условий энергодоминантности) это было бы
невозможно. В квантовой теории, поскольку действие внешнего поля-на
вакуум может приводить как к увеличению, так и к уменьшению локаль-
локальной плотности энергии, возможно появление в части пространства отрица-
отрицательной плотности энергии и (или) отрицательного давления. Именно это
явление, связанное с поляризацией вакуума в сильном гравитационном
поле, должно иметь место вблизи черной дыры.
Для описания процесса испарения черной дыры с массой, много большей
планковской, можно использовать квазиклассическое приближение. Счи-
Считая, что флуктуации гравитационного поля малы, опишем его с помощью
классической метрики
*„„ = <*„„>, A0.1.1)
удовлетворяющей модифицированным уравнениям Эйнштейна
Guv = 8тг < Гм„ >, A0.1.2)
в правой части которых стоит среднее от тензора энергии-импульса рас-
рассматриваемых квантованных полей в выбранном состоянии. В области
пространства-времени, где характерный радиус кривизны L значительно
превосходит планковскую длину /Pi = y/bG/c3, при вычислении < Гм„ >
можно использовать разложение по малому параметру б = (/pi/?J и огра-
ограничиться членами до первого порядка по б включительно (квазиклассика)'.
Первый член порядка е° совпадает с выражением для тензора энергии-им-
энергии-импульса классического поля, в то время как член порядка е , содержащий
множитель h, дает основной (в рассматриваемом приближении е < 1)
вклад квантовых эффектов. Этот вклад описывает изменение плотности
энергии-импульса в результате действия гравитационного поля на состоя-
состояние вакуумных виртуальных пар. Следующие по е члены описывают добав-
добавки, возникающие при учете дополнительного взаимодействия частиц вирту-
виртуальной пары, связанного с испусканием и посдедующим поглощением ими
228

квантов поля*). В линейном по е ("о дно петлевом") приближении вир-
виртуальные пары различных полей можно рассматривать как невзаимодейст-
невзаимодействующие. В соответствии с этим вклады в < Тц1, > всех полей - в линейном
по б приближении - складываются аддитивно, и их можно изучать не-
независимо.
Основная проблема при изучении < Гм „ > состоит в том, что эта величина
расходится. Более точно, всякие расчеты, при которых возникает потреб-
потребность вычислить среднее значение от величины, содержащей произведение
двух и более операторов поля в совпадающих точках (Гм„ имеет как раз
такой вид), приводят к появлению бесконечностей. Подобные расходимос-
расходимости, возникающие уже в плоском пространстве-времени, связаны с вакуум-
вакуумными нулевыми флуктуациями. Методы выделения конечной, имеющей
физический смысл части < Гм„ >, известные как процедуры перенормиров-
перенормировки, широко обсуждались в литературе в связи с развитием общей кванто-
квантовой теории поля в искривленном пространстве-времени и с ее конкретными
приложениями в космологии и физике черных дыр. Подробное обсуждение
этих вопросов можно найти в работах Де Витта A965, 1975), Гриба и др.
A980*), Биррела, Девиса A982), Кристенсена A976, 1978). Поэтому
мы лишь кратко остановимся на процедуре перенормировки < Гр„>,
а более подробно обсудим те особенности эффекта поляризации вакуума,
которые связаны со спецификой черных дыр (в частности, вопрос о выборе
вакуумного состояния), и приведем основные результаты вычисле-
вычислений <ГМ1,>геп.
К настоящему времени предложен целый ряд методов перенормировки
(размерная регуляризация, метод f-функции, регуляризация Паули - Вил-
ларса, n-волновая регуляризация, адиабатическая регуляризация, метод
раздвижения точек). Важно, однако, что окончательные результаты по су-
существу не зависят от конкретного метода перенормировки. Дело в том,
что, как показал Уолд A977, 1978а, Ь), всякие методы перенормиров-
перенормировки < Тци >: 1)сохраняющие общую ковариантность (VM< Гм" >геп = 0),
2) удовлетворяющие естественным требованиям причинности, 3)не изме-
изменяющие значения < * I Гм„ | Ф > для тех состояний | ч/ > и | Ф > (< Ф | Ф > =
= 0), для которых это значение конечно, и 4)согласующиеся с обычной про-
процедурой нормального упорядочения в плоском пространстве-времени,
приводят к выражениям для < Гм„ >геп, которые могут отличаться друг
от друга лишь на локальный сохраняющийся тензор, построенный из тен-
тензора кривизны в рассматриваемой точке и его ковариантных производных.
Поскольку для безмассовых полей отсутствует связанный с полем
параметр размерности длины, то в однопетлевом приближении возможный
произвол в < Гм„ >геп должен описываться выражением, являющимся сум-
суммой членов, квадратичных по кривизне, и членов, линейных по ее вторым
производным. Поскольку сконструировать подобный симметричный сохра-
*) При использовании диаграммной техники в квантовой теории для вычисления
рассматриваемых средних описанное разложение по h совпадает с разложением по
числу замкнутых петель, которые встречаются в соответствующих диаграммах. Члены
порядка ft0 описываются диаграммами, не содержащими петель ("древесное" прибли-
приближение), ah1- диаграммами, содержащими одну петлю ("однопетлевое" приближение):
229

няющийся тензор второго ранга только из тензора Вейля невозможно, то
для безмассовых полей на фоне метрики, удовлетворяющей вакуумным
уравнениям Эйнштейна (/?м„ = 0), указанный выше произвол в определе-
определении < Гм„ >геп в однопетлевом приближении отсутствует.
Для классического конформно-инвариантного поля г? =0. Важным от-
отличительным свойством ( ГМ1, >геп является то, что след этой величины для
конформно-инвариантно го поля уже не обращается в нуль (это явление
известно как конформная аномалия). Величина < Т > не зависит от
выбора состояния, по которому производится усреднение Гм„. Для скаляр-
скалярного конформно-инвариантного (х =0), спинорного двухкомпонентного
(х = 1/2) безмассовых полей и для электромагнитного поля (х = 1) вели-
величина < Т >г записывается в виде *)
A0.1.3)
где v '
bs = -
"* 5760»2 ' '* 57бОтг2
ao=3, ai/2=9. at =36. A0.1.4)
„ 11
b0 1, b\ j2 . b\ 62.
Для практических вычислений < Тци >ren в гравитационном поле черных
дыр наиболее часто используют метод раздвижения точек. Он состоит в
следующем. Поскольку Гм„ билинейно зависит от поля, можно формаль-
формально ввести обобщение величины Гм„ на случай, когда аргументы у каждого
из полей отличны друг от друга ("раздвинуть точки"). В классической тео-
теории Тн„(х) возникает как предел соответствующего выражения ТЦ1,'{х, х')
при х' = х. В квантовой теории при вычислении среднего значения оператора
ТЦи'(х, х ) в рассматриваемом состоянии Тц„'(х, х ) = < Тц„'{х, х )> прос-
простой переход к пределу х' -+х невозможен из-за возникновения расходимос-
расходимости. Поэтому до перехода к пределу "подправляют" (перенормируют) ве-
величину Тщ,'(х, х'), вычитая из нее некоторое стандартное выражение
Т ui (х, х'). Для каждого из полей вычисление Т 1). достаточно провести
Т ui (х, х). Для каждого из полей вычисление Т 1).
*) Приведенные значения коэффициентов as и bs получены Даффом A977) ме-
методом размерной регуляризации. При использовании других методов в случае электро-
электромагнитного поля возможно появление дополнительных членов вида OR. Заметим,
что в метриках, удовлетворяющих вакуумным уравнениям Эйнштейна (/?д„ = 0),
эта неоднозначность отсутствует, и мы имеем
. -7-ju. геп _/ б
Значения коэффициентов as и bs для четырехкомпонентного безмассового фермион-
ного поля вдвое больше приведенных в A0.1.4).
230

div
один раз. Соответствующие выражения для Т v, в случае скалярного, спи-
норного безмассовых полей и электромагнитного поля получены Кристен-
сеном A978).
При вычислении матричных элементов < Ф | Тн„(х) | Ф >геп тензора энер-
энергии-импульса поля <рА для выбранных состояний |Ф> и I *> удобно ис-
использовать функцию Грина
Здесь символ Г обозначает операцию Г-произведения
где в(х, х') - ступенчатая функция, равная 1, если х лежит в будущем по
отношению к х', и равная 0 в противном случае. Нетрудно убедиться, ис-
используя коммутационные соотношения (9.2.5), что функция ГринаA0.1.5)
для поля <рА, описываемого уравнением (9.2.2), удовлетворяет следующе-
следующему уравнению:
DACGCB>{x,x')=-b#b*(x-x'), A0.1.7)
где /54(х - x')d4x = 1. С этой функцией Грина связана так называемая
функция Адамара *)
>
|
Значение тензора энергии-импульса в раздвинутых точках записывается
в виде
ТЦи(х,х')=- T*f\x,x')G^l.(x,x'), A0.1.9)
А В'
где Т ui {х, х ) — дифференциальный оператор по переменным х и х' та-
кой, что для классического поля <РА(Х) величина Т v, (x, x)ipA(x)yB,(x)
совпадает с Т ,(х) . Явный вид операторов Т v, для полей различных спи-
спинов приведен в работе Кристенсена A978).
Часто наряду с < Гм„ >геп рассматривают величины вида (<р2А >геп, опи-
описывающие флуктуации поля фа . В случае скалярного поля у величина
< Ф > в поле черных дыр исследовалась в связи с вопросом о возмож-
возможности фазовых переходов вблизи них. Эти переходы состоят в появлении
< sp(x)) Ф 0 [Хокинг A981), Фосетт, Уайтинг A982), Мосс A984)].
В гравитационном поле, описываемом вакуумными уравнениями Эйнштей-
Эйнштейна, для перенормированного значения < ip2) имеет место следующее
простое выражение:
геп= Шп \-Ю(х,х') — , A0.1.10)
*) Если точки х и х1 разделены пространственноподобиым расстоянием, то $А(х) и
,(,х') коммутируюти G АВ.(х, х') = -2iGAB,(x,x').
231

где о(л\ л') = — s2(x, a1'), s(x, x') интервал геодезического расстояния
между х и х'. а стремление х' кх происходит вдоль пространственноподоб-
ного направления.
Таким образом, задача вычисления величин < Гм„ > и < *р2 > с , не-
несущих информацию о плотности энергии-импульса (связанной с поляриза-
поляризацией вакуума) и вакуумных флуктуациях, сводится к выполнению набора
стандартных операций над функцией Грина A0.1.5). Тем самым решение
задачи о поляризации вакуума в черных дырах сводится к получению ре-
решения уравнения A0.1.7) в заданной метрике, описывающей пространство-
время черной дыры. При этом произволу в выборе состояния, по которому
производится усреднение в A0.1.5), отвечает произвол в выборе граничных
условий, однозначно фиксирующих ту или иную функцию Грина.
§ 10.2. Выбор состояний и граничные условия
для функций Грина
Опишем теперь те состояния и отвечающие им граничные условия для
функций Грина, которые наиболее часто фигурируют при рассмотрении
квантовых эффектов в черных дырах*). Для простоты ограничимся рас-
рассмотрением скалярного безмассового поля.
Очевидный интерес представляет случай, когда черная дыра возникает
в результате коллапса, а до ее образования квантовая система находилась
в основном, вакуумном состоянии. Соответствующая функция Грина
Ginix.x') = i CO; т\Т{$(х)(р(х'))\0\ in), A0.2.1)
являясь, как и все остальные функции Грина A0.1.5), симметричной,
однозначно определяется тем свойством, что она в отдаленном прошлом
(в ин-области) совпадает со свободной причинной функцией Грина в прост-
пространстве Минковского. Очевидно, что поведение Gin зависит, вообще гово-
говоря, от деталей коллапса, приводящего к образованию черной дыры. Это
делает задачу нахождения Gin сложной и трудно поддающейся решению.
Напомним, однако, что с течением времени черная дыра становится стацио-
стационарной ""*). На основании тех же аргументов, которые использовались при
доказательстве универсальности свойств хокинговского излучения в позд-
поздние времена, можно прийти к выводу, что Gin через достаточно большое
время после возникновения черной дыры определяется лишь ее пара-
параметрами.
Для описания свойств этой "универсальной" функции Грина удобно ис-
использовать следующий прием. Рассмотрим пространство-время вечной чер-
черной дыры, обладающей теми же параметрами, что и возникающая стацио-
стационарная черная дыра. Определим в ней функцию Грина Gv(x, x') как реше-
*) Общий анализ проблемы определения вакуума в пространстве-времени при на-
наличии горизонтов можно найти в работах Фуллинга A977а, Ь), Шьяма и др. A981).
"*'Точнее, почти стационарной, поскольку в результате квантового испарения ее
параметры все же меняются4. Однако, как уже отмечалось, скорость этого изменения
пренебрежимо мала до тех пор, пока масса черной дыры значительно превосходит
планковскую.

Рис. 80. Диаграмма Пенроуза для
вращающейся черной дыры. Стрел-
Стрелками указаны поверхности, ограничи-
ограничивающие область I, на которых зада-
задаются граничные условия для функций
Грина, отвечающих вакуумным сос-
состояниям Хартля - Хокинга (I Н>),
Унру (I U» и Бульвара (I В>)
ние уравнения A0.1.7), совпадающее при поздних временах с асимптоти-
асимптотикой GiJx, х'), а в остальном пространстве-времени получаемую как ее
аналитическое продолжение. Унру A976b) показал, что в пространстве-вре-
пространстве-времени вечной черной дыры для значений аргументов х, х', лежащих во внеш-
внешней области или на горизонте событий, функция Грина Gu(x, x') однознач-
однозначно определяется следующими граничными условиями: при фиксированном
значении х' в области I (рис. 80) эта функция является отрицательно-час-
отрицательно-частотной по отношению к аффинному параметру Uwn Н~ для х на #""и отри-
отрицательно-частотной по опережающему времени и на if~ для х на Cf~- Соот-
Соответствующее состояние | U), для которого
с, лс') = HU\ Т(р(х)$(х')) | U >, A0.2.2)
получило название вакуума Унру.
Представляет интерес другой случай, когда черная дыра помещена в
полость с чернотельным излучением и находится в равновесии с последним.
Поскольку это состояние не является чистым и описьтается матрицей плот-
плотности рд (9.5.45), то для соответствующей ему функции Грина GH(x, x')
имеем
)]. ' A0.2.3)
Эту функцию Грина также можно аналитическим продолжением распро-
распространить на все пространство-время вечной черной дыры. При этом, как
показали Хартль и Хокинг A976), она удовлетворяет следующим гранич-
граничным условиям: при фиксированном значении х' она является отрицательно-
частотной функцией по-отношению к аффинному параметру U для л; на Я"
и положительно-частотной функцией по отношению к аффинному парамет-
параметру V для х на Н * (см. рис. 80). Хотя это состояние не является ни чистым,
ни вакуумным, для его обозначения используют символ I H >, сокращенно
записывая A0.2.3) в виде
Gh(*.*') = i<H|7"(?(x)?(x'))|H>, A0.2.4)
и называют вакуумом Хартля - Хокинга.
233

Если черная дыра вращается, то, как отмечалось в предыдущей главе,
равновесная ситуация оказывается возможной только в случае, когда раз-
размер полости, внутри которой заключена черная дыра, достаточно мал. При
этом, вообще говоря, оказывается важным выбор граничных условий для
поля <р на поверхности полости 2. Обычно мы будем полагать, что
*|? =0. A0.2.5)
Соответствующему граничному условию должна удовлетворять и функция
Грина
GH(x,x')\xes=0. A0.2.6)
В том случае, когда роль ограничивающей поверхности 2 важна, вместо
I Н > будем использовать обозначение | Н, 2 >, а вместо Сц — Сц; v ¦
Как показали Хартль и Хокинг A976), функция Грина (так же, как
и GHz) обладает особыми аналитическими свойствами. Чтобы описать
эти свойства, заметим, что если в выражении для элемента длины D.2.1) в
геометрии Керра произвести замену
г=-/т, a = ib, A0.2.7)
то возникающая метрика будет иметь сигнатуру + + + +. Более того, ока-
оказывается [Хартль, Хокинг A976), Хокинг A981)], что эта метрика явля-
является всюду регулярной (включая и поверхность г =гЕ =М+\1м2 + Ь2,
отвечающую аналитическому продолжению поверхности горизонта собы-
событий) , если только координата т — циклическая с периодом, равным
2tt/kf (кЕ• = к | _ jb). Регулярное пространство, обладающее подобной
метрикой, получило название евклидовой черной дыры. Результат, получен-
полученный Хартлем и Хокингом A976), состоит в том, что функция Грина
G%(x, x'), возникающая при аналитическом продолжении A0.2.7) функ-
функции GH(x, х'):
GH (*.*')= [/СЕ (*.*')]г = /г . A0.2.8)
Ь = — la
является симметричным решением уравнения
5{х,х')
OEGE(x, x')=-— A0.2.9)
в пространстве евклидовой черной дыры, убывающим на бесконечности и
регулярным на поверхности евклидова горизонта. (Здесь ПЕ = ? | f _ _ /т.
а - ib
gE~g\t=_iT.) Этот результат позволяет использовать для построения
а = ib
GH{x,x') следующий прием: сначала находят евклидову функцию Грина
GE, а затем с помощью аналитического продолжения A0.2.8) попучают G\\.
Этот прием, во многом аналогичный процедуре виковского поворота и
перехода к евклидовой формулировке, используемой в квантовой теории
поля в плоском пространстве-времени, часто позволяет существенно облег-
облегчить задачу вычисления GН.
234

Обсудим кратко еще один, используемый при описании квантовых
эффектов в черных дырах выбор состояния, предложенный Бульваром
A975а, Ь, 1976). Это состояние, обозначаемое | В), получило название
вакуума Бульвара. Рассмотрим ситуацию, когда имеется невращающееся
сферическое тело массы М с радиусом Ro, слегка превышающим гравита-
гравитационный радиус rg этого тела. Поскольку в таком статическом простран-
пространстве-времени соответствующее векторное поле Киллинга if j^ Эм = Э, везде
времениподобно, то любые частицы обладают положительной энерги-
энергией и рождение частиц невозможно. Соответствующее вакуумное состоя-
состояние | В; Ro) является устойчивым, а отвечающая ему функция Грина
^В; ro(x>x) удовлетворяет следующим граничным условиям: при фикси-
фиксированном значении х' она является отрицательно-частотной функцией v
при х на.1/" и положительно-частотной функцией и при х на J *. Определим
функцию Грина
))\B) A0.2.10)
как решение уравнения OGB(x, х) =—Ь(х, x')/\/~^g в пространстве-вре-
пространстве-времени вечной черной дыры, удовлетворяющее приведенным выше гранич-
граничным условиям.
Для невращающейся черной дыры функцию Грина Gb можно рассматри-
рассматривать в некотором смысле как предел GB. r0 при Ro -*rg. Очевидно, что
физическая реализация статической системы, размер которой сколь угодно
близок к гравитационному радиусу, не представляется возможной. Частицы
поверхности такого тела в этом пределе должны обладать бесконечно боль-
большим ускорением и требуют для их удержания бесконечно больших сил.
В соответствии с этим функция Грина GB, имеющая простое регулярное
поведение вдали от черной дыры и отвечающая отсутствию квантового
излучения на J +, имеет "плохое" аналитическое поведение вблизи гори-
горизонта событий, а отвечающие ей перенормированные значения <В|ГМГ|В>
и (В |^2|В> расходятся на Н* и Я".
Хотя описанные выше состояние и функции Грина были определены
лишь для скалярного безмассового поля, распространение этих определе-
определений на общий случай не представляет затруднений.
§ 10.3. <Г?>геп и (<р2Уеп в пространстве-времени черной дыры
Для вычисления перенормированного значения тензора энергии - импуль-
импульса требуется знание функции Грина G(x, x') при значениях ее аргументов х
и х\ близких друг к другу. Это, однако, еще ни в коей мере не означает, что
граничные условия, налагаемые на функцию Грина вдали от интересующей
нас точки, не влияют на поведение G (х, х') в пределе совпадающих точек *).
Чтобы убедиться в этом, достаточно вспомнить, что функция Грина опреде-
определяется уравнением с точностью до решения однородного уравнения, кото-
которое однозначно фиксируется как раз граничными условиями.
*) Заметим, что в римановом пространстве для метрики с евклидовой сигнатурой
функция Грина массивного поля экспоненциально быстро спадает с увеличением
расстояния между трчками к и У. Если эти точки находятся далеко от границы, то
влияние граничных условий для этих полей действительно пренебрежимо мало.
235

В теории массивного (с массой т) поля, когда характерный радиус
кривизны пространства-времени L значительно превосходит комптонов-
скую длину X = h/mc, можно использовать разложение по малому парамет-
параметру e=(X/LJ, чтобы получить равномерное приближение для функции
Грина. В случае безмассового поля такой параметр отсутствует. Поскольку
волновые уравнения для безмассовых полей в метрике Керра допускают
разделение переменных, то естественный метод изучения функций Грина
для таких полей состоит в представлении их в виде разложений по собст-
собственным модам [Канделас( 1980), Канделас и др. A981) ].
Приведем в качестве примера представление для функций Адамара
скалярного безмассового поля в метрике вращающейся черной дыры*).
Удобно в качестве базисных решений уравнения П^ = 0в пространстве-
времени вечной черной дыры выбрать систему решений иЫ1т,уЫ1т, удов-
удовлетворяющих следующим граничным условиям. Функции v^lm обращаются
в нуль на Н~, а на У~ имеют образ Уы1т, описываемый выражением (9.4.5).
Образ Уьлт на ,'У" равен нулю, а на Н~ эти функции принимают значения
V 4тгсо(г2 +а )
В случае, если черная дыра окружена зеркальной оболочкой, уравнение
которой г=г0 (<р | г = 0), в качестве соответствующих базисных функций
выбирают решения k^im, которые на Я" имеют значения, совпадающие с
)'wim \н- [формула A0.3.1)], а на оболочке обращаются в нуль: k^im ti-o==0.
Если коллективный индекс со/т обозначить через J и ввести обозначения
Vj (х; х') = Vj (x)Vj(*') + и, (*) Vj (x'),
Xj {x. x')=yj (x)Yj (*') +7j (x)yj (*'), A0.3.2)
kj&.x'^kjWkjix^ + kjWkjix),
то функции Адамара G(l), отвечающие различным выборам "вакуумных"
состояний, записываются следующим образом:
Г °° тгсо 1
\fduv.(x4x')+ I rfwcth уЛх,х')\
Lo пт К J J
\
/,mLo
[°° Я СО °° 7Г CO 
/Jcocth и, (*,*') + / c/wcth у (x,x)\, A0.3.3)
О К J Пт К J j
G'(t.1)(x.-x')= Б [/Jcou.(jc,.x')+ '/ ufco>' (х,У)],
/, m 0 J2m
Н;Г" /,»« Si»i К J
Аналогичные представления для функций Грина для электромагнитного
поля и гравитационных возмущений приведены в работе Канделаса и др.
A981) ; относительно функций Грина скалярного поля см.также Канделас
A980), Фролов A986*).
*) Приводимые ниже формулы справедливы и для заряженной черной дыры.
236

Заметим, что поскольку расходимости, удаляемые в процессе перенор-
перенормировки, имеют универсальный вид, значение разностей любой пары функ-
функций A0.3.3) в пределе совпадающих точек остается конечным. Для этих
конечных разностей имеем, в частности,
- dcjj\v,(x)\2
<U|/(*)|U>-<H|^2(*)|H>=-2 2 J .. J , A0.3.4)
l,m о еы1е - 1
/_^-Л_!1_+ / —j*'y }\. I (ю.3.5)
о е^1в _ 1 пт е"/в _ 1 J
где в = к/2тг — температура черной дыры.
Представления вида A0.3.3) для функций Грина позволяют проанализи-
проанализировать поведение dp2)ten и <Г?>геп вблизи Н± и #*. В частности, можно
показать, что значения этих величин вблизи Я* при усреднении по вакууму
Бульвара расходятся. Их асимптотики вблизи шварцшильдовской черной
дыры в координатах t, г, в, $ имеют вид [Канделас A980), Канделас и
др. A981),Шьямаидр. A981)] *)
<^2W>B~ (Г-гвУ\ A0.3.6)
т х
I
1 1 1
A0-ЗЛ)
Здесь и далее diag (а, Ь, с, d) обозначает диагональную матрицу с элемента-
элементами, равными а, Ь, с и d на диагонали, a hs - число поляризаций поля спина х.
Причина подобного сингулярного поведения величин, характеризующих
поляризацию вакуума в этом состоянии, состоит в том, что само состояние
отвечает, как это отмечалось выше, физически нереализуемой ситуации.
К сожалению, просуммировать ряды, отвечающие <^2>гепи (ТA1,Уеп и
получаемые после перенормировки из соответствующих рядов вида
A0.3.3) для функций Грина, и найти явные конечные выражения для этих
величин в общем случае не удается **). Поэтому для получения результатов
либо используют машинные методы, либо развивают методы приближенно-
приближенного суммирования рядов. В выполненных к настоящему времени работах
ограничивались рассмотрением случая, когда черная дыра не вращается.
Прежде чем перейти к изложению результатов этих работ, отметим, что
свойства симметрии <Г?\ связанные с симметриями фонового шварцшиль-
*)В этих формулах (и далее) мы опускаем индекс "геп" у величин <^2)геп и
G"у)геп, поскольку будем иметь дело лишь с перенормированными значениями этих
величин. Нижний символ, стоящий у скобок, указывает на то вакуумное состояние,
по которому производится усреднение. Так, <^2>в обозначает <В 1^2| В)геп.
**) К числу важных исключений, для которых возможно получение точных значе-
значений <ip2)ren и ( Тц11)геп, относятся случаи, когда рассматриваемая точка лежит на го-
горизонте событий. На этих случаях мы остановимся ниже.
237

довского гравитационного поля, и закон сохранения <7^>;м, которому
эта величина удовлетворяет, резко ограничивают число ее независимых
компонент. А именно, как показали Кристенсен и Фуллинг A977), всякий
сохраняющийся <Г? > в пространстве-времени невращающейся черной дыры
допускает следующее представление:
<Г{|>= I /"„,
A0.3.8)
где
t*v в координатах f ,г*, 0, у? имеют вид
' I FH ' \ FH \ 1 \
'P = diag{ - +- Г, — .— Г, — Г),
\ г2 2 г2 4 4
гм =
* и
A0.3.9)
4тгг
p = diag(— F,— F,0,0
V г2 г2
'=A -2М/ГГ1,
1
' ' 1 " г ' ^ 4
H(r)=— / (r'-M)T(r')dr't G(r)=2 f (r' -3M)<~>(r)dr.
2 гм 2М
A0.3.10)
Каждый из тензоров
удовлетворяет закону сохранения
/ i
Только tuv имеет ненулевой след, только tuv имеет бесследовую часть
1 . 2
t*v - —ТЬ^„, у которой 00-компонента отлична от нуля, только t*v
4 з
имеет недиагональные компоненты, описывающие потоки, и только t*v
нерегулярен на Я+. 4
Иными словами, произвольный тензор энергии-импульса, удовлетворяю-
удовлетворяющий закону сохранения и условиям симметрии, присущим метрике Шварц-
Рис. 81. Значения (8яЛ/)а (ipJ> в зависимос-
зависимости от S = г/М - 1: кривая I - < ipJ>H, кривая
II -. <*%
238

шильда, однозначно характеризуется заданием двух функций Т и в от г
(одна из которых (Г) совпадает с его следом) и двух констант W и N,
значение одной из которых {W) совпадает с интенсивностью излучения
черной дыры на бесконечности {W = —dMjdt), а значение второй равно
нулю (N= 0), если тензор энергии-импульса регулярен на Я + .
Интенсивность излучения W отлична от нуля лишь для вакуума Унру;
при этом для безмассового скалярного (х = 0), двухкомпонентного нейт-
нейтринного (х=1/2), электромагнитного (х = 1) и гравитационного (s = 2)
полей коэффициенты W соответственно равны [Пэйдж A982), Эльстер
A983b)]
H/O=7,4 -10-5M-2, И/]/2 = 8,2-l(Ts ЛГ2, A0.3.11)
И/, =3,3- 10's М-2, Ц/2' = 0,4- 10~5 М~2.
Коэффициент N обращается в нуль для вакуума Унру и для вакуума Харт-
ля—Хокинга.
Выполненные к настоящему времени численные расчеты относятся к
случаю скалярного безмассового поля в пространстве-времени шварцшиль-
довской черной дыры. Результаты вычислений (<?2>н и (<p2)\j, выполненных
Фосеттом и Уайтингом A982), приведены на рис. 81. Значения компонент
<Г?>Н были вычислены Ховардом, Канделасом A984) и Ховардом A984),
которые обнаружили и исправили ошибку в предыдущих вычислениях
Фосетта A983). Значения отличных от нуля компонент < Г? >н и вычислен-
вычисленные Эльстером A983Ь) значения < Г? >и приведены на рис. 82.
Основная особенность тензора < Т* >н - конечность его компонент на
горизонте событий. В частности, наблюдатель, покоящийся в точке г вблизи
горизонта событий, зарегистрирует плотность энергии — <7^>н, и это зна-
значение остается конечным при г -*rg. С другой стороны, измеренная им тем-
К / Т„ \ - 1/2
пература окажется равной 7joc =—ll- — I . Подобное измерение
2тг \ г )
температуры можно, например, "осуществить", взяв в качестве термометра
двухуровневую систему, переходы между уровнями в которой связны с
поглощением и испусканием квантов рассматриваемого поля (фотонов).
По прошествии достаточно длительного времени вероятность нахождения
системы на верхнем уровне будет в exp(A?/7joc) раз меньше, чем на
нижнем (Д/f - разница энергий между уровнями). Аналогичным образом
ведут себя другие детекторы малых размеров [Унру A976b)]. Нетрудно
убедиться, что вблизи rg 7joc * Та = а/2тг, где а — ускорение наблюдателя,
и при r-*rg Г,ос->-°°*).
*) Аналогичным образом ускоренный (с ускорением а) наблюдатель в плоском
пространстве-времени также зарегистрирует с помощью описанных "термометров"
температуру Та =в/2я. Поэтому с точки зрения такого йаблюдатеяя обычный вакуум
Минковского в известной мере ведет себя так же, как тепловое излучение с темпера-
температурой Та. Следует отметить, что, регистрируя энергию этих тепловых "частиц", он не
может с достаточной степенью точности измерить их импульс, поскольку характерная
длина волны этого "излучения" порядка расстояния до горизонта. Это же замечание
справедливо и для "частиц" теплового излучения, регистрируемых наблюдателем
вблизи черной дыры. Подробно об этом см. Унру A976b), Унру, Уолд A984).
239

40
30
20
<rf>
to
0
-ю
- \
-
-
-
\
<rrr> :
1,0 1,4 1,6 2J 2,6 3,0%
-6
1,0 1,4 1J& 2? 2,6 3,0$
С
Рис. 82. Значения компонент [90(8тгУИL/я2 ] (
представлено поведение < Т1 > (а), ( Тгу) (Ь) и < Т°в ) = (Т*
зора энергии-импульса. Компоненты < 7"^ >н - кривые I, < Тд >^ - кривые II, а
( Гм >у - кривые III
в зависимости от f. На рисунках
° ) = (Т*) (с) компонент тен-
тенОтметим, однако, что, как следует из приведенных на рис. 82 результа-
результатов, плотность энергии излучения в окрестности такой точки ~а(к/2тгL <
< аТд. Причина "нарушения" закона аТ4 состоит в том, что он не справед-
справедлив вблизи границ, где параметры системы сильно изменяются на расстоя-
расстоянии порядка характерной длины волны излучения. В случае черной дыры
именно такая ситуация имеет место вблизи ее поверхности (на расстоянии
r ~rg ~~ rg)- Тот факт, что величина -<Г/>Н (в' отличие от оТАа) конечна
на горизонте, можно интерпретировать следующим образом: вклад поля-
поляризации вакуума, связанной с неоднородностью пространства-времени
вблизи горизонта, в точности компенсирует ту расходимость, которая
имела бы место для плотности энергии излучения, если выполнялся бы
закон oTq.
Фосетт и Уайтинг A982), анализируя результаты вычислений, обратили
внимание на то, что значения величины <^2>н на всем интервале от/^ до °°
хорошо аппроксимируются простым выражением
(ИШ2)
240

где z = 2M/r, Исходя из этого, Пэйдж A982) предложил метод приближен-
приближенного вычисления <^2>н и (Т%)н. Для <^2>н получаемое в приближении
Пэйджа значение <^2)^ совпадает с A0.3,12). Канделас, Ховард A984),
Ховард, Канделас A984), Ховард A984) показали, что вычисляемые в
рамках приближения Пэйджа величины (<?2)н и ^Ч^н весьма точно вос-
воспроизводят истинное поведение (<рг)-ц и <Т?>н (для <^2)н отличие от
истинного значения <^2>н не превышает 1%, для компонент (Т?,)^ это
отклонение не превосходит 20%).
Исходными для построения приближения Пэйджа являются два поло-
положения:
1) Пусть имеются два конформных пространства и пусть в каждом из
них производится вычисление перенормированных средних dp2) и (Г?>
для состояний, получаемых друг из друга с помощью того же конформного
преобразования. Тогда следующие комбинации, содержащие dp) и <Г?>,
являются инвариантными (т.е. не зависят от того, в каком из конформных
пространств они вычислены):
(ю-злз)
A0.3.14)
ь j
где
2 / 1 , 1 Л
Я_ о и! о |_ _____ D D _L I _____ D СК п р ____ J3 — I «¦
3 \ 2 4 /
= 1R.pV — 2RR)lv +1 ~R — 2/?.a' jStiv*
A0.3.15)
ру - тензор Вейля (П.4),Ла/3 - тензор Риччи (П.З), R - скалярная
кривизна, а коэффициенты с^, /3S и ys связаны с коэффициентами as и bs,
входящими в выражение для конформных аномалий A0.1.3), соотно-
соотношениями
2
ocs = as, Ps=bs, ys=—as, A0.3.16)
2) Пусть метрика
ds1 - -V2dt2 +hjjdx'dx' A0.3.17)
является статическим решением вакуумных уравнений Эйнштейна (V2 =
= -?(i)|i?i|,), ?*(,) - векторное поле Киллинга). Тогда в пространстве
с метрикой d72 = V~2ds2 отсутствуют конформные аномалии (т.е. выра-
выражения в скобках в правой части A0.1.3), вычисленные в этом пространст-
пространстве, тождественно обращаются в нуль).
Пэйдж предложил проведать вычисления dp2) и <Г{}> сначала в прост-
пространстве dp, используя для функции Грина в нем решение, полученное с
помощью ВКБ-приближения, а затем, принимая во внимание инвариант-
инвариантность величин A0.3.13) и A0.3.14), вернуться в исходное физическое
16. И.Д. Новиков 241

