>
!>
>
I
>
I
1551'У 0130-9358
МАТЕМАТИКА
В ШКОЛЕ
Научно-
методический
журнал
Министерства
просвещения
СССР

%
ЕС
X
ЦП —
л Е
* га
п г
ё I
а. о
< ^
у —
Чарльз Бэбидж — английский математик и экономист.
Родился в г. Тотнес в семье банкира. Учился
в Кембридже, где подружился с Д. Гершелем и
Д. Пикоком. Друзья договорились «приложить все
усилия, чтобы оставить мир мудрее, чем они нашли
его». В 1812 г. Бэбидж, Гершель и Пикок организовали
«Аналитическое общество», которое оказало
значительное влияние на развитие математики
в Англии и развитие алгебры в целом. В 1816 г. после
публикации работы Бэбиджа «Очерк функционального
исчисления» его избирают членом Королевского
общества, а в 1828 г. он становится профессором
Кембриджского университета. Бэбидж написал ряд
работ по астрономии, геологии и другим вопросам,
много занимался совершенствованием различных
таблиц. Его книга «Экономика машин и
производства» получила высокую оценку К. Маркса.
Бэбидж сделал ряд изобретений в различных
областях техники.
Но основной целью жизни Бэбиджа было создание
вычислительных машин. В 1822 г. была изготовлена
экспериментальная модель механической машины для
табулирования полиномов с постоянными вторыми
разностями. Попытка создать более мощную машину
закончилась неудачей. В 1842—1848 гг. Бэбидж
разрабатывает теорию новой вычислительной
машины — аналитической. Она состояла из основных
блоков, характерных для современных ЭВМ:
арифметического устройства, устройства управления,
запоминающего устройства. Предусматривалась
работа с адресами и кодами команд, ввод данных
должен был осуществляться с помощью перфокарт.
Глубокий анализ возможностей аналитической
машины дала сотрудничавшая с Бэбиджем
леди Ада Лавлейс (1815—1852), дочь Дж. Байрона.
Важный итог работы Лавлейс заключается
в создании основ программирования на
универсальных цифровых вычислительных машинах.
Идеи Бэбиджа о логической структуре вычислительных
машин и их математическом обеспечении явились
крупнейшим достижением науки, но в свое время они
не могли быть полностью реализованы на базе
механических конструкций.
Сергей Алексеевич Лебедев — советский ученый
в области электротехники и вычислительной техники,
академик АН УССР (1945) и АН СССР (1953),
Герой Социалистического Труда (1956), лауреат
Государственных премий СССР (1950 и 1969) и
Ленинской премии (1966).
С. А. Лебедев родился в Нижнем Новгороде. В 1928 г.
окончил Московское высшее техническое училище,
работал во Всесоюзном электротехническом институте,
являлся одним из крупнейших специалистов по
вопросам устойчивости и автоматизации электрических
систем. Непрерывно сталкиваясь в своей научной
деятельности с затруднениями, связанными с
выполнением громоздких расчетов, С. А. Лебедев
одним из первых оценил всю важность создания
электронных вычислительных машин. В 45 лет, будучи
уже известным ученым, он полностью переключился на
совершенно новую область науки. В 1947 г.
в руководимом им Институте электротехники
АН УССР была создана лаборатория, перед которой
ставилась задача: в самые короткие сроки создать и
сдать в эксплуатацию электронно-вычислительную
машину. Большую часть работ по проектированию
основных устройств машины С. А Лебедев выполнял
лично, привлекая для разработки структурных схем
только своих ближайших помощников. В конце 1951 г.
первая советская электронная ЦВМ «МЭСМ» была
принята в эксплуатацию.
В 1953 г. С. А. Лебедев стал директором Института
точной механики и вычислительной техники АН СССР,
где были начаты под его руководством разработки
быстродействующей электронной вычислительной
машины (БЭСМ). БЭСМ стала родоначальницей
большой группы электронных вычислительных машин*
разработанных учеными школы С. А. Лебедева.
Создание в тяжелые послевоенные годы первой
оригинальной отечественной ЭВМ было научным
подвигом С. А. Лебедева и небольшого коллектива
работавших с ним сотрудников. Имя Сергея
Алексеевича Лебедева — основоположника
отечественной вычислительной техники—-по праву
стоит рядом с именами И. В. Курчатова и
С. П. Королева.
са
ш
СГ
ш
Ш
с;
у
са
ш
ш
и
ж „
ш "9
с;
< Т-
>х I
Ш М
к- о
о. о>
Ш
и “

Научно-методический
журнал
Министерства просвещения
СССР
Москва «Педагогика»
Издается с 1934 года
Выходит один раз
в два месяца
МАТЕМАТИКА
В ШКОЛЕ
ноябрь — декабрь
3 Больше внимания факультативам
Слово делегатам XXVI съезда КПСС
3. Н. Бутримова
В. А. Леонова
6	Пути оптимизации
7	Учить учиться
МЕТОДИЧЕСКИЙ ОТДЕЛ
В.	М. Монахов
Е. С. Дубинчук,
Г. Н. Цыбульская
В. А. Половодова
Н. С. Головченко
В. А. Петров
В. Г. Филатов
А. А. Окунев
И. А. Лурье
8	Проблемы дальнейшего развития факультативных занятий по ма¬
тематике
10	Вопросы межпредметных связей курса математики и трудового
обучения
14	Школа должна приучать к бережливости
Из опыта
15	Из опыта введения понятия непрерывности функции
18	О специфике исследования функции при решении задач практиче¬
ского характера
19	Из опыта применения теоремы Виета при решении квадратных
уравнений
22	Уроки одной задачи
25 Об упражнениях для формирования пространственных представ¬
лений
Читатели вносят предложения
Б. М. Макичян
В. Е. Ольхов
М. Малаев
Н. П. Ирошников
А. Г. Эйвазов
В. Н. Гордиенко
28	Конкурсные экзамены и математический факультатив
29	Об упрощении выражений, содержащих радикалы
31 О приемах решения некоторых систем уравнений
31 Введение понятия последовательности в курсе алгебры VIII класса
33	О производной обратной функции
34	Об изучении темы «Комплексные числа и многочлены» на факуль¬
тативных занятиях
Повышение эффективности урока
Е. Б. Арутюнян и др.
3. К. Ширяева
3. Г. Попова
Н. Л. Тюрин
34	Система устных заданий для IV класса (математические диктанты)
37	Использование магнитной доски при математическом диктанте
38	Самостоятельные работы с таблицами ответов
39	Карточки-задания для работы с графиками
От Управления кадров
Министерства просвещения СССР
40	Примерные учебно-тематический план и программа раздела «Тео¬
рия и методика преподавания предмета» курсов повышения ква¬
лификации учителей математики
От Министерства просвещения РСФСР
45 Об изменениях в билетах по геометрии за курс восьмилетней шко¬
лы в школах РСФСР
© Издательство «Педагогика», «Математика в школе», 1981 г.

Учебное оборудование
Ю. А. Глазков
Н. А. Гринченко,
Б. Г. Егорин, Н. С. Подпоркин
48 Новое в диафильмах по математике
50 Экранные пособия и их изготовление
Эксперимент
Ю. А. Первин, Н. А. Юнерман
52 Опыт, задачи и возможности обучения школьников основам про¬
граммирования с заочным использованием вычислительной техники
Внеклассная работа
Т. А. Сарычева и др.
Н. М. Матвеев, С. Е. Рукшин,
В. П. Федотов
С. Е. Рукшин
Ш. Ш. Каплан
Задачи
54 XV Всесоюзная математическая олимпиада школьников
60 Ленинградские математические олимпиады школьников
62
63
64
Задачи-серии во внеклассной работе
Об одном приеме решения уравнений, содержащих переменную
под знаком модуля
Занимательная страница
Б. А. Кордемский	71 Упрощение решения, ведущее к обобщениям
Новые книги
Ф. М. Шустеф	72
ХРОНИКА
73
В. А. Гусев и др.
А. М. Авоян
Ю. А. Первин
С. В. Кудрявцев и др.
Совещание по проблемам заочного обучения студентов-матема-
тиков
74	Республиканский семинар в Армении
75	Семинар «ЭВМ и учебный процесс»
76	|Иван Семенович Бровиков|
77	Тематический указатель статей, опубликованных в журнале в 1981 г.
Редакционная коллегия:
Главный редактор Р. С. Черкасов.
Зам. главного редактора А. И. Верченко
Члены редакционной коллегии:
П. М. Бескин
B.	Г. Болтянский
Н. Ф. Власик
Г. Д. Глейзер
Б. В. Гнеденко
Г. В. Дорофеев
Н. А. Ермолаева
A.	Н. Колмогоров
Ю. М. Колягин
М. Р. Леонтьева
Г. Г. Маслова
К. И. Пешков
Л. М. Пашкова
И. С. Петраков
C.	А. Пономарев
П. X. Розов
К. П. Сикорский
B.	А. Скворцов
3. А. Скопец
П. В. Стратилатов
3. С. Сухотина
К. И. Шалимова
C.	И. Шварцбурд
Г. А. Ястребинецкий
Редакционный совет
(представители союзных республик):
A.	М. Алиев (АзССР)
X. А. Асадов (ТаджССР)
Б. Б. Бердыев (ТССР)
Б. П. Бычков (МССР)
B.	А. Гусев (РСФСР)
A.	С. Зибертас (ЛитССР)
Д. И. Икрамов (УзССР)
К. К. Кожаспаев (КазССР)
Ш. М. Майлиев (КиргССР)
B.	Я. Миллере (ЛатвССР)
3. И. Моисева (РСФСР)
C.	Ф. Рубанов (БССР)
Н. Н. Садовникова (РСФСР)
Р. В. Саркисян (АрмССР)
3. И. Слепкань (УССР)
А. Э. Тельгмаа (ЭССР)
И. Ф. Тесленко (УССР)
Р. А. Хабиб (РСФСР)
А.	М. Хоштария (ГССР)
Зав. редакцией
3. В. Шепелева
Художественный редактор
Б. Ф. Рябов
Технический редактор
Л. С. Владимирская
Корректор М. А. Суворова
Сдано в набор 22.10.81. Подписано в
печать 23.11.81.	Формат	84Х108‘/1в.
Печать высокая.	Уел. печ. л. 8.40.
Уч.-изд. л. 11,17.	Уел. кр.-отт. 9,03.
Тираж 391 940 экз. Цена 45 коп. Зак. 338.
Издательство «Педагогика» Академии пе¬
дагогических наук СССР и Государствен¬
ного	комитета СССР по делам изда¬
тельств, полиграфии и книжной торговли.
Адрес издательства: 107847, Москва. ГСП
Б-05, Лефортовский пер., д. 8.
Адрес редакции: 129278, Москва,
ул. П. Корчагина, 7; телефон: 283-85-83.
Московская типография № 13 Союзполи-
графпрома при Государственном комитете
СССР по делам издательств, полиграфии
и книжной торговли 107005, Москва, Б-5.
Денисовский пер., д. 30.
2

БОЛЬШЕ ВНИМАНИЯ ФАКУЛЬТАТИВАМ
Факультативные занятия — занятия по вы¬
бору учащихся—стали неотъемлемой частью
учебно-воспитательного процесса в средней
общеобразовательной школе. Впервые они
были введены в VII—X классах с 1967/68
учебного года. Основанием для этого послу¬
жило одно из требований, записанных в по¬
становлении ЦК КПСС и Совета Министров
СССР от 10 ноября 1966 г. № 874 «О мерах
дальнейшего улучшения работы средней
общеобразовательной школы». С тех пор
факультативные занятия успешно служат
развитию разносторонних интересов и спо¬
собностей учащихся, помогают им углублять
школьные знания. За прошедшие годы мил¬
лионы школьников кроме обязательных уче¬
бных предметов изучали курсы экономики и
агротехники, минералогии и радиоэлектро¬
ники, педагогики и психологии, програм¬
мирования на ЭВМ. О том, насколько широк
был выбор у учащихся, свидетельствует уже
само количество таких курсов. Только
Министерством просвещения СССР реко¬
мендовано для использования в школах
более двухсот программ. Помимо этого, пра¬
во вводить новые факультативы, которые бы
учитывали конкретные условия края, обла¬
сти, города, дано республиканским и местным
органам народного образования.
Внедрение в школьную практику факуль¬
тативных занятий помогло решить ряд акту¬
альных задач, стоящих перед школой. Преж¬
де всего, этот новый вид занятий помог
тысячам школьников определить свой жиз¬
ненный и трудовой путь, т. е. сделать пра¬
вильный выбор профессии, а учителям —■
особенно в сложных условиях модернизации
школьного образования, которое проходило
в эти годы, — поднять уровень преподавания
на более высокий теоретический и методи¬
ческий уровень. Ведь в программы факуль¬
тативов включались именно те трудные раз-
делы, которые затем входили в основные
школьные курсы. Особенно это относится к
математике. Например, такие новые для
учителей темы, как «Геометрические пре¬
образования», «Векторы», «Производная и
интеграл», сначала были опробованы ими,
как правило, на факультативных занятиях.
Опыт показал, что факультативы обеспе¬
чили достижение более высокого уровня
знаний и умений по всем предметам. Они
дали возможность более полно отразить в
школьном преподавании достижения науки,
техники и культуры, развивать любозна¬
тельность школьников, формировать у них
навыки самостоятельной работы с книгой,
справочной литературой; они побуждают
учащихся к самостоятельному приобрете¬
нию знаний.
Школьные педагогические коллективы на¬
копили немалый опыт организации и прове¬
дения факультативных занятий. Успеху де¬
ла во многом способствовала своевременная
подготовка необходимой учебной и методи¬
ческой литературы. Издательствами страны
было выпущено более 200 пособий. Только
издательство «Просвещение» для факульта¬
тивных курсов по математике, физике и
химии подготовило свыше 30 учебных посо¬
бий для учащихся и методических пособий
для учителей общим тиражом 3 млн. экзем¬
пляров. Многие пособия вышли уже вторым,
переработанным и дополненным изданием.
Широкая практика введения в педагогичес¬
ких институтах спецкурсов и спецсемина¬
ров и организация в институтах усовершен¬
ствования учителей годичных курсов и се¬
минаров способствовали тому, что во мно¬
гих областях и республиках в основном ре¬
шена проблема подготовки учителей к про¬
ведению факультативных занятий.
Учителям-практикам была предоставлена
возможность осваивать методику факульта¬
тивов в одном из двух вариантов —
либо более глубоко изучать с учениками
систематический курс предмета, либо за¬
няться специальным курсом. Так, учитель
математики мог вести один из спецкурсов
«Программирование», «Вычислительная ма¬
тематика», «Математический анализ» или
изучать со школьниками «Дополнительные
главы и вопросы к систематическому курсу»,
сочетая теоретические занятия с отработкой
практических навыков, решением задач.
Немаловажен еще один «побочный» эф¬
фект массового введения факультативов в
школьную практику — расширение методи¬
ческого кругозора учителя, поиск им но¬
вых приемов работы г. учениками. Кроме
обычного опроса и объяснения нового ма¬
териала на факультативных занятиях стали
широко практиковаться выступления уча¬
щихся со специально подготовленными док¬
ладами и рефератами, их коллективное об¬
суждение на семинарах, самостоятельные
исследования. Такие отработанные на фа¬
культативных занятиях приемы вошли за¬
тем в арсенал обычных педагогических
средств учителя, применяемых им на
школьных уроках. Сближение факультати¬
ва и урока по содержанию, по методике
проведения обеспечивало решение единой
3

целевой установки — повысить уровень и
прочность знаний учащихся, улучшить их
подготовку к активной трудовой деятельно¬
сти.
Сейчас, когда введен новый учебный
план, позволивший сократить нагрузку
школьников за счет основных учебных дис¬
циплин, а сами школьные программы осво¬
бождены от излишней информации и вто¬
ростепенного материала, еще более повы¬
шается роль факультативов в развитии по¬
знавательных интересов школьников и при¬
обретении ими навыков самостоятельного
пополнения знаний. Возрастает в связи с
этим и профориентационная направленность
материала, изучаемого на факультативных
занятиях. Практически это означает, что фа¬
культативы должны помочь найти профес¬
сию всем категориям школьников. Глубокие
знания основ наук нужны как тем молодым
людям, которые собираются связать свою
трудовую деятельность со сферой матери¬
ального производства и обслуживания, так
и тем, кто будет продолжать учебу в вузах
и техникумах. Очень важно, чтобы выбор
факультатива не был случайным, а в пол¬
ной мере соответствовал способностям и
желаниям школьников, развивал их интерес
к той или иной области знаний.
Разумеется, для успешной работы факуль¬
тативов очень важна их рациональная ор¬
ганизация, четко определенное место в об¬
щешкольном учебном процессе.
В настоящее время параллельно сущест¬
вуют программы, рассчитанные как на 68,
так и на 34 часа. Как правило, 34-часовые
программы — это сокращенный вариант
прежних факультативных курсов, обеспе¬
ченных пособиями для учащихся и методи¬
ческими руководствами для учителей. Ис¬
пользование «короткой» программы расши¬
ряет возможность выбора занятий по инте¬
ресам, так как число факультативов в этом
случае заметно увеличивается. Это особен¬
но важно в условиях сельской школы, где
число часов, предусмотренных учебным
планом на факультативы в одной паралле¬
ли классов, невелико. Каждая школа, исхо¬
дя из опыта работы учителей, их квалифи¬
кации и возможностей, наличия необходи¬
мой учебно-материальной базы, вправе сама
определить соотношение между короткими
и полными факультативными программами.
В целях повышения уровня этой формы
занятий с учениками Главное управление
школ Министерства просвещения СССР
подготовило инструктивное письмо от 14.09.
81 г. № 075—526/16 «Об усилении внимания
к организации и проведению факультатив¬
ных занятий в общеобразовательной сред¬
ней школе».
В письме отмечается положительный
опыт, накопленный органами народного об¬
разования и педагогическими коллективами
школ различных территорий страны. Наря¬
ду с этим обращается внимание на то, что
при успешном в целом развитии системы
факультативных занятий имеются факты,
свидетельствующие о недооценке их роли
в учебно-воспитательном процессе. В ряде
школ руководители ослабили работу по со¬
зданию условий для их успешного прове¬
дения. Не уделяется им должного внимания
во время проверки работы школ. Наруша¬
ется принцип добровольности формирова¬
ния факультативных групп, особенно по
математике, физике, родному языку. Не
всегда учитываются способности и склонно¬
сти учащихся. Нередко факультативы пре¬
вращаются в дополнительные занятия с
отстающими учащимися. Во многих школах
союзных республик не находят достаточного
развития факультативы по родному и рус¬
скому языкам, литературе, истории и гео¬
графии данной республики. Крайне мало
факультативов по общественным дисципли¬
нам:	истории, обществоведению, вопросам
права, конкретной экономики края, области,
республики.
В новом учебном году предлагается орга¬
низовать факультативные занятия так, что¬
бы с максимальной отдачей использовать
время, отведенное на них учебным планом;
поручить их проведение хорошо подготов¬
ленным учителям, заинтересованным в та¬
кой форме работы с учащимися. При этом
важно всемерно поощрять педагогов, из го¬
да в год ведущих факультативные занятия,
позаботиться о более широком привлечении
молодых ученых, преподавателей вузов,
особенно педагогических, специалистов на¬
родного хозяйства, деятелей культуры.
Предметом особой заботы школы и орга¬
нов народного образования должно стать
создание библиотечных фондов специаль¬
ной литературы. Правильно поступают в
тех школах, где организуют сбор книг для
факультативных занятий, сосредоточивая их
не только в школьной библиотеке, но и в
учебных кабинетах.
Опыт передовых нткол показывает, что
для успешного проведения факультативов
целесообразно внести их в общее школьное
расписание. В соответствии с типовым по¬
ложением факультативы проводятся в на¬
чале или конце учебных занятий (1—2-й
или — 5—6-й уроки). Эти занятия могут быть
перенесены и на вторую половину дня.
4

В целях улучшения профориентации
школьников на конкретные рабочие специ¬
альности следует уделить самое серьезное
внимание организации межшкольных фа¬
культативов на базе учебно-производствен-
ных комбинатов, привлекая к их проведе¬
нию инженерно-технических работников ба¬
зовых предприятий.
В школьном расписании нужно по воз¬
можности учитывать также и то, что мно¬
гие ученики хотят посещать по два факуль¬
татива, например по математике и физике,
химии и биологии, литературе и истории.
Поскольку в каждой сфере практической
деятельности ныне требуются основатель¬
ные знания по многим общеобразователь¬
ным предметам, стремление школьников к
углубленному изучению нескольких учеб¬
ных курсов вполне закономерно и оправ¬
данно, так как рабочему, технику, инжене¬
ру в современном производстве приходится
трудиться, как правило, на стыке несколь¬
ких наук В то же время практика показы¬
вает, что попытки некоторых школьников
участвовать в работе более чем двух пред¬
метных факультативов обычно не дают по¬
ложительного результата. Поэтому типовым
положением посещение более двух факуль¬
тативов не рекомендуется.
При выборе форм и методов проведения
факультативных занятий инструктивное
письмо Министерства просвещения СССР
рекомендует также учитывать, что значи¬
тельная часть учащихся старших классов
использует факультатив для подготовки к
поступлению в вуз. Не считаться с этим
фактом нельзя. На факультативных заняти¬
ях, особенно по математике, полезно рас¬
сматривать задачи, предлагавшиеся на кон¬
курсных вступительных экзаменах прошлых
лет, проводить анализ типичных ошибок,
допускаемых абитуриентами, знакомить с
программой вступительных экзаменов, осо¬
бенностями системы обучения в вузе.
Важную роль в организации и проведе¬
нии факультативов играют лабораторно¬
практические занятия, экскурсии. Поста¬
новка лабораторного практикума часто сос¬
тавляет определенную трудность для учи¬
телей, но именно эта форма занятий в на¬
ибольшей степени сближает процесс обу¬
чения в школе с различными способами
применения полученных знаний на прак¬
тике, знакомит учащихся со спецификой
труда по выбираемой специальности.
Опытные педагоги нередко практикуют
также и индивидуальные задания, рассчи¬
танные на длительный срок их выполнения.
Длительная целевая установка помимо ис¬
следовательских навыков помогает форми¬
ровать у школьников волю, упорство, уме¬
ние довести начатое дело до конца.
Очень важным вопросом является сте¬
пень сложности тем, изучаемых факульта¬
тивно. Прежде всего здесь следует учиты¬
вать, что на факультативы приходит наибо¬
лее подготовленная часть учащихся. И, что
самое важное, такие занятия требуют вы¬
сокого уровня теоретических знаний от са¬
мого педагога. Прокомментируем это на
примере факультатива по теории вероятно¬
стей и математической статистике. Кроме
сведений из истории развития теории веро¬
ятностей и математической статистики от
средних веков до наших дней учитель дол¬
жен дать учащимся представление о таких
разделах, как случайные события и их
арифметика, элементы комбинаторики,
арифметика вероятностей, независимые
повторные испытания, случайные величины,
оформление статистических данных и т. д.
Ему необходимо иметь представление о
жизни и трудах знаменитых математиков,
научиться решать задачи из теории игр,
изучить рекомендуемую литературу.
К числу курсов, которые учителю неред¬
ко приходится осваивать одновременно с
учащимися, можно отнести и факультатив
по кибернетике, программированию, темы
по векторным пространствам, приложениям
теории графов, работе электронно-вычисли¬
тельных машин и т. д.
Практика показывает, что такие програм¬
мы, рекомендованные Министерством про¬
свещения СССР, вполне по силам многим
преподавателям средней школы. Эти матема¬
тические курсы, казалось бы далекие от
обычной школьной программы, помогают
опытному учителю не только открывать не¬
заурядные математические способности та¬
лантливых учеников, но и повышать общин
базовый уровень их подготовки по данной
школьной дисциплине.
Конечно, учителю значительно сложнее
освоить названные специальные темы, чем
углублять школьный курс. Именно в этом
случае очень важна помощь учителю со сто¬
роны городских и районных методкабинетов,
институтов усовершенствования, а также ма¬
тематических кафедр местных педагогиче¬
ских институтов, втузов, университетов.
Решения XXVI съезда КПСС нацеливают
советскую школу на более активную под¬
готовку молодежи к труду в сфере матери¬
ального производства на базе всеобщего
среднего образования. Важная роль в ка¬
чественном подъеме этой работы отведена
школьным факультативам.
5

СЛОВО ДЕЛЕГАТАМ XXVI СЪЕЗДА КПСС
Пути оптимизации
Зоя Николаевна Бутримова,
учительница математики школы № 3
г. Усть-Каменогорска, кандидат в члены Восточно-Казахского
областного комитета КПСС
Оптимизировать учебный процесс —
эго значит не только научить школь¬
ников работать, овладевать знания¬
ми, но и так строить преподавание,
чтобы каждый день все учащиеся
выходили из школы с уверенностью,
что они все поняли, все усвоили.
Дети должны выполнять домашние
задания легко, с радостью. Тогда у
них останется время для помощи
родителям в домашних делах, заня¬
тий спортом, для факультативов и
т, д, Ведь средний добросовестный
ученик сильно перегружен:	6	уро¬
ков в школе, да дома еще от 1,5 до
3 часов подготовки. Если учитель не
думает, как облегчить труд учени¬
ка, то в лучшем случае эта забота
ложится на плечи родителей, а в
худшем учащийся привыкает к то¬
му, что невозможно выполнить все
домашнее задание, сначала начина¬
ет ловчить, а потом опускается до
откровенного безделья.
Что же помогает нам оптимизиро¬
вать учебный процесс? Прежде все¬
го кабинеты. Уже 8 лет наша школа
работает по кабинетной системе.
Сейчас 12 наших кабинетов прошли
паспортизацию. Из 4 кабинетов ма¬
тематики 3 получили паспорт. Осо¬
бо хотелось бы сказать о наших дос¬
ках. Они рассчитаны на 8—12 рабочих
мест и состоят из основного участ¬
ка и четырех откидных досок —
«крыльев». Две откидные доски при¬
креплены по бокам основной, а две
другие закрывают ее центральную
часть. «Крылья» доски можно
сложить, когда в них нет необходи¬
мости. Но вот учитель в ходе уро¬
ка дает самостоятельную работу.
Откидываются «крылья», и ребя¬
та видят заранее записанные зада¬
ния. Существует много способов ис¬
пользования таких досок. Они об¬
легчают учителю организацию уро¬
ка, дают возможность делать заня¬
тия более разнообразными и содер¬
жательными. Это отражается и на
домашней работе учащихся; чем
больше они сделают на уроке, тем
легче им будет дома.
Кабинетная система позволяет ши¬
роко применять технические сред¬
ства обучения: кодоскоп, магнито¬
фон, диапроектор «Свитязь», С по-
мощью кодоскопа мы часто прове¬
ряем домашнюю работу, объясняем
новый материал, который требует
кропотливой подготовки чертежей.
Проецируя на экран заранее под¬
готовленные записи, мы оставляем
за рамками урока все лишнее, слу¬
чайное, сосредоточиваем внимание
учеников на самом главном. Магни¬
тофон незаменим при отработке оп¬
ределений, правил и вообще тех
элементов, которые требуют точных
словесных формулировок. Запись
на магнитофон не отнимает специ¬
ального времени на уроке: она сов¬
мещается или с проверкой домаш¬
него задания, или с устным опро¬
сом. Для этого заранее готовятся
карточки, на которых записано за¬
дание (учитель не тратит время на
объяснение учащемуся того, какой
текст ему надо вспомнить и тихо
повторить в микрофон). Пока ребя¬
та отвечают у доски, несколько че¬
ловек смогут записать свои ответы
на магнитной ленте. Учитель прос¬
лушивает запись или после уроков,
или на перемене и ставит оценку.
Но есть и оборотная сторона ме¬
дали: технические средства ослож¬
няют учителю подготовку к уроку.
Без тщательного продумывания всех
элементов урока технические сред¬
ства внесут в него больше неразбе¬
рихи, чем пользы. Но подготовка
к уроку не должна пугать учителя.
Я, например, не представляю, как
можно прийти в школу без поуроч¬
ных планов. В нашем коллективе им
придается особое значение. Чтобы
моментально сориентироваться на
уроке, мгновенно найти ошибку уче¬
ника, преподаватель должен зара¬
нее все прорешать в своей тетради.
Иначе не будет никакой оптимиза¬
ции, никакой эффективности! В сво¬
их поурочных планах мои коллеги
не ограничиваются чисто практичес¬
кими, сиюминутными требованиями.
На каждом уроке мы ставим перед
собой три цели — воспитательную,
образовательную и развивающую.
Это организует, заставляет искать
новые пути подачи даже самого,
казалось бы, невыигрышного мате¬
риала.
В нашем коллективе ведется те¬
матический учет знаний, т. е. мы
следим за тем, чтобы каждый уче¬
ник имел итоговую оценку по каж¬
дой теме. Итоговая оценка склады¬
вается из оценок за теоретический
материал, за самостоятельные, кон¬
трольные и другие виды работ. По¬
элементный а.чализ результатов каж¬
дого ученика позволяет своевремен¬
но увидеть все пробелы в его зна¬
ниях и вовремя их устранить.
Оптимизация обучения предпола¬
гает серьезное внимание к внеклас¬
сной роботе. Каждый учитель на¬
шей школы ведет кружок по свое¬
му предмету. Занятия кружка вклю¬
чают элементы игры, соревнования.
Например, среди учащихся IV—V
классов у нас популярна «Матема¬
тическая рыбалка». Игра состоит в
следующем. На голубое полотно
(«река») разбрасываются различные
«рыбки» — фигурки рыб, вырезан¬
ные из картона (щука, карась, окунь
и т. д. ), С обратной стороны к фи¬
гуркам рыб металлической скрепкой
прикреплена задача. Ученик берет
удочку, у которой вместо крючка
магнит, и вылавливает рыбу. Решив
прикрепленную к ней задачу, он за¬
писывает в свой улов массу рь!бки.
Чем она больше (масса «рыбки» за¬
писана на ней), тем труднее задача.
Побеждает тот, чей улов в конце
игры будет «весить» больше других.
Игра так захватывает детей, что они
готовы бесконечно решать задачи.
Но если убрать «реку» и «рыбок»,
то те же самые задачи решаются
медленнее и без подъема.
С учащимися VIII—X классов ве¬
дутся систематические факультатив¬
ные занятия. В десятой пятилетке
мои ученики осваивали программу
Всесоюзной заочной математической
школы при МГУ (отделение «Кол¬
лективный ученик»). В VIII классе
поступили на первый курс, в IX — на
второй, а в X — на третий. В прош¬
лом учебном году закончили ВЗМШ
воспитанники наших учителей 1. М.
Долгопол и Э. П. Савельевой.
Из числа учащихся, особо интере¬
сующихся математикой, выделяются
консультанты для помощи тем ребя¬
там, которые отстают по этому
предмету. В нашей школе работа с
консультантами вошла в практику
многих учителей. Она приносит ощу¬
6

тимую пользу и в обучении, и в
воспитании молодежи.
Наша школа №	3, носящая имя
Я. В. Ушанова, является базовой при
Восточно-Казахском институте усо¬
вершенствования учителей. Большин¬
ство моих коллег дают показатель¬
ные уроки, читают лекции на курсах
при ИУУ. Восемь наших товарищей
награждены значками «Отличник
просвещения КазССР» и один —
значком «Отличник народного обра¬
зования СССР». Своими успехами
каждый из нас обязан нашему
славному трудовому коллективу, кото¬
рый вот уже более 10 лет возглав¬
ляет заслуженный учитель КазССР
Иван Кириллович Шумский.
Учить учиться
Вера Александровна Леонова,
учительница математики школы № 55 г, Челябинска,
кандидат в члены Челябинского
областного комитета КПСС
Учиться — значит учить себя. Нель¬
зя стать подлинно образованным
человеком лишь при пассивном вос¬
приятии того материала, который
излагает учитель. Поэтому главную
задачу учителя я вижу в формиро¬
вании у детей потребности в уче¬
нии, в развитии навыков самостоя¬
тельного добывания знаний.
Научить этому детей очень не¬
просто. Учитель идет к этой цели
годами упорного труда, отыскивая
во всех формах преподавания то
главное, что позволит превратить
урок в поиск нового. Механическая
деятельность на уроке, пусть даже
очень активная и организованная, но
приводящая к ничтожному напряже¬
нию мысли, мало полезна. Создать
ситуацию умственного накала нелег¬
ко, но необходимо. По сложности
организации здесь первое место за¬
нимает прием изучения нового ма¬
териала без объяснения учителя.
Пусть нам предстоит вывести фор¬
мулу площади трапеции. Вместо
объяснения я предлагаю классу за¬
дачу: «Найти площадь трапеции, ес¬
ли длины оснований ее равны 7 и
10 см, а длина высоты 4 см». Ребята
решают ее с помощью формулы
площади треугольника. От частного
случая переходим к общему. Ког¬
да таким образом выведена форму¬
ла, я добиваюсь, чтобы учащиеся
сами дали ее словесную формули¬
ровку. И только тогда, когда дока¬
зательство закончено, все аккурат¬
но записано в тетрадях, я говорю
ребятам, что они самостоятельно
доказали теорему, и указываю номер
соответствующего пункта учебника.
Потом предлагаю прочитать теоре¬
му по книге, "и надо видеть, как ра¬
дуются дети, обнаружив совпадение
собственного доказательства с тем,
что записано в книге. При таком
подходе на объяснение нового тра¬
тится гораздо больше времени, чем
обычно, но, как правило, мы навер¬
стываем упущенное во время зак¬
репления, так как «закреплять» соб¬
ственно нечего — учащиеся хорошо
уяснили и запомнили материал.
Наши выпускники должны хорошо
владеть навыками работы с книгой.
Необходимо обращать на это вни¬
мание и в среднем, и в старшем
звене школы. Для того чтобы побу¬
дить учащихся к работе не только
с книгой, но и со справочниками, с
разнообразной дополнительной ли¬
тературой, я использую различные
приемы. Например, задаю домой
сочинение на тему «Треугольник».
В нем учащиеся, в частности, могут
рассказать об истории появления
понятия «треугольник», указать, ка¬
кие конкретные треугольники широ¬
ко применялись в древности и для
каких целей, описать способы при¬
менения свойств треугольника в раз¬
личных практических ситуациях.
Кроме того, я прошу в сочинениях
специально остановиться на вопросе
о	замечательных точках треугольни¬
ка. Термин «замечательные точки
треугольника» в учебниках не упот¬
ребляется, поэтому приходится ис¬
кать его в справочниках или в эн¬
циклопедии, Найдя ответ на этот
вопрос, ребята бывают приятно уди¬
влены: оказывается, они уже многое
знают о замечательных точках тре¬
угольника, но еще не все, и это по¬
буждает узнать больше. Аналогич¬
но, задавая сочинение на тему «Че¬
тырехугольник», я прошу пояснить,
что такое дельтоид. Ответ тоже тре¬
бует привлечения дополнительной
литературы.
Самостоятельность ученика прояв¬
ляется и в его умении анализиро¬
вать собственную контрольную рабо¬
ту. Учащиеся знают, что на следую¬
щем уроке после контрольной я бу¬
ду требовать от них анализа, и гото¬
вятся к нему. У нас не бывает такой
ситуации: сделали контрольную и за¬
были о ней начисто. Нельзя допу¬
скать, чтобы учащиеся, придя до¬
мой, не могли вспомнить ни одного
упражнения из контрольной, которую
они выполняли сегодня в школе. Ма¬
ло сказать: «Мне не удалось выпол¬
нить это задание». Надо вскрыть
свою ошибку и назвать причины ее
возникновения, оценить степень ее
серьезности. После такого анализа
у учащихся не вызывает сомнений
объективность полученных оценок.
К системе воспитания самостоя¬
тельности относятся и домашние
задания. Их выполнение во многом
зависит от учителя. Подбирая до¬
машнее задание, учитель должен
помнить, что если на уроке изла¬
гался трудный и объемный теорети¬
ческий материал, то задание должно
содержать небольшое количество уп¬
ражнений (или совсем их не содер¬
жать). Подавляющая часть задания
должна состоять из упражнений,
родственных тем, которые были ре¬
шены или проверены в классе. За¬
дание должно быть таким, чтобы
его мог выполнить средний учащий¬
ся. Более трудные задачи необхо¬
димо снабжать указаниями. В каж¬
дое домашнее задание целесооб¬
разно включать и более трудные
упражнения, необязательные для
всех. Если на выполнение этих не¬
обязательных заданий учитель будет
систематически обращать внимание,
то учащиеся привыкнут относиться
к ним весьма серьезно.
Все указанные выше приемы и
многие другие широко применяют¬
ся замечательными учителями на¬
шей школы. Среди них мне хочется
отметить нашего директора, тоже
учителя математики, Якова Павлови¬
ча Тена. Мы убеждены, что наш
предмет не только развивает чисто
математическое мышление, но во¬
обще учит рассуждать, искать исти¬
ну, спорить, отстаивать свое мнение.
Мы все заинтересованы в том, чтобы
на наших уроках класс думал, рас¬
спрашивал, смело брался за новые
проблемы.
7

Н МЕТОДИЧЕСКИЙ ОТДЕЛ
Проблемы дальнейшего развития
факультативных занятий
по математике
В. М. Монахов
(Москва)
В прошедшие годы были созданы разнооб¬
разные факультативные курсы по математи¬
ке, выполняющие различные задачи обуче¬
ния и воспитания учащихся. Появление одних
факультативных курсов связано с бурным
развитием электронных вычислительных ма¬
шин (ЭВМ.) и их распространением в различ¬
ных сферах современного общественного про¬
изводства. Другие факультативы строились
на основе углубления и расширения отдель¬
ных разделов традиционного школьного кур¬
са математики. Некоторые факультативные
курсы не выдержали проверку временем, дру¬
гие продолжают оставаться в программах
средней общеобразовательной школы. За этот
период существенно изменилось соотношение
престижности между отдельными курсами и
разделами, подверглись корректировке и
трансформации задачи факультативных заня¬
тий. К сожалению, до сих пор, кроме учебных
пособий по факультативным курсам, практи¬
чески не вышло из печати ни одного методи¬
ческого пособия и ни одной монографии, пос¬
вященных теоретическим основам обучения
на факультативных занятиях.
В результате анализа тенденций развития
факультативов в школах СССР и других соци¬
алистических стран, объективной оценки су¬
ществующей практики и роли и места фа¬
культативных занятий для дальнейшего со¬
вершенствования школьного образования, до¬
статочно рельефно обозначились три пробле¬
мы, без успешного решения которых затруд¬
нительно целенаправленное и систематиче¬
ское развитие столь прогрессивной и нужной
формы дифференциации обучения учащихся
в условиях всеобщего обязательного средне¬
го образования.
Первая из них заключается в необходимос¬
ти теоретического обобщения и систематиза¬
ции опыта создания и проведения факульта¬
тивных курсов, накопленного в нашей стране.
Если по отношению к первому этапу ста¬
новления факультативных занятий эту проб¬
лему частично решала брошюра «Состояние
и перспективы факультативных занятий по
математике»1, то новейший опыт факультати¬
вов вообще и по математике в частности изу¬
чен и обобщен недостаточно. На первом этапе
факультативные занятия играли роль широ¬
кого экспериментального полигона по введе¬
нию в школу новых разделов основного кур¬
са математики (проверка нового содержания,
отработка и создание методики обучения по
этим разделам). Можно привести целый спи¬
сок новых тем школьного курса математики,
которые прошли «обкатку» и отработку цели¬
ком на факультативных занятиях.
Факультативные занятия выступили в со¬
ветской общеобразовательной школе как но¬
вая форма организации дифференциации и
индивидуализации обучения учащихся мате¬
матике. Следует особо подчеркнуть, что они
предоставили учителям и методистам-разра-
ботчикам широкий спектр возможностей ис¬
пользования тех средств и форм индивидуа¬
лизации обучения, которые по тем или иным
причинам затруднены на уроках математики.
Введение факультативных занятий позво¬
лило вести целенаправленный и систематичес¬
кий отбор одаренных школьников и дальней¬
шее развитие их способностей, при этом в
первые годы использовался опыт работы
школ и классов с углубленным изучением от¬
дельных предметов. В дальнейшем стали по¬
являться специфические для факультативов
формы и методы работы.
Факультативные занятия успешно выпол¬
няли и продолжают выполнять функции про¬
фессиональной ориентации учащихся. Особо
это проявилось в практике ведения таких спе¬
циальных факультативных курсов, как «Вы¬
числительная математика», «Методы оптими¬
зации», «Программирование». Эти факулыа-
тивы не только достаточно подробно и на
хорошем научном уровне знакомят с числен¬
ными методами и особенностями работы по
исследованию математических моделей важ¬
ных современных приложений математики,
связанных с использованием ЭВМ, но и фор¬
мируют у учащихся современный прикладной
математический аппарат, который в дальней¬
шем молодые люди могут использовать в сво¬
ей практической работе. К сожалению, ука¬
занные спецкурсы не получили пока значи¬
1 Фирсов В. В., Боковнев О. А., Шварцбурд С. И,
Состояние и перспективы факультативных занятий по
математике. — М.: Просвещение, 1977.

тельного распространения; изучение причин
этого явления представляется необходимым.
Вторая проблема состоит в определении те¬
оретических принципов отбора и организации
факультативных занятий по математике.
Основной путь решения этой проблемы со¬
стоит в том, чтобы, опираясь на опыт созда¬
ния и проведения многообразных факульта¬
тивных курсов в нашей стране, построить ди¬
дактический механизм их разработки и внед¬
рения. При этом важно выявить методические
условия и последовательные этапы рацио¬
нального решения следующих задач:
1.	Определение конкретной цели данного
факультативного курса (почему именно этот
факультатив должен -появиться в школе, ка¬
кова его роль в обучении и воспитании
школьников).
Решение этой задачи видится в следующем.
Прежде всего на примере ряда стабильных
факультативных курсов (стабильность пони¬
мается нами в смысле хорошего учебно-педа¬
гогического обеспечения данного факультати¬
ва, устойчивой его престижности в школе, со¬
ответствующей популярности по стране) про¬
следить динамику изменения и корректиров¬
ки целей этих курсов. Предварительный ана¬
лиз показал наличие двух тенденций:	пер¬
вая— явное усиление общеобразовательного
звучания данного факультативного курса;
вторая — определенный крен в сторону ре¬
шения профориентационных задач средства¬
ми и возможностями факультативных заня¬
тий.
Первая тенденция в такой эволюции цели
характерно проявилась на примере совершен¬
ствования содержания факультативного кур¬
са «Программирование». Если в начале со¬
держание этого курса тяготело к чисто техно¬
логическим вопросам, то по мере его совер¬
шенствования на первый план выходят аспек¬
ты, связанные с систематизацией представле¬
ния учащихся об алгоритмах, что дает им
универсальный язык для описания и построе¬
ния алгоритмов решения всевозможных задач
(в том числе и невычислительного характе¬
ра).
2-	Отработка программы факультативного
курса, реализующей уже конкретизированную
цель.
При решении этой методической задачи
важно четко установить особенности факуль¬
тативного курса и его отличия от основного
общеобразовательного курса математики.
Практика показывает, что при этом следует
в определенной степени учитывать соображе¬
ния, связанные с обеспечением возможного
продолжения образования, а именно:	основ¬
ной обязательный школьный курс математи¬
ки плюс факультативный курс по выбору уча¬
щихся должны обеспечивать определенные
гарантии продолжения образования по дан¬
ному направлению.
3.	Отбор учебного материала в соответст¬
вии с программой.
Здесь очень важно правильно и методичес¬
ки эффективно реализовать в учебных мате¬
риалах принципиальные отличия содержания
факультативного курса от основного. Во-пер¬
вых, на факультативе все должно быть инте¬
ресно для школьников, во-вторых, хотелось
бы, чтобы школьники по возможности виде¬
ли практическую значимость изучаемого ими
учебного материала, в-третьих, желательна
повышенная операционность формируемого у
школьника математического аппарата.
4.	Разработка системы упражнений, прог¬
раммирующих учебную математическую дея¬
тельность школьника.
Отличие учебной математической деятель¬
ности школьника на факультативных заняти¬
ях от классной работы может быть связано
со следующими моментами: а) большее место
в учебной деятельности школьника на фа¬
культативах занимают такие формы работы,
как поисковая и исследовательская; б) при
решении практических задач больше внима¬
ния должно уделяться формализации и ин¬
терпретации изучаемых математических мо¬
делей. Думается, что тенденции развития ми¬
ровой школы, связанные с 'Тем обстоятельст¬
вом, что эра фактографического образования
когда-то должна закончиться, могут найти
свои первые методические решения в плане
создания новой модели учебной деятельности
учащихся на факультативных занятиях.
5.	Исследование и внедрение в практику
разнообразных методик обучения.
Получившее широкое распространение «на¬
вязывание» методики проведения факульта¬
тивных занятий отодвинуло на второй план
задачу разработки разнообразных методик.
На факультативах должно быть место для
творческой методической мастерской учителя.
Организация факультативных занятий яв¬
ляется основным вопросом методики, решение
которого должно идти от содержания курса и
от цели профориентационной работы с учетом
таких аспектов, как индивидуализация обу¬
чения, стимулирование учебной деятельности
школьников, контроль знаний учащихся, опе¬
режающие исследования по конструирова¬
нию новых методических подходов к обуче¬
нию-
Вместе с тем основной задачей на факуль¬
тативе остается задача воспитания. Важно,
чтобы на факультативных занятиях была соз¬
дана атмосфера, выводящая учащегося из
привычных и в определенной степени «приев¬
шихся» рамок типичного «школярства». Кон¬
9

кретными методическими решениями пробле¬
мы стимулирования учебной деятельности
школьника могут стать: оценка деятельности
только при хорошей успеваемости, организа¬
ция зачетов учащихся по целым темам в ви¬
де выполнения учебной задачи, подготовка
рефератов и др.
Третья проблема заключается в поиске но¬
вых структурных форм факультативных за¬
нятий.
На первых факультативах изучались темы,
или не вошедшие в программу обязательного
курса математики, или расширяющие тради¬
ционные. Затем наметилось увлечение сугубо
прикладными курсами, как правило, связан¬
ными с успехами вычислительной техники.
Номенклатура существующих факультативов
весьма многообразна. В настоящее время
возникла настоятельная необходимость опре¬
деления оптимальной структуры факультати¬
ва, органично соседствующего с обязательным
курсом математики.
Эта необходимость, в первую очередь, про¬
диктована тем обстоятельством, что настала
пора комплексного решения всего спектра ме¬
тодических задач, сформулированных выше.
Во-вторых, именно оптимальная структура
сможет обеспечить стабильность факульта¬
тивных занятий в школе (и по номенклатуре,
и по содержанию, и по организации, и по ме¬
тодам обучения).
Сейчас имеются факультативные курсы на
34 и 68 ч. Однако рекомендаций по их поста¬
новке в школе не высказано. Кроме того, ор¬
ганизация ряда таких курсов затрудняется
из-за отсутствия в школах необходимой лите¬
ратуры.
В настоящее время появляются перспектив¬
ные формы нового структурного построения
факультативных курсов. К ним можно отнес¬
ти следующие:
1.	Создание систем факультативных курсов,
состоящих из занятий по различным предме¬
там в одной параллели, что обеспечивает ре¬
альную возможность выбора интересующего
школьника курса. При этом важное значение
имеет ориентация каждого факультатива не
на один, а на несколько классов.
2.	Построение факультатива, непосредст¬
венно ориентированного на подготовку уча¬
щихся к продолжению образования по из¬
бранному профилю. Такой факультатив наи¬
более цельно и систематически решает зада¬
чи проведения профориентационной работы
с учащимися. На этом пути, возможно, най¬
дется решение такого социального вопроса,
как борьба с репетиторством.
Поставленные выше проблемы, разумеется,
не исчерпывают всего многообразия задач,
стоящих в рассматриваемой области перед
школой. Подчеркнем только, что в ходе ре¬
шения всех таких задач необходимо в макси¬
мальной степени опираться на имеющийся
уже опыт учителей, учитывать их мнения и
пожелания. В этой связи трудно переоце¬
нить пользу работы, проводимой на протяже¬
нии ряда лет Научным советом по факуль¬
тативным занятиям АГ1Н СССР, сессии кото¬
рого стали фактически всесоюзной школой
изучения и обобщения передового опыта, ана¬
лиза и обсуждения новых научных разрабо¬
ток. Думается, что в самое ближайшее время
следовало бы провести всесоюзное совеща¬
ние, посвященное проблеме состояния и пер¬
спектив факультативных занятий, на котором
необходимо обсудить актуальные задачи раз¬
вития факультативов в нашей стране.
Вопросы межпредметных связей
курса математики и трудового
обучения
Е. С. Дубинчук, Г. Н. Цыбульская
(Киев)
Межпредметные связи способствуют систе¬
матизации и углублению знаний учащихся,
формированию у них марксистско-ленинского
мировоззрения, навыков и умений самостоя¬
тельной познавательной деятельности, преодо¬
лению разобщенности в работе учителей.
Решение проблемы межпредметных связей
рассматривается как важное направление по¬
литехнического образования школьников
(см. : Математика в школе, 1980 , № 4, с. 5).
Основой для межпредметных связей явля¬
ется соответствующее построение учебных
планов и программ, предусматривающее со¬
гласованность целей, содержания и темпа
изучения учебного материала по различным
предметам, рациональное распределение меж¬
ду ними объектов, подлежащих рассмотре¬
нию. В системе межпредметных связей важ¬
ное место должно занять трудовое обучение,
обеспечивающее формирование практических
умений, навыков, научно-технических знаний,
необходимых для вовлечения учащихся в об¬
щественно полезный, производительный труд.
В объяснительной записке к новым програм¬
мам по трудовому обучению подчеркивается,
что одной из важных задач является расши¬
рение политехнического кругозора учащихся
и развитие их творческих способностей на ос¬
нове взаимосвязи трудового обучения с ос¬
новами наук. Отмечается также, что трудовое
обучение, общественно полезный, производи¬
тельный труд учащихся должны иметь воспи¬
тывающую, развивающую, политехническую,
10

практическую и профориентационную направ¬
ленность (см. : Программы восьмилетней шко¬
лы. Трудовое обучение. I—III классы, IV—
VIII классы. — М.: Просвещение, 1980, с. 3).
Для эффективной реализации межпредмет¬
ных связей необходимо использовать целую
систему методических средств, обеспечиваю¬
щих выявление взаимно связанных вопросов
и выбор наиболее рациональных форм и при¬
емов их рассмотрения. Следует учитывать,
что каждый учебный предмет воздействует на
систему знаний учащихся не только своим со¬
держанием, но и методами, применение кото¬
рых в преподавании других предметов влияет
на повышение эффективности их учебного
труда. При этом важное место принадлежит
математике, вооружающей учащихся матема¬
тическими методами, приемами разнообраз¬
ных вычислений и расчетов. Особо надо под¬
черкнуть в этой связи межпредметное значе¬
ние «логической составляющей» курса мате¬
матики (см. : Математика в школе, 1980, № 3,
с. 62).
К методическим средствам осуществления
межпредметных связей относится выявление
и отбор взаимосвязанных тем (вопросов) в
учебных программах и учебниках, их система¬
тизация и фиксация, например, при помощи
специальных таблиц, построения структурных
моделей материала каждого предмета и обоб¬
щающих схем связи между предметами. (Об
упомянутых структурных моделях см. : Мате¬
матика в школе, 1980, № 2, с. 54.)
Авторы данной статьи, осуществив анализ
программного материала курса математики
VI—VIII классов и трудового обучения, про¬
извели отбор взаимосвязанных вопросов, со¬
поставили выявленные связи по временному
признаку и наметили пути и средства их
внедрения в учебный процесс. При этом ос¬
новное внимание сосредоточено на методиче¬
ских средствах осуществления межпредмет¬
ных связей учителями математики, отдель¬
ные рекомендации адресованы учителям тру¬
да.
Важнейшими формами работы учителей,
направленной на внедрение межпредметных
связей, являются совместные заседания мето¬
дических (предметных) комиссий, открытые
уроки, разработка системы заданий, в том
числе комплексных, проведение экскурсий, от¬
ражение межпредметных связей в оформле¬
нии учебных кабинетов, выработка единых
требований к формированию у учащихся зна¬
ний, навыков и умений межпредметного ха¬
рактера и др.
Содержание трудового обучения учащихся
IV—VIII классов представлено программами
«Технический труд», «Обслуживающий труд»
и «Сельскохозяйственный труд». При этом
для школ, расположенных в промышленных
районах, рекомендуются программы «Техни¬
ческий труд» и «Обслуживающий труд», а
для сельских школ — комбинированные вари¬
анты: «Сельскохозяйственный и технический
труд» и «Сельскохозяйственный и обслужива¬
ющий труд». Программой по техническому
труду предусмотрено получение учащимися
первоначальных сведений об основах техники
и технологии, ознакомление их с организаци¬
ей и экономикой производства. На занятиях
по сельскохозяйственному труду учащиеся
получают основные знания и практические
умения по выращиванию ведущих в данной
зоне культур и по уходу за животными, зна¬
комятся с общим устройством и эксплуатаци¬
ей сельскохозяйственных машин. В процессе
обучения обслуживающему труду школьники
получают технико-технологические знания, а
также практические умения по обработке раз¬
личных материалов, изучают влияние сзойств
материалов на выбор способов их обработки
и т- п.
Для установления связей с математикой
принципиально важной является ориентация
всех указанных' программ на обучение уча¬
щихся основам научной организации труда,
на формирование у них общетрудовых уме¬
ний: планировать выполнение трудовых зада¬
ний, рационально организовывать рабочее
место, контролировать ход и результаты свое¬
го труда. На примере конкретного вида труда
учащиеся должны овладевать основами тех¬
ники измерений линейных величин, умениями
читать несложную техническую документа¬
цию и др. Трудовое обучение школьников
связано с разнообразной вычислительной
работой: в сельской школе, например, с пла¬
нированием расхода семян и удобрений, уче¬
том урожая и т. п.
Таким образом, основу связей математики
с трудовым обучением учащихся составляют
навыки и умения политехнического характе¬
ра, обладающие определенной универсаль¬
ностью по отношению к различным видам тру¬
да. В объяснительной записке к программам
по трудовому обучению подчеркивается, что
в целях политехнического образования уча¬
щихся их знакомство с техникой и техноло¬
гией должно осуществляться на основе есте¬
ственнонаучных знаний, полученных по обще¬
образовательным предметам (см. : Програм¬
мы восьмилетней школы. Трудовое обучение.
I—III классы, IV—VIII классы. — М.: Прос¬
вещение, 1980, с. 5).
Математика- как учебный предмет имеет
свою логику расположения материала, кото¬
рую нельзя нарушать. В связи с этим не всег¬
да удается вовремя создать запас математи¬
ческих знаний и навыков, необходимых для
11

