РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЙ
ПО МЕЖДУНАРОДНЫМ ГЕОФИЗИЧЕСКИМ ПРОЕКТАМ
Г.И.МАКАРОВ В.В.НОВИКОВ СТ. РЫБАЧЕК
РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН
В ВОЛНОВОДНОМ КАНАЛЕ
ЗЕМЛЯ - ИОНОСФЕРА
И В ИОНОСФЕРЕ
Ответственный редактор
доктор физико-математических наук
М.И. ПУДОВКИН
МОСКВА
"НАУКА"
1 994

RESULTS OF RESEARCHES
ON THE INTERNATIONAL GEOPHYSICAL PROJECTS
G.I. MAKAROV V.V. NOVIKOV S.T. RYBACHEK
RADIOWAVES PROPAGATION .
IN THE EARTH - IONOSPHERE
WAVEGUIDE
AND IN THE IONOSPHERE
Editor
Professor
MI. PUDOVKIN
MOSCOW
"NAUKA"
1 994

УДК 538.566
Макаров Г. И., Новиков В. В., Рыбачек С. Т.
Распространение радиоволн в волноводном канале Земля—ионосфера и в ионосфере. М.:
Наука, 1994. - 152 с. -ISBN 5-02-007000-9
Монография посвящена теоретическому исследованию ряда задач распространения
электромагнитных волн в волноводном канале Земля—ионосфера и в ионосфере. Решение базовой задачи
о распространении радиоволн, возбуждаемых вертикальным электрическим диполем в изотропном
регулярном волноводе с произвольной зависимостью свойств Земли и ионосферы от радиальной
координаты, строится в виде ряда нормальных и ряда многократно отраженных волн.
Результаты работы могут быть использованы для прогнозирования полей в целях задач
радиосвязи и радионавигации.
Книга предназначена для специалистов в области радиофизики, геофизики, радиосвязи и
радионавигации. Она также может быть использована как учебное пособие для студентов-
радиофизиков старших курсов.
Ил. 98. Табл. 3. Библиогр.: 99 назв.
Makarov G. I., Novikov V. V., Rybachek S. T. Radiowave propagation in the Earth—ionosphere
waveguide and in the ionosphere. Moskow: Nauka, 1994.—152 p.
The monograph is devoted to the problems of the radio wave propagation in the Earth — ionosphere
waveguide. The book is based on the original works of the authors. The basic .problem of the propagation
of radio waves excited by the vertical electric dipole in the isotropic regular waveguide is considered
at first. The qualitative research of the solution is carried out by means of asymptotic and straight
variation methods. The basic problem of the radio wave propagation in the regular waveguide is then
generalized to the case of the irregular and anisotropic one.
The results may be used for the problem of the radio wave forecast in the complicated conditions
of propagation. They may also have practical importance for the certain problems of communication
and radionavigation.
111. 98. Tab. 3. Ref. 99.
Рецензенты:
доктор физ.-мат. наук П. В. БЛИОХ
доктор физ.-мат. наук Ю. А. КОРЧАГИН
,,2302020100-421 щла ^ „
М 042(02)-94 394"93' П полугодие
ISBN 5-02-007000-9
»Г. И. Макаров, В. В. Новиков,
С. Т. Рыбачек, 1994
D Российская академия наук,
1994

ВВЕДЕНИЕ
Монография посвящена исследованию широкого круга задач
распространения электромагнитных волн в волноводном канале Земля—ионосфера и в
ионосфере. Задачи такого рода достаточно сложны, поскольку приходится
учитывать неоднородность как ионосферы, так и Земли по глубине и, вообще
говоря, по двум касательным направлениям. Наличие постоянного магнитного
поля Земли приводит к тому, что ионосфера оказывается не только
неоднородной, но и анизотропной.
Мы стремились к тому, чтобы развитый в данном исследовании
математический аппарат давал возможность, с одной стороны, как можно лучше
учесть реальные параметры среды распространения, а с другой — построить
решения, позволяющие проводить не только численные (с разумным объемом
машинного времени), но и качественные аналитические исследования. Исходя
из этих задач мы ограничиваемся рассмотрением длинноволнового диапазона
(от единиц до нескольких десятков килогерц). Это дает возможность
использовать так называемое трассовое приближение, при котором неоднородность
среды учитывается только по нормали к границам раздела и вдоль
геодезической, соединяющей корреспондирующие пункты. При этом предполагается
также, что ионосферу можно рассматривать как холодную плазму и что
волнами, распространяющимися в основном внутри Земли или ионосферы
(кроме задач распространения в ионосфере), можно пренебречь.
В основу изложения положены оригинальные работы авторов [1—38].
Остановимся коротко на основных идеях и результатах, полученных в работе.
Сначала мы рассмотрим базовую задачу о распространении
электромагнитных волн, возбуждаемых вертикальным электрическим диполем в
изотропном регулярном волноводе. В отличие от большинства известных решений
этой задачи [39—45] мы используем здесь так называемый строгий метод,
согласно которому импеданс вводится не для полного поля, а для его
спектральных составляющих, возникающих при рассмотрении спектральных задач
для поперечного или продольного оператора. Такой же метод применялся и
в монографии [46], являющейся первой частью нашей работы. С его помощью
можно найти поля при произвольной зависимости свойств Земли и ионосферы
от радиальной координаты. Таким образом удается построить решение в виде
ряда зональных гармоник (спектральных функций продольного оператора) и
нормальных волн (спектральных функций поперечного). Переход от одной
формы решения к другой, осуществляется с помощью интегрального
преобразования Ватсона [39]. На его основе получено также представление решения
в виде квазигеометрооптического ряда, содержащего наряду с членами,
характерными для геометрической оптики («скачки»), дифракционные лучи
Келлера [47]*Г
Качественное исследование решения задачи для регулярного волновода
проводится с помощью асимптотических и прямых вариационных методов,
которые позволяют найти простые аналитические формулы для собственных
чисел поперечного оператора. Удается выделить новые типы решений,
отвечающие вырожденным волнам и волнам типа бесконечной ветви (аналог волн
5

Ценнека). Заметим, что решения такого типа были уже ранее получены для
открытой сферы в нашей монографии [46]. Наличие простых аналитических
формул позволяет изучить общие свойства собственных чисел и представить
характер зависимости электромагнитных полей в волноводе от основных
параметров задачи.
Базовую задачу распространения волн в регулярном волноводе удается
обобщить на случай регулярного анизотропного волновода (импедансная
постановка с учетом зависимости импеданса от спектрального параметра) и на
случай нерегулярного анизотропного волновода (строгие граничные условия).
Это позволяет находить электромагнитные поля для сложных реальных трасс
с учетом их переменной освещенности, времени года, азимута и направления
распространения. С помощью результатов численных расчетов, выполненных
на основе полученных формул, удается представить общую картину структуры
электромагнитных полей длинных волн, возбуждаемых вертикальным
электрическим диполем в волноводе Земля—ионосфера.
Последняя часть работы посвящена ситуации, в которой один из
корреспондирующих пунктов расположен внутри ионосферы и представляет собой
элементарный источник произвольного типа. Такая задача с помощью
обобщенной теоремы взаимности сводится к вспомогательной, когда источник
находится в полости волновода, а приемник — в ионосфере. На основе
реализации схемы решения на ЭВМ получен ряд данных, иллюстрирующих
закономерности поведения электромагнитных полей, создаваемых в волноводе
Земля—ионосфера элементарными излучателями, которые могут располагаться
как в нижней части ионосферы, так и на спутниковых высотах.
В книге использована система единиц СИ и принята зависимость от времени
ехр (—Ш).
Авторы признательны В. И. Иванову, предоставившему часть
иллюстративного материала, а также программу, с помощью которой были выполнены
расчеты полей вертикального электрического диполя в анизотропном волноводе
Земля—ионосфера.

Глава 1
РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН
В РЕГУЛЯРНОМ ИЗОТРОПНОМ ВОЛНОВОДЕ
В этой главе проводится построение решения задачи о поле вертикального
электрического диполя, расположенного в сферически-слоистом регулярном
изотропном волноводе. Решение строится в виде ряда по собственным функциям
продольного оператора (зональные гармоники). Рассматривается строгая импе-
дансная постановка с импедансом, зависящим от номера зональной гармоники.
Как и в задаче для открытой сферы [46], ряды для интересующих нас
параметров задачи плохо сходятся. Поэтому используется преобразование Ват-
сона [39], с помощью которого ряд зональных гармоник преобразуется в ряд
нормальных волн — собственных функций поперечного оператора. Такой вид
решения удобен для нахождения поля на сравнительно больших расстояниях
между передатчиком и приемником.
Поля на малых расстояниях удобнее рассчитывать с помощью другой
формы решения, которую также удается получить из интегрального
представления ряда зональных гармоник, используемых при преобразовании Ватсона, —
ряд многократно отраженных волн [42]. Этот ряд содержит наряду с геомет-
рооптическими членами (скачками) еще и дифракционные лучи различных
порядков [29].
На основе преобразования Ватсона удается осуществить также предельный
переход от сферического волновода к плоскому [3].
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЯ В ВИДЕ
РЯДА ЗОНАЛЬНЫХ ГАРМОНИК
1. Рассмотрим задачу распространения радиоволн для сферического
регулярного изотропного волновода Земля—ионосфера. В сферической системе
координат г, 0, <р с началом в центре Земли поверхность Земли описывается
уравнением г - а, а поверхность ионосферы — уравнением г - а + А * rf, где
А —высота ионосферы, отсчитанная от земной поверхности. Среда в области
а < r<d(B волноводном канале) обладает свойствами вакуума. Ионосферу
(г > d) и Землю (г < а) будем считать изотропными средами, относительные
комплексные диэлектрические проницаемости которых е'т1Л и е'тз могут
зависеть лишь от радиальной координаты. В качестве источника
электромагнитного поля рассмотрим радиальный электрический ток,
характеризующийся моментом Р * Р^ и расположенный при г = Ь, в * е в полости
волновода. Такой источник возбуждает поперечно-магнитное относительно
координаты разделения г поле, которое не зависит от азимутальной координаты
ip и описывается однокомпонентным электрическим вектором Герца
П - Пе,.. Составляющие напряженности электромагнитного поля в области
вне источника выражаются через электрическую функцию Герца (см. разд.
17 в [46]):
7

*'~ — eV> **"' *9~ е'гдгдв' И*~ г двш
Потенциал П удовлетворяет дифференциальному уравнению
(Lr + Z«)n = -rV, (1.2)
г дг> е^ dr dr * ЕаГ' Ц sin0 дв SmU дО*
в котором р — величина объемной плотности дипольного момента, а 4-
волновое число в вакууме.
Потенциал П помимо уравнения (1.2) должен удовлетворять следующим
граничным условиям. Во-первых, функция П должна быть ограничена в точках
г = 0, 0 = 0, л. Во-вторых, она должна удовлетворять принципу погашаемое™
при г-* оо (1ше4и>0). И наконец, на поверхностях разрыва функции е'т(г)
1 ЛГТ
должны быть непрерывны функции П и , , . -т—, что обеспечивает
непрерывность касательных к границе раздела составляющих поля.
Введя понятие элементарных волн [46], можно свести сформулированную
задачу к решению вытекающего из (1.2) уравнения в полости волновода:
(Z,r + Z«)n = -r2p, (1.3)
со строгими импедансными условиями для элементарных волн на обеих стенках.
Решение поставленной задачи можно строить с помощью разложений по
спектральным функциям продольного или поперечного оператора и получить
соответственно ряд зональных гармоник либо ряд нормальных волн (и интеграл
по сплошной части спектра поперечного оператора). Обе формы решения
эквивалентны и связаны преобразованием Ватсона, которое мы рассмотрим
ниже. Однако построение решения по первому способу является более простым
и легче обосновывается. Его мы и используем.
Выберем в качестве элементарных волн зональные гармоники и напишем
решение уравнения (1.3) в виде ряда
П(г,0) = £ П(я)(г,0), (1.4)
п
который является разложением по собственным функциям продольного
оператора Ц. Функция П(л) (г, 0), как и в задаче для открытой сферы, определяется
зональными гармониками
U? (л 0) = tf> (кг) Рп (cos 0), /=1,2.
При этом условия ограниченности поля при 0 = 0, ж выполняются
автоматически, а строгое импедансное условие на поверхности Земли имеет
следующий вид:
= -0АЪ (At) П« (я, 0), д3 (At) = д3 (At, a)9 (1'5>
Ш(я) (г, 0)
^ дг
где д3 (п) — приведенный поверхностный импеданс Земли для элементарной
волны номера At.
8

Чтобы получить граничное условие на поверхности г = d, введем функцию
4Л) t дпф(г,е)
6ЛП'Г)" Z^'~keL Зг 'ПшЧг.О),
(1.6)
где П(ип) (г, 0) — элементарная волна номера п для ионосферы. Если известно
значение импеданса <5И (я, г) при r = rf, из (1.6) с учетом непрерывности
1 дП^ (г 0}
П(л) (г, в) и —-— нетрудно получить граничное условие на верхней
стенке волновода:
ЭП(Д) (г, 0)
дг
= йб. (At) П« (rf, 0), йи (At) = ди (At, rf). (L7>
r = </
2. Далее будем считать, что источником поля является радиальный
электрический диполь, расположенный в точке г = Ь, 0 = 0 в полости волновода.
Положим, как обычно,
П(л) (г, 0) = Iltf (г, 0) + П^л) (г, 0),
где П($л) (г, 0) соответствует полю заданного источника в свободном
пространстве, а П}л) (г, 0) —отраженному полю. Для потенциала At-й зональной
гармоники П($л) (г, 0) воспользуемся выражением [46]
[&2) (кг) #> (**), г< А, (1.8)
К2) (**), г > ft,
"«•(г.ч-^с+здлс»*)^*)^
в котором отсутствуют волны, отраженные от центра Земли.
Потенциал отраженного поля будем искать в виде
П[в) (г, в) = -^ (п + 1 /2) Р„ (cos в) [Ajft> (кг) + в£? (кг) ]. (19)
Заметим, что ряд
00
П0 (г, 0) = ^ П0"> (г, в),
л= О
члены которого описываются выражениями (1.8), расходится и его нельзя
рассматривать отдельно от ряда для отраженного поля:
n1(r,^) = i тй>(г,0).
л = 0
Постоянные А„ и Ва в (1.9) найдем, подставляя в граничные условия (1.5) и
(1.7) сумму потенциалов (1.8) и (1.9):
А. = -А"1 (л) *? (ка) [#> (кЪ) Й? (JM) - £(fl2) (tt) ft4 (iW) 1,
2?л = -Д-1 (л) ft»> (to) рл2) (кЪ) *« (*а) - Si» (Jtft) A<fl2> (*a)] , (UO)
Д (л) =. А?) (Ы) № (kd) - X? (ка) Й?> (JW). (1.11)
В формулах (1.10), (1.11) введены обозначения:
AW(z)s£W'(z) + Йз (/1)^(2),
&0 W =■ #? (^) + i [ди (л) Г1 &0' (г), /=1,2. (1.12)
9

Потенциал полного поля, как следует из (1.4), (1.8), (1.9), описывается
рядом
П (г, в) = -J*?-* 2 (п + 1/2) <р„ (г) Р„ (cos в),
п = О
<Р„ (г) -Ajtf (kr) + Bjg> (*г) + J
(1.13)
в котором Лй, 2?й даются выражениями (1.10)—(1.12). Радиальную функцию
(р„ (г) после несложных преобразований можно привести к виду
[#> (кЬ) + #Х? (**) 1 &2) (*') + «^ (*г) ], г < *, (1.14)
К?> (*г) + *W£<fl2> (Jtr) ] [£<?> (tt) + JW» (**) ],/■>*,
п('-) = Д
= А-1
дя=1-л<3>л<и\
л<я3> = - [*<;> (ка) г1 ^ (ка), л?> = -Й1) (Ы) &2) (Ы) г1.
(1.15)
(1.16)
£, =
Для радиальной составляющей электрического поля в полости волновода
в соответствии с (1.1) получаем формулу
4ge^y 2 " (» + !/2) (» + О *>- W ^ (cos в), <1Л7>
в которой функция ^>л (г) дается выражениями (1.14)—(1.16).
3. Функция Rj$ в (1.16) представляет собой коэффициент отражения
зональной гармоники U^2) (r, 9) от Земли, или сферический коэффициент
отражения от Земли (см. (17.38) в [46]). Коэффициент отражения этой
гармоники для наблюдателя, расположенного на поверхности Земли, равен
#% = fl£(*°> д(3) = & (М/Й0 (*«) + из («) (1.18)
Й2)(М
tfVtf) (ike) + Й3 (п)
Используем для аналогов функций Бесселя в (1.18) асимптотические
представления Дебая [48]:
е
•<2> (z) = [1 - (*7z)2] 1М ехр
справедливые при условии
lz2-n2l >z4'3.
± */ vl — (n'/u)2 rf« + W/4
, n' = n + 1/2,
(1.19)
(1.20)
Верхние знаки в (1.19) относятся к функции £^ > (z), а нижние — к функции
£^2) (z). Тогда из (1.18) следует выражение
Ли « [sin v(3) (л) — 53 («) 1 [sin v(3) (л) + <53 (n) Г1 = Л§\ (1.21)
совпадающее с коэффициентом отражения Френеля.
В соответствии с концепцией спиральных волн зональная гармоника
U™ (г, в) падает на поверхность Земли под углом я/2 — V(3) (я) и отражается
под тем же углом. Угол скольжения v(3) (я) определяется соотношением
cosV<3)(«) = п'/(ка). (1.22)

Покажем, что функция RJ,n) представляет собой сферический коэффициент
отражения от ионосферы. Для этого рассмотрим задачу о падении на ионосферу
и отражении от нее зональной гармоники U^ (r, 0). Решение этой задачи
легко строится с учетом граничного условия (1.7) при r = d и имеет вид
1/Р (г, в) + /?№ (г, в),
где Л(ли) совпадает с соответствующим выражением в (1.16). Следовательно,
функция Rjjn) представляет собой сферический коэффициент отражения от
ионосферы зональной гармоники U^ (г, 0). Коэффициент отражения этой
гармоники для наблюдателя, находящегося на верхней стенке волновода при
г = dy оказывается равным
ям = ?? w ы* = _ е' ewe w - *« оо < i -гз>
Ка6 #> (kd)Кп &* (kd)/^ (kd) - tdn («>•
Если, как и выше, воспользоваться асимптотическими представлениями
(1.19) и концепцией спиральных волн, то из (1.23) прлучим выражение для
коэффициента отражения Френеля от ионосферы
В® - [sin v(H) (n) — ди (п) ] [sin V(H) (n) + ди (п) Г1 = Rf. (1.24)
Здесь угол ^(и) (л) определяется соотношением, аналогичным (1.22):
cosV^C") = /i'/(>W). (1.25)
Представление решения в виде ряда Дебая (1.13) либо (1.17) неудобно
как для аналитического, так и для численного исследования, поскольку число
членов, вносящих существенный вклад в поле, велико и составляет величину
О (ka) [46]. Такая плохая сходимость обусловлена тем, что источником /г-го
члена ряда Дебая является электрический ток, распределенный на сфере
радиуса г = Ь по закону Рп (cos в). Структура такого тока существенно отлична
от исходного д -образного по в источника. Поэтому для исследования решения
необходимо провести преобразование ряда Дебая. Поскольку число
существенных членов велико, целесообразно перейти от ряда к интегралу, для
вычисления которого можно использовать различные методы. Такой переход,
как следует из концепции спиральных волн, соответствует переходу от
дискретного спектра углов выхода спиральных волн с поверхности г = Ь (а также
углов падения этих волн на поверхность Земли и ионосферы) к непрерывному
комплексному спектру углов.
2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВАТСОНА. ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД
К ДРУГИМ ЗАДАЧАМ РАСПРОСТРАНЕНИЯ
1. Ряд Дебая (1.13) можно записать в виде следующего контурного
интеграла:
П (г, в) = iP (4тг^2)-15, (2.1)
/ V [COS (УЛГ) ] Vv - 1/2 (Г) Ру - 1/2 [COS (Ж - в) ] d»,
г
1 - (2.2)
в котором радиальная функция ^.^(г) описывается выражением (1.14)
(п = v — 1/2) и, как будет показано ниже, не имеет особенностей на
вещественной оси. Контур интегрирования Г в (2.2) представляет собой петлю,
охватывающую положительную часть вещественной оси, которая обходится в

V.
м
г.
Ь
W Ж
*
направлении против часовой стрелки. Заменим
контур Г суммой контуров Г1 и Г2 (рис. 1.1). При этом
преобразовании контуров используется
предположение о голоморфности функции <р (V — 1/2) в
четвертом квадранте, которое будет обосновано ниже.
Интегральное преобразование
S = 4 / ф (v) dv + 4 /ф оо rfv> a3)
в котором через Ф (V) обозначена подынтегральная
функция в (2.2), связывает разложение по
собственным функциям продольного оператора L# со
спектральным разложением для поперечного оператора.
Интеграл по контуру Г1 в (2.3) можно представить
суммой вычетов в полюсах подынтегральной
функции, расположенных в первом квадранте
комплексной плоскости (V), или рядом по собственным
функциям поперечного оператора. Интеграл по
контуру Г2 является разложением по сплошному спектру поперечного оператора
[49].
2. Поскольку функция Лежандра четна по V, интеграл по контуру Г2
обращается в нуль, если радиальная функция <pv-i/2 (r) (1.14) также четна
по V. Преобразуем эту функцию к виду
РИС. 1.1. Контуры
интегрирования Г, Г± и Г2 на комплексной
плоскости (у)
Ру-1/2
(/•) =
•1/2
№i/2№
#2V(**)
+ R?i
1/2
с(2)
■1£L
(кг)
(2.4)
&iiA(kr)
+ R?L
1/2
&.1А(*Ь)№1/>(*г), r<b,
№1/2 (кг)
№ 1/2 i*r)
+ КГ-1/2
&>-1/2 (Щ
№ i/2 (kb)
+ I&1
1/2
Z,?li/2(kr)tfli/2(kb), r>b,
Ay -1/2 — 1 — -Ф -1/2 Rv-1/2»
(2.5)
1/2 Ф-1А(ка) №i/2(ka)/®ii/2(ka) + id3(v-m)
w _ _ ®ii/2(kd) . ffi'i/a (kd) /№-,./2 W -id„(v- 1/2)
(2.6)
„(* _ _ Cfti/a(*a) . W-i/i (*«) 1Ф-У2 (ka) + Я, fr ~ 1/2)
#(И) —
^"1/2 C^i/a (*<0 #2>'i/> (*«0 /Й* i/a (*<0 - Й. (V - 1/2)
С учетом соотношений обхода для аналогов цилиндрических функций:
tfS-i/9 (*) = «""Й1' 1/! (*), С«.1/а (*) - m^i/a (*) (2.7)
из (2.4)—(2.6) следует, что функция ^y_i/2 (r) является четной в том случае,
когда импедансы д3 (V — 1/2) и ди (v — 1/2) суть четные функции переменной
V. Как было показано в [46], функция д3 (v — 1/2) четна по V для модели
Земли с бесконечно проводящим ядром. Что касается приведенного поверх-
12

ностного импеданса ионосферы ди (у — 1/2), то для него нетрудно получить
уравнение Рикатти, аналогичное уравнению (6.20) из [46] для импеданса
Земли. С этой целью, используя свойство мультипликативности элементарной
волны П(я) (г, в) и полагая л - V — 1/2, выразим импеданс ди (V — 1/2, г) (1.6)
через радиальную функцию
1 /о ч i dR(y - 1/2) . , t /оч (2.8)
d,(v- 1/2, г) = --^г- ^ ^/*(v-l/2),
где R (v —1/2) удовлетворяет вытекающему из (1.2) дифференциальному
уравнению
d2R (V - 1/2) 1 ск'ж dR (v - 1/2)
dr2 е^и dr dr
(2.9)
[*2C-V2 ^1/4*j(v-l/2)=0
и принципу погашаемости при г -* оо, Дифференцируя (2.8) по г и используя
(2.9), приходим к уравнению Рикатти
^-jn,r)_ik{e,Ar)dUv_iar) +
+ (V2 - 1/4) [tfAi, (r) J"1 - 1}. (2.10)
Правая часть (2.10) является четной функцией V, следовательно, четность
импеданса ионосферы определяется начальными данными.
Будем считать, что начиная с некоторой высоты (г0 — а) ионосфера
однородна, т. е. при г» г0 имеем е'тн (г) = е^и (г0). Уравнение (2.9) в этой области
принимает вид
1 (PR (у - 1/2)
^и ('о) dr2 +
' V2 - 1/4
R(v - 1/2) = 0.
*2^„ (Го) г2]
Из двух линейно независимых решений этого уравнения принципу
погашаемости удовлетворяет аналог функции Бесселя $х-1/2 (к V^ (г0) г), так что
импеданс ионосферы на границе r = rQy как следует из (2.8), оказывается
равным
ди (V - 1/2, го) = -* [е^ (г0)Г1/2 х
xtt^/aOfcViir^ (2Л1)
Импеданс (2.11) можно использовать в качестве начального условия для
уравнения Рикатти (2.10). Поскольку функция ди (V — 1/2, г0), как и уравнение
(2.10), четна по V, приведенный поверхностный импеданс ионосферы в этом
случае является четной функцией переменной v. Таким образом, при наличии
металлизованного ядра у Земли в предположении однородности ионосферы
при некоторых г> г0 функция tp (v — 1/2) четна по V. Интеграл по контуру
Г2 при этом обращается в нуль, т. е. сплошной спектр оператора Lr отсутствует.
Переход к эффективным импедансам:
Ьъ (v - 1/2, а) = дэ = const, ди (v - 1/2, a) s ди = const
также приводит к отсутствию сплошного и части дискретного спектров
поперечного оператора.
Считая импеданс четным, вместо (2.2) напишем выражение
13

S = \ J v [cos {vn) Г Vv -1/2 (Л) Л - i/a [cos (ж - в)] rfv. (2Л2)
Заметим, что при любом способе вычисления интеграла (2.12), как будет
показано ниже, основной вклад в него вносят значения V, близкие к ка,
IVI ~0(ка), ка» 1. (2.13)
Дальнейшие преобразования интеграла (2.12) сводятся к следующему. Так
как на контуре Т1 lmv>0, функция [cos (ул) ]-1 может быть представлена
рядом
00
[cosCvtt)]-1 = 2^л £ (-)V2**.
q=0
В силу (2.13) вместо функций Лежандра можно использовать их
асимптотические представления:
Р, _ 1/2 (cos в) = yfl [л (V - 1/2) sin (9 J"*1/2 cos (v<9 - я/4),
lvL0»l, IVI (л -в)» I. (2.14)
При этом выражение для S (2.12) сведется к бесконечной сумме контурных
интегралов:
^/4 / Vv>„ -1/2 (г) ехр (г^0 + G<jv;r) rfv +
ri
+ е"ы/А J Vvfr-i/i (д ехр [п> (2тг - 0) + *2<jV;r ] dv
Если учесть, что каждый интеграл здесь может быть представлен рядом
вычетов в полюсах подынтегральных функций, то выражение (2.15) можно
интерпретировать как сумму волн, распространяющихся вокруг земной
поверхности в волноводном канале по часовой стрелке и против нее (ср. с разд. 21
[46]). При выполнении неравенств (2.14) и наличии потерь в стенках
основную роль играет волна, пришедшая в точку наблюдения по кратчайшему
пути, и кругосветными и антиподными волнами можно пренебречь. Тогда
с высокой степенью точности в сумме (2.15) можно ограничиться одним
членом
S = fe*/4 (2тг sin ву1/2 J Vv>„ _ 1/2 (г) е?»А>. (2.16)
По сравнению с выражением (2.12) формула (2.16) обладает тем
преимуществом, что подынтегральная функция здесь не имеет особенностей на
вещественной оси. Это создает свободу деформации контура интегрирования и
облегчает использование асимптотических методов.
3. Построенное выше решение задачи о поле радиального электрического
диполя в сферическом волноводном канале позволяет получить с помощью
формальных предельных переходов решение задач распространения над
открытой сферой, в плоском волноводе и над открытой плоскостью (задачи Зом-
мерфельда).
Переход к задаче о поле радиального электрического диполя над открытой
сферической поверхностью осуществляется элементарно заменой свойств
ионосферы свойствами вакуума. При этом коэффициент отражения от ионосферы
очевидно обращается в нуль (это следует также из (1.16), (2.11)). Для
14

получения решения в случае открытой сферы необходимо в решении задачи
для волноводного канала положить Яи (п) или Яи (V — 1/2) равным нулю.
В результате этого приходим к радиальной функции для открытой сферической
поверхности:
ft4 № K(fl2) (кг) + /^ (кг) ], г < А, (2.17)
ft4 (*г) [??> (Jtft) + itf'U4 (кЬ) ], г> А,
*>Г (г) -
>(°)
W =
которую можно преобразовать к виду
С?> (kb) [Х™ (An) I"1 { [#>' (*a) Й° (*г) - W (ka) tf> (*r) ] +
+ Йз («) [ft4 (ka) tf> (kr) - tf> {kr) ^(2) {ka) ]}> r < 4f
tt1} (*r) [JfW (ка) Г1 {[ft* (ka) (£> (kb) - № (ka) tf> (kb) ] +
+ «53 (ai) [ft1) (fcz) £<? (kb) - tf> (tt) £?> (ka) ]}, r > 4. (2.18)
Здесь функция X^ (ка) определена формулой (1.12). Решение задачи для
открытой сферы дается соотношениями (1.13) — (1.17) либо (2.1), (2.2), (2.16)
с заменой в них функции <рп (г) на tp^ (г) либо p„_i/2 (r) на P^-i/aC'") и
совпадает, естественно, с решением, построенным в [46] (ср., например,
формулу для поля (1.17), в которой <рв (г) =<р(£) (г) (2.17), с выражением
(19.1) из [46]).
Для источника, расположенного на поверхности Земли (Ь = а), выражение
(2.18) для радиальной функции существенно упрощается:
№ (г) = 2Й#> (кг) [#>' (ка) + id3 (n) ft« (ка) Г1 (2-19)
и решение для потенциала дается следующей формулой:
/У3*/* лГ^"~ г У?&11/2 (кг) e»°dv
4nka2 V n sin О £ &У1/2 (ка) + Й3 (v - 1/2) #*> 1/2 (to) *
П (г, в) = --
нт1ка ■ " лш I/ Fi t,; 11/2 ^а; тй;3^у- i/z^,;: 1/2 ^*с
(2.20)
4. Переход от решения задачи для сферического волновода к решению
для плоского более сложен. Устремим радиус Земли к бесконечности, считая
при этом расстояние между источником и точкой наблюдения вдоль земной
поверхности р в ав конечным. При таком предельном переходе в стремится к
нулю.
Обратимся сначала к выражениям для компонент электромагнитного поля
(1.1). При а-* оо, в -* О сферическую систему координат можно заменить
цилиндрической, орт ez которой совпадает с ортом ег при в в 0, а орт ер — с
ортом e$. Начало координат цилиндрической системы поместим в точку гш а,
в - 0 так, что r~ a + zy b = a + zfl, d = a + h.
Тогда выражения (1.1) в полости волновода для конечных значений z, za,
А и а -* оо примут вид:
г _ 1 а2Ппл "_J^a ««La _ . an™ <2-21>
*' " е0 эр dz ' ** " erf> др р дР ' п* " "° эр '
П^ = lim П. (2.22)
Формулы для поля (2.21) совпадают с соответствующими формулами,
полученными непосредственно в цилиндрической системе координат. Через
Ппл в (2.21) и (2.22) обозначена функция Герца для плоского волновода.
Чтобы найти ее с помощью предельного перехода (2.22), воспользуемся вы-
15

ражением (2.1) и интегральным представлением (2.2), в котором перейдем к
новой переменной /и =\>/а:
П (г, в) = -Ра2 (ЪякЪ2)-1 / ju [cos (jucm) Г1 <рца-1/2 (г) х
г
Х Рца- 1/2 [COS (Я - в) ] djU.
(2.23)
Контур интегрирования в (2.23) охватывает положительную часть
вещественной оси плоскости (д). Используем следующие соотношения для функций
Лежандра [50]:
2
Рца - 1/2 [COS (Л-в) 1 /COS (МЯТ*) = tg (моя) Рца . 1/2 (COS 0) + — Q^ _ 1/2 (COS 0),
я
cos 0 = cos (р/а)у Рца _ 1/2 [cos (/э/я) ] -* /0 ("р),
0»а -1/2 (р/а) -* —?N0(jup)
а -* оо ^
из которых вытекает, что
^q-l/2 [COS (Я -0)] ^ I
cos (иатг) а^«
iH^Qip), 1щ^>0,
-Шф(/лр), 1ш^<0.
(2.24)
(2.25)
В формулах (2.24) и (2.25) /0 (z) — функция Бесселя, 7V0 (z) — функция
Неймана, Н^^ (z) и #^2) (z) — функции Ханкеля первого и второго рода.
Если наряду с (2.25) воспользоваться асимптотическими представлениями
(1.19) аналогов цилиндрических функций и провести предельный переход
согласно (2.22), то можно получить следующую формулу, описывающую
потенциал поля вертикального электрического диполя в плоском волноводе,
образованном неоднородными по высоте ионосферой и Землей:
п„<р, .) = £ /^ф/оС"Р)Ф,
[ [exp (-i V*2 - ц2 z) + R<3) exp (i V*2 - ц2 z) ] x
X {exp (i VF^z,) + *„<"> exp [-jy/k2-M2 (ze-2A)]}, ze > z,
(exp (-i у/к2 -ft2 za) + R& exp (i V*2 - ц2 z„) ] x
x {exp (-i Vk2-ft2 z) + Л„(и) exp [-i V*2-^2 (z-2A) ]}, ze < z,
*>v (z) = лЧ
A,, = 1 - i^*« exp (2/ у/к2 - fi2 A),
(2.26)
" ylk1 - ^2 + foj3 (u) ' " yjkz-fil + foJ„ (u) *
Функции <53 (д)и дИ (ju) здесь суть приведенные поверхностные импедансы
плоской Земли и плоской ионосферы для падающих на них полей вида
•fo (MP) exp (—i V*2 - /U2 z) и /0 (up) exp (i Vк2 - ^u2 z) соответственно. В
формулах (2.26) ветвь корня фиксирована условием Im V'к2 -ц2 > 0.
Для приведенных поверхностных импедансов нетрудно получить
нелинейные обыкновенные дифференциальные уравнения, аналогичные (2.10):
dd3 (fi, z)/dz = ik {е'шз (z) б* (м, z)+n2 [*2e;3 (z) Г1 - 1}, (2.27)

ёди (u, z)/dz = -ik {eU (z) dl (u, z) + fi2 [kh'mn (z)Г1 - 1}. (2.27)
В качестве граничных условий при интегрировании (2.27) можно
использовать предельные значения соответствующих импедансов при z -» ± оо
(считаем значения е'тз(-оо) и е^и(+°°) конечными и отличными от нуля).
От выражения (2.26) с помощью предельного перехода R™ -* 0 можно
перейти к решению задачи о поле вертикального электрического диполя над
плоской земной поверхностью (задачи Зоммерфельда):
П<Й (Р, z) = iP (4л)-1 / ц (к2 - и1)'1/2 *><°> (z) /о (до) ф,
о „___^
*><°> (z) = exp(iV*2-/*2 lz - zj) + ^ exp [/V*2-,u2(z + zfl)],
которое, естественно, совпадает с формулой (9.14) из [46], представляющей,
собой непосредственное решение этой задачи.
3. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ В ВИДЕ РЯДА НОРМАЛЬНЫХ
И РЯДА МНОГОКРАТНО ОТРАЖЕННЫХ ВОЛН
1. Дальнейшие преобразования интегральных представлений (2.12) и (2.16)
возможны двумя методами. Первый сводится к вычислению этих интегралов
с помощью теоремы вычетов в полюсах подынтегральной функции (метод
нормальных волн) и приводит к форме решения, удобной для исследования
на больших расстояниях между корреспондирующими пунктами. Второй метод
заключается в приведении интегралов (2.12) или (2.16) к асимптотическому
ряду (квазигеометрооптический метод), удобному для использования на малых
удалениях точки наблюдения от источника.
Получим сначала ряд нормальных волн. Для этого вычислим интеграл (2.12)
с помощью теоремы вычетов в полюсах vs радиальной функции ^v_i/2 (r),
совпадающих с нулями уравнения
4-1/^=1- ц£11/2 *,<;>_ 1/2 = 0/ (3.1)
где функции R^l^/i и R}*}^ определены соотношениями (2.6). В результате
для потенциала П получим следующее представление в виде ряда нормальных
волн:
П - -А 2 К, - 1/г cos (v^) Г% - i/2(kb) fVs _ 1/2 (кг) х
S « 1
х Р„,_1/2 [cos (яг-в)], (3.2)
nVs _ 1/2 = ко2 (*,)" Ч(?-1/2 lXys _ 1/2 (ка) Г2 [</Д, _ 1/2/dv I. v (3.3)
Ks -1/2 (kz) = tfj>_ 1/2 (kz) + *£>_ 1/а#«_ 1/2 (kz), (3.4)
fys -1/2 (kz) = XVf _ 1/2 (*z) /A^ _ 1/г (ка), z = a, i, r. (3.5)
Если использовать асимптотические представления функций Лежандра
(2.14) и пренебречь антиподными и кругосветными волнами, вместо (3.2)
можно написать
* ■ 1
2 Г. И. Макаров и др. 17

х Л, -1/2 (**) /,, _ 1/2 (*г) е»Л (3.6)
где Я = а0. Условия применимости формулы (3.6) с учетом (2.13) описываются
неравенствами
кЯ » 1, к (D - Я) » 1, D = жау (3.7)
в силу которых точка наблюдения должна располагаться в волновой зоне по
отношению к источнику и антиподу.
2. Представление решения в виде ряда нормальных волн (3.2) соответствует
той части спектрального разложения решения по собственным функциям
поперечного (радиального) оператора, которая связана с его дискретным
спектром. Действительно, собственные функции us и собственные значения ks
поперечного оператора находятся из уравнения
Lrus = ksus,
или в явном виде
k-WuJdr1 + [1 - А, (кг)'2 ] и, = 0, (3.8)
причем функция us (Ау, г) должна удовлетворять граничным условиям
dus(ks, г)
dr
dus(ks, г)
dr
= -ikd3(ks) us(ks, я),
(3.9)
= 1кдИ (Яу) и, (Яу, d).
I r = d
Общее решение (3.8) при ks = v2s — 1/4 дается линейной комбинацией
аналогов цилиндрических функций:
и, (А„ г) = А£Я_ 1/2 (кг) + BJt™_ 1/2 (кг), (3.10)
где As и Дг — некоторые постоянные. Подставляя (3.10) в граничные условия
(3.9), получаем однородную систему из двух линейных алгебраических
уравнений относительно неизвестных постоянных. Эта система имеет нетривиальное
решение при обращении в нуль ее определителя:
det = [И?! 1/2 (ка) + «33 (V, - 1/2) #*>_1/2 (to) ] х
х [Й2;: 1/2 (Ы) - й„ (у, - 1/2) g?_ 1/2 (W) ] -
- 1Й?_ 1/. (*а) + й53 (v, - 1/2) #?_ 1/2 (to) ] [Й1/-1/2 (*d) "
- Й„ (v, - 1 /2) #?-1/2 (toO 1 = 0. (3.11)
Используя введенные выше сферические коэффициенты отражения (2.6),
преобразуем уравнение (3.11) к виду
det= 1-и}?-1/гЯ}?-1/г = 0.'
Мы получили характеристическое уравнение для значений vs (ниже именно
их будем называть собственными значениями поперечного оператора), которое
совпадает с уравнением (3.1). Из системы уравнений, полученных с помощью
граничных условий, можно найти отношение постоянных As и Bs, и собственная
функция поперечного оператора us (ЗЛО) с точностью до постоянного
множителя совпадает с функцией Х„ _1/2 (кг) (3.4). Таким образом, уравнение
(3.1) определяет собственные значения радиального оператора, функции
18

X„ -1/2 (кг) являются его собственными функциями, а рад (3.2) описывает
разложение решения исходной задачи по собственным функциям радиального
оператора. Заметим, что характеристическое уравнение (3.1) представляет
собой условие неизменности поля после последовательного отражения от
поверхности Земли и ионосферы. В силу этого (3.1) иногда называют уравнением
для «самосогласованного» поля.
Источником отдельной нормальной волны является линейный ток,
распределенный вдоль радиальной линии, проходящей через исходный точечный
источник. Зависимость плотности тока этого нитевидного элементарного
источника от радиальной координаты описывается собственной функцией
радиального оператора, соответствующей рассматриваемой нормальной волне.
Источники нормальных волн по своему характеру оказываются более близкими
к исходному точечному диполю, чем источники зональных гармоник, которые
распределены по сфере радиуса г = Ъ. Это обстоятельство приводит к лучшей
сходимости рада нормальных волн на больших расстояниях от источника по
сравнению с рядом Дебая.
3. Формула (3.6) для потенциала поля показывает, что в волновой зоне
зависимость амплитуды отдельной нормальной волны от расстояния между
источником и точкой наблюдения вдоль земной поверхности R = аЭ описывается
выражением
1П,1 = с,1Г1/2 V0/sin в exp(-R/Rs), Rs = я/Imv,, (3.12)
где cs — не зависящая от R величина, а параметр Rs для отдельной нормальной
волны представляет собой аналог толщины скин-слоя.
Структура IП^ I допускает четкую интерпретацию. Множитель R~112
описывает расходимость цилиндрической волны, распространяющейся в плоском
идеальном волноводе. Множитель у/в/sin О обусловлен сферичностью
волновода, которая приводит к увеличению амплитуды поля в сферическом волноводе
по сравнению с плоским за счет иной расходимости лучей. Наконец,
экспоненциальный множитель ехр (—R/Rs) описывает затухание поля вследствие
потерь в стенках волновода.
Фазовая скорость нормальной волны номера s на поверхности r*= a + z =
- const c$s (z) зависит от реальной части собственного значения и дается
выражением
сф, (z) = Сф, (1 + z/a) = wa (1 + z/a)/Re V„ (3.13)
Э котором c,ts s c$s (0) — фазовая скорость нормальной волны номера s на
поверхности Земли. Из (3.13) следует, что сф4. (z) зависит от высоты подъема
точки наблюдения над поверхностью Земли и растет с увеличением этой
высоты.
Для радиальной составляющей электрического поля, используя (1.1) и
(3.6), можно получить выражение
Ег = к2Р (2тге0)"1И^ехр (ikR)/Ry
а4 в * (3.14)
W = ^j -7== Z Ks -1/2Л, -1/2 (**) Л, -1/2 (кг) ехр (b>s6 - ikR),
_^П^(ЛЪ/1 **/А (3л5>
Av,-i/2-V2* \Га) ^Т^-
Функция ослабления W (3.14) при наземном расположении
корреспондирующих пунктов характеризует отличие радиальной составляющей
2*
19

РИС. 1.2. Контур интегрирования Г3 на
комплексной плоскости 60
\Rf3}1/2R}»l1/2\<L
электрического поля в сферическом волноводе
от соответствующего значения над идеальной
плоскостью при R=* аЭ.
4. Рад многократно отраженных волн
получим на основании приближенной импедан-
сной постановки задачи, которая приводит к
потере всевозможных подземных и
внутриионосферных механизмов
распространения. С этой целью используем интегральное
представление (2.16), заменив в нем контур
интегрирования Г1 на контур Г3 (рис. 1.2), на
котором, как показано в работе [27],
выполняется неравенство
Разложив в геометрическую прогрессию по степеням Rf*2 1/2 RjQ\/2
множитель А,Г-1/2 в выражении (2.4), для потенциала П (2.1) с учетом (2.16)
получим следующий ряд:
00
П = - V2 Р (ЫкЬ2)-1 (я sin ey^2e"/A £ / Vv" $я)- ia (г) «** dv>
9 = 0 Г3
l№г/2 (кг) + Rtot/£?L 1А (кг) ] К<2> 1/2 (kb) + RflU£?L 1/2 (kb) ], г > Ь,
[&11/2 (kb) + Rtoi/J®.lA (kb) ] K<2> lA (кг) + R}321/2&11/a (кг) ], r<b.
(3.16)
Для более четкой интерпретации решения целесообразно перегруппировать
члены ряда (3.16) так, чтобы член нового ряда содержал коэффициент
отражения от ионосферы R^i/2 в степени, равной номеру этого члена:
П = X П (т),
т» О
П (т) = -VIР (ЫкЪ2)-1 (ж sin ву^2ёл/А J Vv *#?i/a(r) e** dvy
г3
(3.17)
e^w
ш I tf х>1/2 (кг) К<2> 1/2 (kb) + R}*11/atf l> 1/2 (kb) ], r>b9
[ tf * i/2 (**) t#2>1/2 (кг) + *£ хда) 1/2 {кг) ], г < ъ.
№i/i (г) = [Й^1/а (**) + JtfS^i) 1/а (*») 1 J^i/a X
X №^^«1/а1—Л Е<2> ^ (кг) + J^^i/a (*r)]f m > 1.
(3.18)
(3.19)
Нулевой член ряда (3.17) П (0) в соответствии с (3.18) представляет собой
сумму прямой волны, распространяющейся в свободном пространстве, и волны,
отраженной рт Земли. Этот член совпадает с функцией <pv _ 1/2 (г) (2.4) при
Rj^ i/2 = 0 и описывает поле над открытой сферой, или земную волну. Член
ряда (3.17) с номером т ^ 1 описывает поле волн, т раз отразившихся от
ионосферы, и представляет собой, как следует из (3.19), суперпозицию четырех
волн.
Решение (3.17)—(3.19) можно теперь интерпретировать следующим
образом. С поверхности г«b вверх и вниз излучаются волны. При этом волна,
20

