ISSN 0130—9358
МАТЕМАТИКА
В ШКОЛЕ
Научно-	лч
методический /
журнал	/ х.
Министерства /	х.
просвещения /
СССР /	X
ъ ш/	\
Э. Борель — французский математик, член Парижской
АН (1921). Родился в г. Сент-Африк в Авероие.
Окончил Высшую нормальную школу. В 1897—1920 гг.____
профессор (в 1911—1920 также директор) Высшей
нормальной школы, профессор Сорбонны (1909—1941),
директор Института им. Анри Пуанкаре (1927—1941).
Создал несколько отраслей современного
математического анализа (расходящиеся ряды,
расширение понятия аналитической функции, теория
меры множеств, диофантовы приближения). Основанная
Борелем в 1895 г. серия «Собрание монографий по
теории функций» в течение многих лет оказывала
влияние на работы в этой области. Весомый вклад
Борель внес в теорию вероятностей (очень широк круг
затронутых им прикладных вопросов: генетика,
метеорология, биометрика и др.); он является
создателем начал теории стратегических игр.
Большой интерес Борель проявлял к преподаванию
математики. В 1903—1906 гг. он опубликовал
оригинальные учебники, которые были переведены на
ряд европейских языков. На русском языке изданы:
«Тригонометрия» (1909), «Арифметика», «Арифметика
и алгебра» (1911), «Геометрия» (1912). Успех этих
книг объяснялся не только талантом автора, ио и их
созвучностью с движением за реформу преподавания
математики в сторону развития функционального
мышления, введения в курс элементов высшей
математики, сближения математики с ее приложениями,
отказа от ряда традиционных частей программы,
лишенных общеобразовательного значения. Излагая
свой взгляд на содержание школьной геометрии,
Борель писал: «...чисто евктпдсвские методы уже
• расходятся с прогрессом современной математики
„Геометрия изучает группу движений”».
Борель активно участвовал в политической жизни
Франции. Не раз избирался в парламент в качестве
депутата от Аверона, более 20 лет был мэром
города Сент-Африк. При его энергичном участии во
Франции были организованы два важнейших центра
научных исследований.
О. Ю. Шмидт — советский математик, астроном, геофизик,
государственный и общественный деятель, академик
АН СССР (1935), вице-президент АН СССР
(1939—1942), Герой Советского Союза (1937).
Родился в г. Могилеве. В 1913 г. окончил Киевский
университет и был оставлен при нем для подготовки
к профессорскому званию. С 1918 г. работал
в Москве. Преподавал в I (ныне МГУ) и во
И Московском университете (ныне МГПИ
им. В. И. Ленина). С 1929 г. заведовал кафедрой
алгебры в МГУ.
Основные работы в области математики относятся
к алгебре. Монография «Абстрактная теория групп»
(1916) оказала значительное влияние иа развитие
этой теории. О. Ю. Шмидт — основоположнпк
московской алгебраической школы, руководителем
которой он был в течение многих лет.
На жизненный путь О. IO. Шмидта огромное влияние
оказала Октябрьская революция. В 1918 г. ои вступил
в партию большевиков. Был членом коллегий ряда
наркоматов, являлся одним из организаторов высшего
образования и науки. Работал в Наркомпросе,
Государственном ученом совете при СНК СССР.
В 1921—1924 гг. был главным редактором Большой
советской энциклопедии. В Коммунистической академии
заведовал секцией естественных и точных наук,
которая сыграла заметную роль в налаживании
планового развития математики, а также в
марксистско-ленинской разработке философских
вопросов математики.
О. Ю. Шмидт—одни из крупных исследователей
Арктики В 1932 г. руководимая им экспедиция
на ледоколе «Сибиряков» впервые прошла за одну
навигацию от Архангельска до Тихого океана. Шмидт
был начальником экспедиции на «Челюскине».
В 1937 г. организовывал дрейфующую станцию
«Северный полюс».
В последние годы жизни О. Ю. Шмидт работал
над проблемами космогонии. Выдвинул новую гипотезу
об образовании Земли и планет Солнечной системы.
По его инициативе был организован Институт
теоретической геофизики.
Научно-мет одический
журнал
Министерстве просвзщент.я
СССР
Москва «Педагогика»
Издается с 1934 года
Выходит один раз
в два месяца
А. Д. Александров
Б. В. Болгарский
П. В. Стратилатов
В, В. Попов
В. М. Клопский,
М. И. Ягодовский,
3. А. Скопец
Р. М. Китаева
Л. С. Ла
Г. А. Мелекесов
А. Я. Блох,
И. А. Павленкова
Л. Д. Рогозина
МАТЕМАТИКА
’JMH В ШКОЛЕ
Январь — февраль
3 Органическое единство учебного и воспитательного процесса —
.ажнейшая задача
6 Новые лауреаты высоких премий
6 Литература к 111-й годовщине со дня рождения В. И. Ленина
МЕТОДИЧЕСКИЙ ОТДЕЛ
! Что Такое многогранник?
18 К вопросу о воспитательном значении преподавания математики
18 Всемерно повышать воспитательное воздействие предмета
20 Место интуиции в процессе обучения математике в IV—V классах
22 Об изучении темы «Зекторы» в IX классе
28 Осуществление взаимосвязи между курсами алгебры и геометрии
в восьмилетней школе
31 Вычислительные задачи экономической тематики
31 Из опыта работы по преодолению ошибок учащихся в вычислениях
и преобразованиях
32	О решении задач на оптимизацию в курсе математики старших классов
35	Повышение эффективности работы методического объединения учителе#
математики
	Читатели вносят предложения
М. Г. Скворцова, П. Г. Скворцов	37 К исследованию функций и построению графиков Консультация
Ф. М. Барчунова	38 По поводу контрольной работы № 8 по геометрии в VII классе Учебное оборудование
Г. М. Кофман В. В. Колупаев, Н. Я. Колупаева	38 Кабинет математики — звено в системе НОТ учителя и учащихся 41 О составлении описания диафильмов и Диапозитивов Эксперимент
Л. С. Атанасян, Э. Г. Позняк А. П. Ершов и др.	42 О пробных учебниках по геометрии для VI—VIII классов общеобразовательной школы 47	Работа со школьниками в области информатики. Опыт Сибирского отделения АН СССР
В. А. Гуськов	50 Об одной проверке качества усвоения понятия функции Проблемы и суждения
В. К. Совайленко	51 О систематизации задач в учебниках математики Внеклассная работа
Т. А. Сарычева, А. Н. Земляков Ф. Ф. НагиЬин, Е. М. Канина, Е. С. Канин	54 XIV Всесоюзная математическая олимпиада школьников 61	Нестандартные консточктивные Задачи в VI—VIII классах
© Издательство «Педагогика», «Математика в школе», 1981 г.
С. М. Петров	& Наглядное решение одной задачи Занимательная страница
Б. М. Григоривкер Ю. А. Аленков, В. М. Михайлов, Э. Э. Рекстин	65 О трехчлене Эйлера 65 Числовые ребусы Задачи 66 В помощь решающим задачи Письмо в редакцию
А. М. Малашенко	7t Об одной задаче на разрезание прямоугольника Поздравляем юбиляров
П. С. Александров и др. А. Г. Грекулова, К. А. Малыгин, Т. М. Федулова	73 Изабелла Григорьевна Башмакова 75 Борис Максимович Бредихин КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ
В. Н. Молодший Ф. М. Шустеф	76	Новые материалы к биографии Н. И. Лобачевского 76 Новые книги (1980 г.) По страницам зарубежных журналов
И. И. Михайлов	77 Чехословацкий физико-математический журнал для школьников ХРОНИКА
В. Ф. Карташов В. Ю. Гуревич	78 Встреча ученых и практиков 79 Республиканский семинар по проблемам преподавания математики в школе
Б. В. Гнеденко	80 |Мордухай Моисеевич Вайнберг)
Редакпиоярая кол л е гвя:
Главный редач rot Р. В. Черкасов-
Зам. главного редактора С. А. Пономарев.
Члены редакционной коллегии;
Я. М. Бескин
В. Г, Болтянский
Н. Ф. Власик
Г. U.	Глейзер
Б. В.	Гнеденко
Г. В.	Дорофеев
Н. А.	Ермолаева
А. Н.	Колмогоров
Ю. М.	, Калягин
М. Р.	Леонтьев/
Г. г.	Маслова
К. И.	Н ешков
л. м.	Пашкова
И. С. Петраков
Н. X. Розов
К. П. Сикорский
В. А. Скворцов
3. А. Скопец
Л. В. Стратилатов
3. С. Сухотин*
К. И. Шалимова
С. И Шеарибурд
Г. А. Ястреоинецкий
Р е л э к п и о и я и й гевеи
(представители союзных республик):
А. М. Алиев (АзССР)
X. А. Асадов (ТаджССР)
Б. Б. Бердыев (ТССР)
И. С. Броеиков (РСФСР)
Б. П. Бычков (МССР)
В. А. Гусев (РСФСР)
А. С. Зиберт ас (ЛитССР)
Д. И. Икрамов (УзССР)
К. К. Кожаспаев (КззССР)
Ш. М Майлиев (КиргССР)
В. Я. Мидлере (ЛатвССР)
3. И. Моисеева (РСФСР)
С. Ф. Рубанов (БССР)
Н. И. Садовникова (РСФСР)
Р. В. Саркисян (АрмССР)
3. И. Слепкань (УССР)
А. Э. Тельгмаа (ЭССР)
И. Ф. Тесленко (УССР)
А. М. Хиштария (ГССр)
Р. А. Хабиб (РСФСР)
Зав. редакцией
3. В. Шепелева
Художественный редактор
Б. Ф. Рябов
Технические
редакторы
Л. В. Розанова, Л. С Владимирская
Корректор Н. В. Минервина
Сдано в набор 22.12.80 г- Подписано а
печать 03.02.81 г. Формат бумаги 84X10b’/i6.
Печать высокая. Усл. печ. л. 8,40. Уч.-изд.
л. 11,74. Тираж 391 590 экз. Цена 45 код.
Зак. 522
Издательство «Педагогика» Академии пе-
дагогических наук СССР и Государст-
венного комитета СССР по делам изда-
тельств, поли| рафии и книжной торговли.
Адрес издательства: 107847. Москва, ГСП
Б-05, Лефортовский лер.. Д. 8.
Телефон редакции: 283-85-83.
Московская типография № 13 Союзполи-
графпрома при Государственном комитете
СССР по делам издательств, полиграфии
и книжной торговли. 107005, Москва, Б-5,
Денисовский пер., д. 30.
Органическое единство
учебного и воспитательного процесса—
важнейшая задача
Советский народ под испытанным руководст-
вом Коммунистической партии добился в де-
сятой пятилетке новых успехов в создании
материально-технической базы коммунизма и
повышения благосостояния советских людей.
С огромным воодушевлением готовясь к до-
стойной встрече XXVI съезда КПСС, трудя-
щиеся нашей страны принимают активное
участие во всенародном обсуждении проекта
ЦК КПСС «Основные направления экономи-
ческого и социального развития СССР на
1981—1985 годы и на период до 1990 года».
В документе ЦК КПСС намечены новые вы-
сокие рубежи нашего дальнейшего движения
вперед. Предстоящее десятилетие,— говорится
в проекте,— новый крупный этап в создании
материально-технической базы коммунизма,
развитии общественных отношений, формиро-
вании нового человека.
В условиях поступательного развития со-
ветского общества решение задач коммуни-
стического воспитания подрастающих поколе-
ний становится делом всенародным, общепар-
тийным. И это, с одной стороны, помшает
школе, с другой — повышает ее ответствен-
ность.
Перед советским учительством поставлена
задача добиваться органического единства
учебного и воспитательного процессов, даль-
нейшего совершенствования работы по форми-
рованию у школьников коммунистического
мировоззрения, высоких морально-политиче-
ских качеств, трудолюбия, беззаветной пре-
данности делу партии, коммунистическим
идеалам, любви к социалистической отчизне,
пролетарского интернационализма. Повыше-
ние требований к школе — процесс закономер-
ный. Действительно, еще 12—15 лет назад
школьники после окончания восьмилетней
школы попадали в основном в рабочие кол-
лективы, которые передавали молодежи свои
трудовые традиции, были ответственны за
становление характера молодого человека.
Сейчас до 17 лет, в период, когда формирует-
ся мировоззрение, отношение к жизни, к тру-
ду, когда юноши и девушки начинают искать
свое место в обществе, они находятся в учеб-
ном заведении. В прошедшую пятилетку
24 млн. человек окончили школьную восьми-
летку, 20 млн. юношей и девушек получали
среднее образование в школе, т. е. с осуще-
ствлением закона о всеобщем среднем обра-
зовании школа стала тем основным учрежде-
нием, в стенах которого происходит становле-
ние личности.
Опыт работы многих тысяч педагогических
коллективов свидетельствует о том, что совет-
ская школа успешно решает возложенные на
нее задачи. Ее выпускники выходят в жизнь,
вооруженные марксистско-ленинской идеоло-
гией, с твердыми нравственными устоями, со-
ответствующими идеям нашего общества, с
прочными глубокими знаниями основ наук.
Ноеый учебный план школы, который введен
с 1980/81 учебного года, дает возможность по-
новому решать задачи трудового обучения
и воспитания школьников, подготовки их к
труду, к выбору профессии. В новом учебном
плане равномернее распределена нагрузка
школьников по годам обучения, между гума-
нитарными и естественно-математическими
дисциплинами, высвобождено время для фа-
культативных занятий.
Более двух лет продолжается работа по со-
вершенствованию учебных программ. К ней
привлечены ученые, методисты, педагоги. Ши-
рокое обсуждение программ проведено в педа-
гогических коллективах, на страницах научно-
методических журналов, в отделениях Акаде-
мии наук СССР, Академии педагогических
наук СССР. Результаты обсуждений рассмот-
рены коллегией Министерства просвещения
СССР.
Тщательный анализ учебных программ по-
казал, что содержание образования отвечает
потребностям общества на современном этапе.
Поэтому изменение программ проведено так,
что ядро их, основа остались прежними. Зна-
чительно усилена воспитательная направлен-
ность всех учебных курсов, содержание каж-
дого предмета теснее связано с актуальными
задачами коммунистического строительства.
Большое внимание уделено политехнизации
курсов, предусмотрены более четкие внутри-
курсовые и межпредметные связи. В програм-
мах по всем предметам проведено некоторое
сокращение учебного материала, созданы луч-
шие возможности для повторения, закрепле-
ния, обобщения пройденного. Определены тре-
бования к знаниям и умениям учащихся по
1*
3
годам обучения, разработаны примерные
оценки результатов их учебной деятельности.
Строго очерченный в программе круг зна-
ний и умений школьников должен помочь учи-
телю отобрать в процессе преподавания то
главное, что должно выкристаллизоваться у
ученика в результате изучения темы, раздела,
курса в целом, что должно перерасти в убеж-
дения. Акцент на основы знания о природе и
обществе позволит ученикам понять, что по-
знание законов природы и общества необходи-
мо не только для анализа прошлого, надо на-
учиться правильно оценивать развитие обще-
ства на современном этапе, понимать процес-
сы, происходящие в мире сейчас, уметь анали-
зировать эти процессы с позиций марксизма-
ленинизма. В этом направлении и пересмотре-
ны сейчас все учебные программы, которые
ориентируют } чителя на необходимость отра-
ботки самого основного, существенного, дета-
ли при этом могут ускользать без особого
ущерба для знаний, для формирования лич-
ности в целом.
Усовершенствованные программы по всем
учебным дисциплинам, кроме математики, ре-
комендованы Академией педагогических наук
СССР и утверждены Министерством просве-
щения СССР. По ним общеобразовательные
школы страны начнут работать с будущего
учебного года.
Как известно, наибольшей критике подверг-
лась программа по математике. При обсуж-
дении программ и учебников по математике в
Отделении математики Академии наук СССР
большинство ученых высказалось против во-
шедшего в курс математики широкого упо-
требления теоретико-множественных понятий.
Критиковались используемая терминология и
необычность некоторых определений (конгру-
энтность вместо равенства; определение век-
тора через параллельный перенос). Было от-
мечено также, что хотя сам факт включения
в школьную программу вопросов математиче-
ского анализа — явление прогрессивное и за-
служивающее одобрения, изложение этого ма-
териала в учебниках, рассчитанных на всех
учеников, слишком громоздко и усложнено.
Как на недостаток программы, указывается
на отсутствие в ней комплексных чисел, тео-
рии вероятностей и т. д., критикуется неоправ-
данное снижение внимания к традиционному
материалу (арифметическим вычислениям,
преобразованиям алгебраических выражений,
тригонометрии, практике решения конкретных
задач).
В журнале «Коммунист» (1980, №14) опуб-
ликована критическая статья академика
Л. С. Понтрягина «О математике и качестве
ее преподавания». Коллегия Министерства
просвещения СССР, рассмотрев статью
Л. С. Понтрягина, отметила, что в ней подни-
мается важный вопрос о наличии недостатков
в математической подготовке школьников, из-
лишней формализации ряда понятий в школь-
ных учебниках, недостаточной их прикладной
направленности. Считая критику этих недос-
татков правильной, в целях принятия мер по
их устранению Коллегия поручила Академии
педагогических наук СССР ускорить создание
скорректированной программы по математике
с учетом накопленного опыта и итогов обсуж-
дения программ. Программа будет затем рас-
смотрена Президиумом Академии наук СССР
и Коллегией Министерства просвещения
СССР.
В связи с необходимостью продолжить ра-
боту над программой по математике принято
решение в 1981/82 учебном году использовать
программу, по которой общеобразовательные
школы страны работают в настоящее время.
Будет продолжена экспериментальная про-
верка подготовленных учебных пособий
(Л. С. Атанасяна и Э. Г. Позняка «Геометрия
6—8»; А. В. Погорелова «Геометрия 6—10»;
авторского коллектива — Ш. А. Алимова,
В. А. Ильина, Ю. М. Колягчна, Ю. В. Сидоро-
ва, М. И. Шабунина «Алегебра 6—8»). Науч-
но-исследовательскому институту содержания
и методов обучения АПН СССР, Главному уп-
равлению школ поручено провести их эксперт-
ную оценку и сравнительное изучение. Эти
книги включены в подписную серию «Библио-
тека учителя математики».
Издаются и готовятся к изданию в качестве
пособий дпя учителя книги А. Д. Александро-
ва, В. И. Вернера, Д. А. Рыжика «Начала
стереометрии. 9—10 классы» и С. М. Николь-
ского «Элементы математического анализа».
Одновременно будут внесены коррективы в
действующие учебники по геометрии, алгебре,
алгебре и началам анализа. Запланировано
проведение в марте 1981 г. совещания мето-
дистов по математике республиканских и об-
ластных институтов усовершенствования учи-
телей, на котором будут обсуждены вопросы
усиления практической направленности пре-
подавания математики и будет дана информа-
ция о ведущейся экспериментальной работе.
Создание экспериментальных учебников, их
опытная проверка является важным звеном в
совершенствовании учебно-воспитательного
процесса. По тем курсам, по которым изданы
пробные учебники, отрабатываются новые
подходы в изложении материала; учитель,
получая разнохарактерный материал, участ-
вует вместе с автором в поисках новых мето-
дических путей преподавания. Такой учитель
будет лучше ориентироваться в различных
подходах к изложению курса.
К экспериментальной проверке учебных по-
4
собий по алгебре и геометрии, которая прово-
дится второй год в ряде территорий Россий-
ской Федерации и Украины, привлечены луч-
шие учителя математики, методисты институ-
тов усовершенствования учителей, преподага-
тели кафедр методики математики педагоги-
ческих институтов, научно-исследовательских
учреждений. Учителя экспериментальных
школ в течение всего года работают под р_\ ко-
водством авторов и методистов. На базе ме-
тодических кабинетов с учителем проводится
опережающее рассмотрение тем и разделов
учебников, анализируются приемы, позволяю-
щие рационально сочетать изучение теорети-
ческого материала с работой по формирова-
нию у школьников практических умений и на-
выков. В экспериментальных школах созданы
необходимые условия для правильной органи-
зации и проверки результатов работы.
Проводимый эксперимент преследует не-
сколько целей. Прежде всего, он должен по-
мочь авторам учебных пособий проверить вы-
бранную теоретическую и методическую кон-
цепцию и ее реализацию в учебных книгах,
обнаружить в них слабые места, подключить
к работе над учебниками учителей-экспери-
ментаторов. Вторая цель эксперимента — оп-
ределить условия, при которых может быть
осуществлено преподавание. Уже сейчас ясно,
чго для успешного преподавания по всем экс-
периментальным учебникам обязательно нуж-
ны специальные методические руководства
для учителей. В них должны быть разъяснены
основные авторские позиции в отборе мате-
риала и его структуре, даны советы учителю,
на чем акцентировать внимание, дан дополни-
тельный материал в виде задач, упражнений,
позволяющий дифференцировать работу со
школьниками. Нужны специальные семинары
для учителей, необходимы научно обоснован-
ные рекомендации по проверке знаний школь-
ников, по проведению экзаменов и т. д И„ на-
конец, третья, самая важная цель, состоит в
том, чтобы по итогам экспериментальной ра-
боты оценить уровень математической подго-
товки школьников не только по каждому клас-
су, но и по результатам обучения в восьми-
летней и средней школе. Экспериментальная
работа должна быть нацелена на создание
таких учебников, в которых доступность мате-
риала обеспечивалась бы за счет методиче-
ской обработки материала, а не только пу-
тем снижения достигнутого в последние годы
научно-теоретического уровня школьного ма-
тематического образования.
Следует иметь в виду еще один аспект. От-
дельный учебный предмет не может рассмат-
риваться в современной школе изолированно.
Решая своими средствами и методами задачу
формирования научно-материалистического
мировоззрения школьников, каждая школьная
дисциплина тесно связана со смежными пред-
метами. Поэтому экспериментальный учебник
должен быть просмотрен с гой точки зрения,
насколько он сохраняет, использует и разви-
вает сложившиеся межпредметные связи.
Ясно, что от эксперимента до массовой
практики путь не близок. Немало учеников
закончат школу, не успев воспользоваться ре-
зультатами проводимых экспериментов. По-
этому задача учителей математики сегодня
состоит в том, чтобы давать глубокие и проч-
ные знания всем ученикам, используя тот ар-
сенал учебно-методических средств, которыми
располагает современная школа. Совершенст-
вование школьного математического образо-
вания — процесс обоюдный. С одной сторо-
ны — это содержание, вложенное в программы
и учебники, с другой — его реализация в про-
цессе преподавания. И все-таки решающая
роль в математической подготовке школьни-
ков принадлежит и будет принадлежать учи-
телю. Обязанность и долг работников органов
народного образования состоит сейчас в том,
чтобы развивать инициативу учителя, постоян-
но поддерживать его творческую активность,
создавать условия для спокойной, эффектив-
ной работы.
Учителю принадлежит центральное место ъ
работе по совершенствованию учебно-воспи-
тательного процесса в школе. От его мастер-
ства, инициативы, способности к творчеству, к
выбору оптимальных средств и методов пре-
подавания зависит качество обучения и вос-
питания школьников. Как никогда прежде,
перед учителями математики стоит сейчас за-
дача повышать эффективность урока, доби-
ваться, чтобы каждый урок не только обеспе-
чивал школьникам глубокие и прочные знания
теоретического материала, но и вырабатывал
практические умения и навыки. Необходимо
больше внимания уделять обобщению мате-
риала, повторению того основного в каждом
разделе, что должно отложиться в памяти
школьников, закрепиться при решении задач
и выполнении упражнений.
Необходима кропотливая работа по совер-
шенствованию методов обучения. Один из
важнейших дидактических принципов обуче-
ния состоит в том, чтобы изучаемый мате-
риал по уровню своей трудности был досту-
пен, но в то же время требовал некоторых
усилий для усвоения. Обедненный, усваивае-
мый без необходимого труда учебный мате-
риал неизбежно ведет к лености мысли. Не-
дооценка потенциальных возможностей разви-
тия человека не менее вредна, чем чрезмерное
перенапряжение его умственных способностей.
Учебный процесс необходимо строить так,
чтобы в данном классе, в конкретном кол-
лективе учеников выдерживать оптимальное
соотношение между сложностью и доступ-
ностью материала, добиваясь нужного педаго-
гического эффекта сочетанием индивидуаль-
ной и коллективной работы школьников.
Нужно учить ученика учиться. От того, на-
сколько школьник владеет рациональными ме-
тодами учебной работы, приемами мыслитель-
ной деятельности, зависит успешность его
обучения.
В рациональной организации учебного про-
цесса решающая роль принадлежит педагоги-
ческому коллективу школы. Поднять его ак-
тивность в борьбе за высокий уровень органи-
зации учебно-воспитательного процесса — зна-
чит, добиться успеха.
Учителя средней школы, включившись во
всенародное социалистическое соревнование
за успешную реализацию одиннадцатого пя-
тилетнего плана, внесут свой творческий
вклад в трудовые достижения советского на-
рода, в решение широкого круга экономиче-
ских и социальных проблем, в укрепление мо-
гущества нашей Родины.
НОВЫЕ ЛАУРЕАТЫ ВЫСОКИХ ПР г МИЙ
В день 63-й годовщины Великой Октябрьской социали-
стической революции было опубликовано постановле-
ние ЦК КПСС и Совета Министров СССР «О присуж-
дении Государственных премий СССР 1980 года в об-
ласти науки и техники». Среди новых имен лауреатов —
представители математической науки.
За цикл работ «Динамика тел с полостями, содержа-
щими жидкость- Государственная премия 1980 г. при-
суждена члену-корреспонденту АН СССР заместителю
директора Вычислительного центра АН СССР Никите
Николаевичу Моисееву, члену-корреспонденту АН СССР
заведующему лабораторией Вычислительного центра
АН СССР Валентину Витальевичу Румянцеву, доктору
физико-математических наук заведующему сектором Вы-
числительного центра АН СССР Александру Алексан-
дровичу Петрову, доктору физико-математических наук
заведующему отделом Института проблем механики АН
СССР Феликсу Леонидовичу Черноусько.
Отмечен Государственной премией 1980 г. цикл учеб-
ников для высших учебных заведений «Аналитическая
геометрия», «Линейная алгебра» и «Основы математи-
ческого анализа» в двух частях, написанных доктором
физико-математических наук заведующим кафедрой
Московского государственного университета им.
М. В. Ломоносова Владимиром Александровичем Ильи-
ным и доктором физико-математических наук профес-
сором того же университета Эдуардом Генриховичем
Позняком.
29 октября 1980 г., в День рождения комсомола, но-
выми именами пополнился список лауреатов премии
Ленинского комсомола в области науки и техники. Сре-
ди отмеченных премией — Два молодых исследователя
в области математики.
Премия Ленинского комсомола 1980 г. присуждена
кандидату физико-математических наук доценту факуль-
тета вычислительной математики и кибернетики МГУ
Евгению Ивановичу Моисееву за цикл работ по неко-
торым вопросам спектральной теории уравнений сме-
шанного типа.
За цикл работ по проблеме стабилизации в алге-
браической К-теорни премии Ленинского комсомола
1980 г. удостоен доктор физико-математических наук
старший научный сотрудник Ленинградского отделе-
ния Математического института им. В. А. Стеклова
АН СССР Андрей Александрович Суслин.
ЛИТЕРАТУРА К 111-й ГОДОВЩИНЕ
СО ДНЯ РОЖДЕНИЯ В. И. ЛЕНИНА
[В помощь учителю)
Ленин В. И. О молодежи: Сборник.— 2-е изд., доп.—
М.: Молодая гвардия, 1974. — 656 с., ил.
Ленин В. И. О культурной революции: Сборник.—
2-е изд. — М.: Политиздат, 1971. — 256 с.
Ленин В. И. О воспитании и образовании: Сборник.—
3-е изд. — М.: Просвещение, 1973. — 704 с., портр.
Ленин В. И. О народном образовании: Сборник. —
М.: Просвещение, 1977. — 287 с.
Ленин В. И. О науке и высшем образовании: Сбор-
ник.— 2-е изд., доп.— М.: Политиздат, 1971.— 422 с.
В. И. Ленин н КПСС об экономическом образовании
трудящихся. — М.: Политиздат, 1972. — 150 с.
Ленин Е И. О коммунистической нравственности:
Сборник. — 2-е изд., доп. — М.: Политиздат, 1975.—
278 с.
Ленин В. И. Об атеизме, религии и церкви: (Сборник
статей, писем и других материалов.) — М.: Мысль,
1969.—317 с.
Ленин В. И. О литературе и искусстве: Сборник.—
5-е изд.— М.: Худож. лит., 1976. — 827 с.
Переписка семьи Ульяновых. 1883—1917: Сборник.—
М.: Политиздат, 1969.— 462 с., ил.
Письма Владимира Ильича Ленина к родным:
И. Ульяновой- Елизаровой,
Елизарову. — 2-е дзд. — М.:
Письма В. И. Ленина ма-
Молсдая гвардия, 1978.—
М. А. Ульяновой. А.
М. И. Ульяновой, М. Т.
Политиздат, 1977. — 207 с.
Любящий тебя В. Ульянов:
тери. — 4-е изд. — М.:
287 с., ил.
Владимир Ильич Леиии: Биография. — 5-е изд. — М.:
Политиздат, 1972. — XIV. — 769 с.
В. И. Ленин: Краткий биографический очерк. — 8-е
изд. — М.: Политиздат, 1979.— 160 с.
Зевки В., Голиков Г. В. И. Ленин: Жизнь и учение. —
М.: изд. агентства печати «Новости», 1974. — 286 с.
Учиться у Ленина. — 2-е изд. — М.: Молодая гвардия
1974.
Грибов Ю., Лазебинков А., Опарин О. За строкой
биографии Ленина. — 2-е изд., доп. — М.: Сов Россия,
1977,— 143 с.
Воспоминания о Владимире Ильиче Ленине: В 5-ти
т. — 2-е изд. — М.: Политиздат, 1979.
Крупская Н. К. Воспоминания о Ленине. — 2-е изд.—
М.; Политиздат, 1972, — 503 с., ил.
Крупская Н. К. О Ленине: Сборник статей и вы-
ступлений. — 4-е изд., доп. — М.: Политиздат, 1979. —
382 с.
Ульянов Д. И. Воспоминания о Владимире Ильиче. —
4-е изд., доп. — М.: Пол/тизтат, 1971.— 127 с., ил.
Ульянова М. И. О Владимире Ильиче Ленине i семье
Ульяновых: Воспоминания. Письма. Очерки. — М.: По-
литиздат, 1978. — 328 с.
Ульянова-Елизарова А. И. Воспоминания об Ильи-
че.— М.: Политиздат, 1971.— 127 с., ил.
Лозгачев-Елизаров Г. Я. Незабываемое. — 6-е изд.,
испр. и доп. — Л.: Лениздат, 1971. — 264 с.
Великий друг: (Воспоминания старых большеви-
ков).— М.: Профиздат, 1970. — 239 с.
Наш Ильич: Сборник воспоминаний современников.—
Л.: Лениздат, 1976.— 160 с.
Народы мира о Ленине. — М.: Политиздат, 1970.—
303 с., ил.
Ленин в воспоминаниях финнов: Пер. с фин.— М.:
Политиздат. 1979. — 113 с.
Я видел будущее: Писатели и деятели культуры за-
рубежных стран о Союзе Советских Социалистических
Республик. Кн. 1—2. — М.: Прогресс, 1977.
О Ленине см.: кн. 1, с. 92—96; кн. 2, с 365—368,
375—394.
Жизнь в борьбе: По воспоминаниям современников о
В. И. Ленине. (Петербургско-петроградский период).—
Л.: Лениздат, 1975. — 504 с., ил.
Трофимов Ж. Великое начало: Документально-худо-
жественные очерки о гимназических годах В. И. Лени-
на. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Молодая гвардия,
1979. — 239 с.
Шалагинов В. К. Защита поручена Ульянову. — М.:
Современник, [977. — 253 с.
Куканов В. И. У истоков грядущего. — М.: Политиз-
дат, 1975. — 238 с.
Документальная повесть о роли В. И. Ленина как
создателя Петербургского «Союза борьбы за освобож-
дение рабочего класса».
Ленин. Сибирская ссылка: По воспоминаниям совре-
менников и документам. — М.: Политиздат, 1975.—
320 с., ил.
Шотман А. В. Ленин в подполье (июль — сентябрь
1917 г.). — М.: Политиздат, 1977.
Ленин в 1917 году: Воспомииаиия.— М.: Политиздат,
1967.
Об Ильиче: Воспоминания питерцев. — Л.: Лениздат,
1970.
Они встречались с Лениным: Воспоминания ветеранов
Советских Вооруженных Сил. — М.: Политиздат,
1974. — 174 с.
Ворошилов К. Е. Нас Ленин учил побеждать: Выска-
зывания и воспоминания о вожде. — М.: Политиздат,
1978,— 120 с.
Яковлев Е. Портрет и время: В. И. Ленин — штрихи
биографии, рассказы в документах, репортаж из года
восемнадцатого. — М.: Политиздат, '979.— 352 с.
Горбунов Н. П. Как работал Ленин. — 2-е изд.—
М.: Политиздат, 1975.— 16 с.
Великий друг молодежи: Воспоминания о В. И. Ле-
нине. — 2-е изд., доп. — М.: Молодая гвардия, 1973. —
383 с., ил.
Ленин — товарищ, человек. — 4-е изд., доп. — М.: По-
литиздат, 1977. — 318 с.
Луначарский А. В. Человек нового мира: Сборник
статей, речей, докладов, воспоминаний о Владимире
Ильиче Ленине. — М.: изд. агенства печати «Новости»,
1976. — 207 с
Дрейден С. Ленин слушает Бетховена. — М.: Совет-
ский композитор, 1975. — 206 с
Шарапов Ю. П. Ленин как читатель.— М.: Политиз-
дат, 1977.
Ленин в советской поэзии. — Л.: Советский писатель,
1970.—770 с.
Живее t,cex живых: Советские писатели о В И. Ле-
нине.— М.: Современник, 1977. — 219 с.
Самый человечный человек: Писатели союзных рес-
публик о В. И. Ленине. — М.: Современник, 1975. —
228 с.
Землю всю охватывая разом... Стихи зарубежных
поэтов о Ленине. — М.: Художественная литература,
1969. — 203 с., ил.
Капитан Земли: Писатели мира о В. И. Ленине. —
М.: Современник, 1976. — 208 с.
Вашим, товарищ, сердцем н именем... Писатели и дея-
тели искусств мира о В. И. Ленине. — М.: Прогресс,
1976. — 467 с.
Шагинян М. Лениниана. Семья Ульяновых: Очерки и
статьи.-—М.: Молодая гвардия, 1977. — 814 с.
Печерникова И. А. Величие души: О воспитании в
семье Ульяновых. — 4-е изд., испр. и доп. — М.: Полит-
издат, 1978.
Григорьев Н. 4 Отец: Документальная повесть об
Илье Николаевиче Ульянове. — 2-е изд., доп. — М.: По-
литиздат, [978.
Вечтомова Е. А. Повесть о матери: О Марии Алексан-
дровне Ульяновой. — 2-е изд., Доп. — М.: Политиздат,
1978.
О 110-й годовщине со дня рождения Владимира Иль-
ича Ленина: Постановление ПК КПСС от 13 декабоя
1979 г. — М.: Политиздат, 1979.— 16 с.
О дальнейшем улучшении идеологической, политико-
воспитательной работы: Постановление ЦК КПСС от
26 апреля 1979 г. — М.: Политиздат, 1979.— 15 с.
Брежнев Л. И. Дело Ленина живет и побеждает.—
В ки.: 100 лет со дия рождения Владимира Ильича
Ленина. — М.: Политиздат, 1970. — с. 13.
Брежнев Л. И. Речь на XVIII съезде Всесоюзного
Ленинского Коммунистического Союза Молодежи 25 ап-
реля 1978 г. — М.: Политиздат, 1978.
Брежнев Л. И. Выступление на Пленуме ЦК КПСС
27 ноября 1979 г. — Правда, 1979, 28 нояб.
Брежнев Л. И. Ленинским курсом: Речи и статьи.
Т. 1—7. — М.: Политиздат, 1973 -1979.
Брежнев Л. И. Актуальные вопросы идеологической
работы КПСС: В 2-х т. Т. 1—2.— М.: Политиздат, 1978.
Брежнев Л. И. Ответы на вопросы корреспондента
газеты «Правда». — М.: Политиздат, 1980
Тихонов Н. А. По ленинским заветам, по пути Октяб-
ря: Доклад на торжественном заседании, посвященном
63-й годовщине Великой Октябрьской социалистической
революции. — Правда, 1980, 7 нояб.
Суслов М. А. Дело всей партии: Доклад иа Всесоюз-
ном совещании идеологических работников 16 октября
1979 г. — М.: Политиздат, 1979. — 47 с.
Черненко К. Работать для народа и вместе с наро-
дом— Ленинска" традиция КПСС. — Проблемы мира и
социализма, 1979, № 5, с. 3—9.
Пономарев Б. Н. Живое и действенное учение марк-
сизма-ленинизма: (Ответ критикам). — М.: Политиздат,
1978. —95 с.
Дело Ленина живет и побеждает. — Математика в
школе, 1980, № 2, с. 3
Гнеденко Б. В. В. И. Ленин и математика. — Мате-
матика в школе, 1980, № 1, с. 3.
Соболев С. Л. В. И. Ленин и естествознание. — Мате-
матика в школе, 1980, № 2, с. 7.
Молодший В. И. В. И. Ленин и первые шаги совет-
ской математики. — Математика в школе, 1972, № 5,
с. 4.
Гнеденко Б. В. В. И. Ленин и развитие математики в
Советском Союзе. — Математика в школе, 1970, № 1,
с. 4.
Молодший В. Н. И. Н, Ульянов — педагог-матема-
тик.— Математика в школе, 1970, № 3, с, 4.
Волков Г. Н. Воспитание в семье Ульяновых и ма-
тематика.— Математика в школе, 1969, № 4. с. 5.
7
Методический
отдел
ЧТО ТАКОЕ МНОГОГРАННИК!
А. Д. АЛЕКСАНДРОВ
(г. Новосибирск)
На вопрос, поставленный в заголовке, А. П.
Киселев отвечал: «Многогранником называет-
ся тело, ограниченное со всех сторон плос-
костями» *.
Такое определение представляется неточ-
ным и даже несколько наивным; лучше ска-
зать, что многогранник ограничен многоуголь-
никами; но наглядное представление о много-
граннике тут выражено и его нетрудно довес-
ти до определения, вполне строгого с совре-
менной точки зрения. Дальше это и будет
сделано.
В действующем в настоящее время пособии
для 9—10 классов1 2 3, утвержденном Министер-
ством просвещения СССР, дается совсем дру-
гое определение, не равносильное ни опреде-
лению Киселева, ни другим принятым опре-
делениям. Но оно слишком сложно и обладает
другими примечательными свойствами, так
что мы процитируем и обсудим его дальше
особо.
Рассмотреть определение многогранника
интересно и важно не только само по себе и
не только в связи с особенностями определе-
ния, данного в «Геометрии 9—10», но еше и
потому, что на нем можно очень ясно просле-
дить важнейшие общие принципы преподава-
ния геометрии. Именно в изучении многогран-
ников, в самом их определении более выпук-
ло, чем в любом другом вопросе, выступает
необходимость того органического сочетания
живого пространственного воображения и
строгой логики, которые составляют сущность
геометрии, как о том было сказано в моей
предыдущей статье «О геометрии»2. Поэтому
данная статья служит так же конкретным до-
полнением и иллюстрацией к написанному в
той статье.
§ 1.	Многогранники в курсе геометрии
Многогранники составляют, можно сказать,
центральный предмет стереометрии.
Изучение параллельных и перпендикуляр-
ных прямых и плоскостей, двугранных углов
1 Киселев А. П. Элементарная геометрия.—М., 1914,
с. 307 (цитируется дальше как «Киселев А. П.»); 1980,
с. 210.
2 Клопски'"' В. М., Скопец 3. А., Ягодовский М. И.
Геометрия. Учебное пособие для 9 и 10 классов средней
школы. — 4-е изд. — М., 1978, с. 117 (цитируется даль-
ше как «Геометрия 9—10»).
3 Александров А. Д. О геометрии. — Математика
в школе, 1980, № 3.
и др., так же как введение векторов и коорди-
нат,— все это только начала стереометрии,
подготовка средств для исследования ее более
содержательных объектов — главным образом
тел и поверхностей (Кроме тел и поверхно-
стей в геометрии пространства изучаются, на-
пример, правильные системы точек и вообще
фигур.)
Само слово «стереометрия» происходит, как
известно, от греческого «сгереос» — телесный
и «метрео» — измеряю. Наука об измерении
тел, о телах, а из всех тел особо выделяются
многогранники.
Центральная роль многогранников опреде-
ляется прежде всего тем, что многие резуль-
таты, относящиеся к другим телам, получают-
ся исходя из соответствующих результатов
для многогранников; достаточно вспомнить
определения объемов тел и площадей поверх-
ностей путем предельного перехода от много-
гранников.
Многогранник.1 при всем возможном разно-
образии и сложности их форм составляют
предмет элементарной геометрии, поскольку
любой многогранник определяется конечным
числом ограничивающих его многоугольников.
Что же касается других гел, то из них только
некоторые входят в элементарную геомет-
рию— те, которые задаются специальными
построениями, как, например, прямой круго-
вой цилиндр и т. п. А изучение тел и поверх-
ностей общего вида выходит далеко за пре-
делы элементарной математики. Один из ме-
тодов их исследования состоит в приближении
многогранниками, откуда и происходит цент-
ральная роль многогранников.
Независимо от этого многогранники сами по
себе представляют чрезвычайно содержатель
ный предмет исследования, выделяясь среди
всех тел многими интересными свойствами,
специально к ним относящимися теоремами и
задачами. Достаточно вспомнить теорему Эй-
лера о числе граней, ребер и вершин, симмет-
рию правильных многогранников, вопрос о
заполнении пространства многогранниками
и др.
Существующий и нашедший отражение в
действующих программах взгляд, будто на-
глядная геометрия представляет лишь мате-
матическую старину, основан на недостаточ-
ном понимании современной математики, в
которой именно в настоящее время теории,
связанные своими корнями, в частности, с
обычными многогранниками, приобретают
большое значение. Обобщения наглядных гео-
8
метрических понятий имеет в математике не-
убывающее значение.
Многогранникам должно быть уделено в
школьном курсе больше внимания еще и по-
тому, что они дают особенно богатый мате-
риал для развития пространственных пред-
ставлений, для развития того соединения жи-
вого пространственного воображения со стро-
гой логикой, которое составляет сущность гео-
метрии. Уже самые простые факты, касаю-
щиеся многогранников, требуют такого соеди-
нения, которое оказывается при этом не сов-
сем легким делом. Даже такой простой факт,
как пересечение диагоналей параллелепипеда
в одной точке, требует усилия воображения,
чтобы его увидеть наглядно, и нуждается в
строгом доказательстве.
Для обогащения курса стереометрии на-
глядным материалом представляется разум-
ным перенести изучение многогранников бли-
же к началу. Не странно ли рассматривать
призмы и пирамиды только после векторов и
координат, без мадого в середине последнего
года обучения?
Само определение понятия многогранника
оказывается как раз таким вопросом, где не-
обходимо особенно внимательно сочетать на-
глядные представления, рассмотрение реаль-
ных примеров и логической точности форму-
лировок (то, что образует, согласно предыду-
щей статье, «треугольник» в основах препо-
давания геометрии). Формулировки должны
исходить из реальных примеров, из наглядных
представлений и возвращаться к ним для про-
верки и дальше — для применения.
Эти требования могут считаться очевидны-
ми. Однако они оказываются совершенно на-
рушенными в том определении многогранника,
которое дано в действующем пособии «Гео-
метрия 9—10». Это тем более заставляет
разобрать вопрос об определении многогран-
ника с возможно большей обстоятельностью,
начав с наглядного описания и рассмотрения
реальных примеров. К этому мы и обратимся.
§ 2. Наглядное определение многогранника
Проще и короче всего определить много-
гранник как тело, поверхность которого со-
стоит из многоугольников (в конечном числе).
При этом «тело» и «поверхность» можно по-
нимать в наглядном смысле, как понимают
обычно. Тело в отвлечении от его материаль-
ности — это часть пространства. Поэтому дан-
ное определение многогранника можно пере-
сказать и так:
Многогранник — это часть пространства,
ограниченная конечным числом многоуголь-
ников.
При этом в согласии с наглядным представ-
лением подразумевается следующее:
(1)	Имеется в виду конечная часть прост-
ранства; конечная в смысле конечности ее
размеров, или. как принято говорить в мате-
матике,— ограниченная4. (Это оговаривается,
поскольку' можно считать, что многоугольни-
ки, ограничивающие конечную часть прост-
ранства, ограничивают вместе с нею и осталь-
ную его часть — бесконечную; во всяком слу-
чае они тоже образуют ее границу.)
(2)	Многоугольники, ограничивающие мно-
гогранник, присоединяются к нему (содержат-
ся в нем). Они образуют его поверхность;
остальная же часть многогранника — это его
внутренность, так что многогранник состоит
из поверхности и внутренности. (Это можно
считать описательным определением поверх-
ности и внутренности.) Поверхность всюду
прилегает к внутренности и отделяет ее от
остального пространства — внешнего по отно-
шению к многограннику. Поэтому, например,
куб с «крылом», т. е. с приложенным к нему
прямоугольником со стороной на ребре куба,
не считается многогранником: крыло не при-
легает к внутренности и никаким образом ее
не ограничивает, не отделяет от остального
пространства (рис. 1).
(3)	Многогранник, и даже одна его внут-
ренность, состоит из одного куска, или, как
принято говорить в математике, связна: не
выходя из нее, можно непрерывно пройти от
одной ее точки до любой другой. Или, что в
данном случае равносильно, любые две точ-
ки внутренности можно-соединить лежащей в
ней ломаной.
Поэтому, например, два куба, приставлен-
ные один к другому по ребру, т. е. имеющие
общее ребро и ничего больше, не образуют
многогранника, а приставленные по куску
грани — образуют его, так же как объедине-
ние параллелепипеда с поставленным на него
кубом и т. п. (рис. 2).
Все сказанное содержится в наглядном
представлении о многограннике и явно ого-
4 Выражения «фигура конечных размеров» или «ко-
нечная фигура* представляются само собой понятными.
Вместе с тем не очень удобно сказать: «Много1 ранник
есть ограничения» часть пространства, ограниченная
многоугольниками».
9
варивается для того, чтобы проанализировать
это наглядное представление и тем самым вы-
яснить, во-первых, те его элементы, которые
должны фигурировать в формально строгом
определении многогранника, а во-вторых, точ-
нее различать в конкретных случаях, какая
фигура должна быть признана многогранни-
ком, а какая — нет.
В качестве примеров многогранников при-
водят обычно такие, как куб, пирамида, приз-
ма. Но в практике мы постоянно встречаемся
с предметами, имеющими форму более слож-
ных многогранников, с достаточной, по край-
ней мере, точностью. Примером может слу-
жить прямоугольный стол с достаточно ост-
рыми ребрами у верхней доски и у ножек.
Такие же примеры могут представлять книж-
ные полки, шкафы и др.
Недостроенный дом тоже представляет со-
бою многогранник. Когда стены только нача-
ли возводить, он имеет форму прямоугольного
кольца, или, иначе говоря, параллелепипеда
со сквозным отверстием. Когда же строитель-
ство доходит до отверстий окон, то получает-
ся многогранник со многими «отверстиями».
Многогранниками могут быть буквы в ло-
зунгах над фасадами домов, как М, И, Н, А.
Многогранник может иметь несвязную по-
верхность, т. е. состоящую из нескольких по-
верхностей, как, скажем, закрытый ларец
имеет внешнюю и внутреннюю поверхности.
Словом, встречающиеся в жизни многогран-
ники разнообразны и имеют нередко очень
сложное строение. В этой связи полезно отме-
тить следующий очевидный факт или, други-
ми словами, теорему.
Фигура, составленная из многогранников,
последовательно прикладываемых один к дру-
гому по кускам поверхности (по кускам гра-
ней или по граням), сама оказывается много-
гранником.
Пример представляет любая кирпичная
кладка, поскольку можно считать кирпичи
прямоугольными параллелепипедами. Другим
примером может служить любая конструкция
из досок и брусков, как, например, столы,
книжная полка и т. п., если доски и бруски
так обработаны, что их можно считать много-
гранниками; обычная доска — прямоугольный
параллелепипед.
Пользуясь указанной теоремой, можно по-
лучать сколь угодно разнообразные и причуд-
ливые многогранники, складывая их из дру-
гих, более простых. Можно при этом заметить,
что объем получающегося таким путем много-
гранника равен сумме объемов тех много-
гранников, из которых он составляется.
Обычно, рассматривая в школе многогран-
ники, ограничиваются самыми простыми при-
мерами и тут же заявляют, что «мы будем
рассматривать только выпуклые многогранни-
ки», как это было сказано, например, у А. Ки-
селева, а теперь говорится в действующем по-
собии «Геометрия 9—10» 5. Однако ограничи-
ваться при нахождении объемов только вы-
пуклыми многогранниками нет оснований, и
на самом деле ими и не ограничиваются.
Словом, неправильно приводить только
простейшие примеры многогранников и рас-
сматривать только выпуклые многогранники.
Указание на возможное разнообразие много-
гранников, на реальные многогранные тела
сложного строения, как стол, дом и др., обо-
гащает представления учащихся. Дав опреде-
ление многогранника, разобрав его наглядно
и приведя примеры, можно, например, дать
задание ученикам найти в окружающей об-
становке примеры многогранных тел, отмечая
потом наиболее удачные находки.
§ 3. Что такое многоугольник и что такое
грань?
В определении многогранника мы пользова-
лись понятием «многоугольник», считая его
известным. Но и его нужно определить; без
этого анализ наглядного представления о
многогранниках, который был проведен в пре-
дыдущем параграфе, нельзя считать завер-
шенным.
Многоугольником называется часть плоско-
сти, ограниченная конечным числом отрезков.
При этом подразумевается, что (1) эта
часть плоскости — конечная; (2) отрезки, ее
ограничивающие, к ней присоединяются, обра-
зуя ее границу, которая полностью прилегает
к остальной части многоугольника — к его
«внутренности»; (3) внутренность многоуголь-
ника связна.
Здесь, как и в § 2, связность фигуры можно
понимать в том смысле, что любые две ее точ-
ки соединимы лежащей в ней ломаной. Так
же будет пониматься связность и дальше6.
Заранее не исключается, что два отрезка из
ограничивающих данный многоугольник ле-
жат на одной прямой и имеют общий конец.
Но тогда их можно объединить в один отре-
зок. Так придем к отрезкам, не содержащим-
ся ни в каких больших отрезках, тогда они
называются сторонами многоугольника, т. е.
стороной многоугольника называется отрезок,
лежащий на его границе и не содержащийся
ни в каком большем отрезке, также лежащем
на границе данного многоугольника.
5 См.: Киселев А. П„ с. 307; Геометрия 9—10, с. 118.
• Общее понятие связности определяется иначе, но
в тех случаях, когда ее надо оговорить в элементар-
ной геометрии, она равносильна указанному свойству:
любые две точки фигуры соединимы в ией ломаной.
10
Рис. 3
Вершинами многоугольника называются
точки, служащие концами его сторон.
Фигура, получающаяся из многоугольников,
прикладываемых друг к другу по сторонам
или отрезкам сторон, сама оказывается мно-
гоугольником. Так, складывая вместе простые
многоугольники, скажем треугольники, можно
получать многоугольники весьма разнообраз-
ного строения, в частности ограниченные не-
сколькими ломаными, иначе говоря «кольце-
образные»: с одной «дырой» или с любым
числом «дыр» (рис. 3).
Однако такие многоугольники не подпадают
под определение, какое дается в большинстве
учебных пособий: у А. П. Киселева, А. В. По-
горелова, в принятом теперь пособии для 6—
8 классов и др.7. Все они называют много-
угольником часть плоскости, ограниченную
простой замкнутой ломаной, т. е. это много-
угольник в смысле данного нами выше опре-
деления, но только такой, который ограничен
простой замкнутой ломаной. Во избежание
путаницы мы назовем такой многоугольник
простым. Так что простой многоугольник —
это конечная часть плоскости, ограниченная
простой замкнутой ломаной.
Соответственно тому, как понимается мно-
гоугольник, определяется и многогранник. Ес-
ли многоугольник понимается как простой, то
многогранник ограничен простыми много-
угольниками. Это, однако, не влияет на поня-
тие о многограннике, так как любой много-
угольник можно разбить на простые, в част-
ности на треугольники. Поэтому тело, ограни-
ченное конечным числом общих многоугольни-
ков, ограничено также конечным числом
простых многоугольников.
Различие обнаруживается, когда будем оп-
ределять, что называется гранью многогран-
ника. Так что такое грань?
В определении многогранника не исключа-
ется, что некоторые из ограничивающих его
многоугольников могут лежать в одной плос-
кости. Если два таких многоугольника приле-
гают друг к другу по стороне или по отрезку
7 См.: Киселев А. П. с. 24: Погорелов А. В. Геомет-
рия.— 1979, с. 109—НО, Геометрия 6.— 1978, с. 88.
их сторон, то их можно объединить в один
многоугольник. Произведя такие объединения,
можно считать, что никакие два смежных
многоугольника не лежат в одной плоскости.
Иначе говоря, никакой из этих многоугольни-
ков не содержится ни в каком большем мно-
гоугольнике, лежащем на поверхности много-
гранника. При этом условии эти многоуголь-
ники называются гранями многогранника.
Таким образом, многоугольник на поверх-
ности многогранника называется его гранью,
только если он не содержится ни в каком дру-
гом многоугольнике, лежащем целиком на по-
верхности того же многогранника. Иначе мно-
гоугольник будет только частью целой грани.
Например, треугольники, на которые грани
куба делятся диагоналями, не являются гра-
нями куба, хотя они, конечно, его ограничи-
вают.
Данное определение грани годится во всех
случаях, если имеются в виду любые, а не
только простые многоугольники. Но предста-
вим себе какой-либо многогранник, у которого
есть грань, не являющаяся простым много-
угольником. Такую грань можно делить на
простые многоугольники, но каждый из них
всегда можно включить в больший. Поэтому
в этом случае вовсе не понятно, какой простой
многоугольник следовало бы считать гранью.
Однозначно определить грань как некоторый
простой многоугольник здесь невозможно.
Таким образом, если мы хотим понимать
под гранями многогранника вполне определен-
ные многоугольники, то нельзя, во-первых,
сказать только, что грани — это многоуголь-
ники, ограничивающие многогранники, а нуж-
но добавить, что — наибольшие, а во-вторых,
нельзя рассматривать только простые много-
угольники (причина этого, как видно из пре-
дыдущего, в том, что фигура, складывающая-
ся из многоугольников, всегда будет много-
угольником, а складывающаяся из простых
многоугольников может не быть простым мно-
гоугольником) .
Рассмотренный, казалось бы, простой во-
прос о гранях многогранника очень поучите-
лен как пример, показывающий, насколько
необходимо внимательное сочетание наглядно-
го представления и строгой логики. Представ-
ляя себе многогранник как тело, ограниченное
многоугольниками, нужно вдуматься как в
это представление, так и в принятое определе-
ние многоугольника. Нередко говорят просто:
«Многоугольники, ограничивающие много-
гранник, называются гранями»8 *. Но это, как
мы видели, неверно: никто не считает граня-
ми куба любые многоугольники, на которые
можно разделить его обычно понимаемые гра-
8 См., например. Погорелов А. В. Геометрия.— 1979,
с. 148.
11
ни, хотя в совокупности такие многоугольники
его и ограничивают.
