Text
МАКС ДЖЕММЕР
ЭВОЛЮЦИЯ ПОНЯТИЙ
КВАНТОВОЙ
МЕХАНИКИ
Перевод с английского В.Н. Покровского
Под редакцией Л. И. Пономарева
МОСКВА "НАУКА"
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1985
6БК 22.314
Д40
УДК 530.145
The conceptual development
of quantum mechanics
Max Jammer
McGraw-Hill book Company
New York, St. Louis. San Francisco,
Toronto, London, Sydney
Джеммер М. Эволюция понятий квантовой механики: Пер. с англ. / Под
ред. Л.И.Пономарева. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. литературы
1985.-384 с.
'Книга известного историка науки М. Джеммера остаиовпемии квантовой физики -
практически единственная в мировой литературе по полноте и точности. Она содержи-
исчерпывающую библиографию и виапи) работ по квантовой физике от времени ее
зарождения до момента завершения как непротиворечивой и концептуально незави-
независимой системы знаний. Книга основана на тщательном изучении первоисточников ь
на материапах "Архива истории квантовой физики", созданного в 1960—1963 гг. е
Филадельфии, который включает переписку создателей квантовой физики и и>
интервью осиоватепям архива.
Для научных работников, студентов и преподавателей естественнонаучных спе-
специальностей и изучающих историю науки.
1704020000 - 113
Д КБ-5-46-В5
053@2) - BS
О McGraw-Hill book Company, 1967
© Перевод на русский язык
Издательство "Наука".
Главная редакция
физико-математической литературы. 19BF
0ГЛА8ЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода 5
Предисловие 9
Г л а в а 1
Формирование квантовых концепций 13
1.1. Нерешенные проблемы классической физики 13
1.2. Кванты энергии 21
1.3. Кванты излучения 39
1.4. Развитие понятия кванта 56
1.5. Применение квантовых понятий в мопекулярно-кинетической теории ... 65
Глава 2
Первый этап использования квантовых концепций для интерпретации линейча-
линейчатых спектров 71
2.1. Закономерности в линейчатых спектрах 71
2.2. Теория атома водорода по Бору 77
Глава 3
Старая квантовая теория 96
3.1. Квантовые условия и адиабатический принцип 96
3.2. Принцип соответствия 116
3.1. Эффект Зеемана и мупьтиплетная структура спектров 124
3.4. Принцип запоета и спин 138
Глава 4
Переход к квантовом механике 160
4.1. Использование квантовых концепций в физической оптике 160
4.2. Философский фон неклассических интерпретаций 167
4.3. Неклассические интерпретации оптической дисперсии 182
Глава 5
Формирование квантовой механики 196
5.1. Возникновение матричной механики 196
5.2. Модификации матричной механики 217
5.3. Возникновение волновой механики 232
1* 3
Глава 6
Вероятностная интерпретация и теория преобразований 275
6.1. Появление вероятностной интерпретации 276
6.2. Теория преобразований 286
6.3. Теория преобразований в гильбертовом пространстве 299
Глава 7
Копенгагенская интерпретация 313
7.1. Соотношения неопределенности 313
7.2. Дополнительность 334
Глава 8
Утверждение творим ......¦.•• »¦•¦•¦•>•¦.... • 349
8.1. Некоторые применения теории 349
Глава 9
Два фундаментальные проблемы 353
9.1. Попиота 353
9.2. Наблюдение и измерение 357
Заключительные замечания 365
8iri.J
Приложение А. Вывод уравнения (/„• U 370
с*
Приложение Б. Парадокс Эйнштейне — Подольского — Роэеиа 372
Указатель авторов цитированных работ 374
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Имя Макса Джеммера хорошо известно историкам науки. Он - автор
ряда монографий1'6*, одна из которых "Понятие массы в классической
и современной физике" переведена на русский язык в 1967 г. К другой
его книге "Понятие пространства" Альберт Эйнштейн незадолго до
смерти написал специальное предисловиа. Все монографии Джеммера
посвящены анализу самой трудной проблемы истории науки, а именно
выявлению логики и обстоятельств формирования новых глубоких науч-
научных понятий: почти все их названия начинаются со слова concepts.
Книги Джеммера строго документированы, отличаются тщатель-
тщательностью анализа идейных предпосылок открытий, достоверностью сооб-
сообщаемых в них конкретных историко-научных деталей и полнотой
библиографии цитируемых первоисточников. Именно эти особенности
книг Джеммера обусловили их популярность и высокий статус в среде
специалистов.
Особое место среди книг Джеммера занимает его монография о воз-
возникновении и эволюции основных концепций квантовой физики, кото-
которая выходит теперь в русском переводе. Фактически это единственное
исследование в мировой литературе, в котором всесторонне и системе-
тически прослежена взаимосвязь и взаимовлияние работ по квантовой
физике со времени зарождения идеи квантов до момента становления
квантовой механики как законченной и концептуально-независимой
системы знаний. Оно основано на тщательном анализе такстов оригиналь-
оригинальных статей (по возможности сохранены даже их обозначения), что поз-
позволяет взглянуть на историю формирования квантовой физики глазами
ее создателей и современников ее возникновения, а также избежать ис-
искушения "осовременить" их первоначальные гипотезы и утверждения,
истинный смысл и значение которых стали ясны только позднее. Кроме
научных статей, в книге широко используется переписка ведущих физиков
1) Jammer M. Concepts of Space. — Cambridge: Harvard University Press, 1954.
1'Jammer M. Concepts of Force. - Cambridge: Harvard University Press, 1957.
г) Jammer M. Concepts of Mass in Classical and Modern Physics. — Cambridge: Harvard
University Press, 1961.
4) Jammer M. Conceptual Development of Quantum Mechanics. — N.Y.: Me Grow-Hill,
1966.
*' Jammer M. Foundations of Dynamics. — Cambridge: Harvard University Press, 1970.
*) Jammer M. The Philosophy of Quantum Mechanics. The Interpretations of Quantum
Mechanics in Historical Perspective. - N.Y.: John Wiley, 1974
той поры, а также материалы Архива истории квантовой физики7), осно-
основанного в США в 1961 г., в частности, интервью с Бором, Гейзен-
бергом. Борном, Дираком, де Бройлем и т.д. Благодаря книге Джем-
мера эти материалы, большей частью малодоступные, вошли в научный
обиход и теперь часто цитируются в мировой и отечественной ли-
литературе.
Одно иэ главных достоинств книги - практически исчерпывающая
библиография оригинальных работ по квантовой физике за период
с 1900 по 1927 гг. Приведены полные названия статей на языке оригинала,
для наиболее важных работ указана дата их поступления в редакцию жур-
журнала, а в некоторых случаях приводятся также выдержки из них, поз-
позволяющие зафиксировать смысл, который вкладывали в текст сами авторы
работ в момент их написания.
Несмотря на такую профессиональную дотошность, книга Джеммера
ни в коей мере не является скучным каталогом статей и книг по кван-
квантовой физике. Напротив, написана она живо, при всем обилии сообщае-
сообщаемых деталей дает цельную картину рождения квантовой физики и ув-
увлекает не историческими анекдотами, а логикой изложения. Поэтому
она представляет интерес не только для узкого круга профессиональных
историков науки: ее с пользой и удовольствием прочтет широкий круг
образованных читателей, которых уже не удовлетворяют многочисленные
и часто неточные пересказы из вторых и третьих уст основных фак-
фактов истории самой глубокой и плодотворной физической теории
XX века.
Для этой категории читателей представит особый интерес предпринятая
автором попытка реконструировать тот культурно—исторический фон,
на котором возникла и развивалась квантовая физика, и проследить его
влияние на окончательную формулировку ее основных принципов. Резуль-
Результаты подобной раконструкции не всегда бесспорны, но заведомо ин-
интересны.
Автор монографии не ставил своей целью дать обзор всех достижений
квантовой теории, а также всех экспериментальных доказательств ее истин-
истинности: им в книге посвящено всего несколько страниц. (По этому вопро-
вопросу можно рекомендовать, например, обзор Пипкина8*.) .
В то же время вопросам интерпретации основных понятий квантовой
механики автор уделяет самое пристальное внимание. Фактически эта
часть книги стала прологом к другой книге автора "Философия кванто-
квантовой механики. Интерпретация квантовой механики в исторической
''"Sources for History of Quantum Physics" (an Inventory and Report) /Eds. Thomas
S. Kuhn, John L. Heilbron, Paul L. Forman and Lini Allen. - Philadelphia: The American
Physical Society, 1967 (Каталог Архиве истории квантовой физики и принципы его
организации) .
*)npklnF.M. Atomic Physics Tests of the Basic Concepts in Quantum Mechanics.-
In: Advances In Atomic and Molecular Physics. - N.Y.: Academic Press, 1978, v. 14,
p. 281.
герспективе^, которую он написал через восемь лет после данной кни-
и и которая является ее естественным продолжением.
Несколько слов о принципах, положенных в основу перевода пред-
мгаемой монографии, поскольку для книг подобного типа он сопряжен
: известными трудностями. Прежде всего, мы сохранили систему цити-
ювания первоисточников, принятую автором, дополнив их ссылками
ia имеющиеся русские переводы до 1984 г. включительно. В частности,
жылаясь на журнал Annalen der Physik, M. Джеммер добавляет к его
•азванию фамилию редактора (Wiedemannsche Annalen или Poggendorf's
\nnalen), как это было принято в начале века.
Мы сохранили также приводимые автором отрывки оригинальных
ггатей, за исключением тех немногих случаев, когда их содержание не
:пособствовало, на наш взгляд, прояснению смысла обсуждаемых проблем.
Три переводе таких отрывков довольно трудно удержаться от искушения
модернизировать язык автора с целью сделать его утверждения более
юнятными современному читателю. (Многие опубликованные переводы
мнних работ по этой причине грешат неточностями.) Наиболее важные
13 переведенных ранее отрывков мы вновь сверили с оригиналами и
жесенные при этом уточнения нигде особо не оговаривали.
Быть может, к некоторым утверждениям автора имело бы смысл сде-
1ать в переводе более или менее пространные примечания. Мы отказались
>т этого намерения по двум причинам: во-первых, признанный научный
иторитет автора если и не дает ему права на ошибки, то, во всяком слу-
ие, сообщает им определенный интерес; во-вторых, книга Джеммера
|авно стала одним из основных и наиболее часто цитируемых пособий
ю истории квантовой физики, о котором каждый серьезный исследове-
ель уже сформировал свое собственное мнение. Добавлять к этим ус-
ановившимся толкованиям еще одно - редакционное - мы сочли не-
нецелесообразным, тем более, что в самой книге содержится все необходи-
необходимое для критической проверки любого из ее утверждений.
Со времени появления предлагаемой книги в 1966 г. об истории кван-
овой физики издано много других книг, например93). Однако ни одна
»)"The World of the Atom", v. I; Il/Eds. Henry A. Boone and Lloyd Moti. - N.Y.:
iatic Bookt, 1966. (Энциклопедия отрывков из' оригинальных работ соадателей
смитоаой фимки - от Лукреция Кара до Роберта Хофштадтера - с их краткими
Ьографиями.)
ls)"Sources of Quantum Mechanic»" /Edited with hittorical Introduction by B.L. Van
ler Waerdan. - N.Y.: Dover, 1967. (Аннотированное собрание оригинальных рв-
рвот . приведших к соманию матричной формы квантовой механики.)
lt'HundF. Geschichata der Quantentheorie: Bibliographltches Inttitut Mannheim
'Wienl. - Zurich: B.l.-Wiuentchaftverlafl, 1967. (Русский перевод второго иэда-
мя 1976 г.: Хунд Ф. История квантовой теории / Под рад. М.А. Епышевиче. — Киев:
(еукраа думка, 1980.)
") 0 лет квантовой механики" /Под рад. Л.С. Попека. - М.: Наука, 1979.
См. тек же юбилейный номер журнала "Успехи физических наук": т. 122, в. 4, 1977.).
1 *) За врамя подготовки данного перевода к печати вышли в свет несколько томов
«циклопедического иадаиия: Mahrt J., Racfienbarg H. The Hittorical Development of
Duentum Theory. — Springer Verlag, 1982, v. I—IX:
иэ них не является столь цельной и сбалансированной, как монография
Джеммера. Поэтому появление ее русского перевода восполнит сущест-
существенный пробел в нашей отечественной историко-научной литературе и
принесет несомненную пользу ее многочисленным читателям.
Л. И. Пономарев
Vol. I. Part I and 2 "The Quantum Theory of Plank, Einttein, Bohr, and Sommerfeld:
It* Foundation and the Rite of It* Difficulties, 1900-1925". 1982.
Vol. II "The Discovery of Quantum Mechanics, 1925". 1982.
Vol. Ill "The Formulation of Matrix Mechanic* and Its Modifications", 1982.
Vol. IV Papt 1 and 2 "The Fundamental Equations of Quantum Mechanic*. The Recap-
Recaption of the New Quantum Mechanics". 1982.
Готовятся к печати:
Vol. V "The Rite of Wave Mechanic* 1926".
Vol. VI "Trie Completion of Quantum Mechanic*".
Vol VII "The Fundamental Application of Quantum Mechanic* 1927-1934".
Vol. VIII "The Quantum Theory of Radiation and Matter, 1927-1964".
Vol. IX "The Interpretation and Eplttemology of Quantum Mechanics, 1927-Present".
ПРЕДИСЛОВИЕ
Цель настоящего исследования - проследить эволюцию понятий кванто-
квантовой механики в процессе ее становления, с момента зарождения до оформ-
оформления в виде завершенной теории атомной физики, в процессе изменения
ее статуса от несколько сомнительной гипотезы ad hoc до удивительно
красивой и впечатляющей системы взглядов.
Все великие физические теории - механика Аристотеля и ее средневеко-
средневековые уточнения, динамика-Ньютона и ее модификации, выдвинутые Лагран-
жем и Гамильтоном, электродинамика Максвелла и теория относительнос-
относительности Эйнштейна — неоднократно подвергались историко-критическому изуче-
изучению, и их концептуальные основы были тщательно проанализированы. Но
эволюция понятий квантовой механики еще не стала предметом всеобъем-
всеобъемлющего научного изучения. Существующие популярные или научно-попу-
научно-популярные публикации едва затрагивают существо дела, а немногочисленные,
хотя и очень важные, эссе, написанные самими создателями теории, по
большей части посвящены каким-либо частным вопросам либо защите той
или иной философской позиции. Поэтому представляется несомненным,
что полный и последовательный анализ эволюции понятий квантовой
механики заполнит важный пробел в литературе по истории и философии
физики, ибо квантовая механика, единственная внутренне согласованная
теория атомных процессов, лежит в основе современной науки.
Подобный анализ не следует, однако, рассматривать как самоцель. На
протяжении очень короткого промежутка времени появилось много пре-
превосходных руководств по квантовой механике. При этом в каждой после-
последующей книге — что естественно для развивающейся области науки -
делалась попытка изложить теорию, пользуясь все более сжатой логической
структурой, а традиционный подход, представляющий материал в порядке
исторического развития, постепенно терял приверженцев. Совершенно
справедливо утверждают, что обучающиеся квантовой механике испыты-
испытывают гораздо меньше трудностей, "если их не заставлять проходить через
все исторические подводные камни, а сразу знакомить с такими понятиями,
как спин, которые нельзя уяснить вне квантовомеханического подхода" ').
Безусловно, на этом пути можно достичь хорошего уровня знаний, более
того, высокой эффективности и компетентности при использовании теории
в физических задачах. Но пока мы согласны с утверждением, что "как бы
сильно явления ни превосходили возможностей их объяснения в рамках
классической физики, описание всех опытных данных должно вестись при
помощи классических понятий), для глубокого понимания квантовой
1) KsempferF.A. Concepts in Quantum.Mechanics. - N.Y., L: Academic Press,
1965, p. V.-
<")Квмпфер ф. Основные положения квантовой механики. — М.: Мир, 1967.
(Здесь и далее звездочкой будут отмечаться добавления, сделанные при переводе.)
1) Bohr N. Discussions with Einstein on epistemological problems in atomic physics. —
In: Albert Einstein : Philosopher-Scientist.- Evanston, III., 1949, p. 209.
механики требуется нечто большее, чем изучение предмета в наикратчайшей
из возможных логических формулировок. "Невозможно понять методы
современной квантовой механики, не зная путей, по которым шло развитие
теории). Действительно, представление о драматической борьбе идей,
предшествовавшей формированию квантовых понятий, и о запутанной
цепочке рассуждений, приведшей к общепринятой формулировке теории,
незаменимо для глубокого понимания физической значимости квантовой
механики, разумной оценки вытекающих из нее философских следствий
и даже для уяснения ее логической структуры. Утверждение Дюгема
"fa ire I'h istoire d'un principe physique, c'est en me me temps en fa ire I analy-
analyse logique" *) полно особого смысла для такой науки, как квантовая
механика.
Предмет нашего обсуждения может представлять интерес не только с
исторической и методологической точек зрения, но и с чисто научной.
Если фундаментальные понятия теоретической физики не могут быть
извлечены только из опыта, но являются, по выражению Эйнштейна, "сво-
"свободными творениями человеческого разума), то изучение процесса их
формирования и сопутствующих этому эмпирических, математических,
философских и психологических факторов может оказаться полезным,
для того чтобы понять, бьта ли фактически принятая теоратическая схема
единственно возможной и не могла ли появиться иная формулировка
теории при ином сочетании действовавших в то врамя факторов.
Подобное изучение понятий и обстоятельств, конечно, не исключает
возможности присутствия некоего иррационального начала в процессе
создания научной теории. Стремление свести до минимума такие иррацио-
иррациональные возможности составляет историческую и методологическую
компоненты содержания исследований, подобных данному, а соображения
типа приведенного выше, устанавливающие связь с современной нам науч-
научной деятельностью, составляют научную компоненту содержания 5).
Из предыдущего читателю, видимо, стало ясно, что предлагаемая 'его
вниманию книга, посвященная только нерелятивистской квантовой механи-
механике систем с конечным числом степеней свободы (и за которой, можно
надеяться, последует аналогичное исследование релятивистской квантовой
механики и квантовой теории поля), не является ни учебником, ни собра-
собранием биографических заметок, ни даже исследованием вопросов приорите-
приоритета. В действительности изложение материала в книге часто отходит от
i')Bop H. Дискуссии с Эйнштейном по проблемам теории познания в атомной
физике. — В кн.: Бор Н. Избранные научные труды в двух томах.—М.: Наука, 1971,
т. II, с. 399-433.
>) March A. Quantum Mechanic* of Particle* and Wave Fields.- N.Y.: Wiley. - L.: Chap-
Chapman and Hall, 1951. p. VI.
•) "Осветить историю некоего физического принципа — значит вместе с тем про-
провести его логический анализ" [франц.).
<\ Einstein A. The World as I See It. - L.: John Lane, The Bodley Head Limited, 1935,
p. 134.
«•) Эйнштейн А. О методе теоретической физики. — В кн.: Эйнштейн А. Собрание
научных трудов в четырех томах. — М.: Наука, 1967. т. IV, с. 181—186. '
9 (Так. например, Дирак, готовясь к интервью с проф. Т.С. Куном (состоявшему-
(состоявшемуся в Кембридже, Англия, в мае 1963 г. в рамках проекта "Источники для истории
квантовой физики"), обратился к своим ранним неопубликованным заметкам и обна-
обнаружил, что некоторые отвергнутые когда-то идеи теперь могут оказаться полезными
для преодоления существующих трудностей со сходимостью в квантовой электроди-
электродинамике. [Дирак П.A.M. Лекции по квантовой электродинамике, прочитанные в универ-
университете Бар-Илан в декабре 1965 г. - Устное сообщение.)
10
строгого хронологического порядка ряди логической связности обсужде-
обсуждения. Настоящая книга посвящена прежде всего изучению того, как наблю-
наблюдение тех или иных явлений привело к противоречию с установившимися
принципами классической физики, как экспериментальные исследования
в сочетании с математическими рассуждениями и философской мыслью
открыли совершенно новью перспективы, как в процессе создания системы
понятий квантовой механики каждый последующий этап зависел от пред-
предшествующих, не обязательно вытекая иэ них как логическое следствие.
По сравнению с этими задачами все другие представляются менее сущест-
существенными.
Хотя некоторые аспекты развития квантовой механики освещаются,
как убедится читетель, вплоть до самых недавних исследований, основная
тема книги завершается обсуждением круга понятий, сложившихся в
результате распространения так назывеемои копенгагенской интерпретации,
которой и сегодня придерживается большинство физиков-теоретиков и
экспериментаторов. Она не обязательно является единственной логически
возможной интерпретацией квантовых явлений, но de fecto это единствен-
единственная существующая, вполне отчетливая и последовательная концепция,
которая вносит порядок в набор фактов, иначе представляющихся хаотич-
хаотичными, и делает их постижимыми. Поэтому отказ от рассмотрения других
попыток интерпретации — которые, как можно надеяться, составят предмет
иной книги - не должен * нарушить логическую полноту и уменьшить
значение предлагаемого исследования.
Я использовал три вида источников.
1. Основными источниками являются, конечно, статьи и монографии,
написанные создателями теории. В книге приводятся полные библиографи-
библиографические ссылки на них, и читатель легко может проверить что-то или углу-
углубиться в любой заинтересовавший его вопрос. Поскольку содержание науки
составляют документированные утверждения, которые поддаются провер-
проверке или фальсификации, именно эти источники будут служить нам первоос-
первоосновой обсуждения взятой темы.
2. Эйнштейн однажды сказал: "Если вы хотите что-то узнать у физиков-
теоретиков о методах , которыми они пользуются, советую вам твердо
придерживаться правила: не слушайте их слов, сосредоточьтесь на их дея-
деяниях". Далее он пояснил свою мысль: "Тому, кто в этой области что-то
открывает, результаты работы его воображения кажутся столь необходи-
необходимыми и естественными, что он относится к ним - и ожидает того же от
других — не как к порождениям мысли, а как к определенным реальнос-
реальностям" б). Вообще говоря, Эйнштейн, конечно, прав. Но в нашем случае мы
имеем дело с системой концепций, которые в целом не поддаются представ-
представлению в виде какого-либо отчетливого зрительного образа и поэтому вряд
ли могут быть названы "необходимыми и естественными", так что опас-
опасность, о которой говорит Эйнштейн, не слишком серьезна. Поэтому я счел
себя вправе не внять этому предостережению и обсуждать предмет книги
с рядом выдающихся физиков, сыгравших решающую роль в развитии
теории.
Пребывание в Институте Анри Пуанкаре в Париже, Высшей Технической
школе в Цюрихе, в Гёттингенском университете и в Католическом универ-
университете Америки в Вашингтоне (штат Колумбия) дало мне возможность
обсудить различные стороны проблемы с принцем Луи де Бройлем,
профессорами Максом Борном, Вернером Гейэенбергом, Полем A.M. Дира-
') См. [4], с. 131; см. также [4«]. (Здесь и далее е квадратных скобках указывает-
аается номер сноски и при необходимости - номер главы. — Примеч. ред.)
11
ком, Фридрихом Хундом, Вальтером Гейт л ером, Б.Л. Ван-дер-Варденом,
Маркусом Фирцем, Ресом Йостом и получить ценные указания от сэра
Джорджа Томсона, профессоров Э.Н. да К. Андраде, Джона Е. Слэтера,
Эрвина Фюса и Франца Танка, а также профессоров Джеральда Холтона,
Пауля К. Фейерабенда и Томаса С. Куна. Я признателен этим известным
физикам и философам науки за стимулирующие замечания.
3. Я хотел бы поблагодарить также Национальный научный фонд США
за предоставленную мне возможность тщательно изучить материалы
Archive for the History of Quantum Physics, находящиеся в библиотеке
Американского философского общества в Филадельфии, в библиотеке
Калифорнийского университета в Беркли и в Институте теоретической
физики в Копенгагене. Указанные материалы представляют собой много-
многочисленные интервью, в виде записей на пленку или рукописей, с рядом
физиков, принимавших участие в создании квантовой механики. Эти
интервью оказались очень богатым и надежным источником информации.
Но поскольку всегда существует опасность того, что интервьюируемое
лицо невольно отнесет более поздние концепции или результаты к воспо-
воспоминаниям о более ранних этапах, заключения, делавшиеся на основании
таких интервью, по возможности проверялись сопоставлением с другими
источниками информации.
Я признателен также миссис Вольфганг Паули за любезную помощь
в знакомстве с Peuti Collection в Цолликон-Цюрихе.
Осознав вскоре после начала работы над книгой, что и в квантовой
механике, хотя и не так явно, как в теории относительности, почти каждая
фаза развития несет следы идей Эйнштейна, я обратился к документально-
документальному материалу, собранному в Einstein Estate в Институте перспективных
исследований в Принстоне(штат Нью-Джерси). Корреспонденция Эйнштей-
Эйнштейна с ведущими создателями квантовой механики действительно пролила
свет на многие вопросы.
Я очень признателен профессору П.A.M. Дираку, прочитавшему часть
рукописи книги во время визита в Бар-Иланский университет зимой 1965 —
1966 гг.
Наконец, я хотел бы выразить глубокую благодарность профессору
Вернеру Гейэенбергу за возможность обсудить с ним в Институте физики
Макса Планка в Мюнхене различные аспекты работы и за любезность, с
которой он прочитал рукопись всей книги. Безусловно, вся ответственность
за ошибки или неверные толкования лежит целиком на мне.
Макс Джеммер
ГЛАВА 1
ФОРМИРОВАНИЕ КВАНТОВЫХ КОНЦЕПЦИЙ
1.1. Нерешенные проблемы классической физики
Теория квантов, в самой ранней ее формулировке, возникла в связи
с неспособностью классической физики объяснить экспериментально
наблюдаемое распределение энергии в непрерывном спектре излучения аб-
абсолютно черного тела.
Вызывает сожаление, что задача, с которой началось систематическое
развитие квантовой теории, оказалась задачей квантования энергии гармо-
гармонических электромагнитных колебаний. Не может быть никаких сомне-
сомнений в том, что от пионеров квантовой теории - равно как и от читателя
настоящей книги — потребовалось бы гораздо меньше интеллектуальных
усилий, если бы развитие теории началось с не столь концептуально слож-
ной_проблемы.
При этом возникает вопрос: существовала ли возможность прийти при-
примерно к такой же перестройке понятий, какую вызвала задача об излуче-
излучении черного тела, при последовательном решении какой-либо другой задачи
из числа обсуждавшихся в то время? Не мог ли подобный путь оказаться
логически более простым? Обратимся, например, к такой известной проб-
проблеме, как невозможность объяснить удельную теплоемкость твердых
тел при низкой температуре в рамках классической физики, т.е. к проб-
проблеме, решение которой de facto было достигнуто с помощью понятий, вве-
введенных при решении проблемы излучения черного тела. Можно попытаться
представить себе, как независимое и последовательное исследование задачи
об удельной теплоемкости повлияло бы на развитие теоретической физики.
Кажется в высшей степени вероятным, что в этом гипотетическом случее
квантование энергии систем частиц вещества (атомов или молекул) было
бы введено раньше, чем квантование энергии волн, и путь к квантовой
теории был бы концептуально менее сложен.
По-видимому, можно вообразить даже и такой путь, на котором к кван-
квантованию энергии етомов, по крайней мере в их основном состоянии, уда-
удалось бы без большого труда прийти, отправляясь от эмпирических основ
классической кинетической теории '). Ведь было известно, что удельная
теплоемкость одного моля одноатомного газа при постоянной температуре
составляет 3/2 R. и это фундаментальное наблюдение вместе с его объясне-
объяснением — дававшемся и тогда — с помощью понятия о средней кинетической
энергии 3/гкТ ясно указывало на то, что энергия, переданная газу, может
увеличить только кинетическую энергию етомов, но не энергию внутрен-
внутреннего движения составляющих частей атомов, какими бы их себе ни пред-
представлять. Далее, было общеизвестно, что в процессе атомнтх или моле-
молекулярных столкновений кинетическая энергия сохраняется и никакая ее
1) Дидактические следствия этого утверждения рассматриваются в статье:
Моп N. On teaching quantum phenomena. - Contemporary Physics, 1964, v. 5, p. 401-
418.
13
часть не превращается во внутренне связанную энергию. (Объясняя этот
факт сегодня, говорят, что кинетическая энергия частиц, составляющая
при комнатной температуре около 0,04 эВ, слишком мала, чтобы возбудить
атом, дпя чего нужна энергия порядка нескольких эВ.) Ретроспективно
представляется впопне возможным, что глубокое критическое рассмотрение
этих и подобных им фактов могло привести к предвосхищению идеи кван-
квантования энергии атомов эа много десятилетий до Бора и тем самым — к
более удобному пути создания квантовотеоретических понятий. Ведь
недаром утверждается, что "научная работа состоит в том, чтобы видеть
то же, что видели все, и думать не так, как все". Но "post iacturam quis
поп sapit?"*)
Конечно, существовали причины, обусловившие развитие квантово?
теории именно по тому пути, по которому это произошло в действитель-
действительности. Чтобы полностью понять, как и почему именно излучение абсолют-
абсолютно черного тела сыграло столь решающую ропь в процессе формированич
физических понятий, мы начнем анализ эволюции понятий квантовом
механики с обсуждения основ классической теории теплового излучения.
"Несколько недель тому назад я имел честь выступить перед Академией
с мемуаром о наблюдениях, которые показались мне очень интересными,
поскольку они позволили сделать некоторые заключения о химическом
составе солнечной атмосферы. Отправляясь от этих наблюдений, я вывел
теперь на основе довольно простых теоретических соображений одну об-
общую теорему, которую ввиду большой ее важности я позволю себе пред-
представить Академии. Теорема касается свойства всех тел и описывает испус-
испускание и поглощение тепла и света". Этими словами Кирхгоф начал свою
классическую работу "О связи между испусканием и поглощением света
и тепла), которую он доложил Берлинской Академии в 1В59г. и в ко-
которой показал, что "для лучей той же самой длины волны отношение испус-
кательной способности к поглощательной при той же температуре одинако-
одинаково для всех тел). Чтобы доказать эту теорему, которая впоследствии
получила название "закона Кирхгофа", Кирхгоф вывел условия равновесия
для обмена излучением между двумя испускающими и поглощающими бес-
бесконечными параллельными пластинами, обращенными друг к другу и ок-
окруженными идеальными отражателями. Он предположил, что одна из плас-
пластин испускает и поглощает только излучение длины волны X , а другая
пластина - всех длин волн. Поскольку всеизлучениесдлиной волны, отлич-
отличной от X, испущенное этой второй пластиной, будет в конце концов после
неоднократных отражений ею же и поглощено, можно ограничиться вычис-
вычислениями обмена излучением с длиной волны X. Если обозначить испус ка-
тельную способность (т.е. энергию излучения с длиной волны X, испускаемую
в единицу времени) и поглощательную способность (т.е. поглощаемую
долю излучения с длиной вопны X) первой пластины через Е и А, а вто-
второй — через е и а соответственно, то, как показал Кирхгоф, во второй
пластине из общего количества Е поглотится э/A -к) часть, а из общего
количества е поглотится аA -А) I A - к) часть, где для краткости обозна-
обозначено к = A -А) A - а). Поскольку при равновесии испускаемая энергия
*) "Кто не разумен после того, квк жребий брошен?" (лаг)
*) Kirchhoff G.R. Uber den Zusammenhang zwischen Emission und Absorption von
Licht und Werme. - Monatsberichte der Akademie der Wissenschaften zu Berlin
1859 (Dez)., S. 7B3-787; In: Kirchhoff G. Gesammette Abhandlungen. -
Leipzig, 1882, S. 566-571; In: Ostwald's Klassiker der exakten Wissenschaften No. 100. -
Leipzig: Akademische Verlagsgesellschaft, 1889, S. 6-10.
J) Там же. 1859, с. 783.
14
равна поглощаемой 4 ), имеем
аЕ а(У-А)е
g
1-к 1 - к
откуда
е/а = Е/А,
что доказывает теорему. Годом позже Кирхгоф опубликовал вторую статью
" 06 отношении между испускатепьной и поглощательной способностями
различньж тел для тепла и света), в которой он подробнее рассмотрел тот
же вопрос и дал более строгое аналитическое доказательство теоремы.
С исторической точки зрения интересно отметить, что к исследованию
связи между испусканием и поглощением Кирхгофа привело изучение
фраунгоферовых линий в солнечном спектре. Об этом говорит не только
сам Кирхгоф, слова которого цитировались выше, но и то обстоятельство,
что его вторая статья была частью исследования, озаглавленного " Изуче-
Изучение солнечного спектра и спектров химических элементов). Закон Кирх-
Кирхгофа, как в силу его фундаментальной роли в физике излучения, так и в
связи с последующим развитием теоретической физики, неоднократно
подвергался критическому анализу и доказывался все более строгим
образом 7).
4) Этим утверждением Кирхгоф неявно принимает "теорию обменов" Пьера Прево,
согласно которой "равновесие теплоты между двумя соседними свободными объ-
объемами состоит в равенстве обменов' WrevostP. Du Calorique Rayonnant, p. 268). Прево,
ученик Лесажа. представпяп теплоту в виде теплотворной субстанции, постоянно
излучаемой с каждой точки поверхности всех теп по прямым пиниям, причем интен-
интенсивность этого изпучения пропорциональна количеству теплоты, содержащемуся в
тепе; между соседними твлвми происходит постоянный обмен теплотой и каждое тело
излучает так, как если бы другого теле небыло; в условиях равновесия каждое тело
поглощает столько же, сколько излучает. Прево изложил свою теорию в книгах:
PrmottP. Du Calorique Rayonnent.- P., Geneva, 1809; Exposition eleWntaire des Princi-
Principles qui Servent de Base a la Theone de la Chaleur Rayonnante. — Geneva, P., 1B32. Отрыв-
Отрывки из первого труда были переведены на английский язык и опубликованы в книге:
The Laws of Radiation and Absorption — Memoirs by Prevost, Stewart, Kirchhoff and Kir-
chhoff and Bunsen/ed. J.S. Ames. - N.Y.: American Book Company, 1901.
') Kirchhoff G. Uber das VerhSltnis zwischen dem Emissionsvermogen und dem Absorpti-
onsvermogen der Korper fur Warme und Licht. — Poggendorffs Annaien der Physik, 1860,
Bd 109, S. 275-301; In: Gesammelte Abhandlungen Г2], S. 571-59B; in: Ostwald's К las-
si ker [2], S. 11—36; On the relation between the rediating and ebsorbing powers of different
bodies for light and heat. - Philosophical Magazine, 1860, v. 20, p. 1-21; In: The Laws
of Radiation and Absorption [4], p. 73—97.
5 *) Кирхгоф Г. Об отношении между испускатепьной и погпощательной способнос-
способностями теп дпя тепла и света. — В кн.: Шё'пфХ.—Г. От Кирхгофа до Планке. — м.: Мир,
1981, с. 124-143.
6) Kirchhoff G. Untersuchungen uber das Sonnenspectrum und die Spectren der chemi-
schen Elemente- 2 Aufl. — Berlin: Dummler, 1862; Researches on the Solar Spectrum and
the Spectra of the Chemical Elements. — Cambridge, L: Macmillan, 1B62.
') Вывод закона Кирхгофа при менее ограничивающих допущениях (не предпо-
предполагалось существование абсолютно черных теп, идеальных отражателей и т.п.) дал
Э. Принсгейм (Pringtheim Е. Einfache Herleitung des Kirchhoff'schen Gesetzes. - Verhand-
lungen der Oeutschen Physikalische Gesellschatt, 1901, Bd 3, S. 81-84; Zeitschrift fur wis-
senschaftiiche Photogrephje, 1903, Bd 1, S. 360— 364). Строгий вывод закона Кирхгофа
был дан Дж. Эвансом (Evans G.C. Note on Kirchhoff's Law. — Proceedings of the Ameri-
American Academy, 1910, v. 46, p. 95—106). и Д. Гильбертом, на основе интегральных уравне-
уравнений (Hilbert D. Begrundung der elementaren Strahlungstheorie. — Physikalische Zeitschrift,
1912, Bd 13, S. 1056-1064; 1914, Bd 14, S. 592-595; Gottingen Nechrichten, 1912. S.
773-789; 1913, S. 409-416; Jahresbericht der Oeutschen Mathematische Vereinigung,
1913. Bd 22, S. 1-16; In: HilbertD. Gesammelte Abhandlungen. - Berlin: Springer, 1935,
Bd3, S. 217-230, 231-237).
7 * J О выводе Гильберта см. Борн М Гильберт и физика. - В кн.: Борн М. Размыш-
Размышления и воспоминания физика. — М.: Наука, 1977,с. 24—36.
15
Одновременно с'публикациями Кирхгофа Стюарт8) независимо устано-
установил справедливость этого закона, опираясь на экспериментальные данные.
Статья Стюарта, как и Кирхгофа, базировалась на теории Прево. Но шот-
шотландского физика интересовала прежде всего экспериментальная провер-
проверка9) соотношений, существующих в физике излучения, тогда как Кирхгоф
делал упор на теоретические аспекты проблемы. Кирхгоф, по-видимому,
полностью сознавал теоретическую значимость отношения EIA, так как он
подчеркивал важность точного определения этой функции температуры и
выражал надежду, что это не вызовет особых трудностей, ибо "все встречав-
встречавшиеся до сих пор функции, не зависящие от природы тел, имели простую
структуру".
В начале второй статьи Кирхгоф ввел понятие "абсолютно черного
или, короче, черного, тела" ' °) понимая под ним, как понимают и сейчас,
тело, которое поглощает все падающее на него излучение. Таким образом,
поглощательная способность А черного тела равна единице, а его испуска-
тельная способность Е совпадает с упомянутой выше универсальной функцией.
Затем на основании простых термодинамических соображений Кирхгоф по-
показал, что излучение в полости, т.е. в объеме, окруженном стенками, не про-
пропускающими тепло и имеющими одинаковую температуру Т, обладает тем
же "качеством и интенсивностью ", что и испускательная способность Е черно-
черного тела1') с той же температурой 7". Теорема Кирхгофа о полости, если вос-
воспользоваться современной терминологией, говорила о следующем. Обозна-
Обозначим через Bv ¦ В (v, T) приходящуюся на единицу площади, единицу телес-
телесного угла и единицу времени энергию, излучаемую в единичном частотном
интервале при частоте с в направлении, нормальном к поверхности черного
тела12) с температурой 7". Тогда, если выполняется закон Ламберта, пол-
полная испускательная способность в полусферу составляет
? = тг/ Bvdv.
о
Пусть далее и„ =u(v,T) есть плотность излучения внутри полости, находя-
находящейся при температуре Т, в единичном частотном интервале при частоте v,
так что полная плотность энергии составляет
«о
i/ = / uvdv.
') Stewart В. Account of some experiments on radiant heat. — Transactions of the
Royal Society of Edinburgh, 1858, v. 22, p. 1-3. 95-97,426-439.
*) Stewart B. An account of some experiments on radiant heat. — Proceedings of the
Royal Society of Edinburgh, 1858-1859, p. 203-204.
) Cm. [5], с 277. Термин "черное тело" уже испопьзовался, хотя, конечно, не
как terminus technicus, Ньютоном в его "Оптике" [Newton I. Optics. - 1704, Query 6;
N.Y.: Dover, 1952, p. 339), где ои спрашивал: "Не нагреваются пи черные тепа светом
легче всех других тел. .. ?" [Ньютон И. Оптика. — 2 изд. — М.: Гостехиздат, 1954,
с. 258. - Примеч. пер.)
'') Ввиду идентичности излучения полости и черного тепа Тизен ( Tiesen M. Uber
da* Gesetz der schwarzen Strahlung. - Verhandlungen der Oeutschen Physikalischen Geset-
Ishaft, 1900, ' Bd 2, S. 65-70) сорока годами позже предложил, чтобы такое излучение
называлось "черным из пучением" ("schwarze Strahlung"). Этот термин приобреп не-
некоторую популярность благодаря тому, что его ислользовап М. Плаик в лекциях по
теории теплового излучения, прочитанных ¦ Берлинском университете: Plenck M. Vor-
lesungen Cider die Thporie der tnflfrmestrahlung. — I Aufl. - Leipzig: Berth, 1906; 2 Aufl.,
1913;Theorie of Heat Radiation. -N.Y.: Dover, 1959. (см. также: Планк М. Теория теп-
теплового излучения. - М. - П.: ОНТИ, 1935. - Примеч. пер.)
**) Яркость В„ часто заменяют иа 2KV, где множитель 2 учитывает иапичие двух
плоскостей поляризации.
16
Тогда выполняется соотношение
4тг 4
uv ¦ 0„ или «/ = ?, A-1)
с с
которое легко получить из геометрических соображений '3). Как следует
из второго законе термодинамики, функции uv и и не зависят от природы
стенок полости.
Как мы видели, закон Кирхгофа - фундамент теоретического изучения
теплового излучения - появился исторически как результат астрофизичес-
астрофизических или, выражаясь точнее, солнечно-физических исследований. Но и самый
важный из приборов, служащих для экспериментального изучения тепло-
теплового излучения, появился также в результате этих исследований. Именно,
изучая поглощение солнечного излучения в етмосфере, СП. Ленгли в
1880 г. изобрел болометр или, как он его сначала называл, "актинобапанс".
До 1887 г., когда он стал секретарем Смитсонианского института, Ленгли
был профессором Западного университета Пенсильвании (ныне Питтсбург-
ский университет) и заведовал Обсерваторией в Аллегени-сити, специализи-
специализировавшейся на исследовании Солнца. Неудовлетворенный существующим
оборудованием и, в частности, термоэлектрической батареей, изобретенной
Нобили и усовершенствованной Меллони и Тиндалем, Ленгли, пользуясь
субсидией Американской академии искусств и наук, в течение некоторого
времени экспериментировал с разными устройствами, пытаясь создать
прибор,более чувствительный и быстрый, чем термобатарея14). Его боло-
болометр1 ), который состоял из двух зачерненных плетиновых полосок шири-
шириной 0,5 мм и толщиной 0,002 мм, помещенных в противоположных плечах
мостика Уитстона, улучшил чувствительность измерений излучения по
крейней мере в 10 раз. Болометр был вскоре использован в спектрометри-
спектрометрических работах, но его важность для исследования излучения черного тела
не была оценена до тех пор, пока не был создан удобный источник такого
излучения.
Хотя идея о том, что изотермические полости являются излучателями
типа черного тела, еще в 1884 г. высказывалась, или, во всяком случае,
подразумевалась Христиансеном'' ), указавшим, что "дыры" ("Locher")
действуют как "маленькие абсолютно черные пятна" ("kleine vollkommen
schwarze Flee ken"), и хотя в том же году Больцман, со ссылкой на Хрис-
тиансена, использовал эту идею для теоретического анализа связи между
тепловым излучением и термодинамикой17), только в 1895 г. Луммер
и Вин, опираясь на теорему Кирхгофа о полости, создали первый источник
излучения в виде изотермической полости 18). Это устройство, в сочетании
с болометром Ленгли, значительно облегчило систематическое исследование
излучения черного тела. К концу столетия подобные исследования велись
'•) Скорость света с появляется в выражении A.1) как следствие перехода от
ппотности потока к объемной плотности энергии.
'*) Langle/ S.P. The actinic balance. - American Journal of Science 1881 v 21
p. 187-198.
") Langle/ S.P. The bolometer and radiant enerov. - Proceeding! of the American
Academy. 1881, v. 16. p.342-359. Термин "актинобепаис"описыввп мостик-бапансное
устройство для измерения изпучеиия (агкт«4 - пуч), а термин "болометр", введенный
на с. 343, происходит от(Зо\гГ — бросок, пуч,
1 •) Christiansen С. Uber die Emluion der WSrme von unebenen Oberflachen. - Wiede-
mannsche Annalen der Phyiik, 1884, Bd 21, S. 364-369.
1') Boltzmann L. Uber eine von Hrn. Bartoti en t dec Me Beziehung der Wa'rmestrahlung rum
zweiten Hauptiatz. - Wiedemannjche Annalen der Phyiik, 1884, Bd 22, S. 31-39.
\Lummar O.. Wtan W. Methode zur Prtifung des Strahlungsgesetzei absolut schwar-
zen Korper. - Wiedemannsche Annalen der Phyiik, 1895, Bd 56, S. 451-456.
2. M. Джеммер ._
в нескольких центрах и, в частности, в Имперском физико-техническом
институте ("Physikalische— Technische Reichsanstalt"). созданном в 1884 г.
в Берлине (Шарлоттенбург), где над указанной проблемой работали Лум-
мер, Прингсгейм, Холборн, Рубенс и другие.
Между тем за проблему излучения черного тела принялись и теоретики.
Прочитав в руководстве Вюльнера19) об экспериментах Джона Тинда-
ля 20), согласно которым полное испускание нагретой платиновой прово-
проволоки при 1200°С A473 К) было в 11,7 раза больше, чем при 525°С
G98 К), и заметив, что 11,7 % A473/798) 4, Стефан 21) заключил в 1879 г.,
что полное излучение ? пропорционально Г4. Стефан указывал, что под-
подтверждение справедливости этого соотношения он нашел в измерениях,
выполненных де па Провостэ, Десэном, Дрэпером и Эриксоном. Сегодня
мы энаем, что заключение Стефана, основанное, вообще говоря, на относи-
относительно скудных экспериментальных данных, оказалось справедливым в
значительной степени случайно. Современное .повторение эксперимента
Тиндаля привело бы?2) к значению 18, 6, а не 11,7 (Тиндаль измерял из-
излучение, далекоеот излучения черного тела). Закон Стефана для излучения
черного тела
Е=аТ* A.2)
обрел твердую экспериментальную почву только в 1897 г. после работ
Пашена23), Луммера и Прингсгейма24) и Менденхолла и Саундерса ).
Теоретическое доказательство справедливости закона Стефана, впрочем,
было дано Больцманом уже в 1884 г. Идея доказательства родилась у
Больцмана при критическом рассмотрении работы Бартоли26', на кото-
которую обратил его внимание Видеман. Итальянский физик, описывая
Gedanken experiment *), указал циклический процесс, при котором с по-
помощью движущихся зеркал теплота могла бы быть передана от холодного
тела к горячему; поскольку согласно второму закону термодинамики
в формулировке Клауэиуса для подобной передачи теплоты требуется эатра-
") Wullner A. Die Lehre von der Wa'rmevomStandpunkteder mechanischen Warmetheo-
rie. - 2 Aufl. - Leipzig: Teubner, 1875, S. 215.
>0> Tyndall J. Ueber leuchtende und dunkie Strahlung. - Poggendorff's Annalen der
Physik, 1865, Bdi24, S. 36-63.
) Stefan J. Uber die Beziehung zwischen der W&Vmestrahlung und der Temperatur. -
Wiener Berichte. 1B79, Bd79, S. 391-428.
21) См., например, Worthing A.G.. Halliday D. Heat. - NY.: Wiley, 1948, p. 43S.
1') Paschen F. Uber Ge*etzmS/3igkeiten in den Spektren fester Korper. - Wiedemannsche
Annalen der Phvsik, 1897, Bd60. S. 662-723.
J 4 ) Lummer O., Pringsheim E. Die Strahlung eines "schwarzen Ktfrpers" zwischen 100° С
und 1300°C. - Wiedemannsche Annalen der Physik, 1897, Bd63. S. 395-410; Die Verthei-
lung der Energie im Speclrum des schwarzen Kb'rpers. - Verhandlungen der Deutschen
Physikalischen Gesellschaft, 1B99, Bd 1, S. 23-41; A) Die Vertheilung der Energie im
Spectrum des schwarzen К or per s und des blanken Platins, B) Temperaturbestimmung fester
gluhender Kbrper. - Ibid.. S. 215-235.
I Mendenhall C.E., Saunders F.A. Das Energiespectrum eines absolut schwarzen Kee-
Keepers. - Naturwissenschaftliche Rundschau, 1898, Bd 13, S. 457-460; The energy spectrum
of an absolutely black body. - Johns Hopkins University Circulars, 1898, v. 1 7, p. 55.
1 * ) Bertoli A. Sopra i Movimenti Produtti del I a Luce e dal Calore e sopra il Radiometro di
Crookes. - Firenze, 1876. См. также его статью: II calonco raggiante e ii secondo prin-
cipiodi termodjnamica. - II Nuovo Cimento, 1884, v. 15, p. 193-202.
*) Мысленный эксперимент (нем.).
IS
тить работу, Бартоли заключил, что тепловое излучение оказывает давле-
давление. Больцман 2Т) немедленно увидел всю важность этих качественных за-
заключений и попытался получить количественные уточнения в соответствии
с максвелловской электромагнитной теорией света. Во второй статье, опуб-
опубликованной вскоре после этого, Больцман 28' показал, что в соответствии
с теорией Максвелла 2 9' и методом статистического усреднения
Крёнига30' это давление равно одной трети плотности энергии. Связав
с излучением, рассматриваемым как некий "газ", две термодинамические
переменные — температуру Г и давление Р. — Больцман из термодинамиче-
термодинамических соображений показал, что и = аТ* и, значит, Е = оТА. В современных
руководствах для вывода закона Стефана рассматривается цикл Карно для
"газа" — излучения или, что эквивалентно, вычисляется тепловая энергия
dQ, необходимая для изотермического расширения, и проводится интегри-
интегрирование условия того, что dQ/T представляет собой полный дифференциал.
Это незначительно отличается от второго доказательства, приведенного
Больцманом в конце статьи. Точное определение постоянной а или по-
постоянной Стефана о было предметом многих экспериментальных работ.
Было найдено, что значение о, усредненное по результатам Курльбаума,
Ферм, Бауэра и Мулена, Валентинера, Ферм и Дрека, Шекспира и Герлаха,
равно о= 5,672-10 эрг с'1 см'2 К.
Ни закон Стефана, ни его вывод по Больцману никак не затрагивали
вопроса о спектральном распределении излучения. Приведенный Больцма-
Больцманом мысленный эксперимент, в котором излучение отражалось от движу-
движущегося поршня, явно подразумевал перераспределение по частоте в соот-
соответствии с доплеровским эффектом. Чтобы вычислить изменение ц, или В„,
обусловленное доплеровским сдвигом. Вин 31) изучил адиабатическое сжа-
сжатие идеально отражающей сферы и показал, что В,, должно удовлетворять
уравнению вида В„ = viF(v/T), где F(v/T) -некая, пока неизвестная функ-
функция аргумента v IT.Об этом уравнении, или о его эквивалентной форме 32)
A.3)
27> См.
") Boltzmann L. Ableitung des Stefan'schen Geseues betreffend die Abbiingigkeit des
Warmesuahtung von der Temperatur aus der etecfomagnetischen Lichttheorie. - Wiede-
mannsche Annalen der Physik, 1884, Bd 22, S. 291-294.
2' *) Бопьциан Л. Вывод на основании эпектромагиитиой теории света закона
Стефана, касающегося зависимости теплового изпучемия от температуры. - В кн.:
Шёпф X. От Кирхгофа до Ппаика. - М : Мир, 1981, с 144-148.
2 *) Бопьцман ссыпается на пункт 792 книги Максвеппа "Трактат об эпектричестве
и магнетизме" A873), где указывается, что "в среде, в которой распространяются
еопны, существует давпеиие, иаправпеиное перпендикупярно вопиам и численно рав-
равное энергии в единице объема" (см. Максеепп Дж. К. Избранные сочинения по теории
зпектромагиитного попя. - М.: Гостехиздат, 1954. с. 563. - Примеч. пер.). Первое
зкспериментельиое доказательство существования светового давления было получено
в 1899 г. П.Н.Лебедевым.
3°) Kronig A. Grundz'uge einer Theorie der Gase. — Poggendorff's Annalen der Physik,
1856. Bd 99, S. 315-322.
' ) Wien W. Temperatur und Entropie der Suahlung — Wiedemannsche Annalen der
Physik, 1894, Bd 52, S. 132-165.
' E\ — излучательиая способность на единичный интервал длин вопи, так что
E\d\ = — Biidv.
?• 19
записанной не для частоты v, а как это обычно делается в эксперименталь-
экспериментальной физике, для длины волны X, говорят как о "законе смещения
Вина" '. Среди многочисленных его экспериментальных проверок выде-
выделяются как одни из самых тщательных исследования Пашена34). Закон
смещения Вина был с полным на >о основанием воспринят как важный шаг
вперед, так как с его помощью иэ спектрального распределения излучения
черного тела при какой-то данной температуре можно было получить рас-
распределение при любой другой температуре. Еще одним непосредственным
следствием закона смещения является соотношение
Хт.хГ=6, A.4)
согласно которому длина волны Хт,х, соответствующая максимальному
значению ?\, обратно пропорциональна абсолютной температуре Г. Луммер
и Прингсгейм 3s) подтвердили справедливость-этого соотношения и нашли,
что числовое значение постоянной Ь= 0,294 см- К. Казалось, что задача
объяснения эмпирических кривых распределения ?\ или, что то же, В„ или
uv близка к разрешению: оставалось найти одну функцию ^(Х Т). Впрочем,
было ясно, что — в отпичие от множества характерных физических констант
и функций термодинамики, электродинамики и т.д., значения которых от-
отражали, казалось, более ипи менее случайные свойства вещества, — функ-
функция >р{\Т) должна играть гораздо более фундаментальную роль. Универ-
Универсальный характер излучения черного тела, его независимость от индиви-
индивидуальных свойств вещества и, тем самым, общая справедливость закона
Кирхгофа и второго начала термодинамики давали все основания полагать,
что теоретическое объяснение функции ^(ХГ) затрагивает крайне важные
фундаментальные вопросы. Действительно, когда через некоторое время
обнаружится неспособность физики XIX века объяснить экспериментально
установленный вид функции <р(ХГ), это будет свидетельствовать о несо-
несостоятельности классической механики. Но пока еще предпринимались
отчаянные попытки объяснить экспериментальные данные.
Приступая к теоретическому выводу формы функции ^(ХГ), Вин был
убежден в том, что все предыдущие попытки 36' сделать это были не толь-
только безуспешны, но и вообще исходили из неверных предпосылок. Един-
Единственным исключением в этом отношении была, по его мнению, статья
' Вывод закона смещения ¦ современных обозначениях, но близкий по духу к
рассуждениям Вина, см. в книге: RictitmyerF.K.. Kennard В.И., Lauritten r. Intro-
Introduction to Modern-Physic*. - б ed. - N.Y.: McGraw-Hill, 1955. 113-118. См. таким
статью: Buckingham Е. On the deduction of Wien't displacement law. — Philosophical Ma-
Magazine, 1912, v. 23, p. 920-931. в которой изучаются условия, необходимые
для строгого доказательства закона. Особенно прозрачный вывод дан в книге:
Born M. Atomic Physics. - 6 ed. - L.: Blackie and Son, 1957. p. 410-412. (См. Бори М.
Атомная физике. - 3 изд. — М.: Мир, 1970, с. 453—457. — Примеч. пер.). Вывод закона
Вина из..закона Стефана — Больцмаиа с помощью анализа размерностей см. в работе:
Hopf L. Uber Modellregeln und Oimensionsbetrachtungen. — Die Naturwissenschaften, 1920,
BdB,S. 110. To, что из закона смешения следует закон Стефана — Больцмвиа,
легко показать простым интегрированием.
4) Patchen F. Uber die Verteilung dar Energie im Spektrum des schwarzen Kbrpers bei
njederen Temperaturen. — Berliner Berichte, 1899, S. 405—420; Uber die Verteilung dar
Energie im Spektrum des schwarzen Korpari bei hSheren Temperaturen. — ibid., S. 959—976.
") См. |24].
s*) Одна из самых ранних попыток была сделана в статье: Lommel Е. Theorie der
Absorption und Fluoreicenz. - Wiedemannsche Annalen dar Physik, 1877, Bd 3.S.251-2B3.
20
Михельсона 3 7 *, в которой непрерывность этих спектров ооъяснялась на
основе "случайности атомных колебаний в испускающем теле". Развивая
это предположение, Михельсон пользовался статистическими соображе-
соображениями и теорией вероятностей. Конечно, это была классическая концепция
вероятности, принятая в статистической механике. Фактически Михельсон
предположил, что классическая формула Максвелла для распределения
молекул газа по скоростям справедлива также для молекул излучающего
твердого - абсолютно черного — тела.
С точки зрения Вина подход Михельсона был "счастливой идеей" 38\
Следуя аму. Вин предположил, что длина волны X излучения, испущенного
какой-либо молекулой, и соответствующая ей интенсивность зависят толь-
только от скорости v молекулы и, следоватально, и2 является функцией толь-
только Л. Тогда, воспользовавшись функцией распределения Максвелла -
Больцмана v7exp( — v7/aT)dv, задающей число молекул со скоростями
в пределах от v до и + dv (а - постоянная для данного гаэа), Вин полу-
получил, что ?\ = g[\)exp[—f{\)/T]. гдеу(Х) и /(X) - неизвестные функ-
функции. Но так как выражение для ?\ должно согласовываться с законом сме-
смещения A.3), Вин нашел 39),что
?\ =с1Хехр(-с2/ХГ) или </„ = av3exp (-fSv/T), A.5)
где С\, с2, а и /3 - постоянные.
1.2. Кванты энергии
Закон излучения Вина, как было названо соотношение A.5), был выве-
выведен с помощью довольно сомнительных аргументов, но тем не менее, каза-
казалось, адекватно описывал все существовавшие в то время эксперименталь-
экспериментальные данные. Пашен 40', выполнивший серию тщательных экспериментов,
и он же и Ваннер 4|', использовавшие для этой цели фотометрический ме-
метод, подтвердили закон A.5), по крайней мере для области видимого света,
вплоть до температуры 4000 °С. Более того, в серии докладов, сделанных
на заседаниях Берлинской академии наук в 1897-1899 гг., М.Планк42)
предложил более строгий метод вывода закона Вина.
1') Michelson V.A. Essai theorique iur la distribution de I'energie dans let spectra de$
sol ides. — Journal de Physique, 1887, v. 6, p. 467—480. Первоначально эта статья появи-
появилась на русском языке: Михельсон 0.А. Опыт теоретического распределения энергии
в спектре твердого тела. — ЖРФХО, 1887, т. 19, отдел 1, с. 79—92. Английский вариант
был опубликован в журнале Philosophical Magazine, 1888, v. 25, p. 424—435. (См.
также Михельсон В.А. Собрание сочинений. — М., 1930, т. I. - Примеч. пер.)
")Wien W. Uber die Energievertheilung im Emissionsspektrum eines schwarzen Кйг-
pers. — Wiedemannsche Annalen der Physik, 1896, Bd 58, S. 662—669. На с 663 Вин гово-
говорит о "der gliickliche Gedanke Michelsons".
' Там же.
40> См.B3|.
' Paschen F., Wanner H. Eine photometrische Methode zur Bestimmung der Exponen-
tialconstanten der Emissionsf unction. — Berliner Berichte, 1B99, S. 5-11.
' Plank M. Uber irreversible Strahlungsvorganga. - Berliner Berichte. 1 Mjttejiung,
Feb. 4, 1B97, S. 57-68; 2 Mitteilung, Jul. B, 1897, S. 715-717; 3 Mitteilung, Dez. 16, 1B97,
S. 1121-1145; 4 Mitteilung, Jul. 7, 1B98. S. 449.^476; 5 Mitteilung, Mai 1B, 1899, S. 440-
480. Эти статьи обобщены в работа Планка Uber irreversible Strahlungsvorginge. -An-
21
Известно, мто Планк посещал лекции Кирхгофа в Берлине, но основным
источником вдохновения для него были труды Клаузиуса по термодинами-
термодинамике, и именно этой областью науки он стал заниматься. Измерения, проведен-
проведенные Луммером и Прингсгеймом в Имперском физико-техническом инсти-
институте в Берлине, привлекли внимание Планка к проблеме излучения черного
тела. Эта проблема была особенно притягательна для Планка, так как в си-
силу своего универсального характера представляла нечто абсолютное,
а "поиски абсолютного всегда представлялись мне самой прекрасной зада-
задачей исследователя", как позднее признавался он в научной авто-
автобиографии 4 3'.
Использовав то обстоятельство, что согласно Кирхгофу распределение
равновесного излучения не зависит от природы излучающего тела, Планк
начал с простейшего возможного предположения: излучатели являются
линейными гармоническими осцилляторами с частотой v. Теория электри-
электрического дипольного излучения была известна с 1889 г., когда Герц опубли-
опубликовал свою классическую статью 44), посвященную этому вопросу.
Скорее всего Планк основывал свою программу исследований на
следующих соображениях. Вин, выводя закон излучения, использовал
неудовлетворительные теоретические предпосылки, но тем не менее полу-
получил, казалось, правильный результат. Планк поэтому принял, что подход
Вина не был совершенно неверен. Основным в этом подходе было использо-
использование распределения Максвелла - Больцмана по скоростям, которое соглас-
согласно кинетической теории газов характеризует состояние равновесия, насту-
наступающее в результате необратимых процессов при любых начальных условиях.
Далее, поскольку процесс излучения в полости связан с теорией электро-
электромагнетизма, а не с кинетической теорией газов, Планк решил, что он может
поступить в максвелловской теории электромагнитного поля так же, как
Больцман поступил в механике, введя свою знаменитую, хотя еще и оспари-
оспариваемую, Н-теорему. Иными словами, Планк попытался доказать, что после-
последовательное рассмотрение резонаторов с произвольными начальными
условиями с помощью уравнений Максвелла - Герца выявит необратимые
процессы, ведущие к стационарному состоянию, энергетическое распределе-
распределение в котором то же, что и у излучения полости, и поэтому определяет энер-
энергетический спектр излучения черного тела. Короче говоря, Планк, по-види-
по-видимому, думал о переносе соображений, приведших к установлению распре-
распределения по скоростям Максвелла — Больцмана на основе кинетической
теории, на концептуальную почву теории электромагнетизма.
nalen der Physik. 1900. Bd 1,S. 69-122 и перепечатаны в собрении трудов: Planck M.
Physikalische Abhandlungen und Vortrage. - Braunschweig: Vieweg, 1958, Bd 1. S. 493-
600
") Обобщающую статью Ппанка "О необретимых процессах излучения" см.
в книге: Планк М. Избренные труды. — М. Наука. 1975, с. 191—233.
' Planck M. Wissenschaftliche Seibstbiographie. - In: Physikalische Abhandlungen und
Vortrage |42|. 195B. Bd 3. S. 3B9-390: Scientific Autobiography. - NY., 1949, p. 34-35.
4 J *) Планк М. Научная автобиография. - В кн.: Избренные труды |42 -|. с. 649-
663.
' Hertz H. Die Kr3fte elektrischer Schwingungen, behandeit nach der Maxwell'schen
Theorie. — Wiedemannsche Annalen der Physik, 1BB9. Bd 36. S. 1-22.
*) Герц Г. Сипы электрических колебаний, рассматриваемых с точки зрения
теории Максвеппа. — В сб.: 50 лет волн Герца. — М.-Л.: Изд. АН СССР, 193В, с. 92—
119.
22
Ранее Планк исследовал поглощение и испускание электрических волн
при резонансе 45' и предположил, что взаимодействие между резонатором
и возбуждающей его электромагнитной волной и представляет собой подоб-
.ный необратимый процесс46'. Но Больцман47' указал на ошибочность
этого заключения, и тогда Планк принял - по аналогии со статистической
гипотезой о так называемом "молекулярном хаосе", высказанной
Больцманом в кинетической теории газов, - гипотезу о "естественном
излучении"; согласно его гипотезе парциальные гармонические колебания,
из которых состоит волна теплового излучения, являются совершенно
некогерентными48'. Приравняв испускание и поглощение резонаторов
в единицу времени и используя только принципы классической электро-
электродинамики. Планк49' получил в качестве условия равновесия следующее
уравнение:
u,.=av2U, A.6)
где U = U = U(v. T) — средняя энергия гармонического осциллятора при
температуре Г, константа а = 8тг/с3, аи„- плотность энергии, определен-
определенная ранее. Конечно, U можно было легко найти с помощью теоремы о рав-
равнораспределении энергии, известной из статистической механики. Согласно
этой теореме в условиях равновесия полная кинетическая энергия, грубо
говоря, делится поровну между степенями свободы или, выражаясь более
строго, на каждую гамильтонову координату (q или р), в которых гамиль-
гамильтониан выражается квадратичной функцией, в среднем должно приходиться
одно и то же количество энергии % к Т.
Поскольку при последующем развитии квантовой физики теорема о
равнораспределении была поставлена под сомнение, по-видимому, стоит
сделать небольшое отступление для обсуждения доктрины о равномерном
распределении энергии по степеням свободы.
Теорема о равнораспределении, впрочем, только по отношению к посту-
поступательному движению и основанная на очень уязвимой аргументации, была
впервые выдвинута Дж.Дж.Уотерстоном в мемуаре "О физике сред, со-
составленных из свободных и совершенно упругих молекул в состоянии
движения". 8 этой статье, позднее названной "краеугольным камнем новой
отрасли научного знания0', так как она во многом предвосхищала
работы Крё'нига, Клаузиуса и Максвелла по кинетической теории газов,
Уотерстон утверждал, что "в смешанной среде среднеквадратичная ско-
скорость молекул обратно пропорциональна удельному весу молекул" (по-
(последние слова означают "массе молекул"). Бывший ученик Джона Лесли,
' Planck M. Absorption und Emission electrischer Wellen durch Resonanz. — Berliner
Berichte. 1B95, S. 2B9-301 (заседание 21 марта 1895 г.); Wiedemannsche Annalen der
Physik, 1896, Bd 57, S. 1-14; In: Physikalische Abhandlungen und Vortrifge |42|, Bd 1,
S. 445-458.
* *' Cm. [ 421, сообщение 1.
' Boltzmann L. Uber irreversible Strahlungsvorgange. — Berliner Berichte, 1B97, S.660-
662,1016-1018 (заседание 17 июня 1897 г.).
' См. [ 421, сообщение 4.
4 *) См. Приложение А.
' Haldana J.S. Introduction. — In: The Collected Scientific Papers of John James Water-
ston. — Edinburgh, London: Oliver end Boyd, 192B, p. LXV.
23
а с 1839 г. военно-морской инспектор (naval instructor) Ост-Индской компа-
компании в Бомбее, Уотерстон послал свою статью в Королевское Общество
в 1845 г. Но Общество отклонило публикацию, так как один из двух рецен-
рецензентов утверждал, что статья "не содержит ничего, кроме вздора (nothing
but nonsense), и не подходит даже для чтения в Обществе". В соответствии
с правилами Общества рукопись осталась в его владении и была погребена
в архивах; было опубликовано лишь очень краткое сообщение
о работе 5' I. Уотерстон, убежденный в важности своей статьи, частным
образом распространил ее резюме *2'. Пятью годами позже в Ипсуич, на
21-м съезде Британской Ассоциации, было зачитано краткое сообще-
сообщение 53', в котором, в частности, говорилось: "равновесие давления и тепло-
теплоты между двумя газами имеет место в том случае, когда равны числа ато-
атомов в единице объема и равны vis viva*) каждого атома". Но и теперь
никто не обратил внимания ни на это утверждение, ни на вытекающие из
него следствия. "В долгой и славной истории Королевского общества,
вероятно, не было ошибки, столь гибельной по своим последствиям для про-
прогресса науки и репутации английской науки, какой было отклонение статей
Уотерстона... Имеются все основания полагать, что если бы статьи были
опубликованы, физическая химия и термодинамика развивались бы
в основном в Англии и притом по более простому, более правильному и
более понятному пути, чем тот, по которому пошло их фактическое разви-
тие"!4>.
Только более чем через 40 лет мемуар Уотерстона 1845 г., под его
первоначальным названием, увидел свет в Трудах Королевского
общества 55'. Во вступлении к этой публикации лорд Рзлей, благодаря ко-
которому статья и была напечатана, так оценил вклад Уотерстона в теорему о
равнораспределении: "Злополучный отказ своевременно опубликовать эту
статью, вероятно, задержал развитие предмета на десять или пятнадцать лет.
Необычным является то, что Уотерстон, по-видимому, не заявлял о своем
праве на последующую публикацию ни в Трудах Общества, ни в каком-
либо другом месте- После 1860 г. все ссылки, естественно, делались на
Максвелла и нет сомнений, что тот немедленно рекомендовал бы пред-
предпринять все возможное, чтобы исправить ошибку первоначальной недо-
недооценки".
) Proceeding» of the Royal Society of London (A), 1846, v. 5, p. 604. Сообщение было
зачитано капитаном Бофором, главой Гидрографического отдела Адмиралтейства, где
работал Уотерстон до огьеэда в Индию.
1 *) "An account of a mathematical theory of gases — being an outline of the demonstra-
demonstrations contained in a paper "On the physics of media that consist of perfectly elastic molecules
in a state of motion" submitted to the Royal Society in October 1845". - In: The Collected
Scientific Papers [50], p. 320-331.
5 * I Waterston J.J. On a general theory of gases. - British Association Reports. Ipswich,
1B51.V. 21, p. 79.
* I Живая сила {лат.), т.е. кинетическая энергия.
54> См. E0I.C. LXV.
' Waterston J.J. On the physics of media that are composed of free and perfectly
elastic molecules in a state of motion. — Philosophical Transactions of the Royal Society of
London, 1B92, v. 1B3, p.. 1—79: In: The Collected Scientific Papers E0), p. 207—319.
24
Упоминание Рэлеем имени Максвелла содержит неявную ссылку на его
статью "Пояснения к динамической теории газов" 56', в которой Максвелл
развил соображения, представленные годом раньше на съезд Британской ас-
ассоциации в Абердине 57Ь Там он дал первую формулировку теоремы о
равнораспределении в следующем виде: "Два различных набора частиц
будут перераспределять свои скорости, пока их vires vivae не окажутся
одинаковыми". Сначала он рассматривал только случай "гладких сфериче-
сферических частиц", но затем, в Дополнении, распространил теорему на случай
частиц любой формы и на случай вращения.
В 1868 г. Больцман получил дальнейшее обобщение теоремы, пока-
показав58) ее справедливость также для частиц, которые не обязательно явля-
являются жесткими и могут обладать внутренними степенями свободы. Нако-
Наконец, Максвелл59) удалил определенные ограничения на взаимодействия
между частицами и, используя обобщенные координаты Лагранжа для сис-
систем с произвольным числом степеней свободы, показал, что равнораспре-
равнораспределение энергии имеет место, даже если "материальные точки могут воз-
воздействовать одна на другую на всех расстояниях и по любому закону, согла-
согласующемуся с сохранением энергии .... причем единственное допущение,
необходимое для прямого доказательства, состоит в том, что система, буду-
будучи предоставлена сама себе в фактическом состоянии ее движения, раньше
или позже пройдет каждую фазу, совместимую с уравнением энергии".
Но обобщение теоремы поставило под угрозу ее справедливость. Тэт 60),
критически разбирая подход Больцмана в поисках неопровержимого до-
доказательства теоремы, выразил это следующим образом: "Не может быть
сомнений в том, что каждая отдельная частица газа обладает очень большим
числом степеней свободы кроме тех шести, которыми обладали бы частицы,
если бы они были жесткими; это сразу видно из взгляда на спектр газа
при накаливании. Но если допустить, что полная энергия должна (в сред-
среднем) одинаково распределяться между ними, результаты теории более на
согласуются с экспериментальными данными о двух удельных теплоем-
костях газа и связи между ними". Проблемы, возникающие в связи
с теоремой о равнораспределении, в еще более сильных выражениях сфор-
сформулировал лорд Кельвин61) в лекции "Тучи девятнадцатого века над
' Maxwell J.C. Illuttreiions of the dynamical theory of gases. - Philosophical Magazine,
I860, v. 20, p. 21-37; In: The Scientific Papers of James' Clerk Maxwell/ed.W.D. Niven:
Cambridge University Press, 1890, v. 1, p. 378-409.
) М»ксвепп Дж. Пояснения к кинетической теории газов. — В кн.: Основатели
кинетической теории материи. — М.-Л.: ОНТИ, 1937, с. 1В5-220.
")Maxwell J.C. On the dynamical theory of gases. - British Association Reports, Aber-
Aberdeen, 1B59,v. 29, p. 9.
") Boltzmann L. Studien liber das Gleichgewicht der lebendigen Kraft zwischen be-
wegten materlellen Punkten. — Wiener Berichte, 1B68, Bd 58, S. Si 7—560.
) MexwellJ.C. On Boltzmann's theorem of the average distribution of energy in a system
of materiel points. — Transactions of the Cambridge Philosophical Society, 1B7B, v. 12,
p. 547-570; In: Scientific Papers [56], v. 2, p. 713-741.
' Tert P.O. On the foundations of the kinetic theory of gases. — Transactions of the
Royal Society of Edinburgh, 1886, v. 33, p. 65—95, 2S1-277. Все четыре части этой
статьи, опубликованные между 1886 и 1891 гг., парепечетаиы в книге: Scientific Papers
by Peter Guthrie Tait: Cambridge University Press, 1900, v. 2, p. 124-20B.
'') Lord Kelvin. Nineteenth century clouds over the dynamical theory of heat and light.—
Philosophical Magazine, 1901, v. 2, p. 1—40; Baltimore Lectures on Molecular Dynamics
and the Wave Theory of Light. - London, Baltimore, 1904, p. 486-527.
25
динамической теорией теплоты и света", прочитанной в Королевском
институте 27 апреля 1900 г.; он сказал: "Красота и ясность динамической
теории, согласно которой теплота и свет являются формами движения,
в настоящее время омрачены двумя тучами (obscured by two clouds).
Первая из них ... (это) вопрос: как может Зг-мля двигаться сквозь упру-
упругую среду, какой по существу является светоносный эфир? вторея - это
доктрина Максвелла - Больцмана о распределении энергии" *)•
Из вышеприведенного должно быть ясно, что в научной литературе кон-
конца XIX века, как в Англии, так и на континенте, часто встречались статьи,
посвященные доктрине о равнораспределении энергии, и не может быть
сомнения в том, что Планк знал о теореме равнораспределения.
Однако, к счастью для будущего развития физики, Планк не воспользо-
воспользовался теоремой. Трудно сказать, чем это было вызвано - указанными выша
трудностями, слабым его знакомством с методами Больцмана — Гиббсе
в статистической механике 62), его глубокой антипатией к молекулярному
подходу63) или, наконец, его твердой убежденностью в силе термодинами-
термодинамического подхода, основанного на концепции энтропии. Определенно одно:
если бы Пленк использовал теорему о равнораспределении на первом
этапе, он с неизбежностью пришел бы к закону излучения Рэлея -Джинсе,
несовместимому с опытом, и, вероятно, отказался бы от дальнейшей рабо-
работы над проблемой. Но, приняв "термодинамический подход", как он назвал
его позже, Планк 64) задал энтропию S осциллятора выражением
U / U \
S 1п( ), A.7)
av v ebv '
где а и b — постоянные, а е - основание натурелького логарифма. Тогда
величина d2S/dU2, играющая существенную роль в связи с принципом
возрастания энтропии, удовлетворяет уравнению
д2S/dU2 'Const/U. A.8)
Ход рассуждений, приведших Планка к этому, очевидно, произвольному,
определению S через U и v, можно реконструировать, отправляясь от не-
некоторых замечаний в конце его пятого сообщения65). Из уравнения A.6)
**) Обсуждение первого вопросе Кельвин завершил словами (с 7) : "Боюсь, что
тучу № 1 мы покв что должны рассматривать как очень темную (very dense)". Большая
часть статьи посвящена трудностям, связанным с предположением о равномерном
распределении энергии по степеням свободы. Небезынтересно отметить, что для про-
проверки некоторых своих гипотез Кельвин использует, как мы выразились бы сейчас,
математическое моделирование и метод Монте-Карло. Подводя итог бесплодным поис-
поискам пути преодоления противоречий, Кельвин достаточно пессимистично заключает,
что "простейший путь" состоит просто в том, чтобы "закрыть глаза" (кие sight) иа су-
существование этой "тучи". [Примеч. ред.)
'') Эту причину приводит Вернер Гейзанберг: Heisenberg W. Das Plancksche Wirkung-
•quantum. — Berlin: Walter de Gruyter, 1945; In: Max Planck. Erlnnerungen. — Berlin:
Keiper, 1948, S. 69-82.
*') Аргументы в пользу этой точки зрения приводит Кпейн: КlainM. Max Planck
and the beginning of the quantum theory. — Archive for History of Exact Sciences, 1962,
v.1. p. 459-479.
63») Кпейн М. Макс Планк и нечало квантовой теории. - УФН, 1967, т. 92, вып. 4,
с. 679-700.
") [42]. сообщение 5.
"> В разделе 23 этой статьи Планк говорит об "обратном пути вычисления энтро-
энтропии из закона распределения энергии: ". .. berachnet man daraus ruckwarts den Ausdruck
26
и руководствуясь формой закона Вина A.5), Планк получил U-
» Cv exp(— &vlT\, где С — постоянная. Найдя из этого уравнения 1/7", что
согласно термодинамике равно (при постоянном объеме) bSlbil, Планк
простым интегрированием пришел к A.7). Затем, в соглесии со своим
предположением о необратимости, связанной с "естественным излучением",
он показал, что "полная электромагнитная энтропия"
(где суммирование идет по всем осцилляторам, а интегрирование ведется
по всему объему с элементом с/г, занятому полем излучения с плотностью
энтропии s) есть функция состояния, возрастающая со временем и дости-
достигающая максимума при равновесии. Планк далее принял, что от одного
осциллятора с частотой v, энтропией S и энергией Uнебольшое количество
энергии передается другому, с частотой v\ энтропией S' и энергией U1.
Из законов сохренения энтропии и энергии следует 6S, = 6S + 6S1 - О и
6l/ + 8t/«0, откуда с помощью A.7) получается уравнение
- bv)-l\n(U/bv) • - (ак'Г1 \n(U'lbv).
Поэтому (av)~l\n(U/bv) постоянно для всех рассматриваемых осциллято-
осцилляторов и, в силу A.6), является общим параметром, описывающим и„ при
всех v. Положив это выражение — как было только что показано, оно за-
зависит только от Т — равным Г, Планк получил U = bvexp(—avIT), что
в совокупности с A.6) привело к закону излучения Вина A.5). Понимая,
что полученный результат определялся выбором S в виде A.7), Планк
утверждал, что только уравнения вида A.5) приводят к выражениям для S,
удовлетворяющим принципу возрастания энтропии.
В самом конце XIX столетия, однако, вера в неограниченную справедли-
справедливость закона Вина A.5) была заметно поколеблена. Луммер и Прингс-
гейм66) обнаружили систематические отклонения от него в области малых
частот; когда же дополнительные измерения67) в интервале 12—1В мкм
подтвердили их подозрения, они имели мужество заявить: "В работе пока-
показано, что в измеренном нами интервале длин волн излучение черного тела
не описывается спектральным уравнением Вина — Планка8). Помимо
этих экспериментальных трудностей возникли и теоретические: серьезной
критике69) подверглась принятая Планком процедура вывода закона
(J.5). Поэтому неудивительно, что Тизен70), Луммер и Янке71), Луммер
и Прингсгейм 72) выдвигали свои новью законы распределения, чтобы до-
добиться согласия с экспериментом при больших длинах волн.
der Entropie ..." — Physikalische Abhandlungen und Vortrage [421, Bd 1, S. 596 (см. так-
также: Избранные труды |42«], с. 230. — Примеч. пер.).
**> См. B4],1В99.
" I Lummer О.. Pringsheim E. Uber die Strahlung det schwarzen Korpers fur lange Wel-
len. - Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft, 1900, Bd2, S. 163-1 BO.
"I Там же, с 171.
**) Wien IV. Let toil theoriquei du rayonnemem. — In: Rapports Present»» an Congres
International de Physique. — P. Gauthier - Villars, 1900, v. 2, p. 23-40. См. также [671,
с. 166.
70>См. ИИ.
71) Lummer О., Jahnke E. Uber die Spectraigleichung de» schwarzen Korpers und de»
blanken Platlns. - Annalen der Physik, 1900, Bd3, S. 2B3-297.
71>Cm. 1671.
27
Между тем лорд Рэлей в двухстраничной статье "Замечания о законе
полного излучения3), опубликованной в июне 190Q г., показал, что
статистико-механическая теорама о равнораспределении, примененная
к электромагнитным колебаниям излучения в полости, с необходимостью
ведет к формуле, совершенно не похожей на A.5). Рэпей, знаток матема-
математических методов рассмотрения стоячих волн, как это он уже продемон-
продемонстрировал в своей 'Теории звука4), вычислил число N\ мод свободных
электромагнитных колебаний в единице объема замкнутой полости и еди-
единичном интервале длин волн X75); если учесть последующую поправку
Джинсе76) к результату Рэлея, это число N\ оказывается равным 8»/Х4.
Предположив, что средняя энергия каждой моды колебаний при темпе-
температуре Т в соответствии с теоремой о равнораспределении составляет
(R/N)T, где /7 — универсальная газовая постоянная, а N — число Авогадро,
тл. составляет кТ, где к — постоянная Больцмана, введенная к тому вре-
времени Планком, лорд Рэлей получил для плотности энергии в единичном
интервале длин волн и\ ш 8пкТГК4, или же
ы„ = 8ю?кТ/с3. A.9)
Эта формула, "закон излучения Рэлая — Джинсе", конечно, согласовалась
с законом смещения Вина A.3). Она также согласовалась с эксперимен-
экспериментальными данными в области крайне малых частот, как раз там, где не
выполнялся закон излучения Вина. Но в то же время было ясно, что форму-
формула A.9) должна быть неверна для больших частот. Действительно, соглас-
согласно A.9) функции и„ или В„ не имели максимума, что противоречило опы-
опыту. Кроме того, и„ неограниченно росло с увеличением с, что приводило к
расходимости интеграла для полной плотности энергии и; поэжа эта ситуация,
благодаря Эранфесту77), получила название "ультрафиолетовой катастрофы".
7') Lord Reyleigh. Remarks upon the law of complete radiation. — Philosophical Magazi-
Magazine, 1900, v. 49. p. 539-540; In. Scientific Paper* of Lord Rayleigh: Cambridge University
Press, 1902-1910; N.Y.: Dover, 1964, v. 4, p. 483-485.
3'*'Лорд Рэпей. Замечания no поводу закона попного излучения. - В кн.:
Ш8пф КГ. От Кирхгофа до Ппанка. - М.: Мир, 19В1, с. 164-166.
74> Strutt J.W., Baron Rayleigh. The Theory of Sound. - L.: Macmillan, 1B77-1B7B;
d.4 J929; N.Y.. Dover, 1945.
*• Стрел Дж. В. Лорд Рэпей. Теория жука. - 2 изд. — М.: Гостехиздат, 1955,
т. I, II.
") Эту проблему для акустических колебаний Рэпей решил во втором томе 'Тео-
'Теории звука" (раздал 267). В нечале гл. 13 есть фраза: "Исследуем теперь, какие колеба-
колебания возможны внутри замкнутого прямоугольного ящика . . " (см. G4], 1В7В, с. 65;
1929, с. 67; 1945, с. 69; см. также G4*). т. II, с. 75).
") Jeans J.H. On the partition of energy between matter and ether. — Philosophical
Magazine. 1905, v. 10, p. 91—98. Джине указал, что в первоначальную формулу Рэлая на-
надо ввести множитель Ч, , так как следует учитывать только один октант положитель-
положительных чисел, а не всю сферу. Таким образом, вкпад Джинса а "закон Рэлея — Джинса"
состоит в утверждении: "Мне представляется, что лорд Рэлей ааеп ненужный множи-
множитель В, принимая в расчет и отрицательные, в не только положитепьные значения
своих целых чисап". (Там же, с. 9В. Постскриптум, добавленный 7 июня.)
") Ehrenfest P. Weiche Ziige der Lichtquantenhypothese spielen in der Theorie der
Warmestrahiung eine wesentliche Roile. — Annalen der Phyiik. 1911, Bd36, S. 91—1 IB.
Четвертый пункт § 1 этой статьи озаглавлен: "Предотвращение рэлей-джинсовской
катастрофы в упьтрафиолетовой области". Статья перепечатана в книге: Ehranfett Р.
Collected Scientific Papers/ad. M. Klein. - Amsterdam: North-Holland Publishing Co.;
D.Y.: Interscienca, 1959,p. 1B5-212.
77 *) Эреифест П. Какие черты гипотезы световых квантов играют существенную
роль в теории теплового излучения. — В кн.: Эреифест П. Относитепьность. Кванты.
Статистика -М.: Наука, 1972, с 11В-145.
28
Между тем в серии экспериментов, выполненных Рубенсом и Курльбау-
мом78), было твердо установлено, что при малых частотах и больших
температурах плотность энергии и действительно пропорциональна Г, в
согласии с A.9) и в противоречии с A.5). Важность этих измерений для бу-
будущего развития квантовой теории лучше всего охарактеризовал сам
Планк, отмечавший, что "без участия Рубенса формулировка закона излу-
излучения и, следовательно, основание квантовой теории, вероятно, шли бы
совсем иначе и, может быть, даже не в Германии9). За несколько дней
до представления своих результатов Берлинской академии80), которая
должна была собраться 25 октября 1900 г., Рубенс и Курльбаум сообщили
их Планку. Убежденный их работой в неадекватности закона излучения
Вина, Планк понял, что аго рассуждения, приводившие к формула Вина,
следует изменить таким образом, чтобы получить новую формулу, которая
при больших v и малых Г согласовалась бы с выражением Вина, а при ма-
малых v и больших Г приводила бы к линейной зависимости (/„от Т. Планк
исходил, конечно, из определения A.7). Поскольку во второй из указан-
указанных областей значений с и Г не только и„, но - согласно A.6) - и U долж-
должно быть пропорционально Т, и поскольку dS/dU = Г, Планк заключил,
что S пропорционально In U. т.е. что
d2S/dU2 -const/t/2, (МО)
тогда как в парвой области значений v и Гдолжно выполняться A.8). В ка-
ччстве компромисса между A.8) и A.10) Планк поэтому принял81)
32S a
ъп1 ' иш+ь) ' (U1)
Это выражение для малых значений U сводится к A.8) и, следовательно,
согласуется с законом Вина, а для больших значений U - к A.10) и согла-
согласуется с результатами Рубенса - Курльбаума.
Эта интерполяция, незначительный математический прием, была одним
из наиболее значительных и важных вкладов в науку, когда-либо сделан:
ных в истории физики. Как мы сейчас увидим, в поисках логического аа
укрепления Планк выдвинул понятна элементарного кванта действия и
тем самым инициировал развитие квантовой теории; более того, из этой
интерполяции вытекали определенные следствия, которые, будучи поняты
Эйнштейном, решающим образом сказались на самих основах физики,
равно как и на их эпистемологических предпосылках. Никогда в истории
физики столь незначительная математическая операция не имала столь
далако идущих физических и философских сладствий.
Итак, с ломощью интерполяции вида A.11) Планк нашал, что
1 dS , U + b
т ~ ъи и '
") Rubens H., Kurbaum F. Anwendung der Met hod e der Reststrahlen zur Prufung des
Strahlungsgesetzes. — Annalen der Physik, 1901, Bd 4, S. 649—666.
'*) Gedachtnisrede det Hrn Planck auf Heinrich Rubens. — Berliner Berichte, 1923,
Jun. 23, S.CXI.
'**) Планк М. Речь памяти Генриха Рубенса. — В кн.: Избранные Труды [42* 1,
с 671-675.
") Rubans H., Kurbaum F. Uber die Emission langwelliger Warmestrahlen durch den
trhwarzen Korper bei verschieden Temperaturen. — Berliner Berichte, 1900, S. 929—941.
1') Величины а и b — постоянные.
29
откуда следует
Ь
* ехрA/э'Г) - 1 '
где а' - - alb и Ь по-пражнему являются функциями от v. Чтобы опрадел
эту зависимость, Планк обратился к A.5) и A.6) и получил, что
U • иФ(и/Т), A.
где Ф(е/Г) есть функция аргумента v/T. Таким образом, заключ
Планк, имеем
const - v
U
ехр(с'»»/Г) -
и, окончательно,
Х ехр(сАГ) - 1
или
- 1
A.1
где с'. С, А и В - постоянные.
Планк получил этот результат как раз вовремя, чтобы успеть под
товить "замечание для дискуссии" ("Diskussionsbemerkuog") к сообщен!
Курльбаума на заседании немецкого физического общества 19 okti
ря 1900 г.
В этом "замечании", опубликованном под названием "Об одном ущ
шении закона излучения Вина"82), впервье появилась формула A.1 С
позднее получившая название "закон излучения Планка" Пока что это бы
некая эмпирическая формула, так как основное допущение A.11), на koi
ром она основывалась, не имело строгого теоретического обоснованы
Но представлялось, что эта формула верна: о полном согласии со свои»
экспериментальными результатами сообщил Рубенс83), который посвят»
этой проверке ночь вслед за заседанием Академии; вскоре об этом же соо
щили Луммер и Прингсгейм, которые сначала ошиблись в вычисления
Для того чтобы изменить статус формулы A.11) от "счастливо от гада
ной интерполяционной формулы" ("eine glucklich erratene. Interp
lationsformel" ) 8 ) до "утверждения, имеющего овальный физически
смысл". Планку в конце концов пришлось отказаться от своего"термодин
мического подхода" и обратиться к больцмановской вероятностной ко
'* I Planck M. Uber eine Verbesserung der Wienschen Spectralgleichung. - Verhandlungc
der Deutschen Physikalischen Gesellschaft, 1900, Bd2. S. 202-204; Physikaliiche Abham
lungen und Vortrage [421, Bdi.S. 67B-689. Статья была доложена на заселении немв!
кого физического общества 19 октября 1900 г.
11 *) Планк М. Об одном улучшении закона Вина. — В кн.: Избранные труды [42»!
с 249-250.
*'' Physikalische Abhandlungen und Vortrage [421. Bd 3, S. 263. (Пересказ воспомин
ний Планка си. Полек Л.С, М. Планк и возникновение квантовой физики. — В кн
Избранные труды [42*1, с. 685-734. - Примеч. пер.)
'4> Там же, с. 125.
30
целции энтропии 8 s). Обозначив энтропию системы из N осцилляторов с
частотой v через SN. Планк, явно следуя Больцману, постулировал соот-
соотношение S/v = к In W, где W — число распределений, совместимых с энер-
энергией системы. Чтобы иметь возможность определить W, Планк должен был
принять, что полная энергия UN - NUсостоит из целого числа Р "элементов
•нергии" 6 ("Energieelementen"), так что UN = Ре; традиционное представ-
представление об UN как о непрерывной величине не допускало применения комби-
комбинаторики для определения W. Так как именно здесь методологическая не-
необходимость применения комбинаторики толкнуло Планка ввести квант
действия, что, в свою очередь, привело к развитию квантовой теории и от-
отходу от принципов классической физики; уместно процитировать первое
явное упоминание об Л у Планка: "Теперь мы должны дать выражение
для распределения энергии UN между N резонаторами с частотой v. Если
UN рассматривается как безгранично делимая величина, такое распределе-
распределение может быть выполнено бесконечно большим числом способов. Но мы
примем - и в этом заключается важнейший момент всех вычислений, -
что Ufj может быть разделено на точно определенное число конеч-
конечных равных частей, и используем при этом природную констенту h =
- 6,55-10~27эрг-с. При умножении этой константы на общую частоту v
резонаторов получается элемент энергии е в эргах, а при делении U^ на
г мы найдем число Р элементов энергии, которое должно быть распределе-
распределено между N резонаторами"86).
Интерпретировав W в уравнении S/y = к \nW как число возможных спо-
способов распределения Р элементов энергии е между N осцилляторами.
Планк87) нашел
"' воНгтапп L. Uber die Beziehung zwischen dem zweiten Hauptsatz der mechanischen
Wi'rmetheorie und der Wahrscheinlichkeitsrechnung respective den Satzen uber das Wa"r-
mngleichgewicht. — Wiener Berichte, 1877. Bd 76. S. 373—435; In: Bolumann L. Wissen-
•ih.ltIiche Abhandlungen. - Leipzig: Barth, 1909, 8d2, S. 164.
"*' ". ..Nun ist noch die Verteilung der Energie l//y auf die Л/ Resonatoren mit der
Mi:hwingungszahl i> vorzunehmen. Wenn Ufj als unbeschrankt teilbare GrQ^e angesehen wird.
nt die Verteilung aul unendlich viele Arten moglich. Wir betrachten aber — und dies ist der
wnentliche Punkt der ganzen 8erechnung - U/ч als zusammengesetzt aus einer ganz bestim-
iman Anzahl endlicher gleicher Teile und bedienen uns dazu der Naturconstante h =
- B.55- 10 'erg sec. OieseConstante.mit der gemeinsamen Schwingungszahl v der Resona-
1ОЩП multiplieriert ergiebt da» Energieelement f in erg, und durch Division von L//y durch e
¦rnalten wir die Anzahl Я der Energieelemente.welche unter die ЛУ Resonatoren zu verteilen
und". - 8erliner 8erichte (Oez. 14, 1900): Physikalische Abhandlungen und Vortrage [42] ,
5d 1, S. 700—701. (Ппанк обозначал энергию В, а не Upj. как мы).
"*> Ппвмк М. К теории распределения энергии излучения нормального спектра. -
¦ кн.: Избранные труды [42>],с 251-257.
'') Очень простое доказатепьство комбинаторной формулы быпо дано Эренфестом
и КаммерпингОннеоом: Ehrenfest P., Kammerlingh-Onnes H. Verrenvoudigde afleidung van
iki lor mule uit de combinatieleer, welke Planck aan zijne theorie der straling ten groundslag
Illicit gelegd. - Verslag van de Gewone Vergaderingen der Wit- en Natuurkundige Aldeeling,
Knmnkhjke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam, 1914, Bd73, S. 789-790; Appen-
tliK De tegenstelling tusschen de hypothese der energietrappen van Planck en de hypothese
ilwi encrgiequanta van Einstein. — Ibid. S. 791—792. См. также английский и немецкий ва-
варианты статьи и приложения: Proceedings of the Amsterdam Academy, 1914, v. 17,
H B7O-873. In: Collected Scientilic Papers |77). p. 353-356; Annelen der Physik, 1915.
гЫ 46. S 1021-1024. Для символического описания возможных респределений тре-
трепу* юл Р симвопов "энергии" и N — 1 "разделительных" симвопов. Тогда число всех
31
или, с учетом формулы Стирлинга,
Тогда SN = * [(/V + Р) In (Л/ + Р) ~ N In N - Р In Р]; окончательно
1+—)|пA+ —)-—Ш— . A.14)
Поскольку энтропия 5 = SNIN отдельного осцилляторе действительно
удовлетворяла уревнению A.11), Планк утвердился в том, что он на вар
ном пути. Из соотношения bSlbil = 1/Г Планк получил теперь для среднее
энергии U осцилляторов с частотой v выражение
U" . A.15)
ехр(е/*Г)-1
что совпадало с предыдущим его результатом U - v<t>(v/T) только в том
случае, если положить е = hv, где h - константа, не зависящая от v. Нако
нец, с помощью A.6) Планк получил свой знаменитый закон излучение
8jw* hv
uv=—z . A.16)
с3 exp[hv/kT) - 1
согласующийся с A.13). Проинтегрировав A.16) по всем частотам, ot
пришел к закону Стефана — Больцмана и установил связь между к*/h3 v
а; вычислив частоту, при которой и„ достигает максимума, он подтвер
дил соотношение A.4) и связал hlk с Ь. По известным значениям о м t
Планк вычислил h, которое оказалось ревным Л = 6,55-107эрг-с
Кроме того, опираясь на полученные результаты, Планк нашел к
A,346-10""¦эрг-К) и, с помощью универсальной газовой постоян
ной R, постоянную Авогадро N F,175* 1023 моль'1). Наконец, воспольэо
вавшись постоянной Фарадея, Планк определил элементарньм электричес
кий заряд в D,69 • 100 СГСЭ).
Все эти результаты были получены приблизительно в течение восьми
недель; двадцатью годами позже Планк так описывал это время: "После
нескольких недель самой напряженной в моей жизни реботы тьма рас
сеялась и стали открываться неожиданные дали"88). На заседании Намец-
возможных способов распределения будет получено, если разделить число возможны>
перестановок всех символов (Я + N — 1М на число перестановок Р\ символов "энер-
"энергии" и перестановок (А/ — 1) I "разделительных" символов. При этом, как мы видим,
молчаливо предполагается, что элементы энергии неразличимы или, иными словами,
обмен двух элементов энергии, деже принадлежащих различным резонаторам, не
ведет к новому распределению.
* ' Эрвнфест П., Каммврпинг-Оннвс Г. Упрощенный вывод формулы теории ком-
бинеций, лежащей в основе теории излучения Планка. — 8 кн.: Эрвнфест П. 177*1,
с. В5-87; Приложение. Противопоставление гипотезы ступеней энергии Планка и ги-
гипотезы квантов энергии Эйнштейна. — Там же, с 87—88.
•*) Planck M. Die Enmehung und bisnerige Entwicklung der Quantentheorie
Нобелевская лекция, прочитанная в Шведской королевской- академии в Стокгольме
2 июня 1920 г.- In: Physikefitche Abhandlungen und Vortrage D21. Bd3, S. 121-134
Английский перевод см. в книге: Plank M. A Survey of Physics. — L.: Methuen, 1922
N.Y.: Dover. I960.
***) Планк At Возникновение и постепенное развитее теории квант.. - В кн.:
Избранные труды D2*1. с. 603—612.
32
кого физического общества 14 декабря 1900 г. — эту дату часто считают
"днем рождении квантовой теории"89) - Планк зачитал свою историчес-
историческую статью "К теории распределения энергии излучении в нормальном
спектре"90), в которой он изложил приведенные выше результаты и ввел
"универсальную постоянную" h, которой было суждено изменить ход раз-
развития теоретической физики.
Следует отметить, что комбинаторный подход Планка отличался от ве-
вероятностного метода Больцмана 9'' в том, что Планк связывал Wco значе-
значением, не обязательно максимальным, Spj в состоянии равновесия. Для
Планка W было просто полным числом возможных комплексий *), тогда
как для Больцмана это было число возможных комплексий, соответствую-
соответствующее такому макросостоянию, которое может быть реализовано максималь-
максимальным числом комплексий. Причина этого расхождения, как уже отмечал
Розенфельд 91), состоит, вероятно, в том, что Планк фактически отправ-
отправлялся от выражения A.14) для S, чтобы удовлетворить предположению
A.11), и поэтому W, входящее в уравнение S/v = k\nW, обязано было
иметь вид (Л/-)- P)N*P/NPPP'. Близость этого выражения к известной ком-
комбинаторной формуле93) (Л/+ Р - 1) \IP\ (N — 1) I, вероятно, и подтолк-
подтолкнула Планка принять его комбинаторную процедуру.
Интересно также отметить, что нигде в этой статье, равно как и во всех
других своих ранних трудах, Планк не подчеркивает тот фундаментальный
факт, что U представляет собой целое кратное от hv. Очевидно, в то время
он не был вполне уверен, является ли введение Л просто математическим
приемом или серьезным нововведением с глубоким физическим смыслом.
В неопубликованном письме A931 г.), адресованном проф. Р.У.Вуду,
Планк подробно описывает психологические мотивы, побудившие его
постулировать существование квантов энергии: он назвал это "актом
отчаяния"94', предпринятым потому, что "теоретическое объяснение
* *) Твк говорил, нвпримар, Мвкс фон Лвуэ в речи на похоронах Планкв в Геттинге-
не 7 октября 1947 г. - In: Plank M. Physikalische Abhendlungen und Vortrlige [42], Bd 3.
S. 419. Scientific Autobiography [43], p. 10.
l") /ley* M. Пвмяти М. План кв. — В кн.: Пауз М. Статьи и речи. - М: Нвукв.
1969, с. 150-162.
*° > Planck U. Zur Theorie das Gesetzes der Energieverteilung im Normalspectrum. —
Verhandlungen der Deutschen Physikelischen Geselltchaft, 1900; Bd 2, S. 237-246; Uber das
Gatetz der Energieverteilung im Normalspectrum. — Annalen der Physik, 1901, Bd4,
S. 563-663; In: Phytikelitche Abhendlungen und Vortra'ge [42], 8d1, S. 717-727.
'" ') Планк M К теории распределения энергии иэлучения нормального спектра. —
8 кн.: Избранные труды [42«], с. 261— 257; О законе распределения энергии в нор-
нормальном спектре. — Тем же, с. 258—267.
*') Метод Бопьцманв также привеп бы к A.14).
) Здесь Джаммер испопьзует термин, широко применявшийся Больцманом,
в твкже в нвучной литературе более позднего времени. Твк, Эйнштейн в 1909 г. гово-
говорил, что число комплексий "указывает, каким количеством различных способов
можно реализовать рассматриваемое состояние". См. Эйнштейн А. Собрание неучиых
трудов. — М.: Наука, 1966, т. ill, с. 189.
* Rotenftld L. La premiere phase da revolution de |в Theorie des Quanta. - Osiris,
1936, v. 2. p. 149-196.
' Эта формула уже появлялвсь в статье Больцмана |В6) •
' "Kurz zusammengafasst квпп ich die ganze Tat als einen Akt dar Verzweiflung
bezeichen". Письмо от 7 октября 1931 г. хранится в Center for History and Philosophy
3. M. Джеммер 33
должно было быть найдено любой ценой, сколь высокой она ни была бы'
Кек признавался позднее сам Планк (в "Автобиографии" 95'), он не бы
удовлетворен своим подходом и неоднократно, хотя и безуспешно, пыталс
как-то (irgendwie) включить h в рамки классической физики. С другой ст<
роны, его сын рассказывал, что во время долгих прогулок по Грюн
вальдскому лесу в окрестностях Берлина отец говорил, что, как ему к
жется, он сделал открытие, сравнимое, может быть, только с открытиям
Ньютона.
Но в действительности в течение ряда лет, по крайней мере до 1905 i
казалось, никто не сознавал, что Планк сделал открытие, "сравнимо
может быть, только с открытиями Ньютона". Официальное иэдани
Fortschritte der Physik, выпускавшееся Немецким физическим общество!
упомянуло о работе Планка лишь в самых общих чертах ("in auflerste
Umri/Jen") . Еще меньше внимания было уделено работе за пределам
Германии. Исключение представляло сообщение о работе Планка, сделанн<
Артуром Л.Дэем на 547-м съезде Вашингтонского Философского общее
ва98' в 1902 г. Первое издание книги Джинса "Динамическая теор»
газов"99', опубликованное в 1904 г., не содержало деже упоминания
законе Планка. Словом, создается впечатление, что в то время введение
рассматривалось не более как целесообразный методологический прие1
не имеющий глубокого физического смысла. В то же время закон излуч
ния Планка вновь и вновь подвергался экспериментальной проверк
Работы Холборна, Валентинера |0°), Кобленца 101)| Варбурга и сотрудн
ков'101' подтверждали закон. Но в 1919 г. Нернст и Вульф 103' сообщил
of Physics, American Institute of Physics, New York. (Полностью перевод пнем
Р.Вуду приведен на с. 697—698 в статье Л.С.Попакв, цитировавшейся в ссылке |83|.
Примеч. пер.)
** > Planck M. Physikalische Abhendlungen und Von rage D2]. 8d 3, S. 267. (Бпизк
по духу цитате находится в "Нвучной автобиографии" Ппвнкв|43*|, с. 661. — При.
перев.)
** I См., например, Heitenberg И/. Physics and Philosophy. - L.: G. Allen and Unwi
1959. p. 35.
"*> Гейзенберг В. Физика и фипософия. - М.: ИЛ, 1965, с. 13.
*' > 56. Jahrgang, 1900 A901 >, S. 338.
* Ову A.L. Measurement of high temperature. — Science (n.tj, 1902, v. 15, p.42J
433.
**) Jeans J.H. Dynamical Theory of Gases: Cambridge University Press, 19б4.
I 0 0 t
' Holborn L., Valentiner S. Eine Vergieichung der optischen Temperaturskala mit dc
Stickstofftharmometar bis 1600°. —Annalen der Physik, 1907, 8d 22. S. 1-48.
^CoblenzW.W. A characteristic of spectral energy curves. - Physical Review, 191
v. 31. p. 314-319. См. твкжа: Baisch ?. Versuche zur Prilfung des Wien-Pianckschi
Strahlungsgesetzes im Bereich kurzer Weiienlangan. — Annalen der Physik 1911 8d 3
S. 543-590.
I 0 3 i • •
I Warburg В.. LeithVuter G., Нирке В.. Mul'er G. Uber die Konstante с des Wien
Planckschen Strahlungsgasetzes. - Annalen der Physik, 1913, 8d 40. S. 609-634; №
burg ?., Muller G. Uber die Konstante с des Wien-Plenkschen Strahlungsgetetzes, - Ibic
1915, Bd 48, S. 410-432.
) Nerntt W.. Wulf T. Uber eine Modification der Plankschen Strehiungstormel i
experimenteller Grundlage. — Verhandlungan der Oeutschen Physikelischen Gesellscha
34
что они нашли отклонения от закона Планка. Впрочем, более поздние иссле-
исследования полностью "оправдали" закон, как с экспериментальной, так и с
теоретической точек зрения 104>. Поскольку все новые и новые экспери-
эксперименты подтверждали закон Планка, делались многочисленные попытки
избежать закона Рэлея A.9), не отказываясь от классической статистиче-
статистической механики и, в частности, от теоремы о равнораспределении105).
Без сомнения, это было связано с тем, что, выражаясь словами Лоренца,
"мы не можем сказать, что механизм явления был раскрыт (теорией
Планка) , и следует признать, что трудно понять причины такого деления
энергии на порции конечной величины, которые даже не равны друг другу,
а меняются от резонатора к резонатору" 'Об >.
Еще одна концептуальная трудность, помешавшая принять введение
величины h, безусловно, состояла в следующем. Как видно из размерности,
эта постоянная величина представляет единицу "действия"(энергия-время),
или "элементарный квант действия" ("elementares Wirkungsquantum"), как
она была названа впоследствии. Но было совершенно ясно, что в физике не
существует принципа сохранения действия. Поэтому неудивительно, что
1919, 8d 21, S. 294—337. Авторы предложили ввести в правую часть уравнения
A.18) множитель A + а), где а — некоторая функция от г.
I О 4 \ ,
'8 ствтье Рубенса и Михеля (Rubens H., Michel G. Drufung 'der Planckschen
Ntrahlungsformel. — Physikalische Zeitschrift, 1921, 8d 22, S. 569—577) формула Планка
была подтверждена точными измерениями и было показано, что результаты Нернста и
Вупьфа |ЮЗ| ошибочны. Последующие теоретические выводы формулы Планка со-
содержатся в работах: Weiss J. Uber das Plancksche Strahlungsgezetz. - Physikalische Zeit-
ichrift, 1909,'Bd 10, S. 193-195; Debye P. Der Wahrscheiniichkeitsbegrifl in der Theorie der
Slrahlung. - / nnelen der Physik, 1910, 8d 33, S. 1427-1434; Larmor J. On the statistical
and thermodynamical relations of radiant energy. — Proceedings of the Royal Society of Lon-
London (A), 1910, v. 83, p. 82—95; Nernst W. Zur Theorie der specifischen War me und Uber die
Anwendung der Lehre von den Energiequanten aul physikalisch—chemische Fragen Ciber-
liHupt. - Zeitschrilt lur Elektrochemie, 1911, Bd 17, S. 265-275; Frank P. Zur Ableitung der
Planckschen Strahlungsformel. - Physikalische Zeitschrilt, 1912, 8d 13, S. 506-507; -
llntttin A.. Stern O. Einige Argumente fur die Annahme einer molekularen Agitation beim
«bioluten Nullpunkt. - Annalen der Physik, 1913, 8d 40, S. 551-560. (Эйнштейн A..
Шгврн О,. Некоторые аргументы в пользу гипотезы о молекулярном возбуждении при
абсолютном нуле. - 8 кн.; Эйнштейн А. Собрание научных трудов. - М.: Неука, 1966,
г III, с. 314—322. - Примеч. пер.); Wolfke M. Zur Quantentheorie. — Verhandlungen der
Ueutschen Physikalischen Gesellsdiaft. 1913. 8d 15, S. 1123. 1215; Wolfke M. Welche
Slrahlungsformel folgt aus der Annahme der Lichtatome? — Physikalische Zeitschrift, 1914.
M() 15, S. 308—310, 463; Einstein A. Zur Quantentheorie der Strahlung. — Mitteilungen der
Phyiikalischen Gesellschaft, Zurich, 1916, 8d 18, S. 47-62; Physfkalische Zeitschrift, 1917,
Bd 18, S. 121 — 128 {Эйнштейн А. К квантовой теории излучения. — В кн.: Собрание
научных трудов, т. Ill, с. 393-406. - Прим. перев); Rubmowicz A. Zur Quantelung der
llohlraumstrahlung. - Ibid., S. 96—99; Darwin C.G.. Fowler Й.Н. Dn the partition of
•iinrgy. - Philosophical Magazine, 1922, v. 44, p. 450-479, 823-842; Darwin C.G.. Fow-
lei R.H. Partition function for temperature rediation and the internal energy of a crystalline
miid. - Proceedings of Cambridge Philosophical Society, 1922, v. 21, p. 262-273; BoseS.N.
I'lancks Gejetz und Lichtguantenhypothese. — Zeitschrift fur Physik, 1924, 8d 26, S. 178-
1B1, Bose S.N. — Warmegleichgewicht im Strahlungsfeld bei Anwesenheit von Materie. -
Und., 1924, 8d 27, S. 384-392; Eddington AS. Dn the derivation of Planck's law Irom
rnutein's equation. - Philosophical Magazine, 1925, v. 50, p. 803—808.
' °') Lor&nU H.A. Dn the emiision and absorption by metals of rays of heat ol great
wave-length. - Amsterdam Proceedings, 1902-1903, P. 666.
) Lorentl H.A. The theory of Electrons. - 1 ed., 1909; 2 ed., 1915; цитировано no
•пдяниЮ: N.Y.: Dover, 1952, p. 80.
' Лоренц Г.А. Теория электронов. — 2-е изд., испр. идол. —М.: Гостехиздат,
I Ot
1966
35
попытки примирить закон Планка с классической механикой продолжались
даже после того, как Лоренц показал, что классическая физика, т.е. теорема
о равнораспределении и принцип Гамильтона, неизбежно приводит к закону
излучения Рэлея со всеми его экспериментально несостоятельными след-
следствиями. Лоренц указывал, что эфир является системой с бесконечно боль-
большим числом степеней свободы, так что температура весомого тела, находя-
находящегося в тепловом равновесии с ним, обязана быть равна абсолютному
нулю, а это никак не согласуется с действительностью.
Эти высказывания Лоренц сделал в серии лекций, прочитанных им
в 1910 г. в ГВттингенском университете. Здесь, вероятно, небезынтересно
сделать следующие исторические замечания.
В 1908 г. математик Пауль Вольфскель 107' из Дармштадта завещал
100 000 марок Академии наук в Гёттингенес тем, чтобы они были вручены
человеку, первому опубликовавшему полное доказательство Великой
теоремы Ферма A637). Как известно, согласно этой теореме не существует
таких целых чисел ж, у, г и п, что одновременно выполняются условия
ж, у, г Ф 0, п > 2, ж" + у" = г ". Известно также, что теорема до сих пор
осталась недоказанной и приобрела известность как задача, для которой
было опубликовано наибольшее количество неверных "решений".
Менее известно мудрое решение комитета по премии Вольфскеля исполь-
использовать проценты с капитала для приглашения известных ученых для чтения
лекций в Гё'ттингене- В конце апреля 1909 г. первым по такому приглаше-
приглашению сюда прибыл Пуанкаре. Он выступил с шестью лекциями по проблемам
чистой и прикладной математики 108'. в первой лекции B2 апреля) он
говорил об уравнениях Фредгольма в связи с работой Хилла и Хельги фон
Кох (связь этого предмета с квантовой теорией выяснилась только
в 1925 г.), а в последней лекции B8 апреля) "Новая механика", единствен-
единственной, прочитанной по-французски, он рассказал о теории относительности,
не упомянув при этом, между прочим, имени Эйнштейна.
На следующий год был приглашен Лоренц. С 24 по 29 октября 1910 г.
он прочитал шесть лекций под общим названием "Старые и новые пробле-
проблемы физики" 109', которые были затем отредактированы Борном и опубли-
опубликованы в Physikalische Zeitschrift. Тремя годами позже с лекциями
о проблемах математической физики 'выступил Зоммерфельд, а летом
1914 г. лекции читал Дебай.
Последним ученым, приглашенным в рамках этой программы, был
Нильс Бор. Его гё'ттингенские лекции, прочитанные с 12 по 22 июня
1922 г., оказали, как мы увидим в свое время, решающее влияние на Паупи
и Гейзенберга. "Семь лекций о теории строения атома" '' °' Бора начина-
' ° 7 * Wolfskahl P. Bekanntmachung. - Gottinger Nachrichten, 1908, S. 103.
) Poincare H. Sechs Vortraga aus der Reienen Mathematik und Mathematischen
Physik. — Leipzig, Berlin: Teubner. 1910.
1 "*> Лекция "Новея механике" приведем в книг§: Пуанкаре А. О науке. — М.:
Мука. 1983, с. 498-505.
I Loranti Н.А. Alte und neue Fragen der Physik. - Physikalische Zeitjchrift, 1910.
Bd U.S. 1234-1257.
1 °**> Лекции 4—6. посвященные теории излучения и квантам, переведены на рус-
русский язык. См. Лоренц Г.А. Старые и новые проблемы физики. - В кн.: Лоренц Г.А.
Старые и новы! проблемы физики. — М.: Наука, 1970, с. 69—97.
1' ° > Рукопись с заметками по зтим лекциям, которые Бор читал по-немецки,
находится в Архиве Бора: Bohr Mm., No. 10.
36
лись с общего обзора атомной теории (первая лекция), затем в них рас-
рассматривались принцип соответствия и адиабатический принцип (вторая
лекция), их применение (третья лекция), обсуждались многоэлектронные
системы (четвертая лекция), периодическая таблица элементов (пятая
лекция), рентгеновские лучи и строение атома (шестая лекция) и заверша-
завершались замечаниями о еще нерешенных проблемах. Круг вопросов, освещен-
освещенных в этих лекциях, по существу совпадает с рассмотренным в статье Бора
о строении атома, опубликованной в это время ''''.
Учитывая, что премия Вольфскепя до сих пор мало что дала для обога-
обогащения математики, что инфляция в Германии обесценила премию и что
лекции Бора оказали историческое влияние на Паули и Гейзенберга,
вероятно, не будет преувеличением сказать, что от премии Вольфскеля
выиграла в основном квантовая теория. Изменится ли это утверждение
в связи с недавно предложенным пересмотром премиального фонда, пока-
покажет будущее.
Завершая наше обсуждение процесса формирования понятия о квантах
энергии, в котором решающую роль сыграл планковский вывод закона
излучения, необходимо, остановиться на следующих критических заме-
замечаниях.
Как указывалось выше, вывод Планка состоял из двух отдельных
частей: 1) вывода соотношения A.6) между плотностью энергии излуче-
излучения и„ и энергией осциллятора U
и„-Ц*ги. A.6)
с3
которое Планк получил, используя исключительно принципы классической
«лектродинамики (это показано в Приложении А); 2) статистического
рассмотрения взаимодействия между осцилляторами с различными соб-
собственными частотами, приводящего к формуле A-15)
?/-_*? . A.15)
(ЛДГ)- 1
Объединив A.6) и A.15), Планк получил свой закон излучения A.16).
Мы также подчеркивали, что эти заключения потребовались Планку для
гого, чтобы логически обосновать упоминавшуюся выше интерполяцион-
интерполяционную формулу.
Но в доводах Планка есть непоследовательность, на которую впервые
указал Эйнштейн 1П' в 1906 г. Действительно, хотя каждая из частей
вывода формулы A16) внутренне согласована, между собой они
могически несовместимы по следующей причине: в электродинамической
части 1) формула A.6) основывается на теории Максвелла (см. Приложе-
Приложение А) и предположении, что энергия осциллятора является непрерывно
' Bohr N. Der Bau der Atome und die physikalischen und chemischen Eigenschaf ten
itot Elemente. - Zeitjchrift fur Physik, 1922, Bd 9, S. 1-67.
*) Бор Н. Строение атомов в связи с физическими и химическими свойствами
•памантов. — В кн.: Бор Н. Избранные научные труды в двух томах. — М.: Наука,
1070. т. I.e. 31B-375.
' Einstein A. Zur Theorie der Lichierzeugung und Lichtabsorption — Annalen der
r-l.yt.k. 1906. Bd 20, S. 199-206.
I Эйнштейн А. К теории возникновения и поглощения света. — В кн.:
Ынштвйн А. Собрание научных трудов в четырех томах. - М.: Наука, 1966. т. Ill,
i 1J8-133.
37
изменяющейся величиной, тогда как в статистической части 2) та ж<
саман энергия рассматривается как дискретная величина, способная прини
мать лишь значения, кратные hv.
Говоря об этой непоследовательности, Эйнштейн заметил: " ... ее л к
энергия резонатора может меняться только скачкообразно, то для опреде
ления средней энергии резонатора, находящегося в поле излучения, нельзг
применять обычную теорию электричества ... " Поэтому теория Планю
обязана исходить из предположения, что "хотя теория Максвелла неприме
нима к элементарным резонаторам, но средняя энергия элементарной:
резонатора, находящегося в поле излучения, равна энергии, вычисленной
по максвелловской теории электричества".
"Это последнее предположение, — продолжает Эйнштейн, — было бь
вполне приемлемым, если бы во всех областях спектра, доступных опыту
величина е = hv была мала по сравнению со средней энергией резона
тора U; но это вовсе не так" '.
Тремя с половиной годами позже на 81-м съезде Немецкой ассоциации
ученых, состоявшемся в Зальцбурге в сентябре 1909 г., Эйнштейн м41
говорил о развитии своих взглядов на природу и состав излучения. Повто
рив здесь свою критику цепочки рассуждений Планка и снова поставив
вопрос о возможности согласовать упомянутые выше две части друг с дру
гом, Эйнштейн указал, что условие, согласно которому квант энергии
6 = hv должен быть мал по сравнению с U, определенно не выполняется
"Простым вычислением мы находим, - сказал он, - что отношение e/Uцм
длины волны 0,5 мкм и абсолютной температуры Т = 1700 К не толькс
не мало, но даже очень велико по сравнению с единицей. Оно имеет значени<
примерно 6,5-107".
Эйнштейн не считал эту непоследовательность основанием для того, что
бы отвергнуть квантовую теорию Планка как таковую. К этому времени ок
уже выдвинул идею о световых квантах, о'чем будет идти речь в следую
щем разделе, и в упомянутой непоследовательности видел указание на то
что должны быть пересмотрены основы традиционной теории излучения
основанной на электродинамической теории Максвелла.
Логическая несовместимость двух частей планковского вывода закон;
излучения заботила и Петера Дебая ' '. Но в отличие от Эйнштейна, кото
рый надеялся преодолеть эту трудность, модифицируя максвелловско<
взаимодействие между резонатором и полем, Дебай попытался решит!
вопрос, вообще не используя понятия резонаторов в выводе Планка. Взяе
число Ndv колебаний в полости единичного объема и интервале частот di
согласно вычислениям Рэлея и Джинса
Ndv= i8irv2/c3)dv,
Дебай принял, что Ndv колебаний состоят из f \v) квантов энергии зна
" ' > Тем же, с. 203.
) Einstein A. liber die Entwicklung unserer Antchauungen liber das Wesen und di'
Konstitution der Strahlung. - Physikalische Zeitschrift. 1909. Bd 10, S. 817-825.
' Эйнштейн А. О развитии нвших взглядов ив сущность и структуру изпуч«
нин. — В кн.: Собрание научных трудов, т. III f 112»|, с. 1В1—195.
^ Debye P. Der Wahrscheinlichkeitsbegriff in der Theorie der Strahlung. - Annalei
der Phytik, 1910, Bd 33, S. 1427-1434.
38
чением hv каждый, так что
uvdv = {8irhv3/c3)f\v)dv
Определив "черное излучение" как наиболее "вероятное излучение", т.е.
как состояние, характеризующееся наибольшим возможным числом разме-
размещений f (v) квантов по Ndv приемникам, Дебай с помощью комбинатор-
комбинаторной формулы Планка показал, что в этом случае f (р) = [exp (hvlkT) -1 ]"';
этот результат в сочетании с приведенной выше формулой позволял полу-
получить закон излучения Планка. Итак, Дебай показал, что закон Планка и
вытекающие из него следствия связаны только с предположением о том,
что энергия как таковая квантуется на порции, пропорциональные hv. a
никаких предположений о свойствах резонаторов или их механизме делать
не требуется. О предположении Дебая116) можно говорить как о "сла-
"слабом квантовом постулате", в противоположность "квантовому по-
постулату" Планка, согласно которому энергия осциллятора всегда крат-
кратна hv.
1.3. Кванты излучения
В прослеженный до сих пор период развития квантовой теории понятие
элементарных частей энергии - квантов - считалось приложимым лишь
к взаимодействию между веществом и излучением: должен был существо-
существовать осциллятор с частотой v, который мог испускать или поглощать энер-
энергию только частями, кратными hv.
Но в это же время происходил важный концептуальный процесс опреде-
определенного обобщения понятия квантов. Он начался в 1905 г., когда статья
Эйнштейна "Об одной эвристической точке зрения, касающейся возникнове-
возникновения и превращения света' 'заставила серьезно усомниться в том,всегда ли
справедлива электромагнитная теория света. По важности для будущего
равития теоретической физики эту статью можно сравнить с классической
работой Эйнштейна по специальной теории относительности; эти работы,
равно как и знаменитая его статья о броуновском движении, появились
в одном и том же томе журнала Annaten der Physik. Хотя об указанной
статье Эйнштейна часто говорят, как о статье по фотоэффекту, в ней обсуж-
обсуждалась проблема гораздо большего значения и делалось предположение,
которое бросало, быть может, не меньший вызов классической физике,
чем историческая статья Планка в 1900 г.
Эйнштейн рассмотрел монохроматическое излучение с частотой v и ма-
малой плотностью в той области значений v/T, где выполняется закон излуче-
излучения Вина A.5). Если v — объем полости, a u{v) — функция спектрального
'"> Строго говоря, для того чтобы излучение достигло стационврного состоя-
состояния (с мвксимвльной энтропией). Дебаю было необходимо свойство весомых тел
преврвщвть излучение одной длины волны в излучение другой длины волны. Поэтому
ом тек сформулироввл свой постулвт об элементарных квантвх: "Колебательная
•нергия может быть воспринятв от весомых тел и в конечном счете переведена в
имргию колебаний с другой частотой только в форме кввнтов величины hv". — Там
»i.c. 1430.
1 ' 7> Einstein A. Uber einen die Erzeugung und Verwendlung det Lichtet betreffenden
hturittischen Gesichttpunkt. - Annelen der Physik, 1905, 8d 17, S. 132-148; On a heuristic
viewpoint concerning the production end transformation of light. - American Journal of
Phytlct, 1965, v. 33, p. 367-374.
1'' *) Эйнштейн А. Об одной эвристической точке зрения, касающейся возникнове-
возникновения и превращения свете. - 8 кн.: Собрание нвучных трудов, т. Ill [ 112*] с. 92-107.
39
распределения, то энтропию можно выразить в виде
S = vf ^{u, v)dv,
где ¦$ — некоторая функция и и v. Чтобы найти явную зависимость ^ от и
и v, Эйнштейн мог воспользоваться двумя уравнениями: 8 f ^ dv = О и
8 fudv = 0, которые являются следствиями соответственно принципа
максимума энтропии в равновесном состоянии излучения попости и закона
сохранения энергии. Введя неопределенный множитель X, он получил урав-
уравнение, справедливое при любой форме зависимости 8и от v:
где X, а, значит, и Ъ^Гди не зависит от v. Положив v - 1. Эйнштейн нашел
возрастание энтропии при увеличении температуры на dT:
dS= f du dv,
v-o du
которое в силу топько что упомянутой независимости d^/di/от v прини-
принимает вид dS = (d<f/<)u) dE, где dE — приращение теппа. Поскольку процесс
является обратимым, выпопняется также равенство dS = dE/T. Из сравне-
сравнения двух последних уравнений видно, что д^/ди= 1/7" не зависимо от вида
u(v). Найдя 1/7" из A.5), Эйнштейн получил дифференциальное уравнение
= In —— ,
Ъи 0i> av
решение которого имеет вид
и I и \
{и, i>) = (In—- - 1).
0v \ av3 }
Поэтому энтропия излучения в интервале v,v + dvv\c энергией ?,, = vuvdv
дается выражением
Если изпучение, первоначально занимавшее объем v0, займет объем v, из-
изменение энтропии составит
S-S,, =—- In ,
или
R ( V \NEvliiVR
S-So=—In —) , A.17)
где N — постоянная Авогадро, а Я — универсальная газовая постоянная.
С другой стороны, рассуждал далее Эйнштейн, из кинетической теории га-
газов известно, что вероятность найти п частиц в произвольный момент вре-
времени в определенной части v объема v», в котором они первоначально дви-
двигались, равна (v/vo) ", а изменение энтропии составляет
R I v \"
s-So = t4~)- A18)
40
Руководствуясь тождественностью математической формы A.17) и
A.18), Эйнштейн заключил, что ?„ = n(R$vlN), и заявил, что "монохрома-
"монохроматическое излучение малой плотности (в пределах области применимости
закона излучения Вина) в смысле теории теплоты ведет себя так, как будто
состоит из не зависимых друг от друга квантов энергии величиной
R$vlN"ilt). Виновский экспоненциальный множитель 0, выраженный
через введенную Ппанком константу, равен, конечно, п/к, что сразу следует
из закона Планка при hv > кТ; кроме того, R/N= к. Поэтому Эйнштейн по i
существу утверждал, что излучение ведет себя так, как будто состоит изЛ
конечного числа локализованных квантов энергии hv, или "фотонов",
как они стали называться позже по предложению Г.Н. Льюиса ''9), выска"
занному в 1926 г.
Идея дискретного распределения энергии излучения в пространстве, ко-
конечно, кардинальным образом противоречила господствовавшей волновой
электромагнитной теории света. Более того, предположение Эйнштейна
о зернистой структуре излучения представлялось противоречащим одному
из самых хорошо обоснованных и бесспорных результатов физических ис-
исследований. Разве открытие явления дифракции — явления, о котором
сообщал Леонардо да Винчи 12°), повторно обнаруженного и изученного
Гримальди '2'), явления, которое могло быть объяснено только на язы-
языке волновой теории Гюйгенса 'г г) и Юнга '2 3), как это блестяще показал
Френель124), — не было смертельным ударом по любой корпускулярной
"Ч "Monochromatische Strahlung von geringer Dichte (innerhalb des Gultigkeitsberei-
chesder Wienschen Strahlungjformel) verhalt sich in warmetheoretischer Beziehung so, wie
«venn sie aus voneinander unabhSngigen Energiequanten von der Gr60e RffvIN bestiinde". —
Ibid., S. 143.
1 ") Льюис считал неуместным говорить о "кванте света", "если мы предполагаем,
что он проводит лишь ничтожную долю времени своего существования как носи-
носитель энергии излучения, а асе остальное время — как важный структурный элемент
внутри атома. . . Поэтому я позволю себе предложить дпя этого гипотетического но-
нового атома, который не является светом, но принимает существенное участие во всех
процессах излучения, название фотон" Lewis G.N. The conservations of photons. —
Nature, 1926, v. 118, p. 874-875.
llol Libri G. Histoire des Sciences Mathematiques en Italie. - P.: Renouard, 1838-1841.
v. 3, p. 54.
1 *' I Grimaldi F.M. Physicomathesis de lumine, coloribis et iride aliisque adnexis lib i
duo. — Bologna: Benatti , 1665.
1 * *) Huvgens С Traite" de la Lumiere. - Leiden: P. vender Aa, 1690; Treatise on Light.—
I. Mecmillan, 1912.
112 ') Гюйгенс X. Трактет о свете. -М- Л.: ГОНТИ. 1935.
1 'Ч Young Т. On the theory of light and colour. - Philosophical Transactions of the
Hoyal Society of London, 1802, v. 92, p. 12-24. A Course of Lectures on Natural Philosophy
•nd the Mechanical Arts. - L.: J. Johnson, 1807. См. особенно лекцию 39, т. I. с. 457—
471.
1'3 *) Юнг Т. Теория света и цветов. (Отрывок). — В кн.: Творцы физической оп-
оптики -М.: Наука, 1973, с. 115-121.
12Ч Fresnel A.J. Sur la diffraction de la lumiere, ou Ton examine particuliirement lephe'-
nomene des fringes colored* que presantent les ombres des corps eclairls par un point lumi-
neux. — Annals de Chimie et de Physique, 1816, v. 1, p. 239—281; In: Oeuvres Completes
d'Augustin Fresnel. - P.: Imprimerie Imperials, 1886, v. 1, p. 89-122, 129-170; Memoire
•ur la diffraction de la lumiere. — MeVnoires de I'Academie des Sciences. 1819: Annales.
lie Chimie et de Physique, 1819,v. 11, p.246-296,337-378;ln: Oeuvres, v. 1, p. 247-
384. Перевод нв английский язык см. в книге: Wave Theory of Light/ed. H. Crew. —
N.Y.: American Book Co., 1900, p. 79—144. Перевод на немецкий язык см. в книге:
Abhandunqen Ciber die Beugung des Lichts. — Leipzig: Akademische Verlagsgesellschaft,
1926 (Ostwald's Klassiker der exakten Wissenschaften, No. 215).
41
концепции света из числа предлагавшихся, например, Ньютоном125),
Лапласом |26) и Био |27) ? Разве Физо '28), Фуко129), Физо и Бреге130),
следуя предложению Араго 'л' ), не показали вне всякого сомнения,
что скорость света в воде меньше, чем в воздухе, и не нашли тем самым
решающее |Э2) доказательство, позволяющее завершить спор "частица
или волна" в пользу |ЭЗ ) последнего предположения? Как недавно указал
Хэнсон >Э4), эти эксперименты, бесспорно, говорили о волновой природе
света, но отнюдь не исключали возможность того, что свет может быть
и корпускулярен по природе. Вообще говоря, в классической физике поня-
понятия частицы и волны лишь постепенно стали логически противоположными
понятиями. Детальное научное исследование истории логической связи меж-
между этими понятиями, столь важными для современной физики, и их офор-
оформления в концепции, несовместимые в самой своей основе и исключающие
друг друга, пока остается депом будущего. Во всяком случае, когда Юнг
говорил: "Со всех сторон допустимо, что свет — это либо излучение светя-
светящимися телами очень малых частиц, которые испускаются на самом деле
124 *) Полный текст второго из указанных мемуаров был опубликован в 1826 г.
См. Френель О. V. М ем yap о дифракции света, удостоенный премии Академии наук. —
В кн.: Френель О. Избранные труды по оптике. — М.: Гостехиздат, 1955, с. 140-291.
l") Sir Isaac Newton. Philosophies Natural* Principia Mathematica. - L., 16B7,
Книга 1. отдел XIV, предложения XCIV— XCVIII; Opticks, or a Treatise of the Refle-
Reflexions, Refractions. Inflexions and Colours of Light. -1.: S. Smith. 1704, книга 1, часть 1,
предложение V I. теорема V .
1 " *) Ньютон И. Математические начала натуральной философии: Пер. с латинско-
латинского А.Н. Крылова. — В кн.: Крылов А.И. Собрание трудов. — М. — П.: Изд-во АН СССР,
1936, т. VII,c.2B0-2BB; Оптика [70). с. 61.
"*) Laplace P.S. fraite'de Mecanique Celeste. - P.: Duprat, 1B08, v. 4, p. 241; Exposi-
Exposition du Systemd du Monde. --A ed. - P.: Courcier, 1B13, p. 327.
176 *) Лаплас П.С. Изложение системы мира. - П.: Наука. 1982.
1г1)8ю1 J. В. Traite' de Physique Experimental et MatheVnatique. - P.: Deterville,
1B16, v. 3,4.
"") Fiieau AM. Sur une experience relative a la vitesse de propagation de la lumiere. -
Comptes Rendus, 1849, v. 29, p. 90-92; Versuch, die Fortpflanzungsgeschwindigkeit des
Lichts zu bestimmen. - Poggendorf's Annalen der Physik, 1B50, Bd 79, p. 167-169.
'") Foucault J.B.L. Methode geVierale pour mesurer la vitesse de la lumiere dans I'air
et les milieux transparents. - Comptes Rendus, 1B50, v. 30, p. 551-560; Allgemein Metho-
Methode zur Messungder Geschwindigkeit des Lichts in Luft und durchsichtigen Mitteln. - Pog-
gendorff's Annalen der Physik, 1B50, Bd B1, S. 434-442.
'30) Fizeeu H., Breguet L. Note sur I'experience relative a la vitesse comparative de la
lumiere dans I'air et dans I'eau. — Comptes Rendus, 1B50, v. 30, p. 562-563, 771-774;
Notiz in Betreff eines Versuchs iiber die comparative Geschwindigkeit des Lichts in Luft
und in Wasser. - PoggendOrff's Annalen der Physik, 1350, Bd 81. S. 442-444; Ibid., 1B51,
BdB2, S. 124-1 27,
"*)Arago D.F.J. Sur un systeme d'experience a I'aide duquel la theorie de remission
et celle des ondes seront soumises a des epreuves decisive;. - Comptes Rendus, 183B, v. 7,
p. 954-965; Uber eine System von Versuch en, mit Hiilfe dessen die Emissions - und die
Undulations theorie auf entscheinende Proben gestelll werden kdnnen. _ PoggendOrff's
Annalen der Physik, 1B39, Bd 46, S. 2B-41.
1 • *) По поводу "решающей роли" подобных экспериментов см. книгу: Hanson N.R.
The Concept of the Positron! — Cambridge University Press, 1963, p. IB—24.
'Тем самым Физо и Фуко принадлежит эаспуга окончательного Опровержения
эмиссионной теории". См. Winkelmann A. Handbuch der Physik. — Breslau: Trewendt,
1894, S. 10.
>Cm. A32),с 12.
42
и продолжают двигаться со скоростью, обычно приписываемой свету, либо
возбуждение волнового движения, аналогичного звуковым колебаниям,
¦ крайне легкой и упругой среде, заполняющей Вселенную; философы
кех времен резко расходились в вопросе о том, какое из этих мнений
следует принять35), он явно использовал союз "либо" в разделитель-
разделительном смысле, как латинское "aut" (а не "vel"); Араго136) даже считал,
что этот вопрос должен решаться при помощи четкой математической или
логической дихотомии. И тем не менее для физики конца XIX века прост-
пространственное распределение энергии было либо дискретным, как в корпус-
кулярно-кинетической теории ньютоновской механики, либо непрерывным,
как в максвелловской электромагнитной теории, но никогда не было и
дискретным, и непрерывным для одного и того же класса физических
явлений.
Строго говоря - на это указывал Эйнштейн,'37) - успех волновой тео-
теории света был первым ударом по ньютоновской физике, так как корпуску-
лярно-кинетические концепции были заменены понятиями теории поля. Но
hi протяжении конца XIX века эти две системы концепций довольно мирно
сосуществовали рядом друг с другом.
Даже Эйнштейн в начале обсуждаемой статьи '38' признавал, что класси-
классическая теория света, опирающаяся на непрерывные пространственные функ-
функции, настолько прочно обоснована, что вряд ли будет когда-нибудь замене-
заменена другой теорией. Но, продолжал он свою мысль, оптические наблюдения
говорят нам только о средних по времени величинах, и поэтому вполне мож-
можно допустить, что классическая теория света, несмотря на убедительные ее
подтверждения экспериментами по интерференции и дифракции, окажет-
окажется недостаточной в тех случаях, когда должны рассматриваться мгновенные
•начения величин или когда в рассмотрение включается взаимодей-
взаимодействие вещества и излучения, как в процессах испускания и поглощения
»мта.
Эйнштейн, по-видимому, не знал, что похожие сомнения выражал ранее
Дж.Дж. Томсон. Встретившись с трудностями при количественном объяс-
объяснении ионизации, создаваемой рентгеновскими лучами (впоследствии в анг-
англоязычной литературе их стали назьвать X-лучами), Томсон писал в 1903г.:
"Если, например, мы рассмотрим плоскость, перпендикулярную направле-
направлению распространения лучей, то окажется, что энергия не распределена рав-
равномерно по этой плоскости, а распределение энергии характеризуется тем —
как будто у нее существует структура, хотя и крайне мелкая, - что есть
места, где энергия велика, которые чередуются с местами, где она мала,
"М См. A23), лекция 39. с. 457.
'") "В этой Заметке я хотел бы показать, кек можно недвусмысленно решить,
1Юсгоит ли свет из маленьких частиц, испускаемых излучающими телами, как это пред-
полегап Ньютон и допускает большинство современных геометрий, или же свет есть
просто результат колебаний очень разреженной и очень упругой среды, которую физи-
физики условились называть Эфиром. Система экспериментов, которую я опишу, лозв?-
mil, кек мне кажется, сделать решительный выбор между двумя этими соперничающи-
соперничающими 1еориями. Она решит математически (я умышленно употребляю это выражение)
млин из самых дебатируемых вопросов натурфилософии". См. [ 131], с. 954.
' "' "Теоретическая система, построенная могучим и логичным интеллектом Нью-
1пн|, и была побеждена именно теорией свете . . . волновой теорией саета Гюйгенса —
Юнг» - Френеля". См. Binttein A. The new field theory. - The Times (London), №451 IB,
Г.1. 4, 1929. p. 13-14.
' "*> Эйнштейн А. Новая теория поля. I. - В кн.: Собрание научных трудов в че-
1ы|ях томах. -М.: Наука, 1966. т. И, с. 260-264.
'•*) См. [117].
43
как чередуются в стене кирпичи и раствор" |391. Явление, которое навело
Томсона на мысль о "сгустках энергии", а именно, явление фотоионизации,
было, наряду с законом Стокса и фотоэлектрическим эффектом, одним из
тех примеров использования понятия квантов света, которые впоследствии
привел Эйнштейн.
Благодаря статье Эйнштейна 1905 г., физики ссылались главным обра-
образом на фотоэлектрический эффект, как на неоспоримое свидетельство су-
существования фотонов. Таким образом, фотоэффект сыграл важную роль
в эволюции понятий квантовой механики, и представляется уместным об-
обсудить его подробнее.
Напомним, что в серии изобретательных экспериментов, начатой в
1886 г., Генрих Герц продемонстрировал существовение электромагнитных
волн и подтвердил электромагнитную теорию света самым непосредствен-
непосредственным образом, хотя сам Максвелл не очень верил в возможность такого
доказательства. Но та же серия экспериментов, которая столь блестяще
подтвердила электромагнитную теорию света, была и-кек бы парадоксаль-
парадоксально это ни звучало - первым шагом на пути к ее опровержению. Именно
во врамя этих исследований Герц уже в 1887 г. обнаружил, что длина иск-
искры, наводимой во вторичной цепи, сильно уменьшается при экранировании
искрового промежутка от света искры в первичной цепи, а также, что
"ультрафиолетовый свет обладает способностью увеличивать как длину
искры в индукторе, так и длину искры возбуждаемых разрядов40).
Хотя эти слова с полным основанием можно считать самым ренним опи-
описанием того самого фотоэлектрического эффекта, который в конце-концов
послужил доказательством неуниверсальности электромагнитной теории
света, в интересах исторической точности следует заметить, что независимо
от Герца и примерно в то же врамя Шустер141) и Аррениус142) обратили
внимание, по существу, на тот же эффект, но они неполностью сознавали
непосредственную причину явления. Герц не стал высказывать каких-либо
предположений о механизме, с помощью которого излучение стимулирует
электрический разряд, понимая, что для решения этой задачи требуется
большая экспериментальная работа. Его открытие инициировало продолжи-
продолжительную серию исследований. Прежде всего, в 1888г. Видеман и Эберт143)
обнаружили, что облучение светом электрической дуги приводит к разря-
разряду отрицательного электрода, но не влияет на положительный. Также в
1888 г. Гальвакс|44), экспериментируя со свежеполированными цинковы-
цинковыми плестинеми, нашел, что повышение температуры слабо увеличивает эф-
эффект, а красный свет и инфракрасное излучение почти не влияют на него,
"*' Thomson J.J. Conduction of Electricity through Gases: Cambridge University
Press. 1903. p. 25B.
l40' Hertz H. Uber einen Einflu0 des ultravioletten Lichtes auf die electrische Entla-
dung. - Wiedemannsche Annalen der Physik, 1887, Bd 31, S. 9B2-1000.
l4°*) Герц Г. О действии ультрафиолетового саета на разряд электричества. — 8
сб.: 50 лет волн Герца [44» ], с. 1 36-155.
''') Schuster A. Experiments on the discharge of electricity through gases.—Proceedings
of the Royal Society of London (A), 1BB7, v.42, p. 371-379.
'*') Arrhenius S. Uber das Leitungsvermogen der phosphorescirenden Luft. —Wiede-
—Wiedemannsche Annalen der Physik,, 1887, Bd 32, S. 545-572; Proceedings of the Swedish Aca-
Academy, 1887, v. 44, p. 405-429.
l4))№e(/«mannC., Eben H. Uber den Einflu0 des Lichtes auf die electrischen Emla-
dungen. - Wiedemannsche Annalen der Physik, 1888, Bd 33. S. 241 -264.
1 4*) Hallwachs W. Uber den Einflu0 des Lichtes auf die electrostatischgeladene Kor-
per.- Ibid, S. 301-312.
44
и что, по-видимому, испускаются отрицательно заряженные частицы. Он
также продемонстрировал |45), что электрически нейтральная и изолиро-
изолированная пластина при облучении приобретает небольшой положительный
потенциал. В следующем году Столетов показал, что для металла излучение
с длиной волны больше 2950 А не дает эффекта, и создал первый фото-
фотоэлемент - устройство, вырабатывающее фотоэлектрический ток. Столетов
нашел '46) что этот ток строго пропорционален интенсивности поглощенно-
поглощенного света, и продемонстрировал, что между началом освещения и разрядом
проходит менее миллисекунды. Тогда же Эльстер и Гейтель в длинной се-
серии измерений с помощью электроскопа Экснера систематически иссле-
исследовали металлы и сплавы, изучая их фотоэлектрический отклик на облу-
облучение солнечным светом, светом дуги, светом керосиновой лампы и,
наконец, светом от раскаленного докрасна стеклянного стержня147).
Они нашли, что фотоэлектрическая чувствительность металла увеличивает-
увеличивается с ростом его электроположительности, так что рубидий, калий, натрий
и их сплавы реагируют даже на видимый свет.
После того как были определены эти характеристики явления, исследо-
исследователи сосредоточились на идентификации носителей фотоэлектрического
тока и определении их физических свойств. Носителями тока не были моле-
молекулы газа, окружающего катод, - об этом говорил тот факт, что эффект
начинал проявляться при достижении определенного малого давления газа
и продолжал существовать далее независимо от давления, вплоть до мак-
максимально достижимого вакуума. В 1898 г. Реэерфорд измерил |48) ско-
скорость этих носителей заряда, и в том же году Дж.Дж. Томсон '49), основы-
основываясь на своих известных иэмарениях скорости и отношения заряда к
массе для электрона, предложил отождествить эти носители с катодными
лучами в трубках Гейсслера. Это предположение нашло дополнительную
поддержку в серии экспериментов Ленарда150). Взяв амальгаму натрия
в качества катода и химически чистую платиновую проволоку в качестве
' ' ') Hallwachs W. Uber die Electrisierung von Metellplatten durch Bert rah lung mit
•lactrlschem Licht. - Ibid., 1888. Bd 34. S. 731-734.
В немецкой научной питературе фотоэлектрический эффект часто называется "эф-
"эффектом Гапквакса".
1 **) Stoletow A.G. Sor une sorte de courants electriques provoques par les rayons ultra-
violats. - Comptes Rendus, 1888, v. 106, p. 1149-1152; Sur les courants actino-e'lectri-
liuai аи traversde I'air. — Ibid., p. 1593—1595; Sur des recherches actino-e'lectriques. - Ibid.,
v 107, p. 91—92; Sur les phlnomenes actino—electriques dans I'air rarafie- Journal de
Phyiique, 1889. v. 9, p. 468-473.
14 M Eliter J.. Gaital H. Notiz uber die Zerstreuung der negativen Electricitit durch des
fcinnan- und Tageslicht. - Wiedemannsche Annalen der Physik, 1889, Bd38, S. 40-41;
Oher den Einflu0 negativ electrijcher Korper durch das Sonnen- und Tegeslicht. - Ibid.,
t 497-514; Uber einen hemmenden Elnfluf} der 8elichtung auf electrische Funken-, und
¦Ilichalentladungen. - Ibid., 1890, Bd 39, S. 332-335; Uber die Varwandung des Natnuma-
ittalgems zu lichtelectrischen Versuchen. - Ibid, 1890, Bd41, S. 1 61 -J66; Uber die hemmen-
llmi Elnflu0 desMaQnetlsmusauf lichtelectrische Entledungen in verdunnten Gasen. — Ibid.,
¦ 186-176; Weitere lichtelactrische Versucha. - Ibid.. 1894, Bd52, S. 433-454; Lichte-
lertriiche Untersuchungen an polarisiertem Licht. - Ibid, 1895, Bd55, S. 684-700.
1411 Rutherford E. The discharge of electrification by ultraviolet light. - Proceedings of
lit* Cambridge Philosophical Society, 1898, v. 9, p. 401-416; In: The Collected Papers of
luril Rutherford of Nelson. - N.Y.: Interscience, 1962, v. 1, p. 149-182.
14f) Thornton J.J. On the masses of the ions in gases at low pressures. - Philosophical
Maui/ine. 1899, v. 48, p. 547-567.
1 >0) LanardP. Erzetegung von Kathodenstrahlen durch ultraviolettes Licht. -_Wlener
¦¦> iche, 1899. Bd 108, S. 1649-1666; Annalen der Physik, 1900, Bd 2. S. 359-375; Uber die
Hi Ыelectrische Wirkung. - Annalen der Physik, 1902, Bd 8, S. 149-198.
45
анода, Ленард добивался в атмосфере водорода протекания фотоэлектри-
фотоэлектрического тока чераэ цепь вплоть до 3 мкК. Если бы носителями заряда яв-
являлись атомы натрия, в раэультате протекания такого количества тока на
платиновой проволоке осадилось бы около 10~бмг натрия — количество,
поддающееся измерению спектроскопическими методами. Но не было най-
найдено даже следов натрия. Продемонстрировав, что носителями токе явля-
являются электроны, Ленард показал, что их испускание происходит только в
том случае, когда частота становится больше определенного минимального
значения и0, подтвердив, таким образом, результат Столетова, и показал
также, что энергия испущенных электронов возрвстает с увеличением раз-
разности v — v0 и не зависит от расстояния источнике до облучаемой поверх-
поверхности. Существование подобной пороговой частоты, равно как и то обстоя-
обстоятельство, подтвержденное также Ладенбургом 's'), что энергия фотоэлект-
фотоэлектронов не зависит от интенсивности падающего света, в пропорциональна
его частоте, было несовместимо с максвелловской электромагнитной тео-
теорией сеете, но нашло самое естественное объяснение в рвмквх гипотезы
о квантах света, выдвинутой Эйнштейном в 1905 г. Действительно, учиты-
учитывая предполагаемую корпускулярную локализацию или концентрацию их
энергии RfivIN - hv, можно было считать, что каждый квант способен
взаимодействовать in toto *) только с одним электроном.
Хорошо известно, что все количественные характеристики фотоэлектри-
фотоэлектрического эффекте можно описать на основе фотоэлектрического закона Эйн-
Эйнштейна, согласно которому максимальная кинетическая энергия фото-
фотоэлектронов задается соотношением (RlN)$v - Р. или, в современных обо-
обозначениях, hv — Р. где Р — работа (постоянная для данного элемента), не-
необходимая для удаления электроне из металла. Фотоэлектрическое урав-
уравнение Эйнштейна было подтверждено в 1912 г. Хьюзом ), который
измерил максимальную скорость фотоэлектронов, испускаемых рядом
элементов (К, Са, Mg, Cd, Zn, Pb, Sb, Bi, As; образцы тщательно готовились
перегонкой в ввкууме), и Ричардсоном и Комптоном '53), которые усо-
усовершенствовали метод измерений, использовав монохрометор Хильгера
и приняв во внимание контактную разность потенциалов электродов.
Замечвние Эйнштейне, что задерживающий потенциал должен быть линей-
линейной функцией частоты педающего света и изображаться "в декартовых
координатах в виде прямой линии, наклон которой не зависит от природы
исследуемого вещества" '5 4), нашло самое четкое подтверждение в блестя-
блестящих экспериментех, выполненных Милликеном в Чикагском университете.
В Нобелевской речи, прочитанной в Стокгольме в 1925 г. ), Милликен
так рассказал о своих исследованиях: "После десяти лет проверок, изме-
изменений, неходок и временвми грубых ошибок, причем все усилия с семо го
начала были направлены на достижение точности эк слери ментальных иэме-
1 '') Ladenburg С. Untersuchungen iiber die entiadende Wirkung des ultravioletten Lich-
tes auf negativ geladena Metallplatten im Vakuum. - Annalen der Physik, 1903, Bd12,
S. 558-578.
*) в цепом (лег.)
1 *2' Hughes A.L. On the emission velocities of photoelectrons. - Philosophical Transacti-
Transactions of the Royal Society of London. 1912. v. 212, p. 205-206.
1S3) Richardson O.W., Compton K.T.The photoelectric effect.- Philosophical Magazine,
1912, v. 24, p. 575-594.
'") Cm. 1117).с 146.
"') The Autobiography of Robert A. Millikan. - Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall,
1950, p. 102-103.
46
рений энергии испускаемых фотоэлектронов в зависимости то от темпера-
температуры, то от длины волны, то от вещества (контактные э.д.с), эта работа,
вопреки моим ожиданиям, привела в 1914 г. к первому прямому экспери-
экспериментальному доказательству того, что в узком коридоре эксперименталь-
экспериментальных ошибок уравнение Эйнштейна выполняется точно, и к первому пря-
прямому фотоэлектрическому определению постоянной Планка />".
Эксперименты Милликена заняли много времени и были выполнены
очень тщательно. Уже в 190В г. Милликен на заседании Американского фи-
физического общества в Бостоне смог сообщить некоторые поразительные
результаты '5'). Идея его экспериментов состояла по существу в определе-
определении кинетической энергии электронов, высвобожденных из металла, по
значению задерживающего потенциала, т.е. порогового значения потенциала,
при котором электроны перестают попадать на коллектор. Фактическое
проведение экспериментов сильно осложнялось необходимостью точного
определения энергии, которая должна сообщаться электронам для преодо-
преодоления сил, удерживающих их на поверхности металла и зависящих от при-
природы этой поверхности; сделать это контролируемым и воспроизводимым
образом было крайне трудно. Милликен работал с щелочными металлами -
натрием, калием и литием. Чистые поверхности он получал, разрезая струж-
стружки в высоком вакууме с помощью специально сконструированного ножа,
приводимого в действие магнитом; облучение поверхностей велось моно-
монохроматическим ртутным источником. В 1916 г. Милликен получил, нако-
наконец, неопровержимые доказательства прямой пропорциональности между
кинетической энергией фотоэлектронов и частотой падающего света157).
Он показал, что коэффициент пропорциональности не зависит от природы по-
поверхности, а числовое его значение составляет 6,57 -10~2 7 эрг • с, хорошо со-
согласуясь со значением, найденным в1900г. План ком158). В результате того, что
справедливость фотоэлектрического уравнения Эйнштейна была подтверж-
подтверждена Милликеном, квант действия стал физической реальностью.непосредст-
¦енно доступной в эксперименте, а догадка Эйнштейна о квантах света при-
приобрела физический смысл и получила экспериментальное обоснование159).
Если под частицей подразумевать переносчика энергии и импульса, из
планковского толкования физического содержания соотношений между
•маргией и импульсом в специальной теории относительности и электро-
электромагнитной теории160) следовало, что кванты света, которые Эйнштейн
' "I Mlllikan R.A. Some new values of the positive potentials assumed by metals in a
ИЦ|И vacuum under the influence of ultra-violet light. — Physical Review, 1910, v. 30,
И 2B7-288.
1 ' 'I Millikan R.A. A direct photoelectric determination of Planck's h. — Physical Revi-
Review. 1916, v 7, p 355-388. См. такжеего статьи: A direct determination of h. - Ibid.,
• •14, v. 4, p. 73-75; New tests of Einstein's photoelectric equation. - Ibid., 1915, v. 6,
И 56, Quantenbeziehungen beim photoelectritchen Effect.—Physikalische Zeitschrift, 1916,
Nil 17, S. 217-221.
"') См. с 32.
'"I Дальнейшие подробности истории фотоэффекта можно найти в следующих
птичниках: Ladenburg R. — Jahrbuch der Radioaktivitat, 1909, Bd6, S. 428-433; Hug-
Am A.L. Photo-Electricity: Cambridge University Press, 1910; Hughes A.L. Die Lichtelectri-
«llMl Leipzig: Barth. 1914; Ao/)/ R., Prlngsheim C. Die Lichtelectrischen Erscheinungen.-
iteuiuchweig: Friedrich Vieweg & Sohn, 1913; Hel/wachs W. Die LichtalectrizitSt. - In:
ItanillRich der Radio log ie. — Leipzig: Akademitche Verlegsgetelltcneft, 1916, Bd3, S. 245—
MM, Alhn H.S. Photoelectricity. - L.: Longmans; Green & Co., 1913. - 2ed., 1925;
Mughn A.L.. DuBridge L.A. Photoelectric Phenomena. - N.Y.: McGraw-Hill, 1932; Zwory-
tm V.K., Ramberg E.G. Photoelectricity and Its Applications. - N.Y.: Wiley, 1949, 1956.
''"I Planck M. Bemerkungen zum Prinzip der Aktion und Reaktkjn in der allgemeinen
llyriarnik. - Physikalische Zeitschrift, 1908, Bd9, S. 628-830; Vernandlungen der Deut-
47
всегда представлял движущимися в простренстве напревланно, действи-
действительно являются частицами. Согласно Планку, поток энергии всегда сопро-
сопровождается передачей импульса. Поэтому каждый квант света, движущийся
в вакууме со скоростью с, несет с собой импульс hi//с. Штарк, один из пер-
первых сторонников гипотезы о световых квантах, еще в 1909 г. указал на
возможность экспериментально измерить этот импульс. Фактически уже
в 1909 г. Штарк изложил '") теорию, по существу, того самого экспери-
эксперимента, который в 1922 г. осуществил Комптон; этот эксперимент реши-
решительно подтвердил гипотезу Эйнштейна о квантах света и переносимом
ими импульсе и мы еще будем говорить о нем.
Хотя полное осознание дуальной природы свата относится к более позд-
поздним стадиям развития квантовой теории, корни этого осознания можно
найти в одной из ранних статей Эйнштейна об излучении черного тела.
В реботе "К современному состоянию проблемы излучения" ) Эйнштейн
вычислил флуктуации энергии излучения в некотором объеме v изотерми-
изотермической полости при темперетуре Т. Обозначим через ? мгновенное значе-
значение энергии в интервале частот v, v + dv; тогда среднее значение энергии
рев но
e=fEe-E/kTdPdq/fe-E/kTdpdq, _
а флуктуация энергии е = ? — ? и среднеквадратичная флуктуация е1 =
-?_2-?2. где
F1 = / Е 2 в- Е'к Tdp dq/fe- E^ dp dq.
Эйнштейн легко показал, что е2 = kT*dEIdT; это выражение получается
также не основе кввнтовотаоретичвского распределения, согласно кото-
которому Е принимает только дискретные значения Е„ = nhv. Взяв ? = vu,,dv
и подставив вместо и„ в соответствии с законом Планке превую честь соот-
соотношения A.16), Эйнштейн получил
— duv
е =кТ vdv — =
dT
dT с3 [вхфи/кТ) - IJ
или, исключив Г, снова с помощью A.16),
- _ с?
е2 =?Л^+ . A.19)
Qnv2 vdv
Как показал Эйнштейн в своей статье с помощью простого анализа резмер-
ностей, а впоследствии вполне строго продемонстрировал Лоренц163),
tchen Physikeliichen Gejelfschaft, 1908, Bd10, S. 728-732; Physikelische Abhendlungen
und Vortriige [42], Bd 2. S. 215-219.
li0#) Ппанк М. Замечания о принципе действия и противодействия в общей ди-
нвмике. —В кн.: Избранные труды [42>], с. 494-497.
'") Stark J. Zur exparimantellen Entscheidung zwischen AetherwellenHjnd Lichtquan-
tenhypothete. - Physikalische Zeitschrift, 1909, Bd 10, S. 902-913.
'"• Einttein A. Zum gegenwentgen Stand dn Strehlungiproblems. — Physikalische
Zeitichrift, 1909, Bd 10, S. 1B5-193; Verhendlungen der Deutschen Physikalischen Gesell-
cheft, 1909, Bd 11, S. 482-500.
'"*) Эйнштейн А. К современному состоянию проблемы излучения. - В кн.:
Собрание научных трудов, т. Ill, [112*], с. 164-179.
"'I Lonntz H.A. Les theories stetistiques en thermodynamique. Conferences faites
eu College de France en Novembra 1912. - Leipzig. Berlin: Teubner, 1916, Appendix IX,
S. 114-120.
48
¦торой член в правой части A.19) соответствует среднеквадратичной
флуктуеции, обусловленной интерференцией парциальных волн. Иными
Словами, на основании волновой или мвксвепповской теории света следует
Ожидать появления именно второго члена. Напротив, первый член совер-
совершенно необъясним с этой точки зрения, но, как указал Эйнштейн, легко
истолковывается на основе его гипотезы о световых квантах, поскольку
Они должны подчиняться тем же статистическим законам, что и частицы или
молекулы в кинетической теории идеального газа. Действительно, если
обозначить через п среднее значение мгновенного числа п квантов света в
Объеме v, а через 6_= п - п - флуктуацию числа п. то е^ = (bhvJ =nh2v3 =
" Ehv, так кек б2 = л и ? = nhv. Свои заключения Эйнштейн подкрепил
Обсуждением движения зеркала под действием флуктуации светового дав-
давления (это движение совершенно аналогично броуновскому движению),
причем это зеркало идеально отражает излучение с частотой v в интервале
dv и прозрачно для всех других частот. Для среднеквадратичной флуктуа-
флуктуации давления Он снова получил сумму двух членов, один из которых соот-
соответствовал флуктуациям волн, а другой - частиц. По-видимому, Эйнштейн
¦ то время не осознавал всей важности полученных им результатов. Он
просто хотел показать, что волновая теория света, какой она тогда пред-
представлялась, была несовместима с хорошо проверенным экспериментально
••конем излучения Планка.
Впрочем, выступея в Зальцбурге в сентябре 1909 г. на В1-м съезде Не-
Немецкого общества естествоиспытателей с докладом "О развитии наших
•эглядов на сущность и структуру излучения" |64), Эйнштейн предложил,
котя и в самых общих чертах, модель, описывающую его кванты света и
их статистическое поведение. Он представлял себе квант света как особую
точку в пространстве, окруженную полем сил, амплитуда которых посте-
постепенно убывает при удалении от сингулярности. Суперпозиция таких полей
должна дать, по мысли Эйнштейна, волновое поле со структурой, аналогич-
аналогичной структуре электромагнитного поля в мексвелловской теории света.
Эйнштейн совершенно ясно указал, что он не намеревался серьезно выдви-
пть подобную модель, а просто хотел "показать с ее помощью, что нельзя
очитеть несовместимыми обе структуры (волновую и квантовую), кото-
которыми одновременно должно обладать излучение в соответствии с форму-
пой Планка65). Эйнштейн заметил, что формула A.19) дает слишком
Мало информации для построения детальной теории: как на основании вто-
второго члена нельзя построить уравнения Максвелла, так и на основании пер-
первого члена нельзя создать теорию, описывающую квантовую структуру.
Тем не менее, поиски приемлемой механической модели, с помощью
которой можно было бы объяснить "механизм" квантов света и, понимея
мдачу шире, объяснить существование тесной связи между корпускуляр-
корпускулярным понятием энергии Е и волновым понятием частоты V, связи, которая
никогда в классической физике не встречалась и все же была установлена
'•>•) Лоренц Г.А. Статистические теории в термодинамике. Лекции, прочитанные
в College de France в ноябре 1912. - Л., М.: ОНТИ, 1935. Припожение IX. Вычисле-
Вычисление фпуктуаций черного излучении, зависящих от интерференции, с 119-126.