идущая вниз, после отражения от Земли распространяется по направлению к
ионосфере, так что падающее на ионосферу поле представляет собой сумму
двух волн. В выражении (3.19) ему соответствует первый сомножитель в
квадратных скобках. Это падающее поле отражается от ионосферы
(сомножитель Rj^! 1/2) и затем еще (т — 1) раз отражается последовательно от
поверхности Земли и ионосферы (сомножитель [R^-i^Rv^i/iV1)* Наконец,
сомножитель [#2> 1/2 (кг) + Rf3} x^i1-1/2 (кг) ] учитывает то обстоятельство, что
в члене рада (3.17) с номером m наряду с волной, приходящей на поверхность
г - const непосредственно после последнего отражения от ионосферы,
присутствует и волна, возникающая из первой в результате ее отражения от
поверхности Земли. Таким образом, решение (3.17) (или (3.16)) представляет
собой рад многократно отраженных от Земли и ионосферы волн.
5. Если для цилиндрических функций, входящих в (3.18), (3.19),
использовать асимптотические представления Дебая (1.19) и вычислить интегралы
в формуле (3.17) методом перевала, то мы придем к геометрооптическому
представлению потенциала. Получим это представление для случая, когда
источник и приемник расположены на поверхности Земли, Ь e r * я. При этом
функция ^у°11/2 (3.18) совпадает с выражением (2.19) при n«v — 1/2, г = я,
а потенциал П (0) (поскольку контуры Гх и Г3 для данной подынтегральной
функции эквивалентны) — с потенциалом (2.20), описывающим поле над
открытой сферой, или нулевой дифракционный луч, который был изучен нами
ранее в разделе 23 [46].
Члены ряда (3.17) с т ^ 1, опуская аргумент у функций <pim-i/2 (/*), можно
записать в виде
П (т) = - VT Р (Ълка2)-1 (л sin ву^е1^4 (/£> + /£>), (3.20)
/£> = / *>№1А IRPi/iRP-i/iirfd», (3.21)
/<?> = / V^><°> 1/2 lR?l1/2r IJtyi^r-1 x
13
х S?l 1/2 (ка) [#>1/2 (ко) Г V dv. (3.22)
Рассмотрим сначала интегралы 1$ (3.21) и перепишем их следующим
образом:
г3
т
е»всЫу
(3.23)
где Ry*li/2to> ^f^i/i,о —сферические коэффициенты отражения для
наблюдателей, расположенных на поверхности Земли и ионосферы (см. 1.18) и (1.23)).
Интегрирование по v в (3.23), как уже отмечалось, соответствует
интегрированию по углам. Предположим, что подынтегральная функция
интеграла /$ имеет максимум в окрестности геометрически правильного угла, для
которого
v0/D - ка cos V(/? = kd cos v2\ (3.24)
где v£? и У>(т — Углы скольжения относительно Земли и ионосферы
соответственно. В силу (3.24) выполняется неравенство v0m < ка (тем более v0m < kd)
и для аналогов функций Ханкеля в (3.23) можно использовать асимптотические
представления Дебая (1.19), справедливые при условиях
21

I vL - (ka)21 » (ка)4*, I vL - (kd)21 » (Ы)4Л
(3.25)
При этом коэффициенты отражения RJ311/2> 0 и R?*21/2, о оказываются равными
коэффициентам отражения Френеля R$> = Rg> (vi3)) и R^ = Л£и) (vi*0)
(см. (1.21) и (1.24)), а фазовая функция ш^ (V) интеграла 1$ приобретает
следующий вид:
o>g> (V) = 2т
в кс лП f
2^+/Vl-^
ka
du
(3.26)
Седловая точка находится из уравнения
d(D$ (V) Id» = О
и совпадает со значением (3.24). Далее можно разложить фазовую функцию
в ряд Тейлора в окрестности седловои точки и ограничиться квадратичным
по V — V0m членом в этом разложении:
а><? (V) = 2mkRm - mRm (у - v0 тУ [had sin V><? sin ^2? Г1. (3.27)
В формуле (3.27) Д^ — расстояние между точкой отражения от Земли и
ближайшей точкой отражения от ионосферы (рис. 1.3)
Яш = [а2 + d2- lad cos (в/ 2m) ]i/2. (3.28)
Рис. 1.3. К интерпретации геометрооптического
представления поля
Будем полагать выполненным условие
*ЛЯ»1,
(3.29)
которое позволит нам использовать стандартную схему метода перевала, и
вынесем все медленно меняющиеся функции за знак интеграла.
При этом медленность изменения функций R$ и R^ обеспечивается при
выполнении неравенств
4>2>4>к% ^>4>in\
(3.30)
где v£3) и v£H) —углы Брюстера для Земли и ионосферы соответственно.
В результате для fi£ получим следующее выражение:
^"-.-.wWsinvi3^
/£> = Vbf kad Цг— е~'*/4
Dm [Sltllp
X (1 + /?£>) (/?£> R$Y-
(и)
[2m sin £) x
(3.31)
22

Здесь Dm = 2mRm — полное расстояние, которое проходит m-кратно
отражающийся от поверхности ионосферы луч при распространении от источника в
точку наблюдения по законам геометрической оптики.
Подынтегральная функция интегралов 1% (3.22) по сравнению с
подынтегральной функцией интегралов 1$ (3.21) имеет дополнительный сомножитель
[Rfl xn &11/2 (ко) ]-^2> 1/а (ка),
что приводит к следующей асимптотической формуле для fi£i
/<? = IJP/RJp. (3.32)
В результате с учетом (3.20), (3.31) и (3.32) приходим к геометрооптическому
представлению потенциала поля m-кратно отраженной волны
п (т) = £я„^ и + я£3)]2 ифг-1 [л£и)г, (3,33)
_ d (sinу,£>\ 1/2 ft- -«- ">т~\Л ** (3-34)
8т ~~
f 2m sin [в/(2т)]\1/2
{ sin0 J *
Радиальную составляющую электрического поля запишем в виде суммы
00
Ег = ЕГЗ+ 2 Е™,
в которой Ег3 — радиальная составляющая электрического поля земной волны
(см. 23.15) в [46]). Геометрооптическое приближение для радиальной
составляющей электрического поля m-кратно отраженной от ионосферы волны с
учетом формул (1.1) и (3.33) можно записать следующим образом:
Е^ = — П (m) cos2 V>£ =
- — *.4г^ I» + *РР1^]-1 [л^]-см2^>. (3-35)
4тге0 А
Ш
Заметим, что как показано в [27 ], выражение (3.35) не учитывает
поверхностной волны, сосредоточенной вблизи верхней стенки волновода.
6. Отдельные сомножители в выражении (3.35) можно интерпретировать
следующим образом. Множитель exp (ikDm)/Dm описывает сферическую волну,
прошедшую расстояние Dm**2mRm, где Rm дается формулой (3.28). Функция
gm (3.34) учитывает дополнительную сходимость лучей при отражении от
поверхности ионосферы и дополнительную расходимость их при отражении
от поверхности Земли. При этом множитель sin V sinvi? обусловлен
продольной кривизной отражающих поверхностей. Если рассмотреть
последовательные отражения от Земли и ионосферы, то окажется, что дополнительная
расходимость при отражении от Земли компенсируется дополнительной
сходимостью при отражении от ионосферы, так что множитель
sin vi' 7VS" sinvi? обусловлен лишним отражением от ионосферы.
Множитель V2m d sin в I (2т)/^а sin в учитывает дополнительную
сферическую сходимость за счет влияния поперечной к трассе кривизны стенок
волновода, т. е. за счет «объемного» характера распространения. Очевидно,
что
23

Vm ь > * 2m 2m '
так что gm > 1. Заметим, что этот множитель при h«a меньше значения
V#/sin 0 , характерного для открытой сферы, и оказывается близким к нему
при m -* оо.
Множитель [Л^]10"1 [Л4И)]Ш описывает в приближении плоских волн и
плоских границ раздела отражения от поверхности Земли и ионосферы, а
функция [1 + /?43)]2 учитывает в том же приближении наличие прямого и
отраженного от поверхности Земли лучей в точке излучения и в точке приема.
Наконец, сомножитель cos2v£? появляется вследствие дипольного характера
направленности передающей и приемной антенн.
Формула (3.35) допускает эвристическое обобщение на случай
неоднородных трасс. При этом коэффициенты отражения в соответствующей степени
заменяются произведением локальных коэффициентов отражения в
геометрически правильных точках:
[д43) г ~х -*"п r%, [Rg> г -* п rq.
Аналогично производится замена
где R$9 R$ — коэффициенты отражения от поверхности Земли в точке
излучения и в точке приема.
7. Как уже отмечалось выше, пределы применимости геометрооптического
приближения (3.35) определены неравенствами (3.29), (3.30) и вытекающим
из (3.25) условием
sinvi3)>(*a)~1/3. (3.36)
Из (3.30) и (3.36) следует, что угол выхода луча из источника должен быть
больше нуля %!>$ > 0, т. е. геометрооптическое приближение справедливо в
освещенной области для каждой из волн. По мере приближения к области
тени (V«* "* 0) неравенства (3.30), (3.36) перестают выполняться, функцию
R$ нельзя выносить за знак интегралов 1$ и 1$ и для их вычисления
необходимо использовать методы численного интегрирования. При этом
определяющим является неравенство (3.30). Что касается неравенства (3.36), то,
как было показано в разд. 23 [46], оно не носит принципиального характера,
а связано с аппаратом метода перевала. Это обстоятельство позволяет
использовать выражение для фазовой функции (3.26) для интерпретации т-кратно
отраженных волн в области тени как дифракционных лучей, которые частично
скользят вдоль земной поверхности [47].
Действительно, пусть v£? стремится к нулю, т. е. луч выходит по
касательной к поверхности Земли. Тогда седловая точка оказывается равной
значению ка и фазовая функция (3.26) принимает следующий вид:
kd
<» (V0J = koff + 2m / Vl - (ка/и)2 du = кавпр + 2m* Vd2 - a2.
ka (3.37)
Через 0пр в (3.37) обозначен угол проскальзывания луча по Земле (рис. 1.4):
0np = в - 2m arccos (aid) = 90 + вх. (3.38)
24

Рис. 1.4. К интерпретации квазигеометрооптического
представления поля
Набег фазы при проскальзывании описывается слагаемым каОпр в (3.37),
а набег фазы в полете — слагаемым 2тк Vrf2 — я2. Таким образом,
дифракционные лучи имеют два механизма распространения —
проскальзывание и полет. При проскальзывании имеет место высвечивание, которое
связано с убыванием амплитуды волны по формуле (разд. 22 [46])
/Г1/2 л/9/sin 9 ехр [-(ка/2)1/30пр Im ts ], (3.39)
где Im tx ~ 0 (1). Фаза полета соответствует геометрооптическому описанию
поля.
Следует отметить, что срыв дифракционного луча может произойти с
любой точки 0=0О земной поверхности (см. рис. 1.4), удовлетворяющей
неравенству
О < 0п < О
пр>
(3.40)
где 0пр определяется выражением (3.38). На рис. 1.5 представлены два крайних
случая 0О в 0 и 0О в 0пр- В силу (3.40) возможны все промежуточные случаи.
Область отражения таких дифракционных лучей изображена на рисунке
штриховой линией. Отсюда следует, что для дифракционных лучей теряется
локальность отражения и можно ожидать, что поля, описываемые
дифракционными лучами, менее чувствительны к локальным возмущениям
ионосферы, чем поля геометрооптических лучей.
Рис. 1.5. К интерпретации квазигеометрооптического
представления поля
Важным свойством дифракционных лучей является то обстоятельство, что
их разность хода не зависит от расстояния. Это приводит к отсутствию
интерференции между этими лучами.
Таким образом, ряд (3.17)—(3.19) для П (и соответствующий ему ряд для
Ег) имеет квазигеометрооптический характер. Интерпретация отдельных
членов этих рядов как геометрооптических либо дифракционных лучей зависит
от номера т и расстояния от источника до точки наблюдения. Расстояние
ЯЙп> при котором появляется дифракционный луч номера т ^ 1
(дифракционный луч с номером т«0 существует на любых расстояниях),
находится из (3.37):
Rffl = 2т y/d2 - а2 = mR$l
25

Отсюда следует, что при R < R^ квазигеометрооптический ряд содержит
нулевой дифракционный луч (т = 0) и геометрооптические лучи. В области
я£& </*</*£& имеется два дифракционных луча (т = 0, 1) и геометро-
оптические лучи и т. д. Поскольку R^ =* 2 Vlah составляет величину, равную
~1800 км в дневных условиях (а =«6400 км, h ** 60 км) и ~2000 км в ночных
(А — 80 км), то всего на предельных расстояниях R « 20 тыс. км может быть
не более 10—11 дифракционных лучей.
Таким образом, поле &гт) при малых значениях т и R имеет смысл
геометрооптического луча, который по мере увеличения расстояния R переходит
в дифракционный луч. Начиная с m ~ 0 (10), все лучи оказываются геомет-
рооптическими.
В зависимости от расстояния между источником и приемником в сумме
многократно отраженных волн (3.17)—(3.19) необходимо учитывать различное
число членов. Сходимость геометрооптического ряда с членами (3.35)
определяется множителями (2m)"1, cos2vi3) и [/?i3)]m_1 \R^\m. Поскольку
,0) d . 0 R 1
cosvd^^sin^-^^,
амплитуда геометрооптического луча с ростом т ведет себя по крайней мере,
как т~3. Поэтому на небольших расстояниях от источника оказывается
достаточным при расчете Ег учесть несколько лучей (3—4 в дневных условиях
на расстояниях до 1,5 тыс. км). В этой области вследствие интерференции
полей отдельных волн суммарное поле Ег осциллирует с расстоянием [51 ].
Для дифракционного луча имеет место дифракционное высвечивание, т. е.
в выражении для £$гт) появляется множитель (3.39), который приводит к
неэффективности дифракционных лучей на высоких частотах. На низких
частотах (/< 30^-40 кГц) высвечивание мало, на больших расстояниях
(R > 1000—2000 км) преобладают дифракционные лучи, амплитуда которых
О (т-1), и зависимость поля от расстояния, как отмечалось выше, оказывается
монотонной. Этот же результат получается при использовании метода
нормальных волн для расстояний, бблыпих Ru где Rx определено формулой
(3.12). Здесь квазигеометрооптический метод «сшивается» с методом
нормальных волн.

Глава 2
РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН
В ИМПЕДАНСНОМ ВОЛНОВОДЕ
В настоящей главе, которая основывается на результатах исследований
авторов, выполненных в [10], обсуждаются основные закономерности
поведения собственных чисел сферического импедансного волновода. Для
получения более наглядных физических следствий внутренняя сферическая
область (Земля) считается идеально проводящей, а внешняя (иносфера)
характеризуется произвольным физически осуществимым приведенным
поверхностным импедансом (с положительной реальной частью). Выявляются
закономерности, обусловленные сферичностью волновода, и находится
минимальное число параметров, с помощью которых удается описать
поведение собственных чисел.
Собственные значения находятся с помощью прямых вариационных методов
[52, 53] по схеме, изложенной в [4]. Поскольку для достаточно быстрой
сходимости нужно хотя бы грубо представлять расположение искомых
собственных чисел, то сначала исследуется аналитическими методами
трансцендентное уравнение для них.
При проведении исследований считается выполненным неравенство
A «я,
где А — высота волновода, а — радиус внутренней сферы (для волновода
Земля—ионосфера А/я ~10~2).
С целью оценки точности приближенных формул для собственных чисел
мы приводим результаты решения характеристического уравнения задачи
численными методами. Некоторые промежуточные выкладки вынесены в
Приложение.
4. КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ
СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
1. В разд. 3 было построено решение задачи о поле радиального
электрического диполя в сферическом изотропном волноводе в виде ряда нормальных
волн. Для дальнейшего его исследования необходимо найти собственные
значения радиального дифференциального оператора задачи (3.8), (3.9). Мы
рассмотрим ситуацию, когда Земля обладает бесконечной проводимостью
(<53 = 0), а ионосфера характеризуется приведенным поверхностным
импедансом ди = <5, не зависящим от спектрального параметра задачи. При этом задача
(3.8), (3.9) на собственные функции и собственные значения радиального
оператора принимает вид
Lxu = Aw, Lx= X2 d2/dX2 + X2, X= кг, (А л.
27

du
dX
= 0 —
• dX
= #w, d = a+ h.
X ш kd
2
Уравнение для собственных значений оператора (4.1), (4.2) при Я - V2—1/4
описывается выражением
* С) = №/2 (to) £<2>1/2 (W) " Й22'1/2 (*e) №m (kd) -
-й K^'i/2 (ко) Й221/2 (JW) - #22'i/2 (*e) Й1! i/2 (W) 1 = 0, (4.3)
которое, разумеется, вытекает и из (3.11) при д3 = 0 и дК = д.
Используя соотношения обхода (2.7), нетрудно убедиться в том, что
выражение для F (V) (4.3) является четной функцией V, т. е. его корни
расположены симметрично относительно начала координат. Поэтому можно
ограничиться рассмотрением корней уравнения (4.3), находящихся в правой
полуплоскости комплексной плоскости V.
Для качественного анализа поведения корней уравнения (4.3) при Re v > 0
используем асимптотические представления аналогов цилиндрических функций
[54]:
№ i/2 (*) = -i (*/2)1/6 [и (у) + to (у) ], £<2>1/2 (*) = i (*/2)1/6 [и (у) - to (у) ],
у = (2/х)1/3 (v - jc), (4-4)
где и (у) и о (у)—функции Эйри, определенные соотношениями (П. 1). С
помощью (4.4) можно из (4.3) получить следующее характеристическое
уравнение для собственных значений радиального оператора:
F (V) = и' Ы t/ Ы - и! Ы о' Ы -
- М [и' (уа) о Ы - и Ы v1 Ы ] = 0, (4.5)
уа = (ка/2)-13 (у - to), уц = (kd/2)-llb (V - Ы), М = -Й (Ы/2)1/3. (4.6)
Введем в рассмотрение параметр /г, связанный с v соотношением
V = toVI -^. (4.7)
При этом собственные значения оператора Lx (4.1), (4.2) выражаются
через pi\
Я = (ко)2 (1 - /г) - 1/4,
так что в дальнейшем мы будем называть ju собственным значением, опуская
при этом слова «радиального оператора».
Считая \ju\ < 1, разложим VI — р в формуле (4.7) в ряд по степеням
/г. Удерживая в разложении два члена, подставим его в выражения (4.6) для
уа и уФ При этом, поскольку d = a + h и h« а, при преобразовании формул
(4.5), (4.6) заменим встречающееся в них отношение dlа на единицу. Тогда
вместо (4.5) получим трансцендентное уравнение
Г <Я) = "' Ы о' (л) - и' (и) о' (у0) - [и' (у0) о (Л) - и (у,) v' (у0) ] t/y = 0,
(4.8)
Уо = -О/ЛО2, Л = -У + Л, У = (25)1/3, 5 = phi а,
Ч=Р^Й, t= -Й/3, /3 = kh. (4.9)
2. Опираясь на (4.8), проведем качественный анализ поведения собственных
значений. Характеристическое уравнение (4.8) при S = 0 (а = ») принимает вид,
совпадающий с характеристическим уравнением для плоского волновода [4 ]:
28

так что значение rj = fi yfju в этом случае определяется только параметром L
Для сферического волновода, как следует из (4.8), (4.9), значение rj зависит
от двух параметров — t и S. Параметр S будем называть параметром
сферичности.
Рассмотрим уравнение (4.8) на комплексной плоскости (rj) и исследуем
поведение его корней в зависимости от параметра t при фиксированном
значении параметра сферичности S.
Прежде всего отметим, что уравнение (4.8) является точным
характеристическим уравнением для собственных значений (—р) оператора Ьг:
d2
Ьхи = -juur Lx = -rj + bx, Ь- 25)3 3,
dx2
du
dx
Odu
.0 ' ^
t
= —ku.
Величина /и выражается через собственную функцию и этого оператора:
И =
fit t— fi л ifi \
^w03)w03) + /^-^rfx-Z>/ xuudxl J iiudx\
P о ° J \° /
(4.11)
где черта обозначает комплексное сопряжение.
Из (4.11) вытекает, что для физически осуществимых импедансов
(Re д > О, Im t < 0) мнимая часть /г отрицательная или равна нулю.
Следовательно, корни уравнения (4.8) могут располагаться во втором и четвертом
квадрантах комплексной плоскости (ф симметрично относительно начала
координат, так что в дальнейшем можно ограничиться рассмотрением уравнения
(4.8) только в четвертом квадранте (rj), где Re*7 > 0, Im rj < 0. Заметим, что
из условия Im /г < 0 следует, что корни v (Re v > 0) располагаются в первом
квадранте комплексной плоскости (V).
Из формулы (4.11) видно также, что при вещественных t> соответствующих
чисто мнимому индуктивному (t < 0) или чисто мнимому емкостному (t > 0)
приведенному поверхностному импедансу, значение /г вещественно.
Отметим теперь два общих свойства корней уравнения (4.8) на плоскости
(rj). Во-первых, вещественным значениям t соответствуют вещественные или
чисто мнимые корни rj. Во-вторых, уравнение (4.8) при определенных
значениях t> зависящих от параметра S, имеет двойной корень, удовлетворяющий
дополнительно уравнению F (ф = 0, или с учетом (4.8)
Л + Ей' Ы о' (У1) - и1 (ft) v1 Ы ]2 = [и' Ы о (yj - и (уг) о' (у0) ]2 Л.
(4.12)
Значение *, соответствующее двойному корню, можно найти, подставляя
решение уравнения (4.12) в уравнение (4.8).
Рассмотрим поведение линий нулей уравнения (4.8), которые определяются
выражением
а s an!, = arg "'yw-'wy . „«, <4-13>
и Ы о (уг) - и (уг) о' (уо)
описывающим преобразование лучей на плоскости (О, выходящих из начала
координат, в линии нулей на плоскости (rj). Уравнения для точек выхода
(\t\ = 0) и точек входа (\t\ — со) этих линий имеют соответственно вид
и' (Уо) о' (л) - и' (У1) v' Ы = 0,
29

и' Ы о ()>i) - и Cft) о' (уо) = 0.
Второе уравнение справедливо для конечных точек входа (1*7ВХ1 < «О. Из
дальнейшего рассмотрения будет видно, что может быть одна линия нулей,
уходящая на бесконечность, как это было в задаче для открытой сферы и
для плоского волновода.
Как следует из (4.11) и граничной задачи для оператора Ьг, значения
V = & V/7, соответствующие точкам выхода и конечным точкам входа, должны
быть либо вещественными, либо чисто мнимыми.
Поскольку любому заданному значению rj соответствует согласно (4.13)
одно значение а (кроме точек входа и выхода), то линии нулей, относящиеся
к различным значениям а, не могут пересекаться. Отсюда следует, что линии,
соответствующие одному и тому же а, но имеющие различные точки выхода,
тоже не пересекаются, иначе это привело бы к пересечению линий нулей,
соответствующих разным значениям а. Возможно только касание линий нулей,
соответствующих одному и тому же значению а.
3. Так как выражение (4.8) является сложным трансцендентным
уравнением, то для получения простых аналитических результатов следует изучить
его в различных областях комплексной плоскости (ф> где можно использовать
либо степенные, либо асимптотические представления функций Эйри.
Рассмотрим сначала область, в которой выполнены условия
\rj\ > у при у < 1, (4.14а)
1771 > У212 при у > 1. (4.146)
В этой области для функций Эйри и (у) и о (у) можно использовать
асимптотические представления (П.2)—(П.4), причем в данном случае области
у у в которых эти функции имеют различные асимптотические представления,
для функций от аргументов у0 и у1 совпадают. В результате характеристическое
уравнение принимает следующий вид:
1/2 - * ^ г, ,3\3/2 -I (4.15)
V 1 +
?) *!(?
1+^1 "I
= t.
Как уже отмечалось, значения rj = /J VJi, соответствующие точкам выхода
и входа, должны быть либо мнимыми, либо вещественными. Из уравнения
(4.15) вытекает, что в рассматриваемой области (4.14а), (4.146) точки выхода
и входа расположены только на вещественной оси плоскости (ф. Мнимые
точки выхода и входа в этой области отсутствуют.
Разлагая VI + y3ij~2 в ряд и ограничиваясь главными членами в
разложении, упростим уравнение (4.15):
»*(»♦$)-<. <4i6)
Уравнение (4.16) при S -* 0 переходит в характеристическое уравнение
для собственных значений плоского волновода (4.10), справедливое при любых
rj. Таким образом, несмотря на то, что при получении уравнения (4.8) и,
следовательно, вытекающего из него уравнения (4.16) было использовано
условие 1/Л < 1, при малых S (по крайней мере при 5 = 0) это уравнение
правильно описывает поведение/г с модулем, превышающим единицу. Поэтому
можно ожидать, что уравнение (4.16) справедливо для произвольных 1/г1 и
при больших значениях параметра сферичности.
30

Из уравнений (4.15) и (4.16) вытекает, что в области (4.14а), (4.146)
комплексной плоскости (rj) сферичность волновода не меняет качественно
поведения собственных значений в зависимости от параметра t по сравнению
с плоским волноводом, а лишь приводит к некоторому изменению формы
линий нулей и положения нулей на этих линиях тем меньшему, чем больше
li/l. Уравнение (4.16) позволяет найти смещение точек выхода и входа линий
нулей за счет сферичности волновода:
9»ых-(л- \)7i- S [2л (п- I)]"1, ?„«(*- l/2)7t- S[(2n- 1)яТг.
(4.17)
В соответствии с (4.17) точки выхода и входа по мере увеличения параметра
сферичности смещаются в направлении начала координат комплексной
плоскости О/). Заметим, что формулы (4.17) при у<\ справедливы для точек
выхода с п > 2 (т. е. начиная со второй моды) и для всех точек входа (п =
1, 2, ...), а при у > 1 —для значений я, удовлетворяющих вытекающему из
(4.146) неравенству
п - 1 > у3/2/л = yf2s/n.
В качестве иллюстрации точности приближенных формул (4.17) приведем
значения точек выхода и входа, рассчитанные по этим формулам (обозначим
их т]пр) и путем численного решения исходного трансцендентного уравнения
(4.3) (rj) для h = 60 км, я = 6370 км. На частоте 10 кГц (5= 1,49) для точки
входа первой моды (п = 1) имеем
*7ВХ=1,21, 77вхР=М0,
а для точки выхода второй моды (п = 2)
*7вых = 2,89, т/вил = 2,90.
На частоте 30 кГц (5= 13,39) для точки входа второй моды
*7ВХ = 3,20, ?й = 3,29,
а для точки выхода третьей (п = 3)
*7вых = 5,16, VbSx = 5,22.
Эти численные результаты показывают, что точность приближенных
формул (4.17) достаточна для качественного исследования влияния сферичности
на собственные значения при / = 0и \t\ =oo.
Из уравнения (4.16) видно, что наряду с точками входа (4.17),
расположенными на вещественной оси комплексной плоскости (77), в случае
индуктивного поверхностного импеданса имеется, как и для плоского волновода,
одна точка входа, расположенная на бесконечности в нижней полуплоскости
(rj) (Re *7 > 0, 1тт7<0). Нуль уравнения (4.16), лежащий на уходящей в
бесконечность линии нулей, при условиях
Ш > V2S, IRe/l > 1
имеет вид
rj - it. (4.18)
Уравнение для асимптоты линии нулей (4.18)
г = -cr/tg a (rj = а + лг, а = arg t)
совпадает с уравнением асимптоты соответствующей линии нулей для плоского
волновода [4 ].
31

С помощью уравнения (4.16) можно также определить смещение за счет
сферичности точек касания линий нулей в рассматриваемой области (4.14а),
(4.146) комплексной плоскости (ф> соответствующих двукратному корню
уравнения (4.16). Для двукратных корней имеем уравнение
sin ( rj + S/rj) + 2*7 = О,
из которого следует, что координаты точек касания линии нулей описываются
следующими приближенными выражениями:
ок~(4п - 1)я/4 - [In (4л- 1) я + 2S] [(4n - 1)яГ\ (4.19)
rK ~ - [In (4п - 1) я ]/2 - [4 In (4л - 1) я - 1 ] [(4л - 1) я ]~2 S. (4.20)
Таким образом, точки касания линий нулей (4.19), (4.20) в сферическом
волноводе по сравнению с плоским волноводом (5 = 0) смещаются влево и
вниз на комплексной плоскости (77). Касание линий нулей, выходящих из
соседних точек выхода, происходит при значении ак = arg tK, удовлетворяющем
соотношению
(An - 1) я 2 [4 In (4л - 1) я - 1 ] S
tgaK~21n(4rt- 1)я (4л- 1) лг (4п- 1) я [In (4л - 1)я]2)
из которого следует, что касание линий нулей в сферическом волноводе
происходит при менее индуктивном поверхностном импедансе, чем в плоском.
4. При дальнейшем исследовании уравнения (4.8) рассмотрим отдельно
случаи у < 1 и у > 1. Область комплексной переменной rj, где 1^1 >у, была
рассмотрена выше, поэтому для у < 1 нам остается исследовать уравнение (4.8)
в области \т]\ <у. Здесь можно использовать степенные разложения функций
Эйри и ограничиться главными членами разложения. Тогда из (4.8) получаем
V = VT^. (4.21)
Выражение (4.21) справедливо лишь для малых по модулю значений t:
\t\ <y2 = (25)2/3,
т. е. (4.21) описывает поведение rj в окрестности точки выхода
*7вых = v^S = -iVs, (4.22)
соответствующей первой моде. В случае плоского волновода (S = 0) эта точка
расположена в начале координат плоскости (ф. Для сферического волновода
она по мере увеличения параметра сферичности S движется по мнимой оси,
удаляясь от начала координат.
Бблыпий интерес представляет случай у > 1. Для него область комплексной
переменной \rj\ > у3п = Vr25 была рассмотрена выше. Теперь мы исследуем
поведение нулей уравнения (4.8) в других областях (77). Ниже мы в основном
будем интересоваться точками выхода и входа, расположенными на мнимой
оси.
Рассмотрим область комплексной переменной (ф, в которой выполнены
неравенства
у < \rj\ < у3/2, -я/2 < arg;/ < -я/3. (4.23)
Здесь величины ;у0 и у1 удовлетворяют условиям
1у0| > 1> 0< arg^o < я/3,
\уг\ > 1, 2я/ 3< arg?! < я,
32

и для функций Эйри можно использовать соответствующие асимптотические
представления (П.2)—(П.З). В результате уравнение (4.8) в рассматриваемой
области (4.23) принимает вид
ехр (2^/3) + i exp (-2>>f/3) = (у v^)"11 [exp (2^/3) - i exp (-2>>f/3) ].
(4.24)
Заметим, что при этом мы удержали только один главный
экспоненциальный член в асимптотическом представлении для и (у0). Уравнение (4.24) дает
возможность определить точки выхода и входа, расположенные на мнимой
оси:
*7вь« = -i {25 - [3nS (п - 3/4) ]21Ъ}1'\ (4'25)
r,bX=-i{2S-[3nS(n-l/4)?<f2. (4-26)
Условием применимости этих приближенных выражений является
выполнение неравенств: для точек выхода
п < 2 (Зл)'1 [(25)1/3 - 1 ]3/2 + 3/4 (4.27)
и для точек входа
п < 2 (Злу1 [(25)1/3 - 1 ]3/2 + 1/4. (4.28)
Из условия (4.27) следует, что приближенное выражение (4.25) для точки
выхода первой моды имеет место при S > 5, а для второй моды — при S ^40.
Приближенное выражение (4.26) для точки входа справедливо для п = 1 при
S S: 20. Следовательно, выражения (4.25), (4.26) имеют место для первых
нормальных волн при достаточно больших значениях параметра сферичности.
В качестве иллюстрации точности этих формул приведем значения точек
выхода и входа при п = 1 для 5= 13,39, полученные с помощью (4.25), (4.26)
(^"Р) и путем численного решения трансцендентного уравнения (4.8):
*7вы* = -*'4,25, vZx = -'4,10,
Vbx = -/2,76, rill = -Я,45.
Приближенный и точный результаты для точки входа заметно отличаются,
поскольку условие (4.28) в данном случае не выполняется.
На основании уравнения (4.24) можно получить уравнение для точек
касания линий нулей в рассматриваемой области (4.23):
ехр (-4з^73) = %if*. (4.29)
Заметим, что такое же уравнение получается из уравнения (4.12),
описывающего двукратные корни, если в последнем использовать для функций Эйри
два члена в их асимптотических разложениях. Для грубой оценки положения
точек касания, решая (4.29) методом последовательных приближений, можно
получить следующее приближенное выражение:
77к = -I {25 - [(Зтга1/2)2/3 - i In (12жп) (Зжп/2у1/3/2] (25)2/3|1/2. (4*30)
Формула (4.30) имеет место для п> удовлетворяющих условию
п < 2 (Зл)"1 [(25)1/3 - 1 ]3/2. (4.31)
Для первой моды условие (4.31) выполняется при 5^30.
3 Г. И. Макаров и др.
33

Из уравнения (4.24) с помощью выражения (4.30) для ijK можно найти
значения угла ак « arg tK, при котором происходит касание линий нулей:
tg ак = блп [In (12тгп) Г1. (4.32)
Касание линий нулей приводит к вырождению собственных значений,
которое имеет место при условии
06™ = у (Злп/2)1/3 [1 - i (бжпУ1 In (12лп) ]. (4.33)
Сравнение формулы (4.32) с аналогичной формулой для плоского волновода
(см. (2.19) в [4]) показывает, что в сферическом волноводе при больших S
для фиксированного л, удовлетворяющего условию (4.31), вырождение
происходит при менее индуктивном импедансе. Так, согласно (4.33)
вырождение собственных значений первой и второй мод происходит при импедансе,
удовлетворяющем условию
М1} - 1.71у ехр (-111°), (4.34)
т. е. при аргументе импеданса, примерно равном —10 ° (напомним, что это
грубая оценка), в то время как в плоском волноводе оно имеет место при
аргументе импеданса, равном —39 °. Отметим еще одну особенность явления
вырождения первых нормальных волн в рассматриваемом случае, для чего
перепишем выражение (4.33) в виде
дф = (Злп)1/3 (ка)-1/3 [1 - i (блпу1 In (12лп) ].
Отсюда следует, что значение импеданса, при котором имеет место
вырождение нормальных волн с номерами п и п + 1, удовлетворяющими условию
(4.31), не зависит от высоты волновода. В частности, вырождение первой и
второй мод происходит при импедансе
д?> - 2,15 (ка)-11Ъ ехр (-Ш°).
Заканчивая рассмотрение случая у > 1, исследуем характеристическое
уравнение (4.8) в области
\rj\ <у,
где 1>^01 < 1, а \у±\ > 1 и 2тг/3 < arg^x< ж. Здесь для функции Эйри
от аргумента ;у0 можно использовать степенное разложение, а для функции
Эйри от аргумента у1 — асимптотическое. Ограничиваясь главными членами
разложений, из (4.8) получаем
-t (у3 + 772)"1/2 tg {[у + (rj/y)2 ]3/2 2/з + 571/12) = 1. (4.35)
Ограничимся рассмотрением точек выхода и входа линий нулей. Из
уравнения (4.35) следует
*7вых = {-2S + [3nS(n - 11/12) ]2/3)1/2, (4-36)
9вх = {-2S + [Злг5 (п - 5/12)2/3|1/2, (4-37)
причем значения т/вых и 77вх либо вещественны и положительны, либо мнимы
и отрицательны. Условия применимости (4.36) и (4.37) определяются
неравенствами: для точек выхода
2 (Зл)"1 [(25)1/3 - 1 ]3/2 < п - 11/12 < 2 (Зл)"1 [(25)1/3 + 1 ]3/2
и для точек входа
34

2 (Злу1 [(25)1/3 - 1 ]3/2 < п - 5/12 < 2 (Зл)"1 [(25)1/3 + 1 ]3/2.
Формула (4.36) дает возможность определить значение 5, при котором
точка выхода нормальной волны номера п находится в окрестности начала
координат:
5Л = [(n - 11/12) Зя/2]2/2. (4.38)
Из (4.38) следует, что точка выхода второй моды находится в окрестности
начала координат при 5^13, третьей моды — при 5 * 48 и т. д.
5. Приведенные выше результаты позволяют представить общую картину
линий нулей и ее изменение с увеличением параметра сферичности 5. Следует
отметить две основные особенности поведения линий нулей. Во-первых, по
мере увеличения параметра S все точки выхода и входа, расположенные на
вещественной оси, двигаются к началу координат, достигают его и затем
удаляются от начала координат по отрицательной части мнимой оси. Число
точек выхода и входа, расположенных на мнимой оси, зависит от параметра
сферичности и увеличивается по мере его роста. Во-вторых, касание линий
нулей, выходящих из соседних точек выхода, с ростом 5 происходит при
менее индуктивном импедансе по сравнению с плоским волноводом (5 = 0).
Качественная картина линий нулей для сферического волновода при 5 = 16
изображена на рис. 2.1. Стрелками обозначено направление перемещения
нулей вдоль линий при увеличении 1Л. На рис. 2.2 и 2.3 приведены линии
нулей, соответствующие точному трансцендентному уравнению (4.3) и
рассчитанные на ЭВМ для значений S=l,49 и 13,39. Рисунки 2.2 и 2.3
иллюстрируют отмеченные выше особенности поведения линий нулей в
сферическом волноводе. В частности, следует обратить внимание на линию
нулей, соответствующую arg<5 =—тг/6. При 5=1,49 (рис. 2.2) линия нулей,
выходящая из точки выхода, находящейся на мнимой оси, идет в точку входа,
расположенную на вещественной оси, а линия нулей, выходящая из ближайшей
к началу координат вещественной точки выхода, уходит на бесконечность. С
ростом 5 эти две линии нулей сближаются и происходит их касание. Рис. 2.3
иллюстрирует поведение этих линий нулей, после того как это касание
произошло. Теперь первая линия уходит на бесконечность, а вторая идет в
точку входа, лежащую при данном S на мнимой оси.
Остановимся коротко на вопросе нумерации собственных значений (и
соответствующих им нормальных волн или мод) в сферическом волноводе.
Мы будем нумеровать моды согласно точкам выхода их собственных значений.
Точки выхода находятся из условия стремления модуля поверхностного
импеданса к нулю при фиксированном его аргументе:
1<51 -*0, argd = const
и нумеруются в порядке их расположения, начиная с мнимой наибольшей по
модулю точки выхода (п= 1). (Заметим, что в нашей работе [10] нумерация
мод начинается с дг = 0.)
Из приведенных результатов следует, что поведение линий нулей зависит
от аргумента поверхностного импеданса. Плоскость приведенного
поверхностного импеданса (д) для физически осуществимых структур (Re д > 0) можно
разбить* на три области:
л72 > arg д > 0, (4.39)
0 > arg д > <р£\ (4.40)
3*
35

Л I С О Ч О О
чЧ
7 Re у
Рис. 2.1. Качественная картина линий нулей
для 5-16
сь7~0
\
0
1
7 2 J V 5 Re?
ууч)\ ' \у \+/
'Л ч
Рис. 2.2. Линии нулей,
рассчитанные по точным формулам для
S - 1,49
Сплошные кривые — первая мода,
штриховые — вторая, штрихпунктир-
ные — третья.
1-7 argd - я/2 (i), я/3 (2), я/6
(3)У О (-0, -л/б (5),-л/3 (б),-л/2
(7)
ITT19J
0
—7
-2
7 2 3 Ч Ret]
■ >' г' л*^."-'^я
— / ч ^
\v\ ^— / 5
»^ \
'-Us х<^у
i /
У
Рис. 2.3. То же для S - 13,39
<р™ > arg д > -тг/2,
(4.41)
ще ^х) — аргумент поверхностного импеданса, при котором имеет место касание
линий нулей первой и второй мод. Значение (р^ зависит от параметра
сферичности и меняется от —39 ° при 5 = 0 до величины порядка —10 ° при
S»l.
Все линии нулей, соответствующие области (4.39), т. е. емкостному
импедансу, представляют собой криволинейные отрезки конечной длины. В этой
«области отсутствует явление касания линий нулей (вырождения собственных
значений) и нет линии нулей, уходящей на бесконечность. В области (4.40)
36

всегда имеется линия нулей, уходящая на бесконечность и соответствующая
собственному значению, номер которого зависит как от конкретного значения
argd, так и от параметра S, и уменьшается по мере уменьшения argd в этой
области при фиксированном S. Это изменение номера собственного значения,
соответствующего бесконечной ветви (или изменение точки ее выхода), связано
с явлением касания линий нулей при определенных значениях arg д в области
(4.40). Наконец, в области (4.41) также имеется линия нулей, уходящая на
бесконечность. Но она соответствует собственным значениям первой моды, и
явление касания линий нулей здесь отсутствует. Таким образом, вырождение
собственных значений может иметь место только при аргументах
поверхностного импеданса, удовлетворяющих условию (4.40).
Полученные в настоящем разделе результаты мы используем при
нахождении приближенных выражений для собственных значений с помощью
вариационных методов.
5. ПОСТРОЕНИЕ ПРИБЛИЖЕННЫХ ФОРМУЛ ДЛЯ СОБСТВЕННЫХ
ЗНАЧЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ВАРИАЦИОННЫХ МЕТОДОВ
1. Полученные в разд. 4 аналитические формулы описывают окрестность
точек выхода и входа, а также точки вырождения собственных значений. С
помощью вариационных методов можно получить приближенные
аналитические выражения, описывающие линии нулей в широком диапазоне
111. С этой целью вернемся к задаче на собственные функции и собственные
значения радиального оператора Lx (4.1), (4.2), которую перепишем в
следующем виде:
(5.1)
= idony p = kh. (5#2)
dX
= 0 ^
Используем при постановке задачи неравенство
0«0о(/г«а),
которое позволит рассматривать вместо оператора Lx близкий к нему оператор
Lx^\ Для построения последнего введем новую независимую переменную х:
X = ка + х
и учтем, что
(v2n - 1/4) X"2 « (v2a - 1/4) (каУ2 -2х (ко)"1 (v2n - 1/4) (каГ2. (5.3)
Величина 2х (ка)~1 не превосходит 2/г (ка)"1 и для первых собственных
чисел (п= 1,2), рассмотрением которых мы и ограничимся,
так что коэффициент при 2x1 ка можно заменить единицей. Поэтому вместо
(5.1) можно теперь написать
4?Ч = -f*j)„ L^ = — + — (5 4)
Рп = 1 " <У1 - lU) (каУ2 ~ 1 - Ь>в/(ка) ]2. (5.5)
37

Выражение (5.5) совпадает с параметром \i в (4.7). Легко убедиться, что
использование разложения (5.3) эквивалентно замене бесселевых функций в
трансцендентном уравнении для собственных чисел их асимптотическими
представлениями — функциями Эйри. Погрешность же, получаемую при замене
коэффициента при 2х (ка)"1 единицей, так же легко оценить в рамках
используемых нами вариационных методов. Эти оценки показывают, что возникающая
ошибка имеет порядок 0 (h2/a2) и в силу неравенства h« а является
допустимой.
Будем искать собственные числа первой моды, которая в дальней зоне
часто оказывается основной (см. разд. 10). Как следует из результатов
предыдущего раздела, собственное число первой моды при 5 = 0 имеет порядок 1
^ = -eh/'а, (5.6)
где значение 8 меняется в пределах от 1 до 2 в зависимости от параметра
сферичности 5. Так, если (25)1/3 ~ 0 (1) или мало, то е =* 1, если же (25)1/3»1,
то е =* 2.
Поскольку точность вариационных методов зависит от близости к нулю
модуля собственного значения, целесообразно преобразовать исходное
уравнение (5.4) и вместо собственного числа \х ввести в рассмотрение разность
х = ц — /г° = /г + eh/a, (5.7)
которая в свою очередь является собственными числом следующего
дифференциального оператора:
d2
lW>w = -xw, L™ =
h ^ 2x
- e - + —,
a ka
dw
dx
= 0 ^
U' dx
dx2
= idw.
(5.8)
X=0
Оператор L^ неограничен, но обладает ограниченным обратным. Наличие
же ограниченного оператора является необходимым условием применимости
вариационных методов. Поэтому приведем уравнение (5.8) к следующему виду:
-xKw = и>, К= (L^yK
Определим функции и, (х) как решения уравнения
удовлетворяющие граничным условиям
= 0,
(5.9)
(5.10)
«■«» = '• £
и2 (0) = 0,
du2
Их
= 1.
Тогда можно без труда найти явный вид К:
К(х,у) =
1
/*>'
(0)
иг (У) «(2> (*),
"1 (*) "(2) (У),
у< х,
У> х,
(5.11)
(5.12)
«(2) (*) = 1и'2 ф) - гди2 ф) ] и, (*) - К 03) - Йих ф) ] и2 (х),
1 В дальнейшем мы опускаем нижний индекс 1 у собственник значений и собственных
функций первой моды.
38

u<2>' (0) = -и! (fi) + idUl (fi), K/=JK(x, y)/(y) dy.
0
Оператор К не только ограничен, но и вполне непрерывен, что гарантирует
дискретность спектра.
2. Ниже мы будем строить одномерные и двумерные аппроксимации
оператора К. Приближенные формулы при двумерной аппроксимации оказываются
довольно громоздкими, поэтому основные исследования мы проведем с помощью
«одномерных» формул, а «двумерные» используем только для изучения явления
вырождения первой и второй мод.
В свою очередь точность одномерных формул определяется близостью к
нулю модуля искомого собственного числа и зависит от близости координатной
функции z0 (x) к собственной функции [52 ]. Поэтому целесообразно строить
одномерные формулы двух типов. Более простые формулы получаются, если
в качестве z0 (х) взять решение задачи (5.10), (5.11) и± (х), т. е. функцию,
удовлетворяющую уравнению (5.8) при х=0 и исходным граничным условиям
(соответствующим бесконечной проводимости) на нижней стенке волновода.
Более сложная, но и более точная формула получается, если положить
z0(*) = w<2>(*), (5.13)
т. е. взять в качестве координатной функции решение уравнения (5.10),
удовлетворяющее импедансным граничным условиям на верхней стенке
волновода. Можно думать, что такое уточнение окажется существенным при
больших по модулю t= —idfi (случай \t\ -* » соответствует волноводу с
магнитной стенкой) и импедансах индуктивного типа (Im д < 0). В этих случаях
структура поля в поперечном сечении в большей степени определяется
граничными условиями на верхней стенке, чем на нижней. Действительно,
при \t\ -* оо граничные условия на верхней стенке принимают вид
vn\ = 0> т- е- оказываются главными (кинематическими). Условия на
нижней стенке -г-
dx
= 0 — «естественные» (динамические) [52 ], и ко-
0
ординатные функции подчинять им не обязательно. В индуктивном же случае
[4] поле концентрируется у верхней стенки, и в этом смысле использование
(5.13) предпочтительнее.
Если положить теперь
zi = ^z0,
то формулы одномерного приближения принимают вид
х(1)= -(z0, z0) (zb Zo)-\ (5.14)
в котором скалярное произведение определено интегралом
fi
(и, о) = / и(х) v (x) dx.
о
Для нахождения (5.14) нам понадобятся интегралы вида
Iit = S Щ (*) ик (х) d^ fik = f uj (x) uk (x) dx, iy к= 1,2.
Они легко вычисляются с помощью дифференциального уравнения (5.10) и
даются формулами (II. 1) Приложения.
39