Причина ошибки в том, что представляют
себе ограничивающие многогранник много-
угольники как грани, т. е. как наибольшие, но
упускают из виду, что это представление
нужно явно оговорить в определении.
Более того, определив многоугольник как
простой многоугольник, упускают из виду
многогранники, у которых есть не простые
грани; происходит это оттого, что либо огра-
ничивают наглядное представление и рассмат-
риваемые примеры только простейшими мно-
гограниками, либо, представляя и более слож-
ные примеры, не обращают должного внима-
ния на то, что для них принятые определения
могут не годиться.
Расширяйте наглядные представления; све-
ряйте с ними даваемые определения и обрат-
но— представления с определениями.
§ 4. Другие формулировки тех же
определений
В первом варианте определения многогран-
ника, данного в § 2, мы воспользовались по-
нятиями тела и его поверхности, считая их са-
мо собою понятными из наглядного представ-
ления. Во втором варианте многогранник —
это часть пространства, ограниченная много-
угольниками; и здесь считается понятным из
наглядных соображений, что такое часть про-
странства и что значит «ограниченная» много-
угольниками. Аналогично многоугольник был
определен в § 3 как часть плоскости, ограни-
ченная отрезками.
Эти определения выдержаны в духе Евкли-
да9. Теперь они. считаются недостаточно стро-
гими, и мы сейчас дадим определения, строгие
в современном смысле. Начнем с кратких
предварительных определений; все они отно-
сятся как к пространству, так и к плоскости.
Фигура — это то же, что множество точек.
Точка называется граничной точкой данной
фигуры, если сколь угодно близко от нее есть
точки, как принадлежащие фигуре, так и не
принадлежащие ей.
Точка фигуры, не являющаяся ее граничной
точкой, называется внутренней.
Множество всех граничных точек фигуры
называется ее границей, а множество всех ее
внутренних точек — внутренностью.
Замкнутой областью называется множество
точек, обладающее следующими свойствами:
(1) Оно содержит внутренние точки, и внут-
ренность его связна.
* Следуя Евклиду, в учебнике Киселева было напи-
сано: :Всякая ограниченная часть пространства называ-
ется геометрическим телом», «Граница геометрического
тела, т. е. то. чем оно отделяется от остального про-
странства, называется поверхностью» (Киселев А. П-,
с. 3J.
(2) Оно содержит свою границу, и она сов-
падает с границей его внутренности.
Данное определение относится либо к мно-
жеству точек на плоскости, либо—в прост-
ранстве. Замкнутая область в пространстве
называется телом, а на плоскости — плоской
замкнутой областью или просто замкнутой об-
ластью, если ясно, что речь идет о фигуре на
плоскости.
Из определения замкнутой области — как
на плоскости, так и в пространстве — следует,
что она состоит из10 11 внутренности и ее гра
ницы. которая оказывается так же границей
самой замкнутой области. Поэтому замкнутую
область можно определить несколько иначе.
Замкнутая область — это множество точек,
имеющее (не пустую) связную внутренность
и состоящее из нее и ее границы.
Конечно, нужно доказать, что оба данные
определения равносильнын, но мы этого де-
лать здесь не будем; доказательство это сов-
сем просто. Важнее ясное понимание данных
определений (тогда, кстати, и равносильность
их делается очевидной). Граница замкнутой
области всюду прилегает к ее внутренности
Но, например, у «куба с крылом», описанного
в § 2, «крыло» входит в границу фигуры «ку-
ба с крылом», но не содержится в границе ее
внутренности. Граница тела называется его
поверхностью.
В определении замкнутой области не тре-
буется, чтобы она была ограниченной — имела
конечные размеры; допускаются и бесконеч-
ные области. Примерами в пространстве мо-
гут служить полупространство, двугранный
угол, как множество, ограниченное двумя по-
луплоскостями, и др. Все пространство тоже
является телом — это единственное тело, не
имеющее границы.
Часто в само понятие тела включают требо-
вание его ограниченности — конечности его
размеров, но мы этого не делаем, потому что
в геометрии имеем дело и с бесконечными те-
лами, не только такими простыми, примеры
которых мы только что привели. Точно так же
и в планиметрии встречаются бесконечные
области, например угол — часть плоскости,
ограниченная двумя лучами с общим началом
Дадим теперь определения многоугольника
и многогранника.
Многоугольником называется замкнутая об-
ласть конечных размеров, граница которой со-
стоит из конечного числа отрезков.
10 Здесь и всюду дальше «состоит из» значит то же,
что «является объединением». Мы будем так же гово-
рить, что фигура «составлена» из некоторых фигур, если
она служит их объединением, но они не имеют общих
внутренних точек.
11 Нужно доказать что у множества, состоящего из
внутренности и ее границы, эта последняя оказывается
его собственной границей.
12
Многоугольник, называется простым, если
его граница представляет собой одну простую
замкнутую ломаную.
Многогранником называется тело конечных
размеров, граница (поверхность) которого со-
стоит из конечного числа многоугольников.
Итак, мы повторили то определение много-
гранника, с какого начали в § 2. Однако те-
перь входящие в него понятия тела и его по-
верхности понимаются не только наглядно, но
и с точки зрения данных им выше определе-
ний.
Вернемся еще к определению многогранни-
ка по Киселеву, которое было приведено в са-
мом начале нашей статьи; в нем многогранник
определяется как тело «ограниченное плоско-
стями». Это надо точнее понимать так:
Многогранник — это тело, ограниченное кус-
ками плоскостей или, другими словами, плос-
кими фигурами (в конечном числе).
Из того, что плоскости пересекаются по
прямым, можно заключить, что «куски плос-
костей», ограничивающие многогранник, пред-
ставляют собою многоугольники 12.
То же определение можно выразить не-
сколько иначе, не говоря о «кусках плоско-
стей»:
многогранник — это тело конечных разме-
ров, граница которого содержится в конечном
числе плоскостей.
Когда в § 2 было сказано, что многогранник
ограничен многоугольниками, это и означало,
что они образуют его границу. Вместе с тем,
это также означало, что они отделяют много-
гранник от остального пространства: нельзя
выйти непрерывно изнутри многогранника
наружу, не пересекая ни одного из ограничи-
вающих его многоугольников. Вообще нельзя
выйти изнутри любого тела, не пересекая его
границу.
Это наглядное соображение можно точно
выразить следующим предложением.
У любого тела никакую внутреннюю его точ-
ку нельзя соединить ломаной с не принадле-
жащей ему точкой, не пересекая его грани-
цы 13 14.
” У Киселева сказано: «Многогранником называется
тело, ограниченное со всех сторон плоскостями. Много-
угольники, образованные пересечениями этих плоско-
стей, называются гранями...». В другом учебнике того
же времени говорится: «Геометрическое тело, ограни-
ченное со всех сторон плоскостями, называется много-
гранником. Плоскости, ограничивающие многогранник,
имеют вид многоугольн псов...» (Котельников И. Крат-
кий курс геометрии. — Л., 1925, с. 115).
13 На самом деле то, что изнутри тела нельзя выйти,
ие пересекая границы, означает более сильное утвер-
ждение, что не только ломаная, но любая непрерывная
линия, соединяющая внутреннюю точку тела с не при-
надлежащей ему точкой, пересекает границу. То же
верно не только для тела, но вообще для любой фигуры.
Докажем это предложение. Пусть ломаная
L соединяет точку, лежащую внутри данного
тела М, с точкой вне его. Нужно доказать, что
на этой ломаной есть хотя бы одна точка гра-
ницы тела Л1.
Если хотя бы одна вершина ломаной L при-
надлежит границе, то мы уже имеем требуе-
мое. Поэтому допустим, что ни одна из них не
лежит на границе. Тогда среди всех звеньев
ломаной, очевидно, есть хотя бы одно такое
АВ, что один его конец А лежит внутри тела
М, другой В — вне его. Покажем, что на таком
отрезке есть точка границы тела М.
Разделим отрезок АВ на 10 равных частей.
Если одна из точек деления оказывается на
границе, то мы уже имеем нужный результат.
Но если это не так, то найдется отрезок /11В|,
у которого конец А1 лежит внутри тела, В] —
вне его.
С отрезком Л|В| поступаем так же и либо
получаем точку на границе, либо находим от-
резок А2В2 с концами внутри тела М и вне
его.
Продолжая этот процесс, мы либо натолк-
немся на каком-то шаге на некоторую точку
С, лежащую на границе, либо будем получать
последовательность вложенных отрезков
ДВоЛ|В1ОЛ2В2=э.. .гэДпВ„^э...
и вместе с ними отрезки
ДД1<=ДЛ2сЛЛ3<=.. .сЛЛпС... .
Если длина отрезка АВ равна а, то длина
отрезка AAt равна нескольким ее десятым до-
лям; аналогично длина отрезка А]Д2 равна
нескольким десятым долям длины отрезка
Л|В! и т. д. Таким образом, отрезки AAt, АЛ2
и т. д. имеют длины, получающиеся из а
умножением на последовательные десятичные
дроби
О, kit О, kxk2, О, kik2k2 и т. д.
Бесконечная дробь
О, kik2k3...
представляет некоторое вещественное число k.
На отрезке можно отложить отрезок АС дли-
ны ka. Это обеспечено соответствующей аксио-
мой, принятой еще в планиметрии.
Легко убедиться, что с ростом номера п
точки А„, как и точки Вй. подходят к точке С
все ближе и ближе. А так как точки Ап при-
надлежат телу, а В„ не принадлежат ему. то
точка С граничная. И наше утверждение до-
казано.
§ 5. Многогранная поверхность
Нередко многогранником называют не тело,
ограниченное многоугольником, а поверхность,
составленную из многоугольников|4; такое
14 См., например, статью «Многогранник» в БСЭ, а
также книгу А 1ександрова А. Д. «Выпуклые много-
гранники» (М., 1950).
словоупотребление встречается вне школьного
курса даже чаще. Встречается и смешение
терминов, когда «многогранник» понимается
то в одном, то в другом смысле. Так, когда
говорят, например, «склеим из развертки куо»,
то имеют в виду не тело, а поверхность.
Подобное употребление одного и того же
слова в разных, хотя и тесно связанных, смыс-
лах встречается в геометрии постоянно и,
можно даже сказать, характерно для нее. Уг-
лом называют и фигуру, состоящую из двух
лучей, и ограниченную ею часть плоскости;
так же как двугранный угол понимается или
как фигура из двух полуплоскостей, или как
ограниченная ею часть пространства; много-
угольником называют и ломаную и ограничен-
ную ею часть плоскости, и т. п. В этом нет
ничего страшного, если каждый раз понимать,
в каком именно смысле употребляется в дан-
ный момент тот или иной термин. Но здесь
мы не станем так поступать и поверхность,
составленную из многоугольников, будем на-
зывать не многогранником, а многогранной
поверхностью (кстати, в согласии с термино-
логией действующего пособия для IX—X
классов).
Для человека, знакомого с понятием много-
образия, дать определение «простой много-
гранной поверхности» можно очень коротко:
это есть (связное) многообразие, с краем или
замкнутое, состоящее из конечного числа мно-
гоугольников. Но дадим элементарное опре-
деление, обходящееся без понятия о много-
образии.
«Простой» многогранной поверхностью на-
зывается связная фигура, составленная из ко-
нечного числа простых многоугольников так,
что произвольная ее точка принадлежит либо
одному и только одному многоугольнику, либо
общей стороне двух и только двух много-
угольников, либо является общей вершиной
нескольких углов данных многоугольников,
причем так, что от каждого из этих углов к
каждому можно перейти, проходя через сто-
роны, минуя вершину, т. е., иными словами,
углы с общей вершиной образуют связную фи-
гуру и без самой вершины (так что, например,
углы не могут сходиться в одной вершине как
боковые грани двух пирамид с общей верши-
ной).
Простая многогранная поверхность называ-
ется замкнутой, если каждая сторона каждого
из составляющих ее многоугольников являет-
ся стороной также какого-либо другого из
этих многоугольников.
Грани, ребра и вершины многогранной по-
верхности определяются так же, как для мно-
гогранника. Грань есть содержащийся в по-
верхности многоугольник, не заключенный ни
в каком другом многоугольнике, содержащем-
ся в той же поверхности. Ребром называется
отрезок, служащий стороной какой-либо гра-
ни; вершиной поверхности называется точка,
служащая вершиной какой-либо грани.
Для замкнутой многогранной поверхности
выполняется следующая фундаментальная
теорема.
Теорема. Всякая простая замкнутая мно-
гогранная поверхность ограничивает много-
гранник, т. е. является поверхностью некото-
рого многогранника.
Доказывается эта теорема не просто. Чаще
ее формулируют иначе:
Всякая простая замкнутая многогранная по-
верхность разбивает пространство на две час-
ти. Она является их общей границей; одна
часть конечная; она представляет собою мно-
гогранник, поскольку ее граница образована
конечным числом многоугольников.
Наглядный смысл слова «разбивает» пред-
ставляется очевидным, но он все же нуждает-
ся в определении, тем более при теоретико-
множественной точке зрения, когда определя-
ются понятия границы и пр.
Говорят, что фигура F разбивает простран-
ство, если ее дополнение (пространство за вы-
четом фигуры F) не связно.
В данном случае фигура F многогранная
поверхность, и то, что она разбивает прост-
ранство на две части, означает, что ее допол-
нение состоит из таких двух частей, что точки
из разных частей нельзя соединить ломаной,
не пересекая F, а точки любой одной части —
можно.
Итак, всякая простая замкнутая многогран-
ная поверхность ограничивает некоторый мно-
гогранник. Такие многогранники, по аналогии
с «простыми многоугольниками», ограничен-
ными простыми замкнутыми ломаными, мож-
но было бы назвать «простыми», хотя они,
соответственно ограничивающим их поверх-
ностям, могут иметь очень сложное строение.
Прежде всего они могут различаться по «связ-
ности» (по топологическому типу): «односвяз-
ные»— как, скажем, прямой параллелепипед,
далее такой параллелепипед с одним отвер-
стием, с двумя и т. д., как стена с одним ок-
ном, с двумя и т. д. (рис. 4).
Строение других многогранников, ограни-
ченных не простыми поверхностями, может
быть много сложнее. Они могут иметь любое
число многогранных полостей внутри; у них
и вершины могут оказаться внутри граней,
когда многогранник как бы загибается, упи-
раясь вершиной в свою собственную грань,
и т. п.
Полезно рассмотреть еше одно определение
замкнутой многогранной поверхности, равно-
сильное предыдущему. Для этого определим
сначала многогранный угол.
14
Угол, понимаемый как плоская фигура, со-
стоящая из двух лучей с общим началом и
ограниченной ими части плоскости, назовем
плоским углом.
Многогранным углом называют фигуру, со-
ставляемую из плоских углов с общей верши-
ной, последовательно прилегающих один к
другому по сторонам в круговом (цикличе-
ском) порядке, т. е. так, что если, начав с од-
ного из них, перейти к прилегающему к нему
по стороне, от этого —к прилегающему к не-
му по стороне и т. д., то придем к исходному
углу, пройдя при этом все углы, образующие
данный многогранный угол, причем каждый
угол имеет общие точки (не считая вершины)
только с двумя углами, прилегающими к нему
по сторонам.
Многогранному углу можно дать и другое
равносильное определение. Именно, много-
гранный угол есть фигура, составленная из ко-
нечного числа плоских углов с общей верши-
ной так, что выполнены два условия:
(1) фигура остается связной, если удалить
вершину образующих ее углов;
(2) произвольная точка фигуры, не считая
вершины, лежит либо внутри одного и только
одного угла, либо на стороне, общей двум и
только двум углам.
Равносильность двух данных определений
видна непосредственно, если понять их и
представить наглядно.
Теперь простую замкнутую поверхность
можно определить следующим образом: это
есть составленная из конечного числа много-
угольников связная фигура, произвольная
точка которой является либо внутренней точ-
кой только одного из составляющих ее много-
угольников, либо внутренней точкой на общей
стороне двух и только двух многоугольников,
либо вершиной только одного многогранного
угла, образованного углами данных много-
угольников.
То, что это определение равносильно тому,
какое было дано выше, становится ясным, ес-
ли понять его, пользуясь вторым определе-
нием многогранного угла.
В определении многогранного угла не ис-
ключается, что у него могут быть плоские уг-
лы, лежащие в одной плоскости. Если два та*
ких угла смежны по стороне, то их можно
объединить в один угол. Поэтому можно счи-
тать, что среди плоских углов никакие два
смежных уже не лежат в одной плоскости. В
таком случае плоские углы называются граня-
ми многогранного угла, т. е. грань — это плос-
кий угол, не содержащийся ни в каком дру-
гом плоском угле того же многогранного угла.
Стороны граней называются ребрами много-
гранного угла. Общая вершина всех углов на-
зывается вершиной многогранного угла.
Однако тут возможны два особых спучая.
Первый, когда все плоские углы лежат в од-
ной плоскости, так что многогранный угол
сводится к плоскости; это, так сказать, одно-
гранный угол. Второй, когда все плоские углы
лежат в двух полуплоскостях, которые обра-
зуют двугранный угол. Обычно эти два случая
исключают, так что многогранный угол — не
менее, чем трехгранный.
Грани многогранного угла могут представ-
лять собою не только выпуклые, но разверну-
тые и вогнутые углы (больше 180°). Могут
быть многогранные углы с любым числом та-
ких граней. (Заметим, что у трехгранного
угла одна грань может быть углом больше
180°, но развернутым углом быть не может.)
Допустим, точка О многогранной поверхно-
сти является вершиной многогранного угла,
одна из граней Q которого представляет со-
бою развернутый угол. Тогда точка О лежит
внутри стороны того многоугольника Р, слу-
жащего гранью поверхности, на который на-
легает грань Q многогранного угла. Два мно-
гоугольника прилегают к Р по отрезкам его
стороны, разделенным точкой О.
Примером может служить дом с такой кры-
шей, от ребра которой в точке О отходит реб-
ро крыши над мансардой. Противоположный
скат крыши имеет форму прямоугольника, и
точка О лежит на его стороне. Она делит реб-
ро на два отрезка, служащих сторонами двух
других граней крыши (рис. 5).
Рис. 5
15
Таким образом, мы можем отметить две
взаимно связанные особенности, которые мо-
гут быть у многогранной поверхности.
(1) Грани многогранной поверхности могут
прилегать не по целым сторонам, а по отрез-
кам сторон.
(2) Вершина многогранного угла может
оказаться внутри стороны грани; тогда можно
считать ее условной вершиной самой грани;
угол при ней — развернутый. (При этом надо
исключать «многогранные углы», сводящиеся
к двугранным углам или к плоскостям.)
Учтя эти особенности, можно изменить оп-
ределение простой замкнутой многогранной
поверхности так, чтобы многоугольники, обра-
зующие поверхность, обязательно оказывались
гранями:
Простая замкнутая многогранная поверх-
ность— это связная фигура, составленная из
многоугольников так, что произвольная ее
точка является либо внутренней точкой только
одного многоугольника, либо внутренней точ-
кой общего отрезка сторон двух и только двух
многоугольников, либо вершиной только одно-
го многогранного угла, гранями которого слу-
жат углы данных многоугольников, не исклю-
чая развернутых углов при «условных верши-
нах».
При таких условиях многоугольники, обра-
зующие поверхность, необходимо оказываются
ее гранями. Читатель сам в этом убедится,
так же как убедится в равносильности данного
и предыдущих определений простой замкну-
той многогранной поверхности. В общем, она
хоть и названа простой, но совсем не такая
простая, как может казаться, если представ-
лять себе только поверхность выпуклых
призм и пирамид.
В заключение параграфа вернемся к много-
гранным углам.
Многогранный угол разбивает пространство
и служит общей границей двух бесконечных
тел. Нередко многогранным углом называют
именно тело, ограниченное многогранным уг-
лом в нашем смысле. Это совершенно подоб-
но тому, как двугранным углом называют или
фигуру, составленную из двух полуплоскостей
с общей ограничивающей полупрямой, или
часть пространства, ограниченную такими по-
луплоскостями; в этом случае надо оговари-
вать, какая из двух таких частей пространства
имеется в виду. Совершенно необязательно,
чтобы она была выпуклой. Когда говорят о
двугранном угле многогранника при данном
его ребре, естественно иметь в виду ту часть
пространства, в которой вблизи ребра содер-
жится многогранник. (У не простого много-
гранника в одном ребре могут сходиться два
и больше двугранных углов.)
(Окончание в следующем номере.)
К ВОПРОСУ
О ВОСПИТАТЕЛЬНОМ ЗНАЧЕНИИ
ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
Б. В. БОЛГАРСКИЙ
Решающее воздействие на формирование лич
ности молодого человека принадлежит школе,
поэтому одной из наиболее актуальных задач
в области идеологической работы является та-
кая постановка школьного преподавания, при
которой можно достичь максимального воспи-
тательного воздействия на учащихся.
Вот почему в деятельности каждого учителя
на первый план выдвигается его умение вос-
питывать учащихся в процессе преподавания
своей дисциплины.	।
Воспитательная работа преподавателя ма-
тематики очень многогранна, и она сопутст-
вует обучению на всем его пути. Первой зада-
чей воспитания является развитие способно-
сти воспринимать объекты реального мира
при помощи чувств. Учителю математики при-
ходится прежде всего обращать внимание на
совершенствование зрительного восприятия,
от которого зависят верные представления о
формах окружающих нас предметов, о рас-
стояниях между ними. На основе этих пред-
ставлений постепенно вырабатывается поня-
тие о пространстве.
Одной из первых задач работы в указанном
направлении является развитие у учащихся
глазомера и умения пользоваться различными
приемами измерения, например на первых по-
рах измерять расстояния шагами. Одновре-
менно приходится указывать учащимся и на
то, что, как бы мы ни изощряли свои чувства,
все же нельзя полагаться только на них, если
необходимо сделать точные измерения. Это
обстоятельство надо постоянно подчеркивать,
демонстрируя ошибки, какие могут возник-
нуть, когда мы пользуемся только своим зре-
нием или осязанием.
Особое внимание следует уделять развитию
мышления школьников. Среди многообразия
связанных с этим задач сначала укажем сле-
дующие: усвоение законов формальной логики
и восприятие методов диалектического позна-
ния явлений окружающего мира.
Например, в самом начале изучения геомет-
рии ученику должно стать ясно, что измене-
ние количественное влечет за собой и измене-
ние качественное. Отсюда проистекает одно
требование к преподаванию геометрии: нельзя
давать учащимся какое-либо новое понятие
в застывшем, неподвижном виде, каждое по-
нятие должно выявляться в движении и изу-
чаться не изолированно, а в связи с другими
понятиями. Учащийся должен видеть, как
угол, постепенно изменяясь, становится ост-
16
рым, прямым, тупым. Ему нужно показать,
как секущая в своем движении обращается в
касательную. Такого же рода изменения сле-
дует замечать и в арифметике (с увеличением
числителя дробь из правильной обращается в
неправильную или в целое число), и в алгеб-
ре (изменение коэффициентов в уравнении
влечет за собой изменение его корней).
Формальная логика внедряется в сознание
учащихся, конечно, не путем заучивания ка-
ких либо ее законов. Эти законы входят в
рассуждения, которые нужно усвоить при изу-
чении того пли иного математического вопро-
са. Доказательство теоремы — это, в сущно-
сти, построение силлогизмов. Закон исключен-
ного третьего, доказательства от противного
все время приходится применять на уроках
математики По существу, нет другой науки,
которая требовала бы от учащихся таких
строгих рассуждений, какие им приходится
применять в математике. Привыкая каждое
предложение строго доказывать, учащиеся
приучаются к основательности в суждениях;
получая навыт выводить одно предложение
из другого, они приобретают способность су-
дить логически.
Изучаемый предмет приобретает интерес
для учащихся именно тогда, когда преподава-
ние все время сопровождается практическими
приложениями. Все обучение математике
должно сопровождаться умелым использова-
нием иллюстраций и задач практического ха-
рактера, которые в изобилии можно почерп-
нуть из трудовых процессов, при экскурсиях
на промышленные и сельскохозяйственные
предприятия и даже в обычной классной об-
становке. Материалом для таких задач могут
служить вычисления длины, площади, объема
и веса различных предметов и деталей машин,
определения формы наблюдаемых предметов,
особенностей их взаимного расположения.
При решении таких задач ученики иногда
сталкиваются с недостаточностью данных, и
это заставляет их обращаться к помощи мате-
матических и технических таблиц и справоч-
ников или делать дополнительные измерения
(например, при определении площадей или
объемов тел, несколько отклоняющихся по
своей форме от обычно изучаемых в классе,
или при определении веса какой-либо детали,
когда приходится узнавать удельный вес ма-
териала).
Практические приложения математики со-
здают уверенность в правильности выводов,
развивают в учащихся веру в свои силы, ра-
дость творчества, что так важно для будущей
работы на любом жизненном поприще.
Активная работа мысли при изучении мате-
матики развивает творческую фантазию, в ко-
торой большую роль играет интуиция. Интуи-
ция является особой способностью человече-
ского ума, составляющей основу его творчест-
ва. Способность эта заключается в том, что
человек может на нескольких данных опыта
подметить некоторую закономерность и рас-
пространить результаты наблюдения на все
возможные случаи. Подобного рода обобще-
ния совершаются каждым человеком в тече-
ние всей его сознательной жизни. Однако лю-
ди часто подмечают общность лишь несуще-
ственных признаков и поэтому делают непра-
вильные выводы. Ио если человеку удается
при большом количестве фактов сразу уло-
вить то основное, существенное, что принад-
лежит всем объединенным фактам, то он
оказывается на пути к открытию. Поэтому
надо воспитывать у детей умение обращать
внимание на главные признаки явлений и
делать обобщения.
Воспитательное воздействие математики не
ограничивается лишь развитием чувства и ра-
зума обучающегося. Важной воспитательной
задачей является формирование и развитие
трудовых навыков. Необходима правильная
организация учебного труда. В частности, сле-
дует заботиться о рационализации записей
учащихся, добиваясь их краткости и полноты.
Если говорить о развитии устной речи, то пре-
подаватель математики может способствовать
этому, пожалуй, не меньше, чем преподава-
тель языка и литературы.
Так, обучение геометрии открывает большие
возможности для развития правильной речи.
Учащийся привыкает к точности и лаконично-
сти формулировок, учится обдумывать то, что
хочет сказать, давать отчет во всем сказан-
ном. Геометрия приучает нас быть точными в
ответах, не употреблять лишних слов, знать
цену каждому сказанному слову. Геометрия
заставляет говорить новым языком Слова
уже не рождаются случайно, а повинуются
разуму. Вот почему мы должны на уроках гео-
метрии и других разделов математики больше
уделять внимания развитию культуры речи.
Недаром этому вопросу придавал большое
значение Н. И. Лобачевский, а замечательный
педагог И. Н. Ульянов на своих уроках мате-
матики всегда добивался от учащихся чисто-
ты речи и требовал того же от молодых учи-
телей, ведущих курс математики. Мы знаем,
каким прекрасным литературным стилем об-
ладали некоторые крупные математики. В
этом отношении замечательны все научные
работы таких ученых, как П. Л. Чебышев,
А. М. Ляпунов, А Я- Хинчин. Показательно,
что язык Паскаля считался в свое время об-
разцовым даже для французских литераторов.
Математический стиль с его отчетливостью,
краткостью и ясностью должен быт ь присущ и
каждой работе, выполняемой учащимися при
17
-изучении математики, будет ли это запись в
игеуради, на доске или выполнение чертежа.
При строгом соблюдении этих требований у
учащихся вырабатываются такие навыки и
такие черты характера, которые будут иметь
исключительно важное значение в практиче-
ской деятельности.
Требование аккуратности особенно важно
при выполнении измерений, когда одна не-
большая оплошность может повлечь за собой
большие ошибки. Неаккуратность при изго-
товлении геометрических моделей тоже совер-
шенно искажает результат. Надо добиваться,
чтобы решение каждой задачи, доказательство
теоремы, выполнение чертежа или производст-
во работы измерительного характера учащий-
ся всегда делал тщательно и доводил до кон-
ца, а завершал выполнение задания самоконт-
ролем. Это заставит учащихся настойчиво
добиваться правильных результатов, разовьет
их внимание. Настойчивость и упорство в до-
стижении намеченных целей укрепляют волю
молодых людей, помогают им успешно пре-
одолевать любые препятствия.
Всякая математическая работа требует от
учащегося самого сосредоточенного внимания.
Отсутствие внимания приводит к ошибкам и
затрудняет выполнение даже самых неслож-
ных заданий.
Таким образом, преподаватель математики
находит богатую почву для воспитания у уча-
щихся тех черт характера и развития тех на-
выков, которые нужны каждому строителю
коммунизма. Необходимо применять такие
методы преподавания, при которых широкие
воспитательные возможности математики бы-
ли бы использованы со всей полнотой.
ВСЕМЕРНО ПОВЫШАТЬ
ВОСПИТАТЕЛЬНОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ
ПРЕДМЕТА
П. В. СТРАТИЛАТОВ
(Москве)
В опубликованных проектах программ по
математике наряду с содержанием изучаемого
материала сообщается о требованиях к уча-
щимся, указывается, какими знаниями, уме-
ниями и навыками они должны овладеть в
результате изучения отдельной темы и мате-
риала программы за каждый год обучения,
как решается задача формирования у учащих-
ся марксистско-ленинского мировоззрения.
В связи с этим представляется целесообраз-
ным поставить на обсуждение вопрос о том,
на какие направления своей работы учитель
должен обратить особое внимание, чтобы за-
ложить фундамент для выполнения всех этих
требований.
Необходимо прежде всего усилить внима-
ние: 1) к воспитанию в процессе обучения;
2) к более глубокому овладению учащимися
теоретическим материалом и к формированию
у них умений и навыков; 3) к прикладным
задачам, способствующим профориентации
учащихся.
Остановимся на каждом из этих направле-
ний.
1.	В воспитательной работе каждому учите-
лю рекомендуется стремиться к тому, чтобы
учащиеся осознали: обучение в школе — это
их трудовая деятельность. Важно приучить
школьников ответственно относиться к своей
работе и добвосовестно ее выполнять, быть
внимательными и прилежными на уроках,
стремиться осознать изучаемый материал.
Большое значение имеет выработка у учащих-
ся привычки к сосредоточенному труду и
стремления к выполнению работы наиболее
оптимальным способом с возможно меньшей
затратой времени, но с более высоким коэф-
фициентом полезного действия. Учитель обыч-
но сам демонстрирует эти способы и помогает
учащимся осваивать их при работе в классе и,
в частности, при проверке домашних заданий
(наиболее рациональные способы решения за-
дач, сокращенные приемы вычислений и др.).
Важно объяснить учащимся, что значит
знать изученный материал. Знать — это преж-
де всего уметь объяснить изученное, поэтому,
повторяя теоретический материал во время
домашней работы, ученик должен изложить
его сам себе, например доказать теорему, не
прибегая к помощи учебника, и т. д. Ученику
полезно внушать, что при решении задачи,
если она не решается сразу, нужно проявить
настойчивость, найти ранее решенную задачу,
сходную с решаемой. Разъясняя школьникам,
как нужно овладевать теоретическим материа-
лом и как решать задачи, учитель учит детей
учиться.
2.	Не меньшее внимание учителя должен
привлекать вопрос о повышении качества зна-
ний учащихся. Целесообразно с большим вни-
манием проанализировать раздел программы,
в котором изложены требования к знаниям,
умениям и навыкам по изучаемому материалу.
Однако нужно иметь в виду, что в этом раз-
деле, как правило, перечисляются все вопро-
сы программы. Между тем в каждой теме
следует выделить основные вопросы, которые
должны усвоить все учащиеся. К таким ос-
новным вопросам в первую очередь относятся
те, изучение которых в последующем курсе
непосредственно повторяться и углубляться не
будет. Например, в теме IV класса «Натураль-
18
ные и дробные числа» основным является во-
прос о натуральных числах.
Каждый учащийся должен знать, что нату-
ральные числа введены для счета предметов,
что первым натуральным числом является
единица, что каждое следующее натуральное
число может быть получено из предыдущего
путем прибавления к нему единицы (2=1 + 1,
3 = 2+1, ..., п, п + 1, ...). Отсюда следует,
что множество натуральных чисел бесконечно,
т. е. в нем нет последнего элемента. Для запи-
си натуральных чисел применяются особые
символы — цифры, которых десять, причем
цифра нуль вводится для записи числа отсут-
ствующих пересчитываемых предметов. При
записи натуральных чисел их разделяют на
классы, в каждом из которых имеется три
разряда; 10 единиц каждого разряда состав-
ляют единицу разряда, следующего за дан-
ным; для чтения чисел введены названия
каждого класса. Такая система счисления на-
зывается десятичной, и в настоящее время она
принята во всех государствах. Учащимся по-
лезно напомнить названия классов и вывесить
в кабинете математики таблицу их названий,
включая класс триллионов и, может быть,
квадриллионов. Каждому ученику IV класса
нужно знать, что любое натуральное число
может быть представлено в виде суммы своих
разрядных слагаемых, и уметь выполнить это
представление для конкретных чисел.
Учащиеся должны знать названия компо-
нентов и результатов арифметических дейст-
вий, законы сложения и умножения, понимать,
что сложение, а следовательно, и умножение
всегда выполнимы в множестве натуральных
чисел (и что это значит), но вычитание и де-
ление выполнимы не всегда. Целесообразно
показать учащимся, что практические способы
выполнения действий над натуральными чис-
лами основаны на разложении их на разряд-
ные слагаемые и на применении законов
действий. Для устных и сокращенных вычис-
лений с натуральными числами учащимся по-
лезно показать, как изменяются результаты
каждого действия в зависимости от изменения
компонентов.
Мы подробно остановились на первой теме
IV класса потому, что множество натуральных
чисел является первым систематически изучае-
мым числовым множеством в школьном курсе.
Учащимся можно показать символ N для обо-
значения этого множества и ввести на приме-
рах понятие подмножества множества N (под-
множество однозначных натуральных чисел,
подмножество чисел пятого десятка первой
сотни и т. д.), но эти вопросы нельзя рассмат-
ривать как основные для данной темы. Не
является в этой теме основным и вопрос об
уравнениях. Однако в IV классе каждому
Г9Ч
учащемуся необходимо усвоить способ "реше-
ния простейших уравнений вида ах + d = с
и уметь составлять их по условиям простей-
ших задач. Но нужно учитывать, что с этими
вопросами учащиеся будут иметь дело и в по-
следующих классах. Аналогично можно не
считать основными в этой теме и элементы
геометрии, но при изучении площади прямо-
угольника и объема прямоугольного паралле-
лепипеда необходимо выделить основной мо-
мент в измерении величин (длин,. площадей,
объемов): для измерения каждой из них сле-
дует выбрать некоторую однородную ьеличипу
за единицу измерения.
Остановимся на примерах работы над уме-
ниями и навыками. Рассмотрим вопрос с вы-
числительных навыках. Соответствующие
упражнения в IV и в V классах полезно пред-
лагать на более усложненном материале, чем
это дается в учебниках. Как известно, перед
решением вычислительного примера учащиеся
устанавливают, в каком порядке следует про-
изводить указанные действия; после этого
можно рекомендовать, используя округление
компонентов, прикидкой, устно подсчи-
тать приближенное значение результата. По-
кажем это на следующем примере:
82 276:268 + 228475:325 (ответ 1010). Вы-
полним прикидку, округляя компоненты до со-
тен: 82 300 : 300 + 228 500:300 » 274 + 762 =
= 1036. Вычисления можно было произвести
устно, если применить распределительный за-
кон деления и сократить все компоненты на
100((823 + 2285) :3= 1036). Разумеется, для
закрепления приемов округления чисел и уст-
ных вычислений можно использовать и более
простые вычислительные примеры.
Сделаем несколько замечаний относительно
навыков использования чертежных инстру-
ментов при изучении геометрического мате-
риала в IV и V классах. Для того чтобы вы-
работать навыки в обращении с линейкой и
угольником, лучше пользоваться гладкой бу-
магой, а не тетрадью в клетку. При всех по-
строениях следует приучать школьников к вы-
полнению более точных отсчетов всех разме-
ров как по линейке, так и по транспортиру,
а если нужно отложить отрезок или несколь-
ко отрезков, то для большей точности можно
рекомендовать применять циркуль, а еще луч-
ше измеритель.
3.	Остановимся на вопросе о прикладных за-
дачах. В учебниках для IV и V классов
имеются задачи производственно-бытового
характера: на раскрой материала при пошив-
ке необходимых в обиходе вещей, на вычисле-
ние расходов на материалы при ремонтных
работах в квартире и т. д. К прикладным за-
дачам относятся и такие, в которых говорится
о различных видах транспорта. Решая их, уче-
ники получают представление о средних ско-
рое! ях движения самолетов, поездов и др.
В эту же группу входят и задачи, связанные
с нормами высева и средними нормами уро-
жая различных сельскохозяйственных культур
п др. Приведем примеры задач, которые в
школьной практике встречаются значительно
реже, но играют важную роль в освоении по-
нятий, изучаемых в других учебных предме-
!ах.
1)	При оплате электроэнергии за июнь в
очной из квартир показания счетчика были
такими: на 1 июня — 9715, па 1 июля - -9758;
при оплате за декабрь в той же квартире по-
казания были: на 1 декабря — 9176, на 1 ян-
варя— 9304. На сколько больше платили за
электроэнергию в один из более темных меся-
цев по сравнению с оплатой за один из более
светлых месяцев, если стоимость 1 кВт • ч энер-
гии равна 4 к.?
2)	На рис. 1 изображена рамка из рейки.
По указанным размерам определите масштаб,
в котором сделан чептеж рамки.
3)	Сколько метров электрошнура потре-
буется на проводку в комнате для электро-
лампочки, чтобы подвесить ее над столом, и
проводку сделать так, как указано на рис. 2?
В дополнение к сказанному напомним, что
в журнале были опубликованы задачи на при-
менение математики в сельском хозяйстве, на
природоохранную тематику, на расчеты орбит
космических спутников и др. (см.: например
№ 2, 6 за 1973 г., № 2 за 1977 г., № 3, 4 за
19/8 г., № 3 за 1079 г.).
Закончим высказанные соображения сле-
дующим положением, относящимся к методи-
ке обучения: в процессе изложения программ-
ного материала учитель должен опираться на
опыт учащихся, как жизненный, так и приоб-
ретенный в процессе предшествующего обуче-
ния. Для повышения интереса учащихся
к предмету следует чаще показывать приме-
нение изучаемого материала в практической
деятельности, вычленять связь новых тем
с изученными ранее. Следует использовать
экскурсы в историю развития математики, что
можно осуществите путем коротких расска-
зов самого учителя, а также привлекая уча-
щихся для коротких сообщений на уроках.4
Усиление эффективности работы при внима-
нии ко всем трем указанным направлениям
повысит воспитательное воздействие предмета,
будет способствовать лучшей подготовке уча-
щихся к самостоятельной трудовой деятельно-
сти.
МЕСТО ИНТУИЦИИ Б ПРОЦЕССЕ
ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В IV—V КЛАССАХ
В. в. ПОПОВ
(Баку)
Преподавание современного школьного курса
математики ставит перед собой в качестве
главной цели развитие математического мыш-
ления учащихся. Среди компонентов послед-
него одним из основных является интуитивное
мышление. Интуиция занимает важное место
в процессе познания любой науки, а матема-
тики в особенности. Это прежде всего обус-
ловливается тем, что математика является аб-
страктной наукой. Постижение математиче-
ских истин порой происходит в виде длитель-
ного мыслительного процесса без опоры на
кинретное видение.
Интуиция (от латинского intuitio — при-
стальное всматривание) —это «особый способ
познания, характеризующийся непосредствен-
ным постижением истины» (Педагогическая
энциклопедия, т. II). Однако такое толкование
понятия интуиции страдает некоторой одно-
сторонностью. Это легко прослеживается
в условиях ее использования в педагогическом
процессе.
Практика показывает, что в процессе изуче-
ния школьного курса математики интуиция
проявляет себя и как форма, и как метод, и
как средство познания.
Интуицию можно охарактеризовать как
форму познания, осуществляемую на основе
подсознательной переработки учащимися по-
л ученной ими информации. Поэтому она яв-
ляется специфической формой мыслительной
деятельности. Некоторые исследователи
(Д. Майбурова, В. И. Хоров и др.) различают
несколько видов интуиции как формы матема-
тического познания: чувственную интуицию,
интеллектуальную интуицию и догадку. Ино-
гда последняя форма именуется эвристиче-
ской.
С другой стороны, интуиция используется в
качестве одного из методов познания. Этот
аспект нас интересует больше всего. Далее мы
покажем, как применяется интуиция в качест-
ве метода математического познания.
20
Рассмотрим конкретные примеры примене-
ния интуитивного метода в процессе препода-
вания пропедевтического курса математики.
Но сначала подчеркнем, что считаем целесооб-
разным рассматривать интуицию в тесной
связи с наглядностью.
В курсе математики IV—V классов изучают-
ся арифметика и начала алгебры, рассматри-
ваются некоторые геометрические понятия и
построения. Наибольший интерес в свете рас-
сматриваемого вопроса представляет геомет-
рический материал, так как в процессе его
преподавания более ярко проявляется меха-
низм действия интуиции.
Первым геометрическим понятием, с кото-
рым знакомятся учащиеся IV класса, является
понятие отрезка. Еще в начальных классах
дети получили первоначальные наглядные
представления об отрезке, причем это понятие
в основном использовалось в качестве иллюст-
рации для основного арифметического мате-
риала (например, отрезки применялись при
графическом изображении условия задач).
В IV классе знания учащихся обобщаются.
При этом осуществляется косвенное влияние
интуиции на понимание того, что длина отрез-
ка является наименьшей среди длин всех ли-
ний, соединяющих концы этого отрезка. Педа-
гог может, не приводя иллюстрации, задать
вопрос: «Если мы соединим две точки не толь-
ко отрезком, но и другими линиями (напри-
мер, кривыми, ломаными), то какая из этих
линий будет иметь наименьшую длину?» В по-
исках ответа на этот вопрос учащиеся, несо-
мненно, должны использовать свое геометри-
ческое воображение (интуицию). Свои выво-
ды школьники могут проверить на простейших
моделях.
Через несколько уроков Учащиеся встре-
чаются с такими понятиями, как плоскость и
прямая. Они должны научиться мысленно ви-
деть, что прямая не имеет ни начала, ни кон-
ца, что она лежит в плоскости, что любая «мо-
дель плоскости» — это модель только части
плоскости. От того, сумеет ли учитель сформи-
ровать ясные представления об этих абстрак-
циях, в дальнейшем будет зависеть очень мно-
гое, и прежде всего верная геометрическая ин-
туиция учащихся.
При разъяснении понятия луча использует-
ся не определенное ранее, но интуитивно яс-
ное понятие «часть прямой». Особую труд-
ность представляет формирование у учащихся
представления о неограниченности луча. Для
наглядности можно привести в качестве при-
мера луч прожектора, направленный в ночное
небо.
На следующем этапе учащиеся знакомятся с
понятием «равные фигуры». Из определения
этого понятия следует, что устанавливать ра-
венство фигур дети могут либо путем их фак-
тического наложения, либо путем воображае-
мого наложения. Последний требует от них
геометрического видения, которое может быть
выработано у учащихся в процессе выполне-
ния упражнений на определение равенства
фигур. При этом для проверки правильности
решения следует каждый раз сравнивать ли-
нейные размеры фигур с помощью их непо-
средственного измерения. Этим самым будет
создана основа для осознания того факта, что
интуитивные представления всегда нуждаются
в проверке.
Впервые с пространственной фигурой,
а именно с кубом, учащиеся сталкиваются
еще в I классе. В IV классе они знакомятся
с прямоугольным параллелепипедом. Ввиду
того что плоские изображения многогранни-
ков (особенно на.первом этапе их изучения)
не дают возможности четко представить их
себе, рекомендуется широко использовать на-
глядность: каркасные (проволочные) и сплош-
ные (деревянные, металлические или пласт-
массовые) модели многогранников, а также
развертки их поверхностей. Применение этих
наглядных пособий поможет учащимся в деле
создания чувственной опоры для дальнейшего
изучения геометрии пространства и простран-
ственных фигур.
Почти весь последующий геометрический
материал связан с понятием угла. В курсе ма-
тематики IV класса последовательно изучают-
ся следующие понятия: угол, равенство углов,
биссектриса, развернутый угол, прямой угол,
острые и тупые углы, измерение углов (транс-
портир), смежные углы. Методика изложения
этого материала опирается на наглядность,
хотя отдельные понятия (например, понятие
биссектрисы) вводятся с помощью формально-
логических определений.
В V классе продолжается работа по изуче-
нию пропедевтического курса геометрии. Весь
геометрический материал можно разбить на
группы следующим образом: геометрические
понятия, геометрические преобразования, кон-
структивная геометрия.
К первой группе относятся такие понятия,
как фигура, окружность, круг. Они встречают-
ся учащимся и в IV классе. В учебниках для
начальных классов эти понятия даются без
определения или словесного описания. Просто
указывается, что на рисунке изображена
окружность (или круг). Таким образом, с по-
мощью иллюстраций вырабатываются интуи-
тивные представления об этих понятиях.
Не определяются и понятия длины окруж-
ности и площади круга, так как на данном
этапе они изучаются тоже на интуитивном
уровне. Основой для формирования верной
интуиции служит опыт учащихся. Нйпример,
21
в учебнике для V класса предлагается найти
длину окружности основания стакана с по-
мощью обернутой вокруг него нити.
Для выработки наглядных представлений
о числе л проводится сравнение длины окруж-
ности с периметром правильного шестиуголь-
ника, вписанного в окружность, и периметром
квадрата, описанного около окружности. При
этом следует учитывать, что учащимся незна-
комы понятия: правильный многоугольник,
вписанный многоугольник, описанный много-
угольник. Сведения о соответствующих объек-
тах они получают исключительно из чертежей.
Методисты отмечают, что при вычислениях
следует брать значение числа л равным 3,14,
а округление окончательного результата про-
водить, сообразуясь со здравым смыслом.
Часто подчеркивается: желательно, чтобы пе-
дагог учил пятиклассников этому здравому
смыслу. По нашему мнению, опорой для здра-
вого смысла должна служить интуиция. Про-
изводя вычисление длины окружности или
площади круга, учащиеся должны сразу ви-
деть, соответствует ли результат вычислений
реально возможному размеру. Необходимо
каждый раз напоминать им об этом.
Ко второй группе относятся следующие по-
нятия: центральная симметрия, осевая симмет-
рия, фигуры, имеющие ось симметрии.
Понятие о центральной симметрии является
первым среди геометрических преобразований,
изучаемых в V классе. Оно вводится в форме,
обеспечивающей удобство выполнения соот-
ветствующих геометрических построений. Что
касается равенства центрально симметричных
фигур, то об этом учащиеся только информи-
руются. Лучше всего предложить ученикам
убедиться в этом на моделях. Это создает ин-
туитивную основу для последующего доказа-
тельства. Однако здесь же следует подчерк-
нуть, что видение факта на конкретных при-
мерах не может служить доказательством его
истинности, в дальнейшем будет доказано ра-
венство рассматриваемых фигур.
Методика изучения осевой симметрии яв-
ляется соединением формального и содержа-
тельного подходов. Здесь также следует широ-
ко применять модели для создания наглядно-
интуитивной основы.
В заключение следует отметить, что интуи-
ция может служить индикатором уровня мате
матического мышления: чем больше развита
интуиция у данного ученика, тем выше уро-
вень его математического мышления. Это
объясняется тем, что интуиция аккумулирует
весь жизненный опыт и багаж математических
знаний учащихся. Наряду с этим она отлично
дополняет формально-дедуктивное мышление,
а часто предвосхищает его.
ОБ ИЗУЧЕНИИ ТЕМЫ «ВЕКТОРЫ»
В IX КЛАССЕ
В. М. КЛОПСКИЙ, М. И. ЯГОДОВСКИЙ
(г. Курск),
3.	А. СКОПЕЦ
(.. Ярославль)
Тема «Векторы пространства* является но-
вой для нашей школы: до недавнего времени
в учебниках математики или совсем не было
упоминания о векторах, или помещались
только краткие сведения о векторах плос-
кости.
В данной статье авторы предлагают внима-
нию учителей переработанный вариант изло-
жения темы «Векторы пространства» (до ска-
лярного умножения векторов). Из текста
исключены отдельные усложненные формули-
ровки, а также ряд понятий и формулировок,
известных учащимся из курса планиметрии.
Для сокращения объема статьи значительная
часть рисунков опущена.
Перемещения пространства. Векторы
В стереометрии понятие отображения фигу-
ры на фигуру имеет тот же смысл, что и
в планиметрии. С отображениями простран-
ственных фигур мы уже встречались, рас-
сматривая параллельное проектирование фи-
гур на плоскость.
Известные нз планиметрии определения
тождественного отображения, обратного ото-
бражения, композиции отображений, конгру-
энтности фигур распространяются и на про-
странство без каких-либо изменений. Форму-
лировки этих определений не приведены в ос-
новном тексте, но они имеются в разделе
«Повторение планиметрии».
Особенно важное значение в планиметрии
имели различные виды отображений плоско-
сти на себя: поворот, центральная симметрия,
осевая симметрия, параллельный перенос и
гомотетия.
В стереометрии будут рассмотрены отобра-
жения пространства на себя. При этом глав-
ное внимание будет уделено изучению пере-
мещений пространства — отображений про-
странства на себя, сохраняющих расстояния.
Перемещения пространства обладают мно-
гими свойствами перемещений плоскости.
Кроме того, будем пользоваться тем, что лю-
бое перемещение пространства отображает
плоскость на плоскость и угол на угол той же
величины. Доказательство этих свойств пере-
мещений пространства мы не приводим.
§ 1.	Центральная симметрия
Точки М и Mi называют симметричными
относительно точки О, если О есть середина
22
отрезка MMj. Точку О считают симметрич-
ной самой себе.
Определение. Отображение простран-
ства на себя, при котором каждая точка
отображается на симметричную ей точку от-
носительно данной точки О, называют цент-
ральной симметрией.
Точку О называют при этом центром сим-
метрии. Центральную симметрию с центром О
обозначают символом Zo.
Рассмотрим основные свойства централь-
ной симметрии.
1.	Центральная симчетрия есть перемеще-
ние.
Для доказать льства этого свойства рас-
смотрим две произвольные точки М, N и их
образы Mi=Zo(M), Ni—ZO(N). Из опреде-
ления центрально-симметричных точек выте-
кает, что точки All и Ni принадлежат плоско-
сти а, проходящей через точки О, М, N. При
симметрии Zo плоскость а отображается на
себя: Zo(a)—a. Это отображение является
центральной симметрией плоскости а относи-
тельно точки О. Из планиметрии известно,
что центральная симметрия плоскости сохра-
няет расстояния, поэтому JA^TVi | = | A17V |.
Следовательно, Zo является перемещением
пространства.
2.	Центральная симметрия отображает
прямую на параллельную ей прямую и луч
на противоположно направленный с ним луч.
Это свойство доказывается аналогично пре-
дыдущему свойству.
3.	Центральная симметрия отображает
плоскость на параллельную ей плоскость.
Доказательство. Центральная симмет-
рия Zo является перемещением (свойство 1),
поэтому она отображает плоскость а на не-
которую плоскость щ. Докажем, что аЩсс.
Проведем на плоскости а пересекающиеся
прямые а и Ь. Прямые a}—Zo(a) и bt— Zo(b)
лежат в плоскости cti и параллельны пря-
мым а и b (свойство 2). Отсюда, согласно
признаку параллельности плоскостей, aJIa.
Если для фигуры Ф существует такая точ-
ка О, что ZO(<I)) = Ф, то точку О называют
центром симметрии фигуры Ф.
Фигуру, имеющую центр симметрии, назы-
вают центрально-симметричной фигурой. При-
мером неплоской центрально-симметричной
фигуры является куб.
Задача 1. Докажите, что если стороны
одного выпуклого угла противоположно на-
правлены сторонам другого выпуклого угла,
то такие углы конгруэнтны.
Решение. Рассмотрим два выпуклых уг-
ла: АОВ и Л|О|ВЬ Пусть лучи ОА и ОВ про-
тивоположно направлены лучам и 0^
соответственно. Докажем, что эти углы кон-
груэн1ны.
а)	Если точки О и О| совпадают, то дан-
ные углы лежат в одной плосКбсти а, они
вертикальные и поэтому конгруэнтны.
б)	Если точки О и 01 различны, то углы
лежат в параллельных плоскостях а и щ.
Пусть точка М— середина отрезка 00ь Сим-
метрия ZM отображает точку О на точку Оь
плоскость a — на плоскость щ, лучи ОА и
и ОВ — соответственно на лучи О^ и ОрВ^.
Поскольку при этом отображении выпуклая
область плоскости а отображается также на
выпуклую область плоскости щ, то выпуклый
угол АОВ отображается на выпуклый угол
А/)]!?!, следовательно, эти углы конгруэнтны
как центрально-симметричные фигуры относи-
тельно точки М.
Задача 2. Докажите, что если стороны
одного выпуклого угла сонаправлены сторо-
нам другого выпуклого угла, то такие углы
конгруэнтны.
При решении этой задачи следует исполь-
зовать решение предыдущей задачи и свой-
ство вертикальных углов.
Задачи и вопросы
1.	Существуют ли точки, прямые и плоскости, кото-
рые центральная симметрия отображает на себя-1
2.	Докажите, что отображение, обратное центральной
симметрии, есть та же центральная симметрия.
3.	Найдите композицию Zo° Zo.
4.	Можно ли одну из двух плоскостей отобразить на
другую центральной симметрией, если эти плоскости:
1) пересекаются; 2) параллельны?
5.	1) Докажите, что если перемещение пространства
отображает каждый луч на противоположно направлен-
ный с ним луч, то это перемещение есть центральная
симметрия.
2) * Докажите, что композиция грех центральных
симметрий есть центральная симметрия.
6. Из перечисленных ниже фигур назовите централь-
но-симметричные и укажите их центр симметрии: 1)
отрезок; 2) луч; 3) прямая; 4) угол; 5) плоскость;
6) объединение двух плоскостей; 7) объединение плос-
кости и пересекающей ее прямой.
§ 2. Параллельный перенос
Рассмотрим упорядоченную пару (А; В}
несовпадающих точек. Она задает направлен-
ный отрезок с началом А и концом В. На-
правленный отрезок АВ имеет длину |А5|
и направление луча АВ.
Определение. Параллельным переносом
на направленный отрезок АВ называют ото-
бражение пространства на себя, при котором
каждая точка М отображается на такую точ-
ку Л4], что направленные отрезки и АВ
сонаправлены и имеют равные длины.
Параллельный перенос на направленный
отрезок АВ обозначают ТАВ.
Если TAb(M)=N, то TMn=Tab.
Словами это свойство выражают так: па-
раллельный перенос однозначно задается лю-
бой парой соответственных точек.
23
н woX .fr g
Рассмотрим основные свойства параллель-
ного переноса.
1.	Параллельный перенос есть перемещение.
2.	Композиция двух параллельных перено-
сов есть параллельный перенос.
3.	Параллельный перенос отображает пря-
мую на параллельную ей прямую и луч на
сонаправленный с ним луч.
4.	Параллельный перенос отображает плос-
кость на параллельную ей плоскость.
Свойства 1—3 доказываются так же, как н
в планиметрии. Поэтому остановимся на до-
казательстве только четвертого свойства.
Параллельный перенос Т является переме-
щением (свойство 1), поэтому он отображает
плоскость а на некоторую плоскость щ
(рис. 1). Докажем, что щПа.
На плоскости а проведем пересекающиеся
прямые b и с. Прямые ЬХ — Т(Ь) и сх = Т(с)
лежат в плоскости <ц и параллельны соответ-
ственно прямым b и с (свойство 3). Тогда,
Рис. I
согласно признаку параллельности плоскос-
тей, аЛа.