'") См. [114,114..].
' •' I "Ich wollte durch datselbe nur kurz veranschaulichen da? die beiden Struktureigen-
•cntften (Unduletionstruktur und Quantenstruktur), welche geml0 der Planckschen Formel
twkJe der Strahlung zu kommten sollten, nicht als miteinander unverelnbar anzusehen sind'.'—
11141,S.825.
4 M. Джеммер <-
вне всяких сомнений, были предметом многочисленных дискуссий в то вре-
время. В честности, надеялись не то, что создание подобной модели поможет
прояснить истинный смысл постоянной Планка Л. Вспоминая о рениих
годах квантовой теории, Макс Борн |66) приводит пример такой модели,
который, кстати, говоря, использовал сам Планк в одной из своих лек-
лекций *). Возьмем, говорит Борн, яблоню и предположим, что длина череш-
черешков у ее яблок, рассматриваемых как маятники, обратно пропорциональна
квадрату их высоты Н над землей, так что частоты маятников w l~ Ч2 ~W.
Если теперь трясти дерево с определенной частотой v, яблоки-маятники на
соответствующей высоте Н попадут в резонанс и упадут на землю с кинети-
кинетической энергией ?, пропорциональной Н и, значит, пропорциональной так-
также л и. Вряд пи нужно говорить, что подобные и даже более утонченные
макроскопические модели немногим способствовали пониманию постоян-
постоянной Планка.
Среди микроскопических моделей, основанных на господствовавших в
то время представлениях о строении атома, шире других — хотя и не всегда
благосклоннее — обсуждались модели Шидлова и Гааза. В то время атомная
физика еще опиралась на томсоновскую модель атома. Согласно последней
атом представляет собой положительно заряженную однородную сферу,
внутри которой по круговым орбитам вращаются отрицательно заряжен-
заряженные электроны, причем их число достаточно для компенсации положитель-
положительного заряда. Шидлов |67) модифицировал эту модель, предположив, что в
центре положительно заряженной сферы расположена отрицательно заря-
заряженная сфера, плотность заряда которой определяется числом электронов.
На основании этой модели Шидлов показал, что постоянная Планка опре-
определяется соотношением h = 2ле (в/п/Л/1'3I'2, где N — число электронов,
т — масса, в — заряд электрона, а — радиус атома.
Большую роль сыграла модель атома водорода, предложенная в 1910 г.
Артуром Эрихом Гаазом I6S) и основанная, впрочем, тоже на представле-
представлениях Дж.Дж. Томсона. Эта модель позволила впервые выразить постоянную
Ридберга.'хотя бы и с неверным числовым множителем, через элементар-
элементарный заряд электрона, его массу и постоянную Планка, т.е. получить резуль-
результат, пусть основанный на ошибочных предпосылках, но предвосхитив-
предвосхитивший169) на три года знаменитую формулу Бора для этой спектроскопи-
"') Born M. Physik im Wandel meiner Zeit. - Braunschweig: Vieweg, 1957, S. 224;
Albert Einstein und das Lichtquantum. — Die Naturwissenschaften, 1955, Bd 42, S. 425-431.
1 " *' Борн М. Альберт Эйнштейн и световые кванты. — В кн.: Борн М, Физика в
жизни моего поколения. - М.: ИЛ, 1963, с 361-380.
*' Упоминание этой модели Борна встречается у Планка в докладе "О природе
света" (см. Ппанк М. Единство физической кертины мира. — М.: Наука, 1966,
с 123-137».
"') Schidlof A. Zur Aufklarung der universellen electrodynamischen Bedeutung der
Planckscr-sn Strahlungskonstante h. - Annalen der Physik, 1911, Bd 35, S. 90-100; Sur
quelques problemes recent de la theorie du rayonnement. — (II) La signification electroma-
electromagnet kque de I'e'lement de I'action. — Comptej Rendus de la Societe de Physique de Geneve,
Archives des Sciences Physiqueset Naturelles, 1911, v. 31, p. 385—387.
' ' "I Haas A.E. Ober die elektrodynamische Bedeutung des Planck'jchen Strahiungsgeset-
zes und iiber eine neue Bestimmung des elektrischen Elementarquantums und der Dimensio-
nen des Wasserstoffatoms. — Wiener Berichte, 1910, Bd119, S. 119-144; Uber eine neue
theoretitche Bestimmeng des elektrischen Elementarquantums und des Halbmessers des
Wasserstoffatoms. - Physikalische Zeitschrift, 1910, Bd11, S. 537-538; Jahrbuch der
RadioaktivitSt. 1910, Bd 7, S. 261-268
'") "g 1910 г. автор настоящей книги, впервые применив квантовый принцип
к теории атомов и теории спектров, нашел выражение, связавшее постоянную Ридберга
50
«иском константы. Поэтому представляется уместным обсудить более под-
подробно модель Гааза и своеобразные обстоятельства ее создания.
В декабре 1908 г. Гааз закончил историко-критический анализ принципа
(«хранения энергии '70) и представил его философскому факультету Венс-
Венского университета в качестве работы для утверждения его приват доцентом.
Физики-экспериментаторы Франц Экснер и Виктор Ланг, утвержденные ре-
рецензентами и знавшие, что Гааз получил звание доктора философии только
№• года тому назад, отвергли работу, но предложили ему чарез некоторое
время снова обратиться с просьбой об утверждении, представив дополни-
дополнительное исследование по физике более технического содержания. Гааз
согласился и примерно за год создал теорию атома водорода, которую no-
no том называл "величайшим достижением71) своей жизни, и предста-
представил ее Венской академии наук, где она и была зачитана на заседании 10 мар-
марте 1910 г.
В первой части статьи Гааз показал, что полная энергия электрона массой
т и зарядом -е. движущегося по кругу радиуса г, центр которого совпа-
совпадает с центром однородной положительно заряженной сферы радиуса а и
мряда е, достигает максимального значения е2 /а при г = а. Гааз предпо-
предположил также, что в этом случав энергия равна /»»„,, где с» - частота обра-
обращения электрона по кругу, причем v~,(= 8,23-1014с) = сЛ«, где Х„
меняется пределом бапьмеровского выражения
10-5см
при п -*°° (т.е., в современных обозначениях, vx = Rc/4, где R —постоян-
—постоянная Ридберга). Тогда из равенства сип купоновского притяжения е2/а2
и центростремительной сипы таи2 = 4*2mavL Гааз нашел, что »»„ =
• в/[2па у/ат). Таким образом, исходя из предположения, что электрон
движется по поверхности положительной сферы Томсона, он получил
соотношения
hv^ = е2/а и »»„, =е/[2яа у/ат),
И) которых вытекало (после исключения а), что
v. =An2me4/h3
(или, в современных обозначениях, R = ^6п2те4/h3с). Если бы Гааз при-
принял hv^ = Vie2la (что согласовалось бы с результатом Бора, полученным
t основными величинами квантовой теории и электронной теории ..." (Haas A. Das
NaturbiU der neuen Physik. — Berlin Leipzig: Waller de Gru'yter, 1920, S. 7. См. также при-
примечание 2 в книге Haas A. Einfiihrung in die Theoretische Physik. - Berlin, Leipzig:
Walter de Gruyter, 1921, Bd2, S. 14.) "Это соотношение, связывающее фундаменталь-
фундаментальную спектроскопическую константу с фундаментальными величинами электронной
теории и с элементарным квантом действия, было впервые получено автором настоя-
настоящей работы в 1910 г. и позже более точно Бором с помощью его теории" {Haas A. Ato-
Atomic Theory. - N.Y.: Van Nostrand. 1926. p. 32. См. также: Haas A The World of Atoms-
N V.: Van Nostrend, 1928. p. 130-131.)
1 •' •) Аналогичное высказывание можно найти в книге А. Гееза "Волны материи
и квантовая механика", переведенной на русский язык B-е изд., М., П.: ГНТИ,
1031, с. 44).
''°l Haas A. Die Entwicklungsgeschichte des SatzeS von der Erhaltung der Kraft. -
Vienna: Holder, 1909.
1111 Неопубликованная автобиография Гааза. См.: Hermann A. A.E. Нам und der
trite Quantenansatz fur das Atom. — Sudhofft Archiv, 1965, Bd49, S. 255—268.
«• 51
при квантовании момента), он получил бы значение, в 8 раз меньшее, сов-
совладеющее с правильной формулой Бора R = 2ir2me*/Л3с. С учетом относи-
относительно больших неточностей в значениях атомных констант (Милликен
изобрел метод масляных капелек, позволивший значительно увеличить
точность определения е, только в 1911 г.) этот результат Гаеза и найденные
им оценки значений е (= 3,18-1ГГ10СГСЭ), т (= 5,68- 10"а8г) и
а (= 1,88 - 10~8см) не противоречили опыту.
Тем не менее, работа Гааза была отвергнута и даже осмеяна. Как вспо-
вспоминает Гааз в неопубликованной автобиографии, когда он рассказывал
о своих идеях на заселении Венского физико-химического общества, Эрнст
Лехер, директор Института Физики Венского университета, назвал работу
шуткой ("ein Faschingsscherz"), а Хазенерль в ответ на вопрос о его мне-
мнении о работе заметил, что смешение Гаазом двух совершенно несвязанных
предметов — квантовой теории, которая еще рассметривалась как часть уче-
учения о теплоте, и спектроскопии, ветви оптики, - "наивно" и не должно при-
приниматься всерьез. Поэтому только в 1912 г., после публикации еще одной
технической статьи о равновесном распределении электронных групп в
томсоновской модели атома173), Гааз был назначен приватдоцентом.
И все же работа Гааза, в общем отвергнутая, не прошла совершенно бес-
бесследно. Так, упоминает об этой работе и явно ссылается на статью
Гааза173) Арнольд Зоммерфепьд в своем очень важном докладе174),
сделанном на первом Сольвеевском конгрессе в 1911 г., о котором мы
будем говорить позже в иной связи. Бор, как он говорил в мемориальной
лекции о Резерфорде 175), узнал о работе Гааза лишь после того, как в
1913 г. нашел известное выражение для постоянной Ридберга. Но Бор по-
получил от Резерфорда "живое представление о дискуссиях на первом Соль-
веевском конгрессе" I7t), т.е., может быть, и о работе Зоммерфельда, на
которую, кек мы увидим в свое время, в какой-то степени повлияли идеи
Гааза. Если бы подобное влияние работы Гааза, хотя бы окольное и скуд-
|7а) Haas A. Uber Gleichgewichtslagen von Elektronengruppen in einer aquivelenten
Kugel von homogener positiver Elektrizitlft. — Wiener Berichte, 1911, Bd12O, S. 1111 —
1171 (представлено 28 июня 1911 r.)
113> Cm. [168].
l74) La Theorie du Rayonnement et lesQuente-Rapport»etDiscussionsde le Reunion
Tenue a Bruxelles, 1911/ed.P. Langevin, M.de Broglie. - P.: Geuthier- Villers, 1912. p. 362.
Немецкое издание трудов Конгресса под названием "Die Theorie der Strahlung und der
Quenten" опубпиковено в Abhendlungen der Oeutschen Bunsen-Gesellscheft, 1914,
Bd7, led. A. Eucken).
'7Ч "Например, кек я узнал впоследствии, А. Гааз в 1910 г. попытался, исходя из
томсоновской модели втома, задать пределы и период движения электронов с по-
помощью соотношения Ппаика между энергией и часто той гармонического осцилляторе".
(Bohr N. The Rutherford Memorial Lecture 1958. - Proceedings of the Physical Society of
London, 1961, v. 7B, p. 1083-1115. Цитату см. нас. 1086; стетья перепечатане в книгех:
Bohr N. Essays 1958—1962 on Atomic Physics end Human Knowledge. - N.Y.: Interscience,
1963, p. 30-73; Rutherford at Menchester/ed. J.B. Birks. - L.: Heywood, 1962; N.Y.:
Benjemin, 1963. p. 114-167.) Тем не менее в своей классической стетье B.56] Бор
прямо упоминает о работе Гааза.
1's *) бор И. Воспоминания об основопопожнике науки о ядре и дальней шее раз-
развитие его работ. - В кн.: Бор Н. Избренные научные труды в двух томах. - М.: Неуке,
1971, т. II, с. 545-590.
"•) Bohr N. The Solvey Meetings and the Development of Quantum Physics. - In: La
Theorie Quentique des Chemps. - N.Y.: Interscience, 1962, p. 17; In: Essay 1958-
1962 [175].
"••) Бор Н. Сопьвеавские конгрессы и развитие квеитовой физики. - В кн.:
Избренные неучные труды, т. II [175* ], с. 591-612.
52
Ное, было твердо установлено, то можно было бы говорить о большой
Исторической роли этой работы, пусть появившейся случайно и основенной
на несостоятельных предположениях, для резвития понятий квентовой
теории.
Зоммерфепьд не отвергал мысли об установлении связи между постоян-
постоянной Планка и атомными постоянными, но он возражал против направления
Поисков, считая, что не следует искать динемической интерпретации Л.
1ьютупая на 83-м съезде Немецкой ассоциации ученых, состоявшемся в
1011 г. в Карлсруэ, он сказал, что считает бесполезным объяснять Л на осно-
М размеров молекул; скорее, существование молекул должно восприни-
восприниматься как "функция и следствие существования элементарного квента
действия • ¦ • Электромагнитное или механическое "объяснение" Л — укеэы-
¦ал Зоммерфепьд, — представляется мне столь же никчемным и бесплод-
бесплодным, как и механическое "объяснение" уравнений Максвелла. Наука много
¦ыиграла бы, если бы были исследованы многочисленные следствия гипоте-
¦ы об h и прослежены связи с ней других явлений" '77). Современная кван-
квантовая механике, рассматривающая постоянную Пленка h как своего рода
Овяэующее звено между понятиями волны и частицы, полностью разделяет
точку зрения Зоммерфепьда. То, что разграничивает модели, основанные
либо на понятии частиц, либо на понятии волн, и указывает границы при-
примани мости таких моделей, не может само быть представлено моделью и,
конечно, не может быть описано в терминех к л всей ческой физики.
Но этот аргумент не выдвигался в первые годы XX века. В действитель-
действительности именно вера в неограниченную применимость моделей мешала фи зи-
зимам принять гипотезу Эйнштейна о световых квентах. Поэтому несмотря
на весомость аргументов и убедительность рассуждений, подкрепляющих
at статистические вьеоды, гипотеза Эйнштейна о покализовенных квантах
мата продолжала считаться неприемлемой. Отвергал ее и Лоренц. Экспери-
Эксперименты Луммера и Герке178) покеэапи, что пучки света с длиной волны
•аланой пинии ртути и разностью феэ более двух миллионов длин волн все
аща способны интерферироветь; это говорило о том, что пространственные
размеры квантов света в направлении их распространения, если такие квен-
?ы существуют как некогерентные реальности, составляют не менее метра.
Точно так же улучшение разрешения, например телескопов, с увеличением
апертуры казалось невозможным объяснить, не предположив, что попереч-
ныа размеры квантов имеют тот же порядок величины. Но тогда, спраши-
¦ал Лоренц179), как может видеть человеческий глаз? Его зрачок может
Пропустить лишь ничтожную долю кванта, тогда как согласно основным
Положениям гипотезы для воздействия на сетчатку требуется квент цели-
целиком. И разве существование ньютоновых колец (в этом эксперименте
луч света расщепляется на два пуча, проходящие различные пути и затем
интерферирующие между собой) не демонстрирует совершенно четко де-
делимость квантов? Подобные непоследоветепьности, на которые указывали
Лоренц и другие ученье, были первыми примерами недоразумений, возни-
возникающих вследствие неразборчивого применения и одновременного испопь-
аования моделей волны и частицы. Именно эти трудности и обусловили
' ") Sommarfeld A. Das Plancksche Wirkungsquantum und seine allgemeine Bedeutung
111» die Molekularphysik. - Physikalische ZeiUchnf t, 1911, Bd 12, S. 1057-1066.
'") Lummar O., Gehrcke E. Ciberdie Interferenzde» Lichtesbei mehr als zwei Millionen
WeltenlSogen Gengunterjchied. — Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gessell-
Khaft, 1902, Bd 4, S. 337-346.
"'I Cm. [109], с 1250; [109»], с. В1.
S3
сильную оппозицию корпускулярным представлениям Эйнштейна о свето-
световых квантах.
Между прочим, существует интересный документ, в котором официаль-
официально зафиксировано отношение ряда наиболее выдающихся физиков Герма-
Германии к гипотезе световых квантов Эйнштейна, существовевшее до того,
как Милликен окончательно подтвердил справедливость фотоэлектричес-
фотоэлектрического уравнения. В связи с выборами в Прусскую академию наук, которые
должны были состояться 12 июня 1913 г. на место недавно умершего Вант-
Гоффа, выдающегося голландского физико-химика и первого нобелевско-
нобелевского лауреата по химии, четыре самых известных немецких физика — Планк,
Вербург, Нернст и Рубенс - направили в Прусское министерство просве-
просвещения представление, в котором они рекомендовали кандидатуру Эйнштей-
Эйнштейна. В этом документе они описывали работу Эйнштейна по специальной
теории относительности, его вклад в квантовую теорию удельной теплоем-
теплоемкости - об этом мы поговорим в следующем разделе - и его рассмотрение
фотоэлектрических и фотохимических эффектов. В заключение рекоменда-
рекомендации говорилось: "Резюмируя, можно сказать, что среди крупных проблем,
которыми так богата современная физика, вряд ли найдется такая, точка
зрения Эйнштейна на которую не была бы достойна внимания. То, что
он в своих умозрительных построениях иногда, возможно, заходит слиш-
слишком далеко, как например, в своей гипотезе световых квантов, вряд ли за-
заслуживает серьезного упрека: не отваживаясь когда-то на риск, даже в
самых точных науках о природе невозможно добиться ничего подлинно
нового80). Поучительно сравнить эту оценку эйнштейновской гипотезы
световых квантов с более поздними, например, со взглядом К.Т. Ко мп то на
на нее, как на "вклад в физическую теорию, безусловно, сравнимый по
важности с его более впечатляющей и более широко известной общей тео-
теорией относительности, но давший много больше полезных применений81).
Следует подчеркнуть, что первоосновой статистической эйнштейновской
интерпретации дуальности света как волны и частицы был закон излучения
Планка. Когда Планк, желая согласовать теорию с экспериментом, прибег
к интерполяции и вместо выражения
d2S _ const
~ъи7 ~ и
которое приводило к закону излучения Вина, или
ъи1 и2
>»») "Zusammentassend kann man sagen.daPes unter den groften Problemen, an denen
die moderns Physik so reich ist.kaum eines gibt, zu dem nicht Einstein im bemerkenswerter
Weise St el lung genommen hatte. Dafi er in seiner Spekulationen auch einmal uber das Ziel
hinausgeschossen haben mag, wie zum Beispiel in seiner Hypothete der Lichtquanta, vvird
man ihm nicht allzusehr anrechnen durfen. Denn ohne einmal ein Risiko zu wagen, Ia0t
sich auch in der exaklesten Naturvvissenschaft keine wirkliche Neuerung einfuhren". Цитиро-
Цитировано no: Kahan T. Un document historique de I'AkadeYnie des Sciences de Berlin sur I'acti-
vite d'Albert Einstein A913). — Archive Internationale d'Historie des Sciences, 1962, v. 15,
p. 337—342. Этот документ на языке оригинала можно найти также в книге: Seelig С.
Albert Einstein — Eine dokumentarische Biographie. - Zurich, Stuttgart. Wien: Europe
Venag, 1951, S. 171-175.
"°") См. также: Physiker uber Physiker. Wahlvorschlage zur Aufnahme von Physikern
in die Berliner Akademie 1B70 bis 1929 von Hermann v. Helmholz bis Erwin Schrodinger. —
Berlin: Akademie-Verlag, 1975, S. 201-203. (Studien zur Geschichta der Akademie den
Wissenschaften der DOR, Band I.)
"') Oompton K.T. The electron; its intellectual and social significance. - Nature, 1937,
v. 139. p. 229-210.
51
которое приводило к формуле Рэлея — Джинса, использовал следующее
выражение:
32S a
~—Г = . A.11)
ас/2 uib + u)
То в этом как рази заключалось объединение волновых и корпускулярных
•епвктов излучения, - первое подобное объединение в развитии квантовой
теории, хотя, конечно, и не осознаваемое его автором как таковое.
Это можно пояснить следующим образом. Если излучение рассматривать
¦ согласии только с A.10), т.е. с формулой Рэлея - Джинса A.9), непо-
непосредственное вычисление флуктуации энергии дает только второй член в
оумме A.19), что соответствует волновым представлениям о свете. Если же
основываться на соотношении A.8) или законе Вина A.5), выражение для
флуктуации энергии получается в виде только первого члена в сумме
A.19), что соответствует корпускулярным представлениям о свете. К ука-
мнным заключениям можно прийти и не проводя вычислений, если заме-
заметить, что в области малых частот, где справедливо соотношение A.10),
Первый член в сумме A.19) пренебрежимо мал по сравнению со вторым,
тогда как в области больших частот, где выполняется A.8), соотношение
A.19) сводится к е2 = Ehv, т.е. к флуктуационной формуле для частиц
идеального газа.
Все это и имелось в виду, когда, говоря о планковской интерполяцион-
интерполяционной формуле A.11), ставшей известной миру 19 октября 1900 г., мы отме-
отметили, что некоторые следствия из нее, осознанные Эйнштейном, решающим
образом сказались на самом фундаменте физики '8 2).
Конечно, нет большого смысла в том, чтобы какой-то определенный
день принять за "день рождения" столь концептуально сложной теории как
квантовая. Но, анализируя эволюцию понятий, как это делаем мы, по-
видимому, уместно задаться вопросом о дате самой ранней формулировки
положения или соотношения, характеризующих фундаментальную идею
теории. С этой точки зрения мы предпочли бы отнести рождение квантовой
Теории на 19 октября 1900 г., а не на 14 декабря 1900 г. как это предлагали
Макс фон Лауэ'83) и другие авторы.
Выбор обычно падал на 14 декабря 1900 г. по той причине, что в этот
день Планк ввел в рассмотрение постоянную h и дискретный энергетичес-
энергетический спектр гармонического осциллятора данной частоты. Но можно пока-
•ать '84), что дискретные скачки не обязательно являются существенной
характеристикой квантовой теории. Следует также отметить, что еще
II мая 1899 г., т.е. за полтора года до 14 декабря 1900 г., на заседании
Карпинской академии Планк доложил работу ' 85), в которой он на основе
Икона излучения Вина и экспериментальных данных Курльбаума 186) и
Пашена ' ) нашел числовое значение константы, которую он обозначил
"') См. с 29.
'") См.[89).
) См., например, Jordan P. Anschauliche Quantentheorie.- Berlin: Springer Verlag.
1»36. p. 85.
' ") Planck M. Uber irreversible Strahlungtvorgange (см. [42], сообщение 5).
' " ) Kurlbaum F. Uber eine Methode zur Bestimmung der Si rah lung in absolutem Maass
utid die Strahlung de» schwarzen Korperszwischen 0 und 100 Grad. — Wiedemannsche Anna-
It» (Itr Physik, 1898. Bd 65. S. 746-760.
" 7) Paschen F. Ober die VertheMung der Energie im Spectrum des schwerzen Korpar» bei
nMdtren Temperaturen. — Berliner Berichte, 1899, S. 405—420.
55
через Ь, а именно, 6» 6,885-10~27 см2 • г/с. Он отнес ее к фундаменталь-
фундаментальным константам природы, потому что с ее помощью, вместе со ско-
скоростью света с = 3,00 - 100 см/с, гравитационной константой f =
= 6,685 • 10~8 см3/(г • с2) и еще одной константой излучения 188) а =
= 0,4818 • 10"'° с ¦ К, можно построить систему естественных единиц
("natiirliche Ma/3einheiten"), "которые в сипу независимости от специфики
теп и веществ сохраняют свое значение для всех времен и для всех культур,
в том числе внеземных и не созданных человеком" 189). Итак, мы видим,
что введение Ппанком константы h, хотя и под другим именем и без указа-
указания на связь с физической размерностью действия ), равно как и осозна-
осознание ее роли как фундаментальной константы природы, хотя еще и не связы-
связываемой с дискретностью знечений энергии, относится к гораздо более
ренней дете, чем 14 декабря 1900 г. Но так как дуализм волна - частица
может, по нашему мнению, рассматриваться как существенная характерис-
характеристика квантовой теории, так как этот дуализм неявно содержелся, как мы
показали, следуя Эйнштейну, в статье Ппанка от 19 октября 1900 г. и так
как именно интерполяционная формуле A.11) была причиной того, что
Планк в поисках логических ее подтверждений обратился к статистике
Больцмана и ввел квантование энергии гармонического осциллятора —
или, пользуясь современной терминологией, энергии поля электромагнит-
электромагнитных гармонических колебаний,—принятие даты 19 октября 1900 г. в качест-
качестве дня рождения квантовой теории представляется нам оправданным.
1.4. Развитие понятия кванта
Как Мы видели, на первом этапе развития квантовой теории было пред-
предложено два понятия квантов: ппанковских квантов энергии, отражающих
связь между излучением и веществом, и эйнштейновских квантов света,
которые связывались с распространяющимся излучением. Оба вида квантов
характеризовались одним и тем же уравнением е = hv, но кванты энергии
принимались всеми как нечто необходимое для дальнейших исследований,
тогде как кванты света игнорировались по указанным выше причинам.
Отвергал идею квантов света и Ппанк. Напомним, что Эйнштейн обратил
внимание на логическую непоследовательность планковского вывода
закона излучения, в котором одновременно принималась и отвергалась
классическая электродинамика191), и что, считая закон Ппанка экспери-
экспериментально установленным фактом, он видел в этой непоследовательности
довод, говорящий против ничем не ограниченной применимости электро-
электродинамики Максвелла и, значит, в пользу его собственных представлений
о квантах света. В разительном отличии от подхода Эйнштейна находились
попытки Ппанка найти выход в более строгом следовании электродинами-
электродинамике Максвелла.
В ответе Ппанка на выступление Эйнштейна на съезде в Зальцбурге, в
котором Ппанк охарактеризовал "атомистическую интерпретацию" изпу-
1 *') Константа в . по существу, равна hlk.
'**) Система единиц Планка состояла из единицы длины F f/c3) ™ - 4,13 • 10"" см,
единицы массы ibc/f) Vl - 5,56 ¦ 10"* г, единицы времени Ш1с1) ** - 1,3В ¦ 10~*' с и
единицы температуры а (с' Ibf) /l » 3,60 • 10" "С.
'**) В своей обобщающей статье " О необратимых процессах излучения", написан-
написанной также до 14 декабря 1900 г., Планк уже положил Ь = 6.ВВ5 . 10'" эрг ([42],
с. 120, [42. ], с. 232).
'")См. [114].
56
цения и "отказ от уравнений Максвелла" как "шаг, в котором нет еще
необходимости" ), уже содержалось зерно его будущих модификаций
Вывода закона излучения. Говоря о мысленном эксперименте Эйнштейна,
¦ котором рассматривались флуктуации излучения и их влияние на движу-
движущееся зеркало '93), Ппанк заметил, что доводы Эйнштейна быпи бы решаю-
решающими, если бы мы действительно понимали процессы вэимодействия между
иэпучением и веществом. "Но если это не так, то отсутствует мост, по
которому можно было бы перейти от движения зеркала к интенсивности
падающего на него излучения. Действительно, — продолжал Ппанк, —
взаимодействие между свободной электрической энергией в вакууме и
движением весомых атомов, как мне кажется, понято недостаточно. По
Существу, это процесс испускания и поглощения света... Но именно испус-
испускание и поглощение представляют собой неясные процессы, о которых мы
•маем так мало. Может быть, мы что-то знаем о поглощении, но как обсто-
обстоит депо с испусканием? Говорят, что оно происходит при ускорении
•лектронов. Но в этом - самый слабый пункт всей электронной теории.
Предполагается, что электрон обладает определенным объемом и
определенной конечной плотностью заряда ... в нарушение атомистичес-
атомистической концепции электричества. Это не невозможности, это трудности, и я
лочти поражен, что не высказывалось более серьезных возражений. Именно
|десь. мне кажется, может оказаться полезной квантовая теория ... " '94).
В этом духе и была выдержана так называемая "вторая теория" '")
Планка, которую он завершил в конце 1911 г. и доложил на заседании
Немецкого физического общества 12 января 1912 г. В ней Ппанк предло-
предложил путь вывода закона излучения, который, как он попагал, "свободен
от внутренней несогласованности" и "не отклоняется от ядра классической
шектродинамики и электронной теории больше, чем абсолютно необходи-
необходимо ввиду несомненно непримиримых различий с квантовой гипотезой"
В противоположность своей первой теории и в более тесном согласии
с теорией Максвелла, Ппанк теперь предположил, что осцилляторы погло-
поглощают электромагнитную энергию непрерывным образом. Но, утверждал он,
испускание происходит только целыми квантами энергии е и является
дискретным процессом, подчиняющимся законам случая; не каждый
осциллятор, накопив при поглощении энергию е, обязательно испустит
•тот квант, но лишь часть J? таких осцилляторов. Далее Ппанк рассуждал
следующим образом. Из полного числа N осцилляторов Л/и/„ имеют в дан-
данный момент времени t энергии от пело (п + 1)е, где п = 0, 1, 2 Если
скорость возрастания энергии, запасенной осциллятором за время dt, равна
dVldt, то энергетический порог (п + 1) е преодолеют все те осцилляторы,
•нергия которых вначале интервала с/Г составляла от {п + 1)е до {п + })e-dV.
1спи допустить, что распределение однородно, то в интервале dV находится
"') Phytikalische Zeittchrift, 1909, Bd 10, S. 825.
''' *) См.: "Дискуссия по докаладу А. Эйнштейна "О развитии наших воззрений на
еущность и структуру излучения" на 81-м собрании немецких естествоиспытателей
и еречай в Зальцбурге в сентябре 1909 г.". - 8 кн.: Эйнштейновский сборник
1В71. - М.: Наука, 1972, с. 353-357.
"')См.с. 49.
)См. [192].
1 * *) Planck M. Eine neue Strahlungshypothen. — Verhandlungen der Deutschen Phytika-
Ilichen Geselltchaft, 1911, Bd 13. S. 138-148; In: Phytikalische Abhandlungen und Vortrage
|42] ,Bd 2, S. 249—259; Liber die Begrundung des Gesetzes der schwarzen Strahlung.—Anna-
l»n der Physik, 1912, Bd 37,S. 642-656; In: Phytikalische Abhandlungen und Vortrage [42],
*U,S. 287-301.
57
NwndV/e осцилляторов, tiNwndVle из которых испустят всю энергию,
A -T))NwndV/e пройдут указанный порог и заменят Mvn + idV/e осциппя
торов, которые к началу интервала dt имели энергии от (п + 1>е д
(л+1)е +dV. При равновесии A -r))NwndV/e = Nwn + \dVle, т.е. wn + l ¦
оо
= wnA - т?). Тогда wn = ivoA - *?)". где w0 = т?, так как ? /Vivn - N. Дале
о
поскольку средняя энергия осцилляторов в интервале пе, (п+ 1)е равн
(л + %)б, полная энергия ? равна
Е =?/Vivn(/» + Vi)e = /VeA - т?)/т? +/Ve/2.
Поэтому средняя энергия осциллятора составляет
е 1 -т?
(У = — +
2 п
Далее Ппанк определил зависимость l/от температуры Г Термодинамичес
кая вероятность распределения равна
W = N\( П (М*„)!Г\
о = О
так что энтропия
kN
S = -kN\nr) A — т? )ln A — л» .
П
= (dS/dri)(dT)/dE)=T-x, Ппанк нашел, что 7"'1 =-(*/еIпA -
т.е. 1 - т? = ехр(- е//гГ), и окончательно получил
е 1 — я /»> hv
U е
2 17 2
это выражение для U отличается от предыдущего (см. с. 32) аддитивной
константой hvl2. Чтобы получить закон излучения, Ппанк должен был ввес-
ввести дополнительную гипотезу. Он постулировал, что отношение между
вероятностями испускания и отсутствия такового обратно пропорциональ-
пропорционально скорости поглощения энергии: i?/A -17) = a/{dV/dt). Таким образом,
чем медленнее осциллятор проходит критический порог пе, тем больше
вероятность излучения. Поскольку при равновесии яркость К„ (см. снос-
сноску 12 на с. 16) и, следовательно, плотность энергии uv = (8тг/с)/С„ пропор-
пропорциональны dV/dt, Ппанк получил
hv Y
IF"'
1т? Г
ы„=0 =0 ехр
т? I
Константа /3, найденная с помощью формулы Рэпея -Джинса [Г|тA>/П = 0],
оказывается равной Bnhv3/c3, так что мы вновь приходим к первоначаль-
первоначальному закону излучения Планка A.16).
"Вторая теория" Планка была вскоре отвергнута автором и заменена
"третьей теорией", в которой и испускание и поглощение рассматривались
как непрерывные процессы |96), и тем не менее она заслуживает нашего
1") Planck M. Eine verSnderte Formulierung der Quantenhypothese. — Berliner Berichte
1914, S. 918-923; In: Phytikalitche Abhandlungen und Vortrage [42]. Bd2, S. 330-335.
Основная идея "третьей теории" заключалась в том, что квантовые эффекты возника-
возникают только благодаря столкновениям; ее несостоятельность быле показана в статье:
Fokker A.D. Oiemittlere Energie rotierender DipoleimStrahlungsfeld. — Annalen der Physik,
1914, Bd43, S. BIO-B20.
58
Внимания, как минимум, по трем важным причинем. Прежде всего, из
Нового выражения для средней энергии U гармонического осциллятора
Планк заключил, что при абсолютном нуле энергия не равна нулю, как
•то следовало из его первонечальной формулы для U, а равна Vibv. Тем
Самым в современную физику впервые проникло понятие "нулевой энер-
энергии"; выдвинутое несостоятельной теорией, оно, как хорошо известно,
¦ конечном счете было принято квентовой механикой. Следующая причина
Состоит в том, что во "второй теории" Планка содержится, видимо, самое
раннее предположение в рамках квантовой теории о подчинении элементар-
элементарных процессов законам случая. Действительно, Планк допускал, что осцил-
осциллятор, непрерывно поглощая энергию из окружающего поля излучения,
накапливает ее, так что его энергия может иметь любое значение; но как
Только это значение достигает величины hv, появляется определенная
вероятность испустить квант hv. Следует подчеркнуть, что Планк испопьзо-
Мп классическое понятие вероятности, употребляемое, например, в кинети-
кинетической теории газов. Он утверждал: "Для испускания не отрицается причин-
причинность; но процессы, обуславливающие причины испускания, имеют.
По-видимому, столь глубоко скрытую природу, что пока их законы можно
разыскать только из статистических соображений" 197). Как совершенно
очевидно, Планк рассматривал использование законов случея, что, по его
выражению, "всегда означает отказ от полноты причинных взаимодейст-
взаимодействий" "8), как вынужденную временную меру. Именно поэтому он считал
свою теорию не более чем "гипотетической попыткой" примирить закон
излучения с основами доктрины Максвелла, а не окончательным решением
проблемы.
Наконец, третья причина состоит в методе вычисления указанной вероят-
вероятности. Постулировав, что отношение вероятностей испускения и отсутствия
испускания обратно пропорционально скорости поглощения энергии, т.е.
что отношение вероятностей отсутствия испускания и испускания пропор-
пропорционально интенсивности возбуждающих колебаний '"), Планк опреде-
определил константу пропорциональности, обратившись к предельному случаю
очань интенсивного излучения, когда справедливы формула Рэлея и класси-
классическая динамика 20°). Предложенный Планком метод нахождения кон-
стшнты пропорциональности был, по-видимому, самым первым примером
использования в квантовой теории того подхода, который десятью годами
позже стал известен под названием "принцип соответствия" и который
Оказался чрезвычайно полезен не только при определении констант с
помощью подобных предельных переходов, но и для достижения достаточ-
достаточно общих выводов.
Выступавшие против гипотезы Эйнштейна о световых квантах обязаны
были, конечно, опровергать статистические доводы, приведенные им в пользу
•того понятия: до тех пор, поке возражения против гипотезы основывались
Только на экспериментально установленном существовании интерференции
и дифракции, убедительного решения нельзя было найти. Поэтому в
10-х годах нашего века было сделано несколько попыток доказать ошибоч-
М. Измененная формулировка квантовой гипотезы. — В кн.: Избран-
Избранны! труды D2* ], с. 325-330.
' ") "Nicht alt ob fii'r die Emission keineKausalitat angenommen wurde; aber die Vorgan-
gt, welche die Emission kausal bedingen, sollen so verborgener Natur sein, da? ihre Gesetze
•imtweiien nicht anden alt auf statistischem Wege zu-ermitteln slnd",- [195], 1912, S. 644.
lft)CM. [195], 1911,с. 14В.
'••)Тамже, 1912, с. 645.
|0|)Тамжв.
59
ность заключений Эйнштейна. Так, в апреле 1913 г. Вин выступил в Колум-
Колумбийском университете (США) с шестью лекциями "Новые проблемы
в теоретической физике" 201). Отвергая гипотезу Эйнштейна о световых
квантах по причинам, сходным с выдвинутыми Лоренцем 2О2), Вин попы-
попытался найти слабое место в рассуждениях Эйнштейна относительно соотно-
соотношения A.19) и увидел его в следующем. Он указал, что из A.16) следует
Eh v с3Ё2
ехр(х)-1
где х- hv/kT. Обозначив это выражение через В, а Е hv через А, так что
А •= [ехр(х) - 1] В, Вин нашел следующее выражение: W2 =А + В = Вех.
"Эта формула, — заключил он, — показывает, что нет особых причин припи-
приписывать флуктуации двум причинам, не зависящим друг от друга" ).
Выступавшие в защиту понятия квантов света полагали необходимым
исследовать связь эйнштейновских квантов света с ппанковскими кванта-
квантами энергии. Важный шаг в этом направлении был сделан в 1911 г., когда
одновременно и независимо друг от друга появились две статьи; Эренфест,
выступая перед Петербургским физическим обществом 104), и Натансон
на заседании Академии наук Кракова 20S) показали, что гипотеза Эйнштей-
Эйнштейна о невзаимодействующих квантах света ведет не к закону излучения
Ппанка A.16), но лишь к закону Вина A.5), как известно, частному
случаю закона Ппанка.
Анализируя точные предположения, лежащие в основе комбинаторной
процедуры Ппанка, согласно которой Р элементов энергии е распределяют-
распределяются по N "приемникам энергии", так что /Vy-й приемник содержит / элемен-
элементов энергии, причем Z/V/ = N и 2,- N/ = Р, Натансон назвал корреляцию /е
с Nj, т.е. сортировку приемников по запасу энергии в них и указание числа
приемников с одинаковым запасом энергии, "модой распределения".
Натансон подчеркнул, что при указании "моды распределении" не учитыва-
учитывается возможность "отождествить" или различить, как мы сказали бы теперь,
ни приемники, ни элементы энергии. Если принять, что приемники энергии
возможно различить друг от друга, из каждой данной "моды распределения"
получается несколько "мод расположения", характеризуемых, .числом
элементов энергии в каждом из индивидуальных приемников. Наконец,
если элементы энергии также считать различимыми, каждая "мода располо-
расположения" расщепляется на несколько "мод соединения", в которых индиви-
индивидуальные элементы энергии связываются с индивидуальными приемниками.
Натансон указал далее, что термодинамическая вероятность данной "моды
распределения" заметно зависит от того, считать пи равновероятными все
"моды расположения'' или все "моды соединения", и что Ппанк, в противо-
противоположность Эйнштейну, принял последнюю возможность. Именно в анализе
статистической процедуры Ппанка, проведенном Натансоном, был впервые
поднят вопрос о различимости элементарных сущностей.
В статье 1911 г. и позже, в приложении к статье, цитированной в ссыпке
[87], Эренфест проводил различие между "идентичными и оторванными
ао|)И//вл W. Neuere Probleme der theoretischen Phytik. - Leipzig, Berlin: Teubner,
1913.
10J)Cm.c. 53.
»•») Cm. [2O1),c.51.
J04)Cm. [77].
10l)Natanton L. On the statistical theory of radiation. - Bulletin de I'Academie des
Sciences de Cracovie (A), 1911, p. 134—148; Uber die statistische Theorle der Strahlung. —
Phytikalische Zeitschrift, 1911, Bd12, S. 659-666.
60
друг от друга квантами" ("gleichartige, von einander losgetoste Quant en").
Такими как эйнштейновские кванты света, и "не оторванными друг от дру-
Га квантами"("nicht von einander losgeloste Quanten"), такими как плаи-
Иовские. Это различие Эренфест выводил из различного их статистического
Поведения. Действительно, если число способов распределения Р элементов
анергии эйнштейновского типа по /Vi приемникам или ячейкам пространст
U равно А1, а соответствующее число для Л/2 приемников равно А г, то, как
•идно из соотношения A.18),
Поскольку v »/Vj единиц объема, a v0 » N2 тех же единиц. Если же A i и Аг
Относятся к планковским квантам энергии, то
(Ni + А>-1I {N2+P-1)\
1 " 2 = (Л/,-1)!А>! ' (Л/2 -1)!А>!
Поэтому Эренфест заключил, что "не оторванные друг от друга кванты"
Соответствуют закону излучения Планка, а кванты эйнштейновского типа —
Икону Вина. Ясно, что по существу Эренфест указывает на неравенство
•лособов распределения по N ячейкам Р различимых или неразличимых
Объектов. Иоффе, также в 1911 г., попытался модифицировать эйнштейнов-
акое понятие кванта, с тем чтобы достичь согласия с законом излучения
Планка206). Аналогичным образом, несколькими годами позже, Крутков
показал, что два предположения: 1) резонатор с частотой v обладает только
•качениями энергии 0, hv, 2hv, ... и 2) эти значения энергии обусловлены
"присоединением друг к другу" ("Aneinanderlagerungen") дискретных
Мамонтов hv, ведут к закону Вина, а не Планка; для получения закона
Планка надо отказаться от второго предположения. Вопрос о том, какие
Ш$ дополнительные условия надо наложить на кванты, послужил предметом
Долгой дискуссии между Крутковым и Вольфке 2 ° 7).
Ни в одной из указанных работ не удалось пролить свет на ситуацию,
продолжавшую оставаться неясной. Неудивительно, что Лоренц, выступая
SB Сольвеевском конгрессе, который проходил в Брюсселе с 30 октября по
ноября 1911 г., назвал излучение черного тела "самым таинственным
Цапанием, представляющим огромные трудности для разгадки" 2О8).
Оольвеевский конгресс 1911 г., в число участников которого входили
Марсель Бриллюэн, Морис де Бройль, Варбург, Вин, Джине, Зоммерфельд,
Каммерпинг-Оннес, Нернст, Планк, Резерфорд, Рубенс и Эйнштейн, был
Мааан ради того, чтобы попытаться достичь некоторой ясности в сложной
Проблеме квантов. Все без исключения были согласны с тем, что по словам
Царнста, "фундаментальные и плодотворные идеи Планка и Эйнштейна
'•*) Joffe A. Zur Theorie der Strahlungserscheinungen. - Annalen der Phyiik, 1911,
|4N, S. 634-662. Частично эта работа была допожена ранее, в сентябре 1910 г., на
ИМдении Петербургского физического общества. (Эта более ранняя работа "К теории
Лучистой энергии" была опубликована в ЖРФХО, ч. фиэ., 1910, т. 42, с. 408 — 425.
ИМ, также Иоффе А.Ф. Избранные труды в двух томвх. -Л.: Наука, 1975 , т. 2,
I, 12-24. - Примеч. пер.)
"') Wotfke M. Welche Strahlungtformel foigt aui der Annahme der Lichtatome?. —
HlyilkalitcheZeittchrift, 1914, Bd15, S. 308-310;KrutkowG. Bemerkung ги Herrn Wolfke»
Nate: "Welche Strah'lungiformel folgt aui der Annahme der Lichtatome?". - Ibid.,
| ЗвЗ—364; Wolfkb M. Antwort auf die Bemerkung Herrn Krutkowt zu meiner Note: Welche
ttnhlungsformel folgt aui der Annahma der Lichtatome ?. — Ibid., S. 463—464.
•*') Lorena H.A. Sur ('application au rayonnement du theorems de I'e'quipartition de
. — In: La Theorie du Rayonnement et let Quanta [174], p. 12.
61
должны послужить основой для наших дискуссий; эти представления мож-
можно изменить и уточнить, но нельзя игнорировать" 109). Всего лишь через
несколько недель после окончания Конгресса Пуанкаре опубликовал
статью "О теории квантов" 210), в которой он убедительно продемонстри-
продемонстрировал, что "гипотеза квантов - единственная гипотеза, приводящая к зако-
закону излучения Планка", и что наличие дискретности в вероятностной функ-
функции энергетического распределения с необходимостью вытекает из любого
закона излучения, если он приводит к конечности полного излучения.
Планк представил на Конгресс важный доклад211', в котором он по-
показал, как дожна быть изменена классическая статистическая Механика,
чтобы приводить к закону излучения A.18), а не к закону Рэлея - Джинса
A.9). Согласно классической теории Гиббса2 вероятность найти точ-
точку, изображающую состояние системы, в элементе объема фазового прост-
пространства равна
ехр ( - ElkT)dqdp (ff exp(- ElkT)dqdpVl.
где энергия Е есть функция координаты q и обобщенного импульса р.
Для линейного гармонического осциллятора Е = р112т + 2n*v2mq2. Как
легко показать непосредственным интегрированием, в классической ме-
механике средняя энергия осциллятора
U = U= Я ?ехр(- ElkT)dqdp{ ffe~ E'kTdqdpf1 = кТ,
что ведет к закону A:9). Но если предположить, что Е может принимать
только дискретные значения Еп = пе » nhv, где п = 0, 1, 2, ...,то213^
ХЕпехр{-Еп/кТ) е
2ехр(-?„/*7") ехр(еМТ)-1'
в полном согласии с A.16). Именно при этом элементарном выводе закона
излучения Планк впервые явно указал, что энергия осциллятора с често-
той v, а не только средняя его энергия, равна целому кратному элемента энер-
энергии hv.Ha основании этих соображений Планк интерпретировел/> как конеч-
конечную протяженность элементарной площади в фазовом пространстве. Дви-
2<") См. Л74]. с. 11.
1IS) Poincara H. Sur la theorie det quanta. - Comptes Rendus, 1911, v. 153, p. 1103-
1108: - Journal de Physique, 1912, v. 2, p. 1-34. См. такжеPlenck M. Henri Poincarj uno
die Quantentheorie. - Acts Mathematical. 1915, Bd38, S. 387-397.
2' • •) Пуанкаре А. О теории квантов. — 8 кн.: Пуанкаре А. Избранные труды в трех
томах.-М.: Неука, т. Ill, 1974, с.516-520; О теории квантов. - Там же, с. 521-545.
'") Planck M. La loi du rayonnement noir et I'hypothes det quantitls elementatres
d'action. — In La Theorie du Rayonnement et let Quanta [174], p. 93—114; Die Gesetze
der Warmestrablung und die Hypo these der elementaren Wirkungsquanten — Abhandlungen
der Buntengesellschaft, 1913, Bd3, S. 77—94; In: Phytikalische Abhandlungen und Vortrage
[42], Bd2, S. 269-2B6.
11 ' ') Ппанк М. Законы теплового излучения и гипотеза элементарного кванта
действия. - В кн.: Избранные труды [42*], с. 282-29В.
112)
GibbsJ.W. Elementary Principles in Statistical Mechanics. - N.Y.: Scribner, 1902;
In: Collected Works. - N.Y.: Longmanns, Green and Co., 192B, v. 2.
1'' *)ГиббсДж. Основные принципы статистической механики. - М.: Наука, 1984.
1'') Надо ввести обозначение е IkT = ж и использовать тождества
62
жение линейного гармонического осциллятора с энергией Е = р117т +
+ %(kf2 изображается в фазовом пространстве семейством концентри-
концентрических элементов с полуосями Bf/C)% и BтЕ)'А. Если теперь принять,
продолжал Планк, что эти эллипсы не образуют континуума, а отделены
друг от друга и площадь полоски между ними в фазовом пространстве
равна h, т.е. что п-Л эллипс охватывает площадь // dq dp = nh, то энергия
осциллятора будет кратна Л»'214*.
Эти рассуждения, которые prima facie*' могпи бы считаться просто
удобным графическим описанием, представляли важный поворотный
Пункт в эволюции квантовой теории. Они привели Планка к имевшей
большие последствия идее о том, что кванты энергии проявляются в ре
¦ультате действия какого-то гораздо более глубокого и общего принципа.
Поэтому Планк заявил, что понятие квантов энергии должно отступить на
¦торой план, так как оно является следствием более фундаментального
условия
/ / dqdp = h.
в
"Можно ограничиться констатацией того факта, что элементарная область
вероятности имеет указанную конечную величину, откпоняя все дальней-
дальнейшие вопросы о физическом значении этой замечательной постоянной15'.
По существу, выступление Планка было призывом оставить все попытки
иайти классическую интерпретацию h и вместо этого пытаться прояснить
основные принципы, которые приводят к появлению квантов энергии.
Все признавали, что те изменения, которые нужно было внести в клас-
классическую статистику, служат указанием на необходимость каких-то се-
серьезных изменений в классической механике, детали которых были, впро-
впрочем, совершенно неясны. Ппанк выразил это ощущение в начале своего
выступления на Конгрессе, заявив: "Рамки классической динамики, даже
•ели иметь в виду и то обобщение, которое было вызвано принципом
относительности Лоренца - Эйнштейна, оказались слишком узкими, чтобы
охватить все те физические явления, которые не поддаются прямому
наблюдению нашими грубыми органами чувств16'. Это высказывание
Планка предствляет один из первых (еспи не самый первый) случаев отказа
От признания универсальной справедливости кпессической механики.
Эйкен, издатель Трудов Конгресса на немецком языке, формулировал
проблему следующим образом217': "Является ли квантовая механика
разделом обычной механики или, наоборот, традиционная механика являет-
оя частным случаем более общей механики (которая включает в себя
квантовую теорию или совпадает с ней) или же, наконец, квантовая тео-
теория - наука, совершенно выходящая за пределы механики?
114)Мы слегка изменили аргументацию Планка, с тем чтобы она больше согласо-
¦ывелась с позднейшими' формулировками, и ограничились случаем одной степени
свободы, достаточным для описания линейного осциллятора. Обобщение на f степе-
степеней свободы проводится очевидным образом.
*) На первый взгляд {пат.)
т)См. [211],с. 100.
"•)См. [211], с. 93.
)Die Theorie der Strahlung und der Quanten A74], S. 372.
63
Первый шаг в этом нащупывании пути к новой механике был сделан
Арнольдом Зоммерфельдом в докладе "Применение теории Планка <
кванте действия в молекулярной физике18*, представленном на Соль
вееаский конгресс. Говоря о термине "квант действия", который по его
мнению был "очень удачен", Зоммерфельд предположил, что константа
h теснее, чем только по созвучию названий, связана с "функцией действия"
Гамильтона / L dt, где L обозначает так называемый кинетический потен
циал, т.е. разность между кинетической энергией Т и потенциальной энер
гией V рассматриваемой динамической системы. Зоммерфельд выдви
нул фундаментальную гипотезу, согласно которой в каждом элементар
ном процессе атом приобретает или теряет определенное количество
действия
т
W= 5 Ldt-hl2it,
о
где г - длительность процесса. Конечно, справедливость этого утверждения,
как и любого фундаментального принципа, не могла быть доказана со
вершенно строгим образом. Зоммерфельд мог только выдвинуть ряд
аргументов в пользу гипотезы, например, ее релятивистскую инвариант-
инвариантность или возможность естественно объяснить возбуждение рентгеновских
или у-лучей; эти аргументы предствлялись ему достаточно убедительными
Кроме того, Зоммерфельд показал, что его гипотеза легко объясняет
фотоэлектрический эффект. Опишем вкратце, как он получал фотоэлект
рическое уравнение Эйнштейна. Предположим, что на электрон, удержи
ваемый квазиупругой силой -fx около равновесного положения х = О,
занимаемого им в момент времени t = 0, действует внешняя электричес
кая сила F - Е cosnt, где v = n/2n есть частота падающего монохрома
тического излучения. Уравнение движения имеет вид mx + fx = eE cos nt
кинетическая энергия Т = % mx2, потенциальная энергия V = % fx1. Соглас
но предложенному принципу, электрон будет испущен, как только
W, выражение для которого после интегрирования по частям и с учетом
уравневния движения можно записать в виде
т
tV='/4/nxx-V4e / xFdt,
о
достигнет значения h/2n. Первый член, %/лхх, соответствующий момен
ту времени t = т (при г = 0 он обращается в нуль), есть кинетическая энер
гия электрона, деленная на собственную круговую частоту п0 •= 2nv0 =
= {f/m ) "л. В этом можно убедиться следующим образом. Величина W
подобно х и х, является быстро колеблющейся функцией с медленно
меняющейся амплитудой; поэтому она впервые достигает значения h/2т
вблизи максимума (иначе это значение было бы достигнуто во время
предыдущего колебания). Поэтому при t = 0 имеем dW/dt = 0, или Г= V
откуда следует, что х = пох и 'Л/лхх = Т/п0. Зоммерфельд далее показал,
что при резонансе, когда п = п0. вторым членом в выражении для W, а
'"^SommerfeldA. Rapport tur ('application de la theoried I'Alement d'action aux phe
no mines mole'culaires поп periodtques. - In: La Thtfcrte du Rayonnement et let Quant..
A741. p. 313-372; Dat Plancktche Wirkungiquantum und wine allgemeine Bedeutung fu
die Molecularphysik. - Phyiikalische Zeluchrift, 1911, Bd 12, S. 1067-1066.
64
именно вкладом от внешней силы, можно пренебречь по сравнению с
Г Поэтому IV» Л/2тг = Т/п0 ¦ Tin, откуда T=hi>219). Но это, с точностью
до работы выхода, и есть фотоэлектрическое уравнение Эйнштейна. Экспе-
Экспериментально установленный факт зависимости энергии выбитого фото-
алектрона от частоты с падающего излучения, но не от его интенсивности,
был в глазах Зоммерфельда прямым следствием выдвинутой им гипо-
гипотезы или мог считаться доказательством ее справедливости.
Мы довольно подробно рассмотрели гипотезу Зоммерфельда, хотя
она и была вскоре отброшена при дальнейшем развитии теории, в связи
с ее ценностью для истории: она положила начало новому подходу к рас-
рассмотрению квантовых явлений. До этого времени подобное рассмот-
рассмотрение велось на основе квантовой статистики гармонического осцилля-
осциллятора, как можно назвать подход, который был развит в работах Планка
посвященных излучению черного тела, и позволил объяснить это явле-
явление. Но в других областях физики этот подход почти не использовался.
Единственное исключение, существовавшее до первого Сольвеевского
конгресса, мы сейчас обсудим более подробно.
1.5. Применение квантовых понятий
в молекулярно-кинетическои теории
Относительно статуса квантовой теории в пока что прослеженный нами
промежуток времени можно сказать, что теория Планка была, как мы
•идели, с математической точки зрения в конечном счете плодом интер-
интерполяции, а с методологической точки зрения вплоть до первого Соль-
••веского конгресса была почти что теорией ad hoc. Фактически до 1907 г.
¦то была чистая теория ad hoc, созданная ради объяснения излучения
черного тела и никак не затрагивающая другие физические явления. Если
соглашаться с тем, что физическая теория становится значимой только
тогда, когда с ее помощью удается объяснить также круг явлений, отлич-
отличный от того, ради объяснения которого она была создана, то физическую
значимость теории Планка придала в 1907 г. статья Эйнштейна "Теория
излучения Планка и теория удельной теплоемкости30'. В этой работе
Эйнштейн показал, что квантовые понятия можно с успехом применять
и вне проблем излучения, объяснив на основе теории Планка некоторые
несообразности в классической молекулярно-кинетическои теории.
Говоря об утверждении Планка, согласно которому механизм пере-
передачи энергии допускает только передачу порций энергии, являющихся
целыми кратными hv, Эйнштейн заявил: "Однако я думаю, что мы не
можем довольствоваться этим результатом. В самом деле, напрашивается
¦опрос: если элементарные образования, существование которых пред-
предполагалось в теории обмена энергией между излучением и веществом,
мы не можем понимать в смысле современной молекулярно-кинети-
молекулярно-кинетической теории теплоты, то не следует ли нам тогда видоизменить теорию и для
других периодически колеблющихся образований, рассматриваемых мо-
"*)См. также $omm*rfe/d A.. Oebye P. Theorie det lichtelektrischen Effekte» vom
ttendpunkt de» Wirkungsquantum. - Annalen der Phytik, 1913. Bd 41. S. 873-930.
"^Einstein A. Die Plancksche Theorie der Strahlung und die Theorie der spezifischen
WNfrme. - Annalen der Physik, 1907, Bd 22, S. 180-190.
"* •) Эйнштейн А. Теория иалучаимн Планка и теория удельной теплоемкости. —
I кн.: Собрание научных трудов, т III A12*1, с. 134—143.
I. M. Джеммер 65
пекулярной теорией теплоты? Ответ, по-моему, сомнений не вызывает.
Если теория излучения Планка содержит в себе зерно истины, то мы должны
ожидать, что и в других областях теории теплоты найдутся противоречия
между современной молекулярно-кинетической теорией теплоты и опы-
опытом, устраняемые предложенным здесь путем 2').
Как известно, подобное противоречие существовало в проблеме удель-
удельной теплоемкости. В течение пятидесяти лет, прошедших после того, как
Дюлонг и Пти пришли к выводу, что "атомы всех простых тел обладают
в точности одной и той же теплоемкостью32*, казалось, никто не сом-
сомневался в истинности этого "закона", а обширные измерения теплоемкос-
тей, проведенные Реньо223', лишь подтвердили его. Однако почти все
такие измерения выполнялись при комнатной температуре или более
высоких температурах, так как тогда измерения в области низких тем-
температур представляли огромные технические трудности. Первое указа-
указание на противоречие с законом Дюлонга - Пти было получено в 1872 г.,
когда Вебер224' измерил удельную теплоемкость алмаза при темпера-
турех ниже комнатной и нашел, что при — 50° С его молярная теплоемкость
составляет всего 0,76 кал/моль-К. До 1896 г. были выполнены, по-ви-
по-видимому, еще только два эксперимента в интересующем нас направлении.
Это эксперименты Пебаля и Яна225' с сурьмой и эксперименты Шюца226'
над сплавами и амальгамами с низкой температурой плавления. Но, как
бы ни разрознены были подобные экспериментальные данные, Больц-
ман 227* и особенно Рихарц228' уже попытались построить теорию удель-
удельных теплоемкостей, которая объясняла бы также и исключения из закона
Дюлонга - Пти. В 1895 г. Линде229* в Мюнхене изобрел способ сжиже-
сжижения воздуха, основанный на эффекте Джоуля - Томсона. Это изобрете-
изобретение настолько продвинуло технику измерения удельных теплоемкостей
при низких температурах, что всего тремя годами позже, в 1898 г., Бен230',
'")Тамже, с. 184.
•»»») Dulong P.L., Petit A.T. Sur quelques pointi important! de le theorie de la cha-
leur. — Annalesde Chimie etde Physique,1819, v. 10, p. 395—413.
w)Regnault V. Recherche» tur la chaleur specif ique det corps simples etdet corps com-
composes. - Annales de Chimie et de Physique, 1840, v. 13, p. 5-72; 1841, v. 1, p. 129-207.
F.H. Die specifische Warme des Kohlenstoffs. - Poggendorff's Annelen der
Physik, 1872, Bd 147, S. 311-319. См. также его статью "Die specifische Warme der Ele-
Element e Kohlenstoff, Bor und Silicium". - Ibid., 1875, Bd 154, S. 367-423. 553-582.
Ui)p»balL.,Jahn H. Uber die specifische Warme des Antimous und einiqer Antimonver-
bindungen. - Poggendorff's Annalen der Physik, 1886, Bd 27, S. 584-605.
L. Ueber die specifische WSrme von leicht schmelzbaren Legirungen und Amal-
gamagen- Wiedemannshe Annalen der Physik, 1892, Bd 46, S. 177-203.
'"^Boltzmann L. Analytischer Beweis des 2. Hauptsatzes der mechanischen Warmet-
heorie aus tier. Satzen uber das Gleichgewicht der bebendigen Kraft. — Wiener Berichte, 1871,
Bd63 (Teil 2I.S. 712-732 (см. с. 731).
*")Richarz F. Ueber das Gesetz von Dulong und Petit. - Wiedemannsche Annalen der
Physik, 1893. Bd 48. S. 708-716.
*")Linda С Erzielung niedrigster Temperaturen. — Wiedemannsche Annalen der Physik,
1896, Bd 57, S. 328-332.
U. Ueber die specifische Warme einiger Metalle bei tiefen Temperaturen. -
Wiedemennsche Annalen der Physik, 1898. Bd 66, S. 237-244.
66
работавший в Институте физики Берлинского университета, смог следую-
следующим образом подытожить свои исследования: "Графическое представление
убывания удельных геплоемкостей с температурой, по-видимому, говорит
о том, что все кривые вблизи абсолютного нуля совпадают и удельные
теплоемкости при этой температуре имеют одно и то же крайне малое
значение @ ?). Впрочем, этот вывод может быть высказан здесь только
как предположительный31 . Последующие эксперименты Тилдена232'
и Дьюара233) согласовывались с этим результатом.
Такова была экспериментальная ситуация в 1907 г. перед появлением
статьи Эйнштейна. С теоретической точки зрения правило Дюлонга — Пти,
согласно которому произведение атомного или молекулярного веса и
удельной теплоемкости постоянно для всех твердых тел (и составляет
около 6 кал/моль), прекрасно объяснялось в рамках классической физики.
Действительно, согласно закону равнораспределения и в предположении,
что при малых колебаниях потенциальная энергия частиц является квад-
квадратичной функцией их смещений от положения равновесия, каждая из N
частиц (N - число Авогадро) с тремя степенями свободы обладает в сред-
среднем полной энергией ЗкТ при температуре Т. Поэтому энергия одного
моля составляет 3RT, а удельная теплоемкость - около 6 кал.
Именно Эйнштейн в конце 1906 г. понял, что систематическое умень-
уменьшена удельных теплоемкостей твердых тел с убыванием температуры
можно объяснить на основе квантовых представлений Планка. Пренеб-
Пренебрегая взаимодействием между атомами и предположив, что все атомы
твердого тела осциллируют с одной и той же частотой, Эйнштейн восполь-
воспользовался соотношением A.16) для средней энергии атома и нашел для
энергии 1 моля следующее выражение:
3/V/w
Е = ,
ехр(/?*»/7") - 1
откуда для удельной теплоемкости одного моля получается
dE 2
где 0 = h/k. Из A.20) видно, что при достаточно высокой температуре
с у.равно ЗЯ и убывает с уменьшением Т.
Формула Эйнштейна A.20) удивительно хорошо описывала эксперимен-
экспериментальные данные. Лишь при крайне низких температурах экспериментальные
точки слегка отклонялись от теоретической кривой. Причиной этого рас-
расхождения, как позже указал сам Эйнштейн234), было предположение
о том, что частота колебаний всех атомов твердого тела одна и та же.
231 > Там же, с. 243.
232 ^Tilden W.A. The specific heats of metals and the relation of specific heat to atomic
weight. - Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 1903, v. 201, p. 37-43.
"*)DewarJ. Studies with the liquid hydrogen and air calorimeters. — Proceedings of the
Royal Society of London (A), 1905. v. 76, p. 325-340.
li4 ^Einstein A. Elementare Betrachtungen uberdie thermische Molekularbewegung in
festen Korpen.- Annalen der Physik, 1911, Bd 35, S. 679-694.
"«•) Эйнштейн А. Элементарное рассмотрение теплового движения молекул в
твердых телах. - В кн.: Собрание научных трудов, т. Ill [112*], с. 253—265.
в* 67
Теория удельных теплоемкостей по Дебаю235), рассматривавшему кристалл
как континуум с непрерывным спектром частот, обрезаемым при неко-
некоторой максимальной частоте (эта теория привела к известному закону
Г3), как и модифицированная теория, разработанная Борном и Карма-
Карманом236) и учитывающая дискретную структуру твердого тела, были по
существу лишь уточнениями подхода Эйнштейна.
Работа Эйнштейна по удельным теппоемкостям имела важное значение
не только по методологическим соображениям, поскольку она показала
применимость квантовых понятий в молекулярной кинетической теории -
на это мы уже указывали, — но и по следующим причинам 237). Как мы
знаем из различных источников 2Э>), Вальтер Нернст сначала не принимал
квантовую теорию, считая, что это "не более чем просто интерполяционная
формула" 2 3 9). Но впоследствии, когда в связи с работой над известной
теоремой, носящей его имя (и которая, как мы знаем сегодня из квантово-
статистических соображений, по существу представляет макроскопическое
проявление квантовых эффектов), Нернст заинтересовался точным опреде-
определением удельной теппоемости при низкой температуре и, когда результаты
его собственных экспериментов, равно как и экспериментов его сотрудни-
сотрудников, например, Эйкена, оказались в согласии с формулой Эйнштейна A.20),
он изменил свое мнение и назвал теорию Планка "очень остроумной и пло-
плодотворной теорией" 240>. в работе, доложенной на заседании Берлинской
академии 26 января 1911 г., Нернст заявил: "В настоящее время квантовая
теория по существу является только вычислительным правилом несколько
странной, если не сказать гротескной, природы; но работы Планка, в том,
что касается излучения, и работы Эйнштейна, в том, что касается молеку-
молекулярной механики, показали такую ее плодотворность, ... что наука обязана
отнестись к ней со всей серьезностью и подвергнуть ее тщательному
изучению" 241'.
Таким образом, Нернст полагал целесообразным устроить международ-
международную встречу известных физиков с единственной целью — обсудить основные
проблемы и спорные вопросы квантовой теории. Когда бельгийский про-
промышленник Эрнст Сольве предложил финансовую поддержку. Конгресс
'"> Debye P. Zur Theorie der tpezifischen War me. - Annaien der Physik, 1912, Bd 39,
S. 789-839- In; The Collected Papers of Peter J.W. Debye - N.Y.: Interscience, 1954,
P. 650-696.
2")Born M., von Kermdn T. Uber Schwingungen in Raumgittern. — Physikaiische Zeit-
schrift, 1912, Bd 13. S. 297-309; Zur Theorie der tpezifischen Wa'rme. - Ibid., 1913, Bd 14,
S. 15-19.
' В этой связи см. Klein M.J. Einstein, Specific Heats and the Early Quantum
Theory. - Science, 1965, v. 148, p. 173-180.
1'' *) Кпепн М.Д..Эйнштейн, удельная теплоемкость и ранняя квантован теория. —
В кн.: Эйнштейновский сборник, 1974. — М.: Наука, 1976, с. 156— 17В.
> Например, из интервью с П.Деваем от 5 марте 1962 г. (Archive for the
History of Quantum Physics).
'"> Там же.
' Nermt W. Der Energieinhait fester Stoffe. - Annaien der Physik, 1911, Bd 36.
S. 395-439.
> Nernst W. Uber n'euere Probieme der WSrmetheorie. - Berliner Berichte, 1911,
S. B6.
66
Вобрался в основном благодаря инициативе Нернста и стал важным собы-
событием в истории физики- Итак, работа Эйнштейна по удельным теплоемко-
ртям послужила, хотя бы косвенно и окольным путем, одной из причин
розыва первого Сольвеевского конгресса 242'. Также косвенно она приве-
№ к самой ранней попытке по-новому подойти к квантовой теории; такой
Подход позднее оправдал свою дидактическую полезность.
Направление работ Нернста в области физической химии не стимулиро-
••ло его интереса к проблемам излучения в квантовой физике и, по всей
Вероятности, он никогда не изучал их подробно. Тщательный анализ выска-
высказываний Нернста и его выступлений на дискуссиях по тем или иным докла-
«м на Конгрессе пишь подтверждает это. С другой стороны, Нернста глу-
ко интересовал вопрос, не может ли квантовая физика быть развита
Независимо от проблем излучения черного тела и таким образом, что эле-
элементы ее логической структуры, относящиеся к мопекулярно-кинетиче-
|кой теории, выйдут на передний план, отодвинув соображения, связанные
| излучением. Действительно, одна из работ Нернста, а именно, написанная
I сотрудничестве с Линдеманом статья "Удельная теплоемкость и кванто-
Мя теория" 243' , начинается следующим образом: "В недавно опублико-
|анном исследовании один из авторов (Нернст) дал представление кваито-
Юй теории, которое, следуя Эйнштейну, непосредственно исходит из
•томных колебаний и рассматривает радиационные явления как сопутст-
сопутствующие обстоятельства" ("begleitende Umstend") 244). Это и было самии
ранней попыткой подойти к квантовой физике с позиций молекулярно-
Кинетической теории. По сравнению с традиционным введением в кванто-
квантовую физику через теорию излучения черного тела указанный подход
•читается предпочтительным с дидактической точки зрения всеми теми
Преподавателями современной физики, которые полагают, что логическое
развитие теории было затруднено столь сложным началом, как планков-
екоё квантование электромагнитных колебаний в изотермической
Полости J45>. Точка зрения Нернста не возобладала на Конгрессе, как вид-
МО из официального названия его трудов "Теория излучения и кванты"
("La Theorie du Rayonnement et les Quanta"; "Die Theorie der Strahlung und
der Quanten").
Значение Конгресса для эволюции понятий квантовой теории должно
выть ясно из предшествующего обсуждения доклада и дискуссий на нем.
Конгресс был важен не только для его участников, которых он призвал об-
общими усилиями создать новую механику, более общую, чем механика гар-
МОнического осциллятора, он оказал также сильное косвенное влияние на
I Подробнее о работе Конгресса см. книгу: Ов Brog/ie M. Les Premiers
Qongres de Physique. - P.: Editions Albin Michel, 1951, а также |237).
1431 NernstW., Lindemann F.A. Specifische Wa'rme und Quantentheorie. — Zeitschrift fur
lltctrochemie, 1911. Bd 17, S. B71-B27.
) "In einen kurzlich erschienen Untersuchung hat der eine won uns eine Darstellung der
Quantenhypothese gegeben, die nach dem Vorgang Eintteini die Strahlungtverscheinungen
pur als begleitende Umsta'nde auffajft und unmittelbar an die Atomschmingungen anknupft". —
Ibid., S. 817. Речь идет о статье Нернста. упоминавшейся в ссыпке 1104]: Nernst W.
turn Theorie der spezifjschen Wa'rme und liber die Anwendung der Lehre vonden Energie-
4u«nten auf physikalisch-chemische Fragen uberhaupt. - Zeitschrift fur EleHrochemie,
1111, Bd17, S. 265-275.
69
ученых, не принимавших активного участия в его работе. Бор246 вспоми-
вспоминал, какое сильное впечатление произвел рассказ о Конгрессе, выслушан-
выслушанный им от Резерфорда в Манчестере в 1911 г., вскоре после того, как тот
вернулся из Брюсселя, Луи де Бройль 47' в автобиографических заметках
рассказывал, с каким рвением и энтузиазмом изучал тексты дискуссий,
которые его старший брат Морис, один из научных секретарей Конгресса,
готовил к публикации. В результате, говорит он, "я решил посвятить все
свои силы изучению подлинной природы таинственных квантов, которые
Планк десятью годами ранее ввел в теоретическую физику" 248'.
За первый период развития квантовой теории удобно принять отрезок
времени, в течение которого предлагавшиеся квантовые понятия и принци-
принципы относились исключительно к излучению черного тела или гармониче-
гармоническим колебаниям, т.е. период ранней квантовой статистики гармонического
осциллятора. Приняв такое определение, Сольвеевский конгресс 1911 г.
можно считать и завершением этого периода и началом нового.
В заключение этой главы следует отметить, что первый период эволюции
понятий квантовой теории, хотя и не украшенный какими-либо далеко
идущими или особо мощными теориями, тем не менее является выдающим
ся примером человеческой изобретательности: он показывает, сколь глу-
глубоко ум человека может проникнуть в секреты природы, отправляясь от
сравнительно мало заметных факторов. Большинство понятий, появив
шихся на этой стадии, как мы увидим, сохранится и при последующем
развитии теории, хотя и будет обосновываться по-иному.
'4в>См.|176|.
^DeBroglie L. Vue d'entemble tur met travaux scieniifiques. — In: Louis de Brpglie-
Phyticienei Kenteur. - P: Editions Albin Michel, 1953, P. 457-486.
24 ' *) Де Бройпь Л. Обзор моих научных работ. - В кн.: Де Бройль Л. По тропам
науки. - М.: ИЛ, 1962, с. 346-370.
' Там же, с. 458.
ГЛАВА 2
ПЕРВЫЙ ЭТАП ИСПОЛЬЗОВАНИЯ КВАНТОВЫХ КОНЦЕПЦИЙ
ДЛЯ ИНТЕРПРЕТАЦИИ ЛИНЕЙЧАТЫХ СПЕКТРОВ
2.1. Закономерности в линейчатых спектрах
В предыдущей главе мы видели, как исследование одного физического
Мпения - излучения абсолютно черного тела - привело к концепции
Квантов и к квантовой статистика гармонического осциллятора, т.е. дало
результаты, противоречившие принципам классической механики и,
¦ частности, теореме о равномерном распределении энергии по степеням
Свободы. Все были согласны с тем, что классическая физика оказалась не
¦ состоянии объяснить атомные или молекулярные явления. Но вопрос о
Том, как же следует модифицировать классическую физику в свете новых
концепций, оставался открытым.
Было очевидно, что дальнейший прогресс будет связан с расширением
круга физических явлений, имеющих отношение к поставленному вопросу.
Действительно, исследование дискретных спектров химических элементов
И составило следующий — после изучения непрерывного спектра '' тепло-
теплового излучения — этап развития, решающий для создания квантовой
теории.
Происхождение спектральных линий считалось одной из важных физи-
физических проблем на протяжении всех лет после 1666 г., когда Ньютон зало-
заложил основы спектроскопии. Физики конца XIX столетия подходили к объ-
объяснению спектра некоторого элемента аналогично тому, как они подходили
к акустическим колебаниям тела — источника звука, и считали, что весь
Спектр данного элемента связан с естественными периодами колебаний
одного и того же атома. Ограничиваясь только одним примером, можно
вспомнить, что Гершель на основании известной формулы Б альм ера заклю-
чил, что атомные процессы напоминают акустические явления_в трубах
Орга'на '•* *.
Мичерлих ' первым указал на то, что спектроскопия должна рассмат-
рассматриваться не только как метод химического анализа (спектральный анализ
к этому времени добился первых впечатляющих успехов), но и как ключ
к тайнам внутреннего строения атомов и молекул. В своей собственной
работе он, впрочем, ограничился чисто качественным сравнением различных
спектров элементов и соединений. Пятью годами позже Маскар 4' впервые
) Как было показано в начале предыдущей главы, закон Кирхгофа и последовав
urn за ним исследование излучения абсолютно черного тела возникли исторически
¦ связи с изучением линий Фраунгофера, т.е. в конечном счете в результате изучения
проблемы, также имеющей отношение к линейчатым спектрам.
) Herschel A.S. On a relation between the spectrum of hydrogen and acoustics. -
Aitrophysical Journal, 1B9B. v. 7, p. 150—155.
' Mitscherlich A. Uber die Spektren der Verbindungen und der einfachen Korper. -
•oggendorff's Annalen der Physik, 1864, Bd 121, S. 459-48В.
) Maecart E. Sur le spectres ultraviolets. — Comptes Rendus, 1869, v. 69, p. 337—338.
Hi стр. 338 содержится следующее рассуждение: "Важная проблема, которую должен
71
привлек внимание к существованию определенных арифметических соотно
шений между длинами волн ряда линий одного и того же спектра. Он интер
претировал двойные линии в спектре натрия и тройные - в спектре магния
как гармонические колебания. Вдохновившись замечаниями Маскара,
Лекок де Буабодран 5' в 1869 г. нашел, как он полагал, что спектральные
линии азота (длины волн которых он измерял в единицах 10~* мм) обна
руживают подобные гармонические отношения. Он пытался показать, что
этот спектр состоит из двух наборов полос, один из которых расположен
между красным и зеленым участками спектра, а второй — между зеленым
и фиолетовым; при этом длины волн соответствующих полос второго v
первого наборов находятся в отношении 3:4. Заключения Лекока были
вскоре опровергнуты Р.Таленом, учеником Ангстрема, но тем не менее
его статья ознаменовала начало интенсивных поисков математических зако
но мерностей в спектрах ' . Первое исследование спектра водорода с этой
точки зрения было выполнено Дж.Стони. В соответствии со своим основ
ным предположением, "что линии в спектрах газов должны быть связаны
с периодическими движениями внутри отдельной молекулы, а не с беспоря
дочным движением молекул относительно друг друга" ', Стони заявил,
что "одно периодическое движение в молекуле накаленного газа може!
быть источником целой серии линий в спектре газа" '; математическая
формулировка этой идеи привела бы его к Фурье-анализу движения. В поис
ках аргументов в пользу своего утверждения Стони обратился к выполнен
ным Ангстремом измерениям длин волн четырех известных к тому вре
мени спектральных линий водорода: 6562,10-Ю, 4860,74- Ю,
4340,10-Ю и 4101,2 • Ю мм. Стони заключил, что три из этих линий,
а именно линии с длинами волн (приведенными к вакууму)
X, = 6563,93- Ю-7, Х2 = 4862.11 10 и Х3 = 4102,37 Ю мм
"должны относиться к одному и тому же движению в молекуле газа 10
ставить перед собой спектральный анализ, состоит в том, чтобы узнать, существует ли
связь между различными линиями одного и того же вещества или между спектрами
аналогичных веществ. 8 1883 г. я нашел, что шесть главных линий натрия, впервые
наблюдавшиеся гг. вольфом и Дьяко. являются дублетами и что расстояние между
двумя линиями, составляющими каждую из грулл, одно и то же для двойных линий
Представляется, что то же самое явление повторяется в разных точках спектральной
шкалы". Там же он писал по поводу триплетов магния: "Мне представляется затруд
нительным предположить, что повторение подобного явления — случайный эффект;
не естественна* ли допустить, что эти группы похожих линий являются гармониками,
связанными с молекулярным строением излучающего газа?".
') Lecoq de Boitbaudran. Sur la constitution des spectres lumineux.— Comptes Rendus,
1869, v. 89, p. 445-451, 606-615. 657-664, 694-700.
' См., например, Soret J.L. On harmonic ratio! in spectra. - Philosophical Maga
rine, 1871, v. 42. p. 464-465.
) Stoney G.J. The internal motioni of Basel compared with the motions of wavei of
light. - Philosophical Magazine, 1868, v. 36. p. 132-141.
') Stoney G.J. On the cauie of the interrupted ipectra of gates. — Philosophical Maga
zine, 1871,v.41.p.291-296.
') Mgttrom A. Recherchei lur le Spectre Solaire. - Uppsala, 1868, p. 31. Таблица длин
волн, опубликованная в этой книге Ангстрема, долгое время служила слектросколи
ствм источником справочных сведений.
"> См. (81, с 294.
72
Ь являются 0-й, 27-й и 32-й гармониками фундаментального колебания,
длина волны которого в вакууме" равна Хо = 0,13127714 мм '''.
Хотя и вынужденный признать, что "в этом спектре водорода другие
Гармоники A9, 21, 22) не обнаружены", Стони был убежден, что последую-
последующие исследования в конце-концов приведут к нахождению дополнитель-
дополнительных гармоник '2'. Продолжая свою работу, в которой позже ему помогал
д-р Рейнольде из Дублина '3', Стони нашел "удобным выражать положения
•сех линий в спектре в шкале обратных длин волн" м), а не в шкале длин
¦олн, как было принято до тех пор. Его доводы звучали следующим образом:
"С точки зрения целей исследования зта шкала обладает тем большим
Преимуществом, что система линий с временными периодами, являющими
Ой гармониками одного временного периода, эквидистантна в ней; дальней
ЦИе ее достоинство, позволяющее рекомендовать эту шкалу для общего
употребления, состоит в том, что в ней спектр гораздо больше напоминает
Наблюдаемый в спектроскоп, чем в шкале прямых длин волн, использован
НОЙ Ангстремом в его классическом представлении спектров". И Стони
Продолжает: "Тогда, если к — волновое число фундаментального движения
¦ эфире, его длина волны будет Мк миллиметров, а длины волн его гармо
Ник - М2к, 1/3* и т.д., т.е. гармоники занимают положения 2к, 3* и т.д,
¦ новой шкале".
Итак, Стони — тот самый Стони, который 23 года спустя ввел в физику
Т«рмин "электрон" — впервые определил понятие "волновое число",
ВТМшее впоследствии столь важным. Даже его первоначальное обозначе-
обозначение (к) продолжает употребляться в современной теоретической физике.
Где его обычно определяют — ради удобства вычислений — как число волн
на 2я единиц длины Bя см, к = 2я/Х), а не на 1 мм, как предлагал Стони.
В ходе подобных исследований Ливинг и Дьюар 15' обнаружили, что
t спектрах натрия и калия существуют две серии линий, одна из которых
ООстоит из резких, а вторая — из диффузных линий, и нашли !'' также, что
¦ мимически сходных элементах существуют гомологичные серии, т.е. се-
серии линий одинакового типа. В это же время Артур Шустер подчеркнул
§ежность поисков "эмпирического закона, связывающего различные перио-
периоды колебаний, в которых, как мы знаем, может принимать участие одна и
' Конечно, это линии HQ, Нд, Ну бальмеровской серии, для которых выпол-
выполняются соотношения \ , = \ „/20, \ , — \ „/27 и X , = X „/32.
' Несколькими годами позже английский естроном Хаггинс, наблюден ульр-
фиолетовые спектры Сириуса и других белых звезд, открыл и последующие линии,
•плоть до 3699 A. {Muggins И/. Sur le spectres photopraphiquej desetoiles.—ComptesRen-
a)ui. 1880, v. 90. p. 70-73.)
^Stoney G.J., Reynolds J.E. An inquiry into the cause of the interrupted spectra of
|Mti. - Philosophical Magazine, 1871. v. 42, p. 41-52.
'Stone/ G.J. Ьп the advantage of referring the position of lines in the spectrum to a
Hale of wave-numbers.—British Association Report, Edinburgh, 1871, v.41 ,p.42—43.
' Liveing G.D.. Dewar J. On the spectra of sodium and potassium. — Proceedings of the
Royal Society of London (A), 1879, v. 29. p. 398—402; In: Liveing G.D.. Dewar J. Collected
'¦pars on Spectroscopy: Cambridge University Press, 1915, p. 66—70.
'*} Liveing CO., Dewar J. Hie spectrum of magntiium. — Proceedings of the Royal
loclety of London (A), 1881. v. 32, p. 189—203; In: Collected Papers on Spectroscopy
|16|.p 118-132.
73
та же молекула" '7'. Он даже воспользовался теорией вероятностей для
того, чтобы найти частоту появления гармонических отношений в том
случае, если бы подобного закона не существовало и все линии были бы
распределены случайным образом. Проверив таким способом статистиче-
статистическую значимость имевшихся данных, Шустер ' заключил, что "по всей
вероятности, существует некоторый, пока еще не известный закон,
который в определенных случаях проявляется как закон гармонических
отношений".
Тремя годами позже подобную эмпирическую формулу — первую, пра-
правильно представлявшую все линии спектральных серий, — опубликовал
Иоганн Якоб Бальмер, школьный учитель в Базеле '. Его первая статья,
появившаяся в Сообщениях общества естествоиспытателей в Базеле за
1885 г., содержала пророческие слова: "Мне представляется, что
водороду ... как никакому другому веществу суждено открыть новые пути
к пониманию структуры вещества и его свойств. Поэтому численные соот-
соотношения между длинами волн первых четырех водородных спектральных
,, го) _
линии должны особенно привлечь внимание • Бальмер подметил, что
,"пины волн четырех водородных линий, измеренных Ангстремом, могут
быть выражены через "базисное число" h = 3645,6 10 как 9/5Л, 4/3/),
25/21Л и 9/8Л, т.е. как 9/5Л. 16/12Л, 25/21Л и 36/32Л. Он увидел, что
числители образуют последовательность З2, 42, 52, б2, тогда как соответ
ствующие знаменатели являются разностями квадратов З2 - 22, 42 - 2;,
52 - 22, б2 - 22. Итак, длины волн водородных линий он описал
формулой
X = Л -:т , мм, <2.1!
m2 -22
где h = 3645,6-10~7 и т = 3, 4, 5,6. Бальмер предсказал также существо
вание пятой линии с длиной волны 3969,65 10 мм. Когда фон Хагенбах
сообщил ему о том, что Хаггинс действительно обнаружил.эту линию,
равно как и другие дополнительные линии, Бальмер во второй статье ''
' Schuster A. On harmonic ratios in the spectrum of gases. — Proceedings of the Roya
Society of London (A), 1881, v. 31, p. 337-347.
I Schuster A. The genesis of spectra. — British Association Report: Southhampton
1882, p. 120-143.
I Дж. П.Томсон сообщил, что во время пребывания в Швейцарии вскоре после
первой мировой аоймы он услышал от молодого родственника И.Бальмера (его ему
чатого племянника?) следующее. Бапьмер был большим любителем "нумерологии"
он интересовался, например, числом животных или числомступенек-пирамиды. Как-то
беседуя с другом, занимавшимся физикой или химией, Бапьмер пожаловался, чт;
ему нечем заняться. Не это друг ответил: "Но аас же интересуют числа, так почему
бы вам не посмотреть, что же можно сделать с набором чисел, характеризующие
спектр водорода?", и сообщил ему длины волн нескольких первых линий водород
ного спектра. (Archive for the History of Quantum Physics, интервью с Дж.П.Томсо
ном от 20 июня 1963.)
3 0)
' Balmer J.J. Notiz uber die Spectrallinien. des Wasserstoffs. — Verhandlungen de.
Naturforschenden Gesellschaft in Basel, 1885, Bd 7, S. 548-560.
31 ) Belmer J.J. Zweite Notiz uber die Spectrallinien des Wasserstoffs. — Verhandlungt-
der Naturforschenden Gesellschaft in Basel,1BB5, Bd 7, S. 750-752; Wiedemannsche Anna
len der Physik, 1BB5, Bd 25, S. 80-87.
74
¦юказал, что его формула применима ко всем 12 известным тогда водород-
водородным линиям. Он также правильно предсказал, что в серии, впоследствии i
Получившей его имя, не будет обнаружено линий с длинами волн более '
dt562'10~7 мм и что серия должна сходиться к длине волны
3645,6-10 мм. Согласие между вычисленными и наблюдавшимися значе-
значениями длин волн было очень хорошим в видимой области спектра, но для
более коротких длин волн появлялись небольшие, но очевидные система™- У
ческие расхождения. В этой связи Бальмер выразил некоторые сомнения
в том, виноваты ли в расхождениях экспериментальные данные или
формула.
Открытие Бальмера вызвало немедленные отклики и послужило новым
стимулом для самых интенсивных поисков других закономерностей в спек-
спектрах. Выступая на съезде Британской Ассоциации содействия науке, со-
состоявшемся в Бате в 1888 г., Рунге 2' сообщил, что в некоторых спектрах
Он обнаружил ряд гармонических серий линий, длины волн которых подчи-
подчиняются формулам вида
1
— =
X
a -
a
m
с
к —
m2
или
1
—
.X
= а ч
I)
m2
с
m*
где а, Ь, с, а , b', с' — постоянные, am— целое число. Он указал, что фор-
формула Бальмера B.1) является частным случаем первой из приведенных
формул, получающимся при а =/>"', b = 0 и с = — 4Л. В подробном
исследовании структуры эмиссионных спектров, опубликованном в 1890 г.
в Сообщениях Королевской шведской академии, Ридберг ' утверждал,
что он использовал формулу Бальмера задолго до ее опубликования. При-
Приняв как фундаментальный принцип утверждение, что "в спектрах всех эле-
элементов, проанализированных к настоящему времени, имеются серии лучей,
длины волн или волновые числа которых являются функциями последова-
последовательных целых чисел" \ Ридберг привел общую формулу для таких
серий
n = no-No/{m+tiJ,
где п - волновое число, п0 и ц - постоянные для каждой серии, а Л/о - по-
постоянная (позднее названная "постоянной Ридберга" и обозначенная
через R), общая для всех серий и всех элементов. Показав, что формула
Бельмера является частным случаем, соответствующим п0 = /?"', /Vo =
•• 4/>"' и ц = 0, Ридберг, основываясь на измеренных Ангстремом первых
четырех водородных линиях, вычислил значение Л/о: 109721,6 см'1.
) Runge С. On the harmonic series of lines in the spectra of elements. — British Associa-
lion Report, Bath, 1888, p. 576-577.
I Rydberg J.R. Recherches sur la constitution des spectres d'emission des elements
«himiques. - Kungliga Vetenskaps Akademiens Handlingar, 1890, v. 23, No. 11. Ср. также
Rydberg J.R. On the structure of the line—spectra of chemical elements. - Philosophical
Migazine, 1890. v. 29, p. 331 — 337; Sur la constitution des spectres lineaires des e'llments
«himiques. - Comptes Rendus, 1B90, v. 110, p. 394—397; Uber den Bau der Linienspektren
(tor chemischen Grundstoffe. - Zeitsehrift fur Physikalische Chemie, 1B90, Bd 5,
1,227-232.
' Ibid., "Recherches", p. 33.
75
Говоря об открытиях Ливинга и Дьюара, которые в спектрах щелочных
металлов обнаружили главную (principal), резкую (sharp), или "вторую по-
побочную", и диффузную (diffuse), или "первую побочную", серии, а также
о работе Хартли25', в которой были найдены повторяющиеся разности
частот между компонентами определенных дублетных и триплетных серий
("закон Хартли"), Ридберг показал, что волновые числа линий в этих
сериях можно представить как функцию некоего целого числа т. Именно,
компонента с большей длиной вопны в каждом дублете главной серии мо-
может быть записана как п = п0 - Nol (т + р,) 2, а другая компонента - как
п=п0- Л/о/ {т+р2J; соответственно, две компоненты каждой линии пер-
первой побочной серии можно записать как п = п'о — Л/о/ (m + dJ и п =
= /»о'- /Vo/ (m + dJ, а второй побочной серии - как п= n'0-N0/ {m + sJ и
п= п'о - Nol(m + sJ. В 1896 г. Ридберг 26' и независимо Шустер 27' об
наружили, что разница между пределом главной серии и общим пределом
двух других серий совпадает с волновым числом первой линии главной се
рии, т.е. что пределы п'о и n'd побочных серий совпадают с Л/о/ B+р2J и
Nol B + Р]J и, аналогично, предел главной серии совпадает
с Л/о/ {1 + sJ. Итак, серии могли быть' представлены следующими
формулами:
для двух компонент главной серии
_ _JVo Л/р
A +sJ (т+рJ '
где р равно рх и ли рг, а т: = 2, 3,... ;
для компонент диффузной серии
/Уо /Уо Na Л/р
2 2 И " 2 (m+оГJ '
гдет =3,4,...;
для компонент резкой серии
/р Л/р Л/р Л/о
/7 =
B+/D,J
где /77 =2,3,... В 1907 г. Бергман28) нашел в инфракрасных спектрах
калия, рубидия и цезия четвертую серию, сходившуюся к пределу Л/о/C +
+ dJ. Волновые числа линий этой серии выражаются следующим образом:
Л/о Л/р
C+dJ irn+fJ
' Hartley W.N. On homologous «pectra. — Journal of Chemical Society, 1883, v. 43,
p. 390-400.
*') Rydberg J.ft. Die neuen Grundstoffe det Cleveitgaset. - Wiedemannsch'e Annaien
der Physik, 1896, Bd 58, S. 674-679.
'Schuster A. Of) a new law connecting the periods of molecular vibrations. — Nature,
1897, v. 55, p. 200-201. Статья была написана в 1896 г.
") ввгдтапп A. Beitragezur Kenntnis der ultraroten Emissionsspektren der Alkalien.
Dissertation. - Jena, 1907.
76
где т = 4, 5,... Некоторые линии этой серии, впоследствии названной
"фундаментальной серией" (fundamental) или "серией Бергмана", были
открыты ранее Саундерсом29).
Ридбергу 3 ° )при ходиле в голову мысль, которая позже была явно сформу-
сформулирована Ритцем 3|) в виде фундаментального принципа: частоту любрй
спектральной линии некоторого элемента можно выразить в виде разности
двух членов или "спектральных термов", каждый из которых характери-
характеризуется целым числом. Принцип Ритца, или, как впоследствии его стели на-
называть, "комбинационный принцип", нельзя было объяснить в рамках клас-
классической физики. Для того чтобы понять причины этого, заметим сначала,
что упоминавшаяся выше гипотеза, согласно которой спектр как целое
образуется в результате свободных колебаний одного единственного атома,
была тем временем опровергнута. В 1907 г. К он вей32) убедительно пока-
показал, что отдельный атом в данный момент времени может дать только одну
спектральную линию. Выводы Конвея были поддержаны также анализом
аномальной дисперсии в парах калия, выполненным Бивеном33). Он по-
показал, что любое объяснение этого явления, построенное в РаТйках упоми-
упоминавшейся выше гипотезы, с необходимостью приводит к непомерно боль-
большому числу электронов в молекуле. Итак, каждая отдельная линия в спект-
спектре должна была связываться с периодическим движением электрона, а раз-
разные линии спектра — с движением возбужденных электронов в различных
•томах. Поэтому с классической точки зрения спектр излучения обязан был J
содержать, наряду с основным колебанием, и более высокие гармоники, J
частоты которых имели бы вид суммы целых кратных фундаментальной ;
частоты, но этот результат никак не согласовался с комбинационным прин-^
Ципом Ритца. Итак, мы видим, что исследование дискретных спектров,
как и непрерывных спектров, дапп пвяупьтаты нахплитпиргя в серьезном
разногласии с классической Физикой,
2.2; Теория атома водорода по Бору
До сих пор мы касались спектроскопии только лишь с целью проследить
происхождение и ранние стадии развития комбинационного принципа.
Другие аспекты спектроскопических исследований и их влияние на кон-
концептуальное развитие квантовой теории будут обсуждаться в ином кон-
контексте. Здесь следует отметить, что затраты огромных усилий на поиски
численной связи между спектральными линиями мотивировались надеж-
надеждой на то, что эта связь, по аналогии с некоторыми проблемами в теории
мехенических и акустических колебаний, прольет свет на природу собст-
**) Saundert F.A. Some additions to the arc spectra of the alkali metals,—Astrophysi-
Oti Journal. 1904, v. 20. p. 188-201.
'*) Rydberg J.R. La distribution del raies spectralei. — In: Rapports preterites au Cong-
гм International de Physique. - P.: Gauttiier-Villars, 1900, v. 2, p. 200-224.
")RiU IV. Uber ein neuei Gesetz der Serienspektren. - Physikalische Zeitschrift,
1908, Bd 9, S. 521-529; On a new law of series spectra. - Astrophysical Journal, 190B,
v. 28, p. 237—243. "Комбинируя* (складывая или вычитая) пибосами формулы для се-
серий, либо входящие в иих константы, можно построить формупы, которые позвопяют
полностью выразить некоторые вновь открытые линии через ренее известные"
[RitzW. GesammelteWerke. - P.: Gauthier-Villers, 1911, p. 162).
"I Cormmy A.W. On leries spectra. - Scientific Proceeding of the Royal Dublin Society,
1907, v. 11, p. 181-183.
") Bevmn P.V. Dispersion of light bV potassium vapour. -Proceedings of the Royal Society
of London (A), 1910, v. 84, p. 209-225.
77
венных колебаний атома или его электронов и тем самым приведет к по-
пониманию атомной структуры и процессов в микромире. Но комбинацион-
комбинационный принцип обнаружил бесплодность такого подхода. Постепенно стало
ясно, что нахождение чисто математических соотношений, не опирающихся
ни ia какую последовательную теорию, - труд, затрачиваемый впустую.
Единственная возможность избежать этого тупика виделась в том, чтобы
в поисках математических соотношений обратиться за помощью к модели
атома, построенной на основании независимых данных из других источни-
источников. Результатом такого концептуального развития был, конечно, синтез
комбинационного принципа с резерфордовской моделью атома, который
Нильс Бор выпопнил на основе ппанковской концепции кванта.
Фактически работа Бора переплеталась с задачей нахождения непротиво-
непротиворечивой модели атома, с которой оказались связаны даже внешние обстоя-
обстоятельства его жизни. В марте 1912 г. Бор покинул лабораторию Дж. Дж. Том-
сона в Кембридже, чтобы присоединиться к "команде" Резерфорда в Ман-
Манчестере, потому что у него были разногласия с Томсоном по поводу том со-
новской модели атома в виде пирога с изюмом—или, как однажды заметил
Кондон, потому что "Дж.Дж. вежливо намекнул, что было бы неплохо
(it might be nice), если бы он < Бор ) покинул Кембридж и перешел рабо-
работать к Резерфорду4). Это был счастливый поворот судьбы, не только
в смысле конечного результата, когда блестящая и успешная теория атома
водорода, выдвинутая Бором, решающим образом способствовала общему
признанию модели Резерфорда, но и с точки зрения всего времени пребы-
пребывания Бора в Манчестере: он нашел там дружелюбное понимание и под-
поддержку с самого начала своей работы. Более чем через 15 пет после этого
Резерфорд вспоминал: "Что касается меня, то согласие величины заряда е с
вычислениями Планка давно сделало меня приверженцем общей идеи
кванта действия. Поэтому я оказался в состоянии не только хладнокров-
хладнокровно отнестись к дерзким попыткам профессора Бора применить кван-
квантовую теорию к объяснению происхождения спектров, но и поощрять
их5).
Для полного понимания роли работы Бора надо вкратце обсудить раз-
развитие моделей атома.
Модели атома, предлагавшиеся в XIX веке, например, Кельвином,
Гельмгольцем или Бьеркнесом, были по преимуществу механическими
или гидродинамическими; открытие электрона и радиоактивного распада
обесценило их. Одна из самых первых моделей, не противоречивших этим
открытиям, была выдвинута Перреном3 6) в популярной лекции, прочитан-
прочитанной им в Сорбонне в 1901 г. для студентов и знакомых. В этой модели
положительно заряженная частица ^ была окружена некоторым числом
электронов ("sorte<ie petites planetes"*), компенсирующих заряд цент-
центральной частицы. Перрен предполагал, что под действием внутренних
электромагнитных сил образуется динамически стабильная система, перио-
периоды вращения которой соответствуют частотам или длинам вопн пиний эмис-
эмиссионного спектра атома.
34 ) Condon E.U. 60 years of quantum mechanics. — Physics Today, 1962, v. 15, p. 42.
") Заметка проф. Э. Резерфорда в Die Naturwissenschaften, 1929, 8d17, S 483 О
вычислении Планком элементарного заряда е см. с. 32.
") Parrin J. Les hypotheses moieculaires.- Revue scientifique. 1901, v. 15, p. 449-461;
In: Perrin J.B. Oeuvres Scientifique. - P.: Centre National de la Recherche Scientifique, 1950.
•) Наподобие маленьких планет (фр.).
78
Двумя годами позже, в декабрей 903 п., Дж.Дж. Томсон37) выдвинул
модель атома, о которой упоминалось~в-яредыдущей главе. Атом водорода,
например, представлялся положительно заряженной сферой с радиусом
около 10~8 см, в центре которой совершал колебания электрон. Модель
Томсона обладала одним большим достоинством: из нее следовало без
каких бы то ни было дополнительных предположений, что электроны связа-
связаны в атоме квазиупругим образом, а именно это было основной гипотезой,
на которую опирались Друде, Фогт, Планк и Лоренц в работах по дис-
дисперсии, поглощению и другим явлениям. В частности, зто было очень удоб-
удобным предположением для объяснения существования монохроматических
спектральных линий с частотами, не зависящими от энергии колебаний.
Но модель Томсона не смогла объяснить больших угловых отклонений
(вплоть до 150° относительно направления первичного пучка), которые
наблюдапись в экспериментах по рассеянию а-частиц, выполненных несколь-
несколькими годами позже учениками Резерфорда, Гейгером и Марсденом 3 *).
Когда было показано, что томсоновское объединение этих результатов,
построенное на основе множественного рассеяния, несправедливо ), вос-
восторжествовали резерфордовская теория "единичного рассеяния 0) и его
же хорошо известная модель атома. Модель Томсона не смогла также
объяснить открытый впоследствии A913г.) эффект Штарка, который мы
обсудим позднее. Наконец, - но это, конечно, стало известно много позже, -
квантование модели Томсона4') приводит к энергетическим состояниям,
почти совпадающим с состояниями модели Резерфорда, но совершенно не
вырожденным. Итак, даже если бы опыты Резерфорда по рассеянию никог-
никогда не были P.i выполнены, модель Резерфорда все равно была бы принята
на основании чисто спектроскопических данных.
37) Thomson J.J. The magnetic properties of systems of corpuscules describing circular
orbits. - Philosophical Magazine, 1903, v. 6, p.673-693.Основная работа Томсона по это-
этому вопросу появилась в 1904 г.: "On the structure of atom — an investigation of stability
and periods of oscillation of a number of corpuscules arranged at equal intervals around the
circumference of a circle; with application of the results to the theory of atomic structure".—
Ibid., 1904, v. 7, p. 237-265. В то же время A903 г.). Филипп Ленард, проводивший
эксперименты по прохождению катодных лучей через вещество, предложил модель,
согласно которой атом строится из "динамид", электрических дублетов с конечной
массой, но стопь малых резмеров (~ 10"'.?см), что лишь исчезающе малая часть ато-
атома оказывается не Пустой. См. tenant P. Uber die Absorption von Kathodenstrahlen ver-
•chiedener Geschwindlgkeit. - Annalen der Physik, 1903, Bd 12, S. 714-744.
'') Geiger H., Marsden E. On a diffuse reflections of the a-particles. - Proceedings of the
Royal Society of London (A), 1909, v. 82, p. 495-500; The scattering of ar-particles by
matter. - Ibid., 1910, v. 83, p. 492-504.
") 8 результате расчетов попучается экспоненциальная зависимость от угпа <i от-
отклонения частицы от первоначального направления, что ресходится с наблюдающейся
на опыте угловой зависимостью вида sin"* (^/2). Подробнее см. Harnwell O.P., Step-
Stephens W.E. Atomic Physics. - N.Y.: McGraw-Hill. 1955, p. 99-108.
40) Rutherford E. The scattering of a-and 0-particles by matter and the structure of the
atom. - Philosophical Magazine, 1911, v. 21. p. 669—688; In: The Collected Papers of Lord
Rutherford of Nelson. - N.Y.: Interscience, 1962, v. 2, p. 238-254; The structure of
atom. - Philosophical Magazine, 1914,v. 27, p. 488-49B; In: Collected Papers, v. 2, p. 445-
455. Первая статья, в которой уже содержится известная формула рассеяния, была
перепечатана также в книгах: Foundations of Nuclear Physics/ed. R.T. Beyer. — N.Y.:
Dover, 1949, p. 111-130: Rutherford in Manchester/ed. J.B Birks. - L.: Heywood, 1962;
N.Y.: Benjamin, 1963, p. 182-204.
40 *) Резерфорд Э. Рессеяние а- и /3-честиц веществом и строение атома. — В кн.:
Рпврфорд Э. Строение атома. - М.: Наука, 1972. с. 20В-224; Строение атома. - Там
же. с. 23В-246.
41) Подобное квантование было выполнено в статье: Zaukis H. Thomson atom. —
American Journal of Physics, 1958, v. 26, p. 635-638.
79
В то время, когда Томсон развивал свою модель атома, японский физик
Нагаока ), выступая перед Физико-математическим обществом Токио
в декабре 1903 г., выдвинул модель, названную им "Сатурнианской". Как
и в модели Перрена, в модели Нагаоки имелись центральная положительно
заряженная частица, окруженная электронами на равных расстояниях друг
от друга и вращающихся с общей угловой скоростью. Нагаока затем попы-
попытался показать, что линии эмиссионного спектра обусловлены небольшими
поперечными колебаниями электронной конфигурации. Ссылаясь на рас-
рассмотрение подобных осцилляции в статье Максвелла "О стабильности движе-
движения колец Сатурна3), Нагаока утверждал, что он доказал динамическую
стабильность своей модели и ее совместимость со спектроскопическими
наблюдениями Рунге и Ридберга. Впрочем, вскоре Шотт44) оспорил пра-
правильность этих вычислений и, в частности, стабильность модели.
Атомные модели Перрена и Нагаоки были развиты кембриджским астро-
астрофизиком Никольсоном 4S), который пытался объяснить природу некото-
некоторых неидентифицированных линий в спектрах туманностей и в спектре сол-
солнечной короны. Связав эти линии с гипотетическими элементами "небули-
ем" и "протофтором", Никольсон построил атомные модели для объяс-
объяснения этих линий, близко следуя предложению Нагоаки. Предположив,
что центральный заряд в 4 единицы окружен 4 электронами, Никольсон
показал, что отношение частот, соответствующих двум различным модам
колебаний электронного кольца, совпадает с отношением частот двух
линий спектра туманностей. По его мнению, такое совпадение достаточно
убедительным образом свидетельствовало об адекватности модели. Затем
Никольсон приступил к подробным расчетам для других пиний и разработ-
разработке общей теории, сделав при этом ряд существенных утверждений. Николь-
сону казалось даже, что наблюдения подтверждают его теорию: частота
третьей моды (X 4353), которая была рассчитана им как дополнение к
двум упоминавшимся выше модам и которая не соответствовала ни одной
из известных к моменту его первой публикации линий, была наблюдена
У. Г. Райтом в Ликской обсерватории и М. Вольфом в обсерватории Гей-
дельберга46). Природа линий "небулия" была окончательно выяснена
только в 1927 г., когда Боуэн показал, что это запрещенные линии ионов
кислорода и азота (N11,011, иОШL7).
Относительно своей модели атома Никольсон заявил, что "ее основой-...
является концепция положительного электричества. Предполагается, что
оно равномерно распределено по небольшому сферическому объему, ра-
4 2) Nagaok» H. Motion of particles in an ideal atom illustrating the line and band spectra
and the phenomenon of radioactivity. - Bulletin of the Mathematical and Physical Society
of Tokio, 1904, v. 2, p. 140-141; On a dynamical system illustrating the spectrum lines
and the phenomena of radio-activity.- Nature, 1904, v. 69, p. 392-393; Kinetics of a system
of particles illustrating the line and band spectrum and the phenomena of radio-activity. —
Philosophical Magazine, 1904, v. 7, p. 445-455.
°) Maxwell J.C. On the stability of the motion of Saturn's rings. -In: Scientific Papers
11.561, v.1, p. 288-376.
44) Schatt G.A. A dynamical system illustrating the spectrum lines and the phenomena
of radio-activity. — Nature, 1904, v. 69, p. 437; On the kinetics of system of particles il-
illustrating the line and band spectra. - Philosophical Magazine, 1904, v. 8, p. 364-387.
45) Nicholson J.W. The spectrum of nebulium.—Monthly Notices of the Royal Astrono-
Astronomical Society, 1912, v. 72. p. 49-64; The constitution of the solar corona!- Ibid., p. 135-
150,677-693, 729-739.
46) Nicholson J.W. On the new nebular line at к 4353. - Monthly Notices of the Royal
Astronomical Society, 1912, v. 72, p. 693.
4r) Bowen I.S. The origin of the nebulium lines. - Nature, 1927. v. 120, p. 473.
80
диус которого мал даже по сравнению с радиусом электрона, что прямо
противоположно более широко принятой точке зрения. Масса этих поло-
положительных единиц очень велика по сравнению с массой электрона и обус-
обусловливает почти всю массу атома ... 8). В своем третьем эссе, опублико-
мнном в июне 1912 г., Никольсон предложил связывать появление спект-
спектральных серий с планковской константой действия. "Квантовая теория, —
указывал он, —по-видимому, не привлекалась для объяснения спектраль-
спектральных "серий" ... Однако, как полагает автор, в ряде случаев она обеспе-
обеспечивает верное объяснение и приводит нас к предположению, что линии серии
испускаются не одним и тем же атомом, а атомами, внутренние моменты
импульса которых в результате излучения или иных причин стали меньше
некоего стандартного значения на различные дискретные количества 9).
Никольсон включил планковский квант действия в свою теорию, при-
приняв, что частоты различных наблюдаемых спектральных линий можно
Объяснить следующим предположением: отношение энергии системы и час-
частоты вращения кольца электронов является целым кратным постоянной
Планка. Теория Никольсона, основанная на соответствии между частотами
Оптических и механических колебаний, конечно, ни в коей мере не была
совместима с комбинационным принципом Ритца. Да и введение постоян-
постоянной Планка отнюдь не было мотивировано какими-либо соображениями
Относительно стабильности его модели атома. Фактически — за исключе-
исключением замечания мимоходом, что "электроны в устойчивом движении должны
находиться в одной плоскости, чтобы их энергия не была диссипирована
¦ результате быстрого излучения",50) — Никольсон полностью игнориро-
игнорировал проблему стабильности.
По любопытному совпадению в истории нашего предмета наиболее важ-
важные нововведения Никольсона, именно идея тяжелого ядра и представление
О спектре как о квантовом явлении, были к тому времени уже введены в
науку в результате независимых исследований. Так, в мае 1911 г. Эрнест
Рперфорд продемонстрировал несостоятельность гипотезы Томсона о мно-
многократном рассеянии и предложил свою хорошо известную модель атома,
согласно которой больше угловые отклонения а-частиц обусловлены
единичными актами рассеяния s'). В том же 1911 г. Бьеррум, следуя пред-
предложению Нернста ), впервые успешно применил квантовый принцип
К молекулярным спектрам: он показал 53), что квантование вращательной
•нергии молекул объясняет ряд особенностей в спектрах поглощения газо-
газообразных соляной и бромистоводородной кислот. Представляется несом-
несомненным, что ни Резерфорд, ни Бьеррум не были знакомы с идеями Николь-
Никольсона, равно как и на заключения последнего не повлияли работы первых.
Следует отметить также, что предвосхищение Никопьсоном некоторых
выводов Бора основывалось, как указал Розенфепьдs4 ), на высшей степе-
степени сомнительных, а часто и просто ошибочных рассуждениях *).
*•) См. D5], с. 49.
' ••) См. D51, с. 729.
10) См. [45]. с. 50.
") См. [40].
'*) Nerntt W. Zur Theorie der spezifischen WSrme und Uber die Anwendung der Lehre
von den Energlequanten auf physikalish-chemische Fragen uberhaupt. - Zeitschrift fur
llektrochemie, 1911,8d 17, S. 265-275.
"Ifi/wrum N. Uber die ultraroten Absorptionsspektren der Case.- In: Nernst-Fest-
Khrift, 1912, S. 90-98.
141 Rosenfeld L. Introduction. - In: Bohr N. On the Constitution of Atoms and Molecu-
Im (reprint of Bohr's papers of 1913). - Copenhagen: Munksgaard, 1983, p. XII—XIII.
в. М. Джеммер 81
Первое исследование, выполненное Бором в Манчестере, было посвящено
торможению а-частиц в веществе 55) и закончено летом 1912 г. Оно ока-
оказало большое влияние на всю его последующую работу. Рассматривая пос-
поставленную задачу, которую на языке классической механики решал
Дж.Дж. Томсон еще в 1906 г., задолго до открытия атомного ядра. Бор
предположил, что атомные электроны связаны упругим образом. Эта связь
входила в вычисления только через значения периодов движения, которые
Бор выводил из характеристических резонансов, известных из оптической
дисперсии, но играла тем не менее весьма существенную роль, так как огра-
ограничивала эффективную область передачи энергии вдоль траектории частицы
в веществе. Связь электронов в атоме, теперь уже в рамках атомной моде-
модели Резерфорда, и сопутствующая проблема стабильности атома должны
были обратить на себя внимание Бора с самого начала его работы: Бор ви-
видел не только достоинства модели Резерфорда, но и ее трудности. В част-
частности, в противоположность модели Томсона, в резерфордовской модели
атома нельзя было установить масштаб размеров атома только на основа-
основании динамических принципов. В июне 1912 г., в первом наброске своей
классической статьи "О строении атомов и молекул6), Бор писал57):
"При исследовании конфигурации электронов в атомах мы немедленно
сталкиваемся с той трудностью.... что у кольца, как только задать вели-
величину центрального заряда и число электронов в кольце, может оказаться
бесконечно большое число различных времен обращения в соответствии
с принятым радиусом кольца; при этом, по видимому, ничто... нэ
может позволить нам выделить различные радиусы и времена колеба-
колебания на основании механических соображений. Поэтому в дальнейшем ис-
исследовании мы введем гипотезу, из которой можно будет определить рас-
рассматриваемые величины, и будем ею пользоваться. Эта гипотеза состоит
в следующем: для любого стабильного кольца (любого кольца в атомах,
встречающихся в природе) должно существовать определенное соотноше-
соотношение между кинетической энергией электрона в кольце и временем обра
М'Розенфельд, в частности, писап о Никопьсоне:"... то, каким образом он пытал-
пытался испопьзовать свою модель для анализа физических ситуаций, не может не произвес-
произвести впечатления беззаботности и отсутствия профессионализма, и те случаи, когда он
действительно получал согласие между некоторыми из вычиспенных им частот и наб-
наблюдаемыми линиями, могут рассматриваться только как неудачное стечение обстоя-
обстоятельств (unfortunate accidents) ([54], с. XII). Говоря об использовании планковской пос-
постоянной Никольсоном, Розенфельд замечает: " . . и здесь нет никакой физической
аргументации, а топько дальнейшее жонглирование цифрами (display of numerology)...
Единственное общее его соображение звучит следующим образом: "Поэтому, если
постоянная Пленка />. как предлагает считать Зоммерфельд, важна для атома, это
может означать, что момент импульса атома может увеличиваться или уменьшаться
на дискретные количества, когда электрон покидает или возвращается < в атом > ".
Сразу видно, что зта точка зрения доставляет меньше трудностей воображению, чем
более обычная интерпретация, которая, как попагают, связана с атомистическим
строением самой энергии" (там же, с. XIII).
5') Bohr N. On the theory of the decrease of velocity of moving electrified particles
on passing through matter. - Philosophical Magazine, 1913, v. 25, p. 10—31.
" *) Вор Н. Теория торможения заряженных частиц при их прохождении через
вещество. — В кн.: Бор Н. Избранные труды, т. l[ 1.111 •]. с. 63-83.
st) Bohr N. On the constitution of atoms and molecules. - Philosophical Magazine,
1913, v. 26, p. 1-25,476-502, 857-875. См. также [54].
56 *) Бор. Н. О строении атомов и молекуп. — В кн : Бор Н. Избранные труды,
т. 1[1.11Ы.с.84-148.
") См. [54] ,с. XXIII.
82
Шения st). Эта гипотеза, для которой мы не будем пытаться найти механи-
механическое обоснование (поскольку это кажется безнадежным), была выбра-
выбрана потому, что она представляется единственной возможностью объяснить
•сю совокупность экспериментальных результатов, которые группируются
вокруг концепций механизма излучения, выдвинутых План ком и Эйнштей-
Эйнштейном, и, по-видимому, подтверждают их" *).
Этот набросок, занимающий шесть рукописных страниц (одна из которых,
К сожалению, утеряна), бып написан Бором как частное сообщение Резер-
форду и, безусловно, очень важен дпя понимания концептуального раз-
развития атомной теории Бора. Бор сознавал, что стабильность модели Резер-
форда никак нельзя бы по согласовать с принципами механики Ньютона и
•лектродинамики Максвелла: в соответствии с этими принципами никакая
система точечных зарядов не может находиться в статическом равновесии,
а динамическое равновесие, обусловленное движением электронов, должно
¦ести к радиационной диссипации энергии, сопровождающейся постоянным
сокращением размеров системы.
Поскольку открытие Ппанка уже выявило фундаментальные ограниче-
ограничения классической физики, Бор считал, что для решения проблемы стабиль-
стабильности следует обратиться к планковскому кванту действия. В противопо-
противоположность своим предшественникам, которые вводили постоянную План-
Планка h в атомные модели с цепью найти механическое ипи электромагнитное
истолкование h. Бор признал, что постоянную Планка следует ввести в
модель Резерфорда не ради выяснения физического смысла h, но ради
объяснения стабильности модели. Бор понимал, что для этого из теории
должна была следовать постоянная с размерностью длины, характеризую-
характеризующая расстояние электрона от центра стабильной орбиты. Но единственными
постоянными параметрами, фигурировавшими в резерфордовской модели
атома, были масса и заряд, а из них нельзя было образовать постоянную
с размерностью длины. Однако добавление h к т и е позволяло построить
такое выражение, а именно h2/me2, которое имело размерность длины
и даже требуемый порядок величины («20 - 10"* см); Бор видел в этом
дополнительное свидетельство справедливости своего предположения.
Вое предыдущие попытки ввести постоянную Планка в атомные модели
исходили иэ модели Томсона и обычно основывались на предположении о
гармонических колебаниях, для которых работа Ппанка мота дать прави-
правило квантования. Наиболее примечательной из этих попыток была попытка
Гааза59), о которой речь шла раньше. Пытаясь интерпретировать фотоэф-
") Совершенно очевидно, что Бор имел ввиду "угловую скорость", а не "время
обращения".
*) "In the investigation of the configuration of the electrons in the atoms we immediately
meat with the difficulty. . . that a ring, if only the strength of the central charge and the
number of electrons in the ring are given, can rotate with an infinitely great number of
different times of rotation, according to the assumed different radius of the ring; and there
••ems to be nothing ... to allow, from mechanical considerations to discriminate between
the different radii and times of vibration. In the further investigation we shall therefore intro-
introduce and make use of a hypothesis, from which we can determine the quantities in question.
This hypothesis is: that for any stable ring (any ring occuring in the natural atoms) there will be a
definite ratio between the kinetic energy of an electron in the ring and the time of rotation.
This hypothesis, for which no attempt at a mechanical foundation will be given (as it seems
hopeless), is chosen as the only one which seems to offer a possibility of an explanation of
the whole group of experimental results, which gather about and seems to confirm concepti-
conceptions of the mechanismus of the radiation as the ones proposed by Planck and Einstein"
mosenfeldL. [54],p. XXIII).
»•) Cm. [1.168).
в* «3
фект как явление резонанса между орбитальными частотами и частотами
падающего излучения, Линдеман60) в 1911 г. использовал законы Кеплера,
принимая орбиты электронов эллиптическими, но в остальном не вышел
за рамки модели Томсона. В марте 1912 г. Герцфельд61) предложил
модификацию томсоновской модели, приняв круговые электронные орби-
орбиты, но неоднородное распределение положительного заряда сферы; при
этом он получил серию Бальмера, проведя квантование энергии в соответ-
соответствии с правилом, сформулированным Хаэенёрлемб2) как обобщение
планковского рецепта для квантования гармонического осциллятора. Но
и эти, и другие подобные расчеты63), приводившие к согласию по поряд-
порядку величины между вычисленными и наблюдаемыми значениями частот
излучения и размеров атома, потеряли свое значение, поскольку была
отклонена сема модель Томсона, на которой они основывались. Гипотезы
Никольсона, с которыми Бор познакомился только к концу 1912 г. (это
мы энаем из рождественской открытки64), посланной им своему брату
Харальду), также потеряли свое значение, хотя и по другим причинам.
"~ Основная проблема, стоявшая перед Бором, заключалась в том, чтобы
найти способ использовать планковскии квант действия в реэерфордовской
модели атома. Приняв, что атом водорода состоит из электрона, вращающе-
вращающегося вокруг ядра, заряд которого равен и противоположен по знаку заряду
электрона, а массе очень велика по сравнению с массой электрона е. Бор
сначала исследовал, насколько далеко можно продвинуться в рамках клас-
классической механики. Согласно первому закону Кеплера, орбита электрона
является эллипсом, в одном из фокусов которого располагается ядро.
Обозначив через 2а большую ось эллипсе, через W — энергию, которую не-
необходимо добавить, чтобы удалить электрон на бесконечно большое рас-
расстояние от ядра, через в — заряд электрона и через т — массу ядра, Бор
смог показать, что в рамках классической физики
у/Т W3'2 ее'
«" Г1=Г' 2#-— , B.2)
' ее'у/т W
т.е. частота обращения электрона w и большая ось орбиты зависят только
от значения W и не зависят от эксцентриситета орбиты. Формулы B.2)
легко вывести в частном случае круговой орбиты радиусе а. В этом случае,
поскольку центробежная сила равна силе притяжения, имеем mv7fa =
- ее'la2; тогда полная энергия
U = Ъту* - ее'1а • - ее'/2а -~ W.
т.е. получаем вторую'из формул B.2), а с помощью соотношения и»2яая
и первую из них. Итак, Бор видел, что при изменении W можно получить
все возможные значения для w и 2а. Существование дискретных спектраль-
спектральных линий говорило, однако, о том, что ш и 2а должны принимать некото-
•° 1 Lindemenn F.A. Uber die Berechnung der Eigenfrequenzen der Elektronen Im jetektl-
ven Photoeffect. — Verhendlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft, 1911, Bd13,
S. 482-488.
•') hhrzfeld K.F. Uber ein Atommodell,das die Balmer'sche Wasserstoffttrie eussendet.-
Wiener Berichte. 1912, Bd 121, S. 593-601.
'') Hetenohrl F. Uber die Grundlagen der mechenlschen Theorie der Warme. - Physike-
litche Zeittchrlft. 1911, Bd 12.S. 931-935.
*3) Wenbeimer E. Zur Haberschert Theorie der Warmetdnung. - Verhandlungqn der Deut-
Deutschen Physikalischen Getellschaft. 1912, Bd 14, S. 431-437.
'*> См. 154], с XXXVI.
84
рые определенные значения, характерные для системы. Более того, как
очевидно из простых соображений размерности, из величин в,е'\лт нельзя
построить комбинацию, которую можно было бы интерпретировать как
диеметр атома. До этого момента Бор не учитывал излучение энергии,
которое согласно теории Максвелле должно быть пропорционально квадра-
квадрату ускорения электрона. Если принять во внимание это излучение, то W
должно постоянно возрастать вместе с частотой обращения ш, тогда как
резмеры орбиты все время убывали бы; это привело бы к непрерывному
спектру, а не к наблюдавшемуся в действительности дискретному. Иными
словами, не могло бы быть и речи не только об определенных размерах
атома, но и о какой бы то ни было его стабильности. Понимая несовмести-
несовместимость обычной механики и электродинамики с атомной моделью Резерфор-
да и вступая в прямое противоречие с механикой Ньютона и электродина-
электродинамикой Максвелла, Бор, чтобы не лишать атом реэмеров и стабильности,
смело постулировал следующее предположение: существует дискретный
набор допустимых или стационарных орбит, и пока электрон остается на
одной из этих орбит, энергия не излучается. Интересно отметить, что вторая
часть этого предположения, хотя и не сформулированная явно, была ис-
использована несколькими годами ранее Ланжевеном's) в его теории
постоянного магнетизма.
Хотя Бор и был уверен в том, что дискретность орбит (т.е. величины а) и,
в соответствии с B.2), величин IV и ш каким-то образом связана с план-
ков ской постоянной действия, он тем не менее до февраля 1913 г. не мог
установить точной связи между ними. На решение проблемы его натолкну-
натолкнули два, казалось бы, несвязанных явления. Во-первых, эксперименты
Уиддингтона66), с которыми Бор был знаком еще со времени пребывания
в Кембридже. Уиддингтон показал, что в свойствах излучения,испускаемо го
при бомбардировке электрода катодными лучами все увеличивающейся
скорости, при определенных критических скоростях происходят резкие
изменения. Эта ребота, по-видимому, подсказала Бору идею уровней энер-
энергии,67). Фактически же результаты Уиддингтона стали, конечно, понятны
позже; *в диапазоне рентгеновских лучей они дают наиболее четкое
подтверждение теории'Бора, как в области видимого света - выполненные
впоследствии эксперименты Френка — Герца. Второй толчок дала спектро-
спектроскопия. Даже в конце января 1913 г. Бор не вполне понимал значимость
спектроскопических исследований для его работы. Так, в письме от 31 ян-
января 1913 г., направленном Реэерфорду из Копенгагена, где с сентября
1912 г. Бор работал ассистентом у Кнудсена, Бор писал: "Я вообще не зани-
занимался вопросом вычисления частот,- соответствующих линиям видимого
спектра. Я только пытался, исходя из простой гипотезы, использованной
мной с самого начала, обсудить строение атомов и молекул в их "перманент-
"перманентном состоянии8). Но несколькими днями позже спектроскопист
Г.М. Хансен, только что приехавший в Копенгаген из Гёттингена, где он под
руководством Фогта изучал обрещенньм эффект Зеемана на питии, обратил
внимание Боре на работу Ридберга по классификации спектральных линий-
•') Lengevin p. Sur la theorie du magnetisme. — Comptes Rendus, 1904. v. 139,
p. 1204-1207.
•* > WhkMington Й. The production of characteristic Rdmgen redietion. - Proceedings of
the Rovbi Society of London (A), 1911, v. 85. p. 323-332.
•*' Archive for the History of Quantum Physics. Интервью с Н. Бором от 31 октября
1962 г.
¦М Полный текст письма см. в E4], с. XXXVI-XXXVII.
85
предмет, которым ранее Бор не интересовался. Когда Хансен спросил его,
как новая модель атома может объяснить закономерности, обнаруженные
Ридбергом и Ритцем, Бор познакомился с предметом и быстро осознал
его важность для стоящей перед ним задачи. "Как только я увидел форму-
формулу Бапьмера, - часто повторял Бор69), - для меня~ср"аау ни? спит яиио".
Посмотрим же, каким образом формул* Бальме0а подсказала Ьб'ру спо-
соб включения квантовых концепций в резерфордовскую модель атома
водорода, для чего внимательно проанализируем изложение этого вопроса
в эпохальной статье Бора70). Как мы видели в связи с рассмотрением
работ Ритца и Ридберга, формулу Бальмера и ее непосредственные обобще-
обобщения удобнее всего записать в виде *')
/1 1 \
„ = Re ( - - - . B.3)
I1-1)
В первой части 72) упоминавшейся выше статьи Бор получил эту форму-
формулу тремя способами. В первом из них73) он принял основное предположе-
предположение "второй теории" Планка"), согласно которому количество энергии,
испускаемой атомным вибратором частоты v, равно rhv. где т — целое
число излученных квантов, каждого с частотой v. Взяв электрон, который
находится на значительном ресстоянии от ядра и "не обладает сколько-
нибудь ощутимой скоростью относительно последнего". Бор рассмотрел
связывание этого электрона с ядром, в результате чего электрон "оказы-
"оказывается на стационарной (круговой) орбите с центром в ядре" с угловой
частотой и>. Во время этого процесса, предположил Бор, испускается "одно-
"однородное" (монохроматическое) излучение частоты v, равной половине
частоты обращения электрона на en» конечной орбите - подобная связь
напрашивалась сама собой, если исходить из того, что "частота обращения
электрона в начале испускания равна нупю". Итак, из выражения
т
W= — /?w
2
Бор с помощью B.2) получил формулы
2*2те2е'2 Лп2те2е'2 r2h2
W u> = 2а =
г2Л2 ' r3h3 ' 2п2тее' '
которые при т= 1, \е\ =\е'\ =4,7-1О-10. е/т=5,31 • 1017, Л=6.5Ю'27
давали значения Ю"=13эВ, ш = 6,2 • 10lsc"', 2а = 1,1 • 10~8см,согласовав-
10~8см,согласовавшиеся с эмпирическими значениями потенциала ионизации, оптических час-
частот и линейных размеров атома водорода. Далее, так как для атома водоро-
водорода энергия, испущенная при образовании одного из стационарных состоя-
состояний, равна
2п2те4
то "количество энергии, испускаемой при переходе системы из состояния.
*•) См. [54),с. XXXix.
'°)См. [56,56»].
"» См. [231.
72 > См. [561. с. 1-25.
"') Там же. с. 5, 8, 9.
) См. [1.195).
96
соответствующего т = Т\, в состояние, соответствующее т=т^ , равно
2тггте4
Отсюда, поскольку И^т, - WT^ =hv, получаем
2п2те4
а это и есть формула Бальмера.
Выводя формулу Бальмера вторым способом7s), Бор указал, что нет
необходимости предполагать, что "излучение соответствует испусканию бо-
лее чем одного кванта энергии hv". Ввиду того, что "как только квант
испущен, частота изменяется", по его мнению было бы более последователь-
последовательно принять, что испускается не г квантов с частотой vl2, как ранее, а один
квант с частотой п>12. На самом деле Бор еще больше обобщил подход,
предположив, что соотношение между испускаемой энергией и частотой
обращения электрона для различных стационарных состояний имеет вид
где fir) - пока что неопределенная функция целого числа т. Сделал это он
потому, что выбор fir) = г/2, использованный в первом способе, представ-
представлялся естественным, но недостаточно, с его точки зрения, логически убеди-
убедительным. Повторив рассуждения первого способа, но с заменой г/2 на f(r),
Бор получил
п2теге'2 Г 1 1
Если ранее, при f{r)= r/2. он сразу приходил к формуле Бальмера, то те-
теперь за большую общность подхода пришлось заплатить введением допол-
дополнительного шага: Бор должен был обратиться к структуре формулы Баль-
Бальмера. В последней переменный множитель имеет вид Ут\ - Мт\, и чтобы
получить его, надо было принять f(r) = ст. где с — подлежащая определе-
определению константа. Для ее определения Бор рассмотрел переход системы меж-
между двумя соседними стационарными состояниями с т = N \лт= N — 1. Прос-
Простые вычисления дают для частоты испущенного излучения
ir2me2e'2 2/V-1
2с2 h3 N2(N-1J
и для частот обращения электрона до и после испускания
п2те2е'2
тггте2е'г
'v~' 2cV(/V-1K
"Если N велико, - продолжал Бор, - отношение частот до и после испус-
испускания излучения будет очень близко к 1; согласно обычной электродинами-
электродинамике мы должны поэтому ожидать, что отношение частот излучения и обраще-
обращения также будет близко к 1. Это условие выполняется только при с = V4".
") См. [561.С. 12. 13.
87
Действительно, так как отношение
v c/V3B/V-1)
Z^~ /V2(/V-1J
при больших N стремится к 2с, оно приблизится к 1 только при с = 1Л.
Итак, вновь получен результат, найденный ранее.
.В третьем способе вывода76) формулы Бальмера Бор совсем не и ело л ь-
зовал соотношения планка, заменив его, как он выразился, "интерпрета-
"интерпретацией испускания излучения по аналогии с обычной электродинамикой".
Действительно, говорил он, "электрон, обращающийся вокруг ядра по эл-
эллиптической орбите, будет испускать излучение, которое согласно теореме
Фурье можно разложить на однородные компоненты с частотами пш, где
ш - частота обращения электрона". Принимая далее, что частота излучения
энергии при переходе из состояния, в котором энергия еще не испускалась,
в другое стационарное состояние равна целому кратному w/2, где со — час-
частота обращения электрона в рассматриваемом состоянии, Бор пришел к
тем же соотношениям, что и раньше. "Поэтому, — заключил он обсужде-
обсуждение, — наши предварительные соображения .. . можно считать лишь простой
формой представления результатов теории7).
Подход Бора, как мы видели, был по существу основан на принципе,
названным им позднее "принципом соответствия". Согласно этому принци-
принципу, в тех случаях, когда действие достаточно велико, так что можно пре-
пренебречь отдельными квантами, объяснение квантовых явлений, которое
должно быть по существу статистическим, можно представить как рацио-
рациональное обобщение описания в рамках классической физики. Бор, вероят-
вероятно, понимал, что постулировав квантование момента импульса, он мог бы
представить свою теорию в более компактном математическом виде. Одна-
Однако, не доверяя законности использования концепций "старой механики"
и избегая этого по мере возможности, Бор отверг подобную альтернативу
и прадпочел использовать принцип соответствия. В то врамя, когда Бор
писал первую часть своей классической работы, квантование момента
импульса было для него просто "интерпретацией" на языке "символов,
взятых из обычной механики". Он писал: "Хотя очевидно, что не может
быть и речи о механическом обосновании вычислений, приведенных в
данной работе, их результаты можно очень просто интерпретировать с
помощью символов, взятых из обычной механики. Обозначая момент
импульса электрона, вращающегося вокруг ядра, через Af, сразу имеем для
круговой орбиты пМ = Т/из, где о> - частота обращения, а Г - кинетическая
энергия электрона; кроме того, для круговой орбиты Г = W, а поскольку
W = 7/?w/2, то получаем М = тМ0, где Af0 -.f>/2n = 1,04- Ю'27 ... В стацио-
стационарном состоянии системы момент импульса электрона, вращающегося
вокруг ядра, равен целому кратному универсальной величины, на завися-
зависящей от заряда ядра8). Ясно, что в этом случае квантование момента им-
импульса и формула W - тЬш/2 — математически эквивалентные утверждения.
В заключительных замечаниях своей статьи79' Бор следующим образом*'
суммировал использованные им предположения: "A) Энергия излучения
76) См. [56). с. 14.
1 ~) Там же.
' *) Там же, с 15.
'•) Там же, с 874.
' I ом же, i~ о ' 1'
"' "A) That energy radiation is not emitted (or absorbed) in the continuous way assumed
in the ordinary electrodynamics, but only during the passing of the system between different
88
испускается (или поглощается) не непрерывным образом, как это прини-
принимается в обычной электродинамике, а только лишь во время перехода
системы между различными "стационарными" состояниями. B) Динами-
Динамическое равновесие систем в стационарных состояниях определяется обыч-
обычными законами механики, но эти законы несправедливы для перехода
систем между различными стационарными состояниями. C) Излучение,
испускаемое во время перехода системы между двумя стационарными
состояниями, однородно, а соотношение между частотой v и полной испу-
испущенной энергией Е имеет вид Е = hv, где h — постоянная Планка. D) Различ-
Различные стационарные состояния простой системы, состоящей из электрона, вра-
вращающегося вокруг положительного ядра, определяются условием, согласно
которому отношение полной энергии, испущенной при образовании конфи-
конфигурации, к частоте обращения электрона является целым кратным величи-
величины %/>. Если принять, что орбита электрона круговая, это предположение
эквивалентно предположению, что момент импульса электрона, обращаю-
обращающегося вокруг ядра, равен целому кратному величины h/2n. E) "Перма-
"Перманентное" состояние любой атомной системы, т.е. состояние, в котором
испущенная, энергия максимальна, определяется из условия, что момент
импульса каждого электрона относительно центра его орбиты равен h /2n..
В этой связи следует отметить, что несколько раньше Бора квантовани-
квантованием момента импульса пользовался Эренфест80), не формулируя это,
впрочем, как общий принцип. Именно, совершенствуя теорию Эйнштейна —
Штерна (см. [1.104]) удельной теплоемкости двухатомных газов, Эренфест
показал, что если принять предположение %/.Bтп>J = nhv/2 (L — момент
инерции, v — частота, п — целое число), то для объяснения эмпирической
температурной зависимости ротационной энергии водорода нет необходи-
необходимости допускать молекулярное возбуждение при абсолютном нуле.
Помимо хорошего согласия вычисленного и наблюдавшегося значений
постоянной Ридберга, Бор нашел поддержку своей теории в том, что урав-
уравнение B.3) было применимо не только при т2 = 2, когда получалась серия
Бальмера, но и при т2 = 3 (и, соответственно, г» - 4, 5, ... ). Последний
случай соответствовал серии в инфракрасной области, которая была уже
предсказана Ритцем81) и действительно наблюдалась Пашеном*1) в
'stationary' states. B) That the dynamical equilibrium of the systems in the stationary states
is governed by the ordinary laws of mechanics, while these laws do not hold for the pessing of
the systems between the different stationary states. C) That the radiation emitted during the
transition of в system between two stationary states in homogeneous, and that the relation
between the frequency v and the total amount of energy emitted В is given by ?« hv,
where h is Plancks's constant. D) That the different stationary states of a simple system con-
consisting of an electron rotating round a positive nucleus are determined by the condition that
the ratio between the total energy, emitted during the formation of configuration, and the
frequency of revolution of the electron is en entire multiple of J4/i. Assuming that the orbit
of the electron is circular, this assumption is equivalent with the assumption that the angu-
angular momentum of the electron round the nucleus is equal to an entire multiple of />/2ir.
(S) That the "permanent" state of any atomic system, i.e., the state in which the energy
emitted is maximum, is determined by the condition that the angular momentum of every
electron round the centre of its orbit is equel to h/2it" {Bohr N. 156], p. 874).
••) Ehrenfest P. Bemerkung betreffs der spezifischen Warme zweiatomiger Gases. — Ver-
hendlungen der Deutschen Physikalischen Gesellichaft, 1913, Bd 15, S. 451-457; In:
Collected Scientific Papers [ 1.77], p. 333-339. Статья Эреифеста вышпа в свет 15 июня
1913 г., а первая статья Бора появилась в июле 1913 г.
*' > ЯПж W. Uber ein neues Gesetz der Serienspektren. - Physikalische Zeitschrift, 1908.
Bd9,S. 521-529.
fl)PaschenF. Zur Kenntnis ultra-roter Linienspektren. - Annalen der Physik, 1908,
Bd 27, S. 537-570.
89
1908 г.; позднее она получила название "серия Пашена". Более того, пред-
предсказание Бора, что "если положить т2 - 1 и т2 = 4, 5,..., мы получим серии
соответственно в далекой ультрафиолетовой и дальней инфракрасной об-
областях, которые пока не наблюдались, но существование которых можно
ожидать"83), вскоре осуществилось. Серия с г2 = 1 наблюдалась Лайма-
ном84) в 1914 г.. серия с т2 =4 - Брэккетом85) в 1922 г. и серия с г2 -
= 5-Пфундом86) в 1924 г.
В 1913 г. имелись все основания утверждать, что если наблюдались не
все линии из предсказываемых формулой B.3), то это указьвало на не-
недостаточность экспериментальных методов, но не на неверность теории
Бора. Однако, если бы удалось наблюдать хотя бы одну водородную ли-
линию, не описываемую формулой B.3), то это свидетельствовало бы о том,
что теория Бора по крайней мера, неполна, а то и совсем неверна. Подобная
трудность встала перед Бором, когда его внимание обратили на статью,
опубликованную в 1896 г., в которой американский астроном Пикеринг
утверждал, что он разыскал в спектре звезды ? Кормы водороднье линии,
не укладывающиеся в формулу Бальмера; не согласовались эти линии и с
более общей формулой Бора B.3) ¦ Согласно Пикерингу, наблюдалась
"серия линий с длинами волн, приблизительно составляющими 3814, 3857,
3923, 402В, 4203 и 4505, причем последняя линия очень слаба. Эти шесть
линий образуют ритмическую серию, схожую с водородной и обусловлен-
обусловленную, по-видимому, элементом, пока что не разысканным на других звездах
или на Земле. Формула Бальмера не описывает эту серию, но если приба-
прибавить постоянный член и записать X = 4650 [m2 l(m2 - 4) ] — 1032, то для т,
равного 10, 9, 8, 7, 6 и 5, мы получим длины волн 3812, 3858, 3928, 4031,
4199 и 4504" 87). Годом позже Пикеринг стал считать эти линии принадле-
принадлежащими водороду; он исходил из следующих соображений: "Между этими
двумя сериями существует примечательная связь, из которой видно, что
вторая серия, вместо того чтобы принадлежать некоему неизвестному эле-
элементу, как это предполагалось сначала, столь тесно связана с водородной
серией, что, видимо, обусловлена этим веществом, находящимся при еще
не известных условиях температуры или давления. Длины волн линий водо-
водорода можно вычислить по формуле 3646,1 - {п2/[п2 — 16) ], которая пред-
представляет собой формулу Бальмера с некоторой модификацией постоянного
члена, чтобы представлять стандартные длины волн Роуланда, и с заменой
т на л/2. С помощью этой формулы можно получить линии водорода, если
подставить вместо п четные числа 6, 8, 10, 12 и т.д... . Если же подставить
теперь вместо п нечетные числа 5, 7, 9, 11 и т.д., мы получим длины волн
второй серии линий в спектре f Кормы"88). Итак, одна и та же формула,
а именно X = 3646[л2/(л2 - 16) ], была применима как к линиям Бальмера
(при четных п), так и к новым линиям (при нечетных п). Кайзер89) сна-
••> См. 156], с. 9.
84' Lyman T. An extension of the spectrum in the extreme-violet. — Physical Review,
1914, v.3. p. 504-505.
* '' Bracken F. A new series of spectrum lines. - Nature, 1922, v. 109, p. 209.
'•' Pfund A.H. The emission of nitrogen and hydrogen in the infrared. — Journal of the
Optical Society of America, 1924, v. 9, p. 193-196.
"'' Pickering E.C. Stars having peculiar spectra. — Astrophysical Journal, 1896, v. 4,
p. 369-370. Ср. также: Ibid., p. 142-143.
1 • ) Pickering E.C. The spectrum of fPuppis.- Astrophysical Journal, 1897, v. 5, p.92-94.
• *' Kayser H. On the spectrum of fPuppis. - Astrophysical Journal, 1897, v. 5,
p. 95-97.
90
чала выразил некоторые сомнения в правильности идентификации этих ли-
линий, принадлежащей Пикерингу, но затем90) принял его теорию на том
основании, что если у водорода имеется две серии, то это "тогда превосход-
превосходно совпадает с другими элементами". Как указал Кайзер, "то, что эта серия
ранее никогда не наблюдалась, возможно, объясняется недостаточно вы-
высокими температурами в наших трубках Гейсслера и в большинстве звезд".
Когда в июле 1897 г. в спектре ? Кормы была открыта91 '"ясно видимая"
линия 5413,9, соответствующая /7 = 7, утверждения Пикеринга стали обще-
общепринятыми.
Ридберг92), в соответствии со своей общей схемой классификации уров-
уровней, интерпретировал серию Бальмера как диффузную (первую побочную)
серию водорода, а серию Пикеринга — как резкую (вторую побочную),
так что первая соответствовала п = п0 - Nol(m + IJ при т = 2, 3, .. .,
а вторая п = п0 - Nol(m + 0,5J. Тогда, в согласии с законом Ридберга —
Ш у стера, должна была существовать "главная серия" водорода, волновые
числа которой давались бы формулой
= N° /Vq
"~ A +0,5J " (/77 + 1J
при /77 =1,2,... и первый93) член которой был бы равен Х,4687,88. И дейст-
действительно, линия Х4686 была наблюдена94) в спектре f Кормы и также
(во время солнечного затмения 22 января 1898 г.) в спектре солнечной
хромосферы95). Далее, в 1912 г. Фаулер96) наблюдал в спектре газо-
газоразрядной трубки типа Плюккера, содержащей смесь водорода и гелия,
четыре линии с длинами волн, соответствовавшими ридберговской так на-
называемой "главной серии водорода", и новую серию линий в ультрафиоле-
ультрафиолетовой области спектра, сходившуюся к тому же самому высокочастотному
пределу.
Эти-то факты и должен был объяснить Бор на основе своей теории.
Прежде всего он показал, что серия Пикеринга и гипотетическая "главная
серия водорода", которые записывались соответственно в виде
/1 1 \ /1 1 \
v = cR { — - 1 и v = cR ( —- - —- }
\22 (Ш+'ЛJ/ \1.52 /772/
при" /77 = 2, 3,.. ., можно записать соответственно как
(- ±\
W2 к2/
90' Ksyter H. On the spectrum of hydrogen. — Astrophysical Journal. 1897, v. 5, p. 243.
*' > Pickering E.C. The spectrum of f Puppis. - Astrophysical Journal, 1897, v. 6, p. 259.
'''iRydbergJ.R. The new series in the spectrum of hydrogen. — Astrophysical Journal,
1897, v. 6, p. 233-238; 1899, v. 7, p. 233.
93 ) Остальные линии X2734.55; X 2386,50; ... ие будут видны из-за поглощения в
атмосфере.
94' См. примечание Хзйпа (Hale) и Килера (Keeler) к статье Ридберга [92].
9 s' Sir Norman Lockyer, Chisholm-Batten, Pettier Л. Total eclipse of the sun, January 22,
1898. -Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 1901, v. 197, p. 151 -228.
9*' Fowler A. Observations of the principal and other series of lines in the spectrum of
hydrogen. - Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 1912, v. 73. p. 62-71.
Были отмечены небольшие расхождения мажду наблюдаемыми и вычисленными часто-
частотами. Объяснение этому было найдено позже, когда постоянная Ридберга была исправ-
исправлена с учетом конечной массы ядра.
91
при к = 5, 7,... и
при к = 4, 6, ..., т.е. как серии с постоянной Ридберга, вчетверо большей,
чем у водорода. Теперь Бору легко было показать, что его теория, приме-
примененная к ионизированному атому гелия с зарядом ядра 2е, привела бы
именно к таким формулам.
В письме к Реэерфорду, датированном 6 марта 1913 г., Бор упомянул
об этих идеях и написал: "... химик д-р Бьеррум высказал мне предполо-
предположение, что если я прав, то линии могли бы наблюдаться в трубке, наполнен-
наполненной смесью гелия с хлором (или кислородом, или другим электроотрица-
электроотрицательным веществом); действительно, предполагается, что в этом случае
линии могли бы быть еще сильнее. В Копенгагене у нас нет возможности
удовлетворительно поставить такой эксперимент; поэтому мне хотелось
бы спросить Вас, не смогли бы Вы разрешить сделать его в Вашей лабора-
лаборатории, или, может быть, оказать любезность направить предложение
м-ру Фаулеру, установка которого, кажется, еще не разобрана"97). В дейст-
действительности же, когда Эванс98), последовавший этому предложению,
опубликовал короткую заметку в журнале Nature, где говорилось, что
результаты опыта поддерживают предположение Бора о принадлежности
обсуждаемых линий не водороду, а гелию, Фаулер") возражал против
выводов Эванса, ссылаясь на то, что наблюдаемые длины воли этих линий
отличаются, хотя и не на много, от теоретических значений. Впрочем,
Бор100) вскоре указал, что если учесть конечность отношения массы
электрона т к массе ядра т„ и, следовательно, заменить значение т в его
формуле для постоянной Ридберга R на значение "приведенной массы"
т
1 +т/т„
то это полностью объяснит наблюдаемые разногласия, составляющие около
0,04%. Когда последующие эксперименты, выполненные Эваисом101) в
Манчестерском университете, Фаулером102) и Пашеном103), полностью
согласовались с этим предположением, первоначальные возражения Фауле-
ра превратились в еще одно блестящее подтверждение теории Бора.
Следует также напомнить, что зависимость R от т„, указанная Бором,
привела Юри 104) с сотрудниками к открытию в 1932 г. тяжелого водоро-
*'* См. 154], с. XXXIX.
"' Evens EJ. The spectra of helium and hydrogen. - Nature, 1913, (Sept. 4),
v. 92, p. 5.
**) Fowler A. The spectra of helium and hydrogen. - Nature, 1913 (Sept. 25), v. 92,
p. 95.
ч") Bohr N. The spectra of helium and hydrogen. - Nature, 1913 (Oct. 23), v. 92,
p. 231-232.
¦ •••) БорН. Спектры гелия и водорода. - В кн.: Избранные научные труды,
т. I [1.11Ы.С. 149-151.
'"'' Evtns EJ. The spectra of helium and hydrogen. — Philosophical Magazine, 1915,
v. 29, p. 284-297.
101' Fowler A. Series lines in spark spectra. - Proceedings of the Royal Society of Lon-
London (A), 1914, v. 90,p. 426-430.
""' Pmhen F. Bohr's Helium Linian. - Annalen der Physik, 1916, Bd5O, S. 901-940.
1 °*l Uny H.C.. Bnckwdda F.G., Murphy G.M. A hydrogen isotope of mass 2 and its
concentration. — Physical Review, 1932, v. 40, p. 1-15.
92
Д|, или дейтерия, 2Н, у которого изотопный сдвиг составляет 1,79 А для
Мрвой бальмеровской линии На и 1,32 А для Н^.
Наиболее прямое подтверждение воровской интерпратации спектраль-
спектральных термов как величин, связанных со стационарными энергетическими
уровнями его условием частот (см. выше, предположения A ) и C) резю-
резюме Бора) было дано в серии экспериментов, поставленных Франком и
Герцем105). Электроны из термоионного источника ускорялись до некото-
некоторой известной энергии и направлялись на атомы газа или пара при низком
давлении. При малых энергиях электронов происходили только упругие
Столкновения и не наблюдалось никакого излучения. Но как только энер-
энергия электронов становилась равной некоему критическому значению
DД эВ в случае паров ртути) или превосходила его, отмечались неупругие
Столкновения и наблюдалось излучение (Х2537, резонансная линия ртути).
Потеря энергии электроном соответствовала разности энергий между ос-
основным состоянием и возбужденным состоянием атома, которое, переходя
I основное состояние, "отдает обратно" эту энергию в форме излучения в
Соответствии с условием частот Бора.
В нешем анализе работ Бора 1913 г. мы бы недостаточно оценили их,
¦ели бы ограничились физическим содержанием работ, не уделив должного
внимания их философским основам. Но прежде отметим, что теория Бора,
в общем, была принята очень благосклонно. Когда Эйнштейн, суровый цен-
top во всем, что кесалось физических теорий, узнал в сентябре 1913 г. от
Хевеши в Вене, что эксперименты Эванса подтвердили воровское отождест-
отождествление линий Пикеринга кек спектра гелия, он назвал теорию Бора "ог-
"огромным достижением" и "одним иэ величайших открытий". Фактически
Эйнштейн признал важность теории Бора сразу же, как только познакомил-
познакомился с нею. Это произошло на одном иэ еженедельных физических коллок-
коллоквиумов, проводившихся в Цюрихе совместно Университетом и Высшей
Технической школой, на котором было рассказано о первой части статьи
Бора 1913 г., вскоре после ее публикации. В конце дискуссии фон Лауэ
••протестовал: vHo это чепуха! Уравнения Максвелла справедливы при
всех обстоятельствах, электрон на орбите должен излучать06). После
•того встал Эйнштейн и заявил: "Очень примечательно! В этом что-то
•сть. Я не думаю, чтобы абсолютную величину константы Ридберга можно
получить чисто случайным образом"' ° 7).
В сентябре 1913 г., выступая на ВЗ-й сессии Британской ассоциации раз-
развития науки. Джине сделал обзорный доклад по проблеме излучения 10S),
расцененный как "наиболее важная дискуссия секции А, если не всей сес-
10 '• Fmnek J., Hertz в. Ober Zusammenst60e zwischen Elektronen und den Moiektllen
dM Quacksilberdampfat und die lonisierungtspannung desselben. — Verhandlungen der
Dtutschen Physlkalischen Gesallschaft, 1914, Bd 16, S. 457-467; Ober Kinetik von Eiektro-
гмп und lonan in Gasen. — Physikalische Zeitschrift, 1916, Bd 17, S. 409—416; Die Bestati-
•«ing des Bohrschen Atomtheorie im optischen Spektrum durch Untersuchungen der unelasti-
•Chen Zusammenst60e langsamer Elektronen mit Gasmolekulen. — Ibid., 1919, Bd20,
S. 132-143.
'••) "Das i« Unsinn, die Maxwellschen Gleichungen gel ten unter alien UmstSnde. ein
Elektron auf Kreitbahh mu0 strahien". Это высказывание, равно как и приведенное в
следующей сноске, сообщил автору проф. Ф. Танк (Цюрих), присутствовавимй на кол-
коллоквиуме. (Письмо проф. Танка автору от 11 мая 1964 г.)
'*') "Sehr merkwurdig, da mu0 etwas dahinter sain; ich glaube nicht, da<3 die Rydberg-
konsunte durch Zufall in absoluten Werten ausgedruckt rich tig herauskommt").
"•' Jeans J.H. Discussion an Radiation. — In: Report of B3rd Meeting of the British
Association for the Advancement of Science, Birmingham, Sept. 10—17. — L., 1914,
p. 376-386.
93
сии" ); указав, что "любое обсуждение природы излучения с неизбеж
ностью затрагивает более широкий вопрос об истинной форме законов,
управляющих мельчайшими процессами природы" и признав необходимость
"очень широкого пересмотра" законов, которые, как считалось до сего
времени, могли быть выражены в форме дифференциальных уравнений.
Джине высоко оценил новую теорию Бора. Полностью сознавая, что перед
этой теорией стоят еще непреодоленные трудности, "которые представляют
ся огромными", например объяснение эффекта Зеемаиа, Джине тем не ме
нее считал "сумму полученных < Бором) результатов слишком зиачитель
ной, чтобы от них можно было отмахнуться как от чисто Случайных"
Он назвал теорию Бора "наиболее изобретательным, плодотворным и,
я думаю, следует добавить, наиболее убедительным объяснением законов
спектральных серий10). Благожелательному восприятию новых идей
способствовало отличное освещение этой сессии в прессе. 8 частности,
в субботнем выпуске газеты The Times''') упоминалось об "изобретатель-
"изобретательном объяснении водородного спектра д-ром Бором", в статье в журнале
Nature ''2) теория Бора называлась "убедительной и блестящей", а Нор-
Норман Кемпбелл), резюмировавший исследования структуры атома,
описал предположения Бора как "простые, правдоподобные и легко под-
поддающиеся математической трактовке" и как ведущие к результатам, на-
находящимся "в точном количественном согласии с наблюдениями".
Сам Бор, однако, относился к своей теории не более как к "предвари-
"предварительному и гипотетическому" способу описания ряда экспериментальных
фактов, которые не поддавались объяснению на основе обычной электро-
электродинамики и классической механики, выступая 20 декабря 1913 г. перед
Физическим обществом в Копенгагене, Бор114) заявип, что его цель в
настоящее время состоит не в том, чтобы "предложить объяснение спек-
спектральных законов", а, скорее, в том, чтобы "указать путь, на котором
представляется возможным тесно увязать спектральные законы с другими
свойствами элементов, равным образом необъяснимыми с точки зрения
современной науки" "s). Фактически его цель состояла не в нахождении
удовлетворительного ответа на конкретный вопрос, а в поисках верного
вопроса, который следовало задать. Для него было неоспоримым фактом,
что обычная электродинамика и классическая механика не в состоянии
объяснить стабильность резерфордовской модели атома и что невозможно
"получить удовлетворительное объяснение экспериментов с тепловым
излучением, пользуясь электродинамикой, в рамках какой бы то ни было
модели атома. Поэтому тот факт, что дефекты атомной модели, рассмат-
рассматриваемой нами, вырисовываются столь четко, вероятно, не является серьез-
серьезным ее недостатком; даже если дефекты других атомных моделей скрыты
гораздо лучше, они, тем не менее, существуют и не менее серьезны16).
1091 "Physics at the British Association". - Nature, 1913, v. 92, p. 305.
"°) См. [10В], с 376.
1 "' The Times (London), N0316, 1913, Sept. 13, p. 10.
112> Cm. [109].
1 ' '• Campbell N. The structure of the atom. - Nature, 1913, v. 92, p. 586—587.
> Bohr N. On Brintspektret. - Fysisk Tidsskrift, 1914, Bd12, S. 97-114; On the
spectrum of hydrogen. — In: Bohr N. The Theory of Spectra and Atomic Constitution. —
Cambridge University Press, 1922, p. 1 — 19.
'"•) Бор Н. О спектре водорода. - В кн.: Избранные научные труды, т. I [1.111»],
с 152-167.
'"> См. [114], с. 100; с. 4.
> Там же, с 105; с 9-Ю.
94
Бор не только полностью осознал глубокий разрыв в концептуальной
Схема своей теории, но и был убежден, что продвижение в квантовой теории
Mt сможет быть достигнуто до тех пор, пока противоречие между квантово-
Теоретическими и классическими концепциями не будет подвергнуто глу-
глубокому теоретическому анализу. Поэтому он попытался как можно глуб-
ме> проследить корни этого противоречия. Именно в этих поисках фунда-
фундаментальных основ он ввел революционную концепцию "стационарных
Состояний", указывая этим, что они образуют своего рода стоянки, при
переходе между которыми происходит испускание энергии, соответствую-
соответствующее той или иной спектральной линии17). Он ясно сознавал, что идея
Ппанка о дискретности испускаемой энергии - та самая идея, которая,
вероятно, подтолкнула его назвать "стационарные состояния" "стоянка-
"стоянками" ("HoWepladser"), — была чужда классической физике, несовместима
о ней, но тем не менее была законной и необходимой. Именно в этих поис-
поисках фундаментальных основ он обобщил вывод постоянной Ридберга,
перейдя от первой версии, основанной на постоянной Планка, к последней
формулировке, основанной на "связи с нашими обычными представле-
представлениями" ''81. Однако, подчеркивал постоянно Бор. эту аналогию не следует
ложно истолковывать как аналогию в основах: "здесь ничего не говорилось
О том, как и почему испускается излучение" ' "). Завершая выступление,
Бор скезал: "Надеюсь, что я выразил свои мысли достаточно ясно, и вы
могли оценить, до какой степени эти рассуждения противоречат поразитель-
поразительно целостной совокупности концепций, которую справедливо назвали
классической электродинамикой. 8 то же время я пытался донести до вас
впечатление, что, именно подчеркивая это противоречие, со временем
мы также сможем отыскать некую целостность и в новых идеях20).
Итак, мы видим, что, в противоположность Планку и Эйнштейну, Бор не
пытался перебросить мост через пропасть между классической и квантовой
физикой, а с самого начала своей деятельности искал такую схему кванто-
квантовых концепций, которая по эту сторону пропасти могла бы образовать
систему, столь же целостную, как и система классических понятий по ту
сторону пропести '2').
'"> Там же, с 107; с 11.
1 "' Там же. с. 108; с 13.
'"> Там же, с 108; с 12-13.
"°> Там же, с 114; с. 19. (Перевод уточнен; см. об этом примечание на с. 60 в
статье: Rosen fe Id L., Rudinger E. The Decisive Years 1911-1918. - In: Niels 8ohr. His
Ufa and work as saen by his friends and colleagues/ed. S Rozental. - Amsterdam: North-
Holland Publishing Co.. 1967. p. 38-73. -Примеч. пар.)
" ') Глубокий анелиэ этого аспекта работы Бора с точки зрения копенгагенской
интерпретации см. в диссертации Мейер-Абиха, защищенной в 1964 г. в Гамбургском
университете: Meyer—Abich К.М. Korrespondenz, Individualist und Komplementaritat.
Впоследствии эта работа была опубпикована как V том серии 8oethius-Texte und
Abhandiungen zur Geschichte der exakten Wissenschaften/ed. J.E. Hoffmann, F. Klemm,
B. Sticker —Wiesbaden: Franz Steiner Verlag, 1965.
ГЛАВА 3
СТАРАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
3.1. Квантовые условия и адиабатический принцип
Хотя целью классической статьи Бора 1913 г., как вытекало из ее назва
ния, было создание общей теории строения атомов и молекул, теория Бора
давала строгое и адекватное описание только водородных и водородо
подобных атомов, а все его попытки немедленного распространения тео
рии на системы с более чем одним электроном успеха не имели. В то
время даже для нейтрального гелия с его двумя электронами нельзя
было ни объяснить спектр, ни указать разумное расположение орбит, из ко
торого бы следовал близкий к эксперименту первый потенциал ионизации
Следует напомнить, что в начале своей работы Бор обратился к эл
пиитическим орбитам электрона, но затем рассматривал почти исключи
тельно частный случай кругового движения. Он также ограничил обсуж
дение нерелятивистским случаем, полагая, что скорость электрона мала
по сравнению со скоростью света. Впрочем, когда в 1914 г. Куртис''
обнаружил небольшие систематические расхождения между значениями
длин волн водородных линий по теории Бора и их экспериментальными
значениями, Бор2) учел релятивистское изменение массы и получил
формулу
V г2е4 /1 1
(
где в \л т — заряд и масса электрона, М - масса ядра, п, и пг — поло-
положительные целые числа; при этом пренебрегается членами, в которые
входит отношение скоростей электрона и света в степени выше второй.