В дальнейшем будем считать, что е - 1. При этом окажется, что наиболее
точные результаты получаются при 5-0(1) или S < 1. Такой случай
представляется нам наиболее интересным в качественном отношении, поскольку
удается проследить характер изменения собственных чисел при переходе от
плоского волновода (5 = 0) к волноводу с постепенно увеличивающейся
кривизной.
В результате простых вычислений получаем следующие одномерные
аппроксимации собственной функции изучаемой нами первой моды:
zx = - (А) - tAx) Циг 03) + fiui 03) Г1 ka {2fi)-\ (5.15)
A0 s SC0 + p2u[ 03) u[ (x), C0 = иг 03) иг (x) - u[ ф) u2 (x) + u!2 ф) и, (x),
Лг = SC, - /3 [ttl 03) i*i (л) - i*i 0S)*i (x) ],
Ci = [i£i 03) u2 (x) - к2 03) Hi (*) 1/Г1.
В формуле (5.15) в качестве z0 мы выбрали функцию иг (х). В соответствии
со сказанным выше можно ожидать, что (5.15) будет удовлетворительно
описывать собственную функцию при небольших 11\. Для поучения формулы,
годной в более широкой области изменения 11\, положим z0 = w(2) (х). Тогда
получим:
zx = -(В0 - tB1 + t*B2) {20 [tu, ф) + ри'х ф) ]}_1 ka, (5Л6)
Я0 s SC0 + р2и\ ф) С2, С2 = и\ ф) и[ (х) - и[ ф) и'2 (*),
В, = Sd + 0иг ф) [и\ ф) и'2 (х) -С2] + fiu[ ф) и, (х),
В2 ш и[ ф) и2 ф) Hi (*) - и\ ф) и'2 (*).
Исходя из (5.15) или (5.16), нетрудно получить следующие одномерные
аппроксимации собственного числа первой моды. При z0 = иг (х), опуская
аргументы у функций uh i/,-(* = 1,2),равные /?, имеем
^ = fi VJF* = [-5 - 2 (Vu - V12O ty21 - rp^ty1 ]1/2, (5.17)
rpu = -pu[<p0y <p12 = игу;0у rp21 = S (ux + w2) - M (1 - w2) + WxVo,
V22 = M1 ~ "i) - Su2/fi + /3wi (1 + Vo/S)> Vo = 5 + Su\ + 03"i)2-
При z0 = w(2) (x) получаем
7(1> = [-5 + 2 (^n + ty>12 - *Vl3 + *Vl4> (fP21 " *P22 + ^23 - ^24) 11/2,
(5.18)
P11 = Mpo> ^12 = "i (^0 - 2 03wi)2] + 2Su2u[u2y
<Pu = ~M (1 - 3i£?) - Su2<pJ~\ <p14 = их [(1 - и?) + Л#~2],
*>21 = "2^0 + S (Ul + W2) + M [1 - (W2)2],
P22 = u[ [2u2u'2+p(\ + ^0] - i£x [1 - (ы2)2] - 5w2(3w2 + 2)p-\
<p23 = ~-и2(рф~1 + w2 (2 4- 35w|8~2) + wx (1 — 2w2wi — иги2),
<p24 = (Wl - SuJ-1) и2ф-2 - (2 - и?) иф~1 + /SwiS"*1,
^o = 5+5 (w2)2 - (fiutf, tpx = w2wi + 2*^2.
Полученные выражения (5.17) и (5.18) для ^(1) описывают собственные
значения первой моды при произвольных |;| в том случае, когда argd > <рк
40

(при этом линия нулей первой моды имеет конечную точку входа). Если же
arg б < <рк то формулы (5.17), (5.18) описывают собственные значения первой
моды при малых \t\ и собственные значения второй моды при больших \t\.
3. Одномерные аппроксимации собственных чисел (5.17), (5.18) обладают
тем недостатком, что не позволяют судить о возможном вырождении, которое
существенно влияет на характер распространения волн. Для исследования
явления вырождения необходимы двумерные аппроксимации собственных
чисел, которые получаются с помощью обычной схемы метода моментов:
Vi?2 = {/32Ai (2Д2Г1 ± р2 [Al (2Д2Г2 - АА21 ]1/2 - ls\^, (5.19)
Д = (z0, z0) (zb zx) - (z0, zx)2, Ax = (z2, z0) (z0, zj) - (z2, zx) (z0, z0),
A2 = (z2, zx) (zb z0) - (z2, z0) (zl9 zy); zx = *z0, z2 = Kzu z0 = I*! (x).
Как и при одномерной аппроксимации, удается выразить А,АХ, А2 через
функции и19 и2 и их производные (некоторые детали расчетов приводятся в
Приложении). При проведении этих расчетов мы полагали ев2, что позволило,
с одной стороны, несколько упростить вычисления, а с другой — надеяться,
что полученные формулы будут годны при больших S.
Корень уравнения
А? - 4ДД2 = 0, (5.20)
соответствующий точке вырождения, обозначим через дъ. При каждом
фиксированном S уравнение (5.20) как функция д имеет два решения, из
которых только одно попадает в область физически осуществимых импедансов.
Значение дв, разумеется, будет зависеть от параметра сферичности 5. При
5-0 получаем величину
й™/» = 2,05 - Л,64, (5.21)
соответствующую плоскому волноводу [4].
Фиксируем ветвь внутреннего радикала в выражении (5.19) так, чтобы он
был положительным при значениях М=0, 5=0, соответствующих плоскому
волноводу с идеально проводящими стенками. Тогда можно убедиться, что
при 1/1 < !;в1 знак «плюс» соответствует первой моде, а знак «минус» —
второй. Это же соответствие сохраняется при любых I, для которых
arg t > arg *,,. При arg t < arg tb ситуация оказывается более сложной и требует
рассмотрения явления вырождения второй и третьей мод.
Полученные в этом разделе результаты будут использованы ниже для
качественного исследования структуры электромагнитного поля в волноводе
Земля — ионосфера.
6. НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ СВОЙСТВА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
1. Если воспользоваться связью функций щ (х) и их производных с
функциями Эйри (см. формулы (П. 6) Приложения), то выражения (5.17) —
(5.19) в вычислительном отношении решают задачу о нахождении собственных
значений радиального оператора. Однако открытым остается вопрос о точности
полученных формул. В выражения (5.17) — (5.19) входят достаточно сложные
комбинации функций щ (х), поэтому, несмотря на то, что функции Эйри
хорошо изучены, оказывается затруднительным извлечь какие-либо общие
закономерности из них, не прибегая к дальнейшим упрощениям. Как следует
из формул Приложения, поведение функций ut (x) определяется значением
41

параметра сферичности 5. Если S ~ О (1), то удобно использовать ряды (П. 11),
(П. 12); при 5 » 1 предпочтительнее асимптотические формулы (П.2)—(П.4).
С помощью этих разложений мы получим формулы, удобные для качественного
анализа, и проведем оценку их точности. Разумеется, исходные формулы
(5.17) — (5.19) обладают более широкой областью применения.
Рассмотрим сначала случай, когда параметр сферичности мал или порядка
нескольких единиц. Будем исходить из формулы (5.17) и воспользуемся
разложениями (П. 11). В результате приходим к следующему выражению для
одномерной аппроксимации собственных чисел:
52 (1 + 5/6 + 52/90)/30 - /(1 + 5/3 + 1352/360)1 Ш
о
*7(1) =
1 + 5/6 + 52/72 + *(1 + 25/15 + 7152/7560)/3
(6.1)
Если провести аналогичные преобразования для формулы (5.18), то получим
[_5 _ s2?n/io - 3^i2 - з^13 - ?ч>1А\1/2
3<р21 + 2 (2^22 + t2tp23 + ^24/5)} ' (6.2)
*7(1) = i
pu = 1 - 5/6 + 1,11 • 10"252, £12 = 1 - 195V360 - 5V150 - 1,16 • 10"454,
£13 = 1 + 5/30 - 1752/504 + 1,11 • 1(Г353, <р14 = 1 + 25/15 - 8,07 • 10"352,
<р21 = 1-5/6+52/72+5,34 • 10"453, Ц>22 = 1-35/20+1752/1890-6,67 • 10"553,
£23= 1 - 45/35 + 1752/7560 + 2,04 • 10"553, <р2А = 1 - 5/28 + 1,20 • 10"452.
Аналогичные разложения можно получить из двумерных аппроксимаций
оператора:
V(2) = {-25 + 21V (fPi ± y/<pl-S<p<p2/2\) (4^2)"1Г/2» (6.3)
I
V = -5(1 + 25/15) - *(1 + 25/3), <р = 11752/70 + 2*5+^(1 + 735/42),
<Pl = -s2 (1 + 145/15 + 8494152/207900) - 2*5 (1 + 3535/210) -
- t2 (1 + 205/7) - З*3 (1 + 2515/135)/7,
<р2 = 53 (1 + 175/20) + 3/5 (t + 5) + t3 (1 + 115/4) + t4 (1 + 435/18)/10.
2. Точность формул (6.1), (6.2) оценивалась путем сравнения
приближенных собственных чисел Г|пр со значениями, полученными с помощью численного
решения точного трансцендентного уравнения, и характеризовалась
относительной погрешностью
е°= '^-V^I/lV^I. <6-4>
Результаты такого сравнения для параметров 5=1,49 и 13,39 представлены
на рис. 2.4 — 2.6, где выделены области значений 5Р, в которых величины
относительных погрешностей соответствующих формул не превышают 5%
или 10%. Из приведенных результатов вытекает, что полученные разложения
годятся для довольно больших значений параметра 5. Как и следовало
ожидать, 'из общих соображений, приведенных в предыдущем разделе, более
точной оказалась формула (6.2). Если удовлетвориться 10%-ной точностью,
то она применима практически при любых импедансах. Что касается формулы
двумерной аппроксимации (6.3), то область ее применимости ограничивается
значениями 5~0(1) и значительно уже области применимости формул
42

Im<
Ч
2
0
-г
-ч
?
г°>ю%
Y&tfMZJ1 • 1 • •
Ш^ 5 6 7 8
гв<$>
Рис* 2.4. Сравнение
расчетов по точным формулам
и по формуле <6.1) для
S - 1,49
Рис. 2.5. То же для S- 13,39
Рис. 2.6. Сравнение расчетов
по точным формулам и по
формуле (6.2) для 5-1,49
(6.1), (6.2). Это связано, по-видимому, со значительной потерей точности
при построении разложений. Так, при нахождении разложения для А все
члены вплоть до S6 взаимно компенсируются и сходимость рядов по S
оказывается значительно более медленной, чем в одномерном случае. Поэтому
мы будем использовать формулы двумерной аппроксимации только для
нахождения точки вырождения и для анализа поведения собственных чисел
при асимптотически больших 5. Соответствующие формулы могут быть
получены из общих выражений для двумерной аппроксимации с помощью
асимптотических представлений иг(х),%приведенных в Приложении. В
результате находим:
Дх (2Д2)"1 = 2,113*20-4 (25)2/3 (2,590 - р) (1 - 0,1 Ир)"1,
ДД;1 = 6,714*/Г4 (25)4/3 (1 - р) (1 - 0,1 Ир)"1,
p=-t (2S)-lf3X-\ X = -о' (0)/i> (0) = 0,729.
(6.5)
Подставляя (6.5) в (5.19), получим следующую аппроксимацию
собственного значения первой и второй мод:
43

>/<2> = J-25 + \™о]и* [2,590 - p ± (0,558p2 - 0,856p + 2,827)1/2] .
[ ' P (6.6)
Точка вырождения определяется уравнением
0,558р2 - 0,856рв + 2,827 = 0, (6.7)
из которого следует решение
рв= г2,25ехр(-/20°),
отвечающее физически осуществимым импедансам.
Сравнение собственных чисел, полученных с помощью формулы (6.6), с
точными проводится так же, как и в предыдущем случае. На рис. 2.7 и 2.8
приведены для 5=13,39 (30 кГц) и 5=52,64 (54 кГц) области значений (6Р),
при которых относительная погрешность (6.4) не превышает 5% или 10%.
Как видно из рис. 2.7, точность формулы (6.6) уже при 5= 13,39 достаточно
высока. Ниже будет показано, что даже при 5= 1,49 ее точность близка к
точности формулы (6.1). Заметим, что в одномерном случае вряд ли
целесообразно получать аналогичные асимптотические выражения, так как точность
исходных формул при больших 5 недостаточна.
О точности формул (6.1), (6.2), (6.6) в точках выхода и входа позволяют
судить данные табл. 1. При 5=^6 формулы (6.1), (6.2) для точки выхода с
достаточно высокой точностью совпадают с асимтотической формулой (6.6).
Формулы для точки входа сшиваются хуже, и аналогичный переход
осуществляется при 5 =* 37.
Таблица 1
Точки выхода и входа, рассчитанные по точным и приближенным формулам
Л
кГц
2
6
10
14
18
20
24
30
34
40
44
50
54
60
S
(Л-60км)
0,06
0,54
1,49
2,92
4,82
5,95
8,57
13,39
17,19
23,80
28,80
37,19
43,37
53,55
9вых
—/0,244
—/0,737
—/1,25
—/1,79
—/2,35
—/2,65
—/3,26
—/4,25
—/4,87
—/5,86
—/6,52
—/7,52
—/8,18
—/9,18
9вых
(6.1)
—/0,245
—/0,741
—/1,25
—/1,79
—/2,36
—/2,66
—/3,30
—/4,34
—/5,10
—
—
—
—
—
9ВЫХ
(6.2)
—/0,245
—/0,741
—/1,25
—/1,79
—/2,34
—/2,63
—/3,19
—/4,12
—/4,83
—/6,04
—
—
—
—
9вых
(6.6)
—
—/0,93
—/1,59
—/2,24
—/2,57
—/3,22
—/4,20
—/4,86
—/5,85
—/6,51
—/7,51
—/8,17
—/9,17
Чъх
1,56
1,45
1,21
0,71
—/0,90
—/1,27
—/1,89
—/2,76
—/3,34
—/4,24
—/4,86
—/5,81
—/6,45
—/7,42
9вх
(6.1)
1,73
1,66
1,51
1,17
—/0,40
—/1,12
—/1,30
—/2,32
—/2,93
—/3,81
—/4,38
—/5,21
—/5,76
—/6,56
9вх
(6.2)
1,57
1,48
1,28
0,87
—/0,67
—/1,09
—/1,75
—/2,69
—/3,44
—/5,32
—
—
—
—
9вх
(6.6)
—
—
—
—
—
—/0,77
—/2,12
—/2,83
—/3,86
—/4,52
—/5,51
—/6,16
—/7,14
3. С помощью приведенных выше выражений можно получить более
простые формулы, справедливые в некоторой окрестности точки выхода или
входа. Полагая|^| < 1, из (6.1) получаем
9& - l-S - 52 (1 - 57360)/30 + t (1 + 5/6) ]1/2. (6.8)
Если воспользоваться (6.2), приходим к близкому результату:
9& - l-S - 52 (1 - 252/693)/30 + t (1 + 5/6) ]1/2. (6.9)
Что же касается окрестности точки входа (|/| » 1), то для ее описания
воспользуемся формулой (6.2). Это приведет нас к выражению
44

imty
РИС. 2.7. Сравнение расчетов по точ- РИС 2.8. То же для 5-52,64
ным формулам и по формуле (6.6) для
5-13,39
9Й? ~ [-S + V2 (1 + 715/420 - 52/440) /2 - 5Г1 (1 - 475/840) ]1/2. <6Л0)
При argd > <рк выражение (6.10) описывает окрестность точки входа
первой, а при arg д < <рк — второй моды.
Аналогичные формулы для случая 5» 1 получим, исходя из (6.6):
9& * [-25 + 1,02 (25)2/3 + 0,99 (25)1/3 t]lf2y 1/1 « (25)1/3, (6.11)
7Й? - [-25 + 2,49 (25)2/3 - 2,905/*]1/2, I /I » (25)1*. (6.12)
Формулы (6.8) — (6.12) представляют дальнейшее уточнение результатов,
полученных в разд. § 4 на основании приближенных аналитических выражений
для исходного трансцендентного уравнения. Как уже отмечалось в разд. 4,
точка выхода первой моды движется с ростом параметра сферичности 5 от
начала координат вдоль отрицательной части мнимой оси плоскости (ф. На
основании формул (6.8), (6.11) нетрудно найти, что угол наклона касательной
к линии I/ = /(151) (argd = const, 5 = const) в точке выхода равен
аъых = arg д. Заметим, кроме того, что дополнительные к (-5) члены,
появившиеся в формулах (6.8), (6.9) по сравнению с (4.22), не только
расширяют границы их применимости, но и позволяют судить о частотной
дисперсии в сферическом волноводе, которая присутствует даже при
бесконечной проводимости обеих стенок. Подробнее этот эффект обсудим ниже.
Точка входа движется с ростом 5 вдоль вещественной оси по направлению
к началу координат и совпадает с ним при 5 «* 4,16. Угол наклона касательной
к траектории ц при 5 < 4,16 (точка входа вещественна) равен
«вх = я/2 - argd, а при 5 > 4,16 (мнимая точка входа) ат = л - arg д.
Вследствие такого характера движения точек выхода и входа (переход с
вещественной оси на мнимую) собственное число первой моды при небольших
5 заметно больше зависит от параметра сферичности, чем собственные числа
остальных мод. Для них сферичность начнет существенно сказываться на
характер траектории при 5 > 5Я, ще 5Л — значение параметра сферичности
(4.38), при котором точка выхода л-й моды попадает в начало координат.
При таком значении 5 «плоский» член в выражении для собственного числа
окажется полностью скомпенсированным «сферической» частью.
Линии нулей первой моды для различных параметров 5 представлены на
рис. 2.9 — 2.15. Сплошные линии соответствуют собственным значениям, най-
45

Imtf
Рис 2.9. Линии нулей
первой моды для 5 - 1,49 и
arg д - яг/6
Шгриховая кривая
рассчитана по формуле (6.6), штрих-
пунктирная — (6.3),
пунктирная — (6.2)
Рис. 2.10. Линии нулей
первой моды для 5 - 1,49 и
емкостных импедансов
Штриховые кривые
рассчитаны по формуле (6.3).
а- \д\ = 0,1; 6-0,2; с-
0,4
Рис. 2.11 • Линии нулей первой
моды для 5 - 1,49 •
Штриховые кривые рассчитаны
по формуле (6.1).
а- \Ь\ = 0,1; 6-0,2; с - 0,4
Рис* 2.12. Линии нулей
первой моды для S - 13,39
Штриховые кривые
рассчитаны по формуле (6.1).
а-\&\ -0,05; 6-0,1; с-
0,15; J-0,2; е-1
1 Re#
Рис. 2.13. Линии нулей первой
моды для 5 - 1,49
Штриховые кривые рассчитаны
по формуле (6.2).
а- \6\ = ОД; 6-0,2; с-0,4
7 Rey
Рис. 2.15. Линии нулей
первой моды для 5-52,64
Штриховые кривые
рассчитаны по формуле (6.6).
а- |/| - 1;6-3;с-5; d-
10; <;-50
Рис. 2.14. Линии нулей первой
моды для 5-13,39
Штриховые кривые рассчитаны
по формуле (6.6).
а-\Ь\ «0,05; 6-0,1; с-0,15;
J-0,2; е-1
46

денным с помощью численного решения уравнения (4.3), там же нанесены
значения, полученные по формулам (6.1) — (6.3), (6.6). Цифрами обозначены
линии нулей для следующих аргументов поверхностного импеданса: 1 —
argd = nil, 2-п1Ъ, З-я/6, 4-0, 5 я/6, 6 я/3, 7 л/2. На
рис. 2.10 — 2.15 изображены также линии нулей, соответствующие
1<51 = const (IЛ = const), рассчитанные с помощью уравнения (4.3).
Из представленного на рис. 2.9 сопоставления результатов расчетов по
формулам (6.2), (6.3), (6.6) с точными при 5=1,49, argd = ж/6 видны
преимущества формулы (6.2). Точность разложений по степеням S для
двумерной аппроксимации и асимтотической формулы (6.6) примерно одинакова,
так что асимптотическая формула (6.6) качественно верно описывает линию
нулей первой моды уже при сравнительно небольших S. Рис. 2.10 характеризует
точность выражения (6.3) при S= 1,49 и емкостных импедансах, которая
падает с уменьшением argd. Заметно более широка область применения
формулы (6.1) (см. рис. 2.11, 2.12): для значений \t\ ^3 формула применима
даже при 5= 13,39. К еще лучшим результатам, особенно в окрестности точки
входа, приводит использование формулы (6.2) (см. рис. 2.13). Наконец, рис.
2.14 и 2.15 иллюстрируют применимость асимптотической формулы (6.6).
Таким образом, формулы одномерной аппроксимации качественно
правильно описывают поведение линий нулей в широком диапазоне |/| и
будут в дальнейшем использованы для анализа полей отдельных нормальных
волн.
4. Как уже отмечалось, характер линий нулей определяется соотношением
между arg д и аргументом импеданса <рк>при котором происходит вырождение
первой и второй мод. Если arg д > <ркУ то траектории имеют конечную точку
входа; при обратном неравенстве появляется бесконечная ветвь. Формулы
(6.8) — (6.12) удовлетворительно описывают только начальный участок этой
ветви, что связано с выбором значения ju° в формуле (5.6). Для нахождения
точки вырождения следует воспользоваться уравнением (5.20) и
соответствующими^ разложениями при малых S или асимптотическими представлениями
при 5>1.
В первом случае из выражения (6.3) получается алгебраическое уравнение
для параметра th = — й^8, при котором происходит вырождение первой и
второй мод
*>?-(8/21)«р2 = 0, (6ЛЗ)
где значения (р, фх, (р2 заданы соответствующими формулами в (6.3).
Отсюда можно получить также более простую (и более грубую) формулу
Ьф = д™0 + S (0,14 + Ю, 15), (6.14)
где й™/? — значение (5.21), соответствующее плоскому волноводу. Координата
точки вырождения на плоскости (//) имеет вид
V* = V? H + S(l,42 -Ю,57)]1/2,
где у™ — координата точки вырождения плоского волновода. Таким образом,
при малых S импеданс, при котором происходит вырождение первой и второй
мод, вследствие влияния сферичности приобретает менее индуктивный
характер, а точка вырождения на плоскости (//) удаляется от вещественной оси,
т. е. сферичность увеличивает затухание вырожденных волн. Заметим, что
аналогичные качественные результаты были получены в разд. 4 на основании
аналитических выражений для исходного трансцендентного уравнения.
47

В случае больших параметров сферичности из выражений (6.7) и (6.6)
получаем асимптотические формулы
д£ = 1,64 (25)1/3 ехр (-Д0°),
>. = >7(в2х{1 " О'57 " П'77) [(2S)1Q " 1.02Г1}1'2. (6Л5)
Формула (6.15) характеризует предельное значение аргумента импеданса
(оно достигается при 5»1), при котором может иметь место вырождение
первой и второй мод. Модуль выражения (6.15) близок к 1йв1 /J, полученному
из (4.34), а аргументы расходятся. Как показывает сравнение с расчетами по
точным формулам, большую точность дает формула (4.34). На рис. 2.16
представлены рассчитанные с помощью выражений (4.34), (6.13), (6.14)
значения ь&ф в зависимости от параметра 5. Там же приведены значения,
найденные численными методами по точным формулам.
1Щ1др)
5. В заключение выясним, в какой мере
развитые нами для волноводных задач
приближенные методы нахождения собственных
чисел справедливы и для открытой сферы.
Собственные значения радиального оператора этой
задачи находились многими авторами (например,
[54, 42]), поэтому настоящее рассмотрение
преследует методические цели — выяснение
возможностей метода при наименее благоприятных, с
точки зрения границ его применимости,
обстоятельствах.
Характер построения наших приближенных
формул таков, что они теряют смысл при х,
сравнимых с ка> поэтому мы не можем подчинять
наше решение условиям на бесконечности. Чтобы
обойти Эту трудность, воспользуемся высотным
множителем (3.5) для л-й нормальной волны, который с учетом (4.4), (П. 1)
может быть представлен в виде
Щ18р)
Рис 2.16. Зависимость (й^З) от S
Кривые рассчитаны по формулам: 1 —
точным; 2 -(6.14); J-(6.13); V-(4.34)
fn(y) = "(ttt
где tB
у)*(4), * = (W2)-1* *,
(6.16)
собственное число. Полагая у > I tn I, получим
1/2
fn (У) ~ ехр |
1Г2\
3 \ка)
J02
Попытаемся теперь выбрать граничные условия на поверхности x~kh и
параметр б так, чтобы используемая нами при одномерной аппроксимации
базисная функция z0 = м(2) (х) вела себя в асимптотическом смысле в
соответствии с (6.17). Если воспользоваться формулами для м(2) (х) из (5.12) и
формулами (П. 6) Приложения, то окажется, что
(6.18)
tt™(*)--[!/('l) + «D(*l)l
и fa) - ,., /, ч . ^ /, ч Р fa)
u'fa) + <7»fa)
tx = -(25)1/3 (1 - г/2), tx = -(25)1/3 (х/р - г/2), q = i (W2)1/3 д.
Из сравнения (6.16) и (6.18) следует, что для получения нужной нам
высотной зависимости необходимо потребовать выполнения следующего условия
на выбор параметра д:
48

[и' (h) + qu (*0 ] [о' (h) + go (*j) ]-\- -i.
В результате получаем
Я ■* i f^-
Если положить, кроме того, г=0, то формула (6.18) примет нужный нам
вид
1/3 п . 1/2
M<2>(*)^-[l/('l) + <№('!)]"
(й) *Jr..exp(4(^)
x3f2\
<Г/2*Л
Поэтому при переходе к открытой сфере мы будем полагать 8 = 0.
6 — V2h/a. Произведя стандартные вычисления, найдем
(z0, z0) = - [U™ (0)/2 ]2 ka/2, (zlt z0) = [и<2> (0) ]2 ка/4,
ц - -(z0, z0) (zb zo)"1 = 2 [и<2>' (О)]2 [u<2> (О)]"2.
Учтем теперь, что и(2) (0) = и2'09) -#и2 (/3) и и(2)' (0) = йих (/3) - ы/03), и
воспользуемся формулами (П. 7). Тогда получим следующие асиптотические
представления:
ы(2> (0) « (2S)1112 \ш (0)1 ехр Г-1 (| V25 + яг/п]] ,
/Зм(2)' (0) - -(25)5Д2 1и>' (0)1 ехр \-i [\Ш - 5яг/12^1,
Наконец, для собственного значения первой нормальной волны открытой
сферы имеем
t« -^(1) (ка/2)2/3 « 1,063 ехр (ст/З).
Табличное значение t равно 1,019 ехр (Ы/З) [54]. Таким образом, наши
формулы достаточно точны даже при предельном переходе h -> °°.
7. КАЧЕСТВЕННЫЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ СТРУКТУРЫ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
1. При изучении особенностей поведения электромагнитного поля в
сферическом импедансном волноводе используем для наглядности наиболее
простые выражения для собственных значений.
Зависимость поля отдельной нормальной волны от расстояния вдоль земной
поверхности R-ав в дальней зоне описывается множителем вида
ехр (ik VI —jun R) = ехр (йоЯ/сфп — aJR),
Сфп = сфо (0) = c/Re У1_/Мд, ап = к Im Vi —/Мд,
где /ил, сфя, ая — соответственно собственное значение, фазовая скорость и
коэффициент затухания нормальной волны номера п. При этом фазовая
скорость СфЛ отнесена к нижней стенке волновода (z = a). Фазовая скорость
СфЛ (z) на поверхности z=*a + z (0 < z< h) оказывается равной (см. (3.13))
сфп (*) = О + Va) c/Re VI— ^л.
4 Г. И. Макаров и др.
49

Рассмотрим прежде всего влияние сферичности волновода на фазовую
скорость первой моды в том случае, когда верхняя стенка волновода, как и
нижняя, обладает бесконечной проводимостью (<5 = 0, г = 0). Если параметр
сферичности мал, то собственное значение первой моды согласно (4.22)
оказывается равным/г = —hi а, так что для фазовой скорости первой моды, опуская
индекс п - 1, имеем
сф (z) = с (1 + z/a) (1 + h/a)-112 « с [1 + (2z — И)/а].
Фазовая скорость на оси волновода при z = /г/2 оказывается равной скорости
света, а на нижней стенке волновода сф —с[1— (2a)~1h]. С увеличением
параметра сферичности S (с увеличением частоты) собственное значение
изменяется и при S -* оо стремится к предельному значению, равному, как
видно из (4.25), ju = —2h/a. При этом сф (z) = с [1 + (z — /г)/а], откуда следует,
что в предельном случае высоких частот фазовая скорость первой моды на
верхней стенке волновода (z = h) равна скорости света, а на нижней она
принимает значение сф = с (1 — h/a).
Таким образом, сферичность волновода приводит к уменьшению фазовой
скорости, отнесенной к нижней стенке. При этом изменение фазовой скорости
первой моды за счет сферичности практически не зависит от частоты лишь
при малых и очень больших значениях параметра сферичности 5. В области
частот, где S принимает значение от нескольких единиц до нескольких сотен,
изменение фазовой скорости за счет сферичности оказывается частотно-
зависимым. Характер этой зависимости можно исследовать, если использовать
для собственного значения первой моды выражения (6.8) и (6.11). В результате
имеем
Сф/с-1 = -hF(S)(2a)-\
Jl + (1 — S2/360)S/30, 5<10,
( } [2 - 2,04 • (25)"1/3, S > 10.
График функции F (S) представлен на рис. 2.17. Из этой зависимости
следует, что фазовая скорость монотонно убывает с ростом частоты.
Для иллюстрации влияния свойств верхней стенки волновода на фазовую
скорость первой моды рассмотрим зависимость сф от параметра сферичности
в другом предельном случае, когда \t\ = оо (магнитная стенка) и arg<5>^>K,
т. е. соответствующая собственному значению точка входа расположена на
конечном расстоянии от начала координат комплексной плоскости (rj). Для
нахождения фазовой скорости используем приближенные выражения (6.10) и
(6.12) для собственного значения первой моды. Как следует из (6.10), первая
мода в этом случае обладает критической частотой, на которой фазовая
скорость обращается в бесконечность. Мы рассмотрим область частот,
превышающих критическую ф>2). В этой области 1/Л < 1, и для нахождения
приближенного выражения для фазовой скорости можно провести разложение
функции VI — ^ в ряд. В результате получим
Сф/с - 1 = -h (2a)"1 Ф (5),
(1-5 (2S)-1 (1 + 715/420 — 52/440), S < 15,
( } [2 —5(25)"1/3, S> 20.
График функции Ф (S) также представлен на рис. 2.17. Как и в случае
идеальной проводимости верхней стенки (\t\ =0), фазовая скорость монотонно
убывает с ростом S (т. е. частоты). Но если в первом случае она при всех
S меньше скорости света, то в рассматриваемом случае магнитной стенки
50

F
7,7
W
W
Г 2 J ¥ 5 678SW 11Г31РЮШГ"5
Рис. 2.17. Графики функций F(5) и Ф (5)
фазовая скорость при малых S превышает скорость света и оказывается равной
ей при S ~ 4 </« с {як)~ЫаТЛ).
2. Перейдем теперь к выяснению влияния импеданса верхней стенки
волновода на фазовую скорость и затухание первой моды в сферическом
волноводе. При этом будем интересоваться достаточно низкочастотной
областью, в которой параметр S не превышает нескольких единиц. Для собственного
значения используем приближенное выражение, вытекающее из (6.1):
(I = —р-2 [5(1 + 5/30) — t (1—5/6 + S7180)] [1 + (1— S/30 + S2/675)*/3]-1.
Напомним, что выражение (7.1) описывает собственное значение первой
моды при 11\ < 1 для любых аргументов приведенного поверхностного импеданса
д. При \t\ »1 это выражение соответствует первой моде только для тех
arg (J, при которых линия нулей первой моды не уходит на бесконечность.
Этот случай имеет место при условии argd><pK, где <рк зависит от S и
возрастает примерно от —39° при S e 0 до —10° при S -* °°. Если линия нулей
уходит на бесконечность, то выражение (7.1) при \t\ » 1 соответствует второй
моде, а собственное значение первЪй дается формулой (4.18), которую можно
уточнить с помощью (4.15), так что в этом случае
^ = - 0-2 (^ + 2S) = д2- 2h/a. (7.2)
Заметим, что собственное значение (7.2) в случае плоского волновода
(а « оо) совпадает с собственным значением поперечного оператора в задаче
распространения над плоской импедансной поверхностью, и первая мода в
плоском волноводе имеет такую же зависимость от расстояния, как и
поверхностная волна Ценнека в этой задаче, т. е. exp (jk VI — йт R).
При этом поверхностная волна присутствует в решении при индуктивном
поверхностном импедансе [55]. Именно в этом случае в волноводе имеется
нормальная волна при \t\ » 1 с собственным значением (7.2). Интересно
отметить, что при распространении над сферической поверхностью в решении
также выделяется поверхностная волна при (£я/2)1/31($1 »1 [56], но она
имеет место только для сильно индуктивных импедансов (—тг/2 < arg д <
< —тг/3), и на нее практически не влияет сферичность поверхности.
На основании формул (7.1) и (7.2) можно получить приближенные
выражения для фазовой скорости и коэффициента затухания первой моды, считая
l^ul<l (что имеет место при /3 > 1), проведя необходимые разложения и
учитывая при этом основные члены. В результате при выполнении неравенств
п/2 > arg д > <рКУ 0 < 11\ < оо
4*
51

или
nil >argd > — nil, 0< Ш < 1, (7.3)
получаем следующие значения:
Сф/с-\ = -[5(1 + 5/30)-^1тд-Л^2 \d\2/3](7fi2A2)-\
а=А4 (2hA2)~1 Red, Ax = 1 — 5/2 + 52/180, (7.4)
А2= 1 + 2(1— 5/30)/31т5/3 + (1 — 25/15)02 ldl2/9,
А3 = 1 — S/5 + 17571350, АА = 1 + 5/6 + 57180.
При выполнении неравенств
—л72< argd < <рКУ 1«Ш<оо, 1(31 < 1 (7.5)
имеем
Сф/С _ 1 = _s/)82 + (Re2d - Im2 d)/2, a = —k Re d Im d. (7.6)
Рассмотрим прежде всего фазовую скорость первой моды. Можно показать
на основании (7.4), что в области комплексной плоскости (й/3), определяемой
неравенствами (7.3), фазовая скорость равна скорости света при условии, что
реальная и мнимая части импеданса связаны соотношением
08 Re д)2 + 08 Im д —А)2 = В2,
А = — ЪАг (2А3)~\ В = ЗАА (2А3)-К (7.7)
Соотношение (7.7) соответствует окружности на плоскости (д/3) с центром
в точке Re й/3 = 0, Im д/5 = А и радиусом В. Величины А и В для рада значений
параметра сферичности 5 следующие:
5 0 12 3
А —1,500 —0,933 —0,051 1,315
В 1,500 2,164 3,126 4,529
С увеличением параметра S центр окружности (7.7) двигается вверх по
мнимой оси, а ее радиус увеличивается. В области (7.5) комплексной плоскости
(<5/f) Сфшс на линии
03 Re д)2 = 03 Im д)2 + 25. (7.8)
Соотношения (7.7) и (7.8) позволяют представить ход линии на плоскости
(б/)), на которой выполняется соотношение Сф - с\ Эти линии для ряда значений
5 изображены на рис. 2.18. Слева от изображенных линий Сф<с, справа —
Сф > с. Если в плоском волноводе сф < с только для индуктивного поверхностного
импеданса, то в сферическом волноводе это неравенство выполняется также
и для емкостного импеданса при условии достаточной малости значения 161/3.
Из приведенного рисунка следует, что с ростом 1<$1 (от нуля до единицы)
при фиксированных argd (ббльших —45°) и 5 фазовая скорость должна
увеличиваться от значений, меньших скорости света, до значений,
превышающих ее, и принимать значение, равное скорости света, на линии (7.7).
Исследование зависимости выражения (7.4) для сф от 161 показывает, что в
случае емкостного импеданса фазовая скорость монотонно увеличивается с
ростом 1(51, а в случае индуктивного импеданса при argd ><pK имеет место
немонотонное изменение сф с увеличением 161. Эти качественные выводы
подтверждаются результатами численных расчетов, основанных на решении
точного характеристического уравнения (4.3) для собственных значений. На
52

Рис* 2.18. Линии Сф - с на комплексной
плоскости (50) для 5-0, 1, 2
(Cq/c-1)W3
6
¥
г
0
-г
-6
-в
40
-и
-т
46
V 1
V
\
\
\
J^
....1 » .
10
■ »■"■'
10
Рис. 2.19.Зависимости (сф/с—О-10 от Ш,
рассчитанные по точным формулам
1-S: argd - */3 (i), */6 (2); 0 (J). -or/6 (-0; -or/3 (5)
рис. 2.19 приведены кривые зависимости cjc— 1 от IdI для частного случая
/» 10 кГц, h e 60 км, а - 6370 км (S e 1,49, р в 12,57), полученные на основании
точных собственных значений.
Упростим выражение (7.4) для фазовой скорости, считая выполненным
условие 1/1 - 1(510 « 1:
Сф/с — 1 « (Tfi)-1 (1 + S/6) Im д — (2d)-1 h (1 + S/30). (7.9)
Если дополнительно положить 5 « 1, то
Сф/с — 1 - (Tfi)-1 Im д — (2d)-1 h.
(7.10)
Первый член в правой части выражения (7.10) соответствует изменению
фазовой скорости в плоском волноводе (а-«>) за счет конечного значения
поверхностного импеданса, второй член — изменению фазовой скорости в вол-
53

новоде с идеально проводящими стенками (д - 0) за счет его кривизны. Таким
образом, для волновода со свойствами, близкими к свойствам плоского
волновода с идеально проводящими стенками (5 « 1, \д I /J « 1), отличие фазовой
скорости от скорости света равно сумме этих изменений. При этом частотная
зависимость фазовой скорости совпадает с частотной зависимостью в случае
плоского волновода, поскольку изменение фазовой скорости за счет кривизны
не зависит от частоты.
Однако с увеличением параметра сферичности 5 ситуация становится более
сложной. В выражении для фазовой скорости (7.9) появляются два
дополнительных члена. Первый из них 5Im<5 (12$)-1 описывает изменение фазовой
скорости за счет совместного влияния сферичности и конечного значения
поверхностного импеданса верхней стенки волновода. Второй член (—Sh)/(60a)
уточняет влияние сферичности на фазовую скорость. В результате частотная
зависимость фазовой скорости при 5 > 1 становится отличной от аналогичной
зависимости в плоском волноводе.
3. Рассмотрим теперь коэффициент затухания первой моды, считая, что
5 не превосходит нескольких единиц. Тогда на основании (7.4) в области
(7.3) плоскости (<5/?) имеем
а-{2н[1 + Ц1-Ц М0**,+Ц1-Ц i#.ia]p(i + £) iai«sg,
где <p=argd. Опираясь на это выражение, можно показать, что сферичность
волновода приводит к увеличению коэффициента затухания. Кроме того, из
(7.11) следует, что при фиксированном д коэффициент затухания уменьшается
с увеличением высоты.
Изучая зависимость а от I д\ в области (7.3), легко показать, что при
\д\ = Зр^О + 5/15)
коэффициент затухания максимален и равен
«max = 3 {4/ЗЛ [1 + (5/30) sin <р ]}-1 (1 + 75/30) cos <p. (7Л 2)
Максимальное затухание (7.12) в сферическом волноводе имеет место при
несколько бблыпем по модулю поверхностном импедансе, чем в плоском.
Следует иметь в виду, что выражение (7.12) справедливо только, при arg д ><рю
так как оно соответствует значению 1д1/3«3, которое при argd<<pK не
попадает в область (7.3). В случае \д\ /3 » 1 и argd <<pK для коэффициента
затухания первой моды следует использовать выражение (7.6). Из него следует,
что в области (7.5) коэффициент затухания не зависит от высоты волновода,
на него не оказывает влияния сферичность волновода и он монотонно возрастает
с увеличением IдI. Таким образом, зависимость а (\д\) при фиксированном
р различна для argd>^K и argd<<pK. В первом случае с ростом 1<51
коэффициент затухания вначале увеличивается, достигает максимума и затем
убывает с дальнейшим ростом 161. Во втором случае коэффициент затухания
непрерывно растет с увеличением \6\.
Представляет интерес выяснить поведение коэффициента затухания первой
моды в зависимости от частоты. Изучим этот вопрос в предположении, что
д не зависит от частоты, при этом по-прежнему будем интересоваться
низкочастотной областью, в которой параметр сферичности не превышает нескольких
единиц. В области (7.3) комплексной плоскости (й/3) коэффициент затухания
определяется выражением (7.11). Исследование этого выражения показывает,
что характер частотной зависимости коэффициента затухания определяется
значением М = ЗА (2/ Id 12a)—1. Если М « 1, то мы имеем ситуацию, близкую
54

к плоскому волноводу. В этом случае при индуктивном импедансе с аргументом,
бблыпим <рКУ коэффициент затухания с ростом частоты возрастает, достигает
максимума
«юах= 1*1 (1 + Msin2ip){[\—2/5Mtg2ip]2hCOS<p}~1
на частоте
/юах= —Зс(1 + hf)(2nh \d\)-lsin<p (ldl/J«3 Isinpl),
а затем начинает убывать. Если же arg д < <рКУ то имеет место увеличение а
с ростом частоты, что следует из совместного рассмотрения выражений для
а (7.11) и (7.6). Для емкостного импеданса при М « 1 коэффициент затухания
уменьшается с ростом частоты (напомним, что рассматривается область/3 > 1).
При М » 1 характер зависимости a if) меняется. Для индуктивного
импеданса 4* монотонно возрастает с увеличением частоты, а для емкостного —
вначале уменьшается, достигает неглубокого минимума
«mm = (2Л)"1 (1 — M~l sin2 <p) \д\ cos<p
на частоте
/min = ос \д I (л:A2)-1 sin <pr
а затем начинает также возрастать.
Выше мы изучали поведение коэффициента затухания первой моды в
низкочастотной области (5 < 3). Выясним теперь, к какому предельному
значению стремится коэффициент затухания при /-*«> (т. е. /?-*«> и S -* °°).
Если arg д < <рКУ то согласно (7.6) с ростом частоты а неограниченно возрастает,
за исключением случая чисто индуктивного импеданса, когда коэффициент
затухания равен нулю. Случай же высоких частот ф -* «>) для поверхностного
импеданса с arg 6 > <рк требует отдельного рассмотрения, так как здесь
выражение (7.11) оказывается несправедливым. Для нахождения собственного
значения первой моды в этом случае следует воспользоваться уравнением (4.24),
решение которого при \t\-co дает точку входа (4.26). Нетрудно найти
приближенное решение уравнения (4.24) при больших, но конечных значениях:
(I = —lha-1 [1 + Г1 — 2,3 (25)-1/3],
откуда предельное значение коэффициента затухания первой моды при
arg 6 > <рк оказывается равным а„р - (aid I)_1 cos <p. Таким образом, в
сферическом волноводе в отличие от плоского коэффициент затухания при /3 -* »
стремится к предельному значению, отличному от нуля.
4. Аналитическое исследование высотного множителя первой моды,
определяемого соответствующей собственной функцией радиального оператора,
провести в общем случае оказывается затруднительным ввиду громоздкости
как приближенных, так и точных выражений для него. Поэтому ограничимся
лишь некоторыми замечаниями. Не представляет труда найти строгое
выражение для собственных функций радиального оператора (4.1), (4.2) через
цилиндрические функции. Если использовать асимптотические представления
цилиндрических функций (4.4), то можно получить следующее приближенное
выражение для высотного множителя нормальной волны, соответствующей
собственному значению ju:
f(z) = и' (у0) о (ух) — и (ух) о' Су0),
yo = ~(v/Y)\ Ух = Уо-У*/Ь г?=Р21А. (7.13)
55

Упростим формулу (7.13), проведя разложения функций от аргумента ух
в окрестности у0 по степеням z:
/(*) « 1 - £л (kzf - \S (f) 3 + £ S» (fa)» (f) 3. (? 14)
Условия применимости выражения (7.14) определяются неравенствами
(kzf \fi\ = (fiz/h)2 \fi\ < 1, S(z/h)3 < 1. (7Л5)
Формула (7.14) позволяет выяснить характер поведения высотного
множителя при малых z (z«h). В этом случае
l/(z)l «I— i(*z)2Re^.
Напомним, что сф/с—l=*Re^/2. Таким образом, высотный множитель
первой моды вблизи нижней стенки волновода (z = а) уменьшается с высотой
при сф > с (Reju > 0) и растет при сф < с (Re/и < 0).
Если считать, что параметр сферичности не превышает единицы (5 < 1)
и \t\ < 1, то можно использовать следующую приближенную формулу для
собственного значения первой моды:
fi~fi-2 {t — 5).
При этом неравенства (7.15) будут выполняться вплоть до z = A, и
выражение (7.14) достаточно хорошо будет описывать высотный множитель при
всех z, от 0 до А. В рассматриваемом случае
/00-1-
(r-s)-is(J
(7.16)
I/WI -1-4(!) Wl™6-V-¥{j)
Из выражения (7.16) следует, во-первых, что наличие сферичности
приводит к увеличению высотного множителя на данной высоте z по сравнению
со случаем плоского волновода (5-0). Во-вторых, из него вытекает, что
поведение модуля высотного множителя имеет различный характер в
зависимости от знака Imd и соотношения между S и Imd. При filmd» S
модуль высотного множителя убывает с ростом высоты (кривая 1 на рис.
2.20). Если /? Im д < 5, то высотный множитель по модулю при малых z растет
с высотой, а его дальнейшее поведение зависит от знака Imd. Для емкостного
импеданса (Im д > 0) наблюдается немонотонное поведение I/ (z) I — он
достигает максимума при zmax = A (1 —/3 ImdS-1), а затем начинает убывать (кривые
2, 3 на рис. 2.20), причем, если /3 1тд> S/3 (но /51md<S), то при z-
- h I / (z) I < 1 (кривая 2), если же /3 Imd < S/3 (но Im/3 > 0), то I/ (z) I > 1
(кривая J). И наконец, если Imd >0, то модуль высотного множителя моно-
Рис. 2.20. Зависимости модуля
множителя от высоты
высотного
56

тонно возрастает с высотой (кривая 4). В плоском волноводе (5 = 0) в
рассматриваемом случае модуль высотного множителя монотонно убывает с
высотой для емкостного импеданса и возрастает для индуктивного.
Проведенные в настоящей главе исследования показывают, что поведение
собственных значений сферического импедансного волновода с бесконечно
проводящей нижней стенкой удается описать двумя параметрами — параметром
сферичности S и параметром t, описывающим свойства верхней стенки. При
этом сферичность волноводного канала приводит в ряде случаев к
качественному изменению характеристик электромагнитного поля.