Задачи и вопросы
7.	Дан треугольник АВС и точка D Постройте образ
этого треугольника прь параллельном переносе на на-
правленный отрезок DC.
8.	Существуют ли точки, прямые и плоскости, которые
параллельный перенос отображает на себя?
9.	Параллельный перенос Т задан направленным от-
резком АВ. Найдите обратное ему отображение Т~'.
10.	Существует ли параллельный перенос, отображаю-
щий одну из двух данных плоскостей на другую, если
эти плоскости: 1) пересекаются; 2) параллельны?
11.	У'ажите какой-либо параллельный перенос, кото-
рый отображает па себя: 1) данную прямую; 2) данную
плоскость.
12.	Докажите, что противолежащие грани параллеле-
пипеда конгруэнтны.
13.	Докажите конгруэнтность оснований прямой
призмы.
14.	Используя параллельный перенос, докажите, что
если стороны одного выпуклого угла сонаправлены со
сторонами другого выпуклого угла, то такие углы кон-
груэнтны.
15*. 1) Докажите, что композиция двух центральных
симметрий с центрами А и В есть параллельный перенос
на направленный отрезок AAlt где Ai = ZB(A).
2) Выполняется ли для композиции центральных сим-
метрий переместительный закон?
§ 3.	Векторы
Тема «Векторы» изучалась в VII классе.
Там были рассмотрены три операции наА век-
торами: сложение векторов, вычитание век-
торов и умножение вектора на число. Поня-
тие вектора было введено на основе парал-
лельного переноса.
У векторной алгебры имеется замечатель-
ная особенность: понятие вектора, определе-
ния указанных выше операций одинаковы
для плоскости и пространства. Вследствие
этого нет необходимости помещать в основной
текст сведения о векторах, имеющиеся в учеб-
ном пособии для VI—VIII классов. Справоч-
ный материал по теме «Векторы» имеется
в разделе «Повторение планиметрии».
Как известно, сложение векторов выпол-
няется по правилу треугольника:
АВ + ВС = АС.
Если векторы не коллинеарны, то их можно
складывать по правилу параллелограмма:
О А + ОБ = ОС.
Ознакомимся с новым правилом сложения
векторов, которое называют правилом много-
угольника.
Пусть надо найти сумму 5 =ах +а2+ а3 4-
А-а4. Выбрав произвольную точку А (рис. 2),
откладываем последовательно векторы
ААХ= ах, А,А2 = а2, А2А3 = а3, А3А4=а4.
Вектор АА4 есть искомая сумма $, т. е. ¥
ААХ -J- АХА2 -J- А2А3 4- Д3Д4 = АА4.
Ломаная AAiA2A3A4 может быть как плос-
кой, так и неплоской.
Правило многоугольника можно обосновать
путем последовательного применения правила
треугольника.
--►---->----►
Если три вектора 0/1, ОБ, ОС заданы на-
правленными отрезками, имеющими общее
начало О и не лежащими в одной плоскости,
то для нахождения их суммы можно приме-
нять правило параллелепипеда.
Построим параллелепипед так, чтобы от-
резки ОА, ОБ, ОС были его ребрами (рис.З).
Для этого параллелепипеда выполняется ра-
венство
ОА -4- ОБ 4- ОС = OS,
которое называют правилом параллелепи-
педа.
24
Действительно, О А Д ОВ -f- ОС — О А +
+ ^5’4-Д^ = OS (по правилу многоуголь-
ника).
Правило параллелепипеда можно приме-
нять в физике для сложения векторных ве-
личин.
Задачи и вопросы
16.	Сколько векторов задают всевозможные упорядо-
ченные пары точек, составленные из вершин: 1) тетра-
эдра; 2) параллелепипеда?
17.	На рис. 4 изображены равнобедренная трапеция
ABCD и не лежащий с нею в одной плоскости правиль-
ный треугольник АВМ. Из точек А, В, С, D, М составь-
те две различные упорядоченные пары, задающие: 1)
векторы равной длины; 2) сонаправленные векторы,
3) противоположно направленные векторы; 4) проти-
воположные векторы.
18.	Может ли длина суммы двух векторов быть: 1)
меньше длины каждого из слагаемых; 2) равной сумме
длин слагаемых?
19.	Изобразите тетраэдр ABCD и постройте направ-
ленный отрезок, задающий вектор: 1) АВ + ВС;
2) АВ 4- AD; 3) АВ — CD; 4) — AD + ВС
20.	Дан параллелепипед ABCDA,B,C,D,. Докажите,
что: 1) ДВ + Д.С, = £>/?, +ДО; 2) СС, + Ъ^А =
= АС, + СВ.
21 Найдите сумму (АВ—AC) 4- ВС.
22.	Дан тетраэдр ABCD. Найдите сумму векторов:
1)	АВ + BD + ОС; 2) АВ +~CD + (BC—AD).
23.	Дан параллелепипед ABCDA,B,CiD,. Найдите
сумму векторов: 1) АВ Д- ВВ, Д- В,С,; 2) АС, Д- DA Д-
+ AD,; 3) O,C + AA, + CB Д- C,C.
24.	Дана прямая треугольная призма АВСА,В,С,,
у которой длина каждого ребра равна а. Найдите дли-
ну вектора: 1) АВ, A В,В Д- ВС; 2) АВ Д- В,С, Д- С А.
25.	Два треугольника АВС и AiB,C, произвольно
расположены в пространстве. Докажите истинность
равенства:
I)	ДА + вв, -ь сс, = ав, + вс, + сХ:
2)	АА, Д- ВВ?+ СсГ = АС, + ВА, + СВ,.
26.	К одной точке тела приложены силы F, и F,.
Найдите величину равнодействующей F этих сил, если
угол между ними равен <р.
27.	Дан тетраэдр ABCD. 1) Докажите, что ADA-
——->	>
Д ВС — AC BD. 2) Верно ли это равенство для
произвольных точек А, В, С, D?
§ 4. Компланарные векторы
Определение. Векторы а, Ь, с, отлич-
ные от нулевого, называют компланарными,
если задающие их направленные отрезки па-
раллельны некоторой плоскости.
В частности, если три направленных отрез-
ка лежат в одной плоскости, то они задают
компланарные векторы.
Векторы а, Ь, с, отличные от нулевого, ком-
планарны и в том случае, если среди них име-
ются два коллинеарных вектора. Действительно,
пусть векторы а и Ь коллинеарны (рис. 5). От-
ложим от какой-либо точки О данные векторы:
О А = а, О В = ь, ОС = с. Направленные от-
резки ОА, ОВ, ОС лежат в одной плоскости,
поэтому векторы а, Ь, с компланарны.
Условимся считать компланарными и такие
векторы а, Ь, с, среди которых имеется хо-
тя бы один нулевой вектор.
Теорема. Если векторы а и b не кол-
линеарны, то любой вектор с, компланар-
—> —>
ный с векторами а и Ь, можно предста-
вить единственным образом в виде:
с — ха
+ уь.
(1)
Доказательство.
Пусть векторы а, Ь,
а и b не коллинеарны.
с компланарны, причем
Найдем пару чисел (х; у), при которой выпол-
няется равенство (1). Данные векторы отложим
от какой-либо точки О (рис. 6): ОА=а, ОВ=
—У —— —>	—►
= Ь, ОС — с. Из условия теоремы следует, что
точки О, Д, В, С принадлежат .некоторой пло
скости а. Рассмотрим случай, когда C^(OAi
и (ОВ). В плоскости а через точку С про'
ведем прямые, параллельные прямым О А и ОВ.
Получим точки Bi и Д], которые вместе с точ-
Рис. 5
Рис. 6
25
ками О и С служат вершинами параллелограмма.
По правилу параллелограмма ОС = OAi + ОВХ.
Но ОАг=хОА и ОВ1 = уОВ, тогда
= сОА + уОВ, или с = xa -\-yb.
Если же С С (О А) или С С (ОВ), то
следнем равенстве у = 0 или х = 0.
V Докажем, что пара чисел (х; у)
ственна *. Предположим, что существует дру-
гая пара чисел (xj; t/J, для которой верно
равенство
ОС =
в по-
елин-
с == х^ + у{Ь.
(2)
Из равенств (1) и (2) имеем ха + yb = хха-\-
-*
4- у! Ь, откуда (у —уi) b =(хх — х) а. Согласно
предположению хотя бы одно из чисел у — у!
или Xj — х не равно нулю. Пусть, например,
у — у! =р= 0, тогда поспеднее равенство можно
-* X,—X -*
записать в виде Ъ = а. Это равенство по-
казывает, что векторы а
Получили противоречие с
Следовательно, у — У1=0,
логично можно убедиться
Итак, (х; у) = (хд у}).
Равенство (1) называют
-* -*
тора с по векторам а и Ь.
. В физике часто приходится рассматривать
разложение сил, скоростей и т. д. по двум
'заданным направлениям.
Сформулируем признак компланарности трех
и b коллинеарны,
условием теоремы,
т. е. у=У\. Ана-
в том, что х=хх.
разложением век-
векторов: если верно равенство с = ха +
4-	yb, то векторы а, Ь, с компланарны.
В этом признаке векторы а и b могут быть
а коллинеарны.
Задачи и вопросы
28.	Из вершин тетраэдра ABCD составьте- I) три
упорядоченные пары точек, задающие компланарные
вектора; 2) три упорядоченные пары точек, задающие
некомпланарные векторы.
29.	Дан параллелепипед ABCDAtBtCiDi. Какие из
следующих трех векторов компланарны: 1) ylTli, CCt,
ВВ3; 2) АВ, AD, AAi, 3) ВВи AC,~DDi\ 4)~ADdAiBi,
CCJ
30.	Дан параллелограмм ABCD. Разложите по век-
торам р и q, где р — С A, q = CD, векторы: 1) АВ;
2) AD; 3) AM, где М — середина [ВС].
1 Знаком ▼ отмечены начало и гонец материала, не
обязательного для изучения.
31.	Дан треугольник АВС. Разложите по векторам
а и Ь, где а -= С А, b = СВ, векторы: 1) СВ3, где
В, —середина [ЯС], 2) ССи где С, — середина [ИВ];
3) * СК, где К 6 [ДВ] и 1 АК |:| КВ | = 3:10.
32.	Точка А — общая вершина параллелограммов
ABCD и ЛВ|С1ВЬ Докажите, что прямые BBi, CCt,
DDi параллельны некоторой плоскости.
33.	1) Точки пересечения медиан треугольников АВС
н Л1В|С. лежащих в различных плоскостях, совпадают.
Докажите, что прямые AAt, BBi, CCi параллельны не-
которой плоскости.
2) Точки М и N— середины ребер AD и B|Ci парал-
лелепипеда ABCDAtBiCtDi. Докажите, что прямые СМ,
AN и BBi параллельны плоскости.
34.	1) К точкам А, В и С, где С С1АВ], | АС | = 4 м,
|СВ|= 2 м (рис. 7, а), приложены соответственно
силы Bi, F, и В3 = CD, образующие уравновешенную
систему сил (Ft + F, + F3 = 0). Найдите | Ft | и | F, |,
если | F3 ( = 10 Н, F, J. (АВ), ACD = 60°.
Рис. 7
2) Силы Ft, F„ F3, образующие уравновешенную
систему, приложены соответственно к точкам А и В
и середине С отрезка АВ (рис. 1,6). Найдите | F, |
и | F3 |, если Fi J. (АВ), (АВ, F>) = 45°, | В. | = 20 Н.
§ 5. Решение задач
Задача 1. Докажите, что если М — сере-
дина отрезка АВ и О — произвольная точка
пространства, то выполняется равенство
ОМ = ~(ОА +ОВ).
Решение. Согласно условию задачи имеем
AM = МВ. По формуле вычитания векторов
получим: AM = ОМ —О А и МВ =ОВ—ОМ.
Тогда ОМ—О А — О В— ОМ, отсюда
ОМ = 4- (ОА + ОВ).
Задача 2. Доказать, что если М — точка
пересечения медиан треугольника АВС и О —
26
произвольная точка пространства, то выпол-
няется равенство
ОМ = -L (ОД + 05 + ОС).
Решение. Пусть [CCJ — медиана треуголь-
ника АВС. По свойству медиан треугольника
МС1 = -^-СС1. Применяя к векторам МСХ
о
и ССХ формулу вычитания векторов, получим
ОС,- ОМ = 4- (OCj —ОС), отсюда ОМ =
о
= -4 ОС + -4оСр Но ОСХ= 4- (ОА + ОВ)
(задача 1), тогда ОМ = -1-ОС + 4--4"(О^+
о	О Z
+ ОВ) = 4 (ОД + дв 4- ОС).
о
Задачи и вопросы
35.	Точки М и N — середины отрезков АС и BD.
---------------->. ! _
I) Докажите, что MN — -g- (АВ + CD). 2) Будут ли
прямые АВ, CD и MN параллельны одной плоскости?
36.	Докажите, что отрезки, соединяющие середины
противолежащих ребер тетраэдра, имеют общую точку
и делятся ею пополам.
37.	В пространстве даны два параллелограмма ABCD
и Д|Д1С|£)1. Докажите, что если середины отрезков
AAt, BBi, СС,, DD, не принадлежат одной прямой, то
э1 и середины являются вершинами третьего паралле-
лограмма.
38.	В пространстве даны два треугольника АВС и
Д|В|Сь М п М,—точки пересечения их медиан. Дока-
жите, что
лгдТ, = 4“ (АА, +	+ CG).
39.	Треугольник AiBtCi является параллельной проек-
цией треугольника АВС. Известно: |ДД1|=а, |ВВ|| =
=b, |СС,|=с. Найдите расстояние между точками
пересечения медиан этих треугольников.
40*. В текраздре ABCD проведены отрезки ДДъ BSi,
CCt, DDi, соединяющие вершины тетраэдра с точками
пересечения медиан противолежащих граней. Докажите,
что эти отрезки имеют общую точку О, которая делит
каждый из них в отношении 3:1, считая от вершины
тетраэдра.
§ 6. Разложение вектора по трем
некомпланарным векторам
Теорема. Для каждого вектора простран-
ства существует единственное разложение по
трем данным некомпланарным векторам:
d = ха + yb + zc.	(1)
Доказательство. Данные векторы от-
ложим от какой-либо точки О: 0А=а, OB=bt
---*• —> ► —►
ОС - - с, OD = d (рис. 8,а). По условию тео-
ремы векторы а, Ь, с не компланарны, поэтому
•эис. 8
плоскости АОВ, АОС, ВОС различны. Рас-
смотрим случай, когда точка D не принадле-
жит ни одной из этих плоскостей.
Через точку D проведем прямую, параллель-
ную прямой ОС. Она пересекает плоскость АОВ
в некоторой точке К- По правилу треугольника
OD = ОК + KD. Но KD = где и, соглас-
но предыдущей теореме, ОК = х О А 4- у ОВ
тогда OD = хОА А-уОВ А-гОС, или d =
= ха 4- yb -|- zc.
Заметим, что в этом случае вектор d изобра-
жается направленным отрезком OD, где [OD | —
диагональ параллелепипеда OMKNQSuK
(рис. 8,6) и дм = ха, ON = yb, OQ = zc.
Если же D £(АОВ),т о, по предыдущей тео-
реме, OD = хОА 4- уОВ, или d = х а 4- yb.
Равенство (1) получим, полагая z =0:
d =ха 4- yb 4- 0-е.
Аналогично рассматриваются случаи, когда
D^(AOC) (у = 0) или D^(BOC) (х=0).
V Докажем, что тройка чисел (х; у\ z)
единственна. Предположим, что существует
другая тройка чисел (х^ ух; г}), при которой
верно равенство
d = хха 4- ухЬ 4- zxc.	(2)
Из равенств (1) и (2) имеем ха 4- у b 4- zc =
= хха 4- ухЬ 4- ZjC, откуда (х — хх)а 4- (у —
— уi) b 4- (z —- zx) с = 0. Согласно предположе-
нию хотя бы одно из чисел х — хь или у — ух,
или z — zx не равно нулю. Пусть, например,
z — Z!=/=0, тогда последнее равенство можно
записать в виде
>1—У
г — г3
с =
а4-
ь.
27
Это равенство показывает, чго векторы а, Ъ,
—♦
с компланарны (признак компланарности
трех векторов). Получили противоречие,
поэтому z=Zj. Аналогично можно убедиться
в том, что х~хг и У=У\. Итак, (х; у, z) =
= (4; УС, 21).
Тройку (а; Ь; с) некомплапарпых векторов,
входящих в равенство (1), называют базисом
всех векторов пространства. Равенство (1)
называют разложением вектора d по базису
(а: Ь; с).
Задача. Дан параллелепипед
ABCDA^BfiiDi. Точки М и N— середины
его ребер ВС и СД)Х. Разложить век-
тор MN по базису (р; д; г), где р = АВ,
—> ——> ------->-
q =AD,
Решение. По формуле вычитания векторов
(рис. 9) MN = AN — AM. Но, по правилу
многоугольника AN=AD ] DDr -\-DzN =<?-|-
+	-AM = AB-\-BM= p ~^~q, тогда
MN = (g + r + J) - (p + 7) =
1 * 1 -
= -т-^ + т^ + г-
Итак, MN -------у p + -±-g -f- r.
Задачи и вопросы
41.	Дан параллелепипед ABCDA,B,C,D,. По базису
(д; Я, г), где р = АВ, q = AD, г = АА„ разложите
векторы: 1) АВ,; 2) АС,; 3) AM, где М — середина
[£>£>,|; 4)* ДУ, где (?£[£>,£,] и | D,Q |:|у,С | = 5:11.
42.	М — точка пересечения медиан грани АВС тет-
раэдра ABCD. Разложите вектор ОА по базису
(ОВ; ОС; ОМ).
43.	В тетраэдре ABCD медиана АА, грани АВС раз-
делена точкой М в отношении | AM |:| МА, | — 3:7.
Разложите вектор DM по базису (DA; DB; DC).
4-1 Ди.гопаль АС, параллелепипеда ABCD 4,B,C,D,
пересекает плоскость BDA, в точке М. Вычислите от-
ношение | AM |:| МС, |.
45.	Треугольник А,В,С, является параллельной про-
екцией треугольника АВС на непересекающую его
плоскость. Известно, что | АА, | = 3, | ВВ, | = 2, М— се-
--->
редина отрезка ВС,. Разложите вектор А,М по базису
(р; q; г), где р = A,A, q =- А,В,, г = /1,0,.
46.	Через точку Р ребра DA тетраэдра ABCD и точ-
ку М пересечения медиан грани АВС проведена пря-
мая, пересекающая плоскость DBC в точке Q. Вычисли-
те отношение | РМ | : |Л4(?|, если: 1) Р — середина реб-
ра DA; 2) |ДР| : |РЙ| = 1 :2.
47.	Дан параллелепипед ABCDA,B,C,D,. Через вер-
шину А и центр симметрии М грани ВСС,В, проведена
прямая, пересекающая плоскость A,BD в точке N. Вы-
числите отношение |ЯД| : |Л/М|.
48.	Дан тетраэдр ABCD; точки пересечения медиан
граней BCD, CDA, DAB, АВС обозначены Д,, В,, С,, D,.
Докажите, что силы АА,, ВВ,, СС,, DD, образуют
уравновешенную систему.
ОСУЩЕСТВЛЕНИЕ ВЗАИМОСВЯЗИ
МЕЖДУ КУРСАМИ АЛГЕБРЫ И ГЕОМЕТРИИ
В ВОСЬМИЛЕТНЕЙ ШКОЛЕ
Р. М. КИТАЕВА
(г. Ленинабад, ТаджССР)
Одна из задач школьного курса математики состоит
в выявлении связей курсов алгебры и геометрии для
воспитания у учащихся понимания единства математи-
ческой пауки. Такие возможности имеются при изуче-
нии уравнений и неравенств с двумя переменными в
курсе математики восьмилетней школы.
1. Одним из путей осуществления взаимосвязи между
курсами алгебры и геометрии является знакомство уча-
щихся с заданием различных геометрических фигур
уравнениями, неравенствами с двумя переменными или
их системами. Плоскую геометрическую фигуру мы рас-
сматриваем как множество точек плоскости, из которых
она состоит. Задать фигуру аналитически — значит за-
писать такое соотношение между координатами этих
точек, по которому можно было бы определить, принад-
лежит ли та или иная точка этой фигуре или нет. При-
ведем примеры задач, решение которых на уроках ма-
тематики познакомит учащихся с аналитическим пред-
ставлением различных геометрических фигур.
1.	Докажите, что четырехугольник, стороны которого
принадлежат прямым х=2, х—2у—4—0, х=—2, х—
—2</4-2=0, является параллелограммом
2.	Докажите, что четырехугольник, задаваемый си-
стемой неравенств
у < 2х 4- 7,
у > 2х 4- 3,
х<0,
У>0,
является трапецией.
3.	Какие геометрические фигуры задают следующие
системы уравнений и неравенств:
а) Г 2х + Зу — 12-0, б) f х>0,
у>0,
у < — 5х 4- 4?
Решение. Выполним
плоскости. Для случая а)
построение иа координатной
получим отрезок, ирннадле-
28
жащий прямой 2х-)-Зр—12 = 0 (рис. 1); для случая
б) —треугольник (рис. 2).
4.	С помощью системы уравнений и неравенств за-
дайте: а) луч; б) квадрат; в) прямоугольник.
11. Полезно предложить ряд задач, позволяющих от-
ветить на вопрос: как расположены относительно друг
друга те или иные геометрические фигуры? Например,
при изучении в курсе алгебры линейных неравенств
можно решить следующую задачу.
5.	Не выполняя рисунка на координатной плоскости,
выясните, пересекает ли прямую х+у—6 = 0 отрезок,
соединяющий точки: а) А(1; —4) и В(—7; 3),
б) С(5; 2) и £>(10; —7).
Решение, а) Координаты точек А и В удовлетво-
ряют неравенству х+у—6<0, т. е. они обе лежат ниже
прямой х+у—6=0. Следовательно, отрезок, соединяю-
щий точки А и В, прямую х+у—6=0 не пересекает.
б) Координаты точки С удовлетворяют неравенству
х+у—6>0, т. е. она лежит выше прямой х+у—6=0.
Координаты точки D удовлетворяют неравенству х+
+у—6<0, т. е. оиа лежит ниже прямой х+у— 6=0.
Следовательно, отрезок CD будет пересекать данную
прямую.
С целью закрепления указанного учебного материала
могут быть использованы и такие задачи.
6.	Укажите координаты каких-либо двух точек, если
известно, что отрезок, их соединяющий, не пересекает
прямую Зх—5у = 4.
7.	Запишите уравнение какой-либо прямой, которая
пересекает отрезок, соединяющий точки А (—2, 1) и
В(3; 5).
При решении в курсе алгебры систем уравнений с
двумя переменными способом подстановки целесооб-
разно рассмотреть следующие две задачи, которые да-
ют возможность показать применение способа подста-
новки.
8.	Определите, как расположена прямая относительно
окружности, если прямая и окружность заданы урав-
нениями
а)	у=—х+3 и х2+у’=9;
6)	у=х+Ю и х2+у’=9.
9.	Определите координаты точек пересечения парабо-
лы у=х2 и гиперболы ху=8.
111.	В курсе алгебры при изучении графиков уравне-
ний или неравенств с двумя переменными могут быть
предложены задачи на определение осей симметрии тех
или иных геометрических фигур. С понятием симметрии
школьники знакомы из курса геометрии.
10.	Имеет ли оси симметрии график уравнения х—
—3z/+l=0?
Решение. График уравнения х—Зу+1=0 есть
прямая линия, следовательно, он имеет оси симметрии
и их бесконечное множество.
11.	Сколько осей симметрии имеет график уравнения
х2+^ = 16?
Решение. Графиком уравнения х2+у2 = 16 явля-
ется окружность, следовательно, он имеет бесконечное
множество осей симметрии.
12.	Запишите уравнения осей симметрии фигуры, за-
даваемой системой неравенств
f 3 < х < 7,
I — 2 < у < 2.
Решение. Данная система неравенств задает квад-
рат ABCD, изображенный на рис. 3.
Всякий квадрат имеет 4 оси симметрии. Для квадра-
ta^ABCD осями симметрии служат прямые КМ, EF, АС,
Прямая КМ совпадает с осью абсцисс, поэтому ее
уравнение у=0.
Точка К имеет координаты (5; 0), значит, х=5 —
уравнение прямой EF.
Прямая АС проходит через точки Л(3; 2) и С(7;
—2); для определения коэффициентов k и I в общем
уравнении прямой y—kx+l составим систему
/	2 = 3k -J-1,
I — 2 - 7 k + I.
Отсюда k — — 1, 1—5. Следовательно, уравнением пря-
мой AC будет y=—x-}-5.
Аналогично, зная, что прямая BD проходит через точ-
ки В (7; 2) и 0(3; —2), составим систему
f 2 = 7 k + I,
t — 2 = 3k + I.
Получим уравнение прямой BD : y—x—5.
Как видно, в задачах 10 и 11 требуется, пользуясь
знаниями, полученными в курсе алгебры, определить
сначала по заданному уравнению вид его графика. Да-
лее, применив знания из курса геометрии, определить
число осей симметрии графика. В задаче 12 по данной
системе неравенств сначала выполняется построение
фигуры, задаваемой этой системой, а затем уже запи-
сываются уравнения ее осей симметрии.
IV. Осуществлению взаимосвязи курсов алгебры и
геометрии способствует также использование в курсе
математики задач на вычисление площадей геометриче-
ских фигур, заданных уравнениями, неравенствами с
двумя переменными или их системами. Рассмотрим не-
которые из этих задач.
13.	Найдите площадь треугольника, заданного систе-
мой неравенств
У < х + 3,
У<—* + 3,
У>0.
Решение. Па координатной плоскости изображен
заданный треугольник (рис. 4). Определив координаты
точек А, В, С, находим, что |АС| =6, |О5|=3. Отсю-
да SABC •=	| АС )•[ ОВ) = -у--6-3 — 9 (кв ед.).
14.	Вычислите площадь треугольника, ограниченного
прямыми у— 2х =—2, Зу =—4х+24 и осью абсцисс.
Решение. Треугольник, ограниченный данными
прямыми, изображен на координатной плоскости тре-
29
Рис £>
Рис. 6
Рис. 7
угольником АВС (рис. 5). Координаты точек А и С
найдем как координаты точек пересечения прямых у—
—2х——2 и Зу =—4х+24 с осью абсцисс; получим
А(1; 0) и С(6; 0). Так как В= (АВ)ц(ВС), го, решив
систему уравнений
у — 2х = — 2,
Зу------4х + 24,
найдем координаты точки В: В(3; 4).
Итак, |АС| =5, |£)В|=4, а следовательно,
Sabc = \АС | | £>В| =-2~-5-4 = 10 (кв. ед ).
15.	Найдите площадь фигуры, заданной системой не-
равенств
a) /„Xs+^’<0,64,	б)Гх2+у’<81,
1 УХО;	(x’+y’>36.
Ре прение, а) Данная система неравенств изобра-
жает на координатной плоскости полукруг (рис. 6).
Его площадь
S = ~2“ я-0,64 = 0,32г- (кв. ед.).
б) Система неравенств в этом случае изображает на
координатной плоскости кольцо (рис. 7), площадь ко-
торого
S=81it—36л=45л (кв. ед.).
V. Изучение геометрических преобразований па ко-
ординатной плоскости также дает возможность осуще-
ствления взаимосвязи между курсами алгебры и гео-
метрии. Например, при изучении осевой симметрии по-
лезно предложить такое упражнение.
16.	Пи' тройте на координатной плоскости точки
А (3; 0), В(0; 6), С(2; 6), £>(—2; —4) и точки, симмет-
ричные им относительно оси абсцисс. Какая из задан-
ных точек совпадает с симметричной ей точкой и по-
чему? Установите, какая зависимость существует между
координатами данных точек и точек, им симметричных
относительно оси абсцисс, и запишите координаты точ-
ки, симметричной точке Л4(х; у) относительно осн аб-
сцисс.
Выполнение аналогичных упражнений относительно
других осей симметрии дает возможность получить сле-
дующие формулы-
SOx
а)	М (х; у)----*	(х; — у);
SOy
б)	М(х; у)------Al.f—х; у);
в)	М(х- у)—-----Mi (у: х);
Sy=~x
г)	Л (х; у)----* М, (—у; — х).
Закреплению этих формул способствует выполнение
следующего упражнения.
17.	Даны точки А(1; 4), В(—1; 4), С(1; —4), £>(в;
—1), £(4; 1). Есть ли среди них точки, симметричные
друг другу относительно а) оси абсцисс; б) оси орди-
нат; в) прямой у = х; г) прямой у=—х?
После усвоения данного материала в курсе алгебры
можно использовать задачи на задание фигур, симмет-
ричных данным.
18.	Запишите уравнение прямой, симметричной пря-
мой х—у+2=0 относительно а) оси абсцисс; б) оси
ординат; в) прямой у=х; г) прямой у=—х.
Решение, а) Так как при осевой симметрии отно-
сительно оси абсцисс для каждой точки Л4 (х; у) пря-
мой имеем точку Л/Дх, —у), то прямой, симметричной
данной относительно оси абсцисс, будет прямая х+у+
+2=0.
В других случаях рассуждения проводятся анало-
гично.
б) Прямой, симметричной дайной относительно оси
ординат, будет прямая —х—у+2=0.
в) Прямой, симметричной данной относительно пря-
мой у=х, будет прямая у—х+2 = 0.
г) Прямой, симметричной данной относительно пря-
мой у=—х, будет прямая —у+х+2 = 0.
19.	Запишите уравнения двух каких-либо прямых,
симметричных друг другу относительно а) оси абсцисс;
б) оси ординат; в) прямой у=х; г) прямой у=—х.
20.	Графики каких из уравнений
х2+у2 = 9, х+у=3, х—у—3
отобразятся сами на себя при осевой симметрии относи-
тельно а) оси абсцисс; б) пси ординат; ь) прямой
у=х; г) прямой у=—х?
Полезно научить учащихся исследовать на симмет-
ричность относительно осей координат и биссектрис
координатных углов графики уравнений и неравенств.
21.	Графики каких из данных уравнений или нера-
венств симметричны относительно а) оси абсцисс; б)
оси ординат; в) прямой у = х; г) прямой у = —х:
1.	х+у = 2 -,
2.	ху = 6;
3.	«/=х2;
4.	х2+/;2=16;
5.	х4+3$/4>3;
6.	х3—у3 <8;
7.	х3+у3—Зху=1;
8.	x4+2x2i/2+4/4=9?
Решение, а) Применив формулу
sOx
М(х; у) ---->-М1(х; — у),
получаем, что графики уравнений х2+г/’=16, х4+
+2х2//2+у4=9 и график неравенства х4+3у4>3 ото-
бражаются сами на себя при симметрии относительно
оси абсцисс, т. е. они симметричны относительно оси
абсцисс.
б)	Относительно оси ординат симметричны графики
уравнений 3, 4, 8 и график неравенства 5.
в)	Относительно прямой у—х симметричны графики
уравнений 1, 2, 4, 7, 8.
г)	Относительно прямой у=—х симметричны графи-
ки уравнений 2, 4, 8.
22. Запишите какое-нибудь уравнение или перавенст-
ство, график которого симметричен относительно а) оси
абсцисс; б) оси ординат; в) прямой </ = х; г) прямой
У = — х.
Приведенные примеры показывают возможность осу-
ществления взаимосвязи курсов алгебры и геометрии
при изучении уравнений и неравенств с двумя перемен-
ными. Это прежде всего будет способствовать закрепле-
нию учебного материала, повторению ранее пройденно-
го Но это не простое повторение одних и тех же уп-
ражнений, повторение органически включается в новую
тему.
30
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ТЕМАТИКИ
Л. С. ЛА
(г. Талды-Курган)
В инструктивном письме Министерства просвещения
СССР от 4 ноября 1978 г. № 67-М «О дальнейшем
совершенствовании экономического образования и вос-
питания учащихся общеобразовательных школ» подчер-
кивается необходимость коренного улучшения экономи-
ческой подготовки школьников. Для достижения этой
цели могут быть использованы разнообразные задачи,
решая которые школьники учатся производить конкрет-
ный экономический расчет и уясняют смысл некоторых
экономических понятий. Рассмотрим три такие задачи,
которые можно предложить учащимся VI—VIII клас-
сов.
Задача 1. Рабочий за час изготовлял 5 деталей
себестоимостью в 1 р. по расценкам 15 к. за штуку.
После проведения организационно-технических меро-
приятий трудоемкость изготовления детали снизилась
в 2 раза, а себестоимость стала равна 90 к. Как изме-
нилась доля заработной платы рабочего в себестоимо-
сти единицы продукции и сколько стал зарабатывать ра-
бочий за час, если расценка снизилась до 8 к. за де-
таль?
Решение. Заработная плата в себестоимости еди-
ницы продукции составляла 15% (j	а в н0"
вых условиях — 8,9%	. Изготовляя 10 дета-
лей (5-2) за час, рабочий стал зарабатывать 80 к.
(8-10), а прежде зарабатывал 75 к. за час (5-15). Как
видно, заработная плата рабочего увеличилась, хотя ее
доля в себестоимости единицы продукции уменьшилась.
После рассмотрения этой задачи можно сделать с
учащимися вывод, что благодаря опережению роста про-
изводительности труда в сравнении с повышением за-
работной платы обеспечивается увеличение социалисти-
ческих накоплений и общественных фондов потребления.
Как известно, благодаря эффективному использованию
основных производственных фондов на предприятии по-
лучают нужную продукцию с меньшими затратами об-
щественного труда. Проиллюстрируем это на следую-
щей задаче.
Задача 2. В цехе имеется 60 станков. В первой
смене работали все станки, а во второй — 48. Извест-
но, что за месяц было отработано 17 100 станко-часов
и трудоемкость обработки единицы продукции на стан-
ках равна 2 станко-часам. На сколько можно увеличить
выпуск продукции в условиях двухсменной работы, ес-
ли довести коэффициент сменности до 2?
Решение. Коэффициент сменности оборудования
/60-}-48\
равен 1,81—gy—I. Чтобы определить возможный при-
рост продукции, нужно учесть, что при коэффициенте
сменности, равном 2, месячный фонд времени составля-
ет 19000 станко-часов (17 100:1,8-2). Дополнительный
фонд времени составит 1900 станко-часов (19 000—
17 100), а прирост продукции — 950 единиц (1900:2).
Наряду с производительностью труда важными по-
казателями эффективности работы хозяйства являются
прибыль и рентабельность. Приведем задачу, в кото-
рой разъясняется смысл этих понятий.
Задача 3. Колхоз продал государству 2,8 тыс. т
молока по цене 150 р. за тонну. Увеличив затраты иа
50 тыс. р„ он получил дополнительно 0,4 тыс. т молока,
и уровень рентабельности производства повысился иа
4%. Какую прибыль получил колхоз от производства
молока, если за сверхплановую продажу была установ-
лена надбавка на 30% к закупочным ценам?
31
Решение. Вычислим прибыль, полученную от реа-
лизации сверхплановой продукции:
/150-30 х
^-100- + 1501-400 — 50 000 = 28 000 (р.)_
Уровень рентабельности производства определяется
отношением получаемой прибыли к затратам. По усло-
вию, разность между старым уровнем рентабельности и
новым равна 4%, т. е. 0,04. Обозначим затраты на про-
изводство 2,8 тыс. т молока через х. Тогда получим
уравнение
2800-150 — х 4- 28000	2800-150— х
х 50 000	— х = °’04’
ИЛИ
448 000— х 420 000— х
х + 50 000 ~ х —°*04.
откуда получаем Xi^ 1 439 400 и х2« 335 600 (для упро-
щения вычислений находим приближенные значенья л)«
Учащиеся смогут показать, что следует ограничить-
ся лишь вторым значением для х, так как только оно
реально возможно в силу условия задачи. Таким обра-
зом, полученная колхозом прибыль составила 112 400 р.
(448 000—335 600).
Систематически и целенаправленно используя в обу-
чении математике задачи, подобные тем, какие были
приведены выше, можно добиться повышения уровня j
экономической грамотности учащихся.
ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ
ПО ПРЕОДОЛЕНИЮ ОШИБОК УЧАЩИХСЯ
3 ВЫЧИСЛЕНИЯХ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯХ
Г. А. МЕЛЕКЕСОВ
(г. Орск)
В этой статье мы приведем три группы ошибок уча-
щихся и опишем некоторые упражнения, позволяющие
провести работу по их исправлению. Эти же упражне-
ния можно использовать и для преодол! ння ошибок, не
дожидаясь их появления.
I.	Ошибки, связанные со свойствами нуля и единицы.
Учащиеся иногда путают свойства нуля при сложе-
нии со свойствами умножения на нуль илн вычитания
нуля. При выполнении деления на единицу они перено-
сят на деление свойства умножения. Все это является
причиной следующих ошибок:
0-а=а-0=а, а—0=0—а=а, а:1 — 1:а=а.
Для их исправления необходимо предлагать учащимся
упражнения на сопоставление случаев сложения и вы-
читания 0 и 1 с соответствующими случаями умноже-
ния и деления. Например:
1, Вместо звездочки поставьте знак <,>• или =
так, чтобы получилось истинное высказывание: а) 1 5+
+0* 1,5-0; б) 0—2 *0:2.
2.	Вместо звезде ки поставьте знак сложения или ум-
ножения так, чтобы получились истинные равенства:
1*1=2, 1 * 1 = 1.
3.	Вместо звездочки поставьте такое число, чтобы по-
лучилось верное равенство:
—  а) 0+Х=-2. в) 1-* =-4,
б) о-* = 2,	г)1:*-----
II. Ошибки, связанные с алгоритмами выполнения
арифметических действий.
В V классе при изучении вычитания отрицательных
чисел учащиеся допускают ошибки двух типов:
а) 5,302 б) 1,536
—8,2	~ 4,2
7,102	1,494
В первом случае вместо отсутствующего разряда под-
ставлена 1, во втором неверно применено правь..о по-
разрядного вычитания десятичных дробей.
Как показал опыт, ’сшт^лга не нужшг спешить исправ-
лять ошибочные ответы самому. Лучше сначала поста
вить их па обсуждение всего класса п добиться осоз-
нанного исправления ошибки. Процесс разыскивания и
исправления ошибки сам. мп учащимися под руководст-
вом учителя можно сдепать поучительным, если пред-
ложить учащимся выполнить упражнение, использую-
щее их знания об обратной операции и построенное на
основе учета указанных ошибок (но сначала необходи-
мо вспомнить с учащимися правило сложения десятич-
ных дробей и предложить им выполнить поразрядно
сложение нескольких чисел). Укажем такое упражнение:
Результаты вычитания проверяют сложением. Про-
верьте, верно ли выполнено вычитание;
1)	5,302—8,2=7,102:
2)	5,302—8,2 = —2,898;
3)	1,536—4,2 = 1,494;
4)	1,536—4,2=—2,664.
Проверяя первый результат, учащиеся убеждаются,
что вычитание выполнено неверно. Очень важно, чтобы
они объяснили и исправили обнаруженную ошибку пу-
тем сопоставления первого примера со вторым и третье-
го с четвертым.
Изучая вычитание в множестве целых чисел, пяти-
классники совершают ошибку такого типа: —9—х=4,
х=4-(-(—9), *=—5. При этом они рассуждают сле-
дующим образом: «Неизвестное слагаемое находится с
помощью вычитания, а неизвестное уменьшаемое или
вычитаемое можно найти путем сложения». Для ис-
правления подобного рода ошибок мы предлагали уча-
щимся упражнения, построенные на основе учета поня-
тия об обратной операции
1.	Найдите результат в случая': б) и в) и объясните,
как из равенства а) получаются равенства б) и в):
а)	—6—(—8) =2,
б)	2+(-8) =
в)	—6—2=
2.	Используя те же самые числа, что и в равенстве
—2—{—3) = 1, составьте одно задание на сложение, а
второе — на вычитание.
3.	Используя числа —4; 3; —7, составьте два задания
на зычитание и одно на сложение.
Практическая ценность подобного типа упражнений
полностью сохраняется, если их направить на преду-
преждение ошибок. При этом учителю необходимо до-
биваться поставленной цели и делать это тщательным
образом, проводя серьезную подготовительную работу
при изучении предшествующих числовых систем.
III. Ошибки при оперировании с рациональными дро-
бями
В VII классе некоторые учащиеся часто допускают
при вычитании дробей с одинаковыми знаменателями
грубую ошибку, изменяя знак лишь у первого члена
вычитаемого многочлена, оставляя последующие члены
со знаками, которые имелись до вычитания. Вот типич-
ный пример:
а + b + с а- Ь с с а с а — b + с
а — Ъ а — b ~ а- b
Как показал опыт, трудности, возникающие у учащихся
при сложении дробей с одинаковыми знаменателями,
могут быть преодолены не путем механического заучи-
вания соответствующего правила, а иа основе уже зна-
комых учащимся представлений об обратной операции.
Такие представления можно упрочить путем выполне-
ния специальных упражнений.
1. Выполните ei 'читание
а + Ь + с а — b + с
а — Ь а— Ь
и проверьте результат сложением.
2. Проверьте с помощью сложения и с помощью вы-
читания, правильно ли выполнено вычитание:
g + 6 4- с а — b + с а + Ь а- с— а— Ь + с
' а — b а — о ~	41 — b	’
g 4- 6 4- г а — b + е 2Ь
' а — Ъ а — Ь =а — Ъ"
Следует отметить, что подобного типа упражнения
требуют некоторой специальной работы при и., исполь-
зовании в классе: необходимо не просто выполнить каж-
дое задание, но и в большинстве случаев сделать сопо-
ставление. Например, методическая ценность последие-,
го упражнения будет в значительной мере утеряна, ес-
ли учитель не обратит внимание учащихся на то, что
пункты а) и б) следует сопоставить. Верное восприятие
учащимися алгоритма вычитания рациональных дробей,
по существу, проявляется именно в таком сопоставле-
нии Аналогичное замечание можно отнести и к другим
упражнениям, приведенным в статье.
О РЕШЕНИИ ЗАДАЧ НА ОПТИМИЗАЦИЮ
В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ СТАРШИХ КЛАСС0..
А. Я. БЛОХ, И. А. ПАВЛЕНКОВА
(Москва)
В настоящее время в нашей стране большое внима-
ние уделяется вопросам повышения эффективности
и качества во всех сферах народного хозяйства. В этой
связи особую значимость приобретает умение решать
так называемые зар чи на оптимизацию, которые воз-
никают там, где ш оходимо выяснить, как с помощью
имеющихся средств достичь наилучшего результата,
как получить нужный результат с наименьшей затра-
той средств, материалов, времени, труда и т. п.
В курсе математики восьми лет и ей школы
имеются возможности для ознакомления учащихся
с некоторыми задачами па оптимизацию. Методика ре-
шения таких задач в курсе геометрии VI—VII клас-
сов освещена в статьях А. И. Мостового [7],	[8].
В учебных пособиях содержатся задачи на отыскание
наибольшей или наименьшей длины отрезка, плошади
фигуры и т. д Например, № 46. 47, 417(1), 418, 701,
702, 761, 766, 1157, 1158, 1252, 1253, 1254, 1365, 1382,
1383 из учебного пособия «Геометрия 6—8», № 850,
1089 из учебника «Алгебра 7». Как правило, каждый
тип таких задач требует особых приемов решения.
В IX классе учащиеся знакомятся с методом реше-
ния задач иа оптимизацию, основанным на применении
производной. Этот метод может быть использован
в тех задачах, которые сводятся к нахождению наи-
большего и наименьшего значений функции, заданной
формулой. Формирование умения решать такие зада-
чи- одна из самых важных целей изучения начал ма-
тематического анализа в средней школе. Задачи этого
типа имеют четкую прикладную направленность, если
не по фабуле, то в любом случае по подходу к реше-
нию. Действительно, в них все фазы построения и ис-
пользования математический модели - формализация,
решение фор иализованной задачи, интерпретация —
получают соответствующую реализацию: составление
функции, описывающей условие задачи, поиск крити-
ческих точек, анализ критически< точек с учетом осо-
бенностей задачи.
Тот факт, что каждая из экзаменационных работ по
курсу математики средней школы, изучавшемуся по
новой программе (экзамены 1977- 1980 гг.) преду-
сматривала проверку умения выпускников решать с по-
мощью производной задачи на оптимизацию, еще раз
свидетельствует о том, какое большое значение при-
дается в настоящее время умению решать задачи этого
типа
Ряд задач на оптимизацию содержится в учебном
пособии «Алгебра и начала анализа 9—10». изданном
в 1980 г (№ 353-359, 410—420, 429, 1780—1800).
32
Отдельные задачи включены в учебно) пособие «Гео-
метрия 9—10» (№ 284, 291, 306, 355). В списке литера-
туры приведены и статьи, в которых учитель сможет
найти подборки задач на оптимизацию. Большой и ин-
тересный материал содепжится в книгах [1], |4], [6].
Для работы с сильными учащимися можно рекомен-
довать книгу [2J
При решении задач на оптимизацию авторы учеб-
ного пособия «Алгебра и начала анализа 9—10» опи-
раются на следующее правило: «Чтобы найти наиболь-
шее и наименьшее значения функции, имеющей на от-
резке конечное число критических точек, нужно вычис-
лить значения фуньции во всех критических точках
и на концах отрезка и из полученных чисел выбрать
наименьшее и наибольшее» (п. 28, с. 90). В этом же
пункте пособия разбирается задача на оптимизацию
(пример 2 на с. 91), приводящая к функции, заданной
на интервале Правило для решения подобных за-
дач не приводится, но его легко выделить из данного
конкретного случая: если функция определена на про-
межутке ]а; 6[, то ее наибольшее или наименьшее зна-
чение нужно искать на (а; fc]; если наибольшее (наи-
меньшее) значение функции достигается внутри [п; £>],
то оно будет наибольшим (наименьшим) и на проме-
жутке ]а; Ь [. так как он содержится в [а; 6|; если
же оно достигается на конце, то функция на данном
интервале не имеет наибольшего (наименьшего) значе-
ния. При разборе с учащимися примера 2 этот способ
целесообразно детально прокомментировать.
Обоснования решений следует приводить и в тех слу-
чаях, когда функция определена на бесконечном про-
межутке. В качестве примера укажем задачу Ns 358,
в которой приходится отыскивать наименьшее значе-
ние функции
4V
S(x) =	-( х=
на множестве ]0; 4-оо [. В данном случае обоснование
легко получить, используя теорему 3 из п 26. Функ-
ция S(x) на множестве ]0; +°о| имеет единственную
критическую точку
з
х„ = v'W.
На промежутке ]х0; -|-оо| производная S'(x) положи-
тельна, а на промежутке ]0: х0[— отрицательна. Сле-
довательно, по теореме 3 (п. 26), хв — точка, в кото-
рой S(x) на ]0; -|-оо[ достигает наименьшего зна-
чения.
Заметим, что теоремы 2 и 3 из п. 26 остаются спра-
ведливыми и для случаев, когда один из интервалов
]а; хо [, ] х0; 6[ или оба они бесконечны; доказатель-
ство при этом остается тем же самым. В нашем слу-
чае бесконечен правый интервал ]х0; -роо].
В учебных пособиях по математике для IX—X клас-
сов нет таких текстовых задач на оптимизацию, в ко-
торых оптимальное значение достигается на концах
рассматриваемого промежутка. Кроме того, функция,
к исследованию которой сводится решение задачи, как
правило, имеет внутри промежутка лишь одну крити-
ческую точку, в которой и достигается искомое опти-
мальное значение. Если учащиеся будут решать только
такие задачи, то у них может сложиться впечатление,
что искомое оптимальное значение достигается всегда
в этой критической точке и поэтому достаточно огра-
ничиваться лишь нахождением критической точки и вы-
числением значения функции в этой точке.
Пример задачи, когда искомое оптимальное значение
достигается на конце промежутка, имеется в статье
Э. Г. Гетмана [3]. Там приведена задача, при решении
которой получается функция, принимающая при одних
значениях параметра наибольшее значение на конце
промежутка, а при других — в критической точке. Но
эта задача повышенной трудности, и с ней смогут
справиться далеко не все
учащиеся.
Приведем примеры анало-
гичных, но более простых
задач.
Задача 1. Имеется 40 м
проволоки. Требуется огра-
дить 3 стороны прямоуголь-
ного участка земли, примы-
кающего четвертой сторо-
ной к стене здания, причем
оградить так, чтобы площ>
была наибольшей. Какова .
Рис. 1
огороженного участка
площадь, если длина
стены здания равна а) 30 м, б) 10 м?
Решение. Обозначим длину стороны участка, при-
легающей к стече здания, через х (рис. 1), тогда дли-
на смежной с ией стороны (40—х)/2, а площадь
участка S(x)=x-(40— х)/2.
Задача сводится к отысканию наибольшего чначе
ния функции S в промежутке: а) ]0; 30], б) ] 0, 10[
Единственная критическая точка функции S (х=20)
попадает внутрь первого промежутка и не попадает во
второй промежуток В первом случае функция дости-
гает наибольшего- значения в критической точке это
значение равно S(20) =200 (м2), во втором—при
х=10. Тогда 5(10) = 150 (м2).
Задача 2. Из куска картона, форма и размеры
которого (в дм) показаны на рис. 2(а, б), вырезать
прямоугольник с наибольшей площадью, отрезав не бо-
лее двух кусков картона.
Решение. Обозначим длины сторон вырезаемого
прямоугольника через х и у, тогда его площадь S—xy.
Рис. 2
Выразим у через х; исходя из подобия треугольников
ВКС и АМС, получим
IВКI \ АМ\
INC] “|<ИС| т е-
9 — х	6	24 — х
a)	“ ~Г и у = —З- (р1,с 2’
9 — х	6	17 — .г
б)	“ у М'“ -у трис. 2. о).
В случае а) задача сводится к отысканию наиболь-
шего значения функции S|(x)=x(21— х)/3 на отрез-
ке [3; 9], а во втором случае — к отысканию наиболь-
шего эначения функции S2(x) =х(17 — х)/2 на том же
отрезке.
В первом случае критическая точка с=12 не при-
надлежит рассматриваемому отрезку (3; 9| и функция
принимает наибольшее значение при х=9, когда точ-
ка В совпадает с точкой С,.а именно 5,(9) =45 (дм2).
Во втором случае критическая точка х=8.5 лежит
внутри отрезка (3; 9], сравнив S2(3) =21, S2(8,5) =
=36,125 и S2(9)=36 получим, что наибольшего зна-
чения функция достигает в критической точке и 5то
значение равно 36,125 (дм2).
2 Математика в школе, >4 1
33
Учяшчхся целесообразно познакомить с одним из
приемов, позволяющим упростить выкладки при реше-
нии задач на оптимизацию с помощью производной.
Значительное количество таких задач связано с вы-
числениями, в которых используется теорема Пифаго-
ра, а тогда в результирующих выражениях появляют-
ся квадратные корни. Нахождение производных от вы-
ражений, содержащих квадратные корни, технически
сложнее, чем нахождение производных от многочленов
Чтобы свести вычисление к этому последнему случаю,
можно воспользоваться утверждением- «Если на дан-
ном промежутке функция f (х) положительна, то она
имеет экстремумы в тех и только в тех точках, кото-
рые являются точками экстремума функции /2 * *(х)»,
т. е. отыскание критических точек функции р=У₽(х)
может быть сведено к отысканию критических точек
функции y=g(x).
Если аналитическое выражение функции f(x) содер-
жит квадратный корень в качестве множителя, то,
пользуясь указанным утверждением, мы можем при
отыскании наибольшего значения функции f (х) искать
точку, в которой достигает наибольшего значения
функция f2(x), что гораздо проще. Такой прием ис-
пользуется, например, при решении задач № 355, 412,
415, 429 из пособия «Алгебра и начала анализа 9—10»
(1980).
Рассмотрим теперь пример, характеризующийся нео-
жиданностью ответа, полученного с помощью примене-
ния производной. Этот пример очень важен для даль-
нейшего развития геометрической интуиции.
Задача 3. Найти наибольшую площадь сечения
конуса плоскостью, проходящей через его вершину.
Высота Н конуса равна 1, радиус R основания ра-
вен 3.
Привычка рассматривать в качестве сечения конуса
только осевое сечение навязывает его в качестве без-
условного кандидата на сечение наибольшей площади.
Это интуитивное (неверное) представление подкреп-
ляется еще тем, что треугольник, получающийся в осе-
вом сечении, имеет наибольшую длину основания.
Решение. Пусть плоскость сечения пересекает
круг, лежащий в основании конуса по отрезку [АВ]
(см. рис. 3). Рассмотрим перпендикуляр [О/(] к [АВ]
и положим х=|ОК|. Тогда площадь треугольника САВ
как функция от х будет выражаться так:
/(х) = /1 + Xs-/9 —х\ 0 < X < 3.
с	Воспользовавшись вышеупо-
минутым приемом, найдем
7 Г \	критические точки функции
/ I \	8 Iх) = ОТ-*’) (9—х2). Этих
С	точек будет три: 0, 2, —2.
Поскольку f(0)=3, f(2) =
Л	=5, /(3)=0, наибольшая
площадь сечения равна 5.
р „	Заметим, что осевое сечение
ПС- 6	конуса, которое соответ-
ствует значению х=0, име-
ет площадь 3.
Нетрудно заметить, что в этом примере ответ каче-
ственно мог бы быть иным (наибольшую площадь
мо|ло иметь осевое сечение), если бы подбор числен-
ных значений параметров Н и R был иным. Эту за-
дачу можно развернуть в небольшой цикл задач; ана-
лиз этого цикла будет полезным упражнением для
сильных учащихся. Вот как, например, может вьнля-
деть этот цикл:
а) исходная задача 3;
б) то же условие, но /7=4;
в) то же условие, но .7=3;
г) найти наименьшее Н, обладающее тем свойством,
что в конусе с высотой Н и радиусом основания
/?=3 осевое сечение имеет наибольшую площадь сре-
ди сечений, полученных пересечением конуса плос-
костью, проходящей через его вершину.
Следует учитывать, что задачи школьного характера,
которые решаются с помощью производной, в некото-
рых случаях оказывается возможным решить и дру-
гими. элементарными методами. Сопоставление различ-
ных способов решения задач на оптпмизли-чо полезно
в постель’ их отношения?.: можно сравнять единооб-
разный характер решения задач с помощью ппоизвод-
ной с кустарными приемами, которые приходится
выискивать, если производной не пользоваться; реше-
нье задач на оптимизацию элементарными методами
обычно находится с большим трудом, оно включает
элемент догадки и твори ства. В то же время исполь-
зование производной может оказаться принципиально
несложным, но связанным с достаточно большими вы-
числениями.
Приведем элементарное решение задачи 3. Пусть I —
длина образующей. Обозначим через х величину угла
между образующими в сечении. Тогда S= 1/?В чщ х,
причем 0<x^;ci (а — величина угла при вершине осе-
вого сечения). Первое нз ограничений на х очевидно.
Второе (то, чсо xs; а) можно доказать так: в сече-
нии конуса каждый раз получаются равнобедренные
треугольники с боковой стороной /, поэтому у-ол при
вершине, противоположной основанию, достигает наи-
большего значения, когда основание наибольшее, т. е.
когда оно равно 27?; при этом сечение будет осевым
се 1снием конуса.
Из формулы для S получаем, что при а^90° наи-
большую площадь имеет осевое сечение, а при
а>90°— сечение с углом 90° при вершине.
Замечание. Выше мы говорили о неожиданности
отчета в разобранной задаче. Она во м югом происхо-
ди) из-за привычки изображать равнобедренный тре-
угольник остроугольным Если осевое сечение конуса —
остроугольный или прямоугольный треугольник, то его
площадь действительно будет наибольшей. Когда же
осевое сечение — тупоугольный треугольник, то его
площадь нс является наибольшей.