пространство. При этом для скалярного безмассового цоля в метрике
Шварцшильда для величины <^2>н получается выражение A0.3.12), а
для < Г? >н - следующее приближенное выражение:
1 _ D - 3zJ z6 T
(«K 1
A0.3.18)
где 0 = (8яМ)"' — температура черной дыры. Поведение отличных от
нуля компонент < Г? >^ изображено на рис. 82 (штрих-пунктирная линия).
Это приближенное выражение было использовано в работе Йорка A985)
для исследования обратного влияния поляризации вакуума на гравитацион-
гравитационное поле черной дыры.
Метод Пэйджа можно использовать также для нахождения приближен-
приближенных значений dp2) и <Г{}> в вакууме Бульвара. Вычисления дают [Фролов,
Зельников A985а)]
+ 6CSJ}S»+S?SJ)|. A0.3.20)
Выражения A0.3.19) — A0.3.20) согласуются с асимптотиками A0.3.6)-
A0.3.7) вблизи горизонта событий и имеют правильную асимптотику на
бесконечности. По-видимому, точность, с которой A0.3.19) и A0.3.20)
воспроизводят точные значения <<?2>в и <Г{(>в, того же порядка,-что и в
случае хартль-хокинговского вакуума.
В работе Брауна и Оттевилла A985) предложен несколько иной метод
вычисления <<^2> и <Г?> для конформно-инвариантных полей, который
в случае скалярного поля приводит к тем же выражениям A0.3.12),
A0.3.18)-A0.3.20), что и приближении Пэйджа. Браун и Оттевилл обра-
обратили внимание на то, что конформные аномалии исчезают не только в
пространствах с метрикой dl2 = V~2ds2, но и в более широком классе
пространств, для которых метрики имеют вид dT2 =exp(ar) V~2ds2.
Если потребовать, чтобы в пространстве ds2 состояние было выбрано
.так, что исчезают не только след (<Г?> = 0), но и остальные компоненты
< Т $ >, то после возвращения в исходное физическое пространство полу-
получается вполне определенное значение < Г? >. Браун и Оттевилл показали,
что при а = 0 полученное таким образом выражение совпадает с < Г? >?, а
при а = -2к =-BЛ/)"' — правильно воспроизводит < ^{J>H- В рамках
этого подхода можно получить также аналогичные приближенные выраже-
выражения для вкладов нейтринного и электромагнитного полей в ( Т? ).
Результаты Пэйджа и Брауна, Оттевилла, по-видимому, указывают
на то, что основной вклад в вакуумный тензор энергии-импульса для кон-
конформно-инвариантных полей в поле черной дыры дают конформные ано-
242

малии, и если учесть их, то возникающий тензор энергии-импульса достаточ-
достаточно хорошо воспроизводит точное значение < Г? > *).
Как уже упоминалось выше, в ряде случаев, когда рассматриваемая
точка лежит на горизонте событий, удается точно вычислить значения
< ^г > и< Г? >. Этот замечательный факт связан с особыми геометричес-
геометрическими свойствами пространства-времени вблизи горизонта событий. Ос-
Остановимся более подробно на этих свойствах.
Метрика Керра обладает симметриями относительно сдвигов по вре-
времени t и вращений по <р. Пусть ? (f) и % (^) - соответствующие векторные
поля Киллинга, а ц - % (f) + SlH\ (^) - их линейная комбинация, которая
на горизонте является касательной к генераторам горизонта. Нетрудно
убедиться, что %($) обращается в нуль на оси симметрии @ = 0, в =тг),
a v — на двумерной поверхности 5 пересечения горизонтов Я"иЯ* (по-
(поверхности бифуркации горизонтов). Антисимметричные тензоры
?(*>)м; «'It =n и т?м. „I _ - невырожденные **). Очевидно, что по-
люсные @ = 0 и в = тг) точки х0 поверхности 5 остаются неподвижными
при сдвигах как по t, так ипо^.
Если потребовать, чтобы в выбранном состоянии < Г? > обладало теми
же свойствами симметрии, что и фоновое физическое пространство-время,
то эта величина должна удовлетворять уравнению
А < T»v > = %а < Т^ ).а + %а ;м < Tav > + ?а .„ < Гма ) = 0, A0.3.21)
где | - векторное поле Киллинга, a ?j - производная Ли вдоль него. В
точках, где % а = 0, эти уравнения принимают вид ограничений на алгебраи-
алгебраическую структуру < Гм„ ) . Решая эти уравнения, можно показать [Фролов,
Зельников A985b)], что подобный регулярный вакуумный тензор энергии-
импульса в точке полюса х0 поверхности S имеет следующий вид:
/„+/М*„)+Я('"ц'"м +mllmv). A0.3.22)
Здесь га - (к, 1,т,т ) - векторы комплексной световой тетрады:
Р2
kadxa = -dt+ dr +a sin20 d<p,
*) Отметим в этой связи, что в двумерном пространстве-времени конформная
аномалия имеет вид
)=
я,
24 я
где R - скалярная кривизна, аС5- коэффициент, зависящий от спина s поля (Со = 1).
Полный тензор энергии-импульса ( Г^> определяется своим следом с точностью до
двух функций от одной переменной, отвечающих произволу в выборе граничных
условий [Кристенсен, Фуллииг A977)]. Это обстоятельство позволяет точно вы-
вычислять < Тv) в различных двумерных моделях, имитирующих черную дыру [по
этому поводу см. Девис A976), Девис идр. A976), Унру A977), Фуллинг A977b),
Хискок A977), Фролов, Вилковыский A983), Бальбинот, Браун A984), Бальби-
нот A984а), Курода A984а), Биррел, Девис A982)].
**)Обсуждениеобшихсвойствповерхностей, образованных точками, неподвижны-
неподвижными под действием группы симметрии, можно найти в работе Бойера A969); см.
гакже Миллер A979).
16* 243

la
\-dt-—
\ A
ladxa=~—— \-dt-— dr + a sin2 в
22 \ A
2E } - • A0.3.23)
¦ [-/a sin0 dt + p2d6 +i(r2 + a2)sin0 dy].
¦ + ia cos 0)
Иными словами, этот тензор определяется двумя константами А и В,
причем их разность фиксируется величиной конформных аномалий:
2E - А) = < ГЦ > = (as + 6s)Ca/37S Са6. A0.3.24)
В случае сферически-симметричной черной дыры в качестве х0 может
быть выбрана любая точка поверхности S. При этом отличные от нуля ком-
компоненты тензора энергии-импульса имеют вид
Г/ = Г;=-Л, Т%=Т%=В. A0.3.25)
Из непрерывности < Гм„ > и свойства инвариантности A0.3.21) следует,
что < Гм„> имеет вид, аналогичный A0.3.22) на полюсе горизонта событий
и вне поверхности S.
Другим обстоятельством, которое также приводит к существенному
упрощению задачи вычисления < $2 > и< Г{} > на горизонте событий, яв-
является следующее. Пусть П(х,х') — любой бискаляр (например, функция
Грина GH (*>*') скалярного поля), обладающий теми же свойствами
симметрии, что и фоновое пространство-время. Тогда
') + ?^\\(х,х') =
(Ю.3.26)
Здесь jCg (?g') - производная Ли вдоль векторного поля Киллинга % по
первому (второму) аргументу. Если точки х и х' не совпадают с осью
вращения и не лежат на поверхности 5, то уравнение A0.3.26) показывает,
что бискаляр П(х,х') зависит от разностей t — ?'и^— $'. Если же точка
л-'лежит на полюсе поверхности S, то функция П (х,х0) вообще не зависит
ни от t, ни от^.
Это, в частности, приводит к тому, что волновое уравнение, которому
подчиняется функция —/GH (x,x0), существенно упрощается и допускает
точное решение. В координатах R = A1/2sin 0, г = (г -M)cos0 это урав-
уравнение принимает вид
Л b(b) b2 \(-iGH(R, г;х0))=
L R J 4w R A0.3.27)
где г0 =\/М2 -а2. Заметим, что решение этого уравнения совпадает с по-
потенциалом поля точечного заряда е =к/8я2, помещенного в точке г =z0
на оси х = у =0 (R2 =х2 + у2) в плоском пространстве. Используя это ре-
решение, находим
A0.3.28)
н(,о)г/, , 2^
8тг(/--М- V-Л* -a2 cos б)
244

Вычитая из этого выражения расходящуюся часть [см. A0.1.10)] и уст-
устремляя х к х0, получаем для величины < $2 (х0) )н на полюсе горизонта
событий следующее значение [Фролов A982, 1983)] *):
jr^k- A0-з-29)
(при а = 0 это выражение было получено Канделасом A980) путем сум-
суммирования ряда для представления функции Грина.)
Фролов и Зельников A985b) аналогичным методом вычислили величи-
величину < Ttf (х0) > н для электромагнитного поля. Коэффициенты А и В в
выражении A0.3.22) получили следующие значения:
А= ¦ ТТГ [-15М3~195М2(М2 -а2I'2 + 292(М2 -а2K'2],
\920ъ М*г%
A0.3.30)
[-15М3 -П7М2(М2 -а2I'2 + 1&ЦМ2 -а2K'2].
При а - 0 эти выражения воспроизводят результат, полученный Эльстером
A984) путем суммирования рядов.
Отметим одно любопытное свойство выражения A0.3.29). Нетрудно
убедиться, что его можно переписать в виде
1
<<Г (*о)>н = ——; К, A0.3.31)
4отг
где К - гауссова кривизна двумерной поверхности черной дыры в точке
ее полюса х0 . [Вычисление К на поверхности керровской черной дыры
см. Смарр A973b).] Выражение A0.3.31) справедливо и в случае, когда
черная дыра помещена во внешнее статическое аксиально-симметричное
гравитационное поле.
*) Этот же прием можно использовать для вычисления ( ^>2 > ц ¦ г в случае, когда
черная дыра помещена во внешнее аксиально-симметричное статич'еское гравитацион-
гравитационное поле [Фролов, Гарсиа A983) | или окружена зеркальной оболочкой, описывае-
описываемой уравнением r= r0 (^ | r =0). В последнем случае задача сводится к нахождению
поля внутри проводящего заземленного эллипсоида вращения, описываемого урав-
уравнением
R2 z2
д (г о ) (го - М ) 2
от точечного заряда, помещенного в его фокус. Соответствующее значение ( ^>2 > н • г
равно ' "
где
6г<„) 1 B/ + 1) .
Здесь b= (r0 - M)I(M2 - a2I/2, a/>; и Qi - функции Лежандра.
24S

Нетрудно показать, что в приближении Пэйджа величина < <р2 ) н на г0'
ризонте событий любой статической (в том числе и деформированной внеш-
внешним полем) черной дыры может быть записана в виде A0.3.31). В этом
же приближении величина е = — < Т\ )J^, характеризующая плотность энер-
энергии на поверхности черной дыры, описывается выражением [Фролов, Сан-
чес A985)]
е = - Gas + 12^)АГ2 +as B)ДА', A0.3.32)
где B) Д — двумерный лапласиан на поверхности черной дыры, a av и bs -
коэффициенты, входящие в выражение для конформных аномалий (. 10.1.3).
Для черных дыр с массой больше планковской вклад массивных полей
в поляризацию вакуума значительно (на фактор е = (X/I J, Х= h/mc, L -
характерный радиус кривизны) меньше вклада безмассовых полей. Имеет-
Имеется, однако, ряд причин, по которым изучение вклада массивных полей
может представлять интерес. Прежде всего отметим, что при е «^ 1 удается
разделить вклады реальных и виртуальных частиц в < Т„ ). Так, в состоянии
хартль-хокинговского вакуума вклад реальных частиц тепловой бани в
< Г?)н содержит экспоненциально малый фактор ехр(- QGMm/hc),
в то время как вклад виртуальных частиц зависит от М степенным обра-
образом*). Эффект поляризации вакуума массивных полей допускает значи-
значительно более детальное изучение, поскольку имеется возможность исполь-
использовать разложение по малому безразмерному параметру е. В том случае,
когда фоновое гравитационное поле удовлетворяет вакуумным уравне-
уравнениям Эйнштейна, величина < r/f)H для массивных скалярного, спинорно-
го и векторного полей в первом неисчезающем порядке по е может быть
получена вариацией следующего эффективного действия [Фролов, Зель-
ников A984)]:
. 2 5
)
где
1С<*> = (96 ¦ 7! nhn2)-' Jd^^^ ^
+ BsRRaPybR*in*). A0.3.34)
Здесь m — масса поля, а коэффициенты As и В s для поля спина х равны
соответственно
Ло = 1, Л1/2 = -4, Л,=3, A0.3.35)
До = 18-845, fi1/2 = 12, S, =-30
(I - коэффициент при члене R^p1 в действии для скалярного поля; при
1 = 1/6 и т= 0 поле конформно-инвариантно). Для шварцшильдовской
*) Поскольку значения ( Т$) в различных "вакуумах" отличаются друг от друга
вкладом реальных частиц теплового излучения, то ( Г|^>в и ( Т$)ц вблизи черной
дыры практически совпадают с ( TJf)y{ везде, за исключением экспоненциально
узкой (~rg exp(-CGJMm/hc)) полоски вблизи горизонта событий. Внутри полоски
поведение этих величин различно: ( Т„ >в расходится на Я" и Н* , а ( TJf) ц - на
Я'', оставаясь конечным на Я + .
246

Таблица
Литература
Параметры поля
масса'"
СПИН 5
Параметры черной
дыры
угловой
момент
J
заряд Q
Вычисления про-
проводились
на 1 вне

горизонте (а) со-
событий
Вакуум-
Вакуумные со-
состояния
Примечании
Крнстенсен, Фуллннг
A977)
Канделас A980)
Канделаси др.A981) 0
Фосетт, Уайтинг
A982)
Пэйдж A982)
Нугаев A982)
Фролов A982)
0
0
0
0
Ь
0
0;1
0
0
0
0
*0
0
0
0
*0
Н, В, U Обший анализ
Н, В, U Представления
для О, < sp2 ) и
< Т% > в виде ря-
рядов. Вычисление
на горизонте
В Суммирование ря-
рядов. Анализ расходи-
расходимости на горизонте
Н, В, U Численные расчеты
Н Приближенный
метод
В Приближенный
метод
Н Явное аналитичес-
аналитическое выражение

Таблица (продолжение)
Литература
Параметры поля
Параметры черной
дыры
угловой
момент
J
заряд Q
Вычисления про-
проводились
горизонте (а) со-
событий
Вакуум-
Вакуумные со-
состояния
Примечания
Эльстер A982а)
Эльстер A982b)
Фролов, Зельников
A982)
Фосетт A983)
Эльстер A983а)
Эльстер A983 b)
Болашенко, Фролов
A983)
Фролов, Зельннков
A983)
0
0
ФО
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0;1/2; 1
0
0
0
0
0
0
0
0 +
0 +
0 +
0 +
0 +
0 +
0 +
0 +
(Н; г„) Анализ влияния гра-
границы
(Н; г0) Явное выражение
н
н
(Н;
и
Н
Н
Разложение по па-
параметру е=(т\х1МтO
Численные рас-
счеты
г0) Численные расчеты
Численные расчеты
Приближенный
метод
Разложение по па-
параметру е

Таблица (окончание)
Литература
Параметры поля
Параметры черной
дыры
угловой
момент
J
заряд Q
Вычисления про-
проводились
горизонте (а) со-
событий
Вакуум-
Вакуумные со-
состояния
Примечания
Фролов, Гарей а
A983)
Фролов, Зельииков
A984)
Канделас, Ховард
.A984)
Ховард, Канделас
A984)
Ховард A984)
Занниас A984)
Эльстер A984)
Фролов, Санчес
A985)
Браун, Огтевилл
A985)
Фролов, Зельников
A985b)
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0; 1/2; 1
0
0
0
0
1
0; 1/2; 1
0; 1/2; 1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
*0
0
0
0
0
Н Возмущенная черная
дыра. Явное аналити-
аналитическое выражение
Н Разложение по пара-
параметру е
Н Численные расчеты
Обоснованней оценка
точности
+ Н Приближения
Пэйджа
+ Н Приближенный
метод
+ Н Явное аналити-
аналитическое выраже-
выражение
+ Н, В Возмущенная чер-
черная дыра. Прибли-
Приближенный метод
+ Н, В Приближенный
метод
+ Н Явное аналити-
аналитическое выражение

черной дыры в этом приближении < Ttf)^ имеет вид [Фролов, Зельников
A982)]
A0.3.36)
где отличные от нуля компоненты pfj и д„ суть(г =2М/г)
<?/=-10 + llz, ?; =4-3z, «J = </? = -12+14z.
Обращает на себя внимание качественное сходство поведения < Гм >н
для безмассовых и массивных полей. Для скалярного массивного (? = 1/6)
поля плотность энергии € = — < Г/ >н положительна вдали от черной дыры,
а вблизи нее меняет знак и становится отрицательной на горизонте, анало-
аналогично тому, как это происходит для конформного скалярного безмассово-
безмассового поля. Для векторного массивного поля, так же как и для электромагнит-
электромагнитного, плотность энергии е положительна на горизонте событий.
Вращение черной дыры приводит к появлению в окружающем прост-
пространстве циркулярного потока плотности энергии, связанного с поляриза-
поляризацией вакуума и описываемого компонентой < Т^ > #0. Выражение
< Г„м>^ для массивных полей в метрике Керра было получено и исследо-
исследовано в работах Фролова и Зельникова A983, 1984).
Завершая изложение основных результатов вычислений < у2 > и < Т$ >,
приведем для удобства ссылок следующую таблицу, в которой содержится
перечень основных работ, посвященных изучению поляризации вакуума
в черных дырых, и краткая характеристика полученных результатов. В гра-
графах этой таблицы дана информация о массе m и спине s поля, для кото-
которого проводились вычисления; указано, является ли рассматриваемая чер-
черная дыра вращающейся (J Ф0) или заряженной (G^O); значения каких
величин (< у2) или < Г„м>), для какого состояния (I Н>,1 Н,го>,
I U> или I В) ) и где (на горизонте или вне его) вычислялись, а также
дается краткая информация о методе, с помощью которого проводились
расчеты.
В заключение главы отметим, что в настоящее время имеется не только
качественное понимание особенностей эффектов поляризации вакуума в
черных дырах, но и хорошее количественное описание их.

ГЛАВА 11
ТЕРМОДИНАМИКА ЧЕРНЫХ ДЫР
§ 11.1- Черные дыры и термодинамика
Открытие Хокингом теплового излучения черной дыры было для боль-
большинства специалистов полной неожиданностью, хотя к моменту этого от-
открытия уже существовало довольно много соображений, свидетельствую-
свидетельствующих о тесном переплетении физики черных дыр и термодинамики.
Уилер, по-видимому, первым обратил внимание на то, что в рамках
классической теории тяготения уже сам факт существования черной дыры
противоречит закону возрастания энтропии. Действительно, представим
себе, что черная дыра поглощает горячее тело, обладающее некоторым
запасом энтропии. Тогда внешний наблюдатель видит уменьшение полной
энтропии в части мира, доступной его наблюдению. Чисто формально этого
уменьшения энтропии можно было бы избежать, если просто приписать
энтропию, связанную с упавшим телом, внутренности черной дыры. Однако
этот "выход" явно неудовлетворителен, поскольку любые попытки "внеш-
"внешнего" наблюдателя определить значение энтропии, "поглощенной" черной
дырой вместе с горячим телом, обречены на неудачу. По прошествии крат-
краткого времени после этого процесса черная дыра становится стационарной
и вследствие эффекта "выпадания волос" полностью "забывает" такие
"детали", как строение упавшего тела и его энтропию.
Если мы не хотим отказаться от закона возрастания энтропии только
по той причине, что во Вселенной где-то образовалась черная дыры, сле-
следует сделать вывод, что всякая черная дыра сама по себе обладает опреде-
определенным запасом энтропии и что горячее тело при падении передает ей не
только массу, угловой момент и заряд, но и свою энтропию S, так что
энтропия черной дыры возрастает на величину, не меньшую ЗЧБекенштейн
A973а) обратил внимание на то, что свойства одной из характеристик чер-
черной дыры — площади ее поверхности А — напоминают свойства энтропии.
Действительно, согласно теореме Хокинга при любых классических про-
процессах площадь Л не убывает, т.е. ведет себя так же, как энтропия. Вообще
оказалось, что аналогия между физикой черных дыр и термодинамикой
простирается довольно далеко. Она относится как к конкретным термоди-
термодинамическим устройствам (типа тепловой машины), так и .к общим зако-
законам термодинамики, каждому из которых нашелся свой аналог в физике
черных дыр.
Как и термодинамическая система, произвольная черная дыра после ре-
релаксационных процессов приходит в равновесное (стационарное) состоя-
состояние, в котором она полностью описывается заданием малого числа пара-
параметров: М, J, Q. Площадь поверхности А стационарной черной дыры яв-
251

ляется функцией этих параметров:
A=4rrBM2~-Q2 + 2MsjM2 - Q2 -J2IM2). A1.1.1)
Это соотношение можно обратить и найти выражение для внутренней
энергии черной дыры
\tt[(Q2 + A/4irJ + 4J2] 11/2
M = M(A,J, Q)= — - . A1.1.2)
Для двух стационарных черных дыр со слегка отличными значениями
площади 8А, углового момента 8J и электрического заряда 8Q внутрен-
внутренняя энергия отличается на величину
5Л/=— 8A+?lH8J + <i>H8Q, A1.1.3)
где к = 4л\/М2 -Q2 -J2/M2/A - поверхностная гравитация, Пн =
= 4irJ/MA — угловая скорость и Фн = 4nQr+/A — электрический потенциал
черной дыры. Второй и третий члены этой формулы описывают изменение
энергии вращения и электрической энергии.
Это соотношение аналогично первому закону термодинамики; при этом
в качестве аналога температуры (величины, сопряженной энтропии) высту-
выступает величина, пропорциональная поверхностной гравитации к . Результат
Хокинга о тепловом характере излучения стационарной черной дыры не
только подтверждает указанную аналогию, но и позволяет найти коэф-
коэффициент, связывающий температуру в и поверхностную гравитацию к :
в=Ьк/2-ск. (П.1.4)
При этом соотношение (П.1.3) в точности совпадает с первым законом
термодинамики
8Е = в 8SH +ttH8J + <i>H5Q, (H.l.5)
если для энтропии черной дыры принять выражение
SH=Al4t2n, t2n=hG/c3. (H.l.6)
Приведенные соображения дают все основания отнестись серьезно к
упомянутой аналогии между физикой черных дыр и термодинамикой.
Основные законы физики черных дыр, играющие роль, аналогичную зако-
законам термодинамики, мы рассмотрим в § 11.3 после обсуждения общих
свойств поверхностной гравитации к и вывода так называемых массовых
формул, обобщающих соотношения (П.1.2) и (П.1.3) на случай произ-
произвольных стационарных черных дыр, окруженных стационарным распределе-
распределением вещества и полей.
§ 11.2. Поверхностная гравитация. Массовая формула
Согласно теоремам единственности (§ § 6.3, 6.4) уединенная стационар-
стационарная черная дыра в общем случае является керр-ньюменовской. Для такой
черной дыры значения угловой скорости Пн, поверхностной гравитации к
и электрического потенциала Фя постоянны на горизонте событий. Свойст
во постоянства этих величин сохраняется и в,том случае, если черная дыр?
окружена веществом, при условии, что геометрия пространства-времет
252

остается стационарной и аксиально-симметричной или статической. По-
Поскольку это свойство существенно для развития термодинамической анало-
аналогии в физике черных дыр, остановимся на нем подробнее.
Пусть ?М(,)ЭМ = Э, и ?^KМ = Э^. - векторные поля Киллинга, отве-
отвечающие сдвигу по времени и вращению. Определим бивектор рм „:
Рц» = 2%О)\и $(v)v\ • A1.2.1)
Тогда, как показал Картер A973а), при выполнении условия циркуляр-
циркулярное™ (см. § 6.4) горизонт событий произвольной стационарной аксиально-
симметричной черной дыры совпадает с множеством точек, где бивектор
рм v становится светоподобным (рм „ рм " = 0); при этом касательные век-
векторы /м к горизонту событий совпадают по направлению со световым век-
вектором, лежащим в двумерной световой площадке, растягиваемой вектора-
векторами ? (,) и ?(,?). Выбирая нормировку /м соответствующим образом, имеем
Из свойств симметрии пространства-времени следует, что угловая скорость
черной дыры О." не может зависеть ни от времени /, ни от угла \р:
fcM о" = fcM о" =П (\ 1 ~> 1\
Нетривиальным моментом является то, что ?1Н не зависит также и от
"широты" точки на поверхности черной дыры, т.е. постоянна на всей этой
поверхности. Для доказательства этого свойства введем обозначения
Поскольку ? (^) (как и ? (,\) лежит в плоскости, касательной к горизонту
событий, то % (^) / = 0, и из A1.2.2) имеем
Xll" = -W. A1.2.5)
Если продифференцировать это соотношение похаи использовать свойство
коммутативности [?(г)>?(^>] = 0, то нетрудно получить следующее ра-
равенство:
Х2пиа=2(^) W ^t)X)^)l3.,a . A1.2.6)
Умножим теперь обе части этого равенства на руЬ и проведем антисиммет-
антисимметризацию по индексам а, у и 8. Если учесть соотношение
вытекающее из условия циркулярное™ F.4.4), и обращение в нуль на
горизонте инварианта W2 + XV = — 2раCра'3, то можно убедиться, что пра-
правая часть полученного выражения равна нулю, и мы имеем
Вне оси симметрии (^#0) это условие означает, что Пиа лежит в двумер-
двумерной плоскости, растягиваемой векторами ?(f) и ?(^), а соотношение
A1.2.3) показывает, что п*'а =0. Тем самым доказано свойство постоянст-
постоянства S2 на горизонте событий. (В полюсных точках Пи определяется по
непрерывности.)
253

Свойство постоянства угловой скорости черной дыры Пн можно сфор-
сформулировать несколько иным способом. Введем векторное поле Киллин-
га т?:
На горизонте событий это векторное поле касательно к образующим го-
горизонта и V ¦ V =0*). Иными словами, постоянство ?1Н означает, что го-
горизонт событий совпадает с горизонтом Киллинга. Последний определяется
как световая поверхность, световые касательные векторы к которой сов-
совпадают (при соответствующей нормировке) с векторами некоторого
фиксированного поля Киллинга.
Перейдем теперь к доказательствву постоянства поверхностной грави-
гравитации к . Эта величина уже встречалась нам неоднократно, в частности,
при рассмотрении различных свойств керровской черной дыры. Дадим
теперь общее определение этой величины, пригодное для произвольной ста-
стационарной (не обязательно уединенной) черной дыры.
Поскольку величина т? • т? (равная нулю) постоянна на поверхности го-
горизонта событий, то вектор (т? • т?). „ нормален к этой поверхности. В силу
светового характера последней имеем
(V • ПУ» = 2кт)" , A1.2.10)
где к — инвариантная функция на поверхности черной дыры, называемая
поверхностной гравитацией. Так как ?(f) и ?(^) касательны к горизонту
и ?$ (t, т? = ?{. , т\- 0, то, применяя операторы Xj (f, и ?j, ¦. к обеим
частям A1.2.10), можно убедиться, что ?^f)K,M -%\^) к,м =0. Это
свойство — простое отражение свойств симметрии, присущей пространству-
времени. Гораздо менее тривиальным является независимость к от "ши-
"широты" точки на поверхности черной дыры.
Для доказательства постоянства к на всем горизонте событий, следуя
работе Бардина и др. A973), удобно использовать тетрадный формализм.
С этой целью дополним /м = т?м I н+ до комплексной световой тетрады,
выбрав комплексные световые векторы шм, 7пц касательными к поверх-
поверхности горизонта и нормированными соотношением шмшм = 1 и действи-
действительный световой вектор им, ортогональный т* и т м и нормированный
условием /мим = — 1. С помощью введенной комплексной световой тетрады
к можно записать в следующем виде:
K=-lv;tlnvl>'. A1.2.11)
Действительно, если, используя т?м. „ = -т?„ . ^, переписать A1.2.10) в
виде
VliT)vvl"K4v A1.2.12)
и воспользоваться тем, что на Я т?м =/м , то после умножения A1.2.12) на
«" получаем A1.2.11).
*) Существование векторного поля Киллинга A1.2.9), обладающего этим свойст-
свойством, является следствием теоремы Хокйнга (§ 6.2), из которой также вытекает,
что П = const.
254

С помощью A1.2.11) получим
maK.a = -lv.^anvlllma -lv.^ nu-altlma-lv.tlnultl;ama. A1.2.13)
Поскольку первый из членов в правой части зависит лишь от значения
/м на Н, то можно использовать совпадение на этой поверхности /м с век-
векторным полем Киплинга т?м. В частности, с помощью соотношения (П. 15)
для векторного поля Киллинга т?„. tia=Rpanvr)^ приведем первый член
в правой части A1.2.13) к виду - Rа&уЬ1атеРп&. Используя A1.2.12)
и соотношение lun"i a =—nulv.f a, второй член в правой части A1.2.13)
запишем в виде к/„; а п"та. Покажем теперь, что этот член сокращается
с последним членом в правой части A1.2.13). С этой целью заметим, что
условия нормировки нулевой тетрады приводят к соотношению
ямK = _иK/м_/)Зим+шK^-м+^-)ЗшМ1 A1.2.14)
Используя это соотношение, а также условия отсутствия сдвига и расши-
расширения поверхности горизонта событий
p = -/a.^mam^ = 0) a = -/a;/3mam'3 = O, A1.2.15)
перепишем последний член в правой части A1.2.13) в виде
= lv;tlnvl>'nple.ama = -Klv.anvma. A1.2.16)
Это выражение лишь знаком отличается от второго члена и сокращается
с ним. В итоге имеем
так.а = -RaPy6 1атрПп8 . A1.2.17)
Заметим теперь, что на поверхности горизонта
la#maiymlimy = 1а.фтатр.ут'г = 0. A1.2.18)
В этом можно убедиться с помощью A1.2.14), A1.2.15) и условий норми-
нормировки векторов тетрады. Поэтому с учетом (П. 15) и A1.2.15) имеем
lam^nn6. A1.2.19)
Используя это соотношение и уравнения Эйнштейна Raplam^ =
= 8тгТар1атР, перепишем A1.2.17) в виде
так.а = -8irTaplamp. A1.2.20)
Для завершения доказательства постоянства к мы предположим, что
тензор энергии-импульса Тар удовлетворяет условию энергодоминантности
(см. Приложение), т.е. для светоподобного вектора 1а Тар1а является
непространственноподобным вектором. При выполнении этого условия
вектор Тар1а на горизонте событий обязан быть светоподобным [слу-
[случай времениподобного вектора исключается, поскольку на горизонте
Тар1а1* = Ф = 0; см. F.2.2)]. Поэтому Г<?/3/аш/3 = 0 и соотношение
A1.2.20) доказывает, что к постоянна на горизонте.
255

Интегральные кривые х м = Xм (и) векторного поля т?м (dx мД/и =т?м)
на горизонте событий совпадают с его образующими и поэтому являются
геодезическими. В этом можно также непосредственно убедиться с по-
помощью соотношения A1.2.12). Поскольку правая часть этого уравнения не
обращается в нуль, то киллинговский параметр v не совпадает с аффинным
параметром X вдоль световых геодезических, описываемых этим уравне-
уравнением. Связь и и X имеет вид X = аек" + Ь, где а и Ъ - произвольные чис-
числа, отвечающие произволу в выборе афинного параметра X.
Остановимся теперь на физической интерпретации к. Рассмотрим стацио-
стационарного наблюдателя, движущегося вблизи черной дыры, для которого
мировая линия совпадает с интегральной кривой поля Киллинга т?м . Вектор
4-скорости такого наблюдателя
папа\ш
Если т?м описывается выражением A1.2.9), то такой наблюдатель, нахо-
находясь вблизи горизонта событий, обращается с угловой скоростью, совпа-
совпадающей с угловой скоростью черной дыры. Очевидно, движение подоб-
подобного наблюдателя негеодезично, 4-ускорение дм его движения равно
[ср. с (П. 16)]
A1.2.21)
Обозначим а = | дм дм |1/2 и т? = | т^т?*3 |1/2. Тогда, сравнивая A1.2.12) и
A1.2.21) .получим
к = lim(i?a), A1.2.22)
где lim означает переход к пределу, при котором рассматриваемая точка,
в которой вычисляется выражение т?д, стремится к горизонту событий.
Для невращающейся черной дыры т? не что иное, как фактор красного
смещения (т? = \J—gtt ). Представим себе, что тело покоится вблизи гори-
горизонта событий, удерживаемое невесомой жесткой нитью. Если масса те-
тела т, то, чтобы оно оставалось в покое, на него со стороны нити должна
действовать сила f чтакая, что / = I/M/M I U2 = та. Можно показать,
что при этом достаточно, чтобы на другой (удаленный) конец нити действо-
действовала сила /0 = mrja (см. § 2.2). Поэтому величину г\а можно интерпрети-
интерпретировать как ускорение тела, покоящегося вблизи черной дыры, измеренное
в системе отсчета удаленного наблюдателя. Иными словами, поверхностная
гравитация к характеризует предельную "напряженность" гравитационного
поля на поверхности черной дыры с точки зрения удаленного наолюдателя.
Аналогичный смысл имеет к и для вращающейся черной дыры — с той
лишь разницей, что рассматриваемое тело вращается со скоростью черный
дыры.
При описании физических эффектов в поле заряженных черных дыр
наряду с к обычно входит другая инвариантная величина Фя - потенциал
электрического поля на поверхности черной дыры. В гл. 7 отмечалось, что
256