Глава 3
РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН
В АНИЗОТРОПНОМ ВОЛНОВОДЕ
На распространение радиоволн в волноводном канале Земля—ионосфера
заметное влияние оказывает магнитное поле Земли, приводящее к анизотропии
электрических свойств ионосферы. Это влияние наиболее сильно проявляется
в ночных условиях, когда область, существенная для отражения низкочастотных
радиоволн, поднимается за счет уменьшения электронной концентрации на
высоты порядка 80—100 км, на которых ионосферная плазма является сильно
замагниченной. Анизотропия ионосферы приводит к зависимости характеристик
нормальных волн (их фазовых скоростей, коэффициентов затухания и
возбуждения) от направления распространения, в частности к явлению
невзаимности. За счет анизотропии возникает деполяризация первичного
падающего поля, которая вызывает так называемые поляризационные ошибки
рамочных пеленгаторов.
В настоящей главе приводятся результаты исследований процессов
распространения низкочастотных электромагнитных волн в сферическом
волноводном канале с анизотропной ионосферой. Вначале рассмотрена задача
распространения в регулярном волноводе, свойства которого не меняются в
касательных к земной поверхности направлениях. Такая задача анализировалась
рядом авторов, использующих различные подходы [57—68 ]. Нами
рассматривается приближенная импедансная постановка задачи, в которой анизотропия
ионосферы учитывается с помощью матричного адмитанса [32]. Решение
представлено в виде ряда нормальных волн, удобного для расчетов
электромагнитного поля на больших расстояниях от источника.
Задача о распространении радиоволн в нерегулярном волноводном канале,
свойства которого меняются в направлении распространения и предполагаются
неизменными в поперечном направлении (приближение
одномерно-нерегулярного волновода или «трассовое» приближение) исследовалась рядом авторов в
том или ином приближении [58, 69—73]. В этой главе при построении решения
задачи используется строгий подход, основанный на методе поперечных сечений
[74], в котором решение представляется в виде разложения по собственным
функциям поперечного оператора волноводной задачи, эквивалентного сумме
нормальных волн волноводов сравнения. Для комплексных амплитуд
нормальных волн получена соответствующая система волноводных уравнений и
рассмотрены два возможных пути ее решения — метод последовательных
приближений, первый шаг которого приводит к так называемому приближению
ВКБ, и матричный метод, соответствующий замене дифференциальных
уравнений уравнениями в конечных разностях.
В конце главы приводятся результаты численных расчетов,
иллюстрирующие зависимость характеристик нормальных волн от частоты
электромагнитного поля и свойств трассы распространения (дневная и ночная
модели ионосферы, направление геомагнитного поля, вариации свойств
ионосферы и Земли). Обсуждается поведение функции ослабления радиальной
58

составляющей электрического поля и поляризационных ошибок от расстояния
на различных частотах диапазона СДВ. Приводятся результаты численных
расчетов амплитуды и фазы электромагнитного поля на трансэкваториальных
и полярных трассах большой протяженности, достаточно хорошо совпадающие
с экспериментальными данными.
8. РЕГУЛЯРНЫЙ ВОЛНОВОД
1. Как и в изотропном случае, будем моделировать анизотропный
регулярный волновод Земля—ионосфера сферической полостью со свойствами
вакуума и используем сферическую систему координат г, 0, (р с началом в
центре Земли и осью 0 = 0, проходящей через элементарный излучатель —
радиальный электрический диполь, расположенный в полости волновода. Землю
(г < а) и ионосферу (г > d) по-прежнему считаем неоднородными по
радиальной координате средами. Однако в отличие от рассмотренной в первой главе
ситуации здесь мы учтем анизотропию ионосферы, обусловленную наличием
постоянного магнитного поля Земли Н0.
Такая задача распространения электромагнитных волн сводится к
интегрированию уравнений Максвелла в каждой из рассматриваемых сред и
сшиванию на границах раздела касательных компонент электрического и
магнитного поля. При этом должны быть выполнены условия убывания поля
при г -> оо и условия ограниченности при 0 -> 0, тс. Учитывая предыдущее
рассмотрение, будем полагать, что внутри земного шара имеется металлизо-
ванное ядро произвольного радиуса г**га (см. разд. 19 [46]), что позволяет
заменить требование ограниченности решения при г -* О условием исчезновения
касательных составляющих электрического поля при г = га.
Уравнения Максвелла в области вне источника:
rot Е = ik$ rot J^= —ike„Ey
Ж= Z0H, Z0 = V^0/e0
с учетом симметрии поля по <р в проекциях на оси координат имеют следующий
вид:
-i£(/iy = «U& \
= 1Щ,
1 д
7 Ь <'*>" 7 д~§ - -* <е^>+ *А + V*')' (8'2>
1 д
7ihT0 He (sin вя& = ~ik (EreEe + Ег*Е*+ €"Ег^
8 уравнениях (8.1) и (8.2) к есть волновое число, aZ0- характеристический
импеданс вакуума; е^ — элементы тензора е'т относительной комплексной
диэлектрической проницаемости среды. Для Земли
еа0 = етъ °сф> (8.3)
где дар — символ Кронекера, а е'тъ«е'тъ (г) — относительная комплексная
диэлектрическая проницаемость Земли. Для атмосферы (вакуума) е^ = д^.
59

Для ионосферы все элементы e^ta, j3sr, б, ^р) тензора е'т в общем случае
отличны от нуля и в приближении элементарной теории холодной плазмы
при пренебрежении влиянием ионов даются следующими выражениями [75]:
U2(U — X) — (U — l2X) У2 _ {lmY—inV)XY
е*>- Uitf—Y*) ' **""" U(U2— Y2) '
е9г "~
£««> —
ъ&р
*гв =
(lnY+ imV)XY
U(U2—Y2) '
(lmY + inlf)XY
U(U2—Y2) '
(mnY — HIT) XY
U(U2-Y2) '
(lnY—imU)XY
U(U2—Y2) '
U2(U — X)(U—m2X) Y2
U(U2— Y2)
(8.4)
e* =
(mnY+ UU)XY
U(U2-Y2) '
^U2(U — X) — (U— n2X) Y2
e" U(<U2_y2)
В формулах (8.4) использованы обычные для магнитоионной теории
обозначения: Х- (Шпл/ш)2, о>плв [e^N/inte e0) ]1/2 — круговая плазменная частота
электронов, е, т,. —заряд и масса электрона соответственно, N — N (г)
—электронная концентрация; У«(ын/(ы, о>н« \e\[toH0/me — круговая частота
электрона; U - 1 + /Z, Z «= v/o>, v e V (г) — эффективная частота соударений электрона
с нейтральными частицами и ионами; 1e Y/ У в /е* + те,, + лег, Y e ец0Н0/ (т^),
I, т, п — направляющие косинусы единичного вектора 1 по отношению к ортам
е*, е^, ег используемой сферической системы координат.
Преобразуем систему (8.2), введя вместо компонент поля Еа9 М?а (а =г, fl,
<р) модифицированные компоненты еа> А^:
Еа = (гуГ&Гв)-1 еа, МГа = (гv^hT^)-1 Л„ (8.5)
и выражая компоненты ег и hr через касательные к границе раздела:
--£[«•
(ftrVsinfl)-1 т^ V sin АД, + e^e* + ег^
дв
(8.6)
Лг = (**'* Vsinfl) х ^ Vsinfl ^.
Подставляя (8.6) в (8.2), получим систему дифференциальных уравнений
для касательных компонент поля:
де9
дг
деш
--Vsinfl д 1 д —— ,
ikr*err ^в^в'дв^11^^
д е9
Vsinfl
rerr
дв \^hTfl
+ **
ьи dh*
дв уГ&Гв
Vsinfl d
д
ikr2 дв sin в дв
Vsinfl «L +
(8.7)
/it
легг^
sin
= ^-Vsinfl К — — (<г^ + а„*„),
60

°ee — ^r/^w егвРвп °ьр = eri£9iP e9i£rf>* (8.8)
Учет анизотропии ионосферы, как видно из (8.7), существенно усложнил
построение решения задачи волноводного распространения. Основная трудность
математического характера связана с тем обстоятельством, что
дифференциальный оператор задачи не удается разделить на радиальную и угловую части
(за исключением частного случая радиального геомагнитного поля) и ввести
продольный и поперечный операторы. В принципе при построении решения
можно опираться на спектральные функции продольного оператора изотропной
задачи и искать решение в виде ряда по полиномам Лежандра с зависящими
от радиальной координаты коэффициентами. Однако в отличие от изотропного
волновода в анизотропном случае мы приходим не к независимым
обыкновенным дифференциальным уравнениям для этих коэффициентов, а к
бесконечной системе связанных дифференциальных уравнений (см. разд. 9). Это
означает, что при падении на ионосферу отдельной зональной гармоники
фиксированного номера отраженное поле содержит гармоники всех номеров.
Найти в аналитической форме решение бесконечной системы связанных
дифференциальных уравнений не представляется возможным. Следовательно, в общем
случае произвольно ориентированного геомагнитного поля не удается построить
строгое решение задачи распространения радиоволн в сферическом
анизотропном волноводе в замкнутой форме. Поэтому в данном случае приходится
ограничиваться приближенным решением задачи и заменять сферический
волновод и точечный источник цилиндрическим волноводом и нитевидным
источником, для которых можно получить строгое решение, или проводить
на физическом уровне строгости обобщение решения задачи для изотропного
волновода на случай анизотропного. Оба способа построения решения не
учитывают возникновения бесконечного набора зональных гармоник при
отражении от анизотропной среды одной зональной гармоники и приводят к
одинаковому результату, если учесть дополнительный фактор сходимости
V0/sinff в сферическом волноводе и считать выполненными условия код » 1,
ка (л —в) » 1.
Рассмотрим второй способ построения приближенного решения задачи для
сферического волновода с анизотропной ионосферой и обратимся к выражениям
для решения в случае изотропного волновода (1.13)—(1.16), представляющим
собой ряд зональных гармоник, который, в свою очередь, эквивалентен
интегралу зональных гармоник (2.1), (2.2) с текущим номером V — 1/2. Очевидно,
что аналогичное представление для решения будет иметь место и в случае
анизотропной ионосферы, если предположить, что зональная гармоника с
номером v — 1/2 при отражении порождает только одну зональную гармонику
с тем же номером. При этом, однако, необходимо иметь в виду, что отражающие
свойства анизотропной среды описываются матричным коэффициентом
отражения (или матричным адмитансом), учитывающим частичный переход ТМ-
поля в ТЕ и ТЕ в ТМ при отражении.
2. В качестве коэффициента отражения зональной гармоники номера V —
1/2 можно приближенно использовать коэффициент отражения от ионосферы
гармоники вида / (г) ехр (п>6). Тоща модифицированные поля можно
представить следующим образом:
Ь<"-1/2> (г, в) = е("-1/2) (г) ехр (п>0), (8.9)
61

ь^-^ = {4-1п\ <$-lf2\ %-т\ /#-1/2)j,
e^-^ = {^-lf2\ i£-1/2\ Ц~^\ й£-1/2>|,
где b("~1/2) и е("~1/2)— одностолбцовые матрицы, элементы которых записаны
в фигурных скобках.
Подставляя (8.9) в систему уравнений (8.7) и считая sin в медленно
меняющейся функцией по сравнению с exp (rv>0), получим с погрешностью,
не превышающей (Лав)'1 (у ** ка)> систему четырех связанных обыкновенных
дифференциальных уравнений первого порядка:
^.iW-». <8Л0)
В системе (8.10) Г —матрица с элементами Tiky равными
^11 = S£r9lem ^12 = $егг'€т ^13 = ^21 = ^22 = ^24 = ^33 = ^43 = 0>
Т14 = 1 - S2/ern Т23 = -1, Т31 = -Оге/егп Т32 = S2 - oJern (8.11)
^34 = Se,r/erry T41 = oJernTA2 = a^/err, Г44 = —Se9r/ern S = v (кг)~К
Мы пришли к системе уравнений, описывающих распространение плоских
волн, падающих под углом a(w) (v, r), связанным с номером зональной
гармоники соотношением sina(w) (v, r) =v/(кг) на плоскослоистую анизотропную
ионосферу [75]. В выражениях для Tik (8.11) е^ (а, /? = г, 0, ^>) —элементы
тензора относительной комплексной диэлектрической проницаемости
ионосферы (8.4), не зависящие от угловых координат, а значения о^ («, /8=0, <р)
даются формулами (8.8).
Решение уравнений Максвелла в неоднородной по г сферически-слоистой
анизотропной ионосфере с учетом (8.5), (8.9) принимает вид
fc-i/2) = (r v^Tfl)-1 exp (r»0) e<"-1/2\
^-i/2) = {4"-1/2>, 4"~1/2)> <2t-1/2\ %%-ln\ <8Л2>
Из четырех линейно независимых решений системы (8.10) граничным
условиям, требующим убывания поля при г -*• оо, удовлетворяют два. С их
помощью вводится приведенный матричный адмитанс Л^-1/2)
р^-^х /4,-1«л (8.13)
где I$~lf2\ ^f~lt2) (i = 0, <р) — поля зональных гармоник (8.12). Для
определения элементов матричного адмитанса А%~1/2) (т, лв1, 2) из (8.10), (8.12)
вытекает система дифференциальных уравнений
—/ДО'-1/2)' _ >-1/2) (—Т1А9 0\ Vv-1/2) , fr41, ^ __
* "л 1 о, lj л + [т31, т32)
_Д(,-1/2) /*Ш Т12\ + ^44, 0\ д^.зд (8.14)
где штрих обозначает дифференцирование по кг.
Методика численного интегрирования (8.10) или (8.14) достаточно хорошо
разработана, ее мы обсудим ниже (гл. 5). Здесь мы лишь отметим, что,
задавая начальные условия при некотором г = г0> можно с помощью (8.14)
найти адмитанс А^ "1/2) при г = с/, что позволяет использовать (8.13) в качестве
граничного условия на верхней стенке волновода.
62

3. Нашу задачу можно теперь свести к решению уравнений Максвелла
для вакуума
rot Е = Kt>/U0H, rot Н = -icoe0E - ф* со,
ръе=К (btr* sin вуЧ (г - Ъ)д(в- 0), (8.15)
с граничными условиями матричного вида на обеих стенках волновода. В
выражениях (8.15) д (х) — дельта-функция Дирака, Pf и /?/ —величины
дипольного момента и его объемной плотности, a i- радиальная координата
вертикального электрического диполя.
Обобщим теперь построенное в разд. 1 решение на анизотропный случай.
Поскольку при отражении от анизотропной ионосферы происходит
деполяризация поля, то для описания полного поля, возбуждаемого вертикальным
электрическим диполем в волноводе с анизотропной верхней стенкой,
необходимо наряду с электрическим вектором Герца П(е) ввести и магнитный П(/п),
определяющий ТЕ-поле (см. разд. 1 [46]):
Не = -т rot П(^, Ет = ко rot П(ш), П(*> = П(^ег, q = еу т.
При этом полное поле описывается суммой ТМ (е)- и ТЕ (т) -полей и
( П(<* )
все составляющие поля выражаются через функцию П = (ш) ,
удовлетворяющую дифференциальному уравнению следующего вида:
{Ь, + Ц)П = ( ^^j,
/-^il+iv , __J__E_sin6>_L (8.16)
Получим сначала ряды зональных гармоник и запишем потенциалы в виде
где индексом 0., как и выше, обозначен потенциал заданного источника в
свободном пространстве, а индексом J — потенциал отраженного поля.
Потенциал П&* представляет собой ряд зональных гармоник, n-й член которого
описывается выражением (1.8):
п&» = X п&*.
л = о
№№№(кг), г<ь, <8Л7>
«л = i (4Ж**2)"1 (п + 1/2) />». (8.18)
Общее решение однородных уравнений (8.15) будем искать в виде суммы
зональных гармоник
л=0
Щ«й = [А№? (кг) + ВРР? (кг) ] Р„ (cos в), q=e, т. (8.19)
63

Коэффициенты А\ и ВРа находятся из граничных условий для n-й зональной
гармоники, вытекающих из обобщенных условий (8.13) на ионосфере и на
Земле [46]:
/ д_ \
дг
iAif-. + k,
kZo1 А&
д
112 дг '
А& —
'|.+ Лйм(л)ч
д . ik
— + ikAif
ZZ
-i
П«>
= 0,
r-d
дг д<?> (и)
nw
(8.20)
= 0.
Через П(п) в граничных условиях (8.20) мы обозначили одностолбцовую
матрицу
(8.21)
где П(л^, П(лш) — электрический и магнитный потенциалы л-й зональной
гармоники.
л Заметим, что хотя матричный адмитанс Л(л) и диагональная матрица
д (п) зависят от номера зональной гармоники л, тем не менее граничные
условия (8.20) не являются строгими, а содержат погрешности
0 ((*о0)-\ [ка(л -в)]-1).
4. Коэффициенты А^ч) и В^я) в рядах зональных гармоник (8.19)
представляется удобным для дальнейшего исследования выразить через элементы
матрицы коэффициентов отражения от Земли и от ионосферы.
Матричный коэффициент отражения от Земли имеет диагональную форму
где р^ — сферический коэффициент отражения ТМ-волны, а р^т) — ТЕ-волны
от земной поверхности [46],
pf = - l№ (ко) + Й« (п) &2> (*а)] х
х [U^Ofc^ + tfWMU^CJta)]-1,
Р?* = - {&2)' (ка) + i 0«> (п))-1^ (ка)}х
х {{W (*а) + / [*W (») I"1?!1' (*<*)}"'• <8-22>
Для определения элементов матрицы коэффициента отражения от
ионосферы представим падающее на ионосферу поле суперпозицией ТМ- и ТЕ-полей,
описываемых потенциалами л-й зональной гармоники:
П(л) = C(n)£(i) (Ar) pa (cos 0)) (8 23)
где П$л) и С/л) — одностолбцовые матрицы вида (8.21), и рассмотрим процесс
отражения от ионосферы каждого поля в отдельности. Пусть сначала падает
ТМ-поле, характеризующееся потенциалом П$л<* (П^ш) = 0). Отраженное поле
64

вследствие деполяризующих свойств ионосферы содержит как ТМ, так и
ТЕ-поле с потенциалами
П(Д> = СЖ2) (кг) Рп (cos в). (8.24)
Коэффициенты отражения ТМ-поля, отнесенные к границе г - d> определим
как отношение отраженного поля к падающему:
(8.25)
(|I)j =(П^Г1ПЙ
г = d
Если коэффициенты г^, г^ет) известны, то с помощью (8.25) можно найти
потенциал отраженного поля на границе г - d:
пй = I 1т, I про.
v<?
Подставляя (8.26) в выражение (8.24) при r=d и используя (8.23), найдем
/ /?<»* \ (8.27)
( J?W ) { ф \ fl?(M) (8.28)
Потенциалы отраженного поля при г < d можно также выразить через
коэффициенты отражения, подставив (8.27) в (8.24):
Riee> \ „,.*^* ,. . _ . „ (8.29)
п- = (лр) С/(Л^("2) (*г) ^(cos *>•
При падении на ионосферу ТЕ-поля, описываемого потенциалом я-й
гармоники П\пт) = С\пт)$р (кг) Pn (cos в) (П^ = 0), отраженное поле содержит
ТМ- и ТЕ-поля с потенциалами
4*1 = СЖ> (kr) PB (cos в).
Введем коэффициенты отражения для падающего ТЕ-поля, отнесенные к
границе г = d:
( tme) \ i
[^Uj = (П^Т^1\Г,
: d'
Отсюда для потенциала отраженного поля при г = d получаем
Т¥(л) _ \ гп Т1(пт)
кЛгт - I ^тт) I 1Х/ •
(8.30)
Как и в случае падающего ТМ-поля, найдем константы
(Ытё) \
р(тт) I ^/ >
(Ri"*\ (+?*\ &?(kd) (8.31)
и потенциалы отраженного поля при г < d:
5 Г. И. Макаров и др. 65

R(mc) \ (8.32)
ПЙ = ( *P ] C/"4(D2) (*r) P„ (cos ^)
В силу линейности уравнений Максвелла результаты для обоих типов
падающего поля можно просуммировать. В результате при r = d из (8.26) и
(8.30) получаем
или в векторной форме
где гп — матрица коэффициента отражения, отнесенная к границе г = d,
- = (+*, +?*}
Матрица сферического коэффициента отражения RB, как следует из (8.28),
(8.31), имеет вид
д(«* R(m<?> \ (8.33)
Заметим, что можно было ввести потенциалы так, чтобы перекрестные
коэффициенты отражения Л(/ш), Л(лш<* были безразмерными, как и Л(л*°, J?<JM,).
Однако мы считаем более удобным использовать введенные ранее [46]
потенциалы. Л
Связь элементов матрицы Rn с элементами матрицы адмитанса Л(л) легко
получить, рассматривая по-прежнему процесс отражения от ионосферы
падающего ТМ- или ТЕ-поля в отдельности и подчиняя полные ТМ- и ТЕ-поля
граничным условиям (8.20) при r = d. Для падающего ТМ-поля из (8.23),
(8.29) вытекают выражения для полных полей:
П(лЗ = П(ле> + П(д.) = С(пе) gjl) ^ + Д^ГО (£г) ] Pq (CQS Q^
П(л«) = П(м) = Cjn*R(em)£(2) ^ p^ ^ q^
подставляя которые в (8.20), получим систему алгебраических уравнений:
£<fl2> (kd) RB<* + Z?A<ffl? (kd) Ra^ = -#> (kd),
-A№? (kd) *W + zW? (kd) RJTm) = AgftY (kd), (8.34)
£</> (z) = MfftW' (z) + tf> (z),
^ (*) н £<*>' (z) + *4&</> (z), к = 1, 2. (8.35)
Из (8.34) находим
*<«» = -д-1 [ft« (Ы) ?(л2) (*rf) + лй^Ш' (ы> £<„2> (Ы)1,
/?(/») = ЗДоА#Д-\ (8-36)
Д = ^ (kd) v? (kd) + А®А№? (kd) £<*>' (kd). (8.37)
Аналогично рассматривая процесс отражения от ионосферы падающего
ТЕ-поля и подчиняя полные поля граничным условиям (8.20) при г = с/, найдем
еще два элемента матрицы кп:
66

/#"* = 2iZolAifA-\ (8.38)
Выражения (8.36) и (§,.38) связывают элементы матрицы коэффициента
отражения от ионосферы Rn с элементами матрицы адмитанса А^п\
В изотропном случае, когда геомагнитное поле отсутствует, тензор
относительной комплексной диэлектрической проницаемости ионосферы еш(8.4)
становится диагональным и только четыре элемента матрицы Т (8.11) отличны
от нуля— Ти, Т14, Т32, Т41. Как следует из (8.14), А$ = А$ = 0, что в
соответствии с (8.36) и (8.38) приводит к исчезновению перекрестных
коэффициентов отражения R{nme) и R*fm) и к следующим формулам для
коэффициентов RJfe) и R(nmm):
Rjf> = - liAl№» {kd) + #> (*rf) 1 [Mtftf* (W) + £(л2) (W) Г1,
Я(пш) = _ K(iv (ы) + мйео) (ы) j K(2> ,(ы) + М^(2) (ы) ,-i {8.39)
Вертикальный электрический диполь в изотропном случае возбуждает
только ТМ-поле, и замена элемента A{f в (8.39) на [<5U (п) ]-1, приводит нас к
выражению (1.16) для сферического коэффициента отражения от изотропной
ионосферы.
5. Вернемся теперь к рядам зональных гармоник и найдем коэффициенты
Апч\ ВпЧ) (я = е, т). Для этого представим электрический и магнитный
потенциалы /7-й зональной гармоники в виде суммы
П(пе) = п^) + Щпе)^ П(пш) = Щпш)^ (8.40)
где П\?е) и U[nq) (q = e, т) даются формулами (8.17), (8.19), и подчиним
затем (8.40) граничным условиям (8.20). В результате получим
А<* = а.ГЦ» (kb)/V (п),
В? = а„ [1 - p<W> - v (n)] X? (кЬ) 1ч> (и),
А<?> = a.pPRMxj* (kb) 1<р (n), В™ = Л<»>/р<->. (8.41)
В формулах (8.41) мы ввели обозначения:
<р (и) = (1 - pW>) (1 - P^Rimm)) ~ ptopMRWRi™*, (8.42)
X? (z) = № (z) + pWtf) (z),
^e) = Pf (1 - pW"'0) #> (z) + [1 - p<W> - p (n) ] C? (z).
Здесь функции /?^/Аг) (г, к = е, т) — элементы матрицы сферического
коэффициента отражения от ионосферы, определяемые соотношениями (8.36) —
(8.38), а р(/\ р(дШ) — элементы матрицы сферического коэффициента отражения
от Земли (8.22).
С помощью (8.17), (8.19), (8.40) и (8.41) можно найти потенциалы полного
поля в виде рядов зональных гармоник:
(е) = A «A (cos б) Г Х<* (кг) У^ (кЪ), г < ft,
А Р^<Р(п) \X<*(kb)YJ*(kr)9 r>ft, (8.43)
00
П(/и) = 2 <*п<р-1 (n) R^Pn (cos О) Х<?> (кг) X? (Jfcft),
п = о (8.44)
5*
67

где а„ дается формулой (8.18), а функция Х^ определена соотношением
Пт) (*) = &2) (z) + pW£?> (z). (8.45)
Далее, проводя, как и в задаче для изотропной ионосферы, преобразование
Ватсона, можно получить интегральное представление решения.
Подынтегральная функция обладает полюсами v„ определяемыми трансцендентным
уравнением <р (vs — 1/2) = 0, где функция <р (vs — 1/2) дается формулой
(8.42), или в явном виде
(1 - Р#- х/г *!?-1/2) (1 " Pjf- i/i R&x/i) ~
~ Р#- l/2pif- 1/2 Rl^l/2 *£*Х/2 = 0. (8.46)
Сферические коэффициенты здесь заданы выражениями (8.22), (8.36) —
(8.38) при п = v,_1/2.
В изотропном случае, как уже отмечалось, перекрестные коэффициенты
отражения исчезают и характеристическое уравнение (8.46) распадается на
два независимых уравнения для ТМ- и ТЕ-полей:
1 " р£- i/i *!* 1/1 = 0, 1 - р». 1/2 R}™\/2 = 0. (8.47)
Если воспользоваться выражением для коэффициента отражения Д^1/2
(8.39), в котором Л&"1/2) = 1К(У " 1/2)Г1, и формулой (8.22) для р<!1/2,
то первое уравнение в (8.47) приводит нас к характеристическому уравнению
(3.11) для изотропного волновода, исследованному выше.
Интегральное представление решения с помощью теоремы о вычетах
сводится к сумме вычетов в полюсах v„ расположенных в верхней
полуплоскости (V). Это приводит нас к ряду нормальных волн (заметим, что при
нашей постановке задачи в силу наличия металлизованного ядра сплошной
спектр отсутствует):
п = % £ (Ks \ 1/2) W- ^Г1 xif. i/, (**) х
X X,, _ 1/2 (kr) PVs _ 1/2 (- cos в), (8.48)
N%-1/2 = N«-1/2 cos (v,*), (8.49)
Я?-1/2 = ka2 (й*,)"^-1/2(1- pW 1/2 /?<-U)" V (v, -1/2), (8.50)
*?,-i/j = P^-x/iRi^x/i (1 -pjf-i/a^l/a)-1. (8-5D
Через П и Х^ -i/2(z) в (8.48) обозначены одностолбцовые матрицы вида
(8.21), а штрих в (8.50) означает производную от функции <р {у — 1/2) (8.42)
по V при v = vs. Функция N$*-1/2 (8.49) есть нормировочный множитель
для ряда (8.48).
Выражение для потенциалов (8.48) позволяет найти компоненты
электромагнитного поля, возбуждаемые в сферическом волноводе Земля—ионосфера
вертикальным электрическим диполем. Касательные составляющие можно
получить, дифференцируя потенциалы (8.48) по координатам г, 0. Для
радиальных компонент в области вне источника удобно воспользоваться связью
( Е? ) = V,2 - 1/4 ( П"/е0 )
(НЮ) г2 [п™/ц0)' (8.52)
68

вытекающей из дифференциального уравнения, определяющего радиальный
оператор задачи. В результате получаются следующие выражения для
составляющих электромагнитного поля:
Ег = Е?=^ (f) 2 £ ^J *£- 1/1 (**) *#- 1/а (кг) Ру, . 1/а (-cos в),
Ев = £,<* = ^ (f) ' 2 Wif-i/iT1 Х$*.1/2 (kb) х!#1/2 (кг) PVs.1/2 (-cos в),
", = ",М = ^Г (f) 2 2 ^ 1/2 Г1*?- 1/2 (**) Л,?- 1/2 (кг) PI, - 1/2 ("COS в),
х Xlf. 1/2 (kb) X}fL 1/2 (kr) PVs_ 1/2 (-cos в),
я, = яГ = ^(|)2Ё^^^-1/,(^)^1/2(Лг)ру;.1/,(-со8^))
х Х£>-1/2 (**) Ч"- 1/а (*r> Л-',-1/2 ("cos в). (8.53)
Штрихи в выражениях (8.53) обозначают производную от радиальных
функций по радиальной координате и производную от функций Лежандра по
координате 0.
Коэффициент х* _1/2 (8.51) можно назвать коэффициентом поляризации
данной нормальной волны. Он характеризует отношение магнитного
потенциала к электрическому (или компоненты Нг к Ег в нормальной волне
номера s). Если геомагнитное поле отсутствует, перекрестные коэффициенты
отражения, как уже отмечалось, обращаются в нуль, при этом коэффициент
поляризации также обращается в нуль. Вертикальный электрический диполь
в этом случае возбуждает только ТМ-поле (Нг = Нв = Ev = 0), описываемое
собственными значениями и собственными функциями ТМ нормальных волн.
При наличии геомагнитного поля собственные значения ТМ нормальных
волн изменяются и появляются ТЕ нормальные волны. Вертикальный
электрический диполь в анизотропном волноводе возбуждает двойной (по
сравнению с изотропным случаем) набор нормальных волн (квазиТМ и
квазиТЕ).
6. Преобразуем несколько выражения для компонент поля (8.53) и введем
с этой целью, как и в изотропном случае, высотные множители с помощью
соотношений
А?- иг (кг) = *,"_ 1/2 (кг) /Х". 1/2 (ка),
fS?-1/2 (кг) = XifL 1/2 (кг) /Xifl 1/2 (ка). (8.54)
Функции Xj?.1/2(z) и Х^11/2 в (8.54) определены соотношениями (8.42)
и (8.45) соответственно.
69

Компоненты поля (8.53) можно теперь выразить через высотные множители:
РЧа2 - Л(<*-1/2 (kb) Л _ 1/2 (~cos в)
= Pgg2 " fif-i/i W>) df£-l/2(kr) Pf's.1/2(-cose)
E° ЬогЬ2 Д n£_1/9 ' rfr ' cosv^
_ toPga2 " ft-i/г W) M Py's.1/2(-cose)
"" 4r*2 £ «£_1/2 '^-^W' cosv^r
Fr,^sg.^(vg-i/^.%^.^_iy,(b)J,^(;CM^
' Aejrb2 ^ y* 1/2W ' n^-i/2 * cosv^jt
_ J^L v -ь >ff-i/»(**) dfyf-V2(kr) p;s.1/2(-cose)
H°~ Ae^b2 f?*v*-^ n$f-1/2 ' dr ' cosvjc
_ to/>ga2Zg - /У-уа(М)
Л;-1/а (-cos g) (8.55)
cosv^
В формулах (8.55) введены обозначения:
<-1/2 - Я?- i/i IX}?- i/i (ко) Г2, (8.56)
_ *?,-i/» , , ,Л , (8.57)
3. - V» - "^Г" ^ г/а (*«) [А#_ 1/2 (*а) Г1,
X
^о
где JV^-i/2 их® _1/5 определены соотношениями (8.50) и (8.51).
Далее, как и в разд. 2, используем для функций Лежандра асимптотические
представления (2.14), разложим функцию (cosv^jr)"1 в геометрическую
прогрессию и затем отбросим антиподные и кругосветные волны. Это эквивалентно
следующим заменам в формулах (8.55):
Р*,-1/2 ("cos в) VTexp li(vft + n/4)]
cosv^r ш y*(v, - 1/2) sin0 '
1 dP¥s_1/2 (-cos в) Р„#_ 1/2 (-cos 0) (8.58)
COSV^JT dO s COSV^T
Используя (8.58) и полагая в силу (2.13)
v - 1/2 «v, v2 - 1/4 «v2,
перепишем компоненты поля (8.55) в следующем виде:
*' " ^^ТжИг £ К-1/ifif-i/i Wtf-гл (*> е»*,
ik2P% a3 в e>kR ^ г (Л „ t4 <?-1/1 (кг)
70
^f^^fTT^A,,-^/?-^^) sd{kr) e»>,

X /£L 1/a (**) /,(fi г/2 (кг) е»: (8.59)
Здесь введены следующие обозначения:
А ъЛЯ-М1" *"< (8'60)
Ч-va- V 2* ^ftej <_1/2'
V, = V,0 - kR.
В формулах (8.59) значение /у(?_ 1/2 (&й) представляет собой высотный
множитель в точке излучения, a /Vl-i/2 (*'')> ? /, ч . . ,, . —
высотные множители в точке приема. Функции Av _ 1/2 иЛ, _ 1/2 имеют смысл
коэффициентов возбуждения.
Наконец, как и в изотропном случае, введем функцию ослабления:
к2Ръе е-™
Е = — W
*' Ъсе0 R *> {8.61)
а4 в
w=f? 7ш¥ Л ^ -1/2 ®-1/2 (кь) %-1/2 (кг) *''
(8.62)
Для практических целей удобно использовать следующее выражение для
модуля радиальной составляющей электрического поля:
600 VK
\E,l-—z-\W\,uB/u, (863)
где Ри — мощность излучения электрического диполя в вакууме в киловаттах,
R — расстояние в километрах.
Формулы для компонент поля допускают переход к изотропному случаю.
Поскольку в этом случае перекрестный коэффициент отражения RJenl\/2 равен
нулю, коэффициенты поляризации х$ 1/2 (8.51) и xj _1/2 (8.57) и,
следовательно, компоненты НГУ НвУ Е^ обращаются в нуль. Нормировочный множитель
А^-1/2 (8.50) оказывается равным
Я?- i/2 = ка2 (n/,)-^-1/2 <fl (v - 1 /2) I ,
71

ч> (v, - 1/2) = l -Pw. 1/2/^ 1/2 = о.
Если здесь положить
Р#. 1/1 = *£>- 1/2. <^ 1/2 = <И)- 1/2,
то нормировочный множитель л^_1/2 (8.56) совпадает с выражением для
л^-1/2 (3.3), что приведет к совпадению выражений для коэффициентов
возбуждения Л^«1//2 (3.15) и (8.60), а также для функции ослабления и
радиальной составляющей электрического поля (3.14) и (8.61), (8.62).
Построенное выше решение для анизотропного волновода оказывается более
сложным, чем в изотропном случае. В частности, характеристическое уравнение
(8.46) сложнее уравнения (3.11) и не позволяет провести аналитические
исследования, подобные тем, которые мы выполнили во второй главе. Из
выражений (8.53) и (8.55) для компонент поля трудно извлечь непосредственно
физический смысл. Здесь необходимы численные исследования, результаты
которых представлены в конце главы (см. разд. 10).
Полученные в настоящем разделе формулы, описывающие поля в
регулярном анизотропном волноводе, удается обобщить на неоднородный по угловой
координате 9 волновод.
9. НЕРЕГУЛЯРНЫЙ ВОЛНОВОД
1. Учет нерегулярности (неоднородности) свойств волновода в двух
касательных к земной поверхности направлениях — продольном и поперечном по
отношению к геодезической, соединяющей источник и точку наблюдения, —
в математическом отношении оказывается очень сложным. Поэтому в качестве
первого приближения к реальному волноводному каналу используется модель
одномерного нерегулярного волновода, свойства которого меняются в
продольном направлении и не зависят от поперечной касательной координаты.
Возможность использования такой модели опирается на понятие трассы,
существенной для распространения [76], и на отношение ее поперечного размера
D± и пространственного масштаба Lx изменения свойств волноводного канала
в поперечном к трассе распространения направлении. При выполнении
неравенства
D±«L± (9.1)
в первом приближении можно пренебречь зависимостью свойств волновода от
поперечной координаты.
Поперечный размер существенной для распространения трассы имеет
порядок VX/F, где А — длина волны электромагнитных колебаний, R — расстояние
по геодезической линии между источником и точкой наблюдения. Величина
D± при R = 20 тыс. км и А = 60 км (f=5 кГц) примерно равна 1000 км и
уменьшается при уменьшении R и Я. Пространственный масштаб изменения
магнитного поля Земли имеет величину порядка нескольких тысяч километров,
так что зависимостью магнитного поля Земли от поперечной координаты в
пределах существенной для распространения трассы можно пренебречь на
частотах выше 5 кГц. Что касается нерегулярности ионосферы, обусловленной
изменением электронной концентрации в продольных направлениях, то в
дневных или ночных условиях пространственный масштаб нерегулярности
имеет также величину порядка тысяч километров. Наиболее сильно
нерегулярность электронной концентрации выражена в окрестности терминатора
(переходная область день—ночь или ночь—день). В направлении,
перпендикулярном терминатору, пространственный масштаб L изменения свойств ионос-
72

Рис. 3.1. К оценке влияния
терминатора
феры (ширина переходной области) составляет величину примерно равную
500 км [11 ]. Если трасса распространения пересекает переходную область под
углом а, то имеет место соотношение (рис. 3.1)
L± =Z,/sin а.
Ha частоте 5 кГц и при R = 20 тыс. км величины
D± и L оказываются близки друг к другу, и для
выполнения неравенства (9.1) требуется, чтобы sin a
был много меньше единицы (почти нормальное падение
поля на терминатор). С ростом частоты величина D±
уменьшается и ограничение на а ослабляется.
Таким образом, модель одномерного нерегулярного
волновода может быть использована для анализа
процессов распространения радиоволн в волноводном
канале Земля—ионосфера на частотах выше 5 кГц и
расстояниях до десятков тысяч километров, в том числе
и на переходных трассах при условии, что направление распространения
достаточно отличается от касательного по отношению к терминатору.
2. Для построения решения уравнений Максвелла в случае сферического
волноводного канала Земля-ионосфера используем, как и раньше, сферическую
систему координат г, 0, <ру ось 0вО которой проходит через источник. При
этом координата в является продольной, а координата <р — поперечной
координатой по отношению к направлению (трассе) распространения. Считая,
что источник возбуждает падающее поле, не зависящее от <р (например,
вертикальный электрический или вертикальный магнитный диполь), и
используя модель одномерного нерегулярного волновода, свойства которого также не
зависят от поперечной координаты <р> мы приходим к осесимметричной задаче,
так что уравнения Максвелла в области вне источника в проекциях на оси
координат принимают вид (8.2). Элементы тензора относительной комплексной
диэлектрической проницаемости ионосферы е^ (а, р = г, в, <р) описываются
формулами (8.4), в которых электронную концентрацию и эффективную
частоту соударений электронов с нейтральными частицами и ионами будем
считать зависящими от угловой координаты:
N = N (r, 0), V=V (г, 0).
В дальнейшем при построении решения системы (8.2) мы не будем вводить
нижнюю границу ионосферы, рассматривая среду при г > а как единую,
поскольку при стремлении электронной концентрации к нулю тензор комплексной
относительной диэлектрической проницаемости плазмы с элементами (8.4)
переходит в единичный тензор, отвечающий вакууму (атмосфере). Для
построения однозначного решения системы уравнений (8.2) необходимо задавать
падающее поле (или рассматривать неоднородные уравнения с учетом
источников), налагать на решение условие убывания (стремление к нулю)
при г->оо, считая среду обладающей потерями, и условие ограниченности
при г-*Ои0-*Ои;г, а также требовать непрерывности компонент поля Ев9
Е^ 3% и Щ, при пересечении земной поверхности г = а.
Преобразуем систему уравнений (8.2) и введем, как и в разд. 8,
модифицированные компоненты с помощью соотношений (8.5). Затем из
первого и четвертого уравнений системы (8.2) выразим продольные (по отношению
к направлению распространения по 0) модифицированные компоненты через
поперечные:
_ 1 Э/г^ е9<р _ евг
9 iteee дг е^ в* Ет €п (9.2)
73

** " ~ik дг '
Подставляя эти выражения в оставшиеся четыре уравнения, мы приходим
к системе уравнений для поперечных модифицированных компонент, которую
можно записать в следующей векторной форме:
д~§ 1 г,-* ~ -* Л (9.3)
^- + ^y?ctg0--iLr?=O,
где е — одностолбцовая матрица, которую, как и выше, будем записывать в
виде
(9.4)
(9.5)
*«
[V
(и
•ч
у -
о,
о,
1°.
U = rl,
er, e
V» Аг}>
0, 0, 0)
-1 0, 0
0, 1, 0
о, о, -ij
т =
»
f .ert Э
_IA_Li__
Л dr em dr
0,
_f£f£±
е.
9 ЭГ*
£
л,
с99
. 9 е»,
1дге„'
0,
*^
fc00
i±£at
dr ew
0,
т4+*^.
Я Эл £#$
>
0
о
к
0
(9.6)
\ /
Ьц> — ег*>еев — ег€ёв<р> ^tpr = c^w — егбёвг* (9.7)
Решение системы уравнений (9.3) должно подчиняться условиям,
вытекающим из сформулированных выше условий для компонент электромагнитного
поля Е и Ж А именно — вектор W должен стремиться к нулю при г->0и
оо, 0-* 0 и яг, а модифицированные компоненты поля ^, /^ и е9, Л* (8.5)
должны быть непрерывны при переходе через земную поверхность г — а.
3. Будем строить решение уравнения (9.3), опираясь на метод поперечных
сечений [74 ]. Согласно этому методу введем поперечный оператор Lr,
дифференциальное выражение для которого дается формулой (9.6). Считая элементы
тензора относительной комплексной диэлектрической проницаемостью е^ и
их первые производные по радиальной координате г непрерывными функциями
г на интервалах (0, а) и (я, оо), зададим область определения поперечного
оператора как множество вектор-функций
и- {иъ и2, и3у и4},
подчиняющихся следующим граничным условиям:
и -* 0 при г -* 0 и г -* оо,
Wl'a-O = Wl'a + C» U3\0_o = U3\a + Qy (9.8)
ди3
дг
ди3
дг
VJ
a-0= <Ч.+ о'
74