Решение ряда задач различными способами имеется
в сга)ьях Э Г. Гетмана |3| и А. Т. Улимаевой [9].
Мы остановимся еще на двух примерах.
Задача 4 Из всех прямоугольников, вписанных
в полукруг (одна сторона прямоугольника лввюит на
диаметре полукруга), найдите прямоугольник наиболь-
шей п ющади.
Элементарное решение. Пусть ABCD — прямо-
угольник. вписанный в полукруг (рис. 4). Объединение
данной полуокружности и ее образа при осевой сим-
метрии относит ел.<>: о (TCP)—окружность. В эту
окружность вписан прямоугольник АА'В'В;
|А'Т?'] = S(kp> [АТ?] (рис. 5).
Площадь прямоугольника ABCD — половина площади
прямоугольника АА'В’В Отсюда следует, что плошадь
ABCD максимальна тогда и только тогда, кода мак-
симальна площадь АА В'В. По из всех прямоугольни-
ков. вписанных в окружность, наибольшую площадь
имеет квадрат. Получи, м ответ: искомый прямоуголь-
ник имеет отношение сторон 2:1, а его площадь рав-
на Т?2, )де R — радиус данной полуокружности.
Задача 5 Среди прямо/ гольников, имеющих пло-
щадь 10 кв. ед., найти прямо угольник наименьшего
периметра.
Рис. 4
34
Решение, как известно, может быть получено раз-
ными способами, например с использованием неравен-
ства, связывающего среднее арифметическое и среднее
геометрическое. Пусть х, у — стороны прямоугольника,
тогда
причем равенство достигается только при х—гу—УЮ,
откуда искомый периметр равен 4fI0.
Обратим внимание на то, что эту ситуацию можно
рассмотреть и как задачу нахождения наименьшего
значения функции
Р(х) =4(х + —)
с областью определения ]0; +°о[.
На подобное переосмысление задач, связанных с на-
хождением экстремальных значений функций, целесо-
образно, иа наш взгляд, обращать внимание учащихся
как можно чаще, так как это дает возможность свя-
зать различные разделы школьной математики, ука-
зать взаимосвязь различных методов решения задач.
Литература
1.	Берс Л. Математический анализ. Т. I.— М.: Выс-
шая школа, 1975.
2.	Васильев Н. Б., Гутенмахер В. Л. Прямые и кри-
вые.— М.: Наука, 1978.
3.	Гетман Э. Г. Задачи на отыскание наибольших
и наименьших значений.— Математика в школе, 1979,
№ 2.
4.	Ивлев Б. М. и др. Сборник задач по алгебре и на-
чалам анализа для 9 и 10 классов.—М.: Просвеще-
ние, 1978.
5.	Коровкин П. П. Неравенства.— М.: Наука, 1974.
6.	Монахов В. М„ Беляева Э. С., Краснер Н. Я. Ме-
тоды оптимизации.— М.: Просвещение, 1978.
7.	Мостовой А. И. Некоторые методические рекомен-
дации к решению геометрических задач в VI классе.—
Математика в школе, 1973, № 4.
8.	Мостовой А. И. К решению геометрических задач
в VII классе.— Математика в школе, 1974, № 1.
9.	Улимаева А. Т. Решение задач на нахождение
наибольших и наименьших значений функций.— Мате-
матика в школе, 1979, № 6.
ПОВЫШЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ РАБОТЫ
МЕТОДИЧЕСКОГО ОБЪЕДИНЕНИЯ
УЧИТЕЛЕЙ МАТЕМАТИКИ
Л. Д. РОГОЗИНА,
заведующая кабинетом математики
Мурманского областного ИУУ
Школьное методическое обт единение (МО) является
одним из основных звеньев в системе повышения ква-
лификации учителей, его работа направлена на постоян-
ное' улучшение учебно-воспитательного процесса по
предмету, иа определение единого подхода к учащимся.
Правильная организация работы МО способствует раз-
витию педагогического творчества, росту культуры тру-
да всего коллектива; в ее основе лежит изучение си-
стемы работы каждого учителя, учет требований, кото-
рые предъявляют органы народного образования к шко-
ле, анализ внутришкольиых условий.
Определяя тематику работы методических объедине-
ний школ на 1980/81 учебный год, кабинет математи-
ки Мурманского областного ИУУ, используя опыт Мос-
ковского городского ИУУ, рекомендовал в качестве од-
ной из основных выбрать тему «Оптимизация учебно-
воспитательного процесса», для чего необходимо изу-
чить и обсудить опубликованные по этой проблеме ста-
тьи и монографии.
Основным при обсуждении должен стать воппос пи-
тимального планирования урока: его задач, содержСо„>1,
методов н организации в плане единства обучения и вос-
питания. При этом необходимо обратить внимание на
следующее: выбор наиболее рационального типа уро-
ка, целесообразных методов и приемов работы на уро-
ке (использование различных средств обучения, орга-
низация самостоятельной работы, в том числе домаш-
ней), выбор метода стимулирования учения, метода кон-
троля и самоконтроля знаний учащихся. Все перечис-
ленные вопросы способствуют повышению эффективно-
сти урока.
Исходя из анализа качества знаний, умений и навы-
ков учащихся по итогам прошлого года, итогам вы-
пускных экзаменов, МО школ следует выделить те те-
мы и разделы курса математики, по которым у них
были обнаружены слабые знания.
На заседаниях объединения следует рассмотреть та-
кие вопросы, как формирование коммунистического ми-
ровоззрения учащихся в процессе обучения математике,
трудовое воспитание и профориентация, эстетическое
воспитание.
Предметом спепиального обсуждения на заседаниях
методических объединений должны стать вопросы фор-
мирования математических понятий, формирования вы-
числительных навыков и навыков тождественных пре-
образований, прочных навыков решения задач, как ал-
гебраических, так и геометрических, а также задач ме-
тодом отображений. Большое внимание необходимо уде-
лить тематическому планированию н изложению наибо-
лее сложных разделов курса математики, итогу рабо-
ты учителей VI класса по учебному пособию -«Геомет-
рия 6—8», содержанию и методике работы по учебно-
му пособию «Алгебра и начала анализа», обобщению и
систематизации знаний учащихся и др.
При организации методической работы в школе не-
обходимо учитывать следующие положения:
возглавлять МО должны опытные, знающие методи-
ческую работу учителя;
д	--ятельность МО следует строить с учетом пробле-
мы, над которой работает школа;
при составлении плана надо учитывать работу по са-
мообразованию учителей (содержание индивидуальной
темы, степень ее завершенности);
при планировании и подготовке заседаний необходи-
мо устанавливать тесную связь с районным кабинетом
математики, народными университетами педагогических
знаний.
Именно таких принципов в работе придерживается
методическое объединение учителей математики сред-
ней школы № 2 г. Мурманска. Остановимся иа его ра-
боте.
Руководство методическим объединением учителей
математики осуществляют завуч школы заслуженный
учитель школы РСФСР М. В. Моисеева и отличник
народного просвещения, опытный, творчески работающий
учитель Н. Л. Розаева В школе 8 учителей математики
со стажем работы от 11 до 27 лет. Это люди с широ-
кой эрудицией, влюбленные в свою профессию, требова-
тельные и к самим себе и к ученикам Повседневная
работа учитечя по самообразованию, способствующая
повышению педагогического мастерства, — одно из ос-
новных направлений в работе этого методического объ-
единения. Так, с целью получения высшего политиче-
ского образования все члены его учатся в Университете
марксизма-ленинизма.
Освоение нового содержания программы потребова-
ло от учителей целенаправленной организации обмена
передовым опытом. Исходя из анализа качества знании,
умений и навыков учащихся, по итогам предыдущего
учебного года и текущих контрольных работ, а также
исходя из фактического уровня успеваемости, МО на-
метило для обсуждения в 1979/80 учебном году те
темы, по которым были обнаружены наиболее слаб-ые
знания. Так, предметом специального рассмотрения ста-
2*
35
ли следующие вопросы: «Отображения в курсе геомет-
рии», «Тригонометрические функции числового аргумен-
та», «Вычислительные навыки» и др.
Исходя из сказанного, методическое объединение
пььдложчли опытному учителю Т. В. Руденко нсдгого-
внгь сообщение на тему «Обуче ие учащихся методу
отображений в курсе геометрии VI—VII! классов». При
этом учитывалось и то обстоятельство, что в прошед-
шем году Тамара Васильевна работала над вопросом
«Преемственность в изучении геометрического материа-
ла в IV—V классах» и новое задание стало его логи-
ческим продолжением.
Работа нац темой велась в три этапа. Прежде всего
Т. В. Руденко изучила теорию по данному вопросу,
проанализировала программу и учебные пособия. Затем
с преподавателями кафедры математики Мурманского
пединститута разработала методику изучения отобра-
жений в курсе VI класса. Ею было подготовлено вы-
ступление на заседании МО «Единый методический при-
ем изучения отдельных видов отображений в курсе
8-летней школы». Здесь же решались н проблема един-
ства «языка» между курсами алгебры и геомет, ии.
Совместно с выпускницей пединститута Т. В. Полено-
вой (молодой специалист} Т. В. Руденко подготовила
сообщение на заседании МО «Цсле< гюбразная система
задач, обучающих школьников методу отображений».
Затем проводилась экспериментальная работа че^ез
уроки (все члены МО присутствовали на основных уро-
ках по данной теме). При анализе уроков рассматрива-
лись вопросы их содержания и организации, методы
обучения, а также степень усвоения изуча :ыого мате-
риала.
В заклю 1ение была проведена контрольная работа,
результаты которой подтвердили целесообразность вве-
денной методики.
Второму учителю А. Г. Суворовой поручили подгото-
вить вопрос, связанный с методикой изучения триго-
нометр”ческих функций числового аргумента. Эза учи-
тельница впервые вела девятые классы по обновленной
программе, поэтому в работе над темой ей стала помо-
гать опытная учительница Е. Я. Пронина.
Под рук эвсдством преподавателя пединститута
Л. А. Локтионовой ими была составлена поурочная
разработка темы «Тригонометрические функции число-
вого аргумента». Методика этих учителей тоже имеет
свои находки. Так, например, они предложили подго-
товку к введению понятия числового аргумента триго-
нометрических функций проводить через систему целе-
сообразно подобранных задач, а изучение тригономет-
риче-, ких функций вести раздельно; в цел) х пропедев-
тики решений тригонометрических уравнений и нера-
венств ими также была подобрана целесообразная си-
стема задач. Пьедложенная методика дала хорошие ре-
зультаты, что подтвердилось проведенной контрольной
работой.
Учителя математики этой школы совместно работают
я над такими вопросами, как «Развитие самостоятель-
ности учащихся зри обучении математике», «Формиро-
вание умений и навыков в работе с учебной литерату-
рой, справочниками», учитывая при этом рекомендации
Н. И. Борисова, изложенные им в книге «Как обучать
математике» (М.. Просвещение, 1979). Серьезно рабо-
тают они и по проблеме «Рациональная организация
урока», поставив перед собой задачу — создать опти-
мальные условия дл 1 успеашой работы Под руковод-
ством учителя математики Н. Л. Розаевой оборудованы
два кабинета математики, где сосредоточены комплекты
учебников, методической литературы, имеются библио-
теки для внеклассного чтения, дндвктические материа-
лы, диафильмы, диапозитивы, ТПО, ТСО и др. Все си-
стематизировано, имеется каталог оборудования и те-
матическая картотека.
Посте 1нно проводятся в школе практикумы по ме-
тодике использования ТСО и различных средств на-
глядности iia уроках. С целью повышения квалифиьа-
•	’	ГН?
пни учителей раз в четверть проводятся практикумы по
решению задач повышенной трудности. Систематически
к ним готовятся учителя математики школы; кроме то-
го, для выступлений приглашаются учителя-методисты
В. Е. Андреев, А. В. Сталин и преподаватели педин-
ститута.
На базе этой школы в 1979 г7 была проведена авгу-
стовская секция учителей математики района, где каж-
дый учитель МО поделился опытом своей работы.
В заключение приводим план заседаний методическо-
го объединения учителей математики средней школы
№ 2 г. Мупманска, который был утвержден на 1979/80
учебный год.
I заседание
1 Итоги 1978/79 учебного года и утверждение плана
работы на новый учебный год.
2.	Изучение нормативных документов н изменений в
программах и учебниках.
3.	Проблемное обучение как средство развития са-
мое то дельности учащихся при обучении математике.
4.	Обсуждение индивидуальных тем учителей:
II заседание
1.	Оптимальное планирование содержания и мето-
дов обучения на уроках по теме «Обучение методу
отображений в курсе геометрии VI—VIII классов» (со-
общение по теме).
2.	Диагностика пробелов в знаниях учащихся. Си-
стема повторения и пути повышения прочности знаний
и навыков (по итогам посещенных уроков и админи-
стративных контрольных работ по повторению).
3.	Подготовка к математической олимпиаде. Работа
кружков, состояние факультативных занятий
4.	Преемственность в обучении математике (сообще-
ния ,чителей).
III заседание
1.	Итоги успеваемости учащихся за I полугодие Уро-
вень знаний, умений и навыков учащихся на основе ана-
лиза посещенных уроков и результатов контрольных
работ. Сообщения по итогам взаимопроверки учениче-
ских тетрадей.
2.	Теоретический семинар по теме «Организация и
виды самостоятельных работ учащихся на уроках ма-
тематики».
3.	Использование наглядности и ТСО в целях форми-
рования навыков и умений учебного труда (из опыта
работы). Работа по пополнению кабинета математики
методическими материалами.
4.	Итоги математической олимпиады. Система вне-
J рочной работы по математике и пути повышения ее
эффективности и качества.
5.	Обзор педагогических журналов по тем1 «Роль
семьи в формировании познавательных интересов уча-
щихся» (подготовка к родительскому собранию).
IV заседание
1.	Работа МО по организации и обобщению передо
вого опыта. Итоги работы по теме «Обучение метолу
отображений в курсе геометрии VI класса» (обсужде-
ние посещенных уроков, перспективность в работе по
теме).
2.	Политехнический аспект преподавания математики,
межпредметные связи (совместный семинар с учите-
лями физики, химии).
3.	Обсуждение экзаменационных материалов.
4.	Планирование уроков повторения, обобщающих
уроков по гемам. Организация индивидуальной работы
с учащимися.
36
Читатели вносят предложения
К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ
И ПОСТРОЕНИЮ ГРАФИКОВ
М. Г. СКВОРЦОВА, П, Г. СКВОРЦОВ
(г. Нальчик)
Опираясь на наш опыт, предлагаем руководствоваться
при исследовании функции следующей схемой:
1.	Найти область определения функции.
2.	Найти область непрерывности функции.
3.	Проверить функцию на четность и нечетность.
4.	Найти точки пересечения графика функции с ося-
ми координат.
5.	Исследовав знак производной данной функции,
найти участки монотонности и экстремумы этой функции.
6.	Построить схематически график функции.
Подчеркиваем, что эта схема ориентирует учащихся
(в п. 5) на исследование знака производной (вместо
того чтобы сосредоточивать внимание на разыскивании
критических точек). Так, например, при исследовании
функции f (х) = ^х2 мы находим
Таким образом, график функции /(х) проходит через
начало координат.
-	,	,	/ X \' I — Xs
5- /(*)==(i+J =(1+л^«-
(х— 1)(х+ I)
(1+х*Г '
Отсюда ясно, что знак производной f'(v) меняется по
схеме, изображенной иа рис. I. Следовательно, f(x)
убывает в промежутке |——1 [, возрастает в проме-
жутке ]—1; 1[. убывает в промежутке |1; +«>(. Ис-
пользуя достаточные условия существования экстрему-
ма (и учитывая, что цх) непрерывна), мы заключаем:
в точке х = 1 функция /(х) имеет максимум (]т^ =
= f(l) = >/21 а в точке х = —1—минимум (/ты =
г 2
/' (х) “ з
и замечаем, что f'(x) меняет знак с «—> на «r-ф» при
переходе через точку х=0; отсюда заключаем, что фун-
кция f(x) убывает в промежутке ]—оо, 0[ и возрастает
в промежутке )0; -}-оо[.
Прежде чем приступать к решению задач по указан-
ной схеме, обращаем внимание учащихся на то, что им
известен способ построения графика функции по точ-
кам; способ этот несовершенен, так как не учитывает
характерных особенностей графика, и он существенно
дополняется в результате исследования производной и
учета некоторых особенностей функции.
Приведем пример решения задачи по указанной схеме.
-X
Задача. Исследовать функцию f (х) = “г и
построить схематически ее график.
Решение. 1. Z)(f)=R.
X
2. /(х) непрерывна (па R), так как j — частное
двух непрерывных функций н при этом 1-Ьх2э4=0 на R.
X
3- /( — х) = — 1 jj;2 = —f (-*') следовательно,
[ (х) — нечетная функция.
{х
у “ F+x5’
У = 0;
1 + х2 “ °’ х ~ °'
Точка О (0; 0) есть точка пересечения графика функции
с осью Ох.
х
у = 1 х”
х = 0;
у=0.
6. На основании результатов исследования строим
схематически график функции /(х) (рис. 2).
Опыт исследования функция по указанной схеме по-
казал, что по каждому пункту схемы учащиеся получа-
ют вполне определенный результат, причем получение
его не вызывает затруднений, ибо навыки для выпол-
нения каждого пункта схемы были отработаны на пре-
дыдущих уроках. Построение графика функции (схема-
тически) по результатам исследования проходит ус-
пешно.
Мы считаем, что при изучении в IX классе примене-
ния производной к исследованию функций и построению
графиков следует уделить больше времени решению
задач, схематическому построению графиков, ибо это
способствует развитию (еометричсских представлений
учащихся, выработке у них алгоритмических и вычисли-
тельных навыков. Необходимо больше решать тексто-
вых задач, демонстрирующих связь математики с реаль-
ной действительностью, — задач производственного со-
держания, задач, связанных с актуальными задачами
практики и вопросами научного естествознания, что
способствует формированию у учащихся марксистско-
ленинского мировоззрения и иллюстрирует mcai редмет-
ные связи.
37
Консультация
ПО ПОВОДУ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 8
ПО ГЕОМЕТРИИ В VII КЛАССЕ
Ф. М. БАРЧУНОБА
(Москва)
В журнале № 3 за 1980 г. «Математика в школе» опуб-
ликованы контрольные работы по геометрии в VII клас-
се*
В первом задании контрольной работы № 8 к п. 66
69 предлагается задача, которая в VII классе может
быть решена лишь с помоЩоЮ построения в определен-
ном масштабе треугольника по заданным элементам и
непосредственного измерения искомой его стороны. От-
вет задачи получается с учетом масштаба. В I вари-
анте, для того чтобы избежать двух ответов, что не
должно иметь места при определении конкретного рас-
стояния, приходится проводить решение с опорой на
рисунок (учесть, что иа рисунке треугольник остро-
угольный, и соответственно выбрать решение).
Такого рода задачи, во-
обще говоря, очень полезны.
Однако подобных задач в
учебном пособии нет, и спо-
соб их решения может вы-
звать затруднение у уча-
щихся. Поэтому можно ре-
комендовать первые зада-
ния указанной контрольной
работы предложить на од-
ном из уроков в порядке
самостоятельной работы с
предварительным коллек-
тивным поиском способа ре-
шения. Что касается кон-
трольной работы, то лучше
первое задание в каждом из вариантов заменить следу-
ющим (разночтения для L варианта указаны в скобках):
На рисунке показано, как можно определить ширину
озера |ДВ|. Вычислите ее, если [CD|||[Afi], |А£| =
=75 м, |С.4|=35 м, 1CD|=32 м, (1АС|=30 м,
]С£|=45 м, |С£>( =42 м).
уроку, что почти всегда связано с организацией хране-
ния и поиска в массивах иллюстративных и дидактиче-
ских материалов.
Кроме того, ставился акцент на организацию мощно-
го фронтального и индивидуального контроля за ходом
усвоения учебного материала. При этом требовалось,
насколько это возможно, разгрузить учителя от рутин-
ной работы, поручив часть ее (наиболее формальную)
автоматам.
И последнее: хотелось создать в кабинете обстановку
приятной работы для учащихся и учителя.
Покажем, какими же средствами нам удалось осу-
ществить поставленные цели и задачи.
I. «Усиление» возможностей существующих ТСО
К о д о с к о п. Дидактические возможности кодоскопа
подробно описаны в № 6 журнала «Математика в шко-
ле» за 1971 г. Мы решили несколько усилить этот при-
бор, снабдив его специальной приставкой для автомати-
ческого поиска нужного кадра (см. фото 1). Через кад-
ровое окно кодоскопа протягивается прозрачная лавса-
новая лента, разбитая на кадры, на каждом из которых
нанесены чертежи-полуфабрикаты, наиболее часто встре-
чающиеся в задачах и вопросах теории: геометрические
фигуры, схемы, графики и т, д. Каждый кадр снабжен
номером, установив который переключателем на пульте
прибора и включив приставку учитель может не бес-
покоиться: нужный кадр приставка найдет сама и вы-
светит ее на экран; время поиска составляет от 3—
5 секунд до 1 минуты. Для учителя на самой пристав-
ке смонтирован перечень имеющихся на ленте кодопо-
зитивов с указанием их номеров Нужные для урока
кадры можно найти или на перерыве, или на уроке, так
как процесс поиска не отвлекает учителя от работы с
классом. На ленте имеются пустые кадры для наклад-
ных кодопозитивов. Таких кодопозитивов для VIII —
X классов по алгебре и геометрии имеется около 1000.
Кодопозитивы мы изготавливаем на прозрачной целло-
фановой основе: чертежи строим цветными шариковыми
ручками, а надписи делаем черными чернилами обыч-
ной наливной авторучкой. Этот массив кодопозитивов
разбит по классам и предметам, а в предмете — по те-
мам и урокам. Для каждой темы и подтемы имеется
папка с номером, в которую сложены все кодопозитивы
урока (нескольких уроков), кодопозитивы тоже снаб-
жены номерами, например А—9—13—7: алгебра, 9 й
класс, 13-я тема, 7-й кодопозьгив. Эти же номера впи-
саны в планы уроков в соответствующих местах. А—9
написано на общей папке данного класса и предмета,
А—9—13 написано на 13-й папке этого массива,
Фото 1
Учебное оборудование
КАБИНЕТ МАТЕМАТИКИ —
ЗВЕНО В СИСТЕМЕ НОТ УЧИТЕЛЯ
И УЧАЩИХСЯ (из опыта работы)
Г. М. КОФМАН
(Ленинград)
При создании кабинета мы руководствовались стремле-
нием максимально использовать 45 минут урока на ум-
ственную деятельность учащихся, сократив до минимума
время урока, расходуемое на всевозможные вспомога-
тельные работы.
Не менее важным считали организацию кабинета,
дающего возможность сократить время подготовки к
38
I
к
A—9—13--7 — на кодопозитиве и в плане. Кроме того,
имеется книга с перечнем всех тем и соответствчющими
им номерами (согласно программе). Такая организация
материала позволяет быстро найти нужный кодопози-
тнв. EcTi ственно, что после урока отработанный мате-
риал должен быть установлен на место.
Магнитофон В кабинете на протяжении ряда
лет действует система «Диктант»; в настоящее время
она состоим нз магнитофона с приставкой и наушников
для учащихся. Система «Диктант- собрана на базе се-
рийного магнитофона «Днипро-12» (можно использо-
вать любой другой магнитофон). Управление двигателя-
ми магнитофона осуществляется приставкой, собранной
на реле и транзисторах. Система позволяет производить
раздельный, двухвариантный контроль усвоения факти-
ческого материала, знаний формул и правил, простей-
ших навыков н умений. Учащиеся, сидящие на одной
парте, получают разные варианты заданий и не слы-
шат друг друга
Примеры диктантов (один вариант)
IX класс. Диктант № 8 (пауза 40—60 секунд)
1.	В следующих 5 заданиях найти значения производ-
ных функций-
а)	/(-*) = 3х’ в точке хв = —2;
3
б)	/ (X) = —г	в точке хв = — 2;
в)	/ (х) = 3 S х в точке х0 = 4;
3
г)	/(х) = - 'у— в точке х0 = 4;
д)	f (х) = 2х х в точке хв = 4.
2.	Решить уравнение
/' (х) = 5 х — 6, если / (х) = -д- л
3.	Решить уравнение
/'(х)= <р'(х), где /(*) = ^4,5 — -§-) х’,
<р(х) = 20х.
4.	Решить неравенство
<р'(х)^0, если <р(х)=2х34-3х!4-42х.
5.	Решить неоавенство
<р'(х)<0, если <р(х)=х3—75х.
6.	Производная какой функции равна х4?
Диктант окончен.
X класс. Диктант № 11 (пауза 40—60 секунд)
Решить следующие уравнения и неравенства:
I. sin(x-|- = 0; 2. cos(x^--y-)= 1; 3. tg2x =
----1; 4. ctg(x— = — 1; 5. (sin(2x— = 2;
Диктант окончен
В кабинете создана и работает «фонотека» на одной
бобине (500 м) где записано около 50 диктантов по
двум вариантам для VHI--X классов.
Приставка к магнитофону позволяет:
1.	Осуществлять автоматический поиск нужного дик-
танта на ленте. Для этой цели учитель устанавливает
номер нужного диктанта на клавиатуре пульта и вклю-
чает магнитофон; через 1—2 минуты диктант будет най-
ден и магнитофон остановится.
2.	Устанавливать между вопросами необходимую пау-
зу (от 10 до 200 сек) для обдумывания и записи ответа
учащимися. Задиктовав раздельно обоим вариантам их
вопросы, магнитофон останавливается на время, пре-
дусмотренное длиной паузы, по истечении которой ав-
томатически включается следующий вопрос.
3.	Автоматически останавливать магнитофон после
записанных слов диктора: «Диктант окончен».
4.	Производить обратную перемотку пленки в исход-
ное положение после нажатия кнопки «Возврат» и ав-
томатическую остановку перед диктантом № 1.
5.	Осуществлять запись двух вариантов диктанта на
одну пленку, автоматически выполняя все необходимые
технические условия для качественного воспроизведения.
Имеется специальная тетрадь, в которой записаны все
вопросы всех диктантов (двух вариантов) н допустимые
ответы учащихся. Тетрадь служит в основном целям
проверки. Методика работы достаточно проста: уча-
щиеся получают тетради для самостоятельных работ,
записывают дату, затем надевают наушники; учитель
включает магнитофон. Учащийся слышит: «IX класс,
диктант № 3» (записывает номер диктанта). Затем
следует гонг, а за ним вопрос; учащийся записывает
номер вопроса (запись задания не требуется) н свой
ответ, найденный во время паузы. В кон ie паузы снова
следует гонг и новый вопрос и т. д. В результате в
тетрадях учащихся имеются лишь номера вопросов и
ответы на каждый из них. Некоторые учащиеся успева-
ют за время паузы записать условия, отдельные преоб-
разования и ответ — это не возбраняется. По оконча-
нии диктанта тетради немедленно собираются для про-
верки. Исключение составляют диктанты тренировочно-
го характера, когда правильные ответы и комментарии
к ним дает учитель.
Оценка выставляется у нас по следующим критериям:
за 10 правильных ответов — «5», за 8—9 — «4», за 6—
7 — «3», за 5 и менее — «2». В некоторых работах мы
ставили «3» и за 5 правильных ответов.
При проведении диктанта в классе полная тишина,
лишь через наушники едва пробивается голос диктора
Учащиеся друг друга не слышат, шнуры у наушников
короткие, что ие дает возможности вертеться. Обста-
новка рабочая, серьезная. Все работают! И учитель со-
вершенно свободен, он лишь наблюдает за работой уча-
щихся. Диктант длится 8—12 мьлут; проверка с помо-
щью ассистентов занимает 15—20 минут на вариант.
Отношение у учащихся к диктантам очень уважитель-
ное.
Приставка для магнитофона, а еще лучше специализи-
рованный магнитофон с комплектом наушников —
очень ценное пособие для учебного процесса. Относи-
тельно низкая требовательность к качеству звучания
(надо передать только голос), отсутствие акустической
системы (за ненадобностью), употребление недефицнт-
ных, широкораспростраиенных реле н транзисторов мо-
гут даже при малых сериях сделать это устройство бо-
лее дешевым, нежели серийные магнитофоны низкого
класса, и, следовательно, широко применимым в шко-
лах (не только для математики). Система «Диктант»
сконструирована и изготовлена нашими учашимися под
руководством ученика IX, а затем X класса Орлова
Александра.
II.	Комплект контпольсо-трснмрсвочной аппаратуры
В кабинете работают контрольно-тренировочные ма-
шины «Октава 1», «Октава 2», «Атомос» и «Старт».
Названия этих машин отображают основное целевое
назначение и инициалы авторов и исполнителей — наших
учащихся. Например, «Атомос»: автоматическая трени-
ровочно-обучающая машина Орлова Саши; «Октава»:
обучающий контрольно-тренировочный автомат Верен-
цова Александра. Названия несколько помпезны, но
главное не в этом.
29
«А том ос». Имеется книга, в которой 24 страницы;
к ;ждая страница — задание, снабженное номером.
В задании 5 вопросов н 24 возможных закодированных
ответа. Нажав кнопку «Пуск», ученик видит на табло
номер предлагаемого билета, иаходцт его в книге и при-
етуп’>ет к решению. На табло горит «временная» линей-
ка длина которой уменьшается во времени. Полхчив
все (или не все) ответы и найдя их коды в книге, уче-
ник .амосит с помощью поворотного переключателя
внач не код очного ответа, а потом нажимает кнопку
с номером соответствующего вопроса (1, 2, 3, 4 или
5); машина шевечивает «правильно» («неправильно»).
После этого заносится ответ на другой ?опрос (не обя-
зательно по порядку вопросов в книге) и т. д., причем
машина воспринимает ответы только тогда, когда све-
тится временная линейка. После ответа на последний
вопрос высвечивается оценка, а в случае получения
оценки «5» выдается конфета. При нажатии кнопки
«Пуск» номер билета, предлагаемого машиной, выбира-
ется случайно (даж‘ учитель не знает заранее, каким
будет следующий номер).
Для машины «А.омос» можно составлять
разному материалу н разным предметам; у
книги по геометрии X класса, по алгебре и началам
анализа IX класса (тригонометрия), по алгебре
VIII класса (прогрессии).-.Машина применяемся как на
уроках, так и для работы' после уроков в тренировоч-
ном режиме, когда после небольшой консультации уче-
ник может решить ряд задач самостоятельно, не отвле-
кая учителя от других дел.
«Октава 1» и «Октава 2». Эти машины пред-
назначены для оперативного контроля знаний учащими-
ся формул тригонометрии, каждая из них работает по
четырем программам:
1.	Значения тригонометрических функций некоторых
аргументов
книге по
нас есть
алгебре
2
б ’	4 ’	3
2.	Формулы приведения.
3	Наиболее употребительные формулы (формулы сло-
жения и их следствия и т д)
4.	Программа, coci авленная из всех вопросов первых
трех программ.
Заданный режим работы (Ns программы) устинавли-
вается учителем с помощью переключателя программ;
им же устанавлпг тется вид работы: «контроль» или
«тренировка». В первом случае ученик не может «сте-
реть» полученную оценку и начать работу снова; в слу-
чае режима «тренировка» он может «стереть» оценку
и вернуть машину в исходное состояние, чтобы ешс
раз ответить на заданные вопросы.
Машина снабжена временным дозатором, устанавли-
вающим интерв 1лы времени для ответа на каждый во-
прос. Этот интервал определяется и устанавливается
учителем с помощью переключателя.
Пульт управления машиной имеет следующие кноп-
ки (см. фото 2): «Пуск», «Сброс», «Стереть», «Готов» —
и информационные клавиши: 0; I; 2; 3; }'2; }'3; а; |3;
sin; cos; tg; etg; ( ; ); 0;	; /.
При нажатии кнопки «Пуск» па табло высвечивается
вопрос, например sin 60° Ученик набирает (констру и-
рует) ответ, нажимая (в нужном порядке) следующие
кнопки и клавиши; ]3, /; 2. «Готов». Если ответ пра-
вильный, то на т 1бло загорается транспарант -.Да» и
высвечивается правильный отсек }3/2. В случае непра-
вильного ответа загорается транспарант «Нет» и вы-
свечивается правильный ответ; ]'3/2. Затем машина ав-
томатически включает второй вопрос из имеющегося
запаса в длиной программе, и ц п<л повторяется 10 раз.
Задаваемые м пи ioii вопросы берутся из памяти в слу-
чайном порядке, так что при повторной работе ученик
получает уже другую последовательность вопросов.
После отвс±а на последний (десятый) вопрос машина
Фото 2
выставляет оценку по тем же критериям, как в систе-
ме «Диктант». В кабинете математики машины «Ок/а-
ва 1» и «Октава 2» раоотают уже 4 года с большой
нагрузкой. На переменах и после уроков у машин вы-
страиваются очереди из учащихся, желающих порабо-
тать на них. Эта игра способствует непринужденному
запоминанию основных формул тригонометрии
Аналогично предыдущим устроена и машина «Стар т»
(специализированный тренировочный автомат для реше-
ния треугольников). Она имеет кнопки «Пуск», «Сброс»,
«Стереть», «Готов» и информационные клавиши а; Ь; с;
А; В; sin; cos; tg; etg; /. При нажатии кнопки «Пуск»
высвечивается прямоугольный треугольник со стандарт-
ными обозначениями сторон и углов и вопрос вид1:
«Дано: Ь; А. Найти с». Ученик должен нажать клавиши
и кнопки (в единственном порядке): Ь, /, cos, А «Го-
тов». После этого загорается транспарант «Да» и вы-
свечивается правильный ответ: Ь/cosA. После ответа
на пять таких вопросов машина выставляет оценку.
«Старт» снабжен дозатором времени на каждой во-
прос. Если ученик не успел занести свой ответ за за-
данный временной интервал, то машина сама высвечи-
вает правильный ответ, засчитывает ученику минус и за-
дает следующий вопрос. Клавиша «Стереть» служит
для исправления занесенного ответа до нажатня кноп-
ки «Готов». Точно такие же устройства работают и
в машине «Октава».
Разработка н изготовление названных машин привели
нас к выводу, ч'го все контролирующие машины могут
быть созданы на базе унифицированных узлов. Более
того, возможно создание одной машины, реализующей
программы контроля по любой теме и даже по любому
предмету. Если в машине типа «Октава» предусмот-
реть сменное табло и сменные названия информацион-
ных клавиш, то устройство будет обладать неисчерпае-
мыми возможностями оперативного контроля по мно-
гим предметам. Такая машина разработана в школьном
научно-техническом обществе при кабинете математики
и при благоприятных условиях будет изготовлена.
III.	Автомат матричного контроля
Система «Диктант» автоматизировала подачу мате-
риала (заданий) от учителя к ученикам. Однако акт об-
ратной связи перемещался во времени в связи с не-
обходимой проверкой результатов диктанта.
Нас давно привлекала мысль об автоматизации и са-
мого процесса проверки (обратной связи/, тогда такой
40
вид контроля («Диктант») был бы полностью автома-
тизирован Для этой цели в кабинете математики сила-
ми научно-технического общества был разработан и из-
готовлен автомат матричного контроля (АМК); это
наша последняя работа. Чтобы понять суть его работы,
нужно обратиться к смыслу матричного контроля, ко-
торый широко применяют учителя математики. Матри-
ца 10X10 клеток содержит по 10 ответных результа-
тов на каждый из 10 вопросов. Ответ ученика заключа-
ется в выборе нужной строки (V° вопроса) и нужного
столбца (№ ответа). Мы изготовили пластинку из про-
зрачного материала с десятью горизонтальными проре-
зями, в которые вставлены непрозрачные подвижные
фишки, закрывающие только один элемент матрицы;
таких фишек 10 (по одпой в каждой строке). Таким
образом, каждая фишка в своей строке может быть
зафиксирована в любом из 10 положений. В классе име-
ется матрица (набор матриц) с ответами на все пред-
лагаемые задания; естественно, учителю известна после-
довательность правильных ответов. (Если ответы но-
сят числовой характер, то одна такая матрица может
обслуживать множество работ, по 10 вопросов в каж-
дой. В принципе одна матрица может быть использова-
на в I010 случаях различных де^ятивопроспых з .лапин.)
Решая л-е задание, ученик в л-й строке п. астинки уста-
навливает фишку на нужное место. После ответа на
все 10 вопросов пластинка вставляется в АМК, где она
за доли секунды проверяется, а результат (номер уче-
ника по журналу и оценка' фиксируется иа пульте
учителя и печатается на бумаге. Например. 37—5, т с.
ученик под № 37 (фамилия по журналу) получил опен-
ку «5» Критерии оценки такие же, как и у системы
«Диктант». Учителю остается готовые pi зультаты зане-
сти в классный журнал.
Машина позволяет производить одновременную про-
верку двух разных вариантов пластин учащихся без
перенастройки (перед проверкой учитель с пульта на-
бирает номер двух последовательностей правильных от-
ветов, которые и служат эталонами для проверки). Пла-
стины I и II вариантов снабжены постоянными метка-
ми. Точно так же на пластине фиксируется номер ее
владельца по журиату. Из всего многообразия 10'°
возможных последовательностей правильных ответов мы
выбрали (по техническим соображениям) 13 576 (26')
двухварпантпых последовательностей, что, несомненно,
делает угадывание правильных ответов маловероятным
В перспективе сохраняется возможность перейти к
многовариаптиым пластинам и индивидуальным домаш-
ним заданиям (особенно для некоторой группы учащих-
ся, требующих особого контроля, а также для сильных
ребяг), результаты которых при входе в кабинет мате-
матики предъявляются автомату матричного контроля.
В этом случае перед началом каждого урока учитель
будет иметь полную информацию о степени обученности
данному разделу всех учащихся, что повлечет за собой
применение соответствующей тактики урока.
IV.	Некоторые вопросы НОТ
Учителю хорошо известно, как много времени урока
расходуют учащиеся иа поиски линейки, карандаша,
циркуля и т. д. Даже в отлично воспитанном классе
на подготовку к уроку тратится строго лимитированное
Прочное время. Мы надеемся, что решили эту проблему,
\ стаиовпв на каждой парте подставку (см. фото 3) с
некоторыми наиболее употребительными инструмента-
ми: 2 циркуля 2 карандаша, линейка, логарифмическая
линейка, шаблон графиков элементарных функций,
2 шариковые ручки (с красным н зеленым стержнями),
резинки, таблицы Брадиса. Эти пособия все время под-
держиваются в рабочем состоянии дежурными по клас-
су перед каждым уроком и администратором кабинета
(учеником) после уроков. В кабинете имеется механи-
ческая точилка для карандашей, которой пользуются
дежурные перед уроком математики.
Фото 3
Все стены кабинета, продольные и поперечные балки
перекрытия использованы для вывешивания таблиц,
графиков, основных формул, разбитых на разделы. На-
личие такого матерПала экономит время урока, позво-
ляет учащимся непроизвольно многое запоминать, соз-
дает колорит кабинета
Рабочее место учителя выполнено в виде стола-пуль-
та, на котором смонтированы органы управления ко-
доскопом, магнитофоном «Диктант», контролирующими
машинами «Октава», «Атомос», «Старт», < АМК» (о них
шла речь выше), опусканием и поднятием экрана, ос-
вещением. Справа под рукой учителя вмонтирован ко-
доскоп, рядом находится кодотека; слева — магнитофон
«Диктант». На большой полке размещены дидактиче-
ские материалы по алгебре и геометрии для VIII^-
X классов; полный набор чидактнческого материала по
этим классам имеется на стандартных перфокартах
ЭВМ. Каждая самостоятельная и контрольная работа
расположена в коробочке, на торце которой стоит ее
индекс, например А—9—CIV—2: вторая самостоятель-
ная работа по четвертой теме алгебры IX класса; илн
А -10—К—3: третья контрольная работа по алгебре
в X классе.
В кабинете имеются все учебники математики, жур-
налы «Математика в школе» за несколько лет, книги
по математике, брошюры с экзаменационными задания-
ми ленинградских вузов и т. д.
В заключение следует отметить, что создание каби-
нета осуществлялось на протяжении многих лет силами
учащихся VIII—X классов н выпускников нашей школы.
О СОСТАВЛЕНИИ ОПИСАНИЯ
ДИАФИЛЬМОВ И ДИАПОЗИТИВОВ
В.	В. КОЛУПАЕВ, Н. Я. КОЛУПАЕВА
(Курская обл.)
Учитель математики ие представляет своей работы без
использования диафильмов и диапозитивов. Не доволь-
ствуясь лентами и слай 1амн фабричного изготовления,
учитель часто изготовляет экранные пособия своими
силами, а также с помощью учащихся н шефов. Таким
образом, в кабинете математики постепенно накаплива-
ется большое количество экранных пособий. Среди них
встречаются и такие пособия, которые посвящены одно-
му и тому же вопросу программы, и это очень по. з-
но, так как учитель может выбрать те пособия, которые
иаилучшим образом подходят к цели конкретного урока.
Расскажем, как мы организуем работу с диафильма-
ми и диапозитивами в своем кабинете математики. Для
каждого диафильма и каждой серии диапозитивов мы
составляем описания Описание делястся в двух экзем-
плярах; в тетради и на карточке. В тетради при состав-
лении описания мы указываем: название диафильма,
номера кадров, содержание кадров (рисунки, краткий
текст), тему и классы, где возможно использовать кадр,
так как од <и и тот же кадр часто приходится демонст-
41
рировать несколько раз. Например, тема «Осевая сим-
метрия» изучается в V и VI классах, поэтому те кадры,
которые применяли в V классе при изучении новрю ма-
териала, в VI можно использовать при повторении.
Диафильмы и диапозитивы по а агебре и геометрии опи-
сываем в различных тетрадях. В них все страницы ну-
меруются, а на первой помещается «Содержание». Од-
новременно с описанием кадра в тетради мы через ко-
пирку записываем его на карточке, которая прикрепля-
ется к плану урока. Планы уроков лучше всего со-
ставлять па отдельных листах. Такой лист удобно вы-
нуть из папки и прикрепить к нему описания новых эк-
ранных пособий. Это облегчает подготовку к уроку не
только в одном учебном году, но и на протяжении ря-
да лет. Если кадр применяется в нескольких темах, то
удобнее всего прикреплять его описание к плану того
урока, где он используется впервые, а в остальных пла-
нах сделать ссылку иа первый урок.
Таким образом, описание экранных пособий облегча-
ет учителю подготовку к уроку. Если учителя не уст-
раивают те кадры, которые были отобраны к уроку
раньше и записаны на карточках, то он, просматривая
тетрадь с описаниями, отберет то, что считает целесооб-
разным для данного класса, данного урока и внесет
свои изменения в план урока. Описания диафильмов и
диапозитивов мы составляем с участием всех учителей
математики. Работа эта кропотливая, но мы считаем,
что время, затраченное на описание, вполне окупается.
Эксперимент
О ПРОБНЫХ УЧЕБНИКАХ ПО ГЕОМЕТРИИ
ДЛЯ VI—VIII КЛАССОВ
ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ШКОЛЫ
Л. С. АТАНАСЯН, Э. Г. ПОЗНЯК
(Москва)
Проблема совершенствования среднего обра-
зования в нашей стране тесно связана с со-
вершенствованием школьного математическо-
го образования, с приведением его в соответ-
ствие современному развитию науки и тех-
ники. Большое внимание этим вопросам уде-
ляют Министерство просвещения СССР, Ми-
нистерство просвещения РСФСР, а также От-
деление математики Академии наук СССР.
ДЗ последнее время в нашей печати были
опубликованы материалы о математическом
ооразовании в средней школе. В журнале
«Математика в школе» № 3 за 1979 г. напе-
чатан проект программы по математике для
IV—X классов общеобразовательных школ,
разработанный комиссией МП РСФСР и одо-
бренный комиссией по экспериментальным
школьным программам и учебникам Отделе-
ния математики АН СССР под руководством
академика А. Н. Тихонова.
Издательство «Просвещение» выпустило в
свет пробные учебники по геометрии для VI и
VII классов (авторы Л. С. Атанасян,
Э Г. Позняк), которые написаны в соответ-
ствии с этим проектом программы. В настоя-
щее время находится в печати пробный учеб-
ник по геометрии для VIII класса (авторы
Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадом-
цев, Э. Г. Позняк).
Министерством просвещения РСФСР с сен-
тября 1979/80 учебного года осуществляется
экспериментальная проверка проекта про-
граммы и пробных учебников по математике.
Она ведется в школах Киевского района
Москвы, Куйбышевского района Ленинграда,
Городецкого района Горьковской области,
Болотовского района Калининской области и
Чамзинского района Мордовской АССР.
В ней участвуют свыше 16 тыс. учащихся из
60 городских и 42 сельских школ. Проверку
осуществляют 238 учителей математики с
различным педагогическим стажем. Предва-
рительные итоги эксперимента отражены в
статье О. А. Боковнева и И. II Юдиной
«Экспериментальная проверка пробных учеб-
ников «Алгебра» и «Геометрия» для VI клас-
са средней школы в 1979/80 учебном году»
(Математика в школе, 1980, Ns- 6).
Эксперимент по геометрии проводится по
указанным выше пробным учебникам для
VI и VII классов. Ход эксперимента постоян-
но обсуждается с учителями и методистами,
а также на коллегии Министерства просвеще-
ния РСФСР. Уже сделаны предварительные
выводы об итогах проверки в 1979/80 учеб-
ном году пробного учебника по геометрии для
VI класса. Абсолютное большинство учите-
лей-экспериментаторов положительно оцени-
вают дедуктивную основу курса и отмечают,
что теоретический материал представляет со-
бой строгую логическую систему. Практиче-
ская направленность в изложении учебного
материала обеспечивается широким использо-
ванием так называемых практических зада-
ний, которые помогают формировать геомет-
рические понятия, вырабатывать навыки гео-
метрических построений, развивать простран-
ственные представления и логическое мышле-
ние. Выполнение практических заданий с ис-
пользованием чертежных инструментов спо-
собствует более осознанному усвоению учеб-
ного материала. Большинство учителей счи-
тают, что у многих учащихся возрос интерес
к курсу геометрии. Отмечается, что в целом
учебный материал доступен ученикам.
Вместе с тем экспериментальная проверка
показала, что изложение отдельных вопросов
в пробном учебнике для VI класса требует
совершенствования. В нем следует упростить
изложение, несколько сократить теоретиче-
ский материал, а также доработать систему
задач и упражнений.
С учетом замечаний и пожеланий учителей-
экспериментаторов и методистов авторами
проведена корректировка пробного учебника
42
для VI класса; в настоящее время новое из-
дание этого учебника находится в печати.
Прежде чем перейти к изложению краткого
содержания пробных учебников, отметим не-
которые общие принципы, характеризующие
концепцию, положенную в основу построения
школьного курса геометрии.
Курс геометрии строится дедуктивно на ос-
нове аксиоматики, которая не нарушает тра-
диционной системы изложения материала.
В качестве основных простейших фигур рас-
сматриваются точки, отрезки и прямые, хоро-
шо известные учащимся из курса математики
I—V классов. Аксиомы вводятся постепенно,
по мере надобности. Не все аксиомы вводятся
в VI классе. С некоторыми из них (например,
с аксиомой параллельных прямых) учащиеся
знакомятся в старших классах. Авторы стре-
мились к тому, чтобы изложение материала
было доступным, наглядным и соответство-
вало возрастным особенностям учащихся. По
существу, в курсе геометрии VI—VIII клас-
сов дается лишь первое представление о ло-
гическом строении геометрии.
В предлагаемом курсе геометрии авторы
отказались от теоретико-множественного под-
хода к изложению предмета, хотя и предпо-
лагают использовать некоторые теоретико-
множественные понятия. Эти понятия играют
лишь вспомогательную роль и в качестве
объекта изучения не выступают. Отказ от
теоретико-множественной концепции позволя-
ет во многом облегчить изложение курса, сде-
лать его менее абстрактным и более доступ-
ным, теснее связать с практической деятель-
ностью учащихся. По этой же причине при
построении курса геометрии не используется
теория отображений и теория перемещений.
Существенным является отказ авторов от
принятого в действующих учебниках общего
определения фигуры как множества точек.
В пробных учебниках понятие фигуры не оп-
ределяется, а разъясняется. На первых же
страницах учебника VI класса отмечается,
что понятия геометрических фигур и их вза-
имного расположения возникают в нашем
сознании в результате наблюдений и путем
воображения. Формирование понятия фигуры
происходит в процессе изучения учащимися
конкретных фигур.
В VI—VIII классах предусматривается сис-
тематическое изучение свойств простейших
геометрических фигур: треугольников, четы-
рехугольников, правильных многоугольников,
окружности, а также свойств перпендикуляр-
ных и параллельных прямых па плоскости.
В изложении этих вопросов авторы опирают-
ся на практический опыт учащихся, на их ин-
унцию ц до возможности используют мате=
риал, изученный в I—V классах. В связи
с этим при построении курса геометрии боль-
шое значение придается наглядности изложе-
ния. В значительной степени это связано
с выбором рисунков, иллюстрирующих рас-
суждения и доказательства. Рисункам в учеб-
никах уделяется много внимания. Некоторые
из них сопровождаются подрисуночными
подписями, кратко подчеркивающими нагл яд
ное содержание понятия или соответствующе-
го утверждения В отдельных случаях рисун-
ками сопровождаются задачи.
Авторы отказались от принятой в действу-
ющих учебниках схемы, где равенство произ-
вольных фигур определяется на основе пере-
мещений плоскости, т. е. отображений всей
плоскости на себя, сохраняющих расстояния.
В пробном учебнике VI класса сначала вво-
дится равенство отрезков и углов: отрезки
называются равными, если их длины равны;
углы называются равными, если их градус-
ные меры равны. Затем на интуитивной осно-
ве дается представление о перемещении то-
чек, отрезков и треугольников. Это дает воз-
можность определить равенство треугольни-
ков. Понятие равенства более сложных фигур
вводится в VII классе на основе понятия пе-
ремещения фигур как соответствия между
точками фигур, сохраняющего расстояния.
Существенное отличие предлагаемого курса
геометрии от традиционных курсов заклю-
чается в усилении аналитических методов
в геометрии. Это достигается (так же как
и в ныне действующих пособиях) ранним вве-
дением измерений отрезков и углов и систе-
матическим их использованием при изучении
свойств геометрических фигур. В соответствии
с проектом программы в первых же главах
пробного учебника для VI класса вводится
длина отрезка при выбранной единице изме-
рения и градусная мера угла. Эти понятия
играют важную роль в изложении всего кур-
са геометрии.
Следует подчеркнуть, что в пробных учеб-
никах измерение отрезков и углов строится
с помощью чисел, хорошо известных учащим-
ся из курса алгебры, а не на основе общего
понятия неотрицательной скалярной величи-
ны. Авторы отказались от этого понятия, ибо
оно является трудным и не соответствует воз-
растным особенностям учащихся VI—VIII
классов.
Отметим также, что в данном курсе геомет-
рии градусная мера любого угла заключена
в пределах 0°<ф^180°. В соответствии с этим
в пробном учебнике для VIII класса триго-
нометрические функции sin х, cos х, tg х вво-
дятся только для значений аргумента х, за-
ключенных в пределах 0°^х^ 180°. Это впол-
не достаточно для геометрических целей.
43
Проектом программы по математике преду-
сматривается, что свойства тригонометриче-
ских функций для любого числового аргумен-
та учащиеся будут изучать в курсе алгебры
IX класса. Туда же отнесены такие вопросы,
как графики тригонометрических функций,
знаки функций, промежутки возрастания и
убывания, наибольшие и наименьшие значе-
ния, четность, нечетность, периодичность, об-
ратные тригонометрические функции и др.
Отметим, наконец, что в эксперименталь-
ном курсе учащиеся знакомятся с современ-
ными аналитическими методами, используе-
мыми в геометрии, т. е. с элементами вектор-
ной алгебры на плоскости и в пространстве,
с методом координат на плоскости (включая
уравнения прямых и окружностей) и в про-
странстве, а также с использованием теории
пределов, элементов дифференциального и
интегрального исчисления для вычисления
длин линий, площадей, объемов простран-
ственных фигур.
Выше было отмечено, что курс геометрии
призван способствовать развитию логического
мышления учащихся. Необходимо научить
школьников логически рассуждать, аргумен-
тировать свои утверждения и доказывать их.
Поэтому в пробных учебниках сокращено до
минимума количество сведений, сообщаемых
без доказательства. Материал излагается
систематически, достаточно строго и аргумен-
тированно, т. е. все утверждения и теоремы,
которые не являются для учащихся нагляд-
но очевидными, обоснованы и доказаны. Под-
черкнем, что большое внимание удечяется
четкости, выпуклости и краткости формулиро-
вок аксиом, определений и теорем.
Авторы старались упростить терминологию
и сократить до минимума число обозначений
и символов, применяемых в геометрии. Новые
термины и символы вводятся постепенно, по
мере возникновения в них потребности, и ис-
пользуются только те из них, которые яв-
ляются общепринятыми в математике. Напри-
мер, авторы отказались от термина «кон-
груэнтность» и пользуются традиционным
термином «равенство». Они отказались также
от ряда символов, которыми пользуются
в действующих учебниках:
(А5), |ЛВ|, ~, [А£), [р, A), cz,
U, П и ДР-
В пробных учебниках значительное место
отводится упражнениям. К каждому парагра-
фу даны практические задания, предназна-
ченные для формирования геометрических
понятий и навыков пользования чертежными
инструментами. В конце каждого параграфа
и каждой главы приведены вопросы и задачи,
выполняющие различные функции: задачи,
подводящие к новым понятиям или теоремам;
задачи на закрепление изученного; задачи
для развития определенных умений и навы-
ков учащихся; задачи, показывающие связь
теории с практикой и т. д. При решении за-
дач на построение и при выполнении прак-
тических заданий предусматривается широкое
использование геометрических инструментов:
линейки, циркуля, а также чертежного тре-
угольника и транспортира.
Методическая целенаправленность этих
разделов ясна: необходимо закрепить теоре-
тический материал, относящийся к каждому
параграфу учебника. Такой путь построения
учебных пособий есть результат сложившихся
методических традиций. Этот путь имеет свои
положительные и отрицательные стороны По-
ложительным является то, что в одной книге
рядом с теоретическим материалом есть
в большом количестве и зада1 и, и вопросы.
Однако теоретический материал «тонет» в
изобилии практических заданий и упражне-
ний. Это мешает ученику охвазить теорию
в целом. Ученик не может, листая книгу, не-
прерывно следить за постепенным развитием
геометрии. Возникают естественные переры-
вы— несколько страниц занимают задачи и
вопросы, затем опять идет теоретический ма-
териал. Возможно, старый путь решения этих
проблем — наличие учебника с небольшим ко-
личеством задач и вопросов и отдельно за-
дачника—методически более правильный.
Авторам представляется, что при изучении
геометрии по повой программе будет отведе-
но достаточно времени на решение задач.
Это может произойти, во-первых, за счет не-
которого сокращения теоретического материа-
ла всего курса по сравнению с ныне действу-
ющей программой (например, существенного
сокращения теории перемещений, упрощения
теории подобия, упрощения теории тригоно-
метрических функций и др.), а во-вторых, из-
за увеличения на 36 ч общего числа часов
в VII и VIII классах на изучение геометрии
за счет уроков, отводимых в настоящее время
на алгебру.
Перейдем теперь к краткому изложению
содержания пробных учебников по геометрии
для VI—VIII классов.
VI класс. Среди пробных учебников по гео-
метрии для VI—VIII классов фундаменталь-
ную роль играет учебник для VI класса.
В VI классе ученики приступают к система-
тическому изучению геометрии. Развитие про-
странственных представлений и строгой ло-
гики рассуждений, опирающейся и на нагляд-
ность, и на непривычную еще ученикам
абстракцию, показ практической значимости
геометрических понятий и утверждений в по-
вседневной жизни — вот далеко не полный пе-
речень тех педагогических проблем, которые
44
должны быть частично решены уже в курсе
юометрии VI класса.