раскрытия тех или иных вопросов на уроках
труда. Возникает необходимость провести
точный учет межпредметных связей по вре¬
менному признаку и наметить рациональные
формы и методические приемы их реализа¬
ции на уроках. Наиболее удобной единицей
времени для сопоставления программного
материала двух или нескольких предметов
является неделя- Ниже приведен фрагмент
соответствующей таблицы, в которой указано
содержание программ по техническому, сель¬
скохозяйственному и обслуживающему труду
в VIII классе на I полугодие.
Предмет
Техни¬
ческий
труд
(2 ч в не¬
делю)
Сельско¬
хозяйст¬
венный
труд
(в 1 по¬
лугодии
9 недель
по 2 ч)
Недели
1	2	3	4	5
9	10	11	12	13	14	15	1(5
Обработка
древесины
Зерноуборочный
комбайн (всего 28 ч)
Элемен¬
ты ма¬
шинове¬
дения
Обработка
металла
(всего
26 ч)
Обслу¬
живаю¬
щий
труд
(2 ч в
неделю)
Работа
Эле¬
с пище¬
менты
выми
маши¬
продук¬
нове¬
тами
дения
Работа с тканью
(всего 36 ч)
Напомним, что в дидактике классифициру¬
ют межпредметные связи по временному
признаку таким образом:	предшествующие,
сопутствующие, перспективные.
В рассматриваемом случае (идя от содер¬
жания курса математики) предшествующие
связи состоят в том, что изученные математи¬
ческие закономерности используются при рас¬
крытии новых понятий на уроках труда.
Сопутствующие связи предполагают одно¬
временное изучение взаимосвязанных вопро¬
сов или рассмотрение их с небольшой разни¬
цей во времени.
Перспективные связи означают накопление
определенных знаний на уроках труда с даль¬
нейшим рассмотрением их в процессе обуче¬
ния математике.
В ряде случаев, пользуясь указанной выше
таблицей и тематическим планированием по
математике, можно установить характер свя¬
зей или их отсутствие на данном этапе обуче¬
ния. Например, программой по техническому
труду для VI класса (4—5 недели) преду¬
смотрено изготовление изделий, включающих
детали цилиндрической формы. Однако в ма¬
тематике с понятием цилиндра учащиеся зна¬
комятся только в курсе геометрии X класса.
Таким образом, здесь имеют место перспек¬
тивные связи, которые в восьмилетней школе
осуществить нельзя. На уроках труда проис¬
ходит только наглядное ознакомление с ци¬
линдром на уровне распознавания формы.
Если рассмотреть в VI классе раздел об¬
служивающего труда «Приготовление блюд»
или соответственно сельскохозяйственного
труда «Уборка и учет урожая. Уход за ягод¬
никами, питомниками», то здесь легко обна¬
ружить предшествующие связи с материалом,
изученным по математике в IV—V классах:
действия с целыми и дробными числами, про¬
центы, пропорции и др.
Обращаясь к теме «Обработка древесины,
изготовление изделий с шиповыми соединени¬
ями. Приемы получения прямых шипов и про¬
ушин» из программы по техническому труду
в VI классе (6—13 недели), усматриваем ее
связь с начальными понятиями геометрии,
изучаемыми в VI классе (1—12 недели). Эти
связи имеют сопутствующий характер, хотя
одновременно осуществляется опора и на ма¬
териал, изученный в IV—V классах.
В зависимости от вида обнаруженных свя¬
зей будет применяться различный подход к
использованию взаимосвязанного материала.
Так, в первом из рассмотренных случаев учи¬
тель труда, опираясь на наглядную основу
(детали цилиндрической формы, их эскизы,
модели цилиндров), сообщит учащимся тер¬
мин «цилиндр», обратит их внимание на его
форму, приведет контрпримеры:	«это ци¬
линдр, а это не цилиндр»- В случае предшест¬
вующих связей учитель труда должен опи¬
раться на знания учащихся по математике.
Здесь обязательна помощь учителя математи¬
ки не только преподавателю труда, но и уча¬
щимся (напоминание, повторение нужного
материала, указание на то, что такие-то зна¬
ния и навыки необходимы для понимания то¬
го или иного материала по технике или для
выполнения практических работ в мастер¬
ской, на пришкольном участке и т. п.). Когда
связи имеют сопутствующий характер, учите¬
ля математики и труда до начала изучения
соответствующих тем совместно обсуждают
вопросы методики, определяют содержание
заданий, которые целесообразно предложить
учащимся, и т. п.
Пользуясь сводной таблицей содержания
программ по нескольким предметам, можно
определить вид межпредметных связей и ме¬
тодику их осуществления. Так, при изучении

тригонометрических функций и метрических
соотношений в треугольнике (геометрия, VIII
класс) можно широко использовать уже име¬
ющиеся у учащихся сведения о наружной и
внутренней резьбе, полученные ими на уроках
труда в VII классе; учитель математики дол¬
жен при этом четко представлять себе содер¬
жание и объем соответствующих сведений (на
уроках труда изучаются такие понятия, как
метрическая резьба, шаг, диаметр, угол подъ¬
ема винтовой линии). Например, на уроке ма¬
тематики, рассмотрев математическую основу
резьбы (винта) и установив зависимость меж¬
ду ее элементами, получают формулу а =
=	, где к — шаг винтовой линии, О —диа¬
метр резьбы, а — угол подъема винтовой ли¬
нии. По этой формуле можно определять зна¬
чение одной из величин по двум другим.
Привлечение производственного материала
для конкретизации математических понятий
требует иногда некоторого расширения преду¬
смотренных программой сведений. Например,
при изучении прогрессий (алгебра, VIII
класс) целесообразно рассказать учащимся о
применении прогрессий в технике. Так зако¬
номерности арифметической прогрессии при¬
меняются в обувной и швейной промышлен¬
ности; особые виды геометрической прогрес¬
сии, имеющие в приложениях название «нор¬
мальные ряды» или «ряды предпочтительных
чисел», применяются в технике для стандар¬
тизации разнообразного оборудования и из¬
делий. В VIII классе в ходе обобщающего
повторения можно раскрыть учащимся мате¬
матическую основу «нормальных рядов»—
геометрических прогрессий со знаменателями
П
<7 = 1^10. Рассматривают четыре основных
последовательности чисел, первый член кото¬
рых 1, а знаменатели соответственно равны
40 		20		10 __
У" 10«1,06, /10ж1,12, /10 те 1,26,
5
КТО те 1,59.
На уроках по техническому труду учащиеся
получают важнейшие сведения о станках: о
сверлильном, токарном по обработке древеси¬
ны (VI класс), о токарно-винторезном (VII
класс), о фрезерном (VIII класс). При этом
они оперируют многими техническими поняти¬
ями, связанными с устройством и действием
деревообрабатывающих и металлообрабаты¬
вающих станков, каждый из которых рас¬
сматривается с единых позиций как «техноло¬
гическая машина». Используя понятие нор¬
мального ряда, учитель математики объясня¬
ет учащимся, что по таким рядам устанавли¬
ваются размерность токарных, фрезерных и
других металлорежущих станков и металло¬
режущего инструмента, нормальные диамет¬
ры и длины в машиностроении и т- п. Целе¬
сообразно также решить с учащимися не¬
сколько несложных задач на применение нор¬
мальных рядов (расчет ряда, стандартизиру¬
ющего число оборотов шпинделя фрезерного
или токарного станка; определение практи¬
ческой и теоретической величины знаменателя
ряда в ступенчатом приводе и т. п.).
Для того чтобы работа по осуществлению
связей математики с трудовым обучением
учащихся была систематической и проводи¬
лась на надлежащем методическом уровне,
учитель должен располагать некоторыми обоб¬
щенными данными о содержании взаимосвя¬
занных разделов и тем, времени их изучения,
видах установленных связей, возможных фор¬
мах и методических приемах их реализации.
Приведем три примера, в которых указана
тема по математике и соответствующие темы
по трудовому обучению (в скобках — класс
и время изучения этих сведений).
Пример 1. Прямая и обратная пропорци¬
ональность.
Технический труд. Элементы машино¬
ведения: технологическая машина, передаточ¬
ный механизм (VI класс, 1—3 недели); ти¬
повые детали, соединения и механизмы в ста¬
ночном оборудовании (VIII, 10—11).Обработ¬
ка древесины: виды клеев для соединения де-
тателей из древесины (VI, 6—13); способы
определения влажности древесины (VII, 1—
10). Обработка металла:	режимы резания
(VII, 11—13; VIII, 12—24); механизмы свер¬
лильного станка (реечная, ременная переда¬
чи) (V, 11 —13). Общественно полезный, про¬
изводительный труд: нормирование и оплата
труда, прием готовой продукции, укладка и
упаковка изделий (VII, 30—34; VIII, 30—34).
Обслуживающий труд. Работа с пи¬
щевыми продуктами: технология приготовле¬
ния овощных, рыбных и мясных блюд (VI, 1—
6); консервирование пищевых продуктов, со¬
ставление меню, подсчет стоимости продуктов
(VIII, 1—6). Элементы машиноведения: эф¬
фективность применения средств малой меха¬
низации, основные части машины (двигатель,
передаточный механизм, рабочий орган)
(VIII, 7—9). Работа с тканью: формулы рас¬
четов для построения чертежей, выполнение
эскиза и моделирование в масштабе (VI,
16—19; VII, 13—17; VIII, 10—13); элементы
экономики производства (производитель¬
ность труда, себестоимость, рентабельность
предприятия, использование отходов ткани)
(VIII, 27). Электротехнические работы: эко¬
номия электроэнергии (VI, 31—35; VII, 29—
30). Общественно полезный, производитель¬
ный труд: прием и учет готовой продукции и
упаковка изделий (VII, 31—35).
13

Сельскохозяйственный труд. Учет
и уборка урожая овощных культур (VI,1—2).
Обработка почвы с внесением удобрений (VI,
3—5). Дозы и способы внесения удобрений,
расчет доз удобрений (VI,28—30). Посев и
посадка полевых культур, нормы высева се¬
мян, правила уборки и учета урожая (VI,32—
33). Выращивание молодняка животных, под¬
готовка кормов (VI 1,20—22). Посевные и по¬
садочные машины, схема передачи движения
к рабочим органам (VII,29—31).
Пример 2. Повороты и тригонометричес¬
кие функции. Метрические соотношения в
треугольнике.
Технический труд. Обработка метал¬
лов: метрическая резьба, элементы резьбы
(VII,22—23); выполнение и чтение чертежа
детали с конической и цилиндрической повер¬
хностями, знакомство с обозначением накло¬
на и конусности на чертежах (VIII, 12—24)-
Электротехпические работы: разработка тех¬
нической и технологической документации на
избранное изделие (VIII, 25-—29).
Обслуживающий труд. Элементы ма¬
шиноведения: механизм преобразования дви¬
жения, кривошипно-шатунный механизм (VII,
7—9).
Сельскохозяйственный труд. Зер¬
ноуборочный самоходный комбайн: двигатель
и электрооборудование комбайна, общие све¬
дения об обозначении на чертеже резьбы,
изучение общего строения кривошипно-шатун¬
ного и распределительного механизмов (VIII,
1—9, 28—32).
Пример 3. Арифметическая и геометриче¬
ская прогрессии.
Технический труд. Элементы машино¬
ведения: сверлильный и токарный станки
по обработке древесины (VI, 1—3); токарно¬
винторезный станок, понятие о режимах реза¬
ния (VII, 11 —13); фрезерный станок, типо¬
вые детали, соединения и механизмы в ста¬
ночном оборудовании (VIII, 10—11).
Обслуживающий труд. Определение
размеров швейных изделий (VI, 16—30; VII,
13—28; VIII, 11—27).
Сельскохозяйственный труд. По¬
севные и посадочные машины (VII, 29—31).
Зерноуборочный самоходный комбайн (VIII,
1—9, 28—32).
В заключение подчеркнем, что установле¬
ние связей курса математики с трудовым
обучением должно осуществляться на широ¬
кой политехнической основе, т. е. на матери¬
але, способствующем формированию у уча¬
щихся системы научных представлений о сов¬
ременной технике и технологии, навыков и
умений общетрудового характера. В этом
смысле математика всем своим содержанием
служит целям политехнического образования.
Школа должна приучать
к бережливости
В. А. Половодова
(г. Туймазы)
С первых дней пребывания детей в школе
учителя стремятся привить им бережное отно¬
шение к социалистической собственности, не¬
примиримость к расточительству. Я хочу рас¬
сказать о своем опыте работы в этом направ¬
лении с учащимися IV—V классов. Матема¬
тический материал, который изучается в IV—
V	классах, дает большой простор для состав¬
ления задач с экономическим содержанием.
На таких задачах учащиеся тренируются в
действиях с натуральными и дробными числа¬
ми, но главная их ценность в другом: они обо¬
стряют практическую направленность обуче¬
ния, содействуют выработке активной жизнен¬
ной позиции, учат бороться с иждивенческими
настроениями. Решая такие задачи, ребята на¬
чинают лучше представлять, во что обходится
государству их обучение, каков масштаб их
пионерских дел, к чему приводит бездумное
расточительство и т. д. Приведу несколько
примеров.
Задача 1. Расходы государства на обу¬
чение одного школьника составляют свыше
180 р. в год. Посчитайте, сколько средств тра¬
тится в год на обучение школьников: а) одно¬
го класса, б) одной школы, в) всей страны
Задача 2. С сентября 1978 по январь
1979 г. пионеры страны собрали 1 млн.
752 тыс. т металлолома. Зная, что 1 т метал¬
лолома стоит в среднем 24 р. и что добыча
1 т железной руды обходится государству в
20 раз дороже, подсчитайте, сколько рублей
пионеры сэкономили государству.
Задача 3. Во всех классах школы
8 ламп по 100 Вт. Представьте, что каждый
день только в одном классе ученики забывают
гасить свет, и целый час лампы горят напрас¬
но. Зная, что на 1 кВт-ч необходимо 340 г ус¬
ловного топлива, подсчитайте перерасход топ¬
лива на освещение этой школы за 210 учеб¬
ных дней.
Воспитание бережливости нельзя сводить
только к решению соответствующих задач.
Здесь важен весь комплекс проводимых меро¬
приятий. Экскурсия на завод, школьный
«Рейд бережливых» должны быть связаны
1 Для удобства вычислений здесь и во всех осталь¬
ных случаях мы считаем, что в каждом классе 35 че¬
ловек, в каждой школе 500 учащихся, а в стране
39 550 000 школьников. По официальным данным в стра¬
не насчитывается 39,6 млн. учащихся дневных обще¬
образовательных школ (см.: Народное хозяйство СССР
в 1979 г.).
14

друг с другом, дополнять друг друга и одно¬
временно служить материалом для задач с
актуальной тематикой.
Так, с учащимися IV—V классов мы однаж¬
ды посетили бумажную фабрику. Инженер
смены провел с ребятами беседу, в которой
указал на следующее: в 1979 г. в СССР бы¬
ло произведено 5249 тыс. т бумаги; ежегодно
на производство бумаги расходуется 45 млн.
куб. м древесины, для которой вырубается
лес с 500 тыс. га.
После этой экскурсии в школе был прове¬
ден «Рейд бережливых». В этот раз участни¬
ки рейда после уроков подобрали по всей
школе и взвесили все вырванные из тетрадей
и бесцельно брошенные листы бумаги. О ре¬
зультате рейда, конечно, узнала вся школа.
На следующий день в IV—V классах была ре¬
шена следующая задача;
После уроков в партах нашей школы были
оставлены листы бумаги общей массой в 1 кг.
Если так будет каждый день, то сколько бу¬
маги пропадет напрасно: а) в школе за 210
учебных дней в году; б) во всех школах стра¬
ны за тот же период; в) какая часть всей бу¬
маги, произведенной в нашей стране (около
5249 тыс. т), будет потрачена впустую?
Эта задача оказывает на ребят довольно
сильное воздействие. Тем более, что и ответы
в ней впечатляющие. Так, получается, что за
год по школам может быть потеряно более
16 тыс. т бумаги:
1-39550 ООО
500
•210= 16611 (т),
и это примерно равно 1/316 всего производ¬
ства бумаги в стране.
От бережного отношения к тетради, книге,
парте, куску хлеба начинается хозяйское от¬
ношение к народному добру.
Учителям известно, как много хлеба дети
иногда оставляют после обеда. В школе № 1
г. Туймазы дежурные однажды получили за¬
дание: собрать и взвесить все кусочки хлеба,
оставшиеся в столовой. Результаты этой про¬
верки потом обсуждались во всех классах. Во
время такого обсуждения четырехклассникам
было предложено решить следующую задачу:
После обеда в школьной столовой отходы
хлеба составили 1 кг 100 г. Если бы такие от¬
ходы оставались каоюдый день, то сколько
хлеба было бы неправильно использовано:
а)	в одной школе за 210 учебных дней; б) во
всех школах страны, за то же время?
Опыт показывает, что учитель не в состоя¬
нии в одиночку справиться с проблемами эко¬
номического воспитания учащихся. Его рабо¬
та будет эффективной только при целенаправ¬
ленных усилиях всего педагогического коллек¬
тива, учкома и общественных организаций
школы. В нашей школе проводимая работа
дает ощутимые результаты: сохраняются в
хорошем состоянии кабинеты, заметно снизил¬
ся расход электроэнергии, большинство учеб¬
ников, выданных ребятам, к концу года не
выглядят истрепанными. Учащиеся с большим
желанием благоустраивают территорию шко¬
лы, помогают в текущем ремонте.
ИЗ ОПЫТА
Из опыта введения понятия
непрерывности функции
Н.	С. Головченко
(г. Гродно)
Понятие непрерывности функции относится
к числу важнейших в математике. Но уча¬
щиеся усваивают его очень формально: не по¬
нимают смысла определения и логики дока¬
зательств теорем, не могут привести приме¬
ров реально существующих процессов, кото¬
рые описываются непрерывными функциями.
В данной статье рассматриваются практи¬
ческие примеры, разъясняющие понятие не¬
прерывности функции. Они связаны с жиз¬
ненным опытом учащихся, их познаниями в
других науках. В процессе анализа предла¬
гаемых ситуаций учащиеся знакомятся с по¬
нятием непрерывности сначала на интуитив¬
ном уровне; затем, направляемые учителем,
приходят к строгому определению нового по¬
нятия.
Тема «Непрерывность функций» дает учи¬
телю большие возможности в формировании
у учащихся диалектико-материалистического
мировоззрения, поскольку в процессе ее изу¬
чения можно показать глубокую связь мате¬
матики с действительностью, раскрыть свое¬
образие математических методов, разъяснить
происхождение математических понятий, их
общность, роль абстракции в математике.
К уроку нужно подготовить плакаты или
кодопленки с графиками функций, рассматри¬
ваемых в примерах 1—3.
Приступая к изучению этой темы, предло¬
жим вниманию учащихся несколько реальных
ситуаций.
1.	Рассмотрим процесс плавления нафтали¬
на. Нас будет интересовать изменение его
температуры Т в зависимости от времени Ч
нагревания. Время будем измерять в мину¬
тах, температуру — в градусах по Цельсию.
Температура нафталина является функцией
15

времен», определенной на промежутке [0;
/о], где 1о — продолжительность наблюдения.
Начнем эксперимент с момента, когда темпе¬
ратура твердого нафталина была 55° С. При
нагревании в течение первых 5 мин темпера¬
тура растет, пока не достигнет 80° С — темпе¬
ратуры плавления; в течение всего времени
плавления (последующих 4 мин) она не ме¬
няется, хотя процесс нагревания продолжа¬
ется. И только после того как весь нафталин
расплавится, температура его вновь начнет
подниматься. Закончим наблюдение, когда
температура образовавшейся жидкости под¬
нимется до 90° С. График функции Т(1) изоб¬
ражен на рис. 1.
В последующем функцию Т(1) можно ис¬
пользовать для иллюстрации функции, непре¬
рывной всюду на "промежутке [0; /0], но не
дифференцируемой в точках 1—Ъ и /=9.
В эти моменты времени скорость изменения
температуры нафталина не может быть опре¬
делена однозначно, он находится в переход¬
ном состоянии между твердым телом и жид¬
костью.
2.	Основным элементом любой строитель¬
ной конструкции является балка. Балки, на
которые опираются балконы, заделываются в
стену лишь одним концом, второй же конец
оставляют свободным. Такие балки называ¬
ются консольными. Прежде чем применить
балку в какой-либо конструкции, ее нужно
рассчитать на прочность, так как под дейст¬
вием нагрузки балка прогибается. Возьмем
балку, левый конец которой заделан в стену,
и положим на нее равномерно распределен¬
ную нагрузку <2. Пусть длина свободного
участка балки равна /. Отношение 0/1 назы¬
вают интенсивностью нагрузки. Чем больше
интенсивность нагрузки, тем сильнее прогиба¬
ется балка. Обозначим через у прогиб балки
в точке, находящейся на расстоянии х от ее
левого (не заделанного в стену) конца. Каж¬
дой точке х соответствует единственное зна¬
чение прогиба, следовательно, прогиб балки у
является функцией расстояния л:, определен¬
ной на промежутке [0; /]. Наибольший про¬
гиб будет на свободном конце балки, т. е.
при х=1. График функции у(х) изображен
на рис. 2. Этот пример заимствован из книги
Н.	Я. Виленкина «Функции в природе и тех¬
нике» (М.: Просвещение, 1978, с. 94).
3. Рассмотрим уже знакомую нам функцию
у—{х}, где {.г}—дробная часть числа *. Ее
график изображен на рис. 3.
Рис. 2 Д
V Рис. 3
Предложим учащимся сравнить графики
на рис. 1—3, найти в них общие черты и от¬
личие друг от друга. Очевидно, графики
функций Т(1), у(х) похожи друг на друга в
том смысле, что они представляют собой не¬
прерывные линии, т. е. линии, которые можно
вычертить одним движением руки, «не отры¬
вая карандаша от бумаги». Условимся с уча¬
щимися называть такие функции непрерыв¬
ными. График функции у—{х) существенно
отличается от первых двух, он не может быть
нарисован одним движением руки. Этот гра¬
фик состоит из отдельных отрезков. Очевид¬
но, на каждом из промежутков [п; п-\-\[(п
€2) функция у={х} непрерывна в указан¬
ном выше смысле, в точках же х=п нет не¬
прерывности. Такие функции будем называть
разрывными.
Далее учитель должен разъяснить, что не
все функции являются непрерывными, но все
10

функции, соответствующие известным уча¬
щимся реальным процессам в природе и тех¬
нике, непрерывны. Изменение атмосферного
давления в зависимости от высоты над уров¬
нем моря, изменение температуры и влажно¬
сти воздуха за какой-то промежуток времени,
изменение роста, веса человека с течением
времени и т. д.— все эти процессы протекают
непрерывно. Поэтому непрерывные функции
особенно важны для практических целей.
Учащимся не представляет труда по гра¬
фику функции определить, является ли она
непрерывной или разрывной. Теперь учитель
может указать, что построение графика до¬
вольно часто бывает очень трудоемким, тех¬
нически сложным делом, к тому же достовер¬
ность графика без предварительного анали¬
тического исследования функции весьма со¬
мнительна. Математик не может ограничиться
чисто описательным определением непрерыв¬
ной функции. Использование математических
понятий без точного понимания их смысла
может привести к грубым ошибкам. Чтобы
высказать о непрерывных функциях общие
утверждения, нужно прежде всего дать чет¬
кое определение этого математического поня¬
тия, которое позволит не интуитивно, а стро¬
го и однозначно установить, является ли дан¬
ная функция непрерывной или нет.
Итак, сформировав у учащихся интуитив¬
ное представление о непрерывности, ставим
перед ними следующую, качественно новую
задачу: ввести подходящую терминологию,
определение, сформулировать свойства непре¬
рывных функций и доказать их.
Прежде всего нужно точно определить, что
имеется в виду, когда говорят, что функция
[(х) непрерывна в точке х0.
Попытаемся количественно описать разли¬
чие между непрерывными и разрывными
функциями. Мы видим, что функции, изобра¬
женные на рис. 1—2, обладают следующим
свойством: для близких друг к другу значе¬
ний аргумента, например х и Хо, соответст¬
вующие значения функции, т. е. }(х) и [(х0),
также близки друг к другу. Этим свойством
обладает и функция у—{х} во всех точках х,
кроме целочисленных. А вот в точках х—п, в
которых нет непрерывности, дело обстоит по-
другому. Посмотрим внимательно еще раз,
как ведет себя эта функция в окрестности
«плохих» точек. На каждом промежутке \п\
п-|-1[ она непрерывно возрастает, прибли¬
жаясь как угодно близко к значению 1, но
этого значения не достигает, а в точке
х—п-\-1 внезапно, скачком возвращается к
значению нуль. Мы видим, что в точках, где
нет непрерывности, из близости двух значе¬
ний аргумента уже не обязательно следует
близость соответствующих значений функции.
Очевидно, это обстоятельство можно поло¬
жить в основу определения непрерывности
функции в точке. Прежде всего необходимо
придать точный смысл утверждению: если х
близко к Хо, то 1(х) близко к ((х0).
После такой беседы учителя с классом вво¬
дятся понятия «приращение аргумента» и
«приращение функции» и соответствующие
символы. Разъясняется смысл записей:
Ау-+0 и Ах~+0. Используя их, получаем
следующее определение непрерывности функ¬
ции в точке.
Определение 1. Функция I называется
непрерывной в точке х0, если при Д;е-*-0 и
Дг/->-0, т. е.
Игл Ау = 0.	(1)
Учитель должен разъяснить, что определе¬
нию непрерывности функции в точке можно
придать другие формулировки, отличные по
форме, но тождественные по содержанию с
определением 1. Запишем выражение (1) в
следующем виде:
Пт (/ (х) - / (л0)) = Ит / (л) — 11т / (л:0) =
ЛГ-»ЛГи	х ~*-х0	х->х0
= Ит /(X) — / {х0) = 0,
х-*х0
отсюда
Пт /(*) = / (х0).
х—*х0
Получим следующее определение непрерывно¬
сти функции в точке.
Определение 2. Функция / называется
непрерывной в точке х0, если
Ит /(х) = /и0).	(2)
X—* Хо
Необходимо подчеркнуть, что для установ¬
ления факта непрерывности функции в точке
можно пользоваться любым из определений,
но в различных случаях целесообразно ис¬
пользовать разные определения непрерывно¬
сти. Необходимо также охарактеризовать ме¬
тодику доказательства теорем по данной
теме.	Ч
В учебном пособии «Алгебра и начала ана¬
лиза 9—10» под ред. А. Н. Колмогорова дает¬
ся только одно определение непрерывности
функции в точке — определение 2 (с. 43), но
в пользу определения 1 говорит то, что оно
максимально приближено к интуитивным
представлениям учащихся о непрерывной
функции. Характерно, что определение 1 не¬
явно присутствует при доказательстве того,
что функция дифференцируемая в точке
Хо, непрерывна в этой точке (п. 19). Опреде¬
ление 1 делает это доказательство излишним,
поскольку доказанная в этом же пункте
учебника лемма «Если функция / дифферен¬
17

цируема в точке х0, то 11т Д/(л:0) = О» и
Ьх-*0
означает (по определению 1) факт непрерыв¬
ности функции / в точке Хо («Алгебра и на¬
чала анализа 9—10», с. 61).
Чтобы доказать непрерывность функции в
точке х0 с помощью определения 1, нужно:
1)	дать аргументу х0 приращение Ах;
2)	найти соответствующее приращение
функции
Ау = !(х0+Ах) — 1{х0)-,
3) исследовать Ду при Дл: — 0; если получим,
что 11т Ду = 0, то заключаем, что функция
Длг-0
/ (х) непрерывна в точке х0.
Как известно, эта же последовательность опе¬
раций (только вместо 11т Ду отыскивается
\	Ддг-*0
Ит -р-) используется при доказательстве мно-
Дл--»0 Д* /
гих правил и формул дифференциального исчис¬
ления (см., например, п. 19, 21, 42 учебного
пособия), что также говорит в пользу опреде¬
ления 1.
Учащимся следует показать и преимущест¬
ва определения 2:	оно	весьма эффективно
при нахождении предела непрерывной функ¬
ции. Действительно, равенство (2) означает,
что функция I непрерывна в точке х0 и ее
предел в точке Хо равен значению функции в
этой точке.
О специфике
исследования функции
при решении задач
практического характера
В. А. Петров
(г. Смоленск)
Усилению политехнической и трудовой на¬
правленности обучения математике способст¬
вует решение задач практического характера.
Многие из этих задач, как известно, сводятся
к нахождению наибольшего или наименьшего
значения функции на некотором промежутке.
Приемы решения таких задач демонстри¬
руются в п. 28 учебного пособия «Алгебра и
начала анализа 9—10» (М., 1980 и 1981), а
также в пособиях для учителей, написанных
в соответствии с ранее действовавшими учеб¬
ными пособиями по алгебре и началам анали¬
за. Теоретической основой решения служит
правило отыскания наибольшего и наимень¬
шего значения функции на отрезке. Это пра¬
вило учитывает весьма общую ситуацию, ко¬
гда на рассматриваемом отрезке функция
имеет любое конечное число критических то¬
чек. Между тем в прикладных задачах, в осо¬
бенности в тех, которые доступны для реше¬
ния в средней школе, в подавляющем боль¬
шинстве случаев исследуемая функция име¬
ет на рассматриваемом промежутке единст¬
венную критическую точку.
Заметим еще, что физические ограничения
естественным образом приводят обычно к ис¬
следованию функции на открытом промежут¬
ке, тогда как правило, сформулированное в
учебном пособии, относится к функциям, за¬
данным на отрезке (в случае бесконечного
промежутка рассматриваемое правило совсем
не работает). Поэтому авторы пособия, ил¬
люстрируя применение этого правила в при¬
мере 2 п. 28, вынуждены доопределять иссле¬
дуемую функцию в концах отрезка и прово¬
дить соответствующие дополнительные рас¬
суждения. Это усложнение решения связано,
таким образом, не с объективной сложностью
задачи, а с недостаточностью методических
средств — задача усложняется ради примени¬
мости к ней правила исследования.
В связи с этим представляется целесооб¬
разным дополнить общее правило нахожде¬
ния наибольшего и наименьшего значений
функции на отрезке специальным частным
правилом, относящимся к случаю единствен¬
ной критической точки у функции, заданной
на произвольном промежутке.
Это правило, которое мы сформулируем в
виде теоремы, геометрически совершенно оче¬
видно, а логически является простым следст¬
вием теоремы 2 п. 25.
Теорема. Пусть функция I дифференци¬
руема на промежутке I и имеет на нем един¬
ственную критическую точку с. Тогда, если
производная (' положительна при х<с и от¬
рицательна при х>с, то в точке с функция
I принимает наибольшее значение; если же
производная при х<с отрицательна, а при
х>с положительна, то в точке с функция /
принимает наименьшее значение.
В самом деле, в первом случае в силу тео¬
ремы 2 и замечания 1 из п. 25 при х<.с вы¬
полняется неравенство 1(х)с1(с), при х>с
также выполняется неравенство 1(х)<.{(с) и,
таким образом, для всех I {(х)^{(с).
Другими словами, \(с) — наибольшее значе¬
ние функции I на промежутке I. Второй
случай рассматривается аналогично.
Разумеется, при практическом использова¬
нии этой теоремы целесообразно упрощать ее
формулировку, используя стандартное выра¬
жение «в точке с производная меняет знак с
плюса на минус (или с минуса на плюс)».
Отметим, что теорема справедлива для лю¬
бого промежутка: отрезка, интервала, полуин¬
18

тервала, луча, всей числовой прямой; именно
эта теорема неявно используется при решении
многих задач в пособии для учителей «Алгеб¬
ра и начала анализа в 10 классе».
Приведем для примера решения двух задач,
основанные на сформулированной теореме.
Задача 1. Пастбищные водопоильные же¬
лоба для коров иногда устраивают из трех
одинаковых досок, сбивая их под некоторым
тупым углом величины а. Каким должен быть
угол а, чтобы получился желоб наибольшей
вместимости?
Решение. Обозначим через х величину
угла В АО, а через Н ширину досок (см. рис.),
тогда \АВ | = | ВС\ — \ СО\ —к, \АЕ\=ксо$х,
\АО\=к-\-2к соз х, \ВЕ\—к зш х.
Желоб представляет собой призму, основа¬
нием которой служит трапеция АВСй, а вы¬
сота равна длине сбиваемых досок. Обозна¬
чив длину досок через I, найдем объем
желоба
V(х) = 1к2(1 -(-соз х)51'п х.
Требуется узнать, при каком значении х из
интервала |0; -|-| функция V принимает
наибольшее значение.
Найдем производную функции V:
V' (х) = /Л2 (соз х (1 + соз х) — зш2 х) =
= /Л2 (2 соз2 х + соз х — 1) =
= 2/Л2 Гсозх	(созх + 1),
Замечаем, что на рассматриваемом интервале
производная существует и обращается в нуль
только при х =	,	причем при 0 < х < -у
производная положительна, а при
отрицательна. Значит, согласно сформулирован¬
ной теореме функция V достигает при х = ~
наибольшего значения на интервале 0;	^.
Зная оптимальное значение х, найдем ис¬
комое-значение а:
а —тс * — 2 тс
Отметим, что рассмотренная задача может
быть поставлена перед классом в качестве
проблемной перед изучением производных
тригонометрических функций.
Задача 2. Каким должно быть отношение
диаметра основания к высоте закрытой ци¬
линдрической цистерны, чтобы при заданном
объеме на изготовление цистерны шло как
можно меньше материала?
Решение. Пусть г — радиус основания,
V	— объем цистерны, тогда ее высота равна
\ , а полная поверхность
V'
5	(г) = 2 (иг2 + —)
Требуется узнать, при каком г из проме¬
жутка ]0; +оо[ функция 5 достигает наи¬
меньшего значения.
Найдем производную:
V
5'(г)=* 2(2*г-^-)
4тг •
г —
Замечаем, что производная всюду на рассмат¬
риваемом интервале существует и обращается
*ПГ
в нуль только в точке г0 = у ~ > причем
5'(г)<0 при 0<г<г0 и З'(г)>0 при г>г0.
По доказанной теореме функция 5 при
г —л0 достигает наименьшего значения.
При величине радиуса г—г0 высота
стерны
ци-
, V
Ло= —
т. е. высота цилиндра, должна быть равна
его диаметру.
Рассмотренные примеры показывают, что
использование приведенной теоремы значи¬
тельно облегчает обоснование решения, дела¬
ет его однотипным, экономит время.
Из опыта
применения теоремы Виета
при решении квадратных
уравнений
В. Г. Филатов
(Москва)
Поиск эффективных методов обобщения и
углубленного повторения изученного материа¬
ла способствует повышению качества урока.
Как показывает опыт работы, использова¬
ние теоремы Виета не находит широкого при¬
менения не только в VII классе, но и в по¬
следующих классах средней школы; в част¬
ности это относится к свойствам квадратного
19

уравнения ах2-\-Ьх-\-с — 0, в котором а-\-Ь-\-
+с=0 или а—&+с=0. Использование же
указанных свойств для быстрого получения
ответа при решении некоторых квадратных
уравнений дает значительные преимущества.
Приведем краткое описание урока в VII
классе, тема которого «Решение квадратных
уравнений с применением теоремы Виета»
(тип урока: повторение пройденного и обоб¬
щение изученного).
Образовательные задачи урока. Обеспечить
закрепление теоремы Виета. Обратить внима¬
ние учащихся на решение квадратных уравне¬
ний ах2+Ьх+с= 0, в которых а+6+с=0 или
а — 6+с=0; привить навыки устного реше¬
ния таких уравнений.
Воспитательные задачи урока. Способство¬
вать выработке у школьников умения обоб¬
щать изучаемые факты; развивать самостоя¬
тельность путем составления ими уравнений.
(Для учеников задачи урока сообщаются так:
сегодня мы познакомимся с очень интересны¬
ми свойствами некоторых квадратных урав¬
нений.)
В начале урока с помощью имеющихся
средств ТСО проверяется та часть домашнего
задания, в которой надо было при помощи
теоремы Виета или ранее изученных формул
определить корни 12 квадратнУХ уравнений:
1)	х2 + х-2 = 0, {-2; 1};
2)	х2 + 2х - 3 = 0, {-3; 1};
3)	х2 — Зх + 2 = О, {2; 1};
4)	л;2 — * -2 = 0, {—1; 2};
5)	х2 — 2х — 3 = 0, {—1; 3};
6)	х2 — Зх — 4 = 0, {—1; 4};
7)	х2 + 7х + 12 = 0, {-4; -3};
8)	5х2 + Их+ 2 = 0, [—2;	;
9)	х2-8х + 15 = 0, {3; 5};
10)	Зх2 - 10х 4 8 = 0, {1 -1 ; 2} ;
11)	х2 — х — б = 0, {-2; 3);
12)	5х2 — 9х — 2 = 0,	-1- ; 2} .
После проверки правильности решения
уравнений из домашнего задания один уче¬
ник доказывает на доске теорему Виета, дру¬
гой рассказывает о Ф. Виете и его вкладе в
развитие математики.
Возвращаясь к уравнениям 1—3 домашнего
задания, учитель ставит перед учащимися
вопросы: «Какова сумма коэффициентов в
этих уравнениях; какое число является кор¬
нем каждого из них?» (Ответы: 1 + 1—2=0,
1+2 — 3=0, 1 — 3+2 = 0; единица.)
20
После рассмотрения уравнений 1—3 и бе¬
седы учителя с классом учащиеся пришли к
заключению, что если в уравнении ах2+6х+
+с=0 а+Ь+с=0, то один-из его корней ра¬
вен 1, а другой в соответствии с теоремой Ви¬
ета равен . Здесь же было отмечено, что
верны и обратные утверждения: если один из
корней квадратного уравнения ах2-\-Ъх-\-с = 0
равен 1^-) , то а+&+с=0 и второй ко-
рень равен—(1).
Далее учащиеся используют полученные
утверждения при выполнении упражнения
№ 841 (а, б, д) эти уравнения были уже
решены при закреплении формул корней
квадратного уравнения. Так как в каждом из
них а+6+с= 0, то ученики быстро дают пра¬
вильные ответы.
После выполнения предложенных упраж¬
нений учитель обращает внимание учащихся
на зависимость между коэффициентами в
уравнениях 4—6 домашнего задания, каждое
из которых имеет корень —1:
1	- (-1) —2 = 0, 1 — (-2)-3=0,
1— (—3)—4 = 0.
В результате проведенной беседы учащие¬
ся приходят к выводу, что если в уравнении
ах2+6х+с=0 а — Ъ-\-с=0, то один из его
корней равен —1, а другой равен —— . Учи¬
тель сообщает ученикам, что справедливы и
обратные утверждения.
Для закрепления этого материала учитель
предлагает учащимся решить три уравнения:
1)	2х2+Зх+1=0;	2)	5х2— 4х — 9=0;
3) 7х2+2х —5=0.
При решении, например, второго уравне¬
ния рассуждения учащихся могут быть таки¬
ми: «Так как 5—(—4)—9=0, то Х\ ——1,
х2 = 1,8».
Устное решение этих уравнений вызвало
положительный эмоциональный настрой уча¬
щихся.
Чтобы выяснить, как рассмотренный мате¬
риал усвоен учащимися, им предлагается са¬
мостоятельная работа (в скобках записаны
уравнения для второго варианта).
Решить уравнения:
1)	лг2+17х— 18 = 0	(х2+23х — 24 = 0);
2)	2х2—х — 3=0	(5л:2—х —6=0);
3)	х2—39х —40=0	(х2—37х —38 = 0);
4)	14х2— 17х+3=0	(13х2—18х+5=0);
5)	100х2—97х—197=0 (ЮОх2—83х —
—	183 = 0).
' Здесь и далее номера упражнений указаны по учеб¬
нику «Алгебра 7» 1981 г. издания.

При выполнении самостоятельной работы
условия упражнений учащиеся не переписы¬
вают, а в тетрадях или на листочках делают
лишь такие записи (например, при решении
первого уравнения): так как 1-+-17—18 = 0,
то {1; —18}.
Работа может быть проверена либо фрон¬
тально в классе, либо учителем дома.
После окончания самостоятельной работы
учащиеся выполняют упражнения повышен¬
ной сложности (№ 884 (а) и 885 (б)), кото¬
рые вызывают у них большой интерес.
Запись при решении уравнения {Ъх-\-1)2+
+6(5х+1)—7 = 0 может быть такой: «Так
как 1+6 — 7=0, то 5,г+1 = 1 и х—0 или
5х+1 = —7 и х 		.
Ответ: {—1,6; 0}».
Аналогично при решении уравнения х4—
—	8х2—9 = 0 они запишут:	«Так как 1 —
—	(—8) — 9 = 0, то х2— — 1, т. е. решений нет,
или х2=9, т. е. имеем два корня —3 или 3.
Ответ: {—3; 3}».
В заключительной части урока мы обра¬
щаемся к уравнениям 7—12 домашнего зада¬
ния, условия и ответы к которым записаны
на доске, и устанавливаем еще одно замеча¬
тельное свойство корней квадратного уравне¬
ния: «Если квадратное уравнение с целыми
коэффициентами имеет хотя бы один целый
корень, то он является делителем свободного
члена».
Этим свойством квадратного уравнения
учащиеся охотно воспользовались для устно¬
го решения уравнения Зх2+7х'+2 = 0, рас¬
суждая примерно так: «Дискриминант урав¬
нения положителен, значит оно имеет два
корня. Так как сумма корней отрицательна, а
произведение положительно, то оба корня
отрицательны. Поэтому, если уравнение име¬
ет хотя бы один целый корень, то это может
быть либо —1, либо —2 и, так как —1 не
является корнем (а — Ь-\-сФ0), то остается
проверить лишь —2».
Таким образом, ученики быстро получили
ответ I—2;	д-|
Аналогично нашли они и корни уравнений
5л:2— 13х+6=0 и 2х2—х — 15=0.
В конце урока было дано домашнее зада¬
ние: п. 43, № 840 (а, д), № 984 (а, е) и соста¬
вить три квадратных уравнения, имеющих
один из корней, равный 1, и три квадратных
уравнения, имеющих один из корней, рав¬
ный — 1 (полученные решения проверить по
формулам корней квадратного уравнения).
В заключение отметим, что более подробно
вопрос о решении уравнения ах2-\-Ьх-\-с — 0,
в котором а+Ь+с—0 или а — Ъ-\-с—0, по¬
лезно рассмотреть на факультативных заня¬
тиях или на кружке. При этом интересующий
нас материал можно сформулировать в виде
свойств, а затем предложить учащимся дока¬
зать их.
Приведем формулировки свойств для слу¬
чая, когда в уравнении ах2+Ьх-{-с—0 а+
+6+с=0.
1.	Если в квадратном уравнении ах2-\-Ьх-\-
+с=0 а+Ь+с—0, то #1 = 1, а х2—
2.	Если квадратное уравнение ах2-\-Ьх-\-
-|-с=0 имеет корень, равный 1, то второй его
корень равен —и а-{-Ъ-\-с—0.
3.	Если квадратное уравнение ах2-\-Ьх-\-
+с=0 имеет корень, равный ~,то второй
его корень равен 1 и а-(-6+с= 0.
Доказательства сформулированных свойств
полезно провести различными способами.
Покажем это на примере доказательства
свойства 1.
В одном из способов доказательства можно
использовать теорему Виета.
Из условия а+Ь+с=0 следует, что Ь=
= — (а+с). Подставляя значение «Ь» в урав¬
нение ах2-\-Ьх-\-с—0, получаем
ах2— (а + с)х + с = 0,	(1)
+ -т)х + ^г =°-
Отсюда Х\ = 1, х2 = ~ .
При доказательстве свойства вторым спосо¬
бом можно в левой части уравнения (1) рас¬
крыть скобки, а затем полученное выражение
разложить на множители.
Третий способ доказательства состоит в
том, что в выражение
— Ь+ V Ь2 — 4 ас
X =	=+5
2а
подставляют значение «Ь» из условия а-\-Ь-\-
+с=0.
Приведенный в статье материал показыва¬
ет как можно развивать творческую и мысли¬
тельную деятельность учащихся, воспитывать
у них умение использовать замеченные свой¬
ства изучаемых объектов для решения задач,
умение их обобщать.
21

Уроки одной задачи
А.	А. Окунев
(Ленинград)
Урок геометрии обычно состоит из изложения
теории и решения нескольких иллюстрирую¬
щих ее задач. Задача на таком уроке не яв¬
ляется главным его элементом. Поэтому
обучение решению задач сводится преимуще¬
ственно к отработке некоторых алгоритмов.
Сама же задача, приемы ее решения, анализ
условия редко бывают длительное время объ¬
ектом внимания учеников. Им не так часто
удается проделать всю трудоемкую работу,
связанную с получением красивого решения.
В лучшем случае они могут лишь проследить
за решением задачи, которое излагается учи¬
телем.
Учат же решать задачи, формируют навыки
исследовательской работы уроки, на которых
ученик является активным участником по¬
иска решения задачи, испытывает при этом и
радость открытий, и горечь поражений, когда
выбранный путь заводит в тупик.
Урок такого типа как бы завершает неко¬
торый этап в обучении решению задач, по¬
этому его лучше провести в тот момент, ко¬
гда учениками усвоены необходимые понятия
и разобран ряд частных приемов решения
задач.
Внимание учеников на этом уроке должно
быть сконцентрировано в основном на анали¬
зе приемов, которыми решается задача. По¬
этому, чтобы не тратить силы на знакомство
с условием нескольких задач, достаточно
рассмотреть решение только однбй задачи.
Задача подбирается интересная по содержа¬
нию, богатая идеями, имеющая несколько
способов решения.
Успех урока, творческая активность учени¬
ков целиком зависят от тех методических
приемов, которые выберет учитель для ана¬
лиза задачи. Они подчинены в основном
двум целям: 1) направить деятельность уче¬
ников на исследование закономерностей меж¬
ду данными задачи; 2) отработать умение
делать логические выводы из полученных
результатов.
Несколько первых минут урока посвяща¬
ются тому, чтобы снять у учеников страх пе¬
ред задачей, настроить их так, чтобы они
стремились к получению «красивого» реше¬
ния. Доброжелательное обсуждение всех
предложенных гипотез поможет выявить за¬
кономерности между данными задачи и даже
те, которые не видны сразу.
Вопросы, помогающие направить внимание
учащихся на исследование какой-то части
рисунка или выявление закономерностей
между данными задачи, ставятся так, чтобы
они могли быть использованы учениками при
решении других задач.
Известно, что большинство учеников ис¬
пытывают трудности на первом этапе реше¬
ния задачи, когда они знакомятся с ее усло¬
вием. Можно сказать, что для многих из них
этого этапа вообще не существует. Они меха¬
нически начинают применять известные им
алгоритмы. Отсюда и ошибки, и нерацио¬
нальные решения, а если обычный способ
применить нельзя, задача так и остается не¬
решенной. Причина этого в том, что ученики
не умеют анализировать условие задачи. Для
того чтобы они могли самостоятельно прове¬
сти анализ условия задачи, можно использо¬
вать следующий алгоритм:
1.	Перечислить все объекты, о которых го¬
ворится в условии.
2.	Раскрыть математический смысл каждо¬
го объекта условия, используя его опреде¬
ление.
3.	Сделать всевозможные выводы из ин¬
формации, полученной в предыдущих пунк¬
тах.
После того как задача решена нескольки¬
ми способами, учитель предлагает ряд воп¬
росов:
1.	Какими способами была решена задача?
2.	Какой способ решения наиболее рацио¬
нальный?
3.	Какая закономерность между данными
условия задачи была основной в каждом
способе?
4.	Какие приемы решения данной задачи
можно применить в других задачах?
5.	Нельзя ли рассмотреть эту задачу как
частный случай более общей задачи?
6.	Чем интересна данная задача?
Эти вопросы помогут учащимся осознать,
какими новыми приемами обогатился их
опыт решения задач.
Рассмотрим пример такой работы над за¬
дачей курса стереометрии X класса.
Задача 1. Основанием четырехугольной
пирамиды МАВСй служит квадрат. Ребро
МВ перпендикулярно основанию. Найти объ¬
ем пирамиды, если ее высота равна 1, а дву¬
гранный угол прй ребре МБ равен 120°.
Эта задача довольно интересна, и поэтому
разбору ее решения можно посвятить не¬
сколько уроков и внеклассное занятие.
Рисунок к задаче (рис. 1) создается парал¬
лельно с анализом условия.
1.	Основание пирамиды АВСБ— квадрат,
[МВ]—ее высота.
2.	Проводим плоскость через (АС) перпен¬
дикулярно ребру МБ (это возможно, так как

Рис. 2
(ЛС)±(АШ)) и получаем линейный угол
двугранного угла АШ {/_АКС).
3. Выясняем, что а) треугольники АМВ,
МВО, МВС, АМО и МОС— прямоугольные;
б)	ААМВ^АМВС, АААЮ^АМОС, откуда
\ЛК\ = |/СС|, т. е. ААКС— равнобедренный
с углом 120° при вершине и [О/С] X [ЛС];
в)	АМВй ~ АОКО', г) пирамиды МАВО и
МВОС имеют равные объемы.
Учитель перечисляет возможные способы
нахождения объема: 1) применить формулу
объема к пирамиде с основанием АВСй, 2)
рассмотреть Данную пирамиду как часть
многогранника, объем которого вычисляется
проще, чем объем пирамиды, 3) рассмотреть
объем пирамиды как сумму объемов состав¬
ляющих ее многогранников, 4) вычислить
вместо объема данной пирамиды объем пира¬
миды, за основание которой принята одна
из боковых граней.
Учащимся предлагают отыскать какие-либо
способы решения задачи, используя _ подме¬
ченные зависимости.
I способ. Наиболее естественным явля¬
ется способ нахождения объема пирамиды с
основанием АВСО и вершиной М. Для этого
надо найти только длину стороны основания.
а) Используем подобие треугольников
МВО и ОКО. Пусть \АО\—х, тогда \ВО\ =
= ху~2.
Имеем
\ОК I
I МВ I
I ОР\
I МО I
Так как
I ОК | = -^=- (из Д АКО),
\МО\ =|/ 1+2*2 (из /\МВО),
получим
/2 + 4хг ’
Замечание. Полезно обратить внимание
учащихся на то, что объем пирамиды МАВСО
можно найти и как удвоенный объем пирами¬
ды МАВО.
б) Используем теорему о площади ортого¬
нальной проекции многоугольника.
Из условия задачи следует, что [АС]Л.
±(МВО)\ угол между плоскостями АМО и
МВО равен 60°.
Проекцией ААМО на (ВМО) является
АМО О. Следовательно,
§моп—5АМО-С05 60°,
т. е. | МВ | • | ОО | = | ЛМ | • | Ай | • 0,5.
Обозначив \АВ\=х, получим
х у^2 х 1 + хг
откуда х = 1 и V
ед/
II способ. В треугольной пирамиде любая
грань может быть принята за основание. Если
в пирамиде МАВО за основание принять
Д МВО, то
V
МАВСО
= 2-У
V
МАВО
2 1
АО I;
МВ\-\ВО\-\АО\ =
= ~7Г I мв\-1во р.
Пусть | ВО | = х. Из подобия треугольников
МВО и ОКО находим, что х = У 2 и V =
. .тЗ
едл
III способ (векторный). ^А•^)С = 0, но
Ъа = КА —7(0, ~ЪЪ = КС — КО, поэтому
(К А -К О)-{КС- КО) = 0, т. е.
К А-КС- КО -АТС - КА-КО + КО2 = 0,
откуда
|/СА |-| АТС 1-соз 120° + | КО I2 =0,
\\КА\.\КС\,
| КС
\ко\2-
I КА I
2.
0)
\Кй\ \ки,
/\ /\
Обозначив МО А = МОС — а, из равенства
(1) получим 1§2 а = 2.
Пусть | АО 1 = х, тогда из Д МАО следует,
,	1	+	х
что а =	-—
= -о- ед3.
После разбора этих способов решения оцени¬
ваем проделанную работу и выделяем новую
информацию, которую мы получили.
23