Поправочный член в этой формуле, зависящий от суммы (п\г + nj2), имел
тот же знак, что и обнаруженное Куртисом отклонение от закона Баль
мера, однако, мог объяснить лишь одну треть наблюдаемого отклонения.
Но основной физической проблемой в то время была проблема рас-
распространения теории на более сложные системы. Фактически этот воп-
вопрос поднял Пуанкаре еще в 1911 г., в дискуссиях на Сольвеевском конгрес-
конгрессе3). Он спросил, каким образом рассмотрение Планком гармоническо-
гармонического осциллятора и его квантового условия, согласно которому элементар-
элементарная область априорной вероятности в плоскости pq определяется из
уравнения ffpdq=h, можно распространить на системы с более чем
одной степенью свободы. Отвечая, Планк выразил убежденность в том, что
вскоре будет достигнута формулировка квантовой теории для систем с
1' Curtit W.E. Wavelengths of hydrogen tines and determination of the series constant. —
Proceedings of the Royal Society of London (A), 1914, v. 90. p. 605-620.
2) Bohr N. On the series spectrum of hydrogen and the structure of the atom. -Philoto-
phicei Magazine, 1915. v. 29. p. 332-33S.
'*' SopH. О сериальном спектре водорода и строении атома. - В кн.: Избранные
труды, т. I, Ц.111-1, с. 1В7-190.
>) См. A.174), с. 120.
96
несколькими степенями свободы4). Четырьмя годами позже решение
проблемы было дано, в основном, Планком и Зоммерфельдом.
Планк5) решил поставленную задачу для динамических систем с f сте-
степенями свободы, которые допускают f интегралов движения. Обобщая
свое рассмотрение гармонического осциллятора, Планк с помощью поверх-
поверхностей F(pk, qk) = const, задаваемых интегралами движения, разбил фазо-
фазовое пространство на области объемом hfv\ постулировал, что стационарные
состояния соответствуют f-мерным пересечениям указанных поверхностей.
Позднее Элштейн6) и Кнезер7) показали, что ппанковские условия выде-
выделения стационарных состояний эквивалентны квантовым условиям, сформу-
сформулированным Зоммерфельдом и полученным совершенно иным образом.
Для лучшего понимания подхода Зоммерфельда следует остановиться
на концептуальном состоянии квантовой теории в 1913—1915 гг. Выдаю-
Выдающийся успех теории Бора в описании атома водорода подсказывал, что
целесообразно проанализировать не только содержание теории, но и ее
методологический подход. Из подобного анализа становилось все яснее,
что квантовомеханическое рассмотрение динамической системы склады-
складывается из трех этапов: во-первых, использования классической механи-
механики для определения возможных движений системы; во-вторых, наложения
определенных квантовых условий для отбора фактических или разрешен-
разрешенных движений; в-третьих, рассмотрения радиационных процессов как пе-
переходов между разрешенными движениями, подчиняющихся условию
частот Бора. Выражалась надежда, что применение этого подхода к сис-
системам с произвольно большим числом степеней свободы позволит найти
последовательный метод логического упорядочивания все увеличиваю-
увеличивающейся совокупности экспериментальных результатов. Развитие этого спе-
специфического синтеза классических и квантовых концепций, о котором
обычно говорят как о "старой квантовой теории", в конечном счете при-
привело к установлению двух общих принципов, которые могут считаться
устоями теории: адиабатического принципа и принципа соответствия.
Первым большим достижением старой квантовой теории бы-
было обобщение воровской теории атома водорода, сделанное Зом-
Зоммерфельдом*). Еще в 1891г. Майкельсон9) обнаружил, что линии серии
4' Там же.
4 *) Изложение дискуссии о квантах на Сольвеевском конгрессе 1911 г., см., напри-
например, в статье: Полак Л.С. М. Планк и .возникновение квантовой физики. — В кн.:
Планк М. Избранные труды A.42»J, с. 685-734, в частности, с. 728.
!' Planck M. Die Quantenhypothese fur Molekeln mit mehreren Freiheitsgraden. - Ver-
handlungen der Oeutschen Physikalischen Gesellschaft, 1915, Bd 17, S. 407—418, 438-451 ;
In: Physikalische Abhandlungen und Vortrege [1.42]. Bd 2, S. 349-360, 362-375; Die
physikalische Struktur des Phasenraumes. — Annalen der Physik, 1916, Bd50, S. 385—418;
In: Physikalische Abhandlungen und Vortrage [1.42], Bd 2, S. 386-419.
s *) вторая из указанных статей переведена на русский язык: Планк М. Физическая
структура фазового пространства. - 8 кн.: Избранные труды [1.42*], с, 339—369.
'' Epstein P.S. Clber die Struktur des Phasenraumes bedingt oeriodischer Systeme. — Berli-
Berliner Berichte, 1918, S. 435-446.
'• Kneser H. Untersuchungen zur Quantentheorie. - Mathematische Annalen, 1921,
8d84, S. 277-302.
*)Sommerfeld A. Zur Theorie der Balmerschen Serie. - Munchener 8erichte, 1915,
S. 425—458; Die Feinstruktur der wasserstoff- und wasserstoffehniichen Linien. — Ibid.,
S. 459-500; Zur Quantentheorie der Spektrallinien. - Annalen der Physik, 1916,. Bd 51,
S. 1-94:125-167.
)MicMson A.A. On the application of interference-methods to tpectroscopic measu-
measurements. - Philosophical Magazine, 1891, v. 31, p. 338-346; 1892, v. 34, p. 280-299.
7. M. Джеммер 97
Бальмера не являются истинно одиночными. На это открытие, конечно,
несовместимое с теорией Бора, либо не обращали внимания, либо не счи-
считали его веским аргументом против теории Бора, поскольку речь шла
об очень малых величинах. Зоммерфельд, однако, заподозрил, что бо
ровский анализ атома водорода, основанный на единственном кванто-
квантовом условии - квантовании момента импульса, — верен лишь прибли-
приближенно. Поэтому он надеялся, что обобщение подхода, т.е. рассмотрение
двух степеней свободы, соответствующих двумерному движению электро-
электрона в плоскости орбиты, приведет к более полному согласию с эксперимен-
экспериментом и в то же время укажет, как следует подходить к системам с несколь-
несколькими степенями свободы.
Поскольку квантование моменте импульса можно выразить (для плос-
плоскости) требованием
где Pf — обобщенный импульс (момент импульса), соответствующий
азимутальному углу <р, а интегрирование распространяется на период
<1, Зоммерфельд постулировал, что стационарные состояния системы с
f степенями свободы определяются из условий, что "фазовый интеграл
для каждой координаты является целым кратным кванта действия0),
т.е. что для к * 1, 2,... ., f
fpkdqk=nkh, C.2)
где рк — обобщенный импульс, соответствующий координате qk, nk — по-
положительное целое число, а интегрирование распространяется на период qk.
Эти "условия Зоммерфельда", как стали позднее называть квантовые
условия C.2), были также получены - и даже несколькими неделями
раньше Зоммерфельда — Вильсоном1') и назависимо Ишиварой12), пытав-
пытавшимися разработать общую теорию, которая единым образом включала
бы в себя рессмотрение гармонического осциллятора по Планку и атома
водорода по Бору. Как совершенно очевидно, обобщенные квантовые
уёловия C.2) содержат в единой форме правильное квантование обоих
динамических систем13).
Вильсон рассматривал многопериодическую систему, кинетическая
энергия которой является линейной функцией квадратов обобщенных
скоростей qk. Поэтому
где 2L к = qkpk- Следовательно,
2fLkdt=fpkdqk.
10>См. [8]. с. 9.
1' ^Wilson И/. The quantum thaory of radiation and line spectra. -Philosophical Maga-
Magazine. 1915. v. 29. p. 795-802.
1* Uthiwara J. Oie universeile Bedeutung des Wirkungsquantums. — Tokyo Sugaku
Buturigakkawi Kizi.1915. Bd 8, S. 106-116.
g
1'' Для осциллятора
«2 / [2m(f -%kq')\ V'dq ' 2n{m/k)V>
где4, и9, — корни уравнения ? — 'AkQ1 " 0.
98
где интегрирование проводится по периоду 1/cfc. соответствующему qk.
Теперь Вильсон следующим образом сформулировал свои квантовые
условия: "Дискретные изменения энергии происходят всегда таким
образом, что устойчивые движения удовлетворяют уравнениям
где пк — положительные целые числа (включая нуль), а интегрирование
распространяется на значения рк и qk, соответствующие периоду \lvk*).
В дополнение Вильсон постулировал следующие два предположения:
"A) Обмен энергией между динамическими системами и эфиром или
между двумя динамическими системами происходит "катастрофически"
или дискретным образом ... B) Движение системы в промежутках вре-
времени между такими дискретными энергетическими обменами опреде-
определяется гамильтоновой динамикой консервативных систем". Ишивара
формулировал свои квантовые условия так: "В природе движение всег-
всегда происходит таким образом, что каждую фазовую плоскость р, q( можно
разделить на такие элементарные области равной вероятности, среднее
значение которых в определенной точке фазового пространства равно
универсальной постоянной
1 /
h = — Г
/ |= 1
В противоположность Вильсону и Ишиваре, которые никогда не исполь-
эовали своих теорий для расчетов атомных спектров, Зоммерфельд при-
применил свои условия для релятивистского рассмотрения атома водорода.
Открытие Зоммерфельда, которое привело к известной теории тонкой
структуры водородного спектра, находившейся в полном согласии с наб-
наблюдениями, произвело большое впечатление и отодвинуло в тень другие
работы.
Согласно классической механике, электрон в атоме водорода движет-
движется по эллиптической орбите, плоскость которой неподвижна. "Руководст-
"Руководствуясь опытом бальмеровской серии *), а также принадлежащим
Дебаю16) распространением подхода Планка к гармоническому осцилля-
осциллятору на произвольные периодические движения с одной степенью свобо-
свободы, Зоммерфельд рассмотрел кеплеровское движение как двумерную
эадачу. Введя полярные координаты в плоскости орбиты (радиус-век-
(радиус-вектор г и азимутальный угол ф), он постулировал, что квантовые условия
должны накладываться не только на ф, но также и на г '7). Из радиального
и азимутального квантовых условий
fprdr = n'h и ip^d^-kb, C.3)
где п — радиальное квантовое число, а * — азимутальное квантовое чис-
число, он нашел, что */ (* + п') = Ыа, где а, Ь — большая и малая полуоси
14>См.П1], с. 796.
">См. [81. сб.
"^Dabye P. Zustandsgleichung und die Quantenhypothese. — tn:Vortriige iiber die
klnetiiche Theorie der Matter .— Leipzig: Teubner, 1914, S. 27.
''IВ своих мюнхенских лекциях Зоммерфельд имел обыкновение говорить:
"Was dem \l/ recht ist. ist dem r biiligl" ("Что верно для С-, справедливо и для г I" -
Примеч. пер.). Зоммерфельд употреблял термин "квантовое число" уже в 1916 г.,
тогда как Бор еще в 1918 г. говорил только о "целых числах".
Т 99
эллипса соответственно, и показал, что энергия стационарной орбиты
дается соотношением Е = — Rhc/(k + л'J или, для водородоподобных
атомов с Z > 1, соотношением Е = — RhcZ2/(k + л') 2 . Поскольку слу-
случай Аг = 0, который соответствует линейной орбите, проходящей через
центр координат (ядро), должен быть отброшен, набор значений {к + /»' 1
совпадал с набором значений г в формуле Бора Е = — Rhc/r1 для круго
вых орбит. Итак, несмотря на большее разнообразие форм орбит, теория
Зоммерфельда пока что не давала каких бы то ни было дополнительных
уровней энергии.
Неудовлетворенный этим результатом, Зоммерфельд подошел к
атому водорода как к системе с тремя степенями свободы. Он ввел сфе
рические координаты (с началом координат, помещенным в ядре) г,в .у,
где г — по-прежнему радиус-вектор, в — широта относительно данной
полярной оси, ~р — азимут. Из квантовых условий
§prdr =л 'h, fp (fy> = л, Л, §рв dd = л2 h,
где п',п{ и л; — соответственно радиальное, азимутальное и широтное
квантовые числа, и сравнения выражений для кинетической энергии в
координатах г, в , у и г, фЗоммерфельд нашел, что к = л, + пг. Посколь-
Поскольку полный момент импульса р^ = kh /2я перпендикулярен плоскости
орбиты и проекция его на полярную ось равна18) р^, Зоммерфельд по-
получил, что Л| = к cos а или cosa = nt (л, + л2) "', где а — угол между нап-
направлениями p^ и полярной оси. Это уравнение говорило о дискретности
возможных наклонений плоскости орбиты относительно полярной оси.
Подобное явление получило название "пространственного квантования";
оно оказывается физически значимым всякий раз, когда полярная ось
задается однозначно, например, направлением магнитного поля.
Однако рассмотрение атома водорода и как системы с тремя степе-
степенями свободы не привело к увеличению числа уровней энергии. Причина
этого сейчас ясна: система, к которой Зоммерфельд подходил как к сис-
системе с тремя степенями свободы, в действительности характеризуется толь-
только одним периодом, т.е. двукратно вырождена.
Наконец, во второй части своей статьи19) Зоммерфельд рассмотрел
задачу релятивистски. Он показал, что, как и в случае любого периодичес-
периодического движения под действием центральной силы, орбита электрона с мас-
массой покоя т представляет собой "розетку" или, выражаясь точнее, электрон
движется по эллипсу, один из фокусов которого находится в ядре, а пе-
перигелий медленно прецессирует. Первоначально Зоммерфельд решил проб-
проблему с помощью релятивистского обобщения нерелятивистского рас-
рассмотрения кеплеровского движения. Позднее2") он понял, что "царской
'"'Это можно показать спедуюшим образом. Гамильтониан системы имеет вид
2т \ г* г* sin2
так что !р - р^ (mr 'sin* 9) "', откуда р^ - m{rtin 9){r tin О \р). т.е. р^= (массв)Х(про
екция радиус-вектора на экваториальную ппоскость) х (скорость вращения конечной
точки указанной проекции радиус-вектора).
">См. [8], с. 44-94.
*"^^ommerfeld A. Atombau und Spaktrallinien. — Braunchweig: Vieweg, 1919, S. 327-
357; 520-522; Atomic Structure end Spectral Lines. - L.: Methuen, 1923, p. 467-496,
608-611. Эта клвссическвя книга по стврой квантовой теории и наиболее читвемвя
монография того времени, выросла из пекций Зоммерфельда по моделям втома,
100
дорогой" решения задачи является метод разделения переменных в
соответствующих уравнениях Гамильтона - Якоби. Как показывается,
в теории относительности, гамильтониан, который в этом случае совпа-
совпадает также с полной энергией, дается выражением
- 1) -Ze2/r,
где 7 = A — v2/c2)Vl, v — скорость электрона, а полярные координаты
г, ф - те же, что использовались в C.3). Поскольку р2 + р2 /г г = у' 2т2 v 2,
уравнение Гамильтона—Якоби имеет вид г *
dS \2 1 / 3S \ 2 2mZe2 I / Ze1 \2
Ъг I г1 \ Ъф/ г с2 V г I
Ъф
В координатах г, ф\л только в них оно допускает разделение переменных.
Так как ф — циклическая координата, то р^ постоянно и азимутальное
квантовое условие дает 2пр^= kh .С другой стороны,радиельное кванто-
квантовое условие, где вследствие движения перигелия интегрирование произ-
производится от ф = 0 до ф = 2я/\/1 - Z 1р2 , приводит к уравнению
- 2тг/< у/С1- В/ у/Ж ) = n'h, где С = - р2 + Z2e*/c2. В = mZe7 + Ze2E/c2
и А - 2тЕ + Е2/с2. Вводя постоянную тонкой структуры а = 2яе2/he и
исключая p^, Зоммерфельд получил следующее выражение для полной
энергии Е = Епк:
Епк=тс2 {[l+*2Z2{n-k+ у/к2 -а2!21)-2]-* -1} ,
где п = п' + к. Разлагая по степеням а и ограничиваясь членами с а2,
получим
|3-41
Этот результет для круговых орбит (л -- к) и Z = 1 совпадает с выраже-
выражением Бора C.1).
Релятивистский поправочный член (член с множителем а2) зависит
от п и к. т.е. уровни энергии действительно являются мультиплетами.
Зоммерфельд получил ожидаемый им результат: теоретическое объяснение
тонкой структуры водородных линий. Как видно из формулы C.4), бла-
благодаря множителю Z" тонкую структуру было бы легче наблюдать в
спектре ионизированного гелия, а не в спектре водорода. Действительно,
точные измерения гелиевого спектра Пашеном2') оказались в прекрасном
количественном согласии с предсказаниями Зоммерфельда, так что от-
открытие Майкельсона нашло объяснение. Между прочим, пашеновское
подтверждение теории Зоммерфельда послужило также косвенным
подтверждением релятивистской формулы Эйнштейна для зависимости
инерционной массы от скорости. Дело в том, что, как показал Гличер22),
читавшихся им в 1916—1917 гг. в Мюнхенском университете. Цитированный анаглий-
екий перевод сделен с 3-го немецкого издания A922 г.)
"") Зоммерфельд А Строение атома и спектры. — М., П., 1926.
ll1Paschan F. Bohr's Helium Linien. - Annalen der Physik, 1916. Bd 50, S. 901-940.
См. также Laue E. Uber die' Frageder FeinstrukturauigewShlter Spektrallinien; Physica-
lltche Zeitschrift. 1924, Bd 25. S. 60-68.
1' JGIittcher K. Spektroskopischer Vergleich zwischen den Theorien des starren und
dts deformierbaren Elektrons. - Annalen der Physik, 1917, Bd 52, S. 608-630.
101
следуя В. Ленцу, альтернативная формула для массы23), предложенная
Абрагамом в соответствии с его теорией "жесткого электрона", приводит
к расщеплению линий гелия, совершенно отличному от фактически наб-
наблюдавшегося Пашеном.
Зоммерфельдовская теория тонкой структуры вскоре стала предметом
обширных и подробных исследований. Относительные интенсивности ком-
компонент тонкой структуры были вычислены Крамерсом24) в его диссер-
диссертации "Интенсивность спектральных линий", исходя из воровского прин-
принципа соответствия, который будет обсуждаться в разделе 3.2. Его резуль-
результаты в общем согпасовались с изменениями Пашена; важным исключением,
как указали Гаудсмит и Уленбек25), а также Панде26), была компонента
4, — 3|, соответствующая переходу с энергетического уровня п = 4, к = 1
на уровень п = 3, к = '\ тонкой структуры гелия и, как нашел Хансен27),
также тонкой структуры водорода. Правило отбора Ак * ± 1 запрещает
появление этой компоненты, в то время как согласно измерениям Пашена
она имела относительно высокую интенсивность. Попытки объяснить
появление этой компоненты на основе эффекта Штарка, при котором
правило отбора, как известно, перестает действовать, успеха не имели.
Пытаясь сделать подход Зоммерфельда более строгим с релятивистс-
релятивистской точки зрения, Дарвин28) заменил обычный кулоновский потенциал
в зоммерфельдовском выражении для полной энергии на запаздываю-
запаздывающий потенциал. Вильсон 2') предложил видоизменить квантовые ус-
условия в соответствии с общей теорией относительности, положив
дпя 5 = 1, 2, Зи 4, где As — векторный потенциал. Однако Ричардсон30)
показал, что это ведет к противоречиям; аналогичная попытка Кара3'),
как показал Смекаль32), также вела в тупик. Попытки объединить кван-
квантовые условия с общей теорией относительности делали также Шрёдингер33)
"'Ср. Jammer M Concepts of Mass in Classical and Modern Physics. - Cambridge,
Mass.: Harvard University Press, 1961; N.Y.;Harper and Brothers, 1964, ch. 12.
"') Джвммер М. Понятие массы в кпассической и современной физике. - М.:
Прогресс, 1967, гл. 12.
"^Kramers H.A. Intensities ol spectral lines. — Kongelige Danske Videnskabernes
Setskabs Skrilter Naturvidenskabeligog mathematlsk afdeling, 1919, Raekke 8. lit. 3.
'' ^Goudsmlth S.. Uhlenbeck G.E. Opmerkung over de spectra van waterstof en helium. —
Phvslca, 1925, v 5. p. 266-270.
"¦^PauliW. Quantentheorie. - in: Handbuch der Physik/ed. H.Geiger.- Berlin: Springer,
1926, Bd 23. S. 12B.
24 •) Паупи В. Квантовая теория. - В кн.: Пвупи В.. Труды по квантовой теории
A920-192BI . - М.: Наука, 1975, с. 7-351. См. примечание на с. 164.
'7 ^Hansen С. Die Feinstruktur der Balmerlinien. - Annalen der Physik, 1925, Bd. 7B,
S 558-600.См. также Kent N.A., Taylor L.B.. Pearson H. Doublet separation of fine struc-
structure of the Balmer lines of hydrogen. - Physical Review, 1927, v. 30, p. 266—283.
"^Darwin C.G. The dynamical motions of charged particles. — Philosophical Magazine,
1920. v. 39, p. 537-551.
1 * ^Wilson W. The quantum theory and electromagnetic phenomena. — Proceedings
of the Royal Society of London (A), 1922, v. 102, p. 478-4B3.
'"^Richardson O.W. The generalized quantum conditions. - Philosophical Magazine,
1923, v. 46. p. 911-914.
" ^Kar S.C. On the theory of generalized quanta and the Balmer lines. - Philosophical
Magazine, 1923, v. 45, p. 610-621.
3 2 kmekal A. - Physikal.sche Berichte,1923, Bd 4, S. 1082-10B3.
1 * iSchrddinger E. Uber eine bemerkenswerte Eigenschaft der Quantenbahnen eines
einzelnen Eiektrons. - Zeittchrift fur Physik, 1922, Bd 12, S. 13-23.
102
и, особенно, Верейде34); последний, поддерживаемый Бором и Крамер-
сом, систематически изучал возможность применить релятивистский под-
подход в атомной модели Резерфорда - Бора. Впрочем, все эти реля-
релятивистские соображения вскоре, в связи с открытием спина, потеряли
значение и не сы.грапи сколько-нибудь значительной роли в последующем
развитии теории.
Зоммерфельд воспринимал обобщенные квантовые условия C.2) как
самый фундамент квантовой теории или, говоря его словами, как
"недоказанные и, вероятно, недоказуемые5) утверждения. Строго го-
говоря, в рамках современной ему физики Зоммерфельд был прав: только
• .1926 г., когда появилась волновая механика, оказалось возможным
строго, с помощью метода Вентцеля - Крамерса — Бриллюэна (ВКБ),
вывести условия Зоммерфельда как некие приближения.
Условия Зоммерфельда были не столь произвольны, как это казалось
на первый взгляд. Их более глубокий физический смысл был вскоре вы-
выявлен с помощью "адиабатического принципа", являвшегося, как ука-
указывалось ранее, одной из концептуальных основ старой квантовой теории.
Обсудим теперь возникновение этого принципа и его роль в развитии
старой квантовой теории.
Концепция "адиабатических изменений в чисто механических системах
восходит к ранним попыткам36) Больцмана37) и Клаузиуса38) свести
¦торой закон термодинамики к чистой механике. Больцман39) показал,
что если законы, управляющие поведением механической системы, под-
подчиняются принципу наименьшего действия, то кинетическая энергия, пе-
передаваемая (по аналогии с добавлением тепла <ЛЭ) простой периодической
Системе с периодом г, дается выражением 2d (т Е k ) 1т, где
Е ш - f о'?»»dT
- средняя кинетическая энергия системы. Поэтому если извне энергия
не поступает (что соответствует условию адиабатичности dQ = 0), отно-
ЗЗФ' Шрёдингер Э. Об одном замечательном свойстве квантовых траекторий
электрона - В кн.: Шрёдингер Э. Избранные труды по квантовой механике. - М.:
Наука. 1976, с. 161-171.
3 * Were/tfe Г. The general principle of reletivitv applied to the Rutherford-Bohr atom-
model. - Physical Review, 1923, v. 21, p. 391-396. См. также. Ogura К. Sur le mouvement
d'une particle dans le champ d'un noy.eau charge. -Japanese Jornal of Physics, 1924, v. 3,
p. B5—94; Von Laue M. G.A. Schotts Form der relativichen Dynamik und die Quanten-
bedingungen. - Annalen der Physik, 1924, Bd 73,S. 190-194.
3S'Cm. [8], с 6.
34 ' Вероятно, самая ранняя попытка этого рода принадлежит Рэнкину
Rankine W.J.M. On the hypothesis of molecular vonices, or certtrifugul theory of elasticity,
•nd its connexion with the theory of heat. - Philosophical Magazine, 1855,v. 10,p. 354-363,
411-420.
L. Uber die mechanische Bedeutung des zweiten Hauptsatzes der War-
meiheorie. - Wiener Berichte, 1866, 8d 53, S. 195-220; Analilischer Beweis des zweiten
Hauptsatzes der mechanischen Warmetheorie aus den SStzen uber das Gleichgwicht der
itbendigen Kraft. - Ibid., 1871, Bd 63, S. 712-732.
"^Clausius ft. Uber die Zuriickfiihrung der zweiten Hauptsatzes der mechanischen
WaVmetheorie auf allgemeine mechanische Principien. — Poggendorff's Annalen der Physik,
1871, Bd 142, S. 433-461; On the reduction of the sec i axiom of the mechanical theory
of heat to general mechanical principles. - Philosophical Magazine, 1B71, v. 42, p. 161 — 181
"^Bolumann L. Vorlesungen Ober die Principien der Mechanik. — Leipzig: J.A. Barih,
1904, Bd 2, sec. 48, S. 1B2.
103
шение Е kin/v является инвариантом системы. В то же время Клаузиус
подчеркнул в этой связи важность изучения реономных систем, находя-
находящихся под действием внешних сил. причем закон действия сил меняется
во времени, а потенциалы содержат параметры, изменение которых проис-
происходит медленно по сравнению с собственными периодами системы. В
подобных процессах воздействие внешних сил не сказывается непосредст-
непосредственно на движениях, определяющих координаты системы, точно так же
как в термодинамике при адиабатическом изменении состояния внешние
воздействия не влияют на координаты, характеризующие тепловое
движение.
Введение этих идей в теорию так называемых циклических (в топологи-
топологическом смысле слова!) систем, подобные изучавшимся в концв столетия
Гельмгольцем40) и Герцем41), привело к определению "адиабатического
движения" как такого движения некой системы, при котором внешние
силы не влияют непосредственно на координаты системы, в то время как
некоторые параметры претерпевают медленные изменения42).
В 1902 г. лорд Рэлей указал, что в некоторых синусоидально колеблю-
колеблющихся системах, таких как простой маятник, подвес которого медленно
укорачивается, или поперечно колеблющаяся струна, на которую медленно
надвигается узкое кольцо, или стоячие волны в медленно сокращающейся
полости, происходят подобные адиабатические изменения, при которых со-
соотношение между энергией и частотой остается неизменным '. На Соль-
веевском конгрессе в 1911 г. Лоренц поднял вопрос, будет ли квантован-
квантованный маятник оставаться в квантованном состоянии, если его подвес укора-
укорачивается. Эйнштейн ответил без тени сомнений: "Если длина маятника
изменяется бесконечно медленно, энергия его останется равной hv, коль
скоро она была равна первоначально hv" .
40 Won Helmholz H. Principien der Statik monozyklischer Systeme. -Journal fur die
reme und angewandte Mathematik, 1884. Bd97, S. 112—140, 317-336; Studien гиг
Statik monozyklischer Systeme.-Berliner Berichte, 1884, S. 159-177,311—318,755-789,
1197-1201.
' Hertz H. Principien der Mechanik in neuem Zusammenhang dargestellt. — Leipzig,
1894 sec. 260; The Principles of Mechanics Presented in a New Form. - N.Y.: Dower, 1956,
P. 213.
"' Герц Г. Принципы механики, изложенные в новой связи. — М.: Изд-во
АН СССР, 1959. с. 228.
4 2 1
' Полезное обсуждение этих аспектов классической механики см. в книге:
Brill A. Vorlesungen zur Einfuhrung in die Mechanik raumfullender Massen. - Leipzig, Ber-
Berlin: Teubner, 1909.
' Lord Rayleigh. On the pressure of radiation. - Philosophical Magazine, 1902, v. 3,
p. 338-346; in: Scientific Papers A.73|. v. 5, p. 41-48. Более позднее обсуждение
адиабатических инвариантов см. в статье Morton W.B. Simple examples of adiabatic
invariance. - Philosophical Magazine, 1929. v. 8. p. 186-194. Помимо прочих примеров,
в этой статье рассматривается адиабатический инвариант, который связан с кеплеров-
ским движением, сопровождаемым аккрецией вращающейся массы и постепенным
изменением силы притяжения к центру. См. также статью Bhatnagar P.L..
Kothari D.S. A note on the principle of adiabatic invariance. - Indian Journal of Physics,
1941, v. 16, p. 272—275, где обсуждаются адиабатические инварианты дпя таких си-
систем, как составной маятник, колеблющийся мегнит и копебательный электрический
контур. Простой математический анализ можно нейти в книге Тотопада S. Quantum
Mechanics. - Amsterdam: North-Holland Publishing Co., 1962, v. 1, p. 21-24, 290-298.
44) Cm. [1.174|.c.45O.
104
В зто время Пауль Эренфест уже понял фундаментальную важность кон-
концепции адиабатической инвариантности для квантовой теории. В своих
исследованиях статистических основ планковского закона излучения, кото-
которые он вел с 1906 г., если не ранее , Эренфест столкнулся с очевидным
парадоксом: закон смешения Вина, который "был выведен на чисто клас-
классической основе", оставался "незыблемым в мире явлений излучения, анти-
антиклассический характер которых выступает всегда неумолимо" . Следует
напомнить, что, как вытекало из закона Вина471, плотность энергии
uv (v, Т) пропорциональна и3F {v / Т) или - поскольку uv соответствует
8iti>Vc3, собственным колебаниям при частоте v в интервале dv, — энергия
е„ собственных колебаний частоты v равна v<S>(v/T). где Ф(у/Г) отли-
отличается от F (и/Т) только постоянным множителем. Записав зту связь в ви-
виде tvlv - Ф{и/Т), Эренфест понял, что закон смещения Вина устанавли-
устанавливает связь между двумя адиабатическими инвариантами е,,/у и v/T.
Но теперь Эренфест понял также, почему первоначальный вывод закона
смещения, данный Вином и основанный на адиабатическом и бесконечно
медленном сжатии излучающей полости, остался справедливым и в кванто-
квантовой теории. Действительно, если е,,/V — адиабатический инвариант, то кван-
квантовое условие Планка е„ = nhv, будучи удовлетворено первоначально,
выполняется и в любой момент времени в процессе сжатия. Следовательно,
справедливость закона Вина в квантовой теории покоилась на том, что
отношение evlv для синусоидальных колебаний до того, как произошло
адиабатическое изменение, равно отношению е'„ /и' для модифицирован-
модифицированных синусоидальных колебаний после этого изменения. Говоря о первом
типе колебаний как о "недеформированном" состоянии или движении, а о
втором — как о "деформированном", Эренфест указал, что по смыслу
закона Вина при адиабатическом превращении разрешенное (т.е. стацио-
стационарное) недеформированное движение переходит в разрешенное деформи-
деформированное движение, а адиабатический инвариант сохраняет первоначальное
значение. Предположение о том, что этот вывод справедлив и в общем слу-
случае, а не только для синусоидального движения, и составляет содержание
"адиабатического принципа", как назвал его Эренфест, следуя предложе-
I Klein M.J. The origins of Ehrenfest's ad i aba tic principle. — In: Proceedings of the
Xth International Congress of History of Science, Cornell University, 1962 -P.: Hermann
1964, p. 801-804.
) Ehrenfett P. Adiabatische Transformationen in den Quantentheorie und ihre 8ehand-
lung durch Niels Bohr. - Die Neturwissenschaften, 1923, 8d U.S. 543-550; In: Collected
Scientific Papers 11.771, p. 463-470.
**') Эренфест П. Адиабатические преобразования в квантовой теории и их трак-
трактовка Н.Бором. - В кн.: Относительность. Кванты. Статистика |1.77«|, с. 5В-75.
47) См. с. 19.
) В том, что ч/Т явпяется адиабатическим инвариантом, можно убедиться спе-
дующим образом. Для изучающей полости в форме куба с объемом V и плотностью
энергии и из уравнения, согпасно которому давление излучения равно —и/3 -
= b(uV)lbV. следует, что и ое V~*f*. С другой стороны, согласно закону Стефана —
Больцмана и л> Г*, откуда Г~ И". Наконец, поскольку v г* У1'5, как видно из
граничных условий, используемых для опраделения числа собственных колебаний,
величина v/T — адиабатический инввриант. Приведенное рассуждение фактически дает
ивиболее удобное доказательство закона смешения. См. книгу: Brillouin L. La Theo-
riedes Quanta etl'Atomde 8ohr. - P.: 1922, p. 177-178.
105
нию Эйнштейна49'. Первое полное изложение этого принципа, вместе со
ссылкой на "механическую теорему" Больцмана, о которой упоминалось
выше, появилось в статье ', опубликованной Эренфестом в 1913 г.,
вскоре после его назначения преемником Лоренца в Лейдене. Тремя годами
позже, в подробном обзоре S1' по этому предмету, Эренфест следующим
образом сформулировал адиабатический принцип. Пусть потенциальная
энергия системы зависит от координат д,, q2, .... qn, а также от неких
"параметров" а,, а2, ¦•¦, а„, значения которых могут медленно меняться, и
пусть кинетическая энергия системы является однородной квадратичной
функцией скоростей <$,, q7, ..., qn, коэффициенты которой зависят от
q,, q2 Qn и, возможно, также от аг, а г а„. Если бесконечно медлен-
медленное изменение параметров переводит движение 0(а) в другое движение
/З(э'), то 0(з) и fl(a') называются "адиабатически сопряженными друг
с другом", а подобное воздействие — "обратимым адиабатическим воздей-
воздействием". Если предполагается, что движение 0(яо), соответствующее опре-
определенным значениям эH, з2, , ап0 параметров, является разрешенным,
то адиабатический принцип утверждает, что для любых значений
а {, а2, .... а„ параметров разрешены те и только те движения 0(з), кото-
которые адиабатически сопряжены с 0(во'< т-е- те движения, которые могут
быть получены из разрешенных движений или переведены в них с помощью
обратимых адиабатических воздействий.
Для Эренфеста основная ценность адиабатического принципа - помимо
того, что на нем основывалась формальная допустимость использования
классической механики в квантовой теории для случая параметров, зави-
зависящих от времени, — состояла в том, что с его помощью можно было найти
стационарные состояния деформированных систем, адиабатически сопря-
сопряженные с недеформированными системами, квантовые условия для кото-
которых известны. Итак, согласно Эренфесту, адиабатический принцип позволял
определить разрешенные движения любой периодической системы с одной
степенью свободы, если эта система адиабатически сопряжена с гармониче-
гармоническим осциллятором. Действительно, для того чтобы найти квантовое усло-
условие для деформированной системы, было необходимо лишь найти некую
функцию J параметров и констант движения, которая оставалась бы
инвариантной при деформации системы и совпадала бы с отношением
е„/е энергии к частоте осциллятора в начале деформации. Как только по-
I Einstein A. Beitrage гиг Quantentheone. — Verhandlungen der Deutschen Physikali-
schen Gesellscha't. 1914, Bd 16, S. 820-828. Эйнштейн говорил об "адиабатической
гипотезе".
) Эйнштейн А. К квантовой теории. — В кн.: Собрание научных трудов,
т. Ill [ 1.112 -|, с- 32В-335.
I Ehrenfest P. Een mechanische theorems van Bolwmann en 2ijne betrekting tot de
quanta theorie. - Verslag van de Gewoge Vergadiringen der Wis— en Natuurkundige
Afdeeling, Amsterdam, 1913, Bd 22, S. 5B6-593; A mechanical theorem of Boltzmann and
its relation to the theory of energy quanta. - Proceedings of the Amsterdam Academy,
1914, v. 16, P. 591-597; In: Collected Scientific Papers |1.77|,p. 340-346.
*) Эренфест П. Об одной механической теореме Больцмана и ее отношении
к теории квантов. — В кн.: Относительность. Кванты. Статистика. |1.77*|, с. 51—57.
' Ehrenfest P. Adiabatische Invarianten und Quantentheone. — Annalen der Physik,
1916, Bd 51, S. 327-352; Adiabatic invariants and the theory of quanta. — Philosophical
Magazine, 1917, v. 33, p. 500-513; In: Collected Scientific Papers |1.77|, P. 378-399.
106
добнь1Й адиабатический инвариант найден, квантовое условие дпя деформи-
деформированной системы разыскано: J = nh, где п — неотрицательное целое число.
Существование адиабатических инвариантов для систем с f степенями
свободы бы по доказано в статистической мэханике еще в 1910 г.
П.Герцем S2), показавшем, что 2г'-мерный объем V = / ... fdqt ... dpn,
который в фазовом пространстве окружен B^—1)-мерной гиперповерхно-
гиперповерхностью е (q, р, а) = const, инвариантен при обратимых адиабатических пре-
превращениях. При f = 1 этот результат, как указал Эренфест, совпадает
с "механической теоремой" Бопьцмана. Действительно, в этом случае
о
Поскольку дпя гармонического осциппятора 2Еып = ev = nhv и адиабати-
адиабатический инвариант J = evlv = nh, квантовое условие дпя любой периодиче-
периодической системы с одной степенью свободы, адиабатически сопряженной с
осциллятором, имеет, согласно Эренфесту, вид fpdq = nh. Итак, при пер-
первом взгляде создавалось впечатление, что адиабатический принцип может
дать последовательный подход к квантовотеоретическому рассмотрению
самых различных динамических систем. Однако практическое его исполь-
использование часто наталкивалось на непреодолимые трудности. Так, метод ока-
оказывался бесполезным во всех тех случаях, когда адиабатическое изменение
должно было проходить через состояние, в котором период движения обра-
обращается в бесконечность (как, например, при переходе от маятника к рота-
ротатору) ¦ Действительно, в таких случаях уже не могло быть удовлетворено
условие бесконечной медленности изменения параметров по сравнению
с собственными периодами системы.
В 1916 г. Эренфест 53) установил, что квантовые условия Зоммерфепь
да C.3) дпя атома водорода согласуются с адиабатическим принципом,
показав адиабатическую инвариантность фазовых интегралов в C.3). Вы-
Выполнив интегрирование азимутального уравнения движения Лагранжа,
он нашел, что дпя координаты q, — фи периода v , = ^/2я величина р. =
'^постоянна. Поэтому адиабатический инвариант 2E~kin/i>j/ равен
= 2яр. = $р^ф,
что совпадает с первым фазовым интегралом Зоммерфельда. Далее, если
X [г, я,, а2, ... ) - потенциал центральной сипы, зависящий от параметров
а,, а2, ¦ ¦•. то радиальное уравнение Лагранжа тг - тг ф2 +d\/dr = Оипи
тг - р2ф/тгг - d\/dr можно интерпретировать как уравнение одномер-
одномерного движения, происходящего в пределах г , < г < г г под действием сипы
с потенциалом Ф = — р\ /2тг2 + х; тогда соответствующий адиабатический
инвариант имеет вид 2?к'п/»^г = fprdr и совпадает со вторым фазовым
интегралом Зоммерфельда.
• Hertz P. Ober die mechanische Grundlagen der Thermodynamik. - Annalen der Phy-
»ik,1910, Bd 33,' S. 537-552. К утверждению об адиабатической инвариантности o6v
емов. окруженных изоэнергети.ческими поверхностями. Герц пришеп, опираясь на на-
мвк, содержавшийся в гл. 13 ("Впияние различных процессов на ансамбль систем")
книги Гиббса "Основные принципы статистической механики" ([1.2121,с. 157-15В-
см. также 11.212«|).
SJ) См. |51|,с.ЗЗВ.
107
Итак, адиабатический принцип пролил свет на тайну квантовых условий.
Действительно,раннее квантовое условие Бора,согласно которому "момент
импульса электрона, обращающегося вокруг ядра, равен целому кратному
Л/2 л" (см. с. 89), т.е. 2nmvr — nh, потеряло оттенок загадочности: просто
величина 2 пт vr = 2 Vt mv2- Brtr/v) = 2fkin/ v является - уже согласно
теореме Бопьцмана - адиабатическим инвариантом. Потерял оттенок уди-
удивительности и неожиданный на первый взгляд результат Зоммерфельда:
спектр атома водорода не зависит от того, существуют ли в атоме только
круговые орбиты или также и эллиптические орбиты с самыми разно-
разнообразными эксцентриситетами. Действительно, как можно показать, си-
система с круговой орбитой адиабатически сопряжена (в смысле Эренфеста)
системе с эллиптической орбитой и тем же периодом, так что fkin должно
быть одинаково для обеих систем. Но согласно теореме вириала из клас-
классической механики для сил, действующих по закону \1гг, имеем
2fkin - ~?pot. так что обе системы, имеющие равные периоды, обладают
и равными полными энергиями. Поэтому в силу третьего закона Кеплера раз-
разрешенная круговая орбита в атоме водорода энергетически эквивалентна
разрешенной эллиптической орбите, большая ось которой равна диаметру
круговой орбиты. Но именно в этом и состоял результат Зоммерфельда.
Как мы видим, адиабатический принцип сыграл важную роль в углубле-
углублении понимания уже сделанных шагов в развитии квантовой теории. Но
некоторые существенные вопросы оставались неясными. Одной из таких
нерешенных проблем была проблема выбора нужных координат. Задачу
Кеплера, например, можно было рассматривать как в параболических,
так и в полярных координатах, однако в разных системах координат полу-
получались разные квантовые условия и квантовые орбиты.
Разрешили эту неопределенность и дали критерий правильного выбора
координат Пауль Со фу с Эпштейн, бывший ученик Зоммерфельда, и Карл
Шварцшильд, директор Астрофизической обсерватории в Потсдаме. Их
работа была направлена на решение конкретной задачи квантовой теории,
но по существу она завершила изучение целой проблемы теоретической
механики, имевшей долгую историю. Когда Якоби решал "задачу одного
тела", т.е. задачу определения движения материальной точки в гравита-
гравитационном поле неподвижного центрального тела, он показал54', что эту
кеплеровскую задачу можно решить с помощью разделения переменных
в уравнении Гамильтона (позднее названного "дифференциальным урав-
уравнением Гамильтона — Якоби") в двух различных системах координат.
После этого физики-теоретики и математики неоднократно обращались
к вопросам существования и единственности переменных, допускающих
разделение, и к характеристикам связанных с ними движений.
В 1887 г. Штауде5*' для систем с двумя степенями свободы и позже
Штеккель S6) для систем с произвольным конечным числом степеней сво-
"Ijacobi C.G.J. Vorlesungen 'uber Dynamik. - Berlin: Reimer, 1B86, S. 1B3-198.
(Лекции 24 и 25 )
54 ') Якоби К. Лекции по динамике. — М. - П., 193В.
SS^Staude О. Uber eine Gattung doppelt reeil periodischer Funktionen zwsier VarSnder.
licher. -Malhematische Annalen, 18B7, Bd 29. S. 468-485.
s*'Sfac*e/ P. Uber die Integretion der Hamilton-Jacobischen DjHerentialgleichung
mitiels der Separation der Variabeln. - Habilationschrift, Halle, 1891; Uber die Bewegung
108
воды показали, что движение системы, для которой уравнение
^Гамильтона — Якоби можно проинтегрировать с помощью разделения пере-
| менных, является "много-периодическим" или, по астрономической терми-
: нологии, "условно-периодическим". Другими словами, обобщенные коор-
координаты дк для системы с f степенями свободы могут быть представлены
¦ виде Л кратного бесконечного ряда Фурье
qk* 2 С*' ехр[2я/(t,w, + ... + Г/иу)], C.5)
т, ...тГ-~
где wk = i>ift и суммирование ведется по всем целым значениям тк. В об-
общем случае движение не периодично, а орбита имеет вид "незамкнутой"
л фигуры Лиссажу. Только в случае соизмеримых vk текущая точка орбиты
¦ ¦ какой-то момент времени возвращается строго в начальную точку. Штек-
, Кель показал также, что для систем, подчиняющихся уравнениям Гамиль-
Гамильтона — Якоби с разделяющимися переменными, интеграл действия
2/fkjndf можно разбить на сумму
к - I
Каждый из f членов в этой сумме зависит только от одной обобщенной
координаты, а эти последние либо осциллируют между двумя фиксиро-
фиксированными пределеми (либрация), либо ведут себя так, что при их увеличе-
нии на определенное постоянное значение конфигурация системы остается
неизменной (вращение).
Между тем были введены переменные действие - угол, использование
которых оказалось мощным средством определения частот периодического
движения. Если qk, рк — пара сопряженных координат, то переменная
действия определяется как
где интегрирование ведется по полному периоду либрации или вращения
¦ зависимости от того, какой случай реализуется. Обобщенная координата
wk, сопряженная с Jк. известна под названием "угловая переменная" и
определяется уравнением wk = ~dW/'dJk, где W — производящая функция
контактного преобразования. Возьмем каноническое уравнение
где 1>к — постоянные функции от переменных действия, и учтем, что wk
изменяется на 1, когда дк проходит полный период. (Действительно,
Ъ2\Л/ Ъ bJt
dQ =f ^_^ dq, = ^ pdq = , в j
eines Punktes in einer einfachen Mannigfaltigkeit. — Mathematische Annalen, 1893, Bd 42,
S. 537-544; Ciber die Integration der Hamilton-Jacobischen Oifferentialgleichung mittels
der Separation des Variabeln. — Ibid., S. 545—563; Sur une classe de problemes de dynami-
que. — Comptes Rendus, 1893, v. 116, p. 485—487; Sur ^'integration de I'equation differen-
tielle de Hamilton. - Ibid., 1895, v. 121, p. 489-492; Ober die Gestalt der Bahncurven bei
ejner Klasse dynamischer Probleme. — Mathematischen Annalen, 1901, Bd 54, S. 86—90.
109
Обозначая через Тк период, связанный с Як, получим, что Aivft = 1 = vkTk,
т.е. vk есть частота, связанная с периодическим движением qk. Итак, метод
переменных действие — угол позволял получить частоты периодических
движений, не прибегая к полному исследованию движения системы.
Поэтому быпо вполне естественно, что этот метод получил первоначальное
развитие в астрономии, а в общей теоретической механике не играл важной
ропи. Так, Делоне, который ввел этот метод в своей монографии "Теория
движений Луны" 57' (пропившей свет на большую часть ускорений Луны,
которые не находили себе объяснения в теории Лапласа с поправками
Дж.Адамса), даже не упомянул о ней в своей монографии "Теоретическая
механика" . До работ Шварцшильда и Эпштейна лишь в редкой книге
по теоретической механике этот метод рассматривался подробно. Между
тем в астрономии важность переменных действие - угол была обще-
признана. Пуанкаре * и Шарлье в своей классической книге "Небесная
. во I
механика систематически использовали этот метод.
Введение в квантовую теорию аналитического метода, использующего
переменные действие — угол или, как позднее назвал их Бор, "выравни-
"выравнивающие (uniformizing) переменные", было большой заслугой Шварц-
Шварцшильда . Хотя работы Шварцшипьда и Эпштейна ' замышлялись как
теоретическое объяснение эффекта Штарка на основе зоммерфельдовского
обобщения теории Бора, они не только прояснили вопрос о выборе коор-
координат для выражения квантовых условий, но и вполне общим образом
показали, как квантовотеоретические задачи, касающиеся периодических
или условно-периодических систем, должны быть связаны с теорией Га-
Гамильтона — Якоби в классической механике. Именно благодаря этим ра-
работам из последующих исследований Бора63' и Борна64', развивающих
их, можно было даже вынести впечатление, что метод Гамильтона был спе-
специально создан для рассмотрения квантовомеханических проблем.
Согласно Эпштейну, общие квантовые условия C.3) следует формулиро-
5') Detauney C.E. Theorie du Mouvement de la Lune. - P., 1860—1B67
' Detauney C.E. Traite de Mecanique Rationelle. - 4 ed. - P., 1B73; 6 eel. - P., 1B7B
"I Poincare H. Lemons de Mecanique Celeste. - P.: Gauthier-Viflars, 1905-1910, I. 1-3.
' Пуанкаре А. Лекции no небесной механике, — M.: Наука, 1965.
10 ) Charlier C.V.L.O\e Mechanik des Himmels - Leipzig: Veil, 1907. Bd I, II.
*° ') Шарпье К. Небесная механика. — М.: Наука, 1966.
41 I Schwarzschitd К. Zur Quantenhypothese. — Berliner Berichte 1916, S. 54B—568.
Статья вышла в день его смерти, 11 мая 1916 г.
*г) Epstein P.S. Zur Theone des Slarkeffektes. - Annalen der Physik, 1916. Bd 50,
S. 489-520; Zur Qua'nieniheorie. - Ibid., 1916, Bd 51, S. 168-1B8
"' Bohr N. On the application of the Quantum Theory to the atomic structure. -
Proceedings of the Cambridge Philosophical Society (Supplement), 1924.
' Sop H. О применении квантовой механики к строению атома. — В кн.:
Избранные научные труды, т. | | 1.111 • |, с. 482-525.
14) Born M. Vorlesungen u'ber Atommechsnik. — Berlin: Springer, 1925; The mechanics
of atom. - L.: Bell, 1927; NY.: Ungar. 1960.
"") Бори М. Лекции по атомной механике — Харьков, Киев: ГНТИУ, 1934.
110
¦ §ать в тех системах координат, в которых уравнение Гамильтона - Якоби
1'допускает разделение переменных. Энштейн вывел это правило на основа-
основании геометрических соображений, основанных на некоторых свойствах
Огибающих семейство орбит в конфигурационном пространстве.
Согласно Шварцшильду, который ограничился, как и Эпштейн, рассмот-
рассмотрением условно-периодических систем, общие квантовые условия следует
формулировать на языке переменных действие — угол. Показав, что это
всегда возможно для систем, допускающих разделение переменных, он
уделил особое внимание тем случаям, когда уравнение Гамильтона —
Якоби могло быть разделено в различных системах координат. Из необхо-
необходимых и достаточных условий разделимости, найденных в 1904 г.
Леви-Чивитой 65', немедленно следовало, что если данный набор сопряжен-
сопряженных переменных qk, pk удовлетворяет этим условиям, то разделение
допускают все те канонические переменные, которые могут быть получены
¦ из данного набора с помощью точечного преобразования. Динамическая
. система, допускающая разделение при различных наборах переменных,
| была названа Шварцшильдом "вырожденной". Шварцшильд показал, что
вырождение отсутствует, если все частоты vk в C.5) несоизмеримы друг
с другом. Если же эти частоты удовлетворяют п линейным уравнениям
с целыми коэффициентами, система г>кратно вырождена. В этом случае
орбита заполняет в конфигурационном пространстве не ^-мерный, как
в невырожденном случае, а только (f - л)-мерный континуум и с по-
помощью подходящей замены переменных систему можно преобразовать
к системе с f—n степенями свободы. Для вырожденных систем, согласно
1 Шварцшильду, число квантовых условий
I
должно быть равно степени периодичности, т.е. числу несоизмеримых
частот в C.5). Квантовые условия Планка66^, как показал Эпштейн67),
включают в себя условия Шварцшильда. Математически строгое исследова-
исследование эквивалентности между квантовыми условиями Планка, Шварцшильда
и Эпштейна было проведено Кнезером 68' ¦
Бургерс 69), сотрудник Эреуфеста в Лейдене, и Бори 70) изучили огра-
ограничения, которые должны быть наложены на (необязательно допускающие
* ') Levi-Civita Т. Sulla integrazione della equazione di Hamilton - Jacobi per separazio
ne di variabili. - Mathematische Annalen, 1904. Bd59, S.383-397. Условия Леви-Чивиты
имеют вид спедующей системы fif — 11/2 уравнений в частных производных:
ЬН ЬН ЬгН ЬН ЬН Ь'Н
Ърк bps bgkdqs дрк iqs dqkdps
ЬН ЬН д'Н ЬН ЬН Ь7Н
, bq/c bps bpkbqs bqk bqs bpkbps
для * ' 1, 2 Ги 1-1.2 * - 1, * + 1 f.
")См. [5].
") Epstein P.S. Uber die Struktur des Phasenraumes bedingt periodischer Systeme. —
Btrliner Berichte, 191B, S. 435-446.
")Cm. G).
") Burgers J.M. Het Atoommodel van Rutherford—Bohr. Dissertation. - Leyden, 191B.
70)Cm. F4]. раздел 15, с. 9В - 108.
Ill
разделение переменных) динамические системы с не зависящим от времени
гальмитонианом, чтобы обеспечить возможность введения переменных
действие — угол, подходящих для формулирования квантовых условий.
Они должны были принять, что: A) существует — как и для систем,
допускающих разделение, - каноническое преобразование, которое преоб
разует 9д, р* в новые переменные wk,Jk с помощью производящей функ-
функции S{qlt J\,..., qf.Jf), причем конфигурация системы задается периоди-
периодической функцией угловых переменных wk, а простейший период равен 1;
B) гамильтониан преобразуется в функцию W, зависящую только от пере-
переменных действия./*; C) функция
S'-S-Y. wkJk.
к
для которой имеем
bS'(qx.W ) 3S'
рк= , •/* = --—(g,.w\—).
периодична no wk с периодом 1. Можно показать, что переменные действия
Jk (в вырожденном случае их число равно степени периодичности) опреде-
определяются с точностью до однородного линейного преобразования с целыми
коэффициентами и детерминантом, равным ± 1.
Кроме того, Бургерс 7') смог показать, что переменные действия явля-
отся адиабатическими инвариантами. Поскольку производящая функция
должна теперь рассматриваться как зависящая от времени, преобразован-
преобразованный гамильтониан Н удовлетворяет уравнению Н = И + 3S*/3f, где Н функ-
функция переменных действие — угоп не зависит от wk. Преобразованное кано-
каноническое уравнение для переменной действия имеет вид
ЪН Э
Л--
bwk\ 3f
или, поскольку S*, как и S, зависит от t только через параметр а.
Л = ,
bwk \ Ъа
Так как параметр а . меняется медленно, Бургерс получил
АЛ _
a bwk
Используя метод, указанный Делоне и развитый Пуанкаре 7:), он показал
далее, что левая часть последнего уравнения по порядку величины равна
a It2 - f,), так что для бесконечно медленных изменений параметра а (т.е.
при а « 0) при условии конечности величины a(t-> —t\) имеем AJk = 0.
Некоторые трудности, связанные с нарушением условий несоизме-
/3S*\
( )dt.
\ Ъа
~' ) Burgers J.M. Adiabatische invarienten bij mechanischen systemen — Verslag van de
Gewone Vergaderingen der Wis-en Natuurkundige Afdeeling, Komnklijke Akademie van
Wetenschappen te Amsterdam. 1916, Bd25, S. B49-B57, 91B-922, 1055-1061; Adiabatic
invariants of mechanical systems. — Proceedings of the Amsterdam Academy, 1917, v. 20,
p. 149-157, 158-162, 163-169; Die adiabatischen Invarianten bedingt penodischer Syste-
me.-Annalen der Physik, 1917, Bd52, S. 195-202. В своей диссертации |69] Бургерс
дап более простое доказательство.
")См. E9]. т. 1, с. 353-357; см. также [59>).
112
римости периодов, были позднее разрешены фон Лауэ 73); наконец, Леви-
Чивита 74) подверг строгому анализу математические основы теории адиа-
адиабатических инвариантов.
Адиабатический принцип был не только конструктивным методом
нахождения квантовых условий и допустимых движений, он служил также
критерием правильности выбранного способа квантования. Классическим
примером подобного применения принципа является рассмотрение в статье
Планка 7S| асимметричного волчка, моменты инерции которого меняются
адиабатически, так что границы элементарных областей в фазовом прост-
пространстве остаются прежними. Наконец, адиабатический принцип мог быть
непосредственно применен к рассмотрению атомных систем, находящихся
под действием внешних сип, при условии, что наличие этих сил не меняет
степени периодичности системы. Одним из наиболее блестящих применений
принципа в этом духе и в то же время одним из самых выдающихся дости-
достижений старой квантовой теории было объяснение эффекта Штарка, дан-
данное Шварцшильдом и Эпштейном. Напомним вкратце историю этого эф-
эффекта.
Согласно принципам классической физики, однородное электрическое
поле не должно изменять тип движения электрона в атоме. Постоянное
поле, наложенное на квазиупруго связанный электрон, только сдвинет
центр его орбиты на расстояние, пропорциональное напряженности поля,
что видно сразу из уравнения движения электрона. Но несмотря на эти
доводы и отсутствие каких бы то ни было экспериментальных свидетельств,
Фогт7^) в 1901 г., через несколько лет после открытия Зееманом
расщепления спектральных линий в магнитном попе, предсказал существо-
существование подобного эффекта в электростатическом поле. Фогт построил также
теорию для объяснения подобного эффекта, но нашел, что даже в довольно
сильных полях расщеплемте будет слишком мало, чтобы его можно было
.наблюдать на опыте.
Но когда десятью годами позже Штарк 77), изучая ионы атомов и спек-
спектры Качаловых лучей, состоящих из них, пришел к заключению, что измене-
изменение электрического состояния атома, обусловленное ионизацией, влечет
за собой изменение его "оптических частот", он решил изучить проблему
экспериментально, не взирая на расхолаживающие выводы Фогта. Посколь-
Поскольку выяснилось, что трубки Гейсслера, обычно служившие тогда для получе-
получения водородного спектра, не в состоянии выдержать мощных электричес-
электрических попей, Штарк приложил такие поля к трубке для изучения Качаловых
лучей и исследовал свечение в слое, непосредственно примыкающем к "дыр-
"дырчатому" катоду трубки. Так в 1913г. в своей лаборатории в Высшей техничес-
") Von Ltue U. Zum Prinzip der Mechanischen Transformierbarkeit (Adiabatenhypothe
te). - Annalen der Physik, 1925. Bd76, S. 619-628.
'*) LeviCivita T. Orei Vorlesungen uber adiabatische Invarianten. — Hamburger Abhand-
lungen aus dem Mathematischen Seminar der Universitat, 192B, Bd6, S. 323—366; A general
survey of the theory of adiabatic invariants. - Journal of Mathematics and Physics, 1934,
v. 13, p. 1B-40.
75) Planck U. Zur Quantelung des asymmetrischen Kreisels. — Berliner Berichte, 1918,
S. 1166-1174; In: Physikalische Abhandlungen und VortrSge A.42], Bd2, S. 489-4B7.
71 ) Voigt W. Uber des elektrische Analogon des Zeeman-effectes. - Annalen der Physik,
1901, Bd4, S. 197-208.
77) Sterk J. Die Atomionen chemitcher Elemente und ihre Kanalstrehlenspektra. —
Berlin: Springer, 1913.
8. M. Джаммср ,
кой школе в Аахене Штарк 7") обнаружил, что электрическое поле расщеп-
расщепляет линии бальмеровской серии на ряд компонент. Это явление, которое,
как сразу понял Штарк, ни в коем случае не было свойственно только
водороду, впоследствии получило название "эффект Штарка"; иногда его
называли также "эффектом Штарка — По Сурдо".
Действительно, одновременно со Штарком — а может быть, и несколько
ранее 79) — По Сурдо 80), изучая эффект Доплера и исследуя излучение
молекул газа, находящихся в темном круксовом пространстве между
катодом и отрицательным светящимся пятном в разрядной трубке, обнару-
обнаружил, что водородные линии расщепляются на несколько компонент. Экспе-
Экспериментальная установка По Сурдо была гораздо проще, чем у Штарка: и
рн мог получить только качественные результаты, так как не располагал
прямым методом для точного измерения потенциала, резко зависевшего
от положения внутри трубки.
Результаты Штарка (каждая бальмеровская линия расщепляется на
несколько компонент, число которых растет с увеличением номера линии
в серии; расщепление пропорционально напряженности "электрического
поля; компоненты линейно поляризованы, если смотреть на них перпенди-
перпендикулярно направлению поля) стали вскоре предметом интенсивных теорети-
теоретических исследований. Первая попытка объяснения этих результатов принад-
принадлежит Варбургу 8'), которому удалось интерпретировать общие черты
явления на основе теории Бора. Ранняя работа Бора e 2) по эффекту Штарка
привела к хорошему качественному согласию с экспериментом, но не
смогла полностью объяснить экспериментальные данные.
В своей статье по этому вопросу, опубликованной в 1914 г., Шварц-
шильд 83) обсудил эффект Штарка с классической точки зрения и показал,
что математическое рассмотрение этого эффекта может считаться предель-
предельным случаем подхода Якоби 84) к решению уравнения движения в случае,
1 *) Stark J. Beobachtungen tiber den Effekt des elektrischen Feldes auf Spektrallinien. -
Berliner'Berichte, 1913 (Nov. 20), S. 932-946; Beobachtungen iiber den Effekt des Elektri-
Elektrischen Feldes auf Spektrallinien. I. Quereffekt. - Annalen der Physik, 1914, Bd43,
S. 965-982; Stark J.. Wendt C. Beobachtungen. II. LSngseffekt. - Ibid.. S. 9B3-990:
Stark J.. Kirschbaum H. Beobachtungen. . . III. Abha'ngigkeit von der Feldstarke. - Ibid.,
S. 991-1016; Stark J.. Kirschbaum H. Beobachtungen. . . IV. Linienarten, Verbreiterung. -
Ibid., S. 1017-1047; Stark J. Beobachtungen. . . V. Feinzerlegung des Wasserstoffserie. —
Gottinger Berichte, 1914, S. 427-444.
" ) "Мне быпо легко убедиться, что явление, наблюдавшееся мной ранее, идентично
с явлением Штарка". См. Lo Surdo. Sul fenomeno analogoa quello di Zeeman nel campo
elettrico. - Atti delle Reale Accademia dei Lincei. 1913, v. 22, p. 664-"-666 (Dec. 21).
'") Lo Surdo A. Sul'analogo elettrico dei fenomeno di Zeeman: efetto longitudinals. -
Atti della Reale Accademia dei Lincei. 1914, v. 23, p. B2—B4; Sul'analogo elettrico del feno-
fenomeno di Zeeman: le varie righe della serie di Balmer presentano diverse forme discompozio-
ne. - Ibid., p. 143-144.
* ') Warburg E. Bemerkungen zu der Aufspaltungder Spektrallinien im elektrischen Feld.-
Verhandlungen der Oeutschen Physikalischen Gesellschaft, 1913, Bd15, S. 1259-1266.
") Bohr N. On the effect of electric and magnetic fields on spectral lines. - Philosophical
Magazine, 1914, v. 27, p. 506—524; On the quantum theory of radiation and the structure
of the atom. - Ibid., 1915, v. 30, p. 394-415.
'2 *) Бор Н. О влиянии электрических и магнитных полей на спектральные линии.-
В кн.: Избранные научные труды, т. I [1.111»), с. 169—1В6; О квантовой теории
излучения и строении атома. - Там же, с. 194 — 214.
*') Schwanschild К. Bemerkungen zur Aufspaltung der Spektrallinien im elektrischen
-eld. - Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft. 1914, Bd16, S. 20-24.
")Cm. |54],c. 221.
114
когда тело находится под действием двух закрепленных центров ньюто-
ньютоновского (или кулоновского) притяжения. Согласно Якоби в этом случае
переменные разделяются в эллиптических координатах, где координатная
сетка состоит из семейств эллипсов и гипербол с общими фокусами,
которые находятся в неподвижных силовых центрах. Шварцшильд теперь
указал, что если удалить один силовой центр на бесконечность, вместе с
тем соответственно увеличив его притягивающую силу, то получившаяся
ситуация будет отвечать эффекту Штарка. В этом пределе семейства эллип-
эллипсов и гипербол превращаются в параболы с общим фокусом, который
расположен в оставшемся неподвижным центре, совпадающим с ядром.
Поэтому, заключил Шварцшильд, уравнение Гамильтона - Якоби раздели-
разделимо в параболических координатах.
Итак, используя параболические координаты ?, ц и азимутальный угол 4>
относительно направления поля в своих классических статьях 1916 г.,
Шварцшильд 85) и Эпштейн 86) знали с самого начала, что исследуемая
задача — это задача условно-периодического движения и что каждый из
импульсов Pg, Рт)< Рф равен корню квадратному из простой рациональной
функции соответствующей координаты положения. Благодаря наличию
внешнего поля движение невырождено и подчиняется "трем квантовым
условиям
где параболические квантовые числа л, и пг — неотрицательные целые числа,
а экваториальное квантовое число п3 — положительное целое число (нуль
должен быть отброшен, так как этот случай соответствовал бы столкнове-
нию электрона с ядром). Далее, как в р$ = s/ft (?),'так и вр,, = s/fiin) вхо-
входят постоянные интегрирования: энергия W. константы 0 ирф,последняя из
которых согласно третьему квантовому условию пропорциональна /?э-
Находя отсюда W. которое получается, как видим, зависящим от всех трех
квантовых чисел, Шварцшильд и Эпштейн получили, что энергия в линей-
линейном приближении по напряженности поля F имеет вид
2тт2т2еА 1
З
+— (пг - п,)(/?, + пг + п3),
+п2 + лэ) 8п mZe
2
где Ze - заряд ядра. Согласие между длинами волн компонент бальме-
ровских линий, вычисленными на основе этой формулы и наблюдаемыми
в эксперименте, бы по превосходным. В самом деле, Эпштейн смог
заявить: "Нам представляется, что сообщаемые результаты доказывают
справедливость атомной модели Бора столь убедительным образом, что
даже наши консервативные коллеги не могут отрицать их неоспоримости.
Потенциальные возможности квантовой теории в применении к этой моде-
модели кажутся почти чудесными и далекими от исчерпания" 87).
Как мы понимаем сегодня, этот блестящий успех старой квантовой
теории был обусловлен тем, что взаимодействие между спином электрона
и приложенным полем пренебрежимо мало 88). Спедует также напомнить,
05)См. [61).
") Epstein P.S. Zur Theorie des Starkeffekts. - Physikalische Zeitschrift, 1916, Bd17,
S. 148-150. См. также [62) .
")Тамже, с. 150.
00 ) См. статью Ш л an па [Schlapp Я. The Stark effect of the fine—structure of hydrogen.—
Proceedings of the Royal Society of London (A), 192B, v.119, p.313-3341, где показано.
В*
115
что эффект Штарка первого порядка присущ только водороду: лишь в
водороде случайное вырождение (в кулоновском поле) снимается во
внешнем поле; во всех других атомах оно уже снято внутренними полями,
обусловленными другими электронами атома.
3.2. Принцип соответствия
Формальная возможность использования классической механики во
всех задачах квантовой теории, относящихся к некоему стационарному
состоянию, основывапась, как мы видели, на адиабатическом принципе.
Возможность испопьзования классической механики в задачах, связанных
с переходами между стационарными состояниями, основывалась на принци-
принципе соответствия, втором фундаментальном принципе старой квантовой
теории. Использование принципа соответствия, связавшего кинематику
электрона со свойствами испускаемого излучения, стало концептуапьно
важным методом, незаменимым для квантовотеоретического рассмотрения
более тонких характеристик испускаемого излучения, таких как интенсив-
интенсивность спектральных линий или их поляризация. Этот принцип давал резуль-
результаты, находящиеся в неппохом согласии с опытом даже в тех случаях, когда
нельзя было применить теорию периодических или условно-периодических
систем.
В концептуальной основе принципа соответствия лежало предположение
о том, что квантовая теория или, по крайней мере, ее формализм содержит
классическую механику в качестве предельного случая. Эта идея была
высказана Планком 89) еще в 1906 г., когда он показал, что в пределе
h -* 0 квантовотеоретические результаты сводятся к классическим или, как
он говорил, "классическую теорию можно охарактеризовать просто как
теорию, в которой квант действия бесконечно мал" 90). Действительно,
пегко видеть, что при h -* 0 планковская формула излучения переходит в
классическую формулу Рэлея — Джинса.
Тот же самый результат получается, однако, и в том случае, если при
постоянном h устремить к нулю частоту v. Бор, формулируя принцип
соответствия,воспользовапся именно этой идеей. Действительно, согласно
его условию частот, стремление v к нулю означает, что разности энергий
стационарных состояний становятся сколь угодно малы, т.е. энергии в этом
пределе распределены почти непрерывно. Поскольку для периодических
или условно-периодических систем энергию можно выразить через фазовые
интегралы, а те, в свою очередь, с помощью квантовых условий - через
квантовые числа п ''), то квантовая теория приближается к классической
всякий раз, когда изменения Ал квантовых чисел малы по сравнению с их
абсолютными величинами п.
Как указывапось на с. В7, Бор использовал этот метод рассуждений,
хотя только как метод ad hoc, еще в 1913 г. при рассмотрении спектра
водорода, когда классическую частоту обращения электрона он отождест-
отождествил с частотой спектральной линии, испущенной при переходе между
состояниями п + 1 и п при очень больших л. Выступая перед Физическим
что включение взаимодействия спин — поле ведет только к очень малому дополнитель-
дополнительному расщеплению некоторых энергетических уровней.
••) Plank M. Vorlesungen Ober die Theorie der Wfirmestrahlung A 11).
>0) Там же, с. 143.
'') Ради удобства мы будем называть целые числа, входящие в соотношение C.2),
"квантовыми числами.", хотя это название появилось позже.
116
кбществом в Копенгагене, Бор 9:) в этой связи совершенно ясно указал,
гто его обращение к классической физике должно рассматриваться не как
: 1оиск причинного объяснения, но просто как эвристический прием. "Конеч-
| ю, вы понимаете, - сказал он, - что я ни в коей мере не пытаюсь дать то,
Э1То обыкновенно могло бы называться объяснением; здесь ничего не гово-
говорилось о том, как и почему происходит изпучение. Но в одном пункте мы
Можем ожидать связи с обычными концепциями, а именно, что излучение
Медленных электромагнитных колебаний допустимо рассчитывать на осно-
¦е классической электродинамики" 9 3).
В важном мемуаре "О квантовой теории линейчатых спектров" A918 г.),
-§ котором Бор обсуждал приложение квантовой теории к определению
Дискретного спектра данной атомной системы, он заметил, что, даже не
•водя детапьных предположений о механизме переходов между стационар-
стационарными состояниями, можно показать, что частоты, вычисленные из условия
частот, "в пределе, в котором движения в соседних стационарных состоя-
- Миях сравнительно мало отпичаются друг от друга, будут стремиться к час-
частотам, ожидаемым на основании обычной теории излучения для движения
Системы в стационарных состояниях"94). Бор добавил, что эти соображения,
как будет показано, проливают свет на вопросы поляризации и интенсив-
. мости различных линий спектра данной системы. Таково первое явное
упоминание принципа соответствия; впрочем, в данной работе Бор назвал
•го еще не этим термином, а "формальной аналогией между квантовой
теорией и классической теорией".
В раздепе 3 первой части мемуара во исполнение своего обещания Бор
^Показал для условно-периодических систем следующее95). Согласно клас-
СИческой теории таких систем vk = dF/d./*, где Е-Н — полная энергия
Системы (использованы обозначения с. 109), а согласно условию частот
/»Икв) = д?. Пусть AJk = (п'к -пк) h = Tkh, где п'к и пк - квантовые чис-
: ла, характеризующие стационарные состояния до и после перехода. Для
больших квантовых чисел имеем АЕ = ~L(dEldJk) AJk ~'Lrkvkh. Поэтому
^(кв) _ ^Тк1,к = у(кл)t где „(*л) _ классическая частота (комбинация
высших гармоник), входящая в члены разложения Фурье C.5). В этом
Пределе, следовательно, квантовотеоретическая частота Икв' совпадает
С частотой Ик"> по классической механике. Потребовав, чтобы это соот-
- (Итствие оставалось приближенно справедливым также и для умеренно
больших и для малых квантовых чисел. Бор придал ранг принципа утверж-
утверждению, которое для предельного случая формально можно было бы считать
Теоремой.
Выражение "соответствие" как terminus technicus впервые появилось
• статье Бора "О сериальных спектрах элементов"96) в следующем виде.
"Более того, хотя процесс излучения непьзя описать на основе обычной
электродинамики, согласно которой природа излучения, испускаемого
")См. B.114, 2.114-].
")См. [2.114], 1922, с. 12-13.
'*) Bohr N. On the quantum theory of line—spectre. — Kongelige Denske Videnskabernes
8elskabs Skri.fter Naturvidenskabelig og mathematisk afdeling, 1918-1922, Ftaekke 8, IV, 1,
S. 1 — 118; Uber die Quantentheorie der Linienspektren. - Braunschweig: Vievweg, 1923.
Цитата на с. 8.
*!) Там же, с. 27-36.
**) Bohr N. Ober die Linienspektren der Elemente. - Zeitschrift fur Physik, 1920, 8d 2,
S. 423—469; On the series spectra of the elements. - In: The Theory of Spectra and Atomic
Constitution 12.114], p. 20-60.
**') Бор Н. О сериальных спектрах элементов. — В кн.-Избранные научные труды,
т. I 11.111"), с .247-2В4.
117
атомом, непосредственно связана с гармоническими компонентами, при
сутствующими в движении системы, существует, тем не менее, далеко
идущее соответствие между различными типами возможных переходов
с одних стационарных состояний на другие, с одной сторона, и различными
гармоническими компонентами движения — с другой. Природа этого
соответствия такова, что настоящую теорию спектров в определенном
смысле следует рассматривать как рациональное обобщение обычной
теории излучения"97)- В дальнейшем Бор, поняв далеко идущую мето
дологическую важность идеи для дапьнейшего развития квантовой теории,
назвал ее "принципом соответствия" в "Приложении к части 3" своего
академического мемуара98). Бор увидел, что без этого принципа квантовая
теория, в отличие от классической теории атома, неполна. Механика Нью-
Ньютона и электродинамика Максвелла допускали вычисления не топько
частот, но и интенсивностей, равно как и поляризации спектральных линий.
Действительно, в классической физике значения квадрата (векторного)
коэффициента Фурье DTT в разложении (векторного) дипольного
момента служит мерой интенсивности соответствующего парциального
колебания, характеризуемого целыми числами г,, ..., т}- в C.5)"), а от
ношение х-, у- и /-компонент этого (векторного) коэффициента Фурье
определяет поляризацию. Поэтому классическая физика давала полную
теорию атомных спектров, содержащую всю информацию об испущенном
излучении — хотя и не согласующуюся с экспериментом. Теория же Бора,
которая подчеркнуто отвергла всякие предположения о механизме пере
ходов между стационарными состояниями, отказалась тем самым и от
попыток найти рациональную основу для вычисления интенсивности и
поляризации спектральных линий- Единственным выходом из этого тупи
ка, как понял Бор, был принцип соответствия.
Но вместо того чтобы установить непосредственную связь между интен-
интенсивностью спектральной линии и соответствующим коэффициентом Фурье
в классическом представлении дипольного момента. Бор ввел в свою
теорию допопнительную идею, незадолго до этого выдвинутую Эйнштей-
Эйнштейном. Именно, в 1916 г. Эйнштейн вывел закон излучения Планка, исходя
из предположения, что переходы подчиняются определенным вероятност-
вероятностным законам, аналогичным постулированным в теории радиоактивнос-
радиоактивности100). Обозначив вероятность появления в интервал времени dt не воз-
возбуждаемого извне перехода с более высокого энергетического уровня Е„,
на более низкий Е„ через A"ndt, вероятность появления индуцированного
(стимулированного) перехода между теми же энергетическими уровнями
в поле излучения - через B"npdt, где р - плотность энергии (которая на
с. 16 обозначалась через uv), и, наконец, вероятность появления обратного
перехода (поглощения) — через B™pdt. Эйнштейн из условия сохра-
сохранения канонического распределения состояний при равновесии получил
" ) Там же, с. 23-24.
") См. [94],с. 112.
'*) Интенсивность равна [Bл|Лкл>)«/Зс1) I DT| ... rJ2,rfle Лкл) -1т,с, + ... + г vf\.
'"") Einstein A. Strahlungs Emission und-absorption nach der Quantentheorie. - Vet
handlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft, 1916, Bd1B, S. 31B-323, Zur Quan
tentheorie der Strahlung. - Mitteilungen deV Physikalischen Gesellschaft, Zurich, 1916, Bd18.
S. 47-62,-Quantentheorie der Strahlung. - Physikalishe Zeitschrift, 1917, Bd1B, S. 121-128.
""'•) Первые две из указанных выше статей переведены на русский язык-. Эйн
штейн А. Испускание и погпощение излучения по квантовой теории. — В кн.: Собрание
научных трудов, т. Ill 11.112»). с. 386—392; К квантовой теории изпученип. — Там же
с. 393-406.
118
Сравнение
0п"'рехр - —- ) = {В"тр + А'Ь)ехр[ ). C.6)
\ кТ I \ кТ I
Приняв, что с увеличением 7" величина р также стремится к бесконечности,
Эйнштейн нашел, что б™ = 8%,; это было первое, хотя и неявное, исполь-
использование принципа, позднее получившего название "принципа детального
^равновесия". Сравнивая решение для р
9
ехр[(?,„ -Е„IкТ) -
С виновским законом излучения в пределе высоких частот и формулой
.Рэлея — Джинса в пределе малых частот, Эйнштейн попучип соотношения
Em-En=hv.
что совпадает с боровским условием частот, и
« _ 8nhvi »
Am ~ i 8m, C.7)
с3
т.е. планковский закон излучения A.16) (см. с. 32). В этой связи следует
Отметить, что на саму мысль о существовании индуцированного излучения
Эйнштейна навела (так и хочется сказать: в согласии с принципом соот-
соответствия) классическая теория взаимодействия между полем излучения
И системой колеблющихся зарядов101). Если бы Эйнштейн не учел инду-
индуцированное излучение, он получил бы не закон Планка, а закон Вина.
Излагая эти вероятностные соображения, которые, по словам Эйнштей-
Эйнштейна, вепи "поразительно простым и общим образом02) к закону Планка,
Эйнштейн — в противоположность Планку103) — не формулировал четко
Свою концепцию вероятности. Это дало повод для часто встречающихся
утверждений104), что именно Эйнштейн, этот убежденный поборник
Причинности в физике и философ, отвергавший "бога, играющего в кос-
Ти0!), был первым, кто ввел современное квантовотеоретическое поня-
понятие о вероятности как выражении фундаментальной природы случайности
отдельного события, а не как отражении недостаточного знания пара-
параметров мелко-месштабных движений, присущего кинетической теории.
Более подробный анализ статьи Эйнштейна обнаруживает, однако, что
подобные утверждения необоснованны. Прежде всего, приводимое Эйн-
Эйнштейном сравнение своего статистического закона с законами радиоактив-
радиоактивного респада106) не может рассматриваться как аргумент, так как в то
101 ) В этой связи см.: Van Vleck J.H. The absorption of radiation by multiple periodic
orbits, and its relation to the correspondence principle and the Rayleigh-Jeans law. — Physi-
Physical Review, 1924, v. 24, p. 330-346, 347-365.
10J) Cm. 1100), 1917, с 121.
101) См. с. Б9.
104) См., например, 12.121), 1964, с. 74.
1011 "Der grofle anfa'ngliche Erfolg der Quantentheorie kann mien doch nicht гит Glau-
ben an das fundamentale Wiirfelspiel bringen" ("Большой первоначальный успех кванто-
квантовой теории все же не может заставить манн поверить в лежащую в основе всего игру в
кости"). Эйнштейн в письме к Борну от 7 ноября 1944 г. См. Born M. Natural Philosop-
Philosophy of Cause and Chance: Oxford University Press, 1949, p. 122.
""*) Переписка А. Эйнштейна и М. Берна. — В кн.: Эйнштейновский сборник
1972. — М.: Наука, 1974, с. 34. В этом издании письмо датировано 7 сентября 1944 г.
10*) См. 1100), 1917,с. 123.
119
время обычно полагали, в том числе, например, и Планк, что процесс радио-
радиоактивного распада включает еще неизвестные параметры. Далее, отсутствие
заявлений в пользу причинности не может рассматриваться как заявление
в пользу отсутствия причинности. Наконец, говоря о связанной с выше
упомянутой проблемой реакции атома или молекулы на излучение, Эйн-
Эйнштейн отметил, что "при существующем состоянии теории направление
отдачи определяется лишь "случаем"Оч7), подразумевая тем самым не
более чем предварительный характер подобного подхода.
Но Бор в согласии со своими основными идеями увидел в подходе
Эйнштейна отказ от попыток проникнуть в причинную структуру перехо-
переходов. Утверждение Эйнштейна о том, что молекула может перейти из одного
состояния в другое, энергетически более низкое, "без побуждения со
стороны внешних причин08) - утверждение, которое, по крайней мере,
в принципе, оставляет место для "внутренних" параметров, — было интер-
интерпретировано Бором как означающее, что система "будет спонтанно перехо
дить в стационарное состояние с меньшей энергией09), где "спонтанно"
по существу синонимично с "беспричинно". Теперь, следуя Бору, величину
Апт часто называют "вероятностью спонтанного излучения", хотя Эйнштейн
в своей статье никогда не использовал этого термина.
Расширив область применимости принципа соответствия. Бор связал
априорные вероятности Эйнштейна с упоминавшимися ранее коэффици-
коэффициентами Фурье в многомерном фурье-разложении дипольного момента:
Btt)V
а" *—* —-—- \п i2
3c3h
Один из важных результатов, которые Бор мог получить непосредствен-
непосредственно из принципа соответствия, относился к условно-периодическим систе-
системам с f степенями свободы, обладающим осью симметрии и находящимся
под действием внешних сил. Обозначив разделяемые переменные через
Я\, Яг- —. Яг и приняв за циклическую переменную q, = у. Бор показал110),
что непосредственное применение теории Гамильтона — Якоби приводит
к уравнениям
при к = 1, ..., f, где функция fk не содержит циклической переменной, ах*,
Ук - декартовы координаты /r-й материальной точки в фиксированной плос-
плоскости, проходящей через центр тяжести. Тогда для компонент дипольного
момента получаем
Рж + iPy = Г t е [хк + iVk) = f. (Яг Яг) e'v
и
Рг =?егк = Fj (<72 qf).
Так как для к = 2,..., /
wk = fk (яг Qf.J\. ~.Jf).
т.е.
Як =
""> Там же. с. 127.
108) Там же. с. 123.
"" ) См. 194), с. 7. Выделено Бором.
"") См. [94), с. 32-34 Более подробное обсуждение см. в B0), 1923. с. 584-5В5.
120
'де wk = vkt + Ьк и wf = vt + 6, разложение Ft и F2 в ряд Фурье приводит
< выражениям
Ях + iPy = ехрBтг/>г) 2 D(Tr| T ехр[2я/П
т,...тг '- Г
4
т'-7
Поскольку величина Ti принимает в фурье-разложении Рх + /Ру только
аначение 1, а в фурье-разложении Р- не появляется совсем и поскольку
!) ="|-Л|, Бор получил из принципа соответствия, что азимутальное
квантовое число п, или /г, как оно обычно обозначалось, может увеличи-
увеличиваться или уменьшаться только на единицу для излучения, поляризованного
ю кругу, и должно оставаться неизменным для излучения, поляризоеанно-
о параллельно оси системы. Итак, как показал этот пример, принцип
соответствия мог дать теоретическое объяснение определенных ограниче-
ограничений при использовании комбинационного принципа Ритца; подобные
ограничения впоследствии получили название "правил отбора".
Одним из частных случаев, к которым Бор немедленно применил эти
вображения, был планкоеский линейный гармонический осциллятор111 I,
гжханическую частоту движения которого можно обозначить через (Дкл).
,<ак указано на с. 98 (примечание 13). кеантоеотеоретические уровни
энергии такого осциллятора равны лЛр(кл), так что согласно условию
частот Бора кеантоеотеоретические оптические частоты Икв) равны
(Дл) Икл). Поскольку ряд Фурье для линейного гармонического движе-
движения сводится к одному только члену, именно, члену с частотой 1 • у'кл',
единственным значением г будет т = 1 и из воровского принципа соответ-
соответствия вытекает, что Дл = ±1, т.е. Икв* = И*'. Но, как праеипо, кеантово-
теоретическая частота i/KB' совпадает с классической частотой И1'
только в случае уровней с большой энергией. Для планкоеского же осцил-
осциллятора, как мы видим, соотношение у(кв) = Икл) выполняется строго
--- всех энергетических уровней, даже характеризуемых наименьшими
можными квантовыми числами. Теперь стало ясно, что это исключи-
исключительное свойство гармонического осциллятора оказалось очень удачным
для концептуального развития квантовой теории. Не будь его, квантовой
теории пришлось бы пересматривать закон, положивший ей начало, —
закон излучения, для вывода которогЬ Планк отождествил механическую
частоту осциллятора сего оптической частотой.
Крамере), ученик и впоследствии коллега Бора, в своей диссертации
"Интенсивности спектральных линий" вычислил на основании принципа
соответствия относительные интенсивности компонент тонкой структуры
и компонент, возникающих при эффекте Штарка, уделив особое внимание
первым четырем бальмероеским пиниям е спектре водорода, и показал,
что теоретические результаты на удивление хорошо согласуются сданными
наблюдений, известными к тому времени). Крамере пришел к следую-
следующему заключению: "... следует принять, что результаты, полученные для
эффекта Штарка и тонкой структуры водородных линий, поддерживают
фундаментальную гипотезу Бора о связи между интенсивностью спектраль-
1111 См. [94). с. 32-33.
111) См. 124].
"') См. также Bloch L. La structure des atomes. V. Utilisation du principe de corres-
correspondence. - Journal de Physique, 1922, v. 3, p. 110-124.
121
ных линий и амплитудой гармонических колебаний, на которые можно
разложить движение электрона в атоме; еще больше в этом убеждает то,
что оказалось возможным достичь естественного понимания некоторых
заметных отклонений наблюдаемых интенсивностей от предварительных
теоретических оценок распределения интенсивностей на основе этой гипо-
гипотезы. Поэтому представляется позволительным заключить, что рассуждения
Бора являются прочной основой для дальнейшего развития теории интен-
интенсивности спектральных линий").
Принцип соответствия оказался самым гибким и продуктивным концел
туальным инструментом дальнейшего развития старой квантовой теории,
а также - в чем мы убадимся позже - и становления современной кванто-
квантовой механики. Для периодических и условно-периодических систем с его
помощью можно было следующим образом прийти к формулировке общих
квантовых условий: если для больших квантовых чисел квантовотеорети-
ческую частоту
АЕ 1 dE viJ
Д7-
h h dJ
приравнять классической механической частоте tv, to получим rh - AJ, от-
откуда (поскольку т - целое число) J = nh z точностью до аддитивной по-
постоянной. На основе принципа соответствия Смекаль) нашел метод
квантования даже для систем, которые не являются ни периодическими,
ни условно-лерйодическими.в то время как Борн и Паули) основывали
свои вычисления на классической теории возмущений, развитой в астро-
астрономии. Поистине, в руках Бора и его школы принцип соответствия был
подобен "магической палочке, по мановению которой результаты класси-
классической теории могли быть использованы в квантовой теории"). Именно
этот принцип сделал старую квантовую теорию столь же полной, как и
классическая физика. Но платить за это приходилось дорого. Действитель-
Действительно, обращение к классической физике ради нахождения квантовотеорети-
ческих предсказаний, или, иными словами, построение теории, подтвержде-
подтверждение которой зависело от предпосылок, не согласующихся с существом
теории, являлось серьезной непоследовательностью с точки зрения логики.
Полностью сознавая эту трудность. Бор неоднократно пытался показать,
что "принцип соответствия следует рассматривать, исключительно как
закон квантовой теории, который никоим образом не может уменьшить
контраст между постулатами (Бора) и электродинамической теорией""8).
Самое раннее упоминание о подобной концепции относится, вероятно, к
1921 г. и содержится в статье"9), в которой Бор вкратце обсуждал прин-
"Ч См. 124), с. 384.
l>*) Smekal A. Bemerkungen гиг Quantelung nichl bedingt periodischer Systeme. -
Zeitschrift fur Physik, 1922. Bdii. S. 294-303; 1923, Bd15, S. 5B-60.
"*) Born M.. Pauli W, Uber die Quantelung gesl'drter mechanischer Systeme. — Zeilschrift
fur Physik, 1922, Bd10, S. 137-158; In: Born M. Ausgewahlie Abhandlungen. - Gottmgen
Vendenhoeck und huprecht, 1963, Bd2, S. 1-22.
""*) Борн М., Паупи В. О квантовании возмущений механической системы. -
В кн.: Паупи В. Труды по квантовой теории {3.26* ], с. 575-595.
"') См. |20), 1923, с. 583.
'") См. [63], с. 22.
"*( Bohr N. Zur Frage Oer Polarization der Strahlung in der Quantentheorie. - Zeilschrift
fur Physik, 1921, Bd6, S. 1-9.
"'») Бор Н. К вопросу о попяризации излучения в квантовой теории. — В кн.:
Избранные научные труды, т. I 11.111*), с. 293-300.
122
п соответствия. Говоря о том, что возникновение принципа "было обус-
влено стремлением достичь простого асимптотического соответствия
у спектром и движением атомной системы в той граничной области,
де стационарные состояния сравнительно мало отличаются друг от дру-
1И), он, по-видимому, пытался сформулировать принцип, не прибегая
К ссылкам на концепции, чуждые квантовой теории.
Настаивая на несовместимости квантовой теории с классической механи-
кой и электродинамикой, он считал, что принцип соответствия просто уста-
устанавливает формальную аналогию, имеющую эвристическое значение. Хотя
Многочисленные и часто несколько не согласующиеся друг с другом выска-
|ывфния Бора о существе принципа соответствия121) .сделанные им с 1920
по 1961 гг., не дают оснований (если не исключают совсем эту возможность)
приписать Бору вполне определенное и неизменное понимание этого прин-
принципа122) , представляется, что в обсуждаемое время, т.е. в начале двадцатых
'Годов, он не считал, что принцип соответствия подразумевает включение
Классической физики в квантовую теорию. Подобный взгляд, как оче-
очевидно, не только противоречил бы его фундаментальному тезису о не-
несовместимости, упоминавшемуся совсем недавно, но и означал бы, что
квантовотеоретическое утверждение претендует на применимость и в
классической физике. Точка зрения Бора, по крайней мере в то время,
была хорошо' изложена Крамерсом123), написавшим в 1923 г.: "Во
•ремя бесед Бор высказывался примерно следующим образом: с точки
Ярения описания природы и классическая, и квантовая теория являют-
являются не более чем карикатурами; они, так сказать, допускают в двух
крайних областях явлений асимптотическое описание физической реаль-
реальности"|24).
Позднее воровская концепция дополнительности, которая придала более
глубокое значение его предшествующим идеям о несовместимости и глу-
глубоком различии классической и квантовой теорий, исключила, теперь уже
на эпистемологическом основании, интерпретацию принципа соответствия
как допускающего возможность включения классической механики в
квантовую. Но к тому времени, как мы убедимся, принцип соответствия
уже сыграет свою важнейшую роль: он внесет решающий вклад в создание
современной квантовой механики.
1:01 "Nach diesem Princip, deren Erkennung aus den Betstrebungen enstanden ist, eine
•Infache asymptotische Ubereinstimmung zwischen dem Spektrum und der Bewegung eines
Atomsystems in dem Grenzgebiet, wo die stationaren Zustande nur verhSltnismaflig we nig
voneinander abweichen, zu erreichen...". - Ibid, S. 2.
1211 Подробное обсуждение этих высказываний см. в работе Мейер-Абиха [2.121].
'") Тек, в 1961 г. (Atomic Theory and the Description of Nature: Cambridge Uni-
University Press, 1961, p. В) Бор заявип: "... необходимость широкого использовании...
классических концепций, на которых в конечном счете основывается интерпретация
асах явлений, привела к формулировке так называемого принципа соответствия..."
Но утверждение о необходимости прибегнуть к классическим концепциям он впервые
Сформупировал топько в 1922 г. (Ober die Anwendung der Quantentheorie auf den Alom-
bau. - Zeitschrift fur Physik, 1922, Bdi3, S. 117-164): "Но физика ныне стоит на той
точке зрения, что любое описание природы должно быть основано на использовании
предстилений, введенных и определенных в классической теории" (цитата нас. 117).
'") Kramers H.A. Das Korrespondenzprinzip und der Schalenbau des Atoms. - Die
Naturwissenschaften, 1923, Bdi 1, S. 550-559.
1:4) "Bohr hat sich in Getprachen wohl folgen den ma/ten ausgerdriickt: Sowohl die klas
•Itche Theorie wie die Quententheorie sind beide als Naturbeschreibung nur eine Karikatur;
•I* gestattet sozusegen in zwei extremen Erscheinungsgebieten eine asymptotische Darstellung
des wirklichen Geschehens". - Ibid., S. 559.
123
В 1924 г. Бор писал: "Как уже не раз подчеркивалось, эти принципы, хотя
и сформулированные с помощью классических концепций, должны рас
сматриваться исключитепьно как квантовотеоретические законы, которые
несмотря на нынешнюю формальную природу квантовой теории, позволяю!
надеяться на будущую последоватепьную теорию, которая в то же самое
время и воспроизведет характерные особенности квантовой теории, су
щественные для приложений, и, тем не менее, сможет рассматриваться как
рациональное обобщение классической электродинамики125). Примерно
тремя годами позже эта последовательная теория быпа создана. В истории
физики найдется немного примеров всеобъемлющих теорий, стопь многим
обязанных одному принципу, скопь обязене воровскому принципу со
ответствия квантовая механика.
3.3. Эффект Зевмана и мультиплетная структура спектров
В том же самом году, когда Шварцшипьд и Эпштейн объяснили эффект
Штарка, Дебай и Зоммерфельд нашпи интерпретацию нормапьного эффек
та Зеемана, и в развитии старой квантовой теории это не было простым
совпадением. Эффект Зеемана не топько "открыл новый мир фактов,
предстевпяющий интерес для физика, химика и даже астронома", как
выразились Беккерепь и Депандр126) менее чем через два года поспе
его открытия: его изучение повлияпо — и в гораздо большей степени, чем
изучение эффекта Штарка, - на концептуапьное развитие квантовой тео-
теории; поэтому мы обсудим эффект Зеемана бопее детально.
Не возможное влияние магнитных сип на спектрапьные пинии первым
указап Майкп Фарадей. Его представпения о том, что все сипы в природе
в сущности едины, и особенно его открытие A845 г.) магнитного вращения
плоскости поляризации' 27) привели Фарадея к убеждению в существовании
внутренней связи между оптическими и магнитными явпениями. Но топько
в 1862 г., за пять лет до смерти, Фарадей пред при няп эксперимент, который
допжен был подтвердить его ожидания. Он исследовал спектры натрия,
бария, стронция и лития с помощью электромагнита и недавно изобретен-
изобретенного Штейнгелем призменного спектроскопа. В письме, датированном
12 марте 1862 г., Фарадей так описывал ход эксперимента: "Бесцветное га-
эовое ппамя поднималось между полюсами магнита, а соли натрия, лития
и т.д. использовались для придания ему окраски. Как раз перед сильным
магнитным полем помещался поляризатор Николя, а на другом конце
прибора — анализатор. Затем был включен электромегнит, но ни при каких
положениях поляризатора и анализатора не было замечено каких-либо сле-
следов эффекта или изменения линий" '2 в).
В наброске биографии Фарадея Максвелл упомянул, что Фарадей "изб-
"избрал вопрос о связи между светом и магнетизмом предметом своей послед-
последней эспериментальной работы. Он попытался, но безуспешно, обнаружить
11!)См. [64), с. 42.
1 '') Becquerel H., Deslandres H. Contribution к I'etude du phenomena de Zeeman. —
Comptes Rendus, 1B98. v. 126, p. 997-1001.
12') Faraday M. Experimental Researches in Electricity. — L.: Quatrich, 1B39— 1В5Б,
v. 3, p. 1.
1J'*) Фарадей М. Экспериментальные исследовании по электричеству. — M.: Изд.
АН СССР, 1959, т. Ill, с.-11.
' ") Jones В. The Life and Letters of Faraday. - L.: Longmans, Green and Co., 1870,
v. 2, p. 444.
124
' какие-то изменения в линиях спектра пламени, когда на него действовал
мощный магнит" '2').
К изучению влияния магнетизма на спектры первым после Фарадея об-
¦ ратился, вероятно. Тэт |3°), который в 1875 г. обсудил возможное влияние
¦ магнитных сил на поглощение света. Десятью годами позже Фивез131)
сообщил, что в магнитных полях наблюдается определенное уширение (и
честичное обращение) 0-линий натрия и некоторых других главных линий
в спектрах калия, лития и таллия. Но при критическом рассмотрении
описания экспериментального метода Фивеза становится почти несом-
несомненным, что в его наблюдениях истинный эффект должен был маски-
маскироваться различными факторами, например, уширением, зависящим от дав-
давления. Говоря об этих экспериментах, Лодж132( указывал:" . .. представ-
представляется вероятным наличие множества разных несущественных причин воз-
возмущений, так что если истинный эффект вообще наблюдался, он был нас-
настолько смешан с ложными, что его простота осталась невыясненной и поэ-
поэтому сам он по существу неоткрытым". Экспериментальный метод, исклю-
исключивший подобные возражения, принадлежал Питеру Зееману.
В 1893 г. Зееману, изучавшему тогда эффект Керра, пришло в голову
проверить "не будет ли свет пламени, подверженный действию магнетизма,
испытывать какие-либо изменения33}. Поэтому он исследовал спектр
паров натрия, помещенный между полюсами электромагнита Румкорфа, но
снова безрезультатно. Двумя годами позже, прочитав у Максвелла приве-
приведенное выше описание экспериментов Фарадея, Зееман сказал себе: "Если
Фарадей думал о возможности такой связи, вероятно, стоит попробовать
повторить эксперимент, воспользовавшись отличными возможностями
спектроскопии нашего времени" '34). И вот в августе 1896 г. он повторил
эксперименте своей лаборатории Лейденского университета. В его распоря-
распоряжении был мощный электромагнит Румкорфа, питавшийся от батареи ак-
аккумуляторов с током 27 А, и решетка Роулэнда с радиусом 10 футов и
14983 штрихами на дюйм; небольшие количества натрия из кусочка асбес-
асбеста, смоченного раствором обычной сопи и помещенного между полюсами,
поступали в пламя бунзеновской горелки. Теперь он нашел, что во всех
случаях, когда "ток включался, две 0-линии отчетливо уширялись35).
Во второй серии экспериментов Зееман заключил нагреваемый натрий в
фарфоровую трубку, закрытую с обоих концов пара» вольными стеклян-
стеклянными пластинами и непрерывно вращавшуюся вокруг оси, чтобы избежать
1 ") Maxwell J.C. Scientific Papers [1.56), v. 2, p. 790.
1 " *) Максвелл Дж. Фарадей. - В кн.: Максвелл Дж. Статьи и речи — М.: Наука,
1968, с. 207-215.
1 10) Tait G.P. On a possible influence of magnetism on the absorption of light. - Proce-
Proceeding of the Royal Society of Edinburgh 1B75 -1B76, p. 11B.
1 " ) Fiavaz C. De I'influence du megnetisme sur les caracteres des raies spectrales. - Bul-
Bulletin de I'Academie des Sciences de Belgique, 1885, v. 9, p. 3B1-3B5.
1ЭМ Lodge O. The latest discoveries in physics. - The Electrician, 1B97, v. 38, p. ЬЭВ—
Б70.
I3J) Zeeman P. On the influence of magnetism on the nature of the light emitted )y
substance. - Philosophical Magazine, 1B97, v. 43, p. 226-239.
|Э4)Тамже.
1151 Там же, с. 227. "Еспи ток включался, две О-линии отчетливо уширялиа
Если ток выключался, они возвращались к первоначальному положению. Появле-
Появление и исчезновение уширения совпадало во времени с включением и выключением
токе. Эксперимент можно было повторять сколько угодно раз".
125
температурных изменений. "Включение магнита вызвало немедленное уши
рение линий", которые принимали прежний вид, как только ток выключал-
выключался. "Поэтому представляется весьма вероятным, что период натриевого из-
излучения изменяется в магнитном поле", — тек завершилось сообщение Зе
емене |Э6). Итак, через 10 лет после того, как Герц продемонстрировал
фундаментальную роль, которую играют электрические и магнитные силы
в распространении излучения, Зеемен выявил их роль также и при возник-
возникновении излучения.
Лоренц, которому Зееман сообщил результаты экспериментов до их пуб-
публикации, сразу же увидел возможность их объяснения на основе своей
электронной теории. Разложив движение квазиупруго связанной заряжен-
заряженной частицы на линейное колебение, пареллельное напревлению поля (поэ-
(поэтому поле не влияет на это колебание), и два круговых движения, происхо-
происходящих в противоположных непревлениях в плоскости, перпендикулярной
напревлению поля, Лоренц смог предсказать, что излучение от краев уши-
уширенной линии при наблюдении в продольном неправлении (т.е. по направ-
направлению силовых линий) должно быть поляризовено по кругу, а при неблю
дении в поперечном неправлении (т.е. перпендикулярно полю) — линейно
поляризовано; это заключение немедленно было подтверждено Зееманом
с помощью четвертьволновой пластинки и анализатора. Классическое
объяснение эффекта Зеемане Лоренцем основывалось на уравнении mv2/r =
* kr + (elc)vH.THfiH — напряженность магнитного поля, кжАлгтр% и
v = 2 ял v, откуда для частот двух круговых движений получалось v ж i>0 ±
± еНI Dптс). Это объяснение было опубликовано 'э 7) в 1897 г., когда Зе-
Зееман уже успешно разрешил "уширенную" линию X 4800 кадмия не дублет
при наблюдении в продольном неправлении и триплет — в поперечном, ис-
использовав поле примерно в 32 000 Гс и спектроскоп с дифракционной ре-
решеткой '3 8).
Вскоре стало ясно, что результат Лорение был частным случеем электро-
электродинамической теоремы, которую Лермор ) докезал в 1897 г. и двумя
годами позже использовал для объяснения эффекта Зеемана 14°). Согласно
теореме Ларморе влияние магнитного поля на группу вращающихся ионов
1' *) Zeeman P. Over den invloed eener maghetisatie op den aard van net door een stof
uitgezongen Itcht. — Verilag van de Gewone Vergederingen den Wit-en Natuurkundjge
Afdeeling, Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam, 1896, Bd 5, S. 1B1-
185. 242-248. Работа, цитируемая в ссыпке [ 13,3), - ангпийский перевод этой статьи.
См. текже Zeeman P. Ober einen Einflu?der Megnetiiirung auf die Natur des von einer
Substanz emitteren Lichtes. - Verhandlungen der Physikalischen Getellschaft zu Berlin.
1B96, Bd 7. S. 128-130; Nature, 1897, v. 57, p. 192, 311.
1'') Lorentz H.A. Uber der Einflu/3 magnetitcher Krefte auf die Emission des
Lichtes. - Wiedemannsche Annalen der Physik, 1897, Bd 63, S. 27B-284.
1 ] *) Zeeman P. Over doublet ten en tripletten in net spektrum, teweeggebracht door uit-
wendige magnetische krachtan. - Verslag van de Gewone Vegaderingen der Wis-en Natu-
urkundige Afdeeling, Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdem, 1897, Bd 6,
S. 13-18, 99-102, 260-262; Doubets and triplets in the spectrum produced by external
magnetic forces. - Philosophical Magazine, 1B97, v. 44, p. 55-60, 255—259. Примерно в
это же время Майкепьсон также раздепип компоненты натриевых и кадмиевых пиний,
воспользовавшись своим интерферометром [Michelton A. Radiation in a magnetic field. -
Ibid., p. 109-115).
'' * I Larmor J. On the theory of the magnetic influence on spectra; and on the radiation
from moving ions. — Philosophical Magazine, 1897, v. 44, p. 503— 512.
14 °) Larmor J. On the dynamics of ё system of electrons or ions; and on the influence of
a magnetic field on optical phenomena. - Transactions of the Cambridge Philosophical Socie-
Society, 1900. v. IB, p. 380-407; In: Sir Joseph Larmor: Mathematical and Physical Papers:
Cambridge University Press, 1929. v. 2, p. 158-191.
126
•Или электронов, у которых отношение elm электрического заряда к массе
Имеет одно и то же значение, состоит в том, что на их орбитальное движе-
движение накладывается прецессия вокруг направления поля с угловой часто-
частотой со = еН/2тс, т.е., как писал Лармор в своей статье, "модифицированное
таким образом колебание примет первоначальный свой вид, если наблю-
наблюдатель помещен в систему отсчета, вращающуюся с угловой скоростью
»Н12тс вокруг оси магнитного поля" '*'). Для доказательства этой
известной теоремы, физическая сущность которой состояла в уравновеши-
уравновешивании силы Кориолиса силой Лоренца, Лармор использовал непосредствен-
непосредственно уравнения движения, причем пренебрегал членом, пропорциональным
с. Итак, прилагая теорему к упоминавшимся выше круговым движениям
и помня, что на третье движение (линейное колебание) поле не влияет,
Лармор немедленно получил расщепление линии на лоренцевский
триплет. Интересно отметить, что еще до того, как Зееман опубликовал
свои результаты, и еще до открытия электрона Лармор знал, что влияние
магнитного поля на движение заряженных частиц должно зависеть от отно-
отношения заряда к массе. Предполагая, что самой малой частицей, способной
излучать, является атом, Лармор получил слишком малое (примерно в
2000 раз меньшее) расщепление и заключил, — как и Фогт по отношению
к эффекту Штарка, — что эффект будет чересчур мал, чтобы его можно
было обнаружить.
Но как только был открыт электрон и определено отношение заряда к
Массе для катодных лучей и 0-лучей (Дж.Дж. Томсон, 1897 г.), совпадение
•того отношения со значением elm, найденным из анализа эффекта Зеемана
• магнитном поле известной напряженности, дало убедительное доказатель-
доказательство в пользу предположения о том, что электрон действительно является
Составной частью атома и ответствен за испускание излучения. Более того,
|ная, что компонента с более короткой длиной волны поляризована по кру-
кругу в направлении, совпадающем с направлением тока в электромагните,
Кёниг |42) и Корню143) смогли заключить, что знак заряда электрона
совпадает со знаком "смоляного" электричества. Довольно счастливым
4Ля развития теории обстоятельством оказался тот факт, что Зееман не
Смог разрешить уширенные линии натрия, а разрешил некоторые линии
¦ спектрах кадмия и цинка, принадлежащие к классу синглетных линий.
Таким образом, осенью 1897 г. согласие между экспериментом и теорией
было превосходным.
Но уже 22 декабря 1897 г. Престон сообщил Дублинскому Королевс-
Королевскому обществу результаты своих экспериментов по эффекту Зеемана, выпол-
выполненных с помощью барретовского мощного электромагнита Королевского
колледжа науки в Дублине и воснутой решетки с радиусом 21,5 фута и
14438 штрихами на дюйм. Он писал: "Интересно отметить, что две линии
натрия и голубая линия 4800 кадмия не принадлежат классу триплетов. На
самом деле голубая линия кадмия является квартетом со слабыми средни-
средними линиями (weak-middled), тогде как одна из 0-линий (Ог) представляет
собой секстет из тонких ярких линий, т.е. образует резкие и одинаково ин-
интенсивные линии с двумя несколько менее резкими линиями по краям.
Далее, другая D-линия (D\) является квартетом, но не того класса, как
14 Ч 1139], р. 504; Mathematical end Physical Papers I140],v. 2, p. 141.
l")Konig C.G.W. Bepbachtung des Zeemann'schen Phanomens. - Wiedemannsche
Annalen der Physik, 1B97. Bd 62. S. 240 - 24B.
"')Cornu A. Sur I'observation et I'interpretation cin&matique des phenomens decou-
VtrtsparMr. le Dr. Zeeman. - Comptes Rendus, 1897, v. 125, p. 555-561.
127
линия 4800 кадмия, а типа дублета, т.е. такого типа, который был бы
получен при полном поглощении центральной пинии в сочетании с резким
обращением каждой из боковых линий44). Обнаружение Престоном
"аномального эффекта Зеемана" - как стали впоследствии называть это
явление, чтобы отличить его от "нормального эффекта", который "согласо-
"согласовывался " с теорией - вскоре было подтверждено Корню145), показав-
показавшим, что центральная компонента "триплета" линии Dt на самом деле яв-
является дублетом, как и каждая компонента "триплета" линии D2, иными
словами, обнаружилось, что линия О, — квадруплет, а линия D2 — секс-
туплет. Начиная с 1898 г., когда Лоренц146) безуспешно пытался объяс-
объяснить результаты Престона и Корню с помощью обобщения своей теории
нормального эффекта, и далее, в рамках старой квантовой теории, ано-
аномальный эффект Зеемана оставался нерешенной проблемой.
Появление усовершенствованных оптических приборов с улучшенной
разрешающей способностью привело в начале нашего века, в особенности
благодаря работам Рунге и Пашена, к осознанию того факта, что нормаль-
нормальный триплет встречается скорее как исключение, а не как правило. Даль-
Дальнейшее подробное описание прогресса в изучении аномального эффекта
Зеемана (например, открытия Престоном того факта, что аналогичные
спектральные линии той же самой серии, хотя бы и принадлежащие раз-
различным элементам, ведут себя сходным образом - "правило Престо-
Престона47), или эмпирического закона Рунге14 ), согласно которому все
известные в то время зеемановские расщепления могли быть выражены
как целые кратные отношения а/г, где а — интервал в нормальном трип-
триплете, ел— целое число, называемое знеменателем Рунге) завело бы нас
слишком далеко 149).
С появлением боровской теории атоме водорода и развитием старой
квантовой теории было, конечно, интересно и важно узнать, можно ли с
|<4| Preston Т. Radiative phenomena in a strong magnetic field. — Scientific Transactions
of the Royal Dublin Society, 1897, v. 6, p. 385-391.
149) Cornu A. Stir quelques retultats nouveaux relatifs au phenomene decouvert par M.
le Dr. Zeeman. - Comptes Rendus, 1889, v. 126, p. 181-186.
"*) Lorentz H.A. Beschouwingen over den invloed van een maghetisch veld opde uits-
traling van licht. - Verslag van de Gewone Vergaderingen der Wis-enNatuurkundige Afde-
eling, Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam, 1898, 8d7, S. 113-116:
Zur Theorie des Zeeman-effectes. - Physikalische Zeitschrift, 1899, Bdi, S. 39-41.
' *') Preston T. On the modification of the spectra of iron and other substances radia-
radiating in a strong magnetic field. — Proceedings of the Royal Society of London (A), 1896,
v. 43, p. 26-31; General law of the phenomena of magnetic perturbation of spectral lines.-
Nature, 1899, v. 59, p. 248. Превило Престона бы по очень попезио для определения
серии, к которой принадлежит данная пиния.
141) Runge С. liber die Zerlegung von Spektrallinien im magnetischen Pelde. -Physika-
-Physikalische Zeitschrift, 1907, Bd8, S. 232-237.
l4*l Дапьнейшие сведения об эффекте Зеемана см. в работах: Voigt W. Magneto
und Elektrooptik. — Leipzig: Teubner, 1908; Zeeman P. Researches in Magneto-opticks. -
L.: Mecmillan, 1903; Zeeman P. Magnetooptische Untersuchungen. — Leipzig, 1914; Ze-
Zeeman P. Verhandelingen over magneto-optische Verschijnselen. — Leiden, 1921; посвящен-
посвященный Зееману выпуск журнала Physica, 1921, Bdi, в который включены статьи: Lo-
гвпг Н.А. De theoretische Beteekenis van net Zeeman-etfect; Kamerlingh Onnes H. Zeeman's
Outdekking van het naar hern genoemde effect; Van Lohuizen T, Het anomale Zeeman-effect;
Wblt/ar H.R. Herinnering aan net Laboratorium van Prol. Zeeman, и др.; посвященный Зе-
Зееману выпуск журнела Die Naturwissenschaften, 1921, в который вошли статьи: Som-
marfeld A., Back В. Funfundzwanzig Jan re Zeemaneffekt; Lande A.A. Uber den anomalen
Zeemaneffekt, и др.; Back E., Lande A. Zeemaneffekt und Multiplettstruktur der Spektral-
Spektrallinien. — Berlin: Springer, 1925; Spencar J.B. An historical investigation of the Zneman ef-
effect. — Dissertation, University of Wisconsin, 1964.
128
помощью новых концепций объяснить также и эффект Зеемана, и если да,
то нельзя ли достичь при этом полной ясности. Как упоминалось в начале
настоящего раздела, интерпретировать нормальный эффект Зеемана на ос-
основе новых концепций удалось Дебаю ) и Зоммерфельду'5'). Движе-
Движение электрона в атоме водорода, находящемся в однородном магнитном
попе А/, которое направлено по оси г, подчиняется уравнениям
е . Э1/ е bV . dV
тх =— Ну , ту = Нх , тг = ,
с Эх с Ъу Ъг
где V — электростатический потенциал —е2/г . Гамильтониан имеет вид
где координатых,у,г и импульсы р,"тх- (е/2с) Ну, р2 = ту + (е/2с) Wx,
Pj = otz — канонические переменные. Переходя к сферическим коорди-
координатам (точечное преобразование), т.е. к новым каноническим переменным
г .д. >Р.Рг •Рд.Р*. Дебай получил для гамильтониана выражение
4Лт
r2 r2sin2d с
где пренебрег членом, пропорциональным с'2, Так как \р — циклическая
координета, то р^ постоянно и равно а3, а уравнение Гамильтона- Якоби
имеет вид
lbW\2 1 / dW \2 а] 2те2
I 1 + — I » I + ¦"=—г— - 2соша3 + 2та, =0,
\ Ъг ) г2 \ дд I rh\n2d г
где со =еН12тс и <Х| — отрицательная постоянная энергия. Поскольку
переменные можно разделить, имеем
3W / 2оте2
-2ота,
Ъг
где а2 - третья постоянная интегрирования. Выполняя интегрирование:
г, в,
2/ prdr = m,h, 2/ p^dd
найдем
пе2у/2т/\/а} - соа3' - 2яа2 = т ,Л и 2я(а2 — Oj) = m2h.
Обозначив от, +т2 +от3 =л, Дебай получил
2п2те*
2и
P. Quantenhypothese und Zeeman—Effekt. — Gottinger Nechrichten 1916
(Jun. 3).S. 142-153; Physikalische Zeitschrift, 1916 (Sept. 7), Bd17, S. 507-512.
1'') Sommerfeld A. Zur Theorie des Zeeman—Effekts der Wanerstofflinien, mit einem
Anhang iiber den Stark-Effekt. - Physikalische Zeitschrift, 1916 (Sept. 7), Bd17, S. 491-
607.
9.M. Джеммвр 129
и, с помощью воровского условия частот,
2п2те*
" = —Г"; I -п гг I+ — Из - ^з
\п 2 п 2 / 2п
где квантовые числа с одним штрихом относятся к конечной орбите,
а с двумя штрихами — к начальной. Итак, Дебай смог показать, что в маг-
магнитном поле частота испускаемой спектральной линии изменяется на вели-
величину Аи ж Дт3 1еН/4птс), т.е. получается нормальный лоренцевский
триплет при условии Аот3 * ± 1 или 0. Стало ясно также, почему класси-
классическая теория Лоренца давала совершенно такой же результат: в квантовых
вычислениях квант действия h сократился. Зоммерфепьд, интерпрети-
интерпретировавший эффект Зеемана близким к Дебаю образом, так оценивал ситуа-
ситуацию: "В настоящее время квантовое рассмотрение эффекта Зеемана дает
те же результаты, что и теория Лоренца, но не более того. Он может объяс-
объяснить нормальный триплет ..., но пока что не в состоянии пролить свет на
более сложные типы расщепления" 's 2). Положение не улучшило и рас-
рассмотрение эффекта Зеемана с помощью релятивистского подхода Зоммер-
фельде'").
Магнитное квантовое число т}, как его назвал Зоммерфельд, конечно,
совпадало с азимутальным квантовым числом nt, введенным ренее (см.
с. 100) притом же квантовом условии. Но поскольку л, = к cos а, завися-
зависящий от поля член в выражении для энергии, а именно, -т 3hcj/2it, можно
было записать в виде -(kh/2n)[e/2mc)Hcosa, т.е., вводя векторные обоз-
обозначения, в виде — (Д*7Л, что совпадает с известным вырежением для энер-
энергии взаимодействия магнитного момента Д в магнитном поле И. Как хо-
хорошо известно из классической электродинамики, величина магнитного мо-
момента, обусловленного круговым движением электрона с механическим
моментом импульса p^, = kh/2n, действительно равна (khl2it) ¦ (е/2тс).
В 1920 г. Паули |54) назвал магнитный момент, обусловленный орбиталь-
орбитальным движением электрона на самой малой из орбит Боре в атоме водорода
(Аг = 1), т.е. eh/ [Аптс), "магнетоном Боре Мв". чтобы отличить его от
"магнетона Вейсса", который был введен Вейссом IS<5) в 1911, г., при изу-
изучении ферромагнетиков, как наибольший общий делитель магнитных мо-
моментов молекул. Хотя "магнетон Вейсса" примерно в 5 раз меньше "магне-
"магнетона"" Бора", именно последний вскоре был признан естественной единицей
магнитного момента.
Как быстро стало очевидным, проблема аномального эффекта Зеемана
переплеталась с вопросом о происхождении мультиплетной структуры
спектральных линий. Действительно, спектроскопические данные четко
показывали, что все компоненты мультиплета обнаруживают аномаль-
аномальный эффект Зеемана, тогда как синглетам свойствен только нормальный
эффект. Иными словами, тип зеемановского расщепления компоненты
"МСм. [20). 1923. с. 304.
"'I См. 1151],с. 495-498.
154 I Ptuli W. Quantentheorie und Magneton. - Physikalische Zeitschrift, 1920, Bd 21.
S. 615-617; In: Paul* W. Collected Scientific Papers/ed. R. Kronig, V. Weisskopf. - N.Y.:
Interscience, 1964, v. 2. p. 36-3B.
15tIJVe/» P. Sur la rationalite des rapports des moments magnetiqy.es moleculaires et
la magneton. -Journal de Physique, 1911, v. 1, p. 900-912, 965-988; Uber die rationalen
VerhHItnisseder magnetischen Momente der Moleklile und das Magneton. - Physikalische
Zeischrift, 1911, Bd 12, S. 935-952.
130
явно зависел от типа мультиплета, членом которого она являлась. Таким
образом, можно было надеяться, что решение одного этих этих вопросов
даст ответ на оба. В процессе подобных поисков были выдвинуты новые
концепции, оказавшиеся фундаментально важными для дальнейшего раз-
развития теории. Именно поэтому мы и обсудим результаты изучения мульти-
плетов и аномального эффекта Зеемана.
Использование концепции термов, выдвинутой Ритцем, в анализе
спектральных серий щелочных металлов привело, как мы видели, к заклю-
заключению, что термы резкой серии имеют вид Re/(n + sJ, термы главной
серии - Re/[п + piJ ипи Re/{п + р2J. диффузной серии - Re/[n + dJ
и т.д. Так называемые "поправки Ридберга" s, p\, p2, d... служили мерой
отличия каждого терма от своего аналога в спектре водорода. Согласно
теории Бора спектр щелочных металлов отличается от спектра водорода
только потому, что в щелочных металлах оптический (валентный) элект-
электрон движется в поле, которое вследствие влияния внутренних электронов
(электронов остова) не является строго кулоновским. Поэтому так на-
называемые непроникающие орбиты, т.е. орбиты с малым эксцентрисите-
эксцентриситетом, должны характеризоваться малыми поправками Ридберга, так как
для таких орбит условия близки к условиям водородного атома.
Как показал Зоммерфельд, орбиты можно было охарактеризовать
двумя квантовыми числами: главным квантовым числом п[ = п + *),
определяющим основной энергетический подуровень, и азимутальным кван-
квантовым числом к. определяющим уровень основного энергетического
уровня. В то время как п могло быть любым положительным числом,
связанное с ним к было ограничено условием п > к > 0 и подчинялось
правилу отбора | ДА | = 1. В соответствии с геометрической интерпрета-
интерпретацией отношения к/п для водородного атома как отношения малой и боль-
большой полуосей орбитального эллипса орбите с наибольшим эксцентриси-
эксцентриситетом - а, значит, и с наибольшей поправкой Ридберга, которой, как сле-
следовало из спектроскопических данных, была поправка s, — следовало
приписать наименьшее возможное значение к, т.е. к = 1, и наоборот, наи-
наибольшее возможное значение к, т.е. к •= п, следовало приписать терму с
наименьшей поправкой Ридберга для данного п. Термы с к = 1, 2,3, 4,...
были названы J-, p, d-, f-, ... термами's 6) в соответствии с первыми бук-
буквами названий серий (sharp — резкая, principal — главная, diffuse — диф-
диффузная, fundamental - фундаментальная).
Теперь возникает вопрос: достаточно ли двух квантовых чисел, п и к.
для характеристики всех известных термов (энергетических уровней)?
Введение магнитного квантового числа уже показало, что ответ на этот
вопрос должен быть отрицательным. Кроме того, уже в то время было
хорошо установлено, что в спектрах щелочных металлов главная серия
состояла из дублетов, расстояние между компонентами которых умень-
уменьшалось с ростом п, тогда как линии резкой серии представляли дублеты
с неизменным расстоянием между компонентами. Наблюдения со спект-
спектрометрами высокого резрешения показали, что диффузная и фундамен-
фундаментальная серии также состоят из дублетов, в которых главные линии соп-
сопровождались так называемыми сателлитами. Итак, было ясно, что сами
главные диффузные и фундаментальные термы являются дублетными,
а резкие термы — синглетными. Аналогичные данные о спектрах щелочно-
щелочноземельных металлов показывали, что там термы были синглетными
' **) Зоммерфельд и некоторые другие авторы f-термы сначала называли "Ь-тер-
мами" в соответствии с термином "серия Бергмана".
9# 131
и триплетными, за исключением «-термов, которые всегда были только
синглетными.
Вплоть до 1922 г. были известны лишь синглетные и триплетные тер-
термы . В 1923 г. понятие о мультиплетности было значительно расширено,
в особенности благодаря исследованиям спектров марганца и хрома, про-
проведенным Каталаном157). Стало ясно, что существуют сложные термы
вплоть до секстетных и что в системах с подобными сложными термами
мультиплатность уровней в последовательности J-, р-. d-,... термов равна
единице для 5-термов и далее возрастает всегда на две единицы при пере-
переходе к следующему терму, пока не достигается "постоянное" число уров-
уровней ("Permanenznummer", как называл его Зоммерфельд), которое и
дает системе ее название (скажем, "система секстетов"). Так, например,
для секстетов мультиплетности s-, р-, d-, f-, g- термов были соответствен-
соответственно равны 1, 3, 5, 6, 6. Группы спектральных линий, возникающих при
переходах между системами таких сложных термов, по предложению
Каталана158) были названы "мультиплетами". Было найдено также, что
существуют мультиплеты, характерные для элементов каждой группы
периодической системы: в спектрах щелочных металлов появляются дуб-
дублеты, щелочно-земельных металлов — синглеты и триплеты, элементов
третьей группы — дублеты и квартеты и т.д.
Спектроскопические данные свидетельствовали также о том, что в та-
таких мультиплетах — например, в группе линий, соответствующих пере-
переходам между р- и d-термами, — появляются не все линии, допускаемые
комбинационным принципом Ритца. Зоммерфельд'59) воспринял подоб-
подобное отсутствие линий как указание на действие еще неизвестного правила
отбора, запрещающего появление линий, допускаемых другими прави-
правилами. Чтобы разыскать это правило, Зоммерфельд приписал каждому спект-
спектральному терму некое характерное для него число, которое он назвал
"внутренним квантовым числом" и обозначил nt, а позднее, следуя пред-
предложению Бора, - буквой /. Таким образом, каждый терм характери-
характеризовался тремя квантовыми числами; для обозначения термов Зоммер-
Зоммерфельд предложил, например, в случае п - 5, к = 1,/ ¦ 3, символ *5Э и т.д.
Анализируя дублеты и триплеты диффузной серии, Зоммерфельд нашел
возможность приписать такие значения внутреннему квантовому числу,
что выполнялось правило отбора Д/ ¦ ± 1 или Or Вскоре Панде160) нашел
дополнительные факты, свидетельствовавшие о том, что переходы
/ ¦ 0 -»/ » 0 должны быть исключены. В случае нечетной мультиплетности
Зоммерфельд принял, что 5-термы характеризуются / ¦ 0 для синглетов,
/ = 1 для триплетов, / ¦ 2 для квинтетов и т.д.. р-термы характеризуются
/ ¦ 1 для синглетов,/' ¦ 2, 1, 0 для триплетов,/ ¦ 3, 2, 1 для квинтетов
и т.д., d-термы характеризуются/ =2для. синглетов,/ = 3, 2,1 для трипле-
триплетов, / • 4, 3, 2, 1, 0 для квинтетов и т.д. Как только достигается гранич-
граничное число мультиплетности - что связано для всех серий с появлением
значения / ¦ 0 - дальнейшего увеличения числа значений / не происходит.
Зоммерфельд прекрасно понимал, что предложенный им способ выбора
х *1 ^Catalan М.А. Series and other regularities in the spectrum of manganese. - Philo-
Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 1923, v. 223, p. 127-173.
1 "'Термин "мупьтиппет" как terminus technicus был впервые введен в этом
смысле Квтамном ¦ цит. работе (с. 146).
1 * * ^Sommerfakt A. Allgameine spektroskopische Gesetze, insbesondere ein magane-
tooptischer Zerlegungtsatz. - Annalen der Physik, 1920, Bd 63, S. 221-263.
1 * ° ^Landi A. Anomaler Zeemaneffekt und Seriensysteme bei Ne und Hg. — Physika-
lische Zeitschrift, 1.921, Bd 22. S. 417-422.
132
¦Качений / - не единственно возможный, так как добавка произвольной
Постоянной не мешала выполнению правила отбора, в которое входила
Только разность значений /. Для четных мультиплетностей Зоммерфельд
Предложил подобную же схему, в которой, однако, как мы увидим лозже,
1 |йачения /' пришлось брать лолуцелыми. Как бы то ни быпо, правило от-
отбора пока что не помогало пролить свет на физический смысл внутреннего
Квантового числа, которое оставалось поэтому лишь удобным способом
упорядочивания.
Как правило, все спектральные линии мультиллетов обнаруживали
аномальный эффект Зеемана. Из исследований ван Лохузена1 б') и ком-
комбинационного принципа с очевидностью следовало, что зеемановское рас-
щапление линий обусловлено соответствующим расщеплением энергети-
энергетических уровней мультиллета. Таким образом, было ясно, что дальнейший
Прогресс зависел от того, будет ли достигнуто успешное объяснение зее-
Мановского расщепления уровней мультиллета.
В этих целях Зоммерфельд162) и Панде163), опираясь на существо-
•Мшие тогда экспериментальные данные, сформулировали гипотезу,
позднее получившую название "гипотезы магнитного остова". Согласно
¦той гипотезе атомный остов, т.е. ядро и внутренние (неолтические) элект-
электроны, обладает моментом импульса в s единиц/)/2я и соответствующим
Магнитным моментом. Последний образует аксиально-симметричное маг-
магнитное лоле, ось симметрии которого совладает с направлением момента
импульса остова. Другими словами, оптический электрон испытывает.
Так сказать внутренний эффект Зеемана, при котором вектор его момен-
момента импульса может принимать только дискретные значения угла накло-
наклона относительно оси остова.
Ради исторической точности следует указать, что еще в 1919 г. Рождест-
Ииский'64) предложил объяснить дублетную и триплетную структуру
Термов внутренним эффектом Зеемана. На основе теории, созданной им,
Рождественский вычислил дублетное расщепление первой линии в глав-
, мой серии лития и нашел значение примерно в 5 раз больше требуемого.
, Как позже указывал сам Рождественский, его теория была несовместима
С воровским принципом соответствия, о котором он ничего не знал в
силу ситуации, сложившейся в то время в мире.
По аналогии с векторным описанием моментов импульса в классичес-
классической механике, которое Панде165) перенес и на квантовую теорию еще
¦ 1919 г., можно было принять, что вектор момента импульса атомного
141 Wan Lohuizan Т. The anomalous Zeeman-effect. — Proceedings of Amsterdam Aca-
Academy, 1919, v. 22, p. 190-199.
l*1^Sommerfeld A. liber die Deutung verwickelterSpektren (Msngan, Chrom uiw.)
fitch der Methode der inneren Quantenzahlen. - AnnaJen der Physik, 1923, Bd70, S. 32-62;
lur Theorie der Multipletts und ihrer Zeemaneffekte. — Ibid., 1924, Bd73, S. 209-227.
x")Landi A. Uber den anomalen Zeemaneffekt. — Zeitschrift fur Physik, 1921, Bd 5,
I. 231-241; Bd7, S. 398-405; Termstruktur und Zeemaneffekt der Multipletts. - Ibid.,
1923, Bd 15. S. 189-205; Bd 19, S. 112-123.
'**)Ro$chdastwensky D. Das innere Magnetfeld des Atoms erzeugt die Dublette und
Triptette der Spektralserien. - Berlin: Kniga Verlag, 1922.
' * * *J Рождественский Д.С- Спектральный анализ и строение атомов. — В кн.:
Й>ждественский Д.С. Избранные труды. — М.: Наука, 1964, с. 5—64. Несколько рас-
расширенный текст речи, произнесенной на первом годовом собрании ГОИ 15 де-
декабря 1919 г.; извлечения из нае с некоторыми дополнениями составили статью
11641.
l*l^Landi A. Eine Quantenregelfdrdie raumliche Orientiarung von Elektronenringan. —
Vartiendlungan der Deutschen Physikalischen Gwellscheft, 1919, Bd 21, S. 565-5BB.
133
остова R (Rumpf — туловище), складываясь с вектором момента им-
импульса оптического электрона К, дает результирующий вектор J, полный
момент импульса атома. Далее в соответствии с классической механикой,
принималось, что R и К прецессируют вокруг J, а последний в присут-
присутствии внешнего магнитного поля ведет себя подобно волчку, прецессируя
вокруг направления поля. Модуль J зависел, конечно, не только от зна-
значений компонент К и R. но и от угла между ними. Фактически Ланде пра-
правильно интерпретировал различие ориентации К относительно R как при-
причину различия энергий нескольких подуровней одного и того же муль-
типлетного уровня. Было легко также видеть, что магнитное взаимо-
взаимодействие двух магнитных моментов пропорционально скалярному про-
произведению соответствующих моментов импульса. Наконец, было пока-
показано, что эоммерфепьдовское внутреннее квантовое число / есть мо-
модуль J, измеренный в единицах />/2тг; тем самым бып установлен
физический смысл / - представление полного момента импульса
атома.
Но вскоре векторная модель встретилась с серьезной трудностью. Если
/', / и s выражают166) в единицах />/2я модули векторов /. К и R соот-
соответственно, из геометрических соображений следует, что | / - s | < / <
< | / + s |. Тогда, если /, / и J — целые числа, внутреннее квантовое число
/' при заданных значениях / и J, как очевидно, может принимать г =1 + s -
— | / — s| +1 различных значений. Следовательно, при / <s мультиплетный
уровень должен состоять из 2/ +1 подуровней, а при / > s — из 2s + 1
подуровней. Поскольку при / < s число уровней возрастает с ростом /,
из мультиплетностей г =21 + 1 уровней s.p.d,... сразу можно определить
/, т.е. модуль соответствующего вектора момента импульса К. Итак, век-
векторная модель атома заставляет принять / = 1 для s-уровней, 1=2 для
р-уровней и т.д. Но спектроскопические данные неопровержимо свиде
тельствовали о том, что для s термов, являющихся синглетами (г =1),
вопреки предсказаниям модели / = 0 и вообще / = к — 1. Стало ясно,
что для данного значения главного квантового числа п число / может при-
принимать значения 0, 1,.... п — 1. Старая квантовая теория так и не смог-
смогла разрешить это противоречие.
Как совершенно очевидно, способ выбора квантовых чисел, принятый
Зоммерфельдом, был чисто эмпирическим и допускал другие варианты.
Так, оказался полезным в ряде случаев и получил широкое распрост
ранение следующий вариант выбора квантовых чисел, выдвинутый
Ленде): R = '/j , % < % •••• Аля синглетных, дублетных, триплет
ных,... систем , К = ''г, %. /г .... для состояний s, p, d,. .., а / вы-
выбиралось полуцелым для нечетных и целым для четных мультиплетностей
как квантовое число, характеризующее результирующую векторов R
и К. Очевидно, что R = s + V4 и К = / + %' * 8).
"*) Здесь обозначения несколько модернизированы, чтобы избежать путаницы
и показать соответствие с установленным позже квантовомеханическим смыслом
этих величин.
xll)Land4 A. Uber den anomalen Zeemaneffekt. - Zeitschrift fur Physik, 1921, Bd 5,
S. 231-241; Zur Theorie der anomalen Zeeman-und magnetomechanischen Effekte — Ibid.,
1922, Bd 11, S. 353-363. См. также Lande A. Die Neuere Entwicklung der Quantentheo'
rie. - 2 Aufl. - Dresden. Leipzig: Steinkopff, 1926, S. 64-83.
1") В противоположность схеме Зоммерфепьда, в схеме Ланде векторам R и А
запрещалось быть коплинеарными. Действительно, так как К — всегда полуцепое
то целое Я для четной мупьтиплетности привело бы при коллинеарности векторов
Я и А к полуцелому J , что связывалось с нечетной мультиплетностью.
134
Ланде'69) использовал эту схему для глубокого анализа аномального
аффект Зеемана и добился существенной, хотя и не полной, кинематичес-
кинематической интерпретации этого явления. Напомним, что в нормальном эффекте
Збемана смещение компоненты уровня составляет тгЬ со/2я, где со =
¦ еН12тс, и в согласии с принципом соответствия переход с Ат3 = 0 опи-
описывает компоненту, поляризованную параллельно полю (я-компоненту),
• с Д/л3 = ± 1 — поляризованную перпендикулярно полю (о-компоненту).
Напомним также, что смещение или энергетический сдвиг компоненты
мультиплетной линии в аномальном эффекте Зеемана можно было выра-
выразить, согласно Рунге, как целое кратное величины а/г, где г — целое чис-
число, а а = hoj/2n (см. с. 128)- Поскольку в рассматриваемых случаях рас-
расщепление компонент мультиплета всегда было симметричным, достаточно
охарактеризовать только половину картины зеемановского расщепления.
Для этого удобно записать знаменатель Рунге г под горизонтальной линией,
• над ней — разделенные запятыми смещения отдельных компонент, из-
измеренных в долях а, причем я-компоненты обычно заключались в
скобки170). Далее, аналогично тому, как при обсуждении нормального
эффекта в атоме водорода (с. 129) было введено квантовое число т} -
проекция к на направление внешнего поля, здесь было введено квантовое
число т, характеризующее проекцию J на направление поля. 8 соответст-
соответствии с обозначениями Ланде численные значения т, полуцелые для четных
мультиплетностей и целые для нечетных мультиплетностей, заключены
в интервале - \J - 1/4| <ff> < \J - V4 I, так что ттах = \J - V4|. Теперь
Ланде приписал каждому уровну мультиплета подходящие значения т,
согласующиеся с правилами отбора и поляризацией компонент. Напри-
Например, в случае натриевой О,-линии, зеемановское расщепление которой
дает четыре линии, а сама она в обозначениях Ланде171) возникает при
переходе с уровня 2St на гР\, этим термам были приписаны значения
т. равные — V4 и %:
iXt
%
(Вертикальные стрелки соответствуют я-компонентам, наклонные - о
компонентам.) Аналогично, терму 2Pi (в обозначениях Ланде), с кото-
которого происходит переход, приводящий к линии D^, соответствовали зна-
значения т, равные - 3/2, - '/г, '/г. 3/2. Итак, приписывая уровням мульти-
мультиплета значения т. отличающиеся друг от друга на целые числа, Ланде мог
'">См. [1631.
>7°)Так, зеемановское расщепление известной пинии D. E896 л) натрия
B). 4
C $у,—ЗРуг) можно записать в виде * (четыре линии), а линии О,
A1,3,5
E890 л) натрия C25„ - З'Р,.,) - в виде t (шесть линий).
' 3
'"'в обозначениях Ланде верхний индекс представляет собой (как обычно)
максимальную мультиплетность группы, к которой принадлежит терм. Чтобы избе-
избежать дробных чисел, в качестве нижнего индекса берется наибольшее цепов число, со-
содержащееся в J.
135
объяснить поляризацию и число линий, появляющихся в эффекте Зеемена,
введя правило отбора Ат= ± 1 или 0. Но для того, чтобы охарактеризовать
еще и смещение отдельных зеемановских термов, требовалось указать допол-
дополнительный набор чисел. Эти числе давали (в единицах а) разность энергий
между обсуждаемым зееменовским уровнем и первоначальным муль-
типлетным уровнем. Так, для 0-линий натрия Ленде нашел следующий
набор:
+ B).«
/77
*P,
3
~г "
~э
1 1
г г
3 3
~3 J
г
f
Таким образом, с 2S, и т = — Ланде связывал числе , а с 2S,
и т =— — числа — и т.д. Анализируя этот эмпирический набор, он за
2 1
метил, что новые числа, приписанные каждому терму, были не чем иным,
как произведением т не постоянное число д, не зависевшее от т , но оп-
определявшееся характеристиками нерасщепленного уровня (т.е. уровня
2S|, или 1Р{. или 2Р2 в случае О-линий). Именно, Ланде показал, что эм-
эмпирическая формула
3 R2-K2
д=—+ —
2 2(J2 - %)
ИЛИ
J2+Я 2-К
W2
где J , R, К обозначают V (J + 54)(^ — 54) и т.д., точно передает зеви-
симость величины д, которую он назвал "фактором расщепления", от
Я, К и J. Для терма 2S, (Я = V, ,К = K.J =1), например, д = 2, и
это значение согласуется со значениями новых (дополнительных)
чисел.
В поисках теоретического объяснения фактора расщепления Ланде
вернулся к векторной диаграмме. Заменив R, К, J на R. К, J , он нашел
из выражения для д, что д * 1 + [R coslJ.R) IJ]. Но поскольку т =
- J cos {J, Н), где Н указывает направление внешнего поля, можно за
писать тд = ./cost/, Н) + flcosl/ , Л) cos I/ , Н). Далее, произведение
косинусов во втором члене есть не что иное, как среднее от cos (Л, Н).
Окончательно, тд = К cos {К. Н) + 2/? cos (Л, Я), где черта над косину-
косинусами означает усреднение по полному циклу. Полученный результат от
136
пинался от соотношения т = К cos {К, Н) + RcosiR. H). которое должно
выполняться в том случае, если теорема Лармора применима к R и К.
Сравнив последние два уравнения, Ланде предположил, что фактор
расщепления д может быть обусловлен аномальностью отношения ме-
механического момента импульса остова к его магнитному моменту, а имен-
именно тем, что это отношение вдвое меньше значения, ожидаемого из класси-
классических соображений. Он предложил поэтому "модифицировать" теорему
Лермора, но признал, что для этого нет никаких убедительных теорети-
теоретических предпосылок172> • Итак, проницательный анализ аномального эф-
эффекта Зеемана, выполненный Ланде, привел к спектроскопическому под-
подтверждению аномального гиромагнитного отношения, в существовании
которого после тщательных экспериментов Бека173) с "эффектом Эйн-
Эйнштейна - де Гааза" нальзя было уже сомневаться. Подобно Беку, Ланде
считал, что наличие вращения остова или ядра - в дополнение к ларморов-
ской прецессии — является возможностью, заслуживающей дальнейшего
изучения.
Еще одной неясностью, возникшей в процессе анализа Ланде, было вве-
введение геометрических средних моментов импульса, т.е. V (J + %) [J - У»)'
для J или, пользуясь символикой Зоммерфельда'74), \Jj\j + 1) для/.
Ланде испытывал серьезные сомнения в законности этого шага, поскольку
подобные величины "иррациональны в шкале квантов". Тем не менее,
он счел оправданной публикацию полученных результатов, "так как они
могут послужить путеводной нитью при окончательном решении проб-
проблемы аномального зеемановского расщепления1S).
1'"^Landi A. liber den anomalen Zeemaneffekt (Teil 2). - Zeitschrift fur Physik, 1921,
Bd 7, S. 398-405.
17J'fiec* f. Zum experimentellen Nachweis des Ampereschen MolekularstrSme. -
Annalen der Physik, 1919, Bd 60, S. 109-148. Исходя из электронной теории Лоренца
и теории магнетизма Ланжевена, Ричардсон {Richardson О. A mechanical effect accom-
accompanying magnetization. - Physical Review, 1908, v. 26, P- 194—195,248—253) первым
предположил, что существует определенная связь между моментом импульса и маг-
магнитным моментом ферромагнитных веществ. Гиромагнитное отношение, т.е. отно-
отношение момента импульса к магнитному моменту, первыми экспериментально ис-
следовели Эйнштейн и де VaarsiEinstein A., de Haas W.J. Experimenteller Nachweis der
Ampereschen Molekularstrdma. - Verhandlungen der Oeutschan Physikalichen Gesellsc-
haft, 1915, Bd17. S. 152-170: Экспериментальное доказательство существования
молекулярных токов Ампера.— В кн. Эйнштейн А. Собрание научных трудов, т. 111
A.112*], с. 363—380). Они задавали стержню вращающий момент с помощью изме-
изменения намагничения и нашли, что значение этого отношения совпадает с предсказы-
предсказываемым теорией. Но вскоре Барнетт (Bernett S.J. Magnetization by rotation. — Phy-
lical Review, 1915, v. 6, p. 239—270; Magnetization of iron, nickel and cobalt by rotation
and the nature of the magnetic molecule. — Ibid., 1917, v. 10, p. 7—21) и Стюарт (Ste-
(Stewart J.Q. The moment of momentum accompanying magnetic moment of iron and nickel. —
Ibid., 1918, v. 11, p. 100—120) .обнаружили серьезные расхождения с теорией. Так,
значения, найденные Стюартом, для железа составляли 49%, а для никепя — 50%
от теоретического значения. Наконец, в 1919 г. в серии очень тщательных эксперимен-
экспериментов, выполненных в Высшей технической школе в Цюрихе, Бек показал, что значение
гиромагнитного отношения в два реза меньше того, которого следовало ожидать,
если бы эффект определяйся электронными орбитами в атоме.
174) в эоммерфельдовских обозначениях имеем:
l~"^Landi A. Termstruktur und Zeemaneffekt der Multiplets. - Zeitschrift fur Phy-
lik, 1923, Bd 15, S. 189-205; S. 200.
137
3.4. Принцип запрета и спин
Теория магнитного остова, выдвинутая Зоммерфельдом и Ланде для
объяснения тонкой структуры спектральных линий, казалось, пол-
полностью согласовывалась с результатом важного эксперимента, который
Отто Штерн176) в 1921 г. предложил провести в качестве проверки зом-
мерфельдовской гипотезы о пространственном квантовании в магнит-
магнитном поле. Со времени пионерской работы Дюнуайе 177> молекуляр-
молекулярные пучки изучались главным образом в связи с проблемами кинетики га-
газов. Развитие общего метода изучения молекулярных пучков и его приме-
применение к атомной физике было обязано главным образом исследованиям
Штерна, которые он сначала вел в своей лаборатории Франкфуртского
университета, в сотрудничестве с Герлахом, а затем в Институте физи-
физической химии в Гамбурге (в 1923 г. он стал его директором).
В первом эксперименте, выполненном в конце 1921 г., Штерн и
Герлах '78) получили узкий пучок атомов серебра с помощью испарения
в нагревателе и в высоком вакууме (от 10~4 до 10~5 мм рт.ст.) пропустили
его через коллимирующие щели и через область поля с сильным градиентом,
находившуюся вблизи острого края полюсного наконечника электромагни-
электромагнита Дюбуа. Падая на стеклянную пластинку, атомы осаждались на ней тон-
тонким слоем; было отчетливо заметно уширение осаждавшейся линии. Во
второй серии экспериментов, прибегнув к экспозициям по 8 и более часов,
Штерн и Герлах ' ) определенно установили, что в магнитном поле атом-
атомный пучок расщепляется строго на два "подпучка". Зная геометрию прибо-
прибора и тщательно измерив градиент напряженности магнитного поля, они уже
смогли показать, что магнитный момент любого атома серебра, направлен-
направленный по полю, равен одному магнетону Бора с ошибкой не более 10%.
Подобные же эксперименты были впоследствии выполнены с другими
атомными пучками - водорода, натрия, капия, кадмия, таллия, цинка,
меди и золота 180). Очевидно отсутствие даже следов атомов серебра в
центре картины отклонений, наблюдавшейся в эксперименте Штерна —
ГерлахаГ, недвусмысленно свидетельствовало в пользу пространственного
квантования. Действительно, согласно классической физике, которая
рассматривала атомы как элементарные магнитики, могущие принимать
всевозможные ориентации, отклонения должны были бы характеризоваться
гауссовским распределением, максимум которого соответствовал бы
положению неотклоненного пучка. Но в эксперименте Штерна — Герлаха
неотклоненный пучок вообще нельзя было обнаружить! Более того, если
отвлечься от измерений удельной теплоемкости, это был первый экспери-
1'* ) Stern О. Ein Weg zur experimentellen Prufung der Richtungsquantellung im Ma-
gnetfeld.- Zeitschrift fur Physik, 1921, Bd 7. S. 249-253.
I??} Dunoyer L. Sur la theorie cinetique des gaz et le realisation dun rayonnement mate-
materiel d'origine thermique. — Comptes Rendus, 1911, v. 152, p. 529—595.
1 '• | Stern O.. Gerlach W. Der experimented Nachweis des magnetischen Moments des
Silberatoms. -Zeitschrift fur Physik, 1922, BdB. S. 110-111.
1 7> | Stern O., Gerlach W. Der experimented Nachweis der Richtungsquantelung im Mag-
netfeld. — Zeitschrifr fur Physik, 1922, Bd9, S. 349—355; Die Aufspaltung des Atomstrehles
im Magnetfeld erfolgt in zwei diskrete Strahlen. Es sind keine unabgelenkten Atome
nachweisbar. - Ibid., S. 351.
"•) Gerlach W., Stern O. Uber die Richtungsquantelung im Magnetfeld.- Annalen der
Physik, 1924. Bd74, S. 673-699; Taylor J.B. Magnetic moments of the alkeli metal atoms. -
Physical Review, 1926, v. 2B, p. 576-583; Leu A. Versuche uber die Ablenkung von Moleku-
larstrahlen im Magnetfeld. - Zeitschrift fur Physik, 1927, Bd41, S. 551-562; Wrade ?.
Untersuchungen zur Mdekularstrahlenmethode.- Ibid., 8.569—575.
138
мент неоптической природы, не имевший дела с энергией излучения, кото-
который поддержал фундаментальное утверждение квантовой теории. Поистине,
это был триумф квантовой теории, и Зоммерфельд имел все основания
заявить: "Своим смелым экспериментом Штерн и Герлах не только проде-
продемонстрировали существование пространственного квантования, они доказа-
доказали атомистическую природу магнитного момента, его квантовотеоретичес-
кое происхождение и его связь с атомистической структурой электричества".
Из спектроскопических данных было известно, что основное состояние
серебра является s-состоянием, т.е. принадлежит группе состояний с мульти-
плотностью 2. Тогда согласно теории Зоммерфельда - Панде было справед-
справедливо уравнение 2 = 2$+ 1, из которого следовало, что момент импульса
остова - а поскольку /а = 0, то и полный момент импульса атома - состав-
составляет % в единицах />/2я. Поэтому компоненты полного момента импульса
в направлении поля равнялись + % и — %, т.е. пучок должен был расщеп-
расщепляться точно надвое, что полностью согласовалось с экспериментом.
И все же, невзирая на такое, казалось бы, прекрасное согласие с теори-
теорией '8'), при внимательном рассмотрении эксперимента Штерна - Герлаха
возникали серьезные трудности. Действительно, Эйнштейн и Эренфест ' 82|,
глубоко проанализировав возможные механизмы упорядочивания атомов
в магнитном поле, указали, что на вопрос о том, как атомы приобретают
свою ориентацию, нет удовлетворительного ответа. Высокий вакуум исклю-
исключал возможность объяснения этого процесса с помощью столкновений;
нельзя было обратиться и к радиационному обмену энергией, так как тогда
процесс выстраивания атомов по полю длился бы от 10* до 10'' секунд, а
на самом деле он занимал менее 10~4 секунды. Оставались две возможнос-
возможности: либо "в действительности механизм таков, что атомы никогда не могут
попадать в состояние, в котором они квантуются не полностью", либо
"релаксация к квантовым состояниям происходит путем. . . излучения
квантов света". Они показали, что любое из этих предположений ведет к
непреодолимым концептуальным трудностям, именно, либо к нарушению
принципа сохранения энергии, либо к заключению, что квантоваться могут
только системы, способные излучать. Хотя отдельные недостатки предла-
предлагавшихся моделей атома или модельных описаний атомных процессов
неоднократно подчеркивались ранее, статья Эйнштейна и Эренфеста была
первым анализом того концептуального тупика, в который попадает любая
попытка создать картину точного поведения атомов. Здесь особенно инте-
интересно отметить , что соавтором этих вещих "письмен на стене", появивших-
появившихся за несколько лет до создания современной квантовой механики, был
Альберт Эйнштейн, который впоследствии упорно отказывался принять
основные догматы этой теории, величайшего отхода от идеализации клас-
классической физики, и, в частности, не смирялся с таким ее аспектом, как
дополнительность, т.е. утверждение о невозможности создать универсаль-
универсальные модели, годные на все случаи, так как для этого необходимо прибег-
прибегнуть к противоречащим друг другу описаниям.
• •1) Как несомненно понимает читатель, последующее открытие спина показало,
что фактически Штерн и Герлах иэмерипи (тогда не осознавая этого) магнитный
момент, внутренне присущий электрону, тек что вышеприведенное объяснение экспе-
эксперимента ошибочно. ,
"М Einstein A.. Ehrenfest P. Quantentheoretische Bemerkungen zum Experiment von
•tern und Gerlach. - Zeitschrift fur Physik, 1922,Bd11, $.31-34; In: Ehrenfest P. Collected
Scientific Papers [1.77], p. 452-455.
1 * '*) Эйнштейн А., Эренфест П. Квантово-теоретические замечания к опыту Штерна
и Герпаха. — В кн.: Эйнштейн А. Собрание научных трудов, т. Ill A-112»], с. 442—445.
13»
Итак, мы видим, что теория, предсказавшая пространственное квантова
ние, оказалась — благодаря экспериментальному подтверждению своих
предсказаний - в большом затруднении. Но впереди ее ждали еще большие
испытания.
Трудности, возникавшие при расшифровке эффекта Зеемана, с одной
стороны, и важность, которую имело бы удовлетворительное объяснение
именно этого явления для прогресса теоретической физики, — с другой,
были рано осознаны Вольфгангом Паули. Получив степепь "доктор филосо-
философии" в Мюнхенском университете, где он занимался у Зоммерфельда,
Паули провел зимний семестр 1921/1922 гг. в Гёттингене, ассистентом Бор
на. О той важной роли, которую сыграл этот период в его будущей работе,
Паули писал следующим образом: "Новая фаза моей научной жизни нача-
началась, когда я впервые встретился с Нильсом Бором. Это произошло в
1922 г., когда его пригласили прочитать цикл лекций в Гёттингене >83),
в которых он рассказал о своих теоретических исследованиях периодичес-
периодической системы элементов. Я лишь коротко напомню, что существенный
прогресс, который был в то время достигнут благодаря исследованиям
Бора, состоял в объяснении (на основе сферически-симметричной атомной
модели) образования промежуточных оболочек атома и рбщих свойств
редкоземельных элементов. Вопрос о том, почему все электроны атома
в основном состоянии не находятся в самой внутренней оболочке, уже
в ранних работах выделялся Бором как имеющий фундаментальное зна-
значение. В своих геттингенских лекциях он в частности рассмотрел заполнение
самой внутренней /f-оболочки атома гелия и существенную связь этого с
двумя раздельными спектрами гелия—орто- и парагелиевыми спектрами.
На основе классической механики нельзя было дать скопько-нибудь убеди-
убедительного объяснения этого явления. На меня произвело сильное впечатле-
впечатление то, что Бор — и в то время, и в последующих дискуссиях —искал общее
объяснение, которое было бы справедливо для заполнения любой электрон-
электронной оболочки и в котором, в противоположность подходу Зоммерфельда,
число 2 было бы столь же важным, как и число В" ' 84).
Осенью 1922 г. Паули принял приглашение Бора посетить Копенгаген и
помочь в издании его работ на немецком языке. Именно тогда Пеули
предпринял первую серьезную попытку объяснить аномальный эффект
Зеемана. Выступая в 1945 г. в Принстонском институте перспективных
исследований на обеде, данном в его честь по случаю присуждения Нобе-
Нобелевской премии A945 г.), Паули I8S) вспоминал об этом визите и о том,
'•'IB этой связи см. Ц.107].
1 *4) Paul! И/. Exclusion Principle and Quantum Mechanic! (Nobel Prize Lecture, Dec. 13,
1946). — Neuchatel: Editions du Griffon 1947, p. 9—10; Dai Ausschlie?ungprinzip und
Quantenmechanik. - in: P»uli W. Aufsatze und VortrSge iiber Phyiik und Erkenntnistheo-
rie. - Braunschweig: Vie wag. 1961, S. 129-146; In: Collected Papers [154),v.2,p. 1080-
1096; Последние слова а цитате относятся к попытке Зоммерфепьда саязать в духе
Каппера число 8 с числом углов кубе.
'**') Паули В. Принцип запрета и квантовая механика (Нобепвеская пекция,
прочитанная в Стокгольме 13 декабря 1946г.) — В кн.: Паули В. Физические очерки. —
М.: Наука, 1975, с. 65-86.
'»«) Pauli W. Remarks on the History of the Exclusion Principle. - Science, 1946, v. 103,
p. 213-215; In: Collected Papers A54), v. 2, p. 1073-1075. В письме к Зомм«рфельду.
написанном а Копенгагене 6 июня 1923 г., Паупи описывап свои бесчисленные без-
безуспешные попытки объяснить аномальный эффект Зеемана; оно кончалось словами:
"на некоторое время я а пал в совершенное отчаяние".
1 •' • )Паули Вг Замечания об истории принципа запрета. — В кн.: Физические очер-
очерки Ц84«], с. 98-103.
140
насколько подавленным он чувствовал себя в то время. "С одной стороны,
аномальный тип расщепления выглядел очень многообещающе, поскольку
¦ нем проявлялись красивые и простые закономерности, но, с другой,
стороны, он был едва ли понятен, поскольку самые общие соображения
относительно электрона, основанные как на классической, так и на кванто-
квантовой теории, всегда приводили к тому же самому триплету. Более внима-
внимательное изучение этой проблемы оставило во мне впечатление, что подсту-
подступиться к этой задаче еще труднее, чем казалось ранее. Коллега, как-то
встретивший меня, довольно бесцельно бродившего по прекрасным улицам
Копенгагена, заметил мне по-дружески: "Вы что-то выглядите несчастли-
несчастливым человеком", на что я свирепо ответил: "Разве может выглядеть счаст-
счастливым человек, размышляющий об аномальном эффекте Зеемана?"
В статье'8б), написанной в Копенгагене, и следующей за ней работе'8 7),
в Гамбурге, где в 1923 г. он стал приват-доцентом, Пеули обобщил некото-
некоторые результаты Зоммерфельда по эффекту Зеемана в спектрах щелочных
и щелочно-земельных элементов и вычислил некоторые мультиплетные
термы, ранее исследованные Ланде. С этой целью он без теоретического
обоснования >88) связал подходящие магнитные моменты с моментом
импульса атома, благодаря чему ему удалось полностью проследить переход
от расщепления в слабых полях к расщеплению в сильных полях. Но, буду-
будучи убежден в наличии тесной связи между структурой мультиплетов и
построением периодической системы элементов, Паули не считал свою
работу ни окончательной, ни убедительной. Вспоминая '••) о своей вступи-
вступительной лекции в Гамбургском университете, он писал: "Содержание этой
лекции не удовлетворяло меня, так как мне не удалось продвинуться дальше
в решении проблемы заполнения электронных оболочек. Было ясно только
одно - должна существовать более тесная связь этой проблемы с теорией
мультиплетной структуры спектров. Поэтому я попытался снова критичес-
критически рассмотреть простейший случай, именно, дублетную структуру спектров
щелочных элементов. Я пришел к выводу, что от общепринятой в то время
точки зрения, согласно которой причиной этой дублетной структуры был
конечный момент импульса атомного остова, следует отказаться как от
неверной".
Фактически, осенью 1924 г. Паули выдвинул ряд сильных аргументов
против этой "общепринятой" теории., или , как мы ее назвали, теории
магнитного остова, и показал, что она не согласуется с опытом. Вычис-
Вычислив 19°) релятивистское изменение массы К -электронов в гомологичных
'•*) РшиП И/. Uber die Gesetzma0igkeiten del anomalen Zeemaneffeku. - Zeiuchrift
liirPhyiik. 1923, Bd16, S. 155-164; In: Collected Paper! [164], v. 2, p. 151-160.
1 " *) Паули В.О закономерностях аномального эффекта Зеемаиа.—В кн.: Труды по
квантовой теории [26<1, с. 611-620.
'") Pluli И/. Zur Frage der Zuordnung der Komplexitrukturterme in itarken und in
Khwschen 8u0eren Feldern. - Zeitschrift fur Phyiik, 1924, Bd2O, S. 371-387; In: Collected
Paperi [164), v. 2, p. 176-192.
1 ") Паули неоднократно подчеркивал недостаточность такого подхода. "Удов лет-
верительного модельного смысла предложенных закономерностей разыскать не
уделось". См. [1861, с. 164; с. 160.
"*)См. [1В5),с. 214; с. 1074.
'*•) Pluli И/. Uber den Einflu(S der Geichwindigkeitsabhangigkeit der Elektronenmasse
•uf den Zeemaneffekt. - Zeitschrift fur Phyiik, 1925, Bd31, S. 373-385; In: Collected
Papers [154), y, 2. p. 201-213.
"°') Паули В. О влиянии зависимости массы электрона от скорости на эффект
Эаемана. — В кн.: Труды по квантовой теории [26*1, с. 634—644.
141
элементах, Паули нашел, что отношение магнитного момента к моменту
импульса, указываемое теорией остова, следует умножить на поправочный
фактор 7, равный величине A -v2/c2) , усредненной по времени полного
оборота электрона. Он получил спедующие значения: для Ва (Z = 56)
у = 0,924, для Hg (Z =80) у = 0,817, а для Tl (Z = 81) у = 0,812. Как видно
из этих результатов, упоминавшееся выше отношение (т.е. обратное гиро-
гиромагнитное отношение) согласно теории остова должно быпо медленно
убывать с ростом атомного номера; поэтому фактор Ланде д и зеемановс-
кое расщепление должны были зависеть от атомного номера, но этот вывод
расходился с экспериментом.
Поскольку существование подобной зависимости можно было отверг-
отвергнуть с абсолютной уверенностью и поскольку исключительное положение
/(-оболочки (которая, в противоположность всем другим заполненным
оболочкам, согласно теории остова должна была обладать ненулевым
моментом) было совершенно необъяснимо, Паули отказался от предполо-
предположения о том, что внутренняя замкнутая оболочка влияет - внося вкладе
момент остова — на мультиплетную структуру оптических спектров и их
зеемановское расщепление. "Поэтому мы склонны, — писал он '''), -
подвергнуть сомнению справедливость утверждения, согласно которому
сложная структура спектров и аномальный эффект Зеемана обусловлены
моментом остова с конфигурацией благородного газа".Предположив, что
для замкнутой оболочки и момент импульса, и магнитный момент обраща-
обращаются в нуль, Паули заключил, что в случае атомов щелочных элементов
как момент импульса атомов, так и изменение их энергии во внешнем
магнитном поле обусловлены только валентным электроном. "В частности,
момент импульса атомов щелочных элементов и изменение их энергии
во внешнем магнитном поле следует считать обусловленными по существу
исключительно действием оптического электрона, в котором также следует
видеть источник магнитомеханической аномалии. Согласно этой точке
зрения, дублетная структура спектров щелочных элементов, равно как
и отклонения от теоремы Лармора обусловлены некой своеобразной
двузначностью, не поддающейся классическому описанию ("eine eigentilm-
liche, klassisch nicht beschreibbare Art von Zweideutigkeiten") в квантово-
теоретическом описании оптического электрона" ' *2).