Книга начинается с введения. Здесь расска-
зывается о предмете геометрш , о возникно-
вении простейших геометрических понятий
(точек, прямых, отрезков и некоторых других
простейших геометрических фигур). Говоря
о понятии произвольной геометрической фигу-
ры, авторы обращаются к наглядным пред-
ставлениям учащихся. В какой-то степени ав-
торы солидарны с подходом к понятию гео-
метрической фигуры, высказанным А. П. Ки-
селевым в его учебнике «Элементарная гео-
метрия», который был недавно переиздан
(М.: Просвещение, 1980).
В приложения к пробному учебнику приво-
дятся некоторые сведения о развитии геомет-
рии. Здесь в доступной для школьников фор-
ме говорится о геометрии Евклида и револю-
ционном дтя науки открытии новой геометрии
великим русским математиком Николаем
Ивановичем Лобачевским. Авторы глубоко
убеждены, что с самого начала систематиче-
ского изучения курса геометрии школьники
должны знать, как развивалась эта наука
и какую она играет роль в ряду других наук
и в естествознании вообще.
Книга состоит из следующих глав
I.	Простейшие геометрические фигуры на
плоскости и их свойства.
II.	Измерение отрезков и углов.
III.	Равенство отрезков, углов и треуголь-
ников.
IV.	Соотношения между сторонами и угла-
ми треугольника.
V.	Прямой угол. Прямоугольные треуголь-
ники.
При изучении 1 главы ученики знакомятся
с простейшими геометрическими фигурами
(точка, прямая, отрезок, полуплоскость, луч,
угол) и с их взаимным расположением. Ос-
новные свойства этих фигур формулируются
в виде аксиом. Подчеркивается, что аксио-
мы— эго утверждения, которые принимаются
без доказательства и используются при дока-
зательстве других утверждений. Разъясняют-
ся свойства взаимного расположения точек и
прямых, отрезков и полуплоскостей. Угол оп-
ределяется как геометрическая фигура, обра-
зованная точкой и двумя исходящими из нее
лучами.
Во II главе выясняется, как измеряются
i/резки и расстояния между точками, каким
образом сравниваются отрезки. Аналогичные
вопросы решаются и для углов.
В III главе рассмотрены вопросы равенства
ш г ",ков, углов и треугольников. Сформули-
1 В новом издании этого учебника, которое сейчас го-
товится к печати, несколько иной перечень глав. Это
слизано с некоторым упрощением изложения материала.
ровано определение треугольника и перечне»
лены основные виды треугольников. Затем на
интуитивной основе вводится понятие пере-
мещения простейших фигур (точек, прямы?:,
отрезков, лучей, углов и треугольников) и
дается определение равенства треугольников.
Доказываются первый и второй признаки ра-
венства треугольников. Завершает главу до-
казательство третьего признака равенства
треугольников, в котором используется теоре-
ма о биссектрисе равнобедренного треуголь-
ника.
Изучение треугольников продолжается в
IV главе. В ней установлены важные соот-
ношения между сторонами и углами тре-
угольника (против большей стороны лежит
больший угол, против большего угла — боль-
шая сторона). Специально разъясняется по-
нятие обратной теоремы. Доказывается тео-
рема о том, что сумма двух сторон треуголь-
ника больше третьей стороны. Один из па-
раграфов этой главы посвящен окружности
и кругу и связанным с ними понятиям (хор-
ды, диаметры, дуги, полуокружности, внутрен-
ние и внешние точки относительно окружно-
сти). Понятие окружности используется в сле-
дующем параграфе, в котором рассмотрены
простейшие геометрические построения: по-
строение угла, равного данному, построение
биссектрисы угла, построение треугольника
по трем сторонам.
В последней главе рассматриваются важ-
ные вопросы о перпендикуляре и наклонных,
доказывается теорема о перпендикуляре к
прямой в данной ее точке. Отдельный па-
раграф посвящен серединному перпендикуля-
ру и построению перпендикулярных прямых.
Далее следуют признаки равенства прямо-
угольных треугольников и вопрос о построе-
нии прямоугольного треугольника по двум
сторонам 2.
VII класс. Пробный учебник состоит из
шести глав:
I.	Параллельные прямые.
II.	Четырехугольники.
III.	Подобные треугольники. Теорема Пи-
фагора.
IV.	Окружность.
V.	Перемещения. Равенство фигур.
VI.	Площади многоугольников.
В I главе дано определение параллельных
прямых и установлены признаки параллель-
ности. Сформулирована аксиома параллель-
ных прямых. На основе этой аксиомы дока-
зываются некоторые свойства углов, образо-
’ Во втором издании пробного учебника признаки ра-
венства прямоугольных треугольников, а также построе-
ния этих треугольников будут исключены из текста.
Предполагается изучать эти вопросы в VII классе пос-
ле теоремы о сумме углов треугольника.
ч5
гганных двумя параллельными прямыми и се-
ку щен: равенство накрест лежащих углов, ра-
венство соответственных углов и др. Далее
доказываются: теорема о сумме углов тре-
угольника и следствие о градусной мере
внешнего угла треугольника. Устанавливают-
ся некоторые свойства прямоугольных тре-
угольников (сумма градусных мер острых уг-
'лов равна 90°, длина катета, лежащего про-
тив угла в 30°, равна половине длины гипо-
тенузы и др.). В последнем параграфе пока-
зана схема решения задач на построение
и решены некоторые задачи.
Во II главе изучаются выпуклые четырех-
угольники. Вводится понятие выпуклого четы-
рехугольника и доказывается теорема о сум-
ме градусных мер углов такого четырехуголь-
ника. Выясняются свойства четырехугольни-
ков с параллельными сторонами: параллело-
граммов (в частности прямоугольников, квад-
ратов, ромбов) и трапеций. Глава завершает-
ся теоремами о средней линии треугольника
и трапеции.
В следующей главе введено понятие про-
порциональных отрезков и определение по-
добных треугольников. Доказываются при-
знаки подобия треугольников и теоремы
о пропорциональных отрезках, в частности
теоремы о пропорциональных отрезках в пря-
моугольных треугольниках. Доказывается тео-
рема Пифагора. Специальный параграф по-
священ свойству биссектрисы треугольника.
Основное содержание IV главы составляют
свойства окружности. Сначала рассматри-
вается взаимное расположение прямой и ок-
ружности, а затем понятия секущей и каса-
тельной. Устанавливаются свойства вписан-
ных углов, хорд и диаметров. Заключитель-
ный параграф посвящен вписанным и описан-
ным треугольникам.
Следующая глава отведена перемещениям
и равенствам фигур. Вводятся понятия цен-
тральной и осевой симметрии фигур и
изучаются простейшие свойства фигур, имею-
щих центр или ось симметрии. Рассматри-
ваются параллельный перенос и поворот. За-
тем вводится понятие перемещения фигуры и
дается определение равенства фигур.
Последняя глава посвящена понятию пло-
щади многоугольника. Предварительно даны
определения многоугольника и многоугольной
области. Понятие площади многоугольника
вводится по аналогии с понятием длины от-
резка. Перечисляются основные свойства пло-
щадей. Затем следуют выводы формул для
вычисления площадей прямоугольника, тре-
ггольника, параллелограмма и трапеции.
VIII класс. Пробный учебник состоит из
следующих глав:
I.	Векторы.
II.	Метод координат на плоскости.
III.	Тригонометрические функции Соотно-
шения между сторонами и углами треуголь-
ника.
IV.	Подобие фигур.
V.	Правильные многоугольники.
В I главе достаточно подробно пзучаюТсд
векторы. Вектор определяется не как парал-
лельный перенос, а как направленный отре-
зок. Аргументацией для такого определения
служат рассмотренные предварительно физи-
ческие примеры векторных величин. Далее
вводится понятие равенства векторов, опреде-
ляются операции сложения, вычитания векто-
ров, умножения вектора на число. Затем оп-
ределяются координаты вектора в прямо-
угольной системе координат и выводится фор-
мула для вычисления длины вектора по его
координатам. В заключение рассмотрены при-
меры применения векторов к решению задач.
Во II главе авторы сначала напоминают
учащимся известное из алгебры понятие ко-
ординат точек в прямоугольной системе коор-
динат и рассматривают простейшие задачи
в координатах (нахождение середины отрез-
ка, вычисление расстояния между двумя точ-
ками). Затем следует вывод уравнения
окружности с произвольным центром и ра-
диусом и уравнения прямой, проходящей че-
рез точку и перпендикулярной (энному век-
тору. Рассматриваются также уравнения пря-
мых, перпендикулярньх координатным осям.
Отдельный параграф посвящен некоторым
приложениям метода координат к решению
задач и доказательству геометрических тео-
рем. Здесь, в частности, доказывается теоре-
ма о высотах треугольника.
С тригонометрическими функциями (сину-
сом, косинусом и тангенсом) и соотношения-
ми между ними учащиеся знакомятся в
III главе. Как было отмечено выше, тригоно-
метрические функции вводятся только для
значений аргументов, заключенных в преде-
лах от 0 до 180°. Дается понятие о таблицах
значений тригонометрических функций. С по-
мощью тригонометрических функций изучают-
ся соотношения между сторонами и углами
прямоугольного треугольника, доказываются
теоремы ешц сов и косинусов, выводится фор-
мула для площади треугольника, рассматри-
вается вопрос о решении треугольников.
Глава IV посвящена изучению свойств по-
добных фигур. В начале главы введено поня-
тие выпуклого многоугольника, дано опреде-
ление подобия многоугольников и доказаны
теоремы о периметрах и площадях подобных
многоугольников. Далее указан один из спо-
собов построения подобных многоугольни-
ков— центральное подобие (гомотетия). В за-
46
ключение главы введено понятие подобия фи-
гур произвольного вида и рассмотрено при-
менение подобия к решению геометрических
задач.
В последней главе изучаются правильные
мноюугольники. Здесь установлено, что у
каждого правильного многоугольник? есть
описанная и вписанная окружности. Отдель-
ный параграф посвящен вычислению пери-
метра и площади правильного многоугольни-
ка. Здесь же рассматривается вопрос о по-
строении правильных многоугольников. В по-
следнем параграфе показано применение фор-
мул периметра и площади правильного мно-
гоугольника к вычислению длины окружно-
сти и площади круга. При этом используется
известное из алгебры понятие предела число-
вой последовательности.
Сейчас авторский коллектив (Л. С. Атана-
сян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Поз-
няк) работает над пробным учебником по
геометрии для IX—X классов, в котором бу-
дет изложен систематический курс стереомет-
рии, являющийся непосредственным продол-
жением курса планиметрии VI—VIII классов.
Предполагается, что курс IX—X классов
будет состоять из двух частей. В первой час-
ти, изучаемой в IX классе, будут изложены
следующие темы параллельность прямых и
плоскостей, перпендикулярность прямых и
плоскостей, угол между прямыми и плоско-
стями, векторы в пространстве, координатный
метод в пространстве. Вторая часть, изучае-
мая в X классе, будет посвящена многогран-
никам, а также изучению цилиндра, конуса,
сферы и формул для вычисления их объемов.
При написании пробного учебника для IX—
X классов авторы руководствуются теми же
основными установками, которые были изло-
жены в начале статьи.
РАБОТА СО ШКОЛЬНИКАМИ
В ОБЛАСТИ ИНФОРМА~ИКИ.
ОПЫТ СИБИРСКОГО ОТДЕЛЕНИЯ АН СССР
А. П. ЕРШОВ, Г. А. ЗВЕНИГОРОДСКИЙ,
С. И ПИТЕРАТ, Ю. А. ПЕРВИН
(г. Новосибирск)
I.	Постоянная связь со школой — давняя и устойчивая
традиция Сибирского отделения АН СССР. Известна
огромная работа академика М. А. Лаврентьева (1900—
1910) и члена-корреспондента АН СССР А. А. Ляпуно-
ва (1911—1973) по созданию в Сибири физико-матема-
тических школ, подготовке и проведению Всесибирскнх
математических олимпиад, организации интересных и
оригинальных курсов. Средние школы Сибири всегда
рассматривались в СО АН СССР в качестве главного
кадрового потенциала сибирской науки.
Деятельность видного советского математика и педа-
гога А. А. Ляпунова немало способствовал? тому, что
в Сибирском отделении АН СССР начали рассматри-
ваться проблемы становления школьной информатики.
Уделяя серьезное внимание школьному математическо-
му образованию, А. А. Ляпунов проводил большую и
многообразную педагогическую работу, принимал уча-
стие в составлении школьных курсов программирования
и кибернетики [1].
Работы по внедрению в школьный учебный процесс
курса, который знакомит учащихся с ЭВМ и средства-
ми программирования, обрели свои организационные
формы несколько позднее, когда инициативные педа-
гоги, математики, программисты объединили свои уси-
лия в деятельности двух научно-исследовательских
групп: группы по применению вычислительной техники
Научного совета по проблемам образования при Пре-
зидиуме Сибирского отделения АН СССР и группы
школьной информатики Вычислительного центра Си-
бирского отделения АН СССР [2] [3]. Обе группы к
настоящему времени накопили опыт различных форм
практической педагогической работы в области школь-
ной информатики.
2.	Первые контакты СО АН СССР с сибирскими шко-
лами в области информатики относятся к началу'
60-х гг., когда программисты Института математики,
ставшие впоследствии сотрудниками Вычислительного
центра СО АН СССР, поддержали инициативу школы
№ 10 г. Новосибирска по постановке факультативного
курса программирования и организации практических
работ учащихся на ЭВМ.
Программирование как профориентационная специа-
лизация в IX—X классах было впервые введено в шко-
ле № 130 Советского района Новосибирска (Академго-
родка). Эта форма работы нашла к настоящему време-
ни достаточное распространение в нашей стране. Тем
не менее в условиях Академгородка в ней удалось
реализовать несколько специфических особенностей.
В частности, за последние годы в курсе программирова-
ния школы № 130 были практически проверены несколь-
ко учебных программ, базирующихся на различных ал-
горитмических языках. Анализ этих программ показал,
что выбор структурированного языка высокого уровня
типа паскаль, ориентированного на задачи обучения ин-
форматике, представляется более оправданным, чем
изучение ряда других языков программирования, таких,
как алгол, бэйсик или фортран. Программа курса и ус-
ловия его реализации обсуждены учебно-методическим
советом школы по информатике, направляющим все
формы использования вычислительной техники в учеб-
ном процессе и внешкольной работе.
Учебный процесс и организацию внешкольной рабо-
ты с учащимися облегчает терминальный класс: в шко-
ле № 130 установлены пять терминалов, обеспечиваю-
щих непосредственную связь в диалоговом режгг. с
машинами Вычислительного центра СО АН СССР, а
также устройство подготовки перфокарт для программ
пакетного режима.
Терминальный класс открывает широкие возможности
исследовательской н экспериментальной педагогической
работы. За последние годы в школе проведены разно-
образные эксперименты по школьным применениям вы-
числительной техники — программированное обучение
языку бэйсик, контрольные работы по английскому язы-
ку с помощью автоматизированной системы распозна-
вания текстовых ответов и др.
3.	Главной формой работы в области информатики с
детьми из Академгородка следует считать районную
школу юных программистов. Оиа действует уже три
года и насчитывав- в своем составе около 200 учащих-
ся. Каждый сентябрь на первый курс приходят нович-
ки— ученики II—VII классов. Организаторы школн
разработали ориентированное на младших учащихся
специализированное математическое обеспечение [3] [4),
определили требования к языковым системам програм-
мирования школьного назначения и выоабота____i соот-
ветствующий учебный план.
Схематически учебный план школы юных грограмми-
стов выглядит следующим образом. Основные фунда-
ментальные понятия программирования (предписание,
система предписаний, процедура, имя, параметр, ветвле-
ние, цикл и т Д.) усваиваются на примере языка на-
чального обучения робнк (см.: [5], уроки 1—4) Полу-
чив некоторые важнейшие навыки, образующие основу
программистского стиля мышления, школьники подго-
товлены к восприятию языка более высокого уровня —
учебно-производственного языка рапира (см.: ft»], уро-
ки 5—9), сохраняющего основные черты языка учеб-
ной ориентации. В то же время он позволяет решать
широкий круг производственных задач и методически
обеспечивает переход к последующему изучению стан-
дартных языковых систем программирования. Ученики
знакомятся с языками паскаль, поплаи, сетл, алгол и др.
В школе уделяется серьезное внимание прикладным
задачам программирования, поэтому в ее учебный план
включены отдепьные математические и физические те-
мы, иллюстрирующие применение методов информатика
в различных предметных областях. Учащиеся получают
представление об ЭВМ как об универсалы ом инстру-
менте для переработки всех видов знаковой информа-
ции — текстовой, управляющей, графической и лишь
в частном случае численной. В этом существенное с г-
личие принятой в школе методики от преобладающей
во многих курсах программирования ориентации на
«арифметические» применения ЭВМ.
Важную методическую особенность учебного плана
составляет широкое использование средств машинной
графики. Разработанный учащимися пакет прикладных
программ машинной графики «Шпага» [G] дает возмож-
ность даже ученикам младших классов легко програм-
мировать изгс^овчяемые машиной рисунки. Вывод ре-
зультатов в графической форме позволяет сделать учеб-
ный процесс более эффективным благодаря наглядности
и простоте обнаружения ошибок. Впрочем, методическая
ценность машинной графики этим не ограничивается.
С помощью технически несложных рисунков разъясня-
ются такие важные и нетривиальные понятия програм-
мирования, как цикл, процедура, рекурсия н т. п. Не
менее важно, что программирование машинных рисун-
ков оказывает большую помощь урокам математики:
в диалоге с машиной школьники активно осваивают та-
кие фундаментальные понятия, как система координат
функция, график и др. Многими из этих понятий уча-
щиеся школы юных программистов овладевают еще /о
знакомства с ними в общеобразовательной школе. При-
мечательно, что ребя.а довольно часто прибегают к по-
мощи ЭВМ для иллюстрации графических задач, возни-
кающих на уроках математики общеобразовательной
школы.
Программы пакета «Шпага» обеспечивают выдачу
графической информации на различные выводные уст-
ройства— графопостроитель, фотовывод (диапозитивы),
кинопостроитель (мультфильмы). Используя эти воз-
можности, школьники создают диапозитивы и мульт-
фильмы разнообразных назначений: учебные и игро-
вые сюжеты, производственные заказы учреждений и
академических институтов, наглядные пособия для уро-
ков по различным школьным предметам (в первую оче-
редь по математике п физике).
Средства машинной графики показывают также воз-
можности информатики в эстетической н идейно-поли-
тической воспитательной работе с учащимися: препода-
ватель оценивает не только техническое совершенство
программы, изготовляющей рисунок, ио и эстетические
достоинства рисунка; юные программисты проводят кон-
курсы на лучшие машинные рисунки, посвященные важ-
ным политическим датам — Дню Победы, Mi ждуп5 род-
ному женскому дню (см. рис.), Дню космонавтики
и т. п.
Занятия по теории программирования и практике на-
писания программ проводятся дважды в неделю в раз-
ных школах района или в Новосибирском университете.
В течение учебной четверти школьники выполняют 2—
3 лабораторные работы, требуюшпе обязательного вы-
хода на ЭВМ. Такую возможность юным программистам
предоставляет Вычислительный центр СО АН СССР,
где учащиеся работают в утренние часы субботы и
воскресенья. Основная часть учебно-практической ра-
боты выполняется в диалогоэом режиме на термина-
лах с телевизионным экраном («Видеотон 340», см.:
фото). Один из принципов организации практики школь-
ников состоят в быстром освоении всех новых техниче-
ских и системно-программных ср.-дств, поступающих в
распоряжение программистов ВЦ. Так, в настоящее вре-
мя учащиеся начинают работать с диалоговыми гра-
фическими дисплеями, недавно подключенными к маши-
нам ВЦ.
К преподавательской работе в районной школе юных
программистов привлечены квалифицированные моло-
дые программисты — аспиранты ВЦ СО АН СССР и
4й
ПгзосиЗирского университета, инженеры ВЦ, студенты-
старшекурсники университета, выбравшие школьную ин-
форматику в качестве направления своих курсовых и
шломных работ.
Увлеченность учеников и преподавателей — харяктер-
1я особенность учебного процесса школы юных про-
граммистов. Не удивительно поэтому, что многие вопро-
си ее повседневной жизни (от организации консультац-
ий до проведения праздничных встреч) решает высший
орган самоуправления — совет школы.
4.	Уже на втором году обучения многим юным про-
граммистам становятся тесны рамки учебных задач.
Появляется возможность привлекать ребят к выполне-
ние про- ’олств'. иных заказов институтов и предприя-
I. Эти ребята входят в состав общественной лабора-
рнн проектирования прикладных систем, работающей
гр! совете содействия семье и школе Вычислительного
атра СО АН СССР. В ?ту лабораторию принимаются
школьники, продемонстрировавшие интерес к програм-
мированию, успехи в этой области, имеющие разреше-
ние классного руководителя общеобразовательной шко-
лы и родителей.
Лаборатория получает заказы предприятий на проек-
тирование и реализацию программных систем. Для
программирования таких заданий создаются бригады
школьников. Выполненная работа сдается заказчику,
•и этом, как правило, оформляется соответствующая
: юграммная документация со стороны школьной брига-
J и отзыв со стороны заказчика. Отзыв обычно поД-
ыгрждает ценность или экономическую эффективность
1зработ_1 н. Так, в лаборатории были созданы: дпало-
п>ая информационно-справочная система анализа пер-
инных структур белковых соединений «Бельчонок» [71,
формационная система по книгообмену «Книголюб»
В], программы подготовки перфолент для программно-
раг 1яемых вышивальных автоматов и др. К интерес-
ам результатам следует отнести ряд сложных модулей
"атематпческого обеспечения школьного учебного про-
цесса — трансляторы с робика и рапиры, систему ма-
шинной графики, программу, генерирующую задачи по
физике, и др.
Работа школьников в лаборатории проектирования
прикладных систем — хорошее воспитательное средство,
позволяющее ребятам в общественно полезном трупе
^типизировать свою жизненную позицию. Общение с
। >вой техникой, с современными вычислительными сп-
емамн, участие в выполнении интересных и актуалъ-
। х заданий позволяет им не только ориентироваться
в выборе будущей профессии, по уже сегодня чувство-
вать себя активными членами общества. В лаборатории
уделяется внимание организации коллективной дея-
тельности школьников, воспитанию у них чувства ответ-
ственности и взаимопомощи.
Учащиеся — члены общественной лаборатории про-
тнрования прикладных систем — неоднократно вы-
сылали с успехом на Всероссийских и Всесоюзных сле-
гах и конференциях. Одно исследование было доложено
советско-финском симпозиуме в Тбилиси (1979).
Ч|ые программисты Академгородка опубликовали за
(средние два года 12 научных рабг-i Школьники-
'ршекурсникп пропагандируют увлекающую их науч-
ную дисциплину иа встречах со своими сверстниками
таствуют в качестве консультантов в практических
1ИЯТИЯХ с новичками, помогают осваивать вычисли-
тельную технику гостям из сельских школ Новосибир-
ской области и других городов Союза.
5.	Каждое лето в новосибирском Академгородке про-
I шятся летние школы юных программистов. Например,
в III. IV и V летних школах занимались по 150 уча
шихся IV—IX классов из многих городов и сел стра-
ты [9].
В течение пяти летних встреч постепенно устоялась
вограмма занятий В первые годы участники распре-
1слялпсь по трем категориям: новички; школьники, зна-
комые с основами программирования, более опытные
j Математика в школе, Ml	49
юные программисты. Опыт показал, что двухнедельный
срок летней школы достаточен для того, чтобы дать
школьникам-дебютантам основные понятия программи-
рования и навыки общения с ЭВМ, увлечь их идеями
информатики. Постепенно стожилась методика отбора,
позволяющая приглашать в летнюю школу учашихся,
подготовленных к эффективному использованию вычи-
слительной техники. Существенную помощь в этом ока-
зал журнал «Квант» (см. ниже, п. 6).
Учащиеся изучают новые для иих системы программи-
рования, которые разработаны в группе школьной ин-
форматики ВЦ СО АН СССР и испытаны в учебном
процессе районной школы юных программистов, получа-
ют возможность поработать на современных вычисли-
тельных машинах. Летняя школа — замечательная воз-
можность встретиться со своими ровесниками и едино-
мышленниками, увлекающимися программированием, а
также с учеными СО АН СССР. Учебная программа
летней школы очень насыщена, но группируется она
главным образом вокруг четырех «терминальных» дней:
в эти дни школьникам отданы технические средства
Вычислительного центра СО АН СССР. Машинная гра-
фика и здесь помогает в короткие сроки реализовать
довольно плотную и в то же время увлекательную учеб-
ную программу.
В рамках летней школы проводятся две конференции
юных программистов. Первая из них построена из сооб-
щений о работах, которые участники выпо шили дома,
до приезда в Новосибирск; на второй конференции ре-
бята рассказывают о программах, написанных за две
недели, проведенные в Академгородке. Такие конферен-
ции проходят очень интересно. Ученые Сибирского отде-
ления, которые председательствуют на секционных за-
седаниях этих конференций, часто дают высокие опенки
работам школьников, рекомендуя их к использованию
или публикации. Так, по материалам III летней школы
были подготовлены три препричт t ВЦ СО АН СССР
(№ IC8, 170, 171—Новосибирск, 1979).
Вне учебных занятий школьники имеют возможность
познакомиться с деятельностью Вычислительного цен-
тра СО АН СССР, побывать на экскурсиях в институтах
Академгородка.
6.	С сентября 1979 г. редакция журнала «Квант» при
содействии Вычислительного центра СО АН СССР от-
крыла на страницах журнала постоянную рубрику «Ис-
кусство программирования». Центральное место в ней
заним: ет «Заочная школа программирования». Позна-
комившись с изложением очередной порции нового ма-
териала, читателя «Кванта» решают предложенные им
задачи (как правило, составляют программы на гом
или ином языке) и присылают решения в группу школь-
ной информатики ВЦ СО АН СССР. Учебный год за-
канчивается олимпиадой по программированию, по ито-
гам которой школьники-читатели переводятся на сле-
дующий курс «Заочной школы», рассчитанной на три
года. Кроме того, победители приглашаются в летнюю
школу юных программистов в новосибирском Академ-
городке.
7.	Весьма сложной проблемой, касающейся школьной
информатики, является подготовка преподавательских
кадров. Без ее решения немыслимо обсуждать сколько-
нибудь значительное расширение сегодняшних экспери-
ментов. Поэтому в Сибирском отделении АН СССР
уделяется серьезное внимание подготовке и переподго-
товке учительских кадров.
Формы работы с учителями не менее разнообра ши,
чем со школьниками. Большое значение придается улуч-
шению учебных программ в педагогических вузах. В Си-
бирском отделении АН СССР разработана эксперимен-
тальная программа обязательного и факультативного
курсов программирования и начата практическая про-
верка их в Барнаульском педагогическом институте.
Кроме лекций и семинаров по этим курсам студенты
привлекаются к разным формам занятий прогртммиро-
ванием со школьниками в рамках курсовых и диплом-
ных работ, учебной и производственной практики.
Важной представляется деятельность по пропаганде
идей и методов школьной информатики среди работаю-
щих учителей. Здесь оказывают помощь институты
усовершенствования учителей, отдельные каникулярные
совещания и семинары В частности, такая деятель-
ность является одной из задач постоянно действующего
в Сибирском отделении объединенного семинара ВЦ СО
АН СССР, Новосибирского университета, электротехни-
ческого и педагогического институтов и Новосибирского
отделения Всероссийского педагогического общества
«ЭВМ и учебный процесс».
Литература
1.	Ляпунов А А. О реформе математических про-
грамм.— Математика в школе, 1973, А® 2.
2.	Ершов А. П.. Звенигородский Г. А.. Дарвин Ю. А.
Школьная информатика (концепции, состояние, перспек-
тивы). — Препринт ВЦ СО АН СССР, № 152. — Новоси-
бирск, 1979.
3	Первин 10. А. Информатика в школе (трудности
и возможности). — Математика в школе, 1980, № 3.
4.	Звенигородский Г. А., Салихова А. К. Компоненты
системы математического обеспечения, ориентированной
иа школьный учебный процесс.— В сб.: Новые задачи
информатики.— ВЦ СО АН СССР, Новосибирск, 1980.
5.	Звенигородский Г. А. Заочная школа программиро-
вания.— Квант, 1979, № 9—11; 1980, № 1—3.
6.	Салихова А. К., Соколова Н. А. Графическая сис-
тема Шпага.— Квант, 1980, № 1.
7.	Вайнштейн Т. А., Величко А. В. Система анализа
первичной структуры белков. — В сб.: Диалоговые при-
кладные программы на языке сетл. — Препринт ВЦ СО
АН СССР № 170. Новосибирск, 1979.
8.	Вайнштейн Т. А., Первин Ю. А., Хорошевская О. В.
Диалог с ЭВМ. — В мире книг, 1979, Ns 10.
9.	Звенигородский Г А.. Первин Ю. А., Сосин-
ский А. Б. Пятая Всесоюзная летняя школа юных про-
граммистов.— Квант, 1980, № 12.
СБ ОДНОЙ ПРОВЕРКЕ
КАЧЕСТВА УСВОЕНИЯ ПОНЯТИЯ ФУНКЦИИ
В. А. ГУСЬКОВ
(г. Сухуми)
1
Практика показывает, что учащиеся шестых классов до-
статочно хорошо усваивают определение функции, дан-
ное па теоретико-множественной основе. Однако в даль-
нейшем большая часть из них испытывает значительные
затруднения в том стучае, когда необходимо приме-
нить изученное определение в какой-либо конкретной
ситуации. Поэтому возникает необходимость установить,
в каком объеме знания о функции, полученные в
VI классе, сохраняются у учеников на протяжении по-
cj едующпх лет обучения.
С этой целью в восьмых классах одной из средних
школ г. Сухуми была проведена проверочная работа.
Рис. 1
Она проводилась в IV четверти 1978/79 учебного года
после того, как восьмиклассники изучили понятие об-
ратной функции и, следовательно, еще раз повторили
определение функции, с которым они познакомились
в VI классе. При составлении заданий было учтено, что
в этих классах понятие функции вводилось еще как
частный случай соответствия между элементами двух
множеств. Ниже приведен один из вариантов работы.
1.	Какие из соответствий между множествами С и Р,
указанных иа рис. 1,а—д, являются функциями, а ка-
кие — нет? Обоснуйте свой ответ.
2.	Какая из линий, изображенных на рис. 2, а, б, мо-
жет служить графиком функции? Обоснуйте свой от-
вет.
3.	Даны формулы:
2х’
а) У = 2х — 1, X = ] — со; + <Х> [ ; б) У = д._31
X = [0; 5].
Какая из них не задает функцию иа указанном множе-
стве? Обоснуйте ответ.
4.	Сформулируйте определение функции. Если вы
ие можете вспомнить точное определение, попробуйте
объяснить своими словами, как вы представляете себе,
что такое функция.
В выполнении этой работы принимали участие в об-
щей сложности 106 восьмиклассников. Прежде чем пе-
оейти к анализу ошибок, необходимо сделать предвари-
тельные замечания об использовании учащимися теоре-
тико-множественной терминологии.
Всего лишь 12 учеников в своих объяснениях и в
определении функции употребили термин «элемент»
(имеется в виду «элемент множества»), причем 6 из
них наряду со словом «элемент» употребили и его свое-
образные заменители — «значение множества», «член
множества», «точка множества» и т. п.; 60 учеников не
употребили термин «элемент» вообще, и, наконец, 34
ученика не дали объяснений к своим ответам и не
смогли сформулировать определение функции.
Следует учесть, что с понятием «элемент множества»,
являющимся одним из основных теоретико-множествен-
ных понятий, учащиеся знакомятся в IV классе. В по-
сле .ующих классах оно закрепляется, что дает основа-
ние ожидать практически безошибочного употребления
термина «элемент множества» к окончанию восьмилет-
ней школы. В действительности, как показывают приве-
денные выше результаты, этого не происходит.
Определение функции пытались сформулировать
58 учащихся, из них 25 назвали функцией со< тветствие
между множествами, причем только 17 дали правиль-
ное определение. Особого внимания заслуживает тот
факт, что 14 учеников определение функции начали со
слов: «Функцией называется множество...» или «Фун-
кцией называются два множества». Очевидно, что они
представляют функцию как два множества с проведенны-
ми между ними стрелками, т. е. иллюстрация в данном
случае сыграла отрицательную роль. Двенадцать чело-
век вообще не употребили при определении функции
более широкого понятия, свои формулировки они чаще
всего начинали со слов «Функция — эго когда...». Поло-
вина этих учеников основные признаки функции указа-
ла правильно. Из приведенных данных следует, чю
50
Т аблица 1
(	Количество работ с ошибкой в		задании
1	2	3
76 (71,7%)	12 (11,3%)	43 (40,6%)
лишь у незначительной части учеников выработалось
представление о функции как о частном случае более
широкого математического понятия — соответствия
между двумя множествами.
В табл. 1 приведены данные о количестве ошибок
в каждом из трех первых заданий работы
Наибольшее количество ошибок, как видно из табл. 1,
было допущено при выполнении задания 1, хотя каза-
лось, что это задание должно быть для учащихся лег-
че остальных, ведь изображение соответствия между
двумя конечными точечными множествами при помощи
стрелок являлось наглядной основой введения как по-
нятия функции, так и понятия обратной функции.
Ошибки, допущенные учащимися в первом задании,
можно разбить на четыре группы. Табл. 2 дает пред-
ставление о типичных ошибках.
Таблица 2
Типичные ошибки	Количество работ с такими ошибками
I) не заметили свободный элемент в области отправления соответствия	46 (43,4%)
2) не заметили многозначности соот- ветствия	28 (26,4%)
3) считают, что нескольким различ- ным элементам из области отправле- ния соответствия, являющегося функ- цией, не может соответствовать один и тот же элемент из области прибы- тия	42(39,6%)
4) считают, что в области прибытия соответствия, являющегося функцией, ие должно быть свободных элементов	29(27,4%)
В о'бщей сложности 65 человек (61,3% писавших ра-
боту) не усвоили один из основных признаков функции,
причем 9 из них не усвоили оба признака. Обращает на
себя внимание большое количество учеников (41, что
составляет 38,7% от общего числа писавших работу),
у которых один или оба основных признака функции
окончательно не обобщены, т. е. процесс полного усвое-
ния понятия функции не закончен. Например, ученик
знает: в области отправления соответствия, являющего-
ся функцией, не должно быть свободных элементов. Это
требование он распространяет на область прибытия со-
ответствия, т. е., не допуская ошибку первого типа, он
допускает ошибку четвертого типа. Дна логично, избежав
ошибки второго типа, ои делает ошибку третьего типа.
Это и свидетельствует о том, что у ученика еще нет пол-
ного понимания.
Со вторым заданием, как видно из табл. 1, справи-
лись 94 ученика (88,7%). Это хороший результат. Од-
нако вряд ли можно утверждать, что он является след-
ствием теоретико-множественного подхода к понятию
функции. Дело в том, что ни один из учеников ие дал
своему ответу четкого обоснования с использованием
теоретико-множественной терминологии, 43 ученика не
привели вообще никаких объяснений, 10 дали неверное
объяснение, а 41 ученик обосновал свой ответ пример-
но так: «Линия, изображенная на рисунке, может слу-
жить графиком функции, так как каждому значению х
соответствует одно значение у». На иаш взгляд, такое
объяснение больше согласуется с определением функции
через переменную величину, чем с определением ее че-
рез соответствие.- Сравните:
«Переменная величина у называется функцией пере-
менной величины х, если каждому значению величины
х соответствует единственное определенное значение ве-
личины у».
Таким образом, во втором задании ученики дают пра-
вильные ответы как бы вопреки изученному ими опре-
делению функции. Большой же процент правильных от-
ветов объясняется скорее всего тем, что в школьные
учебники были введены упражнения аналогичного ха-
рактера. Кроме того, к окончанию восьмилетней школы
у учащихся, благодаря знакомству с графиками, выра-
батывается правильное интуитивное представление о
графике функции.
Задание 3 правильно выполнили 63 ученика (59,4%).
Из них вообще не дали объяснений 38 человек, дали
неудовлетворительные объяснения 7; 11 учеников обос-
новали свои ответы примерно так: «Формула
2х’
не задает функцию на указанном множестве, потому
что, если х будет равно 3, формула не будет иметь
смысла». Такое обоснование свидетельствует о том, что
при поиске ответа эти ученики вряд ли использовали
определение функции, а скорее всего ограничились по-
нятием области определения выражения.
Всего 4 ученика прямо или косвенно в своих ответах
упомянули о том, что одному из чисел, входящих в
указанное множество, формула не ставит в соответствие
никакого числа из некоторого другого множества.
В табл. 3 приведена общая оценка степени владе-
ния понятием функции учениками, участвовавшими в
описанном эксперименте.
Результаты эксперимента дают основание заключить,
Таблица 3
Понятием функции владеют	Количество учеников
хорошо удовлетворительно неудовлетворительно	12(11,3%) 28 (26,4%) 66 (62,3%)
что теоретико-множественная трактовка понятия фун-
кции, используемая в настоящее время в средней шко-
ле, недостаточно эффективна и обладает существенны-
ми методическими недостатками. Возможность ее на-
глядной интерпретации сказывается лишь на первом
этапе усвоения понятия функции. В последующем же
первоначально полученное представление о функции не
находит должного подкрепления в школьном курсе ма-
тематики. Четкость и доступность определения фун-
кции также начинают терять свое значение после того,
как это определение введено, ибо ученики перестают
пользоваться абстоактным определением при переходе
к сю конкретным применениям.
Проблемы и суждения
О СИСТЕМАТИЗАЦИИ ЗАДАЧ
В УЧЕБНИКАХ МАТЕМАТИКИ
В. К. СОВАЙЛЕНКО
(г. Новочеркасск)
Умелая систематизация задач во многом определяет ка-
чество обучения математике, и потому ей в методике
преподавания всегда уделялось много внимания. К со-
жалению, пока нет твердо установившихся принципов,
которые позволяли бы судить о том, что именно дол-
жно быть достигнуто с помощью задач, какой степени
стожности задачи должны решаться, в каком пор5дке
они должны располагаться в учебнике. И гели раньше
решение этих вопросов ч значительной мере опреде-
лялось исторической традицией то с переходом школь
иа новые учебные программы учителя потеэяли всякие
ориентиры. А после того как стали применяться урав-
нения для решения арифметических задач, некоторые
методисты пришли к выводу, что необходимость в ка-
кой-либо классификации и систематизации задач эгиала.
Эти вопросы нуждаются в тщательном рассмотрении,
чтобы с помощью коллективных усилий установить v5-
щие взгляды и прийти к обоснованным выводам.
Много путаницы имеется в толковании понял я «не-
стандартная задача». Большинство с этим понятием
связывает какие-то особые качества задач. Поэтому
некоторые авторы наперебой спешат сообщить, что они
стремятся обучать на нестандартных задачах. В печа-
ти даже появились сборники нестандартных задач. Чтз
же такое нестандартные задачи? Каждый согласится с
тем, что любая задача, взятая изолированно, сама по
себе является нестандартной, но если с ней рядом по-
местить несколько подобных задач, то она становится
стандартной, шаблонной, трафаретной. Таким образом,
стандартных и нестандартных задач как таковых не
существует, такими они становятся в зависимость от
того, систематизированы они в учебнике или располо-
жены разрозненно.
Возникает вопрос: какие же задачи должны быть в
современных учебниках и как они должны распола-
гаться?
Как убедительно показал профессор И. В. Арнольд
на группе составленных им 20 нестандартных и логи-
чески не связанных между собой задач, каждая из ко-
торых решается одним действием 3—1=2 (см статью
«Принципы отбора и составления арифметических за-
дач».— Известия АПН РСФСР, 1946, № 6, с. 15—16),
что трудность задачи определяется не столько матема-
тическим содержанием, сколько новизной и необычно-
стью математической ситуации, т. е. психслшическьми
факторами.
И. В. Арнольд показал также, что нестандартными
мо:ут быть самые элементарные задачи в одно дейст-
вие, имеющие одинаковую числовую формулу решения,
ио отличающиеся друг от друга тематикой математиче-
ской ситуации, а также задачи, в которых рассматрива-
ются различные математические зависимости геличич.
Поэтому для создания нестандартных задач, нс имею-
щих логических взаимосвязей, используются необычные,
ие привычные по фабуле и математическим зависимо-
стям величин ситуации. Очевидно, для поиска таких
редких математических ситуаций и зависимостей нам
намеренно придется уклоняться от явлений, част встре-
чающихся в практической жизни. Между тем методика
математики пошла другим, более правильным путем.
Из множества различных зависимостей величин.
встречающихся в жизни, человечество опытным путем
отобрало и веками сохраняло определенные виды зави-
симостей и логических рассуждений, как наиболее важ-
ные для практической жизни, воспитания и математиче-
ского развития детей. Эти зависимости нашли свое ма-
тематическое воплощение в различных видах и типах
задач. Сравнение этих видов и типов задач от самых
простых, решаемых способом приведения к единице до
более сложных показывает, чго они представляют со-
бой ярко выраженные ступени развития логическою
мышления. И нет никаких оснований считать, что эти
ступени логического развития детей стали ие нужными
новому поколению, тем более что теперь решение задач
с помощью уравнений существенно облегчилось. Однако
неразработанность научно-методических основ о зада-
чах привела к тому, что составители новых программ
вообще уклонялись от рассмотрения вопроса о сешении
затач, оставив его на усмотрение авторов учебников.
Но вопрос о задачах — это вопрос о применимости ма-
тематической теории к практике, без чего изучение ма-
тематической теории ие имеет реального смысла. На
решение задач расходуется более 50% учебного време-
ни, и если распределение его учебной программой не
предусмотрено, то это делает программу и содержание
школьного курса математики довольно неопределенным,
что не лучшим образом сказывается на новых учебни-
ках математики.
Авторы новых учебников, в частности для IV класса,
ие включили в учебник значительную часть традицион-
ных видов и типов задач и нигде официально не разъяс-
нили учителю, почему так сделано. Между тем типо-
вые задачи — это задачи, взятые из практической жиз-
ни, и необходимость в умении их решать ие отпала.
Больше других ие повезло задачам на бассейны. Про-
тив них выступали и ученые, и методисты, да и учите-
ля с большим облегчением вздохнули, когда из новых
учебников математики исчезли задачи на «пресловутые
бассейны». Но ведь эти задачи наглядно моделируют
такие жизненные процессы, которые происходят в элек-
тросетях, на элеваторах, вокзалах, куда устремляются
потоки людей, поездов, самолетов, автомашин, грузов;
не меньшее значение они имеют при строительстве неф-
тегазоводопроводов и т. п. Задачи на «бассейны» назы-
ваются и по-другому: задачи иа совместную работу.
Совместно работают люди, тракторы, комбайны, станки
и другие различные машины. И очевидно, надо, чтобы
выпускники школ, которых мы готовим к труду, умели
бы производить надлежащие расчеты на совместную
работу.
Некоторые отождествляют понятия «типовая» и «тра-
фаретная» задача, считая их ие приемлемыми для шко-
лы, потому что они решаются учащимися механически
по одному шаблону. Но трафаретность типовых задач —
ие свойство этих задач, она зависит от их составителей.
Было бы ошибочно думать, что мы выступаем за
возврат к прежней систематизации упражнений. Она
хотя и лучше нынешней, но так же ие была поведена до
совершенства и нередко позволяла решать упражнении
по одному образцу.
Суть решения проблемы сводится к созданию систе-
52
мы логически связанных нестандартных качественных
задач с нарастающей степенью трудности. Но это тре-
бует больших дополнительных усилий, и, к сожалению,
авторы учебников и методисты ныие пошли по более
упрощенному пути Часть типовых задач вообще не
включили в учебники, а другие типовые задачи с тра-
фаретными условиями стали размещать среди других
видов и типов задач, чтобы намеренно нарушить меж-
ду ними логические взаимосвязи и тем самым придать
пм нестандартный вид.
Если задачи логически не взаимосвязаны, то учить
детей логике мышления на них нельзя, так как, решая
каждую следующую задачу, учитель показывает все
новые и новые приемы рассуждений и решений, при
этом ученик не успевает их усвоить, а это и есть дог-
матическое обучение, Отсюда «тройки» и «двойки» —
закономерный результат такого обучения. Это убеди-
тельно говорит о том, что отказываться от классифика-
ции задач по какому-либо признаку нельзя, так как
вместе с тем мы отказываемся от общих приемов решс-
ния *адач и растворяемся в безграничном океане част-
ностей, пытаясь объять необъятное.
Отказ от классификации задач чаще всего мотивиру-
ется тем, что теперь задачи решаются методом уравне-
ний Однако еще А Г1 Киселев предупреждал, что «об-
щего способа составления уравнения указать нельзя,
так как условия задач могут быть очень разнообраз-
ны» (Алгебра. Ч. 1.— 1956, с. 71). Чтобы лучше понять
несостоятельность такого мотива, рассмотрим алгебраи-
ческое и арифметическое решение одной и той же за-
дачи:
Масса белого медведя и льва вместе равна 1000 кг,
причем медведь в 4 раза тяжелее льва. Определите мас-
су медведя и массу льва.
Ар"фметическое решение. Примем массу
льва за одну часть, тогда масса медведя составит
4 таких части.
1) 1+4 = 5 (ч.); 2) 1000:5 = 200 (кг); 3) 200-4 =
= 800 (кг).
Алгебраическое решение. Поймем массу
льва за х кг, тогда масса медведя составит 4х кг.
1)	х+4х=1000;
2)	5х=Ю00; х=1000:5=20Э (кг);
3)	200-4 = 800 (кг).
Как видим, ход рассуждений и решение почти полно-
стью совпадают.
Следовательно, ныне, как и прежде, ведущая роль в
обучении решению задач принадлежит не уравнениям
как таковым, а рассуждениям, логическому мышлению.
И потому не следует думать, что если мы заменили
арифметические методы решения задач методом урав-
нений, то умение решать задачи придет к учащимся
чуть ли ие само собой. У каждого вида задач своя,
только ему присущая логика рассуждений, и чтобы
ученик знал, как надо рассуждать, как связывать неиз-
вестную величину (х) с данным i условиями задачи,
надо его специально учить этому. В учебниках должны
быть образцы рассуждений при решении каждого вида
задач, наборы логически взаимосвязанных нестандарт-
ных задач с нарастающей степенью трудности, располо-
женных группами.
Специальные исследования сотрудников НИИ психо-
логии АПН под руководством Н. А. Менчинской показа-
ли, что учащиеся лучше уясняют решение задач, если
задачи классифицируются по типам и им даются назва-
ния (см.: Меичинская Н. А. Психология обучения
арифметике. — Учпедгиз, 1955, с. 141, 333). Между тем
некоторые противники систематизации задач по методам
их решения считают, что такая систематизация неприем-
лема потому, что ученики при этом не думают о том,
как решить задачу, а начинают вспоминать, к какому
типу относится эта задача. Но в упомянутом исследо-
вании сотрудники ПНИ психологии доказали, что так
поступают не только дети, но и другие полноценно мыс-
лящие взрослые люди. Разница лишь в том, что взрос-
лых не упрекают в грехах «нетворческого механическо-
го» мышления, а детей упрекают.
Мы рассмотрели основные возражения против типо-
вых задач и способов их классификации и видим, что
они лишены научно обоснованной аргументации. Теперь
необходимо сделать практические выводы.
Основываясь на личном опыте и иа опыте работы дру-
гих учителей с учащимися IV и V классов по новым
программам, считаем, что было бы правильным вклю-
чить в учебную программу IV класса следующие виды
задач: задачи на все действия и зависимости между
компонентами и результатами действий для натураль-
ных и дробных чисел, т. е. примерно то, что имеет ме-
сто в настоящее время, но с некоторым повышением
качественного уровня этих упражнений; типовые за-
дачи, решаемые методом приведения к единице, задачи,
решаемые по двум суммам и по двум разностям, по
сумме н разности, по отношению и сумме двух вели-
чин и по отношению и разности двух величин, задачи
на среднее арифметическое, на нахождение дроби чис-
ла и числа по его дроби, на встречное движение, на
движение в одном направлении, на движение по тече-
нию и против течения, на совместную работу и бас-
сейны; геометрические задачи на прямоугольники, квад-
раты, прямоугольные параллелепипеды и кубы, на пря-
мые, развернутые и смежные углы. Во всех случаях
имеются в виду элементарные задачи, главной целью
которых является уяснение простейших зависимостей, в
основном между двумя величинами. Полагаем, что уста-
новление такого перечня видов задач поможет и авто-
рам учебников, и учителям более четко представить
курс математики IV класса.
Для достижения высоких результатов в обучении
большое значение имеет отбор главного и основного
учебного материала. Передовые учителя подразделяют
учебный материал по важности иа четыре уровня: глав-
ный, основной, второстепенный и дополнительный.
К главному материалу в курсе математики III клас-
са относятся четыре действия над натуральными числа-
ми и зависимость между компонентами и результатами
действий. Весь главный материал должен быть усвоен
всеми учащимися не ниже чем иа «4».
Это положение остается в силе и для IV класса, но
здесь в главный материал входят еще г действия над
дробными числами, прочное знание законов действий
над этими числами. Желательно, чтобы главный матери-
ал в программах каким-то образом выделялся.
Ко второму уровню — основному материалу — учите-
ля относят все те типы задач, которые мы перечислили
выше, и основные геометрические понятия, и основные
сведения о прямоугольнике, квадрате и параллелепи-
педе.
Весь остальной программный материал следует от-
нести к третьему уровню — второстепенному.
Четвертый уровень составляют занимательный ма-
териал и дополнительный материал повышенной труд-
ности. На этом следует остановиться несколько подроб-
нее. В педагогике много говорится об индивидуальном,
дифференцированном подходе в обучении. В каждом
классе имеются учащиеся, которые довольно быстро
овладевают теоретическим материалом и упражнения-
ми, имеющимися в учебнике, но учитель больше занят
слабыми учениками, для самых способных у него не
хватает времени. Это приводит к тому, что способный
ученик нередко превращается в «трудного» или начи-
нает верить в свою исключительность. Так продолжа-
ется многие школьные годы, и разочарование наступа-
ет тогда, когда в руки ученика попадает задачник для
поступающих в вузы или сборник олимпиадных задач.
Поэтому в каждом параграфе учебника математики
должен быть материал повышенной трудности, который
способствовал бы развитию способностей сильных уча-
щихся, воспитанию их творческой активности.
Важно также установить одинаковый уровень требо-
ваний к учащимся. В практике передовых учителей зпа-
53
ние учеником главного учебного материала программы
оценивается «тройкой». Если ученик, кроме того, ус-
пешно решает основные виды и типы задач, его зна-
ния оцениваются «четверкой». Если ученик прочно зна-
ет весь программный материал и безошибочно решает
основные виды и типы задач, его знания оцениваются
«пятеркой».
Мы здесь говорим обо всем этом, поскольку при по-
сещении уроков приходится наблюдать, что мы в школе
нередко обучаем детей многому, но забываем обучать
главному. В то же время опыт показывает, что ученик,
прочно знающий главное, может с каждым следующим
классом подниматься на более высокий уровень успе-
ваемости. Если же главный материал не усвоен, ученик
с каждым следующим классом все стремительнее при-
ближается к «трудным» учащимся. В связи с этим мы
считаем, что главный материал в учебниках должен
быть четко выделен.
Итак, мы полагаем, что представляется возможным
четко определить виды и характер сложности основных
задач, решаемых в IV и V классах, причем в дополни-
тельный материал для IV класса полезно включить все
виды основных задач, трудность которых соответствует
требованиям для ученик л V класса. Такая пропедев-
тика решения задач явится важным залогом успешной
работы четвероклассников и в V классе.
Таким образом, мы выступаем за четкую регламента-
цию, за то, чтобы расставить по методическим «полоч-
кам» весь заданный материал, что облегчит учащимся
овладение способами решения задач.
Мы считаем, что пока не будут обсуждены и решены
вопросы о задачах в школьном курсе математики, нель-
зя правильно решить вопрос об учебных программах,
учебниках, как н вообще о содержании математического
образования в средней школе.
Внеклассная работа
XIV ВСЕСОЮЗНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ
Т. А. САРЫЧЕВА, А. Н. ЗЕМЛЯКОВ
(Москва)
XIV Всесоюзная олимпиада школьников, посвящен-
ная 110-й годовщине со дня рождения В. И. Ленина,
завершилась в старинном волжском городе Саратове.
На торжественном открытии участников олимпиады
приветствовали заместитель председателя Центрального
оргкомитета МП СССР М. Я. Тамбиева. заместитель
председателя Саратовского исполкома областного Со-
вета народных депутатов И. Ф. Ялынычева, заведующий
Саратовским облоно В. Д. Чибирев, секретарь Сара-
товского обкома ВЛКСМ О. И. Фомина, ректор Сара-
товского государственного университета им. Н. Г. Чер-
нышевского А. М. Богомолов и другие. Долгими апло-
дисментами присутствующие в зале встретили выступ-
ление академика А. Н. Колмогорова. День открытия
олимпиады закончился большим праздничным концер-
том школьной художественной самодеятельности.
Традиционно соревнования юных математиков прохо-
дили в дса тура. На каждом было предложено по 4
задачи разного уровня трудности, составленные в со-
ответствии со школьной программой, но обязательно
предполагающие какую-нибудь более или менее орши-
нальную идею. Таким образом, чтобы стать победите-
лем Всесоюзной олимпиады, необходимо не только об-
ладать знаниями и умениями, приобретенными в шко-
ле, ио и уметь проявить сообразительность и смекалку,
четко логически рассуждать, исследовать все возмож-
ные случаи решения, найти наиболее короткие пути для
достижения цели.
Жюри XIV Всесоюзной математической рлимпмады
возглавляли председатель методической комиссии Цен-
трального оргкомитета МП СССР академик А. Н. Кол-
могоров и три его заместителя- заместитель председа-
теля методической комиссии, заведующий научным от-
делом мехмата МГУ В. В. Вавилов, профессор Саратов-
ского государственного университета А. А. Привалов,
профессор Московского физико-техническою института
Г. И. Яковлев. В состав жюри вошли преподаватели и
аспиранты Московского, Киевского, Новосибирского,
Саратовского государственных университетов. Саратов-
ского государственного педагогического института,
МФТИ, научные работники научно-исследовательских
институтов.
Работы многих участников олимпиады получили вы-
сокую оценку. Были отмечены ряд оригинальных реше-
ний, умение школьников применять различные матема-
тические методы.
В итоге присуждено 7 дипломов I степени, 35 дипло-
мов II степени, 41 диплом III степени, 40 грамот. Ос-
тальные 32 школьника получили дипломы участника.
Среди победителей — учащиеся сельских школ: Тихен-
ко Владимир из Пуховичской школы Минской обл. (дип-
лом I степени), Ходоровский Вадим из школы № 1
пос. Нововоронежского Воронежской обл. (диплом III
степени). Ягель Apet из школы пос. Ныо Тартуского
района Эстонской ССР (диплом III ст.). За особые за-
слуги на олимпиаде многим были вручены специальные
призы от г. Саратова. Редакция журнала «Квант» на-
градила победителей из сельской местности и неболь-
ших районных городков подшивкой журнала «Квант»
за 1979 г. и подпиской на 1981 г.
Приводим список участников олимпиады, награжден-
ных дипломами I и П степени.
Диплом I степени
VIII	класс: Матюшов Сергей (шк. № 29 г. Волог-
ды), Титенко Владимир (Пуховичская школа Минской
обл.).