В любой пирамиде МАВСИ, у которой в
основании лежит квадрат и [МВ] _1. (ЛВС), а
двугранный угол при ребре МО равен 120°,
сторона основания равна высоте.
Работу над задачей 1 можно продолжить
на внеклассных занятиях.
Полезно доказать подмеченное свойство.
Замечаем, что такая пирамида является
частью куба, грань которого АВСО и ребро
МВ.
Рассмотрим пирамиду, основанием которой
является основание ЛВСО прямоугольного
параллелепипеда, а вершина совпадает с его
вершиной М (рис. 2), и докажем, что этот
параллелепипед является кубом.
Для доказательства достаточно показать,
что | МВ | = | В С |, т. е. что МВСС\ — квадрат,
а для этого достаточно установить, что
[МС] 1 [ВС,].
Заметим, что величина двугранного угла,
ограниченного	полуплоскостями	ВМЪ	и
СМИ, равна 60°. Двугранный угол с гранями
МПС и МСф дополняет двугранный угол с
ребром МБ и	гранями АМБ и МСО	до
180°, следовательно, его величина также рав¬
на 60°. Таким образом полуплоскость МОС
является биссекторной для двугранного угла,
ограниченного	полуплоскостями	МВО	и
МС^О, поэтому МСО — их плоскость симмет¬
рии. (1)
Так как (МСО) 1. (ВМС), то МСО - плос¬
кость симметрии (ВМС). (2)
Из (1) и (2) следует, что при симметрии
относительно (МСО) луч МС\ отобразится
на луч МВ и	образ точки С\ лежит	на
[МВ). Если предположить, что точки В и
С\ не совпадут, то получится, что через точку
О	к [МВ) проведены два перпендикуляра.
Итак, точки В и С\ симметричны относи¬
тельно (МСО), отсюда МС\СВ — квадрат и
|ВМ| = |ВС|.
Нашли еще один способ решения задачи,
причем решение получено чисто геометриче¬
ски, без вычислений.
Этот способ решения может вызвать у уча¬
щихся затруднение. Постараемся найти более
легкий.
Предположим, что в пирамиде МАВСО вы¬
сота МВ конгруэнтна стороне основания АО,
тогда АЛЛШ^ДВАШ как прямоугольные с
общей гипотенузой и конгруэнтными катета¬
ми МВ и АО. Отсюда следует способ реше¬
ния: доказать конгруэнтность прямоугольных
треугольников АМО и ВМО. Два треуголь¬
ника с общей гипотенузой конгруэнтны, если
конгруэнтны высоты, проведенные к гипо¬
тенузе.
Возвращаемся к первоначальной задаче.
На рис. 1 проведем ВВ, — высоту АВМБ и
докажем равенство длин отрезков ВВ\ и АК.
Так как [О/С]—средняя линия АВВ^И,
то \ВВ\\—2\ОК[. Из А АО К следует, что
\АК\—2\ОК\. Таким образом имеем:
|ВВ, I = 1Л/С1, АВМ0^ААМ01 и |МВ| =
= |ЛЯ|.
Отметим, что из пяти разобранных спосо¬
бов решения задачи последний — наиболее
простой, наиболее красивый.
Далее можно показать, что куб при пово¬
роте около своей диагонали на 120° отобра¬
жается сам на себя. Это поможет ученикам
увидеть, что куб состоит из трех пирамид
(ВхАВСО, ВфО^СхС, ВуАА\0\0), каждая из
которых конгруэнтна пирамиде из задачи 1
(см. рис. 3). Остается доказать, что получен¬
ная из трех пирамид фигура — куб.
Этот способ решения способствует разви¬
тию пространственных представлений уча¬
щихся.
После решения задачи 1 на внеклассных
занятиях полезно предложить учащимся ре¬
шить эту же задачу в другой, более интерес¬
ной формулировке.
Основание четырехугольной пирамиды —
квадрат; все боковые грани — прямоуголь¬
ные треугольники, у которых вершины пря¬
мых углов лежат на основании пирамиды.
Найти объем пирамиды, если ее высота рав¬
на 1, а один из двугранных углов, образован¬
ных боковыми гранями, равен 120°.
Анализируя условие задачи, учащиеся вы-
/\
ясняют особенности пирамиды. Пусть МАО =
= 90° (см. рис. 1). Так как [ВЛ]±[Л.О], то
/\
[ЛВ] _1-[ВМ]. Если при этом МОС=90°, то
/X
[МА]±.(АВС), а если /)СМ=90°, то [МВ]_1_
±(ЛВС), т. е. одно боковое ребро перпенди¬
кулярно основанию.
Рассматриваем пирамиду, у которой ребро
МВ 1. (АВС) и выясняем, какой из двугран¬
ных углов, образованных боковыми гранями,
равен 120°. Приходим к выводу, что только
угол при ребре МО может равняться 120°;
Рис. 3	Рис.	4
в,
с,
А
А1
I
111| Щ
1111
с
А
о
24

следовательно, получаем ситуацию, описан¬
ную в задаче 1.
В качестве домашних заданий можно пред¬
ложить следующие задачи.
Задача 2. Дана треугольная пирамида, в
основании которой — равнобедренный прямо¬
угольный треугольник, все боковые грани —
прямоугольные треугольники с прямыми угла¬
ми, прилежащими к основанию. Один из
двугранных углов, образованных боковыми
гранями, равен 60°. Найти объем пирамиды.
Эта задача необычна тем, что неясно, как
сделать рисунок. Нужно проанализировать
несколько ситуаций, после чего получаем пи¬
рамиду, изображенную на рис. 4. Значит, са¬
ма постановка задачи ставит учеников в ус¬
ловия, в которых они не могут начать реше¬
ние задачи без необходимого анализа ее дан¬
ных. А решение сводится к тому, чтобы уви¬
деть, что объем данной пирамиды равен по¬
ловине объема пирамиды, о которой шла
речь в задаче 1.
Задача 3. Дана правильная четырех¬
угольная пирамида. Высота ее равна едини¬
це, а двугранный угол при боковом ребре
120°. Найти объем этой пирамиды.
Если в задаче 2 ученики должны были уви¬
деть, что пирамида МАВй — часть пирамиды
МАВСБ из задачи 1, то в задаче 3 они дол¬
жны заметить, что данная пирамида состоит
из четырех пирамид задачи 1 (рис. 5). •
В заключение приведем примеры задач, ко¬
торые могут быть использованы на уроках,
посвященных обучению решению задач.
Задача 4. Основанием четырехугольной
пирамиды ЗАВСО является параллелограмм
/\
АВСИ, АВБ = 90°. Высота пирамиды проек¬
тируется в некоторую внутреннюю точку от-
/\
резка Вй, /450=90°. Найти объем пирами¬
ды, если \АВ\ = |В5| = 1, |50|=2.
2
Ответ: ^==-3- ед3.
Задача 5. Все боковые грани четырех¬
угольной пирамиды 8АВСО — прямоугольные
треугольники, |5/)|=2, \ВС\ = |В5| = 1;
АВСй — прямоугольная трапеция, А=0 =
=90°, |ЛВ| <|ОС|. Высота пирамиды прохо¬
дит через одну из вершин основания. Через
точку В перпендикулярно (8С) проведено
сечение. Найти объем отсеченной пирамиды.
Ответ: V = — ед3.
Об упражнениях
для формирования
пространственных
представлений
И. А. Лурье
(Москва)
Осуществление политехнической направлен¬
ности — одна из основных задач обучения в
средней школе. Поэтому при обучении мате¬
матике, и в частности геометрии, должна
проводиться целенаправленная работа по
формированию таких важных в политехниче¬
ском отношении качеств подготовки учащих¬
ся, как хорошо развитые пространственные
представления, умение видеть в реальных си¬
туациях изученные теоретические положения,
приводить примеры реализации теоретиче¬
ских положений на предметах окружающей
обстановки. Так, ученик должен уметь иллю¬
стрировать основные отношения между эле¬
ментами предлагаемой ему модели (парал¬
лельность и перпендикулярность ребер мно¬
гогранника, конгруэнтность граней, перпенди¬
кулярность ребра и грани и т. д.), при этом
следует рассматривать модели не только пра¬
вильных многогранников.
Формированию таких представлений может
способствовать надлежащим образом подоб¬
ранная система упражнений. Так, например,
в результате изучения теоремы о том, что од¬
на из двух перпендикулярных плоскостей со¬
держит перпендикуляр к другой, ученик дол¬
жен представлять себе расположение этого
перпендикуляра. Он должен понимать, что в
прямоугольном параллелепипеде перпендику¬
ляры к плоскости основания могут принадле¬
жать боковым граням, а перпендикуляры к
боковым граням — плоскости основания, что
из условия перпендикулярности двух боковых
граней пирамиды плоскости основания следу¬
ет, что высота пирамиды совпадает с общим
ребром этих граней.
Анализ состояния знаний учащихся свиде¬
тельствует о том, что далеко не все усваива¬
25

ют этот материал. После изучения учащими¬
ся десятых классов материала о пирамиде им
была предложена следующая работа.
I	вариант. В основании пирамиды лежит
равнобедренный прямоугольный треугольник,
длина катета которого равна а. Боковые ре¬
бра пирамиды наклонены к плоскости осно¬
вания под углом а. Найдите объем пирамиды.
II	вариант. Основанием пирамиды явля¬
ется правильный треугольник, длина высоты
которого равна к. Две боковые грани пер¬
пендикулярны плоскости основания, а третья
боковая грань наклонена к плоскости осно¬
вания под углом р. Найдите объем пирамиды.
Большинство писавших работу не смогли
найти высоту пирамиды. 55% учащихся, вы¬
полнявших задание I варианта, и 36% уча¬
щихся, выполнявших задание II варианта,,
считали, что данная пирамида — правильная,
хотя в условии задачи I варианта сказано,
что в основании пирамиды лежит прямо¬
угольный треугольник, а в условии задачи II
варианта говорится о том, что боковые грани
образуют с плоскостью основания разные
углы. У этих учащихся представление о пра¬
вильной пирамиде, о различии между пра¬
вильной и неправильной пирамидами не бы¬
ло сформировано.
Это замечание относится не только к поня¬
тию пирамиды. Так, понятие параллелепипе¬
да у учащихся чаще всего ассоциируется с
прямоугольным параллелепипедом, понятие
призмы — с правильной призмой, понятие вы¬
соты многогранника — с вертикалью и т. д.
С целью предупреждения этого недостатка
в знаниях учащихся необходимо систематиче¬
ски устанавливать связи между моделью гео¬
метрической фигуры и ее изображением.
Формированию соответствующих представле¬
ний могут способствовать задания, в которых
требуется указать из некоторого набора нуж¬
ную модель. Например, при изучении мате¬
риала о параллелепипеде можно предло¬
жить учащимся задания:
1.	Из десяти моделей (среди которых есть
модели призм, пирамид, конуса и шара) вы¬
брать модели параллелепипеда.
2.	Из моделей, отобранных в задании 1,
выбрать модели прямых параллелепипедов.
3.	Из моделей, отобранных в задании 1, вы¬
брать модели прямоугольных параллелепипе¬
дов. Выяснить, обязательно ли модели пря¬
моугольных параллелепипедов должны нахо¬
диться среди моделей, отобранных в зада¬
нии 2.
4.	Построить изображение одной из мо¬
делей.
При работе с понятиями следует обратить
серьезное внимание на правильное формиро¬
вание наглядных представлений о них, на
умение распознавать данные понятия в кон¬
кретных ситуациях. Соответствующая систе¬
ма упражнений должна включать упражне¬
ния на распознавание характеристических
свойств изучаемых понятий в конкретной си¬
туации; на формирование наглядных пред¬
ставлений о самом понятии; на. применение
изучаемого понятия к конкретным геометри¬
ческим фигурам. Например, при формирова¬
нии понятий пирамиды и правильной пирами¬
ды можно предложить учащимся упраж¬
нения:
1.	Указать, какие из пирамид являются
правильными:
а)	основанием пирамиды является равно¬
бедренный треугольник, а ее высота проходит
через вершину этого треугольника;
б)	основанием пирамиды является правиль¬
ный треугольник, а ее высота проходит через
вершину этого треугольника;
в)	основанием пирамиды является правиль¬
ный треугольник, а ее высота проходит через
центр этого треугольника.
Объясните, почему выбранные вами пира¬
миды являются правильными.
2.	Из данных моделей многогранников вы¬
берите те, которые соответствуют пирамидам,
описанным в задании 1 (а — в).
3.	Сделайте рисунки этих пирамид.
При разработке системы упражнений для
урока о каждом упражнении надо иметь в
виду следующее:
цель введения упражнений на уроке (про¬
педевтика теоретического материала, введе¬
ние понятий, формирование понятий, приме¬
нение изученного материала);
какой материал это упражнение готовит
или формирует;
место данного упражнения в общей системе;
какой иллюстративный материал может
быть использован при его выполнении (моде¬
ли, готовые рисунки и т. п.);
какой материал должен быть предваритель¬
но повторен учащимися, чтобы они могли
выполнить упражнение.
В зависимости от цели определенного мо¬
мента урока могут измениться как формули¬
ровка упражнения, так и методика работы с
ним. Так, например, при изучении раздела
«Скрещивающиеся прямые. Признак скрещи¬
вающихся прямых» вначале учащиеся долж¬
ны усвоить определение этих прямых, уметь
проиллюстрировать скрещивающиеся прямые
примерами из окружающей обстановки на
моделях многогранников, на рисунках. На
этом этапе урока одно из упражнений может
быть следующим: «На данной модели парал¬
лелепипеда укажите пары скрещивающихся
26

ребер». Если же изучается признак скрещи¬
вающихся прямых, то формулировка упраж¬
нения должна быть иной:	«Покажите на
модели наклонного параллелепипеда пару
скрещивающихся ребер. Покажите на этой
модели такую плоскость, которая содержит
одно из этих ребер и пересекает другое».
Обратим внимание еще на одну сторону
работы с упражнениями на уроке геометрии.
В последнее время при наличии хорошо
оснащенных техническими средствами обуче¬
ния кабинетов математики учителя экономят
учебное время за счет выполнения рисунков
на уроке. Свои рассуждения они иллюстри¬
руют готовыми рисунками, сделанными на
откидной доске, проектируемыми через ко-
доскоп, и т. д. (это происходит даже при
изучении разделов, связанных с построением
на проекционном чертеже). Ученики, не уча¬
ствуя в работе по получению изображения,
часто не представляют себе расположение ос¬
новных элементов рассматриваемой фигуры.
Для курса стереометрии такое положение не¬
допустимо. Ученики должны иметь четко
сформированные представления об изучаемом
объекте, поэтому они обязаны быть активны¬
ми участниками создания иллюстраций к изу¬
чаемому понятию или факту, в частности
рисунка к задаче.
Так, например, при изучении раздела
«Объем наклонной призмы» у учащихся фор¬
мируется понятие о перпендикулярном сече¬
нии призмы и выводятся две формулы для
вычисления объема: через площадь перпен¬
дикулярного сечения и через площадь осно¬
вания. Для того чтобы сформировать пред¬
ставление о равновеликости призм с конгру¬
энтными перпендикулярными сечениями и бо¬
ковыми ребрами, целесообразно доказатель¬
ство теоремы и решение задач сопровождать
иллюстрацией проводимых рассуждений на
моделях или конструированием рассматривае¬
мых фигур на стереометрическом ящике. Все
это способствует формированию более четких
пространственных представлений.
В ряде случаев с целью формирования про¬
странственных представлений целесообразно
делать рисунок параллельно с решением, а не
до него, как это часто делается. Так, выпол¬
няя упражнение 95 из «Геометрии 9—10»
(«Основание пирамиды — ромб со стороной
6	см и углом 45°, все двугранные углы при
сторонах основания пирамиды равны 30°.
Найдите площадь полной поверхности пира¬
миды») полезно:
1.	Построить изображение ромба, лежащего
в основании пирамиды.
2.	Исходя из того, что все боковые грани
пирамиды наклонены к плоскости основания
под одним углом, доказать, что высота пира¬
миды проходит через точку пересечения диа¬
гоналей основания — центр окружности, впи¬
санной в ромб.
3.	Построить изображение высоты пира¬
миды.
4.	Достроить изображение пирамиды.
5.	Построить изображение линейного угла
одного из двугранных углов при ребрах осно¬
вания и т. д.
Реализуя эту схему, ученик не забудет о не¬
обходимости обоснования основных фактов.
С построением чертежей фигур при парал¬
лельном проектировании (проецировании)
учащиеся знакомы из курса черчения. Этих
знаний вполне достаточно, чтобы сделать ри¬
сунок к любой стереометрической задаче при
условии, что задано расположение рассмат¬
риваемой фигуры относительно плоскости
проекции. Однако учащиеся старших классов
часто не могут самостоятельно выбрать поло¬
жение фигуры относительно плоскости проек¬
ции «наилучшим образом», наиболее нагляд¬
но. Одна из задач курса стереометрии —
научить их этому. Например, для различных
целей одну и ту же треугольную призму сле¬
дует изображать различным образом. Поэто¬
му прежде, чем построить изображение, надо
показать учащимся модель, расположить эту
модель относительно плоскости рисунка раз¬
ными способами, выбрать из этих способов
тот, который дает наиболее иллюстративный
рисунок для решения данной задачи. Так,
если решается задача о нахождении объема
четырехугольной призмы через площадь пер¬
пендикулярного сечения, то предпочтительнее
рис. 1. Если нужно найти объем той же при¬
змы через площадь основания и высоту, то
рис. 2. Если же в условии фигурирует угол
наклона бокового ребра к плоскости основа¬
ния, то желателен рис. 3.
Из всего сказанного следует, что при подго¬
товке к уроку учителю необходимо самым
тщательным образом продумать систему
упражнений, с тем чтобы она обеспечивала
формирование основных знаний, умений и на¬
выков, которые должны быть отработаны на
уроке. При этом следует не менее тщательно
продумать и методику работы с каждым из
этих упражнений и со всей системой в целом.
27

ЧИТАТЕЛИ ВНОСЯТ ПРЕДЛОЖЕНИЯ
Конкурсные экзамены
и математический факультатив
Б. М. Макичян
(Ереван)
Общеобразовательная направленность обуче¬
ния математике в школе должна, на наш
взгляд, предусматривать подготовку опреде¬
ленного контингента учащихся, относительно
лучше знающих математику и собирающихся
продолжить свое образование в вузах по про¬
фессиям, близким к математике. Ни для кого
не секрет, что участие в конкурсных экзаме¬
нах предполагает определенную дополнитель¬
ную работу по решению задач повышенной
трудности, которые традиционно включаются
в них. При этом содержание таких задач не
должно выходить за пределы программы ос¬
новного курса математики и требовать для
решения новых формул или теорем, а также
новых разделов математики типа «Элементы
теории вероятностей» или «Элементы сфери¬
ческой геометрии».
Где же ученик школы может получить со¬
ответствующую подготовку в решении подоб¬
ных задач? На обычном уроке в необходимом
объеме этого не сделаешь, так как усилия учи¬
теля здесь направлены на обеспечение усвое¬
ния программного материала всеми учащими¬
ся; при этом возможности дифференциации
учебной работы и индивидуализации обучения
все-таки ограниченны. Самостоятельные же
занятия дома недостаточно эффективны по
разным причинам: можно указать и на до¬
садное отсутствие пособий для самостоятель¬
ной работы над решением задач повышенной
трудности (среди изданий в помощь посту¬
пающим преобладают сборники задач), и на
необходимость контроля и педагогического
управления работой ученика, с трудом реали¬
зуемых при самостоятельной работе дома.
Значительную помощь в этом процессе
должны оказывать факультативные занятия
по математике в старших классах средней
школы. Однако включение в программы ма¬
тематических факультативов тем, выходящих
за пределы основного курса и расширяющих
его (подобно двум приведенным выше), так¬
же не способствует решению рассматривае¬
мой проблемы. Это в особенности относится
к содержанию специальных факультативных
курсов, в том числе и к спецкурсу «Элементы
программирования». Упрек такого типа мож¬
но адресовать и к факультативному курсу
«Избранные вопросы математики», который в
отдельных обязательных темах существенно
расширяет школьные программы. Так как за
выполнением программ осуществляется стро¬
гий контроль, то руководители факультатив¬
ных групп вынуждены либо изучать с учащи¬
мися такие темы, либо идти на фактический
подлог, указывая в журналах одно, а зани¬
маясь другим, т. е. решением все тех же кон¬
курсных задач.
Несколько лучше в этом вопросе дело об¬
стоит в группах, работающих по программе
«Коллективный ученик ВЗМШ», где содер¬
жание задач выглядит более реалистичным.
Однако такие группы мало распространены и
не входят в общесоюзную систему просвеще¬
ния.
Нам представляется, что следует решитель¬
ным образом ориентировать массовые фа~
культативные курсы по математике в направ¬
лении повышения умения учащихся решать
более сложные Задачи, в том числе и задачи
вступительных экзаменов в вузы. Программы
математических факультативов должны не
расширять, а углублять программы основно¬
го курса, развивать заложенные в нем со¬
держательные факты на более сложном за¬
данном материале. Так, например, следует
научить учащихся проводить многоэтапные
тождественные преобразования алгебраиче¬
ских, тригонометрических и других выраже¬
ний; решать алгебраичесшэ и трансцендент¬
ные уравнения, неравенства и системы, а так¬
же сложные задачи, приводящие к системам
не обязательно первой степени; уверенно
строить графики основных элементарных
функций и т. д. При этом не обязательно
соблюдать ту последовательность, в которой
изучались близкие вопросы в основном курсе;
напротив, допустимо и полезно подойти ино¬
гда с несколько других позиций, произвести
теоретическое обобщение разнообразного ма¬
териала и т. п.
Высказывая предложение, согласно которо¬
му в условиях всеобщего среднего образова¬
ния факультативные занятия по математике
надо направить в сторону проведения опреде¬
ленной работы с учащимися по подготовке их
к вступительным экзаменам в вузы, мы впол¬
не понимаем, что такая позиция является в
некоторых отношениях дискуссионной. Заме¬
тим еще, что принятие подобной позиции не
исключает существования и иначе построен
ных факультативов, однако, нам представля¬
ется, что в практике школы ведущее место
должен занять факультатив предлагаемого
здесь типа.
28

Об упрощении выражений,
содержащих радикалы
В.	Е. Ольхов
(г. Горький)
Овладение понятием действительного числа
и приобретение прочных навыков действий с
иррациональными выражениями — важная
предпосылка успешного изучения курса ал¬
гебры и начал анализа. В этой связи пред¬
ставляют определенный интерес упражнения',
направленные на закрепление понятий целого
и рационального числа.
К таким упражнениям относятся доказа¬
тельства целочисленности или рационально¬
сти выражений, в запись которых входят ра¬
дикалы. Мы рассмотрим несколько таких
упражнений. Отметим, что при их выполнении
может быть использована теорема Виета
(прямая и обратная), так что параллельно
происходит и активизация знаний, связанных
со свойствами корней квадратного уравне¬
ния.
Приведем формулировку теоремы, обратной
теореме Виета:
Если числа т и п удовлетворяют системе
уравнений
т + п = —р,
т-п = д.
то они являются корнями уравнения х2-\-рх-\-
+<7=0.
Укажем примеры использования этого
утверждения.
1.	Доказать, что
3					д
У 20+14 V2 + /20 — 14 У 2 = 4.
Решение. Слагаемые в левой части рас¬
сматриваемого равенства обозначим через
тип. Легко подсчитать, что т*п=2. Таким
образом, если доказываемое равенство спра¬
ведливо, то и и л по теореме, обратной тео¬
реме Виета, должны являться корнями ква¬
дратного уравнения х2—4х+2=0, т. е.
должно быть
1^20+14 уТ= 2 + /2,
У'20 — 14 У2 -= 2 — У2.
Теперь нетрудно (но обязательно нужно!)
убедиться в том, что оба эти равенства вер¬
ны. Затем, складывая их почленно, получаем
нужное утверждение.
В следующем задании наряду с методом,
используемым в упражнении 1, предлагается
предварительно прикидкой установить воз¬
можный результат. При выполнении упраж¬
нений умение воспользоваться данными при¬
ближенных вычислений является особенно
ценным, так как оно характерно для инже¬
нерного, прикладного мышления.
2.	Упростить выражение
У 2 + У 5 + У 2-Уъ.
Решение. Воспользовавшись таблицами
В. М. Брадиса, подсчитаем приближенное
значение этого выражения:
1^2 + 2,236 + У 2 - 2,236 = ^236 -
—	^0,236 «1,618-0,618=. 1.
Теперь предположим, что
У2 + УТ + 1^2— 1/5“= 1,
и попытаемся, рассуждая так же, как в пре¬
дыдущем случае, доказать или опровергнуть
это предположение. Для этого введем обо¬
значения: У2 + /Г= щ, УЛ2—У5 - я.
Легко заметить, что т»п= — 1. Тогда по тео¬
реме, обратной теореме Виета, тип явля¬
ются корнями уравнения х2—х—1=0. Отсю¬
да следует, что
у'г+уТ-1+/5,	<1)
/2-У5-	(2)
Проверим равенства (1) и (2). Для этого
возведем в куб правые части этих равенств:
(1+ХI)*- 1 + 3/5+15 + 5/Г _2+ ^
^1 —/5~|3 = 1—3 /Г + 15 — 5/5 _ 2 — У5
Таким образом справедливость равенств
(1)	и (2) доказана. Сложив почленно (1) и
(2),	получим
У2 + У5 + У 2 -/Г=1+/?- +
следовательно, наше предположение верно.
Отметим, что упражнения, подобные при¬
веденным, можно решать и другими способа¬
ми, например преобразованием подкоренных
выражений к виду куба двучлена.
3.	Доказать, что
У 5 /2+7-}/5/2-7 = 2.
Решение. Попытаемся представить число
5У2+7 как куб некоторой квадратичной ир¬
рациональности
29

5У2 + 7 = 2/2 +3/2	7	=	(уТ)8	+
+ 3 УТ + 3 (/2 )2 +!=(! + У 2)\
не имеет решений. Постараемся использовать
ту же идею, но с некоторыми модификациями.
Запишем исходное уравнение з виде
Отсюда У 5/2 + 7=1 + /2. Аналогично
/2 — 7 = / 2~— 1.
Вычитая эти два равенства почленно, получа¬
ем искомое утверждение.
Упрощение выражений, содержащих ради¬
калы, существенно облегчает решение урав¬
нений. Причем такое упрощение иногда мож¬
но проводить с помощью подбора. При реше¬
нии уравнений этот прием является вполне
законным, если после получения корней мы
совершенно строго докажем, что других кор¬
ней нет.
4.	Решить уравнение
(2х- 1) /1=2 = 7 У~2 .
Попробуем предположить, что множители,
содержащие радикалы, равны. Если это вер¬
но, то имеет место система
2х - 1 = 7,
У 1=2 = У 2 .
Решив ее, получим х—4. Легко проверить,
что число 4 является корнем данного уравне¬
ния. Теперь покажем, что других корней дан¬
ное уравнение не имеет.
Действительно, при х>4 справедлива си¬
стема неравенств
<2х- 1 >7,
У 7=2 > у Т.
Тогда (2л: — 1) Ух—2 >■ 7 У 2 .
Если же 2^х<4, то имеет место система
неравенств
2х- 1 <7,
У7=2<У2-
т. е. (2х-\) У1=2<ТУ2.
Следовательно, исходное уравнение имеет
единственный корень х=4.
Таким образом, нестрогое предположение
помогает быстро получить совершенно точ¬
ный ответ. Этот подход развивает интуицию
учащихся, способность к поиску нестандарт¬
ных решений.
5.	Решить уравнение
(4х + 1) Ух +1 = У 5.
Способ подбора, рассмотренный в преды¬
дущем примере, в данном случае не подходит,
так как система
4х + 1 =1,
/Г+1-/5
(4х + 1) V 4х + 4-2 }/ 5
и обозначим 4х через I. Тогда предыдущее
уравнение примет вид
(1 + 1) /Т~+"4 = 2 /57
Теперь, как и в примере 4, положим, что мно¬
жители, содержащие радикалы, равны. Тогда
равны друг другу и множители, не содержа¬
щие радикалы, т. е. должна иметь место си¬
стема
уг+1=.у 5~,
/+1=2.
Отсюда I = 1, тогда л: •
1
Легко проверить,
что х= — является корнем исходного уравне¬
ния. Докажем, что других корней уравнение не
имеет.
При х^>-~ />1, тогда
^ + 1 >2
уТ+4>УТ, т-е' (' + 1) ^'+4>2^5-
При —1<х<-^- /< 1, тогда
1угг?<уъ, т-е-('+ »У7+^<2УГ-
Заметим, что при выполнении данного уп¬
ражнения обычным способом, т. е. возведе¬
нием в квадрат обеих частей исходного урав¬
нения, мы получим уравнение 16х3+24х2+
+9х— 4 = 0, решение которого выходит за
рамки школьной программы.
Упражнения
1.	Проверить равенства:
з/—_	тт==- з
а)	у/ 9 + У80 + |/9 — /80 = 3,
б)	У54 + 30/3' + ]/"54—30 \ ~6 = 6,
д	3
_ч //5—2 + / У 5+2
в)	/Г ^ь
2.	Решить уравнения
а)	(4л: — 1) /л:— 1 = 4/5.
б)	(12* — 5)/Зл:- 5 = 11 УТ,
в)	(2л: — 1) Ух — 3 — 7.
30

О приемах решения
некоторых систем уравнений
М. Малаев
(Булаевский р-н Северо-Казахста'нской обл.)
В п. 74 учебного пособия «Алгебра и начала
анализа 9—10» рассматривается решение си¬
стем уравнений только способом подстановки.
Однако при решении целого ряда систем двух
уравнений с двумя переменными можно ис¬
пользовать и другие способы. Рассмотрим
один из них на примере трех упражнений из
этого пункта.
№ 1478. Решить систему уравнений
х3 + у3 = 7,
х3у3 = — 8.
Решение. Из условия следует, что х3 и
у3 являются корнями некоторого приведенно¬
го квадратного уравнения относительно пе¬
ременной г; составим относительно г урав¬
нение г2—7г — 8=0. Корни этого уравнения
8 или —1 (по теореме Виета). Отсюда полу¬
чаем, что *3=8, у3——1 или х3— — 1,
у — 8 и, следовательно, решения данной си¬
стемы (2; —1), (—1; 2).
1482. Решить систему уравнений
^ + ^ = 4,
;е + у = 28.
Решение. Обе части первого уравнения
системы возведем в куб. После преобразова¬
ний будем иметь:
| х + 3 ух2у + 3 у/ху2 + у = 64,
и+у-28;
з уту(ух+ У7) = 36,
х+У=28;
ух.уу-з, [уЪ-рТ- 5.
х + у = 28;
Дальнейшее решение полученной системы
аналогично решению предыдущего упражне¬
ния.
Ответ: (1; 27), (27; 1).
№ 1486. Решить систему уравнений
I
2 СОЗ X 2 соз у _ 5>
ЛС09 х + ■ ггг1
Данную систему запишем иначе:
1
2е03х+2 с08у =5,
1
2с°з х 2 соз у~ ___
Относительно переменной г получаем уравнение
22— 5г + 4 = 0,
корни которого 4 или 1. Отсюда будем иметь
2е05'= 4,	2е03 ■* = 1,
или.
1	1
2	соз у _ |	2 соз У = 4.
Первая система решений не имеет, решения вто¬
рой являются решениями данной системы.
Ответ: (±. + кк-, 2(^~ +
где	2.
Введение
понятия последовательности
в курсе алгебры VIII класса
Н.	П. Ирошников
(г. Электросталь Московской обл.)
Понятие последовательности можно ввести,
заполняя таблицу, которая приведена нами в
завершенном виде. Первый столбец заполня¬
ется на доске учителем, второй и третий —
учениками, четвертый — учителем во время
фронтальной работы с классом. В первом
столбце таблицы записаны четыре соответст¬
вия, они и становятся предметом изучения на
уроке.
Учащимся даются задания:
1)	доказать, что каждое из соответствий
р, [, к является функцией;
2)	найти область определения функций
р, <7, [, /г;
3)	найти область значений функций р, <7,
/, к.
Объяснение нового материала начинается с
анализа и обобщения ответов учащихся:
1)	соответствия р, <7, к являются функ¬
циями, так как каждому элементу первого
множества соответствует не более одного эле¬
мента второго множества;
2)	областью определения функций р, д
является множество первых п натуральных
чисел, областью определения функций }, к—
множество натуральных чисел.
31

Функция
Область определения
функции
Область значений
функции
Последовательность
1-й способ записи
2-й способ записи
Р
х-~у
\
1 9 1
! 1
1
—-30
\ ош 1
V I
{1; 2; 3; 4}
(—10; —20; —30; —40}
1 -»—10,
2->—20,
3-5-	—30,
4->—40
(а„): —10; —20; —30; —40
<I
х-> у
^ У
%
1 | А
1-*А,
2 | Б
2 Б,
3 | в
{1; 2; 3;...; 32; 33)
{А: Б; В; ...; Ю, Я}
З-э-В,
(йя):А; Б; В; Ю; Я
4 | Г
4- Г,
• • . а • •
32 | Ю
32 Ю,
со
со
^'
33->-Я
1
/
х у
->12, 2 -> 22, 3->32,
..., п —> Л2, ...
{1; 2; 3; ... ;п; ...}
{I2; 22; З2; ...; пг; ...}
1-+12,
2~*28,
3-*32,
п-»л2,
• • • • • •
(с„):12; 2г; З2; и2; ...
л
X у
1 ->9,2 ->9,3-> 9,
..., п —> 9, ...
{1; 2; 3; ...; п; ...}
{9}
1 —> 9,
2-^-9,
3->9,
п —> 9,
(ап):9; 9; 9; ..., 9; ...
• • • •..
Дается определение последовательности1
и выясняется, что функции р, <7, /, к являются
последовательностями. Одним из важных мо¬
ментов урока является заполнение четвертого
столбца таблицы. В нем даны два способа за¬
писи последовательности.
Первым способом задается любая функция;
стрелка соединяет элемент из области опре¬
деления функции с его образом. Вторым спо¬
собом записываются только последователь¬
ности:	после знака последовательности на
первом месте записывается значение функ¬
1	Алгебра: Учебное пособие для 8-го класса средней
школы/Под ред. А. И. Маркушевича. — М.: Просвеще¬
ние, 1979, с. 50.
ции, соответствующее 1, на втором — значе¬
ние функции, соответствующее 2, и т. д. Этот
порядок в записи последовательности обяза¬
телен. Одновременно вводится понятие члена
последовательности, разъясняются обозначе-
. ния ап и (ап). Подчеркивается, что в третьем
и четвертом столбцах таблицы записаны объ¬
екты, входящие в объемы разных понятий.
В третьем столбце написаны области значе¬
ний функций (фигурные скобки указывают на
то, что записаны множества). В четвертом
столбце записаны последовательности (на
это указывают обозначения (ап), (Ъп), (сп),
(йп)).
Примерами, приведенными в таблице, мож¬
но воспользоваться, разъясняя классифика¬
32

цию последовательностей по различным при¬
знакам:
а)	Последовательности (ап), (сп), (йп) яв¬
ляются числовыми, последовательность (Ъп)
не является числовой (членами последова¬
тельности не являются числа).
б)	Последовательности (ап) и (Ьп) явля¬
ются конечными, последовательности (сп) и
(йп) — бесконечные.
Дальнейшая классификация дается только
для числовых последовательностей:
в)	Последовательность (сп) является воз¬
растающей, последовательность (ап) —убы¬
вающей, последовательность (йп) не являет¬
ся ни возрастающей, ни убывающей.
г)	Последовательность (йп) является по¬
стоянной последовательностью, последова¬
тельности (ап) и (сп) не являются постоян¬
ными.
О производной
обратной функции
А.	Г. Эйвазов
(пос. Аляты-Пристань АзССР)
Известно, что строгое доказательство форму¬
лы, связывающей вычисление производной
функции, обратной данной, с вычислением
производной данной функции, усваивается
учащимися с трудом. В этой заметке мы хо¬
тим обратить внимание на то, что усвоение
этого материала может быть существенно
облегчено, если воспользоваться простыми
для восприятия геометрическими фактами,
часть из которых к тому же изучается в кур¬
се алгебры и начал анализа.
Доказательство теоремы об обратной
функции, данное в учебном пособии «Алгебра
и начала анализа 9—10» (п. 67), использует
следующие факты:
а)	графики данной функции и обратной ей
функции симметричны относительно прямой,
заданной уравнением у = .х;
б)	значение производной для функции.
у—}(х) в точке с.абсциссой х0 является уг¬
ловым коэффициентом касательной к графи¬
ку этой функции в точке N(xо^, ((х0));
в)	если Г1 и Г2 — графики функций, причем
Г2 .является образом П при некотором пере¬
мещении Ф, то это же перемещение перево¬
дит касательные к Г] в касательные к Г2.
Первые два из этих свойств обосновывают¬
ся в курсе алгебры и начал анализа. Что же
касается третьего, то оно сообщается уча¬
щимся как интуитивно ясный факт.
Приведем несколько упражнений, которые
поясняют свойство в) на конкретных при¬
мерах.
1.	Показать, что касательные в точках с
абсциссами х0 и х0-\-4 соответственно к гра¬
фикам функций у=хъ, у=(х— 4)3 парал¬
лельны. Привести геометрическое обосно¬
вание.
2.	Пусть \(х) — х2,ц(х) — х2—2. Объяснить,
почему касательные к графикам этих функ¬
ций в точках с одинаковыми абсциссами
имеют равные угловые коэффициенты.
3.	Рассмотрим функцию у—х3 — х. Дока¬
зать, что для каждой точки N (х0;у0), при¬
надлежащей ее графику, за исключением то¬
чки О (0; 0), существует точка Ы' (хх; у\),
также принадлежащая этому графику, такая,
что касательные к графику в этих точках па¬
раллельны и различны.
4.	Касательная к графику функции у=\(х)
в точке А (1; 0) имеет уравнение: 1) у=х— 1,
2)	у= 1—х, 3) у=2х — 2. В каждом из этих
случаев написать уравнение касательной к
графику обратной функции в точке А' (0; 1)
(предполагая, что обратная функция суще¬
ствует).
Наметим путь доказательства утверждения
в). Касательная к кривой Г] в ее точке Ло—
это предельное положение секущей, проходя¬
щей через данную точку Л0 и точку А кривой
при неограниченном приближении по кривой
точки А к точке Л0. Перемещение Ф отобра¬
жает точки Л0 и Л соответственно на точки
Ф (Ло) и Ф (А) и, следовательно, прямую
ЛоЛ на прямую Ф(Л0)Ф(Л). Поскольку А-*
-*-Л0, т. е. |ЛЛ0|->0, то и |Ф(Л0)Ф(Л) |-^0.
Следовательно, предельное положение пря¬
мой Ф(Л0)Ф(Л) есть образ предельного поло¬
жения (ЛоЛ), т. е. при перемещении Ф каса¬
тельная к кривой Г! переходит в касатель¬
ную к образу ее Г2.
В этом рассуждении все еще содержится
ряд нестрогих моментов. Например, понятие
предельного положения секущей не является
строгим. Проведение рассуждений, связанных
с доказательством свойства в), целесообразно
только во внеклассной,работе; с полной стро-
гоцхью ;рни,(ровр|;ятяя в курсах дифферек-
циадьной геометр ии.
2	Математика в школе, >4 8
33

Об изучении темы
« Комплексные числа и многочлены»
на факультативных занятиях
В.	Н. Гордиеико
(г. Каменец-Подольский)
Естественным завершением изучаемых в шко¬
ле числовых систем является поле комплекс¬
ных чисел. Ученики, проявляющие повышен¬
ный интерес к математике, несомненно долж¬
ны быть знакомы с теорией комплексного чи¬
сла и применением этой теории. Поэтому
включение в программу факультативных за¬
нятий темы «Комплексные числа и многочле¬
ны» вполне оправдано.
Практика показывает, что наиболее труд¬
ным для восприятия учащихся является само
понятие комплексного числа. Это связано с
тем, что ученики не чувствуют потребности зо
введении таких чисел. Отсутствие корня у
уравнения л:2+1=0 воспринимается ученика¬
ми так же, как и отсутствие корня у уравне¬
ния х+2=х+2>. Ни одно, ни другое уравне¬
ние не может быть получено из задачи, имею¬
щей реальное решение.
Восприятие комплексных чисел значитель¬
но облегчается, если вводить их так, как они
возникли исторически,— в связи с «неприво¬
димым» случаем кубического уравнения, где
они появляются естественно. Использование
занятия на выведение формулы Кардано це¬
ликом оправдано тем интересом, который воз¬
никает у учащихся к изучению комплексных
чисел в результате знакомства с соответст¬
вующим материалом. Кроме того, драматиче¬
ская, а Иногда и трагическая история поисков
корней кубического уравнения несет воспита¬
тельный заряд большой силы.
Предлагаем такой порядок работы.
Занятие 1. Решение кубических урав¬
нений.
Повторяются формулы для решения линей¬
ных и квадратных уравнений. Учитель отме¬
чает, что эти формулы были известны еще в
древней Греции. А как решить кубическое
уравнение? Отдельные типы таких уравнений
умели решать еще в древности, но кубиче¬
ское уравнение общего вида долго не подда¬
валось усилиям математиков. Рассказывая
историю поиска корней кубического уравне¬
ния, целесообразно остановиться на трагиче¬
ской судьбе Паоло Вальмеса, решившего за¬
дачу вопреки утверждению церковников о
том, что «бог не дал человеку возможности»
решить ее, и казненному за это в 1486 г.
Далее выводится формула Кардано и ре¬
шаются уравнения, имеющие один действи¬
тельный корень.
На дом учитель задает несколько уравне¬
ний, среди них одно неприводимое, например
х3— 15л; — 4=0.
Занятие 2. Понятие комплексного числа.
При проверке Домашнего задания ученики
заявляют, что уравнение х3—15л: — 4=0 не
имеет решения. Учитель опровергает это
утверждение, указав корень х=4. Ставится
проблема: получить этот корень из формулы.
Указывается, что для этого необходимо вве¬
сти числа новой природы, в множестве кото¬
рых существовал бы корень четной степени из
отрицательного числа. Выполняются (пока
без обоснования) преобразования, позволяю¬
щие получить корень л:=4.
Вводится понятие комплексного числа, его
действительной и мнимой части, выполняют¬
ся упражнения на закрепление изученного.
Дальнейшее изучение темы идет обычным
путем.
Следует отметить, что 15 часов на качест¬
венное изучение темы явно недостаточно. Сле¬
довало бы увеличить выделяемое на нее вре¬
мя до 20 часов,
ПОВЫШЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ УРОКА
Система устных заданий
для IV класса
(математические диктанты)
Е. Б. Арутюнян, М. Б. Волович,
Ю. А. Глазков, Г. Г. Левитас
(Москва)
Эта статья является продолжением статьи с тем же
названием, опубликованной в № 5 журнала за 1980 г.
Здесь приводятся тексты математических диктантов (на
II	полугодие) к учебнику «Математика 4» издания 1980
и 1981 гг. Задания, отмеченные одной звездочкой,
предназначены для проверки знаний, необходимых при
изложении нового материала. Учитель, проходя по
классу, может проверить выполнение таких заданий; тем
самым определить готовность учащихся к дальнейшей
работе на уроке. Двумя звездочками в диктантах отме^
чены задания, требующие вынесения надписей (формул,
примеров, уравнений и т. п.) на доску или графопро¬
ектор.
Напоминаем, что задания даются в двух вариантах.
Полностью приведены тексты первого варианта; разно¬
чтения во втором варианте указаны в квадратных скоб¬
ках. При использовании магнитофона желательно один
вариант записать мужским голосом, а другой женским.
Номера и названия диктантов соответствуют пунктам
учебника.
37.	Распределительный закон умножения
1.	Запишите равенство, выражающее распределитель¬
ный закон умножения относительно сложения [вычита¬
ния].
34

2.	Запишите выражение: разность 40 и 1, умножен¬
ная на 9 [сумма 30 и 0, умноженная на 5]. Найдите
его значение, применив распределительный закон.
3.	Запишите выражение 577-58+423-58	[768-95—
-668-95]. Найдите его значение, применив распредели¬
тельный закон.
4.	Запишите выражение 15-(2+л:) [12-(3+г/)]. Пе¬
репишите его иначе, применив распределительный закон.
б. Запишите выражение (9х—9)-23 [(6у—6)-25]. Пе¬
репишите его иначе, применив распределительный закон.
38.	Сложение и умножение многозначных чисел
1.	Разложите по разрядам число 75 806 [30 421].
2.	Запишите число, в котором 5 [7] сотен й 3 [2]
единицы.
3 *. Запишите выражение 13-8+17-8	[12-7+18-7].
Найдите значение этого выражения, пользуясь распре¬
делительным законом.
4.	Сложите столбиком числа 5342 и 597 [795 и 2153].
5.	Умножьте столбиком 123 на 502 [321 на 205].
39. Упрощение выражений
1.	Запишите выражение 31а+14а [34х+15;с]. Пред¬
ставьте его в виде произведения.
2.	Запишите выражение 296—Ь [45у—у]. Представь¬
те его в виде произведения.
3*. Начертите развернутый угол АОС [ВОМ] и вы¬
делите его дугой. Проведите луч ОК так, чтобы он
разделил выделенный угол пополам.
4.	Запишите выражение к+73к [р+38р]. Представь¬
те его в виде произведения.
5.	Запишите выражение 70*—21х+7х [60у—25г/+5г/].
Упростите его.
6.	Запишите выражение 46а+24а [54х—24л:]. Найди¬
те его значение, если а = 11 [ж =14].
40. Прямой угол
1.	Закончите предложение1: «Прямым углом называ¬
ется половина...» [начертите прямой угол МОС].
2.	Начертите прямой угол ОЕК [закончите предложе¬
ние: «Прямым углом называется половина...»].
3*. Решите уравнение Злг= 18 [7(/ = 28].
4.	Начертите угол, меньший [больший] прямого угла.
5.	Начертите с помощью чертежного угольника пря¬
моугольник [квадрат].
41. Деление
1.	Найдите значение выражения 0:17 [0:13].
2.	Найдите частное, если делимое 747 [468], делитель
1	[468].
3 *. Начертите и выделите дугой угол ЛВС, больший
[меньший] прямого угла.
4.	Найдите частное, если делимое 312 [241], дели¬
тель 312 [1].
5.	Сколько стоит книга, если 1/6 ее стоимости состав¬
ляет 7 [5] к.?
6.	Каков путь между станциями, если 1/4 [1/5] его
составляет 150 [180] км?
7.	Выполните деление: 210:14. Проверьте результат
с помощью умножения [закончите предложение: «Ни
одно число нельзя делить на...»].
8.	Закончите предложение: «Ни одно число нельзя
делить на...» [выполните деление: 240:16. Проверьте
результат с помощью умножения].
42.	Острые и тупые углы
1.	Начертите острый угол АОВ [тупой угол РЕК].
2*. Можно ли разделить нацело 27 на 4 [35 на 6]?
3.	Начертите тупой угол СЕК [острый угол ЛВС].
1	Само предложение ученики не пишут, а пишут лишь
его окончание.
е*
4.	Закончите предложение: «Угол, меньший прямого
угла [больший прямого и меньший развернутого угла],
называется...».
43.	Деление с остатком
1.	Найдите частное и остаток, если делимое 18 [20],
делитель 7 [6].
2.	Найдите частное и остаток, если делимое 26 [28],
делитель 13 [14].
3.	Запишите все остатки, которые могут получиться
при делении различных чисел на 6 [5].
4.	Найдите делимое, если делитель 3 [5], частное
7 [6], остаток 2.
44.	Делители и кратные
1.	Запишите числа 0, 1, 3, 5, 10, 15 [0, 1, 2, 4, 7,
14].	Подчеркните те из них, которые являются Делите¬
лями числа 15 [14].
2.	Запишите числа 0, 1, 2, 4, 7, 14 [0, 1, 3, 5, 10,
15].	Подчеркните те из них, которые кратны числу
2	[5].
3.	Запишите множество делителей числа 18 [16].
4.	Запишите первые пять чисел, кратных числу 3 [5].
5.	Сколько делителей имеет число 11 [13]?
6.	Сколько кратных имеет число 11 [13]?
45. Признаки делимости на 10, на 5 и на 2
1.	Закончите предложение: «Число делится на 10 [на
5], если его запись оканчивается на...».
2.	Запишите три двузначных числа, которые делятся
на 2 [на 5].
3.	Запишите числа 0, 2, 5,	10,	15, 20.	Подчеркните	те
из них, которые делятся на 5	[на	10].
4.	Запишите числа 0, 2, 5,	10,	15, 20.	Подчеркните	те
из них, которые делятся на 2	[на	5].
5.	Запишите числа 0, 2, 5,	10,	15, 20.	Подчеркните	те
из них, которые делятся на 10 [на 2].
46. Признаки делимости на 9 и на 3
1.	Закончите предложение: «Число делится на 3 [на
9], если сумма его цифр...».
2*. Напишите дробь с числителем 18 [12] и знаме¬
нателем 23 [25].
3*. Найдите частное и остаток, если делимое 20 [18],
делитель 6 [7].
4.	Запишите числа 12 345, 546, 121, 613 [18 230, 246,
253, 213]. Подчеркните те из них, которые делятся на 3.
5.	Запишите числа 129, 98, 27, 1458 [721, 89, 5841,
72]. Подчеркните те из них, которые делятся на 9.
6.	Напишите пятизначное [четырехзначное] число, ко¬
торое делится на 3 [9].
7.	Напишите трехзначное [четырехзначное] число, ко¬
торое делится на 9 [3].
47. Деление и дроби
1.	Запишите в виде дроби частное 5:3 [4:9].
2.	Запишите в виде частного дробь 2/7 18/5].
3	*. Напишите какую-нибудь неправильную дробь со
знаменателем 7 [51.
4.	Выделите целую часть дроби 8/5 [5/3].
5.	Запишите в виде дроби частное 6:1	[9:9].
6.	Запишите дробь 35/7 [48/6] в виде частного и най¬
дите его значение.
48.	Запись числа в виде неправильной дроби
1.	Запишите число 3 [5] в виде дроби со знамена¬
телем 7 [4].
35

2. Запишите в виде неправильной дроби число
3*. Вычислите сумму дробей 1/3 и 4/3 [3/11 и 6/111-
4	*. Вычислите разность дробей 6/7 и 2/7	[3/8 и
1/81-
5.	Запишите число 5 [4] в виде дроби со знаменате¬
лем 5 [4].
6.	Запишите в виде неправильной дроби число
4 К}
7.	Запишите в виде дроби число 1 [0].
49.	Сложение и вычитание дробных чисел
Найдите значение выражения:
1) 4--- + 3
3
4 [
3) 4 -д- + 1 -д
• 2
2) 2 — + 3-
5
Н+2];
•+«4*
[2т+‘т]:
К 4
5>4т-‘т [6_г-2т]:
[24+‘-г]-
5
4) 3 8
5	2
6) 4 — + 5 -Т
51. Метрическая система мер
1	Выразите в сантиметрах 3 м [7 дм].
2. Выразите в сантиметрах 18 мм [в миллиметрах
14 см].
3.	Выразите в дециметрах 7 см [9 м].
4.	Выразите в метрах 33 дм [57 см].
5.	Выразите в метрах 127 мм [2,3 км].
133
6.	Выразите в миллиметрах м [в километрах
7523 м].
7.	Выразите в граммах 5 кг [7 мг].
8.	Выразите в миллиграммах [в килограммах] 137 г.
52. Десятичная запись дробных чисел
1.	Запишите десятичную дробь 3,7 [2,3].
2.	Запишите десятичную дробь 2,03 11,007].
3.	Запишите десятичную дробь 7,009 [3,05]. Подчер¬
кните ее целую |дробную) часть.
4*. Сравните числа 51 742 и 51 735 [24 725 и 24 732{.
5.	Запишите десятичную дробь 1,508 [0,897].
6.	Запишите десятнчную дробь 0,123 [1,204].
7.	Используя десятичную дробь, выразите в метрах
3	м 58 мм 13 м 45 мм|.
8.	Используя десятичную дробь, выразите в килограм¬
мах 410 (210] г.
53. -Сравнение десятичных дробей
1.	Сравните	числа	5,894	и	6,1	[3,895 и	5,2].
2.	Сравните	числа	2,350	и	2,289 [2,420	и 2,5861.
3*. Разложите по разрядам число 5174 [2471!-
4.	Сравните	числа	3,20	и	3,02	[0,23 и	0,230].
5.	Сравните	числа	0,34 и 0,340	[5,04 и	5,401.
6.	Сравните	числа	0,023	и	0,23	[0,034	и 0,34].
54. Разряды десятичной дроби
1.	Запишите десятичную дробь 3,27 [5,32]. Сколько
единиц в разряде десятых этой дроби?
2.	Запишите десятичную дробь 13,41 [25,13]. Сколь¬
ко единиц в разряде десятков этой дроби?
3*. Начертите прямой угол ВОС \АСМ\. Проведите
на глаз его биссектрису.
4.	Запишите десятичную дробь 5,032 [3,027]. Сколько
единиц в разряде сотых этой дроби?
5.	Запишите десятичную дробь 352,17 [831,24]. Сколь¬
ко единиц в разряде сотен этой дроби?
6.	Запишите десятичную дробь 3,031 [7,208]. Сколько
единиц в разряде десятых [сотых] этой дроби?
55. Измерение углов
1.	Закончите предложение: «Одна девяностая величи¬
ны прямого угла называется...» [сколько градусов со¬
держит развернутый угол?].
2.	Сколько градусов содержит прямой угол? [Закон¬
чите предложение: «Одна девяностая величины прямо¬
го угла называется...»].
3.	Сколько градусов содержит угол, составляющий
1/3 развернутого угла [1/2 прямого угла]?
4.	Запишите с помощью символов: величина угла
МОК [ЛВС] равна 35° [25°].
5.	Величина угла А равна 78° [142°]. Какой это угол:
острый или тупой?
56. Транспортир
1.	Постройте с помощью транспортира угол, величи¬
на которого равна 28° [152°].
1	2	Г 2	3.1
2*. Сложите числа 2 и 3 -д- 3 — и 4 — I.
3.	Постройте с помощью транспортира угол, величина
которого равна 135° [45°].
4.	Постройте с помощью транспортира угол в 60°
[90“] и его биссектрису.
57.	Сложение десятичных дробей
1.	Разложите по разрядам десятичную дробь 5,023
[3,702].
2.	Выполните сложение: 2,1+3,5 [3,4+5,1].
3	2	Г 2	1 1
3*. Найдите разность 4 — —3— 3-^-—2— .
4.	Выполните	сложение:	1,13+2,3	[1,15+2,6].
5.	Найдите значение выражения 21,7+3,15 [1,25+
+31,06].
6.	Найдите сумму 2,812+3,7 [3,6+2,571].
58.	Вычитание десятичных дробей
1.	Выполните вычитание и сделайте проверку сложе¬
нием: 3,85—2,12	[4,75—3,13].
2.	Выполните	вычитание:	1,75—0,17	[3,15—0,34].
3.	Выполните	вычитание:	1,16—0,5	[1,12—0,3].
4	*. Найдите для числа 257 [632] приближенные зна¬
чения с недостатком и с избытком, которые кончались
бы одним нулем.
5*. Запишите десятичную дробь 3,027 [5,032]. Сколь¬
ко единиц в разряде сотых этой дроби?
6.	Найдите значение выражения 11,2—2,13	[16,3—
—3,25].
7.	Найдите разность 1,27—1,270 [2,170—2,17].
59.	Округление чисел
1.	Округлите до единиц дробь 6,26 [4,73].
2.	Округлите до десятых дробь 3,51 [7,98]
3.	Округлите до единиц дробь 7,62 [5,37].
36