Итак, Паули показал, что теория остова с релятивистскими уточнениями
не согласуется с опытом. В этой связи, вероятно, стоит вспомнить, что на
протяжении всего времени, прошедшего с тех пор, как 20-летний Паули по
просьбе Зоммерфельда написал обширную статью по теории относительнос-
относительности дпя Encyklopadie der mathemat ischen Wissenschaften ' 93), он не только
прекрасно знал эту теорию и ее методы, но и был пылким сторонником ее
основных принципов, безоговорочно их разделяя. На самом деле, именно
глубокая убежденность Паули в абсолютной справедливости теории относи-
относительности позволила ему отбросить общепринятую теорию остова и тем
самым подготовить почву для понятия спина.
>»ЧСм. [190), с. 383; с. 211.
'•»> Там же, с. 385; с. 213.
lfl) Pauli W. Relativitatitheohe. - In: Encyklopadie der mathematischen Wiiienjchaf-
ten. - Leipzig. Teubner. 1921, Bd5, Teil 2. S. 539-775; The Theory of Relativity (with
"Supplementary Notes by the Author"). - N.Y.: Pergamon Ргеи, 1968; In: Collected Papers
1164], w.1, p. 1-263.
'•••) Паули В. Теория относительности. - М.:Наука. 19В2. Дополнения автора
к английскому изданию 1958 г. частично переведены в кн.: Теоретическая физика
XX века. - М.: ИЛ. 1962. с. 413-431.
142
Осенью 1924 г., как раз в то время, когда Паули выдвинул эти аргумен-
аргументы против теории магнитного остова, появилась классическая статья
К. Стонера "Распределение электронов по атомным уровням94), которая
дала важный толчок работам Паупи. Для лучшего понимания дел в то
¦ремя стоит вспомнить некоторые детали, связанные с теорией оболо-
чечного строения атома.
Поскольку из оптических спектров можно извлечь информацию только
о процессах, происходящих во внешних частях атома, и поскольку изучение
строения атома следовало начинать с внутренних областей, чтобы пролить
свет на процесс "застройки", было вполне естественно, что начало теории
обопочечной структуры положили исследования рентгеновских спектров,
наиболее важного источника информации о внутренней структуре атома.
В 1911 г. Баркла195) ввел обозначение К-, L-, . . . "серий излучения".
Двумя годами позже Мозли196) опубликовал результаты своего извест-
известного эксперимента, позволившие утверждать, что "каждый элемент от
алюминия до золота характеризуется целым числом N. определяющим его
рентгеновский спектр... причем это целое число N, атомный номер элемента,
отождествляется с числом положительных единиц электричества, содержа-
содержащихся в атомном ядре....", а также, что "частота всех линий, в рентгеновс-
рентгеновском спектре приблизительно пропорциональна A (N— bJ, где А и о - пос-
постоянные".
Когда вскоре после этого Коссель |97) объяснил эти экспериментальные
результаты на основе воровской модели атома, он связал уровни энергии
по Баркпа с различными группами электронов в атоме, и с тех пор буква-
буквами АС, L.M,... обозначают также и различные группы — оболочки — электро-
электронов в атоме. Согласно теории Коссепя испускание характеристических
рентгеновских лучей обусловлено переходами электронов с более высоких
квантовых орбит на вакансии, образовавшиеся при выбивании внутренних
электронов; тем самым его теория объясняла тот факт, что — в противопо-
противоположность оптическим спектрам — характеристические рентгеновские линии
проявлялись только в спектрах испускания, но никогда не проявлялись
в спектрах поглощения. Как очевидно, теория Косселя уже основывалась
на утверждении, явно, впрочем, не выраженному, что каждой внутренней
орбите или оболочке присуще некое максимальное число электронов и
что каждая оболочка становится особенно стабильной тогда, когда ее
заполняет это максимальное число электронов.
Приемлемая теория построения всей периодической системы элементов
была создана главным образом благодаря Бору, которому удалось сделать
это в начале двадцатых годов, базируясь на своих предыдущих исследова-
¦*4) Stoner E.C. The distributions of electrons among atomic levels. - Philosophical
Magazine, 1924 (Oct. 1), v. 48, p. 719-726.
>•') Bark la C.C. The spectra of the fluorescent RBntgen radiations.- Philosophical
Magazine, 1911, v. 22, p. 396-342. В более ранней статье (Phenomena of RBntgen-ray
transmission. - Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 1909, v. 15, p. 257-268)
Беркла обозначил первые две серии буквами А и В; эту симаопику он изменил в
1911 г., заметив: "Предпочтительнее, однако, использовать буквы /Си/., так как
весьма вероятно, что существуют серии линий квк более проникающих, так и более
поглощаемых". См. примечание на с. 406 его статьи 1911 г.
1 •• I Moseley H.C.J. The high-frequency spectra of the elements. - Philosophical Magazi-
Magazine, 1913, v. 26, p. 1024-1034; 1914, v. 27, p. 703-713.
1 •') Kossel W. Bemerkung zur Absorption homogener RcSntgenstrahlen. — Verhandlungen
der Oeutschen Physikalischen Geseilschaft, 1914, Bd16, S. 808-909, 953-963; Bemerkun-
gen zum Seriencharakter der Rontgenspaktren. — Ibid., 1916, Bd18, S. 339—359.
143
ниях. В 1921 г. Бор |98), в согласии с представлениями Косселя, предло-
предложил следующее распределение электронов. Говоря о замкнутых оболочках
инертных газов. Бор утверждал: "Для атомов этих элементов мы можем
ожидать, что их структуры описываются символически следующим обра-
образом: гелий B|), неон Bi 82), аргон B, 82 83)..., где большими цифрами
обозначено число электронов в группах, начиная с самой внутренней, а
мелыми цифрами — полное число квантов, характеризующее орбиты элек-
электронов в каждой группе".
Используя все сведения, которые могли дать в то время физика и химия,
и прибегая неполовину к теоретическим, наполовину к эмпирическим
методам, Бор и другие исследователи выдвинули и более подробные схемы
распределения. Прежде всего, конечно, попытались ввести в рассмотрение
также азимутальное квантовое число к. Из условия 0 <к < л следовало, что
К -термы, т.е. энергетические термы, соответствующие л = 1 и к = 1, являют-
являются синг летными, /.-термы, соответствующие п = 2 и к = 1 или 2, —дублетны-
—дублетными (которые, как мы видели, в случае чисто кулоновского поля должны
оставаться нерасщепленными), Af-термы — триплетными и т.д. Но из енелиза
рентгеновских спектров следовало, что /.-термы являются триплетными,
Af-термы - квинтетными и т.д. Поэтому было очевидно, что для классифи-
классификации электроне*» на орбите двух квантовых чисел пик недостаточно.
Введя внутреннее квантовое число '")/«/ + !4 », которое — для дубле-
дублетов - равно к или к - 1 (или s-термов / всегде равно к) Ланде в 1922 г.
предложил схему }0°), согласно которой каждому подуровню приписывал-
приписывался единственный набор трех квантовых чисел л, к, / « п, I + 1, / + % »:
n
к
i
К
1
1
1
Ц
2
1
1
L
<-¦¦
2
2
1
'-111
2
2
2
Mt
3
1
1
**ll
3
2
1
A*
Mill
3
2
2
*»IV
3
3
2
3
3
3
Тек, непример, для электронов на подуровне L м имеем л=2, Аг « 2 и / = 1.
Для распределения электронов по различным оболочкам принималась
схеме, предложенная Бором и Костером201). Представление об этой
схеме дает теблица не с. 145 (для наших целей достаточно привести только
самое начало таблицы).
Но между тем были выполнены тщетепьные исследования рентгеновских
полос поглощения и точные измерения относительных интенсивностей
рентгеновских линий (например, линии Ко , соответствующей переходу
*-Ш "*f. и линии Каз1 соответствующей переходу ?.ц -*К), откуда можно
было извлечь дополнительную информацию. Результаты этих экслеримен-
ltb) BohrN. Atomic structure. -Nature, 1921, v. 107, p. 104-107.
"")Бор Н. Строение атома. - В кн.: Избранные научные труды, т. 1 I1.111-],
с. 2В5-292.
'••(Для удобства читателей, которые захотели бы обратиться к оригинальным
статьям*, приводятся принятые там обозначения, а в мойных угловых скобках — совре-
современные обозначения.
!>ol Landa A. Zur Theorie der Rontgenspektren. - Zeitschrift fur Physik. 1922, Bd16,
S. 391-395.
10') Bohr N.. Coster D. Ro'ntgenspektren und periodisches System der Elemente. —
Zietschrift fur Physik, 1923, Bd 12, S. 342-374.
101 •) Sop H., Костер Д. Рентгеновские спектры и периодическая система элемен-
элементов. - В кн.: Бор Н. Избранные научные труды, т. 1 [1.111»), с. 453—481.
144
roe, которые проводились главным образом де Бройлем и Дрвийе202),
оказались несовместимыми с предполагаемым распределением электронов.
Полное согласие между теорией и экспериментом было достигнуто только
после того, как Стонер выдвинул свою схему распределения электронов
в той самой статье, которая оказалась так важна для работы Паули. Схема
Стонера. даже до того, как она была формально подтверждена квантовой
механикой, была воспринята как значительный шаг вперед по сравнению
со схемой Бора. Зоммерфельд, который сразу после появления схемы Сто-
Стонера стал ее пропагандировать и использовать как в научных статьях, так
и в последующих изданиях своей книги "Строение атома и спектры", в
1925 г. так оценивал ее достоинства: "Будучи основана на неопровержимых
сведениях о числе и порядке следования рентгеновских уровней и связан-
связанных с ними квантовых чисел, схема Стонера вызывает гораздо больше до-
доверия, чем схема Бора. Ей присущ скорее арифметический, чем геометрико-
мехенический характер; не предполагая какой-либо симметрии орбит,
она использует не некоторые, а все доступные данные рентгеновской спект-
спектроскопии03).
1
2
3
4
10
11
H
Не
Li
Be
Ne
Na
i
2
2 1
2 2
2 4 4
2 4 4 1
В чем же состояла идея Стонера и его "арифметический" подход? Говоря
о классификации Ланде, Стонер отметил: "Число электронов в каждой
завершенной оболочке равно удвоенной сумме внутренних квантовых
чисел, приписанных подуровням, так что при заполнении оболочек на К-.
L-. M-.N-уровнях оказывается2,8 (=2 + 2 + 4), 18 (=2 + 2 + 4+4 + 6),...
электронов. Предположим, что число электронов, связанных с каждым под-
подуровнем по отдельности, также равно удвоенному внутреннему квантово-
квантовому числу04). Итак, согласно Стонеру, который обозначал азимутальное
квантовое число через ки а внутреннее квантовое число — через к2, на под-
подуровне L\, который характеризуется квантовыми числами п = 2, к{ - 1 и
кг = 1 « п = 2, / = 0, / = Vi», находится 2кг = 2 электрона, на подуровне
L\\, для которого /7 = 2,*! = 2 и кг =1, находится 2к2 = 2 электрона, а на
подуровне Lin с п = 2, *, = 2 и к2 = 2, находится 2кг = 4 электрона, что
разительно отличается от распределения Бора, предложенного им в обзор-
обзорной статье205), появившейся в 1923 г. Схему Стонера отличала от схемы
Бора ббльшая концентрация электронов во внешних подгруппах и связан-
связанное с этим заполнение внутренних подгрупп на более ранней стадии. Пол-
I0>) De Broglie L., Dauvillier A. Le systeme spectral des rayons Rontgen et structure
de I'atome. -» Journal de Physique, 1924, v. 5, p. 1—9. Dauvillier A. Sur le distribution des
electrons errtre les niveaux L des elements. - Comptes Rendus, 1924. v. 17B, p. 476—479.
10'I Sommerfald A. Zur Theorie des periodischen Systems. - Physikalische Zeitschrift,
1925, Bd 26, S. 70-74.
204> Cm. [194], с 722.
'"^BohrN. LinienipeVtren und Atombau. - Annalen der Phytik. 1923, Bd 71, S. 22B-
288. См., в частности, таблицу на с 260.
10. М. Джеммер 145
Нов ЧИСЛО S; P; d; . . . ЭЛвКТроНОВ В К8ЖДОЙ обОЛОЧКв — ДРУГИМИ СЛОВ8МИ,
максимальная "емкость" оболочки для подобных электронов - давалось,
как и в схеме Бора, числом 4?, - 2 « 2B/ + 1)», поскольку было справед-
справедливо соотношение 2 Т,к7 -Акх -2.
Как с научной, так и с исторической точек зрения интересно отметить,
что предложения Стонера, по крайней мере, частично, выдвигались ранее
на основании чисто химических соображений. В самом деле, за шесть меся-
месяцев до появления статьи Стонера в "Журнале общества химической про-
промышленности" была опубликована статья Мэй на Смита206), в которой тот
не только высказал убежденность в том, что в отличие от первоначальной
схемы Бора, "двухквантовая группа или /.-уровень состоит по меньшей
мере из трех уровней, трехквантовая группа или М-уровень состоит из пяти
уровней", но и на основании химических данных пришел к детальному
распределению электронов, аналогичному стонеровскому. И все же статья
Стонера была не только ближе физикам, которые редко читали (если
вообще читали) официальный орган Общества чистой и прикладной химии
(Лондон), но и важнее, чем статья МэйнаСмита, так как связывала распре-
распределение электронов с проблемой структуры мультиплетов. Именно этот
аспект работы Стонера привлек внимание Паули - не считая того, что в ней
оспаривалась только что упоминавшаяся обзорная статья Бора207), одна
из тех работ, в издании которых на немецком языке Бору в Копенгагене
помогал именно Паули. Для Паули наиболее стимулирующим было замеча-
замечание Стонера о том, что "удвоенное внутреннее квантовое число дает наблю-
наблюдаемую мультиплетность терма, обнаруживаемую спектром в слабом маг-
магнитном поле .. . Другими словами, число возможных состояний системы
(остов + электрон) равно удвоенному значению внутреннего квантового
числа, причем эти 2/ состояния всегда возможны и равновероятны, но
проявляются по отдельности только в присутствии внешнего поля08),
равно и как цитировавшееся ранее утверждение Стонера: "число электро-
электронов, связанных с каждым подуровнем по отдельности, равно удвоенному
внутреннему квантовому числу к2", которое Паули позже сформулировал
следующим образом: "при заданном значении главного квантового числа
число энергетических уровней отдельного электрона в спектрах щелочных
металлов во внешнем магнитном поле совпадает с числом электронов в
замкнутой оболочке благородных газов, соответствующей этому главному
квантовому числу09).
Замечания Стонера привели Паули поистине к далеко идущим выводам.
Приняв предположение Стонера о том, что число стационарных состояний
в магнитном поле при заданных п, кt и Аг2 равно 2к, « 2/ + 1», и введя
в рассмотрение вдобавок к квантовым числам п, к, и кг еще квантовое
число т, {(rrij », необходимое для описания компоненты момента импуль-
импульса в направлении поля, Паули понял, что оболочечная структура атомов
находит естественное объяснение, если приписать каждой возможной орби-
орбите (состоянию) четыре квантовых числа, п, к,, кг и т, « п. /,/, m; >>, при-
""I Main Smith J.D. Atomic structure. — Journal of the Society of Chemical Industry
(Review). 1924, v. 43, p. 323-325,437,490, 548-549. См. также его письмо в редакцию
("Distribution of electrons in atoms". - Philosophical Magazine, 1925, v. 50, p. 878 - 879),
где он отстаивает свой приоритет и заявляет, в частности: "Мой приоритет приз-
признан как на континенте, так и в Америке, а на родине мою работу даже не цитируют
в статьях, публикуемых в вашем журнале".
3011 См. [2051.
10 Ч См. [194], с. 725.
"М См. A84), 1947,с. 13-14.
146
чем -{к2 - У,) <m, < (*: - У,) <( -/ <m, </»,и принять, что каждое
из этих состояний разрешено занимать только одному электрону.
Действительно, как указал Паули, при этих предположениях на под-
подуровне с данными п, кх и*2 может располагаться
(*2 - '/») + (*2 - %) + 1 = 2к2 «2/ + 1 »
электронов, как и предлагал Стон ер - в отличие от Бора; в подгруппе с
данными п и кх содержится
«г,
1 2*2=4*2-2 (( S /
*.=*,-l / = /-"/!
электронов; в оболочке с данным п находится
I D*. -2) = 2л2 « "? 2B/ + 1) = 2п2»
к=1 /=0
Электронов, как предлагали и Стонер, и Бор.
Постоянно имея в виду фундаментальный вопрос Бора - почему для
основного состояния атома все электроны занимают самую внутреннюю
оболочку, Паули осознал, что его идея приобретет глобапьный смысл,
•ели принять, что она осуществляется как принцип запрета. Исключая*)
¦оэможность нахождения на орбите (или в состоянии) более чем
одного электрона, как это указывалось выше, этот принцип позволял объяс-
объяснить оболочечную структуру атома и периодичность таблицы Менделеева.
Одна из возможностей проверить принцип, которую сразу же увидел
Паули, состояла в том, чтобы обратиться к случаю триплетных s-термов
для двух "эквивалентных" электронов (т.е. электронов с одинаковыми
я и k t) в атомах щелочно-земельных элементов. В этом случае оба электро-
электрона имели бы одинаковый набор всех четырех квантовых чисел п. к,, к-, и
">i ((n, I, /, rrtj », и поэтому, согласно принципу запрета, появление подоб-
подобных термов недопустимо. Их действительное отсутствие в природе - что
раньше не находило объяснения - по мнению Паули, было разительным
свидетельством справедливости принципа запрета, который в его форму-
формулировке звучал следующим образом: "В атоме никогда не может быть двух
или более эквивалентных электронов, для которых в сильных полях совпа-
совпадали бы все квантовые числа п. kt, кг, т,. Если в атоме существует элект-
электрон, для которого эти квантовые числа (во внешнем поле) имеют опре-
определенные значения, это состояние "занято10). В связи с этой форму-
формулировкой следует напомнить, что физический смысл квантового числа к2
был еще, мягко выражаясь, неясен, и Паули в то время мог определить
четыре квантовых числа только в случае сильных магнитных полей, ког-
де связь между электронами полностью нарушалась. Однако, показав на
*) Поэтому принцип запрета Паули часто называют также принципом исключе-
исключения, fПримеч. ред.)
1le) "Es kann niemals zwwei Oder mahrere Squivalente Elektronen im Atom geben, fur
welche in starken Felden die We(te aller Quantenzahlen n, kx. k2. m, ubereinstimmen.
lit ein Elektron im Atom vorhanden, fur das diese Quantenzahlen (im a'u'0eren Fejde)
Bestimmte Werte haberr, so ist dieser Zustand 'besetrt'" (S. 776). - In: PauliW. Uber
den Zusammanhang des Abschlutfet der Elektronengruppen jm Atom mjt der Komplex-
itruktur der Spektren. - Zeitschrift fur Physik, 1925, Bd 31, S. 765-785; In: Collected
Papers [154]. v. 2, p. 225.
21 "*) Пвупи В. О связи между заполнением группы электронов в атоме и сложной
структурой спектров. - В кн.: Труды по квантовой теории [26*], с. 645—660.
Ю» t47
основании термодинамических соображений2''), что количество состоя-
состояний не меняется при переходе от сильных к слабым полям, Паули смог
установить справедливость принципа запрета и в общем случае. В заклю-
заключение своей статьи Паули выразил надежду, что в будущем более глубо-
глубокое понимание фундаментальных принципов квантовой теории позволит
поставить принцип запрета на более прочную основу. Но пока что он должен
был признать, что "мы не можем дать более глубокого обоснования этоГо
правила12).
При последующем развитии формализма квантовой механики, в особен-
особенности благодаря работам Гейэенберга2'3), Дирака2'4) (кстати, Дирак пер
BbiM ввел представление допустимых волновых функций в виде детерми-
детерминанта, которое после статьи Слэтера2's) стали обычно называть "слэтеровс-
ким детерминантом") и Паули2'6), выяснилось, что суть принципа состоит
в требовании, чтобы для системы тождественных частиц - фермионов пол-
полные функции состояний, учитывающие наличие спина, были антисимметрич-
антисимметричны относительно любой перестановки частиц. Тем самым стало ясно, что
принцип запрета, как и принцип относительности, является не просто од-
одной из теорем физики, но одной из общих "заповедей", определяющих фор-
форму самих физических законов. Поэтому неудивительно, что область приме-
применения этого принципа оказалась необычайно широка, включая оболочечную
структуру атомов, энергии электронов в металлах, химическую валент-
валентность, ферромагнетизм и многие другие явления.
Если не считать работы Генри Маргенау217), философы пока что проя-
проявили мало интереса к принципу запрета, что находится в вопиющем несоот-
несоответствии с их пытливостью по отно^иению к принципу относительности.
Подобное безразличие, как упоминает Маргенау, определенно обусловлено
тем, что принцип запрета был "рожден среди буйства открываемых фак-
фактов", что его следствия казались менее волнующими и парадоксальными,
чем следствия принципа относительности, что проблемы, решаемые с его
помощью, были либо слишком новы, либо слишком стары, чтобы вызвать
волнение. Но есть и дополнительная причина, которую Маргенау, по-види-
по-видимому, упустил иэ поля зрения: требования инвариантности, накладываемые
принципом относительности, вепи к радикальному пересмотру таких освя-
освященных традицией концепций, как пространство и время, тогда как соот-
2'' ) По существу они сводились, конечно, к инвариантности статистических весов
квантовых состояний.'
'") См. [210], с. 776. Четырнадцатью годами позже, перед отъездом в Приметой
из Цюрихе, Паули вывел принцип запрета в рамках теории поля как следствие реля-
релятивистской инваривнтности. См. его статью: The connection between spin and statis-
statistics. - Physical Review, 1940, v. 5B, p. 716-722; - In: Collected Papers [154), v. 2, p. 911-
91В. [Паули В. Связь между спином и статистикой. — В кн.: Труды по квантовой тео-
теории. Статьи 192В-1955. - М.: Наука. 1977, с. 354г-366. - Примеч. пер.)
1'' I Heitenberg W. MehrkBrperproblem und,,Resonanz in der Quantenmechanik. -
Zeitschrift fiir Physik, 1926, Bd 38. S. 411-426; Uber die Spektra von Atomsystemen mit
zwei Elektronen. - Ibid.. 1926, Bd 39, S. 499-51B.
11 *) Dine P.A.M. On the theory of quantum mechanics. — Proceedings of the Royal
Society of London (A), 1926, v. 112, p. 661-667.
1 "• Slater J.C. The theory of complex spectra. - Physical Review, 1929, v.34,
p. 1293-1322.
"*) PauliW. Uber Gasentartung und Paramagnetismus.- Zeitschrift fur Physik. 1927.
Bd41,S. B1-102; In: Collected Papers [154), v. 2, p. 284-305.
1' "*) Margenau H. The exclusion principle and its phiknophical importance. — Philotophy
of Science, 1944, v. 11, p. 1B7—208. Ср. также Мшгдепаи Н. The Nature of Physical Reali-
Reality. - N.Y.: Mcdraw-Hill, 1950, p. 427-447.
148
•етствующие требования принципа запрета, скажем, для фермионов —
постулирование антисимметричности волновых функций, не представля-
представлялись имеющими большое значение для физического или философского
смысла этих функций per se *). Обсуждение связи между принципом Паули
и 'принципом причинности, проведенное Маргенау, и сегодня заслуживает
внимательного изучения со стороны каждого физика, которого интересуют
основы науки.
В дополнение к упоминавшейся выше классификации электронов в ато-
атоме по квантовым числам п, к{, к2 им,, Паули в качестве альтернативной
возможности в случае сильного магнитного поля предложил заменить к2
на магнитное квантовое число т2, которое характеризовало (в соответ-
соответствующих единицах) энергию магнитного взаимодействия атома с внешним
полем. Таким образом, Паули показал, что возможно не только определить
максимальное число вакансий в атомных оболочках, но и предсказать —
с помощью полного момента импульса в направлении поля Em, и полной
энергии магнитного взаимодействия с внешним полем Ът2 — тип мульти-
плетов, которые должны соответствовать имеющемуся числу электронов
с данными п и к\. Для дублетов щелочных металлов полный момент им-
импульса / атома (в единицах Л/2л) равен к2 - %, и поскольку к2 = кх или
кг=к[ -1,то/=*| - 'А или/ » к| - V2, т.е .в современных обозначени-
обозначениях, / = / + s, где s = ± У>. Кроме того, Паули показал, что в сильных полях
компонента полного момента импульса в направлении поля равна mt + ms
(в современных обозначениях), тогда как энергия взаимодействия (в еди-
единицах /лвН) равна m/ +2ms. Здесь т/ представляет компоненту орбиталь-
орбитального момента / в направлении поля, am, = ± %. Поскольку, как мы видели,
Паули связывал s нес остовом, как это делалось ранее, а с самим валент-
валентным электроном и его "двузначностью, не описываемой классически",
ему, казалось бы, было просто приписать электрону внутренний момент
импульса ms = ± % (в единицах Л/2л) и соответствующий внутренний маг-
магнитный момент 2т, (в единицах juB). Вопрос о том, почему же исторически
не Паули первым сделал эти предположения, был внимательно изучен Ван-
дер-Варденом, к статье218) которого мы и отсылаем читателя, интересую-
интересующегося дальнейшими подробностями.
Так или иначе, если статья Стонера о распределении электронов сыграла
важную роль в открытии принципа запрета, то, в свою очередь, статья Паули
о принципе запрета повлияла на открытие спина. Действительно, концепция
вращающегося (spinning) электрона была выдвинута (только для того,
чтобы быть отвергнутой) Кронигом и позднее, так сказать, переоткрыта
Гаудсмитом и Уленбеком под влиянием работы Паули.
В январе 1925 г. Р. Крониг, бывший в то время стипендиатом Колум-
Колумбийского университета (США), приехал в Тюбенген, тогдашнюю спектро-
спектроскопическую Мекку, чтобы поработать с Ланде, Герлахом и Баком219).
Панде только что получил "большое и очень интересное письмо" от Паули с
подробностями о принципе запрета и введении четырех квантовых чисел.
*) Само по себе, в чистом виде (лег.)
"*> Van der Waerden B.L. Exclusion principle and spin. - in: Theoreticel Physics in
Twentieth Century/ed. M. Fierz, V.F. Weisskopf. - N.Y.: Interscience. 1960, p. 199-244.
21 •*) Ван-двр-ВардемБ.Л. Принцип запрета и спин. — В кн.: Теоретическая физи-
физика XX века. - М.: И Л, 1962, с 231 -284.
2' * I Kronig й. de L. Tha turning point. - Ibid., p. 5 et seq.
3' ¦ *) Крониг Р. Переломные годы. — В кн.: Теоретическая физика XX века [21В«],
с. 15-52.
149
Когда Крониг увидел это письмо и прочитал замечания Паули о моменте
импульса /' с возможными значениями / + % и / - Уа, ему сразу же пришпо
в голову, что разница между полным моментом импульса/ и орбитальным
моментом импульса / "может рассматриваться как внутренний момент
импульса" электрона. Крониг предположил также, что этому внутреннему
моменту импульса, который он объяснил динамически как обусловленный
вращением электрона вокруг своей оси, сопутствует магнитный момент
величиной в один боровский магнетон. В тот же день он проверил свои но-
новые идеи, вычислив дублетноа расщепление тонкой структуры спектров
щелочных металлов. Величина этого расщепления, составляющая, напри-
например, 6 А для компонент D-пинии в спектре натрия, была в то время совер-
совершенно непонятна. Использовав тот факт, что согласно преобразованиям
Лоренца для компонент электромагнитного поля электростатическое поле
в неподвижной системе координат, связанной с ядром, вызывает появле-
появление магнитного попя в мгновенной системе координат, в которой электрон
покоится, он вычислил энергию взаимодействия между внутренним магнит-
магнитным моментом электрона и индуцированным магнитным попем. Эта
энергия, конечно, с точностью до множителя, равнялась скалярному
произведению орбитального момента и вектора спина, и Крониг нашеп, что
дублетное расщепление пропорционально четвертой степени эффективного
заряда ядра ипи, точнее, произведению квадратов экранированных зарядов
ядер внутри и вне атомного остова. Его результат полностью соответство-
соответствовал опыту, а также полуэмпирическому "релятивистскому правилу расщеп-
расщепления" Ланде220), но расходился с теорией магнитного остова, согласно
которой расщепление должно было увеличиваться пропорционально лишь
тратьей степени эффективного заряда ядра.
Обнадеженный этим качественным совпадением, Крониг решил подверг-
подвергнуть свою гипотезу количественной проверке, применив ее для интерпре-
интерпретации простейшего спектра - спектра водорода ипи водородоподобного
атома. Но при этом возникла серьезная концептуальная трудность, ибо
релятивистское (без спина) рассмотрение спектра по Зоммерфельду, как
мы видели, прекрасно объясняло наблюдаемую тонкую структуру подоб-
подобных спектров. Поэтому предположение о дополнительном спин-орбиталь-
спин-орбитальном расщеплении могло лишь нарушить это согласие, если только не уда-
удалось бы показать, что по каким-то причинам релятивистскую формулу
Зоммерфельда (см. формулу C.4) на с. 101) можно интерпретировать
как результат взаимной компенсации спин-орбитальной связи и ралпти-
вистской прецессии электронной орбиты в ее плоскости. Нарушение прави-
правила отбора Ак = ± 1, отмечавшееся на с. 102, а также хорошо установленное
правило отбора Д/ = ± 1 или 0 для внутреннего квантового числа и ряд
других аргументов231) позволяли предположить, что азимутальное кван-
квантовое число к в формуле Зоммерфельда C.4) следует заменить на /' + Уа.
Поэтому Крониг попытался проверить, не накладывается ли новый эффект
на тонкую структуру, рассчитанную Зоммерфельдом таким образом, что
при любом данном / два энергетических уровня с / = / + 14 и / =/ — 14 сов
'J") Lands A. Die absoluten Intervalle der optischen Dubletti und Tripletts. - Zeit-
schrift fur Physik, 1924. 8d25, S. 46—57. Более подробное рассмотрение этих реляти-
релятивистских или "регулярных" дублетов, равно как и "нерегулярных" дублетов и их связи
с рентгеновской спектроскопией см. в работе: Rubinowicz A. Ursprung und Entwicklung
deralteren Quantentheorie. — In: Handbuch der Physik/ed.A. Smekal. — 2 Aufl. — 8erlin:
Springer, 1933; Ann. Arbor, Mich.: Edwards Brothers, 1943, Bd 24.
2 2 'I Slater J.C. Interpretation of the hydrogen and helium spectra. — Proceedings of
the Washington Acedemy of Sciences, 1925, v. 11, p. 732—738.
150
Падают. Действительно, полагал Крониг, только подобное вырождение мог-
могло привести "к тому же числу и расположению энергетических уровней,
как и предсказываемые в первоначальном рассмотрении Зоммерфельда"
Но его попытка получить подобное согласие не увенчалась успехом: ре-
эупьтаты вычислений всегда давали величину, ровно в два раза большую
Того, что требовал эксперимент. Кроме того, простой расчет показал, что
точка на поверхности вращающегося электрона, имеющего классический
радиус и обладающего внутренним моментом импульса />/4тг, обязана
двигаться со скоростью, во много раз большей скорости света. Наконец,
Паули, Крамере и Гейзенберг, с которыми Крониг обсуждал свою гипотезу,
также не согласились с ней, и Крониг решил не публиковать ее. Итак, хотя
атом без каких бы то ни было колебаний уподоблялся миниатюрной сол-
солнечной системе, к предположению Кронига о вращающемся электроне
отнеслись как к довольно странной и необычной идее; по воспоминаниям,
Паули назвал ее "вполне остроумной идеей" ("ein ganz witziger Einfall").
По-видимому, основная причина отказа от гипотезы спина заключалась
¦ релятивистском запрете скоростей, превышающих скорость света.
Хотя, насколько нам известно, Крониг был первым, кто использовал
понятия спина и внутреннего магнитного момента для объяснения спект-
спектров, сама идея магнитного электрона была не нова. Действительно, 10-ю
годами раньше Парсонс223) в своей умозрительной теории магнетонов
рассуждал о существовании внутренне магнитных элементарных частиц,
¦ращающихся вокруг своей оси с таким моментом импульса, что "скорость
на окружности" частиц равна скорости света. В 1921 г. А. Комптон333),
изучая интенсивность рентгеновских лучей, отражаемых от поверхностей
кристаллов, обнаружил, что изменение распределения электронов на по-
¦архности под действием магнитных полей не влияет на эту интенсивность.
На этом основании он полагал, что вряд ли удастся избежать заключения,
согласно которому "элементарным магнитом не является атом как
целое . .. Поскольку же ни молекула, ни атом не дают удовлетворительно-
удовлетворительного объяснения экспериментов, напрашивается мнение, что первичной маг-
магнитной частицей является нечто' внутри атома, по-видимому, электрон".
В конце статьи Комптон указывал; "Итак, я склоняюсь к заключению, что
сам электрон, вращающийся подобно миниатюрному гироскопу, по-види-
по-видимому, является первичной магнитной частицей". Очевидно, Комптон
никогда не использовал свою гипотезу для анализа аномального эффекта
Зеемана, скорее всего потому, что его вряд ли когда-либо всерьез интересо-
интересовала спектроскопия как таковая. Но даже если бы он и пошел на это, ему,
по-видимому, не удалось бы достичь удовлетворительного объяснения,
так как глубокий анализ Ланде тогда еще не был опубликован.
Но необходимость введения дополнительной степени свободы для элект-
электрона острее всего ощущалась -именно в спектроскопии и, в частности, при
интерпретации дублетов в спектрах щелочных металлов. Хотя, как упоми-
упоминалось ранее, это дублетное расщепление формально можно было довольно
11г) Parsons A.L. A magneton theory of the structure of the atom. - Smithsonian
Miscellaneous Collections, 1915, v. 65, No. 11.
JJ3I Compton AH. The magnetic electron. - Journal of the Franklin Institute, 1921,
v. 192, p. 145-155. Эта статья базируется на докпаде, сделанном 27 декабря 1920 г. на
мседании Американской ассоциации содействия развитию науки (American Association
•or the Advancement of Science). См. также статью Комптона: Possible magnetic polarity
Of free electrons. -Philosophical Magazine, 1921. v. 41, p. 279-281. Вывод о том, что
"электрону присуще вращение", Комптон сдапап еще в 1919 г., изучал рассеяние рент-
рентгеновских пучей. См. [4.20].
151
хорошо объяснить с помощью релятивистского подхода Зоммерфельда,
лежавший в основе этого подхода релятивистский механизм вряд ли мог
действовать. Действительно, такой механизм предполагал наличие орбит
с радикально различающимися эксцентриситетами, тогда как Милликен
и Боуэн показали, что согласно самым разнообразным данным обеим ком-
компонентам дублета следовало приписать одно и то же значение азимутального
квантового числа. Поэтому в начале 1924 г. Милли кен и Боуэн написали:
"Единственный способ, по-видимому, позволяющий избежать упомянутых
серьезных трудностей, состоит в том, чтобы нацело отбросить релятивитст-
ское объяснение "релятивистского дублета" и предположить, что удиви-
удивительный успех этой релятивистской формулы ... обусловлен совсем не
различием в форме эллиптических и круговых орбит, как принимается
релятивистской теорией дублетного расщепления, а обусловлен тем, что
существует какая-то иная причина, которая чисто случайно приводит к той
же самой релятивистской формуле, не нуждаясь на самом деле в реляти-
релятивистских концепциях24). Потребность в дополнительной степени свобо-
свободы ясно звучит в их заключительных замечаниях: "... следует найти какой-
то способ позволить двум орбитам, имеющим ту же форму (одинаковые
азимутальные квантовые числа), но разные ориентации (различные внут-
внутренние квантовые числа), обладать сильно различающимися между собой
константами экранирования, т.е. совершенно различными энергиями. Это,
по-видимому, потребует введения некой асимметрии, в атомных моделях
вплоть до настоящего времени не рассматривавшейся" 23 5).
О том, как в духе работы Паули, Гаудсмит и Уленбек, независимо от Кро
нига, ввели, наконец, четвертую степень свободы электрона, и как это поня
тие стало частью концептуального аппарата современной физики, подробно
рассказал сам Уленбек:
"Гаудсмит и я натолкнулись на эту идею, изучая статью Паули, в которой
был сформулирован знаменитый принцип запрета и электрону впервые
было приписано четыре квантовых числа. Это было сделано довольно фор
мально, и никакого конкретного образа с этим не связывалось. Нам это
было непонятно. Мы столь часто встречались с утверждением, что каждое
квантовое число соответствует одной степа ни свободы, а такжа с представ
лениам о точечном электроне, у которого, как очевидно, было только три
степени свободы, что никак не могли соотнести с чем-нибудь эту четвертую
степень свободы. Мы могли представить ее себе, только предположив, что
электрон имеет вид небольшой сферы, способной вращаться.. .
Некоторое время спустя в работе Абрагама (на которую обратил наше
внимание Эренфест) мы нашли, что для вращающейся сферы с поверх
костным зарядом необходимый нам множитель 2 (в магнитном моменте)
можно выразить классически. Это подбодрило нас, но когда мы нашли, что
скорость вращения на поверхности электрона должна во много раз превы-
превышать скорость света, энтузиазм наш заметно угас. Я помню, что большая
часть этих соображений пришла нам в голову во второй половине дня где-то
в конце сентября 1925 г. Это взволновало нас, но мы даже не помышляли
о какой бы то ни было публикации. Все казалось столь умозрительным и
134I Millikan R.W., Bowen I.S. Some conspicuous successes of the Bohr aiom and a
serious difficulty. - Physical Review, 1924, v. 24, p. 223-22B.
J JS> " . . . some way must be found to permit two orbits which have the same shape
(azimuthal quantum numbers) but different orientations (inner quantum numbers) to pos
ses widely different screening constants, i.e. widely different energies. This would seem
to require the introduction of a dissymmetry not heretofore contemplated into atomic
models". Ibid., p. 228.
152
дерзким, что в чем-то мы должны были ошибаться, тем более что Бор,
Гейзенберг и Паули, величайшие авторитеты в наших глазах, никогда ниче-
ничего подобного не предлагали. Но, конечно, мы рассказали обо всем Эренфес-
ту. Наша гипотеза сразу же произвела на него впечатление, главным обра-
Юм, мне кажется, благодаря наглядному ее характеру, что было очень ему
по душе. Он обратил наше внимание на ряд моментов (например, на то,
что в 1921 г. А. Комптон уже выдвигал представление о вращающемся
•лектроне в качестве возможного объяснения естественной единицы магне-
магнетизма) , и наконец, сказал, что это либо крайне важно, либо бессмысленно
и что мы должны написать короткую заметку для Naturwissenschaften и
передать ему. Он закончил словами: "und dann werden wir Herrn Lorenz
fragen"*), что и было исполнено. Лоренц принял наев своей широко из-
известной, очень доброжелательной манерен отнесся к нашей идее с большим
интересом, но, как мне кажется, и с некоторым недоверием тоже. Он
обещал поразмыслить над ней. И действительно, уже на следующей неделе
он передал нам рукопись, написанную его красивым почерком, в которой
содержались обширные вычисления электромагнитных свойств вращающе-
вращающегося электрона. Мы не во всем разобрались, но было совершенно ясно, что
представление о вращающемся электроне, если его принимать всерьез,
должно было привести к большим затруднениям. Прежде всего, магнитная
энергия быпа бы столь велика, что если исходить из эквивалентности массы
и энергии, то масса электрона была бы больше массы протона, а если при-
придерживаться известной массы электрона, то его размерь! превышали бы
размеры всего атома! И в том, и в другом случае это казалось нелепостью.
И Гаудсмит, и я считали, что лучше бы, наверное, пока что ничего не публи-
публиковать, но когда мы сказали об этом Эренфесту, тот ответил: "Ich habe Ihren
Briefe schon la'ngst abgesandt; Siesind beide jung genug urn sich eine Dummheit
leisten zu konnen!"**).
Таким вот образом идея вращающегося электрона2 2 6) в конечном счете
увидела свет в статье, опубликованной под заглавием "Замена гипотезы
немеханического натяжения на постулат относительно внутреннего поведе-
поведения каждого отдельного электрона227) в номере tNaturwissenschaften от
20 ноября 1925 г. Как видно из названия, авторы намеревались освободить-
освободиться от гипотезы о "немеханическом натяжении", с помощью которой
Бор228) пытался объяснить дублетную структуру. Согласно его предполо-
предположению, связь между валентным электроном и атомным остовом не долж-
должна была рассматриваться как связь между двумя периодическими система-
системами. Вместо этого допускалось, что такая связь - благодаря "неописывае-
мым механически условиям стабильности" - оказывает на остов некое
"натяжение" ("Zwang"), действие которого, хотя и не сводимое к дейст-
*) "А потом мы спросим господина Лоренца" [нем.I.
*") "Ваше письмо я давно уже отправил. Вы оба достаточно молоды, чтобы поз-
позволить cebe сделать одну глупость!" {нем.1.'
12Ь) Uhlenbeck G.E. Oude en nieuwe vragen der naiuurkunde. - Amsterdam: North-
Holland Publishing Co., 1955 Цитировано no Ван-дер-Вардену [21BI. См. также Goods-
mit S.A. Die Entdeckung des Elektronenspins. - Physikalische BfStter, 1965, Bd21,
S 445-453
1J6*) Гаудсмит С. Открытие спина электрона. - УФН, 1967, т. 93, в. 1, с. 151-158.
'"I Uhlenbeck G.E., Goudsmit S.A. Ersetzung der Hypothese vom unmechanischen
Zwang durch eine Forderung bezUglich des inneren Verhaltens jedes einzelnen Elektrons.—
Die Naturwissenschaften, 1925, Bd 10, S. 953-954.
'"-M Cm. [205].
153
вию внешнего сильного поля, позволяет остову принимать две ориентации
вместо одной. Уленбек и Гаудсмит, сославшись на "двузначность, не опи-
описываемую классически", введенную Паули, и на его подход, использующий
четыре квантовых числа, предложили новую интерпретацию вектора Я:
вместо того, чтобы считать, как ранее, что он представляет момент импуль-
импульса остова, они предположили, что Я обусловлен "собственным вращением"
("eigene Rotation") электрона. Чтобы добиться полного согласия теории
и эксперимента, они постулировали также, что "отношение магнитного мо-
момента электрона к его механическому моменту импульса собственного
вращения в два раза больше такового для орбитального движения",
отослав читателя к классическим вычислениям Абрагама229). Авторы от-
отметили также, правда, только в примечании, что их предположение ведет
к "периферической скорости" электрона, во много раз превышающей ско-
скорость света.
Еще раз свои аргументы в пользу введения спина Уленбек и Гаудсмит
изложили в письме330) редактору Nature, к которому Бор добавил не-
несколько строк, свидетельствующих о том, что он принял новые идеи добро-
доброжелательно. Говоря о своей гипотезе, оспариваемой авторами письма, Бор
отметил: "В моей статье была высказана та точка зрения, что упомянутые
трудности неотъемлемо связаны с ограниченными возможностями описать
стационарные состояния атома механической моделью. Представляется,
однако, что положение здесь несколько изменилось благодаря введению
гипотезы о вращающемся электроне, которая, несмотря не неполноту
заключений, могущих быть извлеченными из моделей, обещает стать желан-
желанным дополнением к нашим представлениям о структуре атома... В самом
деле, она открывает перед нами многообещающие возможности для более
широкого объяснения свойств элементов с помощью механических моде-
моделей) по крайней мере на качественном уровне, характерном для применений
принципа' соответствия31).
Оптимистическая реакция Бора все же не открыла дорогу для безогово-
безоговорочного принятия новой гипотезы. Через несколько недель после ее публи-
публикации в Nature Крониг332) в ответном письме вновь привел уже извест-
известные доводы против гипотезы спина и указал еще на одну трудность. Дело
в том, что в августе 1924 г. Паули 233), объясняя сверхтонкую структуру
зеемановского расщепления в тяжелых атомах, ввел предположение о том,
что ядро обладает ненулевым моментом импульса; это предположение
послужило первым "мостиком" между атомной спектроскопией и дина-
динамикой ядра. Поскольку изучение эффекта Зеемана со всей очевидностью
:з*> Abraham M. Principien der Dynamik des Elektrons. - Annalen der Physik. 1903,
Bd 10. S. 105-179.
13°) Uhlenbeck G.E., Goudsmit S. Spinning electrons and the structure of spectra-
Nature, 1926, v. 11 7, p. 264-265.
2") Bohr N. Spinning electrons and the structure of spectra. - Nature, 1926, v. 117,
p. 265.
131 *) Бор Н. Вращающийся электрон и структура спектров,— В кн.: Избранные
научные труды, т. II, [1 175-1, с. 25.
J12I Kronig R.de L. Spinning electrons and the structure of spectra. - Nature, 1926.
v. 117. p. 555.
233I Pauli W. Zur Frage der theoretischen Deutung der Satelliten einiger Spektrallini-
en und ihrer Beeinflu0ung durch magnetische Felder. — Die Naturvvissenschaften, 1924,
Bd 12, S. 741-743; In. Collected Papers [154], v. 2, p. 198-200. D независимом предло-
предложении Гаудсмитаи Бака ввести спин ядра см. статью: Goudsmit S. Pauli and nuclear
spin. - Physics Today. 1961, v. 14, p. 18-21.
154
показывает, говорил Крониг, что электроны неизменно обладают магнит-
магнитным моментом, равным одному магнетону Бора, независимо от того, на
какой орбите или в каком атоме они находятся, следует ожидать, что то
же должно быть справедливо и для электронов, входящих в состав
ядра234). Если же согласно гипотезе спина каждый электрон действитель-
действительно обладает собственным моментом в один магнетон, продолжал Крониг,
то мы не можем не заключить, что магнитный момент ядра имеет тот же
порядок величины, "если только почему-то не оказывается, что магнитные
моменты всех ядерных электронов взаимно погашаются". Но с его точки
зрения в теории эффекта Зеемана не было места для такого дополнительно-
дополнительного момента ядра, а вероятность того, что во всех атомных ядрах магнитные
моменты как раз погашают друг друга, априори очень близка к нулю.
Поэтому Крониг завершил свой ответ словами: "Итак, представляется,
что новая гипотеза просто переводит семейное привидение из полуподвала
в подвал вместо того, чтобы изгнать его из дома".
Однако весной 1926 г. ситуация изменилась: Томасу235) и вслед за ним
Френкелю236) удалось исправить ошибку, которая приводила к появле-
появлению лишнего множителя 2 в расчетах дублетного расщепления. Именно
статья Томасе и правильное значение вычисленного дублетного расщепле-
расщепления побудили в марте 1926 г. принять гипотезу спина даже Паули, который
еще в янвере, разговаривая с Бором, назвал ее "Irrlehre" ("ересью").
С нашей сегодняшней точки зрения упорное сопротивление, оказанное
Паули понятию спине, было совершенно справедливо, равно как и его
первоначальное представление о спине как о "не описываемой классически
двузначности". Сам Паули сказал следующее: "Хотя сначала я сильно сом-
сомневался в справедливости этой идеи, поскольку она носила классический
механический харектер, вычисления величины дублетного расщепления,
¦ыпояненные Томасом, в концеконцов сделали меня ее сторонником. С дру-
другой стороны, мои прежние сомнения, равно как и осторожность выражения
"двузначность, не поддающаяся классическому описанию", были в какой-то
степени оправданы дальнейшим ходом событий, когда с помощью волновой
мехеники Бор смог показать, что спин электрона нельзя измерить в экспе-
экспериментах, описываемых классическим образом (например, с помощью от-
отклонения молекулярных пучков во внешних электромагнитных полях),
и поэтому его следует рассматривать как существенно квантовомеханичес-
коесвойство электрона37).
Все изучавшие современную физику хорошо знают, что годом позже
Паули238) удалось сформулировать в рамках нерелятивистской кванто-
квантовой механики последовательную теорию вращающегося электроне, исполь-
!Э4) До 1932 г., когде были опубликованы работы Чедаика об открытии нейтрона
[Chadwick J. - Nature, 1932, v. 129, p. 312; Proceedings of the Royal Society of Lon-
London (A), 1932, v 136, p.692—708),считалось, что электроны входят в состав ядра.
JJS) Thomas L.H. The motion of spinning electrons. - Nature, 1926. v. 117, p.514
(статья написанв в феврале 1926 г.)
"*) Frenkel J. Die Elektrodynamik des rotierenden Elektrons. - Zeitschrift fur Physik,
1926, Bd 37, S. 243-262. Френкель, получив от Пау'пи черновик статьи Томаса, рассмот-
рассмотрел этот вопрос кек четырехмерную задачу в пространстве Минковского.
*•*•) Френкель Я.И. Электродинамика вращающегося электрона. — В кн.: Френ-
Френкель Й.И. Собрание избранных трудов. - М., П.: Иэд-eo АН СССР, 1958, т. II, с.460-4 76
"') См. [184],1947, с. 15-16.
J3*l PauliW. Zur Quantenmechanik des magnetischen Electrons. - Zeitschrift filr
Physik, 1927, Bd 43, S. 601-623.
155
зуя при этом свои известные спиновые матрицы, и что, как вскоре выяс-
выяснилось, двухкомпонентные уравнения Пауяи являются предельным случаем
знаменитого дираковского релятивистского уравнения для электрона239).
Не столь хорошо известно, впрочем, что часто встречается утверж-
утверждение (обусловленное, вероятно, специфическим ходом исторического
развития), согласно которому "спин является чисто релятивистским эф-
эффектом", несостоятельно. Действительно, было показано240), что после-
последовательную теорию спина V4 с правильным знечением собственного магнит-
магнитного момента можно развить без помощи предположений ad hoc, используя
галилеево-инвариантные, а не обязательно лоренц-инвариантные волновые
уравнения. Впрочем, при этом не описываются спин-орбитальное взаимо-
взаимодействие и дарвиновский член (которые поэтому являются истинными
релятивистскими эффектами). Но утверждение Паули о спине как о "су-
"существенно квантовомеханическом свойстве" продолжает оставаться спра-
справедливым, в чем легко убедиться, рассмотрев предельный случай h -* 0.
Как мы видели, введение понятия спина привело к серьезным концеп-
концептуальным трудностям в рамках старой квантовой теории и пересмотренной
векторной модели, — но оно давало правильные результаты. В этом отно-
отношении понятие спина было очень похоже на многие другие понятия и связи,
для которых старая квантовая теория не могла указать строгих логических
основ, но удивительно хорошо описывала с их помощью атомные явления.
На самом деле описательное содержание старой квантовой теории по боль-
большей части оказалось возможным без труда перенести в новую квантовую
механику как способ представления (хотя и не всеобъемлющего) строгих
теоретических результатов с помощью моделей.
Возвращаясь к развитию старой квантовой теории, напомним, что она
по существу состояла в ограничении классической динамики путем допу-
допущения только тех орбит или состояний, для которых выполнялись кванто-
квантовые условия. Хотя адиабатический принцип Эренфеста в какой-то мере
лишил таинственности природу этих условий, они никогда не получали
более глубокого логического обоснования. Более того, выяснилось, что
область их применимости серьезно ограничена, как это видно из следую-
следующих соображений. По аналогии с методами классической динамики, ис-
используемыми при рассмотрении задачи многих тел, в старой квантовой
теории, в основном работами Бора, Борна, Броуди и Эпштейна, была
развита теория возмущений. Подобный подход казался сначала доволь-
довольно бесполезным, поскольку, в противоположность небесной механике,
где притяжение центрального светила гораздо сильнее возмущений, оказы-
оказываемых планетами друг на друга, в атомной механике силы отталкивания
между электронами по порядку величины близки к силе притяжения их
ядром. Эту трудность, казавшуюся неразрешимой, удалось преодолеть с
помощью той особенности квантовой теории, которая отличает ее от клас-
классической динамики, а именно, с помощью квантовых условий. И все же,
несмотря на успешное развитие внутренне согласованной теории возму-
возмущений, результаты ее применения обескураживали, как было очевидно из
рассмотрения самого простого из возможных случаев - задачи трех тел
13 *I Dine P.A.M. The quantum theory of the electron. - Proceedings of the Royal
Society of London (A), 1928, v. 117. p. 610-624, v. 118, p. 351-361.
>4°) См., например, Galindo A., Sanchez del Rio G. Intrinsic magnetic moment as a
nonrelativistic phenomenon. - American Journal of Physics, 1961, v.29, p. 582—584;
Lavy-Leblond J.M. Non-relativistic particles and wave equations. — to be published;
Thesis. - Paris, 1966 (unpublished).
154
Для нейтрального атома гелия. Бор фактически уже давно оставил надежду
строгое аналитическое изучение многоэлектронных систем. Строго го-
говоря, первым шагом Бора по пути отказа от своего подхода к атомной
динамике как к теории периодических систем было введение им понятия
"проникающих орбит", потребовавшееся для получения качественных ре-
результатов. Из-за сильного взаимодействия с атомным остовом движение
: по проникающей орбите уже не могло рассматриваться как периодический
| процесс. Более того, появление понятия "проникающая орбита" иницииро-
инициировало рассмотрение атома с помощью моделей, а этот метод в дальнейшем
Моем развитии в работах Зоммерфельда и особенно Панде постепенно
„утратил связь с теорией периодических или условно-периодических систем.
[Необходимость введения полуцелых квантовых чисел, появление значения
; / ¦ * - 1 вместо требуемого старой теорией / = *, все еще неясное соотно-
111мние между спин-орбитальным взаимодействием и релятивистской
поправкой в атоме водорода, и, прежде всего, отсутствие какой бы то ни
' было определенной методологии - все это недвусмысленно говорило о том,
что старая квантовая теория может рассматриваться пишь как первый шаг
на пути к созданию еще неизвестной удовлетворительной теории.
Даже такие консервативные физики, как Ми, были согласны с насущной
Необходимостью фундаментального пересмотра классической динамики.
Выступая в 1925 г. во Фрайбурге, Ми241) сказал, что своим началом
квантовая теория - как и ее трудности - обязана попытке "связать физику
вещества с физикой эфира". Далее он сказал: "Следует ожидать, что проб-
проблема вещества не будет разрешена до тех пор, пока принятый ныне принцип
Гамильтона не будет заменен принципом, который сможет стать фундамен-
фундаментом теоретического храма как новой механики, так и новой физики эфира".
Если Ми хотел этим сказать, что в основу новой механики должен лечь
Некий "гибрид" оптики и динамики частиц, то его предсказание определен-
определенно оправдалось. Фактически сам термин "квантовая механика", который
как terminus technicus впервые появился в заголовке статьи Борна
"О квантовой механике42) в 1924 г., был придуман немного ранее и
Обозначал "квантовый механизм связи" или взаимодействия; его употреб-
употреблял Бор, излагая свою попытку использовать подход Крамерса243) для
описания взаимодействия между световыми волнами и электронами при
рассмотрении взаимодействия между самими электронами, т.е. употреблял
для обозначения механической теории, согласующейся с дисперсионной
формулой Крамерса. Зарождение новой квантовой механики, как ее кон-
концептуальных основ, так и методологических приемов, было действительно
ввязано с изучением оптических проблем. Поэтому анализ концептуаль-
14I)A#*»G. Die Grundlagen der Quantentheorie. - Freiburg in Baden: Spreyer und
Kaerner, 1926.
***)BomM. Uber Quantenmechanik. - Zeitschirft fur Physik, 1924, Bd 26, S. 379-
385; In: BornM. Ausgewifhlte Abhandlungen. - Gottingen: Vandenhoek und Ruprecht,
1963, Bd 2, S. 61-77; In: Ookumente der Naturwissenschaft-Abteilung Physik. - Stutt-
fltrt: Battenberg, 1962, Bd2, S. 13—29. Статья Борна была получена редакцией 13ию-
т 1924 г. В книге Борна "Лекции по атомной механик*" [64], законченной в 1924 г.
И основанной на его лекциях в Геттингенском университете в зимнем семестре 1923-
1024 гг., употребляются только термины "квантовая теория" ("Quantentheorie") и
"атомная механика" ("Atommechanik") no аналогии с "небесной механикой" ("Him-
rMlsmechanik"), но кат термина "квантовая механика" ("Quantenmechanik").
г'7") БориМ. О квантовой механике. — В кн.: Размышления и воспоминания
физика A.7*1. с. 133-152.
147)Кптвп Н.А. The lew of dispersion and Bohr's theory of spectra. - Nature,
1924, v.113, p. 673-676.
157
ного развития современной квантовой механики мы должны будем начать
с обсуждения указанных проблем.
Этим мы займемся в следующей главе, а пока что сделаем несколько
замечаний о термине "квантовая механика". В Нобелевской лекции "Ста
тистическая интерпретация квантовой механики" 244), прочитанной 11 д<
кабря 1954 г. в Стокгольме, Борн упомянул, что в его статье 1924 г.2 4 5)
"вероятно, впервые" ("wohl zum ersten Male") появился термин "кванте
вая механика", о чем мы только что говорили. То же утверждение повтори i
Арним Херман в написанной им биографии Борна246). Следует, однако
отметить, что почти тождественное выражение "механике квантов" уж>
использовалось ранее. Так, например, Г.А. Лоренц, выступая 10 декабре
1923 г. в Сорбонне по случаю юбилея Французского физического обществ
с докладом "Старая и новая механика47), сказал: "Все зто очень краси
во и крайне важно, но, к сожалению, не очень понятно. Мы не понимаем
ни гипотезы Планка об осцилляторах, ни запрета нестационарных орбит
и мы не понимаем, как же в конце концов образуется свет согласно
теории Бора. Не подлежит сомнению, что механику квантов, механику дис
кретного, еще предстоит создать48). Мы привели зти слова не только г<
связи с терминологическими изысканиями, но и потому, что высказыва
ние Лоренца выражало то общее настроение, которое преобладало тогд.
среди теоретиков, и ту оценку, которую они давали положению дел с
теоретической физике незадолго до создания квантовой механики.
Обсуждая обстоятельства введения Борном термина "квантовая меха
ника", вероятно, стоит сделать несколько замечаний о его использовании
в данной книге. Мы будем называть "квантовой физикой" тот раздел зкепе
риментальной и теоретической физики, где изучаются квантовые явления
т.е. физические процессы, суть которых определяется постоянной План
ка h, и будем называть "квантовой теорией"ее теоретическую часть. Таким
образом, квантовая теория охватывает "квантовую теорию поля" и "кван
товую механику". Под последней мы здесь и далее будем понимать общую
абстрактную теорию, независимо от ее частного представления в виде
матричной механики или волновой механики. Иными словами, последние
будут рассматриваться как особые формулировки квантовой механики
Ответ на вопрос о том, удовлетворительна ли предложенная терминоло
гия, которая в конечном счете является делом определения, зависит от
принимаемой точки зрения. Те, кто подобно де Бройлю249) и его школе
считает, что первостепенную важность имеют волновые процессы, вероятно,
"*) Born M. Die statistische Deutung der Quantenmechanik. — In: Les Prix Nobel en
1954. - Stockholm. 1955, p. 79-90; In: Ausgewahlte Abhendlungen [242], Bd2.S.43O-
441; In: Dokumente der Naturwissenscheft [242], Bd2. S. 1-12; In: Nobel Lectures. -
Physics A942-1962). - Amsterdam. L.. N. Y.: Elsevier, 1964, p. 256-267.
J44*l Борн М. Статистическая интерпретация квантовой механики (Нобелевская
лекция, прочитанная в Стокгольме 11 декабря 1954.). — В кн.: Физика в жизни моего
поколения [1 166«], с. 301-315.
J4S) См. [242].
14М Dokumente der Naturwissenscheft [242], Bd1,S. 14.
247) Lorentz H.A. L'ancienne el la nouvelle mecanique. — In: Le Livre du Cinquante
nairede la Soci^te Francaisede Physique. — P.: Editions de la Revue d'Optique Theorique ei
Instrumental. 1925, p. 99-114; in: Lorentz H.A. Collected Papers. - The Hague: Man
nus Nijhoff. v. 7, p. 285-302.
J4«) Там же. с 110; с 285-288.
14*l De В год lie L. Non-linear Wave Mechanics - A Casual Interpretation. -Amsterdam
L., NY.. Princeton: Elsevier, 1960. p. 61.
158
припишут волновой механике более высокий статус. Те, кто подобно Лен-
Ленде или, с несколько иных позиций, Макки подходит к квантовой механике
ПО существу как к развитию статистической механики, могут даже возра-
возразить против самого термина. Действительно, Макки писал: "Хотелось бы
подчеркнуть, что в квантовой механике квантовые условия являются де-
дедукцией, а не фундаментальной особенностью формулировки теории.
В этом смысле наименование квантовая механика неудачно. В основном
она представляет собой исправленную версию статистической механики,
¦ которой изучается изменение вероятностных мер во времени, но более
не предполагается, что движение этих мер определяется движением точек
¦ фезовом пространстве. Законы квантовой механики накладывают оп-
определенные ограничения на возможные одновременные вероятностные
распределения различных наблюдаемых величин и дают дифференциальные
уравнения, которые можно проинтегрировать, чтобы узнать, как наблюдае-
наблюдаемые меняются во времени. Все остальное можно вывести из этих зако-
законов50).
lf0) Маскву G.W. Lecture Notes on the Mathematical Foundations of Quantum Phy-
llcs (mineographed). — Harvard University, 1960, p. 95; Mathematical Foundations of
Quantum Mechanics. — N.Y., Amsterdam: Benjamin, 1963, p. 61.
2S0*) Макки Дж. Лекции no математическим основам квантовой механики. — М.:
Мир, 1965.
ГЛАВА 4
ПЕРЕХОД К КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
4.1. Использование квантовых концепций в физической оптике
После зарождения квантовой теории, фактически после планковского
"компромисса" '), на который он пошел перед открытием элементарною
кванта действия, противоречия между волновыми и корпускулярными
концепциями излучения стали выявляться все острее, чему, как мы видели
немало содействовали представления Эйнштейна о квантах света и флуктуа
циях энергии. Квантово-корпускулярная трактовка природы излучения,
на которую первоначально смотрели просто как на рабочую гипотезу или
пользуясь извиняющейся формулировкой Эйнштейна2), как на "эвристи
ческую точку зрения", в конечном счете превратилась в серьезного соперни
ка волновой теории излучения. Эта тректовка оказалась особенно важной
для интерпретации процессов взаимодействия между излучением и вещест
вом, рассматриваемых в физической оптике.
Прочный эмпирический фундамент квантово-корпускулярной точки эре
ния был заложен прежде всего экспериментом Артура Холли Комптона
Для утверждения квантовых воззрений на излучение Комптон сделал ж
меньше, чем сто лет назад Френель для утверждения классической волновой
теории света. Следует, впрочем, заметить, что Френель в своем знаменитом
мемуаре3) 1818 г. теоретически разъяснил экспериментальные исследова
ния Юнга, а Комптон экспериментально подтвердил теоретические заключе
ния Эйнштейна. Поскольку эксперимент Комптона крайне важен для фун
даментальных концепций современной квантовой механики, мы обсудим
его подробнее.
Как недавно указал Бартлет4), основные характеристики эффект..
Комптона качественно были хорошо известны из наблюдений за рассеянием
7-лучей задолго до того, как Комптон начал изучать рассеяние рентгенов
ских лучей. Действительно, еще в 1904 г. Ив51), изучая рассеяние у-излуче
ния радия, нашел, что вторичное и первичное излучения различаются п<
проникающей способности. В 1908 г. Климен6) показал, что коэффициент
поглощения вторичного излучения гораздо выше, чем первичного. Анало
гичные результаты были получены Мадсеном7) и Флоренсом8). Последний
1) См. с. 29 и 55.
М См. A.117).,
) Fresnel A. Memoire sur la diffraction de la lumiere A818). - Memoiresde I'Academ ¦
des Sciences, 1826, v. 5.
*) Bart left A.A. Compton effect: historical backround. — American Journal of Physic
1964. v. 32, p. 120-127.
5) Eve A.S. On the secondary radiation caused by the beta and gamma rays of radium
Philosophical Magazine, 1904, v. 8. p. 669-685.
') Kleeman И.О. On the different kinds of gamma rays of radium and the secondary gan
ma rays which they produce. - Philosophical Magazine, 1908, v. 15, p. 638-663.
')Madsen J.P.V. Secondary gamma radiation. - Philosophical Magazine, 1909. v. 1/
p. 423-448.
*) Florence D.C.H. Primary and secondary gamma rays. - Philosophical Magazine, 191ч
v. 20. p. 921-938.
160
изучел рассеянное излучение с помощью электроскопа, передвигая его по
дуге на постоянном расстоянии от рассеивателя. Эксперименты показали,
что длина волны вторичного излучения зависит от угла рассеяния. В 1912 г.
Сэдлер и Мешем9) нашли, что и для рентгеновских лучей рассеянное излу-
излучение имеет меньшую проникающую способность по сравнению с падаю-
падающим. Точные количественные результаты не могли быть получены, посколь-
поскольку в то время изучить характеристики подобных излучений можно было
только с помощью измерения коэффициентов поглощения.
Общепринятая тогда теория рассеяния высокочастотного излучения была
развита главным образом Дж.Дж. Томсоном10) на основе максвелловской
электродинамики. Согласно этой теории электромагнитная волна, падая на
•том, возбуждает вынужденные колебания электронов; излучение, испус-
испускаемое ускоренными электронами, и есть рассеянное излучение. Как легко
показать" ), интенсивность 10. наблюдаемая не расстоянии г от рассеиветеля
под углом рассеяния 0 относительно первичного пучка интенсивности /,
дается для единичного объеме вещества следующей формулой:
ле4A +cos'0)
где п - число электронов в единице объеме, т и е - масса и заряд электро-
электрона, с - скорость света. Из D.1) видно, что интенсивность рассеянного из-
излучения не зависит от длины волны падающего излучения. Формула D.1)
довольно хорошо описывала эксперименты по рассеянию мягких рентге-
рентгеновских лучей при не слишком малых углах рассеяния, как показали, на-
например, Баркла и Айрс12).
Первым, кто усомнился в справедливости теории Томсона, был Грэй;
кстати говоря, он также первым указал не тождественность природы рент-
рентгеновских и у-лучей. Вновь обратившись к экспериментальным результатам
Мадсена и флоренса, Грэй уже в 1913 г. отметил: "Обычное объяснение
рассеяния гамма-лучей не может быть вполне справедливо... поскольку
выяснилось, что при уменьшении интенсивности первичных лучей с по-
помощью свинца более мягкие рассеянные лучи не обрезаются столь быстро,
как этого следовало бы ожидать" '3) • Грэй также подчеркнул, что "качест-
"качественно и количественно рассеянное излучение приблизительно независимо
от природы излучателя" |4). В 1917 г. Ишино'*) показал, что полное рас-
рассеянное вторичное -/-излучение гораздо меньше, чем следует из формулы
Томсона.
Возобновив в 1920 г. изучение рассеяния >-лучей радия, Грзй16 )конста-
тировал неадекватность попыток качественного сравнения первичного и
*) Sadler D.A.. Masham P. The Rontgen radiation from substances of low atomic
«Might. - Philosophical Magazine. 1912, v. 24, p. 38-49.
10) Thomson J.J. Conduction of Electricity through Gases. - 2-ed.: Cambridge University
¦rtss. 1906, p. 321-330 (теория вторичного излучения).
" ) Простой вывод формулы дан в книге Compton A.H. X-rays and Electrons. - N.Y :
Van Nostrand, 1926. p. 58-61.
12) Barkla C. Ayras T. The distribution of secondary x-rays and the electromagnetic
pulse theory. - Philosophical Magazine, 1911, v. 21, p. 275-278.
") Gray J.A. The scattering and absorption of gamma-rays of radium. — Philosophical
Magazine, 1913, v. 26, p. 611-623.
14) Там же, с. 622.
") Ishino M. The scattering and the absorption of gamma-rays - Philosophical Magazine.
1017, v. 33, p. 129-146.
") Grey J.A. The scattering of x- and gamma-rays . - Journal of the Franklin Institute,
1930, v. 190. p. 633-655.
II. M. Джеммер 16]
рассеянного излучений только с помощью измерения поглощения. Говоря
о своих собственных экспериментах, он указал: "Полученные нами резуль-
результаты можно было бы объяснить, предположив, что мы всегда можем пред-
представить пучок рентгеновских или гамма-лучей как смесь волн с определен-
определенными частотами и что лучи определенной частоты изменяют длину волны
во время процесса рассеяния, причем длина волны возрастает с ростом
угла рассеяния" |7). Интересно отметить, что Брэгги18)еще в 1913 г. в
своей классической работе о дифракции рентгеновских лучей описали ши-
широко известный рентгеновский спектрометр, носящий их имя, - они писали
о нем как о приборе, "напоминающем по форме спектрометр, где вместо
объектива стоит ионизационная камера", - но к этому времени не было
сделано никаких попыток использовать его для изучения рассеяния.
Между тем многочисленными экспериментами было надежно установ-
установлено, что интенсивность рассеянных рентгеновских, лучей очень малых
длин волн была гораздо меньше предсказанной по формуле-Томсона D.1).
Все попытки найти объяснение этому явлению на основе классической
электронной теории (например, Шотт19) вводил силы, ограничивающие
и тормозящие движение электрона, а Комптон ) выдвигал теорию "боль-
"большого электрона", размеры которого сопоставимы с длиной волны жестких
7-лучей, что могло бы привести к возникновению интерференционных
эффектов при рессеянии на различных частях электрона) оказались не в
состоянии описать наблюдаемые факты. Требовался совершенно новый
подход, и именно такой подход был дан Комптоном.
Комптон, как и Грэй начал свою реботу с изучения рассеяния -у-лучей.
Как показывает его ранняя статья "О деградации энергии гамма-лучей" 2|),
Комптона интересовали не только экспериментальные стороны "природы
и общих характеристик вторичных гамма-лучей", но и объяснение "меха-
"механизма, посредством которого относительно жесткое первичное излучение
возбуждает сравнительно мягкое вторичное излучение". Как мы видим,
поиски механизма рассеяния с самого начала находились в поле его зрения.
В 1921 г. Комптон22) впервые использовал брегговский спектрометр
"в сочетании с записывающим устройством для регистрации интенсивности
вторичного излучения при различных углах установки ионизационной ка
меры". Это позволило ему обнаружить, что "во вторичных лучах, в допол
нение к рассеянному излучению, проявляется излучение типа флюоресцен-
флюоресценции, длина волны которого почти не зависит от вещества, используемого
в качестве радиатора, а определяется только длиной волны падающих лучей
и углом, под которым наблюдается вторичное излучение" 3). Комптон
нашел, что в процессе рассеяния длина волны возрастает примерно на
'") Там же. с. 644.
") Bragg W.H., Bragg W.L. The reflections of x-rays from crystals. - Proceedings of the
Royal Society of London (A). 1913. v. 88, p.228-238; 1913. v. 89. p. 246-248.
") Schott G. The scattering of x- and gamma-rays by rings of electrons — a crucial test of
the electron theory of atoms. - Proceedings of the Royal Society of London (A), 1920. v. 96,
p. 395-423.
20) Compton A.H. The size and shape of electron. - Journal of the Washington Academy
of Sciences, 1918, v. 8, p. 1-11; Physical Review, 1919, v. 14, p. 20—43. Как указано в
статье, Комптон считал необходимым предположить, что "электрону присущи как
трансляционное, так и вращательное движения" (с. 32); см. также C.223).
21) Compton A.H. The degradation of gamma-ray energy. - Philosophical Magazine,
1921, w. 41, p. 749-769.
") Compton A.H. Secondary high frequency radiation. - Physical Review, 1921, v. 18,
p. 96-97.
") Compton A.H. The spectrum of secondary rays: - Physical Review, 1922, v. 19,
p. 267-268.
162
0,03 А по сравнению с длиной вопны первичного излучения. Повторив
измерения с рентгеновским спектрометром, Комптон уточнил этот резуль-
результат, получив значение 0,02 Л. Сначала он попытался найти объяснение
наблюдаемого сдвига вторичного излучения в бэпее мягкую сторону, оста-
оставаясь в рамксх классических концепций, и обратился к эффекту Доплера.
Но при этом выяснилось, что объяснить наблюдаемый сдвиг можно, лишь
предположив, что все электроны рассеивателя движутся в направлении
падающего излучения со скоростью, составляющей около половины скорос-
скорости света. Поскольку было очевидно, что подобное предположение неприем-
неприемлемо. Комптон заключил, что классическая теория противоречит опыту.
В то время Комптон был членом Комитета по рентгеновским спектрам
при Отделении физических наук Национального исследовательского Совета.
Этот Комитет, председателем которого был Уильям Дуан (Гарвардский
университет), а членами - Берген Дэвис (Колумбийский университет),
А.У. Халл (Исследовательские лаборатории Дженерап Электрик) и
Д.Л. Уэбстер (Стэнфордский университет), как раэ собирался опублико-
опубликовать доклад об исследованиях в этой области. Дуан возражал против вклю-
включения результатов Коми то на в доклад, утверждая, что данные неубедитель-
неубедительны. Только благодаря настойчивости Халла результаты Комптона нашли
место в докладе3*).
Поскольку ни теория Томсона, ни эффект Доплера не объясняли экспе-
экспериментальных результатов, Комптон проверил, "что было бы, если бы
каждый квант энергии рентгеновских лучей был сосредоточен в отдельной
частице и действовал был как целое на отдельный электрон" 2S). Отправ-
Отправляясь от этого квантово-корпускулярного предположения и законов
сохранения энергии и импупьса, Комптон получил ряд формул (путь их
вывода хорошо знаком каждому изучавшему атомную физику). Это зна-
знаменитая формула для изменения длины волны
h
ДХ= A -cosfl), D.2)
тс
где в - угол рассеяния; формула для энергии электрона отдачи
2acos2v>
? kin = Л v — j—у—, D.3)
( 1 +аJ -orcosV
где s? - угол отдачи, а a = hu/mc2; соотношение между углами рассеяния
и отдачи
ctgv> = -A +a) tg@/2). D.4)
Используя линию Ка молибдена в качестве первичного излучения и графи-
графитовый рассеиватель, Комптон в лаборатории Вашингтонского университета
(Сан-Луи) многократно измерил угловую зависимость рассеянного излу-
излучения и убедился в полном согласии с формулой D.2). Поэтому он счел
возможным рассказать о новой интерпретации рассеяния рентгеновских
лучей на съезде Американского физического общества, состоявшемся
м) Compton A.H. Secondary rediations produced by x-rays and some of their applica-
applications to physical problems. — Bulletin of the National Research Council, 1922, v. 4 (part 2),
Г 20.
") Compton A.H. The scattering of x-rays as particles. - American Journal of Physics,
1961, v. 29, p. 817-820. Статья была доложен! 3 февраля 1961 г. как часть программы
"Вопросы истории современной физики" на совместной сессии Американского физи-
физического общества и Американской ассоциации учителей физики.
11" 163
20—21 апреля 1923 г. в Вашингтоне16). Через месяц Physical Review опуб-
опубликовал его известную статью "Квантовая теория рассеяния рентгеновских
лучей на легких элементах" 27>, где Комптон заявлял: "Представленная
теория существенно основывается на предположении о том, что каждый
электрон, принимающий участие в рессеянии, рассеивает целый квант.
В ней используется также гипотеза о том, что кванты излучения приходят
иэ определенных направлений и рассеиваются в определенных направлени-
направлениях. Согласие теории с экспериментом весьма убедительно указывает на то,
что квант излучения несет с собой направленный импульс, равно как и
энергию" м).
Ради исторической точности следует заметить, что примерно в то же
время Петер Дебай, работавший тогда в Цюрихе, предложил, как и Комп-
Комптон, объяснять рассеяние рентгеновских лучей тем, что рентгеновский
квант теряет энергию при столкновении с электроном. Фактически статья
Дебая39) с этим предложением была получена редактором журнала Physi-
kalische Zeitschrift в марте 1923 г., эа месяц до того, как Комптон высту-
выступил со своим докладом.
Результаты Комптона стали предметом страстных дискуссий на сессии
Американского физического общества в декабре 1923 г. в Вашингтоне.
Комптон вспоминал: "... поскольку эксперименты были повторены не
один раз, я с уверенностью вступал в споры, но тем не менее с радостью
обнаружил, что меня поддерживают П.А. Росс из Стэнфорда и М. де Бройль
иэ Парижа, фотографические спектры которого демонстрировали резуль-
результаты, сходные с моими. В Гарварде Дуан и его ученики нашли другой спектр
рассеянных лучей, приписанный ими третичным рентгеновским лучам,
которые возбуждаются фотоэлектронами в веществе рассеивателя. Я мог
бы раскритиковать эту его интерпретацию своих результатов с довольно
очевидных позиций, но счел более разумным предоставить Дуану самому
прийти к решению. Чтобы довести спор до конца, Дуан посетил мою лабо-
лабораторию (бывшую тогда в Чикаго) и пригласил меня в свою гарвардскую
лабораторию; подобная учтивость, как хотелось бы мне думать, характерна
для истинного духа науки. Никто иэ нас не смог найти причину разногласия
в результатах наших лабораторий, но выяснилось, что используемое мною
оборудование более чувствительно и больше подходит для изучения обсуж-
обсуждаемого явления, чем оборудование Дуана" *).
Во вторую неделю августа 1924 г. в Торонто состоялась 92-я годичная
сессия Британской ассоциации развития науки. Вся вторая половина дня
пятницы, В августа, была посвящена обсуждению рассеяния рентгеновских
лучей ). Комптон защищал свою теорию. Грей и Дуан указывали на
эксперименты Аллисона, Кларка, Штифлера и других, как на противоречив
м) Compton AM. Wave-length measurements of scattered x-rays. - Physical Review.
1923, v. 21, p. 715.
27) Compton AHA quantum theory of the scettering of x-reys by light elements. — Physi-
Physical Review, 1923, v. 22, p.-483-502.
") Там же. с. 501.
") Debya P. Zerstreuung von Rontganstrahlen und Quantentheorie. - Physikalishe
Zeitschrift, 1923, Bd24, S. 161-166. Как вспоминал Дебай, он предложил Шерару поста-
поставить эксперимент для проверки этих ими. Однако ко врамани публикации своей
статьи Дебай обнаружил, что "Комптон уже это сделал" (Archive for the History of
Quantum Physics; интервью с П. Деваем от 3 мая 1962 г.). Дебвй также возражал про-
против названия "эффект Комптона — Дебея" (там же).
к! См. [25), с. 61В.
") Compton А.Н. The quantum theory of the scattering of x-rays; Gray J.A. Scattering of
x- and gamma-rays and tha production of tertiary x-rays; Duene tV. On secondary and tertia-
tertiary radiation. — British Associations Reports, Toronto, 1925, p. 363.
164
шив заключениям Комптона. Последний вспоминает: "Исход спора был
неясен. Его итоги подвел сэр Ч.В. Раман, сказавший мне в частной беседе
после сессии: "Комптон, вы хороший полемист, но правда не с вами".
Тем не менее, не исключено, что именно эта дискуссия подтолкнула Рамана
к открытию эффекта, ныне носящего его имя. После сессии Дуан выдвинул
новое объяснение наблюдаемого изменения длины волны; он приписывал
его эффекту "ящика", считая, что наличие свинцового ящика (экрана)
вокруг прибора как-то меняло свойства излучения. В ответ на это я повто-
повторил эксперимент на открытом воздухе, получив ло существу те же самые
результаты, в то время как Дуан и его соавторы, повторяя свои собствен-
собственные эксперименты, начали обнаруживать спектральную линию с измененной
длиной волны, согласующуюся с моей теорией столкновения. На следую-
следующей сессии Американского физического общества они доложили об очень
хороших измерениях подобного изменения длины волны" зг).
На этой сессии, о. которой упоминает Комптон и которая состоялась в
Вашингтоне с 29 по 31 декабря 1924 г., экспериментальные результаты и
гипотеза Комптона получили, наконец, единодушную поддержку, а Росс
и Уэбстер33) заявил: "Третичный пик Дуана не был найден ни в одном из
опытов"; Комптон, Бирден и By34) опровергли "эффект ящика", указав:
"Итак, мы не обнаружили никакого измеримого эффекта, связанного с
окружающей защитой"; и, наконец, что важнее всего, Аллисон и Дуан в
своей статье "Эффект Комптона" признали: "На кривых проявляются
хорошо заметные широкие пики, положение которых приблизительно
соответствует уравнению Комптона" 3S).
В те же самые годы A921-1924 гг.), когда, как мы видели, изучение
рассеяния рентгеновских лучей с неизбежностью привело к квантово-
корпускулярной гипотезе, стало ясно, что эту гипотезу можно использо-
использовать также и в других оптических явлениях, которые до того времени рас-
рассматривались как неоспоримые свидетельства в пользу волновых пред-
представлений о свете.
В 1921 г. Эмден3*) показал, что с помощью представления о квантах
света можно объяснить не только закон Стефана — Больцмана, закон
смещения Вина и закон излучения Планка, но и эффект Доплера, одно из
наиболее типичных волновых явлений в оптике. Более строгий вывод
аффекта Доплера с квантово-корпускулярной точки зрения был дан в
июне 1922 г. Э. Шрё'дингером37), который, кстати говоря, после создания
волновой механики признавал физически реальными только волны. Эле-
Элементарную формулу Доплера действительно легко получить в рамках
квантовых представлений, как видно из следующего. Пусть квант света hv
испускается по направлению движения атома с массой от, который до
испускания имел скорость v\. а после испускания — скорость у2. Тогда из
¦акона сохранения энергии следует уравнение hdv = {т/2) (vj -v\), а из
эакона сохранения импульса — уравнение mv\ "mvi +hv/c. Комбинируя
их, .получаем для относительного сдвига частоты dvlv = (v, + vi)!2c. a
") См. 125), с. 819.
") Ross P.A.. Webster D.L. The Compton and Duane effects. - Physical Review, 1925,
v. 25, p. 235.
34) Compton AM., Bearden J.A., Woo Y.H. Tests of the effect of an enclosing box on the
spectrum of scattered x-rays. — Physical Review, 1925, v. 25, p. 236.
") Allison S.K.. Duane W. The Compton effect. - Physical Review, 1925, v. 25,
p. 235-236.
M) Emden R. Uber Lichtquanten. - Physikalische Zeitschrift, 1921, Bd22, S. 513-517.
") Schmdinger f. Dopplerprinzip und Bohrsche Frequenzbedingung. — Physikalische
Zeitschrift. 1922, Bd23, S. 301-303.*
165
это и есть формула Доплера; при этом положительная скорость соответст-
соответствует движению по направлению к наблюдателю и приводит к видимому
увеличению частоты.
Вскоре подобному "нападению" подверглись и уравнения Максвелла,
лежавшие в самой основе волновой теории. Всего лишь через месяц после
публикации статьи Шрё'дингера Озеен38) продемонстрировал, что уравнения
Максвелла допускают решения, согласующиеся с корпускулярной точкой
зрения с любой степенью точности, которую можно представить при допу-
допущении, что испущенная энергия сконцентрирована в очень малом телесном
угле. Как оказалось, этот угол может быть взят настолько малым (вплоть
до относительных значений порядка 10"'°), что полная энергия, испущенная
точечным источником на Земле на расстояние, примерно равное расстоянию
до Сириуса, попадает на площадку, не превышающую по размеру неболь-
небольшую монету ("Fiinfpfenningstiick").
Следующим волновым процессом, который удалось интерпретировать
с корпускулярной точки зрения, оказалась дифракция на бесконечной
(отражающей) линейной решетке. Интересно отметить, что это сделал
Дуан, еще будучи активным оппонентом Комптона. Приняв за ось х направ-
направление в плоскости решетки, перпендикулярное ее линиям, Дуан39) рас-
рассмотрел трансляционное движение решетки по этой оси под действием
столкновений с падающими квантами света как периодическое движение
с периодом, определяемым сдвигом на постоянную решетки а. Используя
квантовое условие
a
f р dx = nh,
о
Дуан заключил, что передача импульса р решетке происходит только целы-
целыми кретными Ыа величинами. Поскольку масса решетки велика, можно
пренебречь потерями энергии кванта света hv, падающего на решетку
под углом в, и квант будет отражаться под углом в' без изменения частоты.
Тогда из закона сохранения импульса получаем (hvlc) (sinб - sinfl') = nh/а.
что совпадает с известной формулой Брэгга л (sind - sin9') =п\. Дуан смог
легко обобщить результат на случай отражения рентгеновских лучей от
бесконечного трехмерного кристалла. "В предшествующем обсуждении
отражения рентгеновских пучей от кристаллов, - заявил он, — не делалось
никаких специфических утверждений относительно длин волн или частот
колебания, хотя мы в соответствии с обыкновением положили энергию
кванта падающего излучения равной hv, а для сравнения полученных фор-
формул с обычным их выражением ввели длину волны X. С равным успехом
мы могли обозначить упомянутую энергию через е и получить уравнение
для нее" 40).
Итак, работы Дуана и Комптона41), уточнившего и развившего подход
Дуана, показали, что явление дифракции Фраунгофера можно объяснить
в рамках квантово-корпускулярной теории света. Но все попытки получить
сходные результаты для дифрации Френеля оказались безуспешными.
")Oseen СИ/. Die Einsteinsche Nadelstrichstrahlung und die Maxmellschen Gleichun-
gen. - Annalen der Physik, 1922, Bd69, S. 202-204.
)")Оивпв W. The transfer in quanta of radiation momentum to matter. — Proceedings of
the National Academy of Sciences. 1923, v. 9, p. 158-164.
") Там же. с. 161.
" ) Compton A.H. The quantum integral and diffraction by a crystal. — Proceedings of the
National Academy of Sciences, 1923, v. 9, p. 359-362.
166
Как продемонстрировали Эпштейн и Эренфест42). подробно изучившие
проблему, это было связано с тем, что световым квантам трудно приписать
свойства фазы и когерентности, т.е. свойства, присущие волнам в класси-
классической теории.
Противоречия между волновой и корпускулярной концепциями света
отчетливо проявились также в том, что квантовые понятия оказалось
трудно использовать при описании явления оптической дисперсии. Соглас-
Согласно теории возмущений, в воровской модели атома резонанс с падающим
излучением должен был наблюдаться при частотах ) 2тк ик, т.е. равных
сумме фурье-компонент движения. Но это заключение противоречило
таким опытам, как, например, известные опыты Вуда 44) с парами натрия
или Бивена 45) с парами калия.
Таким образом, нельзя было сделать выбор между двумя соперничаю-
соперничающими теориями о природе излучения: для интерпретации оптических про-
процессов, включающих взаимодействие между светом и веществом, пред-
представлялась необходимой квантово-корпускулярная точка зрения, а такие
явления, как интерференция и дифракция, казалось, требовали концепту-
концептуального аппарата классической волновой теории света. Подобное положе-
положение дел неплохо охарактеризовал сэр Уильям Брэгг, заметив, что по поне-
понедельникам, средам и пятницам физики используют классическую, а по
вторникам, четвергам и субботам - квантовую теорию излучения. Исполь-
Использование двух взаимно исключающих и потому противоречивших друг
другу систем понятий вполне справедливо считалось серьезной дилеммой,
затрагивавшей сами основы физики. Фактически положение было даже
еще хуже! Действительно, казалось невозможным избежать определения
корпускулярного кванта излучения через частоту, частоты - через длину
волны, а длину вопны можно было измерить только с помощью таких
волновых явлений, как интерференция или дифракция. Другими словами,
гипотеза, которую поддерживали неопровержимые экспериментальные
доказательства, приобретала физическую значимость только через отрица-
отрицание себя самой.
4.2. Философский фон неклассических интерпретаций
На старую квантовую теорию смотрели либо как на " рациональное
обобщение" классической мехеники (так неоднократно называл ее Бор),
либо как на "ограничение" классической механики (эту точку зрения
предпочитали Зоммерфельд и Эренфест, имея в виду ограничивающие
квантовые условия). В любом из этих случаев обычно принималось, что
онтологические и эпистемологические ее основы совпадают с таковыми
для классической физики. Поэтому, если оставить в стороне как возмож-
возможное исключение из правил настояния Бора на необходимости методологи-
методологического подхода, специальное философское изучение концептуальных
42) Epstein P.S.. Ehrenfest P. The quantum theory of the Fraunhofer diffraction. - Pro-
Proceedings of the National Academy of Sciences. 1924, v. 10, p. 133-139: Remarks on the
quantum theory of diffraction. - Ibid., 1927, v. 13, p. 400-408.
"•)Эпштейм П.С, Эренфест П. Квантовая теория дифрекции Фраунгофера. -
В кн. Эренфест П. Относительность. Кванты. Статистик! [1.77»), с 150-161; Замеча-
Замечания к квантовой теории дифракции. — Там же, с. 160—170.
с.
Wood R.W. A quantative determination of the anomalous dispersion of sodium
in the visible lil i Pill M 1904
«') Cm. [2.33].
Wood .. q persio of sodium
vapouc in the visible and ultraviolet region. - Philosophical Magazine, 1904, v. 6, p. 293-324
' «') [33]
167
основ квантовой теории представлялось ненужным. Действительно, до
середины двадцатых годов философы, изучавшие природу или науку,
считали, что квантовая теория не представляет интереса с их точки зрения;
для них это был просто еще один раздел физики, ничем не отличающийся,
скажем, от акустики или электрохимии. Равным образом и физики не
ощущали какой-либо нужды в философском анализе. До тех пор, пока
оптические явления связывались исключительно с физикой волн или полей,
а механические явления - с физикой частиц или точечных масс, классичес-
классическая дихотомия частица - волна с присущими ей проблемами просто пере-
переносилась из ньютонианско-максвелловского представления о действитель-
действительности в квантовотеоретическое.
Но как только стало ясно, что для интерпретации оптических явлений
требуется, как мы видели, использовать исключающие друг друга понятия,
была осознана и необходимость критического рассмотрения и эпистемоло-
эпистемологического анализа основ теории. Действительно, если, пользуясь словами
Кассирера, "каждый ответ, который дает физика о характера и специфи-
специфической природе ее фундаментальных концепций, принимает в эпистамоло-
гии форму вопроса", то это там более справедливо, если сама физика
сталкивается с непоследовательностью в своих основах.
Физики обычно воздерживаются от заявлений о принадлежности к той
или иной философской школе, даже если они и отдают сабе в этом отчет.
Влияние философского "климата" на их научную работу, часто оказываю-
оказывающееся решающим при создании новых концепций, тем не менее обычно
игнорируется. Не вызывает сомнений, что философские соображения
сказываются на размышлениях физика скорее как подводное течение,
не заметное с поверхности, чем как очевидная, четко определенная нап-
направляющая сила. Для науки характерно стремление изгладить из памяти
философские "предвосхищения", но долг людей, занимающихся историей
и философией науки, состоит в том, чтобы извлечь их из-под надстройки
храма науки. Для этой цели, вообще говоря, больше информации дают
биографии, переписка и автобиографические заметки, чем сами научные
публикации.
При тщательном изучении подобного документального материала обна-
обнаруживается, что определенные философские идеи конца девятнадцатого
века не только подготовили интеллектуальный климат для формирования
новых концепций современной квантовой теории, но и сыграли в этом
процессе решающую роль. По-видимому, важное место принадлежит здесь
в особенности трудам Ренувье, Бутру, Кьеркегора и Гёффдинга, Вслед за
Курно 46), для которого законы природы в том виде, в котором они
даются наукой, являются лишь приближениями, поскольку самой физи-
физической реальности присуща контингентность (contingency), и событие
является контингентным, если противоположное ему не содержит проти-
противоречия 47), Ренувье был одним из первых современных мыслителей,
усомнившихся в строгой законности принципа причинности как регули-
4<) Cournot A. A. Essai sur le Fondements de nos Connaissences etAsur les Caracteres
de la Critique Philosophique. - P.: Hachette, 1851; Traite de I'Encheinement des Ide'es
Fondamentales dans les Sciences et dans I'Histoire. - P.: Hachette, 1861. Cp.de la Harpe J.
De I'Ordre et du Hasard - le Rlalisme Critique d'A.A. Cournot. - Neuchjtel: Secretariat
de I'Upiversite, 1936.
41) См. определение в параграфе 294 книги X. Вопьфа "Оитопогия". Об истори
ческом развитии философии контингентное™ см. книги: Pehkan F. Entstehurvg and
Entwicklung des Kontingentismus. - Berlin: Simion, 1915. и Lev/ A. L'lndeterminismo
nelja Filosofia Francese Contemporary. — Firenze, 1905.
168
рующей детерминанты физических процессов. Ренувье исходил из того,
что отбрасывал фактическую бесконечность, которая была для него "логи-
"логическим противоречием самой себе и эмпирической фальшью8). Вместе с
ней он отбрасывал и непрерывность, поскольку та предполагает факти-
фактическую бесконечность градаций. Далее, так как установление причинной
связи между двумя отдельными .событиями, особенно разнесенными в
пространстве и во времени, покоится на возможности представить их
связанными одно с другим непрерывной цепью промежуточных событий,
Ренувье направил свою полемику против принятия причинности как идеа-
идеалистической категории в кантианском смысле, т.е. принципа, без которого
познание постижимого мира была бы невозможным, так и реалистического
принципа порядка во вселенной. Чтобы объяснить неоспоримый факт
познавательной функции науки, отвергая при этом причинность, Ренувье
прибег к феноменализму, согласно которому все, что мы непосредственно
знаем, есть феномены или "изображения". Каждое изобоажение носит
двойственный характер: оно "изображает" и в нем "изображается" ("герге-
sentatif"n"represente"); это одновременно познание чего-либо и что-то
познаваемое. Реализм, утверждал Ренувье, ошибается в том, что объект
может быть отделен от своего изображения, а идеализм ошибается в том,
что предполагает наличие изображения даже в том случае, когда нечего
изображать. Чтобы избежать этих ошибок, познание, огреничиваемое подоб-
подобным образом с двух сторон, должно приниматься как нечто независимое
и само по себе составляющее первичную реальность 49).
Подобные взгляды и, в частности, философию естествознания, основан-
основанную на понятии контингентное™, высказывал Бутру, который заявил уже
в диссертации: "Анализируя понятие закона природы, как его видят сами
науки, я нашел, что закон является не исходным принципом, а скорее
результатом, и что жизнь, ощущение, свобода суть истинные и глубокие
реальности, тогда как относительно неизменные и общие формы, схваты-
схватываемые наукой, являются лишь неадекватными проявлениями этих реаль-
реальностей0).
"Все добываемые экспериментом сведения в конечном счете сводят-
сводятся к тому, что значения поддающихся измерению элементов явления
заключаются в как можно более узкие пределы. Мы никогда не достигаем
тех самых точек, где явление действительно начинается и кончается. Более
того, мы не можем утверждать, что подобные точки существуют, за исклю-
исключением, может быть, бесконечно малых моментов; подобная гипотеза,
по всей вероятности, противоречит природе самого времени. Таким обра-
образом, мы видим то, что видели бы, если бы существовали только вместили-
вместилища предметов, но не сами предметы. Мы не знаем, занимают ли предметы,
в своих вместилищах, то место, которое может быть им приписано. Если
допустить, что явления были бы недетерминированы, хотя бы лишь в
какой-то мера выходя за рамки наших грубых методов рассмотрения, то
внешний их вид был бы точно тем же. Поэтому мы даем предметам чисто
гипотетическое, если не невразумительное, определение, когда мы букваль-
41) "Я утверждал, что если бы к настоящему моменту был задан весь ряд целых
чисел, то нашлось Ьы два одинаковых числа, одно из которых было Ьы больше друго-
другого, что является формальным противоречием in terminii..." {Renouvier С. Lej Prin-
Principe* de la Nature. - P.: Colin, 1864, p. 37).
**¦) Cp. SAilles G. La Philosophic de Charles Renouvier. - P.: Alcan, 1905; Milhaud G.S.
La Phiiosophie da Charles Renouvier. - P.: Vrin, 1927.
9D) Boutroux E. De la Contingenca des Lois de la Nature. - P.: Beilliere,1874(предис-
Beilliere,1874(предисловие) .
169
но воспринимаем принцип, согласно которому любое отдельное явление
связано с каким-то другим отдельным явлением').
Отказ от классического детерминизма на атомном уровне играл важную
роль также в философской системе Чарлза Сандерса Пирса, который еще
в 1868 г. заявил, что "природа не является регулярной", и немедленно
добавил: "никакой беспорядок не был бы менее упорядочен, чем сущест-
существующая структура (arrangement)2). Теория тихизма (tuxV~ случай-
случайность) . согласно которой "случайность действует как фактор во вселен-
вселенной3), была сформулирована Пирсом в конце восьмидесятых годов
прошлого века и опубликована в начале девяностых годов 54). Для него
эта теория была логическим следствием того факта, что детерминистская
механика с ее по необходимости обратимыми законами не может объяс-
объяснить бесспорное существование роста и развития в природе. "Закон сохра-
сохранения энергии, - писал он 55), - эквивалентен утверждению, что все про-
процессы, подчиняющиеся законам механики, обратимы; отсюда немедленно
следует, что рост нельзя объяснить на основе этих законов, х.отя они и не
будут нарушаться в процессе роста". Детерминистская философия или,
как он часто называл ее, философия необходимости поэтому не в состоя-
состоянии одна объяснить реальность.
Еще одним бесспорным доводом в пользу учения о тихизме была, по
мнению Пирса, неспособность детерминистов подтвердить свою точку
зрения эмпирически, с помощью наблюдений природы. Существо этой
точки зрения заключалось по Пирсу в том, "что определенные непрерыв-
непрерывные величины имеют определенные точные значения". Но как из наблюде-
наблюдений можно найти значение подобной величины "с вероятной ошибкой,
составляющей буквально пН\Л далее — почти что предвосхищая гейзен-
гейзенберговский принцип неопределенности — он проанализировал процесс
экспериментального наблюдения и заключил, что "неприводимом" факто-
фактором физических процессов и поэтому первичной категорией для экзистен-
экзистенциальной вселенной является абсолютная случайность, а не неопределен-
неопределенность, обусловленная просто нашим незнанием. "Попытайтесь проверить
любой закон природы, и вы обнаружите, что чем точнее наблюдения, тем
скорее они покажут нерегулярные отклонения от закона. Мы привыкли -
и я не утверждаю, что это неверно, - приписывать их ошибкам измерения;
обычно мы все же не можем объяснить эти ошибки каким-либо априорно
вероятным (antecedently probable) образом. Попытавшись проследить
их причины достаточно далеко, вы будете вынуждены признать, что они
всегда обусловлены произвольно данным определением или случай-
случайностью"").
Перевод книги [50] неанглийский язык: The Contingency of the Laws of Natu-
Nature. - Chicago, L.: Open Court Publishing Co., 1920, p. 28. Ср. так же Boelitz О. Die Lehre
von Zufall bei Emile Boutroux. - Leipzig: Quelle und Meyer, 1907.
Jaj Peirce C.S. Grounds of validity of the laws of logic. — Journal of Speculative Philo-
Philosophy, 1868, v. 2, p. 193-208; In: Collected Papersof Charles Sanders Peirce. - Cambridge,
Mas».: Harvard University Press,«. 5, p 190-222 (цитата на с. 213).
**) Collected Papers [52], v 6,p. 137.
54) Peirce C.S. The architecture of theories. - The Monist, 1891, v. 1, p. 161-176;
The doctrine of necessity examined. - Ibid., 1892, v. 2, p. 321—337; Reply to the neces-
necessitarians. - Ibid., 1893, v. 3, p. 526-570; in: Collected Papers [52], v. 6, p. 11-27,
28-45,46-92.
"I Там же, с 165.
' *) Там же, с. 526; с. 46. Интересно отметить, что в согласии с этими выводами он
утверждал также, что использование теории вероятностей при изучении "поведения
частиц гаи является свидетепкством существования подлинной случайности".
170
В течение некоторого времени идеи подобного рода рассматривались
просто как философские умствования и ученые относились к ним не слиш-
слишком серьезно. Заметное исключение до прихода современной квантовой
механики составил венский физик Экснер, который в 1919 г. предложил
статистическую интерпретацию видимого детерминистского поведения
макроскопических тел, полагая, что оно является результатом огромного
числа вероятностных процессов на субмикроскопическом уровне. В "Лек-
"Лекциях о физических основах науки" 57'. а именно в 93-й лекции, Экснер
заявил: "Из множества событий ... можно вывести законы, справедливые
для среднего состояния ("Durchschnittszustand") этого множества (макро-
(макрокосма) , тогда как отдельное событие (микрокосм) может остаться
неопределенным. В этом смысле принцип причинности выполняется для
всех макроскопических явлений, но не обязан действовать для микро-
микрокосма. Отсюда также следует, что законы макрокосма являются не абсо-
абсолютными законами, а скорее законами вероятности; выполняются ли они
всегда и во всех случаях, еще надлежит выяснить ... " 58'. Он продолжал:
" ... каждое отдельное физическое измерение, сколь бы специализирован-
специализированным оно ни было, дает только среднее значение, обусловленное миллиарда-
миллиардами отдельных движений ... , а предсказать в физике исход отдельного про-
процесса невозможно" s9'.
Как совершенно очевидно, вероятностные концепции, подобные выдви-
выдвигавшимся Б утру или Экснером, в корне отличаются от традиционного
понятия вероятности, используемого, например, в классической статисти-
статистической механике- В классической физике вероятностные утверждения были
всего лишь выражением нашего незнания всех деталей отдельного события,
будь это незнание обусловлено недостаточно высокой разрешающей способ-
способностью измерительной аппаратуры или огромным числом подлежащих рас-
рассмотрению событий; но отдельный физический процесс всегда считался
строго подчиняющимся Причинно-следственному закону, а исход его —
однозначно определенным. Напротив, новая концепция вероятности не
только принимала, что макроскопический детерминизм является статисти-
статистическим эффектом, но и полагала, что отдельное микроскопическое или
субмикроскопическое событие является чисто контингентным.
Хотя лишь немногие ученые присоединились, к сторонникам новых кон-
концепций, влияние этих концепций на физическое мышление не следует
недооценивать. Даже такой стойкий приверженец классического мышле-
мышления, как Анри Пуанкаре, не остался совершенно безразличен к их воздейст-
воздействию. Вернувшись с Сольвеевского конгресса 1911 г. в Брюсселе, Пуанкаре,
вероятно, последний великий теоретик в классической физике, писал:
"Хорошо известно, к какой гипотезе пришел Планк, исследуя законы излу-
излучения: энергия излучателей света меняется скачкообразно. Именно эта
гипотеза называется теорией квантов. Едва ли нужно подчеркивать, на-
насколько эти идеи отличаются от традиционных концепций: физические
явления, по-видимому, перестают подчиняться законам, которые можно
выразить с помощью дифференциальных уравнений, и это, вероятно, самое
большое и самое глубокое потрясение в философии естествознания со вре-
' Exner F. Vorlesungen Clber die Physikalischen Grundlagen der Naturwissenschaften -
Wien, Leipzig: Deuticke, 1919; 2 Aufl.,M922.
5 * I Т«м же, с. 705.
s') Т«м же, с. 706.
171
мени Ньютона0'. Если это утверждение, как очевидно, является отзву-
отзвуком дискуссий на Конгрессе, то выдержка из книги Пуанкаре "Ценность
науки", на которую уже тогда обратил внимание де Б рой ль 61', показы-
показывает, что вероятностные соображения занимали французского математика
уже в 1904 г. Он писал: " ... явления, вначале казавшиеся нам простейши-
простейшими, представляются в виде результата большого числа элементарных фак-
фактов, которые направляются к единой цели лишь законами случая. Физиче-
Физический закон приобретет тогда совершенно новый аспект; это уже не будет
дифференциальное уравнение, он примет характер статистического
закона1'. В "Последних мыслях", за шесть месяцев до кончины, Пуан-
Пуанкаре развивал сходные воззрения: "Теперь спрашивают уже не о том, нуж-
нуждаются ли в модификации дифференциальные уравнения динамики, а о
том, можно ли вообще выражать законы природы дифференциальными
уравнениями ... Ставится вопрос, не следует ли ввести в законы природы
дискретность, причем не кажущуюся, а фундаментальную" . Ясно, что
вопрос Пуанкаре о том, продолжают ли дифференциальные уравнения быть
адекватным средством математической формулировки физических зако-
законов, является способом выражения сомнений математика в применимости
принципа причинности. Действительно, постулируя наличие дифферен-
дифференциального уравнения, мы допускаем непрерывное изменение или непрерыв-
непрерывную цепь событий, что и подразумевается концепцией причинности.
По-видимому, нет сомнений в том, что молодой Пуанкаре читал работы
Ренувье и Бугру, равным образом, как нет сомнений в том, что работы
Пуанкаре по философии науки читались создателями современной кванто-
квантовой физики 64'. Влияние идей Пуанкаре на более молодое поколение уче-
ученых, занимавшихся математической физикой, хорошо видно на примере
Чарлза Галтона Дарвина, отец которого, сэр Джордж Дарвин, говорил о
французском математике: "гений — руководитель, или, может быть, лучше
сказать - мой святой покровитель". Статья Пуанкаре "О теории кван-
квантов"б5' оказала столь большое впечатление на Ч.Г.Дарвина, что тот в ав-
августе 1914 г. перевел ее на английский язык . Всякий раз, когда перед
*°) Poincare H. Sur la theorie des quanta. - Journal de Physique, 1912, v. 2, p. 1-34.
' Пуанкаре А. О теории квантов. — В кн.: Избренные труды, т. Ill | 1.210»],
с. 521-547.
" \De Broglie L. Savants et De'couverts. - P.. Albin Michel, 1951, p. 251.
* *' Poinctre H. La valeur de la Science. - P.: Flammarion, 1904, p. 210.
' Пуанкаре А. Ценность науки. — M., 1906, с. 148. См. также его статью "Не-
"Нестоящее и будущее математической физики" в кн.: Избранные труды, т. Ill 11.210• J,
с. 575 и A.10В*), с 251.
'Poincare Н. Dernieres Pensees. — P.: Flammanon, 1913: Last Essays. — N.Y.: Dover,
1963, p. 75-76.
•• *) Пуанкаре А. Последние мысли. - Петроград, 1923, с. 87-88 и [1.108*] ,с. 405-
520; "Гипотеза квантов" в кн.: Избранные труды, т. Ill 1.210 •), с. 546—547.
<4) Де Бройлъ 1|61], с. 45) утверждал: "Все молодые люди моего поколения,
интересующиеся математической физикой, питаются книгами Анри. Пуанкаре".
") См. ?601.
' Машинописный оригинал английского текста статьи Пуанкаре находится в
Archive for the History of Quantum Physics, в Библиотеке Американского фило-
философского общества (Филадельфия).
172
Дарвиным вставала проблема большой важности, он спрашивал себя, как
взглянул бы на нее Пуанкаре- Так, в письме к Бору, в котором он подчер-
подчеркивал необходимость глубоких аналитических заключений и индуктивных
рассуждений, Дарвин писал в 1919 г.: "Жаль, что умер Пуанкаре, ибо он мог
бы справиться с подобными аргументами как никто другой" 7' ¦
Ч.Г.Дарвин одним из первых начал поиски логически последовательной
формулировки теоретических основ квантовой физики. В статье "Критика
основ физики", оставшейся неопубликованной ', он писал в 1919 г.:
"Я давно уже считал, что фундаментальные основы физики находятся
в ужасном состоянии. Большие достижения квантовой теории все время
подчеркивали не только ее значение, но и существенные противоречия,
лежащие в ее основе ... Может случиться, что потребуется фундаментально
изменить наши представления о времени и пространстве, либо отказаться
от сохранения вещества и электричества, либо даже в качестве последней
возможности приписать электрону свободу воли". Как раз тогда (война
помешала сделать это раньше) было полностью осознано физическое зна-
чение блестящих экспериментов Милликена ', подтвердивших квантово-
корпускулярную интерпретацию фотоэлектрического эффекта. Поскольку
его объяснение в рамках классической волновой теории противоречило
закону сохранения энергии70', вполне естественно, что Дарвин прежде
всего изучил возможности, "которые возникают при отказе от этого
закона", указав, что "для решения наших трудностей самым многообе-
многообещающим является предположение о неточном сохранении энергии". Дарвин
продолжал: "Конечно, никто не может сомневаться в приближенном сохра-
сохранении энергии, но обычные динамические и электрические эксперименты
доказывают этот закон лишь статистически и в действительности ставят
его в то же положение, что и второй закон термодинамики". В § 5 своей
неопубликованной статьи Дарвин обсудил следствия отказа от сохранения
энергии, но не получил каких-либо удовлетворительных результатов.
В последующие годы Дарвина особенно интересовал вопрос о согласова-
согласовании явления оптической дисперсии с теорией квантов 7'' • Именно в этой
связи, по-видимому, впервые в истории физики, было выдвинуто решение,
основанное на расширении существовавшего концептуального аппарата
теоретической физики. "Следует принять с абсолютной уверенностью, что
как электромагнитная теория, так и квантовая теория справедливы в со-
соответствующих областях, и с такой же уверенностью принять, что эти два
описания несовместимы. Мы можем только заключить, что они входят
в некую высшую (overriding) систему, которая приводит к таким же мате-
математическим формулам, как и формулы существующей теории" . Труд-
*') Письмо к Нильсу Бору от 20 июля 1919 г.
") Рукопись находится в Библиотеке Американского философского общества.
"I См. с. 46.
'"' См., например, Richtmyer F.K.. Kennard ?.H.. Launtsen T. Introduction to Mo-
Modern Physics. - 5 ed. - N.Y.: McGraw-Hill. 1955. p. 98.
' Darwin C.C. A quantum theory of optical dispersion. — Nature, 1922, v. 110,
p. 841—842; Proceedings of the National Academy of Sciences, 1923, v. 9, p. 25—30.
' Darwin CG. The wave theory and the quantum theory. - Nature, 1923, w. 111,
P. 771-773.
173
но сказать, предлагает ли это утверждение некий синтез двух несовмести-
несовместимых понятий, частицы и волны, на более высоком уровне, как можно ду-
думать на основании термина "overriding" , либо же имеется в виду просто
установление абстрактного математического формализма, охватывающего
как квантовую теорию, так и волновую, о чем вроде бы свидетельствует
упор на "математические формулы". Но каков бы ни был его смысл, дар-
дарвиновское предложение расширить существующую концептуальную схему
прошло тогда незамеченным, и его реализация должна была ждать того
времени, когда дальнейшие экспериментальные и теоретические исследова-
исследования подготовят почву для понятия о некой сущности, которая обнаружи-
обнаруживает себя — как частица или как волна — в зависимости от эксперименталь-
экспериментальных условий ее наблюдения. Развитие такой концепции физической реаль-
реальности, тесно связанное с именем Нильса Бора и с так называемой
"копенгагенской интерпретацией" квантовой физики, было кульминацией
эпистемологических идей, на историческом происхождении и философских
предпосылках которых мы теперь вкратце остановимся.
Нет никаких сомнений в том, что датский предтеча современного
экзистенциализма. Серен Кьеркегор, в какой-то мере подействовал на раз-
развитие современной физики, ибо он повлиял на Бора. Об этом влиянии
можно судить не только по тем или иным явным или неявным ссылкам
в трудах Бора, имеющих философскую направленность, но и уже по тому
факту, что Харальд Гёффдинг74', пылкий ученик и блестящий толкова-
толкователь учения Кьеркегора, был для молодого Бора главным авторитетом по
философским вопросам. Мы знаем, что Бор посещал лекции Гёффдинга
в Копенгагенском университете и читал его книги ', в которых большое
внимание уделялось философии Кьеркегора. Кроме того, Гёффдинг и отец
Нильса Бора, Христиан Бор, профессор физиологии в Копенгагенском уни-
университете, были не только коллегами, но и близкими друзьями, имевшими
много общего; антигеккелевские взгляды Христиана Бора и антигегелев-
антигегелевские взгляды Харальда Гёффдинга ставили обоих в оппозицию современ-
современной им мысли.
Кьеркегоровская философия жизни и религии, его так называемая
"качественная диалектика", его антитеза мышления и реальности, его
альтернативные концепции жизни и его настойчивые указания на необходи-
необходимость выбора - все это, по-видимому, оказало большое влияние на моло-
молодого Бора. В частности, подчеркивание Кьеркегором практического значе-
значения мысли, его возражения против конструирования систем, его настоя-
настоятельные утверждения, что мысль никогда не может постичь реальность,
ибо уже сама мысль о том, что это удалось, фальсифицирует реальность,
превращая ее в воображаемую, — все эти идеи внесли вклад в создание
такого философского климата, который способствовал отказу от класси-
классических понятий.
Особую важность для Бора представляла идея Кьеркегора, которую
неоднократно подробнее развивал Гёффдинг, что традиционная умозри-
' В неопубликованной статье 1919 г. (см. |68|) Дарвин уже упоминап о воз-
возможности модифицировать теоретическую физику с помощью "суперструктуры
максвелловской и планкоаской динамики".
' НфИЫпд Н. S«ren Kierkegaard als Phiiojoph. - Stuttgart: Frommann, 1B96.
S*H4ffding H. A History of Modern Philosophy. - L., N.Y.: Macmillan, 1900; The
problems of Philosophy. - L.: Machillan, 1905; Modern Philosophers — Lectures Delivered
at the University of Copenhagen. — L.: Macmillan, 1915.
174
тельная философия, утверждая свою способность объяснить все, забывала,
что создатель системы, каким мы маловажным он ни был, является частью
бытия, подлежащего объяснению. "Систему можно постичь только в том
случае, когда некто имеет возможность оглянуться на законченное сущест-
существование — но это предполагает, что некто больше не существует" 76'. Чело-
Человек не может, не внося искажений, представить себя непредвзятым зрите-
зрителем или беспристрастным наблюдателем; он по необходимости всегда
остается участником. Поэтому разграничение, проводимое человеком
между объективным и субъективным, всегда является произвольным дей-
действием, а жизнь человека — последовательностью решений. Наука — целе-
целенаправленна, и истина — результат человеческой деятельности, не только
потому, что именно человек породил знание, но и потому, что самый объект
познания далек от того, чтобы оставаться неизменным испокон веков.
Нельзя не обратить внимание, что обсуждение Гёффдингом проблемы
познания в какой-то мере предвосхищает последующие концептуальные
течения в квантовой механике. Так, ему принадлежит следующее высказы-
высказывание: "В предыдущем контексте я использовал слова Шиллера "Бескраен
ум и узок мир"; теперь можно перевернуть фразу: "Бескраен мир и узок
ум". Знание, каким бы обильным и могущественным оно ни было, в конце
концов является только частью Бытия; проблема познания была бы разре-
разрешима, только если Бытие как целое (в той мере, в которой мы можем ее
представить себе как такое целое) может быть выражено с помощью лишь
одной из составляющих ее частей. Кек бы то ни было, наше высказывание
всегда должно оставаться символическим, даже если наше знание достигает
высшей точки; оно дает нам только некое извлечение из более всеохваты-
веющего целого. Изо всех возможностей мысли только одна проявляется
в реальности в том виде, в котором мы ее осознаем. Но реальность, кото-
которую мы осознаем, является лишь частью некоего большего целого; и пото-
потому мы не в состоянии определить соотношение между частями и целым.
Нам не дано создать исчерпывающую концепцию реальности" 7 7' .
В жизни прогресс достигается только через внезапные решения, скачки
или рывки. "Нечто решающее происходит всегда только рывком, при вне-
внезапном повороте, который нельзя предсказать на основании прошлого и
78 )
который не определяется им" '. Говоря о принадлежащей Кьеркегору
индетерминистскоГ; теории "скачков", Геффдинг назвал датского фило-
философа "единственным индетерминистским мыслителем, который попытался
описать скачок" 79', но позже добавил: "Представляется очевидным, что
если скачок происходит между двумя состояниями или двумя моментами
времени, ни один глаз не в силах наблюдать его, и так как поэтому он
никогда не может быть явлением, его описание перестает быть
описанием" '. Следовательно, также "причинность не поддается
описанию" 8''.
'*) См. [74|.с.66.
'') Hbttding H. The Problems of Philosophy [75|, p. 114-115.
"> См. [74|.c. 76.
'*) Т1мю, с 83.
" > Т«м же, с. 83.
" ) Там же, с. 84.
175
Приведенные выше замечания и цитаты, конечно, не претендуют на
связное и полное освещение идей Кьеркегора или Гёффдинга; они направ-
направлены лишь на то, чтобы обрисовать некоторые из тех философских концеп-
концепций, которые впоследствии вошли в сферу философии естествознания и
стимулировали новый подход к эпистемологическим основам квантовой
теории.
То, что подобные концепции действительно сказались на новой эписте-
эпистемологической точке зрения на научное исследование, было признано самим
Бором, когда он вспоминал 82\ как на него подействовало произведение
Поля Мартина Мёллера "Приключения датского студента"83), которое
"все еще читается с удовольствием и старшим, и младшим поколениями
в нашей стране". Здесь Бор обнаружил "яркий и заставляющий задуматься
рассказ о взаимодействии разных аспектов нашей позиции, поясняемый
дискуссиями между студентами, людьми разных характеров и различного
отношения к жизни"84). Миллер описывает, как некоего лиценциата *',
обладающего критическим, осторожным и созерцательным характером и
складом ума, его практичный кузен укоряет за то, что тот не воспользо-
воспользовался открывавшимися возможностями найти полезную работу. В ответ
на эти увещевания лиценциат говорит: "Из-за своих бесконечных вопросов
я не могу ничего достичь. Более того, я начинаю думать о своих собствен-
собственных мыслях по поводу той ситуации, в которой я оказываюсь. Я даже
думаю о том, что я думаю об этом, и делю себя на бесконечную ретрогрес-
сивную последовательность "Я", рассматривающих одно другое. Я не знаю,
на котором "Я" следует остановиться как на реальном, и как только я
останавливаюсь на одном из них, то снова появляется "Я", которое оста-
останавливается на нем. Я начинаю путаться и испытываю головокружение, как
от взгляда в бездонную пропасть, и в итоге мои размышления доводят
меня до ужасающей головной боли". На это кузен отвечает: "Не могу
тебе хоть сколько-нибудь помочь в сортировке твоих многочисленных
"Я". Это выходит за привычные мне пределы и, если бы я принял участие
в твоих сверхчеловеческих мечтаниях, я был бы, или вскоре стал бы, таким
же сумасшедшим, как и ты. Я за то, чтобы крепко держаться за осязаемые
вещи и идти по широкой дороге здравого смысла; так мои "Я" никогда не
перепутаются".
Вряд ли можно сомневаться в том, что подобный интроспективный ана-
анализ, посмеивавшийся над некоторыми современными тенденциями в евро-
европейской философии и потому родственный критике Кьеркегора, оказал
алияние, как некогда заметил Л.Розенфельд 8 , на "повторное открытие
<Бором) диалектического процесса познания, который так долго затем-
затемняло одностороннее развитие эпистемологии на базе логики Аристотеля и
)Bohr N. The Unity of Human Knowledge. — In: Bohr N. Essays 1958—1962 on Ato-
Atomic Physics and Human Knowledge. - N.Y., L.: Interscience, 1963, p. 8-16.
*' I
'Mjller P.M. En Oanik Students Eventyr. - 1 ed. - Copenhagen: Gyldendal, 1893.
4ed.. 1946.
.'4>Cm. [82|,c. 13.
) Лиценциат - первая ученая степень в некоторых странах Западной Европы, при-
присваиваемая ив 3—4-м году обучения в вузе.
"s I Rosonfald L. Nidi Bonr's contribution to apistemology. - Physics Today, 1963.
v. 16, P. 47-64.
176
идеализма Платона". Независимо от того, прав ли Розенфепьд, утверждая:
"Поль Мёллер вряд ли мог представить себе, что его добродушная и бес-
беспечная шутка в один прекрасный день положит начало ходу мысли, при-
приведшему к разъяснению самых фундаментальных аспектов атомной теории
и обновлению философии естествознания" ', или же отправной точкой
были настояния Кьеркегора и Гёффдинга на произвольном, но необходи-
необходимом акте проведения разграничивающей линии между субъектом и объ-
объектом в процессе научного исследования, мы увидим позже, что эти идеи
оказались важны для будущего развития современной квантовой теории.
Ясно и логично излагая научную аргументацию в своих трудах. Бор тем не
менее не был склонен к построению каких-то систем или к аксиоматиза-
аксиоматизации. Подобно Гё'ффдингу, который "обращал больше внимания на выдви-
выдвижение проблем, чем на их решение". Бор неоднократно повторял: "Каждую
произносимую мной фразу следует понимать не как утверждение, но как
вопрос"87'. Подчеркивание Кьеркегором и Гёффдингом практического,
прагматического значения истины 88' проявляется в часто встречающемся
у Бора замечании: "В настоящее время вопрос состоит не в том, истинна
или нет эта точка зрения, а в том, какие аргументы по этому поводу мы
можем объективно извлечь из доступной нам информации" '. Взгляды
Кьеркегора и Гёффдинга на неизбежно активную роль наблюдателя разде-
разделялись Бором без каких бы то ни было ограничений; для него "человек
„90)
как анализирующий субъект всегда занимает центральное положение ¦
Бор указывал, что как в физиологии "совершенно невозможно четко отли-
отличить сами явления от их сознательного восприятия" " ', так и при физиче-
физических исследованиях в атомной физике приходится отказаться от традицион-
традиционного разграничения наблюдателя и наблюдаемого объекта. При этом ставит-
ставится под сомнение и справедливость классического описания атомных явле-
явлений в пространстве и во времени.
В интересном обмене письмами ', последовавшем за посылкой
Гёффдингом Бору гранок нового издания его "Формальной логики"93',
в которой важную роль играло обсуждение принципа исключенного треть-
третьего. Бор писал 94' Гё'ффдингу в 1922 г.: "С другой стороны, мы ветре
'*• Там же, с. 48.
• Rosenfeld L. Niels Bohr — An Essay. — Amsterdam: North—Holland Publishing Co.,
1945, P. 3.
"l Когда в начале 30-х годов внимание Боре обратили на труды У.Джемса, он
нашел их на удивление конгениальными своему обрезу мышления.
"I См. [871.С. 8.
*°) Там
же.
' Bohr N. Natural Philosophy and Human Cultures. - In: Bohr N. Atomic Physics and
Human Knowledge. - N.Y., L.: Wiley, 1958. P. 27.
91 "I Бор Н. Философия естествознания и культуры народов. — В кн.: Избранные
научные труды, т. II 11.175 •]. с. 280-288 (см. с. 284).
' См. научную корреспонденцию Бора в Archive for the History of Quantum
Physics (оригиналы писем находятся в Копенгагене) ¦
" ) HeffdingH. Formel Logik. - 1 Aufl. - Copenhagen: Nordiske Forlag, 1903.
94 I Письмо от 22 сентября 1922 г.
12. М. Джеммер 177
чаемся с трудностями, лежащими столь глубоко, что мы не имеем никакого
представления о пути их решения; по моему личному мнению природа
этих трудностей такова, что они вряд ли позволяют нам надеяться достичь
в мире атомов такого описания в пространстве и во времени, которое соот-
95 I
ветствует нашим привычным мысленным образам"
Как мы убедимся позже, говоря о копенгагенской интерпретации кван-
квантовой механики. Бор находился также под сильным влиянием Уильяма
Джемса. Бор неоднократно говорил о том, что большое впечатление произ-
производили на него в особенности психологические труды американского
философа. Он познакомился с учением Джемса, по-видимому, через
Гёффдинга, который посетил Джемса в Кембридже (штат Массачусетс),
когда осенью 1904 г. приехал в Америку на Международный конгресс
искусств и наук в Сан-Луи "'. Можно напомнить, что Джемс довел праг-
прагматическую философию Ч.С.Пирса в онтологии, зтике, религии и теории
познания до логического завершения. Хорошо известный "принцип"
Джемса: "Мы должны найти такую теорию, которая будет работать", все
еще действует в современной физике.
С нашей точки зрения интересно отметить, что контингеытализм и фено-
феноменализм Ренувье с вытекающими из них следствиями относительно
проблемы свободной воли сыграли очень важную роль в интеллектуальной
и частной жизни Джемса - в действительности, до такой степени, что фило-
философия Ренувье освободила его в 1В70 г. от навязчивого состояния страха
и "монистического суеверия"97'. Свою посмертно изданную книгу
"Некоторые проблемы философии" 98> Джемс посвятил Ренувье, назвав
его "одним из величайших философов" "'.
Интересное обсуждение дискретности и индетерминизма и связи этих по-
понятий с принципом сохранения энергии находится в переписке Ренувье и
Джемса ). "Плюрализм и индетерминизм, - писал Джеме101), - пред-
представляются не более чем разными способами выразить одно и то же". Ре-
Ренувье полностью согласился с этим102). В замечаниях, приложенных к
письму Джемсу103', Ренувье пояснил, как с его точки зрения концепция
дискретного движения противоречит идее сохранения энергии: последняя,
утверждал он, является следствием законов движения, а они не допускают
дискретных решений104). Эти замечания были направлены против дерзко-
") Там же.
) См. письмо Джемса к Ф.Ч.Шипперу от 26 октября 1904 г. в кн.: The Letters
of William James/ed. Нгпгу James. — Boston: Atlantic Monthly Press, 1920, w. 2, P. 216.
") Там же.
" ) James W. Some Problems of Philosophy. — N.Y.: Longmans, Green and Co., 1911.
") Там же. посвящение. См. также [96), т. 1, с. 186.
1 °°) "Correspondence de Charles Renouvier et de Williem James"/ ed. R.B. Perry. -
Revue de Mtaphjsique et de Morale, 1929, v. 36, p. 1-35, 193-222.
1 tM ) Письмо от 6 декабря 1882 г. 1100), с. 32. См. -также Perry R.B. The Thought and
Character of William James. — Boston: Little, Brown, 1935, v. 1, p. 686.
1 01) "Непрерывность и необходимость ипи сопидарность. сверх того, для меня од-
одной то же, равно как свобода и дискретность . . ." Письмо от 28 декабря 1882 г. [100],
с. 38.
'»»> Письмо от 26 января 1883 г. [100), с. 195.
">') "я всегда утверждал, что тезисы необходимости и абсопютной непрерыв-
непрерывности — ипи свободы и дискретности — взаимно связаны. Но существует пи дискрет-
дискретность и, значит, возможность свободы в системе движений, подчиненных закону сохра-
сохранения энергии? Есть математические причины отрицать это. Невозможно предпопо-
предпопожить, что для попожения, занимаемого некоей мопекупой, не опредепено время, не
178
го эссе Жозефа Дельбюфа "Детерминизм и свобода - свобода, иллюстриру-
иллюстрируемая механикой05), в котором бельгийский математик попытался, ис-
исходя из механики Ньютона, не только показать, что дискретные движения
действительно существуют, но и то, что их существование может быть сог-
согласовано с законами сохранения энергии и возрастания энтропии106).
Как мы увидим позже, трудам Джемса по психологии (которые дали на-
начало многочисленным новым направлениям в этой области) и особенно его
монументальным "Принципем психоюгии107), долгое время бывшим од-
одним из наиболее популярных руководств по этому предмету, было суждено
также, как интересно отметить, сыграть важную роль в развитии квантовой
механики. "Принципы" с их сочным и ярким литературным стилем, с их
богатством новых идей и предложений, и особенно девятая их глава "Поток
мышления", были одним из главнейших факторов, сознательно или бес-
бессознательно повлиявших на создание Бором новых концепций в физике.
Нет ничего невозможного в допущении, что уже воровская идея стационар-
стационарных состояний в том виде, в котором она оформилась в 1913 г., не обош-
обошлась без влияния следующего места из "Потока мышления". Подобно жиз-
жизни птицы, < поток нашего сознания) как бы состоит из чередовения поле-
полетов и сидения на насесте. Это выражается в ритме языка, где кеждая мысль
выражается предложением, а каждое предложение заканчивается паузой.
Места передышки (resting-places) обычно занимают сенсорные образы не-
некоего типа, отличающиеся тем, что они могут удерживаться разумом сколь
угодно долго и подвергаться рассмотрению, не претерпевая изменений. Сос-
Состояния полета (pieces of flight) наполнены мыслями о соотношениях, ста-
статических или динемических, которые по большей части наблюдаются между
сущностями, рассматриваемыми в периоды сравнительного покоя. Назовем
места передышки "субстантивными частями" потока мышления, а состоя-
состояния полете - его "транзитивными частями" Тогда представляется, что осно-
основной целью наших размышлений всегда является достижение какой-то дру-
другой субстантивной части, отличной от той, от которой мы только что отпра-
отправились. И мы можем скезать, что транзитивные части используются главным
образом для того, чтобы вести нас от одного субстантивного заключения к
другому. Но интроспективно очень трудно увидеть транзитивные части в их
истинном обличий. Если они представляют собой не более чем полет к за-
заключению, то, остенавливая их, чтобы взглянуть на них еще до того, как за-
заключение будет достигнуто, мы фактически уничтожаем их. Если же мы
ждем, пока заключение действительно достигается, то оно настолько пре-
превосходит их по силе и стабильности, что совершенно затмевает их своим
блеском. Если кто-либо попробует рассечь мысль посередине и взглянуть на
сечение, он сразу же увидит всю трудность интроспективного наблюдения
предположив, что для данного времени не определено положение этой молекулы. Сле-
Следовательно, дпя движения (которое включает в себя время и пространство) сущест-
существует дискретность. Однако основное уравнение движения системы молекул, которое,
видимо, всегда связывает положение и время, определяет, по желанию, положение че-
через время или время через положение; более того, оно допускает только непрерывные
величины и применяется лишь для непрерывных движений. Следовательно, движение
молекулы, которая в данный момент свободна двигаться, либо не двигаться, не долж-
должно входить в такое уравнение. Для такой молекулы не существует уравнения, на ее
счет нельзя отнести постоянство энергии, так как теореме живых сип (постоянство
анергии) есть свойство, выводимое из такого общего уравнения движения". — Там же,
с. 195-196.
105) Delboeuf J. Determinisme et Liberte - la Libert^ demonstree par Mecanique. — Re-
Revue, Philosopbique, 1882, v. 13. p. 454-480. 608-638; 1882, v. 14, p. 156-189.
'•*> Там же, с. 188.
1 •' > James W. The Principle* of Ptychology. - N.Y.: Holt, 1890; N.Y.: Dover, 1950.
12*
транзитивных участков. Стремительное движение мысли настолько безу-
безудержно, что почти всегда оно доносит нас до заключения прежде, чем мы су-
сумеем остановить ее. Или же, если наша целенаправленность достаточно про-
проворна и нам удается остановить это движение, оно тотчас перестает быть са-
самим собой. Так снежинка, изловленная теплой рукой, превращается из
кристалла в каплю, так вместо того, чтобы уловить ощущение связи, дви
жущейся к своей цели, мы обнаруживаем, что поймали нечто субстантив-
субстантивное (обычно произнесенное нами последним слово), взятое статически, а
его функция, тенденция и особый смысл в предложении испарились без
следа. Попытка интроспективного анализа в этих случаях подобна в дейст-
действительности попыткам схватить вращающийся волчок, чтобы проследить
его движение, или включить свет достаточно быстро, чтобы увидеть, как
выглядит темнота08).
Это яркое описание невозможности интроспективного наблюдения
"транзитивных частей" в потоке мышления и ощущений произвело сильное
впечатление на Бора, в чем он сам признавался. Многочисленные упомина-
упоминания о трудностях интроспективного наблюдения и частые сравнения фи-
физики и психологии в последующих трудах Бора, по-видимому, указывают
на то, что некоторые его идеи — например, его концепции произвольности
пограничной линии между наблюдателем и объектом наблюдения, некон-
неконтролируемого взаимодействия между ними и эпистемологических след-
следствий этого — были вдохновлены философией Джемса.
Чтобы завершить наш обзор философских предпосылок современной
квантовой физики, мы должны также рассмотреть развитие логического
позитивизма в двадцатом веке, так как он является одним из тех факто-
факторов, без которых вряд ли можно понять новую концептуальную ситуацию
в квантовой физике. Хотя Венский кружок ("Wiener Kreis") стал известен
как независимая философская школа лишь в конце двадцатых годов' ),
влияние логического эмпиризма на теоретическую физику можно просле-
проследить в гораздо более ранние времена.
С тех пор, как в 1895 г. в Венском университете была организована ка-
кафедре философии естественных наук, теоретическая физика постоянно под-
подвергалась критическому изучению сторонниками философского эмпиризма.
Здесь особенно большим влиянием, вслед за Эрнстом Махом, пользовался
Мориц Шлик (кстати, его диссертация, выполненная под руководством
Макса Планка, была посвящена оптическому отражению в неоднородной
среде), особенно после публикации его книги "Пространство и время в сов-
современной физике10). Эта монография заметно стимулировала рост инте-
интереса к эпистемологическим основам физики; хотя в основном она была
посвящена основаниям релятивизма, не следует пренебрегать ее влиянием
на теоретическую физику вообще. Шлик поддерживал личный контакт с та-
такими ведущими физиками и математиками, как Эйнштейн, Планк и Гиль-
Гильберт, а его воззрения на эпистемологические вопросы физики, в частности
""> Ibid. (Dover ed.). p. 243-244.
1 "*) В сентябре 1929 г. в Праге состоялся съезд Немецкого физического общест-
общества и Немецкой математической ессоциеции. на котором члены Венского кружка офи-
официально объявили о своем особом направлении и об отдельной организации. Междуна-
Международный ее статус исчисляется с 1930 г., когда Карнап и Рейхенбах стали издателями
Журнала Annalen der Philosophic, продолжив впоследствии его издания под названием
Erkenntnis.
1 '•) Schlick M. Raum urtd Zeit in der gegenwartigen Physik. - Berlin, 1917. Англий-
Английский перевод появился в 1920 г.
180
•го тезис, что утверждение имеет смысл только в том случае, если оно под-
поддается эмпирической проверке, в конце двадцатых годов пользовались
авторитетом среди физиков. После 1921 г. большие дискуссии, и не только
Среди профессиональных философов, вызвал "Логико-философский трак-
трактат" Витгенштейна1''). Знаменитое утверждение, завершающее его:
"О чем невозможно говорить, о том следует молчать"*), вскоре нашло, как
мы увидим, позже, неожиданное применение в новом подходе Гейзенберга
к изучению атомных явлений.
Хотя существующий ныне беспрецедентный интерес к философии естест-
естествознания обусловлен лишь позднейшим развитием квантовой механики,
не следует забывать и о начальном вкладе философии в развитие физичес-
физической теории. Он склонил физику к логическому прояснению и методоло-
методологическому очищению, а физиков заставил "заниматься философскими про-
проблемами в гораздо большей степени, чем это приходилось делать физикам
предыдущих поколений").
Философские направления, о которых мы упоминали выше, - контин-
гентализм, экзистенциализм, прагматизм и логический эмпиризм, — воз-
возникли в противодействие традиционному рационализму и общепринятой
онтологии, восходящим к Декарту. Утверждавшаяся ими определенная
концепция жизни, отказ от абстрактного интеллектуализма достигли
кульминации в доктрине свободны воли, отказе от механистического де-
детерминизма и метафизической причинности. Объединенные отходом от
причинности, хотя и с различных позиций, эти направления, так сказать,
взрыхлили философскую почву для современной квантовой механики.
Они внесли вклад в стадию формирования новой концептуальной схемы,
выдвинув ряд предложений, а впоследствии способствовали ее при-
принятию.
В заключение этого раздела стоит отметить, что влиянию физики и, в осо-
особенности, квантовой механики на современную философскую мысль было
посвящено много работ, а обратной постановке задачи — насколько сильно
философия повлияла на современную физическую мысль - уделялось мало
внимания. Но физическая мысль, даже в великие поворотные моменты ее
истории, когда она вступает на необычные пути, формируя новые концеп-
концепции, никогда не находится в вакууме. Даже "разрывы" в ее интеллектуаль-
интеллектуальном движении каким-то образом связаны с современным мышлением. Мы
целиком отдаем себе отчет в том, что наше рассмотрение этой проблемы
очень далеко от полноты и в какой-то мере даже предположительно в своих
утверждениях. Остается надеяться, что последующие исследования прольют
дополнительный сеет на эти пока еще неясные связи между новыми течени-
течениями в философии и современной физикой.
1'') Wittgenstein L. Logisch—Philosophitche Abhendlungen. — Annelen der Naturphi-
kMophie, 1921, Bd14, S. 1B5—262. Как видно, труд Витгенштейна был сначала опубли-
опубликован в последнем номере журнеле, издаееешегоснОстеельдом Годом позже немец-
немецкий текст и английский перевод на противоположных сторонах разворота были олу-
бпиковены под названием Tractatus Logico-Phihosophicus. - U. NY, 1922. Недавно
появился новый английский перевод (N.Y.: Humanities Press, 1961).
"Ч Витгенштейн Л. Логико-философский трактат. - М.: ИЛ, 1958.
*) Более полно это утверждение звучит тек: "То, что вообще может быть сказано,
может быть скезано ясно, е о чем невозможно говорить, о том следует молчать".
1 ") Einttein A. Remerkj on Bertren Russell's Theory of Knowledge. — In: The Philo-
•Ophy of Bertren Russel/ed. P.A. Schlipp. - N.Y. Tudor, 1951, p. 279.
1''4 Эйнштейн А. Замечания о теории познания Бертране Рассела. - В кн.: Эйн-
Эйнштейн А. Собрание неучных трудов в четырех томах. - М.: Науке, 1967, т. IV, с. 248.
181
4.3. Неклассические интерпретации оптической дисперсии
Переход от старой квантовой теории к современной квантовой меха
нике занял удивительно короткий отрезок времени. Но это не был единый
и непрерывный концептуальный процесс. Не было это даже и "прямой лест-
лестницей наверх", а было скорее "сумбуром из переплетавшихся между собой
дорожек", как однажды метко выразился Борн). Поэтому также и ка
питуляция классических понятий и замена их фундаментально новыми кон
цепциями, философские предпосылки которых мы рассмотрели в предыду
щем разделе, произошли не внезапно, а появились, так сказать, по частям,
хотя и в быстром темпе.
Первый шаг в этом движении бып сделан (хотя все было начато заново)
в связи с явлением дисперсии, которое, как мы видели, входило в число
проблем, труднее всего поддававшихся согласованию с квантовыми кон
цепциями. Но, может быть, именно в силу этих трудностей, явление диспер
сии сыграло важную роль при формировании новых концепций.
Бросающаяся в глаза противоположность между дискретностью, харак
терной для квантовой теории стороения атома, с одной стороны, и непре-
непрерывностью, присущей электромагнитной теории света, с другой, быпа од
ним из наиболее насущных спорных вопросов того времени. Довольно рано
осознали, что при попытке примирить эти две отрасли физики первопричи
ной всех затруднений являлся принцип точного сохранения энергии и им
пульса. Действительно, трудно было понять, как в системе, в которую вхо
дят электромагнитное поле, допускающее только непрерывное изменение
энергии, и совокупность атомов, испускающих или поглощающих только
дискретные кванты энергии, полная сумма непрерывных и дискретных ко
личеств энергии может оказаться постоянной. С этой точки зрения эйнштей
новская концепция дискретных квантов света, с помощью которой он объ
яснял знергетический баланс при взаимодействии вещества и излучения, бы
ла в сущности переопределением понятия энергии.
Но существовало и альтернативное решение: можно было принять, что
сохранение энергии является не точным, а лишь статистическим законом
Как мы видели114), на эту альтернативу как на возможность примирить
воровскую квантовую теорию атома с максвелловской теорией поля ука
зывал уже в 1919 г. Дарвин. В 1922 г. Дарвин использовал эту идею для
построения теории дисперсии). "Конечно, непреложным фактом, - зая
вил он, — является то, что в целом энергия сохраняется, но это означает, что
имеется в виду средняя энергия; и поскольку чистой динамике оказалось
не под силу объяснить ряд атомных явлений, то, по-видимому, нет осносэ
ний настаивать на точном сохранении энергии, которое является лишь од
ним из следствий, вытекающих из уравнений динамики". Как мы видим,
эта аргументация удивительно похожа на рассуждения Ренувье в письме к
Уильяму Джемсу116). Согласно дарвиновской теории дисперсии, атом, на
который упала световая волна, можно охарактеризовать определенной ве
роятностью испустить сферическую волну, интерферирующую с падающей,
причем эта вероятность зависит от интенсивности падающего света. Когда
Бор в частном письме к Дарвину указал на некоторые несообразности и
когда стало ясно, что дисперсию в случае очень слабого излучения не удает
Ui)Born M. Natural Philosophy of Chance and Cause. — Oxford University Press, 1949
p. 86.
)Cm. 168).
"МСм. 171].
"»)Cm. [1041.
182
Ся объяснить, Дарвин попытался модифицировать теорию). Именно при
•том он сделал утверждение о "высшей системе", о котором мы упоминали
ранее"8).
По-видимому, статистический подход Дарвина, в конечном счете, вдох-
вдохновил Дж.Слэтера на новые далеко идущие идеи. В январе 1924 г. Слэтер
Опубликовал заметку "Излучение и атомы"") с намерением, как утверж-
утверждалось в ней, "построить более адекватную картину оптических явпений,
чем существовавшая ранее". Убежденный в правильности результатов
Комптона, говоривших о реальности световых квантов, Слэтер попытался
"связать (tie) друг с другом" кванты и волны света, построив —отправля-
—отправляясь от вектора Пойнтинга и плотности энергии электромагнитного поля -
¦•личину, которая преобразовывалась бы как вектор и могла поэтому
представлять скорость световых квантов. Тщательно изучив эту задачу и,
¦ частности, прочитав монографию Каннингхэма "Относительность, теория
электронов и гравитация2С), второе издание которой только что появи-
появилось, Слэтер увидел всю бесполезность этой программы. Он заключил поэ-
поэтому, что единственная возможность установить подобную зависимость —
Принять существование статистической связи между квантами и волнами
света.
Впрочем, в заметке почти не затрагивались световые кванты, но предла-
предлагалось допустить, что каждый атом способен постоянно "сообщаться" с дру-
другими атомами, если только он находится в одном из стационарных состоя-
состояний. Подобная связь между атомами осуществляется виртуальным полем
излучения, действующим так, как будто оно создано осцилляторами, часто-
частоты которых совпадают с частотами возможных квантовых переходов дан-
данного атома. "Как предполагается, часть поля, связанная с самим атомом,
Обуславливает вероятность того, что атом спонтанно потеряет энергию, тог-
тогда как излучение от внешних источников обуславливает дополнительную
вероятность того, что атом приобретет или потеряет энергию, в почти пол-
полном соответствии с предположением Эйнштейна. Дискретный переход, к
которому в конечном счете приводят эти вероятности, не имеет никакого
другого внешнего назначения,.как только отметить переход в новое стацио-
стационарное состояние и превращение постоянного излучения из свойственного
старому состоянию в свойственное новому".
Итак, допустив существование виртуального поля излучения, которое
связывает между собой удаленные друг от друга атомы еще до наступления
Переходов между стационарными состояниями, Слэтер попытался согласо-
согласовать дискретную теорию световых квантов с непрерывной волновой теори-
теорией электромагнитного поля. Но когда Слэтер, приехав в Копенгаген, под-
подробно рассказал о своей теории в Институте Нипьса Бора, Крамере указал
на то, что вопреки своим намерениям Спэтер получил не более сильную
связь между процессами испускания и поглощения в удаленных друг от
друга атомах, а ббпьшую, чем это раньше принималось, независимость та-
таких процессов. Далее, Крамере, как и Бор, все еще считал эйнштейновскую
теорию световых квантов (не взирая на ее бесспорное эвристическое значе-
значение, о чем свидетельствовало ее подтверждение в процессе фотоэффекта)
неудовлетворительным решением проблемы распространения света, хотя
)См. [721.
¦")Твмже.
1 '*)Slater J.C. Radiation and atoms. - Nature, 1924, v. 113, p. 307-308.Ср. интервью
с Дж. К. Слэтером от З октября 1963 г.-Archive for the History of Quantum Physics.
xi")Cunnlngham E. Relativity, the Electron Theory and Gravitation. - 2-d ed. - L.:
Longmans, Green and Co., 1921.
183
бы потому, что "частота" излучения v, фигурирующая в теории, определяет
ся из интерференционных экспериментов, которые, как очевидно, для сво
ей интерпретации требуют волнового строения света. Поэтому от некото
рых деталей гипотезы Слэтера пришлось отказаться, но теория виртуальных
осцилляторов и связанного с ними виртуального поля излучения была ис
пользована для того, чтобы попытаться привести в соответствие физичес
кую картину непрерывного электромагнитного поля с физической карти
ной не световых квантов, как предлагал Слэтер, а дискретных квантовых
переходов в атома. Действительно, отказавшись от возможности какого бь
то ни было пространственно-враменного описания переходов между стацио
нарными состояниями, Бор и Крамере должны были рассматривать эти пе
реходы, "скачки" или "прыжки" как дискретные процессы, тогда как рас
пространение света, по только что приведенным причинам, — как непре
рывное явление. Статистическая связь, предложенная Слэтером, была
единственной возможностью, на которую можно было рассчитывать при по
пытке установить взаимосвязь между непрерывностью и дискретностью
Более того, подобная взаимосвязь должна была также привести к отказу
от какой бы то ни было причинной связи, ибо, как пояснялось в пред шест
вующем разделе, причинность предполагает непрерывность. Наконец, заме
на причинной связи статистическими соображениями логически необходимо
вала к тому, что принципы сохранения энергии и импульса низводились до
статуса статистических теорем.
Теперь задача состояла в том, чтобы на основании подобных предполо
жений сформулировать последовательную теорию, которая могла бы объяс
нить наблюдаемые явления дисперсии, преломления и отрежения. План по
добной теории был намечен Бором, Крамерсом и Слэтером'2') в статье
"Квантовая теория излучения"'). Эта работа, хотя вскоре, как мы уви
дим, и опровергнутая экспериментальными доказательствами, оказалась
необычайно важной для концептуального развития квантовой теории. Мож-
Можно указать следующие причины этого: A) это была первая значительная
физическая статья, авторы которой сознательно и планомерно не использо
вали ни методы объяснения, ни фундаментальные принципы классической
теории; B) в силу этого она вызвала многочисленные дискуссии среди фи
зиков и этим направила внимание теоретиков на вопросы, связанные с эпис
121) См. интервью с Дж. К. Слэтером от 8 октября 1963 г.-Archive for the History
of Quantum Physics.
xi*)Bobr N., Kramers H., Slater ^J. The quantum theory of radiation. - Philosophical
Magazine, 1924, v. 47, p. 785-802' Uber die Quantentheorie der Strahlung. - Zeittchrift fur
Physik, 1924, 8d24, S. 69-87.
'" *) Бор Н., Крамере Г., Слггвр Дж. Квантовая теория излучения. - 8 кн.: Бор И
Избранные научные труды, т. 1A.111.], с. 526—541.
"') Примером того, как работа Бора - Крамерса — Слэтера стимулировала фило
софские интересы физиков, является статья Шредиигера (Schrodinger E. Bohr's neue
Strahlungshypothese und der Energiesatz. — Die Naturwissenschaften, 1924, Bd12, S. 720-
724). Излагая и анализируя гипотезу Бора — Крамерса — Слзтера, которая, по словам
Шредингера, "представляет одинаково большой интерес с точки зрения как физика,
так и философа", Шрёдингер нигде не упоминает, что предлагаемое авторами
межатомное поле должно рассматриваться как "виртуальное", т.е. как "действующее,
но не существующее". Более того, Шрёдингер приписывает зтому полю способность
переносить энергию, что вряд ли соглесуется с точкой зрения Бора — Крамерса - Слэ
тера, так как передача энергии или импульса всегда рассматривалась как критерий фи
зической реальности в полном смысле этого слом. По-видимому, статья Бора - Кра
мерса — Слэтера интересовала Шредиигера прежде всего с точки зрения вытекавших из
нее следствий о статистической природе энергии. Вообще, идея о том, что энергия яб
ляется на более чем статистической концепцией, преследовала Шредингера всю жизнь,
начиная с того времени, когда его поразило принадлежащее Экснеру сравнен и в пред
184
,твмологическими основами атомной физики123); C) от нее отправлялся
; Крамере, создавая свою подробную теорию дисперсии, дальнейшее развитие
; которой Крамерсом и Гейзенбергом привело последнего к матричной меха-
умике, первой формулировке квантовой механики.
Бор и Крамере приняли вместе со Слэтером, что каждый атом, как толь-
только он займет (или пока занимает) данное стационарное состояние, находит-
находится "в непрерывной связи с другими атомами, осуществляемой пространст-
пространственно-временным механизмом, виртуально эквивалентным полю излуче-
излучения, которое в классической теории было бы обусловлено виртуальными
гармоническими осцилляторами, соответствующими различным возмож-
возможным переходам в другие стационарные состояния". Другими словами, каж-
каждому стационарному состоянию данного атома сопоставляется виртуальное
поле излучения, составленное из стольких монохроматических сферических
волн, сколько возможно переходов на более низкие энергетические уровни
данного атома в соответствии с воровским условием частот. Поле излуче-
излучения не имеет причинной связи с лереходами между стационарными состоя-
состояниями. Вместо этого предполагается, что "осуществление процессов пере-
перехода как для самого рассматриваемого атома, так и для других атомов,
¦заимно с ним сообщающихся, связано с этим механизмом вероятностны-
вероятностными законами". Поэтому для каждой частотной компоненты поля существу-
существует инвариантная во времени вероятность (пропорциональная интервалу вре-
времени dt) того, что переход, соответствующий данной частоте, произойдет
за время dt. "Осуществление определенного перехода в данном атоме будет
зависеть от начального стационарного состояния самого этого атома и сос-
состояний атомов, с которыми он сообщается через виртуальное поле излуче-
излучения, но не от осуществления процессов перехода в этих последних атомах".
Бор. Крамере и Слэтер смогли показать, что в предельном случае, когда
выполняется принцип соответствия, связь между виртуальным полем излу-
излучения, с одной стороны, и движением частиц, с другой, совпадает с карти-
картиной, даваемой классической теорией излучения. Но для типично квантовых
процессов они отказались от "какой бы то ни было попытки установить
причинную связь между переходами в удаленных друг от друга атомах и
в особенности от непосредственного применения законов сохранения
анергии и импульса". Переход в атоме А, согласно их точке зрения, не
вызывается непосредственно переходом в удаленном от него атоме В, равно
как и разница энергий начальных и конечных состояний в атомах А и В
не равны друг другу. "Напротив, атом, повлиявший на возникновение
определенного перехода в удаленном от него атоме через посредство вир-
виртуального поля излучения, сопряженного с виртуальным гармоническим
осциллятором, который соответствует одному из возможных переходов
в другое стационарное состояние, может тем не менее в конечном счете
совершить другой из возможных переходов". Таким образом, в индиви-
индивидуальных атомных процессах не сохраняется ни энергия124) , ни импульс.
положительного статистического характера выполнения закона сохранения энергии
(см. E71) и второго закона термодинамики. За три годе до смерти, на съезде Авст-
Австрийского физического общества 26 марте 1958 г. в Вене, он обсуждал эту идею в сво-
своем докладе "Не может ли энергия быть просто статистическим понятием?" (Might
perhaps energy be merely a statistical concept? — Nuovo Cimento, 195B,v. 9, p. 162-170).
Представляется вероятным, что именно этв погпощенность "идеей энергии" привела к
тому, что он игнорировал виртуальный характер поля излучения Боре — Крамерса —
Слэтера (интересный факт для исследователя психологии научного творчества).
'") Философские следствия такого предположения освещены в стетье: Jammer M.
Energy. - In: New Catholic Encyclopedia. - The Catholic University of America, 1966.
185
Однако энергия сохраняется в среднем, если устанавливается такая связь
фактора вероятности с интенсивностью излучения, что энергия, соответ-
соответствующая данной частоте, излученная за среднее время жизни возбужден
ного состояния, равна произведению фактической потери энергии атомом
на вероятность (относительное число случаев осуществления) соответст
вующего перехода.
Приложив свою теорию к комптоновскому рассеянию излучения на
свободных электронах, авторы обсуждаемой статьи пришли к выводу,
что "электрон, на который попал свет, обладает определенной вероят
ностью приобрести в единицу времени конечный импульс в любом дан
ном направлении"'2S). Иными словами, из статистической интерпрета-
интерпретации этого процесса вытекало, что направление вылета электрона отдачи
не определено единственным образом, а характеризуется широким ста-
статистическим распределением. В июне 1924 г. Боте и Гейгер ) указали
на то, что это заключение открывает возможность экспериментальной
проверки теории. В своем эксперименте, выполненном несколькими ме-
месяцами спустя127), который тогда, до создания современного электрон-
электронного метода совпадений, был пионерской работой, они использовали два
точечных счетчика, один из которых регистрировал рассеянные рентге-
рентгеновские лучи, а другой — электроны отдачи- Они нашли, что "приблизи-
"приблизительно каждый одиннадцатый квант света появляется одновременно с
электроном отдачи"; в условиях эксперимента этот результат означаа
что вероятность случайного совпадения этих событий составляла около
10 ~*. Поэтому Боте и Гейгер заключили, что их результат "несовместим
с борове кой интерпретацией эффекта Комптона28). Тем временем
Комптон и Саймон129), использовав камеру Вильсона для определения
направления и времени вылета электрона отдачи, подтвердили, что "в сред-
среднем на один квант рассеянных рентгеновских лучей образуется один эле-
электрон отдачи. Каждый электрон дает видимый трек, и иногда рассеянное
рентгеновское излучение дает второй трек. Когда на одном и том же сним-
снимке* вместе с треком, обусловленным рассеянным излучением, появляется
только один электрон отдачи, можно сразу же проверить, согласуется ли
значение угла" с предсказываемым формулой D.4) (с. 163), т.е. компто-
новской теорией световых квантов. Поэтому было возможно получить
"недвусмысленный ответ на вопрос, распределена ли энергия рассеянного
рентгеновского кванта по широкому телесному углу или передана в опре-
определенном направлении". Как и Боте и Гейгер, Комптон и Саймон нашли,
что "результаты представляются несовместимыми с взглядами Бора.
Крамерса и Слэтера относительно статистического образования электро-
электронов отдачи и фотоэлектронов. Напротив, они непосредственно поддержи
вают точку зрения, согласно которой при взаимодействии излучения с от-
отдельным электроном энергия и импульс сохраняются30).
"*) См. A22I.e. 799-800.
1 ") Во the IV., Geiger H. Ein Weg гиг experimentellen Nachpriifung der Thaorie von
Bohr. Kramers urtd Slater. - Zeittchrift fur Physik, 1924, Bd 26, S. 44.
1 ") Bothe W., Geiger H. Experimented zur The_orie von Bohr, Kramers und Slater. -
Die Naturwissenshaften, 1925. Bd13,, S. 440-441. Ober das Wesen des Comptoneffekts.
ein experimenteller Beitrag zur Theorie der Strahlung. - Zeitschrift fur Physik, 1925, Bd 32.
S. 639-663.
"• ) Тем же, с. 641.
"•) Compton A.H., Simon A.W. Directed quanta of scattered x-rays. - Physical Review,
1925, v. 26, p. 263-299. См. также Compton A.H. Ot the mechanism of x-ray scattering. -
Proceedings of the National Academy of Sciences, 1925, v. 11, p. 303-306.
""> Там же с. B991.
186
В этой связи отметим, что отрицательный, как казалось, результат
эксперимента |31) типа Комптона — Саймона, выполненного примерно
десятью годами позже, вызвал толки о возможном возрождении статисти-
статистической теории Бора— Крамерса— Слэтера и стимулировал повторение экспе-
экспериментов типа Комптона-Саймона и Боте-Гейгера с усовершенствован-
усовершенствованным оборудованием, имеющим лучшее временное разрешение. Так, Хофс-
тедтер и Макинтайр1 з:), использовав стильбеновые сцинтилляционные
счетчики, неопровержимо показали, что "электроны отдачи и рассеянные
фотоны появляются одновременно в пределах временного интервала ме-
менее 1,5 ¦ 10~8 с". В том же году Кросс иРамзей133) показали, что угол,
под которым комптоновские электроны испускаются относительно направ-
направления вылета соответствующих рассеянных квантов, отличается от угла,
•адаваемого законами сохранения, не более чем на ± 1°.
Следует также отметить, что Бор, по-видимому, под влиянием откры-
открытия Комптона, впервые не стал возражать против понятия переноса импуль-
импульса излучением и связи его с квантовыми переходами, использовав его в
статье Бора—Крамерса—Слэтера134) — и это несмотря на его упорный от-
отказ принять идею световых квантов. Убежденность Бора в исключитель-
исключительной значимости волновых концепций хорошо иллюстрируется его реакци-
реакцией на письмо, в котором Эйнштейн (вскоре после публикации обсуждаемой
статьи) слегка покритиковал противодействие Бора концепции световых
квантов. Как говорят, Бор ответил, что даже если бы Эйнштейн прислал
ему телеграмму, в которой он сообщил бы об окончательном доказательст-
доказательстве физического существования световых квантов, даже тогда, продолжал
Бор, "телеграмма дошла бы до меня только по радио, благодаря вол-
нам35).
В истории физики трудно найти другую такую теорию, которая была бы
стопь быстро опровергнута и все же оказалась столь важной для будущего
развития физической мысли, как теория Бора, Крамерса и Слэтера. Теперь
должно быть ясно, что эта важность была обусловлена не ее специфичес-
специфическим физическим содержанием, а ее радикально новым подходом. Интерпре-
Интерпретируя эйнштейновское спонтанное испускание как процесс, "индуциро-
"индуцированный виртуальным полем излучения", а эйнштейновские индуцирован-
индуцированные переходы как происходящие "благодаря виртуальному излучению
в окружающем пространстве, обусловленному другими атомами36),
статья проложила дорогу для последующей квантовомеханической кон-
концепции вероятности как категории, присущей физической реальности,
а не просто математического средства в рассуждениях137). Эпистемоло-
Эпистемологическую важность имело и само понятие "виртуальных" гармонических
осцилляторов: оно было ранним примером "реальности некоего промежу-
промежуточного типа" — а эта концепция какое-то время играла в определенных
кругах, по-видимому, не пренебрежимо малую роль. Как позднее вспоми-
' '' ) Shank land R.S. An apparent failure of the photon theory of scattering. - Physical
Review 1936, v. 49, p. 8-13.
' ") Hofstadter R.. Mclntyre J.A. Simultaneity in the Compton effect. - Physical Re-
Review, 1950, v. 78, p. 24-2B.
1 •') Cross W.C., Ramsey N.F. The conservation of energy end momentum in Compton
Mattering. - Physical Review, 1950, v. BO, p. 929-936.
IM> Cm. A221, с 799-801. "
'") Archive for the History of Quantum Physics. Интервью с В. Гейзенбергом от
15 февраля 1963 г.
'"> См.[122],с.791.
'") A351, интервью с В.Гейзенбергом от 19 февраля 1963 г. Согласно Гейзен-
бергу. корни статистической интерпретации, которую Борн дел шрёдингеровской
волновой функции, неходятся в статье Бора—Крамерса—Слэтера.
187
нал Гейзенберг138), когда постепенно стало ясно, что для полного пони
мания квантовой теории нет "дешевых решений", что за понимание надо
платить дорогой ценой, то возникло представление, что "идея существова
ния реальности подобного типа и есть та цена, которую надо заплатить"
С этим связано также и утверждение Гейзенберга, что представление об
атоме как о наборе осцилляторов, или, ка.к однажды выразился Ланде.
как о "виртуальном оркестре" ), "подготовило дорогу для позднейшей
идеи о том, что набор осцилляторов представляет собой не что иное,.как
матрицу40).
Как бы то ни была статья Бора- Крамерса-Слэтера, несомненна внес
ла важный вклад в развитие квантовой механики благодаря тому, что
позволила создать теорию дисперсии, открывшую новый подход к фунда
ментальной проблеме взаимодействия вещества и излучения. Действитель
но, если частоты испускания или поглощения в атоме в соответствии с
условием частот Бора должны были войти в дисперсионную формулу,
теория должна была всерьез взяться за сам процесс дисперсии. Итак, уже
нельзя было избежать столкновения с основной проблемой квантовой
теории — взаимодействием вещества и излучения, и это столкновение в
конечном счете привело к рождению самой первой формулировки совре-
современной квантовой механики. Поэтому для глубокого уяснения нашего
предмета совершенно необходимо обсудить развитие теории дисперсии,
приведшее к формулировке Крамерса—Гейзенберга.