эта величина постоянна на поверхности керр-ньюменовской черной дыры.
Покажем, что данный результат имеет общий характер и справедлив для
любой статической или аксиально-симметричной стационарной (не обяза-
обязательно уединенной) черной дыры.
Пусть ?м — векторное поле Киллинга и F^ „ - тензор электромагнитно-
электромагнитного поля, удовлетворяющий уравнениям Максвелла
F»v .v = 4я/",
A1.2.23)
'W0
и подчиненный условию симметрии
?tFMI, = 0. A1.2.24)
Тогда нетрудно убедиться, что вектор /?м = —F^t-" удовлетворяет условию
Е11чи]"° A1.2.25)
и, следовательно, является градиентом некоторой функции Ф:
Б» = Ф,м\ A1.2.26)
Покажем, что если А^ - вектор-потенциал поля F м„, удовлетворяющий
условию симметрии
то в качестве Ф можно выбрать величину
Ф = ~Аа%а. A1.2.28)
Действительно, дифференцируя A1.2.28) и используя A1.2.27), имеем
Для определенности будем считать, что потенциал выбран таким образом,
что /4М обращается в нуль на бесконечности. Если выбрать в качестве % м
векторное поле т?м A1.2.9), то значение Фя соответствующей величины Ф
на горизонте событий называется электрическим потенциалом черной
дыры. Покажем, что Фя постоянно на горизонте. С этой целью заметим,
что условие
Ttlulfilv = 0,
которое, согласно F.2.2), выполняется на поверхности произвольной ста-
стационарной черной дыры (/м = г?м I я ), для электромагнитного поля экви-
эквивалентно соотношению
(F a F - р- F Fa$ \1^ lv = FaF = П
/
т.е. на поверхности горизонта
где величина а в случае керр-ньюменовской черной дыры совпадает с "по-
17. И.Д. Новиков 257

верхностной плотностью заряда", введенной в гл. 7 [ср. с формулой
G.3.1) ]. Отсюда вытекает, что для любого вектора х м , касательного к по-
поверхности горизонта, имеет место равенство
ХМФЯМ = О,
что означает постоянство электрического потенциала Фи на горизонте
событий *).
Доказанное выше свойство постоянства величин ?1И, к и Фи на гори-
горизонте событий стационарной черной дыры оказывается существенным при
выводе так называемой массовой формулы. Эта формула устанавливает
связь наблюдаемой на бесконечности массы черной дыры с геометрически-
геометрическими характеристиками поверхности ее горизонта событий. А именно, Бардин
и др. A973) показали, что в стационарном аксиально-симметричном
асимптотически плоском пространстве-времени наблюдаемая на бесконеч-
бесконечности масса черной дыры М°° может быть записана в следующем виде:
ЛГ=-/B 7*-Гб?)*(|',)</о,1+2ПяУя + -?-А. A1.2.30)
где ?2Я - угловая скорость, У я - угловой момент, к - поверхностная
гравитация, А - площадь поверхности черной дыры, а Т?- полный тензор
энергии-импульса стационарного аксиально-симметричного распределения
вещества и полей вне черной дыры. Интегрирование ведется по простран-
пространственно подобной асимптотически плоской поверхности, пересекающей го-
горизонт событий по некоторой двумерной поверхности Э 53.Поверхность
выбрана так, что ?^ . являются касательными к этой поверхности, а на
асимптотической бесконечности 2 ортогональна ??,, .
Доказательство формулы A1.2.30) проводится следующим образом [Бар-
[Бардин и др. A973) ] - Для произвольного векторного поля Киллинга ?м
|м:";„=-Лм„Г. A1.2.32)
(Последнее из этих соотношений может быть получено сверткой (П.15) по
а и 0). Выбирая ?M,f) в качестве ?м , интегрируя A1.2.32) по поверхно-
поверхности 2 и используя теорему Стокса [см. (П. 33) ], имеем
/ ?{',y<*Va-'*'1''$<VV (П.2.33)
где dayLV и da^ - элементы поверхностей Э2 и 2 соответственно. При
описанном выше способе выбора поверхности 2 ее граница Э2 состоит из
*) При описании заряженной вращающейся черной дыры в рамках 5-мерной теории
гравитации Калуцы - Клейна величины П и ф' входят в выражения сходным обра-
образом и их свойства в известной мере аналогичны [Блейер и др. A985) ].
258

Рис. 83. Пространство-время стационарной черной ды-
дыры (иллюстрация к выводу массовой формулы)
границы черной дыры Э53и двумерной поверх-
поверхности Э 2^ на пространственной бесконечнос-
бесконечности (рис. 83).
Покажем, что массаЛ/°° черной дыры, изме-
измеренная удаленным наблюдателем в асимпто-
асимптотически плоской области по ее воздействию
на пробные частицы, дается следующим выра-
выражением:
м~ = ТГ S tfi\da*v (П.2.34)
Для этого предположим, что вдали от черной дыры покоится пробное тело,
Тогда 4-ускорение этого тела равно
аи =
A1.2.35)
Пусть 2 — пространственно подобная поверхность, ортогональная в
асимптотической области вектору мм = ?м/|?а?°Ч1 2 4-скорости тела.
В этой области гравитационное поле является слабым и легко устанавли-
устанавливается связь его инвариантных 4-мерных характеристик с ньютоновским
описанием. В частности, вектор д
. v
, лежащий в 2, имеет три
существенные компоненты. В ньютоновской теории этот трехмерный век-
вектор характеризует напряженность гравитационного поля и связан с потен-
потенциалом \р соотношением а,- = $ (- .По теореме Гаусса, поток этого вектора
через любую замкнутую двумерную поверхность 9 2^ (лежащую в 2),
охватывающую тяготеющее тело, равен 4тгЛГ°, где М°° - масса тела.
Пусть им - единичный вектор внешней нормали к 3 2^ , лежащий в 2.
Тогда
оо 1 ^
м = 77 / S(lf)""M"^2a. A1.2.36)
где d2o - элемент площади 32^ . Используя свойство A1.2,31), можно
выражение niluvd2a заменить на dayLl) = «jM uv\d2а; при этом соотноше-
соотношение A1.2.36) приводится к вицу A1.2.34).
Аналогичным образом можно показать, что полный угловой мо-
момент J системы, измеренный удаленным наблюдателем (например, по
эффекту увлечения Пенсе -Тирринга), дается следующим выражением * ) :
У~ = ~"8Т J *Mda»v A1.2.37)
3?
*) В справедливости формул A1.2.34) и A1.2.37) для массы Ми углового момен-
момента J можно убедиться непосредственной проверкой, если учесть, что вдали от тяго-
17*
259

Используя соотношение A1.2.33) и аналогичное соотношение для $, . ,
можно с учетом A1.2.34) и A1.2.37) получить
М~ = -/B7? - ТЖЩ»^ +МН, (П.2.38)
(V°m +уЯ' A1.2.39)
где интегралы в правых частях описывают вклад вещества и полей вне чер-
черной дыры в полные массу М°° и угловой момент J °° системы, а
м" = ~Ь '$<Td(v AL2-40)
- вклады в М°° и У°° массы и углового момента самой черной дыры *).
Выражение для Ми можно преобразовать следующим образом. Выразим
?^г) с помощью A1.2.9) через т?м и ?м. . Тогда имеем
' ^)"d(V=87ry""//+ /(";Ч' (П.2.42)
Ъ&З ЪйЗ
где /м = т?м |н. Если векторы шм и шм введенной выше комплексной
световой тетрады лежат в плоскости, касательной к дЗЗ, то do v -
= /. nv*dA, где AА — элемент площади двумерной поверхности ЪСЛ,
Используя определение A1.2.11) поверхностной гравитации к и ее
постоянство, интеграл в правой части A1.2.42) можно записать в виде
fl>1'%vdollv = KA, где А = / dA - полная площадь поверхности черной
дыры. Используя это равенство и подставляя A1.2.42) в A1.2.38), полу-
получаем массовую формулу A1.2.30).
теющего вращающегося тела метрика может быть записана в следующем виде:
+ A + O(rl))\dr2 +r2(de2 + si
*) Подчеркнем, что используемое нами значение (П.28) для элемента поверхности
daд„ согласуется с принятым в работах Бардина. Картера, Хокинга A973) и Картера
A973а) и вдвое меньше принятого в работах Картера A979) и Дамура A982), Отме-
Отметим также, что ориентация daftv на поверхностях ЭЕ^ и дЯ) выбрана таким обра-
образом, что
as эг,
260

Напомним, что в этой формуле Т$ - полный тензор энергии-импульса
вещества и полей вне черной дыры. При наличии электромагнитного поля
он складывается из двух частей: Т^"*'* - тензора энергии-импульса веще-
вещества и т\,ет ^м - тензора энергии-импульса электромагнитного поля.
Используя выражение (П.48) для Г*ет^м, формулу A1.2.30) можно
преобразовать к следующему виду [Картер A973а, 1979) ]:
<™\ A1.2.43)
где М*""' - вклад в полную массу, связанный с наличием вне черной
дары тока / м:
Ми — масса черной дыры с учетом энергии ее электромагнитного поля:
Мн = 2ПЯ7Я + ФНО + -?-А. A1.2.45)
оЯ
Здесь
pi =JH +J(em)Ht A1.2.46)
j(em)H^ J_ a . ^uj A1.2.47)
ЪЗЗ
a Q ~ 7— / F '"'dOp v - электрический заряд черной дыры.
ЪЗЗ
В приведенных формулах А^ - вектор-потенциал электромагнитного
поля, убывающий на бесконечности и удовлетворяющий соотношениям
Xj А = ?$ А = 0 *). В отсутствие вещества и токов вне черной ды-
дыры ее масса М°° совпадаете М . Соотношение A1.2.45) для изолирован-
изолированной черной дыры было получено Смарром A973а).
Интегральная массовая формула A1.2.30) позволяет найти разность
масс ЬМ°° для двух слегка отличных друг от друга статических или стацио-
стационарных аксиально-симметричных конфигураций, содержащих черную дыру.
Обозначим соответствующую вариацию метрики 6#м и фиксируем калиб-
калибровочный произвол bg^ v -»• 6#м „ + бхм „ (имеющийся в выборе этой ве-
величины) так, что S?^f, = 8?^,.ч = 0, а положение горизонта событий
остается неизменным. Тогда общее выражение для вариации массы
*) В существовании калибровки^ в которой выполняются эти соотношения, можно
убедиться, если использовать условия ?{ ,f. FMl, = ?j / ¦, F v = 0 стационарности и
аксиальной симметрии поля F v.
261

записывается следующим образом:
- - A1.2.48)
Если вне черной дыры нет вещества и полей, то последние два члена в этой
формуле отсутствуют и она совпадает с соотношением A1.1.3) для керров-
ской (Q = 0) черной дыры.
Приведем явное выражение для изменения &М°° полной массы системы
в случае, когда вне черной дыры вращается с локальной угловой скоро-
скоростью ?2 идеальная жидкость, описываемая тензором энергии-импульса
Г У")м , а система как до, так и после изменения ее параметров стационар-
стационарна и аксиально-симметрична [Картер A973а), Дамур A982)]:
-#-бЛ +8q, A1.2.49)
где
). A1.2.50)
Здесь d3j(m) = 7^m)M ?"! .do — элемент локального углового момента
вещества, d3Q = j M da^ — локальное распределение заряда, /м — электри-
электрический ток, Т = [-(?(f) + Щ , ))г]1ПТ, Т - локальная температура,
^з^(т) _ локальное распределение энтропии вещества, м = м Т/ Т, д -ло-
-локальный химический потенциал и d3N — локальное распределение числа
частиц.
Приведенные в этом параграфе интегральное и дифференциальное выра-
выражения для массовой формулы оказываются удобными при изучении много-
многочисленных вопросов, связанных с процессами, приводящими к изменению
параметров черной дыры. Они также относятся к числу основных соотноше-
соотношений, используемых при описании аналогов начал термодинамики в физике
черных дыр. К рассмотрению этого вопроса мы теперь переходим.
§ 11.3. Четыре закона физики черных дыр .
Согласно термодинамической аналогии в физике черных дыр следующие
величины:
Ьк „ А
0= , 5я = ——, Ь^Мс2 A1.3.1)
2-пкс А1\х
(к — поверхностная гравитация, А — площадь и М = М°° — масса черной
дыры) выполняют роль соответственно температуры, энтропии и внутрен-
внутренней энергии черной дыры. В термодинамике равновесие невозможно, если
температура разных частей системы различна. Наличие состояния термо-
262

динамического равновесия и существование температуры в термодинамике
постулируются нулевым началом. В физике черных дыр справедливо
аналогичное утверждение.
Нулевой закон физики черных дыр. Поверхностная гравитация к стацио-
стационарной черны дыры постоянна везде на поверхности горизонта событий.
Это утверждение в предположении о выполнимости условия знергодоми-
нантности было доказано в предыдущем параграфе.
Приведенная выше дифференциальная массовая формула позволяет
сфо рмулировать
Первый закон физики черных дыр. Изменение массы ЬМ системы, содер-
содержащей черную дыру, при переходе этой системы из одного стационарного
состояния в другое, близкое к нему стационарное состояние дается
выражением
6М = 065я+Г2яб7я+Фя60 + 6д, A1.3.2)
где б J н и SQ - изменения полного углового момента и электрического
заряда черной дыры, г 8q — вклад в изменение полной массы, связанный
с изменением состояния стационарного распределения вещества вне черной
дыры [дляидеальной жидкости 6^ имеет вид A1.2,50)].
При описании классических процессов в поле черных дыр, для которых
выполняется теорема Хокинга, можно сформулировать следующий аналог
второго начала термодинамики,
Второй закон физики черных дыр. Для любых классических процессов
площадь поверхности черный дыры А, и, следовательно, ее энтропия 5я
не убывает:
65я > 0. A1.3.3)
В обоих случаях (в термодинамике и физике черных дыр) второе начало
означает присущую системе в целом необратимость и выделяет тем самым
направление времени. В термодинамике закон возрастания энтропии приво-
приводит к тому, что часть внутренней энергии, которая не может быть превра-
превращена в работу, увеличивается со временем. Совершенно аналогично закон
возрастания площади черной дыры означает, что доля внутренней энергии
черной дыры, которую из нее нельзя извлечь, возрастает со временем. Как
и в термодинамике, величина 5я связана с невозможностью получить
информацию о строении системы (в данном случае - черной дыры).
Квантовые эффекты нарушают условия применимости теоремы Хокин-
Хокинга. Так, при квантовом испарении черной дыры ее площадь уменьшается и
неравенство A1.3.3) оказывается нарушенным. Существенно, однако, что
излучение черной дыры имеет тепловой характер и сопровождается возрас-
возрастанием энтропии в окружающем пространстве. Можно убедиться, что в этом
процессе величина 5, называемая обобщенной энтропией и равная сумме
энтропии черной дыры 5я и энтропии вещества вне черной дыры Sm :
S = 5я + S"' A1.3.4)
не убывает. Для этого заметим, что скорость (по часам удаленного
наблюдателя) потери черной дырой массы и энтропии в виде излучения
263

безмассового поля спина s можно записать в виде
^= \oshsl.se\ j?- = ±osi}shsXse\ A1.3.5)
где hs - число поляризаций поля, as = эт2/30 для бозонов и 7я2/240 для
фермионов, 2^ - эффективное сечение черной дыры, в - ее температура
и /За - безразмерный коэффициент порядка 1. С другой стороны, для
невращающейся черной дыры изменение ее энтропии Би связано с измене-
изменением массы М соотношением
dSH = в-ЧМ. A.1.3.6)
Сравнивая A1.3.5) и A1.3.6), находим [Зурек A982)]
«=$рг*Ь" AL3-7)
Численный счет на основе формул (9.5.28) и (9.5.39а),выполненный Зуре-
ком A982) и Пэйджем A983), показывает, что коэффициент /3 всегда
больше 3/4, откуда следует, что обобщенная энтропия S в процессе излуче-
излучения одиночной черной дыры возрастает, Можно показать [Зурек A982)],
что если снаружи черной дыры имеется чернотельное излучение с температу-
температурой 0, то обобщенная энтропия по-прежнему возрастает - за исключением
случая, когда в = в. В этом случае увеличение энтропии в окружающем чер-
черную дыру пространстве в точности компенсируется ростом энтропии черной
дыры в результате аккреции на нее теплового излучения,
Приведенные соображения дают основания предположить, что
выполняется
Обобщенный второй закон физики черных дыр. Для всех физических
процессов с участием черных дыр обобщенная энтропия S, определяемая
соотношением A1,3,4), не убывает *):
65 > 0. A1.3.8)
Современный статус этого закона в физике черных дыр в известной мере
напоминает статус второго начала термодинамики до появления статистиче-
статистической механики. Различные мысленные эксперименты, обсуждавшиеся
в литературе, его подтверждают, однако последовательный вывод этого
закона из основных принципов квантовой механики и теории гравитации
пока отсутствует.
Остановимся подробнее на одном из таких мысленных экспериментов
[Бекенштейн A973b, 1974)]. Представим себе, что излучение (или вещест-
вещество) с энергией Ет и энтропией Sm помещено в ящик.с непроницаемыми
(зеркальными) стенками, и пусть этот ящик медленно опускается на
невращающуюся черную дыру. В момент, когда нижняя часть ящика нахо-
находится в непосредственной близости от поверхности черной дыры, в нем
*) Впервые в такой форме обобщенный второй закон был предложен Бекенштей-
ном A973b, 1974) еще до открытия квантового излучения.черной дыры.
264

открывается крышка и все его содержимое падает в черную дыру. Затем
ящик поднимается обратно.
Оценим изменение обобщенной энтропии при этом процессе. Пусть все
размеры ящика, в том числе и его вертикальный размер /, малы по сравне-
сравнению с rg. В момент, когда нижняя грань ящика достигает черной дыры,
верхняя его грань находится при г = rg + Аг, где Аг ъ 1 2 /4rg. Переда-
Передаваемая черной дыре энергия (с учетом красного смещения) не превосходит
величины
_/ rg\u2 I
\ ~~7) ~~гГж
а увеличение энтропии черной дыры
Из приведенного рассуждения следует, что обобщенная энтропия в таком
процессе не убывает, если только справедливо неравенство Sm <2irlEm*K
На первый взгляд, если выбрать / достаточно малым и много меньшим
остальных двух размеров ящика, то открывается возможность нарушения
обобщенного второго закона. Унру и Уолд A982, 1983а) показали, что
этот вывод неверен. Дело в том, что в приведенном рассмотрении не учтены
эффекты, связанные с поляризацией вакуума. Учет этих эффектов сущест-
существенно изменяет ситуацию.
По предположению, стенки ящика зеркальные. При медленном переме-
перемещении ящика по мере приближения к черной дыре они испытывают все
большее ускорение, а ускоренное движение зеркальных границ в результа-
результате квантового эффекта порождает потоки энергии. Этот эффект хорошо
известен в плоском пространстве-времени [см. Де Витт A975), Биррел,
Девис A982)]. Физическая причина его в следующем. При отражении
излучения от зеркальной границы на ней индуцируются заряды и токи.
Аналогичное явление происходит и в вакууме; при этом "наведенные" ну-
нулевыми колебаниями заряды и токи флуктуируют и их средние равны ну-
нулю. Если подобное тело начинает двигаться ускоренно, то "наведенные"
заряды и токи излучают. При движении плоского зеркала с возрастающим
ускорением в плоском пространстве-времени по обе стороны от зеркала
имеются потоки энергии, совпадающие по направлению с вектором ус-
ускорения**).
Аналогичный эффект, как показали Унру и Уолд A982, 1983а), имеет
место и при опускании на черную дыру ящика с зеркальными границами.
Поскольку ускорение нижней стенки всегда больше ускорения врехней,
медленное опускание ящика приводит к дополнительному положитель-
*) Относительно выполнимости этого ограничения для реальных физических
систем см. Бекенштейн A982, 1983), Унру, Уолд A983а).
**) Для скалярного безмассового поля в двумерном пространстве-времени этот
поток Ти„>]^— (и*1 — 4-скорость, в** - 4-ускорение) равен — (т - собственное
a 12jt dr
время наблюдателя на поверхности зеркала).
265

ному потоку энергии, связанному с поляризацией вакуума стенками ящи-
ящика, внутрь черной дыры. В результате величина энергии е, переданной чер-
черной дыре, и связанное с ней изменение энтропии 5 я будут больше и обоб-
обобщенная энтропия не убывает.
Отметим, что при этом процессе излучение зеркальных стенок внутрь
ящика приводит к уменьшению энергии его содержимого. Если опускается
пустой ящик, то энергия, заключенная внутри него, может стать отрица-
отрицательной. В точке, в которой ускорение покоящегося ящика равно
а (а > к), плотность энергии внутри ящика становится порядка — аГа4, где
Та = а/2я — локальная температура, измеряемая покоящимся наблюдате-
наблюдателем в этой точке (см. § 10.3). Если теперь открыть этот ящик, то появит-
появится поток отрицательной энергии внутрь черной дыры, который прекратит-
прекратится, как только плотность энергии-импульса излучения в ящике станет по-
порядка плотности энергии-импульса < Tv > в окрестности рассматриваемой
точки (~ а(к/2этL). Если теперь закрыть ящик и извлечь его наружу, то
отдаленный наблюдатель обнаружит, что он заполнен тепловым излучением
с температурой Та = а/2п. В результате такого циклического процесса
масса черной дыры слегка уменьшится, а соответствующая энергия (рав-
(равная разности энергии извлеченного излучения и затраченной в данном цик-
цикле работы) может быть использована для совершения работы [Унру, Уолд
A982,1983а)].
Повторяя цикл, можно непрерывно черпать энергию даже из холодных
(массивных) черных дыр. Ограничение на допустимую мощность, получае-
получаемую в таком процессе, найдено в работе Унру и Уолда A983b) и имеет
вид \dE\dt |^ cs/G * 3,6 * 10s9 эрг/с. Этот процесс также не нарушает
обобщенного второго закона физики черных дыр.
Тот факт, что в обобщенный закон на одинаковом основании входят,
казалось бы, разные по своей природе величины: Sm - характеризующая
"степень беспорядка" строения физического вещества и SH .— геометри-
геометрическая характеристика черной дыры, еще раз указывает на их глубокое
родство. По сути дела, сама возможность такого родства заложена уже в
уравнениях Эйнштейна, которые связывают физические характеристики
вещества с геометрическими характеристиками пространства-времени.
Наличие связи тепловых свойств черных дыр с потерей информации об
области пространства-времени внутри нее'находится в согласии с общим ин-
информационным подходом к термодинамике, который был сформулиро-
сформулирован Сцилардом A929) и развивался многими физиками и математика-
математиками [см:, например, книги Бриллюэна A956) и Поплавского A981*)].
Суть этого подхода состоит в том, что существует прямая связь между не-
недостатками информации о физической системе и величиной ее энтропии.
В черной дыре информация о состоянии сколлапсировавшего вещества
"отсекается" мощными силами тяготения. Черная дыра "забывает" свою
предысторию, сохраняя память .только о "макроскопических" характерис-
характеристиках: массе, заряде и угловом моменте. В соответствий с этим энтропия
черной дыры 5 я служит мерой потери информации в результате коллапса,
и число различных ("микроскопических") состояний системы, коллапс
Которой приводит к образованию черной дыры с заданными парамет-
266

рами M,J, Q, должно быть пропорционально exp [S (M, J, Q)lk] [Бекенш-
тейн A973b, 1980), Хокинг A976а), Уолд A979b)]. Прямое вычисление
этого числа состояний представляет собой весьма сложную и еще не решен-
решенную задачу.
Имеются и другие подходы к определению пространства микросостоя-
микросостояний черной дыры. Мы кратко остановимся на двух из них. Йорк A983)
обратил внимание на то, что при квантовом испарении черной дыры проис-
происходит тепловое возбуждение ее гравитационных квазинормальных мод.
Его предложение состоит в том, чтобы определить энтропию черной дыры
как логарифм числа различных состояний возбуждения этих мод в процес-
процессе испарения черной дыры.
Зурек и Торн A985) связывают энтропию черной дыры с логарифмом
числа различных состояний, которые могут существовать в тонком поверх-
поверхностном слое вне черной дыры, лежащем между горизонтом событий и
"растянутым" горизонтом (см. § 7.3).
Несмотря на определенные успехи описанных выше подходов, как уже
отмечалось выше, строгое микроскопическое определение энтропии черной
дыры и обоснование обобщенного второго закона остаются пока нерешен-
нерешенными проблемами физики черных дыр.
Сформулируем, наконец, аналог третьего закона термодинамики [Бар-
[Бардин и др., 1973)]*).
Третий закон физики черных дыр. Температуру черной дыры невозмож-
невозможно обратить в нуль посредством любого конечного числа операций.
Поскольку в обращается в нуль одновременно с к, то это возможно
лишь в том случае, когда уединенная стационарная черная дыра является
экстремальной: М2 = а2 + Q2. Невозможность за конечное число шагов
с помощью физических воздействий превратить черную дыру в экстремаль-
экстремальную тесным образом связана с невозможностью достижения состояния
с М2 < а2 * Q2, при котором появлялась бы голая сингулярность и проис-
происходило нарушение принципа "космической цензуры". Анализ конкретных
примеров [см., например, Уолд A974а)] показывает^что чем ближе состоя-
состояние черной дыры к экстремальному, тем ограничительное становятся усло-
условия возможности выполнения следующего шага.
§ 11.4. Черная дыра как термодинамическая система
Рассмотрим более подробно ситуацию, когда черная дыра окружена
излучением черного тела при некоторой температуре Т**). Как уже отме-
отмечалось выше, если эта температура совпадает с температурой черной ды-
дыры 0, то имеет место равновесие, при котором аккреция излучения на чер-
*) Следует особо подчеркнуть, что другая формулировка третьего закона термоди-
термодинамики, гласящая, что энтропия системы обращается в нуль при нулевой абсолют-
абсолютной температуре системы, несправедлива в случае черных дыр, поскольку площадь А
остается конечной при к -* 0.
**)Мосс A984) указал на возможность того, что при квантовом испарении черной
дыры в результате фазового перехода вокруг нее образуется'"пузырь" новой фазы.
При определенных условиях частицы, излучаемые черной дырой, будуд- отражаться
от стенки пузыря и, накапливаясь внутри него, приводить к появлению вне черной
дыры высокотемпературной среды.
267

ную дыру компенсируется хокинговским излучением дыры*). Нетрудно
убедиться, что зто равновесие является неустойчивым. Действительно,
пусть в результате случайной флуктуации в течение некоторого интервала
времени черная дыра поглотила меньше энергии, чем излучила. В этом слу-
случае ее масса слегка уменьшится, а температура в возрастет, что приведет
к дальнейшему увеличению скорости излучения и к дальнейшему уменьше-
уменьшению массы черной дыры. С другой стороны, флуктуация, приводящая к
увеличению массы черной дыры, понизит ее температуру и темп хокинговс-
кого излучения. В этом случае лидирующим процессом станет аккреция
излучения на черную дыру. Иными словами, при наличии достаточного ко-
количества излучения вокруг черной дыры возможны две ситуации: либо
полное испарение черной дыры, либо неограниченный рост ее размеров**).
Указанная особенность поведения невращающихся незаряженных черных
дыр непосредственно связана с тем, что их удельная теплоемкость
C=Q[ I A1.4.1)
отрицательна (С = -8этЛ/2). Отрицательная теплоемкость означает, что
уменьшение энергии системы приводит к росту ее температуры (dE = CdQ).
Это свойство характерно для систем с дальнодеиствующими силами притя-
притяжения, в частности для систем с гравитационным самодействием. Нетрудно
убедиться, используя, например, теорему вириала, что уменьшение разме-
размеров системы, приводящее к уменьшению потенциальной и полной энергии,
одновременно ведет к возрастанию кинетической энергии частиц систе-
системы (температуры тела).
Покажем, что если черная дыра помещена в резервуар с излучением, об-
обладающим конечной энергией, то возможна устойчивая равновесная конфи-
конфигурация. Пусть температура излучения Т; тогда его энергия Ет и энтро-
энтропия 5'" равны
4
/Г = aVT4, 5'" =— aVT3, A1.4.2)
где V — объем резервуара,
ж2 I 7 1
пь - число бозонных полей со спином, отличным от нуля, iij - число фер-
мионных полей и ns - число скалярных полей (для простоты мы рассмат-
рассматриваем только безмассовые поля). Условие устойчивого равновесия в сис-
*) Гиббоне и Перри A976, 1978) показали, что учет взаимодействия тепловых
квантов друг с другом не изменяет лого вывода.
**) Поскольку черная дыра не может находиться в устойчивом тепловом равнове-
равновесии с неограниченно большим резервуаром тепловой энергии, то для описания систем,
содержащих черные дыры, нельзя использовать обычный канонический ансамбль
статистической механики. При этом, однако, остается возможность описания подоб-
подобных систем с помощью микроканонического ансамбля [Хокинг A976а) ].
268

теме, состоящей из резервуара с излучением и помещенной внутрь него
черной дырой, состоит в максимальности обобщенной энтропии
4
S = SH+Sm = 4тгМ2+ — aVT3 A1.4.4)
при фиксированном значении полной энергии
E = M+aVT\ A1.4.5)
Используя связь dM/dT = -4а VT3, вытекающую из A1.4.5), можно
убедиться, что экстремум 5 достигается при условии Т = 0 = 1/8тгМ, озна-
означающем совпадение температуры излучения и температуры черной дыры.
Это состояние равновесия устойчиво, если d2S/dT2 < 0, что эквивалентно
выполнению неравенства
Ет<—М. A1.4.6)
4
Механизм устойчивости такого равновесия следующий. Допустим, как и
выше, из-за флуктуации черная дыра поглотила больше энергии, чем излу-
излучила. Ее температура, а следовательно и скорость излучения, при этом упа-
упадет. Однако из-за уменьшения количества излучения вне черной дыры по-
понизится и скорость аккреции его на дыру. Привыполнении условия A1.4.6)
второй из эффектов оказывается более существенным, и, уменьшив свою
массу за счет избытка излучения над аккрецией, черная дыра вернется
в исходное состояние. Аналогичным образом обстоит дело и с флуктуация-
ми, связанными с уменьшением массы черной дыры.
Условие A1.4.6) может быть переформулировано как ограничение на
объем V. Обозначим
220тг4
A1.4.7)
Тогда, если V > VCI, то наиболее вероятным состоянием будет тепловое
излучение без всякой черной дыры.В случае обратного неравенства (К < Vcr)
система содержит черную дыру, окруженную тепловым излучением при
температуре Т = в [Хокинг A976а)]. Процесс возникновения черной дыры
при V = VCT при уменьшении объема V напоминает фазовый переход перво-
первого рода и сходен с процессом образования капли жидкости при охлажде-
охлаждении пара.
Для заряженной вращающейся черной дыры теплоемкость, рассчитанная
с помощью формулы, аналогичной A1.4.1), имеет вид
MTS3
С = . A1.4.8)
nJ2 + — Q« - T2S3
4
Если обозначить J2 = аЛ/4 и Q2 = /Ж2, то нетрудно убедиться, что величи-
величина С изменяет знак при параметрах а и /3, удовлетворяющих соотноше-
соотношению [Девис, A977)]
а2 +6а + 4/3-3 = 0, A1.4.9)
принимая в этой точке бесконечное значение. Хотя это свойство теплоем-
269

кости в известной мере сходно со свойством теплоемкостей- обычных
веществ при фазовых переходах второго рода, рождение заряженных
частиц и квантовый аналог суперрадиации делают затруднительным акку-
аккуратное рассмотрение физических особенностей, связанных с описанным вы-
выше, поведением коэффициента удельной теплоемкости С [Девис A977),
Хут A977), Соколовский, Мазур A980)].
Исследованная нами в этой главе термодинамическая аналогия в физи-
физике черных дыр ограничивалась, по сути дела, равновесной термодинами-
термодинамикой (т.е. рассмотрением равновесных состояний и различных соотношений,
связывающих характеристики таких состояний). Эта аналогия на самом
деле шире. Ее можно проследить и для неравновесной термодинамики,
которая описывает необратимые переходы системы из одного состояния
в другое и процессы, происходящие при переходе системы в состояние
термодинамического равновесия [Дамур A979)]. Общее обсуждение
проблем необратимой термодинамики черных дыр можно найти в работе
Шьямы A981). Относительно изменения энтропии черной дыры при нерав-
неравновесных процессах см. Хокинг, Хартль A972), Бекенштейн A974),
Картер A979).
В этой и предыдущих главах при описании черных дыр основное внима-
внимание уделялось тем их свойствам, которые доступны для изучения отдален-
отдаленному наблюдателю. Прежде чем перейти к обсуждению строения простран-
пространства-времени внутри черной дыры, сделаем одно общее замечание. Исход-
Исходной при рассмотрении черных дыр являлась' точка зрения на них как на та-
такие объекты, которые наделены сильным гравитационным полем и обла-
обладают важнейшим свойством: все поглощают и ничего не излучают, а гори-
горизонт событий — это нематериальная мысленная граница, отделяющая об-
область, откуда ничто не выходит, от внешнего пространства. В процессе
изучения различных физических процессов с участием черной дыры проис-
происходило постепенное расширение представлений о ней. Оказалось, что в этих
процессах черная дыра до известной степени ведет себя так же, как другие
реальные материальные тела, и характеризуется целым набором физичес-
физических свойств. Поверхность черной дыры как бы обладает натяжением. При
отсутствии внешних воздействий невращающаяся черная дыра принимает
сферическую форму. Резкое воздействие вызывает в ней собственные коле-
колебания, которые затухают со временем так, как будто имеется трение (ква-
(квазинормальные моды, § 3.2). Во внешнем статическом поле черная дыра
деформируется как упругое тело (§8.5). Если черная дыра вращается,
то угловая скорость вращения ее поверхности постоянна, как у твердого
тела (§ 11.2). Черная дыра излучает как нагретое тело (§ 9.5), имеет оп-
определенную энтропию (§11.3) и подчиняется термодинамическим зако-
законам ( § 11.3) . Черная дыра обладает поверхностной вязкостью. Покоящееся
внешнее тело, оказывающее приливное воздействие на горизонт вращаю-
вращающейся черной дыры, приводит к постепенному замедлению ее вращения
и возрастанию ее энтропии [Хокинг, Хартль A972), Хартль A9737 1974)].
В электродинамических процессах она ведет себя так, будто на ее поверх-
поверхности внешнее поле индуцирует поверхностные заряды и токи, удовлетво-
удовлетворяющие закону сохранения и законам Гаусса, Ампера и Ома, причем ее
поверхностное сопротивление равно 377 Ом (§ 7.3) .
270

Подобный подход к черной дыре как к физическому телу с определен-
определенными поверхностными свойствами нашел свое отражение в так называе-
называемом мембранном формализме, уже упоминавшемся в § 7.3. Этот форма-
формализм был сформулирован в работах Дамура A978, 1979, 1982) и Знае-
ка A978) и развит на основе метода  + 1 "-расщепления пространства-
времени Торном, Макдональдом A982), Прайсом, Торном A985) и Тор-
Торном A986) [общий обзор см. Торн и др. A985)].
Подчеркнем, однако, еще раз: хотя подобный подход до известной
степени облегчает рассмотрение различных эффектов с участием черных
дыр и позволяет привлекать обычную физическую интуицию, необходимо
помнить, что, конечно же, никакой материальной оболочки у черной дыры
нет, а сам подход не что иное, как удобный способ описания этих объектов
внешним наблюдателем.