4.	Округлите до десятых дробь 1,95 [2,151.
5.	Округлите до сотых дробь 2,876 [4,363].
6.	Округлите до сотых дробь 3,952 [1,945].
60.	Умножение десятичных дробей
1.	Выполните умножение: 3,1-4 [5,1-3].
2.	Найдите значение выражения 3,1 -0,4 [5,1-0,3].
3.	Найдите произведение чисел 1,51 и 0,03 [1,31 и
0,04].
4**. Найдите значение выражения 18,91 • (0,07+0,03)
[14,84-(0,08+0,02)].
5.	Стороны прямоугольника имеют длину 7,05 м и
2,3 м [5,07 м и 3,2 м]. Найдите площадь прямоуголь¬
ника.
61. Частные случаи умножения десятичных дробей
1.	Вычислите: 2,87-10 [6,75-10].
2.	Выполните умножение: 0,13-10 [2,1-100].
3.	Найдите произведение 3,5 и 100 [0,82 и 10].
4*. Постройте угол величиной 180° [развернутый
угол]. Запишите, как он называется [чему равна его
величина].
5.	Найдите	произведение	0,34	и 10 [0,39	и 1000].
6.	Найдите	произведение	0,12	и 1000 [0,076 и	10].
62. Смежные углы
1. Закончите предложение: «Если углы АКБ и АКЕ
[РМК и РМН] смежные, то сумма их величии равна...»
2	*. Выполните деление: 276 : 23 [273 : 21].
3.	Один из смежных углов острый [тупой]. Острым
или тупым будет второй угол?
4.	Величина одного из смежных углов равна 100°
[80°]. Какова величина второго угла?
5.	Начертите острый [тупой] угол ЛВС. Построите
угол, смежный с ним.
63.	Деление десятичной дроби на натуральное число
1.	Выполните деление: 10,5:5	[12,6:6].
2.	Найдите	частное 1,8 : 9	[ 1,5	: 5].
3.	Найдите значение выражения 0,51:3 [0,53:2].
4.	Вычислите: 0,3 : 4 [0,5 : 2].
5.	Представьте в виде десятичной дроби число 5/4
[3/5].
64.	Деление десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т. д.
1.	Выполните деление: 4*4,7 : 10 [21,3 : 10].
2.	Найдите частное 312,5:100 [213,7 : 100].
3.	Найдите значение выражения 33,6: 100 [51,2: 100].
4.	Выполните деление 8,06:1000 [2,03:1000].
5.	Вычислите: 0,03: 1000 [0,7: 10001-
65. Проценты
1.	Найдите	1 %	от	200 [ 1 %	от 500].
2.	Найдите	1%	от	4 [1% от	7].
3.	Найдите	1 %	от	3 р. [1 %	от 8 р.].
4.	Найдите	1%	от	17 м [1%	от 19 дм].
5	*. Постройте с помощью транспортира угол величи¬
ной 93° [87°].
6.	Найдите 3% от 60 [3% от 360].
7.	Закончите предложение:	«Один	процент — это...»
[найдите 20% от 60].
8.	Найдите 25% от 360 [закончите предложение:
«Процентом называется...»].
67.	Деление на десятичную дробь
1.	Выполните деление 10,5 [20.5] на 0,5.
2	*. Сколько сантиметров содержится в одном кило¬
метре? [Во сколько раз один километр больше одного
сантиметра?]
3.	Найдите частное 0,51 : 1,7 [0,54: 1,8].
4.	Найдите значение выражения 3 :0,04 [5:0,021.
5.	Запишите и решите уравнение 0,3л: == 1,38 [0,05л: =
—2,25].
68.	Масштаб
1.	Расстояние между городами А и В на карте изо¬
бражено отрезком в 1000 [100] раз меньшим, чем на
местности. Каков масштаб карты?
2	*. Постройте с помощью транспортира угол ВОМ
[ЛВС] величиной 53° [47°].
3*. Постройте луч О А \АВ\. Отложите на этом луче
от его начала отрезок О К [АС] длиной 6 [4] см.
4.	Масштаб карты— 1 : 100 000. Отрезком какой дли¬
ны обозначается на ней расстояние в 500 [50] км?
5.	Масштаб карты — 1:1 000 000. Каково расстояние
между двумя пунктами, если на карте оно изображено
отрезком в 2 [4] см.
70. Среднее арифметическое
1.	Найдите среднее арифметическое чисел 2,8 и 1,2
[4,6 и 2,4].
2.	Найдите	среднее	арифметическое	чисел	3—^
3 1 5 1
и Т	[2~ и	—}■
3.	Найдите среднее арифметическое чисел 5,3; 7,2 и
9,1 [1,4; 6,8 и 3,7].
4.	Найдите среднее арифметическое чисел 8,7; 8,7 и
8,7 [9,2; 9,2 и 9,21.
5.	Среднее	арифметическое	двух	чисел	равно	5,8
[7,2]. Одно из этих чисел равно 3,6 [2,5]. Найдите вто¬
рое число.
Использование магнитной доски
при математическом диктанте
3.	К. Ширяева
(Краснодарский край)
Магнитной доской удобно пользоваться во Еремя про¬
ведения математических диктантов по темам «Коорди¬
натная плоскость» (V класс), «Графический способ за¬
дания функции», «График прямой пропорциональности»
(VI класс) и др.
Удобнее всего иметь лист железа, окрашенный в бе¬
лый цвет, на котором темной краской проведены две
взаимно перпендикулярные прямые Ох и Оу, на них от
точки О отложены конгруэнтные отрезки и указан еди¬
ничный отрезок. Таким образом, мы имеем на магнит¬
ной доске модель координатной плоскости. На этой дос¬
ке с помощью магнитов можно закрепить разноцвет¬
ные бумажные кружочки («точки»), а рядом с ними
записать цветным мелом букву латинского алфавита —
обозначение данной «точки». Полоска бумаги, концы
которой также закреплены магнитами, может служить
моделью отрезка.
Перед началом математического диктанта учащихся
следует предупредить, что любые фигуры красного цве¬
та даны для I варианта, а синего — для II варианта.
Само задание математического диктанта можно тепе» .
произносить всего 1—2 раза, не повторяя буквенные
обозначения фигур отдельно для каждого варианта.
Такие повторения иногда сбивают учащихся и значи¬
тельно удлиняют время работы. Кроме того, единое
задание для всех позволяет лучше организовывать де¬
тей, так как им приходится писать свои ответы в одно
и то же время. Текст диктанта лучше записать на маг¬
нитофон.
37

ч У|
>в.
/ *
С
Рис. 1
У
к.
с
•
;
А
К Е 0
’ С Е
•О
Л
•В
А
Рис. 2
Приведем примеры таких диктантов (Т и II — для пя¬
того класса, III и IV — для шестого класса). Поскольку
мы лишены возможности показать цветные изображе¬
ния, договоримся, что синие точки и отрезки будут вы¬
глядеть на чертежах более темными, чем красные.
Диктант I (по рис. 1)
1.	Запишите	координаты концов отрезка АВ.
2.	Запишите	координаты	точки	пересечения	отрезка
АВ с осью абсцисс.
3.	Запишите	координаты	точки	пересечения	отрезка
АВ с осью ординат.
4.	Запишите координаты концов отрезка СИ.
5.	Запишите координаты точки пересечения отрезков
АВ и Сй.
6.	Запишите	координаты	точки	пересечения	отрезка
СО с осью Ох, с осью Оу.
Диктант II (рис. 2)
1.	Выпишите точки, имеющие а) положительные
абсциссы, б) положительные ординаты.
2.	Выпишите точки, имеющие:	а) отрицательные
абсциссы, б) отрицательные ординаты.
3.	Выпишите точки, абсциссы которых равны нулю.
Диктант III (по рис. 3)
1.	Запишите координаты точек Л и В.
2.	Запишите в виде числового промежутка а) множе¬
ство абсцисс точек отрезка АВ; б) множество ординат
точек отрезка АВ.
3.	Укажите двойное неравенство, множеством реше¬
ний которого служит множество абсцисс отрезка АВ.
4.	Укажите двойное неравенство, множеством реше¬
ний которого служит множество ординат отрезка АВ.
Диктант IV (по рис. 4)
Вы видите график движения велосипедиста. Ответьте
на вопросы:
1.	Какое время был в пути велосипедист?
2.	Какой путь проделал велосипедист?
3.	С какой скоростью двигался велосипедист?
4.	Какой путь проделал велосипедист за 2 ч?
5.	Запишите формулу пути велосипедиста.
6.	Какова область определения данной функции 5?
7.	Найдите 5(1), 5(2), 5(—2), 5(0).
8.	Укажите множество значений данной функции.
Самостоятельные работы
с таблицами ответов
3.	Г. Попова
(с. Отрада Орловской обл.)
Проверка самостоятельных работ —весьма длительный
и трудоемкий процесс. Чаше всего он происходит после
уроков, вдали от учащихся, которые узнают о резуль¬
тате в лучшем случае на следующий день. Поэтому
очень важно упростить этот процесс и сделать так,
чтобы уже на уроке ребята узнавали результаты свое¬
го труда, а также получали бы иногда возможность
самим проверить свои работы.
Для упрощения проверки необходимо специальным
образом организовать самостоятельную работу. Описы¬
ваемый ниже способ такой организации я применяю в
IV—V классах.
Ученики получают задания, содержащие несколько
вопросов. Затем им демонстрируется таблица, в кото¬
рой к каждому заданию дано 5 ответов. Один из них
правильный, а остальные нет, причем последние состав¬
лены с учетом возможных ошибок учащихся. В бокови¬
ке таблицы указан номер задания, а в ее головке
буквами зашифрованы ответы. Работа выполняется в
тетради или на листочке с полями. На полях учащиеся
обязаны записать по вертикали только буквы, соответ¬
ствующие верным ответам. Если ученик не получил ре¬
зультат, совпадающий с одним из предложенных отве¬
тов, он делает прочерк напротив данного упражнения.
После выполнения задания на полях появляются вер¬
тикальные столбцы, составляющие отдельные слова или
просто наборы букв. Закончив упражнения, учащиеся
сдают учителю свои тетради, а учитель сообщает им
верные ответы. Такие задания учитель проверяет намно¬
го быстрее, чем обычно. Но полезнее предложить уча¬
щимся самим оценить свои работы или работы соседей
по парте. После такой взаимной проверки ученики не¬
медленно увидят результаты своего труда и обратят
внимание на те задачи, с которыми они не справились.
Приведем два примера таких заданий и таблицы от¬
ветов к ним.
5 км
/А
40
/
30
//А
20
//
10
Г
0
12 3 (ч
Рис. 4
38

Пример 1
Таблицы ответов
Вариант I
Вариант II
Решить уравнения:
1.	* + 3,4 = 2,6	1.* +2,3-1,7
2.	* — 2,7 = — 5,3	2.	л: — 3,7 — —6,3
3.	5* + 3 = За: — 5	3.	7х + 5 = 5* — 7
4.	4* + 5 = 6* — 7	4.	6* + 3 = 8* — 5
5. (10*— 16*):(— 2)
Найти ответы в табли'
це 1.
Упростить:
5.	(9*-15*):(-3)
Найти ответы в табли¬
це 2.
Таблицы ответов
Таблица 1
А
и
к
Р
ш
1
6
0,8
-1,2
—6
—0,8
2
—2,6
—8
2,6
—3,4
8
3
—1
4
1
—4
—10
4
—0,2
6
1,2
—6
—1
5
13*
12*
3*
—13*
—3*
[Верный ответ: ШАРИК.]
Т а б л
и ц а 2
Е
н
в
о
р
1
4
-1,4
—0,6
0,6
—4
2
-2,6
-3,4
—10
10
2,6
3
1
—1
6
1,4
—6
4
1
4
3
—1
—4
5
8*
—2*
18*
2*
—8*
[Верный ответ: ВЕРНО.)
Пример 2
Вариант I	Вариант	II
Решить уравнения:
2	4
1.	4у + у — 6у
2. 8-у — *'
4‘ 7 ' 9 + 42 ‘ 17
3 _5
9
3
’Т
/	4 \	18
3' (1_ э)‘ 25
Л
' + 42 ‘
-(-4)
Вычислить:
з Л-—4) —
V 19 /' 39
6 и_ 5	\2_
• 7 ' 42 ~ 12 ■ 35
5.
■И-4)
Найти ответы в табли¬
це 3.
Найти ответы в табли¬
це 4.
Таблица 3
м
в
с
А
Л
5
2
19
26
19
1
21
2 21
1 21
1 |м
о
7
~ 1_2Г
,„5
7
1
5
7
2
12 8
— 38
4Т
-12-8
3“8
2
10
18
2
90
3
~ 5
25
45
5
225
18
2
36
6
18
4
~ 63
7
126
21
63
1
180
900
1
45
5
-22у
8
40
22у
О
(Верный ответ; СЛАВ А.]
Таблица 4
к
У
т
д
Р
14
, 4
14
19
1
1
-2-15
16Т5
2 15
10 15
3 15
, 17
11
1
5
11
2
11 12
— 6 12
712
12 |2
6Т2
2
2
26
494
38
3
—3
3
39
741
57
1
3
6
1
15
4
7
21
42
7
105
—10
10
90
450
50
5
9
45
5
[Верный ответ: ТРУД У.|
Карточки-задания
для работы с графиками
Н. л. Тюрин
(г. Уфа)
Изучив тему «Линейная функция», учащиеся должны
уметь по графику функции определять значения * и /,
указывать формулу данной функции; они должны так¬
же без построения графика определять, каким (острым
или тупым) является угол наклона графика к оси Ох,
показывать примерное расположение графика функции,
39

1
и
ш
ш
I
Е
Ш
ш
_/. у — 2х -3.
Е у=~0,5х+4.
Ш. у = 0,6х-2.
Ш- У= ~3х - Г.
и' У = -0.2Х-3,
Ж у = «*+/.
Ж У = 0,4х+215.
Ш у ^-2,5X+.0,8
заданной формулой. Эти умения заметно развиваются
при работе учащихся со специальными карточками. Од¬
на из них воспроизведена на рисунке. Такие карточки
мы с успехом использовали на уроках алгебры в VI—
VIII	классах.
Учитывая, что у линейной функции, записанной в ви¬
де у=кх+1, могут быть два варианта значения 1ф0
(/>0, /<0) и четыре варианта значений к (6^1, 0<
<кс 1,	—1, —1<6<0), можно изобразить на од¬
ной карточке 8 различных графиков, а под ними за¬
писать 8 формул, каждая из которых соответствует ка¬
кому-либо из графиков. Учащиеся получают разные
карточки, но задание у всех одно и то же. Требуется
установить взаимно однозначное соответствие между
графиками функций и их аналитическими выражениями.
Для этого учащиеся заполняют пустые клетки табли¬
цы, указанной внизу карточки (см. рис.). Под каждой
римской цифрой, обозначающей одну из восьми фор¬
мул, надо записать арабской цифрой номер соответ¬
ствующего графика. В таблице получается восьмизнач¬
ное число, которое составляет код карточки. Код дан¬
ной карточки 37258641. Зная коды всех карточек, учи¬
тель может уже на уроке проверить работы большого
количества учащихся (а при желании и всего класса)
и тут же объявить оценки. Такая быстрая проверка да¬
ет большой педагогический эффект.
Аналогичные задания можно давать при изучении та¬
ких функций, как у—к/х, у=(х—п)2+т, и многих дру¬
гих.
Чтобы приготовленная карточка служила долго, нуж¬
но обернуть ее пленкой. Учащиеся, выполняя рассуж¬
дения устно, лишь заполняют таблицу шариковой руч¬
кой. После окончания работы эту запись можно быст¬
ро ликвидировать, так как паста легко стирается с плен¬
ки ваткой, смоченной одеколоном. Заметим, что вовсе
не обязательно составлять для каждого учащегося но¬
вый набор функций. Достаточно на новой карточке по-
иному пронумеровать графики или формулы.
40
ОТ УПРАВЛЕНИЯ КАДРОВ
МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ СССР
Примерные
учебно-тематический план
и программа раздела «Теория
и методика преподавания
предмета»
курсов повышения квалификации
учителей математики1
Докурсовые задания
Роль практики в происхождении математических поня¬
тий.
Воспитание научного мировоззрения у учащихся в
процессе изучения математики.
Формирование у учащихся приемов диалектического
мышления при изучении курса математики IV-—V клас¬
сов.
Формирование у учащихся приемов диалектического
мышления при изучении курса алгебры VI—VIII клас¬
сов.
Формирование у учащихся приемов диалектического
мышления при изучении курса геометрии VI—VIII клас¬
сов.
Система работы учителя по развитию научного миро¬
воззрения учащихся IX—X классов при изучении курса
геометрии.	'
Развитие диалектико-материалистического мировоз¬
зрения учащихся в процессе изучения элементов диф¬
ференциального и интегрального исчислений.
Методика использования наглядных представлений и
опыта учащихся при изучении геометрического материа¬
ла в IV—V, VI—VIII, IX—X классах (на примере
избранной темы).
Развитие абстрактных представлений и абстрактного
мышления учащихся.
Развитие логического мышления учащихся.
Опыт использования материалов XXVI съезда КПСС
на уроках математики.
Методика использования статистических материалов
на уроках математики.
Опыт использования материалов XXVI съезда КПСС
во внеклассной работе.
Использование материалов XXVI съезда КПСС в
идейно-политическом воспитании учащихся.
Оформление стендов и выставок для учащихся на те¬
мы «Математика па службе человека», «Математика
и научно-технический прогресс», «Роль математики в
выполнении народнохозяйственных планов пятилетки».
Использование таблиц, круговых и столбчатых диа¬
грамм по различным показателям развития народного
хозяйства страны во внеклассной работе.
Экономическое воспитание учащихся при изучении
математики.
Формирование политехнических умений и навыков
учащихся при изучении математики в IV—VIII, IX—
X классах.
Взаимосвязь преподавания математики и физики.
Взаимосвязь преподавания математики и черчения.
Воспитание у учащихся трудовых умений на уроках
математики.
Практические работы учащихся на применение таблиц
и логарифмической линейки в смежных предметах.
Задачи на использование приближенных вычислений
в практической деятельности.
1	Продолжение. Начало см. в № 5 за 1981 г.

Опыт профессиональной ориентации учащихся на уро¬
ках математики.
Организация и содержание самостоятельной работы
учащихся на уроке.
Организация и методика самостоятельной работы уча¬
щихся по развитию учебных умений.
Содержание и объем домашних заданий учащихся.
Методика руководства домашней самостоятельной ра¬
ботой учащихся.
Методика проверки на уроке выполнения учащимися
домашних заданий.
Особенности индивидуальной работы с учащимися
IV—V, VI—VIII, IX—X классов.
Система работы учителя по развитию устной речи
учащихся.
Система работы учителя по развитию письменной ре¬
чи учащихся.
Требования к выполнению учащимися письменных ра¬
бот по математике.
Совершенствование системы оценки знаний учащихся.
Методика использования настенных таблиц при изу¬
чении курса алгебры VI класса.
Методика использования настенных таблиц при изу¬
чении курса алгебры VII класса.
Планирование работы математических кружков для
учащихся IV—V, VI—VIII, IX—X классов.
Методика изучения темы «Натуральные числа».
Методика изучения темы «Десятичные дроби».
Методика изучения темы «Обыкновенные дроби».
Взаимосвязь обыкновенных и десятичных дробей. Сов¬
местные действия над дробями.
Проценты. Введение понятия процента. Методика ре¬
шения задач на проценты.
Методика решения учащимися арифметических задач.
Отбор упражнений и методика проведения устного
счета на уроках математики.
Методика изучения темы «Положительные и отрица¬
тельные числа».
Методика изучения уравнений и неравенств в IV—
V	классах.
Методика изучения линейных уравнений.
Методика изучения квадратных уравнений.
Методика изучения показательных уравнений.
Методика изучения логарифмических уравнений.
Методика изучения показательных и логарифмических
неравенств.
Линейная функция, ее свойства и график.
Квадратичная функция, ее свойства и график.
Методика развития функциональных представлений
учащихся. .	'
Развитие графических умений и навыков учащихся.
Методика изучения начальных геометрических поня¬
тий.
Геометрические построения.
Методика обучения учащихся доказательству теорем.
Приемы формирования у учащихся восьмилетней шко¬
лы пространственных представлений и пространствен¬
ной ориентации.
Практические работы по геометрии.
Послекурсовые задания
Воспитание научного мировоззрения школьникоз при
обучении математике.
Воспитание элементов диалектического мышления уча¬
щихся при обучении математике.
Содержание и методика изучения историко-математи-
ческих сведений на уроках, факультативных занятиях
и во внеклассной работе.
Роль математики в ускорении научно-технического
прогресса (применение ЭВМ в народном хозяйстве).
Применение математических методов в экономике.
Применение математических методов в биологии.
Применение математических моделей в школьном кур¬
се физики.
Применение математических методов в педагогических
исследованиях.
Организация и методика проведения экскурсий на вы¬
числительный центр.
Отражение методов математики в школьном курсе.
Методика изучения понятий конечного и бесконечного
в школьном курсе.
Аксиомы школьного курса планиметрии, методика их
изучения.
Аксиомы школьного курса стереометрии, методика
их изучения.
Обучение учащихся приемам математизации реаль¬
ных ситуаций при решении текстовых задач по алгебре.
Решение задач с использованием материалов
XXVI съезда КПСС.
Идейно-политическое воспитание на уроках матема¬
тики.
Атеистическое воспитание на уроках математики.
Эстетическое развитие учащихся при обучении ма¬
тематике.
Трудовое воспитание учащихся на уроках и во вне¬
классной работе.
Методика воспитательной работы с учащимися на
уроках математики.
Воспитательные функции методов обучения.
Воспитательное значение внеклассной работы по ма¬
тематике.
Воспитание у учащихся интереса к изучению матема¬
тики.
Развитие математических способностей учащихся в
процессе изучения математики.
Развитие приемов эвристической деятельности уча¬
щихся на уроках математики.
Роль изучения математики в воспитании целеустрем¬
ленности и воли школьника.
Воспитательные функции оценки знаний учащихся.
Составление альбома с краткими аннотациями про¬
фессий, требующих применения математики.
Роль межпредметных связей в политехническом обра¬
зовании учащихся.
Содержание, виды и методика проведения практи¬
ческих работ в курсе математики.
Методика изучения линейной зависимости в курсе
физики.
Методика изучения квадратичной зависимости в кур¬
се физики.
Методика решения задач с физическим содержанием
с помощью векторов.
Методика решения задач физического содержания е
помощью производной.
Методика изучения гармонических колебаний в курсе
математики и физики.
Ознакомление учащихся с дифференциальными урав¬
нениями в школьном курсе математики.
Методика подготовки и проведения уроков изложе¬
ния нового материала.
Методика подготовки и проведения уроков повторе¬
ния.
Методика подготовки и проведения уроков по реше¬
нию задач.
Методика подготовки и проведения уроков с различ¬
ными типами проблемных ситуаций.
Методика групповой, индивидуальной и фронтальной
работы с учащимися на уроке.
Методика проверки на уроке домашнего задания.
Организация самостоятельной работы учащихся с по¬
мощью дидактического материала.
Методика формирования у учащихся приемов само¬
стоятельной работы с учебником, справочниками, мате¬
матическими таблицами.
Роль учебника и методических указаний в формиро¬
вании у учащихся умений и навыков самостоятельной
работы.
Содержание и структура учебных заданий для само¬
стоятельной работы учащихся.
41

Самостоятельная работа учащихся с научно-популяр¬
ной литературой.
Виды самостоятельной работы учащихся при повто¬
рении материала.
Формирование у учащихся приемов самоконтроля при
изучении материала.
Развитие самостоятельности учащихся в процессе обу¬
чения математике.
Подготовка учащихся к самообразованию при обуче¬
нии математике.
Организация внеклассной работы с учащимися IV—
V	классов.
Содержание и особенности методики работы по ма¬
тематике с учащимися в группах (школах) продленно¬
го дня.
Методика работы учащихся VII—VIII, IX—X классов
на факультативных занятиях.
Организация факультативных занятий по изучению
элементов теории вероятностей и математической ста¬
тистики.
Комплексное использование наглядных и технических
средств обучения.
Методика изучения определений в школьном курсе
математики.
Методика изучения понятия функции.
Методика изучения понятия предела функции.
Методика изучения понятия производной.
Методика изучения понятия интеграла.
Непрерывность элементарных функций.
Методика обучения учащихся исследованию функций
на монотонность в VI—VIII и IX—X классах.
Методика изучения тригонометрических функций.
Методика изучения показательной и логарифмической
функций.
Методика изучения степенной функции.
Формирование и развитие навыков тождественных
преобразований выражений.
Развитие вычислительных навыков учащихся.
Методика формирования у учащихся навыков таб¬
личных и инструментальных вычислений.
Развитие у учащихся навыков решения уравнений.
Развитие навыков решения неравенств.
Развитие навыков решения систем уравнений.
Развитие навыков решения систем неравенств.
Методика изучения перемещений в курсе геометрии.
Методика изучения многоугольников.
Методика изучения многогранников.
Методика изучения фигур вращения.
Методика изучения понятия вектора и элементов век¬
торной алгебры в курсе геометрии VI—VIII, IX—
X классов.
Устные задачи и вопросы по алгебре и геометрии.
Задачи на нахождение наибольших и наименьших
значений.
Решение задач по геометрии с применением тригоно¬
метрии.
Методика обучения учащихся решению задач на по¬
строение в курсе геометрии.
Методика обучения учащихся решению задач на вы¬
числение в курсе геометрии.
Обучение учащихся решению задач на доказательство.
Литература
Маркс К-, Энгельс Ф. О воспитании и образовании:
В 2-х т. — М.: Педагогика, 1978.
Энгельс Ф. Диалектика природы. — Маркс К., Эн¬
гельс Ф. Соч. 2-е изд., т. 20. — М.: Политиздат, 1961.
Ленин В. И. О воспитании и образовании: В 2-х т. —
М.: Педагогика, 1980.
Программа Коммунистической партии Советского
Союза. — М.: Политиздат, 1976.
Материалы XXV съезда КПСС.— М.: Политиздат,
1976.
Материалы XXVI съезда КПСС. — М.: Политиздат,
1981.
Конституция (Основной Закон) Союза Советских Со¬
циалистических Республик. — М.: Политиздат, 1978.
Брежнев Л. И. Ленинским курсом: Речи и статьи.
Т. 1—8. — М.: Политиздат, 1970—1981.
Актуальные вопросы современной идеологической
борьбы. — М.: Политиздат, 1980.
О	дальнейшем совершенствовании обучения, воспита¬
ния учащихся общеобразовательных школ и подготов¬
ки их к труду: Постановление ЦК КПСС и Совета Ми¬
нистров СССР от 22 декабря 1977 г.
О	дальнейшем улучшении идеологической, политико¬
воспитательной работы: Постановление ЦК КПСС от
26 апреля 1979 г.
Научная подготовка учителя
Абрамов С. А. Математические построения и програм-
мирование/Под ред. С. С. Лаврова. — М.: Наука, 1978.
Александров П. С. Курс аналитической геометрии и
линейной алгебры. — М.: Наука, 1979.
Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Опти¬
мальное управление. — М.: Наука, 1979.
Ашманов С. А. Линейное программирование. — М.:
Наука, 1981.
Борель Э. Вероятность и достоверность. — М.: Наука,
1969.
Боровков А. А. Теория вероятностей. — М.: Наука,
1976.
Боголюбов А. Н. Математика и технические науки. —
Вопросы философии, 1980, № 2.
Болтянский В. Г., Данилов-Данильян В. И. Матема¬
тика и научно-технический прогресс. — Вопросы фило¬
софии, 1979, № 7.
Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальное
и интегральное исчисление. — М.: Наука, 1980.
Виленкин Н. Я. Функции в природе и технике. — М.:
Просвещение, 1978.
Виноградов И. М. Основы теории чисел. — М.: Наука,
1981.
Воеводин В. В. Линейная алгебра.— М.: Наука, 1980.
Ворошук А. И. Основы ЦВМ и программирование. —
М.: Наука, 1978.
Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия. —
3-е изд. — М.: Наука, 1981.
Гнеденко Б. В., Хинчин А. Я. Элементарное введение
в теорию вероятностей. — М.: Наука, 1976.
Гнеденко Б. В. Математика народному хозяйству. —
М.: Знание, 1977.
Демидович Н. Б., Монахов В. М. Программирование и
ЭВМ. — М.: Просвещение, 1977.
Донеддю А. Евклидова планиметрия: Пер, с фр.
А.	М. Абрамова/Под ред. А. Н. Колмогорова. — М.:
Наука, 1978.
Дорофеев Г. В. Понятие функции в математике и в
школе. — Математика в школе, 1978, № 2.
Дудорин В. И. Моделирование в задачах управления
производством. — М.: Статистика, 1980.
Дьяченко В. Ф. Основные понятия вычислительной
математики. — М.: Наука, 1977.
Егоров И. П. Геометрия. — М.: Просвещение, 1979.
Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического
анализа: В 2-х т. — М.: Наука, 1971, 1980.
Иванилов Ю. П., Лотов А. В. Математические моде¬
ли в экономике/Под ред. Н. Н. Моисеева. — М.: Наука,
1979.
Кади Дж. Количественные методы в экономике. —
М.: Прогресс, 1977.
Карманов В. Г. Математическое программирование. —
М.: Наука, 1980.
Коксетер Г. С. М., Грейтцер С. Л. Новые встречи с
геометрией. — М.: Наука, 1978.
Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероят¬
ностей.— М.: Наука, 1974.
Колмогоров А. Н. Что такое функция? — Математи¬
ка в школе, 1978, № 2.
42

Королев Л. П. Структуры ЭВМ и их математическое
обеспечение. — М.: Наука, 1978.
Кострикин А. И. Введение в алгебру. — М.: Наука,
1977.
Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа.
Т. 1—2.— М.: Высшая школа, 1981.
Кэмпбелл Д. Модели экспериментов в социальной
психологии и прикладных исследованиях. — М.: Про¬
гресс, 1980.
Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления. — М.:
Наука, 1975.
Любимский Э. 3., Мартышек В. В., Трифонов Н. П.
Программирование/Под ред. Э. 3. Любимского. — М.:
Наука, 1980.
Математика, ее содержание, методы и значение. Т. 1—-
3,	—М.: Изд-во АН СССР, 1956.
Моисеев Н. Н. Математика ставит эксперимент. —•
М.: Наука, 1979.
Моисеев Н. Н., Иванилов Ю. П., Столярова Е. М.
Методы оптимизации. — М.: Наука, 1978.
Моловший В. Н. Очерки по философским вопросам
математики. — М.: Просвещение, 1969.
Монахов В. М., Беляева Э. С., Краснер Н. Я. Ме¬
тоды оптимизации: Применение математических методов
в экономике. — М.: Просвещение, 1978.
Нечаев В. И. Числовые системы. — М.: Просвещение,
1975.
Оптимальное управление: Сборник/Сост. Н. X. Ро¬
зов.— М.: Знание, 1978.
Погорелое А. В. Элементарная геометрия. — М.: Нау¬
ка, 1979.
Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные
уравнения. — М.: Наука, 1970.
Пугачев В. С. Теория вероятностей и математическая
статистика.,— М.: Наука, 1979.
Реньи А. Письма о вероятности. — М.: Мир, 1970.
Рузавин Г. И. О природе математического знания:
Очерки по методологии математики. — М.: Мысль, 1968.
Рыбников К. А. Введение в методологию математи¬
ки. — М.: Изд-во МГУ, 1979.
Соболев С. Л. В. И. Ленин и естествознание. — Ма¬
тематика в школе, 1980, № 2.
Солодовников А. С. Введение в линейную алгебру
и линейное программирование. — М.: Просвещение, 1966.
Тихонов А. И., Костомаров Д. П. Рассказы о при¬
кладной математике. — М.: Наука, 1979.
Тихонов А. Н., Васильева А. Б., Свешников А. Г.
Дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1980.
Фрид Э. Элементарное введение в абстрактную ал¬
гебру.— М.: Мир, 1979.
Хеннекен П. Л., Тортра А. Теория вероятностей и не¬
которые ее приложения: Пер. с фр./Под ред. Ю. В. Лин-
ника. —М.: Наука, 1974.
Хинчин А. Я. Восемь лекций по математическому ана¬
лизу.— М.: Наука, 1977.
Ширяев А. Н. Вероятность. — М.: Наука, 1980.
Вопросы общей методики
преподавания математики
Антоновский М. Я■ и др. Учебное оборудование на
уроках алгебры. 6 класс. — М.: Просвещение, 1980.
Бабанский Ю. К. Оптимизация процесса обучения:
Общедидактический аспект. — М.: Педагогика, 1977.
Бабанский Ю. /С, Победоносцев Г. А. Комплексный
подход к воспитанию школьников. — М.: Педагогика,
1980.
Болдырев Н. И. Нравственное воспитание школьни¬
ков: Вопросы теории. — М.: Педагогика, 1979.
Больше внимания факультативам: Передовая. — Ма¬
тематика в школе, 1981, № 6.
Болдырев Н. И. Методика воспитательной работы
в школе. — М.: Просвещение, 1981.
Болтянский В. Г. Ленинская теория познания и проб¬
лемы школьного математического образования. — Мате¬
матика в школе, 1981, № 2.
Болтянский В. Г. н др. Учебное оборудование.
4 класс. — М.: Педагогика, 1976.
Болтянский В. Г., Волович Ж Б., Левитас Г. Г.
Учебное оборудование по математике. V класс. — М.:
Педагогика, 1979.
Борисов Н. И. Как обучать математике: Учитель м-а-
тематики учит учиться. (Из опыта работы). — М.: Про¬
свещение, 1979.
Ботвинников А. Д., Ломов Б. Ф. Научные основы
формирования графических знаний, умений и навыков
школьников. — М.: Педагогика, 1979.
Владимиров В. С., Понтрягин Л. С., Тихонов А. Н.
О	школьном математическом образовании. — Матема¬
тика в школе, 1979, № 3.
Гнеденко Б. В. О воспитании научного мировоззре¬
ния на уроках математики. — Математика в школе,
1977,	№ 4; Математика и оборона страны. — Математи¬
ка в школе, 1978, № 2; О математическом творчест¬
ве.— Математика в школе, 1979, № 6; О призвании
учителя. — Математика в школе, 1981, № 5.
Горский В. Д., Черкасова Е. Р. О некоторых видах
трудового обучения, тцебующих расширения математи¬
ческих знаний. — Математика в школе, 1978, № 3.
Гусев В. А. и др. Внеклассная работа по математике
в 6—8 классах. — М.: Просвещение, 1977.
Ефимов Э. Учебное телевидение: проблемы и пер¬
спективы.— М.: Искусство, 1977.
Замечательные ученые/Под ред. С. П. Капицы. — М.:
Наука, 1980.
Заочные математические олимпиады. — М.:	Наука,
1981.
Зубелевич Г. И. Занятия математического кружка в
4	классе. — М.: Просвещение, 1980.
Избранные вопросы математики. 10 класс: Факульта¬
тивный курс/Под ред. В. В. Фирсова. — М.: Просвеще¬
ние, 1980.
Канторович Л. В., Соболев С. Л. Математика в сов¬
ременной школе. — Математика в школе, 1979, № 4.
Карпов Г. В., Романин В. А. Технические средства
обучения. — М.: Просвещение, 1979.
Климов Е. А. Путь в профессию. — Л.: Лениздат,
1978.
Колмогоров А. Н. О воспитании на уроках математи¬
ки и физики диалектико-материалистического мировоз¬
зрения. — Математика в школе, 1978, № 3.
Коротяев Б. И. Учение — процесс творческий. — М.з
Просвещение, 1980.
Кон И. С. Психология старшеклассника. — М.: Про¬
свещение, 1980.
Крупская Н. К■ О коммунистическом воспитании
школьников: Сборник статей, выступлений и писем/Сост.
О.	И. Грекова и др. — М.: Просвещение, 1978.
Крутецкий В. А. Психология обучения и воспитания
школьников: Книга для учителей и классных руководи¬
телей.—М.: Просвещение, 1976.
Кудрявцев Л. Д. Современная математика и ее пре¬
подавание.— М.: Наука, 1980.
Маркушезич А. И. О школьной математике. — Мате¬
матика в школе, 1979, № 4.
Математика как профессия: О воспитательном эффек¬
те математического образования: Сборник статей/Сост.
Б. В. Гнеденко. — М.: Знание, 1980.
Межпредметные связи естественно-математических
дисциплин: Сборник статей под ред. В. Н. Федоро¬
вой. — М.: Просвещение, 1980.
Методика преподавания математики в средней школе:
Общая методика. — 2-е изд. — М,: Просвещение, 1980.
Моделирование педагогических ситуаций: Проблемы
повышения качества и эффективности общепедагогиче¬
ской подготовки учителя/Под ред. Ю. Н. Кулюткииа,
Г. С. Сухобской. — М.: Педагогика, 1981.
Монахов В. М. Проблемы дальнейшего развития фа¬
культативных занятий по математике. — Математика в
шкоде, 1981, № 6.
43

Оборудование кабинета математики. — М.: Просвеще¬
ние, 1975.
Онищук Б. А. Типы, структура и методика урока в
школе. — Киев: Радянська школа, 1977.
О	совершенствовании методов обучения математике:
Сборник статей/Сост. В. -С. Крамор. — М.: Просвеще¬
ние, 1978.
Парыгин Б. Д. Научно-техническая революция и лич¬
ность: Социально-психологические проблемы. — М.: По¬
литиздат, 1978.
Пидкасистый П. И. Самостоятельная познавательная
деятельность школьников в обучении. — М.: Педагоги¬
ка, 1980.
Пономарев Я■ А. Психология творчества и педагоги¬
ка.—М.: Педагогика, 1976.
Приступа Г. Посещение и анализ уроков молодого
учителя. — Народное образование, 1978, № 5.
Проблемы методов обучения в современной обще¬
образовательной школе/Под ред. Ю. К. Бабанского,
И. Д. Зверева, Э. И. Моносзона. — М.: Педагогика,
1980.
Программы факультативных курсов на 1980—
1985 гг. — Математика в школе, 1980, № 4.
Прокофьев М. А. Новый этап в развитии просвеще¬
ния.— Советская педагогика, 1981, № 3.
Пути совершенствования профессиональной квалифи¬
кации учителя средней школы: Метод, рекомендации.
АПН СССР. НИИ общ. образования взрослых. — Л.:
1980.
Пути формирования коммунистических взглядов и
убеждений старшеклассников/Под ред. Р. М. Роговой.—
М.: Педагогика, 1980.
Рыбников К. А. Об историко-методологических осно¬
вах математического образования учителей. — Математи¬
ка в школе, 1981, № 5.
Семушин А. Д. Политехническое содержание школь¬
ного курса математики. — Математика в школе, 1977,
№ 4.
' Симонов В. П. О требованиях к уроку и его анали¬
зу.— Советская педагогика, 1980, № 1.
Содержание VI методы подготовки кадров управле-
ния/Под ред. В. Ю. Озира, И. Б. Скоробогатова. — М.:
Экономика, 1977.
Сухомлинский В. А. Методика воспитания коллекти¬
ва..— М.: Просвещение, 1981.
Учусь читать, размышлять, выступать: Сборник. —
М.: Мол. гвардия, 1980.
Филонов Г. Н. Проблемы эффективности воспитания
личности в условиях развитого социализма. — М.: Пе¬
дагогика, 1978.
Фирсов В. В., Боковнев О. А., Шварцбурд С. И.
Состояние и перспективы факультативных занятий по
математике. — М.: Просвещение, 1977.
Фомченко А. С., Дорофеев Г. В., Дуничев К. И. При¬
мерные учебно-тематический план и программа для кур¬
сов повышения квалификации учителей. — Математика
в школе, 1977, № 3, 4.
Формирование коммунистического мировоззрения
школьников/Под ред. Э. И. Моносзона. — М.: Педагоги¬
ка, 1977.
Хабиб Р. А. Организация учебно-познавательной дея¬
тельности учащихся. (На материале математики).—М.:
Педагогика, 1979.
Шаталов В. Ф. Куда и как исчезли тройки.— М.:
Педагогика, 1979.
Школьникам — о XXVI съезде КПСС: Инструктивно¬
методическое письмо МП СССР. — Учительская газета,
1981,	19 марта.
Ягодкин В. Н. Педагогические кадры школы и со¬
вершенствование воспитания учащихся. — М.: Педагоги¬
ка, 1979.
Ягодкин В. Н. Развитие самостоятельности мышления
как средство формирования активной жизненной пози¬
ции школьников.—Советская педагогика, 1979, ЛЬ 1.
44
Изучение вопросов курса математики IV—X классов
Александров А. Д. О геометрии. — Математика в шко¬
ле, 1980, № 3.
Александров А. Д. и др. Начала стереометрии. 9—
10 классы: Пробный учебник.— М.: Просвещение, 1981.
Анисимов В. Глубоко и всесторонне анализировать
качество знаний. — Народное образование, 1978, № 8.
Атанасян Л. С., Позняк Э. Г. Геометрия: Пробный
учебник для 6—8 классов.— М.: Просвещение, 1981.
Баранова И. В., Борчугова 3. Г. Математика: Проб¬
ный учебник для 4 класса. — М.: Просвещение, 1980;
для 5 класса. 1981.
Болтянский В. Г., Волович М. Б., Семушин А. Д.
Геометрия: Пробный учебник для 6—8 классов.— М.:
Просвещение, 1979.
Вересова Е. Е., Денисова Н. С., Полякова Т. Н. Прак¬
тикум по решению математических задач. — М.: Про¬
свещение, 1979.
Виленкин Н. Я, Мордкович А. Г. Пределы, непрерыв¬
ность.— М.: Просвещение, 1977.
Вопросы преподавания алгебры и начал анализа в
средней школе:' Сборник статей/Сост. Е. Г. Глаголева,
О.	С. Ивашев-Мусатов. — М.: Просвещение, 1981.
Готман Э. Г., Скопец 3. А. Решение геометрических
задач аналитическим методом. — М.: Просвещение, 1979.
Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Выс¬
шая математика в упражнениях и задачах. Ч. I. —
М.: Высшая школа, 1980.
Дорофеев Г. В. Применение производных при реше¬
нии задач в школьном курсе математики. — Математи¬
ка в школе, 1980, № 5, 6.
Земляков А. Н. Дифференциальные уравнения как
математические модели физических процессов. — Мате¬
матика в школе, 1979, № 1.
Из опыта 'преподавания математики. 6—8 классы:
Сборник статей/Сост. М. Р. Леонтьева. — М.: Просве¬
щение, 1977.
Из опыта преподавания математики в школе/Сост.
А.	Д. Семушин, С. Б. Суворова. — М.: Просвещение,
1978.
Из опыта преподавания математики в средней шко¬
ле: Сборник статей/Сост. А. В. Соколова и др. — М.:
Просвещение, 1979.
Ирошников Н. П. Организация обучения математике
в 4—5 классах сельской школы. — М.: Просвещение,
1977.
Киселев А. П. Элементарная геометрия. М.: Про¬
свещение, 1980.
Леонтьева М. Р. Самостоятельные работы учащихся
на уроках алгебры.—М.: Просвещение, 1978.
Маркушевич А. И., Маслова Г. Г., Черкасов Р. С.
О	развитии школьного математического образования в
СССР за 60 лет. — Математика в школе, 1977, № 5.
Математика в понятиях, определениях и терминах.
Ч.	1/Под ред. Л. В. Сабинина.—М.: Просвещение, 1978.
Моденов П. С. Задачи по геометрии. — М.: Наука
1979.
На путях обновления школьного курса математики:
Сборник статей и материалов/Сост. А. И. Маркушевич,
Г. Г. Маслова, Р. С. Черкасов. — М.: ‘ Просвещение,
1978.
Никольский С. < М. Элементы математического анали¬
за.— М.: Наука, 1981.
Организация контроля знаний учащихся в обучении
математике/Под ред. 3. Г. Борчуговой, Ю. Ю. Батий. —
М.: Просвещение, 1980.
Петров В. А. Математические задачи из сельскохозяй¬
ственной практики. — М.: Просвещение, 1980.
Петров В. А., Чертков В. С. Применение производной
в практической деятельности. — Математика в школе
1980.	№ 6.
Погорелое А. В. Геометрия. 6—10 классы: Пробный
учебник. — М.: Просвещение, 1981.

Понтрягин Л. С. Метод координат. — М.: Наука, 1977.
Понтрягин Л. С. Математический анализ для школь¬
ников.— М.: Наука, 1980.
Понтрягин Л. С. Анализ бесконечно малых. — М.:
Наука, 1980.
Пособие по математике для поступающих в вузы/Под
ред. Г. Н. Яковлева.—М.: Наука, 1981.
Преподавание алгебры в 6—8 классах/Сост.
Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк. — М.: Просвещение,
1980.
Преподавание геометрии в 9—10 классах: Сборник
статей/Сост. 3. А. Скопец, Р. А. Хабиб. — М.: Про¬
свещение, 1980.
Программа по математике, для средней школы. Содер¬
жание обучения. — Математика в школе, 1981, № 4,
с. 7—15.
Пухначев Ю. В., Попов Ю. П. Учись применять ма¬
тематику: Математика без формул. Вып. 1. — М.: Зна¬
ние, 1977.
Пухначев Ю. В., Попов Ю. П. Математика без фор¬
мул. Выи. 2. — М.: Знание, 1978.
Саранцев Г. И. Методика изучения отображений в
курсе геометрии восьмилетней школы. — М.: Просвеще¬
ние, 1979.
Саранцев Г. И. Сборник задач на геометрические
преобразования. — М.: Просвещение, 1981.
Симонов В. П. К вопросу о проверке и оценке знаний
учащихся. — Советская педагогика, 1978, № 8.
Современные основы школьного курса математики. —
М.: Просвещение, 1980.
Тарасов Л. В. Математический анализ: Беседы об
основных понятиях. — М.: Просвещение, 1979.
Фетисов А. И. Геометрия в задачах. — М.: Просве¬
щение, 1977.
Формирование алгоритмической культуры школьника
при обучении математике. — М.: Просвещение, 1978.
Юртаева Г. Т. Лабораторно-графические работы по
алгебре и началам анализа в средней школе. — М.: Про¬
свещение, 1978.
Яковлев Г. Н. Числовые последовательности и не¬
прерывные функции. — М.: Просвещение, 1978.
ОТ МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР
Об изменениях
в билетах по геометрии
за курс восьмилетней школы
в школах РСФСР1
В течение последних трех лет в программы по
геометрии VI—VIII классов были внесены
частичные изменения (см.: Программа вось-
милетней и средней школы. Математика.—
М.: Просвещение, 1980; Методическое письмо
«О преподавании математики в общеобразо¬
вательных школах в 1981/82 учебном году».—
Математика в школе, 1981, № 2). Так, исклю-
' Материалы, подготовленные Н. Н. Садовниковон и
Ю. Г1. Дудницыным, представлены к публикации Про¬
граммно-методическим- управлением Министерства про¬
свещения РСФСР.
чена тема «Начальные сведения по стерео¬
метрии», не изучаются разделы «Отношение
эквивалентности», «Необходимые и достаточ¬
ные условия», «Замечательное свойство
окружности» и др.; проведено некоторое пе¬
рераспределение материала по отдельным
классам.
В июне 1982 г. в общеобразовательных
школах РСФСР устный экзамен по геометрии
за курс восьмилетней школы будут сдавать
учащиеся, которые обучались по учебному
пособию «Геометрия 6—8» под редакцией
А. Н. Колмогорова (М.: Просвещение, 1979),
содержащему существенно переработанный
материал, входивший в изданные ранее три
учебных пособия «Геометрия 6», «Геомет¬
рия 7», «Геометрия 8». В связи с этим в
1981/82 учебном году для школ РСФСР в
содержание билетов для выпускных экзаме¬
нов по геометрии за курс восьмилетней шко*
лы внесены изменения. Исключены, напри¬
мер, выводы формул длины окружности и
площади круга. Названия теорем, содержа¬
щихся в билетах, приведены в соответствие с
учебным пособием (теоремы «о множестве
точек плоскости, равноудаленных от концов
отрезка»; «о множестве точек выпуклого
угла, равноудаленных от его сторон»; «о кон¬
груэнтности двух сторон треугольника» и др.).
Учитывая, что серьезное изучение и отра¬
ботка с учащимися определений тригономет¬
рических функций и основных тождеств для
синуса и косинуса ведется в курсе алгебры и
начал анализа в IX классе, из билетов исклю¬
чены формулировки определений синуса и ко¬
синуса, доказательства тождеств для синуса и
косинуса.
В первые вопросы билетов включен основ¬
ной теоретический материал:	формулировки
определений и теорем, доказательства теорем.
Вторые вопросы билетов предназначены
для проверки умений учащихся выполнять
различные построения с помощью чертежных
инструментов, применять теоретические зна¬
ния для вывода простейших формул и соотно¬
шений, описывать основные виды преобразо¬
ваний плоскости и их свойства. Например,
построение треугольника по двум углам и
биссектрисе третьего угла, определение рас¬
стояния до недоступной точки, .построение
угла, конгруэнтного данному, и др.
К третьим вопросам билетов указывается
примерное содержание задач и заданий. Сю¬
да вошли задачи на вычисление, построение
и доказательство. Составляя задачи для уст¬
ного экзамена- по геометрии, учитель может
использовать различные пособия, дидактиче¬
ские материалы, дополнительные упражнения
из учебного пособия,.''составлять свои. Уровень
сложности составляемых задач по каждой
45

указанной теме учитель определяет сам, ис¬
ходя из особенностей конкретного ученическо¬
го коллектива.
Предложенное в билетах распределение
учебного материала курса геометрии восьми-
летней школы облегчает учителю работу по
организации тематического повторения в кон¬
це учебного года.
Учитывая трудности, возникающие у учи¬
телей математики при подготовке учащихся
восьмых классов к устному экзамену по гео¬
метрии, предлагаем некоторые методические
рекомендации по проведению этого экзамена
в 1981/82 учебном году.
В первых вопросах билетов 1, 2, 3 основ¬
ным материалом следует считать соответст¬
вующие определения, формулировки и дока¬
зательства. С целью устранения перегрузки
учащихся, экономии времени на экзамене при
ответе на первые вопросы билетов 9, 10, 11
ученик должен сформулировать два предло¬
жения— прямое и обратное (так, как это
сделано в учебном пособии), а затем прове¬
сти доказательство только одного из них (по
усмотрению учителя). В первых вопросах би¬
летов 21, 22 ученику следует рассказать о
возможных случаях, но доказать по предло¬
жению учителя только один или два из них
(при доказательстве теоремы о вписанном
угле одним из них должен быть случай рас¬
положения центра окружности на стороне
угла). В первом вопросе билета 17 ученику
предлагается воспроизвести формулировки
трех признаков подобия треугольников и до¬
казательство одного — о пропорциональности
трех сторон треугольников.
Вопросы, связанные с понятием вектора,
операций над векторами, законами векторной
алгебры, помещены в билетах 11,	12,	16.
Рассказывая о сумме векторов (билет 16),
ученик поясняет, что сумма векторов — это
их композиция; используя чертеж, он пока¬
зывает, каким образом отложить сумму век¬
торов от данной точки. Восьмиклассник дол¬
жен уметь назвать и записать все три зако¬
на сложения векторов; для доказательства
целесообразно выбрать переместительный или
сочетательный закон. Примерно такой же
может быть структура ответа на вторые воп¬
росы билетов 11 и 12. Ученик должен пояс¬
нить понятие разности векторов, рассказать,
каким образом отложить разность векторов
от данной точки. Рассказывая об умножении
вектора на число, он должен воспроизвести
соответствующее определение, затем сказать,
как отложить произведение вектора на число
от данной точки, и записать основные законы
умножения вектора на число.
Вторые вопросы билетов 5, 18, 20, 22, 23
содержат материал, связанный с различными
видами преобразований плоскости. Чтобы
облегчить учащимся составление плана отве¬
та, в них перечислены основные элементы
содержания этого материала; добавлено тре¬
бование — построить с помощью чертежных
инструментов образ выбранной точки при
данном преобразовании. Аналогично может
быть построен ответ на второй вопрос биле¬
та 17. Здесь необходимо дать пояснение
композиции двух поворотов с общим цент¬
ром, указать ее обозначение, построить образ
точки при композиции двух конкретных по¬
воротов, перечислить ее свойства: композиция
поворотов с общим центром есть поворот с
углом, равным сумме углов данных поворо¬
тов, и композиция переместительна.
Для ответа на вопрос, связанный с реше¬
нием прямоугольного треугольника, доста¬
точно воспроизвести в общем виде решение
одной из задач 2, 5 или 1 из п. 78 учебного
пособия.
Во вторые вопросы билетов 3, 6, 7, 8, 13,
14, 16, 19 включены задачи на построение,
решение которых в общем виде приводится в
учебном пособии. Давая ответы на эти воп¬
росы, учащиеся могут не выделять все этапы
решения задачи на построение (анализ, по¬
строение, доказательство, исследование), так
как в учебном пособии они выделяются не
всюду. Во вторых вопросах билетов 19 и 21
к и п должны быть конкретными числами.
На устном экзамене по геометрии не
следует перегружать учащихся требованием
подробного письменного оформления по¬
строений или доказательств. При ответе на
второй или третий вопрос билета ученик
должен выполнить все необходимые построе¬
ния на чертеже с применением соответствую¬
щих инструментов. Пояснения к задаче на
построение он дает устно. При доказательст¬
ве теорем, выводе формул, решении задач на
вычисление и доказательство следует де¬
лать на доске краткие записи основных эта¬
пов доказательства, основные выкладки;
ссылки на какие-либо теоремы, свойства, за¬
коны и т. д. могут быть устными. В записях
ученик может использовать необходимые
символы, но применение символики не долж¬
но усложнять записей, приводить к появле¬
нию ошибок.
Ниже приводим билеты для выпускных
экзаменов по геометрии за курс восьмилет¬
ней школы на 1981/82 учебный год и при¬
мерное содержание заданий к третьим воп¬
росам билетов.
Билеты по геометрии
№ 1
1.	Параллелограмм (определение). Теорема о центре
симметрии параллелограмма. Свойства параллелограмма.
46