Согласно классической141) электронной теории дисперсии уравнение
движения частицы с массой т и зарядом е, связанной квазиупруго и нахо-
находящейся под действием внешнего синусоидального поля Е = FoexpBmVf) ,
имеет вид
1 =егЕ, D.5)
где Рь - егк - дипольный момент14 2) частицы, a vok = иъ*/2я - собствен-
собственная частота колебаний частицы в отсутствие внешних сил. Решением диф-
' '") Там же. Кстати говоря, было бы интересно изучить, в какой мере эту идею
"пространственно-временного механизма" 1A221 с. 790, 791) виртуальных осцил-
осцилляторов — идею, которая просматривается уже в "эрзац-электронах" ("Ersatzelek-
tronen") Ладенбурге, — можно рассматривать как предшественницу концепции "скры-
"скрытых параметров", вызвавшую не тек девно столь резкое столкновение мнений.
1") Lande A. Neue Wege der Quententheorie. - Die Neturwiuenscheften, 1926, Bd 14,
S.455-45B.
1'") [135], интервью с В. Гейзенбергом от 13 февраля 1963 г.
" ') Развитие предшествующих мехенических, электромегнитных и феноменоло-
феноменологических теорий дисперсии освещается в следующх источникех: De St. Venant В.
Sur let diversei manieres de presenter les theories des ondes lumineuses. - Annales de Chimie
et de Physique, 1B72, v. 25, p. 335-381; Rosenberger F. Die Geschichte der Physik. -
Breunschweig: F. Vieweg und Sonn. 1BB7-1890, Bd 3, S. 309-312,712-71ЦРозенбер
гврф. История физики.-М., Л.: DHTH, 1935, ч. III. вып. 1; 1936, ч. ill, вып. 2. -
Прим. перед.) Carvallo Е. Sur les theories et formules de dispersion. — In: Repports du
Congres Internationa! de Physique, Paris, 1900. - Paris: Gauthier-Villers, 1900, v. 2, p. 175-
199; Drude P. Zur Geschichte der electromagnetischen Dispersiongleichungen. - Annalen
der Physik, 1900, Bd 1, S. 437—440; Breuer A. Uebersichtliche Darstellung der methemati-
ichen Theorieen uber die Dispersion des LJchtes. - Hannover, 1980, Bdi; Erfurt, 1B91.
Bd 2: Pfliiger A. Dispersion. - In: Kayser H. Handbuch der Spectroscopie. — Leipzig: Hirzel,
190B, Bd 4, S. 267 et seq.; Mach E. Die Prinzipien des physikalischen Optik. - Leipzig:
J.A. Berth, 1921; The Principles of Physicel Optics. - L.: Methuen, 1926. ch. 6. appendix:
Whittaker E. A History of the Theories of Aether and Electricity. - Edinburgh, L.: Nelson
end Sons, 1953. N.Y.: Philosophicel LJbrery. 1954.
1 *') Для простоты положим падающую волну линейно поляризованной, е ее
электрический вектор - иеправланиым параллельно дипольному моменту етоме.
тек что можно рассматривать только скелярные величины.
188
ференциального уравнения D.5) является
егЕ/т
Рк"~Т—2 Г' D6)
2 l 2
Г
-и2)
Воспользовавшись известным уравнением D = Е + 4яг°, где Р = I
поляризация (/V* - число заряженных частиц с собственной частотой vuk
или число "дисперсионных электронов" Аг-го типа в единице объема), а
также уравнением D = е Е, где с = п2 — диэлектрическая проницаемость,
получим, что показатель преломления п дается следующей дисперсионной
формулой:
1 Nke2/m
л2 = 1 + - I . D.7)
я v\k -v1
Эта формула по существу совпадает с дисперсионными формулами, выво-
выводившимися Зельмейером и Гельмгольцем на основе теории упругих тел и
Максвеллом на основе электромагнитной теории |43). Если каждый атом
содержит fk дисперсионных электронов Аг-го типа, то поляризуемость а,
¦ходящая в соотношение Р - аЕ, равна
fk
о = I . D.8)
4я2/п v%k - v1
Приведенные выше классические формулы довольно хорошо согласо-
согласовались с экспериментом, и с их помощью удавалось удовлетворительно
интерпретировать дисперсию, а также и поглощение, если в D.1) ввести
••висящие от скорости члены, описывающие затухание и приводящие к
комплексным значениям показателя преломления. Но когда теория стацио-
стационарных состояний Бора заняла место классических представлений об
упруго связанных электронах, эти формулы, de facto продолжавшие оста-
оставаться справедливыми, внезапно потеряли свое теоретическое обоснование.
Поэтому перед теоретиками встала трудная задача: примирить эти уравне-
уравнения с основными предположениями квантовой теории. Ранние попытки
сформулировать теорию дисперсии на языке квантовотеоретических кон-
концепций, сделанные Дебаем '44), Зоммерфельдом ' ) и Дэвиссоном '4ь),
оказались неудачными главным обрезом потому, что они применяли
классическую теорию возмущений к воровской модели атома и тем самым
неизбежно приходили к выводу, что фурье-частоты т t v, + ... + т ;vf являют-
являются также и частотами оптических резонансных линий, а это противоречило
опыту.
|4>) Sellmeier IV. Ueber die durch die Aethertchwingungen erregten Mitschwingungen
der Korpertheilchen und deren Ruckwirkung auf die ersteren, besonderj zur Erklarung Disper-
•ton undihrer Anomalie. - Poggendorf's Annalender Phytik, 1B72, Bd145, S. 399-421,
620-548: Bd147, S. 3B6-404. 525-554; Helmholu H. Zur Theorie der anomalen Dispersi-
Dispersion. -Ibid., 1B75, Bd154, S. 582-596; Maxwell J.C. Mathematical Tripos Examination,
Cambridge Calendar, 1869; Cp. Lord Rayleigh. The theory of anomalous dispersion. -
Philosophical Magazine, 1890, v. 4B, p. 151-152.
"*) Debye P. Die (Constitution des Wasserstoff-Molekuls. - Munchener Berichte,
1915 S. 1-26.
' !) Sommerfeld A. Die Orudesche Oispersionstheorie vom Standpunkte des Bohrschen
Modelles und die (Constitution von H,, O, und N,. - Annalen der Phytik, 1917, Bd53,
8.497-550.
"*) Davisson C. The dispersion of hydrogen and helium on Bohr's theory. - Physical
Review, 1916, v. B, p. 20-27.
189
Первый шаг на пути к формированию квантовотеоретической интерлре
тации дисперсии был сделан Ладенбургом 147). Согласно классической
электронной теории энергия, испускаемая в одну секунду N осциллятора
ми массы пт, заряда е и частоты v0, равна
7С, = UN 1т,
где т = Зтс1 /(8я2е2 v0) - время, за которое энергия осциллятора убывает
в е раз (е —основание натуральных логарифмов) '48),аU—средняяэнер
гия осциллятора, которая согласно формуле A.6) равна U =
= Зс3 uvJ\Avv\). Отсюда следует, что
пе7
Jcl = Nu,,o D.9)
т
С другой стороны, согласно квантовотеоретическому подходу Эйнштей-
Эйнштейна энергия7аЬ„ поглощаемая за одну секунду в результате переходов из
состояния / в состояние к (f, < Ек), равна
hvik NjB'kuik,
где Nj - число атомов (полное число которых равно N), находящихся в
состоянии /,и1к — плотность энергии поля для частоты vjk, а В'к = Вt- веро-
вероятностный коэффициент Эйнштейна, определенный на с. 118. В условиях
равновесия энергия Jqu, испускаемая при переходах из состояния к в сое
тояние /', равна J3bs. так что
i D.10)
Полагая Jci =Jqu и воспользовавшись соотношением C.7), с. 119, Ладен
бург нашел, что
тс3
/V = A/, А'к . D.11)
8ne2i>jk
Поскольку для атома в состоянии / следует принять '4Ч), что Л, входящее
в D.8), равно NINj, то из формулы D.11) вытекает, что атом обладает
переменным электрическим моментом с амплитудой
А = I , D.12)
где у/* = (F* -?,-)//>.
Крамере |5°) обобщил результат Ладенбурга, указав, что если состояние
/' не является основным, то следует учесть все состояния к', для которых
1'') Ladenburg R. Die quantentheoretische Deutung der Zahl der Dispersionselektro-
nen. - Zeitschrift fiir Physik, 1921, Bd4, S. 451-471.
'¦¦'•) Перевод этой статьи, очень важной для понимания развития квантовой
механики, на английский язык см. в книге: Sources of Quantum Mechanics/ed. B.L.
van der Waerden. -N.Y.: Dower, 1967, p. 139-157.
1 4* I МножительЗв числителе выражения для т, который отсутствует в формулах
Крамерса — Гейэемберга для линейного осциллятора, обусловлен тем, что средняя
энергия трехмерного осцилляторе в изотропном поле излучения в три раза больше
энергии пинейного осциллятора (см. работу: Reiche F. Zur Quantentheorie der Rota-
Rotation ivMrme des Wasserstoffs. - Annalen der Physik, 1919, Bd58, S. 657-694).
'") Ladenburg R, Reiche F. Absorption, Zerstreuung und Dispersion in der Bohrschen
Atomtheorie. — Die Naturwissenschaften, 1923, Bd 11, S. 5B4-59B.
1 *•) Kramers H.A. The law of dispersion and Bohr's theory of spectra. — Nature, 1924,
v. 1 13, p. 673—674; The quantum theory of dispersion. - Ibid., 1924, v. 114, p. 310.
190
Е„, < Eh и тогда вторичные волны можно приписать переменному электри-
электрическому моменту с амплитудой
съЕ г К Л?' -,
А = 2 ¦ - I , D.13)
32тг4 I * »?* С?* - "! > , *" f*',-(fi'j-«'Mj
где vik = |f»-fjl//) и Vi = (f, - Ek)lh. Учитывая формулу D.11),
соотношение f, = NIN, и заменяя vnk в D.6) на с,* или vkr уравнение
D.13) можно переписать в виде
A = Zfkpk -Z fk-pk- .
к к'
Итак, заключил Крамере, "реакция атома на падающее излучение может
быть формально сопоставлена действию набора виртуальных гармони-
гармонических осцилляторов внутри атома, связанных с различными возможными
переходами в другие стационарные состояния... в конечном состоянии
перехода атом действует как "положительный виртуальный осциллятор"
относительной силы + f; в начальном состоянии он действует как "отри-
"отрицательный виртуальный осциллятор" силы -Л Подобная "отрицательная
дисперсия" может показаться непривычной с точки зрения классической
теории, но следует отметить, что здесь обнаруживается близкая анелогия
с "отрицательным поглощением", которое ввел Эйнштейн для того,
чтобы объяснить закон теплового излучения на основе квантовой
теории"'s').
В соответствии с нашим правилом использовать как можно более одно-
однородные обозначения, наша символика в дисперсионной формуле D.13)
отличается от оригинальной символики Крамерса: Крамере обозначил
частоты переходов (у нас это vik и у**,) через v% и v*k>, где v"k относилось
к переходам на более высокие состояния к (поглощение - absorption),
ay*' — не более низкие состояния Аг. (испускание — emission) относительно
рассматриваемого стационарного состояния '5 2). Это различие в обозна-
обозначениях, несущественное с математической точки зрения, тем не менее,
имеет, видимо, некоторый смысл с точки зрения нашего изучения концеп-
концептуального развития теории. Действительно, как ясно из наших обозначений,
Крамере уже подошел к тому, чтобы описать дисперсионное поведение
атома двумерным бесконьчным набором виртуальных осцилляторов,
а эта идея была крайне важна для формирования матричной механики.
Но вместо этого его внимание, направляемое использованными им обозна-
обозначениями, так сказать, сфокусировалось на одномерном бесконечном наборе
виртуальных осцилляторов относительно каждого данного стационарного
состояния. Согласно принципу соответствия нельзя было сформулировать
закон дисперсии, не обращаясь к частотам vik и vk'j, относящимся к началь-
начальному и конечному стационарным состояниям. Эти состояния потенциально
могут быть заняты атомом, но фактически свободны. Другими словами,
гипотетические возможности должны были рассматриваться как физичес-
физически реальные побудительные причины. Чтобы преодолеть эту концептуаль-
концептуальную трудность, надо было принять, что виртуальное поле излучения продол-
продолжает действовать в течение всего времени жизни данного стационерного
1 •') Там же. с 674
'") Строго говоря, Крамере испопьзовал для попожительной дисперсии обозна-
обозначение »/и i>?— для отрицетельной дисперсии. Впрочем, обозначение "немого" индек-
индекса, по которому ведется суммирование, не имеет, конечно, ни мапейшего значения.
191
состояния, а это предположение, в свою очередь, влекло за собой обсуж
давшуюся ранее статистическую интерпретацию сохранения энергии.
Крамере получил эти результаты ранней весной 1924 г. В июне 1924 г
Борн завершил свою статью "О квантовой механике53), упоминавшуюся
в конце предыдущей главы. В этой статье Борн попытался сформулировать
метод, с помощью которого классическую теорию возмущений для много
периодических невырожденных систем можно было бы распространить
на квантовые явления, включающие внешние периодические воздействия
или внутренние связи. До сих пор, указывал Борн, теории многоэпектрон
ных систем, подобных атому гелия, не имели успеха потому, что расема
тривали взаимодействие электронов классическим образом, тогда как
электроны воздействуют друг на друга с частотами порядка световых
частот, а взаимодействие вещества и света, как очевидно, является "не
механическим" квантовым процессом; поэтому следует ожидать, что и
взаимодействие между электронами нельзя рассматривать классически
Решение проблемы Борн видел в том, чтобы, обобщая крамеровское
рассмотрение взаимодействия излучения и электронов, создать "кванто-
"квантовую механику" взаимодействий. Следуя этой программе, Борн показал,
что можно перейти в согласии с принципом соответствия Бора от класси
ческой механики к "квантовой механике", как он назвал ее, если некото-
некоторые дифференциалы заменить на соответствующие конечные разности
Напомним, что квантовотеоратическая частота vnn_T переход из стацио
парного состояния, характеризуемого квантовым числом л, в стационарное
состояние, характеризуемое квантовым числом л'- п-т, согласно принци
пу соответствия Бора совпадает при больших п и малых г с классической
частотой v(n,r), являющейся r-й гармоникой (обертоном) фундамен-
фундаментальной частоты классического движения в состоянии л:
. 1). D.14)
Классическая фундаментальная частота Ил, 1) - v равна производной
гамильтониана (или полной энергии) по переменной действия154): v -
= dH/dJ Чтобы проверить уравнение D.14), заметим, что для Н = Н {J ).
т.е. для Н как функции действия J = nh, из условия частот Бора следует,
что
H(nh)-H\(n -T)h] dH
"¦•-'• а -T17'-TV-
Теперь, сравнив соотношения
dH т ЬН
v(n,T)*r = D.15)
и dJ h дп
1
vn.n-T=-[H(n)-H(n-T)].
п
Борн увидел, что квантовотеоретическая частота vn n_T получается из
классической частоты v(n, т), если производную т(дН/дп) заменить на
разность Н (п) - Н (п -г). Обобщая эту связь, Борн постулировал155),
' *') Born M. Uber Quantenmechanik. - Zeitschrift fur Physik, 1924, Bd26, S. 379-395.
' * ' ') Борн М. О квантовой механике. - В кн.: Размышления и аоспоминания
физика |1.7*|,е. 133-152.
1 ") См. с. 109.
1 ") См. [153),с.388.
что и для произвольной функции Ф(л), определенной для стационарных
состояний, надо заменять производную т[Ъ<\>{пI Ъп] на разность Ф(л)-
— г) или символически
—> ФЫ-Ф(л-т). D.16)
Поскольку это правило для перевода классических формул в их кванто-
вотеоретические аналоги сыграло, как мы убедимся в соответствующее
время, важную роль в рождении матричной механики, будем для крат-
краткости называть его "правилом соответствия Борна", подчеркивая этим его
тесную связь с принципом соответствия Бора. Имея в виду будущие ссыл-
ссылки, отметим здесь же, что повторное использование правила соответствия
Борна приводит к соотношению
bv{n. т)
т — *-* «'„¦t.ii-|V»i-t- I4-17)
Ъп
Действительно, из D.15) имеем
dv\n,r) 1 Э Г ЪН{п)
11 Э Г
-= — т — м
h Ъп [
Ъп h Ъп I Ъп
= -{[«(л+ т)~Н{п)) - [Н{п)-Н(л-т)]} .
Л
В этой работе Бори у помогал Вернер Гейзенберг156), который провел
зимний семестр 1923/1924 гг. в Гёттингене, — и помог с большой пользой
для себя о чем свидетельствует последующее всестороннее исследование
рассеяния и дисперсии, выполненное им совместно с Крамерсом.
Крамере и Гейзенберг157) рассмотрели невырожденную множественно-
периодическую систему, движение которой поэтому можно описать с
помощью переменных w, J, действие — угол, а ее невозмущенный электри-
электрический момент Мможно представить в виде
М =1/2 ?СТ( j^exp[2m'{TiWi + ...+ TjWf)],
где щ = vkt+ 8k, а коэффициенты Фурье в силу требования веществен-
вещественности подчиняются условию CTj...т/ = С',... т/ (звездочка означает ком-
комплексно сопряженную величину). Использовав сокращения u)=r,i'| +
+ ... + TfVf , О)'=Т< l*i + ... + TfVf, Тк аТк +т? ОH = CJ + СО' бо = Т? б| + ... +
,. т ст, ...т/, LT - Ст, ...Tf и
6 / Э 6 / Э
— » ? тк , = I т'к ,
8J *«i bJk 8J' k-i bJk
они показали, что классический электрический момент Мс1 системы, на
1 " I Об этом говорится в работе [153],с. 380, прим. 1.(См. [153,],с. 134,прим.3.—
Примеч. пер.)
) KramertHA.,Heitenb0rgW.i}berd\e Streuung von Strahlung durch Atome. -
Zeibchrift fur Physik, 1925, Bd.31,S. 681—707. Статья поступила в редакцию 5 янва-
января 1925 г., а не 1924 г., как ошибочно помечено в журнале на с. 681.
13. М. Джеммер 193
которую действует возмущение ?ехр Bя/ег) дается выражением
Afc, = Rer2/exp{27r/[(Wo+ v)t + 6„П X
_fi_ cJ__5l_\\e1 D18>
4\67' // J
Здесь вновь ради простоты принято, что падающая волна линейно поля-
поляризована, а ее электрический вектор параллелен направлению М, первое
суммирование проводится по всем целым индексам г,,...,ту от — » до
+°о,- а второе суммирование - аналогично по индексам rj,...,r/. Если при-
принять, что тк -—т'к для всех к, то о>= —w'h6/67' = -6/67;тогда соответ-
соответствующие члены в D.18) представляют ту часть Mct , которая колеблется
в резонансе с падающим излучением частоты у158). Эта часть, которую
можно обозначить Мс1 (р) .выражается следующим образом:
г - 1 6 / С\ \ 1
Afcl(H = Re ехрBя/«) S I If
[ т, ...if= -~ 4 67 \ш—1>/ J
[1 6 / С\ С* \ 1
expBwi;f) I ( + If.
Tl...jf 4 67 \ w—v ш + v } J
ы>0
Прилагая правило соответствия Борна к классической дипольной частоте
ь) и дифференциальному оператору 6/67, Крамере и Гейзенберг получили
квантовотеоретическое выражение для электрического момента атома в
состоянии /'
С1
"qu \"h~ "с i "i» \*.1чri)\
+ и'
- 2
где ft,-= (f a—f,¦)//>, Vjk~~vki, а амплитуда С*,- дипольного момента
CA/expBAVAi,f) связана с эйнштейновским коэффициентом Af соотноше-
соотношением1 591
D.19)
Из уравнения Ладенбурга D.11), которое мы теперь запишем с двумя
индексами к и /,
1 st) Нерезомамсмывчлены приводят к некогерентному излучению, предсказанно
му Смекалем \Smekal A. Zur Quantentheorie der Dispersion. - Die Naturwissenschaften,
1923, Bd 11, S. 873-875) и экспериментально наблюдавшемуся Раменом(Raman C.V. A
new radiation. — Indian Jonrnal of Physics, 1928, v. 2, p. 387-398) и независимо Ланд
сбергом и Мандельштамом {Landsberg С., Mandelstam L. Eine neue Erscheinung bei d«r
Lichtzerstreuung in Kryslallen. - Die Nalurwissenschaften, 1928, Bd 16, S. 557-558).
IS'I Cm. [3.102].
194
получим160)
2тг2л? 2
hi ~ 2 VkiCki.
так что выражение для поляризации в состоянии / примет вид
,2
Ек-<Е,
Выражение D21) является, конечно, квантовотеоретическим аналогом
выражения D.8). Но, тогда как величины fk в D.8) обозначали число
дисперсионных электронов кто типа и поэтому были неотрицательными
целыми числами, "Лчисла" fjk в D21) не обязаны быть целыми. Однако
они должны удовлетворять важному условию, так называемой "теореме
f-суммирования" ("f-Summensatz"); это показали Томас16') и Кун162).
Для простоты мы изложим основные этапы доказательства теоремы только
для случая одноэлектронной системы со степенью периодичности 1. В этом
случае дипольный момент равен
Af = 1/2 ? Стехр[2я/т(«*+ б)], D.22)
а выраженная через него средняя кинетическая энергия
m M2 m 1/"
2 е2 2в2 о
X ехр[2я/(т+ т') (W+ б)] dt=-
Далее, переменная действия, которая равна163) 2Еkinlv, имеет вид
2я2п? - , ,
J г- 2 t2vC2t.
е2 т = о
Дифференцируя по J = nh , получим
2тг2ш - Э
2 l
12 T
he т = о an
и, пользуясь правилом соответствия Борна с должным учетом соотношения
D20), найдем, наконец, "теорему f-суммирования":
2^,-2, f,k--\, D.23)
к к%
'*°1 Теперь множитель 3 должен быть опущен. См. [14В].
1 *' • Thomas И/. Ober die Zshl der Disparsionslektronen. die einem stationaren Zustande
lugerodnet sind. - Die Neturwistenscheften, 1926, Bd 13, S. 627.
1'' I Kuhn W. Ober die Gesemtttairke der von einem Zustande autgehenden Absorption-
•Jinien. - Zeitschrift fur Physik, 1925, Bd 33, S. 408-412.
1'' • См. обсуждение на с. 107.
13' 195
ГЛАВА 5
ФОРМИРОВАНИЕ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
5.1. Возникновение матричной механики
До 1925 г. квантовая таория (и особенно квантовая теория многоэлек-
многоэлектронных сметам), при всей пышности названия и многочисленности приме-
примеров успешного решения задач атомной физики, с методологической точки
зрения представляла собой скорее внушающее жалость скопление гипо-
гипотез, принципов, теорем и вычислительных рецептов, чем логически после-
последовательную теорию. Каждую отдельную квантовотеоретическую задачу
надо было сначала решить на языке классической физики; полученные
классические решения надо было затем просеять через таинственное ре-
решето квантовых условий, либо же - как это происходило в большинст-
большинстве случаев - классическое решение надо было перевести на квантовый
язык, придерживаясь принципа соответствия. Обычно разыскание такого
"верного перевода" было делом искусных догадок и интуиции, а не про-
процессом дедуктивных и последовательных рассуждений. Фактически кван-
квантовая теория стала полем действия неких специальных изощренных или
даже артистических приемов, доводившихся до высшей мыслимой сте-
степени совершенства в Геттингене и Копенгагене. Одним словом, квантовая
теория еще не приобрела черт, свойственных зрелой теории: концептуаль-
концептуальной автономии и логической согласованности.
Первопричиной затруднений было, конечно, то обстоятельство, что со-
согласно классической физике — а квантовотеоретические вычисления от-
отправлялись именно от нее, поскольку атомные системы описывались в
классических понятиях — оптические частоты спектральных линий дол
жны были совпадать с фурье-частотами орбитального движения системы,
тогда как эксперимент противоречил этому утверждению. Это противо-
противоречие сглаживалось бесценным с эвристической точки зрения воровским
принципом соответствия: он позволял сохранить описание движения на
языке классической кинематики и динамики, допуская в то же время
определенную модификацию результатов с целью согласовать их с опы
том. То, что такой подход был лишь одной из альтернативных возможно
стей, было впервые осознано Гейзенбергом. В исторической статье "О
квантовотеоретическом истолковгнии кинематических и механических
соотношений) он избрал иной путь, который привел к появлению мат
ричной механики, самой первой формулировки современной квантовой
механики. Гейзенберг .полностью отказался от воровского описания дви
жения на языке классической физики, заменив его, пользуясь термино
логией Гейзенберга, описанием через наблюдаемые величины.
Если рассматривать решающий шаг Гейзенберга с точки зрения его
эпистемологических основ, то, как мы попытаемся показать ниже, пред
') Heitenberg W; Uber Quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mecham
jcher Beziehungen. - Zeitschrift fur Phyjik, 1925, Bd33, S. B79-883; In: Dokumantf
der Naturwissenschaft. - Stuttgart: Battenderg, 1962, Bd2, S. 31-45.
1 *) Гвймнвврг В. О квантовотеоретическом истолковании кинематических и ме
ханических соотношений. - УФН, 1977, т. 122,с. 574-686.
196
ставляется, что он был сделан под влиянием тех интеллектуальных те-
чаний, о которых мы упоминали при обсуждении философских предпо-
предпосылок неклассических интерпретаций. Напомним2), что в 1922 г. Бор
прочитал цикл лекций в Гёттингенском университете, о влиянии кото-
которых на Паули уже говорилось. Эти лекции слушал также и Гейзенберг.
В одной из них Бор рассказал о квадратичном эффекте Штарка и выра-
»ил уверенность в том, что теория в ее современной формулировке на-
находится на правильном пути, хотя и существуют неразрешенные пока
противоречия, поскольку интенсивность спектральных линий не удается
вычислить точно. В частности, заявил Бор, большой успех объяснения
линейного эффекта Штарка с помощью квантовых условий убеждает его
¦ том, что предлагаемое объяснение квадратичного эффекта текже дол-
должно быть справедливо. Гейзенберг, уже тогда начавший изучать диспер-
дисперсию, разошелся с Бором во взглядах по этому вопросу. Указав, что квад-
квадратичный эффект Штарка можно считать предельным случеем дисперсии,
когда частота падающего излучения бесконечно мале, и что квантовотео-
ретическое рассмотрение дисперсии нельзя построить по предлагаемому
Образцу, Гейзенберг не согласился с утверждением Бора. Хотя Бор, как
вспоминает Гейзенберг3), обсуждал с ним эту проблему и связенные с
ней вопросы при личной встрече, после лекции, в течение трех часов, Гей-
Мнберг не отступил. Более того, неоднократные указания Бора на то,
что "экспериментальная ситуация должна рассматриваться с помощью
тех концепций, которые подходят для этого" — в созвучии с утвержде-
утверждениями Кьеокегора — Геффдинга (а также в русле философии Конта и
Бутру), что каждая область опыта требует своих концепций и принци-
принципов — по-видимому, сильно повлияли на молодого Гейзенберга и подтол-
подтолкнули его искать новые пути. Гейзенберг много раз говорил, что именно
Под влиянием Бора и, значит, в конечном счете под влиянием философс-
философских предпосылок, лежавших в основе взгляда Бора на физику, он при-
пришел к идее о том, что существующий концептуальный аппарат не являет-
Оя ни категорической необходимостью, ни бесспорным догматом.
Если возникшее у Гейзенберга само представление о возможности от-
отбросить описание атомных систем на языке классической физики можно,
теким образом, проследить, через Бора, до одной из тех философских
Школ, о, которых мы говорили ранее, то его выбор характера новых кон-
концепций, которыми он заменял классические, восходит еще к одному упо-
упоминавшемуся выше философскому течению - позитивизму, или логичес-
логическому эмпиризму, начала двадцатых' годов. Гайзенберг заинтересовался
философией еще будучи учеником классической гимназии - он впервые
узнал об атомной теории из "Тимея" Платона; большое впечатление про-
иавали не него такие книги, как "Критика чистого разума" Канта, а позже
Труды Витгенштейна. Но наиболее привлекательным для его ума был
Подход Эйнштейне к концепции времени, его замена лоренцевского "локаль-
"локального", или "математического", времени в так называемых преобразова-
преобразованиях Лоренца4) на релятивистское время, которое допускало операцио-
Т '•) В этой связи см [1.107].
') Archive for the History of Quantum Physics. Интервью с В.Гейзенбергом от 30
ноября 1962 г.
*• Преобразования как таковые употреблялись уже в 1887 г. В. Фогтом при изу-
изучении эффекта Доплера дпя колебаний в упругой и несжимаемой среде; см. Voight И/.
Ueber das Dopplersche Princip. - Gottinger Nachrichten, 1887, S. 41-51. Термин "пре-
"преобразования Лоренце" был предложен А. Пуанкаре в работе: Poincare H. Sur la di-
Mmique de I'electron. - Comptei Rendus, 1905, v. 140, p. 1504—1508. (См. Пуанка-
Пуанкаре А. О динемика электроне. — В кн.: Избранные труды, т. Ill [1.210*1,с. 429— 432. —
Примеч. пар.)
197
нальнов определение и потому было наблюдаемым. Отказ Эйнштейна
от ньютоновской, не поддающейся операциональному определению, кон-
концепции одновременности пространственно разнесенных событий и его
новая, релятивистская, интерпретация сокращения Лоренца - Фитцдже-
Фитцджеральда, которое ранее считалось принципиально ненаблюдаемым эффектом,
без сомнения, произвели глубокое впечатление на Гейзенберга. Известно,
что как в Мюнхене, где Гейзенберг писал диссертацию под руководством
Зоммерфельда, так и в Гёттингене, где он работал у Борна и где читал
лекции Минковский, теория относительности изучалась с большим рве-
рвением.
Из предшествующих замечаний должно быть ясно, почему Гейзенберг
настаивал на использовании наблюдаемых величин для описания атомных
состояний. С современной утонченной точки зрения различие между ве-
величинами, которые можно наблюдать и которые можно извлечь из теории,
представляет, конечно, далеко не простую проблему. Уже в 1926 г., когда
в разговоре Гейзенберг признался Эйнштейну, что "идея наблюдаемых ве-
величин на самом деле взята из его теории относительности), Эйнштейн
в ответ указал, что именно теория в конечном счете определяет, какие
величины можно наблюдать, а какие — нет. Тем не менее, следует при-
признать, что подобное разграничение— даже если оно проводится до уста-
установления теории и потому не строго — может служить просто эвристи-
эвристическим принципом.
Хотя четкие формулировки были даны позже, Гейзенберг принял имен-
именно такой эвристический подход, как мы попытаемся показать ниже. Гей-
Гейзенберг отказался от классических понятий положения и скорости (им-
пульса) электронов в етоме не только исходя из их ненаблюдаемости
в том смысле, что до сих пор никому не удавалось измерить их непосред-
непосредственно. Действительно, всегда можно было надеяться, и это явно при-
признает Гейзенберг, что будущее развитие экспериментальной техники в
конца концов позволит измерять эти велчины. Существенно здесь сле-
следующее его утверждение: "Такая надежда могла бы считаться правомер-
правомерной, если бы формальные правила (которые используются для вычисления
таких величин) были непротиворечивы и применимы к четко определенно
му кругу квантовотеоретических задач. Опыт, однако, показывает, что... с
помощью этих правил нельзя описать реакцию атомов на периодически
изменяющиеся поля и что, наконец, их нельзя распространить на описание
атомов со многими электронами" *). Итак, отказ Гейзенберга от этих
величин, кек от наблюдаемых, основывался на двух эмпирических фактах:
на экспериментальной невозможности непосредственно измерить их и
на практической беспомощности теории, допускавшей возможность их
наблюдения. Упомянутые величины, взятые из классической кинематики,
он заменил на оптические величины — частоту и интенсивность, или, вернее,
амплитуду дипольных колебаний 7) - и изучил, можно пи последовательно
развить теорию, признающую эти величины наблюдаемыми. В сущности
позиция Гейзенберга в этом смысле напоминала позицию Эйнштейна, с
') Archive for the History of Quantum Physics. Интервью с В. Гейзенбергом от
15 февраля 1963 г. (О разговоре Гейзенберга с Эйнштейном см.: Рушр Ю.Б. Возник-
Возникновение матричной механики. — В кн.: 50 лет квантовой механики. — М.: Наука
1979, с. 17- 1В. - Примеч. пар.)
*) См. |1],с.В79; [1«),с. 574.
'I Его работа над проблемой дисперсии показала, что экспериментально опраде
лить можно на только квадраты модулей этих амплитуд (интенсивности), но и их
фазы.
198
точки зрения которого концепция ньютоновского времени потеряла свою
физическую значимость не только потому, что она не допускала опера-
операционального определения, как было им показано в анализе одновременнос-
одновременности пространственно разнесенных событий, но и потому, что классическая
физика, считавшая ньютоновское время наблюдаемой, противоречила
опыту.
Второй фундаментальной особенностью, характерной для подхода Гей-
аанберга, был способ использования принципа соответсвия Бора. Как упо-
упоминалось выше, перевод классических формул на язык квантовой теории
Обычно требовал большого количества догадок, а ориентир был только
один — принцип соответствия. Почти в каждой задаче приходилось поль-
пользоваться им по-своему, каким-то специальным образом, зависящим от
Специфики задачи. Гибкость принципа и приносимые им обильные плоды
казались достоинством в глазах физиков, подобных Бору, с преимущест-
преимущественно синтетическим складом ума, но его податливость и некоторая бес-
бесформенность отвращали теоретиков с более аналитическим подходом,
таких, как Зоммерфельд. Гейэенберг, неходившийся под влиянием и
Зоммерфельда, и Бора, рассмотрел теперь возможность "угадать" 8) -
¦ согласии с принципом соответствия - не решение частной квантовотео-
квантовотеоретической задачи, а математическую схему новой механики. Включая
раз и навсегда подобным образом принцип соответствия в сами основания
Теории, он стремился исключить, и притом не нанося ущерба его общности,
необходимость неоднократного его использования в каждой частной задаче.
Гейэенберг, надеялся, что такое "растворение" принципа соответствия в
основах теории откроет математически строгий путь для решения квантово-
теоретических задач без потери эффективности принципа. В последующем
анализе "кинематики квантовой теории", как незвал ее Гейэенберг, мы
увидим, насколько искусно он использовал принцип Бора и как из "дога-
"догадок" построил "почти неизбежную" ') процедуру.
В класссической физике любую зависящую от времени величину ?„ =
utnit) можно представить в видефурье-разложения'?)
t, = 2?(л, т) « 2х (л, т) ехр[2тг/»>(л, т) г], E.1)
т т
где т-я фурье-компонента { (л, г) характеризуется амплитудой х (л , т) и
Частотой v (л, г) = tv (л, 1) = tv. Гейэенберг предположил далее, что подоб-
подобно тому, как согласно принципу соответствия Боре имеется соответствие
Между квантовотеоретической частотой vn<n_r и v{n, т), существует
соответствие между квантовотеоретической величиной xnn_r и фурье-
¦мплитудой х (л, г). В символическом виде можем записать
v{n,T) +-*vn>n_T E.2)
*) Heisanberg W. Erinnerungen an die Zeit der Entwicklung der Quantenmechanik. — in:
Theoretical Physics in the Twentieth Century/ed. M. Fieri, V.F. Weisskopf. - NY.: inter-
«fence, 1960, p. 40—47. "Alto war ei vielliecht auch moglich, einfach durch geschicktes
Irraten einet Tages den Obergang zum vollst'a'ndlgen mathematischen Schema der Quanten-
Quantenmechanik zu vollziehen" (p. 42). ("Значит, не исключалась также возможность того.
«то однажды просто удачная догадка позволит осуществить переход к полной мате-
математической схеме квантовой механики").
'*) ГвОзшмбврг В. Воспоминания об эпоха развития квантовой механики. — В кн.:
Теоретическая физика XX века [3.218»]. с. 53-59; см. с. 55.
') "... nahezu zwanglaufig". A),S. 883.
••
") В дальнейшем вместо ? будем сокращенно писать Г.
г= -•• т
19»
и аналогично
х{п, т) ~-*х„>п_т. E.3)
Из опредепения величин или из требования вещественности получаем
v(n. -т) = -р(п, т), E.4)
х(л, -т) =х"[п,т). E.5)
Vn-T,n = -Vn,n- r. E.6)
хп-т,п ~ хп,п—т> E.7)
v [п. т) +v{n, т) = v (п, т + т), E.8)
"n.n-r +»;n-r>n-r' =»Чп-т'- E-9)
Гейзенбрег видел, что несмотря на соответствия E.2) и E.3) выражение
вида
аналогичное E.1)., не имеет никакого физического смысла, хотя бы только
из-за равноправного в сущности статуса индексов в рп,п_г. Тем не менее
он предположил, что "набор" ("Gesamtheit") { xnn_i.expBjr/pnn_rf)}
или, короче, {{„„_,.} можно выбрать как квантовотеоретическое пред
ставление классической величины {„ (г):
in ¦"*{х„(„_гехрBт/1Ч„_гг)} • E.10)
В классической физике имеем
Й'{2х(л, т') exptfjr/^n, т) t)} X
X { 1х {п, т - т') exp[2viv(n, т - т') t)} . E.11)
т
ИЛИ
Й-2Bх(л,т')х(я,т- т) exp [2viv(n, т) t) X
т т'
X exptfjr/i^T-T'jf]} , E.12)
так что в силу E3)
Й - 2 хB) (л. т) ехр12я/р(п, т) г], E.13)
т
где
хB)|л,т|-2х(п,т'|х(п,т-т'|. E.14)
т'
Теперь Гейзенберг задал себе вопрос: "Как величина $„ должна быть пред
ставлена в квантовой теории?" Иными словами,если в соответствии с E.10)
& **{*n2n-rexpBJT/ivn_T)f}, E.15)
то как выражается х^_г?
Непосредственная 'замена классических величин в E.12) на квантово
теоретические в согласии с E.2) и E.3) дает для гго члена в наборе,
представляющем {*, выражение
2 хпп_тхн-пАт_т )expBjr/pn;i_rf)expBff/>'B,n_(r_r)f). E.16)
т'
200
Произведение фазовых множителей в E.16) не дает exp[2vivnn_Tt),
т.е. фазового множителя, требуемого соотношением E.15); такой мно-
множитель, если иметь в виду E.9), дает произведениеexpBrr/Vn „_r'f)X
X expBn/cn_rn_r(). Поэтому Гейзенберг постулировал - и это он назвал
"почти неизбежным", - что E.16) надо заменить выражением
2х„1П_т'хп_т',„_гехрB7Ш>„,„_,-• Г) ехрBя/»„_,.¦_,,_rf). E.17)
т
которое, конечно, можно переписать в форме
Bхп,„_гх„_г>„_г)ехрBя/>„1П_гЦ, . E.18)
т
так что требуемое правило умножения имеет вид
х(Л„_г = 2х„,„_г-х„_г-,„_г. E.19)
т
Обобщив E.19) и получив выражения для {* и произведения двух вели-
величин, например, {„т?„, где
Vn *-*{ yn,n-T^p[2itivn n_Tt)} ,
Гейзенбрег нашел, что в общем случае ?„>7„ ^ Vntn. так как
~ Хц, п—т' Уп—т',п — т ^ ~ Уп,п — т' Хц — г'.п—т-
т т
Итак, новый вид умножения оказался некоммутативным.
Завершив рассмотрение "кинематики", во второй части статьи Гейзен-
Гейзенберг перешел к обсуждению "механики" нового формализма. Ради просто-
простоты мы рассмотрим здесь только линейный случай.
В старой теории решение динамической задачи шло в два этапа: реша-
решалось уравнение движения mx + f{x) = 0 и удовлетворялось квантовое ус-
условие J = fp dq Bfmifdt = nh. С помощью E.2), E.3) и нового правила
умножения было нетрудно преобразовать уравнение движения в соотно-
соотношения, которым должны удовлетворять квантовотеоретические амплитуды
хП}„-т. Для определения этих "амплитуд перехода" следовало учесть
квантовотеоретический вариант квантового условия. Чтобы получить его
в рамках нового формализме, Гейзенберг непосредственным вычислением
показал, что с учетом E.1) и E.8) квантовое условие имеет вид
J = / mi2dt = Av2m 2 тр [п, г) |х (п, г) I2 = nh.
о т
или, после дифференцирования по п,
Л = 4я2л7 2г (р(п.т)\х{п.т)\2).
т dn
Используя правило соответсвия D.17) или, вернее, его обобщение из тео-
теории дисперсии Крамерса - Гейзенберга,
ЭФ (л, г)
г — *¦* Фл+г.л -Фп.п-г.
Ьп
Гейзенберг нашел
2-\хп.п_т\21>„,„-т} E.20)
201
или, как очевидно,
h = Bn2ml { |хя+г,п|Ч+Г1„-|х„.„_г|Ч.„_г}. E.2D
г« О
а это согласно D.20) есть не что иное, как "теорема f-суммирования" То-
Томаса - Куна D.23).
В заключительной части статьи Гейзенберг применил теорию к ангармо-
ангармоническому осциллятору (задача о гармоническом осцилляторе не требовала
использования нового правила умножения), классическое уравнение для
которого имеет вид х + ш1х + Хх2 = 0. Он нашел, что с точностью до членов
второго порядка ~Х2 энергия W дается выражением
W=—— („+ 1/2). E.22)
2
Из E.22) вытекало, что и для гармонического осциллятора (X = 0) энергия
зависит от л+1/2,а не равна WBnhv0, как в старой квантовой теории.
Далее Гейзенберг применил свой новый формализм к ротатору, т.е. к
электрону, вращающемуся вокруг ядре с постоянной угловой скоростью со
и на постоянном удалении а от него. Из уравнения E.21) и предположения,
что в основном состоянии излучения не происходит, он нашел
Л
*„,„_,=— -п. E.23)
41г*та2
а из E.19) для энергии
)
Вп2та2
E.24)
в согласии с наблюдениями Кратцера" ). И все же, несмотря на эти обод-
ободряющие результаты и их согласие с опытом, Гейзенберг завершил статью
следующим замечанием: "Можно ли считать, что предложенный метод
определения квантовотеоретических данных на основе соотношений между
наблюдаемыми величинами уже в-принципе удовлетворителен, или же это
еще слишком грубый подход к несомненно очень сложной физической
проблеме построения квантовотеоретической механики, станет ясно только
после глубокого математического исследования метода, использованного
здесь пока что очень поверхностно" п).
Упомянутое выше решение задачи об ангармоническом осцилляторе
было получено Гейзенбергом в конце мая 1925 г., когда он оправлялся
на острове Гельголанд от тяжелого приступа сенной лихорадки. В июне
он вернулся в Гёттинген и принял предложение выступить с лекциями в
Кавендишской лаборатории Кембриджа. Все еще сомневаясь, есть ли какой-
то смысл в его работе, Гейэенберг решил "либо закончить ее за несколько
дней, остававшихся до отъезда, либо бросить в огонь" и послал статью
Паули с просьбой вернуть ее через 2-3 дня со своими комментариями.
Ответ Паули был благоприятным, и в середине июля Гейзенберг передал
статью Борну, которому срезу же стала ясна важность идеи. Борн послал
стетью в редакцию Zeitschrift fur Physik, где она была получена 29 июля.
" I Kretxer AStorunoen und Kombinationprinzip im System der violetten Cyanbcnden. -
MUnchener Berichte, 1922, S. 107-118.
"I Cm. [1].c. 893; [1«]. с 586.
202
Самым удивительным в статье Гейзенберга было, конечно, представле-
представление физических величин в виде "неборов" комплексных чисел, зевисящих
от времени, и своеобразное правило их перемножения. Борн тоже был
озадачен. "Гейзенберговское превило умножения, — вспоминал Борн в
Нобелевской лекции, — не давало мне покоя, и через восемь дней интен-
интенсивных реэмышелений и проверок в моей памяти воскресла некая алгеб-
реическая теория, которой учил меня проф. Роэанес в Бреслау" 13). Борн
увидел, что "наборы" Гейзенберга были теми самыми матрицами, с кото-
которыми он познакомился в 1903 г. юным студентом университета г. Брес-
Бреслау*), посещая лекции по алгебре и аналитической геометрии Якоба Розане-
са14), ученика Фробениуса ").
Странное превило умножения Гейзенберга оказалось не чем иным, кек
правилом умножения матриц—"строка на столбец" или, переходя к симво-
символике: если через х обозначить матрицу с элементами [хт„] и через у -
матрицу [ут„]. то элемент в т-Л строке и n-м столбце произведения этих
двух матриц находится следующим обрезом:
n
Эта формула была впервые указана 70 лет тому назад Артуром Кэли16),
впрочем, только для конечных квадратных матриц.
В связи с нашим обсуждением гейзенберговского матричного представ-
представления квантомеханических состояний, вероятно, небезынтересно сделать
следующее математическое отступление. Как хорошо известно, впоследст-
впоследствии в квантовомеханическом формелиэме использовались - в дополнение
к матрицам и помимо комплексных функций (шрё'дингеровских волновых
11) So/y» M. Die statistische Deutung der Quantenmechanik. - In: Les Prix Nobel en
1954. - Stockholm, 1955. p. 79-80; In: Nobel Lectures - Phytict A942-1962). -Amster-
-Amsterdam, L., N.Y.: Eltevier, 1964, p. 256-267; In: Ausgewahlte Abhandlungen [3.116), Bd 2.
8. 430-431; In: Dokumenteder Naturwittenschaft [1], Bd 2, S. 1-12.
" *) Борн М. Статистическая интерпретация кааитовой механики. — В кн.: Физика в
жизни моего поколения A.116»), с 301—315 (см. с. 305).
*) Теперь г. 8роцлав.
14) ТрудРозанеса (De polarium reciprocarum theorie obtervationes. - Breslau: Storch,
1865) завершался словами: "Физические законы, не сублимированные математически,
не могут быть ни выражены, ни поняты", — заявпение, небезынтересное для нашего об-
обсуждения.
" I Следует напомнить, что Г. Фробениус внес немаловажный вклад в развитие
алгебраической теории матриц (см. особенно его классическую статью: Frobenius G. Li-
neare Substitutionen und bilineare Formen. — Journal ftir die reine und angewandte Mathe-
matik (Crelle), 1B78, Bd84, S. 1-63). В статье: Ueber homogene totale Diffirentialgleichun-
gen. — Ibid., 1879, Bd86, S. 1-19, он ввел понятие ранга матрицы.
") Cayley A. Sept differents memoires d'analyte. - Journal fur die reine und angewandte
Methemetik (Crelle), 18B5, Bd5O, S. 272-317. В третьем мемуара, оставленном "Заме-
"Замечания об обозначениях anгебраических функций" (с. 282—2В5), Кэпи впервые об-
обсуждает матрицы и правило умножения: "Спедует обратить внимание на умножение
матриц: чтобы образовать строки результирующей матрицы, надо комбинировать
строки певой матрицы и стопбцы правой матрицы" (с. 284). Впрочем, следует заме-
заметить, что понятие матрицы как "упорядочивания чпанов" в виде строк и стобцов.из
которого можно образовать детерминант, уже появпялось в статьях Сильвестре [Sylves-
[Sylvester J.J. Additions to the articles "On a new clesj of theorems..." and "On Pascal's Theo-
Theorem". - Philosophical Magazine, 1B50, v. 37, p. 363-370: In: The Collected Mathemetical
Papers of James Joseph Sylvester: Cambridge University Press, 1904, v. 1,p. 145-151).
Но представление о матрице как о характеристике пи ней но го преобразования быпо
дано Кзли, опредепившим матрицу как "сокращенное обозначение системы пинейных
уравнений"; ему же принадлежит первое строгое изложение алгебраической теории
матриц. Ср. Cayley A. A memoir on the theory of matrices. — The Philosophical Transec-
tions of the Royal Society of London, 1B5B, v. 148, p. 17-37; In: The Collected Mathemati-
Mathematical Papers of Arthur Cayley: Cambridge University Press, 1BB9, v. 2, p. 475—496.
203
функций) - также векторы в гильбертовом пространстве и, уже в кванто-
квантовой механике частиц со спином, кватернионы17). Примечательно, однако,
что именно эти три математических понятия — матрицы, многомерные
векторы, кватернионы - оказались вовлеченными в исторически интерес-
интересный спор о приоритете открытия матриц. Сильвестр18) отдал Кэли честь
единственного открывателя матриц, назвав его статью 1858 г. "вторым
рождением алгебры, ее перевоплощением в новой и прославленной форме".
Семью годами позже Гиббс сурово раскритиковал Сильвестра за это ут-
утверждение и, обратившись к трудам Грассмана "Ausdehnungslehre9) ,
заявил, что "ключ к теории матриц, безусловно, содержится в первом из
Ausdehnungslehre; если рождение матричного исчисления называть вторым
рождением алгебры, то дату этого события мы не можем отнести позже,
чем к памятному 1844 г." м). Как мы увидим позже, Грассман предвос-
предвосхитил многие результаты теории линейных векторных пространств. Так
вот, Гиббс,считал 1844 г. памятным годом в истории математики, посколь-
поскольку именно тогда появилась первая статья Гамильтона по кватернионам21).
Но Гамильтону также приписывали открытие матриц! Первым это сделал
Тэт. В письме к Кэли, который на свое несчастье показал, что кватернионы
можно представить матрицами второго порядка с комплексными элемен-
элементами, Тэт, ссылаясь не "линейные и векторные операторы" Гвмильтонв, наз-
назвал открытие Кэли не более чем модификацией идей Гвмильтонв. Не это
Кэли решительно заявил: "Я пришел к понятию матриц, безусловно, без
какого бы то ни было влияния кватернионов..." 22). Вновь к этому вопро-
вопросу вернулся в 1890 г. Табер23), зеявивший: "Создателем теории матриц
следует считать Гвмильтонв, ибо он первым показал, что символ линейного
преобразования может быть сделен предметом исчисления" м). Попытки
проследить и депьше за этим спором, в который были вовлечены У.К. Клиф-
Клиффорд, А.Н. Уайтхвд, А. Бухгейм и, в XX веке, Т.Дж. И'Э. Бромвич (послед-
(последний предпочел заявить, что "он не в состоянии высказать никакого мнения
по этому вопросу" 2S), ували бы нас слишком далеко от основной темы.
") Кватернионы были использованы в физике Тзтом еще в 1867 г. Ga/°r P.G. An
Elementary Treatite on Quaternions. - Oxford: Clarendon Press, 1867, p. 248-311). О
возможности использовать их в современной физке напомнил Ф. Клейм в лекции, про-
читенной в 1910 г. в Гвттингенском математическом обществе, где он показал, что
преобразования Лоренца, трактуемые квк четырехмерные вращения в пространстве
Минковского, удобно описывать с помощью кватернионов (ср. Klein F. Ober die geo-
metrische Grundlagen der Lorentzgruppen. - Physikelische Zeitschrift, 1911, Bd12, S. 17-
27). Систематическое использование кватернионов в квантовой механике началось
(но, впрочем, на стало популярным) после того, кек было признано, что спиновые
матрицы Паули по существу являются базисными элементами кватернионов. Недавно
была сделана попытка описать элементарные частицы с помощью кватернионов. См.
Schramp B.J. Isotopic (pin and the group-tpaca of the proper Lorentz group. - Physical Re-
Review, 1955, v. 99, p. 1603; A//COC* СЯ. A space-time model of isotpace. — Nucleer Physics,
1961, v. 27, p. 204-233; ср. также Pitcher O.F. Universal Mechanics and Hamiltons Quater-
Quaternions. -Stockholm: Axion Institute, 1451.
"I Sylvester J.J. The genesis of an idea, or story of a discovery relating to equations in
multiple quantity. - Nature, 1884, v. 31, p. 35-36.
'*) Grastmann H. Die lineale Ausdehnungslehre. - Leipzig: Wigand, 1878; In: Gesammelte
methematische und physikelische Werke. - Leipzig: Teubner, 1894, 8d1.
10) Gibbs J.W. Quanternions and the 'Ausdehnungslehre'.- Nature, 1891, v. 44, p. 79- 82.
11) Hamilton W.R. On quaternion*; or on a new system of imaginaries in algebra. — Philo-
Philosophical Magazine, 1844, v. 25, p. 10-13,241-246,489-495.
") Cp. Knott C.G. Life and Scientific Work of Peter Guthrie Tait: Cambridge University
Press, 1911, p. 153, 164.
") Taber H. On the theory of matrices. — American Journal of Mathematics, 1890, v. 12,
p. 337-395.
14) Там же, с. 337.
11) Bromwich TJ.I'A. Review of Muth's Elementertheiler. — Bulletin of the American
Mathematical Society, 1901, v. 7, p. 308—316.
204
Матрицы, многомерные векюры и кватернионы являются расширения-
расширениями понятия вещественных чисел. Но если не считать комплексных чисел,
все расширения оказались возможными только ценой отказа от принципа
неизменности Ганкеля26), согласно которому для более общих понятий
должны удовлетворяться законы, справедливые для первоначапьных поня-
понятий, послуживших "материалом" для абстракции. Так, сохранив законы
ассоциативности и дистрибутивности, надо было пожертвовать законом
коммутативности. Это и было той ценой, которую пришлось заплатить
за отыскание математического аппарата, подходящего для описания атом-
атомных состояний.
В этом математическом процессе обнаруживается определенная аналогия
с фундаментальным эпистемологическим принципом, который Гейзенберг
однажды сформулировал так: "... почти каждое продвижение в развитии
естествознания достигается ценой отказа от чего-либо предшествующего;
почти для каждого интеплектуального шага вперед необходимо пожертво-
пожертвовать вопросами, представлениями и понятиями, которые до этого считались
важными и существенными. Таким образом, расширение знаний в извест-
известной мере уменьшает притязания ученых на полное "понимание" при-
природы" ").
До 1925 г. матрицы радко использовались физиками. Достойными вни-
внимания исключениями были нелинейная электродинамика Мим) и работа
Борна29) по теории кристаллических решеток. Но даже и в этих исклю-
исключительных случаях матрицы не употрабляпись в алгебраических операциях;
в частности, не бы по и речи об умножении матриц. В общем и целом счита-
считалось, что матрицы относятся исключительно к сфере чистой математики.
При ретроспективном взгляде представпяется почти сверхъестествен-
сверхъестественным, насколько вовремя подготовит математика свои будущие услуги
квантовой механике. Так, стандартное руководство по теории матриц30)
появилось в немецком переводе ) в 1910 г., всего чераз год после публи-
публикации обширного труда по детерминантам, где впервые были рассмотрены
бесконечные детерминанты32). Второе, пересмотренное издание этого труда
было завершено в мае 1924 г. В это же врамя Курант, используя лекции
Гильберта, закончип в Геттингена первый том известных "Методов мате-
математической физики" 33). В этом томе, вышедшем в свет в конце 1924 г.,
содержались именно те разделы алгебры и математического анализа, на
которые должна была опереться при будущем своем развитии квантовая
") Htnkel H. Vorlesungen fiber die complexion Zahlen. — Leipzig: Vost, 1867
171 Htisenberg W. Zur Getchichteder physikalischen Naturerklarung.-Sachsische Berichte,
1933, Bd85, S. 29-40.
17*) Гейзенберг В. К истории физического объяснения природы. - В кн.: Гейзен-
верг В. Философские проблемы атомной физики. - М.: ИЛ, 1953, с. 20-33.
") Mie G. Grundiagen einer Theorie der Materie. - Annalen der Physik, 1912, Bd37,
6. 511-534; 1912, Bd39,S. 1-40; 1913,Bd40,S. 1-66. Ср., например, с 525.
"I Ср., например. Born M. Ober elektrostatische Gitterpotentiale. - Zeitschrift fOrPhy-
Ilk, 1921, Bd7, S. 124-140; In: Aujgewalte Abhandlungen [3.1161, Bd1,S. 434-450. В
этой статье упоминается "матрица коэффициентов" некоторой алгебраической формы
(с 129, с. 439).
90) BocherM. Introduction to Higher Algebra. - N.Y.: Mecmilian, 1907.
11) BocherM. Einfuhrung in die hohere Algebra. - Leipzig: Teubner, 1910.
" j Kowalewski G. Einfuhrung in die Determinantentheorie ejnschlie0lichderunendlichen
undder Fremdholmschen Determinanten. — Leipzig: Veit, 1909.
"\Courant ft., Hi/bert D. Methoden der mathematitchen Physik. - Berlin: Springer,
1924, Bd 1. Второе издание появилось в 1931 г., перевод на английский язык - в 1953 г.
"*) Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. —3-еизд., испр. - М.,
Л.: ГИТТЛ, 1951, т. 1.
205
механика; его ценность для последующего бурного роста квантовой теории
вряд ли можно преувеличить.
Одним из помощников Куранта в подготовке этой работы к печати был
Паскуаль Йордан34). Поэтому ему пришлось познакомиться с теорией
матриц, и он тщательно изучил соответствующие разделы книги Боше3'),
равно как и другие публикации, приобретя большой навык в обращении
с матрицами36).
В это самое время Борн искал квалифицированного помощника для
работы по подведению логически прочного фундамента под новую матрич-
матричную механику. Сначала он обратился к Паули. Хотя, как мы увидим,
Паули вскоре сделал важный вклад в матричную механику, сейчас он
отказался от предложения Борна. Для подобной работы было непросто
найти компетентного помощника: физики либо не знели, что такое мат-
матрицы37), либо, если знали, неохотно применяли их к теоретическим зада-
задачам. Вероятно, подобной антипатией объясняется, почему историческая
статья Гейзенберга 1925 г. не попала в Physikalische Berich'te, официальный
реферативный журнал Немецкого физического общества, ранее 1927 г. и
была изложена в одной фразе, написанной кем-то из редакторов журна-
журнала38). Не намного более подробным был и реферат, опубликованный в
1926 г. в Science Abstract, журнале, который издавался Институтом инже-
инженеров—электротехников совместно с Физическим обществом Лондона и
Американским физическим обществом39).
Следует заметить, впрочем, что пассивность, с которой была встречена
матричная механика Гейзенберга, следовало приписать не только новизне
математического формализма, но и, по крайней мере частично, непривыч-
непривычности ее концептуальных предпосылок. Так, например, Сегре ), расска-
м) Это отмечает Курант в предисловии к книге [33].
") См. [30], гл. 22-25.
34) Archive for the History of Quantum Physics. Интервью с П. Йорданом от 17 июня
1963 г.
") Положение дел в 1925 г. хорошо иллюстрируют замечании Гейэенберга по пово-
поводу письма от Йордана: "Теперь ученые геттинганские математики так много говорят
об эрмитовых матрицах, а я даже не знаю, что это такое". Известно, что даже Борн об-
обращался к Отто Теплицу с вопросами по поводу некоторых свойств матриц. В этой
связи заслуживает внимания следующий эпизод (мы приведем его в изложении Э. Кон-
дона, который в 1926 г. посетил Мюнхен и Гёттинген как член Международного совета
по образованию). "У Гильберта был случай неплохо посмеяться над Борном, Гейзен-
бергом и гёттингскими физиками-теоретиками. Когда они создавали матричную меха-
механику, они, естественно, столкнулись с теми се мы ми трудностями, с которыми встре-
встречается каждый при попытке решать задачи с помощью матриц и реально научиться
пользоваться ими. Поэтому они обратились к Гильберту за помощью, и тот сказал, что
ему приходилось встречаться с матрицами лишь в тех случаях, когда они появлялись
как своего рода побочный продукт при нахождении собственных значений краевой за-
задачи дифференциального уравнения. Поэтому, если поискать дифференциальное урав-
уравнение, для которого характерны такие матрицы, можно, наверное, узнать побольше
обо всем этом. Они сочли, что это бестолковая идея и Гильберт не понимает, о чем го-
говорит. Поэтому он получил массу удовольствия, указав им не то, что они могли бы
открыть волновую механику Шредингере на полгода раньше, если бы с несколько
большим вниманием отнеслись к его словам". (Condon E.U. 60 Years of Quantum Phy-
Physics. - Physics Today, 1962, v. 15, p. 37—49). Цитата находится на с. 46.
'*) "Сделана попытка создать основы квантовотеоратической механики, базирую-
базирующейся исключительно на связях между принципиально наблюдаемыми величинами". -
Physikalische Berichte, 1927, S. 1205.
") Science Abstract, 1926, v. 29, p. 14.
*") Segri E. Biographical Introduction. - In: The Collected Papers of Enrico Fermi: Uni-
University of Chicago Press; Roma: Accademia National dei Lincei, 1962, v. 1, p. XVII-XLll.
Гаудсмит живо описал (см. C.226]), насколько обескуражен был Ферми после посе-
посещения Гёттингена. Эранфест, рано уверовавший в талант Ферми на основании егосте-
тей, попросил Улвнбека (который в то время был учителем сыновей голландского
206
эывая о том, как Ферми, попучив в 1923 г. стипендию итальянского минис-
министерства просвещения для заграничной поездки, избрал Гёттинген для
работы под руководством Борна, но вскоре переехал в Лейден, пишет в
этой связи: "Великая статья Гейэенберга по матричной механике в 1925 г.
не показалась Ферми особенно ясной, и он овладел квантовой механикой
позже, лишь ознакомившись с волновой механикой Шрёдингера. Я хочу
подчеркнуть, что эта позиция Ферми никоим образом не вызывапась мате-
математическими трудностями и новизной матричной алгебры - подобные
трудности были для него не более чем мелкой помехой; скорее, ему быпи
чужды физические идеи, лежащие в основе этих статей". Ясно, что абстракт-
абстрактные, почти философские черты статьи Гейэенберга отпугивали от нее физи-
физиков, больше склонных к эксперименту. Но именно эти черты, рассматривае-
рассматриваемые как знак начала новой эры прогресса в теоретической физике, привле-
привлекали к статье внимание теоретиков с большей склонностью к философии —
если вообще привлекали внимание. Так, Бор, выступая на шестом Сканди-
Скандинавском математическом конгрессе, который состоялся в Копенгагене в
конце августа 1925 г., всего через несколько недель после завершения
стетьи Гейэенберга, оценил ее как выдающееся достижение. Для него,
конечно, в статье не было ничего "чуждого"; напротив, он заявил: "Весь
аппарат квантовой механики можно рассматривать как точную формули-
формулировку тенденций, заложенных в принципе соответсвия" 4|). Завершая
выступление. Бор заметил: "Будем надеяться, что началась новая эра
взаимного стимулирования механики и математики".
Случилось так, что Бори, отправившись поездом в Ганновер, в беседе
с гёттингенским коллегой рассказал о быстром продвижении в своей
работе и упомянул о специфических трудностях, связанных с матричными
расчетами. По счастью и почти что по веланию судьбы Йордан, ехавший
в том же купе, услышал этот разговор. На ганноверском вокзале Йордан
представился, рассказал о своем опыте работы с матрицами и выразил
готовность помочь Борну в работе42). Вот так и началось плодотворное
сотрудничество, результатом которого была фундаментальная статья
посла в Риме) передать Ферми, только что вернувшемуся и* Гёт тин гена, приглашение
приахать в свою лабораторию в Лейден. Ферми, который после фиаско в Гёттингене
был близок к тому, чтобы совсем оставить физику, получил тем самым возможность
стать на йоги. Более того, как сообщает Латиль в биографии Ферми, блегодеря друж-
дружбе с Уленбеком Ферми посетил в 1930 г. Мичиганский университет, куда к тому време-
времени первбрелисьУленбек и Геудсмит. Благоприятные впечатления от этого визите были,
по словам Латиля, "решающим фактором в последующем решении Ферми эмигриро-
эмигрировать в Соединенные Штаты". [Latil P. Enrico Fermi. — L.: Souvenir Prets; Toronto: Ryer-
•on Prett, 1965, p. 29; см.Легол» /7. Энрико Ферми. -M.: Атомиздат, 1965. — Примеч.
пер.)
40•) По-видимому, утверждение Геудсмитв о готовности Ферми оставить физику
излишне драметизирует события. По словам акад. Б.М. Понтекорво, ученике Ферми,
обескураживвющие результаты столь, казалось бы, интересной поездки объясняются
главным обрезом тем, что "двадцатилетний Ферми еще не овладел той уверенностью,
которая тек необходима для творческой работы. Как рассказывал сам Ферми, он на-
наконец обрел такую уверенность блегодеря выдающемуся физику-теоретику П. Эран-
фесту" (Понтекорво Б.М. Энрико Ферми. - В кн. Ферми Э. Научные труды. - М.:
Наука, 1971, т. I, с. 9-45; цитата на с. 19). См. тек же Понтекорво Б.М., Покров-
Покровский В.Н. Энрико Ферми в воспоминаниях учеников и друзей. - М.: Наука, 1972,
с. 21-24; СегреЭ. Энрико Ферми -физик. - М.: Мир, 1973,с. 50-56.
41) Bohr N. Atomic Theory and Mechanic». - Nature, 1925, v. 116, p. 845-852 (цитата
нас.В52); Atomtheorie und Mechenik. - Die Naturwissenscheften, 1926, Bd14, S. 1-10.
41 •) Бор H. Атомная теория и механика. — В кн.: Избранные научные труды,
т. II, [1.175*1, с. 7-24 (см. с. 23).
41) Archive for the History of Quantum Phytict. Интервью с М. Борном а июне 1960 г.
(записано П.П. Эвальдом).
207
Борна и Йордана "О квантовой механике" 43), первая строгая формули-
формулировка матричной механики. Эта статья была получена редакцией Zeitschrift
fiir Physik 27 сентября 1925 г., ровно через 60 дней после статьи Гейзен-
берга.
В статье Борна — Йордана четыре раздела. Первый содержит необходи-
необходимые теоремы из теории матриц. Во втором разделе развиваются основы
квантовой динамики невырожденных систем с одной степенью свободы.
Представляя классическую координату q (ранее обозначавшуюся через х)
в виде матрицы q « lqmnexpi2nivmnt)] и импульс р в виде матрицы р =
* [Аппвхр B*/>„,„() ], Борн показал, что из условия экстремума следа
матрицы
L'pq-H{p.q).
где qB I2nivmnqmnexpi2nivmnt)] и Hip, q) - (матричная) функция
Гамильтона от матрицр и q, следуют канонические уравнения
q'bH/Ър. p = -bHlbq.
Представив независимо q и р в виде матриц, а не только q, как это
делал Гейзенберг, Борн впервые вывел, пользуясь позднейшим названием,
основное перестановочное соотношение в квантовой механике. Вывод
Борна основывается на принципе соответствия. Начав с квантового условия
старой квантовой теории
Mv
nh =J = fp dq = f pq dt,
о
Борн разложил ри«в ряды Фурье
р = 2р(л, r)expi2vivin. г) t),
т
q = "Lqin, г) exp{2niv[n, т) t)
т
и получил простым интегрированием, использовав формулу E.5):
nh = - 2vi E тр in, r)q* in, т).
г
Отсюда он нашел выражение
Э
Л/2я/ - - Z г — (р in, r)q' in, т\),
г Ьп
которое на языке квантовой механики в соответствии с правилом "перево-
"перевода", упомянутым на с. 201, имеет вид
Л/2я/-- Z(p(n+ т. n)q*in + т, п) -pin.n -r)q*in,n - г))
т
или, в соответствии с E.7),
/>/2я/ = Z \р\п, п — T)qin — T,n)—qin,n* r)p(/7 + т.п)).
г
") Bom M., Jordan P. Zur Quantenmecrtanik. - Zeitschrift fur Physik, 1925, 8d34,
S. 858-888; In: AusgewShlte Abhandlungen C.116]. 8d2. S. 124-154; In: Dokumanteder
Naturwissenschaft [ 1 ], Bd2, S. 46-76.
" •) Борн М., Йордан П. О квантовой механике. - УФН, 1977. т. 122, с. 586-611.
208
Показав тем самым для диагональных элементов справедливость матрично-
матричного уравнения
pq-qp={h/2vi)l E.25)
A здесь, конечно, обозначает единичную матрицу), Борн предположил,
что оно справедливо и для недиагональных элементов. То, что это дейст-
действительно так, продемонстрировал Йордан, используя канонические
уравнения. Прежде всего было показано, что матрица, у которой про-
производная по времени обращается в нуль, является диагональной. Вычис-
Вычислив производную по времени от матрицы d = pq - qp, Йордан нашел с
помощью канонических уравнений, что it = 0, откуда следовело, как только
что говорились, равенство нулю всех недиагональных элементов. Итак,
фундаментальное правило квантовения E.25) было строго выведено.
Из уравнений движения следовало, что ря -ЯР является диагональной
матрицей. Из принципа соответствия вытекало, что все ее диагональные
элементы равны Л/2я/. Более того, поскольку уравнение E.25), как вскоре
понял Борн, является единственным фундаментальным уравнением, в
которое входит Л, само введение постоянной Планка в квантовую механи-
механику было также следствием принципа соответствия. В статье Борн и Йордан
назвали E.25) "усиленным квантовым условием" и уже распознали его
аксиоматический статус в логической структуре теории 4 ). "Я никогда
не забуду того глубокого волнения, которое я пережил, когда мне удалось
сконцентрировать идеи Гейзенберга о квантовых условиях в виде таинст-
таинственного уравнения pq - qp = h/2ni", - рассказывал Борн4'), вспоминая
о работе 1925 г.
В том же разделе совместной статьи Борн и Йордан вывели теорему о
сохранении энергии и условие частот Бора для случая Н * Hi (p) + Нг (q)
и показали, как надо обобщить эти условия при Н - Н [p. q).
В третьем разделе они применили теорию к гармоническому осциллято-
осциллятору и вновь получили результаты Гейзенберга. Однако если тому еще приш-
пришлось обращаться к принципу соответствия, чтобы показать, что переходы
происходят только между соседними стационарными состояниями 4б),
Борн и Йордан получили это ограничение в качестве логического следствия
их теории. Вслед за подробным рассмотрением ангармонического осцилля-
осциллятора статью завершало обсуждение квантования электромагнитного поля.
Закончив статью, Борн уехал в отпуск в Энгадин. Вернувшись в сентябре
из Швейцарии, он возобновил контакты с Йорданом и, с помощью писем,
с Гейзенбергом. В середине ноября была закончена знаменитая статья
Борна - Гейзенберга - Йордана "О квантовой механике II7). В статье,
**)". .. которое мы называем "усиленным" (verscharfte) квантовым условием и
на котором основаны вса дальнейшие заключения" ([431, с. В71, с. 137, с. 58; [43*],
С. 597).
*')BornM. Phyjic» in My Generation. - L., N.Y.: Pergamon Press, 1956, p. 100. Новиэ-
иу результата Борна по сравнению с результатом Гейэенберга откровенно признавал
мм Гейзанбарг: ". . . мне очень не нревилось, что к у не было равно ух. Я noQeran,
что это было единственным затруднением во всей схеме, и если бы не оно, я был бы
еоааршенно доволен. . . Я записал в качестве правила квантования правило сумм
Томасе — Куна, но не увидал, что это не что иное, как pq — qp". Archive for the History
of Quantum Physics. Интервью с В. Гейзанбергом от 15 февраля 1963 г.
*'*)Борн М. Физика и метафизике. — В кн.: Физика в жизни моего поколения
|1.166*1,с. 189-207 (см. с. 19В).
*') Поскольку в классическом пределе г - 1, Дл - t 1 (ср.с. 121).
*7) Вот М., Haisenberg И/, Jordan P. Zur Quantenmechanik II.—Zeitschrift fur Physlk,
1926, Bd35, S. 557—615 (получено редакцией 16 ноября 1925 г.); in: Born M. Ausge-
14. М.Джеммер 209
рассматриваемой как продолжение статьи Борна - Йордана48), получен-
полученные ранее результаты были обобщены на системы с произвольным конечным
числом степеней свободы, введены канонические преобразования, заложе-
заложены основы квантовомеханической теории возмущений, как зависящих от
времени, так и не зависящих, включая вырожденные случаи, и обсуждено
рассмотрение моментов импульса, интенсивностей и правил отбора с точки
зрения матричной механики. Но главное, в статье был развит логически
последовательный общий метод решения квантовомеханических задач и,
кроме того, вскрыта связь между математическим аппаратом матричной
механики и некоторыми исследованиями в обычной алгебре и математичес-
ко анализе. Как видно из этого краткого перечня, "работа трех" ("Drei-
Manner-Arbeit"), как любил называть ее Борн, была первым подробным
изложением основ современной квантовой механики в ее матричной
формулировке. С нашей точки зрения особого внимания заслуживают
последние два пункта из приведенного выше перечня. Ради простоты мы
ограничимся при анализе этих особенностей обсуждением динамических
систем только с одной степенью свободы.
Постулировав справедливость соотношения
Л
РЯ-ЧРЖ— 1. E.26)
2я/
которое они сначала назвали "фундаментальным квантовомеханическим
соотношением9), а затем — "перестановочным соотношением0),
Борн, Гейзенберг и Йордан показали, что для любой функции f(p, q), кото-
которую можно разложить в степенной ряд по р и q, выполняются следующие
уравнения:
Л Э/
Л-«/-—"Г". {527а)
2я/ dp
Л Э/
Pf-fP—r-7-r-. E.276)
2я/ bq
поскольку E.27) выполняются для q, p, их сумм и произведений.
Введя по аналогии с классической системой гамильтониан Hip, q) и
соответствующие канонические уравнения движения
ън . ън
Р'- — . Я"—~ . E.28)
bq dp
они следующим образом получили теорему сохранения энергии и правило
частот Бора. Поскольку уравнения E.27) справедливы при / = Н, имеем
otfhlte Adhandlungen[3.116], Bd2, S. 166-213; ln:Dokumenteder Naturwitsentchaft [1],
Bd2, S. 77-135.
4 ' *) Перевод этой статьи на английский ямк см. а кн.: Sources of Quantum Mecha-
Mechanic! [4.147. ]rp. 321-385.
41)См. {43,43.].
4<) "Fundamentale quantenmechanische Relation". См. [47], с. 562; с. 160; с. В2.
'°) "Vertauichungesrelation". См. [47], с. 577, с. 175; с. 97. Для сметам с нескольки
ми степенями свободы эти соотношения обобщаются и принимает аид
h
РпЯт - ЯтРп " ~ 6пт 1- РпРт ~ РтРп " °.
и т.д.; с. 573; с. 171; с. 93.
210
p = —Bni/h)[pH-Ир) и q = - Bя//Л)(qH — Hq); рассуждая аналогично
тому, как поступали при выводе E.27), найдем
2тг/
/= (/»-#/). E.29)
h
Но если / = И, из E.29) следует И = 0, а это доказывает теорему о сохране-
сохранении энергии и показывает, что Нпт - Wn 6 ят, где не зависящий от времени
диагональный элемент Wn интерпретируется как энергия системы в п-м
стационарном состоянии. Положив f = q, из E.29) немедленно получим
условие частот Бора vnm = (Wn - Wm )lh.
По словам Борна, Гейзенберга и Йордана, справедливо также и (почти)
обратное приведенному рассуждение, т.е. из предположения Й = 0 вытекает
E.28) в следующем смысле. Если можно найти две эрмитовых матрицы
/гид0 (их элементы по предположению не зависят от времени), для
которых выполняется перестановочное соотношение
E30)
pqqpj
2 я/
то для матриц
р = \р°пт ехрBя/1>„тt)]. q= [q°nmехрBя/>„т f)],
где Vnm- {Н„т -Hmm)lh, выполняются уравнения E.28) и перестановоч-
перестановочные соотношения. Это можно показать следующим образом. Легко прове-
проверить, что для произвольной функции fip.q) имеем
ifnmlp.iH -lfHmip°.1°\expi2iHunmt)]. E.31)
Подставив в E.31) функцию f{p. q) =pq-qp, из E.30) сразу получаем,
что р\л q удовлетворяют E.26). Поэтому можно воспользоваться E.27)
и получить
(ЪН\ 2тг/
-I—I =-—Шр-рН)„т =2iriunmpnm =pnm
\ bq /„,,, h
и аналогичное выражение для qnm, что доказывает справедливость уравне-
уравнений E.28).
Учитывая эти результаты, авторы смогли сформулировать, как должен
выглядеть процесс решения канонических уравнений движения: надо найти
две (не зависящих от времени) эрмитовых матрицы р° ид°, для которых
выполняется перестановочное соотношение, тогда выраженный через них
гамильтониан системы является диагональной матрицей.
Введя понятие канонических преобразований, Борн, Гейзенберг и Йор-
Йордан процесс решения уравнений движения и, в частности, нахождения значе-
значений энергии Нпп свели к определенным задачам алгебры и математического
анализа, для которых (хотя и при несколько более ограничивающих пред-
предположениях) существовали решения и которые изучались современной
математикой. Они назвали преобразование от переменных q.p к Q, Р "кано-
"каноническим", если оно сохраняло перестановочное соотношение, т.е. если при
РЯ -qp = (Л/2я/)/ выполнялось также и PQ - QP = (Л /2я/ ) /. Как видно
из уравнений E.27), при канонических преобразованиях канонические
уравнения движения также сохраняют свой вид. Легко видеть, что для
произвольной матрицы U преобразование
P=U*pU. Q = UlqU E.32)
14* 211
является каноническими что для произвольной функции/ (р,ц) имеем
/(Л Q) -fiU-lpU.irliU) = Vх f {p. Я W. E.33)
Последнее уравнение позволило Борну, Гейзенбергу и Йордану переформу-
переформулировать задачу следующим образом (имея в виду приведенные выше сооб-
соображения, можно'предположить, что все рассматриваемые в дальнейшем мат-
матрицы составлены из элементов^ не зависящих от времени): если даны мат-
матрицы риф, удовлетворяющие перестановочному соотношению, то надо най-
найти такое каноническое преобразование, что матрица
Н{Р, Q)-HiU-lp.U, UlqU) = UlH(p,q)U=W E.34)
является диагональной.
В третьем разделе 5') своей статьи Борн, Гейзенберг и Йордан показали,
что переформулированная подобным образом задача сводится к известной
математической процедуре. С этой целью они с каждой эрмитовой матрицей
а=[а„т] связали билинейную форму A(x,z) = Z а„тх„гт, такую, что
пт
А (х, х*) вещественна при любых xi, х2,... . Преобразование х„ = Zu'jy/,
характеризуемое матрицей и* = [и'п;}, переводит А(х, х*)в В {у, у) =
= 2Ьк/уку}, где Ь = [bkj] =u*au. Матрица и назывеется "ортогональной",
если она оставляет единичную эрмитову форму Е[х, х*) = ?х„ х* инвариант-
инвариантной s 2). Было показано, что необходимым и достаточным условием этого
является условие
«•=«¦•. E.35)
Далее указывается, что для конечных матриц всегда существует "ортого-
"ортогональное" преобразование "к главным осям", такое,что А(х, х*) ¦ T.\Nnyny'n,
что эквивалентно утверждению о существовании матрицы и, для которой
выполяются соотношения E.35) и
uxau~W=\Wnbnm\. E.36)
Далее Борн, Гейзенберг и Йордан ссыпаются на алгебраические методы и
их развитие в книге Куранте и Гильберта, с помощью которых значения
Wn в E.36) можно вычислять через а„т, не выполняя в действительности
указанного преобразования. Точно так же, говорили они, и элементы Wn
диагональной матрицы W в E.34) можно вычислить через элементы матри-
матрицы H(p,q), в общем случае недиагональной. Тем самым вычисление значе-
значений энергии они свели к решению задачи на собственные значения эрмито-
эрмитовых матриц в линейной алгебре. К сожалению, в общем случае квантовоме-
ханические матрицы, как это видно из E.26), не являются ни конечными,
ни даже ограниченными. Поэтому надо было допустить, что процедура,
справедливая в конечномерном случае, остается таковой и для бесконечных
матриц, если в дополнение к дискретному (или "точечному") спектру
собственных значений учесть еще непрерывный спектр собственных значе-
значений в согласии с результатами Гильберта и Хеллингера.
") Там же, с. 581-589; с. 179-183; с. 101-105. 8 дальнейшем через х'.кеки
ренее. обозначается комплексно-сопряженное энечение х, а через а — транспонирован-
транспонированная матрицаJ .
" ) Борн, Гейэеибарг и Йордан в 1925 г., видимо, не знали, что подобные преобра-
преобразования были уже в 1902 г. названы "унитарными" (Autonne L. Sur I'Hermitien. -
Rendiconti del Circolo Mathematico dj Palermo, 1902, v. 16, p. 104-128).
212
Как указали Борн и соавторы, уравнение E.34) аналогично дифферен-
дифференциальному уравнению Гамильтона — Якоби в классической физике, а
матрица U соответствует функции действия. Если к уравнению E.34),
записанному в виде HU=UW, лодойти как к уравнению для конечных
матриц, то из него следует соотношение
*lHmk-Wnbmk)Uknm0. E-37)
к
справедливое при лю5ом т. Из E.37) следует, что собственные значения Wn
являются корнями секулярного (или характеристического) уравнения
|#-Х/| = 0. E.38)
Поскольку для каждого Wn можно вычислить Umn, то можно определить и
матрицу преобразования U.
Как мы увидим из дальнейшего краткого обсуждения, зарождение и
развитие рассматриваемого аппарата было тесно связано с методами расчета
планетных движений в астрономии. Действительно, точно так же, как для
математического аппарата старой квантовой теории и, в частности, теории
возмущений, истоки математического аппарата матричной механики можно
проследить в исследованиях орбит планет и их спутников. По иронии судь-
судьбы, матричная механика, появившаяся в результате категорического отказа
Гейзенберга от понятия орбиты, в конечном счете должна была обратиться
к математике орбитального движения. О справедливости этого утвержде-
утверждения свидетельствует уже само название уравнения E.38). Астрономы назы-
называют уравнение этого типа "секулярным" (от латинского saeculum - поко-
поколение, saeculum civile — период в 100 пет), поскольку оно позволяет им
определять "секулярные" (долгопериодические) возмущения планетных
орбит, т.е. отклонения эксцентриситетов и наклонений от их средних
значений.
Именно в связи с астрономическими проблемами Лагранж 53), через
несколько лет после того как Эйлер 54) впервые обсуждал этот вопрос,
рассмотрел преобразование билинейной формы п переменных к сумме
квадратов (преобразование к главным осям) и решил эту задачу в случаях
Я'2ип = 3. В работе, представленной Берлинской академии наук в 1773 г.,
Лагранж5 5) показал, что все корни секулярного уравнения для симметрич-
симметричной формы трех переменных вещественны. Подобная задача интересовала
и его, и Лапласа 561 в связи с открытием того фекта, что наличие мнимых
корней привело бы к функциям, экспоненциально возрастающим со време-
временем и потому несовместимым с предположением об устойчивости планет-
планетной системы 571. Лагранж и Лаплас полагали даже — ошибочно, как позд-
") Lagrange L.Recherches sur la metode de maximis, et minimij. Miscellanea Philosophi-
co—Mathematics Societatit Privatae Taurentit (Miscellanea Taurensia), 1759, v. 1,p. 18—32;
In: Oauvret de Lagrange/ed. J.A. Secret. - P.: Cauthier-Villart, 1887, v. 1, p. 3-20.
*4) Culer L. Imroductio in analysis infinitorum. — Lausanne, 1748, v. 2 (Appendix: De
•uperficiebus secundi ordinis), p. 379-392. In: Opera Omnia. — Leipzig, 8erlin: Fiissli,
Taubner, 1945.
***)Эйлер Л. введение в анапиэ бесконечных. — М.: Физматгиз, 1961, т. 2,
с. 349-360,
") Lagrange L. Nouvelle solution du probleme du mouvement de rotation d'un corps
qualconque. - Memories de L'Acade'mie des Sciences et Belles-Lettres de Berlin 1773, p. 85;
In: Oeuvres [53], v. 3, p. 579-616.
'*) Laplace P.S.M. Traite* de Mecenique Ca'leste. - P., 1799 - 1825, v. 2, p. 1, art. 57;
In: Oauvres Completes de Laplace. - P.: Gautier - Villars, 1878, v. 1, p. 328.
") Аналогичная ситуация уже встречалась в элементарных задачах о линейных
колебаниях, где некоторые параметры являются корнями квадратного уравнения.
213
нее показал Рут 58), - что с этим предположением несовместимо и сущест-
существование многократных корней 59). Лагранж и Лаплас изучали секулярное
уравнение шестого порядка, поскольку в то время было известно только
шесть планет. После того как Уильям Гершель в 1781 г. открыл Уран,
астрономы и математики стали изучать методы решения секулярных урев-
нений седьмой степени; этим, например, занимался Якоби 60) в 1846 г.
В том же году Леверье и Адаме открыли Нептун, так что предметом иссле-
исследования стали секулярные уравнения восьмой степени " ). Между тем
результат Лагранжа относительно вещественности собственных значений62)
симметричной билинейной формы при п » 3 был обобщен в 1829 г.
Коши63), опять-таки в связи с астрономическими исследованиями, на
произвольные конечные пив 1855 г. Шарлем Эрмитом 64) распространен
на эрмитовы формы.
Конечно, параллельно этим исследованиям шло также изучение преобра-
преобразований к главным осям, проводимое геометрами и алгебраистами ).
Но наше подчеркивание важности астрономических расчетов орбит для
развития математического аппарата матричной механики получит дополни-
дополнительную поддержку, как только мы рассмотрим обобщение на бесконечные
системы линейных уравнений с бесконечно большим числом неизвестных.
Действительно, хотя Кеттерич 66), вероятно, первым попытался сделать
такое обобщение, реальное развитие метода, оказавшегося очень важным
для последующего совершенствования матричной механики и вообще
квантовой механики, было связано, опять-таки, с астрономическими вычис-
'•) Routh E.J. A Treatise on the Stability of a Givan State of Motion. - L.: Macmillan,
1877, p. 7-9. По этому поводу ср. Lagranga L. Mecanique Analituque, part 2, wet. 6,
art. 7 (см. Лагранж Ж. Аналитическая механика. — М., Л.: Гостехиэдат, 1950, т. 1.
Динамика, отд. 6, п. 7, с. 452-454. — Примеч. пар.).
") О ранних исследованиях относительно множественности корнай уравнения
E.58) см. статью-.Saeliger H. Ueber die Gleichungen, von deren Wurzeln die saecularen
Vera'nderungen der Planetanbahnelemente abhangen. - AstronomltcheNachrlchte, 1878,
Bd93. S. 353-364.
*°) Jacob) C.6.J. Ubar ein leichtet Verfahren die in der TheoriederSacularstorungen
vorkommenden Gleichungen numeriich aufzulosen. — Journal fur die reine und angewandte
Mathematik (Crelle), 1846, 8d30, S. 51-94. В своих вычислениях Якоби исполыовал
данные Леверье {La Varrier. Sur les variations se'culaires det rfldments det orbits. — Addi-
Additions a la Connaissance pour I'An 1843).
") Ср., например, Tistarand F. Traite de Mecanique Celeste. - P.: Gauthier-Villars,
1889, v.1, p. 404-430.
* *) Конечно, Легранж не исполыовал термина "собственное эначание".
*') Cauchy A. Sur I'equation a I'aide de laquelle on determine les inrfgalitet seculaires
des mouvements des planets». - Exercicetde Mathematique (Anciens Exercicet, Paris), 1829.
v. 4, p. 141—152; Oeuvres Completes. - P.: Gauthier-Villars, 1891, v. 9, (sec. series),
p. 174-195.
*4) Hermite C. Remarque sur un theoreme de M. Cauchy. — Comptes Rendus, 1855,
v. 41, p. 181-183; Oeuvres/ed. E. Ricard. - P.: Gauthier-Villars, 1912, v. 1, p. 479-481
•') Ср., например, BiotJ.B. Essai de Geometrie Analitique. — P.: Klostermann, 1810,
p. 254—256; Rochat M. Construction des formulas qui servent e determiner directemant la
grandeur et la situation des diametres principaux, dens les courbes du second degre. — Anneles
de Mathematique, 1812, v. 2, p. 331— 335; Plucker J. Allgemaine Methode, eine homogene
Funktion ballebtg vleler Vera'nderlicher in eine andere zu verwandeln, welche nur die Quadra-
Quadrate der Veranderlichen elnthelt. — Journal fUr die reine und angewandte Mathematik (Crelle),
1842, 8d24,S. 287-290.
*') Kotteritzsch E.T. Ueber die Aufldsung eines Systems von inendlich vielen linearen
Gleichungen. - Journal fur Mathematik und Physik, 1870. Bd 16, S. 1-15, 229-268.
214
пениями орбитальных движений. Систематическое изучение бесконечных
систем уравнений с бесконечно большим числом неизвестных было начато
статьей Хилла 67) о движении перигея Луны. Хилл, подходя к таким
системам как к конечным, ввел бесконечные детерминанты и применил
к ним правила, справедливые для конечных детерминантов. Он получил
результаты, согласующиеся с опытом, но законность его математической
процедуры оставалась недоказанной. Сознавая как важность работы Хилла,
так и ее аналитические "огрехи", Пуанкаре 68) попытался создать для нее
логически прочный фундамент, построив математически строгую теорию
детерминантов бесконечного порядка. В свою очередь, работа Пуанкаре
побудила Хельгу фон Кох69) изучить использование бесконечных детерми-
детерминантов в теории линейных дифференциальных уравнений. Вскоре стало
ясно, что подобные обобщения — и, в частности, обобщение ортогональных
преобразований квадратичных форм к главным осям на случай бесконечно
большого числа переменных - играют важную роль не только при решении
дифференциальных уравнений, но и в теории интегральных уравнений. В
самом деле, Гильберт усмотрел — и это относится к числу его величайших
достижений, - что как собственные значения квадратичных форм, так и
собственные значения, связанные с краевыми задачами дифференциальных
и интегральных уравнений, имеют общий источник.
В знаменитой работе об основах теории интегральных уравнений 70)
Гильберт рассмотрел ограниченные квадратичные формы от бесконечно
большого числа переменных, определив их следующим образом 7'). Квад-
Квадратичная форма
Z aklxkxt
*,/ = 1
ограничена, если существует такое положительное постоянное число С,
* ') Hill G.W. On the Part of the Motion of the Lunar Perigee Which Is a Function of the
Mean Motions of the Sun and Moon. - Cambridge, Mass.: Wilson, 1877; Acta Mathematics,
1886, v. 8, p. 1—36. Хилл у нужно было решить уравнение w + dw - 0, где
Поскольку интеграл дифференциального уравнения имеет вид
•о
w- Г />„ехр[;(л+ с)г],
«О
где Ьп и с — постоянные, Хилл получил бесконечную систему уравнений
•о
Z Л„-кЬк-(п-с)'Ьп-0
к = -"
при п - — «,..., + «.
") Poincare H. Sur les determinant» d'ordre infini. - Bulletin de laSoci?te Mathe'mati-
quede France, 1886, v. 14, p. 77-93.
' *) Von Koch H. Sur une application des determinants infinis a la theorie des equations
diffeVentielles lineWes. - Acta Mathematics, 1891, v. 15, 53-63; Sur les determinants
Infinis at les Equations differentielles line'airet. - Ibid., 1892, v. 16, p. 217-295.
'•) Hilbert D. Grundzuge einar ellgemeiner Theorie der Intergralgleichungen. - Gottinger
Nachrichtan, 1904 (I. Mitt.), S. 49-91; B. Mitt.), S. 213-259; C. Mitt.), 1905. S. 307-337;
D. Mitt.), 1908, S. 157-227.
71) Там же, 1908 г.
215
что при выполнении условия ? 1**12 <1 для любого набора перемен-
переменка
л
ных Xi, х2>... имеем | ? я*г***;1 <С для любого п. Если подоб-
ные формы подвергнуть ортогональному преобраэовению к главным осям,
то оказывается, что помимо суммы квадратичных членов появляются
также определенные интегралы; иными словами, среди собственных значе-
значений имеются как дискретные ("дискретный, или точечный, спектр"), так и
непрерывные ("непрерывный спектр") ").
Теория ограниченных квадратичных форм от бесконечно большого числа
переменных была развита также Хеллингером 7Э) независимо от теории
Гильберта; при этом оказалось возможным не прибегать к предельному
гильбертовскому переходу от алгебры к анализу, сопряженному со слож-
сложными проверками сходимости. Согласно Хеллингеру, для подобных систем
билинейную эрмитову форму ЕНт„хтх* можно преобразовать к выра-
выражению
? Wn у„ у„ + / Щ*) у(>р) у" (у) dtp.
гда дискретные вещественные числа Wn образуют точечный спектр собствен-
собственных значений, а вещественные функции Щ\р) от непрерывного параметра
ip — непрерывный спектр. Борн и его коллеги предположили, что этот
результат сохраняется также и для систем, не являющихся ограниченными.
Это позволило им единым образом подойти ко всему спектру излучения,
в случае водородного спектра рассмотреть четыре типа переходов - с
злпипса на эллипс, с эллипса на гиперболу, с гиперболы на эллипс, с гипер-
гиперболы на гиперболу, — на логически последовательной основе.
Наш экскурс в историю возникновения матричной механики, самого
первого варианта квантовой механики, мы завершим некоторыми замеча-
замечаниями о соотношении между классической механикой и квантовой механи-
механикой. Есть все основания удивляться тому, что формализм (язык) кванто-
квантовой механики, который с концептуальной точки зрения самым радикаль-
радикальным образом отличается от формализма классической механики (в чем мы
позже убедимся болеа детально), все же как будто включает последний в
виде особого случая, как это утверждает принцип соответствия в его
привычной формулировке 74). Как видно уже из данной главы и будет
все яснее из последующего, процесс развития квантовой механики из
классической физики не был логически непрерывным процессом. Каким
бы неприметным ни казалось изменение в критической точке, даже если
это была просто перестановка индексов 75), оно все равно представляло
собой логический разрыв, имеющий далеко идущие последствия. В самом
деле, никакой первичной логической связи между классической механикой
и квантовой просто не существует - "как нет ее между языком чувствен-
чувственных восприятий и языком материальных объектов" 76). Но тогда каким же
образом получается, что путем логически непрерывных заключений к в ант о-
")Ср. также HellingerE. DieOrthogonslinvarianten quadratitcher Formen von unendlich
viele Variablen (Dissertation). - Guttingen, 1904.
") He/linger E. Neue Begrundung der Theorie quadratitcher Formen von unendlich viele
Variablen. — Journal fur die reine und angewandte Mathematik (Crelle), 1909, Bd136,
S. 210—271. См. также Hellinger E.. Toeplitz O. Grundlagen fur eine Theorie der unendlic-
hen Matrizen. - Mathematische Annalen, 1910, Bd69, S. 289—330.
74) Ср., однако, потцию Бора, с. 122 и ел.
7') См. с. 200.
7 *) Hanson N.R. The Concept of Positron: Cambridge University Press, 1963, p. 65.
216
вую теорию можно свести к классической механике как к предельному
случаю, о чем" свидетельствует, например, хорошо известная экстраполя-
экстраполяция77) формулы Бальмера для больших квантовых чисел?
Для прояснения вопроса целесообразно различать два принципа соот-
соответствия, один из которых относится к соотношению между классической
механикой и старой квантовой теорией, а другой связывает классическую
механику с современной квантовой механикой. Что. касается первого из
них, то - оставляя пока в стороне дальновидную осторожность Бора - рас-
распространенный взгляд на него, как на устанавливающий логическую связь,
не совсем уж неоправдан, так как старая квантовая теория по существу
была всего лишь модификацией классической физики. Не так просто обсто-
обстоит дело в случае принципа соответствия во втором смысле. Как мы видели,
принцип этот, глубоко врезанный в сами основы нового формализма, сыг-
сыграл решающую роль в становлении матричной механики. И тем не менее,
постулированное Гейзенбергом изменение индексов, каким бы непримет-
неприметным оно ни казалось, и перестановочные соотношения 78) Борна - Йордана
привели, так сказать, к полному логическому разрыву с классической сис-
системой понятий. Таким образом, принцип соответствия, приводя к численно-
численному согласию квантовомеханических и классических результатов, не позво-
позволяет более настаивать на логической конвергенции выводов, а устанавлива-
устанавливает лишь формальную, символическую аналогию между заключениями, дос-
достигнутыми в рамках двух в корне отличных и несводимых друг к другу
теорий. Этот принцип показывал лишь, что при определенных условиях
(например, при больших квантовых числах или, выражаясь классическим
языком, на больших расстояниях от ядра) формальное рассмотрение в рам-
рамках обеих теорий приведет к тождественным по форме выражениям (и чис-
численно равным результатам) 79J, хотя соответствующие друг другу символы
будут сильно различаться по своему концептуальному содержанию.
Еще одно, последнее замечание. Пуанкаре однажды сказал, что класси-
классическая механика сформировалась "под влиянием небесной механики"80).
В данном разделе мы показали, что математический аппарат квантовой
механики также многим обязан методам, использованным при решении
задач небесной механики.
5.2. Модификации матричной механики
Математически незаконное предположение Борна об использовании
алгебраических процедур для неограниченных матриц привело, как мы
видали, естественным образом к полному согласию с опытом. Как и после
работы Хилла о движении перигея Луны (см. с. 215), перед математиками
встала новая задача — дать прочный фундамент матричной механике. Насту-
Наступила, как и предсказывал Бор, "новая ера взаимного стимулирования мехе-
ники и математики". В декабре 1925 г. Гейзенберг написал подробное изло-
изложение принципов матричной механики для Mathematische Annabn81),
") См., например. Park D. Introduction to the Quantum Theory. - N.Y.: McGraw-Hill.
1964, p. 12-13.
")Cm.c. 208.
") Точно так же, как для рассмотрения газа можно использовать и методы статис-
статистической механики (язык дискретных частиц), и методы гидродинамики (язык непре-
непрерывной среды), получая формально эквивалентные результаты.
**) 8 связи с этим см., например, Мвувгюп ?. Identity and Reality. - L.: Allen and
Unwin, 1930; N.Y.: Dover, 1965, p. 218.
*') Heisenberg W. Ubar quantentheoretische Kinematik und Mechanik. — Methematitche
Annalen, 1926, 8d95, S. 694—705. Статья получана редакцией 21 декабря 1925 г.
217
тогда ведущего немецкого журнала по исследованиям в области чистой
математики. В результате многие математики заинтересовались матричной
механикой. Так, ограничиваясь только одним примером, Аурель Винтнер
возглавил семинар по спектральной теории бесконечных матриц, в частнос-
частности, эрмитовых неограниченных матриц, который шел на протяжении зимне-
зимнего семестра 1927/1928 гг. в Лейпцигском университете, где Гейзенберг
только что стал профессором теоретической физики. Семинар дал много
важных работ, но исчерпывающего решения проблемы получено не было
и сам Винтнер признавал, что "попная и математически удовлетворительная
теория квантовотеоретических матриц остается еще недостигнутой
целью" 8 2).
Наступление новой эры сотрудничества физики и математики нашло,
так сказать, свое первое осязаемое выражение в совместной работе Макса
Борна и Норберта Винера, выполненной в Массачусетском технологическом
институте. Они впервые встретились во время визита Винера в Ге'ттинген
в 1924 г., когда тот выступил с очень хорошо встреченным докладом о
своей работе по обобщенному гармоническому анализу. Курант, глава
математического факультета (Клейн уже ушел в отставку по состоянию
здоровья), договорился с Винером о своего рода программе обмена; тот
должен был снова приехать в Ге'ттинген в 1926 г., а тем временем Борн
был приглашен в МТИ на осенний семестр-1925/1926 гг. для чтения лекций.
Итак, в конце октября 1925 г., через несколько дней после завершения
"работы трех" Борн покинул Геттинген и направился к Винеру. Борн
понимал, что в существовавшей тогда формулировке матричная механика
была не в состоянии рассматривать апериодические явления, например,
прямолинейное равномерное движение, поскольку в этом случае периоды
отсутствуют и координатная матрица я не имеет отличных от нуля в недиа-
недиагональных элементов. Поэтому Борн и Винер решили искать обобщение
матричной механики, которое включало бы как периодические, так и
апериодические явления.
За несколько месяцев до приезда Борна в Кембридж (штат Массачусетс)
Винер завершил большую статью 8 э) по операционному исчислению, в
которой обсуждал контраст между строгим понятием операторов, такими,
как интегральные преобразования (интегральные операторы) Вольтерра
или преобразования Пинчерле одного степенного ряда в другой, и эвристи-
эвристическим подходом "лишенным даже претензий на математическую строго-
строгость", скажем, метода Хевисайда. Основным в работе было, однако, предло-
предложенное Винером обобщение интеграла Фурье, которое позволяло коррект-
корректно использовать интегральные операторы даже для неаналитических
функций.
В автобиографии Винер рассказывает следующее. "Когда профессор
Борн приехал в Соединенные Штаты, его крайне занимала новая основа,
которую только что предложил Гейзенберг для квантовой теории атома.. .
Борн стремился к теории, которая обобщила бы эти матрицы. . . Работа
эта носила в высшей степени специальный характер, и он рассчитывал на
мою помощь. . . У меня уже было готово обобщение матриц в форме так
называемых операторов. У Борна была масса сомнений в основательности
моего метода и его мучил вопрос, одобрит ли Гильберт мою математику.
* *) Wintner A. Spektraltheorie der unendlich Matrizen — Eif iihrung in den analytischen
Apparat der Quantenmechanik. — Leipzig: Hirzel, 1929, S. VII.
*3) Wiener N. The Operational Calculus - Mathematische Annaien, 1926, Bd95.
S. 557-584;статья завершена 6 апреля 1925 г.. получена редакцией 20 апреля 1925 г.
218
В действительности Гильберт ее одобрил, и с тех пор операторы остаются
неотъемлемой частью квантовой теории" 84).
Рассмотрим теперь вкратце, как Борн и Винер ввели операторы в кван-
квантовую теорию. Пусть
у(г) = 2 ymexp[2niWmt/h) и x(f) = Гх„ expBrr/ Wn г/Л).
т п
Как легко видеть,
т
х„ = lim A/2D/ x(s)exp(- 2niWn slh)ds,
г-- _т
так что матричное преобразование уп = 2 q т„*„ впечет за собой
т
К(Г) = lim A/2Г) / q{t.s)x{s)ds. E.40)
где
q{t,s)= 2 gmnexp[2ni(Wmt - Wns)/h).
mn
Уравнение E-40) можно интерпретировать следующим образом: "оператор"
г
<7= Mm A/2Г) / dsqit.s)... E.41)
т— •• _ т
преобразует ж (г) в y{t), что символически записывается в виде
y{t)=qx{t). E.42)
Обобщая E.42), Борн и Винер81) дали такое определение оператора: "опе-
"оператор - это правило, согласно которому из функции х(г) можно полу-
получить другую функцию yti).. . Если
Qix{t)+y(t))=qxlt)+qyit), E.43)
оператор линеен". Для линейного оператора D - d/dt имеем
1 т bq{t. s)
y(t) = Dqx[t) = lim J • x[s)ds.
T-- 2Г_Т 3f
откуда видно, что Dq согласуется с видом E.41), но вместо q{t, s) надо
подставить
bq(t, s) . 2я/
bt h mn
Итак, элементы матрицы, связанной с оператором Dq, подобно матрице
[qmn]. связанной с оператором q, имеют вид
2я7 2я/
Г 2*' 1
WL ехр (W t - Wns) \.
т I Л m » ]
**)WienerN. lam a Mathematician.- N.Y.: Doubleday, 1956. p. 108.
"*) Винер Н. Я -математик. -М.: Наука. 1964; см. с. 103-104.
М„ Wiener N. A new formulation of the laws of quantization of periodic and ape-
aperiodic phenomena. - Journal of Mathematics and Physics (M.I.T.I, 1925- 1926, v. 5, p. 84-
98, EineneueFormulierungdtr QuantengesetnfUr perioditche und nicht periodische Vorgen-
ge. - Zeitschrift furPhysik, 1926, Bd 38. S. 174-187.
219
где W = \Wnbmn\- Аналогичным образом, с помощью интегрирования по
частям убеждаемся, что элементы матрицы, связанной с опрератором
qD, имеют вид
{qD)mn = —- Wnqmn . qD = — qW.
h h
Поэтому элементы матрицы, связанной с оператором Dq — qD, равны
2ir/
— Wm-Wn)qmH-2i,iPmnqmn .
так как hvmn = Wm-Wn.
Затем Борн и Винер определили временную производную q оператора
q с помощью операторного уравнения
Dq-qD = q. E.44)
Кроме того, перестановочное соотношение
Л
pq - qp = 1 E.45)
2ni
и канонические уравнения
q = -—^—. E.46)
Эр
. дН[рд)
были интерпретированы как операторные уравнения для эрмитовых опе-
операторов р и q. т.е. для операторов, для которых связанные с ними мат-
матрицы являются эрмитовыми.
При этих предположениях они вывели теорему о сохранении энергии
и показали, что оператор энергии Н равен
Л
H = ——D. E.47)
2nt
Наконец, решив задачи о гармоническом осцилляторе {q + u\q = 0) и
одномерном равномерном движении (q = 0), они продемонстрировали
возможность использования новой операторной механики как для перио-
периодических, так и апериодических явлений.
Интересно отметить, что если бы Борн и Винер к уравнениям E.44),
E.45) и E.47) добавили уравнение
h Ъ
Р ~ — —,
2л i dq
к которому можно прийти, сравнивая E.44) и E.45), то л ни могли бы
получить опереторную формулировку волновой механики. Борн говорил:
"Мы выразили энергию как d/dt и записали закон коммутативности для
энергии и времени как тождество',' применив оператор [f {d/dt) — {d/dt) t]
к функции времени; он имел точно такой же вид, как для q и р. Но мы
этого не увидели. И я никогда не прощу себе этого, потому что, если бы
220
мы сделали это, мы бы сразу же, за несколько месяцев до Шрёдингера,
получили всю волновую механику из квантовой механики"86).
И все же, несмотря на этот просмотр, их идея — представлять физичес-
физические величины, такие как координаты или импульсы, с помощью операто-
операторов - была большим шагом вперед не только потому, что операторный
формализм позволил рассматривать аналитически те явления, которые
не допускали этого в рамках матричной механики: операторный форма-
формализм давал наиболее прозрачное представление квантовотеоретических
соотношений и в конечном счете привел к более глубокому пониманию
теории. Поскольку в дальнейшем понятие оператора будет играть все
более важную роль, видимо, стоит вкратце остеновиться на развитии этого
понятия.
Строго говоря, понятие оператора столь же старо, как и символичес-
символическая алгебра, поскольку каждый символ в классической алгебре означает
предписание либо заменить его числом, либо выполнить арифметическую
операцию. Но если дать нетривиальное определение оператора как рецепта
преобразования одной функции в другую (т.е. как сделали это Борн и
Винер), то его происхождение можно проследить вплоть до момента соз-
создания дифференциального исчисления. В самом деле, как часто утверж-
утверждалось, первым использовал операторы в этом смысле Лейбниц81), когда,
пример, укезал, что modus operandi*) дифференциального опрератора
d"[xy) обнеруживает поразительное сходство с разложением (х +' у)".
Подход Лейбница был развит Лагранжем ), обобщившим его в "новый
тип исчисления, касающегося дифференцирования и интегрирования".
В этом исчислении, которое может рассматриваться как самый первый
вариант операторного исчисления, Лангранж систематически использовал
d/dx как фиктивную величину, подчинявшуюся обычным алгебраи-
алгебраическим- законам, как, например, в разложении в ряд Тейлора f(x+h) =
¦ ехр[Л {d/dx) ] f{x). Работы Лагранжа были продолжены A.M. Лорном,
Й.П. Грюсоном, Л.Ф.А. Арбогастом, М.Ж.Ф. Франсз, С.Ф. Лакруа и особенно
Франсуа-Жозефом Серву89), который первым обратил внимание на фор-
формальные аспекты символических операций и ввел понятия "коммутатив-
"коммутативность" и "ассоциативность". Первым подробным исследованием опера-
операторного формализма in abstract о была, вероятно, работа Роберта Мэрфи
"Первый мемуар о теории аналитических операций"90), опубликованная
в 1837 г. В этой работе было проведено четкое различие между операн-
операндом, оператором и результатом - в E.42) этим понятиям соответствуют
x(f), q и у it); Мэрфи писал: "Есть три элемента, из которых состоит
каждый отдельный аналитический процесс, а именно: во-первых, субъект,
т.е. символ, над которым надо выполнить определенную операцию; во-
вторых, сама операция, представленная своим собственным символом;
*' 'Archive for the History of Quantum Physics. Интервью с M. Борном от 17 октября
1962 г.
*' ^Leibniz G.W. Sympoiismus memorabiiis calculi aigebraici et infinitesimalis in
comparatione potentiarum et differentiarum, et de lege homogeneorum transcendental!. —
Miscellanea Berolinensia, 1710, v. 1,p. 160.
*> Способ действий (лег.).
"'De Lagrange L. Sur une nouvelle espece de calcul renatif a la differentiation et a
('integration des quantities variables. - In: Oeuvres E3), v. 3, p. 441-476.
**'S»rvo/* F.-J. Essai sur un nouvtau mode d'exposition des prtncipes du calcul
differentiei.-Annalesde Mathtfmatigue (Gergonne), 1814, v. Б, p. 93-104.
•* ^Murphy R. First memoir on the theory of analytical operations. — Philosophical
Transactions of the Royal Society of London, 1837, v. 127, p. 179-210.
221
в-третьих, результат, который можно соединить с первыми двумя элемен-
элементами алгебраическим законом равенства. Так, пусть в будет субъектом,
представляющим, как можно предположить, некую величину, Ь-символом
обозначающим умножение на Ь, и с - результатом или произведением;
если для большей ясности заключить субъект в квадратные скобки, анали-
аналитический процесс в данном случае будет иметь вид [s|4» с Далее, пусть
х" — субъект, ф — символ операции, при которой х заменяется на х + Л,
тогда результат будет (х + hf, т.е. (хл] ф » (х + /))"". Понятие комму-
коммутативности операторов Мэрфи, по-видимому, не знавший терминологии
Серву, выразил следующим образом: "операции являются . .. относитель-
относительно фиксированными или свободными; в первом случае изменение порядка,
в котором они должны выполняться, повлияет на результат, во втором -
нет". Так, если воспользоваться примерами Мэрфи, [х"]хф Ф [х"]фх,
но {х"]аф- [хл] фа. поскольку в обоих случаях результат равен а (х +/))".
Для второй стадии развития понятия оператора характерно использо-
использование операторов в чистой математике для решения дифференциальных
уравнений; эта процедура знакома каждому изучавшему высшую мате-
математику. Начало этой стадии положила статья Джорджа Буля "Об общем
методе в анализе"91), за которую он был удостоен золотой медали Коро-
Королевского общества; она подробно изложена в классическом руководстве
Буля "Трактат по дифференциальным уравнениям"92). Во введении к
этому руководству содержится ряд замечаний, интересных и с нашей
сегодняшней точки зрения. "Вопрос об истинном значении и должном
месте символических методов, — пишет Буль, — имеет, безусловно, боль-
большое значение. Их удобная простота, их сжатая мощь всегда будут первым
доводом в пользу внимания к ним. Но мне кажется, что для того, чтобы
составить справедливое мнение, необходимо рассмотреть их в другом
аспекте, а именно как своего рода видимые проявления истин, относящих-
относящихся к тесной и насущной связи языка с мышлением, — истин, в связи с
которыми можно предположить, что мы еще далеки от понимания всей
схемы и всех связей"93). И далее, в разделе "Формы чисто сим-
символические" Буль говорит: "В любой системе, в которой мысль выражается
символами, законы комбинирования символов определяются из иссле-
исследования законов соответствующих мысленных операций. Но не исключено,
что последние подчиняются условиям возможности, равно как и законам,
когда это возможно- Тогда может случиться, что две системы символов,
интерпретация которых различна, будут согласованы по отношению к их
формальным законам всякий раз,.когда они обе выражают возможные
мысленные операции, но в то же время допустимо существование ком-
комбинаций, которые в одной системе отражают мысленную операцию, а в
другой - нет. Например, существуют формы функционального символа
f, при которых мы можем придать смысл выражению f {m), но не можем
непосредственно придать смысл символу f {d/dx). Возникает вопрос:
ограничивает ли такое различие нашу свободу в использовании принципа,
позволяющего подходить к выражениям вида f{d/dx) так, как будто бы
d/dx было символом количества? Например, мы не можем придать никакого
прямого смысла выражению exp[/i (dlx)]f(x), но если представить зкс-
*' \Boole G. On a general method in analysis. - Philosophical Transactions of the Royal
Society of London, 1844, v. 134, p. 225-282.
"'floo/eG. Treatise on Differential Equations.-I ed., 1859, 2 ed., 1865,5 ed. - N.Y.:
Chelsea Publishing Co., 1959.
"'Темни, 1959, с. VII.
222
поненту в виде ряда, так как будто dldx если некая величина, получим
/ d \ ( d 1 , d2 \
expl/i ШхИМ +Л + Л2 —г- + ...)f{x)->f{x+h).
\ dx / \ dx 1 • 2 dx2 I
т.е. разложение Тейлора. Допустимо ли, с точки зрения указанного выше
принципа, использовать символический язык (предполагая всегда при этом,
что с помощью повторного применения того же принципа мы можем прийти
к конечному результату, который имеет интерпретируемую форму) ?
Что ж, все частные примеры указывают, что это допустимо и, по-видимому,
говорят о том, что, вообще, сами процессы символического рассуждения
не зависят от обстоятельств их интерпретации"94). Булевский принцип
допустимости символической аргументации даже тогда, когде непосредст-
непосредственней ее интерпретация отсутствует и должна еще быть найдена, оказался
очень полезным для дальнейшего развития квентовой механики. Использо-
Использование символических методов для решения дифференциальных уравне-
уравнений — например, в работах Харгрива, Грегори, Брувина, Кармайкла, Фор-
Форсайта — во второй половине прошлого века стало обширным полем ис-
исследования, особенно среди английских математиков.
Особый интерес с нашей точки зрения представляет статья
Чарлза Джеймса Харгрива95) об использовании операторной функции
V» {dldx) для решения дифференциальных уравнений, таких, например,
как уравнение Риккати; эте работа была представлена Королевскому
обществу в Лондоне в июне 1847 г. и положила начало исследованиям,
в которых стали уделять большое внимание вопросам, связанным с пе-
перестановкой символических операторов.
Подход Харгриве вскоре был обобщен Чарлзом Грейвсом, с 1843 по
1862 гг. занимавшим пост профессора математики в Дублинском уни-
университете, Лимерикского епископа вплоть до 1866 г., года его смерти.
В ряде работ96), доложенных на заседаниях Ирландской академии наук,
Грейвс, занимавшийся математикой, теологией,лингвистикой и археоло-
археологией, разработал детальный и мощный операторный формализм. Этот
формализм, по крайней мере, один его существенный аспект, оказал влия-
влияние на работы Хевисайде, и даже Дирака91).
Статья Г рей все "О принципах, регулирующих перестановку символов
в некоторых символических уравнениях"98) начиналась словами:
**>Там же. 1959, с. 398-399.
"^HargreaveG.J. On the solution of linear differential equations. - Philosophical
Transactions of the Royal Society of London, 1848, v. 138, p. 31-54.
**)Graves С On the theory of linear differential equations.-Proceedings of the Royal
Irlih Academy, 1847-1850, v. 4, p. 88-91 (доложено 28 февраля 1848 г.); On a gene-
generalization of the symbolic statement of Taylor's Theorem. - Ibid., 1850—1853, v. 5, p. 285-
287 (доложено 26 апреля 1852 г.); On the solution of linear differential equa-
equations. - Ibid., 1853-1857, v. 6, p. 1-3 (доложено 14 ноября 1853 r.); On a method of
•olving a large class of linear differential equations by the applications of certain theorem
In the calculus of operations. - Ibid., p. 34-37 (доложено 9 января 1854 г.); On the exte-
extension of Taylor's Theorem to non-commutative symbols. — Ibid., p. 302 (доложено11 фев-
февраля 1856 г.).
* 7' Об этом говорил сам Дирак. См. примечание 37 на с. 4 в статье: Hanson N.P. Co-
Copenhagen interpretation of quantum theory. — American Journal of Physics 1959, v. 27
p. 1-15.
") Graves С On the principles which regulate the interchange of symbols in cer-
certain symbolic equations. — Proceedings of the Royal Irish Academy, 1853—1857, v. 6
p. 144-152 (доложено 11 декабря 1854 г.).
223
"Пусть v и р будут двумя дистрибутивными символами операций, которые
комбинируются согласно закону, выражаемому уравнением
рп ж пр +. а,
где а - постоянная или, по крайней мере, символ дистрибутивной опера
ции, коммутирующей как с я, так и с р". Грейвс затем показал, что в
любом символическом уравнении ^ (я, р) = 0 можно заменить л нар и
р на - »г и получить "парное (correlative) уравнение" >р (р. - и) » 0. Он
также доказал по индукции, что рп" » и"р + пи"'1 и /о^»г » ^яр + ф'п,
где |//я обозначает любую функцию от я в целой степени. Рассуждении
и формальные результаты Грейвса вновь встретятся нам при квантово
механическом рассмотрении некоммутирующих величин, как, например,
в дираковском «/-числовом алгоритме и его подхо* е к квантовым
условиям.
Для третьей стадии развития понятия оператора характерно использо
вание операторов в задачах прикладной математики, в частности, при
•анализе электрических сетей. Наиболее важными (и неординарными) были
исследования Оливера Хевисайда по использованию операторов в зада
чах электромагнетизма. Анализируя линейные цепи из соединенных про
водниками индуктивностей, емкостей и сопротивлений, Хевисайд")
обозначил дифференциальный оператор D « d/dt буквой р и принял, что
эта величина подчиняется алгебраическим законам. Этот метод он ис
пользовал и в тех случаях, где приходилось иметь дело с дифференциаль
ными уравнениями в частных 'производных, и не обращал внимания
на вопросы математической строгости. "Математика, - говорил он, -
наука экспериментальная, и определения в ней появляются не сначала.
а потом00). Широкое использование дельта-функции до того, как это
понятие было строго установлено теорией распределений, говорит о том,
что и развитие квантовой механики не обошлось без ентипуристского
подхода Хевисайда.
Следующая и последняя стадия развития понятия оператора, непосредст
венно предшествующая его применению в квантовой механике, харак
теризуется усилиями найти строгое обоснование известных методов, будь
то с помощью теории функции комплексной переменной, как например,
в работах Бромвича, либо более общим образом с помощью интегральных
преобразований, историческое развитие которых превосходно изложено
в обзоре Пинчерле101), куда мы и отсылаем заинтересованного читателя
Именно на этой стадии Винер заинтересовался операторным исчислением
и совместно с Борном ввёл этот мощный математический метод в кван-
квантовую механику.
Завершая этот краткий обзор ранних этапов развития понятия опера
торов в математической физике, хотелось бы привлечь внимание читателя
к одной не очень известной статье Людвика Зильберштейна102), которая
*')HeavistdeO. On operators in physical mathematics. - Proceedings of the Royal
Society of London (A), 1893, v. 52, p. 504-529; v. 54, p. 105- 143; Electromagnetic
Theory. - L.. 1899, N.Y.; Dover. 1950.
l00hbid., v. 54, p. 121.
10I)PincherleS. EncyklopSdie der mathematischen Wissenschaften. — Leipzig:
Teubner, 1904-1916, Bd 2, Teil 2, S. 763-824.
1" * Isilberstein L. Versuch einer Theorie der physikalischen Operatoren. — Oswald's
Annalen der Naturphilosophie. 1903, Bd 2, S. 201-254. Ср. также Silbersfin L. La
theorie desoptfreteursen physique — la connection des pheViomenes dans le temps. — Przeglad
Filosoficzny, 1902. v. 5, p. 425-442.
224
в какой-то мере предвосхитила формальные аспекты операторного под-
подхода в современной квантовой механике. Изучение символических интегра-
интегралов уравнений электромагнитного поля103) привело Зильберштейна,
известного главным образом своими трудами по теории относительности,
к теории "физических операторов", на языке которых он попытался дать
единое описание таких различных явлений, как механические колебания,
теплопроводность, электродинамические процессы. Определяя "состояние"
("Zustand") физической системы с помощью функции i//(f). зависящей
от времени, Зильберштейн ввел, как он их назвал, "хронооператоры"
I f |. посредством которых состояние в момент времени f может быть
определено из данных о состоянии в момент времени f - 0 в соответст-
/ Н \
вии с уравнением \j/{t) = { ji//@). Он определил обратный оператор
1Н\'1 (Н ) / Н\ \Н\п \Н\
| 11 как оператор |_f | , показал, ч™ \nt)~\ t\ и что \ t \ =
ш{е'р) , где F - другой оператор, определенным образом связанный
с Н, но не зевисящий от t. Зильберштейн говорил даже о суперпозиции
состояний и в той или иной мере коснулся множества других деталей,
которые вплоть до обозначений появятся примерно 25 лет спустя в опе-
операторном формализме квантовой механики. "Любой класс физически*
явлений, или по крайней мере те из них, которые поддаются количеа
венному рассмотрению, можно охарактеризовать соответствующими
физическими операторами; научное изучение явлений природы пойдет
по пути детального исследования свойств этих операторов,основан-
операторов,основанного на наблюдениях и питаемого экспериментом" —эти слова Зиль-
Зильберштейна104) были сказаны в 1901 г.
В то время как в Кембридже (штат Массачусетс) Борн и Винер, обоб-
обобщая матричную механику, вводили операторное исчисление, в Кембрид-
Кембридже (Англия) Поль Адриен Морис Дирак модифицировал ее в алгебраи-
алгебраический алгоритм. Дирак получил образование как инженер-электрик -
в 1921 г. он стал бакалавром в этой области наук в Бристольском уни-
университете, - но не смог найти работу в годы депрессии и продолжал учебу,
в основном под руководством математика Петере Фрезера, в Бристоле,
• в 1923 г. получил трехлетнюю стипендию для стажировки в Кем-
Кембриджском Колледже Св. Иоанна. Там, с 1923 по 1926 гг., когда он полу-
получил степень доктора философии, Дирак работал под руководством Р. Фау-
пера и опубликовал серию статей, посвященных релятивистской дина-
динамике частиц, принципу Доплера в воровской теории, адиабатическому
принципу и другим задачам старой квантовой теории105). Во время этой
'"^Silberstein L. Symbolische Integralen der elektromagnetischen Gleichungen aus
dem Anfag«ustanddesFeldesabgeleitet, nebst Andeutuneen zu einer allgemeinen Theorie
pnysikahscher Operatoren. - Annalen der Physik, 1901. Bd 6, S. 373-397
104• Там же, с. 397.
г 'b'LDirVLPAML Dissociation under a temperature gradient. - Proceedings of the
Cambndoe Philosophical Society, 1924. v. 22, p. 132-137; Note on the relativity dynamics
-Т 1 ~o f!hl.los°Phical Magazine, 1924. v. 47, p. 1158-1159; Note on the Doppler
principle and Bohr s frequency condition. - Proceedings ol the Cambridge Phisophical
Society, 1924, v. 22, P. 432-433; The conditions for statistical equlibrium between atoms
electrons and radiation. - Proceedings of the Royal Society of London (A) 1924 v Юб'
p. 581-596; The adiabatic invariance of the quantum integrals. - Ibid 1924 'v 107*
u u,~w 1ffeCt of Com»ton scattering by tree electrons in a stellar atmosphere -'
Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 192Б, v. 8Б, p. 825-832 The adiabatic
hVP?th«*M'w^wenMic fields. - Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 1925
15. M. Джем мер 225
работы он досконально изучил классическую механику в формулировке
Гамильтона - Якоби и методы использования переменных действие -
угол, в основном по книге Уиттекера "Аналитическая динамика", стан
дартному руководству по этому предмету в Англии.
Напомним, что Гейзенберг вскоре после возврещения с Гельголанда
в июле 1925 г. уехал из Гёттингена в Кембридж для чтения лекций в Ка
вендишской лаборетории. Одна из его лекций, "О термзоологии и Зееман
ботенике06), состоялась 28 июля в Капица-клубе - еженедельном кол
локвиуме, названном в честь Петра Леонидовича Капицы, бывшего тог
да заместителем Резерфорда по Кавендишской лаборатории. Но во всех
кембриджских лекциях, будь то официальные выступления в лаборато
рии или неофициальные в Капица-клубе, Гейзенберг рассказывал только
о старой квантовой теории, даже не упоминая о своих новых результатах,
может быть, потому что он не был еще уверен в правильности нового
подхода. Поэтому Дирак познакомился с новой механикой совсем не
во врамя лекций Гейзенберга в конце июля в Кембридже, как это часто
утверждается, а только в начале сентября, когда Гейзенберг уже покинул
Кембридж: Фаулер получил от Бора гранки статьи Гейзенберга107) и
показал их Дираку. В первый момент Дирак "не увидел в ней ничего по
лезного", но через две недели "понял, что она дает ключ к задачам кван
товой механики" ).
Тем не менее, Дирак, убежденный в незаменимости гамильтоновой
механики для изучения атомной физики, не был удовлетворен изложе
нием Гейзенберг в и попытался приспособить его к формализму Гамиль
тона. Через несколько недель он достиг цели и тем самым установил одно
из %амых глубоких и полезных соотношений между квантовой механи
кой и классической механикой в формулировке Гамильтона - Якоби
Он получил этот результат, придав механике Гейзенберга форму
алгебраического алгоритма, на основе которого он надеялся вы
вести все формулы квантовой теории, не прибегая к явному использованию
произведений (матриц) Гейзенберга. Фаулер немедленно увидел важность
этой работы и заставил Дирака опубликовать ее, пусть еще и не вполне
завершенную. Так статья Дирака "Фундаментальные уравнения квантовой
механики", законченная 7 ноября 1925 г., появилась в декабрьском
выпуске Proceedings109) и ознаменовала начало его успешной деятель
ности в области квантовой механики.
Отправляясь от гейзенберговского представления квантовомехани
ческих величин через амплитуды хтп и частоты vmn. подчиняющиеся пра
вилу умножения
<*/)„,„ - ? *nkVkm. E.48)
Дирак определил форму наиболее общей квантовой операции d/dv как
1 °*) Archive for the History of Quantum Physics. Интервыо с В. Гейэвнбергомот 5 ию
ля 1963 г.
107>См. [1.1.1.
100) Archive for the History of Quantum Physics. Интервыо с П.A.M. Дираком от 1 anpe
пя 1962 г.
1 e*) Dine P.A.M. The fundamental equations of quantum mechanics.— Proceedings
of the Royal Society of London (A), 1925. v. 109. p. 642-653.
10*4Дирак П.А.М. Основные уравнения квантовой механики. — УФН, 1977.
т. 122. г. 611-621.
226
такую, для которой справедливы следующие соотношения:
d d d
— (х + к) = —* + — У. E-49)
dv dv dv
d I d \ ( d \
— (XV) =( — *}k+x( V) E 50)
dv \dv I \dv I
Из E.50) он заключил, что амплитуды компонент dx/dv являются линейны-
линейными функциями соответствующих величин для х, т.е. что
"ига ;п т
E.51)
Подстановка E.51) в E.50) приводит к уравнению
"пт\п т лп к Ykm
п'т к
? *пк;п'к'Х\\'к'Ук'т+ ? х „к акт,к'т • ук -т • . E.52)
кп к кк т
Поскольку это уравнение справедливо для любых значений амплитуд,
Дирак приравнял друг к другу коэффициенты при*,,'* У km' в левой и пра-
правой частях уравнения и попучил
&кк' апт;п'т' " &тт' апк'; п'к + &пп' акт:к'т' • E.53)
Из этого уравнения можно найти.что при к = Аг'величина а„т; „' т'; не обра-
обращается в нуль, только если пжп и/или тшт; далее, при'к -к',т-тт,
пФп имеем am,; „т"апк- ,,-к. т.е. тогда алт; п-т не зависит от т; ана-
аналогично, апт. „ м при тфт'не зависит от п. В случае кфк',т = т',пт.п
имеем а„у; Пк +акт; к-т =0, т.е. а„*'; нк'акк' -акт; кт. Наконец,
при к"к\ т~т. п'п получаем а„т; „т =а„к; „к +a»m; km=amm-ann
и уравнение E.51) приводится к виду
= ? (х„к акт -апкхкт)
..т *
ИЛИ
dx
— =ха-ах. E.54)
dv
Уравнение E.54) показывает, что наиболее общая операция над "кванто-
"квантовой переменной" х, подчиняющаяся условиям E.49) и E.50), состоит в
"построении разности ее гейзенберговских произведений на некоторую
другую квантовую переменную". Как очевидно из использования термина
"гейзенберговское произведение", Дирак еще не знал, что теория Гейзен-
берга является матричным формализмом, как это показали Бори и Йор-
Йордан " °) в своей статье, законченной в сентябре1" ) •
"•) См. [43,434
1'') Как ни странно, термин "матрица" не появился и в следующей статье
•ка (см. [119)), которую он написал в янвера 1926 г., уже прочитав статью Бор-
Борис и Йордана. Впервые этот термин Дирак использовал в третьей своей статье
(The elimination of the node* in quantum mechanic». — Proceedings of the Royal Society
Of London (A), 1926, w. Ill, p. 281-305), завершенной в марте 1925 г.
'•• 227
Дирак далее исследовал, чему же в классической теории соответствует
квантовомеханическая величинах/ - ух. С клессической точки зрения " 2)
х =хЦ iv) » ? хтG) ехрBя7гиг),
г
К - у Ц iv) = I /г t/) exp B»r/r iv),
т
где 7, iv -переменные действие-угол, а хт {J ) = хт(лЛ) соответствует
(в.соглесии с принципом соответствия Бора) величине хлл_т. Поэтому ве-
величина
*п,п — т Уп — т, п — г—о ~ Уп,п — о хп — о, п — о — т
или, что то же,
Ия.л-т — хп-о, п-о-т) Уп-т, п-т-о ~
~~\Уп,п- о Уп — т,п-т — о)Хп — о, п — о — т
соответствует величине
dxTU) byoU)
hh
Но
1 Э
ayo expBnhw) - — -—{у
2т dw
аналогичное выражение можно записать и для хг. Итак, заключил Дирак,
/ил-компонента квантовомеханического выражения ху — ух соответствует
выражению
Л Г Э Э
— ? —- (xTexpB»r/Tiv)) (/aexpBff/aiv)] -
2itl т+о = п — m \ OJ dw
d d \
[yo exp{2niow)] [ xT expB>r/Tiv)] ( . E.55)
dJ dw >
Поэтому можем записать
ih
xy-yx *— [x,y]. E.56)
2»r
где
Эх ду dy Эх
U,y\- — E.57)
dw bJ dw dJ
— классические скобки Пуассона для х, у. Поскольку скобки Пуассона
инвариантны при канонических преобразованиях и для кпассических кано-
канонических переменныхрС|,<7С|имеем faCi'Pci) . fa«. ЧсЛ = IPci/PciJ =0,
для соответствующих им квантовомеханических переменныхр, q получаем
pq - qp = Л /2»ri, E.58)
т.е. перестановочное соотношение Борна-Йордана E.25). Символическое
1'') См. с. 109.
228
соотношение E.56) позволяло Дираку переносить в квантовую механику
все результаты классической механики, которые можно было выразить
через скобки Пуассона, а не через производные. Так, из E.56) следовало,
что для любой функции f(p,q) квантовомеханических переменных рис/
уравнение движения имеет вид
df 2n
(fH-Hf). E.59)
dt ih
где Н =¦ Н [р, q) есть гамильтониан системы.
Дирак смог легко обобщить E.58) наслучай "квантовых условий" дпя
много-периодических систем с f степенями свободы — фактически в статье
он с самого начала развил теорию для этого более общего случая — и полу-
получить для г, s = 1, 2,... ,f соотношения:
Qr Qs -QsQr = 0, pr ps - Ps P, = 0, E.60)
Использовав E.56) для квантовомеханической координеты х и гамиль-
гамильтониана Н, представляющего не зависящую от времени энергию системы,
так что его компоненты согласно Гейзенбергу отличны от нуля только
при п = т, Дирак пришел к соотношению
_ /Л .
хпт Нтт — Нпп хпт = — *пт "vnm xnm
27Г
ИЛИ
hl>nm = Н„„ -Нтт.
в это "не что иное, как соотношение Бора, связывающее частоты с разностя-
разностями энергий" ''3).
Следует понимать, что решающим звеном в дираковском выводе связи
типа E.56) между квантовомеханическими переменными и их классичес-
классическими прототипами было использование принципа соответствия Бора. При-
Приписав соотношению E.56) или, вернее, эквивалентным ему квантовым ус-
условиям E.60) статус постулате в концептуальной структуре теории, Дирак
СДвлел принцип соответствия, так сказать, неотъемлемой частью теории и
поэтому, аналогично Гейзенбергу, избавился от необходимости "специфи-
"специфических" обращений к принципу Бора всякий раз, когда надо было решить
Ту или иную задачу.
Квантование классической механики в соответствии с E.56) или, что
то же, с E.60) проводилось более удобно, чем в метричной механике Гей-
мнберга. Этим достоинством теория Дирака, как очевидно, было обязана
использованию скобок Пуассона, одного из семых мощных аналитических
оредств классической динамики. Эти скобки были введены в механику
Симеоном Дени Пуассоном в статье 1|4), зачитанной в Институте Фран-
Франции *) 16 октября 1809 г. Полезность этого понятия он оценил в процессе
работы над интегрированием уравнений движения в теории возмущений
11') См. 1109). с. 6Б2; [109*). с. 620.
1 ") Poitson S.D. Memoire sur la variation des conjtante» arbitraires dans les questions
dt mecanique. - Journal de I'Ecole Polytechnique, 1809, v. 8, p. 266-344.
*) Институт Франции — основное официальное научно* учреждение Франции, вклю-
<мющеа а себя, а частности. Перижскую академию наук.
229
для планетных орбит. Но их существенную роль в теоретической механике
вообще полностью понял только в 1842—1843 гг. Якоби, который обсудил
и скобки Пуассона и теорему его имени в знаменитых лекциях''5) по ди-
динамике, прочитанных в Кё*нигсбергском университете.
Как известно, теорему Пуассона, которую Якоби однажды назвал "са-
"самым выдающимся достижением Пуассона" ), легко доказать с помощью
так называемого "тождества Якоби".
ИХ, У), l] +ИУ.Ж).Х] +[[/;*]. И =0. E.61)
Доказательство этого тождества в классической механике, будь то непосред-
непосредственным вычислением или иным путем " 7), более трудоемко, чем доказа
тельство его квантовомеханического аналога, отметил Дирак ).
Во второй статье '''), посвященной в основном применимости алгебраи-
алгебраического формализма к частным задачам, Дирак назвал квантовомеханичес-
кие переменные "«/-числами20), чтобы отличить их от чисел в классичес
кой физике, удовлетворяющих закону коммутативности и названных им
"с-числами" *) . "В настоящее время, - говорил Дирак, - нельзя наглядно
представить на что похожи «/-числа. Нельзя утверждать, что одно «/-число
больше или меньше другого" 'J'). "Чтобы иметь возможность получать
из нашей теории результаты, которые можно сопоставить с эксперимен
том, мы должны располагать каким-то методом представления «/-чисел
через с-числа, так что эти е-числа можно будет сравнить с эксперименталь-
экспериментальными значениями. Это представление должно допускать возможность
вычисления с-чисел, представляющих х + у, ху и ух. если даны с-числа, пред
ствляющие х и у. Если «/-число является функцией координат и импульсов
много-периодической системы, и если оно само является много-периоди
ческим, то будет показано, что набор всех его значений для всех значений
переменных действия системы можно представить набором гармонических
компонент вида хтп expBjr/>mnf), где хт„ и vmn являются с-числами.
каждое из которых связано с двумя наборами переменных действия, обоз-
обозначенных индексами пит, at — время, также с-число. В предшествующих
статьях по новой теории < Дирак здесь ссылается на статьи Борна-Йордана
и Борна — Гейзенбрега — Йордана) такое представление было принято
за определение «/числа. Но, по-видимому, предпочтительнее принять, что
приведенные выше общие алгебраические законы и общие законы
< E.60) ) определяют свойства «/чисел, а из них вывести, что «/-число мож
но представить через с-числа указанным образом, если оно имеет необхо
"') См. C54, 3.54*]
1 " ) Jacobi C.G.J. Sor un the'oreme de Poisson. - Compte* Rendus, 1841, v. 11, p. 529-
530; In: Gesammelte Werke/ed.K.Weierstrais.-Berlin: Reimer. 1886, Bd4, S. 143-146.
1 '') Cp. Appell P. Traite de Mecanique Rationelle. - 4 ed. - P.: Gauthier-Villars, 1931
p. 439, где оно названо "тождеством Пуассона". См. также Goldstein H. Cleuical Mecha
nics. - Cambridge, Matt.: Additon-Wetley, 1950, p. 252. [Гопдстейн Г. Кпассическея ме
ханика. - 2 изд. - М.: Наука, 1975, с. 2ВЗ-2В5. Примеч. пер.)
"•) См. 1109]. с. 650; [ 109'], с. 618.
1' *) Dirac P.A.M. Quantum mechanics end a preliminary investigation of the hydrogei
atom. - Proceedings of the Royal Society of London (A), 1926, v. 110, p. 561-579. Статье
получена редакцией 22 января 1926 г.
|>0) Дирак не мог назвать их "квантовыми числами", так как .этот термин уж*
имел иной смысл. Ср. C.17].
*) q - quantum, с — classical.
1 ") См. [119]. с. 562
230
димые периодические свойства. Таким образом, <?¦ число будет иметь смысл
и может использоваться в анализе и тогда, когда оно не много-периодичес-
много-периодическое, хотя в этом случае мы в нестоящее время не можем представить его
с-числами" '2 2).
Как видно из этой цитаты, Дирак уже на этой стадии пришел к мысли о
постулативном изложении квантовой механики, ведущем к концептуаль-
концептуально автономной у. логически последовательной системе - хотя ее основы,
заложенные в постулатах, уходят корнями в классическую динамику,
а ее окончательная интерпретация, связывающая исчисление с опытом,
также требует обращения к классической физике. Как бы то ни было,
петом 1926г. Дирак завершил изложение алгебры дчисел на основе посту-
постулатов и опубликовал ее в статье "Квантовая алгебра" '23).
Как мы видели, Дирак отмечал, что его <?-числовой алгоритм (в про-
противоположность операторному исчислению Борна - Винера) не мог еще
объяснить непериодических явлений. С другой стороны, как бы компенси-
компенсируя этот недостаток, Дирак получил в рамках своей теории частоты излу-
излучения атома водорода, что в то время не удалось сделать Борну и Винеру.
Следует отметить, впрочем, что в это же самое время Паули гА), поль-
пользуясь матричной механикой, получил решение задачи о водороде и попут
но вывел формулу для эффекта Штарка. В той же статье Паули показал,
насколько легко матричная механика решает задачу о скрещенных электри-
электрических и магнитных полях (т.а. задачу вычисления энергетических сдвигов
¦ спектре водорода, помещенного в такие поля), тогда как при попытке
рассмотреть ее в рамках старой квантовой теории эта задача приводила к
невообразимым трудностям ). Фактически Паули закончил свои матрич-
ио-механические вычисления бальмеровских уровней в октябре, за одну-
Д*а недели до того, как Дирак начал работу над второй статьей. Гейзен-
берг, получив от Паули предварительные результаты его вычислений, пи-
пивал ему 3 ноября: "Не нужно говорить, насколько радует меня новая тео-
теория водорода и насколько приятно удивляет меня быстрота, с которой Вы
Создали эту теорию" '26). Успешное решение задачи о скрещенных полях,
•идимо, еще больше обрадовало Гейзенберга: если матрично-механическое
рассмотрение спектра водорода в работе Паули говорило о том, что
Теория Гейзанберга не уступает старой квантовой теории, то решение задачи
О скрещенных полях свидетельствовало о ее превосходстве над последней.
Впрочем, это было не первое свидетельство превосходства теории Гей-
Мнберга. Напомним, что в матричной механике энергия гармонического
Осциллятора в самом нижнем стационарном состоянии равнялась не нулю,
Nik в старой квантовой теории, a Vj hvu. Понятие о такой нулевой энергии,
которое, как мы видели, было предложено Планком в так называемой
"второй теории" >21) в 1911 г., но вскоре оставлено, все же никогда пол-
1J J) Там же. с. 563.
1 ") Dine P.A.M. The quantum algebra. - Proceedings of the Cambridge Philosophical
•ociety, 1926, v. 23, p. 412-418; статья получена редакцией 17 июля 1926 г.
|>4) РаиН И/ Ober das Wasserstoffspektrum vomStandpunktderneuenQuantenmecha-
ntk. - Zeitschrift fur Physik, 1926, Bd 36, S. 336-363.
'") Klein O. Uber die gleichzeitige Wirkung von gekreuzten homogenen elektrischen
und magnetischen Feldern auf das Wasserstoffatom. I. - Zeittchrift fur Physik, 1924, Bd 22,
¦ 109—118: Lang W. Uber den Bewegungsverlauf und die Quantenzustande der gestorten
Ktplarbewegung. - Ibid., 1924, Bd 24, S. 197-207.
"MCm. [8], с 43; (8*1,с. 66.
1J') См. с. 67.
231
ностью не сходило со сцены. Некоторые экспериментальные данные, напри-
например, приводимые Бенневицем и Симоном128), вроде бы даже поддержи
вали эту идею. Существование нулевой энергии было надежно установле
но в конце 1924 г., эа полгода с небольшим до публикации исторической
статьи Гейзенберга. Изучая изотопический эффект в колебательном поло
сатом спектре одноокиси бора, Малпикен ) нашел, что сдвиг, соответ
ствующий переходу S2 = 0 в S, - 0, дается выражением '30)
- v2) - (vx - v\)],
которое нельзя было объяснить без предположения о нулевой энергии. Та
ким образом, эксперимент Мапликена противоречил старой квантовой
теории, но полностью согласовался с матричной механикой. Это было са-
самым первым свидетельством превосходства квантовой механики над ста
рой теорией.
5.3. Возникновение волновой механики
Одновременно с процессом создания матричной механики шел и другой,
на первый взгляд совершенно независимый, процесс концептуального раз
вития, отправной точкой которого была не механика частиц, а проблема при
родь1 света. Эта проблема стояла перед человеком как вызов его жажде
познания с того времени, как он начал всматриваться в окружающий его
мир, ибо свет, будучи нашим главным средством познания внешнего мира,
никогда не раскрывал своей сущности и, будучи "посредником" между
материей и наиболее тонким нашим чувством, никогда не появлялся без
покрова таинственности.
Как известно, классическая физика выдвинула две основных гипотезы
о природе света: корпускулярную теорию Ньютона и волновую теорию
Гюйгенса. Первым, кто попытался примирить эти теории, был сэр Уильям
Роуан Гамильтон, пылкий поклонник Лагранжа. Как раз в то время, когда
волновая теория света, в основном благодаря работам Фрвмепя, добилась
самых впечатляющих своих побед, Гамильтон предложил придать оптике
как формальной науке те же "красоту, мощь и гармонию", которые Лаг
ранж придал механике. С этой цепью он попытался найти единый закон
природы, который управлял бы как распространением света, так и движе
нием частиц131). С помощью своей "характеристической функции'
он обнаружил, что движение точечной массы в силовом поле подчи
няется тому же формальному закону, что и распространение луча
света.
В действительности часто забывают о том, что широко известная гамиль
тоновская формулировка механики возникла из его исследований по on
'") Bennewiu К., Simon F. Zur Frage der Nullpunktsenergie. - Zeitschirft fur Physik,
1923, Bd16, S. 1B3-199. Ср. также исторические замечания в статье Вт CP.Jhellung А.
Nullpunkttenergie und Anordnung nicht vertauschbarer Faktoren im Hamiltonoperator. -
Helvetica Phytica Acta, I960, v. 33, p. 839-84B.
1 ") Mulliken R.S. Isotope effects in the band spectra of boron monoxide and silicon
nitride. - Nature, 1924, v. 113. p. 423-424; The isotope effect in band spectra II: The
spectrum of boron monoxide. - Physical Review, 1925, v. 25, p. 259-294; статья заверше
на 12 сентября 1924 г., исправлена 11 декабря 1924 г.
|3°) Вибрационные чес го in со штрихами относятся к молекулам, содержащим
второй изотоп.
'"I HamiltonW.R. On a general method of expressing the path of light, and of the
planets, by the coefficients of a characteristic function. - Dublin University Review. 1B33,
p. 795-B26.
232
тике. Немного модифицируя его изложение ради будущих ссылок и ис-
используя современные обозначения 132), мы можем следующим образом
суммировать полученные им результаты.
Из вариационного принципа Гамильтона
bfLdt = 0
легко получить (при постоянной энергии) принцип наименьшего действия
Мопертюи, самый старый вариационный принцип динамики,
5 / 2Tdt = 6 f[2m(E - U)] 42ds = 0. E.62)
Сревнивая E.62) с принципом наименьшего времени Ферма, лежащим
в основе геометрической оптики, именно
6/— ds = 0. E.63)
с
видим, что выражение С[2т [Е - U) ]~|/2 играет в механике ту же самую
роль, которую в оптике играет фазовая скорость u = cln, т.е. символически
имеем
и = — —* C[2m{E-U)] ~112. E.64)
п
Это соотношение можно назвать "оптико-механической аналогией Гамиль-
тона". Но аналогию можно продолжить. Функция действия S = / L dt
определяет в конфигурационном пространстве "поверхность действия"
S{x. у. г, t) = const, на которой, как известно, р - VS и bSlbt = L — pv =
¦—ЕС другой стороны, для плоской монохроматической волны волновой
вектор к и частота со = 2nv связаны с фазой у = — cot + кг уравнением к =
¦ V \fi и Э^/Эг = — со. Поэтому поверхность постоянного действия системы
частиц распространяется совершенно так же, как поверхность постоянной
фазы в оптике, причем волновой вектор соответствует импупьсу, а часто-
частота - энергии частиц.
Эти результаты, которые Гамильтон133) опубликовал между 1828 и
1837 гг., на протяжении ста пет почти не привлекали внимания. Механику
Гамильтона, отделенную от его оптики, как мы знаем, развил и углубил
Якоби '34). Оптика Гамильтона, отделенная от его механики, возродилась
в теории эйконала, развитой Брунсом135). Но объединенная точка зрения.
1111 Обозначения здесь совпадают с обозначениями гп. 3; С — постоянная.
1Э51 Hamilton W.R. Essay on the theory о' systems of rays. - Transactions of the Royal
Irish Academy, 1828, v. 15, p. 69-174; 1830, «. 16. p. 1-61:1831, v. 16, p. 93-125; 1831.
v. 17, p. 1-144; In: The Mathematical Papers of Sir William Rowan Hamilton/ed. AW. Con-
way. J.L.Synge: Cambridge University Press, 1931, v. 1, p. 1-294.
1341 Cm. [3 54,3.54.].
IJSI Sruns H.Das Eikonal. - Leipziger 8enclne, 1895, Bd21,S. 323-436; Das Eikonal -
Leipzig: Hirzel, 1895. Работа Брунса, сделанная, по-видимому, независимо от теории
Гамильтона и не содержащая явных ссыпок на нее, тем не менее тесно связана с ней.
Основное уравнение Брунса. уравнение эйконала, по существу является дифферен-
дифференциальным уравнением Гамильтона для его характеристической функции. Связь
между теорией Гамильтона и работой Брунса, равно как и важность последней
для теоретической физики вообще, а не только для конструирования оптических
инструментов, что было ее первоначальной целью, были превосходно освещены в
сгвти: Somrmrfeld A. Range J. Anwendung der Vektorrechnung auf die Grundlagen der
««•ometrischen Optik. - Annalen der Physik, 1911. Bd 35, S. 277-298.
233
единый формализм оптики и механики, т.е. основная цель Гамильтона,
почти полностью игнорировалась. Примечательным исключением был Фе-
Феликс Клейн. Он неоднократно подчеркивал важность гамильтоновского
подхода, как например, в лекции, прочитанной 22 ноября 1891*г. на съезде
Общества немецких ученых в Галле '36), и сожалел о недостатке интереса
к идеям Гамильтона со стороны современников. Еще одним исключением
был Г. Пранге ! 37>, который посвятил вкладу Гамильтона в изучение опти-
оптики и ее связи с механикой свою "Habilitationsrede" *) в университете
г. Галле в 1921 г.
Безразличие, с которым в прошлом относились к идеям Гамильтона,
легко объяснимо. Дело в том, что хотя ход лучей, задаваемый принципом
Ферма, действительно соответствует траекториям частиц, задаваемым прин-
принципом Мопертюи, а волновые поверхности — поверхностям гамильтоновс-
гамильтоновского действия, нельзя было установить никакого соответствия между ско-
скоростью движения частиц и скоростью распространения лучей. Поэтому
подход Гамильтона рассматривался исключительно как формальная анало-
аналогия, лишенная более глубокого физического смысла.
Согласно Гамильтону, ньютоновская механика соответствует геометри-
геометрической оптике. Но та является лишь приближением к волновой оптике.
Даже если бы в то время и было понято, что применимость ньютоновской
механики - в силу ее соответствия лишь геометрической оптике - носит
ограниченный характер vi что более глубокой теории должны быть присущи
волновые черты, концептуальный аппарат науки XIX века все равно не
был готов воспринять заключение о том, что по аналогии с тем, как в опти-
оптике лучи должны быть заменены на волны, так и в механике понятие траек-
траектории частиц следует заменить каким-то новым понятием, поскольку это
заключение неизбежно вело к отказу от самого понятия собственно части-
частицы. Этим и объясняется, почему о проблеме частица — волна первыми за-
заговорили экспериментаторы, а не теоретики.
С момента открытия Вильгельмом Конрадом Рентгеном138) названных
его именем пучей и вплоть до известного дифракционного эксперимен-
эксперимента139), выполненного Фридрихом и Книппингом по предложению Лауэ, и
даже после этого, в вопросе о том, являются ли эти лучи волнами или части-
частицами, не было ясности. Ряд свойств рентгеновских лучей (например, они
испускались радиоактивными атомами вместе с а- и /3-лучами, корпуску-
корпускулярная природа которых казалась несомненной, или ионизировали газ |4°)
при прохождении через него и т.д.) свидетельствовал об их корпускуляр-
корпускулярной природе. У.Г. Брэгг, даже показав, что ионизация возникает как вто-
вторичный эффект, в результате выбивания /3-лучей, т.е. электронов, и как бы
1 "I Klein F. Uetoer neuere englische Arbeiten zur Mechamk. — Jahresbencht der Deut-
schen Mathematiker Vereinigung, 1890—1891, Bd 1, S. 35—36; In: Gesammelte mathematische
Abhandlungen/ed.R. Fricke, H. Vermeil. - Berlin: Springer, 1922, Bd2, S. 601-602.
l57) Prange G. W.R. Hamilton* Bedeutung fur die geometrische Optik. — Jahresbericht
der Oeutschen Mathematiker Vereinigung, 1921. Bd 30. S. 69—82.
*) Речь при утверждении в должности {нем. I.
"*• Rontgen W.K. Ueber elne neue Art von Strahlen. - Sitzungsberichte der Physika-
lisch-Medicinischen Gesellschaft zu Wurzburg. 1B95, Bd 137, S. 132-141; Wiedamannsche
Annalen der Physik, 1898, 3d64, S 1-11, 12-17; On a new kind of rays. - Nature, 1896.
v. 53, p. 274-276 (перевод статьи 1895 г.).
1 "I Friedrich IV.. Knipping P., LtueM. Interferenzerscheinungen bei Rontgenstrahlen. —
Munchener Berichte. 1912, S. 303-322; Annalen der Physik, 1913, Bd41, S. 971-1002
"'I Ионизирующее действие рентгеновских пучей быпо открыто ¦ 1896 г.
Дж. Дж. Томсоном. См. Thomson J.J. The Rcintgen rays. - Nature, 1896, v. 53.
p. 391-392.
234
предвидя важную характеристику эффекта Комптона141), заявил: "Один
рентгеновский луч сообщает энергию для одного бета-луча, аналогично это-
этому, в рентгеновской установке один бета-луч возбуждает один рентгеновс-
рентгеновский луч ... скорость вторичного бете-луча не зависит от расстояния, кото-
которое прошел рентгеновский луч; итак, рентгеновский луч не рассеивает
своей энергии при движении, т.а. это частица42). В статье, написанной
Брэггом и Портером, авторы указывали: "Энергетические соображения
непосредственно привели нас к предположению, что рентгеновские и гамма-
лучи корпускулярны по природе постольку, поскольку каждый луч яв-
является отдельной сущностью, движущейся через пространство без измене-
изменений в форме и содержании энергии, совершенно как двигалась бы свобод-
свободная частица43).
Эти и подобные им соображения относительно природы рентгеновских
лучей привели к парадоксальной ситуации: даже после того, как волновой
характер этих лучей был недвусмысленно установлен дифракционными
экспериментами, не вполне исключалась возможность того, что в этих лу-
лучах есть нечто, корпускулярное. В конце 1912 г. У. Г. Брэгг, рассматривая
сложившуюся ситуацию, сделал следующее глубокое и пророческое заяв-
заявление: "Как мне предстевляется, проблема теперь состоит не в том, чтобы
выбрать между двумя теориями рентгеновских лучей, а в том, чтобы найти,
как я указывал в другом месте,одну теорию,обладающую возможностями
обеих44).
Взтяды Брэгга на природу рентгеновских лучей разделялись некоторы-
некоторыми экспериментаторами, и среди них - Морисом де Бройлем, старшим бра-
братом Луи де Бройля. Мы уже упоминали о нем как о редакторе Трудов Пер-
Первого Сольвеевского конгресса145) и решительном стороннике Комптона
в его споре с Дуаном146). Его лаборатория на улице Байрона в Париже
специализировалась на изучении рентгеновских лучей. "Мой брат, - рас-
рассказывал Луи де Бройль, — считал рентгеновские лучи некой комбинацией
волны и частицы, но, не будучи теоретиком, не имел особенно четких пред-
представлений об этом предмете4!). Именно в этой лаборатории Морис
приобщил брата к экспериментальным исследованиям14*) и "настойчиво
обращал его внимание на важность и несомненную реальность дуальных
аспектов частицы и волны49). В автобиографических заметках Луи де
Бройль150) писал: "Я вел со своим братом долгие споры относительно
14') См. с. 164.
1 4>) Bngg W.H. Corpuscular radiation. — British Association Reports, Portsmuth, 1911,
p. 340—341. Ср. также его статью: The consequences of the corpuscular hypothesis of
the gamma and x-rays and the range of beta-rays. - Philosophical Magazine, 1910,
v. 20, p. 385-416.
l4>) Bragg W.H., Pomr H.L. Energy transformation of x-rays. — Proceedings of the
Royal Society of London (A), 1911, v. 85, p. 349-365.
144) Bngg W.H. X-rays and crystals. - Nature, 1912, v. 90, p. 360-361.
l4$) См. с 69.
l4*) См. с 165.
I4T) Archive for the History of Quantum Physics. Интараью с Л. де Бронламот 14 ию-
июня 1963г.
|4>) См. [3.202].
"*) De Broglie L. Savants et DJoouvertes. - P.: Editions Albin Michel, 1951. p. 301.
1 ••) De Broglie L. Vue d'ensemble sur me» travaux scientif iques. - In: Louis de Broglie-
Physicien et Pennur. - P.: Editions Albin Michel. 1963, p. 459.
1" *) Бройль Л. Обзор моих научных работ. - В кн.: По тропам науки [1.247* ],
с. 346-370; см. с. 347-348.
235
истолкования проведенных им блестящих экспериментов в области фото-
фотоэлектрического эффекта и спектров фотоэлектронов .. . Эти долгие бесе-
беседы с братом о свойствах рентгеновских лучей... помогли мне глубоко
понять необходимость обязательной связи волновой и корпускулярной
точек зрения".
Но эти беседы были не единственным фактором, направляющим ход
размышлений Луи де Бройля. Следует напомнить, что он начал свое обра-
образование, готовясь к карьере государственного служащего, на факультете
гуманитарных наук (Faculte des Lettres) Парижского университета и в
1910 г. получил звание лиценциата литературы (по разделу истории). Но
частично под влиянием брата, частично под впечатлением от книг Пуанкаре
"Ценность науки" и "Наука и гипотеза" его так заинтересовали проблемы
физики и ее философия, что он решил изменить профессию. В 1913 г. он
получил в Сорбонне звание лиценциата наук по физическим наукам. Про-
Продолжив*) занятия на факультете точных наук в Сорбонне с целью получе-
получения звания доктора наук, он особенно заинтересовался разделами физики,
изучавшими Фундаментальные проблемы времени, пространства, структу-
структуры вещества и света. Так, например, на Луи де Бройля сильное впечатле-
впечатление произвели лекции Поля Ланжевена по теории относительности и его
анализу понятия времени - Ланжевен первым подробно разобрал так на-
называемый "парадокс часов" в теории относительности. Действительно, де-
бройлевская концепция фазовых волн была тесно связана с его представ-
представлениями о природе времени. "Это различие между релятивистскими изме-
изменениями хода (частоты) колебаний часов и частоты колебаний волн, -
писал он'5 Ч, — является фундаментальным; оно очень сильно заинтересо-
заинтересовало меня и размышления над этим различием определили все направление
моих исследований".
Прежде чем мы рассмотрим выдающийся вклад Луи де Бройля в кон-
концептуальное развитие квантовой механики и, в частности, введение им
понятия так называемых "волн вещества" 1S2), следует задаться вопросом,
не были ли его идеи — как это часто происходит с великими открытиями
г науче - хо..4 бы отчасти предвосхищены мыслителями прошлого. Пря-
Прямой предшественницей гипотезы де Бройля часто считают оптико-механи-
оптико-механическую аналогию Гамильтона. Но это верно только отчасти. Действительно,
Гамильтон утверждал: "Независимо от того, примем ли мы для объяснения
законов, которым подчиняются траектории световых или визуальных свя-
связей, теорию Ньютона, Гюйгенса или любую другую физическую теорию,
мы можем рассматривать сами эти законы, равно как и свойства подобных
*) После первой мировой войны.
1*') De Broglie L. Une Tentative о" Interpretation Causaie et Non-lineaire de la Mecanique
OndulBtoria. — P.: Gauthjar-Villars, 1956. p. 4; Non-linear Wave Mechanics — A Causal
Interpretation. - Amsterdam, L.. N.Y.: Elsevier, 1960, p. 5.
'") В связи с этим термином, может быть, нелишне подчеркнуть совершенную
необоснованность часто встречающегося утверждения, согласно которому к гипотезе
"волн вещества" да Бройля привело влечение к спиритуализму. Как да Бройпь
сообщил автору, он только один раз посетил спиритуалистический сеанс и увидал,
что появляющиеся якобы из потустороннего мира искры высекаются крамнвм зажи-
зажигалки. Источником слухов, вероятно, является глубокое непонимание научной терми-
терминологии, о чем свидетельствует также попытка связать со спиритуализмом и Эйнштей-
Эйнштейна. Как рассказывает Зеелиг (см. [1.180]), не приема в честь Эйнштейна, устроен-
устроенном семьей Оппенгеймвров во Франкфурта-на-Мейне, одна дама приэналвсь Фридриху
Дессауэру: "Знаете, господин профессор, что больше всего восхищает маня и произ-
производит не меня огромное впечатление? Вот что: профессор Эйнштейн действительно
верит в четвертое измерение".
236
линейных траекторий света и соотношения между ними, как важный от-
отдельный предмет, составляющий отдельную науку, часто называемую ма-
математической оптикой" !''). Ясно, что интересы Гамильтона были целиком
сосредоточены на формально математических аспектах, а не на проблеме
физической природы света.