ГЛАВА 12
ВНУТРЕННЯЯ СТРУКТУРА ЧЕРНЫХ ДЫР
§ 12.1. Пространство-время и физические поля
внутри шварцшильдовской черной дыры
Структура пространства-времени внутри невращающейся черной дыры
была рассмотрена нами в гл. 2. Здесь мы обсудим поведение физических
полей и проблему устойчивости внутренней части шварцшильдовской чер-
черной дыры с г < rg, аналогично тому, как это было сделано для простран-
пространства вне черной дыры в гл. 3.
Данная задача была решена в работе Дорошкевича и Новикова A978*).
Вопрос о свойствах пространства-времени внутри черной дыры имеет
принципиальное значение для проблемы гравитационного коллапса и приро-
природы сингулярности, хотя эта область и недоступна исследованию для наблю-
наблюдателя, остающегося вне черной дыры. Общие теоремы о свойствах черных
дыр, рассмотренные нами в гл. 5, не дают конкретного выражения для
структуры пространства-времени внутри черной дыры. Иногда высказы-
высказывались предположения, что под горизонтом черной дыры все радиационные
ноля, все возмущения нарастают, становятся нелинейными и структура
метрики должна быть крайне замысловатой.
Кроме того, мы видели в § 6.5, структура аналитического продолжения
решения для метрики пространства-времени внутри заряженной и вращаю-
вращающейся черной дыры весьма сложна и выглядит даже фантастической. Дей-
Действительно ли, эта структура хоть в какой-то степени осуществляется при
реальном образовании черной дыры?
В этом и следующем параграфах мы дадим ответ на поставленные вопро-
вопросы. Сначала мы исследуем распространение физических полей внутри шварц-
шварцшильдовской черной дыры и устойчивость ее внутренней структуры.
Рассмотрим возмущение в виде падающего в черную дыру пробного
объекта, являющегося источником интересующего нас поля (скалярного,
электромагнитного, гравитационного и т.д.) . Нас будут интересовать свой-
свойства волновых полей много времени спустя после Падения объекта в чер-
черную дыру, т.е. при стремлении к /+ (см., например, рис. 50с) в области Т-
(или, как мы ее еще обозначали, области IT).
Такая асимптотика означает, что t -* °° при использовании координат
B.2.1). Исследование "хвостов" излучения (см. § 3.4) для внешней облас-
области R показало, что при фиксированном г радиационные «моды излучений
убывают по степенному закону при t -*¦ °°. Для самого горизонта г = rg это
означает, что если ввести аффинный параметр V вдоль нулевых геодези-
геодезических, образующих горизонт, то при V -*¦ °° возмущения будут убывать
также по степенному закону. Эволюция волнового поля в области Т-
будет определяться уравнениями вида C!Т. 1) , C.1.2) приг <rg.
272

Соответствующий математический анализ проведен в цитированной
выше работе Дорошкевича и Новикова A978*). Результаты его следующие.
Для скалярных возмущений
Ф«Я1/-2(/+1>+Д2/-B' + 3>1п/-, A2.1.1)
raeDt uD2 - константы.
Для возмущений, описываемых полями с s # 0 (в том числе и для
возмущений метрики), главный член слагаемого, зависящего от г, имеет
для радиационных мультиполей I > s вид
Ф, ~?>з'~B'+3)/--п A2.1.2)
(D3 и и - постоянные) .
Таким образом, при фиксированном г и t -*¦ °° радиационные моды
возмущений от внешних источников затухают и пространство-время стре-
стремится к "стационарному" состоянию, описываемому решением Шварц-
шильда. Ситуация аналогична рассмотренной нами в гл. 3 для внешней
области черной дыры. Однако при г < rg имеются и существенные отличия.
Во-первых, при г < rg координата г играет роль временной координаты,
а / - пространственной. Поэтому правильнее говорить о стремлении к сос-
состоянию, зависящему только от г, а не о стремлении к стационарному сос-
состоянию.
Во-вторых, что более существенно, при приближении к сингулярности
при фиксированном t возмущения неограниченно нарастают. Общее реше-
решение вблизи сингулярности без учета квантовых эффектов было построено
Белинским, Лифшицем и Халатниковым A970*). Вблизи сингулярности
уже неприменим метод малых возмущений. Граница области, где возму-
возмущения становятся уже не малыми, дается выражением (s Ф 0)
rn~D3t-V' + 3\ A2.1.3)
Эта область "стягивается к сингулярности с ростом t. Кроме этой, все более
узкой при t -*¦ °° области, решение Шварцшильда относительно малых воз-
возмущений устойчиво везде внутри черной дыры, а все радиационные моды
с ростом t затухают по степенному закону.
Излучения от элементарных возмущений, возникающих в области г < rg,
распространяются только на конечную (малую) область внутри черной
дыры, так как сигналы от них "упираются" в сингулярность. Эти возму-
возмущения никак не влияют на свойства черной дыры при t -*¦ °°.
Важнейший вывод из всего сказанного состоит в том, что решение
Шварцшильда в ТЦэбласти устойчиво точно так же, как и в /{-области.
Несколько слов о не радиационных мультиполях возмущений, связан-
связанных с падающими в черную дыру частицами или с самим коллапсирующим
телом, порождающим черную дыру. Для электромагнитных возмущений
таким мультиполем является / = 0 (кулоновское поле падающего заря-
заряда) , для гравитационных возмущений — это / = 0 (поле добавочной массы)
и / = 1 (поле момента количества движения). Перечисленные мультиполи
не затухают при t -*-°°, известным образом нарастают при г -*¦ 0, а вблизи
г = 0 они перестраивают метрику, так как эта ситуация соответствует
переходу к метрике Рейсснера - Нордстрема в случае добавления элект-
электрического заряда и к метрике Керра в случае'добавления момента коли-
количества движения. Об этих метриках в связи с внутренней структурой чер-
18.И.Д. Новиков 273

ной дыры мы будем говорить далее, а здесь только подчеркнем, что если
поправки к метрике и возмущающие поля становятся существенными
достаточно близко к сингулярности г = 0, то они не имеют прямого физи-
физического смысла. Дело в том, что вблизи сингулярности, где кривизна
пространства-времени становится больше планковской (т.е. больше
1//^) или для квадратичного инварианта кривизны
... Пг\ 1
RmmRlklm = —f > -7- ., A2.1.4)
r 'pi
существенны квантовые процессы, и всю область, определяемую A2.1.4),
с точки зрения классической теории следует считать сингулярностью.
Нам осталось рассмотреть нерадиационные мультиполи физических
полей, связанные с внешними источниками. Если они (источники) стаци-
стационарны, т.е. характерное время изменения поля t > fg/c, то, как показано
в § 3.4, поля этих источников, для которых к = О, свободно проникают
в черную дыру сквозь потенциальный барьер. Мы предполагаем зти поля
слабыми на rg. Внутри черной дыры они, так же как и снаружи, не зависят
от координаты t.
Типичные примеры, которые мы здесь обсудим, — влияние на внутрен-
внутреннюю структуру черной дыры внешнего стационарного квадрупольного
гравитационного поля и внешнего стационарного магнитного поля, одно-
однородного вдали от черной дыры.
В § 8.5 было приведено точное решение, описывающее черную дыру
во внешнем квадрупольном поле [Дорошкевич и др. A965*)].
Выражение (8.534) показывает, что если параметр q, описывающий
квадрупольный момент, достаточно мал, и поэтому поправки к метрике
малы на г = rg, то они остаются малыми везде при г < rg вплоть до
сингулярности г = 0. Никакой неустойчивости внутри черной дыры при
этом не возникает.
Рассмотрим теперь магнитное поле, однородное на пространственной
бесконечности. Будем считать это поле слабым. Тогда для отличных от
нуля компонент тензора электромагнитного поля имеем [Гинзбург, Озер-
Озерной A964*)]
в р*г ±11±\ A2.1.5)
ВО ( г А
г \ г I
где Во — напряженность магнитного поля на бесконечности. Внутри черной
дыры компонента F*r описывает электрическое поле. При г -* 0 компо-
компоненты тензора электромагнитного поля неограниченно нарастают, что,
однако, не ведет к перестройке метрики, так как компоненты тензора
энергии-импульса, построенные из компонент A2.1.5), растут медленнее,
чем соответствующие выражения, описывающие кривизну пространства-
времени .
Еще раз отметим, что вблизи истинной математической сингулярности
г = 0 возникает физическая сингулярность, где существенны квантовО-
гравитационные процессы. Кроме того, дальше от сингулярности (где кри-
кривизна еще мала) также могут возникать квантовые явления при наличии
других полей, кроме гравитационного. Эти явления в некоторых случаях
274

существенно влияют на метрику. Они будут рассмотрены в следующих
параграфах.
Наконец, в очень больших временных масштабах на метрику влияет
процесс хокинговского испарения черных дыр.
§ 12.2. Неустойчивость горизонтов Коши
внутри заряженной сферической черной дыры
Рассмотрим поведение малых возмущений гравитационного и электромаг-
электромагнитного полей внутри заряженной сферически-симметричной черной дыры.
Качественно новым обстоятельством по сравнению с черной дырой
Шварцшильда является здесь наличие горизонтов Коши (см. § 6.5).
На рис. 84 изображен фрагмент диаграммы Пенроуза с внутренней частью
(область II) заряженной черной дыры и внешним пространством I. Если
заряженная черная дыра образуется в результате коллапса заряженного тела
из пространства I, то другое внешнее пространство (Г на рис. 67) отсут-
отсутствует, как и в случае коллапса незаряженного сферического тела, прев-
превращающегося в черную дыру Шварцшильда (см. § 2.7). Поэтому область
Г на рис. 84 не показана. Есть веские основания считать (см. § 6.5), что
малые возмущения могут неограниченно нарастать в окрестности r_ x
[Пенроуз A968)].
Действительно, рассмотрим малое возмущение гравитационного и
(или) электромагнитного поля вне черной дыры в области I. Как мы уже
показали в § § 3.4 и 4.7, "хвосты" излучения от него будут затухать во
времени по степенному закону при г = const из-за рассеяния на кривизне
пространства-времени. Такой затухающий поток излучения будет пере-
пересекать горизонт событий г* и концентрироваться вдоль горизонта r_tl
(см. рис. 84). Наблюдатель, движущийся по времениподобной мировой
линии и пересекающий горизонт г.^,, за конечное собственное время
увидит это излучения вблизи /¦__ t (оно попадает в черную дыру за беско-
бесконечное время внешнего наблюдателя). При этом, когда наблюдатель приб-
приближается к г_, 1, воспринимаемое им излу-
излучение имеет бесконечное голубое смеще-
смещение. Естественно ожидать, что такая кон-
концентрация энергии приведет к перестрой-
перестройке пространства-времени и к возникно-
возникновению вместо г_ истинной сингулярнос-
сингулярности пространства-времени. В то же время
вдоль горизонта r_ 2 (за исключением
точки D) никакой концентрации энер-
энергии не возникает, и поэтому не сле-
следует ожидать "рождения" сингулярности
у г 2 от возмущений, возникающих в
области 1.
Рис. 84. Часть диаграммы Пенроуза для заря-
заряженной черной дыры с изображением распро-
распространения радиальных лучей непосредственно
от вспышки {О) и после рассеяния на кривиз-
кривизне пространства-времени
18*
275

Мы увидим, что математический анализ эволюции малых возмущений
подтверждает эти интуитивные соображения.
Данная задача была проанализирована Макнамарой A978 а, Ь), Гур-
селом и др. A979 а, Ь), Метцнером и др. A979), Чандрасекаром и Харт-
лем A982). Мы будем следовать последней работе.
Метрика заряженной черной дыры имеет вид
/•) г2
Г2 (г-п)(Г-Г_)
+ r2(d62 +sin20 V)- A2.2.1)
Нас интересует область пространства-времени г_< г < г+. В работах Чан-
драсекара A979b, 1983) и Чандрасекара и Ксантопулоса A979) было по-
показано, что возмущения гравитационного и электромагнитного полей за-
заряженной черной дыры Рейсснера - Нордстрема могут быть проанализи-
проанализированы в терминах нормальных мод с зависимостью от времени в виде
с"' и угловой зависимостью, описываемой соответствующими функ-
функциями Лежандра с фиксированными / и т. Возмущения разделяются на
два класса: аксиальные (индекс (+) вверху) и полярные ( индекс (-)
вверху). Возмущение каждого класса может быть выражено через пару
калибровочно инвариантных (в том смысле, как это описано в § 3.1)
скалярных функций Z^ (r) 0=1, 2), удовлетворяющих уравнению
?!?l () <*\ A2.2.2)
+aZ.
¦ dr i
где
r =r+ ln|r+-r| In |r_- r I, A2.2.3)
* 2/ц. • 2K-
r+ — r r+ — r
А Г 4 Q1
~ — \()t2+2)r-qf+ -~\, A2.2.5)
+2q/ — -—4 , A2-2.6)
r-r_) = r2 -2Mr + Q2, ii2 =(/- l)(/ + 2), A2.2.7)
4Q2^2), q2 =ЪМ- у/(9М2 +4Q2n2) A2.2.8)
(в формулах A2.2.5), A2.2.6) i ,-j = 1, 2; i Ф j) .Ок&зътйа.итсп,чтоZ({+)
связано cZi"' простым алгебраическим соотношением.
Уравнения типа A2.2.2) уже встречались нам в задаче о поведении
физических полей вне черной дыры (см. гл. 3). Нас интересует рещение
этих уравнений, описывающее прохождение и отражение падающей на
V^ волны. (В данном случае V^ является потенциальной ямой, а не барь-
барьером, как зто было для, внешнего пространства черной дыры, но качествен-
276

но это не меняет дела.) Оказывается, что коэффициенты отражения и
прохождения для Z 5 просто выражаются через соответствующие коэф-
коэффициенты othZ *~* .
Исследуем поведение волновых возмущений, входящих в область II
через горизонт г+ из области I (см. рис. 84). Для этой цели рассмотрим
дисперсию волны, имеющей единичную амплитуду на г = г+ (г „ -* -°°).
Решение уравнений A2.2.2) должно удовлетворять следующим граничным
условиям (мы опускаем верхние и нижние индексы, так как анализ спра-
справедлив для всех их значений):
Z(r,,o)->A(o)e~iar* + B(a)e+iar* (г.-+°°, r-r_), ¦ A2.2.10a)
Z(r., о)->*-"""• (r.->-°o, r^r+). A2.2.10b)
Коэффициенты А (а) и В(о), описывающие прохождение и отражение волны
через V(r,), могут быть в принципе найдены стандартными методами,
если известен вид V(r,) [см. A2.2.5), A2.2.6)]. Удобно ввести для ана-
анализа нулевые (световые) координаты .
u = r,+t, v = r,-t. A2.2.11)
Если нанести на рис. 84 линии постоянного м (мы не делали этого, чтобы
не загромождать чертеж), то они изобразятся отрезками прямых, парал-
параллельными г+. Линии постоянного v~ (также не показанные на рисунке)
являются отрезками прямых, параллельными r_,j. Горизонту г+ соответ-
соответствует и = — °°, горизонту г_ ,! — v = °°, а г_ ^ — и = +°°. Граничные усло-
условия A2.2.10) переписываются в виде
+ B(a)e+ia" (r.-><», r^r_\ A2.2.12)
ZO^O-xT1"" (r.->-<». г "¦!+). A2.2.13)
Рассмотрим возмущение ZBO3M (v) .пересекающее горизонт г+, т.е.
заданное при м -*¦ — <». Его фурье-образ есть
Z{o) = — / ZBO3ME)eio»dv. ¦ A2.2.14)
in —¦*•
После дисперсии в области II возмущение достигнет горизонта г_. Там
его амплитуда может быть записана в виде [см. A2.2.12) ]
Ярасс^..')-*(»»)+Ци) (г.--), A2.2.15)
где
Х{у)= / Z{a) [А(о) - 1] е-'™do, A2.2.16)
У(и) = / Z(o)B(o)e+iaudo. A2.2.17)
Нас интересует поток излучения, воспринимаемый наблюдателем, пересе-
пересекающим горизонт г_. Этот поток пропорционален квадрату амплитуды
F = uaZ,a\ , A2.2.18)
\г-* г_ "
277

где иа — четырехмерная скорость наблюдателя. В зависимбсти от того,
будет ли поток конечным или бесконечным, горизонт г_ будет устойчив
или неустойчив (в линейном приближении) относительно малых возму-
возмущений.
Метцнер и др. A979) и Чандрасекар A983) показали, что на горизонте
Коши величина F записывается в виде:
на г_л
2г2
Fr = — |?| lim eK-"Xi_s; A2.2.19)
-¦' r+-r_ ~^«,
на г_ 2
2г2
Fr = — Е lim eK-"Yu, A2.2.20)
-•2 r+-r_ -_+„
где Е — постоянная временная компонента ковариантной 4-скорости иа
наблюдателя. Расходимость (или конечность) выражений A2.2.19) и
A2.2.20) зависит соответственно от поведения
Будем предполагать, что форма возмущающего излучения ZB03M(v), пе-
пересекающего горизонтг+, удовлетворяет следующим условиям: ZBQ3M{v) =
= 0 при v < Vo и ZB03M(u) при v -*¦ °° стремится к нулю по крайней мере
как и. Именно этим условиям и должно удовлетворять любое реальное
излучение от, например, падающего в дыру объекта или какого-либо эле-
элементарного возмущения, произошедшего в области I. Действительно, вто-
второе условие должно выполняться согласно исследованной нами в предыду-
предыдущем параграфе асимптотики возмущающего излучения при и -»¦ °° на гори-
горизонте незаряженной черной дыры. Наличие заряда Q < М ничего не меняет
в этом отношении [см., например, Бичак A972)]. Степенное затухание
"хвостов" излучения от возмущений типично практически для любого
возмущения.
Первое условие заведомо выполняется, если под и0 понимать значение
аффинного параметра, соответствующего моменту, когда горизонт пересе-
пересекает первый, дошедший до него луч от возмущения *).
В работе Чандрасекара и Хартля A982) показано, что для решений урав-
уравнения A2.2.2) с любыми индексами (±) величина Fr_ 2 A2.2.20) остает-
остается конечной, т.е. горизонт г _ 2 устойчив относительно малых возмущений
в области I. Напротив, величина Fr расходится при v -+°° по крайней
мере как е<*-~*+)и или еще быстрее (скорость расходимости зависит
от характера возмущения). Это означает, что с приближением к r_ j
наблюдатель видит бесконечную плотность потока излучения.
Изложенный математический анализ полностью подтвердил интуитив-
интуитивные соображения Пенроуза,приведенные в начале параграфа. Заметим, что
*) При рассмотрении не "вечной" черной дыры, т.е. дыры, возникающей в резуль-
результате коллапса, достаточно малые и нас вообще не интересуют.
278

дисперсия волн от любого возмущения, возникшего в области II, не ведет,
очевидно, к концентрации энергии вдоль /•__ j и, следовательно, к неустой-
неустойчивости горизонтов Коши. Бесконечная концентрация энергии вблизи
г_х от возмущений в области I должна влиять на метрику, перестраивая
структуру пространства-времени. Поэтому вблизи r_t j метод малых воз-
возмущений уже неприменим. Можно только высказать догадку, что вместо
горизонта Коши будет формироваться истинная сингулярность пространст-
пространства-времени.
Сделаем еще одно замечание. Пусть вне черной дыры имеются источники
постоянного внешнего поля - электромагнитного гравитационного или
какого-либо другого. В случае заряженной черной дыры эти поля прони-
проникают через г+ во внутреннюю область, как и в случае незаряженной шварц-
шильдовской черной дыры (см. § 12.1) . Если при этом вне черной дыры
поля слабы и не влияют на метрику, то и внутри черной дыры они остаются
слабыми. В частности, они слабы на г _ и не ведут к каким-либо неустойчи-
востям [обоснование этого утверждения см. Гурсел и др. A979b)].
§ 12.3. Неустойчивость горизонтов Коиш
относительно квантовоэлектродинамических процессов
В предыдущем параграфе мы рассмотрели неустойчивость горизонта
Коши относительно малых внешних возмущений. Однако метод малых
возмущений, которым мы пользовались, не может дать ответ на вопрос
о том, как перестроится метрика под влиянием нарастающих малых возму-
возмущений и возникнет ли при этом истинная сингулярность пространства-
времени.
В данном паракрафе мы рассмотрим квантовые электродинамические
процессы, возникающие внутри заряженной невращающейся черной дыры,
которых мы не касались при анализе внутренней структуры. Будет показа-
показано, что эти процессы, приводящие к рождению электрон-позитронных пар,
создают неустойчивость горизонта Коиш и перестраивают структуру прост-
пространства-времени. При этом удается построить самосогласованное решение,
учитывающее влияние рожденных частиц на электромагнитное поле и мет-
метрику, и в рамках этого решения показать, как изменяется метрика и что
вместо горизонта Коши действительно возникает истинная сингулярность
пространства-времени. Данная задача решена й работе Новикова и Старо-
бинского A980*), который мы следуем в дальнейшем [см. также Бере-
зин A980*)].
Рассмотрим ограничения, которые накладываются на физические усло-
условия внутри черной дыры с разными М и Q (рис. 85). Во-первых, черная
дыра образуется только при Q < y/GM (или Q/e < 5 • lOsM(r), где е -
заряд электрона), т.е. для параметров ниже линии 1 на рис. 85. Если заряд
черной дыры достаточно велик, то вблизи нее происходит рождение
электрон-позитронных пар [Марков, Фролов" A970*), Гиббоне A975),
Дамур, Руффини A975)]. Одна частица уходит на бесконечность, вторая
(противоположного по отношению к черной дыре заряда) — пйглощается
черной дырой, уменьшая ее заряд*), причем, как можно показать, за вре-
¦) Мы рассматриваем здесь черные дыры с г+ > \, где \ = h/mc - комптоновская
длина волны электрона [противоположный случай см. Пэйдж A977) ].
279

т
20
0
- ^^0
i i i i
Р
Рис. 85. Различные области значений заря-
заряда черной дыры Q и ее массы М (о грани-
границах областей см. текст)
15
25
35
45 \д(»,г)
мя г+/с (т.е. очень быстро) он уменьшается до величины
пт2г\съ
Qi = — On A -lnln/4),
A2.3.1)
где А = e2Bnhcy1(rj\J, е - заряд электрона, т - его масса. В дальней-
дальнейшем заряд черной дыры остается практически постоянным.
На рис. 85 цифрой 2 обозначена линия, соответствующая уравнению
A2.3.1). Область возможных значений параметров черной дыры лежит
вправо и ниже линий 1 и 2.
Заметим, что при достаточно малом заряде черной дыры горизонт Коши
лежит настолько близко к истинной сингулярности, что кривизна прост-
пространства-времени здесь больше критического значения, при котором сущест-
существенны квантовогравитационные эффекты. Всю эту область с физической
точки зрения следует считать сингулярной. Несингулярный горизонт Коши
существует только в том случае, если он лежит вне этой области. Инва-
Инвариант кривизны Rap7вЛ имеет размерность (длина). Граница син-
сингулярной области определяется условиемRajiyb Rа®уЬ = —— . Для метри-
'pi
ки Рейсснера - Нордстрема условие принадлежности г_ границе сингуляр-
сингулярной области определяется выражением (для г_ < г+)
\2rl 1
A2.3.2)
Rn
ИЛИ
/4
'HI
3- 104Л/2/3(г)
A2.3.3)
e e
(линия 3 на рис. 85). На этой границе г_ > lf\. Если параметры черной
дыры лежат правее и ниже линии 3, то несингулярного горизонта Коши не
существует. (В естественных астрофизических условиях, когда выполняют-
выполняются соотношения, приведенные в начале § 4.8,- для черных дыр с массой
М < 1060 г заведомо Q < Q3 ив них не может быть несингулярного гори-
горизонта Коши.)
Нам остается рассмотреть область, заштрихованную на рис. 85. Для зна-
значений параметров, попавших в эту область, оказываются существенными
квантовоэлектродинамические процессы внутри заряженной черной дыры.
280

Введем в области II метрики Рейсснера — Нордстрема следующую систе-
систему отсчета, аналогичную B.4.9):
ds2 = -dr2 +a2(r(T))dx2 + r2(r)(d02 +sin20<ty2), A2.3.4)
где
T=-fdr — , A2.3.5)
[(r)()l
A2.3.6)
Бывшая (при г > r+) координата t теперь пространственноподобна. Обозна-
Обозначим ее через л: (х= t). Зависимость а = а(т) и г = г(г) определяется соот-
соотношениями A2.3.5) и A2.3.6). Система отсчета с метрикой A2.3.4) обла-
обладает однородным (но анизотропным!) трехмерным пространством и
поэтому особенно удобна для расчетов. По координате х трехмерное
пространство бесконечно ( °° < х < + °°). Такая система отсчета сущест-
существует конечное собственное время. Ее эволюция начинается с момента,
соответствующего значению г = г+, когда начинается расширение в направ-
направлении ,v, описываемое а(т). В начале расширения а = 0. Здесь (на г - г+)
имеется фиктивная (координатная) сингулярность. В трансверсальных
направлениях поперечные сечения нашей системы отсчета представляют
собой сферы радиуса г (т). С течением т происходит монотонное сжатие
сфер от начального значения г = г+. Расширение по х-координате с течением
т сменяется сжатием, и при г = г _ величина а снова обращается в нуль,
т.е. мы снова встречаемся с координатной сингулярностью. Радиус сфер
в этот момент есть г = г_,
В рассматриваемой системе отсчета электромагнитное поле является
чисто электрическим (отлична от нуля компонента FTX электромагнитного
тензора), оно направлено вдоль хи не зависит от л:. С ростом т напряжен-
напряженность этого поля увеличивается обратно пропорционально г 2. Если это поле
достаточно сильно, то в нем происходит рождение электрон-позитронных
пар. Частицы, родившись в области II, не могут уйти из черной дыры, так
как ее граница г+ лежит в абсолютном прошлом. Поэтому они никак
не влияют на свойства внешнего пространства I, но могут существенно
менять ситуацию внутри черной дыры. Мы покажем, что рождающиеся
частицы своим тяготением изменяют метрику в области II, что ведет к
возникновению истинной сингулярности вместо горизонтов Коши.
Рассмотрим этот процесс подробнее. Выделим на рис. 85 значения па-
параметров, где в области II (r_<r<r+) электрическое поле достигает
значений Ecr = nm2c3/eh, при которых происходит быстрое рождение
электрон-позитронных пар. Напишем условие того, что электрическое поле
E=Q/r2 принимает критическое значение на горизонте r_: Q/rl_ = Ect .
Это соотношение можно переписать в виде (считаем Q< \/GM, c=1)
— = ) *6-1018Л/2/3(г) A2.3.7)
281

(линия 4 на рис. 85). Условие Е >ЕСГ для области II выполняется при зна-
значении параметров между линиями 2, 3, 4. В рассматриваемой области Q <
< \JGM, т.е. г_ < г+, В этом случае (r_< r < г+) эволюция системы
A2.3.4) происходит по закону
г+_ х'3
т
A2.3.8)
Электрическое поле на этой стадии еще не влияет на эволюцию метрики
(она такая же, как при Q = 0, г_ = 0). Если бы решение A2.3.8) продол-
продолжалось до т = 0 (как это имеет место при Q = 0, Е = 0), то оно приводило
бы к истинной сингулярности т = 0. Электрическое поле меняется как
Е = Q/r 2 в ходе сжатия системы и в нашем случае достигает значения Есг
на стадии A2.3.8), после чего начинается быстрое рождение паре", кото-
которые разгоняются электрическим полем и создают ток. Этот ток сущест-
существенным образом начинает обратно влиять на электрическое поле. Без тако-
такого влияния оно стало бы больше Ест и в конце концов изменило бы вид
A2.3.8) при г, сравнимом с г_, приводя к фиктивной сингулярности на
горизонте Коши.
В работе Новикова и Старобинского A980*) показано, что поле Е в
области II не может быть заметно больше Есг. В противном случае возни-
возникающий, вследствие рождения пар, ток за короткое время т0 * 10~18 —
10Ос снизил бы поле Е до значения Есг . Интересно отметить, что умень-
уменьшение величины поля происходит не монотонно, а путем колебаний с из-
изменением знака поля и направления тока. Механизмом релаксации коле-
колебаний являются радиационные потбри частиц и плазменные неустойчивости.
Итак, пока характерное время увеличения поля при сжатии системы (без
эффекта рождающихся частиц) больше времени релаксации (| т| > т0),
электрическое поле не может сильно превышать Есг. Вследствие этого
электрическое поле не влияет на метрику. Не влияет на нее и тяготение
родившихся частиц. Действительно, плотность энергии рожденных частиц,
когда они движутся под действием поля вдоль оси х, растет пропорцио-
пропорционально а~2г~2 ~|т|~2/3, а после релаксации — пропорционально
(аг2)~4/3 ~ | г I ~4/3. В то же время кривизна пространства-времени растет
быстрее (~1/1 т |2).
Когда в ходе эволюции системы станет | т | < т<ь рождение частиц и их
движение уже не успевают существенно влиять на электрическое поле.
Поэтому при |т| < т0 электрическое поле растет пропорционально г~2:
Е*>Есг(т0/\т\L13. A2.3.9)
Поле начнет влиять на метрику, когда величина 8nGTo (To - компонента
тензора энергии-импульса электрического поля) станет по порядку вели-
величины равной старшим членам в уравнении Эйнштейна, описывающим кри-
кривизну пространства-времени. Эти члены порядка 1/т2. Приравнивая
8irGT^=GE2 =GEir(T0/\T\f/3 величине 1/т2, находим
\T\ = G3/2E3crTt. ' A2.3.10.)
282

Подставляя численные значения Есг ито~10"'8- 10~20с, находим | т | «*
« Ю6 - 10~s4c < тр\. Но мы уже говорили, что истинная физическая
сингулярность лежит при | г | * тР1 . Значит, квантовые эффекты, влияя
на электрическое поле и через него на метрику, приводят к такой пере-
перестройке метрики, что она теперь описывается выражениями A2.3.4) и
A2.3.8) вплоть до I т | ^rP1 и вместо горизонта Коши возникает истинная
сингулярность.
Подчеркнем, что мы построили самосогласованное решение, причем не
методом малых возмущений, как в §§12.1, 12.2. Полученное решение
точно описывает (разумеется, в рамках применимости теории), как возни-
возникает истинная сингулярность. Нам остается рассмотреть область параметров
на рис. 85, лежащую между линиями 4 и 1.
Здесь электрическое поле везде в области II меньше Есг , поэтому рожде-
рождение пар не влияет заметно на него. Однако все же пары рождаются, и нали-
наличие даже небольшого их количества ведет к образованию истинной сингу-
сингулярности.
Нетрудно понять качественно, как это происходит. Рожденные частицы
разгоняются электрическим полем (причем е+ и е~ —в противоположных
направлениях), создавая электрический ток. Суммарный трехмерный им-
импульс пучков равен нулю. Макроскопически можно считать, что плазма в
целом покоится в системе отсчета A2.3.4), хотя и обладает (если не про-
произошла релаксация потоков) резко анизотропным давлением. Мировые
линии элементарных объемов плазмы совпадают с мировыми линиями
системы отсчета A2.3.4); до тех пор пока мы не учитываем обратного
влияния рожденных частиц на метрику. Мы видим, что в данном случае
мировые линии концентрируются вдоль горизонтов Коши, подобно тому,
как на рис. 84 концентрировалось излучение от возмущений в области I.
Эта концентрация и приводит к возникновению истинной сингулярности.
В цитированной работе Новикова и Старобинского A980*) построено
самосогласованное решение, описывающее данную ситуацию. Тяготение
родившейся плазмы начинает влиять на решение, когда г приближается
к г_. Решение A2.3.8) уже не справедливо при г ^г_. Перестроенное
решение имеет вид
в~|т|. г~ч/1п|г|, ее~ \ >е(епг), A2.3.11)
Г\п\т\
где ее - плотность энергии рожденных пар, е(е,„) - плотность энергии
электрического поля. Решение A2.3.11) продолжается до возникновения
истинной сингулярности. Таким образом, и в этом случае горизонт Коши
не возникает, а образуется истинная сингулярность, причем самосогласо-
самосогласованное решение, описывающее ее возникновение, не есть результат метода
малых возмущений.
В заключение сравним неустойчивости горизонтов Коши от квантовых
эффектов с классическими неустойчивостями от внешних возмущений, рас-
рассмотренных в предыдущем параграфе. Какие неустойчивости сильнее? Оче-
Очевидно, что когда пары рождаются интенсивно (при Е =» ?сг) уже вдали от г _,
квантовая неустойчивость сильнее, так как перестраивает решение также
вдали от г_. Если же Е <ЕСГ, то обе неустойчивости проявляются лишь в
области, близкой к- г_, й классическая неустойчивость может быть сильнее.
283

§12.4. Неустойчивость горизонтов Коши
внутри вращающейся черной дыры и общие замечания
В работе Новикова и Старобинского A980а, Ь) приведены результаты,
показывающие, что в случае вращающейся черной дыры внешние возмуще-
возмущения приводят к неустойчивости горизонтов Коши и возникновению вместо
них истинной сингулярности, аналогично тому, как это происходит в случае
заряженной черной дыры (см. § 12.2). Более того, внутри вращающейся
черной дыры, вероятно, возникают квантовые эффекты, приводящие также
к уничтожению горизонтов Коши и возникновению истинной сингулярнос-
сингулярности (§ 12.3).
Во всех случаях возникающая сингулярность пространственноподобна,
как и в случае решения Шварцшильда. Она ограничивает область II сверху
вместо горизонтов Коши.
Итак, при возникновении реальной черной дыры ее часть внутри горизон-
горизонта событий по структуре будет подобна шварцшильдовской черной дыре.
Продолжать решение за истинную сингулярность нельзя. Поэтому ничего
подобного аналитическому продолжению решения, изображенному на
рис. 67, возникнуть не может. Что касается процессов в истинной сингуляр-
сингулярности, то их может описывать только единая квантовая теория, включаю-
включающая тяготение.