IX	класс: Бураго Дмитрий (ФМШ при ЛГУ), Гай-
сииский Моисей (шк. № 103 Ташкента), Гринберг На-
талья (шк. № 145 Киева).
X	класс: Зайцев Юрий (шк. № 6 г. Видное Мос-
ковской обл.), Разборов Александр (шк. № 2 Москвы).
Диплом II степени
VIII класс: Бриталс Янис (ФМШ № 1 Риги), Ко-
шовец Игорь (шк. № 40 г. Новороссийска), Матвеев
Коистантии (шк. № 74 г. Новосибирска), Перельман
Григорий (шк. № 301 Ленинграда), Савкин Андрей
(ФМШ при ЛГУ), Тупайло Сергей (ФМШ при КГУ),
Фрегер Вячеслав (шк. № 12 г. Вольска Саратовской
обл.), Фульман Игорь (шк. № 2 г. Гомеля БССР),
Шевчишин Всеволод (шк. № II г. Львова).
IX класс: Алания Леван (ФМШ Тбилиси), Алек-
сеев Валерий (ФМШ при МГУ), Гогоберидзе Тенгиз
(шк. Ns 4 г. Поти ГССР), Гринчук Михаил (ФМШ при
МГУ), Дерягин Дмитрий (школа № 2 Москвы). Зиль-
берберг Аркадий (шк. № 19 г. Кременчуга), Крижа-
новский Олег (шк. Кв 27 Харькова), Матвеев Александр
(шк. Кв 5 г. Ульяновска), Минарский Андрей (шк.
№ 239 Ленинграда), Орел Михаил (шк. Ns 239 Ленин-
града), Рабинович Борис (шк. Кв 36 г. Тулы), Фомин
Дмитрий (ФМШ при ЛГУ), Чанышев Айрат (ФМШ
при МГУ), Чеканов Юрий (шк. Кв 91 Москвы).
X класс: Артюшкин Игорь (шк. Кв 16 г. Пензы),
Балинский Александр (шк. № II г. Львова), Боричев
Александр (ФМШ при ЛГУ), Ижболдин Олег (ФМШ
при ЛГУ), Каналя Алексеи (шк. Ns 2 Москвы), Каплан
Алексей (шк. Ns II г. Сумгаита АзССР), Конпевич
Максим (шк. Ns 91 Москвы), Кузьмин Юрий (ФМШ
54
при МГУ), Курчатов Сергей (ФМШ при Саратовском
государственном университете), Мегрецкий Александр
(ФМШ при ЛГУ). Стадниченко Сергей (ФМШ при
МГУ), Ткаченко Юрий (шк. № 145 Киева).
Саратовский олимпиадный оргкомитет под руковод-
ством председателя И. Ф. Ялынычевой и заместителя
председателя В. Д. Чибирева провел большую подго-
товительную работу по созданию необходимых условий
для успешного проведения заключительного этапа Все-
союзной математической олимпиады школьников и обес-
печения высокого идейно-воспитательного уровня дан-
ного мероприятия.
За время пребывания в Саратове ребята осмотрели
город, ознакомились с его прошлым и настоящим, посе-
тили театры, музеи, побывали на месте приземления
первого космонавта Ю А Гагарина.
19 апреля, в день Всесоюзного Ленинского субботни-
ка, школьники участвовали в работе по благоустрой-
ству городского детского парка. Субботник начался
митингом, на котором выступили руководители города,
партийные, комсомольские работники, победители со-
циалистического соревнования, участники первых ком-
мунистических субботников. Были возложены цветы к
памятнику В. И. Ленина.
Профориентации и трудовому воспитанию школьников
способствовали экскурсии на предприятия города и
встречи с руководителями и преподавателями саратов-
ских вузов. Школьники познакомились с производст-
венными процессами завода технического стекла, Поли-
графического комбината. В Политехническом институте
при посещении Вычислительного центра гостям было
предложено сыграть в шахматы с электронной маши-
ной. Машина вызвала восхищение, когда кто-то специ-
ально сделал неправильный ход, и на табло появилась
надпись: «Такого хода нет». Однако в эндшпиле элек-
тронная шахматистка запуталась, и ребята, к своему
удовольствию, выиграли партию.
Нельзя не отметить воспитательное значение вечера
«Эту дружбу на все времена завещал нам великий
Ленин».
Как правило, в каждом большом мероприятии имеют-
ся свои удачные организационные моменты.
При проведении олимпиады в Саратове заслуживает
внимания форма организации участников с помощью
четырех комиссаров, выделенных облоио из числа луч-
ших работников по воспитательной работе со школьни-
ками. За каждым комиссаром было закреплено несколь-
ко делегаций. Комиссары с большим умением и сердеч-
ностью вели организационно-воспитательную работу
среди ребят, обеспечивая большую четкость проводи-
мых мероприятий.
Положительно сказалось на проведении олимпиады
активное привлечение к организационной работе ком-
сомольцев города, студентов вузов и учащихся школ.
Саратовские комсомольцы задавали нужный тон в лю-
бом проводимом мероприятии, создавали атмосферу
бодрости и общего хорошего настроения.
Организация XIV Всесоюзной математической олим-
пиады, посвященной 110-й годовщине со дня рождения
В. И. Ленина, заслуживает высокой оценки благодаря
глубоко продуманному содержанию программы и сов-
местным усилиям в подготовке и проведении органов
народного образования, ученых и преподавателей выс-
ших учебных заведений, активной помощи со стороны
местных партийных, комсомольских и советских орга-
нов.
Ниже приводятся условия задач XIV олимпиады и
их решения. После условия каждой задачи в скобках
указаны: класс, в котором предлагалась задача; число
баллов, которым оценивалось полное решение задачи;
количество участников олимпиады, решивших задачу
полностью или с незначительными недочетами; фами-
лия автора задачи.
Условия задач
Первый день
1.	Двузначные числа от 19 до 80 выписаны подрят.
Делится ли получающееся число 192021...7980 на 1980?
(VIII, 6, 29, В. Федотов.)
2.	Сторона АВ квадрата ABCD разделена на и от-
резков так, что сумма длин отрезков с четными но-
мерами равна сумме длин отрезков с нечетными номе-
рами (см. рис. 1). Через точки деления проведены от-
резки, параллельные стороне AD, а затем каждая из
получившихся п полосок диагональю BD разбита на
две части — левую и правую. Докажите, что сумма
площадей левых частей с нечетными номерами равна
сумме площадей правых частей с четными номерами
(на рисунке эти части заштрихованы). (VIII, 6, 26,
В. П р о и з в о л о в.)
3. Груз, упакоьаиччй в
контейнеры, нужно доста-
вить на орбитальную кос-
мическую станцию «Салют».
Число контейнеров не мень-
ше 35, общая масса гру-
за—ровно 18 тонн Имеется
семь транспортных кораб-
лей «Прогресс», каждый из
которых может доставить
на орбиту 3 тонны груза.
Известно, что эти корабли
могут одновременно доста-
вить любые 35 из имеющих-
ся контейнеров. Докажите, что они смогут доставить на
орбиту сразу весь имеющийся груз. (VIII, 9, 9; IX, 8,
18; А. Колото в.)
4.	Точки М и Р— середины сторон ВС и CD выпук-
лого четырехугольника ABCD. Известно, что |АЛ4| +
+ |АР|— а. Докажите, что площадь четырехугольника
ABCD меньше, чем с?/2. (VIII, 9. 13; В. У рое в.)
5.	Имеет ли уравнение x2+y3=z* решения в простых
числах х, у, z? (IX, 6, 50, С. Пчелинцев.)
6.	На диаметре АС некоторой окружности даиа точ-
ка Е. Проведите через нее хорду BD так, чтобы пло-
щадь четырехугольника ABCD была наибольшей. (IX,
8, 15; X, 8, 29; И. Шары ги н.)
7.	На берегу круглого озера расположено несколько
пунктов. Между некоторыми из них установлено теп-
лоходное сообщение. Известно, что два пункта А и В
связаны рейсом тогда и только тогда, когда следую-
щие за ними справа по берегу два пункта А' и В' рей-
сом не связаны. Докажите, что из любого пункта в
любой другой пункт можно добраться теплоходом, при-
чем не более чем с двумя пересадками. (IX, 8, 30; X,
8, 35; А. Г а н ю ш к и и.)
8.	Шестизначное число заппсанное шестью отличны-
ми от нуля различными цифрами, делится на 37. Дока-
жите, что перестановками цифр этого числа можно по-
лучить еще по крайней мере 23 различных числа, де-
лящихся на 37. (X, 6, 27, Б. Агафонов.)
9.	Решите систему уравнений
sinx + 2sin (х + у + z) = 0,
sin у + 3 sin (jc + у + г) = 0,
sin г + 4 sin (х + у + г} = 0.
(X, 8, 5, Б Агафонов, Ю. Нестеренко)
Второй день
10.	На плоскости дано 1980 векторов, причем среди
них есть не коллинеарные. Известно, что сумма любых
1979 из этих вектоэов коллинеарна с вектором, не
включенным в сумму. Докажите, что сумма всех 1980
данных векторов равна нулевому вектору. (VIII, 6, 30,
А. Слинько.)
II.	Обозначим через S(n) сумму всех цифр нату-
рального числа п.
а)	Существует ли натуральное л такое, что n-\-S(n) =
=1980?
55
б)	Докажите, что хотя бы одно из любых двух по-
следовательных натур >льиых чисел представимо в ви-
де n-f-S(n) для некоторого третьего натурального чис-
ла п. (VIII, 7, 17, С. Ко ня гии.)
12. Некоторые клетки бесконечного листа клетчатой
бум.иш окрашены в красный цвет, остальные—в си-
ний, причем так, что каждый прямоугольник нз 6 кле-
ток размером 2X3 клетки содержит в точности две
красные клетки. Сколько красных клеток может содер-
жать прямоугольник из 99 клеток размером 9X11 кле-
ток- (VIII, 7, 25; IX, 8, 42; Н. Карташов.)
13. Коротышки, проживающие в Цветочном городе,
вдруг стали болеть гриппом. В один день несколько
коротышек простудились и заболели, и, хотя потом уяе
никто ие простужался, здоровые коротышки заболева-
ли, навещая своих больных друзей, на следующий день
после посещения. Известно, что каждый коротышка бо-
леет гриппом ровно день, причем после этого у него по
крайней мере еще один день есть иммунитет, т. е. он
здоров и заболеть в такой день не может (число дней
иммунитета у каждого коротышки может быть свое).
Несмотря на эпидемию, каждый здоровый коротышка
ежедневно навещает всех своих больных друзей. Когда
началась эпидемия, коротышки забыли о прививках н
не делали нх. Докажите, что:
а)	если до первого дня эпидемии какие-нибудь ко-
ротышки сделали прививку и имели в первый день
иммунитет, то эпидемия может продолжаться сколь
угодно долго;
б)	если же в первый день иммунитета ни у кого не
было, то эпидемия рано или поздно закончится. (VIII,
10, 16. А. Колотов.)
14.	Обозначим через Р(п) произведение всех цифр
натурального числа п. Может ли последовательность
(па), заданная рекуррентной формулой гц+1—Пк+Р(пк}
и своим первым членом щ е N, оказаться неограничен
ной'1 (IX, 8, 21, С. Коняги н.)
15.	Дан правильный треугольник АВС. Некоторая
прямая, параллельная прямой АС, пересекает прямые
АВ и ВС в точках М и Р, соответственно. Точка D —
центр треуголы ика РМВ, точка Е — середина отрезка
АР. Определите углы треугольника DF.C /IX 7. 33.
Л. Купце в.)
16.	Длины ребер прямоуголт кого параллелепипеда
равны х, у и г сантиметрам, причем х<.у<г. Через
р = 4(л.+д/+г), В=2(ху+уг+гх) и
d — /х’ + у2 + z2
обозначены соответственно периметр, площадь поверх-
ности и длина диагонали параллелепипеда. Докажите
неравенства:
(IX, 7, 46, А. Сави н.)
17	Множество М состоит из целых чисел, его наи-
меньший элемент равен 1, а наибольший элемент ра
вен 100. Каждое число из множества А1, кроме 1, рав-
но сумме двух (возможно, одинаковых) чисел, принад-
лежащих М. Укажите среди всех множеств А1, удовлет-
воряющих этим условиям, множество с минимальным
числом элементов. (X, 6, 38. Ю. Нестеренко.)
18.	Докажите, что существует бесконечно много чи-
сел а, для которых уравнение
— .1
[х 2 | 4- [у 2 ] = а
имеет, по крайней мере. 1980 решений в натуральных
числах х, у. (Через [z| обозначена целая часть числа г.)
(X, 8, 20; Ю. Несте рен к о.)
19.	В тетраэдре ABCD (4С)±(ВС) и (AD)J_(SD).
Докажите, что косинус угла между прямыми АС и Во
меньше, чем |CD|/|AB|. (X, 8, 20, Ю. Нестерен-
ко.)
20.	Число хе[0; 1[ записано в виде бесконечной де-
сятичной дроби. Переставив ее первые 5 цифр после
запятой в произвольном порядке, получим новую бес-
конечную десятичную дробь, отвечающую некоторому
числу Х|. Переставив в десятичной записи числа х1 циф-
ры со 2-й по 6-ю после запятой, получим десятичную
запись числа Xs. Вообще, десятичная запись числа xa+i
получается перестановкой в записи ха цифр с (Д’ 4-1) й
по (А+5)-ю после запятой.
а)	Докая ите. что, как бы ни переставлять цифры на
каждом шаге получающаяся последовательность чисел
Ха всегда имеет некоторый предел. Обозначим этот
предел через у.
б)	Выясните, можно ли с помощью такого процесса
из какого-нибудь рационального числа х получить ир
рациональное число у.
в)	Придумайте такую дробь х, для которой описан
ный процесс всегда приводит к иррациональным чис-
лам у, каковы бы ни были перестановки пятерок цифр
на каждом шаге. (X, 10, 19, Н. Карташов.)
Решения задач
1.	Так как 1980— 99-20, причем 99 и 20 не имеют
общих делителей, то достаю шо выяснить, делится ли
число А —192021...7980 на 20 и 99. Делимость А на 20
очевидна. Далее заметим, что 100 в любой степени при
делении на 99 дает остаток I, поэтому число
А = 19- 100S14-20-100304~ - -4-79-100+80
при делении на 99 дает такой же остаток, какой и
число
19 4- 80
В = 19 + 20 4- ... + 79 + 80= ----------- 62 = 99-31.
Итак, получилось, что В делится на 99; следователь
но, и число А делится на 99, а вместе с тем и на 1980.
Многие участники олимпиады при решении этой за-
дачи использовали признаки делимости на 9 н II.
2.	Пусть Л, и Лв — суммы площадей левых частей с
четными и нечетными номерами соответственно; пусть
Пч и Пн — такие же суммы для правых частей а
S — площадь всего квадрата. Из условия следует, что
Лч + Пч = Лн + Пв= S.
С другой стороны, очевидно, что
1
Пч + Пи = £ S.
Из этих равенств получаем:
лн- -y-s — ПН = ПЧ,
что и требовалось доказать.
Некоторые учащиеся пробовали доказывать нужное
равенство с помощью непосредственных вычислений, ис-
пользуя формулу для площади трапеции; как правило,
при этом они запутывались в алгебраических преобра-
зованиях.
3.	Так как число контейнеров массы х>0.5 т мень-
ше, чем 18:0,5=36, т. е. не превосходит 35, то по ус-
ловию задачи все такие контейнеры можно погрузить
(при необходимости добавив контейнеры массы
х^0,5 т до общего числа 35). После этого могут ос-
таться только «легкие» контейнеры — массы ие более
0,5 т. Покажех что все эти контейнеры можно по оче-
реди догрузить в корабли.
В самом деле, если на каком-то шаге погрузки кон-
тейнер массы х0,5 т не удается погрузить ни на
один из семи кораблей, то на каждый корабль погру-
жено уже больше (3—х) т груза, всего погружено
больше 7(3—х) т. а осталось меньше 18—7(3—х) =
= (7х—3) т груза. Но тогда х<7х—3, откуда х>0,5,
56
что противоречит предполиж :нию (х^0,5 т). Требуе-
мое доказано.
Решение этой задачи требует не только умения об-
ращаться с неравенствами, но и четких логических рас-
суждении. Основные ошибки в работах учащихся но-
сили как раз логический характер.
4.	Разбивая четырехугольник ABCD диагональю АС,
убеждаемся, что
Sz bcd = 2Samcp,
поэтому достаточно доказать неравенство
д2
$АМСР < 4 •
Пусть — точка пересечения отрезков AM и BD
(рис. 2). Треугольники МСР и МКР имеют общее ос-
нование МР и равные высоты (МР— средняя линия
треугольника BCD), поэтому их площади равны. Да-
лее, в силу выпуклости ABCD точка К г,ехт между
А и М, поэтому площадь треугольника МКР меньше
площади треугольника АМР. Итак, имеем:
Samcp = Sa vp4-Smcp==Samp+‘Sajkp<2S^ivp.
Обозначив |ЛЛ1| через х, получим: |ЛР| =а—х,
2SAmp=v(o— х) sin VMP.
Остается заметить, что sin XlAP С 1, х(д— .r) =
д2 / д ''2 д2
Большинство ошибок при решении этой задачи было
связано с тем. что учащиеся забывали или не могли
использовать условие выпуклости.
5. Данное уравнение решений в простых числах не
имеет. Один из способов доказать это. предложенный
в ряде работ, состоит в следующем. Во-первых, хотя
бы одно из чисел х, у, z должно быть четным, т. е.
должно равняться 2. Во-вторых, рассматривая равенство
(За±1)2+(ЗЬ±1)3 = (Зс±1)«.
убеждаемся, что оно невозможно, и поэтому хотя бы
одно из чисел х, у, z должно делиться на 3, т. е. долж-
но равняться 3. Итак, если уравнение имеет решение в
простых числах х. у, г. то два из ннх — это 2 и 3. Ос-
тается подстановкой убедиться, что тогда третье число
ие может быть даже пелым (рассмотреть 6 случаев).
Другое решение этой задачи может быть основано иа
разложении исходного уравнения: ys 6=z4—x2—(z2—х)Х
X(z2-f-x), откуда, в случае поостого у, получаем две
возможности: 1) г2—jc==l, z2+x=j/3; 2) z2—x=y,
z2-px=y2. По одному уравнению в каждом из этих
случаев снова разлагаем и приходим к противоречию
с требованием простоты х у, г.
Эту задачу не решили всего 2 участника. Большин-
ство решений соединяли в себе два указанных под-
хода.
6. Пусть О — центр, R— радиус окружности, |О£| =
=а. Легко видеть (рис. 3), что
а
Sobd = 2]^'$авсо J
следовательно, задача сводится к отысканию
max SObd = m‘"x (-тр Я’sln гДе V — ВОЕ>.~,
Угол <р тем меньше, чем меньше длина хорды ED, или,
соответственно, чем длиннее проведенный к этой хорде
перпендикуляр ОН. Из прямоугольного треугольника
ОНЕ |OW| |О£| =а, поэтому наименьшее значение
<р=Фо характеризуется тем, что [ОН] совпадает с [О£],
т. е. (BD) ± (ДС); для этого значения
<Ро
COS ~Y
а

Итак, остается найти наибольшее значение функции
sin q? при <ро^ф<л. Возможны два случая:
1) Если	то шах sin? достигается при ? =»
— -.у-. В этом случае
а ?0 те 1-^2
ТТ - cos -у > cos т ,
а искомая хорда BD, стягивающая дугу в 90°, должна
отстоять от центра на расстоянии Rfl2, т. е. должна
касаться окружности с центром О радиуса Rfl2.
Л	_
2) Если же ?0 > ту-, что будет, когда a<Rl /> , то
max sin <р достигается при <р=<р0— искомая хорда BD
должна быть перпендикулярна диаметру АС.
Сложность этой задачи в том, что наибольшее значе-
ние исследуемой функции SABcd (ее можно записать
через разные параметры) может достигаться как внут-
ри промежутка, так и в его концах. С неумением уви-
деть это было связано наибольшее число ошибок Сле-
дует отметить, что десятиклассники справились с этой
задачей лучше, чем девятиклассники.
7.	Занумеруем все пункты в порядке их следования
по берегу озера: 1, 2, 3... п	(за пунктом п следует
пункт 1). Из условия вытекает, что из любых двух
«соседних пар соседей> k—1 и k, k и fe-H ровно одна
пара связана рейсом, а поэтому связанны- рейсами со-
седние пары пунктов чередуются с несвязанными. Пусть,
например, рейсами связаны пункты 1 и 2, 3 и 4. ....
2/г—1 и 2k, ... (рис. 4). Очевидно, осталось доказать су-
шествование рейса между любыми двумя парами 2k—1
и 2k, 21—1 и 21, а это сразу следует из условия: либо
пункты 2k—1 и 21—1, либо пункты 2k и 21 соединены
рейсом. Утверждение задачи доказано.
Отметим, что наше рассуждение дает ограничение на
возможное число пунктов: п четно и п^а4. Интересно,
что нужная система рейсов при д=6 не существует; с
другой стороны, на рис. 5 показаны такие системы для
п — 4 и 8. Выяснить, при каких же п возможна система
рейсов с указанными в задаче свойствами — хорошая
тема для исследования. (Ответ: n—4k. Коне,но, от
участников олимпиады это не требовалось.)
8.	Так как число 999 делится на 37, шестизначное
число
Рис. 5
Рис. 4
57
aibtCta,b,c, — atbiCi -(999 + 1) + a,b,c,
делится на 37 тогда и только тогда, когда на 37 де-
лится число
a^6jCj +
= (а, + аг) 100 + (bt + b„) 10 + (с, + с,).
Так как цифры ai н аг, bt и 6г, Ci и Сг входят в по-
следнее выражение симметричным образом, переста-
новки цифр внутри этих пар позволяют из данного чис-
ла получить еще 7 чисел, делящихся на 37.
Далее заметим, что
10 (100а-}-106+с) =999а+ (1006+10с+а),
поэтому наряду с a161Cia,6,c, на 37 делятся также и
числа 6iCifl,6,c,a„ c^b^^b,. Предыдущие переста-
новки позволяют из этих двух чисел получить еще по
7 чисел, делящихся на 37, —итого получится 23 числа.
Заметим, что для некоторых делящихся иа 37 шести-
значных чисел перестановками их цифр можно полу-
чить более 23 других таких чисел: например, из числа
123 876 можно получить 47 чисел!
9.	Очевидно, (х- у, г) = (лб; nZ; лт) — решение дан-
ной системы при любых целых k, I, т. Докажем, что
других решений нет.
Вычитая из суммы первых двух уравнений третье и
применяя известные формулы, получим:
slnx+siny+ sin(x + у + z)—slnz =0,
х+у! х— у
2 sin —g— cos —2— "*
+ 2,tt£+itos(i±i+»)-<>.
Следовательно, справедливо хотя бы одно из трех со-
отношений:
X + у	п X + Z тс
1)	2	“ тел » 2)	2 в 2	*
У + 2 ТС
3)	2	“ 2
где п — произвольное целое число.
В первом случае у=—х+2лл, x+y+z—z+%m. и
после подстановки в первое и последнее уравнения ис-
ходной системы получаем:
sin х+2 sin z=0, sin г+4 sin г—0,
откуда
sinz=0 и sinx=0 —
соответствующие решения (х; у; г) принадлежат к
числу указанных. Второй и третий случай разбираются
аналогично.
Хотя эта задача имеет стандартную формулировку,
большинство участников олимпиады не смогли спра-
виться с необходимыми тригонометрическими преобра-
зованиями — полное решение задачи приведено только
в четырех работах.
—>
10.	Обозначим через а сумму всех 1980 данных век-
торов аи <2г,,..,а1(,80. Тогда сумма всех векторов, кро-
ме а[, записывается как а — at, и если аг =/= 0, то из
условия следует, что а — ai~ fy-ai, т. е. а = (1 +
+ kt) at для некоторого числа 6/. Если а + 0, то 1 +
-р =4 0, поэтому любой ненулевой вектор а/ =
— । а коллинеарен а. Очевидно, это противоре-
чит условию (средн данных векторов есть пеколлине-
арные). Следовательно, а = 0.
Эта задача оказалась самой легкой в VIII классе.
Наряду с приведенным решением, во многих работах
были предложены геометрические решения, основанные
на правиле треугольника для сложения векторов.
11.	а) Ответ: существует, л=1962. Как об этом
догадаться, видно из решения пункта б) этой задачи.
б) Обозначим n+S(n) через SB. Легко видеть, ес-
ли п оканчивается цифрой 9, то Sn+i<Sn; в противном
случае Sn+i=S„+2. Пусть теперь т и л?+1—любые
последовательные натуральные числа. Так как Si=2, то
для т—1 или т=2 утверждение задачи верно. Если
т>2, то существуют Sn, меньшие т (иапример, Si), и
в то же время при n^tn Sn>n^m. Следовательно,
среди п таких, что Sn<m, найдется наибольшее — обо-
значим его через W. Тогда SN+1^m>SN, поэтому N
не может оканчиваться цифрой 9, и, значит, Sn+i =
Sjv+2. Следовательно, m^Sw+l<m+2, поэтому число
SN+I равно либо т, либо /тг+1—требуемое доказано.
Хотя все участники олимпиады справились с пунктом
а) этой задачи, в решении пункта б) более половины
участников допустили те или иные логические просчеты
или ошибки.
12.	Ответ: в любом прямоугольнике 9X11 содер-
жится ровно 33 красные клетки. Приведем доказатель-
ство.
Выделим любую красную клетку Ко и рассмотрим
квадрат 3X3 с центром в этой клетке. Соседние с Ко
по горизонтали или вертикали клетки не могут быть
красными: если, например, как на рис. 6, красной ока-
залась клетка К, то в правом н левом прямоугольниках
2X3 больше красных клеток не будет, поэтому в ниж-
нем таком прямоугольнике окажется всего одна крас-
ная клетка (Ко),— противоречие с условием. Итак, со-
седние с Ко клетки — синие.
Далее, в правом прямоугольнике должна быть еше
одна красная клетка — пусть, например, это будет К,,
как иа рис. 7. Тогда, рассматривая верхний и левый
прямоугольники 2x3, из условия задачи выводим, что
в углу нашего квадрата 3X3, противоположном Kt,
тоже должна стоять красная клетка — К, и красные
клетки в этом квадрате расположены по диагонали.
Рассматривая такие же квадраты с центрами в клетках
Kt и К и сдвигая эти квадраты далее по «красной диа-
гонали», из приведенного рассуждения получаем, что
весь диагональный ряд KKoKt состоит из красных кле-
ток, а по два диагональных ряда выше и ниже крас-
ного — из синих клеток, как показано иа рис 8. Рас-
сматривая же прямоугольники 2X3 с углами на крас-
ной диагонали (типа выделенного на рис. 8), получаем,
что два следующих сверху и снизу диагональных ряда
снова состоят из красных клеток; из уже доказанного
вытекает, что по два следующих ряда — синие затем
опять идут красные ряды, и т. д., как показано на
рис. 9.
Итак, мы показали, что если раскраска удовле1воряет
условию задачи, то она — «диагональная»: диагональ-
ные ряды красных клеток перемежаются парами диаго-
нальных рядов синих клеток (конечно, эти ряды могут
Рис. 6
Рис. 7
Рис. 8
58
идти и сверху вниз, слева направо). Обратно: легко ви-
деть. что такие раскраски удовлетворяют условию за-
дачи. При этом каждый квадрат 3X3 содержит в точ-
ности три красные клетки, а так как прямоугольник
9X11 можно разбить на 9 квадратов 3X3 и 3 прямо-
угольника 2x3, то в этом прямоугольнике обязательно
9-3+3-2=33 красные клетки.
В приведенном решении доказано больше, чем требо-
валось условием задачи, — фактически нами описаны все
возможные раскраски. Несколько участников олимпиа-
ды дали именно такое решение, но большинство рас-
суждали иначе: прямоугольник 9X11 легко разбить на
16 прямоугольников 2X3, после чего остается полоска
1X3. Из условия нетрудно получить, что в этой полоске
может содержаться только одна красная клетка, по-
этому во всем прямоугольнике — только 16-2+1=33
красные клетки. После этого достаточно привести при-
мер раскраски, которая удовлетворяет условию задачи.
Отметим, что в этой задаче совсем не обязательно рас-
сматривать раскраску всей плоскости — можно было
ограничиться раскраской 99 клеток прямоугольника
9X11.
13.	а) Пусть А, В и С—три друга, причем А в на-
чале эпидемии имел иммунитет, В заболел в первый
день, а С был здоров, но иммунитета не имел. Если
предположить, что иммунитет у каждого из этих ко-
ротышек длится один день, то, учитывая правила по-
ведения коротышек, получаем «график заболеваемости»,
изображенный в виде таблицы.
Очевидно, в такой ситуации эпидемия никогда не за-
кончится.
б) Приведем решение этой задачи, предложенное од-
ним из восьмиклассников: оно наиболее ясно показы-
вает, как идет распространение эпидемии. Изобразим
всех коротышек точками и соединим линиями тех из
них, которые знакомы между собой. Если от какого-то
коротышки А можно перейти к другому коротышке В,
идя по k линиям, причем нельзя перейти по меньшему
числу линий, то будем говорить, что «В удален от А на
расстояние k». Разобьем множество всех коротышек на
подмножества М,. Мь М2,... по следующим правилам:
в Мс входят все коротышки, заболевшие в первый день
эпидемии; в Alt — все коротышки, удаленные от коро-
тышек из Mq на расстояние 1; в М2— все коротышки,
удаленные от коротышек из Л1о на расстояние 2, ит. д.
Коротышек, которые вообще не связаны с коротышками
из Мо никакой цепочкой знакомств, включим в отдель-
ное множество М'— эти коротышки никогда не забо-
леют. По своему построению множества М', Мо,
Л12>... попарно не пересекаются, поэтому их число ко-
нечно (общее число коротышек, разумеется, конечно).
С другой стороны, из определения расстояния между
коротышками следует, что коротышка нз множества
Mk заболеет ровно на (/?+1)-й день эпидемии, причем
может передать заболевание только коротышкам из
множества М.н (остальные его знакомые принадлежат
множеству Mk-i и в (й+1)-й день имеют иммунитет).
Следовательно, в 1-й день болеют только коротышки
из множества Мо, во 2-й — только коротышки из Mi,
в 3-й — только коротышки из М2 и т. д. Так как число
множеств Мк конечно, эпидемия рано или поздно за-
кончится.
Эта задача вызвала большой интерес у восьмикласс-
ников. Многие из них догадались об основной идее: ни-
какой коротышка не может заболеть вторнчио, — но
не смогли реализовать ее в строгое доказательство.
Отметим, что описанная в задаче ситуация имеет от-
ношение к настояш.чм математическим моделям в ме-
дицине.
14.	Докажем, что последовательность (пь) всегда яв-
ляется ограниченной. Заметим, что при всех k
где через с(Пк) обозначено число цифр лЛ. Допустим,
что при каком-то выборе последовательность
(пь) неограниченно возрастает. Выберем нату-
ральное число N так. чтобы выполнялись два
условия: 10N>«t и 9N<10N~1 (так как 10” неограни-
ченно возрастает, а (9/10)к стоемится к 0 при /V—>-оо,
такой выбор возможен). Из неограниченности (пь) сле-
дует, что начиная с некоторого номера k nft>10N, по-
этому среди чисел na<10lv существует наибольшее —
пусть это будет пр. Но тогда
10N <пр+1 <Пр+^ < 10w+9W < 10W +10yV-1,
а это означает, что np+t начинается с цифр 10... и
Р(Пр+1)=0. Следовательно, |_2=пр+], пр+з=Пр+1 и,
вообще, пЛ=пР+1 при всех А^р+1, что противоречит
предположению о неограниченности последовательности
(пь). Требуемое доказано.
Заметим, что из приведенных рассуждений следует,
что на самом деле при любом выборе rti последователь-
ность (пи) стабилизируется, т. е. Пк нс меняется при
достаточно больших k,
15.	Ответ: DEC=90°, EDC=60°. Для доказатель-
ства рассмотрим композицию поворота на 60" около
точки D и гомотетии с центром D и коэффициентом 1/2;
направление поворота выбирается так, чтобы точка Р
перешла в середину Н отрезка МР. (Это условие и
дальнейшие рассуждения ие зависят от взаимного рас-
положения прямых (ДС)||(Л1Р) и точки В, однако за
доказательством удобно следить по рис. 10, на кото-
ром изображен один из возможных случаев.) Тогда
точка В перейдет в середину К отрезка РВ, прямая
РВ — в прямую КН, которая, будучи средней линией
треугольника РМВ, пересечет (ДР) в точке Е. Далее,
|ВС| : |ВР| = | ВА | : | ВМ | = |К£| : |K7Z|, поэтому при
нашей композиции точка С переходит в Е. Следова-
тельно, EDC=60°, |£>Е| = |DC|/2, откуда легко полу-
чить, что DEC=90°.
Конечно, эту задачу можно решить и с помощью век-
торов или координат; несмотря на то что такое реше-
ни° значительно длиннее, оно встретилось во многих
работах.
16.	Подставив выражения для р, d и S в доказывае-
мые неравенства, после элементарных преобразований
59
получим неравенства (х—у) (х— з)>0 и (z—х) (г—у)>
>0, которые, очевидно, выполняются, ибо x<y<z. Дру-
гой способ решения этой задачи может быть основан
на исследовании квадратного трехчлена с корнями
i f 1	i А
3	4 Р± V d' — 2SJ-
17.	Легко видеть, множество (1; 2: 3; 5; 10; 20; 25;
50; 100} нз 9 элементов удовлетворяет условию задачи.
Покажем, что меньшим числом элементов обойтись
нельзя.
Расположим элементы произвольного множества, удо-
влетворяющего условиям задачи, в монотонном по-
рядке:
1 =а; <а2<а3<.. .<а„ = 100.
По условию, при любом k>\ Oh=ap-]-ciq, где р, q<k.
Следовагельно, ал^2а«_|. Но для каждого k равен-
ство а<, = 2щ-1 не может быть выполнено, так как 100—
нс степень 2, таким образом, хотя бы для одного
выполнены неравенства ак^аь-^аь-г^Заь-г. Теперь
запишем:
100=а„С2а„_1^22-ап_2^.. .^2n-ft-aft^3-2"-*X
Ха(г-2^3-2"-,'+1аА_з^.. .^3-2"-3-а,.
Итак, 2"~3J& 100/3, откуда п—З^б, п^9.
Приведенный пример нужного множества далеко не
единствен—например, годится и множество {1; 2; 4; 6;
10; 20; 30; 50; 100}, и многие другие. Заметим, что за-
даче можно придать следующую интересную форму-
лировку: за какое наименьшее число умножений из
переменной х можно получить выражение х100?
18.	Предположив противное, заключаем, что для не-
которого числа М при любом а данное уравнение име-
ет не более чем /И решений в натуральных числах.
Теперь возьмем произвольное натуральное число М и
для каждой из Л'2 пар (х; у) натуральных чисел, удов-
летворяющих условиям l<x-g:A', lxgt/^Л, вычислим
значение выражения [х®/2]+[г/3^]- Согласно предположе-
нию, каждое значение при этом получится не более
чем М раз, поэтому в результате получится не менее
чем №/Л1 различных натуральных чисел. Среди них
найдется число, не меньшее чем N:/M.— для некотором
пары (х0; j/u) будет выполнено неравенство
С другой стороны, так как х0, Уо^К, то
R2] + К'2] <™312.
Таким образом, при любом натуральном Л' должно
быть выполнено неравенство
-др<2№/2, т. е. 7V<(2.M)’,
что, очевидно, не так. Требуемое доказано.
Заметим, что это доказательство проходит для любого
уравнения вида [x«]+[i;u]=a, где 0<а>2. Для значе-
ния а=3/2 несколько участников олимпиады дали кон-
структивное решение этой задачи, указав для беско-
нечного числа значений а серию из 1980 решений дан-
ного уравнения.
19.	Достроим прямоугольный треугольник В до
прямоугольника АСВЕ (см рис. 11). Югда косинус уг-
ла между прямыми АС и BD равен |cosDEE|, а
|СО|/|ЛЕ] = |CD|/|CE|. Далее, поскольку углы АСВ,
ADB и АЕВ прямые, их вершины С, D и Е лежат па
сфере с диаметром АВ. Отрезок СЕ также является
диаметром этой сферы, поэтому угол CDE прямой, и
|CD|/| СЕ | = cos DCE. Итак, нужно доказать неравен-
ство |cos DBE\<cos DCE. Так как угол DCE острый,
для этого достаточно показать, что sin DBE>sin DCE.
Воспользуемся теоремой синусов: sin = |ОЕ|/2В,
sin DBE= | DE |/2г, где R и г — радиусы окружностей,
описанных около треугольников DCE и DBE, соответ-
ственно. Но эти окружности суть сечения рассматривае-
мой сферы плоскостями треугольников: первое проходит
через центр сферы, а второе — нет, поэтому R >г, отку-
да и следует нужное неравенство для синусов
Векторное решение этой задачи значительно сложнее
приведенного. Несколько учащихся дали решение с по-
мощью метода координат, занимающее несколько стра-
ниц.
20. а) Очевидно, все числа х» с номерами k>rn име-
ют одинаковые первые т цифр после запятой — обозна-
чим эти цифры через bt, fc2, ..., Ьт. Здесь т— произ-
вольное. и мы можем рассмотреть число у записываю-
щееся бесконечной дробью 0, 8, Ь2 ... Ьт.... Тогда при
k>m выполнено неравенство |хд—j/|<i0_т, откуда
следует, что
lim Xfe = у.
Й->со
Этот пункт задачи носит подготовительный характер —
он позволяет понять, как при последовательном «пере-
мешивании» пятерок цифр дроби х получается новая
бесконечная десятичная дробь у.
б) Ответ: можно. Приведем пример. Возьмем дробь
х = 0, (10) и «перемешаем» ее только на участках цифр
с номерами )0’1<£<10"+5 при всех натуральных и:
вместо 1010 на этих же местах поставим 1100. Участки
цифр с номерами 10"4-5^^sg Ю”*1 по-прежнему будут
периодическими. Допустим, в результате получилась пе-
риодическая дробь i/ = 0, btb2... с р цифрами в периоде.
bi+p = bi для всех i^N. Выберем п так, чтобы выпол-
нялись неравенства 10">/V и 10п + 1—10л—4>р; тогда
х»тя бы один период у попадет на оставленный учас-
ток периодичности х. поэтому дробь у должна иметь
пери эд (10). Но по построению в дроби у сколь угод-
но далеко от запятой встречаются подряд две едини-
цы — противоречие.
в) П^сть v дроби х на местах с номерами 10п<й^
«g:10"+5 при всех натуральных п стоят единицы, ос-
тальные цифры — нули. Покажем, что ни при каком
перемешивании дробь х не превращается в периодиче-
скую. Предположим к ротивное: при каком-то последо-
вательном перемешивании пятерок цифр получилась пе-
риодическая дробь у. Заметим, что при перемешивании
номер данной цифры (нуля или единицы) нс может
уменьшиться более чем на четыре. Среди цифр от 1-й
до (10"4-5)-й после запятой всего 5п единиц, н, в силу
предыдущего замечания, их число на этом участке не
может увеличиться. Если бы в периоде дроби у было
р цифр и среди них q>0 единиц, то при достаточно
большом п на участке ш фр с номерами l^ft^lO" бы-
Г 10" /V ]
ло бы по крайней мерс, I----—----j-<? единиц, где N —
номер цифры у, с которой начинается периодичность.
Таким образом, получаем неравенство
I П)л — N I
60
неверное при достаточно больших п. Следовательно,
единиц в периоде дроби у быть не может: начиная с
некоторого места должны идти одни нули.
Теперь покажем, что при любом перемешивании дро-
би х сколь угодно далеко от запятой должны остаться
единицы. Среди цифр х от 1-й до (10"4-1)-й после за-
пятой имеется некоторое количество нулей. Так как
более далекие от запятой нули имеют номера, начиная
с 10л-)-6, после перемешивания они не могут попасть
в указанный участок; число нулей на нем не увеличит-
ся, а число единиц, соответственно, не уменьшится.
Следовательно, стоящие в дроби х на участке цифр с
номерами 10л-Н	10"-+-5 единицы не могут все
сдвинуться вправо—хотя бы одна единица должна ос-
таться на участке от 1-й до (10л4-1)-й цифры. С дру-
гой стороны, сдвинуться влево более чем на четыре
места они тоже не могут, поэтому при любом п на
участке цифр с номерами 10л—10"-f-1 в дроби
// останется хотя бы одна единица. Очевидно, это про-
тиворечит тому, что период дроби у состоит только из
нуля.
Итак, при любом перемешивании указанной дроби х
получается иррациональное число у, что и требовалось
установить.
НЕСТАНДАРТНЫЕ КОНСТРУКТИВНЫЕ ЗАДАЧИ
В VI—VIII КЛАССАХ
Ф. Ф. НАГИБИН, Е. М. КАНИНА, Е. С. КАНИН
(г. Киров)
Элементам конструктивной геометрии — решению задач
на построение в учебном пособии «Геометрия 6—8» 1
уделяется большое внимание. И это вполне оправдано:
конструктивные геометрические задачи развивают логи-
ческое мышление й конструктивные способности уча-
щихся, помогают закрепить сведения об изученных фи-
гурах, а также умения и навыки в применении чертеж-
ных инструментов.
Особый интерес представляют нестандартные конст-
руктивные геометрические задачи. Их решение разви-
вает у учащихся гибкость мышления, умение приме-
нять свои знания в нестандартных ситуациях, разумно
пользоваться чертежными инструментами.
Нестандартные конструктивные задачи, предлагаемые
в данной статье, можно использовать как на уроках,
так и во внеклассной работе.
Заметим, что решение задач, помещенных в статье,
предполагается с использованием различных чертежных
инструментов, а не только циркуля и линейки.
1.	Задачи иа достраивание фигур
В предлагаемых задачах требуется построить фигуру
по данной ее части, т. е. по некоторым заданным не
только величиной, но и своим положением на плоскости
элементам фигуры (почкам, отрезкам, линиям, углам,
части плоскости и т. д.). Иными словами, надо до-
строить фигуру до искомой по заданным на плоскости
ее элементам.
1.	Постройте треугольник по двум его вершинам и
точке пересечения а) высот, б) биссектрис, в) медиан,
г) серединных перпендикуляров к сторонам. Можно
ли построить треугольник при условиях а)—г), если
дана только одна его вершина?
1 Колмогоров А. Н., Семенович А. Ф., Черкасов Р. С.
Геометрия: Учебное пособие для 6—8 классов средней
школы/Под ред. А. Н. Колмогорова.— М.: Просвеще-
ние, 1979.
2.	Постройте равносторонний треугольник по дайной
его вершине и двум точкам, лежащим по одной на
противолежащей и прилежащей сторонах.
3.	Отрезок CD — высота, проведенная из вершины С
прямого угла треугольника АВС, Е — точка его катета.
Достройте треугольник АВС.
4.	На чертеже сохранилась боковая сторона равно-
бедренного треугольника с отмеченным на ней основа-
нием высоты, проведенной к этой стороне. Восстанови-
те треугольник.
5.	Прямая а пересекает отрезок АВ. Постройте тре-
угольник АВС, если биссектриса угла С лежит на пря-
мой а.
6.	Постройте треугольник АВС, если даны вершина
А и прямые бис, на которых лежат его высоты lib
и he.
7.	Восстановите треугольник по основаниям медианы
и высоты, проведенных из одной вершины, и основанию
медианы, проведенной из другой его вершины.
8.	Постройте равнобедренный треугольник по основа-
ниям трех его высот.
9	Постройте остроугольный треугольник АВС по
двум произвольным точкам основания АВ и основани-
ям высот, проведенных к сторонам АС и ВС.
10.	Восстановите прямоугольник по средним точкам
двух противоположных сторон и точке третьей стороны
(или ее продолжения).
11.	Саша начертил параллелограмм ABCD, отметил
точки М — середину [ВС], N — середину [СО] и пошел
гулять. Маленькая сестренка добралась до чертежа
Саши и стерла все, кроме точек А, М, N. Как Саше
восстановить чертеж?
12.	Восстановите параллелограмм а) по двум смеж-
ным вершинам н точке пересечения диагоналей, б) по
концам одной стороны и средней точке другон сторо-
ны, в) по трем вершинам, г) по средним точкам трех
его сторон.
13.	Восстановите равнобедренную трапецию по трем
ее вершинам. Сколько решений имеет задача?
14.	Сохранились только три точки окружности. Нена-
ходя центра окружности, постройте еще хотя бы две
ее точки.
15.	Как построением и измерением определить длину
диаметра круга по изображенному на рис. 1 обломку,
не восстанавливая окружности круга?
Предложенные задачи интересны не только геометри-
ческим содержанием, по и своеобразием формы, что,
несомненно, возбуждает интерес и пытливость уча-
щихся.
Отметим, что задачи 1 (а—в) 2, 3, 6—11, 12(a) име-
ют единственное решение, а 1(г), 4, 5, 12(6—г), 13
решаются неоднозначно. В VI классе возможно решить
задачи 1 (а, б), 3—6; в VII — 2, 7, 10—13; остальные
задачи предназначены для учащихся VIII класса. Зада-
чн 7, 9 лучше использовать для внеклассной работы.
При решении приведенных задач надо иметь в виду,
что некоторые из них требуют предварительного ана-
лиза, так как не всякие произвольно заданные элемен-
ты определяют достраиваемую фигуру. Например, в за-
даче 8 одна из трех точек должна лежать на середин
ном перпендикуляре к отрезку, определяемому оставши-
мся точками.
61
IL Задачи на ограниченной части плоскости
Иногда возникает необходимость выполнить чертеж
на ограниченной части плоскости, выходить за преде-
лы которой не позволяют технические условия. Напри-
мер, с помощью циркуля и линейки в плоскости стены
провести перпендикуляр к стыку двух стен. Да и в чер-
тежной практике порой размеры чертежного листа или
кульмана недостаточны. В этих случаях приходился
применять приемы геометрических построений, отлич-
ные от стандартных. Познакомить с такими приемами
позволяют задачи на построение на ограниченной части
плоскости. Как показывает опыт работы учителей ма-
тематики, решение этих задач приучает школьников
применять имеющиеся геометрические знания в необыч-
ных ситуациях, побуждает их проявлять находчивость,
сообразительность и смекалку, чтобы в ограниченных
технических условиях выполнить необходимые построе-
ния. При этом требование «построить фигуру» пони-
мается как требование «построить часть фигуры, уме-
щающуюся на чертеже».
В учебном пособии по геометрии имеется несколько
задач иа построение на ограниченной части плоскости.
В дополнение к ним предлагаем еще 8 задач.
1.	Вершина С треугольника АВС недоступна2. По-
стройте а) меди шу, проходящую через точку С, б) бис-
сектрису угла С, в) высоту из вершины С.
2.	Вершины А и В треугольника АВС недоступны.
Постройте медиану, проходящую через точку С.
Обобщением задач 1—2 служит задача 3*.
3*. Вершины треугольника недоступны. Постройте
а) точку пересечения его медиан, б) центр вписанной
в него окружности, в) центр описанной около него ок-
ружности.
4.	Вершина В угла АВС недоступна, D— его внут-
ренняя точка: а) постройте прямую BD, б) через точ-
ку D проведите прямую а так, чтобы она со сторонами
угла состав пяла конгруэнтные углы.
5.	Провешиванию прямой АВ препятствует дом
(рис. 2). Как провешить эту пцямую за домом?
6.	Вершина С параллелограмма ABCD недоступна.
Постройте диагональ АС, а) не используя диагона-
ли BD, б) используя диагональ BD.
7.	Три вершины квадрата недоступны. Постройте диа-
гональ квадрата, проходящую через доступную его
вершину.
8.	Через точку дуги окружности проведите касатель-
ную к этой окружности, если центр ее недоступен.
Многие из приведенных здесь задач целесообразно
решать с помощью перемещений и гомотетии, выбирая
их так, чтобы образы недоступных точек были доступ-
ными. Так, задачи 1, 2 и 4(a) легко решаются в VI
классе с помещью осевой симметрии (с удобно выбран-
ной осью). Задачу 4(6) следует предложить ученикам
VII класса после рассмотрения вопроса об углах меж-
ду направлениями, а задачи 5—7 — при изучении темы
«Четырехугольники». Для семиклассников предназначе-
на и задача 8.
111. Задачи, решаемые с ограниченным выбором
инструментов
Один из заключительных уроков геометрии в VIII
классе учитель начал с простейшей задачи «разделить
данный отрезок пополам». К огорчению учителя и уче-
ников, обнаружилось, что полный набор чертежных ин-
струментов имеют только 6 человек, а у некоторых
учеников вообще не оказалось никакого инструмента.
Тогда учитель предложил каждому решить задачу тем
инструментом, который у него имеется, а тем, у кого не
2 Недоступными здесь и далее считаются точки, по-
чему-либо не уместившиеся па ограниченной части плос-
кости чертежа «Вершина С треугольника АВС недо-
ступна» означает, что точку С нельзя нсиотьзовать при
построениях для решения задачи.
Рис. 3
было инструмента, — использовать прямой угол плот-
ной бумаги (тетрадный лист сложили по осям симмет-
рии в 4 слоя) или его половину — угол в 45°.
В результате на уроке были рассмотрены 8 вариантов
решений предложенной задачи:
с помощью циркуля и линейки (см. п. 24, с. 93); с
помощью прямого угла; с помощью двусторонней ли-
нейки (рис. 3, а, б); с помощью чертежных угольников
(рис. 4); с помощью угла3 величиной 45° (рис. 5, ну-
мерация углов показывает порядок их построения); с
помощью угла величиной 30° (рис. 6); с помощью лю-
бого острого угла и односторонней линейки (рис. 7);
с помощью транспортира и односторонней линейки.
Таким образом, были выявлены большие возможности
использования различных чертежных инструментов. Же-
лательно уже в восьмилетней школе обучить школь-
ников разумному применению различных чертежных
инструментов — например, различных чертежных уголь-
ников. В этих целях учитель может сам увеличить чис-
ло задач- из учебного пособия, решаемых с ограничен-
ным выбором инструментов. Так, при решении задачи
№ 407 оговорить использованье только чертежного
угольника и циркуля (даже прямого угла и циркуля),
№ 472 — прямого угла с масштабной линейкой на од-
ной стороне его. Задача 1184(1) может быть решена с
использованием только угла величиной 60° (при задан-
ной окружности).
Для закрепления навыков в применении чертежных
инструментов полезны следующие 9 задач:
1.	С помощью только двусторонней линейки постройте
а) ромб, б) параллелограмм, отличный от ромба.
2.	Расстояние между течками А и В больше ширины
двусторонней линейки. Пользуясь только этой линей-
3 Сторона угла может быть использована как одно-
сторонняя линейка.
62
кой, постройте ромб, для которого данные точки явля-
ются а) смежными вершинами, б) противоположными
верши-ами. Дайте обоснование каждому построению.
3.	Используя только угол величиной 45°, постройте:
а) равнобедренный треугольник, б) квадрат, в) пря-
моугольник, отличный от квадрата.
4.	Пользуясь только углом величиной 30°, постройте:
а) равнобедренный треугольник, б) прямоугольный тре-
угольник, в) правильный треугольник, г) ромб, д) пря-
моугольник, е) правильный шестиугольник.
5.	С помощью только угла величиной 60° постройте:
а) правильный треугольник, б) ромб, в) правильный
шестиугольник.
6.	Пользуясь только прямым углом, постройте прямо-
угольник, если заданы две его а) смежные вершины,
б) противоположные вершины. Сколько решений име-
ет каждая задача? На каких линиях лежат в каждом
случае две другие вершины прямоугольника?
7.	Постройте угол, конгруэнтный данному углу,
пользуясь только а) двусторонней линейкой, б) прямым
углом. Каким инструментом удобнее пользоваться при
решении этой задачи, если вершина угла, который стро-
ите, задана?
8.	С помощью каких чертежных инструментов можно
построить прямую, проходящую через данную точку,
а) параллельно данной прямой, б) перпендикулярно
данной прямой?
9.	На г jHMofl дапы точки А к В. Постройте [СО],
если | CD| =21 АВ |, пользуясь только а) циркулем,
б) двусторонней линейкой.
Задачи 3(a). 4(а, б), 9(a) можно решать в VI клас-
се, 1, 2, 3(6), 4(в—д), 5(а, б), 6(a), 7, 8 н 9(6)—в
V11 классе, 4(e), 5(в), 6(6) — в VIII классе.
Решение каждой из этих задач, как и всякой задачи
на построение, должно быть обосновано. При решении
надо стремиться использовать выбранный инструмент
как можно меньшее число раз. На рис. 8 и 9 соответ-
ственно показаны решения задач 3(в) и 4(e)
IV. Задачи на разрезание и
перестраивание фигур
Задачи на разрезание и перестраивание фигур —
конструктивные задачи. Опп пользуются успехом у уча-
щихся, повышают их интерес к геометрии, развивают
комбинаторные и конструкторские способности, гео-
метрические представления, формируют умения, необ
ходимые людям различных профессий — например,
портным, раскройщикам кож и их заменителей, размет-
чикам листового металла и др.
В учебном пособии по геометрии в разделах VII
класса помещены несколько задач на разрезание и пе-
рестраивание фигур в связи с составлением равнове-
ликих фигур и подобием фигур. В статье приводятся
иные задачи; некоторые из них можно предложить
ученикам на уроках, в частности при повторении изу-
ченного. Следует учесть, что термин «разрезание» не
всегда надо понимать буквально: при решении многих
из приведенных ниже задач достаточно на чертеже дан-
ной фигуры обозначить линии разреза, а при перестраи-
Рис. 10
вании — дополнительно построить фигуру из фигур,
конгруэнтных полученным при разрезании. Однако при
решении задач 1, 21, 22 лучше воспользоваться нож-
ницами. Штриховые линии на рнс. 10, 12, 13, 15 указы-
вают решения этих задач и предназначены для учи-
теля; ученикам эти рисунки следует предлагать без
штриховых линий.
1.	Вырежьте из листа бумаги равнобедренный тре-
угольник, не пользуясь чертежными инструментами.
2.	Как равносторонний треугольник разрезать па три
конгруэнтных треугольника3
3.	Как произвольный остроугольный треугольник раз-
делить на три равнобедренных треугольника?
4.	Из бумаги вырезаны четыре конгруэнтных равно-
бедренных треугольника. Можно ли и как сложить из
них равнобедренный треугольник?
5.	Вырежьте из бумаги два конгруэнтных треуголь-
ника. Сколько различных по форме параллелограммов
можно сложить из них?
6.	Можно ли треугольник разрезать ва параллело-
граммы?
7.	Можно лп прямоугольник разрезать на равносто-
ронние треугольники?
8.	Треугольник разрежьте на две части так, чтобы
из них можно было сложить трапецию.
9.	Разрежьте два конгруэнтных квадрата так, чтобы
из них можно было сложить один квадрат. Сформули-
руйте и решите обратную задачу.
10.	Разрежьте квадрат на две такие части, чтобы из
них можно было сложить треугольник.
11.	Разрежьте квадрат на четыре таких конгруэнт-
ных треугольника, чтобы из них можно было сложить
ромб, отличный от квадрата.
12.	Можно ли из двух конгруэнтных треугольников
сложить трапецию?
13.	Лист бумаги имеет форму трапеции. Как разре-
зать его на трапеции, чтобы их получилось а) две,
6) три, в) четыре, г) пять?
14.	Боковые стороны трапеции конгруэнтны меньше-
му основанию. Разрежьте ее на четыре конгруэнтные
трапеции.
15.	Прямоугольный треугольник (рис. 10, а) нужно
разрезать на три части так, чтобы из них можно было
сложить остальные фигуры этого рисунка.