И все же в XIX столетии были неортодоксальные мыслители, убежден-
убежденные (на основании физических или философских доводов) в конечном
тождестве частиц и волн. Одним из наиболее красноречивых сторонников
этой идеи был борон Николаи Деллингегаузен. После изучения физики в
университетах Дерпта, Лейлцига и Гейдельберга он вернулся в свое балтийс-
балтийское поместье и, не прекращая занятий хозяйством, написал ряд интересных
исследований по физике. Основной его труд, расширенный вариант изданно-
изданного ранее эссе 154), был опубликован в 1872 г. под названием "Основы ко-
колебательной теории природы55). Отправляясь от декартовских пред-
представлений о протяженности как основном свойстве материи !56) и от кине-
кинетической теории тепла, сводившей тепло к движению, Деллингегаузен
отождествлял атомы со стоячими волнами, а движение частиц интерпрети-
интерпретировал как колебательный процесс. Согласно его учению, тела являются
просто "протяженными центрами колебательных движений", а "природа
материи есть протяженность в движении57). Аналогичную теорию, но
¦ связи с математическим вопросом о природе пространства, выдвинул
примерно в то же время Уильям Кинг дон Клиффорд, переводчик работ
Рима на на английский язык. Видя в римановском понятии пространства
возможность слияния физики и геометрии, Клиффорд интерпрети-
интерпретировал движение вещества как проявление изменений кривизны прост-
пространства^58).
Несмотря на наличие определенных аналогий, было бы ошибочно пред-
предполагать, что на де Бройля как-то повлияли эти умозрительные построения:
прежде всего, он ничего не знал об их существовании, когда пришел к
своим идеям. На ход размышлений де Бройля, помимо тех общих факто-
факторов, о которых мы говорили выше, по-видимому, повлияло также и одно
более специфическое обстоятельство. Именно, он прочел серию статей,
как мы сказали бы сейчас, по гидродинамической модели колеблющегося
атома, написанную Марселем Бриллюэном; де Бройль однажды назвал его
"истинным предшественником волновой механики59). В 1919 г. Брил-
"М См. [131].
1 >4> Baron Dellingshauten N. Versucheiner speculative)! Physik, 1B51.
'**)Вмгоп Dellingtheuten N. Grundziige einer Vibrationstheorie der Natur. - Reval:
F.KIiige, 1B72.
1 "I Cp. Jammer M. Concepts of Space — A History of the Theories of Space in Physics.—
Cambridge, Mass.: Harvard University Press, 1954, p. 97; N.Y.: Harper and Brothers, 1960.
(Предисловие Эйнштейна к этой книге см.: Эйнштейн А. Собрание научных трудов,
т. IV [4.112»], с. 344-348. -Примеч. пер.)
1S1I См. [155],с. 373, с. 402.
lfM См. [156], гп. 5.
1 ••) Electrons et Photons — Rapports et Discussions du Cinquieme Conseil da Physique
Tenu a 8ruxeltes du 24 au 29 Octobra 1927 sous tes Auspices de I'lnstitut International de
Physique Solvay. — P.: Gauthier—Villars, 1928, p. 105. Доклад де Бройля "Новая динами-
динамика квантов" опубликован ив с. 105-132. Кроме того, сын Марселя Бриллюэна, Леон
Ни копя Бриппюэн, сообщил в подготовленном для Американского физического
института обзоре A962 г.) : "Л. де Бройль ислояыовал некоторые предположения,
ранее выдвигавшиеся моим отцом в 1919—1922 гг., но оставленные им в довопьно
незавершенном виде".
237
люэн, профессор физики в Коллеж де Франс, опубликовал статью'60),
посвяще'чую периодическому движению колеблющейся частицы в упругой
среде. Как показал Бриллюэн, если скорость движения частицы по орбите
во много раз превосходит скорость упругих волн в среде, то с каждым
данным положением частиц можно связать конечное число п предшествую-
предшествующих положений и притом таким образом, что частицу в данном положении
(в данный момент времени) достигают именно теп упругих волн, которые
были возбуждены частицей в этих предшествующих положениях. Приняв,
что случай постоянного п соответствует стационарному состоянию, Бриплю-
эн попытался связать эту модель с боровской моделью атома и объяснить
оптические свойства атома, соответствующим образом выбрав постоянные,
входившие в его модель'6 Ч. Во второй статье *B) он обобщил свой вы-
вывод дискретных свойств, характеризуемых целыми числами, и ввел пере-
переменную скорость распространения упругих волн. Он предположил, что ве-
величину, обратную скорости этих волн, которая зависит от расстояния г до
ядра и многозначительно была обозначена им через п{г ), можно подобрать
таким образом, чтобы, например, получить бальмеровские термы в боровс-
боровской теории водородного атома. В третьей статье |C) Бриллюэн ввел неко-
некоторую функцию Лагранжа для ближайших окрестностей ядра, где уравне-
уравнения Герца — Максвелла, как вытекало из теории Бора, перестают быть
справедливыми. Имея в виду два основных предположения, сделанных
им, Бриллюэн завершил статью словами: "Но, может быть, существует и
третий, отличный от предыдущих, путь, на котором молодой смелый иссле-
исследователь может добиться успеха64). Луи де Бройль был, несомненно,
хорошо знаком с этими статьями. Возможно даже, что он получил их от-
оттиски непосредственно от Бриллюэна '6 5). _^__._
Сделав эти замечания, перейдем теперь к анализу вклада Луи де Бройля
в концептуальное развитие квантовой механики. Естественно, что в поис-
поисках "синтетической теории излучения66), объединяющей волновые и
корпускулярные аспекты, Луи де Бройль обратился прежде всего к работе
Эйнштейна по световым квантам. Следуй Эйнштейну, он рассмотрел излуче-
излучение черного тела как газ, состоящий из световых квантов, и в самой первой
из своих публикаций по этому вопросу нешел, что подобное рассмотрение,
подчиненное классической статистической механике, ведет к закону рас-
распределения Вина167). Показав статью Ланжевену, де Бройль услышал от
"°> Briltouin U. Action» micaniques a herecfite discontinue par propagation; essai de
thebrie dynemique de I "a tome a quanta. - Comptei Rendus, 1919, v. 168, p. 1318—1320.
1 * ' I "Следовательно, если удастся выбрать надлежащий закон излучения, представ-
пяется возможным сфомулироаать динамическую гипотезу, наделенную необходимы-
необходимыми качествами, которые позволят описать основные свойства атома Бора". Там жа,
с 1 319.
1 *') Briltouin M. Actions в hereclite discontinue et raies spectrales. - Comptei Rendus,
1920, v. 171, p. 1000-1002.
1 •') BrillouinU. Atoms de Bohr-Fonction de Lagrange Circumnucleaira. - Journel de
Physique, 1922, v. 3. p. 65-73.
1441 Там же, & 7a
1 • • I Луи де Бройль вспоминал: "Я знал эту статью. Думаю даже, что он мне ее пос-
послал. Да, конечно, она играет некоторую роль во всем ..." (Archive for the History of
Quantum Physics. Интервью с Л. де Бройпем от 7 января 1963 г). Кроме того, в пер-
первой статье де Бройля по фазовым вопием (см. [171]) дается ссылка не статьи брил-
пюэна.
¦"> См. [16О],с.4вО;[16О«).с. 349.
1 •¦* I De Brogl'm L. Rayonnement noir et quanta de lumiere. - Journal de Physique, 1922,
v. 3. p. 422-428.
238
него: "Ваши идеи интересны, но ваш газ не имеет ничего общего со светом".
Во втором мемуаре ' *8), в котором он пытался согласовать гипотезу Эйн-
Эйнштейна о световых квантах с явлениями интерференции и дифракции,
де Бройль впервые выдвинул идею о необходимости связать некий эле-
элемент периодичности с этими квантами |б9). В поисках подобной периодич-
периодичности (конечно, только впоследствии стало ясно, что разыскиваемая де
Бройлем частота, связанная с частицей, для фотона есть просто частота из-
излучения v. а волна де Бройля — обычная световая волна) он обратился к
аналогии между формальными аппаратами аналитической механики и вол-
волновой теории, той аналогии, которая "поразила" его "в ранней моло-
молодости" |70). Наконец, в конце лета 1923 г. стала вырисовываться его кон-
концепция фазовых волн. Статья171), в которой он изложил зти идеи, с пол-
полным основанием может считаться началом теории волновой механики.
Де Бройль рассмотрел движение частицы с массой покоя т0 и скоростью
v * /Зс относительно покоящегося наблюдателя и предположил, что частица
является средоточием некоего внутреннего периодического явления, часто-
частота которого i>o " mac2/h, где h - постоянная Планка, а тос2 - внутренняя
энергия частицы. Неподвижный наблюдатель, продолжал де Бройль, припи-
припишет частице энергию тос2/A — 02I'2, т.е. припишет периодическому
явлению частоту v = v0IC\ — 02I'2. Но обратившись к внутреннему явле-
явлению, наблюдатель обнаружит, что его частота (благодаря релятивистскому
замедлению времени) уменьшается до значения vx = роA - 02I/2, а соот-
соответствующие колебания меняются со временем как sin^ffi^r). Именно
•то различие между v и vt приковало его внимание и ''определило все
направление72) его исследований. Для разрешения этой дилеммы
да Бройль ввел "фиктивную волну, связанную с движущимся телом"
("une onde f ictive asscociee au mouvement du mobile"), которая распростра-
распространяется со скоростью с/0 и частотой v. определенной выше. Затем он смог
показать, что если в начальный момент времени внутреннее явление движу-
движущегося тела находится в фазе с такой волной, "подобная соразмерность
фазы будет сохраняться и далее". Поскольку тело, которое в момент вре-
времени f = 0 совпадает с волной, находясь в начале координат, в момент
¦рамени г находится на расстоянии х = vt от него, внутреннее явление
протекает по закону s\n{2m>\x/v), в то время как волна в этой же точке
задается выражением
sinBin'(r - flx/c)] - sin[2jn>xA/v - 0/с)].
Но по определению V\ = »>A —/З2), что и доказывает утверждение. Этот ре-
результат, продолжал де Бройль, указывает на то, "что, быть может, каж-
1 * • I Oe Broglie L. Sur les interferences et la theorie des quanta de lumiere. ~ Comptes
Rendus, 1922, v. 175,p. 811-813.
'¦*) "Объяснены* палений, которые до сих пор интерпретировались с Помощью
волновой теории — интерференции, рессаямия, дисперсии и т.д., с помощью теории
емтоаых квантов представимте* очень нелегким делом, и чтобы достичь цели, муж к>
будет, вез сомнения, пойти на компромисс между старой и новой теориями, введя
в последнюю понятие периодичности". — Тем же, с. 812.
17') См. [150], с.461; [150*1, с. 349.
1 ¦" I De Broglie L. Ondes et quanta. - Comptes Rendus, 1923, v. 177, p. 507—510
(«•селение 10 сентября 1923 г.).
17|*>Д» БройпьП. Вопныи кввиты. - УФН, 1967, т. 93. с 178-180.
"М См. [151].
239
дое движущееся тело сопровождается волной и что невозможно разделить
движение тела и распространение волны"'7 3).
Далее де Бройль использовал этот результат для рассмотрения движения
электрона по замкнутой орбите с периодом Т, предположив, что ассоци-
ассоциированная с ним волна распространяется по той же самой траектории со
скоростью с/0. Если в момент времени г * 0 электрон находился в началь-
начальной точке О траектории, то в момент времени t = т волна, распростреняю-
щаяся из точки О, застанет электрон в точке О1, причем 00' - 0ст. Тогда
f " ФМ [Дс 1т + 7I, откуда г = TJ32/A — 02), а за это время внутренняя
фаза электрона изменится на величину
тос2 Тр2
2vD.
2i
h A_0)
Практически самоочевидно, утверждал далее де Бройль, что движение мо-
может быть стабильно лишь тогда, когде "фиктивная волна, проходя через
точку О', обнаружит электрон в фазе с собой", т.е. когда О » п (л — целое
число). Но последнее условие есть не что иное, как квантовое условие
Зоммерфельда
г
J~ fpdq-nh.
о
Действительно, имеем
т т0 то0с
0J A -0*I'2 A -02I'2
Во втором'74) и третьем175) мемуарах, опуликованных спустя две и
четыре недели, де Бройль показал, что скорость частицы v = $c в точности
равна групповой скорости >7() фазовых волн |77). Утверждение, согласно
"МО* Broglie L. A tentative theory of light quanta. - Philosophical Magazine, 1924,
v. 47, p. 446-458. Статья представляет собой резюме трех статей 1923 г. в Comptes
Rendus.
|7>*1 Да Броппь Л. Попытка построения теории световых квантов. —8 кн.: вариа-
вариационные принципы механики. - М.: Физматгиз. 1959, с 631-640; УФН, 1977, т. 122.
с 562-671 (см. с. 565).
1 74) De Broglie L. Quanta de lumiere, diffraction et interferences. — Comptes Rendus.
1923, v. 177,p. 548-550 (заседание 24сентября 1923 г.).
114 *) Да Броппь Л. Кванты света, дифракция и интерференция. - УФН, 1967.
т. 93. с 180-181.
1'' I De Broglie L. Let quanta, la theorie cinattque des gaz et le principe da Fermat -
Comptes Rendus, 1923, v. 177, p. 630-632 (заседание 8 октября 1923 г.).
1'' *• Да Броппь Л. Кванты, кинетическая теория газов и принцип Ферма. - УФН.
1967, т. 93. с 182-183.
'") Понятие групповой скорости восходит к сэру Джоржу Габриепю Стоксу
Ср. его ствтью: Notei on hydrodynamics. — Cambridge and Dublin Mathematical Jour-
Journal, 1849, v. 4, p. 219-240,' In: Mathematical and Physical Papers by George Gabriel Sto-
Stokes: Cambridge University Press, 1883. v. 2, p. 221-242. Формула для групповой ско-
скорости д - dvldiv/V), с помощью которой легко проверить справедливость утвержде-
утверждения да Бройля, была известна Гвмипьтону, как видно из его неопубликованных
работ. Она увидела свет только в труда лорда Рэлея "Теория звука" (см. A.74].
v. 1 A877),р.247, [1.74»], т. I, раздал 191, с. 321). Самое первое экспериментальное
подтверждение этой формулы было дано А.А. Майкельоомом в его известной статье
"Determination of the velocity of light, and of the difference of velocities of red and
blue light, in carbon disulphide". (Astronomical Papers Prepared for the Use of tha Ame-
American Ephomeris and Nautical Almanac. —Washington, 1885, v. 2, p. 249-268).
'") Термин "фвэовая волна" впервые появятся ¦ работе [174]. с. 549; [174-1,
с. 180.
240
которому в каждой точке своей траектории частица следует по лучу ее фа-
фазовой волны (луч - перпендикуляр к волновой поверхности равной фазы),
стало для него теперь основным постулатом динамики свободных частиц.
Обобщая полученный результат на случай траекторий с кривизной и
переменных скоростей в силовом поле и сохраняя этот постулат, де Б рой ль
указал, что траекторию можно вычислить, "кек в среде с переменным пока-
показателем преломления" с помощью принципа Ферма
ds vds
6 / 6 / = О,
X V
где X - длина фазовых волн, V = с/0 - скорость их распространения, v —
их частота. Принцип Ферма можно также выразить в виде
товс
6'*
что в точности совпадает с вариационным принципом Мопертюи. Это заклю-
заключение, подчеркнул де Бройль, оправдывает принятие указанного выше
постулата. 'Тем самым пролит свет на фундаментальную связь, объединяю-
объединяющую два великих принципа — геометрической оптики и динамики78).
Итак, траектория частицы будет, вообще говоря, определяться принци-
принципом Ферма — Мопертюи. Если же частица должна пройти через отверстие
или щель, размеры которых сравнимы с длиной фазовых волн, путь части-
частицы искривляется в соответствии с дифракцией фазовых волн. Введя до-
дополнительное предположение 179) о том, что вероятность поглощения или
рассеяния квента света атомом определяется геометрической результирую-
результирующей векторов фазовых волн, проходящих через него, - эта гипотеза соглас-
согласно де Б рой л ю "аналогична той, что принимается электромагнитной теорией,
когда она связывает интенсивность наблюдаемого света с интенсивностью
результирующего электрического вектора", - де Бройль согласовал явле-
явления интерференции и дифракции с гипотезой о световых квантах. Экспери-
Эксперимент Юнга, например, он объяснял следующим образом: "Некоторые атомы
света проходят через отверстия и дифрагируют вдоль луча близлежащей
части своих фазовых волн. В пространстве за экраном их способность к
фотоэлектрическому действию будет меняться от точки к точке в соответ-
соответствии с состоянием интерференции двух фазовых волн, пересекших два
отверстия. Тогда мы увидим интерференционные полосы, каким бы малым
ни было число дифрагирующих квантов и какой бы незначительной ни была
интенсивность падающего света. Кванты света пересекают и светлые, и тем-
темные полосы; постоянно меняется только их способность воздействовать
на вещество. Подобное объяснение, которое, по-видимому, одновременно
снимает возражения как против квантов света, так и против распростране-
распространения энергии через темные полосы, и может быть обобщено на все интерфе-
интерференционные и дифракционные явления"'80).
Подобные заключения, продолжал де Бройль, должны относиться и к
электронам: "пучок электронов, проходящий сквозь достаточно узкое
отверстие, также должен испытать дифракцию"'8'). "По-видимому,
l7')"Le lein fundamental qui unit les deux grand principes de I'Optique geometri-
que et de la Dinamique e« mis ansi en pleine lumiere". [175], p. 632.
"M См. [174].c. 549-550; [174.], с 181.
"••См. [173], с 454; 1173.], с 568.
iei) См. [174], с. 549; Ц74.]. с. 181.
18.М. Джеммер 241
именно в этом направлении следует искать экспериментальное подтвержде-
подтверждение наших идей82).
Подобное объединение волн и частиц (или квантов), утверждал де Бройль,
могло быть достигнуто потому, что фазовая волна мыслится как "направля-
"направляющая движение энергии"'8 3). С его точки зрения, волновая теория заходи-
заходила слишком далеко, отрицая дискретную структуру энергии излучения, но
не шле достаточно далеко, отказываясь от связи с механикой. "Новая ди-
немика свободы материальной точки по отношению к старой динамике - то
же, что волновая оптика по отношению к геометрической84). В заключе-
заключение он скезал: "Многие из этих идей могут подвергнуться критике и, может
быть, изменению, но представляется, что в настоящее время не может оста-
оставаться сомнений в реальности существования световых квантов. Более
того, если наши взгляды будут приняты, то поскольку они основываются
на относительности времени, все многочисленные экспериментальные до-
доказательства реальности "квантов" будут свидетельствовать в пользу
концепций Эйнштейна" ).
Диссертацию на звание доктора наук "Исследования по теории кван-
квантов86) де Бройль защищал 29 ноября 1924 г.*) на факультете точных
наук Парижского университета. Эта работа по существу была более подроб-
подробным'изложением его предшествующих статей и состояла из семи разделов:
A) фазовая волна, B) принципы Мопертюи и Ферма, C) квантовое усло-
условие стабильности, D) квантование одновременного движения двух электри-
электрических центров, E) кванты света, F) рассеяние рентгеновских и 7-лучей,
G) статистическая механике и кванты; кроме того, в ней содержалось
историческое введение, представляющее большой интерес для занимающих-
занимающихся историей оптики. Этот труд, который Дарвин назвал "поистине одним из
важных документов в истории научного исследования87), завершался
словами: "Определения фазовой волны и периодического явления ... я
умышленно оставил несколько нечеткими. Даннея теория должна рассматри-
рассматриваться скорее как схема, физическое содержание которой определено еще
не впблне точно, а не как доктрина вполне определенного содержа-
содержания88). Экзаменаторы высоко оценили оригинальность работы, хотя и
1 •s I Там же.
'"• "Nous concevons done I'onde de phase comme guidant les emplacements de
I'energie". A74], p. 549.
114 I "La nouvelle dinamjque du point materiel libre ist a I'ancienne dynamique ce
que I'optique ondulatoire est a I'optique geometrique". [174], p. 549.
"M Cm. A73]. с 457; A73.]. с 570.
"*) Theses presentee» a la Faculte des Sciences de rUniversite'de Paris pourobtenir
le grade de docteur es sciences physiques per Louis de Broglie, premiere these: Recher-
ches sur la the'orie des quenta, deuxieme these: Propositions donnees par la Faculte,
soutenues le 29 Novembre devant la Commission d'examen: J. Perrin, President: E. Cartan,
Ch. Mauguin, P. Langevin, Examinateurs. — P.: Mat son et Cie. 1924. Ср. также de Brog-
Broglie L. Recherche» sur la theoriedes quanta. - Annales de Physique, 1925, v. 3. p. 22-128.
1 ** *l Ofi БройпьЛ. Исследования no теории квантов. — В кн.: Вариационные прин-
принципы механики .A73*1. с. 641—667 (перевод статьи из Annales de Physique; разделы
4—7 опушены).
•I В книге Л. де Бройля По тропам науки A.247») приводится другая дата:
25 ноября 1924 г.
'") Darwin С. Le de со и vert e scientifique — In: Louis de Broglie—Physicien et Pen-
seur A50]. p. 192.
'**) "J'ai intentiollement laisse assez vague» les definitions de I'onde de phase et du
phenomene periodique ... La presente thebrie doit done plutot 8tre considered comme
une forme dont le contenu physique n'est pas entierement precise1 que comme urte doct-
doctrine homogene definitivement constituee". |1B6], p. 110.
242
не поверили в физическую реальность предложенных волн. Отвечая на
вопрос Перрена, можно ли наблюдать эти волны экспериментально,
де Бройль сказал, что для этого следует поставить опыты по дифракции
электронов на кристаллах. По-видимому, де Бройль предлагал Александру
Довийе '"), одному из сотрудников своего брата, сделать такие опыты,
но тот был слишком увлечен попытками передачи телевизионных изобра-
изображений190).
Сегодня мы знаем, что на вопрос Перрена можно было ответить утверди-
утвердительно, основываясь на экспериментально установленных фактах, известных
не только к тому времени, но даже к 1914 г., а то и много раньше '" ).
Летом 1924 г. Эйнштейн получил письма от Шатьендраната Бозе из
университета в Дакке в Индии *), которое начиналось словами: "Уважае-
"Уважаемый сэр, я осмелился послать прилагаемую статью ради Вашего прочтения
и мнения. Я очень хочу знать, что Вы думаете о ней. Как Вы увидите, я по-
попытался вывести множитель Вт>2/с3 в законе Планка независимо от кпас-
сической электродинамики, предполагая только, что максимальный эле-
элементарный объем в фазовом пространстве равен h3. Я не владею в доста-
достаточной мере немецким языком, чтобы перевести статью. Если Вы сочтете
статью заслуживающей публикации, я буду признателен, если Вы направите
te в Zeitschrift ftir Physik. Хотя я совершенно неизвестен Вам, я без коле-
колебаний обращаюсь с подобной просьбой. Потому что мы все* Ваши ученики,
хотя и пользуемся Вашими уроками только через статьи ..." '92).
Статья, о которой шла речь, была, конечно, посвящена хорошо известно-
известному теперь выводу закона излучения Планка на основе статистики Бозе —
Эйнштейна, как она называется сейчас. Эйнштейн сразу увидел важность
статьи, перевел ее и послал редактору Zeitschrift fur Physik '.
"") См. с. 145.
'*•) Archive for the History of Quantum Physics. Интервью с Л. де Б рой л ем от
7 января 1963 г.
'" ) Строго говоря, можно было бы сослаться на такое давно известное явле-
явление, как радиоактивный распад. Действительно, аг-распад можно удовлетворительно
объяснить только не основе волиово-механического подхода в соответствии с гипоте-
юй де Бройля; это было показано в статьях; Си тег R.W., Condon E.U. Wave mechanics
•nd radioactive disintegration. - Nature. 1928, v. 122, p. 439; Gtmow G. Zur Quantentheo-
rte des Atomkernes. - Zeitschrift fur Physik, 1928, Bd 51, S. 204-212. Широко известен
текже рассказ о том, что ассистент Филиппа Ленарда в Гайдельберге, изучая после
смерти Ленарда некоторые сделанные им фотографии, обнаружил на них признаки'
дифракции электронов. Сэр Джорж Томсон и проф. Э.Н. да Ко ста Андраде попытались
проверить справедливость этой истории. Проф. От то Гаксельиз Гейдельберга сообщил
им, что г. Гегюш, проявивший фотографические пластинки, закрывал внешние части,
(тих пластинок (при подготовке их к воспроизведению в пачати) ло чисто техничес-
техническим причинам. Было также установлено, что фокусировка пучков катодных лучей
в установке Ленарда была недостаточно острой, чтобы дать дифракционную картину.
(Автор приэнетепен сэру Дж. Томсону и проф. Андраде за информацию по денному
вопросу; письма от 7 июля 1965 г. и 19 июля 1965 г.) Тем не менее, представляется
небезынтересным порезмыслить о том, как мог бы измениться ход резей тип физики,
•спи бы волновая природе электронов была обнаружена ранее, чем корпускулярная.
Взгляд с точки зрения теории поля не то, насколько случайно электрон был впервые
обнаружен кек частица, изложен в статье: Peierls ft.E. A Survey of Field Theory. — Re-
Reports on Progress in Physics, 1955, v. 18, p. 423-477; см. особенно с 471 -473.
*) Ныне столица государства Бенгладеш.
1 "I Это письмо от 4 июня 1924 г. находится в Einstein Estate, Princeton, NJ.
'Bote S. Planck's Gesetz und Lichtquantenhypothese. — Zeitschrift fur Physik, 1924,
Id 26, S. 176-181.
I Бозе Ш. Закон Планкв и гипотезе световых квеитов. — 8 кн.: Эйнштейн А.
Собрание научных трудов, т. Ill [ 1.112»), с. 475-478 (приложение к ст. 160).
te» 243
Но Эйнштейн пошел дальше. Применив подход Бозе к одноатомному
газу 194), он увидел, что можно установить "далеко идущее формальное
соответствие между излучением и газом" ("ein weitgehende formale Ver-
wandschaft zwischen Strahlung und Gas"). Действительно, он показал, что
если частицы газа подчиняются новой статистике, то выражение для средне
квадратичных флуктуации энергии, как и уравнение A.19), состоит из
двух слагаемых I9S', одно из которых соответствует статистике Максвел-
Максвелла - Больцмана для невзаимодействующих молекул, а второе - интерфе-
интерференционным флуктуациям, связанным с волновыми явлениями.
Как мы знаем из достоверных источников, Ланжевен сообщил о работе
де Б рой л я на четвертом Сольвеевском конгрессе196' в апреле 1924 г.,
хотя экспериментальные ее подтверждения и не были еще известны. Он
также рассказал о ней Эйнштейну 191>. Естественно, что Эйнштейн, рабо-
работавший в то время над возможными следствиями подхода Бозе, заинтере-
заинтересовался трудом де Бройля и попросил 198' прислать ему оттиск, который
он получил и прочитал в декабре 1924 г. Во второй статье '"' о квантовой
теории идеального газа Эйнштейн, обсуждая интерференционный член
в его формуле для энергетических флуктуации, упомянул о работе
' Einstein A. Quantentheorie des einatomigen idealen Gases. — Berliner Berichte,
1924, S. 261-267 (выпуск от 20 сентября 1924 г.).
) Эйнштейн А. Квантовая теория одноатомного идеального газа. — В кн.: Соб-
Собрание научных трудов, т. Ill |1.112»|. с. 481—488.
1's) Einstein A. Quantentheorie des einatomigen idealen Gases. — Berliner Berichte, 1925,
S. 3-14 (выпуск от 9 февраля 1925 г.).
1 91 •)
' Эйнштейн А. Квантовая теория одноатомного идеального газа. Второе сооб-
сообщение. - В кн.: Собрание научных трудов, т. Ill |1.112«| ,с. 4В9-502.
"*) Официальные труды Конгресса (Conductibilite Electrique des Metaux et Prob
I ernes Connexes, Rapports et Discussions du Quatrieme Conseil de Physique Tenu a Bruxelles
du 24 au 29 Avril 1924 sous les Auspieces de I'lnstitut International fie Physique Solvay. -
P.: Gauthier—Villars, 1927) не содержат указаний на сообщение Ланжевена о гипотезе
де Бройля. Но А.Иоффе, бывший на Конгрессе, сделал следующие интересные заме-
замечания: "Вспоминаю встречу с Полем Ланжевеном в 1924 г. на Сольвеевском конгрес-
конгресса, на котором особенно ясно проявились противоречия между классической и
атомной физикой. Лоренц, создатель теории электронов, сказал только, что сожалеет,
что не умер пятью годе ми реньше, когда горизонт этой теории был ничем неомречен.
Ланжевен говорил о реботе Луи де Бройля как об интересной попытке синтеза, кото-
рея может вывести из тупика", lo.'a A. A la memoire d'un maitre et ami. — La Pensee —
Revue du Rationalisme Moderne, 1947,№12 (May-June), p. 15-16.
*) Близкие замечания см. Иоффе А.Ф. Встречи с физиками. — М.: Физматги?
1962, с. 62.
) < Ланжевен) " ... вполне оценил значение идей де Бройля, из которых Шрё'дин-
гер позже реэвип методы волновой механики, и оцеиип реньше, чем идеи де Бройпя
консолидировались в последовательную теорию. Мне живо помнятся его объяснения
этого предмета, полные энтузиазма, но помню также те копебания и сомнения, с ко-
которыми я следил за ходом этих объяснений". Einstein A. Paul Langevin. — Ibid.,
p. 13-14.
) Эйнштейн А. Поль Ланжевен. — В кн.: Собрание научных трудов, т. IV
|4.112«|, с. 255-256.
) Об этом Лвнжевен рассказал де Бройлю. Archive for the History of Quantum
Physics. Интервью с Л. де Бройпем от 7 июня 1963 г.
'"' См. |195,195-|.
244
де Б рой ля и заявил: "Я подробнее остановлюсь на этой интерпретации, так
как думаю, что здесь мы соприкасаемся с чем-то большим, чем простая
аналогия00».
После того как Эйнштейн, в свою очередь, обратил внимание Борна 201'
на исследования де Бройля, Борн обсудил их с Джеймсом Франком,
с 1920 г. возглавлявшим кафедру экспериментальной физики в Гёттинген-
ском университете. На обсуждении присутствовал также Вальтер Эльзассер,
студент Борна, учившийся в Гёттингене с 1924 г. Когда Эльзассер предло-
предложил провести эксперимент по дифракции свободных электронов, чтобы
убедиться в существовании де-бройлевских волн. Франк заметил, что это
"не обязательно, так как эксперименты Дэвиссона ... уже установили нали-
наличие ожидаемого эффекта" .
Чтобы понять замечание Франка, надо обратиться к исследованиям
Дэвиссона. Клинтона Джозефа Дэвиссона интересовало испускание вторич-
вторичных электронов из электродов в вакуумных трубках, и с 1919 г. он, глав-
главным образом вместе с К.Г.Кансменом, изучал рассеяние электронов на
металлах в исследовательских лабораториях "American Telephone and
Telegraph Company" и "Western Electric Company", расположенных в Нью-
Йорке. В своей первой публикации об этих опытах Дэвиссон и Кансмен
указали: "Все главные характеристики кривых распределения, наблюдав-
наблюдавшихся к настоящему времени для рассеяния на никеле, по-видимому,
можно объяснить с помощью предположения, что небольшая допя налетаю-
налетающих электронов фактически проникает через одну или несколько электрон-
электронных оболочек, которые, как предполагается, составляют внешнюю часть
атома никеля, и, описав простые орбиты в дискретном поле, вылетают без
¦аметной потери энергии03'. Предположив, что угловое респределение
рассеянных электронов обусловлено изменением плотности заряда в атом-
атомных оболочках, Дэвиссон204' в 1923 г. получил формулу, для проверки
которой он и Кансмен изучипи рассеяние электронов малой скорости на
мишенях из платины и магния 2OS'.
' "Ich gehe па he г auf diese Deulung ein, weil ich glaube, da0 es sich dabei um mehr als
um eine blo/№ Analogic handelt". |195|, S. 9.
201) (Эйнштейн) "обретил мое внимание на диссертацию Луи де Бройля, сказав
мне что-то вроде: прочитайте ее; хотя она может показаться сумасшедшей, она вполне
основательна". Born M. La grande synthese. - In: Louis de Broglie—Physicien et Penseur
|150|, p. 165-170.
202) По словам Борне (см. |201|), Франк упоминал об экспериментах Дэвиссона,
е тек же Дэеиссоне и Джермере. Эльзассар это подтверждает, так что описанный эпи-
юд, безусловно, имел место. Но Френк, видимо, имел в виду эксперименты Дэеиссоне
и Кансмена, а не Дэвиссона и Джермере, так кек эта серия опытов к тому времени
еще не была выполнена.
' Davisson С, Kunsman C.H. The scattering of electrons by nickel. - Science, 1921,
v. 54, p. 522—544. Небольшой мексимум, эеметный для никелевой мишени на рис. 1
стетьи (с. 523), при угпе 75° к направлению первичного пучка и ускоряющем потен
циепе 150 В бью первым опубликованным доказательством дифрекции вопи
де Бройля.
' Davisson С. The scattering of electrons by a positive nucleus of limited field. —
Physical Review, 1923, v. 21, p. 637-649.
I Davisson C., Kunsman C.H. The scattering of low speed electrons by platinum end
megnesium. — Physical Review, 1923, v. 22, p. 242-25B.
245
Когда Франк всмотрелся в графики, полученные Дэвиссоном и Кансме-
ном.он понял, что наблюдавшиеся ими пикитиожно объяснить дифракцион-
дифракционными явлениями. Франк и Эльзассер вскоре заметили, что по мере увеличе-
увеличения скорости налетающих электронов максимумы в угловом распределе-
распределении отраженных электронов сдвигаются к направлению первичного пучка,
т.е. что характеристики рассеяния электронов похожи на характеристики
хорошо известного явления дифракции рентгеновских лучей на кристал-
кристаллах. Предположив, что "рассеяние" является дифракционным процессом,
они нашли, что сопряженная с этим явлением длина волны согласуется со
значением, даваемым формулой де Б рой л я X = h/mv, где под т и и пони
мается масса и скорость электронов.
Более того, Эльзассер понял также, что странные экспериментальные
результаты Рамзауэра206' можно объяснить интерференцией волн де
Бройля; кстати говоря, подобные результаты были независимо получены
примерно в то же время Таунсендом и Бейли 207',а также Чаудхури 2О8>.
Согласно этим исследованиям для медленных электронов с энергией мень
ше 25 эВ сечение рассеяния на благородных газах, в частности, на аргоне,
уменьшается так, как будто атом становится совершенно прозречным для
электронов.
Строго говоря, "эффект Рамзауэра" или "эффект Рамзауэра - Таун
сенде", как стали позже называть это явление, был замечен уже в 1914 г.
А. Акессоном, бывшим студентом Ю.Р. Ридберга и М. Зигбана в Лундском
университете- Работая над диссертацией209) на звание доктора фило-
философии в леборатории Ленарда в Гейдельберге, Акессон обнаружил,
что эффективное сечение рассеяния для некоторых газов с уменьше-
уменьшением энергии электров убывает не в соответствии с кинетической тео-
теорией.
Несколькими годами позже, однако, Г.Ф. Майер210) в работе, также
выполненной в Гейдельбергском университете, опроверг результаты Акес-
сона. В конечном счете именно Рамзауэр дал неопровержимое доказательст-
доказательство существования эффекта, применив метод, позже названный "круговым
методом Рамзауэра" ("Ramsauer Kreismethode").
Все эти выводы Эльзассер изложил в статье, посланной им Арнольду Бер-
линеру, редактору Die Naturwissenschaften. Сомневаясь в целесообразно-
целесообразности публикации этой статьи, Берлинеробратился к фон Лауэи Принсгейму,
от которых не получил определенного ответа, а также к Эйнштейну, одоб-
) Raumsauer С. Uber den Wirkungsquerschnitt der Gasmolekiile gegeniiber langsamen
Elektronen. - Annalen der Physik, 1921, Bd 04. S. 513-5ч0; 1921, Bd66, S. 546-558:
1923, Bd 72. S. 345-352.
а о т i
' Townsend J.S.. Bailey V.A. The motion on electrons in argon. — Philosophical Maga-
Magazine, 1923, v. 43, p. 593-600.
' Chaudhuri R.N. The motion of electrons in gases under crossed electric and magnetic
field. -Philosophical Magazine, 1923, v. 46, p. 461-472.
t 0 • i о • •
' Akesson A. Uber die Geschwindigkeitsverluste bai langsamen Kathodenstrahlen. -
Heidelberger Berichte, 1914. 21. Abhandlung. Ср.. в частности, примечание 14 не
с. 14 этой статьи. См, также Akesson A. Uber die Geschwindigkeitsverluste bei langumen
Kathodenstrahlen und iiber deren selektive Absorption.'- Lunds Universitets Arsskrift, 1916
v. 12, No. 11.
i 1 0 i * *
> Mayer H.F. Uber das Verhelten von Moleku'len gegenuber freien langsamen Elektro
nen.- Annalen der Physik, 1921. Bd 64, S.451-4B0.
246
рившему публикацию 2'''. Так в середине июля 1925 г. появилась заметка
Эльзассера 2! 2', завершавшаяся благодарностью Дж.Франку.
Интересно, что когда^внимание Дэвиссона обратили на эту статью, тот
"не слишком задумался (над ней) , так как не верил, что теория Эльзас-
сера относительно прошлых результатов < Дэвиссона) справедлива"
Действительно, заметка Эльзассера, по-видимому, оказала малое прямое
влияние на последующие исследования Дэвиссона. столь блестяще под-
подтвердившие гипотезу де Бройля.|Эта знаменитая серия экспериментов на-
началась с довольно необычного происшествия, случившегося в лаборатории
Дэвиссона в апреле 1925 г. Во время эксперимента по изучению углового '
распределения электронов, рассеивавшихся на обычном (поликристалли-
(поликристаллическом) никеле, "в тот момент, когда мишень имела высокую температу-
температуру, взорвался сосуд с жидким воздухом; трубка, с которой велись экспе-
эксперименты, была разбита и ворвавшийся воздух сипьно окислил мишень.
В конечном счете окись была восстановлена, а с помощью испарения удален
поверхностный слой мишени, но для этого потребовалось длительное нагре-
нагревание при различных высоких температурах в атмосфере водорода и в
вакууме' '. Когда же Дэвиссон и Джермер возобновили эксперименты
с никелевой мишенью, которая вследствие рекристаллизации при нагреве
превратилась в один большой кристалл (вернее, небольшое1 число крупных
кристаллов), они заметили, что угловое распределение "совершенно
изменилось". Так, когда моноэнергетические электроны направлялись на
плоскость A11) кристалла, то при угле Брэгга >р = 50° и энергии электро-
электронов 54 эВ наблюдался довольно резкий максимум, который смещался, рас-
расплывался и совершенно исчезал в зависимости от изменения ускоряющего
потенциала. Поскольку постоянная решетки кристапла никеля равна
t = 2,15 А, из формулы Брэгга они нашли, что длина волны составляет
1,65 А; это значение хорошо согласовалось со значением 1.67 А, получен-
полученным по формуле де Бройля X = h/mv * A50/1/I/2 А при ускоряющем
потенциале V — 54 В.
С моменте исторического взрыва, по выражению Дарроу "распахнув-
"распахнувшего дверь к открытию электронных волн". , и до получения этого
результата прошло, однако, почти два года. "В 1926 г. Дэвиссон посетил
Англию и присутствовал в Оксфорде на съезде Британской ассоциации
содействия развитию науки. Он взяп с собой несколько кривых, относя-
относящихся к большому кристаллу, но они были какими-то невыразительными.
'Archive for the History of.Quantum Physics. Интервью с П.Розбеудом от
8 июля 1961 г. Как перелает Эльзассер, Эйнштейн сказал: "Ну, я далеко не так бук-
буквально воспринимею свою теорию о статистике Бозе, но я думею, что ему <Эльзас-
овру> надо деть шанс. Статью следует опубликовать". — Там же, интервью с
В.Эльзассером от 29 мея 1962 г.
1 Eltasser W. Bemerkungen zurQuantenmechanik freier Elektronen. - Die Naturwis-
•enschaften.1925.Bd 13.S.711.
' Darrow K.K. The scientific work of С J. Da vision. — The Bell Journal, 1951, v. 30,
p. 786—797. В статье Дарроу приводятся автобиографические высказывания Клинтона
Дж.Дэвиссона. Это одно из них.
) Daritson C.J.. Germer L.H. Diffraction of electrons by a crystal of nickel. — Physical
Review, 1927, v. 30, p. 706-740.
'"'.c. 792.
247
Он показал их Борну, Хартри и, вероятно, Блэкетту. Борн позвал еще
одного европейца (им, видимо, был Франк), и состоялось оживленное
обсуждение. Весь обратный путь через Атлантику Дэвиссон посвятил зна-
знакомству со статьями Шредингера, поскольку подозревал (вероятно, не без
влияния обсуждений в Оксфорде), что в них может найтись объяснение
эффекта. Осенью 1926 г. Дэвиссон вычислил, где должны находиться отра-
отраженные пучки, пытался найти их, но не нашел. Тогда была разработана
программа тщательного поиска, и 6 января 1927 г. были обнаружены силь-
сильные отражения, обусловленные решеткой кристалла, в согласии с вычисле-
вычислениями, сделанными в том же январе" '.
Между тем Е.Дж.Даймонд, работавший в Пальмеровской лаборатории
Принстонского университета, изучил рассеяние электронов на гелии при
различных углах относительно падающего пучка. После рассеяния электро-
электроны проходили через две щели, а затем отклонялись магнитным полем на
коллектор, причем поле подбиралось так, чтобы собирать только электро-
электроны определенной энергии. Даймонд заключил, что "наличие ... максимумов
отчетливо указывает на интерференционные явления, в согласии с утверж-
утверждениями Эльзассера" .
В мае 1927 г. Джордж Паджет Томсон закончил в Абердине первую се-
серию экслериментов по дифракции электронов на тонких пленках; в экспе-
экспериментах ему помогал студент-дипломник Эндрю Рейд '. Если экспери-
эксперименты Дэвиссона были аналогичны опытам Лауэ по дифракции рентгенов-
рентгеновских лучей, то метод Томсона напоминал метод Дебая — Халла — Шерера.
Именно, в опытах Томсона пучок монохроматических катодных лучей
направлялся перпендикулярно поверхности тонкой целлулоидной пленки
и затем попадал на фотопленку. После проявления на ней обнаруживалась
симметричная картина, аналогичная наблюдаемой для рентгеновских лучей.
Еще один сотрудник Томсона, Р.Айронсайд 219>> проделал подобные
эксперименты с пленками меди, серебра и олова, т.е. металлов, решетки
которых имеют вид гранецентрированного куба, а Сейши Кикучи
в Токийском университете использовал для таких опытов слюду. Сумми-
Суммируя все эксперименты, в том числе и свои собственные, Томсон смог
утверждать: "Катодные лучи ведут себя как волны с длиной волны h/mv
в соответствии с де-бройлевской теорией волновой механики" . Вы-
' Там же.
21 7I Dymond E.G. Scattering of electrons in helium. — Nature, 1926, v. 118, p. 336-
337.
' Thomson G.P., Reid A. Diffraction of cathode rays by a thin film. — Nature, 1927.
v. 119, p. 890; Thomson G.P. The diffraction of calhode rays by thin films of platinum. -
Ibid.. 1927. v. 120. p. 802; Thomson G.P. Experiments on the diffraction of cathode rays. -
Proceedings of the Royal Society of London (A), 1928. v. 117, p. 600—609. Cp. Sir George
Thomson. Early work in electron diffraction. - American Journal of Physics. 1961, v. 29.
P. 821-825.
' Ср. также перевод более поздней статьи: Томсон Дж.П. Ранний этап изучения
дифракции электронов. - УФН, 1969, т. 99, с. 455-468.
2' * I Ironside R. The diffraction of cathode rays by thin films of copper, silver and tin. —
Proceedings of the Royal Society of London (A), 1928. v. 119, p. 668-673.
12") Kikuchi S. Diffraction of cathode rays by mica. — Proceedings of the Imperial Ace-
demy in Tokyo, 1928, v. 4. p. 271-274, 275-278. 353-356.471-474
2211 Cm. |218|, Nature, v. 120. p. 802.
248
ступая 2 ноября 1928 г. в Вашингтоне на съезде Американского оптическо-
оптического общества, Дэвиссон также мог заявить: "За последние несколько лет мы
допжны быпи признать, что при некоторых условиях удобно, если не необ-
необходимо, считать эпектроны волнами, а не частицами, и мы все чащей чаще
употребляем такие термины, как дифракция, отражение, преломление и
дисперсия, когда описываем их поведение22'. С 1928 г. количество
экспериментальных данных, свидетельствующих о правильности гипотезы
де Бройпя, выросло во много раз. Здесь мы укажем только на важные
эксперименты Руппа 223) по дифракции электронов на решетках, нанесен-
нанесенных механическим путем, опыты Эстермана и Штерна 22 а также
Эстермана, Фриша и Штерна 22S' по дифракции молекулярных пучков на
водороде и гелии, а из более недавних опытов упомянем об экспериментах
по дифракции пучков нейтронов, выполненных в рамках Манхэттенского
проекта*) Ферми и Маршалл 11Ь), а также Зинном 22 7).
День 30 апрепя 1897 г. "с полным основанием можно принять за дату,
отмечающую зарю современной физики частиц38', ибо в этот день
Джозеф Джон Томсон, выступая в Королевском Институте **' Великобри-
Великобритании, сообщил об открытии электрона. В 1906 г. он получип Нобелевскую
премию за исследование корпускулярных свойств эпектрона, и в частности
отношения его заряда к массе. Говоря о своих опытах с катодными луча-
лучами, он заявил в Нобелевской лекции: " ... мне хотелось бы рассказать о
некоторых исследованиях, которые привели к заключению, что носителями
I Davisson C.J. Electrons and quants. — Journal of the Optical Society of America,
1929, v. 18. p. 193-201.
Rupp B. Uber die Winkelverteilung langsamer Elektronen beim Ourchgang durch
Metallhgute. - Annalen der Physik, 1928, Bd 85, S. 981-1012: Versuche uber Elektronen-
beugung am optischen Gitter. — Cie Naturwissenschaften, 1928, Bd 16, S. 6§6; Versuche гиг
Elektronenbeugung. - Physikalische Zeitschrift, 1928, Bd 29, S. 837-839; Uber Elektronen
beugung an einem geritzen Gitter. - Zeitschrift fur Physik, 1928. Bd 52. S. 8—15: Uber
Elektronenbeugung an Metallfilmeii. — Annalen der Physik, 1929, Bd1. S. 773—800; Das
Wesen des Elektrons. - Zeitschrift des Vereins Oeutscher Ingenieure, 1929, Bd 73, S. 1109-
1114.
2 a 4 i ,
1 Estermann I., Stern O. Beugung von Molekularstrahlen. - Zeitschrift fur Physik
1930. Bd 61. S. 95-125.
llsl Estermann I., Frisch /?., Stern O. Monochromasierung der de 8roglie-Wellen von
Molekularstrahlen. - Zeitschrift fur Physik, 1931, Bd 73, S. 348-365.
*' Под этим названием известна программа работ по созданию an.мной бомбы
в США в годы войны.
' Fermi E., Marshall L. Interference phenomena of slow neutrons. — Physical Review,
1947, v. 71, p. 666-677.
3 3 4*1
' Ферми Э.. Маршапл Л. Интерференционные явления при рессаянии медлен-
медленных нейтронов. — В кн.: Э.Ферми. Научные труды D0»], 1972, т. II, с. 368—389.
' Zinn W.H. Diffraction of neutrons by a single crystal. - Physical Review, 1947.
v. 71, p. 752—757. Ср. также Wollan E.O., Shull E.G., Marney M.C. Laue photography of
neutron diffraction. - Ibid., 1948, v. 73. p. 527-528.
la*lDe V.Heathcote N.H. Nobel Prize Winners in Physics 1901-1950. - N.Y.: Henry
Schuman, 1953. p. 50.
**' Королевский институт Великобритании был основан в 1799 г. с целью распро-
распространения научных знаний.
249
отрицательного электричества являются тела (bodies), названные мною
корпускулами...29'.
Через 40 лет, в 1937 г.. Нобелевская премия была присуждена Дэвиссону
и Джорджу П.Томсону "за экспериментальное открытие интерференцион-
интерференционных явлений в кристаллах, облучаемых электронами". Если физическая
реальность "есть то, чем она является, потому что делает именно то, что
делает" г30', то возникает соблазн сказать, что Томсон-отец получил
Нобелевскую премию за доказательство корпускулярной природы электро-
электрона, а Томсон-сын - за доказательство волновой природы электрона. Но все
же:-какова физическая природа волн де Бройпя, реальность которых была
продемонстрирована столь неопровержимо?
Гипотеза де Бройпя, согласно которой каждой частице сопоставляется
волна, вскоре была развита, и на ее основе была создана новая механика.
Действительно, если есть волны, должно быть и волновое уравнение. Поэто-
Поэтому теперь надо было найти такое уравнение. Принималось также ', что
новая механика, основанная на этом уравнении, должна включать обычную
механику частиц как предельный случай, точно так же, как релятивистская
механика сводилась к механике Ньютона в предельном случае малых
скоростей, для которых скорость света могла считаться бесконечно боль-
большой (символически это могло быть выражено как с ->=»), или так же, как
волновая оптика сводилась к геометрической оптике в предельном случае,
когда длина волны могла считаться бесконечно малой по сравнению с
размерами прибора (т.е. символически при X -*0). Старое доказательство
того, что в этом предепьном случае волновая оптика сводится к геомет-
геометрической, было дано не позже 1911 г., вероятно, впервые Де'баем232',
когда он показал, что основное уравнение волновой оптики, Аи + к2 и = 0,
при больших к можно приближенно записать в виде уравнения эйкона-
эйконала IgradWI = п, фундаментального уравнения геометрической опти-
оптики233».
Ход рассуждений Дебая почти несомненно был следующим. В волновое
уравнение Ды + п2к%и = 0 он подставил и в виде и = А ехр (ik0W) и при-
принял, что А и W — медленно меняющиеся функции. Поскольку по предпопо-
жению к0 очень велико, в полученном дифференциапьном уравнении для А
и W он оставил только члены с наивысшей (второй) степенью к0, прене-
пренебрегая остальными, и получил (VWJ = пг.
Напомним, что уравнение эйконапа является оптическим аналогом диф-
дифференциального уравнения Гамильтона в обычной механике. Поэтому
"*> Там же, с. 44.
"°1 Ср. Джеммер М. 13.231, с, 153; 13.23-1, с. 159.
' Критика этого предположения была недевно высказана в статье Rosen /V.1
The relation between classical and quantum mechanics. — American Journal of Physics, 1964,
v. 32, P. 597-600.
' Об этом вскользь упоминается в статье Зоммерфельде и Рунге (см. |135|,
с. 290) : "Согласно сделанному мимоходом устному замечанию г.Дебап, это диффе-
ренциапьное уравнение (т.е. уравнение эйконапа) можно вывести из дифференциапь-
ного уравнения волновой оптики путем предепьного переходе".
' В этих уравнениях и — пюбея компонента электрического или магнитного по-
поля, зависящая от времени через множитель expBv/i>r),/r — волновое число 2я/А,
И/— эйконвльная функция, л = к„/к —показатель преломления.
250
должно быть ясно, что для формулировки новой механики нужно было
найти механическую аналогию предельному переходу Дебая, но осущест-
осуществляемому в обратном направлении, т.е. нужно было перейти от уравнения
Гамильтона к дифференциальному уравнению, которому подчиняются вол-
волны типа рассмотренных де Бройлем. Как известно из достоверных источни-
источников 234), Дебай действительно работал в этом направлении. Кроме того,
Э.Маделунг э35', который - подобно столь многим в то время - испыты-
испытывал серьезные сомнения в реальности атомных орбит, пытался создать
"что-то вроде волновой теории атомных уровней". Но, как хорошо извест-
известно, создал новую механику, известную ныне под названием нерелятивист-
нерелятивистской волновой механики, создал практически целиком и всего лишь за не-
несколько месяцев, не кто иной, как Шрё'диигер.
Эрвин Шрёдингер, подобно Гейзенбергу, закончил классическую гимна-
гимназию, где основными предметами были латинский и греческий языки. Полу-
Полученное им гуманитарное образование сильно повлияло на его позднейшие
взгляды на науку и жизнь, а также заложило фундамент глубокого интере-
интереса к проблемам классической и современной философии, о чем красно-
красноречиво свидетельствуют его труды 23'1. С 1906 г. по 1910 г. он учился
в Венском университете, занимаясь у Фрица Хазенёрля по теоретической
физике, Франца Экснера - по экспериментальной физике, Вильгельма Вир-
тингера - по математике. В 1911 г. он стал ассистентом Экснера. Позже
Шрёдингер 2Э7' вспоминал: "Старый венский институт Людвига Больцма-
на, незадолго до моего появления так трагически ушедшего из жизни, где
трудились Фриц Хазенёрль и Франц Экснер и через который прошли многие
другие ученики Больцмана, дал мне возможность проникнуться идеями
этого могучего ума. Круг этих идей стал для меня как бы первой любовью
в науке, ничто другое меня так не захватывало и, пожалуй, никогда уже не
захватит". В огромном влиянии Больцмана на Шрёдингера можно убедить-
убедиться, прочитав его ранние работы по кинетической теории газов, статистиче-
статистической механике и теории упругости '. Особенно интересно теперь, с рет-
' Archive for the History of Quantum Physics. ИнтервЛ) с П.С.Эпштейном от
26 мая 1962 г.
>>it
Там же. Интервью с А.Панде от 6 марте 1962 г.
>>• 1
' Scbrodinger Е. Science and Humanism: Cambridge University Press, 1951; Nature
and the Greeks: Cambridge University Press. 1954; Mind und Matter: Cambridge University
Press, 1958; Meine Weltansicht. - Vienna: Zsolnay, 1961; My View of the World: Cambridge
University Press, 1964. См.также Bernstein J. I am this whole world. - The New Yorker,
May 1,1965, p. 180-188.
' "Antrittsrede des Hrn. Schrodinger". - Berliner Berichte 1929, S. C—CM: Shrodin-
gtr E. Science and the Human Temperament. — I.: George Allen und Unwin, 1935. - N.Y.:
Norton,1935, p. 13 (повторно опубликовано под названием Science, Theory and
Men. - N.Y.: Dover, 1957, p. XIV).
) Вступительная речь Э.Шрёдингере в Прусской Академии Наук. — В кн.:
И*бренные труды [3.33 »|, с. 339—342; см. с. 339.
) Schrodinger Е. Zux kinetischen Theorie des Magnetism us. — Wiener Berichte, 1912,
Bd 121, S. 1305-1329; Studien iiber Kinetik der Dielektrika. - Ibid, S. 1937-1973; Dyna-
mik elastisch gekoppelter Punktsysteme. - Annalen der Physik, 1914, Bd 44, S. 916-934;
Zur Dynamik der Elastischen Punktreihe. - Wiener Berichte, 1924, Bd 123, S. 1679-1697;
0l« Ergebhisse der neueren Forschung liber Atom- und Molekularwarmen. — Die Naturwis-
«•nschaften, 1917, Bd 5, S. 537-543,561-566; Der Energieeinhalt der Festkorper im Lichte
der neueren Forschung. - Physikalische Zeitschrift, 1919, Bd 20, S. 420-42B, 450-455
474-480,497-503,523-526.
2S1
роспективной точки зрения, взглянуть, как в своих статьях о динамике
упруго связанной материальной точки Шрёдингер справляется с вопросом,
какой подход предпочесть — атомистический или феноменологический (так
тогда еще называли континуальный подход). Можно вспомнить, что в спо-
спорах по этому вопросу ведущие физики и философы науки, как, например,
Больцман, Мах, Фолькман, сломали немало копий. Говоря о вызывающей
на размышление статье Больцмана *', посвященной защите атомистиче-
атомистической точки зрения, Шрёдингер240' писал: "Перед атомистикой стоит до-
дополнительная задача, только после решения которой можно установить
превосходство атомистики над феноменологическими теориями. Она
должна найти и предсказать условия, при которых дифференциальные
уравнения, основывающиеся на представлениях о непрерывности, пове-
поведут — в силу реальной атомистической структуры вещества — к заведомо
неверным заключениям". В статье, о которой говорит Шрёдингер, Больцман
писал: "Не обладает ли атомистика в своей современной форме значитель-
значительными преимуществами по сравнению с феноменологией, столь модной
сейчас? Может ли быть, что в предвидимом будущем из феноменологии
разовьется теория, также обладающая этими, специально атомистике свой-
свойственными преимуществами?" '. И далее: "Если бы когда-нибудь уда-
удалось построить такую же всестороннюю теорию, как атомистика, которея
покоилась бы на столь же ясных и неоспоримых основаниях, как теория
2 4 2 \
теплопроводности Фурье, это было бы поистине идеалом" '. Если бы
Больцман был жив в 1926 г., отнесся ли бы он к шрёдингеровской волно-
волновой теории атома, основанной на "уравнении диффузии" а 1а Фурье, как к
такому идеалу?
Работая в области физики непрерывных сред, Шрёдингер в совершенстве
овладел техникой решения задач на собственные значения, что очень приго-
пригодилось ему впоследствии. Он также интенсивно изучал "Теорию звука"
Рзлея и, в частности, рано усвоил важную роль понятия групповой скорости
в теории колебаний, как отчетливо видно из его статьи об акустике атмо-
атмосферы *43'. Кроме того, глубоко интересуясь философией, он читал труды
Спинозы, Шопенгауэра, Маха, Ричарда Семона и Рихарда Авенариуса244'.
В 1920 г. Шрёдингер покинул Вену и стал ассистентом Макса Вина. Через
четыре месяца он принял приглашение занять место экстраординарного
профессора в Штутгарте. Через некоторое время, после краткого пребыва-
пребывания на посту профессора в Бреслау, он обосновался в Цюрихе и с 1921 г. по
1927 г. работал там, пока не стал преемником Планка в Берлине.
) Boltzmann L. Ueber die Unentbehrlichkeit der Atomistik in der Naturwissen
schaft. - Wiedemannsche Annalen der Physik, 1897, Bd 60, S. 231-247; первоначально
опубликовано в Wiener Ben erne, 1896, Bd 105. S. 907-922.
) Больцман Л. О неизбежности атомистики в естественных науках. — В кн.:
Больцман Л. Статьи и речи. — М.: Наука, 1970, с. 116—131.
"'I С. 917 третьей статьи из |238|.
14 ' • См. |239|, с. 232;|239«|, с. 117.
142> См. |239|, с. 244; 1239М. с. 128-129.
4'''• Schrodinger E. Zur Akustik der Atmosphere. - Physikalische Zeitschrift, 1917,
Bd 18, S. 445-454.
144> Cp.Schrodinger E. Meine Weltanticht |236|,S.B.
252
О внешних обстоятельствах, толкнувших Шредингера к началу своей
важной работы, Дебай сообщил следующее: 'Тогда де Бройль опубликовал
свою статью. В то время Шредингер сменил меня в Цюрихском университе-
университете, а я преподавал в Высшей Технической школе, и мы вели совместный
коллоквиум. Мы поговорили о теории де Бройля, решили, что мы ее не
понимаем и что должны как следует подумать над формализмом де Бройля
и его смыслом. Так я предложил Ш редин re ру выступить на коллоквиуме.
Подготовка и толкнула его начать работу. Между его выступлением и none-
„ 24 5)
лением его статей прошло всего несколько месяцев
Представляется, что предложение Дебая не было случайным. Сам Шре-
Шредингер — и это было еще одним, и более глубоким стимулом — жаждал
изучить идеи де Бройля и вытекающие из них следствия. Интересуясь ста-
статистической механикой, он прочитал статью Эйнштейна346) по квантовой
теории идеального газа, в которой, как мы видели, высказывалось мнение,
что концепции де Бройля представляют собой большее, чем просто ана-
аналогию.
Фактически именно это замечание подтолкнуло Шрё'дингера изучить,
как он тогда выражался, "волновую теорию де Бройля — Эйнштейна дви-
движущихся частиц, согласно которой частицы — не больше чем своего рода
"пена на гребнях" волнового излучения, образующего основу мира41).
Шредингер сам откровенно признавался в том, сколь многим он обязан
Эйнштейну. "Впрочем, - писал он Эйнштейну 23 апреля 1926 г., - все это
дело не возникло бы ни теперь, ни когда-либо позже (r имею в виду свое
участие),если бы Вы в Вашей второй статье о квантовой теории газов не щелк-
щелкнули меня по носу, указав на важность идей де Бройля48).
Шредингер однажды рассказал Дираку о том, как началась его работа.
Пытаясь обобщить понятие волн де Бройля на случай связанных частиц,
Шредингер "в конце концов получил четкое решение задачи, при котором
энергетические уровни представали как собственные значения некоторо-
некоторого оператора. Он немедленно использовал свой метод для рассмотрения
электрона в атоме водорода, должным образом учитывая релятивистскую
механику движения электрона, как это делал де Бройль. Полученные резуль-
результаты не согласовались с опытом. Теперь мы знаем, что метод Шрё'дингера
был совершенно верен, а разногласия объяснялись только тем, что он
не принял во внимание спин электрона. Но в то время спин электрона не
был известен, Шредингер был сильно разочарован своим результатом,
решил, что его метод плох, и оставил его. Он вернулся к нему лишь через
несколько месяцев и тогда заметил/ что если он рассмотрит электрон
нерелятивистски, то его метод даст результаты, согласующиеся с наблю-
наблюдениями в нерелятивистском приближении. Он подробно изложил эти резуль-
14 f 1
"Peter J.W. Debye — An Interview", with the participation of E.E.Salpeter,
D.R.Corton.and S.H.Bauer. - Science, 1964. v. 145. p. 554-559.
"¦) Cm. [196, 1954.
24') "... die de Broglie-Eintteinsche Undulationstheorie der bewegten Korpuskel, nach
welcher diejelbe nichtt waiter alt eine Art "Schaumkamm" auf einer den Weltgrund bil-
dtnden Wellenstrahlung itt". Schrodinger 5. Zur Einsteinschen Gastheorie - Physikalische
Zeitjchrift, 1926, Bd 27, S. 95-101.
24 '*) Шредингер Э. К эйнштейновской теории газа- В кн.: Избранные тоуды
[З.ЗЗ»]. с. 172-182; см. с. 172-173.
**'l Briefe zur Wellenmechanik-Schrodinger, Planck, Einstein, Lorentz/ed. K. Przi-
brem. -Vienna: Springer, 1964,S. 24.
l4'*) Из переписки Шрё'дингера. - В кн.: Избранные труды !3. 33*1, с. 331 (Пе-
(Перевод А. Г. Баранова и В.П. Жукове.)
253
таты и опубликовал их в 1926 г.; вот с такой задержкой и предстало перед
миром волновое уравнение Шрёдингера49).
Слова о том, что Шрёдингер "вернулся к нему (своему методу рассмотре-
рассмотрении водородного спектра как задачи о собственных значениях) лишь через
несколько месяцев", безусловно, имеют в виду период времени между
двумя его попытками решить задачу, первую из которых Шрёдингер пред-
предпринял под влиянием замечаний Эйнштейна о гипотезе де Бройля, а вто-
вторая последовала за коллоквиумом Дебая. So влиянии обоих этих факто-
факторов на Шрёдингера не приходится сомневаться.
Существуют также и другие рассказы, для которых мне не удалось «айти
независимого подтверждения. Так, согласно Эдмонду Бауэру250), Вик-
Виктор Анри, бывший ученик физиолога Альбера Даст ре из Сорбонны, а пос-
после 1924 г. - профессор физической химии в Цюрихском университете,
рассказывал следующее. Будучи в Париже, он получил от Ланжевена эк-
экземпляр "очень примечательной диссертации де Бройля"; приехав в Цюрих
и не очень разобравшись, о чем собственно идет речь, он передал диссерта-
диссертацию Шрёдингеру, который через две недели вернул ее со словами "Это
ерунда". Увидев Ланжевена снова, Анри рассказал о реакции Шрёдингера,
на что тот ответил: "Я думаю, что Шрёдингер неправ; пусть посмотрит
еще раз". Вернувшись в Цюрих, Анри передал Шрёдингеру: "Вы должны
еще раз взглянуть на диссертацию де Бройля; Ланжевен думает, что это
очень хорошая работа". Шрёдингер'сделал это и "начал свою работу".
Статьи де Бройля дали важную нить Шрёдингеру в его поисках, как об
этом говорил он гам. Де Б рой ль показал (см. с. 240), что квантовое
условие Зоммерфельда можно интерпретировать как условие, накладывае-
накладываемое на число длин волн, помещающихся на истинной орбите электрона вок-
вокруг ядра. Действительно, из зоммефельдовского условия fpdq = nh и де-
бройлевского соотношения р = h/k следует
Для Шрёдингера это уравнение было прямым указанием на задачу о собст-
собственных значениях.
В первой части своей монументальной статьи "Квантование как задача
о собственных значениях s') Шрёдингер получил уравнение, позднее на-
"") Dirac P.A.M. Professor ErwinSchrodinger-Obituary. - Nature, 1961,v. 169, p. 355-
356.
'¦'*) Дирак П.A.M. Профессор Эрвим Шрёдингер. - В кн.: Шрёдингер Э. Новые
пути • физике. — М.: Наука. 1971, с. 387—389
I5"l Archive for the History of Quantum Physics. Интервью с Эдмондом Бауэром
от 8 января 1963 г. Согпасио еще бопее недостоверному рассказу (слышанному ва-
тором в Цюрихе), мысль о "волновой механике" пришла к Шрёдингеру, так сказать,
в стиле Архимеда, когда он плевал в Цюрихском озере, в месте под названием "Strand-
bad Zurich", куда он часто отправлялся искупаться летом и осенью 1925 г.
1'I) Schrodinger E. Quantiiierungals Eigenwertproblem (I Mitt.) — Annalen der Physik,
1926, Bd 79, S. 361-376; B Mitt.) - Ibid., S. 489-527; C Mitt.) - Ibid., Bd 80, S. 437-
490; D Mitt.). - Ibid., Bd 81, S. 109-139; In: Schrddinger E. Abhandlungen zur Wellenme-
chanik. - I Aufl. - Leipzig: J.A. Barth, 1926; 2 Aufl., 1928, S. 1-55, B5-169: In: Doku-
mente der Naturwissenschaften [1], Bd 4, S. 9-63, 87-171; In: Schrodinger E. Collected
Papers on Wave Mechanics. - L , Glasgow: Blackie, 1928.
1 *' •) Шрёдингер Э. Квантование как задача о собственных значениях. — В кн.:
Избранные труды C-33*). Первое сообщение (получено 27 января 1926 г.): с. 9-20;
второе сообщение (попучено 23 февраля 1926 г.): с. 21—50; третье сообщение (попу-
чеко 10 мая 1926 г.) : с. 75-115; четвертое сообщение (получено 21 июня 1926 г.):
е. 116-138.
2S4
званное "не зависящим от времени волновым уравнением Шрёдингера".
В уравнении Гемильтона
dS \
,— ) = ?¦ E.65)
bq /
он заменил функцию 5 на К\пф, где ф есть произведение однозначных
функций, каждая из которых зависит только от одной из координат q,
и получил
-Т.- ^- 1 - Е E.66)
Ф bq )
Уравнение E.66), по крайней мере в простых случаях, можно записать
как квадратичную форму от функции ф и ее первых производных, прирав-
приравняв ее нулю. Затем Шредингер заменяет квантовые условия следующим
постулатом: функция ф должна быть вещественной, однозначной и всюду
дважды дифференцируемой функцией, такой, чтобы интеграл от упомя-
упомянутой квадратичной формы по всему конфигурационному пространству
((/-пространству) имел экстремальное значение. Уравнение Эйлера — Паг-
ранжа, соответствующее этому варьируемому интегралу, является волно-
волновым уравнением.
Для атома водорода с потенциальной энергией —ег/г, где г= (х2 + у2 +
+ г2)|/2,кведратичная форма имеет вид
Ъф Ъф Ъф\ , 2т
Эх by Ъг I AT2
е2\ ,
-Г=0,
г Г
\ , 2т ( е\ , 1С __,
)= (V*J :? + -Г=0, E.67>
так что из вариационной задачи
6J = 6JffFdx dydz = 0 E.68)
обччным образом получается волновое уравнение для ф
Аф +—2[Е + — №> E69)
% также условие
Ъф
№Ьф = 0, E.70)
дп
где df — элемент бесконечно удаленной замкнутой поверхности, по которой
берется интеграл.
Для решения уравнения E.69) Шредингер ввел сферические координа-
координаты, положив при этом ф= x(r) "(d,li, и нашел, что функция и является
сферической гармоникой Р1" (cos i))cos ту или Р|"(cosi9)sin т*р. где 0 <
</г» </ и / = 0,1, 2 Целочисленность/, т вытекала из постулированной
однозначности функции ф. Чтобы разыскать собственные функции и собст-
собственные значения2*2) для радиального уравнения, т.е. уравнения для Х(г),
"'). В современной аигпоязычиой литературе гораэдо чаще употребляют гибрид-
гибридные англо-немецкие термины "eigenvalue" и "eigenfunction". хотя, вообще говоря, бы-
было бы предпочтительнее использовать "proper value" и "proper function". В статьях
о краевых задачах до создания волновой механики обычно говорипось о "характерис-
"характеристических" ("characteristic") значениях и функциях.
255
он использовал (с помощью Германа Вейля) преобразование Лапласа и по
лучил следующий результат. При всех положительных значениях Е уравнг
ние E.69) или, как оно еще называется, уравнение Эйлера вариационной
задачи, имеет решения, которые всюду однозначны, ограничены, непрерыи
ны и стремятся к нулю как Mr; для отрицательных же значений Е подо(>
ные решения существуют только тогда, когда те2/ [К (- 2тЕ)]1^2рави<
целому числу п. Итак, дискретный спектр собственных значений имеет вид
Агг), о=1,2
что при К = Л/2 я в точности совпадает с боровским спектром энергий дли
атома водорода. Шр'ёдингер начал последний раздел первого сообщения с по
вами: "Конечно, напрашивается мысль связать функцию фс неким колеба
тельным процессом в атоме, реальность которого более правдоподобна
чем реальность электронных траекторий, в последнее время неоднократно
подвергавшаяся сомнениям. Первоначально я также намеревался основать
• новое изложение квантовых правил на таком более наглядном способе, но
затем предпочел использованную в статье нейтральную математическую
форму, так как она позволяет отчетливее выявить главное. Этим главным
мне кажется то, что квантовые правила уже не содержат загадочного "тре
бования цепочисленности": оно теперь прослеживается, так сказать, на ujai
глубже и находит обоснование в ограниченности и однозначности некоторой
пространственной функции53). Аналогичным образом, считал Ш редин г ер
можно, рассматривая атом как систему колебаний, связать условие частот
Бора с появлением биений, так что боровская формула для частоты излу
чения, v - \E\lh) — (Е 2/h), выражала просто тот факт (хорошо известный
из акустики или волновой электромагнитной теории), что частота биений
(гетеродинная частота) равна разности двух одновременных характерно
тических частот излучателя. "Едва ли нужно пояснять, — писал Шредин
гер, - насколько более привлекательным было бы представление о том, что
при квантовом переходе энергия переходит из одной формы колебании
в другую, чем представление о перескакивающем электроне. Изменение
формы колебаний может протекать непрерывно в пространстве и во време
ни; оно вполне может длиться столько времени, сколько занимает... про
цесс излучения54).
Вторая часть статьи (второе сообщение2 *s'), которая с логической точки
зрения могла бы предшествовать первой, разъясняет общие идеи, которьк
привели Шрёдингера к формулировке "ундуляторной механики S()
("undulatorische Mechanik"*)), как пока еще он называл свою механику;
термин "волновая механика" ("Wellenmechanik") Шр един гер впервые у по
требил только во введении к третьему сообщению257). Развивая оптико
механическую аналогию Гамильтона, изложенную выше, Шрёдингер рас
смотрел уравнение Гамильтона
— +T[q. ) + L/(</)=0. E.71)
bt \ bq)
Здесь W — функция действия или главная функция Гамильтона, равная
JSJI См. B51), Annalen,c372; [251*], с. 17.
1<41 См. B511, с 375; |251«1,с. 19.
"М См. [251, 251*1.
"*1См. BS1, с. 497; в 1251 •) этот термин переведен как "вопновая механи
ка" (с. 27I.
*) От латинского unda — волна.
"'I Там же. с. 438.
256
Wm f {T — V) dt, т.е. интегралу по времени от лагранжиана L = T - V, взято-
му по пути движении системы и зависящему от конечного положении и вре-
времени. Положив, как обычно, W= - ? г ¦ S (q). где 5 - характеристическая
функции Гамильтона, он получил уравнении
\VW\7 = 2m(E -U) E.72>
-E. E.73>
из которых следует258), что волновые фронты постоянного действии пере-
перемещаются в пространстве с фазовой скоростью
^7Г №.74»
Но скорость частицы v, как очевидно, равна [2m (E — U)I'2. Различие
между V и v наиболее очевидным образом свидетельствует о том, что ис-
использованная оптико-механическая аналогия, по мысли Шрёдингера, непол-
неполна, что, по существу, имеет место аналогия не с волновой, а с геометричес-
геометрической оптикой.
"И даже такие важные понятия учения о волнах, как амплитуда, длина
¦олны, частота - вообще, понятие формы волны, - не появляются в этой
аналогии, для них нет механических параллелей; о самой волновой функ-
функции нет и речи, функция же.Wдля волн имеет только смысл фазы,, в сущ-
сущности, несколько расплывчатый из-за неопределенности формы волны.
Если усматривать во всем параллелизме не более, чем доставляющий
удовольствие (erfreuliches) способ достичь наглядности, указанный дефект
ничему не мешает, а попытка устранить его будет восприниматься как
праздная забава, поскольку аналогия сохраняется только с геометрической
или, если быть вполне точным, с очень упрощенной волновой оптикой. Ни-
Ничего не изменяет и то обстоятельство, что для света геометрическая оптика
представляет лишь грубое приближение. Развивал волновотеоретическую
оптику в (/-пространстве, пришлось бы ради сохранения аналогии заботить-
заботиться именно о том, чтобы не отходить сколько-нибудь далеко от границ гео-
геометрической оптики; в частности, длину волны при этом нужно было бы
¦ыбирать достаточно малой по сравнению со всеми размерами траектории.
Но тогда.все эти добавки (Zutat) не учат ничему новому, а лишь загромож-
загромождают картину излишними деталями.
Так можно было бы думать вначале! Но уже первая попытка развития
волновотеоретических представлений приводит к столь поразительным
результатам, что возникает совершенно иное подозрение: ведь мы знаем
сегодня, что наша классическая механика неприменима при очень малых
размерах траектории и очень резких ее искривлениях. Возможно, что эта
неприменимость полностью аналогична неприменимости геометрической
оптики, т.е. "оптики с бесконечно малой длиной волны", которая, как
известно, обнаруживается, как только "препятствия" или "отверстия"
становятся сравнимыми с действительной, т.е. конечной длиной волны.
Быть может, наша классическая механика полностью аналогична геометри-
геометрической оптике и потому становится неверной, не согласующейся с действи-
действительностью и неприменимой, как только радиусы кривизны и размеры
траекторий оказываются сравнимыми с некоторой длиной волны, которая
¦"•) Это м|медл|мио следу§т иэ уравнения
W + dW = tV + |OVk* + — dt ' W* (VI*tV| - ?)dt.
dt
17. M. Димммер 257
приобретает в (/-пространстве реальный смысл. Тогда стоит попытаться
построить "ундуляторную механику", и теоретико-волновое развитие
представлений Гамильтона - "наиболее естественный путь для этого*9).
Приняв, что в такой "ундуляторной" механике фазовая скорость волн
задается уравнением E.74), а зависимость от времени - множителем
ехр [5 да {E/h ) t], Шрёдингер нашел, что длина волны равна
V h
Х= — = E.75)
v [2m(E-U)L2
в соответствии с результатами де Бройля. Приняв, что Ф= 4>{q, t) - y{q) X
X ехр [2 я/ {E/h) г], где 4/{q) = q есть пространственная функция, a E/h -
частота v, и воспользовавшись общим дифференциальным уравнением для
волновых явлений
Д*(<7,г) , Ф (<7.г) =0. E.76)
Шрёдингер получил фундаментальное уравнение
8п7т
Аф + —— {Е-и)Ф'О. E.77)
Л2
согласовавшееся с полученным им ранее уравнением E.69).
Шрёдингер придавал большое значение тому обстоятельству, что ско-
скорость частицы v оказывается равной групповой скорости ?, как это фазу
видно из формулы д ¦ dvld(vlV). Поэтому, утверждал он, "приведенные
обстоятельства позволяют значительно теснее, чем это можно было до сих
пор, связать изображение движения точки с распространением волн. Можно
попытаться построить волновую группу, имеющую во всех направлениях
относительно малые размеры. Подобная волновая группа будет, по-видимо-
по-видимому, двигаться по тем же законам, что и отдельная изображающая механичес-
механическую систему точка. При этом получается, так сказать, суррогат ("Ersatz")
изображающей точки до тех пор, пока протяженность нашей волновой груп-
группы пренебрежимо мала по сравнению с траекторией системы и ее можно
считать точечной. Это будет, во всяком случае, иметь место лишь тогда,
когда размеры и в особенности радиус кривизны траектории очень велики
по сравнению с длиной волны6 ). Понятие волновых групп или волновых
пакетов, как их стали называть позже, было использовано в оптике еще
в 1909 г. Дебаем261) и несколькими годами позже фон Лауз262) для точ-
точного аналитического представления световых конусов. Теперь оно позволи-
позволило Шрёдингеру связать его "ундуляторную" механику с обычной механи-
механикой частиц.
"Я теперь с большой уверенностью утверждаю следующее: действитель-
действительное механическое явление следует понимать или изображать как волновой
процесс в (/-пространстве, а не как движение изображающей точки в этом
пространстве. Рассмотрение движения изображающей точки, составляющее
"М См. [251].Annalen, с. 496-497; [251 •], с. 26-27.
"" I См. [2511. с. 499; B51 ¦!, с. 29.
"') ОеЬу 9. Das Verhaiten von Lichtwellen in der NShe eines Brennpunktesoder einer
Brennlinie. — Annalen der Physik, 1909, Bd 30, S. 755-776.
*" I Von Laue U. Die Freiheitsgrade von StrahlenbOndeln. - Annelen der Physik, 1914,
Bd44, S. 1197-1212.
258
предмет классической механики, является лишь приближенным способом
изучении поведен ив системы и может быть оправдано лишь подобно тому,
как в некоторых случаях оправдывается применение лучевой или геометри-
геометрической оптики для изучения действительных волновых оптических процес-
процессов. Макроскопический механический процесс должен изображаться кек
¦опновой сигнал описанного выше вида, который с достаточным приближе-
приближением может считаться точечным в сравнении с геометрической структурой
траектории. Как мы видели, для подобного сигнала или группы волн,
действительно, выполняются точно те же законы движения, что и устанавли-
устанавливаемые классической механикой законы движения изображающей систему
точки. Подобный способ рассмотрения теряет, однако, всякий смысл, если
размеры траектории не очень велики по сравнению с длиной волны или
даже сравнимы с ней. В этом случае следует перейти к строгому волново-
волновому рассмотрению, т.е. следует изображать многообразие возможных про-
процессов, исходя нзволнового уравнения,, а не из основных уравнений меха-
механики, которые для объяснения сущности микроструктуры механического
движения столь же непригодны, как и геометрическая оптика для объясне-
объяснения явлений дифракции63).
В последнем разделе Шрвдингер применил свою теорию к линейному гар-
гармоническому осциллятору, жестким ротаторам с неподвижной и свободной
осями, а также упругому ротатору (двухатомной молекуле). Для планков-
ского осциллятора он нашел, что собственными функциями являются орто-
ортогональные функции Эрмита ехр(- х212)Н„ (х), где Н„ (х) - полином Эрми-
та степени п, и что собственные значения равны ?„= (п + %)hi>, п = 0,1,2,...,
в точном согласии с результатом матричной механики Гейзенберга264).
Чтобы не прерывать изложения, мы теперь вкратце рассмотрим остев-
шиеся части статьи (третье и четвертое сообщения) Шрёдингера, отложив
обсуждение других его статей, хронологически появившихся раньше.
Начиная третье сообщение, Шрёдингер напоминает, что, как было указа-
указано в конце предыдущего сообщения, область применимости новой теории
аначительно шире области "непосредственно разрешимых задач", так как
для условий, достаточно близких к условиям непосредственной разреши-
разрешимости, решения можно получить приближенным методом. Этот подход,
названный им по аналогии с механикой теории возмущений и получивший
позже название "шрёдингеровской теории возмущений, не зависящих от
¦рамени", подробно резвивается в третьем сообщении. Шрёдингер считал
•тот подход обобщением методе, примененного Рэлеем при изучении акус-
акустических колебаний. Действительно, Рэлей предварил рассмотрение колеба-
колебаний натянутой струны с переменной плотностью следующими словами/'Стро-
словами/'Строгое определение периодов и типов колебания какой-либо данной системы
Обычно представляет большие трудности, обусловленные тем, что функции,
необходимые для описания колебательных мод большинства сплошных
тал, до сих пор еще неизвестны анализу. Поэтому часто быьвет необходимо
"М См. {2511, с. 506; [251.], с. 33-34.
"') Уравнение
и решением которого Шрёдингер отсылал читателей к I тому Куранте и Гильберта
"Методы математической физики" [33), было уже решено • 1914 г. П.С.Эпштейном
(ем. его диссертацию: Epttein P.S. Ueber die Beugung an einem ebenem Schirm. - Mun-
•hen.1914).
If 259
прибегать к приближенным методам, сопоставляя рассматриваемой системе
некоторую другую, более доступную для анализа, и вычислять поправки,
предполагая при этом, что различие между двумя системами невелико.
Проблем таких почти простых систем является, таким образом, пробле-
проблемой большой важности, особенно в связи с тем, что в действительности не-
невозможно практически реализовать те простые формы, о которых проще
всего рассуждать65). Это убеждение, с соответствующей заменой интер-
интерпретации, полностью разделялось Шрёдингером, обобщившим266) метод
Рэлея в двух направлениях: коэффициенты дифференциального уравнения
более не считались постоянными (как у Рэлея) и, кроме того, метод можно
было применять также в вырожденных случаях.
Шрёдингер исходил м того, что задача Штурма — Лиувилля о собствен-
собственных значениях
(.ф+Еф=0, E.78)
где L — самосопряженный линейный дифференциальный оператор второго
порядка267), имеет в качестве решения нормированные собственные функ-
функции фк, соответствующие Аг-му стационарному состоянию. Записав уравне-
уравнение для возмущенной задачи в виде
E.79)
где X — параметр возмущения, а г — функция координат, характеризующая
возмущение, Шрёдингер положил
ЕвЕк + \ек,
E 80)
Ф = Фк + V
где Ек. Фк ~~ собственное значение и собственная функция для невозмущен-
невозмущенной задачи, а е^, *рк — соответственно "поправки" к ним для возмущенной
задачи. Подставив E.80) в E.79) и пренебрегая членами с X2, получим
(г -ек)фк. E.81)
Поскольку неоднородное уравнение E.81) имеет непрерывное решение
только в том случае, когда его правая часть ортогонельна решению фк одно-
однородного уравнения E.78), Шрёдингер заключил, что
E.82)
Это и есть волновомехенический аналог теоремы классической механики:
изменение энергии в первом приближении равно значению возмущающей
функции, усредненной по невозмущенному решению2'*). Чтобы найти
<рк, Шрёдингер воспользовался разложением <i* и правой части E.81) вряд
по собственным функциям ф, невозмущенной задачи, образующих по его
предположению ортонормировачную систему. Учитывая E.82), легко
"!l Strutt J.W. Baron Rayleiqh. The Theory of Sound A.74), v.l.p. 113-114 (см. так-
также A.74*), т. I.e. 135. -Примеч. пер.).
*") Поэтому метод „иогда называют (особенно английские ваторы) "методом Рэ-
Рэлея — Шрвдиигера"; ср., например, Mott N.F., Sneddon I.N Wave Mechanics and Its Appli-
Applications: Oxford University Press, 1948; N.Y.: Dover, 1963, p. 73. (Мотт Н., Снэддон И.
Вопиомп мехеника и ее применения.'— М.: Фиэматгиз, 1966, с. 92. - Примеч. пер.)
"') Чтобы включить также случай криволинейных координат, Шрёдингер ввел
еще весовую функцию; ради простоты мы на будем ее учитывать в нашем обсуж-
обсуждении.
"М См. 1251 I.e.443; 1251 «I.e.80.
260
получить
\l/i f r\pk \bjdx
фк = i . E.83)
I * к Ek - E,
Указав, что такая процедура может быть легко распространена на случай
¦оэмущений более высокого порядка, Шрёдингер перешел к обобщению
csoero метода на вырожденные задачи и получил (способом, хорошо теперь
известным всем изучавшим квантовую механику) секулярное уравнение,
корни которого и были требуемыми энергетическими поправками.
В последующих разделах сообщения Шрёдингер применил теорию возму-
возмущений к рассмотрению эффекта Штарка в атоме водорода, проведя это
рассмотрение двояким образом. Во-первых, следуя Шварцшильду и Эп-
штейну, он прибегал к разделению переменных в параболических коорди-
координатах и затем воспользовался своим приближенным методом; он получил
ту же формулу Шварцшильда — Эпштейна, которая была приведена на
с. 115. Во-вторых, он применил теорию возмущений, так сказать, "в лоб" и
разложил возмущающий член, содержащий относительно малую напряжен-
напряженность внешнего поля F, по собственным функциям кеплеровской задачи.
Шрёдингер вычислил и сравнил с опытом также интенсивности "компонент
штарк-эффекта", используя собственные функции в нулевом приближении
и собственные значения в первом приближении; его результаты хорошо
согласовались и с более поздними наблюдениями269).
В четвертом, заключительном, сообщении Шрбдингер развил теорию
возмущений, зависящих от времени. Поскольку собственное значение Е,
¦ходящее в уравнение E.77), меняется при переходе от одного стационар-
стационарного состояния к другому, то оно не должно входить в "собственно волно-
волновое уравнение" ("eigentliche Wellengleichung"), которое должно опре-
определять пространственно-временное поведение волновой функции Ч> =
" Ф (х. У, г, t). Исключив Е из рассмотрения с помощью соотношения У -
- ф (<7) ехр[2я/ (E/h) t], Шрёдингер получил уравнение
_ JL Дч> + U* = JL !*. E.84)
8я /г> 2я/ Эг
not же названное "уравнением Шрёдингера, зависящим от времени", и
постулировал, что оно справедливо также и в случае потенциалов, завися-
зависящих от времени. Увидев, что уравнение E.84) подобно уравнению диффу-
|ИИ с мнимым коэффициентом диффузий, Шрбдингер ослабил свое перво-
первоначальное требование о вещественности 4* и допустил возможность ком-
комплексных значений для "механического попевого скаляра" 4*. В качестве
Примера использования волнового уравнения, зависящего от времени,
•м рассмотрел теорию дисперсии, приняв, что возмущающий потенциал
Шляется периодической функцией времени. Согласно его результатам,
полученным в первом приближении, во вторичном излучении содержат-
содержатся, в частности, комбинационные частоты, рассчитанные Крамерсом и
Гейяенбергом370) и ранее предсказанные Смекалем271). В заключитель-
"') Mark Н., IVierl R. Uber die relativen Intentltaten der Starkeffektkomponenten von
Hpand Hy. - Zeitschrift fur Physik. 1928. Bd 53, S. 52Q-541; Uber die relativen Intensity-
Itn der Starkeffektkomponenten der Balmerlinien Hq und H^. — Die Naturwissenschaften,
ИМ, Bd 16, S. 725-726; Weiter Beitrag zum intentitattproblem beim Watserstoff-Starkef-
ttfcl - Zeitschrift fur Phytik, 1929, Bd55,S. 156-163.
"*)Cm. [4.157].
»"»Cm. [4.158].
261
ном разделе статьи Шрёдингер обсудил физический смысл ф. Он интер-
интерпретировал фф* как весовую функцию в конфигурационном простран-
пространстве, которая задает электродинамические флуктуации пространствен-
пространственной плотности электрических зарядов и заключил: "^-функция должна
быть, не более и не менее, как средством, что она и позволяет, матема-
математически охватить и представить (zu beherrschen und zu iibersehen) всю
совокупность таких флуктуации с помощью единственного дифферен-
дифференциального уравнения в частных производных. Подчеркнем здесь еще раз,
что не нужно и не следует искать для самой ^-функции в общем случае
прямой интерпретации в трехмерном пространстве, к чему весьма побуж-
побуждает одноэлектронная задача, поскольку именно в общем случае она явля-
является функцией в конфигурационном, а не обычном пространстве71).
По степени влияния блестящая статья Шрёдингера, без сомнения, оказа-
оказалась одной из самых сильных в истории науки. Она углубила наше понима-
понимание атомных явлений, послужила удобной основой для математического
решения проблем атомной физики, физики твердого тела, в какой-то
мере, ядерной физики, и, наконец, открыла новые горизонты для мысли.
Фактически последующее развитие нералятивистской квантовой теории
в значительной степени было просто развитием, уточнением и использова-
использованием труда Шрёдингера. Поскольку нас интересует "фундамент" кванто-
квантовой механики, в последующем обсуждении мы ограничимся направле-
направлениями развития и уточнения, имевшими отношение к концептуальным
основам теории.
Один из таких фундаментальных вопросов, поднятый Шрёдингером,
как мы видели, в самом начале статьи, был вопрос о том, каким же имен-
именно требованиям должна удовлетворять допустимая функция ф. Требова
ние вещественности, как об этом упоминалось выше, скоро отпало.
В 1930 г. Г. Яффе ), исходя из того, что критерием здесь могут слу
жить только физические соображения, предъявил к ф требования одно
значности, ограниченности, непрерывной дифференцируемое™ во всем
конфигурационном пространстве и наличия второй производной всюду,
за исключением особых точек, где потенциал резрывен. В 1931 г. Лангер
и Розен274) показали, что эти требования чересчур сильны. Принимая,
что конечным критерием допустимости функции ф является ограничен-
ограниченность варьируемого интеграла J в E.68), они писали: "В качестве гру
бого рабочего правила можно потребовать, чтобы функция была квадра-
квадратично интегрируема и была ограниченной и непрерывной всюду, где потен-
потенциальная энергия ограничена. Если же вводятся сингулярности (физически
не существующие) в потенциальной энергии, мы должны быть готовы
примириться с сингулярности ми волновой функции в этих точках. Когда
впоследствии мы проникнем в природу физических задач достаточно
глубоко, чтобы заменить сингулярные значения потенциальной энергии
на их истинные конечные знечения, исчезнут и сингулярности в волновой
функции. Но до той поры мы должны примириться с результатами, кото-
которые отличаются от фактов в той же мере, что и предположения, от ко
торых мы отправляемся". Через несколько недель Кеннард275), основы
1Т1> См. [2511.4 Mitt, с, 135; [251 Ч. с. 135.
'"I Jaffd G. Welchen Forderungen mujJ die Schrodingersche 4-Funktion genijgen?. -
Zeitschrift fur Phv$ik, 1930. Bd66,S. 770-774.
21A) Langer R.M., Rosen N. What requirements must the Schrodinger i|-function sa
tisfy?. - Physical Review, 1931, v. 37, p.658.
1-1') Kennerd E.H. The conditions on SchrSdinger's f. - Nature, 1931 v. 127 P 892-
B93.
262
¦•ясь на борновской вероятностной интерпретации ф, с которой мы по-
анакомимся позже, заключил, что поскольку произведение фф* должно
быть всегда интегрируемо (чтобы полная вероятность равнялась 1), то са-
сами функции ф должны быть квадратично интегрируемы (или, в случае
Мфпрерывного спектра, нормируемы в смысле Вейля). "Обычные требо-
требования непрерывности и однозначности ф или ее производных не являются
необходимыми, поскольку служет дополнениями к фундаментальному
требованию, что Ф должна удовлетворять определенному дифференциаль-
дифференциальному уравнению. Условие повсеместной ограниченности ф. которое так
хорошо служит в атомной теории, почти во всех случаях эквивалентно
требованию интегрируемости фф*". Основное требование к ф, по Кен-
нарду, состоит в том, что ф "должна быть одним из членов ортогональ-
ортогонального семейства, по которому мы в состоянии разложить любую функ-
функцию ф. мыслимую в Природе76).
Мы приходим, таким образом, к проблеме полноты собственных функ-
функций, фундаментальную важность которой полностью сознавал Шрёдингер,
особенно в связи с теорией возмущений, где предполагалось, что собствен-
собственные функции невозмущенной системы образуют полный набор. Метод
ШрЙдингера, использовавший преобразования Лепласа для решения
радиального уравнения кеплеровской задачи, имел тот недостаток, что
(>то признавал и сам Шрёдингер )) полнота набора полученных собствен-
собственных функций не была доказана. В 1927 г. Эддингтон278) показал, что
радиальное уравнение можно решить более простым путем и что это реше-
решение фактически содержится во многих известных руководствах, как,
например, в книге Уиттекера и Ватсона279). В 1928 г. Гронволл280) пред-
етавил в Американское математическое общество работу, где указал еще
Один короткий и элементарный путь решения радиального уравнения.
I этой работе он доказал текже полноту набора собственных функций
атома водорода, использовев свойство замкнутости системы сфериче-
аких гармоник >.
Предметом обсуждения вскора стал и постулат Шрёдингера, говорив-
говоривший об однознечности волновой функции. Шрёдингер утверждал),
что /, волновомеханический аналог азимутального квантового числа в
г#ории Бора —Зоммерфельда, и т, аналог мегнитного квантового числа,
О необходимостью целочисленны, ибо в противном случае не гарантируется
однозначная зависимость волновой функции от пространственных коор-
координат. В более современной формулировке вопрос состоит в том,
обязательно ли однозначен собственный вектор оператора Lr операторе
• '•) Tim же. с. В93.
"*) "...доказательство еще нельзя считать полным. Прежде всего нужно еще
доказать полноту всей использованной системы собственных функций". См. [251).
•> 170; [261«),с. 16.
|71) Eddington A.S. Eigenvalue» end Whittaker's function. - Niture, 1927. v. 120,
(* 117.
"^WhittakerE.T., Watson G.N. Modern Analysis.-4 ed. - L.: Oxford University
Леи, 1927.
"••) Уиткер Э.Т., Barton Д.И. Курс современного анализа. -2 изд. -М.:Физ-
мигиз, 1962, ч. 1; 1963, ч. 2.
'") Gronwall Т.Н. On the wave equation of the hydrogen 'atom. — Annals of Mat he-
mellci, 1931, v. 32, p. 47-52 (статья завершена 30 июня 1928 г.).
"') Свойство замкнутости сферических гармоник было доказано Фей ером на
вьмове суммирования ряда Лапласа с помощью средних Чезаро второго порядка;
•М. FtyirL. Ober die Laplecetche Reihe. - Mathematische Annalen, 1909, Bd67,S. 76-
tOtt
"•I См. B51), с 363; B51 «I.e. 11.
263
/-компоненты орбитального момента. Обычная аргументация основывает-
основывается на постулате Шрёдингера и выглядит следующим образом: так как соб-
собственная функция, скажем, ехр (/тр), оператора/.. = (Л/2я/) (d/d<i) долж-
должна быть однозначной, т.е. должно выполняться равенство exp [im (^ + 2л) ] =
- exp(/nv). то т обязано быть целым числом. Но когда выяснилось, что
в теории частиц со спином следует допускать двузначные функции, аргу-
аргумент Шрёдингера стап казаться поверхностным. Конечно же, требование
однозначности сохранялось для наблюдаемых величин, таких, как плот-
плотность вероятности, но не для амплитуд вероятности, таких, как функции
Шрёдингера.
Пеупи283) первым изучил вопрос более подробно. В качестве критерия
он предложил такое свойство: допустимыми являются только такие соб-
собственные функции, в результате действия оператора момента не которые
получаются новые функции, принадлежащие тому же значению полного
моменте /', т.е. получаемые таким обрезом новые функции должны яв-
являться линейными комбинациями исходных. Этот критерий, как смог
легко локезеть Пеупи, исключает двузначные собственные функции орби
тельного моменте. Давид Бом284) отослал к эксперименту кек судье по
этому вопросу; он удовольствовался более слабым теоретическим резупь-
тетом, согласно которому собственные значения орбитального момента
являются все целыми или все полуцелыми, но добавил: "Эксперимент
показывает, что в действительности существуют только целые орбиталь-
орбитальные моменты". Два знаменитых примечания в монографии Блатта и Вей-
скопфе285) подогрели интерес к проблеме. Назвав доводы Шрёдингера
"ошибочными", эти авторы исключили полуцепые знечения не основении
некоторых неопубликованных резупьтетов A.M. Нордсике. Он показал,
что принятие полуцелых значений привело бы к физически неприемле-
неприемлемому существовению плотности потоке вероятности, кек бы перетекаю-
перетекающему из источнике в стоки, расположенные в полюсах сферы, проведен-
проведенной вокруг нечала координат. Еще один путь исключения полуцелых чисел,
не требующий использования представления Шрёдингера и его аргументов,
был предложен Роршехом286) в 1962 г. не съезде Американского физиче-
физического общества. С помощью динамических переменных, имеющих свой-
свойстве истинных векторов (таких, как г и р) и ентикоммутирующих с
оператором четности, он построил оператор "ступенек", увепичивеющий
2") Paul! IV. Ober ein Kriterium fur Ein- oder Zweiwertigkeit der Eigenfunktionen
in der Wellenmechanik. - Helvetica Physica Acta, 1939, v. 12, p. 147-168. Краткое обсуж-
обсуждение этой проблемы уже было дано в обзорной статье Паули: Die allgemeinen Prinzipien
der Wellenmechanik. - In: Handbuch der Physik. - 2 Aufl. - Berlin: Springer, 1933, Bd24,
S. 126; Principles of quantum theory. - In: Encyclopedia of Physics. — Berlin, Gtittingen, Hei-
Heidelberg: Springer, 1958, v. 5, part 1, p. 45-46; In: Collected Papers 13.154), v. 1, p. 771-93B.
2" *) См. соответственно Паули В. О критерии одно- или двузначности собствен-
собственных функций. — В кн.: Труды по квантовой теории A92В—1955) [3.2121, с. 294-314
и Общие принципы волновой механики. — В кн.: Труды по квантовой теории A920—
1928) 13.26-1. с. 352-569: см. с. 408-409: отд. изд. см. 19.4. |.
"*) Bohm D. Quanlum Theory. - Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hal I. 1951, p. 3B9-
390.
'"* •) Бои Д. Квантовая теория. - 2 изд. - М.: Наука. 1965, с. 452-453.
2" ') Blatt J.M., Weiiskopf V.F. Theoretical Nuclear Physics. - NY: Wiley, 1952, p. 7B3
787.
7"') Блатт Дж., Вайскопф 8. Теоретическая ядерная физика. - М: ИЛ, 1954,
с. 607,610.
*•*) Rorschach H.B. Single—valued wave functions and orbital angular momentum. -
Bulletin of the American Physical Society, 1962, v. 7, p. 121.
264
или уменьшающий значение / функций состояний; последовательное его
применение приводило к алгебраическим уравнениям, из которых следо-
следовало, что минимальное значение / равно нулю. В том же году Мерц-
бахер287), считавший, что обсуждаемая однозначность обусловлена на-
наложением граничных условий, попытался связать проблему с квантовым
аффектом Ааронова—Бома ) и отсюда найти надлежащий критерий.
Бухдаль"'), напротив, обратился к представлению гармонического осцил-
осциллятора, чтобы показать "путем прямых и элементарных аргументов", не
привлекая явно условие однозначности, что собственные значения компо-
компонент орбитального момента целочисленны. Мы специально остановились
на этих подробностях (для полного понимания которых следует обратить-
обратиться к оригинальным статьям), чтобы подчеркнуть тот интересный факт,
что основные предположения Шрёдингера о математической природе функ-
функции ф (оставляя в стороне ее физический смысл) продолжают занимать
теоретиков по сей день. Недавнее оживление интереса к проблеме крите-
критериев допустимости волновых функций также связано, конечно, с тем,
что поведение полевых операторов в квантовой теории поля зависит от
поведения волновых функций, из которых они построены.
После этого отступления вернемся в 1926 г., когда физики мира были
поражены шрёдингеровским выводом "целочисленности" и дискретности
энергетического спектра из постулированных им однознечности и ограни-
ограниченности определенных пространственных функций. Разумеется, подоб-
подобные ситуации не были так совершенно неизвестны — в математической
физике давно решались краевые задачи для натянутой струны, нагружен-
нагруженной мембраны или жидкости в сферической оболочке. И тем не менее
было удивительно, что неложение условий, в которых, казалось, не было
ии малейшего произвола, приводило к тем же результатам, что и форма-
формализм матричной механики или ее модификаций, стопь непривычный мате-
математически и столь усложненный концептуально. После концептуальных
потрясений, вызванных матричной механикой, представлялось, что воз-
возврат Шрёдингера к квазиклассическим понятиям означает восстановле-
восстановление непрерывности в своих правах. Все стремившиеся отстоять непрерыв-
непрерывность и потому не желавшие отказываться от классического правила паtuга
поп tacit*) приветствовали Шрёдингера как провозвестника нового дня.
2t7) MtrzbachtrE. Single valuedness of wave functions. - American Journal of Phy-
•Ict, 1962, v. 30, p. 237-247.
2'') Aharonov V., Bohm D. Significance of electromagnetic potentials in the quantum
theory. - Physical Review, 1959, v. 115, p. 4B5-491.
11 *) Buchdthl H.A. Remark concerning the eigenvalues of orbital angular momen-
momentum. - American Journal of Physics, 1962, v. 30, p. B29-B31. См. также Pandres Jr.D. OerK
vtlion of admissibility conditions for wave functions from general quantum—mechanical prin-
principles. - Journal of Mathematical Physics, 1962, v. 3, p. 305-30B и особенно Kretzschmar M.
Must quantal wave functions be single-valued? - Zeitschrift filr Physik, 1965, Bd 1B5,S. 73-
S3. Кречмар указал, что требование однозначности собственных функций момента им-
пульса, в отличие от требования цепочисленности их собственных значений, не явпяет-
оя обязатепьным следствием фундаментальных физических принципов и что предыду-
предыдущие докезатепьства такой однозначности (Мерцбахер, Пандрвс и др.) основывапись на
неявном предположении, что — /Л V является единственным представлением линейного
оператора импульса. Кречмар показап, что для иных прадставпений волновые функции
могут быть многозначны и это на ведет к противоречиям, а требование однозначности
является просто следствием "чисто условного соглашения, предписывающего испопь-
юваиие самого простого математического представления иа числа доступных". Ясно,
что довод, часто приводимых в учебниках,— "собственные значения обязаны быть це-
целочисленными, потому что волнован функция допжна быть однозначной", — несостоя-
г*п*и.
*) Природа не дапает скачков (лаг.).
265
И действительно, всего за несколько месяцев теория Шрёдингера "захва-
"захватила мир физиков", ибо она, казалось, обещала "исполнение этого давне-
давнего, ускользающего и непреодолимого (long-baffled and insuppressible)
желания90). Эйнштейн "с энтузиазмом91) говорил о ней, Планк,
как передавали, сказал, что он "читает ее как ребенок, заинтригованный
головоломкой"), Зоммерфельд ликовал291). Реакция в Геттингене,
впрочем, была тогда сдержанной292). Энтузиазм Эйнштейна не удиви-
удивителен, так как он полагал, что теория Шрёдингера дает ответ на вопрос,
уже достаточно давно занимавший его. Еще в 19?0 г. он писал Борну:
"К тому же, я не думаю, что разгадывать кванты надо путем отказа от
континуума... Я по-прежнему считаю, что надо искать такое переопре-
переопределение с помощью дифференциальных уравнений, чтобы решения более
не имели континуального характера. Но как?93)
Поучительно сравнить волновую механику Шрёдингера и матричную
механику Гейзенберга. В истории физики трудно найти две созданные
для объяснения одного и того же круга явлений теории, которые от-
отличались бы друг от друга столь радикально. Теория Гейзенберга была
математическим исчислением, в котором использовались некоммутирую-
щие величины и редко встречавшиеся ранее правила вычислений, и она
не допускала никакого наглядного толкования; это бып алгебраический
подход, опиравшийся на экспериментально установленную дискретность
спектральных линий и подчеркивавший элемент прерывности (disconti-
(discontinuityJ94); хотя эта теория отвергала классическое описание явлений в
пространстве, и во времени, в конечном счете ее основным понятием
была частица. Напротив, теория Шрёдингера основывалась на привычном
аппарате дифференциальных уравнений, близком по духу классической
механике сплошных сред, и вела к представлениям, легко допускаю-
допускающим наглядное толкование; зто был аналитический подход, отправляв-
отправлявшийся от обобщения классических законов движения и подчеркивавший
элемент непрерывности; как видно из названия теории, основным ее по-
понятием была волна. Гейзенберг ) критиковал подход Шрёдингера как
"не ведущий к последовательной волновой теории в духе де Бройля",
поскольку он использует многомерное (с числом измерений более трех)
конфигурационное пространство, а вычисление скорости волн из потен-
потенциальной энергии взаимодействия частиц "заимствовано из концепций
корпускулярной теории". В письме Паули он даже писал: "Чем больше
я резмышляю над физической стороной теории Шрёдингера, тем ужаснее
(desto abscheulicher) она мне кажется". Шрадингер не менее откровенно
высказывался о теории Гейзенберга: "...маня отпугивали (abgeschreckt),
если не сказать отталкивали (abgesto/Зеп), казавшиеся мне очень труд-
'••) Darrow K.K. Introduction to wave-mechanics. - The Bell Sistem Technical Jour-
Journal, 1927. v. 6, p. 653-701.
'** *) Дярроу K.K. Введение в волновую механику Шрёдингера. — УФН, 1929, т. 9
с. 437-514.
2" (Archive for the History of Quantum Physics. Интервью с фрау Шрёдингер от
5 апрепя 1963 г. См. также C12).
"ЧТам же, но см. также 1311).
*") Письмо от 27 января 1920 г., цитируется в статье: Born M. Erinnerungen an Ein-
Einstein. - Physikalische Butter, 1965, Bd 21, S. 297-306.
**4) борн и Йордан назвали ее "истинной дискретной теорией" ("wahre Diskonti-
nuumstheorie"); см. D3), с. 879; с. 145; с. 67.
'•') HaisenbergW. Mehrkbrperproblem und Resonaru in der Quantenmechanik.
Zeitschrift fur Physik, 1926, Bd3B. S. 411-426.
266
мыми методы трансцендентной алгебры и отсутствие всякой нагляд-
наглядности" "•).
Но и при этих фундаментальных расхождениях Шрёдингер всегда был
убежден в том, что эти два подхода не мешают друг другу, а дополняют
друг друга297). И действительно, ранней весной 1926г. — до публика-
публикации третьего сообщения своего magnus opus — Шрёдингер обнаружил, поль-
|упсь его выражением, "формальную, математическую тождественность"
волновой механики и матричной механики. Его доказательство298) воз-
возможности перехода от одного формализма к другому строится следующим
образом. Отправляясь от замеченного им сходства матричного соотноше-
соотношения E.26) Борна - Гейзенберга
pq -qp = -— 1
2Л7 •
и волновомеханического соотношения
2тг/ bq ) \ 2m bq} 2m
Шрёдингер связал с каждой физической функцией F = F (p, q) от перемен-
переменных р и q дифференциальный оператор
F I
h Ъ \
2тг/ bq J
обозначенный им через [F, •]. Если функции ик - ик [q) образуют в кон-
конфигурационном пространстве переменной q полный ортонормированный
набор, то для пюбых волновых функций ф = ф [q) и ф' = [F, ф] имеем
ф = Хакик E.85)
ф' = Ъа)и,, E.86)
/
Следовательно,
e'i = -LFjkak, E.87)
где элементы матрицы [Fjk] определяются следующим образом:
Fjk ~ fu'j IF. uk 1 dQ- E.88)
Каждой функции F (р, д) соотношение E.88) ставит в соответствие - от-
"•) См. 1298]. с. 735; |298«1. с. 57 (примечание).
'•') См. B51],с. 513; [251 •!, с. 3,9.
ltt)Schrodinger?. Uber das Verhaltnis der Heisenberg-Born-Jordanschen Quant en •
mechtnik zu der meinen. - Annalen der Physlk, 1926, Bd 79, S. 734-756; In: Abhandlungen
lur Wellenmechanlk 1251 ] ,S. 62-84; Dokumente der Naturiwissenschaft [11, Bd 3, S. 64-
M; On the relation between the quantum mechanics of Heisenberg, Born and Jordan, and
Ihtl of SchrSdinger. - In: Collected Papers on Wave Mechanics 12511, p. 45-61.
'•••) ШрИдингврЭ. Об отношении квантовой механики Гайзенбарга - Борна —
Йордана к моей. - В кн.: Избранные труды C.33*1, с. 56-74. (Перевод И?. Алексеева.)
267
носительно данного базиса ик — матрицу [Fjk] ¦ причем, как показал Шрё-
дингер, матрица, соответствующая сумме (произведению) двух функций,
является суммой (произведением) матриц, соответствующих отдельным
слагаемым (сомножителям). Итак, любое вопновомеханическое уравнение
может быть последовательно переведено в матричную форму, причем дей-
действие F на волновую функцию ^соответствует умножению матрицы [Я,*]
на вектор-столбец [ак ], компоненты которого являются фурье-коэффици-
ентами функции ф. Во второй части статьи Шрё'дингер конкретизировал
базис (/,-, приняв, что функции (//совпадают с собственными функциями
ф/ волнового уравнения. Последнее могло быть записано как операторное
уравнение:
[Н. ф] = Еф, E.89)
где [Н, ¦] — оператор гамильтониана, который получается из классическо-
классического прототипа Н(р, q) совершенно так же, как [F, •] из F (р, q). Собствен-
Собственными значениями уравнения E.В9) являются Ек, так что
\Н.фк\=Екфк. E.90)
Обратившись теперь к законам движения в матричной механике E.2В),
Шрёдингер продемонстрировал, что по отношению к выбранному базису
матрица Н диагональна, так как
Н1к -1Ф,1Н,фк](*г-Ек6/к.
Иными словами, решение уравнения E.89) эквивалентно диагонализации
матрицы Н. С помощью вспомогательных теорем
2ir/
l] E.91)
[dF т 2ir/
—, . = lpF-FP,.
bq J h
\ dF 1 2тг/ lr.
, • = [Fq--qF,\ E.92)
L op J h
Шрёдингер показал, что матрицы, построенные в соответствии с E.В8), дей-
действительно удовлетворяют законам движения E.28).
Чтобы завершить доказательство формальной эквивалентности, Шрёдин-
геру надо было показать не-только то, что по заданным собственным функ-
функциям можно построить матрицы, но что справедливо и обратное — по чис-
численно заданным матрицам можно найти собственные функции. Это сви-
свидетельствовало бы о том, что "последние образуют не просто некоторое про-
произвольное и специальное, удовлетворяющее потребность в наглядности, "те-
"телесное одеяние" ("fleischliche Umkleidung") голого матричного скеле-
скелета99). Чтобы показать отсутствие оснований для подобного эпистемоло-
эпистемологического превосходства матричной механики, Шрёдингер указал, что если
в уравнениях
q/k = /(/,(/* dq E.93)
'левые части заданы численно и надо разыскать функции uj, то как из-
известно, интегралы
iP(q)Uj(q) uk(q)dq,
где Р (q) - какое-либо произведение степеней чисел q, можно вычислить по-
посредством матричного умножения. Но совокупность этих интегралов с фик-
••») См. 12981, с. 761; 1298*], с. 70-71.
268
оированными / и к образует так называемые "моменты" функции UjUk.
Поскольку хорошо известно, что при весьма общих предположениях функ-
функция однозначно определяется совокупностью своих моментов, все произ-
произведениями*, в том числе и квадраты uj, заданы, а следовательно, можно
определить и сами и, . "В наши дни, — сказал Шредингер, — найдется немало
физиков, которые, подобно Кирхгофу и Маху, видят задачу физической
теории исключительно в возможно экономном математическом описании
эмпирических связей между наблюдаемыми величинами, т.е. в описании,
которое воспроизводит эти связи, по возможности не прибегая к помощи
принципиально ненаблюдаемых элементов. При такой установке математи-
чккая эквивалентность почти равнознечна физической00). Другими сло-
¦ами, если отождествлять физическую теорию с набором ее математических
соотношений, как отождествил однажды Герц теорию Максвелла с уравне-
уравнениями Максвелла, то волновая механика и матричная механика являются
согласно Шрё'дингеру одной и той же теорией30').
Статья Шрёдингера о формальной эквивалентности двух теорий была по-
получена редактором Anna ten 18 марта 1926 г., а 31 марта 1926 г. Карл Эк-
карт из Калифорнийского технологического института, интерес которого к
квантовой механике возник благодаря лекции Борна зимой 1925 г. в Паса-
д»не302), представил Национальной академии наук статью303). Цепью ее, по
словам Эккарта, было "показать чисто формальным образом, что уравне-
уравнение Шрёдингера должно быть основой матричного исчисления Борна, Йорда-
Йордана и Гейзенберга... Ограниченность места не позволяет дать общего обсуж-
обсуждения, так что предпринимается только попытка очень формального реше-
решения узкой задачи об отдельном линейном осцилляторе. Впрочем, все резупь-
Теты допускают непосредственное обобщение. Общая теория и попытка ин-
тарлретироветь некоторые постулаты будут опубликованы в другом месте".
Действительно, 7 июня 1926 г. Эккарт закончил статью "Операторное ис-
исчисление и решение уравнений квантовой динамики04), в которой он
обобщил полученный ранее результат, построив операторное исчисление для
Классической динамики,распространив его на квантовую динамику и показав,
что "замечательный результат Шрёдингера является частью того же самого
исчисления, что и результаты Борна и Йордана05). Это заключение, по
•") См. B981,с.751;|29В«],с.7О.
'" ) Интересное обсуждение понятий эквивалентности и тождественности физичес-
физических теорий с упором на интересующие нас стороны см. в статье: Hanson N.R. Are wave
mechanics and matrix mechanics equivalent theories?. - Czechoslovakia!! Journal of Physics,
1161, v. 11, p. 693—70B; In: Current issues in the Philosophy of Science. - N.Y.: Holt,
Mlnehart and Winston, 1961. p. 401—42B (с комментариями Э. Хиппа). Ср.такжеНвл-
mn N.R. Tha Concept of the Positron G6], ch.B.p. 113-134;эдесьХэнсон доказывает,
ЧТО, несмотря на формальную возможность взаимозаменяемости, эти теории — как фи-
•ические теории — не могпи считаться эквивалентными до появпения борновской
вероятностной интерпретации функции Шрёдингера. "Только одному Борну можно от-
ответь честь установления эквивалентности волновой механики и матричной механики
Ми физических теорий" (с. 129).
'**) "Борн прибыл в Л аса дан у зимой 1925 г.; его яркая пекция пробудипа мой
интерес. В реэупьтата весной 1926 г. я довопьно интенсивно работал над операторным
формализмом и совершенно освой пси с оператором, который сейчас называется име-
именем Шрёдингера (оператор энергии), еще до появления в Пасадене статей Шрёдинге-
¦е". Archive for the History of Quantum Physics; интервью с К. Эккартомот31 мая 1962г.
'") Ескап С. The solution of the problem of the single oscillator by a combination of
§lhr6dinger's wave mechanics and Lanczos'field theory.-Proceedingsof the National Acade-
Academy of Sciences, 1926, v. 12, p. 473-476.
'•') Bckart C. Operator calculus and the solutions of the equations of quantum dyna-
dynamics, - Physical Review, 1926, v. 28, p. 711 -726.
•••) Там же, с. 726.
269
словам Эккарта, "по-видимому, представляет наиболее сильную поддерж-
поддержку, когда-либо до сих пор полученную любой из двух совершенно не похо-
похожих теорий06). Подход Эккарта, по существу, частный случай метода
Шрёдингера, состоял в использовании нормированных собственных фуНк-
ций линейного гармонического осциллятора307) для конструирования мат-
матриц. Из своих вычислений Эккарт получил
"л/Г
..-.,.. . л . E.94)
т.е., по его сяовам, "матрицы теории Борна — Йордана были действительно
найдены".
Как отметил сам Эккарт, к идее о построении матриц с помощью интег-
интегрирования ортонормированных собственных функций, связанных с диффе-
дифференциальными операторами, его привела интересная статья Ланцоша ).
В декабре 1925 г. Корнелиус Ланцош показал, что теорию Гейзенберга -
Борна — Йордана можно сформулировать не только на языке матриц, но
также — совершенно эквивалентным образом — на языке интегральных
уравнений. Фактически статья Ланцоша с механикой Гейзенберга, выражен-
выраженной на языке интегральных уравнений, примерно на четыре недели опере-
опередила первое сообщение Шрёдингера и, строго говоря, поэтому была самым
первым изложением континуально-теоретического формализма квантовой
механики. Уверения Ланцоша в концептуальных преимуществах такого не-
непрерывного интегрального представления как более тесно связанного с
полевыми понятиями тогда почти не привлекли к себе внимания. Исполь-
Использование интегральных уравнений, с которыми физики были (и еще продол-
продолжают быть) знакомы гораздо хуже, чем с дифференциальными уравнения-
уравнениями, отсутствие какого бы то ни было конкретного примера или нового ре-
результата и, безусловно, тот факт, что статья почти совпала по времени с пер-
первым сообщением Шрё'дингере, — все эти обстоятельства объясняют доволь-
довольно холодный прием, оказанный работе Ланцоша. Как видно из примечания
в статье Шрёдингера об эквивалентности309), Шрёдингер внимательно изу-
изучил эту работу, которая скорее всего, повлияла на него, как и на Эккарта.
Но Шрёдингер подчеркивает, что между его работой и работой Ланцоша
меньше общего, чем это может показаться на первый взгляд;' в частности,
симметричное ядро К (s, о), ортогональные собственные функции которого
Ланцош использовал для построения матриц, не следует отождествлять с
функцией Грина волнового уравнения, так как собственные значения ядра
обратны собственным значениям функции Грина.
Ради исторической точности следует упомянуть также, что по свидетель-
свидетельству Грегора Вентцеля310) математическую эквивалентность матричной и
волновой механики независимо установил также Вольфганг Паули.
20<) Там же,с. 711.
"") При изучении собственных функций осцилляторе Эк карту помог П. Эпштейн.
Эккарт ресскезывал Фрицу Цвикки о своих затруднениях, когда "за спиной у нес воз-
возник Пеупь Эпштейн ... ив своей характерной менере спросил: "Что у вес там?".
Ему изложили задачу, он удалился в свой кабинет и вернулся" с готовой теорией поли-
полиномов Эрмита". Archive for the History of Quantum Physics, интервью с К.Эккартом от
31 мая 1926 г. См. [2.64].
10') Lanczos К. Uber eine feldmatfge Derstellung der neuen Quentenmechanik. - Zeit-
schrift fur Physik, 1926, Bd35. S. B12-830.
"") Cm. B9BI.C. 754, прим. 1 <B98»|, прим. нас. 73).
>IC) Wentztl 0. Eine Verellgemeinerung der Wellenmechanik. — Zeitschrift fur Physik,
1926. Bd3B, S. 518-529 (получено 1В июня 1926 г.). Ср. примечание 2, с. 522.
270
Этими замечаниями мы и завершим изложение замечательных статей
Шмдингера, по поводу которых Борн31') однажды воскликнул: "Что су-
существует более выдающегося в теоретической физике . . . ?" Рассматривая
¦Ывод волнового уравнения Шрёдингера, которое, пользуясь словами
Планка3'2), "в современной физике занимает такое же место, какое в
классической механике занимают уравнения, найденные Ньютоном, Лагран-
шеми Гамипьтоном", мы видели, что аргументация Шрёдингера во втором
¦ГО сообщении3'3) действительно тесно связана с методом Дебая выве-
выведения лучевой оптики из волновой. Из сравнения уравнения E.72) с урав-
уравнением эйконала |VW| 2 = п2 следовало, что п2 = 2т[Е — U), в согласии с
"оптико-механической аналогией" Гамильтона E.64). Как только это зна-
значение п2 было подставлено в дебаевское волновое уравнение Аф + п2к1ф =
л О, как объяснялось на с. 250, и значение к0 было положено равным 2чг/п,
выло получено волновое уравнение Шрёдингера E.77).
В до время казалось странным, что решение уравнения Шрёдингера на
собственные значения давало для водорода совершенно точно воровские
уровни энергии: было нелегко понять, как столь различные методы, как
Методы Бора и Шрёдингера, могли привести к тождественным результатам.
Загадка была решена с помощью нового приближенного метода волно-
волновой механики, который был предложен Г. Вентцелем3'4) вскоре после
публикации статей Шрёдингера, независимо выдвинут Бриллюэном3'5),
усовершенствован Крамерсом '.') и получил название "метода В КБ'7) •
Обсуждая этот метод, мы ограничимся одномерным случаем, где его при-
применение наиболее прозрачно, и рассмотрим только те его стороны, которые
имеют непосредственное отношение к нашей теме.
Записав уравнение Шрёдингера E.77) в виде
Ф" +1<1р2ф=0, E.95)
ГМ, как и прежде, к0 - 2я//> и р2 = Ъп(Е '— U), Вентцель и Бриллюэн при-
примяли, как и Дебей, что
E.96)
"') Born M. Erwin SchrSdinger. - Physlkalische Blatter, 1961, Bd17. S. B5-86. Ha
t, 85 Бори пишет: "Was gibt es Groflartigeres in der theoretischen Physik als seine [Schro1-
dlnger] ersten sechs Arbeiten zur Wellenmechanik".
ii i « I
') Борн М. Эрвин Шрё'дингер. — В кн. Шрвдингер Э. Новые пути в физике
|?49>],с. 383-386; см. с. 384.
•") Plenk M. The Universe in the Light of Modern Physics. - N.Y.: Norton, 1931,
Й 30.
" ' •) Ппанк М. Картина мира современной физики. — УФН, 1929, т. 9. с. 407-436;
ем. с. 420.
'") См. 1251], с. 497-510; |251 «I.e. 27-39.
•|4) См. [310].
" ') Brillouin L. La mecanique ondulatoire de Schrbdinger; une methods generale de i*e-
tolution par approximations successive!. — Comptes Rendus, 1926, v. 1B3, p. 24—26
(•опожено 5 июпя 1926 г).
" *) Kramers H.A. Wellenmechanik und halbzahlige Quantisierung. — Zeitschrift fur
¦hysik, 1926, Bd39, S. B28-840 (получено 9 сентября 1926 г.).
"') С хронопогических и логических позиций следовало бы предпочесть назва-
название "метод ВБК". Во французской литературе метод называется "la methode BKW"
(ом., например, Messiah A. Mecanique Quantique. - P.: Dunod, 1959, v. 1, p. 194). В ан-
английских книгах он иногда называется "JWBK method" или "WKBJ method" (как,
напримар, в книге Trigg G.L. Quantum Mechanics. - Princeton, N.J.: Van Nostrand, 1964,
p. 165) на том основании, что Гарольд Джефри с предвосхитил часть математическо-
математического аппарата этого метода (см. Jeffreys H. On certain approximate solutions of linear dif-
(artntial equations of the second order. — Proceedings of the London Mathematical Society,
t9»,v. 23, p 42B-436).
271
но дополнительно положили
W= f ydx, (^.97)
х*
где. у — функция х, а х0 — фиксированный нижний предел интегрирования.
Из уравнений E.95), E.96) и E.97) они получили дифференциальное
уравнение Риккати3'8)
у'"Р2-У2- E98)
2 я/
Разложив у по степеням h :
h i h \2
K = Ko + —: Ух + I—-I Уг +•••. E.99)
2тг/ V 2тг/ '
подставив E.99) в E.98) и приравняв коэффициенты при Л в обеих частях
уравнения, они нашли
Ко " ±Р.
ух =-у'о/2уо,
Приближение нулевого порядка
dx=±fp dx
соответствовало, как очевидно, решению классической механики, а от
приближений более высокого порядка можно было ожидать3''), что они
сходятся к строгому решению волновой механики. Рассматривая
Bл7/Л)к = ф'/ф как аналитическую функцию в комплексной плоскости и
интегрируя ее по замкнутому контуру, включающему все ее полюса (с
вычетами 2л/), 8ентцель нашел с помощью теоремы о вычетах, что
ф' 2я7
4 — dx = fydx = 2irin, E.99a)
ф h
где п - целое число.получив тем самым условие квантования Зоммерфельда
ipdx = nh.
Но Крамере и другие320) показали, что более точное рассмотрение
'"' Впервые это уравнение быпо подробно рессмотрено венецианским мате-
математиком Я к обо Риккати (Hiccati J. Animadversionm in aequationes differemiales
secundi gradus. - Acta Eruditorum, 1723, p. 402—510; Actorum Eruditorum Sup
plement», 1724, v. B, p. 66—73). Когда в 1763 г. Д'Апамбер решап краевую задачу для
неоднородной копебпющейся струны и показал, что диффереициапьное уревнение
г" - \<p{x)z при заданном <р (х) и при условиях г (а) * г (о) « О имеет решения при
подходящих значениях К, он сделал зто, введя новую переменную у * г'/г. и тем са-
самым nprfiuen к уравнению, которое он, видимо, впервые назвал "уравнением Рикка-
Риккати". Ср. Hittoire de I'Academie de Berlin, 1770, v. 19, p. 244 et $eq.
"'I' Впоследствии было установлено, что резпожение в ряд сходится только асим-
асимптотически и не ведет к точным решениям. Ср. Zwaan A. Intentitaten im Ca—Funken-
tpektrum (Dissertation). — Archives Neerlandaises, 1929, v. 12, p. 1—76.(особеннос 33-
54); Birkhoff G.D. Quantum mechanics and asymptotic series. - Bulletin of rhe Ameri-
American Mathematical Society, 1933, v. 39, p. 6B1-700; Langer R.?. The asymptotic solutions
of ordinary linear differential equations of the second order, with special reference to the
Stokes phenomen. - Ibid., 1934, v. 40, p. 545-5B2.
i2*)' Niessen K.F. Uber die annShernden komplexen Loturtgen der Schrodingerschen
Differentialgleichung fur den harmonischen Oscillator. — Annalen der Physik, 192B, BdB5,
272
приводит к условию*)
Up </х = (л+ Й>Л. E.100)
Этими результатами была установлена связь между теорией водородного
•тома в формулировке Бора A913 г.) или в уточненной формулировке
Эоммерфельда, с одной стороны, и волновой механикой Шредингера - с
другой. Вопрос о том, почему указанные выше квантовые условия, по-
полученные с помощью приближенного метода, давали тем не менее правиль-
правильные значения энергии в нескольких важных случаях, как, например, для
•тома водорода или линейного осциллятора, является чисто математичес-
математической проблемой, рассмотрение которой увело бы нас слишком далеко от
темы.
В статье331), в которой Вентцель выдвинул новый приближенный
метод, он уже рассмотрел с его помощьюэффектШтаркав водороде. Для
линейного эффекта полученная им. формула, как и у Шрёдингера, пол-
полностью совпала с формулой Эпштейна333), найденной в старой квантовой
теории. Но для квадратичного эффекта член, содержащий квадрат напря-
напряженности поля F, оказался равным333)
h6F2
,. . , . п4[17п2 - 3</т, -л2J-9(/>э -Я2 +19]- E101)
Это выражение, полученное одновременно и независимо Валлером334),
отличается от выражения Эпштейна тем, что в E.101) стоит 9 (л3 -IK,
¦место 9/?3 у Эпштейна, и, кроме того, добавочным членом +19.
Отклонение от предсказаний Эпштейна A916 г.) для квадратичного
Эффекта Штарка было обнаружено еще в 1921 г. Зоммерфельдом3 3 5)
¦ наблюдениях Такамине и Кокубу336), проделанных ими в 1919 г. в
Обсерватории Маунт Вильсон. На их пластинках (до 1925 г. эти данные
были единственными наблюдениями квадратичного эффекта) был за-
заметен односторонний сдвиг всей картины расщепления в красную сторо-
сторону, но этот сдвиг, как заметил Зоммерфельд, не согласовался с выво-
выводами Эпштейна. Сдвиг средней компоненты Н-у, соответствующий пе-
переходу
(Л| = 1, пг = 1, п3 = 3) -* @, 0, 2) и
B,2,1) - @,0,2),
I, 497—514; Kramers И A., Ittmann G.P. Zur Quantellung des symmetrischen Kreisels II. —
Zeltschrift fur Phyjik, 1929, Bd5B. S. 217-231; Ptrsico B. Dimonstrazione elementare del
metodo di Wemzel e Briliouin. - II Nuovo Cimento. 193B, v. 15, p. 133-138.
*) Для осциллятора и кулоновского поля из E.99е) также следует E.100), но в
отпичие от приближенного соотношения E.100) соотношение Вентцеля E.99а) -
»очное.
121) см. [310].
•") См.с.115.
'") Не с. 115 использованы те же обозначения.
"*) Waller I. Der Star kef fekt zweiter Ordnung bei Wasserstoff und die Rydbergkorrek-
lion der Spektra von He und Li*. - Zeitschrift fur Phytik, 1926, Bd 3B, S. 635-646.
1 *') Sommerfeld A. Uber den Starkeffekt zmeiter Ordnung. — Annalen der Physik 1921
Id 65, S. 36-40.
"*) Tekamine Т., Kokubu N. The effect of an electric field on the spectrum line* of
hydrogen. — Memoirs of the College of Sciences (Kyoto Imperial University), 1919, v. 3,
p. 217-285; Further studies on the Stark effect in helium and hydrogen. -> Tokyo Sugaku
Suturigakkawi Kizi (Proceedings of the Tokyo Mathematico-Physicel Society) 1919, v. 9,
p. 394-404.
l«. M. Джеммер 273
был тщательно изучен в 1925 г. Киути327), который нашел, что в поле
140000 В/см сдвиг составляет АХ - 0,6 А, тогда кек теоретическое зна-
значение Эпштейна равнялось АХ = 0,5 А. Как указал Вентцель328), значение
АХ, найденное Киути, прекрасно согласовалось с волновомеханической оцен-
оценкой. В последующих экспериментах, в которых Рауш фон Треубенберг
и Гебауэр329). использовали поля вплоть до 400000 В/см, это согласие
подтвердилось. Подводя итоги своих экспериментов, фон Траубенберг
и Гебауэр смогли сказать: "Теория Шре'дингера полностью подтверждена
нешими измерениями красного сдвига, обнаруживаемого также в других
компонентах Н730).
Как наблюдения Малликена331) над сдвигом в полосатом спектре
моноокиси бора были самым первым свидетельством превосходства мат-
матричной механики Гейзенберга над старой квантовой теорией, тек наблюде-
наблюдения Киути над сдвигом компонент водородного спектра в эффекте Штар-
ка послужили самым первым доказательством превосходства волновой
механики Шрёдингера над старой теорией. Оба формализма получили
поддержку в наблюдениях, сделанных еще до их создания.
"*) Kiuti M. Further studies of the Stark effect in hydrogen. — Japanese Journal of
Physics, 1925. «4, p. 13-18.
J1'J Cm. |31U],c. 528.
'") Rausch von Traubenberg H., Gebauer R. Uber den Starkeffekt zweiter Ordnung
beim Wasserstoff.i- Die Naturwissenschaften, 1928, Bd 16, S. 655-656; Uber den Starkef-
Starkeffekt II. Ordnung bei Balmerserie des Wasserstoffs. - Zeitschrift fur Physik. 1929, Bd 54.
S. 307-320; Bd 56, S. 254-258.
"•) Rausch von Traubenberg H.. Gebauer R. Bemerkung zu unserer Arbeit "Uber den
Starkeffekt II. Ordnung bei der Balmerserie des Wasserstoffs". - Die Naturwissens-
Naturwissenschaften, 1929. Bd17, S.443.
J") Cm. [1291.
ГЛАВА 6
ВЕРОЯТНОСТНАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ И ТЕОРИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
6.1. Появление вероятностной интерпретеции
Зе короткое время после опубликования статей Шрёдингера появилось
много ребот, где волновая механика успешно применялась к самым различ-
различным задачам на собственные значения энергии. Вскоре стало ясно также,
что теорией можно пользоваться и при решении более широкого круга
Мдач, чем имел в виду ее создатель. Так, например, уже в июне 1926 г.
фок1 > лэказал, что уревнение Шрёдингера можно обобщить на случай, ког-
когда функция Лагранжа содержит члены, зависящие от скорости. Шрёдинге-
ровская теория излучения, основывавшаяся на теории возмущений, зави-
зависящих от времени, позволила вывести воровское условие частот (ко-
(которое в старой квантовой теории занимало статус особого' постулата),
вычислить интенсивность и поляризацию испускаемого излучения, найти
для него правила отбора. Теория Шрёдингера давала логически последова-
последовательный и математически удобный метод решения очень широкого круга
мдач, и не было никаких сомнений в большом ее преимуществе по срав-
сравнению со старой квантовой теорией. Кроме того, за исключением несколь-
нескольких частных случаев (например, при рассмотрении момента импульса),
попользовать теорию Шрёдингера было удобнее, чем матричную механику.
Судьбе физического объяснения, данного Шрё'дингером своему форма-
йиаму, и в частности судьба его интерпретации волновой функции, была
Nw столь безоблачна. Чтобы объяснить, почему механическая система излу-
ЧМт электромагнитные волны с частотой, ревной разности термов, и иметь
Ю*можность рассчитать их интенсивность и поляризацию, Шрёдингер
Приписал ф электромагнитный смысл, определив ф в начальных разделах
Моей статьи2) как функцию, характеризующую непрерывное распределение
Мряда в реальном пространстве. В конце четвертого сообщения, где эти
Идеи получили дальнейшее резвитие, он определил фф* как "весовую
функцию" подобного распределения заряда, так что р =ефф* (где е — за-
¦ЯД электрона) являлось плотностью заряда электрона. Из волнового урав-
уравнения, зависящего от времени, Шрёдингер обычным путем получил урав-
уравнение непрерывности
¦впзывающее плотность тока
{Ф'ЧФ
F.2)
М скалярной плотностью заряда р, и счел уравнение F.1) убедительным
1 I foe* V. Zur SchrSdingerschen Wellenmechanik. - Zeitschrift fur Physik, 1926. Bd38.
I 947-250.
•I Cm. 15.251,6.2614.
!•• 275
свидетельством в пользу своей электродинамической интерпретации.
Для объяснения того эмпирического факта, что заряд электрона обычно
сосредоточен в очень малой области пространства, Шре'дингер к электро-
электродинамической интерпретации волновой функции присовокупил представ-
представление о том, что частицы корпускулярной физики являются по существу
лишь волновыми пакетами, образованными очень большим (строго гово-
говоря, бесконечно большим) числом волновых функций.
В статье3) о соотношении микро- и макрофизики, опубликованной
в июле 1926 г., он пояснил свои идеи, показав, что феноменологическое
поведение линейного гармонического осциллятора можно описать посред-
посредством микрофизического понятия волновых пакетов. Из нормированных
собственных функций Bлл1)~ ф„, где
фп = ехр(-х2/2)Н,1(х)ехрBяЛ'„г) и v,, = (л + М) v0,
Шрёдингер построил волновой пакет
где А — постоянная, много большая единицы4), и показал, что веществен-
вещественная часть ф дается выражением
¦^Т" ~-у<* - Acos{2nv0t)J1 X
X cosUvot + WsinBn»'of)Nf -у cosBw0r>) . F.3)
Поскольку первый множитель в F.3) описывает узкий пик с формой гаус-
совской кривой ошибок, который в данный момент времени г располагает-
располагается вблизи х = Acoi{2nv0t), и поскольку волновой пакет как таковой не
расплывается с течением времени, Шре'дингер пришел к выводу, что кор-
корпускулярное представление об осцилляторе можно последовательно ин-
интерпретировать как обусловленное существованием подобных волновых
пакетов. Можно также, заключил он, "с достаточной уверенностью утверж-
утверждать, что таким образом можно построить группы волн, которые обра-
обращаются на кеплеровских.эллипсах, соответствующих большим квантовым
числам, и представляют собой волновомеханический образ электронов в ато-
атоме водорода".
Но вскоре выяснилось, что предположение Шрёдингера ошибочно и что в
общем случае волновые пакеты все же расплываются. Как показал Гейзен-
берг5), в этом смысле осциллятор — исключение, обусловленное тем, что
его уровни энергии расположены на одинаковом расстоянии друг от друга.
Еще одно возрежение против интерпретации Шрёдингера было связано с
тем, что для многозлектронных систем (а строго говоря, также и для одно-
злектронной системы, если принять во внимание движение ядра) функ-
') Schrddinger Е. Der stetige Ubergang von den Mikro-zur Makromechanik. — Die fsia
turwiuenschaften, 1926, Bd14, S. 664-666; In: Abhandungen гиг Wellenmechanik|5.251],
S. 56-61; On the continuous transition from micro- to macro-mechanics. - In: Collected
Papers on Wave Mechanics [5 2511, p. 41 -44.
'*) Шрёдингер Э. Непрерывный переход от микро- к макромеханике. — В кн.: Из-
Избранные труды (З.ЗЗЧ, с. 51-55.
41 Поскопьку* /Ы.как функция л имеет для больших г единственный резкий
максимум при п^г, существенную роль игреют только компоненты ел * А/2.
М См. [7.11], с. 184-185; [7.11«], с. 661.
276
ф была определена в воображаемом многомерном пространстве и
Потому ее вряд ли можно было считать эффективной причиной излучения,
И«к это предлагал Шрёдингер. Противоречили шрё'дингеровской интерпре-
интерпретации и эксперименты по дифракции электронов на кристаллах, обсуждав-
обсуждавшиеся выше, и эксперименты по столкновению частиц с атомами, так как
было трудно понять, каким образом при подобных процессах дисперсии
волн могла сохраниться стабильность частицы, если она была бы всего
Лишь группой волн.
В действительности именно в связи с квантовомеханическим изучением
Таких процессов рассеяния и была выдвинута новая интерпретация волно-
волновой функции. Борн, который в 1954 г. получил Нобелевскую премию, как
Гласила официальная формулировка Королевской Шведской академии
наук, "за фундаментальные труды по квантовой механике и особенно за
втвтистическую интерпретацию волновой функции", так поясняп причины
Моего несогласия с интерпретацией Шрёдингера: "В этом вопросе я не мог
Поддержать его. А связано это было с тем, что кафедры Джеймса Франка
И моя были расположены в одном здании Гёттингенского университета.
Каждый эксперимент Франка и его сотрудников по электронным соуда-
раниям (упругим и неупругим) был для меня новым доказательством
Корпускулярной природы электрона" ').
В поисках квантовомеханического объяснения процесса столкновения
аюбодной частицы (например а-частицы или электрона) с атомом Борн
Пользовался формализмом волновой механики, указав: "Подходящим для
Такой цели зарекомендовал себя только шрёдингеровский формализм;
• саязи с этим я склонен рассматривать его как наиболее глубокое выраже-
выражение квантовых законов).
В статье, из которой взята приведенная выше цитата, Борн дал предвари-
предварительное сообщение о своем квантовомеханическом подходе к процессам
Столкновения. Более подробное обсуждение проблемы содержится в двух
Последующих статьях8), в которых было развито "борновское приближе-
приближение", как стали называть этот метод впоследствии. Указанный метод рас-
•МОтрения по существу заключался в применении теории возмущений к
Рассеянию плоских волн, поскольку вдали от центра рассеяния и начальная,
И конечная волновые функции приближенно выглядят как плоские волны.
Пусть электрон с энергией Е = h2/2т\г, движущийся вдоль положительной
•I Born M. Bemerkungen zur statistischen Deutung der Quantenmechamk. - In.
Warner Heisenberg und die Physik unserer Zeit. — Braunschweig: Vieweg, 1961, S. 103-
IM; цитата на с. 103. Ср. также высказывание Борна в книге Born M. Experiment and
Theory in Physics: Cambridge University Press. 1943, p. 23 "Статистическая интерпрета-
интерпретаций аолн де Бройпя быпа подсказана мне моим знанием экспериментов по атомным
¦голкновенипм, чем я обязан моему коппеге — экспериментатору Джеймсу Франку".
*') Борн М. Замечания о статистической интерпретации квантовой механики. —
кн.: Фиаика в жизни моего поколения П.166»], с 440—463; см. с. 441. См. также
нМ. Эксперимент и теория в физике. - УФН, 1958, т. 66. с. 353-374; см. с.364
'\BornM. Zur Quantenmechanik der StopvorgSnge. _ Zeitschrift fur Physik, 1926.
id 37, S. 863-867; получено 25 июня 1926 г.; In: Ausgewahlte Abhandlungen [3.116].
|d 2, S. 228-232; Dokumente der Naturwissenschaft [5.1), Bd 1. S. 48-52.
4 Born M. Quantenmechanik der Sto0vorgange. — Zeitschrift fiir Physik, 1926. Bd 38,
t 803-827; получено 21 июля 1926 г.; In: Ausgewahlte Abhandlungen [3.116]. Bd 2.
.233—257; Dokumente der Naturwissenschaft 15.1 ], Bd 1, S. 53-77. Zur Wellenmechanik
4tf 8to0vorgenge. - Gottinger Nachrichten, 1926, S. 146-160; In: Ausgewahlte Abhand-
tungen, Bd2, S. 284—298; Dokumente der Naturwissenschaft. Bdi, S. 76-92.
'*) Первая из указанных статей Борна переведена на русский язык: Бори М. Кван-
•ямя мехамика процессов столкновений. - УФН, 1977. т. 122, с. 632-651.
277
полуоси г к началу координат, подходит к атому, невозмущенные собствен-
собственные функции которого имеют вид 4>bn(q). Тогда системе из электрона
и атома Борн приписал собственные функции ty°nE(q,z) = ф*{д) sin [2пг/\).
Приняв, что потенциальная энергия взаимодействия между электроном и
атомом равна V(x, у, г, q). и воспользовавшись теорией возмущений,,он
получил следующее выражение для рассеянной волны на больших расстоя-
расстояниях от центра рассеяния:
* |,У <*./.*. 9»-
-Zffduil,™ ia.fi. у) link™ (ax +&+уж + 6)«СМ- F.4)
т
Здесь du> — элемент телесного угла в направлении единичного вектора с
компонентами а, /3, у, а ф„т (а, /3, у) - волновая функция, определяющая
(пользуясь позднейшей терминологией) дифференциальное сечение рассея-
рассеяния в направлении (а, /3, у). По мысли Борна, эта формула допускала кор-
корпускулярную интерпретацию только в одном случее'): следовало принять
фпт или, вернее10), \ф„т I2 эа меру вероятности того, что электрон,
пришедший к центру рассеяния по оси г, испытывает рассеяние в направле-
направлении, задаваемом (а, /3, у). Итак, продолжал Борн, волновая механика отве-
отвечает не на вопрос о том, каково именно состояние после столкновения,
а на вопрос о том, какова вероятность определенного состояния после
столкновения. В более подробной статье ''), посвященной задаче о столк-
столкновениях, он резюмировал ситуацию в следующей часто цитируемой фразе:
"Движение частицы следует вероятностным законам, сама же вероятность
распространяется в соответствии г законом причинности" '2).
Борновская вероятностная интерпретация волновой функции выросла,
так сказать, из трех корней. Прежде всего, как уже отмечалось, Борн,
под впечатлением опытов по атомным столкновениям и их корпускуляр-
корпускулярных аспектов, отказался от "ундуляторной" интерпретации и вместо этого
попытался связать волновую функцию с наличием частиц. Представление
же о том, каким именно образом реализуется эта связь, сложилось у Борна,
главным образом, как неоднократно признавал он сам |Э), под влиянием
представления Эйнштейна о соотношении между электромагнитным волно-
волновым полем и световыми квантами. Для Эйнштейна, писал Борн, электро-
электромагнитное волновое поле было своего рода "призрачным полем"
("Gespensterfeld"), волны которого направляют корпускулярные свето-
световые кванты по их пути в том смысле, что квадраты волновых амплитуд
(интенсивности) задают вероятность присутствия световых квантов или,
в статистически эквивалентном смысле, их плотность. Поскольку волновая
функция для обычной плоской световой волны с частотой v = Elh и длиной
*• См. 17], с. 865.
") Утверждение, что вероятность задается величиной If I1, а ме самой ф. было
добавлено Борном при чтении корректуры предварительной статьи. G].
">См. 18,8.].
''("Die 8ewegung dcr Partikel folgt Wahrscheinlichkeitsgesetzen, die Wahrscheinlich-
keit selbst breitet sich im Einklang mit dem Kausalgesetz aus".— Ibid., S. 804.
l!> Cm. 18], а также Born V. Albert Einstein und des Lichtquantum. — Die Natur
wissenschaften, 1955, 8d42, S. 425-431 (особенно с. 429). См., кроме того. Archive for
trie History of Quantum Physics, интервью с М. Борном от 18 октября 1962 г.
''''См. 18«|, а также Борн М. Альберт Эйнштейн и световые кванты. — В кн.:
Физика в жизни моего поколения 11.166*1, с. 361 —380; см. с. 375.
278
¦олны X = hip, т.е.
и(х, t) = ехр 27Т/1Ч t J - exp {Et -px)\ .
Тождественно совпадает с де-бройлевской волновой функцией частицы с
анергией Е и импульсом р. т.е. собственней функцией волнового уравнения
Шрёдингепа
0.
где Е = р2/2т, Борн счел естественным распространить эйнштейновское
представление о "призрачном поле" и на другие частицы, помимо световых
мантов. Так же, как интенсивность световых волн является мерой плот-
ности'световых квантов, утверждал Борн, так "почти само собой разумеет-
разумеется, что I ф I2 является плотностью вероятности частиц" '4).
Впрочем, вскоре стало ясно, что понятие вероятности в борновской ин-
интерпретации отличается от классического понятия, используемого, напри-
например, в статистической механике или кинетической теории газов. Действи-
Действительно, если на волновое поле ipt с плотностью вероятности Pt = \ф,\2
накладывается волновое поле ф2 с плотностью вероятности Рг = I Ф; I2,
То плотность вероятности суммарного поля ф = ф\ + Ф? не будет равна
r*i + Рг, как это следовало бы из классического понятия вероятности, а
поставит Р\ + Pt + ф\ ф' + ф'{фг. где последние два "интерференционных
члена", вообще говоря, не равны нулю.
Для Эйнштейна понятие вероятности (даже когда он использовал его
для согласования своей гипотезы световых квантов с максвелловской тео-
теорией электромагнитных волн) было традиционной концепцией классичес-
классической физики, математически объективно выражающей неполноту или не-
неточность наших знаний, но в конечном счете являющейся порождением
Человеческого разума, ибо, по выражению Спинозы, "a sola imagionatione...
quod res... ut contingentes contemplemur s). Но утверждение Спинозы:
"De natura rationis поп est, res, ut contingentes, sed, ut necessaries, con-
lemplari""), которое доминировало в научном мышлении на протяжении
((•скольких веков (за редкими исключениями, упомянутыми в разде-
разделе 4.2), для Борна и его школы потеряло силу. Действительно, для Борна
Ироятиость (постольку, поскольку она была связана с волновой функ-
функцией) была не просто математической абстракцией, это было нечто наделен-
МО* физической реальностью, ибо она менялась во времени и пространстве
| согласии с уравнением Шрёдингера. Впрочем, от обычных физических
¦•личин она фундаментально отличалась тем, что не переносила энергии
Или импульса. Поскольку в классической физике, будь то механика Нью-
14 ( См. F], с. 103; F«),с. 441.
1') Spinoга В. Ethices pars 2. — In: Opera quae supersunt omnia. — Jena, 1803. v 2,
Ц 217.
' '*)"... от одного только воображения зависит то, что мы смотрим на вещи, как
и* случайные, как в отношении к прошедшему, так и в отношении к будущему". Спи-
ММ* 6. Этика, часть 2, короппарий 1 к теореме 44. — В кн.: Спиноза Б. Избранные про-
ИММмиия в двух томах. - М.: ГИПЛ, 1957, т. I, с. 441 (перевод НА. Иванцова).
'' > Spinoza В. — Ibid., Propositio 44.
"*)"Природв разума свойственно рассматривать вещи не как случайные, но как
шюймодимые". Спиноза Б. Там же, теорема 44 (с. 441 ).
279
тона или электродинамика Максвелла, физически "реальным" признава-
признавалось только то, что переносило энергию или импульс (или и то, и другое),
онтологический статус ф следовало считать каким-то промежуточным.
Этот статус носил - что и является третьим корнем вероятностной ин-
интерпретации Борна - тот самый характер 'реальности промежуточного
типа", которая, как подчеркивал Гейзенберг '7), проявилась в статье
Бора, Крамерса и Слзтера в 1924 г. На борновской интерпретации дейст-
действительно сказалось представление Бора — Крамерса — Слзтера о виртуаль-
виртуальном 'поле излучения. Если вспомнить также их подход к рассмотрению
вынужденного излучения и т.д., можно понять, почему Гейзенберг ска-
сказал: "Летом 1926 г. Борн создал теорию процессов столкновения и вер-
верно интерпретировал волну в многомерном конфигурационном простран-
пространстве как вероятностную волну, развив и уточнив идеи, ранее высказан-
высказанные Бором, Крамерсом и Слэтером" '8).
Законы природы, как стали утверждать с этого момента Борн и
Гейзенберг, определяют не появление события, а вероятность его появ-
появления. Как позже сказал Гейзенберг"), для него подобные вероятност-
вероятностные волны были "количественным выражением понятия dvvvaiuo, возмож-
возможности, или, в более поздней латинской форме, понятия potentia в филосо-
философии Аристотеля. Представление о том, что события не определены беспово-
бесповоротно, то, что возможность события, "тенденция" к его осуществлению
обладает какой-то реальностью - некой промежуточной реальностью,
расположенной где-то посередине между массивной реальностью вещест-
вещества и интеллектуальной реальностью идеи или изображения, - это пред
ставление играет решающую роль в философии Аристотеля. В современ-
современной квантовой теории такое представление приобретает новую форму;
оно выражается количественно как вероятность и подчиняется законам
природы, которые можно сформулировать математически" 20).
Придя к интерпретации *р как вероятностной волны в только что опи-
описанном смысле, но помятуя, что ф можно разложить по полному орто
нормированному набору собственных функций фп уравнения Шрёдингера
[H-W, ф] =0, т.е.
ф = Ъс„1/„. F.5)
п
причем в соответствии с условием полноты
<*д=Х\с„\2. F.6)
Борн должен был спросить себя, какой смысл следует приписать коэффи
циентам с„. Поскольку для каждой нормированной собственной функции
!() соответствующей одной из частиц, имеем
Г|с„|2-1.
1 ') Archiv for the History of Quantum Physics. Интервью с В. Гейэенбергомот 19 фее
pan я 1963 г.
'"> См. [5.В]; [5.В-],с.57.
' *> Heisenberg И/ Planck's discovery and the philosophical problems of atomic physics
In: On Modern Physics. - N.Y.: Clarkson N. Potter 1961; L.: Orion Press, 1961, p. 3-20
'*"> См. также ГейзвнбвргВ. Открытие Планка и основные философские проб
лемы атомной теории. - УФН, 195В, т. 66, с. 163-175.
:"> См. 119], с. 9-10; ср. [19.],с. 168.
280
ТО, полагал Борн2'), интеграл / | 4/{q) 12dq можно рассматривать как чис-
число частиц, а \с„\2 - как статистическую частоту появления состояния,
характеризуемого индексом п. Для проверки этого предположения Борн
вычислил, пользуясь позднейшей терминологией, ожидаемое значение энер-
энергии W и получил
W-2\cn\*WH. F.7)
и
где W,, - собственное значение энергии для собственной функции С*,,-
Вероятностная интерпретация Борна быстро и с успехом распространи-
распространилась в той области, где она была создана и могла быть использована наибо-
наиболее естественным образом, т.е. в задачах атомного рассеяния. Применив
борновский приближенный метод к рассеянию заряженных частиц, Вент-
цель22) получил классическую формулу рассеяния Резерфорда23) на
основе волновой механики. Факсен и Холтсмарк24), а позднее Бете25)
Н Мотт26) использовали метод Борна для изучения прохождения быстрых
Н медленных частиц через вещество, причем эффект Рамзауэра — Таунсен-
да27) и наблюдения Даймондса28) нашли при этом удовлетворительное
¦олновомеханическое объяснение.
Борн, сначала один29), а потом вместе с Фоком30), попытался поста-
поставить вероятностную интерпретацию на более строгое логическое основание,
Прояснив ее связь с классической физикой. Выступая в августе 1926 г. в
Оксфорде на съезде Британской ассоциации содействия развитию науки,
ЬЧ>рн3|)сказал: "Мы освобождаем силы от их классической роли непосред-
непосредственно задавать движение частиц и вместо этого предоставляем им зада-
веть вероятность состояний. Если раньше наша цель в том и состояла, чтобы
сделать эти два определения силы эквивалентными, сейчас эта проблема,
строго говоря, больше не имеет смысла. Единственный вопрос состоит в
том, почему классическое определение с таким успехом используется для
"> См. (8). с. 805; (8«), с. 634.
1') Wentiel С Zwei Bemerkungen uber die Zerstreuung korpuskularer Strahlen als
e«ugungserscheirtung. - Zeitschrift fur Physik, 1926, Bd40, S. 590-593.
") Cm. [2.40, 2.40-) .
'*) Faxen H.. Holtsmark J. 8eitrag гиг Theorie des Durchganges langsamer Elektronen
(lurch Gase. - Zeitschrift fur Physik, 1927, 8d45, S. 307-324.
1 *> Bethe H. Zur Theorie des Durchganges schneller Korpuskularstrahlen (Jurch Materie. -
Annalender Physik, 1930. Bd 5. S 375-440.
"r Mott N.F. The solution of the wave equation for scattering of particles by a Co-
ulombian centre of field. - Proceedings of the Royal Society of London (A), 1928, v. 118,
0 542—549; The quantum theory of electronic scattering by helium. — Proceedings of
Iht Cambridge Philosophical Society, 1929, v. 25, p. 304-309; The scattering of fast
•Itclrons by atomic nuc4ei. — Ibid., p. 425—442; Elastic collisions of electrons with heli-
helium - Nalure, 1929, v. 123, p. 717.
1 "I Cm. [5.206,5.207].
111 Cm. E.217).
'"I Born M. Das Adiabatenprinzip in der Quantehmechanik. — Zeitschrift fur Physik,
1926, 8d40,S. 167-192 (noпучено 16октября 1926 г.); In: AusgewShlte Abhandlungen
13.116], 8d2, S. 258-283; In: Dokumente der Naturwissenschaft E.1) , 8d 1, S. 93-118.
10) BornM.,Fock V. 8eweis des Adi'abatensatzes. - Zeitschrift fur Physik, 1928, Bd51,
1 165-180; In: Ausgewahlte Abhandlungen C 116]. 8d 2, S. 338-353
1' ) Вот М. Physical aspects of quantum mechanics. — Nature, 1926, v 119, p. 354-357
|п»р»вод докпада, прочитанного в Оксфорде 10 августа 1926 г.).
"*> Борн М. Физически* аспекты квантовой механики. - 8 кн.: Размышления и
•вспоминания физика [1.7* ], с. 152—1 61; см. с. 159.
281
широкого класса явлений. Как всегда в подобных случаях, ответ гласит:
потому что классическая теория является предельным случаем новой.
В действительности нам обычно прихсдится иметь дело с "адиабатическим"
случаем, т.е. именно с предельным случаем, когда внешняя сила (или воз-
воздействие частей системы друг на друга) меняется очень медленно. В этом
случае с очень высокой степенью точности имеем с2 = 1, с\ = О, с\ = О, .. .,
т.е. вероятность перехода отсутствует, и система после прекращения воз-
воздействия возмущения вновь оказывается в начальном состоянии".
Развивая математически32) эти идеи, Борн рассмотрел общее решение
2я/ \
Л /
ф{х, г) = 1ся^я(х)ехр[— W,,t F.8)
уравнения Шрёдингера, зависящего от времени,
8я2т Anim Ъф
ЬФЩ)ф
ni Ъф
Щх)ф 0; F.9)
Л2 h дг
функции ф„ при этом предполагаются нормированными. В противополож-
противоположность Шрёдингеру, который полагал, что уравнение F.8), как в акустике,
свидетельствует о наличии нескольких собственных колебаний в одном и
том же атоме одновременно, Борн, руководствуясь идеей Бора о том, что
в данный момент времени атомная система может занимать только одно
стационарное состояние, принял, в согласии с результатами изучения рас-
рассеяния, величину
за вероятность того, что в момент времени f атом находится в состоянии л.
Говоря о воздействии, внешнего возмущения на систему, Борн провел сле-
следующее сопоставление подходов классической и квантовой механики.
Основная задача классической механики, говорил он, состоит в том, что по
заданной в момент времени г = 0 конфигурации (положениям и скорос-
скоростям) системы надо найти конфигурацию в момент времени г = Т, если на
систему действовала заданная сила в течение интервала Дг, с момента г = О
до г = Т. Основная же задача квантовой механики, по его мнению, фор-
формулируется так: вероятности (|ся|2) конфигураций вплоть до момента
г = 0 заданы и нужно найти вероятность данной конфигурации в момент
времени г = Т. если на систему действовала заданная внешняя сила в тече
ние интервала Дг (и только в течение его). Бор подчеркивал, что в кванто-
квантовой механике рассматривается не индивидуальный процесс ("квантовый
переход" или "квантовый скачок"), заданный причинно, а априорная ве-
вероятность его осуществления; эту вероятность можно найти, проинтегри-
проинтегрировав дифференциальное уравнение Шрёдингера. И Борн добавил, как со-
совершенно очевидно, в Духе философии Бора: "Все, что происходит во
время перехода, вряд ли может быть описано в концептуальных рамках
теории Бора, и, вероятно, вообще не может быть выражено языком, ко-
который подсказывает нашей способности к наглядному воображению те
или иные картины3).
Использовав шрёдингероескую теорию возмущений, зависящих от вре-
времени, Борн следующим образом решил основную задачу квантовой меха-
" > См. B9).
*') ". . . uberhaupt nicht in einer Sprache. die unserem Anschauungsvermdgen Bilder
suggeriert". - Ibid.S. 172.
282
ники. В момент времени f = 0 система определяется, как видно из F.8),
функцией
ф0<,О) = 1с„ф„1х). F.10)
п
Эволюция системы во времени описывается уравнением F.9), где U(x)
••меняется на U(x) + F (х, г), причем F (x, г) обращается в нуль при t < 0 и
f > Т.,Рассмотрев частный случай ф(х, 0) = ф„(х), Борн показал, что здесь
решение дифференциального уравнения при f > Т имеет вид
2я/
) F.11)
2я/ \
— Wmt).
где коэффициенты Ь„т однозначно определяются всем поведением F [х, г)
¦ интервале Дг. Борн далее заявил, что величина \Ь„т |2 есть вероятность
того, что система, находившаяся при f < 0 в состоянии л с функцией
ф„(х), при t>T находится в состоянии т с функцией Ф,„(*)¦ Иными
словами, | Ь„т |2 есть "вероятность перехода" ("Ubergangswahrscheinlich-
keit"). Борн рассмотрел далее общий случай, когда начальное состояние
мдается функцией
Тогда при t > Т имеем
(//(х/г) = Гся^я(х/г), F.12)
и
ГМ Ф„(х, г) определяется соотношением F.11). Использовав ортонорми-
роеанность функций ф„ (х), Борн вычислил общую вероятность перехода
|С„ |2, соответствующую представлению F.12) при f > Г, и нашел
С„ =•/*(*. Г) ^(x)t/x = Sftmrtc
m
так что
I С |2 =|Гст6,*„|2. F.13)
m
Из уравнения F.13) Борн заключил, что квантовые переходы между
состоянием m и состоянием л не могут считаться независимыми процесса-
процессами в смысле классической теории вероятностей; действительно, если бы
•то было так, то правая часть уравнения F.13) в соответствии с теоремой
о ¦ероятностях сложных событий имела бы вид
?|ст |2 \Ь„т |2, F.14)
т
что, конечно, в общем случае совершенно отличается от F.13).
Итак, доказывея волновомеханический эквивалент адиабатической тео-
теоремы, согласно которой для бесконечно медленных возмущений вероят-
вероятность перехода равна нулю, Борн сформулировал две теоремы, которым
было суждено сыграть фундаментальную роль в дальнейшем развитии кван-
квантовой теории, ее интерпретации, ее теории измерений, именно: A) теорему
о спектральном разложении,, согласно которой каждой компоненте ф„
ш разложении ф (суперпозиции) соответствует возможное состояние дви-
ив ни я; B) теорему об интерференции вероятностей, согласно которой
физический смысл имеют не только абсолютные значения коэффициентов
рнложения, но и их фазы.