^ = 7Z^-lktU3-lk^U2- (9.9)
Оператор Lr обладает как дискретным, так и сплошным спектром, причем
последний обусловлен тем, что начало координат г - 0 входит в интервал
расстояний, на котором мы рассматриваем поперечный оператор. Однако, вследствие
того что часть решения, отвечающая интегралу по сплошному спектру,
соответствует, как и в случае открытой сферы [46 ], подземным механизмам
распространения, мы можем при определении поля в волноводе Земля—ионосфера
пренебречь вкладом сплошного спектра в решении задачи. Считая дискретный
спектр поперечного оператора простым, решение уравнения (9.3) представим в
виде разложения по собственным функциям поперечного оператора Lr:
Р
или ряда нормальных волн. Собственные функции ир принадлежат области
определения поперечного оператора и удовлетворяют дифференциальному уравнению
Lrup = kpup, (9.11)
где Яр = Яр (в) представляет собой собственное значение поперечного оператора.
Зависимость Яр и ир от в обусловлена зависимостью от в коэффициентов
дифференциального выражения Lr (9.6) и функции гри (9.9). Набор собственных
значений Яр определяет дискретный спектр поперечного оператора, который
в задачах со сферической геометрией оказывается бесконечным (и счетным).
Индексу р мы будем придавать значения р = ±1, ±2, ±3, ..., считася Im kp
> 0 при р >+1 и Im Яр < 0 при р <—1.
Разложение решения (9.10) в силу граничных условий (9.8) для собственных
функций ир удовлетворяет граничным условиям для модифицированного
электромагнитного поля по радиальной координате, сформулированным выше. Что
касается коэффициентов Ар (0), то для нахождения уравнений для них
разложение (9.10) следует подставить в уравнение (9.3), что с учетом (9.11)
дает
[^-йрЛр| u' + iyV^rtge + ^j
= о.
р L\ / J (9.12)
Дальнейшее преобразование полученного соотношения требует переразло-
dllp
жения функций у\хр и -тт- по собственным функциям иру для чего необходимо
найти множество функций {vq}y ортогональных ир. Как показано в общей
спектральной теории линейных дифференциальных операторов [77, 78],
функции Vя являются собственными функциями сопряженного поперечного
оператора, который определяется на основании формулы Лагранжа
<Lru, v> = <u Z» + Ф (u, v) (9ЛЗ)
для произвольных дважды дифференцируемых на интервалах г Е (0, а) и
г G (а, оо) функций и и v, ограниченных при г = 0иг=оо. В формуле (9.13)
угловые скобки означают псевдоскалярное произведение
(a,b)=77ab dr+/ 7ab rfr'
0 a+ 0
а сама формула Лагранжа получается путем интегрирования по частям.
75

Дифференциальное выражение L* представляет собой сопряженное
дифференциальное выражение, которое в рассматриваемом нами случае равно
—i
Lin
дг ет'
к^
Р *
Ь9в
к^-,
0,
1 д 1 д _
к дг ет дг
. евг д
Сев dr'
-ie-^-,
£*, дг
0,
*,
о,
о,
о,
к,
дг Ет
еев
7-3 + *^
к дг £$в
0
Lr*=rf,? =
(9.14)
Функция Ф (u, v) в формуле Лагранжа (9.13) является внеинтегральным
членом, возникающим при интегрировании по частям и содержащим
компоненты вектор-функций и и v и их производные при г - 0, а — 0, а + 0, °° (мы
не выписываем явного вида Ф (u, v) из-за его громоздкости). Если теперь
считать, что функция и принадлежит области определения оператора Lr> т. е.
подчиняется граничным условиям (9.8), и потребовать тождественного
обращения в ноль внеинтегрального члена Ф (u, v), то в результате возникают
граничные условия (по радиальной координате) для функции v, которые
называются сопряженными граничными условиями. Сопряженные граничные
условия задают область определения сопряженного оператора Ln Как можно
показать, опираясь на явное выражение для функции Ф (u, v), сопряженные
граничные условия в рассматриваемой нами задаче имеют вид
0 при г -* 0
v -* и при г ■
V2»a-0 = V2lfl +
dv4
~дг~
dv4
~дг~
a-0
>
a + 0
. *
W
И Г -* оо,
v4lfl_o = v4lfl + o>
4>v r~ + **
е™ дг e{
"■Vl-tt^
v4.
(9.15)
(9.16)
Таким образом, для функций и и v, принадлежащих соответственно
областям определения исходного и сопряженного операторов, из формулы Лагранжа
(9.13) следует
0, u, v> = <u, L». <9.П)
Собственные функции сопряженного оператора помимо граничных условий
(9.15) удовлетворяют дифференциальному уравнению
4V = A,V, (9Л8)
где А*—собственные значения сопряженного оператора. Сопоставим задачу на
собственные функции и собственные значения сопряженного оператора с
аналогичной для исходного поперечного оператора. С этой целью от вектор-
функции v^ перейдем к новой функции w^:
/0, 1, 0, 0\
V-y0W, Ь- U о, 0, 1 h
(О, 0, 1, 0)
Из (9.18) следует уравнение для w9:
(9.19)
76

lV = **«*.
!;-/££-
_I±J_A_A
k dr Egg dr '
0
eee
0,
£00
еда
i — ^S.
dr Egg'
o,
I-?! + ***
к bi £m
0
0
к
0
а из (9.15), (9.16)—граничные условия
yfl -* 0 при г -* О и г -* оо э
И1„_0 = И1в+0. Ша-о" ^L+0>
dw%
дг
dw%
a-0
dr
a+ 0
• »-i.-„-*-|.-„-
(9.20)
(9.21)
(9.22)
Сравнивая (9.6) и (9.20) и учитывая обозначения (9.7), нетрудно видеть,
что дифференциальное выражение Lr переходит в дифференциальное
выражение £*при следующей замене элементов тензора относительной комплексной
диэлектрической проницаемости:
eafi+-*efia(<*>P = в> <Р)> с™ «-* *«г (« = #> <р)> *гг+-*гг* <9-23)
При этом функция хги (9.9) переходит в ф* (9.22). В результате собственные
функции vfl и собственные значения Xq оператора L* оказываются равны
собственным функциям и собственным значениям исходного оператора при
изменении его коэффициентов согласно (9.23). Если обратиться к выражениям
(8.4) для элементов тензора относительной комплексной диэлектрической
проницаемости среды при г> а9 то из них следует, что для изменения е^
согласно (9.23) надо провести замену п -* —л, т. е. изменить знак у радиальной
компоненты внешнего магнитного поля Hq. Что касается тензора
диэлектрической проницаемости среды при г < ау то он сохраняет свое значение при замене
(9.23) вследствие изотропности среды. Окончательно, учитывая соотношение
(9.19), мы получаем следующую связь между собственными функциями и
собственными значениями сопряженного и исходного поперечного операторов:
v« (/, m, л; г, в) = Я0и* (/, т, — п; г, 0),
Л;(/, т, л; в) = кя (/, т, -п; 0). <9-24>
В работе [73] показано, что собственные значения не зависят от знака
радиальной составляющей внешнего магнитного поля, так что собственные
значения сопряженного и исходного операторов совпадают:
А; (/, т, п; в) = кя (Z, т, п; в). <9-25>
Если теперь в соотношении (9.17) положить ивия, vev*, то из него с
учетом (9.11), (9.18) и (9.25) вытекает
77

откуда следует условие биортогональности, т. е. ортогональности собственных
функций исходного и сопряженного операторов:
<цР, v*> = NJn (9.26)
в котором
Np = (ир, ур) (9.27)
— нормировочный множитель.
Вернемся теперь к соотношению (9.12). Умножая его скалярно на \р и
принимая во внимание условия биортогональности (9.26), мы приходим к
системе волноводных уравнений для коэффициентов разложения Ар (в):
dA °°
-j£- — iXpAp+ 2 (Грд + Rpq)Aq = 0, р = ±1,±2, ±3,...
1 дия . 1 1 . (9-28)
ГР9 = jjr < -^". v" ), Rpq = ^ rPq ctg в, rpq = — (J> и", ур).
Матрица у здесь определена формулой (9.5). Система уравнений (9.28)
представляет собой бесконечную систему дифференциальных уравнений,
связанных друг с другом за счет наличия членов с коэффициентами Тря и Rpq
(р * q). Эти коэффициенты можно назвать коэффициентами локальной связи
между q-й и р-й нормальными волнами. Наличие коэффициентов связи Тря
вызвано зависимостью собственных функций поперечного оператора от
продольной координаты 0, т. е. нерегулярностью волновода. В регулярном вол-
новодном канале Тря = 0. Коэффициенты связи Rpq обусловлены сферичностью
волноводного канала и отличны от нуля и в регулярном волноводе. Если
пренебречь связывающими членами с Rpq, то система волноводных уравнений
(9.28) расщепляется и ее решение имеет экспоненциальный вид
АЛ =i4<>V, A<g> = const. (9.29)
P\rpqmRpq~0 P P
Отличие коэффициентов связи Rpq от нуля приводит к тому, что зависимость
Ар от в в сферическом регулярном волноводе не является (строго говоря)
экспоненциальной. Как мы уже видели, в регулярном изотропном волноводе
(см. разд. 1) (а также в регулярном анизотропном волноводе в приближенной
импедансной постановке (разд. 8)) угловая зависимость нормальных волн
описывается функциями Лежандра. И только при использовании асимптотических
представлений этих функций в волновой зоне по отношению к источнику и
антиподу зависимость от в оказывается приближенно экспоненциальной.
Представляет интерес получить аналогичный результат для регулярного изотропного
волновода, исходя из системы волноводных уравнений (9.28).
4. Для изотропного волновода поперечный оператор Lr (9.6) существенно
упрощается:
О,
* дг eL дг *'
О,
О,
-**;,
0,
0,
о,
о,
о,
о,
к dp m
о]
0
к
°J
Lr = /;/,/ =
упрощается и вид функции if>u (9.9), фигурирующий в граничных условиях (9.8):
78

1 диг
(9.30)
При этом для регулярного волновода комплексная относительная
диэлектрическая проницаемость е'т зависит только от радиальной координаты
г. Система уравнений (9.11) для компонент собственных функций поперечного
оператора в данном случае распадается на две несвязанные системы уравнений
для компонент собственных функций ТМ- и ТЕ-типов
u(tf) = [ии и2у 0, 0}, uw = {0, 0, и3, и4].
Эти уравнения сводятся к уравнениям второго порядка
l_dwi
eL дг
ei^|-r-T-| +
k2e^ - —-J их = 0,
"2 =
ке^г
ии
д2и3
дг2
к2** " ^Нз = 0, и4 = ^г "з-
(9.31)
В уравнениях (9.31) опущен индекс у собственных функций и собственных
значений. Собственные функции \х(е) и \х(т) должны стремиться к нулю при
г-*0иг-*оо и подчиняться граничным условиям, вытекающим из (9.8) и
(9.30):
(9.32)
"1
"з
о= UlU°'
о= Ч. + о'
J_dUi
t'm дг
~дг~
е
а-0
~дг~
1 a«i|
т 9г\
•
I а + 0
а + 0
Уравнения (9.31) на интервалах (0, а) и (а, оо) имеют частные решения
и^у uj и их, ^з, стремящиеся к нулю при г-* 0 и г-* оо соответственно, так
что
И! =
Согласно граничным условиям (9.32) функции их и и3 должны быть
непрерывны при гв л. Для определенности мы можем положить
иГ| = и?| =1, (9.33)
1 а-0 А а + 0
"1,
и?,
/• G (0, а),
гЕ (а, оо),
и3 - -
и3,
"з+,
г G (0, а),
^ (а, оо).
"3
= Hjl = 1.
а-0 а+0
Эти условия и условия убывания и{>ъ при г-*« ии^ ПРИ /* -* 0 позволяют
в принципе однозначно найти функции м* и nf.
Подставляя найденные функции в граничные условия (9.32), содержащие
производные по радиальной координате, мы приходим к характеристическим
уравнениям для собственных значений ТМ нормальных волн
1 dul
дг
1 dut
дг
(9.34)
и ТЕ нормальных волн
ди3
дг
\а-0
диЦ
дг
I а+ 0
(9.35)
79

из которых и определяются собственные значения А<? и A<f\
В дифференциальные уравнения (9.31) для иг и иъ спектральный параметр
А входит квадратичным образом, а граничные условия для функций и\ и
и% не содержат А. Поэтому эти функции зависят от квадрата спектрального
параметра, и в характеристические уравнения (9.34) и (9.35) входит А2.
В результате, если Ар есть решение характеристического уравнения, то и —кр
является решением, причем согласно введенной ранее нумерации собственных
значений мы можем считать
к%т) = -А<?"\ р > + 1. (9.36)
Собственные функции в рассматриваемом случае определяются
выражениями:
«M' = (iif,iij,0,0}, U«>'= {0, 0, itf, и?},
u-Anxf, re (о, a), u?=_i£_uf (9-37)
иЦг,Х$\ re (a,*), fe>
«f =
«? =
ч2
из"(^А«а), rG(0,a), „? = ^„?
изО^Л rG(a,oo), 4 *r
Из этих выражений с учетом формул (9.33) и (9.36) вытекают следующие
соотношения между компонентами собственных функций с номерами р и —р:
ulp = и{, и~2р = -и?; usp = itf, иАр = -ирл. (9.38)
Условия ортогональности (9.26), если принять во внимание выражения
(9.37) для собственных функций, окончательно могут быть записаны в
следующей форме:
(и(ё>р, у<">*> = 0, (и(ш)р, +**) = О,
Здесь использована связь между собственными функциями исходного и
сопряженного операторов, которая для изотропной среды согласно (9.24) имеет
вид
у(е,т)р _ л ц(^^)Р#
Из (9.39) получаем выражения для нормировочных множителей
*?-^?^*. *-^?*£*. ' <9-4о>
согласно которым и соотношениям (9.38),
№р = -N$9 N<$ = -N$\ (9.41)
Кроме того, как следует из (9.39), имеют место равенства
80

"r upiA 'r иРи% (9-42)
/ ^ТТ dr=0 и / -+Г- dr=0 при q = р.
Обратимся теперь к коэффициентам связи Rpq (9.28), в которых
гря = W- <?и'' v"> = W S 7 У11"" ?°u(P)rfr =
iVP iVP о
= ^- / 7 («Ф* - *Ы + « - ФО dr.
ЧР о
Учитывая структуру собственных функций (9.37), соотношения (9.36),
(9.42) и формулы (9.40), (9.41), из приведенного общего выражения для rpq
получаем
W = -£й №"> *ш)р) - о. ф = ■£* <№*'. ***) = о,
ар-ау-ем го, в#-р.
>М . _ jo,
^ AW-AW-^ JO, g+-p.
Таким образом, в изотропном волноводе коэффициенты связи Rpq
оказываются равными:
[0, 9 * -Р
1 . а (9.43)
*/£? = *£* = о, ^ = ^рТ' = I
Заметим, что полученные значения коэффициентов связи Rpq справедливы
и для нерегулярного изотропного волноводного канала.
В случае изотропного волновода решение задачи разбивается на ТМ- и
ТЕ-части:
Р ж — 00 ^* J
а для коэффициентов А^ш) в регулярном волноводе мы приходим к системам
волноводных уравнений
dA^m) 1 (9.44)
—fa- - й$* + ± А<**> ctg в = 0 р = ± 1, ±2, ±3,....
Поскольку по форме волноводные уравнения для ТМ- и ТЕ-полей одинаковы,
то в дальнейшем мы будем опускать индексы е, т.
В изотропном волноводном канале вследствие сферичности согласно (9.43)
возникает связь только между нормальными волнами с номерами р и —р. В
результате этого система волноводных уравнений для регулярного волновода
распадается на бесконечный набор попарно связанных дифференциальных
уравнений (9.44). Перепишем эти уравнения в следующей форме:
dA I dA 1
-jf-UpAp+ 2>LpCtg0 = O, -jjf+iXpA-p + ^Ap ctg 0 = 0, p>\,
(9.45)
6 Г. И. Макаров и др.
81

где во втором уравнении учтено соотношение (9.36), и построим их решение.
С этой целью введем новые неизвестные функции:
А+р = Ар + А_ру Ар = Ар- А_ру (9.46)
уравнения для которых получаются из (9.45) и имеют вид
dA+ I dA~ I
-^- - ikpA- + ±A+p ctge = О, -^- -ЙрА+"- 2 Ар *&в = 0.
Из первого уравнения следует
^Ч(^+^'с,8в)'
(9.47)
Подставляя это выражение для А~ во второе уравнение, мы приходим к
ж
! + .
дифференциальному уравнению второго порядка для Ар
d2A+p
dO2 " p 2 ^sin20 ' 2"* "J J "р
Это уравнение заменой
А+р = у/Щв а+р (9.48)
сводится к уравнению для присоединенных функций Лежандра [79]
d2a+D л da+D
+
с^-аГ+^-йЦ^-о,
частными решениями которого являются функции
*%-!*(**в), Р%-хп1см(л-0)Ъ vp = Wp+i/4. (9.49)
Поскольку vp есть комплексное число (в силу комплексности Ар), то
присоединенные функции Лежандра (9.49) представляют собой
линейно-независимые решения уравнения для ар. При этом p^_i/2(cos0) стремится к
нулю при в -* 0 и имеет особенность при в « я, а /^х) _ 1/2 [cos (^ - 0) ] стремится
к нулю при в -* я и имеет особенность при 0 в 0 [79 ]. Поскольку мы
рассматриваем решение вне области расположения источников в > 0, то в силу
требования ограниченности решения при в в л мы должны положить
а+р = Brfl _ 1/2 [cos (ж - 0) ], (9.50)
где Вр** const. Значение этой константы определяется источником, и для ее
нахождения необходимо построить решение неоднородных волноводных
уравнений. Из соотношений (9.48) и (9.47) с учетом выражения (9.50) следует
А+ = Вр /ihT? fty-m [cos (л - в) ],
а согласно (9.46)
^р = "К \Ар + ^»р)> А„р = ^ v^p ~" Ар).
Используя полученные результаты, нетрудно найти выражения для
компонент электромагнитного поля. Так, для компоненты 2% мы получаем
82

^ = 77Ш^(А^ + Л-^Р)
или, принимая во внимание (9.38), (9.48) и (9.50),
К = 7S? 2 А>* = 7 2 BpuWI - иг [COS (я - 0) 1,
р=1 р»1
что совпадает по форме с результатом, полученным ранее в разд. 8 другим
путем (с помощью преобразования Ватсона из ряда зональных гармоник).
Таким образом, нормальные волны с номерами р и —р в сумме образуют
«единую» нормальную волну, угловая зависимость которой описывается
присоединенной функцией Лежандра. Коэффициенты разложения Ар и А_ру которые
можно назвать комплексными амплитудами парциальных нормальных волн,
имеют громоздкие выражения, содержащие присоединенную функцию
Лежандра и ее производную. Эти выражения существенно упрощаются, если
использовать асимптотическое представление присоединенной функции Лежандра.
В диапазоне СДВ имеет место неравенство
ка» 1.
Поскольку, как это следует из приведенных во второй главе результатов,
для основных нормальных волн \кр\ ~ 0 (Ла), то согласно (9.49)
vp«Ap (9.51)
и lvpl ~ 0 (ка), то есть lvpl » 1. Тогда для углов 0, удовлетворяющих
неравенствам
lvpl sin в » 1 и lvpl sin (я — 0) » 1
и соответствующих волновой зоне по отношению к источнику и антиподу
(код » 1, ка (ж — в) » 1), мы можем воспользоваться асимптотическим
представлением присоединенной функции Лежандра [79]:
Fty-in [cos (л - в)] ~У-^£ё cos [vp & " в>> + ж/41
В результате с учетом равенства (9.51) получим
п
АР ~ Вр V —Е cos [кр (ж - 0) + */4],
Лр « -Wp V —Е sin [кр (ж - 0) + */4],
Лр - A<?eW, А.р « Л<>" V = А^е*-*,
ще ^4^, Л(Д — постоянные величины:
40) = 5РV^ ехр (-Й^ - i*% АУР = ВРУ^ exp (Aft + ,'") .
Таким образом, в волновой зоне по отношению к источнику и антиподу
коэффициенты разложения Ар практически экспоненциально зависят от
продольной координаты 0. Этот результат совпадает с ранее полученным (9.29)
при пренебрежении коэффициентами связи Rpq в волноводных уравнениях
для регулярного (Гр7в0) волновода. Пренебрежение коэффициентами связи
83

Rpq эквивалентно, по крайней мере для изотропного регулярного волновода,
использованию асимптотических представлений для коэффициентов Ар (в) в
волновой зоне по отношению к источнику и антиподу.
5. Перейдем теперь к построению приближенного решения системы вол-
новодных уравнений для нерегулярного анизотропного волновода. С целью
упрощения вол новодных уравнений пренебрежем в них членами, содержащими
коэффициенты связи Rpq. Можно ожидать по аналогии с регулярным
изотропным волноводом, что такое пренебрежение приведет к малой погрешности
порядка max {(&я0)-1, [ка (ж —в) ]-1}. Хотя следует заметить, что в
анизотропном волноводе ситуация оказывается более сложной, поскольку, вообще
говоря, все коэффициенты связи Rpq отличны от нуля и вопрос о
соответствующей погрешности по существу не исследован.
При пренебрежении членами с Rpq система волноводных уравнений (9.28)
принимает вид
dA +oc (9 52)
-^-гХрАр+ 2 ГРЯАЯ = 0, р= ±1,±2, ±3, ...
q = —оо
Для построения ее однозначного решения необходимо задать граничные
условия. При этом надо иметь в виду, что система (9.52) справедлива только
в волновой зоне (по отношению к источнику и антиподу), так что
сформулированные ранее условия ограниченности решения при 0 -* 0 и л
использовать нельзя. Сформулируем приближенные граничные условия, опираясь на
известное решение для регулярного волновода и его асимптотическое
представление в волновой зоне при пренебрежении кругосветными волнами, о
которых шла речь в разд. 3. Для простоты будем считать, что нерегулярность
волноводного канала занимает ограниченный интервал углов в G (0Н, 0К),
причем начало нерегулярного участка находится в волновой зоне по отношению
к источнику (ка Он» 1). Тогда при 0=0Н мы можем в качестве падающего
поля использовать асимптотическое представление поля при пренебрежении
кругосветными волнами в регулярном волноводе со свойствами начального
регулярного участка, т. е. задать начальные значения коэффициентов
разложения
Ар (0Н) = А™ (0Н) при р>+1, (9.53)
отвечающих нормальным волнам, распространяющимся от источника. При
в > 0К решение задачи в пренебрежении кругосветными волнами должно
содержать только нормальные волны, идущие в сторону увеличения 0, поэтому
АР (0*) = 0 при р < -1. (9.54)
Условия (9.53) и (9.54) и представляют собой приближенные граничные
условия для системы волноводных уравнений (9.52).
Для построения решения системы волноводных уравнений используют
различные методы, зависящие от величин коэффициентов связи Грд. С целью
качественной оценки этих коэффициентов преобразуем выражение (9.28) для
них. Продифференцируем по 0 уравнение для собственной функции ия и
умножим скалярно результат дифференцирования на \р. Тогда с учетом
условия биортогональности (9.26) мы приходим к соотношению при р * q
Используя для второго слагаемого в левой части формулу Лагранжа (9.13)
и учитывая выражение (9.28) для Гpqy из (9.55) получаем
84

ldLr «
,yp) +
РЧ
NP (К ~ А,)
iMd
(9.56)
где функция
представляет собой внеинтегральный член в формуле
Лагранжа. Можно показать, что в случае, когда при г«а + 0 среда является
регулярной (однородной вдоль координаты в) и изотропной, в частности
1ожно показ
(однородно»
(duq \
обладает свойствами вакуума, функция Ф —г-9 \р
= 1АГ 1 1 ур
к дв [е.,; (а, в)J V*
имеет вид
fduq
дв
,vp\ =ттх
dul
а дг
т. е. определяется нерегулярностью свойств земной поверхности и обращается
в ноль для регулярной земной поверхности, свойства которой не зависят от
0. Из выражения (9.56) следует, что коэффициент связи Гpq> вообще говоря,
неограниченно возрастает при кр -* kqy т. е. при совпадении собственных
значений в некоторой точке на трассе распространения (появление точки
кратного спектра) или при наличии так называемого явления локального
вырождения. В этом случае для построения решения системы волноводных
уравнений необходимо провести ее преобразование к системе уравнений с
голоморфными коэффициентами [30]. Рассмотрение этой задачи выходит за
рамки данной монографии, поэтому мы ограничимся кратким обсуждением
ситуации, коща на трассе распространения нет точек локального вырождения
и коэффициенты связи Тря ограничены.
Одним из методов построения решения системы волноводных уравнений
является метод последовательных приближений, который на первом шаге
приводит к так называемому приближению ВКБ (Вентцеля, Крамерса, Бриллю-
эна) [80], отвечающему адиабатическому приближению, или приближению
геометрической оптики. В нерегулярном волноводе имеет место трансформация
(рассеяние) нормальных волн друг в друга, описываемая коэффициентами
локальной связи Ypq. Рассеяние нормальной волны «самой в себя» в принципе
легко учесть, перейдя от коэффициентов разложения Ар к новым неизвестным
функциям
(9.57)
Ар = ар ехр
-/г
рр'
= ар ехр
(" 1Грр(
Уравнения для коэффициентов ар получаются из системы (9.52) и имеют
вид
dap
d9
- iXpap + 2 Tpqaq = 0»
qm-co
(9.58)
Г = J
1 рч A
при р = qy
Tpg exp / (Tpp - Tgq) d6' при р * g.
Граничные условия для системы (9.58) следуют из (9.53) и (9.54):
85

ap (0„) = A™ (0H) прир>+1,
аР(в*) = 0 при р< -1.
(9.59)
Далее, имея в виду применение метода последовательных приближений
для построения решения системы уравнений (9.58), целесообразно перейти от
нее к системе интегральных уравнений. Если положить
аР (0) = Ср (в) ехр
(9.60)
то для функций Ср (в) из системы (9.58) мы получаем систему
дифференциальных уравнений
dC
q.-m
i S Q-p - К)
c0 = o,
которая с помощью интегрирования по в и учета граничных условий (9.59)
сводится к системе интегральных уравнений
«•
I I / 0-р ~ *q) О
Ср = Ар^(ви)- 2 / Гр,ехр
q ж -во вн
Cqd6\ p > + 1,
ср = 2 / Гря ехр
q ж —«
if (Ap-A,)rf^
Cq <Ю\ р< -1.
(9.61)
Именно к этой системе интегральных уравнений и можно применить метод
последовательных приближений, считая в нулевом приближении
С<р0) = А™ (0Н) при р > +1, С<р0) = 0 при р < -1, (9.62)
а для нахождения следующего приближения подставляя под знак интеграла
предыдущее. Нулевое приближение (9.62) соответствует пренебрежению связью
между нормальными волнами (Грд -* 0 или Трд -* 0). В первом приближении
учитывается однократное рассеяние (трансформация) д-й нормальной волны
в р-ю и т. д. Однако с увеличением номера приближения возрастает
громоздкость соответствующих ему выражений — в л-м приближении решение дается
n-кратной бесконечной суммой n-кратных интегралов. Поэтому фактически
метод последовательных приближений целесообразно использовать, когда
основным является нулевое приближение, а первое (и, тем более, следующее)
дает малую поправку к нулевому.
Используя соотношения (9.57), (9.60) и выражения (9.62), мы приходим
к приближению ВКБ для коэффициентов Ар (в):
А?Нв) =
ЛГ(0н)ехр \i J kpd0'-f Г
\ *н 0
о,
рр'
р> +1,
р< -1.
(9.63)
Коэффициент локальной связи Трр
представим в виде
" 2Nn (Ю
(9.64)
86

откуда с учетом выражений (9.28) для Грр, (9.27) для Np и соотношения
(9.24), между собственными функциями сопряженного и исходного поперечного
операторов следует
1 * 1 fdaf(n) п/ ч ди$(п) в/ ч диР(п) _. ч
ди$(п) п, ч ди{(-п) п/ ч диР(-п) _, ч
^-*W-^«ff(n)}-r.
M(-n) D/ ч die? D/ J J (9.65)
дв
При использовании выражения (9.64) экспоненциальный множитель в
(9.63) ехр — / Трр dO' , описывающий трансформацию нормальной волны
«самой в себя», оказывается равным
ylNp(G)/Np{e) ехр [ - / ур <1в\ ,
где ур дается формулой (9.65). Из нее следует, что ур*0, если собственная
функция ир не зависит от знака направляющего косинуса п. Последнее имеет
место для изотропного волновода и для анизотропного волновода при
распространении вдоль геомагнитного экватора, на котором л = 0. В результате
приближение ВКБ (9.63) может быть записано в следующей форме:
Af> (в) = А™ (0„) V^jH ехР (*' ]кР d6' -SYpdd'), р>+1,
Ар(в) = 0, р<-\.
Подставляя это выражение в разложение (9.10), мы получаем приближение
ВКБ для вектор-функции Ш:
&°> (г, в) = 2 A™ (0„) y/Np{0)/Np{d) ехр
р=1
/ 9
\ 9Н
- $Ур<10'\ и* (г, в).
о ; (9.66)
Учитывая выражения (9.4) для модифицированных компонент поля ев и
1ц и соотношения (8.5) между модифицированными компонентами и
компонентами электромагнитного поля Еа и Л£; для последних из (9.66) нетрудно
получить формулы, соответствующие приближению ВКБ. В частности, для
радиальной компоненты электрического поля находим
Е?У = -7= X Л? <«-> V¥W «Р (iSlp № ~
г Vsin в ~г у * Np{0) ^ 9н
- SYpdd] Hf(r, в).
(9.67)
87

Коэффициенты Лрад (0Н) в (9.66) и (9.67) должны браться из решения
задачи в волновой зоне для регулярного волновода, которое было построено
в разд. 8. Согласно полученному там выражению (8.59), для источника,
представляющего собой короткую линейную вертикальную антенну, центр
которой расположен на расстоянии г - Ъ от центра Земли,
лпад.д Z(M, /ХДРГ и? (г, 0; /, т, -п)
лр Wo- b У 2ж Np(0) X
х ехр (ар (0) 0Н - /jr/4), (9 68)
где, вследствие регулярности волновода при 0 Е (0, 0„), Ар (0„)=Ар (0),
Wp (0„) = Wp (0) и и? (г, 0Н; /, т, —я) = и£ (г, 0; /, т, —л). Подставляя (9.68)
в формулу (9.67) и записывая слагаемое Хр (0) 0Н в показателе экспоненты в
виде интеграла /Арс/0, окончательно получаем
о
Ет = Z0Iohee-^4 " ^_Mf (г, в; I, m, n)nf (г, 0; /, m, -n) x
в
х ехр i/АР<Л9' - fypd0'
(9.69)
В приближение ВКБ (9.69) входит характерный для геометрической оптики
«фазовый» множитель ехр \ifkpd0' , выделяются высотные множители для
«я» „ ТОЧк„ „аблк.ди», опийные соох.е.ст.ев-0 КОМпо-ентам„
собственных функций и$ (г, 0; /, т, —я) и и$ (г, 0; /, т, я), и содержится
множитель [Np (0) Np (0) ]~1/2, который в регулярном волноводе равен Л^"1.
Последний множитель в нерегулярном волноводе учитывает влияние «площадки
взлета» и «площадки приземления» на величину коэффициента возбуждения
нормальной волны. Следует заметить, что наряду с этими «стандартными»
для приближения ВКБ множителями в (9.69) входит еще множитель
ехр
( 9 \
-jA,d9' L
I о /
который для анизотропного волновода отличен от единицы
(за исключением распространения вдоль геомагнитного экватора).
Приближение ВКБ широко используется в литературе для анализа
процессов распространения при учете изменения зенитного угла Солнца и
геомагнитного поля вдоль трассы распространения. Правда при этом не
учитывается отличие ур от нуля, и в выражении (9.69) множитель VAp (0) обычно
заменяется на у[ка , поскольку в диапазоне СДВ для основных нормальных
волн, формирующих поле, А „ =* ка.
Как уже отмечалось, приближение ВКБ для решения системы волноводных
уравнений (9.52) соответствует пренебрежению связью между нормальными
волнами различных номеров, их взаимным рассеянием. Для учета этого
эффекта в приближении однократного рассеяния следует использовать первое
приближение для решения системы интегральных уравнений (9.61):
I i S (ЛР " А,) </0" | d9'A™ (0H), р > +1,
а = 1 В» I
88
С W = А™ (вн) -
оо в
~ 2 / Tpq ехр
Я = 1 *н

С? = 2 S Г„ exp
i I (Яр ~ я?) ,
</0'4!ад(0„), р<-1.
В первом приближении по сравнению с нулевым (9.62) появляются
дополнительные слагаемые, соответствующие однократно рассеянным вперед
(р 5* +1) и назад (р ^—1) нормальным волнам. Эти слагаемые
пропорциональны интегралам, подынтегральная функция которых содержит коэффициенты
связи Tpq (9.58) (или Трд) и экспоненциальный множитель
ехр
в"
i I (АР " A,) d&*
. Значения интегралов существенно зависят от периода
осцилляции экспоненциального множителя и, вообще говоря, уменьшаются с
уменьшением периода. Поскольку для основных нормальных волн Хр**кя**
=* ка, то период осцилляции для рассеянных назад нормальных волн (р ^ —1,
Яр = —А|р|) по координате в составляет величину я/(ка), что соответствует
половине длины волны, если от в перейти к расстоянию i? - аО вдоль земной
поверхности. Для рассеянных вперед нормальных волн (р ^+1), как показывают
результаты численных расчетов и экспериментальные измерения [11],
пространственный период изменений вещественной и мнимой частей
рассматриваемого экспоненциального множителя составляет величину порядка 2 тыс. км.
Поэтому в том случае, когда пространственный масштаб нерегулярности свойств
волновода (коэффициента связи Т~я) много больше длины волны, т. е.
нерегулярность является крупномасштабной, основное рассеяние происходит вперед,
а обратное рассеяние по сравнению с прямым пренебрежимо мало.
Первое приближение можно использовать, если амплитуды рассеянных
вперед волн достаточно малы (при заданной точности построения решения)
по сравнению с амплитудами нормальных волн в приближении ВКБ. По мере
увеличения коэффициентов связи Гря, в частности за счет уменьшения
пространственного масштаба нерегулярности свойств волновода, амплитуды
рассеянных волн возрастают и приближение однократного рассеяния становится
непригодным. В этом случае необходимо учитывать процессы многократного
рассеяния, которые в схеме метода последовательных приближений
описываются следующими приближениями. Как уже отмечалось, эти приближения
оказываются очень громоздкими по форме и неудобны для численных расчетов.
Поэтому при сильной связи между нормальными волнами следует обратиться
к численным методам интегрирования исходных волноводных уравнений (9.52).
При численном интегрировании системы уравнений (9.52) необходимо
проводить ее усечение, т. е. ограничиваться некоторым конечным числом 2М
нормальных волн:
dA M (9 70)
-^ - ЙрЛр + 2 Тряая = °- Р = ± 1, ± 2, ... , ±М,
q = -А/
а затем использовать методы интегрирования систем дифференциальных
уравнений с граничными условиями вида (9.53) и (9.54), задаваемыми для
комплексных амплитуд прямых и обратных нормальных волн соответственно в
начале и в конце нерегулярного участка волновода.
6. Одним из наиболее распространенных методов численных расчетов поля
в нерегулярных волноводах является так называемый матричный метод. Согласно
этому методу нерегулярный участок волновода аппроксимируется набором
конечного числа N — 1 регулярных участков, что схематически изображено на
рис. 3.2. В каждом регулярном участке коэффициенты связи Гpq равны нулю,
система волноводных уравнений (9.70) расщепляется и имеет решение
89

8,-0 *г 'У 8l"e"1 '""*
Af (в) = A? (*#) ехр [Й« (в - в,) ],
Рис 3.2. К аппроксимации нерегулярного участка
волновода конечным числом регулярных участков
(9.71)
где индекс / — номер соответствующего регулярного участка.
На поверхностях в - 6h являющихся границами раздела регулярных
участков волновода, должны выполняться граничные условия — условия
непрерывности касательных к этим поверхностям компонент электромагнитного
поля Л£, Еп Ev, Жп т. е. вектор-функции Ш (9.4) и ее разложения (9.10):
2 АУ-ЪфйиРи-Ъш ^ А}Р(Р,)игП9 /= 1, 2, ... N.
-м
-А/
Умножим скалярно это равенство на функцию v^(/) и воспользуемся
условием биортогональности (9.26), которое для отдельных регулярных участков
имеет вид
<upW, уЖО) = N(J)dpr
В результате мы приходим к выражению для комплексных амплитуд на
левом конце /-го регулярного участка А$ (0j) через комплексные амплитуды
на правом конце (/ — 1)-го участка д£/_1)(0р):
а/ (9 72)
Ар{в,)- 2 г&/"%(,_1)(в/). р=±1, ±2, ...±М,
q= -M
^'"г) = ^<»,(/"г)> v'(/)>-
Далее, учитывая поведение А^ на /-м участке, даваемое формулой (9.71),
выразим А(Р (0/ + i) через Л(^ (07):
К (в/ + 0 = Л W (0,) ехр (Д<? Д07), де, = вj + х - 07. (9.73)
Последовательное применение (9.72) и (9.73) при /= 1, 2, ... N позволяет
связать друг с другом комплексные амплитуды А^ (6N) — А^ (вк) и А^ (0Х) -
= Л(Р0) ((9Н). Найдем эту связь, используя векторную форму записи. Введем
вектор-функции комплексных амплитуд:
-«-(£8).
А">+ (0)= Mf> (0), Л<* (0) ... Л# (0)}, AW" (0)= {Л<2 (0), ^ (0) ... Л<& W}.
Тогда соотношения (9.72) и (9.73) могут быть записаны соответственно в
виде
А»(в#) = &-'-»А<>-»ф,), А<*(0/+1) = fi + i'WV,),
(9.75)
90

£
У./-1) =
(£a.i-D
i s+ +
{&.'" 1}}«» - ^[LhД. Й + u "U - exp IA», Д0, ]*„.
Здесь m, лв1, 2, ... M, знаки плюс и минус слева и справа берутся
одинаковыми, величины ^'^Д определяются выражением (9.72).
Используя последовательно соотношения (9.75), получаем
А^ (вО = &1- °>А<°> (вО = &1- °>А<°> (0Н),
А*1) (в2) = ^2' ^А^ (00 = %2> V&1- 0)А<°> (0Н),
А(2) (в2) = £2' *>А<» (в2) = £2' *#2- ^ °>А(0) (вн)
и т. д. Отсюда следует выражение для А(/) (07) через А(0) (0„):
А(/) (вО = Q(/)A(0> (0Н), (9.76)
£(1) _ |U. 0)? £(2) _ |*2, 1) ^2, 1)|U, 0)?
£(/) = £/. /-1) £/. /-1) _ £2. 1) jjfe. l)£l. 0)^ z > д.
Полагая в (9.76) 1 = N, находим соотношение между А(0) (вн) и A(7V) (0К) =
-А<">(0„);
А(Л0 (0*) = £>(Л°А<°> (0J. (9.77)
Если учесть выражения (9.74) для вектор-функции комплексных амплитуд
и представить матрицу Q^ в виде
/ Л
Q(A0 =
(9.78)
Ik™
то соотношение (9.77) можно переписать в следующей форме:
А(А0+ (в0 = ЗД?А«»+ (в0 + Qi^A^- (0Н),
А^- (0^ = Q^A(oH (0н) + q(aoA(o)- (0н)) (9.79)
где А(/)+ и А(/)_ представляют собой вектор-функции комплексных амплитуд
прямых и обратных нормальных волн соответственно.
Используем теперь граничные условия (9.53) и (9.54) рассматриваемой
задачи, которые в векторной форме имеют вид
А<°>+ (в0 = Апад (в0 и А<">- (в0 = 0.
С их учетом из соотношения (9.79) мы получаем выражение для вектор-
функции комплексных амплитуд обратных волн А(0)~ (0Н), отраженных от
нерегулярного участка волновода (0Н, 0К);
А(0)- (вО = ЛАпад (0Н), R = - [&_»} Г1^, (9-80)
и выражение для вектор-функции комплексных амплитуд прошедших через
нерегулярный участок нормальных волн:
А(А0+ (0к) = т-Апад (0Н), Т = Q™ - QMR. (9.81)
Матрицы R (9.80) и Т (9.81) можно назвать матричными коэффициентами
отражения и прохождения соответственно.
91

Таким образом, при данном подходе (аппроксимации нерегулярного участка
волновода набором регулярных) задача сводится к численному расчету
матричных коэффициентов отражения и прохождения на основе формул (9.75),
(9.76), (9.78), (9.80), (9.81). Вектор-функция If на 1-м регулярном участке с
учетом (9.71) дается выражением
м
&* = 2 ЛЦ> (в,) ехр [Й<? (в - в,) ] и"»,
в котором комплексные амплитуды А$ (07) находятся как компоненты
вектор-функции А(/) (07), определяемой формулой (9.76)
Изложенную схему расчета электромагнитного поля в нерегулярном
волноводе можно существенно упростить, если принять во внимание отмеченную
ранее малость амплитуд рассеянных обратных волн по сравнению с
амплитудами прямых волн и пренебречь обратными волнами. Тогда решение задачи
строится на основании соотношений (9.75), которые могут быть записаны в
следующем виде, если использовать выражения (9.74) и (9.75):
А<*+ (*,) = ^V-DA^ + (0,) + ^-W-*- (0;),
АО" (0,) = ^-DAC-1)* (07) + $/._/-DA^-*)- (0у),
А(/)+ (0/+ 0 = ^ х- ^А«+ (07), А^- (0/+ 0 = Я/+ *' °AW- (*,).
При пренебрежении обратными волнами (А(/)~ (0) в0) из этих соотношений
следует
А(/)+ (0,) = fVv'-^A"-^ (0,), A">+ (0/+1) = %+1-»АО» (в,).
Как и раньше, последовательно используя эти формулы и учитывая, что
А<°>+ (0Н) = Апад (0Н), мы получаем
АО+ (0,) = ^А"3" (0Н), (9.82)
^ = Hv-4^'"4 - UV^frA /> з.
Выражение (9.82) совместно с (9.71) непосредственно дает решение задачи
о поле в /-м регулярном участке. При l=*N из (9.82) следует
А^+(бд = ГпрАП!«(0н).
где Тпр = gW — приближенное выражение для матричного коэффициента
прохождения. При пренебрежении обратными волнами заметно сокращается объем
вычислений— не требуется расчета матриц £г+/_1)> |^,-~1)» £*-'-"х)» в 2 раза
уменьшается порядок используемых матриц, отпадает необходимость разбиения
матриц QN) (9.78) на блбки и обращение матричного блока О^Ц. Поэтому при
расчетах электромагнитных полей в волноводе Земля—ионосфера на переходных
трассах, пересекающих терминатор, обычно используется упрощенная методика,
отвечающая пренебрежению обратными волнами [72 ]. Численные расчеты,
полученные с помощью такой методики и в приближении ВКБ, приводятся далее.
10. ХАРАКТЕРИСТИКИ НОРМАЛЬНЫХ ВОЛН
И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ
1. Для нахождения электромагнитных полей, возбуждаемых вертикальным
электрическим диполем в волноводе Земля—ионосфера с анизотропной верхней
стенкой, как уже отмечалось, необходимо опираться на численные методы
92

расчета. При исследовании полей регулярного волновода используются
различные подходы [2, 57—68 ]. В основе алгоритмов, приведенных в [2, 67 ],
лежит вычисление функций Ханкеля с комплексным значком и их
производных, входящих в характеристическое уравнение для собственных значений.
При этом для нахождения этих функций используются интегральные
представления Сонина—Зоммерфельда, в которых контуры интегрирования
проходят через соответствующие седловые точки [2], либо метод аналитического
продолжения функций с вещественной оси в комплексную область [67].
Другой возможный подход, который был использован при получении
приведенных в настоящем разделе результатов, базируется на непосредственном
интегрировании уравнений для радиальных функций [57, 68]. В качестве
таких функций можно использовать, например, функции
№ (*) = X? (х) /X? (ко), &ш) (х) = X™ (х) /X™ (ка), (ЮЛ)
которые, будучи в силу (8.42) и (8.45) линейными комбинациями аналогов
цилиндрических функций, удовлетворяют дифференциальному уравнению
(10.2)
Коэффициенты поляризации xj i/2 (8.57), нормировочные множители
л^_1/2 (8.56) и характеристическое уравнение для собственных значений
(8.46) нетрудно выразить через функции (10.1).
Отдельный член ряда зональных гармоник для полного поля (8.21),
используя (10.1), можно записать в следующем виде:
[ С?/?(кг) Рв (cos 0), r<b <10-3>
П<* = {с?/? (кг) - ад [ftl> (kb) ft* (кг) - ft* (кЬ) ft1* (кг) ]} х
[ xPn(cosO)9 r>b
П(») = СШДт) (Ar) pa (cos Q)y
где ап дается соотношением (8.18).
Подчиняя потенциалы (10.3) приближенным граничным условиям (8.20)
при г« а и полагая импеданс не зависящим от п:
6& (п) = d(iD) (п) = (5,
получим
дх
= -И 6.
X" ка
(10.4)
Из граничных условий (8.20) при r = d можно найти
rw _ -.„ - /^ (kb) \fi# (kd) + JA22 («)Ла) (kd)] (Ю.5)
C„ -Iwc„Z0 p(n)A«(kd)
<p(n)={ [Mu (n) /J* (kd) + f* (kd) ] \fimy (kd) +
+ iA22 (n) Лш) (kd) ] + A12 (n) A21 (n) /<*» (kd) f? (kd)} Z0, <Ю.6)
-ь = Ci^ Л21(»)/Г(Ы) (ЮЛ)
* С » Z0 [/J-)' (Ы) + M22 (n) /i"» (Ы) ] •
Штрихи в формулах (10.5) и (10.7) обозначают производную от радиальных
функций по аргументу.
93