2.	Решение прямоугольного треугольника по гипоте¬
нузе и катету.
3.	Задача	на	построение	по	теме	«Окружность»
(VI класс).
№ 2
Ь Прямоугольник (определение). Теорема об оси сим¬
метрии прямоугольника. Свойства прямоугольника.
2.	Решение прямоугольного треугольника по гипоте¬
нузе и острому углу.
3.	Задача	на	вычисление	по	теме	«Окружность»
(VI класс).
№ 3
1.	Ромб (определение). Теорема об оси симметрии
ромба. Свойства ромба.
2.	Построение треугольника по двум сторонам и уг¬
лу, заключенному между ними. Соответствующий приз¬
нак конгруэнтности треугольников (формулировка).
3.	Задача на вычисление по теме «Теорема Пифаго¬
ра» (VIII класс).
№ 4
1.	Трапеция (определение). Теорема о средней линии
трапеции.
2.	Решение прямоугольного треугольника по двум ка¬
тетам.
3.	Задача на построение по теме «Осевая симмет¬
рия» (VI класс).
№ 5
1.	Средняя линия треугольника (определение). Тео¬
рема о средней линии треугольника.
2.	Поворот (определение, обозначение, способы зада¬
ния, построение образа точки, свойства).
3.	Задача на вычисление по теме «Метрические соот¬
ношения в треугольнике» (VIII класс).
№ 6
1.	Вывод формулы площади параллелограмма.
2.	Построение прямоугольного треугольника по гипо¬
тенузе и катету. Соответствующий признак конгруэнт¬
ности прямоугольных треугольников (формулировка).
3.	Задача на вычисление по теме «Длина окружности
и площадь круга» (VIII класс).
№ 7
д*Л
1.	Вывод формулы площади треугольника: 5 =
2.	Построение угла с заданной стороной ОА, кон¬
груэнтного данному углу ХОУ.
3.	Задача на вычисление по теме «Метрические соот¬
ношения в треугольнике» (VIII класс).
№ 8
1.	Вывод формулы площади трапеции.
2.	Построение треугольника ЛВС по углам а и (3 и
биссектрисе /с.
3.	Задача на доказательство по теме «Симметрия фи¬
гур» (VI класс).
№ 9
1.	Теорема о множестве точек плоскости, равноуда¬
ленных от концов отрезка.
2.	Выражение стороны правильного п-угольника через
радиус описанной около него окружности.
3.	Задача по теме «Векторы» (VII класс).
№ 10
1.	Теорема о множестве точек выпуклого угла, рав¬
ноудаленных от его сторон.
2.	Вывод формулы площади правильного многоуголь¬
ника через радиус описанной около него окружности.
3.	Задача на построение по теме «Четырехугольники»
(VII класс).
№ и
1.	Теорема о конгруэнтности двух сторон треуголь¬
ника.
2.	Вычитание векторов.
3.	Задача на вычисление по теме «Вписанный угол»
(VIII класс).
№ 12
1.	Теорема о диаметре, перпендикулярном хорде.
2.	Произведение вектора на число (определение). Ос¬
новные законы умножения вектора на число.
3.	Практическая работа: вычисление площади пласти¬
ны, имеющей форму правильного восьмиугольника
(VIII класс).
№ 13
1.	Теорема о центрально-симметричных прямых.
2.	Построение треугольника по трем сторонам. Соот¬
ветствующий признак конгруэнтности треугольников
(формулировка).
3.	Задача на вычисление по теме «Правильные мно¬
гоугольники» (VIII класс).
№ 14
1.	Теорема о сумме углов треугольника.
2.	Построение серединного перпендикуляра к отрезку.
3.	Задача на вычисление по теме «Подобные много¬
угольники» (VIII класс).
№ 15
1.	Теорема о сумме углов выпуклого л-угольника.
2.	Измерение расстояния до недоступной точки.
3.	Задача на построение по теме «Центральная сим¬
метрия» (VI класс).
№ 16
1.	Сумма векторов. Основные законы сложения век¬
торов (доказательство одного из этих законов).
2.	Построение треугольника по стороне и двум при¬
лежащим к ней углам. Соответствующий признак кон¬
груэнтности треугольников (формулировка).
3.	Практическая работа: вычисление площади комби¬
нированной фигуры (VIII класс).
№ 17
1.	Признаки подобия треугольников (доказательство
одного из признаков).
2.	Композиция двух поворотов с общим центром.
3.	Задача на построение по теме «Симметрия фигур»
(VI класс).
№ 18
1.	Теорема Пифагора.
2.	Центральная симметрия (определение, обозначение,
способы задания, построение образа точки, свойства).
3.	Практическая работа: вычисление площади пласти¬
ны, имеющей форму неправильного пятиугольника
(VII класс).
№ 19
1.	Вывод формулы площади треугольника:
5	= аЬ з1п С.
2.	Построение многоугольника, гомотетичного данно¬
му с коэффициентом гомотетии, равным к.
3.	Задача на доказательство по тепе «Построение
треугольников* (VI класс).
47

№ 20
1.	Теорема синусов.
2.	Параллельный перенос (определение, обозначение,
способы задания, построение образа точки, свойства).
3.	Задача па построение по теме «Окружность»
(VI класс).
№ 21
1.	Теорема косинусов.
2.	Деление отрезка на п конгруэнтных отрезков.
3.	Задача на доказательство по теме «Четырехуголь¬
ники» (VII класс).
№ 22
1.	Вписанный угол (определение). Теорема о величи¬
не вписанного угла.
2.	Осевая симметрия (определение, обозначение, спо¬
собы задания, построение образа точки, свойства).
3.	Задача по теме «Векторы» (VII класс).
№ 23
1.	Теорема об окружности, описанной около любого
треугольника.
2.	Гомотетия (определение, обозначение, способы за¬
дания, построение образа точки, свойства).
3.	Задача на вычисление по теме «Четырехугольни¬
ки» (VII класс).
Примерное содержание задач и заданий
к третьим вопросам билетов по геометрии
№	1.	Задача типа	№ 367,	368.
№	2.	Задача типа	№ 355,	356.
№	3.	Задача типа	№	971.
№	4.	Задача типа	№	267.
№	5.	Задача типа	№	1115,	1118.
№	6.	Задача типа	№	1229,	1230.
№	7.	Задача типа	№	1120,	1123.
№	8.	Задача типа	№ 297,	298.
Ла	9.	Задача типа	№ 831.
№	10.	Задача типа	№ 565,	616.
№	11.	Задача типа	№	1173,	1174.
.№	12.	Задача типа	№	1214,	1219, 1220.
№	14.	Задача типа	№ 994,	1003.
№	15.	Задача типа	№ 245,	249, 252.
№	16.	Задача типа	№ 1242.
ЛЬ	17.	Задача типа	№ 305,	306.
№	19.	Задача типа	№ 285,	286.
№	20.	Задача типа	№ 360,	361.
№ 21. Задача типа № 615, 646 (2).
№	22.	Задача типа	№ 847,	850.
№	23.	Задача типа	Л'» 655,	656.
Номера задач указаны по учебному пособию «Гео¬
метрия 6—8» под редакцией А. Н. Колмогорова (М.:
Просвещение, 1979).
УЧЕБНОЕ ОБОРУДОВАНИЕ
Новое в диафильмах
по математике
Ю. А. Глазков (Москва)
В настоящее время фонд диафильмов по математике
пополнился следующими лентами, созданными на сту¬
дии «Диафильм» (в скобках указан автор и год вы¬
пуска) :
1.	«Множества и операции над ними» (В. Нодельман,
1979).
2.	«Прямоугольные координаты в пространстве»
(М. Волович и II. Камаев, 1978).
3.	«Целые неотрицательные числа и дроби» (П. Ка¬
маев, 1979).
4.	«Длина окружности и площадь круга» (П. Кама¬
ев, 1980).
5.	«Использование гомотетии для р*ешения задач и
доказательства теорем» (Ю. Глазков, 1979).
6.	«Логическое строение геометрии» (В. Болтянский,
1979).
7.	«Многогранники» (Е. Арутюнян, 1979).
8.	«Углы и их виды» (М. Волович, 1980).
9.	«Числовые неравенства и их свойства» (Г. Леви-
тас, 1979).
Несмотря на большие различия в содержании эти
диафильмы имеют общие черты, отличающие их от лент
предыдущих выпусков. Знание этих особенностей помо¬
жет учителям использовать диафильмы с наибольшей
эффективностью. Это знание полезно н тем учителям,
которые создают самодельные диафильмы.
Отметим прежде всего, что все перечисленные диа¬
фильмы предназначены для использования во время
объяснения нового материала. Поэтому они состоят из
отдельных фрагментов, содержанием каждого из кото¬
рых является, как правило, материал одного пункта
учебника. Работа с таким фрагментом занимает от 10
до 20 мин урока, т. е. примерно столько, сколько обыч¬
но отводится на изложение нового материала. Для
удобства использования конец каждого фрагмента от¬
мечен треугольником в правом нижнем углу кадра. Во
всех диафильмах, кроме (6) ', последние один-два кад¬
ра содержат краткие рекомендации учителю. Такая
«жесткая привязка» диафильма к учебнику облегчает
включение фрагментов в ткань урока. Вместе с тем при
изменении учебника некоторые кадры, а то и фрагмен¬
ты, становятся непригодными для использования. На¬
пример, исключение из учебника математики для
V	класса материала о классификации треугольников
сделало ненужным последний фрагмент диафильма (!).
Структура большинства кадров одинакова: краткий
текст, содержащий порцию учебного материала (опре¬
деление, формулировка теоремы, разъяснение понятия
или алгоритма), рисунок, по которому учитель может
пояснить смысл текста, а учащиеся — ответить на вопоо-
сы, содержащиеся в этом же кадре или сформулирован¬
ные учителем. Немало имеется и кадров, состоящих
только из зрительного ряда и заданий. Таким образом,
одной из целей создания диафильмов является помощь
учителю в организации деятельности учащихся на этапе
изложения нового материала.
Для перечисленных дцафальмоз характерны задания,
направленные на формирование логической культуры
учащихся. Так в кадре 15 диафильма (3) требуется
выяснить, какой является каждая из данных шести
дробен: правильной или неправильной. При этом две
дроби написаны так, что у одной закрыт числитель, а
у другой — знаменатель. Эта задача па распознавание
требует использования трехзначнон логики, т. е. воз¬
можны ответы: «правильная», «неправильная», «неиз¬
вестно». Именно такая логика применяется в матема¬
тических задачах. Например, пусть нам известно, что
две стороны четырехугольника параллельны. Можно ли
в этом случае назвать его параллелограммом? Неизвест¬
но. Надо установить параллельность или непараллель-
ность двух других сторон. Таким образом, мы посто¬
янно сталкиваемся с вопросами, ответы на которые
могут быть выражены словами «да», «нет», «неизве¬
стно».
Такие ответы требуется дать и при выполнении зада¬
ний из кадров 16, 20, 25 диафильма (1). Например,
1 Здесь и далее в круглых скобках указаны номера
диафильмов из приведенного в начале статьи списка. '
48

Какие буквы следует Вставить
в пустые клетки:
И (истинно), Л (ложно), н (неизвестно)?
Рис. 1
Лцч. который Выходит из бевшины игла и
делит его пополам, называется биссектрисойигла
Я/
1
/ X
+
I /
/ /
+
/ у' —
IX
+
1х ^
О
с
Му/8 ^ с
А,
+
А! У Л
в 1,11
с
1
« ©. з
Рис. 2
в кадре 25 (рис. 1) предлагается заполнить таблицу
истинности, в третьей строке которой как раз и при¬
дется поставить букву «Н», поскольку если х(^ В, то
он может как принадлежать множеству А, так и не
принадлежать ему.
Кстати, задания, требующие заполнения пропускав в
таблицах или текстах, встречаются почти во всех рас¬
сматриваемых диафильмах и их можно выполнить устно.
Новая форма работы с определениями предлагается
в диафильме (8). Например, в тексте определения, при¬
веденном в кадре 14 (рис. 2), слова, обозначающие ви¬
довые признаки, выделены разными красками (на рис. 2 —
подчеркиванием слов одной, двумя или тремя линиями),
а рядом с примерами, содержащимися в том же кад¬
ре, знаками «плюс» или «минус» соответствующих цве¬
тов отмечено наличие или отсутствие этих признаков у
каждого из объектов и принадлежность объектов к
данному понятию. Работу с этим кадром можно орга¬
низовать следующим образом. Учитель разъясняет, что
луч называется биссектрисой угла только в том случае,
есЛи выполняются оба подчеркнутых в определении ус¬
ловия, и иллюстрирует свои слова на двух первых чер¬
тежах. Далее учащимся предлагается подробно объяс¬
нить знаки «плюс» и «минус» на остальных чертежах.
Такое оформление работы позволяет учащимся не толь¬
ко усвоить данное определение, но и учит их работе
с любым определением, имеющим такую же логическую
структуру.
Кроме заданий на распознавание, большое значение
имеют задания на отыскание следствий из факта при¬
надлежности или непринадлежности объекта к данному
понятию. Организовать такую работу с понятием «бис¬
сектриса» помогает кадр 15 этого же диафильма. В кад¬
ре имеется текст: «Если луч не является биссектрисой
угла, то он либо не выходит из его вершины, либо не
делит угол пополам» и чертежи углов и лучей, анало¬
гичные чертежам в предыдущем кадре. По ним учитель
может пояснить, что если луч является биссектрисой
угла, то выполняются оба следствия; если же луч не яв¬
ляется биссектрисой угла, то не выполняется то или
иное (а может быть и оба) из следствий.
Для организации усвоения формулировки теоремы
важно выявить ее структуру, установить, какие из дан¬
ных объектов удовлетворяют условию теоремы, какие
выводы из этого следуют. Например, наряду с форму¬
лировкой теоремы об отображении, обратном гомотетии,
в кадре 8 диафильма (5) имеются задания: «Сформули¬
руйте условие теоремы, ее заключение. Определите вид
отображения, обратного
г/3	^/0,5
А/р9 /7р
Используя чертеж кадра, учитель может предложить
учащимся определить вид данного отображения, найти,
на какие точки оно отображает указанные точки; найти
обратное ему отображение.
Большую помощь учителям в деле формирования ло¬
гического мышления школьников окажет диафильм (6).
Первый фрагмент диафильма посвящен истории разви¬
тия геометрических представлений, формирования логи¬
ки геометрии (он может использоваться на первых уро¬
ках в VI классе и на заключительных в VIII). Осталь¬
ные фрагменты посвящены разъяснению структуры тео¬
ремы, необходимых и достаточных условий, понятия
теоремы, обратной данной, доказательству от противно¬
го. В основе содержания диафильма лежат идеи, иы-
сказанные его автором в статье «Как устроена теоре¬
ма?» («Математика в школе», 1973, № 1). В частности,
в формулировке теоремы В. Г. Болтянский различает
разъяснительную часть, условие и заключение, что поз¬
воляет 'проводить более тонкий анализ формулировок
теорем. Зрительный ряд и текст диафильма построены
таким образом, что учитель может работать по ним в
точном соответствии с ныне действующим учебным по¬
собием по геометрии для VI—VIII классов.
Одним из важнейших аспектов логической культуры
является владение общими приемами доказательств тео¬
рем. В основе умения проводить доказательство лежат
умственные действия: «отыскание следствий» и «отыска¬
ние достаточных совокупностей», т. е. совокупностей
условий, из которых следует заключение теоремы.
Это положение реализовано в диафильмах (2), (5),
(7), (9). Рассмотрим кадры 10—12 последнего из них.
При демонстрации кадра 10 (рис. 3) от учащихся тре¬
буется выяснить, какие следствия можно получить из
того, что а<Ь и с>0 (на это указывает стрелка, иду¬
щая от условия теоремы), на основе каких предложений
можно сделать вывод, что ас<Ьс (на это указывает
стрелка, идущая к заключению теоремы). В качестве
«подсказки» слева приведены три теоремы, известные
к этому времени учащимся. После того как ученики
под руководством учителя найдут следствие из условия
теоремы и предложение, из которого следует ее заклю¬
чение, демонстрируется очередной кадр, в котором эти
предложения зафиксированы (его фрагмент дан на
.рис. 4,а). Единицы, стоящие в кружках около стрелок,
указывают, что в доказательстве использовано первое из
трех предложений, данных для справок. Снова орга¬
низуется' поиск следствий и достаточных совокупностей,
3	Математика в школе, М 6
49

Дано:
а<Ь,с>0
Для справок:
® (а<Ь) <=^(а-Ь<0)',
© (а<Ь,Ь<с) <^(а<с);
(3) (а <Ь, с -любое число) ^>(а-с<Ь-с)
Доказать:
ас <Ьс
Докажите теорему:если а<ь, с>0,то ас<Ьс.
10
Рис. 3
а полученные результаты фиксируются в следующем
кадре (рис. 4,6). Теперь можно предложить кому-либо
из учащихся полностью повторить доказательство, объ¬
ясняя каждый его шаг. После этого предлагается от¬
ветить на вопрос: «Как изменится формулировка и до¬
казательство теоремы при с<0?».
Так же (в виде блок-схемы) оформлены кадры с до¬
казательствами теорем в диафильмах (2) и (7). В диа¬
фильме (5) тексты доказательств записываются в стро¬
ку, но работа с ними ведется аналогично описанной
выше.
В заключение отметим еще раз, .это реализация об¬
щих подходов к работе с определениями и теоремами
будет способствовать повышению логической культуры
учащихся. И в этом деле существенную помощь,учите¬
лю могут оказать диафильмы.
^кранные пособия
и их изготовление
Чертежи на фотопленке
Если учителю необходимо ^заранее приготовить не¬
сколько чертежей по какой-либо теме, то он может
оформить их в виде диапозитивов.
Для диапозитивов подойдет обычная фотопленка
шириной 35 мм. Ее надо засветить и разметить по кад¬
рам. Разметку удобно делать с помощью иглы, укреп¬
ленной на конце деревянной палочки. Каждый кадр
лучше обозначить римской цифрой в правом нижнем
углу. Затем с помощью чертежных инструментов на
эмульсионном слое пленки карандашом делается нуж¬
ный чертеж. Если чертеж получился правильным и точ¬
ным, то по следу карандаша проводят иглой. Она сни¬
мает эмульсионный слой фотопленки, оставляя прозрач¬
ные полосы. Лучше провести иглой по одному и тому
же следу несколько раз, чтобы получить яркую светлую
линию на темном фоне кадра.
Для того чтобы выделить цветом некоторую линию
на чертеже, пленку с чертежом, процарапанным иглой,
следует проявить и закрепить. Затем эту линию доста¬
точно закрасить тушью нужного цвета. Если не обра¬
ботать фотопленку, то при работе с диапроектором,
имеющим сильный световой поток (типа ЛЭТИ-60), на
экране могут просматриваться блики от туши, т. е. ос¬
вещенность экрана не будет однотонной.
Чертежи должны занимать всю площадь кадра, тогда
при проекции мы получим изображение на весь экран,
что немаловажно для хорошего восприятия.
Если учитель изготовляет отдельные диапозитивы, то
их можно вставить в специальные рамки, которые про¬
даются в магазинах культтоваров. Но лучше всего не
разрезать фотопленку, а изготовить на ней целый диа¬
фильм по какому-либо разделу программы.
Н.	А. Гринченко (с. Ишимка Тургайской обл.)
«Монтажный столик»
С помощью кодоскопа можно демонстрировать на экра¬
не моделирование чертежа, накладывая на кодопози-
тив с основным изображением другие, на каждом из
которых показан один этап дополнительных построе¬
ний. Для этого все кодопозитивы и все соответствующие
элементы чертежа должны точно совмещаться друг с
другом. Достигнуть этого не так просто.
Помочь делу может простое приспособление, кото¬
рое условно назовем «монтажный столик» (см. рис. 1).
Это пластинка (1) из текстолита или другого материа¬
ла, имеющая гладкую поверхность. В ней закреплены
штифты (2) диаметром 5 мм. Расстояние между ними
равно расстоянию между штифтами кодоскопа, а их
диаметр такой же, как у штифтов кодоскопа. К осно¬
ванию столика заклепками или винтами (3) крепится
50

упор (45, представляющий собой металлический уголок.
Приспособление снабжено шаблоном — металлической
прямоугольной пластинкой (5). Ее размеры такие же,
как и у кодопозитивов, изготавливаемых промышлен¬
ностью, т. е. 140x225 мм. В шаблоне проделаны отвер¬
стия, которые позволяк^т плотно насаживать его на
штифты «столика».
Для изготовления кодопозитива необходимо сначала
сделать заготовку из пленки нужных размеров. Для
этого накладываем пленку на основание (1) «монтаж¬
ного столика» так, чтобы она лежала на штифтах ос¬
нования и своим ровным срезом была придвинута
вплотную к упору. Сверху накладываем шаблон, отвер¬
стия которого совпадают со штифтами основания, и,
нажав на него, делаем две просечки в пленке. Затем
по шаблону обрезаем пленку. Пленку можно наклады¬
вать в два или три слоя. Тогда соответственно получа¬
ем две или три заготовки для кодопозитива.
Перед тем как приступить к рисованию кодопозити¬
ва, надо изготовить на бумаге контрольный чертеж.
Для этого лист бумаги насаживаем на штифты «сто¬
лика» и обводим шаблон карандашом, чтобы получи¬
лась рамка, в поле которой надо делать чертеж. Вы¬
полнив чертеж на бумаге, накладываем на нее заго¬
товку из пленки и копируем все (нужные для демон¬
страции на первом этапе) линии контрольного чертежа.
Затем накладываем вторую заготовку и на ней изобра¬
жаем второй этап дополнительных построений и т. д.
до тех пор, пока на «монтажном столике» не получим
точную копию контрольного чертежа.
Б. Г. Егорин (с. Большая Буконь Семипалатинской обл.)
Два приспособления для эпидиаскопа
Приспособление 1 служит для демонстрации
вращательного движения (рис. 2). Оно состоит (рис. 2,а)
из пластинки оргстекла (1) толщиной 4 мм, в центр
которой с помощью клея вставлена ось (2), выступаю¬
щая из пластинки на 4 мм. На ось насажена рентгенов¬
ская пленка такого же формата (3) с изображением
круга диаметром 60 мм, центральным углом АОВ и
дугой АВ. Затем на ту же ось помещают диск (4) из
прозрачного оргстекла диаметром 72 мм и толщиной
4	мм На диске тоже изображен круг диаметром 60 мм,
центральный угол СОО и дуга Сй.
Собранное приспособление вставляют в пазы пере¬
движной рамки, которая является принадлежностью
эпидиаскопа (см. рис. 2,6). Для приведения во враще¬
ние диска (4) используется специальная колодка
(рис. 2,в). Ее насаживают на рамку эпидиаскопа так,
чтобы обеспечить фрикционное сцепление между дис¬
ками (4) и (5). Для улучшения сцепления на диск (5),
который выточен из металла (его диаметр 45 мм, тол¬
щина 3 мм), надевают резиновое кольцо (6). Колодка
удерживается на рамке двумя винтами (7).
Если теперь рукой привести во вращение диск (5),
то за счет фрикционного сцепления будет обеспечен по¬
ворот диска (4), а следовательно, и обозначенных на
нем фигур. Взаимное расположение фигур хорошо вид¬
но на экране. Это приспособление можно применять в
процессе изучения тем «Центральные углы и дуги»,
«Поворот плоскости вокруг точки» и др.
Приспособление 2 служит для демонстрации
параллельного переноса геометрических фигур (рис. 3).
Его изготовляют из листа картона размерами 180Х
Х180 мм. На лист наклеивают две горизонтальные кар¬
тонные полоски (2). Между полосками размещается
движок (3) с ограничителями (4). К обеим картонным
полоскам приклеивают лист ватмана (5) размерами
180 X 60 мм, т. е. этот лист втрое короче картонного
основания. Он прижимается к движку (3) двумя лице¬
выми накладками (6), которые' приклеиваются к кар¬
тонным полоскам (2) поверх листа (5). На ватмане
изображается какая-либо фигура, из которой вырезает-
Д Рис. 2	V	Рис.	3
2	1	300	6
ся ее внутренняя область. (На рис. 3 изображен тре¬
угольник ЛВС.) На движке следует нарисовать ту же
самую фигуру и провести лучи, параллельные направ¬
лению смещения движка. Пока движок вдвинут впра¬
во до лицевой накладки (7,а), изображения на ватма¬
не и на движке совпадают. Когда же движок переме¬
щается влево, к противоположной лицевой накладке
(7,6), изображение на нем (треугольник Л1В1С1) посте¬
пенно выступает из-за края ватмана, и становятся вид¬
ны пунктирные линии, соединяющие соответствующие
точки.
При демонстрации приспособление помещают на столик
эпидиаскопа, тогда на экране возникает смоделирован¬
ное подвижное изображение.
Н.	С. Подпоркин (г. Воронеж)
3*
51

ЭКСПЕРИМЕНТ
Опыт, задачи и возможности
обучения школьников основам
программирования с заочным
использованием вычислительной
техники
Ю. А. Первин, Н. А. Юнерман (г. Новосибирск)
Программированию, или, более широко, информатике,
предстоит сыграть в средней школе двоякую роль.
В силу своей методологической роли школьная ин¬
форматика является главным орудием формирования
операционного мышления учащихся, соответствующего
требованиям современного этапа научно-технической
революции. Инструментальная роль это» дисциплины
определяется тем, что она может служить средством со¬
вершенствования методики преподавания в ряде школь¬
ных дисциплин. Оба этих фундаментальных предназна¬
чения школьной информатики обосновывают необходи¬
мость включить эту дисциплину в школьную учебную
программу. Причем эта проблема стоит не перед от¬
дельными специализированными школами, а перед си¬
стемой народного образования в целом.
В настоящее время существует определенный опыт
для организации эксперимента по постановке школьно¬
го курса программирования. Думая о внедрении курса
информатики в массовую школу, важно учитывать, что,
во-первых, все виды обеспечения школьной информати¬
ки требуют значительных кадровых и материальных
ресурсов и, во-вторых, становление курса информатики
в массовой школе прямо или косвенно касается жизни
и деятельности всего общества.
Поэтому естественный путь внедрения школьной ин¬
форматики представляется длительным и эволюцион¬
ным, включающим несколько этапов, уровней, которые
соответствуют различной степени технической оснащен¬
ности школ и подготовленности кадров.
Высший уровень технической оснащенности предпо¬
лагает наличие подключенного к ЭВМ терминала (дис¬
плея) на каждом школьном рабочем месте. Тогда уче¬
ник имеет возможность постоянно и оперативно об¬
щаться с доступными информационными, справочными,
контролирующими и обучающими системами. Сегодня
о	школах с таким техническим обеспечением можно
говорить только как о школах будущего.
Более близкая перспектива связывается с переходным
периодом от типовой сегодняшней школы к школе бу¬
дущего. В школе переходного периода установлены
2—3 терминала. Общение учащихся с машиной органи¬
зовано в виде лабораторных работ, которые могут ох¬
ватывать несколько школьных дисциплин. Учебная
программа по курсу информатики учитывает это огра¬
ничение технического обеспечения. К числу школ пе¬
реходного периода можно отнести небольшое пока чис¬
ло нынешних экспериментальных и специализированных
школ, внешкольных учреждений, имеющих контакты с
крупными ВЦ в важнейших научных центрах. Препода¬
вание информатики в них возможно уже сегодня, а
эксперименты в этом направлении проводятся в тече¬
ние нескольких лет [1].
Начальный этап работ по постановке школьного кур¬
са информатики относится к типовым сегодняшним
школам. Впрочем, и среди них выделяются школы, рас¬
положенные в крупных городах, научных, промышлен¬
ных и сельскохозяйственных центрах, имеющих доста¬
точные ресурсы информационных и вычислительных
мощностей, которые обеспечивают по крайней мере эпи¬
зодические контакты ребят с ЭВМ. Как правило, такие
школы имеют факультативы и кружки, руководимые
профессиональными программистами. Преподавание ин¬
форматики в них может быть организовано по мере
создания технической базы.
Несомненно, однако, что предмет главной заботы —
все общеобразовательные школы страны (включая и
отдаленные сельские). Возможность создания в них
технической базы преподавания информатики зависит
от темпов развития информационных сетей, вычисли¬
тельных центров коллективного пользования и средств
связи. Сложившаяся в массовой школе ситуация с пре¬
подаванием программирования — типичные «ножницы»:
с одной стороны, нарастает интерес к этому курсу и
потребность в нем, а с другой стороны, отсутствуют
технические средства для реализации такого курса.
Предлагавшаяся отдельными авторами в последние го¬
ды идея «безмашинного» программирования, при кото¬
ром школьники знакомятся с этой новой дисциплиной
только по учебнику и рассказам учителя, представляет¬
ся недостаточно эффективной. Ее эффективность можно
сравнить с результатами изучения устройства и вож¬
дения автомобиля по плакатам.
Тем не менее решение проблемы существует. Уже в
сегодняшней массовой школе многие важнейшие по¬
нятия информатики, связанные с программированием,
и навыки операционного стиля мышления могут быть
сформированы путем заочного использования ресурсов
вычислительных центров; хотя, по-видимому, не в пол¬
ном объеме и менее глубоко. Этот путь можно рас¬
сматривать в качестве временной, вынужденной меры.
Длительность такого периода нужно оценивать реаль¬
но, а потому следует внимательно обсудить организа¬
цию учебной работы в школе с заочным использова¬
нием технических возможностей крупных ВЦ.
В числе положений для такого ,обсуждения могут
служить, в частности, некоторые выводы из опыта ста¬
новления и работы Всесоюзной заочной школы про¬
граммирования, организованной в 1979 г. Вычислитель¬
ным центром Сибирского отделения АН СССР совмест¬
но с журналом «Квант». Школа ставит своими задача¬
ми: ознакомить школьников, учащихся ПТУ и препода¬
вателей. с идеями и методами современной информа¬
тики; способствовать формированию у учащихся алго¬
ритмической культуры и операционного стиля мышле¬
ния; обеспечить возможность взаимодействия с совре¬
менной вычислительной техникой для школьников раз¬
личных возрастных групп и различных географических
регионов (в первую очередь, для отдаленных и сельских
районов); провести экспериментальное опробывание в
широких масштабах методики преподавания програм¬
мирования, используемой в СО АН СССР; создать еди¬
ную методическую основу для работы кружков про¬
граммирования в школах и внешкольных детских уч¬
реждениях.
При разработке учебной программы Заочной школы
были учтены требования к школьному курсу информа¬
тики [2], реализованные к тому времени, в частности,
в деятельности школы юных программистов при ВЦ
СО АН СССР. Основные разделы программы1 изучаются
в следующем порядке:
основные понятия и законы программирования на ба¬
зе диалогового алгоритмического языка начального об¬
учения Робик;
формирование основных навыков и приемов програм¬
мирования на основе изучения учебно-производственного
языка Рапира и системы машинной графики «Шпа¬
га» [3];
язык программирования Паскаль и его применение
для решения прикладных задач.
Программа Всесоюзной заочной школы программиро¬
вания рассчитана на три года.
Материалы Заочной школы урок га уроком публику¬
ются в разделе «Искусство программирования» журнала
52

«Квант» вместе с контрольными заданиями (4—6 уп¬
ражнений к каждому уроку). Для учащихся установлен
Двухнедельный срок со дня получения журнала, в ко¬
торый они должны выполнить контрольные задания и
прислать решения в Вычислительный центр СО АН
СССР. Проверенные работы с замечаниями проверяю¬
щего высылаются учащимся.
Выполнение некоторых контрольных заданий заклю¬
чается в составлении программы для ЭВМ. Если такая
программа не содержит грубых ошибок, то ее запус¬
кают на счет, и полученная распечатка программы вме¬
сте с другими результатами ее работы (рисунок, диа¬
позитив и т. д.) отправляются • школьнику-корреспон-
денту.
Всесоюзная заочная школа смогла стать реальной
формой работы с ребятами после ряда разноплановых
экспериментов с заочным преподаванием программиро¬
вания.
В Вычислительном центре СО АН СССР ведется пе¬
реписка как с отдельными учащимися, так и с «кол¬
лективными учениками» — кружками юных программис¬
тов. Каждая группа «коллективный ученик» объединя¬
ет от 5 до 20 школьников. На местах работой таких
групп руководят, как правило, учителя математики. Го¬
раздо реже руководителем группы становится програм¬
мист-профессионал. В ряде случаев ребята сначала са¬
мостоятельно выполняют все задания, а затем в ре¬
зультате совместного обсуждения выбирают лучшее ре¬
шение каждого упражнения, которое и присылается для
проверки в Заочную школу. В группах «коллективный
ученик», которыми руководят педагоги-программисты,
предварительно проводятся занятия по изучению теоре¬
тического материала уроков заочной школы.
С точки зрения оперативности переписки в более бла¬
гоприятных условиях находятся близлежащие города
и села, хотя даже расстояния Харьков — Новосибирск
и Москва — Новосибирск не стали помехой для инте¬
ресной работы школьных кружков.
Замечательным преимуществом близких корреспонден¬
тов становится возможность организовать не только
устойчивый учебный процесс с двухнедельным темпом
обмена информацией, но и посещение базового ВЦ
школьниками-заочниками в дни каникул. Именно таки¬
ми были контакты группы школьной информатики ВЦ
СО АН СССР с кружком сельских программистов Но¬
восибирской области. Сейчас готовится более широкое
продолжение этого- эксперимента в одной из школ Ал¬
тайского края.
Опь)т работы с юными программистами-заочниками
позволил выработать взгляд на возрастной ценз уча¬
щихся. Если советский и зарубежный опыт [4] очного
общения школьников с ЭВМ подтверждает необходи¬
мость и возможность раннего (начиная со второго клас¬
са) обучения их основам программирования, то для за¬
очного освоения программирования необходим ряд ка¬
честв, которые формируются у школьников позднее.
По-видимому, наиболее целесообразно начинать заочное
образование в области программирования с VI' класса.
Такова, в частности, ориентация Всесоюзной заочной
школы. Тем не менее, в ее составе активно и успешно
занимается некоторое число учащихся IV и V классов.
Факт более медленного формирования необходимых
навыков при заочном обучении программированию об¬
основан. Это лишний раз подтверждает анализ типо¬
вых ошибок заочников. Сохраняя, в основном, харак-
. терные ошибки новичков-очников, заочные учащиеся за¬
метно отличаются более медленным восприятием стро¬
гости грамматики алгоритмических языков. Например,
зная, что предписания заканчиваются символом «;», а
параметры, перечисляемые в описании или вызове про¬
цедуры, отделяются запятыми, наши корреспонденты
довольно долго позволяют себе свободное обращение
с этими символами, меняя их роли, заменяя их другими
символами или опуская вовсе. Привычные в математике
греческие буквы а, 8, б, я и т. п. без всякого смуще¬
ния учащиеся переносят в не допускающие их языки
программирования. ‘ Заочники долго не отказываются
от устойчивых математических записей. Например, пи¬
шут 2ц там, где язык обязывает писать 2 * ПИ и т. п.
Вместе с те^, заочники часто отличаются большой
любознательностью и настойчивостью. Часто в дополне¬
ние к решениям обязательных заданий они присылают
решения как необязательных, так и самостоятельно по¬
добранных задач. Примечательным в этом отношении
можно Назвать письмо семиклассницы одной из сель¬
ских школ Новосибирской области, которая, познако¬
мившись с возможностями графической системы «Шпа¬
га», прислала программу рисования графиков много¬
членов, построением которых она занималась на уроке
математики.
Такие находки показывают, что главные цели школь¬
ного курса программирования, как методологическая,
так и инструментальная, при заочном использовании
вычислительной техники и даже при заочном обучении
достижимы.
Заочная форма обучения требует специфических ме¬
тодов стимулирования и поощрения школьников. • На
современном этапе кружковой работы эту роль игра¬
ют, в частности, приглашения на Всесоюзные летние
школы юных программистов в новосибирском Академ¬
городке [5]. Всевозможные конкурсы программируемых
рисунков, конференции школьных научных работ, на¬
граждения активистов школы могут быть использова¬
ны наряду с другими . стимулами и на последующих
этапах этого педагогического эксперимента, т. е. при
освоении всей системой народного образования методов
заочной эксплуатации вычислительной техники. Не сле¬
дует забывать, что само по себе получение правильного
результата с вычислительной машины практически всег¬
да вызывает у школьника высокий эмоциональный
подъем и служит активным стимулом.
Хотя авторы оперируют, в основном, концепциями и
результатами группы, работающей в Сибирском отде¬
лений АН СССР, они располагают информацией о серь¬
езной работе и интересных результатах по заочному
обучению школьников в Институте кибернетики АН
УССР в Киеве (украинская республиканская телеви¬
зионная игра «Кибернетический фитотрон»! в Институ¬
те математики и кибернетики АН Литовской ССР в
Вильнюсе (Литовская республиканская заочная школа
юных программистов) и т. д.
Таким образом, назрел вопрос об обобщении опыта с
целью выработки единой платформы для централизо¬
ванной и локальной работы со школьниками. Своевре¬
менным стало бы обсуждение ближайших перспектив
расширения сети заочного использования вычислитель¬
ной техники при обучении программированию. Основная
трудность последней проблемы — ограниченные техниче¬
ские ресурсы. Рассчитывать на технические- возможности
какого-либо одного даже очень мощного ВЦ (так, как
это делалось до последнего времени) нельзя. Однако
представляется вполне реальным, что Министерство про¬
свещения СССР сможет найти поддержку партийных и
государственных органов в региональных центрах /сто¬
лицах союзных и автономных республик, центрах краев
и областей), если выступит с предложением выделить
определенную долю ресурсов вычислительных центров
для помощи школам соответствующего региона.
Для распространения Ьо региональным центрам опы¬
та заочного использования вычислительной техники в
учебных целях' необходимо решить вопросы учебно-ме¬
тодического и кадрового обеспечения. В этом деле Все¬
союзная заочная, школа программирования ориентиру¬
ется на- создание сети крупных филиалов. Сейчас уже
действуют и приступают к работе Северо-Западный
филиал с центром в Ленинграде (Ленинградский инсти¬
тут авиационного приборостроения), Уральский (Сверд¬
ловский педагогический институт), Поволжский (Казан¬
ский университет им. В. И. Ульянова-Ленина), Казах¬

станский (Петропавловск?! педагогический институт).
^Филиалы автономно работают со школьниками своих
регионов, сообщая в дирекыию Всесоюзной заочной шко¬
лы программирования лишь общие итоги работы и оп¬
ределенные статистические данные. Налажены устойчи¬
вые методические связи, предусматривающие регуляр¬
ные (не реже, чем раз в год) личные встречи предста¬
вителей филиалов и дирекции школы. В настоящее вре¬
мя такие методические встречи совмещаются с приез¬
дом представителей филиалов во главе региональных
делегаций на летние школы юных программистов.
Широкое распространение заочных форм работы со
школьниками обязательно должно учитывать националь¬
ные языковые особенности. Недаром в заочной школе
программирования, ведущей свои занятия пока только
на русском языке, процент, например, прибалтийских и
закавказских 'корреспондентов существенно ниже, чем
в целом по стране, и ни в коей мере не соответствует
той активности и уровню знаний, которые проявляют
юные программисты этих регионов в своих местных
школах и внешкольных детских учреждениях. Поэтому
очень важно поддерживать и всячески стимулировать
любое начинание и, тем более, ценный практический
опыт в разработке национального учебно-методического
и программного обеспечения школьного курса инфор¬
матики.
Литература
1.	Ершов А. П., Звенигородский Г. А., Литерат С. И.,
Первин. Ю. А. Работа со школьниками в области ин¬
форматики. Опыт Сибирского отделения АН СССР. —
Математика в школе, 1981, № 1.
2.	Первин Ю. А. Информатика в школе (трудности
и возможности). — Математика в школе, 1980, № 3.
3.	Звенигородский Г. А., Первин Ю. А., Юнерман Н. А.
Заочная школа программирования (рубрика). — Квант,
1979,	№ 9—11, 1980, № 1—3, 9—11; 1981, № 1—3.
4.	Рафаэл Б. Думающий компьютер. — М.: Мир, 1979.
5.	Первин Ю. А., Юнерман Н. А. Пятая Всесоюзная
летняя школа юных программистов. — УСиМ, 1980,
№ 6.
ВНЕКЛАССНАЯ РАБОТА
XV Всесоюзная математическая
олимпиада школьников
Т. А. Сарычева, В. В. Вавилов,
Ю. В. Нестеренко, А. П. Савин, А. М. Слинько
(Москва)
С 15 по 25 апреля в столице Казахстана г. Алма-Ате
состоялся заключительный этап XV Всесоюзной олим¬
пиады школьников по математике. В нем приняли уча¬
стие 148 школьников: 39 восьмиклассников, 47 девяти¬
классников и 62" десятиклассника. Это были победители
республиканских олимпиад, а также школьники, полу¬
чившие дипломы 1 и II степени на заключительном
этапе XIV Всесоюзной олимпиады.
В этом году олимпиада была посвящена XXVI съез¬
ду Коммунистической партии Советского Союза.
Заключительный этап олимпиады проходил в два ту¬
ра, которые состоялись 17 и 19 апреля. В каждый из
дней школьникам было предложено по 4 задачи, на ре¬
шение которых отводилось 5 часов. При отборе задач
методическая комиссия по математике по проведению
олимпиады при Министерстве просвещения СССР (пред¬
седатель — академик А. Н. Колмогоров) придержива¬
лась тех же принципов, что * 1 прошло* году; 15 п<
дачи должны охватить большинство разделов школь¬
ной программы, пройденных учащимися:	2) задания
должны отвечать различным «вкусам», т. е. содержать
задачи по планиметрии и стереометрии, по алгебре и
началам анализа, аналитическою типа и «олимпиадно-
го» характера; 3) задания в целом должны быть та¬
кой (умеренной) сложности, чтобы каждый участник
олимпиады решил хотя бы одну задачу и не менее
половины участников справились не менее чем с поло¬
виной всего задания.
В таблице даны сведения о числе призеров олимпиа¬
ды.
3
о
и
со
Награждены 1
ДИПЛОМОМ
I степени
дипломом
11 степени
дипломом
III сте¬
пени
грамотой
всего
VIII
4
15
7
7
33(85%)
IX
2
12
11
7
32 (68%)
X
6
10
17
9
49(68%)
Приводим список участников олимпиады, награжден¬
ных дипломами 1 и II степени.
Диплом I степени
VIII	класс: Бриталс Янис (шк. № 1, г. Рига), Жу¬
ков Игорь (шк. № 227, Ленинград), Николаев Андриан
(шк. № 114, г. Уфа), Черанс Карлыс (шк. № 1, г. Ри¬
га).
IX	класс: Перельман Григорий (шк. № 239, Ле¬
нинград), Шевчишин Всеволод (шк. № 11, г. Львов).
X	класс:	Алексеев	Валерий	(ФМШ	№ 18 при
МГУ), Аралкин Андрей (шк. № 11, г. Новокузнецк),
Гринберг Наталья (шк. № 145, г. Киев), Екишев Юрий
(шк. № 1, г. Сыктывкар), Лапшин Леонид (шк. № 239,
Ленинград), Маланюк Тарас (ФМШ при КГУ),
Диплом II степени
VIII	класс: Абраменко Сергей (шк. № 63, г. Ка¬
раганда), Айнсаара Тарму (Ныоская ср. шк., г. Тарту),
Байбородин Олег (шк. № 1, г. Сыктывкар), Булавас
Впсвальдас (шк. им. Бальчикопса, г. Паневежис), Бу-
риченко Владимир (шк. № 49, г. Новокузнецк), Голо¬
вин Григорий (шк. № 10, г. Славяпск Донецкой обл.),
Ерошкин Олег (шк. № 15, г. Днепропетровск), Зыков
Константин (шк. № 57, Москва), Наурызбаев Асет (Рес¬
публиканская ФМШ, г. Алма-Ата), Орлов Дмитрий
(шк. № 8, г. Владимир), Пановский Леонид (шк. № 52,
г. Львов), Семенов Александр (шк. № 13, г. Саратов),
Устименко Александр (шк. № 3, г. Павлодар)-, Харито¬
нов Феликс (шк. № 38, г. Николаев), Шляхтов Антон
(шк. № 51, г. Ульяновск).
IX	класс: Белостоцкий Виталий (ФМШ при ЛГУ),
Закиров Артем (шк. № 25, г. Бийск Алтайского края),
Короткин Дмитрий (ФМШ при ЛГУ), Кушнир Алек¬
сандр (ФМШ при КГУ), Левин Александр (шк. № 239,
Ленинград), Матвеев Константин (шк. № 165, г. Но¬
восибирск), Савкин Андрей (ФМШ при ЛГУ), Самбор-
ский Сергей (ФМШ при МГУ), Спивак Александр
(ФМШ при МГУ), Титенко Владимир (Блужская ср.
цГк., 'Пуховический район Минской обл.), Фульман
Игорь (шк. № 2, г. Гомель), Ягел Арво (Ныоская ср.
шк.. г. Тарту},
54

X	класс: Анкундинов Алексей (ФМШ при ЛГУ),
Грасманис Микус (шк. № 1, Рига), Гринчук Михаил
{ФМШ при МГУ), Крижановский Олег (пщ. № 27,
г. Харьков), Липаев Александр (шк. № 2, Москва),
Мяркявичюс Ляонас (шк. № 2, г. Лентварис Тракай-
ского района ЛитССР), Рабинович Борис (шк. № 36,
г. Тула), Сегалович Илья (республиканская ФМШ,
г. Алма-Ата).
Работу жюри возглавлял академик-секретарь АН Ка¬
захской ССР О. А. Жаутыков, ему помогали два за¬
местителя — доцент Казахского политехнического инсти¬
тута С. К- Канеев и старший научный сотрудник Мос¬
ковского государственного университета В. В. Вавилов.
Всего в составе жюри олимпиады насчитывалось 53 че¬
ловека. Почетным гостем олимпиады был академик АН
УССР, профессор МГУ Б. В. Гнеденко, который за вре¬
мя пребывания в г. Алма-Ате провел много содержа¬
тельных бесед с участниками олимпиады, учителями,
студентами местных вузов.
В день закрытия олимпиады жюри организовало став¬
ший традицией «математический бой» между команда¬
ми ФМШ при Московском и Ленинградском универси¬
тетах. На этот раз победила команда ФМШ при МГУ.
В качестве задач были Предложены некоторые задачи
студенческой олимпиады Москвы этого года и междуна¬
родных математических олимпиад.
XV Всесоюзная математическая 'олимпиада прошла на
высоком идейном, научном и организационном уровне.
Хозяева олимпиады отнеслись к юным математикам с
большой теплотой и заботой. В программе были встречи
с учеными, со студентами, посещения производственных
предприятий, театров, музеев, спортивного комплекса
«Медео»,,экскурсии по городу, вечера дружбы народов
СССР в школах г. Алма-Аты и многое-многое другое.
Участники олимпиады возложили цветы к памятнику
В. И. Ленина, мемориалу Славы и приняли участие во
Всесоюзном ленинском коммунистическом субботнике.
Пользуясь случаем, хочется сердечно поблагодарить Ми¬
нистерство просвещения, Академию наук, Центральный
комитет комсомола Казахстана, .администрацию, со¬
трудников и учащихся республиканской физико-матема¬
тической школы, которые обеспечили успешное прове¬
дение олимпиады и сделали ее настоящим праздником
юных математиков.
Условия задачи
VIII	класс
1.	Две одинаковые шахматные доски (8X8 клеток)
имеют общий центр, причем одна из них повернута
относительно другой на 45° около центра. Найдите сум¬
марную площадь всех пересечений черных клеток этих
двух досок, если площадь одной клетки р^вна 1.
(Н. Карташов.) 1
2.	На окружности даны точки А, В, М и N. Из точ¬
ки М проведены хорда МА1 и МВи перпендикулярные
прямым N6 и ДМ соответственно. Докажите, что пря¬
мые и ВВ, параллельны. (Если А=А, или В = ВЬ
то прямые АА1 и ВВ{ являются касательными к ок¬
ружности в точках А и В.) (А. Слинько.)
3.	Будем говорить, что число обладает свойством
(К), если оно разлагается в произведение К последо¬
вательных натуральных чисел, больших 1.
а)	Найдите К такое, для которого некоторое чис¬
ло N обладает одновременно свойствами (К) и (К-\-2).
б)	Докажите, что чисел, обладающих одновременно
свойствами (2) и (4), не существует. (В. Федотов.)
4.	В таблице 4 строки. В первой из них записаны
произвольные натуральные числа, среди которых мо¬
гут быть и одинаковые. Вторая строка заполняется так:,
слева направо просматриваются числа первой строки и
под числом а записывается число к, если а встрети¬
лось в первой строке в к-й раз. Аналогично по второй
строке записывается третья, а по третьей — четвертая.
1 В скобках указаны авторы задач.
Докажите, что вторая и четвертая строки всегда полу¬
чаются одинаковыми. (А. Кузнецов.)
5.	Докажите, что если четырехугольники АСРН,
АМВЕ, АН ВТ, ВКХМ, СК.ХР — параллелограммы (вер¬
шины всех четырехугольников перечислены в одном на¬
правлении), ^о АВТЕ — также параллелограмм. (В. Фе¬
дотов.)
6.-Решите	уравнение хъ — у2=ху+61 в натуральных
числах х, у. (С. Конягин, А. Слинько.)
7.	В футбольном турнире 18 команд сыграли между
собой 8 туров — каждая команда сыграла с 8 разны¬
ми командами. Докажите, что найдутся 3 команды, не
сыгравшие между собой пока ни одного матча. (С. Ко-
нягий.)
8.	Точки С,, Аь В, взяты соответственно на сторо¬
нах АВ, ВС и СА треугольника АВС так, что |/4С,| з
: |С,В| = |ВЛ,| : |Л,С| = |СВ,| : |В,Д| = 1 : 3.
Докажите, что периметр Р треугольника АВС и пе¬
риметр р треугольника А%ВХС^ связаны неравенствами
1	3	•
~2~ р < Р < ~ р- (В- Турчанинов.)
IX	класс
1.	Найдите наименьшее значение площади прямо¬
угольника со сторонами, параллельными осям коорди¬
нат Ох и Оу, и содержащего фигуру, заданную систе¬
мой неравенств
Г у < - -*2,
{ у > х2 — 2х + а,
если а { К. (А. Савин.)
2.	См. задачу 4 для VIII класса.
3.	Правильные треугольники АВС, СОЕ и ЕНК (вер¬
шины указаны против часовой стрелки) с попарно об¬
щими вершинами С и Е расположены на плоскости
так, что Ай = ОК. Докажите, что треугольник ВНй
тоже правильный. (Л. Купцов.)
4.	В некотором поселке 1000 жителей. Ежедневно
каждый из них делится узнанными вчера новостями со
всеми своими знакомыми. Известно, что любая новость
становится известной всем жителям поселка. Докажи¬
те, что можно выбрать 90 жителей так, что если одно¬
временно всем им сообщить какую-то новость, то через
10 дней она станет известной всем жителям поселка.
(Н. Карташов, А. Савин.)
5.	Докажите, что если положительные числа х, у
удовлетворяют уравнению х3-\-у3=х—у, то хг+уг< 1.
(Г. Гальперин.)
6.	Ученику нужно скопировать выпуклый многоуголь¬
ник, помещающийся в круге радиуса 1. Сначала ученик
отложил первую сторону, из ее конца провел вторую,
из конца второй — третью и т. д. Закончив построение,
он обнаружил, что многоугольник не замкнулся, а пер¬
вая и последняя нарисованные им вершины удалены на
расстояние (I одна от другой. Известно, что углы уче¬
ник откладывал точно, а относительная погрешность
при откладывании длины каждой стороны не превы¬
шала числа р. Докажите, что й^4р. (Н. Карташов.)
7.	В каждой вершине куба записано число. За одни
шаг к двум числам, размещенным на одном (любом,)
ребре, прибавляется по единице. Можно ли за несколь¬
ко таких шагов сделать все восемь чисел равными
между собой, если вначале поставлены числа, как на
а)	рис. 1, а; б) рис. 1,6; в)- рис. 1,в? (Н. Васильев.)
8.	Найдите хотя бы одно натуральное число п такое,
что каждое из чисел п, п+1, п-\-2, ..., п+20 имеет с
числом 30 030=2-3-5-7-11 • 13 общий делитель, боль¬
ший единицы. (Ю. Нестеренко.)
X	класс
1.	Про числа а и 6 известно, что неравенство
а соз х+Ь соз Здг>1 не имеет решений. Докажите, ч*о
|Ь|^1. (Ю. Нестеренко.)
2.’Точки	К и М — середины сторон АВ и СО выпук¬
лого четырехугольника АВСй. точки I и N расположе-
55'