283
Эти результаты были тогда же независимо получены Дираком34) и
включены в теорию преобразований квантовой механики, представляв-
представлявшую собой обобщение всех известных к тому времени форм матричной
и волновой механики.
Надо отметить, что, помимо электродинамической интерпретации Шрё-
дингера и вероятностной - Борна, предлагались и другие концепции. Стоит
упомянуть, по крайней мере, еще о двух предложениях, существенных
не только для истории: к ним все еще возвращаются в современных дис-
дискуссиях об основаниях квантовой механики.
Маделунг уведел, что при ф = ае1&, где а и 0 зависят от времени, из урав-
уравнения Шрёдингера, зависящего от времени, вытекает уравнение
J) + 3ttJ/ar-0, F.15)
где i = -(ЗЛ/2тгт; это уравнение имеет форму гидродинамического урав-
уравнения непрерывности, если под а2 понимать плотность, а под i - потен-
потенциал скоростей движущейся жидкости. Развивая эти идеи, Маделунг35)
показал, что каждая собственная функция (решение волнового уравнения)
хотя и зависит от времени, но может интерпретироваться как некоторый
тип стационарного течения. Поскольку гидродинамическая модель описы-
описывала также и другие важные черты теории Шрёдингера, Маделунг предполо-
предположил, что "существует возможность рассматривать квантовую теорию ато-
атомов с этой точки зрения". Впрочем, он должен был признать, что не все
явления (в частности, связанные с процессами поглощения) можно было по-
последовательно интерпретировать с помощью подобной гидродинамической
модели.
Альтернативная интерпретация, выдвинутая примерно в то же время
Луи де Бройлем, сочетала вероятностный подход Борна с некоторыми
идеями Эйнштейна, которые тот выдвинул в порядке обсуждения в
1909 г., рассматривая кванты света как сингулярности36) волнового по-
поля. В первой статье по этому вопросу де Бройль37) ограничился рассмотре-
рассмотрением квантов света. Решение волнового уравнения
1 д2и
Аи= — —- F.16)
с1 Ы1
в классической оптике, говорил он, дается функцией вида
u=a{x,y.z)exp{iuilt->fi{x, у, г))} , F.17)
которая удовлетворяет краевым условиям, накладываемым наличием
экранов, отверстий и т.п. на пути волн; "в новой оптике квантов све-
света" такое решение дается функцией вида
и = fix, у, *)ехр{ /w[f - ф, у. г)\) , F.18)
где $ - та же функция, что и раньше, a f{x, у, г) имеет "движущиеся
14) Dirac P.A.M. On the theory of quantum mechanics. — Proceedings of the Royal
Society of London (A). 1926. v. 112, p. 661-667.
") Modelling E. Quantentheorie in hydrodynamischer Form. - Zeitschrift fur Physik.
1926. Bd4O, S. 322-326; получено 25 октября 1926 г.
"> См. с. 48и ел.
1 ~) De Broglie L. Sur la possibilite de relief les pheViomenes d'interference et de dif-
diffraction a' la theorie des quanta de lumiere. - Comptet Rendus, 1926, v. 183, p. 447-
448; доложено 23 августе 1926 r.
284
Сингулярности" ("singularity mobiles") на кривых, перпендикулярных фа-
ЮВым фронтам <р = const. "Эти сингулярности, — утверждал он, — пред-
представляют собой кванты радиационной энергии".Подставив F.18) в F.16)
И вэяв только вещественную часть, де Бройль получип
Ъ* Ъf 1 Ъf
+У»/Д<?=-—-—. F.19)
Ъп Ъп с2 Ъг
Поскольку в точке М, где находится частица, дробь flW/Ъп) обращается в
Нуль (причины этого де Бройль объясняет не полностью), а скорость свето-
Сых квантов, проходящих через точку М, составляет 38)
, Э//Эг
V'-l——) , F.20)
де Бройль получил
, F.21)
—)
Ъп1
Ъп1„
так что *р (как и *р Маделунга) играет роль потенциала скоростей. Обо-
аиачив через р плотность световых квантов, де Бройль с помощью аргу-
аргументов, взятых из механики сплошных сред, показал, что
р« const a2, F.22)
или, иными словами, что плотность световых квантов пропорциональна
интенсивности излучения.
Во второй статье3') де Бройль распространил эти соображения на ин-
интерпретацию шрёдингеровской волновой функции и движения частиц.
"В микромеханике, как и в оптике, - сказал он, - непрерывные реше-
решения волнового уравнения дают только статистическую информацию;
для точного микроскопического описания, несомненно, требуется при-
прибегнуть к использованию сингулярных решений, отражающих дискретную
структуру вещества и излучения0).
Весной 1927 г. эти идеи де Бройля окончательно выкристаллизова-
выкристаллизовались и приняли форму "теории двойного решения", как он назвал ее41).
Согласно этой теории линейные уравнения волновой механики допус-
допускают решения двух типов: непрерывную функцию ф со статистическим
•мьюлом и "сингулярное решение", особые точки которого представ-
представляют рассматриваемые физические частицы. По поводу соотношения
Между этими решениями де Бройль говорил следующее. "При этом час-
частицы будут четко локализованы в пространстве, как в классической
картине, но они будут включены также в протяженное волновое явление.
Вследствие этого движение частицы не будет подчиняться законам клас-
классической механики, согласно которым на движении частицы сказывается
только действие сил, приложенных к ней вдоль ее траектории, но совер-
") Это можно показать таким же обрезом, как а примечании 15.258].
'*) De Broglie L. La structure atomique de la matiere et du rayonnement et lamecani-
qiM ondulatoire. - Comptes Rendus, 1927, v. 184, p. 173-274; доложено 31 января 1927г.
40) Там же, с. 274.
41) De Broglie L. La mecanique ondulatoire et la structure atomique de la matiere et
du riyonnement. — Journal de Physuqueet du Radium, 1927, v. 8, p. 225—241; получено
I апреля 1927 г.
285
шенно не сказывается наличие препятствий, расположенных на некотором
расстоянии от траектории. По моим представлениям, напротив, движение
сингулярности должно зависеть от наличия всех препятствий, мешающих
свободному распространению окружающих ее волн, и это должно при
водить к воздействию волнового явления на частицу; это воздействие
описывается в моей теории посредством "квантового потенциала", совер
шенно не похожего на потенциал обычных сил. Подобным образом можно
объяснить появление явлений интерференции и дифракции" 42).
6.2. Теория преобразований
Квантовая теория преобразований появилась при попытке решить кон
кретную и довольно частную задачу, но вскоре на ее основе были достиг
нуты далеко идущие обобщения, которые в конечном счете привели к
сбпижению всех резко отличающихся между собой подходов и позволили
через абстрактную формулировку основных принципов глубже проникнуть
в природу квантовой теории. Здесь, по-видимому, уместно провести сравне
ние с классической механикой. Положение в квантовой механике до появ
ления теории преобразований можно уподобить положению в ньютоновс-
ньютоновской механике до введения Пуассоном обобщенных импульсов; как разви
тие канонического формализма в классической динамике привело к
глубокому пониманию всей структуры классической механики, достигну
тому в работах Якоби, Пуанкаре и Аппепя, так и развитие квантовомеха
нической теории преобразований достигло в работах Дирака, Йордана и
фон Неймана той кульминации, которая позволил а* представить нереляти
вистекую квантовую механику систем с конечным числом степеней свобо-
свободы как логически последовательную, компактную и единую систему
взглядов.
В связи с постоянной тенденцией теории преобразований к "захвату"
все новых областей вряд ли можно найти в литературе четкое или обще-
общепринятое определение предмета этой теории. Так, ограничиваясь только
двумя примерами, в книге Зоммерфельда "Строение атома и спектраль
ные линии3) (издание 1960 г.) глава о теории преобразований касается
почти исключительно фурье-лреобразований динамических переменных,
а в книге Айзеле "Квантовая механика и физика элементарных частиц4)
(издание 1964 г.) обсуждение теории преобразований сосредоточивается
только на соотношениях между представлениями Шрёдингера, Гейзенберга
и взаимодействия. Чтобы включить в рассмотрение столь крайние случаи.
можно определить предмет теории преобразований как изучение таких пре
образований в квантовой теории, при которых результаты эмпирически
важных формул остаются инвариантными. Тогда различные модификации
теории будут определяться типом пространства, в котором производятся
преобразования. Для ранних стадий развития теории было характерно изу
чение преобразований в конфигурационном и импульсном пространствах,
которое сменилось изучением преобразований в абстрактном гильбертовом
41 ) См. 15.151]. с. 86; с. 90.
*') Sommerfeld A. Aiombau und Spcktrallinien. -•- Braunschweig: Vieweg, 1960, Bd2
S. 201-20B.
*'') Зоынерфельд А. Строение атома и спектры. - М.: Гостехиздат, 1956, т. II.
с. 1 71 -1 78.
") EiseleJ.A. Advanced Quantum Mechanics and Particle Physics from an Element!
ry Approach. - Taipei, Taiwan: National Book Company, 1964, v. 1, p. 1B5-174.
286
Пространстве; при этом постепенно потеряли особую роль и важность
ранее столь существенные понятия канонических преобразований.
Сейчас мы обратимся к раннему этапу развития теории преобразований,
#Т и появления45) весной 1926 г. до превращения в так называемую тео-
теорию преобразований Дирака - Йордана.
Если провести сопоставление с классической аналитической динамикой.
to ¦ матричной механике пока что ограничивались рассмотрением либра-
ционных координат, тогда как стерая квантовая теория пользовалась
Преимущественно угловыми координатами. В самом деле, если в старой
Квантовой теории при попытке разыскать канонические преобразования,
•водящие задачу к периодическому движению, основным прототипом был
ротатор, то в матричной механике им был осциллятор.
Конкретный вопрос, который, как упоминалось выше, привел к разви-
развитию теории преобразований еще до создания волновой механики, был воп-
вопрос о том, нельзя ли из классической динамики перенести в матричную
Механику метод Гамильтона — Якоби, который, напомним, позволял
непосредственно находить частоты много-периодических систем. Важный
Шаг в этом направлении был сделан Дираком в уже цитировавшейся
е?атье46). Кстати говоря, в этой статье Дирак ввел однобуквенное обозна-
обозначение для />/2тг, которое с небольшим изменением 47) будет использоваться
нами далее. Дирак показал, что задачу определения частот много-периоди-
много-периодической системы можно свести к задаче нахождения канонических пере-
переменных J и w, которые — аналогично своим классическим прототипам -
удовлетворяют условиям
Ur.Jsl " iwr,ws) =0, [wr.Js] =б„,
где квантовомеханические скобки Пуассона [х, у] определяются следую-
следующим образом:
ху — ух = ih[x, у],
Причем гамильтониан Н зависит только от J, а первоначальные координа-
координаты р и Q, описывающие систему, являются много-периодическими функ-
функциями w с периодом 2тг. Для водородного атома Дирек смог вычислить J и
Получить48) формулу Бальмера, но не интенсивности линий. Впоследствии
|еитцель 49) предложил способ вычисления J, основанный на зоммерфепь-
довском методе комплексного интегрирования в приложении к матричным
•перациям, и успешно использовал его в случаях гармонического осцилля-
осциллятора и водородного атома.
Введению канонических переменных действие — угол в квантовую
механику способствовал и Йордан50), давший строгое доказательство
4') Строго говоря, зачатки этой теории можно распознать уже а статье Борна —
Гей*анберга — Йордана [5.47], написанной а ноябре 1925 г.
*') См. E.119].
4') Дирак обозначил через Л "обычную постоянную Планка, резделенную на 2л"
ItiM же, с. 561), а позже для этой величины было принято обозначение h . Во избежа-
т* путаницы мы будем пользоваться для дирековского "h " этим более поздним обо-
•печением.
4Ч См. с. 231.
4 * j Wentzel G. Die mehrfach periodische Sysleme in der Quentenmechanik. — Zeitsch-
rill fur Physik, 1926. Bd 37, S. 80—94; получено 27 марта 1926 г.
10) Jordan P. Uber kenonische Transformationen in der Quantenmechanik. — Zeitschrift
•Or Physik, 1926, Bd 37, S. 383-386 (получено 27 апреля 1926 г.); 1926, Bd 38, S. 513-
• 17 (получено 6 июля 1926 г.).
287
теоремы, использованной полугодом ранее в "статье трех1), а именно
что любое каноническое преобразование (при котором перестановочны'
соотношения инвариантны) может быть записано в виде
P=SpS'1. Q'SqS'1. F.2.4'
Йордан также доказал, что в квантовой механике, как и в классической
каждое точечное преобразование является каноническим преобразованием
Тем не менее практическое значение преобразования F.23) оказалось п<
велико, в основном потому, что вычисление обратных матриц S'1 бып<
трудной задачей. Только в случае бесконечно малых канонических npeo6p.i
эований, когда
S= 1 +XS, + X2S: +. .. F.2-1-
и, следовательно,
S =1 -XS, +X2(S? -S^) + ..., F.2b
этими преобразованиями можно было воспользоваться в матричной теории
возмущений для решения задачи приведения к главным осям. Таким обр.>
эом, матричная механика могпа быть использована в сложных возм,
щенных задачах, если было известно решение невозмущенной задачи
но не могпа, вообще говоря, применяться при решении задач, которки
нельзя было представить приближениями к уже решенным случаям.
Серьезным препятствием для введения переменных действие — угол ¦¦
матричную механику было то обстоятельство, что квантовые условии
pq - qp = h// F.2ti
нельзя было удовлетворить при постоянном р. т.е. для диагональной матрн
цы р. В мае 1926 г. Лондон52) попытался обойти эту трудность, записям
вместо F.26) более общее соотношение
pE(inq) - E(inq)p « nhE(inq), F.27)
где E{q) есть матричная функция
E(q) - 2 q*/s\.
s=o
Для постоянного Р = {Jkk ) Лондон нашел из F.27), что
F.28,
или, так как для отдельных Jkk для каждого индекса к существует тольк
один индекс / с Ек1 ФО,
Jkk-Jk-i.k-i"h, F.29
так что в согласии со старой квантовой теорией
Jkk - kh + const. F.30i
С другой стороны, устремив л к 0, он показал, что F.27) в этом случ^
сводится к F.26). Развивая этот подход, Лондон ввел метод Гамильтона
Якоби, использующий переменные действие - угол, в матричную механик,
41 ) См. 15.471.
5J) London F. Uber die Jacobischen Transformationen der Quentenmechenik.
Zeiischrifi fur Physik. 1926. Bd 37. S. 915-925; получено 22 мая 1926 г.
388
и заключил, что главной задачей матричной механики является опреде-
определение генератора преобразования S.
Тем временем появилось данное Шрёдингером доказательство формаль-
формальной эквивалентности матричной и волновой механик, и интерес физиков
сосредоточился на волновомеханическом подходе, так как более развитый
аналитический аппарат волновой механики позволял надеяться и на успеш-
успешное решение рассматриваемых проблем.
Фактически сам Лондон53) осенью 1926г. первым перенес матричноме-
иеиическую теорию преобразований (далекую еще от завершения) на кон-
концептуальную почву волновой механики Шрёдингера, которая до тех пор
работала только с представлениями в конфигурационном пространстве.
I противоположность Шрёдингеру, который для решения уравнения
на собственные значения
** F31)
И* 7 ?)'*
использовал только точечные преобразования Q mf (g), Лондон по аналогии
о матричномеханическим употреблением канонических преобразований
рассмотрел матрицу S = S(q, Р), порождающую преобразование
dS[q, (h//) (Э/ЭО)] h Э dS[q, (h//) (Э/ЭО)]
О , = . F.32)
ЪР i bq bq
Это преобразование, согласно Йордану54), с помощью матрицы Т =
• Т(О, Э/ЭО) можно записать в виде
9=7"'ОГ,
Э Э F-33)
— -Г — Г.
bq ЭО
Лондон далее -«оказал, что собственные значения уравнения F.31) инвари-
инвариантны при преобразованиях F.33). Действительно, пусть
— ),Ф(О)] =Ёф'(О) = ёф F.34)
1А*сь 5 5
уравнение на собственные значения для преобразованной функции ф;
5 5)
/У=Г-'«Г. F.35)
Умножив обе части уравнения F.34) на Г, Лондон получил
[НТ. ф\ =?[Г, ^], F.36)
что, как он молчаливо принял56), эквивалентно
\Н. П\ 'ё[Т.ф]. F.37)
'') London F. Winkelvariable und kanonische Transformationen in der Undulaiionsme-
*h#n»k. - Zeitschrift fur Physik, 1926, Bd 40, S. 193-210; получено 19 сентября 1926 г.
14) См. |60).
"I См. уравнение E.33).
") В примечании к статье 153), на с. 107, Лондон признает, что его доказательству
ам tm недостает строгости.
!• м. Джеммер 289
Но F.37) тождественно совпадает с F.31), так как
ф-1Т.ф]. F.38)
и инвариантность собственных значений доказана.
Разложив ортонормированную собственную функцию
фк(О)= 1Т.фкЮ)] F.39)
по ортонормированным собственным функциям $кЮ):
фк«П.-2Т№ф,{а). F.40)
Лондон получил обычным методом, что
ftftkdQ = 6ik=2T;,T,k F.41)
или57)
fT=1. F.42)
Показав тем самым, что Г удовлетворяет "зрмитовскому условию ортого
нальности" (т.а., пользуясь современной терминологией, что Г —унитарная
матрице), Лондон интерпретировал F.40) как вращение координатной
системы, образованной ортогональными собственными функциями, в
бесконечномерном гильбертовом пространстве. Он также показал, что
матричные элементы Fkl, подобные элементам матрицы электрического
дипольного момента, остаются инвариантными при таких вращениях
Действительно, если
F.43)
то имеем
Fk, = Z/(rM ф,)' TFT'1 (Tfrf,) dQ - (Г TFT'1 T)k, - Fkl. F.44)
Итак, заключил Лондон, при вращениях в гильбертовом простренстве
интенсивности являются ротационными инвариантами, тогда как собст
венные значения энергии являются аффинными инвариантами.
Только закончив статью, Лондон полностью осознал тесную связь между
своими новыми концепциями и теорией линейных операторов в функцио
ньльных пространствах, или, как ее называли в то врамя, "теорией дистри
бутивных функциональных операций". В примечании, добавленном при
корректуре, Лондон сослался на статьи Каццаниги*8), Пинчерле59) и
обзор60) последнего в EncyklopSdieder methematischen Wissenschaften
как источники сведений об абстрактной математической теории, лежащей
в основе его интерпретации. Добавляя это примечание к с. 199 своей статьи,
Лондон вряд ли осознавал его историческую важность: это быле первая
ссылка на будущий язык теоретической физики. Действительно, кек диф
ференциальное и интегральное исчисление было языком классической ди
намики, а тензорное исчисление — языком теории относительности, так
способом выражения для современной квантовой механики оказалась
теория линейных пространств, и особенно гильбертовых пространств.
57) Тильда ~ обозначает, конечно, транспонированные матрицы.
") Cazzeniga Т. Intorno ai reciproci dei determinanti normali. - Atti delta Reale Accade
mia delle Scienze di Torino, 1898-1899, v. 34, p. 495-514.
"I Pincherle S. MeW>ire sur le calcul fonctionnel distributif. - Mathematische Annalen
1897, Bd49, S. 325-382.
40» Cm. [5.101].
290
Или, выражаясь более общим образом, функциональный анализ. В силу
•того, вероятно, стоит вкратце остановиться на развитии функционального
анализа до появления статьи Лондона-
Самое раннее изложение всеобъемлющей теории линейных пространств
выло дано, вероятно, Грасманом, чей труд, Ausdehnungslehre61), впервые
Появился в 1В44 г. и в переработанном и расширенном виде вышел в
1В62 г.62). Предприняв честолюбивую попытку сформулировать теорию
абстрактных линейных л-мерных пространств, Грассман ввел, определил
и правильно использовал такие фундаментальные понятия, как линейная
независимость, базисы, внутреннее произведение, ортогональность, нор
мировка, некоторые формы тензорных величин и линейных операторов
важность новых понятий, как для геометрии, так и для алгебры, оставалао
неосознанной до тех лор, пока Шлегель63) не привлек внимания матеьпти
Иов к этим идеям. Пеано первым предложил распространить подход Г расе
мена на пространства с бесконечно большим числом измерений; с его
утверждения "линейная система может иметь даже бесконечную размер-
размерность" м) началась теория линейных бесконечномерных пространств.
Основы функционального анализа заложили такие математики, как Пин-
Пинчерле, Каццанига, Кало, Кервалло, Амальди и Вольтерра, объединив алгеб-
реизацию геометрических понятий с операторным исчислением, развитым
• начале второй половины прошлого века преимущественно британскими
Математиками65). Вскоре было замечено, что некоторые семейства функ-
функций обнаруживают по отношению к их алгебраическим и метрическим
et рук турам свойства того же характера, как свойства векторов в конеч-
конечномерных евклидовых пространствах аналитической геометрии или свойст-
¦а недавних обобщений этого понятия на бесконечно большое число изме-
измерений. Именно в этой связи Пинчерле и Каццанига в статьях, на которые
аоылался Лондон, определили функциональные пространства как наборы
«Пленных рядов; так, Пинчерле говорил: "Каждый степенной ряд является
Моментом или точкой такого пространства, а набор коэффициентов ряда
Можно рассматривать как набор ее координат" 66). Вольтерра, видимо,
Первым применил геометрию бесконечномерных пространств к задачам
классического анелиза. За ним последовал Мур, которому удалось пред-
•осхитить ряд важных черт современного функционального анализа в
Моем "общем анализе" 67). Часто встречающиеся аналогии между резуль-
результатами, получаемыми в таких, казалось бы, совершенно несхожих отраслях
Математики, как вариационное исчисление, теория дифференциальных и
интегральных уравнений, колебания в сплошных средах и т.д., говорили
¦ возможности концептуальной унификации; Мур так выразил эту мысль:
"Существование аналогий между главными характеристиками различных
теорий означает, что существует общая теория, которая лежит в основе част-
частных теорий и объединяет их этими главными характеристиками"'8).
"» См. [5.19].
") Leipzig: Wigand, 1844; Berlin: Enslin, 1862.
'' )Schlegel V. System der Raumlehre. - Leipzig: Teubner, 1869.
") Рвало G. Calcolo Geometrico secundo I'Ansdehnungslehre di H. Grassmann. - Turin:
fnect, 1888, p. 143.
") См. с 221-223.
") См. 159],с. 331.
") Moore E.H. On a form of general analysis, with applications to linear differential and
IniMjitl equations. — Atti di IV. Congresso Internationale Maternatico, Rome, 1909, v. 2,
И И-114; Introduction to a Form of General Analysis. — New Haven, Conn . 1910.
") Moore E.H. On the Foundations of I he theory of linear integral equations. — Bulletin
el iht American Mathematical Society, 1911-1912, v. 1B, p. 334—362 (цитата на с. 339).
|Г 291
Этот "общий эвристический принцип научного метода", как однажды
выразился Мур"), первоначально предназначался на роль руководящего
принципа исследований в области чистой математики, но он оказался
справадливым и для различных формальных аппаратов квантовой физики.
Точно так же, как функциональный анализ и теория операторов в линейных
пространствах не только быпи созданы на основе различных методов в
математика, но и повели к адиной точке зрения на них, и функционально-
аналитический формализм квантовой механики привел, как мы увидим,
к логическому объединению всех квантовотеоратических подходов.
С созданием в работах Мориса Фраше и Феликса Хаусдорфа современной
теории точечных топологических пространств, позволившей применять
топологические понятия к алгебре и анализу, и с развитием теории интег-
интегральных уравнений, где большую роль сыграли труды Эрика Ивара Фред-
гольма, Давида Гильберта, Эрхарда Шмидта, Фредерика Рисса. функцио-
функциональный анализ стал одним из самых важных разделов современной мате
матики и, как мы убедимся позже, математическим фундаментом кванто-
квантовой механики.
Возвращаясь теперь к статье Лондона, отметим, что она начиналась с
применения канонических преобразований в задачах волновой механики
на дискретные собственные значения и кончалась дискретными матрицами
преобразования. Через несколько недель появилась статья Дирака'70),
начинавшаяся с применения канонических преобразований к непрерывным
или дискретным матрицам в дирековской матричной механике и кончав-
кончавшаяся задачами волновой механики на непрерывные или дискретные
значения. Таким образом, статья Дирака дополняла статью Лондона в двух
отношениях: она показала, так сказать, обратимость обсуждаемого кон
цептуального подхода и обобщила его на непрерывные преобразования.
Вспоминая об этой решающей фазе своей работы, Дирак (в предисловии
к первому изданию книги "Принципы квантовой механики" п), сыграв
шей очень важную роль, он писал: "Возрастающее применение теории
преобразований... представляет сущность нового метода в теоретической
физике") говорил: "Большая часть моей реботы состояла просто в том,
чтобы повозиться с уравнениями и посмотреть, что они дают" п). Уточняя,
он добавил: "После того как другие установили эквивалентность между
матричной и волновой теориями, я просто изучил их работу, вник в нее и
попытался усовершенствовать ее таким путем, каким я шал несколько
раз до этого. Я думаю, что из этого и выросла теория преобразований" та).
Когда Дирак знакомился с предшествующими статьями по этому вопросу,
особенное впечатление на него1*) произвела статья Ланцоша7*) 1926 г.,
в которой, как мы видали, матричная механика была переформулирована
в непрерывную теорию на языке интегральных уравнений. Хотя Дирак
**) Там же, с. 339.
"°| Direc P.A.M. The physical interpretation of the quantum dynamics. — Proceedings of
the Royal Society of London (A), 1926, v. 113, p. 621-641. получено 2 декабря 1926 г
711 Dirte P.A.U. Principles of Quantum Mechanics. - 1 ed., 1930; 2 ed., 1935; 3 ed.,
1947; 4 ed., 1958. — Oxford: Clarendon Press. Есть переводы на немецкий и французский
языки.
"' *) Дирак П. Принципы квантовой механики- - 2 изд. — М.: Наука, 1979, с. 9.
71) Archive for the History of Quantum Physics. Интервью с П.А.М. Дираком от 7 мая
1963 г.
73) Там же, интервью с П.А.М. Дираком от 10 мая 1963 г.
74) Там же, интервью с П.А.М. Дираком от 14 мая 1963 г.
") См. [5.308J.
292
• характерной для него скромностью и говорил %), что его теорию следует
рассматривать просто как обобщение труда Ланцоша, он, несомненно,
Поставил теорию на новую, независимую логическую основу, смело введя
•дно из наиболее полезных математических понятий в квантовой теории:
•Шменитую 6-функцию ипи "функцию Дирака" как ее стали потом на-
ЫМТЬ.
Этому способствовало все: давний интерес к алгебраическим опера-
операторам77), изучение операторного исчисления Хевисайда в электромагнит-
электромагнитной теории, образование инженера-электротехника, знакомство с основами
•©•ременной теории электрических импульсов. Действительно, Дирак
Мк-то сказал: "Все электротехники знакомы с понятием импульса, а
•¦функция просто способ выразить это понятие математически" та).
Впрочем, было бы неверно думать, что и самое первое появление 6-функ-
ции было связано с электрическими импульсами. Впервые б-функцию,
обозначенную им через F (f), определил Густав Кирхгоф79) в 1882 г., в
Мши с применением теоремы Грина при изучении принципа Гюйгенса:
"Что касается функции F, то мы примем, что она обращается в нупь при
Мах конечных положительных и отрицательных значениях ее аргумента,
N0 при бесконечно малых значениях аргумента положительна и притом
Таким образом, что
ГДе интегрирование ведется от конечного отрицательного до конечного
Положительного предела". Кирхгоф пояснил свое предположение приме-
примером, указав, что функция
Приближенно описывает F при очень больших ц, и подчеркнул, 4To"F(f)
¦месте со своими производными для всех значений f, включая нупь, явля-
•тм конечной и непрерывной функцией своего аргумента".
Более чем через 10 лет после этого Хевисайд80) ввел б-функцию или ее
МВивалент в электромагнитную теорию; до ее использования в квантовой
ММанике б-функцию применял также Пауль Гертц81) в статистической
Щканике, в связи со своей статистической концепцией температуры. Дирак
Явно понимал, что б-функция является просто удобным математическим
Приамом и, в противоположность Кирхгофу, утверждал: "Строго говоря,
|(х), конечно, не является обычной (proper) функцией х, а может рассмат-
Гаться только как предел некоторой последовательности функций. Тем
менее практически для всех целей квантовой механики возможно ис-
Цвпьзовать б (х) так, как будто это обычная функция, без риска получать
Яри этом неверные результаты. Можно также использовать дифференциаль-
Мью коэффициенты б(х), а именно, б'(х),б"(х), .... которые еще более
рнрывны и менее "обычны", чем само б (х) " ).
") См. [74].
") См. [5.971.
"» См. [74].
™) Kirchhoff G. Zur Theorie der Lichtwvellen. — Berliner Berichie, 1882, S. 641-669
(цитата не с. 664); In: Vorlesungen iiber mathematltche Opiik. - Leipzig: Teubner, 1891,
(Й2, S. 24-25.
I Hemtsid» O. On operators in physical mathematics. — Proceedings of the Royal Society
ef Longon (A), 1893, v. 52, p. 504-529; 1893, v. 54, p. 105-143.
•') Hera AStatirtitche Mechanik. - In: Weber R.H., Gem Я Repertorium der Physik. -
Utpitg. Berlin: Teubnerr 1916. Bdi, Teil 2, S. 503.
11) Cm. [70], с 625.
293
Итак, определив б (х) условиями
5(х) =0 при хФО. /dx6(x)=1
и показав, что
7 fix) 5(n) (а - х) dx = f(n) [a), F.45)
— ое
Дирак выразил через 6-функцию элементы непрерывной единичной матри-
матрицы 1 (а'а"), характеризуемые непрерывными параметрами или индексами
а и а ,
1 (а'а") = 5 (а'-а")
и элементы общей непрерывной диагональной матрицы
f{a'a") = f[a') 5 (а -а"). F.46)
Рассмотрев теперь каноническое преобразование от динамической пере
менной д к переменной G
F.47)
Дирак следующим образом выразил F.47) через непрерывные матрицы
$7в') da'gla'a") da" [alt"). F.48)
В F.48) непрерывные пареметры с одним или несколькими штрихами
ic-числа) нумеруют строки и столбцы матричных элементов, через
(i-'/а') и (<*"/?") обозначены соответственно "функции преобразования"
Ь(%'ос) и b'1 (a"i-"), a символы без штрихов (конечно, за исключением
буквы d) обозначают динамические переменные (qr-числа). Для эквива
лентнь1х соотношений
Gb=bg, F.49)
b'lG=gb'1 F.50)
Дирак записал
/$(*Ч"> rf$"($'7a) = /(?'/<*"> da"gia"a')=gi!;'a'), F.51)
/(a'/Г) dt"g^"!;') = fgia'a") da"(a"/$') =g[a^). F.52)
Здесь выражения g (J-V) и д (a'i-') "можно рассматривать как элементы
двух матриц, которые представляют динамическую переменную д согласно
двум новым более общим схемам, в которых строки и столбцы матриць
обозначают различные вещи (things)"; матричные элементы 6 и д запи
сываются соответственно как д ((•'(•") ир (a'a"), поскольку 6 представляв
ту же функцию от преобразованных переменных, что и д — от непреобра
зованных83).
Дирак знал, что в матричной схеме, в которой возможные значении
(с-числа) динамической переменной ? служат для нумерации строк и столб
цов, матричное представление ? диагонально, т.е.
?(^") = ?'5({'-Г). F.53)
Далее Дирак задался вопросом о виде (в той же самой матричной схеме)
матрицы, которая представляет динамическую переменную % канонически
") См. уравнение E.33).
294
•Впряженную с ?, т.е. при выполнении соотношения
ti}-i]g-/h. F.54)
Ом нашеп, что
!»($'$")--/h5'($'-Г). <6-55)
И с помощью интегрирования по частям показал, что действительно имеет
IMCTO соотношение
«i?-i?tMtV)-'"b5 ({'-$"). F.56)
NocMOTpee преобразование между двумя матричными схемами, Дирак
• помощью F.51) получил для ? и т?
<*? <5"/«'). F-57)
'fVt" (t'/а). F.58)
|оспользовавшись F.53), он нашел, что
{<*'<*') = ?'<?'/<*'). F-59)
I воспользовавшись F.56) и после интегрирования по частям, что
?' - Г) rff (*" id) =
F.60,
И»ак, Дирак вполне общим образом показал, что для любой функции ка-
ИОиически сопряженных динамических переменных ? и т? имеем
П1 ц) (? а ) = rf{ , -/ft — ) (? Id). F.61)
Формула F.61), указал Дирак, позволяет найти матричную схему (а),
| которой данная функция f {?, т\) становится диагональной матрицей,
VIK что в согласии с F.46) имеем
f{dd') = f{d) b{d -d').
Hi F.61) и F.51) получаем
tU'.-ih —;)({'/«')= fit. i?)(fe') =
- / (?'/а") dd'fid'd) = f(d) igld), F.62)
HI о представляет собой обычное дифференциальное уравнение для функции
(('/<*'), рассматриваемой как функция от ?', характеризующаяся парамет-
параметром а'. В частности, если ? и ц отождествить соответственно с координа-
1#ми положения и импупьса q и р, a f (?, tj) - с гамильтонианом Н системы
И «писать84) (?'/а') =ф? {q), f{d) =E, уравнение F.62) принимает вид
Э
H <6-63>
что ¦ точности совпадает с волновым уравнением Шредингера, не завися-
" I Зто обозначение, отсутствующее в оригинальной статье Дирака, введено здесь
""* большей ясности.
295
щим от времени. Таким образом, Дирак смог заявить: "Собственные функ
ции волнового уравнения Шрёдингера являются просто функциями преоб
раэования (или элементами матрицы преобразования, ранее обозначавшей-
обозначавшейся через Ь), которые позволяют от (q) -схемы матричного представления
перейти к схеме, в которой гамильтониан является диагональной матри
цей" *5). В приведенном доказательстве для ясности рассматривался на и
простейший случай, но, как указал Дирек, нетрудно дать обобщение на
случай многих степеней свободы и на спектр собственных значений, в кото
ром содержатся и непрерывные и дискретные наборы значений.
Увидев, что функция преобразования (?'/<*') является обобщением шрё
дингеровской волновой функции ф, точно так же, как дифференциальное
уравнение F.62) является обобщением шрё'дингеровского волнового урав
нения F.63), Дирак распространил борновскую статистическую интерпре
тацию функции фна более общую функцию (?/<*'). Напомним, что в бор
новском волновомеханическом рассмотрении возмущений, зависящих от
времени, волновая функция ty[q, t) возмущенной системы разлагается по
невозмущенным собственным функциям ф„ [q):
* to. f) » Z с (f) iMg). F.64)
и
¦ \cn{t) |2 имеет смысл вероятности того, что к моменту времени f про
изошел переход в состояние, характеризуемое индексом п. Для непрерыв
ных значений энергии вместо F.64) надо записать
ф iq. t) = fc [Е. t) dE $E[q\. F.65)
где \c{E. t) I3 интерпретируется как вероятность перехода в состояние,
энергия которого лежит между Е и Е + dE. Далее Дирак выразил через мат
рицы преобразования формализм теории возмущений и борновское рас
смотрение рассеяния электронов на атомах и нашел, что схема становится
полностью самосогласованной, если принять "коэффициенты, позволяющие
перейти от одного набора матриц к другому, в точности равными коэффи
циентам, определяющим вероятности переходов" "*).
Такая статистическая интерпретация приписывала физический смысл
каждому преобразованию от одной матричной схемы к другой, а не только
преобразованию от (р)-схемы, в которой диагональны координатные
матрицы, к (f)-схеме, в которой диагональны гамильтониан или матрица
энергии. Установленная Дираком связь между коэффициентами преобра
зования и вероятностями была найдена примерно тогда же Гейзенбер
гом) на основе соображений относительно флуктуации энергии, хотя и
отмечена только для дискретного случая. По-видимому, и Паули в это же
время независимо увидел возможность обобщения борновской интерлрета
ции. В его статье88) о статистике Ферми89) содержится важное примечание
в котором борновская интерпретация функции Шрёдингера формулируется
следующим образом: если система из /V частиц находится в состоянии,
характеризуемом функцией ф, вероятность обнаружить значения коорди
М1 См. [701. с. 635.
** ) Тем же. с. 641.
"\Haisanb*rg W. Schwankungsercheinungen und Quantenmechanik. - Zeuschnft fii
Physik. 1926, Bd40, S. 501-506. попучвно 6 ноября 1926 г.
**)РаиН W. Uber Gaientartungund Paramagnetiimui. - Zeiischrift fUr Phyiik, 1927. Bd.41
S. 81-102; получено 16 декабря 1926 г. Примечание, о котором идет речь, находится
на с. 83. См. также Collected Рарап [3.154), v. 2, р. 284-305.
") См. [7.91.7.91*].
296
И»' 9i, 92' •••. 9/ в элементе объема dp, dg2 ... dfy конфигурационного про-
Иранства равна \ty[qt, qi. .... qf) \2dq,dq2 ...dqf. Гейзенбергу Паули на-
ЛИсал90) : "На борновскую интерпретацию можно смотреть как на частный
1/1 у чай более общей интерпретации; так, например, \ф[р) I2 dp можно по-
йимать как вероятность того, что частица имеет импульс от р до p + dp".
Вообще, утверждал Паули, для любых двух квантовомеханических вели-
величин q и 0 всегда существует функция ¦ф [q, 0), которую он назвал "амп-
Китудой вероятности" ("Wehrscheinlichkeitsamplitude") , такая, что
I/ (9о' 0о)\2 dq представляет вероятность иметь значение q в интервале от
to До qu +dq, если 0 имеет фиксированное значение 0О.
Замечания Пеули составили основу, на которой в конце 1926 г. Йор-
Дам91) построил, независимо от Лондона и Дирека, свою формулировку
?мрии преобразований. Эта формулировка, в конечном счете, как позже
убедился Йордан, полностью согласовавшаяся с этими предшествовавшими
формулировкеми, исходиле из совершенно иных предпосылок. В ней был
Принят аксиоматический подход; за основу были взяты амплитуды вероят-
вероятности Паули, относительно которых было постулировано, что они удовлет-
удовлетворяют трем главным условиям: A) ^ [q. 0) не зевисит от механической
Природы (гемильтоновой функции) системы, е зевисит только от кине-
кинематических соотношений между q и 0; B) вероятность (плотность вероят-
вероятности) того, что при фиксированном значении0, равном0<>. квантоеомехани-
Чикая величине q имеет значение q0, равна (плотности) вероятности того,
ЧТО при фиксированном q. равном q0. (l имеет значение 0о; C) вероятности
комбинируются с помощью суперпозиции, т.е. если </? Iх- У) есть амплитуда
вероятности иметь q=x при фиксированном значении $=у, а х (*. к)
•еть амплитуда вероятности иметь Q = ж при фиксированном значении q = у,
?0 амплитуда вероятности иметь Q =х при фиксированном значении 0 -у
ДМтся выражением
, у) dz.
I частном случее Q=0 функция Йордана Ф(х, у) совпедает с функцией
Дирака 6 (х - /).
Согласно Йордену, р будет импульсом, канонически сопряженным
Координате q, если емплитуда вероятности. р(х, у) для всех возможных
{Иачаний р = х при фиксированном q = у имеет вид
plx, /) = exp(x///h). F.66)
Поэтому, заключил Йордан, для данного фиксировенного значения q
|О1 юзможные значения р одинеково вероятны92). Как укезел Йордан,
0i*. У) удовлетворяет дифференциальным уравнениям
7 ^7}р(Х/к) = 0/ |667)
{х'У)'°- F.68)
Пусть <i(x, у), продолжал он, есть амплитуда вероятности того, что Q имеет
"> См. [5.8], с. 44; [5.8*], с. 57.
" ) Jordan P. Uber neue BegrOndung der Quantenmechanik. — Zeitschrift fur Phyiik,
11O, Bd40, S. 809-838; получено 18 декабря 1928 г.
"I Тем же, с. 814.
297
значение х при q = у, а Ф(х, у) — амплитуда вероятности того, что Q имеет
значение х при р = у; тогда
ф. У) = /Ф<*. г) р{г, у)dz. F.69)
Введя линейный оператор ;
Г=/(УхФ(/,х)..., F.70)
Йордан смог записать уравнение F.69) в виде
(х, у) = Tpix. у). F.71)
Как можно видеть, полученные Йорданом уравнения F.67) и F.68)
по существу совпадают с уравнением Шрёдингера дпя свободной частицы,
причем р{х, у) есть (сопряженная) волновая функция Шрёдингера для
частицы с постоянным импульсом. Умело применяя операторные методы,
основанные на введении эрмитовых сопряженных операторов и тому
подобных понятий, впоследствии приобретших большую важность для
современной формулировки квантовой механики, Йордан показал, что
его формальная теория содержит не только волновую механику Шрёдин-
Шрёдингера и матричную механику Гейзенберга, но также операторное исчисле-
исчисление Борна — Винера и ^-числовой алгоритм Дирака в качестве частных
случаев.
С точки зрения методологии теория преобразований Йордана была важным
достижением: она охватила все предшествующие квантовомеханические
формулировки в едином формализме. Такое объединение удовлетворя-
удовлетворяло глубоко заложенную и непреходящую потребность человеческого ра-
разума. Эта потребность в концептуальном синтезе, лежащая в основе выска-
высказанного Муром93) "общего эвристического принципа научного метода",
много старше современной физики или математики. Всегда, когда фор-
формально различающиеся гипотезы объясняли те же самые явления, наука
искала путей объединения гипотез. Так, Теон из Смирны94) говорил
о древних астрономах: "Гиппарх считал, что математикам стоит изучить,
почему из двух гипотез, столь отличающихся друг от друга, как гипотеза
эксцентрических кругов и гипотеза концентрических кругов с эпицикла-
эпициклами, следуют, по-видимому, одинаковые результаты". Аналогичный вопрос
в физике атома, почему из четырех столь различных гипотез, как гипотеза
Гейзенберга, Борна - Винера, Шрёдингера и Дирака, "следуют, по-видимо
му, одинаковые результаты", нашел ответ в теории преобразований Йор
дана.
Единственной неудовлетворительной стороной труда Йордана была
усложненность математического изложения, что позволяло лишь немногим
знатокам в полной мере оценить работу. Более широкое распространение
идеи Йордана получили после очень ясно написанного обзора Кеннарда95),
пользовавшегося в основном подходом Йордана. Но вполне удовлет
верительное и математически прозрачное изложение теории преобразо
ваний и ее объединяющего характера оказалось возможным дать
только после того, как языком квантовой механики стал функцио
нальный анализ.
">См. [67].
") ТЬвоп of Smyrna. Expositio RerumMathematicarumad Legendum Platonem Uti
lium/ed. E. Hill. - Leipzig: Teubner, 1878, p. 166.
"> Kennard E.H. Zur Quantenmechanik einfacher Bewagungitypen. — ZeitKhrift fin
Phyiik, 1927, Bd44, S. 326-352, получено 17 июля 1927 г.
298
6.3. Теория преобразований в гильбертовом пространстве
Теория преобразований, как в непрерывно-матричной формулировке
Дирака, так и в полуаксиоматической формулировке Йордана, с ее опорой
м понятие амплитуды вероятности, послужила первым указанием на воз-
возможность обойтись без принципа соответствия при построении концеп-
концептуальной схемы квантовой механики. Действительно, постепенно стало
¦ыясняться, что вместо этого принципа в фундамент теории можно зало-
заложить статистические соображения о процессе измерений.
Чтобы глубже оценить этот важный этап развития квантовой механики,
имеет смысл взглянуть, как выглядят основные достижения теории преоб-
преобразований на фоне предшествующих формулировок квантовой механики.
Там доминирующую роль играло понятие энергии. Шрёдингеровская задача
0 собственных значениях была задачей о собственных значениях энергии.
1 гейзенберговской матричной механике решениями задачи были только
te q и р, для которых матрица была диагональна. В матрицах, описываю-
описывающих решение, недиагонапьныа элементы ассоциировались с квантовыми
переходами, а диагональные элементы — со средними по времени (от ве-
величины, которая представлялась матрицей) в том или ином стационарном
оостоянии и играли роль, аналогичную не зависящим от времени членам
• соответствующем разложении в ряд Фурье. В качестве наблюдаемых
величин принимались, главным образом, значения энергии и квадратов
Недиагональных элементов в матрицах, связанных с испусканием, поглоще-
поглощением или дисперсией света (как, например, матрица электрического ди-
ПОльиого момента).
Такой выбор величин, которые следовало считать наблюдаемыми, был,
Конечно, обусловлен исторически, поскольку теория развивалась как иссле-
исследование периодических движений. Действительно, рассмотрение свобод-
свободного электрона, например, выходило за рамки концептуального аппарата
•ТОЙ формулировки квантовой механики. Понятию положения не было
Места в исчислении матричных элементов, являвшихся "замаскированны-
"замаскированными" фурье-коэффициентами.
Теория преобразований ввела необходимое с точки зрения экспери-
эксперимента обобщение, постулировав, что в общем случае любая эрмитова
Матрица А представляет наблюдаемую величину а наравне с энергией и что
собственные значения А являются возможными результатами измерения
Наблюдаемой а. Дираковские непрерывные матрицы и борновская вероят-
вероятностная интерпретация волновой функции Шрёдингера восстановили "в пра-
МК" понятие положения. Если ранее энергетические состояния атомной
•истемы составляли, так сказать, эталонную систему для теоретических
Предсказаний, то теперь был принят более общий подход. Ограничиваясь
Дискретным невырожденным случаем, можно следующим образом сфор-
Мулировать основную задачу теории преобразований, в том виде, как ее
досмотрели Дирак и Йордан: если измерение величины а дало результат
§т, то чему равна вероятность и/т* того, что последующее измерение
другой величины b даст результат 6*? На этот вопрос давался такой
•Tier.
Пусть матрица Л(|) ¦ {ат„) = {Ьт„а„ ) представляет величину а в
#-схеме, т.е. в координатной системе 1(|), где она диагональна; диагональ-
диагональные элементы атт*ат являются возможными результатами измерения а.
Пусть, далее, 5<2> »{ brs)={b,sbs ) представляет величину b в 6-схеме, или
: координатной системе!B), в которой она диагональна, так что диагональ-
;э=§ элементы brr - br являются возможными результатами измерения Ь.
299
Наконец, пусть U — унитарная матрица, преобразующая Z*" в ?*2>, так что
АB) = u-iA(Пи=[2 u;,lkakUkn); B(l)
Тогда ответ на поставленный выше вопрос гласит:
\ F-72)
Этот ответ производил впечатление правдоподобного. Прежде всего, по-
поскольку U - унитарная матрица, имеем
Xwmk =X\Umk\2 = 1. F.73)
А к
а именно такому условию и должны были удовлетворять подобные вероят-
вероятности. Далее, если рассмотреть частный случай, где под а подразумевается
энергия, то
(в(| >)„,, = 2 6, 1<Л,,|2-
Иными словами, диагональный член 5A) в энергетической схеме, который
соответствует не зависящему от времени члену в разложении b в ряд Фурье
и потому имеет смысл среднего по времени значения b в п-м энергетичес
ком или стационарном состоянии, оказывается равным статистическому
среднему или ожидаемому значению.
В дальнейшем, обсуждая последующие этапы развития теории преобра-
преобразования, мы будем, насколько это возможно, ограничиваться вопросами
формализма, а вопросы интерпретации и эпистемологических следствий
рассмотрим позже. Вероятно, удалось бы достичь большей последователь-
последовательности, если бы рассмотрение вероятностной интерпретации Борна было так
же отложено до этого момента. Но такое решение сделало бы изложение
менее понятным, ибо на предположении Борна основывается все развитие
теории преобразований. С другой стороны, по-видимому, возможно отло-
отложить рассмотрение принципов неопределенности, дополнительности и т.п.,
не нарушая серьезно логическую связность нашего изложения, хотя указан-
указанные вопросы хронологически были поставлены раньше, чем появились
многие из проблем, подлежаших теперь обсуждению.
Для развития теории было очень ценно то, что на призыв Гейзенберга96)
к чистым математикам откликнулся, в самый нужный момент, сам Гиль
берт в Геттингвне. Поскольку советов Г'пьберта по различным математи
ческим аспектам теории искали с самого момента создания квантовой
механики, она не была для него terra incognita. Осенью 1926 г. Гильберт
начал систематически изучать ее математические основы. В этой работе ему
помогли Лотар Вольфганг Нордгейм, бывший ученик Борна, и 23-летний
Джон (Янош) фон Нейман, только что приехавший в Гёттинген со с те
пенью доктора' философии, полученной в Будапештском университете,
и дипломом инженера-химика, полученным в Цюрихе. В зимнем семестре
1926/1927 гг. Гильберт читал также лекции B часа каждые понедельник
и четверг) по математическим методам квантовой теории, которые в сок
ращении 97) увидели свет весной 1927 г.
.") См. [6.81].
*') ННЬеП О.; von Neumann J., Nordheim L. Uber die Grundlagen der Quantenmechanik .-
Matematische Annalen, 1927, 8d 98, S. 1-30 (получено 4 апреля 1927г.); In: von Ne
umann J. Collected Worki. - N.Y., Oxford, L., P.: Pergamon Press, 1961, v. 1, p. 104-133
300
Подход Гильберта был, конечно, подходом чистого математика. Стре-
Ммсь к логической строгости, он уточнил полуаксиоматическую теорию
Иордана, исходя при этом, как и Йордан, из понятия амплитуд вероят-
вероятности. Прежде всего он изучил физические требования, которым должны
1ыли удовлетворять эти амплитуды, чтобы их использование вело к ре-
•ультатам, согласующимся с опытом, а затем приступил к поискам анали-
аналитического аппарата, с помощью которого можно было сформулировать и
удовлетворить указанные требования. Путем достаточно жесткой формули-
формулировки физических соглашений Гильберт пытался добиться однозначного
выбора аналитического аппарата. Он стремился к концептуальной системе,
Похожей на его аксиоматизацию геометрии. Там аксиомы недвусмыслен-
недвусмысленным образом определяют соотношения между такими первичными поня-
понятиями, как "точка", "прямая линия","плоскость", а линейная алгебра пред-
¦твляет аналитический аппарат, удовлетворяющий этим соотношениям;
to лее того, сам аналитический аппарат может послужить источником новых
Геометрических теорем. Руководствуясь аналогией с такой процедурой,
высоко себя зарекомендовавшей, Гильберт постулировал шесть соотноше-
соотношений, которым, как предполагалось, должны удовлетворять амплитуды
Мроятности. Чтобы задать аналитический аппарат, Гильберт связал с каж-
каждой динамической переменной некий оператор и принял за такой аппарат
•©отеетствующее операторное исчисление, на котором мы вскоре остано-
остановимся. Но в заключение своих вводных замечаний Гильберт должен был
признать, что в физике, в противоположность математике, часто прихо-
приходится высказывать догадки об аналитическом аппарате, когдаполна аксиома-
?И1вция физических требований еще не завершена, и что обычно к исчерпы-
исчерпывающей системе физических соглашений ведет только интерпретация фор-
Кмлиэма. "Подобную теорию трудно понять, - говорил Гильберт, - если
М проводить четкого разграничения между формализмом и его физичес-
физической интерпретацией. Подобного разделения надо придерживаться, несмотря
М то, что при существующем состоянии развития теории полная аксиомати-
Мция еще не достигнута. Впрочем, что сейчас можно считать установленным,
|то аналитический аппарат, который не претерпит никаких изменений в его
Чисто математических аспектах. Что может быть, и вероятно будет, измене-
МО, так это его физическая интерпретация, поскольку она допускает извест-
известную свободу выбора"98).
Хотя утверждение Гильберта об окончательности аналитического an па-
пакета было вскоре опровергнуто, его представление об обособленном ана-
аналитическом аппарате, посредством интерпретации которого эмпирическим
Юотношениям можно придать форму математических утверждений, стало
Поеным элементом в методологии современной теоретической физики.
1учи издавна убежден в важности интегральных уравнений и для тео-
теоретической физики"), Гильберт предположил, что операторы, которые
МАО сопоставлять динамическим переменным, можно записать как ин-
интегральныеоператоры вида
ядро оператора, *рт - *р U, у), описывает амплитуду вероятности. Пусть
- оператор, совершающий каноническое преобразование оператора q.
еолоставляемого координате положения, в оператор F, сопоставляемый
*' | Там же. с. 3
"I См., например, A.7|.
301
переменной F(p,q), т.е функции от q и импульса р. Тогда амплитуда ве-
вероятности \f>r ~'P {xy; qF), связывающая q и F, задает вероятность того,
что при заданном значении переменной F {p. q), равном у, значение ко-
координаты q лежит между х и х t dx. Если, в частности, F (p, q) равно самому
q ипи р, то соответствующие ядра имеют вид хб (х - у) или (h//) б'(х-/).
Обобщая эти результаты на пюбые две динамические переменные F, и FJt
Гильберт и его соавторы рассмотрели условия, при которых относительная
плотность вероятности
why;FxFi) = <f {xy;F,Fj) \p*[xy.FxF2 )
будет вещественна и неотрицательна. Они заключили, что допустимыми
являются только эрмитовы операторы. С помощью б-функции Дирака
они вывели дифференциальные уравнения из интегрооператорных урав-
уравнений и показали, в частности, что волновое уравнение Шрёдингеоа, не
зависящее от времени,
h Э
7 эТ
является функциональным уравнением для амплитуды вероятности, связы
вающей энергию и координату положения, а волновое уравнение, завися-
зависящее от времени,
h Э \ h Э
/ Эг
получается, ее пи в *р(ху; FtF2) под F, понимать координатный оператор,
а под F2 — "временной оператор", сопоставляемый времени г = г {р, q)
и представляющий динамическую переменную, канонически сопряженную
гамильтониану Н [q, р). Тогда у (xf; qT) = i//{x, r) есть амплитуда вероят-
вероятности того, что в данный момент времени f координата положения имеет
значение между х и х + dx. Гильберт, фон Нейман и Нордгейм указали, что
этот результат полностью согласуется с борновской вероятностной интер-
интерпретацией. Действительно, согласно Борну, в общем решении
Ф ix, t) = ? сп 4>п вхр [ (//h) Wn t]
п
волнового уравнения Шрёдингера зависящего от времени, величина
I с„ехр[ |/7h ) Wnt) | 2 определяет вероятность того, что атом находится
в п-м состоянии, а величина I ^ U) I J - вероятность того, что атом в п-м
состоянии имеет координату х. Тогда согласно принципу интерференции
вероятностей функция ф{х. t) есть амплитуда вероятности того, что атом
в любом из возможных состояний имеет координату х.
Теория преобразований Гильберта - Неймана - Нордгейма, как и ее
предшественницы, теории Дирака и Йордана, давала единый формализм,
в рамках которого и матричная и волновая механика могли рассматривать-
рассматриваться как частные случаи. Как обнаружил вскоре фон Нейман, это единство
критическим образом зависело от свойств 5-функции, так что против него
можно было выдвинуть возрежения, во всяком случае, в той же степени,
что и против функции Дирака.
Напомним, что в матричной механике основная задача, как указыва-
указывали 10°) уже Борн и Йордан, состояла в решении матричного уравнения
U'xH\p.q)U=W F.74)
'••)См.с.212.
302
или
UW=HU, F.75)
fflt W — диагональная матрица, элементы которой являются собственными
*Начениями энергии рассматриваемой системы, a U — унитарное преобразо-
Миие, диагонализирующиее Н. Используя обозначения
уравнение F.75) можно переписать в следующем виде:
\-wH, F.76)
И рассматривать элементы и™ „.г0 столбца матрицы U как компоненты
•актора ик. Тогда лод основной задачей можно понимать задачу на соб-
•тванные значения: решить
? hmk-uk--\um F.77)
к'
При данных />„,*'¦ Если вспомнить, что в волновой механике требовалось
решить задачу на собственные значения вида
Htlq) = \\l/lq), F.78)
Где Н — оператор гамильтониана сиотем, то нельзя не увидеть сходства
уравнений F.77) и F.78). Напрашивается мысль рассматривать ит как
функцию "дискретной переменной" т, по аналогии с тем, что \p{q) являет-
вк функцией непрерывной переменной q. Тогда правые части уравнений
F.77) и F.78) будут иметь одинаковую структуру.
По такой же аналогии /)„,*¦ должно соответствовать функции двух
Переменных Л (q.q), а суммирование по к'- интегрированию noq . Иными
•ловами, уравнение F.77) можно записать в виде
fh[Q.q')t>[q')dq -\ty\q). F.79)
Из сравнения F.79) и F.78) получаем
''' F.80)
Откуда видно, что h iq,q) является интегральным ядром функционального
Или интегрального оператора И того самого типа, который использовался
Гильбертом и соавторами. Таким образом, объединение матричной и волно-
волновой механики окажется возможным, если для каждого допустимого опе-
оператора Н удастся найти соответствующее интегральное ядро h [q, q), кото-
которое удовлетворяло бы уравнению F.80). Принимая за Н единичный опе-
оператор, так что Н \j/{q) = \j/[q), получим
F.81)
Кек легко убедиться, это уравнение выполняется только в том случае,
•спи интегральное ядро имеет вид дираковской б-функции 5 [q — q).
Фон Нейман далее высказал вполне общее утверждение, что объедине-
объединение матричной теории с волновой механикой посредством установления
соответствия между "пространством" Z дискретного индекса т в F.77)
и пространством П непрерывной переменной q в F.78) может быть дос-
достигнуто только преобразованием дифференциального оператора в интег-
интегральный, для чего необходимо вводить такие "не вполне" функции, как ди-
раковская 5-функция.
Следует напомнить, что в 1927 г. 5-функция, при всей ее все увеличи-
увеличивающейся популярности, была математически незаконным понятием. Это
303
верно и сегодня, если ее мыслить обычной функцией. Пример, данный
Кирхгофом |и|), неверен просто потому, что при ц-*°° не существует
предельной функции (р/ч/гГ) ехр {-ц* ?2). Нельзя определить б-функцию
и как производную от Y[J), функции Хевисайда (как известно,
эта функция равна 0 при х < 0, равна 'Л при х = 0 и равна 1 при х > 0),
ибо при х = 0 этой производной не существует. Вообще, было нетрудно убе-
убедиться, что требования
6 (х) =0 при х Ф 0, f 6 (х) dx = 1
противоречат друг другу независимо от того, пользоваться ли понятием
интеграла по Риману или по Лебегу. Возможность преодолеть эту труд-
трудность, выразив б (х) как интеграл Стильтьеса' °2) или как распределение,
выяснилась только после 1945 г., когда Лоран Шварц |03) обобщил поня-
понятие функции, производной и преобразования Фурье в своей теории распре-
распределений. Используя результаты теории линейных топологических прост-
пространств, Шварц смог заменить плохо определенные б-функцию и ее произ-
производные на хорошо определенные линейные функционалы или распределе-
распределения, которые имеют то неоспоримое достоинство, что всегда обладают
производной, также являющейся распределением.
Строгое определение б-функции можно также дать с помощью метода,
введенного Яном Микусинским 104), который определял обобщенные
функции как замыкание некоторых обычных функциональных пространств
по отношению к слабой топологии. Грубо говоря, обобщенная функция
определялась как некоторая последовательность обычных функций, подоб-
подобно тому, как вещественные числа определялись Кантором как последова-
последовательности рациональных чисел |05). Помимо этих методов, к которым при-
примыкает также теория псевдофункций Марселя Риса '06), недавно был пред-
предложен иной подход к строгой формулировке теории б-функции. Расширив
не концепцию функции, а концепцию числа — опять-таки подобно канто
ровскому процессу замыкания посредством погружения вещественных чи-
чисел в последовательность целых, — Шмиден и Лаугвиц101) определили
'••) См. [79].
1 * *) Stieitjet TJ. Recherche» мг let fractions continues. - Annales de la Faculte des
Science* de Toulouse, 1894, v. 8, p. 69-122; OeuvresCompletes. - Groningen: Noordhoff.
1914, v. 2.
»v*rttL. GeVie'ralisetiondela notion de fonction, de derivation, de transformation
de Fourier et applications matheVnatiques et physiques. - Annales de I'Universite de Greno
ble, 1945, v. 21, p. 57-74; Theorie des Distributions.- Paris: Hermann et Cie, 1950-1951
""*)См. также Шверц Л. Математические методы дпя физических наук. — М.
Мир, 1965.
1 °*) MikuwnskiJ.G. Sur la methode de generalisation de Laurent Schwarz et sur la con
vergence faible. — Fundamenta Mathematics, 1948, v. 35, p. 235-239; Sur certains espace
abstraits. — Ibid., 1948, v. 36, p. 125—130; Sur les fondamentsducalcul operative. — Studia
Mathematica, 1949, v. 11, p. 41-70. Некоторые аспекты подхода Минусинского содер
жатся в бопее ранних работах: Bochner S. Vorlesungen iiber Fouriersche Integrate, 1932,
Soboleff S.L. Mtfthode nouvelle a resoudre le probleme de Cauchy pour les equations lineares
hyperboliques normalet. - Mathematicheskii Sbornik, 1936, v. 1, p. 39-72.
lo')Cp. Temple G. Theories and applications of generalized functions. - Journal of
the London Mathematical Society, 1953. v. 28, p. 134-148; Lighthill M.J. Introduction
•'to Fourier Analysis and Generalized Functions: Cambridge University Press, 1959.
106) Меи M. L Integral de Riemann-Liouville et le probleme de Cauchy. - Acta Mat he
matica, 1949, v. 81, p. 1-223.
"') Schmleden C, LeogwiU D. Eine Erweiterung der Infinitesimalrechnung. — Ma the
matrsche Zeitschfift, 1958, Bd69,S. 1-39; LaugwitzD. Eine Einfiihrungder Д-Funktionen -
MOnchentr Berichte, 1959. S. 41 -59.
304
{•оконечно большие и бесконечно малые числа и показали, что на основе,
Иак они выразились, "непрерывного продолжения" ("stetige Fortsetzun-
С")вещественных функций и "нормальных функций" ("normale Funkti-
п") можно строгим образом построить функции, обладающие всеми
Мойствами дираковской 6-функции. Более подробное изложение слишком
Далеко увело бы нас от предмета обсуждения. Мы сделали это отступление
ради того, чтобы показать, что понятие 6 функции, употреблявшееся Ди-
Дираком, Йорданом, Гильбертом и соавторами, теперь можетсчитаться совер-
совершенно законным. Но так нельзя было считать в 1927 г.
Утверждая, что использование б-функции ведет к "неразрешимым
Математическим трудностям" ("unlosbare mathematische Schwerigkei-
tan") |08),фон Нейман отверг предлагаемое слияние пространства Z дискрет-
дискретной переменной т в уравнении F.77) с пространством ?2 непрерывной
Переменной q в уравнении F.78). Вместо этого он, развив некоторые идеи
Гильберта в теории линейных интегральных уравнений, выработал между
1027г. и 1929г. новый математический формализм109), который, как
fbmo доказано впоследствии, оказался наиболее подходящим и для нере-
лйтивистской квантовой механики в том виде, в каком мы используем ее
сегодня, и для ее обобщений — релятивистской квантовой механики частиц
И квантовой теории поля.
Решающим фактором в новом подходе фон Неймана стала остроумная
идея, к которой он пришел вначале 1927 г.: новый формализм квантовой
Механики можно построить, опираясь на тот факт, что по существу тождест-
тождественными являются не сами пространства Z и П, а пространство последова-
последовательностей Fz над? и пространство функций Fn над ?Ji Здесь F z - набор
•оех последовательностей {ыт}7 , удовлетворяющих условию
jj —набор всех суммируемых и квадратично интегрируемых комппек-
виых функций 4i(q), удовлетворяющих условию
#он Нейман предположил, что в задачах на собственные значения рассмат-
рассматриваемого типа всегда можно ввести указанные условия нормировки, кото-
которые, кстати говоря, исключают тривиальные решения. Пространство F/,
Мак известно, играло важную роль в теории интегральных уравнений
"*) Подобная характеристика содержится на с. 17 в книге: von Neumann J. Mathe-
metlKhe Grundlagen der Quantenmechanik. - Berlin: Springer, 1932: N.Y.: Dover, 1943.
При переводе на английский язык (Mathematical Foundetionsof Quantum Mechanics. -
Princeton: University Press, 1955) это место бь "О передано так: "с большими матема-
»и*ескими трудностями" (с. 31).
'•••) Фон НейманЙ. Математические основы квантовой механики. - М.: Наука,
1164. В русском переводе говорится о "неразрешимых трудностях" (с.32).
10в) Von Neumann J. MathematiKhe Begriindung der Quantenmechanik. - Gottinger
Ntchrichten, 1927, S. 1 -57 (представпено 20 мая 1927 г.); Wahrsheiniichkeitstheoreti-
Mher Aufbau der Quantenmechanik. - Ibid., S. 245-272 (представпено 11 ноября 1927);
Thtrmodynamik quantenmechaniKher Getamtheiten. - lr>id..S. 273-291 (представпено
It ноября 1927 г.); Beweis des Ergodensaues ond H-Theorems in der neuen Mechanik. -
Itlttchrift fur Physik, 1929, Bd 57, S. 30-70. См. также соответственно Collected Works
jt7], v. 1, p. 151 -207, 208-235, 236-255; 558-598.
l00*) Последнюю из цитированных работ: фон Наймам Й. Доказательство зргоди-
•мекой теоремы и Н-теоремы в новой механике, см. в кн.: Математические основы
иммтовой механики A08«],с. 325-367.
10. М. Джеммер ,„,
Гильберта и связанных с нею исследованиях ограниченных квадратичных
форм бесконечно большого числа переменных; поэтому его назвали "гиль-
"гильбертовым пространством последовательностей". Пространство же f л со-
соответствовало так называемому пространству L 2 (П) в функциональном ана-
анализе, т.е. пространству всех суммируемых и квадратично интегрируемых
(в смысле Лебега) функций над полем П. Фон Нейман знал, что прост-
пространства Fj и Ffi изоморфны и изометричны, если соответствующим об-
образом определить операции сложения, умножения на скаляр и внутреннего
произведения "). Дело в том, что он вспомнил важную теорему, доказан-
доказанную за 20 пет до того Фредериком (Фридьешем) Рисом1 ), как
и фон Нейман, уроженцем Венгрии. В несколько измененной форме эта
теорема гласит: если {<рп№)\°° образуют .полную ортонормированную
систему в пространстве L2 (il) = L: (a.b) и если {а„) Г есть последова-
последовательность вещественных констант, то сходимость Ъзг„ является необходи-
необходимым и достаточным условием того, что в Lj (а, Ь) существует такая почти
везде однозначно определенная функция Мх), с помощью которой можно
записать
для всех п.
Статья Риса была представлена Гильбертом на заседании Гёттингенско-
го общества от 9 марте 1907 г. Четырьмя днями ренее Эрнст Фишер на засе-
заседании Математического общества Брюнна доказал следующую теорему: ес-
если последовательность функций {f,,)T¦ принадлежащих L2 {а, Ь), сходится
в среднем, т.е. если
л
lim / (fm -fn)*dx=0.
т.п—°° а
то в Lj (а.Ь) существует функция f (x), к которой сходятся в среднем
функции fn. т.е.
ь
lim / (f-fnJ</x = O.
я-*00 a
В статье '''). представленной Парижской академии наук 29 апреля 1907 г.,
Фишер опубликовал доказательство теоремы и указал, что заключение
Риса непосредственно следует из его теоремы. Действительно, пользуясь
обознечениями Риса, сходимость ?э;$ впечет за собой сходимость в сред-
среднем "Lanipn; следовательно, существует функция f (ж). к которой эта сумма
сходится в среднем, но это означает
а
an=f f*ndx.
а
Итак, теорема Фишера — Рисса устанавливала взаимное однозначное со-
соответствие между ограниченными последовательностями или векторами
*) Чаще встречается термин "скалярное произведение".
1' ° > RieMiF. Ueber orthogonale Funktionensysteme. - Gottinger Nachrichten, 1907,
s. 116-122 (представлено 9 мер та 1907 г.); Sur lessyttemesorthogonBuxdefonctions.-
Comptes Rendus, 1907, v. 144,p.615-619 (доложено 11 марте 1907 г.).
'"I Fischer E. Sur la convergence en moyenne. - Comptes Rendus, 1907, v. 144.
p. 1022-1024.
306
(ym) и квадратично интегрируемыми функциями iHg) - Фон Нейман уви-
Д1Л,чго соответствие линейно и изометрично, т.е. если
(um) <-+tiq) и [vm) «->
•О
Имея в виду эти результаты, фон Нейман рассуждал следующим образом:
Поскольку "истинным аналитическим субстратом" матричной и волновой
Механики являются Fz и F ц (а не Z и Г2) и поскольку они изоморфны,
t,е. в конечном счете являются не более чем различными математическими
•Писаниями одних и тех же абстрактных соотношений, то эквивалентность
Матричной волновой механики есть логическое следствие этого изоморфиз-
изоморфизме. Более того, формулировка квантовой механики, в которой сохраня-
сохранялись бы только абсолютно существенные соотношения и отбрасывались
gea случайные детали, должна основываться на абстрактной общей струк-
структуре, свойственной Fj_ и F п, — на "абстрактном гильбертовом пространст-
пространстве", как называл его фон Нейман. Итак, в этой формулировке квантовой
Механики нашел полное выражение - в том, что касается квантовой'тео-
квантовой'теории, — принцип полезности исследований "почему из двух гипотез, столь
Отличающихся друг от друга,... следуют, по-видимому, одинаковые ре-
результаты" п ]), принцип, как мы видели, характерный уже для подхода
Йордана.
Развивая эти идеи, фон Нейман разработал аксиоматическую теорию
•бстрактного гильбертова пространства, определив его как бесконечно-
Мерное полноесепарабельное линейное векторное пространство с положи-
положительно определенной метрикой; частными случаями такого пространства
Являются Fz и Fк . Изучив геометрические свойства этого пространства,
фон Нейман построил теорию линейных операторов, области определения
Которых плотны повсюду, отказавшись тем самым от требования, чтобы
Операторы были всюду определены. В реализации Fn операторы фон Ней-
М*на являются функционалами, изучаемыми в функциональном анализе.
Аналогично, уравнение, определяющее сопряженные операторы А и А*.
именно''3)
{A* f, g) = (f. Ад).
где скобками указано скалярное произведение двух векторов в гильбер-
гильбертовом пространстве, в реализации Fu можно интерпретировать как урав-
уравнение
/ lA+f)g'dr = f f[Ag)*dT.
n n
Олертор А называется эрмитовым . если А =А*. и ограниченным или не-
непрерывным, если для всех определенных в пространстве векторов f
где С — постоянная, а двойные линии обозначают длину вектора f, равную
(f, f) и . Оператор4 называют дефинитным '), если при любом f имеем
"МСм. (94).
"') Мы используем обозначения фон Неймвна, в которых при комплексных а
{ef.g)-s(f.g) и if.eg)'з'{f,g).
10* 307
{A f. f) > 0; он называется унитарным, если A A* = A* A «¦ /, где / - еди-
единичный операто, If = f.
Эти понятия по большей части были не новыми. Некоторые из них ис-
использовал Фреше1'4) примерно за 20 лет до того, вводя язык евклидовской
геометрии в теорию функциональных пространств; в частности, ему при-
принадлежат первые определения таких понятий, как сепарабельность и полно-
полнота пространств. Такие понятия, как длина ifi или ортогональность,можно
проследить до работ Эрхарда Шмидта119), Штуди116) и даже Грасма-
на117). Шмидт первым понял важную роль операторов проектирования, ко-
которые, как известно, оказались столь существенны для спектральной тео-
теории фон Неймана. Подобное проектирование в конечномерных пространст-
пространствах уже вводилось Грассманом, который определил в' них также такие по-
понятия, как скалярное произведение, линейная независимость, полные ор
тонормированные системы и линейное многообразие. Понятие полной
ортонормированной системы в бесконечнпмеоном пространстве было впер-
впервые использовано, по-видимому, Грамом1'6). Неравенство \f,g\< \\f\\ \\g\\.
которое так часто встречается в теории фон Неймана, в 1896 г. было
названо Пуанкаре119) "неравенством Шварца" по имени его автора1.20).
Полезность этого неравенства стала очевидна после* работы Хелпингера и
Теппица'2'), в которой авторы, изучая бесконечные матрицы, показали
его мощь. Наконец, понятие эрмитовых операторов восходит, конеч-
конечно, к понятию эрмитовых форм, введенному Шарлем Эрмитом сна-
сначала122) для случая п = 2, а годом позже121) для случая любого конеч-
конечного п.
После этих исторических замечаний по поводу некоторых из наиболее
важных понятий функционального анализа, используемых в современной
квантовой механике, обратимся к рессмотрению фон Нейманом задачи о
собственных значениях. Фон Нейман видел, что традиционная формулиров-
*) Или неотрицательным.
ll*)FrJchet M. Sur quelques point!ducelculfonctionnel. - Rendiconti del Circolo
Matematico di Palermo, 1906, v. 22, p. 1—74; Etsai de дёотёЧпе anelitiquea une infinite
de coordinees. - Nouvellet Annaletde MatrteVnatiquet, 1908.V.8, p. 97-116, 289—317.
Понятие сепарабельности вводится нес. 306.
1'') Schmidt Е. Uber die Auflowng linearer Gleichunpen mit unendlich vieien Unbekan-
nten. -Rendiconti del Circolo Mi imatico, 1908, v. 25. p. 53-77; см. особенно, гл.1
"Геометрия в функциональном пространстве".
1' * I Study Е. Kiirzeste Wege im komplexen Gebiet. - Methemetifche Annalen, 1905,
8d 60. S. 321-378.
"') См. E.191
11') Gram J.P. Ueber die Entwicklung reeller Funktionen in Reihen mitt els der Methode
der kleinsten Quadrate. - Journal fur die reine und engewendte Methematik (Crelle), 1883,
8d 94. S. 41-73.
1' *) Poincare H. La methode de Neumann et le probieme de Dirichlet. - Acta Mathe-
Mathematics, 1896, v. 20, p. 59-142. Цитате - не с. 73.
li°iSchwan H.A. Ueber ein die Flachen kleinsten Flacheninhalti betreffendet Problem
der Verietionsrechnung. - Acts Societatii Scientarium Fennicae, 1885, v. 15, p. 315-362.
In: Gtftammelte MBthematitche Abhandlungan. - Berlin: Springer. 1890, 8d 1. S. 215-253.
1111 Cm. E.73f
1'') Harmtn C. Sur la thebrie des formes puedratipue». - Journal de Crelle, 1864, v. 47,
p. 343-368; In: Oeuvres de Ch. Hermite. - P.: Cauthier-Villar», 1905, v. 1, p. 234-263.
l") Hermit» C. Remarque lur un theorame da Cauchy. - Comptes Rendui, 1855,
v.41,p. 181-183; In: Oeuvrt» A22),v. 1,p. 479-481.
308
ЩЛ этой задачи (Нф <=\ф) н требование, чтобы ее решения образовывали
Млиый набор, - эта традиционная формулировка восходит к работам
Штурма |24) и Лиувилля I2S), — не могут быть перенесены в теорию
Преобразований в гильбертовом пространстве, ибо собственная функция
ЙЮбодной частицы не является вектором в гильбертовом пространстве.
Поэтому он переформулировал задачу о собственных значениях, вое по ль-
ММвшись методом, развитым Гильбертом в 1906 г. в его работе об интег-
интегральных уравнениях ! 2 6 ).
Чтобы понять суть этой новой формулировки, обсудим ее сначала для
•Лучая линейных векторных пространств N измерений. Предположим,
Что унитарная матрица (У диагонализирует эрмитову форму
N
{Ах. х) = Z А,„„х;„ж„,
т.п
Переводя ее в форму
1 ('> Z ?У
«г = 1 г = I р = 1
ГД* в<г) - это М{< N)различных собственных значений 4 (причем а(" <
<я<г) < ... <я(М)), вырожденных дг-кратно, которые относятся к угмер-
Мым векторам у^ с компонентами У%^ ¦ Введем оператор проектирова-
проектирования F , представляющий собой /V-мерную матрицу, элементы которой
равны нулю, за исключением элементов, соответствующих а('' и равных 1,
»ак что
V у(г) уЮ' = (fir) у у)
Тогда, как легко видеть,
{Ах. x) = ?a(r)(F(rV, у),
г
• поскольку у = U'1 х, имеем
{Ах, х) = I.a{r){UF{r)U'x ж. х).
TlK как UF Vх также есть проектор (оператор проектирования), то
Или символически
'") Sturm С. Sur les Equations difftfrentielles lineeiresdu second ordre. — Journal de
Mathematique, 1836, v. 1, p. 106—186; Sur une clesse d'equetions I diffe'rencespartielles.—
Ibid., p. 373-444.
1 ") Liouville J. Surlediveloppement del fonctions. - Journal de Mathematique. 1836.
V. 1, p. 253-265; 1837, v. 2, p. 16-35, 418-436; D'un theoreme du a M. Sturm; Ibid..
1136, v.1, p. 269-277.
)Cm. E.711.
309
Если под А понимать единичный оператор / , имеем
/ = ZF<'>.
г
Поэтому набор проекторов {?*г>} называют "разложением единицы |27|.
Итак, результаты нашего рассмотрения конечномерных векторных прост-
пространств можно сформулировать следующим образом. Каждому эрмитовому
оператору А можно сопоставить (единственное) разложение единицы
<?<г)} , такое, что А = Za(r)E<r). т.е.
(Ах.х)^Ъа{г)(Е{г)х.х) и (Ах, у) = 2 а(г)(?(|г>х, /).
г г
Тем самым задача о собственных знечениях сводится к нахождению разло-
разложения единицы.
Далее фон Нейман показал, что этот подход можно математически стро
го распространить на случай бесконечномерного гильбертова пространства
В результате подобного обобщения, детали которого можно найти в ориги-
оригинальной литературе, фон Нейман смог следующим образом сформулиро-
сформулировать задачу о собственных значениях. Для данного эрмитова оператора А
требуется найти такое разложение единицы {?(X)}, что A) соотношение
А =/ Хс/?(Х), т.е. {Af,g)=f \d{E{\) f, g) выполняется при всех д и г*,длр
— ОО — OD
которых
B) при Х< X'имеем ?(Х)<?(Х'), т.е. ?(Х')-?(Х) есть оператор проекти
рования; C) при Х-*00 имеем ?(Х) f-*f, а при Х-» - °° имеем Е(X) f •* 0;
D) приХ'-»Х и Х> X имеем F(X')^-»F(X) f, т.е. разрывность может быть
i олько слева.
Для ограниченных- (или, что то же, непрерывных) операторов эту задачу
решил Гильберт, который показал, что каждому такому оператору можно
сопоставить одно и только одно разложение единицы. Но операторы, играю
щие важную роль в квантовой механике, в общем случае неограничены,
так что перед фон Нейманом встала задача обобщения спектральной теории
Гильберта на случай неограниченных эрмитовых операторов. Эту задачу
он решил |]8) в 1929 г. для всех эрмитовых операторов, являющихся
максимальными, т.е. не имеющих истинных продолжений!29). А именно,
он показал, что каждый эрмитов оператор можно продолжить до макси-
максимального оператора и что каждому максимальному оператору можно
сопоставить либо только одно разложение единицы, либо же ни одного.
Новый формализм позволил фон Нейману переформулировать статисти-
статистические основы квантовой механики. Обратившись к шрёдингеровской
задаче о собственных значениях Нф„ = \„ф„ и предположив для простоты,
1'') Принятий в немецком языке термин "Zerlegung der Einheit" на английское
передается так: "resolution of identity" или "resolution of unity".
'") Von Neumann J. Allgemeine Eigenwerttheorle Hermit itcher Funktionaloperatoren. -
Mathematische Annalen. 1929, 8d 102, S. 49-131; In: Collected, works (97), v. 2, p. 3-85
Тождественные резуп.тяти выпи независимо попучены м. Стоуном-{Stone M.H. Lineai
Transformations in Hilbert Space. - New Haven, Conn.: American Mathematical Society
Colloqium Publications, 1932.)
IJ')ff является продолжением А, если всюду, где определено Af, Bf также on
раделвио и совпадает с Af.
310
WO спектр задачи чисто, точечный, он записал разложение единицы для Н
И для оператора q
( при q <Х,
\ О при q > А.
Согласно Борну, величина
J
•сть вероятность того, что координата положения системы в состоянии ф
Находится в интервале J = [д ', g" ], а величина
•Сть вероятность того, что энергия системы в состоянии ф лежит в интервале
/ « [X', X"]. Фон Нейман теперь дал объединенную формулировку этих двух
Мроятностных утверждений. Если только известно, что энергия лежит
¦ интервале /, вероятность того, что q находится в интервале J, дается
•ыражением
Р f \ф,М\2<Ъ= Z '
я = 1 _«
и = 1
или, пользуясь символической записью '30),
Обобщая полученный результат, фон Нейман следующим образом сформу-
сформулировал основное статистическое допущение квантовой механики. Пусть
fli, Ri,.... Я,- образуют один набор (коммутирующих) операторов,
представляющих динамические переменные, a S\ ,S2,.. . , S/ образуют
другой такой набор, причем разложение единицы для первого набора есть
§| (X), .... а для второго набора F\(\), . . . ; тогда вероятность того, что
Значения S,, . . . находятся в интервалах Jt если значения Я,,. . .
лежат в интервалах /t..... дается выражением
[EU,l..EUl)F\J,)...F{Ji)].
I этом соотношении содержатся, по словам фон Неймана, все статистичес-
статистические утверждения квантовой механики, которые делались ранее. Основы-
Основываясь на полученных результатах, он предложил математически строгую
формулировку теории преобразований, которая охватывала все известные
ранее формальные аппараты квантовой механики. Следует заметить, что в
•той формулировке, о которой фон Нейман рассказал в Гёттингене 20 мая
') Ftq'. q") = Ftq") - FUj'); аналогичное выражение справедливо для 5(Х, X").
311
1927 г., не постулировалось каких-либо новых физических или эпистемоло-
эпистемологических предположений по сравнению с предположениями теории преобра
зований Дирака и Йордана. В частности, в подходе фон Неймана не играл
никакой роли принцип неопределенности, который к этому времени был
уже (в марте 1927 г.) выдвинут Гейзенбергом. Но мы увидим, что этот
принцип не только сильно повлиял на следующее развитие фон Нейманом
своих идей и, в частности, на его теорию измерений, но и сыграл определяю-
определяющую роль при интерпретации (тогда общепринятой) всего развитого к тому
времени формализма; поэтому нам надо познакомиться подробнее с соот
ношениями неопределенности и эпистемологическими следствиями из них.
Но прежде чем перейти к следующей главе, сделаем небольшое замечание,
предостерегающее от чрезмерного оптимизма при оценке выдающихся
трудов фон Неймана. Дело в том, что существуют серьезные сомнения
в том, позволит ли формулировка квантовой механики, основанная на
сепарабельном гильбертовом пространстве, в котором, следовательно, каж
дый ортонормированный базис является счетным множеством, охватить
решения всех физически значимых проблем. В частности, применение тео-
теории фон Неймана к системам с непрерывным спектром энергетических
состояний вело к постоянному использованию функций, не являющихся
нормированными в смысле квадратичной интегрируемости. Правда, были
разработаны другие методы нормировки (Вейль, Фюс и другие131)), но
канонических наборов результирующих волновых пакетов, которые могли
бы служить ортонормированным базисом в пространстве квадратично
интегрируемых функций, найти не удалось. Для преодоления этих труднос-
трудностей было предложено '32) воспользоваться пространствами функций, обра
зованных скалярными произведениями решений уравнений Шрё'дингера
для свободной и рассеянной частиц (при этом допускаются плоские, цилин-
цилиндрические и сферические волны); однако, в противоположность подходу
фон Неймана и заложенным в нем основам статистической интерпретации,
в таких пространствах, вообще говоря, несправедлива теорема разложе-
разложения, позволяющая выразить базисные функции одного пространства
через базисные функции любого другого пространства. Далее, для такой
важной задачи, как задача рассеяния, в рамках формализма фон Неймана
пока что не удалось найти удовлетворительного пути к математически
строгому рассмотрению задачи с помощью так называемого оператора
рассеяния или S-матрицы, хотя некоторое время тому назад и были достиг
нуты отдельные результаты в этом направлении133). Наконец, хорошо
известно, что для систем, описываемых квантовой теорией поля, условие
сепарабельности фон Неймана не выполняется.
'") Недавно была сделана попытка последоватепкного объединения формулиро
вок Дирека и фон Неймана посредством замены иеиормируемых собственных векто
ров операторов с непрерывным сл»ктром на истинные единичные векторы в простран
стве прямых интегральных разложений. См. Marlow A.R. Unified Dirac—von Neumann
formulation of quantum mechanic». I. - Journal of Mathematical Physics, 1965, v. 6
p. 919-927.
' ") Hill E.L. Function spaces in quantum—mechanical theory. — Physical Review, 1956,
v. 104, p. 1173-1178; State spaces in scattering theory. - Ibid., 1957, v. 107, p. 877-883
1 ") Cook J.M. Convergence to the Miller wave-matrix. - Journal of Mathematics and
Physics (M.I.T.), 1957, v. 36, p. 82-87; Jauch J.M. Theory of the scattering operator. -
Helvetica Physica Acta, 1958, v. 31, p. 127-158; Hack M.N. On convergence to the Miller
wave operator. - II Nuovo Cimento, 1958, v. 9, p. 731-733; Jauch J.M.. Zinnes I.I. The
asymptotic condition for simple scattering systems. - Ibid., 1959, v. 11, p. 553-567; Kuro
da S. T. On the existence and the unitary property of the scattering operator. - Ibid., 1959
v. 12, p. 431-454.
312
ГЛАВА 7
КОПЕНГАГЕНСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ
7.1. Соотношения неопределенности
С появлением теории преобразований в гильбертовом пространстве
формализм нерелятивистской квантовой механики был завершен во всех
•го существенных моментах. Но формализм, даже полный и логически
Последовательный, - это еще не физическая теория. Чтобы поднять его до
•того уровня, некоторым из его символов надо сопоставить имеющую
Операциональный смысл интерпретацию (или эпистемологическую корреля-
корреляцию в смысле утверждения Карнапа') о "феномен-физическом упорядочи-
упорядочивании") . Действительно, до тех пор, пока формализм не связан с определен-
определенными данными чувственного восприятия таким образом, что и начало и
Конец цепи теоретических выводов закреплены в опыте, он не может быть
Подтвержден или опровергнут экспериментом или наблюдениями и потому
и* является физической теорией.
Кроме борновской вероятностной интерпретации волновой функции
(мысль о сопоставлении ожидаемых значений средним результатам измере-
измерений, хотя и содержалась неявно, как мы ведели, в работах Борна, но не бы-
М полностью развита) поке что не было предложено никаких эпистемоло-
эпистемологических корреляций между квантовомеханическим формализмом и
Опытом. Даже если в рамки формализма или, вернее, в его логичес-
логически* выводы включать боровское условие частот и считать спектроскопичес-
спектроскопически* подтверждения методологически не вызывающими сомнений, то и
Тогда нельзя было еще говорить о полной интерпретации формализма: хотя
некоторые результаты формальных дедукций можно было сравнить с
•лытом, начальные стадии этих дедукций не имели никаких четких корре-
корреляций или ассоциаций с данными чувственных восприятий. В лучшем
Случае формализм интерпретировался, так сказеть, на конечном его этапе.
Это необычное положение дел было обусловлено, конечно, своеобразным
путем развития формализма, который сначала находился под сильным
•лйянием принципа соответствия, но впоследствии порвал с ним.
Однако ситуация была еще хуже. Термины типа "положение", "скорость",
"орбита" продолжали играть важную роль в изложении формализма, хотя
•о* его развитие основывалось на отказе от таких понятий. Во всяком
Случае, было ясно (об этом неопровержимо свидетельствовало основное
перестановочное соотношение pq — qp - h/2vi), что эти понятия, если они
•ообще сохраняют законную силу, просто не могут иметь своего классичес-
классического смысла. Поэтому даже борновская интерпретация была, строго говоря,
лишь' ignotum per ignotius*), поскольку в ее основе лежало представление
О возможности локализации частицы, т.е. представление о ее "положении".
Короче говоря, оставался открытым вопрос, как интерпретировать новый
формализм и, в частности, как соотнести его символы или математические
1) Ср. Сагпар Я. Ueber die Aufgabe tier Physik. - Kantstudien,_i923, Bd28, S. 90-107.
•) Объяснение неизвестного еще менее известным (лег.).
313
выражения с понятиями классической физики, ибо только таким образом
можно быпо установить связи, имеющие операциональный смысл.
Неотложность подобных вопросов стала особенно очевидной во время
визита Шре'дингера в Копенгаген, где в сентябре 1926 г. он выступал с
лекциями в Институте у Бора. Шредингер критиковал взгляды Бора на
разрывность и понятие квантовых скачков с характерных для него позиций
убежденного сторонника всепроникающей роли непрерывности в микрофи-
микрофизике. Дискуссии шли едва ли не непрерывно (некоторые споры начинались
утром, а кончались ночью), но точки зрения не сближалисьг). Наконец,
когда Бор сослался на статью Эйнштейна 3) о вероятностях перехода как
на поддерживающую его мнение о том, что без подобных разрывностей
нельзя объяснить закон излучения Планка, Шредингер, как передают4),
воскликнул: "Но если нельзя обойтись без этого проклятого квантового
прыганья, то я сожалею, что вообще занялся квантовой теорией"*); назто
Бор ответил:: "Но все остальные чрезвычайно благодарны Вам именно за
это: Вы так много сделали для прояснения квантовой теории"**). Поляр-
Полярность взглядов .Бора и Шредингера заставляла задуматься; она стимулиро-
стимулировала оживленные обсуждения в Копенгагене и долгое время после отъезда
Шредингера5).
Гейзенберг видел, что этот конфликт обусловлен отсутствием адекват-
адекватной интерпретации квантовомеханического формализма. Признавая (по
причинам, сходным с только что указанными), что классические.понятия
типа "положение" или "скорость" нельзя использовать в микрофизике в
том жеЛ смысле, как и в макрофизике, Гейзенберг уподоблял положение
дел в квантовой механике тому положению, которое создалось бы в
теории относительности, если бы формализм преобразований Лоренца
излагался на языке понятий пространства и времени в их дорепятивистс-
ком смысле. Именно подход Эйнштейна к переосмыслению понятий
пространства и времени, позволивший придать преобразованиям Лоренца ')
последовательное операциональное значение, указал Гейзенбергу путь прео-
преодоления существовавших тогда трудностей в квантовой механике. Подобно
тому, как Эйнштейн в свое время обратил вопрос и, вместо того чтобы
спрашивать, как описать природу некой математической схемой, поступи
ровал: природа устроена таким образом, ч^о допускает использование
именно этого математического формализма, Гейзенберг сказал себе:
"Похоже на то, что в природе я могу встретиться лишь с такими ситуация-
ситуациями, которые можно описать только квантовомеханически). "Но тогда
') Ср. позднейшую статью Э. Шредингера: Are there quantum jumps? — The British
Journal for the Philosophy of Sciences, 1952, v. 3, p. 109-123, 233-242.
") Шредингер Э. Существуют пи квантовые скачки? — В кн.: Избранные труды
[3.33«I.e. 261-284.
')См. [3.100, 3.100-]•
4) Archive for the History of Quantum Physics. Интервью с В. Гейзенбергом от 25 ф«>
рапя 1963 г. См. также Heisenberg и/. Die Entwicklung der Deutung der Quantentheorie. -
Physikalische Blatter, 1956, Bd 12, S. 289-304.
*) "Wenn es doch bei dieser verdammten Quantenspringerei bleiben soil, so bedaure ich,
mich mit der Quantentheorie iiberhaupt beschSftigt zu haben". D) ,Phys. Blltter., S. 291
••) "Aber wie anderen sind Innen so dankbar. dafl Siees getan haben, da Sie damit so vie
zur KISrurtg der Quantentheorie beigetragen haben". - Ibid.
*) "После отъезда Шре'дингера мы вели бесконечные обсуждения этой пробпемы"
[4], интервью.
') См. 15.4].
') См. [41, интервью.
314
Я спросил себя, - продолжал Гейзенберг, - а каковы эти ситуации, которые
, Можно определить?. . . Очень скоро я обнаружил, что такими ситуациями
f Являются те, в которых существует это соотношение неопределенности
' АМжду р и q. Тогда я попытался продолжить мысль: хорошо, пусть сущест-
f lytT только такая возможность, что ApAg>h/2ir. Последовательно ли это
¦ утнрждение? Могу ли я доказать, что эксперименты никогда не дадут мне
. Ничего иного?" Наш последующий анализ статьи Гейзенберг а подтвердит,
. что эти ретроспективные размышления Гейзенберга над концептуальным
> фоном открытия принципа неопределенности не искажают истории и не
F Являются проекцией его позднейших представлений, и покажет, что его
, |иаменитые мысленные эксперименты по определению положения электро-
Nfl действительно сыграли такую же методологическую роль, как и эйнштей-
эйнштейновское операциональное определение одновременности пространственно
разделенных событий.
Чтобы глубже оценить подход Гейзенберга, необходимо понять его
Оценку положения дел в конце 1926 г. Формализм квантовой механики,
рассуждал он, работает в абстрактных многомерных пространствах и
использует некоммутирующие величины, так что он не допускает обычных
пространственно-временных описаний физических явлений или причинных
связей между ними. И тем не менее, указал он, из классической физики
¦ квантовую механику переносились и довольно беспорядочно использова-
использовались интуитивные пространственно-временные описания. В этом несоот-
несоответствии формализма и интуитивных представлений Гейзенберг и видел
источник серьезных трудностей и противоречий. Понимая однако, что
невозможно создать независимый концептуальный аппарат (в смысле
дескриптивного языка), подходящий для адекватной наглядной интерпре-
интерпретации абстрактного формализма, поскольку корни всех наших концепций
неразделимо связаны с пространственно-временными представлениями,
Гейзенберг видел только одну возможность - сохранить классические
интуитивные представления, но наложить ограничения на их использование.
В письме к Паули от 28 октября 1926 г. Гейзенберг уже указывал, что
не имеет смысла говорить о монохроматической волне в определенный
момент или в крайне короткий промежуток времени и, как очевидным
образом следует из основного перестановочного соотношения, что "нет
смысла говорить о положении частицы, движущейся с определенной
скоростью"8). "Но если не воспринимать скорость и положение так уж
буквально, то это вполне может иметь смысл"9). Через четыре месяца
Гейзенберг изложил те заключения, к которым он пришел в результате
постоянного размышления над этими вопросами, в 14-страничном письме
к Паули, датированном 23 февраля 1927 г. Ободренный восторженной
реакцией Паули10), Гейзенберг написал статью с подробным изложением
идей, содержавшихся в письме, послал ее для оценки Паули, а затем пере-
передал ее Бору, только что вернувшемуся из отпуска, проведенного им в
Норвегии. Бора не вполне удовлетворила статья, и он предложил некоторые
изменения, но Гейзенберг настоял на первоначальном варианте и упомянул
о предложениях Бора лишь в постскриптуме к статье. В конце марта он
послал редактору Zeitschrift fur Physik эту статью "О наглядном содержа-
•)См. 15.В],с. 45; [5.В.],с.5В.
*) "Nimmt man es aber mit Getchwindigkeit und Lage nicht so genau, so hat das sehr
wqhl einen Sinn". E.B), S. 46.
10) Паули сказал что-то вроде "заняпась зеря новой эпохи" ("Morgenrote einer
Neuzeit") См. D1, интервью.
315
нии квантовотеоретической кинематики и механики" "), в которой был
выдвинут знаменитый принцип неопредепенности.
Принцип неопределенности (который называли также принципом неточ
ности) берет начапо в теории преобразований Дирака - Йордана, и основа
тели теории уже говорили о некоторых его качественных аспектах. Так
приступая к формированию своей теории, Дирак'2) сказал о сопряженных
переменных: "В квантовой теории нельзя ответить ни на один вопро<
относительно числовых значений и q, и р одновременно. Однако, по-види
мому, можно надеяться, что мы в состоянии дать ответ в тех случаях, когдо
числовые значения имеют смысл только для q или только для р. а выра
жаясь более общим образом - когда определенные числовые значения
имеют любой набор постоянных интегрирования %, коммутирующих друг
с другом". К аналогичному выводу пришел и Йордан '3): "При данном
значении q все значения р равновозможны ".
Как показывают эти утверждения, и Дирак и Йордан полностью по
нимали, что в квантовой механике, в противоположность классической
физике, задание точного значения q несовместимо с заданием точного зна
чения р. Гейзенберг же исследовал количественную связь между теоре
тически допустимыми распределениями подобных величин. Иными ело
¦ами, он задался вопросом о том, какую информацию о связи между
статистическими распределениями значений q и значений р можно извлечь
из теории преобразований.
Для этого он предположил, что координата положения q распределена
вокруг с/'с неопределенностью bq ¦ qx; последняя задается как такое
расстояние от q', на котором значение квадрата амплитуды вероятности
\S{r), q) | 3 при фиксированном параметре tj, не нуждающемся в дальней
шей детализации, составляет 1/е от максимального. Тогда, принимая, что
зависимость от q имеет вид гауссовой кривой ошибок, Гейзенберг смог
записать
| S<t», q) |г = const • exp [ - [q - q'K/q\ 1,
а для самой функции S (tj, q):
S(v. q) = const • exp [ - (q -q'J/2q2 - 2nip'(q - q')lh\.
Заменив в выражении
Siv.P) = I Sto.q)S{q,p)dq
функцию S(q, p) на exp{2nipq/h), в чем он следовал Йордану14),
1')Heitenberg И/. Uber den anschaulichen Inhalt der quententheoretischen Kinematik
und Mechanik. - Zeittchrift fur Phytik, 1927, Bd43, S. 172-198; получено 23 марта
1927 г.
1 ' ') Геймнбарг В. О наглядном содержании квантовотеоретичеокой кинематики
и механики. - УФН, 1977, т. 122, с. 651-671.
•') См. [6.70], с. 623.
")См. F.91),с. В14.
14' Функция ехр B-пipqlh) является, конечно, решением уравнения Шрёдингера
h Э
SUl. р) - pS(g. p).
i bq
316
Гейзенберг получил
SGj,p) = const / exp -
Тдв exp Bя7р V/Л) вошло в новое выражение для постоянного множи-
множителя. Записав
Г 2*гЯ](р-р'J 2nHp-p)q']
Siv.P) ~ const • expj -. + I X
V h hi
Х?~П 1 -JGT\ Г
fN нашел после интегрирования
[2n2q]{p-p')* 2ni{p -p')q' 1
Л* + '
Поскольку выписанный выше интеграл с бесконечными пределами дает
Постоянную величину. Определив р\ из уравнения
Я\Р\ = Л/2я,
Гейзенберг смог записать
| SGj. p) I1 = const • ехр[- {р - р')г1р\ 1,
N, сравнив это выражение с выражением для I S(ij, q) \ г, убедиться, чтор|
|имеет для р тот же смысл, что <7i для q. Итак, заключил Гейзенберг, про-
(•ведение неопределенностей &q и Ьр равно h /2я, т.е.
G.1)
"Чем точнее определено положение, тем менее точно известен импульс, и
Поборот1). В этом Гейзенберг и видел "прямую наглядную интерпре-
*цию" ("directe anschauliche ErlUuterung") основного перестановочного
Юотношения pq — qp ¦ Л /2ni.
Далее Гейзенберг задался вопросом, является ли это взаимное ограни-
¦мие точностей просто следствием математического формализма теории
ИМобраэований или оно отражает более глубинные причины. Именно, он
Просил, "нельзя ли с помощью более тщательного анализа кинематичес-
Мх и механических понятий разрешить противоречия, возникавшие до
Мх пор при попытке дать наглядное толкование квантовой механики
И достичь наглядного понимания квантовомеханических соотношений').
Гейзенберг надеялся, что анализ, или вернее, новая интерпретация
{Юнятий положения и скорости позволит достичь в квантовой механике
того же, что и в механике быстрых движений с помощью известного
s ¦йнштейновского анализа понятия одновременности, и точно так же, как
рйиштейн на этом пути разрешил противоречия дорелятивистской фи-
|Ики, так и анализ Гейзенберга должен был, по его замыслу, устранить
Трудности с пути атомной физики. Начав анализ с понятия положения,
Гайэенберг сказал: "Если мы при этом захотим уяснить, что следует по-
") "Je genautr dar Ort bestimmt i*t, desto ungenauar i»t d«r Impulsbekennt und umge-
'[11J.S. 176.
|в>См. 111), с. 173; [11 «I.e. 663.
317
нимать под словами "положение объекта" (Ortdes Gegenstandes), напри
мер, электрона (относительно данной системы отсчета), то надо указать
определенные эксперименты, с помощью которых мыслится измерять
"положение электрона"; в противном случае эти слова не имеют ника
кого смысла1). Далее Гейзенберг изложил хорошо теперь известный
мысленный эксперимент с ^-микроскопом; эта идея занимала его, как
он однажды признался одному из своих учеников ), еще в 1924 г., т.е
задолго до создания матричной механики. Эту идею он обсуждал с Бор
хертом Друде, который, как и его отец, Пауль Друде, был оптиком")
В этой связи интересно также отметить, что разрешающая способность
микроскопа была одним из вопросов (наряду с вопросами о разрешаю
щей способности эталона Фабри - Перо и теории аккумуляторной бета
реи), заданных Гейзенбергу Вином во время устных экзаменов на соис
кание степени доктора философии в Мюнхенском университете в 1923 г..
на которые он плохо ответил. По-видимому, Гейзенберг был достаточно
сознателен и изучил эти вопросы после экзамена. Сам он признавался
"Можно даже сказать, что в этой последующей работе над 7-микроскопом
и соотношением неопределенности я воспользовался знаниями, приоб
ретенными мной в результате плохой сдачи экзамена0). Все же в об
суждении эксперимента он не учел угловой апертуры объектива; это упу
щение было вскоре исправлено Бором.
Гейзенберг утверждал, что, в принципе, положение или координату
можно определить с любой желаемой степенью точности. Для этого надо
топько осветить электрон изпучением с достаточно короткой длиной
волны и наблюдать за ним под микроскопом. Но благодаря эффекту Коми
тона при падении светового кванта на эпектрон импупьс последнего рез
ко меняется, "причем это изменение тем сильнее, чем меньше дпина волны
испопьзуемого света, т.е. чем точнее определяется положение'). От
сутствие упоминания об угловой апертуре линзы микроскопа сделалс
описание эксперимента несколько нечетким в смысле указания конеч
ной причины неопределенности в импульсе. Причина того, почему на ос
нове теории эффекта Комптона нельзя точно определить изменение им
пульса, состоит, конечно, в том, что в пределах пучка лучей, попадающие
в микроскоп, направление рассеянного фотона может быть каким угодно
Анализируя аналогичным образом эксперимент Штерна — Герлаха, Гей
зенберг показал, что точность измерений энергии тем меньше, чем короче
промежуток времени, проведенный атомом в откпоняющем поле, т.е.
Л. G.2)
Имея в виду полученные результаты, Гейзенберг смог заявить: "Вс<
понятия, которые используются в классической теории для описания
механических систем, и в случае атомных процессов допускают точную
дефиницию подобно классическим понятиям. Но эксперименты, служа
щие целям такой дефиниции несут в себе чисто эмпирическую неопре
деленность, если мы требуем от них одновременного определения дву>
">См. I1i!,c.174; [11.], с. 653.
"^SiddiqiM.R. Lectures on Quantum Mechanics. — Hyderabad-Deccan: Osman
University Press, 1938, v. 1, p. 234.
1 *) Cm. [4], интервью.
1 °) Archive for the History of Quantum Physics. Интервью с В. Гейэанбергомот 11 феи
рапя 1963 г.
">См. [11!.с.175; [11.].с. 653.
318
Мнонически сопряженных величин2). В действительности, как указал
Гайзенберг, именно эта неопределенность делает допустимым использо-
использование классических понятий.
> По Гейзенбергу, в квантовой механике можно сохранить даже такие
рЮнятия. как "путь" или "траектория" ("Bahn"), которые предполагают
{вечное знание и положения, и импульса, ибо "траектория" возникает толь-
только вследствие того, что мы ее наблюдаем3). Это утверждение, одно из
Шмых раздражающих и стимулирующих утверждений, когда-либо делав-
делавшихся в физике, пояснялось им следующим образом. Если атом, нахо-
находящийся, например, в 1000-м возбужденном состоянии, облучается све-
1ом сравнительно большой длины волны (это допустимо, поскольку об-
обсуждаются сравнительно большие размеры), то в результате взаимодейст-
взаимодействия (эффекта Комптона ) электрон может обнаружиться в состояниях,
Скажем, от 950 до 1050, и точнее мы это указать не можем. Следовательно,
цмктрон будет описываться волновым пакетом в конфигурационном
Пространстве, составленным из собственных функций только что упо-
упомянутых состояний; размеры этого пакета будут определяться точностью
Измерения положения, т.е. длиной вопны падающего света. Волновой
пакет описывает орбиту, аналогичную орбите классической частицы, но
ркплывается с течением времени. При каждом новом наблюдении, при
Котором иэ множества возможных выбирается определенное значение
Щ, размеры расплывшегося пакета снова становятся прежними, поскольку
Они задаются длиной волны падающего света. Постоянное замещение в
Последовательных наблюдениях расплывшегося волнового пакета на па-
KIT меньших размеров приводит к орбите как к временной последователь-
последовательности положений, в которых наблюдались эти пакеты.
Из всего этого Гейзенберг извлек вывод, имевший далеко идущие
философские следствия. Заключая статью, он сказал: "Мы не предпопа-
Г1ли, что квантовая теория, в противоположность классической, является
ПО существу статистической теорией в том смысле, что из задаваемых
Точно данных можно извлечь только статистические заключения. Против
Такого предположения говорят, например, хорошо известные эксперимен-
эксперименты Гейгера и Боте. ... Но в сильной формулировке закона причинности:
"если точно знать настоящее, можно предсказать будущее", неверна пред-
предпосылка, а не заключение- Мы в принципе не можем узнать настоящее
¦о всех деталях4). И Гейзенберг продолжал: "Поскольку статисти-
статистический характер квантовой теории очень тесно связан с неточностью всех
Восприятий, можно было бы соблазниться предположением, что за вос-
воспринимаемым статистическим миром скрывается еще один "истинный"
мир, в котором действует закон причинности. Подобные спекуляции пред-
представляются нам - и мы специально это подчеркиваем - бесплодными и
бессмысленными. Физика должна давать формальное описание только
связей между восприятиями5).
">См. 111), с. 179; A1-1, с. 657.
11 '"Die 'Bahn'entsteht ent dadurch, da/3 wvir sie beobachten". A1), S. IBS.
14>"Da0 die Quantentheorie im Gegensatz zur klsstischen eine wesentlich statistische
Theorie sei in dem Sinne, da/3 a us exakt gegebenen Oaten nur statistische Schliisse gezogen
warden kUnnten, haben wir nicht angenommen. Gegen solche Annahmen sprechen ja z. B.
•uch die bekannten Experimente von Geiger und Bothe Aber an der scharfen Formul ierung
<fo Ksusalgesetzes: "Wenn wir die Gegenwart genau kennen, kSnnen wir die Zukunft
btrechnen", ist nicht der Nachsatz, sondern die Vorautietzung falsch. Wir kdnnen die
Oagenwart in alien Bestimmungsstilcken prinzipiell nicht kennenlernen". A11, S. 197.
>s)"Oa nun der statistische Charakter der Quantentheorie so eng an die Ungenauigkeit
¦tier Wahrnehmung gekniipft ist, konnte man zu der Vermutunq verleitet werden,da0 sich
319
Для лучшего понимания рассуждений Гейзенберга полезно иметь м
виду следующее. Из чисто математического результата bqbp = Л/27г(ит.
формул G.3) и G.4), приводимых далее), т.е. из того факта, что прот
ведение ошибок или стандартных отклонений некоторых переменны >
не меньше, чем определенное положительное число, не следует с неизбе*
ностью, что эти переменные нельзя одновременно измерить совершен».,
точно. Это ясно видно на примере двух случайных переменных для набора
макроскопических объектов; скажем, на примере роста и веса членом
данной популяции. Проведенное Гейэенбергом отождествление формул',.
G.1) с соотношением неопределенности, интерпретируемым в русле еп.
идей, не имело характера логически неизбежного заключения, хотя <¦
нему и подталкивали две важные идеи: A) молчаливо предполагало!,
что рассматриваемые частицы совершенно одинаковы (в более современной
терминологии, что состояние системы на стадии приготовления к изм.
рению одно и то же); B) признавалась неизбежность взаимодействии
между объектом и измерительным прибором. Подобно любому тол км
ванию математического соотношения, это отождествление было актом
сопоставления символов операциям и потому содержало некоторым
элемент произвола.
Может показаться соблазнительной мысль связать этот произвол, с тем
что в 1925—1926 гг. усиленно обсуждались вопросы чувствительное ш
измерительных приборов. В 1925 г. Молл и Бургер26) создали метол
"термореле", оказавшийся очень полезным для микрофотометрии п[н<
спектрометрических исследованиях; в дальнейшем они заявили: "С по
мощью описанного ранее метода термореле можно сколь угодно высоко
поднять чувствительность гальванометров7). Но в то же время были по
няты возмущающие действия броуновских флуктуации28). Летом 1926 >
Изинг2') и Цернике ) выступали в Гёттингене с лекциями по этой тем.
которые вызвали значительный интерес31). Следует подчеркнуть, однако
что нам не удалось найти никаких свидетельств о прямом или косвенном
влиянии этих лекций или дискуссий на Гейзенберга.
То, что Гейзенберг упустил из виду угловую апертуру микроскоп.)
привело к неоднократно возникавшему недоразумению. Хотя в его опи
сании эксперимента и упоминалось об отклонении отреженного светово
го кванта линзой микроскопа, там подчеркивалась не неопределенное),
направления отражения, а скачкообразное изменение импульса элек.
рона.
hinter der wahrgenommenen statittischen Welt noch eine "wirkliche" Welt verberge, in н.
det Kausaigetetz gilt. Abersolcha Spefcuiationen scheinen uns, da» betonen wir ausdriiki < i.
unfruchtbar und sinnlot. Die Physik soil nur den Zusammanhang der Wehrnehmunq.
formal beschreiben." |11), S. 197.
11 ^Moll W.J.H., Burger H.C. Oat Thermorelais. - Zeitschrift Kir Physik. 1926, Bd i
S. 109-111.
}1) Moll W.J.H., Burger H.C. Empfindlichkeit und Leistungsflhigkeit eines Gal
nometers. - Zeitschrift filr Physik. 1925. Bd 34. S. 111-119. "Es ist m8glich,die Empf
lichkeit einet .Galvanometers durch die Anwendung der frQher beschribenen Tnermoreb ¦
Methode ЬвНвЫд ги vergrSfbrn" (c. 115. выдепено автореми).
1''f»7if/io*e/i ИЛ. Einthoven W.F.. van der Horst W., Hirtchfetd H. Brownsche Beweg.n.r ¦
van een Gespannen snaar. — Physica, 1925, v. 5, p. 358-360.
''llv'ngG. A natural limit for the sensibility of galvanometers. — Philosophical M.n
zine, 1926, v. 1, p. 827-834.
*%\Z*nikeF. Die naturliche Beobachtungsgrenze der Stromstarke. - Zeitsch. '
fflr Physik, 1926, Bd 40, S. 628-636.
'' >Cp., например, Jordan P. Kausalitlt und Statistik in der moderntn Physik (riabil.t.i
onsvotrag). - Die Naturwissenschaften. 1927, Bd 15,S. 105-IIO.cm. особенно с. 1'
320
Это утверждение и уводило мысль в сторону, ибо допускало, что неоп-
неопределенность возникает именно благодаря такому изменению импульса,
И1К неконтролируемое взаимодействие между объектом (электроном)
И измерительным прибором (падающим светом). Но, как показали экспе-
эксперименты Боте — Гейгера и Комптона — Саймона, скачкообразные изме-
изменения импульса в эффекте Комптона могут быть точно рассчитаны, если
Только надежно известно направление движения отраженного кванта.
Только благодаря тому, что это направление нельзя задать с точностью,
|Ольшей, чем конечная апертура линзы, и можно говорить о неконтроли-
неконтролируемом взаимодействии.
Философский вопрос, который поднимала статья Гейзенберга, не был
феознан сразу же после публикации; он состоит в том, какова природа
Неопределенности - онтологическая (т.е. частица просто не имеет опре-
определенного положения или скорости) или же лишь эпистемологическая
(т.е. неопределенности обусловлены грубостью процесса измерений либо,
| крайнем случае, существуют только в нашем сознании). Из замечаний
Гейзенберга относительно понятия "пути" или "траектории" можно зак-
заключить, что он склонялся в сторону первой альтернативы. В то время
Подобные философские вопросы не лредставлялись столь животрепещу-
животрепещущими, как методологические вопросы относительно возможности дать
Определение понятий квантовой механики и провести соответствующие
измерения. Суть тогдашнего подхода Гейзенберга к обсуждаемому воп-
вопросу состояла в том, чтобы рассматривать нечто как получившее опре-
определение, если это нечто в принципе было измеримо. Короче говоря, опре-
определимость основывалась на измеримости или сводилась к ней. Далее, статья
Гвйзенберга концентрировала внимание физиков не только на деталях
измерения, но и на измерении как таковом: она указывапа физикам, зани-
занимавшимся атомными процессами, на важность концепции измерения, кото-
ров с той поры стало занимать центральное положение во всем, что касалось
эсиов квантовой механики. Наконец, наша оценка статьи Гейзенберга была
вы неполной без упоминания о предлагавшемся им решении проблемы
Причинности (невозможность установить точные начальные значения затруд-
затрудняет предсказания и потому лишает причинность всякого операционального
Смысла), которое стало вы деющимся вкладом в современную философию.
Действительно, современную философию, как в этом позже признавался
Шпик3 г), подобное решение застигло врасплох, так как даже о возможнос-
возможности такого выхода никогда ранее не говорилось, хотя проблема причинности
была предметом дискуссий на протяжении многих веков.
Философы не срезу поняли,-какое значение имает статья Гейзенберга
\ Для проблемы причинности. Но даже и на физику ее воздействие не было
вкачала общепризнано, хотя реферат статьи (в отличие от статьи33) по
Матричной механике, написанной в июпе 1925 г.) появился в Physikalische
lerichte34) сразу после ее публикации и немного позже в Science
Abstract35). Если не считать Бора и Паули, близко знакомых с идеями
"• Schlick M. Die KausalitSt in der gegenwartigen Physik. - Die Naturwissenschaften,
1931, Bd 19, S. 145-162. "Если говорить также о философских размышлениях над
^терминизмом и индетерминизмом, над содержанием, значением и проверкой принци-
принципе причинности, — то никто прямо не подумал о той возможности, которую пре-
предоставляет нем квантовая физика в качестве ключа к постижению того типа причин-
причинного порядка, который существует в реальной действительности" (с-145).
">См. с. 210.'
**) Phvsikalische Berichte. 1927. S. 1784.
1 s'Science Abstracts, 1928, v. 31, p. 11. 8 обеих аннотациях сообщалось только, что
"предложены строгие определения положения, скорости . . . , справедливые в кван-
. М. Джем мер
Гейзенберга, только Кеннард, посетивший Копенгаген, с самого начала
в полном объеме оценил всю важность соотношений неопределенности.
Уже в июне 1927 г. Кеннард в упоминавшейся ранее обзорной статье )
назвал эти соотношения "ядром новой теории" ("der eigentliche Kern
der neuen Theorie"K7). Он также обобщил вывод Гейзенберга на случай
двух любых канонически сопряженных переменных и указал, что при
гауссовой форме респределения вероятности получается оптимальный
предел для точности. Кроме того, добавил он, больше уже нельзя говорить
(как в классической физике) об истинном значении физической вели-
величины, так как то, что ранее рассматривалось как "ошибки наблюдения",
теперь стало неотъемлемой частью теории. Паули, в широко известной
статье для Энциклопедии38), начал изложение общих принципов кван-
квантовой теории с соотношений неопределенности. Есть указания на то, что
под влиянием Паули создавалось также первое руководство по квантовой
механике, в котором соотношения неопределенности выступали как
неотъемлемая часть логической структуры всей теории, - книга Германа
Вей л я "Теория групп и квантовая механика" 3'); кстати, по предложению
Паули Вейль вывел соотношения неопределенности с помощью неравенст
ва Шварца. Ч.Г. Дарвин, вероятно, первым увидел связь между соотно
шениями неопределенности и обращением интеграла Фурье, о чем сви
детельствует его статья "Электрон как векторная волна").
Как и следовало ожидать, в некоторых кругах принцип неопределен
ности был воспринят как вызов изобретательности экспериментаторов
и было предложено немало мысленных экспериментов с целью опроверг-
опровергнуть его. Так, на собрании Американского физического общества в
Нэшвиле 30 декабря 1927 г. Руарк4') предложил следующий идеализирован
ный эксперимент. На большом расстоянии d друг от друга расположены
две щели, снабженные подвижными затворами. В момент времени f;
товой механике, и показано, что канонически сопряженные величины могут быть
найдены одновременно лишь с характерной неточностью. Последняя представляет
специфическую основу для появления статистических связей в квеитоаой механике
Математическая формулировка дана с помощью теории Дирака - Йордана .. . ".
">См. 16.95].
">Тамже, с 337.
"'См. [5.283, 5.283»). Подход Паупи был впоследствии принят в многочислен
иых руководствах по квантовой махеника. Ср., например, Bohm D. Quanium Theory. -
Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, 1961; Dushman S. The Elements of Quantum
Mechanics. - N.Y.: Wiley, 1938; Knman H.A. The Foundations of Quantum Theory.
Amsterdam: North Holland Publishing Co.. 1957; Heisenbarg W. The Physical
Principles of Quantum Theory: University of Chicago Press, 1930; Landau L.O.. Lifthiu E.M
Quantum Mechanics. - L.; Pergamon Press; Reading, Mass.: Addison-Wesley, 1958
March A. Die Grundlagen der Quanlenmechanik. - 2 Auf. - Leipzig; J.A. Berth, 1931
SchiffL. Quantum Mechanics. - N.Y.: McGraw-Hill. 1949.
"*• См. Бот Д. Квантовая теория E.284«); ГвОзвнберг В. Физические принципы
квантовой теории. — М., Л.^ ГТТИ, 1932; Ландау Л Д., Лифшиц Е.М. Квантовая ме
хаиика. — 3 изд., парераб. и доп. при участии Л.П. Питаевского. — М.: Наука, 1974.
Марк А. Основы квантовой механики. - Л., М: ГТТИ, 1933; Шифф Л. Квантован
механика. — М.: ИЛ. 1957.
1 • (?Vayl J. Gruppentheorie und Quantenmechanik. - Leipzig: S. Hirzel, 1928
2 Auf., 1931; The Theory of Groups and Quantum Mechanics. - L.: Methuen, 1931; N.Y
Dover, 1950.
4*>Darwin C.G. The electron as a vector wave. - Proceedings of* the Royal Society oi
London (A). 1927, v. 117, p. 258-293; попучаио 25 октября 1927 г.
41) Ruark A.E. Heisenberg's indetermination principle and the motion of free particles.
Bulletin of the American Physical Society, 1927, v. 2. p. 16; Physical Review, 1928, v. 31
p. 311-312.
322
первая щель открывается на время т и через нее проходит свободно дви-
движущаяся частица. Если при этом обнаруживается, что частица проходит
через вторую щель, которая открывеется в момент t2 и также на время
т, то, поскольку d и г» - t, можно определить сколь угодно точно, а т мож-
можно брать достаточно малым, простые расчеты обнаружат, казалось бы, на-
нарушение гейзенберговского соотношения неопределенности. Однако,
говорил Руарк, зто не так: "принцип неопределенности" Гейзенберга (он
лераым назвал его принципом) остается справедливым, поскольку
"измерительные устройства являются совокупностями атомов и сами под-
подвержены флуктуациям". Через несколько недель, на собрании Общества
24-25 февраля 1928 г. в Нью-Йорке, Руарк41) пересмотрел свою аргу-
аргументацию и заявил: "Скорость частиц изменяемся, когда она проходит
первую щель, так как частицу можно рассматривать как группу волн,
а частота каждой гармонической составляющей в группе изменяется бла-
благодаря модуляции, обусловленной затвором. Это связано с изменением
энергии, а значит, и скорости".
Под влиянием идей Руарка Кен нард43), вернувшийся в конце 1927 г.
из Копенгагена в Корнельский университет, очень подробно изучил, как
"эффект затвора" изменяет скорость электрона, и заключил по аналогии
с разложением в ряд Фурье конечного цуга волн, что скорость электрона
предсказуема только в статистическом смысле. Как небезынтересно от-
отметить в этой связи, и Руарк, и Кеннард прошли мимо того, что принцип
неопределенности не относится к прошлому. Действительно, из рассмот-
рассмотренных ими идеализированных экспериментов было легко найти, что если
точно измерить положение электрона после того, как была точно изме-
измерена его скорость, произведение bq Ьр оказывается много меньше h. Но
«то значение, как вскоре указап Гейзенберг44) в лекциях, прочитанных
Л Чикаго, "никогда нельзя использовать как начальное значение при каком
бы то ни было вычислении будущего состояния электрона и поэтому оно
не может быть подвергнуто экспериментальной проверке. Придавать ли
какой бы то ни было физический смысл подобным вычислениям,
касающимся прошлой истории электрона, — дело личных убеждений5).
Впрочем, при изучении этих мысленных экспериментов Руарк получил
один важный результат. Напомним, что по утверждению Гейзенберга ди-
динамическую переменную типа положения частицы можно было измерить,
по крайней мере в принципе, с любой степенью точности, хотя и ценой
утреты точности при одновременном измерении сопряженной ей пере-
переменной.-Руарк46) одним из первых нашел возражения против этого. Он
указал, например4 7), что при освещении 7-лучами длину волны падающего
излучения нельзя сделать меньше, чем возрастание длины волны, обус-
обусловленное эффектом Комптона, которое при рассеянии на 90° состав-
*')fiuark A.E. Heisenberg's uncertainty relation and the motion of free particles.—
Physical Review, 1928, v. 31, p. 709.
41) Kennard E.H. Noie on Heisenberg's indetermination principle. — Physical Review,
192B, v. 31, p. 344-34B.
* *) Heitenberg W. The Physical Principles of the Quantum Theory 138].
44 *) Гейзенберг В. Физические принципы квантовой теории C8*).
4>>См. D4), с. 20; D4*).с. 21.
4tlfiuark A.E. The limits of accuracy in physical measurements. — Proceedings of the
National Academy of Sciences. 1928, v.-14, p. 322-328.
4T> Сегодня, конечно, можно выдвинуть дополнительные возражения по поводу
¦мимодайствия при таких высоких энергиях.
*" 323
ляет him с. Похожие результаты, но на основании релятивистских сооб-
соображений, были получены также Флинтом и Ричардсоном48).
Пока Руарк и Кен нард обсуждали прежде всего экспериментальные
аспекты принципа Гейэенберга, Кондон и Роберт сон изучили его матема-
математическую связь с формализмом квантовой механики. Пытаясь найти общую
формулировку принципа, который, как предполагалось, справледлив
для двух любых некоммутирующих операторов, Кондон ) столкнулся
со следующими трудностями. Во-первых, из некоммутативности опера-
операторов А и В не следует, что произведение соответствующих неточностей
АААВ, которые Кондон определял, следуя Вейлю, через дисперсию
(квадрат стандартного отклонения) как
{ААJ = 5фтА
должно быть не меньше некоторого положительного нижнего предела.
Во-вторых, даже если А и В не коммутируют, некоторые значения величин,
представляемых этими операторами, могут быть одновременно известны
точно. Наконец, существуют состояния, в которых А и В коммутируют,
хотя значения соответствующих величин нельзя определить с неограничен-
неограниченной точностью. Касаясь первого пункта, Кондон рассмотрел ALt, неопре-
неопределенность /-компоненты момента импульса, для собственной функции водо-
водорода ф„1т = R (r) exp {im<p)P™ (cost)); поскольку L. =mh, он получил
ALXALZ » 0, хотя LKLl - Lz Lx Ф 0. Далае он взял функцию ф„00. так
что Lx = Ly = Lt ¦ 0 и неопределенность отсутствует. Наконец, он указал,
что для функции Фп10 (для которой Lt =0) из соотношения LxLy -
-LyLx = ibLt вытекает, что Lx и Ly коммутируют, хотя А1.хФ0 и
Несколькими неделями позже ситуацию прояснил Робертсон5°), кол-
коллега Кондона по Принстону. Он показал, что принцип неопределенности
можно общим образом сформулировать для двух любых эрмитовых опе-
операторов, если при этом использовать волновую функцию рассматривае-
рассматриваемого состояния. Робертсон доказал, что для заданной нормированной
функции ф0 и двух эрмитовых операторов А и В имеем
Л i Со |
АААВ> —, G.3)
4тг
где .
, 2т
Co=J*o Сфdr. С = (АВ-ВА).
h
(ААO =1ФЦА-А0Jф0с1т. А0=!ф'0Аф0с*т
**l Flint H.T., Richardson O.W. On the minimum proper time and its application A)
to the number chemical elements B) to some Heisenberg relations. — Proceedings of the
Royal Society of London (A), 1928, v. 117, p. 637-649.
49 ** Condon E.U. Remarks on uncertainty principles. — Science, 1929, v. 69, p. 573-574;
закончено 10 мая 1929 г. Как следует упомянуть в этой связи, из статьи Йордана
(Jordan P. Uber eine neue Begriindung der Quantenmechanik II. — Zeitschrifl fur Physik,
1927, Bd 44, S. 1-25) уже следовало, что соотношение U>,l.zl >/h,B противоположность
соотношению \г,Рг) mih.H» выполняется. О соотношении неопределенности между
&LZ и Д^ см. статью: Judge О.On the uncertainty relation for angle variables. —II Nuovo
Cimento, 1964, v. 31. p. 332-340.
*° ^Robertson H.P. The uncertainty principle. - Physical Review, 1929, 34, p. 163-164;
закончено IB июня 1929 r.
324
и т.д. В слегка измененных обозначениях 5' G.3 ) можно записать в виде
lA]jlAHAy,B)>V?\<D)i, |, G.3')
где iD = АВ - В А. В частном случае А = р и В = q, указал Робертсон,
имеем С = С„ = 1 и
> Л/4я G.4)
в полном согласии с результатами Вейля. Дичберн вскоре окончательно
прояснил связь неравенства G.4), которое он назвал "неравенством Паули",
с первоначальным "равенством Гейзенберга" G.1), указав, что в соответ-
соответствии с общей теорией ошибок имеем Дд = bq / у/? и аналогично для Ар,
и строго доказав (с помощью Дж.Синджа), что граничный случай равенства
в G.4) получается только в случае гауссовского распределения ошибок.
Шрёдингер, как мы знаем из его переписки с Бором 53) и Эйнштей-
Эйнштейном 5, очень внимательно изучал разнообразные следствия принципа
неопределенности, например, возможность различить дискретные уровни
энергии атомов идеального газа, находящихся в замкнутой полости .
Весной 1930 г. Шрёдингер занимался задачей об "оптимальном" одновре-
одновременном измерении величин р0 и q0 в момент времени г0, а именно, как
должна быть распределена между этими величинами неизбежная неопреде-
неопределенность Л/4тг, чтобы в данный последующий момент г неопределенность
Д<7 в определении положения была минимальна. Когда Зоммерфельд обра-
обратил его внимание на статьи Кон до на и Робертсона, Шрёдингер сразу же уви-
увидел возможность улучшить их результат. Он показал , что для любых
двух эрмитовых операторов А и В и любого состояния ф имеем
(ЬАJ1АВJ>
АВ-ВА
G.5)
' Очень краткий вывод формулы G.3') см. в статье: TyagiN.K. New deriva-
derivation of the Heisenberg uncertainty principle. — American Journal of Physics, 1963, v. 31,
tp.624.
| ' Ditchburn R.W. The uncertainty principle in quantum mechanics. — Proceedings of
I the Royal Irish Academy. 1930, v. 39. p. 73-80.
' ) Bohr Archive, Copenhagen. Письмо Бору, датированное 13 мая 1928 г., и от-
ответ Бора от 23 мая 1928 г.
! ) Einstein Estate, Princeton, N.Y. Письмо Эйнштейну, датированное 30 мая
| 1928 г. (Это письмо вместе с ответом Эйнштейна см. в кн.: Шрёдингер Э. Избренные
труды [3.33*1, с. 333—334. Там же в применении говорится о содержании писем Шрё-
дингера и Боре, упомянутых в сноске [53]. — Примеч. пер )
) Ср. текже его критику понятия частицы на базе принципа неопределенности
в статье: What is an elementary particle? — Endeavour, 1950, v. 9, p. 109—116; Smithso-
Smithsonian Institute, Annual Report, 1950, p. 183-196; In: Science, Theory and Man. - N.Y.:
Oover, 1957, p. 193-223.
' Шрёдингер Э. Что такое элементарная частица? — В кн.: Новые пути в физике
|5.249-1.с.116-134.
[ ' * > Schrodinger E. Zum Heisenbergschen Unscharfeprinzip. — Berliner Berichte, 1930.
[ S. 296-303.
" *) Шрёдингер Э. К принципу неопределенности Гейэенбарга. — В кн.: Избранные
труды [3.33-1. с. 210-217.
325
где А = / ф*Афс1т и т.д. Хотя первый член, ( ...) 2,в правой части G.5) в
частных случаях, как, например, при оптимальных одновременных измере-
измерениях канонически сопряженных переменных, может обращаться в нуль,
в общем случае формула Шрёдингера G.5) давала более высокое значение
нижнего предела произведения неопределенностей, чем полученные ранее
формулы.
В начале тридцатых годов был полностью осознан весь масштаб физиче-
физических и эпистемологических следствий принципа неопределенности Гейзен-
берга, и он стал предметом многочисленных обсуждений как среди физи-
физиков, питавших склонность к философии, так и философов, интересовав
шихся основами науки57'. Ч.Г.Дарвин назвал принцип "великим дости
жени ем" 58', тогда как фон Лауэ отказался принять его, ибо он ставил
предел поискам более глубоких причин. Поппер60' обвинил Гейзенбергг
в том, что он пытался "дать причинное объяснение невозможности причин-
причинных объяснений". Некоторые даже увидели в принципе неопределенности
Гейзенберга способ разрешения давнего философского ' противоречия
между свободой воли и детерминизмом. "Если атому присуща неопределен-
неопределенность, - утверждал Эддингтон "', - то, конечно, человеческому разуму
должна быть присуща не меньшая неопределенность; действительно, мы
вряд ли можем принять теорию, которая считает разум более механистич-
механистичным, чем атом". На основе современной квантовой механики неожиданно
ожила теория Лукреция exegium clinamen principiorum 6 , его учение о
) Одним из первых с возражениями выступил Келиер (Kellner C.W. Die Kausa
litet in der Physik. - Zeitschrift fur Physik, 1929, Bd 55, S. 44—51; Die Keusalitet in dei
Quentenmechanik. II. - Ibid., 1930, Bd 59, S. 820-835; Zwei Bemerkungen zu meiner
Arbeit 'Die KausalitSt in der Physik". - Ibid.. 1930, Bd. 64, S. 147-150; Die Kausalitat in
der Physik. - Ibid., S. 568—580. Кепнер различал, попьэуясь его выражениями, "техни-
"технический принцип причинности", который почти эквивелентен "сильной" формулиров
ке Гейзенберга, и кантовский принцип причинности, который утверждает существова
ние однозначно опрадепеннои структурной вэеимосвяэи между всеми явлениями. К ел
нер утверждал, что Гвйэенберг не опроверг справедливости кантовского принципа. Ни
сходных основаниях Маргенеу {Mergenau H. Causality and modern physics. — The Monist,
1931, v. 41, p. 1—36) пришел к аналогичному заключению: "квантовая механика не тре
бует отказа от принципе причинности"; впоследствии он отошел от этой точки зрении
Аналогичные взгляды высказывал также Бруншвиг (Brunschwieg L. Science et la prise
de conscience. — Scientia, 1934, v. 55, p. 334—342). Связанные с зтим замечания относи
гепьно того, что Геизенберг не проводил различия между справедливостью и примени
мостью принципа причинности, см., например, в недавней статье Хюбнера {НйЬпег К
Zur gegenwartigen pnilosophischcn Diskussion der Ouantenmechanik. — Philosophia Nalura
lis, 1965. v. 9, P. 3-21).
' Darwin C.C. The uncertainty principle. - Science, 1931, v. 73, p. 653—660; The
uncertainty principle in modern physics. - Scientific Monthly, 1932, w. 34, p. 387-396
* * ) Von Laue M. Zu den Erorterungen uber Keusalitet. — Die Neturwissanscheften, 1932.
Bd 20, S. 915—916; Uber Heisenbergs Ungenauigkeitsbeziehungen und ihre erkenntnislheore
tische Bedeutung. - ibid., 1934, Bd 22. S. 439-441.
*°> Popper K.R. Die Logik der Forschung. - Wien: Springer. 1935, S. 184; The Logic of
Scientific Discovery. - N.Y.: Basic Books, 1959, p. 249. См. также его статью IZur
Kritik der Urgeneuigkeitsreletionen. — Die Neturwissenschaften, 1934, Bd 22. S. B07-BO8)
в которой предлагается эксперимент, опровергающий принцип Гейэенбврге. и критику
¦>той ствтьи фон Вейцзеккером (ibid., S.808).
*') Eddington A.S. The decline of determinism. — Mathematical Gazette, 1932 v. 16
p. 66-80.
'' > Lucretius Carus Г. De <n urn netura, liber II, 292.
326
ом, что свободная воля человека возможна благодаря "малым отклоне-
)иям первичных начал"
Подробное обсуждение всех этих вопросов увело бы нас слишком дале-
:о от темы. Но хотелось бы указать, что принцип неопределенности продол-
продолжает и сейчас занимать видное место в исследованиях основ квантовой
механики. Так, ограничиваясь только одним примером, при строгой пере-
переформулировке квантовой механики как общей статистической динамиче-
динамической теории, т.е. теории, в которой изменение распределения вероятностей
«-. .6 3)
X течением времени также представляет чисто стохастический процесс
Приходят к заключению (в рамках обычных вероятностных концеп-
концепций) , что истинное совместное распредепение вероятностей для двух вели-
величин, например положения и импульса, существует не всегда, т.е. "положе-
"положение и импульс не только нельзя точно измерить одновременно, но вообще
,,65)
нельзя одновременно измерить
Обсудив развитие принципа Гейзенберга и вытекающие из него следст-
следствия, касающиеся понятия причинности, как оно трактовалось тогда физика-
физиками, мы теперь в состоянии обсудить также следствия, касающиеся понятий
тождественности, неразличимости и идентифицируемости физических объ-
объектов. Эти понятия выдвинулись на передний план, когда предметом кван-
товомеханических исследований стали наблюдаемые в опытах спектры
многоэлектронных атомов.
Наши замечания о принципе Паули, который тесно примыкает к рас-
рассматриваемой сейчас теме, можно было бы повторить: предмет исследова-
исследований, который бып связан как с физикой, так и с философией, не был еще
полностью изучен с эпистемологической и логической точек зрения. По-
Поскольку пересмотр указанных выше понятий, сыгравших важную роль
в установлении квантовой статистики, привел к философским выводам,
'имевшим далеко идущие последствия, представляется уместным вкратце
остановиться на их концептуальном развитии до создания нерепятивист-
Ской квантовой механики.
Начнем с понятия "тождественных" или, как мы предпочтем называть их
в этом разделе, "одинаковых" 67> частиц, т.е. частиц, совершенно равных
) Лукреций. О природа вещей. — М.: ГИХЛ, 1937. Соглесно комментериям
ФА.Петровского, в ст. 216—293 книги второй Лукреций говорит об "отклонении
(clinamen) етомов от отвесного педания книзу. Гипотезе этого незаметного и произ-
произвольного отклонения етомов от отвесной линии принедпежит Эпикуру... В ст.251-293
Лукреций- доказывает несомненность этого отклонения очевидным для него фактом
свободы воли" (с. 267)
1 Ср., непример, Moyel J.E. Quantum mechanics es a statistical theory. - Pro-
Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 1949, v. 45. p. 99-124.
* * ' Suppes P. Probability concepts in quantum mechanics. — Philosophy ol Science, 1951.
v. 28, p. 378-379.
' Тем же, с. 378.
' См. конец гл. 3.
1 Чтобы избежать недоразумений, мы будам употреблять термин "тождествен-
"тождественные", если иное не укезано специально, для обозначения "численной тождественно-
тождественности". Често употребляемый термин "похожие" (like) частицы, видимо, не вполне
адекватен, так как этот термин — в большей степени, чем "одинаковые", — допускает
некую возможность качественного резличия. Аристотель говорил: "Сходным назы-
называется ... также то, что испытывает больше одинаковое, чем разное" [Аристотель.
Метафизике, V 9, 1018а, 15—17. - В кн.: Аристотель. Сочинения в четырех томех. -
М.: Мысль, 1976, т. 1, с. 158, перевод А.В.Кубицкого). Не подходит и термин
327
друг другу по своим качествам или физическим параметрам. Вопрос t
том, существуют ли действительно в природе такие одинаковые объекты,
имеет свою собственную долгую историю. Большинство натурфилософских
школ, которые основывали свои системы взглядов на концепциях комби
наторной дискретности (подобно пифагорейской доктрине атомов), ут
верждало существование таких объектов, тогда как школы, принимавши)
за основополагающие понятия концепции непрерывности и детерминизма
отвергали таковое. Как часто утверждается, Демокрит, согласно котором\
"атомы различаются по форме и размеру", учил, что атомы одного типо
строго одинаковы, но это утверждение, по-видимому, не выдерживаем
документальной проверки. Так, не решает вопроса аристотелевское описа
ние атомов Демокрита: "а природа ... у них одна - как если бы каждый
[атом] бы» отдельной [частицей] золота" 68>.
Впрочем, не приходится сомневаться в том, что стоики с их верой в не
прерывность и детерминизм категорически отвергали существование по
добных объектов. С их точки зрения два физических объекта, сколь бы
неразличимыми они ни казались, должны внутренне отличаться друг от дру
га, поскольку в противном случае не найдется достаточных оснований длр
объяснения, почему они занимают различное положение в простренстве
Так, например, Цицерон, познакомившийся с онтологическим реализмом
стоиков через Диодора, Антиоха из Аскалона и Посидония, приписывал иг.
такое высказывание: "Нет волоса или песчинки, которые во всех отноше
ниях были бы такими же, как другой волос или песчинка" 69>. Луций Ан
ней Сенека, видный римский стоик, писал в том же ключе: " ... среди тако
го обилия вещей он {создатель) ни разу не впал в повторенье: ведь даж>
на первый взгляд похожее оказывается разным, если сравнить. Сколько
создал он разновидностей листьев - и у каждой свои особые приметы
сколько животных — и ни одно не сходствует с другим полностью, всегд.<
есть различия. Он сам от себя потребовал, чтобы разные существа были и
не похожи, и не одинаковы" 70>. Плутарх, указав, что академики "смеши
вают вещи неразличимые тем, что они приписывают одно и то же качеств*
двум субстанциям" , ввел в философские трактаты термин "неразпичи
мость" (atrapa'k \al-ia\, который уже появлялся в трудах Филодема и<
"неразличимые", так как он вносит оттенок субъективного восприятия, и в теории
как мы увидим, "одинаковые" частицы вполне могут быть "различимыми". В данно*
контексте "одинаковые" следует понимать как технический термин, не синонимичны.
с "похожие" . По-видимому, ни в одном языке нельзя найти специального слова ал
указания точного качественного сходства в отличие от численной тождественное
> Aristotle. Ое Caelo, 276 а, 1.
' Аристотепь. О небе. I 7, 276а, 1. - В кн.: Аристотепь. Сочинения |67|, 198
т. 3, с. 285 (перевод А.В.Лебедева).
' Tullii Ciceronus М. Academicorum Postenorum Liber II, 26, sec. 85: In: The Acail'
mica of Cicero. — L.: Macmillan, 1874, p. 66; In: The Academic Questions of M.T. Cicero
L.: George Bell, 1887. p. 4B
* о»
' L. Annaei Senecae Ad Luciiium Epistularium Moralium quae supersun
Epistula CXIII. - Leipzig: Teubner, 1914, S. 542.
' Луций Анмей Сенека. Нравственные письма к Луцилпию. — М.: Наука, 197
Письмо CXIII, с. 285-286. Перевод С.А.Ошерова.
ill
' Plutarchi Chaeronensis Scripta Moraha, Grace et Latine (De communibus notit.
1077 c). -P.: A.F.Didot. 1841. v. 2. p. 1318.
328
Д же дары 72'. Плотин 73', основатель школы неоплатонизма в Риме, Афа-
иасии ', выступавший против арианскои доктрины равносушности
Бога-отца и Бога-сына *', Джордано Бруно 7S , Никола Мапьбранш и
другие мыслители прошлого сходились во мнениях со стоиками, хотя и по
разным мотивам.
Наиболее содержательная формулировка этой точки зрения, основанной
на аргументации, очень близкой к аргументации стоиков77, была дана
Лейбницем в его principium identitatis indiscernibilium**' . "Никакие лна
Объекта в природе не могут отличаться только числом81. В четвертом
Письме к Самуэлю Кларку , ' Лейбниц заявил: "Не бывает никаких двух
неразличимых друг от друга отдельных вещей". В противном случае, рас-
рассуждал он, нельзя с достаточным основанием объяснить, почему объект А,
неходится в положении а, и объект А2 - в а2, а не Ai в аг \л А2 в ax.
Подробное обсуждение влияния лейбницевского принципа тождествен-
тождественности неразличимого на позднейшие научные течения завело бы нас слиш-
' Philodemos: Peri Semeion kai Semeioseon/ed. T.Gomperz. — Leipzig, 1865, p. 6,
37; Lexicon Philodemeum. — Purmerend: J.Muustes, 1934. v. 1 ,p. 36.
15> Plotini Opera Omnii/ed. G.H.Moser, F.Creuzer. - Oxonii, 1835, p. 998-999.
' Athanasius S. Orationes adversus Arianos. — In: Patrologia Graeca/ed. J.P.Migne. —
f.,1857.v.26,p. 186-187.
**"Ариане были противниками тезиса о "равносущности", возобладавшего на
Иикейском собора C25 г.). Подробнее см., например, Донини А. У истоков
христианства. — М.: Политиздат. 1982, с. 243-256.
) Bruno С De Tnplici Minimo el Mensura ad Trium Speculativarum Scientiarum et
Multarum Activarum Artium Principia Libri V. - Francofurti, 1591.
71) "Несомненно, что все тела природы, даже те, которые мы называем одинаковы-
одинаковыми, различаются одни от других". Malebranche N. Recherche de la Verite". — In: Oeuvres
de Malebranche. - P.: Charpentier, 1871, v. 3, p. 439-440.
т'*) Мапьбранш Н. Разыскания истины / Ред. Э.Л.Радлоа. — С.-Петербург, 1906,
Т. II, с. 51.
") Убервег (Ueberweg F. Grundniss der Geschichte der Philosophie des Altertums. —
4 Aufl. - Berlin: E.S.Mittler, 1903, S. 298) уже выдвигал предположение о впиннии
втоиков на Лейбница в этом вопросе. Можно добавить, что в пользу этого предполо-
предположения говорят такие высказывания Лейбница, как: "Нельзя ... разыскать двух
Листьев растений в саду, совершенно схожих между собой" (цит. по кн. Opuscules et
Fragments Inedils de Leibniz / ed. L. Couturat. — P.: Alcan, 1903, p. 579) и "М. д'Аль-
•енслебен хотел опровергнуть это делом и искап в саду два подобных листа; он их.
Конечно, не нашеп" (письмо к принцессе Софии от 31 октября 1705 г.).
*) Близкие высказывания см. в четвертом письме Лейбница Кларку |79|.
* * )¦ Принцип тождества неразличимых (лег.).
> Там же, с. 519. Ср. Leibniz. Nouveaux Essa
ology. - In Duncan CM. The Philosophical Wo
tle, Morehouse, Taylor, 1890, p. 219, где утв
монада представляет весь универсум по-своему, все монады отпичаются друг от друга.
Лейбниц Г. Новые опыты о человеческом разуме. — М., Л., 1936. Монадопо-
. — В кн.: Лейбниц Г. Сочинения в четырех томах. — М.: Мысль. 19В2 т. 1,
9; см. с. 414.
'The Leibniz-Clarke Correspondence / ed. H.G.Alexander. - N.Y., 1956,
' Переписка с Кларком. — В кн.: Лейбниц. Сочинения, т. 1 |7В«|, с. 450.
Там же, с. 519. Ср. Leibniz. Nouveaux Essays (II, ch. 27, sec. 1); Leibniz'. The mo-
nedology. - In Duncan CM. The Philosophical Works of Leibniz. - New Haven, Conn.:
Tuttle, Morehouse, Taylor, 1890, p. 219, где утверждается, что поскольку каждая
329
ком далеко. Кант критиковал этот принцип как "ложный" ("adulterine
lex" 80>, тогда как Соломон Маймон возражал против этого, говоря:
"Различие во внешних пространственно-временных соотношениях берет
начало в различии внутренних качеств ... Две капли воды не могпи бы
появиться в двух местах, если бы они не различались по внутренним
качествам; мы не осознаем этого различия только в силу неполноты наших
понятий" 81>.
Более поздние высказывания по этому предмету можно найти в соот-
соответствующей литературе *2 >.
Обратившись теперь к школам, утверждавшим существование оди-
одинаковых физических объектов, мы обнаружим, что эта точка зрения
редко выражалась в явном виде. Это, конечно, не удивительно, если
учесть, что на протяжении многих веков в научной мысли господствовали
взгляды Аристотеля. Вплоть до возрождения атомистического учения
в семнадцатом веке главными сторонниками этой точки зрения были фило-
философы Калама83' (мутакаллимун), атомистическая доктрина которых
отвергала причинный детерминизм и принимала вместо этого трансценден-
трансцендентальный принцип постоянного божественного вмешательства. Их представ
ление об атомах, выраженное Моисеем Маймонидом, одним из главных
источников наших сведений о Каламе, было таким: "Все эти атомы совер-
совершенно одинаковы; они ни в чем не отличаются друг от друга" . Почти
теми же словами в начале XIX века выразился Джон Дальтон, зачинатель
) Кент писеп: "Нет, говорят, никекого основания для того, чтобы бог неэнечил
двум субстанциям различные месте, если во всех других отношениях они совершенно
между собой совпадают. Кекея нелепость! Я удивляюсь тому, кек серьезнейшие люди
могут тешить себя подобной детской игрой в доводы". Kant I. Principiorum Primo
rum Cogmtionis Metaphysical Nova Dilucidation (Proposition XI). — In: Kant I. Semtlichi
Werke. - Leipzig: L. Voss, 1B38, Teil I: Immanuel Kent's Kleine Logisch-Metaphysische
Schriften, S. 34; Ср. также Kritik der reinen Vernunft. - Riga: J.F.Hertknoch, 1787
S. 319-320.
) Кант И. Новое освещение первых принципов.метефиэического поэнения. -
В кн.: Кант И. Сочинения в шести томах. - М.: Мысль, 1964, т. 1, с. 303 (перевод
Б.А.Фохте); Канг И. Критике чистого разуме. — В кн.: Сочинения, 1964, т. 3, с. 316-
317.
' Maimon S. Versuch einer neuen Logik oder Theorie des Denkens. — Berlin: E.Fe
lisch, 1794; Berlin: Reutner und Reicherd, 1912, S. 197. Ср. также е. 134.
"Iftfme C.S. Collected Papers 14.52], v. 4,193_3,p.251, 311; Moore G.E. Philosophical
Studies. — L.: Trubner, 1922, p. 307; Waisman F. Uber den Begriff der Identitat. - Erkennt
nis, 1936. Bd 6, S. 56-64; Grelling H. Identites Indiscernibilium, - Ibid., S. 252-259
Russell 8. Human Knowledge: Its Scope and Limits. — L.: G. Allen end Unwin; N.Y.: Simon
end Schuster, 1948, P. 295: De Broglie L. L'individuelite' dans le monde physique. - In: Prob
I ernes de Connaissance en Physique Moderns. - P.: Hermann et Cie, 1949. p. 61-80, Black M
The identity ot indiscernibles. - Mind, 1952, v. 61, p. 153-164; Wilson N.L. The identity o1
individuals and the symmetric universe. - Ibid., 1953, v. 62, p. 506-511; Martin C.B. Idem
ty and exact similarity. - Analysis, 1958, v. 18, p. 83-B7;Nerlich G.C. Sameness, differene
end continuity. - Ibid., p. 144—149; Bobik K. Matter and individuetion. - In: The Concep-
of Metter. — Notre Deme. Ind.: University of Notre Deme Press, 1963, p. 277-28B.
*2 Paccen Б. Чеповеческое познание. - M.: ИЛ, 1957, с. 32В.
"> О Келеме и его физических теориях веществе, пространстве и времени см
Дшеммер М. E 1561. с. 60-64.
*4> Maimon ides M. The Guide for the Perplexed. - L.: G. Routledge, N.Y.: E.P.Dutton
1904.p 120.
330
современного атомизма: "Предельные (ultimate)частицы всех однородных
тел совершенно одинаковы";85>.
Приписав всем атомам одного химического элемента одинаковые качест-
качества, современная классическая физика отвергла, как очевидно, принцип
Лейбница. В разительном отличии от представлений Маймона, она более не
считала локализацию ключом к качественной дифференциации; эта идея
нашла большую поддержку в теории относительности. "Атом кислорода
остается тем же самым, независимо от того, спускается ли он с ручьем
в долину или покоится в озере, поднимается ли с паром или плавает в воз-
воздухе, вдыхается ли легкими или поглощается кровью; везде его можно
заменить любым другим атомом того же типа" - это утверждение Виндель-
банда, написанное в- 1910 г., характерно для представлений того
времени861.
Атомная теория XIX — начала XX веков принимала, как видим, что
частицы качественно тождественны — но она отрицала, что они неразли-
неразличимы! Если в учении стоиков и Лейбница детерминизм, в его логическом
проявлении как принцип достаточного основания, привел к отрицанию
качественной тождественности, то в современной классической атомистике
детерминизм, в его физическом проявлении как законы движения, привел
к отрицанию неразличимости. Действительно, утверждалось, что если две
частицы удалось "опознать", то они и будут оставаться "узнанными", так
как благодаря единственности решения уравнений движения их всегда
можно будет идентифицировать заново. Если движение каждой частицы
изображать мировой линией в четырехмерном пространстве-времени, то по-
получается семейство непересекающихся линий, каждая из которых может
однозначно охарактеризовать или пометить частицу, траекторией которой
она является. Поэтому думали, что всегда возможно, по крайней мере
в принципе, однозначно решить, является ли частица, найденная в опреде-
определенное время в определенном месте, той же самой, что и найденная в другое
время в том же или другом месте. Короче говоря, частицы могли быть
"одинаковыми", но они никогда не бы пи "неразличимыми". Даже в отсут-
отсутствие внутреннего различия качеств достаточным критерием для идентифи-
идентификации частиц является внешнее различие их кинематического поведения;
операциональное значение критерию придает предположение о ничем не
ограничиваемой возможности установить непрерываемую связь объекта
в момент времени г( с объектом в момент времени fj "путем непрерывно-
непрерывного наблюдения, прямого или косвенного, в течение всего промежуточного
времени" *7'.
Квантовая механика, как мы сейчас увидим, пошла на пересмотр этой
точки зрения, имевший далеко идущие последствия. В свете наших преды-
предыдущих замечаний интересно отметить, что Гейзенберг, одним из первых
физиков-"квентовиков" усомнившийся в доктрине детерминизма, также
первым понял важность понятия одинаковых частиц для новой системы
концепций. Уже весной 1926 г. он написал: "Характерной особенностью
атомных систем является то, что их составные части, электроны, одинаковы
">Oe/fon J. A New System of Chemical Philosophy. - 2 ed. - L.: J. Waele, 1842,
p. 142.
"IWtndetbandW.Ubei Gleichheit und Identitai. - Heidelberger Berichte, 1910
A4. Abhandlungl.S. 17-1B.
'' • Brldgmen P.W. The Logic of Modern Physics. - N.Y.: Macmillan. 1927, p. 92.
331
и подвержены равным силам" 88>. Чтобы показать, как выразить эту "осо-
"особенность" строго математически, он выбрал гамильтониан обсуждаемой
системы (классической системы двух связанных осцилляторов) в виде
симметричной функции координат и параметров (массы, частоты) состав-
составных частей 89'.
Примерно в то же время Дирак90) предложил новый квантовомехани-
ческий подход к статистическому рассмотрению сметем одинаковых час-
частиц; независимо подобные результаты получил Ферми9'). Как хорошо из
вестно, статистика Ферми — Дирака допускала только антисимметричные
функции, что и отличало ее от статистики Бозе - Эйнштейна 92) для оди-
одинаковых частиц и классической статистики Максвелла - Больцмана для
различимых частиц. В ноябре 1926 г. Гейзенберг 93) уже смог использовать
эти представления для рассмотрения атома гелия с учетом спина. Примерно
тогда же Фаулер94) вновь рассмотрел всю проблему.ab initio. Пытаясь
найти "вполне общую форму статистической механики, частными случая-
случаями которой является классическая ее форма, статистики Эйнштейна и
Ферми - Дирака", Фаулер определил одинаковые (он назвал их "тождест
венными") частицы как частицы, имеющие один и тот же набор значений
энергии 9S). Концепция одинаковых частиц, получившая тем самым статус
фундаментального понятия в новой схеме идей, вскоре была полностью
утверждена в своих правах работами Гейзенберга"), Хунда97) и Ден-
нисона98). Правильно истолковав изменение вращательной удельной теп
лоемкости молекулы водорода, Деннисон смог показать, что протоны, так
же, как и электроны, имеют спин % и подчиняются статистике Ферми -
Дирака, т.е. для них справедлив принцип запрета. Тем временем Вигнер")
"I " ... gleich und gleichen Kraften untermorfen". |3.213|, S. 414.
* *) Такой подход Гейзенберга несколько неломинает стиль рассуждений Лейбница
(Non inelegans specimen demonstrandi in abstractis. — In: God. Guil. Leibnitii Opera Philo
sophica. - Berlin: Eichler, 1840, S. 941 или Христиана Вольфа (Philosophia Prima sive
Ontologia A730) sec. 1B1 - In: Getammelte Werke; переиздание 1962 r.).
*°l Cm. I6.34J.
*' I Fermi E. Sulla quantizzazione del gas perfetto monoatomico - Rendiconti deli'
Accademia dei Lincei. 1926, v. 3, p. 145—149- Zur Quantelung des idealen einatomigen
Gates. - Zeitschrift fur Physik, 1926, Bd 36, S. 902-912.
*' "I Ферми Э. О квантовании идеального одноатомного газа. — В кн.: Ферми Э.
Научные труды, т. I 15.40-), с. 203-213.
921 См. 15.193,5.194,5.195, 5.193-, 5.194., 5.195.).
*J) HeisenbergW. Schwankungsercheinungen und Quamenmechanik. — Zeitschrift fur
Phyjik, 1926, Bd40, S. 501 -506.
* 4I Fowler R.H. General forms of statistical mechanics in the special reference to the
requirements of the new quantum mechanics. — Proceedings of the Royal Society of
London (A|. 1926. v. 113, p. 432-449.
" ) Там же, примечание на с. 434.
**) HeisenbergW. IMehrkSrperproblem und Resonanz in der Quantenmechanik II. — Zeit
«chrift fur Phyjik, 1927, Bd41, S. 239-267.
'¦*) Hund F. Zur Deutung der Molekelspektren II. - Zeitschrift fur Physik, 1927,
Bd 42, S. 93-120. Ранние оценки роли квантовой механики в объяснении структуры
атомов и молекул, а также химической связи см. в работе: Hund F. Allgemeinp
Quantenmechanik des Atom- uhe Molekelbaues. — In. Handbuch der Physik/eds H. Gei
ger, K.Scheel. - Berlin: Springer. 1933, Bd 24, Te.M B Aufl.), S. 561-694.
**l Danniton D.M. A note on the specific heat of the hydrogen molecule.— Proce
eding of the Royal Society of London (A), 1927, v. 115, p. 483-4B6.
")WignerE. liber nicht kombinierende Terme in der neueren Quantentheorie II
ZeiMchrift fur Physik, 1927, Bd40, S. 883-892.
332
нашел удачный подход к рассмотрению общего случая N одинаковых
частиц, связав его с теорией групп; эта связь на которую его натолкнул
фон Нейман, впоследствии стала одним из самых важных концептуальных
средств изучения элементарных частиц.
Летом 1927 г. выяснилась важность представлений об обменном вырож-
вырождении и обменной энергии для понимания атомных спектров. В июне Гайт-
лер и Лондон100) опубликовали свою известную работу о молекуле во-
водорода, в которой показали, что существует новый тип насыщаемых, недина-
нединамических сил между одинаковыми частицами, так называемые "обменные
силы" притяжения или отталкивания, и наметили общую схему теории го-
меополярной связи ' °1), в конечном счете подчинившую квантовой меха-
механике все химическое царство.
Полученные резупьтаты не только придали вес концепции одинаковых
частиц;, они показали также, что одинаковые частицы могут быть неразли-
неразличимы, т.е. могут терять свою "индивидуальность", — заключение это следу-
следует из соотношений неопределенности или, точнее, из невозможности просле-
проследить эа одной и той же частицей при взаимодействии одинаковых частиц.
Траектории этих частиц, в противоположность представлениям классичес-
классической динамики, уже нельзя мыслить в виде непересекающихся мировых
линий, их следует представлять семейством перекрывающихся линий. Фак-
Фактически все работы по обменным явлениям и, в частности, расчеты основно-
основного состояния атома гелия, в котором волновые функции двух электронов
полностью перекрываются, совершенно ясно демонстрировали необходи-
необходимость отказа от неограниченной различимости частиц. Далае, удалось пока-
показать, что принципу неопределенности Гейзенберга противоречила сама идея
почти непрерывной последовательности измерений конфигурации атома,
предназначенных для идентификации электронов в наинизших энергети-
энергетических состояниях, так как для этого требовалось достичь неточностей в
Определении положения, меньших среднего расстояния между электронами.
Кроме того, была создана теория рассеяния одинаковых частиц (она была
выдвинута Оппенгеймером|02) и впоследствии развита Моттом103)),
в которой появился интерференционный член, характерный для обменного
взаимодействия и приводящий к результатам, отличным от классических;
согласие расчетов эффективных сечений процессов, выполненных по этой
теории, с опытом представляло, так сказать, экспериментальное подтверж-
подтверждение неприменимости принципа неограниченной различимости.
Следует признать, впрочем, что такие далеко идущие заключения, хотя
и содержались неявно почти во всех статьях по этому предмету, но крайне
редко отчетливо формулировались авторами. Скорее, это был вопрос,
обсуждавшийся физиками с большой склонностью к философии. Так,
Келнер в уже упоминавшейся статье104) охарактеризовал новуюстатисти-
100) HeitlerW., London F. Wechselwirkung neutraler A to me und homoopolare Bin-
dung nach den Quantenmechanik. - Zeittchrifi fur Physik, 1927, Bd44, S. 455-472.
101) Существование различных типов химической связи осознавалось химиками
уже давно: понятия "гомеополярной" и "гетерополярной" валентностей были введены
м даа десятилетия до работы Гейтлера и Лондона Абегом (АЬадд Я. Ober die Fa'higkeit
der Elemente, miteinander Verbindungen zu bilden. — Zeittchrift fur anorgenische Chemie,
1906, Bd50. S. 309-314).
'*J> OppenheimerJ.R. On the quantum theory of electronic impacts. - Physical Re-
Review, 1928, v. 32, p. 361-376.