Далее, как и в разд. 8, можно с помощью преобразования Ватсона перейти
от рядов зональных гармоник к интегральным представлениям для потенциалов.
Вычисляя эти интегралы по вычетам в полюсах v„ определяемых уравнением
<р (V, - 1/2) = 0, (10.8)
в котором функция <р (Vs — 1/2) дается формулой (10.6) при n~V, — 1/2,
получим выражение для потенциалов:
PU2 "
иг?- г/г -
(/?-i/*(*r) ]
каг dip (v - 1/2)
/?-i/a(*»)/>,,-i/i (-CQ8 0)
„£_1/2 cosv^ ' (10Л
X
2v,Z0 rfv
f!?.1/2(kd) (10.10)
/^'i/2 (W) + ^22 (v, - 1/2) Л« 1/2 (Ы) e
Компоненты электромагнитного поля находятся элементарно с помощью
(10.9) и описываются формулами (8.55) или (8.59).
2. Основную трудность в вычислительном плане представляет нахождение
собственных значений vs — нулей трансцендентного уравнения (10.8),
включающего в себя радиальные функции и производные от них по аргументу.
В соответствии с алгоритмом [68 ] для нахождения собственных значений V,
используется модифицированный метод Ньютона, который позволяет вычислять
любое наперед заданное количество собственных чисел с одним и тем же
начальным приближением:
v<r 1) ш „- _ р (vw _ 1/2) / (^ (v^ 1/2) -
s~1 л ч (10.11)
Здесь v^ — m-e приближение к искомому собственному значению \>s.
Итерационный процесс (10.11) продолжается до тех пор, пока относительная
погрешность вычисления V, не станет меньше заданной (10_6 в нашем случае).
В качестве нулевого приближения берется значение v*.0) = kr0, где г0 — верхняя
граница области ионосферы, существенной для распространения волн в
волноводе (слои, расположенные выше г0, не влияют (с заданной точностью) на
поля в волноводе). Заметим, что под нижней границей ионосферного слоя
(границей вакуум—ионосфера) при численной реализации можно понимать
уровень г = rf, на котором тензор относительной комплексной диэлектрической
проницаемости ионосферы с заданной точностью становится диагональным
(еши = 1)> либо нижнюю границу существенной области. Исследование
существенных областей представляет собой самостоятельную задачу, проводится
различными методами [19, 81—84] и выходит за рамки настоящей работы.
Из (10.8), (10.6) и (10.11) вытекает, что для определения V, необходимо
найти при x = kd значения /f? 1/2 (jc), f^\/2 (*), их частные производные по х и
V, а также элементы матрицы А (V — 1/2) и их частные производные по V.
Решение разбивается на два этапа. На первом этапе интегрируются от х = ка
94

до x = kd линейные дифференциальные уравнения (10.2) и уравнения,
полученные дифференцированием (10.2) по V, с начальными условиями при х**ка:
fS-i/i (*) - 1. дх " «>> dv " 0, dxdv - у10Л2)
На втором этапе проводится интегрирование от хe £r0 до х = к<1 системы
нелинейных дифференциальных уравнений (8.14) для элементов А (V —1/2)
и системы, полученной из (8.14) дифференцированием ее по V. В качестве
начальных условий для первой системы используется матрица, полученная из
нее при условии
дА(у - 1/2)
дх
= 0.
Начальные условия для второй системы имеют следующий вид:
дА(\> - 1/2)
dv
= 0.
х = кг0
Численное интегрирование дифференциальных уравнений проводилось
методом Рунге—Кутта четвертого порядка точности. Рассчитанные таким образом
значения радиальных функций и их производных по х и V, а также элементов
матрицы А (V — 1/2) и их производных по V использовались при решении
характеристического уравнения.
После нахождения vs не представляет труда вычислить остальные
характеристики нормальных волн — коэффициенты возбуждения (8.60),
непрерывные множители (10.10), коэффициенты поляризации (10.7) и высотные
множители (10.1), а также составляющие электромагнитного поля (8.59).
Относительная погрешность в определении максимальных значений компонент
поля в наших расчетах не превышала 1%.
3. Используемые для расчетов профили электронной концентрации Ne (//) и
эффективной частоты соударений электронов с нейтральными частицами и ионами
ve (//) Ш = г — а) приведены на рис. 3.3. Сплошными линиями изображены
профили, описывающие дневное состояние ионосферы, штриховыми — ночное
состояние. Мы будем использовать следующие обозначения для моделей
ионосферы: день I — сплошные кривые для Ne и \>е на рис. 3.3, помеченные цифрой I
и соответствующие дневной модели [85]; день II —сплошные кривые II для Ne
и v^ соответствующие дневной модели [86 ]; ночь I — прерывистые кривые I для
Ne и Ve, соответствующие ночной модели [85]; ночь II — прерывистые кривые II
для Ne и v^ соответствующие ночной модели [86] (на высотах, меньших 100 км,
дневные и ночные значения ve (//) описываются одной кривой).
Земля при расчетах считалась однородной по глубине и характеризовалась
следующими относительными диэлектрическими проницаемостями ет и
удельными проводимостями а:
морская вода
влажная почва
сухая почва
мерзлотная почва
ледовый покров Антарктиды или Гренландии
£т
80
20
10
5
3
(7,См/м
4
10~2
10~3
ю-4 <
5 • 10~5
95

Компоненты геомагнитного поля соответствуют средним широтам северного
полушария (~ 36°). Расчеты проводились для следующих направлений
распространения: юг—север (Ю—С), север—юг (С—Ю), запад—восток (3—В),
восток—запад (В—3).
/У.км
10° W ml W*He.W*
т* jo* iP w ъ*-1
Рис. 3.3. Профили электронной концентрации Ne(H) и
эффективной частоты соударений электронов с нейтральными
молекулами и ионами v <>(//) для двух моделей ионосферы
Кривые I [85]: сплошные — день I, штриховые — ночь I; кривые II
[86]: сплошные — день II, штриховые — ночь II. На высотах,
меньших 100 км, дневные и ночные значения v e (Я) описываются
одной кривой
4. Обсуждение характеристик нормальных волн начнем с коэффициентов
затухания
as = Im vs/a.
В соответствии с (3.12) коэффициент затухания нормальной волны номера s
является величиной, обратной параметру Rs — аналогу толщины скиц-слоя 5-й
волны. Ниже приводятся значения коэффициентов затухания в децибелах на
мегаметр, которые связаны с мнимой частью собственного значения
соотношением
as (дБ/Мм) ~ 1,36361m v„ a = 6370 км.
Как было показано в разд. 8, вертикальный электрический диполь
возбуждает в анизотропном волноводе квазиТМ и квазиТЕ нормальные волны.
При описании результатов расчетов представляется удобным нумеровать
нормальные волны раздельно для каждой поляризации, введя вместо s индекс
суммирования т.
На рис. 3.4 приводятся зависимости коэффициентов затухания ат от
частоты для первых пяти квазиТМ нормальных волн (сплошные кривые) и
четырех квазиТЕ-волн (штриховые кривые). Расчеты соответствуют дневной
модели ионосферы (день I), влажной почве (ВП) и направлению
распространения юг—север. С понижением частоты ат увеличиваются, что соответствует
наличию критических частот для мод ТЕ (т - 1, 2, ...) и ТМШ с/и^2, Для
96

<*ет,Дб/ММ
1 i i 1 '" I '" l
10 10 30 W 50 ^кГц,
Рис. 3.4. Зависимости коэффициентов затужния от частоты
для дневных условий распространения
Сплошные кривые соответствуют квазиТМ нормальным волнам,
штриховые — квазиТЕ нормальным волнам
квазиТМ1-волны, как показывают расчеты, на частоте ~3,1 кГц имеется
максимум коэффициента затухания ~54 дБ/Мм (волноводный минимум для
поля). Минимальным затуханием в области частот от ~5 до 50 кГц обладает
волна квазиТМх.
Аналогичные зависимости ат if) для ночных условий распространения
представлены на рис. 3.5 (ночь I, влажная почва, Ю—С). Минимальное
затухание в диапазоне частот от 2 до 35 кГц имеет здесь волна квазиТЕх.
При этом на любой частоте из этого диапазона коэффициент затухания волны
квазиТЕх меньше дневного значения коэффициента затухания квазиТМх-моды
(ср. с рис. 3.4).
об,,,, дБ/Мм
Рис. 3.5. То же для ночных условий распространения
7 Г. И. Макаров и др. 97

РИС. 3.6. Иллюстрация влияния геомагнитного поля на Рис. 3.7. Иллюстрация влияния геомагнитного
коэффициенты затухания дневного волновода поля на коэффициенты затухания ночного
волновода
Ночные зависимости ат (f) для рассматриваемой модели волновода по
сравнению с дневными имеют более немонотонный вид. В частности,
коэффициент затухания квазиТЕ^моды помимо максимума на частоте ~4 кГц
имеет минимумы на частотах ~22 кГц и 1,8 кГц. Последний минимум
приводит к аномальной зависимости поля от частоты в СНЧ-диапазоне.
По мере увеличения частоты зависимости а </), отвечающие разным
значениям т, сближаются (см. рис. 3.4 и 3.5) и поле, как функция расстояния,
должна иметь все более осциллирующий характер.
Влияние геомагнитного поля на коэффициенты затухания ат нормальных
волн иллюстрируют графики на рис. 3.6 (день I) и рис. 3.7 (ночь I). Данные
относятся к влажной почве и диапазону частот 5—25 кГц. Сплошными линиями
на рис. 3.6 изображены зависимости ат if) для изотропного случая (Н0 = 0),
соответствующие TE/D(m = l, 2) нормальным волнам, штриховыми — ат if)
квазиТЕш-волн, рассчитанные с учетом геомагнитного поля (направление
распространения юг—север). Штрихпунктиром нанесены разности Ааш для ТМт
нормальных волн
Aeff = аш (Н0 = 0) -ат (Ю—С).
Значениям ат соответствует левая, а значениям Да^ — правая шкала на
рис. 3.6. В дневных условиях анизотропия оказывает ббльшее влияние на
коэффициенты затухания ТЕ^-мод, чем на ат ТМ^-волн. Максимальное
отличие коэффициентов затухания ТМХ и квазиТМ^волн наблюдается на
частоте 5 кГц и составляет величину —1 дБ/Мм. В диапазоне частот 12—
22 кГц анизотропия практически не влияет на TMi-моду: Аа^ здесь не
98

а*ш,дб/Мм
<*л7,лб/Мм
Ю-С
10 /;кГц
Рис. 3.8. Частотные зависимости коэффициентов
затухания ТМ-мод для различных направлений
распространения в ночном волноводе
20 /-кГц
Рис. 3.9. Частотные зависимости
коэффициентов затухания ТЕ-мод для различных
направлений распространения в ночном волноводе
превышает по модулю 10~2 дБ/Мм. При прочих равных параметрах
анизотропия оказывает меньшее влияние на ат мод с более низкими номерами.
Коэффициенты затухания ТМш-волн ночного волновода (рис. 3.7)
испытывают большее влияние анизотропии, чем соответствующие значения дневного
волновода.
Для сопоставления влияния анизотропии в дневных и ночных условиях
рассмотрим моды с минимальным затуханием. В изотропном волноводе как в
дневных, так и в ночных условиях минимальным затуханием обладает волна
ТМХ (вертикальный электрический диполь в этом случае не возбуждает ТЕ
нормальные волны). При учете анизотропии в дневном волноводе минимальный
коэффициент затухания имеет квазиТМ^мода, при этом в диапазоне 5—25 кГц
он отличается от аг волны ТМХ примерно на 10%. В рассматриваемой модели
ночного анизотропного волновода минимальным затуханием обладает мода
квазиТЕ^ коэффициенты затухания которой описываются штриховой линией
для TEi на рис. 3.7 и заметно отличаются от ах для ТМХ, соответствующей
изотропному случаю (сплошная линия для ТМХ). Так, на частоте 5 кГц ах
волны квазиТЕх примерно в 2 раза меньше ах волны TMi. Следовательно,
влияние анизотропии в этом случае более заметно проявляется в ночных
условиях.
На рис. 3.8 и 3.9 изображены частотные зависимости коэффициентов
затухания ат квазиТМ^, (т - 1, 2, 3) и квазиТЕш (т = 1, 2) нормальных волн
(в дальнейшем ТМШ и ТЕШ, для краткости) для различных направлений
распространения в ночном волноводе. Зависимости am{f) для направлений
распространения север—юг и юг—север описываются сплошными кривыми.
Штриховые линии соответствуют направлению запад—восток, а
штрихпунктирные — восток—запад. Отметим прежде всего то обстоятельство,
что графики иллюстрируют явление невзаимности, обусловленной наличием
геомагнитного поля, при направлениях распространения запад—восток и
восток—запад и отсутствие этого явления при направлениях распространения
7*
99

а*л?Дб/Мм
I i i i i I i i ш P*—L—f
J 10 IS 10 /;кГц S W IS 10 fiKTu.
Рис. ЗЛО. Зависимости коэффициентов затухания от Рис. 3.11. Зависимости коэффициентов затухания от
частоты для двух дневных моделей ионосферы частоты для двух ночных моделей ионосферы
Штриховые кривые [85] — день I, сплошные [86] — день II Штриховые кривые [85] — ночь I, сплошные [86] — ночь II
север—юг и юг—север. Минимальным затуханием обладают ТМш-волны,
распространяющиеся с востока на запад, максимальным — с запада на восток (см.
рис. 3.8). С увеличением номера т при фиксированной частоте в области
10—20 кГц отличие в атУ соответствующих направлениям запад—восток и
восток—запад, растет. Что касается коэффициентов затухания ТЕш-волн
(рис. 3.9), то в отличие от коэффициентов ТМШ волн минимальное затухание
на частотах до 20 кГц наблюдается при направлении запад—восток, а
максимальное при направлении восток—запад.
Влияние модели ионосферы на коэффициенты затухания ТМШ (т = 1, 2,
3) и ТЕШ (wb1, 2) нормальных волн показано на рис. 3.10 для дневных и
на рис. 3.11 для ночных условий распространения. Данные соответствуют
направлению распространения юг—север и влажной почве. Штриховыми
линиями изображены зависимости атф для моделей «день I» и «ночь I»
[85], сплошными — для моделей «день II» и «ночь II» [86] (напомним, что
профили электронной концентрации и эффективной частоты соударений,
описывающие эти модели, представлены на рис. 3.3). Отличие коэффициентов
затухания волны ТМХ для рассматриваемых дневных моделей (рис. 3.10)
составляет величину ~0,4 дБ/Мм на частоте 5 кГц и 0,8 дБ/Мм на частоте
25 кГц. Коэффициенты затухания волны ТМХ для ночных моделей заметно
отличаются (рис. 3.11), что обусловлено большим отличием ночных профилей
Ne (Я) в существенных областях по сравнению с дневными. С увеличением
номера т нормальной волны влияние изменения модели (как дневной, так и
ночной) становится более заметным.
Обсудим, наконец, влияние нижней границы волновода — Земли — на
коэффициенты затухания нормальных волн. На рис. 3.12 приведены зависимости
<*т (Л трех первых ТМ волн для дневных условий (день I) и направления
распространения юг—север. Сплошные линии соответствуют т = 1, штриховые
/71 = 2, штрихпунктирные т = 3. Кривые, помеченные цифрой 7, рассчитаны
для ледового покрова Антарктиды или Гренландии, 2 — для мерзлотной, 3 —
для сухой, 4 — для влажной почвы, 5 — для морской воды (случай о = оо
описывается этой же кривой). Коэффициенты затухания для хорошо прово-
100

дящих трасс 3—5 слабо зависят от свойств
трассы — максимальное отличие в коэффициенте аг
при переходе от сухой почвы к морской воде в
диапазоне частот 5—25 кГц составляет величину
—2,3 дБ/Мм, в а2 на частотах 10—25 кГц
~4,7 дБ/Мм, в а3 на тех же частотах
—3,8 дБ/Мм* Уменьшение проводимости трассы
приводит к более сложному виду зависимости
коэффициентов затухания а1 и а2 от частоты и
свойств трассы (сплошные и штриховые кривые
7 и 2 на рис. 3.12). Кривые аг ф и а2 (/),
соответствующие ледовому покрову, в области
частот 19—20 кГц сближаются. При этом, как мы
увидим, фазовые скорости сф1 и сф2, определяемые
реальными частями собственных значений vx и
v2, также сближаются. Таким образом, мы имеем
здесь ситуацию, близкую к вырождению
квазиТМх и квазиТМ2 нормальных волн.
На коэффициенты затухания ТЕХ- и ТЕ2-мод
проводимость Земли оказывает более слабое
влияние. На рис. 3.13 для ТЕ-волн приводятся
разности
Да<?-ав <*) -ат <а-оо), *« 1-4,
,дб/Мм
Ю /;к.гц
Рис. 3.12. Частотные зависимости
коэффициентов затухания ТМ-мод для
различных свойств нижней стенки
дневного волновода
где ат (к) — коэффициенты затухания, рассчитанные для модели Земли,
соответствующей индексу к, а ат (о= оо) — для идеально проводящей Земли.
Значения коэффициентов затухания для Ь5 и а=» с точностью наших
графиков совпадают. При изменении свойств трассы от морской воды до
ледового покрова (проводимость при этом меняется примерно на 5 порядков)
максимальное изменение коэффициента затухания ТЕх-моды на частотах 10—
25 кГц составляет величину —0,2 дБ/Мм (на 10 кГц), а для ТЕ2-моды это
значение равно ~1 дБ/Мм.
Л05^Дб/ММ
День I
ю-с
ТЕ,
ТЕг
0,5 V
/>*Гц
Рис. 3.13. Иллюстрация влияния свойств нижней стенки
дневного волновода на коэффициенты затухания ТЕ-мод
101

5. Фазовая скорость нормальной волны номера т на поверхности Земли
Сфт в соответствии с (3.13) определяется реальной частью собственного
значения:
Введем в рассмотрение значение
^ = сфю/с-1, (10.13)
где с —скорость света в вакууме (в наших расчетах св 2,9979247 • 105 км/с).
i3
/;кгц
Рис. 3.14 Зависимость значений $ш-10 от частоты
для дневных условий распространения
Сплошные линии — ТМ-моды, штриховые — ТЕ-моды
103,
На рис. 3.14 изображены частотные зависимости значений fim • 10J,
соответствующие дневной модели ионосферы (день I), влажной почве и
направлению распространения юг—север. Сплошные линии относятся к ТМ^-модам
(т = 1ч-5), штриховые —к ТЕ^-модам (т = 1-М). Как и коэффициенты
затухания (рис. 3.4), фазовые скорости нормальных волн (кроме ТМХ)
увеличиваются по мере приближения к критическим частотам. Фазовая скорость ТМХ-
моды имеет максимум на частоте ~3,4 кГц (fix ** 6,2 • 10~3) и при /— 2,5 кГц
равна скорости света. Для рассматриваемой дневной модели фазовая скорость
ТЕ^-волны на частотах до —60 кГц при прочих равных условиях превышает
Рис. 3.15. То же для ночных условий
распространения
102

Сфт волны ТМШ. С увеличением номера т частота, на которой фазовая скорость
совпадает со скоростью света, растет как для ТМШ , так и для ТЕш-мод.
Минимальной фазовой скоростью в рассматриваемом диапазоне частот обладает
волна ТМХ.
Аналогичные зависимости для ночной модели приводятся на рис. 3.15
(ночь I). В отличие от дневных условий здесь наблюдается пересечение кривых
Рт Ф Для ТМХ- и TEi-волн на частоте —22 кГц, для ТМ2- и ТЕ2-волн —при
/ — 38 кГц и для ТМ3- и ТЕз-волн — при / ~ 52,5 кГц. Отметим, что на этих
частотах имеется максимум в зависимостях коэффициентов затухания ат (f)
для ТМш-волн и минимум для ТЕш-волн (см. рис. 3.5).
Для иллюстрации влияния геомагнитного поля на фазовые скорости
нормальных волн введем в рассмотрение разности
д£2> -/зя Шо = 0) -рш <ю-С),
где Рт (Н0-0) —значения (10.13), рассчитанные для изотропной модели
волновода, а Рт (Ю—С) — для анизотропной модели, отвечающей направлению
распространения юг—север. На рис. 3.16 (день I) и рис. 3.17 (ночь I)
приводятся значения 1ф*£ • 103. ТМш-модам (сплошные кривые) соответствует левая
шкала на рис. 3.16, ТЕш-модам (штриховые кривые) —правая шкала. В
дневных условиях геомагнитное поле больше влияет на фазовые скорости ТЕт-волн,
чем на Сфт мод ТМШ. Максимальное отличие в значениях fim для ТМХ- и
квазиТМ1-волн на рассматриваемых частотах равно —3,5 • 10~\ а для ТЕ2 и
квазиТЕх —6 • 10~3. В ночных условиях (рис. 3.17) фазовые скорости ТМш-мод
испытывают бблыпее влияние анизотропии, чем днем. В частности,
максимальное отличие значений fim для ТМХ- и квазиТМ^волн равно здесь —7 • 10~3.
Рис. 3.16. Иллюстрация влияния геомагнитного Рис. 3.17. То же для ночного волновода
поля на фазовые скорости нормальных волн дневного
волновода
С увеличением номера т на частотах до —23 кГц А/Зт растет как для ТМ
так и для ТЕШ нормальных волн.
На рис. 3.18 для ночной модели волновода приводятся разности
д/?2> -рт (Ю-о -рт о-в),
Д8<ш3) -Д. (Ю-С) -рт (В-3),
(ШЛЮЗ

>«*,„J
TMm7Jfw
TMjj,,AJ}jp
Ttmy Afm
Рис. 3.18. Иллюстрация влияния направления
распространения на фазовые скорости нормальных волн ночного
волновода
умноженные на 103. В формулах (10.14) через/Зт (3—В), /Зт (В—3) обозначены
значения flm для направлений распространения запад—восток и восток—запад
соответственно. Сплошными линиями изображены разности A$(J\ a
штрихпунктирными — Д/?^ для ТМт-мод; штриховыми £ф$ и линиями с двумя
точками— Д/?^ для ТЕт-мод. Значения Дб(,2) монотонно меняются от ~4 •
Ю-4 на 10 кГц до 1,5 • Ю-4 на 25 кГц. Все ТМш-волны (т = 1, 2, 3)
распространяются быстрее в меридиональном направлении, чем с запада на восток,
все ТЕ^-волны (т = 1, 2) распространяются быстрее с востока на запад, чем
в меридиональном направлении. Максимальное отличие в фазовых скоростях
ТМХ- и ТЕх-волн при изменении направления запад—восток на восток—запад
наблюдается на частоте 5 кГц (меняется третий знак фазовой скорости).
Минимальное отличие в фазовых скоростях TMi-волн при таком же изменении
направления распространения на частотах 10—15 кГц, меняется пятый знак
фазовой скорости.
Лень
Ю-СМ
лв?-ю*
Рис. 3.19. Иллюстрация влияния модели ионосферы
на фазовые скорости нормальных волн дневного
волновода
Ч^2 /0-С.ВП
\
Рис. 3.20. То же для ночного волновода
104

Влияние модели ионосферы на фазовые скорости нормальных волн
иллюстрируют графики на рис. 3.19 и 3.20, на которых изображены значения
WW-Pm (День I) -0Ш (день II), Д#?-/9Я (ночь I) -рш (ночь II),
умноженные на 103. В дневных условиях (рис. 3.19) отличие в фазовых
скоростях, как и в коэффициентах затухания, меньше для ТЕх-моды, чем для
ТЕХ. Максимальное отличие для ТМх-волны наблюдается на частоте 5 кГц,
где Д/^4) « 6 • 10~4. В ночных условиях на частотах 5—15 кГц отличие в
фазовых скоростях ТМх-волны также меньше, чем у TEi-волны. На частоте
5 кГц имеем значения A8i5), равные ~2 • 10~3 для ТМХ и ~3 • 10~3 для
TEi-моды (рис. 3.20).
Обсудим теперь зависимость скоростей нормальных волн от свойств Земли.
На рис. 3.21 изображены кривые fim ф • 103 для трех первых ТМ-мод (день I,
Ю—С), соответствующие следующим трассам: 1 — ледовая, 2 — мерзлотная,
3 — сухая, 4 — влажная. Кривая 5 соответствует морской воде (случай а = со
описывается этой же зависимостью). На хорошо проводящих трассах (кривые
3—5) фазовая скорость ТМш-волны уменьшается с ростом частоты и слабо
зависит от свойств почвы. Ухудшение проводимости трассы приводит к
немонотонной зависимости сф1 и сф2 от частоты. В случае ледового покрова
Лснь1
г^\Ж Ю'С,ТМт
V-+\\ тч
\>
fyliVll, Рис. 3.21. Частотные зависимости значений 0т\О
для различных свойств нижней стенки дневного
волновода (ТМ-моды)
Антарктиды или Гренландии (кривые Л, как уже отмечалось выше,
наблюдается «предвырожденная» ситуация: в окрестности ~20 кГц кривые /Jx (J) и
/*2 (/) сближаются (ср. с рис. 3.12 для коэффициентов затухания). На ТЕш-моды
проводимость Земли оказывает меньшее влияние, чем на ТМ^-моды. На
рис. 3.22 приводятся разности
умноженные на 103. Здесь /Jm (к) относится к трассе, обозначенной номером
к. С ростом частоты зависимости Дв^ для разных проводимостей Земли
сближаются, т. е. фазовая скорость сфш ТЕш-волны все менее зависит от
свойств Земли. Так, на частоте 25 кГц значение Д/?^6) для ледового покрова
105

J/ff-W3
Рис. 3.22. К оценке влияния свойств нижней
стенки дневного волновода на фазовые скорости
ТЕ-мод
равно ~10~5, т. е. фазовая скорость ТЕх-волны в этом случае отличается от
фазовой скорости для бесконечно проводящей Земли на три единицы шестого
знака.
6. Модули коэффициентов возбуждения нормальных волн 1ЛШ1 (8.60) (для
удобства вместо индекса vm — V2 будем писать индекс т) в зависимости от
частоты изображены на рис. 3.23 (день, направление распространения юг—
север, влажная почва). Сплошные линии описывают ТМш-моды, штриховые —
ТЕш-моды. Модули коэффициентов возбуждения ТМш-волн всегда превышают
соответствующие значения для ТЕт-волн, что обусловлено влиянием типа
источника поля (в изотропном случае радиальный электрический диполь воз-
W 20 30 40 50 /*,кГи,
Рис. 3.23. Частотные зависимости модулей коэффициентов
возбуждения нормальных волн дневного волновода
106

Рис. 3.24. То же для ночного волновода
буждает лишь ТМ-поле). В низкочастотной области рассматриваемого
диапазона это превышение может достигать двух порядков.
Аналогичные результаты для ночных условий распространения приводятся
на рис. 3.24. Здесь цифры у кривых обозначают номер моды. Значения 1ЛШ1
для ТМш-мод с m - 4-s-8 слабо меняются в диапазоне 12—60 кГц и составляют
величину 2,5—5. Кривые \Am(f)\ при mel, 2, 3 для ночи имеют более
немонотонный (по сравнению с дневными условиями) характер, обусловленный
особенностями профиля электронной концентрации и ббльшим влиянием
анизотропии в ночных условиях.
Модули коэффициентов поляризации хът (10.7) изображены на рис. 3.25
(день I) и рис. 3.26 (ночь I). Величина 1x^,1 для ТЕш-мод всегда больше
соответствующих значений для ТМш-мод (I хът I для ТЕ4—ТЕ8-мод на частотах
10—60 кГц равен —0,8—1,4). Как и модули коэффициентов возбуждения,
1x^,1 (при т = 1, 2, 3 в диапазоне до 60 кГц) в ночных условиях более
немонотонны, чем дневные кривые.
Распределение поля первых пяти мод по высоте Н = г—а>
характеризующееся высотными множителями /£ (кг), /£> (кг) (10.1) и d/£ (kr)Id (кг),
dfg? (kr)/d (kr) у описывающими в соответствии с (8.55) компоненты поля Е9
и Я*, представлено на рис. 3.27—3.29 (день I, юг—север, влажная почва,
Рис. 3.25. Зависимости модулей коэффициентов Рис. 3.26. То же для ночных условий распространения
поляризации нормальных волн от частоты для
дневных условий распространения
107

Рис. 3.29. Модули высотных множителей fS
для пяти первых мод
10 кГц). Поле нормальной волны номера т имеет характер стоячей волны
по поперечной координате, причем нижний индекс т описывает число
полуволн, укладывающихся на высоте волновода (в нашем случае h = 54 км). На
малых высотах модули высотных множителей /$ (Я) ТМ поляризованных
волн убывают с ростом Я (рис. 3.27), a \f£> (Я) I ТЕ-волн растут с увеличением
Я (рис. 3.28). Амплитуда полуволн \fg* (Я) I значительно превышает
соответствующие значения \/£ (Я) I (модуль импеданса 1й1 =7,45 • 10_3). Модули
функции/^' (Я) (штрих обозначает производную по кг), которыми описывается
^-компонента поля, изображены на рис. 3.29. Высотным зависимостям
\д/£у (Н)\ соответствуют те же кривые, что и зависимостям 1/^(Я)1
(рис. 3.27), что обусловлено малостью импеданса (1й1 « 1).
7. Типичные зависимости модуля радиальной составляющей электрического
поля (8.63) от расстояния R между передатчиком и приемником, находящимися
на поверхности Земли, изображены на рис. 3.30, а—е. Графики соответствуют
излучаемой в свободном пространстве мощности Ри = 1 кВт. Зависимости приво-
108

0,5 1,0 1,5 10 2JS R, Мм
|fr|,MB/M
ночь I
/о-с,вп
JkTu,
2,5 *,Мм
НОЧЬ I
ю-с,вп
;^кга
25кГц
2,5 Я, Мм
Рис. 3.30. Зависимости модуля радиальной составляющей электрического поля от расстояния R для дневных (в)
и ночных (б, в) условий распространения

дятся для частот 5, 10, 15, 20 и 25 кГц в диапазоне расстояний от 0,3 до
3 Мм. С увеличением частоты зависимости I Er (R) I приобретают все более
осциллирующий вид, обусловленный многомодовостью. В дневных условиях
(рис. 3.30, а) поле на 5 кГц описывается одной модой на всех расстояниях
и имеет монотонный характер. Ночью (рис. 3.30, б) на той же частоте
необходимо учитывать три моды, а на 25 кГц —до 15 мод на малых
расстояниях (рис. 3.30, в). Соответствующие рис. 3.30 зависимости аргумента
функции ослабления W (8.62) от расстояния R представлены на рис. 3.31.
Линейная зависимость arg W (R) наблюдается в дневных условиях (рис. 3.31,
0,5 1,0 15 1,0
j— XL
15 ~fi,MM
Рис. 3.31. Зависимости аргумента функции ослабления от расстояния R для дневных (а) и ночных (б, в) условий
распространения
а) и соответствует одномодовому приближению (5 кГц в области 0,3—3 Мм,
10 кГц —в области 1,5—3 Мм, 15 кГц —в области 2,6—3 Мм). В ночных
условиях функции arg W(R), как и \ЕГ (/01, более немонотонны (рис. 3.31,
б—в). На высоких частотах (20 и 25 кГц) на расстояниях R ~ 0,4-5-0,5 Мм
наблюдается резкое увеличение фазы (примерно на я), которому соответствуют
глубокие минимумы поля (см. рис. 3.30, в).
Частотные зависимости модуля функции ослабления для 7 расстояний в
диапазоне от 0,1 до 10 Мм приводятся на рис. 3.32. На всех расстояниях в
ночных условиях и вплоть до R = 5 Мм днем имеются области частот, где
I W\ превышает единицу. Днем модуль функции ослабления принимает
максимальное значение (I W\ =2) при R = 1 Мм на частоте —16 кГц (рис. 3.32,
а), ночью —при Л=1 Мм на частоте —6 кГц (!Ж1вЗ,4; рис. 3.32, г).
Значительное превышение I W\ над единичным значением (и следовательно,
превышение поля над его значением над идеальной плоскостью) обусловлено
наличием дополнительной отражающей области — ионосферы. Ночные
ио

м
о
Л
День I
Ц1Нн
0,5
\Л
Г \ / \А ! bj
-LJL
5 6 7 8310
v
Ч'
-L.
-L.
Я7 J0
ДО/; кГц
N
0" ^ ^//ь I
/ V \ 5
\
5 6 7в910 20 30 ДО/;кГц
30 ДО/; к Гц
5 6 7 8310 20 30 Wfinfu,
5 6 78910
30 Wfrtfu,
W
Рис. 3.32. Частотные зависимости модуля функции ослабления для дневных {а, б)
распространения (Ю—С, ВП)
20 30 Wf.tfu,
и ночных (в—е) условий

день I
/0-£вП
юкгц
Рп>П><и
/?,Мм
Ночъ1
Ю-С, ВП
10 кГц
20 кГц
Рис. 3.33. Зависимости поляризационных ошибок от расстояния R для дневных (а) и ночных (б) условий
распространения
зависимости I W (f) I, как и зависимости I W (R) I имеют более сложный
интерференционный характер по сравнению с дневными.
На рис. 3.33 для частот 10 и 20 кГц приведены зависимости от расстояния
функций
1 4
<рп = -2 arctg
2g cos tp
i-s2'
где g = | H9/Hy |, rp = arg ( H9/H^) , характеризующих ошибки рамочных
пеленгаторов (так называемые поляризационные ошибки). Днем (рис. 3.33,
а) на расстояниях, больших 1 Мм, <рп не превышает единиц градусов. Ночью
(рис. 3.33, б) в целом поляризационные ошибки больше, чем днем, и
J*. град
гоо
W0
0
^^С\
^ /VI
V/ V
1
/7
А
j
i_-....
и 1
Ы
1.
Л,мкВ/м
ЛЮ
Л2.0
IS
19
23
W UT
Рис. 3.34 Суточные вариации амплитуды и фазы
сигнала на трассе NWC—Киото (Л-6,8 Мм, /- 15,5 кГц)
Сплошные линии — эксперимент [87]
112
Рис. 3.35. Суточные вариации амплитуды и фазы
сигнала на трассе Либерия—Ленинград (С.-Петербург) (R - 6,9
Мм, /-13,6 кГц)
Сплошные линии — эксперимент ЛГУ (С.-ПбГУ) [88]

зависимости <рп (R) имеют более осциллирующий характер (минимум при
R =* 0,4 Мм на частоте 10 кГц достигает значения —25°).
8. Выше обсуждались особенности поведения характеристик нормальных
волн и электромагнитных полей в регулярном по угловым координатам
волноводе. Некоторые результаты расчетов для нерегулярного волновода,
полученные В. И. Ивановым на основании изложенного в разд. 9 матричного
метода и метода ВКБ, представлены на рис. 3.34—3.37 (штриховые линии).
Здесь же нанесены экспериментальные данные, полученные в [87] (рис. 3.34),
в ЛГУ [88] (рис. 3.35), в Омском государственном педагогическом институте
(рис. 3.36) и в Институте космических исследований и распространения
радиоволн Дальневосточного отделения Академии наук (рис. 3.37).
Рис. 3.36. Суточные зависимости фазы на трассе
Алдра—Омск (Л-3,4 Мм, /-10,2 кГц)
Сплошная линия — эксперимент ОГПИ
Ж Л Т ЖШШК Z ЛШ
Рис. 3.37. Сезонный ход фазы в полночь в средней точке
трассы Алдра—мыс Шмидта (R *» 5 Мм, /- 13,6 кГц)
На рис. 3.34 и 3.35 изображены суточные вариации амплитуды А и фазы
<р, рассчитанные на ЭВМ и измеренные экспериментально. Расчетные и
экспериментальные кривые совмещены по полуденным отсчетам.
Экспериментальные кривые получены усреднением за интервалы от нескольких дней до
месяца. На рис. 3.36 приводятся суточные зависимости фазы (в циклах) на
трассе Алдра («Омега-А»)—Омск. На рис. 3.37 представлен сезонный ход фазы
в полночь в средней точке трассы Алдра («Омега-А») — мыс Шмидта.
Сравнительно хорошее совпадение теоретических и экспериментальных
результатов, приведенных на рис. 3.34—3.37, обусловлено тем, что при
расчетах использовалась многопараметрическая модель электронной
концентрации, разработанная в ЛГУ [88] на основе большого массива
экспериментальных данных и учитывающая зависимость параметров от ряда геофизических
факторов (зенитного угла Солнца, широты, месяца и цикла солнечной
активности).
/2 8 Г. И. Макаров и др.

Глава 4
РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН, ВОЗБУЖДАЕМЫХ
ЭЛЕМЕНТАРНЫМИ ИЗЛУЧАТЕЛЯМИ, РАСПОЛОЖЕННЫМИ
В ИОНОСФЕРЕ
В этой главе мы обсудим проблему возбуждения волновода
Земля—ионосфера элементарными излучателями (электрическими и магнитными),
расположенными в ионосфере. Развитые ранее методы решения [89—95 ] базируются
в основном на плоской модели волновода. В наиболее общем случае [93] для
нахождения полей в волноводе с неоднородной по вертикали анизотропной
ионосферой используется плоская геометрия с последующим учетом кривизны
Земли с помощью метода модифицированного индекса рефракции.
Построенное ниже решение изложено в работах [32—34] и основано на
использовании обобщенной теоремы взаимности для анизотропных сред [96],
которая позволяет свести обсуждаемую проблему к нахождению полей,
возбуждаемых в ионосфере излучателями, расположенными в волноводе. При
этом необходимо построить решение волноводной задачи для различных типов
излучателей и найти решение уравнений Максвелла для ионосферы.
При определении полей, возбуждаемых в волноводе вертикальным
магнитным диполем, а также горизонтальными электрическим и магнитным
диполями, мы опираемся на решение волноводной задачи для вертикального
электрического диполя, построенное в разд. 8 для сферической модели
волновода с неоднородной по высоте и регулярной по угловым координатам
анизотропной ионосферой. Решение уравнений Максвелла для неоднородной
по радиальной координате анизотропной среды сводится к задаче прохождения
плоских волн через плоско-слоистые среды [75, 97, 98, 28]. После сшивания
касательных составляющих электрического и магнитного полей на верхней
стенке волновода находятся ионосферные поля. Далее с помощью обобщенной
теоремы взаимности строится решение исходной задачи возбуждения волновода
элементарными излучателями, расположенными в ионосфере.
В конце главы приводятся результаты численных расчетов,
иллюстрирующие основные особенности распространения радиоволн на трассе
космос—Земля.
II. ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЯ ВОЛНОВОДНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ
ВЕРТИКАЛЬНОГО МАГНИТНОГО, ГОРИЗОНТАЛЬНОГО
ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО И ГОРИЗОНТАЛЬНОГО МАГНИТНОГО ДИПОЛЕЙ
1. Мы используем здесь ту же постановку задачи, что и в разд. 8 для
вертикального электрического диполя, и рассмотрим сначала в качестве
источника вертикальный магнитный диполь, расположенный при вв О на
расстоянии Ъ от центра Земли. Объемную плотность дипольного момента такого
источника обозначим через PJ,:
К = РЪт*п К = П (2ЯГ2 Sin в)'1 д (Г - *) д (в - 0),
114

где F*m — величина дипольного момента.
С помощью принципа поляризационной двойственности (см. разд. 1 [46])
систему уравнений Максвелла можно свести к дифференциальным уравнениям
для электрического и магнитного потенциалов:
Lr = ri-^+k2ri, Ц> =
1 д . д
sine desm° эв,
п =
п(ш)
Граничные условия для п-й зональной гармоники сохраняют вид (8.20);
мы их перепишем для удобства:
iA<&— + к, kA^Zo1
-А®
дг' дг
ikA®) Zo1
ПС)
= 0,
(yr + i*&lXn)
гк
д_
дг + д{а\п)
П<">
= 0.
(11.2)
Для построения решения сформулируем принцип перестановочной
двойственности, который вытекает из инвариантности уравнений Максвелла и
граничных задач (8.16), (8.20) для вертикального электрического и (11.1),
(11.2) вертикального магнитного диполей относительно преобразований
Е(е) _ Н(ш)) Е0») «_» H<^ nW «— -П(т), (11.3)
-р1,(К~ -П). £о
Vo»
мй£ + *
«!•(»)
+ *МЙ|, М®~-А%—9
(11.4)
(11.5)
Заметим, что преобразования (11.4) в соответствии с формулами (8.36) —
(8.38) приводят к следующим преобразованиям элементов матрицы
сферического коэффициента отражения от ионосферы:
R(<*) +.+ ft(mm)^ д(ет) ^ Д(лк*. (11.6)
Из преобразований (11.5) в соответствии с (8.22) вытекают преобразования
элементов матрицы сферического коэффициента отражения от Земли
р$~р™. (11.7)
В свою очередь, из выражений (8.42), (8.45) и (11.7) следует, что
рассматриваемые граничные задачи инвариантны также относительно
преобразования радиальных функций
A$4x)~AS»>(z). <118>
Применяя принцип перестановочной двойственности (11.3), (11.6)—(11.8)
к формулам (8.53), описывающим решение задачи для вертикального
электрического диполя, можно найти компоненты электромагнитного поля,
возбуждаемые вертикальным магнитным диполем. При этом нормировочный
множитель A^_i/2 в соответствии с формулами (8.49), (8.50) следует заменить
на нормировочный множитель
M?-i/2 = ка2 (*,) -iplf-ia (1 - p^i^f-i*)-1 *>' (V - 1/2),
cosv^r,
(11.9)
8*
115

а коэффицент поляризации х^_г/2 (8.51) —на обратную величину
1/^-1/2 =^-1/2^1/2(1 -P^-I^f-^)-1- OLIO)
Заметим, что в последнем случае использовано характеристическое
уравнение (8.46).
Опираясь на выражения (11.3)—(11.10), сформулируем окончательно
условия перестановочной двойственности, позволяющие определить искомые поля
с помощью решения для вертикального электрического диполя:
Е(*) _ ни»)э Ем _ Н(^ П(*) _ -п^)^ €q _ _^
^-1/2 ~ AJ-L i/2, К—П, Mf-l/2—Mf-l/2, ^-1/2- 1/Ч-1У2. (1Ы1)
В результате из (8.48) получаем выражение для потенциалов
П = ^2-£ (1/^'"Ч(М?-1«)"1^-1«(**)Ч-1д(*г)/»Уж-^(-СОвв), .
в котором П и Ху _ i/2 (£г) — одностолбцовые матрицы вида (8.21).
Значения компонент поля вытекают из формул (8.53):
Р* а2 А (*' - V4) ^Д1/2 (Щ
Рва2 " Aj"Lxe(*4)
Е*=^^ ^ v *#- *{кг) <-1й (_cos в)'
ЦГ° s-1 ^,-1Я
7*U2 - (v,2-V^AJ-L^^)
Hto'0 c = i дус - х/г^с -1/2
* = 1
Hfe0'° , . i **, - 1/2"»-, - 1/2
", - ^ 2 «Л^, *?- иг (*) Л - * ("cos б).
W , = 1 ^, - ^^ - 1/2 (11.12)
Выражения (11.12) описывают электромагнитное поле, возбуждаемое
вертикальным магнитным диполем в полости волновода Земля—ионосфера.
Коэффициент поляризации х* _ !#, как и в случае вертикального электрического
диполя, характеризует отношение магнитного потенциала нормальной волны
номера s к электрическому. В отсутствие геомагнитного поля, как следует из
(11.10), обращается в нуль (х* -i^)"1, и вертикальный магнитный диполь
возбуждает лишь ТЕ-поле (ЕГ = Ев = Н^ = 0), которое описывается собственными
функциями и собственными значениями ТЕ нормальных волн. При наличии
анизотропии появляются ТМ нормальные волны, и вертикальный магнитный
диполь, как и вертикальный электрический, возбуждает двойной по сравнению
с изотропным случаем набор нормальных волн — ТМ и ТЕ.
116