16.	Как квадрат разрезать на 20 конгруэнтных тре-
угольников? (Задача решается неоднозначно.)
17.	Вырежьте из картона квадрат и разрежьте его
так, как показано на рис. 11. Сложите из этих частей:
а) равнобедренный треугольник, б) прямоугольный тре-
угольник, в) прямоугольник, г) параллелограмм, отлич-
ный от прямоугольника, д) трапецию.
18.	На рис. 12 изображен шестиугольник. Пятью от-
резками разделите его так, чтобы на полученном ри-
сунке можно было найти 8 треугольников, квадрат,
2 прямоугольника, отличных от квадрата, 4 параллело-
грамма, отличных от прямоугольника, 4 трапеции, 4 пя-
тиугольника.
19.	На рис. 13 изображены различные фигуры. Каж-
дую из них одним отрезком разделите на 2 части и из
63
Рис. 11
Рис. 12
Рис. 13

полученных частей с помощью наименьшего числа пе-
ремещений сложите квадраты.
20.	Из трех фигур рис. 14 сложите квадрат.
21.	Как одним разрезом квадрат разделить на 4 квад-
рата?
22.	Вырезанный из бумаги квадрчг четырьмя разреза-
ми разделите на 16 квадратов.
23.	Как квадрат разделить на наименьшее число не-
прямоугольных треугольников? (Ответ: 4 треуголь-
ника.)
24.	Квадрат разделите на 8 непрямоугольных трапе-
ций. (Указание: сначала разделить квадрат на 2
непрямоугольных трапеции и 2 непрямоугольных тре-
угольника, а потом каждый треугольник на 3 трапе-
ции.)
25.	Каждую из фигур рис 15 разделите на 2 конгру-
энтные фигуры.
26.	Вырежьте из цветной бумаги 6 равносторонних
конгруэнтных треугольников небольших размеров. Сло-
жите различные фигуры из треугольников: а) трех,
б) четырех, в) пяти, г) шести. В каждом случае уста-
новите возможное число фигур, считая все конгруэнтные
фигуры за одну. (Ответы: 1, 3, 4, 12.)
Задачи 1—4, 9, 10, 15 можно решать в VI классе,
5—8 и 11—13—в VII, 19, 20 — в VIII классе. Задачи
14, 16—18, 21—26 рекомендуются для внеклассной ра-
боты начиная с VII класса.
В заключение еще раз отметим, что решение задач
рассмотренных выше видов поможет не только лучше
закрепить полученные учениками знания о геометриче-
ских фигурах, но и будет способствовать повышению
интереса к геометрии в целом.
НАГЛЯДНОЕ РЕШЕНИЕ ОДНОЙ ЗАДАЧИ
С. М. ПЕТРОВ
(г. Смела Черкасской обл)
В № 5 журнала «Математика в школе» за 1979 г. на
с. 54 была помещена задача, которая предлагалась
на V Всероссийской физико-математической и химиче-
ской олимпиаде: «Площадь треугольника АВС равна
S. Точки М, Н— середины сторон АС и АВ соответ-
ственно. Точки Р и О делят сторону ВС так, что
|ВР| = |PQ| = |QC|. Найти площадь пересечения че-
тырехугольника ANPQ и треугольника ВМС».
Было приведено векторное решение ее, а в заключе-
ние говорилось, что задача оказалась очень популяр-
ной среди девятиклассников и большинство решивших
ее использовали параллельность прямых NP и /1Q и
многочисленные подобия, возникающие после дополни-
тельных построений.
Интересно, что данную задачу можно было бы еще
решить и «почти наглядно».
Рнс. 2
Рис. 3
Обозначим плошади заштрихованных иа рис. 1 тре-
угольников через S[ и Si. тогда
1	1 S S
51 4“ g *$bnс “ з * 2	6 ‘	)
Рис. 14
Так как заштрихованные на рнс. 2 треугольники рав-
новелики, то
2S: = 3S,.	(2)
Из (1) и (2) следует, что
Рассмотрим рис. 3. Из условия задачи [Л'Р11| и
следовательно, Sklqh—3Sj, шш
Г S
Sklqp = ~5-‘
64
Занимательная страница
О ТРЕХЧЛЕНЕ ЭЙЛЕРА
На «Занимательной странице» в № 5 журнала за
1979 г. было рассказано о некоторых занимательных
свойствах трехчлена Эйлера. Ответим еще и следующее.
[.Пусть f (х) = Xs + х + 41, тогда f(х) 4 f(у)^=
=r f (* 4- у), если У € Z.
Доказательство. Допустим, что / (х) 4-
+ f(x + n) = f('2x + л), тогда х2 х 4-41 4-х2 4-
4- 2пх + п2 4- х + п 4- 41 = 4х2 4- 4пх + пг + 2х ± п +
4-41 или 2х(х 4- л) = 41, что невозможно при х,
n£Z.
2. Уравнение f (х)+f (у)+f (г) =[(x+y+z) имеет ре-
шения в целых числах, например: а) х=1, у=5, 2 = 6;
б) х=—1, у=—5, г=—6; в) х=—7, у= 1, z=—8.
3. f(x)=x24-x4-41 при х=0, 1, 2, .... 39 является
простым числом. Но так как f(—x)=^f(x—1), то при
х=—40, —39, —38...... —1,	0, 1, 2, ..., 39 f(x) — про-
стое число. По этой же причине /’(2х) = (2х)24-2х-)-41
при х=—20, —19, .... —1, 0, 1, ..., 19 является простым
числом. Интересно, что f(x) = (Зх) *4-3x4-41—также
простое число при х=—13, —12, ..., —1, 0, 1, .... 26.
Таким образом, мы можем записать 6 трехчленов
/(х) при х=0, 1, 2, .... 39, дающих подряд 40 различ-
ных простых чисел.
1)	х24-х4-4 1 — многочлен Эйлера.
2)	(х—40) 24-(х—40) 4-41 =х2—79x4-1601.
3)	(2х—40)' 4- (2х—40) 4- 41 = 4х2— 158x4-1601.
4)	(38—2х) "4- (38—2х) 4-41 = 4х2— 154x4-1523.
5)	(3х—39)24-(3х—39)4-41 =9х2—231x4-1523 — мно-
гочлен, найденный В. А. Голубевым в 1967 г. (см.: Нау-
ка и жизнь, 1970. № 10, с. 72; Математика в школе,
1971. Mb 1, с. 91. 92. и. 7).
6)	(78—Зх)24-(78—Зх)4-41 = 9х2—471x4-6203.
Б. М. ГРИГОРИВКЕР
(г. Херсон)
ЧИСЛОВЫЕ РЕБУСЫ
В ребусах 1—5 каждой букве соответствует своя
цифра. Путем логических рассуждений определите чис-
ловое значение каждой буквы и выполните сложение.
№ 1 . какая •” это т* = с	№ 2 ,	два пять
сумма № 3	три ' и три	№ 4	семь икс “г иск
шесть 5 , течка т круг конус Известно, что ч<р, а< меньшей. №6. 	...	1..	£г, сумма	КСИ Ю. А. АЛЕНКОВ (г. Харьков) должна быть паи-
		
(Г
В этой записи зашифровано деление. Восстановите
первоначальную запись.
В. М. МИХАЙЛОВ
(с. Чурачики Чувашской АССР)
№ 7. В примере на умножение все цифры заменены
буквами и звездочками. Одинаковые буквы обозначают
одинаковые цифры, разные буквы — разные цифры. Вос-
становите первоначальный вид примера.
триада
ХЖ Ж Ж Ж и
ж Ж Ж а
Ж ж	* А
ЖЖЖЖЖЖ а
4- ЖЖЖЖЖР
Ж Ж Ж Ж Ж Ж т
Ж?К Ж ЖЖ е
Ж Ж SK Ж Ж т
'i-' Sl	'А*' viz	vjx 'Jz' -Дх
✓фч Ч Xj4 Zfs Zj4 Z|4	Zj4
Э. Э. РЗНСТИН
)r. Рига)
Ответы
№ 1. 79 7954-324 =80 119,79 7944-325= 80119;
№ 2. 7404-1 195= 2635, 7304-1954=2684;
№ 3. 7394-9739=10 478;
№ 4. 4954-459=954;
№ 5. 80 4954-9637 = 90 132;
№ 6. 102 : 16 = 6,375;
№ 7. 241 808  4 293 651 = 1 038 239 161 008.
Задачи
ЗАДАЧИ ДЛЯ IV—VIII КЛАССОВ
2321. Найти цифры х, у такиг образом, чтобы вы-
полнялось равенство
(х-Н;) (хх4-у®) = 1981.
И. А. Терехов (Рязанская обл, г. Скопин)
2322. Дано множество М={1, 2, 3, 4), расположить
все его подмножества в последовательность таким об-
разом, чтобы соседние члены этой последовательности
отличались только одним элементом.
Математический кружок 173-й шк. Киева
(pyx. Р. П. Ушаков)
2323. Трехзначное число с различными цифрами де-
лится на двузначное число, полученное из него вычер-
киванием любой цифры Найти все такие трехзначные
числа.
Математический кружок 173-й шк. Киева
2324. Сколько существует чисел, состоящих из четы-
рех последовательных цифр и являющихся полными
квадратами?
К. В. Ветров (г. Братск)
2325 Доказать, что равенство
v 4- z — х z + х — v г -I- у — г
----------+--------- --------------
выполняется тогда и только тогда, когда одно из сла-
гаемых в его левой части равно 0.
•	Математический кружок 173-й шк. Киева
2326.	Сколько целых решений имеет уравнение х4-у4-
4-z = 100, если 25sgxsg40, 30г£с;С40, 30^2^40?
А. Д. Афонин (Калужская обл.)
65
2327.	В треугольнике АВС проведены биссектрисы
AAt и ВВ{. Найти величину угла С треугольника, если
точка, симметричная точке At относительно (ВВХ), сов-
падает с точкой, симметричной точке В\ относительно
(AAt).
П. С. Коркина (г. Шадринск)
2328.	Построить два подобных параллелограмма, что-
бы одна диагональ у них была общая, а вторые диаго-
нали лежали на одной прямой.
Т. П. Черепанова (г. Ярославль)
ЗАДАЧИ ДЛЯ IX—X КЛАССОВ
2329.	При каких уравнение
2 sin1 2 х 6 cos’ -g" = 5 — 2k
имеет решения?
МГУ, вступительные экзамены 1980 г.
2330.	Найти общие решения уравнений
3 sin’ х — 3 cos2 х 4- 7 sin х — cos 2х 4- 1 = 0,
cos2х + 3 cos x • sin 2x— 8 sin x = 0.
МГУ, вступительные экзамены 1980 г.
2331 Найти все пары чисел (х,у), для которых х<0,
у>0 и выполняется система уравнений
/ ,	1 I 113 I 13	1
р+~1+ ГГ + х~ ="б‘ + х+ Т-
97
I = 36--
МГУ, BCTvnHTe пьные экзамены 1980 г.
2332.	Найти пять последних цифр числа 51981.
С. Л. Манукян (ГССР, с. Малый Памач)
2333.	Дан параллелограмм ABCD. На отрезках АВ
и ВС, как на сторонах, построены квадраты ABPQ и
CBRS, лежащие вне данного параллелограмма. Доказать,
что отрезки DQ и DS перпендикулярны и конгруэнтны.
Э. Г. Г о т м а н (г. Арзамас)
2334.	Найти вид четырехугольника ABCD, если
AB-AD + ВА-ВС + СВ-CD 4 DC DA = 0.
В. А. Горбунова (г. Вологда)
2335 Дана парабола у—х2. Касательные в точках
•А и В параболы пересекаются в точке С. Найти множе-
ство точек С, для которых площадь треугольника АВС
и.чеет данною величину s.
I. А. Иванова (г. Горький)
2336.	Построить сферу, проходящую через три данные
точки и касающуюся данной прямой.
1А.. С. Велиева (Баку)
1'ногочлень*
2337.	Найти коэффициенты а, Ь, с, если известно, что
все корни многочлена х-—10х44-ах34-6х24-сх—32 дей-
ствительны и положительны.
КХ И. Хохленке (Брянская обл., е. HaBjraj
2338.	Имеет ли система
I x'4-4xs —Зх4—12х’4-4х24- Зх —1 = 0,
| х’ — Зх’ — л4 4- 2х3 4- 6х2 — 8х 4- 2 = 0
решения в поле вычетов по модулю 11?
Применение стереометрии в планиметрии
2339.	На плоскости по одну сторону от прямой I да-
ны три точки А, В, С. Построены точки А{^=(ВС) Г) /,
Bi — (CA)()l, Ct = (AB) П Z и проведены три окруж-
ности: coi(A[; Z?i), С0г(В1; Z?s), <Оз(С7|; /?з), где
= I I • I AtC I. Rl = | В,С |  1 В,А | . /?1=
= | С,А | • | С, В | Доказать, что эти окружности име-
ют две общие точки.
Я. П. Понарин (г. Запорожье)
Геометрическое неравенство
2340.	Дан треугольник АВС, |ВС|=а, |СА|=Ь,
|ЛВ|=с. Доказать, что для любой точки М простран-
ства выполняется неравенство
аа% 4- bb~ 4- сс? abc,
где ai—IAfAj, Ь, = |ЛГВ|, C[=|MC|. Выяснить, для ка-
кой точки имеет место равенство.
3. А. Скопец (г. Ярославль)
В ПОМОЩЬ РЕШАЮЩИМ ЗАДАЧИ1
IV. Параллельность в теоремах и формулах2
Параллельность двух прямых
Для того чтобы две прямые АВ и CD были параллель-
ны, необходимо и достаточно, чтобы:
1)	данные прямые были параллельны некоторой тре-
тьей прямой;
2)	АВ = kCD;
3)	| ~АВ-'сЬ | = | АВ | - | CD |;
4)	2] АВ |  | CD | = || AD\2 4- 1 BCj’- | AC |’ —
- I BD | 2J.
Параллельность прямой и плоскости
Для того чтобы прямая 1=(АВ) была параллельна
некоторой плоскости a=(PQR), необходимо и доста-
точно, чтобы:
5)	прямая Z была параллельна некоторой прямой т,
параллельной плоскости а (в частности, т cz о);
-->---►--->
6)	векторы АВ, PQ, PR были компланарны, т. е.
АВ = xPQ 4- У PR;
7)	прямая Z и плоскость а были перпендикулярны
некоторой плоскости.
Параллельность двух плоскостей
Для того чтобы две плоскости а и (3 были параллель-
ны, необходимо и достаточно, чтобы:
8)	каждая из данных плоскостей была параллельна
двум непараллельным прямым (в частности, две пере-
секающиеся прямые одной плоскости были параллель-
ны двум прямым другой плоскости);
9)	данные плоскости были параллельны некоторой
третьей плоскости;
10)	данные плоскости были перпендикулярны неко-
торой прямой.
1 Продолжение. Начало в № 4, 5, 6 за 1980 г.
2 Материал подготовлен Т. П. Григорьевой (г. Горь-
кий).
66
Задачи
1 (IV.1). Дан тетраэдр ABCD. Ребра АВ и AD раз-
делены соответственно точками М и N в равных отно-
шениях k, а ребра СВ и CD разделены соответственно
точками Р и Q в павных отношениях I (k=A=l). Дока-
зать, что MNPQ — трапеция, и найти отношение
|AW| : |QP|.
2(IV.2). Точки М и N делят диагонали АС и BD че-
тырехугольника ABCD в равных отношениях. Доказать,
что если (MN) || (АВ), то (MN) || (CD).
3(1V.3). Доказать, что расстояние d от точки
А(р; q; г) до плоскости о: AxA-ByA-CzA-D—O выра-
жается формулой
\ Ар + Bq + Cr A- D \
/ Л2 4- В’ + С2
4(IV.4). В окружность со (О; R) вписан такой тре-
угольник АВС, что (ЛВ) || (ОС). Доказать, что сторо-
ны треугольника и радиус описанной окружности свя-
заны равенством
2с/?= |а2—62|,
где а=|ВС|, Ь=|СЛ|, с=|ЛВ|.
5(IV.5 или IV.6). Дана треугольная призма
ABCAiBiCt. Точки С| и б?2 являются соответственно
точкой пересечения медиан грани 4|BiCi и центром сим-
метрии параллелограмма ЛСС[Л[. Доказать, что прямая
G1G2 не параллельна плоскости АВ,С.
6(IV6). Даны два треугольника ЛВС и Л^Сь С и
С| — точки пересечения их медиан. Доказать, что если
прямые AAi, BBt. CCi параллельны некоторой плоскос-
ти, то и прямая CGi параллельна той же плоскости.
7(1V.7). Даны две скрещивающиеся перпендикуляр-
ные прямые и и v, Прямая — их общий перпендику-
ляр. Через точки М £ ш и N С и проведена прямая.
Доказать, что плоскость, перпендикулярная к (MN), па-
раллельна прямой V.
8(1V.8). Прямые а и Ь лежа' соотг?тственно в плос-
костях а и р. Следует ли из а||0 и 6||а параллельность
а и р ’
9(1V.9). Прямая а параллельна плоскости а. Дока-
зать, что через прямую а проходит единственная плос-
кость, параллельная а.
10 (IV. 10). Даны две скрещивающиеся прямые р и q.
На прямой р заданы точки А, В и С; точки Дь В, и
С1 — их ортогональные проекции на q. Доказать, что
из |ДВ|=й|ВС| следует jZliB^ =7г|В1С1|.
2223.	При каких х и у число ххуу является
квадратом натурального числа?
Решение. Число ххуу можно представить в виде
11-хОу, и поэтому оно будет являться квадратом толь-
ко в том случае, когда хОу делится на 11 и частное
также является квадратом натурального числа. Но
хОу = 100х 4- у = (х 4- у) 4- 99х, так что сумма х 4- У
должна делиться на 11, т. е. х+с/=11. Теперь простым
перебором получаем решение: х—1, у=4.
2224.	Какие натуральные числа можно представить
в виде суммы двух взаимно простых чисел, отличных
от 1?
Решение. Ясно, что в требуемом виде нельзя
представить числа 1, 2, 3, 4, 6, но 5=2+3. Докажем
далее, что всякое число ,i>6 можно представить в ви-
де суммы двух взаимно простых слагаемых.
Если п нечетно, то п=2+(п—2), при этом числа 2
и п—2 не имеют общих множителей, так как п—2 не-
четно. Если же п четно, то либо n=4k, либо п=4й+2.
В первом случае имеем равенство n=(2k—1 ) + (2&+1),
причем указанные слагаемые взаимно просты — любой
их общий делитель является делителем их разности,
т. е. равен либо 2, либо 1, но 2 не является их дели-
телем. Во втором случае представим п в виде л =
= (2&+3) + (2k—I); полученные слагаемые взаимно
просты — это доказывается тем же рассуждением, что
и выше.	.
2225.	Изобразить на координатной плоскости множе-
ство точек, координаты которых удовлетворяют урав-
нению
х3 + (Зу + 1) х2 + (4у + у2) х + 5у2 — 5у* = 0.
Решение. Данное уравнение можно переписать
в виде
(Х _ у + 1) ((х + 2у)2 + у2) = 0.
Поэтому рассматриваемое множество является объеди-
нением прямой у = х-{-1 и множества {О}, где 0(0; 0).
2226. Найти значение }(2), если для любого х+=0
выполняется равенство
f(x)+if(^)^x3.
Решение. Подставив в данное равенство х=2 и
х=1/2, будем иметь
/<2) + 3/(4 ) = 4. /(4’) + 3/(2)= “Г-
Вычитая теперь из первого равенства второе, умножен-
ное на 3, получаем
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ,
ПОМЕЩЕННЫХ В № 2 ЗА 1980 Г.
2221. Найти такие цифры х, у, чтобы выполнялось
равенство
(хх уу) ху = 1980.
Решение. Поскольку хх — Их и уу = 11у, то
данное равенство можно переписать в виде (*+
4-К)хК=180. Отсюда простым перебором получим, что
х=5, у=4 или х=4, у—5.
2222. Сколько существует четырехзначных чисел, ко-
торые при зачеркивании первой цифры уменьшаются
в 9 раз?
Решение. Если первая цифра четырехзначного
числа равна х, то его можно записать в виде
1000х-|-(/, и тогда рассматриваемые числа удовлетворя-
ют условию 1000х+с/=9с/, или 125х=с/. Поскольку
число у — трехзначное, то полученное равенство выпол-
няется при значениях х от 1 до 7, и таким образом
данному в задаче условию удовлетворяют 7 чисел,
2227. Доказать, что если равенство
хп + у" = ап + Ьп
выполняется при п = 1 и при п=2, то оно вы-
полняется при любом п£Т.
Решение. Из равенств
х + у = а + 6, х2 + у2 = а2 + 62
получаем, что ху=аЬ, и, следовательно, х и у являют-
ся корнями квадратного уравнения z2—(aA-b)z-pab=0.
Но тогда один из них равен а, а другой равен Ь, отку-
да легко следует доказываемое утверждение.
2228. а) Окружность касается окружности а>(О; R)
и проходит через центр О. Доказать, что, каковы бы
ни были диаметрально противоположные точки А и В
окружности со, сумма квадпатов касательных расстоя-
ний от А и В до равна 2№ (касательное расстояние
от точки А до окружности coi есть длина отрезка ATlt
где (АТ,)—касательная к окружности <щ в точке Т{).
б) В окружности со(О; R) проведен диаметр АВ. Ок-
ружность coi радиуса г касается прямой АВ в точке М.
и. окружности со. Доказать, что |Д2И| • |ВЛЦ=2/?г.
67
Рис. 1
Решение, а) Пусть (ЛТ,) и (ВГЛ — касательные
к окружности ш1 (рис. 1,а). Применяя формулу о дли-
не отрезка касательной, получаем:
|ЛТ1|2 = |ЛР|-/О| = /?|/Р|,
| ВТ, р = /?|ВР| = /?(2/?- |/Р|) = 2/?г-|ЛР|./?_
Легко видеть тогда, что
I АТ, |2 + | ВТ, |г = 2/?=
б) Из условия задачи имеем (рис l,d):
| AM I = R — | ОМ |, | В И | = R + | ОМ 1,
t. e lAMj-IBMI ^R’—IOMIT
Ho | OM I2 = 100, [2 — | O,M |2 = (R — r)2 — r2.
Таким образом. | AM |-| BM | = 2/?г
2229. Параллельные прямые, проходящие через вер-
шины А, В и С треугольника АВС, пресекают описан-
ную окружность вторично в точках А,, В, и С,. Дока-
зать, что точки пересечения высот треугольников АВС,,
ВСА, и САВ, лежат на одной прямой.
Решение. Пусть точки Н,, Hi, Н —ортоцентры
треугольников АВС,, ВСА, и САВ,, а О —центр опи-
санной окружности треугольника АВС.
Известно, что если О — центр описанной окружности,
а И — точка пересечения высот треугольника PQR, то
——*	— —►	——► ----►
выполняется равенство ОН = OP + 0Q + OR (фор-
мула Гамильтона). Тогда согласно этой формуле за-
пишем:
он, = о~а + ~ов + 0С„
ОН, = ОВ + ОС + О А,,
ОН, - - ОС + О~А 4- ОВ„
Отсюда
Н,Н, -- А,А + СТ??,
//X = А, ~А + ВвГ.
Но из условия задачи следует, что
ВВ, - аЛА ~СС, - А.
Поэтому Н,Н, = (I + ₽) А, А, Н,Н, = (1 +а) Л, А век-
-—-—»--------------►
торы Н.Н, и Н,Н, коллинеарны и отложены от
стчой точки.
Таким образом, точки Н,, Н2, Н, принадлежат од-
ной прямой.
2230. Дан прямоугольный треугольник, длины сторон
которого выражаются натуральными числами. Внутрен-
няя точка треугольника называется целой, если проек-
ции ее на катеты разбивают эти катеты на отрезки,
длины которых выражаются натуральными числами.
Определить число внутренних целых точек этого тре-
угольника.
Решение. Пусть длины катетов данного треуголь-
ника равны тип. Достроим его до прямоугольника с
длинами сторон тип. Заметим, что число внутренних
целых точек прямоугольника равно (т—1) (и—1).
Но число целых внутренних точек треугольника рав-
1
но -д’ ((т—l)(n—1)—р), где р — число целых
внутренних точек, лежащих на диагонали прямоуголь-
ника, являющейся гипотенузой данного треугольника.
Опираясь на результат задачи 2038 (1978, Ns 5), мы
получаем, что число целых внутренних точек, лежащих
на диагонали, равно d—1, где d— наибольший общий
делитель чисел тип.
Итак, число внутренних целых точек прямоугольного
треугольника с катетами тип равно
1
-у((/п — 1)(« - 1) —(d—1)),
где d — наибольший общий делитель чисел т и п.
2231. Решить уравнение
Решение. Имеем:
Таким образом, левая часть данного уравнения равна
либо 0, либо —1, и следовательно, остается проверить
только значения х=1 и х=1/10. Проверка показывает,
что оба оии являются корнями уравнения.
2232. Найти предел
п
У [Ах]
Пп1
Л->оо
Решение. Так как х^[х]<х-р1, то
П	П	п
2	< '£(k*+п.
6=1
*=i
6=1
т. е.
1
»+ 1
2п
п-
п
х? л 1
fe=I
Пределы левой и правой частей этого двойного не-
х
равенства равны, очевидно,-jj-, поэтому искомый пре-
х
дел также равен •
2233. Найти наименьшее расстояние между точками
параболы у—х2 и окружности (х—3)2+((/—3)2=1.
Решение. Если точка А на параболе фиксирована,
а В - произвольная точка окружности, то расстояние
|ЛВ| принимает наименьшее значение в том случае,
когда точки А и В лежат на одной прямой с цент-
ром С данной окружности: в самом деле, для любой
точки В, этой окружности выполняется неравенство
| СА | < |CBi | +1 В,А | или |BA<g|Bp4|.
Поэтому, изменяя то“ку Л(х; х2) на параболе, най-
дем наименьшее значение расстояния |ЛС| Но
| ЛС | =/(х - З)2 + (х2-3)2,
и требуется теперь найти наименьшее значение функции
у = (х - З)2 + (л2 - З)2.
68
Так как у' = 4х* — 10х — 6 = 2(х4 1)(2х2 - 2х—
„	J 14-/7 1 — /71
—3), то у' = О для х £ |—1;  ;  ту ] • Из
геометрических сообр женин очевидно, что минимум
достигается при положительном значении х, т. е. при
1 + /7
х0 —---g--. Искомое наименьшее значение равно
-------------Г~9----<9	У 43—14 i 7
/(а'о	3)24- (х2-3)2-1 =	-'
2234. В произвольном четырехугольнике ABCD ине
ем: |/1С|=а. |CD|=f>, |££|=с, где Е и F — середи-
ны [ЛС] и [В£>]. Найти угол между прямыми АВ и CD.
Рис. 2
Решение Из услогия задачи имеем (риг. 2):
ЕЕ = FB + ВА + АЕ,
ЕЕ = ED + DC + СЕ.
Сложим эти равенства:
2FE = DC— АВ.
Возведем полученное равенство в квадрат:
4с2 -= а2 4- 62 — 2ab cos (DC, АВ).
Отсюда находим, что
—► —*	а2 + Ь- — 4С’
cos (DC, АВ) =-------——
Следовательно,
со2 ((DC), (.!£)) =
2235. Вон равнобедренный прямоугольный треуголь-
ник АВС: с =90°. Построен отрезок СС,(С, f [АВ])
перпендикулярный медиане Л.4Ь Найти отношение
ICC.I : |С.Л|.
Решение I (конструктивнее). Построим (CiAl)||
ll(SC) (рис. 3). Пусть Н== (.4.4|) f] (C,A1). Легко ви-
деть, что Н — .очка пересечения высот треугольника
4СС1- Значит, [СО] — медиана треугольника АВС. Тог-
да Н — точка пересечения медиан треугольника АВС,
следовательно,
|Л,//| : |/£4| = 1 :2.
Отсюда получаем, что
1ВС,| |С,Д| = 1:2.
Решение 2 (алгебраическое). Применяя признак
перпен тгкулярности двух отрезков (см формулу
II.2, 1980, № 5, с. 67), запишем.
I Л,С |2 + I С,.4 |2 - | Л>С, р 4-1 АС |2.	(1)
Пусть | ВС, | | С, А | = k, | АВ | = х, тогда
IЛС | = |£С |	, I ВС, I	X,
МС.1 = ^xJA.Cl-^-tp-.
По теореме косинусов из треугольника AjBC, имеем:
,ЛС|2^—+ Г х2-________________*	2
11,1	8 4- (j j. ky..x 2(1 4-А) х'
Возвращаясь к равенству (1) и упрощая его, получаем
Решение 3 (векторное) Введем векторы СА •= а,
СВ =~Ь. Пусть | ВС, |;| С,А | = k. Тогда
—* -» 7 k -*	1 -*
ЛЛ, =« — 2 , СС, = , + k а 4- j Ь.
Из условия задачи следует, что
СС.-ЛА =0,
или
й -	1	-
14-й а*~ 2(1 4- й) =0‘
Но а2 = Ь2, поэтому й = 0,5.
Решение 4 (методом преобразований). Рассмот-
рим поворот . Тогда вершина А отображается
на вершину В, а точка А, — на некоторую точку Р
(рис. 4), причем |РС| : |СЛ| = 1 . 2. Значит, луч АА,
отобразится на луч ВР. Из свойств поворота имеем,
что угол между лучом и его образом равен углу пово-
рота, т. е. [ЛД1) ±[ВР); а из условия задачи следует,
что [ИД,) J_[CCi) Следовательно, (CCi) II (ВР), а от-
сюда \ВС, | : |С1-41 = 1 : 2.
Решение 5 (методом преобразований). Введем
поворот 7?q90° , где О — середина гипотенузы АВ
(рис. 5). Тогда имеем: Л->С, С->В, В-т-Е, A,^-N,
т. е. четырехугольник АСВЕ — квадрат.
Образом луча АА, является луч CN, так как А -> С
и угол между ними равен углу поворота.
Легко видеть, что треугольник ВС,Н гомотетичен тре-
угольнику АС, С. причем коэффициент гомотетии равен
|iW| : |ЛС|=0,5,
>ДТ. •> РИС- 5 от
69
следовательно, |BCi| : |CiA|=0,5.
2236. На диагонали АВ, (или ее продолжении) грани
параллелепипеда ABCDAiB,C,Di дана точка М, через
нее проведены плоскости МВС, и MDA,. Доказать, что
зти плоскости пересекают диагональ CD, (или ее про-
должение) в одной точке N или параллельны ей. Най-
ти зависимость между отношениями
X = АМ:МВ, и |л  CN:ND„
Решение. Построим точку N пересечения пло-
скости ВМС, с прямой CD, (рнс. 6). Введем базисные
Рис. 6
Рис. 7
Секторы: АВ = a, AD = Ь, АА, = с. Тогда AM =
= X (а + с), отсюда
AN = АС, + sMB = (1 4- s — sX) a p i -|- (1 — sX) c.
С другой стороны,
AN AD,-\-tD,C^taA-bA (1 —7)c-
Поэтому
f 1 + s — Xs  t,
t 1 — sX  1 — t,
X	->----►	1
T. e- * ° 2X_1 ’ где b = D,N:D,C, X^=-y.
Пусть (MDA,)r\(CD,) = /Г Проведя аналогичные рас-
суждения, получим
X	—->--->
m ‘ 2k_1  Где m = D,K'.D,C.
Таким образом, точки К и N совпадают, т. е. плос-
кости МВС, и AfDAj пересекают диагональ CD, (или
ее продолжение) в одной точке N.
Из соотношений р. •= CN:ND, и = D,N:D,C
следует, что Хр. — X -|- 1 = 0.
1
Заметим, что если X = -g- (М— середина [ABJ), то
плоскости МВС, и MDA, параллельны диагонали CD,.
2237.	Доказать, что не существует натурального чис-
ла п, для которого п! делится на квадрат любого т^п.
(Указание: использовать постулат Бертрана — при
п>3 между п и 2л—2 всегда имеется хотя бы одно
простое число.)
Решение. Пусть п! делится на т2 для любого
m^zn и пусть р — наибольшее простое число, не пре-
восходящее п; тогда п! делится на р2, так что 2р^п.
В силу постулата Бертрана между Р4-1 и 2р имеется
простое число, что противоречит выбору числа р. Из
этого противоречия и вытекает требуемое утверждение.
2238.	Может ли частичная сумма гармонического ряда
1 1
Sn = 1 + 2 + -•• + п
быть целым числом?
Решение. Если S„ £ Z, то левая часть равенства
и!	п!
n!Sn = и! 4- -g- 4- ... +
делится на любое т^п так же как и любое слагае-
мое в правой части, кроме, быть может, слагаемого
п!
—. Но тогда н это слагаемое делится на т, что про-
тиворечит результату предыдущей задачи. Таким обра-
зом, Sn при п>1 не является целым числом, что и
требовалось доказать
2239.	Дана треугольная призма АВСА,В,С,. По-
строен параллелепипед PQRSP,Q,R,S,, такой, что
PQ = АВ,, PS = ВС, и РР, = СА,. Найти отноше-
ние объема параллелепипеда к объему призмы.
--*- ->
Решение. Введем базисные векторы: АА, = а,
АВ = Ь, АС = с (рнс. 7); отсюда АВ, = а + Ь, ВС, =
= а — Ь 4- с, С А, = а — с.
Пусть Vi — объем треугольной призмы, а Р2—объем
параллелепипеда, тогда
V, = 0,5 | (а b с) |,
V2 = |(о 4- b)(a — b -I- с)(а- с)|.
(Здесь (а Ь с) — смешанное произведение векторов
а, Ь, с). Упростив последнее равенство, получим
V\ = 31 а Ь с |.
Таким образом, Р2 : Pi = 6.
2240.	В окружность вписан правильный Зп-угольник
А,А2..  А3п. Доказать, что
| ^1-^я+2 | = I А,Ап | 4- | А,А21.
Решение. Пусть данная окружность с центром О
является единичной на плоскости комплексных чисел.
Если 0(0) и А, (1), то А(д), AnU"-1), A„+2(*"+I),
где zin = 1. Докажем, что
| А,А п+21 I А,Ап | = | А,А21.
В самом деле,
| А,А л+2 | - I А,Ап | = |	_1|-| Z-1 - 1 |.
Так как | А,Ап\ = | А,А„+11, то | z”-’ — 1 | =
= । zn_z |, и, следовательно,
| А,Ал+2 | — I А,АЛ | = | А,Ал+2 | — | А2А„+11 =
= |гп+’_1|_ \zn —z\.
Но А, Ал+2 П А2Ал+] , поэтому
| А1Ай+2 | — | а2а„+1 | = | а,ал+2 а2ал+1 |,
Значит,
I _ 1 | — | гп - г | = | гл+1 — 1 - zn 4- z | =
= | г — 1 |-| г" 4-11.
Учитывая, что гзП = 1 и zn— 1 =£0, имеем: ггп 4- zn 4-
-j- 1 = 0. Отсюда следует, что гп 4- 1 = — г2", поэтому
|z —1|-|г" *’1| = |г-1|-|-г2Л|.=
= |z—11 = | АгАг |.
Итак, | А,Ал+2|— | А,Ап I = | А,А21, т. е.
|	““ I А,Ап I 4-1 А>А21.
70
СВОДКА РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ
ПО № 2 ЗА 1980 Г.
Аббасов А.* (АзССР) — 2221, 2223, 2227, 2228(6). Али-
ев Н М (г. Кировабад) —2221—2228, 2230—2235, 2237,
2238. Аляев А. В. (Пензенская обл.)—2221—2228, 2230,
2231, 2233—2235, 2240. Андриевский С. А. (г. Омск) —•
2221—2223, 2226, 2227, 2235, 2240. Арустамян К. М.
(АрмССР, г. Кафан)—2221—2223, 2225—2228, 2230,
2233—2235. Ахматов М. А. (г. Ейск)—2221—2223,
2225—2228. 2230 — 2235. Ахмедов М. Я. (г. Чимкент)—
2221—2223, 2226, 2230—2235. Багиров М М. (АзССР)—
2221—2223, 2225—2227, 2235 Балицкий В. С. (Алтай-
ский край, г Алейск)—2231—2235, 2237. Бахшали-
ев В. Ф (АзССР)—2221—2223, 2226, 2227. Будагов Р. А.
(АрмССР)—2221—2223, 2225, 2226. Букобаев Н. (Вос-
точно-Казахстанская обл.)—2221, 2228(6), 2231 -2235.
Ветров К- В (г. Братск)—2221—2228, 2231, 2232. Вла-
димиров А. С. (Свердловская обл., г. Асбест)—2221 —
2230, 2233—2235, 2237, 2239, 2240. Войнов И. И. (Ор-
ловская обл., г. Волхов)—2221—2223, 2225—2228,2230—•
2234, 2237, 2239. Гарбер М. С (г. Днепропетровск) —
2221—2223, 2226, 2227, 2234, 2235. Гемуев А. А. (г. Наль-
чик) — 2221—2235, 2237, 2239, 2240. Головачев Е А.
(Белгородская обл.)—2221—2223, 2225—2235, 2237—
2240. Грачикова К. С. (Московская обл., г. Ожерелье)—
2221—2223, 2228. Грищенко Е. Я. (Киев)—2221—2223,
2228(6), 2231, 2232, 2234, 2235. Джаббаров М. Б.
(АзССР) — 2221—2223, 2225—2227, 2228(6), 2231, 2232,
2235. Егоров П. В. (г. Рязань)—2221—2228, 2230—
2233, 2235, 2238, 2240. Емелюшки И. С. (г. Барнаул) —
2221—2228, 2233-—2235. Журавлев В. В. (г. Яро-
славль)— 2221—2224, 2230 2231, 2235. Зискинд Л Е.
(г. Винница) — 2221—2223, 2225—2228, 2230, 2231,
2234. Зубилин Н. И. (Орловская обл.)—2221—2223,
2227, 2228, 2231, 2234, 2235, 2240. Казимов А. М.
(ГССР, г. Болниси) —2221—2224, 2226, 2227, 2234,
2235. Карабаев А. К. (Чимкентская обл.)—2221—2223,
2225, 2226, 2231—2235, 2238. Кассиров В. А. (Павло-
дарская обл.) —2221—2223, 2228, 2234, 2235. Ким Б. М.
(г. Джамбул)—2221—2223, 2227, 2228, 2233, 2235.
Креймер М. О. (г. Житомир)—2221—2228, 2230, 2234,
2235. Курганов Т. К. (УзССР, г Чирчик)—2221—2223,
2225- 2228, 2231, 2232, 2239, 2240. Любе.чов Л. Т. (Бол-
гария, г. Павел Баня) — 2222, 2223, 2226, 2235, 2240.
Мадрпмов С. (Хорезмская обл.)—2223, 2228, 2231,
2235. Макаров М. Ф. (Орловская обл.)—2222—2224,
2226—2228, 2230, 2231, 2233—2235. Мамедов О. И.*
(АзССР, г. Саатлы)—2221, 2223, 2225—2227, 2231,
2232. Мнтюк В. А. (Житомирская обл.) — 2221—2223,
2226—2228, 2230, 2231, 2233—2235, 2239. Михае-
лян С. М. * (Нагорно Карабахская АО)—2221—2223
2226, 2227, 2231, 2235. Мхеян К. П. * (АрмССР) —
2221—2227, 2228(6), Набиев Д. А. (АзССР, г. Варта-
шен)—2221—2224, 2226, 2227. 2233. Невзоров А. Л.
(г. Кременчуг)—2221—2228, 2230—2235. Орынбаса-
ров И. Г. (Каракалпакская АССР, г. Ходжейли) —
2221—2223, 2227, 2231, 2238. Палванов Т. * (Хорезм-
ская обл.)—2221—2223, 2225, 2226, 2234, 2235. Пове-
лий В. И. (Ровенская обл.) — 2226—2228, 2230—2232,
2234, 2238— 2240. Полховский Н. Н. (г. Фергана) —
2226—2229, 2231—2235, 2237, 2240. Поляшов Н. И. (Во-
логодская обл.)—2221—2223, 2226, 2228, 2232, 2233,
2239, 2240. Прокопенко Г Т. (г Ялта)—2221—2228
2231, 2233—2237, 2239. Рашидов X. Р. (г. Ош) —
2221—2223, 2225—2228, 2231—2233, 2235. Роганин А. Н.
(Харьковская обл.)—2221—2223, 2225, 2226, 2228,
2230, 2231, 2234, 2239. Ручкин Д. Д. (Марийская
АССР) — 2221—2224, 2231, 2233, 2235, 2240. Ры-
тов Н. Н. (Тамбовская обл.)—2221—2228, 2230,
2232—2235. Салимжанов Р М., Малышкипа Н. Л.
* Звездочкой отмечены фамилии читателей, оформив-
ших решения не в полном соответствии с требования-
ми, указанными в Ns 1 журнала за 1979 г.
(г. Петропавловск)—2221—2235. Салимов Э. Г.*
(г. Кировабад)—2221—2223, 2225—2228, 2231, 2234,
2235. Симеонов А. А. (Болгария, г. Своге)—2232—
2235, 2237, 2238, 2240. Степанян Э. С. (Баку)—2221—
2228, 2230, 2231, 2234, 2235, 2237, 2238 2240. Сысу-
ев Г. Я. (Хабаровский край)—2221—2223, 2235. Тай-
масханов У. Д. (Дагестанская АССР)—2221—2227,
2231—2235, 2237, 2239, 2240. Ташбаев А. М (Ошская
обл.)—2221—2224, 2226—2228, 2230—2235, 2237, 2238,
2240. Тимошенко Н. Р. (Черниговская обл.)—2221—
2235, 2237—2240. Токарев В. А. (Сахалинская обл.) —
2221—2224, 2226, 2235. Ушеренко А. У. (Винницкая
обл., г. Хмельник) —2221—2223, 2225—2228, 2231—2233,
2235. Фридлин Г. М. (г. Бердичев) —2221—2231, 2233—
2238. Хагабанов X. Т. (Кабардино-Балкарская АССР) —
2221—2225, 2227, 2228 2230, 2235. Хибабаев У. К-
(АзССР)—2221—2223, 2226 Хизанншвили Ц. И. (Тби-
лиси) — 2221, 2222, 2226, 2227, 2231. Цхай А И. * (Таш-
кентская обл.. г. Янгиюль)—2221—2223, 2225, 2226,
2228, 2233, 2235. Цхай Т. Т. (г. Андижан) — 2221—2235,
2237, 2240. Щнряков А. Н. (Минская обл., г. Марьина
Горка) — 2221—2224, 2227, 2228, 2230, 2235. Эйва-
зов А. Г. (АзССР) — 2221—2223, 2226, 2227, 2228(6),
2230—2235, 2237. Юдаков В. А. (Крымская обл.) —
2221—22л0. Юсупов С. (Хорезмская обл.)—2221—2227,
2231, 2233, 2240. Юшнн Ю. Д (Смоленская обл, г. Га-
гарин) — 2221—2223, 2225—2228, 2230, 2231, 2233—2235.
Ягодов В. Н. (Марийская АССР) — 2221—2223, 2226,
2231.
Математические кружки: Индустриально-технологиче-
ского техникума г. Йджевана АрмССР (рук. 3. А. Ала-
вердян)—2222, 2223, 2225—2227, 2231, 2232; ж.-д. шк.
Кг 23 ст. Саатлы АзССР (рук. Ш. С. Алиев *) — 2222,
2225—2227, 2232, 2233, 2235; шк. № 38 ст Джульфа
(рук. Т. Г. Алияров *) —2221-2223, 2226, 2227 2232,
2238; 46-й шк. г. Мурманска (рук. В. Е. Андреев) —
2221—2228, 2230—2235, 2238, 2240; 39-й шк. г Кирова-
бада (рук. М. А. Джафаров*)—2221—2228, 2232,
2234, 2235, 2237—2239; Украинской ср. шк. Джамбул-
ского р-на Северо-Казахстанской обл. (рук. Ш. М. Иб-
рагимов)— 2221, 2223, 2228(a), 2235; 24-й шк. г. Сум-
гаита (рук. М. М. Исмаилов)—2221—2228; Каралин-
ской ср. шк. Нефтечалннского р-на АзССР (рук. Ф. А.
Исмаилов)—2221—2223. 2226, 2227, 2231 2232, 2235;
Карыкышлакской шк. Лачинского р-на АзССР (рук.
(Окончание см. на с. 75.)
ПИСЬМО В РЕДАКЦИЮ
Об одной задаче на разрезание прямоугольника
В № 5 нашего журнала за 1979 г. помещена статья
Н. Д. Григорьева «Конкурсы по решению задач». В ней
приведена следующая задача: «Прямоугольник, изобра-
женный на рпс. 1, разрежьте по указанным линиям на
5 частей. Полученные части расположите так, чтобы по-
лучился исходный прямоугольник и исчез черный квад-
рат».
Данная задача является софизмом. Софизм кроется
в неточном выполнении рис. 1 и 2, однако эту неточ-
ность трудно заметить.
Рис. I
Рис. 2
в 12 3 4 Г У 7 У У /У 7/ g „ 7 2 7 4 5 У 7 <? У 7g /7 72 13
71
Рис. 3
Если предположить, что рис. 1 выполнен верно, то
из подобия треугольников ABC, AEF, CNF получим
|ЛВ| |£F|	| СЛА|
| ВС I "|Л£| “|Л>|-
Тогда, приняв сторону каждой клетки прямоугольника
за 1, на основании равенств (X ) запишем
5	2	3
13 ” 5 “ 8 *
Очевидно, что последние равенства неверны. Наше
предположение привело к противоречию Из этого сле-
дует, что треугольники ABC, AEF, CNF не могут иметь
размеры, указанные на рис. 1.
По условию |А5| = 5, |ВС| = 13 Для удобства
положим, что длины катетов АЕ и CN на рис. 1 ука-
заны верно, т. е. |А£|=5, |C/V|=3. Теперь пропорции
( >)<) можно записать иначе
5	|EF |	3
13“	5	“|WF|' Отсюда
12	4
| EF | - 1 -уд и | NF | - 7 -у.
Этот результат говорит о том, что точка F пересе-
чения перпендикуляров, проведенных нз точек N и Е,
не лежит на диагонали АС. Пусть [£Е] ("] [ЛС]~F, и
[Л/£] П [ЛС] = £г. На рис. 3 изображен увеличенный
фрагмент прямоугольника ABCD, в котором точки F,
Ft, F% видны достаточно ясно. Очевидно, что иа рис. 3
I EFi | == 1 и I Л'£21 = 7 -j"-
Если более точно выполнить рис. 2 (для этого при-
дется увеличить масштаб), то мы увидим (см рис. 4),
что внутри прямоугольника ABCD образовалась Г-об-
разная щель, причем
| АЕ, | - 7 -у" и I CN । - 1 41 ’
Площадь этой щели равна 1. Докажем последнее
утверждение.
Для упрощения пояснений воспользуемся рис. 5, на
котором в увеличенном виде изображен нужный нам
фрагмент из рис. 4;
$шели SEE,F,F + ^FFtNN, + $F,FF, + $ '	'•
/? /	7	.7	4	А 7 fi О in if ГГ
но так как д F,FF, = Д F^FFj, то 5шели -= see,f,f+
+ $FF,NN, + 2$FtFF,’ ИЛИ
•^'шелн ~ IFF, |-|£F | 4- | N,F |.|FF2 I +
4-|FF,|-|FF2|.	(**>
Подсчитаем теперь | FF, | и | FF21:
4	1
IFF, | - | ££, | = | Л£| — | Д£11 -8-7у -
12	I
|££2|- |^,|»|CM|-|^| = 2-l-i3 -тз-
Тогда, учитывая, что |EF|=3 и |/ViF|=5, из равен-
ства (	) получим
1 1 1 1
•$шели -= 5 -3 + 1з -5 4- 5  1з - 1
Итак, площадь щели равна площади черного квадра-
та, и поэтому черный квадрат не исчез, а преобразо-
вался в равновеликую щель.
А. М. МАЛАШЕНКО
(г. Новоселки Брянской обл.)
От редакции
Мы хотим обратить внимание читателей на то, что
длины сторон прямоугольника в рассмотренной задаче
выражаются числами 5 и 13, которые являются члена-
ми так называемого ряда Фибоначчи:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13. 2 1, 3 4, 5 5, 8 9, 144.
Каждое из чисел Фибоначчи, начиная с третьего, явля-
ется суммой двух чисел непосредственно ему предшест-
вующих.
Числа Фибоначчи имеют отношение к парадоксам за-
дач «на разрезание фигур». Например, разрезав особым
образом квадрат со стороной 8, можно сложить из по-
лучившихся фигур прямоугольник со сторонами 5 и 13
и тем самым «доказать», что 64 = 65. Ошибка связана
с тем, что в прямоугольнике образуется незаметная гла-
зу щель, площадь которой равна 1. Аналогичные пара-
доксы можно рассмотреть на квадратах, со сторонами
13, 21, 34 и т. д. Эти квадраты преобразуются в пря-
моугольники, длины сторон которых выражаются чис-
лами Фибоначчи, соседними только что указанным чис-
лам. Это соответственно 8 н 21, 13 и 34, 21 и 55 и т. д.
Эти парадоксы основаны на следующей теореме: «Если
и,, ы2...un, Un+i,-.. ряд Фибоначчи, то
Причем чем большим из чисел нп+1 выражается сто-
рона исходного квадрата, тем труднее непосредствен-
но заметить в прямоугольнике со сторонами и„, чп^г
щель (или, наоборот, место, где одна фигура оказа-
лась наложенной на другую). Подробнее об этом
можно прочитать в брошюре Н. Н. Воробьева «Числа
Фибоначчи» (М  HavKa. 1964) и в книге Б А Кор-
демского «Математическая смекалка» (М.: Наука, 8-е
изд., 1965).
Поздравляем юбиляров
ИЗАБЕЛЛА ГРИГОРЬЕВНА
БАШМАКОВА
3 января 1981 г. исполнилось 60 лет
со дня рождения одного из наибо-
лее выдающихся современных исто-
риков математики Изабеллы Гри-
горьевны Башмаковой. Она родилась
в Ростове-на-Дону в армянской семье,
издавна тесно связанной с русской
культурой. Ее отец Григорий Геор-
гиевич Башмаков, адвокат, славив-
шийся ораторским искусством, был
человеком высокой общей культуры
и большого личного обаяния. В
1932 г. семья Башмаковых переехала
в Москву, где Изабелла Григорьевна
окончила школу и поступила на ма-
тематическое отделение механико-ма-
тематического факультета Московско-
го университета. Во время войны
вместе с университетом она на неко-
торое время оказалась в эвакуации и
работала медицинской Сестрой в Са-
марканде.
В 1943 г. Изабелла Григорьевна
возвращается в Москву, где знако-
мится с проф. С. А. Яновской, под
руководством которой начинает заня-
тия историей математики. Любимая
ученица, а впоследствии и сотрудни-
ца Софьи Александровны, И. Г. Баш-
макова унаследовала многие ее твор-
ческие черты, в частности четкость п
строгость математических формули-
ровок, стремление исследовать мате-
матические идеи прошлого с позиций
современного состояния вопроса. Эти
черты в полной мере проявились уже
в первых докладах Изабеллы Гри-
горьевны, посвященных истории тео-
рии делимости, в подготовке которых
участвовал и А. И. Лапин, впослед-
ствии известный специалист по ал-
гебраической теории чисел. Доклады
эти, сразу обратившие на себя вни-
мание специалистов, были сделаны
на семинаре МГУ по истории мате-
матики, которым в то время руково-
дили С. А. Яновская и А. П. Юшке-
вич и одним из руководителей ко-
торого стала впоследствии Изабелла
Григорьевна. С этим семинаром, с
кабинетом истории математики, кото-
рым с момента основания и до сего-
дняшнего дня заведует проф. К. А.
Рыбников, с механнко-математиче-
ским факультетом МГУ оказалась
тесно связанной вся дальнейшая дея-
тельность И. Г. Башмаковой как
ученого и педагога.
В 1948 г. по окончании аспиранту-
ры Изабелла Григорьевна защищает
кандидатскую диссертацию «Из исто-
рии теории делимости», оппонентами
по которой выступили А. О Гело-
фонд и А. П. Юшкевич. Основные
результаты диссертации были напе-
чатаны в «Историко-математических
исследованиях» (ИМИ). В этой рабо-
те наметились две основные, во мно-
гом связанные между собой и на
протяжении ряда лет преобладавшие
в ее творчестве темы: история антич-
ной математики и история теории
алгебраических чисел.
Продолжая более ранние исследо-
вания О Беккера (1933), Изабелла
Григорьевна провела оригинальный
анализ арифметических книг «Начал»
Евклида (ИМИ, 1948). Проведя раз-
личие между применяемыми в этих
книгах числами-кратностями и числа-
ми-отрезками, она показала, что евк-
лидова теория делимости чисел-от-
резков столь же строга, как и геомет-
рические книги «Начал». Между тем
даже такой знаток античной мате-
матики, как И. Г. Цейтен, считал эту
теорию неполной и даже видел в ней
наличие порочного круга. Сравнивая
теорию отношений целых чисел в
седьмой книге «Начал», несомненно
наиболее древнюю, с обшей теорией
отношений величин в пятой книге,
которая была разработана позднее,
но видимому, Евдоксом, Изабелла
Григорьевна пришла к выводу, что
вторая теория обнимает как част-
ный случай и целые числа. Сохране-
ние же отдельной теории в седьмой
книге она объяснила тем, что эта
теория вполне достаточна и особен-
но удобна для теории чисел, излагае-
мой в седьмой — девятой книгах. В
дальнейшем она детально сравнила
общую теорию отношений Евдокса с
теорией сечений Дедекинда (ИМИ,
1958).
Основное содержание кандидатской
диссертации И. Г. Башмаковой соста-
вил тщательный анализ теории ал-
гебраических чисел Е. И. Золотарева
в сопоставлении с почти однЛвремен-.
нымй, но существенно отличными
теориями Дедекинда и Кронекера
(ИМИ, 1949). Была особенно под-
черкнута актуальность так называе-
мых локальных методов Золотарева,
которые до сих пор часто недооцени-
ваются за рубежом. К вопросам ис-
тории теории алгебраических чисел
Изабелла Григорьевна обращалась
впоследствии неоднократно. Упомя-
нем попутно разбор арифметическ. <
разделов курсов алгеоры И. И. Ло-
бачевского, данный в статье, напи-
санной вместе с А П. Юшкевичем
(ИМИ, 1949), совместную с Л. А.
Сорокиной статью об алгебре и тео-
рии чисел в лекциях М. В. Остро-
градского (1962), и очень тонкие за-
мечания о проблеме приводимости
алгебраических уравнений над неко-
торым квадратичным полем во «Все-
общей арифметике» И. Ньютона,
идеи которого далее развил Варпиг
(ИМИ, 1959) и др.
В 1948/49 учебном году И. Г. Баш-
макова впервые прочитала курс лек-
ций по истории математики, который
наряду с различными спецкурсами
она продолжает читать до сих пор.
Подготовка этого курса потребовала
тщательного изучения ряда класси-
ческих трудов, из которых особое
внимание Изабеллы Григорьевны в
те годы привлекли сочинения Архи-
меда, в первую очередь — развивае-
мые в них инфинитезимальные мето-
ды. Этим методам в творчестве Ар-
химеда была посвящена большая ли-
тература, но Изабелле Григорьевне
удалось раскрыть совершенно новые
стороны вопроса. Особенного внима-
ния заслуживает проведенный ею
анализ так называемых дифферен-
циальных методов Архимеда, кото-
рый в сочинении о спирали исполь-
зовал для определения касательной
так называемый со времени Лейбни-
ца характеристический треугольник и
отдельные предложения, равносиль-
ные простейшим теоремам теории
пределов. Решая одну геометриче-
скую задачу на определение, говоря
по-современному, максимума некото-
рого многочлена третьей степени, Ар-
химед свел дело к определению об-
щей касательной к двум плоским
кривым в их общей точке. Данное
им правило, как показала И. Г. Баш-
макова, равносильно дифференцнро-
>анию произведения двух функций.