1 • • > Mott N.F. The exclusion principle and eperiodic systems. — Proceedings of the
Royal Society of London (A), 1929, v. 125, p. 222-230.
I(M> Cm. |57].
333
ку как "не допускающую повторного опознания (Wiedererkennbarkeit)
частицы, если ее след был однажды потерян"; Ланжевен обсудил эту проб-
проблему, выступая на съезде Французского общества физической химии в
1933 г.IOS); в англоязычном мире внимание философов к этим результа-
результатам было привлечено благодаря работам Ч.Г. Дарвина, особенно его книге
о новых взглядах на вещество106), получившей тогда большое распро-
распространение.
Следует подчеркнуть также, что отказ от различимости частиц ипи пред-
предположение о полной их одинаковости не всегда принимались безоговороч-
безоговорочно. Одно из основных возражений, выдвигавшихся и логиками, и физика-
физиками, состояло, если воспользоваться недавней формулировкой Артура Мар-
Маржа, в следующем: "Чтобы их < такие частицы) можно было посчитать за две
или больше, должно быть нечто внутреннее, в чем они отличаются друг
от друга"' ° 7). На это можно ответить, что число или, точнее, "возможность
приписать число" не обязательно есть свойство отдельных объектов, подле-
подлежащих подсчету; скорее это свойство системы, которая состоит из них.
Фактически мы никогда не пересчитываем электроны в атоме, а прове-
проверяем, согласуются ли с опытом математические следствия предположения
о том, что состоящая из них система характеризуется тем или иным числом.
Именно в этом смысле частицы, хотя и одинаковые, неразличимые и даже
неидентифицируемые, все же могут быть сосчитаны все вместе. Этими
замечаниями мы и завершим обсуждение.
7.2. Дополнительность
Часто встречающееся утверждение, что Бор вывел понятие дополнитель-
дополнительности из соотношений неопредепенности Гейзенберга, ошибочно как с исто-
исторической, так и концептуальной точек зрения. Для Бора соотношения не-
неопределенности Гейзенбрега послужили скорее подтверждением справед-
справедливости тех концепций, которые он нащупывал задолго до того, как Гей
зенберг получил свой принцип из теории преобразований Дирака - Йордана.
Работа Гейзенберга, действительно, подтолкнула Бора к последовательной
и окончательной формулировке своих размышлений о дополнительности,
но сами эти размышления, как мы увидим, можно проследить по меньшей
мере до июля 1925 г.
Хотя о генезисе этих идей Бора известно мало (с июля 1925 г. по сен-
сентябрь 1927 г., в наиболее напряженный период развития современной кван-
квантовой теории. Бор опубликовал очень мало работ по квантовой физике
и еще меньше высказывался о своих бопее личных философских идеях),
в одном, по-видимому, можно быть уверенным: боровская концепция
дополнительности выросла из принятия дуализма волна - частица, к ко-
которому он в конечном счете пришеп. Непреклонная позиция по отношению
к эйнштейновским квантам света, которую он занимал раньше (и которая
нашла столь яркое выражение в его ответе на письмо Эйнштейна вскоре
после публикации статьи Бора - Крамерса — Слэтера108), а также, по
крайней мере частично, привела его к очень нестандартным взглядам, вы
""> См.сообщение Улмо iUllmo J. L'evolution de la notion de corpuscule d'apres
M. Langevin. - Sciemia, 1934, v. 55, p. 103-117).
""> Darwin C.C. The New Conceptions of Matter. - NY.: Macmillan, 1931.
p. 196-197.
'"*> March A. Da» neue Denken der modernen Physik. - Hamburg: Rowohlt, 1957,
S. 121.
101 > См. с 187.
334
раженным в этой статье), была серьезно подорвана результатами экспери-
эксперимента Боте - Гейгера ' ° 9>.
Первое свидетельство признания Бором дуализма волна - частица и его
ранние идеи рассмотрения этой проблемы содержатся в четырехстраничном
послесловии, датированном июлем 1925 г., к статье110) о взаимодейст-
взаимодействии атомных систем, в которой этот вопрос рассматривался еще в духе
работы Бора - Крамерса - Слэтера. После завершения работы над статьей
Бору стали известны только что появившиеся результаты Боте — Гейгера,
которые убедительно доказывали, что испускание электронов отдачи жест-
жестко связано с испусканием фотоэлектронов, обусловленным рассеянием
излучения, тогда как согласно предположению о независимости переходов
в атомах, выдвинутому в статье Бора - Крамерса - Слэтера, связь электро-
электронов отдачи с актом рассеяния должна быть лишь случайной. Указанное
предположение, говорил теперь Бор, должно быть все равно сделано, так
как трудно представить себе такой пространственно-временной механизм,
который допускал бы подобную жесткую связь и в то же врамя согласо-
согласовался бы с классической электродинамикой, которая всегда оказывалась
столь полезной при описании оптических явлений. "При зтом следует под-
подчеркнуть, - заявил он, - что вопрос о связи или независимости индивиду-
индивидуальных наблюдаемых атомных процессов нельзя просто рассматривать
как вопрос различения (Unterschaidung) двух четко определенных точек
зрения на распространение света в пустом пространстве, возможно, соот-
соответствующих корпускулярной или волновой теориям света. Скорее, речь
идет о том, в какой степени пространственно-временные понятия, при
помощи которых до сих пор пытаются описывать явления природы, приме-
применимы в атомных процессах ... При таком положении вещей нужно быть
готовым к тому, что желаемое обобщение классической электродинамики
приведет к коренной ломке понятий (eine durchgreifende Revolution der
Begriffe), на которых до сих пор основывалось описание природы ).
Бор был убежден в том, что корпускулярную картину, о которой говорили
эксперименты Боте - Гейгера, следовало каким то гармоническим образом
сочетать с основным предположением статьи Бора — Крамерса — Слзтера,
согласно которому для описания радиационных аспектов атомных взаимо-
взаимодействий следует использовать волновую картину. По поводу аналогичной
дилеммы, вставшей перед ним при рассмотрении захвата злектронов быст-
быстрыми а-частицами (с учетом сохранения энергии). Бор отметил, что "в яв-
явлениях захвата мы, вероятно, вынуждены усматривать некую новую черту
сверх механической устойчивости стационарных состояний, не поддающую-
поддающуюся описанию при помощи пространственно-временных образов" ''3). Бор
считал также, что следует быть готовыми к встрече с процессами, "которые
несовместимы со свойствами механических моделей ... <и> которые
настолько же непривычно противостоят использованию обычных прост-
пространственно-временных образов, насколько связь индивидуальных113)
"") См. с. 186.
ll0)BohrN. Uber die Wirkung von Atomen bei Stolen. - Zeitschrift fur Physik,
192S, Bd34, S. 142-154 (получено 30 марта 1925 г.); Nachschrift. - Ibid, S. 154-157
(датировано июлем 1925 г.)
>lc*) БорН. О действии атомов при соударениях. - В кн.: Избранные научные
труды, т. I [1.111 • 1, с. 549-559; Послесловие. — Там же. с 559-662.
'") См. [110], с. 154.155; [110.], с. 560.
1 ") См. A10), с. 156; [110«], с. 561.
1IJ) О воровском понимании термина "индивидуальный" (individual) и возрас-
возрастающей роли этого понятия в концептуальной схеме Бора см. работу Мейер-Абиха
335
процессов в удаленных друг от друга атомах противостоит волновому опи-
описанию оптических явлений" " *).
С этого времени дилемма волна — частица, по-видимому, постоянно за-
занимала Бора. Зыступая 17 декабря 1926 г. в Датской академии наук с
докладом "Атомная теория и волновая механика15), он довольно
подробно остановился на этом вопросе. После доклада он сказал Гёффдин-
гу, что "все более и бопее уверен в том, что для выражения последних
достижений в физике необходима символизация" ).
В дискуссиях, последовавших за визитом Шрё'дингера в Копенгаген, и
особенно в-слорах с Гейзенбергом о смысле соотношений неопределенности
Бор отверг более формальный подход Гейзенбрега и встал на ту точку зре-
зрения, что дуализм волна — частица следует принять исходным пунктом ин-
интерпретации теории. Бору не нравились ни идея Гейзенберга о том, что
"природа имитирует математическую схему"'17), ни одностороннее пред-
предпочтение, отдававшееся им интуитивной концепции классической частицы,
приложимость которой следовало лишь несколько ограничить, чтобы
избежать противоречий с квантовомеханическим формализмом.
Из замечаний Гейзенберга118) о том, что "Бор развил свои идеи отно-
относительно дополнительности" в начале 1927 г., проводя отпуск в Норвегии,
следует, что именно в это время Бор связал свои общие идеи о дуализме
волна — частица с квантовым постулатом (так он назвал его впоследствии),
согласно которому с каждым атомным процессом следует ассоциировать
существенную дискретность ипи "не—поддающуюся—дальнейшему—анали-
"не—поддающуюся—дальнейшему—анализу—индивидуальность", т.е. понятие, совершенно чуждое классической
физике, символом которого стала планковская постоянная действия.
В отличие от Гейзенберга, Бор считал, что при попытке достичь адекват-
адекватной интерпретации теории за основу следует взять не формализм как та-
таковой, а ту логику, на которой он основан. Обратившись к основным со-
соотношениям
E = hv. p=hk. <7-6>
выражающим пропорциональность энергии Е (импульса р) частоте v (вол-
(волновому числу к). Бор спросил себя, как оказалось возможным, что эти
соотношения связывают между собой характеристики излучения, строго
говоря, противоречащие друг другу, т.е. корпускулярные атрибуты, энер-
энергию и импульс, необходимые для описания взаимодействия излучения с
веществом, как, например, при фотоэффекте или эффекте Комптона, с
частотой и волновым числом, необходимыми для описания распространен
[Meyer-Abich K.M. Korrespondenz, Individualist und Komplimentaritat [2.1211, S.117-
122).
¦"') См. 1110),с.156; ПЮ-1.С.561.
1 " ) Сообщение об этом докладе см. Nature, 1927, v. 119, p. 262.
1 ' *) Письмо Гёффдинга к Мейерсону от 30 декабря 1926 г., см. Correspondence ent-
re Harald Hoffding et Emile Meyerson. - Copenhagen: Munksgaard, 1939. p. 131.
1' T) Archive for the History of Quantum Physics. Интервью с В. Гейэенбергом от
25 февраля 1963 г.
1 '') Heisenberg и/ Die Entwicklung der Deutung der Quantentheorie — Physikalische
Blatter. 1956, Bd12, S. 289-304; 50 Jehre Quantentheorie. - Naturwissenschaften 1951
Bd 38, S. 49-55.
1 "*• Гшпзвнбергв. Пятьдесят лет квантовой теории. - В кн.: Философские проб-
проблемы атомной физики [5.27«), с. 105-122; см. с. 117. Ср. также Гвйзвнберг в. Раз-
Развитие интерпретации квантовой теории. - В кн.: Нильс Бор и развитие физики. - М :
ИИЛ. 1958, с. 26-27.
336
ния света, как, например, в явлениях интерференции и дифракции.
Постоянная Планка в этих соотношениях, согласно Бору, связывала два
описания излучения, взаимно исключавших друг друга, но одинаково не-
необходимых.
Именно это взаимное отрицание в сочетании с невозможностью обойтись
без любого из фундаментальных понятий и описаний привело Бора к выво-
выводу, что проблему, перед которой оказалась квантовая физика, нельзя
решить, просто модифицируя традиционные понятия или изменяя их интер-
интерпретацию. Бор полагал, что требуется новое логическое понятие. Он назвал
его "дополнительностью", отмечая тем самым логическое соотношение
между двумя способами описания или наборами представлений, которые,
хотя и исключают друг друга, оба необходимы для исчерпывающего описа-
описания положения дел. В соотношениях неопределенности Гейзенберга Бор
увидел математическое выражение, определяющее пределы, до которых
дополнительные понятия могут перекрываться, т.е. могут применяться
одновре-жнно, хотя, конечно, и нестрого. Соотношения неопределенности,
говорил Бор, назначают ту цену, которую надо заплатить за нарушение
строгого взаимоисключения понятий, т.е. за использование в описании
физического явления понятий двух категорий, строго говоря, противо-
противоречащих друг другу. В этих соотношениях он видел также подтверждение
своего тезиса о том, что дополнительность никогда не ведет к логическому
противоречию, хотя дополнительные понятия логически и исключают друг
друга. Действительно, принцип неопределенности обнаруживает, что для
отчетливого выявления одного из таких дополнительных понятий требует-
требуется схема эксперимента, совершенно отличная от схемы эксперимента для
выявления другого из них. Иными словами, сущность принципа неопреде-
неопределенности состоит в том, что не может возникнуть такой физической ситуа-
ситуации, в которой оба дополнительные аспекта явления проявились бы одно-
одновременно и одинаково отчетливо.
Возможность использования противоречащих друг другу понятий для
описания одной и той же физической ситуации, говорил Бор, возникает
благодаря нечеткости концепции "наблюдение". Действительно, из-за
взаимодействия между объектом наблюдения и средствами наблюдения
(согласно квантовому постулату этим взаимодействием нельзя пренебречь,
что было допустимо в классической физике) невозможно четко отделить
поведение атомной системы от ее воздействия на измерительный прибор,
свойства которого должны быть описаны классическими понятиями. Взяв
атомную систему в сочетании с приборами, классическое описание которых
различно, можно-измерить дополнительные переменные, а выразив резуль-
результаты этих измерений в классических терминах, можно описать атомную
систему с помощью дополнительных классических образов.
Если вспомнить наше обсуждение философского "фона" неклассичес-
неклассических интерпретаций в разделе 4.2, будет ясно, что на воровской концепции
дополнительности сильно сказались труды Гёффдинга по философии и
Джемса по психологии. В статье, посвященной 85-летнему юбилею Гёф-
Гёффдинга1 "), Бор с благодарностью вспомнил о влиянии идей Гёффдинга
на его работу, в частности, на поиски соответствующей интерпретации кван-
товомеханического формализме '10).
1 "I BohrN. Ved Harald Hoffdings 85-Aars Dag. - Berlinske Tidende, Mar. 10. 1928.
1 ln ) Об этом с удовлетворением писал Гаффдинг Майерсону (письмо от 30 марта
1928 г.. см. [116]. с. 149).
22. М. Джвммер
Настоятельные указания Бора на нечеткость понятия наблюдения (в
смысле неясности, какие именно объекты входят в систему, подлежащую
наблюдению, а какие - в средства наблюдения) обнаруживают порази тел Ьт
ное сходство с подходом Джемса к анализу понятия наблюдения в психо-
психологии. О влиянии Джемса, труды которого по психологии Бор, как мы
знаем, изучал с большим интересом, можно судить также по следующему
факту. Завершая1 свою первую статью '3') о понятии дополнительности.
Бор выразил мнение, что "идея дополнительности подходит для того, чтобы
охарактеризовать ситуацию, имеющую глубокую аналогию с общей труд-
трудностью формирования представлений у человека, которая характерна для
попыток разграничить субъект и объект"; эта фраза явно имеет в виду
один из главных вопросов, рассматриваемых в книге Джемса "Принципы
психологии". Аналогично, и в последующей статье ). в которой Бор
возобновил обсуждение невозможности абсолютно точно отделить явление
от средств его наблюдения, он вновь подчеркнул аналогию между физикой
и психологией: "Строго говоря, тщательный анализ какого-либо понятия
связан с отказом от его непосредственного применения33), и прямо
указал: "Необходимость прибегать к дополнительному, или взаимному,
способу описания, видимо, известна нам по психологическим пробле-
проблемам34). В конце статьи можно найти даже неявную ссылку на "Поток
мышления" I3S), ту главу в книге Джемса, в которой он попытался дока-
доказать ложность локковского атомизма идей и которая, по свидетельству
Вайцэеккера 136), особенно сильно воздействовала на Бора: "В частности,
видимое противоречие между непрерывным уходящим вдаль потоком
.ассоциативного мышления и сохранением индивидуальности личности об-
обнаруживает наводящую на размышления аналогию с соотношением между
волновым описанием движения материальных частиц, подчиняющимся
принципу суперпозиции, и сохраняющейся индивидуальностью частиц" |3 7).
110 *) Перевод отрывка из этого письма см. • кн.: ХоптонДж. Тематический внвпиз
науки. - М: Прогресс, 1981, с. 190-191.
'") Bohr N. The quantum postulate and the recent development of atomic theory.-
Nature, 1928, v. 121, p. 580—590; In: Bohr N. Atomic Theory and the Description of Na-
Nature: Cambridge University Press, 1934, 1961, p. 52—91; Das Quantenpostulate und die
neuere Entwiclkungder Atomistik. - Die Naturwissenschaften, 1928, Bdi 6, S. 245-257;
In: BohrN. Atomtheorie und Naturbeschreibung. - Berlin: Springer, 1931, S. 34—59;
Kventenpostulatet og Atomteoriens senette Udvikling. — In: Atomteori og Naturbeskrivel-
se.- Copenhagen: Lunos Bogtrykkeri, 1929, p. 40-68; In: Atomteorie og Grundprin-
cipperne for Naturbeskrivelsen. — Gopenhagen: Schultz, 1958, p. 47—76.
"'*) бор «.Квантовый постулат и новейшее развитие атомной теории. - 8 кн.:
Избранные труды, т. И A.175*].с. 30-53.
I1J) BohrN. Wirkungsquantum und Naturbeschreibung. — Die Naturwissenschaften,
1929, Bd 17, S. 483-486; In: Atomtheorie und Naturbeschreibung [121), S. 60-66; Vir-
kingskvantet og Naturbeskrivelsen. - In: Atomteory og Naturbeskrivelse' A21), p. 69-96;
In: Atomtheorie of Grundprincipperne for Naturbeskriveslen [121], p. 77-84; The quantum
of action and the description of nature. — In: Atomic Theory and the Description of
Nature [121 i, p. 92-101.
%ii") Бор Н. Каент действия и описание природы. — 8 кн.: Избранные труды,
т. II [1.175«),с.56-61.
12'(Atomic Theory and the Description of Nature [121]. p. 96; A22*). с 58.
1'4 > Там же.
1 •J> James W. The Principles of Psychology. - N.Y.: Dover, 1950. v. 1, ch. IX: The
Stream of Thought, p. 224-290. Эта глава была развитием статьи Джемса "On some
omissions of introspective psychology". — Mind, 1884, v. 9, p. 1—26.
"•I Cm. [2.121), с 125.
117'Atomic Theory and the Description of Nature [121], p. 99 (см. [122>)>.
338
Прежде чем мы завершим обсуждение развития воровского понятия
дополнительности, представляется небесполезным вкратце остановиться
на самом термине "дополнительность". Это может добавочно пролить свет
на тот смысл, который вкладывал в это слово Бор, принимая его как тех-
технический термин. Впервые в науке это слово, без сомнения, встретилось
в геометрии, в выражении "дополнительные углы". Хотя, как мы
знаем128). Бор глубоко интересовался основаниями геометрии и связи
математики с языком, все же на него повлияло, по-видимому, не это выра-
выражение, а использование термина Джемсом. Обсуждая проявления истерии,
Джемс129) описал эксперимент, выполненный Пьером Жане130), извест-
известным психологом и неврологом, учеником Ж. Шарко, как и Фрейд. Загипно-
Загипнотизировав пациентку по имени Люси, Жане разложил у нее на коленях
листки с написанными на них числами и внушил ей, что проснувшись она
не будет видеть листков с числами, кратными 3. "Когда ее разбудили и
спросили о листках у нее на коленях, она лосчитала и сказала, что она видит
только те из них, число на которых не было кратно 3. К числам 12, 18 и т.д.
она была слепа. Но когда обратились к подсознательному "Я" с помощью
обычного метода вовлечения наружного "Я" в другую беседу, рука напи-
написала, что на коленях у Люси лежат только листки с числами 12,18, 9 и т.д.,
а когда попросили собрать все листки, собрала только эти и оставила дру-
другие на месте" ' 3'). Джемс процитировал этот эксперимент, чтобы пояснить
утверждение, что "у некоторых лиц все возможное сознание может быть
расщеплено на несколько частей, существующих одновременно, но игнори-
игнорирующих друг друга и делящих объекты знания между собой. Еще более
примечательно, что они являются дополнительными" ' 33). Несколькими
страницами ниже Джемс писал: "Мало что есть более удивительного, чем
эти отношения взаимного исключения . .."|331. В психологии Джемса
полная сумма дополнительных частей, как это видно на примере экспери-
эксперимента Жане, составляет нормальную целостность; в физике Бора лолная
сумма дополнительных описаний составляет описание классической
физики.
16 сентября 1927 г. в аудитории Института Кардуччи в Комо, где прохо-
проходил Международный конгресс по физике (он был созван в ознаменование
столетия со дня смерти Алессандро Вольти, который родился и умер в
Комо), Бор выступил с докладом "Квантовый постулат и новейшее разви-
развитие атомной теории34), в котором впервье высказал публично свои
идеи относительно дополнительности. Обращаясь к аудитории иэ ведущих
физиков всех частей мира '3S), Бор начал доклад словами: "Я попытаюсь
1J * 1 Petersen A. The philosophy of Niels Bohr. — Bulletin of the Atomic Scientists,
1963.P.B-14.
"•> См.[125], с 202-213.
1 э0 ) Этот эксперимент был описан и обсужден • книге Janet {P. L'Automatiime
Psychologique — Essai dePsychologie Experimental Sur le Formes Inferieures de I'Activite
Humaine. - P.: Alcan, 1889; 10ed.. 1930, p. 276-277.
'"> Cm. [125], с 206-207.
1 >' > Там же. с. 206.
1ЭЭ> Тем же. с. 210.
1'* > Atti del Congretso Internazionale dei Fisici . — Bologna: Zanichelli, 192B, v. 2,
p. 565—588. Содержание докпада составили идеи, высказанные • работе [121].
'"> На конгрессе присутствовали: Боэе. Бори, Брилпюэи, де Бройпь, Вигнер,
Гейэенберг, Герлах, Дебай, Дуан, Зеаман, Зоммерфельд, Комптон, Крамере, Лвуэ,
Лоренц, Мипликеи, фон Нейман, Паули, Пашен, План к, Саха, С макаль. Топмэн, Ферми,
Франк, Френкель, Хопл, Штерн.
22» 33»
с помощью лишь самых простых аргументов и без подробностей техни-
технически-математического характера описать вам некоторую общую точку
зрения, которая, как мне кажется, способне дать представление об общем
направлении развития теории с самого его начала и, как я надеюсь, поможет
добиться согласия между очевидно противоречащими друг другу взглядами
разных ученых36). Подчеркнув контраст между классическим описани-
описанием (которое основывается на предположении, что обсуждаемое явление
можно наблюдать, не внося в него заметных возмущений) и описанием
квантового явления (которое подчинено квантовому постулату, гласяще-
гласящему, что любому атомному процессу должна быть присуща существенная
дискретность или, вернее, индивидуальность). Бор заявил: "Содной сторо-
стороны, определение состояния физической системы, как оно обычно понимает-
понимается, требует исключения всех внешних возмущений. Но в этом случае соглас-
согласно квантовому постулату всякое наблюдение будет невозможно и, прежде
всего, понятия пространства и времени потеряют свой прямой смысл.
С другой стороны, если с целью сделать наблюдение возможным мы до-
допускаем определенное взаимодействие с.соответствующими средствами
измерения, не принадлежащими к рассматриваемой системе, становится
невозможным однозначное определение состояния системы, и не может
быть речи о причинности в обычном смысле этого слова. Итак, сема
природа квантовой теории толкает нес к тому, чтобы рассматривать
пространственно-временную координецию и требование причинности, объе-
объединение которых характерно для классических теорий, как дополнитель-
дополнительные, но исключающие друг друга характеристики описания, символизи-
символизирующие идеализацию соответственно наблюдения и определения < состоя-
состояния)37). Это рассуждение, в котором впервье появился термин "до-
"дополнительный", а пространственно-временное описание называется до-
дополнительным к причинному описанию, содержит существо "копенга-
"копенгагенской интерпретеции" квантовой мехеники, как стали называть эту
интерпретацию впоследствии. Поэтому уместно подробнее проанализи-
проанализировать сделаннье Бором утверждения. Под "состоянием системы" в обыч-
обычной механике, например, понимается набор всех координат (положения) и
импульсов составных частей системы, что подразумевает возможность
использовать эти даннье, чтобы указать какими структурными свойствами
системе будет обладать в дальнейшем или обладала в прошлом. Но подобные
"предсказания" возможны только в том случае, когда система закрыта,
т.е. когда на нее не действуют внешние возмущения. Для открытой систе-
системы, строго говоря, нельзя определить какого-либо "состояния". Далее,
изменение структурных свойств системы подчиняется причинным законам;
эволюция этих свойств во времени и есть причинное поведение системы.
Но согласно квантовому постулату, в атомной физике всякое наблюдение
системы сопряжено с ее возмущением. Иными словами, система в процессе
наблюдения всегда является открытой. Но описание в пространстве-време-
пространстве-времени означает, что наблюдения производятся. Поэтому Бор и заключил, что
требование причинности исключает пространственно-временное описание
и наоборот' 38). Привычное причинное пространственно-временное описа-
'"*) См. также Френкель Я.И. Международный физический конгресс • память
А. Вольты• г. Комо. - В кн.: Френкель Я.И. На заре новой физики. — Л.: Наука,
1970. с. 247-25В.
1 "> См. [134], с. 565.
1J' > Там же! с. 566.
' ") Аналогию с этой ситуацией, видимо, можно обнаружить также • рвссужде-
ниях Спинозы о влиянии (интроспективных) наблюдений иад своими собственными
340
ние, т.е. одновременное использование дополнительных понятий, возможно
в классической физике, согласно Бору, просто благодаря крайне малой
величине кванта действия "по сравнению с действием, сопряженным с обыч-
обычными чувственными восприятиями".
Чтобы дать пример "распадения" классического причинного пространст-
пространственно-временного описания на дополнительные части, Бор противопоставил
волновую теорию света, адекватно описывающую распространение света
в пространстве и во времени, теории световых квантов, с помощью понятий
энергии и импупьса описывающей взаимодействие излучения с веществом.
Понятия волны и частицы взаимно исключают друг друга, и это, согласно
Бору, не допускает причинного пространственно-временного описания оп-
оптических явлений. "Две точки зрения на природу света скорее должны
рассматриваться как две различные попытки интерпретировать экспери-
экспериментальный материал, при которых ограниченность классических понятий
выражается дополнительным образом".
Показав, что такое же положение существует и для описания составных
частей вещества (корпускулы — волны де Бройпя), Бор отметил: "Фунда-
"Фундаментальное различие между квантом действия и классическими концепция-
концепциями сразу видно из простых формул, образующих общую основу теории
световых квантов и волновой теории частиц вещества". Записав соотноше-
соотношения де Бройля — Эйнштейна в виде
?т = рХ = п G.7)
(где Е и р - соответственно энергия и импупьс, используемые в корпуску-
корпускулярной картине, ат=1/1>иХ=1/о — соответственно период колебания и
длина вопны, используемые в волновой картине). Бор показал их связь с
обычным способом описания, использовав релятивистские формулы
р=4? <7-8>
с2
и
vdp=dE, G.9)
где v - скорость частицы, ас- скорость света. Итак, указал Бор, фазовая
скорость via оказывается равной с2 lv, а групповая скорость, определяемая
согласно де Бройлю как dvldo, совпадает с v. "Возможность отождествить
скорость честицы с групповой скоростью указывает область применимости
пространственно-временных представлений в квантовой теории. Здесь
проявляется дополнительный характер описания, так как использование
волновых групп с необходимостью влечет за собой недостаточную точность
определения периода и длины волны, а поэтому также и соответствующих
'им энергии и импульса, указываемых соотношением <G.7)> ". Действитель-
Действительно, согласно фурье-разложению цугов волн имеем
Дг Av = Ах До = 1, ' G.10)
где Дг и Ах характеризуют протяженность волнового пакета во времени и
чувствами привязанности на сами эти чувства. Еще одна аналогия - это, конечно,
раэрушительное действие физических наблюдений на имвой организм. Последовав-
Последовавшее немногим позже употребление Бором термина "целостность" ("wholeness") по от-
отношению к физическим системам, по-видимому, позволяет думать, что помимо
упоминавшейся выше психологической ассоциации уже на этой ранней стадии Бор
нащупывал биологическую еналогию, о которой позже он упоминал явно.
341
пространстве. Но тогда с помощью G.7) получаем
AtAE=AxAp = h. G.11)
Это соотношение ясно показывает, что любое сжатие волнового пакета,
т.е. более четкое пространственно-временное описание, сопровождается воз-
возрастанием неопределенности в энергии и импульсе, т.е. менее четким при-
причинным описанием. Это общее взаимно обратное соотношение между мак-
максимальной четкостью определения, выражаясь релятивистски, пространст-
пространственно-временного вектора и вектора энергии-импульса для Бора было
"простым символическим выражением дополнительной природы простран-
пространственно-временного описания и требования причинности". Затем Бор с
точки зрения дополнительности обсудил соотношения неопределенности
Гейэенберга и смысл измерения в квантовой теории, указав, что именно
новый формализм квантовой механики является адекватным средством
для дополнительных типов описания. Дело в том, говорил Бор, что новый
формализм по существу является чисто символической схемой, которая
допускает предсказания только тех результатов, которые в согласии с прин-
принципом соответствия можно получить при условиях, определяемых с по-
помощью классических концепций.
При обсуждении |39) доклада, в котором приняли участие Борн, Кра-
Крамере, Гейзенберг, Ферми и Паули, не было выдвинуто возражений, но и не
было затронуто существо депа. Возможно, что при первом знакомстве идеи
Бора показались слишком трудными, чтобы полностью уловить их смысл.
Так, например, Леон Роэенфельд, который стал одним из наиболее красно
речивых сторонников дополнительной интерпретации'40) и на которого
Бунге'4)), критикуя этот поход, смотрел как на наиболее типичного пред-
представителя этой школы, признавался143), вспоминая о докладе Бора:
"Я не видел, я не чувствовал в нем никаких тонкостей". Но и гёттингенские
теоретики не оценили тогда этого выступления. Вигнер, например, как
сообщает Роэенфельд'43), заметил, что доклад Бора "не побудит никого
из нас изменить свое мнение о квантовой механике". А согласно Вигне-
ру ' 44), фон Нейман сказал о докладе Бора: "Ну, много есть вещей неком-
мутирующих и легко найти три оператора, не коммутирующих между ее
бой". Фон Нейман, конечно, имел в виду утверждение Бора, что дополни-
дополнительность волновых и корпускулярных картин и следующие отсюда ограни-
ограничения в использовании соответствующих концепций адекватно отражаются
в некоммутативности некоторых операторов. Критика фон Неймана может
напомнить изучавшему философию аналогичный вопрос, задававшийся в
связи с теорией атрибутов Спинозы и ее субъективной интерпретацией
Эрдманом. Действительно, подобно воровским "описаниям природы",
1 '*) Discussione sulla communicazione 8ohr. — In: Atti del Congresso Internazionalle
dei Fisici [1341, p. 589-598.
' *°) Ср., например, RotenleldL. L'evidence de la complementarite. — In: Louis de
8roglie—Physicien et Penseur [5.1501, p. 43—65; Strife about complementarity. — Science
Progress, 1953. No. 163, p. 393-410; Foundations of quantum theory and complements
rity. -Nature. 1961, v. 190, p. 384-388.
'¦") Bunge M. Metascientific Queries. - Springfield, III.: C.C.Thomas, 1959.
p. 173-209.
14>) Archive for the History of Quantum Physics. Интервью с Л. Роэенфепьдом от
1 июля 1963 г.
'*') Там не.
''¦"I Archive for the History of Quantum Physics. Интервью с Ю. вигнером от
21 ноября 1963 г.
342
атрибуты Спинозы145) являются интеллектуальными способами восприя-
восприятия, хотя и не подчиняющимися взаимно обратным отношениям, как до-
дополнительные описания Бора, но тем не менее исключающими друг друга.
Тогда эпистемологический вопрос: "Почему разум человека воспринимает
только два атрибута (rescogitansиresextensa *)) бесконечной субстанции,
которая согласно Спинозе имеет бесконечно большое число атрибутов?"
составляет интересную аналогию с репликой фон Неймана. Конечно, при
этом следует помнить, что онтологический статус субстанции Спинозы
совершенно отличается от статуса, приписываемого Бором объектам фи-
физического описания.
Интересно отметить (хотя вряд ли стоит извлекать из этого какие-либо
далеко идущие выводы), что в Physikalische Berichte было опубликовано
два отдельных реферата о докладе Бора: очень короткий, написанный
Эльзассером |46>, и исключительно длинный, занимающий почти две стра-
страницы и написанный Смекалем |47), тогда как Science Abstract вообще не
упомянул о нем! Физики, трудившиеся над применением нового форма-
формализма к еще не решенным проблемам атомной физики, были слишком
заняты, чтобы обращать внимание на вопросы интерпретации, а философам
не хватало физического образования, чтобы участвовать в этих дебатах.
Следует заметить, что в своем докладе Бор не определил дополнитель-
дополнительность явным образом. Точное определение этого понятия первым дал
Паули. В статье для Handbuch der Physik '48) Паули назвал149) допол-
дополнительными два классических понятия - а не два способа описания, —
если использование одного из них (например, координат положения) свя-
связано с исключением использования другого (например, импупьса) в том
смысле, что любое экспериментальное устройство для измерения одного
из них не может быть создано без разрушения экспериментального уст-
устройства для измерения другого. Как мы видим, в отличие от Бора Паупи
называл дополнительными два понятия, принадлежащие к тому же само-
самому типу классического описания (например, корпускулярной картине),
а не два взаимно исключающие друг друга описания. Именно такое
понятие дополнительности и было с его точки зрения самой характер-
характерной чертой квантовой механики, которую поэтому он предложил назвать
"теорией eononHHTenbHOCTH"("Komplementaritatstheorie")no аналогии с "тео-
"теорией относительности". К. фон Вайцэеккер, который, подобно Паули, пол-
полностью поддерживал идею дополнительности (он однажды назвал ее "клю-
"ключом к наилучшему пониманию квантовой теории, достижимому в настоя-
настоящее время50)), увидев тонкое расхождение Бора и Паули, предложил
различать "параллельную дополнительность" и "круговую дополнитель-
дополнительность". О первой иэ них следует говорить, когда, как в примере Паули, —
и по его определению - два понятия (например, "координата положения"
14!) "Под атрибутам я разумею то, что ум представляет в субстанции ка.к состав
пяющее ее сущность". Spinoza. Ethices, Definitio IV. — In: Opera [6.15], v. 2, p. 55.
I4S*> Спином Б. Этика, определение 4. — В кн.: Спиноза. Избранные произведения
[6.15* ]. с. 361.
*' мыслимое и существующее (лаг.)
14М Physikalische 8erichte. 1928. Bd9. S. 1932.
"') Там же, с. 1368-1369.
|4>> См. [5.283, 5.283»].
14*> См. [5.283], с. 89; [5.283.], с. 360.
110) Von WeizsUcker C.F. Komplementaritat und Logik. — Die Naturwissenschaften,
1956, Bd 42, S. 521 -529,545-555.
343
и "импульс") дополнительны в квантовой теории, хотя в классической фи-
физике это не так, либо же когда, как в примере Хунда151), два понятия
("положение" и "волновое число") дополнительны и в квантовой механи-
механике, и в классической физике. Напротив, воровскую концепцию дополни-
дополнительности пространственно-временного и причинного описаний следует
назвать "круговой дополнительностью". Действительно, рассуждал Вайц-
зеккер, причинное описание достигается только окольным путем, через
волновую механику и детерминистское уравнение Шрё'дингера для волно-
волновой функции; но если мы хотим достичь пространственно-временного опи-
описания, надо выполнить измерение классически наблюдаемых величин,
которое и ведет к утверждениям в пространственно-временных терминах;
но, как мы знаем, такое "обращение" с волновым пакетом разрушает де-
детерминистское поведение волновой функции. "Дополнительность прост-
пространственно-временного описания и требования причинности, — писал фон
Вайцзеккер, - поэтому является именно дополнительностью описаний
природы с помощью классических понятий и с помощью ^-функции" 152).
Бор, как мы знаем из его переписки с Вайцзеккером по этому вопро-
вопросу153), отверг такое толкование и заявил, что его выражение "требова-
"требование причинности" относилось к использованию понятий энергии - импуль-
импульса и законов их сохранения, определяющих ход событий.
Мы упомянули об этих различных толкованиях понятия дополнитель-
дополнительности для того, чтобы проиллюстрировать концептуальные трудности,
возникшие перед воровской интерпретацией квантовой механики. Часть
этих трудностей, несомненно, была вызвана некоторой расплывчатостью
выражений, свойственной копенгагенской интерпретации, во всяком случае
на раннем ее этапе. Впрочем,, утверждалось также, что именно благодаря
этой расплывчатости и сопутствующей ей концептуальной гибкости копен-
копенгагенская интерпретация смогла преодолеть серьезный кризис. Согласно
Фейерабенду. одной из причин "живучести вероучения о дополнительности
перед лицом решительных возражений следует считать расплывчатость
основных принципов этого вероучения54), а Грёневольд15 5)указывал,
что недоговоренность этого понятия является, вероятно, одной из причин
его плодотворности. В этом случае можно было бы сказать, что характер-
характерный принцип философии Кьеркегора - Гёффдинга, под влиянием которой,
как мы пытались ранее показать156), находился Бор, оправдал себя.
Сам же Бор, по-видимому, относился к первому сообщению о своих
новых концепциях скорее как к программе дальнейшей работы, чем как к
провозглашению непреложной догмы. Он полностью осознавал, что как
фундамент его идей, так и их следствия необходимо еще критически изу-
изучить. Поэтому суровая критика, которой подверглась его интерпретация на
Пятом Сольвеевском конгрессе, была для него "чрезвычайно ценным толч-
толчком к тому, чтобы вновь рассмотреть различные аспекты той ситуации,
с которой мы сталкиваемся при описании атомных явлений" и "желанным
стимулом для того, чтобы еще больше прояснить роль, которую играют
'*')HundF. Materie als Feld. - Berlin, Gottingen, Heidelberg: Springer Verlag, 1954,
S. 44.
ll!> Cm. 11501, c. 525-526
"') Von WeizsScker. Zum Weltbild der Physik. - 8 Aufl. - Stuttgart: Hirzel. 1960,
S. 330. См. также [2.121 ], с. 143-146.
1!4> Feyerabend P.K. Problems in Microphysics. - In: Frontiers of Science and Philo-
Philosophy: University of Pittsburgh Press, 1962, p. 193.
" 4 Там же. с. 256.
" Ч См. рамел 4.2.
344
измерительные приборы"'57). Этот Конгресс .состоялся через несколько
недель после конференции в Комо и проходил с 24 по 29 октября 1927 г.
в Брюсселе под председательством Лоренца. Конгресс был посвящен теме
"Электроны и фотоны" |58), но de facto он предоставил прекрасную воз-
возможность для плодотворного обмена мнениями об основах квантовой ме-
механики и ее интерпретации, в котором приняли участие основные создатели
теории: Бор, Борн, Л. Бриллюэн, Л. де Бройль, Гейзенберг, Дебай, Дирак,
А. Ком л тон, Крамере, Паули, Планк, Р. Фаулер, Шрёдингер, Эйнштейн,
Эренфести другие.
После докладов УЛ. Брэгга'59) об отражении рентгеновских лучей
и А.Х. Комптона "°) о расхождении эксперимента с теорией электромаг-
электромагнитного излучения был заслушан доклад "Новая динемика квантов"
Л. де Бройля). В этом докладе де Бройль рассказал о своих ранних
работах и о развитии его идей Шредингером и Борном. Кроме того, по-
поскольку его не удовлетворяла чисто вероятностная интерпретация Борна
(он считал, что она противоречит объясняющей функции теоретической
физики), де Бройль включил в доклад изложение своей причинной теории.
Но вместо того чтобы рассказать о теории двойного решения, опублико-
опубликованной несколькими месяцами ранее 'б2), и пояснить, как по его представ-
представлениям движение частицы определяется градиентом фазы, общей для обоих
решений волнового уравнения, он доложил в "неполной и разбавлен-
разбавленной63) форме упрощенную версию первоначальных идей. В этой "раз-
"разбавленной версии или "теории волны-лоцмана", как де Бройль назвал ее
позже, постулировалось независимое существование частиц, но они не
рассматривались как сингулярности волнового поля. Сразу стало очевидно,
что никто не проникся его идеями и что большинство участников предпо-
предпочитает чисто вероятностную интерпретацию Борна, Гейзенберга и Боре.
Причинная интерпретация де Бройля фактически даже не обсуждалась
на Конгрессе, если не считать нескольких замечаний Паули '64), основывав-
основывавшего свои возражения на статье Ферми *) о столкновении материальной
частицы с ротатором, и беглого упоминания о ней Эйнштейна165). Как
позднее говорил де Бройль, частично из-за этой неблагоприятной реакции
1 ! I Bohr N. Discussion wilh Einstein on epistemological problems in atomic phy-
physics.- In: Einstein, Philosopher—Scientistfed. P.A. Schlipp. — Evanston, III., 1949, p. 218;
In: Bohr N. Atomic physics and Human Knowledge. - N.Y.: Wiley, 1958, p. 32-66.
Diskussionen mit Einstein uber erkenntnistheoretische Probleme in der Atomphysik. —
In: Albert Einstein als Philosoph und Naturforscher. - Stuttgart: W. Kohlhammer, 1966;
In: Bohr N. Atomphysik und menschliche Erkenntnis. — Braunschweig: Vieweg, 196B,
S. 32-67.
1' *) Вор Н. Дискуссии с Эйнштейном по проблемам теории познания в атомной
физика. - В кн.: Избранные труды, т. II f1.175*1, с. 399-433.
'") Electrons et Photons — Rapports et Discussions du Cinquieme Conseil de Physi-
Physique Tenu a Bruxelles du 24 au 29 octobre 1927 sons les Auspieces de I'lnstitut Inter-
International de Physique Solvay. - P.: Gauthier-Villars, 192B.
159> Там же. с 1-43.
160 > Там же, с. 55-85.
'"> Там же, с. 105-132.
"М См. [6.41].
"э> См. [5.1511,1960, с.90.
> См. 115В1.С. 2В0.
•*) Ферми Э. О волновой механике процесса столкновений. — В кн.-: Научные тру-
труды, т. I [5.40'1, с. 227-330.
"")См. [158], с. 256.
345
он отказался от своих идей и стал поддерживать копенгагенскую интер-
интерпретацию. Но через 25 пет стетья Бома 16i) и некоторые результаты общей
теории относительности, на которые внимение де Бройля обратил его ас-
ассистент Ж.-П. Вижье, оживили его интерес к первоначальным представлени-
представлениям, и де Бройль вновь вернулся к причинному подходу *).
После де Бройля выступили Борн и Гейзенберг, подробно рассказавшие
о матричной мехенике, теории преобразований и вероятностной интерпре-
интерпретации. "Квантовая механика, - зеявипи они, - ведет к точным результатам
относительно средних значений, но не дает информации о деталях индиви-
индивидуального события. Следует отказаться от детерминизма, который до сих
пор считался основой точных наук. Каждое движение вперадв нашем пони-
понимании формул обнаруживало, что последовательная интерпретация кванто-
вомеханического формелизма возможна только в предположении фунда-
фундаментального индетерминизма ... 67>. Говоря о принципе неопределен-
неопределенности Гейзенберга, они указали: "Истинный смысл постоянной Планка h со-
состоит в том, что эна дает универсальный масштаб индетерминизма, внутрен-
внутренне присущего законам природы, поскольку он обусловлен дуализмом вол-
волна — частица68). А закончили они доклад такой фразой: "Мы утверждаем,
что квантовая механика является полной теорией, а ее основные физичес-
физические и математические гипотезы более не нуждаются в модификации69).
Последним докладчиком был Шрёдингер, который подробно рассказал
о развитии волновой механики, уделив особое внимание проблемам,
связанным с многоэлектронными системеми. Вершиной Конгресса была
заключительная общая дискуссия. Сделав краткое вступление, Лоренц
предложил Бору высказаться по поводу эпистемологических проблем,
перед которыми оказалась квантовая механика. Бор выступил
с изложением своих взглядов, по существу повторив доклад в Комо.
Эйнштейн, который, как отмечалось ), не был в Комо, здесь, в Брюсселе,
услышал впервые последовательное и исчерпывающее изложение интерпре-
интерпретации в духе дополнительности. Но мы знаем (например, из его переписки
со своим близким другом Паулем Эренфестом), что Эйнштейну не нравил-
нравился гё'ттингенско-копенгагенский подход к атомной физике, подчеркивав-
подчеркивавший дискретность и актуальность с момента его возникновения. Наверное,
лучше всего о его позиции в этом вопросе говорят его собственные слова:
"К квантовой механике я отношусь восхищенно-недоверчиво" ' 7'), сказан-
сказанные им летом 1926 г. Научная интуиция Эйнштейна мешала ему принять
статистическую квантовую механику как полное описание физической
"*) Bohm D. A suggested interpretation of the quantum theory in terms of 'hidden'
variables. - Physical Review, 1952. v.B5, p. 166-193. Перевод статей Бома см. в сб.:
Вопросы причинности в квантовой механике (9.16»).)
•' О теории двойного решения и последующем (в 1951 г.) возвращении де Брой-
Бройля к ней см.: дв Бройль Л. К истории возникновения и интерпретации волновой меха-
механики. — В сб.: Вопросы истории естествознания и техники. — М.: Нвука, 1974,
вып. 2-3 D7-46). с. 3-В.
|4')См. [1151. с. 160.
'")Твмжв, с. 172.
'•') Там же.с. 17В.
"°)См. [1351.
1 " ) "Der Quanten—Mechanik stehe ich bewundernd-misstrauisch gegeniiber. . . " См.
письмо A1-83) Эйнштейна к П. Эренфесту от 28 августа 1926 г. Ср. также отрывок
из письма Эйнштейна к Бору от 4 декабря 1926 г.: "Der Quantanmechanik ist sehr
echtunggeb'etend. Aber eine innere Stimme sagt mir, da0 das doch nicht der mahre Jakob
ist. Die Theorie lieiert viel. aber dem Geheimnis des Alien bringt sie uns kaum naher. Jeden-
346
реальности. Как мы знаем из его переписки с Бором и Гейзенбергом '75),
Эйнштейн, получив от Бора препринт статьи Гейзенберга о принципе неопре-
неопределенности, попытался опровергнуть его, показав, например, что возможно
определить траекторию микрофизического объекта с лучшей точностью,
чем это позволяет принцип неопределенности. Эйнштейн поэтому счел
Конгресс удобным случаем для того, чтобы обменяться мнениями по этому
вопросу и, может быть, достичь полной ясности. И вот, выступая на заседа-
заседаниях и во время неофициальных встреч, Эйнштейн выражал свое несогласие
с отказом от принципа детерминистского описания и предлагел мысленные
эксперименты, нацеленные на то, чтобы "перехитрить" принцип Гейзенбер-
Гейзенберга113). Большинство примеров были построены так, чтобы стало ясно,
что взаимодействие между микрофизическим объектом и измерительным
прибором далеко не столь непостижимо, как это утверждали Гейзенберг
и Бор. Так, например, Эйнштейн рассмотрел взаимодействие между фото-
фотоном и подвижной частью дифракционной решетки; предположив, что
изменение импульса последней, обусловленное взаимодействием, можно
точно измерить, он утверждал, что на основении закона сохранения импуль-
импульса можно точно вычислить изменение импульса микрофизического объекта
(фотона) и, значит, его положение и импульс можно определить с
точностью, которая согласно принципу неопределенности считается недоступ-
недоступной. Опровергая аргументацию Эйнштейна, Бор обычно находил ошибочное
звено в цепи его умозаключений, где принцип неопределенности не был
должным образом принят во внимение, и показывал, что при его учете мы
не лопучеем возрастания информации. О пылкости дискуссий, вероятно,
лучше всего говорит тот факт, что через три года, на Шестом Сопьвеевском
конгрессе114), в 1930 г.. Бор и Эйнштейн возобновили дебаты. Пытаясь
опровергнуть соотношение неопределенности Гейзенберга АЕ At > />/4эт,
Эйнштейн рассмотрел ящик с затвором в одной из стенок, содержащий
излучение. Предполагалось, что затвор открывается часовым механизмом,
находящимся в ящике, так что в точно определяемый временной интервал
At можно выпустить фотон. Эйнштейн утверждал, что, взвесив ящик до
и после испускания излучения в строго определенный момент времени,
можно вычислить его энергию с произвольно малой погрешностью Д?,
пользуясь соотношением Е = тс7. Проведя бессонную ночь, Бор к утру
нашел возражение: в соответствии с общей теорией относительности Эйн-
Эйнштейна влияние гравитационного поля на ход часов (поскольку те бы/1и
жестко прикреплены к ящику и двигелись во время измерения) вносило
именно ту неопределенность, которую следовало ожидать из соотношений
Гейзенберга175). Обращение Бора к эйнштейновской теории тяготения,
с тем, чтобы спасти последовательную дополнительностную интерпретацию,
довод против которой не зависел от не-ньютоновской теории тяготения.
falls bin ich uberzeugt, da0 der nicht wtirfelt". ("Квантовая механика заслуживает всячес-
всяческого внимания. Однако некий внутренний голос говорит мне, что это еще не истина.
Эта теория дает много, но она не приближает нас к тайне Самого. Во всяком случае,
я убежден, что тог не играет в кости". — Примеч. пер-) — Einstein Estate, Princeton, N.J.
Ср. также [3.105].
171) Письмо Бора к Эйнштейну от 13 апреля 1927 г. и письма Гейэенберга к Эйн-
Эйнштейну от 19 мая 1927 г. и 6 июня 1927 г. - Einstein Estate, Princeton, N.J.
'' *•) Описание дискуссии вокруг этих экспериментов см. [157, 157-1
' ") Шестой Сольаеевский конгресс проходил с 20 по 25 октября 1930 г. и бып
посвящен изучению магнитных свойств вещества. См. Le Magnetisme — Rapport» et
Discussions du Sixieme Conieil de Physique sous les Auspices de L'lnstitut International
de Physique Solvay. - P.: Gauthier-Villars, 1932.
'") Подробности см. [157], с 224-228; [157.]. с. 419-421.
347
позднее было ошибочно раскритиковано Поппером как равносильное
"странному утверждению, что квантовая теория противоречит теории тяго-
тяготения Ньютона, и, кроме того, еще более странному утверждению, что
справедливость теории тяготения Эйнштейна (или, по крайней мере, исполь-
использованных характерных формул, являющихся частью теории гравитационно-
гравитационного поля) можно вывести из квантовой теории" '76 >.
Важную роль в прояснении смысла волновой функции сыграло возраже-
возражение Эйнштейна, выдвинутое им в начале общей дискуссии на Сольвеевском
конгрессе 1927 г. Он рассмотрел частицу (или фотон), проходящую через
узкую щепь в экране, за которым стоит полусферическая фотографическая
пленка1 тт). В результате дифракции волновая функция, ассоциированная
с частицей, будет распределена по всей пленке, так что согласно
борновской интерпретации для пюбой точки пленки вероятность попадания
в нее микрофиэического объекта отлична от нуля. Но как только регистри-
регистрируется точка попадания частицы, вероятность найти объект в любой другой
точке обращается в нуль. Как указывал теперь Эйнштейн, если вместе
со сторонниками интерпретации в духе дополнительности принять, что до
наблюдения объекта он виртуально присутствует во всей области, задавае-
задаваемой волновой функцией, то это приведет к противоречиям с теорией отно-
относительности или к заключениям, представляющимся странными даже в
рамках классических представлений. Действительно, "сжатие" волновой
функции в одну точку, происходящее в момент регистрации, можно объяс-
объяснить только каким-то дальнодействием. Альтернативное объяснение припи-
приписывало микрофизическому объекту четкую траекторию и потому вело к вы-
выводу, что описание с помощью волновой функции не является полным.
Аргументация Эйнштейна и другие возражения (например, связанные
с неизбежным использованием многомерных пространств дпя представле-
представления волновой функции) сделали ясным, что волновая функция, как это
подчеркивали Гейзенберг, Паули и Дирак уже во время общей дискуссии,
сама по себе не представляет хода событий в пространстве и во времени, а
скорее выражает наши знания о событиях. Стало ясно, что физик поступа-
поступает по существу следующим образом: по результатам наблюдения он конст-
конструирует волновую функцию,.эволюция которой подчиняется законам кван-
квантовой механики и в каждый данный момент времени представляет просто
каталог вероятностей результатов последующих измерений или наблюдений.
Положение дел между двумя последовательными наблюдениями описать
нельзя, а описание самого наблюдения зависит от схемы эксперимента,
выбранной физиком. Поэтому результаты наблюдений никогда нельзя
полностью объективировать. Последовательная интерпретация принятого
формализма квантовой механики делает такие заключения неизбежными -
таков был результат общей дискуссии на Конгрессе. Даже Эйнштейн, по-
побежденный, но не убежденный, должен был признать, что с точки зрения ло-
логики теория и ее интерпретация в духе дополнительности образуют согласо-
согласованную систему взглядов.
На протяжении следующих двух с половиной десятилетий копенгагенс-
копенгагенская интерпретация была - и для подавляющего большинства физиков
остается по сей день - единственной принятой интерпретацией квантовой
механики. Поэтому можно сказать, что поиски общей последовательной
теории атома, начатые на Первом Сольвеевском Конгрессе в 1911 г., были
успешно завершены на Пятом Сольвеевском Конгрессе 1927 г.
"*)См. [60]. 1959, с. 447.
"?)См. [158],с. 253-256.
348
ГЛАВА 8
УТВЕРЖДЕНИЕ ТЕОРИИ
8.1. Некоторые применения теории
В течение какого-то времени эпистемологические проблемы кванто-
квантовой механики многим представлялись проблемами, имеющими чисто
академический интерес, и поэтому на них обращали сравнительно мало
внимания. Обрадованные тем, что теория "работает", т.е. дает однознач-
однозначные ответы при каждом обращении к ней, физики больше увлекались
решением задач, которые до тех пор не поддавались усилиям теорети-
теоретиков или же сулили открыть новые пути исследований. Поэтому 1927 год
был не только годом, когда квантовомеханический формализм был за-
завершен во всех его существенных моментах и последовательно интерпре-
интерпретирован; это был также год поистине лавинообразного развития и ис-
использования новых понятий, что привело к беспрецедентному продви-
продвижению в понимании атомной физики. Очевидное согласие с предшест-
предшествующими результатами или их улучшение, взаимная согласованность
вновь получаемых результатов, широкий круг явлений, успешно рассмат-
рассматриваемых новой теорией, — все это вселяло уверенность в непротиворе-
непротиворечивость нового формализма независимо от его эпистемологической ин-
интерпретации.
Попытка дать исчерпывающее описание всех этих достижений увела
бы нас слишком далеко. Достаточно будет остановиться только на неко-
некоторых из них, в основном на тех, которые были связаны с концептуальным
развитием теории и оказали на нее воздействие.
Мы уже говорили1), что квантовая мехеника успешно объяснила эффект
Штарка. Что касеется эффекта Зеемайа, то Гейзенберг и Йордан2), при-
применив формализм матричной механики, получили выражение для мно-
множителя Панде и объяснили еномальный эффект Зеемана для атомов с
одним валентным электроном.
Математическая схема, позволившая включить гипотезу Уленбека -
Гаудсмите о спине3) в волновомеханическое описание системы, была
предложена Дарвиным4) и Паули5). Паули вместо волновой функции
Шредингера взял две волновые функции, возведенные в квадрат модули
которых задавали плотность вероятности найти электрон со спином,
ориентированным параллельно или антипараллельно произвольно выбран-
выбранной оси квантования. По аналогии с операторами орбитального момента
1) См. с. 261 и 273.
1' Heisenberg И/, Jordan P. Anwendung der Ouantenmechenik auf das Problem der
anomalen Zeeman-effekt. - Zeitschrift fur Physik, 1926, Bd. 37, S. 263-277.
•>См. с 152-154.
41 Darwin C.G. Zeeman affect and spherical harmonics. — Proceedings of tha Royal
Society of London (A), 1927, v. 115, p. 1-19; The electron as a vector wave. - Ibid., 1927,
v. 116, p. 227-233.
*'Ли//<И/. Zur Quantenmechanik des magnetischen Electrons. — Zeitschrift fur Physik,
1927, Bd 43, S. 601-623; In: Collected Papers [3.154], *. 2. p. 306-328.
34?
он ввел спиновые операторы, представляемые "матрицами Паули", как
они стали впоследствии называться; эти операторы действовали на двух-
компонентную волновую функцию. Изучив преобразование этих ком-
компонент при вращении системы координат и распространив полученные
результаты на многозлектронные системы, Паупи развил последовательную
квантовомеханическую теорию спина, которая объясняла большое число
явлений, но не происхождение спина электронов. Теория Паули, как и
бесспиновая квантовая механика, на которой она основывалась, была
нерелятивистской. Дирак6) обобщил уравнение Шрёдингера и получил
систему из четырех дифференциальных уравнений первого порядка; это
обобщение, так называемое "линейное уравнение Дирака", удовлетворя-
удовлетворяло требованиям релятивистской инвариантности и автоматически учиты-
учитывало свойство спина, без потери общефизических аспектов описания на
языке волновой механики. Формализм Паули оказался предельным слу-
случаем дираковской ралятивистской теории электрона, справедливым при
малых скоростях.
Как мы видели7), Шре'дингер показал, что для гармонического ос-
осциллятора волновая механика приводит к тем же результатам, что и клас-
классическая. Более общая и прямая связь между квантовой механикой и
механикой Ньютона была указана в 1927 г. Эренфестом8), который
"с помощью коротких и элементарных выкладок" и "без каких-либо
пренебрежений" продемонстрировал, что ожидаемое значение производ-
производной по времени от импульса равно ожидаемому значению отрицательного
градиента потенциальной функции9). Данное Эранфестом доказательство
справедливости второго закона Ньютона для величин, усредненных по
волновому пакету, произвело большое впечатление на многих физиков
и значительно способствовало увеличению числа сторонников теории.
Действительно, оно позволило описать частицу локализованным волно-
волновым пакетом, которых хотя и расплывается в конце концов в пространст-
пространстве, но перемещается по траектории, свойственной классическому дви-
движению. Как уже указывалось в несколько другой связи10), теорама
Эренфеста и ее обобщение Руарком") на консервативные системы с
произвольным числом частиц не сводили концептуально квантовую ди-
динамику к ньютоновской физике. Они просто устанавливали аналогию,
хотя и достаточно примечательную, если учесть, что квантовая механика
и классическая динамика построены на фундаментально различных ос-
основаниях (поскольку в классической механике нет принципа супер-
суперпозиции) .
* ) Dirak P.A.M. The quantum theory of electron. — Proceedings of the Royal Society o<
London (A), 192B, v. 117, p. 610-824; 192B, v. 11B, p. 351-361. О концептуальной сея
эй между спиновым формепизмом Паупи и дираковской теорией эпектрона см.
статью: Hill E.L., Landshoff R. The Dirac electron theory. - Reviews of Modern Physics,
1938, v. 10, p. B7-132.
"См. с 276.
") Ehrenfest P. Bemerkungen u'ber die angenaherte Giiltigkeit der klassischen Mechenik
innerhalb per Quentenmechanik. — Zeitschriit fur physik-, 1927, Bd 45, S. 455—457
* *)Эрвмфест П. Земечание о приближенной справедливости кмссичаской механи-
механики в рамках квентовой механики. — В кн.: Относитепьность. Кванты. Статистика
11.77»], с. В2-84.
*) Эрвнфвст не формупировап эту теорему в терминах средних значений, а опи-
описывал математическую связь еще на языке вопновых пакетов.
|в)См. [5.230), с. 192.
1' I Ruark A.E. The Zeeman effect and Stark effect of hydrogen in wave mechanics
the force equation and the virial theotem in wave mechanics. — Physical Review, 192B, v. 31.
p. 533-538.
350
В 1926 г.Вентцель1 J) и Бек13), дав волновомеханический вывод урав-
уравнения Эйнштейна для фотоэффекта'4), показали, что теория Шрёдингерз
может объяснить и фотоэффект, этот основной козырь корпускулярной
теории излучения, Вентцель и Фюс15) объяснили эффект Оже, т.е. безра-
безрадиационную перестройку конфигурации атомных электронов, занимаю-
занимающих рентгеновские электрические уровни, а Гордон16) и Вентцель17)
дали волновомеханическое описание эффекта Комптона. В конце раз-
раздела 7.1 уже упоминалось, что была успешно решена и задача о тождествен-
тождественных частицах, в частности, в атоме гелия, представлявшая неразрешимую
загадку для старой квантовой теории. Теперь стало ясно, почему все ме-
методы теории возмущений в старой квантовой теории не могли дать пра-
правильного ответа. Верное значение потенциала ионизации для атома гелия
B4,47 эВ) получил Келнер18), использовав подход Гейзенберга. Показав,
что молекулярное поле, постулированное Вейссом'9) 20 лет тому назад,
может быть полностью объяснено с помощью квантовомеханических
обменных сил, Гейзенберг20) заложил основы квантовой теории ферро-
ферромагнетизма. Далее, адиабатическую теорему, которая (благодаря работе
Эренфеста и доказанной Бургерсом адиабатической инвариантности мо-
модулей периодичности интегралов действия) играла столь важную роль
в концептуальной структуре старой квантовой теории, как это мы видели
в разделе 3.1, теперь можно было сформулировать на языке квантовой
механики: система, находящаяся в стационарном состоянии, будет ос-
оставаться в этом состоянии во время адиабатического процесса. Элегант-
Элегантное доказательство адиабатической теоремы в квантовой механике было
дано в 1928 г. Борном и Фоком21). Переформулировав метричный фор-
формализм Борна - Гейзенберга - Йордана, построенный ими для радиацион-
радиационных процессов и основанный на полуклассической трактовке электромаг-
электромагнитного поля, в терминах волной механики, Клейн22) смог получить
результаты, найденные Крамерсом, а также Крамерсом и Гейзенбергом
Wentel G. Zur Theorie des photoelektrischen Effekti. -Zeittchrift fur Physik,
1926, Bd 40. S. 574-589; Uber die Rictitungsverteilungder Photoelektronen. - Ibid., 1927,
Bd 41, S. B2B-B32.
">e**G. Zur Theorie des Photoeffekts. - Ibid., 1927, Bd 41. S. 433-452.
|4)См. с 46.
IS) Wentzel G.. Fues E. Uber itralungslSse Quanteniprungen. — Zeitschrift fur
Physik. 1927, Bd 43. S. 524-530.
lt ^Gordon W. Der Comptoneffekt nach der Schrodingerschen Theorie. - Ibid.. 1926.
Bd40, S. 117-133.
x^ Wentzel G. Zur Theorie des Comptoneffekts. - Ibid., 1927, Bd 43, S. 1-B, 779-7B7.
lt)KellnerG.W. Die lonisierungsspannug des Heliums need der Schrodingerschen
Theorie. - Ibid., 1927, Bd 44, S. 91-109.
1 *) Weiss P. L'hypothese du champ mdleculaire et la propriete ferromagnetique. —
Journal de Physique, J9O7.V. 6, p. 661-690.
la) Heisenberg W. Zur Theorie des Ferromagnetisms. — Zeitschrift fur Physik, 1928,
Bd 49, S. 619-636.
г1>ВотМ., Fock V. Bemeis des Adiabatensatzes. - Ibid., 192B, Bd 51, S. 165-1B0.
Доказательства, содержавшиеся в ранних статьях Борна (Born M. Der Adiabatenprinzip
in der Quantenmechanik. - Ibid., 1926, Bd40, S. 167-192) и Ферми и Персико (Fermi E.,
Persico Е. II principio delle adiabatiche e la nozione de forza vivo nella nuova meccanica
ondulatoria. — Rendiconti dell' Academie dei Lincei, 1926, v. 4, p. 452—457; Ферми Э., Пер-
Персико Э. Адиабатический принцип и понятие живой сипы в новой квантовой механи-
механике. - В кн.: Ферми Э. Научные труды, т. I [5.40»), с. 231-236), были неполны в том
смысле, что рассматривали только невырожденный случай.
г'^ Klein О. Elektrodynamik und Wellenmechenik vom Standpunkt des Korrespon-
denzprinzip. - Zeitschrift fur Physik, 1927, Bd 41, S. 407-442.
351
в их до-квантовой теории дисперсии, описанной в разделе 4.3. Недоста
точность полуклассической теории излучения Клейна и, в частности, тот
факт, что из общих принципов квантовой механики нельзя было полу
чить строгим путем соотношение между испущенным излучением и им
пульсом атома, было вскоре восполнена дираковской процедурой23)
квантования поля излучения; от этой процедуры берет начало кванто
вая электродинамика. Наконец, осенью 1927 г. Йордан и Клейн для сие
тем, подчиняющихся статистике Бозе - Эйнштейна, и в начале 1928 г
Йордан и Вигнер для систем, подчиняющихся статистике Ферми - Дирака,
показали, что если волновую функцию, рассматриваемую как поле в обыч
ном пространстве и времени, трактовать как квантовомеханический
оператор, подчиняющийся определенным квантовым условиям, то обыч
ный квантовый формализм для частиц и формализм для волн математи
чески эквивалентны24). Метод вторичного квантования Клейна -
Йордана - Вигнера рассматривался всеми как математическое выраже
нив дуализма волн - частиц, т.е. выражение того факта, что "корпуску
лярная картина и волновая картина являются просто двумя разными
аспектами одной и той же физической реальности". Лучшего согласия
между формализмом и интерпретацией было трудно желать.
Развитие квантовой механики после 1927 г. и ее приложений к моле-
молекулярной физике, теории твердого тела и сплошных сред, статистической
физике, а также ядерной физике продемонстрировало неограниченную
общность ее методов и результатов. В действительности никогда раньше
физическая теория не давала ключа к объяснению и расчету столь раз
нородной группы явлений и не достигала столь прекрасного согласия с
опытом, как этого добилась квантовая механика.
11' Dirac P. A.M. The quantum theory uf the emission and absorption of radiation. — Pro
ceedings of the Royal Society of London (A), 1927, v. 114, p. 243-265.
") Jordan P., Klein O. Zum Mehrkorperproblem der Quantentheorie. - Zeitschnd
fur Physik. 1927, Bd 45, S. 751-765; Jordan P.. Wigner f.Uber das Paulische Aquivalen*ver
bot- Ibid.. 1928, Bd 47, S. 631-651.
ГЛАВА 9
ДВЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ
9.1. Полнота
С завершением математического формализма, установлением эпис-
эпистемологической интерпретации и успешным использованием для реше-
решения физических задач квантовая механика была общепризнана как зре-
зрелая теория и постепенно вошла в программу преподавания физики. Поя-
Появилась необходимость в логически связном изложении теории. Легче
всего это было сделать, конечно, для волновой механики, и она первой
появилась в форме учебника. Фактически самым первым руководством
по этому предмету можно считать издание1) статей Шрёдингера в виде
книги, вышедшей в конце 1926 г. За ним последовал ряд монографий,
которые либо ограничивались только волновой механикой2), как, на-
например, книга Биггса3), первая на английском языке, либо же излага-
излагали этот предмет в более широком контексте4).
Первое полное изложение общего формализма квантовой механики,
построенное логически последовательно как аксиоматическая теория, ос-
основанное на понятиях "наблюдаемая" и "состояние" как первичных,
принадлежало Дираку5). Влияние его книги "Принципы квантовой ме-
механики" на современное ей поколение физиков лучше всего охарактери-
охарактеризует замечание, сделанное Леннард-Джонсом при появлении монографии:
"Как говорят, один известный европейский физик, которому посчастли-
вилосль иметь переплетенное собрание оригинальных статей д-ра Дирака,
отзывался о нем с благоговением как о своей "библии". Те, кому не так
посчастливилось, имеют теперь возможность приобрести "authorized
version"*6). Единого представления теории преобразований Дираку уда-
">См. [5 254].
'^HaasA.E. Materiewellen und Quantenmechanik. — Leipzig: Akademische Verlags-
geseltscheft. 1928; de Broglie L. La Mecanique Ondulatoire. - P.:Gauthier-Villars, 192B;
FrenkelJ. Einfuhrung in die Wellenmechenik. — Berlin: Springer, У929; Sommerfeld A.
Atombau and Spektrallinien, Wellenmechenischer ErgSnzungsband. — Braunschweig:
Vieweg, 1929.
г*)Гааэ А. Вопны материи и квантовая механика [1.169»]; Френкель Я.И. Волно-
Волновая механика. - П.. М.: ГТТИ, 1933 (развитие нем. тексте); Зоммерфепьд А. Волно-
Волновая механика. — П., М., ГТТИ, 1933. См. также Фок В.А. Начала квантовой механики.—
Кубуч, 1932.
') Biggs H.F. Wave Mechanics: Oxford University Press, 1927.
4' Birtwistle G. The New Quantum Mechanics: Cambridge University Press, 1928;
Born M., Jordan P. Elementare Quantenmechanik. — Berlin: Springer, 1929, Lende A.,
Optik, Mechanik und Wellenmechenik. - In: Handbuch der Physik/ed. H. Geiger, K. Scheel. -
Berlin: Springer, 192B. Bd 20; Peuli W. Allgemeine Prinziepen der Quantenmechanik. — Ibid.,
1933, Bd24,T. 1.
4 •) Паули В. Общие принципы волновой механики. — М., П.: Гостехиздат, 1947.
»>См. [6.71].
•) Дословно — авторизованный вариант; имеет также смысл "перевод бибпии
на енгпийский язык, одобренный церковью".
*> Mathematical Gazette, 1931, v. 15, p. 505.
23. M. Джеммер 3$3
лось добиться, последовательно используя векторное пространство сос-
состояний ф, т.е. пространство с числом измерений, равным числу линей-
линейно независимых состояний системы, причем каждая ось соответствует
одному из независимых состояний, а любое другое состояние полностью
задается проекциями соответствующего вектора на эти оси. В первой
половине книги Дирак изложил общую теорию, а вторую посвятил ее
приложениям к ряду важных проблем, как, например, электронная
структура атома, задачи столкновения, теория излучения. Второе издание
книги A935 г.) было значительно переработано по сравнению с первым,
но в последующих изданиях книга уже почти не претерпевала изменений,
многие годы была одним из основных руководств по этому предмету, и
последующие книги вряд ли "превосходипи ее по краткости и изяществу".
Считая математику служанкой физики, как мы это видели в связи
с введением понятия б-функции, Дирак "пытался удержать физику в
центре внимания). Не очень интересуясь вопросами математической
строгости, он выдвинул свое представление о векторном пространстве,
не обратив сначала внимания на то, что оно было пишь частным случаем
гильбертова пространства. Поэтому своевременным дополнением к кни-
книге Дирака послужил труд фон Неймана "Математические основы кванто-
квантовой механики"8) с его упором на математическую строгость. "Тогда как
Дирак излагает свою аргументацию восхитительно просто и позволяет
себе на каждом шаге руководствоваться физической интуицией, отка-
отказываясь в ряде случаев преодолевать пралоны математической строгости,
фонл Нейман подходит к своей задаче во всеоружии современных мате-
математические методов и анализирует ее к полному удовлетворению тех,
чьи требования к логической полноте очень строги"9).
Первая половина монументальной книги фон Неймана по существу
является более подробным изложением его статей, опубликованных в
1927 г., а вторая половина, опирающаяся на идеи Бора и Гейзенберга,
посвящена проблемам причинного описания и измерений. Говоря об ан-
ансамблях систем, фон Нейман различал "однородные ансамбли" ("einheit-
liche Gesamtheiten") — Вейль называл их " чистыми случаями" ("reine
Falle")l0) — и "смеси" ("Gemische"). Первые по определению представля-
представлялись единственной нормировенной функцией состояния ^.которую можно
было разложить по полной ортонормированной системе:
п
в них любая физическая величина имела одно и то же ожидаемое значение,
независимо от того, проводилось ли измерение со всем ансамблем или
с каким-либо из подансамблей; поэтому такой случай соответствовал
максимальному полному знанию. Смеси по определению соответство-
соответствовали таким физическим условиям, для задания которых требовалось
указать набор функций ф-. ф^'К ^<2) ф^к).. ¦ . . причем каждая
входила в набор с вероятностью р(*}; поэтому смесь
7' Предисловие к первому изданию.
*>См. [6.108. 6.108*1.
*)/М|ф*г»</ Н. - Mathematical Gazette, 1933, v. 17, p. 493.
"I Вейль пришел к этому понятию одновременно с фон Нейманом и независимо
от него. См. Weyl H. Quantenmechanik und Gruppentheorie. - Zeittchrifi fur Physik.
1927. Bd 46, S. 1-46.
354
описывала систему, знания о которой не были максимально полны11).
Следуя предложению Ландау12), фон Нейман ввел для однозначной
характеризации статистики ансамбля "статистический оператор3) U,
который в конечном счете под названием "р-матрицы" (или матрицы
плотности) стал широко использоваться в квантовой статистике. Фон Ней-
Нейман показал, что практически всегда (А ) = Tr ( UA У и что выполнение
равенства U2 - 0 является условием реализации чистого случая.
В четвертой главе своей книги фон Нейман использовал эти понятия
для знаменитого анализа вопроса, является ли существующая статисти-
статистическая формулировка квантовой механики логически замкнутой теорией
или ее можно переформулировать в чисто детерминистскую теорию, введя
скрытые параметры, т.е. дополнительные переменные, которые в отли-
отличие от обычных неблюдаемых недоступны для измерений и потому не
подчиняются соотношениям неопределенности. Он пришел к выводу, что
"существующая система квантовой механики должна была бы быть
объективно неверной, чтобы стало возможным какое-то другое описание
элементарных процессов, чем статистическое4). Чтобы доказать это
утверждение, фон Нейман сначала продемонстрировал, что не существует
ансамблей, лишенных дисперсии. Действительно, рассуждал он, для
таких ансамблей (А2 > - < А > 2 для всех операторов А или, что то же,
Тг (UA1) = (Tr(t/4)J; подставляя вместо А оператор Р. . ..получим15)
U = 0 или U - 1. Но U = 0 ведет к < А > = 0 и не дает никакой информации,
так что этот случай следует игнорировать; а статистический оператор
U = 1 в пространстве с бесконечно большим числом измерений приводит
к соотношению < 1 ) = °°, т.е. ненормируем и может соответствовать только
состоянию, обладающему дисперсией. Продемонстрировав таким образом,
что ансамблям всегда присуща дисперсия, фон Нейман показал, что одно-
однородные ансамбли (чистые случаи) действительно существуют, доказав
однородность всякого ансембля, статистический оператор которого явля-
является оператором проектирования. Наконец, он указал, что статистичес-
статистическую природу однородных состояний нельзя "побороть", представляя
их в виде смеси подсостояний, каждое из которых связано с определенным
набором значений скрытых параметров, и предполагая, что дисперсия
однородного состояния возникает благодаря усреднению по таким "фак-
"фактическим" состояниям. Действительно, тогда однородный ансамбль можно
было бы представить в виде смеси двух различных ансамблей, что про-
1'' Ожидаемое значение опереторе А дли чистого случай равно < А > . ¦! а,'А .. а..
а дли смеси- (А > - ZpK '< A > ^,ку
IJ' Landau L. Das Dempfungsproblem der Quantenmechanik. — Zeitschrifi fiirPhysik
1927, Bd 45, S. 430-441.
1' •)Пвндшу Л.Д Проблема затухания в волновой механике. — В кн.: Пвидшу Л.Д-
Собрание трудов/Под ред. Е.М. Лифшица. - М.: Наука. 1969, т. I, с. 19-31.
15) Первое йвное упоминание о статистическом опереторе содержится в статье
фон Неймана "Wahrscheinlichkeitstheoretischer Aufbau der Quantenmechanik" [6.1091,
S.253.
">См. 16.108). с. 171 нем. изд.. с 325 англ. изд.; I6.108*). с. 241.
1')/?.. есть оперетор проектирований I^Xf I в обозначениях Дирака. Возраже-
Возражений против того, что из <(/>»<(/>' спедует 1/ или 1, см. в статье: Tharrats J. Sur le
theoreme de von Neumann concernant I'indeterminisme essentiel de la Mecanique quanti-
que. - Comptes Rendus. 1960, v. 250. p. 37B6-3788. Ответив эти возрежения см. встатье:
AlberttonJ. Von Neumann's hidden-parameter proof. - American Journal of Physics,
1961. v. 29. P. 47B-484.
23' 355
тиворачит его определению; кроме того, ансамблей без дисперсии,
"которые соответствовали бы "фактическим" состояниям, не существует",
как это было показано ранее-
Итак, основную методологическую проблему квантовой механики
фон Нейману удалось превратить из предмета умозрительных построений
в вопрос, допускающий рашение опытом. Действительно, существо его
утверждения сводилось к тому, что пока наблюдения и эксперимент вы-
вынуждают нас принять существующий формализм квантовой механики,
логически невозможно дополнить этот формализм до детерминистского
описания физических процессов16).
Интересно отметить, что в то же время и независимо от фон Неймана,
Соломон17), использовав метод Стильтьеса для рассмотрения "задачи
о моментах", доказал, что введение скрытых параметров ведет к противо-
противоречиям с существующим формализмом. В отличие от фон Неймана, ко-
который в своем доказательстве, как мы видели, не опирался на факт су-
существования не коммутирующих операторов, Соломон прадполагал
наличие принципа неопределенности.
Поскольку теорема фон Неймана о скрытых параметрах крайне важна
с точки зрения основ квантовой механики, делалось много попыток дока-
доказать ее различными методами. Мы упомянем здесь только о доказательст-
доказательстве Детуш-Феврие , основанном на существовании некоммутирующих
операторов, а также о недавней работе Яуха и Пирона |9>. Последняя сво-
свободна от предположения, молчаливо принимаемого фон Нейманом, но недо-
недопустимого в системах с правилами сверхотбора 20>, а именно, что каждый
"'Переформулировки (в основном критические) доказательства фон Неймана
см. в статьях: Feyerabend P.K. Erne Bemerkung zum Neumannschen Beweis. — Zeitschrift
fUr Physik, 1956, Bd 145, S. 421 -423; Zinnat I.I. Hidden variables in quantum mechanics. -
American Journal of Physics-, 1958, v. 26, p. \-4;SchuU G. Kritik des v. Neumannschen Be-
Bewei» gegen die Kausalitlt in der Quantenmechanik. - Annalen der Physik, 1959, Bd. 3, S.94-
104; Albertson J. A51; Albertson J. The statistical nature of quantum mechanics. - Britisch
Journal for the Philosophy of Sciences, 1962, v. 13, p. 229-233; Bohm D. Hidden Variables
in the Quantum Theory. - In: Quantum Theory/ed. D.R. Bates. - N.Y., L.: Academic Press,
1962, v. 3, p. 345-387 (особенно с 350-351»; Komar L. Indeterminate character of the
reduction of the wave packet in quantum theory. - Physical Review, 1962, v. 126,p. 366-369.
Возражений против доказательства фон Неймана см. в статьях: Bohm D. A suggested
interpretation of the quantum theory in terms of 'hidden' variables. — Physical Review.
1952, v. 85, P. 180—193; Fenyts I. Eine wahrscheinlichkeitstheoretischeBegrundung und
Interpretation der Quantenmechanik. - Zeitschrift fur Physik, 1952, Bd 132, S. 81-106:
de Brogli* L. La Physique Quantique, re»tera-t-elle indeterminate 7 - P.: Gauthier-
Villars, 1953; Weizel W. Ableitung der Quantentheorie auseinem kalssischen, kausal determi-
nierten Modell. - Zeitschrift fur Physik, 1953, Bd 134, S. 264-285; Nicholson A.F. On a
theory due to I.Fenyes. — Australian Journal of Physics, 1954, v. 7, p. 14—21.
"''Переводы некоторых из цитированных статей вошли в сборник: Вопросы
причинности в квантовой механике. — М.: ИЛ, 1955 [Бон Д. "О возможности интер-
интерпретации квантовой механики на основе представления о "скрытых" пареметрах",
с. 65—94; Фемьеш И. "Теоретико-вероятностное обоснование и истопкование кванто-
квантовой механики", с. 244—268; дв Бройпь Л. "Останется пи квантовая физика иидетер-
министской?", с. 11-33.)
1'' Solomon J. Surl'inde'terminismede la Mecanique quantique.— Journal de Physique,
1933. v. 4, p. 34-37.
1 *) Destouches-fivrier P. line nouvelle preuve du caract?re etsentiel de I'indeterminisme
quantique. - Comptes Rendus, 1945, v. 220, p. 553-555.
l*)jauch J.M., Piron G. Can hidden variables be excluded in quantum mechanics? —
Helvetica Physica Acta, 1963, v. 36, p. 827-837.
10) Wick G.C.. Wightmtn A.S.. Wiener E.P. The intrinsic parity of elementary particles. -
Physical Review, 1952, v. 88, p. 101-105.
356
оператор проектирования есть наблюдаемая, а также свободна от предполо-
предположения, что ожидаемые значения несовместимых переменных аддитивны
(это свойство состояний было строго доказано2 только в 1957 г.).
Кроме того, эти авторы показапи, что "интерпретация с помощью скрытых
параметров возможна топько в том случае, если теория наблюдательно
неверна", т.е. они показали, что пюбое введение скрытых параметров
с целью "дополнить" теорию изменяет ее в такой мере, что она ведет к
резупьтатам, ошибочность которых видна из опыта; этот вопрос не подни-
поднимался в анализе фон Неймана.
9.2. Наблюдение и измерение
Еще одним аспектом квантовой механики, который по мнению фон Ней-
Неймана бып еще недостаточно прояснен, была проблема набпюдения и измере-
измерения, т.е. проблема связи между элементами физической теории и челове-
человеческого опыта. Этой проблеме он посвятил последние две главы своей
книги22'. Как понимал фон Нейман, вопрос, может пи наблюдатель вос-
воспользоваться резупьтатами квантовомеханических наблюдений, поднимает
серьезные проблемы. В классической физике принималось, что взаимодей-
взаимодействие между объектом и наблюдателем, еспи оно не пренебрежимо мало,
может быть в принципе искпючено, так как для поп но го анализа процесса
измерения достаточно одних только уравнений движения. Фактически изме-
измерения в классической физике относились к физике прикладной:
физическая теория и анализ измерений использовали понятия одной и той
же категории. Но в квантовой механике существует фундаментальное раз-
различие между языком теории и языком повседневного опыта, который, как
неоднократно подчеркивал Бор, является обязательным средством для
конечного формулирования результатов эксперимента.
Руководствуясь статьей Бора ' о кванте действия и описании природы
A929 г.), фон Нейман развил идею о том, что в каждом квантовомеханиче-
ском измерении наличествует неанализируемый элемент. Он постулировал,
что волновая функция, помимо непрерывного каузального изменения, под-
подчиняющегося уравнению Шрё'дингера, при измерении претерпевает прерыв-
прерывное, акаузальное и мгновенное изменение', обусловленное вмешатепьством
наблюдателя, его воздействием на объект. Таким образом, в смеси, харак-
характеризуемой статистическим оператором U, измерение наблюдаемой /?, кото-
которая имеет полный ортонормированный набор собственных функций^ ,<^2. —
с соответствующими (дискретными, невырожденными) собственными
значениями X,, Х2,..., изменяет L/необретимым образом:
тогда как каузальное, непрерывное и обратимое изменение дается
* Cleaton A.M. Measures on the closed subspaces of a Hilbert space. — Journal of
Mathematics and Mechanics. 1957, v. 6, p. 885—B93.
) |6.108| и |6.108> |, гл. Б и 6. Несколько упрощенное изложение теории измере-
измерений фон Неймана см. в книге: London f., Bauer E. La Theorie de ('Observation en Meca-
nique Quantique. -9.: Hermann et Cie, 1939, p. 22-47. Ср.также de Broglie L. La Theorie
de la Mesure en Mecanique Ondulatoire. — P.: Gauthier-Villars, 1957, p. 15—41; Ludwig С
Die Grundlagen der Quantenmechanik. — Berlin, Gottingen, Heidelberg: Springer, 1954,
S. 122-165.
'*> Cm. 17.122, 7.122 • |.
357
унитарным преобразованием
U, = exp{-2vitH/h)Uexp{2nitH/h).
где И — оператор энергии (гамильтониан) системы. В частном случае чисто-
чистого состояния ф, которое может быть следующим образом разложено по
собственным функциям наблюдаемой R:
измерение /7 "редуцирует" или "сводит" ф к фк, т.е. к собственному
состоянию с собственным значением X к, результатом измерения. Согласно
фон Нейману, эта "редукция состояния" или, выражаясь более общим обра-
образом, "редукция волнового пакета" неизбежна при каждом процессе изме-
измерения и гарантирует, что тот же результат будет получен в непосредственно
следующем за ним измерении той же неблюдаемой ("постулат проектиро
вения").
Фон Нейман пояснил недостаточность непрерывных преобразований
U-*Ut, указав, что объектом наблюдения при измерении является не сама
система S, а системе S в сочетении с измерительным прибором М (и в конеч-
конечном счете с наблюдателем). "Теория измерений есть утверждение относи
тельно S + М и должна описывать, как состояние S связано с определенны-
определенными свойствами состояния М (именно, с положениями некоего указателя,
поскольку наблюдатель считывает их). Более того, не будет большого раз-
различия, если включить наблюдателя в М и заменить связь между состоя-
состоянием S и положением указателя в М на связь этого состояния с химически-
химическими изменениями, происходящими в глазу наблюдателя или в его
мозгу" 24'. Выражаясь более определенно, существующую ситуацию в по-
понимании фон Неймана можно описать следующим образом. Предположим,
что система S находится в состоянии
где фп — собственная функция с собственным значением Х„ наблюдае-
наблюдаемой R, подлежащей измерению. Чтобы измерить /?, систему S надо объеди-
объединить с измерительным прибором М, отсчеты указателя которого д0, Я\, ...
(предполагается, что они образуют дискретный набор) соответствуют соб-
собственным функциям 1^0 (у), ур, (у), ... наблюдаемой G, причем <^0( У) пред
ставляет нулевое (начальное) состояние М с отсчетом д0. До объединения
функция состояния системы S + М равна
а после объединения -
т.е. имеет вид суперпозиции различных состояний ф,#>„ с вероятностями
I а„ |2. Неопределенность G (и соответственно отсчетов указетеля д„) сни
мается при редукции состояния Ф2 -* Фк(х)хрк(у), происходящей в тот
момент, когда наблюдатель замечает, что отсчет указателя равен дк. Если
же теперь для измерения G используется второй прибор М', то в точной ана
"'41 См. |6.108|,с. 352 английского изд.; |6.108« |, с. 261-262.
358
логии с предыдущим конечное состояние системы S + М+ М' перед отсче-
отсчетом имеет вид
. у) = Тапф„мп.
и т.д. Фон Нейман показал, что введение таких дополнительных приборных
(или "объективных") стадий не меняет исхода измерения, т.е. значения Я,
равного Хк; это заключение поддерживало принцип психофизического
параллелизма, согласно которому, в соответствии со взглядами Бора
"должно быть возможно так описывать внефизический процесс субъектив-
субъективного восприятия, как еспи бы он происходил в действительности в физиче-
физическом мире" г .
Усечение вообще-то бесконечной последовательности S + М + М + ... ,
произведенное фон Нейманом с помощью обращения к субъективному вос-
восприятию наблюдателя или, как сформулировали это Лондон и Бауэр
к "дару интроспекции" наблюдателя, — процесс, который в физике соответ-
соответствует "редукции волновой функции", — ввело фактор человеческого со-
сознания как неотъемлемую часть в формулировку квантовой механики.
Фон Нейман признавался, что в этом отношении на него сильно повлиял
Лео Сципард (бывший тогда приват-доцентом в Берлине), который изучил
вопрос о том, не может ли вмешательство разумного существа в термоди-
термодинамическую систему дать perpetuum mobile второго рода. Сципард показал,
что благодаря самому измерению, выполняемому подобным существом
(фактически достаточно приписать измерительным средствам только па-
память) , поведение системы явственно изменяется и может привести к умень-
уменьшению энтропии и, значит, к нарушению второго закона термодинамики,
еспи только сам измерительный процесс не подразумевает возрастания
энтропии . В свою очередь, Сцилард пришел к этим нестандартным
идеям, несколько напоминающим "демона" Максвелла, изучая работу Смо-
луховского 2в| об ограничениях второго закона термодинамики; эта рабо-
работа основывалась на докладе, сделанном им в Гёттингене по приглашению
аольфскелевского комитета незадолго до назначения на пост директора
"• См. 16.108], с. 419; 16.108-I.e. 307.
") "Точка зрений наблюдатели совершенно иная: дли него это только объект
"я" и прибор "у", которые принадлежат внешнему миру, т.е. тому, что называется
"объективным". Напротив, по отношению к самому себе он находится в особом поло-
положении, располагая той отличительной и хорошо знакомой особенностью, которую
можно назвать "даром интроспекции" (taculte d'introspection): он может непосредст-
непосредственно узнать свое собственное состояние. В силу этого "имманентного знания" он
присваивает себе прево создавать свою собственную объективность, т.е. отсечь цепочку
статистических координации, выражаемых соотношением ?en^n(x)i,,(y)xn('). и
заявить: "Я нахожусь в состоянии Хд". или еще проще: "Я имею С = дд ", ипи даже
прямо: "Я = \к " (London F.. Bauer F. La Theorie ... |22|, P. 42).
) Szilard L. Uber die Entropieverminderung in einem thermodynamischen System bei
Eingrjffen jnteliigenter Wesen. - Zeitschrift fur Physik, 1929, Bd 53, S. 840-856.
См. также его более раннюю статью: Uber die Ausdehnung der pba'nomenoiogischen
Thermodynamik auf die Schwankungserscheinungen. - Ibid., 1925, Bd 32. S. 753-788.
' Smoluchowski M. Gultigkeitsgrenzen des 2weiten Hauptsatzes der Warmetheorie. -
In: Vortrage uber die kinetische Theorie der Materie und Elektrizitat. — Leipzig, Berlin: Teub-
ner. 1914, S. 89-121; in: Pisma Mariana Smoluchowskiego-Oeuvresde Marie Smoluchow-
Smoluchowski / ed. L.Natanson. — Cracow: Impremerie de liJniversite Jaguellonne. — P.: Beranger,
1927, p. 361-398.
"> См. с 36.
35»
Института физики Краковского университета в 1913 г. Идея Смолуховско-
го о разуме, постоянно осведомленном о мгновенном состоянии динамиче-
динамической системы и поэтому могущем нарушить второй закон термодинамики,
не совершая никакой работы, была, вероятно, самым первым логически
неопровержимым умопостроением на тему воздействия разума на материю.
Оно, как мы видели, проложило путь к далеко ведущему заключению
фон Неймана о том, что невозможно полным и последовательным образом
сформулировать законы квантовой механики без обращения к человече-
человеческому сознанию, фон Нейман полностью осознавал, что эта концептуальная
процедура ведет к безжалостному результату: "опыт допускает только
утверждения типа "наблюдатель сделал определенное (субъективное) на-
наблюдение" и никогда ничего похожего на "физическая величина имеет
определенное значение" , а Гейзенберг ' однажды выразился так:
"Законы природы, которые мы формулируем математически в квантовой
теории, более не имеют дела с самими частицами, а касаются наших знаний
об элементарных частицах".
Теория измерений фон Неймана, хотя и неуязвимая с чисто логической
точки зрения, вскоре стала мишенью для серьезной критики. Так, совсем
недавно ее упрекали в том, что она "основана на полностью субъективист
ской (солипсистской) философии" .Указывалось также, что преоб-
преобразование чистого состояния в смесь (в том виде, в каком это представлял
себе фон Нейман) было нелегко примирить с некоторыми принципами
сохранения. Маргенау и его.школа 34>, настаивая на важности четкого раз
пичия между "приготовлением состояния" и "измерением", отвергали
постулат проектирования на том основании, что измерение часто разру-
разрушает состояние, соответствующее полученному собственному значению,
как, например, при измерении энергии атома по его спектру излучения, где
измерение становится возможным именно при распаде состояния. Рассмат-
Рассматривая процесс измерения как взаимодействие между микрообъектом и
макросистемой, при котором последняя переходит из термодинамически
метастабильного состояния в стабильное состояние, зависящее от состояния
микрообъекта, Людвиг и его школа 35) пытались найти ответ в эргодиче-
"> См. 16.1081, с. 420 англ. изд.; 16.108 >|, с 308.
) Heisenberg IV. The representation of nature in contemporary physics. — Daedalus,
1958. v. 87 CI.P.99.
'J) Daneri A., Lomger A.. Prosper/ CM. Quanium theory of measurement and ergodicity
conditions. - Nuclear Physics, 1962, v. 33, p. 297—319.
yy)Wigner E.P. Die Messung quantenmechanischer Operaloren. - Zeitschrifi fur Physik,
1952, Bd 133, S. 101-108.
"^Mtrgenau H. Critical points in modern physical theory. - Philosophy of Science.
1937, v. 4, p. 337—370 Philosophical problems concerning the meaning of measurement in
physics. - Ibid., 1958, v. 25. p. 23-33 (перепечатано в кн.: Measurement - Definitions
and Theories. — N.Y.: Wiley, 1959, p. 163—176); Measurements and quantum states. - Ibid..
1963, v. 30, p. 138-157. McKnight J.L. The quantum theoretical concept of measurement. -
Ibid., 1957, v. 24, p. 321-330 (перепечатано в кн.: Measurement ... , p. 192-203); Measu-
Measurement in quantum mechanical systems, an investigation of foundations. — Yale University.
Dissertation, 1957; An extended latency interpretation of quantum mechanical measure-
measurement. - Philosophy of Science, 1958. v. 25, p. 209—222.
iS)Ludwig С Der Messprozetf. - Zeitschrift fur Physik. 1953. Bd 135, S. 483-511:
Zur Deutung der Beobachtung in der Quantenmechanik. - Physikalische blotter, 1955,
Bd 11, S. 489—494; Zum Ergodensatz und гит Begnff der makroskopischen Observablen. -
Zeischrift fur Physik. 1958, Bd 150, S. 346-374, 1958. Bd 152. S. 98-115; Daneri A..
Lomger A.. Prosperi CM. | 321.
360
ском поведении макронаблюдаемых. Делались и другие многочисленные
попытки модифицировать теорию измерений фон Неймана или заменить ее
на более приемлемую, с точки зрения авторов 36\ теорию.
Большинство этих попыток было сопряжено с модификацией каких-то
отдельных частей формулировки квантовой механики по фон Нейману
или даже только данной им интерпретации, но вскоре и базисная
алгебраическая структура формализма как целое стала предметом обобще-
обобщения. Поиски совершенно строгого математического обоснования теории и
решения трудностей, упомянутых в конце гл. 6, шли по двум основным
направлениям. Первое из них, стремящееся к явному алгебраическому
обобщению операторного исчисления и структуры гильбертова пространст-
пространства, восходит к работе Йордана 37>, в которой в квантовую механику была
введена так называемая квазимультипликативная 38> коммутативная
алгебра, т.е. алгебра, которая отличается от некоммутативной, но ассоциа-
ассоциативной матричной алгебры в том отношении, что ассоциативное произведе-
произведение А В (двух матриц) заменяется на коммутативное выражение
{А В + В А) 12. В поддержку своего предположения Йордан привел тот
довод, что "вся статистика измерений квантовомеханических систем вклю-
включает только квазимультипликативные соотношения между измеримыми ве-
личинами, но не соотношения полного умножения" '.
Использовав сокращенную запись
(А.В.С) =(АВ)С-А(ВС),
' Jordan P. On the process of measurement in quantum mechanics. — Philosophy of
Science, 1949, v. 16, p. 269—278; Bohm D. Quantum Theory. - Englewood Cliffs, NJ.:
Prentice-Hall, 1951, p. 583—623; Liidert G. Uber die ZustandsSnderung durch den Messpro-
«0.— Annalen der Physik, 1951, Bd 8, S. 322—328; GroenawoldH.J. Information in quan-
quantum measurements. — Proceedings of the Amsterdam Acedemy (B), 1952, v. 55, p. 219—227;
Schrodinger E. The philosophy of experiment. - II Nuovo Cimento, 1955, v. 1, p. 1-15;
Everett H. Relative State formulation in quantum mechanics. — Reviews of Modern Physics,
1957, v. 29, P. 454—465; Feyerabend P.K. Zur Quantentheorie der Messung. - Zeitschrift
fur Physik, 1957, Bd 148, S. 561 -559; On the quentum theory of measurement. - In: Obser-
Observation and Interpretation: A Symposium of Philosophers and Physicists. Proceedings of the
Ninth Symposium of the Colston Research Society, University of Bristol, April 1 - April 4,
1957. - L.: 8utterworth, 1957; N.Y.:,.Dover, 1962, p. 121-130; Suttman G. An analysis of
measurement. - Ibid., p. 131-136; Uber den Messvorgang. — Munchener Berichte, 1958,
H. 88. Green H.S. Observation in quantum mechanics. - II Nuovo Cimento, 1958, v. 9,
p. 880-889. Landi A. Zur Quantentheorie der Messung. - Zeitschrift fur Physik. 1959,
Bd 153, S. 389-393; Durend L. On the theory of measurement in quantum mechanical
system's. — Philosophy of Science, 1960, v. 27, p. 115—133; Wakita H. Measurement in
quantum mechanics. - Progress of Theoretical Physics, 1960, v. 23, p. 32—40, 1962, v. 27,
p. 139-144, 1156— 1164; Araki H., Yanate M.M. Measurement of quantum mechanical ope-
operators. - Physical Review, 1960, v. 120, p. 622-626; Mould R. Quantum Theory of Measu-
Measurement. - Annals of Physics, 1962, v. 17, p. 404—417; Albertton J. Quantum-mechanical
measurement operator. - Physical Review, 1962, v. 129, p. 940-943; Shimony A. Role of
the observer in quantum theory. - Americal Journal of Physics, 1963, v. 31, p. 755-773;
Wlgner E.P. The problem of measurement. - Ibid., 1963, v. 31, p. 6-15; Blokhinttev D.I.
Principles of Quantum Mechanics. - Boston: Allyn and Bacon, 1964,p. 65-70.
J* *) UlpeduHiep Э. Философия эксперимента. - В кн.: Избранные труды |3.33>|,
с. 288-298; Бом Д. Квантовая теория 15.284* ], с. 668-713; Бпохинцев Д.И. Основы
квантовой механики. — 3 иэд. — М.: Высшая школа, 1961.
' Jordan P. Uber die Multiplication quantenmechanischer Grbjten. —Zeitschrift fur
Physik, 1933, Bd 80, S. 285-291.
") Термин "каазимультилликативиый" для описания операций с заменой АВ на
(А В + В А) /2 был предложен Йорданом (там же, с. 286).
• Твм же, с. 286.
341
Йордан показал 40', что для двух любых квантовомеханических наблюдае-
наблюдаемых А и В справедливо уравнение {А, В, А1) = 0, которое выполняется
всегда при [А, В, А2] - 0, где квадратные скобки определены аналогично
фигурным, но через обычное умножение. Поэтому Йордан предположил,
что гиперкомплексные алгебры, для которых [А, В, А2] = 0 и которые он
назвал "/--числовыми алгебрами" ("r-Zahl-Algebren"), являются подхо
дящим обобщением обычной алгебры, использованной в формализме
фон Неймана. Впрочем, через несколько месяцев Йордан, фон Нейман и
Вигнер4" провели глубокий анализ этих алгебр и с помощью теоремы
Альберта *2) установили эквивалентность между почти всеми (веществен-
(вещественными 3' ) r-числовыми алгебрами и алгебрами, элементами которых яв-
являются обычные (вещественные) матрицы, а произведения определяются
операцией квазиумножения; единственным исключением являлась алгебра
всех трехстроковых эрмитовых матриц с элементами в вещественной
неассоциативной алгебре чисел Кэли * .
В 1959 г. Финкелыитейн и др. 4SI показали, что в квантовой механике
возможны только три типа гильбертовых пространств: вещественное, ком-
комплексное и кватернионное. Первый тип, т.е. гильбертово пространство, ска-
скалярными множителями которого являются вещественные числа, был под-
подробно изучен Штюкельбергом и его сотрудниками *6), тогда как Финкель-
штейн и др.47>, Дай сон 48> и Эмх49' изучили структуру кватернионной
*°\ Jordan P. Ubereine Klasse nichtassoziativer hyperkomplexer Abgebren,— Gb'ttinger
Nachrichten, 1932, S. 569-575; Uber Verallgemeinerungsmdglichkeiten des Formalismus
der Quantenmechanik. - Ibid., 1933, S. 209—217.
' Jordan P., von Neumann J., Wigner E. On an algebraic generalization of the quantum
mechanical formalism. - Annals oi Mathematics. 1934, v. 35,p. 29-64.
'Albert A.A. On a certain algebra of quantum mechanics. — Annals oi Mathematics,
1934, v. 35, p. 65-73.
) Поле коэффициентов было взято вещественным, чтобы удовлетворить "старое
возражение против квантовомеханнческого формализма, а именно, что он выходит за
пределы вещественной области". |411, с. 29.
")Сау/ву A. On quaternions. - Philosophical Magasine, 1845, v. 26. p. 210-211; In:
The Collected Mathematical Papers |5.16|, v. 1,p. 127. О числах Кэли см. Dickson L.E.
Algebras and Their Arithmetics. - Chicago: University of Chicago Press, 1938; N.Y.: Dover,
1962. Алгебре чисал Кэли посвящены работы Dickson L.E. On the quaternions and
their generalizations and the history of the eight square theorem. - Annals of Mathematics,
1918, v. 20, p. 155-171 Freudenthal H. Okiaven, Ausnahmegruppen und Oktavengeomet-
rie. — Mathematisch Institut der Rijksuniversiteit te Utrecht, 1951; Zorn M. Theorie der
alternation Ringe. — Abhandlungen des Mathematischen Seminars der Hamburger Univer
sitat. 1930, Bd 8. S. 123-147.
4' ) Finkelstein D., Jauch^J.M., Speiser D. Notes on quaternion quantum mechanics. —
CERN Reports (Theoretical Study Division), 1959, 59-7. 59-9. 59-17; Zur Frage der La
dungsquantisierung. - Helvetica Physica Acta, 1959, v. 32, p. 258-260.
*' I Stuekelberg E.C.C. Quantum theory in real Hilbert space - Helvetica Physica Acta,
1960, v. 33. p. 727-752; Stuekelberg E.C.C. Cuenin M. Ipart II). - Ibid., 1961, v. 34,
p. 621-628,, Stuekelberg E.C.G.. Piron G.Ruegg H. Ipart ill). - Ibid. 1961, v. 34,p. 675-
698; Stuekelberg E.C.C. Cuenin M. Ipart IV).- Ibid., 1962. v. 35, p. 673-695.
- 41) Finkelstein D.. Jauch J.M., Schiminovitch S.. Speiser D. Foundations ol quaternion
quantum mechanics. - Journal of Mathematical Physics, 1962, v. 3, p. 207-220; Finkel
stein D.. Jauch J.M.. Speiser D. Quaternionicrepresentation of compact groups. - Ibid., 1963,
v.4.p. 136-140.
362
квантовой механики50', т.е. операторной алгебры в гильбертовом про-
пространстве, скалярные множители которого являются кватернионами.
Об этой возможности в несколько иной связи упоминалось в начале
гл.551).
Недавно Голдстайн и Горвиц52' изучили свойства гильбертова прост-
пространства со скалярными множителями в виде чисел Кэли.
Начало второму направлению было положено работой Биркгофа и
фон Неймана , теперь считающейся классической. Авторы показали, что
исчисление квантовомеханических высказываний относительно результатов
измерений формально неотличимо от исчисления линейных подпространств
в бесконечномерном гильбертовом пространстве (причем чистые состояния
соответствуют одномерным подпространствам, т.е. лучам) по отношению
к произведениям, линейным суммам и ортогональным дополнениям набо-
наборов, и показали также, что соотношения между измерениями различных
наблюдаемых отражаются в (орто-дополненной) решеточной структуре
этих подпространств, тогда как дистрибутивный закон ad (b U с) =
= {а Г* Ь) U (а П с), характерный для исчисления высказываний в класси-
классических системах, более не выполняется. Таким образом, решеточная струк-
структура подпространств (отражающая тот факт, что измерения различных
переменных способны интерферировать друг с другом), как оказывается,
обеспечивает строгую л оги ко математическую формулировку соотношений
неопределенности и свойств дополнительности. В 1952 г. Вик, Уайтман и
Вигнер54' в своей важной работе о правилах сверхотбора показали, что
существуют физические системы, в которых наборы векторов, представ-
представляющих наблюдаем! е, не образуют неприводимой системы в пространстве
векторов состояния, как это ранее принималось, а также что не каж-
каждый самосопряженный оператор соответствует наблюдаемой и что неко-
некоторые подпространства в гильбертовом пространстве векторов состояния
нельзя связать с наблюдаемыми, если состояние подчиняется правилам
отбора.
' Dyson F.J. The threefold way. algebraic structure of symmetry groups and ensembles
in quantum mechanics. — Journal of Mathematical Physics, 1962, v. 3,p 1199—1215.
) Emch G. Mecanique quantique quaternionienne et relativite restreinle. — Helvetica
Physics Acta, 1963. v. 36, p. 739-769, 770-788.
' Первым к идее кватерниоиного гильбертова пространства пришел, вероятно.
Вакс (Wachs H.); возможность в/о использований в квантовой механике впервые об-
обсуждалась в статье: Jordan P. Uber die Multiplication quantenmechanischer Grosser) II. -
Zeitschrift fur Phytik, 1934, Bd 87, S. 505—512. Операторная алгебра в таких прост-
пространствах была впервые изучена в статье: Taichmiillar О. Operatoren im Wachsschen
Raum. - Journal fur die reine und angewandte Mathematik, 1936. Bd 174, S. 73—124.
">Cm.c.2O4.
> Goldsine H.H.. HorwiU L.P. On a Hilbert space with nonassociative sealers. - Pro-
Proceedings of the National Academy -of Sciences, v. 48. p. 1134-1142; Hilbert space with
nonassociative sealers I. — Mathematische Annalen, 1964, Bd 154, S. 1-27.
) Birkhoff C. von Naumann J. The logic of quantum mechanics. - Annals of Mathema-
Mathematics, 1936, v. 37. p. 823-843.Ш: Collected Works |6S7), v. 3,p. 105-125.
"> См. |20|,Ср. также |331.
363
В 1963 г. Яух и Пирон 55> ясно продемонстрировали,что эту ситуацию без
больших трудностей можно отразить в решеточной структуре исчисления
квантовомеханических высказываний. Недавняя работа Горвица и Биден-
харна**' о структуре квантовой теории, использующей гильбертово
пространство над произвольной конечной алгеброй с элементом единица,
обещает установить важную связь между указанными двумя направле-
направлениями развития.
Мы остановились вкратце на недавних работах, посвященных развитию
формализма фон Неймана, ради того чтобы показать, что и сегодня его
работы еще составляют основу теоретических поисков математически
строгой формулировки квантовой механики.
"> См.|19|.
'*' Horwiu L.P.. Biedenharn L.C. Intrinsic superselection rules of algebraic Hilbert
space. - Helvetica Physica Acta, 1965. v. 38, p. 385-408.
ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Продолжение обсуждения проблем полноты (скрытых переменных)
и измерения (наблюдения), при котором мы уже. как видно из преды-
предыдущего, затронули современные исследования по основам квантовой ме-
механики, выходит за рамки настоящей книги.
Но все же есть один вопрос, который имеет смысл обсудить в заключе-
заключение нешего обзоре. Это вопрос о том, как выглядит концептуальнея схема,
которая сложилась в квантовой механике и образует основу всех современ-
современных исследований в атомной физике, при рассмотрении ее в широкой ис-
исторической перспективе — как полный разрыв с прошлым, в том смысле,
что она составляет изолированную главу в истории человеческой мысли
или же она представляет собой просто еще одну стадию в непрерывном раз-
развитии неумной мысли и еще одно звено в цепи интеллектуальных поисков.
Одна из главных задач, стоявших перед нами, заключалась в том, чтобы
изучить, в какой именно степени концептуальные основы квантовой меха-
механики развились из более ранних представлений и какие именно факторы
сыграли решающую роль в этом процессе развития. Как мы видели, наука
никогда не находится в вакууме и любое новшество, каким бы радикаль-
радикальным оно ни было, уходит корнями в прошлое. Поэтому с психологической,
эвристической и методологической точек зрения ответ совершенно ясен.
Но наш нынешний вопрос глубже: спрашивается, находится ли сложив-
сложившаяся концептуальная схема, независимо от особенностей формирования
ее создателями, в русле исторического развития физики на протяжении
веков. По крайней маре в одном отношении это твк.
Взглянув на историческое развитие физической мысли, мы можем ска-
сказать, что физика Аристотеля (и большая часть ее средневековых модифика-
модификаций) была физикой по существу неограниченного числа качеств или
свойств, которые предполагались присущими исследуемому объекту. Ато-
Атомизм, уже в представлении древних греков, попытался свести безмерное
разнообразие физических качеств к ограниченному числу фундаментальных
свойств, присущих атому. Руководствуясь логическим принципом, что для
объяснения наблюдаемого свойстве физического объекте нельзя яросто при-
приписать это свойство составным частям объекта, атомисты вскоре стали разли-
различать две категории наблюдаемых свойств: свойства, не зависящие от наблю-
наблюдателя и принадлежащие, как полагали, субстанциям, такие, как геометри-
геометрические и динамические свойства, и свойства, такиа, как цвет, теплота, звук
или вкус, которые, как мыслилось, не находятся "в объекте", а представ-
представляют собой просто "фантомы" в "ощущающем" субъекте').
Классическая физика, с ее основой в вида механики, была лишь коли-
количественной попыткой выполнить эту программу "редукции". Когда Галилей
1)НоЫтГ. Elements of Philosophy - The First Section.Concerning Вйф. -In: English
Work*. - L.: Bonn, 1839, v. 1, p. $89-391.
3«5
разделил "первичные и "вторичные" свойства физических объектов -
как он считал, "... что-нибудь телесное, материальное. .. ограничено,
имеет ту или иную форму,... находится в том или ином месте, в тот или
иной момент времени, движется или неподвижно, касается или не касается
другого тела, существует в единственном теле, в нескольких или во мно-
многих. . ."* ) - и рассматривал только эти первичные свойства как реальные,
он кодифицировал тем самым программу классической физики.
Обычно утверждается, что классическая физика в противоположность
современной физике давала модель физической реальности, допускающую
отчетливое зрительное представление. Строго говоря, это неверно. Как
только было принято, что атомы наделены лишь формой, положением, дви-
движением и лишены, например, цвета, - за методологический выигрыш в
интеллектуальной унификации пришлось заплатить потерей зрительных
представлений или картин. Действительно, как можно "нарисовать)
бесцветный объект? Если мы говорим о том, что в физике Ньютона "воз-
"возможно построить зрительные образы или картины", мы используем этот
термин в более "бледном" и абстрактном смысле: мы имеем в виду, что
те свойства, которые, по-видимому, "реальносуществуют в самих телах),
можно представить геометрико-кинематическими моделями, цвет и дру-
другие вторичные качества которых не имеют никакого отношения к тому, ра-
ради чего они были созданы, как, например, не имеет значения цвет педагоги-
педагогических наглядных пособой при преподавании геометрии.
В классической физике первичные качества - форма, положение, движе-
движение (позже сюда прибавились масса и заряд) — считались объективными
характеристиками физической реальности, неотъемлемыми атрибутами
материи, не зависимыми от наблюдения и не сводимыми к нему. Если не
считать известный отказ Беркли, основанный на философских доводах,
различать первичные и вторичные свойства!), то, вероятно, первая брешь
в этой концепции была с логической точки зрения пробита анализом Гер
барта, в котором он попытался показать, что понятие об одной вещи,
обладающей многими свойствами, внутренне противоречиво. Гербарт')
разрешил этот парадокс, сводя свойстве (в том числе первичные качества)
к отношениям одной вещи с другими. Подобным образом, но больше
с точки зрения эпистемологии физики, Сталло указывал, что объекты из-
известны только по их связям с другими объектами. Он говорил: "Они не
имеют, и не могут иметь, свойств, и понятия их не могут включать ника-
никаких атрибутов за исключением этих связей или, вернее, наших мысленных
представлений о них. Действительно, объект можно знать или мыслить толь
') Galilei G. И Saggitore A623).
* •) Цит. поПьоцци М. История физики. - М.: Мир. 1970. с. 71.
') Этимопогический корень снова picture (картина) — патинское pingere (красить,
покрывать цветом ипи "пигментом") .
') Lock» J. An Essay concerning Human Understanding. - L.: Otridge and Son, 1812.
book 2.ch.8.
' *) Локк Дм. Опыт о чеповечвском разум». - В кн. ЛоккДж. Избранные фи по
софские произведения. - М.: ИСЭЛ. 1960. с. 155.
') Ср. также высказывание Лейбница: "Тела могут обнаруживать не топько такие
очевидные качества, как свет. цвет, но и движение, форму, протяженность"
Leibniz G. Oe modo distinguendi phaenomena realia ab imaginariis. - In: Leibniz G. Philo-
sophischeSchriften/ed.CJ.Gerhardt. - Hildesheim: CMrm, 1961, Bd7, S. 322.
*) Herbert J.F. Schriften zur Metaphysik (Allgemeine Metaphyjik, 1828). - In: Samtliche
Werkc/ed. G. Hartenstein. - Leipzig: Voss, 1851. 8d 3. S. 19.
366
ко как совокупность подобных связей. Выражаясь математически: вещи
и их свойства известны только как функции других вещей... ). Идея
о том, что свойства объектов являются действием (Wirkungen), произво-
производимым ими на наши ощущения или на другие природные объекты, под-
подчеркивалась также Гельмгольцем, говорившим: "... каждое качество или
свойство вещи в действительности есть не что иное, как ее способность ока-
оказывать определенное воздействие на другие вещи... оно никогда не может
зависеть от природы только одного фактора, но существует только в связи
и зависит от природы некоего второго объекта, на который действует пер-
первый" 8). Гёффдинг, философские взгляды которого, как мы видели, столь
сильно повлияли на Бора, также заявлял: "Качества" вещи являются не чем
иным, как различными формами и способами влияния зтой вещи на другую
или наоборот. Они являются способностями вещи делеть и терпеть ).
Если эти утверждения рассметривать как относящиеся и к тому, что на-
называлось первичными качествами, то они полностью подтверждаются сов-
современной физикой. Сначала теория относительности обнаружила, что гео-
метрико-кинематические свойства положения, времени и скорости (равно
как и длины, размеры, длительности и массы), ранее считавшиеся объек-
объективными характеристиками, зависят от системы отсчета. Затем квантовая
механика показала в дополнение, что эти свойства зависят также от средств
наблюдения 10). Даже понятие "индивидуальности"или "тождественности"
элементарных частиц, которые в силу его онтологических связей занимало
статус "над и вне" статуса понятия "свойства" или "качества", в квантовой
механике (и особенно в сфере обменных явлений) потеряло, как мы ви-
видели ''), свою универсальную применимость, которая была свойственна
классической физике, где частицу можно было однозначно связать с четко
определенной траекторией, непрерывной в пространстве и во времени.
В отличие от аристотелевой физики качеств и ньютоновой физики пер-
первичных свойств, квантовой механике присущ иной язык. Это язык взаимо-
взаимодействий, а не атрибутов; элементами его синтаксиса являются процессы,
а не свойства. Поэтому обречена на провал любая попытка, например, опи-
описать спины в неполяризованном пучке электронов на языке атрибутов (или
их смесей).
Но разум человека нелегко смиряется с таким отказом, с такой заменой
свойств на взаимодействия или "частиц" на "числа заполнения" уровней.
Даже Паули, определив спин как "особую двухзначность, которую нельзя
описать классически"! 2), добавил "квантовотеоретических свойств опти-
оптического электрона". И хотя "отмена" первичных свойств разрушает клас-
классическое разграничение кинематики и динамики ( статика рассматривает-
рассматривается кек частный случай 13) динамики) и потому лишает кинематику какого
^Stallo J.B. The Concepts and Theories of Modern Physic*. - N.Y.: Appleton, 1881;
Cambridge, Mass.: Harvard University Press, 1960, p. 156.
') Von Helmholtz H. Handbuch der Physiologischen Optik. - 2 Aufl. - Hamburg, Leip-
Leipzig: Voss, 1896, S. 588-589; Treatise on Physiological Opticj/ed. J.P.S. Southall: Optical
Society of America, 1925; N.Y.: Dover, 1962, v. 3, p. 20-21.
*) Hfiffding H. Religionsphilosophie. - Leipzig; Reisland, 1901, S. 31; The Philosophy
of Religion. - L., N.Y.: Macmillan, 1906, p. 34.
1') Cp. Lenzen V.F. The concept of reality in physical theory—Proceedings and Addresses
of the American Philosophical Association, 1945. v. 18, p. 321-344.
1') См. конец разделе 7.1.
¦M См. с. 142.
'М Ср. Jammer J. Statics. — In: The Encyclopedia of Physics. - N.Y.: Reinhold,
1966, p. 679.
347
бы то ни было логического первенства, даже Гейзенберг рассматривал со-
соотношения неопределенности как средство восстановить это разгреничение
и "получить тем самым неглядное понимание квантовомеханических со-
соотношений" 1 *). Присходящие сейчас споры об основах квантовой меха-
механики, видимо, во многом обусловлены нежеланием расставаться с при-
писанием первичных качеств элементарным частицам.
Несовместимость классической веры в реальность физических свойств,
хотя бы даже только в реальность таких первичных свойств, как положение
или импульс, и концептуальной схемы квантовой механики была четко про-
демонстрировена широко известным парадоксом Эйнштейна — Подольско-
Подольского — Розена '5). Определив как полную только такую физическую теорию,
для которой "каждый элемент физической реальности" имеет соответ-
соответствующий элемент в физической теории", Эйнштейн, Подольский и Розен
основали свои рассуждения не следующем критерии физической реальнос-
реальности: "Если мы, никоим образом не возмущая систему, можем с полной уве-
уверенностью предсказать значение физической величины, то существует эле-
элемент реальности, соответствующий этой физической величине6). Таким
образом, с их точки зрения, возможность точного определения динамичес-
динамической величины задает эту величину как элемант реальности, который будет
иметь числовой "эквивалент" в теории, если теория полна.
Имея в виду эти эпистемологические предположения, авторы рессмо. рели
две частных системы I и II, которые взаимодействуют друг с другом
только в течение определенного интервала времени 0<f <Г, и показали,
что формализм квантовой маханики позволяет, никоим образом на возму-
возмущая систему II, нейти точное значение переменной вц в этой системе, если
была измерена (после времени Г) переменная в\ в система I. На основании
своего эпистемологического критерия реальности они заключили, что су-
существует элемент физической реальности (назовем его в\\), соответствую-
соответствующий точно вычисленному знечению вц. В действительности е\\ должно
было существовать до измерения в\, тек как после момента Г всякое взаи-
взаимодействие отсутствует и само измерение никак не могло повлиять на
систему II.
Если же в системе I была бы измерена другая переманная,нев|, е, ска-
скажем, а[, то в система II можно было бы предсказать точное знечение другой
переменной а[\, опять-таки никак не возмущая систему II, и был бы уста-
установлен другой элемент реальности ej| (который также должен существо-
существовать до момента измерения а\).
Затем авторы показали, что«| и л/можно выбрать теким образом, что
«и и «и будут относиться к некоммутирующим операторам 4ц и А\\ со-
соответственно ' 7). Поскольку волновая функция может точно задать в ука-
указанный момент времени не более одного собственного значения двух
некоммутирующих операторов, то в теории могут найти отражение либо
только «и, либо только в\\, но никогда оба эти элемента реальности. По
1') Eintttin A.. Podoltky В.. Помп N. Can quantum-mechanical description of physical
reality be considered complete? - Physical Review. 193S, v. 47, p. 777-780.
1' *) Эйнштейн А.. Подольский В.. Розен Н. Можно ли считать кваитооомеханичес-
кое описание физической реальности полным?—В кн: Эйнштейн А. Собрание научных
труде*, т. Ill A.112*1, с. 604-611.
'*1См. 1151, с. 777; {15*1, с. 60S.
1'\ Подробнее см. Приложение Б.
Э6»
этому авторы заключили, что квантовая механика не обеспечивает полного
описания физической реальности.
Это утверждение было вскоре оспорено Бором1 8), по крайней мере с
точки зрения интерпретации теории в духе дополнительности. Бор утверж-
утверждал, что процедура измерения оказывает существенное влияние на условия,
лежащие в основе самого определения физических величин. Считая эти ус-
условия неотъемлемым элементом любого явления, которому можно припи-
приписать физическую реальность. Бор указал, что механическая система, даже
после того, как она перестала динамически взаимодействовать с другими
системами, не представляет собой независимого вместилища "реальных"
атрибутов. Бор отверг возможность связывать эти атрибуты с физическими
системами неким "собственническим" образом, тем самым лишив силы
эпистемологические посылки парадокса. Такая позиция Бора была, как
это очевидно, лишь выражением того факта, что в концептуальных рамках
интерпретации Борна — Бора — Гейзенберга квантовая механика является
в конечном счете физикой процессов, а не свойств, физикой взаимодейст-
взаимодействий, а не атрибутов, и даже не первичных качеств материи.
С этой точки зрения квантовую механику можно с полным основанием
считать продолжающей основную линию развития теоретической физики.
'l)Bohr N. Quantum mechanics and physical reality. - Nature, 1935, v. 136, p. 65,
Can quantum-mechanical description of physical reality be considered complete? — Physical
Review, 1935. v. 48, p. 696-702.
"*) Бор Н. Квантовая механика и физическая реальность. — В кн.: Избранные
научные труды, т. II [1.175*1, с. 179; Можно пи считать квантовомеханическое описа-
описание физической реальности попным? — Там же, с. 180—191.
24. М. Джеммар 369
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение А
8я«>2
Вывод уравнения uv <• —-— U ')
с3
Планк рассмотрел линейный осциллятор, дипольный момент которого
f (t) зависит от времени и колеблется вдоль оси г, а полная энергия равна
Ц, = У, К f1 + Ъ L f1. При Uo <• const имеем
Kf+Lf'O, (A.I)
собственная частота осциллятора равна
г
V (А.2)
2я L
и
(fm»xJ'2U0/K. (А.З)
Согласно Герцу ') подобный осциллятор за период колебания излучит энер-
энергию
32ffV</o/3c3K. (A.4)
Если существует небольшое затухание, (А.1) надо заменить на уравнение
Kf+Lf + — y/Klf=0, (A.5)
я
где о — логарифмический декремент затухания (для амплитуд). Следова-
Следовательно, логарифмический дакремент для энергии составляет,
согласно (А.4), 2а* 32я* v3/Зс3 К, откуда
о*1вп*р3/Зс3К. (А.в)
Во внешнем поле напряженности Z уравнение (А.5) принимает вид
Kf+Lf+ — y/Klf = Z,
я
откуда с помощью (А.2) и (А.6) получим
. Зсэо
f+2opf + 4ir2v2f=—г— Z. (A.7)
Atrv
Если Z разложить в ряд Фурье'
Z= 2 Cncosl2irnt/T-0n),
•) Уравнение A.6) .
М См. A.44. 1.44*|.
370
то для больших Т имеем
Зс3 С.Т / 2irnt
{ = (
irnt \
вп-уЛ
Г I
(А.8)
f{t) ТТТ 2 sin7nc
16rr 3v2 п
где
ctg^n = ^(v2 -n2/T2)/[avn/T). (А.9)
Поскольку о мало, имеем sin-у,, % 0, что нарушается при n^vT. Следова-
Следовательно,
ЗС3 / 27ГЛГ \
f{t) = 7ГТТ Z С"sin У" со$( —Г" ~ в" " 74 (А8 >
где
ctg-y,, = 2v(v-nlT)lav. (A.9'
Средняя энергия осциллятора U- Uv. которая дается выражением U= kf2
= A6тг4 »<3/3с3 о) Р, равна поэтому
Зс2
С другой стороны, интенсивность J возбуждающего излучения, равная
среднему значению Z2 за время от f = 0 до Г = Г, имеет вид
Это можно записать как
J* f Ju dn. (A.12)
и
где J„ — энергия, поглощенная линейным осциллятором с собственной
частотой и и пренебрежимо малым звтуханием. Поэтому
^=к„и„. (А.13>
гдекц есть функция ц. Сравнивая (А.11) и (А.12), видим, что
откуда, меняя порядок интегрирования и суммирования,
Зс3 ~ *u$inJ7».
1 и 771 f з d» ¦ (А14>
16тг2 о оц3
Поскольку нужно учитывать только те ц, для которых имеем u^v («л/Л ,
получим
Зсэ*„ -
1= i
Поскольку интеграл в этом выражении равен ov/2, значение kv составляет
kv *32тг2«>2/3с3, и с помощью (А.13) получаем
3c3)U,,. (A. 15)
24# 371
Наконец, плотность энергии поля составляет
и = (f1 ¦ Н1) = — 6Z 2 = J.
8тг 8w 4w
где Е, Н - напряженности электрического и магнитного полей, откуда
следует
или
и„«(8™2 /с3 It/,,.
Это и есть уравнение A.6). С деталями этого вывода читатель может поз-
познакомиться в трудах Планка *).
Приложение Б
Парадокс Эйнштейна — Подольского — Роэена
Пусть х, обозначает переменные, использованные для описания систе-
системы I. a xj — для описания системы II. В этом случае волновая функция Ф
объединенной системы I + II для моментов времени t > Г может быть за-
записана в виде биортогонального разложения
где и„ (Х|) - собственные функции А\ (оператора, представляющего наблю-
наблюдаемую в| в системе I), фк Uj) описывает состояние системы II, если при
измерении а\ найдено значение ак, собственное значение оператора А\,
принадлежащее собственной функции ик (х,) .В случае непрерывного спект-
спектра вместо (Б.1) нужно записать
— ОО
где а теперь обозначает непрерывные собственные значения оператора А\.
Если за объединенную систему I + II принять систему из двух частиц с ко-
координатами х| их] и если
Г 2тг/ 1
¦Ixi.xjH / expl {х, -хг+xQip \dp, (Б.З)
I Л J
гдехц - произвольная постоянная, то в качестве А\ можно выбрать опера-
оператор импульса честицы I. Поскольку в этом случае
/ 21Г/ \
\-1ГрхЧ
(Б.4)
') Plank M. Uber irreversible Strehlungtvorgange. - Annalen der Phyiik, 1900. Bd 1,
S.69—100;Ver«infachteAbleitungder Schwingungtgetetze eines lineeren Retonatort im sta-
tionSren Felde. - PhytikaliKhe Zeittchrift, 1901,В«12,5.б30-Б34.См.твкжв Physikalische
AbhandlungenundVortrSoe, 8d 1 A.421.
a *) Ппшнк М. О необретимых процессах иэпучения [ 1.42 • 1.
372
является собственной функцией оператора Ait соответствующей собствен-
собственному значению р, из (Б.З) видно, что функция
Г 2lti 1
U: -х„)р (Б.5)
описывеет состояние частицы II в том случае, если измерение Л, в систе-
системе I дало значение р. Но (Б.5) является собственной функцией оператора
А[[ жР- (Л/2я/)Э/Зх2.соответствующей собственному значению импульса
частицы II, равному—р.
Но если теперь в качестве А\ выбрать координату частицы I, то собствен-
собственное значение х будет принадлежать собственной функции б (xi —x). По-
Поскольку (Б.З) можно записать в виде
- - i Г 2тг/ 1 )
'¦ f / {ехР I* -*2 -хо)Р 6lX| -x) dx \ dp,
— —I [ Л I )
(Б.6)
ясно, что функция
I 27ri 1
expl lx -x2 +xo)p\dp =Л6(х -х2 +х0) (Б.7)
описывает состояние частицы II в том случае, если при измерении а\ в сис-
системе I было получено значение х. Но (Б. 7) является собственной функцией
оператора А\\ = Q»xj, соответствующей собственному значению х2 + х<>
координаты частицы II. Замечание, что А{1 и А\\ не коммутируют, завер-
завершает формальное изложение парадокса. С дальнейшими подробностями
и попытками разрешить парадокс читатель может познакомиться по соот-
соответствующей литературе1).
1) Sehrodinger В. Discussion of probebility relations between separated systems. - Proce-
Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 1935, v. 31, p. SSS-S63; Ruark AM. Is the
quantum-mechenical description of physical reality complete?. - Physical Review, 1936,
v. 48. p. 446-447; Margeneu H. Quantum-mechanical description. - Ibid., 1936. v. 49,
p. 240-242; Einstein A. Physics end reality.- Journal of the Franklin Institute, 1936, v. 221,
p. 349-382; Furry W.H. Note on the quantum-mechanical theory of measurement. - Physi-
Physical Review, 1936, v. 49, p. 393—399; Remarks on measurements In quantum theory. — Ibid.,
476; Шгдепви H.Criticai points in modem physical theory.—Philosophy of Science, 1937, v.4,
p. 337-370;Einstein,i conception of reality.—In: Albert Einstein;Phik>sopner-Scientist/Ed.
PA.Schhpp. -Evanston, 111., 1949, v.243-2e8;ft>Am D. Quantum theory.- Englewood Cliffs,
N.J.: Prentice Hall, 1951, p. 611-622: Bohm D., Aharonov Y. Discussion of experimental
proof for the paradox of Einstein, Podolsky and Rosen. - Physical Review, 1957, v. 108,
p. 1070-1076; Peres A., Singer P. On possible experimentel tests for the peradox of Eins-
Einstein, Podolsky and Rosen. — II NuovoCimento, I960, v. IS, p. 907-915; Inglit D.R. Comple-
Completeness of quantum mechanics and charge-conjugation correlations of theta particles.- Reviews
of Modern Physics, 1961, v. 33, p. 1-1-.Sharp D.H. The Einjtein-Podolsky-Rosen paradox
re-exemined. - Philosophy of Science, 1961, v. 28, p. 226-233; Putnam H. Comments on
the paper of Devid Sharp. - Ibid., p. 234-237; Bell J.S. On the Einstein-Podolsky-Rosen
paradox. - Physica , 1984, v. 1, p. 196-200; Breitenberger B. On the so-called paradox of
Einstein, Podolsky and Rosen. - II Nuovo Cimento, 196S, v. 38, p. 356-360.
1 *) Эйнштейн А. Физика и реальность. - 8 кн.: Собрание научных трудов, т. JV
D.112*1. с. 200-227; Бон Д. Квантовая теория [ 5.284» 1 ,с. 702-713.
373
УКАЗАТЕЛЬ АВТОРОВ ЦИТИРОВАННЫХ РАБОТ
Ааронов (Aharonov Y.) 265, 373
Абег (AbeggR.) 333
Абрагам (Abraham M.) 154
Аймле (EiseleJ.A.) 286
Айронсайд (ironside R.) ?48
Айрс (AyresT.) 161
Аквссон (Akesson A.) 246
Аллисом (Allison S.K.) 1B5
Альберт (Albert A.A.) 362
Ангстрем (Angstrom A.) 72
Араго (Arago D.F.I 42,43
Аристотель 327, 328
Аррениус (Arrhenius S.) 44
Бальмер (8elmer J j.) 79
Баркла (BarklaC.G.) 143, 161
Бврнвтт (Barnett SJ.) 137
Бертлвт (Bartlett A.A.) 160
Бартоли (Bartoli A.) 18
Б«йли (Bailey V.А.) 246
Бек (Beck Е.) 137
Бек (Beck G.) 351
Беккерель (Becquerel H.) 124
Бен (Behn U.) 66,67
Бениевиц (Bennewitz К.) 232
Бергман (Bergmann A.I 76
Бете (Bethe H.) 281
Бивеи (8evan P.V.) 77,167
Биггс (Biggs H.F.) 353
Бидеихери (Biedenharn L.C.) 364
Био (8iotJ.B.L2, 214
Бирдем (Bearden J.A.) 165
Биркгоф (Birkhoff G.D.) 272, 363
Блетт (Biatt J.M.) 264
Блохимцев Д.И. 361
Бо*е (BoseS.) 35.243
Больцмам (Boltzmann L.) 17, 19, 23, 25,
31,66,103.252
Бом (Bohm D.) 264. 265, 322. 34b, 356.
361.373
Бор (Bohr N.) 36. 37. 52, 70, В2. ВЗ.
85-90, 92. 94-96. 110, 114, 117,
118, 120-124. 144. 145. 153. 154.
176.177,184,186.187,207,
335-342, 345, 347, 357. 369
Бори (8огп М.) 15, 20. 50,68, 110. 111,
119. 122. 157, 158. 182. 192. 193,
203, 205, 207-212, 219-221,
227, 245, 266, 271, 277-282,
346,351,353
Боте (BotheW.) 186
Боуэн (Bowen I.S.) ВО, 152
Боше (Bocher М.) 205. 206
Бреге (Breguet L.I 42
374
Бриллюям (Brillouin L.) 105,271
Бриллюэн (Brillouin М.) 238
Бройль (Broglie L.de) 70. 145. 158. 172,
235-244. 284-286. 330. 345,
346. 353, 356. 357
Бройль (Broglie M.de) B9
Бромвич (Bromwich T.J.I A.) 204
Бруно (Bruno G.) 329
Брунс (Brunt H.) 233
Брумшвиг (8runichwieg L.) 326
Брэгг (Bragg W.H.) 162. 235
Брэгг (Bragg W.L.) 182,345
Брэккет (Bracken F.I 90
Буль (Boole G.) 222, 223
Бумге (Bunge M.) 342
BypreplBurger H.C.I 320
Бургерс (Burgers J.M.I 111,112
Б утру (Boutroux E.) 169
Бухдаль (Buchdahl H.A.) 265
Бьеррум (Bjerrurn N.) 81
Вейсколф (Weisskopf V.F.) 264
Вайщеккер (Weizsacker C.F. von) 343,
344
Валемтичер (Valentiner S.) 34
Валлер (Waller I.) 273
Вам-дер-Вардем (van der Waerden B.L.)
149.153
Вам Лохузем (van Lohuizen T.) 128, 133
Ваммер (Wanner H.) 21
Варбург (Warburg E.) 34, 114
Ватсом (Watson G.N.) 263
Вебер (Weber F.H.) 66
Вейль (Weyl H.) 322. 354
Вейсс (Weiss P.) 130.351
Веитцель (Wentzel G.) 270. 271, 273
274.261,287,351
Верейде (WereideT.) 103
Вигнер (Wigner E.P.) 332, 342, 352,
356. 360-363
Видемам (Wiedemann E.) 44
Вик (Wick G.C.) 356. 359
Вильсон (Wilson W.) 98. 99, 102
Вии (WienW.) 17, 19, 21,27,60
Виидельбаид (Windelbend W.) 331
Винер (Wiener N.) 218. 219
Виитиар (Wintrier A.) 218
Витгенштейн (Wittgenstein L.) 1B1
Вольф (Wolff С.) 168. 332
Вольфке (Wolfke M.) 35. B1
Вольфскель (Wolfskehl P.) 36
By (Woo Y.H.) 165
8уд (Wood R.W.) 167
Вульф (Wulf T.) 34
Вюльнер (WGllner A.) 18
Гааз (Haas A.E.) 50-52,353
Гааз (HaasWJ.de) 137
Гайтлер (Heitler W.I 333
Галилей (Galilei G.I 366
Гальеакс (Hallwachs W.) 44, 45, 47
Гамипьтон (Hamilton W.R.) 204, 232, 233
Ганкель (Hankel H.) 205
Гаудсмит (Goudsmit S.) 102, 153, 154,
206
Гебауэр (Gebauer R.) 274
Гейгер (Geiger H.) 79, 186
Гейэенберг (Heisenberg W'.) 26 34, 148,
187, 188, 193. 196-202, 205,209-212,
217. 226, 261. 265. 276. 280. 296.
314-319, 322, 323, 332, 336, 346
349,351.360
Гейтель (Geitel H.) 45
Гельмгопьц (Helmholtz H. von) 104 189,
367
герберт 'Herbert J.F.I 366
Герке (Gehrcke E.) 53
Герлах (Gerlach W.) 138
Гвффдинг (Hflffding H.I 174, 175, 177,
336, 337. 367
Герц (Hertz H.R.) 22, 44, 104, 370
Герц (Hertz G.) 93
Герц (Hertz P.) 107,293
Герцфельд (Herzfeld K.F.) 84
Гершель (Herschel A.S.) 71
Гиббс (Gibbs J.W.) 62, 107, 204
Гильберт (Hilbert D.) 15, 205, 215. 300,
301
Гличер (Glitscher K.) 101
Голдстайн (Goldstine H.H.) 363
Голдстейн (Goldstein H.) 230
Горвиц (Horwitz L.P.) 363, 364
Гордон (Gordon W.) 351
Грем (Gram J.P.) 308
Грасман (Grassmann H.) 204, 291, 304
Грей (Gray J.A.) 161
Г рейв с (Graves С.) 223
Гримальди (Grimaldi F.M.) 41
Гронволл (Gronwal. Т.Н.) 263
Гюйгенс (HuygensG.) 41
Даймонд (Dymond E.G.) 248
Дайсои (DysonF.J.) 363
Дальтон (Dalton J.) 331
Дарвин (Darwin C.G.) 35, 102, 173, 174,
182. 242. 322. 326, 334. 349
Дарроу (Darrow K.K.) 247. 266
Дебай (Debye P.) 35, 38. 39. 65, 68. 99,
129,164.189.253,257
Деландр (Deslandres H.) 124
Деллингсгаумн (Dellingshausen N.) 237
Делоне ( Delauney C.E.) 110
Дельбюф (Delboeuf J.) 179
Дениисон (Dennison D.M.) 332
Детуш-Феврие (Destouches-Fevrier P.) 356
Джеммер (Jammer M.) 102, IBS, 237.
250. 367
Джемс (James W.I 17B, 179,338
Джермер (Germer L.H.) 247
Джефрис (Jeffreys H.) 271
Джине (Jeans J.H.) 28, 34, 93, 94
Дирак (Dirac P.A.M.) 148, 156, 225-227,
229-231, 254, 284. 287 292-296.
316, 350, 352-354
Дичберн (Ditchburn R.W.) 325
Доеийе (Dauvillier A.) 145
До ни ни (Donini A.) 329
Дуан (DuaneW.) 165, 166
Дьюар (Dewar J.) 67, 73
Дэвиссон (Davisson G.J.) 189, 245, 247
249
Дзй (Day A.L.) 34
Дюлонг (Dulong P.L.I 66
Дюнуайе (Dunoyer L.) 138
Жане (Janet P.) 339
Зееман (Zeeman P.) 125, 126, 128
Зельмейер (Sellmeier W.) 189
Зильберштейн (Silberstein L.I 224, 225
Зинн (ZinnW.H.) 249
Зоммерфельд (Sommerfeld A.I 52, 53, 64,
65, 97-101, 128-130, 132, 133, 145,
189, 233. 250, 273, 286, 353
Ив (Eve A.S.) 160
Иэинг (IsingG.)
Иоффе А.Ф. 61, 244
Ишивара (Ishiwara J.) 98
Ишино (Ishino) 161
Йордан (Jordan P.) 55. 206, 208-210,
212, 227, 287. 289, 297, 316, 320,
349.352,353,361-363
Кейэер (Kayser H.) 90, 91
Каммерлинг—Ом нес (Kammerlingh On-
nesH.) 31.32, 128
Квннингхэм (Cunningham E.) 183
Каисме.н (Kunsman C.H.) 245
Кант (Kant I.) 330
Кар (Каг S.C.I 102
Карман (Karman Т., von) 68
Кернап (Carnap R.) 313
Катален (Catalan M.A.) 132
Каццанига (Cazzanige T.) 290
Квлнер (Kellner G.W.) 326, 333, 351
Кельвин (Kelvin, Lord) 25. 26
Кемпбелл (Campbell N.) 94
Квниг (Konig C.G.W.) 127
Кеннард (Kennard E.H.) 20, 173. 2B2.
298. 322. 323
Кеттерич (K3tteritzsch E.T.) 214
Кикучи (Kikuchi S.) 248
Кирхгоф (Kirchhoff G.R.) 14-16.293
Киути (Kluti M.) 274
Клауэиус (ClausiusR.I 103
Клейн (Klein M.) 26.68, 105
Клейн (Klein О.) 231,351,352
Клейн (Klein F.) 204,234
Климам (Kleeman R.D.) 160
Кнезер (Kneser H.) 97
Книппинг (Knippinfl P.) 234
Коблеиц (Coblentz W.W.) 34
Кокубу (Kokubu N.) 273
Комптон A. (Compton A.H.) 151 161-
166, 186, 345
375
Комптон К. (Compton K.T> 46, 54
Конвей (Conway AW.) 77
Кондон (Condon E.U.) 78. 206. 243, 324
Корню (Cornu A.) 127, 128
Коссель (Kossel W.) 143
Костер (Coster D.) 144
Кошм (Cauchy A.) 214
Кох (Koch H., von) 215
Крамере (Kramers H.A.) 102, 121, 123,
157, 184, 190,- 193, 261, 271, 273,
322
Кратцер (Kratzer A.) 202
Крениг (KrSnig A.) 19
Кречмар (Kretzschmar M.) 265
Кроииг (Kronig R., de U 149, 154
Kpocc (Cross W.G.) 187
Крутков (Krutkow G.) 61
Крылов А.Н. 42
Кун (KuhnW.) 195
Курант (Courant R.) 206, 259
Курльбаум (Kurlbaum F.) 29, 55
Курно (Cournot A.A.) 168
Куртис (Curtis W.6.) 96
Кэли (Cayley A.) 203,362
Легран ж (Lagrange L.) 213,214,221
Лвденбург (LadenburgE.) 46
Лвденбург (LadenburgR.) 47,190
Лай мен (Lyman Т.) 90
Лвнгер (Langer R.M.) 262
Ландау Л.Д. 322, 356
Ленде (Lande'A.) 128.132T137,144.150,
188,251.353.361
Ламдсберг Г.С. 194
Ланжеаен (Langevin P.) 65
Лаицош (Lanczos К.) 270
Лаплас (Laplace P.S.M.) 42, 213
Лармор (Larmore J.) 35,126,127
Латиль (Latil P.) 207
Лаугвиц (Laugwitz О.) 304
Лауэ (LaueM.von) 33,93, 103, 113, 234.
258. 326
Леверье (Le Verrier U.) 214
Леви-Чивита (Levi-Civita T.) 111,113
Лейбниц (Leibniz G.W.) 221, 329. 332.
366
Лекок де Буабодран (Lecoq de Boisbaud-
ranP.O2
Ленард (Lenard P.) 45.79
Лемгли (Langley S.P.) 17
Ливинг (Liveing G.D.) 73
Линде (ILindeC.N6
Линдеман (Lindemann FA.) 69,84
Лиувилль (Liouville J.) 309
Лифшиц Е.М. 332
Лодж (Lodge О J 125
Локк (Locke J.) 366
Лондон|London F.1288.289,333,357,359
Лоренц (Lorentz H.A.) 35. 36, 48, 49, 53,
61,126,128
ЛоСурдо (LoSurdo A.) 114
Лукреций (Lucretius) 326, 327
Пуммер (LummerO.) 17, 18. 20. 27. 53
Льоцци (Gliozzi M.) 366
Льюис (Lewi* G.N.141
376
Маделунг (Madelung E.) 284
Мадсен (Madsen J.P.V.) 160
Майер (Mayer H.F.) 246
Майкельсон (Michelson A.A.) 97, 136,
240
Маймон (Maimon S.) 330
Маймоиид (Maimonides M.) 330
Мекинтайр (Mclntyre J.A.) 167
Макки (Mackey G.W.I 159
Максвелл (Maxwell J.C.) 25,80, 125, 189
Малликен (Mulliken R.S.) 232
Мальбранш (Maiebranche N.) 329
Мандельштам Л.И. 194
Маргенау (Margenau H.) 148, 326, 354,
360. 373
Марсден (Marjden E.) 79
Марк (March А.) 322. 334
Маршалл (Marshall L.) 249
Маскар (Matcart E.) 71
Мейер-Абих (Meyer-Abich К.М.) 95,123.
336
Миллер (МфИагР.) 176
Манденхолл (Mendenhall C.E.I 18
Мерцбахер (Merzbacher E.) 265
Машем (MeshamP.) 161
Ми (MieG.) 157,205
Микусински (Mikusinski J.G.) 304
Милликен (Millikan R.А.) 46,47,152
Михель (Michel G.) 35
Михельсон В.А. 21
Мичерлих (Mitscherlich A.) 71
Моэли (Moseiey H.G.T.) 143
Молл (Moll W.J.H.) 320
Мотт (Мои N.F.) 13, 260. 261,333
Мур (Moor E.H.) 291. 292, 300
Мэйн Смит (Main Smith J.D.) 146
Мэрфи ((Murphy R.) 221
Нагаока (Nagaoka H.N0
Натансон (Natanson L.) 60
Нейман (Neumann J., von) 300, 305, 307.
310,354-363
Нерист (Nerrut W.) 34,35, 68.69, 81
Никольсон (Nicholson J.W.) 80.81
\ Норд гейм (Nordheim L.W.) 300
Ньютон (Newton I.) 16.42
Озеен (OicenC.W.) 166
Олленгеймер (Oppenheimer J.R.) 333
Пандрес (Pandres О.. Jr.) 265
Персоне (Parsons A.L.) 151
Паули (PauliW.) 102, 122, 130, 140-142.
146, 147, 146, 154,1 55, 231, 264, 296,
343. 349. 353
Пашен (Paschen F.) 16.20.21,55.89.92.
101
Певно (Peeno G.) 291
Пебаль (Pebai L.) 66
Перрен (Perrin J.) 78
Перси ко (Persico E.) 273,351
Пикеринг (Pickering E.C.) 90,91
Пиичерле (Pincherle S.) 224, 290
Пирои (Piron G J 356. 362. 363
Пирс (PeirceCS.) 170,330
Плаик (Planck М.) 16.21-23,26.27,29-
34, 47, 48, 50. 55-59, 62, 63, 97.113.
116.271,372
Плутарх Й8
Подольский (Podolsky 8.) 368
Покровский В.Н. 207
Полак Л.С. (Polak) 30. 34, 97
Понтекорво (Pontecorvo B.M.) 207
Поппар (Popper К Я.) 326, 346
Портер (Porter H.L.) 235
Пренте (Prange G.) 234
Прев о (Pre'vost P.) 15
Престон (Preston Т.) 127,128
Прингсгейм (Pringsheim E.) 15, 18. 20,
27.47
Пти (Petit А.Т.) 66
Пуанкаре (Poincare H.) 36, 62, 96. 110,
172. 197,215,308-
Пуассон (Poisson S.O.) 227
Пфунд (Pfund A.H.)
Рамвн (Raman C.V.) 194
Рамэауэр (Ramseuer С.) 246
Рамэей (Ramsey N.F.) 187
Рассел (Russell В.) 330
Рауш фон Треубенберг (ilausch von Trau-
benberg) 274
Реэерфорд (Rutherford E.) 45,76,79
Рейд (Reid A.) 248
Рейнольде (Reynolds J.E.) 73
Рентген (RontgenW.K.) 234
Ренувье (RenOuvier С.) 119
Реньо (Regnault 4.) 66
Ридберг (Rydberg J.R.I75-7B.91
Риккати (Riccati J.) 272
Рис (Rie$zM.K04
Рис (Riesz F.) 306
Ритц (RitzW.) 77,89
Рихарц (Richarz F.) 66
Ричардсон (Richardson O.W.) 46.102.137.
324
Робертсон. (Robertson H.L.) 324
Рождественский Д.С. 1ВЗ
Ромнес (Rosenet J.) 203
Ранкин (Rankine W.J.M.) 103
Розбауд (Rosbeud P.) 247
Роэвн (Rosen N.) 250, 262,368
Роэвнбергер (Rosenberger F.) 188
Роэвифальд (Posenfeld L.) 33, B1-83, 95.
176,177,342
Роршах (Rorschach H.EJ 264
Росс (RossP.A.) 165
Руарк (Ruerk A.E ) 322.323. 350, 373
Рубенс (Rubens H.) 29, 36
РумерЮ.Б.198
Руне» (Runge С.) 75,12B
Рунге (Runge J.) 233,260
Рупп (Rupp E.I249
Рут (Routh EJ.) 214
Рэлай (Rayleigh, Lord.) 24, 2B. 104, 189,
240.260
Саймон (Simon A.W.) 186
Саундрас (Saunders F.A.) 18.77
Cerpe (Segre E.) 206,207
Сенека (Seneca) 328
Cepey (Servois F.-J.) 221
Сильвестр (Sylvester JJ.) 203,204
Симон (Simon F.) 232
Слэтер (Stater J.C.) 148, 150.183. 184
Смекаль (Smekal A.) 102. 122, 194,
261
Смолуховский (Smoluchowski M.) 359
Снэддон (Snaddon I.N.) 260
Соломон (Solomon J.) 356
Спиноза (Spinoza B.) 279. 343
Стапло (Stallo J.B.) 367
Стефан (Stefan J.) 18
Стильтьес (Stieltjes T.J.) 304
Стоке (Stokes G.G.) 240
Столетов А.Г. 45
Стонер (Stoner E.С.) 143,145.146
Стони (Stoney G.J.) 72.73
Стоуи (Stone M.H.) 310
Стюарт (Stewart B.) 16
Стюарт (Stewart J.Q.) 137
Сцилард (Szilard L.) 359
Сэдлер (Sadler D.A.) 181
Табар (Taber H.) 204
Та камине (Takamine Т.) 273
Таунсенд (Townsend J.S.) 246.
Тизен (Tieten M.) 16.27
Тилден (Tilden W.A.) 67
Тиндаль (TyndailJ.) 18
Томас (Thomas L.H.) 155
Томас (Thomas W.) 195
Томсон (Thomson JJ.) 44, 45. 79, 161.
234
To moo н (Thomson G.P.) 74,248
Тэт (TaitP.G.) 25,125.204
Уайтман (Wightman A.S.) 356.363
Убареег (Ueberweg F.) 329
Уиддингтон (Whtddington R.) B5
Уиттекер (IMiittaksr E.T.) 188.263
Уленбек .Uhlenbeck G.E.) 102,152,154
У л mo (иппю J.) 334
Уотерстон (Waterston J.J.) 23,24
Уэбстер (Websr D.L.) 465
Факсен (Fax^n H.) 281
Фарадей (Faraday M.) 124
Фаулер (Fowler A.) 91,92
Фаулер (Fowler R.H.) 35.332
Файер (FeyeV L.) 263
Файерабенд (Feyerabend P.K.) 344, 356,
361
Феньеш (Fenyet I.) 356
Ферми (Fermi E.) 206.207.249.332.345.
351
Фивез (FlevezC.) 125
Фиэо (Fizeau A.H.) 42
Финкельштейн JFinkelttein D.) 362
Фишер (Fischer E.) 306
Флинт (Flint H.T.) 324
Флоренс (Florence D.C.H.) 160
Фогт (VoigtW.) 113,128.197
377
Фок 8. А. 275, 281. 351, 353
Франк (Franck J.) 93
Френель (Fresnel A.J.) 41,42, 160
Френкель Я.И. 155, 340, 353
Фреше (Frechet M.) 308
Фридрих (Friedrich W.) 234
Фриш (FrischO.R.) 249
Фробениус (FrobeniusG.) 203
Фуко (Foucault J.8.L.) 42
Фюс (FuesE.) 351
Хаггиис (HugginsW.) 73
Хаэенерль (HasenShrl F.) 84
Хансен (Hansen G.) 102
Харгрив (Hargreave C.J.) 223
Хартли (Hartley W.N.) 76
Хевисайд (HeavisideO.) 224,293
Халлингер (Hellirtger E.) 216
Хилл (Hill Q.W.) 215
Холборн (Holborn L.) 34
Холтон (Holton G.) 338
Холтсмарк (Holtsmark J.) 281
Хофстедтер (Hofstadter R.) 187
Христиамсем (Christiansen С.) 17
Хунд (Hund F.) 332, 344
Хэнсон (Hanson N.R.) 42, 216, 223. 269
Хюбмер (Hubner К.) 326
Хьюз (Hughes A.U 46, 47
Цврникв (Zernike F.) 320
Цицерон (Cicero) 330
Чаудхури (Chaudchuri R.N.) 246
Чвдвик (Chadwick J.) 155
Шерлье (Charlier C.V.L.) 110
Швари (Schwarz H.A.) 308
Шварц (Schwarz U 304
Шмрцшильд (Schwarzschild К.) 110,114,
115
Швлф (Scho'pf H.-G.) 15. 19,-28
Шидлов (Schidlof A.) 50
Шифф (Schiff L.) 322
Шлапп (SchlappR.) 115
Шлегаль (Schlegel V.) 291
Шлик (SchlickM.) 180,321
Шмиден (Schmieden С.) 304
Шмидт (Schmidt E.) 308
Шотт (Schott G.A.) 80, 162
Шрадингер (Schrodinger E.) 102. 103. 165.
184. 261-283. 267-269. 275, 276. 314.
325,361,373
Штарк (Stark J.) 48. 113, 114
Штауде (Staude О.) 108
Штаккель (Stfckel P.) 108
Штерн (Stern О.) 35, 136. 249
Штуди (Stydy E.) 308
Штурм (Sturm С.) 309
Штюкельбарг (Stuckelberg E.C.G) 362
Шустер (Schuster A.) 44. 74, 76
Шюц (Schiiz L.) 66
Эберт (EbertH.L4
Эванс (Evans G.C.) 15
Эванс (Evenc E.J.) 92
Эддингтои (Eddington A.S.) 35, 263. 326
Эйкем (Eucken A.) 63
Эйлер (Euler L.t 213
378
Эйнштейн (Einstein A.) 33, 35. 37-41. 43,
46, 48, 49. 65-67. 93. 104. 106. 11В.
119,137, 139, 181,237, 244, 346-
348. 36В, 373
Эккарт (Eckart С.) 269, 270
Экснер (Exrer F.) 171
Эльзассар (Elsasier W.) 247
Эльстер (Elster J.I45
Эмдем (Emden R.) 165
Эмх (Emch G.) 363
Эпштейн (Epstein P.S.) 97, 110, 111, 115,
167, 251, 259,
Эренфест (Ehrenfest Р.) 28, 31. 32, 60.61.
89. 105-107, 139, 167, 350
Эрмит (HermiteC.) 214.30B
Эстармем (Estermann I.) 249
Юнг (Young Т.) 41-43
Юри (Urey H.C.) 92
Якоби (Jecobi C.G.J.) 108, 214, 230, 233
Ян (Jahn H.) 66
Янке (Jahnke E.) 27
Яух (Jauch J.M.) 312, 356, 362, 363
Яффе (Jaff« G.) 262
Albertson J. 355. 356. 361
Allcock G.R. 204
Allen H.S. 49
Appell P. 320
Araki H. 361
Autonne L. 212
Back E. 130
Baisch E. 34
Bauer E. 357. 359
Bell J.S. 373
Benstein J. 2S1
Bhatnagar P.L. 104
Birtwistle G. 353
Black M. 330
Bloch L.
Bobik J. 330
Bochner S. 304
BpelitzO. 170
Breitenberger E. 373
Breuer A. 188
Brickwedde F.G. 92
BridgmanP.W. 331
Brill A. 104
Buckingham E. 20
Carvallo E. 188
Cook J.M. 312
Daneri A. 360
Oickson L.E. 362
OrudeP. 118
Du Bridge L.A. 47
Duncan G.M. 329
Ourand L. 361
Dushman S. 322
Einthoven W. 320
Einthoven W.E. 320
Enz C.P. 232
Everett H. 361
FitcharO.F. 204
Fokker A.O. Б8
Frank P. 35
Freudental H. 362
Furry W.H. 373
Galindo A. 156
G»mow G. 243
Gleason A.M. 357
Green H.S. 361
Grelling H. 330
Groenwold H.J. 361
Guenin M. 362
Gurner R.W. 243
HackM.N. 312
Haldane J.S. 23, 24
Halliday O. 18
Harnwell G.P. 79
Harpe J. da La 168
Heathcoie N.H.,de V. 249
Hermann A. 51
Hill E.L. 312,350
Hirtchfeld H. 320
Hobbes T. 365
Horf L. 20
Horst W.. van der 320
Hupka E. 34
Inglis O.R. 373
Ittman G.P. 273
Jones B. 124
Judge O. 324
Kahan T. 54
Kent N.A. 102
Kirschbaum H. 114
Knott C.G. 204
Komar L. 356
Kothari D.S. 104
Kowalewski G. 205
KurodaS.T. 312
Landthoff R. 350
LangW. 231
Langer R.E. 272
Laue E. 101
Lauritsen T. 20, 173
Leitheuser G. 34
Lenzen V.F. 3B7
Leu A. 138
Levi A. 168
Levy-Leblond J.-M. 156
Libri G. 41
Lighthill M.J. 304
Lockyer N. 91
Loinger A. 360
Lomrnel E. 20
Liiders G. 361
Ludwig G. 357, 360
Mach E. 188
McKnight J.L. 360
Mark H. 261
Marlow A.R. 312
Marney M.C. 249
Martin C.B. 330
Messiah A. 271
Meyerson E. 217
Milhaud G.S. 169
Moor G.E. 330
Morton W. 8. 104
Mould R. 361
Moyal J.E. 327
Miiller G. 34
Murphy G.M. 92
Nerlich G.C. 330
Nicholson A.F. 356
Niessen K.F. 272
Ogura K. 103
Park D. 217
Pearson H. 102
Pedler A. 91
Pelerls R.E. 243
Pelikan F. 168
Peres A. 373
Perry R.B. 178
Petersen A. 339
Pfliigar A. 188
Plucker J. 214
Pohl R. 47
Prosperi G.M. 360
Putnam H. 373
Ramberg E.G. 47
Reicha F. 190
Richtmyer F.K. 20, 173
Rochet M. 214
Rubinowicz 35, 150
Riidinger E. 95
Ruegg H. 362
Sanchez del Rio G. 156
Schiminovitch S. 362
Schremp E.J. 204
Schulz G. 356
Se'ailles G. 169
Seelig С 54
Seeliger H. 214
Schankland R.S. 187
Sharp D.H. 373
Shimony A. 361
Shull E.G. 249
Siddiqi MR. 318
Singer R. 373
Soboleff S.L. 304
Soret J.L. 72
Speiser O. 362
Spencer J.8. 128
Stephens W.R 79
Suppes P. 327
Siissman G. 361
Teylor J.B. 138
Taylor L.B. 102
Teichmuller O. 363
Temple G. 304
Tharrats J. 355
Thai lung A. 232
Tisserand F. 214
Toeplitz O. 216
Tomonaga S. 104
Trigg G.L. 271
Tyagi N.K. 325
van Vleck..H. 119
Variant b., de St. 188
Waisman F. 330
Wakita H. 361
Waiss J. 35
Waizel W. 356
Wandt G. 114
Wafheimer E. 84
Winkelmann A. 42
WierlR. 261
Wilson N.L. 330
Wollan E.O. 249
Woltjer H.R. 128
Worthing A.G. 18
Wrede E. 138
Yanase M.M. 361
Zatzkis H. 79
Zinnes I.I. 312, 356
Zorn M. 362
Zwaan A. 272
Zworykin V.K.47
М. Джаммер
ЭВОЛЮЦИЯ ПОНЯТИЙ
КВАНТОВОЙ
МЕХАНИКИ
Редактор П.П. Русаков»
Технический редактор В.В. Лебедева
Корректоры Т.В. Обод. Е.А. Янышева
Набор осуществлен в издательстве
на наборно-печатающих автоматах
ИБ Г 11844
Сдано в набор 06.03.В5
Подписано к печати 24.06.85
Формат 60X90 1/16
Бумага офсетная N* 1. Гарнитура Универс
Печать офсетная. Усп.печ.п. 24,0
Усп.кр.-отт. 24,0. Уч.-изд.п. 31,7В
Тираж 8000 зкз. Тип.эак. 662
Цена 2 рТ90 к.
Ордена Трудового Красного Знамени
издательство "Наука"
Главная редакция
физико-математичаской литературы
117071 Москва В-71
Ленинский проспект, 15
4-я типография изжатепьства "Наука"
630077 г. Новосибирск-77
уп. Станиспавского, 25