2. Поля горизонтального (касательного к поверхности Земли)
электрического диполя найдем с помощью обобщенной теоремы взаимности для
анизотропных сред (см. [96], разд. 3 [46]). Будем полагать, что диполь обладает
моментом Р£, расположен в точке У с координатами г = Ь, в = О сферической
системы координат или х = О, у = О, z = b декартовой системы и направлен по
оси х. Поле, создаваемое таким диполем в точке 2 с координатами г, 0,
обозначим Е (2), Н (2). Если поместить теперь в точку 2 вспомогательный
вертикальный электрический диполь с дипольным моментом Р£, создающий в
точке У поле Евэ (У), Нвэ (У), то применение теоремы взаимности приводит
к равенству скалярных произведений
P^B3(1,-H0) = PBJE(2,H0).
Отсюда легко находится радиальная компонента искомого электрического
поля
Ег (2, Н0) = /* (Z*)"1 [ЕГ (1, -#о) cos *> * КЭ О. ""о) sin <р ]. (11.13)
Для нахождения явного вида этой компоненты воспользуемся формулами
(8.53). При этом надо учесть, что £J3(1, -#0), ££э(1, -#0) в (11.13)
соответствуют противоположному по сравнению с рассмотренным в разд. 8
направлению распространения. Необходимо поэтому произвести в (8.53) замены
в -» -в (5 -* -S), г <— Ъ, Н0 -* -Н0.
Поскольку элементы тензора комплексной диэлектрической проницаемости
ионосферы, как следует из (8.4), обладают свойством
Еря (но) = EqP (-H), р, q = г, 0, <р, (11.14)
из (8.11) вытекает, что
Г (-5, -Н0) =
I л 42> л Ш V, ^ 12 I
(11.15)
Следовательно, преобразования
7\l *""* ~ТАА> ^12 *~* ^34> ^31 *""* ~ ^42 (11.16)
переводят матрицу f (5, Н0), задаваемую соотношением (8.11), в матрицу f
(—5, —Н0) (11.15). Подставляя (11.16) в систему уравнений (8.14) для
элементов матричного адмитанса, нетрудно показать инвариантность этих
уравнений относительно преобразований (11.16) и замены Л12 «* — Л21. Таким
образом, одновременная замена знаков угла падения и геомагнитного поля на
противоположные не меняет диагональных элементов матричного адмитанса.
Знаки же недиагональных меняются на противоположные. Заметим, что в
соответствии с (8.35)—(8.38) коэффициенты отражения RSffLu» В^^т*
произведение J^,esm2ia Ri™-m и> следовательно, характеристическое уравнение
(8.46) при этом остаются неизменными. Что касается перекрестных
коэффициентов отражения, то для них имеем
У^1/2 (-5, - Н0) = -ZlRglui (5, Н0). (11.17)
Мы теперь можем представить радиальную составляющую электрического
поля (11.13) в следующем виде
f — T
1 44>
0,
""^42>
, ^41>
^34 >
0,
^32>
-т31,
0,
-1,
о,
о,
т \
0
Тх2
"Гц
117

Er = -JT51 1 (М?- хпУ1 Q»s-1/2 (**) Х%-1/2 (kr) Pv's _ m (-cos в), (Ц.18)
О s * 1
О,,-1/2 (**) = 4f-1/2 (*») cos y> - шц0 (x[s _ гд)"1 д£>_ 1/2 (Ли) sin р, (11.19)
«.-1/2)-1 -йЦ-ъВфхп [1 "PJf- 1/2^^1/2 Г1- (И-20)
Радиальную составляющую магнитного поля найдем, применяя обобщенную
теорему взаимности для горизонтального электрического диполя и
вспомогательного магнитного диполя с моментом Р^
Нг = - -§■ [£*м (1, -Н0) cos <р - Е? (1, -Н0) sin p ].
Перепишем это выражение в явном виде, используя выражения для Ев и
Ег из (11.12):
.TxMf-l/2
"' = ~ 4^7* ^ ifiJrfn &, - 1/2 (**) *$?- 1/2 (**) < - 1/2 ("COS 0),
*S, - 1/2 = A»Jf- V2^1/2 [1 " P$?- !«*£»- 1/2 I"'-
(11.21)
(11.22)
Далее с помощью связи (8.52) радиальных компонент поля с потенциалами
легко находим из (11.18) и (11.21) электрический и магнитный потенциалы
Герца:
П = -и Л (v2-y4)M?-i/2 4*"* (*Г) '*-1й (_C°S *>'
4* ~l (W " >/4) Mf-1/2 '*"1й ( } "'" ^ ( '*
Касательные составляющие поля найдем, дифференцируя (11.23) по
координатам
е0^с - 1/2
£»- 4br ^
*»1
ш)хг 1п Т, lf2(kb)
sin0
Mm).
С, - 1/2
4f- 1/2 (*>•)< -1/2 ("COS в)
(Vf " l/4)
-1
,2 со
^ " ~4br
T„ -m(kb)
*-i
~ *»<, - Щ ~Й^ ^f- 1/2 (^) <'" 1/2 ("COS 0)
Jyvs - 1/2
(v,2 - V4)-\
(11.24)
4*r
* »i
-ho TV,-1/2 (**) .Л ., . ,
118

pW a
Я* " " ~4bF ^
(v,2 - V4)-1,
1
- „0 sin 0 Mf. ,, ^" * <*> К - * ("C0S *>] <*' " V1-
Штрих здесь, как и выше, обозначает производную по радиальной
координате от радиальной функции и производную по координате в от функции
Лежандра. Значение Q,s-in (kfy в выражениях (11.24) дается формулой (11.19),
а через 7\, _ 1а (кЬ) обозначена функция
T,s_la (kb) = -*<f_i/2 (*Z>) sin <р - ia>ju0 «у _1/2)-1 4f-1/2 (**) cos <p. (\\25)
Формулы (11.18), (11.21), (11.24) описывают электромагнитные поля,
возбуждаемые горизонтальным электрическим диполем, расположенным в
полости волновода Земля—ионосфера с анизотропной верхней стенкой.
Коэффициент я^_1/2, характеризующий отношение магнитного потенциала
нормальной волны с номером s к электрическому, можно назвать коэффициентом
поляризации для горизонтального диполя. В изотропном случае коэффициент
(xJ^-1/2)"*1 (11.20), определяемый собственными значениями и собственными
функциями ТМ нормальных волн, и коэффициент к1 _ 1/2 (11.22), определяемый
собственными значениями и собственными функциями ТЕ нормальных волн,
обращаются в нуль. При этом оба потенциала оказываются отличными от
нуля:
П^= -
Ка2 ^ ^f-i*(«) *£-!*(*) ,
ЛЬ
V» vs *"• ч ' —ys -4* ч ' п ' / лч
П<«0 = + ^°,Г 2 л.2_ „.wrfrt Л.-1Д (-COS») Sin*),
46
* = 1
(V,2- V4) Mf-1/2
а составляющие электромагнитного поля описываются следующими
выражениями:
^г = - 7ГЗГ 2 ~^^ *£-^ (*0 Л,-1/2 (-СОвв) COS*>,
Abr
S"l
'Лй*_1д(**)
-^ Xf- 1/2 (kr) />,;. 1/2 (-cos 0) +
•1/2
+ ш* -i^r *?- -(*r) < - - ("cos *>
•1/2
cosy?
v2 - V4'
*£'-ie(*ft)
«oM?-1/2 sin
-Xf_l/2(b-)<-l/2(-COS^) +
119

+ ^o^^^-1^)<-1.(-cos.)] ^
Hr =
mP^a2 " %?-т(кЬ)
4г*Ь
Мш)-
1/2
4f- in(kr) К -1/2 (-cos в) sin y>,
*--**£ i
Abr
XtP-mikb)
Hr=~
Mf-l/2
гшР^а2 '
A<f: 1й (кг) p;;_ 1/2 (-cos *) i -f^-,
4йг
*-i
'J v,2 - 44
4^'_ i/2 (kb)
-^ A<?-1/2 (*r) Л,-1/2 (-cos в) -
•1/2
J#°-!«(**)
1
COSp
- J* ■ 1 *<Д 1/2 (*Г) Л' - 1/2 ("COS в) | -f^T.
ML1/2 sin 0 y* ^ v ' ** a v vj - V4
J
(11.26)
Таким образом, в изотропном случае горизонтальный электрический диполь
в отличие от вертикального возбуждает как ТМ, так и ТЕ-поле, что обусловлено
несимметрией источника по координате <р.
3. Обратимся наконец к случаю, когда источником электромагнитного поля
является горизонтальный магнитный диполь с координатами г = Ь, в = О,
обладающий моментом РГт и ориентированный, как и рассмотренный выше
электрический диполь, вдоль оси х декартовой системы координат.
Решение такой граничной задачи легко построить, используя, как и выше,
обобщенные теоремы взаимности. Для нахождения радиальных составляющих
электрического и магнитного полей, определяющих потенциалы поля, по-
прежнему в качестве вспомогательных диполей можно использовать
вертикальный магнитный и вертикальный электрический диполи:
Ег (2, Н0) = - § [Н? (1, - Н0) cos*> - Я? (1, -Н0) sin <p ],
Нг (2, Н0) = -f [Я?м (1, -Н0) cos*>- Я™ (1, -Н0) sin? ].
* т
Другой способ построения решения основан на инвариантности граничных
задач для горизонтального электрического диполя и горизонтального магнитного
диполя относительно преобразований
ЕО* —Н<»\ Е<">~ Н«\ /*~ -/*, е0~-Иоу
х$-1/2 — л« i/2, . М?-1/2 — <L 1/2, *;, „ i/2 ~ «,. од)-1.
Оба способа определения полей эквивалентны и приводят к следующим
выражениям для составляющих поля:
^ - - ВЦ >;^1 <;-. w л;- (-cos.).
12Э
y = i
•l/2iVv?-l/2

Ен= -
Abr
2 »
s-1
ia>Vv
1^1 m sin в
r*j!?a %?-1/2 № К - ш (-cos в) +
(v2- 1/4)"1,
+ Л1'1^ XI- * <*) <- v. ("cos в)
CO^V^ - Hi™*; - 1/2
l>r 2 -
E = д Y
** 4£r ^
у * 1
ИУ5у -in (Ш ,
Л^ 4f-1/2 (*r) Л; -1« (-cos в) -
vv«. - 1/2
Ks-m(U)
«^rf-i/2Mf-i/2Sin6> "*
45-1/2 (kr)Pv'- ^ (-cos в)
(v2-l/4)-
pfa2 - S„ _ i„ (kb)
S„ -l/2(**)
-^ 4f 1/2 (*Г) Л; - 1/2 ("COS в) +
#* =
4Z>r
,2 00
* = 1
И° К - 1/2 (**) ,
Vc - 1/27V>^ - 1/2
PU2
(v2 - 1/4Г1,
Я" _ " 4йг
* = i
WSV «i/2 (&Z>)
+ yr ' W« *£-1/2 (*') Л-,-1/2 ("COS в)
Kvs - 1/2^^ - 1/2
(V,2 - 1/4)-1.
(11.27)
Функции Si,s-1/2(kb) и К, -1/2 (**) определены вытекающими из (11.19),
(11.25) выражениями
5^ _ 1,2 (**) = 4f-1/2 (**) cos р + koe0xls _ i^,?- i/2 (**) sin p,
K, -1/2 (**) = ~4f-1/2 (Щ sin p + uucqxJ,-1/2*$?-1/2 (kb) cos <p.
Коэффициент поляризации я^-1/2> как и в случае горизонтального
электрического диполя, характеризует отношение радиальной составляющей
магнитного поля 5-й нормальной волны к аналогичной составляющей
магнитного поля. Переход к изотропному волноводу осуществляется так же, как и в
случае горизонтального электрического диполя, и приводит к следующим
значениям компонент электромагнитного поля:
Er = -^^2 "m-l^T **°-ln {kr) Pv'*-ln ("cosв) sin*'
*=1
А$?-1л(М)
9 Г. И. Макаров и др.
xbmlll2(kb)
45-1/2 (кг) Р"т (-сое 0)
siny>
v2 - 1/4'
(11.28)
121

л* ~ Abr ^
S = 1
4?-1/2 (**)
'хф.т№
Мш)-
V/-1/2
^-^(^Р'юС-совв)-
M?_1/2sin6> v*
Х%-1а(кг)Р' mi-cosO)
cos y>
v2- 1/4'
pra2 - jk<«*' ftft)
йг=-^1 ""^Г 4f-iQ(^X-ia(-cos0)cosy>(
^.-f if- ?LS(^ *r-* w <- * (-cos 60 -
я =
^-1/2
cos <p
V2- 1/4'
* 4Z>r
«l/2(**)
^oMf-i/2Sin^
«1/2 (*T)< -1/2 ("COS 0) +
+ G>2*n -Ьз *£- 1/2 (*T) P>" 1/2 ("COS 0)
*° M*_
.;-i/2
sin0
V2 - 1/4*
Построенные выше решения волноводных задач для вертикального и
горизонтального электрического и магнитного диполей, описываемые
выражениями (8.53), (11.12), (11.24) и (11.27) мы используем в дальнейшем для
исследования распространения радиоволн на трассе космический аппарат—
Земля.
12. ВОЗБУЖДЕНИЕ РЕГУЛЯРНОГО АНИЗОТРОПНОГО ВОЛНОВОДА
ЭЛЕМЕНТАРНЫМИ ИЗЛУЧАТЕЛЯМИ В ИОНОСФЕРЕ
1. Обсудим сначала ситуацию, когда излучатель находится вблизи
поверхности Земли. Электромагнитные поля в ионосфере, возбуждаемые
элементарными источниками, расположенными в полости волновода
Земля—ионосфера, легко найдем, опираясь на результаты разд. 8 и 11. При этом,
естественно, мы используем ту же постановку задачи: сферическая модель
регулярного волновода с неоднородной по высоте анизотропной ионосферой.
Касательные компоненты поля 5-й нормальной волны в любой точке г, в
ионосферы можно записать в виде
g»s-H2 = с^-1/2) + С2Д*-1/2\ (12.1)
где одностолбцовая матрица 1^-1/2) определена соотношениями (8.12), а
матрицы 1^[>"*1/2), к-\у 2, — следующими выражениями:
gfc*-1/2> = ер-1/2) (г уГ^Гву1 exp (toft). (12.2)
В свою очередь, через е^~1/2) и е£*~1/2) в (12.2) обозначены два
линейно-независимых решения матричного дифференциального уравнения (8.10),
убывающие при г -* оо.
Постоянные Cls и C2s легко находятся, например, из условий непрерывности
на границе ионосферы г = d касательных составляющих электрического поля:
Си = D-1 (4Г 1/2)4'f -Щ - E$i-ln)E$f1,2)),
122

c2s = d-1 да - 1/2>4V ~1/2) - 4V ~ 1/2)4'f" 1/2))>
d = 4v" 1/2)4f"1/2) - 4f" 1/2)4V"1/2). (12-3)
Заметим, что в силу использованной при решении волноводной задачи
связи (8.13) из (12.3) следует непрерывность при r = d касательных
составляющих магнитного поля.
В выражениях (12.3) 4V ~ 1/2)> &$£ ~1/2) — касательные составляющие
электрического поля 5-й нормальной волны, возбуждаемой в волноводе каким-
либо элементарным излучателем. Выпишем их в явном виде для вертикального
электрического диполя:
Ell'112 = ^^(М^-ю)"1^-!«(**) ^f-i«(MX-!«(-«»£»), (124)
B*%~ ln=~ ^BjF К'"1/2 (л$* -1л)"* ^* -1/2 (**} *"11й (ы) ^"1/2 (_cos в)'
для вертикального магнитного диполя:
X A<f. 1/2 (М) < _ 1/2 (-cos в), (12.5)
X *£>_ ll2 (kd) Pv's _ ю ("COS в),
для горизонтального электрического диполя:
& ~Щ=-^Г КеоМ?- 1/2)"1 Q^, - 1/2 (**) X?'- 1/2 (ЬО <- 1/2 ("COS в) +
+ mxls _ 1/2 (Mf-1/2 sin 0)"1 TVs. 1/2 (Aft) 4f_ 1/2 (Ad) x
x Pv;_ 1/2 (-cos в)} (v2 - 1/4)"1, (12.6)
Pra2
Ф -1/2) = —fa lM%ia «n ву1 TVs _ 1/2 (Aft) X?'_ i/2 (*d) < -1/2 ("cos 0) -
- toxj, _ 1/2 (JV<f_ i^)"1 a, -1/2 (**) 4f-1/2 (kd) Pv"s- m (-cos 0) ] (v2s - 1 /4Г1,
для горизонтального магнитного диполя:
^~щ = ~1м {ко W1»sin *)-1 ^-^ .<**) *#>* <*4> р*.-ъ (-cos *>+
+ (e„*J, _ 1ДМ:}- 1/2)"1 Ъ, - 1/2 (Aft) *<?'- 1/2 (kd) <- 1/2 ("COS 0) ](V2s-l /4)"1,
(12.7)
^»"1/2) = w[to W- 1q)" ' 5>* -1/2 (**} *%-ll2 (ы) ^ -** (_cos e)"
- («о*?, - 1/2M?-1/2 Sin 0)"1 V,f . 1/2 (Aft) 4f-1/2 (*<0 X
x<-ie(-coe0)l(vj- 1/4)"1.
123

Тангенциальные компоненты искомых ионосферных полей могут быть
представлены следующим рядом:
*-i (12.8)
где If — одностолбцовая матрица с элементами {ЕвУ Еру Я%, Я%], а элементы
gb's-W находятся с помощью выражений (12.1) — (12.7).
Радиальные составляющие полей определяются из уравнений Максвелла,
выражаются через касательные компоненты и имеют следующий вид:
s= 1
(12.9)
В формулах (12.9) Ss = vs (кг)-1, а элементы тензора комплексной
диэлектрической проницаемости ионосферы е^ (a, /J = r, б, <р) описываются
выражениями (8.4).
Таким образом, определив на границе r = d тангенциальные компоненты
электромагнитного поля, возбуждаемого элементарным излучателем,
расположенным в полости волновода, и интегрируя (8.10) с некоторыми начальными
условиями, с помощью (12.8), (12.9) можно найти все составляющие поля в
точке г, О ионосферы.
2. Перейдем теперь к изучению ситуации, когда элементарные излучатели
находятся в ионосферной плазме, и будем интересоваться полями,
возбуждаемыми такими источниками в полости волновода Земля—ионосфера. С этой
целью используем обобщенные теоремы взаимности для какого-либо
ионосферного излучателя и ряда вспомогательных, помещаемых поочередно в полость
волновода.
Пусть в ионосфере в точке 7 с координатами (й, 0) находится вертикальный
электрический диполь с моментом Р®и, который создает в точке 2 (г, 0),
расположенной в волноводе, искомое поле Е (2), Н (2). В качестве
вспомогательного возьмем сначала вертикальный электрический диполь с моментом
Р*, находящийся в точке 2 и создающий в точке 7 поле Евэ (7), Нвэ (7). Из
теоремы взаимности для этих диполей:
(PfE»(l, -H0)) = (P?E(2,H0))
находим радиальную составляющую электрического поля
Ег = Ег (2, Н0) = Р? (К)"1 Е? (1, -Н0). (12.10)
В соответствии с описанной выше схемой решения для определения
компонент Е?гэ (1, —Н0) (и других компонент поля, возбуждаемых в ионосфере
вертикальным электрическим диполем, помещенным в волновод) используются
значения £|Э(-Н0) и ^(-Hq) 5-й нормальной волны на верхней стенке
волновода (г = d). Эти значения легко находятся с помощью соотношений
(12.4).
Радиальную компоненту магнитного поля найдем с помощью
вспомогательного магнитного диполя с моментом PJ,:
Нг = Нг (2, Н0) = -Pf (П)"1 ЕГ О, "Но). (12.11)
124

Значения ££М(-Н0) и £®М(-Н0) на верхней стенке волновода,
используемые для определения компоненты Е%м (1, —Н0), вытекают из соотношений
(12.5).
Для нахождения /^-компоненты искомого поля поместим в точку 2
вспомогательный горизонтальный электрический диполь с моментом Р^,
ориентированный по орту е* (<р = 0). Тогда получим компоненту
Ее = F? (ПГ1 К3 О, -Н0, <р = 0). (12.12)
Ориентируя вспомогательный горизонтальный электрический диполь по
орту — ev (<p = яг/2), получим 2^,-составляющую искомого поля
Е9 = - Р? (КГ1 Я? О, -Н0, <р = л/2). (12.13)
Компоненты ££э(1, ~~Н0) и £^(1, — Н0) при r=d находятся с помощью
выражений (12.6).
Наконец, помещая в точку 2 вспомогательный горизонтальный магнитный
диполь с моментом Ргт и ориентируя его, как и горизонтальный электрический,
сначала по орту е*, а затем по орту — е^,, найдем
Нв = - Р? (К,)'1 Е?? (1, -Н0, <р = 0), (12.14)
#, = F? (Р^У1 £™ (1, -Н0, <р = ж/2).
Касательные составляющие электрического поля J5JM(1, — H0) и
££м (1, —Н0) на верхней стенке волновода определяются из соотношений (12.7).
Выражения (12.10)—(12.14) описывают поля, возбуждаемые в полости
волновода Земля—ионосфера вертикальным электрическим диполем,
находящимся в ионосфере. Заметим, что все компоненты поля определяются
значениями радиальных составляющих электрического поля, которые создаются
в точке 1 различными диполями, помещенными в точку 2. При этом значения
радиальных составляющих должны соответствовать геомагнитному полю
(—Н0), т. е. направленному противоположно по сравнению с заданным в
исходной задаче.
3. Решение задачи для других типов источников, находящихся в
ионосферной плазме, можно построить с помощью той же схемы, что и в
рассмотренном выше случае вертикального электрического диполя, т. е. помещая в
волновод в точку 2 поочередно вспомогательные вертикальные и
горизонтальные электрические и магнитные диполи. В результате имеем для
горизонтального электрического диполя с моментом Р™, ориентированного вдоль оси х:
Ег =
нг =
Ее =
Е* =
нв =
#,=
/>™ (Р*)"1
-рут
/>™ (т^)-1
-p?w
-р? то-
р? та-1
\ЕГ(\,-
-1 [£|м (1
1Е?(1,-}
"Ч^ГО,
-1 иго,
[£Г(1,-
Н0) cos(p -
, -Н0) cos
Но, 9 = 0)
-н0, <р =
-н0, «>=
- Н0) <р =
-кчи
мр-Е?
1 COS (р —
—Н0) sin <р
],
(1, -Н0) sin у> ],
^0.-н(
?r/2)cosy> - £^(1,
0) cos (p
я IT) cos
-%Г(1,-
<P~E?(h-
>, 9 = 0)
-н0, <р ■-
•н0, <р =
-Н0, (р =
sin <р ],
= я/2) simp ],
0) sin <р},
- я IT) sin <p ];
(12.15)
для вертикального магнитного диполя с моментом Р]
125

Er = -К (ГГ1 ЯГ (U-H0),
яг = Пи(П)_1яг(1,-н0),
Ев=-Р*« (П)-1 И? (1, -Н0, <р = 0),
Е, = Пи (П)"1 Я? (1, -Н0) <<> = я/2), (12.16)
Не = П" (О"1 ЯГ.О. -Н0, *> = 0),
Я, = - П" (П)"1 ЯГ (1, -Н0, *> = я/2);
для горизонтального магнитного диполя с моментом Р™, ориентированного
вдоль оси х:
Ег = -Р% (Р^)-1 [Я?э (1, -#0) cos *> - #£э (1, -Н0) sin <р ],
Нг = Р™ (П)"*1 №Г (1, ""о) cos *> " К" О» "Но) sin *> ],
Я* = -/£ (^Г1 1Щ* (1, -Я0, *> = 0) cos р - HJ3 (1, -Н0, <р = 0) sin р ],
(12.17)
^ = Рш (К)'1 [#Г О, -#0, *> = я/2) cos ^"^ (Ь "Н<» fP=»/2) sin р ],
Я* = />£ (Z^)"*1 [Я,гм (1, -#0, *> = 0) cos <р - Н™ (1, -Н0, <р = 0) sin р ],
Я, = -Р™ (КГ1 [ЯГ (1, -#0, *> = я/2) cos *>-#™ (1, -Н0, *>=я/2) sinp ].
В соответствии с выражениями (12.15)—(12.17) все компоненты поля
ионосферного горизонтального электрического диполя определяются
значениями касательных составляющих Е, вертикального магнитного диполя —
радиальными составляющими Н, горизонтального магнитного диполя —
касательными составляющими Н, возбуждаемыми вспомогательными диполями
различных типов, помещенными в полость волновода.
Таким образом, нахождение полей, создаваемых вблизи поверхности Земли
элементарными излучателями, расположенными в ионосфере, сводится к
определению компонент полей в ионосфере от таких же источников, помещенных
в волновод. При этом последняя задача должна быть решена для геомагнитного
поля, противоположно направленного по сравнению с заданным в исходной
задаче. Тангенциальные компоненты векторов напряженности электрического
поля на верхней стенке волновода, используемые для «сшивания» с
аналогичными компонентами ионосферной задачи, определяются с помощью
выражений, вытекающих из (12.4)—(12.7). Далее по формулам (12.1)—(12.3),
(12.8)—(12.17) находится искомое поле.
4. При расположении одного из корреспондирующих пунктов на
поверхности Земли между компонентами электромагнитных полей дипольных
источников, ориентированных по ортам ег, е^ и ef, возникает элементарная
связь, вытекающая из граничных условий на поверхности Земли при г = а:
Ев = -dZ0#„, Ev = dZo#„ (12.18)
где приведенный поверхностный импеданс й, как и в разд. 10, будем считать
не зависящим от спектрального параметра.
Рассмотрим сначала ситуацию, в которой источник поля располагается в
ионосфере, а поля определяются на поверхности Земли. Поскольку поля
радиальных диполей в трассовом приближении осесимметричны, а поля горизонтальных
в соответствии с (12.15), (12.17) описываются зависимостью от координаты <р
вида sin <p или cos <p, так что при ориентации их по е* или tv производные по
<р исчезают, для компонент поля Е9 и Нв в полости волновода имеем ^
126

1 Э2П(<* 1 д2П(ш)
Ев " е0г дгдв ' Нв " [г0г дгдв * (12.19)
При выполнении условий
Iv,l0»l, \\>S\ (л -0)»\ (12.20)
для отдельной нормальной волны номера s из (12.19) получим
9 e0r dr ' ' ц0г дг # (12.21)
Радиальные составляющие поля нормальной волны, как следует из (8.52),
можно представить в виде
у,2-1/4П<* _ у2 - 1/4 П<*
г2 е0 ' "' г2 /г0 • (12.22)
Из выражений (12.21) и (12.22) с учетом граничных условий (12.18) и
приближенного равенства V, « ка вытекает, что на поверхности Земли (при
г = а) имеют место соотношения
Ее = дЕп Н9 = Нг/д, (12.23)
Е, = Z0#r, Я, = £r/Z0. (12.24)
Таким образом, касательные компоненты электрического и магнитного
поля ионосферного излучателя, ориентированного по ортам ег, е^ или е^,,
можно выразить через радиальные с помощью соотношений (12.23) и (12.24),
применимость которых ограничена вытекающими из (12.20) неравенствами
каЭ»\, ка (л-в) » 1. (12.25)
Заметим, что соотношения (12.23) и (12.24) выполняются и при
расположении излучателя в полости волновода, в частности, на поверхности Земли.
5. Рассмотрим далее ситуацию, когда излучатели располагаются на
поверхности Земли при гв а, 0 = 0, а поля определяются в точке г, в ионосферы,
и найдем связь между компонентами полей различных наземных излучателей.
Пусть электрический диполь, параллельный ег и характеризующийся
дипольным моментом Р£, создает «ионосферное» поле Егэ (г, 0), Нгэ (г, в).
Поместим в точку г, в ионосферы вспомогательный радиальный электрический
диполь с моментом Р™ и обозначим его поля Егэи, Нгэи. Тогда из обобщенной
теоремы взаимности вытекает, что
Р£ЕГЭИ (а, 0, -Н0) = РгепЕгэ (г, 0, Н0). (12.26)
Для горизонтального электрического диполя, параллельного ев с моментом
Р^, создающего ионосферные поля Евэ (г, 0), И93 (г, 0), и такого же
вспомогательного диполя имеем
Р^гэи (я, 0 -Н0) = Р™Е'Э (г, 0НО). (12.27)
Из (12.26) и (12.27) следует, что
Iff (г, 0, Н0) _ /* ЕГ (а, 0, -Н0)
W/ (г, 0, Н0) К ЕГ (я, 0, -Но)* (12.28)
Если теперь в качестве вспомогательных диполей взять электрические
диполи, параллельные ортам е* и е^,, то можно получить аналогичные (12.28)
127

отношения для касательных составляющих ионосферного электрического поля
вертикального и горизонтального наземных диполей. С учетом (12.28) можно
написать
£f (г, 0, Н0) = К £|эи (*, О, -Н0)
£f(r,0,Ho) PJ 4ЭИ {а, О, -Н0) S Г' '*' (12.29)
Индекс £ маркирует компоненту и должен быть одинаков в числителе и
знаменателе этих соотношений.
Отношения компонент магнитного поля тех же наземных источников можно
найти, используя в качестве вспомогательных магнитные диполи различной
ориентации, поля которых обозначим £*ми, Я*ми:
Я|э (г, 0, Н0) _ К £|ми (а, О, -Н0)
Я[э (г, 0, Н0) /* 4ми (а, О, -Н0)* (12.30)
Таким образом, из соотношений (12.29) и (12.30) вытекает, что отношение
£-составляющей электрического (магнитного) ионосферного поля (£ — любая
из координат сферической системы) наземного электрического
ориентированного по ев диполя к соответствующей составляющей наземного вертикального
электрического диполя определяется соотношением на поверхности Земли 0-
и /--составляющих электрического поля вспомогательных ионосферных
электрических (магнитных) диполей, ориентированных по f. Последнее
отношение соответствует геомагнитному полю, направленному противоположно по
сравнению с заданным в исходной задаче.
Аналогичные соотношения можно получить для наземных магнитных
диполей — вертикального и горизонтального, направленного по 0, с величинами
дипольных моментов Ргт и F*m соответственно:
Е^ (г, 0, Н0) = Р<т Я*эи (а, 0, -Я0) Я[м (г, 0, Н0) = Р'ш Н*Г (а> 0, ~Н0)
£|м (г, 0, Н0) К Я|эи (я, 0, -Я0)' Я?м (г, 0, Н0) К HfT (a, 0, -Н0)'
(12.31)
В отличие от рассмотренного выше случая электрических излучателей
связь (12.31) полей магнитных диполей определяется соотношением г- и 0-
компонент магнитного поля.
Наконец, выпишем выражения, связывающие поля наземных
горизонтальных диполей — электрического, ориентированного по е$, и магнитного,
параллельного е^,, с моментом Р*,:
£f (г, 0, Н0) ^ /* 4ЭИ(<*,0, -Н0)
£Г(г,0,Но) ПЯ*эи(*>0,-Н0)'
Я|э (г, 0, Н0) = /* 4ми (а, 0, -Н0)
Я£м (г, 0, Н0) П Я*ми (я, 0, -Н0)' (12.32)
а также электрического, параллельного е^,, с моментом Р* и магнитного,
ориентированного по ев:
щэ (г, 0, н0) _ /» 4ЭИ (а» о> -Нр)
Е%? (г, 0, Н0) К 4ЭИ (^, 0, -Н0)'
я|э (г, 0, н0) = к 4ми(^о>-н0)
Я|м (г, 0, Н0) /* Я|ми (я, 0, -Н0)' (12.33)
128

Полагая, что диполи различной ориентации имеют одинаковые величины
дипольных моментов
и опуская аргументы у компонент полей, из выражений (12.29—12.31) с
учетом (12.23) получим
в--*в« в~-№", в.(*). (1234)
Аналогично, используя граничные условия (12.18), можно переписать
выражения (12.32) и (12.33) в следующем виде:
В*э = dZvPjrfBf", В*э = -dZ0PJR^BeM, (12.35)
Применимость соотношений (12.34) ограничена неравенствами (12.25);
соотношения (12.35) в рамках граничных условий (12.18) являются строгими.
Из соотношений (12.34) и (12.35) следует, что если известны ионосферные
поля наземных радиальных электрического и магнитного диполей, то
ионосферные поля наземных диполей других ориентации легко находятся с помощью
соотношений (12.34) и выражений
В*э = -ZoPfi^/Pn, B*M= PwBr3/(Z0Pe). (12.36)
Напомним, что индекс £ в обеих частях равенств (12.34) — (12.36) должен
быть одинаков.
Связь компонент полей (12.34)—(12.36), возбуждаемых наземными
излучателями, сохраняется и в полости волновода вплоть до поверхности Земли.
6. При расположении обоих корреспондирующих пунктов на поверхности
Земли из выражений (12.23), (12.24), (12.34) и (12.36) можно получить
соотношения для радиального электрического диполя:
Е? = дЕ?> £53 = Zo#;3, Я~ = d"^3, Н? = г?Е?> (12.37)
для радиального магнитного диполя:
ЕГ9М = дЕггм, Е™ 5= Z0#;M, Я™ = Й^Я™, Я™ = Zo^M, (12.38)
для электрического ориентированного по е^ диполя:
J2? = dJ2J3, J5? = d2£f3, E%> = dZ0Hrr\ (12.39)
н6; = йя;э, н? = я;э, я£э = dz^E™,
для магнитного ориентированного по е^ диполя:
Е?гм = d^JEJ", £*м = Еггм9 Е^ = й-%я;м, (12.40)
я?м = д^н™, нТ = д-2я;м, я£м = (dZo)-1 е™,
для электрического орентированного по ег диполя:
Е? = -Z^P^E™, Е$э = dZoPfnE™, Ef = -Zgjy^tf™, (12.41)
я?э = -z0/y>-^M, щ* = -й-^/у^яг, щ; = -pjpjl™-,
для магнитного ориентированного по е, диполя:
£?м = />ш (Zo/g-1 я;э, яр = й/>ш (Zo/g-1 je;3, 2*м = р^я;3, (12.42)
яр = ря (ZoP,)-1 я;э, я?м = д^рт (ZoPr1 я;э, я^м = z^p^e?.
129

Таким образом, для вычисления на поверхности Земли компонент
напряженности электромагнитных полей, создаваемых наземными излучателями,
достаточно найти радиальные составляющие электрического и магнитного полей
радиального электрического и радиального магнитного диполей (фактически
потенциалы Герца для этих диполей). Тангенциальные компоненты полей
радиальных диполей и компоненты полей диполей, ориентированных по ев и
е,,, в соответствии с (12.37)—(12.42) выразятся через эти радиальные
составляющие.
Построенные решения мы используем ниже для исследования численными
методами процессов распространения радиоволн на трассе космос—Земля.
13. ОСНОВНЫЕ ОСОБЕННОСТИ ПОВЕДЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ,
ВОЗБУЖДАЕМЫХ В ПРИЗЕМНОМ ВОЛНОВОДЕ ИСТОЧНИКАМИ,
РАСПОЛОЖЕННЫМИ В ИОНОСФЕРЕ
1. Ниже приводятся результаты численных расчетов, иллюстрирующие
закономерности поведения электромагнитных полей, создаваемых в волноводе
Земля—ионосфера элементарными излучателями, находящимися в ионосфере.
Изложенная в разд. 11 и 12 схема решения позволила при реализации на
ЭВМ использовать численные методы, развитые для исследования процессов
распространения электромагнитных волн в волноводе Земля—ионосфера и в
околоземной ионосфере. Так, поля, возбуждаемые в волноводе вертикальным
электрическим диполем, также расположенным в волноводе, рассчитывались
с помощью алгоритма, разработанного в [68 ] и описанного в разд. 10.
Что касается полей в ионосфере, то их нахождение сводится к
интегрированию системы дифференциальных уравнений (8.10), из четырех
линейно-независимых решений которой граничным условиям при г -» «>
удовлетворяют два. Обозначим их, опуская индекс V, — 1/2, е(1) и е(2). В качестве
начальных условий для численного нахождения этих решений можно
использовать решение системы (8.10) в квазипродольном приближении для однородной
анизотропной среды, параметры которой соответствуют некоторому уровню
г = г0. Эти условия имеют следующий вид:
#) = -дю = in-^, ф = -fhm = „р, (13.1)
42) = «f = in?*, ЯР> = *й<2> = -«je,
где ttx = пх (vs), п2 = п2 (vs) — индексы рефракции ионосферы.
2. При численном интегрировании (8.10) с начальными условиями (13.1)
возникают погрешности, обусловленные в основном двумя обстоятельствами.
Первое заключается в том, что из двух искомых решений устойчивым к
малым возмущениям, возникающим вследствие ограниченной точности
расчетов на ЭВМ, является лишь одно решение е(1). Оно соответствует
«непроникающей» [97] волне, поля которой быстро затухают с ростом г из-за больших
значений индекса рефракции. Другое решение е(2) («проникающая» волна)
является неустойчивым к малым возмущениям.
Устранение неустойчивости представляет основную трудность при
численном интегрировании и возможно различными способами. Один из них состоит
в том, что систему (8.10) интегрируют сверху вниз, корректируя в процессе
интегрирования неустойчивое решение по формуле, полученной в результате
реортогонализации решений [98 ]. При этом шаг Ark, на котором производится
коррекция, может превышать шаг интегрирования.
Другой метод основан на использовании матричного адмитанса [75],
элементы которого устойчивы к малым возмущениям. Оба метода были
реализованы на ЭВМ и в вычислительном плане (с точки зрения затрат машинного
130

времени при фиксированной точности) оказались эквивалентными [28]. В
настоящей работе использован метод коррекции, основанный на реортого-
нализации решений (8.10).
При численном интегрировании системы дифференциальных уравнений
для полей или для элементов матричного адмитанса возникают также ошибки,
обусловленные погрешностью в начальных данных. Однако соответствующим
выбором уровня г = г0 можно эти ошибки устранить и обеспечить заданную
точность расчета полей в ионосфере [28].
При реализации на ЭВМ задачи возбуждения приземного волновода
«ионосферными» источниками заданная точность и параметры задачи обусловливают
число членов в рядах нормальных волн, интервал и шаг интегрирования
системы дифференциальных уравнений (8.10), а также шаг кгк, на котором
необходимо проводить коррекцию неустойчивого решения. Приведенные ниже
результаты получены с относительной погрешностью, не превышающей 1%.
2. Обсудим далее принятые для расчетов параметры задачи. На рис. 4.1
изображены зависимости электронной концентрации Ne и эффективной частоты
\>е соударений электронов с нейтральными молекулами и ионами от высоты
Н в ионосфере, отсчитанной от поверхности Земли. Сплошные кривые Ne (Я)
и ve(H) соответствуют дневной (день II), а штриховые — ночной (ночь II)
моделям ионосферы IRI [86]. Заметим, что эти модели мы уже использовали
Н,км
10° W1 Wz W3 W* Ю5 10* Ю7 McGtT3
Рис. 4.1. Профили электронной концентрации Ne(H) и
эффективной частоты соударений электронов с нейтральными
молекулами и ионами Уе(Ю для трех моделей ионосферы
в разд. 10 для расчетов характеристик распространения электромагнитных
волн, возбуждаемых в волноводе вертикальным электрическим диполем,
расположенным вблизи поверхности Земли. Штрихпунктирная кривая для Ne
[99] и непрерывная для \>е описывают дневную модель ионосферы, которую
мы назвали «день III».
Вертикальная и горизонтальная компоненты геомагнитного поля
рассчитывались по формулам
Яов = —2Н0 sin а, Яог = HQ cos а, Я0 = 0,35 Э,
где а — геомагнитная широта (для северного полушария а > 0). Приведенные
ниже результаты расчетов соответствуют в основном модели геомагнитного
поля, относящейся к средним широтам северного полушария (а - 36°) и
направлению распространения север—юг (С—Ю). Влияние геомагнитной широты
и направления распространения мы обсудим отдельно.
131

Относительная комплексная диэлектрическая проницаемость Земли
задавалась равной £т = 80, ее проводимость сг = 4 См/м (морская вода).
Величины токовых моментов электрических диполей и магнитных моментов
магнитных диполей выбирались равными /0ЛД=106 А-м, /5=1010 А-м2.
При расчетах мы ограничились областью высот расположения излучателей
50—500 км и диапазоном частот 5—25 кГц.
Результаты приводятся в виде модуля радиальной составляющей
электрического поля на поверхности Земли, который рассчитывался по описанному в
разд. 12 и 13 алгоритму.
3. Рассмотрим сначала ситуацию, когда элементарные излучатели
располагаются в нижней части дневного ионосферного слоя. На рис. 4.2 изображены
зависимости \ЕГ\ от высоты источника Я, меняющейся от 50 до 150 км.
Кривые соответствуют дневным условиям распространения (день II), частоте
День Ж
10 кГц
/?=£00км
//, км
50
Рис. 4.2, Зависимость I Ег I от высоты Н для электрических (а)
диполей (день П, 10 кГц, R -500 км)
100 Н, КМ
магнитных (б)
колебаний поля 10 кГц и расстоянию от проекции источника на поверхность
Земли до приемника R = ав = 500 км. Сплошные линии I Ег (Я) I относятся к
вертикальным электрическим и магнитным диполям (ВЭД, ВМД), штриховые —
к горизонтальным электрическим и магнитным диполям (ГЭД, ГМД),
ориентированным по орту е* (<р * 0°) и орту — е^ (<р - 90°).
Обсудим зависимости, относящиеся к горизонтальным диполям. Как следует
из графиков, начиная с некоторой высоты Яг, модуль компоненты Ег с заданной
погрешностью не зависит от ориентации горизонтальных диполей. В области
высот от начала слоя Нн до Нт эффективность возбуждения приземного
волновода (с точки зрения возбуждаемых в волноводе полей) зависит от
ориентации горизонтальных диполей, причем более выгодной является
ситуация, когда электрические диполи ориентированы по орту е» (рис. 4.2, а), а
магнитные —по орту —е^, (рис. 4.2, б). Заметим, что к области высот Нн<
< Н < Нг принадлежит область, существенная при распространении радиоволн
в приземном волноводе и определяющая затухание и фазовые скорости
нормальных волн (см. разд. 10).
Аналогичные результаты для модели III приводятся на рис. 4.3.
132

|fr|fMB/tf
50 100 H, км 50 100 //,КМ
Рис. 4.3. Зависимость \ЕГ\ от высоты Н для электрических (а) и магнитных
(6) диполей (день Ш, 10 кГц, R -500 км)
Значение высоты Нг зависит, как уже отмечалось, от величины задаваемого
относительного отличия
е = mod \\Ег(<р = 0)1 — I Ег (p = 90°)l}/min \\ЕГ (<р = 0)1, \Ег(<р = 90°)\\.
(13.2)
В табл. 2 приводятся значения е (13.2) в процентах, вычисленные для
горизонтального магнитного диполя, расположенного на высотах Н = 78-^84 км.
Данные таблицы соответствуют дневным моделям ионосферы II (частоты
5—25 кГц) и III (частота 10 кГц). Значение высоты Нг для модели II, как
следует из таблицы, в диапазоне частот 5—25 кГц при пятипроцентном
отличии е составляет величину ~84 км. Для модели III на частоте 10 кГц
Яг ~ 80 км.
Таблица 2
Относительное отличие е в процентах для горизонтального магнитного диполя
Я, км
78
80
82
84
/. кГц
5
13,4
7,3
6,5
0,3
10
7,7
7,2
2,0
2,3
10
(день Ш)
20
4,6
2,8
1Л
15
5,1
13,6
6,8
1,2
20
4,4
9,9
3,7
25
2,8
13,2
5,0
Зависимость модуля радиальной составляющей электрического поля,
возбуждаемого на поверхности Земли горизонтальными диполями, от высоты Н
и расстояния R иллюстрируют графики, представленные на рис. 4.4. Как и
следовало ожидать, для рассматриваемой модели ионосферы значение Нг
практически не зависит от расстояния между корреспондирующими пунктами.
При расположении источника на высотах Н> Нт увеличение R при заданном
Н приводит к уменьшению поля (см. рис. 4.4, а и 4.2, а для ГЭД, рис. 4.4, б
133

I , мВ/м
АенъЕ
70 кГц
гзл
<р=90°
=700км
Н,км
денъЕ
70 кГц
гмд
<р=0°
Ну км
Рис. 4.4. Зависимость I Ег I от высоты И для горизонтальных электрических
диполей (а) и для горизонтальных магнитных диполей (б) (день П, 10 кГц,
Л-100 км и 1000 км)
и 4.2, б для ГМД). В области Н< Нт наблюдается аналогичный эффект для
горизонтального электрического диполя, ориентированного по орту е^, и
горизонтального магнитного диполя, ориентированного по орту — е^,.
Зависимости же для электрического диполя, параллельного орту е^ (ГЭД,
<р = 90°) и для магнитного диполя, ориентированного по орту е^ (ГМД, <р = 0°),
имеют осциллирующий характер, так что найдутся такие высоты Я, при
которых, например, горизонтальный магнитный диполь будет создавать
одинаковые поля на R e 500 и 1000 км.
4. Сравним теперь эффективность возбуждения волновода вертикальными
и горизонтальными диполями. В области высот излучателей Н> Нт
горизонтальные диполи эффективнее соответствующих вертикальных (см. рис. 4.2,
4.3). Этот результат качественно можно интерпретировать следующим образом.
Как было показано в разд. 12, в соответствии с теоремой взаимности поля
вертикальных ионосферных диполей определяются нормальными, а поля
горизонтальных ионосферных диполей — тангенциальными составляющими
полей вспомогательных диполей, расположенных в волноводе. При
качественной интерпретации для определения полей на высотах порядка сотен
километров вспомогательную задачу можно свести к задаче прохождения плоских
волн через локально-однородную анизотропную среду в квазипродольном
приближении. При этом поля проникающей волны обладают поляризацией,
близкой к круговой [75], и
\НВ\ - l#„l, \E9\ ~ \Е9\, (13.3)
\НГ\ ~0, \ЕГ\ < \Ев\, \Е,\. ' (13.4)
В случае круговой поляризации, например, в выражении для Ег в (12.15)
компоненты Е$э (1, —Н0) и ££э (1, —Н0) в силу (13.3) равны и, следовательно,
£г-компонента поля горизонтального электрического диполя, расположенного
в ионосфере и ориентированного по орту е^ (<р = 0°), будет совпадать с Ет-
компонентой такого же диполя, параллельного орту е^(^ = 90°).
134