Рис. 1
ны на двух других сторонах так, что КЬМ!• — прямо¬
угольник. Докажите, что площадь четырехугольника
АВСО вдвое больше площади прямоугольника' КЬМЫ.
(И. Сергеев.)
3.	Найдите все последовательности натуральных чи¬
сел (Хт,) такие, что выполнены следующие два усло¬
вия: а) при любом п хп^п /л; б) при любых различ¬
ных тип разность хт—хп делится на т — п. (В. Бы¬
ковский.)
4.	Можно ли все клетки какой-нибудь прямоугольной
таблицы окрасить в белый и черный цвета так, чтобы
белых и черных клеток было поровну, а в каждой стро¬
ке и в каждом столбце' было более 3/4 клеток одного
цвета. (С. Конягин.)
5.	Натуральные числа от 100 до 999 написаны на кар¬
точках по одному. Карточки перемешаны и сложены за¬
тем в одну стопку числами вниз. Открывая последова¬
тельно карточки этой стопки, будем раскладывать их
числами вверх в соответствии с последней цифрой на¬
писанного числа. В результате раскладки в первом на¬
боре окажутся все числа, оканчивающиеся на 0, во
втором — на 1 и т. д. Сложим полученные наборы кар¬
точек в одну стопку в порядке возрастания последней
цифры написанных чисел. Получившуюся стопку кар¬
точек перевернем числами вниз, рассортируем карточки
еще раз по такому же принципу, но теперь в соответ¬
ствии со второй цифрой. Сложим опять получившиеся
наборы в одну стопку, как указано раньше, перевернем
их числами вниз и рассортируем так же в соответст¬
вии с первой цифрой. В каком порядке будут распо¬
ложены карточки в стопке, собранной после последней
сортировки? (Ю. Нестеренко.)
6.	В прямоугольнике 3X4 см расположено 6 точек.
Докажите, что найдется пара точек, удаленных одна от
другой не более чем на >^5 см. (Г. Мустафин, Ю. Не¬
стеренко.)
7.	а) Найдите наименьшее возможное значение мно¬
гочлена
Р(х, у)=4+х*у*+х*у*-3х*у*.
б) Докажите, что этот многочлен нельзя представить
в виде суммы квадратов многочленов от переменных
х, у. (Г. Мустафин.)
8.	Отрезки АО, ВЕ, СР служат боковыми ребрами
правильной треугольной призмы. На ее основании ЛВС
найдите все точки, равноудаленные от прямых АЕ, ВР,
СО. (Ю. Нестеренко.)
Решение задач
VIII	класс
1.	Обозначим через 5Ч, площадь пересечений чер¬
ных клеток верхней доски с черными клетками ниж¬
ней, через площадь пересечений черных клеток
верхней доски с белыми клетками нижней. Аналогич¬
но вводим обозначения 5б, и 5оо. Тогда 5чч+5,б+
-|-5бч+56в=5, где 5 — площадь восьмиугольника
АВСйЕРСН (рис. 2).
Если повернуть верхнюю доску вокруг центра на 90°,
то ее черные клетки сменятся белыми и наоборот. По¬
лучим равенства
*5чч ===*5бч> *5чб
Рис. 2	Рис. 3
Если же повернуть на 90°'обе доски, то черные клет¬
ки сменятся белыми на обеих досках. Получим равен¬
ства
*5чо==*5бч, 5чч==,5бб,
откуда имеем
•$бб ~ 5бч = 5Чб = *5ЧЧ и 5цч = ^ 5.
Остается найти площадь восьмиугольника АВСОЕРОН.
Она легко вычисляется и равна 128(>/Л2—1). Ответ:
5чч = 32 (/2— 1).
2.	Переведем задачу на язык преобразований. Заме¬
тим, что при фиксированных точках А, В, N не только
задание точки М определяет положение точек Л, и Вь
но и задание точки А\ определяет положение точки М
и,	следовательно, точки В,. Таким образом, при фикси¬
рованных А, В, N получается некоторое отображе¬
ние ф: /4|-»-В, точек окружности в себя. Надо дока¬
зать, что для любой точки окружности Ах прямые АА{
и ВВ| параллельны.
Отображение ф представляет собой композицию двух
осевых симметрий относительно прямой 1\\\№В и пря¬
мой /2||ЛМ, проходящих через центр окружности. Ком¬
позиция двух осевых симметрий, как известно, является
поворотом. Чтобы определить, на какой угол при этом
поворачивается плоскость, определим образ ф(В) точ¬
ки В при этом повороте. Отобразив точку В относи¬
тельно 1\, получим М, которая ввиду того, что вписан¬
ный прямой угол всегда опирается на диаметр, явля¬
ется противоположным концом диаметра, проходящего
через N. Отобразив теперь М относительно /2. полу¬
чим, как нетрудно видеть, точку А. Итак, <р(В)—А.
Если направление отсчета дуг и углов от точки А
к точке В считать положительным, то ф есть поворот
на угол, дополняющий до 2л центральный угол, опи¬
рающийся на дугу АВ. Поэтому всегда АВ+А,В,=2л.
Осталось доказать, что при этом условии прямые ЛЛ,
и ВВ| параллельны. Предоставляем такую возможность
нашим читателям.
3.	а) Рассмотрим число
ЛГ = 2-3-4-5- ... -22-23=5-6-7- ... -22-23-24.
Оно обладает свойствами (20) и (22), так что для
/(=20 искомое число существует.
Другой пример: Л^=720 = 2-3-4-5-6 = 8-9-10.
б)	Предположим противное:
т(т+1) = л(л+1) (л+2) (л+З).
Заметим, что	I
т(т + 1) = тг + т и л(л + 1)(л + 2)(л + 3) =
-(л(л+.3)).«л + 1)(л + 2))- •
-	(л2 + Зл) (л2 + Зл + 2) =
-	((л* + Зл + 1)— 1)(л2 + ЗЛ.+ 1) + 1) =
= (л2 + Зл + I)2 — 1,
откуда получим равенство
, тг+т+1 = (лЧ-Зл+1)г.'
Таким образом, т2+т+1—полный квадрат. Однако
этого не может быть, так как ш2+т+1 всегда заклю¬
в/\с
56

чено между двумя'последовательными квадратами:
т2<т2+т+1 < (т+1)2.
4.	Рассмотрим числа некоторого столбца таблицы и
все числа, лежащие левее его.
.. .т.. .т.. .т
п раз
	п
	?
Пусть в выбранном столбце стоят числа: в первой
строке — а, во второй — т, в третьей — п. Нужно до¬
казать, что в четвертой строке стоит т, т. е. что в
третьей строке число п встречается ровно т раз, если,
как мы условились, не считать чисел, стоящих правее
выбранного столбца.
Переходя от третьей строки ко второй, видим, что
число т во второй строке встречается ровно п раз.
Это означает, что в первой строке какие-то различные
числа а.\	 а„-1	 а встречаются не менее, чем по
т раз каждое, причем число а — ровно т раз, а ос¬
тальные — меньше, чем, по т раз.
Теперь начнем спускаться по строкам вниз. Каждое
из чисел а, и число а встречаются когда-то в первый,
во второй, ..., в т-й раз, поэтому числа 1, 2, ..„ ш— 1,
т появляются во второй строке по крайней мере п раз
(т— ровно я раз). Число т+1 во второй строке по¬
является менее, чем п раз, ибо в первой строке в
(т+1.)-й раз могут появляться лишь числа аь а$, ...,
ап-1. Числа т+2, т+3 и т. д. тем более не могут
встречаться во второй строке п и более раз.
Перейдем к третьей строке. Число п может стоять
там лишь в связи с га-м появлением какого-то числа,
а как мы видели, в п-й раз появляются числа 1, 2,
..., т, и только они. Итак, число п появляется в треть¬
ей строке ровно ш раз, и требуемое доказано.
5.	Докажем, что АЕ — ВТ. В силу того что четырех¬
угольники АМВЕ, ВКХМ, СКХР, АСРН и АНВТ
являются параллелограммами, имеем следующие ра¬
венства векторов: АЕ = МВ, МВ = ХК, ХК. — РС,
РС = НА и НА «= ВТ. Объединив их, получим АЕ —
—	МВ = ~Х~К = ~РС — ~НА — ВТ.
6.	Очевидно, что х>у. Пусть х — у+Л, где й>1.
Подставив это .выражение для х в исходное уравнение,
получим соотношение
(за— 1 > у*+ (Ы2—а) у+аз=61,
откуда й3<61 или с/^3.
Итак, для Л имеем три возможных значения й— 1,2,3.
Соответственно получим три квадратных уравнения:
1)	2у2+ 2у—60 — 0	(й=1),
2)	5г/2+10у—53 = 0 (й = 2),
3)	8у2+2Ау—34 = 0	(Л=3).
Натуральное решение есть только у' первого уравне¬
ния: у—5, соответствующее ему значение х=6.
7.	Рассмотрим одну из команд. Она сыграла с 8
командами и с 9 не сыграла.	Если	среди	этих	9	по¬
следних есть 2 не сыгравшие между	собой,	то	все	дока¬
зано. Предположим, что это неверно. Тогда все эти 9
команд сыграли между собой, для чего им потребова¬
лось 36 матчей. Однако в каждом туре они могут сыг¬
рать	между	собой только 4 матча и	всего	за 8	туров
32	матча.	Мы видим, что все	эти 9	команд не	могли
сыграть между собой, а потому 3 искомые команды
найдутся.
8.	а) Рассмотрим точки С2, В2, Л2, лежащие соответ¬
ственно на АВ, АС, ВС такие, что (рис. 3)
\АС,1 [ВАЛ ■	1 СЗ, I
\сгв\~ ПШ ~	ГёД!	“ 3-
Тогда в силу неравенства треугольника
Периметр же последнего шестиугольника ввиду того,
что (Л,С,) || (АС), (В1А,)\\(АВ)г (С,В2) || (ВС) равен
3
—	Р, так как сумма длин противоположных сторон
этого шестиугольника равна 3/4 длины параллельной
им стороны треугольника.
б)	Проведем теперь А\Вг, В{С2, СлА2. Из соотноше¬
ний пропорциональности имеем: (А1В2) II (АВ), (С^) ||
|| (АС), (В,С2) || (ВС) и
\А,В,1	|С,Л, |	|В,С, I	3
\АВ\ “ \АС\ “ |ВС|-	4
В силу неравенств треугольника
Л,С,
+
С,в2
>
Л,в2
С,в,
+
В|Л2
>
С]Л2
л.в,
+
Л1С2
>
В,с2
Сложив эти неравенства, получим р 4- Р > Р,
1
или /7 > —2~ Р‘
IX	класс
1.	Ответ:	искомая площадь при	равна
(1 — а) /" 1 — л] при 0 < а < равна 1 — 2а, при
множество решений системы либо пусто, либо
состоит из одной точки — площадь может быть сколь
угодно малой.
3.	Если треугольник С АО повернуть на угол 60° око¬
ло С, то он перейдет в треугольник СВЕ, ибо треуголь¬
ники АВС и СйЕ правильные и имеют одинаковую
ориентацию (рис. 4). Следовательно, |ВЯ| = |Л.О| и
величина угла между (ВЕ) ,и (АО) равна 60°.
Повернем теперь треугольник ИВЕ на угол —60° око¬
ло Н. Так как треугольник ЕНК правильный, точка Е
перейдет в К: в силу того, что АО = ОК, | О/С | =
| ЛО | = | ВЕ\; вследствие уже доказанного угол между
(ВЕ) и (ОК) равен 60°. Поэтому при рассматриваемом
повороте луч [ВВ) перейдет в луч {КО), точка В — в
точку О. Следовательно, \НВ\ = \НО\, 1$нЪ =60° и
треугольник ВНО правильный.
4.	Сначала рассмотрим случай, когда знакомства жи¬
телей поселка таковы, что нельзя указать ни одной,
замкнутой цепочки знакомых: Л знаком с В, В зна¬
ком с С, X знаком с У, У знаком с А, причем жи¬
тели, обозначенные через Л, В, С, ..., X, К, все раз¬
личны.
Из условия задачи следует, что любых двух жителей
поселка А и 2 должна связывать -цепочка знакомых:
Л знаком с В, В с С	 У с 2, в противном случае
новость, сообщенная жителю Л, не станет известной
Рис. 4	Рис.	5
57

жителю 2. В дальнейшем будем рассматривать только
такие цепочки знакомств, в которые каждый участник
входит только один раз. Из предположения об отсутст¬
вии замкнутых цепочек следует, что любых двух жи¬
телей А и В поселка связывает одна, и только одна,
такая цепочка знакомств. Количество участников этой
цепочки назовем расстоянием между жителями А и В.
Выберем двух жителей X и У, расстояние между ко¬
торыми наибольшее, и рассмотрим связывающую их
цепочку знакомств:
Х — А,-А2 — ...— Ак — У.
Заметим, что если сообщить некоторую новость жи¬
телю А [о, то через 10 дней новость будут знать жители
Ад, Л8,	А2, АI и X, а также все их знакомые, не
указанные в этом перечне, знакомые их знакомых и т. д.
Действительно, если бы нашлась цепочка знакомых
2	 В!   В2  ... — Вз  Ак  Аь + 1 — ...  А ю,
содержащая более 11 человек, то тогда расстояние от
2	до У было бы больше, чем расстояние от X до У, а
мы предполагали, что оно максимально. Легко уви¬
деть, что, если при й^:19 (т. е. в цепочке не более 21
жителя) сообщить новость жителю Л10, она станет че¬
рез 10 дней известной всем жителям.
Пусть к^20. Отделим жителей X, Ль ..., Л10, а так¬
же всех их знакомых, не входящих в цепочку X — ... —
•— У, знакомых их знакомых и т. д. Мы показали, что
если мы сообщим новость жителю Л10, то все жители
узнают новость не позже, чем через 10 дней. Остав¬
шиеся жители, а их будет по' крайней мере на 11
меньше первоначального числа, снова образуют группу,
в которой каждые два жителя соединены цепочкой зна¬
комств, притом единственной. Действительно, любых
двух жителей М и N вначале связывала цепочка зна¬
комых. Если в ней не содержался никто из отделенных
нами жителей, то эта цепочка останется, а если в этой
цепочке оказался бы кто-нибудь из отделенных, то
и житель М, и житель N были бы знакомыми знакомых
кого-то из Лй (А^Ю), причем в такой цепочке не бы¬
ло бы никого из цепочки X—У, кроме Ль, и жители М
и N должны были быть отделены.
Для удобства переобозначим жителя Лю через 51.
Из оставшихся снова отделим аналогичную группу жи¬
телей, которая будет вновь содержать не менее 11 че¬
ловек; жителя, через которого все они узнают новость
не позже, чем через 10 дней, обозначим через 52ит. д.
Проделав эту операцию 89 раз, мы либо исчерпаем
на некотором шаге всех жителей поселка, либо у нас
останется не более 1000—89-11=21 жителя. А как мы
показали выше, для того чтобы сообщить новость за
10 дней такому количеству жителей, достаточно сооб¬
щить ее лишь одному из них. Таким образом, в случае
если знакомства среди жителей поселка устроены так,
что нет замкнутых цепочек знакомств, то новость дос¬
таточно сообщить 90 жителям.
Рассмотрим случай, когда есть замкнутые цепочки
знакомств. Пусть Л—В—...—X—Л—такая цепочка. Бу¬
дем условно считать, что жители X и Л между собой
не знакомы, тогда все равно новость, сообщенная од¬
ному из жителей поселка, в конце концов станет из¬
вестной всем. Затем таким же образом разорвем дру¬
гую замкнутую цепочку, если она окажется; будем про¬
делывать эту операцию, пока не останется ни одной
замкнутой цепочки, и опять условия задачи сохранятся.
Теперь, согласно перйому разобранному случаю, можно
выбрать не более 90 жителей, удовлетворяющих усло¬
вию задачи. Осталось заметить, что если новость, со¬
общенная этим жителям 5Ь 52, '..., 590, станет известна
всем жителям через 10 дней при разрыве части зна¬
комств, то она станет известной всем за это время,
если мы восстановим прерванные знакомства.
5.	Ясно, что х > у > 0. Из уравнения следует, что
X1	+ у» _
Г 	 V	*
следовательно
Хг — V3
V <
х — у
или х2+ху-\-у2<\.
Но
х2+У2<х2+ху+у2
и поэтому х2-\-у2< 1.
—>
6.	Пусть (— вектор, соединяющий первую и послед¬
нюю из нарисованных вершин; по условию его длина
равна й. Обозначим через еь е2, ..., е„ векторы, соот¬
ветствующие сторонам исходного многоугольника. Так
как многоугольник замкнут, то сумма этих векторов
равна нулю. Обозначим через ри р2	 рп относитель¬
ные ошибки при откладывании соответствующих сто¬
рон. Используя введенные обозначения, получаем, что
/ = О + Р\)^\ + • • • + (1 + Рп) еп = (е1 + • • • + еп) +
+ (А*. + • • • + Рпеп) = />1*1 + • • • + Рпеп■
—^ —>
Рассмотрим скалярное произведение векторов } и е\.
Без ограничения общности можно считать, что оно по¬
ложительно. Так как исходный многоугольник выпук¬
лый, то угол между вектором I и векторами ек будет
монотонно увеличиваться с увеличением номера к, а
скалярное произведение 1-ек сначала будет положи-
—>	—*
тельным до некоторого е3, начиная с е8+\ оно станет
отрицательным до некоторого ет, а затем, начиная с
вектора ет+и вновь станет положительным и останется
таким до еп-
Введем теперь для удобства новую нумерацию сто¬
рон-векторов данного многоугольника. Обозначим через
->
а{ вектор ет+\, через а2 — вектор ет+2 и т. д., а соот¬
ветствующие относительные ошибки через <?1, <?2
—► —►
Тогда скалярное произведение вектора } на вектор а*
будет	положительно,	если к	не превосходит	числа
п — т + я, и отрицательно для всех остальных сле¬
дующих за ними векторов. Число п — т + я для удоб-
—> ■—►
ства обозначим через I. Рассмотрим теперь } • / = сР.
—►	—*■	—►	—►	—>
а2 = /■(р1е1 н	+ рпеп) = /• (91й, + ... +	+
+ /ЛЯ1 + 1а1 + 1 + • •• + Чпап) Р/'(а 1 + ... + я/) —
—> —►	—►	—► —►
— р/(а(+1 +	... + а„)	= р/-(а, + ...
-*•	-*• —> —»■	—>■
... + ае — а,+1	= 2 р/-(аг + .... + а{).
—V —►	—►	■—>
Получаем, что б2 ^ 2р\1\ • |а! +...+ а, |. Но |/| = й,
—>■ —►
а |а1 + ...+ а(| ^ 2, так как эта сумма равна длине
одной из диагоналей многоугольника, которая не мо¬
жет превосходить длину диаметра круга, содержащего
внутри себя этот многоугольник. Следовательно,
й - 4 р.
7.	а) Сумма чисел, стоящих в вершинах куба, равна
1.	Применяя описанную операцию, мы каждый раз
увеличиваем ее на 2, т. е. оставляем нечетным числом,
но сумма восьми одинаковых чисел не может быть не¬
четным числом, следовательно, получить искомую рас¬
становку чисел невозможно.
б), в) Рассмотрим два вписанных в куб тетраэдра:
вершинами одного являются четыре вершины куба, от¬
меченные штриховкой, вершинами другого — оставшиеся
четыре вершины (рас. Ь). При выяйднышя еабраяда» щми
58

бавления чисел к числам, стоящим в вершинах каждо¬
го из тетраэдров, сумма их увеличивается на 1. Поэто¬
му если первоначально эти суммы были различны, то
и 'дальше разность между ними останется той же са¬
мой, и мы не сможем сделать все числа одинаковыми.
Это рассуждение показывает, что в пункте в) ответ
должен быть отрицательный, поскольку рассмотренные
суммы в этом случае не совпадают. Покажем, что при
равенстве этих сумм выравнивание указанной операцией
чисел, стоящих в вершинах куба, всегда возможно.
Действительно, сумму чисел, стоящих в вершинах тет¬
раэдра, можно считать кратной четырем, поскольку,
если это не так, проведя не более трех раз операцию
прибавления единицы, можно добиться нужного резуль¬
тата. При этом и в другом тетраэдре сумма чисел в
вершинах также будет делиться на четыре. Пусть в од¬
ном из тетраэдров не все числа, стоящие в вершинах,
одинаковы. Возьмем наибольшее и наименьшее из них.
На рис. 5 наибольшее число обозначено буквой М, а
наименьшее — буквой т. Заметим, что М^т-\-2, так
как сумма всех четырех чисел больше, чем 4т и, сле¬
довательно, не меньше, чем 4т+4. Но, если бы в каж¬
дой из трех оставшихся вершин было бы не больше,
чем по т+1, то сумма не превосходила бы 4т+3, что
противоречит предыдущему утверждению.
Применим теперь операцию прибавления единиц че¬
тыре раза следующим образом: будем прибавлять по
единице к числам, стоящим в вершинах, соединенных
ребрами, которые на рисунке отмечены двойной линией.
В результате числа во всех вершинах увеличатся на 1,
кроме двух вершин: число М останется без изменения,
а в вершине, в которой стояло число т, станет число
т+2. При этом сумма чисел в каждом тетраэдре по-
прежнему будет делиться на 4. Не трудно понять, что,
последовательно проводя такие серии операций, можно
выравнять числа сначала в вершинах одного тетраэд¬
ра, а затем в вершинах другого. В результате во всех
вершинах числа станут одинаковыми.
8.	Пусть к— натуральное число и т = 2-3-5-7-& =
= 210к. Числа т, т±2, т±4, т±6, т±8, т±10 де¬
лятся на 2, числа т±3, т±9 делятся на 3. числа т±5
делятся на 5 и числа т±7 делятся на 7. Значит, если
подобрать к так, чтобы т—1 делилось на 11, а т+1
делилось на 13, то число п = т—10 будет удовлетво¬
рять всем условиям задачи.
Так как 210= 19-11 + 1 = 16-13+2, число к должно
удовлетворять двум условиям:
/<-1 = 115, 2*+1 = 13/.
Из этих равенств получим 13/—225 = 3. Решением этого
уравнения являются, напримеп, числа 1 — 7. 5 = 4. Те¬
перь находим А = 11 -4+1 = 45 и п=т—10 = 210-45—
—10 = 9440.
X	класс
Предлагаем читателям самостоятельно решить зада¬
чи 1 и 7(а).
2.	Пусть точка Ь лежит на \ВС\ и точка N на \АО\.
Обозначим через .4, точку, симметричную А относи¬
тельно прямой КИ (рис. 6). Тогда I КВ | = | КА ( =
7Г	7Г
= 1 КА,1 и А,К1 = ~2~ - Л,КМ = — — АКК = ВК1.
Следовательно, точка А, симметрична В относительно
прямой К1- Аналогично точк1 Си симметричная С
относительно ЬМ, будет симметрична О относительно
/\ /\ /\ /\
АШ. Далее, ЬЫМ = С%ЫМ, АЫК = А^К, а так как
/\ я
Рис. 8
Г)ЫМ + АЫК = ~2~, то С,ИМ + А\ЫК = Значит
точка С, лежит на прямой	Аналогично	точка	С,
лежит на прямой /.Л,. Если прямые ЛМ, и ЬАЛ раз¬
личны, то отсюда следует, что А, =*= С, (рис. 7) и ра¬
венство 5авСо “ ЪЗкцмн очевидно!
Если прямые ЫА] и 1А\ совпадают, то точки Аи Сх
лежат на прямой N1* (рис. 8) и опять 8авсо = 25к[.мк.
Легко видеть, что в последнем случае АВСО — трапе¬
ция.
Некоторые участники олимпиады обнаружили, что ус¬
ловие задачи можно ослабить. Новая формулировка:
Точки К и М — середины сторон АВ и СО выпукло¬
го четырехугольника АВСй, точки I, и М расположены
на двух других сторонах так, что К^М.N — параллело¬
грамм. Докажите, что площадь четырехугольника АВСй
вдвое больше площади параллелограмма К1^МN. Реши¬
те эту задачу самостоятельно.
3.	Так как аг, < 1, то = 1. При п = 2 имеем <
<2 /”2 < 3. Значит, х, равно либо 1, либо 2.
а)	х2=1. По условию для каждого п разности
Хп—Х1==Хп—1 и Хп—Х2—Хп 1 делятся на п 1 и
п—2. Значит, разность х„— 1 делится на (я— 1) (я—2).
Если хпФ 1, то имеем
(п — 1) (я — 2)< \хп — 1 | < я /я + 1,
что не может выполняться при достаточно больйшх п.
Поэтому для достаточно больших п х„ — \. Пусть т —
произвольное натуральное число. Тогда разность хп+т—
—хт делится на п или, если п достаточно велико, раз¬
ность I—хт делится на п. Отсюда следует, что Хт=1,
т. е. все члены последовательности равны 1.
б)	х2 = 2. Тогда разности х*—хх=хъ—1 и хн—х2 =
= Хк—2 делятся соответственно на к—1 и к—2. Это
равносильно тому, что разность хь—к делится на к—1
и к—2. Если хкФк, то имеем
(к— \)(к — 2)<и* — 6|<А/А+*.
При достаточно больших к это неверно и, следователь¬
но, Хк = к. При фиксированном т и достаточно боль¬
шом п разность Хп+т—хт — п-\-ш—Хт делится на п, но
тогда хт—т делится на п при любом достаточно боль¬
шом п. Значит, при всех т хт—т. Последовательность
имеет вид 1, 2, 3,-....
4.	Предположим, что требуемая раскраска возможна.
Будем называть столбец белым или черным в соответ¬
ствии с тем, какой цвет в нем преобладает. Аналогич¬
ные названия будем употреблять и для строк.
Пусть т0, т, — количества белых и черных строк,
по, я, — количества белых и черных столбцов соответ¬
ственно (т0+т!=т, п0-\-П\=п).
Все клетки, лежащие на пересечении белых строк с
черными столбцами и черных строк с белыми столбца¬
59

ми, отличаются по цвету либо от содержащего их
столбца, либо от содержащей их строки. Число таких
клеток равно т0П\-\-тхп0. Не уменьшая общности, мож¬
но считать, что более половины этого числа клеток от¬
личается по цвету от содержащих их строк.
Аналогично, не уменьшая общности, будем полагать,
что и0<;/и,. В черных строках содержится по усло-
3
вию бол'ее тхп черных клеток. Значит, в белых
тп 3
строках содержится менее ——^тхп черных кле-
1
ток. Но в черных строках содержится менее
белых клеток. Таким образом, число клеток, цвет ко¬
торых отличается от цвета содержащих их строк,
менее
тп	3	1	т„п
— -	— т1п+-^-т1п=‘	~2~.
Получаем неравенство
1	т0п
—	(т0п1 + т,п0) < —— ,
откуда /П|<т0, что противоречит предположению отно¬
сительно т0 и т\.
5.	В стопке, собранной после первой сортировки, кар¬
точки будут лежать так, что последние цифры написан¬
ных на них чисел не убывают. Этот порядок последних
цифр сохранится	и в каждом наборе	после	второй	сор¬
тировки.	Значит,	в стопке, собранной	после	второй	сор¬
тировки, числа будут расположены так, что двузнач¬
ные числа, записанные двумя младшими разрядами, не
убывают. Этот порядок сохранится и в каждом набо¬
ре после третьей сортировки. Поэтому в последней
стопке карточки будут лежать по возрастанию номеров.
6.	Разобьем прямоугольник на пять многоугольников
так, как показано на рис. 9. Легко обнаружить, что
наибольшее расстояние между двумя точками в полу¬
ченных многоугольниках равно
/2* + 1 = /ъ.
Из шести взятых точек какие-либо две окажутся при¬
надлежащими одному из многоугольников и, следова¬
тельно, расстояние между ними будет не более 5
7.	б) Предположим, что справедливо равенство
4+ хгУ*+ х*уг — Ъхгу2 = ё\ + §1+	(1)
где §2, ... — некоторые многочлены. Их степень, оче¬
видно, не превосходит трех. Пусть —
где а,, б,-, С{, Лг—однородные многочлены степеней со¬
ответственно 3, 2, 1, 0. Сравнивая в (1) члены степе¬
ней 6, 4, 2, получим равенства
хгу*+.х*уг -= а2г + <ц+ ...	(2)
—	Ъхгуг —	+ 2а,с,) +	+	2а2е,) + ...	(3)
60
0	= (с?+ 2М.) + (4 + 2 М.) + • • • -	(4)
Из (2) следует, что ни один из многочленов а^ не со¬
держит слагаемых с хг или у3, т. е. все а* делятся на
ху. Теперь такое же утверждение следует из (3) и для
64, а из (4), ввиду делимости на ху, и Для а. Так
как С{ — многочлены первой степени, делящиеся на ху,
то с, = 0. Поэтому равенство (3) превращается в сле¬
дующее
3х~у2 ~\-	. = 0.
Но сумма квадратов многочленов не может равняться
нулю. Это рротиворечие доказывает требуемое утверж¬
дение.
8.	Пусть О — одна из искомых точек и А — ближай¬
шая к точке О вершииа треугольника ЛВС, т. е.
|СМ|^|ОВ|, |0/4|^|0С| (рис. 10). В треугольниках
АОЕ, ВОР, СОО конгруэнтны основания АЕ, ВР, СО
и высоты, опущенные из точки О на эти основания.
Кроме того, так как наибольшее расстояние между лю¬
быми двумя точками призмы равно |Л5| = ^/^ =
= |СО|, то указанные высоты пересекут сами основа¬
ния, а не их продолжения.
Из неравенства |ОЛ|^|ОВ| в силу сказанного вы¬
текает, что \ОЕ\^\0Р\ и, следовательно, \ОВ\^
^\ОС\. Рассматривая треугольники ВОР и СОО, по¬
лучаем |О/71	|О/)| и, значит, |ОС|^|ОЛ|. Так как
А—ближайшая к точке О вершина треугольника АВС,
то \ОС\ — \ОА\ и из треугольников СОО и АОЕ нахо¬
дим \00\ — \0Е\ и |ЛО| = |ВО|. Таким образом, О —
центр треугольника АВС
Ленинградские математические
олимпиады школьников
Н. М. Матвеев, С. Е. Рукшин, В. П. Федотов
(Ленинград)
Первую в СССР математическую олимпиаду школьни¬
ков провели в 1934 г. ленинградские математики по
инициативе члена-корреспондента АН СССР Б. Н. Де¬
лоне, профессоров В. А. Тартаковского и Г. М. Фих-
тенгольца. В ней приняли участие около 400 человек.
С тех пор математические олимпиады в Ленинграде
проводились каждый год (за исключением четырех во¬
енных лет), а ежегодное число участников достигло
85 тысяч. Олимпиады стали важным средством поиска,
поощрения и профессиональной ориентации способных
к математике школьников. Основная их цель — заинте¬
ресовать, побудить к систематическим занятиям, к же¬
ланию узнать больше и попробовать свои силы в само¬
стоятельной исследовательской работе.
Еще в 1934 г. прекрасным дополнением к олимпиа¬
дам в этой благородной работе стали математические
кружки «Станции для школьников», преобразованной
в 1937 г. во Дворец пионеров. Среди победителей пер¬
вых довоенных олимпиад были члены этих кружков,
а ныне известные советские ученые Н. А. Шанин,
Н. А. Лебедев, Ю. С. Богданов, Г. П. Акилов; в раз¬
ные годы в этих кружках занимались Ю. Г. Решетняк,
В.	И. Зубов, А. М. Вершик, Ю. Д. Бураго, В. Г. Мазья,
И. В. Романовский, М. И. Башмаков, Г. И. Натансон,
В.	Н. Судаков, лауреат Государственной премии СССР
Н.	Н. Уральцева, А. Л. Вернер. Если сравнивать спис¬
ки членов кружков и их руководителей, то некоторые
фамилии будут повторяться, так как многие кружков¬
цы, став студентами, не порывали связи с Дворцом
пионеров и приходили в него уже в качестве руково¬

дителей кружков, например: В. А. Залгаллер, М. 3. Со-
ломяк, Ю. В. Матиясевич.
Именно кружки позволяют вести систематическую, ре¬
гулярную работу в течение всего года, естественным
логическим завершением которой, подведением итогов
становится ежегодная олимпиада. Не удивительно, что
такая работа, возглавляемая талантливыми педагога¬
ми, приносит свои плоды: бывали случаи, когда среди
учеников, награжденных высшими наградами Ленин¬
градской олимпиаду, были только кружковцы, а ко¬
манда города на Всесоюзную олимпиаду из 6 человек
насчитывала 6 воспитанников Дворца пионеров. Эти
традиции живы и до сих пор.
В 1962 г. были созданы кружки Юношеской мате¬
матической школы при ЛГПИ им. А. И. Герцена, а в
1964 г. по инициативе члепа-корреспондента АН СССР
Д. К. Фаддеева — при ЛГУ им. А. А. Жданова. В по¬
следние годы внешкольную работу удачно дополнила
ежегодная математическая конференция, на которой не¬
редко участники в качестве докладов излагают резуль¬
таты собственных исследований. Эта форма доступна
не только старшеклассникам: так, Г. Перельман, будучи
учеником VII, а затем VIII класса, получил единствен¬
ные первые премии по старшим классам за доклады
«О разрезании многомерного куба» и «Решение одного
неопределенного уравнения в целых числах». Естест¬
венно, что это было результатом серьезной, кропотли¬
вой работы, началом которой для него послужила
олимпиада.
К услугам интересующихся математикой школьни¬
ков— фнзико-математнческие школы города и школа-
интернат ЛГУ, в порядке исключения принимающая до
20—30 ленинградцев в год.
Для руководства предметными олимпиадами при
Главном управлении народного образования Ленингра¬
да создан оргкомитет; основную организационную ра¬
боту по проведению олимпиады, контроль за ее ходом,
связь с районами города и школами, а также подведе¬
ние итогов осуществляет штаб, в течете 19 лет возглав¬
ляемый большим энтузиастом олимпиадного движения за¬
ведующим сектором науки Дворца пионеров им.
А.	А. Жданова В. Я. Григошиным. Научное руковод¬
ство олимпиадой, подбор задач и проверку решений
проводит жюри, состоящее из преподавателей, студен¬
тов и аспирантов ЛГУ, ЛГПИ, методистов городского
института усовершенствования учителей. Естественно,
что олимпиаде предшествует большая подготовительная
работа: члены жюри читают лекции чля учителей в ин¬
ституте усовершенствования и районных методических
кабинетах; во Дворце пионеров издаются сборники тре¬
нировочных задач; жюри консультирует учителей по
подбору задач для проведения школьного тура олим¬
пиады, готовит задачи для проведения районного и
городского туров.
Ленинградская олимпиада охватывает все классы,
начиная с V. Впрочем, ученикам не возбраняется при¬
нять участие в олимпиаде более старшего класса, и
иногда бывает, что третьеклассники получают награды
за V класс, а в 1963 г. шестиклассники Александр Лив¬
шиц и Андрей Суслин получили дипломы первой сте¬
пени и за VI, и за VIII, и за X классы. Сейчас А. Сус¬
лин— доктор физико-математических наук, лауреат пре¬
мии Ленинского комсомола, получивший всемирную
известность, решив проблему Серра. Внесли свой вклад
ленинградцы и в решение проблем Гильберта: побе¬
дители ленинградских, всесоюзных и международных
математических олимпиад Ю. Матиясевич и В. Харла¬
мов решили соответственно десятую и шестнадцатую
проблемы.
Победители школьных олимпиад и все желающие мо¬
гут участвовать во втором, районном туре олимпиады,
на котором предлагается для письменного решения от
3	до 5 задач'. Олимпиада физико-математических школ
проводится по особым вариантам. После проверки ра¬
бот членами жюри победители районного тура и прош¬
логодней олимпиады приглашаются на третий, город¬
ской тур, на котором дается 6—7 задач на 4 часа.
Третий тур — устный; в этом есть особый смысл: ариф¬
метическая ошибка или случайное заблуждение, не¬
правильное понимание условия задачи во время пись¬
менной олимпиады непоправимы, в то время как на
устной олимпиаде, где на каждую задачу дается 3 под¬
хода, можно выявить истинный уровень математиче¬
ской культуры и умения решать задачи. По каждому
классу на третьем туре обычно участвует до 150—
200 школьников.
. Специфическим, четвертым туром Ленинградской
олимпиады является отборочный тур, который прово¬
дится устно среди лучших учащихся VIII—X классов
и сильнейших семиклассников. Одна из его целей —
отобрать команду Ленинграда для участия во всесо¬
юзной математической олимпиаде. Здесь обычно дают
8 задач, общих для всех классов. Этот тур является
одним из наиболее трудных. Иногда семиклассники вы¬
ступали на этом туре успешнее, чем восьмиклассники,
и тогда они входили в команду города на всесоюзной
олимпиаде (так было с многократными победителями
всесоюзной и международной олимпиад А. Суслиным
и М. Гусаровым).
По результатам всех туров присуждаются дипло¬
мы и похвальные отзывы. Кроме личного есть и «ко¬
мандное» первенство: школы и районы города, получив¬
шие лучшие результаты, награждаются кубками и вым
пелами.
Успешно выступают ученики ленинградских школ на
всесоюзных и международных олимпиадах, составляя
иногда до половины сборной СССР. Случались и казу¬
сы: на Международной олимпиаде в 1967 г. ленинград¬
цев было больше, чем на Всесоюзной. Зная уровень
трудности ленинградских олимпиад, члены всесоюзного
жюри включили в сборную СССР ленинградцев, не
принимавших участие во Всесоюзной олимпиаде этого
года, и не ошиблись в своем выборе. Впрочем, не сле¬
дует забывать, что математические олимпиады пресле¬
дуют не только и не столько спортивные цели. Туров
и наград много, и любая награда почетна. К тому же
на каждом туре есть так называемая утешительная за¬
дача, которую может решить большинство пришедших
на олимпиаду ребят, так что без своей, может быть
скромной, победы не уходит никто. Награждение побе¬
дителей проходит на математико-механическом факуль¬
тете ЛГУ и во Дворце пионеров. Ведущие математики
Ленинграда вручают школьникам награды, читают лек¬
ции по различным разделам современной математики.
И, наконец, последнее, на чем хотелось бы остано¬
виться, это подбор задач. Олимпиада ставит целью не
закрепление знаний,'полученных в школе, а ознакомле¬
ние с новыми для учащихся методами и идеями, при¬
влечение к самостоятельной работе, а потому подбор
задач составляет предмет особой заботы жюри. «Школь-
ность» формулировок и методов решений уменьшается
от тура к туру, давая простор для работы мысли, а не
только усилиям памяти. Можно полушутя-полусерьезно
сказать, что задача тем более олимпиадная, чем менее
она связана со школьной программой.
61

Задачи-серии
во внеклассной работе
С.	Е. Рукшин
(Ленинград)
Широкая сеть кружков, заочных и вечерних математи¬
ческих школ, развитое олимпиадное движение уже во¬
влекли в математическое творчество многомиллионные
массы советских школьников. Настало время подумать
о	поднятии этого творчества на более высокий уровень.
Каковы же главные особенности математического
творчества школьников? Первая особенность — это дли¬
тельность концентрации внимания. В школе учащийся
должен решить свои задачи в ограниченное время
(не говоря уже о таких спортивных мероприятиях, как
олимпиады и математические бон, которые по сути дела
являются решением задач на скорость). С другой сто¬
роны, для решения олимпиадных задач требуется более
длительная концентрация внимания, чем на уроке, и
для этого требуется значительный интерес к решаемой
задаче, внутренняя мотивация, побуждающая к раз¬
мышлениям над проблемой.
Вторая особенность состоит в том, что, как правило,
школьнику известно, каким методом следует решать
данную задачу. Этот метод обычно подсказывается на¬
званием раздела задачника, из которого взята задача,
указаниями учителя, темой, изучаемой па уроке, и т. д.
Ученик не ищет метод решения сам! Именно поэтому,
встретив задачу на обобщающей контрольной или на
вступительном экзамене, школьник часто не решает ее,
хотя такую же (а то и более трудную) он без особого
труда решал, когда был указан стереотип, к которому
она относится. По тем же причинам наибольшие труд¬
ности вызывают так называемые задачи на повторение,
включающие в себя несколько тем, изучавшихся в тече¬
ние учебного года. Еще хуже обстоит дело в тех слу¬
чаях, когда решение задачи требует применения не¬
скольких различных идей или их комбинаций. Однако
именно такими являются проблемы, с которыми встре¬
тятся наши ученики, став взрослыми. Эти проблемы
требуют, во-первых, обнаружить подходящие идеи и
методы, во-вторых, последовательно применять их, пока
путь к решению не будет пройден до конца.
Олимпиадная задача обычно построена на одной блес¬
тящей идее, которая после технической реализации сра¬
зу ведет к решению. Две, реже три различные идеи в
такой задаче делают ее малорешабельной для школь¬
ника, даже если эти идеи сами по себе очень просты.
Таким образом, большинство задач на олимпиадах от¬
носятся, как говорят шахматисты, к «одно.ходовкам».
Именно поэтому доказательство большой теоремы обыч¬
но разбивается на ряд более мелких теорем и лемм,
каждая из которых соответствует одной идее, одному
шагу, приближающему нас к решению.
Способность учащихся к «озарению», необходимая
подчас для решения олимпиадных задач-одноходовок, не
должна затмевать тот факт, что истинное творчество
возможно лишь как длительный осмысленный труд, си¬
стематическая работа в определенном направлении.
Таким образом, для того чтобы поднять математиче¬
ское творчество школьников на новую ступень, необ¬
ходимо учить их-решать сложные, многоходовые зада¬
чи, разбивать их на такие задачи-одноходовки, с каж¬
дой из которых они способны справиться за сравни¬
тельно короткое время. Положение осложняется тем,
что при этом нужно оберегать ученика от непосильных
трудностей, сохраняя его интерес к задаче и к мате¬
матике вообще.
Поэтому наиболее естественный путь обучения реше¬
нию многоходовых задач — это (на первом этапе) под¬
сказка разбиения задачи на более простые части. Сле¬
дующим этапом должен быть переход к решению ис¬
следовательских задач, в которых такое разбиение
должен провести сам ученик.
В 1975 г. в Ленинграде был проведен любопытный
эксперимент: на районной олимпиаде в восьмых, девятых
и десятых классах вместо обычных 4—5 разрозненных
задач предлагались по 3 задачи-серии, каждая из кото¬
рых была разбита на несколько этапов, которые, пос¬
ледовательно усложняясь, вели к достаточно полному
исследованию затронутого круга вопросов. При этом
участникам сообщалось, что их успехи будут оценены
не по наибольшему общему количеству решенных пер¬
вых (более легких) пунктов по всем сериям, а по наи¬
более глубокому продвижению в какой-нибудь одной
из них. Вот несколько таких серий.
1.	«Расстоянием» на плоскости между точками
А(х,- ух) и В(х2, у«) назовем максимум из абсолютных
величин разностей одноименных координат, т. е.
ИВ^шах^*!—х2\, \у\—г/гI}-
Будем говорить, что точка X «лежит между» точками
А и В, если 1/4^1 + 16X1 = 1431. Множество точек, «ле¬
жащих между» А н В, назовем «отрезком» с концами
А и В. Серединой отрезка АВ назовем точку У, такую,
что | Л У | = | УВ |.
а)	Постройте «отрезок» с концами (1; 0) и (—1; 0).
б)	Является ли.он «отрезком» с некоторыми другими
концами?.
в)	Найдите все «середины» построенного «отрезка».
2.	Разменный автомат меняет любую монету от 5 коп.
до I р. на 5 других монет. Если какую-либо монету
можно разменять несколькими способами, то выбор
способа фиксирован конструкцией автомата. Степенью
полезности автомата назовем наибольшее число 5, при
котором можно разменять 1 р. на 5 монет, пользуясь
только этим автоматом.
а)	Можно ли разменять 50 коп. на 20 монет?
б)	Доказать, что с помощью любого разменного ав¬
томата можно разменять 1 р. на любое число монет
вида 4/г+1, не превосходящее 33.
в)	Можно ли в предыдущем пункте вместо 33 взять
37?
г)	На какое количество монет можно разменять 1 р.
при помощи автомата со степенью полезности 5?
д)	Какое наибольшее и наименьшее значение может
принимать 5?
е)	Что можно сказать об автомате, в котором способ
размена не фиксирован конструкцией?
3.	Замкнутая ломаная с п звеньями пересекает каж¬
дое свое звено ровно р раз.
а)	Существует ли такая ломаная при р — 1, га=7?
б)	Существует ли такая ломаная при нечетных п и р?
в)	Указать все п, для которых такая ломаная суще¬
ствует при р= 1.
г)	Указать все р, для которых такая ломаная суще¬
ствует при /г = 42.	,
д)	Что можно сказать о других п и р?
4.	Несколько сторожей зоопарка ловят обезьянку.
Сторожа и обезьянка бегают по дорожкам зоопарка,
причем максимальные скорости сторожей равны и каж¬
дый из них в любой момент знает, где находятся осталь¬
ные.
а)	План зоопарка имеет форму прямоугольника, раз¬
битого на единичные квадраты. Доказать, что два сто¬
рожа поймают обезьянку при любом начальном поло¬
жении.
б)	Будет ли верным предыдущее утверждение, если
прямоугольник свернуть в цилиндр?
в)	Будет ли оно верным, если план представляет со¬
бой прямоугольник, разбитый прямыми, параллельными
сторонам, на меньшие прямоугольники .(не обязательно
конгруэнтные) ?
г)	Верно ли, что на любой ограниченной плоской связ¬
ной сети три сторожа поймают обезьянку из любого на»
чального положения?
62

5.	Пусть 1\, 1ц, 1} — длины биссектрис треугольника,
р — его полупериметр, г — радиус вписанной окружнос¬
ти. Доказать, что:
а)	9г<*, + /,+ /,</>/З;
б)	Ш, < грг; в) 1\ + 1\ + 1\ < р*.
Проведенный эксперимент полностью оправдал себя,
так как наряду с регламентированным разбиением за¬
дач на пункты, которое делало их посильными для
школьника, позволял далеко продвинуться в исследо¬
вании проблемы, предоставляя широкие возможности
для самостоятельной работы, проявления инициативы,
дальнейшего углубления в задачу. После этого задачи-
серии неоднократно применялись в работе математиче¬
ских кружков Ленинградского Дворца пионеров и
всегда с неизменным успехом. Они способствовали раз¬
витию у учащихся умения решать сложные многоходо¬
вые задачи, в течение длительного времени концентри¬
ровать внимание на одной тематике, не теряя при этом
ни интереса школьников, ни высокого уровня слож¬
ности.
Применявшиеся задачи-серии можно условно разбить
на три группы: задачи, относящиеся к одному объекту,
но решаемые различными способами; в серии задач, ре¬
шающихся на основе общего подхода, общей идеи, они
чрезвычайно полезны для прочного усвоения этой идеи;
серии третьей группы последовательно развивают одну
или несколько идей и их комбинации для решения фун¬
даментальной задачи, касающейся одного предмета ис¬
следования, общего для всей серии.
Задачи-серии легко облечь в интересную для школь¬
ника форму, что позволяет надолго привлечь его вни¬
мание к достаточно серьезной проблеме, создает пред¬
посылки для большой внутренней мотивации, а тем
самым для дальнейшего развития математического
творчества школьников.
Об одном приеме решения
уравнений, содержащих
переменную под знаком модуля
Ш. Ш. Каплан
(Алма-Ата)
В учебнике «Алгебра 7» (п. 20) и учебном пособии
«Алгебра и начала анализа 9—10» (п. 5) выведена
формула расстояния между двумя точками координат¬
ной прямой и показано ее применение к решению урав¬
нений и неравенств, содержащих переменную под зна¬
ком модуля. На внеклассных занятиях полезно позна¬
комить учащихся с решением более сложных уравнений
этого вида.
Рассмотрим несколько примеров
1)	| х-{-51 +1 х—81 = 16.
Решение. На числовой прямой надо найти точки,
сумма расстояний которых от точек х——5 и х=8
равна 16.
Обозначив через у расстояние, на котором находится
искомая точка слева от точки х = —5 (рис. 1), получим
вспомогательное уравнение г/+((/+13) = 16, или у=
= 1,5, т. е. д.'1=—6,5.
Внутри отрезка [—5; 8] точек, удовлетворяющих
уравнению, нет. Справа от точки х=8 на расстоянии,
Рис. 1
Рис. 2
равном 1,5, находится вторая точка, удовлетворяющая
уравнению: х2=9,5.
Ответ: {—6,5; 9,5}.
Используя числовую прямую, можно показать, что
уравнение вида \х—а\ + \х—Ь\=с, где с^О, при
|а—6|<с имеет два корня, причем эти корни нахо¬
дятся вне промежутка [а; Ь]. При |а—Ь\=с уравне¬
ние имеет бесконечное множество корней, причем реше¬
нием является промежуток [а;	6]. При |а—Ь\>с
уравнение корней не имеет.
Приведем примеры решения уравнений, содержащих
разность модулей.
2)	|;с+41 — |х—2 [ = 5.
Решение. На числовой прямой надо найти точки,
разность расстояний которых до точек х=—4 и х—2
равна 5. Так как расстояние между точками х = —4
и х=2 равно 6, то искомая точка находится внутри
промежутка [—4; 2].
Обозначив через у расстояние от искомой точки до
точки х=—4 (рис. 2), получим у—>(6—у) =5, или
у = 5,5, следовательно, х=1,5.
Ответ: {1,5}.
Сравнивая расстояния между точками числовой пря¬
мой, легко установить, что уравнение вида
\х—а\—\х—Ь\ —с
имеет одно решение при |а—6|>|с|; в этом случае
искомая точка находится внутри интервала ]а; Ь[. При
|а—ь\ = \с\ уравнение имеет бесконечное множество
корней. При |а—Ь\<\с\ уравнение корней не имеет.
В тех случаях, когда коэффициенты при х отличны
от 1, их можно вынести за знак модуля, а затем ре¬
шать уравнение известным приемом.
3)	110—2х\ — |8х—241 =0.
Решение. Перепишем уравнение так:
21 х—-51—8|х—3| =0,
или	I*—51 =41 лс—3|.
На числовой прямой надо найти точки, расстояния
которых от точки х=3 были бы в 4 раза меньше,
чем от х=5.
а)	Пусть искомая точка находится вне промежутка
[3; 5] слева от точки х=3 на расстоянии у (рис. 3),
тогда имеем уравнение 4у=у+2^
2	0 1
откуда У = -з"| т- е* х~2~3~"
б)	Пусть искомая точка находится внутри проме¬
жутка [3; 5] на расстоянии г от точки 3, тогда имеем
уравнение: 4г=2—г, откуда
2	о	2
г= —, т. е. .г = 3 —.
Вне промежутка [3; 5] справа от *=5 уравнение
корней не имеет.
Ответ: {2-5- ; 3-3-}.
Составление вспомогательных уравнений при реше¬
нии уравнений, содержащих переменную под знаком
модуля, не представляет труда; при этом полезно,
чтобы учащиеся до решения уравнения устанавлива-
Рис. 3
Гу~1
-5
8
63

ля, в каких промежутках следует искать корни, сколь¬
ко корней имеет уравнение.
Рассмотрим еще два уравнения.
4)	У хг — 2х + 1 + ^х1 + 4х -|- 4 = 3.
Решение. Уравнение можно переписать так:
|*-1| + |х+2|=3.
Так как |—2—1|=3, то решением уравнения явля¬
ется весь промежуток [—2; 1].
Ответ: [—2; 1].
5)	1е(*+3)2-1е(4(х+1Р)=0.
Решение. Имеем:
|х+3|=2|х+1|.
Нетрудно видеть, что последнее уравнение имеет два
2
корня:	х,	=	—	1_з'<	хг	—	1.
ЗАДАЧИ
Задачи для IV—VIII классов
2421.	Найти все трехзначные числа, делящиеся на 11,
у которых сумма цифр равна 25.
С.	А. Халидов (АзССР, Кусарский р-н, пос.
Самур)
2422.	Из учащихся, выполнявших контрольную рабо¬
ту, 30% получили «5», 40%—«4», 8 учащихся получи¬
ли «3», остальные «2». Средний балл составил 3,9.
Сколько каких оценок получено на контрольной работе?
И. И. Михайлов (г. Иваново)
2423.	В трех классах выполнялась контрольная рабо¬
та; оценки 5, 4, 3, 2 получили соответственно: 28, 35,
25, 12% учащихся. Сколько каких оценок получено на
контрольной работе?
И. И. Михайлов
2424.	Найти все прямоугольные треугольники, длины
сторон которых являются целыми числами, а периметр
каждого из них численно равен площади.
В.	В. Вех (г. Житомир)
2425.	Решить в натуральных числах систему урав¬
нений
2хг + 30 у2 + Згг + 12ху + 12 у г - 308,
2хг + 6у2 — Зг2 + \2ху — \2уг ■= 92.
Э.	А. Я с и н о в ы й (г. Куйбышев)
2426.	Доказать, что число
-/ \ + У 2 + \ 3 + уГ4+уг5+уг6 •
иррационально.
Математический кружок 173-й шк. Киева
(рук. Р. П. Ушаков)
2427.	Внутри угла АОВ дана точка М, проекциями
которой на стороны угла являются точки М\ и М2. До¬
казать неравенство
50М,ММл ~ I ОМ |2 81П ^ОВ'.
2428.	Точка М — центр окружности, вписанной в тре¬
угольник АВС. Доказать, что центр окружности, опи¬
санной около треугольника АМВ, принадлежит биссект¬
рисе угла АС В.
В.	Н. Осташков (Тюменская обл., г. Ишим)
64
Задачи для IX—X классов
2429.	Можно ли однозначно определить знак числа
с, если известно, что а, Ь, с, <1 удовлетворяют следую¬
щим неравенствам:
а+ЗЬ+Ьс—4б(>0, За—56+4с—2й>0,
4а—6Ь+7с—й<0, 5а—Ь—Зс—15й<0?
Ю. И. Хохленко (Брянская обл., г. Навля)
2430.	Пусть а, Ь, с —различные положительные чис¬
ла и' многочлен шестой степени }(х) удовлетворяет ус¬
ловиям
На) =/{—а), 1(Ь)=Ц-Ь), Цс)={(-с).
Доказать, что }(х)=1(—х) для любого х С: К.
С.	И. М а й з у с (г. Запорожье)
2431.	Доказать неравенство
П
V, */—	п ( п 4- 1)
*=1
С.	И. М а й з у с
2432.	Пусть Р— множество значений а{- К, для
каждого из которых уравнение а(ху-\-1) =х+(/ опреде¬
ляет у как функцию от х, С — множество значений х,
в которых каждая функция, задаваемая этим уравне¬
нием, непрерывна. Найти пересечение Р П О.
В. Л. Д и д к о в с к и й (г. Новоград-Волынский)
2433.	На большей стороне АВ треугольника АВС по¬
строены точки М и N. такие, что \АМ\ — \АС\,
|ВЛ/| = |ВС|. Выпазить радиус окружности, описанной
около треугольника МСЫ, через длины сторон данного
треугольника.
П. С. Коркина (г. Шадринск)
2434. Дано множество окружностей, проходящих че¬
рез две данные точки А и В. Составить уравнение мно¬
жества концов диаметров этих окружностей, параллель¬
ных хорде АВ.
Т. А. Иванова (г. Горький)
2435.	В окружность с центром О вписан разносто¬
ронний треугольник АВС. Через концы высот А А,, ВВи
СС, треугольника проведены соответственно окружнос¬
ти, касающиеся прямых О А, О В, ОС. Доказать, что эти
окружности имеют две общие точки, лежащие с точ¬
кой О на одной прямой.
А.	А. Ягубьянц (г. Ростов-на-Дону)
2436.	Дан прямоугольный тетраэдр О А ВС с прямым
трехгранным углом О. Найти множество точек М, для
которых 2|ЛШ|2 = \ МА\2-\-\МВ\'2-{-\МС\2.
Р. Г, Петрова (Болгария, г. Шумен)
Многочлены
2437.	Многочлен }(х) степени 2п удовлетворяет ра¬
венствам }(а1)=1(—а,), ..., }{ап) —{{—ап), где ах, ...,
ап — различные действительные числа, отличные от 0.
Доказать, что !(х)=1(—х) для любого х а К.
Приближенные вычисления
2438.	Можно ли пользоваться формулой з1па°«
к
«а 180 а **ля составления прехзначных таблиц
значений синуса для углов до 10°?
В.	М. Мейлер (г. Горький)
Абсолютная геометрия
2439 Окружность со (О; /?), вписанная в треугольник
АВС, касается стороны АВ в точна М* юнко. С*—осно¬
вание биссектрисы угла АВС треугольника. Не опиря•
Ответ
■Ьт