ГЛАВА 13
ПЕРВИЧНЫЕ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ И
КОНЕЧНАЯ СУДЬБА ЧЕРНЫХ И БЕЛЫХ ДЫР
§ 13.1. Первичные черные дыры
Черная дыра, как мы уже знаем, возникает, когда какая-либо масса
сжимается до размеров меньше гравитационного радиуса (§ 2.6). В черные
дыры должны превращаться звезды достаточно большой массы в конце их
эволюции [Зельдович, Новиков A971*)]. Чем меньше масса вещества,
тем до большей плотности ее надо сжать, чтобы превратить в черную дыру.
При больших плотностях возникают мощные силы давления, препятствую-
препятствующие сжатию. Поэтому в современной Вселенной возникновение черных дыр
с М < Ме невозможно. Однако в начале расширения Вселенной все вещест-
вещество было в состоянии огромной плотности.
Зельдович и Новиков A966*, 1967*), а затем Хокинг A971а) высказа-
высказали гипотезу о возможности образования черных дыр на ранних этапах кос-
космологического расширения Вселенной. Такие черные дыры получили назва-
название первичных. Для возникновения первичных черных дыр нужны специ-
специфические условия. Лифшиц A946*) показал, что малые возмущения в
однородной изотропной горячей Вселенной (с уравнением состояния мате-
материи р = е/3) не могут приводить к образованию больших неоднородностей.
Горячая Вселенная устойчива относительно малых возмущений [см. Бисно-
ватый-Коган и др. A980)]. Для образования первичных черных дыр необ-
необходимо, чтобы в метрике, описывающей Вселенную, с самого начала расши-
расширения были большие отклонения от однородности (т.е. гравитационное
поле было сильно неоднородным), хотя распределение плотности вещества
по пространству было однородным при приближении к началу космологи-
космологического расширения. Когда в ходе расширения Вселенной величина I = ct,
где t - время, прошедшее с начала расширения, станет порядка линейного
размера неоднородности метрики, появляется возможность образования
черной дыры с массой, содержащейся к моменту t в объеме /3. Таким об-
образом, возможно формирование черных дыр с массой, существенно мень-
меньшей звездных, если такие дыры возникают достаточно рано (см. далее).
Первичные черные дыры представляют особый интерес, так как кванто-
квантовое испарение Хокинга существенно именно для черных дыр малой массы,
а такими могут быть только первичные черные дыры *).
Мы не будем здесь касаться астрофизических аспектов проблемы [см.
Новиков и др. A979)], а остановимся только на некоторых принципиаль-
*) Заметом, что квантовое испарение массивных и даже сверхмассивных черных
дыр может быть существенным для далекого будущего Вселенной.
285

ных положениях, связанных с возможностью образования первичных чер-
черных дыр в ранней Вселенной*). Прежде всего возникают следующие
два вопроса:
1) Каковы должны быть отклонения от метрики однородной изотропной
модели Вселенной, чтобы черные дыры действительно возникали?
2) Как будет происходить аккреция окружающего горячего вещества на
возникшую черную дыру и как будет меняться в связи с этим ее масса?
Второй вопрос связан с тем, что уже в работе Зельдовича и Новикова
A966*) было отмечено: если установится стационарный поток газа на чер-
черную дыру, то масса ее будет катастрофически быстро расти, а если сразу
же после возникновения черной дыры такая стационарная аккреция не
возникнет, то в дальнейшем ею можно полностью пренебречь, так как плот-
плотность окружающего газа в расширяющейся Вселенной быстро падает.
Ответ на оба вопроса требует выполнения численного счета на ЭВМ.
Соответствующие расчеты были проделаны Надежиным и др. A977, 1978*),
Новиковым и Полнаревым A980*) для случая сферической симметрии.
Основные результаты этих расчетов состоят в следующем. Для возникно-
возникновения черной дыры необходимо, чтобы безразмерная амплитуда возмуще-
возмущения метрики б?^ была порядка 0,75-0,9. Неопределенность ответа связана
с зависимостью решения от профиля возмущения. Напомним, что пока
/ = ct много меньше линейного размера возмущенной области, амплитуда
возмущения метрики не меняется со временем. При bg^, меньших 0,75-0,9,
после того как I = ct становится порядка размеров возмущения, возник-
возникшие возмущения плотности превращаются в звуковые волны.
Тем самым получен ответ на первый из поставленных вопросов.
Ответ на второй вопрос выглядит так. Численный счет показывает, что
уже в момент образования черной дыры ее масса составляет 10 - 15% от
массы, охваченной к этому моменту масштабом / = ct. Это означает, что
аккреция газа на возникшую черную дыру не может стать катастрофи-
катастрофической. Расчеты подтверждают — масса черной дыры увеличивается вслед-
вследствие падения в нее окружающего газа лишь незначительно. О возможном
количестве первичных черных дыр во Вселенной см. Новиков и др. A979),
Карр A983).
§ 13.2. Классическая и квантовая неустойчивости белых дыр
Решения уравнений Эйнштейна, описывающие черные и белые дыры, фор-
формально обладают рядом сходных свойств. В частности, использование сим-
симметрии этих уравнений относительно обращения времени позволяет уста-
установить связь между решениями, описывающими образование черной дыры
и взрыв белой дыры. При всем этом физические свойства черных' и белых
дыр и, в частности, их наблюдательные проявления и характер их взаимо-
взаимодействия с окружающим веществом существенно отличны. В этом нет ни-
ничего удивительного, поскольку одинаковость проявлений черной и белой
- *) О возможности возникновения черных дыр во время фазовых переходов в
ранней Вселенной см. Сато н др. A981), Кодама н др. A982), Маеда и др. A982),
Кардашев, Новиков A982) /
286

дыр подразумевает, что при обращении времени, переводящем их друг в
друга, поведение окружающего вещества и характеристики внешнего на-
наблюдателя не изменяются. А это не так. Наблюдатель всегда движется
вперед по времени и получает информацию о процессах в поле дыры с по-
помощью запаздывающих сигналов.
Ярким проявлением асимметрии свойств, присущих черным и белым
дырам, является неустойчивость последних. К неустойчивости белых дыр
могут приводить как классические процессы, связанные со взаимодейст-
взаимодействием их с окружающим веществом [Эрдли A974), Фролов A974*), Эрд-
ли, Пресс A975), Редмоунт A984)], так и процессы, связанные с кванто-
квантовым рождением частиц в их гравитационном поле [Зельдович и др. A974*)].
В этом параграфе мы кратко остановимся на описании возможных меха-
механизмов неустойчивости белых дыр.
Начнем с неустойчивости белых дыр по отношению к падению на них
обычного вещества. В чем заключается такая неустойчивость? Как это ни
странно звучит - в том, что белая дыра не взорвется (вспомним ее опре-
определение) . Пространство-время взрывающейся белой дыры изображено на
рис. 8 и 9. Рассмотрим внешнего (т.е. при г >гу) наблюдателя задолго до
взрыва белой дыры. Покажем, что если в некоторый момент t0 на белую
дыру начинает падать небольшая масса вещества ЬМ (для простоты мы
рассматриваем падение тонкой сферической оболочки), то очень скоро
по часам внешнего наблюдателя взрыв белой дыры становится невозмож-
невозможным. Вещество белой дыры, которое без аккреции извне должно было
через некоторое время, расширяясь от сингулярности, выйти из-под грави-
гравитационного радиуса (как показано на рис. 8), теперь сделать этого не смо-
сможет (белая дыра не взорвется).
Рис. 86. Схема, поясняющая неустой-
неустойчивость белой дыры относительно
аккреции внешнего вещества на нее
(см. текст)
г =0
Причина такой неустойчивости состоит в следующем.
Изобразим движение границы А взрывающейся белой дыры на диаграм-
диаграмме Пенроуза (рис. 86). Для простоты будем считать, что граница расширяет-
расширяется с ультрарелятивистской скоростью, т.е. изображается нулевой геодези-
геодезической (это предположение не влияет на результат). Чем дольше задержка
взрыва, тем ближе мировая линия границы А лежит к горизонту Н +.
Пусть от точки Ь начинается падение массы ЬМ на дыру (ее мировая
линия изображается кривой В). Учтем обратное влияние малбй массы ЬМ
на метрику. Гравитационный радиус r'g теперь будет равен
' A3.2.1)
287

где rg = 2Af - прежний гравитационный радиус. С учетом изменения метри-
метрики мировая линия горизонта есть #,+ *).
Теперь совершенно ясно, что если мировая линия А оказывается левее
Hi - нового горизонта, то вещество белой дыры никогда не выйдет из-под
горизонта в область I к внешнему наблюдателю (белая дыра никогда не
взорвется).
Сделаем некоторые оценки (по порядку величины). Если, двигаясь по
невозмущенному пространству-времени (т.е. описываемому невозмущен-
невозмущенными гиг), масса дМ окажется ближе к rg, чем возмущенный горизонт r'g,
то взрыв белой дыры окажется невозможным. Из формулы B.3.3) следу-
следует, что при падении массы дМ с расстояния г, равного нескольким г g, про-
rg rg
должительность падения At = t - t0 «— In . Подставляя вместо
с г - г g
г величину r'g из формулы A3.2.1), получаем оценку для промежутка At,
после которого взрыв белой дыры становится невозможным:
г„ М
Дг~-?-1п . A3.2.2)
с 8М
Ясно, что даже при ничтожных ЬМ белая дыра сохраняет возможность взор-
взорваться только в течение короткого промежутка времени.
Аккреция вещества на белые дыры делает их неустойчивыми и приводит
к превращению их в разновидность черных дыр. Поэтому вопрос о судьбе
подобных белых дыр должен рассматриваться вместе с вопросом о судьбе
черных дыр. К этой ситуации мы вернемся в следующем параграфе.
Фроловым A974*) проанализировано изменение движения расширяю-
расширяющегося вещества белой дыры при его столкновении с материей в ^-об-
^-области (области И' на рис. 86).
Перейдем теперь к рассмотрению квантовой неустойчивости белой ды-
дыры [Зельдович и др. A974*)]. Эта неустойчивость связана с тем, что части-
частицы, интенсивно рождаются вблизи шварцшильдовской сингулярности белой
дыры, движутся наружу в Г+-области, могут (вследствие этого) интенсив-
интенсивно влиять на метрику вдали от сингулярности, а также могут выходить
из-под гравитационного радиуса, уменьшая массу белой дыры.
Оказывается, что все изменения, связанные с родившимися в белой
дыре частицами, препятствуют взрыву задержавшегося ядра.
Наконец, еще один аспект проблемы связан с тем, что белая дыра
должна существовать не в пустоте, а с самого начала расширения Все-
Вселенной. Это означает, что на ранних стадиях космологического расширения
окружающее вещество активно взаимодействовало с белой дырой и с
родившимися в ней частицами.
Начнем с анализа квантового рождения частиц в окрестности шварц-
шварцшильдовской сингулярности в Г+области. Рассмотрим "вечную" белую
дыру (см. § 2.7). Сингулярность в ней пространственноподобна и однород-
однородна. Поэтому центры масс каждого элемента объема родившихся частиц
*) Чтобы не загромождать рисунок, не показан сдвнг /* н других линий нз-за
изменения метрики.
288

должны покоиться в системе отсчета с однородным пространством. Об-
Общий вид такой системы отсчета (с учетом влияния родившихся частиц
на метрику) для сферически-симметричного случая есть [Новиков
A964b*)]
ds2 =-dt2 +exdR2 +r2(dd2 + sin20<V), A3.2.3)
где X и г - функция только от t.
Выберем Г так, что сингулярность соответствует t = 0. При t -*0
г~г2/3, <Л~./-2/3. A3.2.4)
Рождение частиц в такой метрике происходит вблизи сингулярности,
вероятно, при t^tfi [Зельдович, Старобинский A971*)]. Плотность энер-
энергии родившихся частиц при этом
eP,*-V. A3.2.5)
После tpi скорость рождения частиц резко падает, и им можно пренебречь.
В дальнейшем плотность убывает вследствие расширения объема. Для
расчета эволюции системы надо знать уравнение состояния родившейся
материи. В работе Зельдовича и др. A974*) построены модели для раз-
разных уравнений состояния. Не все эти модели реалистичны, но они обла-
обладают рядом общих свойств, отражающих особенности задачи, а в не-
некоторых случаях позволяют решить задачу до конца.
Простейшее (нереалистическое) предположение состоит в том, что по-
полагается равным нулю давление родившихся частиц (р = 0). Решение за-
записывается в параметрическом виде
1
г = — rg(\ - cos ?),
-
A3.2.6)
rg
где a « > 1, 0< ? < 2я, ~-°°<R < °°. Решение описывает однородное
rPi
расширение массы родившихся частиц от момента t *> />i до момента 11,
когда r-rg и плотность энергии e = (8wGr|), а затем последующее
сжатие материи к сингулярности.
Чтобы прояснить физический смысл решения, потребуем выполнения
следующего условия: рождение частиц имеет место вблизи t *=/>! на
участке R от — °° до некоторого /?t, а при R>Rt рождение частиц от-
отсутствует. (Мы увидим в дальнейшем, как такое предположение сделать
реалистичным.) Тогда структура пространства-времени имеет вид, изоб-
изображенный на рис. 87. Вся масса рожденных частиц находится под грави-
гравитационным радиусом и не выходит из белой дыры.
V419. И.Д. Новиков 289

rramti
Сжатие,
-www
t,-
r=0
тггт
Сжатие
\ш
Расширение
шхсш
г=0
асширяющееся
Вещество
'Вселенной
Рис. 87. Схема расширения и сжатия вещества с р - 0 внутри белой дыры, родившегося
из-за квантовых процессов вблизи г = 0 левее Л,
Рис. 88. Белая дыра с родившимся веществом (р = 0) в холодной модели Вселенной
(с веществом, для которого также р = 0)
Предположим теперь, что мы рассматриваем не "вечную" белую дыру,
а белую дыру с задержавшимся в расширении ядром. Легко показать,
что родившиеся вблизи шварцшильдовской сингулярности частицы не
позволят такому ядру выйти из-под гравитационного радиуса.
Действительно, длительная задержка расширения ядра соответствует
тому, что его граница должна лежать при R - R2 в момент t «Гр | (вблизи
г = 0) далеко слева от точки Ri (Ri< Ri). Сигнал, вышедший из /?2 в
момент /р] и идущий направо к /?i, успевает пройти за все время расшире-
расширения ?! только конечное расстояние AR. Оценка показывает, что
AR^7rpi<rg. A3.2.7)
Если /?i — /?2 ^ AR, тЬ сигнал не успеет дойти до /?i к моменту окончания
расширения ti. Поэтому взорвавшееся вещество задержавшегося ядра не
только само не сможет выйти к внешнему наблюдателю, но и никакие сиг-
сигналы от этого взрыва не дойдут до Rt и не выйдут из белой дыры. Задер-
Задержавшееся ядро будет погребено под массой родившихся частиц.
Теперь обсудим предположение об отсутствии рождения частиц вблизи
г = 0 правее координаты Ri. Надо помнить, что белая дыра находится не
просто в пустом пространстве, а в расширяющейся Вселенной [Новиков
A964*Ь), Нееман A965) ]. Если правее точки Ri вблизи г = 0 расположено
окружающее белую дыру вещество однородной космологической модели,
то рождение частиц в этой области практически отсутствует [при стандарт-
стандартных предположениях; см. Зельдович, Старобинский A971*)]. Если при
этом считать, что и в окружающем веществе нет давления (что нереалистич-
нереалистично) , то оно вообще никак не влияет на область левее R\. Структура прост-
пространства-времени в такой модели показана на рис. 88.
Перейдем теперь к более реалистическим моделям.
Предположим, что родившиеся частицы не взаимодействуют друг с дру-
другом и представляют собой два встречных потока, движущиеся вдоль ради-
радиальной координаты со скоростью света. В этом случае — То =Т\ = е, осталь-
к
ные Т. = 0. Другое предположение состоит в том, что из-за взаимодействия
290

релятивистских родившихся частиц возникает паскалевское давление р =
= е/3. Решения для этих случаев аналогичны A3.2.6) для случая р = 0; см.
Зельдович и др. A974*). Они также описывают расширение системы до не-
некоторого ''max и последующее сжатие к сингулярности. Здесь опять сигнал,
идущий со скоростью света, проходит вдоль R конечное небольшое расстоя-
расстояние за все время расширения системы. Поэтому, если имеется задержав-
задержавшееся в расширении ядро, то родившиеся частицы (как и в случае р = 0) не
дадут ему, взорвавшись, расшириться к внешнему наблюдателю. Сущест-
Существенное отличие по сравнению со случаем р = 0 состоит в том, что при Т\ Ф 0
возникает поток материи через границу R\ направо. Этот поток может вы-
выходить из-под rg, уменьшая массу белой дыры.
Если такая белая дыра находится в холодной Вселенной с веществом,
для которого р = 0, то, как показано в уже цитированной работе Зельдови-
Зельдовича и др. A974*), уменьшение массы белой дыры из-за спонтанного истече-
истечения родившегося вещества из дыры может быть весьма существенным.
Однако, если рассматривать белую дыру в реальной горячей Вселенной
с материей и уравнением состояния р = е/3, то ситуация меняется. Давление
окружающего горячего вещества сдерживает истечение из белой дыры ро-
родившегося вещества, и, вероятно, потери массы из-за истечения при этом
заметно меньше. Мы не будем подробно исследовать данную ситуацию, так
как это скорее проблема космологии (об аккреции вещества на компакт-
компактные ядра в горячей Вселенной см. § 13.1).
§ 13.3. Что остается при квантовом распаде черной дыры?
К сожалению, однозначно ответить на этот вопрос в настоящее время
не представляется возможным. Дело в том, что при попытке решения это-
этого вопроса мы неизбежно и в полной мере сталкиваемся с проблемами,
относящимися к компетенции квантовой гравитации. Поскольку сама
теория квантовой гравитации еще, по-видимому, далека от своего заверше-
завершения, а присущие ей трудности (расходимости, неперенормируемость, неод-
неоднозначность выхода за массовую поверхность, учет возможных изменений
топологии пространства-времени) имеют фундаментальный характер, то
все это приводит к тому, что полная самосогласованная квантовая теория
испаряющихся черных дыр пока отсутствует.^ этой ситуации естественным
является подход, при котором исследуются Mqflenn, отражающие те или
иные стороны полной задачи.
Мы ограничимся рассмотрением сферически-симметричного случая*).
Соответствующую усредненную метрику gllv = < g)lv > удобно записать
в виде [Бардин A981)]
ds2 = -e2xllFdv2 + 2e*drdv+r2dcj2. A3.3.1)
Здесь v - световая координата опережающего времени, а ф и F - функции
*) Теорема о "выпадении волос" вблизи сингулярности внутри черной дыры (см.
§ 12.1), согласно которой при удалении от коллапсирующего иевращающегося тела
пространство-время в 7"_-области все в большей степени приближается к сферически-
симметричному, дает основание считать, что выводы, полученные для сферически-сим-
сферически-симметричных черных дыр, могут иметь значение и для более общих ситуаций.
Vi 19* 291

от г и и, имеющие следующий инвариантный смысл:
F{r,v)=g>ivr^r^, е-*(г-и)=*'">м1;1„. A3.3.2)
Будем считать пространство-время асимптотически плоским и потребуем,
чтобы
limF(r, u)=l. lim ф(г,и) = 0. A3.3.3)
;• —*
Конечно, само описание геометрии с помощью усредненной метрики
gllv = < gtiv > имеет ограниченную область применимости. В частности, оно
неприменимо на масштабах, меньших lV\, из-за сильных квантовых флук-
флуктуации гравитационного поля. Мы вернемся к обсуждению вопроса о
возможной роли флуктуации (г < lV\) позднее, а пока остановимся на
некоторых общих свойствах усредненной метрики.
Существенную информации! о свойствах рассматриваемого пространства-
времени можно получить, изучая поведение поверхности уровня F = const
функции F. В частности, внешняя часть поверхности F = 0 совпадает с гори-
горизонтом видимости. Если бы образовавшаяся черная дыра была статической,
то горизонт видимости совпадал бы с горизонтом событий и поверхность
F = 0 описывалась бы уравнением г = 2М, где М — масса образовавшейся
черной дыры. Квантовое испарение дыры приводит к тому, что горизонт
видимости нестатичен и размер его уменьшается со временем (кривая ВС
на рис. 89). Если г = р(и) - уравнение выходящих радиальных световых
лучей, то на поверхности уровня F = 0 имеем
dp
— =t-wF=0.
Jv
A3.3.4)
В частности, на участке ВС d 2p/dv2 > 0.
Используя выражение A3.3.1) для метрики, можно вычислить соот-
соответствующий тензор Риччи и убедиться, что эта метрика в общем случае
удовлетворяет уравнениям Эйнштейна
1
V ^Л = 8тгГмг A3.3.5)
2
с отличной от нуля правой частью. В частности,
A3.3.6)
На поверхности уровня F = 0 (на горизонте видимости) это соотношение
упрощается и принимает вид
A3.3.7)
Поэтому на участке ВС имеется поток отрицательной плотности энергии
через горизонт видимости, что находится в полном соответствии с резуль-
результатами, изложенными в гл. 10.
292

Рис. 89. Возможные варианты поведения горизонта ви-
видимости при квантовом испарении черной дыры
На всем интервале времени и, в течение кото-
которого масса черной дыры т (и) (в качестве кото-
которой можно выбрать величину m(v) = r/2\F = 0)
значительно превосходит планковскую юР1, ско-
скорость изменения размера горизонта видимости со
временем d(r\F=Q)jdv мала по сравнению со
скоростью света, и для описания процессов вбли-
вблизи горизонта можно использовать квазистатичес-
кое приближение [Гаичек, Израэль A980), Бар-
Бардин A981), Фролов A981), Нитьянанда, Нараян
A981)]*).
Последний этап испарения, на котором масса
черной дыры становится сравнимой с планковской, является наиболее труд-
трудным для описания. На этом этапе кривизна пространства-времени вблизи го-
горизонта видимости может достигать величины 1//PJ, и для нахождения ус-
усредненной метрики требуется знание эффективного действия с учетом, вооб-
вообще говоря, всех квантовых поправок. В общем случае можно утверждать,
что если поверхность F = 0 пересекает г = 0, то возникает сингулярность,
связанная с обращением в бесконечность инвариантов кривизны [Фролов,
Вилковыский A979, 1981),Кодама A979, 1980)].
В принципе имеется возможность избежать появления голой сингуляр-
сингулярности, если предположить, что поверхность F = 0 является замкнутой и
нигде не пересекает линии г = 0 (линия BCDEFG на рис. 89). В этом случае
отсутствует также и сингулярность внутри черной дыры**). Такая возмож-
возможность обсуждалась в р 5отах Фролова, Вилковыского A979, 1981, 1982),
Томбулиса A980), Хаслачера, Моттолы A981). Для этого решения прост-
пространство-время вблизи г = 0 является локально плоским, и можно ожидать,
что оно обладает при г ^ /Р1 значением кривизны порядка /Р*, а внутрен-
внутренняя часть линии F = 0 {FED) отстоит от г = 0 на расстояние порядка 1?\ ¦
Используя общее соотношение A3.3.7), можно убедиться, что Tvv < 0 на
участке EDB и Tvv ^ 0 на участке EFGB, где Е и В - точки касания F = 0
линий г = const [Роман, Бергман A983)].
Пространство-время с замкнутым горизонтом F = 0 не обладает горизон-
горизонтом событий, и в этой ситуации, строго говоря, черная дыра отсутствует.
*) Отдельные вопросы, связанные с изучением геометрии испаряющихся черных
дыр,Помимо перечисленных работ см. также Волович и др. A976*), Хискок A981),
Бальбинот, Бергамнни A982), Бальбннот н др. A982), Бальбннот A984а), Куро-
да A984).
**) Напомним, что вследствие квантовых эффектов полный эффективный тензор
энергии-импульса в уравненин Эйнштейна не удовлетворяет, вообще говоря, условиям
положительности плотности энергии н давления. Поэтому учет квантовых эффектов
может приводить к нарушению условий теорем о сингулярности внутри черных дыр
(см. § 5.6) и сингулярности могут отсутствовать.
293

Однако в течение всего времени квантового испарения существует область,
откуда сигналы не могут выйти наружу, и если начальная масса такого
объекта много больше планковской, то длительное время все его проявле-
проявления неотличимы от проявлений черной дыры.
При рассмотрении описанной модели "черной дыры" без сингулярностей
возникает ряд фундаментальных вопросов. Один из них - это вопрос,
связанный с сохранением барионного заряда в такой системе. Предполо-
Предположим, что коллапсирующая система обладает значительным барионным заря-
зарядом. В процессе квантового испарения из-за симметрии рождения барионов
и антибарионов *) барионный заряд, содержащийся внутри системы, не мо-
может существенно измениться. С другой стороны, если эта "черная дыра"
испаряется полностью, то после ее испарения исходный барионный заряд
исчезает. В результате мы сталкиваемся с явным нарушением закона сохра-
сохранения барионного заряда.
Описанная ситуация могла бы рассматриваться как трудность модели,
если бы не существовали процессы, не сохраняющие барионный заряд.
К числу таких процессов, широко обсуждаемых в настоящее время в связи
с теориями Великого объединения, относятся процессы с участием сверх-
сверхмассивных (с массой ~1014 - 1015 ГэВ) векторных А'- и У-бозонов. При
сжатии вещества в процессе коллапса до плотностей р ~ 1074 - 1078г/см3,
отвечающих массе этих частиц, система почти мгновенно становится
нейтральной по отношению к барионному заряду — независимо от его на-
начального значения**). Поэтому еще до достижения планковской плотности
рР1 ~ 1094г/см3 вещество может полностью потерять свой исходный ба-
барионный заряд***).
Движение частиц и лучей света в пространстве-времени с замкнутым го-
горизонтом F - 0 обладает рядом интересных особенностей. Падающие по
радиусу частицы за короткое собственное время (порядка rg/c) пересе-
пересекают 71 -область, достигают линии г = 0 и начинают удаляться от центра.
При этом, однако, они не могут вновь пересечь линию ED и попасть
в Т_ -область. Поэтому все такие частицы (при классическом описании)
скапливаются вблизи ED и выходят наружу (через собственное время
*) Зельдович A976*) обратил внимание на то, что при хокинговском излучении
рождение тяжелых частиц, распадающихся с нарушением СР-четности, может привести
к появлению в излучении избытка барионного или антибарионного заряда. Эти процес-
процессы были подробно рассмотрены в работах Долгова A980а, Ь*, 1981). Поскольку
эти процессы существенны лишь на относительно поздней стадии испарения, когда
температура черной дыры достигает величины в = 1/8яД/ ~ 1014 - 10" ГэВ, то для
черной дыры с массой М, значительно большей 1 г и образованной из барионов, барион-
ная асимметрия распада не может значительно изменить попавший в них барионный
заряд [см. по этому поводу обзоры Долгова и Зельдовича A980*, 1981)|.
**)Эти процессы подробно рассматривались в связи с проблемой возникновения
барионной асимметрии Вселенной [см., например, Долгов, Зельдович A980*, 1981),
Бэрроу A983), Колб, Турнер A983)]. Оценки скорости нейтрализации барионного
заряда в сверхплотном веществе в теориях Великого объединения можно найти в ра-
работах Фрая и др. A980а, Ь,с), Колба, Турнера A983).
***) Следует упомянуть, что при планковских плотностях мог бы оказаться сущест-
существенным также чисто квантовогравитационный механизм несохранения барионного
заряда, предложенный Хокингом A984).
294

порядка rg/c) после испарения "черной дыры". При этом они обладают
к V „
"синим смещением" ~ е , где
К-=1
Ъг
A3.3.8)
— аналог поверхностной гравитации для внутреннего горизонта (на ли-
линии ED), а Квн - время жизни "черной дыры". Аналогичный эффект
"синего смещения" должен иметь место и для волн, попавших в такую
"черную дыру". При квантовом рассмотрении этот эффект приводит
к чрезвычайно сильному рождению частиц при распаде "черной дыры".
Поскольку такой выброс энергии не должен превосходить величины
порядка планковской массы (чтобы не нарушить закона сохранения энер-
энергии во внешнем пространстве), можно сделать вывод, что если оценка
излучения, основанная на использовании квантовой теории в заданной
усредненной метрике, является правильной, то внутренняя поверхностная
гравитация к_ должна быть величиной, меньшей или порядка К~^
[Болашенко, Фролов A984*, 1986*)] *).
Отсутствие горизонта событий в модели с замкнутым горизонтом могло
бы привести к еще одному, чрезвычайно интересному следствию.
Рождение в черной дыре частицы, вылетающей наружу, сопровождается
появлением частицы внутри нее. Отдаленный наблюдатель регистрирует
лишь часть частиц, и, в соответствии с этим, излучение черной дыры обла-
обладает энтропией и описывается матрицей плотности (§ 9.3). В модели
с замкнутым горизонтом горизонт событий отсутствует, и частицы, родив-
родившиеся внутри "черной дыры", после испарения последней могут выйти
наружу. В результате свантовое состояние с точки зрения удаленного
наблюдателя могло бы снова оказаться чистым. Иными словами, рост
энтропии во внешнем пространстве, связанный с тепловым излучением
черной дыры на стадии, пока ее масса значительно превосходит планков-
скую, должен был бы смениться резким уменьшением до нуля на послед-
последнем этапе ее распада.
В приведенном выше рассмотрении использовалось приближение, в рам-
рамках которого рождающиеся частицы считались невзаимодействующими и
пренебрегалось флуктуациями гравитационного поля. Оба эти предположе-
предположения, по-видимому, неправомерны при описании распространения частиц
в области вблизи внутреннего горизонта ED. Процессы взаимодействия
частиц внутри черной дыры и их рассеяния на флуктуациях гравитационно-
гравитационного поля могут привести к тому, что частицы "забывают" свою фазу**) и
при развале черной дыры не происходит уменьшения энтропии.
Помимо рассмотренных выше вариантов (образование голой сингуляр-
сингулярности и модель с замкнутым горизонтом, в которой черная дыра выгорает
*) Подчеркнем, что этот вывод получен без учета флуктуации гравитационного
поля. О возможной связи флуктуации горизонта видимости и кв. нтового излучения
черных дыр см. Кодама A980).
**) О механизме потери когерентности при рассеянии на квантовогравитационных
флуктуациях см. Хокинг A984).
295

полностью) возможен также вариант, когда после испарения черной дыры
остается невыгоревший остаток. В качестве такого остатка могла бы обра-
образовываться элементарная черная дыра с массой порядка планковской*).
(На рис. 89 этому случаю отвечало бы, например, такое поведение линии
уровня F = 0, при котором внешняя и внутренняя части этой линии неогра-
неограниченно продолжаются по координате v, близко сближаясь или даже сли-
сливаясь друг с другом.) Анализ сферически-симметричного коллапса системы
с массой, меньшей планковской, показывает, что квантовые эффекты и,
в частности, эффект поляризации вакуума приводят к тому, что "усреднен-
"усредненная метрика" g)lv - <?м„> , описывающая геометрию, в этом случае
является всюду регулярной и горизонт видимости (а следовательно, и
горизонт событий) вообще не образуется [Фролов, Вилковыский A979,
1981, 1982) ]. Этот результат указывает на то, что черные дыры с массой,
меньшей планковской, не могут существовать, т.е. элементарные черные
дыры, если они существуют, должны иметь массу порядка планковской.
Впервые свойства подобных объектов,,получивших название максимонов,
были рассмотрены Марковым A966*) [см. также Хокинг A971а)].
§ 13.4. Элементарные черные дыры (максимоны) .
Виртуальные черные дыры и пенная структура
пространства-времени
Вопрос об устойчивости максимонов относительно квантового распада -
один из основных для гипотезы об их существовании. Температура класси-
классической черной дыры формально обращается в нуль, если ее параметры —
электрический (Q) и магнитный (Р) заряды**) и угловой момент (У ) -
*) Отметим, что существование в природе тяжелых магнитных монополей, пред-
предсказываемых в теориях Великого объединения, могло бы иметь любопытное следст-
следствие для малых черных дыр [Гиббоне A977), Хискок A983) ]. Экстремальная (с маг-
магнитным зарядом) черная дыра массы М > ISO- A017 гЭВ/рJ (р - масса монополя
в ГэВ) обладала бы временем жизни, большим времени жизни Вселенной, поскольку
хокинговская температура такой дыры равна нулю, а процесс рождения монополей
подавлен из-за их большой массы.
**) Отметим, что заряженные элементарные черные дыры представляют большой
интерес при исследовании проблемы собственной энергии заряженных частиц. В рам-
рамках классической теории гравитационный дефект масс приводит к тому, что наблю-
наблюдаемая на бесконечности масса М отличается от внутренней массы Мо системы. Если
система нейтральна, то при фиксированном значении Д/о возможны такие конфигура-
конфигурации, для которых М сколь угодно мало |3ельдович A962а*)] или тождественно
обращается в нуль (например, в том случае, когда масса Мо образует замкнутый
мир). Для заряженных (с зарядом Q) систем значение М ограничено снизу величиной
Ql \J~~G (Р I -JTT - для магнитного заряда) [Арновитг и др. A963), Марков, Фро-
Фролов A970*. 1972*), Гиббоне, Халл A982), Людвигсен, Викерс A983)], Для
электрона масса е I-JG равна 1,86-10"' г, что почти на порядок (на фактор
(tu/e2I'2 = 11,7) меньше значения планковской массы. Подобные классические
решения, описывающие заряженные элементарные черные дыры, получили
название "фридмонов". Их свойства подробно обсуждаются в работах Маркова,
Фролова A970*. 1972*).
296