Далее сравним выражения для Ег (12.16) и (12.17), соответствующие
вертикальному и горизонтальному магнитным диполям. Из соотношений (13.3)
и (13.4) вытекает, что в области высот, где ионосферу можно считать
локально-однородной анизотропной средой, в квазипродольном приближении
имеет место неравенство
1Я?(1,—Но)1 « 1#Г(1,-Н0)1 -1Д?(1,—Hq)I.
Поэтому при равенстве дипольных моментов магнитных диполей модуль
радиальной составляющей электрического поля (12.16), возбуждаемого
вертикальным магнитным диполем, много меньше модуля Ег (12.17),
создаваемого горизонтальным диполем. Аналогично, поскольку
1£?э(1>-Но)1 < |£«(1,_Н0)1 - 1^Э(1>-Н0)1,
при равенстве токовых моментов электрических диполей модуль Ег (12.10),
возбуждаемый вертикальным электрическим диполем, меньше \ЕГ\ (12.15),
соответствующего горизонтальному электрическому диполю.
Количественные оценки в рамках принятых дневных моделей дают
следующий результат. На расстояниях, больших 100 км, \ЕГ\, соответствующий
горизонтальному электрическому диполю, примерно в два раза (1,8 для II,
1,9 для III) превышает \ЕГ\ для вертикального диполя (рис. 4.2, а и 4.3, я).
Для магнитных диполей это превышение достигает нескольких десятков
(рис. 4.2, б и 4.3, б). Заметим, что эти оценки, как будет показано ниже,
справедливы по крайней мере до высот Я = 500 км.
В области высот Ян < Я < Яг ситуация является более сложной. Вблизи
нижней границы ионосферы в области высот Ян < Я < Яв вертикальный
электрический диполь эффективнее горизонтального диполя любой ориентации
(рис. 4.2, а и 4.3, я). Значение Яв для дневных моделей II и III составляет
величину, примерно равную 65—70 км. В случае же магнитных диполей
горизонтальный диполь, ориентированный по орту е^,, эффективнее
вертикального (рис. 4.2, б и 4.3, б).
Влияние частоты колебаний электромагнитного поля на эффективность
возбуждения приземного волновода иллюстрируют графики на рис. 4.5 и 4.6,
описывающие зависимости I Ег (Я) I для пяти частот в диапазоне 5—25 кГц
(день II, R = 500 км). Рис. 4.5 соответствует вертикальному электрическому
диполю, а рис. 4.6 — горизонтальному магнитному диполю, ориентированному
по орту — tv. В окрестности высоты Яг модуль радиальной составляющей
электрического поля немонотонно и слабо (по сравнению с областями Н < Нт
и Н>НТ) зависит от частоты. Так, при Я = 80 км может меняться \ЕГ\ в
рассматриваемом диапазоне примерно в два раза для вертикального
электрического дигюля и в четыре раза для горизонтального магнитного диполя.
При Я ^ 100 км большую напряженность поля создают низкочастотные
источники. В области высот Нн< Н < Яв, где, как отмечалось, обсуждаемые
типы излучателей более эффективны по сравнению с соответствующими
диполями другой ориентации, эффективность запитки волновода растет с
ростом частоты. При этом в случае расположения излучателей на высотах
50—60 км изменение частоты от 5 до 25 кГц приводит к увеличению \ЕГ\
на поверхности Земли примерно на порядок для вертикального электрического
диполя (рис. 4.5) и примерно в 50 раз для горизонтального магнитного диполя,
параллельного орту е^, (рис. 4.6).
Приведенные выше результаты расчетов для дневных моделей ионосферы
и высот расположения излучателей Я = 50-5-150 км соответствуют
фиксированному геомагнитному полю, относящемуся к средним широтам северного
полушария. Влияние направления распространения и геомагнитной широты а на
\ЕГ\ (в мВ/м), возбуждаемый вертикальным электрическим диполем на повер-
135

|£г|,мВ/м
ЛеиьЕ
ВдЛ
R=500km
50 SO 70 80 90 700 Н,км
Рис. 4.5. Зависимость I Ег (Я) I для
вертикального электрического диполя для
разных частот
|£г|,мВ/м
50 60 10 80 30 700 Н, км
Рис. 4.6. Зависимость I Ег (Я) I для
горизонтального магнитного диполя (<р - 90°) для разных
частот
хности Земли, иллюстрируют данные табл. 3 (10 кГц, R = 500 км, # =
50-5-100 км). Минимальное значение \ЕГ\ на высотах #>80 км наблюдается
для направления распространения север—юг (С—Ю) как для низких (а = 15°),
так и для высоких (а = 75°) широт. Данные таблицы иллюстрируют также
эффект невзаимности, заключающийся в том, что значения напряженностеи
полей зависят от направления распространения. Максимальное отличие для
направлений север—юг и юг—север в области высот 50—100 км составляет
Ночь Л
75 кГц,
500 км
£г|,мВ/м
НочъЛ
75 КГЦ
500КМ
200 Н,км
Рис. 4.7. Зависимость \ЕГ (Я) I для электрических (а) и магнитных (6) диполей (ночь П, 15 кГц, Я-500 км)
136

Таблица 3
Модуль радиальной составляющей электрического поля (в мВ/м) для разных
направлений распространения и высот Я (10 кГц, R -500 км)
Направление Я-50 км
60
70
80
90
100
а- 15°
ю—с
с—ю
3—В
В—3
34,2
34,2
36,9
39,3
19,3
18,7
23,0
19,6
7,71
7,02
10,3
4,05
1,09
1,42 • 10"1
4,30 • 10"1
2,56 • КГ1
6,15 • 10"2
2,10 • 10"3
1,28 • 10"2
9,46 • 10"3
7,87 • 10~3
1,81 • 10"4
1,34 • 10~3
9,96 • 10"4
а -75°
ю—с
с—ю
3—В
В—3
39,3
39,3
39,4
46,2
24,0
23,9
22,8
29,0
8,04
7,48
6,75
10,1
3,21 • Ю-1
2,66 • КГ1
1,44 • 10"1
4,87 • КГ1
9,38 • 10~2
7,18 • 10"2
7,47 • Ю-2
1,04 • 10"1
5,92 • 10~2
4,62 • 10~2
4,85 • 10"2
6,43 • 10"2
величину ~0,7 мВ/м для обеих широт, а для направлений запад—восток
(3—В) и восток—запад (В—3) — примерно на порядок больше.
5. Основные особенности поведения полей в ночных условиях при
расположении излучателей в нижней части ионосферного слоя иллюстрируют
графики на рис. 4.7—4.9 (ночь II, R = 500 км).
Зависимости \ЕГ {Н)\ на частоте 15 кГц приводятся на рис. 4.7, а для
электрических диполей и на рис. 4.7, б —для магнитных. Сплошные линии
соответствуют вертикальным диполям, штриховые и штрихпунктирные —-
горизонтальным диполям, ориентированным по орту — е^, (<р = 90°) и по орту
е9 (<р = 0°). Качественные закономерности поведения полей при переходе от
дневных условий распространения к ночным сохраняются. Так, вблизи
нижней границы ионосферы в области Нп< Н < Нъ вертикальный
Ночь Л
ВЭА
Я=500нм
200 Н, км
Рис. 4.8. Зависимость \ЕГ (Я) I для
вертикального электрического диполя для частот 15 и
25 кГц
\ЕГ\ , МВ/М
25 КГЦ
200 Ну км
Рис. 4.9. Зависимость \ЕГ Ш)\ для горизонтального
магнитного диполя (<р - 90°) для частот 15 и 25 кГц
10 Г. И. Макаров и др.
137

электрический диполь эффективнее горизонтального (рис. 4.7, я), а
горизонтальный магнитный диполь, параллельный орту ег, эффективнее диполей
других ориентации (рис. 4.7, б). При расположении излучателей в области
Ян < Н < Нъ эффективность этих диполей растет с увеличением частоты
(рис. 4.8 и 4.9).
Основным отличием поведения полей в ночных условиях по сравнению с
дневными является прежде всего значительное увеличение протяженности
области Нн< Н< Яг. Так, значение ее верхней границы Нт для ночной модели
II составляет величинуу —230 км (см. рис. 4.7), в то время как для дня Нт
** 80 км. Другой отличительной особенностью является превышение ночных
значений \ЕГ (#)1 над соответствующими дневными значениями на высотах,
больших —100 км (ср. рис. 4.8 с рис. 4.5 и рис. 4.9 с рис. 4.6). Это последнее
обстоятельство более детально мы обсудим ниже.
6. Рассмотрим теперь ситуацию, когда излучатели находятся на высотах,
превышающих высоту Яг. На рис. 4.10, а—в приводятся зависимости \ЕГ (Я) I
в области высот 100—500 км для различных типов диполей в дневных условиях
распространения на частоте 10 кГц. Аналогичные зависимости для ночных
условий в области высот от 200 до 500 км изображены на рис. 4.11, а—е.
кг|,нкб/н
15
10
5
Г а
\\
\-\
\
\
L \
С V
№
^
г
День Ж
/0кГц
гэд
N
\^;мм^
Jt£Z^
ч,^ ^*^^
»*- " ~
• i
'Р^
j^
JE.
J
j
^н
"**i-H
IUmB/m
0.Z5
Ц20
0,15
0J0
0,05
|£г|,миВ/м
6
100 Z00 300 400 /f,KM
100 200 300 400 //,км
Ы.нв/м
День I
ЮкГи.
L\ ^-—^ гид
~~ в/Мн\
1Ы,мВ/м
15
лю
100 200 300 ¥00 //.км
РИС. 4.10. Дневные зависимости \ЕГ (Я) I для расстояний Я-0,1; 0,2; 0,5; 0,7; 1; 2 и 3 Мм на частоте 10 кГц
138

Кривые рассчитаны для различных расстояний R = ав. (Заметим, что
рассматриваемая область высот Н включает в себя и спутниковые высоты, так
что параметр R в этом случае имеет смысл расстояния от подспутниковой
точки до приемника.) Левая шкала соответствует сплошным кривым, правая —
штриховым.
Зависимости I Ег (Я) I для вертикального и горизонтального электрических
диполей и вертикального магнитного диполя в области высот Н > Нг (100—
500 км для дня и 250—500 км для ночи) при фиксированной частоте и
расстоянии R качественно совпадают (они отличаются лишь постоянным
множителем). Мы приводим графики для горизонтального электрического
(рис. 4.10, я), вертикального магнитного (рис. 4.10, б) и горизонтального
магнитного (рис. 4.10, в) диполей. Результаты для вертикального
электрического диполя могут быть получены делением значений, соответствующих
горизонтальному электрическому диполю на 1.84 ± 0,02.
Как следует из графиков на рис. 4.10, зависимости \ЕГ (Я) I для
вертикальных диполей (за исключением кривых для R = 0,5 Мм) имеют минимум, а
а
Ег\ .мв/м
1*>|,мв/м
Z00 300 ¥00 //.КМ
100 300 400 0,км
300 W0 Я, км
Рис. 4.11. Ночные зависимости \ЕГ (//)! для расстояний /{-0,5; 0,7; 1; 2 и 3 Мм на частоте 10 кГц
кривые для горизонтального магнитного диполя — максимум в области высот
250—270 км, что связано с особенностями профиля Ne (Я) (рис. 4.1), имеющего
максимум на этих высотах. Аналогичный вид имеют зависимости \ЕГ\ от
высоты Н в ночных условиях (см. рис. 4.11). Здесь также имеется корреляция
с профилем Ne(H) (штриховая линия на рис. 4.1), имеющим максимум на
высоте —300 км. Что касается кривых, соответствующих расстоянию R = 0,5 Мм
и дневным условиям распространения (см. рис. 4.10), то резкое уменьшение
\ЕГ\ с ростом высоты Н в области 200—500 км можно объяснить наличием
глубокого интерференционного минимума поля в зависимости I Er (R) I при
R = 0,5 Мм (штриховые линии на рис. 4.12). В ночных условиях в
рассматриваемой ситуации такого минимума нет (рис. 4.13), и аномальные
зависимости \ЕГ (Я) I, аналогичные кривым для Д = 0,5 Мм на рис. 4.10, на
рис. 4.11 отсутствуют.
Сравним теперь графики I Ег (R) I, соответствующие горизонтальным
электрическим и магнитным диполям, для дневных (рис. 4.12) и ночных
(рис. 4.13) условий. Отметим прежде всего, что ночные зависимости от рас-
Ю*
139

|*>|,мВ/м
Лень Ж
10 к Гц
гмд
-Н -250 км
Я» 500км
0,8 Я. Мм
Н=250*м
Н=500км
0,8 Я, Мм
Рис. 4.12. Дневные зависимости \ЕГ\ для расстояния R на частоте 10 кГц для высот И -
-250 и 500 км
стояния R имеют более осциллирующий вид по сравнению с дневными, что
обусловлено необходимостью учета большего числа нормальных волн ночью
(при прочих равных условиях). Для иллюстрации приведем графики \ЕГ (R) I
для горизонтальных магнитных диполей (день II, 10 кГц, Я = 500 км),
полученные суммированием различного числа мод для дневных (рис. 4.14) и ночных
(рис. 4.15) условий. Максимальное число мод, которое учитывалось при расчете
дневных кривых, — 7, а при расчете ночных — 8, что обеспечивало указанную
выше точность. Как следует из рис. 4.14, днем на расстояниях от 0,4 до 1 Мм
можно ограничиться учетом четырех мод, в то время как ночью (рис. 4.15)
учет такого же числа мод дает значимое отличие от «точной» кривой, полу-
Ночъ I
/0кГц
гмд
1Ы
0,4
4J
0,2
0,1
,мВ/м
ч
к/У
U
а
Ночь Е
ЮкГц
гэд
Н-250кн
\АУ^—/
—i i i
QJS 0.6 0,7 0.8 ff,SR,MM
0,9ДМм
Рис. 4.13. Ночные зависимости \ЕГ\ от расстояния R на частоте 10 кГц для высот Н = 250
и 500 км
140

Щ.**/*
|*r|,MB/M
День I
/0 кГц, ПОД
Н- 500км
10
15
10
5
\ Ночь Ж
\ ЮпГц.ГМД
1 Н =500 км
К
|\
-\Л
^\^/2£^Ч
\ 1 1 ' 1
«Z «V ДО ДО Я, Мм
Рис 4.14. Зависимость \ЕГ\ от расстояния
R для дневных условий распространения
(день П) на частоте 10 кГц, рассчитанная
суммированием 7 мод (сплошная кривая),
4 мод (штриховая) и по 1 моде (штрих-
пунктирная)
0,6
Ю
U /,Vf?,MM
Рис 4.15. Зависимость \ЕГ\ от расстояния R для
ночных условий распространения (ночь II) на частоте
10 кГц, рассчитанная суммированием 8 мод
(сплошная кривая), 4 мод (штриховая) и по 1 моде (штрих-
пунктирная)
ченной суммированием восьми мод, вплоть до расстояний 1,5 Мм. На этих
же рисунках нанесены штрихпунктирные кривые — результат одномодового
приближения.
Второй особенностью поведения модуля радиальной компоненты
электрического поля в ночных условиях является уже отмечавшийся выше факт его
превышения над соответствующими дневными значениями. Величина этого
превышения зависит от ряда факторов, в том числе от частоты, высоты
излучателя Н> типа источника. При фиксированной частоте на тех расстояниях,
где поле имеет существенно многомодовыи характер, это превышение зависит
от расстояния R. Так, для горизонтального магнитного диполя при /=10 кГц,
Н = 500 км ночные значения \ЕГ\ превышают дневные — в 3,8* 102 раза при
R = 0,5 Мм (напомним, что при этом R имеется глубокий интерференционный
минимум в дневной зависимости \ЕГ (R) I): примерно в 4,7 раза при R = 0,7 Мм,
в 15 раз при R = 1 Мм, в 13,3 раза при R = 2 Мм и в 15,5 раза при R - 3 Мм.
В области одномодового приближения (для дня и ночи) это превышение
практически не зависит от расстояния R.

ПРИЛОЖЕНИЕ
1. Функции Эйри являются решениями дифференциального уравнения
w" (y)—yw(y) = 0
и определяются следующим образом [54]:
w(y) = и (у) + iv (у),
w(y) = -jr= / exp (yz — z3/3) </z,
* ri Ш. 1)
и (У) = V^ Bi (у) = (2 у/Ц)-1 I/ exp (yz —z3/3) rfz — / exp (yz —z3/3) dzl,
iri r2 J
v (у) = уЩ Ki (y) = (2/ V^F)-1 / exp (yz — z3/3) dz.
Контуры интегрирования представлены на
рис. П. 1.
Асимптотические представления функций
Эйри и (у) и v (у) различны в трех областях
комплексной плоскости (у), разделенных лучами
arg у = 0, 2я/3, 4лг/3, и имеют вид в области 0 <
^ arg у *£ 2я/3:
и (у) - г1'4 [exp ffу3*) + | ехр (-§ у3*) 1,
(П. 2)
Рис. П. 1. Котуры интарирования V (у) ** ^ у Ш ехр I— •- /Q| ;
для функций Эйри \ /
в области 2я/3 < arg у «г 4тг/3:
ехр
(§/.)+ ,„,(_!/»)
i ехр
±.,3/2
+ ехр|-|/'2
в области 4лг/3 < arg >> < 2л:
и (у) - Г1'4 \\ ехр f | у3^ + i exp f-| у3*]
v(y)-|r1/4expf|//2
142
(П. 3)
(П. 4)

2. Функции и/ (х) мы определили как решения дифференциального
уравнения (5.10), удовлетворяющие граничным условиям (5.11).
Приведем значения некоторых неопределенных интегралов, содержащих
ut Ос), которые без труда могут быть получены с помощью (5.10):
ка
/ щ (х) ик (х) dx = -Y и/ (х) ик (х) + (х — ер/2) щ (х) ик (х),
/ и/ (х) ик Ос) dx = \ [и, (х) ик (х) + (х - ер/2) (-)/+ х), i * К
f и/ (х) щ (х) dx = uj (*)/2,
/ и/ (*) ик' (х) dx = и/ (х) ик (х) + ^ (х - ер/2) и/ (х) ик' (х) +
2 1
+ з^ (* — еР/2)2 "/ (х) ик (х) — j щ (х) ик (х), (П 5)
ка
/ xu/ (х) ик (х) dx = -т- (х + е/5) и/ (х) ик (х) +
+ ^ (х2 + ерх/2 — е2р2/2) и,- (х) ик (х) — ^ и,- (х) ut' (х), i * к,
J хи/ (х) щ (х) dx = ^- uj (х) — -j- Ги/ (х)~\ 2.
3. Для получения асимптотических представлений функций и,- (х) удобно
связать их с функциями и (х) и v (х) (П. 1):
ui(fi) = u'(t0)v(t1)-v'(t0)u(t1),
pUl' (ft) = (2S)la [v' (to) и' (t±) - и' (t0) V &)],
и2 (fi)/fi = (25)"1/3 [и (to) v (h) - v (to) и (tx)),
u2'(fi) = v(t0)u'(t1)-u(t0)v'(t1)>
to = (2S)113 e/2, h = - (2S)1B (1 - e/2). щ. 6)
С помощью (П. 6) нетрудно получить следующие асимптотические
представления:
£-0,
"1 03) - IW (0) I (2S)-Ul2 sin (2 V25/3 + 5я/12),
М' 03) - IW (0) I (25)5а2 cos (2 V25/3 + 5я/12), (П. 7)
«2 03)//3 - I и» (0)1 (25)-5Д2 sin (2 V25/3 + я/12),
и2' 03) - I w (0) I (2S)1/12 cos (2 V25/3 + я/12),
I w (0) I = 2 V5" • 3"2/3/Г (2/3), I w' (0) I = 2 Vi" • 3"4/3/Г (4/3);
е= 1,
их 03) - е^ sin (Vs/3 + я/4), 0%' 03) - Vs J** cos (Vs/3 + я/4),
u2 03)//3 - ttl (fi)/Vs, u2' 03) - M' фу/yTs; (П. 8)
e = 2,
«i 03)«v (0) (2S)la2exp (2 V2S/3), 0Ul' ф) - - v' (0) (25)S/12 exp (2 V25/3),
143

"2 03)//3«v(0) (25)-S/12exp (2 V25/3), и2' 03) — v'(0)(25)-1/12exp (2 V2S/3),
(П. 9)
v (0) = V^ 3-2/3Г (2/3), v' (0) = -V£" 3-4°/Г (4/3).
4. Функции и,- (х) определены нами как решения дифференциального
уравнения (5.10), удовлетворяющие граничным условиям (5.11). Нетрудно
убедиться, что и,- (х) можно определить также с помощью интегральных
уравнений Вольтерра второго рода:
Ul(x)=l + j-j(t-x)(t- е/3/2) Ul (t) dt,
ka о (П. 10)
"2 (*) = x + -^ J (t - x) (t - ep/2) u2 (t) dt.
0
Решая (П. 10) методом последовательных приближений, получаем
представления Ui ф) в виде рядов, сходящихся на всей вещественной оси. Значения
коэффициентов в этих рядах зависят от значения е. Эти ряды имеют вид:
при е =1
S S S3 S4
Ui(P) = 1 + g- — 360 — 9 • 14 • 360 + 7 • 32 • 33 • 1620 + ##м
S2 S4
P*iiP) = — 30 + 11 • 27 • 30 • 56 + "" (П. 11)
S2 S4
и2 (Р)1Р = 1 — 21 • 120 + 13 • 16 • 21 • 27 • 120 — ##м
S S2 , S3 S4
"2'(Ю=1-7Г-с£л +
6 360 т 9 • 14 • 360 7 • 32 • 33 • 1620 ""'
при е = 2
"l№= 1 + 3 5 + "18 + 567 + 60 • 567 + 30 • 345 • 567 + "м
fiUl' O3) = 5 + ТУ 5' + 180 + 22 • 405 + 567 • 1320 + "" (П. 12)
"^)^=1 + | + Ш+5|70 + бб^737Т+"'
и2' <Р)-1 + Ъ + {5 + Ш+66 Лб20 + ""

ЛИТЕРАТУРА
1. Макаров Г. Я., Новиков В. В. Некоторые
свойства нормальных волн в задаче о
распространении радиоволн в волноводном
канале Земля—ионосфера // Проблемы
дифракции и распространения волн. Л.:
Изд-во ЛГУ, 1966. Вып. 5. С. 51—61.
2. Рыбачек С. Т., Гюннинен Э. М.
Распространение длинных и сверхдлинных
радиоволн в волноводном канале Земля—
ионосфера // Там же. Вып. 6. С. 115—123.
3. Макаров Г. Я, Новиков В. В.
Распространение электромагнитных волн в импеданс -
ных плоском и сферическом волноводах.
Часть I. Построение решения // Там же.
1968. Вып. 7. С. 19—33.
4. Макаров Г. Я, Новиков В. В.
Распространение электромагнитных волн в импеданс-
ных плоском и сферическом волноводах.
Часть II. Распространение
электромагнитных волн в плоском импедансном
волноводе // Там же. С. 34—65.
5. Рыбачек С. Т. Учет неоднородности
ионосферы в задаче о распространении СДВ в
волноводном канале Земля—ионосфера //
Там же. С. 152—164.
6. Ременец Г. Ф., Макаров Г. Я, Новиков В.
B. Характеристики распространения первых
двух нормальных волн, возбуждаемых
точечным источником в волноводном канале
Земля—неоднородная анизотропная
ионосфера // Там же. Вып. 8. С. 109—120.
7. Гусева Э. Г., Кириллов В. В., Рыбачек С.
Т. Волноводное распространение
сверхдлинных волн. Сравнение
сферической и плоской моделей // Геомагнетизм и
аэрономия. 1968. Т. 8, № 1. С. 62—71.
8. Рыбачек С. Т. Распространение СДВ в
волноводном канале Земля—ионосфера // Там
же. № 3. С. 152—164.
9. Макаров Г. Я, Новиков В. В. Вопросы
распространения сверхдлинных радиоволн
в волноводном канале Земля—ионосфера //
Успехи физ. наук. 1969. Т. 98, вып. 4.
C. 733—735.
10. Макаров Г. Я, Новиков В. В., Рыбачек С.
Т. Распространение электромагнитных волн
в сферическом импедансном волноводе.
Часть III // Проблемы дифракции и
распространения волн. Л.: Изд-во ЛГУ, 1969.
Вып. 9. С. 3—64.
11. Макаров Г. И., Новиков В. В., Орлов А.
Б. Современное состояние исследований
распространения СДВ в волноводном канале
Земля—ионосфера (обзор) // Изв. вузов.
Радиофизика. 1970. Т. 13. № 3, С. 321 —
355.
12. Рыбачек С. Т. О применимости функций
Эйри в задаче определения собственных
значений сферического волновода //
Проблемы дифракции и распространения волн.
Л.: Изд-во ЛГУ, 1970. Вып. 10. С. 181 —183.
13. Капустина О. В., Рыбачек С. Г., Флигель
Д. С. О результатах теоретических расчетов
амплитуды и фазовой скорости
низкочастотных волн в приземном сферическом
волноводе // Геомагнетизм и аэрономия.
1971. Т. И, № 1. С. 102—109.
14. Рыбачек С. Т. К расчету высотной
зависимости поля СДВ // Там же. № 6. С.
1111 — 1113.
15. Макаров Г. Я, Новиков В. В. Четыре
лекции по теории распространения
радиоволн. Л.: Изд-во ЛГУ, 1972. 138 с.
16. Макаров Г. Я, Новиков В. В. О собственных
значениях нормальных волн в плоском
волноводном канале // Проблемы дифракции
и распространения волн. Л.: Изд-во ЛГУ,
1972. Вып. 11. С. 3—32.
17. БолотовсКий Я. Я, Макаров Г. Я.
Пересечение трассы СДВ-сигнала границей
раздела «день—ночь» // Там же. С. 142—158.
18. Рыбачек С. Т. О влиянии электрических
свойств Земли на характеристики
распространения СДВ в волноводе
Земля—ионосфера. Там же. С. 204—206.
19. Рыбачек С. Т. О влиянии существенной
области ионосферного слоя на
характеристики распространения СДВ // Изв.
вузов. Радиофизика. 1972. Т. 15, № 9.
С. 1300—1303.
20. Новиков В. В., Федорова Л. А. Предельный
переход от сферической модели к плоской
в задаче о дифракции электромагнитных
волн над земной поверхностью // Там же.
1974. Т. 17, № 6. С. 808—813.
21. Бичуцкая Т. Я, Новиков В. В. Динамика
собственных значений нормальных волн
плоского волновода с импедансными
стенками // Там же. 1975. Т. 18, № 1. С. 108—
119.
22. Макаров Г. Я, Рыжков А. В. Спектр
нормальных волн в сферически слоистой среде.
Деп. ВИНИТИ 24.02.77 № 725—77.
23. Макаров Г. Я, Федорова Л. А. Метод
многократно отраженных волн в задаче о
распространении электромагнитных волн в
регулярных волноводах // Изв. вузов.
Радиофизика. 1978. Т. 21, № 10. С. 1424—
1433.
24. Макаров Г. Я, Новиков В. В. Некоторые
вопросы распространения
электромагнитных волн в слоистых средах //
145

Теория распространения волн в
неоднородных и нелинейных средах. М.: Изд-во АН
СССР, 1979. С. 188—259.
25. Бичуцкая Т. Я, Новиков В. В.
Взаимодействие нормальных волн в плоском
нерегулярном волноводе при наличии точки
вырождения // Изв. вузов. Радиофизика.
1979. Т. 22. № 7. С. 860—870.
26. Бичуцкая Т. Я, Новиков В. В.
Взаимодействие мод при тройном вырождении //
Там же. 1980. Т. 23, № 10. С. 1225—1236.
27. Макаров Г. Я, Федорова Л. А. К
обоснованию метода многократно отраженных волн
в случае цилиндрического волновода //
Проблемы дифракции и распространения волн. Л.:
Изд-во ЛГУ, 1981. Вып. 18. С. 3—28.
28. Рыбачек С. Т. Электромагнитные поля
плоской волны в неоднородной анизотропной
ионосфере//Там же. С. 221—237.
29. Макаров Г. И., Федорова Л. А. Метод
многократно отраженных волн в задаче о
распространении электромагнитных волн в
регулярных волноводах // Изв. вузов.
Радиофизика. 1982. Т. 25, № 12. С. 1384—
1409.
30. Новиков В. В. Трансформация мод при
двойном вырождении в плоском импеданс-
ном анизотропном волноводе // Там же.
1983. Т. 26. № 5. С. 607—615.
31. Бичуцкая Т. Я, Новиков В. В.
Вырожденные собственные значения в импеданском
волноводе // Проблемы дифракции и
распространения волн. Л.: Изд-во ЛГУ, 1983.
Вып. 19. С. 60—75.
32. Рыбачек С. Т. Электромагнитные поля
точечных диполей в волноводе
Земля—ионосфера//Изв. вузов. Радиофизика. 1985.
Т. 28. № 4. С. 406—415.
33. Рыбачек С. Т. Электромагнитные поля
ионосферных точечных диполей в волноводе
Земля—ионосфера // Там же. № 6.
С. 703—711.
34. Рыбачек С. Т. Распространение
электромагнитных волн в приземном волноводе при
возбуждении их дипольными источниками,
расположенными в неоднородной
анизотропной среде. Симп. по дифракции и
распространению волн: Тез. докл. // Тбилиси,
1985. С. 530—533.
35. Макаров Г. И., Чоглоков А. Е. Динамика
собственных значений поперечного
оператора в задаче о распространении
электромагнитных волн в тонком сферическом
волноводе // Проблемы дифракции и
распространения волн. Л.: Изд-во ЛГУ, 1986.
Вып. 20. С. 71—88.
36. Рыбачек С. Т. Об эффективности
возбуждения приземного волновода ионосферными
источниками // Изв. вузов. Радиофизика.
1988. Т. 31, № 4. С. 388—393.
37. Макаров Г. Я, Новиков В. В., Орлов А.
Б. О распространении километровых и
более длинных радиоволн // Успехи физ.
наук. 1989. Т. 157, вып. 4. С. 720—722.
38. Новиков В. В. Трансформация мод при
двукратном вырождении в плоском волноводе
с неоднородным анизотропным заполнением
// Проблемы дифракции и распространения
волн. Л.: Изд-во ЛГУ, 1989. Вып. 22.
С. 28—38.
39. Watson G. N. The transmission of electric
waves round the Earth // Proc. Roy. Soc.
London A. 1919. Vol. 95. P. 546—563.
40. Rydbeck О. Е. On the propagation of radio
waves. Goteborg, 1944. 170 p. (Trans.
Chalmers Univ.; N 34).
41. Рязин П. А, Бреховских Л. М. О поле
радиоволн в пространстве между двумя
полу проводящими средами // Изв. АН
СССР. Сер. физ. 1946. Т. 10, № 3. С. ?85—
309.
42. Bremmer H Terrestrial, radio waves. N. Y.:
Elsevier, 1949. 342 p.
43. Bud den K. G. The propagation of
radio-atmospheric//Philos. Mag. 1951. Vol. 42, N
324. P. 1 — 19.
44. Budden K. G.The waveguide mode theory of
the propagation of VLF radiowaves // Proc.
IRE. 1957. Vol. 45, N 6. P. 772—774.
45. Wait J. R. Electromagnetic waves in stratified
media. Oxford; P.: Pergamon press, 1962.
372 p.
46. Макаров Г. Я, Новиков В. В., Рыбачек С.
Т. Распространение электромагнитных волн
над земной поверхностью. М.: Наука, 1991.
196 с.
47. Keller J. В. Diffraction by a convex cylinder
//IEEE Trans. Antennas and Propag. 1956.
Vol. 4, N 3. P. 312—322.
48. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансце-
дентные функции. Функции Бесселя.
Функции параболического цилиндра.
Ортогональные многочлены. М.: Наука, 1966.
295 с.
49. Макаров Г. Я, Осипов А. В. Исследование
спектрального разложения функции Грина
в задаче о дифракции волн на проводящем
шаре // Проблемы дифракции и
распространения волн. Л.: Изд-во ЛГУ, 1987.
Вып. 21. С. 3—18.
50. Справочник по специальным функциям с
формулами, графиками и математическими
таблицами. М.: Наука, 1979. 830 с.
51. Забавина Я. Я. Распространение СДВ.
Расчет форм атмосфериков // Проблемы
дифракции и распространения волн. Л.:
Изд-во ЛГУ, 1969. Вып. 9. С. 64—75.
52. Михлин С. Г. Вариационные методы в
математической физике. М.: Гостехиздат,
1957. 476 с.
53. Воробьев Ю. В. Метод моментов в
прикладной математике. М.: Физматгиз, 1958.
186 с.
54. Фок В. А. Дифракция радиоволн вокруг
земной поверхности. М.-Л.: Изд-во АН
СССР, 1946. 80 с.
55. Макаров Г. Я, Новиков В. В.
Распространение электромагнитных волн над
поверхностью с произвольным поверхностным
импедансом // Проблемы дифракции и
распространения волн. Л.: Изд-во ЛГУ, 1961.
Вып. 1. С. 96—115.
56. Гюннинен Э. М., Макаров Г. Я. Поле
точечного диполя над импедансной
поверхностью//Там же. 1966. Вып. 5. С. 97—
120.
146

57. Краснушкин П. Е., Яблочкин Н. А. Теория
распространения сверхдлинных волн. М.:
Изд-во АН СССР, 1963. 94 с.
58. Краснушкин П. Е. Метод решения общей
краевой задачи распространения длинных
и сверхдлинных радиоволн вокруг Земли //
ДАН СССР. 1966. Т. 171. № 1. С. 61—64.
59. Wait /. R., Spies К P. Influence of Earth
curvature and the terrestrial magnetic field on
VLF propagation // J. Geophys. Res. 1960.
Vol. 65, N 8. P. 2325—2331.
60. Wait J. R. A new approach to the mode theory
of VLF propagation // J. Res. Nat. Bur. Stand.
D. 1961. Vol. 65, N 1. P. 37—46.
61. Wait J. R. The mode theory of VLF radio
propagation for a spherical Earth and a
concentric anisotropic ionosphere // Canad. J.
Phys. 1963. Vol. 41, N 2. P. 299—315.
62. Budden К G. The influence of the Earth's
magnetic field on radio propagation by
waveguide modes // Proc. Roy. Soc. London
A. 1962. Vol. 265, N 1323. P. 538—553.
63. Pappert R. A. A numerical study of VLF mode
structure and polarization below an anisotropic
ionosphere//Radio Sci. 1968. Vol. 3, N 3.
P. 219—233.
64. Galejs J. ELF and VLF waves below an
inhonogeneous anisotropic ionosphere // J.
Res. Nat. Bur. Stand. D. 1964. Vol. 68, N 6.
P. 693—707.
65. Galejs J. Propagation of ELF and VLF waves
below an anisotropic ionosphere with a dipping
static magnetic field // J. Geophys. Res. 1968.
Vol. 73, N 1. P. 339—352.
66. Galejs /. Terrestrial propagation of long
electromagnetic waves. N. Y.: Pergamon press,
1972. 362 p.
67. Ременец Г. Ф. Нахождение комплексных
собственных значений некоторых краевых
задач методом аналитического продолжения
функций с вещественной оси в
комплексную область аргумента // Проблемы
дифракции и распространения волн. Л.:
Изд-во ЛГУ, 1968. Вып. 7. С. 66—76.
68. Галюк Ю. Я., Иванов В. И Определение
характеристик распространения СДВ-полей
в волноводе Земля—неоднородная по высоте
анизотропная ионосфера//Там же. 1978.
Вып. 16. С. 148—154.
69. Galejs /. VLF propagation across
discontinuous day-time to night-time
transitions in anisotropic terrestrial waveguide
//IEEE Trans. Antennas and Propag. 1971.
Vol. 19, N 6. P. 756—762.
70. Pappert R. A., Morfitt D. G. Theoretical and
experimental sunrise mode conversion results
at VLF//Radio. Sci. 1975. Vol. 10. N 5.
P. 537—546.
71. Smith R. Mode conversion coefficients in the
Earth — ionosphere waveguide for VLF
propagation below a horizontally stratified
anisotropic ionosphere // J. Atmos. and Terr.
Phys. 1977. Vol. 39, N 4. P. 539—543.
72. Осадчий А. Ф., Ременец Г. Ф. Особенности
перевозбуждения нормальных волн СДВ
диапазона в нерегулярном волноводном
канале Земля—магнитоактивная ионосфера
// Проблемы дифракции и распространения
волн. Л.: Изд-во ЛГУ, 1979. Вып. 17.
С. 141—148.
73. Авдеев А. Д. Метод поперечных сечений в
теории распространения СДВ в
нерегулярном волноводе Земля—анизотропная
ионосфера//Там же. 1983. Вып. 19. С. 75—
105.
74. Каценеленбаум Б. 3. Теория нерегулярных
волноводов с медленно меняющимися
параметрами. М.: Изд-во АН СССР, 1961. 216 с.
75. Budden К G. Radiowaves in the ionosphere.
Cambridge: Univ. press, 1961. 542 p.
76. Фейнберг Е. Л. Распространение радиоволн
вдоль земной поверхности. М.: Изд-во АН
СССР, 1961. 546 с.
77. Наймарк М. А. Линейные
дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969. 526 с.
78. Марченко В. А. Спектральная теория
операторов Штурма—Луивилля. Киев: Наук,
думка, 1972. 219 с.
79. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие
трансцендентные функции. Гипергеометрическая
функция. Функции Лежандра. М.: Наука,
1965. 294 с.
80. Олвер Ф. Введение в асимптотические
методы и специальные функции. М.: Наука,
1978. 375 с.
81. Рыбачек С. Т. Области нижней ионосферы,
существенные при распространении СДВ //
X Всесоюз. конф. по - распространению
радиоволн: Тез. докл. М.: Наука, 1972.
С. 203—207.
82. Кириллов В. В., Хованская Н. С. Об оценке
области, существенной при отражении
длинных волн в ночных условиях // X
Всесоюз. конф. по распространению радиоволн:
Тез. докл. М.: Наука. 1972. С. 208—212.
83. Орлов А. Б., Уваров А. Н. О возможности
послойного определения электронной
концентрации в дневной нижней ионосфере
по экспериментальным данным о СДВ-
полях // Проблемы дифракции и
распространения волн. Л.: Изд-во ЛГУ, 1975.
Вып. 14. С. 96—109.
84. Кириллов В. В. Области, существенные при
отражении электромагнитных волн от
неоднородных проводящих слоев // Там же.
1976. Вып. 16. С. 99—119.
85. Rawer К, Bilitza D., Ramakrishnan S. Goals
and status of the International reference
ionosphere // Rev. Geophys. and Space Phys.
1978. Vol. 16, N 2. P. 177—181.
86. Prikner К Propagation of ULF electromagnetic
waves through the ionosphere and geomagnetic
pulsations//Trav. geophys. 1980. Vol. 28.
N 543. P. 143—170.
87. Tohru A., Kitayama S., Kato S.
Transequatorial reception of VLF radio waves
from Australia // Radio Sci. 1969. Vol. 4, N 4.
P. 367—369.
88. Азарнин Г. В., Колсанов В. А.у Орлов А.
Б. О возможной структуре глобальной
модели нижней ионосферы для
прогнозирования СДВ // Проблемы дифракции
и распространения волн. Л.: Изд-во ЛГУ.
1987. Вып. 21. С. 112—125.
89. Einaudi F.t Wait J. R. Analysis of the
excitation of the Earth—ionosphere waveguide
147

by a satellite-borae antenna // Canad. J. Phys.
1971. Vol. 49, N 4. P. 447—457.
90. Einaudi F., Wait J. R. Analysis of the excitation
of the Earth—ionosphere waveguide by a
satellite-borae antenna. 2//Ibid. N 11.
P. 1452—1460.
91. Galejs J. Excitation of the terrestrial waveguide
by sources in the lower ionosphere // Radio
Sci. 1971. Vol. 6, N 1. P. 41—53.
92. Galejs J. Stable solutions of ionospheric fields
in the propagation of ELF and VLF waves //
Ibid. 1972. Vol. 7, N 5. P. 549—561.
93. Pappert R. A. Excitation of the Earth —
ionosphere waveguide by point dipoles at
satellite heights//Ibid. 1973. Vol. 8, N 6.
P. 535—545.
94. Беллюстин Я С, Докучаев В. П., Поляков
С. В., Тамойкин В. В. Возбуждение
волновода Земля—ионосфера ионосферными
источниками низкочастотного диапазона //
Изв. вузов. Радиофизика. 1975. Т. 18, № 9.
С. 1323—1332.
95. Котик Д. С, Поляков С. В., Яитов В. А.
Возбуждение волновода Земля—ионосфера
низкочастотными источниками,
расположенными в неоднородной ионосфере // Там
же. 1978. Т. 21, № 7. С. 938—944.
96. Гинзбург В. Л. Распространение
электромагнитных волн в плазме. М.: Наука, 1967.
683 с.
97. Pitteway M. L. V. The numerical calculation
of wave-fields, reflexion coefficients and
polarizations for long radio waves in the lower
ionosphere. 1 // Philos. Trans. Roy. Soc.
London A. 1965. Vol. 257. P. 219—241.
98. Piggott W. R.t Pitteway M. L. V., Thrane E.
V. The numerical calculation of wave — fields,
reflexion coefficients and polarizations for long
radio waves in the lower ionosphere. 2 // Ibid.
P. 243—271.
99. Фаткуллин М. Я, Зеленова Т. Я, Козлов
В. К, Легенька А. Ф., Соболева Т. Я.
Эмпирические модели среднеширотной
ионосферы. М.: Наука, 1981. 256 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение 5
Глава 1
Распространение радиоволн в регулярном изотропном волноводе
1. Постановка задачи и построение решения в виде ряда зональных гармоник . . 7
2. Преобразование Ватсона. Предельный переход к другим задачам распространения 11
3. Представление решения в виде ряда нормальных и ряда многократно отраженных
волн 17
Глава 2
Распространение радиоволн в импедансном волноводе
4. Качественное исследование поведения собственных значений 27
5. Построение приближенных формул для собственных значений с помощью
вариационных методов 37
6. Некоторые общие свойства собственных значений 41
7. Качественные закономерности структуры электромагнитного поля 49
Глава 3
Распространение радиоволн в анизотропном волноводе
8. Регулярный волновод 59
9. Нерегулярный волновод 72
10. Характеристики нормальных волн и электромагнитные поля 92
Глава 4
Распространение радиоволн, возбуждаемых элементарными излучателями,
расположенными в ионосфере
11. Построение решения волноводной задачи для вертикального магнитного,
горизонтального электрического и горизонтального магнитного диполей 114
12. Возбуждение регулярного анизотропного волновода элементарными излучателями
в ионосфере 122
13. Основные особенности поведения электромагнитных полей, возбуждаемых в
приземном волноводе источниками, расположенными в ионосфере 130
Приложение 142
Литература 145

CONTENTS
Introduction 5
Chapter 1
Radio wave propagation in the regular isotropic waveguide
1. Formulation of the problem and construction of the solution as a series of zonal
harmonics 7
2. The Watson transformation. The limit proceeding to another propagation problems . 11
3. Description of the solution by a series of normal waves and a series of consequently
reflected waves 17
Chapter 2
Radio wave propagation in the impedance waveguide
4. Qualitative treatment of the eigenvalues behavior 27
5. Construction of the approximate formulae for the eigenvalues using variational methods 37
6. Some general properties of the eigenvalues 41
7. Qualitative description of the electromagnetic field structure 49
Chapter 3
Radio wave propagation in the anisotropic waveguide
8. The regular waveguide 59
9. The irregular waveguide 72
10. The normal wave characteristics and electromagnetic fields 92
Chapter 4
Propagation of radio waves excited by an elementary emitter located in the ionosphere
11. Construction of the solution of the waveguide problem for vertical magnetic, horizontal
electric and horizontal magnetic dipoles 114
12. Excitation of the regular anisotropic waveguide by an elementary emitter 122
13. The basic properties of electromagnetic fields excited in the Earth—ionosphere waveguide
by sources located in the ionosphere 130
Appendix 142
References 145

Научное издание
Макаров Глеб Иванович
Новиков Валентин Владимирович
Рыбачек Светлана Тимофеевна
Распространение радиоволн в волноводном канале
Земля—ионосфера и в ионосфере
Утверждено к печати
Национальным геофизическим комитетом
Российской академии наук
Редактор А. А. Кудинова
Технический редактор Г. В. Дьякова
Корректор А. Б. Васильев
Л. Р. № 020297 от 27 ноября 1991 г.
ИБ № 350
Сдано в набор 29.09.93. Подписано к печати 08.12.93.
Формат 70 х 100 /i6. Гарнитура тайме.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 12,09.
Усл. кр.-отт. 12,22. Уч.-изд. л. 13,38. Тираж 320. Тип. зак. 392.
Компьютерный набор и изготовление оригинал-макета ГП «Слово»
Компьютерная верстка Травкина Н. Ю.
199034, Санкт-Петербург, 9 линия, 12
Телефон: (812) 213-35-59
Ордена Трудового Красного Знамени
издательство «Наука»
117864, Москва, ГСП-7,
Профсоюзая ул., 90
Санкт-Петербургская типография № 1
ВО «Наука» РАН
199034, С.-Петербург, 9 линия, 12

ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГОТОВИТСЯ К ПЕЧАТИ КНИГА:
Н. Н. Горысавый, А. М. Фридман
ФИЗИКА ПЛАНЕТНЫХ КОЛЕЦ. - 20 л.
В монографии представлено описание планетных колец
Сатурна, Урана, Юпитера, Нептуна и их структуры.
Теоретически рассмотрены неупругие столкновения частиц
при их дифференциальном вращении вокруг гравитирующе-
го центра (планеты). Изложена теория переноса и
коллективных процессов в плоской
дифференциально-вращающейся системе из неупругосталкивающихся частиц — модели
околопланетного диска. Проведен анализ системы колец
Урана, который позволил авторам правильно предсказать
новые спутники Урана.
Для астрофизиков, механиков и математиков.