ясь на аксиому параллельности и следствия из нее,
/\ /\
доказать равенство АОС\ = МОВ.
3.	А. Скопец (г. Ярославль)
Параллельность прямых
2440. На плоскости даны три прямые а, Ь, с и на
каждой из них заданы соответственно по три точки
А|, А2, А3; Ви В2, В3; Сь С2, С3. Построить такие три
точки Оь Ь2, йз, чтобы (А\01)\\(А^0^)\\(Аз0з);
(В0О II (В202) II (В303); (СЛ) II (С^) || (СзОз).
В.	А. П е к л и ч (Москва)
Решения задач,
помещенных в № 2 за 1981 г.
2341.	Найти х, если
ххх (х — 1) = (х — 1 )*—2 .
.Решение. Поскольку
54 = 625 <1000, 7б = 343-343> 10 ООО,
то 5<дг— 1 <7, откуда х=7. Проверка показывает, что
65=7776, так что х = 7 действительно удовлетворяет
условию задачи.
2342.	Если к некоторому пятизначному числу припи¬
сать слева цифру 6, то получится число в 4 раза
большее, чем получилось бы, если цифру 6 приписать
справа. Найти это число.
Решение. По условию,
аЬсЛе6
X	4
6аЬсйе
Осуществляя умножение, последовательно находим циф¬
ры данного числа:
е = 4, (1 = 8, с=3, 6 = 5, а=1.
Итак, искомое число равно 15 384.
2343.	Когда четыре последовательных цифры записа¬
ли одну за другой, а затем две первые цифры поменя¬
ли местами, то получилось число, являющееся точным
квадратом. Найти это число.
Решение. Легко видеть, что получившееся число
есть одно из чисел:
2134, 3245, 4356, 5467, 6578, 7689.
Первые два из этих чисел не являются точными
квадратами, поскольку первое делится на 2, но не де¬
лится на 4, а второе делится на 5, но не делится на 25.
Третье число равно 662. Следующие два числа не яв¬
ляются точными квадратами, так как квадрат числа не
может оканчиваться цифрами 7 и 8. Наконец, число
7689 также не является точным квадратом, так как оно
делится на 3, но не делится на 9.
Таким образом, искомое число равно 4356.
2344.	Найти пятизначное число, которое в 45 раз
больше произведения его цифр.
Решение. Пусть выполняется равенство
ш «= аЬсЛе = 45аЬсйе.
Тогда все цифры числа т нечетные — иначе т делится
на 10, т. е. е==0, т. е. т=0, что неверно. Отсюда сле¬
дует, что е = 5, так что т делится на 25, и поэтому
а=7.
Из того, что т делится на 9, получаем, что а+Ь-|-с+
4-12 делится на 9, откуда следует, что
а+6+с=15.
Кроме того, из неравенства 45-35ойс<100 000 следует,
что
аЬс 2^63,
Из последних двух условий перебором находим две
возможные тройки чисел а, Ь, с—это 1, 7, 7 и 1, 5, 9.
Для первой тройки имеем равенство
77 175 = 45-7-7-1-7-5,
и,	следовательно, число 77 175 удовлетворяет условию
задачи; вторая тройка условию задачи не удовлетво¬
ряет.
Таким образом, искомое число равно 77 175.
2345.	В запись некоторого числа входят цифры 1, 2,
з,	4 (и, быть Может, некоторые другие). Доказать, что
перестановкой этих цифр в заданном числе можно полу¬
чить число, делящееся на 7.
Решение. Заметим сначала, что числа
3241, 2143, 1234, 2341, 1243, 2413, 2134
при делении на 7 дают все возможные остатки от 0
до 6. Выбросив из данного числа цифры 1, 2, 3, 4, обо¬
значим через г остаток от деления на 7 произведения
оставшегося числа на 10 000. Тогда для получения чис¬
ла, делящегося на 7, достаточно приписать к нему спра¬
ва то из указанных выше семи чисел, которое при де¬
лении на 7 дает остаток 7—г.
2346.	Найти наименьшее значение выражения
1(х) = | Зх-61 -1 х+11 + 12*+41.
Решение. Для освобождения от знака модуля сле¬
дует рассмотреть четыре промежутка
]-с»; -2],	[-2; -1],	[-1;	2],	[2;	+оо[.
На первом промежутке
{(х) =3—4х
и,	следовательно, '((х) принимает наименьшее значение
при * = —2.
На промежутке [2; +оо[
1(х) = 4х—3
и [(х) принимает наименьшее значение при х = 2.
На каждом из двух оставшихся промежутков }(х)
также задает линейную функцию, так что наименьшее
значение [(х) принимает в концах этих промежутков.
Таким образом, наименьшее значение выражения }(х)
есть одно из чисел \(—2) = 11,	/(—1) = 11, /(2)=5,
т. е. равно 5.
2347.	Окружности о>1 и со2 пересекаются в точках А
и В. Касательная к в точке А пересекает ш2 в точ¬
ке С, а касательная к со2 в точке В пересекает Ш] в
точке О. Доказать: 1)‘ (АЪ) \\ (ВС); 2) |ЛВ|2=|Л/)|х
X	IвсI; 3) |ВО|2: |/4С|2=|ЛО| : |ВС|.
Решение. 1) Проведем хорду АВ (рис. 1). Имеем]
/\ /\ /\ /\
АСВ= АВИ, ВАС = АОВ,
следовательно, третьи углы треугольников АВС и ВАИ
/\ ,/\
конгруэнтны, т. е. СВА = ВАО. Отсюда следует, что
(АО) || (ВС).
2)	Треугольники АВС и ВАИ подобны, как имеющие
соответственно конгруэнтные углы, поэтому
\АВ\:\ВС\ = \АО\:\АВ\ и \АВ\2= \Ай\■ \ВС\.
Рис. 1
65

3)	Из подобия треугольников АВС и ВАО следует;
|ВО| : |ЛС| = |ЛВ| : |ВС|, \Вй\ : |ЛС| = |ОЛ| : \АВ\.
Перемножив почленно эти пропорции, получим, что
|ВО|*: \АС\*=\АО\ : \ВС\.
2348.	Диагонали АС и ВО равнобочной трапеции
АВСО ([ЛО] || [ВС]) пересекаются в точке М. Доказать,
что прямая, проходящая через точку М перпендикуляр¬
но прямой АВ, проходит через центр окружности, опи¬
санной около треугольника МСО.
Решение. Известно, что прямая х, содержащая
биссектрису угла С треугольника АВС (рис. 2), яв¬
ляется осью симметрии двух прямых:	прямой ССЬ
проведенной через вершину С перпендикулярно проти¬
волежащей стороне, и прямой, проходящей через эту
вершину и центр О окружности, описанной около тре¬
угольника. Сказанное следует из равенства углов
/ч /\
АСО = ВСС, = ! 90°
■В\
Проведем через точку М прямую I, параллельную
основаниям трапеции (рис. 3); она содержит биссектри¬
сы углов АМВ и СМО, поэтому при симметрии 5; пер¬
пендикуляр (ММ,) к (СО) отображается на прямую
ММ2, проходящую через М и центр О окружности, опи¬
санной около треугольника МСО. Но прямая I,, про¬
ходящая через М перпендикулярно к I, является одно¬
временно осью симметрии трапеции и той же пары пря¬
мых ММ2 и ММ,, значит, 5; (ММ,) — (ММ?). Поскольку
(ММ,) ± (СО), то в силу симметрии (ММ2) ± (ЛВ),
Рис. 3
2349.	Решить уравнение [х] ■ {х} = 1.
Решение. Из данного уравнения сразу же
следует, что {.*}=—, где п — натуральное число,
1
а тогда х = [дг] + {лг} = п + —. Проверка показывает,
что все полученные числа действительно являются кор¬
нями уравнения.
2350.	При каком х функция
1(х) — I*-11 + 1*—2| + ... + \х—19811
принимает наименьшее значение?
Решение. Рассуждая так же, как при решении
задачи 2346, получаем, что {(х) может принимать наи¬
меньшее значение только в точках к — 1, 2, 3, ..., 1981,
Поскольку
/(к) = (к-1) + (к-2)+ ... + 1 + 1 + 2 +
+ ... + (1981 -*) -	.
= к2 — 1982Й + 1981-991,
то из свойств квадратного трехчлена следует, что {(к)
будет наименьшим при & = 991.
2351.	Решить систему уравнений
18*1 + 3с*г х1 = 21%х,,
г§х2 + з сге = 2 г§х3,
•	•••••••••••а
<8 хп-х+ 3 с1§ хп_,= 2 хп.
18 х„ + Зс18*„ = 2 1е-*Г1 -
Решение. Найдем сначала решения, при которых
4дх1>0; тогда, как легко видеть, тангенсы остальных
переменных также положительны, и из последнего не-
равенства получаем
212л:, >2 ■/ 1%хп-гс1§х„.
Отсюда 1§ х, > >^3 , а тогда л:,> 3, 1§ х,> 3 с!§ л:,»
1§ лг, = -у (1е лг, + 3 с!§ л:,) < хх.
Аналогично получаем неравенства
*8 х, < *8 хп < ... < 18 х3 < дгг.
Следовательно,
‘8*1 = *&■*> = ...= *8х„ = /3 и
К
XI	= - д + к[ я (к[	0).
Решения, при которых 1%х, <0, получаются анало¬
гично:
/	те
XI
2352.	Найти все функции у, удовлетворяющие урав¬
нению
1	_1_
лг
на промежутке ]0; + оо[.
Решение. Имеем последовательно:
1
— — + 11*	(1г<	0).
У" = — У' + х’-
У"
У.
х2
(.у±У-'-±.
1 л» 1
у —+ — + С (сею,
У’
+ Сх + 1,

2353.	Доказать, что необходимое и достаточное усло¬
вие принадлежности ортоцентра треугольника АВС
прямой, содержащей его среднюю линию, параллельную
стороне АВ, выражается равенством сов С=соз Л-соз $.
Решение. Во-первых, следует заметить, что С<90°,
так как при С^90° ортоцентр Н треугольника окажет¬
ся на продолжении высоты СС, или совпадет с верши¬
ной С, а поэтому он не может лежать на средней ли¬
нии, параллельной (АВ).
Если М — середина стороны АВ, то \ОМ\ = /?соз С,
где О — центр описанной около треугольника окруж¬
ности, К — ее радиус (рис. 4). Далее известно, что
|СЯ|=2|ОМ|; это следует, например, из гомотетии
треугольников МОС и СОН, где С — точка пересече¬
ния медиан треугольника АВС.
Если |СС,|=йс и 2\СН\=Нс, то
Нс = 4/? соз С, скс = 4Нс соз С, аЬ зт С =
= 4/?-2Я 81ПС-С08С,	4Л251П Л-51П В = 8Я2 со5 С,
2 СОЗ С = 51ПЛ-5тВ, СОЗ С = —СОЗ С
81П А -б!!! В, СОзС — СОЗ (Л + В) +
+ 31П Л-81П Ъ, СОЗ С = СОЗ А • СОВ В.
Обратно, из соотношения соз С — соз Л-созВ сле¬
дует кс = АН соз С или 2 | СИ \=НС, т. е. точка Н
принадлежит средней линии треугольника.
2354.	В окружность с центром О вписан треугольник
АВС. Точки Л,, Вь С] симметричны основаниям Л0, В0,
С0 высот АА0, ВВ0, СС0 треугольника относительно се¬
редин его сторон. Доказать, что середины сторон тре¬
угольника А,ВхС, принадлежат прямым ОА, ОВ, ОС.
Решение 1. Поскольку |СВ0| =а- |созС|, то | ЛВ, | =
= а|созС| (рис. 5). Аналогично \АС\ | =а-|соз В|.
Так как
5Д АОВг =	I	соз С | ■ | соз В | ,
’длос,
На I соз В I
соз С
где Я — радиус данной окружности, то	=
= 5д^ос,, а потому середина отрезка Л,В, принад
лежит прямой АО при условии, что прямая АО разде¬
ляет пару точек В\ и С, (в противном случае (В,^) ||
|| (ЛО)). В случае остроугольного треугольника точ¬
ки В, и Сь очевидно, лежат по разные стороны от
(ЛО). Если треугольник ЛВС тупоугольный, то одна
из точек Л1, Вь С, лежит на стороне, а две другие —
на продолжениях сторон данного треугольника, причем
так, что каждые две из этих точек лежат по разные
стороны соответственно от (ОА), (ОВ), {ОС).
Решение 2. Чтобы придать решению необходимую
общность, применим векторы, которые будем отклады¬
вать от центра О описанной окружности. Полагая, что
треугольник АВС непрямоугольный, имеем:
—<■	с соз А —»
ОС +	—-ОА
а соз С
с соз Л
1	+	—
а соз С
Рис. 4
Рис. 5
Аналогично
ОС, =
Ь соз Л-ОЛ+а соз В■ ОВ
Остается доказать, что вектор 5 = ОВ1 + ОС, кол-
линеарен вектору ОА, т. е. коэффициент при векто-
	-» -+
ре ОВ в сумме 5 равен	нулю.
Зная, что
з!п2Л- ОА + з1п 2В-ОВ + з!п2С-ОС = О,
имеем:
—*	—>■	1 /	~	зт 2Л- О А 4- 81П 2ВОВ
ОВ, + ОС1=~г \—а соз	С •	х	 +
° \	81П	2С
+ с соз Л-ОА^ + -у- (йсоз А-ОА + л соз В-ОВ).
Вычислим коэффициент ц при векторе ОВ:

я =
з!п .4 соз С з1п В со&В
5Ш В 31П С соз С
т. е. ^ =
■ +
з1п А соз В
з!п С
0.
Итак, ОВ, + ОС, = р О А, а поэтому середина от¬
резка В,С, принадлежит прямой О А. В случае прямо¬
угольного треугольника утверждение задачи остается в
силе, в чем убеждаемся непосредственным построением.
2355.	Плоские углы четырехгранного угла конгруэнт¬
ны. Доказать, что плоскости диагональных сечений это¬
го четырехгранного угла перпендикулярны.
Решение. Отложим на ребрах четырехгранного
угла от его вершины единичные векторы ОА = еи
ОВ = е,, ОС = ег, ОО = е^ (рис. 6). Согласно условию
—► —> —> —> —► —► —> —►
-- е7-е3 = е3-в1 = ег. Из этих ра-
задачи имеем е, ■е,
венств следует, что
(ег — е,)-(ег—1е,) = 0,	(е3 — е,)■(/>, + е4) = 0,
или ЛС-ВО — 0, АС■5N=0, где N—середина стороны
ВО.
Итак, прямая АС перпендикулярна прямым ВО и 5А^
а поэтому (А С) Л_ (В5/)). Но в таком случае
(Л5С) 1 (В50).
2356.	В пространстве даны три прямые. Через одну
из них провести плоскость так, чтобы остальные две
прямые были к ней одинаково наклонены.
Решение. Выберем в пространстве произвольно
точку 5 и проведем через нее прямые а, Ъ, с, парал¬
лельные данным прямым аи &,, с,. Интерес представля¬
ет случай, когда эти прямые не лежат в одной плос¬
кости. Построим оси симметрии I и V прямых а и Ь.
Любая плоскость а, проходящая через / (или /'), оди¬
наково наклонена к а и Ь. В самом деле, осевая сим¬
метрия отображает а на Ь, Ь на а, а на себя. По-
/\ /\
этому (а, а) = (Ь, а).
Докажем обратное утверждение: если плоскость а,
проходящая через точку 5, одинаково наклонена к а
и 6, то а проходит через I или через I'.
Отложим на прямых а и 6 от точки 5 конгруэнтные
отрезки 5Л и 5В (два случая) и рассмотрим их проек¬
ции 5Л, и 5В, на плоскость а (рис. 7). Из равенства
|ЛЛ, | = |ВВ,| следует, что отрезки АВ и А,В, имеют
общую середину М, поэтому а проходит через биссект¬
рису угла В,5Л, и содержит ось симметрии / прямых
а и 6. (Второй случай доказывается аналогично.) За¬
дача имеет два решения: а,= (с, I), а2=(с, /')• Если
вернуться к исходным прямымча,, Ь\, с,, то через с, не¬
обходимо провести плоскости	и	параллельные
а,	и а2-
2357.	Доказать неравенство
1
? ——— йх < 1п 2.
Л соз х
о
Решение. Поскольку на промежутке ] 0; 1] выпол-
х	X	| х х*
няется неравенство 0 < зт	Т0	3	~2~	^	Т'
откуда соз х > 1
Следовательно,
1 1
Х‘
т
>0.
1п2,
2	 1-2
0‘	о
что и требовалось доказать.
2358.	Многочлен )(х) степени п имеет п действитель¬
ных корней (с учетом кратности). Сколько корней име¬
ет уравнение
/(*) + = 0, (1)
где X — действительное число, отличное от 0?
Решение. Обозначим через й(х) наибольший об¬
щий делитель многочлена [(х) и его производной, и
пусть р(х)—частное от деления [(х) на с1(х), тогда
/'(х) _ а (х) р'(х) + а'(х) р(х) = р' (л-) а' (х)
/(х) ~	а(х)р(х)	~ р(х) + й (х)
Докажем индукцией по степени многочлена формулу
/'(х) у к,
X— I
1=1
/(*)
«Г
где аь ..., аг — различные корни многочлена }(х), а
к,, ..., кг — их кратности. Действительно, р(х) — (лс—
—а,) ... (х—аг) и непосредственно проверяется, что
Р'(х)
Р(х)
= Е 1
X—ац ’
I =1
а поскольку корни а,, ..., аг имеют в многочлене й(х)
кратности к\—1, ..., к,—1, то по предположению ин¬
дукции,
а' (х)
сЦх)	X	Я;’
1 = 1
откуда и вытекает требуемая формула.
2|:
1 = 1
1
68

Рис. 8
Корни многочлена й(х) являются общими корнями
многочлена }(х) и его производной, а следовательно, и
корнями уравнения (1); поэтому уравнение (1) имеет,
прежде всего,
(к, — 1) + ... + (кг — 1) = п — г
корней — это корни аь ..., аг с учетом кратности. Для
нахождения других корней уравнение (1) можно разде¬
лить на }(х) и представить его в виде
/'(х)	1
/(х)	X ’
или по доказанной формуле
■сч	1
Х—а.
(2)
I-1
Обозначим левую часть уравнения (2) через §(х).
Считая, что а1<... <аг, заметим, что выполняются сле¬
дующие равенства:	.
Нш §(лт)=4-оо, Пш §(х)=—оо (1=1, 2,...,г),
Ит §•(.*) =—0, Игл ^(д:) = 4-0.
—оо	х-+	+ оо
Поэтому на каждом промежутке между корнями функ¬
ция §(х) по крайней мере один раз принимает зна¬
чение — -у : при ^>0 на промежутке ]— оо; <ц[, а
при Х<0—на промежутке ]аг; + оо[. Другими слова¬
ми,' уравнение (2) имеет еще по крайней мере г корней,
так что уравнение (1) имеет п корней.
2359.	В треугольнике АВС проведены высоты А А, и
ВВ1. Доказать, что окружность А\В,С и окружность с
диаметром А В ортогональны.
Решение 1. Пусть радиус окружности Л1В1С ра¬
вен р (рис. 8). Так как | СН | = 2р, | СН \ = с | С |,
С	А
то р ■= — | с1§ С |. Для того чтооы окружности были
ортогональны, необходимо и достаточно выполнение
с2
равенства ^а = рг+“, где Л — расстояние между
центрами М и N данных окружностей. Но й = Я, по¬
этому остается .проверить истинность равенства Л2 =
с2 ~ сг
= С1%гс + —, где с=27?8т С,
В самом деле,
= Я*8Ш*С.
Решение 2. Докажем, что касательные к окруж¬
ностям в их общей точке В1 перпендикулярны. Если
/\ ~
М — середина стороны АВ, то МВгВ = 90°—Л; есдо»
/\ /\	/\
N — середина отрезка СН, то А1В,В = АГНВ1 = САВ.
/\ ~
Отсюда следует, что МВгЫ = (90° — А) + Л = 90°,
т. е. (МВ,) и (КВ,) — перпендикулярные касательные
к окружностям в их общей точке В,, а поэтому окруж¬
ности ортогональны.
Решение 3, Стороны треугольников АВВ, и
НСВ1 соответственно перпендикулярны, поэтому и меди-
/X
. аны МВ, и ЫВ, перпендикулярны и МВ,N=90°.
2360.	Даны пересекающиеся прямые а, Ь и точки
А ^ а, В $ Ь. Провести через точки А и В соответ¬
ственно параллельные прямые а, и Ь, так, чтобы А,—
—	а,[)Ь и В, = Ь,(]а принадлежали прямой с, парал¬
лельной данной.
Решение 1. Пусть М = а[)Ь (рис. 9). Направим
прямые а и Ь, приняв точки Л и В за единичные точ¬
ки системы координат (М\ а, Ь). Если прямые а, и Ь,
имеют угловой коэффициент к, а точки Л, и В, имеют
соответственно координаты (0; п) и (т; 0), то
ОпЕг^= ?=т-л) ^ (и= -*• “--тг)*
Угловой коэффициент прямой с обозначим через 5.
п —О
Тогда из (Л,В,) Ц с следует п = я, откуда
X	С + \ - к2 з1п2 С (1 + с1§2 С) - К2.
—к= 5, или к = + V—5. Поэтому, если я<0, за¬
дача имеет два решения; при 5 > 0 задача решений не
имеет. Случай 5 = 0 не представляет интереса.
Имея 5, можем построить прямую с угловым коэф¬
фициентом к. В самом деле, | в | = и остается по-
-	Р\ л/~р
строить отрезки рх и такие, чтобы — = у —,
где р и д данные отрезки. Для этого замечаем, что
Р\'-Ч\ — УРЯ'-Ч< поэтому, построив VРЯ как среднее
геометрическое отрезков р и <?, найдем р,'.Ц, и к.
Решение 2. Пусть I — несобственная прямая пло¬
скости. Прямая Ь перспективна I относительно Л, а
прямая I перспективна а относительно В, значит, пря¬
мая а проективно соответствует прямой 6 '(рис. 10).
Итак, прямая Л1В1 касается кривой второй степени "у.
Точке М = а[\Ь соответствуют г прямом и обрат¬
ном проективных соответствиях несобственные точки
69

V	и V прямых а и 6. Поэтому у— гипербола, а и Ь —
ее асимптоты, (АВ)—касательная. Середина Р отрез¬
ка АВ принадлежит у.
Пусть 5 — середина отрезка А0В0, где Аа = а[\С\,
Во = Ь(]С\, а с,—данная прямая. Построим точки Е
и Р пересечения у и ее диаметра М5.
Проектируя точки II, V, Р на (М5) из V и V, по¬
лучим три пары .точек (/V, Р2), (М; Т), (Т; М). Они
принадлежат инволюции, двойные точки Е и Р кото¬
рой симметричны относительно М и МЕ2 == МР\ ■ МР2.
Если МР\ • МР2 > 0, задача имеет два решения; если
МР\-МР2<С0—решений нет. Отрезок МЕ строят как
среднее геометрическое отрезков МР, и МР2. Через Е
и Р остается провести прямые, параллельные сь
Замечания к решениям задач
Решая задачу 2341, многие читатели представляли ле¬
вую часть равенства в виде комбинации степеней чис¬
ла 10. Между тем в данной задаче наиболее простым
приемом является прямой перебор, который сводится
фактически к проверке лишь значения х — 6 — при
г = 5 правая часть является трехзначным числом, а при
х —- 7 — пятизначным.
Задача 2342 легко решается с помощью уравнения:
»о условию задачи искомое число х удовлетворяет
уравнению 6- 105+л:= (10л:+6)-4.
Задача 2343 также проще всего решается перебором.
Интересно отметить, что если понятие «последователь¬
ные цифры» воспринимать «циклично», то задача име¬
ет еще одно решение; 8901 — на такую возможность
указала читательница Л. П. Барышникова. В то же вре¬
мя, строго говоря, такое понимание является несколько
Произвольным.
В условии задачи 2345 оказалась некоторая неопре¬
деленность: неясно, относится ли слово «этих» ко всем
цифрам или только к цифрам 1, 2, 3, 4. Все читатели
истолковали условие первым способом, и большинство
«п них совершенно правильно провели решение. Во вто¬
ром варианте условия утверждение задачи становится
неверным — на это указали участники математического
кружка 173-й шк. Киева (рук. Р. П. Ушаков). Приве¬
денный ими пример основан на том, что числа 106,
Ю12, 1018 при Делении на 7 дают остаток 1, и поэтому
й-Ю'^+Ь-1012+с-при делении на 7 дает остаток
такой же, как и сумма а+Ь+с+й, т. е. не делится на 7
Независимо от Того, каким образом вместо а, Ь, с, к
«одставлять числа 1, 2, 3, 4.
В решении задачи 2346 основным недостатком была
ссылка на график без всяких попыток обосновать соот¬
ветствующее утверждение более строгим образом.
При решении задачи 2352 некоторые читатели исполь¬
зовали специальные методы решения дифференциальных
уравнений. Разумеется, такие решения допускаются, но
желательно всегда оставаться в рамках понятий и ме¬
тодов, близких к школьному курсу. Заметим, что в од¬
ном из писем данное уравнение решалось методом, от¬
носящимся к линейным уравнениям с постоянными ко¬
эффициентами.
Много прислано неправильных решений задачи 2351.
Ряд читателей без всякого обоснования считали, что
если каждый {%хк равен + УЗ, то либо все эти тангенсы
равны УЗ, либо все они равны —УЗ. В ряде
решений необоснованно утверждалось, что из «цикли¬
ческой» структуры рассматриваемой системы непремен¬
но следует, что все тангенсы равны между собой. В не¬
которых решениях «для простоты» предполагалось, что
хотя данная система вовсе не
допускает перестановок переменных между собой.
Решая задачу 2358, ряд читателей рассматривали ком¬
плексные корни заданного уравнения. Между тем нали¬
чие п комплексных корней этого уравнения совершенно
очевидно, а в условии задачи речь идет, разумеется, о
действительных корнях.
У преобладающего большинства читателей затруднения
вызвало решение задачи 2355. Отложив на ребрах четы¬
рехгранного угла конгруэнтные отрезки ОА, ОВ, ОС
и Ой, многие по интуиции ошибочно допустили, что
точки А, В, С и О принадлежат одной плоскости, а
поэтому и одной окружности, по которой сфера с цент¬
ром О радиуса | О А | пересекает эту плоскость. По¬
скольку стороны четырехугольника АВСИ конгруэнтны,
то был сделан вывод, что он должен быть квадратом.
Отсюда уже легко следует, что плоскости АОС и ВОй
перпендикулярны. В общем же случае точки А, В, С, О
не принадлежат одной плоскости; сделанное допущение
оказалось необоснованным и, как выяснилось, ошибоч¬
ным. На сфере получается сферический ромб, диагона¬
ли которого перпендикулярны, а поэтому леяСат в пер¬
пендикулярных плоскостях. Чтобы в этом убедиться без
использования понятий сферической геометрии, целесо¬
образно применить скалярное произведение векторов,
принимая векторы ОА, ОВ, ОС, Ой за единичные.
Следует добавить, что в задачах на многогранные уг¬
лы, как правило, успех достигается путем введения
единичных векторов, отложенных от вершины вдоль ре¬
бер, и применения скалярного произведения.
При решении задачи 2356 многие читатели потеряли
одно решение, причем приведенное ими частичное ре¬
шение оказалось громоздким и труднообоз]эимым. В за¬
дачах подобного вида целесообразно прямые и плоско¬
сти, данные в условии задачи, заменить параллельными
им прямыми и плоскостями, проходящими через одну
точку, и свести задачу к многогранным углам.
Задача 2360 по своему содержанию аффинная и вто¬
рой степени. В подобных задачах вполне оправданно
и естественно применение аффинных координат. Хотя
конструктивный подход нередко также приводит к це¬
ли, вскрывая дополнительные стороны решаемой проб¬
лемы, но такого решения никто не предложил. Интерес¬
но отметить, что прямые А1В, являются касательными
к гиперболе. Этим Аактом удобно пользоваться при
решении задачи. Среди касательных необходимо вы¬
делить две, параллельные данной прямой. Задача мо¬
жет иметь два решения, не иметь ни одного решения
или иметь только одно. Последний случай следует от¬
бросить, если отказаться от несобственных точек А1
или В|. Таким образом, конструктивный подход поучи¬
телен тем, что. он привел к построению системы пря¬
мых Л|ВЬ огибающей которой является гипербола с
асимптотами а и Ь.
Г. В. Дорофеев (Москва),
3.	А. Скопец (Ярославль)
10

Сводка решений задач,
помещенных в № 2 за 1981 г.
Абашидзе А. А. (ГССР, г. Цулукидзе)—2341—2344,
2346, 2347, 2349, 2350, 2352, 2353, 2356. Аббасов А.
(АзССР)—2341—2343,	2349. Андриевский С. А.
(г. Омск)—2341—2343, 2346, 2349, 2350, 2352, 2357.
Ахматов М. А. (Краснодарский край, г. Ейск) —2341—
2344, 2349. Багдасарян А. М. (г. Кировабад)—2341—
2346, 2349, 2350, 2352. Балицкий В. С. (Алтайский
край, г. Алейск) — 2349, 2352—2356. Барбарян Р. И.
(г. Кировакан)—2341—2344, 2349, 2356. Барышникова
Т. Л. (Ошская обл.) —2341, 2342, 2344, 2346,2347,2352.
Бортная М. И. (Киевская обл., г. Тетюши) — 2341—
2344, 2346—2350. Бояхчян I'. Г. (Ереван)—2341—2344,
2349. Будагов Р. А. (АрмССР) —2341, 2342, 2344, 2346,
2352.	Букобаев Н. (Восточно-Казахстанская обл.) —
2341—2344, 2346, 2347, 2355, 2356. Владимиров А. С.
(Свердловская обл., г. Асбест)—2341—2344, 2346—
2349,	2351—2354, 2357, 2359. Гемуев А. А. (г. Наль¬
чик) — 2341—2344, 2346—2349, 2352, 2353/ 2355—2357,
2359.	Головачев Е. А. (Белгородская обл.) —2341—
2355, 2357, 2359. Грачикова К- С. (Московская обди
г. Ожерелье) —2341—2345, 2349, 2357. ДжаббаровМ. б?
(АзССР, г. Саатлы) —2341—2344, 2346, '2350—.2352,
2357. Дидковский В. Л. (Новоград-Волынский)—2349,'
2351—2360. Егоров П. В. (г. Рязань)—2341—2344,
2346,	2347, 2349, 2353, 2355, 2356, 2359. Емелюшин И. С.
(г. Барнаул)—2341—2344,	2346—2349,	2353,	2355—
2357.	Закаряев Б. Ш. (АзССР) — 2342—2344, 2346, 2349,
2350,	2353. Зискинд Л. Е. (г. Винница)—2341—2344,
2346—2350, 2353, 2355, 2357. Зубилин Н. И. (Орловская
обл.)—2341—2343, 2347, 2357,	2359. Иричанин Б.
(Югославия, г. Н. Београд)—2341—2343. Каденов С. Ж.
(Восточно-Казахстанская обл.)—2341—2343,	2347—
2349, 2356. Кассиров В. А. (Павлодарская обл.) —
2341—2344, 2347—2350, 2352—2356, 2359. Ким Б. М.
(г. Джамбул)—2341—2343, 2346, 2349. Корнилов А. В.
(г. Ростов-на-Дону)—2341—2343, 2346—2348, 2350—
2353,	2355, 2357. Кривцов Н. И. (Воронежская ббл.) —
2341—2344, 2346, 2349. Курганов Т. К. (УзССР, г. Чир-
чик)—2341—2344, 2346, 2350, 2352, 2355, 2357. Мака¬
ров М. Ф. (Орловская обл.)—2341—2350, 2355. Ма¬
медов И. М. (ГССР)—2341—2343, 2346, 2351. Маме¬
дова Р. И. (АзССР)—2341—2344, 2346. Мисько Л. И.
(г. Тольятти)—2341—2344, 2346—2350. Наринян Р. Р.
(АзССР)—2341—2343, 2349. Нечаев Е. К. (г. Му¬
ром) — 2342—2344, 2346, 2347, 2350, 2352, 2359. Орын-
басаров И. Г. (Каракалпакская АССР, г. Ходжейли) —
2341—2344, 2346, 2349. Повелий В. И. (Ровенская обл.) —
2341—2349, 2352, 2354, 2357, 2359. Ровенко В. М. (Ива-
но-франковская обл.)—2341—2344, 2346—2350, 2352.
Ручкин Д. Д. (Марийская АССР) — 2341—2344, 2346,
2347,	2349, 2350. Рытов Н. Н. (Тамбовская обл.) —
2341—2344, 2346—2350, 2355, 2356, 2359. Сакас А.
(г. Клайпеда)—2341—2344, 2346, 2349, 2350. Симео¬
нов А. А. (Болгария, г. Своге)—2349,	2351—2354
2356—2359. Софиев А. Г. (АзССР) — 2341—2344, 2346,
2348,	2349. Сысуев Г. Я. (Хабаровский край, с. Князе-
Волконка)—2341—2344, 2348. ТагиевМ. М. (АрмССР) —
2341—2344, 2346, 2349—2352. Таймасханов У. Д. (Да¬
гестанская АССР)—2341—2344, 2346—2350, 2352, 2353,
2356—2358. Ташбаев А. М. (Ошская обл.) —2341—2346,
2349,	235.0. Трофимчук Ю. В. (Винницкая обл., г. Ка-
линовка)—2341—2344, 2346, 2349, 2350. Ушеренко А. У.
.-(Винницкая обл., г. Хмельник) —2341—2344, 2347, 2349,
2351,	2352. Фридлин Г. М. (г. Бердичев)— 2341-2353.
Хагабанов X. Т. (Кабардино-Балкарская АССР) —
2341—2344, 2346, 2349, 2352. Хизанишвили Ц. И. (Тби¬
лиси)— 2341—2344, 2346, 2349. 2350, 2352. Цакоев Б. М.
(Рязанская обл.)—2341—2344, 2346, 2350. Цатурян
Б. А. (АзССР) — 2341—2344, 2346. Цхай Т. Т. (г. Анди¬
жан) — 2341—2350, 2352, 2360. Чепкасов Г. С. (г. Крас¬
нодар) — 2341—2344, 2346—2350, 2352, ^353, 2356, 2357.
Щиряков А. Н. (Минская обл., г. Марьина Горка) —
2341—2343, 2346, 2347, 2349. Юсупов С. (Хорезмская
обл.)—2341—2344, 2346, 2351, 2352, 2356, 2357.
. Математические кружки: Лежбадинской ср. шк. Мар-
неульского р-на ГССР (рук. С. М. Айдамиров) —2341—
2344; Иджеванского индустриально-технрлогического
техникума (рук. 3. А. Алавердян) — 2341—2343, 2346,
2347,	2349, 2352; 31-й шк. с. Кенес Чимбайского р-на
Каракалпакской АССР (рук. К. А. Амирбаев) — 2342—
2344,	2347, 2348; 46-й шк. г. Мурманска (рук. В. Е.
Андреев)—2341—2344, 2346, 2349—2352; Верхне-Зей-
хурской ср. шк. Кусарского р-на АзССР (рук. Б. А. Ба-
дамов) — 2341, 2342, 2345, 2346, 2349; 94-й шк. Киева
(рук. Е. Я. Грищенко)—2341—2349, 2354; Вистанской
ср. шк. Лерикского р-на АзССР (рук. Ф. О. Мамедов) —
2341—2344, 2349, 2352; г.' Рогачева (рук. С. Л. Нахам-
чик)—2341—2349, 2351—2353, 2356—2358; Дамирлин-
ской 8-летней шк. Болнисского р-на ГССР (рук. А. Д.
Османов)—2341—2344, 2346—2355, 2357; 1-й ср. шк.
Свердловского р-на Бухарской обл. (рук. А. Б. Рахи¬
мов) — 2341—2343, 2346, 2350, 2351, 2357, 2358; 2-й ср.
шк. г. Мархамат Андижанской обл. (рук. О. Сатто-
ров)—2341—2343, 2346, 2347, 2349, 2351, 2352; Быст-
ричской ср. шк. Березновского р-йа Ровенской обл.
(рук. Ф. Г. Стахнюк)—2341—2343, 2346, 2350; студен¬
тов I курса Астраханского пединститута (рук. С. С. Тас-
муратов)—2341—2343, 2346^-2349, 2351, 2357; Башской
ср. шк. Самтредского р-на ГССР (рук. Л. Е. Твалавад-
зе)—2341—2344, 2346, 2347, 2352;	173-й	шк. Киева
(рук. Р. П. Ушаков)—2341—2355, 2357, 2358; 3-й ср.
шк. Советского р-на Кулябской обл. (рук. Б. Хазратку-
лов) — 2341—2343, 2349; Узденобинской 8-летней шк.
Кусарского р-на АзССР (рук. У. К- Хибабаев) —
2341—2343, 2346, 2349, 2352.
ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ СТРАНИЦА
Упрощение решения,
ведущее к обобщениям
На «Занимательной странице» в № 2 журнала за
1980 г. (с. 67) было опубликовано решение Т. Е. Смо-
родин-ского следующей задачи:
Доказать, что если а —любая цифра, кроме нуля, то
равенство
99...9-аа...а = аа...а-99.. .9
т цифр п цифр т цифр п цифр
имеет место для любых т, п ^ N.
Более короткое решение этой задачи предлагают
Н.	И. Нестеренко (Ворошиловградская обл., с. Лесная
Поляна), А. С. Владимиров (Свердловская обл., г. Ас¬
бест), Ф. П. Степанов (Киевская обл., г. Борисполь),
Г. П. Онищенко (Днепропетровская обл., с. Покров-
ское), Н. И. Бовсуновский (Житомирская обл., с. Пу-
тиловичи),.Н- Ф- Слабенко (г. Красноярск), А. Д. Бен¬
дукидзе (Тбилиси) и А. Д. Теймуров (Баку):
99.. .9-аа.. .а = 9-11	1 -а-11... 1 =
т цифр и цифр	т	цифр	п	цифр
= а-11... 1 -9- И.. .1	аа.. .я-99.. .9.
т цифр п цифр	т цифр п цифр
Рассмотрение «механики» такого решения аадачи по-
(Окончание см. па с. 80.}

НОВЫЕ КНИГИ
История и методология математики
Апокин И. А., Майстров Л. Е., Эдлин И. С., Чарльз
Бэбидж:	1791 —1871. — М.:	Наука, 1981.— 127	с.,
44 000 экз., 45 к.— (Науч.-биогр. серия).
Книга посвящена английскому ученому и инженеру,
идеи которого, намного опередив свое время, нашли во¬
площение в современных вычислительных машинах.
Гнеденко Б. В. Из истории науки о случайном: из ис¬
тории математических идей. — М.:	Знание, 1981.—
64 с., 34 ООО экз., 11 к. — (Новое в жизни, науке, тех¬
нике. Серия «Математика, кибернетика», № 6).
Данилов Ю. А. Джон фон Нейман. — М.: Знание,
1981.	— 62 с., 34 100 экз., 11 к.— (Новое в жизни, нау¬
ке, технике. Серия «Математика, кибернетика», № 4).
Новые области применения математики/Под ред.
Д. Лайтхилла; Пер. с англ. — Минск: Вышэйшая школа,
1981,	—494 с., 19 000 экз., 1 р. 10 к.	1
Современные проблемы математики:	Сборник ста¬
тей/Сост. И. М. Ягшом. — М.:	Знание, 1981. — 64 с.,
34 200 экз., 11 к.— (Новое в жизни, науке, технике. Се¬
рия «Математика, кибернетика», № 7).
Монографии. Учебники и учебные пособия
для вузов
БрЬнштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по
математике для инженеров и учащихся втузов. — 2-е
изд., перераб./Под ред. Г. Гроше, В. Циглера: Пер. с
нем. — М.: Наука; Лейпциг: Тойбиер, 1981. Совместное
изд. — 719 с., 100 000 экз., 4 р. 40 к.
Этот популярный справочник подвергся коренной пе¬
реработке. В него теперь включены новые разделы ма¬
тематики. Он издан впервые совместно издательством
«Тойбнер» на нем. яз. (Лейпциг, 1979) и издательством
«Наука» на рус. яз. (М., 1980) в малоформатном ва¬
рианте. Содержание крупноформатного издания 1981 г.
идентично предыдущему.
Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия.
Пер. с нем.-3-е изд.— М.:	Наука,	1981.	—344 с.,
100 000 экз., 1 р. 30 к.
Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории
функций и функционального анализа: Учебник для мате¬
матических специальностей университетов. — 5-е изд.
М.: Наука, 1981. — 543 с., 35 000 экз., 1 р. 30 к.
Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа:
Учебник для студентов физико-математических и инже¬
нерно-физических специальностей вузов. В 2-х т. Т. 2.
М.: Высшая школа, 1981. — 584 с., 80 000 экз., 1 р. 50 к.
Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Ин¬
тегралы и ряды: Элементарные функции. — М.: Наука
1981.	—798 с., 70 000 экз., 4 р. ЗО'к.
Научно-популярные книги
Беран Л. Упорядоченные множества/Под ред. Л. А.
Скорнякова; Пер. с чеш. — М.: Наука, 1981, — 63 с.,
100 000 экз., 15 к. — (Популярные лекции по матема¬
тике. Вып. 55).
Пухначев Ю. В. Число и мысль. Четыре измерения
искусства.— М.: Знание, 1981, вып. 4. — 176 с., 80000
экз., 50 к. — (Народный университет. Естественнонауч¬
ный фак.).
Смаллиан Р. М. Как же называется эта книга?: Пер.'
с англ. Предисл. Ю. А. Данилова. — М.: Мир, 1981.—
239 с., 5000 экз., 60 к.
Штейнгауз Г. Математический калейдоскоп: Пер. с
польск. Предисл. • А. Н. Колмогорова. — М.:	Наука,
1981,— 160 с., 150 000 экз., 75 к. — (Б-чка «Квант».
Вып. 8).
Учебники и учебные пособия
для средних учебных заведений
Алгебра: Пробные учебники для 6—8 классов сред¬
ней школы. Материал для ознакомления/Ш. А. Алимов,
В.	А. Ильин, Ю. М. Колягин и др. — М.: Просвещение,
1981.	—542 с., 243000 экз., 95 к. — (Б-ка учителя мате¬
матики) .
Алгебра и начала анализа/Под ред. Г .Н. Яковле¬
ва.— 2-е изд., перераб. и доп. — М.:	Наука, 1981,
ч.	1, —336 с., 450 000 экз., 70 к. — (Математика для
техникумов).
Баранова И. В., Борчугова 3. Г. Математика: Проб¬
ный учебник для 5 класса/Под ред. Н. М. Матве¬
ева.— М.: Просвещение, 1981. — 248 с., 39 000 экз., 25 к.
Болтянский В. Г., Волович М. Б., Красс Э. Ю., Леви-
тас Г. Г. Оборудование кабинета математики: Пособие
для учителей. — 2-е изд., испр. и доп. — М.: Просвеще¬
ние, 1981.—191 с., 250 000 экз., 50 к. — (Б-ка учителя
математики).
л. Виленкин Н. Я., Мордкович А. Г., Смышляев В. К.
Алгебра и начала анализа: Пробный учебник для 9—
10 классов средней школы. Материалы для ознакомле¬
ния.— М.: Просвещение, 1981. —384 с.,	250 000 экз.,
70 к.— (Б-ка учителя математики).
Вирченко Н. А., Ляшко И. И., Швецов К. И. Графи¬
ки функций: Справочник. — 2-е изд., стереотип. — Киев:
Наукова думка, 1981. — 320 с., 40 000 экз., 1 р.
Гельфанд М. С., Простосердов В. П. Алгебра: Учеб¬
ное пособие для 6—9 классов вечерней (сменной) шко¬
лы.— 4-е изд., перераб. — М.; Просвещение, 1981.—
416 с., 72 000 экз., 55 к.
Геометрия: Пробный учебник для 6—8 классов сред¬
ней школы. Материалы для ознакомления/Л. С. Атана-
сян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк. —
М.: Просвещение, 1981. — 480 с., 244 000 экз., 90 к.,—
(Б-ка учителя математики).
Зенкевич И. Г. Эстетика урока математики. Пособие
для учителей. — М.:	Просвещение, 1981. — 79	с.,
80 000 экз., 15 к.
Каплан Б. С., Рузин Н. К., Столяр А. А. Методы об¬
учения математике: Некоторые вопросы теории и прак¬
тики. Пособие учителям математики. — Минск; Нар. ас-
вета, 1981.— 191 с., 37-000 экз., 55 к.
Лоповок Л. М. Математика на досуге:	Книга	для
учащихся среднего школьного возраста. 4—8-е классы.—
М.: Просвещение, 1981.— 159 с., 100000 экз., 25 к. .
Методические рекомендации по математике. — М.:
Высшая школа, 1980, вып. 3. — 88 с., 23 500 экз., 15 к.
В сборнике содержатся 8 статей с методическими ре¬
комендациями учителям математики средних специаль¬
ных учебных заведений. Рассматриваются темы: «Урав¬
нения прямой и плоскости», «Определенный интеграл и
его приложения», «Тригонометрические функции» и др.
Нешков К. И., Чесноков А. С. Дидактические мате¬
риалы по математике для 4-го класса: Самостоятельные
и контрольные работы. — 3-е изд., доп. и перераб. — М.:
Просвещение, 1981. — 96 с., 880000 экз., 15 к.
Понарин Я. П., Скопец 3. А. Перемещения и подобия
плоскости: Пособие для самообразования учителей.—
Киев: Радянська школа, 1981. — 175 с., 41 000 экз., 45 к.
Саранцев Г. И. Сборник задач на геометрические пре¬
образования: подобия плоскости в задачах: Пособие для
учащихся. — 2-е изд., перераб. и доп.—М.: Просвеще
ние, 1981.— 111 с., 256 000 экз., 20 к.
Ф. М. Шустеф
(Минск)
72

Ж ХРОНИКА
Совещание
по проблемам заочного обучения
студентов-м атем ати ко в
В апреле 1981 г. в г. Костроме проходило координаци¬
онное методическое совещание преподавателей кафедр
математических дисциплин педагогических институтов
Центральной зоны. Тема совещания — «Пути совершен¬
ствования профессиональной направленности препода¬
вания математических дисциплин на заочных отделе¬
ниях пединститутов».
В работе совещания приняли участие представители
38 пединститутов, в том числе 16 пединститутов Цент¬
ральной зоны и 20 пединститутов других зон (Поволж¬
ской, Северо-Кавказской, Уральской, Сибирской, Даль¬
невосточной), а также представители МГПИ им. В. И. Ле¬
нина и Целиноградского пединститута.
15 апреля в день открытия совещания на пленарном
заседании выступили с докладами: В. И. Поповичев—
«Задачи педвузов по совершенствованию заочного об¬
учения в свете решений XXVI съезда'КПСС», В. А. Гу¬
сев — «О состоянии подготовки учителей математики в
системе высшего педобразования», Н. Я. .Виленкин —
«Межпредметные связи курсов математического анали¬
за, алгебры и геометрии», А. Л. Вернер — «О связи кур¬
са геометрии пединститута с курсом геометрии в шко¬
ле», И. И. Смоловик — «Мировоззренческая подготовка
студентов заочных отделений физико-математических фа¬
культетов пединститутов». Все доклады были выслуша¬
ны с большим вниманием.
В последующие два дня работали 4 секции: матема¬
тического анализа, геометрии, методики преподавания
математики и секция алгебры, логики и теории вероят¬
ностей.
Секция математического анализа работала под пред¬
седательством доцента А. Г. Мордковича. На ней были
заслушаны доклады об общих принципах профессио¬
нально-педагогической подготовки, о мировоззренческой
направленности обучения, о связи курса анализа в
пединститутах со школьным курсом математики. Не¬
сколько участников секции остановились на вопросах
профессиональной ориентации отдельных разделов кур¬
са анализа. Ряд докладов были посвящены частным
проблемам преподавания в вузе: работе с первокурсни¬
ками, значению практических занятий, роли прикладных
задач в обучении, контролю за усвоением знаний.
На заседаниях секции алгебры, логики и теории ве- ’
роятностей председательствовал профессор А. С. Соло¬
довников. Из сообщений ее участников было видно, что
у многих кафедр имеются свои, оригинальные подходы
к реализации профессиональной направленности обуче¬
ния. Об этом свидетельствовали, в частности, доклады
о профессиональных аспектах курса «Алгоритмы и эле¬
менты программирования» и об использовании ЭВМ для
обучения студентов и для контроля за их знаниями.
Секция геометрии работала под председательством до¬
цента М. М. Цаленко. На ней обсуждались различные
подходы к решению проблем профессионализации, но¬
вые способы изложения отдельных тем, связанных со
школьной программой (теория измерений, методы изо¬
бражений, эквивалентность аксиоматик), вопросы при¬
менения ТСО в школьном курсе геометрии.
Председателем секции методики преподавания мате¬
матики была доцент С. Г. Первухина. На секции об¬
суждались следующие проблемы: улучшение методиче¬
ской подготовки учителя математики, организация Педа¬
гогической практики, координация курса методики пре¬
подавания математики с математическими и психолого¬
педагогическими курсами, повышение роли УИРС и
НИРС с учетом специфики заочной формы обучения.
Отметив справедливость некоторых критических заме¬
чаний по поводу действующей школьной программы и
отдельных пособий, участники секции вместе с тем вы¬
разили серьезную озабоченность в связи с возникаю¬
щей опасностью принятия скоропалительных решений и
введения в школу новых, не прошедших широкого об¬
суждения и экспериментальной проверки учебников.
На совещании Московский государственный заочный
педагогический институт развернул большую выставку
изданий по математике для студентов-заочников. Она
охватывала период времени в 5—6 последних лет и
отражала планы изданий на 1981—1985 гг. Выставка
вызвала большой интерес.
Совещание позволило преподавателям различных пед¬
институтов познакомиться друг с другом, установить
личные контакты, обменяться мнениями по вопросам
организации учебного процесса, научно-методической
работы. Была достигнута договоренность о создании но¬
вых авторских коллективов.
В день закрытия совещания состоялось пленарное за¬
седание, на- котором был заслушан доклад А. С. Соло-
довникова и А. Г. Мордковича «Об издании учебных
пособий для студентов-заочнйков физико-математиче¬
ских факультетов пединститутов». Руководители секции
отчитались в работе своих секций, внесли соответствую¬
щие предложения по рекомендациям совещания. После
обсуждения эти рекомендации были приняты. Ниже при¬
водятся рекомендации совещания (в несколько сокра¬
щенном виде).
1.	При чтении лекционных курсов считать важнейшей
задачей полное раскрытие связей между основными
математическими курсами и школьной математикой.
2.	Усилить внимание к профессионально-педагогиче¬
ской направленности практических занятий, в процессе
проведения которых, наряду с передачей студентам
профессиональных знаний, развития у них логического
мышления и пространственного воображения, решать
задачу обучения основам педагогического мастерства
(немногословная, но содержательная и грамотная речь,
умение правильно и эстетично оформить записи на
классной доске, графически иллюстрировать мысль с
помощью несложного рисунка, умение пользоваться
ТСО и т. д.). Методически правильно подбирать уп¬
ражнения, исключив погоню за их количеством. Усилить
индивидуальную работу с каждым студентом в ходе
практического занятия.
3.	На лекциях и практических занятиях постоянно
обучать студентов умению применять полученные зна¬
ния.
4.	Совершенствовать систему работы по формирова¬
нию марксистско-ленинского мировоззрения студентов в
процессе преподавания математических дисциплин.
С этой целью необходимо органически включать в из¬
ложение основных курсов вопросы философии, методо¬
логии и истории математики, создавать специальные
курсы по указанным вопросам, разрабатывать темы кур¬
совых работ, связанные с мировоззренческими аспектами
математики, и т. д.
5.	Считать целесообразным включение в учебный план
заочных отделений двух курсов: «Введение в матема¬
тику» на начальной установочной сессии и «Основания
математики» для студентов старших курсов взамен су-
73