связаны с массой М черной дыры соотношением
Q2 + Р2 J2c2
М2 = + ——- . A3.4.1)
G G2M2
Модификация уравнений Эйнштейна - Максвелла из-за квантового эффек-
эффекта поляризации вакуума может привести к изменению условия A3.4.1)
обращения в нуль температуры черной дыры. Нельзя исключить также воз-
возможность, что при учете этих эффектов обратится в нуль температура и для
нейтрального максимона. К сожалению, это еще не решает вопроса об
устойчивости черной дыры относительно квантовых процессов. Дело в том,
что максимоны (если они существуют) обладают минимально допустимой
для черных дыр массой и потеря ими сколь угодно малой массы приводит
к их полному развалу. При таком процессе естественно ожидать появления
квантов с характерной энергией е ~ mV\ с2, для которых длина волны
X ~ hc/e сравнима с их гравитационным радиусом. При этих условиях
приближение, основанное на малости влияния рожденных частиц на метри-
метрику, по-видимому, несправедливо.
В целом ответ на вопрос о существовании и устойчивости максимонов
связан с поведением физических взаимодействий при энергиях, сравнимых
с планковскими, и поэтому следует ожидать окончательного решения этого
вопроса лишь после построения теории квантовой гравитации. Возможно,
он найдет свое естественное решение в рамках единой теории всех взаимо-
взаимодействий (основанной, например, на одном из вариантов теории суперграви-
супергравитации или теории струн).
Если элементарные черные дыры существуют в природе, то они обладают
рядом удивительных свойств [Марков A966 *) 1. Их характеризует крайне
малое сечение взаимодействия — порядка 1СГ66 см2. При падении максимо-
максимона в поле тяготения Земли он приобретает энергию порядка 1020 эВ.
Однако, поскольку скорость его движения невелика, то, по-видимому,
наблюдать максимоны по их ионизующей способности невозможно, даже
если они заряжены и их взаимодействие с веществом достаточно сильное.
Максимоны трудно удерживать и накапливать в обычном веществе на
поверхности Земли, поскольку на длине межмолекулярного расстояния
обычного вещества гравитационное поле Земли сообщает им энергию
~ 103 эВ, что значительно больше энергии взаимодействия молекул.
Малость сечения взаимодействия нейтральных максимонов с веществом
приводит к тому, что значительная (или даже основная) часть материи во
Вселенной в настоящее время могла бы состоять из максимонов, не при-
приводя к противоречию с наблюдениями. В частности, максимоны могли бы
играть роль невидимого вещества, существование которого признается
в настоящее время в космологии [Марков A981b)] *).
По-видимому, наиболее перспективным методом поиска максимонов
следует считать метод, основанный на регистрации продуктов их распада.
*) Имеется возможность получить сильные ограничения на допустимую среднюю
плотность максимонов во Вселенной с помощью соображений, аналогичных тем, кото-
которые используются при выводе ограничения на число монополей и других массивных
частиц [см,, например, Полнарев, Хлопов A985 *) ],
20. И.Д. Новиков 297

Если допустить существование связанной системы многих максимонов
[Марков, Фролов A979*)] или малого их числа — например, пары
[Аман A983)] — то при эволюции таких систем возможно слияние пары
максимонов в один с выделением энергии порядка 102* эВ. Такого типа
процессы могли бы, по-видимому, регистрироваться в экспериментах типа
ДЮМАНД [более подробно об'этом см. Марков A981а), Марков,
Железных A981)].
Стабильные максимоны являются максимально тяжелыми фундамен-
фундаментальными частицами [Марков A976*, 1981с)]. Если связать с размером
частицы ее комптоновскую длину волны Л = \л/тс\ то для частиц с мас-
массой т > mv\ этот размер оказывается меньшим, чем ее гравитационный
радиус*). Имеется и другая причина, по которой элементарные черные
дыры, даже если они нестабильны, важны для теории элементарных частиц.
Дело в том, что при проведении расчетов в современной квантовой теории
и, в частности, при вычислении собственной энергии частиц обычно учиты-
учитывают вклад промежуточных состояний с произвольно большой энергией,
что приводит к появлению известных расходимостей. Учет гравитационного
взаимодействия соответствующих виртуальных частиц и возможности
появления виртуальных (короткоживущих) черных дыр в проме-
промежуточном состоянии может привести к устранению этих расходимо-
расходимостей [Марков A971)].
Виртуальные черные дыры могут возникать и в вакууме в результате
квантовых флуктуации. Квантовые флуктуации гравитационного поля тем
больше, чем меньше масштабы длин. На расстояниях порядка планковских
флуктуации метрики сравнимы с самой метрикой. Подобные флуктуации
означают возможность сильных отклонений от плоской геометрии и
евклидовой топологии. Иными словами, из-за непрерывного рождения и
уничтожения виртуальных черных дыр пространство-время в малых
масштабах напоминает мыльную пену.
Представление о пенной структуре пространства-времени, сформулиро-
сформулированное в 50-х годах Уилером, в последние годы получило развитие в рабо-
работах Хокинга и его группы [Хокинг A978, 1984), Хокинг и др. A979,
1980), Уорнер A982)].
Среди интересных приложений этих идей отметим: 1) возможное нару-
нарушение квантовой когерентности и превращение чистого состояния в сме-
смешанное из-за взаимодействия квантованного поля с флуктуациями грави-
гравитационного и 2) несохранение барионного и лептонного зарядов в процессе
взаимодействия элементарных частиц с виртуальными черными дырами
(с пространственно-временной "пеной") [Хокинг A984)]. И хотя ожи-
ожидаемое время жизни протона относительно этого процесса на много поряд-
порядков превосходит предсказываемое в рамках теорий Великого объединения,
сама возможность подобных процессов может иметь фундаментальное
значение, особенно при обсуждении вопроса о происхождении Вселенной.
*) Отмстим, что планковская длина в этой ситуации выполняет роль своеобразной
фундаментальной длины. Можно показать I Гинзбург A975*), Гинзбург, Фро-
Фролов A976 *)], что в самом общем случае появление фундаментальной длины приво-
приводит к ограничению снизу на спектр существующих черных дыр.
298

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Еще двадцать лет назад мало кто верил в саму возможность существова-
существования черных дыр. Гипотеза о черных дырах привлекла к себе внимание после
открытия нейтронных звезд. И удивительное дело — черные дыры сразу
"пришлись ко двору" в астрофизике. Им нашлось место не только в виде
остатков при вспышках сверхновых, но и в ядрах шаровых скоплений,
галактик и квазаров.
После открытия Хокингом явления квантового испарения черных дыр
особое значение приобрел вопрос о космологической роли малых черных
дыр. Гипотеза об элементарных черных дырах (максимонах) не только
интересна своими возможными космологическими следствиями, но и
существенна для физики элементарных частиц. Виртуальные черные дыры
станут, вероятно, важным элементом будущей квантовой теории гравита-
гравитации. Исследование свойств черных дыр привело к обнаружению глубоких
связей между гравитацией, квантовой теорией и термодинамикой. Все это
(и в особенности факт, что участие черных дыр в физических процессах
приводит к ряду качественно новых закономерностей) привело к возник-
возникновению за последние 10 - 15 лет, по сути дела, новой области физики -
физики черных дыр со своим объектом исследования и своими пробле-
проблемами. Последние зачастую носят очень фундаментальный характер,
а объект настолько удивителен, что эта область привлекает внимание
многочисленных исследователей. В настоящей книге мы постарались
осветить основные вопросы физики черных дыр. Авторы отдают себе отчет
в том, что не все вопросы, затронутые в книге, изложены с той степенью
полноты, которой они заслуживают. Некоторым оправданием для нас
является то, что во многих случаях эта неполнота отражает существующую
в теории ситуацию. Физика черных дыр — наука молодая и быстро разви-
развивающаяся. Хочется надеяться, что в этом развитии не только устранятся
существующие в настоящее время неясности, но и что она сможет порадо-
порадовать физиков новыми, быть может, еще более неожиданными результатами.
299

ПРИЛОЖЕНИЕ
В настоящем Приложении собраны важнейшие формулы римановой гео-
геометрии и теории относительности, используемые в основном тексте книги.
Поскольку вывод этих формул и необходимые разъяснения можно найти
в существующих учебниках и монографиях [см., например, Ландау,
Лифшиц A973*), Мизнер, Торн. Уилер A973), Хокинг, Эллис A973),
Крамер и др. A980), Владимиров A982*)], мы ограничиваемся здесь
простым перечислением основных соотношений и краткими коммента-
комментариями к ним.
Индексы; греческие а, 0, ... пробегаюг значения 0, 1, 2, 3; латинские
/, /, ... - значения I, 2, 3.
Симметризация -4(Ml ... м > и антисимметризация А | м i ,,, м i тен-
тензора /4Mj ... Цр:
^(к, ... цр) ~ ТТ " >*\ ¦•• fp '
Р ' по всем
перестановкам
A\»i ...Mpl = ~7 2 ^~^ A»i ¦¦¦Мр-
Р ¦ по всем
перестановкам
где / = 0, если перестановка четная, и / = 1 в противном случае.
Метрика пространства-времени ds2 = ga^dxadx& имеет сигна-
сигнатуру - + + + .
Гладкая кривая х"( X ) называется пространственно-, времени- или све-
топодобной в точке X = X 0 , если касательный к ней вектор и" = dx"/d\
в этой точке удовлетворяет условию мммд > 0, и^и^ < 0 или и^и^ = 0
соответственно. Кривая называется причинной, если в каждой ее точке
мммм <0.
Причинное будущее J*{Q) {прошлое J (??)) множества Q - это мно-
множество точек, для каждой из которых найдется проходящая через нее
причинная кривая, направленная в прошлое (в будущее) и пере-
пересекающая Q,
Область Коши будущего D*(Q) {прошлого D~ (Q)) множества Q -
это множество точек, для каждой из которых любая проходящая через
нее причинная кривая, направленная в прошлое (в будущее), пересекает Q.
300

Полная поверхность Коши - это невремениподобная гиперповерхность,
которую каждая причинная кривая пересекает точно один раз.
Тензор кривизны Римана:
где
Г"аC =g*"Tu,a0, ^v,a0 = ^(gav,0-ga0,v+g0v,a)- (П.2)
Тензор Риччи:
Rpv = R цаи- (П.З)
Тензор Вейля:
gv{o^T]n ~~ gp[o^T]v> (П.4}
где SpU = Rp,, -7 gfin R.
Тензор Эйнштейна: Gap=Ra0 — -j
Ковариантная производная:
- л я*3' •• + г"' »"-• + г" я "•
(П.5)
Другое обозначение обычной четырехмерной ковариантной производной:
^а( )=( ); а • Ковариантные производные по отношению к трехмерной
метрике обозначаются V,( ) = ( ).t. Для двумерных ковариантных
производных используется обозначение ( )|Л (А =1,2).
Коммутатор ковариантных производных:
(П.6)
Производная Ли ?^Аа '" $ .., тензорного поля Аа " ^ вдоль вектор-
векторного поля % определяется соотношением
_ _ ... + v^"^" - м ... + ... , (П.7)
\ (П.8)
A A,-A,JCj-JC[j,n]. (П.9)
301

Производная Ферми - Уолкера 3-^Аа "' ^ тензорного поля Аа '"
вдоль векторного поля ? (?" % Ф 0):
(П.9а)
где
Параллельный перенос. Тензорное поле Аа "' $ параллельно переносит-
переносится вдоль векторного поля ? , если выполнено условие
$"VMi4a~0... = 0. (П. 10)
Говорят, что это поле параллельно переносится вдоль % в смысле Ли, если
?^Аа - g... = 0, (П.11)
и в смысле Ферми - Уолкера, если
Геодезическая ха( X) определяется как решение уравнения
d2xa
+ г «^ =/(М . (П.13)
dX2 " dX dX dX V ;
где /(X) - произвольная функция. За счет изменения параметризации
X = X ( X) эту функцию можно обратить в нуль.Соответствующий параметр
называют аффинным. Аффинный параметр определен с точностью до линей-
/ dx» dxv \
ного преобразования. Для времениподобных I g v < 0 I и прост-
\ м d\ d\ l
I dx» dxv \
ранственноподобных \gav— > 01 геодезических аффинный пара-
\ M dX ал /
метр пропорционален собственной длине / VI ds1 \ вдоль кривой.
Уравнение девиации геодезических. Пусть л"(Х) - вектор, соединяю-
соединяющий пару близких геодезических при одинаковом значении аффинных пара-
параметров X вдоль них. Тогда имеет место уравнение
D2na
.И*,,,.1.1.' =0,
где
d\ d\
302

Векторное поле Киллинга ?" в пространстве с метрикой g^v опреде-
определяется соотношением
2«(м) =0- (ПЛ4)
Векторное поле Киллинга ?" удовлетворяет уравнению
" =
Если |м и Т7М — два векторных поля Киллинга, то [?,*?]" =
V*
- V* За?" - также векторное поле Киллинга.
до
рость движения вдоль if*1, to ускорение
Если {" времени подобно (?% < 0) и и" = {"/ |?а?а |1/2 - 4-ско-
Тензорное поле Киллинга - это симметричное тензорное поле ?aj _..ttm =
= ? (а, ...ат ) , удовлетворяющее условию
?(а,...ат;C) = 0. (П.17)
Конформные преобразования определяются как преобразования мет-
метрики вида
ga0(x) = n4x)gap(x)- (П. 18)
Тензорное поле А ' '" " ^ ^ является полем веса s, если при преобразо-
преобразовании (П. 18) оно преобразуется по закону
Aa—a\ . = П^"+т> -а'\ в . (П.19)
Pi ¦•• t>m Pi ••• Рт v
л л
Если V7 - ковариантная производная в метрике gap , то
VyAa ¦" C..; = VyAa "¦ C... +с"„/1о "¦ C... + ¦¦• - СурЛ" '" а ... - •¦¦ ¦
(П.20)
где
При конформных преобразованиях тензор Вейля Са^ * не изменяется, а
кривизны Rapy , Rap и R преобразуются следующим образом:
К01 °=Ra01 " + 2V[ac?l7 + 2C7|a C0% , (П. 22)
(П. 23)
(П.24)
303

Элемент объема:
A\=у/~^A*х. (П. 25)
Элемент daa гиперповерхности 2, определяемой уравнениями Xм =
= Xй {у1) , есть
daa = ~ ea0i Mj det ("~г) dy1 dy2 dy3, (П. 26)
где еа(з7б - антисимметричный тензор:
еа0Уь = V11? eaC76 (П. 27)
(е<*07Ь — полностью антисимметричный символ (eOi23 = 1))-
Элемент doap двумерной поверхности S, определяемой уравнениями
.Vм = х» Bя) (а =1,2), есть
apyni ^^j (П.28)
Интегрирование в римановом пространстве. Пусть $ — скалярное, <fa —
векторное и $а^ — антисимметричное тензорное поля. Тогда определены
интегралы
\ (П.29)
(П. 30)
p (П. 31)
5
Теорема Стокса:
f*a.aJ*v= f*aJoa, (П.32)
/*аC;^«а= i*a*d0afi, (П. 33)
i ai;
где Э К и Э S - границы 4-объема К и гиперповерхности 2.
Индуцированная метрика Л^- м внешняя кривизна Kfj гиперповерхности.
Пусть лм = .vM(V) — уравнение гиперповерхности 2. нм — единичная нор-
маль к ней и ем. = ~еП) ~~ тР°йка взаимно ортогональных единичных
векторов, касательных к 2. Тогда
¦ _ Эх" дх"
Ни = ~д7~&*1'1" (П'34)
K(i)U)="»<-'(i)V>'eU)> (П. 35)
где K(i)(j) — компоненты Кц в базисе ецу
304

Уравнения Гаусса Кодацци:
Rm (fk = C>Л'" iik + е(н) (К„Кт k - KikKj"').. (П. 36)
«„Л" т = -е(и) (Kif:k - Kik :/) , (П. 37)
где 6 (л) = л„лм = ±1, ( ):/ - ковариантная производная в метри-
метрике Иц. C^ Rmijk - тензор кривизны трехмерного пространства с этой мет-
метрикой.
 + V'-разбиение тензора Эйнштейна:
nan"GaP = C)Л + — б (и) [К2 - КцК{>], . (П. 38)
naGai = -6 (п) [К, "'-.„-К: А , (П. 39)
где C>Л = hik ^>Rm tmk, К = Н'%{.
Действие Эйнштейна:
W\g]=-^—(fRy/4d*x-2fKy/hd3y). (П. 40)
16тгС к эк
Уравнения Эйнштейна:
8тг6'
где ГаC — тензор энергии-импульса:
(п. 41)
Wm - действие материи. Для ковариантного действия Wm Та0.0 = 0.
Энергетические условия. Пусть i-** — произвольное времениподобное
векторное поле.
Слабое энергетическое условие означает выполнение следующих нера-
неравенств для заданного Та$:
Та&%а%0>О. (П. 43)
Условие энергодоминантности: Та$%® — непространственноподобный
вектор.
Сильное энергетическое условие - выполнение неравенств
тае?Ь*>— т?е$а. (П. 44)
Электромагнитное поле Ац.
Действие:
W[A] *-~ fF^F^yT^d^x + fA^yn^x, (П.45)
16тг v
^=2/l|p.Ml. (П.46)
305

Уравнения Максвелла:
F"v iv^W. (П.47)
Тензор энергии-импульса:
1 / 1 \
Т = 1 р р а а р „рав I (Т\ ЛЯЛ
4тг \ 4 /
Скалярное поле \р.
Действие:
1 2 2 2 / 4
8тг v '" .
1
— % f Kf y/hd3v, (П.49)
v 4тг эк
гдет- масса поля, ? - свободный параметр. При w = 0, % - 1/6 теория
конформнонинвариантна.
Уравнения поля:
П у - (ш2 + %R) у = —4тгУ. (П. 50)
Тензор энергии-импульса:
T(ij = — L * -lg & ^+ff,v) +
"" 4тг I '" '" 2 "" '"
2 +inv (V2Va . a - to2)-uv \ +^^mv- (П. 51)
Законы сохранения. Пусть ?" - векторное и ?"" - тензорное поля Кил-
линга. Если ГМР - симметричный тензор, удовлетворяющий условию
Г*;,, = 0 (тензор энергии-импульса), то величина
Рц= f Т»"%„<1о„ (П.52)
не зависит от выбора полной поверхности Коши S.
Если /?м - импульс частицы (р"р" ;„ = 0), то величины
Р^~ %^Рц, Q$~%liVPpPv (П.53)
постоянны вдоль траектории частицы.
Конгруэнция кривых - трехпараметрическое семейство кривых
.Vм (Х;>>') (X — параметр вдоль кривой, у1 - параметр, "нумерующий" кри-
кривую) , обладающее тем свойством, что через каждую точку проходит одна и
только одна кривая семейства.
Если выбраны конкретные X и у1 на конгруэнции, то мы получаем
систему координат. Конгруэнция времениподобных кривых называется
системой отсчета.
Дифференциальные инварианты конгруэнции времениподобных кривых.
Пусть X - аффинный параметр и мм = dx^/dX - векторное поле (м"м„ = -1),
306

связанное с конгруэнцией *М(Х; у1). Тогда иа. $ допускает однозначное
представление вида
ua-0 = ua& + oafi+—epa0~wau0, (П. 54)
где/эа0 ~Sa3+ иаир ~ проекционный тензор, проектирующий векторы
на 3-пространство, ортогональное м",и>а =и0иа. $ ~ ускорение, в =иа . а -
"расхождение" мировых линий конгруэнции, ша0 — тензор вращения и
оар - тензор сдвига:
Ъ>аC = и\а0]= — (иа;цР" 0-и0;»Р" а), (П. 55)
°а0 ~ О(а0) = — (На-.цР" 0+и0;цР" а)-— 9ра0. (П.56)
Уравнение Райчаудхури:
rift 1
=wa.a+2(co2 -a2) в2 -Ra0uaue, (П.57)
dX i 3
где со2 = — соаC а/**3, а2 = — ааC ааC.
Выберем в качестве параметра X собственное время s вдоль каждой кри-
кривой системы отсчета. Тогда мм является 4-скоростью. В этом случае
(П.54) обычно записывают в виде [см. Владимиров A982*)]
u^-,v~A^ll+DtiV+Ftiuv. (П.58)
Непосредственный физический смысл имеют значения АМР, ?)м„ и FM с про-
пространственными индексами:
— тензор угловой скорости вращения системы отсчета
тензор скорости деформации системы отсчета-
с
(П. 60)
gOigok ,„ ,„„ „1
;kgik,;k k
goo
Ff - вектор поля гравитационно-инерциальных сил, действующих в
системе отсчета (т.е. вектор Ускорения свободного падения пробной по-
покоящейся частицы)
#0 0
307

С помощью Ajk вычисляется вектор угловой скорости вращения сис-
системы ?1,-:
к1
(
(П.62)
\ (g V"
где б,ук — абсолютно антисимметричный объект, ei 2 з = I I
\ goo/
Скаляр ?2 = у S2jS2fc/i*'fc есть угловая скорость поворота за единицу
собственного времени с/т = V -?оо Л
Скаляр
F = s/~FrFirh*~k. (П. 63)
есть абсолютная величина ускорения свободного падения покоящегося
тела в выбранной системе отсчета.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Алиев А.И., Гальцов Д.В., Соколов А.А. - Известия вузов, Физика, 1980, № 3, с. 7.
Аман Э.Г. Препринт ИЯИ АН СССР П- 0272. - Москва, 1983.
Белинский В.А., Лифшиц ЕМ., Халатников ИМ. - УФН, 1970, т. 102, с. 463.
Березин ВА. Препринт ИЯИ АН СССР П-0183. - Москва, 1980.
Березин ФА. Метод вторичного квантования. - М.: Наука, 1965.
Бескин B.C., Гуревич А.В., Истомин Я.Н. - ЖЭТФ, 1983, т. 85, с. 401.
Богородский А.Ф. Уравнения поля Эйнштейна и их применение в астрономии. -
Иэд-во Киевского ун-та, 1962.
Болашенко ПА., Фролов В.П. - В кн.: Тезисы докладов Всесоюзной конференции
"Современные теоретические и экспериментальные проблемы теории относитель-
относительности и гравитации". - Москва, 1984, т. 1, с. 102.
'Болашенко ПА., Фролов В.П. - Труды ФИАН, 1986, т. 169, с. 159.
Болотовский Б.М., Столяров С.Н. - В кн.: Эйнштейновский сборник. - М.: Наука,
1980.
Бочарова Н.М., Бронников К.А., Мельников В.Н. - Вестник МГУ (физика, астроно-
астрономия) , 1970, т. 1, с. 706.
Владимиров Ю.С. Системы отсчета в теории гравитации. - М.: Энергоиздат, 1982.
Волович ИВ., Загребное В А., Фролов В.П. - ТМФ, 1976, т. 29, с. 191.
Волович ИВ., Загребное ВА., Фролов В.П. - ЭЧАЯ, 1978, т. 9, с. 147.
Гальцов Д.В. - В кн.: Теоретико-групповые методы в физике. — М,: Наука, 1980,
т. 2, с. 183.
Гальцов Д.В., Петухов В.И - ЖЭТФ, 1978, т. 74, с. 801.
Гальцов Д.В., Померанцева Г.В., Чижов Г.А. - Известия вузов, Физика, 1983, №8,
с. 75.
Гальцов Д.В., Померанцева Г.В., Чижов Г.А. - Известия вузов, Физика, 1984, № 8,
с. 81.
Гинзбург В.Л. - ДАН СССР, 1964, т. 156, с. 43.
Гинзбург В.Л. - Письма в ЖЭТФ, 1975, т. 22, с. 514.
Гинзбург В.Л.. Озерной Л.М. - ЖЭТФ, 1964, т. 47, с. 1030.
Гинзбург В.Л.. Фролов В.П. - Письма в АЖ, 1976, т. 2, с. 474.
Гриб А.А., Мамаев С.Г., Мостепаненко В.М. Квантовые эффекты в интенсивных
внешних полях. - М.: Атомиэдат, 1980.
Гуревич А.В., Истомин Я.Н. - ЖЭТФ, 1985, т. 89, с. 3.
Долгов А.Д. - ЖЭТФ, 1980 а, т. 79, с. 337.
Долгов А.Д. - ЯФ, 1980Ь, т. 32, с. 1606.
Долгов А.Д., Зельдович Я.Б. - УФН, 1980, т. 130, с. 559.
Дорошкевич А.Г., Зельдович Я.Б.. Новиков ИД. - ЖЭТФ, 1965, т. 49, с. 170.
Дорошкевич А.Г., Новиков ИД. - ЖЭТФ, 1978, т. 74, с. 3.
Дорошкевич А.Г., Новиков AS., Полна рев А.Г. - ЖЭТФ, 1972, т. 63, с. 1538.
Дымникова ИГ. Препринт ФТИ-795. - Ленинград, 1982.
Дымникова ИГ. - УФН, 1986, т. 148, с. 393.
ЖукА.И, Фролов.В.П. - Кратк. сообщ. по физ., 1981,№9, с. 25.
Зельдович Я.Б. - ЖЭТФ, 1962 а, т. 42, с. 641.
ЗельдовичЯ.Б. - ЖЭТФ, 1962b, т. 42, с. 1667.
Зельдович Я.Б. - Письма в ЖЭТФ, 1970, т. 12, с. 443.
309

Зельдович Я.Б. - Письма в ЖЭТФ, 1971, т. 14, с. 270.
Зельдович Я.Б. - ЖЭТФ, 1972, т. 62, с. 2076.
Зельдович Я.Б. - Письма в ЖЭТФ, 1976, т. 24, с. 29.
Зельдович Я.Б., Новиков ИД. - ДАН СССР, 1964, т. 155, с. 1033.
Зельдович Я.Б., Новиков ИД. - АЖ, 1966, т. 43, с. 758.
Зельдович Я.Б., Новиков ИД. Релятивистская астрофизика. - М.: Наука, 1967.
Зельдович Я.Б,, Новиков И.Д. Теория тяготения и эволюции звезд. - М.: Наука, 1971.
Зельдович Я.Б., Новиков И.Д. Строение и эволюция Вселенной. - М.: Наука, 1975.
Зельдович Я.Б., Новиков ИД., Старобинский А.А. - ЖЭТФ, 1974, т. 66, с. 1897.
Зельдович Я.Б., Старобинский А..А. - ЖЭТФ, 1971, т. 61, с. 2161.
Зельманов А.Л. - ДАН СССР, 1956, т. 107, с. 815.
Зельников А.И., Фролов В.П. - ЖЭТФ, 1982, т. 82, с. 321.
Зельников А.И., Фролов В.П. - Труды ФИАН, 1983, т. 152, с. 96.
Зельников А.И., Фролов В.П. - Труды ФИАН, 1986, т. 169, с. 132.
Кардашев НС. и др. - АЖ, 1983, т. 60, с. 209.
Кардашев Н.С., Митрофанов И.Г., Новиков И.Д. - АЖ, 1984, т. 61, с. 1113.
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. - М.: Наука, 1973.
Лифшиц Е.М. - ЖЭТФ, 1946, т. 16, с. 587.
Марков М.А. - ЖЭТФ, 1966, т. 51, с. 879.
Марков М.А. - УФН, 1973, т. 111, с. 3.
Марков М.А. О природе материи. - М.: Наука, 1976.
Марков М.А., Фролов В.П. - ТМФ, 1970, т. 3, с. 3.
Марков М.А., Фролов В.П. - ТМФ, 1972, т. 13, с. 41.
Марков М.А., Фролов В.П. - Письма в ЖЭТФ, 1979, т. 29, с. 372.
Надежин Д.К., Новиков И.Д., Полнарев AS. - АЖ, 1978, т. 55, с. 216.
Новиков И.Д. - АЖ, 1961, т. 38, с. 564.
Новиков И.Д. - Вестник МГУ, 1962 а, сер. 111, № 5, с.90.
Новиков И.Д. - Вестник МГУ, 1962b, сер. 111, № 6, с. 61.
Новиков И.Д. - АЖ, 1963, т. 40, с. 772.
Новиков И.Д. - Сообщения Г А ИШ, 1964 а, № 132, с. 3, 43.
Новиков ИД. - АЖ, 1964b, т. 41, с. 1075.
Новиков ИД. - Письма в ЖЭТФ, 1966 а, т. 3, с. 223.
Новиков ИД. - АЖ, 1966b, т. 43, с. 911.
Новиков ИД. - ЖЭТФ, 1969, т. 57, с. 949.
Новиков ИД. - ЖЭТФ, 1970, т. 59, с. 262.
Новиков И.Д. Черные дыры-и Вселенная. - М.: Молодая гвардия, 1985.
Новиков И.Д., Старобинский А.А. - ЖЭТФ, 1980, т. 78, с. 3.
Новиков ИД, Полнарев А.Г. - АЖ, 1980, т. 57, с. 250.
ПенроузР. - УФН, 1973, т. 109, с. 355.
Пикельнер СБ. Основы космической электродинамики. - М.: Физматгиз, 1961.
Полнарев А.Г., Хлопов ММ. - УФН, 1985, т. 145, с. 369.
Поляков А.М. - Письма в ЖЭТФ, 1974, т. 20, с. 194.
Поляков А.М. - ЖЭТФ, 1975, т. 41, с. 988.
Поплавский Р.П. Термодинамика информационных процессов. - М.: Наука, 1981.
Рылов Ю.А. - ЖЭТФ, 1961, т. 40, с. 1955.
Сибгатуллин HP. - ДАН СССР, 1973, т. 209, с. 815.
Сибгатуллин HP. - ЖЭТФ, 1974, т. 66, с. 1187.
Сибгатуллин Н.Р. Колебания и волны в сильных гравитационных и электромагнит-
электромагнитных полях. - М.: Наука, 1984.
Сибгатуллин Н.Р, Алексеев Г.А. - ЖЭТФ, 1974, т. 67, с. 1233.
Соколов А.А. и др, Тезисы докладов VI Советской гравитационной конферен-
конференции. - Москва, 1984, с. 105.
Старобинский А.А. - ЖЭТФ, 1973, т. 64, с. 48.
Старобинский А.А., Чурилов СМ. - ЖЭТФ, 1973, т. 65, с. 3.
Тернов ИМ. и др. - ЖЭТФ, 1975, т. 68, с. 377.
Фролов В.П. Кандидатская диссертация, 1973.
Фролов В.П. - ЖЭТФ, 1974, т. 66, с. 813.
Фролов В.П. - Труды ФИАН, 1976 а, т. 96, с. 72.
Фролов В.П. - УФН, 1976b, т. 118, с. 473.
Фролов В.П. - В кн.: Эйнштейновский сборник 1975 - 1976. - М.: Наука, 1978, с. 82.
310

Фролов B.I1. В кн.: Теоретико-групповые методы в физике (труды 11 Междуна-
Международного семинара, Звенигород, 24-26 ноября 1982 г.). - М.: Наука, 1983а,
т. 1,с. 10.
Фролов В.П. Введение в физику черных дыр. - М.: Знание, 1983b.
Фролов В.П. - Труды ФИАН, 1986, т. 169. с, 3.
Шварцман В.Ф. - ЖЭТФ, 1971. т. 60, с. 881.
ШвингерЮ. Теория квантованных полей. - М.: ИЛ, 1956.
Шкловский И.С. - АЖ, 1967, т. 44, с. 930.
AichelburgP.C. Guven R. Phys. Rev. Ser. D, 1981, v. 24, p. 2066.
AichelburgP.C, Giiven R. - Phys. Rev. Ser. D., 1983a, v. 27, p. 456.
AichelburgP.C, Giiven R. - Phys. Rev. Lett.. 1983b, v. 51,p. 1613.
AichelburgP.C, Sexl R.U. - GRG. 1971, v. 2, p. 303.
Amowitt R., Deser S., Misner CW. - In: Gravitation, an Introduction to current research
/Ed. L. Witten - N.Y. London, 1963. Рус. пер.: В кн.: Эйнштейновский сборник. -
М.: Наука, 1967, с. 233.
Aronsl. - Astrophys. J., 1983, v. 266, p. 215.
Baal P. van, Bais F.A., Nieuwenhuizen P. van - Nucl. Phys. Ser. В., 1984, v. 233, p. 477.
BalbinotR. - Phys. Lett. Ser. B, 1984a, v. 136, p. 337.
BalbinotR. -Class. Quant. Grav., 1984b, v. l.p. 573.
Balbinot R., Bergamini R. - Nuovo Cim. Ser. B, 1982, v: 68, p. 104.
Balbinot R.. Bergamini R., GiorginiB. - Nuovo Cim. Ser. B, 1982, v. 71, p. 27.
Balbinot R., Brown M.R. - Phys. Lett. Ser. A, 1984, v. 100, p. 80.
Bardeen J.M. - Bull. Am. Phys. Soc, 1968, v. 13, p. 41.
Bardeen J.M. - Phys. Rev. Lett., 19&1, v. 46, p. 382.
BardeenJ.M., Carter В., HawkingS.W. - Commun. Math. Phys., 1973, v. 31,p. 161.
Bardeen J.M., Press W.H. - J. Math. Phys., 1973, v. 14, p. 7.
BardeenJ.M., Press W.H., Teukolsky S.A. - Astrophys. J., 1972, v. 178, p. 347.
Barrow I.D. - Cosmology and Elementary Particles Physics. - In: Fundamentals of Cosmic
Physics. - Gordon and Breach, 1982, v. 7.
Barrow ID., Silk I. The left hand of creation. - Basic Book Inc., N.Y., 1983.
Bekenstein J.D. - Phys. Rev. Lett, 1972a, v. 28, p. 452.
Bekenstein J.D. - Phys. Rev. Ser. D, 1972b, v. 5, p. 1239.
Bekenstein J.D. - Phys. Rev. Ser. D, 1972c, v. 5, p. 2403.
Bekenstein J.D. - Phys. Rev. Ser. D, 1973 a, v. 7, p. 949.
Bekenstein J.D. - Phys. Rev. Ser. D, 1973b, v. 7, p. 2333.
Bekenstein J.D. - Phys. Rev. Ser. D, 1974,v. 9, p. 3292.
Bekenstein J.D. - Ann. Phys. (N.Y.), 1975, v. 91, p. 75.
Bekenstein J.D. - Phys. Today, 1980, v. 33, p. 24.
Bekenstein J.D. - Phys. Rev. Ser. D, 1982, v. 26, p. 950.
Bekenstein J.D. - Phys. Rev. Ser. D, 1983, v. 27, p. 2262.
Bekenstein J.D.,Meisels A. - Phys..Rev. Ser. D, 1977, v. 15,p. 2775.
BiZakJ. -GRG, 1972,v.3,p. 331.
Bi&akJ. -Czech. J. Phys. Ser. B, 1979,v. 29, p. 945.
BitakJ. - Proc. Roy. Soc. Ser. A, 1980, v. 371, p. 429.
Bifak J. - In: 10-th Int. Conf. on Gen. Rel. and Grav., Padova/Eds. B. Bertotti, F. de Felice,
A. Pascolini. - Roma, 1983, v. 2, p. 688.
BihkJ. - Mon. Not. RAS, 1985, v. 3.
BitakJ., Dvorak L. - Czech. J. Phys. Ser. B, 1977, v. 27, p. 127.
Bitak J., Dvorak L. - Phys. Rev. Ser. D, 1980, v. 22, p. 2933.
BicakJ.HoenselaersC - Phys. Rev. Ser. D, 1985, v. 31, p. 2476.
BiHak J., Stuchlik Z. - Mon. Not. RAS, 1976, v. 175, p. 381.
BirkhoffG.D. Relativity and Modern Physics. - Haiward Univ. Press, 1923.
Birrel N.D., Davies P.C W. Quantum Fields in Curved Space. - Cambridge Univ. Press, 1982.
Рус. пер.: Биррел Н., Девис П. Квантованные поля в искривленном пространстве-
времени. - М.: Мир, 1984.
Bishop N.T. - GRG, 1984, v. 16, p. 589.
Bisnovatyi-Kogan G.S., Lukash V.N., Novikov I.D. - In: Proc. of the fifth European Regio-
Regional Meeting in Astronomy. - Liege, Belgium, 1980, G. 1.1.
Blandford R.D. - Mon. Not. RAS, 1976, v. 176, p. 465.
311