Попутно было прослежено влияние
сочинения о спиралях на творчество
математиков XVI—XVII вв., начиная
с Виета. Может быть, именно в этой
работе особенно наглядно проявилось
стремление Изабеллы Григорьевны
выявить в методах прошлого совре-
менный математический эквивалент,
иногда очень глубоко скрывающийся
за архаической терминологией и фор-
мой. Эти последние результаты уже
ие попали в ее превосходные «Лек-
ции по нсторнн математики в Древ-
ней Греции» (ИМИ, 1958). Было бы
весьма желательным выпустить эти
лекции, дополненные последующими
изысканиями автора об античной ма-
тематике первых веков нашей эры,
отдельной книгой.
В 1961 г. И. Г. Башмакова защи-
тила докторскую диссертацию по со-
вокупности исследований по античной
математике. Оппонентами были А. И.
Маркушевич, Б. А. Розенфельд. А. П.
Юшкевич, а также В. П. Зубов, вид-
ный специалист по истории античной
и средневековой неуки. В 1968 г. ей
было присвоено звание профессора.
В 1966 г. ее заслуги в развитии ис-
тории математики получили призна-
ние широких кругов научной общест-
венности за рубежом: Международ-
ная академия истории науки избрала
ее своим членом-корреспондентом; в
1971 г. она стала ее действительным
членом.
В последние годы значительное
место в творчестве Изабеллы Г ри-
горьевиь' заняло исследование исто-
рии диофантова анализа, решающую
роль в котором сыграло издание в
1974 г. русского перевода «Арифме-
тики» Диофанта, осуществленного
И Н. Зессювским под редакцией, с
лодробиейшим комментарием, а так-
же вступительной статьей И. Г. Баш-
маковой. Диофанту посвящен боль-
шой цикл работ Изабеллы Григорьев-
ны 1966—1980 гг. До недавнего вре-
мени бгло распространено мнение,
что у Диофанта ие было достаточно
общих приемов решения задач неоп-
ределенного анализа; другого мнения
на этот счет, не мотивированного в
деталях, держался только Якоби (на
соответствующую забытую его рабо-
ту обратила внимание Изабелла
Григорьевна). Она показала, что суть
метода Диофанта маскируется тем,
что он приводит решения только
частных числовых задач, не давая
общих формулировок своих приемов.
Б действительности же данные числа
у Диофанта выполняют роль наших
параметров. Переведя приемы «Ариф-
метики» на геометрический язык,
Изабелла Григорьевна сравнила их с
методами современной арифметики
алгебраических кривых и установила
их тесное родство, ускользавшее ра-
нее от всех историков математики.
При этом она проследила распрост-
ранение идей Диофанта в средние
века и поьо. время вплоть до Якоби
и наконец Пуанкаре и Морделла.
Именно в этой связи у нее возникла
мысль, что диофантов метод отыска-
ния рациональных точек кубической
кривой подтолкнул Ферма к разра-
ботке его метода касательных и экст-
ремумов для алгебраических кривых
и функций (ИМИ, 1966). Большой
успех имела ее брошюра «Диофант и
диофантовы уравнения» (М., 1972;
немецкий перевод— 1974). В этих ис-
следованиях Изабелла Григорьевна
пользовалась консультациями И. Р.
Шафаревича.
Изучая развитие идей дьофачтова
анализа, И. Г Башмакова обнару-
жила в трудах Еиета, что предло-
женные им специальные преобр; зова-
ния треугольников могут быть интер-
претированы в терминах арифметики
комплексных чисел — обстоятельство
весьма любопытное (статья. ?овмест-
ная с Е. И. Славутиным, ИМИ, 1976).
Открытие в недавнее время араб-
ской версии еще трех книг Диофанта
(во всяком случае, книг, лежащих
полностью в русле идей Диофанта)
поставило ряд новых, часто довольно
сложных проблем, которые в на-
стоящее время изучают многие спе-
циалисты; в их числе — Р. Рашед в
Париже, Сезиаио в Лозанне, Б. А.
Розенфельд в Москве. Важное место
в этих исследованиях, итог которым
подводить еще преждевременно, за-
нимают работы Изабеллы Григорьев-
ны и нескольких ее учеников (ИМИ,
1979)
Творческая деятельность И. Г. Баш-
маковой-учеиого неразрывно связана
с ее педагогической деятельностью.
Мы упоминали о ее лекциях по исто-
рии математики. Несколько поколе-
ний московских студентов-математи-
ков знакомились на иих с историей
своей науки. Многие из них прошли
через студенческий семинар по исто-
рии математики, уже долгие годы
возглавляемый Изабеллой Григорьев-
ной (в настоящее время вместе с
А. В. Дорофеевой н С. С. Петровой).
Под ее руководством написано мно-
жество курсовых и дипломных работ,
многие успешно работающие сегодня
историки математики являются ее
прямыми учениками. Среди них —
Э. И. Березкина, С. С. Глушков,
Джамаль ад-Даббах (Ирак), Лейла
Моххамед (АРЕ), А. П. Каучикас,
Н. Г. Кроткова, Е. И. Славутин,
Л. А. Сорокина. Необыкновенно за-
ботливое, почти материнское отноше-
ние к своим ученикам — одна из
главных черт Изабеллы Григорьевны,
унаследованная ею от С. А. Янов-
ской. К занятиям историей матема-
тики она привлекла и некоторых мо-
лодых специалистов-математиков, на-
пример А. Н. Паршниа и А. Н. Ру-
дакова.
Большая литературная деятель-
ность И. Г. Башмаковой — публикуе-
мые ею специальные исследования,
лекции, популярные статьи и брошю-
ры — способствует росту интереса к
истории математики в широких кру-
гах советских читателей — от спе-
циалистов-математиков до школьни-
ков, интересующихся математикой и
ее историей. Ее статья «Происхожде-
ние систем счисления», написанная
совместно с А. П. Юшкевичем для
первой книги «Энциклопедии элемен-
тарной математики» (М., 1951), раз-
личные статьи из III тома Детской
энциклопедии (1959), в частности
«Как люди считали в старину» и
«Как возникла геометрия», вышедшая
в 1979 г. брошюра «Становление ал-
гебры), нашли широкий отклик у
юных читателей. Подготовленные ею
(совместно с С. С. Демидовым) ал-
гебраический и теоретико-числовой
разделы «Хрестоматии по исторгн
математики» (М., 1976, отв. ред. А. П.
Юшкевич) с успехом используются
сегодня при подготовке курсов исто-
рии математики в педагогических
институтах, а также в практике пре-
подавателей средней школы.
И. Г. Башмакова — участник мно-
гих научных конференций как в
СССР, так и за рубежом. По науч-
ной работе Изабелла Григорьевна
тесно связана с Институтом истории
естествознания и техники АН СССР
и является одним из авторов трех-
томника «История математики с
древнейших времен до начала XIX
века» (М., 1970—1972, отв. ред. А. П.
Юшкевнч) и начатого издания «Ма-
тематика XIX века» (отв. ред. А. Н.
Колмогоров и А. П. Юшкевич).
Свое 60-летие И. Г. Башмакова
встречает в полном расцвете сил, с
богатыми замыслами, окруженная
глубоким уважением и искренней
симпатией своих коллег.
П. С АЛЕКСАНДРОВ,
Б. В. ГНЕДЕНКО, С. С. ДЕМИДОВ,
А. Н. КОЛМОГОРОВ, С. С. ПЕТРОВА,
К. А. РЫБНИКОВ, А. П. ЮШКЕВИЧ
БОРИС
МАКСИМОВИЧ БРЕДИХИН
Исполнилось 60 лет со дня рождения
заведующего кафедрой алгебры, тео-
рии чисел и методики преподавания
математики Куйбышевского педин-
ститута доктора физико-математиче-
ских наук профессора Бориса Макси-
мовича Бредихина.
Борис Максимович родился в
с. Грачевка Оренбургской области.
В 1944 г. он окончил математическое
отделение Куйбышевского пединсти-
тута и был оставлен при кафедре. В
этом институте он работает и по сей
пень.
Область научных интересов Б. М.
Бредихина — аналитическая теория
чисел, по проблемам которой в оте-
чественной и зарубежной печати им
опубликовано более 80 работ. Он от-
носится к категории ученых, для ко-
торых научная работа является ос-
новой жизни. Все свободное время,
порой не зависимо от внешних усло-
вий, он занят размышлениями о ка-
кой-либо задаче.
• Неиссякаемое трудолюбие, прису-
щее Борису Максимовичу, интерес к
научным проблемам он впитал от
тех, кто его ввел в науку: профессо-
ра Саратовского университета Н. Г,
Чудакова, под руководством которо-
го закончил заочную аспирантуру,
академика Ю. В. Линника.
Борис Максимович тридцать пять
лет преподает в нашем вузе, чет-
верть века заведует кафедрой, двад-
цать лет руководит аспирантурой.
Прекрасный лектор, интересный со-
беседник, добрый и требовательный
воспитатель, Б М Бредихин пользу-
ется заслуженным авторитетом у
коллег и студентов. Велик его авто-
ритет и у учителей, перед которыми
Борис Максимович регулярно высту-
пает как в Куйбышеве, так и в сель-
ских методических объединениях.
Сложные вопросы школьного курса
математики он умеет рассматривать
с позиций эрудированного математи-
ка, хорошо владеющего историей
развития нашей науки и ее философ-
скими аспектами. Для него характер-
ны широта взглядов, глубина про-
никновения в сущность вопроса, яс-
ность изложения материала. Поэтому
и едут учителя, порой издалека, по-
слушать профессора Бредихина.
Коммунист Б. М. Бредихин актив-
но участвует в общественной жизни.
Многолетний труд Бориса Макси-
мовича отмечен орденом «Знак По-
чета», медалью «За трудовое отли-
чие», значком «Отличник просвеще-
ния» п многочисленными грамотами.
Пожелаем юбиляру долгих лет
активной творческой жизни.
А. Г. ГРЕКУЛОЗА, К. А. МАЛЫГИН,
Т. М. ФЕДУЛОВА
СВОДКА РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ ПО № 2 ЗА 1980 г.
(Окончание. Начало см. на 71.)
Э. X. Казымов)—2221—2223, 2226, 2227, 2231—2233;
13-й ср. шк. пос. Байжансай Чимкентской обл. (рук.
А К. Карабаев) — 2221—2223, 2233, 2235; г. Рогачева
БССР (рук. С. Л. Нахамчик)—2221—2228, 2231—2235,
2237. 2238, 2240; Дворца пионеров и школьников г. Ка-
раганды (рук. Э. Я Пыркова) — 2221—2223, 2225—
2228 2-й ср. шк. г. Мархамат Андижанской обл. (рук.
О. Сатторов) —2221—2223, 2227, 2233—2235; Быстрич-
ской ср. шк. Березновского р-на Ровенской обл. (рук.
Ф. Г. Стахнюк) —2222, 2223, 2226, 2227, 2231; Башской
ср. шк. Самтредского р-на ГССР (рук. Л. Е. Бвалавад-
зе) — 2221, 2223, 2225—2227, 2231, 2233; 173-й ср. шк.
Киева (рук. Р. П. Ушаков)—2221—2235, 2237—х240;
17-й ср. шк. Киева (рук. А. П. Шапнро *)—2221—
2231, 2233—2235, 2237, 2238, 2240; Нефтечалииской ср.
шк. № 1 АзССР (рук. В. Н. Шарафалиев)—2221—2223,
2226, 2227; Самурской ср. шк. Кусарского р-на АзССР
(рук. С. А. Халидов)—2221—2223, 2225—2228, 2233,
2234; «Альфа» 1-й ср. шк. г. Могилева-Подольского
(рук. В. А. Ясинский*)—2221—2223, 2225—2228, ’231—
2235; Всрхне-Зейхурской ср. шк. АзССР (рук. Б. А. Ба-
далов) — 2221—2223, 2227, 2228, 2231—2233, 2235.
ВНИМАНИЮ ЧИТАТЕЛЕЙ!
В издательстве «Педагогика» в октябре 1980 г. вышли следующие книги:
От передового учителя к передовому коллективу: Опыт совершенствования
учебно-воспитательного процесса в школах Москвы / Под ред. Ю. К. Бабанского,
А. Н. Зевиной.—(Передовой педагогический опыт).—104 с., 40 000 экз., 20 к.
Сельский учитель: Сб. очерков / Сост. В. Б, Стрельцова. — (Воспитание и обуче-
ние. Б-ка учителя).— 176 с., 40 000 экз., 40 к.
75
г
Критика и библиография
НОВЫЕ МАТЕРИАЛЫ
К БИОГРАФИИ Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО
В. Н. МОЛОДШИЙ
(Москва)
В 1948 г. была опубликована работа Л. Б. Модзалев-
ского ^Материалы для биографии Н И Лобачевского».
Она помогла научному коллективу во главе с профессо-
ром В. Ф. Каганом разработать превосходный научный
аппарат (вводные статьи, комментарии, приложения)
к пятитомному Полному собранию сочинений Н. И. Ло-
бачевского, которое было издано в 1946—1951 гг. Соб
ранные Модзалевским материалы использовались впос-
ледствии в большинстве исследований, посвященных
жизни, мировоззрению, научной и педагогической дея-
тельности Н. И. Лобачевского. В 1976 г. вышла в свет
книга- «Н. И. Лобачевский. Научно-педагогическое на-
следие. Руководство Казанским университетом. Фраг-
менты. Письма», отв. редакторы П. С. Александров,
Б Л. Лаптев.
Хорошим дополнением к имеющимся материалам о
П. И. Лобачевском является брошюра А. Г. Каримул-
лина и Б. Л. Лаптева «Что читал Лобачевский», выпу-
щенная издательством Казанского университета (тираж
1000 экз.) в 1979 г. Книга предназначена довольно уз-
кому кругу лиц, изучающих жизнь и деятельность ве-
ликого русского ученого. Но выводы, которые позволяет
сделать анализ этой работы, могут представить интерес
н для учителя.
Брошюра открывается вводной статьей «О библиотеч-
ных записях книг и журналов, выданных Н. И. Лоба-
чевскому из библиотеки Казанского университета»
(с. 3—36). Затем воспроизведены «Записи» (с. 39—108).
Последние извлечены из книг учета литературы, выдан-
ной профессорско-преподавательскому составу универ-
ситета с 1830 по 1855 г.
«Записи» свидетельствуют о постоянном внимании
Лобачевского ко всему новому в математике, механи-
ке, физике, химии, технике, истории, экономике, литера-
туре и искусстве По ним можно судить о неослабеваю-
щем интересе Лобачевского к международной общест-
венно-политической жизни, историческому прошлому и
современным п_юбл( мам России.
Кроме текста библиотечных записей брошюра содер-
жит 2 приложения. В первом приложении указан спи-
сок книг по физико-математическим наукам, закуплен-
ных Н. И. Лобачевским в 1821 г. во время его пребы-
вания в Петербурге для библиотеки Казанского универ-
ситета. Содержащиеся в нем сведения позволяют пред-
ставить более детально эволюцию взглядов Лобачев-
ского на принципы обоснования математических концеп-
ции до открытия им неевклидовой геометрии.
В И. Лобачевский отобрал для покупки 55 наимено-
ваний. В их числе были: 1) книги Хесслинга и Людике,
посвященные «доказательствам» аксиомы параллельно-
сти; 2) книга Аземара о трисекции угла; 3) мемуар
Карно «Размышления о метафизике исчисления беско-
нечно малых»; 4) три мемуара польского математика
Вронского, посвященные философским принципам ис-
числения бесконечно малых; 5) книга Жерве о новом
способе изложения принципов дифференциального ис-
числения; 6) мемуар Болыцано «Чисто аналитическое
доказательство теоремы, что между любыми‘двумя Зна-
чениями, дающими результаты противоположных зла-
ков, лежит по меньшей мере один действительный ко-
рень уравнения»; 7) книги Лапласа по теории вероятно-
стей; 8) трактат Монжа по начертательной геометрии;
9) труды Берара «Новые методы определения корней
численных уравнений» и Дюма «Новые методы решения
уравнений высших степеней».
Занимаясь перестройкой системы геометрии Евклида
и проблемой параллельных, Лобачевский, естественно,
заинтересовался работами Хесслинга, Людике и Азема-
ра. Столь же естественно и приобретение работы Мон-
жа — творца новой по тому времени начертательной
геометрии. Не случайно, по-видимому, и то, что среди
названных приобретений наибольшее число относится к
вопросам обосновании математического анализа. До по-
ездки в Петербург Лобачевский придерживался в пре-
подавании дифференциального исчисления системы Лаг-
ранжа (Лакруа). Приобретенная литература показала
ему, что система математического анализа, построенная
Лагранжем (Лакруа), далека от совершенства. Здесь,
несомненно, один из основных источников изменений
взглядов Лобачевского на предмет и методы математи-
ческого анализа с последующим признанием им системы
и методологии Коши *. Здесь, по-видимому, и один из
источников изменений взглядов Лобачевского на пробле-
му параллельности До поездки в Петербург Лобачев-
ский старался доказать аксиому параллельности
Евклида. Вскоре после этой поездки он приступил
к построению новой, неевклидовой геометрии1 2.
1 См.: Молодший В. Н. О. Коши и революция в ма-
тематическом анализе первой четверти XIX века. — Ис-
торико-математические исследования, вып. XXIII. М.,
1978.
2 См.: Молодший В. Н. О философско-методологиче-
ских предпосылках открытия и разработки Н. И. Лоба-
чевским неевклидовой геометрии. — Научные доклады
высшей школы. Философские науки, 1980, № 4.
НОВЫЕ КНИГИ (1980 г.)
Ф. М. ШУСТЕФ
(Минск)
История и методология математики
Математические науки в МГУ (К 225-летнему юби-
лею): Сборник статей/Сост. Б. В. Гнеденко (Н'-вое в
жизни, науке, технике. Серия «Математика. Киберне-
тика», № 4). — М.: Знание, 1980. — 64 с., 35 760 экз.,
11 к.
Полищук Е. М. Эмиль борель. 1871—1956. (Научно-
бпогр. серия) —Л.: Наука, Ленинградское отделение,
1980.— 168 с., 15 700 экз., 25 к.
Стюарт Я. Концепции современной математики. Пер.
с англ. — Минск: Вышэншая школа, 1980. — 382 с.,
35 000 экз., 75 к.
При сравнительно небольшом объеме книга Стюарта
отличается широким охватом материала. В популярной
форме на конкретных математических объектах излага-
ются основные понятия, идея и методы современной
математики.
Монографии. Учеблики и учебные пособия для вузов
Вептцель Е. С. Исследование операций: Задачи, прин-
ципы н методология.—М. Наука, 1980. — 208 с.,
45 000 экз., 40 К-
76
Дагко Е. П, Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Выс-
шая математика в упражнениях и задачах: Учебное по-
собие для втузов. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Выс-
шая школа, 1980.— 100 000 экз. Ч. 1. — 320 с., 85 к.
Ч. 2. — 365 с., 95 к.
В каждом разделе типичные задачи даны с подроб-
ным решением, что делает книгу пригодной для само-
образования. Кпоме аналитической геометрии линей-
ной алгебры и традиционного втузовского курса ана-
лиза книга содержит элементы линейного программи-
рования, теории вероятностей, теории функций комп-
лексного переменного, операционного исчисления и вы-
числительных методов.
Девис М. Прикладной нестандартный анализ. Пер с
англ.; Под ред. и с предисл. В. А. Успенского. — М.:
Мир, 1980. — 250 с, 5000 экз., 1 р. 30 к.
Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического
анализа. Ч. 2. (Курс высшей математики и математи-
ческой физики. Вып 2а). — 2-е изд., стереотип. — М.:
Наука, 1980. — 447 с., 45 000 экз., I р.
Картесп Ф. Введение в конечные геометрии. Пер. с
аигл.— М.: Наука, 1980.— 320 с., 7500 экз., 1 р. 40 к.
Сборник задач по геометрин/Под ред. В Т. Базыле-
ва. Для физико-математических факультетов педагоги-
ческих институтов. — М.: Просвещение, 1980. — 238 с.,
65 000 экз., 75 к.
Стренг Г. Линейная алгебра и ее применения. Пер. с
англ.; Под ред. Г. И. Марчука. — М.: Мир, 1980.—
454 с., 14 000 экз., 2 р. 10 к.
Теляковскнй С. А. Сборник задач по теории функций
действительного переменного: Учебное пособие для ма-
тематических специальностей вузов.—М.: Наука, 1980.—
111 с., 26 000 экз., 20 к.
Тихонов А. Н, Васильева А. Б., Свешников А. Г.
Дифференциальные уравнения. (Курс высшей матема-
тики и математической физики. Вып. 7). — М.; Наука,
1980.— 231 с., 30 000 экз., 75 к.
Яглом И. М. Математические структуры и математи-
ческое моделирование. (Серия «Кибернетика»).— М.:
Советское радио, 1980. — 144 с., 40 000 экз., 55 к.
Научно-популярные книги. Внеклассная работа
Берман Г. Н. Циклоида: Об одной замечательной
кривой линии и некоторых других, с ней связанных.—
3-е изд. — М. :Наука, 1980.— 112 с., 108 000 экз., 20 к.
Бескин Н. М. Замечательные дроби. — Минск: Вышэй-
шая школа, 1980. —125 с., 52 000 экз., 20 к.
Популярное изложение теории цепных дробей для
школьников VIII—X классов, учителей и студентов
пединститутов, ведущих внеклассную работу чо мате-
матике.
Воловик Г. Е, Минеев В. П. Физика и топология.
(Новое в жизни, науке, технике. Серия «Физика»,
№ 6.)—М.: Знание, 1980.—63 с., 43 580 экз., 11 к.
Зубелевич Г. И. Занятия математического кружка в
IV классе: Пособие для учителей.—М.: Просвещение,
1980,-79 с.. 80 000 экз.. 10 к.
Кованпов Н. И. Математика и романтика. (Библио-
течка физико-математической школы. Математика).—
2-е изд., испр. и доп. — Киев: Вища школа, 1980. —
134 с., 50 000 экз.. 20 к.
Математика ка. профессия: О воспитательном эффек-
те математического образования: Сборник статей/Сост.
Б. В. Гнеденко. (Новое в жизни, науке, технике. Серия
«Математика. Кибернетика», № 6.) — М.: Знание,
1980. —64 с., 35 720 экз., 11 к.
Шилов Г. Е. Простая гамма. Устройство музыкальной
шкалы. (Популярные лекции по математике. Вып. 37).—
2-е изд. — М.: Наука, 1980. — 24 с., 100 000 экз., 5 к.
Учебники и учебные пособия для средних учебных
заведений
Антоновский М. Я., Левктас Г. Г- Учебное оборудо-
вание на уроках алгебры. 6 класс: Пособие для учите-
ля.— М.; Просвещение, 1980. — 144 с., 80 000 экз., 20 к.
Дадаяи А. А., Новик И. А. Алгебра и начала анали-
за: Учебное пособие для средних специальных учебных
заведений.— Минск: Вышэйшая школа, 1980.— 367 с,
41 000 экз., 85 к.
Зорин В. В., Фискович Т. Т. Пособие по математике
для поступающих в вузы: Для слушателей подготови-
. _льных отделений. — М.: Высшая школа, 1980.—
287 с., 250 000 экз., 80 к.
Киселев А. П. Элементарная геометрия: Книга для
учителя,— М: Просвещение, 1980.—286 с., 150 000 экз,
70 к.
Кован нова Л. В., Малышев И. Г. Сборник задач по
математике. — Киев: Вища школа, 1980.— 286 с.,
70 000 экз., 1 р. 30 к.
Петров В. А. Математические задачи из сельскохо-
зяйственной практики. Пособие для учителя. — М.: Про-
свещение, 1980.— 64 с., 88 000 экз., 10 к.
Понтрягин Л. С. Математический анализ для школь-
ников. — М.: Наука, 1980. — 86 с., 150 000 экз., 10 к.
Сборник конкурсных задач по математике для посту-
пающих во втузы/Под ред. М. И. Сканави. — 4-е изд —
М.: Высшая школа, 1980. — 541 с., 350 000 экз., 1 р. 10 к.
Халамайзер А. Я- Комбинаторика и бином Ньютона:
Пособие для учащихся IX—X классов. — М.: Просве-
щение, 1980. — 32 с., 100 000 экз., 5 к.
Шувалова Э. 3., Каплун В. И. Геометрия: Учебное
пособие для подготовительных отделений вузов. — М.:
Высшая школа, 1980.—256 с., 250 000 экз, 55 к.
По страницам зарубежных журналов
ЧЕХОСЛОВАЦКИЙ ФИЗИКО-МАТЕМАТ 4ЧЕСКИЙ
ЖУРНАЛ ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ
И. И. МИХАЙЛОВ
(г. Иваново)
Большой популярностью пользуется в Чехословакии
журнал для учащихся общеобразовательных и специа-
лизированных средних школ «Rozhledy matematicko-
fyzikalni» («Математико-физический обзор»). Почти
60-летняя деятельность журнала высоко оценена пар-
тией и правительством ЧССР, он награжден орденом
«За заслуги в строительстве».
Возглавляет редакционный совет журнала профессор
Э. Крамер. В состав редакционного совета входяг
Я. Байер, М. Марчок, К. Мишон, й. Новак, Ц. Палай,
О. Петранек, И. Седлачек и другие видные ученые
страны. Издается журнал Министерством просвещения
ЧССР при участии общества чехословацких математи-
ков и физиков. Каждый том его состоит из 10 номе-
ров. Первый из них выходит в сентябре, второй — в
октябре и т. д, десятый — в июне (в июле и августе
у журнала «каникулы»),
В журнале традиционно сложились следующие основ-
ные разделы: «Математика», «Физика», «Астрономия»,
«Из истории точных наук», «Наш конкурс», «Олимпиа-
ды», «Маленьким читателям», «Математические развле-
чения», «Из зарубежных журналов», «Рецензии», «Раз-
ное».
В 1978/79 учебном году выпускался 57-й том жур-
нала. Он открылся статьей главного редактора Э. Кра-
мера, в которой показаны основные направления де-
ятельности журнала в новом учебном году. В статье
Я. Вечера «Тридцать чет СЭВ» (№ 6) рассказывается
77
о сотрудничестве социалистических стран в решении
научно-технических проблем.
Наиболее обширен в журнале раздел «Математика»,
в котором широко освещаются самые разнообразные
темы. Р. Фейткова и М. Малик в серии статей расска-
зывают о вычислительных машинах, элементах про-
граммирования, машинных языках. Значительное вни-
мание журнал уделяет вопросам геометрии. Отметим
статьи И. Чайды «Определение объемов тел с помощью
принципа Кавальери», Ф. Матяпгжа «Некоторые свой-
ства подобных треугольников», Ф. Храдецки «Плоские
сечения конических поверхностей», К. Драбека «Круго-
вая инверсия» и др. В 57-м томе журнала вопросы ал-
гебры освещены в ряде статей. Отметим работы С Хо-
рака «Специальные кривые третьей степени» и Ф. Хра-
децки «Применение аналогии в алгебре». Большой ин-
терес журнал проявляет к проблемам арифметики и
теории чисел. По этой привлекательной для школьни-
ков теме опубликован ряд заметок. В том числе не-
большая статья Г. Деланде «Пирамидальные арифме-
тические последовательности» и заметка И. Шедивы,
посвященная многочленам, задающим простые числа
(с рассмотрением классических примеров). В журнале
освещаются вопросы математического анализа и тео-
рии вероятностей. Среди публикаций по этой тематике
укажем работы П. Фабингера «Целая часть действи-
тельного числа» и 3. Пулпана «Схема Бернулли».
Интересны и разнообразны материалы, печатаемые
в разделе «Физика». Среди них выделяются статьи
и заметки В. Черны н Я. Пишута о развитии физичес-
кого мышления с помощью решения задач определенных
типов, Р. Тулака «50 лет детектору Гейгера—Мюлле-
ра», О Посса и А. Штрбовой «Один метод измере-
ния скорости звука в твердых средах», Л. Дворжака
«Теория относительности», П. Бпады «Модель цветово-
го зрения» и др.
В разделе «Астрономия» наиболее познавательны ста-
тьи М. Широки и Я. Широки «Планета Земля» н «Ви-
димые движения космических тел».
Большое воспитательное н познавательное значение
принадлежит в журнале разделу «Из истории точных
наук». Исключительно полезна увлекательная статья
Л. Дворжака об А. Эйнштейне, посвященная 100-летию
со дня рождения великого ученого, а также статьи
Д. Единака «Бернард Больцано — гуманист и матема-
тик», й. Котука «Томас Янг» и «Вильям Томсон (Кель-
вин)», И. Седлачека «Выдающийся польский матема-
тик» (о В. Серпинском). Ряд материалов отражает ос-
новные этапы в развитии науки и техники, среди них
статьи И. Кушнера «История комплексных чисел»,
Р. Ребстока «100 лет электромотору на железнодорож-
ном транспорте».
В 1978/79 учебном году в журнале печатались задачи
математических и физических олимпиад. В разделе «Из
зарубежных журналов» помещаются наиболее важные
н интересные материалы из журналов «Математика в
школе» (СССР), «Альфа» (ГДР), «Математика» (ПНР)
и т. д.
В разделе «Разное» опубликованы статьи О. Клау-
човой «Математика на вступительных экзаменах в ву-
зы СССР», 3. Яноита и Ф. Чвута «Новосибирский госу-
дарственный университет», Т. Свободы «Астронавтика
за мир и прогресс человечества», Я. Шедивы «Между-
народный конгресс математиков в 1°78 г.», И Мразека
«Электронные игры для детей», «Использование мини-
калькуляторов в школе», И. Миды «Когда год вновь
закончится воскресеньем?», беседа й. Котука с читате-
лями, посвященная 430-летпю со дня рождения Джор-
дано Бруно.
В журнале также регулярно печатается информация
о деятельности общества чехословацких математиков
и физиков, публикуются сообщения о вышедших нз пе-
чати книгах по математике и физике, отзывы о них.
Хроника
ВСТРЕЧА УЧЕНЫХ М ПРАКТИКОВ
В. ф. ХАРТАШОВ
(г. Казань)
29—31 октября в Ростове-на-Дону проходила первая
Всесоюзная научно-практическая конференция «Совер-
шенствование общеобразовательной подготовки в сред-
них ПТУ». Она была организована Госкомитетом СССР
по профтехобразованию, НИИ профгехпедагогики АПН
СССР, Ростовским областным управлением профтехоб-
разования. Перед конференцией стояли две основные
цели: показать научной и педагогической общественно-
сти страны структуру и преимущества современного
урока, основанного на теории проблемного развиваю-
щего обучения и выявить современное состояние иссле-
дований, связанных с системой среднего профессиональ-
но-технического образовании.
Конференция собрала свыше 800 представителей си-
стемы профтехобразования со всех уголков страны.
В ней приняли участие работники АПН СССР, Госко-
митетов СССР, РСФСР, союзных и автономных рес-
публик по профтехобразованию, ученые, руководители и
преподаватели профтехучилищ.
В первый день участники конференции посетили от-
крытые уроки и провели их обсуждение. Они отметили
значительную активность учащихся в процессе форми-
рования новых знаний, постановки проблемной ситуа-
ции н ее разрешения. Многие преподаватели восприня-
ли эти уроки как открытие для себя н высказали поже-
лания об улучшении методической оснащенности препо-
давателей ПТУ конкретными разработками уроков
30 и 31 октября проходила научная часть конферен-
ции. На пленарном заседании 30 октября участники кон-
ференции заслушали доклады заместителя председателя
Госкомитета СССР по профтехобразованию А. К. Оси-
пова, академиков АПН СССР С. Я. Бытышева и М. И.
Махмутова. В докладах были сформулированы задачи
дальнейшего совершенствования подготовки рабочих в
средних ПТУ, обобщены достижения педагогической
науки.
Дальнейшая работа проходила по секциям. Вопросы
совершенствования математической подготовки учащих-
ся в средних ПТУ рассматривались на секции естест-
венно-математического цикла. Доклады по методике
преподавания математики можно разделить на 6 групп.
Наиболее обстоятельными были доклады, посвящен-
ные содержанию образования.
И. Я. Курамшин (г. Казань) показал, что необходи-
мы специальные учебные материалы для средних ПТУ.
В эти учебные материалы должны входить неизменное
ядро информации и функциональная часть, содержание
которой зависит от конкретной группы профессий.
М. И. Башмаков (Ленинград) рассказал о многолет-
ней работе группы математиков над созданием новой
программы i учебных материалов для средних ПТУ,
эксперимент по которым проводится 5 лет. Эксперимент
показал, что учащиеся легче усваивают эти материалы.
78
поскольку в них для введения новых понятий широко
используются жизненные представления.
Критический анализ тенденций, имеющих место в
среднем образовании в США и Англии, был дан в док-
ладе Л. С. Тропина (г. Казань).
Во второй группе докладов затрагивались вопросы
совершенствования учебного процесса в средних ПТУ.
В. Ф. Карташов (г. Казань) в своем выступлении
остановился на особенностях обучения математики в
СПТУ: более серьезное внимание к повторению курса
математики восьмилетней школы и к ликвидации про-
белов в знаниях, умениях и навыках учащихся, боль-
шие возможности в реализации взаимосвязи математики
с общетехническими и специальными дисциплинами,
активизация деятельности учащихся на основе теории
проблемного развивающего обучения, необходимость со-
вершенствования навыков самостоятельной деятельно-
сти учащихся ча уроке н дома.
Н. С. Николаева и А. Я. Кольберфляйш (г. Пермь)
рассказали о своей попытке реализовать методы проб-
лемного обучения при изучении тем «Предел функции
и производная», «Применение производной».
Способы введения новых математических понятий ме-
тодами проблемного обучения отметил в своем докла-
де В. Н. Манаков (Ленинград).
Л. 3. Чипонишвили (г. Бухара) поделилась своим
опытом по применению элементов проблемного обуче-
ния на уроках геометрии.
На конференции предлагались и другие формы акти-
визации учебной деятельности учащихся. Так. А. М.
Гольдберг и В. И. Паламарчук (Киев) используют
для оптимизации преподавания математики конспекты
уроков, которые содержат главное в изучаемой теме
(определения, теоремы, формулы, следствия, свойства
и т. д.) и состоят из трех—четырех математических
предложений. Е. А. Меличко (Кишинев) и Д. А. Вельд
брехт (г. Херсон) рассказали о своем опыте обучения
математике с помощью индивидуального подхода к
учащимся.
Выступления третьей группы были посвящены кон-
кретным рекомендациям по осуществлению взаимосвязи
математики с предметами профессиональных циклов.
Интересное исследование провела Г. Н. Цыбульская
(Киев). Она пыталась выявить состояние работы в сред-
них ПТУ по взаимосвязи математики с трудовым обучс
ннем. Были приведены следующие цифры: лишь 1,3%
учащихся усматривают связь между вычислениями и
усвоением материала спецдисциплин, 21% мастеров
производственного обучения не знакомы с программой
по математике. Основной вывод закиочается в следую-
щем: необходимо направить деятельность педагогичес-
кого коллектива среднего ПТУ на успешное осуществ-
ление взаимосвязи математики с будущей профессией
учащихся.
£. С. Дубинчук (Киев) перечислила пути усиления
политехнической направленности в преподавании ма-
тематики в средних ПТУ и привела конкретные приме-
ры для ряда специальностей.
В докладах Т. Т. Сакаркановой (Ташкент), Т. Н. Але-
шиной и В Л. Шамшурина (Москва), Р. В. Стефурак
(г. Казань). В. П. Бермана (г. Херсон) акцентировалось
внимание на отборе профессионально значимых знаний
и умений для различных специальностей (металлистов,
строителей), предлагались конкретные рекомендации по
использованию задач с практическим содержанием.
Ряд докладов был связан с разработкой методики
обобщающего повторения математики за курс восьми-
лстней школы. Что повторять, в каком объеме, когда
повторять (в процессе актуализации или на консульта-
ционных занятиях) и, наконец, какие использовать фор-
мы и методы повторения — иа эти вопросы ответов по-
ка нет, хотя от них во многом зависит успех овладения
учащимися основами математики.
Группа сотрудников Калмыцкого университета вы-
ступила с конкретными рекомендациями. Например,
Б. П. Эрдниев предлагает использовать при повторении
принцип укрупнения, который предполагает совместное
и одновременное изучение понятий, определений, теорем.
Р. П. Цирульник и Л. В. Шматко используют проблем-
ные плакаты при изучении и укрупненном повторении
геометрии. В этих плакатах формулы представлены в
«деформированном» виде, т. е. со знаками ? и □, вмес-
то которых необходимо поставить нужные математиче-
ские знаки. Ш. Б. Улюмджиева считает, что учащийся
СПТУ должен не только логическими средствами, но
и в результате прямых наблюдений увидеть содержа-
ние основных математических понятий; свои предло-
жения она проиллюстрировала на примере лаборатор-
ной работы «Вычисление определенного интеграла».
На конференции были представлены два доклада, в
которых рассматривались вопросы воспитания в про-
цессе обучения .математике: В. Л. Шамшурин (Мосгга)
показал мировоззренческие функции предметов естест-
венно-математического цикла в средних ПТУ, Л. М. Ло-
повок (Ворошиловград) остановился на системе работы
по коммунистическому воспитанию учащихся.
Принятая конференцией резолюция нацеливает науч-
ную и педагогическую общественность страны на реше-
ние вопросов, затронутых в Постановлении ЦК КПСС
и Совета Министров СССР от 30 августа 1977 г. «О
дальнейшем совершенствовании процесса обучения и
воспитания учащихся системы профессионально-техни-
ческого образования».
РЕСПУБЛИКАНСКИЙ СЕМИНАР ПО ПРОБЛЕМАМ
ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ В ШКОЛЕ
В. Ю. ГУРЕВИЧ
(Минск)
Научно-практический семинар «Актуальные проблемы
преподавания математики в средней школе» работает
в Минск? при НИИ педагогики Министерства просве-
щения БССР.
В 1979/80 учебном году состоялось 6 заседаний се-
минара, на каждом из которых был обсужден одни из
указанных ниже докладов.
Два доклада сделал инспектор Министерства про-
свещения СССР кандидат педагогических наук В. А. Гу-
сьз В докладе «Состояние и перспективы совершенст-
вования среднего математического образования в СССР»
он проанализировал результаты преподавания матема-
тики по действующим программам и учебникам, вскрыл
причины ряда недостатков в практике преподавания
математики, показал имеющиеся резервы повышения
уровня математической подготовки учащихся средних
школ, изложил основные идеи проектов программ по
математике для средней школы. Докладчик рассказал
об основных путях повышения качества преподавания
математики в школе и о проводимой в этом направле-
нии серьезной работе ряда авторских и исследователь-
ских коллективов.
Во втором докладе В. А. Гусева «Актуальные проб-
лемы преподавания геометрии в школе» были изложе-
ны научные основы и рассмотрены различные методи-
ческие концепции построения курса геометрии.
Оба доклада были заслушаны на совместном заседа-
нии семинара, кафедры методики преподавания мате-
матики Минского пединститута им. А. М. Горького, ка-
бинетов математики Республиканского, Минского об-
ластного и городского институтов усовершенствования
учителей. Доклады вызвали оживленную дискуссию,
участники которой, в частности, отметили необходи-
мость скорейшего перехода на стабильные программы
и учебники по математике для средней школы.
С докладом «Использование межпредметных связей
для совершенствования качества преподавания алгебры
79
и начал ан; лиза в средней школе» выступил заведую-
щий кафедрой методики преподавания математики
Брестского пединститута кандидат физико-математиче-
ских наук М. Г. Шраср. Он рассказал об интересном
опыте использования знаний учащихся, полученных в
курсе физики, для введения понятий производная, пер-
вообразная, интеграл, дифференциальное уравнение гар-
монических колебаний. В ходе обсуждения отмечалось
большое мировоззренческое значение основных методи-
ческих положений доклада, их эффективность и прак-
тическая значимость.
Кандидат педагогических наук доцент Могилевского
пединститута Н. М Ри айовский сделал доклад «Со-
вершенствование и систематизация методов обучения
математике». Он отметил, что дидактический подход
к методам обучения не отражает их многообразия, и
изложил критерии систематизации методов обучения
математике, зависящие от содержания учебного пред-
мета.
Заслуженный учитель школы БССР доцент Могилев-
ского пединститута А. А. Мазиник посвятил свое высту-
пление двум проблемам: 1) использованию задач на
построение при изучении курса геометрии, 2) примене-
нию теории для решения задач на построение.
В докладе «Формирование творческого мышления в
процессе обучения математике» учитель Нарочской
средней школы Минской области Е. W. Ровдо обобщил
свой опыт обучения приемам поиска решения задач.
В основу своей работы автор положил разработанную
им спст< му вспомогательных задач, которая естествен-
ным образом подводит учащихся к применению необ-
ходимых и наиболее подходящих для каждой конкрет-
ной учебной ситуации приемов решения более слож-
ных задач.
МОРДУХАЙ МОИСЕЕВИЧ ВАЙНБЕРГ
Скончался известный советский ма-
тематик, профессор Московского об-
ластного педагогического института-
им. Н. К- Крупской Мордухай Мои-
сеевич Вайнберг. В этом институте
Мордухай Моисеевич начал работать ,
в 1944 г. сначала в качестве доцента,
а после защиты диссертации на сте-.
пеиь доктора физико-математических
наук — в качестве профессора. В те-'
чение ряда лет он читал основные
курсы по кяфетре математического
анализа, а также специальные курсы.!
отвечающие его научным интересам,
вел специальный семинар и руково-
дил дипломниками на кафедре диф-
ференциальных уравнений Москов-
ского университета.
Мордухай Моисеевич был признан-
ным авторш етом в области нелиней-
ных интегральных уравнений. Его
работы опубликованы в виде ряда •'
фундаментальных статей в ведущих
советских журналах — «Математиче-
ском сборнике», «Успехах математи-
ческих наук» и др., а также в не-
скольких монографиях Его книга
^Вариационные методы исследования
нелинейных операторов» была пере-
ведена на английский язык и издана
в СП1Д.
Помнмо чтения курсов лекций
М. М. Вайнберг большое внимание
уделял подготовке научной смены.
За время работы в педагогическом
институте под его руководством за-
щитили кандидатские диссертации 18
аспирантов. Некоторые из них позд-
нее защитили и докторские диссер-
тации, продолжая работать в том же
круге идей, который был им предло-
жен учителем.
Лекции Мордухая Моисеевича от-
личались исключительной логической
строгостью и доводились до полной
отчетливости изложения. Они были
несколько суховаты, но пользова-
лись большим успехом у студентов,
поскольку в них основное внимание
обращалось на принципиальные мо-
менты, а не на детали. Записи на
доске отличались тщательностью, и
все, что необходимо для понимания
содержания, сохранялось на доске
до конца изложения вопроса.
Несомненно, что педагогическая
щепетильность М. М. Вайнберга и
четкость его изложения оказывали
влияние не только на математическое
образование студентов, но и на их
педагогические взгляды.
М. М. Вайнберг родился 13 сентяб-
ря 1908 г. в г. Жолкевке Люблинской
губернии (теперь Люблинское вое-
водство ПНР). Позднее его родители
переехали в Саратов. В 1926 г. он
закончил школу № 3, в которой пре-
подавание математики в ту пору
было поставлено превосходно. Буду-
чи лучшим математиком класса, он,
естественно, избрал себе путь мате-
матика и поступил в Саратовский
университет. Несмотря на то что бо-
лезнь отца заставила Мордухая Мои-
сеевича взять на себя материальные
заботы о семье, он с большим успе-
хом выполнял не только все обязан-
ности по университету, но и активно
работал в студенческом математиче-
ском кружке. В 1930 г. после окон-
чания университета он переехал в
г. Иваново (областной), где в тече-
ние нескольких лет работал ассис-
тентом кафедры математики сельско-
хозяйственного института. В 1936 г.
А'ордухай Моисеевич перевелся на
работу в Москву на кафедру мате-
матики Гидро метеорологического ин-
ститута. Очень быстро он включился
в работу научных семинаров Мос-
ковского университета и увлекся
теорией нелинейных интегральных
уравнений, интерес к которой не по-
кидал его до конца жизни.
Все, кто соприкасался в жизни с
Мордухаем Моисеевичем, навсегда
сохранят о нем память не только как
о прекрасном математике и педаю-
ге, но и как о человеке исключитель-
ной требовательности к себе и отзыв-
чивости к людям. Он был верным
товарищем и всегда точно выполнял
принятые на себя обязательства как
в большом, так и в малом. Мордухай
Моисеевич был человеком долга Он
никогда не требовал для себя приви-
легий, но всегда готов был прийти
на помощь как товарищу по работе,
так и студенту.
Уход из жизни М. М. Вайнберга —
это не только потеря замечательного
ученого, это одновременно и потеря
человека большого сердца и исклю-
чительной честности.
Б. Б. ГНЕДЕНКО
80
Использование учебного оборудования
по физике на уроках математики
Наш опыт показал, что привлечение
физического оборудования на уроки
математики делает их интересными
и более эффективными. Такое при-
влечение необходимо потому, что
существующие модели или рисунки
хоть и полезны, но все-таки не обе-
спечивают иллюстрации абсолютного
большинства задач и математических
понятий. Остановимся на тех физи-
ческих приборах, выпускаемых про-
мышленностью, которые наиболее
широко могут быть применены на
уроках математики.
При изучении десятичных дробей,
отрицательных чисел и действий над
ними целесообразно демонстрировать
Рис 2
шкалы физических приборов: термо-
метров, динамометров (рис. 1) и др.
Циферблат часов можно использо-
вать для иллюстрации сложения ве-
личин, поворота фигуры вокруг точ-
ки, дуги в п®. Весы с наборными
грузами необходимы для демонстра-
ции сравнения масс, решения задач
на составление уравнений, решения
неравенств, а также при изучении
метрической системы мер.
Многие приборы можно использо-
вать при решении задач по теме
«Приближенные вычисления». Напри-
мер, амперметр, вольтметр, реостат
пригодятся для иллюстрации условий
задач № 671 и 683 из учебника
«Алгебра 7».
Склянка Вульфа (рис. 2) с набо-
ром резиновых трубок разного сече-
ния помогает наглядно представить
ситуацию, описываемую в задачах
«на бассейны». Например, с помощью
склянки можно продемонстрировать:
скорость наполнения бассейна через
трубки разного сечения и обратный
процесс; наполнение бассейна трубой
большого диаметра при условии вы-
текания из него жидкости через тру-
бу малого диаметра; неизменность
уровня жидкости в бассейне при од-
новременном наполнении и вытека-
нии жидкости через одинаковые
трубы.
Курс математики III—VIII клас-
сов отводит значительное место за-
дачам на движение, однако многие
учащиеся имеют слабые представле-
ния о пути, скорости, времени н за-
висимостях между этими величинами.
Для демонстрации движения реаль-
ных объектов необходимо использо-
вать прибор по кинематике и дина-
мике для физического практикума —
самодвижущуюся тележку.
Два таких прибора позволяют из-
мерять скорости равномерного и рав-
нопеременного движения, определять
путь, пройденный телом, и время
движения, скорость сближения и уда-
ления тел.
Весьма полезным может оказаться
другой прибор — легкоподвижная те-
лежка. Если на легкоподвижной те-
лежке установить капельницу (см.
рис. 3), под ней во всю длину при-
бора поместить полосу белой бумаги
с делениями, то при равноускорен-
ном движении расстояния между со-
седними каплями увеличиваются.
Значит, и скорость тележки изме-
няется. Измерив расстояния между
соседними каплями, получим числен-
ное значение скорости для каждого
промежутка времени. Для построе-
ния графика зависимости пути от
времени (функция у=ах2) на оси
абсцисс откладывают промежутки
времени, на оси ординат — пройден-
ные расстояния. Эти расстояния от
начальной точки до каждой после-
дующей измеряют с помощью цир-
куля и переносят на ось ординат.
Затем полученные точки соединяют
плавной линией и получают график
исследуемой функции, в данном слу-
чае— график движения тележки.
Особенно благоприятные возмож-
ности использования учебного обо-
рудования по физике на уроках ма-
тематики складываются у учителей,
ведущих оба эти Предмета.
С подробным описанием названных
физических приборов учитель мате-
матики может ознакомиться по книге
«Учебное оборудование по физике»
(под ред. А. А. Покровского.— М.:
Просвещение, 1973).
В. Ф. Шилов,
В. И. Исаев (Москва)
С ЮО i /
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КАЛЕНДАРЬ НА 1980/81 УЧЕБНЫЙ ГОД
Март	' 1
1	марта — 75 лет со дня рождения
советского математика Владимира
Николаевича Мол од ше г о (см.:
Математика в школе, 1976, № 1).
2	марта — 75 лет со дня рождения
советского математика, заслуженного
деятеля науки и техники РСФСР Бо-
риса Павловича Демидовича
(1906—1977) (см.: Успехи математи-
ческих наук, 1978, 33, № 2; Матема-
тика в школе, 1976, № 1).
6 марта — 80 лет со дня рождения
советского математика, члена-кор-
респондента АН УССР Наума Ильича
Ахиезера (см.: Математика в
школе 1971, № 1).
6 марта — 60 лет со дня рождения
советских математиков Акивы Мои-
сеевича Я г л о м а и Исаака Моисее-
вича Я гл ома. Родились в Харько-
ве. Окончили Свердловский универ-
ситет (1942).
А. М. Яглом окончил еще Москов-
ский университет (1944), доктор фи-
зико-математических наук (1957), про-
фессор (1964). С 1946 г. работает
в Институте физической атмосферы
АН СССР, с 1963 — также в Москов-
ском университете. Его основные
труды относятся к функциональному
анализу, теории вероятностей, тео-
рии информации, прикладной мате-
матике. В соавторстве с братом на-
писал несколько пособий для сред-
ней школы, в частности «Неэлемен-
тарные задачи в элементарном из-
ложении» (М., 1954), «Вероятность и
информация» (2-е изд. М., 1960).
И. М. Яглом — доктор физико-ма-
тематических наук (1966), профессор
(1967). Работал в Московском уни-
верситете, в Московском педагоги-
ческом институте, ныне работает в
Ярославльском университете. Основ-
ные труды относятся к алгебре и
геометрии. Он автор многих пособий
для учащихся и учителей средней
школы: «Выпуклые фигуры» (М.; Л.,
1951), «Геометрические преобразова-
ния» (т. 1—2. М., 1955—1956), «Не-
обыкновенная алгебра» (М., 1968),
«Геометрия точек и геометрия пря-
мых» (1968), «Элементарная геомет-
рия прежде и теперь» (М., 1972),
«Математика и реальный мир» (М.,
1978) и др.
13 марта — 200 лет со дня рождения
австрийского астронома и матема-
тика, члена Лондонского королев-
ского общества, члена-корреспонден-
та Петербургской АН Йозефа Иоганна
Литров а (17В1—1840). Литров ро-
дился в чешском городе Бишофтай-
нице. Изучал математику и астроно-
мию в Вене и Праге. В 1807 г. был
назначен профессором Краковского
университета и директором обсерва-
тории. Когда во время войны с Ав-
стрией в 1809 г. Краков заняли рус-
ские войска, Литров обратился к
русскому командованию с просьбой
разрешить ему работать в России.
Его просьба была удовлетворена,
и он был назначен профессором
астрономии в Казанский университет.
В 1816 г. переехал в Сфен (теперь
часть Будапешта), а в 1819 г.— в
Вену, где до конца жизни был ди-
ректором обсерватории. В математи-
ке он изучал кривые, которые обра-
зуются при вращении многих окруж-
ностей, одной над другой. В рабо-
те «Календариография» (1828) дал
арифметическую теорию разных сис-
тем календарей, пользуясь теорией
непрерывных дробей. В 1В43 г. вы-
шел русский перевод его книги «Об-
щенародная геометрия» (см.: БСЭ.—
3-е изд.; Историко-математические
исследования. Вып 9, 1962).
15 марта — 75 лет со дня рождения
советского математика, члена-кор-
респондента АН Грузинской ССР
Владимира Георгиевича Челидзе
(1905—1978). Родился в Сухуми.
Окончил Тбилисский университет
(1929), доктор физико-математиче-
ских наук (1950), профессор (1951).
Основные труды относятся к теории
функций. В. Г. Челидзе — автор и
редактор многих книг и учебников
по высшей математике (см.: История
отечественной математики, т. 3—4).
23 марта — 225 лет со дня рождения
австрийского математика Георга
Вега (1756—1802). В прошлом сто-
летии в русской средней школе
употреблялись семизначные таблицы
логарифмов Г. Вега. В течение по-
следних 20 лет XIX в. они постепен-
но вытеснялись пятизначными таб-
лицами Е. М. Пржевальского. В наше
время (с 1932 по 1949 г.) таблицы
Г. Вега несколько раз переиздава-
лись для астрономов и геодезистов.
25 марта — 70 лет со дня рождения
советского математика и механика,
члена-корреспондента АН УССР
Алексея Николаевича Боголюбо-
ва (см.: Математика в школе, 1971,
№ 1).
25 марта — 70 лет со дня рождения
советского математика, члена-кор-
респондента АН СССР, заслуженного
деятеля науки и техники РСФСР,
лауреата Государственной премии
СССР Владимира Сергеевича Пуга-
чева (см.: Математика в школе,
1971, № 1).
29 марта — 90 лет со дня рождения
советского математика-педагога
Александра Николаевича Б а р с у к о-
в а (1891—1958). Автор учебника по
алгебре для VI—VIII классов сред-
ней школы, который действовал до
1967 г. Был инициатором создания и
главным редактором журнала «Мате-
матика в школе» (см.: Математика
в школе, 1957, № 1; 1958, № 3).
Апртпь	”
5 апреля — 75 лет со дня рождения
советского математика Дмитрия Бо-
рисовича Гогоберидзе (1906—
1953). Родился в Одессе Окончил
Тбилисский университет (1929), док-
тор физико-математических наук
(1940), профессор (1941). Работал
в учебных заведениях Тбилиси и
Ленинграда. Труды относятся к вычи-
слительной математике (см.: История
отечественной математики, т. 4).
9 апреля — 50 лет со дня рождения
советского математика, члена-кор-
респондента АН СССР (1970) Андрея
Петровича Ершова Родился в
Москве. Окончил Московский уни-
верситет (1954), доктор физико-мате-
матических наук (1968), профессор
(1969). В 1954—1959 гг. работал в
ВЦ АН СССР, с 1959 г. работает в
ВЦ СО АН СССР, а с 1962 г,—и в
Новосибирском университете. Основ-
ные труды относятся к программи-
рованию и вычислительной матема-
тике. А. П. Ершов — крупный специа-
лист в области теории и автоматиза-
ции программирования, известны
операторные алгоритмы Ляпунова—
Ершова, ориентированные на практи-
ческие приложения. Он является
руководителем ряда проектов сис-
тем математического обеспечения
ЭВМ. Написал учебное пособие «Вве-
дение в теорию программирования»
(М., 1976). Иностранный член Ассо-
циации по вычислительной технике
США (1965). Награжден двумя орде-
нами Трудового Красного Знамени
(см.: БСЭ.— 3-е изд.; История отече-
ственной математики, т. 4).
10 апреля — 75 лет со дня рождения
советского математика и физика,
члена-корреспондента АПН СССР
(1957) Абаскули Агабала оглы
Абас-заде (1906—1969) (см.: Ис-
тория отечественной математики,
т. 4).
28 апреля — 75 лет со дня рождения
австрийского математика и логика
Курта Гёделя (1905—1978) (см.:
Математика в школе, 1976, № 1).
А. И. Бородин (г. Донецк)
Математика в школе, 1981, № 1,1—ВО