шествующих курсов «Математическая логика», «Число¬
вые системы» и «Современные основы школьного курса
математики».
6.	Развивать спецкурсы, имеющие своей целью науч¬
но-методическое обоснование наиболее важных разделов
школьной математики, а также готовящие студентов к
проведению факультативных курсов в школе.
7.	Повысить роль педагогической практики. Начинать
подготовку к педпрактике заблаговременно, проводя в
лекциях по методике преподавания математики анализ
типичных ошибок, допускаемых студентами и молоды¬
ми учителями, а на практических занятиях отрабатывая
фрагменты уроков.
8.	Для осуществления методической подготовки учи¬
теля математики необходимо в процессе преподавания
математических дисциплин обращать особое внимание
на следующие аспекты:
а)	анализ соответствующих разделов действующих
школьных программ и учебников;
б)	ознакомление с новыми методическими идеями, ос¬
новными тенденциями в совершенствовании школьных
программ, различными вариантами изложения тех или
иных вопросов школьного курса математики;
в)	развитие у студентов умений выбирать наиболее
рациональные приемы решения задач из школьного кур¬
са математики;
г)	показ основных приемов формирования математи¬
ческих понятий;
д)	подготовка студентов к использованию в препо¬
давании индукции и дедукции, сравнения и противопо¬
ставления, обобщения и абстрагирования;
е)	раскрытие сущности различных методов обучения,
развивающих самостоятельность, активность, познава¬
тельный интерес учащихся (проблемное обучение, эв¬
ристическая’беседа и т. д.);
ж)	привитие студентам вкуса к использованию ТСО
и наглядных пособий в процессе преподавания школь¬
ной математики.
9.	Постоянно держать в поле зрения кафедр задачу
формирования у студентов-заочников устойчивого ин¬
тереса к их будущей профессии и воспитания у них
профессиональных качеств учителя математики.
10.	В подборе тем курсовых работ по математике
уделять должное внимание темам, раскрывающим с бо¬
лее глубоких позиций вопросы школьной математики,
ставящим задачу разработки факультативных курсов
и других видов внеклассных занятий в школе.
11.	Развивать учебно-исследовательскую работу сту¬
дентов (УИРС), имея в виду, что она должна иметь
профессиональную направленность, помогать будущему
учителю увидеть генезис основных понятий школьного
курса математики, их скрытые связи.
12.	Считать исследования по совершенствованию про¬
фессионально-педагогической направленности обучения
одним из важных разделов научной работы препода¬
вателей математических кафедр пединститутов. Для
проведения и координации таких исследований в Цент¬
ральной зоне выделить в качестве опорных кафедры
следующих пединститутов (перечисление пединститутов
мы опускаем).
Результаты исследований широко освещать в респуб¬
ликанском сборнике «Проблемы подготовки учителя ма¬
тематики в пединституте».
13.	Одобрив в целом издательскую деятельность
МГЗПИ, обратить внимание на необходимость скорей¬
шего выпуска литературы для студентов-заочников по
неохваченным разделам математических курсов, шире
привлекая для этого специалистов из других пединсти¬
тутов.
В.	А. Гусев, А. Г. Мпрдкович, В. И. Поповнчев,
А.	С. Солодовников (Москва)
Республиканский семинар
в Армении
14—15 апреля 1981 г. в Министерстве просвещения Ар¬
мянской ССР проводился республиканский семинар-со¬
вещание по теме «О мерах по улучшению преподавания
математики». В работе семинара приняли участие пере¬
довые учителя республики, методисты, научные сотруд¬
ники Ереванского педагогического института и Институ¬
та педагогических наук Армянской ССР.
Совещание открылось докладом «Пути совершенство-,
вания школьного курса математики», с которым высту¬
пил заведующий кафедрой методов обучения математи¬
ке Ереванского пединститута В. А. Оганесян. Он ука¬
зал на необходимость найти резервы для повышения
качества преподавания, рассмотрел основные пути раз¬
грузки курса и отметил актуальность безотлагательного
совершенствования ныне действующих программ и учеб¬
ных пособий по математике.
С докладом «Задачи улучшения преподавания мате¬
матики» выступил главный инспектор программно-мето¬
дического управления Минпроса Армянской ССР Р. В.
Саркисян. В докладе были указаны конкретные пути
разгрузки программного материала по алгебре, по гео¬
метрии .и по алгебре и началам анализа.
«Обоснование некоторых понятий математики» — так
называлось сообщение Г. А. Карагебакяна (Ереванский
пединститут). В нем были освещены разные подходы к
определению некоторых понятий и при этом выделены
различные уровни их усвоения.
Инспектор главного управления школ Минпроса Ар¬
мянской ССР А. М. Авоян говорил «О задачах повы¬
шения эффективности урока математики». Он изложил
принципы преподавания, которые обеспечивают его наи¬
большую эффективность.
С докладом «Задачи улучшения преподавания мате¬
матики в начальных классах» выступил сотрудник НИИ
педагогических наук Армянской ССР Ж. А. Мнацака-
нян. Он рассмотрел вопрос о разумной мере в исполь¬
зовании доказательств в курсе математики начальных
классов, о соотношении индукции и дедукции, о целе¬
сообразности разных уровней усвоения материала.
Профессор Ереванского университета В. В. Сагателян
ознакомил участников семинара с новым вариантом
учебника под редакцией А. Н. Колмогорова «Алгебра
и начала анализа 9—10».
О пробных учебниках А. В. Погорелова «Геометрия
6—10», Л. С. Атанасяна и Э. Г. Позняка «Геометрия
6—8» рассказал заведующий кабинетом РИУУ Армян¬
ской ССР Ж. А. Ягдз/сян.
Экспериментальным работам, проводимым в нашей
республике, посвятили свои выступления заведующий
кабинетом математики Ереванского ИУУ Э. В. Григо¬
рян («Об экспериментальной работе с микрокомпьюте¬
рами в начальных классах») и директор школы № 62
г. Еревана Э. Г. Степанян («О работе с пробным учеб¬
ником В. Г. Болтянского и др. «Геометрия 6—8»),
О	своем передовом опыте рассказал учитель матема¬
тики сельской школы Р. А. Григорян («Некоторые во¬
просы развития логического мышления учащихся»).
После обсуждения докладов участники семинара при¬
шли к общему выводу, что действующие школьные про¬
граммы, учебники и учебные пособия требуют дальней¬
шего и основательного совершенствования.
А.	М. Авоян (Ереван)
74

Семинар «ЭВМ и учебный процесс»
В Новосибирске в течение нескольких лет работает
научно-методологический семинар «ЭВМ и учебный
процесс», посвященный проблемам применения инфор¬
матики и вычислительной техники в учебном процессе,
в первую очередь, в средней школе. В настоящее время
он представляет собой объединенный методический
центр ВЦ СО АН СССР, Новосибирского отделения
Всероссийского педагогического общества, , Новосибир¬
ского университета, электротехнического и педагогиче¬
ского институтов Новосибирска. Научный руководитель
семинара — член-корреспондент АН СССР А. П. Ершов.
Семинар привлекает внимание научной и педагогиче¬
ской общественности города, однако в числе докладчи¬
ков можно встретить специалистов из разных уголков
страны. На семинаре выступали и зарубежные гости
(ЧССР, Польша, Франция).
Школьная информатика — научное направление, воз¬
никшее и развивающееся на стыке ряда теоретических
и прикладных научных дисциплин, таких, как педаго¬
гика и системное программирование, психология и ра¬
диоэлектроника. Поэтому в числе участников и доклад¬
чиков можно встретить школьных и вузовских педаго¬
гов, математиков и физиков, системных и прикладных
программистов, экономистов, инженеров-электроников,
психологов, медиков.
В широком спектре обсуждаемых проблем первооче¬
редное место занимают вопросы программного обеспе¬
чения школьного учебного процесса. Разумеется, нельзя
было оставить без внимания программные средства ав¬
томатизированных обучающих систем и, в частности,
программированного обучения, однако более широко и
подробно семинар обсуждает «неклассические» задачи
программного обеспечения учебного процесса. Это и язы¬
ковые системы программирования, учитывающие потреб¬
ности школы, и учебно-ориентированные пакеты при¬
кладных программ. Среди последних можно указать
систему процедур машинной графики, генераторы школь¬
ных задач, моделирование игровых ситуаций.
На обсуждение участников семинара были представ¬
лены описания и программные средства таких школь¬
ных языков программирования, как Робик и Рапира.
Весьма характерно многоаспектное обсуждение языка
учебной ориентации Паскаль: в 1979 г. дискуссионный
цикл был открыт известным специалистом в этой об¬
ласти С. Б. Покровским (Новосибирск), в 1980 г. про-
граммист-прикладник Г. К- Григас (Вильнюс) предста¬
вил конкретную реализацию языка Паскаль на ЕС ЭВМ,
наконец, в 1981 г. школьные педагоги из Новосибирска
Б. Л. Лисе и Н. А. Юнерман рассказали об опыте и
методике преподавания язык* Паскаль в старших клас¬
сах школы.
Много внимания семинар «ЭВМ и учебный процесс»
уделяет методике школьного преподавания программи¬
рования, взаимопроникновению информатики и других
школьных дисциплин, в первую очередь математики,
постановке курса программирования в пединститутах,
теоретико-психологическим вопросам применения ЭВМ,
экспериментам по использованию ЭВМ и программиро¬
вания в других предметах.
Вычислительная техника и информатика в школе по¬
рождают много новых организационных форм работы —
от кружков юных программистов и оригинальных ла¬
бораторных занятий до заочного использования ресур¬
сов ЭВМ. Эти конкретные практические результаты, как
правило, заинтересовывают всех слушателей. Задачи ор¬
ганизационного обеспечения школьной информатики ин¬
тегрируются в конечном итоге в подсистемы и системы
автоматизированного управления народным образова¬
нием. Специальное заседание, посвященное проблемам
АСУ школы, собрало необычно широкую аудиторию.
В той мере, в какой это нужно средней школе, в по¬
ле зрения семинара попадают разработки вузовских ав¬
томатизированных обучающих систем. В частности,
представили большой интерес: работа сотрудников Но¬
восибирского медицинского института (кафедра оптими¬
зации высшего медицинского образования) в области
программированного обучения, исследования томских
математиков по использованию математических моделей
в изучении задач управления системой, народного обра¬
зования на уровне области, опыт Новосибирского уни¬
верситета в проведении лабораторных работ с примене¬
нием ЭВМ по математическому анализу и дифферен¬
циальным уравнениям.
На заседаниях обсуждались и оригинальные разработ¬
ки в области технического обеспечения учебного про¬
цесса.
Совершенно не исследованы пока экономические ас¬
пекты использования компьютеров в школьном образо¬
вании. В этом отношении был особенно интересен доклад
О. Ф. Жилина, начальника отдела АСУ Ангарского
электромеханического завода (Иркутская область), где
с. дальним прицелом занимаются подготовкой кадров.
Экономические задачи впервые обсуждались на семина¬
ре в связи с актуальной формой среднего образова¬
ния — учебно-производственными комбинатами. Посте¬
пенно тематика «Вычислительная техника в УПК и
ПТУ» занимает в семинаре все более заметное место.
Практика применения ЭВМ в школе открывает неожи¬
данные ракурсы ’ школьной информатики. Так, мораль¬
ным и этическим .аспектам внедрения вычислительных
машин в управление школой было посвящено выступле¬
ние С. И. Литерата (Новосибирск).
Событием в жизни семинара стало заседание, завер¬
шившее 1980/81 учебный год. На нем был заслушан док¬
лад члена-корреспондента АН СССР А. П. Ершова
«Программирование — вторая грамотность». Обсужде¬
ние места ЭВМ в современном обществе, анализ дви¬
жущих сил в процессе компьютеризации, оценка перс¬
пектив информатики в школе — эти вопросы не могли
не вызвать живой, увлекательной дискуссии.
Постоянное место заседаний семинара — ВЦ СО АН
СССР и НГУ. Однако в практику работы семинара во¬
шли и «выездные» заседания.
. К заседаниям семинара, организуемым регулярно по
первым и третьим средам каждого месяца, выпускают¬
ся оперативно-информационные материалы с изложе¬
нием текстов сообщений.
Новосибирский семинар открыт для гостей и доклад¬
чиков. Навести справки или установить связи можно
по адресу: 630090, Новосибирск, 90, проспект Науки, 6,
ВЦ СО АН СССР, отдел информатики, семинар «ЭВМ
■ и учебный пооцссс».
Ю. А. Первин (г. Новосибирск)
75

Иван Семенович
Бровиков
14 сентября 1981 г. скоропостиж¬
но скончался член-корреспондент
АПН СССР, доктор физико-матема¬
тических наук, профессор Иван Се¬
менович Бровиков.
И. С. Бровиков родился в 1916 г.
в с. Ольх-и Шацкого райрна Рязан¬
ской области . в семье крестьянина.
После окончания Куплинской шко¬
лы колхозной молодежи Иван Семе¬
нович поступил на механико-матема¬
тический факультет МГУ, который
окончил с отличием в 1939 г. В этом
же году началась его педагогическая
деятельность в качестве старшего'
преподавателя в Коми государствен¬
ном педагогическом институте, где
он читал лекции по всем разделам
высшей математики.
С июля 1941 г. И. С. Бровиков —
в рядах Советской Армии. Он участ¬
вовал в боях под Москвой, Старой
Руссок, на Курской дуге, на Украи¬
не, в Румынии, Польше, Германии и
Чехословакии, за что награжден ор¬
деном Красной Звезды и многими
медалями.
В 1945 г. Иван Семенович посту¬
пил в аспирантуру НИИ механики
МГУ и в 1948 г. защитил кандидат¬
скую диссертацию.
Научную деятельность И. С. Бро¬
виков начал в 1946 г. в Государст¬
венном океанографическом институ¬
те, где выполнил ряд исследований
по теории ветрового волнения — од¬
ной из важнейших проблем геофизи¬
ки. Успешно применив методы стати¬
стической физики, он составил замк¬
нутую систему уравнений и дал ее
строгое решение. Ему также принад¬
лежит заслуга теоретического выво¬
да функции распределения элемен¬
тов ветровых волн. За эти работы
Иван Семенович был удостоен пре¬
мии им. академика Ю. М. Шокаль¬
ского. Указанные исследования вош¬
ли в докторскую диссертацию, кото¬
рую он защитил в 1954 г.
Научные интересы Ивана Семено¬
вича были связаны и с математиче¬
ским программированием. Он был
членом Президиума Комитета по
прикладной математике и вычисли¬
тельной технике (ВСНТО СССР).
В 1964 г. Академией наук СССР
была издана под редакцией И. С.
Бровикова аннотированная библио¬
графия работ по исследованию волн
цунами на русском и иностранных
языках за период 1726—1962 гг.
Все годы Иван Семенович совме¬
щал научную деятельность с педаго¬
гической работой: был старшим пре¬
подавателем кафедры математики
Академии авиационной промышлен¬
ности, в течение ряда лет читал лек¬
ции на кафедре океанологии геогра¬
фического факультета МГУ по при¬
менению теории вероятностей и ма¬
тематической статистики в океаноло¬
гических исследованиях, заведовал
кафедрой высшей математики в За¬
очном институте советской торговли
(нм были написаны учебные посо¬
бия для студентов по линейному
программированию и монография
«Математические методы анализа в
торговле»). С 1966 по 1978 г. он за¬
ведовал кафедрой высшей математи¬
ки во Всесоюзном заочном институ¬
те текстильной и легкой промышлен¬
ности.
В 1965 г. Иван Семенович был из¬
бран членом-корреспондентом Ака¬
демии педагогических наук РСФСР,
а затем и АПН СССР. Более 10 лет
он был членом экспертной комиссии
по педагогическим вопросам ВАК
при Министерстве высшего образо¬
вания СССР; в течение многих лет
состоял членом Ученого совета Мос¬
ковского областного педагогического
института им'. Н. К. Крупской и чле¬
ном Ученого совета научно-исследо¬
вательского института содержания
и методов обучения АПН СССР;
последние годы был членом специа¬
лизированных Ученых советов НИИ
СиМО АПН СССР и МГПИ им.
В.	И. Ленина.
Иван Семенович как научный ру¬
ководитель аспирантов уделял боль¬
шое внимание рдсту научно-педаго¬
гических. кадров в национальных
республиках. Он часто оппонировал
кандидатские и докторские диссер¬
тации, рецензировал книги и
статьи по различным научным воп¬
росам, принимал активное участие
в работе редакционного совета жур¬
нала «Математика в школе». Под
его непосредственным руководством
функционировал научно-методиче-
ский семинар «Современные идеи в
преподавании математики в СССР и
за рубежом» при НИИ СиМО
АПН СССР, где до последнего дня
он работал профессором-консультан-
том.
И. С. Бровиков был доброжела¬
тельным, отзывчивым человеком,
чутким к нуждам товарищей.
Светлая память об Иване Семено¬
виче навсегда сохранится в сердцах
всех тех, кто с ним работал, в серд¬
цах его многочисленных учеников.
С.	В. Кудрявцев, Д. И. Икрамов,
А. А. Пинский, А. М. Пышкало,
В.	В. Фирсов, В. Н. Шапкина
Вниманию читателей
С ИЗДАТЕЛЬСТВЕ «ПЕДАГОГИКА» В АВГУСТЕ И СЕНТЯБРЕ 1981 Г. ВЫШЛИ
СЛЕДУЮЩИЕ КНИГИ:
Гурова Р. Г. Социологические проблемы воспитания. —176 с., 20 000 экз., 65 к.
Календарь для родителей. 1982.— 152 с., 170 000 экз., 2 р. 20 к.
Калмыкова 3. И. Продуктивное мышление как основа обучаемости—200 с.,
10 000 экз., 70 к.
Макаренко А. С. Педагогическая поэма—624 с., 180 000 экз., 3 р. 20 к.
Никитин Б. П. Развивающие игры.—120 с., ил., 100 000 экз., 1 р. 20 к.
Психологическая диагностика/Под ред. К. М. Гуревича. — 232 с.,	10 000 экз.,
1	р. 40 к.
Руссо Ж.-Ж. Педагогические сочинения: В 2-х т./Под ред. Г. Н. Джибладзе; сост.
А. Н. Джуринский. — (Педагогическая б-ка). — 30 000 экз. Т. 1 —656 с., 2 р. 10 к.
Т. 2—336 с., 1 р. .10 к.
Спиваковская А. С. Игра — это серьезно.— 144 с., 100 000 экз., 50 к. — (Б-ка для
родителей).
Чудновский В. Э. Нравственная устойчивость личности. — 208 с., 15 000 экз., 60 к.
Щуркова Н. Е. Когда урок воспитывает: (Нравственный аспект)—128 с., 50 000 экз.,
25 к. — (Воспитание и обучение. Б-ка учителя).
76

Тематический указатель статей,
опубликованных в журнале
в 1981 г.
ПЕРЕДОВЫЕ
Болтянский В. Г. Ленинская теория познания и проб¬
лемы школьного математического образования — № 2,
с. 6.
Больше внимания факультативам — № 6, с. 3.
Гнеденко Б. В. О призвании учйтеля — № 5, с. 5.
Органическое . единство учебного и воспитательного
процесса — важнейшая задача — № 1, с. 3.
Подготовку учителя — на уровень новых задач —
№ 5, с. 3.
Решения XXVI съезда КПСС — в жизнь!
Повысить качество трудового и нравственного воспи¬
тания — № 2, с. 3.
Решения съезда — в жизнь! — № 4, с. 3.
Школьникам о XXVI съезде КПСС — № 3, с. 3.
Слово делегатам XXVI съезда КПСС
Бугримова 3. Н. Пути оптимизации — № 6, с. 6.
Леонова В. А. Учить учиться — № 6, с. 7.
Нина Павловна Бакушева — № 4, с. 6.
.Татьяна Николаевна Бокарева —№ 3, с. 5.
МЕТОДИЧЕСКИЙ ОТДЕЛ
От Министерства просвещения СССР (базисная про¬
грамма) — № 4, с. 7.
От Главного управления школ
Министерства просвещения СССР
Методическое письмо. О преподавании математики в
общеобразовательных школах в 1981/82 учебном го¬
ду — № 2, с. 12.
От Управления кадров
Министерства просвещения СССР
Примерные учебно-тематический план и программа
раздела «Теория и методика преподавания предмета»
курсов повышения квалификации учителей , математи¬
ки— № 5; с. 24; № 6, с. 40.
От Министерства просвещения РСФСР
Об изменениях в билетах по геометрии за курс вось¬
милетней школы в школах РСФСР — № 6, с. 45.
Абрамова В. А. Методы работы с книгой при обуче¬
нии математике — № 3, с. 28.
Александров А. Д. Что такое многогранник? — № 1,
с. 8; № 2, с. 19.
Антонов Д. А. Пропедевтика понятия предела в теме
«Приближенные вычисления» — № 3, с. 33.
Барчунова Ф. М., Быкова Л. И. «Координаты векто¬
ра» в VII классе — № 5, с. 23.
Блох А. Я., Павленкова И. А. О решении задач на
оптимизацию в курсе математики старших классов —
№ 1, с. 32.
Болгарский Б. В. К вопросу о воспитательном значе¬
нии преподавания математики — № 1, с. 16.
Гельфанд М: Б., Берман В. П. Упражнения межпред¬
метного характера к теме «Интеграл» — № 3, с. 18.
Гордиенко В. Н. Об изучении темы «Комплексные
числа и многочлены» на факультативных занятиях. —
№ 6, с. 34.
Дубинчук Е. С., Цыбульская Г. Н. Вопросы межпред¬
метных связей курса математики и трудового обуче¬
ния — № 6, с. 10.
Ирошников Н. П. Введение понятия последовательно¬
сти в курсе алгебры VIII класса — № 6, с. 31.
К составлению задач и упражнений по материалам
развития народного хозяйства СССР — № 3, с. 32.
К составлению задач по статистическим данным —
№ 4, с. 37.
Китаева Р. М, Осуществление взаимосвязи между
курсами алгебры и геометрии в восьмилетней школе —
№ 1, с. 28.
Колмогоров А. Н. О понятии вектора в курсе средней
школы — № 3, с. 7-.
Колмогоров А. Н., Абрамов А. М. К вопросу о про¬
ведении первых уроков по теме «Векторы» — № 3, с. 8.
Клопский В. М., Скопец 3. А., Ягодовский М. И. Об
изучении темы «Векторы» в IX классе —№ 1, с. 22;
№ 2, с. 35.
Клопский В. М., Скопец 3. А., Ягодовский М. И. Ос¬
новные понятия и аксиомы стереометрии. Параллель¬
ность в пространстве — № 3, с. 11; № 4, с. 30.
Клопский В. М., Скопец 3. А., Ягодовский М. И. Пер¬
пендикулярность в пространстве — № 5, с. 17.
Кострикина Н. П. О конструировании функций с за¬
данными свойствами — № з, с. 22.
Ла Л. С. Вычислительные задачи экономической те¬
матики— № 1, с. 31.
Малахов Н. В. Картографические сведения на уроках
математики в V—VI классах — № 3, с. 25.
Мелекесов Г. А. Из опыта работы по преодолению
ошибок учащихся в вычислениях и преобразованиях —
№ Г, с. 31.
Моисеева 3. И. Об одном из вариантов трудового об¬
учения в школах с углубленным изучением математи¬
ки — № 1, с. 15.
Наспер Л. 3. О преподавании математики в IX—XI
классах вечерней (сменной) школы с заочной формой
обучения — № 4, с. 46.
Одинцова Л. А., Одинцов П. К. О совершенствовании
содержания школьного математического образования —
№ 4, с. 36.
Окунев А. А. Уроки одной задачи — № 6, с. 22.
Пичурин Л. Ф. Как обучать элементам математиче¬
ского анализа — № 3, с. 34.
Попов В. В. Место интуиции в процессе обучения ма¬
тематике в IV—V классах —№ 1, с. 20.
Примерные планирование и контрольные работы —
№ 4: алгебра, VI—VII классы, с. 38; геометрия, VIII
класс, с. 43; алгебра и начала анализа, X класс, с. 45.
Примерное планирование учебного материала на
1981/82 учебный год —№ 3, с. 43.
Рогозина Л. Д. Повышение эффективности работы ме¬
тодического объединения учителей математики — № 1,
с. 35.
Стратилатов П. В. Всемерно повышать воспитатель¬
ное воздействие предмета — № 1, с. 18.
Терехов И. А. Вспомогательные задачи и указания в
преподавании геометрии — № 3, с. 36.
Шихалиев X. Ш. Простейшие задачи с географиче¬
ским содержанием — № 3, с. 28.
Эйвазов А. Г. О производной обратной функции —
№ 6, с. 33.
Воспитание в процессе обучения
Михайловский Е. Г. Активизация познавательной дея¬
тельности учащихся—№ 5, с. 14.
Половодова В. А. Школа должна приучать к береж¬
ливости — № 6, с. 14.
Якуба Э. Г. О вооружении учащихся навыками учеб¬
ного труда в процессе обучения — № 5, с. 12.
О	повышении эффективности урока
Арутюнян Е. Б. и др. Система устных заданий для
IV	класса (математические диктанты) — № 6, с. 34.
Барчунова Ф. М., Быкова Л. И. По поводу изучения
теоремы косинусов — Дв 4, с. 27.
Берсенева Т. А. Настенная таблица к урокам геомет¬
рии — № 4, с. 28.'
Попова 3. Г. Самостоятельные работы с таблицами
ответов — № 6, с. 38.
77

Руденко В. Н. Взаимосвязь домашнего задания с из¬
учением нового материала — № 4, с. 17.
Саранцев Г. И. О формировании некоторых умений
в курсе геометрии VI—VII классов — № 4, с. 24.
Тюрин Н. Л. Карточки-задания для работы с графи¬
кам^ — № 6, с. 39.
Ширяева 3. К. Использование магнитной доски при
математическом диктанте — № 6, с. 37.
Цукарь А. Я. Использование аналогий в преподавании
математики — № 4, с. 22.
Из опыта
Амирова Н. Д. Опыт работы учителей математики в
группах продленного дня — № 2, с. 26.
Головченко Н. С. Из опыта введения понятия не¬
прерывности функции — № 6, с. 15.
Денисова М. И., Беспалько И. А. Применение матема¬
тики к решению прикладных задач — № 2, с. 28.
Кушнир И. А. О применении одной векторной форму¬
лы — № 2. с. 32.
Лурье Я. А. Об упражнениях для формирования про¬
странственных представлений — № 6, с. 25.
Петров В. А. О специфике исследования функции
при решений задач практического характера — № 6,
с. 18.
Пономарев С. А. Устные и полуписьменные вычисле¬
ния в IV—V классах — № 2, с. 29.
Филатов В. Г. Из опыта применения теоремы Виета
при решении квадратных уравнений — № 6, с. 19.
Читатели вносят предложения
Барак Б. М. Об одной полезной формуле при реше¬
нии стереометрических задач — № 3, с. 38.
Зандер В. К■ Упражнения на вычисления в IV—
V	классах — № 2, с. 42.
Касаткина Г. И. Векторы и гомотетия при повторении
геометрии в VIII классе —№ 3, с. 40.
Коневцев В. П., Иванайский А. В. Из опыта исполь¬
зования магнитофона на уроках — № 3, с. 54.
Косс М. Ш. Об одном пробеле в подготовке учащих¬
ся по алгебре — № 3, с. 42.
Малаев М. О приемах решения некоторых систем
уравнений — № 6, с. 31.
Макичян Б. М. Конкурсные экзамены и математиче¬
ский факультатив — № 6, с. 28.
Скворцова М. Г., Скворцов П. Г. К исследованию
функций и построению графиков — № 1, с. 37.
Таварткиладзе Р. К■ О языке школьного курса мате¬
матики— № 3, с. 41.
Ольхов В. Е. Об упрощении выражений, содержащих
радикалы — № 6, с. 29.
В помощь преподавателям профтехучилищ
Пашкова Л. М. Об изучении математики на I—III
курсах средних профтехучилищ в 1981/82 учебном го¬
ду— № 4, с. 50.
О	вступительных экзаменах в . вузы в 1980 г.
Веретенникова Е. В. МГПИ им. В. И. Ленина — № 2,
с. 47.
Мельников И. И., Мищенко А. С., Скворцов В. А.
Московский государственный университет — № 2, с. 42.
Одинцова Л. А., Осипова Л. А. Математический фа¬
культет Барнаульского государственного педагогиче¬
ского института — № 2, с. 49.
Вопросы совершенствования
методической подготовки учителя математики
Малыгин К. А. Каким должен быть школьный каби- '
нет математики на факультете —№ 5, с. 39.
Новик И. А. Из опыта работы кабинет» методики об*
учения математике в Минском государственном педаго¬
гическом институте им. А. М.. Горького — № 5, с. 38.
Охрименко Д. В., Скоробогатая М. А., Чижевская Л. И.
Из опыта работы кабинета методики обучения матема¬
тике в Брянском государственном педагогическом ин¬
ституте им. акад. И. Г. Петровского — № 5, с. 36.
Рыбников К■ А. Об историко-методологических осно¬
вах математического образования учителей — № 5, с. 31.
Садчиков В. А. Из опыта работы кабинета методики
обучения математике в Московском областном педаго¬
гическом институте им. Н. К. Крупской — № 5, с. 39.
Скобелев Г. Н„ Лысенко В. И., Берман В. П. Об ор¬
ганизации учебно-исследовательской работы студентов
при изучении курса методики преподавания математи¬
ки — № 5, с. 33.
Эрдниев П. М. и др. О постановке в университетах
спецкурса по содержанию школьных учебников — № 5,
с. 34.
Консультация
Барчунова Ф. М. По поводу контрольной работы
№ 8 по геометрии в VII классе — № 1, с. 38.
Учебное оборудование
Глазков Ю. А. Новое в диафильмах по математике —
№ 6, с. 48.
Гринченко Н. А. Чертежи на фотопленке — № 6,
с. 50.
Егорин Б. Г. Монтажный столик — № 6, с. 50-
Капитонова Л. И. Кодограммы для устных упражне¬
ний по математике в IV классе — № 5, с. 40.
Колупаев В. В., Колупаева Н. Я. О составлении
описания диафильмов и диапозитивов — № 1, с. 41.
Кофман Г. М. Кабинет математики — звено в систе¬
ме НОТ учителя и учащегося — № 1, с. 38.
Кузнецов С. Н. Комплект из трех шкал: градусной,
радианной и линейной — № 4, обложка.
Кушуль С. М. Приставка к диапроекторам для де¬
монстрации перемещений — № 2, обложка.
Ламбрианиди К. И. Модель числовой оси с двумя
движками — № 6, обложка.
Подпоркин И. С. Два приспособления для эпидиаско¬
па № 6, с. 51.
Тесленко А. К■ Алгебраические весы — № 3, обложка.
Шилов В. Ф. Новый объектив для эпидиаскопа —
№ 5, обложка.
Шилов В. Ф., Исаев В. И. Использование учебного
оборудования по физике на уроках математики — № 1,
обложка.
Проблемы и суждения
Совайленко В. К. О систематизации задач в учебни¬
ках математики —№ 1, с. 52.
Эксперимент
Алимов Ш. А.. Калягин Ю. М., Сидоров Ю. В., Ша-
бцнин М. И. О пробных учебниках по алгебре для
VI—VIII классов — № 2, с. 50.
Атанасян Л. С., Позняк Э. Г. О пробных учебниках
по геометрии для VI—VIII классов общеобразователь¬
ной школы — № 1. с. 42.
Болтянский В. Г. Пробный учебник геометрии — № 5,
с. 48.
Груденов Я. И. Психологический анализ причин не¬
которых массовых ошибок учащихся — № 3, с. 46.
Гуськов В. А. Об одной проверке качества усвоения
понятия функции — № 1, с. 50.
Ершов А. П., Звенигородский Г. А., Литерат С. И.,
Первин Ю. А. Работа со школьниками в области инфор¬
матики. Опыт Сибирского отделения АН СССР — № 1
с. 47.
/Катаев И. И., Юнерман Н. А. Из опыта работы
Харьковской школы юных программистов — № 4, с. 55.
78

Нфделъяан А. Г. Формирование профессиональной
ориентации учащихся IX—X классов — № 4, с. 53.
О методической системе учебного пособия А. В. По-
горелова «Геометрия» — № 5, с. 42.
Первин Ю. А., Юнерман Н. А. Опыт, задачи и воз¬
можности обучения школьников основам программиро¬
вания с заочным использованием вычислительной тех¬
ники — № 6, с. 52.
Факультативные курсы
Земляков А. Н. Примерное тематическое планирование
факультативного курса «Математика в приложениях» —
№ 3, с. 48.
Иванова Н. Н. Изучение групп симметрий на факуль¬
тативных занятиях в VII классе — № 3, с. 52.
Монахов В. М. Проблемы дальнейшего развития
факультативных занятий по математике — № 6, с. 8.
Якунина М. С. Больше внимания факультативам! —
№ 3, с. 51.
Внеклассная работа
Акритиди П. И. Применение геометрических преоб¬
разований для вычисления площади фигуры с помощью
интеграла — № 4, с. 62.
Аленков Ю. А...Михайлов В. М., Рекстин Э. Э. Чис¬
ловые ребусы —№ 1, с. 65.
Дорофеев Г. В. Несколько замечаний к вычислению
площадей с помощью интеграла — № 4, с. 63.
Каплан Ш. Ш. Об одном приеме решения уравнений,
содержащих переменную под знаком модуля — № 6,
с. 63.
Купцов Л. П. и др. VI Всероссийская олимпиада
школьников по математике — № 4, с. 57.
Малашенко А. М. Об одной задаче на разрезание
прямоугольника — № 1, с. 71.
Матвеев Н. М., Рукшин С. Е„ Федотов В. П. Ленин¬
градские математические олимпиады школьников —
№ 6,, с. 60.
Петров С. М. Наглядное решение одной задачи —
№ 1, с. 64.
Рукшин С. Е. Задачи-серии во внеклассной работе —
№ 6, с. 62.
Сарычева Т. А., Земляков А. Н. XIV Всесоюзная ма¬
тематическая олимпиада школьников — № 1, с. 54.
Сарычева Т. А. и др. XV Всесоюзная математическая
олимпиада школьников — № 6, с. 54.
Смородинский Г. Е. Дополнение к заметке М. С. Гель-
фанда «Свойство квадратов чисел, начинающихся с 4,
5 или 9» — № 4, с. 74.
Нагибин Ф. Ф„ Канина Е. М., Канин Е. С. Нестан¬
дартные конструктивные задачи в VI—VIII классах —
№ 1, с. 61.
Шунда Н. Н. Дополнительные упражнения на иссле¬
дование функций — № 3, с. 62.
Задачи
№ 1, с. 65; № 2, с. 57; № 3, с. 56; № 4, с. 66; № 5,
с.' 56; № 6, с. 64.
Губа.С. Г. Решение уравнений в натуральных чис¬
лах — № 5, с. 57.
Дорофеев Г. В., Скопец 3. А. Замечания к решениям
задач — № 4, с. 71; № 5, с. 61; № 6, с. 70.
Кузнецова Л. И. В помощь решающим задачи —
№ 4, с. 72.
Занимательная страница
Аленков Ю. А., Михайлов В. М., Рекстин Э. Э. Чис¬
ловые ребусы, № 1, с. 65.
Григоривкер Б. М. О трехчлене Эйлера — № 1, с. 65.
Индуктивный поиск решений курьезного уравнения —
№ 2, с. 55.
Кордемский Б. А. Десять «ретро-мгновений» в глубь
веков — к палеолиту — № 3, с. 55.
Кордемский Б. А. Упрощение решения, ведущее к об¬
общениям— № 6, с. 71.
СТРАНИЦЫ ИСТОРИИ
Гнеденко Б. В. Симеон Дени Пуассон (К 200-летию
со дня рождения) —№ 3, с. 64.
Юшкевич А. П., Демидов С. С. О творчестве Жозефа
Фурье — № 5, с. 63.
УЧЕНЫЕ-МАТЕМАТИКИ
Владимир Андреевич Стеклов — № 2, обложка.
Курт Гёдель —№ з, обложка.
Орехова Н. С. Емельян Игнатьевич Игнатьев — № 3.
с. 68.	’
Отто Юльевич Шмидт —№ 1, обложка.
Петр Сергеевич Новиков —№ 3, обложка.
Пьер Ферма — № 5, обложка.
Рене Декарт — № 5, обложка.
Сергей Алексеевич Чаплыгин — № 2, обложка.
Сергей Алексеевич Лебедев—■ № 6, обложка.
Нечаев В. И. Академик Иван Матвеевич Виногра-
дов — № 4, с. 75.
Нильс Хенрик Абель — № 4, обложка.
Чарльз Бэбидж — № 6, обложка.
Эварист Галуа — № 4, обложка.
Эмиль Борель — № 1, обложка.
Математический календарь
На 1980/81 учебный год, март—апрель — № I, об¬
ложка; май — июнь — № 2, обложка; июль — август
№ 3, обложка. На 1981/82 учебный год, сентябрь — ок¬
тябрь— № 4, обложка; ноябрь — декабрь — № 5, об¬
ложка; январь — февраль — № 6, обложка.
Поздравляем юбиляров
Александров П. С. и др. Изабелла Григорьевна Баш-
макова — № 1, с. 73.
Атаханов Р. А., Рузметов Э. Р. Касим Усманович
Асимов — № 5, с. 66.
Барбу л И. И. Борис Павлович, Бычков — № 2, с. 70.
Берман В. П., Лысенко В. И. Геннадий Никитич Ско¬
белев — № 2, с. 70.
Геркулова А. Г., Малыгин К. А., Федулова Т. М. Бо¬
рис Максимович Бредихин — № 1, с. 75.
Гнеденко Б. В., Черкасов Р. С., Курдюмова Н. А.
Константин Петрович Сикорский — № 5, с. 66.
Захарова А. Е„ Федин Н. Г., Чернецов М. М. Васи¬
лий Иванович Мишин — № 2, с. 71.
Пичурин Л. Ф., Тесленко И. Ф. Пюрвя Мучкаевич
Эрдниев — № 5, с. 67.
КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ
Колмогоров А. Н. Рецензия на книгу Л. С. Понтряги-
на «Анализ бесконечно малых» — № 5, с. 73.
■Куприянова Г. Я. Первая популярная книга по про¬
ективной метрике — № 2, с. 75.
Курдюмова Н. А. О книге В. Ф. Шаталова «Куда и
как исчезли тройки» — № 2, с. 73.
Литература к 111-й годовщине со дня рождения
В. И. Ленина — № 1, с. 6.
Михайлов И. И. Чехословацкий физико-математиче¬
ский журнал для школьников — № 1, с. 77.
Молодший В. Н. Новые материалы к биографии
Н. И. Лобачевского — № 1, с. 76.
Молодший В. Н. О некоторых работах по философ¬
ско-методологическим вопросам математики — № 3, с. 70.
Петрова Е. С. О пособии Л. М. Лоповка «Сборник
геометрических задач для 10 класса» — № 5, с. 74.
План выпуска литературы издательства «Педагоги¬
ка» на 1982 г. — № 5, с. 74.
Симонов Р. А. О брошюре «Математика как профес¬
сия» — № 4, с. 76.
79

Хабиб Р. А. План выпуска литературы издательства
«Просвещение» на 1982 г. — № 5, с. 76.
Шустеф Ф. М. Новые книги — № 1, с. 76; № 3, с. 74;
№ 4, с. 76; № 6, с. 72.
Шушанский Н. И. План выпуска литературы Главной
редакцией физико-математической литературы изда¬
тельства «Наука» — № 5, с. 78.
ЗА РУБЕЖОМ
Верченко А. И. Математическая подготовка выпуск¬
ников средней школы Франции — № 2, с. 76.
Маслова Г. Г. Совет учителей математики США о
путях совершенствования математического образования
в 80-е годы — № 5, с. 68.
Мине Сэцуко. О подготовке учителей математики в
Японии — № 5, с. 71.
ХРОНИКА
Авоян А. М. Республиканский семинар в Армении —
№ 6, с. 74.
Брановский Ю. С., Кравцова С. А. Краевые педагоги¬
ческие чтения — № 4, с. 78.
Гуревич В. Ю. Республиканский семинар по пробле¬
мам преподавания математики в школе — № 1, с. 79.
Гусев В. А. и др. Совещание .по проблемам заочного
обучения студентов-математиков — № 6, с. 73.
Карташов В. Ф. Встреча ученых и практиков — № 1,
с. 78.
Михелович Ш. X. Республиканская научно-методиче¬
ская конференция в Даугавпилсе — № 2, с. 72.
Моисеева 3. И. Всесоюзное совещание-семинар «О ме¬
рах по улучшению преподавания математики в 1981/82
и последующие годы» — № 3, с. 76.
Новые лауреаты высоких премий — № 1, с. 6.
О работе научно-методических семинаров при НИИ
СиМО АПН СССР в 1980/81 учебном году — № 5, с. 78.
О конкурсе на лучший проект космического экспери¬
мента — № 3, с. 77.
Первин Ю. А. Семинар «ЭВМ и учебный процесс» —
№ 6, с. 75.
Розов Н. X. В секции средней школы Московского
математического общества — № 4, с. 78.
Сикорская Л. В. Волжский зональный семинар — № 2,
с. 79.
Тесленко И. Ф. Республиканские педагогические чте¬
ния — № 4, с. 78.
Некрологи
Алишаев М. Г. и др. Парпач Казиахмедович Маго-
медбеков — № 2, с. 80.
Антропова В. И., Юшкевич А. П. Феодосий Дементье¬
вич Крамар — № 3, с. 79.
Георгий Афанасьевич Назаревский—№ 4, с. 80.
Гнеденко Б. В. Мордухай Моисеевич Вайнберг —
№ 1, с. 80.
Кудрявцев С. В. и др. Иван Семенович Бровиков —
№ 6, с. 76.
Лилишенцева В. П. Николай Николаевич Шоластер —
№ 3, с. 79.
Соболев С. ЛЕршов Ю. Л., Кострикин А. И. и др.
Анатолий Илларионович Ширшов — № 3, с. 80.
Хавинсон С. Я-, Назаретский В. Е. Василий Василье¬
вич Зорин — № 5, с. 80.
Упрощение решения,
ведущее к обобщениям
(Окончание. Начало см. на с. 71.)
казало, что «девятка» могла бы быть заменена любой
другой цифрой, кроме нуля. Пример: 555-88=888-55.
Н. И. Нестеренко и А. С. Владимиров дополнительно
отмечают, что справедливо и более сильное утвержде¬
ние: если (а) и (Ь)'—натуральные числа одинаковой
значности, то равенство
(-Ка)...(а) -(Ь)(Ь)... (Ь) = (Ь)(Ь)..:(Ь) • (а) (а). .~(д)
тп раз	п раз	ш	раз	п	раз
имеет место для любых т, п С N.
Примеры:
2525-131313 = 1313-252525,
343434-72 = 34-727272,
796-342342 = 342-796796,
101010-3737 = 373737-1010.
Н. И. Нестеренко приводит любопытные произведе¬
ния-перевертыши (см. о них в том же номере журна¬
ла), которые являются частным случаем таких «обоб¬
щенных» примеров:
38-8383=83-3838 = 3838-83, т. е.
38-8383 = 3838-83;
247247 • 742742742=247247247 • 742742;
19-9191 = 1919-91;
69-9696 = 6969-96;
98-8989 = 9898-89;
1968-86918691 = 19681968-8691 и т. п.
Последние четыре примера интересны тем, что свой¬
ство сохранится, если эти записи «опрокинуть»:
16-6161 = 1616-61;
96-6969=9696-69;
68-8686 = 6868-86;
1698-89618961 = 16981698-8961 и т. п.
Б. А. Кордемский
(Москва)
80

Модель
с
числовой шкалой
и
двумя движками
Я
А
ИННН"1 ЙйШвШЖ»
> 1 ■ 1 * 1 ■ 1 • I
-5 -4 -3 -2 -1
• . .
О
II 11111 1 , II
2 3 4 5
шиш	шяяяякяшшашашшш
Рис.1.
(31
А.
		 ...

ИМ
ришшшм
|~ 1 1 • 1""« 1 1 1 • 1
| -5 -4 -3 -2 -1
О 1
2 3 4 5
. 1 . 1 . . I I 1
■ 11 111 И м •
Рис. 2.
Описываемый прибор может быть
использован для демонстрации реше¬
ний неравенств и систем неравенств,
расстояния между точками на оси,
задач на движение. Он изготовляет¬
ся из доски длиной 110 см, шириной
11 см, толщиной 3 см. Вверху и вни¬
зу во всю длину доски проделаны
два отверстия с пазами для переме¬
щения цветных движков (верхний
движок зеленый, нижний—красный).
Между ними располагается числовая
шкала, такая же, как на обычной
модели координатной прямой.
Это приспособление можно приме¬
нять в VII классе при решении не¬
равенств и систем линейных нера¬
венств. Пусть нужно, например, по¬
казать решение системы
Г х^А,
\ х>Ъ.
Подведем левые концы нижнего и
верхнего движков к отметкам 3 и 4
соответственно (рис. 1). Тогда та
часть шкалы (начиная с отметки 4),
вдоль которой расположились оба
движка, иллюстрирует решение си¬
стемы: [4; +оо[. С помощью модели
можно работать и с такими систе¬
мами, решением которых является
пустое множество. Например:
/
I	— 1-
Совмещаем нижний движок с отмет¬
кой — 1 (слева), а верхний — с от¬
меткой 2 (справа) и видим (рис. 2),
что они располагаются по разные
стороны шкалы. В данном случае
можно было бы оба движка поме¬
стить в один паз (рис. 3).
В V классе можно использовать
прибор для демонстрации сложения
чисел с помощью координатной пря¬
мой. Например, пусть надо сложить
числа —1 и 3. Совмещаем концы
обоих движков в параллельных па¬
зах на отметке —1, потом двигаем
верхний движок вправо на 3 едини¬
цы. В результате его левый конец
попадает в точку с координатой 2
(рис. 2): —1+3 = 2.
Положение движков на рис. 3 ил¬
люстрирует расстояние между точка¬
ми на числовой оси. В данном слу¬
чае учащиеся легко подсчитают, что
расстояние между точками (—1) и
(+2) равно 3.
Прибор можно также использовать
для подготовки учащихся к решению
задач на движение. Пусть, напоимер,
из пункта О в одном и том же
направлении вышли одновременно
два пешехода. Скорость одного из
них 3 км/ч, а другого 4 км/ч. (На
рис. 1 нижний движок останавливаем
у отметки 3, а верхний перемещаем
к отметке 4.) По этой модели уча¬
щимся легко ответить на следующие
вопросы:	«На сколько километров
отстанет один пешеход от другого
через первый час пути? Через 2 ч?»
Легко также показать движение в
противоположных направлениях.
Простота и достаточно широкий
диапазон применения прибора дела¬
ют его полезным для учителей IV—
VII	классов.
Отметим, что прибор с аналогич¬
ными иллюстративными возможно¬
стями, но несколько иной конструк¬
ции был описан в № 5 нашего жур¬
нала за 1979 г. (обложка).
К. Н. Ламбрианмди
(с. Подолы Харьковской обл.)

Цена 45 коп.
Издательство
«Педагогика»
Москва
70557
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КАЛЕНДАРЬ НА 1981/82 УЧЕБНЫЙ ГОД
Январь
I	января — 70 лет со дня рождения
советского математика, академика
АН УССР Бориса Владимировича
Г неденко (см.: Математика в шко¬
ле, 1962, № 1; 1972, № 1).
5 января — 70 лет со дня рождения
советского математика Михаила Гри¬
горьевича Слободянского (см.: Мате¬
матика в школе, 1971, № 6).
II	января — 75 лет со дня рождения
советского математика, заслуженного
деятеля науки РСФСР Степана Пав¬
ловича Пулькина (1907—1980)
(см.: Математика в школе, 1967, № 2;
1977, № 1; 1980, № 5).
16 января—150 лет со дня рождения
русского математика и механика,
академика Петербургской АН Васи¬
лия Григорьевича Имшенецкого
(1832—1892) (см.: Математика в шко¬
ле, 1962, № 1; Кочев В. А. Академик
В.	Г. Имшенецкий: Жизнь и творче¬
ское наследие. Свердловск, 1953;
Вестник высшей школы, 1957, № 8).
19	января — 70 лет со дня рождения
советского математика и экономиста
лауреата Ленинской и Государствен¬
ной премий, а также лауреата Нобе¬
левской премии по экономике Лео¬
нида Викторовича Канторовича
(см. ЬСЭ, 3-е изд.; Математика в
школе, 1971, № 6).
23	января — 150 лет со дня рождения
английского математика, профессора
Оксфордского университета Чарльза
Латуиджа Доджсона (1832—
1898). Ему принадлежит перзое на¬
печатанное доказательство так на¬
зываемой теоремы Кронекера — Ка-
пелли (1867) о критерии разрешимо¬
сти произвольной системы линейных
уравнений, ряд руководств по мате¬
матике и математическим развлече¬
ниям. Доджсон работал также в об¬
ласти математической логики. Миро¬
вую известность приобрели его кни¬
ги для детей «Алиса в стране чудес»
и ее продолжение «В Зазеркайле»,
изданные под псевдонимом Льюиса
Кэрролла (см.: БСЭ, 3-е изд.; Ден¬
ман И. Я. Рассказы о решении задач.
Л.: Детгиз, 1957).
Февраль
5 февраля—140 лет со дня рожде¬
ния русского математика Юлиана
Васильевича Сохоцкого (1842—
1927). Родился в Варшаве. Окончил
Петербургский	университет	(1866).
С 1868 г. работав в Петербургском
университете,	профессор	(1873).
Основные труды посвящены теории
функций комплексного переменного
(теорема Сохоцкого — Вейерштрасса
о поведении аналитической функции
в окрестности существенно особой
точки). Известен также работами по
алгебре и теории чисел. Автор ори¬
гинального и	широкоизвестного в
свое время курса «Высшая алгебра»
(ч. 1 — «Решение численных уравне¬
ний», 1882; ч.	2 — «Начала	теории
чисел», 1888) (см.: БСЭ, 3-е изд.;
Юшкевич А. П. История математики
в России. М., 1968].
5 февраля—100 лет со дня рожде¬
ния немецкого математика Пауля
Кёбе (1882—1945). Родился в Лук-
кенвальде (округ Потсдам). Работал
в Иене и Лейпциге Основные труды
относятся к теории функций комп¬
лексного переменного, в частности
к теории конформных отображений.
Ему принадлежит решение пробле¬
мы униформизации алгебраической
кривой, исследования по теории
автоморфных функций и по другим
вопросам геометрической теории
функций.
9	февраля — 75 лет со дня рождения
английского математика, члена Лон¬
донского королевского общества
Гарольда Скотта Макдональда К о к-
стера — одного из крупнейших со¬
временных геометров. Родился в
Лондоне. Окончил Тринити-колледж
в Кембридже. Работал в Англии,
США, Голландии, в настоящее вре¬
мя — профессор университета в То¬
ронто (Канада). Автор важных работ
по проективной геометрии, неевкли¬
довой геометрии и другим разделам
геометрии. Его именем названы не¬
сколько теорем в геометрии. На
русский язык переведены его книги:
«Действительная проективная пло¬
скость» (М., 1959), «Введение в гео¬
метрию» (М., 1966), «Новые встречи
с геометрией» (М., 1978; совместно
с С. Л. Грейцер), «Порождающие
элементы и определяющие соотно¬
шения дискретных групп» (М., 1980).
11	февраля — 325 лет со дня рожде¬
ния французского писателя и учено¬
го Бернара Ле Бовье д е Фонте-
неля (1657—1757). Фонтенель был
талантливым популяризатором есте¬
ственнонаучных знаний, членом
Французской академии с 1691	г.,
а с 1699 г.— ее бессменным секре¬
тарем. В математике ему принадле¬
жит книга «Геометрия бесконечного»
(Париж, 1727)	(см.:	БСЭ,	2-е и
3-е изд.).
13 февраля—100 лет со дня рожде¬
ния польского астронома и матема¬
тика Тадеуша Банахевича (1882—
1954). Родился в Варшаве. Работал
в Пулкозе, Москве, Казани, Тарту,
Варшаве. С 1919 г.— профессор Кра¬
ковского университета и директор
Краковской обсерватории. Разрабо¬
тал теорию матриц «краковиан»,
предназначенную для математиче¬
ской обработки наблюдений, которая
применима в теории автоматов (см.:
БСЭ, 2-е изд.).
16	февраля — 90 лет со дня рожде¬
ния советского педагога-математика,
заслуженного учителя РСФСР, чле-
на-корреспондента АПН СССР Павла
Афанасьевича Ларичева (1892—
1963) (см.:	Математика в школе,
1952, № 3; 1962, № 1; 1963, № 3).
27	февраля — 80 лет со дня рожде¬
ния советского механика и матема¬
тика, члена-корреспондента АН СССР
Леонида Николаевича Сретен¬
ского (1902—1973) (см.: Математи¬
ка в школе, 1971, № 6; Вестник МГУ,
сер. 1. Математика. Механика. 1977,
№ 4).
28	февраля — 70 лет со дня рожде¬
ния советского математика, академи¬
ка АН Азербайджанской ССР Ибра¬
гима Ибишевича Ибрагимова
(см.: Математика в школе, 1971, №6).
28 февраля — 430 лет со дня рожде¬
ния швейцарского механика, астро¬
нома, математика и часового масте¬
ра Иобста Бюрги (1552—1632) —
одного из изобретателей логариф¬
мов (см.: БСЭ, 2-е изд.; Математика
в школе, 1962, № 1).
А. И. Бородин (г. Донецк)
Математика в школе, 1981, № 6, 1—80