Blandford R.D. - In: Active Galactic Nuclei/Eds. С Hazard, S. Mitton. - Cambridge Univ.
Press, 1979, p. 241.
Blandford R.D., ReesM.J. - Phys. Sci., 1978, v. 17, p. 265.
Blandford R.D., Thome K. - In: General Relativity, An Einstein Centenary survey/Eds.
S.W. Hawking, W. Israel. - Cambridge Univ. Press, 1979, p. 454. Рус. пер.: В кн.: Общая
теория относительности. - М.: Мир, 1983, с. 163.
Blandford R.D., Znajek R.L. - Mon. Not. RAS, 1977, v. 179, p. 433.
Bleyer U., Frolov V.P., Zel'nikov A.I. - Ann. Physik, 1986 (in press).
Bolashenko P.A., Frotov V.P. - In: Contributed papers, 10-th Int. Conf. on Gen. Rel. and
Grav. - Padova, 1983, v. 2, p. 1036.
Bondi H., Burg van der M.G.J., Metzner A. W.K. - Proc. Roy. Soc. Set. A, 1962, v. 269, p. 21.
BondiH.. Gold T. - Proc. Roy. Soc. Set. A, 1955, v. 229, p. 416.
Boitlware D.G. - Phys. Rev. Ser. D, 1975a, v. 11, p. 1404.
Boulware D.G. - Phys. Rev. Ser. D, 1975b, v. 12, p. 350.
Boitlware D.G. - Phys. Rev. Set. D, 1976, v. 13, p. 2169.
Boitlware D.G. - Ann. Phys. (N.Y.), 1980, v. 124, p. 169.
Bovyn M. - Phys. Rev. Ser. D, 1983, v. 28, p. 703.
Bowen J., RauberJ., YorkJrJ.W. - Class. Quant. Grav., 1984, v. 1, p. 591.
BowenJ., YorkJrJ.W. - Phys. Rev. Ser. D, 1980, v. 21, p. 2047.
Boyer R.H. - Proc. Roy. Soc. Ser. A, 1969, v. 311, p. 245.
Boyer R.H.. Lindquist R. W. - J. Math. Phys., 1967, v. 8, p. 265.
Brill DR.. Lindquist R.W. - Phys. Rev., 1963, v. 131., p. 471.
Brillouin L. Science and Information Theory. - Academic Press, N.Y., 1956. Рус. пер.:
Бриллюэн Л. Наука и теория информации. - М.: Физматгиз, 1960.
Bronnikov K.A., Kireev Ytt.N. - Phys. Lett. Ser. A, 1978, v. 67, p. 95.
BrownM.R.. OttewillA.C. - Phys. Rev. Ser. D, 1985, v. 31, p. 2514.
Bunting G. Proof of the Uniqueness Conjecture for Black Holes. Ph.D. Thesis — Dept. of
Math., Univ. of New England, Armilade, Australia, 1983.
Burbidge G.R. - Comm. Astrophys. Space Sci., 1972, v. 4, p. 105.
CaderniN.. Calvani M. - Phys. Lett. Ser. A, 1979, v. 71, p. 1.
CalvaniM. - Nuovo Cim. Ser. A, 1980, v. 58, p. 364.
Candelas P. - Phys. Rev. Ser. D, 1980, v. 21, p. 2185.
CandelasP.. Chrzanowski P., Howard K.W. - Phys. Rev. Ser. D, 1981, v. 24, p. 297.
Candelas P.. Howard K.W. - Phys. Rev. Ser. D, 1984, v. 29, p. 1618.
Can B.J. - In: Quantum Gravity/Eds. M.A. Markov, P.C. West. - Plenum Press, N.Y. and
London, 1983, p. 337.
Carter B. - Phys. Lett., 1966a, v. 21, p. 423.
Carter B. - Phys. Rev., 1966b, v. 141, p. 1242.
Carter B. - Phys. Rev., 1968a, v. 174, p. 1559.
Carter B. - Commun. Math. Phys., 1968b, v. 10, p. 280.
Carter B. - J. Math. Phys., 1969, v. 10, p. 70.
Carter B. - Phys. Rev. Lett., 1971, v. 26, p. 331.
Carter B. General theory of Stationary black hole states. - In: Black Holes/Eds. C.De Witt,
B.S.De Witt. - Gordon and Breach, New York, 1973a.
Carter B. - Commun. Math. Phys., 1973b, v. 30, p. 261.
Carter B. - Phys. Rev. Lett., 1974, v. 33, p. 558.
Carter B. The Vacuum Black Hole Uniqueness Theorem and Its Conceivable Generalization —
In: Proceedings of the First Marcel Grossmann Meeting on General Relativity/Ed. R.Ruf-
fini. - North-HoUand, Amsterdam, 1976.
Carter B. - Phys. Rev. Set. D, 1977, v. 16, p. 3395.
Carter B. The general theory of the mechanical, electromagnetic and thermodynamic proper-
properties of black holes. - In: General Relativity, An Einstein Centenary Survey/Eds. S.W. Haw-
Hawking, W. Israel. - Cambridge Univ. Press, 1979.
Carter B. - Commun. Math. Phys., 1985, v. 99, p. 563.
Cliandrasekhar S. - Proc. Roy. Soc. Ser. A, 1976, v. 349, p. 571.
Chandrasekhar S. - Proc. Roy. Soc. Ser. A, 1979a, v. 365, p. 453.
Chandrasekhar S. - In: General Relativity, An Einstein Centenary Survey/Eds. S.W. Hawking,
W. Israel. - Cambridge Univ. Press, 1979b, p. 370.
Chandrasekhar S. The Mathematical Theory of black holes - Oxford, Clarendon Press, 1983.
Рус. пер.: Чандрасекар С. Математическая теория черных дыр. - М.: Мир, 1986.
312

Chandrasekhar S., Detweiler S. - Proc. Roy. Soc. Ser. A, 1975a, v. 344, p. 441.
Chandrasekhar S., Detweiler S. - Proc. Roy. Soc. Ser. A, 1975b, v. 345, p. 145.
Chandrasekhar S., Detweiler S. - Proc. Roy. Soc. Ser. A, 1976, v. 350, p. 165.
Chandrasekhar S., Uartle J.B. - Proc. Roy. Soc. Ser. A, 1982, v. 384, p. 301.
Chandrasekhar S., XanthopoulosB.S. - Proc. Roy. Soc. Ser. A, 1979, v. 367, p. 1.
Chase J.E. - Commun. Math. Phys., 1970, v. 19, p. 276.
ChitreDM. - Phys. Rev. Set. D, 1976, v. 13, p. 2713.
Cho Y.M., FreundP.G.O. - Phys. Rev. Ser. D, 1975, v. 12, p. 1588.
ChodosA., Detweiler S. - GRG, 1982, v. 14, p. 879.
Christensen S.M. - Phys. Rev. Set. D, 1976, v. 14, p. 2490.
Christensen S.M. - Phys. Rev. Ser. D, 1978, v. 17, p. 946.
Christensen S.M., Fulling S.A. - Phys. Rev. Ser. D, 1977, v. 15, p. 2088.
Christodoulou D. - Phys. Rev. Lett., 1970, v. 25, p. 1596.
Christodoulou D. - Commun. Math. Phys., 1984, v. 93, p. 171.
Chrzanowski P.L., Misner C. W. - Phys. Rev. Ser. D, 1974, v. 10, p. 1701.
Clarke CJ.S. - Commun. Math. Phys., 1973, v. 32, p. 205.
Clarke CJ.S. - GRG, 1975, v. 6, p. 35.
Clarke CJ.S. - Commun. Math. Phys., 1976, v. 49, p. 17.
CohenJM., WaldR.M. - J. Math. Phys., 1971, v. 12, p. 1845.
CopsonE.T. - Proc. Roy. Soc. Ser. A, 1928, v. 118, p. 184.
Courant R. Partial differential equations. — N.Y. - London, 1962. Рус. пер.: Курант Р.
Уравнения с частными производными. - М.: Мир, 1969.
DadlichN. - Phys. Lett. Set. A, 1983, v. 98, p. 103.
Damour T. - Phys. Rev. Set. D, 1978, v. 18, p. 3598.
Damour T. These de Doctorat d'etat. - Univ. Paris VI, 1979.
Damour T. - In: Proceeding of the Second Marcel Grossmann Meeting on General Relati-
Relativity/Ed. R. Ruffini. - Amsterdam, North-Holland, 1982.
Damour T. - In: Gravitational Radiation/Eds. N. Deruelle and T. Piran - Amsterdam,
North-Holland, 1983, p. 59.
Damour Т., Deruelle N.. Ruffini R. - Lett. Nuovo Cim., 1976, v. 15, p. 257.
Damour Т., Ruffini: R. - Phys. Rev. Lett., 1975, v. 35, p. 463.
DaviesP.C.W. - Proc. Roy. Soc. Set. A, 1976, v. 351, p. 129.
DaviesP.C.W. - Proc. Roy. Soc. Ser.A, 1977, v. 353, p.499.
DaviesP.C.W., FulUng S.A.. Unruh W.G. - Phys. Rev. Sei.D, 1976, v. 13, p. 2720.
Davis M., Ruffini K, Price R. - Phys. Rev. Lett., 1971, v. 2.7, p. 1466.
DavisM., Ruffini R., Tiomno J. - Phys. Rev. Sei.D, 1972, v. 5, p. 2932.
D'EathP.D. - Phys. Rev. Ser.D, 1975a, v. 11, p. 1387.
D'Eath P.D. - Phys. Rev. Sei.D, 1975b, v. 12, p. 2183.
D'EathPD. - Phys. Rev. Sei.D, 1978, v. 18, p. 990.
D'EathP.D. Perturbation Methods for Interactions between strongly self-gravitating systems* -
In: Isolated gravitating systems in geneial relativity, Enrico Fermi summer school course
LXVll/Ed. J. Ehlers. - North-Holland, 1979.
De la Cruz V., Israel W. - Nuovo Cim. Sei.A, 1967, v. 51, p. 744.
DemianskiM., Grishchuk L.P. - GRG, 1974, v. 5, p. 673'.
DemianskiM., Novikov I.D. - GRG, 1982, v. 14, p. 439.
Detweiler S. - Proc. Roy. Soc. Ser. A, 1977, v. 352, p. 381.
Detweiler S. - In: Sources of Gravitational Radiation/Ed. L. Smarr. - Cambridge Univ.
Press, 1979.
Detweiler S. - Phys. Rev. Ser.D, 1980, v. 22, p. 2323.
Detweiler S.L., Ipser J.R. - Astrophys. J., 1973, v. 185, p. 675.
Detweiler S.L., Szedenitz E. - Astrophys. J., 1979, v. 231, p. 211.
De Witt B.S. Dynamical Theory of Group, and Fields. - Gordon and Breach, New York, 1965.
De Witt B.S. - Phys. Repts. Sei.C, 1975, v. 19, p. 297. Рус. пер.: В кн.: Черные дыры.
М.'.Мир, 1978, с. 66.
Dhuraudhar S. V., Dadlich N. - Phys. R.;v. Ser.D, 1984a, v. 29, p. 2712.
Dhuraudhar S. V., Dadlich N. - Phys. Rev. Ser.D, 1984b, v. 30, p. 1625.
DobkschP., Maison D. - GRG, 1982, v. 14, p. 231.
DolgovA.D. - Phys. Rev. Ser.D. 1981, v. 24, p. 1042.
Dolgov A.D., Zel'dovich Ya.B. - Rev. Mod. Phys., 1981, v. 53, p. 1.
21.И.Д. Новиков 313

DuffMJ. - Nucl. Phys. Ser.B, 1977, v. 125, p. 334.
Eardly DM. - Phys. Rev. Lett., 1974, v. 33, p.442.
Eardly DM., Press W.H. - Annual Review of Astron. and Astrophys., 1975, v. 11, p. 381.
Eddington A.S. - Nature, 1924, v. 113, p. 192.
Edelstein L.A., Vishveshwara CD. - Phys. Rev. Ser.D, 1970, v. 1, p. 3514.
Einstein A., Infeld L., Hoffman B. - Ann. Math., 1938, v. 39, p. 65.
Einstein A., Rosen N. - Phys. Rev., 1935, v. 48, p. 73.
Elster T. - Phys. Lett. Sei.A, 1982a, v. 89, p. 125.
Elster T. - Phys. Lett. Sei.A, 1982b, v. 93, p. 58.
Elster T. - J. Phys. Ser.A, 1983a, v. 16, p. 989.
Elster T. - Phys. Lett. Sei.A, 1983b, v. 94, p. 205.
Elster T. - Class. Quant. Grav., 1984, v. 1, p. 43.
ErnstFJ. - Phys.Rev.,1968a,v.l67,p.ll75.
Ernst FJ. - Phys. Rev., 1968b, v. 168, p. 1415.
Ernst FJ. - J. Math. Phys., 1976a, v. 17, p. 54.
Ernst FJ. - J. Math. Phys., 19761?, v, 17, p. 515.
Ernst FJ., Wild W.J. - J. Math. Phys., 1976, v. 17, p. 182.
FackerellE.D., Crossman R.G. - J. Math. Phys., 1977, v. 18, p. 1849.
Fackerell E.D., Crossman R.G. - In: Proceedings of the Einstein Centenary Summer School
on Gravitational Radiation and Collapsed Objects. - Perth, Western Australia, 1979.
Fawcett M.S. - Commun. Math. Phys., 1983, v. 89, p. 103.
Fawcett M.S., Whiting В.- In: Quantum Structure of Space and Time/Eds. MJ. Duff and
С J. Isham. - Cambridge Univ. Press, 1982.
Fermi E. - Nuovo Cim., 1921, v. 22, p. 176.
Mnkelstein D. - Phys. Rev., 1958, v. 110, p. 965.
Flamm L. - Phys. Z., 1916, b. 17, s. 448.
Frolov V.P. - GRG, 1978, v. 9, p. 569.
Frolov V.P. - GRG, 1979, v. 10, p. 833.
Frolov V.P. - Phys. Rev. Lett., 1981, v. 46, p. 1349.
Frolov V.P. - Phys. Rev. Sei.D, 1982, v. 26, p. 954.
Frolov V.P. - In: Quantum Gravity/Eds. M.A. Markov and P.C. West. - Plenum Press, N.Y.
and London, 1983, p. 303.
Frolov V.P., Garcia A.D. - Phys. Lett. Ser.A, 1983, v. 99, p. 421.
Frolov V.P., Sanchez N. Vacuum energy-momentum tensor near static distorted black hole. -
Preprint, Observatoire de Paris, Meudon, 1985; Phys. Rev., 1986, v. 33, p. 1604.
Frolov V.P., Vilkovisky G.A. - Preprint 1C/79/69, International Centre for Theoretical
Physics, Trieste, Italy, 1979.
Frolov V.P., Vilkovisky G.A. - Phys. Lett. Ser. B, 1981, v. 106, p. 307.
Frolov V.P., Vilkovisky G.A. - In: Proceedings of the Second Marcel Grossmann Meeting
on General Relativity/Ed. R. Ruffini. - North-Holland, 1982, p. 455.
Frolov V.P., Vilkovisky' G.A. - In: Quantum Gravity/Eds. M.A. Markov and P.C. West. -
Plenum Press, N.Y. and London, 1983, p. 267.
Frolov V.P., Zel'nikov A.I. - In: Abstracts of contributed papers of the 9th Intern. Conf.
on General Relativity and Gravitation. - Jena, DDR, 1980, v. 3, p. 555.
Frolov V.P., Zelnikov A.I. - Phys. Lett. Ser. B, 1982, v. 115, p. 372.
Frolov V.P., Zelnikov A.I. -Phys. Lett. Ser. B, 1983, v. 123, p. 197.
Frolov V.P., Zel'nikov A.I. - Phys. Rev. Ser. D, 1984, v. 29, p. 1057.
Frolov V.P., Zel'nikov A.I. - In: Quantum Gravity. Proceedings of the Third Seminar on
Quantum Gravity, Moscow/Eds. V.A. Berezin, V.P. 1-rolov, M.A. Markov. - World Sci.
Publ. Сотр., Singapore, 1985a.
Frolov V.P., Zel'nikov A.I. - Phys. Rev. Ser. D, 1985b, v. 32, p. 3150.
Fronsdal С - Phys. Rev., 1959, v. 116, p. 178.
FryJ.N, Olive K.A., Turner M.S. - Phys. Rev. Ser. D, 1980a, v. 22, p. 2953.
Fry J.N., Olive K.A., Turner M.S. - Phys. Rev. Ser. D, 1980b, v. 12, p. 2977.
Fry J.N., Olive K.A., Turner M.S. - Phys. Rev. Lett., 1980c, v. 45; p. 2074.
Fulling S.A. - J. Phys. Ser. A, 1977a, v. 10, p. 917.
FullingS.A. - Phys. Rev. Ser. D, 1977b, v. 15, p. 2411.
Galtsov D.V. - J. Phys. Ser. A, 1982, v. 15, p. 3737.
GaVtsov D. V., Petukhov V.I., Aliev A.N. - Phys. Lett. Ser. A, 1984, v. 105, p. 346.
314

Gerlach U.H. - Phys. Rev. Lett., 1974, v. 32, p. 1.
Gerlach U.H. - Phys. Rev. Ser. D, 1975, v. 11, p. 2762.
Gerlach U.H. - Phys. Rev. Ser. D, 1976, v. 14, p. 1479.
Geroch R.P. - J. Math. Phys., 1968, v. 9, p. 450.
Geroch R.P., Hartle J.B. - J. Math. Phys., 1982, v. 23, p. 680.
Geroch R.P., Kronheimer E.H., Penrose R. - Proc. Roy. Soc. Ser. A, 1972, v. 327, p. 545.
Geroch R.P., Liang СВ., Wald R.M. - J. Math. Phys., 1982, v. 23, p. 432.
Gibbons G. W. - Commun. Math. Phys., 1972, v. 27, p. 87.
Gibbons G. W. - Commun. Math. Phys., 1974, v. 35, p. 13.
Gibbons G. W. - Commun. Math. Phys.,1975, v. 44, p. 245.
Gibbons G.W. - Mon. Not. RAS, 1976, v. 177, p. 37P.
Gibbons G.W. - Phys. Rev. Ser. D, 1977, v. 15, p. 3530.
Gibbons G.W. - Nucl. Phys., Ser. B, 1982, v. 207, p. 337.
Gibbons G. W. Aspects of Supergravity. - Preprint, D.A.M.T.P., Cambridge, 1984.
Gibbons G. W., Hull CM. - Phys. Lett. Ser. B, 1982, v. 109, p. 190.
Gibbons G.W., Perry M.J. - Phys. Rev. Lett., 1976, v. 36, p. 985.
Gibbons G.W.. Perry M.J. - Proc. Roy. Soc. Ser. A, 1978, v. 358, p. 467.
Gibbons G. W., Wiltshire D.L. Black holes in Kaluza - Klein-Theory. - Preprint, D.A.M.T.P.,
Cambridge,1985.
Glass E.N.. Harpaz A. - Phys. Rev. Set. D., 1981, v. 24, p. 3038.
Goldreich P., Julian W.H. - Astrophys. J., 1969, v. 157, p. 869.
Graves J.C., Brill D.R. - Phys. Rev., 1960, v. 120, p. 1507.
Giirsel Y. etal. - Phys. Rev. Ser. D., 1979a, v. 19,p.413.
Gursel Y. et al. - Phys. Rev. Ser. D., 1979b, v. 20, p. 1260.
Hagihara Y. - Jap. J. Astr. Geoph., 1931, v. 86, p. 67.
Hajicek P., Israel W. - Phys. Lett. Ser. A, 1980, v. 80, p. 9.
Handler F.A.. Manner R.A. - Phys. Rev. Ser. D, 1980, v. 22, p. 2331.
Hanni R.S. - Phys. Rev. Ser. D, 1977, v. 16, p. 933.
Hanni R.S., Ruffini R. - Phys. Rev. Ser. D, 1973, v. 8, p. 3259.
HasslacherВ.. Mottola E. - Phys.Lett. Ser. B, 1981, v. 99,p.221.
Hartle J.B. - Phys. Rev. Ser. D, 1971, v. 3, p. 2938.
Hartle J.B. - In: Magic Without Magic/Ed. J. Klauder. - San Francisco, Freeman, 1972.
Hartle J.B. - Phys. Rev. Ser. D, 1973, v. 8, p. 1010.
Hartle J.B. - Phys. Rev. Ser. D, 1974,v. 9,p. 2749.
Hartle J.B., Hawking S. W. - Commun. Math. Phys., 1972, v. 26, p. 87.
Hartle J.B., Hawking S. W. - Phys. Rev. Ser. D, 1976, v. 13, p. 2188.
Hawking S.W. - Mon. Not. RAS, 1971, v. 152, p. 75.
Hawking S.W. - Commun. Math. Phys., 1972a, v. 25, p. 152.
Hawking S.W. -Commun. Math. Phys., 1972b, v. 25, p. 167.
Hawking S. W. - Commun. Math. Phys., 1973, v. 33, p. 323.
Hawking S. W. - Nature, 1974, v. 248, p. 30.
Hawking S. W. - Commun. Math. Phy*. 1975, v. 43, p. 199.
HawkingS.W. - phys. Rev. Ser. D, 1976a,v. 13,p. 191.
Hawking S. W. - Phys. Rev. Ser. D, 1976b, v. 14, p. 2460.
Hawking S.W. - Nucl. Phys. Ser. B, 1978, v. 114, p. 349.
HawkingS.W. -In: General Relativity, An Einstein Centenary Survey /lids. S.W. Hawking
and W. Israel. - Cambridge Univ. Press, 1979. Рус. пер.: В кн.: Общая теория относи-
относительности. - М.: Мир, 1983, с. 233.
Hawking S.W. -Commun. Math. Phys., 1981, v. 80, p. 421.
Hawking S.W. - In: Quantum Gravity. Proceedings of the Second Seminar on Quantum
Gravity. Moscow/Eds. M.A. Markov, P.C. West. - Plenum Press, 1984, p. 19.
Hawking S.W., Ellis G.F. The large scale structure of spacetime. - Cambridge Univ. Press,
1973. Рус. пер.: ХокингС, ЭллисДж. Крупномасштабная структура пространства-
времени. - М.: Мир, 1977.
Hawking S. И'., Hartle J.B. ¦- Commun. Math. Phys., 1972, v. 27, p. 283.
Hawking S. W., Penrose R. Proc. Roy. Soc. Ser. A, 1970, v. 314, p. 529.
Hawking S.W., Page D.N.. Pope C.N.- Phys. Lett. Ser. B, 1979, v. 86, p. 175.
Hawking S. W.. Page D.N.. Pope C.N. Nucl. Phys. Ser. B, 1980, v. 170, p. 283.
Hiscock W.A. - Phys. Rev. Ser. D, 1977. v. 16, p. 2673.
Hiscock W.A. - Phys. Rev. Ser. D, 1981, v. 23, p. 2813.
21* 315

Hiscock W.A. - Phys. Kev. Lett., 1983, v. 50, p. 1734.
Howard K. W. - Phys. Rev. Ser. D., 1984, v. 30, p. 2532;
Howard K. W., CandelasP. - Phys. Rev. Lett., 1984, v. 53, p. 403.
Hut P. - Mon. Not. RAS, 1977, v. 180, p. 379.
Isaacson R.A. - Phys. Rev. 1968a, v. 166, p. 1263.
Isaacson R.A. - Phys. Rev, 1968b, v. 166,p, 1272.
Israel W. - Phys. Rev., 1967, v. 164, p. 1776.
Israel W. - Commun. Math. Phys., 1968. v. 8,p. 245.
Israel W. - GRG, 1971, v. 2,p,53.
Israel W. - Lett. Nuovo Cim., 1973, v. 6, p. 267.
Israel W. - Sci. Prog. Oxf., 1983, v. 68, p. 333.
Israel W. - Found. Phys., 1984, v. 14, p. 1049.
Israel W. - Can. J. Phys., 1985, v. 63, p. 34.
Israel W., Khan K.A. - Nuovo Cim., 1964, v. 33, p. 331.
lyerB.R.. Kumar A. - Phys. Rev. Ser. D, 1979, v. 18, p. 4799.
Jano K., Bochner S. Curvature and Betti numbers. - Princeton Univ. Press, 1953.
Рус. пер.: Яно К., Бохнер С. Кривизна и числа Бетти. - М.: ИЛ, 1957. • ¦ .
JordanP., EhlersJ., SachsR. - Akad. Wiss. Mainz. Abh. Math. - Naturwiss. Kl, 1961,
N.I,p. 2.
KapustaJ.T. - Phys. Rev. Ser. D, 1984, v. 30,p. 831.
Kardasliev N.S., Novikov I.D. - In: "Early evolution of the universe and its present structu-
structure/Ed. G. Abell, G. Chincarini. - D. Reidel. Publ. Company, Simposium N. 104IAU,
Crete, 1982, p. 327.
Kates R.E. - Phys. Rev. Ser. D, 1980, v. 22, p. 1853.
Kates RE. - Ann. Phys., 1981, v. 132, p. 1.
Ken R.P. - Phys. Rev. Lett., 1963, v. 11, p. 237.
Kihara M., Tomimatsu A. - Progr. Theor. Phys., 1982, v. 67, p. 349.
KingA.R., LasotaJ.P. - Astr. Astrophys., 1977, v. 58, p. 175.
KlaudcrJ.R.. Sudarshan E.C.G. Fundamentals of Quantum Optics. - W.A. Benjamin Inc.,
N.Y.% 1968. Рус. пер.: Клаудер Дж., СудершанЭ. Основы квантовой оптики. -
М.: Мир, 1970.
Kodama H. - Progr. Theor. Phys., 1979, v. 62, p. 1434.
Kodama H. - Progr. Theor. Phys., 1980, v. 63, p. 1217.
Kodama #.. SasakiM.. Sato K. - Progr. Theor. Phys., 1982, v. 68, p. 1979.
Kojima Y., Nakamura T. - Phys. Lett. Ser. A, 1983, v. 96, p. 335.
Kojinta Y.. Nakamura T. - Progr. Theor. Phys., 1984a, v. 71, p. 79.
Kojima Y., Nakamura T. - Progr. Theor. Phys., 1984b, v. 72, p. 494.
Kolb E.W.. TurnerM.S. - Ann. Rev. Nucl. Part. Sci., 1983, v. 33.
Kovet: A.. Piran T. - Lett. Nuovo Cim., 1975a, v. 12, p. 39.
Kovetz A.. Piran T. - Lett. Nuovo Cim., 1975b, v. 12, p. 560.
Kramer D. et al. Exact solutions of the Einstein field equations. - Deutscher Verlag Wiss.,
Berlin, 1980. Рус. пер.: Крамер Д. и др. Точные решения уравнений Эйнштейна. -
М.: Энергоиздат, 1982.
Krori K.D., Chaudhury S., Dowerah S. - Can. J. Phys., 1983, v. 61, p. 1192.
Krori K.D., Oiaudhury S., Dowerah S. - J. Math. Phys., 1984, v. 25, p. 607.
KruskalM.D. - Phys. Rev., 1960, v. 119, p. 1743.
KulkarniA.D. - J. Math. Phys., 1984, v. 25, p. 1028.
Kulkami A.. Shepley L., York J. - Phys. Lett. Ser. A, 1983, v. 96, p. 228.
Kundt И'.. TriimperM. - Z. Phys., 1966, v. 192.S.419.
Kuroda Y. - Progr. Theor. Phys., 1984a, v. 71, p. 1422.
Kuroda Y. - Progr. Theor. Phys., 1984b, v. 72, p. 63.
LakeK. - Phys. Rev. Ser. D, 1979, v. 19, p. 421.
lake K.. Hellaby С - Phys. Rev. Ser. D, 1981, v. 24, p. 3019.
Leahy DA.. Unruh W.G. - Phys. Rev. Ser. D, 1979, v. 19, p. 3509.
Leaute В., LinetS. - Phys. Lett. Ser. A, 1976, v. 58, p. 5.
Leaute В.. Linet В. - J.Phys. Ser. A,1982>. 15,p. 1821.
LeeC.H. - J. Math. Phys., 1976, v. 17, p. 1226.
Lemaitre G. - Ann. Soc. Sci. Braxelles, Ser. A, 1933, v. 53, p. 51.
Lindquist R. - J. Math. Phys., 196-3, v. 4, p. 938.
Linet B. - J.Phys. Ser. A, 1976,v. 9,p. 1081.
316

LinetB. -C.R. Acad. Sc. Paris, Ser. A, 1977a, v. 284, p. 215.
Linet B. -C.R. Acad. Sc. Paris, Ser. A, 1977b, v. 284, p. 1167.
Linet B. - J. Phys. Ser. A, 1979, v. 12, p. 839.
LohiyaD. - J. Phys. Ser. A, 1982, v. 15, p. 1815.
Lovelace R. V.E. - Nature, 1976, v. 262, p. 649.
Lovelace R. V.E., MacAuslan J., Burns M. - In: Pioceedings of La Jolla Institute Workshop on
Particle Acceleration Mechanisms in Astrophys. - American Ins. of Phys., N.Y., 1979.
Ludvigsen M.. Vickers J.A.G. - J. Phys. Ser. A, 1983, v. 16, p. 1169.
MacdonaldD.A.. Thome K.S. - Mon. Not. RAS, 1982, v. 198,p. 345.
Macdonald D. Preprint GRP-002. - Caltech, 1984.
Macdonald D., Suen W.M. - Phys. Rev. Ser. D, 1985, v. 32, p. 848.
Maeda K. et al. - Phys. Lett. Ser. B, 1982, v. 108, p. 98.
Markov M.A. - Suppl. Progr. Theor. Phys. Extra Number, 1965, p. 85.
Markov M.A. - Ann. Phys., 1970, v. 59, p. 109.
Markov M.A. Cosmology and elementary particles. - Preprint IC/71/33 Trieste, Italy, 1971.
Markov M.A. - In: Gravitational Radiation and Gravitational Collapse/Ed. С De Witt. -
Morette - Dordrecht - Boston, D. Reidel, 1974, p. 106.
Markov M.A. On the upper limit of the cosmic rays energy spectrum (DUMAND type
experiments). - Preprint P-0197 INR, Moscow, 1981a.
Markov MA. Maximon-type scenario of the Universe. - Preprint P-0207 INR, Moscow,
1981b.
Markov M.A. On the maximon and concept of elementary particles. - Preprint P-0208 INR,
Moscow, 1981c.
MarkovM.A., Zheleznykh I.M. - In: Proc. of the 1979 DUMAND Summer Workshop at
Khabarovsk and Lake Baikal/Ed. J. Learned. - Hawaii DUMAND Centre, Univ. of
Hawaii, 1981, p. 177.
Martellini M., Treves A. - Phys. Rev. Ser. D, 1977,-v. 15, p. 3060.
MashhoonB. - Astrophys. J. Lett., 1973, v. 181, p. L65.
Matzner R.A, et al. - Phys. Rev. Ser. D, 1985, v. 31, p. 1869.
MatznerR.A., Zamorano N.. Sandberg V.D. - Phys. Rev. Ser. D, 1979, v. 19, p. 2821.
MazurP.O. - J. Phys. Ser. A, 1982, v. 15,p. 3173.
MazurP.O. -GRG, 1984, v. 16, p. 211.
McCarthy PJ. - J. Math. Phys., 1972a, v. 13, p. 1837.
McCarthy PJ. - Proc. Roy. Soc. Ser. A, 1972b, v. 330, p. 517.
McCarthy PJ. - Proc. Roy. Soc. Ser. A, 1973, v. 333, p. 317.
McCarthy PJ, Crampin M. - Proc. Roy. Soc. Ser. A, 1973, v. 335, p. 310.
McNamara J.M. - Proc. Roy. Soc. Ser. A, 1978a, v. 358, p. 499.
McNamaraJ.M. - Proc. Roy. Soc. Ser. A, 1978b, v. 364, p. 121.
Miller J.G. - J. Math. Phys., 1979, v. 20, p. 1345.
Misner C.W. - Phys. Rev., 1960, v. 118,p. 1110.
Misner C.W. - Ann. Phys., 1963, v. 24,p. 102.
Misner C.W.- Phys. Rev. Lett., 1972, v. 28, p. 994.
Misner С W. - Phys. Rev. Ser. D, 1978, v. 18, p. 4510.
Misner C.W., Thorne K.S., Wheeler J.A. Gravitation. - Freeman and Company, San Francis-
Francisco, 1973. Рус. пер.: Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация. - М.: Мир, 1977.
Misner С. W., Wheeler J.A. - Ann. Phys., 1957, v. 2, p. 594.
Misra R.M. - Progr. Theor. Phys., 1977, v. 58, p. 1205.
Moncriff V. - Ann. Phys., 1974a, v. 88, p. 323.
Moncriff V. - Phys. Rev. Ser. D, 1974b, v. 9, p. 2707. ,
Moncriff V. - Phys. Rev. Set. D., 1974c, v. 10, p. 1057.
Moncriff V. - Phys. Rev. Ser. D., 1975, v. 12, p. 1526.
Moss I. G. Black hole bubles. - Preprint, Univ. of Newcastle, Newcastle upon Tyne, 1984.
Miiller zum Hagen H. - Proc. Cainb. Phfl.Soc, 1970, v. 67, p. 415.
Miller zumHagenH., Robinson D.C.. Seifert HJ. - GRG, 1973, v. 4, p. 53.
Mysak L, Szekeres G. - Can. J. Phys., 1966, v. 44, p. 617.
Nadefin D.K.. Novikov I.D.. Polnarev A.G. - In: Abstracts of contributed Papers GR8. -
Waterloo, Canada, 1977,p. 382.
Nakamura Т., Haugan M. - Astrophys. J., 1983, v. 269, p. 292.
Nakamwa Т., SasakiM. - Phys. Lett Ser. A, 1981, v. 89, p. 185.
Nakamura Т., Sato H. - Phys. Lett. Set. В., 1976, v. 61, p. 371.
317

Ne'eman Y. - Astrophys. J., 1965, v. 141,p. 1303.
NewmanE., Penrose R. - J. Math. Phys., 1962, v. 3, p. 566.
Nieuwenhuizen van P., Wilkinson D.. Perry M.J. - Phys. Rev. Ser. D, 1976, v. 13, p. 778.
Nityananda R., Narayan R. - Phys. Lett. Ser. A, 19811 v. 8 2, p. 1.
Nordstrom G. - Proc. Kon. Ned. Akad. Wet., 1918, v. 20, p. 1238.
Novikov ID. et al. - Astron.Astrophys., 1979, v. 80, p. 104.
Novikov I.D., Starobinsky A.A. - In: Abstracts of contributed papers of the 9-th Intern.
Conf. on General Relativity and Gravitation. - Jena, DDR. 1980a, p. 268.
Novikov I.D.. Starobinsky A.A. Preprint of the Space Research Institute, Pr-585. - Moscow,
1980b.
Novikov ID.. ZeVdovich Ya.B. - Nuovo Cim. Suppl., 1966, v. 4, p. 810.
Nugaev R.M. - Phys. Lett. Ser. A, 1982, v. 91, p. 216.
Ohta Т., Kimura T. - Progr. Theor. Phys., 1982,v.68,p. 1175.
Oohara K. - Preprint KUNS-702,1983.
Oohara K., Nakamura T. - Progr. Theor. Phys., 1983, v. 70, p. 757.
Oohara K., Nakamura T. - Progr. Theor. Phys., 1984, v. 71, p. 91.
Oohara K.. Sato H. - Progr. Theor. Phys., 1981, v. 65, p. 1891.
Oppenheimer J.R.. Snyder H. - Phys. Rev., 1939, v. 56, p. 455.
Papangaden P.. Wald R.M. - Phys. Rev. Ser. D, 1977, v. 16, p. 929.
Page D.N. - Phys. Rev. Ser. D, 1976a, v. 13, p. 198.
Page D.N - Phys. Rev. Ser. D, 1976b, v. 14, p. 3260.
Page D.N. - Phys. Rev. Ser. D, 1976c, v. 14, p. 1509.
Page D.N. - Phys. Rev. Ser. D, 1977, v. 16, p. 2402.
Page D.N - Phys. Rev. Lett., 1980, v. 44,p. 301.
Page D.N. - Phys. Rev. Ser. D., 1982, v. 25,p. 1499.
Page D.N. - Phys. Rev. Lett., 1983, v. 50, p. 1013.
Papadopoulos D., Xanthopoulos B.C. - Nuovo Cim. Ser. B, 1984, v. 83, p. 113.
Penrose R. - Phys. Rev. Lett., 1963. v. 10, p. 66.
Penrose R. -In: Relativity, Groups and Topology/Eds. С De Witt and B. De Witt. - N.Y. -
London, 1964,p.565. Рус. пер.: В кн.: Гравитация и относительность. - М.: Мир,
1966, с. 152.
Penrose R. - Phys. Rev. Lett., 1965a, v. 14, p. 57.
Penrose R. - Proc. Roy. Soc. Ser. A, 1965b, v. 284, p. 159.
Penrose R. Structure of Space r Time. - In: Battelle Recontres/Eds. CM. De Witt and
J.A.Wheeler. - N.Y., Benjamin, 1968. Pya пер.: Пенроуз Р. Структура пространства-
времени, - M.: Мир, 1077.
Penrose R. - Rev. del Nuovo Cim., 1969, v. 1, p. 252.
Penrose R. - In: Seminar at Cambridge University. - Cambridge Univ., 1974.
Penrose R. - In: Differential Geometry and Relativity/Eds. Cahen and Flato. - Reidel Publ.
Сотр., 1976.
Penrose R. - In: Theoretical Principles in Astrophysics and General Relativity/Eds.
N.R.Lebovitz et al. - Univ. Chicago Press, Chicago, 1978, p. 217.
Penrose R. - In: General Relativity, an Einstein Centenary Survey/Eds. S.W.Hawking and
W.Israel. - Cambridge Univ. Press, 1979. Рус. пер.: В кн.: Общая теория относительно-
относительности, - М.:Мир, 1983, с. 233.
Petrich L.I., Shapirq S.L., Wasserman I. Gravitational radiation from nonspherical infall into
black holes. II, - Preprint, Cornell Univ., CRSR-825, 1985.
Phinney S. - PND thesis, Cambridge, 1983.
Piran Т., Shaham J. - Phys. Rev. Ser. D, 1977, v. 16, p. 1615.
Piran Т., Shaham J,,KatzJ,- Astrophys. J. Lett., 1975, v. 196, p. LI07.
Pirani F.A.E. - Proc. Roy. Soc. Ser. A, 1959, v. 252, p. 96.
Pirani F.A.E. - In: Lectures on General Relativity. - Brandeis Summer Institute in Theoreti-
Theoretical Physics, 1964, v. 1, p. 249.
Pollard D. - J. Phys. Ser. A, 1983, v. 16, p. 565.
Press W.H. - Astrophys. J., 1972, v. 175, p. 243.
Press W.H.,BardeenJ.M. - Phys. Rev. Lett., 1971, v. 27, p. 1303.
Press W.H., Teukolsky S.A. - Nature, 1972, v. 238, p. 211.
Press W.H., Teukolsky S.A. - Astrophys. J., 1973, v. 185, p. 649.
Price R.H. - Phys. Rev. Ser. D., 1972a, v. 5, p. 2419.
Price R.H. - Phys. Rev. Ser. D., 1972b, v. 5, p. 2439.
318

Price R.H., Thome K.S. - Phys. Rev. Ser. D., 1986, v. 33, p. 915.
Redmount I.H. - Preprint, Kyoto University, R1FP-584,1984.
Rees M.J. - In: Proceedings of AIP Conference 'The Galactic Center"/Eds. G.R.Reigler,
R.D. Blandford. - Cahech, N.Y., 1982, p. 166.
ReesMJ. et al. - Nature, 1982, v. 295, p. 17.
Regge Т., Wheeler J.A. - Phys. Rev., 1957, v. 108, p. 1063.
Reissner H. - Ann. Physik, 1916, v. 50, p. 106.
Rindler W. - Am. J. Phys., 1966, v. 34, p. 1174.
Robinson D.C. - Phys. Rev. Lett., 1975, v. 34, p. 905.
Robinson D.C. - GRG, 1977, v. 8, p. 695.
Roman T.A., Bergmann P.G. - Phys. Rev. Ser. D, 1983, v. 28, p. 1265.
Ruderman M., Sutherland P.G. - Astrophys. J., 1975, v. 196, p. 51.
Ruffini R. - Phys. Rev. Ser. D, 1973, v. 7, p. 972.
Ruffini R. - In: Astrofisica e Cosmologia Gravitazione, Quanti e Relativita. - Giunti Barbera,
Fiienze, 1979. Рус. пер.: В кн-: Астрофизика, кванты и теория относительности. -
М.: Мир, 1982, с. 397.
Ruffini R., Wheeler J.A. - In: Proceedings of the Conference on space physics. European
Space Research Organization. - Paris, 1971.
Ruffini R., Wilson J.R. - Phys. Rev. Ser. D, 1975, v. 12, p. 2959.
Sachs R.K. - Proc. Roy. Soc. Ser. A, 1961, v. 264, p. 309.
Sachs R.K. - Phys. Rev., 1962, v. 128, p. 2851.
Sachs R.K. - In: Relativity, Groups and Topology/Eds. С De Witt, B. De Witt. - N.Y. -
London, 1964.
Sanchez N. - J. Math. Phys., 1976, v. 17, p. 688.
Sanchez N. - Phys. Rev. Ser. D, 1977, v. 16, p. 937.
Sanchez N. - Phys. Rev. Sei. D, 1978a, v. 18, p. 1030.
Sanchez N. - Phys. Rev. Ser. D, 1978b, v. 18, p. 1798.
Sasaki M., Nakamura T. - Phys. Lett. Ser. A, 1981, v. 89, p. 68.
Sato H. Multiple Kerr metric solutions of Einstain's field equations. - Preprint RIFP-527,
Kyoto Univ., 1983.
Sato H. et al. - Progr. Theor. Phys., 1981, v. 65, p. 1443.
Schmidt B. G. - GRG, 1971, v. 1, p. 269.
Schwarzschild K. - Sitzber. Deut. Akad. Wiss. Berlin, Kl. Math.-Phys. Tech., 1916, s. 189.
Schwinger J.S. - Phys. Rev., 1951, v. 82, p. 664.
Schwinger J.S. - Phys. Rev., 1954, v. 94, p. 1352.
SciamaD.W. -Vistas Astron., 1976, v. 19, p. 385. Рус. пер.: В кн.: Черные дыры. - М.:
Мир, 1978, с. 31.
Sciama D.W. - In: Quantum Gravity 2 (A Second Oxford Symposium)/Eds. C.J.Isham,
P.Penrose, D.W.Sciama. - Oxford Univ., Oxford, 1981.
Sciama D.W., Candelas P., Deutsch D. - Advances in Phys., 1981, v. 30, p. 327.
SexlP.U. - Acta Phys. Austriaca Ser. B, 1975, v. 42, p. 303.
Shapiro S.L., Teukolsky S.A. Black Holes, White Dwarfs and Neutron Stars. - A Wiley-Inter-
science Publication, John Wiley and sons, 1983. ,
Shapiro S.L., Wasserman I. - Preprint Cornell University CRSR, 1982, p. 783.
Smarr L. - Phys. Rev. Lett., 1973a, v. 30, p. 71.
Smarr L. - Phys. Rev. Ser. D, 1973b, v. 7, p. 289.
Smarr L. - Phys. Rev. Ser. D, 1977, v. 15, p. 2069.
Smarr L. - In: Sources of Gravitational Radiation/Ed. L.Smarr. - Cambridge Univ. Press,
1979.
Smarr L. etal. - Phys. Rev. Ser. D, 1976, v. 14, p. 2443.
Smith A.G., Will CM. - Phys. Rev. Ser. D, 1980, v. 22, p. 1276.
Sokolowski L.M., Mazur P. -I. Phys. Ser. A, 1980, v. 13, p. 1113.
Steinmuller В., King A.R., Lasota J.P. -Phys. Lett. Ser. A, 1975, v. 51, p. 191.
Stewart J. - Proc. Roy. Soc. Ser. A, 1975, v. 344, p. 65.
Stewart J., Walker M. - In: Springer tracts in modern physics. - Springer-Verlag, Berlin,
Heidelberg, N.Y., 1973, v. 69, p. 69.
Synge J.L. - Proc. Roy. Irish. Acad. Ser. A, 1950, v. 53, p. 83.
Szekeres G. - Publ. Mat. Debrecent, 1960, v. 7, p. 285.
Szillard L. - Z. Phys., 1929, v. 53, p. 840.
319

Tamburino L.A., WinicourJ.H. - Phys. Rev., 1966, v. 150, p. 1039.
Teitelboim С - Nuovo Cim. Ser. II, 1972a, v. 3,p. 397.
Teitelboim С - Phys. Rev. Ser. D, 1972b, v. 5, p. 2941.
Teitelboim С - Nuovo Cim. Lett. Ser. II, 1972c, v. 3, p. 326.
Teukohky S.A. - Phys. Rev. Lett., 1972, v. 29, p. 1114.
Teukohky S.A. - Astrophys. J., 1973, v. 185, p. 635.
Teukohky S.A., Press W.H. - Astrophys. J., 1974, v. 193, p. 443.
Thirring H., Lense J. - Phys. Z., 1918, v. 19, p. 156.
Thorne K.S. - In: Magic without Magic: John Archibald Wheeler/Ed. J.Klauder. - San Fran-
Francisco, W.H. Freeman and D., 1972, p. 231.
Thorne K.S. General relativity Astrophysics. - Preprint, Caltech, OAP-462, 1976.
Thome K.S. Black holes: The membrane viewpoint. - Preprint, Caltech, GRP-031, 1985.
Thorne K.S. - In: Highlights of Modern Astrophysics/Eds. S.L.Shapiro, S.A.Teukolsky. -
N.Vi, Wiley, 1986.
Thorne K.S., Blandford R.D. - In: Extragalactic Radio Sources/Eds. D.Heeschen, С Wade
1982, p. 255.
ThorneK.S.,HartleJ.B. - Phys. Rev. Ser. D, 1985, v. 31, p. 1815.
Thorne K.S., Macdomld D.A. - Mon. Not. RAS, 1982, v. 198, p. 339.
Tliorne K.S., Price R.H., Macdonald D.A. Black Holes: the Membrane Paradigm. - Yale Univ.
Press, New Haven, 1986.
Tipler F.J., Clarke C.J.S., Ellis G.F.R. Singularites and Horizons. - A Review Article. -
In: General Relativity and Gravitation: One Hundred Years After the Birth of Albert
Einstein/Ed. A. Held. - Plenum Press, New York, 1980, v. II.
Tolman R.G. - Proc. Nat. Acad. Sci. US, 1934, v. 20, p. 169.
T'Hooft G. - Nucl. Phys. Ser. B, 1974, v. 79, p. 276.
Tomboulis E. - Phys. Lett. Ser. B, 1980, v. 97, p. 77.
Tomimatsu A. - Progr. Theor. Phys., 1983, v. 70, p. 385.
Tomimatsu A. - Phys. Lett. Ser. A, 1984, v. 103, p. 374.
Tomimatsu A.,Kihara M. ~ Progr. Theor. Phys., 1982, v. 67, p. 1406.
Toop N. - Preprint D.A.M.T.P. - Cambridge Univ., Cambridge, 1976.
Unruh W.G. - Phys. Rev. Lett., 1973, v. 31, p. 1265.
Unruh W.G. - Phys. Rev. Ser. D, 1974, v. 10, p. 3194.
Unruh W.G. - Proc. Roy. Soc. Ser. A, 1976a, v. 348, p. 447.
Unruh W.G. —Phys. Rev. Ser. D, 1976b, v. 14,p. 870.
Unruh W.G. - Phys. Rev. Ser. D, 1977, v. 15, p. 365.
Unruh W.G. - Phys. Rev. Lett., 1981, v. 46, p. 1351.
Unruh W.G., Wold R.M. - Phys. Rev. Ser. D, 1982, v. 25, p. 942.
Unruh W.G., Wold R.M. - Phys. Rev. Ser. D, 1983a, v. 27, p. 2271.
Unruh W.G., Wald R.M. -GRG, 1983b, v. 15, p. 195.
Unruh W.G., WaldRM. - Phys. Rev. Ser. D, 1984,v. 29, p. 1047.
Vilenkin A. - Phys. Rev. Ser. D, 1979a, v. 20, p. 373.
Vilenkin A. - Phys. Rev. Ser. D, 1979b, v. 20, p. 1807.
Vishveshwara С V. - J. Math. Phys., 1968, v. 19, p. 1319.
Wald R.M. - Phys. Rev. Ser. D, 1972, v. 6, p. 406.
Wald R.M. - Ann. Phys., 1974a, v. 82, p. 548.
Wald R.M. - Phys. Rev. Ser. D, 1974b, v. 10, p. 1680.
Wald R.M. - Astrophys. J., 1974c,'v. 191, p. 231.
Wald R.M. - Commun. Math. Phys., 1975, v. 45, p. 9.
Wald R.M. - Commun. Math. Phys., 1977, v. 54, p. 1.
Wald R.M. - Phys. Rev. Ser. D, 1978a, v. 17, p. 1477.
Wald R.M. - Ann. Phys., 1978b, v. 110, p. 472.
Wald R.M. - J. Math. Phys., 1979a, v. 20, p. 1056.
Wald R.M. - Phys. Rev. Ser. D, 1979b, v. 20, p. 1271.
Wald R.M. - J. Math. Phys., 1980, v. 21, p. 218.
Wald R.M. General Relativity. - Univ. of Chicago Press, Chicago, 1984.'
Walker M. - J. Math. Phys., 1970, v. 11, p. 2280.
Walker M.,Penrose R. - Commun. Math. Phys., 1970, v. 18, p. 265.
Warner N.P. - Commun. Math. Phys., 1982, v. 86, p. 419. •
WeylH. - Ann. Physik, 1917, v. 54, p. 117.
320

Wheeler J.A. - Phys. Rev., 1955, v. 97, p. 511.
Wheeler J.A. - Am. Sci., 1968, v. 59, p. 1.
Wild W.J., Kerns R.M. - Phys. Rev. Ser. D, 1980, v. 21,p. 332.
Wild W.J., Kerns R.M., Drish W.J. - Phys. Rev. Ser. D, 1981. v. 23, p. 829.
Will CM. Theory and experiment in gravitational physics. - Cambridge Univ. Press, Camb-
Cambridge, 1981. Рус. пер.: Уилл К. Теория и эксперимент в гравитационной физике. -
М.: Энергоиздат, 1985.
Xanthopoulos B.C. - Proc. Roy. Soc. Ser. A, 1983, v. 388, p. 117.
YamazakiM. - Phys. Rev. Lett., 1983a, v. 50, p. 1027.
YamazakiM. - Progr. Theor. Phys., 1983b, v. 69, p. 503.
Yang P.S. - Phys. Rev. Ser. D, 1979, v. 20, p. 834.
Yasskin P.B. - Phys. Rev. Ser. D, 1975, . 12, p. 2212.
YodzisP., Seifert H.J.,Miiller zum Hagen H. - Commun. Math. Phys., 1973, v. 34, p. 135.
Yodzis P., Seifert H.J., Muller zum Hagen H. - Commun. Math. Phys., 1974, v. 37, p. 29.
YorkJr.J.W. - Phys. Rev. Ser. D, 1983, v. 28, p. 2929.
YorkJr.J.W. - Phys. Rev. Ser. D, 1985, v. 31, p. 775.
Young P. Y. - Phys. Rev. Ser. D, 1976, v. 14, p. 12.
Zannias T. - Phys. Rev. Ser. D, 1984, v. 30, p. 1161.
Zaumen W.T. - Nature, 1974, v. 247, p. 530.
ZerilliF.G. - Phys. Rev. Ser. D, 1970a, v. 2, p. 2141.
Zerilli F.G. - Phys. Rev. Lett., 1970b, v. 24, p. 737.
Zerilli F.G. - Phys. Rev. Ser. D, 1974, v. 9, p. 860.
ZnajekR.l. - Mon. Not. RAS, 1978, v. 185, p. 833.
Zouros T.J.,Eardley D.M. - Ann. Phys., 1979, v. 118, p. 139.
Zurek W.H. - Phys. Rev. Lett., 1982, v. 49, p. 1683.
Zurek W.H., Thome K.S. - Preprint, Caltech, GRP-033, 1985.

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ ИНОСТРАННЫХ АВТОРОВ
Айер
Айзааксон
Айхельбург
Арновитт
Ароне
Бальбинот
Бантинг
Бардин
Бекенштейн
Бербидж
Бергамини
Бергман
Биркгоф
Биррел
Бичак
Бишоп
Блейер
Блендфорд
Бовин
Бойер
Бонда
Боуен
Бохнер
Браун
Брилл
Бриллюэн
Бульвар
Бэрроу
Вассерман
Вейль
Викерс
Вил сон
Вильтшир
Виникур
Вишвешвара
Гаичек
Гарсиа
Герлах
(Iyer)
(Isaacson)
(Aichelbuig)
(Arnowitt)
(Arons)
(Balbinot)
(Bunting)
(Bardeen)
(Bekenstein)
(Burbidge)
(Bergamini)
(Bergmann)
(Bilkhoff)
(Birrel)
(Bi&k)
(Bishop)
(Bleyer)
(Blandford)
(Bovyn)
(Boyer)
(Bondi)
(Bowen)
(Bochner)
(Brown)
(Brill)
(Brillouin)
(Boulware)
(Barrow)
(Wasserman)
(Weyl)
(Vickers)
(Wilson)
(Wiltshire)
(Winicour)
(Wishveshwara)
(Hajicek)
(Garcia)
(Gerlach)
Героч
Гиббоне
Гласе
Голд
Гольдрайх
Грейвс
Гурсел
Гювен
Дадлих
Дамур
Дафф
Дворак
Девис
ДеВитт
Де ла Круз
Детвилер
Добиаш
Дхираудхар
Д'Эс
Жекерес
Занниас
Заумен
Зерилли
Знаек
Зурек
Зурос
Израэль
Ипсер
Йодзис
Йордан
Йорк
Кадерни
Кальвани
Канделас
Карр
(Geroch)
(Gibbons)
(Glass)
(Gold)
(Goldreich)
(Graves)
(Giirsel)
(Giiven)
(Dadlich)
(Damour)
(Duff)
(Dvorak)
(Davies)
(DeWitt)
(De la Cruz)
(Detweiler)
(Dobiasch)
(Dhuraudhar)
(D'Eath)
(Szekeres)
(Zannias)
(Zaumen)
(Zerffli)
(Znajek)
(Zurek)
(Zouros)
(Israel)
(Ipser)
(Yodzis)
(Jordan)
(York)
(Caderni)
(Calvani)
(Candelas)
(Can)
322

Картер
Керне
Керр
Ким ура
Кинг
Кихара
Кларк
Клаудер
Ковец
Кодама
Кодос
Кожима
Колб
Копсон
Коэн
Крамер
Кристенсен
Кристодулу
Крори
Кросман
Крускал
Крэмпин
Ксантопулос
Кулкарни
Кумар
Кундт
Курант
Курода
Кхан
Кэйтс
Лавлейс
Лазота
Лейт
Леметр
Лензе
Ли
Линдквист
Лине
Лихи
Лохья
Лэйк
Людвигсен
Маеда
Мазур
Майзелс
Макдональд
Маккарти
Макнамара
Мартеллини
Машхун
Метцнер
Мизак
(Carter)
(Kerns)
(Kerr)
(Kimura)
(King)
(Kihara)
(Clarke)
(Klauder)
(Kovetz)
(Kodama)
(Chodos)
(Kojima)
(Kolb)
(Copson)
(Cohen)
(Kramer)
(Christensen)
(Christodoulou)
(Krori)
(Crossman)
(Kruskal)
(Crampin)
(Xanthopoulos)
(KuDcarni)
(Kumar)
(Kundt)
(Courant)
(Kuroda)
(Khan)
(Kates)
(Lovelace)
(Lasota)
(Leaute)
(Lemaitre)
(Lense)
(Lee)
(Lindquist)
(Linet)
(Leahy)
(Lofflya)
(Lake)
(Ludvigsen)
(Maeda)
(Mazur)
(Meisels)
(Macdonald)
(McCarthy)
(McNamara)
(Martellini)
(Mashhoon)
(Matzner)
(Myzak)
Мизнер
Мнзра
Миллер
Монкриф
Мосс
Моттола
Мэзон
Мюллер
цум Хаген
Накамура
Нараян
Нее май
Нейванхойзен
Нитьянанда
Норд стрем
Ньюмен
Оохара
Оппенгеймер
Оттевилл
Охта
Пападопулос
Папангаден
Пенроуз
Перри
Петрич
Пиран
Пирани
Поллард
Прайс
Пресс
Пэйдж
Редже
Редмоунт
Рейсснер
Риндлер
Рис
Робинсон
Розен
Роман
Рудерман
Руффини
Сакс
Сан чес
Сасаки
Сато
Сексл
Сзедениц
Силк
Синг
Смарр
(Misner)
(Misra)
(Miller)
(Moncriff)
(Moss)
(Mottola)
(Maison)
(Muller
zum Hagen)
(Nakamura)
(Narayan)
(Neeman)
(Nieuwenhuizen)
(Nityananda)
(Nordstrom)
(Newman)
(Oohara)
(Oppenheimer)
(Ottewill)
(Ohta)
(Papadopoulos)
(Papangaden)
(Peniose)
(Perry)
(Petrich)
(Piran)
(Pirani)
(Pollard)
(Price)
(Press)
(Page)
(Regge)
(Redmount)
(Reissner)
(Rindler)
(Rees)
(Robinson)
(Rosen)
(Roman)
(Ruderman)
(Ruffini)
(Sachs)
(Sanchez)
(Sasaki)
(Sato)
(Sexl)
(Szedenitz)
(Silk)
(Synge)
'(Smarr)
323

Смит
Снайдер
Соколовский
Стачлик
Стейнмюллер
Стюарт
Сударшан
Сцилард
Сюзерленд
Сюэн
Тамбурино
Тетельбойм
Типлер
Тирринг
Толмен
Томбулис
Томиматсу
Торн
Т'Офт
Тревес
Трюмпер
Туп
Турнер
Тюкольский
Уайлд
Уайтинг
Уилер
Уилл
Унру
Уолд
Уолкер
Уорнер
Факерелл
Ферми
Финкельштейн
Финней
Фламм
Фосетт
Фрай
Фройнд
Фронсдел
Фуллинг
(Smith)
(Snyder)
(Sokolowski)
(Stuchlik)
(Steinmuller)
(Stewart)
(Sudarschan)
(Szfflard)
(Sutherland)
(Suen)
(Tamburino)
(Teitelboim)
(Tipler)
(Thiiring)
(Tolman)
(Tomboulis)
(Tomimatsu)
(Thome)
(T'Hooft)
(Treves)
(Triimper)
(Toop)
(Тшпег)
(Teukolsky)
(Wild)
(Whiting)
(Wheeler)
(WiU)
(Unruh)
(Wold)
(Walker)
(Warner)
(FackereU)
(Fermi)
(Finkelstein)
(Phinney)
(Flamm)
(Fawcett)
(Fry)
(Freund)
(Fronsdal)
(Fulling)
Хаджихара
Халл
Хандлер
Хаини
Харпаз
Хартль
Хаслачер
Хеллаби
Хискок
Ховард
Хоенселаерс
Хокннг
Хоуган
Хржановский
Хут
Чандрасекар
Чейз
Читра
Чо
Шапиро
Шахам
Шварцшильд
Швингер
Шмидт
Шьяма
Эддингтон
Эдельстейн
Элерс
Эллис
Эльстер
Эрдли
Эрнст
Юлиан
Юнг
Ямазаки
Янг
Яно
Ясскин
(Hagihaia)
(HuU)
(Handler)
(Наши)
(Haipaz)
(Hartle)
(Hasslacher)
(Hellaby)
(Hiscock)
(Howard)
(Hoenselaers)
(Hawking)
(Haugan)
(Chrzanowski)
(Hut)
(Chandrasekhar)
(Chase)
(Chitre)
(Cho)
(Shapiro)
(Shaham)
(Schwarzschild)
(Schwinger)
(Schmidt)
(Sciama)
(Eddington)
(Edelstein)
(Ehlers)
(Ellis)
(Elster)
(Eardley)
(Ernst)
(Julian)
(Young)
(Yamazaki)
(Yang)
(Jano)
(Yasskin)

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ 5
ГЛАВА 2. СФЕРИЧЕСКИ-СИММЕТРИЧНАЯ ЧЕРНАЯ ДЫРА 9
§ 2.1. Сферически-симметричное поле тяготения 9
§ 2.2. Сферически-симметричное поле тяготения в вакууме 10
§ 2.3. Радиальное движение пробных частиц в поле Шварцшильда 13
§ 2.4. Пространство-время внутри сферы Шварцшильда 15
§ 2.5. Сжимающиеся и расширяющиеся Г-области 20
§ 2.6. Гравитационный коллапс - возникновение черной дыры. Белые
дыры 22
§ 2.7. Вечные черные и белые дыры 25
§ 2.8. Небесная механика в поле тяготения черной дыры 30
§ 2.9. Гравитационный захват 34
§ 2.10. Движение частиц с учетом гравитационного излучения 35
ГЛАВА 3. ВОЛНОВЫЕ ПОЛЯ ВОКРУГ СФЕРИЧЕСКОЙ ЧЕРНОЙ ДЫРЫ 37
§ 3.1. Слабые поля в метрике Шварцшильда 37
§ 3.2. Гравитационные возмущения метрики Шварцшильда 39
§ 3.3. Гравитационное чзлучение пробной частицы в поле черной дыры 41
§ 3.4. Степенные "хвосты" гравитационного излучения 46
§ 3.5. Сечение рассеяния волн черной дырой '. 48
ГЛАВА 4. ВРАЩАЮЩАЯСЯ ЧЕРНАЯ ДЫРА 51
§ 4.1. Возникновение вращающейся черной дыры 51
§ 4.2.  + 1 "-расщепление пространства-времени вне черной дыры 52
§ 4.3. Хронометрическая система отсчета и система отсчета локально
невращающихся наблюдателей 54
§ 4.4. Пространство-время вращающейся черной дыры 60
§ 4.5. Небесная механика вращающейся черной дыры 63
§ 4.6. Гравитационный захват частиц вращающейся черной дырой 66
§4.7. Волновые поля вокруг вращающейся черной дыры 67
§ 4.8. Заряженная вращающаяся черная дыра 79
ГЛАВА 5. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ЧЕРНЫХ ДЫР 81
§ 5.1. Асимптотически плоские пространства. Диаграммы Пенроуза 81
§ 5.2. Горизонт событий. Теорема Пенроуза 88
§ 5.3. Теорема Элерса-Сакса. Фокусировка световых лучей гравитацион-
гравитационным полем 92
§ 5.4. Теорема Хокинга. Принцип космической цензуры 97
§ 5.5. Ловушечные поверхности, горизонты видимости, R- и 7"-области 100
§5.6. Теоремы о сингулярности внутри.черных дыр 106
325

ГЛАВА 6. СТАЦИОНАРНЫЕ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ ПО
§ 6.1. "Черные дыры не имеют волос" ПО
§ 6.2. Общие свойства стационарных черных дыр • • • • 112
§ 6.3. Теорема единственности для статических черных дыр 118
§ 6.4. Теорема единственности для стационарных аксиально-симметрич-
аксиально-симметричных черных дыр 121
§6.5. Аналитическое продолжение метрики Керра - Ньюмена внутри
горизонта событий 128
§ 6.6. Обобщения теоремы единственности на случай неэлектромагнитных
полей 131
ГЛАВА 7. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА ЧЕРНЫХ ДЫР 135
§ 7.1. Уравнения Максвелла 136
§7.2. Стационарная электродинамика с осевой симметрией. Бессиловое
поле 138
§ 7.3. Граничные условия на горизонте событий. Мембранная трактовка
и "растянутый" горизонт 143
§.7.4. Электромагнитные поля в вакууме в окрестности черных дыр 147
§ 7.5. Магнитосфера черной дыры 150
ГЛАВА 8. ФИЗИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ В ПОЛЕ ЧЕРНЫХ ДЫР. ЧЕРНЫЕ
ДЫРЫ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ 155
§ 8.1. Извлечение энергии из черных дыр. Суперрадиация 155
§ 8.2. Глобальная структура поля пробного заряда в пространстве-време-
пространстве-времени вечной черной дыры 160
§ 8.3. Сдвиг собственной энергии заряженной частицы в поле черной
дыры 166
§ 8.4. Взаимное превращение электромагнитных и гравитационных волн
в поле заряженной черной дыры 169
§8.5. Черная дыра во внешнем поле, Взаимодействие черных дыр 174
ГЛАВА 9. КВАНТОВЫЕ ЭФФЕКТЫ В ЧЕРНЫХ ДЫРАХ. РОЖДЕНИЕ
ЧАСТИЦ : 187
§ 9.1. Роль квантовых эффектов в физике черных дыр 187
§ 9.2. Квантовое рождение частиц во внешнем поле. Общая теория ..... 194
§ 9.3. Усреднение по "ненаблюдаемым" состояниям. Матрица плотности 200
§ 9.4. Матрица плотности и производящий функционал для квантовых
эффектов в черных дырах 202
§ 9.5. Частные случаи 213
а) Эффект Хокинга. 213
б) Индуцированное излучение. 214
в) Рассеяние когерентной волны. 215
г) Потеря энергии и углового момента черной дырой при кванто-
квантовом излучении. 217
д) Энтропия излучения черной дыры. 218
е) Распределение вероятностей. 220
ж) Черная дыра в "тепловой бане". 220
з) Излучение заряженной вращающейся черной дыры. Зависимость
излучения от массы, заряда и спина частиц. 223
ГЛАВА 10. ПОЛЯРИЗАЦИЯ ВАКУУМА В ЧЕРНЫХ ДЫРАХ 228
§ 10.1. Квазиклассическое приближение. Перенормированный тензор энер-
энергии-импульса 228
§ 10.2. Выбор состояний и граничные условия для функций Грина 232
§ 10.3. < Г^>геп и <(/>Ъгеп в пространстве-времени черной дыры 235
326

ГЛАВА 11. ТЕРМОДИНАМИКА ЧЕРНЫХ ДЫР 251
§ 11.1. Черные дыры и термодинамика 251
§ 11.2. Поверхностная гравитация. Массовая формула 252
§ 11.3. Четыре закона физики черных дыр 262
§ 11.4. Черная дыра как термодинамическая система 267
ГЛАВА 12. ВНУТРЕННЯЯ СТРУКТУРА ЧЕРНЫХ ДЫР 272
§ 12.1. Пространство-время и физические поля внутри шварцшильдовской
черной дыры . 272
§ 12.2. Неустойчивость горизонтов Коши внутри заряженной сферической
черной дыры 275
§ 12.3. Неустойчивость горизонтов Коши относительно квантов о электро-
электродинамических процессов 279
§ 12.4. Неустойчивость горизонтов Коши внутри вращающейся черной ды-
дыры и общие замечания 284
ГЛАВА 13.ПЕРВИЧНЫЕ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ И КОНЕЧНАЯ СУДЬБА ЧЕРНЫХ
И БЕЛЫХ ДЫР 285
§ 13.1. Первичные черные дыры 285
§ 13.2. Классическая и квантовая неустойчивость белых дыр 286
§ 13.3. Что остается при квантовом распаде черной дыры? 291
§ 13.4. Элементарные черные дыры (максимоны). Виртуальные черные
дыры и пенная структура пространства-времени 296
Заключение 299
Приложение 300
Список литературы 309
Алфавитный указатель иностранных авторов 322

Игорь Дмитриевич Новиков
Валерий Павлович Фролов
ФИЗИКА ЧЕРНЫХ ДЫР
Редактор И.Г.Вирко
Художественный редактор Т.Н.Колъченко
Технические редакторы СВ. Геворкян, В.Н. Никитина
Корректоры Н.М. Кузьмина, Т.В. Обод
Набор осуществлен в издательстве
на наборно-печатающих автоматах
ИБ № 12438
Сдано в набор 28.02.86. Подписано к печати 19.06.86
Т-11583. Формат 60 х 90 1/16. Бумага офсетная
Гарнитура Пресс-Роман. Печать офсетная. Усл.печл. 20,5
Усл.кр.-отт. 20,5. Уч.-изд.л. 22,79. Тираж 6000 экз.
Тип. зак. 1д 1 Цена 2 р. 70к.
Ордена Трудового Красного Знамени
издательство "Наука"
Главная редакция физико-математической литературы
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
4-я типография издательства "Наука"
630077 г. Новосибирск-77, ул. Станиславского, 25